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Analyse harmonique en dimension infinie
Mohamed Bouali
To cite this version:
Mohamed Bouali. Analyse harmonique en dimension infinie. Mathématiques [math]. Université Pierre
et Marie Curie - Paris VI, 2006. Français. �tel-00068060�
HAL Id: tel-00068060
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00068060
Submitted on 10 May 2006
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publics ou privés.
THÈSE de DOCTORAT de L’UNIVERSITÉ
PARIS VI
Spécialité :
MATHÉMATIQUES
Présentée par :
Mohamed BOUALI
pour obtenir le grade de :
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS VI
Sujet :
Analyse Harmonique en dimension infinie
Soutenue le 05/05/2006 devant le jury composé de
M. Jacques FARAUT
Directeur de thèse
M. Grigori OLSHANSKI
M. Bent ∅RSTED
Rapporteur
Rapporteur
M. Jean-Louis CLERC
M. Sami MUSTAPHA
Examinateur
Examinateur
REMERCIEMENTS
Je voudrais tout d’abord remercier mon directeur de thèse Jacques FARAUT, pour ses encouragements constants et ses judicieux conseils. Il a su
me faire découvrir de nombreux domaines passionnants des mathématiques
et me guider vers des problèmes à la fois intéressants et abordables. Sans lui,
cette thèse n’aurait pas pu s’accomplir dans de si bonnes conditions.
J’exprime ma sincère reconnaissance aux rapporteurs, Grigori OLSHANSKI
et Bent ∅RSTED, qui ont accepté de se lancer dans un travail certainement
ingrat de relecture attentive et critique. Je remercie également les membres
du jury, Sami MUSTAPHA et Jean-Louis CLERC, qui m’ont fait l’honneur
d’être présents lors de la soutenance.
Je remercie également tout les membres de ma famille : frères, soeurs,
beaux frères, belles soeurs, neuves, nièces et qui n’ont pas cessé a m’encourager pour faire ce travail et surtout deux personnes qui sont très cher pour
moi, mon père et ma mère, je pense très fort à eux.
Je remercie également mes amis ( Walid, Athina, Fathi, Abdel, Anouar,
Nidhal, Fadhel, Mohamed, Nicolas, Aïcha, Sana, Syrine, Warda....) et la liste
est longue, je ne peux pas citer tous les noms, dont la présence au jour le
jour m’as permis durant ces années de thèse de travailler dans un cadre idéal.
En fin l’experience montre que je ne dois surtout pas oublier de souligner
les excellentes ambiances dans les différentes équipes qui m’ont accueilli durant ma thèse et également je remercie tous les membres de la bibliothèque
de Chevaleret.
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Table des matières
0.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Analyse harmonique sur l’espace Vn = Herm(n, F)
1.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Série de Taylor sphérique . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Série de Taylor sphérique double . . . . . . . . . . .
1.4 Projection des mesures orbitales . . . . . . . . . . .
1.5 Mesures de probabilité et transformation de Fourier
.
.
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.
.
.
6
9
9
11
13
20
23
2 Convergence des mesures orbitales, méthode utilisant les théorèmes de Poincaré et de Minlos
29
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Théorème de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Théorème de Minlos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Démonstration de la proposition 2.1 . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Convergence des mesures orbitales, méthode de Olshanski et
Vershik : Développement en séries de polynômes sphériques
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonction de Pólya-Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Convergence des mesures orbitales . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Points extrémaux de M et P . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Théorème de Bochner invariant
4.1 Théorème de Bochner invariant : . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Fonctions de type positif K∞ -invariantes sur l’espace
V∞2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Mesures de probabilité invariantes concentrées sur le
cône V∞+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
48
48
50
55
62
64
. 64
. 65
. 65
. 69
5 Fonctions continues de type négatif K∞ -invariantes sur l’es2
pace V∞
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Formule de Lévy-Khinchine des fonctions continues de type
négatif et K∞ -invariantes sur l’espace V∞2 . . . . . . . . . . . .
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
76
87
INTRODUCTION
0.1
6
INTRODUCTION
Cette thèse est une contribution à l’analyse harmonique en dimension
infinie. Nous y étudions l’analyse de Fourier sur l’espace V∞ des matrices
hermitiennes de dimension infinie à coefficients dans R, C ou H, le corps des
quaternions.
La transformée de Fourier d’une mesure de probabilité sur V∞ est une
fonction continue de type positif sur l’espace V (∞) des matrices hermitiennes
infinies n’ayant qu’un nombre fini de coefficients non nuls :
V (∞) =
∞
[
Herm(n, F).
n=1
Cet espace est muni de la topologie de limite inductive. Sur les espaces V∞
et V (∞) nous considérons l’action par conjugaison du groupe
K∞ =
∞
[
U (n, F).
n=1
Si F = R, le groupe K∞ est le groupe orthogonal infini O(∞), si F = C, c’est
le groupe unitaire infini U (∞), et si F = H le groupe K∞ est isomorphe au
groupe symplectique infini Sp(∞).
Notons M l’ensemble des mesures de probabilité sur V∞ qui sont invariantes par K∞ . C’est un ensemble convexe dont les points extrémaux sont
les mesures ergodiques relativement à l’action de K∞ . Notons aussi P l’ensemble des fonctions continues de type positif ϕ sur V (∞) qui sont invariantes
par K∞ , normalisées par la condition ϕ(0) = 1. Cet ensemble est convexe
et ses points extrémaux sont les fonctions sphériques relativement à la paire
sphérique (K∞ nV∞ , K∞ ). La transformation de Fourier établit une bijection
de M sur P, et par suite de l’ensemble des mesures ergodiques sur V∞ sur
l’ensemble des fonctions sphériques sur V (∞).
Dans leur article fondamental [22] Olshanski et Vershik déterminent les
fonctions sphériques dans le cas où F = C. Leur démonstration utilise de
façon essentielle des développements en séries de fonctions de Schur. Dans le
cas général que nous considérons ils sont remplacés par des développements
en séries de polynômes sphériques. Les formules que nous utilisons sont de ce
fait moins explicites, et pour cette raison nous devons davantage faire appel
à l’analyse fonctionnelle et à l’analyse complexe pour établir les estimations
et la convergence de ces séries.
Au chapitre 1 nous établissons des résultats de l’analyse harmonique sur
l’espace de dimension finie Vn = Herm(n, F) dont nous aurons besoin dans
INTRODUCTION
7
la suite. Nous étudions en particulier les développements en séries de polynômes sphériques des fonctions holomorphes dans des domaines de l’espace
complexifié de Vn qui sont invariantes par Kn = U (n, F).
L’étude de la transformation de Fourier d’une mesure orbitale conduit à
déterminer le comportement asymptotique de l’intégrale suivante
Z
(n) ∗
(n)
(n)
e−itr(xva v ) τk (dv),
ϕk (x) =
Sk,n
sur la variété de Stiefel
Sk,n = {v ∈ M (k, n; F) | vv ∗ = Ik },
(k < n).
Nous verrons au chapitre 2 comment les théorèmes de Minlos et Poincaré permettent de déterminer la limite d’une telle intégrale. Cette méthode d’étude
directe de l’intégrale ne nous permet pas d’obtenir le résultat le plus général.
Nous faisons en effet des hypothèses sur le comportement asymptotique de
la suite a(n) qui sont trop fortes comme nous le verrons au chapitre suivant.
Dans le chapitre 3 nous reprenons la méthode de Olshanski et Vershik.
Son point de départ est le résultat suivant du à Vershik : une mesure ergodique est limite d’une suite de mesures ν (n) , la mesure ν (n) étant une mesure
orbitale relativement au groupe compact Kn . La méthode consiste ensuite à
développer la transformée de Fourier de la mesure ν (n) en série de polynômes
sphériques :
Z
X
∗
e−itr(xkξk ) dk =
am Φm (x)Φm (ξ).
Kn
m≥0
En déterminant le comportement asymptotique de cette série nous parvenons
au résultat principal de cette thèse : la transformée de Fourier d’une mesure
ergodique de M est une fonction sur V (∞) qui est invariante par K∞ dont la
restriction au sous-espace des matrices diagonales est donnée par la formule
suivante
ϕ diag(ξ1 , . . . , ξk , 0, . . .) = Π(ξ1 ) . . . Π(ξk ),
où
γ
Π(λ) = eiβλ e− d λ
avec
β ∈ R, γ ≥ 0, αk ∈ R,
2
∞
Y
e−iαk λ
d
2
2
k=1 (1 − i d αk λ)
∞
X
k=1
,
αk2 < ∞ et d = 1, 2 ou 4.
INTRODUCTION
8
En notant ϕ = ϕω , avec ω = (α, γ, β), nous obtenons un paramétrage de
l’ensemble des points extrémaux de P par l’ensemble
Ω = {ω = (α, γ, β) | β ∈ R, γ ≥ 0, αk ∈ R,
∞
X
k=1
αk2 < ∞}.
Les fonctions ϕ ∈ P admettent une représentation intégrale. Si ϕ ∈ P,
il existe une mesure de probabilité unique µ sur Ω telle que
Z
ϕ(ξ) =
ϕω (ξ)µ(dω).
Ω
Cette représentation intégrale a été établie par Olshanski et Borodin [4]
lorsque F = C. Le démonstration qu’ils en donnent reste valable pour F = R
et F = H.
Au chapitre 4 nous montrons que la fonction ϕ se prolonge par continuité
2
à l’espace V∞
des matrices hermitiennes de Hilbert-Schmidt si et seulement
si le support de la mesure µ est contenu dans
Ω0 = {(α, γ, β) ∈ Ω | β = 0}.
Soit ν une mesure de probabilité sur V∞ qui est invariante par K∞ (ν ∈
M ), et soit ϕ sa transformée de Fourier. Nous montrons que la mesure ν est
concentrée sur le cône des matrices hermitiennes semi-définies positives si et
seulement si le support de µ est contenu dans
+
Ω = {(α, γ, β) ∈ Ω | αk ≥ 0, β ≥ 0, γ = 0,
∞
X
k=1
αk ≤ β}.
Enfin au chapitre 5 nous établissons une représentation intégrale des fonctions continues de type négatif sur V∞2 qui sont K∞ -invariantes. C’est une
formule qui est analogue à celle de Lévy-Khinchine : une fonction continue
2
de type négatif ψ sur V∞
et K∞ -invariante s’écrit
Z
2
ψ(ξ) = A0 + A1 tr(ξ ) +
1 − ϕω (ξ) κ(dω),
Ω0 \{0}
où A0 , A1 sont des constantes ≥ 0, et κ est une mesure positive sur Ω0 \ {0}
par rapport à laquelle les fonctions
ω 7→ 1 − ϕω (ξ),
sont intégrables.
2
(ξ ∈ V∞
),
Chapitre 1
Analyse harmonique sur l’espace
Vn = Herm(n, F)
1.1
Rappels et notations
Soit Vn = Herm(n, F) l’espace vectoriel réel des matrices hermitiennes à
coefficients dans F = R, C ou H. On note d la dimension sur R de F : d = 1,
2 ou 4, et δ(n) la dimension sur R de Vn : δ(n) = n + d2 n(n − 1). Muni du
produit scalaire hx, yi = <tr(xy ∗ ), l’espace Vn est un espace euclidien.
On désigne par Gn , Kn , GCn , Un les groupes indiqués dans le tableau cidessous. Le groupe GCn est une complexification de Gn . Le groupe Kn est
un sous-groupe compact maximal de Gn , et Un de GCn . Le groupe Gn agit
naturellement dans Vn et GCn dans l’espace complexifié VnC . On note x 7−→ g·x
cette action.
Vn
Gn
Kn
VnC
GCn
Un
R
Sym(n, R)
GL(n, R)
g · x = gxg t
O(n, R)
k · x = kxk t
Sym(n, C)
GL(n, C)
g · x = gxg t
U (n, C)
u · x = uxut
C
Herm(n, C)
GL(n, C)
g · x = gxg ∗
U (n, C)
k · x = kxk ∗
M (n, C)
GL(n, C) × GL(n, C)
g · x = g1 xg2−1
U (n, C) × U (n, C)
u · x = u1 xu∗2
H
Herm(n, H)
GL(n, H)
g · x = gxg ∗
U (n, H) ' Sp(n)
k · x = kxk ∗
Asym(2n, C)
GL(2n, C)
g · x = gxg t
U (2n, C)
u · x = uxut
Soit π la représentation de Gn dans l’espace P (n) des fonctions polynômes
9
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
10
sur Vn définie par
(π(g)p)(x) = p(g −1 · x).
On note ∆j (x) le j-ième déterminant mineur principal de la matrice x. Si
j = n, ∆n (x) = ∆(x) est le déterminant de x. Pour un multiindice m =
(m1 , ..., mn ) où les mi sont des entiers vérifiants m1 ≥ · · · ≥ mn ≥ 0, (on
notera m ≥ 0), on pose
∆m (x) = ∆1 (x)m1 −m2 ∆2 (x)m2 −m3 . . . ∆n (x)mn .
La fonction ∆m (x) est un polynôme de degré |m| = m1 + · · · + mn . Les polynômes π(g)∆m (g ∈ Gn ), engendrent un sous-espace invariant irréductible
(n)
(n)
(n)
Pm . On note dm la dimension de Pm et πm la restriction de la représenta(n)
tion π à Pm .
(n)
Les polynômes Kn -invariants de Pm sont proportionnels au polynôme
(n)
sphérique Φm défini par
Z
(n)
Φm (x) :=
∆m (k · x) dk,
Kn
où x ∈ Vn , et dk est la mesure de Haar normalisée de Kn .
Les polynômes sphériques constituent une base de l’espace des polynômes
Kn -invariants.
Soit Vn+ le cône des matrices hermitiennes définies positives. Si x ∈ Vn+
alors ∆j (x) > 0 (j = 1, . . . , n) et on peut définir
∆m (x) = ∆1 (x)m1 −m2 ∆2 (x)m2 −m3 . . . ∆n (x)mn ,
pour m = (m1 , . . . , mn ) ∈ Cn .
La fonction Γn est définie par
Z
δ(n)
Γn (m) :=
e−tr(x) ∆m (x)∆(x)− n dx,
Vn+
où dx est la mesure de Lebesgue. Cette intégrale converge si <(mj ) > d2 (j −1)
(j = 1, . . . , n) et vaut
Γn (m) = (2π)
δ(n)−n
2
n
Y
d
Γ(mj − (j − 1)).
2
j=1
Si λ ∈ C, m ∈ Cn on conviendra de noter
λ + m = (λ + m1 , . . . , λ + mn ).
Le symbole de Pochammer généralisé est défini par
(λ)m =
Γn (λ + m)
.
Γn (λ)
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
1.2
11
Série de Taylor sphérique
Une série de Taylor sphérique est une série de la forme
X
cm Φ(n)
m (z).
m≥0
Pour étudier la convergence d’une telle série, on peut utiliser l’estimation
suivante (voir [10] théorème VII.1.1. p.240). Toute matrice z ∈ VnC se décompose en z = u · a avec u ∈ Un et a = diag(a1 , . . . , an ) est une matrice
diagonale, a1 ≥ · · · ≥ an ≥ 0. Pour tout m ≥ 0,
m1 m2
mn
|Φ(n)
m (z)| ≤ a1 a2 . . . an .
(1.1)
Le développement en série de Taylor sphérique suivant joue un rôle important.
X d(n)
m
Φ(n)
etr(z) =
m (z).
δ(n)
)
(
m
m≥0
n
La convergence a lieu uniformément sur tout compact de VnC (voir [10] proposition XII.1.3).
Dans la suite on note BVnC ,R = BVnC (0, R) respectivement BVn ,R = BVn (0, R)
la boule dans VnC respectivement dans Vn de centre 0 et de rayon R pour la
norme d’opérateur || · ||op .
• Considérons une série de Taylor sphérique
X
f (z) =
cm Φ(n)
m (z),
m≥0
et supposons qu’elle converge uniformément sur tout compact de BVnC ,R . Alors
sa somme est une fonction holomorphe dans BVnC ,R . Les coefficients cm sont
donnés par, si 0 < ρ < R,
Z
(n)
−|m| (n)
(1.2)
cm = ρ
dm
f (ρu · 1)Φm (u · 1)du,
Un
où du est la mesure de Haar normalisée de Un . C’est une conséquence des
relations d’orthogonalité de Schur suivantes : si m 6= m0
Z
(n)
(n)
Φm0 (u · 1)Φm (u · 1)du = 0,
(1.3)
Un
et
Z
Un
2
|Φ(n)
m (u · 1)| du =
1
(n)
dm
.
(1.4)
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
cm
12
Des relations d’orthogonalité de Schur on déduit l’unicité des coefficients
et l’inégalité de Cauchy suivante.
q
(n)
|cm | ≤ Mf (ρ) dm ρ−|m| ,
où Mf (ρ) =
Schwarz.
sup |f (z)|. C’est en effet une conséquence de l’inégalité de
||z||op≤ρ
Théorème 1.1 Soit f une fonction holomorphe dans BVnC ,R et Kn -invariante.
Alors f est développable en série de Taylor sphérique
X
f (z) =
cm Φ(n)
m (z).
m≥0
Cette série converge uniformément sur tout compact de BVnC ,R .
Démonstration.
Existence : Soit r < R. Considérons l’espace de Bergman
B(BVnC ,r ) = L2 (BVnC ,r ) ∩ O(BVnC ,r ),
des fonctions holomorphes et de carré intégrable sur la boule BVnC ,r . C’est un
espace hilbertien de fonctions holomorphes pour le produit scalaire défini par
Z
hf, gi =
f (z)g(z)dz,
BV C ,r
n
dz est la mesure de Lebesgue euclidienne.
Son noyau reproduisant, le noyau de Bergman de BVnC ,r admet le développement
X
2δ(n)
)m K m (z, w),
(1.5)
Kr (z, w) =
r −2|m| (
n
m≥0
(n)
où K m est le noyau reproduisant de l’espace des polynômes Pm muni du
produit scalaire de Fischer, voir ([10] théorème XIII.2.4. p 266).
La convergence de cette série est uniforme sur tout compact de BVnC ,r ×BVnC ,r .
Soit f une fonction holomorphe sur BVnC ,R . Sa restriction à BVnC ,r appartient à l’espace de Bergman B(BVnC ,r ), et donc, pour tout z ∈ BVnC ,r ,
Z
f (z) =
Kr (z, w)f (w)dw.
BV C ,r
n
Par suite
f (z) =
X
m≥0
fm (z),
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
où
fm (z) = r
−2|m|
2δ(n)
(
)m
n
Z
13
K m (z, w)f (w)dw.
BV C ,r
n
(n)
L’application f 7→ fm est la projection orthogonale de B(BVnC ,r ) sur Pm . Si
f est Kn -invariante, il en est de même de fm , et alors fm est proportionnelle
(n)
au polynôme sphérique Φm :
fm (z) = cm Φ(n)
m (z).
1.3
Série de Taylor sphérique double
Nous allons considérer des développements en séries de Taylor sphériques
doubles qui interviendront dans la suite.
Soit µ une mesure de probabilité sur l’espace des matrices carrées M (n, F)
à coefficients dans F invariante à droite et à gauche par Kn . On suppose qu’il
existe α > 0 tel que, pour tout 0 < ρ < α,
Z
2
eρ|||y||| µ(dy) < ∞,
M (n,F)
où ||| · ||| désigne la norme de Hilbert-Schmidt.
Nous considérons la fonction
Z
∗
F (x, ξ) =
etr(xyξy ) µ(dy),
M (n,F)
où x, ξ ∈ VnC .
Proposition 1.2 La fonction F est définie pour ||x||op <
et admet le développement suivant
F (x, ξ) =
X
(n)
dm
(n)
γm Φ(n)
m (x)Φm (ξ),
δ(n)
m≥0 ( n )m
où
γm =
Z
M (n,F)
∗
Φ(n)
m (yy )µ(dy).
√
α, ||ξ||op <
√
α
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
14
Démonstration. De l’inégalité
|tr(xyξy ∗ )| ≤ |||xy||| |||ξy ∗|||
≤ ||x||op ||ξ||op |||y|||2,
on déduit que, si ||x||op ≤
√
ρ , ||ξ||op ≤
√
ρ
2
∗
|etr(xyξy ) | ≤ eρ|||y||| .
Ceci montre que la fonction F est définie et holomorphe sur BVnC ,√α ×BVnC ,√α .
Supposons maintenant que x, ξ ∈ Vn+ ∩ BVnC ,√α . Nous pouvons écrire
Z
√
∗√
F (x, ξ) =
etr( xyξy x) µ(dy).
M (n,F)
Du développement
e
tr(z)
=
X
m
on déduit que
F (x, ξ) =
X
(n)
dm
δ(n)
m≥0 ( n )m
Z
(n)
dm
( δ(n)
)
n m
M (n,F)
Φ(n)
m (z),
√
√
∗
x)µ(dy).
Φ(n)
m ( xyξy
√
√
L’intégration terme à terme est justifiée car, la matrice hermitienne xyξy ∗ x
√
(n) √
étant définie positive, les nombres Φm ( xyξy ∗ x) sont positifs. En parti√
culier, pour x = ξ = ρ1 (ρ < α), on obtient
X
(n)
dm
γm ρ
δ(n)
m≥0 ( n )m
|m|
=
Z
2
M (n,F)
eρ|||y||| µ(dy) < ∞.
Nous utilisons maintenant la relation fonctionnelle des fonctions sphériques :
Z
(n)
(n)
Φ(n)
x = g · 1, (g ∈ Gn ).
m (gk · ξ)dk = Φm (x)Φm (ξ),
Kn
Voir [10] corollaire XI.3.2.
La mesure µ étant invariante à gauche par Kn , on en déduit que
Z
Z
√
√
(n)
∗
(n)
∗
Φm ( xyξy x)µ(dy) = Φm (x)
Φ(n)
m (yξy )µ(dy).
M (n,F)
M (n,F)
Du fait que la mesure µ est invariante à droite par Kn on
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
déduit de même que
Z
M (n,F)
15
∗
(n)
Φ(n)
m (yξy )µ(dy) = γm Φm (ξ).
(On a utilisé le fait que Gn est un ouvert dense de M (n, F)). Donc finalement,
pour x, ξ ∈ Vn+ ∩ BVnC ,√α ,
F (x, ξ) =
X
(n)
dm
(n)
γm Φ(n)
m (x)Φm (ξ).
δ(n)
m≥0 ( n )m
Considérons maintenant la fonction
Si ||x||op ≤
Fe(x, ξ) =
X
(n)
dm
(n)
γm Φ(n)
m (x)Φm (ξ).
δ(n)
m≥0 ( n )m
√
√
ρ et ||ξ||op ≤ ρ, (ρ < α), alors d’après l’équation (1.1)
(n)
|m|
|Φ(n)
,
m (x)Φm (ξ)| ≤ ρ
et nous avons vu que
X
(n)
dm
γm ρ
δ(n)
(
)
m
m≥0
n
|m|
< ∞.
Par suite la fonction Fe est définie et holomorphe dans BVnC ,√α × BVnC ,√α .
Les fonction F et Fe, étant holomorphes dans BVnC ,√α × BVnC ,√α et égales
sur (BVnC ,√α ∩ Vn+ ) × (BVnC ,√α ∩ Vn+ ), sont égales sur BVnC ,√α × BVnC ,√α .
Example 1 : Prenons pour µ la mesure de Haar normalisée du groupe
Kn considérée comme mesure sur M (n, F). La mesure µ ayant un support
compact, la condition d’intégrabilité est satisfaite pour tout α.
De plus,
Z
∗
(n)
γm =
Φ(n)
m (kk )dk = Φm (1) = 1.
Kn
Nous obtenons
Proposition 1.3 Pour tout x, ξ ∈ VnC ,
Z
e
Kn
tr(xkξk ∗ )
dk =
X
(n)
dm
δ(n)
m≥0 ( n )m
(n)
Φ(n)
m (x)Φm (ξ).
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
16
Pour x ∈ Vn notons Ox l’orbite de x relativement à l’action de Kn :
Ox = {kxk ∗ | k ∈ Kn },
et soit νx la mesure orbitale de support Ox : si f est une fonction continue
sur Vn ,
Z
Z
f (y)µx(dy) =
f (kxk ∗ )dk,
Vn
Kn
où dk est la mesure de Haar normalisée du groupe Kn .
La proposition précédente fournit un développement en série de Taylor
sphérique de la transformée de Fourier de νx :
Z
Z
X d(n)
∗
m
−ihξ,yi
(n)
e−itr(ξkxk ) dk =
e
νx (dy) =
Φ(n)
m (x)Φm (−iξ).
δ(n)
Kn
Vn
m≥0 ( n )m
Exemple 2 : Prenons pour µ la mesure gaussienne
d
2
2
µ(dy) = π − 2 n e−|||y||| dy.
Dans ce cas α = 1. En effet, pour ρ < 1,
Z
Z
ρ|||y|||2
− d2 n2
e
µ(dy) = π
M (n,F)
M (n,F)
Nous allons montrer que
γm = (
2
e−(1−ρ)|||y||| dy < ∞.
dn
)m .
2
L’image par l’application
y 7→ yy ∗ , M (n, F) → Vn+ ,
de la mesure µ, a pour densité
d
2
δ(n)
dn
π 2n
∆(u) 2 − n e−tr(u) ,
dn
Γ( 2 )
par rapport à la mesure de Lebesgue euclidienne de Vn (voir [10], proposition
VI.1.1). Par suite
Z
∗
− 2d n2 −|||y|||2
dy
e
γm =
Φ(n)
m (yy )π
M (n,F)
Z
δ(n)
dn
1
−tr(u)
= dn
Φ(n)
∆(u) 2 − n du
m (u)e
Γ( 2 ) Vn+
=
+ m)
Γ( dn
dn
2
= ( )m .
dn
2
Γ( 2 )
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
17
D’autre part nous allons calculer explicitement la fonction F dans ce cas.
Cette fonction étant doublement invariante par Kn :
F (k · x, k 0 · ξ) = F (x, ξ),
(k, k 0 ∈ Kn ),
elle est déterminée par sa restriction à l’espace des matrices diagonales. Considérons deux matrices diagonales, x = diag(x1 , . . . , xn ), ξ = diag(ξ1 , . . . , ξn ).
Alors
n
n
P
P
Z
n
xi ξj |uij |2 −
|uij |2 Y
− d2 n2
duij
F (x, ξ) = π
e i,j=1
ei,j=1
M (n,F)
=
=
n
Y
d
π− 2
i,j=1
n
Y
Z
i,j=1
2
e−(1−xi ξj )|uij | duij
F
d
(1 − xi ξj )− 2 .
i,j=1
Nous avons obtenu
Proposition 1.4 Pour x, ξ ∈ Vn , ||x||op < 1, ||ξ||op < 1, alors
Z
X d(n)
nd
∗
2
m
(n)
− 2d n2
( )m Φ(n)
π
etr(xyξy ) e−|||y||| dy =
m (x)Φm (ξ)
δ(n)
2
M (n,F)
m≥0 ( n )m
=
n
Y
d
(1 − xi ξj )− 2 ,
i,j=1
où les nombres xi et ξi sont les valeurs propres de x et ξ.
Nous allons donner une application de ces développements en séries de
Taylor sphériques doubles à l’étude des projections des mesures orbitales.
Pour cela nous allons d’abord identifier la restriction d’un polynôme sphé(n)
rique Φm (x) défini sur Vn au sous-espace Vn0 des matrices dont les coefficients
de la dernière ligne et de la derniére colonne sont nuls.
Si a est inversible, alors a ∈ Gn et la transformation A définie sur P (n)
par
Ap(x) = p(axa),
(n)
laisse stable Pm . Par passage à la limite ceci reste vrai pour tout a ∈ Vn . Soit
a = diag(1, . . . , 1, 0) alors l’application x 7→ axa est le projecteur orthogonal
de Vn sur Vn−1 et par suite A est le projecteur orthogonal de P (n) sur le
sous-espace AP (n) , des polynômes qui vérifient
0 x 0 0
p(x ) = p
,
0 0
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
18
où x0 est la projection de x sur Vn−1 . Le sous-espace AP (n) est Gn−1 -invariant
et c’est un sous-espace isomorphe à l’espace des restrictions Res P (n) où
Res est l’application définie par
Res : P (n) −→ P (n−1)
p 7−→ p |Vn−1 .
Proposition 1.5
a) Si m = (m1 , . . . , mn ) avec mn > 0, alors
(n)
= {0}.
Res Pm
b) Si m0 = (m1 , . . . , mn−1 ), m = (m1 , . . . , mn−1 , 0), alors
(n−1)
(n)
Res Pm
= P m0 .
Démonstration.
(n)
a) Si mn > 0, du fait que tout polynôme de Pm est divisible par le déterminant on déduit a) immédiatement.
b)
(n)
• Puisque le sous-espace APm contient le polynôme ∆m0 alors
(n−1)
Pm0
(n)
⊂ APm
(n)
• Montrons que APm est Gn−1 -irréductible.
(n)
(n)
Soit q un polynôme conique non nul de APm ⊂ Pm alors
q = C∆α ,
où α = (α1 , . . . , αn−1 , 0). Donc
(n)
∆α ∈ P m
,
et par suite
α = m,
et
(n−1)
(n)
APm
= P m0
.
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
19
Remarque 1.6 Par récurrence on peut généraliser le résultat au cas où
mk+1 = · · · = mn = 0, en considérant l’application de restriction
Resk : P (n) → P (k) , p 7→ p |Vk .
En effet,
Resk = Res ◦ Res ◦ · · · ◦ Res,
est la composée de l’application Res, (n − k)-fois. On en déduit que
a) Si m = (m1 , . . . , mk , mk+1 , . . . , mn ) avec mk+1 > 0, alors
(n)
= {0}.
Resk Pm
b) Si m0 = (m1 , . . . , mk ), m = (m1 , . . . , mk , 0, . . . , 0), alors
(k)
(n)
Resk Pm
= P m0 .
Corollaire 1.7 Si m = (m1 , . . . , mk , 0, . . . , 0), m0 = (m1 , . . . , mk ) alors
pour tout x0 ∈ Vk
(k) δ(n)
dm0 ( n )m (k) 0
(n)
Φm0 (x ),
Φm (x) = (n) δ(k)
d m ( k )m0
où x ∈ Vn ,
x=
x0 0
.
0 0
Démonstration. D’après la remarque précédente
Resk Φ(n)
m
(k)
est un polynôme Kk -invariant de l’espace Pm0 . Puisque les polynômes Kk (k)
(k)
invariants de l’espace Pm0 sont proportionnels à Φm0 (x0 ), alors il existe une
(n,k)
constante Cm telle que,
(k)
(n,k)
Φ(n)
Φm0 (x0 ),
m (x) = Cm
(n,k)
Pour calculer Cm , on utilise le développement,
e
tr(x)
=
e
=
(n)
dm
δ(n)
m≥0 ( n )m
Par restriction on obtient,
tr(x0 )
X
X
m0
Φ(n)
m (x).
(n)
dm
( δ(n)
)
n m
(k)
(n,k)
Cm
Φm0 (x0 ).
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
20
D’autre part,
0
etr(x ) =
X
m0
(k)
d m0
(k)
( δ(k)
) 0
k m
Φm0 (x0 ).
Puisque le développement en série de polynômes sphériques est unique, alors
(n,k)
Cm
=
(k) δ(n)
d m0 ( n )m
(n) δ(k)
d m ( k )m 0
.
Corollaire 1.8
a) Si m2 > 0,
Φ(n)
m (diag(λ, 0, . . . , 0)) = 0.
b) Si m = [m] := (m, 0, . . . , 0),
Φ(n)
m (diag(λ, 0, . . . , 0)) =
)
( δ(n)
n [m] 1 m
λ .
(n)
m!
d
[m]
Remarque 1.9 Ce corollaire peut être obtenu plus simplement en remplaçant x par diag(λ, 0, . . . , 0) dans le développement
e
tr(x)
=
X
(n)
dm
δ(n)
m≥0 ( n )m
Φ(n)
m (x),
(n)
et en remarquant que Φ[m] (x) = cm λm .
1.4
Projection des mesures orbitales
Rappelons que, pour x ∈ Vn , nous avons noté Ox l’orbite de x relativement
à l’action de Kn et νx la mesure orbitale de support Ox . Nous nous intéressons
à la projection Mx de la mesure orbitale νx sur la droite engendrée par une
matrice hermitienne de rang un. Par raison d’invariance il suffit de considérer
la matrice E11 . Ainsi la mesure Mx est définie par : si f est une fonction
continue sur R,
Z
Z
f ((kxk ∗ )11 )dk.
f (t)Mx (dt) =
R
Kn
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
21
D’après le théorème spectral l’orbite Ox contient une matrice diagonale. Cela
signifie que la mesure νx , et par suite la mesure Mx , ne dépendent que des
valeurs propres de x. On peut donc supposer que


a1 0 · · · 0
.. 
..

.
. 
 0
x=a= .
.
.
.. 0 
 ..
0 · · · 0 an
En effectuant le produit kxk ∗ , nous obtenons :
(kxk ∗ )11 = a1 |k11 |2 + · · · + an |k1n |2 .
Considérons l’application
Kn −→ Sn , k 7−→ (k11 , . . . , k1n ),
qui à une matrice k associe sa première colonne, où Sn est la sphère unité
de Fn . L’image de la mesure de Haar normalisée dk par cette application est
égale à la mesure uniforme normalisée τ (n) sur la sphère Sn .
Donc,
Z
Z
f (a1 |k11 |2 + · · · + an |k1n |2 )τ (n) (dk).
(1.6)
f (t)Ma (dt) =
Sn
R
Proposition 1.10 La transformée de Fourier de la mesure Ma admet le
développement en série de Taylor suivant
Z
∞
X
1 (n)
iλt
c
Φ[m] (a)(iλ)m .
Ma (λ) =
e Ma (dt) =
m!
R
m=0
Démonstration. D’après la proposition 1.3, pour tous x, y ∈ VnC ,
Z
e
tr(xkyk ∗ )
Kn
dk =
X
(n)
dm
δ(n)
m≥0 ( n )m
(n)
Φ(n)
m (x)Φm (y),
où dk est la mesure de Haar normalisée du groupe unitaire Kn .
Si on prend y = a et x = diag(iλ, 0, . . . , 0), alors
Z
e
iλ(a1 |k11 |2 +···+an |k1n |2 )
Sn
où [m] = (m, 0, . . . , 0).
τ
(n)
(dk) =
∞
X
(n)
d[m]
δ(n)
m=0 ( n )m
(n)
(n)
Φ[m] (a1 , . . . , an )Φ[m] (iλ, 0, . . . , 0).
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
22
D’après b) du corollaire 1.8 on a
(n)
Φ[m] (diag(λ, 0, . . . , 0)) =
( δ(n)
)
n [m] 1 m
λ .
(n)
m!
d
[m]
Donc,
Z
e
iλ(a1 |k11 |2 +···+an |k1n |2 )
τ
Sn
(n)
∞
X
1 (n)
Φ[m] (a1 , . . . , an )(iλ)m .
(dk) =
m!
m=0
Si on remplace f (t) par eiλt dans (1.6) on en déduit la proposition.
La relation suivante sera utilisée au chapitre 3. Notons A = sup |aj | et UA
le plan complexe privé des deux demi-droites :
1 [ 1
UA = C\ i −∞, −
i
, +∞ .
A
A
j
Proposition 1.11 Pour λ ∈ UA
Z
1
1
.
dn Ma (dx) = Q
n
d
R (1 − iλx) 2
(1 − iλaj ) 2
j=1
Pour a ∈ [−A, A], α ∈ R, on considère la détermination de la fonction
λ 7→
1
.
(1 − iλa)α
Dans l’ouvert simplement connexe UA qui est égale 1 pour λ = 0.
Démonstration. Pour λ, t ∈ R
1
(1 − iλt)
dn
2
1
= dn
Γ( 2 )
Z
∞
e−u u
dn
−1
2
eiλtu dt.
0
Puisque Ma est une mesure de probabilité, nous pouvons appliquer le théorème de Fubini et nous obtenons
Z
Z ∞
dn
1
1
ca (λu) du.
e−u u 2 −1 M
dn Ma (dt) =
dn
Γ(
)
2
R (1 − iλt)
0
2
Pour |λ| < A1 , nous pouvons intégrer terme à terme le développement en série
ca (λu). En effet d’après l’inégalité (1.1)
de Taylor de M
(n)
|Φ[m] (a1 , . . . , an )| ≤ Am ,
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
et
∞ Z
X
m=0
≤
∞
0
23
dn
1
(n)
Φ[m] (a1 , . . . , an )(iλ)m e−t t 2 +m−1 dt
m!
∞
X
dn
1
|Aλ|m Γ(
+ m)
m!
2
m=0
dn
dn
)(1 − A|λ|)− 2 .
2
Nous obtenons, si |λ| < A1 ,
Z
∞
X
( nd
)
1
2 m (n)
Φ[m] (a1 , . . . , an )(iλ)m .
M
(dt)
=
a
dn
m!
2
R (1 − iλt)
m=0
= Γ(
Or, d’après la proposition 1.4 et le corollaire 1.8, pour A < 1 et |λ| < 1,
∞
X
( nd
)
2 m (n)
Φ[m] (a1 , . . . , an )(iλ)m = Q
n
m!
m=0
j=1
1
d
.
(1 − iλaj ) 2
Les deux membres de cette égalité admettent des prolongement holomorphes
dans UA . Finalement la relation
Z
Z
f (t)Mθa (dt) =
f (θt)Ma (dt),
(θ ∈ R),
R
R
permet de s’affranchir de la condition A < 1.
1.5
Mesures de probabilité et transformation
de Fourier
La transformation de Fourier permet d’étudier les mesures de probabilité sur R et Rn , et leur convergence. Rappelons ici les résultats que nous
utiliserons dans la suite.
Soit ν une mesure de probabilité sur R et ψ sa transformée de Fourier :
Z
ψ(x) =
eixu ν(du).
R
Proposition 1.12 On suppose que la fonction ψ est développable en série
de Taylor à l’origine : pour |x| < R,
ψ(x) =
∞
X
m=0
c m xm .
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
24
Alors la fonction ψ admet un prolongement holomorphe à la bande
ΣR = {z = x + iy | |y| < R}.
De plus, pour |y| < R,
Z
R
eyu ν(du) < ∞,
et, pour z ∈ ΣR , le prolongement ψe de ψ est donné par
Z
e
ψ(z) =
eizu ν(du).
R
On considère une suite ν (n) de mesures de probabilité sur R et on note
ψ la transformée de Fourier de ν (n) :
Z
(n)
ψ (x) =
eixu ν (n) (du).
(n)
R
Proposition 1.13
(i) On suppose que chacune des fonctions ψ (n) soit développable en série de
Taylor dans le disque ouvert D(0, R) : pour |z| < R,
ψ
(n)
(z) =
∞
X
m
c(n)
m z ,
m=0
et que la suite des fonctions ψ (n) converge uniformément sur le disque fermé
D(0, r), pour tout r < R.
Alors la suite des mesures ν (n) converge étroitement vers une mesure de
probabilité ν. Notons ψ la transformée de Fourier de ν. Les fonctions ψ (n) et
ψ admettent des prolongement holomorphes à ΣR , et la suite ψ (n) converge
vers ψ uniformément sur tout compact de ΣR .
(ii) On suppose que, pour tout m,
lim c(n)
m = cm ,
n→∞
et qu’il existe une suite am ≥ 0 telle que, pour tout r < R,
∞
X
m=0
am r m < ∞,
et, pour tous m et n,
|c(n)
m | ≤ am .
Alors les hypothèses de (i) sont vérifiées.
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
25
On peut trouver la démonstration de ces deux propositions dans [11], lemma
6.5 et lemma 6.6.
On note T+ le demi-plan supérieur :
T+ = {z = x + iy | y > 0}.
Si le support de la mesure µ est contenu dans [0, +∞[, alors sa transformée
de Fourier
Z
ψ(z) =
eizu ν(du),
[0,∞[
est définie, continue et bornée sur T+ , holomorphe dans T+ . Réciproquement :
Proposition 1.14 On suppose que la fonction ψ se prolonge en une fonction
continue bornée sur T+ , holomorphe dans T+ .
Alors le support de la mesure ν est contenu dans [0, +∞[.
Ces résultats se généralisent aux mesures de probabilité sur un espace
vectoriel réel normé V . On note sa norme || · ||V et on considère sur l’espace
comlexifié V C une norme qui coïncide sur V avec la norme || · ||V . On désigne
aussi par || · ||V 0 la norme de l’espace dual de V , qui est définie par
||u||V 0 = sup{hx, ui, ∀x ∈ V ; ||x||V ≤ 1}.
Soit ν une mesure de probabilité sur l’espace dual V 0 . Sa transformée de
Fourier ψ est définie sur V par :
Z
ψ(x) =
eihx,ui ν(du).
V0
Proposition 1.15 On suppose que la fonction ψ admette un prolongement
holomorphe dans la boule BV C ,R de centre o et de rayon R de V C . Alors la
fonction ψ admet un prolongement holomorphe au tube
ΣR = {z = x + iy | ||y||V < R} = V + iB(0, R).
Si ||y||V < R,
Z
V
0
ehy,ui ν(du) < ∞,
et, pour tout z ∈ ΣR , le prolongement ψe de ψ est donné par
Z
e
ψ(z) =
eihz,ui ν(du).
V0
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
26
De même considérons une suite ν (n) de mesures de probabilité sur V 0 , et
leurs transformées de Fourier ψ (n) .
Proposition 1.16 On suppose que chacune des fonctions ψ (n) admette un
prolongement holomorphe à BV C ,R , et que la suite des fonctions ψ (n) converge
uniformément sur tout compact de BV C ,R .
Alors la suite des mesures ν (n) converge étroitement vers une mesure de
probabilité ν. Notons ψ la transformée de Fourier de ν. Les fonctions ψ (n)
et ψ admettent des prolongements holomorphes au tube ΣR , et la suite ψ (n)
converge vers ψ uniformément sur tout compact de ΣR .
Dans la proposition suivante on considère le cas où V = V 0 = Herm(k, F)
muni de la norme d’opérateur || · ||op , et on suppose que les mesures ν (n) , et
par suite leurs transformées de Fourier ψ (n) , soient invariantes par le groupe
compact Kk .
Proposition 1.17 On suppose que chacune des fonctions ψ (n) soit développable en série de Taylor sphérique dans la boule ouverte B(0, R) :
ψ (n) (x) =
∞
X
(k)
c(n)
m Φm (x),
m≥0
On suppose de plus que, pour tout m,
lim c(n)
m = cm ,
n→∞
et qu’il existe une suite am ≥ 0 telle que, pour tout r < R,
∞
X
m≥0
et, pour tous m et n,
am r |m| < ∞,
|c(n)
m | ≤ am .
Alors les hypothèses de de la proposition 1.16 sont vérifiées.
Soit Γ un cône convexe fermé dans V 0 qu’on suppose pointu : Γ ∩ (−Γ) =
{0}, et d’intérieur non vide. On note Ω ⊂ V l’intérieur du cône dual :
Ω = {x ∈ V | ∀u ∈ Γ\{0}, hx, ui > 0}.
On note TΩ = V + iΩ ⊂ V C le tube de base Ω ; si le support de la mesure µ
est contenu dans Γ, alors sa transformée de Fourier ψ est définie, continue et
bornée sur TΩ = V + iΩ, et holomorphe dans TΩ ; Réciproquement :
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
27
Proposition 1.18 On suppose que la fonction ψ se prolonge en une fonction
continue bornée sur TΩ , holomorphe dans TΩ .
Alors le support de la mesure ν est contenu dans Γ.
La méthode suivante permet de passer de la dimension un aux dimensions
supérieures. Soit ν une mesure de probabilité sur V 0 et ψ sa transformée de
Fourier. Pour x ∈ V fixé, on considère la mesure de probabilité sur R définie
par, si f est une fonction continue sur R :
Z
Z
f (t)µx (dt) =
f (hx, ui)ν(du).
V0
R
(C’est essentiellement la projection de la mesure ν sur la droite engendrée
par x.) La transformée de Fourier de νx est la fonction ψx définie sur R par
ψx (τ ) = ψ(τ x).
Démonstration de la proposition 1.15. Soit r < R. On pose
M (r) = sup |ψ(z)|.
z∈BV C ,r
Soit y ∈ B(0, R) un vecteur non nul fixé. En appliquant la proposition 1.12
à la mesure νy et à sa transformée de Fourier ψy , qui est holomorphe sur le
R
disque D(0, ||y||
), on obtient
V
Z
R
e|t| νy (dt) ≤ ψy (i) + ψy (−i) ≤ 2M (r),
c’est-à-dire
Donc, si ||y||V ≤ r alors,
Z
Z
V
V0
0
e|hy,ui| ν(du) ≤ 2M (r).
er||u||V 0 ν(du) ≤ 2M (r).
Par suite la fonction définie par
e =
ψ(z)
Z
eihz,ui ν(du),
V0
est holomorphe sur ΣR et coïncide avec ψ sur BV C ,R .
CHAPITRE 1. ANALYSE HARMONIQUE SUR L’ESPACE
VN = HERM (N, F)
28
Démonstration de la proposition 1.16. D’après la proposition 1.15, ψ (n) se
prolonge en une fonction holomorphe dans ΣR .
Soit r < R, pour ||y||V ≤ r,
ψ
(n)
(iy) + ψ
(n)
(−iy) = 2
Z
V
cosh(hy, ui)ν (n) (du).
0
Puisque, lim ψ (n) (iy) + ψ (n) (−iy) = ψ(iy) + ψ(−iy) alors il existe M (r) > 0
n→∞
tel que pour tout n ≥ 0,
Z
cosh(hy, ui)ν (n) (du) ≤ M (r),
V0
or pour z ∈ ΣR ,
ψ
(n)
Par suite pour tout z ∈ Σr ,
(z) =
Z
eihz,ui ν (n) (du).
V0
|ψ (n) (z)| ≤ M (r).
D’après le théorème de Montel, on peut extraire de la suite ψ (n) une soussuite qui converge uniformément sur tout compact du tube ΣR . Puisque ψ (n)
converge sur BV C ,R , on en déduit que ψ (n) converge uniformément sur tout
compact de ΣR .
Démonstration de la proposition 1.18. On applique la proposition 1.14 à la
mesure νy et sa transformée de Fourier ψy . Pour y ∈ Ω, la fonction ψy se
prolonge en une fonction continue bornée sur T+ et holomorphe dans T+ .
Donc, d’après la proposition 1.14, le support de νy est contenu dans [0, ∞[.
Ceci implique que
supp(ν) ⊂ {u | hu, yi ≥ 0}.
Par suite
supp(ν) ⊂ {u | ∀y ∈ Ω, hu, yi ≥ 0}.
Il résulte du théorème des bipolaires que
Donc
{u | ∀y ∈ Ω, hu, yi ≥ 0} = Γ.
supp(ν) ⊂ Γ.
Chapitre 2
Convergence des mesures
orbitales, méthode utilisant les
théorèmes de Poincaré et de
Minlos
2.1
Introduction
Dans ce chapitre, qui a fait l’objet d’une publication aux annales de la
Faculté des Sciences de Toulouse [6], nous allons étudier les intégrales
Z
(n) ∗
(n)
(2.1)
e−itr(ξva v ) τk (dv),
Sk,n
où Sk,n est la variété de Stiefel
Sk,n = v ∈ M (k, n; F) ; vv ∗ = Ik ,
k < n,
(n)
et τk est la mesure de probabilité uniforme définie sur Sk,n considérée comme
mesure sur M (k, ∞; F), et les comportement asymptotiques de ces intégrales.
√
Notons Sek,n l’homothétique de Sk,n dans le rapport n :
Sek,n = v ∈ M (k, n; F) ; vv ∗ = nIk ,
(n)
et τek la mesure de probabilité uniforme définie sur Sek,n . Nous pouvons
exprimer (2.1) comme une intégrale sur Sek,n :
Z
a(n) ∗
(n)
e−itr(ξv n v ) τek (dv).
Sek,n
29
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
30
En généralisant un théorème de Poincaré, nous montrons que la suite des
(n)
mesures τek , considérées comme des mesures sur M (k, ∞; F), convergent vers
une mesure gaussienne. Ensuite en appliquant un théorème de Minlos, nous
montrons la convergence de ces intégrales sous des hypothèses portant sur la
suite a(n) que nous précisons.
On commence par regarder ce problème dans le cas où k = 1 (proposition
2.1). Ensuite k sera un entier fixé quelconque (proposition 2.12).
(n)
On note ϕk la fonction définie par
Z
(n) ∗
(n)
(n)
ϕk (ξ) =
e−itr(ξva v ) τk (dv),
(2.2)
Sk,n
où x, a(n) sont des matrices hermitiennes, x ∈ Vk et a(n) ∈ Vn .
(n)
Étant donnée que la mesure τk est invariante à gauche par le groupe
unitaire Kk et à droite par le groupe unitaire Kn , on peut supposer que ξ et
a(n) sont des matrices diagonales réelles .
(n)
(n)
Dans la suite on prendra a(n) = diag(a1 , . . . , an ), ξ = diag(λ1 , . . . , λk ),
(n)
aj ∈ R et λj ∈ R.
(n)
Si k = 1 et x = diag(λ, 0, . . . , 0) alors, la fonction ϕ1 = ϕ(n) s’écrit,
ϕ
(n)
(λ) =
Z
exp(−iλ
Sn
n
X
j=1
(n)
aj |xj |2 ) τ (n) (dx),
(2.3)
où Sn est la sphère unité de Fn et τ (n) est la mesure de probabilité uniforme
sur Sn .
Le résultat principal de ce chapitre est la proposition suivante.
Proposition 2.1 On suppose que pour tout j,
(n)
aj
= αj .
(1) lim
n→∞ n
De plus on suppose que la suite α = {αj } est sommable et que
(2) lim
n→∞
(3) lim
n→∞
(n)
n
X
aj
j=1
n
X
j=1
n
=
(n)
aj
n
∞
X
αj ,
j=1
!2
=
∞
X
j=1
αj2 .
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
31
Alors, la fonction ϕ(n) converge uniformément sur tout compact de R vers la
fonction ϕ définie par :
ϕ(λ) =
∞
Y
d
2
(1 + iλαj )− 2 .
d
j=1
Avec d = 1, 2 ou 4 suivant que F = R , C ou H.
Nous établirons au chapitre 3 ce résultat sous des hypothèses plus faibles en
utilisant une autre méthode.
2.2
Théorème de Poincaré
On désigne par M (k, n; F) l’espace des matrices k × n à coefficients dans
F. Il est muni du produit scalaire défini par
hx, ξi = <(tr(xξ ∗ )).
Soit M (k, ∞; F) = lim M (k, n; F), la limite projective des espaces M (k, n; F),
←−
c’est l’espace des matrices à k lignes et une infinité de colonnes. On munit
cet espace de la topologie de la limite projective. C’est un espace séparable,
métrisable et complet puisqu’il est homéomorphe à (F∞ )k . On désigne aussi
par M (k, (∞); F) = lim M (k, n; F), la limite inductive des espaces M (k, n; F).
−→
C’est l’espace des matrices à k lignes et qui n’ont qu’un nombre fini de
colonnes non nulles,
M (k, (∞); F) =
∞
[
M (k, n; F),
n=1
c’est également l’espace dual de M (k, ∞; F) pour le produit scalaire défini
ci-dessus. On munit cet espace de la topologie de la limite inductive. En
particulier une fonction f est continue sur M (k, (∞); F), si et seulement si,
pour tout n ∈ N, sa restriction f |M (k,n;F) à M (k, n; F) est continue.
On rappelle d’abord la définition et le théorème suivants.
Définition 2.2 Une suite ν (n) de mesures de probabilité sur M (k, ∞; F)
converge étroitement vers une mesure ν sur M (k, ∞; F), si pour toute fonction
continue bornée f sur M (k, ∞; F),
Z
Z
(n)
lim
f (x)ν (dx) =
f (x)ν(dx).
n→∞
M (k,∞;F)
M (k,∞;F)
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
32
Théorème 2.3 Une suite de mesures de probabilité ν (n) sur M (k, ∞; F)
converge étroitement vers une mesure ν si et seulement si, pour tout m ≥ 1,
(n)
la suite νm = sm (ν (n) ) converge étroitement vers νm = sm (ν) où sm :
M (k, ∞; F) −→ M (k, m; F), est la projection canonique.
(Bellingsley [3] p.29-30).
Pour démontrer le théorème de Poincaré théorème 2.4, nous avons besoin
(n)
du résultat suivant. La transformée de Fourier de la mesure τk est donnée
par :
Z
∗
d
(n)
(k) ξξ
(n)
e−ihξ,xi τk (dx) = J nd (
τk (ξ) =
),
ξ ∈ M (k, n; F), k ≤ n,
4
2
Sk,n
(k)
où Jν
est la fonction de Bessel d’indice ν définie sur VkC par :
Jν(k) (z) =
X
m≥0
(k)
(−1)|m|
dm
( δ(k)
)
k m
1
Φ(k) (z),
(ν)m m
(ν)m 6= 0.
La somme est étendue au m ∈ Nk , m = (m1 , . . . , mk ) et m1 ≥ · · · ≥ mk ≥ 0.
C’est un cas particulier de la proposition XVI.2-3 de [10].
n
e
e
On suppose
√ que k = 1 et on note S1,n = Sn la sphère de F de centre o
et de rayon n
(
)
n
X
|vj |2 = n ,
Sen = v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Fn |
j=1
(n)
et τe1 = τe(n) est la mesure uniforme normalisée sur cette sphère considérée
comme mesure sur F∞ . Le résultat suivant est attribué à Poincaré.
Théorème 2.4 (Poincaré) :
La mesure τe(n) converge étroitement vers la mesure gaussienne γ de F∞ dont
la transfomée de Fourier est :
ρ2
ψ(ξ) = e− 2d ,
avec ρ2 =
∞
X
j=1
ξj2 ,
ξ ∈ F(∞) .
(F(∞) est le dual de F∞ pour le produit scalaire euclidien.)
Ce théorème a été démontré à plusieurs reprises, on peut voir la preuve
probabiliste proposée par Diaconis et Freedman [13]. Ici on en donne une
preuve plus analytique.
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
33
Démonstration. Soit ψ (n) la transformée de Fourier de la mesure τe(n) . Pour
ξ ∈ F` , ` < n on a :
Z
(n)
ψ (ξ) =
e−ihx,ξi τe(n) (dx)
Sen
(1) n
= J nd ( ||ξ||2 )
4
2
(1) n 2
= J nd ( ρ ).
4
2
où ρ2 =
P̀
j=1
|ξj |2 .
Pour, k = 1 et t ≥ 0,
Donc,
2
nd 2 nd
(1) t
J nd ( ) = Γ( )( ) 2 −1 J nd −1 (t)
2
4
2 t
2
∞
X (−1)m
1
t2
=1+
( )m .
m! nd(nd + 2) · · · (nd + 2m − 2) 2
m=1
ψ
Mais,
et
(n)
∞
X
(−1)m
(nd)m
ρ2
(ξ) =
( )m .
m! nd(nd + 2) · · · (nd + 2m − 2) 2d
m=0
(nd)m
= 1,
lim
n→∞ nd(nd + 2) · · · (nd + 2m − 2)
(nd)m
≤ 1.
nd(nd + 2) · · · (nd + 2m − 2)
Donc, d’après la proposition 1.13,
lim ψ (n) (ξ) =
n→∞
∞
X
ρ2
(−1)m ρ2 m
( ) = e− 2d .
m! 2d
m=0
Par suite, pour tout ` ∈ N , s` (e
τ (n) ) converge étroitement vers la mesure
gaussienne γ` sur F` définie par :
P̀
2π d` − d2 |xj |2
dx.
γ` (dx) = ( )− 2 e j=1
d
où dx est la mesure de Lebesgue sur F` .
Puisque les projections des mesures τe(n) sur les sous-espaces de dimension
finie F` convergent pour tout ` alors, d’après le théorème 2.3, la suite des
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
34
mesures τe(n) converge étroitement vers la mesure gaussienne γ sur F∞ , dont
la transformée de Fourier est définie sur F(∞) par
Z
1
2
ξ ∈ F(∞) .
e−ihx,ξi γ(dx) = e− 2d ||ξ|| ,
F∞
On suppose maintenant que k ≥ 1.
(n)
Théorème 2.5 La mesure τek converge étroitement vers la mesure de gaussienne γk sur M (k, ∞; F) dont la transformée de Fourier ψk est donnée par :
ρ2
ψk (ξ) = e− 2d ,
où
2
∗
ρ = tr(ξξ ) =
k X
∞
X
j=1 `=1
|ξj,`|2 ,
et ξ ∈ M (k, (∞); F).
(n)
(n)
Démonstration. Soit ψk la transformée de Fourier de τek . Pour ξ ∈ M (k, p; F),
p < n.
Z
(k) n
(n)
(n)
ψk (ξ) =
e−ihξ,xi τek (dx) = J nd ( ξξ ∗ )
4
2
Sek,n
=
X
(k)
(−1)
|m|
m≥0
X
dm
1
( δ(k)
)
k m
( nd
)
2 m
(k) n
Φm
( ξξ ∗ )
4
(k)
( nd
)|m| (k)
1
2
Φm (− ξξ ∗ ).
=
nd
δ(k)
2d
( 2 )m
m≥0 ( k )m
Lemme 2.6
dm
( nd
)|m|
2
= 1.
n→∞ ( nd )m
2
lim
De plus il existe une constante Ck,d > 0 telle que pour tout n
( nd
)|m|
2
≤ Ck,d .
( nd
)
m
2
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
35
Démonstration.
k
d
Y
Γ mj + nd
−
(j
−
1)
nd
2
2
( )m =
d
nd
2
−
(j
− 1)
Γ
2
2
j=1
k Y
nd
nd
nd d
d
d
− (j − 1)
+ 1 − (j − 1) . . .
+ mj − 1 − (j − 1)
=
2
2
2
2
2
2
j=1
j −1 k mY
Y
nd
d
=
− (j − 1) + `
2
2
j=1 `=0
k
Y
Y
nd d
≥
− (j − 1) + `
2
2
d
d
j=1
0≤`≤ 2 (j−1)
2
Y
(j−1)≤`≤mj −1
nd d
− (j − 1) + ` .
2
2
Pour n assez grand, il existe une constante Aj,` > 0 telle que pour tout
1 ≤ j ≤ k et pour tout 0 ≤ ` ≤ d2 (j − 1)
nd d
nd
− (j − 1) + ` ≥ Aj,` ,
2
2
2
D’autre part, si d2 (j − 1) ≤ ` ≤ mj − 1, alors,
nd d
nd
− (j − 1) + ` ≥
.
2
2
2
Donc, il existe une constante Ck,d > 0 telle que
(
nd
nd |m|
) ≤ Ck,d ( )m .
2
2
Pour n assez grand (n → ∞),
k
Y nd d
nd
nd
d
nd
d
nd
( )m =
− (j−1)
+1− (j−1) . . . ( +mj −1− (j−1) ∼ ( )|m| .
2
2 2
2
2
2
2
2
j=1
D’après la proposition 1.13 et le lemme précédent, on peut intervertir les
(n)
signes somme et limite dans l’expression de ψk :
(n)
lim ψk (ξ) =
n→∞
X
(k)
dm
δ(k)
m≥0 ( k )m
1
∗
(k)
Φm
(−
1
1 ∗
ξξ )
2d
2
= e− 2d tr(ξξ ) = e− 2d |||ξ||| ,
et la convergence est uniforme sur tout compact de Vk .
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
36
(n)
Donc les projections sp (e
τk ) sur les sous-espaces de dimension finie M (k, p; F),
convergent étroitement vers la mesure gaussienne sp (γk ) = γk,p pour tout p
où
d
p
k P
P
|xj` |2
d dkp − 2
dx,
γk,p (dx) = ( ) 2 e j=1 `=1
2π
et dx est la mesure de Lebesgue euclidienne sur M (k, p; F).
(n)
En utilisant de nouveau le théorème 2.3, on en déduit que la mesure τek
converge étroitement vers la mesure gaussienne γk sur M (k, ∞, F), dont la
transformée de Fourier est définie sur M (k, (∞); F) par :
Z
1
∗
e−ihξ,xi γk (dx) = e− 2d tr(ξξ ) .
M (k,∞;F)
2.3
Théorème de Minlos
On note `2 (N) l’espace des suites réelles de carré sommable. Pour une
suite a = {aj } de nombres strictement positifs qui est sommable on note,
`2a (N)
= x∈R
∞
/
∞
X
j=1
aj x2j < ∞ .
L’espace `2a (N) est un sous ensemble mesurable de R∞ . En effet soit fn la
fonction définie sur R∞ par,
fn (x) =
n
X
aj x2j .
j=1
Les fonctions fn sont continues, donc f (x) = sup fn (x) est une fonction
mesurable. Par suite l’ensemble
n
`2a (N) = {x ∈ R∞ | f (x) < ∞},
est mesurable.
Nous utiliserons dans la suite la forme suivante du théorème de Minlos.
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
37
Théorème 2.7 (Minlos) : Soit ν une mesure de probabilité sur R∞ , et soit
ϕ sa transformée de Fourier. On suppose que ϕ, qui est définie sur R (∞) , se
prolonge par continuité à `2 (N) pour la topologie induite par celle de `2 (N).
Alors, pour toute suite a = {ak } de nombres strictement positifs qui est
sommable,
ν(`2a (N)) = 1.
Pour des énoncés plus généraux du théorème de Minlos voir (Yamasaki [29]
théorème 17.1).
Démonstration. Posons
Iδ,n =
=
Z
Z
e
− 2δ
n
P
j=1
aj x2j
ν(dx)
R∞
e
− δ2
n
P
j=1
aj x2j
νn (dx),
Rn
n
où νn est la projection de ν sur R .
a) Montrons d’abord que
lim ( lim Iδ,n ) = ν(`2a (N)).
δ→0 n→∞
Pour δ > 0
lim e
− 2δ
n
P
j=1
aj x2j
n→∞
=



− 2δ
e
0
∞
P
j=1
aj x2j
si x ∈ `2a (N),
sinon,
donc, d’après le théorème de convergence dominée,
lim
n→∞
Z
e
− 2δ
n
P
j=1
aj x2j
ν(dx) =
R∞
Z
e
− 2δ
∞
P
j=1
aj x2j
ν(dx).
`2a (N)
De plus, pour x ∈ `2a (N),
lim e
− δ2
∞
P
j=1
δ→0
aj x2j
= 1,
donc, d’après le théorème de convergence monotone,
lim ( lim Iδ,n ) = ν(`2a (N)),
δ→0 n→∞
b) En exprimant Iδ,n à l’aide de la fonction ϕ nous allons montrer que
lim ( lim Iδ,n ) ≥ 1.
δ→0 n→∞
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
38
En utilisant la formule
Z
1 2
1
s 2
e− 2s ξ eixy dy = (2πs) 2 e− 2 x
(où s > 0, x ∈ R),
R
nous obtenons
Iδ,n =
n
Y
(2πδaj )
− 12
k=1
Z
e
1
− 2δ
ξj2
aj
j=1
n
P
ϕ(ξ) dξ1 . . . dξn .
Rn
Puisque ϕ est continue en 0 pour la topologie de `2 (N) et que ϕ(0) = 1.
∀ ε > 0 , ∃ ρ > 0 , ||ξ|| < ρ ⇒ |ϕ(ξ) − 1| < ε et <ϕ(ξ) ≥ 1 − ε.
D’autre part, pour tout ξ ∈ `2 (N),
|ϕ(ξ)| ≤ 1 et <ϕ(ξ) ≥ −1.
Par suite, pour tout ξ,
<ϕ(ξ) ≥ 1 − ε − 2
||ξ||2
.
ρ2
En utilisant la formule
Z
1 2
1
e− 2a ξ ξ 2 dξ = a(2πa) 2 ,
(où a > 0)
R
Nous obtenons
Iδ,n
Par suite
n
2δ X
≥ 1−ε− 2
aj .
ρ j=1
lim Iδ,n
n→∞
et
∞
δ X
≥ 1−ε−2 2
aj ,
ρ j=1
lim( lim Iδ,n ) ≥ 1 − ε.
δ→0 n→∞
Donc
ν(`2a (N)) ≥ 1 − ε.
Ceci étant vrai pour tout ε > 0,
ν(`2a (N)) = 1.
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
39
Remarque 2.8 C’est en particulier le cas si γ est une mesure gaussienne :
pour toute suite a = {ak } de nombres strictements positifs qui est sommable,
γ(`2a (N)) = 1.
Une première application du théorème de Minlos est l’evaluation de l’intégrale
suivante.
Z
∞
X
ϕ(λ) =
exp(−iλ
αj |xj |2 ) γ(dx),
E∞
j=1
où E est un espace euclidien de dimension d, et γ est la mesure gaussienne
sur E∞ dont la transformée de Fourier est égale à
1
2
ψ(ξ) = e− 2d ||ξ|| ,
et {αj } est une suite sommable de nombres réels .
Proposition 2.9 Pour tout λ ∈ R,
ϕ(λ) =
∞
Y
d
2
(1 + iλαj )− 2 .
d
j=1
Démonstration. D’après le théorème de Minlos la série
∞
X
j=1
αj |xj |2 ,
converge γ-presque partout sur E∞ , et d’après le théorème de convergence
dominée
Z
Z
∞
N
X
X
2
exp(−iλ
αj |xj | ) γ(dx) = lim
exp(−iλ
αj |xj |2 ) γ(dx).
E∞
N →∞
j=1
De plus,
Z
=
Z
exp(−iλ
E∞
j=1
exp(−iλ
EN
N
Y
d d
= ( )2
2π
j=1
=
N
Y
N
X
N
X
j=1
Z
E∞
j=1
αj |xj |2 ) γ(dx)
αj |xj |2 ) γN (dx)
2
d
2
e−iλαj |xj | e− 2 |xj | dxj
E
d
2
(1 + i λαj )− 2 .
d
j=1
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
40
2.4
Démonstration de la proposition 2.1
Les étapes de la démonstration : La preuve repose sur les deux importants théorèmes 2.4 et 2.7. Dans un premier temps on considère la suite
sommable (cj ) = (|αj | + j12 )j et on associe à cette suite l’espace de Hilbert
`2c (N). D’après le théorème de Minlos γ(`2c (N)) = 1. Ensuite à l’aide d’un découpage de l’intégrale qui figure dans l’équation (2.3) on va faire apparaître
une certaine intégrale de la forme
Z
√
f ( nv)τ (n) (dv),
Sn
où f est une fonction continue bornée sur F∞ , à laquelle on applique le
théorème de Poincaré (théorème 2.4).
(n)
Lemme 2.10 Soit x(n) = {xj } une suite d’éléments de `2 (N) telle que
(n)
lim xj
n→∞
= xj , ∀ j,
lim ||x(n) ||2 = ||x||2 .
n→∞
Alors,
lim ||x(n) − x||2 = 0,
n→∞
où || · ||2 est la norme euclidienne sur `2 (N).
Démonstration. On écrit
||x(n) − x||22 = ||x(n) ||22 + ||x||22 − 2<hx(n) , xi.
Pour établir le lemme, il suffit de montrer que
lim hx(n) , xi = ||x||22 .
n→∞
Pour N < n,
hx
(n)
, xi =
N
X
(n)
xj xj
+
j=1
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
∞
X
j=N +1
(n)
xj xj ≤ ||x(n) ||2
∞
X
(n)
xj xj .
j=N +1
∞
X
j=N +1
|xj |2
! 12
.
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
41
En utilisant la deuxième hypothèse du lemme on en déduit que
∞
X
lim lim
N →∞ n→∞
(n)
xj xj = 0.
j=N +1
D’après la première hypothèse du lemme
lim lim
N →∞ n→∞
N
X
j=1
(n)
xj xj = ||x||22 .
Par suite
lim hx(n) , xi = ||x||22 .
n→∞
Ceci complète la preuve du lemme.
Lemme 2.11 Pour tout j, ` ≥ 1
Z
Sn
|vj |2 |v` |2 τ (n) (dv) =

d


 n(nd + 2) si j 6= `,



d+2
si j = `.
n(nd + 2)
Démonstration. Pour tout x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Fn ,
Z
2
(1) ||x||
−ihv,xi (n)
)
e
τ (dv) = J nd (
4
2
Sn
m
∞
X
||x||2
(−1)m
1
=1+
.
m!
nd(nd
+
2)
·
·
·
(nd
+
2m
−
2)
2
m=1
(2.4)
n
P
où ||x||2 =
|x` |2 .
`=1
Pour v` ∈ F, v` = (v`1 , . . . , v`d ) alors,
Z
Z
4 (n)
((v`1 )2 + · · · + (v`d )2 )2 τ (n) (dv)
|v` | τ (dv) =
Sn
=
Sn
d
XZ
j=1
=d
Z
Sn
(v`j )4
Sn
τ
(n)
(dv) +
X Z
1≤j6=i≤d
(v`1 )4 τ (n) (dv) + d(d − 1)
Z
(v`j )2 (v`i )2 τ (n) (dv)
Sn
Sn
(v`1 )2 (v`2 )2 τ (n) (dv)
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
42
On prend x = (0, 0, . . . , x` , . . . , 0) ∈ Rdn dans l’équation (2.4). Par identification des coefficients on obtient
Z
3
.
(v`1 )4 τ (n) (dv) =
nd(nd + 2)
Sn
De même si x = (0, . . . , xi , 0, . . . , 0, xj , . . . , 0) ∈ Rdn , j 6= i alors, par identification on déduit que
Z
1
.
(v`j )2 (v`i )2 τ (n) (dv) =
nd(nd + 2)
Sn
Par suite
Z
1=
Z
Sn
Sn
|v` |4 τ (n) (dv) =
n
X
`=1
|v` |
2
!2
τ
(n)
3d
d(d − 1)
d+2
+
=
.
nd(nd + 2) nd(nd + 2)
n(nd + 2)
(dv) =
n Z
X
k=1
4
Sn
|v` | τ
et par invariance de la mesure τ (n)
Z
Z
4 (n)
n
|v` | τ (dv) + n(n − 1)
Sn
donc
n(n − 1)
Z
Sn
Sn
(n)
(dv)+
1≤j6=`≤n
Sn
Sn
|v` |2 |vj |2 τ (n) (dv),
|v` |2 |vj |2 τ (n) (dv) = 1,
|v` |2 |vj |2 τ (n) (dv) = 1 −
Autrement dit, pour tout j 6= `,
Z
|v` |2 |vj |2 τ (n) (dv) =
X Z
d+2
.
nd + 2
d
.
n(nd + 2)
Démonstration de la proposition 2.1. Nous avons vu que la fonction ϕ admet
la représentation intégrale
ϕ(λ) =
Z
e
−iλ
∞
P
j=1
αj |xj |2
γ(dx).
F∞
Nous introduisons les intégrales suivantes :
Am,n (λ) =
Z
e
Sn
−iλn
m
P
j=1
αj |xj |2
τ (n) (dx),
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
43
pour m ≤ n, et
Bm (λ) =
Z
e
−iλ
m
P
j=1
αj |xj |2
γ(dx),
F∞
de façon à décomposer la différence ϕ(n) (λ) − ϕ(λ) en
ϕ(n) (λ) − ϕ(λ) = ϕ(n) (λ) − An,n (λ) + An,n (λ) − Am,n (λ)
+ Am,n (λ) − Bm (λ) + Bm (λ) − ϕ(λ).
(i) Majoration de ϕ(n) (λ) − An,n (λ). On va utiliser l’inégalité suivante :
pour tout x ∈ R
|eix − 1| ≤ |x|.
!
Z
(n)
n
X
a
j
− αj )|vj |2 − 1 τ (n) (dv),
|ϕ(n) n(λ) − An,n (λ)| ≤
exp −inλ
(
n
Sn
j=1
donc
|ϕn (λ) − An,n (λ)| ≤ n|λ|
Z
Sn
(n)
n
X
aj
(
− αj )|vj |2 τ (n) (dv).
n
j=1
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

Z
(n)
|ϕ (λ) − An,n (λ)| ≤ n|λ| 
Sn
(n)
n
X
aj
(
− αj )|vj |2
n
j=1
De plus
Z
(n)
n
X
aj
− αj )|vj |2
(
n
j=1
Sn
!2
!2
τ (n) (dv) .
τ (n) (dv)
Z
(n)
n X
n
(n)
X
aj
a`
=
(
− α` )(
− αj )
|v` |2 |vj |2 τ (n) (dv).
n
n
Sn
j=1
`=1
D’après le lemme 2.11
Z




 21
d
si j =
6 `,
n(nd + 2)
2
2 (n)
|v` | |vj | τ (dx) =
d+2

Sn


si j = `.
n(nd + 2)
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
44
Par suite
Z
Sn
(n)
n
X
aj
− αj )|vj |2
(
n
j=1
!2
où
(n)
n
X
aj
In =
n
j=1
Donc
|ϕ
(n)
−
n
X
αj
j=1
τ (n) (dv) =
!2
d
In ,
n(nd + 2)
(n)
2 X aj
+
(
− α j )2 .
d j=1 n
n
(λ) − An,n (λ)| ≤ |λ| √
(n)
√
nd p
In .
nd + 2
(2.5)
aj
)1≤j≤n et (αj )1≤j≤n vérifient les hypothèses
Remarquons que les suites (
n
du lemme 2.10, donc
(n)
n
X
aj
− αj )2 = 0,
lim
(
n→∞
n
j=1
et en utilisant la première hypothèse du théorème on en déduit que
lim In = 0.
n→∞
Donc
lim |ϕ(n) (λ) − An,n (λ)| = 0,
n→∞
et la convergence a lieu uniformément sur tout compact de R.
(ii) Majoration de An,n (λ) − Am,n (λ).
|An,n (λ) − Am,n (λ)| ≤ n|λ|
≤ |λ|
Z
n
X
j=m+1
∞
X
j=m+1
|αj |
Z
Sn
|vj |2 τ (n) (dx)
|αj |.
1
et que |eix − 1| ≤ |x|).
n
Sn
(iii) Convergence de Am,n (λ) vers Bm (λ) quand n → ∞.
La fonction
m
(on a utilisé le fait que
|vj |2 τ (n) (dv) =
gm (x) = e
−iλ
P
j=1
αj |xj |2
,
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
45
est continue sur F∞ et bornée. D’après le théorème de Poincaré (théorème
2.4), ∀ m ∈ N, et ∀ λ ∈ R,
Z
Z
√
(n)
gm ( n x)τ (dx) =
gm (x)γ(dx).
lim
n→∞
Sn
F∞
Autrement dit
lim Am,n (λ) = Bm (λ).
n→∞
(iv) Convergence de Bm (λ) vers ϕ(λ) quand m → ∞.
Si x ∈ `2c (N) avec (c = {|αj | + j12 }j≥1 ), alors
lim
m→∞
donc
m
X
j=1
αj |xj |2 =
lim gm (x) = g∞ (x)
m→∞
−iλ
∞
P
∞
X
j=1
αj |xj |2 ,
γ − presque par tout,
αj |xj |2
.
où g∞ (x) = e
Ainsi, d’après le théorème de Minlos et le théorème de convergence dominée,
lim Bm (λ) = ϕ(λ).
j=1
m→∞
et la convergence a eu lieu uniformément sur tout compact de R.
(v) Conclusion. Soit ε > 0.
(1) D’après l’inégalité (2.5) on peut trouver N0 tels que, si n ≥ N0 ,
|ϕ(n) (λ) − An,n (λ)| ≤ |λ|ε.
(2) On peut trouver N1 tel que, si m ≥ N1 ,
∞
X
j=m+1
d’où
|αj | ≤ ε,
|An,n (λ) − Am,n (λ)| ≤ |λ|ε.
(3) On peut trouver N2 tels que, si m ≥ N2 ,
|Bm (λ) − ϕ(λ)| ≤ ε.
(4) On fixe m ≥ max(N0 , N1 , N2 ),
On peut trouver n0 ≥ m tels que, si n ≥ n0 ,
|Am,n (λ) − Bm (λ)| ≤ ε.
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
46
On en déduit que, pour n ≥ n0 et tout λ dans un compact de R,
|ϕ(n) (λ) − ϕ(λ)| ≤ Cε.
où C est une constante indépendante de n.
Donc ϕ(n) converge uniformément sur tout compact de R vers ϕ.
Considérons maintenant le cas général k ≥ 1.
Proposition 2.12 On suppose que ξ ∈ Vk est une matrice hermitienne k×k.
(n)
Sous les hypothèses de la proposition 2.1, la fonction ϕk (ξ) définie sur Vk
par
Z
(n)
(n)
exp(−itr(ξva(n) v ∗ )) τk (dv),
ϕk (ξ) =
Sk,n
converge uniformément sur tout compact de Vk vers la fonction ϕk définie
par
∞
Y
d
2
ϕk (ξ) =
det(1 + iαj ξ)− 2 .
d
j=1
(n)
Démonstration. Par invariance à gauche de la mesure τk et de la mesure
γk par le groupe Kk , on peut supposer que la matrice ξ est diagonale :
ξ = diag(λ1 , . . . , λk ), et donc
(n)
ϕk (ξ)
=
et
ϕk (ξ) =
Z
Z
exp(−i
Sk,n
k X
n
X
`=1 j=1
exp(−i
M (k,∞;F)
(n)
(n)
λ` aj |v`j |2 ) τk (dv),
k X
∞
X
`=1 j=1
λ` αj |v`j |2 ) γk (dv).
La démonstration suit pas à pas celle qui a été donnée dans le cas où k = 1.
On définit l’espace de Hilbert
)
(
k X
∞
X
Hc,k = v ∈ M (k, ∞, F) |
cj |v`j |2 < ∞ ,
`=1 j=1
qui s’identifie à l’espace (`2c (N))k . D’après le théorème de Minlos
γk (Hc,k ) = 1.
La fonction
v 7→
k X
∞
X
`=1 j=1
αj λ` |v`j |2 ,
CHAPITRE 2. CONVERGENCE DES MESURES ORBITALES,
MÉTHODE UTILISANT LES THÉORÈMES DE POINCARÉ ET DE
MINLOS
47
est définie γk -presque par tout sur M (k, ∞, F) donc l’intégrale suivante
ϕk (ξ) =
Z
exp(−i
M (k,∞,F)
k X
∞
X
`=1 j=1
αj λ` |v`j |2 ) γk (dv),
est bien définie. On obtient comme dans le cas où k = 1
k Y
∞
Y
∞
Y
d
d
2
2
ϕk (ξ) =
(1 + i λ` αj )− 2 =
det(1 + i αj ξ)− 2 .
d
d
j=1
`=1 j=1
Le reste de la preuve est identique à celle de la proposition 2.1.
Chapitre 3
Convergence des mesures
orbitales, méthode de Olshanski
et Vershik : Développement en
séries de polynômes sphériques
3.1
Introduction
Dans leur article [22], Olshanski et Vershik ont déterminé les mesures
ergodiques sur l’espace H∞ des matrices hermitiennes de dimension infinie
relativement à l’action du groupe unitaire infini U (∞).
Dans ce chapitre, en suivant la même méthode, nous étendons leur résultat
au cas des matrices hermitiennes de dimension infinie à coefficients dans
F = R, C ou H relativement à l’action du groupe O(∞) si F = R, U (∞) si
F = C et Sp(∞) si F = H.
Rappelons la définition d’une mesure ergodique : soit (X, B) un espace
mesurable sur lequel un groupe G agit par des transformations mesurables.
Soit ν une mesure de probabilité G-invariante sur X . Un ensemble E ∈ B
est dit G-invariant relativement à ν si, pour tout g ∈ G,
ν((gE)∆E) = 0.
où ∆ désigne la différence symétrique. La mesure ν est dite ergodique relativement à l’action du groupe G si, pour tout E ∈ B qui est ν-invariant
ν(E) = 0 ou 1.
Soit Vn l’espace des matrices hermitiennes n × n à coefficients dans le corps
F et Kn = U (n, F) le groupe des matrices unitaires d’ordre n à coefficients
48
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
49
dans F. On note par V∞ respectivement V (∞), l’espace des matrices hermitiennes infinies respectivement l’espace des matrices hermitiennes infinies
n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls. Soit K∞ le groupe des matrices unitaires infinies (uij )ij à coefficients dans F telles que uij = δij si i + j
est très grand,
∞
[
K∞ =
Kn .
n=1
Le groupe K∞ agit sur les espaces V∞ et V (∞) par conjugaison. On s’intéresse à la classe M des mesures de probabilité sur V∞ qui sont invariantes
par K∞ .
Soit ν une mesure de M , sa transformée de Fourier est la fonction de
type positif et K∞ -invariante ϕ définie sur V (∞) par
Z
ϕ(ξ) =
eitr(xξ) ν(dx).
V∞
Le résultat principal de ce chapitre est le théorème suivant.
Théorème : La transformée de Fourier d’une mesure ergodique ν de M est
une fonction de type positif ϕ sur V (∞) qui est invariante par K∞ et dont la
restriction au sous-espace des matrices diagonales est donnée par la formule
suivante
ϕ diag(ξ1 , . . . , ξk , 0, . . .) = Π(ξ1 ) . . . Π(ξk ),
où
Π(λ) = e
iβλ − γd λ2
e
∞
Y
k=1
avec
β ∈ R, γ ≥ 0, αk ∈ R,
∞
X
k=1
e−iαk λ
d
(1 − i d2 αk λ) 2
,
αk2 < ∞ et d = 1, 2 ou 4.
Nous dirons que (α, γ, β) sont les paramètres de la mesure ergodique ν.
L’idée de la démonstration de ce théorème est la suivante ; on utilise le résultat suivant de Vershik : si ν est une mesure ergodique sur V∞ relativement
à l’action du groupe K∞ alors ν est limite étroite d’une suite de mesures
orbitales ν (n) , ν (n) étant une mesure orbitale relativement au groupe Kn , associée à une matrice hermitienne Λ(n) et définie par : si f est une fonction
continue sur V∞
Z
Z
(n)
f (y)ν (dy) =
f (kΛ(n) k ∗ )dk,
V∞
Kn
où dk est la mesure de Haar normalisée de Kn .
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
50
Notons ϕ(n) la transformée de Fourier de la mesure ν (n)
Z
(n)
ϕ (ξ) =
eitr(ξx) ν (n) (dx).
V∞
Nous établirons en premier temps le lien qui existe entre la convergence
de la suite des mesures ν (n) et le comportement asymptotique des valeurs
propres de la matrice Λ(n) .
Pour la réciproque, on va montrer que
lim ϕ(n) (diag(ξ1 , . . . , ξk , 0, . . .)) = Π(ξ1 )...Π(ξk ),
n→∞
(3.1)
où Π(ξ) est la fonction de Pólya qu’on introduit dans la définition 3.1.
Pour montrer (3.1), on développe ϕ(n) en série de polynômes sphériques,
et on fera un passage à la limite sur n.
On en déduit que la fonction
ϕ(ξ) = det Π(ξ),
est de type positif. Puisque ϕ est multiplicative, c’est un élément extrémal
du cône P des fonctions continues de type positif sur V (∞), K∞ -invariantes
et normalisées par la condition ϕ(0) = 1. Par suite ϕ est la transformée de
Fourier d’une mesure ergodique.
3.2
Fonction de Pólya-Définition
Définition 3.1 La fonction de Pólya de paramètres α = (α1 , α2 , . . .) ∈
`2 (N), αj ∈ R , β ∈ R et γ ≥ 0 est définie sur R par :
Π(λ; α, γ, β) := e
iβλ − γd λ2
e
∞
Y
j=1
e−iαj λ
d
(1 − i d2 αj λ) 2
.
Au couple (α, γ) on associe la mesure positive et bornée σ sur R définie par :
si f est une fonction continue sur R
Z
∞
X
f (t)σ(dt) =
αj2 f (αj ) + γf (0).
R
j=1
On obtient ainsi un ensemble Ω0 de mesures que l’on munit de la topologie
de la convergence étroite. Remarquons que les moments de la mesures σ sont
donnés par
Z
∞
X
M0 (σ) =
σ(dt) = γ +
αj2 = γ + p2 (α),
R
j=1
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
51
et pour m ≥ 1,
Mm (σ) =
Z
m
t σ(dt) =
R
∞
X
αjm+2 = pm+2 (α),
j=1
où pm est la mième somme de Newton définie par : si x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `2 (N)
et m ≥ 2,
∞
X
pm (x) =
xm
k .
k=1
La dérivée logarithmique de la fonction de Pólya Π(λ) = Π(λ; α, γ, β) est
égale à
m
∞
X
Π0 (λ)
2
2λ
= iβ − (γ + p2 (iα))λ +
pm+2 (iα)
,
Π(λ)
d
d
m=1
Z
λ
2
σ(dt).
= iβ −
d R 1 − i d2 λ
Les fonctions de Pólya sont paramétrées par l’ensemble Ω = Ω0 × R muni de
la topologie produit.
Théorème 3.2 Une suite de points ω (n) = (α(n) , γ (n) , β (n) ) de Ω converge
vers ω = (α, γ, β) si et seulement si les fonctions de Pólya correspondantes
Π(n) (λ) = Π(λ; α(n) , γ (n) , β (n) ) convergent uniformément sur tout compact de
R vers Π(λ) = Π(λ; α, γ, β).
Démonstration.
Condition nécessaire. Supposons que ω (n) converge vers ω pour la topologie de Ω. Remarquons que les fonctions des Pólya Π(n) et Π sont holomorphes
1
2
(n)
dans le disque D(0, R) où
= sup αm
. Donc pour tout λ ∈ D(0, R),
R
d m,n
leurs dérivées logarithmiques sont données par
m
0
∞
X
Π(n) (λ)
2 (n)
2λ
(n)
(n)
(n)
= iβ −
γ + p2 (α ) λ +
pm+2 (iα )
,
(n)
Π (λ)
d
d
m=1
m
∞
X
2
2λ
Π0 (λ)
.
= iβ − (γ + p2 (iα))λ +
pm+2 (iα)
Π(λ)
d
d
m=1
Pour toute fonction f continue bornée sur R
Z
Z
(n)
lim
f (t)σ (dt) =
f (t)σ(dt),
n→∞
R
R
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
52
où σ (n) est la mesure positive et bornée sur R associée au couple (α (n) , γ (n) ).
Donc, si f = 1, on en déduit que la suite p2 (α(n) ) + γ (n) converge. Par suite
il existe une constante A > 0 telle que pour tout n
0 ≤ p2 (α(n) ) + γ (n) ≤ A2 .
(n)
Donc, la suite {αm } est bornée par A pour tout m et tout n.
D’où,
supp(σ (n) ) ⊂ [−A, A] et supp(σ) ⊂ [−A, A].
Donc la convergence de la suite des mesures σ (n) vers σ a lieu pour toutes
fonctions continues sur R. On en déduit que pour tout m ≥ 3,
Z
(n)
lim pm (α ) = lim
tm−2 σ (n) (dt)
n→∞
n→∞ R
Z
=
tm−2 σ(dt) = pm (α),
R
et
(n)
|pm (α(n) )| ≤ sup |αm
|
m−2
m
m
≤ p2 (α(n) ) 2
−1
p2 (α(n) )
p2 (α(n) )
m
≤ p2 (α(n) ) 2 ≤ Am .
D’autre part on a
lim (p2 (α(n) ) + γ (n) ) = p2 (α) + γ,
n→∞
et
lim β (n) = β.
n→∞
On en déduit que
0
Π(n) (λ)
Π0 (λ)
lim (n)
=
,
n→∞ Π
(λ)
Π(λ)
la convergence est uniforme sur tout compact du disque D(0, R). Par suite
lim Π(n) (λ) = Π(λ),
n→∞
puisque Π(n) (0) = 1 et Π(0) = 1.
Les fonctions Π(n) et Π étant de type positif, d’après la proposition 1.13,
Π(n) (λ) converge uniformément sur tout compact de ΣR vers Π(λ). Ceci implique la convergence uniforme de Π(n) vers Π sur tout compact de R.
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
53
Condition suffisante. On suppose que Π(n) (λ) converge uniformément sur
tout compact de R vers Π0 (λ) = Π(λ; α0 , γ0 , β0 ).
Puisque Π0 est continue sur R et que Π0 (0) = 1, et puisque de plus Π(n)
converge vers Π0 sur R, alors il existe λ0 > 0 et C > 0 tels que
<(Π(n) (λ0 )) ≥ C.
Donc,
|Π(n) (λ0 )| ≥ C.
Par suite
(n)
e
− 4γ 2 λ20
d
∞
Y
m=1
et
1
(1 +
4
(n)
4
(αm )2 λ20 )
d2
≥ Cd,
∞
∞
4γ (n) 2 Y
4 (n) 2 2
4 2 X (n) 2
1
4 2 (n)
2 λ0
d
(1 + 2 (αm
λ0 γ + 2 λ0
) λ0 ) ≤ 4 .
(αm ) ≤ e
2
d
d
d
Cd
m=1
m=1
Donc
γ (n) + p2 (α(n) ) ≤
d2
4
4λ20 C d
.
(3.2)
D’autre part, en utilisant la convergence de la suite log(Π(n) (λ0 )), on
montre qu’il existe une constante A(λ0 ) telle que pour tout n,
(n)
|β (n) |λ0 ≤ log Π(n) (λ0 )e−iβ λ0 + A(λ0 )
≤ − log(|Π(n) (λ0 )|) + π + A(λ0 )
≤ − log(C) + π + A(λ0 ).
Donc, pour tout n,
|β (n) | ≤ B(λ0 ).
(3.3)
Les équations (3.2) et (3.3) impliquent qu’il existe une constante R telle
que, pour tout n,
2
β (n) + γ (n) + p2 (α(n) ) ≤ R2 .
D’après la proposition VI.2.5 de [11], l’ensemble
ΩR = {ω ∈ Ω | β 2 + γ + p2 (α) ≤ R2 },
est un compact de Ω. On peut donc extraire une sous-suite (ω (nk ) )k qui
converge vers ω = (α, γ, β) pour la topologie de Ω. Donc la suite des fonctions
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
54
de Pólya Π(nk ) (z) converge uniformément sur tout compact de ΣR vers la
fonction de Pólya Π(z) = Π(z; α, γ, β), et par suite
Π = Π0
ou encore
ω = ω0 = (α0 , γ0 , β0 ).
Puisque la suite ω (n) reste dans le compact ΩR , alors le point ω0 est son
unique point d’adhérence. Finalement ω (n) converge vers ω0 .
Corollaire 3.3
(i) L’application qui à ω on associe la fonction de Pólya Πω est un homéomorphisme, l’ensemble des fonctions de Pólya étant muni de la topologie de
la convergence uniforme sur tout compact de R.
(ii) L’ensemble Ω est localement compact, séparable, métrisable et complet.
Démonstration. Le premier point est une conséquence immédiate du théorème
précédent. Le fait que Ω est un ensemble séparable, métrisable et complet,
se déduit immédiatement du théorème 6.2. du livre [23].
Pour R > 0 on définit l’ensemble
(
)
∞
X
ΩR = ω ∈ Ω |
αk2 + γ + β 2 ≤ R .
k=1
Puisque l’application
ω 7→
Z
σ(dt) + β 2 =
R
est continue, alors l’ensemble
(
ω∈Ω |
∞
X
αk2 + γ + β 2 ,
k=1
∞
X
k=1
)
αk2 + γ + β 2 < R .
est un ouvert. D’autre part d’après la proposition VI.2.5 [11], l’ensemble ΩR
est compact. Donc tout point ω possède un voisinage compact. Ceci prouve
que Ω est localement compact.
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
55
3.3
Convergence des mesures orbitales
Soit Λ(n) une suite de matrices diagonales.
(n)
Λ(n) = diag(λ1 , . . . , λ(n)
n ).
Nous leur associons la suite de mesures orbitales ν (n) définie par : si f est
une fonction continue sur V∞
Z
Z
(n)
f (x)ν (dx) =
f (kΛ(n) k ∗ )dk.
V∞
Kn
La transformée de Fourier ϕ(n) de ν (n) est définie sur V (∞) par
Z
(n)
eitr(ξx) ν (n) (dx)
ϕ (ξ) =
Z V∞
(n) ∗
=
eitr(ξkΛ k ) dk.
Kn
Nous allons établir des conditions nécessaires et suffisantes, portant sur la
suite Λ(n) , pour que la suite de mesures ν (n) converge.
À la matrice Λ(n) on associe le point ω (n) = (α(n) , γ (n) , β (n) ) de Ω défini
par
!
(n)
(n)
λ
λ
n
1
,...,
, 0, 0, . . . ,
α(n) =
n
n
γ (n) = 0,
et
n
β
(n)
1 X (n)
=
λ .
n k=1 k
Théorème 3.4 La suite ν (n) converge étroitement si et seulement si la suite
ω (n) converge dans Ω. Si lim ω (n) = ω, alors, pour tout ξ ∈ V (∞),
n→∞
lim ϕ(n) (ξ) = det Πω (ξ),
n→∞
où Πω est la fonction de Pólya associée à ω :
Πω (λ) = e
iβλ − γd λ2
e
∞
Y
k=1
e−iαj λ
d
(1 − i d2 αj λ) 2
.
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
56
Démonstration.
Condition nécessaire. Nous supposons que la suite ν (n) des mesures orbitales
converge étroitement vers une mesure ν. On va montrer que la suite ω (n)
converge dans Ω. Pour cela, on utilise le lemme suivant qui est une observation
dû a Curry et Schoenberg [9].
Lemme 3.5 Soit m(n) une suite de mesures de probabilité sur R. On pose,
Z
tx
(n)
g (t) = (1 − i )−n m(n) (dx).
n
R
Si m(n) converge étroitement vers une mesure m. Alors g (n) converge localement uniformément sur R vers la fonction g définie par,
Z
g(t) =
eitx m(dx).
R
Démonstration. On pose
f
|g
(n)
(t)−f
(n)
(t)| ≤
Z
A
−A
(n)
(t) =
tx
1−i
n
Z
eitx m(n) (dx).
R
−n
− eitx m(n) (dx)+2(1−m(n) ([−A, A])).
Soit ε > 0 et R > 0, d’après le critère de Prokhorov (Voir [3] (théorèmes 6.1
et 6.2 p.37 ou [23] théorème 6.7 p.47), on peut choisir un réel A = A(ε) tel
que,
ε
2(1 − m(n) ([−A, A])) ≤
∀ n.
(3.4)
4
Pour ε, R et A, il existe un entier N = N (ε, R, A) tel que pour tout n ≥ N
et tout |z| ≤ RA,
ε
z
|(1 − )−n − ez | ≤
n
4
Par suite, si t ∈ [−R, R] alors,
Z
A
−A
tx
1−i
n
−n
ε
− eitx m(n) (dx) ≤ .
4
(3.5)
Les équations (3.4) et (3.5) impliquent que pour tout ε > 0 il existe N tel
que, si n ≥ N ,
ε
|g (n) (t) − f (n) (t)| ≤ ,
2
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
57
pour tout t ∈ [−R, R].
D’autre part, puisque la mesure m(n) converge étroitement vers la mesure
m, la transformée de Fourier f (n) de m(n) converge vers la transformée de
Fourier g de m uniformément sur tout compact de R : il existe N 0 tel que, si
n ≥ N 0,
ε
∀ t ∈ [−R, R],
|f (n) (t) − g(t)| ≤ .
2
0
Finalement, pour n ≥ sup(N, N ),
∀ t ∈ [−R, R],
|g (n) (t) − g(t)| ≤ ε.
Notons p la projection de V∞ sur R définie par
p(x) = x11 .
La suite de mesures M (n) = p(ν (n) ) converge étroitement vers la mesure
M = p(ν).
D’après la proposition 1.11, pour tout τ ∈ R
Z
dn
2t
(1 − i τ )− 2 M (n) (dt) = Π(n) (τ ),
dn
R
où Π(n) est la fonction de Pólya associée à ω (n) :
Π(n) (τ ) =
n
Y
j=1
(n)
2 λj
1−i
τ
d n
!− d2
.
Puisque la suite des mesures M (n) converge étroitement vers M , d’après le
lemme précédent
Z
(n)
lim Π (τ ) =
eitτ M (dt),
n→∞
R
la convergence étant uniforme sur tout compact de R.
On en déduit qu’il existe ρ > 0 tel que, sur i[−ρ, ρ], la suite des polynômes
Q
(n)
n
Y
(n)
λj
(z) =
(1 −
z),
n
j=1
converge uniformément. D’après un résultat de Schoenberg ([18], théorème
3.4) la suite des polynômes Q(n) converge uniformément sur tout compact de
C vers une fonction de la classe de Laguerre-Pólya
lim Q(n) (z) = ψ(z),
n→∞
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
58
ψ(z) = e
−βz − γ2 z 2
e
∞
Y
j=1
(1 − αj z)eαj z .
β ∈ R, γ ≥ 0, αj ∈ R,
∞
X
αj2 < ∞.
j=1
La dérivée logarithmique de Q(n) converge vers celle de ψ dans un voisinage de 0.
0
ψ 0 (z)
Q(n) (z)
lim (n)
=
.
n→∞ Q
(z)
ψ(z)
En considérant les développements en série entière en 0 de ces dérivées logarithmique on en déduit que
lim
n→∞
lim
n→∞
et, pour tout m ≥ 3,
n
X
j=1
lim
n→∞
n
X
j=1
(n)
n
X
λj
n
j=1
(n)
λj
n
!2
(n)
λj
n
= β,
=γ+
∞
X
αj2 ,
j=1
!m
=
∞
X
αjm .
j=1
Ceci revient à dire que
lim ω (n) = ω = (α, γ, β).
n→∞
Conditions suffisante. Supposons que lim ω (n) = ω. Nous allons montrer
n→∞
que, pour tout ξ ∈ V (∞),
lim ϕ(n) (ξ) = det Πω (ξ),
n→∞
Cela signifie que pour tout k,
lim ϕ(n) (diag(ξ1 , . . . , ξk , 0, . . .)) = Πω (ξ1 ) . . . Πω (ξk ).
n→∞
D’après la proposition 1.3, si ξ ∈ Vk et si n ≥ k
ϕ
(n)
(ξ) =
X
(k)
dm
δ(k)
m1 ≥···≥mk ≥0 ( k )m
(n)
(k)
Φ(n)
)Φm
(ξ).
m (iΛ
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
59
1) Traitons d’abord le cas où k = 1. Dans ce cas les seuls termes non
nuls du développement de Taylor sphérique sont ceux pour lesquels m =
(m, 0, . . . , 0) = [m], et alors
d[m]
(n)
Φ[m] (diag(ξ, 0, . . . , 0))
δ(n)
( n )[m]
Donc
ϕ
(n)
=
1 m
ξ .
m!
∞
X
1 (n) (n)
m
(diag(ξ, 0, . . . , 0)) =
Φ[m] (iλ1 , . . . , iλ(n)
n )ξ .
m!
m=0
Considérons la fonction de Pólya Π(n) associée à ω (n) :
Π(n) (ξ) =
n
Y
j=1
(n)
2 λj
ξ
1− i
d n
!− d2
.
D’après le théorème 3.2, la suite des fonctions de Pólya Π(n) converge vers
la fonction de Pólya Π = Πω uniformément sur tout compact de R. De
plus, Π(n) converge uniformément sur tout compact du disque D(0, R) ⊂ C
(n)
λj
1
2
. Considérons les développements de Taylor de Π(n) et Π en
= sup
R
d j,n n
0.
∞
X
(n)
m
Π (z) =
c(n)
m z ,
m=0
Π(z) =
∞
X
cm z m .
m=0
D’après la proposition 1.4
(n)
c(n)
m
(n)
nd
1 (n) 2 λ
2 λn
= ( )[m] Φ[m] (i 1 , . . . , i
).
2
m!
d n
d n
De la convergence uniforme de la suite Π(n) vers Π on déduit que
lim c(n)
m = cm ,
n→∞
De plus, d’après les inégalités de Cauchy, pour tout r < R il existe M > 0
tel que
M
|c(n)
m | ≤ m.
r
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
60
D’autre part
ϕ
(n)
et
∞
X
)m (n) m
( nd
2
(diag(z, 0, . . . , 0)) =
cm z .
nd
(
)
[m]
2
m=0
( nd
( nd
)m
)m
2
2
lim
= 1, nd
≤ 1.
n→∞ ( nd )[m]
( 2 )[m]
2
Par suite
lim ϕ(n) (diag(z, 0, . . . , 0)) = Π(z),
n→∞
sur tout compact de D(0, R). En appliquant la proposition 1.13, on en déduit
que la convergence a lieu uniformément sur tout compact de R.
2) Traitons maintenant le cas où k > 1.
Considérons la fonction Ψ(n) (z) de la variable z ∈ VkC définie par
Ψ
(n)
(z) = det Π
(n)
(z) =
n
Y
j=1
det 1 −
1
(n)
2 λj
i
d n
z
d2 .
Notons que
Ψ(n) (diag(z1 , . . . , zk )) = Π(n) (z1 ) . . . Π(n) (zk ).
La fonction Ψ(n) est holomorphe dans la boule BVkC ,R
(n)
λj
2
1
= sup
R
d j,n n
,
et elle est Kk -invariante. Elle admet le développement en série de Taylor
sphérique suivant :
X
(k)
Ψ(n) (z) =
c(n)
m Φm (z),
m1 ≥···≥mk ≥0
où (proposition 1.4)
(k)
c(n)
m
(n)
(n)
nd
2 λ1
2 λn
= δ(k) ( )m Φ(n)
,...,i
).
m (i
d n
d n
( k )m 2
dm
(n)
On va montrer que les coefficients cm convergent. Pour cela on a besoin du
lemme suivant.
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
61
Lemme 3.6 Soit U un ouvert de C et M (U ) l’ensemble des matrices X ∈
VkC dont le spectre est contenu dans U .
Si f (n) est une suite de fonctions holomorphes sur U qui converge vers
f uniformément sur tout compact de U , alors f (n) (X) converge vers f (X)
uniformément sur tout compact de M (U ).
Démonstration. Soit E un compact de M (U ). Puisque l’application qui à une
matrice associe la suite de ses valeurs propres est continue alors, il existe un
compact Q de C tel que E ⊂ M (Q). Soit γ le bord orienté d’un compact à
bord, dont l’intérieur contient Q. Puisque f (n) est holomorphe dans U alors,
pour tout X ∈ E,
Z
1
(n)
(λI − X)−1 f (n) (λ)dλ.
f (X) =
2iπ γ
De la convergence uniforme de la suite de fonctions f (n) sur γ, on déduit la
convergence de f (n) (X) vers f (X) uniformément sur le compact E.
Les fonctions Π(n) et Π sont holomorphes dans la bande
U = {λ ∈ C | |=(λ)| < R},
et Π(n) converge vers Π uniformément sur tout compact de U donc, pour
toute matrice z de VkC dont le spectre est contenu dans U , en particulier
pour toute matrice hermitienne,
lim Π(n) (z) = Π(z),
n→∞
uniformément sur tout compact de M (U ), et, puisque le déterminant est une
fonction continue,
lim det Π(n) (z) = det Π(z).
n→∞
Par différentiation on obtient
c(n)
m =
1
(k)
||Φm ||2F
(k)
Φm
(
∂
)Ψ(n) (z),
∂z
où || · ||F est la norme de Fischer ; cette formule résulte du corollaire XI.4.2 et
de la proposition XI.4.1 de [10]. On en déduit la convergence des coefficients :
pour tout m ≥ 0,
lim c(n)
m = cm ,
n→∞
où les nombres cm sont les coefficients du développement de la fonction
det Π(z) en série de Taylor sphérique.
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
62
D’après les inégalités de Cauchy, pour tout r < R, il existe M > 0 tel que
(k)
|c(n)
m | ≤ M dm
Pour ρ < 1,
X
m
1
r |m|
.
(k) |m|
dm
ρ = (1 − ρ)−
δ(k)
k
.
D’autre part (proposition1.3)
ϕ
(n)
X ( nd )|m|
(k)
2
(z) =
c(n)
m Φm (z),
nd
( 2 )m
m≥0
et d’après le lemme 2.6,
( nd
( nd
)|m|
)|m|
2
2
=
1,
≤ Ck,d .
n→∞ ( nd )m
( nd
)
2
2 m
lim
En appliquant la proposition 1.17, nous obtenons finalement
lim ϕ(n) (z) = det Π(z).
n→∞
et la convergence a lieu unifomément sur tout compact de ΣR .
3.4
Points extrémaux de M et P
On note M l’ensemble des mesures de probabilité sur V∞ qui sont K∞ inariantes et P l’ensemble des fonctions continues de type positif sur V (∞)
qui sont K∞ -invariantes.
D’après le théorème de Bochner la transformée de Fourier établit une
bijection de M sur P. Les points extrémaux de l’ensemble convexe M sont
les mesures de probabilité ergodiques, on peut voir à ce sujet [24] proposition
10.4.
Les points extrémaux de l’ensemble convexe P sont les fonctions multiplicatives de P, c’est-à-dire de la forme
ϕ(ξ) = det Φ(ξ).
où Φ est une fonction continue sur R, Φ(0) = 1, on peut voir à ce sujet [21]
théorème 23.8 ou [11] théorème V.2.1.
Théorème 3.7 Les points extrémaux de l’ensemble P sont les fonctions
ϕω = det Πω , où Πω est la fonction de Pólya associée à ω ∈ Ω.
CONVERGENCE DE MESURES ORBITALES : DÉVELOPPEMENT EN
SÉRIE DE POLYNÔMES SPHÉRIQUES
63
Nous obtenons ainsi une paramétrisation de l’ensemble ext(P) par Ω.
ω 7→ det Πω .
Démonstration.
a) D’après le théorème 2.1 et le théorème 2.9 de [22], dans le cas où d = 2,
la fonction ϕω = det Πω est un élément extrémal de P. Dans le cas où d = 1
ou 4 le résultat reste vrai et les preuves sont les mêmes.
b) Soit ϕ ∈ ext(P). C’est la transformée de Fourier d’une mesure ergodique
ν sur V∞ relativement à l’action du groupe K∞ . D’après un théorème de
Vershik [27], théorème 1, on peut voir aussi [22], théorème 3.2 (Olshanski et
Vershik), la mesure ν est limite étroite d’une suite de mesures ν (n) , ν (n) étant
une mesure orbitale relativement à Kn . Par suite ϕ est limite de la suite ϕ(n) ,
ϕ(n) étant la transformée de Fourier de ν (n) . D’après le théorème 3.4, il existe
ω ∈ Ω tel que
ϕ = det Πω .
Chapitre 4
Théorème de Bochner invariant
4.1
Théorème de Bochner invariant :
Dans le chapitre précédent nous avons montré que l’ensemble ext(P)
des points extrémaux de l’ensemble convexe P est paramétré par l’ensemble
Ω (théorème 3.7). Puisque la transformation de Fourier est une bijection
affine de M sur P, c’est aussi une bijection de ext(M ) sur ext(P). Par
suite l’ensemble ext(M ) est aussi paramétré par Ω. D’après un résultat de
Olshanski et Borodin ([4], proposition 9.4), la structure borélienne de ext(P)
qui est induite par la structure borélienne de P, coïncide avec la structure
borélienne de Ω.
Théorème 4.1 (Bochner invariant) :
Soit ϕ une fonction de type positif définie continue sur V (∞), K∞ -invariante
et vérifiant la condition ϕ(0) = 1. Alors il existe une unique mesure de probabilité µ définie sur Ω telle que pour tout ξ ∈ V (∞),
Z
ϕ(ξ) =
ϕω (ξ) µ(dω).
Ω
Ce théorème a été établi par Olshanski et Borodin dans le cas où V∞ = H∞
est l’espace des matrices hermitiennes infinies à coefficients dans C et K∞ =
U (∞) est le groupe unitaire infini voir [4] (théorème 9.1 p.32), mais la preuve
est la même dans les trois cas c’est-à-dire F = R, C ou H .
Pour d’autres résultats consernant le théorème de Bochner on peut voir
[25], [19], [28] et [15].
Dans ce chapitre nous allons établir quelques résultats complémentaires
à ce théoreme. Nous verrons à quelle condition portant sur la mesure µ la
fonction ϕ se prolonge par continuité à l’espace V∞2 des matrices hermitiennes
de Hilbert-Schmidt. Nous verrons aussi à quelle condition la fonction ϕ est la
64
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
65
transformée de Fourier d’une mesure concentrée sur le cône V∞+ des matrices
hermitiennes semi-définies positives.
4.2
4.2.1
Compléments
Fonctions de type positif K∞ -invariantes sur l’espace V∞2
On note V∞2 l’espace des matrices hermitiennes de Hilbert-Schmidt. Sa
topologie est définie par la norme
! 12
∞
X
.
|||ξ||| =
|ξij |2
i,j=1
Considérons la fonction ϕω définie sur V (∞) par
ϕω (ξ) = e
iβtr(ξ) − γd tr(ξ 2 )
e
∞
Y
k=1
Rappelons que
e−iαk tr(ξ)
d
(det(1 − i d2 αk ξ)) 2
,
Ω = {(α, γ, β) | α ∈ `2 (N), β ∈ R, γ ≥ 0}.
Aux paramètres α et γ on associe la mesure sur R
σ = γδ0 +
∞
X
αk2 δαk .
k=1
La topologie considérée sur Ω est celle qui est induite par la topologie de
M(R) × R, l’ensemble M(R) des mesures positives bornées sur R étant muni
de la topologie de la convergence étroite. On note Ω0 le fermé de Ω défini par
β = 0.
Proposition 4.2 La fonction ϕω , qui est définie sur V (∞), se prolonge en
2
une fonction continue sur V∞
si et seulement si β = 0, c’est-à-dire si ω ∈ Ω0 .
La démonstration de cette proposition repose sur le lemme suivant.
Lemme 4.3 Déterminant régularisé :
Pour tout opérateur nucléaire ξ on définit la fonction,
D(ξ) = det2 (1 + ξ) := det (1 + ξ)e−ξ .
La fonction D se prolonge en une fonction continue sur l’espace des opérateurs Hilbert-Schmidt.
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
66
(Voir [20], proposition 6.3.2).
Démonstration de la proposition 4.2. Supposons que β = 0, et notons ϕσ la
fonction suivante
ϕσ (ξ) = e
− γd tr(ξ 2 )
∞
Y
k=1
e−iαk tr(ξ)
d
(det(1 − i d2 αk ξ)) 2
.
Remarquons que pour tout ξ ∈ V (∞),
ϕσ (ξ) = e
− γd tr(ξ 2 )
γ
Puisque la fonction ξ 7−→ e− d tr(ξ
continuité du produit infini.
2)
∞
Y
d
2
D(− iαk ξ)− 2 .
d
k=1
2
est continue sur V∞
il reste à montrer la
Lemme 4.4 ∀ ρ < 1 , ∃ Cρ telle que pour |||w||| ≤ ρ,
h d
i
d
det e− 2 w (1 − w)− 2 − 1 ≤ C(ρ, d)|||w|||2,
Démonstration du lemme. Puisque |||w||| ≤ ρ < 1, alors
det(1 − w) = exp tr (log(1 − w)) .
Donc,
h d
i
d
−2w
− 2d
det e
(1 − w)
− 1 = exp − [tr(w) + tr (log(1 − w))] − 1
2
" ∞
#!
X wm
d
−tr(w) + tr
−1
= exp
2
m
m=1
!
∞
d X tr(w m )
= exp
− 1.
2 m=2 m
Pour tout opérateur de Hilbert-Schmidt w de valeurs propres (λj )j ,
|tr(w m )| ≤ sup |λj |m−2 |||w|||2
j
≤ |||w|||m−2|||w|||2 = |||w|||m.
Donc,
∞
∞
X
X
|||w|||m
tr(w m )
≤
m
m
m=2
m=2
≤
1
|||w|||2.
2(1 − ρ)
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
67
Puisque pour tout ω ∈ C,
|eω − 1| ≤ e|ω| − 1 ≤ |ω|e|ω|,
il existe une constante Cρ > 0 telle que
h d
i
d
det e− 2 w (1 − w)− 2 − 1 ≤ Cρ |||w|||2.
Soit ρ < 1 et R > P
0 ; il existe n0 tel que pour tout k ≥ n0 ; |αk | <
n0 existe puisque k αk2 < ∞). Donc, si |||ξ||| ≤ R, alors
dρ
2R
(un tel
2
||| αk ξ||| ≤ ρ.
d
D’après le lemme précédent
d
2
D(− iαk ξ)− 2 − 1 ≤ C(ρ, d)αk2 |||ξ|||2.
d
Puisque
X
k
αk2 < ∞ alors, le produit infini
Y
k
d
2
D(− iαk ξ)− 2 ,
d
converge uniformément sur toute boule B(0, R) de centre 0 et de rayon R de
V∞2 , pour la norme de Hilbert-Schmidt.
D’après le lemme 4.3, ce produit définit une fonction continue sur V∞2 et
par suite ϕσ est continue aussi.
2
Supposons que ϕω soit continue sur V∞
. Si ω = (α, γ, β), on note ω0 =
2
(α, γ, 0). La fonction ϕω0 est continue sur V∞
et ne s’annule pas. Par suite le
quotient
ϕω (ξ)
= eiβtr(ξ) ,
ϕω0 (ξ)
2
est continue sur V∞
, mais ceci n’est possible que si β = 0.
Soit ϕ une fonction continue sur V (∞), de type positif, K∞ -invariante,
et vérifiant ϕ(0) = 1. D’après le théorème 4.1, il existe une unique mesure de
probabilité µ sur Ω telle que
Z
ϕ(ξ) =
ϕω (ξ)µ(dω).
Ω
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
68
Proposition 4.5 La fonction ϕ se prolonge en une fonction continue sur
V∞2 si et seulement si le support de la mesure µ est contenu dans Ω0 .
Démonstration.
a) Supposons que le support de la mesure µ soit contenu dans Ω0 . Alors,
d’après la proposition 4.2, pour tout ω du support de µ, la fonction ϕω est
continue sur V∞2 . On en déduit, en utilisant le théorème de convergence dominée, que la fonction ϕ est aussi continue sur V∞2 .
2
b) Supposons maintenant que la fonction ϕ soit continue sur V∞
. Nous
allons considérer les paramètres σ et β comme fonctions de ω. On écrira
β = β(ω), σ = σω , et
ϕω (ξ) = eiβ(ω)tr(ξ) ϕσω (ξ).
Soit t ∈ R et considérons la suite des matrices diagonales de V (∞)
t
t
(n)
ξ0 = diag( , . . . , , 0, 0, . . .),
|n {z n}
nf ois
alors,
(n)
tr((ξ0 )2 ) =
et
t2
,
n
(n)
tr(ξ0 ) = t.
(n)
La suite ξ0 tend vers 0 au sens de la norme de Hilbert-Schmidt .
D’autre part,
Z
(n)
(n)
ϕ(ξ0 ) =
eiβ(ω)t ϕσω (ξ0 )µ(dω),
Ω
et
(n)
2
1. lim ϕσω (ξ0 ) = ϕσω (0) = 1, car ϕσω est continue sur V∞
( voir propon→∞
sition 4.2)
(n)
2. |eiβ(ω)t ϕσω (ξ0 )| ≤ 1,
3. µ est une probabilité.
Par application du théorème de convergence dominée on obtient
Z
Z
(n)
iβ(ω)t
lim
e
ϕσω (ξ0 )µ(dω) =
eiβ(ω)t µ(dω).
n→∞
Ω
Ω
La fonction ϕ est continue sur V∞2 donc
(n)
lim ϕ(ξ0 ) = ϕ(0) = 1,
n→∞
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
par suite pour tout t ∈ R
Z
69
eiβ(ω)t µ(dω) = 1.
Ω
ceci implique que
β(ω) = 0
µ−p.p.
Le support de la mesure µ est donc contenu dans Ω0 .
4.2.2
Mesures de probabilité invariantes concentrées sur
le cône V∞+
Dans ce paragraphe, nous allons Déterminer à quelle condition une mesure
+
de probabilité ν sur V∞ qui est K∞ -invariante est concentrée sur le cône V∞
des matrices hermitiennes semi-définies positives. Nous utilisons pour cela la
notion de fonction analytique au sens de Gâteaux.
Soit Vn+ le cône ouvert des matrices hermitiennes définies positives, V + (∞)
la limite inductive des cônes des matrices hermitiennes définies positives Vn+ ,
V + (∞) =
∞
[
Vn+ ,
n=1
+
et V∞
le cône des matrices hermitiennes semi-définies positives de V∞ qui est
∞
[
également la limite projective des cônes Vn+ . On note V C (∞) =
VnC la
limite inductive des espaces complexifiés VnC et
n=1
T := V (∞) + iV + (∞) ⊂ V C (∞),
le tube de base V + (∞).
Le tube T est un ouvert de type fini de V C (∞).T C’est-à-dire que, pour
tout sous-espace E ⊂ V C (∞) de dimension finie, E T est un ouvert de E.
Voir à ce sujet [17] p.35.
On rappelle qu’une fonction f : V C (∞) 7→ C est continue, si pour tout n
sa restriction f |VnC : VnC 7→ C est continue.
Définition 4.6 Une fonction f : T 7→ C est analytique au sens de Gâteaux
si f est continue et, pour tout n, sa restriction f |Vn +iVn+ est analytique sur
Vn + iVn+ .
Voir [17] p.35 ou [14].
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
70
Soit ν une mesure de probabilité sur l’espace V∞ . Sa transformée de Fourier ϕ est définie sur V (∞) par :
Z
ϕ(ξ) =
eitr(ξx) ν(dx).
V∞
+
Si la mesure ν est concentrée sur V∞
, alors sa transformée de Fourier ϕ est
définie, continue et bornée sur T , et analytique au sens de Gâteaux dans T .
Réciproquement :
Proposition 4.7 Si ϕ se prolonge en une fonction continue bornée sur T ,
et analytique au sens de Gâteaux dans T , alors la mesure ν est concentrée
sur le cône V∞+ .
Démonstration. Notons ϕn = ϕ |Vn +iVn+ la restriction de ϕ au tube Vn + iVn+
et νn la projection de la mesure ν sur l’espace Vn . D’après la définition 4.6, la
fonction ϕn est holomorphe dans le tube Tn = Vn + iVn+ , continue et bornée
sur Tn = Vn + iVn+ . D’après la proposition 1.18, le support de la mesure νn
est contenu dans le cône fermé Vn+ ⊂ V∞+ . De la densité de Q dans R, on a
)
(
X
(∞)
+
,
V∞ = x = (xij )i,j≥1 ∈ V∞ |
xij ci cj ≥ 0, ∀ c = (cj )j≥1 ∈ (Q + iQ)
i,j≥1
où (Q + iQ)(∞) est l’espace des suites infinies à coefficients dans Q + iQ
n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls et Q est le corps des nombres
rationnels.
∞
S
Pour c ∈ (Q + iQ)(∞) =
(Q + iQ)n , notons
Fc =
(
n=1
x = (xij )i,j≥1 ∈ V∞ |
X
i,j≥1
)
xij ci cj ≥ 0 .
L’ensemble Fc est un fermé de V∞ . De plus
\
V∞+ =
Fc .
c∈(Q+iQ)(∞)
+
Par suite V∞
est un fermé de V∞ .
Puisque c ∈ (Q + iQ)(∞) , alors il existe n ∈ N tel que c ∈ (Q + iQ)n .
Donc,
ν(Fc ) = νn (pn (Fc )) ≥ νn (Vn+ ) = 1.
Par suite
ν(V∞+ ) = 1.
La mesure ν est concentrée sur V∞+ .
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
71
Remarque 4.8 On peut remplacer dans la proposition précédente l’hypothèse ϕ est bornée sur T par ϕ est bornée sur iV (∞), et la conclusion reste
la même.
On note Ω+ le sous-ensemble de Ω défini par
+
Ω = {ω | αk ≥ 0, β ≥ 0,
+
∞
X
k=1
αk ≤ β, γ = 0}.
Remarque 4.9 L’ensemble Ω est un fermé.
Démonstration. Pour ε > 0, on considère la fonction continue bornée sur R
fε (t) =
Alors,
Si ω ∈ Ω+ ,
Z
1
.
ε + |t|
∞
X α2
1
k
fε (t)σ(dt) = γ +
.
ε
ε
+
|α
k|
R
k=1
Z
R
fε (t)σ(dt) ≤
∞
X
k=1
αk ≤ β.
D’après le corollaire 3.3, les applications
Z
Ω → R, ω 7→
fε (t)σ(dt),
R
Ω → R,
ω 7→ β,
sont continues. Si ω appartient à l’adhérence de Ω+ , alors αk ≥ 0, et
∞
X α2
1
k
γ+
≤ β.
ε
ε
+
αk
k=1
Cette inégalité étant vraie pour tout ε > 0,
γ = 0,
∞
X
k=1
C’est-à-dire que ω appartient à Ω+ .
αk ≤ β.
Pour ω ∈ Ω, on note νω la mesure de probabilité dont la transformée de
Fourier est égale à ϕω ,
Z
ϕω (ξ) =
eitr(xξ) νω (dx).
V∞
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
72
+
Proposition 4.10 La mesure νω est concentrée sur le cône V∞
si et seulement si ω ∈ Ω+ .
Démonstration.
a) Si ω ∈ Ω+ la fonction ϕω s’écrit
ϕ(ξ) = e
iβ0 tr(ξ)
∞
Y
j=1
avec
αj ≥ 0,
1
d
det (1 − d2 iαj ξ) 2
β0 = β −
∞
X
,
αj .
j=1
La fonction ϕω définie sur V (∞) se prolonge au tube T en une fonction
continue et analytique au sens de Gâteux dans T , de plus
|ϕω (iy)| ≤ 1 pour tout y ∈ V + (∞).
D’après la proposition 4.7 et la remarque 4.8 la mesure νω est concentrée sur
le cône V∞+ .
b) Supposons que la mesure νω est concentrée sur V∞+ . Alors, la fonction
ϕω se prolonge en une fonction continue bornée sur T , holomorphe au sens
de Gâteaux dans T . Par suite, pour ξ = diag(iη, 0, . . .) avec η ≥ 0,
|ϕω (diag(iη, 0, . . .))| ≤ 1.
Puisque ϕ est bornée alors, αj ≥ 0 pour tout j ≥ 1.
Soit ε > 0, alors il existe Cε > 0 telle que, pour tout η ≥ 0,
∞
Y
e αj η
d
2
j=1 (1 + d αj η)
d
2
2
≥ Cε e− 2 εη ,
(pour la preuve de cette inégalité voir [11] proposition III.3.3).
Donc, pour tout η ≥ 0 et tout ε > 0,
d
2
γ
2
γ
d
2
Cε e− 2 εη e−βη e d η = Cε e−βη e( d − 2 ε)η ≤ ϕω (diag(iη, 0, . . .)) ≤ 1.
Par suite γ = 0 et β ≥ 0.
• Fixons 0 < δ < 1 alors il existe Aδ > 0 telle que pour tout x ≥ 0,
ex
≥ Aδ eδx .
1+x
(4.1)
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
73
Donc pour tout N et η ≥ 0,
N
A e
(δ
N
P
j=1
αj −β)η
D’où
δ
≤ e−βη
N
X
j=1
∞
Y
e αj η
d
2
2
j=1 (1 + d αj η)
≤ 1.
αj − β ≤ 0,
pour tout 0 < δ < 1 et N ∈ N.
En faisant tendre δ vers 1 et N vers +∞ on obtient
∞
X
j=1
αj ≤ β,
et si on pose,
β0 = β −
∞
X
αj ,
j=1
on en déduit l’expression de ϕ annoncée.
Soit ϕ une fonction continue de type positif sur V (∞), K∞ -invariante et
vérifiant ϕ(0) = 1. D’après le théorème de Bochner, il existe une mesure de
probabilité ν sur V∞ , K∞ -invariante, telle que
Z
ϕ(ξ) =
eitr(xξ) ν(dx).
V∞
Mais aussi, d’après le théorème de Bochner invariant, il existe une mesure de
probabilité µ sur Ω telle que
Z
ϕ(ξ) =
ϕω (ξ)µ(dω).
Ω
Les mesures ν et µ sont uniques. Elles sont liées par la relation suivante : si
f est une fonction mesurable bornée sur V∞ alors,
Z
Z Z
f (x)ν(dx) =
f (x)νω (dx)µ(dω).
V∞
Ω
V∞
+
Proposition 4.11 La mesure ν est concentrée sur le cône V∞
si et seule+
ment si le support de la mesure µ est contenu dans Ω .
CHAPITRE 4. THÉORÈME DE BOCHNER INVARIANT
74
Démonstration.
a) Supposons que la mesure ν(V∞+ ) = 1 et montrons que µ(Ω+ ) = 1.
D’une part d’après ce qui précède
Z
νω (V∞+ )µ(dω) = ν(V∞+ ) = 1,
Ω
+
et donc νω (V∞
) = 1, µ-presque partout.
D’autre part, puisque νω (V∞+ ) = 1 si et seulement si ω ∈ Ω+ ,
Z
+
+
µ(Ω ) =
νω (V∞
)µ(dω)
+
ZΩ
.
=
νω (V∞+ )µ(dω) = 1
Ω
b) Supposons que le support de la mesure µ est contenu dans Ω+ . Alors,
d’après la proposition 4.10, pour tout ω du support de µ, la mesure νω est
concentrée sur le cône V∞+ , donc la fonction ϕω se prolonge en une fonction
continue bornée sur T et analytique au sens de Gâteaux dans T . En appliquant le théorème de convergence dominée, on en déduit que la fonction ϕ
se prolonge en une fonction continue bornée sur T et analytique au sens de
Gâteaux dans T . D’après la proposition 4.7, la mesure ν est concentrée sur
le cône V∞+ .
Chapitre 5
Fonctions continues de type
négatif K∞-invariantes sur
2
l’espace V∞
5.1
Introduction
Les fonctions de type négatif interviennent dans l’étude des mesures de
probabilité indiféfiniment divisibles. Une fonction de type négatif sur R ou
Rn admet une représentation intégrale : c’est la formule de Lévy-Khinchine
on peut voir à ce sujet Courrège [8].
En dimension infinie beaucoup de résultats dans cette direction ont été
obtenu par Schoenberg [25], Hamedani et Mandrekar [16], Varadhan [26].
Schoenberg a établi l’analogue de la formule de Lévy-Khinchine pour les
fonctions continues de type négatif sur R(∞) qui sont radiales. Une telle fonction se prolonge automatiquement par continuité à `2 (N). On peut trouver
une étude systématique des fonctions de type négatif sur un groupe ou un
semi-groupe dans les livres de Berg, Christensen et Ressel [1] ; Berg et Forst
[2]. Dans le cas des fonctions de type négatif définies sur un espace homogène
Faraut et Harzallah [12] ont donné une representation.
Dans ce chapitre nous interessons aux fonctions continues de type négatif
2
sur l’espace de Hilbert V∞
des matrices hermitiennes de Hilbert-Schmidt à
coefficients dans F = R, C ou H, qui sont invariantes par le groupe K∞ .
K∞ =
∞
[
U (n, F).
n=1
Nous établissons pour ces fonctions une représentation intégrale analogue à
la formule de Lévy-Khinchine.
75
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
76
La méthode que nous suivons est inspirée de la démonstration qui est
utilisée par Berg, Christensen et Ressel [1]. Pour établir l’unicité de la représentation nous utilisons la relation fonctionnelle des fonctions sphériques de
la paire sphérique (K∞ n V (∞), K∞ ).
5.2
Formule de Lévy-Khinchine des fonctions
continues de type négatif et K∞-invariantes
sur l’espace V∞2
Une fonction ψ définie sur un espace vectoriel réel V à valeurs complexes
est dite de type négatif si ψ(0) ≥ 0, ψ(−ξ) = ψ(ξ), et si, pour ξ1 , . . . , ξn ∈ V ,
n
P
c1 , . . . , cn ∈ C, vérifiants
ci = 0 alors,
j=1
n
X
i,j=1
ψ(ξi − ξj )ci cj ≤ 0.
Si ϕ est une fonction de type positif, alors ψ(ξ) = ϕ(0) − ϕ(ξ) est de type
négatif.
Proposition 5.1 (Schoenberg). La fonction ψ est de type négatif, si et seulement si ψ(0) ≥ 0, et, pour tout t ≥ 0, e−tψ est de type positif.
Voir [2] théorème 7.8.
Les fonctions de type négatif constituent un cône convexe. Les fonctions
continues de type négatif sur un espace vectoriel réel de dimension finie admettent une représentation intégrale. C’est la formule de Lévy-Khinchine.
Dans le cas où V = R(∞) , l’espace des suites réelles n’ayant qu’un nombre
fini de termes non nuls, Schoenberg a établi une représentation intégrale des
fonctions continues de type négatif qui sont invariantes par O(∞) voir [25].
2
Nous allons établir un résultat analogue dans le cas où V = V∞
est l’espace des matrices hermitiennes de Hilbert-Schmidt à coefficients dans F = R,
C ou H sur lequel agit le groupe des matrices unitaire K∞ = U (∞, F).
Rappelons que Ω0 désigne l’ensemble des mesures positives et bornées σ
sur R définies par :
∞
X
σ = γδ0 +
αk2 δαk ,
k=1
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
77
où γ ≥ 0, α = (αk ) est une suite réelle de carré sommable et la topologie
que nous considérons sur Ω0 est celle qui est induite par M(R). L’ensemble
M(R) des mesures positives et bornées sur R est muni de la topologie étroite.
Nous notons
Z
∞
X
m
pm (α) :=
αk =
tm−2 σ(dt)
(m ≥ 3),
k=1
R
2
||ω|| = γ + p2 (α) =
Z
σ(dt).
R
Rappelons aussi qu’à ω = (α, γ) est associée la fonction ϕω définie sur V (∞)
par
ϕω (ξ) = det Πω (ξ),
où
Πω (λ) = e
− γd λ2
∞
Y
e−iαj λ
d
2
2
j=1 (1 − i d αj λ)
.
Nous avons vu dans le chapitre précédent que, pour ω ∈ Ω0 , la fonction ϕω se
prolonge en une fonction continue sur V∞2 . Le résultat principal de ce chapitre
est le théorème suivant.
Théorème 5.2 (Formule de Lévy-Khinchine invariante). Soit ψ une fonc2
tion continue sur V∞
qui est K∞ -invariante. Alors ψ est de type négatif si et
seulement si elle admet la représentation intégrale suivante
Z
2
ψ(ξ) = A0 + A1 tr(ξ ) +
(1 − ϕω (ξ)) µ(dω).
Ω0 \{0}
où A0 , A1 sont des constantes positives ou nulles et µ est une mesure positive
sur Ω0 \ {0} telle que
Z
||ω||2
µ(dω) < ∞.
2
Ω0 \{0} 1 + ||ω||
Les constantes A0 , A1 et la mesure µ sont determinées de manière unique.
Lemme 5.3 On pose
1
ϕω (ξ) = 1 − ||ω||2tr(ξ 2 ) + R(ω, ξ).
d
1) Pour tout ξ ∈ V (∞),
R(ω, ξ)
=0
lim
ω→0 ||ω||2
2) ∀ ρ > 0, ∃ C > 0, ∃ ε > 0, tels que, si ||ω|| ≤ ε et |||ξ||| ≤ ρ, alors
|1 − ϕω (ξ)| ≤ C||ω||2 .
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
78
Démonstration. 1) Si ξ = 0, le résultat est évident. On suppose que ξ 6= 0.
Pour ω ∈ Ω0 assez proche de zéro
!
∞ X
γ
d
2
ϕω (ξ) = exp − tr(ξ 2 ) −
iαk tr(ξ) + tr log (1 − i αk ξ) ,
d
2
d
k=1
(on a utilisé le fait que pour toute matrice ξ ∈ V (∞) et tout z ∈ C proche
de zéro, det(1 + zξ) = exp(tr log(1 + zξ)).
D’après le développement du logarithme, si |z| < 1,
log(1 − z) = −
∞
X
zm
.
m
m=1
Pour tout ξ ∈ V (∞) et tout ω dans un voisinage de zéro on obtient,
"
!#!
∞
∞
2 m
X
X
(−i
)
d
γ
d
iαk tr(ξ) + tr
ϕω (ξ) = exp − tr(ξ 2 ) −
αkm ξ m
.
d
2
m
m=1
k=1
(5.1)
Remarquons que pour tout m ≥ 2
(5.2)
|pm (α)| ≤ pm (|α|) ≤ ||ω||m ,
où pm (|α|) =
∞
X
k=1
|αk |m .
Par suite pour ω assez petit et ||ω|| <
d
2|||ξ|||
m
X X 1 2|αk | m
1 X 2||ω|| |||ξ|||
m
|||ξ||| ≤
m
d
3 m≥3
d
m≥3 k≥1
2||ω|| |||ξ||| 3
)
1 (
d
.
=
2||ω||
|||ξ|||
31−
d
Donc on peut permuter les sommes dans l’équation (5.1) et on obtient
!
∞
2 m
X
(−i
)
1
d
d
ϕω (ξ) = exp − ||ω||2 tr(ξ 2 ) −
pm (α)tr(ξ m ) .
(5.3)
d
2 m=3 m
Posons
∞
d X (−i d2 )m
1
pm (α)tr(ξ m ),
f (ω, ξ) = − ||ω||2 tr(ξ 2 ) −
d
2 m=3 m
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
79
et
∞
d X (−i 2d )m
pm (α)tr(ξ m ).
g(ω, ξ) = −
2 m=3 m
Dans la suite de la preuve, on notera indifféremment f (γ, α; ξ) ou f (ω, ξ).
En développant l’exponentielle l’équation (5.3) s’écrit
∞
X
1
(f (ω, ξ))n
2
2
ϕω (ξ) = 1 − ||ω|| tr(ξ ) + g(ω, ξ) +
.
d
n!
n=2
(5.4)
D’après l’équation (5.2)
∞
d X ( d2 )m−1
(|||ξ|||||ω||)m.
|g(ω, ξ)| ≤
2 m=3 m
On a utilisé le fait que |tr(ξ m )| ≤ |||ξ|||m.
d
Par suite, si ||ω|| <
on obtient
2|||ξ|||
|g(ω, ξ)| ≤
|||ξ|||3
2
||ω||3.
3d 1 − d2 |||ξ|||||ω||
(5.5)
De l’expression de f et de l’équation (5.5) on déduit aussi que
2 |||ξ|||3||ω||
1
2
|||ξ||| +
|f (ω, ξ)| ≤
||ω||2 .
d
3d 1 − 2d |||ξ|||||ω||
Posons
2 |||ξ|||3||ω||
1
.
B(ω, ξ) = |||ξ|||2 +
d
3d 1 − 2d |||ξ|||||ω||
Alors,
∞
X
(f (ω, ξ))n
n!
n=2
≤
∞
X
(B(ω, ξ))n||ω||2n
= ||ω||
Si ||ω|| < inf
d
,1
2|||ξ|||
3
∞
X
(B(ω, ξ))n||ω||2n−3
n=2
n!
.
alors, pour, n ≥ 2, ||ω||2n−3 ≤ 1 et par suite
∞
X
(f (ω, ξ))n
n=2
n!
n=2
n!
≤ ||ω||3 exp(B(ω, ξ)),
(5.6)
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
80
D’après l’équation (5.4), pour ω assez proche de zéro on a
R(ω, ξ) = g(ω, ξ) +
∞
X
(f (ω, ξ))n
n=2
n!
,
d
et d’après les équations (5.5) et (5.6), si ||ω|| < inf 2|||ξ|||
, 1 et ω est assez
petit on obtient,
2 |||ξ|||3||ω||
|R(ω, ξ)| ≤ exp(B(ω, ξ)) +
||ω||3 .
(5.7)
3d 1 − 2d |||ξ|||||ω||
D’où on en déduit que
R(ω, ξ)
= 0.
ω→0 ||ω||2
lim
2) Soit ρ > 0 et ε < inf(
d
, 1). Si ||ω|| ≤ ε et |||ξ||| ≤ ρ, alors
2ρ
1
2 |||ξ|||3||ω||
B(ω, ξ) = |||ξ|||2 +
d
3d 1 − 2d |||ξ|||||ω||
2 ερ3
1
= C1 .
≤ ρ2 +
d
3d 1 − d2 ερ
Donc de l’équation (5.7) on déduit
|R(ω, ξ)| ≤ C2 ||ω||2 ,
où C2 = ε(exp(C1 ) + C1 − d1 ρ2 ) et par suite
1
|1 − ϕω (ξ)| ≤ |||ξ|||2||ω||2 + |R(ω, ξ)| ≤ C||ω||2,
d
où C = d1 ρ2 + C2 . Ceci achève la preuve du lemme.
Démonstration du théorème 5.2.
a) Remarquons d’abord que, d’après le lemme 5.3, l’intégrale est bien
définie et qu’une fonction ψ donnée par une telle représentation est de type
négatif et invariante par K∞ . Pour montrer que c’est une fonction continue,
on applique la proposition 4.2 et le théorème de convergence dominée.
b) Existence de la représentation : Soit ψ une fonction continue de type
négatif sur V∞2 , invariante par K∞ . Puisque ψ(ξ) − ψ(0) est aussi continue
de type négatif et invariante par K∞ , alors on peut supposer que ψ(0) = 0.
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
81
2
Pour t ≥ 0, la fonction e−tψ est continue de type positif sur V∞
et invariante par K∞ . Donc d’après le théorème de Bochner invariant, théorème
4.1, et la proposition 4.5, il existe une unique mesure de probabilité mt sur
Ω0 telle que
Z
e−tψ(ξ) =
ϕω (ξ)mt (dω).
Ω0
En séparant les parties réelles et imaginaires on obtient
Z
−t<ψ(ξ)
e
cos(t=ψ(ξ)) =
<ϕω (ξ)mt (dω).
(5.8)
Ω0
et
e
−t<ψ(ξ)
sin(t=ψ(ξ)) = −
Z
Ω0
=ϕω (ξ)mt (dω).
(5.9)
Par un passage à la limite quand t tend vers 0 dans l’équation (5.8) on
va établir une représentation intégrale de la fonction <ψ. Puis, en utilisant
l’équation (5.9), on obtiendra la représentation intégrale de la fonction ψ.
a) L’équation (5.8) s’écrit
1 − e−t<ψ(ξ) cos(t=ψ(ξ))
=
t
Z
Ω0
(1 − <ϕω (ξ))
mt
(dω),
t
et on vérifie facilement que
1 − e−t<ψ(ξ) cos(t=ψ(ξ))
= <ψ(ξ),
t→0
t
lim
1 − e−t<ψ(ξ) cos(t=ψ(ξ))
= 0.
t→+∞
t
De plus, pour ξ fixé, cette expression est une fonction continue de t sur
]0, +∞[ qui tend vers 0 quand t tend vers l’infini. Il existe donc une constante
C(ξ) ≥ 0 telle que
lim
0≤
par suite
Z
1 − e−t<ψ(ξ) cos(t=ψ(ξ))
≤ C(ξ),
t
Ω0
(1 − <ϕω (ξ))
mt
(dω) ≤ C(ξ).
t
En particulier pour ξ0 = diag(1, 0, 0, ...),
Z
mt
(1 − <ϕω (ξ0 )) (dω) ≤ C(ξ0 ) = M.
t
Ω0
(5.10)
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
82
Rappelons que ϕω (ξ0 ) = Πω (1) = e
− γd
∞
Y
e−iαk
d .
(1 − i d2 αk ) 2
Dans la suite on note κt la mesure positive et bornée définie sur Ω0 par
k=1
κt = (1 − <ϕω (ξ0 ))
mt
.
t
Puisque, pour tout t > 0, κt (Ω0 ) ≤ M , l’ensemble {κt | t > 0} , est relativement compact pour la topologie faible σ(M(Ω0 ), C0 (Ω0 )) où M(Ω0 ) est
l’ensemble des mesures positives et bornées sur Ω0 et C0 (Ω0 ) est l’ensemble
des fonctions continues sur Ω0 tendant vers 0 à l’infini. Par suite, il existe
une suite tj de ]0, +∞[ qui tend vers 0, telle que les mesures κtj tendent
faiblement vers une mesure positive bornée κ, c’est-à-dire que, pour toute
f ∈ C0 (Ω0 ),
Z
Z
f (ω) κ(dω),
f (ω) κtj (dω) =
lim
j→∞
Ω0
Ω0
Nous pouvons écrire
1 − <ϕω (ξ)
1 − e−t<ψ(ξ0 ) cos(t=ψ(ξ0 ))
− 1 κtj (dω)+
.
tj
Ω0 1 − <ϕω (ξ0 )
(5.11)
Vérifions que, pour ξ 6= 0, la fonction f définie sur Ω0 par

 1 − <ϕω (ξ) − 1 si ω 6= 0,
f (ω) = 1 − <ϕω (ξ0 )

tr(ξ 2 ) − 1
si ω = 0,
1 − e−t<ψ(ξ) cos(t=ψ(ξ))
=
tj
Z
appartient à C0 (Ω0 ).
Notons d’abord que <ϕω (ξ0 ) = 1 si et seulement si ω = 0. Cette fonction
est donc bien définie sur Ω0 \{0}. La continuité de f sur Ω0 \{0} résulte du
corollaire 3.3 (on peut voir aussi la proposition VI de [11]). La continuité en
0 est une conséquence du lemme 5.3 :
1 − <ϕω (ξ)
= tr(ξ 2 ).
ω→0 1 − <ϕω (ξ0 )
lim
De l’inégalité,
0 ≤ |<ϕω (ξ)| ≤ e
− γd tr(ξ 2 )
∞
Y
on déduit que
lim <ϕω (ξ) = 0,
ω→+∞
d
−4
4
det (1 + 2 αk2 ξ 2 ) ,
d
k=1
(5.12)
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
83
et donc que
lim f (ω) = 0.
ω→∞
En faisant tendre j vers l’infini dans l’équation (5.11), on déduit que, pour
tout ξ 6= 0,
Z
f (ω) κ(dω) + <ψ(ξ0 )
<ψ(ξ) =
Ω0
Z
1 − <ϕω (ξ)
2
= (tr(ξ ) − 1)κ({0}) +
− 1 κ(dω) + <ψ(ξ0 ).
1 − <ϕω (ξ0 )
Ω0 \{0}
En faisant tendre ξ vers 0 et en utilisant le théorème de convergence dominée,
on en déduit que κ(Ω0 ) = <ψ(ξ0 ) Nous obtenons finalement
Z
1 − <ϕω (ξ)
2
κ(dω)
<ψ(ξ) = tr(ξ )κ({0}) +
Ω0 \{0} 1 − <ϕω (ξ0 )
ou
2
<ψ(ξ) = A1 tr(ξ ) +
Z
Ω0 \{0}
(1 − <ϕω (ξ))µ(dω)
avec A1 = κ({0}) et µ est la mesure définie sur Ω0 par
µ=
Vérifions maintenant que
Z
1
κ |Ω0 \{0} .
1 − <ϕω (ξ0 )
Ω0 \{0}
||ω||2
µ(dω) < ∞.
1 + ||ω||2
||ω||2
est continue sur Ω0 \{0}, a pour
(1 − <ϕω (ξ0 ))(1 + ||ω||2 )
limite d en 0 d’après le lemme 5.3, et pour limite 1 à l’infini. Elle est donc
bornée et
Z
Z
||ω||2
||ω||2
µ(dω)
=
κ(dω) < ∞.
2
2
Ω0 (1 − <ϕω (ξ0 ))(1 + ||ω|| )
Ω0 1 + ||ω||
La fonction ω 7→
c) De même on montre que la fonction g définie sur Ω0 par

 =ϕω (ξ)
si ω 6= 0,
g(ω) = 1 − <ϕω (ξ0 )

0
si ω = 0,
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
84
appartient à C0 (Ω0 ). Par passage à la limite à partir de la relation
Z
=ϕω (ξ)
−tj <ψ(ξ) sin(tj =ψ(x))
=−
κtj (dω).
e
tj
Ω0 1 − <ϕω (ξ0 )
on obtient
=ψ(ξ) = −
=−
puisque =ϕω (0) = 0.
Finalement nous obtenons
Z
ZΩ 0
2
=ϕω (ξ)
κ(dω)
1 − <ϕω (ξ0 )
Ω0 \{0}
ψ(ξ) = A1 tr(ξ ) +
Z
=ϕω (ξ)µ(dω),
Ω0 \{0}
(1 − ϕω (ξ))µ(dω).
Unicité : La fonction de Pólya Πω est de type positif sur R de classe C 2 ,
Πω (0) = 1
Z
1 − <Πω (s) = (1 − cos(su))µ(du)
R Z
1 2
u2 µ(du) = −s2 Π00ω (0).
≤ s
2
R
D’autre part
1
ϕω (sξ0 ) = Πω (s) et Π00ω (0) = − ||ω||2.
d
Donc pour tout s ≥ 1,

1
si ||ω|| ≤ 1,
1 − <ϕω (sξ0 )  ||ω||2
d
≤

s2
2
si ||ω|| ≥ 1.
En écrivant
ψ(sξ0 )
= A1 +
s2
Z
Ω0 \{0}
1 − <ϕω (sξ0 )
µ(dω),
s2
et en appliquant le théorème de convergence dominée, on en déduit que
ψ(sξ0 )
= A1 ,
s→+∞
s2
lim
d’où l’unicité de la constante A1 .
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
85
Il reste à prouver l’unicité de la mesure µ. C’est-à-dire, si µ1 et µ2 sont
deux mesures positives sur Ω0 \{0} qui vérifient.
Z
||ω||2
µ (dω) < ∞,
(i = 1, 2),
(5.13)
2 i
Ω0 \{0} 1 + ||ω||
et sont telles que, pour tout ξ ∈ V (∞)
Z
Z
(1 − ϕω (ξ)) µ1 (dω) =
Ω0 \{0}
Ω0 \{0}
(1 − ϕω (ξ)) µ2 (dω).
(5.14)
alors µ1 = µ2 . Ce sera une conséquence du lemme suivant.
Lemme 5.4 Soit µ1 et µ2 deux mesures sur Ω0 \{0} vérifiants (5.13) et
(5.14). Alors, pour tout ξ, η ∈ V (∞),
Z
Z
ϕω (η)(1 − <ϕω (ξ)) µ1 (dω) =
ϕω (η)(1 − <ϕω (ξ)) µ2 (dω).
Ω0 \{0}
Ω0 \{0}
Démonstration du lemme. La fonction ϕω est une fonction sphérique pour
la paire sphérique (K∞ n V (∞), K∞ ). Elle vérifie donc la relation, pour
ξ, η ∈ V (∞),
Z
ϕω (ξ + kηk ∗ ) dk = ϕω (ξ)ϕω (η).
lim
n→∞
(5.15)
Kn
où dk est la mesure de Haar normalisée du groupe compact Kn .
Dans un premier temps on va montrer que
Z Z
Z
∗
lim
(1−ϕω (ξ+kηk )) µ1 (dω) dk =
(1−ϕω (ξ)ϕω (η)) µ1 (dω).
n→∞
Kn
Ω0 \{0}
Ω0 \{0}
On va appliquer le théorème de Fubini. Pour cela on va majorer la fonction
(ω, k) 7→ (1 + ||ω||2)
1 − ϕω (ξ + kηk ∗ )
.
||ω||2
d
Soit R > 0, tel que |||ξ||| + |||η||| ≤ R et 0 < ε < inf( 2R
, 1) (pour le choix de
ε, voir la preuve du deuxième point du lemme 5.3).
a) Si ||ω|| ≤
le lemme 5.3,
√
ε, puisque |||ξ + kηk ∗ ||| ≤ |||ξ||| + |||η||| ≤ R, alors d’après
(1 + ||ω||2 )
|1 − ϕω (ξ + kηk ∗ )|
≤ (1 + ε)C,
||ω||2
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
86
où C est une constante
qui dépend de R et ε.
√
b) Si ||ω|| ≥ ε alors
1
|1 − ϕω (ξ + kηk ∗ )|
≤ 2(1 + ).
(1 + ||ω|| )
2
||ω||
ε
2
Puisque les mesure dk et
||ω||2
µ1 (dω) sont bornées, alors la fonction
1 + ||ω||2
|1 − ϕω (ξ + kηk ∗ )|
,
(ω, k) 7→ (1 + ||ω|| )
||ω||2
2
||ω||2
µ1 (dω) × dk. D’après
1 + ||ω||2
est intégrable par rapport à la mesure produit
le théorème de Fubini.
Z Z
Z
∗
(1−ϕω (ξ+kηk )) µ1 (dω) dk =
Kn
Ω0 \{0}
Ω0 \{0}
Z
(1−ϕω (ξ+kηk ∗ )) dkµ1 (dω).
Kn
En utilisant les inégalités a) et b) et le fait que la mesure dk est une probabilité, on en déduit que la fonction
Z
1 − ϕω (ξ + kηk ∗ )
dk,
(1 + ||ω||2)
ω 7→
||ω||2
Kn
||ω||2
µ1 (dω)
1 + ||ω||2
est positive et bornée, alors en appliquant le théorème de convergence dominée on déduit de l’équation (5.15) que,
Z
Z
Z
∗
lim
(1−ϕω (ξ +kηk )) dkµ1 (dω) =
(1−ϕω (ξ)ϕω (η))µ1 (dω),
est majorée indépendament de n et de ω. Puisque la mesure
n→∞
Ω0 \{0}
et donc,
Z Z
lim
n→∞
Kn
Ω0 \{0}
Kn
∗
(1−ϕω (ξ+kηk )) µ1 (dω) dk =
Ω0 \{0}
Z
(1−ϕω (ξ)ϕω (η)) µ1 (dω).
Ω0 \{0}
En utilisant cette équation, l’équation (5.14) s’écrit
Z
Z
(1 − ϕω (ξ)ϕω (η)) µ1 (dω) =
(1 − ϕω (ξ)ϕω (η)) µ2 (dω).
Ω0 \{0}
Ω0 \{0}
En remplaçant dans l’équation précédente ξ par −ξ, puis en utilisant le fait
que ϕω (−ξ) = ϕω (ξ), on obtient en effectuant la somme,
Z
Z
(1 − ϕω (η)<ϕω (ξ)) µ1 (dω) =
(1 − ϕω (η)<ϕω (ξ)) µ2 (dω).
Ω0 \{0}
Ω0 \{0}
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE NÉGATIF
2
K∞ -INVARIANTES SUR L’ESPACE V∞
87
En remplaçant ξ par η dans l’équation (5.14), puis en effectuant la différence
avec l’équation précédente on déduit le résultat du lemme.
Suite de la preuve d’unicité : Considérons la fonction ϕ
e définie sur V (∞)
par
Z
ϕ(η)
e
=
ϕω (η)(1 − <ϕω (ξ)) µ1 (dω)
Ω0 \{0}
elle est K∞ -invariante puisque la fonction ϕω est K∞ -invariante. De plus
1 − <ϕω (ξ) ≥ 0 et ϕω (η) est de type positif donc ϕ
e est de type positif. ϕ
e est
continue puisque ϕω (η) est continue et majorée par une fonction µ1 -intégrable
sur Ω0 \{0}
|ϕω (y)(1 − <ϕω (ξ))| ≤ 1 − <ϕω (ξ).
Pour tout η ∈ V (∞),
Z
Ω0
ϕω (η) µ
g
1,ξ (dω) =
Z
Ω0
ϕω (η) µ
g
2,ξ (dω).
où µf
i,ξ (dω) = (1 − <ϕω (ξ))χΩ0 \{0} (ω) µ1 (dω) (i = 1, 2) et χΩ0 \{0} est la fonction caractéristique de l’ensemble Ω0 \{0}.
En raison de l’unicité de la représentation intégrale de l’énoncé du théorème
de Bochner invariant (théorème 4.1), on obtient
µ
g
g
1,ξ = µ
2,ξ ,
sur Ω0 .
Par suite les mesures µ1 et µ2 coïncident sur l’ensemble Ω0 \{0}.
Corollaire 5.5 Les génératrices extrémales du cône des fonctions de type
2
négatif continues sur V∞
, invariantes par K∞ et nulles à l’origine, sont engendrées par les fonctions :
(i) 1 − ϕω (ξ) où ω ∈ Ω0 \{0},
(ii) tr(ξ 2 ).
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