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Elaboration sans prototypage du circuit équivalent de
transformateurs de type planar
Xavier Margueron
To cite this version:
Xavier Margueron. Elaboration sans prototypage du circuit équivalent de transformateurs de type
planar. Energie électrique. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2006. Français. �tel-00151063�
HAL Id: tel-00151063
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00151063
Submitted on 1 Jun 2007
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
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CHAPITRE 1 : TOPOLOGIE DES CIRCUITS EQUIVALENTS
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I. INTRODUCTION
II. CIRCUITS TRADITIONNELS
II.1. Coupleurs parfaits
II.2. Schéma général pour un transformateur à deux enroulements
II.3. Transformateurs à enroulements multiples
II.3.a. Schéma traditionnel pour un transformateur à trois enroulements
II.3.b. Présentation d'autres modèles et de leurs limites
III. SCHEMAS EQUIVALENTS POUR N-ENROULEMENTS
III.1. Présentation intuitive
III.1.a. Transformateur à deux enroulements
III.1.b. Transformateur à trois enroulements
III.1.c. Transformateur à quatre enroulements et généralisation
III.2. Approche théorique
III.2.a. Expression de l'énergie d'un système dans différentes bases
III.2.b. Changement de base : Exemple pratique
III.3. Simplifications des schémas équivalents
III.3.a. Identité de deux enroulements
III.3.b. Couplage dominant
III.3.c. Couplage négligeable dans le transformateur de fuite
IV. APPLICATIONS DES SCHEMAS EQUIVALENTS
IV.1. Modélisation des coupleurs sous Pspice®
IV.2. Inductance triphasée
IV.3. Transformateur triphasé
V. CONCLUSION
CHAPITRE 2 : IDENTIFICATION EXPERIMENTALE
I. INTRODUCTION
I.1. Comment élaborer le circuit équivalent d'un transformateur ?
I.2. Impédances à vide, en court circuit et relations dans un quadripôle
I.3. Séparation Statique-dynamique
I.4. Séparation de la partie électrostatique
I.5. Constantes localisées ou réparties ?
I.6. Prise en compte de la variation fréquentielle des éléments
II. LES MESURES D’IMPEDANCES
II.1. Mesure voltampèremétrique et autres techniques
II.2. Mesures "4 fils"
II.3. Méthode du pont auto calibré
II.4. Problèmes de mesure et recommandations
II.4.a. Comment choisir les mesures à effectuer ?
II.4.b. Intérêt de la mesure redondante
II.4.c. Compensation du pont d'impédance
II.4.d. Quelques précautions utiles
II.4.e. Limites pratiques des mesures inductives et résistives
II.4.f. Mesure valide ou non ?
III. CARACTERISATION EXPERIMENTALE DU MODELE INDUCTIF
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Table des matières
III.1. Calcul et grandeurs complexes
III.2. Caractérisation d'un transformateur deux enroulements
III.2.a. Impédances mesurables
III.2.b. Identification d'un transformateur à deux enroulements
III.2.c. Application à un transformateur torique
III.2.d. Détermination de l'impédance d'un court circuit
III.3. n-enroulements
III.3.a. Dénombrement des impédances et généralisation
III.3.b. Exemple d'un transformateur planar à trois enroulements
III.3.c. Conclusion sur la généralisation
IV. VERS UN MODELE COMPLET… L'ASPECT CAPACITIF
IV.1. Quelques rappels
IV.2. Aspect pratique pour un transformateur à trois enroulements
IV.3. Validation pour le transformateur trois enroulements
V. VALORISATION D'UNE CARACTERISATION H.F.
VI. CONCLUSION
CHAPITRE 3 : CALCULS ANALYTIQUES DES PARAMETRES STATIQUES DU
TRANSFORMATEUR DE FUITES
I. INTRODUCTION
I.1. Définition des inductances de fuites
I.2. Pourquoi est-il important d'évaluer un tel paramètre ?
I.3. Etat de l'art
II. METHODE DE CALCUL DES INDUCTANCES DE FUITE STATIQUES
II.1. Simulation Flux3D® et observation
II.2. Hypothèses de calcul
II.3. Principe de calcul
II.4. Potentiel vecteur et induction d'un méplat infini
II.4.a. Expressions analytiques
II.4.b. Validation des expressions
II.5. Prise en compte du circuit magnétique
II.5.a. Circuit magnétique supposé "infini"
II.5.b. Circuit magnétique d'épaisseur finie
II.5.c. Milieu infini ou épaisseur finie ?
II.6. Calcul de densité d'énergie et intérêt du potentiel vecteur
II.6.a. Intégration numérique
II.6.b. Intégration analytique
II.7. Chemin moyen
II.8. Synthèse de la méthode
III. APPLICATION A UN TRANSFORMATEUR EP13
III.1. Description du transformateur
III.2. Comparaison des énergies
III.2.a. Simulation 3D et simplification en 2D
III.2.b. Intégration de l'énergie par AJ et BH
III.2.c. Simulations et calculs analytiques
III.3. Evaluation de l'inductance
IV. APPLICATION A UN TRANSFORMATEUR PLANAR
IV.1. Description du transformateur
IV.2. Inductance de fuite primaire/auxiliaire
IV.2.a. Description des enroulements
IV.2.b. Forme des champs et énergies
IV.2.c. Evaluation de l'inductance de fuite
IV.3. Homogénéisation partielle des enroulements
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Table des matières
IV.4. Inductance de fuite Primaire/Secondaire
IV.4.a. Description des enroulements
IV.4.b. Forme des champs et énergies
IV.4.c. Evaluation de l'inductance de fuite
V. EXTENSION AU TRANSFORMATEUR DE FUITE
VI. CONCLUSION ET LIMITES DE CETTE METHODE
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CHAPITRE 4 : TECHNIQUES ANALYTIQUES DE CALCUL DES PERTES CUIVRE ET
DES FUITES DYNAMIQUES
127
I. INTRODUCTION
II. LES DIFFERENTS TYPES DE PERTES H.F. DANS LE CUIVRE
II.1. Effet de peau
II.2. Effet de proximité
II.3. Courants de circulation
II.4. Théorème d'orthogonalité
III. CALCULS EXACTS DES COURANTS INDUITS DANS LES CONDUCTEURS
III.1. Equation à résoudre et conditions aux limites
III.2. Problèmes résolus
III.2.a. Plaques infinies
III.2.b. Fil cylindrique
III.3. Fil méplat rectiligne
III.3.a. Simulation d'un méplat
III.3.b. Décomposition de la densité de courant double polynôme de Legendre
III.4. Conclusion sur le calcul exact des courants induits
IV. CALCULS BASES SUR DES APPROXIMATIONS
IV.1. Méthode de Dowell
IV.1.a. Principe de la méthode
IV.1.b. Résistance et inductance d'une association de plaque
IV.1.c. Equivalence nappe de conducteurs-plaque
IV.1.d. Limites en général et dans les transformateurs planar
IV.2. Circuits équivalents de plaques
IV.2.a. Circuit équivalent associé à une plaque
IV.2.b. Expressions des impédances pour les trois types de plaque
IV.2.c. Plaque constituée de fils parallèles connectés en série
IV.2.d. Groupement de plaques conductrices identiques
IV.2.e. Illustration de la méthode
IV.3. Perméabilité complexe
IV.3.a. Equivalence pour une plaque-Modèle 1D
IV.3.b. Extension au modèle 2D et limites
IV.3.c. Equivalence pour un réseau rectangulaire de fils méplats-Application aux
transformateurs planar
IV.3.d. Conclusion sur la méthode de la perméabilité complexe
IV.4. Méthode µPEEC
IV.4.a. Principe de la méthode PEEC
IV.4.b. Prise en compte des matériaux magnétique-Extension au µPEEC
IV.4.c. Vers une formulation analytique des courants de surface pour des fenêtres de
transformateur
IV.4.d. Exemple de calcul : Fil dans un cylindrique magnétique
IV.4.e. Importance de la mise en parallèle
IV.4.f. Perspectives ouverte par la méthode µPEEC
V. CONCLUSION
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171
Table des matières
CHAPITRE 5 : DEVELOPPEMENTS TECHNOLOGIQUES POUR LA REDUCTION DES
PERTES CUIVRE : DES TRANSFORMATEURS PLANARS AUX CONDUCTEURS
MEPLATS…
173
I. INTRODUCTION
II. PERTES SUPPLEMENTAIRES LORS DE LA MISE EN PARALLELE DE CONDUCTEURS
II.1. Influence des courants dans un transformateur planar
II.2. Prise en compte de ces courants de circulation
II.2.a. Modélisation des couches secondaires uniquement
II.2.b. Modélisation du transformateur complet
II.3. Réduction des courants de circulation
III. BLINDAGE PAR DES CONDUCTEURS ECRANS DANS UN COMPOSANT BOBINE
III.1. Effets de blindage dans un transformateur planar
III.2. Réduction des pertes par déplacement de conducteurs
III.3. Réduction des pertes cuivres dans une inductance
IV. GUIDAGE DU FLUX DANS LES TRANSFORMATEURS
IV.1. Principe de la méthode
IV.2. Deux conducteurs méplats parcourus par des courants de sens inverses
IV.3. Deux conducteurs méplats dans lesquels les courants circulent dans le même sens.
IV.4. Conducteur méplat seul
V. MINIMISATION DES PERTES DANS UN CONDUCTEUR MEPLAT
V.1. Description du dispositif étudié et but recherché
V.2. Identification et recréation des champs
V.3. Principe de l'optimisation
V.4. Résultats de l'optimisation
V.4.a. Optimisation de Re(a2) et Im(a2)
V.4.b. Optimisation de Re(a4) et Im(a4)
V.4.c. Optimisation de Re(a2), Im(a2), Re(a4) et Im(a4)
V.4.d. Conclusion sur les optimisations
VI. CONCLUSION
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202
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
203
BIBLIOGRAPHIE
209
ANNEXE I : CALCUL DU CHAMP MAGNETOSTATIQUE CREE PAR UN FIL
RECTILIGNE SUR UN MILIEU MAGNETIQUE SUPPOSE INFINI
217
ANNEXE II : CALCUL DU CHAMP MAGNETOSTATIQUE CREE PAR UN FIL
RECTILIGNE SUR UN MATERIAU MAGNETIQUE D'EPAISSEUR FINIE
227
®
ANNEXE III : FEUILLE DE CALCUL MATHCAD DES INDUCTANCES DE FUITES
STATIQUES
239
ANNEXE IV : DOUBLE INTEGRALE DES POLYNOMES DE LEGENDRE POUR LE
CALCUL DU POTENTIEL VECTEUR DANS UN MEPLAT
261
ANNEXE V : QUADRIPOLE EQUIVALENT A N QUADRIPOLES IDENTIQUES
CONNECTES EN CASCADE
265
ANNEXE VI : FONDEMENT DU DEVELOPPEMENT MULTIPOLAIRE
271
12
13
14
Le développement de l'électronique de puissance a connu, depuis une vingtaine d'année, un
essor remarquable. Des convertisseurs de plus en plus performants et de plus en plus petits sont
présents dans la plupart des dispositifs utilisés quotidiennement : téléphone portable,
ordinateurs… Hormis le coût, les deux préoccupations prioritaires des développeurs sont
l'encombrement et le rendement. Les redresseurs, hacheurs et autres alimentations à découpage
ont donc subi des évolutions importantes tant au niveau de leur structure que de leurs
composants actifs et passifs. La miniaturisation des alimentations a, en grande partie, été facilitée
par l'élévation des fréquences de découpage, ce qui n'est pas sans induire un certain nombre de
contraintes au niveau des composants. En effet, pour une puissance équivalente, une diminution
de taille nécessite souvent un changement de technologie et de nouveaux problèmes apparaissent.
Plus un composant est petit, plus le rendement est essentiel puisque les calories sont plus
difficiles à évacuer d'un petit composant.
Au coeur des convertisseurs, les transformateurs sont un élément essentiel qui permet le
transfert de l'énergie, l'adaptation des niveaux de tension et de courant et l'isolation galvanique
de deux parties d'une alimentation. Leur rendement doit être élevé afin de transférer l'énergie
sans pénaliser le rendement global. Dans une optique de réduction de dimensions, les
composants bobinés, "classiques", se retrouvent limités puisque ces derniers sont bobinés avec
du fil de cuivre (émaillé ou de technologie Litz), dont on ne peut diminuer la section. Pour
surmonter ce problème, les composants planars ont été introduits.
Les transformateurs planars (ou les inductances) sont constitués d'un circuit magnétique
mince (généralement en ferrite usiné) dans lequel on insère un circuit imprimé (PCB
multicouche) sur lequel les spires sont gravées (Figure 1). La technologie de circuit imprimé
permet d'obtenir des conducteurs d'épaisseurs réduites (de 50 µm jusqu'à une centaine de µm ).
Ainsi l'empilage de nombreuses couches de conducteurs dans un espace réduit devient possible.
En outre, lorsqu'elle est bien maîtrisée, cette technologie procure des rendements souvent
supérieurs à 98.5% et elle favorise l'évacuation des calories à travers le circuit magnétique.
Circuit magnétique plat
PCB multicouche
15
Tourné vers le marché aéronautique, notre partenaire industriel, THALES, développe des
alimentations pour toutes les fonctions (principales et de secours) présentes dans des avions
militaires ou civil. Suivant l'application visée, les contraintes diffèrent et, entre le poids et le
rendement, la priorité n'est pas placée de la même façon. Typiquement, pour des applications
militaires, les rendements les plus élevés sont recherchés de même qu'un volume minimum, alors
que, pour l'aviation civile, la taille est primordiale mais le rendement est moins critique. Pour des
composants bobinés de structure classique, le savoir actuel est tel que les concepteurs
parviennent souvent à concevoir le transformateur satisfaisant le cahier dès le premier prototype.
Pour les composants planars, les connaissances ne sont pas suffisantes pour prétendre à une
efficacité comparable. En effet, même si le principe de fonctionnement est le même dans les deux
cas, la forme des conducteurs utilisés, ainsi que leur disposition dans les fenêtres des
transformateurs, ne permettent pas d'appliquer les mêmes règles de conceptions.
La conception d'un transformateur, passe par plusieurs phases : analyse du cahier des
charges, calcul des paramètres, validation par simulation numérique, prototypage, mesures (Figure
2). Le développement de nouvelles alimentations exploitant des transformateurs planars,
nécessite une longue phase de prototypage, basée sur une méthode de type essai=erreur, coûteuse
en temps et, bien entendu, en argent.
Logiciel élément fini
Analyse du
cahier des charges
Calcul/Dimensionnement
du transformateur
Validation par simulation
éléments finis
Mesures
Prototypage
Caractérisation du
prototype
Composant correspondant au
cahier des charges ?
NON
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Composant Validé
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Ayant en vue les réductions de temps et, surtout, de coût du prototypage, les travaux de
cette thèse visent à fournir des outils, basés sur des formulations analytiques, pour aider à
concevoir et à dimensionner les transformateurs planar. Les formulations analytiques présentent
deux intérêts principaux. Premièrement, elles sont essentielles pour éviter (ou du moins limiter) le
recours à des simulations électromagnétiques par éléments finis, qui prennent beaucoup de
temps. Deuxièmement elles ouvrent les perspectives d'optimisations. En effet, les logiciels actuels
16
d'optimisation nécessitent le recours à des "fonctions objectifs" qui doivent être minimisées en
utilisant des algorithmes. Les optimisations numériques (à l'aide de logiciels éléments finis) étant à
l'heure actuelle impossibles vue la complexité des problèmes traités, l'approche analytique parait
bien mieux adaptée pour ajuster un paramètre à une valeur désirée.
Le but de cette thèse est donc de comprendre les phénomènes internes aux
transformateurs planars et de les formuler analytiquement afin de pouvoir élaborer, sans avoir
recours à des simulations, ni à des mesures, le circuit équivalent de transformateurs de type planar
et ce, en vue de pouvoir prédire son comportement en fonction de la fréquence. Avant de
pouvoir atteindre ce but, différentes étapes ont été franchies progressivement, en s'aidant de
mesures et de simulations par éléments finis pour valider nos approches.
Dans le premier chapitre de ce mémoire, nous nous intéressons à la représentation, par un
circuit équivalent, du couplage magnétique des transformateurs. Même dans l'hypothèse
simplificatrice d'un fonctionnement linéaire, peu de circuits équivalents ont été proposés pour
représenter ce couplage lorsque le nombre d'enroulements dépasse trois. L'équipe du LEG a
progressivement introduit une méthode générale d'élaboration de ces circuits qui est maintenant
bien étayée et qui a été testée sur de nombreux cas pratiques. Ces circuits fournissent
naturellement l'ossature des circuits représentant le comportement complet du transformateur.
C'est pourquoi nous faisons une présentation synthétique de cette méthode en mettant en
lumière certaines propriétés dégagées durant ce travail ainsi que des applications nouvelles.
Dans le chapitre 2, nous présentons notre façon d'identifier les paramètres du circuit
équivalent en partant de mesures d'impédances. Bien entendu, le circuit équivalent recherché ne
se borne pas à représenter le couplage magnétique. En prenant l'exemple d'une inductance pour
justifier la démarche, nous séparons les effets électrostatiques et les pertes statiques du
composant pour bâtir un circuit équivalent qui prend tout en compte, y compris les variations
fréquentielles des pertes et des inductances. Pour identifier les éléments de ce circuit équivalent
général, nous pouvons relever une multitude d'impédances distinctes entre les bornes d'un
enroulement aussi bien qu'entre deux enroulements. La stratégie guidant le choix des mesures à
effectuer est présentée. Enfin, les problèmes inhérents aux mesures elles=mêmes sont détaillés
avec une attention particulière portée aux impédances faibles et à l'incidence des courts=circuits.
Avec le chapitre 3, nous commençons la détermination des éléments du circuit équivalent à
l'aide de formule analytiques. L'évaluation des résistances des enroulements, ainsi que de
l'inductance magnétisante d'un transformateur ne posant pas de problèmes particuliers, nous
nous intéressons dans ce chapitre à la détermination des éléments statiques de ce que nous
appelons "transformateur de fuite". Ce dernier est constitué d'inductances de fuites et de
17
coupleurs parfaits. Leurs valeurs sont déterminées à des fréquences inférieures à celles ou les
courants induits se développent dans les conducteurs. La méthode de calcul est basée sur la
détermination de l'énergie de fuite à l'intérieur des fenêtres du transformateur en utilisant des
formules analytiques connues pour des conducteurs rectangulaires : celles exploitées par la
méthode PEEC. Les calculs analytiques sont comparés à des simulations électromagnétiques ainsi
qu'à des mesures effectuées sur deux prototypes de conceptions différentes.
Nous abordons ensuite, dans le chapitre 4, l'étude des courants induits dans les
conducteurs rectangulaires. Lorsque la fréquence du courant augmente, sa répartition dans un
conducteur n'est plus uniforme. Il s'ensuit une augmentation des pertes (de la résistance
apparente) et une diminution de certaines inductances. Ces modifications doivent être prises en
compte lors du dimensionnement d'un transformateur. Les transformateurs planars font appel à
des conducteurs rectangulaires aplatis : des méplats. Pour ce type de conducteur, la solution
exacte de l'équation de diffusion qui régit les courants induits est indisponible et seules des
solutions approximatives sont proposées dans la littérature. Nous présentons brièvement
plusieurs d'entre elles : la méthode de Dowell, la méthode des circuits équivalents de plaques et
nous introduisons la méthode EPEEC. Un début de solution analytique de l'équation de diffusion
dans un méplat, basé sur les doubles polynômes de Legendre est introduit dans ce chapitre.
Le chapitre 5 est dédié aux améliorations technologiques. En premier, nous utilisons une
des méthodes présentées au chapitre précédent pour étudier les courants de circulations
supplémentaires qui circulent dans les spires en parallèles d'un transformateur planar, fourni par
notre partenaire industriel. Nous montrons ensuite que la réduction des pertes dans les
transformateurs planars est possible si on tire profit des effets de blindage procurés par des
conducteurs écrans. Le transformateur planar utilisant majoritairement des conducteurs méplats,
nous tentons enfin de réduire les pertes d'un conducteur méplat en jouant sur son
environnement. Certains résultats sont probants. Ils incitent à approfondir la réflexion durant la
phase de conception du composant. Pour finir, un champ extérieur variable est appliqué à un
méplat parcouru par un courant dans le but de modifier la répartition de son courant. Nous
trouvons ainsi quelle forme de champ minimise les pertes par effet de peau du méplat.
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− 481
− 295 
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− 181.5 − 481
962
− 481 


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293
− 295
− 481
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10
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70
60
50
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10
100
3
4
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
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1 .10
5
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10
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Courant de 20 mA
3
4
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
100
Courant de 200 µA
Courant de 20 mA
1 .10
5
1 .10
6
Effet non linéaire
3
Inductance (mH)
2
1
0
10
100
3
4
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
Courant de 200 µA
Courant de 20 mA
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2
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  
  
Vn   Z n1
Z 1n   I 1 
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⋅ 2
  
  
Z nn   I n 
Z 12
Z 22
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1 .10
3
1 .10
1 .10
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1
0.1
10
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1 .10
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
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1 .10
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10
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Primaire
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10
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10
100
1 .10
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
4
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1 .10
6
1 .10
7
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1 .10
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Mesure à vide
Mesure en court circuit
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Z 33 Z 22 Z 33 − Z 23 2
(
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Z 12 Z 33 − Z 23 Z 13
)
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Z 22 Z 33 − Z 23 2
Z 33
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Z 22 Z 33 − Z 23 2
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
V2 = Z m ⋅ I1 + Z o ⋅ I 2
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Z m2
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Z o − Z xm
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) 6*
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Zx
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Z o   I 2 
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Z m2
Z 2 − Z m2
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Zo
Zo
/0 >1
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-
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Z xm − Z om
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6
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transformateur
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5 mm
40 mm
Soudure
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Connecteur en
cuivre plat
10 mm
-
+
Bornier de mesure
16047E
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Transformateur
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0.1
1
0.01
1 .10
3
1 .10
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0
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10
100
1 .10
1 .10
1 .10
Frequenc e (Hz)
3
4
1 .10
5
6
1 .10
1 .10
7
8
10
1ère methode
2ème methode
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Inductance 20 nH
1 .10
3
100
1 .10
1 .10
Frequenc e (Hz)
4
1 .10
5
6
1 .10
1 .10
7
8
1ère methode
2ème methode
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± 0.5 mΩ
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± 8 nH
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1 mΩ
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26 mm
0.7 mm
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Primaire
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η
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Secondaire
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6
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#
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"
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I2 = 0
Z0
I1 = 0
0
Z '0
V2 = 0
Z cc
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" #.
C
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(
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V1 = 0
0
Z 'cc
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"
Z0
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(
"
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Z '0
Z cc
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5
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"
#
Z 'cc 1
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-
"
-
"
-
H
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"
"
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-
%
5
3
)
0'07 &
"
%
H
3
Mesures
d'impédances
Module/Phase
Z0, Z'0, Zcc ou Z'cc
HP4294A
Résistance série
primaire rp
1
rp
Zs
η
rs
Impédance primaire
Zp
2
Primaire Zp
3
Rapport de
transformation η
4
Résistance série
secondaire rs
5
Impédance secondaire
Zs
!"
# B
•
(("( &
$=5
-
(
" /"
"
"
Zp
/0
Z0
1
Z p = Z 0 − rp
•
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#
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rp
Z0
•
Secondaire
η
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%
/0 01 /0 ?1
Z 0' = Z p ⋅ η 2 + Z s + rs
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Z cc = rp +
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Z p (Z s + rs )
Z p ⋅η 2 + Z s + rs
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"
$
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/0
1
1 (
#
-
#
/0 01
1
η2 =
η2 =
•
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 Z 0 − r p 2 
Z 0 − rp 2
Z 0'
(
)
(
(
'
Z 0 Z 0' − Z cc
(Z 0 − rp )2
)
1
' 2
− Z cc
0

 Z 0 − r p 2 
(
'
0
)
) $6*
-
rs
Z 0'
-
6 = 6
#
-
/0
Zs =
)
) ⇒ η =  Z (Z
2=5
•
) $2*
1
(
Z 0' Z cc − r p
Z 0 − rp
(
Zs
/0
1
/0 01
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s
=
'
Z 0 Z cc
− Z 0' r p
Z 0 − rp
− rs
) $7*
-
"
<
η
#
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# #
5
#
Y
0'0
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-
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"
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5
Z0
Z 0'
#
rs = 135 mΩ
5
5
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1 C
- 3
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-
,
#
"
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2
#
(
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9
3
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#
#
3
1 .10
5
10
1 .10
Rapp ort de tr ansformation (m od ule)
Im pendan ce (m od ule Ohm )
4
1 .10
3
100
10
1
0.1
8
6
4
2
0.01
1 .10
3
10
1 .10
3
100
4
5
1 .10
1 .10
F réquenc e (Hz)
1 .10
0
1 .10
6
7
10
1 .10
3
100
Z0
Z'0
Zcc
Z'cc
4
5
1 .10
1 .10
F réquenc e (Hz)
1 .10
1 .10
1 .10
1 .10
6
7
∆fη
100
40
80
In ductance (µ H)
In ductance (µ H)
30
20
10
60
40
20
0
10
10
1 .10
3
100
1 .10
1 .10
Fréquenc
F
réquenc e (Hz)
4
5
1 .10
0
1 .10
6
7
10
1 .10
3
100
4
5
6
7
Ls
Lp
∆f p
!"
1 .10
1 .10
Fréquenc
F
réquenc e (Hz)
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&
(
$
" /
∆f p
∆f s
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"
-
"
"
Lp
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5-
2
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1
∆f s
# #
3
5 'Q
/)
0' 1 ,
9
,
"
3
2
9
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/
2 kΩ
/)
9
400 Ω
300 kHz 1
10 kHz
M
0'001 ,
Resistance de pertes fer (Ohm)
#
1 .10
4
1 .10
3
100
10
3
1 .10
1 .10
1 .10
Fequence (Hz)
4
5
1 .10
1 .10
6
7
Frequence (Hz)
!"
C
Q
,
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#
.
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$
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#
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# #
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Z 0'
#
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Z cc
C
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F
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'
-
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F
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1
-
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-
/0 41
'
⇔ Z m2 = Z 0 Z 0' − Z cc Z 0' = Z 0 Z 0' − Z 0 Z cc
Z 0'
Z ccmes = Z 0 −
5-
Z ds = 0 1 -
/
) $:*
Z m2
) $<*
Z 0' + Z ds
Z ccmes - %
/0 >1
Z ccmes = Z 0 −
'
Z 0 Z 0' − Z 0 Z cc
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Z 0' + Z ds
H
/0 071
Z ds =
'
Z 0' Z ccmes − Z 0 Z cc
Z 0 − Z ccmes
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)
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n −1
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n−2
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rp
ra
Za
Primaire Z p
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Zs
η sp
rs
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"
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'
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F
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"
,
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Z1 _ 2o _ 3o
Z 2 _ 1o _ 3o
0
I1 = 0 I 3 = 0
Z 3 _ 1o _ 2o
?
I1 = 0 I 2 = 0
Z1 _ 2cc _ 3o
V2 = 0 I 3 = 0
Z1 _ 2o _ 3cc
I 2 = 0 V3 = 0
!
Z 2 _ 1cc _ 3o
0
V1 = 0 I 3 = 0
"
Z 2 _ 1o _ 3cc
0
I1 = 0 V3 = 0
#
Z 3 _ 1cc _ 2o
?
V1 = 0 I 2 = 0
$
Z 3 _ 1o _ 2cc
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%
Z1 _ 2cc _ 3cc
" #2
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'
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3 ?
'
'
V2 = 0 V3 = 0
Z 2 _ 1cc _ 3cc
0
V1 = 0 V3 = 0
Z 3 _ 1cc _ 2cc
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V1 = 0 V2 = 0
%
7
(
(
'
/0 0 1
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(
0
'
" /.
"
(
m1 ⋅ m6 = m 2 ⋅ m4
m5 ⋅ m11 = m7 ⋅ m10
m1 ⋅ m8 = m3 ⋅ m5
m 4 ⋅ m12 = m9 ⋅ m10
m 2 ⋅ m9 = m3 ⋅ m7
m6 ⋅ m12 = m8 ⋅ m11
(
)
$*
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"
%
#
5
#
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,
5
%
"
%
C
,
-
5
)
F
3
?
0'0
Rapport de
transformation ηap
3
4
Résistance série
auxiliaire ra
5
Impédance auxiliaire
Za
1
Résistance série
primaire rp
2
Impédance primaire
Zp
η ap
rp
3'
Rapport de
transformation ηsp
4'
Résistance série
secondaire rs
5'
Impédance secondaire
Zs
Primaire Z p
η sa Auxiliaire
Zs
η sp
rs
Secondaire
6
!"
•
ra
Za
Rapport de transformation
coupleur de fuite ηsa
# 2 45
((
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"
(
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-
-
rp
Z1 _ 2o _ 3o
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0
#
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-
Z1 _ 2o _ 3o /0
•
+
1
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P
Z1 _ 2o _ 3o /
1 Z 2 _ 1o _ 3o /
1
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-
/
1
rs
-
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Zs
,
#
/
/0
1
1
P %
=
η ap
. = 5
-
Z1 _ 2o _ 3o
/
1 Z 3 _ 1o _ 2o /
1
#1 /0
2=5
-
•
-
2& = 5
-
=
η sp
.& = 5
-
•
$
Zp
-
/
1
%
-
Z 3 _ 1o _ 2o
6 = 5-
Za
ra
#
/
/0
1
1
,
(
"
%
'
=
η as
7=5
'
0
&
5
'
0
)
#
0'0 5
#
-
"
#
"
0.77 mΩ
#
(
'
&
$
#
' '
-
"
#
#
nH
?
#
!
1 .10
5
1 .10
4
1 .10
3
#
'
100
Impédance Phase (Degré)
Impédance Module (Ohm)
6
100
10
50
0
50
1
0.1
10
100
1 .10
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
3
4
1 .10
5
6
1 .10
7
1 .10
100
8
10
100
1 .10
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
3
4
5
1 .10
6
1 .10
7
1 .10
8
Z1_2o_3o (m1)
Z1_2cc_3o (m2)
Z1_2o_3cc (m5)
Z1_2cc_3cc (m10)
Z1_2o_3o (m1)
Z1_2cc_3o (m2)
Z1_2o_3cc (m5)
Z1_2cc_3cc (m10)
100
100
Impédance Phase (Degré)
Impédance Module (Ohm)
10
1
0.1
0.01
50
0
%
50
1 .10
3
1 .10
4
10
100
1 .10
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
3
4
1 .10
5
6
1 .10
7
1 .10
100
8
10
Z2_1o_3o (m2)
Z2_1cc_3o (m6)
Z2_1o_3cc (m7)
Z2_1cc_3cc (m11)
1 .10
100
1 .10
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
5
1 .10
6
1 .10
7
1 .10
8
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
1 .10
6
1 .10
7
1 .10
8
4
Z2_1o_3o (m2)
Z2_1cc_3o (m6)
Z2_1o_3cc (m7)
Z2_1cc_3cc (m11)
3
100
Impédance Phase (Degré)
Impédance Module (Ohm)
100
10
1
50
0
50
0.1
0.01
10
100
1 .10
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
4
1 .10
5
1 .10
6
7
1 .10
8
100
10
Z3_1o_2o (m3)
Z3_1cc_2o (m8)
Z3_1o_2cc (m9)
Z3_1cc_2cc (m12)
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1 .10
3
4
5
Z3_1o_2o (m3)
Z3_1cc_2o (m8)
Z3_1o_2cc (m9)
Z3_1cc_2cc (m12)
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6
PC
(
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1.5
1.5
Rapport des impédances
2
Rapport des impédances
2
1
-
0.5
1
0.5
0
10
100
1 .10
4
5
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
3
1 .10
1 .10
6
0
1 .10
7
8
10
Z1_2o_3o*Z3_1cc_2o/Z3_1o_2o*Z1_2o_3cc
1 .10
3
100
4
5
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
1 .10
1 .10
6
7
1 .10
8
Z1_2o_3o*Z2_1cc_3o/Z2_1o_3o*Z1_2cc_3o
%
!"
# 7
G "
(
F%
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#
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6
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#
"
0'0 1 5
#
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'
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#
#
5
R &&& ? 1
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"
rs = 0.77 mΩ
5
ra = 79.2 mΩ
5
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#
= r p = 285 mΩ
0'0 1
5
5 'Q
/)
0' 1
2
Inductance (µH)
95
90
85
80
10
3
1 .10
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
3
100
4
1 .10
5
6
1 .10
1 .10
7
8
3'
Inductance magnétisante
Modèle Lp
Rapport de transformation
Rapport de transformation
0.18
0.16
0.14
0.06
0.05
0.12
0.1
10
100
1 .10
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
4
1 .10
5
1 .10
6
7
1 .10
0.04
8
10
Rapport Primaire/Auxiliaire
100
1 .10
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
4
5
1 .10
6
1 .10
1 .10
7
8
Rapport Primaire/Secondaire
200
14
150
Inductance (nH)
12
Inductance (nH)
5
100
5'
10
8
50
6
0
10
1 .10
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
3
100
4
5
1 .10
1 .10
6
7
1 .10
8
10
Inductance de fuite auxiliaire
Modèle La
i⋅
!"
(
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
4
5
( "
"
-
6
1 .10
1 .10
7
%
5 'Q
'
0'0 #
1 .10
8
+" ,
#
#
)
1 .10
π
# :
C
100
Inductance de fuite secondaire
Modèle Ls
#
%
6
#
5-
V
$
#
-
/0 071 ,
5
/
"
0.8 mm 1
30 kHz
5 )
0'04
"
6
'
'
'
/ Z1 _ 2cc _ 3o 1
"
/ > 10 kHz 1
-
-
- .
5
V
-
-
"
%
-
1 kHz
#
5
/
4 MHz 1
10 kHz
=
9#
7U 5- %
$
2
0.96 mΩ
Rapport des impédances
0.3 mΩ 6.7 nH
1.5
2.6 nH
1
0.5
0
10
1 .10
4
5
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
3
100
1 .10
1 .10
6
7
1 .10
8
Z1_2o_3o*Z2_1cc_3o/Z2_1o_3o*Z1_2cc_3o
!"
# < >
?
"
"
,
(
6
%
-
'
5
<
!
#
#
%
#
#
5
0.8
Rapport de transformation
η sa
$
"
%
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1 S
0.6
0.4
0.2
'
0
100
%
1 .10
1 .10
3
4
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
5
1 .10
6
7
1 .10
8
Rapport Auxiliaire/Secondaire (Transformateur de fuite)
/ > 10 kHz 1
-
-
-
/)
5
!"
5
# A
(
"
0'0>1
#
'
100 kHz
"
"
@
,
6
PC
6
P
%
-
&
-
5
@
-
$
5
k = 0 .4
-
(
5
#
%
%#
-
"
H
( *
5
"
"
$
"
"
#
)
0'?7
24.51 mΩ
285 mΩ
79.2 mΩ
0.175
83.78 µH
43.58 nH
79.33 nH
Primaire 13960 Ω
Auxiliaire
7.24 µH
631 mΩ
1.94 mΩ
0.77 mΩ
6.49 nH
4.25 nH
0.058
Secondaire
!"
#.B >
?
"
"
( +
(
"
%
6
7
"
'
$
%
%
(
;
5
0
4
)
0'?
5
1 .10
4
1 .10
3
100
10
Impédance Module (Ohm)
Impédance Module (Ohm)
1 .10
100
10
1
0.1
10
100
1 .10
3
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
4
5
1 .10
6
1 .10
7
1 .10
8
1
0.1
0.01
1 .10
3
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Impédance Module (Ohm)
Impédance Module (Ohm)
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D
C
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C = C + C + C
2
4
6
 m2
C m3 = C 3 + C 5 + C 6

C m 4 = C1 + C 2 + C 3
C m5 = C1 + C 4 + C 5

C m6 = C1 + C 2 + C 5 + C 6
)
*
1

C1 = 2 (C m 4 + C m5 − C m1 )

1
C 2 = (C m1 − C m3 + C m 6 − C m5 )
2

1

C 3 = 2 (C m3 + C m 4 − C m 6 )

1
C 4 = (C m 2 + C m5 − C m 6 )
2

1

C 5 = 2 (C m1 − C m 2 + C m 6 − C m 4 )

1
C 6 = (C m 2 + C m3 − C m1 )
2

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Impédance Module (Ohm)
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Z1_2cc_3o mesuré
Z1_2cc_3o simulé
Z3_1o_2o mesuré
Z3_1o_2o simulé
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Impédance Module (Ohm)
Impédance Module (Ohm)
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Impédance Module (Ohm)
Impédance Module (Ohm)
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1 .10
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0.1
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1 .10
1 .10
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Fréquence (Hz)
3
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C1 = −2.6 pF , C 2 = 37.4 pF , C 3 = 28.6 pF , C 4 = 385.9 pF , C 5 = 16.6 pF , C 6 = 52.8 pF
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1.976 .10
t3 , tITAS
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1.988 .10
2 .10
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1.95.10
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2×10
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1.9625.10
4
1.975.10
tILEGt3
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⋅
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1.9875.10
2 .10
4
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Simulation Modèle H.F.
Simulation Modèle classique
Mesure maquette
Mesure maquette
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paramètres statiques du transformateur de fuites
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.1. Définition des inductances de fuites
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r1
R
Primaire
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Figure 3'1 : Schéma équivalent transformateur deux enroulements
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r1
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Lm
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100
1 .10
1 .10
3
4
1 .10
1 .10
Fréquence (Hz)
5
6
1 .10
1 .10
7
8
Figure 3'2 : Mesure d'impédance et zones caractéristiques
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B
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1
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2
(3.1)
I.2. Pourquoi est'il important d'évaluer un tel paramètre ?
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C
C
D
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.3. Etat de l'art
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W=
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H
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(3.3)
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.1. Simulation Flux3D® et observation
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Enroulement
entouré de CM
Enroulement dans
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Figure 3'5 : Densité d'énergie calculée
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pour 2 conducteurs rectangulaires
rectilignes
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II.2. Hypothèses de calcul
G
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.3. Principe de calcul
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Ox
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2a ⋅ 2b
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Oz
Oz
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x
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2a
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Az
Bx
$
By
2*a2
xr2
I2
Az ( x, y ) =
2*b2
xr1
2*b1
yr1
"
9& 6: 9& A: 9& P:
Nbr _ cond
( x − xrk , y − yrk )
(3.4)
∑ Bx ( x − xr , y − yr )
(3.5)
∑ Az
k
k =1
2*a1
I1
"
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/ "
y
"
yr2
B x ( x, y ) =
Nbr _ cond
k
k
k
k =1
x
Figure 3'7 : Influence de plusieurs
B y ( x, y ) =
conducteurs
Nbr _ cond
∑ By
k
( x − xrk , y − yrk )
(3.6)
k =1
Nbr _ cond
/
/
/
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"
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5
8
P
"
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@
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/
9& 7:
/
9& Q:
8
9& :
9& &:
Wl =
1
2µ0
∫∫ B (x, y ) ⋅ dxdy
(3.7)
Wl =
1
2
Az ⋅ J z ⋅ dxdy
(3.8)
∫∫
2
B ;.
Az ; -
/
9& Q:
Jz ; '
9& :
8
/
8
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0 !
"
B
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/ "
/
# 0
C
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/
-
!
#
#
C
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0
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"
9& :
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Lf
II.4. Potentiel vecteur et induction d'un méplat infini
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5 P,
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Az (x, y ) =
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(
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(
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 x−a
− µ0 ⋅ I
 y −b 
2

⋅ [( x − a )( y − b )ln ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( x − a )2 arctan
 + ( y − b ) arctan
16 ⋅ π ⋅ a ⋅ b
 x−a
 y −b 
 x+a
 y −b 
2

− ( x + a )( y − b )ln ( x + a )2 + ( y − b )2 − ( x + a )2 arctan
 − ( y − b ) arctan
x
+
a


 y −b 
 x−a 
 y +b
2

− ( x − a )( y + b )ln ( x − a )2 + ( y + b )2 − ( x − a )2 arctan
 − ( y + b ) arctan
 x−a
 y +b
(
)
 x + a 
 y +b
2

+ ( x + a )( y + b )ln ( x + a )2 + ( y + b )2 + ( x + a )2 arctan
 + ( y + b ) arctan
 x+a
 y + b 
Q
(3.9)
!
9& :
;
[
− µ0 ⋅ I
[F ( X , Y )]XX == xx−+aa
4π ⋅ 2a ⋅ 2b
Az ( x, y ) =
(
]
Y = y −b
Y = y +b
F ( X , Y ) = XY ln X + Y
>
B x ( x, y ) =
!
2
2
)
(3.10)
Y 
X
+ X arctan  + Y 2 arctan 
X
Y 
2
B = rot A
;


 x+a
 x − a 
 x+a
 x − a 
µ0 ⋅ I
 − arctan
  − 2 ⋅ ( y + b ) arctan
 − arctan
 
⋅ [2 ⋅ ( y − b ) arctan



16 ⋅ π ⋅ a ⋅ b
 y −b 
 y − b 
 y+b
 y + b 


 (x + a )2 + ( y − b )2
+ (x + a ) ⋅ ln
 ( x + a )2 + ( y + b )2

B y ( x, y ) = −
2
2


 + (x − a ) ⋅ ln ( x − a ) + ( y + b )
 ( x − a )2 + ( y − b )2







(3.11)


µ0 ⋅ I
 y+b
 y − b 
 y+b
 y − b 
⋅ [2 ⋅ ( x − a ) arctan
 − arctan
  − 2 ⋅ ( x + a ) arctan
 − arctan
 
16 ⋅ π ⋅ a ⋅ b
 x−a
 x − a 
 x+a
 x + a 


 (x − a )2 + ( y + b )2
+ ( y + b ) ⋅ ln
 ( x + a )2 + ( y + b )2

== 6 " K
$
B y 9&
Bx
% $7' '
%/
&5
2
2


 + ( y − b ) ⋅ ln ( x + a ) + ( y − b )

 (x − a )2 + ( y − b )2


$
: 9& 7:
8
$
"
/
$
;
9&6
:
C
:
−17
0 .5 A
3
$
9&
A
C
/
#
 (3.12)



!
0
/
"
$
# !
9 Bx
Chemin de test
Auxiliaire
By :
%/
Primaire
Figure 3'8 : Agencement de conducteurs méplats
R
%/
&5
# !
$
# !
&5
0.01
In ductio n By ( Tesla)
In ductio n Bx ( Tesla)
0
0.005
0.01
0.015
0.004
0.005
0.006
0.007
Chemin
0.008
0.005
0
0.005
0.004
0.009
0.005
0.006
0.007
Chemin
Simulation Flux
Calcul Analytique
Simulation Flux
Calcul Analytique
a
b
0.008
0.009
Figure 3'9 : Comparaison Calcul analytique/Simulation Flux2D pour l'induction sur le chemin de test
a : Bx | b : By
-
"
"
/
/
!
$
/
!
8
II.5. Prise en compte du circuit magnétique
L
/
9% /
&56: !
/
C
!
/
/
"
/
8
!
>
%/
0
C
!
/
8
"
0
/
&5
8
% .
B
# !
0
!
!
% .
/
!
9 µ r = 2300 :
1
0
"
4
9% /
8
!
9% /
&5
G
&5 ":
!
"
# !
:
!
0
"
/ / "
/
$
0
"
!
/
!
"
!
9& Q:
/
R
#
/
!
b
a
Figure 3'10 : Comparaison module de B dans une fenêtre de transformateur
a : Calcul analytique | b : Simulation Flux2D
!
/
!
C
/
/
!
C
8
)>4<1443L56 , '
/
!
!
L
!
$
/
"
/
!
"
C
9
$
H
/
*
$
/
!
/
C
"
:
B
/
h
&5 : '
/
!
== A
µ r 9% /
$
!
C
/
C
!
$
"
/
!
)<3>I L5 , )<3>I L5 57,
y
(0, h)
-
I
Air
#
Bi
h
I
"
•
;
Bi
!
Br
•
x
Milieu magnétique
µr
/
•
Bt
!
Br
Bt !
$
Figure 3'11 : Influence d'un milieu
$
magnétique infini
/
7'
/
$
$ =
/
!
!
$
$
R
1
;
•
(0, h)
Bi
I
•
Br
(0,−h)
I
•
µ r −1
µr +1
2µ r
µr +1
/
Bt
/
!
!
!
!
'
!
!
"
/
!
/
$
/
"
$
8
"
!
$
/
!
L
"0
!
/
6 AF
9
!
8
6
9% /
/
?
/ /
!
/
!
8
:
!
0
I
!
"
1 0 !
!
!
&5 &:
9% /
/
&5 7:
0 "
!
!
"
Fenêtre Transformateur
Fenêtre Transformateur
Figure 3'12 : Quatre images magnétiques
Figure 3'13 : Huit images magnétiques
== A "
<
"0
!
/
/
!
0
/
!
!
ep 9% /
&5 6: 4
@
;
•
!
•
7
•
&
/
/
!
"
µr
/
1
!
$
$
/
!
/
)<3>I L5 5 , !
$
"
-
"
/
$
!
(0, h)
-
y
!
I
I
Air
•
1
)>= K >4 <5P ,
8
B1i
/
;
!
h
B1i
•
B1r
/
B1r
!
x
Milieu magnétique
2
µr
Air
B 2t
ep
B2r
3
B3t
Figure 3'14 : Influence d'un milieu
magnétique d'épaisseur finie
•
•
B2 t !
*
7
B2 r !
70
•
*
0
&
7
B3t !
7
$ $
1
$ == 8
8
!
H1r
#
H1i (x, y, I )
=
/
=
H1r
!
/
9& &: ;
2n
∞


 µ r − 1  
1  
µ r − 1  4µ r

−

=
H1i  x, y + h, I
H1i x, y + h + 2nep, I 

2π  
µ r + 1  µ r2 − 1 n =1
µ r + 1  




∑
$
7
(3.13)
;
•
(0,−h)
•
I
µ r −1
µr +1
7
 µ −1

I  r
 µr + 1 
(0,−h − 2n ⋅ ep )
−
4µr
µ r2 − 1
$
2n
$
"
== A
!
/
!
.
S
9& &:
!
 µr −1


 µr +1
-
!
/
!
>
0
C
$
/
/
n
8
C
8
"
h = 50 mm
5A
$
%/
2n
1
"
-
/ !
!
L
x = 50 mm
"
&5 6
&
16
15
15
Champ H (module)
Champ H (module)
16
14
13
12
14
13
12
11
6
1 .10
1 .10
5
1 .10
1 .10
0.01
Epaiss eur Ferrite (m )
4
3
0.1
11
6
1 .10
1
µr=40, somme infinie
µr=40, somme sur 100 termes
µr=40, ferrite infini
1 .10
1 .10
5
1 .10
0.01
Epaiss eur Ferrite (m )
4
3
0.1
1
µr=2000, somme infinie
µr=2000, somme sur 100 termes
µr=2000, ferrite infini
a
b
Figure 3'15 : Influence de l'épaisseur du matériau sur le module de l'excitation près de la surface
a : Br=40 | b : Br=2000
$
#
!
$
"
"
!
&F 9 P
A A:
5
!
!
!
6
µr
8
/
0
3
µ r = 40
20 mm
3
!
!
!
!
5
µ r = 2000
1 mm
8
!
7
!
6
.
7A
F
!
"
7
L
!
!
H
7
"
µr
"
/
!
$
# !
/
!
8
/
$
R
"
$
#
II.6. Calcul de densité d'énergie et intérêt du potentiel vecteur
$
8
9& Q:
/
9& :
/
/
"
8
8
$
/
G
!
5 5
6
=
"
/
8
!
== P
#
"
/
/
!
"
8
-
=
# !
# !
/
8
/
9% /
!
$
$
&5 P:
/
Ny
Ny éléments
j+1
j
j-1
∆X
∆Y
3
2
1
0
0
1
2
3
i+1
i-1 i
Nx
Nx éléments
Figure 3'16 : Discrétisation d'une fenêtre
-
Nx ⋅ Ny
/
9& 6: -
/
9& Q:
/
/
!
"
/
Wl =
!
/
N
1  x
2 ⋅ µ 0  i =1

 Ny

Bi2, j + Bi2−1, j + Bi2, j −1 + Bi2−1, j −1
 j =1

∑ ∑(
-
/
8

) ⋅ ∆X∆Y
(3.14)

!
/
0
/
# !
== P " =
# !
9& : -
/
# !
/
"
$ !
$
$
$
9% /
&5Q:
/
== P "
-
$
%/
C7C #
&5Q
$
;
•
/
2a1
2a 2
A
C C
•
2b1
2b2
•
/
( xr1 , yr1 )
•
I1
I2
'
"
/
( xr2 , yr2 )
9& 6:
9& :
$
/ "
/
;
1
J ⋅ [A1 ( x − xr1 , y − yr1 ) + A2 ( x − xr2 , y − yr2 )] ⋅ dxdy
2
1
= J1
( A1 + A2 ) ⋅ dxdy + 1 J 2 ( A1 + A2 ) ⋅ dxdy
2
2
∫∫
Wl =
"
"
G( X , Y ) = −
# !
∫∫
∫∫
Scond 1
Scond 2
F 9
G
A 9&
(3.15)
::
(
) (
)

1
1
X
X
X 4 − 6 X 2Y 2 + Y 4 ⋅ ln X 2 + Y 2 + XY  X 2 arctan  + Y 2 arctan
24
3
Y 
Y

Wl =
0
1
J1
2
 7 2 2
X Y
  −
  24
G
x
2
2
Scond 1
1
2
Scond 2
]
yr1 + b1
yr1 −b1
[
1
2 + a2
+ J 2 [G1 + G 2 ]xr
xr2 − a2
2
(3.17)
]
yr2 + b2
yr2 −b2
(0,0)
"
F
9&
[
1  µ
+ J 2   − 0 J 1 [G1 ( X − xr1 , Y − yr1 )] XX == xx −+ aa1
1
2   4π

%/
G
8
$
:
1  µ 0
J1  −
J 1 [G1 ( X − xr1 , Y − yr1 )] XX == xx −+ aa1
1
2   4π

!
$
(xrk , yrk )
9&
5 8
:
!
[
y
1
1
[
9& Q:
(3.16)
∫∫ ( A + A ) ⋅ dxdy + 2 J ∫∫ ( A + A ) ⋅ dxdy
1
xr1 + a1
= J 1 [G1 + G 2 ]xr
1 − a1
2
0
y
9& P:
9& A:
Wl =
x
]
]
Y = y −b1
Y = y +b1
Y = y −b1
Y = y + b1
−
[
µ0
J 2 [G 2 ( X − xr2 , Y − yr2 )] XX == xx −+ aa2
2
4π
[
µ
− 0 J 2 [G 2 ( X − xr2 , Y − yr2 )] XX == xx −+ aa2
2
4π
$
/
&5Q
/
P
]
]
x = xr + a
 1 1


Y = y +b2
 x = xr1 − a1 
Y = y −b2
x = xr2 + a2



Y = y + b2 
 x = xr2 − a2 
Y = y −b2
/
y = yr1 + b1
y = yr1 −b1
y = yr2 +b2
y = yr2 −b2
(3.18)
== P "
-
"
Wl = −
9&
  Nbr _ cond
 J [G ( X − xr , Y − yr )]X = x − a k
J n 
 k
k
k X = x + ak


n =1
  k =1
1 µ0
2 4π
$
$
Nbr _ cond
Nbr _ cond
∑
[
∑
"
$
!
]
/
Y = y − bk
Y = y + bk
;
x = xrn + a n 





x = xrn − a n 

/
'
/
:
y = yrn + bn
(3.19)
y = yrn − bn
/
# 0
G
/
II.7. Chemin moyen
4
-
/
?
/
/
"
Lf
/
#
0
#
/
$
/
!
T
/
G
"
$
/
'
8
!
#
8
#
/
!
$
"
d
Fenêtre gauche
8
%/
d
&5 Q
Fenêtre droite
Figure 3'17 : Distance entre les maximums d'énergie de deux fenêtres
K
p
#
>
!
9% /
/
Q
&5 :
/
l = 2d + 2 p
/
p
8
$
9 WlG , Wl D :
#
Figure 3'18 : Profondeur des conducteurs
/
;
W = ( p + d ) ⋅ WlG + ( p + d ) ⋅ Wl D
$
9& :
(3.20)
0
II.8. Synthèse de la méthode
4
/
(
.
1
).14I 1',
$ ===
!
/
!
$
;
•
!
B 2 / µ0
•
"
!
A⋅ J
•
!
A⋅ J
•
#
!
A⋅ J
•
$
!
A⋅ J
;
/
R
/
B
!
;
/
R
A
/
A
/
A
/
!
;
/
R
# !
;
/
R
# !
;
6
/
/
/
R
!
/
A
# !
/
/
!
"
$
$
/
/
A0
L
:
!
M
!
!
$ #
9" "
.
L
ON
UN
NSFO M
U
13
L
C
! C" "
"
$
$
III.1. Description du transformateur
$
6P
9% /
!
&5 :
" "
"
/
#
$
/U
- &
&
8
" "
H
0
/
0.125 mm
$
0
0.15 mm
#
" "
0
0.4 mm
0.2 mm
Figure 3'19 : Transformateur
d'isolation
#
0
" "
/
/
!
9% /
/
!
!
!
!
L
9% /
$
&5&:
Fenêtre
gauche
&56: 9% /
Fenêtre
droite
&57 :
$
/
!
!
"
!
$/
/
Primaire
BH
/
!
Secondaire
Circuit
magnétique
8
Figure 3'20 : Modélisation 2D
8
!
.2. omparaison des énergies
# 0
/
"
=
!
/
$
0
8
/
/
!
!
3
B 2 / µ0 :
9 AJ
=== 7
>
&'
% $&'(
"
1
/
!
94 "
9& 6: 9
&5 :
7'
'
. /
/
).12345 657,
8
O == P :
$
"
"
Fenêtre gauche
Fenêtre droite
67.4 µJ / m
70.0 µJ / m
71.2 µJ / m
73.8 µJ / m
Simulation 3D
Simulation 2D
Tableau 3'1 : Comparaisons simulations 2D / 3D pour une fenêtre
"
C
$
" 9 5%
/
:
"
0
/
!
!
!
/
3.5 %
!
!
/
#
/
"
BH
!
/
1V
MI
/
!
94 "
'
/
/
$
/
AJ
8
/ /
!
=== 7 " =
-
C&
8
/
-
!
L
$
&57:
Fenêtre gauche
Fenêtre droite
71.2 µJ / m
73.8 µJ / m
71.8 µJ / m
73.9 µJ / m
Intégration BH
Intégration AJ
Tableau 3'2 : Comparaison intégration de AJ et BH sur une fenêtre
"
9
"
/
!
/
8
3
/
:
8
!
8
&
0
7
/
/
/
!
$
5
!
8
=== 7
L
!
>
# !
!
# !
/
$
-
/
/
!
8
94 "
&5&:
Fenêtre gauche
Fenêtre droite
71.2 µJ / m
73.8 µJ / m
Simulation numérique
2D
63.0 µJ / m
Analytique simple
Analytique avec
image(s)
70.8 µJ / m
77.2 µJ / m
9
9
/ :
/ :
Tableau 3'3 : Energie par calcul analytique (intégration BH)
"
63.0 µJ / m
/
!
$
8
/
!
"
!
0
!
7' 94 "
>
&5 :
?
12 %
4
/
!
-
0
/
8
/
/
"
$
-
$
/
!
/
/
!
!
"
!
/
=
!
"
"
L
9% /
/
/
/
"
8
/ / "
"
$
"
&57 :
8
8
Hy
R
R
$
/
8
7
7
/
y
7'
!
x
/
%/
C
&57& >
0
!
!
pour validation de By
$ /
&577
C
# !
Figure 3'21 : Chemins
/
/
!
C C
"
!
0
5
/
# !
!
9% /
&577:
$ $
$
/
$
0
%/
1er chemin
2nd chemin
!
$
!
8
!
C
"
!
!
1
C
y
0
$ 0
10
10
8
8
6
6
4
2
4
0
2
2
1
0.5
0
0.5
0
1
Analytique sans image
Simulation 2D
Approximation à 1 composante
4.5
3.5
2.5
1.5
a
0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
b
Figure 3'22 : Hy dans la fenêtre droite
a : Chemin 1 | b : Chemin 2
/
5
>
/
"
/
!
9% /
C C
C"C
8
!
7
&57&:
"
/0
!
10
10
8
8
6
6
4
2
4
0
2
2
1
0
0.5
0
1
0.5
Analytique avec 8 images
Simulation 2D
Approximation à 1 composante
4.5
3.5
2.5
1.5
0.5
a
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
b
Figure 3'23 : Hy dans la fenêtre droite avec 8 images magnétiques
a : Chemin 1 | b : Chemin 2
"
/
/
!
0
$
!
=
/
!
8
8
"
/
0
/
!
$
0
III.3. Evaluation de l'inductance
*
I-67 61
!
5
9% /
&576:
/
1 .10
3
In ductance (µ H)
100 Hz − 10000 Hz
C
100
! C
0
!
L f = 3.4 µH
!
1
100
"
3
10
1 .10
3
1 .10
F réquenc e (Hz)
5
"
!
0 "
$
#
-
!
/
Figure 3'24 : Mesure de l'inductance de fuite
#
-
"
!
1 .10
4
Inductance de fuite
Valeur "statique"
$
!
0
9% /
"
#
#
&
&5 :
/
!
#
!
$
8
0
/
!
>
#
r0
/
/
$
9& 7 :
8
W =
1
2µ 0
 Ny
x + xi −1 

 Bmoyi2, j ⋅ 2π  r0 + i
 ⋅ dS
2


i =1 
j
=
1

Nx
∑∑
Bmoyi2, j =
1
/
#
!
-
(3.21)
Bi2, j + Bi2−1, j + Bi2, j −1 + Bi2−1, j −1
(3.22)
4
/
/
0
!
$
!
/
/
! :
R
9
/!
$ 0 '
70
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8
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9
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1
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5
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"
/
/
-
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!
$
$
$
/
9% /
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Isolant fils : 0.1 + 0.0125
'
&0
"
4 "
&56
%
.
/
# !
/
# !
8
/
/
3
avec isolants de fils
!
3.58 µH
3.4 µH
Figure 3'25 : Enroulement
"
C !
3
"
@
6
/
!
C
/
/
Géométrie initiale
Avec isolant
3.07 µH
2.61 µH
2.93 µH
3.21 µH
3.58 µH
3.97 µH
4.51 µH
Simulation F.E.M. 2D
Analytique simple
Analytique avec 8
images
Approximation "1
composante"
Tableau 3'4 : Evaluation de l'inductance de fuite'Transformateur EP
1
!
" "
!
"
!
'
"
"
/
"0
$
!
/
B
$
IV. APPLICATION A UN TRANSFORMATEUR PLANAR
$
!
!
C
!
/
!
C
8
/
L
$
#
IV.1. Description du transformateur
!
9
$
&
: #
Q
&
- M
/
!
&
C
N
Figure 3'26 : Transformateur
N $
planar
N
0
C
9 10.6 nH
/
123 nH
/
:
"
!
!
$
-
/
!
!
$
!
-
"
N
A
/
" " !
9# !
$
E:
/ / "
V.2. nductance de fuite primaire/auxiliaire
=K 7
'
/
9% /
$
&57Q:
0
8
Q
$
3
&6
&
$
!
8
$
8
7
$
!
8
/
8
/
/
y
y
Primaire
Auxiliaire
x
x
a
b
Figure 3'27 : Agencement des conducteurs primaire/auxiliaire
a : Fenêtre gauche | b : Fenêtre droite
/
5 5
!
8
!
−17
$
3
$
0 .5 A
A
=K 7 " %
<
"
/
!
$
/
9% /
&5 : >
%/
&57
!
Bx
8
/
By
!
# !
/
P
y
y
y
y
x
x
Bx_ G
x
x
By_ G
Bx_ D
a
By_ D
c
b
d
Figure 3'28 : Composantes de l'induction
a : Bx'fenêtre gauche | b : By'fenêtre gauche | c : Bx'fenêtre droite | d : By'fenêtre droite
1
/
/ 9& 7&:
"
9% /
&57 :
Wi , j =
1
2µ 0
Bxi2, j + Byi2, j
(3.23)
y
y
x
x
W_ G
W_ D
b
a
Figure 3'29 : Energie sur les grilles
a : Fenêtre gauche | b : Fenêtre droite
!
"
/
9
/
8
:
/
/ !
#
$
$
/
!
Q
d
0
9 ≈ 0.5 mm :
8
!
9% /
14 mm
&5 Q:
#
9% /
9
O == Q:
; p = 23 mm
&5 :
2 × 37 mm
/
=K 7
/
/
.
94 "
0
&5A: >
/
!
0
: 1
9
$
#
N $
!
#
8
-
=K
/
!
/
!
/
!
@
# !
"
$
8
9&AF
: =
"
!
!
8
#
!
4 "
&5A
5
/
F
112.5 nH
/
/
"
!
7F
/
9&
:
%/
&57
8
/
121.3 nH
AJ
"
#
"
"
H
"
4
# !
=
!
!
/
!
; L f = 123 nH -
/
$
/
!
!
#
"
!
5
"
nergie Fenêtre
Gauche
B²/2B0 numérique
AJ analytique
AJ analytique
+4 images
AJ analytique
+8 images
Energie Fenêtre
Droite
Inductance de fuite
28.01 µH / m
18.40 µH / m
107.9 nH
29.25 µH / m
19.14 µH / m
112.5 nH
32.01 µH / m
20.74 µH / m
122.7 nH
31.73 µH / m
20.45 µH / m
121.3 nH
Tableau 3'5 : Evaluation de l'inductance de fuite Primaire/Auxiliaire'Transformateur Planar
IV.3. Homogénéisation partielle des enroulements
"
9&Q:
-
/
!
!
"
-
0
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"0
' W
5 ,
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0
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/
L
!
!
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/
8
/
L
!
/
"
/
&5& :
/
/
 I _ G1 = 12 A
I _ G = 5 A

2

 I _ G3 = − (2 / 3) ⋅ 17 A
 I _ G4 = − (1 / 3) ⋅ 17 A
!
@
9% /
8
4
Auxiliaire
"
3
Auxiliaire
3
/
 I _ D1 = −12 A

 I _ D2 = −5 A
 I _ D = 17 A
3

1
1
Primaire
Primaire
2
2
Figure 3'30 : Homogénéisation des enroulements Primaire/Auxiliaire
>
%/
0
/
9% /
&5
By
Bx
&5& :
/ "
;
0.01
Induction By (Tesla)
Induction Bx (Tesla)
0
0.005
0.01
0.015
0.004
0.005
0.006
0.007
Chemin
Tous les conducteurs
Homogénéisation partielle
0.008
0.009
0.005
0
0.005
0.004
0.005
0.006
0.007
Chemin
0.008
0.009
Tous les conducteurs
Homogénéisation partielle
a
b
Figure 3'31 : Comparaison de l'induction, Tous les conducteurs/Homogénéisation partielle
a : Composante Bx | b : Composante By
/
$
8
"
#
/
$
94 "
&5P: *
/
/
#
$
9% /
&5& :
$
8
9 2 × 37 mm :
/
nergie Fenêtre
Gauche
Energie Fenêtre
Droite
15.83 µH / m
99.4 nH
28.06 µH / m
16.45 µH / m
103.5 nH
30.53 µH / m
17.74 µH / m
112.2 nH
30.30 µH / m
17.53 µH / m
111.2 nH
26.94 µH / m
B²/2B0 numérique
AJ analytique
AJ analytique
+4 images
AJ analytique
+8 images
Inductance de fuite
Tableau 3'6 : Evaluation de l'inductance de fuite Primaire/Auxiliaire (géométrie simplifiée)
/
'
F
!
!
0
"
/
IV.4. Inductance de fuite Primaire/Secondaire
$
$
!
!
!
R
0
!
R
"
=K 6
'
!
!
&5&7:
$
9% /
0
/
−17
0 .5 A
7
6
A
-
y
y
Primaire
Secondaire
x
x
a
b
Figure 3'32 : Agencement des conducteurs primaire/secondaire
a : Fenêtre gauche | b : Fenêtre droite
=K 6 " %
!
Bx
5
$
8
!
By
/
%/
/
/
!
8
&5&&:
/ 9& 7&:
&5&6
0
/
/
/
y
9% /
!
=
!
y
y
x
x
By_G
Bx_ G
x
a
b
W_ G
Figure 3'33 : Composantes de l'induction
Figure 3'34 : Energie sur la grille
a : Bx | b : By
=K 6
3
!
0
8
R
!
$
8
/
5.5 nH
/
94 "
&5Q:
8
3
/
/
#
"
"
7
9 10.6 nH :
nergie Fenêtre
Gauche
Energie Fenêtre
Droite
18.40 µH / m
4.8 nH
10.17 µH / m
10.17 µH / m
5.0 nH
11.14 µH / m
11.13 µH / m
5.52 nH
11.12 µH / m
11.11 µH / m
5.51 nH
9.74 µH / m
B²/2B0 numérique
AJ analytique
AJ analytique
+4 images
AJ analytique
+8 images
Inductance de fuite
Tableau 3'7 : Evaluation de l'inductance de fuite Primaire/Secondaire'Transformateur Planar
?
'
;
$
$
'
!
5
/ /
"
!
8
Z
"
!
!
5.5 nH
"
10.6 nH
C
!
"
C
=
8
!
5 5
"
S [
# !
$
$
!
!
S
nH H
$
cm
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4
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!
$
"0
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0
"
$
$
0
7: '
)>Y*445 6, 9
"
!
"0
"
//
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!
V. EXTENSION AU TRANSFORMATEUR DE FUITE
$
!
/
8
!
!
!
!
9% /
/
77
&5&A: Lp
H
1
0
- # !
9& 76:
I p + η ap I a + η sp I s = 0
(3.24)
Coupleur du transformateur
de fuite
η ap
Ip
Ia
La
Primaire L p
η sa
Auxiliaire
Ls
η sp
Is
Secondaire
Figure 3'35 : Détermination du coupleur du transformateur de fuite
-
0
=K
1
$
9 Is = 0 :
5 5
/
9& 7A:
Wm1 =
'
1
La I a2
2
⇒ Lf a = La
(3.25)
$0
$
Wm 2 =
(
9 Ia = 0 :
)
1
2
L s + η sa
La I s2
2
/
# 0
9& 7P:
2
⇒ Lf s = Ls + η sa
La
(3.26)
$
!
L
!
!
!
"
9& 76:
7&
!
1
$
!
!
Ia
Is
/
/
;
Wm3 =
1
1
Ls I s2 + La (I a + η sa I s )2
2
2
/
(3.27)
B
!
Lp
9& 7Q:
1
9 I p = −η ap I a − η sp I s :
0
?
9& 7 :
(
)
1
1
2
Ls + η sa
La I s2 + La I a2 + Laη sa I s I a
2
2
1
1
= Lf s I s2 + Lf a I a2 + Lf aη sa I s I a
2
2
Wm3 =
(3.28)
9& 7 :
η sa =
Wm3 −
$
1
1
Lf s I s2 + Lf a I a2
2
2
Lf a I s I a
(3.29)
=
/ kf
!
"
!
!
η sa La '
M
;
kf =
M
L11 L22
=
η sa La
(
2
La Ls + η sa
La
)
= η sa
Lf a
Lf s
(3.30)
9& & : !
$
Lf a
9
Lf s
:
>
&
/
"
/
!
9& & :
8
/ /
5 5
!
k f = 0.2
η sa = 0.04
L
!
(3.31)
#
/
0
$
76
"
9
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:
/
V . ON LUS ON
LM
SD
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0
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"
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#
9 < 10 nH :
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8
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0
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8
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0
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"0
7A
"
"
"
/
8
0
/
"
/
/
!
!
7P
4 : Techniques analytiques de
calcul des pertes cuivre et des fuites dynamiques
127
128
. N
ODU
ON
Dans le chapitre précédent nous avons introduit une méthode permettant d'évaluer les
inductances de fuite "statique", et plus généralement tout les éléments du transformateur de fuite.
Les valeurs trouvées sont valables en basse fréquence, c'est"à"dire jusqu'aux fréquences où les
courants induits apparaissent dans les conducteurs. Ces effets, dits "hautes fréquences",
modifient la répartition du courant à l'intérieur des conducteurs. De ce fait, ils induisent une
augmentation de la résistance série des enroulements ainsi qu'une diminution des inductances de
fuite. Cette variation peut être significative et, suivant la fréquence de travail, l'inductance de fuite
à prendre en considération lors du dimensionnement du transformateur peut être assez différente
de celle que nous sommes capables de calculer en statique.
Les deux effets évoqués ici, sont attribués aux "courants induits". Ils apparaissent lorsque la
fréquence augmente et ils sont généralement répartis entre effets de peau et effets de proximité.
Pour un concepteur de transformateur, il est nécessaire de tenir compte de ces deux phénomènes,
non seulement pour avoir la véritable valeur de l'inductance de fuite à la fréquence de travail,
mais aussi pour optimiser les pertes du composant [HURLEY"98].
D'une manière générale, un transformateur à 2 enroulements est un quadripôle passif qui
introduit des pertes séries et des pertes parallèles. La plupart du temps, les pertes séries sont dues
aux conducteurs alors que les pertes parallèles sont attribuées au circuit magnétique. C'est
pourquoi on les nomme respectivement pertes cuivre et pertes fer. Dans ce travail nous avons
consacré davantage de temps à l'étude des pertes cuivre; nous ne nous étendrons pas plus sur les
pertes fer.
Nous revenons donc maintenant en détail sur les pertes dites "cuivre" qui sont des pertes
localisées dans les conducteurs. Nous allons tout d'abord décrire brièvement les deux
phénomènes évoqués plus haut et qui sont responsable de cette variation fréquentielle. Devant la
difficulté d'une formulation analytique exacte des effets de courant induits dans les conducteurs
méplats, nous ferons le point sur plusieurs méthodes analytiques approximatives. Nous
évoquerons ainsi successivement la méthode de Dowell, les circuits équivalents de plaques, la
perméabilité complexe et les potentialités de la méthode 9PEEC.
La réduction des pertes cuivre évoquées à plusieurs reprises dans ce chapitre et diverses
applications des méthodes présentées dans cette partie seront traitées dans le chapitre 5 de ce
mémoire.
129
. LES DIFFERENTS TYPES DE PERTES H.F. DANS LE
CUIVRE
Le minimum de pertes dans un conducteur, quelque soit sa forme, est atteint lorsque le
courant qui le traverse a une répartition uniforme sur toute sa section. Cette uniformité s'établit
naturellement si la fréquence du courant est suffisamment basse, c'est"à"dire si l'épaisseur de peau
(4.1) est nettement plus grande que les dimensions transversales du conducteur. Lorsque la
fréquence de fonctionnement augmente, la répartition du courant est modifiée à l'intérieur des
conducteurs. Les pertes augmentent, la résistance série s'accroît et puisque les courants induits
s'opposent à la pénétration du champ magnétique, l'énergie stockée dans le cuivre diminue et les
inductances de fuites aussi.
II.1. Effet de peau
Le courant qui parcourt un conducteur crée un champ magnétique à l'intérieur de lui
même. A partir d'une certaine fréquence, le courant résultant de ce champ n'est plus négligeable
et il se superpose au courant initial. Le courant a alors tendance à se concentrer sur la périphérie
du conducteur. Un effet de pellicule apparaît comme le montre la Figure 4"1.
Figure 4*1 : Illustration de l'effet de peau [ROBERT*99]
Plus la fréquence augmente, plus cet effet est marqué. L'épaisseur équivalente sur laquelle
se répartit la courant, appelée épaisseur de peau, est donnée par (4.1).
δ =
2ρ
2π ⋅ f ⋅ µ 0 ⋅ µ r
Avec
(4.1)
ρ : résistivité du matériau
f : fréquence du courant
µ 0 : perméabilité du vide
µ r : perméabilité du matériau
Afin d'illustrer ce phénomène et pouvoir ultérieurement le comparer aux autres, la Figure
4"2 montre la répartition du courant obtenue dans un fil de cuivre cylindrique de diamètre
0.75 mm ,
alimenté par un courant de 1 Aeff à 100 kHz .
130
La puissance dissipée dans ce cas est de
46.1 mW / m .
Pour comparaison, elle ne s'élève qu'à
38.9 mW / m
en continu lorsque les courants induits
ne se manifestent pas. La surface que le courant
traverse est réduite, la résistance apparente
F gure 4*2 : Densité de courant à 100 kHz dans
augmente et les pertes aussi.
un conducteur cylindrique en cuivre de
diamètre 0.75 mm
II.2. Effet de proximité
Lorsqu'un second conducteur non alimenté, est placé à proximité du précédent qui est
alimenté, un courant se développe dans ce second conducteur sous l'effet du champ magnétique
créé par le premier (Figure 4"3). Le courant moyen reste nul puisque le conducteur n'est pas
alimenté, mais cette circulation de courant, appelée effet de proximité, cause forcément des pertes
à l'intérieur du conducteur. Le courant se répartit également sur la périphérie du conducteur mais
le phénomène est différent de celui causée par l'effet de peau puisque le champ magnétique est
créé par un autre conducteur et non pas par lui"même.
Cet effet est présenté sur la Figure 4"4a. Le premier conducteur est toujours alimenté par
1 Aeff à 100 kHz , mais un deuxième conducteur, lui aussi en cuivre, est placé à coté du premier. La
densité de courant qui le traverse peut être observée sur la Figure 4"4a.
Figure 4*3 : Illustration de l'effet de proximité [ROBERT*99]
Les Figure 4"2 et Figure 4"4a ne peuvent être directement comparées puisque les échelles
de couleur sont différentes. L'allure de la densité de courant illustre cependant de façon très claire
l'influence de la proximité d'un conducteur alimenté. Au niveau des puissances, 9.8 mW / m sont
dissipées dans le conducteur non alimenté. La proximité du second conducteur modifie aussi la
répartition du courant dans le premier. La puissance due à l'effet de peau dans ce fil passe ainsi de
131
46.1 mW
à 46.3 mW . Les effets de peau doivent donc être évalués en présence de l'environnement
réel du fil et non pas, comme c'est habituel, en considérant un fil éloigné de tout. Nous verrons
par la suite qu'il est parfois possible de réduire les pertes dues aux effets de peau en modifiant
l'environnement du conducteur de façon adéquate.
Pour calculer analytiquement les effets de proximité, on considère généralement que le
conducteur baigne dans un champ uniforme, égal à celui existant au centre du conducteur en son
absence. Nous avons montré [MARGUERON"06"1], comment créer un champ parfaitement
uniforme. La densité de courant obtenue par simulation en appliquant le champ uniforme défini
ci"dessus (Figure 4"4b) est différente de la précédente. Les pertes, dans ce cas, sont de 14.2 mW .
Cette valeur est supérieure à celle obtenue dans le cas réel. En tout état de cause, lorsqu'on les
calcule ainsi, les pertes par proximité sont très approximatives.
a
B
Figure 4*4 : Densités de courants associées aux effets de proximité
a : Effet de proximité du à un conducteur cylindrique | b : Approximation "champ uniforme"
II.3. Courants de circulation
Dans un enroulement de transformateur, lorsque plusieurs conducteurs sont connectés en
parallèle, chaque spire n'est pas soumise au même flux puisqu'elle n'est pas positionnée au même
endroit dans l'enroulement. Cette différence de flux crée une différence de potentiel entre les
conducteurs. Des courants peuvent alors circuler entre les différents fils en parallèles, l'intensité
dépendant de l'impédance propre des conducteurs. Plus cette dernière est faible, plus le courant
circulant risque d'être élevé pour une tension induite donnée.
Prenons l'exemple d'un transformateur en court"circuit (Figure 4"5). L'enroulement
primaire
est composé de 15 spires, bobinées deux fils en main, ce qui signifie que deux
conducteurs sont reliés en parallèles pour former chaque spire. Nous allons concentrer notre
attention sur ce qui se passe pour les deux fils en parallèles, encadrés sur la Figure 4"5.
132
Conducteurs alimentés
+champ extérieur
F gure 4*5 : Conducteurs en parallèle un enroulement de transformateur
Lorsque cette paire de conducteurs n'est pas alimentée, un courant de 1.83 Aeff circule dans
la boucle formée par les deux conducteurs. Cette circulation occasionne 402.6 mW de pertes dans
chaque fil. Le courant se répartit comme indiqué par la Figure 4"6. Lorsque les conducteurs sont
alimentés et soumis au champ du transformateur, le courant ne se répartit pas équitablement
entre les deux conducteurs (Figure 4"5). Tout se passe comme si le dispositif se comporte comme
si le courant de circulation de 1.83 Aeff s'ajoutait au courant initial dans un fil et se retranchait de
celui parcourant l'autre (Figure 4"7). Cette différence se ressent au niveau des puissances, puisque
242.8 mW
sont dissipées dans le premier fil et 671.3 mW dans le second.
I fil1 I circ
I fil1 + I fil 2
I fil 2
I fil1
I circ
I fil1 + I fil 2
Figure 4*6 : Répartition des courants lorsque les
I fil 2
Figure 4*7 : Parcours des différents courants
conducteurs ne sont pas alimentés mais soumis au
champ de la fenêtre de transformateur
Les pertes engendrées par ces courants de circulation peuvent être importantes. Ce
problème est bien connu des modélisateurs, mais les concepteurs de transformateurs ne
disposent pas de formules analytiques pour évaluer ces pertes supplémentaires.
II.4. Théorème d'orthogonalité
Lorsque plusieurs conducteurs sont parcourus par des courants non nuls et positionnés à
proximité l'un de l'autre, ils subissent les deux effets précédents. Chaque fil est le siège d'un effet
de peau modifié, tenant compte des matériaux alentours et chaque fil crée, dans ceux qui lui sont
proches, un courant de proximité. Pour calculer la puissance équivalente totale, les puissances
133
dues aux deux effets, peuvent être additionnées. Cette propriété est connue sous le nom de
théorème d'orthogonalité.
Cette superposition des deux effets est mise en évidence par la
Figure 4"8. Chaque fil est ici alimenté par un courant de 1 Aeff à
100 kHz . La simulation donne une puissance dissipée dans
chaque fil de 54.4 mW . Cette valeur est à comparer à
46.3 + 9.8 = 56.1 mW
F gure 4*8 : Superposition des
effets de peau et de proximité
. Les deux chiffres sont très proches et la
petite différence est due à des problèmes de résolution.
Pour réduire les pertes par effet de peau, les conducteurs massifs sont généralement
fractionnés en des conducteurs de plus petite section, reliés en parallèle. Dans le cas de
conducteurs cylindriques, du fil de Litz est généralement utilisé. Les conducteurs sont alors
remplacés par des brins, dont l'épaisseur est plus faible que l'épaisseur de peau, tous reliés en
parallèle. Les brins sont torsadés afin que chaque spire soit soumise statistiquement au même
flux. Cette technique permet d'éviter que des différences de flux ne créent des f.e.m. induites et
donc, par la même occasion, des courants de circulation. Les brins sont tressés afin que le
principe fonctionne bien dans un champ supposé uniforme, ce qui est rarement le cas dans un
enroulement. Pour des conducteurs rectangulaires, ce torsadage est irréalisable. Les fils sont alors
découpés en rectangles de taille plus petite et reliés en parallèle aux extrémités.
La puissance totale ( 914.1 mW ) correspond bien aux pertes dans chaque conducteur
( 2 × 54.4 mW ), additionnée de celles dues au champ extérieur ( 2 × 402.6 mW ). Le théorème
d'orthogonalité s'applique donc aux deux fils considérés comme un tout.
Les deux effets que nous venons de citer modifient donc les répartitions de courants dans
les conducteurs et, par la même, les valeurs des inductances, des résistances et des pertes. Un
concepteur de transformateur doit être capable de prévoir ces modifications qui apparaissent en
haute fréquence [REATTI"02]. Le calcul analytique exact de ces pertes n'est résolu que dans le
cas de conducteurs ronds ou de plaques infinies. Cependant, lorsque l'on s'intéresse à des
conducteurs rectangulaires de dimensions transversales finies, les expressions analytiques exactes
n'existent pas. Les formulations existantes, disponibles dans la littérature, sont toutes basées sur
des approximations simplificatrices du champ régnant autour des conducteurs.
134
LCULS EXACTS DES COURANTS INDUITS DANS
.
LES CONDUCTEURS
Nous allons maintenant nous intéresser aux expressions analytiques exprimant les courants
induits dans des conducteurs massifs. Pour des raisons de simplicité, nous considérerons dans
cette partie des conducteurs rectilignes et infiniment longs (système 2D plan).
III.1. Equation à résoudre et conditions aux limites
Un conducteur de forme quelconque est parcouru par
un courant sinusoïdal total I de fréquence telle que
l'effet de peau se manifeste (Figure 4"9). La répartition
I
y
du courant dans ce cas, n'est pas uniforme. Chercher le
x
champ créé par un tel dispositif revient à résoudre
l'équation vectorielle de Poisson (4.2) dans les
Air
Conducteur
conducteurs et à raccorder ses solutions à celles de
Figure 4*9 : Conducteur dans l'air
Laplace dans l'espace séparant les conducteurs.
∆ A = −µ J
Equation de Poisson
(4.2)
Puisque nous travaillons en 2D plan, seules les composantes suivant z de A et J sont non
nulles. Les courants sources de champs sont créés par l'application d'un champ électrostatique
E0
aux bornes du conducteur (de conductivité σ ). En magnétostatique, ce champ est uniforme,
tout comme la densité de courant J . En revanche, lorsque la fréquence augmente, le champ
électromoteur, dépendant de A , cesse d'être négligeable. Ainsi, à l'intérieur du conducteur, la
densité de courant J est due à l'addition d'un champ électrostatique uniforme E 0 et d'un champ
électromoteur iω A . Dans ce cas, le potentiel vecteur satisfait l'équation de diffusion (4.3) alors
que, dans l'air autour du conducteur, aucun courant n'étant présent, l'équation de Laplace (4.4)
régit le champ (Figure 4"14).
∂2 A
∂x 2
∂2 A
∂x
2
+
+
∂2 A
∂y 2
∂2 A
∂y 2
− jωσ µA = − µ σ E 0
Equation de diffusion
(4.3)
=0
Equation de Laplace
(4.4)
135
Pour ces calculs, nous introduisons l'épaisseur de peau δ (4.1) dans l'équation de diffusion
(4.5).
∂2 A
∂x 2
+
∂2 A
2
1+ j 
−
 A = − µ σ E0
2
∂y
 δ 
Equation de diffusion
(4.5)
I
Equation de Laplace
Equation de diffusion
Figure 4*10 : Equations pour un conducteur dans l'air
Nous devons donc résoudre des équations linéaires aux différentielles partielles dépendant
de deux coordonnées dans l'air (4.4) et dans le conducteur (4.5). Les solutions générales de telles
équations s'obtiennent en ajoutant, à la solution générale de l'équation sans second membre, une
solution particulière de l'équation avec second membre.
Les solutions pour ces deux types d'équations sont connues [GOLDNER] mais,
physiquement, seules celles qui satisfont les conditions aux limites doivent être retenues. Plus
précisément, il faut que l'excitation tangentielle et l'induction normale soient continues au passage
de la surface externe du conducteur. Lorsque le périmètre de la section des conducteurs présente
des discontinuités, il n'est pas facile d'appliquer ces conditions aux limites. Dans la littérature,
seules les sections les plus simples, les plaques infinies et les cylindres, sont traitées
complètement.
III.2. Problèmes résolus
III.2.a. Plaques infinies
Considérons une plaque infinie d'épaisseur a (Figure 4"11). Le champ autour de la plaque
se décompose en deux parties superposables [LEFEVRE"04] : le champ propre, créé par le
courant circulant dans la plaque ( H prop ) et le champ de proximité induit par d'autres conducteurs
( H prox ). L'intérêt de cette décomposition apparaît principalement lorsque l'on s'intéresse à l'étude
des puissances. Le théorème d'orthogonalité permet d'additionner les puissances dues à chacune
de ces deux causes.
136
J z (x )
J z (x )
− H prop
H prop
H prox
H prox
y
y
z
−
x
a
2
a
2
x
a
H = H prox − H prop
H = H prox + H prop
F gure 4*11 : Plaque infinie
Pour résoudre analytiquement ce problème de plaque infinie, il faut écrire l'équation de
diffusion du champ magnétique [RAULET"98] :
∆H = σ
∂B
∂t
Equation de diffusion du champ magnétique
(4.6)
Appliquée au problème de la Figure 4"11, l'équation de diffusion (4.6) devient :
∂2H y
∂x 2
(4.7)
= jω ⋅ µ ⋅ σ ⋅ H y
La solution de ce type d'équation est de la forme :
H y (x ) = A ⋅ e
(1+ j ) x
δ
+ B⋅e
−(1+ j )
x
δ
(4.8)
Les constantes A et B pour le cas du champ propre et pour le champ de proximité, se
déduisent des conditions aux limites sur les faces de la plaque. Le champ total s'exprime ensuite
en combinant les expressions obtenues pour le champ propre et le champ de proximité (4.9).
H y (x ) = H prop ( x ) + H prox ( x )
= H prop
x
x


sinh (1 + j ) 
cosh (1 + j ) 
δ
δ


⋅
+ H prox ⋅
a 
a 


sinh (1 + j ) 
cosh (1 + j ) 
2δ 
2δ 


(4.9)
III.2.b. Fil cylindrique
Considérons maintenant un fil cylindrique plongé dans un champ uniforme H ext (Figure
4"12). Le fil est, dans ce cas, non alimenté. Les courants induits se développant à l'intérieur du
cylindre sont de somme nulle.
137
y
r
ϕ
r0
x
H ext
F gure 4*12 : Fil cylindrique soumis à un champ uniforme
Vu la symétrie du système, le problème peut être résolu en coordonnées cylindriques. A
l'intérieur du cylindre, l'équation de diffusion sans second membre (4.5) peut s'écrire de la façon
suivante:
∂2A
∂r
2
+
1 ∂A 1 ∂ 2 A
1+ j 
− α 2 A = 0 avec α = 
+

r ∂r r 2 ∂ϕ 2
 δ 
(4.10)
La solution générale de cette équation s'exprime à l'aide des fonctions Bessel [LAROCHE].
Etant donné la symétrie du champ incident, seul le terme d’indice n = 1 est susceptible
d’intervenir et on ne doit garder que cette partie qui donne une excitation paire par rapport à Oy
(4.11)
A(r , ϕ ) = a1 J 1 (kr )e jϕ + a −1 J −1 (kr )e − jϕ
= aJ 1 (kr ) ⋅ cos(ϕ )
(4.11)
La constante a est déterminée en respectant, au passage de la surface cylindrique, les
conditions de continuité de la composante tangentielle du champ H ϕ et de la composante
normale de l'induction Br . Ces deux équations permettent de trouver la valeur de la constante a
ainsi que celle du moment dipolaire par unité de longueur M du fil [LAVEUVE"94].
a=−
µ0
α ⋅ J 0 (α ⋅ r0 )
⋅ H ext
(4.12)

2 J 1 (α ⋅ r0 ) 
 H ext
M = −2π ⋅ r02 1 −

 α ⋅ r0 J 0 (α ⋅ r0 ) 
(4.13)
Les deux problèmes que nous venons de présenter admettent des solutions analytiques
simples, calculées à partir de conditions aux limites formulables analytiquement. Nous allons
maintenant nous intéresser au cas plus complexe d'un conducteur méplat et présenter le
problème des courants induits à l'intérieur de ce type de conducteur.
138
.3. F l méplat rectiligne
III.3.a. Simulation d'un méplat
Une simulation "éléments finis" est réalisée pour connaître la répartition du courant à
l'intérieur d'un conducteur rectangulaire supposé infiniment long. La Figure 4"13 présente le
profil du module du courant dans un conducteur rectangulaire, sur le plan de symétrie et près de
la surface. Comme dans le cas des conducteurs ronds, le courant a tendance à se concentrer vers
les extrémités.
2
I
Courant (A)
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
Position en x sur le méplat
120
140
160
Extrémité du conducteur
Centre du conducteur
Figure 4*13 : Effet de peau dans un conducteur rectangulaire
Comme nous l'avons vu (III.1), le champ interne est décrit par l'équation de diffusion (4.3)
alors que, dans l'air autour du conducteur, le champ se déduit de l'équation de Laplace (4.4) où
sont trouvées les solutions générales de ces deux équations. La difficulté vient ensuite : comment
satisfaire les conditions aux limites sur chaque face du rectangle (Figure 4"14) ?
Conditions aux
limites sur la surface
du méplat
Equation de diffusion
Equation de Laplace
Figure 4*14 : Problématique pour un conducteur méplat
Ce problème est essentiel pour trouver les champs à l'intérieur et à l'extérieur de
conducteurs rectangulaires. La solution publiée est basée sur l'hypothèse que le champ sur la
surface du conducteur est tangentiel et constant [JOAN"04]. Malheureusement, à l'intérieur d'une
fenêtre de transformateur, cette hypothèse est loin d'être réaliste. Vu les problèmes de
formulation des conditions aux limites dans ce type de problème, un autre type de résolution
139
analytique a été envisagé. Ce calcul est basé sur la décomposition de la densité de courant sur une
base polynomiale orthogonale, en utilisant les polynômes de Legendre.
III.3.b. Décomposition de la densité de courant double polynôme de
Legendre
Le calcul du potentiel vecteur d'un conducteur méplat (Figure
y
4"15) parcouru par une densité de courant non uniforme J ,
2b
J
x
supposée unidirectionnelle et infiniment longue, peut être
effectué à l'aide la loi de Biot et Savart. En coordonnées
2a
cartésiennes, cette expression s'écrit suivant (4.14).
F gure 4*15 : Conducteur méplat
µ
A( x, y ) = 0
4π
[
]
a

 J (x 0 , y 0 ) ⋅ ln ( x − x0 )2 + ( y − y 0 )2 ⋅ dx0  ⋅ dy 0


−b  − a

b
∫ ∫
(4.14)
Pour une densité de courant constante, en statique donc, cette expression nous a permis de
redémontrer les expressions du potentiel vecteur présentées au chapitre 3. Dans le cas de la
magnétodynamique, la densité de courant n'est pas uniforme. J est donc une fonction de (x, y ) .
Cette dernière est multipliée par un logarithme népérien et le terme obtenu est ensuite intégré
deux fois. Il semblerait intéressant d'exprimer la densité à l'aide de fonctions "facilement"
intégrables lorsqu'elles sont multipliées par un logarithme népérien.
Les polynômes de Legendre présentent cet avantage. Ces derniers ont été introduits en
physique à propos de la théorie du potentiel Newtonien [AYANT]. Un polynôme de degré l est
défini de la façon suivante :
Pl ( x ) =
1
2
l
K
∑ (− 1)
k
k =0
(2l − 2k )! x l −2k
k!(l − k )!(l − 2k )!
k 2
(k − 1) 2
où K = 
(4.15)
Ces polynômes sont orthogonaux sur l'intervalle [− 1 ; 1] avec un poids uniformément
réparti. En pratique, il est commode de les normer en les multipliant chacun par un coefficient
(4.16).
Pl ( x ) =
2l + 1 1
2 2l
K
∑ (− 1)
k =0
k
(2l − 2k )! x l −2k
k!(l − k )!(l − 2k )!
(4.16)
Il est possible détendre la portée de ces fonctions afin qu'elles couvrent l'intervalle [− a ; a ]
(4.17).
140
Pl ( x ) =
2l + 1 1
2a 2 l
K
∑ (− 1)k
k =0
(2l − 2k )!  x  l −2k
 
k!(l − k )!(l − 2k )!  a 
(4.17)
Le produit de deux fonctions de ce type, l'une de la variable x , l'autre de y , est un élément
d'une base orthonormée pour J et pour toute fonction définie dans un rectangle. En utilisant des
doubles polynômes de Legendre pour décrire la densité de courant et en effectuant un
changement de variable, tous les termes à intégrer de (4.14) peuvent se mettre sous la forme
générale (4.18).
(
u p ⋅ v q ⋅ ln u 2 + v 2
)
(4.18)
L'Annexe IV présente les résultats de la double intégrale de (4.18) pour différentes valeurs
de p et q ainsi que dans le cas général.
L'utilisation de cette base de fonction semble donc être une piste intéressante puisque le
calcul analytique peut être mené jusqu'à son terme. Il reste maintenant à décrire la densité de
courant dans cette base pour déterminer la valeur du potentiel vecteur partout.
III.4. Conclusion sur le calcul exact des courants induits
Nous avons vu, au cours de cette partie, que la formulation des conditions aux limites sur
un conducteur, en vue du calcul analytique de courants induits était un problème difficile. Seul le
cas des plaques infinies et celui des fils cylindriques admettent des solutions analytiques sans
approximation.
Pour ce qui concerne les conducteurs rectangulaires, une solution existe, mais elle est basée
sur une hypothèse non réaliste puisque le champ autour du conducteur est supposé parfaitement
parallèle et constant sur chacune de ses quatre faces. Nous avons ensuite exploré une piste
permettant d'obtenir une formulation complète du potentiel vecteur. Cette dernière s'appuie sur
la décomposition de la densité de courant sur une base orthonormée constituée de doubles
polynômes de Legendre. Cette méthode sera approfondie dans de futurs travaux.
Face à la difficulté à surmonter pour établir la formulation exacte, nous allons présenter
d'autres calculs analytiques, basés sur des approximations et utilisés pour calculer les effets des
courants induits dans des conducteurs rectangulaires.
141
V.
LCULS BASES SUR DES APPROXIMATIONS
Dans cette partie nous présentons trois méthodes analytiques permettant : soit de prédire la
variation fréquentielle de la partie résistive et inductive d'un enroulement, soit d'élaborer des
circuits équivalents de transformateurs à conducteurs rectangulaires, soit d'évaluer les pertes par
effet de proximité dans des enroulements de transformateurs. Nous recensons les hypothèses sur
lesquelles ces outils reposent ainsi que les limites associés à ces modèles. Nous finissons cette
partie par la présentation de la méthode PEEC et de son extension 9PEEC.
IV.1. Méthode de Dowell
Intéressons nous en premier à la méthode analytique la plus utilisée pour calculer les pertes
cuivre dans un transformateur, à savoir la méthode de Dowell [DOWELL"66]. Elle est basée sur
l'approximation d'un champ unidirectionnel, tangent aux faces des couches conductrices qui sont
séparées par de l'air et bobinées autour d'un noyau magnétique.
IV.1.a. Principe de la méthode
Cette méthode vise à calculer l'inductance de fuite et la résistance série d'un transformateur
à deux enroulements. Elle repose sur la solution de l'équation de diffusion dans une plaque
conductrice infinie (cf. III.2.a). Pour appliquer cette méthode, les conducteurs doivent ressembler
à des plaques parallèles, où pouvoir se ramener à un ensemble de plaques parallèles. Le champ
magnétique doit être parfaitement parallèle aux plaques, ce qui suppose que les plaques
remplissent entièrement la largeur de la fenêtre du transformateur (Figure 4"16).
Une association de plaques supposées infinies, utilisées pour modéliser des enroulements
dans une fenêtre de transformateur est présentée sur la Figure 4"16. Pour chaque couche de cet
empilement, comme pour la solution du problème des plaques infinies, le champ de proximité est
uniforme. Le champ propre de chaque couche est, quant à lui, antisymétrique et il vient s'ajouter
au champ créé par les autres conducteurs. On obtient ainsi le profil du champ total dans la
fenêtre de bobinage (Figure 4"16).
142
x
Hy
F gure 4*16 : Champ dans la fenêtre du transformateur
En considérant que les conducteurs sont parcourus par un courant uniforme, le théorème
d'Ampère permet d'obtenir la répartition du champ dans la fenêtre du transformateur. Dowell
montre que, dans l'air, la valeur du champ magnétique H y (x ) est indépendante de la fréquence et
peut être trouvée en connaissant les courants portés par les enroulements. Dans les conducteurs
en revanche, le profil du champ varie en fonction de la fréquence. La méthode de Dowell
propose donc de le déterminer analytiquement en résolvant un problème à une dimension. La
répartition du courant et les pertes sont ensuite déduits de ce résultat.
IV.1.b. Résistance et inductance d'une association de plaque
Sur la base des équations obtenue pour des plaques infinies (modèle unidimensionnel),
Dowell a développé des formules permettant de calculer directement la variation de la résistance
et l'inductance de fuite d'un enroulement en fonction de la fréquence. Ces formules s'appliquent
uniquement à une portion d'enroulement, définie comme un nombre entier de couches situés
entre une valeur nulle et une valeur maximal de la force magnétomotrice (Figure 4"17).
y
h
Portion
d'enroulement
mième
couche
m.m. f .
b
Figure 4*17 : Modèle unidirectionnel
La résistance et l'inductance d'une association de m plaques conductrices connectées en
série sont respectivement données par (4.19) et (4.20).
143
(
)


m2 −1
⋅ D' 
R AC = R DC ⋅  M ' +
3


(
(4.19)
)


3 ⋅ M '' + m 2 − 1 ⋅ D '' 
L AC = L BF ⋅ 


m2 α 2h2


Avec
(4.20)
M = αh ⋅ coth (αh ) = M ' + j ⋅ M ''
 αh 
D = 2αh ⋅ tanh   = D ' + j ⋅ D ''
 2 
j ⋅ω ⋅ µ
α=
=
1+ j
ρ
δ
m : nombre de couches
h : épaisseur d'une couche
En développant les calculs, on obtient les expressions de la résistance et de l'inductance
d'un enroulement. Dowell nomme facteur de résistance FR (4.21) et facteur d'inductance FL
(4.22) les quotients de ces quantités par leur valeur basse fréquence.
R AC

sinh (2 X ) + sin (2 X ) 2 2
sinh ( X ) − sin ( X ) 

=X
+ m − 1  2 X
R DC
cosh (2 X ) − cos(2 X ) 3
cosh ( X ) + cos( X ) 


L

1
sinh (2 X ) − sin (2 X )
sinh ( X ) + sin ( X )  
FL = DC = 
+ m2 −1 ⋅ 2X
3 ⋅ X

2
2
L BF  2 ⋅ m X 
cosh (2 X ) − cos(2 X )
cosh ( X ) + cos( X )  
(
FR =
)
(
Avec
X =
)
(4.21)
(4.22)
h
δ
Les formules (4.21) et (4.22) sont issues de la résolution des équations de Maxwell à une
dimension. Cependant, elles nécessitent quelques hypothèses simplificatrices pour être
appliquées. Les trois premières permettent de limiter le problème à une dimension et les deux
dernières permettent de simplifier la complexité des solutions mathématiques.
•
Les couches conductrices occupent toute la largeur b de la fenêtre de bobinage.
•
L'épaisseur d'une couche est plus petite que le rayon de courbure de cette couche.
•
La perméabilité du ferrite sur les côtés de la fenêtre est considérée comme infinie.
•
Toutes les couches d'un même enroulement possèdent la même épaisseur.
•
Le champ magnétique est nul d'un coté d'une portion d'enroulement et maximum
de l'autre côté.
La justification des trois premières hypothèses est, bien entendu, que le champ soit tangent
aux plaques conductrices. La méthode de Dowell ne se limite cependant pas à ce genre de
conducteurs "plaque", puisque dès le début, d'autres formes de conducteurs (rectangulaire, rond)
144
ont été traitées. La géométrie de ces couches de conducteurs est alors modifiée en vue d'être
ramenée à une plaque équivalente.
IV.1.c. Equivalence nappe de conducteurs"plaque
Prenons l'exemple de conducteurs rectangulaires répartis de façon régulière dans une
fenêtre de transformateur (Figure 4"18). Tant que les conducteurs ne sont pas trop espacés, le
champ possède toujours le profil désiré.
h
a
b
F gure 4*18 : Conducteurs rectangulaires
Pour ce type de conducteurs, Dowell a défini un facteur de remplissage image de la
proportion de cuivre dans la largeur de la fenêtre (4.23). Ce facteur est encore appelé porosité. En
multipliant la résistivité initiale par ce facteur, une couche de même épaisseur qui occupe toute la
largeur de la fenêtre a la même résistance que les fils initiaux en parallèles.
η=
Nl ⋅ a
b
Avec N l : nombre de conducteurs par couche
(4.23)
Pour tenir compte de ce facteur dans les expressions de la variation de la résistance et de
l'inductance, il faut remplacer la valeur de X par X * (4.24) dans (4.21) et (4.22)
X* =
h
δ
η =X η
(4.24)
La justification et l'influence de la porosité ont donné lieu à de nombreuses publications.
[ROBERT"99] présente d'ailleurs de façon très détaillée, l'erreur commise par Dowell dans son
article initial.
Les conducteurs rectangulaires (ou carrés) ne sont pas les seuls à être pris en compte.
Dowell a aussi proposé une approche pour des fils circulaires, transformés en conducteurs carrés
puis en couche conductrice équivalente (Figure 4"19).
145
t
d
1ère couche
h
pième couche
Dernière couche
d
F gure 4*19 : Transformation de conducteurs ronds en plaques
Les conducteurs ronds de diamètre d sont transformés en carrés de même surface et de
coté h (4.25). Les carrés sont alors accolés puis le rectangle obtenu est étendu à la hauteur du
bobinage sans changer son épaisseur. Enfin, la résistivité est ajustée pour conserver la résistance
en continu. Les expressions de la résistance (4.21) de l'inductance (4.22) sont ensuite modifiées
pour tenir compte de cette transformation. Il faut alors remplacer la valeur de X par X ** (4.26).
h=d
X ** =
π
4
h
δ
(4.25)
≈ 0.886d
η =
d
4
δ
π
η =
14
 
δ π 
34
d3 2
t
(4.26)
12
Sans plus s'étendre sur la méthode de Dowell puisque de nombreux auteurs l'ont déjà fait,
nous allons maintenant présenter ses limites et son utilisation dans des transformateurs planar
IV.1.d. Limites en général et dans les transformateurs planar
La méthode de Dowell utilise un modèle simplifié unidimensionnel. C'est la technique la
plus utilisée dans le monde industriel pour calculer des pertes cuivres d'un composant passif.
Cependant, l'hypothèse concernant le champ, à savoir que ce dernier ne présente qu'une
composante tangente la couche de conducteur n'est que très approximativement vérifiée dans un
composant réel. En effet dans les transformateurs, différents éléments modifient l'allure supposée
de ce champ. Trois facteurs peuvent avoir une importance fondamentale.
Premièrement, les couches sont supposées occuper la majeure partie des fenêtres de
bobinage du transformateur. Cette hypothèse est souvent respectée dans les transformateurs
bobinés, malgré le fait qu'une distance d'isolement est généralement requise entre les spires et le
circuit magnétique. En technologie planar, cette hypothèse est souvent loin d'être respectée. Si on
revient aux descriptions des fenêtres de transformateur présentées dans le Chapitre 3, on
s'aperçoit que les conducteurs sont loin d'être répartis sur une fenêtre complète.
Dans un deuxième temps, lorsque les enroulements sont constitués de conducteurs
distincts, le champ n'est pas souvent tangent aux conducteurs : il a tendance à tourner autour.
C'est d'ailleurs le cas dans le transformateur présenté au Chapitre 3. Le transformateur que nous
146
étudierons au Chapitre 5 ne comprendra qu'une seule spire par couche. Dans ce cas, l'hypothèse
du champ tangentiel sera respectée.
La troisième limitation apparaît lorsque le composant bobiné comporte un entrefer. Ce
dernier vient modifier de façon notable le champ dans la fenêtre en créant un flux de fuite
parasite près de l'entrefer. Le transformateur que nous avons eu l'occasion d'étudier et de
caractériser finement (Chapitre 2) possède un large entrefer. De part son environnement
d'électronique de puissance, il sert à la fois d'inductance pendant une demie période et de
transformateur pendant l'autre.
Pour ces trois raisons, le comportement fréquentiel de ces transformateurs planars ne peut
être déduit des formulations analytiques de Dowell. La géométrie très particulière des fenêtres et
des conducteurs nous oblige à utiliser d'autres méthodes.
V.2. Circuits équivalents de plaques
La seconde méthode que nous allons présenter est appelée méthode des circuits équivalents
de plaques. L'approche analytique proposée ici repose sur des études précédentes [KERADEC"
96] [SCHELLMANNS"00], dont le principe consiste à considérer un transformateur comme un
empilement de plaques conductrices, isolantes et magnétiques. Toutes ces plaques sont supposées
infinies. Elles sont constituées de matériaux supposés linéaires, homogènes et isotropes, décrits
par leur perméabilité et leur permittivité complexes. Les échanges d'énergie se font par des ondes
planes, perpendiculaires aux plaques. Cette approche permet d'associer, à chaque couche
traversée, un circuit équivalent électrique.
IV.2.a. Circuit équivalent associé à une plaque
Pour
développer
l'approche
unidirectionnelle,
considérons
une
plaque
infinie,
perpendiculaire à Oz , d'épaisseur a , dont une portion de hauteur b et de profondeur c est prise
en considération (Figure 4"20). Cette plaque est exposée à des ondes planes incidentes et
réfléchies sur ses deux faces. L'excitation magnétique H est parallèle à Oy . Si la plaque est
conductrice, une alimentation électrique, caractérisée par un courant I et une tension V , peut
être reliée à cette couche. Un courant de conduction parallèle à Ox circule alors à l'intérieur. La
couche est soumise à trois flux de puissance, une puissance d'entrée, une puissance injectée et une
puissance de sortie.
147
F gure 4*20 : Plaque élémentaire
Les relations liant les six variables externes ( E g et H g en entrée, E d et H d en sortie ainsi
que I et V ) admettent une écriture matricielle. La matrice 3x3 impliquée est symétrique (système
passif) et le théorème d'Ampère montre que le courant I est lié aux excitations H g et H d
appliquées sur les deux faces (4.27).
Hg − Hd = J
(4.27)
En définitive, la relation matricielle se réduit à deux équations [KERADEC"96] qui se
représentent sous forme quadripolaire (Figure 4"21).
E g − E s = Z1 ⋅ H g + Z 2 ⋅ J
(4.28)
E d − E s = −Z1 ⋅ H d + Z 2 ⋅ J
(4.29)
Avec
I
b
V
Es = −
c
J =−
Hg
⇔Z=
Z1
Z1
V Es c
=
I
J b
(4.30)
Hd
Z2
Eg
J
Ed
Es
Figure 4*21 : Schéma équivalent sous forme quadripolaire
On peut modifier la Figure 4"21 afin d'introduire la tension V et le courant I
d'alimentation à la place du champ électromoteur E s et le courant par unité de longueur J . Ces
quatre grandeurs sont liées par (4.30). Le schéma peut donc être modifié en conséquence en
utilisant un coupleur parfait de rapport
c
(Figure 4"22).
b
148
Z1
Hg
c
b
Eg
Z1
Hd
Z2
I
Ed
V
F gure 4*22 : Circuit électrique équivalent d'une plaque conductrice
Les impédances Z 1 et Z 2 dépendent du déphasage φ (4.31) et de l'atténuation A (4.32)
provoqués par la traversée du milieu d'épaisseur a ainsi que de l'impédance caractéristique Z c de
ce milieu (4.33).
φ =ω µε ⋅a
(4.31)
A = e − jφ
(4.32)
µ
(4.33)
Zc =
Z1
ε
et Z 2 s'expriment alors simplement selon (4.34) et (4.35).
1− A
φ 
= Z c ⋅ j ⋅ tan 
1+ A
2
2A
1
Z2 = Zc
= Zc
j ⋅ sin (φ )
1 − A2
Z1 = Z c
(4.34)
(4.35)
En basse fréquence, ces expressions se simplifient. Les impédances Z 1 et Z 2 sont alors
homogènes respectivement à une inductance (4.36) et à une capacité (4.37), tout au moins si µ et
ε ne varient pas avec la fréquence.
en B.F. Z1 ≈ j ⋅ Z c
en B.F. Z 2 = Z c
1
φ
φ
2
=
= j ⋅ω ⋅ µ ⋅
a
2
1
j ⋅ω ⋅ε ⋅ a
⇔µ
a
=L
2
⇔ ε ⋅a = C
(4.36)
(4.37)
Lorsque plusieurs couches parallèles sont traversées les unes à la suite des autres, il suffit de
relier leurs quadripôles représentatifs en cascade pour obtenir le circuit équivalent de l'ensemble.
Grâce à cette technique, le problème de modélisation électromagnétique se réduit à un simple
problème de circuiterie électrique.
149
IV.2.b. Expressions des impédances pour les trois types de plaque
Le circuit présenté sur la Figure 4"22 est général mais, pour être utilisé, il doit être
personnalisé pour chaque type de matériau. Par exemple, seules les couches conductrices
nécessitent une alimentation électrique. Les autres types de matériaux, non alimentés, se
représentent simplement par un dipôle série ( 2 Z1 ). Pour étudier le comportement d'un
transformateur, trois types de milieu doivent être distingués : conducteur, isolant et magnétique.
Nous allons maintenant traiter ces trois cas particuliers.
IV.2.b.i.
Une plaque conductrice est définie par sa résistivité ρ =
1
σ
et son épaisseur ep . Pour un
conducteur, la permittivité ε est directement reliée à la conductivité σ (4.38). Le déphasage φ et
l'impédance caractéristique s'expriment alors avec (4.39) et (4.40).
σ
ε=
(4.38)
j ⋅ω
σ
µ 0 ⋅ ep = (1 − j )
ep
Z c = i ⋅ ω ⋅ ρ ⋅ µ 0 = (1 + j )
1
φ =ω
En posant x =
ep
δ
i ⋅ω
(4.39)
δ
(4.40)
σδ
, les expressions des éléments Z 1 et Z 2 du quadripôle équivalent se
mettent sous la forme :
sinh (x ) − sin (x ) + j ⋅ [sinh (x ) + sin ( x )]
cosh (x ) + cos(x )
sinh (x ) ⋅ cos( x ) + cosh (x ) ⋅ sin ( x ) + j ⋅ [sinh ( x ) ⋅ cos(x ) − cosh ( x ) ⋅ sin (x )]
Z 2 = r0 ⋅ 2 x ⋅
cosh (2 x ) − cos(2 x )
Z1 = r0 ⋅ x ⋅
Avec
x=
ep
r0 =
1
: Valeur de Z 2 en B.F.
σ ⋅a
(4.41)
(4.42)
δ
IV.2.b.ii.
Contrairement à une couche conductrice, l'approximation B.F. d'une couche d'air est
valable très haut en fréquence. Une couche d'air d'épaisseur ep _ a se modélise donc simplement
par un dipôle dont l'impédance est donnée par la relation (4.43) : c'est une inductance.
Z a = i ⋅ ω ⋅ µ 0 ⋅ ep _ a
⇔ µ 0 ep _ a = L
150
(4.43)
IV.2.b.iii.
Une couche magnétique est caractérisée par son épaisseur ep _ f et sa perméabilité µ r .
L'approximation B.F. étant valable très haut en fréquence, comme pour modéliser une couche
d'air, le modèle le plus simpliste est une inductance (4.44). Ses pertes peuvent cependant être
prises en compte de diverses manières. Une résistance en parallèle peut être ajoutée à l'inductance
magnétisante en première approximation. D'autres modèles plus élaborés ont été développé
[KERADEC"03], mais leur utilisation n'est pas justifiée dans la gamme de fréquence envisagée
ici.
Z f = i ⋅ ω ⋅ µ 0 ⋅ µ r ⋅ ep _ f
⇔ µ 0 µ r ep _ f = L
(4.44)
IV.2.c. Plaque constituée de fils parallèles connectés en série
Les plaques invoquées traditionnellement dans le cas de transformateurs bobinés sont des
regroupements de nt conducteurs connectés en série et transformés en rectangle équivalent par
la méthode de Dowell [DOWELL"66]. Nous avons vu dans la partie IV.1.c comment procéder à
la transformation de conducteurs cylindriques en plaques équivalentes. Au niveau du schéma
équivalent, une plaque de nt conducteurs cylindriques sera représentée par le circuit de la Figure
4"23. Le nombre de conducteurs est introduit à l'intérieur du coupleur pour respecter le théorème
d'Ampère.
Z1
nt
Z1
c
b
Z2
I
V
Figure 4*23 : Circuit équivalent d'une plaque de nt conducteurs
IV.2.d. Groupement de plaques conductrices identiques
Nous venons de voir qu'une couche équivalente pouvait être constituée de plusieurs
conducteurs cylindriques ou rectangulaires, connectés en série. Un transformateur est
généralement constitué de plusieurs couches de ce type, reliées en série ou en parallèle. Chaque
couche se représentant à la manière de la Figure 4"23, la multiplication des couches induit
forcément une complication du circuit électrique. Des regroupements de couches sont possibles
151
en vue de limiter le nombre d'éléments du circuit équivalent et réduire sa complexité. Nous allons
maintenant voir comment mettre des couches en série ou en parallèle.
IV.2.d.i.
nl
couches identiques de nt spires sont électriquement reliées en série. Chaque couche
élémentaire, séparée de sa voisine par une zone d'air (d'impédance Z a ), a pour éléments
caractéristiques Z 1 et Z 2 (Figure 4"24).
n l couches
1ère couche
Z1
Z1
2ème couche
air
Z1
Za
air
Za
Z1
Z2
Z2
nt
nt
V
F gure 4*24 : nl couches de nt spires en série
Le schéma équivalent de cet ensemble, issu de [SCHELLMANNS"00], est donné par la
Figure 4"25.
Xs
Xs
nl nt
c
b
Ys
V
Figure 4*25 : Circuit équivalent d'un enroulement de nl couches de nt spires en série
Les impédances Xs (4.45) et Ys (4.46), s'expriment en fonction des éléments Z 1 et Z 2
d'une couche de cuivre et de l'impédance Z a de l'air séparant chaque couche.
nl − 1
Za
2
n2 −1
Z
Ys = 2 − l
(2Z1 + Z a )
nl
6nl
(4.45)
Xs = nl Z 1 +
(4.46)
IV.2.d.ii.
!
La mise en parallèle de couches conductrices identiques consiste à relier en parallèle les
alimentations électriques de ces couches (Figure 4"26). Cette représentation peut être simplifiée
(Figure 4"27) car tous les coupleurs impliqués présentent le même rapport de transformation.
152
n l couches
1ère couche
Z1
air
Z1
Za
2ème couche
air
Z1
Za
Z1
Z2
Z2
nt
nt
F gure 4*26 : nl couches de nt spires en parallèle
n l couches
1ère couche
Z1
air
Za
Z1
2ème couche
air
Z1
Za
Z1
Z2
Z2
nt
V
Figure 4*27 : Simplification du schéma équivalent de nl couches de nt spires en parallèle à un seul
coupleur
Nous allons maintenant regrouper ces nl quadripôles en seul (Figure 4"28).
Xp
Xp
nt
c
b
Yp
V
Figure 4*28 : Circuit équivalent d'un enroulement de nl couches de nt spires en parallèle
En coupant les impédances d'air en deux parties égales, le circuit électrique de la Figure
4"27 se ramène à une succession de quadripôles symétriques identiques (Figure 4"29). On a alors
153
Z1' = Z1 +
Za
2
. Pour établir le schéma équivalent dans cette configuration, il est commode d'utiliser
les propriétés des quadripôles symétriques.
L'impédance caractéristique Z c d'un quadripôle est définie
Z 1'
Z 1'
de façon telle que, lorsqu'un qu'un quadripôle est chargé
par cette impédance, l'impédance vue de son entrée est
Z 2'
Zc
égale à
Zc .
Cette impédance caractéristique peut
s'exprimer en fonction des impédances Z 1 et Z 2 de sa
représentation en T (4.47). Avec cette impédance de
F gure 4*29 : Quadripôle symétrique et
charge, l'atténuation en tension vaut Gva (4.48).
impédance caractéristique
(4.47)
Z c = Z 12 + 2 Z 1Z 2
Gva =
Z2
Z c + Z1 + Z 2
(4.48)
Si N quadripôles identiques sont placés en cascade, l'impédance caractéristique vue de
l'entrée de l'ensemble vaut aussi Z c et le gain en tension vaut Gva N . En partant de ces deux
valeurs, les expressions des deux impédances Xp et Yp du quadripôle en T équivalent (Figure
4"28) sont données par (4.49) et (4.50) (cf. Annexe V).
Xp = Z c
Yp = Z c
1 − Gva N
1 + Gva
(4.49)
N
2Gva N
(4.50)
1 − Gva 2 N
Afin de faire apparaître, dans le circuit de la Figure 4"27, une succession de quadripôles
identiques, chaque couche conductrices a été associée à une demie couche d'air. Sur les faces
d'entrées et de sortie d'un bloc de couches en parallèle, il faut maintenant ôter cette demie couche
d'air en soustrayant son impédance de Xp . On obtient ainsi l'impédance X ' p (4.51) de la
représentation finale de l'enroulement.
X ' p = Zc
1 − Gva N
1 + Gva
N
−
Za
2
(4.51)
154
IV.2.e. Illustration de la méthode
Considérons un transformateur à deux enroulements monocouches réalisé sur un noyau de
type EP. Il possède une symétrie de révolution autour de son axe Ox . Après déroulement,
l'agencement de ses couches ressemble à un empilement (Figure 4"30) dont la profondeur c est
prise égale à la longueur de la spire moyenne. La hauteur b est égale à la largueur des couches.
Chaque couche conductrice est séparée par une couche d'isolant, magnétiquement équivalente à
de l'air. Le nombre de spires du primaire ( nt1 ) ainsi que celui du secondaire ( nt 2 ) du
transformateur sont introduits dans les rapports de transformation des coupleurs qui assurent
l'alimentation des couches.
Ferrite
Air
Primaire
Air
Secondaire
Air
Ferrite
Z a3
Z f1
Vp
Z1 p
nt1
c
b
Z1 p
Z a1
Z 11ss
Z2p
nt2
c
b
Z 11ss
Z 22ss
Z a2
Z f2
Vs
F gure 4*30 : Circuit équivalent établi par la méthode des plaques d'un transformateur deux enroulements
Après plusieurs transformations de circuit classique, le schéma de la Figure 4"30 se
représente aussi sous la forme, plus habituelle, d'un modèle en π (Figure 4"31). Toutes les
impédances introduites dépendent de la fréquence. L'impédance équivalente du circuit à vide
dépend essentiellement de l'impédance magnétisante η12 ⋅ (Z1 p + Z a3 + Z f 1 ) . En pratique,
l'impédance du ferrite ( Z f 1 ) est prépondérante dans cette expression.
155
η12 ⋅ Z 2 p
η12 ⋅ Z 1 p
η12 ⋅ Z 1 p
Vp
η12 ⋅ Z a1
η12 ⋅ Z 1s η12 ⋅ Z 2 s
η12 ⋅ Z 1s
Vs
η12 ⋅ Z a 3
η12 ⋅ Z a 2
η12 ⋅ Z f 1
η12 ⋅ Z f 2
avec η1 = nt1
nt 2
n t1
Impédances souvent
négligeables devant
celles liées au ferrite
c
b
F gure 4*31 : Circuit équivalent au transformateur de la figure 8
Il faut cependant être critique vis"à"vis de ce modèle. Ce dernier est valable, lorsque les
conducteurs, ou plutôt les couches de conducteurs, occupent toutes la même largeur, sont alignés
face à face et que, sur toutes les surfaces conductrices, l'excitation magnétique est constante et
parallèle à la surface. Une limitation supplémentaire provient du fait que seul le champ électrique
considéré est parallèle aux couches. Ce modèle ne peut donc pas rendre compte des effets
électrostatiques.
En dépit de ses limitations, cette méthode présente l'intérêt de transcrire le comportement
magnétique en un circuit équivalent et nous verrons, dans le chapitre 5 qu'elle peut nous servir
pour expliquer quantativement la mauvaise répartition du courant entre les couches parallèles
d'enroulement.
IV.3. Perméabilité complexe
Pour tenir compte des effets de courants induits dans un conducteur au cours de
simulations électromagnétiques, le maillage du dispositif est essentiel. En effet, au moins deux
mailles doivent être présente dans l'épaisseur de peau, afin que le système puisse être résolu de
façon correcte. Au vu de la complexité de certains dispositifs à simuler, le maillage est très
difficile à réaliser et nécessite des ordinateurs très puissant.
Afin de remédier à ce problème de surcharge mémoire, lorsque l'on s'intéresse aux pertes
par effet de proximité dans un composant, la méthode dite de la "perméabilité complexe", ou "9"
complexe", a été introduite. Elle consiste à considérer qu'une zone conductrice comprenant des
conducteurs et de l'air est homogène et de perméabilité complexe µ * ( µ* = µ '+ j ⋅ µ ' ' ). C'est donc
une technique d'homogénéisation et µ * est choisi pour que le volume considéré conduise aux
156
mêmes échanges énergétiques que le système initial. A partir du moment où le conducteur n'est
plus le siège d'effets de peau ni de proximité (puisque sa conductivité σ a été intégrée dans la
perméabilité µ * ), la règle des deux mailles dans l'épaisseur de peau ne se justifie plus.
De nombreuses études ont été menées par différents auteurs pour trouver la perméabilité
complexe de conducteurs ronds [NAN"05] ou de formes diverses [GYSELINCK"05]. Au sein de
notre laboratoire, les travaux sur ce sujet ont été initiés afin de calculer les pertes par effet de
proximité dans une nappe de conducteurs cylindriques [KERADEC"91]. Ces travaux ont ensuite
été approfondis dans le cas de transformateurs de distribution dans le cas 2D [MOREAU"98],
puis dans le cas 3D [JOAN"04] [MOREAU"05] et, plus récemment, au cas particulier des
transformateurs planars [PHUNG"06"1].
IV.3.a. Equivalence pour une plaque"Modèle 1D
Le principe de base consiste à attribuer, à une zone de conductivité σ , une perméabilité
complexe absorbant la même puissance complexe lorsqu'elle est soumise à un champ incident
H0
homogène. Le calcul analytique direct de la perméabilité équivalente est ici un calcul à une
dimension. On considère que le champ incident n'est pas modifié par la plaque infinie (Figure
4"32).
H0
2b
y
z
x
H0
F gure 4*32 : Modèle une dimension pour une plaque infinie
Le champ dans la plaque peut se mettre sous la forme (4.52) et la puissance complexe
s'exprime en fonction de cette valeur (4.53).
H x (y) = H 0 ⋅
p( y ) =
1
σ
ch(αy )
1+ j
avec α =
δ
ch(αb )
(4.52)
J J + jµ ωH H
  2y 
 2y 
 2y 
 2y  
 ch  − cos 
ch  + cos  
δ

 δ  + j⋅  δ 
 δ 
= iµ ωH 02   
 2b 
 2b 
 2b 
 2b  
 ch  + cos 
ch  + cos  
δ 
δ 
δ 
 δ 
(4.53)
En intégrant ensuite cette puissance sur l'épaisseur du conducteur, on obtient l'expression
de la puissance pénétrant dans la plaque (4.54).
157
b
P=
∫ p( y )dy
−b
=
  2b 
 2b 
 2b 
 2b  
 sh  − sin  
sh  + sin   
2µ ω 2   δ 
 δ  + j⋅  δ 
 δ 
H0 
σ
 2b 
 2b 
 2b 
 2b  
 ch  + cos 
ch  + cos  
δ 
δ 
 δ 
 δ 
(4.54)
En remplaçant le matériau conducteur par un matériau 'magnétique', les pertes dans ce
dernier s'expriment suivant (4.55)
P = j ⋅ µ * ω ⋅ H H = j ⋅ (µ '+ j ⋅ µ ' ')ω ⋅ H H
(4.55)
L'équivalence s'effectuant au niveau de l'égalité des puissances, les valeurs de la
perméabilité complexe (4.56) se déduisent de l'identification de (4.54) et (4.55).
  2b 
 2b  
 sh  + sin   
µδ   δ 
 δ 
µ' =
2b   2b 
 2b  
 ch  + cos  
 δ 
 δ 
(4.56)
  2b 
 2b  
 sh  − sin   
µδ   δ 
 δ 
µ'' = −
2b   2b 
 2b  
 ch  + cos  
 δ 
 δ 
Les valeurs de perméabilité obtenues, très simples à implémenter dans logiciel de calcul,
sont exactes si la plaque est considérée comme infinie et que le champ incident sur ses faces est
uniforme. En pratique, ces conditions sont très difficile à obtenir.
IV.3.b. Extension au modèle 2D et limites
Pour étendre cette méthode unidimensionnelle à deux dimensions et déterminer une
perméabilité anisotropique, un calcul est mené en considérant que le champ H 0 de la Figure 4"32
subit une rotation de 90° et est maintenant perpendiculaire à la plaque [MOREAU"98]. On voit
ici apparaître de façon notable les limites de cette méthode. En effet, le champ parfaitement
tangentiel sur les faces d'un conducteur ne peut être réaliste que si l'on s'intéresse à une plaque
infinie. A partir du moment où le conducteur considéré est fini, des effets de bords apparaissent
et les champs n'ont pas du tout la forme désirée, nécessaire à l'application de la méthode 1D dans
les deux dimensions. Le calcul de la perméabilité complexe, dans ce cas, est sujet à des erreurs
significatives, limitant grandement l'utilisation de cette méthode.
158
IV.3.c. Equivalence pour un réseau rectangulaire de fils méplats"
Application aux transformateurs planar
Nous avons collaboré avec l'équipe modélisation afin d'appliquer la méthode de la
perméabilité complexe à un transformateur planar en 2 et 3 dimensions [PHUNG"06"1]. Le
principe de calcul est basé sur l'hypothèse qu'il y a une infinité de conducteurs rectangulaires
identiques, disposés selon un réseau périodique rectangulaire (Figure 4"33). Dans ce cas, la
contribution de chaque conducteur est négligeable par rapport au champ total. Pour créer un
champ parfaitement horizontal autour du conducteur, on fixe les conditions aux limites d'une
cellule élémentaire, qui, pour des raisons de symétrie, correspond au quart d'un conducteur.
∂A
= 0 A = A1
∂n
Cellule élémentaire
µ,σ
µ*
∂A
=0
∂n
A = A0
F gure 4*33 : Paquet de conducteurs et cellule élémentaire
La simulation, très simple, d'une cellule élémentaire à l'aide d'un logiciel de calcul éléments
finis permet de déterminer la perméabilité complexe µ * à attribuer à une cellule.
Une simulation complète d'un transformateur planar à deux enroulements a ensuite été
réalisée afin de tester cette technique d'homogénéisation. Les résultats de la simulation avec
perméabilité complexe sont comparés à une simulation du dispositif réel, maillé en fonction de
l'épaisseur de peau. Les résultats sont très intéressants puisque, pour un transformateur constitué
d'une spire primaire et de deux couches secondaires de cinq spires chacune, les évaluations de la
puissance dues aux effets de proximité dans le secondaire à vide sont correctes à 6% près.
Dans le cas d'une simulation en 3 dimensions du même dispositif, les résultats sont encore
plus intéressants. En effet, à 500 kHz , les pertes calculées à l'aide de la perméabilité complexe sont
surestimée de 10%, mais pour un temps de calcul réduit à 1 minute et demie, alors que le calcul
élément fini complet demande plus de 12 heures.
159
IV.3.d. Conclusion sur la méthode de la perméabilité complexe
Nous venons de présenter une technique de calcul permettant de déterminer les pertes par
effet de proximité dans un transformateur. Cette méthode, dite de perméabilité complexe, donne
des résultats intéressants mais elle est cependant bâtie sur des hypothèses de champ souvent non
respectées dans la réalité. L'autre défaut de cet outil est qu'il n'est développé en deux dimensions
que grâce à des simulations électromagnétiques et non de façon analytique. Le calcul analytique à
une dimension (plaque) est valable sous condition que le champ considéré soit bien tangentiel aux
différentes plaques conductrices.
Nous retrouvons ici la même hypothèse restrictive que pour les autres méthodes décrites
plus haut. Pour éviter de recourir à de telles considérations sur la forme du champ dans une
fenêtre de transformateur, nous allons maintenant nous attarder un peu sur une méthode ne
nécessitant aucune hypothèse de ce genre, la méthode PEEC.
V.4. Méthode IPEEC
Les méthodes introduites ont montré leurs limites lorsque le champ n'est pas parfaitement
tangent aux conducteurs. Sans faire aucune hypothèse sur le type de champ, ni sur la répartition
du courant dans les conducteurs, une méthode a été mise au point par [RUEHLI"74] pour
chercher le circuit équivalent de systèmes composés de multiples conducteurs. Cette méthode est
connue sous l'abréviation PEEC (Partial Element Equivalent Circuit). Elle consiste à diviser tout
conducteur parcouru par un courant non uniforme en un assemblage, en parallèle, de
conducteurs plus fins parcourus chacun par un courant uniforme. S'ils sont suffisamment fins,
ces conducteurs ne sont plus le siège de courants induits.
Des études ont été menées, au sein de notre laboratoire [CLAVEL"96], afin d'utiliser cette
méthode pour accéder à la répartition des courants dans des conducteurs rectangulaires. Elles ont
abouti lieu à la création d'un logiciel de calcul d'inductances de câblage InCa® [INCA]. De
nombreuses études ont ensuite mis à profit cette méthode et ce logiciel, notamment pour réduire
les pertes d'un jeu de barres de distribution [GUICHON"01] et pour connaître la répartition du
courants dans des interconnexions d'électronique de puissance [MARTIN"05] ou tout
récemment, dans des redresseurs forte puissance [AIME"06].
L'utilisation de la méthode PEEC a longtemps été restreinte à des conducteurs seuls ou
multiples mais positionnés dans l'air, car les matériaux magnétiques ne pouvaient pas être pris en
compte. Des travaux récents de notre équipe ont abouti à développer une formulation spécifique,
exploitable en présence de matériaux magnétiques [GONNET"05]. Cette méthode plus complète
est maintenant connue sous le nom de 9PEEC.
160
IV.4.a. Principe de la méthode PEEC
Des conducteurs massifs, parcourus par des courants et soumis à des effets de peau et de
proximité sont décomposés en une multitude de conducteurs élémentaires qui sont supposés
parcourus par des courants uniformes (Figure 4"34).
Conducteur élémentaire
dans lequel le courant
est supposé uniforme
Conducteur massif discrétisé
F gure 4*34 : Discrétisation d'un conducteur massif en conducteurs élémentaires
Chaque conducteur élémentaire peut être représenté, de façon schématique, par son
inductance partielle, sa résistance propre et les mutuelles partielles entre ce conducteur et tous les
autres conducteurs élémentaires. D'un point de vue électrique, la relation matricielle (4.57)
regroupe toutes les relations qui résultent de cette représentation.
[V ] = [Z ] ⋅ [I ]

[Z ] =  Ri
0
0

 + j ⋅ω ⋅ 




M ij




(4.57)
Tous les fils élémentaires d'un même conducteur sont ensuite reliés électriquement en
parallèle. Toutes les tensions de la matrice [V ] sont, dans un premier temps, supposées égales
mais nous reviendrons sur l'importance de cette mise en parallèle à la fin de ce chapitre. Un
exemple de circuit équivalent obtenu pour un conducteur découpé en quatre cellules élémentaires
est présenté sur la Figure 4"35.
161
1
3
2
4
L2
M 12
L1
Conducteur
massif
discrétisé
L3
M 23
M 24
M 34
M 13
Mise en parallèle des
conducteurs
élémentaires
L4
M 14
R1
R2
R3
Schéma
électrique
équivalent
R4
F gure 4*35 : Schéma équivalent obtenu après discrétisation d'un conducteur massif
A ce stade de la présentation de la méthode PEEC, il est nécessaire d'introduire la notion
d'inductance et de mutuelle partielle. La définition habituelle de l'inductance suppose qu'elle est
associée à un circuit fermé. Pourtant, chaque portion d'un circuit contribue à l'inductance totale
d'une boucle de courant. En conséquence, l'inductance partielle peut être définie à condition de
considérer aussi la contribution à l'inductance crée par un segment sur un autre [SCHANEN"00].
D'un point de vue mathématique, ceci se traduit par la formulation (4.58), Mp représentant la
mutuelle partielle entre le segment n et le segment m . Dans le cas où m = n la valeur obtenue
correspond une inductance partielle.
Mp n,m =
1
I
∫A
Sm
Sn
⋅ dl
Avec :
AS m : Potentiel vecteur créé par le segment S m
(4.58)
I : Courant dans le segment
Le schéma équivalent obtenu (Figure 4"35) est constitué d'éléments localisés. Cela signifie
que l'énergie du système peut toujours être transcrite par des éléments localisés à condition d'en
introduire un nombre suffisant.
La méthode PEEC présente un autre avantage important. L'air entourant le système n'a pas
besoin d'être maillé puisque l'énergie est totalement calculée dans les régions conductrices. Pour
des simulations de dispositifs nécessitant un maillage important en éléments finis, ce dernier peut
être allégé de façon drastique puisque seuls les zones conductrices doivent être maillés (découpés
en zones élémentaires).
Les formules, nécessaires pour calculer les éléments des schémas équivalents dans le cas de
conducteurs rectangulaires, sont présentées dans [CLAVEL"96] ou [GUICHON"01]. Ces calculs
162
ne sont valables que si les conducteurs élémentaires sont parallèles ou perpendiculaires entre eux.
Toutefois, ces hypothèses ne constituent pas une limitation incontournable de la méthode.
IV.4.b. Prise en compte des matériaux magnétique"Extension au 9PEEC
La méthode PEEC a longtemps été limitée, en terme d'utilisation, à des dispositifs
composés uniquement de conducteurs et excluant tout matériaux magnétique. Lors de ses
travaux de thèse, Jean"Paul Gonnet [GONNET"05] a développé une méthode permettant de
prendre en compte ces matériaux magnétiques. L'utilisation de la méthode PEEC n'est donc plus
limitée aux conducteurs seuls. Des matériaux magnétiques peuvent être présents sous réserve
qu'ils soient linéaires homogènes et isotropes, autrement dit qu'ils soient descriptibles par une
perméabilité complexe et une résistivité.
Dans la méthode 9PEEC, les dispositifs incluant un matériau magnétique sont modifiés en
un dispositif équivalent (Figure 4"36). Des courants de surface sont ajoutés à l'interface séparant
le milieu magnétique de l'air. On obtient ainsi un dispositif n'incluant plus que des courants
circulant dans l'air et dans lequel le potentiel vecteur et l'induction sont identiques aux champs
initiaux [KERADEC"05] (ce qui n'est pas le cas de l'excitation magnétique à l'intérieur des
matériaux magnétiques).
Dispositif initial
Matériau
magnétique
Pas de
courants de
surface
Air
Dispositif équivalent pour A et B
µr >1
Air
Bn m
Bt m
Bn a
Bt a
µa =1
I fil
µa =1
Bn m
Ht m
K 1 K 2 K 3 Bn a
Ht a
Air
µa =1
Kn
Eléments de
surface
I fil
Bnm = Bna ; Ht m = Ht a ⇒ Bt m = µ r Bt a
F gure 4*36 : Courants de surface à l'interface entre les milieux
Le champ créé en tout point d'un tel système est la somme des contributions des courants
sources et des courants de surface. Si le matériau n'est pas purement magnétique ( σ ≠ 0 ), ou si
des conducteurs sont présents dans le dispositif étudié, ces derniers doivent, comme le requiert la
méthode PEEC être subdivisé en conducteurs élémentaires. Dans ce cas, les éléments surfaciques
et les conducteurs élémentaires contribuent à la création du champ dans tout l'espace.
La complexité de mise en œuvre d'une telle méthode nécessite un solveur numérique pour
tenir compte de l'influence de tous les éléments, conducteurs ou courants surfaciques, dans le
163
calcul du champ total. Malgré cette complexité apparente, nous allons présenter une approche
analytique visant à évaluer ces courants de surface.
IV.4.c. Vers une formulation analytique des courants de surface pour des
fenêtres de transformateur
Intéressons nous de façon plus précise, aux conditions de passages entre les deux surfaces
de la Figure 4"36 et à l'écriture matricielle qui en découle. La continuité de l'excitation tangentielle
du système initial induit une discontinuité de l'induction tangentielle : Bt m = µ r Bt a .
Par définition, dans le système équivalent, les inductions sont identiques. Puisque ce
système n'inclut plus de matériau magnétique, les excitations tangentielles sont de part et d'autre
de la surface dans un rapport µ r et puisqu'il y a discontinuité, c'est qu'un courant K circule sur la
surface. Ce courant ajoute une excitation tangentielle d'un coté et il soustrait la même de l'autre
coté. Ainsi, si Ht est l'excitation tangentielle existant sur un point de la surface lorsque aucun
courant superficiel ne circule en ce point, on a :
K
2 = 1
K µr
Ht −
2
Ht +
(4.59)
Cette relation (4.59) permet d'exprimer K en fonction de l'excitation tangentielle et de la
valeur de la perméabilité du matériau magnétique (4.60).
K = −2 Ht
µr −1
µr +1
(4.60)
Le premier objectif de la méthode étant de calculer les interactions entre deux fils fins
élémentaires, nous cherchons ici le champ créé par un fil unique dans tout l'espace. Le champ
tangentiel présent dans (4.60) peut se décomposer en deux parties. La première contribution,
Hwt , est due au fil source parcouru par un courant I fil . La seconde, Hst , est générée par tous les
courants de surface. L'équation (4.60) peut donc s'écrire sous la forme (4.61).
K = −2 ⋅ (Hwt + Hst )
µr −1
µr +1
(4.61)
Le champ tangentiel créé par le fil source en un point s'exprime donc simplement en
fonction du courant de surface au même point et du champ généré par tous les courants de
surface (4.62). Ce dernier dépend linéairement de tous les courants de surface, donc la relation
(4.62) peut aussi s'écrire de façon matricielle (4.63).
164
Hwt = −
1 µr +1
K − Hst
2 µr −1
Hwt i = −
(4.62)
1 µr +1
K i − Hst i avec Hst i =
2 µr −1
∑U
i, j K j
(4.63)
j
En définitive, l'excitation tangentielle que crée un fil près d'un élément de surface, peut
s'écrire en fonction des courants de surface uniquement (4.64). La matrice de transformation [V ]
inclut une partie qui dépend du courant de surface de l'élément considéré et une autre qui traduit
l'influence de tous les autres courants de surface.
[Hwt ] = [V ][K ]
avec Vi , j = −
(4.64)
1 µr +1
δ i , j − U i , j et δ i , j : symbole de Kronecker
2 µr −1
Finalement, la relation (4.64) peut être inversée (4.65) afin de trouver le courant de surface
qui circule partout sur le système équivalent.
[K ] = [V ]−1 [Hwt ]
(4.65)
Dès que les courants de surface sont connus, le potentiel vecteur dû au conducteur
élémentaire peut être connu partout. Cette méthode de calcul pour déterminer les courants
surfaciques est valable pour toutes les positions de la source de champ. Pour un dispositif fixé, les
matrices U , V et V −1 restent inchangées quelque soit la position du fil source.
IV.4.d. Exemple de calcul : Fil dans un cylindrique magnétique
Les transformateurs qui nous intéressent sont composés de conducteurs rectangulaires et
entourés par un circuit magnétique. Ils sont donc intégrables dans une approche 9PEEC.
Cependant, le calcul complet dans une géométrie suffisamment réaliste pour représenter un
transformateur demande encore un peu de temps et quelques simplifications complémentaires.
Nous allons revenir à un exemple simple afin d'illustrer la méthode à appliquer pour effectuer le
remplacement du matériau magnétique par des courants de surface.
Pour appliquer la technique de calcul de courants de surface, prenons l'exemple d'un
cylindre magnétique parfait (sans pertes) de rayon R et de perméabilité µ r (Figure 4"37). Nous
cherchons l'induction créé par un fil localisé en (rw, θw) et parcouru par un courant I .
165
y
θ
I
rw
θw
µr
R
x
F gure 4*37 : Cylindre magnétique
Le potentiel vecteur créé par ce fil seul à l'intérieur du cylindre est décrit en coordonées
cylindriques par l'expression (4.66). Le courant dans le fil est multiplié par la perméabilité du
milieu dans lequel il se trouve.
Aw(r , θ ) =
(
)
µ0
I ⋅ µ r ⋅ ln r 2 + rw 2 − 2 ⋅ r ⋅ rw ⋅ cos(θ − θw)
4π
(4.66)
La composante tangentielle de l'induction est obtenue en dérivant (4.66) et l'excitation s'en
déduit en divisant l'induction par µ 0 puisque le matériau est considéré maintenant comme non
magnétique (4.67)
Hwθ (r , θ ) =
2(r − rw ⋅ cos(θ − θw))
∂Aw 1
I ⋅ µr ⋅ 2
=
4π
∂r
r + rw 2 − 2 ⋅ r ⋅ rw ⋅ cos(θ − θw)
(4.67)
Des densités de courants sont créées sur la surface du cylindre en divisant cette dernière en
N éléments (4.68).
θi =
2π
i
N
(4.68)
Pour déterminer la matrice U dans cette configuration, on écrit l'expression de l'excitation
tangentielle créée sur la surface du cylindre par un élément i sur un élément j (4.69).
Hsθ i , j =
(
(
))
2 R − R ⋅ cos θ i − θ j
1
2πR
1
Ki
⋅ 2
=
Ki
2
4π
N R + R − 2 ⋅ R ⋅ R ⋅ cos θ i − θ j
2N
(
)
(4.69)
La matrice U se déduit aisément de (4.69) et finalement la matrice V prend la forme
(4.71).
U i, j =
1
2N
Vi , j = −
(4.70)
1 µr +1
δ i, j − U i, j
2 µr −1
(4.71)
Il ne reste plus qu'à inverser V pour déduire la valeur des courants de surface K i (4.65).
166
0
Le profil des courants sur la surface est présenté sur la
200
Figure 4"38. Ce dernier a été tracé avec un cylindre de
400
rayon R = 1 cm et de perméabilité µ r = 10 et un fil
600
positionné en rw = 0.75 R , θw = 60° et I = 1 A . Le
Ki
champ magnétique, quant à lui, est présenté sur la
800
1000
0
30
60
90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
θ i⋅
Figure 4"39. L'effet du fil seul, des courants de surface
180
π
seuls et la combinaison des deux effets peuvent être
F gure 4*38 : Courant de surface
visualisés sur ces trois figures.
Le champ obtenu finalement correspond bien à celui créé par un fil dans un cylindre
magnétique. Les courants de surface calculés permettent donc d'éliminer le matériau magnétique
qui posait problème lors de l'application de la méthode PEEC traditionnelle.
a
b
c
Figure 4*39 : Cartographie du champ magnétique
a : Fil seul | b : Courants de surface seuls | c : Fil et courants de surface
Cette première étape valide le principe de calcul des courants de surface dans le cas d'un
cylindre magnétique. Ce cas admet une solution analytique exacte qui coïncide rigoureusement
avec nos résultats. Afin d'étendre cette méthode à une fenêtre de transformateur, plusieurs étapes
devront être franchies successivement (Figure 4"40). En premier, le fil sera placé dans un barreau
de ferrite rectangulaire. Ce dispositif est très poche du cylindre magnétique que nous venons
d'étudier, la différence venant de la forme rectangulaire et donc de l'expression du champ
tangentiel. Lorsque cette première étude sera validée, on pourra aborder celle d'un barreau de
ferrite avec un trou à l'intérieur. Cette deuxième étape permettra, avec des densités de courant sur
les deux surfaces du matériau magnétique, de se rapprocher de la géométrie d'une fenêtre de
transformateur. Enfin, la troisième étape consistera à étudier la mutuelle existant entre deux fils
fins à l'intérieur de ce type de fenêtre.
167
1ère étape
2ème étape
3ème étape
M
M
a
b
Figure 4*40 : Extension progressive de la méthode à une fenêtre de transformateur
a : Dispositif réel | b : Dispositif équivalent
Lorsque l'expression de cette mutuelle sera connue, tous les éléments nécessaires à
l'application de la méthode 9PEEC seront disponibles pour effectuer des calculs. Les
conducteurs rectangulaires, présents dans les fenêtres de transformateur planar, seront divisés
(Figure 4"35) et les éléments du circuit équivalent liant tous les fils élémentaires seront calculés. Il
restera alors à connecter en parallèle tous les fils élémentaires d'un même conducteur.
IV.4.e. Importance de la mise en parallèle
Pour résoudre les équations de circuit liant les diverses impédances aux courants dans les
conducteurs, une mise en parallèle des conducteurs élémentaires est nécessaire. Les conducteurs
élémentaires utilisés dans la méthode PEEC sont très fins. Pour étudier l’incidence de la mise en
parallèle de deux fils très fins sur les pertes, nous avons étudié et caractérisé [THIOLIERE"06],
un transformateur à trois enroulements, constitué de trois brins élémentaires de fil de Litz : un
brin pour le primaire et un pour chaque secondaire. Nous l’avons réalisé sur un noyau ETD39 en
ferrite 3C90. Chaque enroulement comporte 10 spires. Ce nombre est suffisamment petit pour
que les capacités inter"spires soient négligeables et assez grand pour que les inductances soient
facilement mesurables. Puisque les fils étudiés sont suffisamment fins pour éviter les courants
induits, le schéma équivalent de ce transformateur est celui de la Figure 11 (chapitre 1) auquel il
faut ajouter les résistances des différents enroulements, ainsi qu'une résistance de pertes fer. Si
168
l'on relie en parallèle les deux enroulements secondaires de ce transformateur, un nouveau
schéma équivalent est obtenu en remplaçant les coupleurs η 23 et η13 par des coupleurs donnant
la moyenne ( η1 ) et la demi différence ( η 2 ) des deux tensions propres à chaque brin (Figure 4"41).
I3
η2
l2
R3
V3
Rm
R2
lm
IS
η12
η2
Avec :
η2 =
η1 =
(η 23 − η13 )
2
(η 23 + η13 )
l1
R1
η1
2
F gure 4*41 : Schéma équivalent d'un transformateur à trois enroulements en brins élémentaires de Litz
dont les deux secondaires sont en parallèle
Ce schéma peut encore être modifié pour faire apparaître le phénomène engendré par la
mise en parallèle de conducteurs. En plaçant les résistances secondaires et l'inductance l1 du coté
des nouveaux coupleurs, un quadripôle magnétique apparaît. Les deux fils étant fortement
couplés les inductances de fuite sont très faible et leur influence relative par rapport aux
résistances n'est visible qu'au"delà de 200 kHz . Le schéma obtenu en négligeant leur influence est
présenté sur la Figure 4"42. Ce schéma permet de voir qu'une résistance
R1 + R2
(η 23 − η13 )2
(avec
R1 = R2 ) est ramené en parallèle sur l'impédance magnétisante. Les pertes parallèles vont donc
s'en trouver augmentées car un courant circulera dans R1 et R2 même si le secondaire est à vide.
C'est la première conséquence de cette mise en parallèle.
169
I3
η2
R3
V3
R2
Rm
lm
lS
η2
Avec :
η2 =
η1 =
(η 23 − η13 )
2
(η 23 + η13 )
η1
R1
2
F gure 4*42 : Schéma équivalent simplifié d'un transformateur à trois enroulements en brins élémentaires
de Litz dont les deux secondaires sont en parallèle
Pour évaluer complètement l'impact de cette mise en parallèle, il faut procéder à
l'identification du circuit de la Figure 4"41 comme on le ferait pour un transformateur à deux
enroulements. En complétant cette étude par la connaissance statistique des différences de
potentiel existant entre chaque brin de fil de Litz, on est en mesure d'évaluer les pertes dues à
cette mise en parallèle de conducteurs élémentaires.
Nous reviendrons, dans le chapitre 5, sur ces pertes supplémentaires qui apparaissent lors
de la mise en parallèle de conducteurs, afin de les quantifier en prenant l'exemple de
transformateurs industriels.
IV.4.f. Perspectives ouverte par la méthode 9PEEC
Contrairement aux autres méthodes décrites dans ce chapitre, la méthode 9PEEC ne
nécessite aucune hypothèse sur la forme du champ autour des conducteurs pour être appliquée.
L'introduction des matériaux magnétiques dans la méthode PEEC connue ouvre des perspectives
très intéressantes pour le dimensionnement non seulement des transformateurs, mais encore de
tous les dispositifs de connectiques dans des armoires de distribution et, plus généralement, de
tous les dispositifs électromagnétiques ou l'énergie est localisée dans les conducteurs proches de
matériaux magnétiques.
L'exemple d'application de la méthode 9PEEC que nous avons traité (cylindre
magnétique), pourra être prolongé en compliquant progressivement les structures étudiées
(Figure 4"40). Lorsque l'on sera en mesure d'évaluer la mutuelle inductance entre deux fils fins
170
situés dans un circuit magnétique rectangulaire, la solution au problème posé par la détermination
des courants induits dans un transformateur sera alors très proche.
V. ON LUSION
La prévision des pertes dans un composant est essentielle lorsqu'on cherche à le
dimensionner. Au sein des dispositifs d'électronique de puissance et plus particulièrement dans
les composants bobinés, l'élévation continuelle des fréquences de découpage entraîne un
accroissement des pertes dues aux courants induits dans les conducteurs. Cette augmentation se
traduit, sur le circuit équivalent, par une augmentation des résistances séries et une diminution
des inductances de fuites.
Nous nous sommes intéressés, dans ce chapitre, aux différentes sortes de pertes cuivre qui
apparaissent en haute fréquence. Nous avons ainsi présenté quelques méthodes permettant de
prévoir la variation fréquentielle qui en résulte. Ces méthodes sont à repartir dans deux
catégories. La première regroupe les méthodes qui se basent sur des hypothèses concernant la
forme des champs autour des conducteurs. Elle englobe la méthode de Dowell, permettant de
déterminer la variation fréquentielle des résistances et inductances d'un transformateur, la
méthode des plaques qui permet d'associer à chaque fréquence un circuit équivalent de
transformateur sous forme quadripolaire. La méthode de la perméabilité complexe permet aussi
de déterminer les pertes par effet de proximité dans des conducteurs, mais cette dernière est
basée sur des simulations électromagnétiques et ne trouve pas de solution analytique valide.
La deuxième catégorie comporte en fait une seule méthode. Il s'agit de la méthode PEEC
qui, depuis peu, permet de tenir compte des matériaux magnétiques. Cette méthode, appelée
9PEEC, ouvre des perspectives prometteuses pour l'étude de dispositifs électromagnétiques
complexes. Lorsque cette technique sera applicable directement aux fenêtres rectangulaires des
transformateurs, les courants induits et leurs conséquences, à savoir l'augmentation des pertes et
la variation fréquentielle des composants seront accessibles analytiquement.
171
172
5 : Développements
technologiques pour la réduction des pertes
cuivre : des transformateurs planars aux
conducteurs méplats…
1
1
. INTRODUCTION
! "
$
%
#
&
%
'
%
"%
(
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+
#
#
,
'
.
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0
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1
%
%
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2
-
34(567 8
'
'2
2
'
*
'
39:;<*(;=.67>6 8
?
2
"
'
.
%
(
"
@
2
'
1
A :
'
%
. PERTES SUPPLEMENTAIRES LORS DE LA MISE EN
PARALLELE DE CONDUCTEURS
II.1. Influence des courants dans un transformateur planar
:
1
@B
6 A
59 m
m
Figure 5,1 : Transformateur planar 48 couches
C
2
$D
@
%
"
'
$- 7A 3E!F8 -'
%
24 mm
'
14 mm
70 µm
5
%
"
275 Aeff
'
(
H
R = 0.12 Ω
'
% @B
125 kHz
:
B
6G
"
G!
1er secondaire
(chargé)
2ème secondaire
(à vide)
'
B
6
!
275 Aeff
%
Figure 5,2 : Enroulements secondaires
1 >
'
6GA
2ème secondaire
(à vide)
1er secondaire
(chargé)
80
Module Courant (Aeff)
60
40
20
0
0
5
10
15
Numéro de c ouc he
20
25
Courant efficace dans les différentes couches secondaires
Figure 5,3 : Module du courant dans les enroulements secondaires
"
%
'
'
"%
A
#
@
"
'
40 Aeff
(
'
"
-
#
@
6
IC JA
!
#
'
G
'
"
-
II.2. Prise en compte de ces courants de circulation
#
(
'
%
#
#
.
'
@B
6 A
"
%
"
'
!
2
GG
@
K
"%
1
A
55 G
9
'
L
"
'
'
'
0
@B
10 couches d'air
11 cellules
a
Hts
6 A
a
a
a
b
Hte
b
I1
I2
Ich
Figure 5,4 : Modélisation de l'enroulement secondaire chargé
55
'
:
:" 2
G!
"
"
@B
6 A
Ht s
Ht e
Ht i
Axisymétrique
3 .10
4
2 .10
4
2D plan
2.5 .10
4
2 .10
4
1 .10
Champ tangentiel (A/m)
Champ tangentiel (A/m)
4
1.5 .10
4
0
1 .10
4
5000
0
5000
1 .10
2 .10
4
4
0
1
2
3
4
5
chemin (mm)
6
7
8
9
10
1 .10
4
1.5 .10
4
0
1
H sur la face supérieure
H entre les enroulements
H sur la face inférieure
2
3
4
5
chemin (mm)
6
7
8
9
10
H sur la face supérieure
H entre les enroulements
H sur la face inférieure
Figure 5,5 : Champ tangentiel sur les faces des enroulements secondaires (en phase)
" 2
2
G!
2
1 C
'
'
(
'
/
(
/
@
A
@ GA
Ht s = 22100 A / m
Ht e = −13500 A / m
Ht i = −12400 A / m
(5.1)
Ht s = −480 A / m
Ht e = 440 A / m
Ht i = 360 A / m
(5.2)
$
GG
@B
6 A
'
B
6>
85
Module du courant (A)
74.38
63.75
53.13
42.5
31.88
21.25
10.63
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Couche
Simulation Flux2D
Modélisation par plaques (uniquement couches secondaires)
Moyenne dans l'enroulement modélisé
Figure 5,6 : Répartition du courant dans les couches secondaires
(Modélisation des couches secondaires uniquement)
'
"
'
(
'
$
#
275 A
'
261 A
-
J
"
%
*
55 G
-'
-'
9
'
'
L
M
I
@
%
'
A
%
1 I
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B
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'
275 A
"
85
Module du courant (A)
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53.13
42.5
31.88
21.25
10.63
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Couche
Simulation Flux2D
Modélisation complète par plaques du transformateur
Figure 5,7 : Répartition du courant dans les couches secondaires (Transformateur complet)
'
"
#
'
(
%
*
'2
2
%
#
@
"
%
'
A
II.3. Réduction des courants de circulation
(
'
"
'
/
' #
'
'
3N*(D*:.67G8
%
'
"
'
3$;5(E=67 8
%
,
'
$
'
1C7
'
. BLINDAGE PAR DES CONDUCTEURS ECRANS DANS
UN COMPOSANT BOBINE
%
%
3$:NE=.8
3$ :.:;9:<.(E5-L8
I J
(
'
3EO: (L8
ICJ -
'
%
2
%
III.1. Effets de blindage dans un transformateur planar
'
G
B "G!
%
/
"
(
%
"
#
@B
/
6CA !
"
B
'
3 (=.:P5-5*L67 8 -
6C
'
!
2.85 A
%
%
"
250 kHz
'
Entrefers
Secondaire
Auxiliaire
Primaire
Figure 5,8 : Densité de courant et lignes de flux dans la fenêtre du transformateur
'
$
10.25 W
5.95 W
0 .5 W
"
1C1
3.79 W
:
B "G!
@B
%
6IA L
Figure 5,9 : Perméabilité du 3C90
L
#
"
11.5W
(
11W
'
&
?
"
"
%
-
'
'
-
%
.
"
III.2. Réduction des pertes par déplacement de conducteurs
$
"
2
39=;( 67 8
'
Conducteurs secondaires
Conducteurs primaires
Conducteurs auxiliaires
Figure 5,10 : Groupement des conducteurs
1CG
@B
6 7A
E
@B
6 A $
%
"
! "%
'
"
"
#
(
%
"
"
'
E
6
Entrefer
extérieur
Entrefer
jambe centrale
Fenêtre du
transformateur
Configuration initiale
Première modification
Deuxième modification
Troisième modification
Figure 5,11 : Déplacements testés des conducteurs dans la fenêtre
Disposition initiale
1ère modification
2ème modification
3ème modification
Puissance
fournie par
l'alimentation
Pertes dans le
primaire
Pertes dans le
secondaire
Pertes dans
l'auxiliaire
10.25 W
10.78 W
9.49 W
9.36 W
3.79 W
5.49 W
2.33 W
2.58 W
5.95 W
4.59 W
6.51 W
5.86 W
0.02 W
0.17 W
0.13 W
0.39 W
Tableau 5,1 : Pertes parallèles dans le transformateur pour différents agencements de conducteurs
(
%
1C
!
%
%
%
%
"
%
@B
6 A
I >J
!
"
5
/
7J
!
'
@E
6 6
6GA
6
@B
6 GA
uissance
fournie par
l'alimentation
Pertes dans le
primaire
Pertes dans le
secondaire
Pertes dans
l'auxiliaire
4.02 W
4.12 W
1.92 W
1.96 W
2.01 W
2.07 W
0.09 W
0.09 W
Cas initial
modification
3ème
Tableau 5,2 : Pertes séries dans le transformateur pour différents agencements de conducteurs
a
b
Figure 5,12 : Densité de courant en court circuit
a : Configuration initiale | b : Troisième modification
-
G J 5
'
#
(
'
J
9#
L
(
2
"
#
"
%
"
"
3-O(46I 8 :
?
1C
@B
6CA
.3. Réduction des pertes cuivres dans une inductance
:
"
6
#
.
-
?
#
@
Q 555 A 11W
B
6
E
6
'
!
"%
#
'
50 µm
10.25 W
'
"
.
@
%
A !
%
$
/
'
#
" ?
@
%
A -
"
#
%
!
%
50 µm
2
@
%
%
>%
A
300 µm
@>%
A -
300 µm
G>J
Pertes dans les spires de
l'inductance
Pertes dans les écrans
Pertes cuivre totales
Cas 1
Cas 2
Cas 3
Cas 4
Cas 5
50 >m
Cas 5
300 >m
11 W
5.22 W
2.61 W
5.63 W
3.86 W
2.73 W
11 W
5.03 W
10.25 W
8.28 W
9.89 W
4 .8 W
10.43 W
6.86 W
10.72 W
5.42 W
8.15 W
Tableau 5,3 : Pertes cuivre dans l'inductance
1C
"
1
2
3
4
5
a
b
Figure 5,13 : Effets d'écrans conducteurs placés dans la fenêtre d'une inductance
a : Lignes de flux | b : Densité de courant
E
+
%
"
(
"
'
#
%
"
'
!
$
(
"
'
'
'
R
1C>
'%
V. GUIDAGE DU FLUX DANS LES TRANSFORMATEURS
L
"
"
"
" E
2
2
"
39=.E:;;=L67 8
ρ = 1.72 ⋅10 −8 Ω ⋅ m A
@
-I7 µ r = 2300
@B
"
"
A
" -
'
"
#
"
"
2 %
"
"%
"
#
:
'
@
#
A
PN =
∑ Pertes
(5.3)
PDC
IV.1. Principe de la méthode
@B
"
6 A
1 Ae ff
50 µm
160 µm
Plan de symétrie :
Chemin de test
500 µm
Figure 5,14 : Conducteur rectangulaires parcourus par des courants en sens inverse : Système de référence
@ f = 1 MHz A
!
%
(
1C
PN = 2.27
'
1
'
@B
6 A
"
"
?
?
Essai sans matériau
A/(mm carre)
70
60
50
40
30
20
10
mm
0
0
0,5
1
Figure 5,15 : Densité de courant dans les conducteurs méplat
300 µm
"
"
@B
6 >A
20 µm
@B
6 A
Figure 5,16 : Ecrans de cuivre
J @ PN = 1.93
A
2.27
Figure 5,17 : Comparaison des densités de courant dans les conducteurs méplat avec et sans écrans
conducteurs
" @B
6 CA
1CC
%
Air
Cuivre
Conducteurs
Conducteurs
a
b
Figure 5,18 : Lignes de flux
a : Sans écrans | b : Avec écrans de cuivre
"
%
S
'
%
IV.2. Deux conducteurs méplats parcourus par des courants de
sens inverses
@B
6 >A
"
-
#
@B
"
"
6 I A
$
!
>J @ PN = 2.2 A
6 >A
" @B
@B
@B
6 I A
&
%
C J @ PN = 1.84 A
6 I A !
-
%
'
'
!
2
80 µm
100 µm
160 µm
100 µm
200 µm
120 µm
100 µm
a
b
Figure 5,19 : Autres configurations avec des écrans de cuivre
a : Ecrans sur les cotés | b : Ecran entourant les conducteurs
1CI
-
,
"
'
'
@B
6G7A
#
@ PN = 1.87 A
J
#
300 µm
100 µm
50 µm
50 µm
50 µm
Figure 5,20 : Capuchons de cuivre
*
#
'
" :
?
"
30 µm
L
"
400 µm
@B
#
" @B
6GGA
Figure 5,21 : Matériau magnétique entre les conducteurs
"
"
'
"
a
b
Figure 5,22 : Lignes de flux avec drain magnétique
a : Vue générale | b : Flux dans le barreau
1I7
6G A
-
"
@B
6G A
"
PN = 1.2
J
densite de courant = f(Ox)
Densité de courant (A/mm²)
80
60
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
Ox (mm)
0.8
1
1.2
Avec ferrite
Sans ferrite
Figure 5,23 : Comparaison des densités de courant dans les conducteurs méplat avec et sans drain
magnétique (ferrite)
-
"
%
5
"
"
(
2 %
50 Hz
"
)
kW
(
*
@B
6G7A
'
@B
6G A
7 J
'
@B
6G A 5
"
"
%
"
1I1
Figure 5,24 : Lignes de flux lorsque deux solutions sont combinées
IV.3. Deux conducteurs méplats dans lesquels les courants
circulent dans le même sens.
.
"
#
.
&
#
!
"
=
"
(
"
@ µ r = 1A =
'
(
"
@B
' ;
)
"
6G A
" @B
@
6G>A
G JA
100 µm
400 µm
20 µm
Figure 5,25 : Solution avec deux drains de ferrite
Figure 5,26 : Lignes de flux avec deux drains de
autour des conducteurs méplats
ferrite
1IG
V.4. Conducteur méplat seul
"
@B
"
#
6G A
@B
6G A
"
2
@B
#
6GCA
a
b
Figure 5,27 : Lignes de flux autour des conducteurs méplats
a : Deux conducteurs méplats | b : conducteur seul
100 µm
>J
PN = 1.17
'
?
400 µm
:
%
20 µm
Figure 5,28 : Solution avec deux drains
de ferrite autour d'un conducteur méplat
-
"
#
E
"
5
'
1
:
#
6
'
=
"
2
'
"
5
"
B
'
'
0
'
"
1I
%
V. MINIMISATION DES PERTES DANS UN CONDUCTEUR
MEPLAT
2
3<=..(E67 8
-
%
(
"
2
'
*
2
2
2
1
-
'
T
$
'
'
'
'
"
39:;<*(;=.67>6G8
%
'
2
'
%
V.1. Description du dispositif étudié et but recherché
.
S
/
'
'
I
6GIA
$
y
1 mm
@B
1A
2.15 mW / m
:
x
&
8 mm
: 100 kHz
1 Aeff
Figure 5,29 : Conducteur méplat 8x1
mm²
1I
6.9 mW / m
D
@B
6 7A
%
a
b
Figure 5,30 : Densité de courant sur la section du conducteur méplat
a : Représentée en trois dimensions | b : A l'échelle pour le méplat 8x1 mm²
.
.
'
!
B
@ µ r = 2300 A
B
GGJ
6GI
"
6
5.34 mW / m
3 mm
1 mm
6 mm
Ferrite sans perte
Figure 5,31 : Configuration pour la réduction des pertes par effet de peau
V.2. Identification et recréation des champs
(
"
'
"
$
%
'
"
3 :P(*P(6I 8 3F(;:!(-6I 8
:
#
" P5
1I
'
:
'
B
6
'
39:;<*(;=.67>6 8
!
S
%
'
'
"
@B
L
6 A
"
R
'
@
A
Bϕtot = Bϕint (R, ϕ ) + Bϕext (R, ϕ )
=
µ0 α0
+
2π R
$
%
∞
∑
'
"
ρeA
@B
Cρi
B
(5.4)
 µ0 n  α n

µ nβ


 n − R n a n  cos(nϕ ) + 0  nn − R n bn  sin (nϕ )

2π R  R
2π R  R



n =1 
Sρi
@ρi
2
6 GA
C ρe
Sρe
ϕ
ρe
ρi
Figure 5,32 : Décomposition en série de Fourier
"
@
@
Cρi n =
A

µ0 n  α n

− ρi n a n 
n


2π ρi  ρi

Sρi n =

µ n  αn
n


Cρe n = 0
−
ρ
e
a
n

2π ρe  ρe n

an
"
bn

µ0 n  βn

− ρi n b n 
n


2π ρi  ρi

(5.5)

µ n  βn
n


Sρe n = 0
−
ρ
e
b
n

2π ρe  ρe n

αn
2 %
βn
A : %
an α n
@ >A
Cρ
Sρ
an = −
n +1
n +1
2π Cρe n ⋅ ρe − Cρi n ⋅ ρi
µ0n
ρe 2 n − ρi 2 n
n +1
2n
n +1
2n
2π Cρe n ⋅ ρe ⋅ ρi − Cρi n ⋅ ρi ⋅ ρe
αn = −
µ0n
ρe 2 n − ρi 2 n
1I>
(5.6)
B
6 G
'
C7U
B
!
ϕ
2
α 2k
L
0
a 2k
@ α 2k A
'
$
'
@ a 2k A
'
" 2
'
@B
6 A
Den
En
s
sité
t Ic
uran se
o
c
ha
de
e
tur
dra
qua
En
p
y
ϕ
2 mm
x
15 mm
Figure 5,33 : Densité de courant pour recréer artificiellement le champ réfléchi
:
2
6
@
C (r ) @ CA
A
'
a 2k
r
∞


I c = − I ⋅ 1 +
C (r ) ⋅ [Re(a 2 k ) + i ⋅ Im(a 2 k )]⋅ cos(2kϕ )


 k =1

∑
C (r ) =
:
1
2
k ⋅ r k −1 ⋅
2π
e
e
/
(5.7)
2
(5.8)
'
"
@
A
B
6 A
6
'
2
%
a2
"
'
%
'
1I
ρi
ρe
a4
a6
@E
80
60
60
Champ Tangentiel (A/m)
Champ Tangentiel (A/m)
70
50
20
40
30
40
0
50
100
150
200
Angle (Degré)
250
300
0
350
0
avec Ferrite
avec densité de courant
50
100
150
200
Angle (Degré)
250
300
350
avec Ferrite
avec densité de courant
a
b
Figure 5,34 : Comparaison des champs tangentiels en phase obtenus avec le ferrite et les densités de
courant cylindriques
a : Rayon intérieur ρi | b : Rayon extérieur ρe
Coefficients réels Re(an)
Coefficients imaginaires
Im(an)
1.235 ⋅10 5
−807
1.084 ⋅10
6
− 1.198 ⋅10 4
4.988 ⋅10 6
− 1.068 ⋅10 5
n=2
n=4
n=6
Tableau 5,4 : Coefficients identifiés
@B
6 A
%
(
'
'
"
5.37 mW / m
4
1
2
0.5
Champ Tangentiel (A/m)
Champ Tangentiel (A/m)
%
0
2
4
6
8
0
0.5
1
1.5
0
50
100
150
200
Angle (Degré)
250
300
2
350
0
avec Ferrite
avec densité de courant
50
100
150
200
Angle (Degré)
250
300
350
avec Ferrite
avec densité de courant
a
b
Figure 5,35 : Comparaison des champs tangentiels en quadrature obtenus avec le ferrite et les densités de
courant cylindriques
a : Rayon intérieur ρi | b : Rayon extérieur ρe
1IC
V.3. Principe de l'optimisation
-
9
(
'
$'
<
%
:' E
3$O*.<67>6G8
'
'
'
@
A
$
B "V
=
S
E
"A 3-=* =9T67G8
'
"
<=E @<
"
3<5
'
=.6IC8 *
%
3-=LE:67 8 *
'
Re(a 2 k )
%
'
$
$
'
Im(a 2 k )
'
%
'
@E
@B
6 AW
6 A
V.4. Résultats de l'optimisation
.
%
Re(a 2 )
Re(a 4 )
%
Im(a 2 )
Im(a 4 )
%
!
"
-
"
%
%
P
=
-
'
"
Im(a 2 )
; @ GA
-
G7
77
1II
5 @ GA
"
'
Re(a 2 )
G7
'
5.37 mW / m
@ IA
Re(a 2 ) = 334000
@ 5.37 mW / m A
Im(a 2 ) = 0
(5.9)
'
%
'
[email protected]
P
=
:
; @ A
" P5 B
A
5 @ A
@ IA
Re(a 4 )
@
Im(a 4 )
77
7A
Re(a 4 ) = −426
P
Im(a 2 ) = −43
=
(5.10)
; @ GA 5 @ GA ; @ A
"
5 @ A
,
?
-'
GIJ
4.87 mW / m
" .
5 4 = 625
%
%
4.86 mW / m
Re(a 2 ) = 330970
(5.11)
Im(a 4 ) = 854
E
GIJ
6
Nombre de coefficients optimisés
@ Re(a 2 )
Im(a 2 )
Im(a 2 )
'
Nombre de simulation
éléments finis
Pertes
400
5.36 mW / m
400
4.87 mW / m
625
4.86 mW / m
Im(a 4 )
4 / Re(a 2 ) Im(a 2 ) Re(a 4 )
6
,
'
2 / Re(a 2 )
2 / Re(a 4 )
A
Im(a 2 ) = 4271
Re(a 4 ) = −854
P
@
" A
Im(a 4 )
Tableau 5,5 : Comparaison des différentes optimisations
G77
'
6 >A
@B
@B
6 7A
'
%
a
b
Figure 5,36 : Densité de courant sur la surface du conducteur méplat (cas optimisé)
a : Représentée en trois dimensions | b : A l'échelle pour le méplat 8x1 mm²
2
'
%
'
@B
G
'
'
B
:
6 A
" P5
Figure 5,37 : Champ extérieur minimisant les pertes dans le conducteur méplat
'
'
@B
#
G7
6 CA '
%
"
Figure 5,38 : Champ total vu par le méplat
!
'
<=E
'
%
VI. CONCLUSION
.
'
'%
%
E
#
?
!
'
2
"
.
"
%
%
#
1
2
(
'
G7G
'
%
203
204
Les transformateurs planars sont de plus en plus utilisés dans les structures d'électronique
de puissance car ils présentent des intérêts majeurs, au niveau de l'encombrement, du rendement
et de la méthode industrielle de fabrication.
L'objectif de cette thèse était de fournir le schéma équivalent d'un transformateur planar
ainsi que les formules analytiques permettant d'en calculer les composants.
Nous avons donc orienté les études analytiques vers les composants planars mais certains
aspects de notre travail sont applicables à des transformateurs de tous types. Nous avons ainsi
présenté une topologie de circuit équivalent permettant la retranscription exacte de tous les
couplages internes d'un composant magnétique (transformateur, inductance). Un transformateur
triphasé (6 enroulements) a ainsi été modélisé de même qu'une inductance triphasée. En outre,
d'importantes inégalités liant les éléments de la matrice inductance ont été dégagées.
Toujours de manière générale, nous avons travaillé à la caractérisation expérimentale des
transformateurs en partant de mesures d'impédances. Les schémas inductifs présentés dans le
premier chapitre ont trouvé leur justification puisque tous les éléments du schéma équivalent d'un
transformateur à n enroulements peuvent se déduire d'une série de mesures d'impédances.
Suivant la fréquence et leur grandeur, ces dernières peuvent s'avérer problématique. De
nombreuses précautions utiles ont été présentées dans le but d'obtenir des mesures précises et
significatives. Nous avons proposé une méthode de caractérisation, sans limitations du nombre
d'enroulements, permettant d'accéder aux valeurs de tous les composants et nous avons exposé
comment tenir compte des imperfections de mesures dues aux connexions du composant au
pont de mesure ou à des court circuits non idéaux. Les paramètres du circuit équivalent final sont
obtenus en fonction de la fréquence, ce qui est très pratique pour observer puis représenter, par
exemple, les effets des courants induits. Nous avons évalué l'intérêt d'un tel modèle par rapport
aux modèles habituels, ainsi que ses limites, en comparant des formes d'ondes relevées sur une
maquette de convertisseur.
Nous nous sommes ensuite intéressé à la détermination analytique des éléments du circuit
équivalent. Dans un premier temps, nous avons focalisé notre attention sur les composants de ce
que nous appelons "transformateur de fuite", qui comprend les inductances de fuites de chaque
enroulement et les couplages qui les relient. En se basant sur la formulation PEEC utilisée pour
des conducteurs rectangulaire, nous avons mis au point une méthode de calcul permettant de
déterminer tous les paramètres statiques du transformateur de fuite, c'est2à2dire ceux que l'on
observe en l'absence de courants induits dans les conducteurs. Cette étude a donné lieu à la
création d'une feuille de calcul permettant aux concepteurs de faire des calculs facilement et
rapidement.
205
Nous avons ensuite réfléchi à la façon d'obtenir ces mêmes valeurs lorsque les courants
induits apparaissent dans les conducteurs. En effet, l'élévation de la fréquence du courant induit
une modification de sa répartition sur la section du conducteur et donc une modification de sa
résistance et de son inductance. Face à la difficulté de formulation des courants induits dans les
conducteurs méplats utilisés en technologie planar, nous avons présenté quelques méthodes,
basées sur des approximations, menant aux paramètres cherchés pour des conducteurs
rectangulaires. La méthode des circuits équivalents de plaques s'avère très pratique pour étudier
les courants de circulation dans des couches en parallèles. La dernière méthode présentée, appelée
5PEEC ouvre des perspectives très en vue de s'affranchir de ces problèmes. Une amorce de
résolution analytique de l'équation de diffusion dans un conducteur méplat a également été
présentée.
Dans la dernière partie nous nous sommes intéressé aux pertes dans les transformateurs, et
à celles du conducteur méplat isolé. Nous avons cherché, par diverses approches, à réduire les
pertes des composants planar en utilisant des effets de blindage. De même pour les conducteurs
rectangulaires, nous avons tenté de minimiser leurs pertes en modifiant la répartition des courants
due à l'effet de peau, en approchant des matériaux conducteurs, des matériaux magnétiques et
même en appliquant un champ extérieur.
Le travail développé dans ce mémoire, et, plus généralement, la connaissance des
transformateurs (travaux commencés il y a plus de 15 ans au laboratoire) ne s'achèvent pas avec
cette thèse. Par rapport au sujet initial, nous avons résolu de nombreux problèmes, mais d'autres
ne sont que dégrossis. Nous espérons que ces investigations inachevées aideront à la finalisation
de ce projet industriel. La topologie des circuits équivalents, ainsi que la méthode de
caractérisation sont maintenant matures et les prochains travaux vont être axés vers le calcul
analytique car les outils d'optimisation actuels nécessitent le recours à de telles formulations.
A l'heure actuelle, le plus gros problème concerne les aspects de courants induits dans les
conducteurs rectangulaires. Deux approches prometteuses ont été introduites dans ce mémoire, à
savoir la possibilité d'utiliser les doubles polynômes de Legendre pour décomposer une densité
de courant, ainsi que la méthode 5PEEC. Cette dernière est, sans aucun doute, la méthode qui
permettra d'appréhender ce problème dans les mois/années à venir. La réduction des pertes dans
les composants et, de façon plus générale, dans les conducteurs rectangulaires, est liée à cette
compréhension des courants induits. Les pistes que nous avons introduites en vue de la
diminution des pertes demandent à être approfondie. Les pertes réduites dans un conducteur
rectangulaire, par différents moyens, n'ont pas encore suscité une application pratique. Une
206
forme particulière du champ devrait permettre d'atteindre le minimum recherché. Il pourrait être
intéressant ensuite d'essayer de recréer ce champ à l'aide de composant discrets conducteurs
et/ou magnétiques.
L'aspect capacitif n'a pas été traité dans cette thèse au2delà de l'identification expérimentale
d'un transformateur. Des formules analytiques devront être élaborées pour évaluer les capacités
présentes dans la partie électrostatique du circuit équivalent.
Le tout donnera lieu à la création d'un ou de plusieurs outils de calcul permettant au
partenaire industriel de concevoir ses transformateurs de façon plus simple, sans avoir à recourir
à la fabrication de nombreux prototypes.
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"#
1
 µ 0 I 1 − 2πh k
P(k ) + Q(k )
=
 4π ⋅ k e
µ
r


 µ 0 I ⋅ e −2πh k ⋅ 1 = P(k ) − Q(k )
 4π
k

#
P(k ) =
#
Q(k ) =
−2πh k
*,,+
− 2πh k
µ0I µr −1 e
4π µ r + 1 k
+ +
P(k )
"
*,(+
µ 0 I 2µ r e
4π µ r + 1 k
.
Q(k ) #
@
%
Brx ( x, y ) = −
µ0I µr −1
2 µr +1
k
∫ [e
+∞
%
j 2πkx − 2π k ( y + h )
e
−∞
+#
]⋅ dk
+∞
0

µ0I µr −1 
 e 2π (( y + h )+ jx )k ⋅ dk + e − 2π (( y + h )− jx )k ⋅ dk 
2 µr +1 

0
−∞

+∞
0
 e −2π (( y + h )− jx )k  
µ I µ r − 1   e 2π (( y + h )+ jx )k 
=− 0
+



 
− 2π (( y + h ) − jx )  
2 µ r + 1   2π (( y + h ) + jx ) 


−∞
0 


µ I µr −1 
1
1
=− 0
+


4π µ r + 1  ( y + h ) + jx ( y + h ) − jx 
∫[
=−
#
!
#
*,4+
%
]
∫[
]
*
Brx (x, y ) = −
µ0 I µr −1
y+h
2π µ r + 1 x 2 + ( y + h )2
*,.+
+
y
/
#
*,-+
Bry (x, y ) =
;
#.
µ0 I µr −1
x
2
2π µ r + 1 x + ( y + h )2
5
%
*
*,/+
#
Bt x ( x, y ) = −
#
Bt y (x, y ) =
5
&
µ 0 I 2µ r
y−h
2
2π µ r + 1 x + ( y − h )2
*,0+
µ 0 I 2µ r
x
2π µ r + 1 x 2 + ( y − h )2
#%
*,1+
'
!
%
%
*
y
Bi
I
Air
(0, h)
I#
Bi x ( x, y ) = −
Bi y (x, y ) =
Bi
h
µ0I
y−h
⋅
2
2π x + ( y − h )2
x
µ0I
x
⋅
2π x 2 + ( y − h )2
'
,
y
Br
Air
(0,−h )
I
Brx (x, y ) = −
Bry (x, y ) =
Br
µ r −1
#
µr +1
x
µ0 I µr −1
y+h
2
2π µ r + 1 x + ( y + h )2
h
µ0 I µr −1
x
2π µ r + 1 x 2 + ( y + h )2
µ r −1
I
µ r +1
'
4
-
7
y
2µ r
I
µ r +1
Bt
Air
2µ r
#
µr +1
h
Bt x ( x, y ) = −
µ 0 I 2µ r
y−h
2
2π µ r + 1 x + ( y − h )2
µ I
Bt y (x, y ) = 0
2µ r
x
2π µ r + 1 x 2 + ( y − h )2
x
µr
'
A
.
Bt
9
8
! !"
#$
"%& '
Le calcul qui suit vise à connaître le champ magnétique créé par un fil fin dans l'air, placé au
dessus d'un milieu magnétique de perméabilité µ r et d'épaisseur ep (Figure 1). Le courant
filiforme, de valeur I est dirigé suivant Oz . Il est situé en (0, h ) dans le repère Oxy . Les champs
sont donc plans et invariants suivant z .
y
I
Air
1
h
B1i
B1r
x
Surface S12
Milieu magnétique
B 2t
µr
2
Surface S23
Air
(
ep
B2r
B3t
3
) (
Dans ce dispositif, cinq inductions doivent être distinguées dans trois différents milieux :
•
L'induction incidente B1i qui correspond à celle émise par le fil dans le milieu '1'.
•
L'induction réfléchie B1r par le milieu magnétique '2' dans '1'.
•
L'induction B2t qui est transmise dans le milieu '2'.
•
Une nouvelle induction B2r qui est réfléchie par la 2ème face du ferrite.
•
Une dernière induction B3t qui est transmise dans le milieu '3'.
& $& #
)
# ((
!
* '
+
Nous allons reprendre la méthode utilisée dans l'annexe précédent. Les champs peuvent
s'expriment sous la forme générale suivante :
B x ( x, y ) =
.
B y ( x, y ) =
∫ [2π k P(k )e
+∞
−∞
+∞
i 2πkx 2π k y
∫ [− i2πkP(k )e
e
− 2π k Q (k )e i 2πkx e
i 2πkx 2π k y
e
−∞
9
− 2π k y
− i 2πkQ(k )e i 2πkx e
]⋅ dk
− 2π k y
]⋅ dk
,)-
.
Des conditions de continuité pour le champ tangentiel et l'induction normale doivent être
respectée sur les deux surfaces S12 ( y = 0 ) et S23 ( y = −ep ).
•
S12 ( y = 0 )
.
H 1ix (x,0) + H 1rx (x,0) = H 2tx ( x,0) + H 2 rx ( x,0)
,.-
.
B1iy ( x,0 ) + B1ry ( x,0) = B2ty (x,0) + B2 ry ( x,0 )
,/-
.
H 2tx (x,−ep ) + H 2 rx (x,−ep ) = H 3tx (x,−ep )
,0-
.
B2ty ( x,−ep ) + B2 ry ( x,−ep ) = B3ty ( x,−ep )
,1-
•
S23 ( y = −ep )
Pour les champs étant issus des surfaces S12 et S23, il est logique de postuler qu'ils diminuent
lorsqu'ils s'en éloignent. Cela revient à admettre que pour chacun d'entre eux l'une des fonctions
P ou Q est nulle.
Par rapport à la surface S12 :
Par rapport à la surface S23 :
B1r décroît quand y augmente → P12 (k ) = 0
B2 r décroît quand y augmente → P23 (k ) = 0
B2t décroît quand y diminue → Q12 (k ) = 0
B3t décroît quand y diminue → Q23 (k ) = 0
/
).
On peut exprimer les différents champs simplifiés sur la surface S12 suite au postulat
précédent:
Champ incident :
H 1ix (x,0) =
Champ réfléchi dans l'air :
H 1rx (x,0) = −
Champ transmis dans la ferrite :
Champ réfléchi dans la ferrite :
H 2tx (x,0) =
I
h
2π x 2 + h 2
+∞
1
µ0
∫ 2π k Q
12
(k )e i 2πkx dk
,3-
(k )e i 2πkx dk
,4-
−∞
+∞
1
µ0 µr
H 2 rx (x,0) = −
,2-
∫ 2π k P
12
−∞
1
µ0 µr
30
+∞
∫ 2π k Q
−∞
23
(k )e i 2πkx dk
,5-
La relation sur la surface S12 nous donne :
H 1ix (x,0) + H 1rx (x,0) = H 2tx (x,0) + H 2 rx (x,0)
I
h
1
−
2π x 2 + h 2 µ 0
+∞
∫
2π k Q12 (k )e i 2πkx dk =
−∞
1
µ0 µ r
+∞
∫
2π k P12 (k )e i 2πkx dk −
−∞
1
µ0 µr
+∞
∫
2π k Q23 (k )e i 2πkx dk
,)6-
−∞
De même, on peut exprimer les différentes inductions simplifiées sur la surface S12 suite au
postulat précédent:
µ0 I
x
2
2π x + h 2
Induction incidente :
B1iy ( x,0) =
Induction réfléchie dans l'air :
B1ry (x,0) = − i 2πkQ12 (k )e i 2πkx dk
,))-
+∞
∫
,).-
−∞
+∞
Induction transmise dans la ferrite :
B2ty (x,0) = − i 2πkP12 (k )e i 2πkx dk
∫
,)/-
−∞
+∞
Induction réfléchie dans la ferrite :
B2 ry ( x,0) = − i 2πkQ23 (k )e i 2πkx dk
∫
,)0-
−∞
La relation sur la surface S12 nous donne :
B1iy (x,0) + B1ry (x,0) = B2ty (x,0 ) + B 2 ry (x,0 )
+∞
+∞
+∞
µ0 I
x
− i 2πkQ12 (k )e i 2πkx dk = − i 2πkP12 (k )e i 2πkx dk − i 2πkQ23 (k )e i 2πkx dk
2
2π x + h 2
−∞
−∞
−∞
∫
∫
∫
,)1-
On peut exprimer les différents champs simplifiés sur la surface S12 suite au postulat
précédent:
Champ incident :
H 1ix (x,0) =
Champ réfléchi dans l'air :
H 1rx (x,0) = −
Champ transmis dans la ferrite :
Champ réfléchi dans la ferrite :
H 2tx (x,0) =
I
h
2
2π x + h 2
+∞
1
µ0
∫ 2π k Q
12
(k )e i 2πkx dk
,)3-
(k )e i 2πkx dk
,)4-
−∞
+∞
1
µ0 µr
H 2 rx (x,0) = −
,)2-
∫ 2π k P
12
−∞
1
µ0 µr
31
+∞
∫ 2π k Q
−∞
23
(k )e i 2πkx dk
,)5-
La relation sur la surface S12 nous donne :
H 1ix (x,0) + H 1rx (x,0) = H 2tx (x,0) + H 2 rx (x,0)
I
h
1
−
2
2
µ0
2π x + h
+∞
∫
2π k Q12 (k )e
i 2πkx
dk =
−∞
1
µ0 µ r
+∞
∫
2π k P12 (k )e
i 2πkx
dk −
−∞
1
µ0 µr
+∞
∫
2π k Q23 (k )e i 2πkx dk
,.6-
−∞
De même, on peut exprimer les différentes inductions simplifiées sur la surface S12 suite au
postulat précédent:
µ0 I
x
2π x 2 + h 2
Induction incidente :
B1iy ( x,0) =
Induction réfléchie dans l'air :
B1ry (x,0) = − i 2πkQ12 (k )e i 2πkx dk
,.)-
+∞
∫
,..-
−∞
+∞
Induction transmise dans la ferrite :
B2ty (x,0) = − i 2πkP12 (k )e i 2πkx dk
∫
,./-
−∞
+∞
Induction réfléchie dans la ferrite :
B2 ry ( x,0) = − i 2πkQ23 (k )e i 2πkx dk
∫
,.0-
−∞
La relation sur la surface S12 nous donne :
B1iy (x,0) + B1ry (x,0) = B2ty (x,0 ) + B 2 ry (x,0 )
+∞
+∞
+∞
µ0 I
x
− i 2πkQ12 (k )e i 2πkx dk = − i 2πkP12 (k )e i 2πkx dk − i 2πkQ23 (k )e i 2πkx dk
2
2π x + h 2
−∞
−∞
−∞
∫
∫
∫
0
,.1-
./
On exprime de la même façon les conditions de passage sur la surface S23.
Champ transmis dans la ferrite :
Champ réfléchi dans la ferrite :
Champ transmis dans l'air :
H 2tx ( x,−ep ) =
µ0 µr
H 2 rx (x,−ep ) = −
H 3tx (x,−ep ) =
+∞
1
12
µ0 µ r
µ0
+∞
∫ 2π k Q
,.2-
23
(k )e i 2πkx e 2π k ep dk
,.3-
−∞
+∞
∫ 2π k P
23
−∞
(k )e i 2πkx e −2π k ep dk
−∞
1
1
32
∫ 2π k P
(k )e i 2πkx e −2π k ep dk
,.4-
La relation sur la surface S23 nous donne :
H 2tx (x,−ep ) + H 2 rx (x,−ep ) = H 3tx ( x,−ep )
+∞
1
µ0µr
∫
2π k P12 (k )e i 2πkx e
− 2π k ep
dk −
−∞
+∞
1
µ0 µr
∫
2π k Q23 (k )e i 2πkx e
2π k ep
dk =
−∞
+∞
1
∫ 2π k P
µ0
23
(k )e i 2πkx e −2π k ep dk
,.5-
−∞
De même, on peut exprimer les différentes inductions simplifiées sur la surface S23 suite au
postulat précédent:
+∞
B2ty (x,−ep ) = − i 2πkP12 (k )e i 2πkx e
∫
Induction transmise dans la ferrite :
− 2π k ep
,/6-
dk
−∞
+∞
B2 ry ( x,−ep ) = − i 2πkQ23 (k )e i 2πkx e
∫
Induction réfléchie dans la ferrite :
2π k ep
,/)-
dk
−∞
+∞
B3ty (x,−ep ) = − i 2πkP23 (k )e i 2πkx e
∫
Induction transmise dans l'air :
− 2π k ep
,/.-
dk
−∞
La relation sur la surface S23 nous donne :
B2ty ( x,−ep ) + B2 ry (x,−ep ) = B3ty ( x,−ep )
+∞
−
∫
i 2πkP12 (k )e i 2πkx e
− 2π k ep
−∞
+∞
dk −
∫
i 2πkQ23 (k )e i 2πkx e
2π k ep
+∞
dk = − i 2πkP23 (k )e i 2πkx e
∫
−∞
− 2π k ep
,//-
dk
−∞
On a donc les 4 équations tenant compte du H tangentiel et du B normal sur les 2 surfaces.
I
h
1
−
2π x 2 + h 2 µ 0
+∞
∫
2π k Q12 (k )e i 2πkx dk =
−∞
+∞
+∞
1
µ0µr
∫
2π k P12 (k )e i 2πkx dk −
−∞
+∞
+∞
1
µ0 µr
∫ 2π k Q
23
(k )e i 2πkx dk
−∞
+∞
µ0 I
x
− i 2πkQ12 (k )e i 2πkx dk = − i 2πkP12 (k )e i 2πkx dk − i 2πkQ23 (k )e i 2πkx dk
2π x 2 + h 2
−∞
−∞
−∞
∫
1
µ0 µr
1
µ0 µr
+∞
∫
∫
2π k P12 (k )e i 2πkx e
− 2π k ep
dk −
−∞
+∞
∫
2π k P12 (k )e i 2πkx e
−∞
− 2π k ep
dk −
1
µ0 µr
1
µ0 µr
∫
+∞
∫
2π k Q 23 (k )e i 2πkx e
2π k ep
dk =
−∞
+∞
∫
2π k Q23 (k )e i 2πkx e
−∞
33
2π k ep
dk =
1
µ0
1
µ0
+∞
∫ 2π k P
23
(k )e i 2πkx e −2π k ep dk
−∞
+∞
∫ 2π k P
23
−∞
(k )e i 2πkx e −2π k ep dk
"&$! "
$ 7 ! '
On veut donc placer ces 4 équations sous forme telle que l'on puisse déterminer les valeurs
des fonctions P12, Q12, P23,Q23.
On remarque que toutes les équations contiennent des transformés de Fourier inverses. On
peut, en utilisant les mêmes transformés de Fourier que dans l'annexe précédent, exprimer le
système d'équation sous forme plus simple

µ µ I e −2πh k
 P12 (k ) − Q23 (k ) + µ r Q12 (k ) = 0 r
4π
k


− 2πh k
µ0 I e

 − P12 (k ) − Q23 (k ) + Q12 (k ) = −
4π
k

4π k ep

P12 (k ) − µ r P23 (k ) = Q23 (k )e

4π k ep

− P12 (k ) + P23 (k ) = Q23 (k )e
,/0-
On peut encore ce système sous forme plus simple :
 P12 − Q23 + µ r Q12 = µ r A
 − P − Q + Q = −A

12
23
12

P
−
µ
P
=
BQ23
12
r 23

 − P12 + P23 = BQ23
,/1-
Les quatre solutions peuvent ensuite être déduites :
P12 = 2µ r AB
Q12 = A
µr + 1
B(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
(µ r + 1)(µ r − 1)(B − 1)
B(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
P23 = 4µ r AB
Q23 = −2µ r A
,/2-
1
B(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
(µ r − 1)
B(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
Les quatre "constantes" s'écrivent au final de la façon suivante :
P12 (k ) = 2
Q12 (k ) =
µ 0 µ r I e −2πh k 4π k ep
µr + 1
e
4
π
k
ep
4π
k
e
(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
)
(
µ 0 I e −2πh k (µ r + 1)(µ r − 1) e 4π k ep − 1
4π k ep
4π
k
e
(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
P23 (k ) = 4
−2πh k
µ0 µ r I e
4π
k
Q23 (k ) = −2
e
µ 0 µ r I e −2πh k
4π
k
1
4π k ep
(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
(µ r − 1)
4π k ep
e
(µ r + 1)2 − (µ r − 1)2
e
4π k ep
34
,/3-
8 (" '
&
!
#$
(
)
* '
(&
*
#
&
H1rx ( x, y ) = −
1
µ0
+∞
∫
− 2πh k
µ0 I e
k
4π
2π k
−∞
(
+∞
=−
(µr + 1)(µr − 1) e4π k ep − 1 ei 2πkxe− 2π k y dk
4π k ep
(µr + 1)2 − (µr − 1)2
e
)
− 1 i 2πkx − 2π k ( y + h )
I (µr + 1)(µr − 1) e
e
e
dk
2 e 4π k ep (µr + 1)2 − (µ r − 1)2
−∞
∫
I (µr + 1)(µ r − 1)
=−
2
I (µ r − 1)
=−
2 (µr + 1)
−∞
(e
+∞
∫eπ
4 k ep
−∞
+∞
∫
4π k ep
(1 − e
4π k ep
)
−1
(µr + 1) − (µr − 1)
2
− 4π k ep
2
)
 µ − 1  − 4π k ep
 e
1 −  r
 µr + 1 
2
ei 2πkxe
ei 2πkxe
− 2π k ( y + h )
dk
− 2π k ( y + h )
dk
Le dénominateur dans l'intégrale peut être assimilé à (1<r) ou r est la raison d'une série
géométrique. Cette série pourrait provenir des réflexions successives : le champ réfléchi peut
provenir de la première réflexion (sur la première surface). Ensuite, pour ressortir vers l'avant, il
faut qu'il pénètre dans le matériau, qu'il le traverse, qu'il se réfléchisse sur la face arrière, qu'il
traverse en retour, qu'il ressorte. Chacune de ces opérations correspond à une atténuation et cet
ensemble peut être répété n fois.
Avec cette série, le champ tangentiel peut encore s'écrire :
I (µ r − 1)
H 1rx (x, y ) = −
2 (µ r + 1)
n
+∞ ∞
(
)
 µ − 1  2

− 4π k ep
 r
 1 − e − 4π k ep ⋅ e i 2πkx e − 2π k ( y + h )dk

e


 µ +1 

− ∞ n = 0  r

∫∑
∞
 µr −1 
I (µ r − 1)


=−
2 (µ r + 1) n =0  µ r + 1 
∑
∫ (e
2n +∞
− 2π k ( y + h + 2 nep )
−e
− 2π k ( y + h + 2 (n +1)ep )
)⋅ e
i 2πkx
dk
−∞
Sous cette forme, l'intégrale se calcule ensuite facilement (
):
∫ (e
+∞
− 2π k ( y + h + 2 nep )+ i 2πkx
−e
− 2π k ( y + h + 2 (n +1)ep )+ i 2πkx
)dk
−∞
==
1
( y + h + 2nep ) − ( y + h + 2(n + 1)ep ) 


π  [( y + h − 2nep )]2 + x 2 [( y + h + 2(n + 1)ep )]2 + x 2 
Le champ réfléchi vaut donc :
H 1rx (x, y ) = −
∞
( y + h + 2(n + 1)ep ) 
I µ r − 1  µ r − 1   ( y + h + 2nep )

 
−

2π µ r + 1 n =0  µ r + 1   [ y + h − 2nep]2 + x 2 [( y + h + 2(n + 1)ep )]2 + x 2 
∑
2n
Après simplification, on obtient (
I
H 1rx (x, y ) = −
2π
):
2m
∞
µ −1
 µr −1 
4µ r
y+h
r



−
 µ r + 1 [ y + h]2 + x 2 µ r2 − 1 m =1  µ r + 1 

∑
35
( y + h + 2mep ) 
[( y + h + 2mep )]2 + x 2 
Cette expression se décompose en 2 termes :
•
Le 1er est, comme pour le cas milieu infini, le champ créé par un fil positionné en
(0,−h) et parcouru par un courant
•
I
µ r −1
.
µr +1
Le 2nd correspond à la somme des champs créés par une infinité de fils positionnés
 µ −1
en (0,−h − 2n ⋅ ep ) et parcourus par des courants I  r 
 µr + 1 
par un facteur −
2n
. Ce terme est pondéré
4µr
. Cette somme est due aux réflexions multiples du champ
µ r2 − 1
entre les bords de la ferrite.
8 %&
Vu la complexité des différents calculs, nous n'allons pas rentrer dans les détails de
expression pour les 7 autres champs. La méthode à appliquer est la même et les astuces de calcul
sont similaires. Nous présenterons juste les huit expressions recherchées initialement :
I
H 1rx (x, y ) = −
2π
2n
∞
µ −1
 µr −1 
4µ r
y+h
 r


−
 µ r + 1 [ y + h]2 + x 2 µ r2 − 1 n =1  µ r + 1 

∑
( y + h + 2nep ) 
[( y + h + 2nep )]2 + x 2 
2n
∞

 µr − 1 
4µ r
I  (µ r − 1)
x
x




−
H 1ry (x, y ) =
2π  (µ r + 1) ( y + h )2 + x 2 µ r2 − 1 n =1  µ r + 1  ( y + h + 2nep )2 + x 2 


,/4-
∑
2n
∞
 µ r − 1   ( y − h − 2nep )  
I
2  ( y − h)



+


2π µ r + 1  ( y − h )2 + x 2 n=1  µ r + 1   ( y − h − 2nep )2 + x 2  


2
n
∞

 µr − 1  
I
2 
x
x


 
+
H 2ty ( x, y ) =

2
2
2
2
µ r + 1   ( y − h − 2nep ) + x  
2π (µ r + 1)  ( y − h ) + x

n
=
1


H 2tx ( x, y ) = −
∑
,/5-
∑
H 2 rx (x, y ) =
∞
 µr − 1
I
2


2π (µ r − 1) n =1  µ r + 1 
∑
2n
∞
 µr − 1 
I
2


H 2 ry ( x, y ) = −
2π (µ r − 1) n =1  µ r + 1 
∑
H 3tx (x, y ) = −
 ( y + h + 2nep ) 


2
2
 ( y + h + 2nep ) + x 
2n
,06-


x


2
2
 ( y + h + 2nep ) + x 
I
4µr  ( y − h )

+
2π (µ r + 1)2  ( y − h )2 + x 2

I
4µ r 
x

H 3ty (x, y ) =
+
2π (µ r + 1)2  ( y − h )2 + x 2

2n
 µ r − 1   ( y − h − 2nep )  

 

µ + 1   ( y − h − 2nep )2 + x 2  
n =1  r

∞
∑
∞
 µr − 1 

r +1
n =1
∑  µ
2n


x


2
2
 ( y − h − 2nep ) + x  
36
,0)-
***********************************************
#
∫ (e
+∞
− 2π k ( y + h + 2 nep )+ i 2πkx
−e
− 2π k ( y + h + 2(n +1)ep )+ i 2πkx
)dk
−∞
∫ (e
0
=
+ 2πk ( y + h + 2 nep )+ i 2πkx
)
− e + 2πk ( y + h+ 2(n+1)ep )+i 2πkx dk +
−∞
+∞
∫ (e
− 2πk ( y + h + 2 nep )+i 2πkx
)
− e −2πk ( y +h + 2(n +1)ep )+i 2πkx dk
0
 e + 2πk ( y + h + 2 nep )+i 2πkx
 e −2πk ( y + h + 2 nep )+i 2πkx

e + 2πk ( y + h+ 2(n+1)ep )+i 2πkx 
e −2πk ( y + h+ 2(n+1)ep )+i 2πkx
=
−
−
 +

+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
+
π
π
π
π
π
π
π
π
(
)
(
(
)
)
(
)
(
(
)
)
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
y
h
nep
i
x
y
h
n
ep
i
x
y
h
nep
i
x
y
h
n
ep
i
x

 −∞ 
 −∞
0
0

 

1
1
1
1
=
−
+
 + −

 2π ( y + h + 2nep ) + i 2πx 2π ( y + h + 2(n + 1)ep ) + i 2πx   − 2π ( y + h + 2nep ) + i 2πx − 2π ( y + h + 2(n + 1)ep ) + i 2πx 
 2π ( y + h + 2nep ) − i 2πx
2π ( y + h + 2(n + 1)ep ) − i 2πx 
=
−
+
2
2 2
2
2
4
2
π
π
π
[
(
+
+
)
]
+
[
( y + h + 2(n + 1)ep )]2 + 4π 2 x 2 
y
h
nep
x


− 2π ( y + h + 2nep ) − i 2π
− 2π ( y + h + 2(n + 1)ep ) − i 2πx 
+
−

2
2 2
[2π ( y + h + 2(n + 1)ep )]2 + 4π 2 x 2 
 [2π ( y + h + 2nep )] + 4π x
4π ( y + h + 2nep )
4π ( y + h + 2(n + 1)ep )
=
−
2
2 2
[2π ( y + h − 2nep )] + 4π x [2π ( y + h + 2(n + 1)ep )]2 + 4π 2 x 2
=
( y + h + 2nep ) − ( y + h + 2(n + 1)ep ) 
1


π  [( y + h − 2nep )]2 + x 2 [( y + h + 2(n + 1)ep )]2 + x 2 
∞
 µ r − 1   ( y + h + 2nep )
I µr −1
( y + h + 2(n + 1)ep ) 
 

−

2
2
2π µ r + 1 n =0  µ r + 1   [ y + h − 2nep] + x
[( y + h + 2(n + 1)ep )]2 + x 2 
2n
2(m −1)
∞
( y + h + 2nep ) − ∞  µ r − 1 
( y + h + 2mep) 
I µr −1   µr −1 
 

=−




2
2
2π µ r + 1  n=0  µ r + 1  [ y + h − 2nep] + x
µ +1
[( y + h + 2mep )]2 + x 2 
m =1  r

2n
2m
−2
∞
I µr −1   µr −1 
( y + h + 2nep ) −  µ r − 1  ∞  µ r − 1 
( y + h + 2mep ) 
 

=−






2
2
2
2
2π µ r + 1  n=0  µ r + 1  [ y + h − 2nep] + x
 µ r + 1  m=1  µ r + 1  [( y + h + 2mep )] + x 

H 1rx (x, y ) = −
∑
2n
∑
∑
∑
∑
2n
−2
2m
∞
 µr −1 
I µr −1 
y+h
( y + h + 2nep ) −  µ r − 1  ∞  µ r − 1 
( y + h + 2mep ) 



+






2π µ r + 1  [ y + h]2 + x 2 n =1  µ r + 1  [y + h − 2nep ]2 + x 2  µ r + 1  m=1  µ r + 1  [( y + h + 2mep )]2 + x 2 


2m
2 
∞


 µr −1 
I µr −1 
y+h
( y + h + 2mep) 1 −  µ r + 1  


=−
+
2π µ r + 1  [ y + h]2 + x 2 m=1  µ r + 1  [( y + h + 2mep )]2 + x 2   µ r − 1  



== −
∑
∑
∑
=−
I
2π
2m
∞
 µ −1
 µr −1 
4µ r
( y + h + 2mep ) 
y+h
 r


−


2
2
2
 µ r + 1 [ y + h] + x
µ r − 1 m=1  µ r + 1  [( y + h + 2mep )]2 + x 2 


∑
***********************************************
37
38
3
Inductances de fuite "basse fréquence"
Cette feuille de calcul peut être utilisée pour déterminer de façon analytique la valeur de l'inductance de
fuite d'un transformateur en basse fréquence.
Le calcul est basé sur un calcul dénergie en considérant le cas ou les ampères tours sont compensés
(essai en court-circuit).
Pour plus de clarté, les seules données que doit rentrer l'utilisateur sont décrites dans cette police.
Les différentes fonctions utilisées par la feuille de calcul sont elles décrites dans cette police .
5 calculs d'énergie sont réalisés pour déterminer la valeur de l'inductance de fuite :
1) L'énergie est évaluée à partir de l'induction B en calculant l'intégrale de B²/µ0 de facon numérique
2) L'énergie est évaluée à partir du potentiel vecteur A en calculant l'intégrale de AJ de façon numérique
3) L'énergie est évaluée à partir du potentiel vecteur A en calculant l'intégrale de AJ de façon analytique
4) L'énergie est évaluée à partir du potentiel vecteur A en calculant l'intégrale de AJ de façon analytique en
tenant compte de 4 images magnétiques (influence du ciruit magnétique)
5) L'énergie est évaluée à partir du potentiel vecteur A en calculant l'intégrale de AJ de façon analytique en
tenant compte de 8 images magnétiques (influence du ciruit magnétique).D'après les essais cette valeur
semble être la meilleure, même si elle sur estime l'énergie dans la fenêtre de transformateur.
4 images
8 images
Le calcul 1 est nécessaire pour évaluer ensuite un "chemin" moyen entre les 2 pics de l'induction par
unité de longueur.
Le calcul 2 peut être tres long suivant le nombre de conducteurs puisque l'intégration est à réaliser sur
chaque conducteur, donc à chaque fois sur une grille différente. De plus, si le nombre d'éléments de chaque
grille est trop faible, il se peut que la valeur de l'intégration soit légèrement sous évaluée.
Cette faible erreur ne se retrouve pas lors de l'intégration analytique (calcul 3)puisqu'elle tient compte
de l'energie dans tout l'espace et non pas seulement dans la fenetre du transformateur.
Pour tenir compte de l'influence du CM, les 8 images magnétiques (calcul 5) donnent de meilleurs
résultats que le calcul réalisé avec 4 images (calcul 4).
Pour ne pas effectuer l'intrégration numérique il faut placer un "0" dans la variable numerique
ci-dessous. Au contraire, il faut placer un "1" dans cette variable pour réaliser cette intégration numérique.
Variable pour valider l'intégration numérique :
numerique := 0
On a vu l'utilité de décrire séparément les fenêtres des tranformateurs, l'énergie contenue dans
chaque fenêtre pouvant varier de façon considérable suivant les placement des conducteurs. Dans la feuille de
calcul, les données contenues dans la "colonne" gauche concernent la fenêtre de gauche et celles contenues
dans la "colonne" de droite concerne l'autre fenêtre.
Il faut choisir l'unité dans laquel toutes les données du problèmes seront rentrées : 1) m
2) mm
3) µm
Variable pour les unités :
unite := 3
*************************************************************************************************************
1-Description du Circuit magnétique
L'origine des axes (x,y) est prise dans le coin inférieur gauche du circuit magnétique
Largueurs des fenêtres : Larg_fen_G := 6800
Hauteur de la fenêtre :
Larg_fen_D := 6900
Haut_fen := 2520
Largeurs colonnes Circuit magnétique : Larg_CM_G := 3000
Epaisseur Circuit magnétique :
Larg_CM_D := 6000
Ep_CM := 1600
Les grilles sur laquelle seront tracées les composantes de l'induction et l'énergie sont contenues dans les
fenêtres du transformateur. Elles ont pour origine les nouveaux repères Nr_G, Nr_D ; elles s'étendent sur
Larg_fen_ en x et Haut_fen_ en y.
Nombre d'intervalles en x (nombre de points - 1) :
Nx := 199
Nombre d'intervalles en y (nombre de points - 1) :
Ny := 99
2-Description des couches et conducteurs
On crée une matrice pour décrire de facon géométique les conducteurs.
Exemple avec 2 enroulements réparis sur 3 couches
Les conducteurs des couches 1 et 2 sont tous placés en séries et traversés par un courant de 1A. L'unique
conducteur de la couche 3 est quant à lui traversé par un courant égal à -9 fois le courant d'un conducteur
d'une autre couche (9 conducteurs donc -9 A.tr)
La matrice "Desc_c" décrivant les conducteur possède donc 8 colonnes ; son nombre de ligne depend du
nombre de couches du transformateur où sont répartis les enroulements.
Matrice décrivant le placement des couches et conducteurs (longueurs exprimées dans l'unité précédente) :
Matrice décrivant le placement des couches et conducteurs (longueurs exprimées dans l'unité précédent
Les conducteurs de la fenêtre droite sont décrits par rapport au repère Nr_D
 1
2
3
4

5
Desc_c_G := 
6

7


8



0.5 

0.5

0.5 
0.5 

−17

3 
−17 

3 
5 1385 656 208 70 435 0.5
5 1385 656 208 70 50
6 1155 554 208 70 50
6 1155 554 208 70 50
6 1155 554 208 70 50
6 1155 554 208 70 75
2 3002 693 230 70 50
1 2771 693
0
70 50
lignes( Desc_c_G) − 1
∑
Somme des ampères tours : ΣAtr_G :=
k1 = 0
1

2
3
4
Desc_c_D := 
5
6

7

0.5
Atr :=
test_Atr
test_Atr
test_Atr
test_Atr
(Desc_c_G k1 , 1 ⋅ Desc_c_G k1 , 7)
0
← "Fenetre Gauche : COMPENSES" if ΣAtr_G < 0 + 0.002
0
← "Fenetre Gauche : NON COMPENSES" otherwise
1
← "Fenetre Droite : COMPENSES" if ΣAtr_D < 0 + 0.002
1
← "Fenetre Droite : NON COMPENSES" otherwise
test_Atr
Il faut, pour que le calcul soit valide, que la somme des ampères tours dans chaque fenêtre du
transofrmateur soit nulle. Si dans la fenetre suivante "COMPENSES" apparait pour les fenêtre gauche et
droite, le calcul sera valide. Dans le cas contraire, il faut modifer la valeur des courants (derniere
colonne de la matrice) pour obtenir une somme des ampères tours nulle.
Les Ampères tours sont
Atr =


−0.5 
−0.5 

−0.5 
−0.5 
17 

3 
5 1435 656 208 70 50 −0.5
6 1205 554 208 70 50
6 1205 554 208 70 50
6 1205 554 208 70 50
6 1205 554 208 70 75
3 2128 693 230 70 50
lignes( Desc_c_D) − 1
ΣAtr_G = 0
Test sur la somme
des ampères tours :
5 1435 656 208 70 435 −0.5 
 "Fenetre Gauche : COMPENSES" 


 "Fenetre Droite : COMPENSES" 
Somme des ampères tours : ΣAtr_D :=
∑
k2 = 0
ΣAtr_D = 0
(Desc_c_D k2 , 1 ⋅ Desc_c_D k2 , 7)
3-Discrétisation de la grille (fenêtre)
Unité :
u :=
1 if unite
−3
10
−6
10
1
if unite
2
if unite
3
Coordonnées du nouveau repère :
Coordonnées du nouveau repère :
 Larg_CM_G ⋅ u 

 Ep_CM ⋅ u 
Nr_G := 
Indice pour balayer l'axe x :
i := 0 .. Nx
Indice pour balayer l'axe y :
j := 0.. Ny
Longueur de la grille en x :
lx := Larg_fen_G ⋅ u
Longueur de la grille en y :
ly := Haut_fen ⋅ u
Discrétisation des axes :
x_G := Nr_G +
i
0
y_G := Nr_G +
j
Element de surface :
dS :=
1
lx
Nx
Discrétisation des axes :
Fonctions pour arrondir :
i
j
⋅i
ly
Ny
⋅j
lx ly
⋅
Nx Ny
−7
µ0 := 4 ⋅ π ⋅ 10
mantisse ( x) := x − partentière ( x)
roundoff ( x) := si( mantisse ( x) < .5, partentière ( x) , plafond ( x) )
Précision : ε := 10− 12
Pour differentier fenêtre gauche et fenêtre droite :
x_D := Nr_D +
0
y_D := Nr_D +
4-Initialisation des fonctions et variables
Perméablilité du vide :
 Larg_CM_G ⋅ u   Larg_fen_G + Larg_CM_D 
+
⋅u
0
 Ep_CM ⋅ u  

Nr_D := 
gauche := 1
droite := 2
1
lx
Nx
ly
Ny
⋅i
⋅j
Fonction pour tracer les conducteurs dans une fenêtre graphique :
Cond ( A1 , fen ) :=
for n ∈ 0 .. Nx
for m ∈ 0 .. Ny
C
n, m
←0
−6
fac ← 10
for r ∈ 0.. lignes ( A1 ) − 1

(
r, 1
Nx

 .. roundoff (A1r , 3 ⋅ u − Nr_G0) ⋅ lx  if fen gauche


Ny
 A1 ⋅ u ⋅ Ny
for m ∈ roundoff ( A1 ⋅ u ) ⋅
..
roundoff

( r , 2 ) ly 
ly 
 r, 4


(
r, 1
for n ∈ roundoff  A1
C
n, m
)
Nx
)⋅
Nx
⋅ u − Nr_G ⋅
0
lx 
← fac
Nx

 .. roundoff (A1r , 3 ⋅ u − Nr_D0) ⋅ lx  if fen droite


Ny
 A1 ⋅ u ⋅ Ny
for m ∈ roundoff ( A1 ⋅ u ) ⋅
..
roundoff

( r , 2 ) ly 
ly 
 r, 4


for n ∈ roundoff  A1

C
n, m
⋅ u − Nr_D
lx 
0
← fac
C
Fonction de Sommation (pour B : Grille sur la fenetre)
Sg ( G, dS) :=
S←0
for n ∈ 1 .. Nx
for m ∈ 1 .. Ny
Wc
n, m
←
(
1
⋅ G
4
S ← S + Wc
n, m
+G
n− 1 , m
+G
n− 1 , m− 1
+G
n , m− 1
)
n, m
S ⋅ dS
Fonction de Sommation (pour A : Grille sur conducteurs)
Sg1( G, dS1 , Nx1, Ny1) :=
S←0
for n ∈ 1 .. Nx1
for m ∈ 1 .. Ny1
Wc
n, m
←
1
4
S ← S + Wc
S ⋅ dS1
(
⋅ G
n, m
n, m
+G
n− 1 , m
+G
n− 1 , m− 1
+G
n , m− 1
)
Composantes de l'induction pour un méplat
Bx( x, y , a , b , I) :=
By( x, y , a , b , I) :=
µ0 ⋅ I
16 ⋅ π ⋅ a ⋅ b
−µ0 ⋅ I
16 ⋅ π ⋅ a ⋅ b
x+ a 
 x − a   ...
 − arctan 
 
y −b
 y − b  
 
 arctan  x + a  − arctan  x − a   ...
+
(
−
2
)
⋅
(
y
+
b
)
⋅
 




 

y + b
 y + b  
 
2
2
2
2


(
x
+
a
)
+
(
y
−
b
)
(
x

 + ( x − a) ⋅ ln − a) + ( y + b ) 
+ ( x + a) ⋅ ln

2
2

2
2


 ( x + a) + ( y + b ) 
 ( x − a) + ( y − b ) 
⋅  2 ⋅ ( y − b ) ⋅  arctan 










y + b
 y − b   ...
 − arctan 

 x− a 
 x − a 
 
y + b
y − b  



 + ( −2) ⋅ ( x + a) ⋅  arctan 
 − arctan 
  ...
x+ a 
x + a  





2
2
2
2

 + + ( y + b ) ⋅ ln (x − a) + ( y + b )  + ( y − b ) ⋅ ln ( x + a) + ( y − b ) 


2
2

2
2

 ( x + a) + ( y + b ) 
 ( x − a) + ( y − b ) 
⋅  2 ⋅ ( x − a) ⋅  arctan 









Recherche de maximum dans une fenetre
max( W_ , fen ) := m ← 0
im ← 0
jm ← 0
for k ∈ 0 .. Nx
for l ∈ 0 .. Ny
if W_
k, l
>m
im ← k
jm ← l
m ← W_
if fen
k, l
gauche
lx
xm ← Nr_G +
0
Nx
ly
ym ← Nr_G +
1
if fen
Ny
⋅ im
⋅ jm
droite
lx
xm ← Nr_D +
0
Nx
ym ← Nr_D +
1
ly
Ny
⋅ im
⋅ jm
 xm 
 
ym
 
m
 im 
 
 jm 
Primitive du potentiel vecteur d'un fil
F( x, y , a , b ) := ( x − a) ⋅ ( y − b ) ⋅ ln ( x − a) + ( y − b )
2
2
 y − b  + ( y − b ) 2 ⋅ arctan  x − a 
 + ( x − a) ⋅ arctan 



 x− a 
y −b
2
Variation de la primitive
A ( x, y , ae , be , I) :=
−µ0 ⋅ I
4 ⋅ π ⋅ ( 2 ⋅ ae ⋅ 2 ⋅ be )
⋅ [ ( F( x, y , ae , be ) − F( x, y , −ae , be ) ) − ( F( x, y , ae , −be ) − F( x, y , −ae , −be ) ) ]
5-Calcul de l'emplacement des conducteurs
ind_D := 0 .. lignes ( Desc_c_D ) − 1
Pointeur pour se déplacer dans la matrice decrivant les couches :
Pointeur pour se déplacer dans la matrice decrivant les couches :
ind_G := 0 .. lignes ( Desc_c_G ) − 1
Extraction de vecteurs de l'intérieur de la matrice :
:= Desc_c_G
Extraction de vecteurs de l'intérieur de la matrice :
Abscisse_G
ind_G
Largeur_G
:= Desc_c_G
Espace_G
:= Desc_c_G
ind_G
ind_G
Epaisseur_G
Ecart_G
ind_G
ind_G
ind_G
Nombre de couches du transformateur :
Espace_D
ind_G , 4
ind_G , 5
Ecart_D
ind_G , 7
∑
Nbr_cond_D :=
Nombre de conducteurs dans la fenêtre :
Desc_c_G
Nbr_cond_G = 37
← Desc_c_G
+
i, j
← Desc_c_D
i, 2
← Desc_c_D
Desc_c1_G
otherwise
Desc_c1_G
Desc_c1_G
Desc_c1_G
0, 6
0, 5
← Desc_c_G
0
if i
u
i, 5
Nbr_cond_D = 37
i, j
0, 6
Desc_c1_D
0, 5
otherwise
Desc_c1_D
0, 6
← Desc_c1_G
0, 6
← Desc_c1_G
+ Desc_c_G
i−1 , 5
← Desc_c1_G
i, 6
i, 2
0
+
u
0
Desc_c1_D
0, 5
Desc_c1_D
Desc_c1_D
i, 6
i, 1
for i ∈ 0 .. lignes ( Desc_c_D ) − 1
Nr_G
0
Desc_c1_G
Desc_c_D
for i ∈ 0 .. lignes ( Desc_c_D ) − 1
Desc_c1_D
for i ∈ 0.. lignes ( Desc_c_G ) − 1
if i
∑
Nr_D
i, j
i, 2
Nbr_couch_D = 7
Mise en forme de la matrice de description des couches et des conducteurs :
Desc_c1_D
for i ∈ ( 0 .. lignes ( Desc_c_G) − 1)
i, 2
ind_D , 7
for i ∈ ( 0 .. lignes ( Desc_c_D ) − 1)
for j ∈ ( 0 .. cols ( Desc_c_G) − 1)
Desc_c1_G
ind_D
ind_D , 6
:= Desc_c_D
for j ∈ ( 0 .. cols ( Desc_c_D ) − 1)
for i ∈ 0.. lignes ( Desc_c_G ) − 1
← Desc_c_G
:= Desc_c_D
ind_D , 5
i, 1
Desc_c1_D :=
i, j
ind_D
i=0
Mise en forme de la matrice de description des couches et des conducteurs :
Desc_c1_G
ind_D
ind_D , 4
:= Desc_c_D
Nbr_couch_D := lignes ( Desc_c_D )
Nombre de couches du transformateur :
Nbr_couch_G = 8
i=0
Desc_c1_G :=
:= Desc_c_D
ind_D , 3
Nbr_couch_D− 1
Nbr_couch_G := lignes ( Desc_c_G)
Nbr_cond_G :=
ind_D
Courant_D
Nbr_couch_G− 1
Nombre de conducteurs dans la fenêtre :
:= Desc_c_D
Epaisseur_D
ind_G , 6
:= Desc_c_G
ind_D
Largeur_D
ind_G , 3
:= Desc_c_G
:= Desc_c_G
Courant_G
ind_G , 2
+ Desc_c_G
+ Desc_c_G
i, 6
i, 5
i, 6
i, 5
← Desc_c_D
0, 6
← Desc_c1_D
← Desc_c1_D
← Desc_c1_D
0, 6
+ Desc_c_D
i− 1 , 5
i, 6
0, 5
+ Desc_c_D
+ Desc_c_D
i, 6
i, 5
1

2

3

4
Desc_c1_G = 
5

6

7

8
3
5 4.385 × 10
3
5 4.385 × 10
3
6 4.155 × 10
3
6 4.155 × 10
3
6 4.155 × 10
3
6 4.155 × 10
3
2 6.002 × 10
3
1 5.771 × 10
656 208
656 208
554 208
554 208
554 208
554 208
693 230
693
0




745
675
0.5 

865
795
0.5 

985
915
0.5 

3
3
1.13 × 10 1.06 × 10
0.5 

3
3
1.25 × 10 1.18 × 10 −5.667 

3
3
1.37 × 10 1.3 × 10 −5.667 
505
435
0.5
625
555
0.5
Extraction de vecteurs de l'intérieur de la matrice :
1

2

3

Desc_c1_D =  4

5

6

7
ind_G
:= Desc_c1_G
ind_G
:= Desc_c1_G
PosH_G
PosB_G
Abscisse_G
ind_G
ind_G , 5
4
5 1.724× 10
4
5 1.724× 10
6
6
6
6
4
1.7 × 10
656 208
656 208
554 208
4
1.7 × 10
554 208
4
1.7 × 10
554 208
4
1.7 × 10
554 208
4
3 1.793× 10
693 230


625
555
−0.5 

745
675
−0.5 

865
795
−0.5 

985
915
−0.5 

3
3
1.13 × 10 1.06 × 10 −0.5 

3
3
1.25 × 10 1.18 × 10 5.667
Extraction de vecteurs de l'intérieur de la matrice :
505
ind_G , 2
ind_D
:= Desc_c1_D
ind_D
:= Desc_c1_D
PosH_D
ind_G , 6
:= Desc_c1_G
PosB_D
Abscisse_D
Génération de la matrice décrivant tous les conducteurs indépendemment :
Chaque conducteur va être décrit dans une matrice. une ligne de cette dernière correspond à un conducteur.
Pour décrire un conducteur on utilise les coordonnées de 2 de ses coins, le coin supérieur gauche et le coin
inférieur droit :
Dans l'exemple utilisé ci-dessus, la matrice comportera 10 lignes coreespondant à chaque conducteur.
−0.5
435
ind_D
ind_D , 5
ind_D , 6
:= Desc_c1_D
ind_D , 2
A_G :=
Nc ← 0
A_G :=
Nc ← 0
cmpt ← 0
cmpt ← 0
for k ∈ 0 .. Nbr_cond_G − 1
for k ∈ 0 .. Nbr_cond_G − 1
M
k, 0
←k+ 1
M
←k+ 1
while Nc ≤ Nbr_couch_G − 1
while Nc ≤ Nbr_couch_G − 1
cond ← 0
cond ← 0
while cond < Desc_c_G
while cond < Desc_c_G
if Desc_c_G
M
M
M
M
M
cmpt , 1
cmpt , 2
cmpt , 3
cmpt , 4
cmpt , 5
Nc , 1
Nc , 1
if Desc_c_G
1
← Abscisse_G
← PosH_G
←M
Nc
+ Largeur_G
cmpt , 1
M
M
M
M
cmpt , 2
cmpt , 3
Nc
M
Nc
cmpt , 4
cmpt , 5
← PosH_G
otherwise
M
cmpt , 1
Nc
M
Nc
cmpt , 1
← PosB_G
+ Largeur_G
M
Nc
Nc
M
M
M
cmpt , 2
cmpt , 3
cmpt , 4
cmpt , 5
cmpt , 3
cmpt , 4
M
cmpt , 5
cmpt − 1 , 3
Nc
Nc
cmpt , 1
← PosB_G
+ Espace_G
M
+ Largeur_G
Nc
← PosB_G
+ Largeur_G
Nc
Nc
← Courant_G
Nc
← Abscisse_G
← PosH_G
←M
Nc
Nc
cmpt , 1
← PosB_G
+ Largeur_G
Nc
Nc
← Courant_G
Nc
← Courant_G
cmpt , 2
M
cmpt , 3
M
Nc
cmpt , 1
M
M
cmpt , 4
cmpt , 5
←M
Nc
k←k+ 1
cmpt −1 , 3
←M
← PosB_G
cond ← k
Nc ← Nc + 1
M
+ Espace_G
Nc
Nc
cmpt , 1
+ Largeur_G
Nc
← Courant_G
cmpt ← cmpt + 1
cond ← k
Nc , 1
← PosH_G
k←k+ 1
cmpt ← cmpt + 1
Nc ← Nc + 1
Nc
cmpt , 1
for k ∈ 2 .. Desc_c_G
Nc , 1
← PosH_G
←M
←M
Nc
cond ← cond + 1
for k ∈ 2 .. Desc_c_G
M
← PosH_G
cmpt ← cmpt + 1
cond ← cond + 1
←M
cmpt , 2
M
Nc
← Courant_G
cmpt , 1
cmpt , 5
← Abscisse_G
cmpt ← cmpt + 1
cmpt ← cmpt + 1
M
cmpt , 4
Nc , 1
Nc , 1
1
cond ← cond + 1
← Abscisse_G
←M
cmpt , 3
Nc
cond ← cond + 1
otherwise
M
cmpt , 2
M
M
← Courant_G
cmpt , 1
M
Nc
cmpt , 1
← PosB_G
M
cmpt ← cmpt + 1
M
k, 0
Nc
Nc
Détermination des paramètres a1, b1 (largeur et épaisseur des conducteurs) et x1,y1 (décentrage des
conducteurs par rapport à l'origine)
kd := 0 .. Nbr_cond_D − 1
kg := 0 .. Nbr_cond_G − 1
Décentrage :
Décentrage :
Dimensions :
 ( A_Gkg, 1 + A_Gkg, 3) ⋅ u

2


x1_G := 
kg
a1_G
kg
(A_Gkg, 3 − A_Gkg, 1) ⋅ u
:=
y1_G
b1_G
 ( A_Gkg, 2 + A_Gkg, 4) ⋅ u
kg
kg
:= 

2

1
Dimensions :
a1_D
kd
:=
(A_D kd , 3 − A_Dkd , 1) ⋅ u
2
2
Chaque conducteur est parcouru par un courant ; ces derniers sont placés dans un vecteur. Chaque ligne de ce
vecteur correspond à la ligne de la atrice ou le conducteur est décrit géométriquement.
Matrice des courants :
kd
+ Nr_G 
(A_Gkg, 2 − A_Gkg, 4) ⋅ u
:=
2
 ( A_D kd , 1 + A_D kd , 3) ⋅ u

2


x1_D := 
Matrice des courants :
I1_D
kd
:= A_D
I1_G := A_G
kg
kg, 5
6-Validation du placement des conducteurs dans la fenêtre
Conducteurs_G := Cond ( A_G , gauche )
Conducteurs_D := Cond ( A_D , droite)
 3 × 10− 3 


−3
1.6
10
×


Nr_G = 
Conducteurs_D
Conducteurs_G
Si plusieurs conducteurs apparaissent groupés (n'en formant qu'un seul) il faut augmenter le nombre de points
en x et/ou y ( Nx et ou Ny). Cette augmentation sert juste à valider la disposition des conducteur. il faut veiller
à ne pas faire effectuer les calculs suivant (induction Bx et By) pour un trop grand nombre de point pour des
raisons de temps de calcul qui seraient alors très (trop) important.
7-Discrétisation des Grilles (conducteur)
Nombre d'intervalles en x sur chaque conducteur (nombre de points - 1) :
Nx_c := 299
Nombre d'intervalles en y sur chaque conducteur (nombre de points - 1) :
Ny_c := 299
kd , 5
y1_D
kd
b1_D
kd
:=
 ( A_D kd , 2 + A_D kd , 4) ⋅ u
:= 

2
(A_D kd , 2 − A_Dkd , 4) ⋅ u
2

+ Nr_D 
1
Indice pour balayer en x chaque conducteur :
cx := 0.. Nx_c
Indice pour balayer en x chaque conducteur :
cy := 0 .. Ny_c
dS_D :=
Element de surface d'un conducteur :
for l ∈ 0 .. Nbr_cond_D − 1
A_D
dS_G :=
Element de surface d'un conducteur :
d ←
for l ∈ 0 .. Nbr_cond_G − 1
A_G
l, 3
d ←
l
− A_G
l, 1
Nx_c
⋅
l
A_G
l, 2
− A_G
l, 3
− A_D
A_D
l, 1
⋅
Nx_c
− A_D
l, 2
Ny_c
− 12
l, 4
d ⋅ 10
Ny_c
− 12
d ⋅ 10
8-Calcul et représentation des composantes de l'induction (Bx, By et B)
Somme de l'influence de chaque conducteur :
Somme de l'influence de chaque conducteur :
Nbr_cond_D − 1
∑
B_x_D( x, y ) :=
Nbr_cond_G−1
B_x_G( x, y ) :=
∑
k =0
(
Bx x − x1_G , y − y1_G , a1_G + ε , b1_G + ε , I1_G
k
k
k
k
)
B_y_G( x, y ) :=
∑
k =0
Nbr_cond_D − 1
Calcul de Bx sur la grille :
− 12
By x − x1_G , y − y1_G , a1_G + ε , b1_G + 10

k
k
k
k
, I1_G
i, j
(
:= B_x_G x_G , y_G
i
)
k
k
k
k
(
By x − x1_D , y − y1_D , a1_D + ε , b1_D + ε , I1_D

k
k
k
Bx_D
Représentation de Bx sur la grille :
j
Représentation de Bx sur la grille :
Bx_D
Bx_G
∑
k =0
Calcul de Bx sur la grille :
Bx_G
k
)
k
B_y_D ( x, y ) :=
Nbr_cond_G−1
(
Bx x − x1_D , y − y1_D , a1_D + ε , b1_D + ε , I1_D
k =0
i, j
(
:= B_x_D x_D , y_D
i
)
j
k
k
)
k
l, 4
Calcul de By sur la grille :
By_G
i, j
(
:= B_y_G x_G , y_G
i
)
j
B_G
i, j
:=
(Bx_Gi, j)2 + (By_Gi, j)2
Calcul du module de B sur la grille :
Représentation de B sur la grille :
B_D
B_G
i, j
(
:= B_y_D x_D , y_D
i
)
j
By_D
By_G
Représentation de B sur la grille :
By_D
Représentation de By sur la grille :
Représentation de By sur la grille :
Calcul du module de B sur la grille :
Calcul de By sur la grille :
B_D
i, j
:=
(Bx_Di, j)2 + (By_Di, j)2
Calcul de l'énergie sur la grille :
W_G
i, j
:=
1
2 ⋅ µ0
(
⋅ B_G
)2
Calcul de l'énergie sur la grille :
i, j
Représentation de W :
W_D
i, j
:=
1
2 ⋅ µ0
(
⋅ B_D
)2
i, j
Représentation de W :
W_G
W_D
Energie par unité de longueur :
ΣWB_G := Sg( W_G , dS)
−5
ΣWB_G = 2.801 × 10
ΣWB_D := Sg( W_D , dS)
Energie par unité de longueur :
−5
ΣWB_D = 1.84 × 10
9-Calcul du potentiel vecteur Az (intégration numérique)
Somme de l'influence de chaque conducteur :
Somme de l'influence de chaque conducteur :
Nbr_cond_G− 1
AzG( x, y ) :=
∑
k =0
(
A x − x1_G , y − y1_G , a1_G + ε , b1_G + ε , I1_G
k
k
k
k
)
k
Nbr_cond_D− 1
AzD( x, y ) :=
∑
k=0
(
A x − x1_D , y − y1_D , a1_D + ε , b1_D + ε , I1_D
k
k
k
k
k
)
Intégration numérique :
S_c( fen , num) :=
S←0
if num
1
for k ∈ 0.. Nbr_cond_G − 1
if fen
gauche
if fen
droite
for c1 ∈ 0.. Nx_c

xa
c1
A_G
←  A_G

k, 3
+
k, 1
− A_G
k, 1

⋅ c1  ⋅ u

Nx_c
for c2 ∈ 0.. Ny_c

ya
c2
A_G
←  A_G
k, 4

k, 2
+
− A_G
k, 4

⋅ c2  ⋅ u + Nr_G

Nx_c
1
for i ∈ 0.. Nx_c
for j ∈ 0 .. Ny_c
A
i, j
(
)
← AzG xa , ya
i
j
S ← Sg1( A ) , dS_G , Nx_c, Ny_c

k

k
for k ∈ 0.. Nbr_cond_D − 1
for c1 ∈ 0.. Nx_c

xa
c1
←  A_D

A_D
k, 1
+
k, 3
− A_D
k, 1

Intégration de A :
⋅ c1  ⋅ u

Nx_c
Calcul de l'énergie (par unité de longueur) :
for c2 ∈ 0.. Ny_c

ya
c2
←  A_D

A_D
k, 4
+
k, 2
− A_D
Nx_c
k, 4

⋅ c2  ⋅ u + Nr_G

for i ∈ 0.. Nx_c
for j ∈ 0 .. Ny_c
A
i, j
(
← AzD xa , ya
i
)

k

S
Intégration de A :
Sgauche := S_c( gauche , numerique )
Calcul de l'énergie (par unité de longueur) :
ΣWA_G_num :=
1
2
Nbr_cond_G− 1
⋅
∑
k =0
1
ΣWA_D_num :=
1
2
Nbr_cond_D−1
⋅
∑
k =0
I1_D


k
Sdroite ⋅
k 4 ⋅ a1_D ⋅ b1_D 

k
k


ΣWA_D_num =
j
S ← Sg1( A ) , dS_D , Nx_c, Ny_c
k
Sdroite := S_c ( droite , numerique)
I1_G

k

Sgauche ⋅
k 4 ⋅ a1_G ⋅ b1_G 

k
k

ΣWA_G_num =
10-Calcul du potentiel vecteur Az (intégration analytique)
Double Primitive du potentiel vecteur d'un méplat :
G( m, n ) := −
1
 24
+
1
3
(
4
2
2
⋅ m − 6⋅ m ⋅ n + n
4
) ⋅ ln(m2 + n2) ...

 + n2 ⋅ arctan  m   − 7 ⋅ m2 ⋅ n 2

 n   24
 m
 
⋅ m ⋅ n ⋅  m ⋅ arctan 
2

n
F( x, y , a , b ) := G( x − a , y − b )
Variation du potentiel (primitive de l'induction) :
H( x, y , ae , be , I) :=
−µ0 ⋅ I
4 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ ae ⋅ be
Somme de l'influence de tous les conducteurs :
Nbr_cond_D−1
⋅ [ ( F( x, y , ae , be ) − F( x, y , −ae , be ) ) − ( F( x, y , ae , −be ) − F( x, y , −ae , −be ) ) ]
 Nbr_cond_G−1
∑


k =0
k
k
k
k
k
Nbr_cond_G−1
∑
k =0

)
k
KD( xM, xm, yM , ym) := ZD( xM, yM ) − ZD( xm, yM ) − ZD( xM, ym) + ZD( xm, ym)
(
Calcul de l'énergie (analytique) :
)
I1_G

 
k

 4 ⋅ a1_Gk ⋅ b1_Gk  


KG x1_G + a1_G , x1_G − a1_G , y1_G + b1_G , y1_G − b1_G ⋅ 
k
k
k
k
k
k
k
k
1 
2

Nbr_cond_D−1
∑
(
KD x1_D + a1_D , x1_D − a1_D , y1_D + b1_D , y1_D − b1_D
k =0
−5
k
k
k
k
k
k
ΣWA_D_anal = 1.914× 10
11-Calcul du potentiel vecteur avec images magnétiques
4 Images
Somme de l'influence de tous les conducteurs et de leurs 4 images :
 Nbr_cond_G−1
  H X − x1_G , Y − y1_G , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G  ...
 ...
 
k
k
k
k
k



−
12
−
12
k =0

 
 
  + HX − x1_Gk , Y − ( 2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_G) k , a1_Gk + 10 , b1_Gk + 10 , I1_Gk 

 + HX − x1_G , Y − [ 2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_G] , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G  ...


k
k
k
k
k
 


 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G ⋅ u ) − x1_G , Y − y1_G , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G  ...



k
k
k
k
k






 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G + Larg_fen_G) ⋅ u − x1_G  , Y − y1_G , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G 

k
k
k
k
k

  
k
−5
ΣWA_G_anal = 2.925× 10
∑
k
Variation de la double primitive du potentiel vecteur :
ΣWA_D_anal :=
ZG4( X , Y) :=
k

Calcul de l'énergie (analytique) :
2
k
) 
KG( xM, xm, yM , ym) := ZG( xM, yM ) − ZG( xm, yM ) − ZG( xM, ym) + ZG( xm, ym)
1 
k

(
H X − x1_G , Y − y1_G , a1_G + ε , b1_G + ε , I1_G
Variation de la double primitive du potentiel vecteur :
ΣWA_G_anal :=
(
H X − x1_D , Y − y1_D , a1_D + ε , b1_D + ε , I1_D
k =0
Somme de l'influence de tous les conducteurs :
ZG( X , Y) := 
∑
ZD( X , Y) :=












I1_D
) ⋅  4 ⋅ a1_D
k

k
k

 

k 

⋅ b1_D
Somme de l'influence de tous les conducteurs et de leurs 4 images :
ZD4( X , Y) :=
 Nbr_cond_D −1
  H X − x1_D , Y − y1_D , a1_D + 10− 12 , b1_D + 10− 12 , I1_D  ...
 ...
 
k
k
k
k
k


 
− 12
− 12
k =0



+ H X − x1_D , Y − ( 2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_D )  , a1_D + 10
, b1_D + 10
, I1_D
k
k
k
k
k

 


 

−
12
−
12



+ H X − x1_D , Y − [ 2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_D ]  , a1_D + 10
, b1_D + 10
, I1_D 
k
k
k
k
k
 


−
12
−
12
 + HX − 2 ⋅ Nr_D − x1_D , Y − y1_D , a1_D + 10 , b1_D + 10 , I1_D  ...



(
)
0
k
k
k
k
k






 + HX − 2 ⋅ ( Nr_D + Larg_fen_D ⋅ u ) − x1_D  , Y − y1_D , a1_D + 10− 12 , b1_D + 10− 12 , I1_D 

0
k
k
k
k
k

  
∑






... 





Variation de la double primitive du potentiel vecteur (4 images) :
Variation de la double primitive du potentiel vecteur (4 images) :
KD4( xM, xm, yM , ym) := ZD4( xM, yM ) − ZD4( xm, yM ) − ZD4( xM, ym) + ZD4( xm, ym)
KG4( xM, xm, yM , ym) := ZG4( xM, yM ) − ZG4( xm, yM ) − ZG4( xM, ym) + ZG4( xm, ym)
Calcul de l'énergie (analytique) (4 images) :
ΣWA_G_anal4 :=
1 
Nbr_cond_G − 1
∑
2
k =0

(
KG4 x1_G + a1_G , x1_G − a1_G , y1_G + b1_G , y1_G − b1_G
k
k
k
k
k
−5
ΣWA_G_anal4 = 3.201 × 10
k
k

I1_G

k
) ⋅  4 ⋅ a1_G
k
k




k 
⋅ b1_G
Calcul de l'énergie (analytique) (4 images) :
ΣWA_D_anal4 :=
1 
2

Nbr_cond_D − 1
∑
k =0
(
KD4 x1_D + a1_D , x1_D − a1_D , y1_D + b1_D , y1_D − b1_D
k
k
k
k
−5
ΣWA_D_anal4 = 2.074 × 10
8 Images
Somme de l'influence de tous les conducteurs et de leurs 8 images :
 Nbr_cond_G −1
ZG8( X , Y) := 
















∑
k =0
 H X − x1_G , Y − y1_G , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G  ...
k
k
k
k
k
 
 + HX − x1_G , Y − ( 2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_G)  , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G  ...
k
k
k
k
k

 
 + HX − x1_G , Y − [ 2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_G]  , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G  ...
k
k
k
k
k




 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G ⋅ u ) − x1_G  , Y − y1_G , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G  ...
k
k
k
k
k
  
− 12
− 12
 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G + Larg_fen_G) ⋅ u − x1_Gk , Y − y1_Gk , a1_Gk + 10 , b1_Gk + 10 , I1_Gk ...
 


 
− 12
− 12

 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G + Larg_fen_G) ⋅ u − x1_Gk , Y − ( 2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_G) k , a1_Gk + 10 , b1_Gk + 10 , I1_Gk ...
 
− 12
− 12

 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G + Larg_fen_G) ⋅ u − x1_Gk , Y − [ 2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_G] k , a1_Gk + 10 , b1_Gk + 10 , I1_Gk
 
− 12
− 12

 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G ⋅ u ) − x1_Gk , Y − ( 2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_G) k , a1_Gk + 10 , b1_Gk + 10 , I1_Gk ...
 + HX − 2 ⋅ ( Larg_CM_G ⋅ u ) − x1_G , Y − [ 2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_G] , a1_G + 10− 12 , b1_G + 10− 12 , I1_G 
k
k
k
k
k
  














...





k
k
k

I1_D
) ⋅  4 ⋅ a1_D
k

k
k
⋅ b1_D



k 

Somme de l'influence de tous les conducteurs et de leurs 8 images :
 Nbr_cond_D −1
ZD8( X , Y) := 
∑
















k =0
 H X − x1_D , Y − y1_D , a1_D + 10− 12 , b1_D + 10− 12 , I1_D  ...
k
k
k
k
k
 
 + HX − x1_D , Y − ( 2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_D) , a1_D + 10− 12 , b1_D + 10− 12 , I1_D  ...


k
k
k
k
k




 + HX − x1_D , Y − [ 2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_D]  , a1_D + 10− 12 , b1_D + 10− 12 , I1_D  ...
k
k
k
k
k


 
 + HX − 2 ⋅ ( Nr_D ) − x1_D  , Y − y1_D , a1_D + 10− 12 , b1_D + 10− 12 , I1_D  ...
0
k
k
k
k
k
  
− 12
− 12
 + HX − 2 ⋅ ( Nr_D0 + Larg_fen_D ⋅ u) − x1_Dk , Y − y1_Dk , a1_Dk + 10 , b1_Dk + 10 , I1_Dk ...





− 12
− 12


 + HX − 2 ⋅ ( Nr_D0 + Larg_fen_D ⋅ u) − x1_Dk , Y − (2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_D) k , a1_Dk + 10 , b1_Dk + 10 , I1_Dk ...
 
− 12
− 12

 + HX − 2 ⋅ ( Nr_D0 + Larg_fen_D ⋅ u) − x1_Dk , Y − [2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_D] k , a1_Dk + 10 , b1_Dk + 10 , I1_Dk
 
− 12
− 12

 + HX − 2 ⋅ ( Nr_D0) − x1_Dk , Y − (2 ⋅ Ep_CM ⋅ u − y1_D) k , a1_Dk + 10 , b1_Dk + 10 , I1_Dk ...
 + HX − 2 ⋅ Nr_D − x1_D , Y − [2 ⋅ ( Ep_CM + Haut_fen ) ⋅ u − y1_D] , a1_D + 10− 12 , b1_D + 10− 12 , I1_D 
0)
k
k
k
k
k
   (














...





Variation de la double primitive du potentiel vecteur :
Variation de la double primitive du potentiel vecteur :
KD8( xM, xm, yM , ym) := ZD8( xM, yM ) − ZD8( xm, yM ) − ZD8( xM, ym) + ZD8( xm, ym)
KG8( xM, xm, yM , ym) := ZG8( xM, yM ) − ZG8( xm, yM ) − ZG8( xM, ym) + ZG8( xm, ym)
Calcul de l'énergie (analytique) :
ΣWA_G_anal8 :=
1 
2

Nbr_cond_G − 1
∑
k =0
(
)
I1_G


k
 
 4 ⋅ a1_Gk ⋅ b1_Gk  


KG8 x1_G + a1_G , x1_G − a1_G , y1_G + b1_G , y1_G − b1_G ⋅ 
k
k
−5
k
k
k
k
k
k
Calcul de l'énergie (analytique) :
ΣWA_G_anal8 = 3.173× 10
ΣWA_D_anal8 :=
1 
2

Nbr_cond_D − 1
∑
k =0
(
KD8 x1_D + a1_D , x1_D − a1_D , y1_D + b1_D , y1_D − b1_D
k
k
k
−5
ΣWA_D_anal8 = 2.045× 10
k
k
k
k
k

I1_D
) ⋅  4 ⋅ a1_D

k
k
 


k 

⋅ b1_D
12-Calcul de l'inductance de fuite
Rappel des valeurs calculées de l'énergie :
Fenêtre Gauche
Fenêtre Droite
−5
−5
B²/2µ0
ΣWB_G = 2.801× 10
AJ (numérique)
ΣWA_G_num =
AJ (analytique)
ΣWA_G_anal = 2.925× 10
AJ (analytique 4 images)
AJ (analytique 8 images)
(1)
ΣWB_D = 1.84 × 10
(2)
ΣWA_D_num =
−5
−5
(3)
ΣWA_D_anal = 1.914× 10
−5
ΣWA_G_anal4 = 3.201× 10
−5
ΣWA_G_anal8 = 3.173× 10
−5
ΣWA_D_anal4 = 2.074× 10
−5
ΣWA_D_anal8 = 2.045× 10
Il faut choisir la valeur d'énergie permettant de déterminer l'inductance de fuite :
(4)
(5)
Prise en compte du
circuit magnétique
1) Intégration de B²/2µ0 valeur sous estimée
2) Intégration de AJ (numerique)
3) Intégration de AJ (analytique)
4) Intégration de AJ (analytique avec prise en compte du CM (4 images))
5) Intégration de AJ (analytique avec prise en compte du CM (8 images))
valeur sur estimée
valeur sur estimée
Si l'on veut tenir compte du circuit magnétique, la meilleure valeur est celle obtenue avec 8 images, meme si elle
est légèrement sur estinée
Variable pour le choix de l'énergie :
energie := 5
Il faut aussi déterminer un chemin moyen sur lequel on va sommer l'energie. On recherche l'écart entre les 2
maximum d'énergie (fenêtre gauche et fenêtre droite) dans le plan x y.
Si le transformateur a une jambe centrale circulaire, la longueur moyenne peut être calculée en fonction de cet
écart en considérant un rayon moyen entre ces 2 pics.
Si le transformateur a une jambe rectangulaire, on peut considérer cette longueur comme la somme de cet écart
et de la profondeur du circuit magnétique (dans le cas de transformateur planar puisque cette distance correspond
a la longueur d'une spire moyenne).
Type de jambe centrale (rectangulaire=1, circulaire =2) :
jambe := 1
Profondeur du circuit magnétique dans le cas rectangulaire (en m) : prof := 23 ⋅ 10− 3
Recherche de l'abcisse du maximum :
Recherche de l'abcisse du maximum :
Distance entre les 2 pics :
 6.075× 10− 3 


 2.771× 10− 3 


max( W_G , gauche ) =
 48.744 


90


46


X_max_G:= max( W_G , gauche )
d := X_max_D − X_max_G
0
Recherche du maximum :
0.02


 2.771× 10− 3 

max( W_D , droite ) = 
 22.225 


135


46
Recherche de l'abcisse du maximum :
X_max_D := max( W_D , droite )
0
Calcul de l'inductance :
L( co , en , ja) :=
if numerique
0
ΣWA_G_num ← 0
ΣWA_D_num ← 0
long ← d + prof if ja
1
long ← π ⋅
d
ΣW_G ←
ΣWB_G if en
ΣW_D ←
L←
2
if ja
2
2
ΣWA_G_anal if en
3
ΣWA_G_anal4 if en
4
ΣWA_G_anal8 if en
5
ΣWB_D if en
1
ΣWA_D_num if en
2
ΣWA_D_anal if en
3
ΣWA_D_anal4 if en
4
ΣWA_D_anal8 if en
5
2 ⋅ ΣW_G ⋅ long
(
1
ΣWA_G_num if en
co
)2
+
2 ⋅ ΣW_D ⋅ long
L ← "Non calculée" if en
( co ) 2
2 if numerique
0
L
Courant dans l'enroulement ou est placée l'inductance de fuite (Schéma équivalent) :
courant :=
Inductance de fuite :
17
3
Lf := L( courant , energie , jambe)
−7
Lf = 1.21338× 10
Intégration du potentiel vecteur sur un méplat.
Nous cherchons maintenant la primitive double de la fonction ci-dessous qui intervient dans le calcul du potentiel d'un méplat. L'objectif est de lui donner
une forme analytique générale.
(
u p ⋅ v q ⋅ ln u 2 + v 2
)
p,q
(2
) − 3⋅u⋅v + u2⋅arctan  v  + v2⋅arctan  u 
2
0, 0
u ⋅ v ⋅ ln u + v
1, 0
1 3
7 2
2 3
2
2
1 2
v
 2 ⋅ u ⋅ v + 6 ⋅ v  ⋅ ln u + v − 6 ⋅ u ⋅ v + 3 ⋅ u ⋅ arctan  u 


 
0, 1
7
2 3
2 1 3
2
2
2
 1
u
 1⋅ 2 ⋅ u ⋅ v + 6 ⋅ u  ⋅ ln u + v − 6 ⋅ u⋅ v + 3 ⋅ v ⋅ arctan  v 


 
1, 1
3 2 2
2
2
 1 2 2 1 4 1 4
 2⋅ 2 ⋅ u ⋅ v + 8 ⋅ u + 8 ⋅ v  ⋅ ln u + v − 8 ⋅ u ⋅ v


2, 0
2, 1
2, 2
3, 0
u
(
)
(
)
(
1
3⋅ 1
3
(2
⋅ u ⋅ v ⋅ ln u + v
v
)
) + 1 ⋅u⋅v3 − 13 ⋅u3⋅v − 1 ⋅v4⋅arctan  u  + 1 ⋅u4⋅arctan  v 
2
6
18
(
v
6
u
2
)
2
2 5
2
2
4 19 3 2
 1 3 2 1 5
u
 3⋅ 2 ⋅ u ⋅ v + 10 ⋅ u  ⋅ ln u + v + 15 ⋅ u⋅ v − 90 ⋅ u ⋅ v − 15 ⋅ v ⋅ arctan  v 


 
1
3⋅ 3
3 3
(2
⋅ u ⋅ v ⋅ ln u + v
2
) + 1 ⋅u⋅v5 − 1 ⋅u3⋅v3 + 1 ⋅u5⋅v −
9
9
(
9
1
3⋅ 3
⋅  u ⋅ arctan 
6

v
6
 u 
 + v ⋅ arctan  v  
u
 
)
 1 ⋅ u 4⋅ v − 1 ⋅ v 5  ⋅ ln u 2 + v 2 + 1 ⋅ u 2⋅ v 3 − 21 ⋅ u 4⋅ v + 2 ⋅ u 5⋅ arctan  v 


 
20 
20
40
5
 4⋅ 1
u
(
)
3, 1
 1 ⋅ u 4⋅ v 2 + 1 ⋅ u 6 − 1 ⋅ v 6  ⋅ ln u 2 + v 2 + 1 ⋅ u 2⋅ v 4 − 7 ⋅ u 4⋅ v 2


12
24 
24
48
 4⋅ 2
3, 2
 1 ⋅ u 4⋅ v 3 − 1 ⋅ v 7  ⋅ ln u 2 + v 2 + 1 ⋅ u 2⋅ v 5 − 37 ⋅ u 4⋅ v 3 + 2 ⋅ u 6⋅ v − 2 ⋅ u 7⋅ arctan  v 


 
28 
28
504
21
3⋅ 7
 4⋅ 3
u
3, 3
 1 ⋅ u 4⋅ v 4 − 1 ⋅ v 8 − 1 ⋅ u 8  ⋅ ln u 2 + v 2 + 1 ⋅ u 2⋅ v 6 − 3 ⋅ u 4⋅ v 4 + 1 ⋅ u 6⋅ v 2


32
32 
32
64
32
 4⋅ 4
3, 4
 1 ⋅ u 4⋅ v 5 − 1 ⋅ v 9  ⋅ ln u 2 + v 2 + 1 ⋅ u 2⋅ v 7 − 61 ⋅ u 4⋅ v 5 + 2 ⋅ u 6⋅ v 3 − 2 ⋅ u 8⋅ v + 2 ⋅ u 9⋅ arctan  v 


 
36 
36
1800
135
45
5⋅ 9
 4⋅ 5
u
3, 5
 1 ⋅ u 4⋅ v 6 + 1 ⋅ u 10 − 1 ⋅ v 10  ⋅ ln u 2 + v 2 + 1 ⋅ u 2⋅ v 8 − 19 ⋅ u 4⋅ v 6 + 1 ⋅ u 6⋅ v 4 − 1 ⋅ u 8⋅ v 2


60
40
40
720
120
60
 4⋅ 6

7 , 10
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
1 17 2
1 15 4
1 13 6
273 11 8
2
2
2
2
9 10
7 12
 −1 19 1 11 8 
⋅v ⋅u −
⋅ v ⋅u +
⋅v ⋅u −
⋅v ⋅u +
⋅ v ⋅ u − 
⋅ v ⋅ u  ...
 ⋅ v + ⋅ v ⋅ u  ⋅ ln u + v +
88
152
304
456
73568
1881
 152

 1463

2
2 3 16
2 18
2 19
v
5 14
+
⋅ v ⋅u −
⋅v ⋅ u +
⋅u ⋅v −
⋅ u ⋅ arctan  
1045
627
209
209
u
Formule générale
INT( u , v , p , q ) :=
(
q+ p + 2
)
(
)
q+ p + 2
v
u 
2
2
 π  ⋅ ln u2 + v2 + 2⋅ cos  q⋅ π  ⋅ arctan v   +
  π
 π
⋅  sin  p ⋅  ⋅ ln u + v + 2⋅ cos  p ⋅  ⋅ arctan    ...



 
 2
 2
 u   ( p + 1) ⋅ ( q + p + 2)   2 
 2
 v 
p + 1 q+ 1
k
q+ 1 p + 1
k
 u p + 1 q+ 1

u
⋅v
2
π v
v
π u
2
2
2
q+ 1−k
p + 1− k


+
+
⋅  ln u + v −
⋅
⋅
sin ( q − k) ⋅  ⋅ ⋅ u
+
⋅
sin ( p − k) ⋅  ⋅ ⋅ v

( p + 1) ⋅ ( q + 1) 
p + q + 2 p + q + 2 q + 1
2 k
p+1
2 k



k =1
k =1



( q + 1) ⋅ ( q + p + 2) 
u
⋅  sin  q ⋅
(
)
∑
∑
Vérifications
0, 0
INT( u , v , p , q ) := u ⋅ arctan 
3, 4
INT( u , v , p , q ) :=
2
u
9
5⋅ 9
( (
) )
v
2
2
2
u
 + v ⋅ arctan  + u ⋅ v⋅ ln u + v − 1 − 2⋅ u⋅ v
u
v
9
4 5
k
k
4 5
5 4

2
v
u ⋅v 
2 u
2
2
2
2
 π  v 5− k + v ⋅
 π  u 4−k 
⋅  ln u + v −  − ⋅  ⋅
sin  k⋅  ⋅ ⋅ u
cos  k⋅  ⋅ ⋅ v
−
⋅ ln u + v +

9 9  5
4⋅ 5 
4

 u  4⋅ 9
 2 k
 2 k
k =1
 k=1

⋅ 2⋅ arctan 
v
(
)
(
)
∑
∑
!"#
$
%
(
&
%
' &
"
N quadripôles
Z1
Z1
Z1
Z1
Z2
Z1
Z2
Z 1'
Z1
Z2
Z 1'
Z 2'
)
$
*
+
Gva
$$ & *
'
(
$
*
"
Z c = Z1 +
"
Gva =
.
Zc
&
Z 2 ⋅ (Z 1 + Z c )
Z 2 + Z1 + Z c
Z2Zc
Z12
",
+ 2 Z 1 Z 2 + Z1 Z c + Z 2 Z c
!"
! "
-
"
Z c = Z 12 + 2 Z1 Z 2
!#"
"
Gva =
Z2
Z1 + Z c + Z 2
!$"
.
&
0
Z1
$
Z2
Zc
Gva
"
"
Z1 = Z c
"
Z2 = Zc
1
1 − Gva
1 + Gva
!%"
2Gva
!&"
2
1 − Gva
*
*
&
$$
$
+
(
*
Zc
&
&
" 2*
*
Z c ""
#
+
&
*
&
3 2
Gva
Z 2'
N
Gva
*
Z1'
0
"
Z1' = Z c ⋅
"
Z 2' = Z c ⋅
1 − Gva N
2Gva N
!("
1 − Gva 2 N
) *
x=
)
0
Z c = Z1 1 +
)
0
Z1
Z2
Z1
2
x
Z2
Z1 = Z c
x
$
Z 2' "
!'"
1 + Gva N
66666666666666666666666666666666666666666666666
)
N
Gva
"
4
Z1'
&
5
Gva &
$
Zc "
x
x
2+x
Z2 =
Gva
-
Z
1
= 1 + x + c = 1 + x + 2x + x 2
Gva
Z2
/
Z1
1
= Zc
x
2x + x 2
2
 1

⇔
− (1 + x ) = 2 x + x 2
 Gva

⇔x=
(Gva − 1)2
8 $
2Gva
&
9
0
Z1
(Gva − 1)2
2Gva
Z1 = Z c
2+
(Gva − 1)
2
2Gva
Z2 =
Z1
(Gva − 1)2
2Gva
66666666666666666666666666666666666666666666666
7
Z2
:
!" #$% &
'(
(
)*+)*", $
-*
'*&", $%
.
/
0
Sources externes
1
23 4
5%
1
/ 7
/
4
% 6
7
(
4
Composant
électromagnétique
/
8
%*
2 5
1
2 5% &
1
αn
7
11
1
an %
Aint =
%
Aext =
µ0
2π
µ0
2π

− α 0 ln (r ) +

∞
∑ {r
n
n =1
∞
∑ {r
−n
n =1
[α n cos(nϕ ) + β n sin (nϕ )]}


[a n cos(nϕ ) + bn sin (nϕ )]}
/ 7
2 5
2 5
!
8
4
B rint =
%
Bϕint
.
8
0
/
%
2 5 295%

µ0  ∞
nr −(n +1) [− α n sin (nϕ ) + β n cos(nϕ )] 

2π  n =1

∑{
}
"

µ α
µ ∞
= 0 0 + 0 
nr − (n +1) [α n cos(nϕ ) + β n sin (nϕ )] 
2π r
2π  n =1

∑{
}
µ0
2π
∞

nr n −1 [− a n sin (nϕ ) + bn cos(nϕ )] 

 n =1

µ
= 0
2π
∞

− nr n −1 [a n cos(nϕ ) + bn sin (nϕ )] 

 n =1

B rext =
Bϕext
7
∑{
}
∑{
#
}
7
/
%6
/
4
(
:
té d
ns i
De
C
ou
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*
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mp
a
h
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n
ϕ
11 ( /
/
8
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1
23 4
5% * 4
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1
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1
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34
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7
%
23 4
%)
1
/ 7
%'
34
(
cos(ϕ ) %
(
/ 7
1
: /
%
1
11
7
cos(2ϕ )
: /
1
1
/
5
%
34
:
:
: cos(3ϕ ) %
&
"
%
%
φ'& (
(
)
!φ ' & (
9
)
)
φ
"φ
'
7
(
: /
: / 7
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4
/
11
/
%
2/
: /
%
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/
2/
%
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4
1
:
: / 1
4
11
?
r − n 5(
11
r n 5%
1/--страниц
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