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Contrôle stochastique et méthodes numériques en
finance mathématique
Romuald Elie
To cite this version:
Romuald Elie. Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance mathématique. Mathématiques [math]. ENSAE ParisTech, 2006. Français. �tel-00122883�
HAL Id: tel-00122883
https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00122883
Submitted on 5 Jan 2007
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publics ou privés.
Contrôle optimal stochastique
et méthodes numériques
en finance mathématique
Romuald ELIE
ENSAE-CREST, CEREMADE
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.1/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.3/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Sensibilité: β 0 := ∇λ E [φ (Zλ0 )]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Sensibilité: β 0 := ∇λ E [φ (Zλ0 )]
Comment calculer β0 ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Sensibilité: β 0 := ∇λ E [φ (Zλ0 )]
Comment calculer β0 ?
Différences finies
β0 ∼
1
ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0 )
[LP94]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Sensibilité: β 0 := ∇λ E [φ (Zλ0 )]
Comment calculer β0 ?
1
ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0 )
Différences finies
β0 ∼
Pathwise
β0 = E[φ′ (Zλ0 )∇λ Zλ0 ]
[LP94]
[BG96]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Sensibilité: β 0 := ∇λ E [φ (Zλ0 )]
Comment calculer β0 ?
1
ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0 )
Différences finies
β0 ∼
Pathwise
β0 = E[φ′ (Zλ0 )∇λ Zλ0 ]
i
h
β0 = E φ(Zλ0 ) ∇fλ f (λ0 , Zλ0 )
Vraisemblance
[LP94]
[BG96]
[BGP6]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Sensibilité: β 0 := ∇λ E [φ (Zλ0 )]
Comment calculer β0 ?
1
ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0 )
Différences finies
β0 ∼
Pathwise
β0 = E[φ′ (Zλ0 )∇λ Zλ0 ]
i
h
β0 = E φ(Zλ0 ) ∇fλ f (λ0 , Zλ0 )
Vraisemblance
[LP94]
[BG96]
[BGP6]
Que faire si f est inconnue et φ irrégulière ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Problème & Littérature
Zλ v. a. de densité f (λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd .
Option de payoff actualisé φ (Zλ0 )
Prix: P (λ0 ) := E [φ (Zλ0 )]
Sensibilité: β 0 := ∇λ E [φ (Zλ0 )]
Comment calculer β0 ?
1
ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0 )
Différences finies
β0 ∼
Pathwise
β0 = E[φ′ (Zλ0 )∇λ Zλ0 ]
i
h
β0 = E φ(Zλ0 ) ∇fλ f (λ0 , Zλ0 )
Vraisemblance
Malliavin
β0 = E [φ(Zλ0 ) π]
[LP94]
[BG96]
[BGP6]
[FLLLT99]
Que faire si f est inconnue et φ irrégulière ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
Paramètre aléatoire
Sensibilité β 0
Prix
E [φ (Zλ0 )]
E
h
i
φ(Zλ0 ) ∇fλ f (λ0 , Zλ0 )
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.5/34
Paramètre aléatoire
Sensibilité β 0
Prix
E [φ (Zλ0 )]
E
h
i
φ(Zλ0 ) ∇fλ f (λ0 , Zλ0 )
v.a. Λ de densité ℓ donnée et ZΛ tq ZΛ | Λ de densité f
h
i
f
∇
E φ(ZΛ ) | Λ = λ0
E φ(ZΛ ) fλ (Λ, ZΛ ) | Λ = λ0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.5/34
Paramètre aléatoire
Sensibilité β 0
Prix
E [φ (Zλ0 )]
E
h
i
φ(Zλ0 ) ∇fλ f (λ0 , Zλ0 )
v.a. Λ de densité ℓ donnée et ZΛ tq ZΛ | Λ de densité f
h
i
f
∇
E φ(ZΛ ) | Λ = λ0
E φ(ZΛ ) fλ (Λ, ZΛ ) | Λ = λ0
Simulation de N réalisations i.i.d. de (Λ, ZΛ )
Estimation non paramétrique: Noyau K, fenêtre h
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
i=1 φ(Zi )K
λ0 −Λi
h
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
∇λ f
φ(Z
)
i
i=1
f (Λi , Zi )K
λ0 −Λi
h
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.5/34
Estimateurs
Sensibilité β 0
Prix
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
i=1 φ(Zi )K
λ0 −Λi
h
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
∇λ f
φ(Z
)
i
i=1
f (Λi , Zi )K
λ0 −Λi
h
Trois estimateurs non paramétriques
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
Estimateurs
Sensibilité β 0
Prix
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
i=1 φ(Zi )K
λ0 −Λi
h
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
∇λ f
φ(Z
)
i
i=1
f (Λi , Zi )K
λ0 −Λi
h
Trois estimateurs non paramétriques
On estime
∇λ f
f
à l’aide d’un estimateur à noyau de f
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
Estimateurs
Sensibilité β 0
Prix
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
i=1 φ(Zi )K
λ0 −Λi
h
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
∇λ f
φ(Z
)
i
i=1
f (Λi , Zi )K
λ0 −Λi
h
Trois estimateurs non paramétriques
∇λ f
f
à l’aide d’un estimateur à noyau de f
0 i
h
On laisse N → ∞ à h fixe → E φ(Z) ∇fλ f (Λ, Z)K λ h−Λ
On estime
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
Estimateurs
Sensibilité β 0
Prix
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
i=1 φ(Zi )K
λ0 −Λi
h
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
∇λ f
φ(Z
)
i
i=1
f (Λi , Zi )K
λ0 −Λi
h
Trois estimateurs non paramétriques
∇λ f
f
à l’aide d’un estimateur à noyau de f
0 i
h
On laisse N → ∞ à h fixe → E φ(Z) ∇fλ f (Λ, Z)K λ h−Λ
On estime
Par une intégration par parties, ce terme est la limite de
β̂N
0
0
N
h−d−1 X
λ − Λi
λ − Λi ∇ℓ
:=
− hK
φ(Zi ) ∇K
(Λi )
0
ℓ(λ )N i=1
h
h
ℓ
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
Estimateurs
Sensibilité β 0
Prix
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
i=1 φ(Zi )K
λ0 −Λi
h
h−d
N ℓ(λ0 )
PN
∇λ f
φ(Z
)
i
i=1
f (Λi , Zi )K
λ0 −Λi
h
Trois estimateurs non paramétriques
∇λ f
f
à l’aide d’un estimateur à noyau de f
0 i
h
On laisse N → ∞ à h fixe → E φ(Z) ∇fλ f (Λ, Z)K λ h−Λ
On estime
Par une intégration par parties, ce terme est la limite de
β̂N
0
0
N
h−d−1 X
λ − Λi
λ − Λi ∇ℓ
:=
− hK
φ(Zi ) ∇K
(Λi )
0
ℓ(λ )N i=1
h
h
ℓ
On dérive l’estimateur du prix par rapport à λ0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
Convergence
−d−1
β̂N
N
X
0
0
λ − Λi ∇ℓ
h
λ − Λi
φ(Z
)
∇K
−
hK
(Λi )
:=
i
0
ℓ(λ )N i=1
h
h
ℓ
Hypothèse: Régularité de ℓ et f
et
N hd+2 → 0

 Biais
√
∼ Chp
loi
N hd+2 β̂N − β 0 −→ N (0, Σ)
Σ1
N →∞
Variance ∼
d+2
Nh
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
Convergence
−d−1
β̂N
N
X
0
0
λ − Λi ∇ℓ
h
λ − Λi
φ(Z
)
∇K
−
hK
(Λi )
:=
i
0
ℓ(λ )N i=1
h
h
ℓ
Hypothèse: Régularité de ℓ et f
et
N hd+2 → 0

 Biais
√
∼ Chp
loi
N hd+2 β̂N − β 0 −→ N (0, Σ)
Σ1
N →∞
Variance ∼
d+2
Nh
• Equilibre N et h
⇒
h∗
∼ CN
1
− d+2p+2
⇒ Vitesse en N
p
d+2p+2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
Convergence
−d−1
β̂N
N
X
0
0
λ − Λi ∇ℓ
h
λ − Λi
φ(Z
)
∇K
−
hK
(Λi )
:=
i
0
ℓ(λ )N i=1
h
h
ℓ
Hypothèse: Régularité de ℓ et f
et
N hd+2 → 0

 Biais
√
∼ Chp
loi
N hd+2 β̂N − β 0 −→ N (0, Σ)
Σ1
N →∞
Variance ∼
d+2
Nh
• Equilibre N et h
⇒
• Densité ℓ de largeur h
h∗
∼ CN
1
− d+2p+2
⇒ Vitesse en N
⇒ Vitesse en N
p
d+2p+2
p
2p+2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
Convergence
−d−1
β̂N
N
X
0
0
λ − Λi ∇ℓ
h
λ − Λi
φ(Z
)
∇K
−
hK
(Λi )
:=
i
0
ℓ(λ )N i=1
h
h
ℓ
Hypothèse: Régularité de ℓ et f
et
N hd+2 → 0

 Biais
√
∼ Chp
loi
N hd+2 β̂N − β 0 −→ N (0, Σ)
Σ1
N →∞
Variance ∼
d+2
Nh
• Equilibre N et h
⇒
h∗
∼ CN
1
− d+2p+2
⇒ Vitesse en N
• Densité ℓ de largeur h
⇒ Vitesse en N
• Différences finies pour φ irrégulier
⇒ Vitesse en N
p
d+2p+2
p
2p+2
2
5
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
Convergence
−d−1
β̂N
N
X
0
0
λ − Λi ∇ℓ
h
λ − Λi
φ(Z
)
∇K
−
hK
(Λi )
:=
i
0
ℓ(λ )N i=1
h
h
ℓ
Hypothèse: Régularité de ℓ et f
et
N hd+2 → 0

 Biais
√
∼ Chp
loi
N hd+2 β̂N − β 0 −→ N (0, Σ)
Σ1
N →∞
Variance ∼
d+2
Nh
• Equilibre N et h
⇒
h∗
∼ CN
1
− d+2p+2
⇒ Vitesse en N
• Densité ℓ de largeur h
⇒ Vitesse en N
• Différences finies pour φ irrégulier
⇒ Vitesse en N
p
d+2p+2
p
2p+2
2
5
⇒ Plus rapide dès que p > 4
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
Call Digital Asiatique, N=1 Million
K2
0,0277
K4
0,0282
K6
0,0287
Malliavin
FD
0,0292
"True value"
0,0297
Distribution des estimateurs
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.8/34
Call Digital Européen, N=1 Milliard
K6
0,016525
0,016529
FD
0,016533
True value
0,016537
0,016541
Distribution des estimateurs
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.9/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.10/34
Problème et littérature

Xt
Y
t
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
avec Γs :=
Hypothèses
R
E
Us (e)γ(e)λ(de)
W MB et µ̄ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
Problème et littérature

Xt
Y
t
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
avec Γs :=
Hypothèses
R
E
Us (e)γ(e)λ(de)
W MB et µ̄ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞
Tous les coefficients sont Lipschitz et γ est bornée
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
Problème et littérature

Xt
Y
t
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
avec Γs :=
Hypothèses
R
E
Us (e)γ(e)λ(de)
W MB et µ̄ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞
Tous les coefficients sont Lipschitz et γ est bornée
Littérature
Existence, unicité et lien avec EID
[TL94] [BBP97]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
Problème et littérature

Xt
Y
t
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
avec Γs :=
Hypothèses
R
E
Us (e)γ(e)λ(de)
W MB et µ̄ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞
Tous les coefficients sont Lipschitz et γ est bornée
Littérature
Existence, unicité et lien avec EID
Résolution numérique sans sauts
[TL94] [BBP97]
[Z01] [BT04] [GLW05]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
Algorithme

Xt
Y
t
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
avec Γs :=
R
E
Us (e)γ(e)λ(de)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.12/34
Algorithme

Xt
Y
t
= x+
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
avec Γs :=
Xtπi +1
Rt
R
E
Us (e)γ(e)λ(de)
Approximation Progressive X π de X
R
1
π
π
π
:= Xti + n µ(ti , Xti )+σ(ti , Xti )∆Wti + E β(ti , Xtπi , e)µ̄(de, (ti , ti+1 ])
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.12/34
Algorithme

Xt
Y
t
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
avec Γs :=
Xtπi +1
Ȳ1π
= x+
Rt
R
E
Us (e)γ(e)λ(de)
Approximation Progressive X π de X
R
1
π
π
π
:= Xti + n µ(ti , Xti )+σ(ti , Xti )∆Wti + E β(ti , Xtπi , e)µ̄(de, (ti , ti+1 ])
Approximation Rétrograde (Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ) de (Y, Z, Γ)

h
i
π := n E Ȳ π ∆W | F

Z̄

ti
ti
t
t

 i
h i+1 R
i
:= g(X1π ) et
Γ̄πti := n E Ȳtπi+1 E γ(e)µ̄(de, (ti , ti+1 ]) | Fti

h
i


 Ȳ π := E Ȳ π | F + 1 h t , X π , Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ti
i
ti+1
ti
ti
ti
ti
ti
n
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.12/34
Algorithme: de
Yti = Yti+1
π
Ȳti+1
à
π
Ȳti
R ti+1
R ti+1
R ti+1R
+ ti h (r, Xr , Yr , Zr , Γr ) dr − ti Zr dWr − ti
U (e)µ̄(de, dr)
E r
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
Algorithme: de
Yti = Yti+1
Ȳtπi
π
Ȳti+1
à
π
Ȳti
R ti+1
R ti+1
R ti+1R
+ ti h (r, Xr , Yr , Zr , Γr ) dr − ti Zr dWr − ti
U (e)µ̄(de, dr)
E r
Générateur constant, (Z π , U π ) donné par représentation de Ȳtπi+1
R ti+1 π
R ti+1R
1
π
π
π
π
π
= Ȳti+1 + n h ti , Xti , Ȳti , Z̄ti , Γ̄ti − ti Zr dWr − ti
U π (e) µ̄(de, dr)
E r
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
Algorithme: de
Yti = Yti+1
Ȳtπi
π
Ȳti+1
à
π
Ȳti
R ti+1
R ti+1
R ti+1R
+ ti h (r, Xr , Yr , Zr , Γr ) dr − ti Zr dWr − ti
U (e)µ̄(de, dr)
E r
Générateur constant, (Z π , U π ) donné par représentation de Ȳtπi+1
R ti+1 π
R ti+1R
1
π
π
π
π
π
= Ȳti+1 + n h ti , Xti , Ȳti , Z̄ti , Γ̄ti − ti Zr dWr − ti
U π (e) µ̄(de, dr)
E r
Approximation dans L (Ω × [ti , ti+1 ]) de Z et Γ = E U π (e)γ(e)λ(de)
par des v.a. Fti -mesurables
hR
i
h
i
ti+1 π
π
:= n E ti Zr dr | Fti
= n E Ȳti+1 ∆Wti | Fti
hR
h
i
i
R
ti+1 π
:= n E ti Γs ds | Fti
= n E Ȳtπi+1 E γ(e)µ̄(de, (ti , ti+1 ]) | Fti
2
Z̄tπi
Γ̄πti
π
π
R
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
Algorithme: de
Yti = Yti+1
Ȳtπi
π
Ȳti+1
à
π
Ȳti
R ti+1
R ti+1
R ti+1R
+ ti h (r, Xr , Yr , Zr , Γr ) dr − ti Zr dWr − ti
U (e)µ̄(de, dr)
E r
Générateur constant, (Z π , U π ) donné par représentation de Ȳtπi+1
R ti+1 π
R ti+1R
1
π
π
π
π
π
= Ȳti+1 + n h ti , Xti , Ȳti , Z̄ti , Γ̄ti − ti Zr dWr − ti
U π (e) µ̄(de, dr)
E r
Approximation dans L (Ω × [ti , ti+1 ]) de Z et Γ = E U π (e)γ(e)λ(de)
par des v.a. Fti -mesurables
hR
i
h
i
ti+1 π
π
:= n E ti Zr dr | Fti
= n E Ȳti+1 ∆Wti | Fti
hR
i
h
i
R
ti+1 π
:= n E ti Γs ds | Fti
= n E Ȳtπi+1 E γ(e)µ̄(de, (ti , ti+1 ]) | Fti
2
Z̄tπi
Γ̄πti
π
π
R
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
Algorithme: de
Yti = Yti+1
Ȳtπi
π
Ȳti+1
à
π
Ȳti
R ti+1
R ti+1
R ti+1R
+ ti h (r, Xr , Yr , Zr , Γr ) dr − ti Zr dWr − ti
U (e)µ̄(de, dr)
E r
Générateur constant, (Z π , U π ) donné par représentation de Ȳtπi+1
R ti+1 π
R ti+1R
1
π
π
π
π
π
= Ȳti+1 + n h ti , Xti , Ȳti , Z̄ti , Γ̄ti − ti Zr dWr − ti
U π (e) µ̄(de, dr)
E r
Approximation dans L (Ω × [ti , ti+1 ]) de Z et Γ = E U π (e)γ(e)λ(de)
par des v.a. Fti -mesurables
hR
i
h
i
ti+1 π
π
:= n E ti Zr dr | Fti
= n E Ȳti+1 ∆Wti | Fti
hR
i
h
i
R
ti+1 π
:= n E ti Γs ds | Fti
= n E Ȳtπi+1 E γ(e)µ̄(de, (ti , ti+1 ]) | Fti
2
Z̄tπi
Γ̄πti
π
Conditionnant la première expression
h
i
1
π
π
π
π
π
π
Ȳti = E Ȳti+1 | Fti + n h ti , Xti , Ȳti , Z̄ti , Γ̄ti
π
R
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
Algorithme

Xt
Y
t
Ȳ1π
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
Approximation Progressive X π de X
Approximation Rétrograde (Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ) de (Y, Z, Γ)

h
i
π
π

Z̄
:=
n
E
Ȳ
∆Wti | Fti

t
t
i
i+1


h
i
R
:= g(X1π ) et
Γ̄πti := n E Ȳtπi+1 E γ(e)µ̄(de, (ti , ti+1 ]) | Fti

i
h


 Ȳ π := E Ȳ π | F + 1 h t , X π , Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ti
i
ti
ti+1
ti
ti
ti
ti
n
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.14/34
Algorithme

Xt
Y
t
Ȳ1π
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
Approximation Progressive X π de X
Approximation Rétrograde (Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ) de (Y, Z, Γ)

h
i
π
π

Z̄
:=
n
E
Ȳ
∆Wti | Fti

t
t
i
i+1


h
i
R
:= g(X1π ) et
Γ̄πti := n E Ȳtπi+1 E γ(e)µ̄(de, (ti , ti+1 ]) | Fti

i
h


 Ȳ π := E Ȳ π | F + 1 h t , X π , Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ti
i
ti
ti+1
ti
ti
ti
ti
n
Quelle est l’erreur d’approximation ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.14/34
Algorithme

Xt
Y
t
Ȳ1π
= x+
Rt
Rt
RtR
µ(s, Xs )ds + 0 σ(s, Xs )dWs + 0 E β(s, Xs− , e)µ̄(de, ds) ,
R1
R1
R1R
= g(X1 ) + t h(s, Xs , Ys , Zs , Γs ) ds − t Zs dWs − t E Us (e)µ̄(de, ds)
0
Approximation Progressive X π de X
Approximation Rétrograde (Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ) de (Y, Z, Γ)

h
i
π
π

Z̄
:=
n
E
Ȳ
∆Wti | Fti

t
t
i
i+1


h
i
R
:= g(X1π ) et
Γ̄πti := n E Ȳtπi+1 E γ(e)µ̄(de, (ti , ti+1 ]) | Fti

i
h


 Ȳ π := E Ȳ π | F + 1 h t , X π , Ȳ π , Z̄ π , Γ̄π ti
i
ti
ti+1
ti
ti
ti
ti
n
Quelle est l’erreur d’approximation ?
Statistique / Discrétisation
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.14/34
Convergence
Erreur d’approximation
1
R
P
2
t
Errn := supti E |Yti − Ȳtπi |2 + ni=1 tii+1 |Zs − Z̄tπi |2 ds + |Γs − Γ̄πti |2 ds
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
Convergence
Erreur d’approximation
1
R
P
2
t
Errn := supti E |Yti − Ȳtπi |2 + ni=1 tii+1 |Zs − Z̄tπi |2 ds + |Γs − Γ̄πti |2 ds
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t, Xt ) avec y lipschitz
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
Convergence
Erreur d’approximation
1
R
P
2
t
Errn := supti E |Yti − Ȳtπi |2 + ni=1 tii+1 |Zs − Z̄tπi |2 ds + |Γs − Γ̄πti |2 ds
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t, Xt ) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒ Ut (e) = y(t, Xt− + β(t, Xt− , e)) − y(t, Xt− )
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
Convergence
Erreur d’approximation
1
R
P
2
t
Errn := supti E |Yti − Ȳtπi |2 + ni=1 tii+1 |Zs − Z̄tπi |2 ds + |Γs − Γ̄πti |2 ds
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t, Xt ) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒ Ut (e) = y(t, Xt− + β(t, Xt− , e)) − y(t, Xt− )
Z, dérivée de Malliavin de Y , solution d’une EDSR linéaire
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
Convergence
Erreur d’approximation
1
R
P
2
t
Errn := supti E |Yti − Ȳtπi |2 + ni=1 tii+1 |Zs − Z̄tπi |2 ds + |Γs − Γ̄πti |2 ds
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t, Xt ) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒ Ut (e) = y(t, Xt− + β(t, Xt− , e)) − y(t, Xt− )
Z, dérivée de Malliavin de Y , solution d’une EDSR linéaire
Vitesse
Coefficients Lipschitz
⇒ Errn ≤ Cε n−1/2+ε ∀ε > 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
Convergence
Erreur d’approximation
1
R
P
2
t
Errn := supti E |Yti − Ȳtπi |2 + ni=1 tii+1 |Zs − Z̄tπi |2 ds + |Γs − Γ̄πti |2 ds
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t, Xt ) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒ Ut (e) = y(t, Xt− + β(t, Xt− , e)) − y(t, Xt− )
Z, dérivée de Malliavin de Y , solution d’une EDSR linéaire
Vitesse
Coefficients Lipschitz
⇒ Errn ≤ Cε n−1/2+ε ∀ε > 0
∇X inversible ou coefficients Cb1 ⇒ Errn ≤ Cn−1/2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut
τ ∼ E(c)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut
τ ∼ E(c)
τ
>T
g1 (XT ) = [5 − XT ]+
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut
τ ∼ E(c)
τ
>T
τ<
T
g1 (XT ) = [5 − XT ]+
g0 (XT ) = g1 (XT ) ∧ 0.5
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut
τ ∼ E(c)
τ
>T
g1 (XT ) = [5 − XT ]+
τ<
T
g0 (XT ) = g1 (XT ) ∧ 0.5
• Prix:
u0 (t, x) := E [g0 (XT ) /Xt = x]
h
i
R
T
u1 (0, x) := E g1 (XT )e−cT + 0 u0 (s, Xs )ce−cs ds /X0 = x
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut
τ ∼ E(c)
τ
>T
g1 (XT ) = [5 − XT ]+
τ<
T
g0 (XT ) = g1 (XT ) ∧ 0.5
• Prix:
u0 (t, x) := E [g0 (XT ) /Xt = x]
h
i
R
T
u1 (0, x) := E g1 (XT )e−cT + 0 u0 (s, Xs )ce−cs ds /X0 = x
• EDP:
L u0 = 0 , u0 (T, ·) = g0
L u1 + c(u0 − u1 ) = 0 , u1 (T, ·) = g1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut
τ
τ ∼ E(c)
g1 (XT ) = [5 − XT ]+
>T
τ<
T
g0 (XT ) = g1 (XT ) ∧ 0.5
• Prix:
u0 (t, x) := E [g0 (XT ) /Xt = x]
h
i
R
T
u1 (0, x) := E g1 (XT )e−cT + 0 u0 (s, Xs )ce−cs ds /X0 = x
4
• EDP:
L u0 = 0 , u0 (T, ·) = g0
1
3
L u1 + c(u0 − u1 ) = 0 , u1 (T, ·) = g1 2
2
3
True U1 (c = 0,1)
True U1 (c = 0,5)
4
5
6
Estimated U1 (c = 0,1)
Estimated U1 (c = 0,5)
1
0
7
0
8
1
2
3
True U1 (c = 0,1)
True U1 (c = 0,5)
4
5
6
Estimated U1 (c = 0,1)
Estimated U1 (c = 0,5)
7
8
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.17/34
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt (dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt (dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Rt
0
Cr dr +
Rt
0
σθr (dWr + λdr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt (dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Rt
0
Cr dr +
Rt
0
σθr (dWr + λdr)
Pour rassurer ses investisseurs, il s’impose une
Contrainte drawdown :
Xtx,C,θ
≥ α
∗
x,C,θ
X
t
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt (dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Rt
0
Cr dr +
Rt
0
σθr (dWr + λdr)
Pour rassurer ses investisseurs, il s’impose une
Contrainte drawdown :
Xtx,C,θ
≥ α
∗
x,C,θ
X
t
Quelle est la stratégie (C, θ) optimale ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
Littérature
Richesse:
Xtx,C,θ
Contrainte drawdown :
= x−
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
Littérature
Richesse:
Xtx,C,θ
Contrainte drawdown :
= x−
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Taux de croissance à long terme
[GZ93] [CK95]
h
p i
1
x,C,θ
u(x) = sup lim sup log E Xt
t→∞ t
θ∈AD
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
Littérature
Richesse:
Xtx,C,θ
Contrainte drawdown :
= x−
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Taux de croissance à long terme
[GZ93] [CK95]
h
p i
1
x,C,θ
u(x) = sup lim sup log E Xt
t→∞ t
θ∈AD
⇒ Investissement
θt = π Xtx,C,θ − α X
∗
x,C,θ
t
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
Littérature
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Contrainte drawdown :
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Taux de croissance à long terme
[GZ93] [CK95]
h
p i
1
x,C,θ
u(x) = sup lim sup log E Xt
t→∞ t
θ∈AD
⇒ Investissement
θt = π Xtx,C,θ − α X
Utilité puissance intertemporelle
u(x) =
sup
(C,θ)∈AD
E
Z
∞
0
∗
x,C,θ
t
[R06]
e−βt Ct p dt
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
Modélisation
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Contrainte drawdown :
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Utilité générale intertemporelle
u(x) :=
sup
(C,θ)∈AD
E
Z
∞
e−βt U (Ct )dt
0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.20/34
Modélisation
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Contrainte drawdown :
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Utilité générale intertemporelle
u(x) :=
sup
(C,θ)∈AD
E
Z
∞
e−βt U (Ct )dt
0
AD contient l’ensemble des stratégies de la forme
∗ x,C,θ
[θt , Ct ] = [πt , ct ] Xt
− α X x,C,θ
t
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.20/34
Modélisation
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Contrainte drawdown :
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Utilité générale intertemporelle
u(x) :=
sup
E
(C,θ)∈AD
Z
∞
e−βt U (Ct )dt
0
AD contient l’ensemble des stratégies de la forme
∗ x,C,θ
[θt , Ct ] = [πt , ct ] Xt
− α X x,C,θ
t
Clef:
Mt :=
h
Xtx,C,θ
−α X
ih
∗
x,C,θ
X
iα/(1−α)
∗
x,C,θ
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.20/34
Modélisation
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Rt
0
Cr dr +
Rt
0
σθr (dWr + λdr)
Xtx,C,θ ≥ α Ztx,z,C,θ
∗
x,z,C,θ
x,C,θ
avec Zt
:= z ∨ Xt
Contrainte drawdown :
Utilité générale intertemporelle
u(x, z) :=
sup
(C,θ)∈AD
E
Z
∞
e−βt U (Ct )dt
0
AD contient l’ensemble des stratégies de la forme
[θt , Ct ] = [πt , ct ] Xtx,C,θ − αZtx,z,C,θ
Clef:
Mt :=
h
Xtx,C,θ
− αZtx,z,C,θ
ih
Ztx,z,C,θ
iα/(1−α)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.21/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
avec γ :=
2β
λ2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
avec γ :=
2β
λ2
u(x, .) est décroissante
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
avec γ :=
2β
λ2
u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0 (x, z)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
avec γ :=
2β
λ2
u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0 (x, z)≤ K(1 + xp )
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
u(x, z) ≤ u0 (x, z)≤ K(1 + xp )
avec γ :=
2β
λ2
u(x, .) est décroissante
u(αz, z) = 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
u(x, z) ≤ u0 (x, z)≤ K(1 + xp )
avec γ :=
2β
λ2
u(x, .) est décroissante
u(αz, z) = 0
uz (z, z) = 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
u(x, z) ≤ u0 (x, z)≤ K(1 + xp )
avec γ :=
2β
λ2
u(x, .) est décroissante
u(αz, z) = 0
uz (z, z) = 0
Programmation Dynamique
2 2
θ σ
uxx = 0 ,
βu− sup
U (C) + (θσλ − C)ux +
2
C≥0,θ∈R
αz < x < z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Propriétés
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
xU ′ (x)
γ
p := lim sup
<
< 1,
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
u(x, z) ≤ u0 (x, z)≤ K(1 + xp )
avec γ :=
2β
λ2
u(x, .) est décroissante
u(αz, z) = 0
uz (z, z) = 0
Programmation Dynamique
2 2
θ σ
uxx = 0 , αz < x < z
βu− sup
U (C) + (θσλ − C)ux +
2
C≥0,θ∈R

 C ∗ = −V ′ (u )
λ2 u2x
x
⇒ βu−V (ux )+
= 0 , αz < x < z
 θ∗ = −λux /σuxx
2 uxx
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
uz (z, z) = 0
u(αz, z) = 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
EDP Duale
αz < x < z
ϕ(z) < y < ϕα (z)
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
λ2 2
βv − βyvy −
y vyy = V (y)
2
uz (z, z) = 0
u(αz, z) = 0
ϕ(z) := ux (z, z) et ϕα (z) := ux (αz, z)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
EDP Duale
αz < x < z
ϕ(z) < y < ϕα (z)
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
λ2 2
βv − βyvy −
y vyy = V (y)
2
uz (z, z) = 0
vz (ϕ(z), z) = 0
u(αz, z) = 0
ϕ(z) := ux (z, z) et ϕα (z) := ux (αz, z)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
EDP Duale
αz < x < z
ϕ(z) < y < ϕα (z)
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
λ2 2
βv − βyvy −
y vyy = V (y)
2
uz (z, z) = 0
vz (ϕ(z), z) = 0
u(αz, z) = 0
v(ϕα (z), z) = −αzϕα (z)
ϕ(z) := ux (z, z) et ϕα (z) := ux (αz, z)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
EDP Duale
αz < x < z
ϕ(z) < y < ϕα (z)
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
λ2 2
βv − βyvy −
y vyy = V (y)
2
uz (z, z) = 0
vz (ϕ(z), z) = 0
u(αz, z) = 0
v(ϕα (z), z) = −αzϕα (z)
ϕ(z) := ux (z, z) et ϕα (z) := ux (αz, z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
EDP Duale
αz < x < z
ϕ(z) < y < ϕα (z)
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
λ2 2
βv − βyvy −
y vyy = V (y)
2
uz (z, z) = 0
vz (ϕ(z), z) = 0
u(αz, z) = 0
v(ϕα (z), z) = −αzϕα (z)
ϕ(z) := ux (z, z) et ϕα (z) := ux (αz, z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
On déduit vy en fonction de ϕ
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
EDP Duale
αz < x < z
ϕ(z) < y < ϕα (z)
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
λ2 2
βv − βyvy −
y vyy = V (y)
2
uz (z, z) = 0
vz (ϕ(z), z) = 0
u(αz, z) = 0
v(ϕα (z), z) = −αzϕα (z)
ϕ(z) := ux (z, z) et ϕα (z) := ux (αz, z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
On déduit vy en fonction de ϕ
ϕ déterminée implicitement par vy (ϕ(z), z) = −z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Dualité
v(y, z) := supx≥0 [u(x, z) − xy]
EDP primale
EDP Duale
αz < x < z
ϕ(z) < y < ϕα (z)
λ2 u2x
βu − V (ux ) +
=0
2 uxx
λ2 2
βv − βyvy −
y vyy = V (y)
2
uz (z, z) = 0
vz (ϕ(z), z) = 0
u(αz, z) = 0
v(ϕα (z), z) = −αzϕα (z)
ϕ(z) := ux (z, z) et ϕα (z) := ux (αz, z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
On déduit vy en fonction de ϕ
ϕ déterminée implicitement par vy (ϕ(z), z) = −z
u déterminée implicitement si γ < (1 − α)(1 + γ)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
Vérification
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
γ
xU ′ (x)
<
< 1,
p := lim sup
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
2β
avec γ := 2
λ
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
Vérification
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
γ
xU ′ (x)
<
< 1,
p := lim sup
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
2β
avec γ := 2
λ
Théorème de vérification
u∈
C0
Dα ∩ C 2,1 (Dα ) avec Dα := {(x, z) : αz < x < z}
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
Vérification
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
γ
xU ′ (x)
<
< 1,
p := lim sup
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
2β
avec γ := 2
λ
Théorème de vérification
u∈
C0
Dα ∩ C 2,1 (Dα ) avec Dα := {(x, z) : αz < x < z}
u est solution de l’EDP primale
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
Vérification
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
γ
xU ′ (x)
<
< 1,
p := lim sup
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
2β
avec γ := 2
λ
Théorème de vérification
u∈
C0
Dα ∩ C 2,1 (Dα ) avec Dα := {(x, z) : αz < x < z}
u est solution de l’EDP primale
Sol. unique à l’EDS de la richesse pour la stratégie optimale
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
Vérification
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
γ
xU ′ (x)
<
< 1,
p := lim sup
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
2β
avec γ := 2
λ
Théorème de vérification
u∈
C0
Dα ∩ C 2,1 (Dα ) avec Dα := {(x, z) : αz < x < z}
u est solution de l’EDP primale
Sol. unique à l’EDS de la richesse pour la stratégie optimale
αp
(1−α)p
u(x, z) ≤ K 1 + z (x − αz)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
Vérification
Hypothèses: U est C 2 , croissante, concave, satisfait Inada et
γ
xU ′ (x)
<
< 1,
p := lim sup
U (x)
(1 − α)(1 + γ)
x→∞
2β
avec γ := 2
λ
Théorème de vérification
u∈
C0
Dα ∩ C 2,1 (Dα ) avec Dα := {(x, z) : αz < x < z}
u est solution de l’EDP primale
Sol. unique à l’EDS de la richesse pour la stratégie optimale
αp
(1−α)p
u(x, z) ≤ K 1 + z (x − αz)
Martingale d’Azema-Yor, contrainte non-linéaire ? [EM06]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
Stratégie optimale
1
5
0,8
4
Investissement
Consommation
U (x) = xp + xq
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
x
0,8
1
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x
Stratégie optimale en fonction de x pour différents α.
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.25/34
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.26/34
Drawdown en horizon fini
Richesse:
Xtx,C,θ
Contrainte drawdown :
= x−
Rt
0
Cr dr +
Xtx,C,θ
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
Drawdown en horizon fini
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Contrainte drawdown :
Rt
Cr dr +
0
Xtx,C,θ
Rt
σθr (dWr + λdr)
x,C,θ ∗
≥ α X
t
0
Maximisation avec un horizon fixé T
u(x) :=
sup
(C,θ)∈AD
E
Z
0
T
e−βs U (Cs )ds
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
Drawdown en horizon fini
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Contrainte drawdown :
Rt
0
Cr dr +
Rt
0
σθr (dWr + λdr)
Xtx,C,θ ≥ α Ztx,z,C,θ
avec Ztx,z,C,θ := z ∨ Xtx,C,θ
Maximisation avec un horizon fixé T
u(x, z) :=
sup
(C,θ)∈AD
E
Z
0
T
∗
e−βs U (Cs )ds
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
Drawdown en horizon fini
Richesse:
Xtx,C,θ
= x−
Rt
0
Cr dr +
Rt
0
σθr (dWr + λdr)
Xtx,C,θ ≥ α Ztx,z,C,θ
Contrainte drawdown :
avec Ztx,z,C,θ := z ∨ Xtx,C,θ
Maximisation avec un horizon fixé T
u(x, z) :=
sup
(C,θ)∈AD
E
T
Z
0
∗
e−βs U (Cs )ds
Dépendance temporelle de la fonction valeur
u(t, x, z) :=
sup
(C,θ)∈AD
E
Z
t
T
e−βs U (Cs )ds
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
Oα
x = αz
b
0
z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
Oα
x = αz
b
0
z
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
Oα
x = αz
b
0
z
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp )
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
Oα
x = αz
b
0
z
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα
0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp )
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
Oα
x = αz
b
0
z
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα
0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp )
uz = 0 sur B1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
→
−
e
Oα
x = αz
b
0
z
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp )
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα
uz = 0 sur B1
→
→
h 7→ u[y + h−
e ] est concave sur R+
avec −
e := (0, 1, 1)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
→
−
e
Oα
x = αz
b
0
z
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp )
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα
uz = 0 sur B1
→
→
h 7→ u[y + h−
e ] est concave sur R+
avec −
e := (0, 1, 1)
→
⇒ u est C 0 à droite dans la direction −
e sur Oα ∪ BT ∪ B1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Domaine et propriétés
x
x=z
Domaine de définition Oα de u se décompose en
Oα
B0
Bα
B1
BT
:=
:=
:=
:=
:=
[0, T ) × {(x, z) : 0 < αz < x < z} ,
[0, T ] × {(0, 0)} ,
[0, T ] × {(αz, z) : z > 0} ,
[0, T ) × {(z, z) : z > 0} ,
{T } × {(x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z} .
→
−
e
Oα
x = αz
b
0
z
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp )
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα
uz = 0 sur B1
→
→
h 7→ u[y + h−
e ] est concave sur R+
avec −
e := (0, 1, 1)
→
⇒ u est C 0 à droite dans la direction −
e sur Oα ∪ BT ∪ B1
0 ≤ u(t, x, z) ≤ u∞ (x, z)
⇒ vrai sur Oα
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
Solution de viscosité
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
sur B1
sur BT ∪ B0
Oα
x = αz
b
0
z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
Solution de viscosité
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
sur B1
sur BT ∪ B0
Oα
x = αz
u est solution de viscosité contrainte de (E)
b
0
z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
Solution de viscosité
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
sur Oα
sur B1
sur BT ∪ B0
Oα
x = αz
u est solution de viscosité contrainte de (E), i.e.
sur-solution
x=z
b
0
z
• u∗ ≥ 0 sur BT ∪ B0 ,
• ∀ y0 ∈ Oα , ϕ ∈ C 1,2,1 (O α ) tq 0 = (u∗ − ϕ)(y0 ) = inf Oα (u∗ − ϕ), on a
−Lϕ(y0 ) ≥ 0 si y0 ∈ Oα et −ϕz (y0 ) ≥ 0 si y0 ∈ B1 .
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
Solution de viscosité
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
sur Oα
sur B1
sur BT ∪ B0
Oα
x = αz
sur-solution
sous-solution
u est solution de viscosité contrainte de (E), i.e.
• u∗ ≥ 0 sur BT ∪ B0 ,
• u∗ ≤ 0 sur BT ∪ B0 ,
x=z
b
0
z
• ∀ y0 ∈ Oα , ϕ ∈ C 1,2,1 (O α ) tq 0 = (u∗ − ϕ)(y0 ) = inf Oα (u∗ − ϕ), on a
−Lϕ(y0 ) ≥ 0 si y0 ∈ Oα et −ϕz (y0 ) ≥ 0 si y0 ∈ B1 .
• ∀ y0 ∈ Oα , ϕ ∈ C 1,2,1 (O α ) tq 0 = (u∗ − ϕ)(y0 ) = supOα (u∗ − ϕ), on a
−Lϕ(y0 ) ≤ 0 si y0 ∈ Oα ∪ Bα et min{−Lϕ, −ϕz }(y0 ) ≤ 0 si y0 ∈ B1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
Unicité de la solution
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
sur B1
sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Oα
x = αz
b
0
z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
Unicité de la solution
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
sur B1
sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Oα
x = αz
b
[Z94]
0
z
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]− )(t, x, z) ≤ K(1 + xp ) sur Oα
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
Unicité de la solution
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
→
−
e
sur B1
sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Oα
x = αz
b
[Z94]
0
z
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]− )(t, x, z) ≤ K(1 + xp ) sur Oα
→
v est C 0 à droite dans la direction −
e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
Unicité de la solution
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
→
−
e
sur B1
sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Oα
x = αz
b
[Z94]
0
z
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]− )(t, x, z) ≤ K(1 + xp ) sur Oα
→
v est C 0 à droite dans la direction −
e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BT
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
Unicité de la solution
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
→
−
e
sur B1
sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Oα
x = αz
b
[Z94]
0
z
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]− )(t, x, z) ≤ K(1 + xp ) sur Oα
→
v est C 0 à droite dans la direction −
e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BT
Alors w ≤ v sur O α .
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
Unicité de la solution
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
→
−
e
sur B1
sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Oα
x = αz
b
[Z94]
0
z
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]− )(t, x, z) ≤ K(1 + xp ) sur Oα
→
v est C 0 à droite dans la direction −
e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BT
Alors w ≤ v sur O α .
⇒ u caractérisée comme unique solution de viscosité
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
Unicité de la solution
L ϕ := ϕt − βϕ + V



 −L ϕ = 0
(E)
−ϕz = 0



ϕ = 0
(ϕx ) −
λ2 ϕ2x
2 ϕxx
x
x=z
sur Oα
→
−
e
sur B1
sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Oα
x = αz
b
0
[Z94]
z
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]− )(t, x, z) ≤ K(1 + xp ) sur Oα
→
v est C 0 à droite dans la direction −
e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BT
Alors w ≤ v sur O α .
⇒ u caractérisée comme unique solution de viscosité
⇒ Approximation numérique
[BS91] [BDR94]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
Fonction valeur u(x, 1)
2
Fonction Valeur
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
x
T=0,1
T=0,2
T=0,4
T=0,8
T=1
T=3
T=inf
Fonction valeur u(x, 1) en fonct. de x pour différents horizons T
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.31/34
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
1,4
Stratégie optimale
4
Consommation
3,5
3
2,5
0,8
1,4
0,6
1,2
0,4
0,2
2
1,5
0
1
0,5
0
1
Investissement
Investissement
1,2
0,5
0,5
0,6
0,6
0,7
0,9
1
x
T=0,1
T=0,2
T=0,1
T=0,4
T=0,8
T=0,2
T=1
T=3
T=0,4
T=inf
0,8
0,6
0,4
0,2
0,7
0,8
1
0
x
0,8
0,5
0,9
0,6
1
0,7
0,8
0,9
1
x
T=0,8
T=1
T=0,1
T=0,2
T=3
T=0,4
T=inf
T=0,8
T=1
T=3
T=inf
Stratégie optimale en fonction de x pour différents horizons T .
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.33/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, y 0 , σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, y 1 , σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = {1} avec λ : A 7→ λ. card(A).
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = {1} avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h̃0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0 (t, x, (y, y + u), z) − λu
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = {1} avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h̃0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0 (t, x, (y, y + u), z) − λu
et h̃1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1 (t, x, (y + u, y), z) − λu
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = {1} avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h̃0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0 (t, x, (y, y + u), z) − λu
et h̃1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1 (t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR

RtR

J =
e µ(de, ds) [mod 2]

 t R0 E
Rt J
t Jr
Xt = 0 µ (r, Xr )dr + 0 σ r (r, Xr )dWr ,


RT J
RT
R TR

JT
r
Yt = g (XT )+ t h̃ (r, Xr , Yr , Zr , Ur (1))dr − t Zr dWr − t E Ur (e)µ̄(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = {1} avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h̃0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0 (t, x, (y, y + u), z) − λu
et h̃1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1 (t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR

RtR

J =
e µ(de, ds) [mod 2]

 t R0 E
Rt J
t Jr
Xt = 0 µ (r, Xr )dr + 0 σ r (r, Xr )dWr ,


RT J
RT
R TR

JT
r
Yt = g (XT )+ t h̃ (r, Xr , Yr , Zr , Ur (1))dr − t Zr dWr − t E Ur (e)µ̄(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = {1} avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h̃0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0 (t, x, (y, y + u), z) − λu
et h̃1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1 (t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR

RtR

J =
e µ(de, ds) [mod 2]

 t R0 E
Rt J
t Jr
Xt = 0 µ (r, Xr )dr + 0 σ r (r, Xr )dWr ,


RT J
RT
R TR

JT
r
Yt = g (XT )+ t h̃ (r, Xr , Yr , Zr , Ur (1))dr − t Zr dWr − t E Ur (e)µ̄(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
Système couplé d’EDP


0
yt0 + µ0 yx0 + 12 [σ 0 ]2 yxx
+ h0 (·, (y 0 , y 1 ), σ 0 yx0 ) = 0 ,

y 1 + µ1 y 1 + 1 [σ 1 ]2 y 1 + h1 (·, (y 0 , y 1 ), σ 1 y 1 ) = 0 ,
t
x
xx
x
2
y 0 (1, ·) = g 0
y 1 (1, ·) = g 1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = {1} avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h̃0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0 (t, x, (y, y + u), z) − λu
et h̃1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1 (t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR
⇒
Yt = y Jt (t, Xt )

RtR

J =
e µ(de, ds) [mod 2]

 t R0 E
Rt J
t Jr
Xt = 0 µ (r, Xr )dr + 0 σ r (r, Xr )dWr ,


RT J
RT
R TR

JT
r
Yt = g (XT )+ t h̃ (r, Xr , Yr , Zr , Ur (1))dr − t Zr dWr − t E Ur (e)µ̄(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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