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La méthode des équations intégrales de frontière pour la
résolution des problèmes de potentiel en
électrotechnique, et sa formulation axisymétrique
Laurent Krähenbühl
To cite this version:
Laurent Krähenbühl. La méthode des équations intégrales de frontière pour la résolution des problèmes
de potentiel en électrotechnique, et sa formulation axisymétrique. Modélisation et simulation. Ecole
Centrale de Lyon, 1983. Français. �tel-00012060�
HAL Id: tel-00012060
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00012060
Submitted on 30 Mar 2006
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abroad, or from public or private research centers.
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destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
N o d'ordre : E.C.L.
83-13
Année 1983
présentée devant
L'ECOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir
le t i t r e de DOCTEUR-INGENIEUR
Spécialité :
Génie électrique.
p a r M. Laurent Krahenbühl
ingénieur E.P.F.L.
La
pour
méthode
la
des
équations
résolution
électrotechnique,
des
et
sa
intégrales
problèmes
formulation
de
de
potentiel
devant l a commission d 'examen
Sabonnadière, Président
et MM. B. Ancelle,
A.
Foggia,
M. Jufer,
M. Lajoie-Mazenc et
A . Nicolas.
en
axisymétrique.
soutenue le 16 décembre 1983
J u r y : M. J .C.
frontière
ECOLE CENTRALE DE LYON
DIRECTEUR
DIRECTEUR ADJOINT
A. MOIROUX
R. RICHE
DEPARTEMENTS D'ENSEIGNEMENT ET DE RECHERCHE
MATHEMATIQUES-INFORMATIQUE-SYSTEMES
C.M. BRAUNER
J.F. MAITRE
PHYSICOCHIMIE DES MATERIAUX
P. CLECHET
J. CURRAN
METALLURGIE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX
P. GUIRNDENQ
D. TREHEUX
ELECTRONIQUE
3.3. URGELL
P. VIKTOROVITCH
S. KRAWCZYK
R. BLANCHET
ELEC'TROTECHNIQUE
Ph. AURIOL
A. FOGGIA
MECANIQUE DES SOLIDES
F. SIDOROFF
MECANIQUE DES SURFACES
J.M. GEORGES
J. SABOT
MECANIQUE DES FLUIDES ET ACOUSTIQUE
J. MATHIEU
G. COMTE-BELLOT (Mlle)
D. JEANDEL
MACHIINES THERMIQUES
X. LYS
M. BRUN
CONCEPTION ET DEVELOPPEMENT DE PRODUITS
INDUSTRIELS
R. RUSSIER
P. CLOZEL
Sont aussi habilitées à diriger des thèses à 1'E.C.L.
les personnes dont les noms suivent :
MM.
E. ALCARAZ
H. ARBEY
J. BATAILLE
J. BOREL (LET])
Cl. CAMBON
B. CAMBOU
J.P. CHANTE
G. CHARNAY
B. COQUELET
J. DIMNET
A. HAUPAIS
3. JOSEPH
Ph. KAPSA
Cl. MARTELET
J.M. MARTIN
J.R. MARTIN
T. MATHIA
H. MONTES
R. MOREL
NGUYEN DU
R. OLIER
R. PHILIPPE
G. ROJAT
J.P. SCHON
M. SUNYACH
CI. SURRY
A. TAILLAND
G. THOMAS
L. VINCENT
J e remercie Monsieur
Directeur
du
Moiroux,
Département
Directeur,
d ' Electrotechnique
et Philippe Auriol,
pour
leur
acceuil
à 1'Ecole Centrale de Lyon.
Jean-Claude
et
Albert
Sabonnadière,
Président
du
Directeur
thèse,
m'ont
Foggia,
long d e ce t r a v a i l .
de
jury
d'examination
conseillé
tout
Marcel J u f e r , Professeur dont j ' a i été l ' é l è v e
à 1'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Monsieur M.
Mazenc,
Professeur
au
au
LEE1 à
Toulouse
et
Bernard
Lajoie-
Ancelle
dont
j ' a i poursuivi l e t r a v a i l de thèse d ' é t a t , ont accepté de p a r t i c i p e r
à ce j u r y :
Je
je les en remercie tous.
remercie
à
1'Ecole
et
amicaux
particulièrement
Centrale
de
e t pour
Lyon
pour
Alain
ses
Nicolas,
Maitre-assistant
encouragements
l e s précieux conseils dont i l m'a
constants
f a i t béné-
ficier.
J e remercie
a u s s i chaleureusement
mes camarades chercheurs
et e n s e i g n a n t s et tout l e personnel d u l a b o r a t o i r e pour l ' a m b i a n c e
a g r é a b l e q u ' i l s ont s u c r é e r e t l ' a i d e que j ' a i , a u besoin, trouvée
chez chacun ( e l .
Ma
profonde
gratitude v a
enfin à l'ex-DGRST
mable soutient financier q u ' e l l e m'a prodigué.
pour l ' i n e s t i -
?'liESL;S LIE L'ACADEMIE DE LYOh' : ECOLL C E S T U L E 111: LYON
L
1
K R A H E N B U H L
roMr
a u mer d a Jeunr t t n l . ,
! r * ~ to r b t i i f i . n
Irimorr I
6ovrtw~wct
BATE 6.
8 . ra. & c h i a n t )
16.12.83
Laurent François
h
11IRt r
La
méthode
des
équations
intégrales
résolution des problèmes de
s a formulation axisyrnétrique.
potentiel
de
en
frontière
6-;va
#>m.
4 'UN~Y.
DOSEURZW;~YZLUI
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O*E~AT
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O
O
Coi* B . 1 . U . - L y a m
:
#)CTORlT
T W / Z ~ O / ~/)
d'ordre
g
de
c f C ~s p i c i a 1 a t b
O
3,
la
, et
électrotechnique
x
NATURE
pour
rt
s
Génie électrique
CLASSE :
bi
Le chapitre
se
termine par
un
paragraphe
consacrl
A
RESUME
l'exploitation des r4sultats: calcul des prandeurs en dehors des
f r m t i l r e s et des grandeurs globales. trac4 de llpnes iquipotentielles.
Sur le plan international. deux formulations des probllmcs
de champs par les 4quations intigrales de fronttbres sur un poten-
h trolxlkme chapitre concerne la formulation axisym4trique
de la mithode de l'identit4 de Green: lorsqu'un systlme posslde
tic1 scalaire se sont imposles. Au premier chapitre. nous Cta
bliswns cer deux formulations: "globale" et #'de I'identitl de
Green" A partir des 4quations physiques fondamentales et nous
dCgageons I'[email protected] et les limiter de chacune.
Le domaine d'application privillgii de la premilre est
I'llectroststique en rais0.n de la Hnlaritl des milieux giniralement
-
une symdirie de r4volution. i l n'a en fait que deux dimensions
et 11 est possible d'exprimer dlmtement l e s dquations Intlgralel
dans ces deux dimensions.
Aprls avoir dtabli les expressions analytiques nécessaires
rencontrls et des conditions aux Hmites qui lui sont propres.
La seconde est une g4n4ralisation de la premilre et permet de
rlroudre le probllme de Laplace associl A n'importe quelles condi-
d'ordinateur PHlAX que nous avons d(velop#.
et montr4 la dimarche faite pour les traiter numiriquement.
-s
prieentons des r l r u l t a t s de validation obtenus avec le progr.-•
tions aux limites: on peut de ce fait envisager dans l'avenir
un couplage avec une m4thode variationnelle pour la r4eolutlon
des probllmes non lin4aires.
Le second chapitre est consacrl
de Green en glnlral.
Dans un premier
paragraphe.
A la mlthode de I'identlt4
nous ltablissons de
ficon
originale Ies conditions d'4quivalence entre les 4quations physipues et les lquationr int4grales de fronttlres. ce qui nous conduit
en particulier A une condition a priori d'4quivalence pour les
systlmes plan.
Le traitement num4rlque et en parttculler la discrdti8atim
des (quations introduit der erreurs que nous cherchons
caractlriser au second paragraphe.
Le troixilme paragraphe est consacr4 plus s#cialement
aux probllmes aswwils A la discrCtisation p a r des Cllments finis
I.oparaml1riques: critlres de choix des ensembles de points 0 Ù
-nt
lcrites les lquationr. de l a mlthode de rlsolution
directe
w projective -: traitement particulier des points anguleux. rôle
1
-
et utilisation du facteur angulaire de I'lquation inclgrale.
MOTS-CUI r
Electrotechnique
-
Potentiel scalaire
bl,oratoirr
Dlrrcteur
-
-
Axisyrnétrie
de r e e h e r c h r o a
Département d'électrotechnique
4 * recherche. 8 Prof. A.
FOGGIA
Ibr;.oi.rnt
Co*n~or"'on
-
(m)
Equations intégrales de frontière
jvy :
lu
j"m
Prof. J. C. Sabonnadière
B. h c e l k
A. Nicclas.
, A .Foggia,
M. J u f e r , M.
Lajoie-Mazenc,
'
dernière page d e l a thèse
AUTORISATION D E SOUTENANCE
Vu les dispositions d e l'article 3 d e l'arrêté du 16 avril 1974,
Vu l e rapport d e présentation d e Messieurs
J.C. SABONNADIERE
B. ANCELLE
A. FOGGIA
M. J U F E R
M. LAJOIE-MAZENC
A. NICOLAS
M. KRAHENBUHL Laurent
est autorisé à présenter une soutenance d e t h è s e pour l'obtention du t i t r e d e
DOCTEUR INGENIEUR, Spécialité G é n i e Electrique.
F a i t à Ecully, l e 22 novembre 1983
€COLE CENTRALE
DE LYON
-
DEPARTEMENT DTLECTROTECHNIQUE
U n i t é Associée au C.N.R.S.
n0829
La méthode des équati ons intégral es de f ronti ère
pour l a résolution des problèmes de p o t e n t i e l
en électrotechnique, e t sa formulation axisymétrique.
Laurent Krahenbühl
Thèse E.C.L.
83-1 3, 16 décembre 1983
-
R é é d i t i o n janvier 1986
T A B L E
D E S
M A T I E R E S
RESUME
1
INTRODUCTION
3
CHAPITRE 1
Formulation en équation intégrale de frontière
s u r un potentiel s c a l a i r e des problèmes de
champs électro- ou magnétostatiques
5
1.1
1.2
1.3
1.4
Les champs
Les potentiels scalaires
Formulation intégrale globale
Méthode intégrale tirée de l ' i d e n t i t é
de Green
1.5 Conclusion
CHAPITRE 2
16
22
Méthode des équations intégrales de frontière
tirée de l ' i d e n t i t é de Green
23
2.1 Equivalence avec l'équation de Laplace
2.2 Généralités s u r l a discrétisation des
équations intégrales de frontière
2.3 Choix de l a discrétisation et résolution
2.4 Exploitation des r é s u l t a t s
2.5 Conclusion
CHAPITRE 3
6
9
10
Formulation en axisymétrie de l a méthode
d'équations intégrales de frontière tirée
de l ' i d e n t i t é de Green
3.1
3.2
3.3
3.4
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
liste des symboles
Méthode
Détermination des noyaux et intégration
Résultats de validation
Conclusion
23
31
37
49
54
55
55
57
63
75
Sur l e p l a n
international,
d e u x formulations d e s problèmes
d e champs p a r l e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s d e f r o n t i è r e s s u r un potentiel
scalaire
blissons
Green"
se
ces
à
sont
deux
partir
imposées.
Au
formulations:
des
équations
premier
chapitre,
"globale"
e t ' "de
physiques
éta -
nous
l'identité
fondamentales
et
de
nous
dégageons l ' i n t é r ê t e t les limites d e c h a c u n e .
Le
domaine
d'application
privilégié
de
la
première
est
l ' é l e c t r o s t a t i q u e en raison d e l a l i n é a r i t é des milieux généralement
rencontrés
La
et
seconde
des
est
conditions
une
aux
limites
généralisation
qui
de l a
lui
sont
première
et
propres.
permet
de
résoudre l e problème de Laplace associé à n ' i m p o r t e q u e l l e s conditions
un
aux
limites:
couplage
on
avec
peut
une
de
méthode
ce
fait
envisager
variationnelle
dans
pour
la
l'avenir
résolution
d e s problèmes non l i n é a i r e s .
Le second c h a p i t r e e s t consacré à l a méthode d e l ' i d e n t i t é
de Green en g é n é r a l .
Dans
ori2inale
un
les
premier
paragraphe,
nous
établissons
conditions d ' é q u i v a l e n c e
entre
les
de
équations
façon
physi-
q u e s et l e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s d e f r o n t i è r e s , c e q u i nous conduit
en
à
particulier
une
condition
a
priori
d'équivalence
pour
les
systèmes p l a n s .
Le traitement numérique et en p a r t i c u l i e r l a d i s c r é t i s a t i o n
des
équations
introduit
d e s e r r e u r s que nous cherchons à c a r a c -
t é r i s e r a u second p a r a g r a p h e .
Le
aux
troisième
ou
est
consacré
problèmes associés à l a d i s c r é t i s a t i o n
isoparamétriques:
sont
paragraphe
écrites
projective
les
-;
critères
de
choix
des
plus
spécialement
p a r d e s éléments f i n i s
ensembles
de
é q u a t i o n s , d e l a méthode d e résolution
traitement
particulier
des
points
points
- directe
anguleux,
et utilisation du facteur angulaire de l'équation intégrale.
où
rôle
Le
chapitre
se
termine
calcul
un
l'exploitation
des
frontières
des grandeurs globales,
et
résultats:
par
des
paragraphe
grandeurs
tracé
de
en
lignes
consacré
dehors
à
des
équipoten-
tielles.
Le troisième c h a p i t r e concerne l a formulation a x i s y m é t r i q u e
de
la
une
et
méthode
symétrie
il
est
de
de
l'identité
révolution,
possible
d'exprimer
d e Green:
l o r s q u ' u n système possède
il
fait
n'a
en
que
d e u x dimensions
directement l e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s
d a n s c e s deux dimensions.
Après
et
avoir
établi
l e s expressions
analytiques
nécessaires
montré l a démarche f a i t e pour l e s t r a i t e r numériquement,
présentons
des
nous
r é s u l t a t s d e v a l i d a t i o n obtenus a v e c l e programme
d ' o r d i n a t e u r PHIAX q u e nous a v o n s développé.
I N T R O D U C T I O N
Le modèle macroscopique de Maxwell conduit à d e s é q u a t i o n s
différentielles simples pour l e s champs s t a t i q u e s ou q u a s i - s t a t i q u e s :
l e s champs
magnétique
et
électrique
sont découplés et on o b t i e n t
deux t y p e s d e problèmes i n d é p e n d a n t s :
é l e c t r o s t a t i q u e ou magnéto-
statique.
Si
les
ne
peut
être
la
plupart
équations
obtenue
des
cas
sont
que
simples,
dans
pratiques,
de
leur
solution
rares
l'emploi
analytique
configurations.
de
méthodes
Dans
numériques
de résolution s 'imposera donc.
Deux
loppées:
catégories
de
méthodes
de
les
variationnelles
on
approche
associées
méthodes
différences
aux
l'opérateur
ont
éléments
différentiel
été
successivement déve-
finies,
puis
les
finis.
Dans
la
lui-même
et
on
méthodes
première,
cherche
la
solution d ' u n
système simplifié; pour l a seconde, c ' e s t l a solution
(le
par
potentiel
méthode
tout
deux
à
consiste
en
exemple)
trouver
conservant
cas,
la
qui
est
la
meilleure
l'opérateur
solution
approchée a u
approximation
telquel.
différentiel
approchée
est
départ
obtenue
et
la
possible
Dans
les
spatialement
et
c e s méthodes peuvent ê t r e a p p l i q u é e s a u x problèmes non l i n é a i r e s .
Une
et
de
mais
troisième
recherches,
n'a
pas
catégorie
et
atteint
a
de
déjà
méthodes
débouché
fait
sur
l'objet
d'études
quelques
logiciels
l e degré de développement d e s précédentes.
Dans c e t t e c a t é g o r i e , on trouve l a méthode d e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s
de
à
frontière,
Zürich
etc.;
1
2
la
1,
méthode
les
des
méthodes
multiples
de
multipôles
développements
développée
limités
1
6
1,
d a n s toutes c e s méthodes, l a solution cherchée e s t approchée
Dar une somme d e solutions élémentaires d e l ' é q u a t i o n : on a p p l i q u e
donc
le
théorème
de
superposition
et
l'hypothèse
l a l i n é a r i t é . Ces méthodes sont semi-analytiques.
de
base
est
En
électrotechnique,
plus
souvent
part
(par
formés
exemple
les
de
dispositifs
régions
l'air
dans
rencontrés
parfaitement
les
entrefers
linéaires
à
et
et de régions fortement non l i n é a i r e s d ' a u t r e p a r t
A
terme,
il
nous
semble
séduisant
de
décrire
sont
le
d'une
l'extérieur)
(fer saturable).
les
milieux
non
l i n é a i r e s à l ' a i d e d e s méthodes v a r i a t i o n n e l l e s e t l e u r i n t é r a c t i o n
à
à
distance,
travers
les
milieux
linéaires,
par
les
méthodes
intégrales.
Ce
de
travail
frontière,
mais
e n t r e méthodes:
dite
est
il
aux
seules
méthodes
intégrales
a été pensé d a n s l ' o p t i q u e d e ce couplage
deux c h a p i t r e s s u r t r o i s concernent l a formulation
1' i d e n t i t é
"de
consacré
de
Green"
qui
parait
inutilement
compliquée
si on ne l a considère que d u point de vue d e s méthodes i n t é g r a l e s .
Ceci d i t ,
dans
l a p l u p a r t d e s r é s u l t a t s t h é o r i q u e s e t techniques obtenus
le
cadre
de
la
méthode
de l ' i d e n t i t é
de Green
s'applique
directement a u x a u t r e s formulations.
Nous
équations
déjà
ne
prétendons
intégrales
dans
inutile
de
Ancelle
Il 1
ce
appliquées
domaine
répéter,
et
pas
des
en
celle
tout
à
M.
A.
sur
la
méthode
1 'électrotechnique:
études
particulier
de
dire
très
la
Nicolas
complètes
thèse
( 151.
il
existe
qu'il
d'état
Nous
de
des
était
M.
invitons
B.
le
lecteur à s ' y reporter.
Notre
d'original
exposé
à
la
est
centré
méthode
et
sur
sur
ce
les
que
nous
points
qui
avons
ne
apporté
font
pas
l ' u n a n i m i t é d a n s l e s p u b l i c a t i o n s . Nous a v o n s r é d u i t l e s considérations
banales
un exposé s u i v i .
au
strict
minimum
nécessaire
pour
obtenir
C H A P I T R E
1
FORMULATION EN EQUATION INTEGRALE DE FRONTIERE
SUR UN POTENTIEL SCALAIRE DES PROBLEMES DE
CHAMPS ELECTRO- OU MAGNETOSTATIQUES
Le
trouve
dans
dans
très
modéle
de
de
Maxwell
l'esprit
nombreux
brièvement
de
des
beaucoup
ouvrages.
pour
champs
de
scientifiques
Nous
familiariser
électromagnétiques
le
le
à
et,
rappellerons
lecteur
aux
se
défaut,
cependant
notations
et
terminologies que nous u t i l i s o n s .
Après a v o i r i n t r o d u i t l e s potentiels s c a l a i r e s , nous montrons
qu 'une
première
exprimant
le
formulation
potentiel
intégrale
induit
comme
s'obtient
la
somme
simplement
en
(intégrale)
des
potentiels d e s dipôles i n d u i t s .
Cette
on
peut
formulation
également
rentielle
du
considère
exprimer
potentiel,
globalement
dans chaque
l'intégrer
et
lier
région
les
tout
1' e s p a c e ;
l 'équation
solutions
diffé-
régionales
e n t r e e l l e s p a r l e s conditions d ' i n t e r f a c e s : l ' i n t é g r a t i o n d e l ' é q u a tion
région
différentielle
par
peut
une
méthode
les
régions
être
éventuellement
différente
et
c'est
menée
là
dans
l'intérst
chaque
de cette
démarche.
Pour
linéaires
et
homogènes,
la
méthode
inté-
g r a l e d e f r o n t i è r e t i r é e de l ' i d e n t i t é d e Green p r é s e n t e d e s a v a n tages
certains
exemple.
Nous
par
rapport
1' i n t r o d u i s o n s ,
aux
de
méthodes
façon
fait l'objet des deux a u t r e s chapitres.
variationnelles
assez
brève
par
puisqu'elle
1.1
LES CHAMPS
1.1.1 Equations d e Maxwell e n s t a t i q u e , a i m a n t a t i o n , p o l a r i s a t i o n .
Les
relations
fondamentales
électriques et magnétiques
qui
définissent
les
grandeurs
s t a t i q u e s sont l e s é q u a t i o n s de Maxwell
statiques:
VxE
=
O
champ é l e c t r i q u e
VxH
=
j
champ magnétique
V.D
=
p
déplacement
V.B
=
O
induction
auxquelles i l
f a u t ajouter les r e l a t i o n s q u i décrivent l a réaction
des m a t é r i a u x :
qui
définit
dipolaires
du
l'aimantation
apparait
champ.
Ces
M:
dans
milieux
une
les
sont
densité
milieux
plus
ou
de moments magnétiques
magnétiques
moins
sous
susceptibles
1 ' action
et
on
note:
M
OU
=
XH
(1.6)
encore:
B = poprH
où X e s t l a
(1.7)
susceptibilité magnétique et
abilité relative;
pr
=
l+X
e s t l a permé-
X et ,ur dépendent éventuellement de H.
On a de même:
q u i définit
apparait
la
dans
polarisation
P:
les
diélectriques
milieux
une
d e n s i t é de dipôles é l e c t r i q u e s
sous
l'action
Ces milieux sont. p l u s ou moins susceptibles et on note:
OU
encore:
du
champ.
où
la
est l a
.X
susceptibilité diélectrique relative et
permittivité
relative;
X et
dépendent
l+X
cf=
est
éventuellement
de
E.
M
P
et
champs
H
ce
cette
que
représentent
E.
et
La
réaction
la
réaction
difficulté
agit
du
sur
l ' e s p r i t cause et conséquence en
la
des
calcul
matériaux
des
cause;
on
face
champs
peut
aux
vient
séparer
de
par
s é p a r a n t les g r a n d e u r s en g r a n -
deurs inductrices et induites.
1.1.2
Champs inducteurs e t champs induits.
Les
loi
de
Biot
sources
et
du
champ
Savart donne
magnétique
le
sont
champ dû
les
courants;
à ces courants
la
dans
le vide:
Les
donnent
un
mêmes courants
champ
H
en
différent
présence
de
de Ho
qui
matériaux
permet
de
magnétiques
définir
le
champ H i induit p a r les courants et l a matière:
H = H
O
+Hi
(1.12)
E n électrostatique, le champ inducteur est le champ coulombien E
; le champ induit Ei
est définit p a r :
E = EO + E 1.
Pour
ces
grandeurs
se simplifient; on a :
(1.13)
induites,
les
équations
de
Maxwell
1.1.3 Conditions d ' i n t e r f a c e e t conditions a u x limites.
Les
faces
conditions
entre
régions
de continuité
de
des
propriétés
d i v e r s champs a u x i n t e r -
différentes
se
déduisent
des
équations 1.1 à 1.7: pour l e s composantes t a n g e n t i e l l e s d e s champs
on a :
n x ( H 1 - H 2 )
A
=
densité de c o u r a n t
(1.19)
surfacique
e t pour l e s composantes normales d e l ' i n d u c t i o n e t d u déplacement:
n . ( D 1 - D a )
ps
=
d e n s i t é de c h a r g e
(1.21)
surfacique
Pour
les
grandeurs
induites,
on
obtient
des
relations
légèrement différentes:
= n . (
2
) Eo
'ri
en absence de c h a r g e (1.26)
de s u r f a c e
On
gées
du
peut
CAL
a u s s i i n t r o d u i r e des conditions a u x limites
dans
domaine
conducteur
de
sera
la
suite)
qui
résolution.
souvent
excluent
Par
exemple
considéré
comme
une
en
partie
de
(abré-
l'espace
électrostatique,
parfait:
le
champ
un
est
n u l a l ' i n t é r i e u r e t on a u r a :
sur
la
lorsque
face
extérieure.
On
a
l'équivalent
en
magnétostatique
p, e s t t r è s élevé: s u r l a face e x t é r i e u r e on posera:
D a n s l e s deux c a s ,
l e s l i g n e s de champ a r r i v e n t perpen-
diculairement s u r l e conducteur.
LES POTENTIELS SCALAIRES
1.2
De l'équation
1.1 et de l ' i d e n t i t é
Vx(
=
VU)
O on déduit
que le champ électrique dérive d ' u n potentiel:
E = - T V
E
O
= - G V
(1.29)
(1.30)
O
i l en est de même des champs électrique et magnétique i n d u i t s :
On
peut
également
définir
un
potentiel
magnétique
total
d a n s un domaine q u i ne contient p a s de courant:
H
H
= - V V
O
= - V V
(1.33)
Ces potentiels
qu 'on
choisit
(1.34)
O
scalaires
généralement
sont
nulle
définis
à
à
1' i n f i n i .
une
constante près
Pour
des
problèmes
i n t é r i e u r s , on l a fixe arbitrairement en un point.
L 'expression
elle
permet
en
potentiel
scalaire
est
intéressante
de passer d ' u n champ vectoriel inconnu
car
( 3 inconnues
p a r point) à un champ s c a l a i r e inconnu ( u n e inconnue p a r p o i n t ) .
La t a i l l e des problèmes à résoudre est réduite d ' a u t a n t .
1.3
FORMULATION INTEGRALE GLOBALE
Le potentiel d ' u n dipôle ponctuel v a u t :
La
polarisation,
qui
est
donc l e potentiel i n d u i t
une
densité
volumique
de
dipôles,
crée
Vol. 3, 111, 100 e t s u i v a n t e s J :
16
ce q u i explicite l a relation
0 = 0(V). On v a donc pouvoir é c r i r e
1 'équation :
et
nous
allons
d'isotropie
et
montrer
de
que,
linéarité
sous
du
les
hypothèses
d i é l e c t r i q u e , 0 ne
d ' homogénéité,
dépend
que
du
le p a s s a g e de 1.36 à 1.37,
la
potentiel total s u r l a frontière d u d i é l e c t r i q u e .
(*)
Si
p
= - Xf0V V
réciproque
implique bien
utilisée
pour
résoudre
le
problème
n'est
établie
que s i les deux équations sont é c r i t e s s u r c e r t a i n s ensembles
infinis
a u 52.2
de
points.
Un
cas
similaire
sera
d i s c u t é en
détails
1.3.1 L'équation intégrale de frontière.
Avec
le
volume
les
hypothèses
diélectrique:
on
ci-dessus,
peut
X
intégrer
est
constant
dans
tout
1 'expression
1.37
par
parties :
R t u ) e s t l ' a n g l e solide sous lequel le point P voit l e volume
où
u
P'
(
6
Vol.
1,
1,
0
L'équation
1.38
prend
ainsi
explicite ( v o i r fig. 2 ) :
avec
Sources
Fig. 2: Zllustration de l ' é q u a t i o n 1.39.
la
forme
S'il
y
a
N
régions
diélectriques
de
propriétés
différentes,
on
intégrales
de
obtient ( v o i r f i g . 3 ) :
Le
terme
surface
de
sur
droite
les
contient
surfaces
dans
des
N
tous
les
régions.
cas
Le
N
terme
s ' é c r i t p a r exemple :
s i P est à l ' i n t é r i e u r de u
,
V ( P ' ) s i P ' e s t en dehors de tous l e s d i é l e c t r i q u e s ,
s i P" e s t s u r l ' i n t e r f a c e d e s d i é l e c t r i q u e s 1 e t 2, e t c .
w
Diélectrique 1
Diélectrique 3
Fig. 3: I l l u s t r a t i o n de l ' é q u a t i o n 1.41
de
gauche
En
magnétostatique
d ' isotropie
1.39 et
dire
et
avec
l e s hypothèses
d'homogénéité,
et d e l i n é a r i t é d e s milieux magnétiques, l e s équations
1.1
aucun
sont
à
valables
c o u r a n t d a n s un
magnétiques.
Le
potentiel
de
condition
d'avoir
VxH=O c ' est-à-
domaine contenant toutes l e s régions
source
est
alors
à
défini
partir
d ' u n point Po :
Cette
CAL.
des
formulation
Son
domaine
ne
permet
pas
d'application
est
d ' introduire
réduit
directement
mais,
dans
son
domaine, c ' e s t de loin l a meilleure.
1.3.2 Distribution d e dipôles é q u i v a l e n t e à la polarisation.
L ' in t é g r a l e :
représente
normaux
1
le
6
potentiel
d'une
distribution
Vol. 1, VI, 581 de densité
T,
surfacique
.
de
dipôles
L'équation 1.39 montre
q u ' o n peut remplacer l e s volumes diélectriques p a r des densités
de
dipôles
point
se calcule
du potentiel
sation.
normaux
s u r l e u r s s u r f a c e s . Le potentiel t o t a l en un
comme l a somme du potentiel Vo
des sources e t
1.43 des d i s t r i b u t i o n s 1.44 é q u i v a l e n t e s à l a polari-
1.3.3 Introduction d ' u n conducteur.
Dans
cette
d u i t que p a r
de
source:
sa
surface,
formulation,
un conducteur ne peut ê t r e intro-
l ' i n t e r m é d i a i r e du terme V
c'est-à-dire
O '
il
faudra
donc
autrement
dit
déterminer
le
la
densité
déplacement
sous forme
de charges
ou
le
champ
la
densité
à
normal.
On pose a i n s i :
V (PI
2
Gp(Ql ds
=
O
'con d
qui
représente
le
.
dV
de c h a r g e s fo dn
la
grandeur
potentiel
coulombien
de
On obtient l ' é q u a t i o n
connue
qui
permet
de
16
surfacique
Vol. 3, 111, 206-2071:
résoudre
étant
le
potentiel
total s u r l e conducteur ( f i g . 4 ) .
Diélectrique
'diel
Fig. 4: Influence d ' u n conducteur s u r un
diélectrique (équation 1.45).
On
voit
apparaitre
associées
respectivement
retrouver
dans
a u 91.4.
le
cadre
aux
de
deux
types
noyaux
la
G
méthode
d'inconnues:
dG
et
Nous
dV
.
de
l'identité
et
V,
allons
les
de
Green
1 . 3 . 4 Discussion
La
méthode
1 ièrement
de
CAL
aux
que
à
adaptée
sous
la
conducteurs.
nous
venons
de
surfaces
Pour
problèmes
les
particu-
est
permet
1 ' introduction
équipotentielles
correspondant
1' é l e c t r o s t a t i q u e .
forme de
développer
Elle
multirégions,
les
intégrales
de s u r f a c e deviennent nombreuses pour l ' é c r i t u r e d e c h a q u e é q u a tion,
mais
soulignons
qu'il
n'y
a
qu'une
inconnue
scalaire par
point de s u r f a c e .
L'équivalent
Trowbridge
118
magnétostatique
,19
1.
qui
est
été
largement
publié
par
L ' i n t é r ê t p r a t i q u e en e s t limité a u x milieux
linéaires
(ce
en
l'introduction
effet,
a
une
importante
d'un
milieu
limite
non
de compléter 1.39 p a r 1 ' i n t é g r a l e de volume
en
magnétostatique):
linéaire
en
1.37 impose
1 18 1 :
q u i e s t beaucoup p l u s lourde à c a l c u l e r q u e l ' i n t é g r a l e d e volume
correspondante
en
méthode
variationnelle
car
l'intégrant
est
non
nul d a n s tout l e volume.
On
duites
par
à
pourrait
la
méthode
section
aussi
chercher
à
généraliser
les
CAL
intro-
1 . 3 . 3 afin de t r a i t e r l a région non l i n é a i r e
variationnelle:
on
retomberait,
par
une
p l u s compliquée, s u r l a méthode d e 1 ' i d e n t i t é d e Green.
démarche
1.4
METHODE INTEGRALE TIREE DE L'IDENTITE DE GREEN
1.4.1 Equation de Poisson d a n s une région.
L'équation
=p
V.D
( 1 . 3 ) combinée avec
(1.10) s ' é c r i t :
Comme E dérive du potentiel V (1.29) on a :
Si
c,
est constant d a n s l a région considérée, on obtient l ' é q u a t i o n
de Poisson:
e t , en absence de c h a r g e s , l ' é q u a t i o n de Laplace:
De même en magnétostatique on obtient:
'IV=
- -l
TV. vp
r
sans
courant
dans
la
r
région,
et
une
équation
semblable s u r
potentiel induit s ' i l y a des courants:
e t , d a n s les deux c a s , l'équation de Laplace s i
p
r
AV
=
O
( p = cste, s a n s c o u r a n t )
r
[email protected]
=
O
( p = cste, avec c o u r a n t )
r
OU
est constant:
le
1.4.2 Discussion.
Dans
chaque
région
conductrice ou non,
(diélectrique,
entrefer,
à
magnétique,
surface
milieu i n f i n i ) l e problème e s t d é f i n i
p a r l ' u n e des é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s c i - d e s s u s ;
l a solution dépend
d e s v a l e u r s limites d u potentiel ( t o t a l ou i n d u i t ) e t d e s a d é r i v é e
normale.
on
Comme nous 1 ' é c r i v i o n s d è s 1 ' i n t r o d u c t i o n d e c e c h a p i t r e ,
peut
résoudre
dans
chaque
région
en
fonction
des
valeurs
a u x limites a v e c l a méthode l a mieux a d a p t é e a u t y p e d ' é q u a t i o n
différentielle,
la
solution g l o b a l e é t a n t obtenue en l i a n t ces solu-
tions e n t r e e l l e s à l ' a i d e des conditions d ' i n t e r f a c e
e t en e x p r i -
mant l e s éventuelles conditions a u x limites.
Par
exemple,
les
deux
équations
1.51 e t 1.53 sont d ' u n e
complexité bien d i f f é r e n t e .
Dans l a première,
pr
=
f ( 1 VVI ) : il est nécessaire d'expri-
mer V e t
en c h a q u e point d u domaine; l e s méthodes v a r i a t i o n Pr
associées a u x éléments f i n i s ont démontré l e u r e f f i c a c i t é
nelles
pour r é s o u d r e ce problème.
La seconde e s t 1 ' é q u a t i o n
culier
de
la
première,
et
les
de Laplace: c ' e s t un c a s p a r t i -
méthodes v a r i a t i o n n e l l e s
a u s s i à l a solution. Mais on montre
pression
1
facilement
des v a l e u r s i n t é r i e u r e s d u potentiel
.
conduisent
4
que
l'ex-
n'est pas nécessaire
en c o u r s d e résolution (on p e u t s i besoin e s t l e s déterminer a p r è s -
à
coup
partir
méthodes
ce
des
cas.
s e u l e s v a l e u r s a u x limites d e l a r é g i o n ) :
intégrales
Elles
régions
double
des
que
évitent
linéaires
gain
sera
nous
le
et
allons
travail
de
réduisent
spécialement
présenter
sont
maillage
en
nombre
des
le
apprécié
pour
les
adaptées
éléments
à
finis
inconnues.
Ce
la
résolution
des
ne
permettent
pas
problèmes tridimensionnel S .
De
plus,
directement
et
sont
pièces
peu
la
les
méthodes
modélisation
adaptées
mobiles,
en
à
raison
variationnelles
exacte
la
de
d'un
description
la
présence
milieu
de
extérieur
l'espace
entre
du maillage:
inconvénients n ' e x i s t e n t p l u s a v e c l e s méthodes i n t é g r a l e s .
infini
deux
ces d e u x
1.4.3 Autres problèmes conduisant a u x mêmes équations.
D ' autres
de
phénomènes
à
Laplace associée
physiques
à
obéissent
des conditions a u x limites:
l'équation
l a méthode des
équations i n t é g r a l e s de frontière permet évidemment de l e s t r a i t e r
tous.
En
restant
dans
le
domaine
de
1 'électrotechnique,
citons
p a r exemple:
-
Les problèmes de conduction, pour l e s q u e l s l ' é q u a t i o n de conserr.j = O
vation de l a c h a r g e
sent
à
des
CAL
l'équation
de
analytiques
et l a loi d'Ohm
Laplace
pour
à
1.50
tenir
j
laquelle
compte
d'une
=
on
-aVV
peut
conduiassocier
conductivité
de
(fig. 5).
surface a,
Fig. 5: Exemple de problème de conduction.
-
Les
problèmes
d'électromagnétisme
sans
propagation,
dans
un
milieu l i n é a i r e non conducteur ( e n t r e f e r , milieu e x t é r i e u r ) . Lorsque
les
champs
que l a
varient
"lentement"
longueur d ' o n d e
dans
le
temps,
c'est-à-dire
tant
reste g r a n d e p a r r a p p o r t a u x dimensions
du système é t u d i é , seule l ' é q u a t i o n 1.1 e s t modifiée et d e v i e n t :
Le potentiel
magnétique total ou i n d u i t obéit toujours à l ' é q u a t i o n
de Laplace.
Dans
habituelle
être
ce
utilisée
dès
qui
est
1 ' approximation
des é q u a t i o n s de Maxwell,
pour
des d i s p o s i t i f s .
sagé
cas,
décrire
les
la
entrefers
électrotechnique
méthode i n t é g r a l e p o u r r a
et
le
milieu
extérieur
Le couplage avec une méthode v a r i a t i o n n e l l e envi-
l'introduction
de
cette
thèse
ne
concernera
donc
pas
seulement l e s problèmes s t a t i q u e s , ce q u i donne un i n t é r ê t supplémentaire a u x méthodes i n t é g r a l e s .
-
Problèmes
A
p a r t i r d ' u n e c e r t a i n e fréquence d u champ d ' e x c i t a t i o n ,
fondeur
aux
de
de
courants
pénétration
dimensions
de
de
des
la
à
Foucault
champs
pièce
fréquence
devient
étudiée.
Les
11s
élevée
faible
1.
l a pro-
par
rapport
de
Foucault
courants
ne se développent p l u s q u ' e n surface. Sur cette s u r f a c e , le champ
induit
qu'ils
créent
s'oppose
exactement
au
champ
inducteur.
à
l'extérieur
On a donc simplement l a c o n d i t i o n :
sur
la
surface,
à
associée
l'équation
de
Laplace
de l a pièce métallique.
La
surfacique
utilisé
résolution
en
permet
de
déterminer
fonction d e l ' i n d u c t e u r .
pour
la
trempe
Un
superficielle
l a densité de courant
tel
dispositif peut
(engrenages
par
être
exemple),
e t l a méthode i n t é g r a l e p e r m e t l e dimensionnement d e l ' i n d u c t e u r .
1.4.4 Méthode "de l ' i d e n t i t é d e Green".
Nous
cherchons
AV
-P
=
O
'
à
c'est-à-dire
à
résoudre
ou
AV
les
O
=
1.49 ou
équations
dans w
'r
exprimer
V
dans
w
en
fonction
V et d e s a d é r i v é e normale s u r l a frontière S d e
des
valeurs
W.
L a s e c o n d e i d e n t i t é d e Green p o u r u n s c a l a i r e s ' & r i t :
S
(V3G
-
1.50:
GAV) d v
=
S
(VVG
-
GVV).ds
s
En c h o i s i s s a n t p o u r G l a "fonction d e Green" 1.40:
de
on obtient:
n, ( v )
c = --
avec
4~
L'équation
de
Poisson
1.4
portée
dans
1.55
donne
l'équation
i n t é g r a l e de f r o n t i è r e pour l ' é l e c t r o s t a t i q u e a v e c c h a r g e s :
c.V(P)
=
V (P)
O
-
-
tv
G -)
bn
ds
(*)
e t l ' é q u a t i o n de L a p l a c e 1.50 conduit à 1 ' e x p r e s s i o n :
adaptée
à
1 'électrostatique
sans charge
et
à
la
magnétostatique
sans courant.
S ' i l y a l i e u , i l f a u t exprimer l e s c o n d i t i o n s d ' i n t e r f a c e
à 1.21 en fonction
1.18
sante
tangente
assurée
par
la
du
d u potentiel.
champ en
définition
absence
unique
du
La c o n t i n u i t é d e l a compode courant
potentiel
de
sur
surface
la
Pour l a composante normale de l ' i n d u c t i o n , on doit a v o i r :
(*)
Même remarque que pour 1 ' é q u a t i o n 1.37
est
surface.
e t , pour l e déplacement normal:
Le choix
d u potentiel
à l a p l a c e d e s d é r i v é e s normales
Y comme inconnue
de
d a n s les deux régions
1
1
1
a s s u r e l a seconde condi-
tion d ' i n t e r f a c e . L ' é q u a t i o n i n t é g r a l e 1.58 s ' é c r i t a l o r s :
s
on a une expression semblable en é l e c t r o s t a t i q u e .
Pour
formulation
les
en
problèmes
potentiel
de
magnétostatique
induit
s ' impose.
avec
courant,
L'équation
la
intégrale
de d é p a r t e s t l a même q u e 1.58 mais l ' e x p r e s s i o n de Y e s t différ e n t e ( v o i r équation 1.24) :
e t on obtient pour c h a q u e région l e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s :
Ho,
E n posant
est
donc
la
=
O
plus
on retrouve l e c a s p r é c é d e n t ; cette formulation
générale
et
nous
l'adopterons
dans
la
suite.
Notons q u ' e l l e e s t p l u s complexe que l a méthode g l o b a l e d u 91.3:
nous a v o n s s u r l e s i n t e r f a c e s d e u x inconnues s c a l a i r e s p a r p o i n t ;
par
contre,
chaque
équation
s'écrit p a r intégration sur l a
t i è r e d ' u n e seule région.
("
Même remarque que pour l ' é q u a t i o n 1.37
fron-
1.4.5 Distributions de sources s u r f a c i q u e s é q u i v a l e n t e s .
Pour
que
le
la
méthode g l o b a l e ,
potentiel
dipôles
s'exprimait
normaux
sur
les
comme
surfaces,
celui des sources, c'est-à-dire
de
monopôles
pour
dans
calculer
le
le
cas
des
potentiel
en
point,
distribution
de
d ' ajouter
convenait
surfacique
($1.3.3). I l f a l l a i t ,
tenir
compte
de toutes
i n t é g r e r s u r toutes l e s i n t e r f a c e s .
a en f a i t pour c h a q u e région une i n f i n i t é de couples
, p ) q u i conduisent a u x conditions
ces couples
plus
a u $1.3.2
d 'une distribution
un
( r,
le
il
conducteurs
distributions
de
d'une
auquel
de
l'aide
celui
celui
ces d i s t r i b u t i o n s , c'est-à-dire
11 y
nous avions remarqué
surfaciques
à
s'identifie
l'identité
simplement
de
(V,
dipôles
dn
Green.
les
conditions
et
de
a u x limites V et
nous
),
de
normaux
C'est
venons
de
on
.
Un de
montrer à
le
c e l u i q u i permet
d 'interface,
monopôles
d'exprimer
puisqu'il
coincide
avec e l l e s .
1.5
Nous
l'identité
aurait
avons
de
présenté
Green"
aussi
pu
CONCLUSION
des
les
formulations
équations
déduire
la
"globale"
intégrales
première
de
de
la
puis
"de
frontière.
On
seconde,
qui
est
l a plus g é n é r a l e e t que nous u t i l i s o n s d a n s l a s u i t e .
On
Par
peut
imaginer
des
exemple
pour
la
du potentiel
total
d a n s les
induit
ailleurs
magnétostatique
méthode
à
conduit
linéaire.
variantes
de
Green,
régions
des
Notre
de
ces
formulations.
l'utilisation
simultanée
s a n s c o u r a n t et d u potentiel
équations
propos
bien
n'est
adaptées
pas
à
la
l'énumération
de ces v a r i a n t e s , mais le développement de l a théorie et l'amélioration
ce
soit
des
en
techniques
vue
d'une
avec une a u t r e méthode.
d'équations
utilisation
intégrales
en
indépendante
ou
général,
d'un
que
couplage
2
C H A P I T R E
METHODE DES EQUATIONS INTEGRALES DE FRONTIERE
TIREE DE L'IDENTITE DE GREEN
Notre
lation
travail
axisymétrique
frontière
tirée
réflexions
et
quent
a
aussi
de
des
porté
de
la
plus
particulièrement
méthode
l'identité
de
des
Green.
équations
Cependant,
sur
la
intégrales
certaines
que nous avons à p r é s e n t e r
remarques
formude
des
s'appli-
a u x formulations tridimensionnelle ou bidimensionnelle
plane: nous l e s avons regroupées d a n s ce c h a p i t r e .
2.1
La
EQUIVALENCE AVEC L'EQUATION DE LAPLACE
méthode
des
équations
intégrales
de
(4.i . f .
frontière
)
e s t le p l u s souvent présentée comme nous l ' a v o n s f a i t a u c h a p i t r e 1:
en
portant
dans
l'identité
de
Green
de Laplace 1.50, on obtient 1 ' é . i . f .
Généralement,
équation
1 'équation
physique
l'équation
physique
1.58:
les a u t e u r s ne justifient
avec
1.55
de
p a s l ' é q u i v a l e n c e de cette
départ,
ou a l o r s seulement
a posteriori en c o n s t a t a n t l ' u n i c i t é de l a solution.
Pour
a
démontré
homothétique
les
que,
Lm
problèmes
pour
bidimensionnels
chaque
q u i conduit
à
contour
un
L,
système
plans,
il
Jawson
existe
singulier:
110
1
un
contour
il
propose
d a n s un
tel c a s de recommencer l a résolution
l'échelle
du
ce remède:
tèmes
En
contour.
pratique,
on
les contours approchant Lm
numériques
mal
conditionnés:
ne
a p r è s avoir changé
peut
se contenter
de
donneront lieu à des sys-
les
résultats
pourront
être
faux s a n s qu'on en soit a v e r t i .
Nous
valence
de
allons
directement
l ' i f
1.58
et
rechercher
de
l'équation
les
conditions
de
Laplace
d'équipour
les
systèmes tridimensionnels e t nous en déduirons une condition d ' é q u i valence pour les systèmes bidimensionnels p l a n s .
2.1.1 Signification de 1'é.i.f.
E n toute logique,
pas
équivalente
à
écrite en un point P.
l ' i f .
l'équation
de
1.58 écrite en un point P.
1
Laplace
écrite
au
même
n'est
point:
l a comparaison avec l ' i d e n t i t é de Green 1.55 montre qu'on a seulement 1 ' équivalence:
Physiquement,
m
AV
=
représente l a densité de sources mono-
polaires d a n s v et
son potentiel en P . . L'équivalence 2.1 peut donc s'énoncer:
1
e.i.f.
en P
i
H
l a distribution de monopôles
annule son potentiel en P .
1
m
(2.2)
2.1.2
Equivalence a v e c 1 ' é q u a t i o n d e Laplace, c a s tridimensionnel.
Parmi
les
méthodes
permettant
d'annuler
une
grandeur
R d a n s un volume v , celle q u i consiste à a n n u l e r l e s i n t é g r a l e s :
e s t appelée méthode projective. On n ' a u r a 1 ' é q u i v a l e n c e :
1. = O ,
que
pour
montre
certains
que
la
R = O
fi€F H
1
ensembles
méthode
des
F
dans v
de
é.i.f.
fonctions.
est
une
L'équivalence
méthode
2.1
projective,
les fonctions de projection é t a n t :
Ces
fonctions
à
présentent
volume
2.3
F
fonctions
Pi
des
des
f .
1
l'intérêt
de
réduire
intégrales
de
surface.
revient
au
choix
Le
de
les
intégrales
de
choix de l ' e n s e m b l e
1 'ensemble
des
points
où seront é c r i t e s les é q u a t i o n s i n t é g r a l e s . Nous a l l o n s montrer
q u ' u n e s u r f a c e S ' e n t o u r a n t v est
Lorsque
les
conditions
suffisante.
a u x limites sont posées correctement
(problème de Dirichlet p a r exemple), le système:
JAV = O
PE v
1 CAL
a
une solution unique V
p l u s de c l a r t é .
sol
.
Nous nous plaçons d a n s ce c a s pour
Nous
de
source
surface
cherchons
dans
S'
moins
forte:
dans v
donc
potentiel
Si on é c r i t l ' i f
v.
entourant
on
un
on
v
n'impose
obtient
pas
la
-
- qui n ' a pas
sol
en tous l e s p o i n t s d ' u n e
une
nullité
condition
de
la
apparemment
distribution
mais seulement l a n u l l i t é d e s a contribution
AV
a u potentiel
sur S v .
Par
et
exemple,
symétrie
même
(fig.
solutions Vsol
toute
sphérique
6):
il
y
annule
a
à
distribution
donc
+Vm à 1'é.i.f.
son
dans
"charge"
à
potentiel
le
volume
totale
1' e x t é r i e u r
v
une
nulle
d ' elle-
infinité
de
écrite sur S ' .
Fig. 6
Mais Vm
ment nul
=
O
s u r S'
et à l ' i n f i n i : i l e s t donc identique-
d a n s tout l ' e s p a c e sauf peut-être
d a n s v où sont s i t u é e s
l e s sources m q u i i n t e r d i s e n t d ' a p p l i q u e r l e théorème d u maximum.
On en d é d u i t q u e :
c'est-à-dire
que
toutes
les
solutions
données
par
les
é.i.f.
ont
l e s mêmes v a l e u r s a u x limites s u r S q u e l a solution cherchée.
La solution V
sol
en é c r i v a n t :
c'est-à-dire
en
( P l en un point P i n t é r i e u r à v e s t obtenue
utilisant
la
formule i n t é g r a l e
de
frontière
1.58.
Ainsi l ' é q u a t i o n
de Laplace é c r i t e en tout point
e l l e équivalente à 1 ' é . i . f .
é c r i t e en tout point de S ' ( 1 ' i n t é g r a t i o n
s e f a i s a n t s u r S et S ' pouvant
point
les
de
v; cependant,
valeurs
l'écriture
limites
de
le
ê t r e confondue
problème
sur
physique
s u r S sont
de Vsol
1'é.i.f.
de v est-
S'
seule.
La
avec
S) et
est
résolu
déterminées,
quadrature
en
tout
lorsque
donc
qui
par
conduit
à l a solution d a n s v peut ê t r e considérée implicitement.
2.1.3.
Cas d e l a région e x t é r i e u r e .
Nous cherchons maintenant à résoudre l ' é q u a t i o n d e Laplace
d a n s le volume v e x t é r i e u r à l a
surface S et s ' é t e n d a n t j u s q u ' à
l'infini (fig. 7 ) .
Fig. 7
Le
raisonnement
du
paragraphe
précédent
s ' applique
à
nouveau en c h o i s i s s a n t S' d a n s le volume v' limité p a r l a s u r f a c e
S.
é.i.f.
Les
éventuelles
tout
S',
écrites
sources
donc
m
dans
sur
tout
situées
S'
dans
v' tout e n t i e r :
permettent
d ' a f f i r m e r que
les
v a n n u l e n t l e u r potentiel
sur
on
en
déduit
encore
que l e
potentiel V e t s a dérivée normale s ' a n n u l e n t s u r S ( 2 . 5 ) .
m
Pour
cette
région
extérieure,
il
est
encore
nécessaire
de
préciser l a v a l e u r d u coefficient a n g u l a i r e c défini en 1.56.
La
région
extérieure
à
S peut
région i n t é r i e u r e à l a sphère de s u r f a c e
ê t r e considérée
Y:
dont
on
comme une
fait
tendre
R vers l'infini.
l e rayon
1/R
et
sa
dérivée
Le potentiel décroissant a u moins comme
normale
I / R ~ ,l'intégrale
comme
de
surface
1.58 s u r S* tend v e r s 0. 11 f a u t p a r contre t e n i r compte d e :
.ds
R+m
lim J d
R+m 4n
=
s*
à
v
est
i
=
s*
d a n s l e calcul d u coefficient c.
rieure
n
ici
tournée
Remarquons que l a normale exté-
vers
l'intérieur
de S: 1 ' i n t é g r a l e 2.7
calculée s u r S prend l e s v a l e u r s :
s i P e s t à l ' i n t é r i e u r de v
O
1
-?
s i P e s t un point r é g u l i e r de S
-1
s i P est d a n s l e volume limité p a r S.
La somme des i n t é g r a l e s 2.7 s u r S* et s u r S donne bien a u coefficient c l e s v a l e u r s h a b i t u e l l e s :
c
= ---
4n
s i PEv
3
s i PES ( P r é g u l i e r )
O
s i PBVUS
-
s
Concluons en
en
1
Q,(v)
compte
la
s o u l i g n a n t que l e s é . i . f .
région
extérieure
infinie
par
(2.8
p r e n d r o n t exactement
la
seule
intégration
s u r S.
2.1.4
Cas des systèmes c y l i n d r i q u e s i n f i n i s .
Le
é.i.f.
des
raisonnement
avec
systèmes
mensionnels
l'équation
du
qui
montre
de Laplace e s t mis en
cylindriques
plans).
52.1.2
infinis
l'équivalence
des
défaut d a n s l e c a s
(autrement d i t :
problèmes bidi-
En e f f e t , l e potentiel d ' u n e d i s t r i b u t i o n
forme de monopôles s u r une d r o i t e i n f i n i e e s t donné p a r ( f i g . 8 ) :
uni-
droite chargée
Il s ' a n n u l e s u r l e cercle d e rayon r,
s a n s q u e s a d é r i v é e normale
ne s ' a n n u l e ( c e potentiel ne peut ê t r e posé n u l à l ' i n f i n i ) : I ' é q u a tion
2.5
ne
sera
pas
vérifiée
dans
tous
les cas;
par
ne conduiront p a s à l a solution s i l a géométrie é t u d i é e
les é . i . f .
est un c y l i n d r e c i r c u l a i r e i n f i n i d e r a y o n r,.
C ' e s t 1 à 1' o r i g i n e des systèmes s i n g u l i e r s
Jawson
exemple,
dans
le
cadre
de
la
théorie
du
signalés
potentiel
par
bidimensionnel
et qui reçoivent i c i une explication simple e t concrète.
En
pas
et
réalité,
il
s ' annule
est
à
les
du
cylindriques
possible
de
toujours
1'infini.
Le
une bonne approximation
proche
systèmes
milieu
potentiel
considérer
très
longs:
le
de droite c h a r g é uniformément, d e longueur r,,
d a n s l e plan médian e t pour r<<r,.
c'est-à-dire
en c h o i s i s s a n t r,
que
logarithmique
du potentiel coulombien
d'objets
n ' existent
in finis
le
est
potentiel
cependant
d a n s un domaine
potentiel
d'un
segment
e s t donné p a r :
Si c e t t e i n é g a l i t é est respectée
supérieur*à
l a p l u s g r a n d e dimen-
sion de l a coupe d e l ' o b j e t c y l i n d r i q u e é t u d i é , on
ne r i s q u e p a s
d ' o b t e n i r un système i n t é g r a l s i n g u l i e r .
( * ) En p a r t a n t de l ' é t u d e formellement p l u s r i g o u r e u s e d e Jawson
110
1, on montre que l ' i n é g a l i t é s t r i c t e e s t mathématiquement
s u f f i s a n t e . Numériquement, i l f a u t p r e n d r e r,
très supérieur
à l a p l u s g r a n d e coupe pour é v i t e r les systèmes quasi-singu-
1i e r s .
Cette condition
de
régularité
a
priori
du
système d t é . i . f .
e s t p l u s e f f i c a c e q u ' u n e correction a posteriori c o n s i s t a n t à c h a n ger
l'échelle
du
domaine
s i on
a
eu l a malchance d ' o b t e n i r un
système s i n g u l i e r ou q u a s i - s i n g u l i e r .
2.1.5 Récapitulation.
Nous pouvons nous résumer de l a façon s u i v a n t e :
aux
Le
limites
problème
de
Laplace
est
résolu
(potentiel
et
dérivée
normale
lorsque
sur
la
les
valeurs
surface
S
de
v ) sont connues.
é.i.f.
- Pour o b t e n i r ces v a l e u r s a u x limites, i l f a u t é c r i r e l e s
s u r toute une s u r f a c e S ' e x t é r i e u r e à v , éventuellement
confondue
on
avec
S.
Pour
les
problèmes
à
plusieurs
régions
Ri ,
a u r a a u t a n t de s u r f a c e s S ' que de régions R . e t on a p p l i q u e r a
i
1
l e s équations 1.61 ou 1.63.
-
1a
Pour l e s problèmes bidimensionnels p l a n s ,
constante
r,
du
potentiel
logarithmique
2.9
il
faut choisir
très
supérieure
à l a p l u s g r a n d e dimension de l a coupe de l ' o b j e t étudié.
D'un point de vue p r a t i q u e , i l e s t exclu d ' é c r i r e l e s é . i . f .
de
façon
continue
s u r toute une s u r f a c e :
nous a l l o n s é t u d i e r l e s
conséquences de cette impossibilité à l a section 2.2.
2.2
GENERALITES SUR LA DISCRETISATION
DES E.I.F.
Nous venons de montrer q u ' i l e s t é q u i v a l e n t d ' é c r i r e l ' é q u a tion
de
Laplace
frontière
près
sur
pour
dans
une
des
un
volume
surface
S'
géométries
tement
entourant
très
intégrale
de
A d e r a r e s exceptions
v.
il
est
impossible
Y s u r S q u i v é r i f i e r a i e n t exac-
1.63 en c h a q u e point
l ' i f .
l'équation
particulières,
0 et
de déterminer l e s fonctions
ou
v
de
S ' : on
a
donc
recours
à des procédés d ' approximation numériques de c e s fonctions.
Nous
dans
tentons
l'espace
dans
de
cette
l'erreur
section d ' a n a l y s e r l e comportement
associée
à
cette
approximation
numé-
r i q u e e t nous cherchons un moyen de l ' e s t i m e r .
2.2.1 Démarche pour la résolution numérique e t s o u r c e s d ' e r r e u r .
Les
par
grandeurs 0
des combinaisons
et Y
sont
linéaires
de
approchées
fonctions
sur
de
la
base
surface
Ai
e t Bi
S
.
On a u r a a i n s i en un point Q de l a s u r f a c e S:
Les
fonctions
Ai
et
des
éléments
finis;
Bi
le
sont,
type
par
précis
exemple,
de
les
fonctions p o i d s
développement
utilisé
ne
joue aucun rôle d a n s notre raisonnement.
Certains
des
coefficients
a.
1
ou
bi
peuvent
ê t r e connus
a p r i o r i (CAL f i x é e s ) ; c e r t a i n s sont i n c o n n u s : pour l e s d é t e r m i n e r ,
nous
écrivons
dans
chaque
région
un
système
linéaire
du
type:
G(Q) +
- (-
Q
ds
Hon(Q)).G
[email protected](Pi)
A
=
'r
(2.11)
S
avec Pi€S'
(c
=
O
s i S' # S)
Nous considérons ici que 1 ' e r r e u r due à 1 ' approximation numérique
de
l'intégration
niques
quoi
est
négligeable
suffisamment
les
et
performantes
résultats
finaux
ne
il
faudra
pour
que
peuvent
utiliser
ce
soit
des
tech-
le cas
être corrects).
(sans
Par
contre
nous admettons deux sources d ' e r r e u r :
A
- Les développements
exemple,
ne
un
pourra
développement
pas
se
A
et
en
sont
Y
forcément
éléments
finis
à
superposer exactement
du
une
limités:
second
solution
par
ordre
sinuso-
.
ïdale: c ' e s t 1 ' e r r e u r de discrétisation
- La résolution du système l i n é a i r e 2.11 ne peut ê t r e numériquement
exacte.
C'est
en
face
de
cette
l ' e r r e u r commise s u r une intégration
erreur
numérique
que
doit ê t r e rendue négligeable.
Une conséquence de cette e r r e u r de résolution est que les dévelopA
A
pements
et
Y
finalement obtenus
ne
vérifieront
p a s rigoureu-
sement le système 2.11.
L'erreur
difficile
à
à
due
analyser
l'approximation
rigoureusement
et
de
la
nous
géométrie
ne
la
est
prenons
plus
pas
en compte. A une c e r t a i n e distance des f r o n t i è r e s , elle se comporte
comme les précédentes.
2.2.2 Valeur approchée d a n s 1 'espace d u potentiel et e r r e u r
réelle maximale.
A
Le
développement
approchée du potentiel,
Dans
le
volume,
nous
A
obtenue à p a r t i r de
@"(P) = I ( P )
que
nous
avons
mais il n ' e s t
notons
a*
noté
l'approximation
et de Y p a r l a q u a d r a t u r e :
)
une
valeur
défini que s u r l a frontière.
A
( P € v-s
est
du
potentiel
avec :
Le potentiel
d a n s v , l e potentiel d e s d i s t r i -
a i n s i défini e s t ,
@*
butions s u r f a c i q u e s :
11
obéit
à
donc
.
exacte @
l'équation
l'équation
La
différence
de
Laplace
de
-
( @
et
on
Laplace
obéit
@?)
peut
lui
tout
par
comme
la
solution
conséquent
appliquer
le
à
aussi
théorème
du
maximum:
"Les extréma de l ' e r r e u r sont s u r S"
Cela
de
peut
Dirichlet:
sembler
l'erreur
paradoxal
sur
la
dans
grandeur
(2.14)
le
cas
cherchée
d'un
problème
est
maximale
justement l à où cette g r a n d e u r e s t connue!
Dans
@
du
ce
potentiel
cas
est
du
problème
connue
développement
sur
..
la
de
Dirichlet,
surface
S et
la
valeur
exacte
e s t u t i l i s é e pour
construire
le
des é.i.f.
nous donne Y q u i e s t l i é à l a d é r i v é e normale d u poten-
..
t i e l : on p o u r r a i t
penser
@
q u i peut ê t r e e x a c t .
La résolution
q u e l ' e r r e u r s u r l e potentiel s e r a i t n u l l e
s u r l a frontière e t non n u l l e en dehors.
*
En r é a l i t é , s u r l a f r o n t i è r e ,
@
et @* ne sont p a s confondus.
Pour a p p l i q u e r 2.14, on doit en effet poser ( f i g . 9 ) :
@*(P )
=
lim I ( P )
P+P
s
s
Fig. 9
ce qui n ' e s t p a s t r i v i a l puisque 1 n ' e s t p a s continue à t r a v e r s S.
.
Cette limite est liée a u x valeurs de 1 et de
sant
@
:;
s par
@
s u r S: en définis-
analogie à 2.11:
on obtient 1 'expression :
a*
-
a
c.(@* - 0)
=
sur S
s
(2.18)
Exemple :
Déterminons l ' e r r e u r commise pour le problème de Dirichlet.
Le potentiel
imposé s u r S est @ et le développement @
choisi de
façon qu 'on a i t exactement:
.
@ =
L 'écriture
@
sur S
@
é. i. f .
des
et le potentiel
r e u r maximale
permet
de
déterminer
un
développement
est approché en tout point de v p a r
s u r ce potentiel
@*. L ' e r -
se trouve en un point de l a fron-
tière: elle peut donc être déterminée; on a u r a :
1
= F. ( @
@
- @*)
s
est une donnée du problème,
de S p a r
au $3.3.1.
2.16
et
2.13.
Une
pour un point réguli.er.
@"
peut ê t r e calculé en tout point
application
numérique
est
présentée
2.2.3 E r r e u r r é e l l e pondérée.
Les remarques du p a r a g r a p h e précédent permettent d e b o r n e r
l'erreur
commise
potentiel
est
sur
le
potentiel
lorsque
connue s u r l a f r o n t i è r e ,
la
valeur
c 'est-à-dire
exacte
du
seulement d a n s
-
l e c a s du problème d e Dirichlet. Dans l e s a u t r e s c a s , l a comparaison du développement @ a v e c l e potentiel i n t é g r a l
@:';
s u r S permet
une estimation d e 1 ' e r r e u r .
En effet, définissons l ' i n t é g r a l e :
1
(P )
erreur
= -
I
A
(@-
- b G
1
0)- - -(y- Y)G d s
bn
P
qui est 1 ' i n t é g r a l e 2.13 d e s e r r e u r s s u r l e s conditions a u x limites.
On a a l o r s :
e t , pour un point P
de l a s u r f a c e :
s
(
)
=
Ps
L'écart
2.21
est
lim
'erreur (Pl
P+PS
donc
bien
une
riiesure,
définie
par
l'intégrale
2.19, d e l ' e r r e u r s u r l e s v a l e u r s a u x limites.
Remarquons q u e l e système d i s c r é t i s é d ' é q u a t i o n s i n t é g r a l e s
d e f r o n t i è r e 2.11 e s t é q u i v a l e n t à :
1
(P.)
erreur i
=
O
si S ' f S
lim (I
(P.))
erreur i
P +Pi
ce
qui
montre,
comme
une méthode projective.
en
=
O
$2.1.2
,
Pi€S'
si S ' = S
que
la
,
Pi€S
,
méthode
[email protected]
intégrale
est
2.2.4
Commentaire.
Nous voyons maintenant mieux à quoi correspond l a solution
@*
donnée
chaque
de
les
domaine,
l'équation
d'interfaces
cisé
par
aux
équations intégrales de frontière: c ' e s t ,
une
combinaison
linéaire
ces
solutions
exactes
p h y s i q u e , choisie de façon à ce q u e l e s conditions
soient "au
paragraphes
mieux" v é r i f i é e s .
Ce "au
2.3.3
cela
et
2.3.4;
exemple q u ' o n a n n u l e a u t a n t d e "mesures"
sur
de
dans
conditions
d'interfaces
mieux" s e r a pré-
peut
signifier
par
1 e r r e u r (P ) de l ' e r r e u r
qu'on
dispose
de
degrés
de
1 i b e r t é d a n s 1 a combinaison 1 i n é a i r e .
Le
éléments
principe
finis
combinaison
est
linéaire
des
très
de
méthodes
variationnelles
différent:
@*
"fonctions
poids",
sont p a s solution d e 1 ' é q u a t i o n p h y s i q u e .
s'exprime
mais
associées
également
ces
aux
comme
fonctions
ne
CHOIX DE LA DISCRETISATION ET RESOLUTION
2.3
En
principe,
d e nombreux
pour
les
fonctions
développements
.
A
et
peuvent
convenir
Y (polynomes, s é r i e s de F o u r i e r , etc. )
et i l s ne sont p a s à r e j e t e r pour d e s a p p l i c a t i o n s p a r t i c u l i è r e s .
Pour
sager
il
les
lors
de
devient
des
la
complexes
conception
impossible
grandeurs
mation
géométries
logiciel
général
de r é s o l u t i o n ,
d e d i s s o c i e r ce problème d e l ' a p p r o x i m a t i o n
physiques
géométrique
d'un
e t v a r i é e s q u i sont à envi-
sur
la
frontière
de celui de l'approxi-
d e cette f r o n t i è r e . De p l u s ,
élaborés
de
résolution
des
méthodes
variationnelles
problèmes
existent
de
déjà,
des logiciels t r è s
champs
et
fondés s u r
utilisent
des
les
éléments
f i n i s i s o p a r a m é t r i q u e s pour l a d i s c r é t i s a t i o n numérique.
Notre
qui
choix
simplifiera
problèmes
non
s'est
le
ainsi
couplage
porté
-
sur
envisagé
ces
pour
éléments
la
finis,
résolution
ce
des
l i n é a i r e s - de l a méthode d e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s
d e frontière a v e c une méthode v a r i a t i o n n e l l e .
2.3.1 Expression d i s c r é t i s é e d e 1 'é.i.f.
Nous
finis
ne
nous é t e n d r o n s p a s s u r l a définition d e s éléments
isoparamétriques
amplement d é c r i t s p a r
ailleurs.
Nous a v o n s
choisi l ' o r d r e deux q u i e s t l ' o r d r e minimum permettant une description précise d e s s u r f a c e s courbes.
Dans
les
1'exempl e
grandeurs
chaque
élément
bidimensionnel,
géométriques
fini
défini
et
par
rappelons
physiques
l'abscisse
sont
seulement
que
approximées
sur
curviligne
à l ' a i d e des mêmes fonctions poids p a r a b o l i q u e s p . ( u ) :
1
u
E
1-1,lI
a v e c , toujours pour 1' o r d r e d e u x :
s i bien q u e , pour l e point P 1. ( x1. , y1. ) on a :
L 'expression d e 1 ' i n t é g r a l e 2.13 d i s c r é t i s é e e s t donc:
avec :
a
ki
S'
( P l =-
bGpk(u)
p i ( ~ ) An
J(u)du
-1
k : i n d i c e s u r l e s éléments f i n i s de S
i : i n d i c e s u r l e s fonctions poids p
i
J ( u ): Jacobien d u changement de v a r i a b l e ( d s = J ( u ) d u )
Les
triques
coefficients
et
dépendent
a
( P ) et bki ( P ) sont purement géoméki
du point P où est calculée l ' i n t é g r a l e 1,
de l'élément k parcouru et de l a fonction poids i considérée.
Remarquons que:
où R ( P ) est l ' a n g l e sous lequel le point P voit 1 'élément k .
k
Ces coefficients
sont
déterminés
numériquement p a r
méthode d ' i n t é g r a t i o n numérique de Gauss
2.3.2
1
9
la
1.
Choix de l a surface S' où seront é c r i t e s l e s é.i.f.
Deux choix
sont
possibles
pour l a surface S'
s u r laquelle
sont centrés les noyaux de l'équation i n t é g r a l e (cf. $ 2 . 1 . 2 ) :
- S' hors du volume v , séparée de l a surface d ' i n t é g r a t i o n
S de ce volume ( f i g . 1 0 ) .
Fig. 10
Dans ce c a s l e point P ,
n ' e s t à aucun
gration.
Le
centre des noyaux G et G ' = bG/bn
moment confondu avec le point courant Q de l ' i n t é -
même
algorithme
simple
de
calcul
des
coefficients
et bki pourra ê t r e utilisé pour l ' i n t é g r a t i o n s u r toute l a
ki
s u r f a c e S et à p a r t i r de tout point P de S' ( à condition toutefois
a
que
P
ne
soit
pas
"trop proche"
de S: l a variation
très rapide
d e s i n t é g r a n t s a u p a s s a g e d u point c o u r a n t Q p r è s d e P c o n d u i r a i t
à des imprécisions i n a d m i s s i b l e s de l ' i n t é g r a t i o n
proximité
est
définie
à
la
taille
nécessaire
de
définir
relativement
numérique.
des
Cette
éléments
finis
d é f i n i s s a n t SI.
Il
est
par
contre
une
surface
S',
ce q u i peut r e p r é s e n t e r un t r a v a i l supplémentaire important. difficilement a u t o m a t i s a b l e .
- S' confondue avec S ( f i g . 1 1 ) .
v (é.i.f.1
Fig. 11
11
P,
le
n'y
centres
contre
Fig. 12
a
plus
des
noyaux
développer
calcul
des
aucune
des
de
difficulté
l'équation
ak
k contient l e point P .
p(
et
régulière.
intégrale;
points
faudra
particuliers
par
pour
pi G
pi G ' sont
et
a l o r s que l ' i n t é g r a l e e s t , bien
1 ' exemple
présen tons
Nous
il
les
(6s. 2.28) l o r s q u e l ' é l é m e n t
En e f f e t , l e s n o y a u x
s i n g u l i e r s lorsque Q tend v e r s P ,
entendu,
définir
d ' intégration
a l gorithmes
coefficients
pour
axisymétrique
au
$3.2.2.
Nous
La
avons
première
programme
pour
pourrait
de calcul
tionnelle
(fig.
12):
équations
intégrales
notre
être
part
choisi
envisagée
pour
cette
seconde
alléger
solution.
l'ensemble
du
l o r s d ' u n c o u p l a g e a v e c une méthode v a r i a la
le
région
serait
extérieure
au
volume
traité
par
p a r éléments f i n i s , ce q u i permet-
t r a i t de d é f i n i r t r è s simplement l e s points P.
2.3.3 Résolution p a r l a méthode d i r e c t e (corrélation p a r p o i n t ) .
La méthode de résolution
d i t e "directe"
p a r points" e s t celle suggérée a u 52.2.1
ficients
ou Y.
@.
1
1
(éq. 2 . 1 1 :
inconnus, on é c r i t N é q u a t i o n s :
structure
générale
de
la
matrice
pour
l a topologie de l a f i g u r e 13 e s t celle de l a f i g u r e
ce
n'est
pas
pour N coef-
de S , p a r exemple a u x noeuds d u maillage.
en N points Pi
La
ou " p a r corrélation
symétrique,
et
est
entièrement
l'exemple
de
14. Cette matri-
pleine
lorsqu'il
n'y
a qu'une interface.
Fig. 15: sous d i a g o n a l e
dominan te.
2.11
E l le
est
écrite
au
raison
de
la
Fig. 14: Forme de l a matrice.
heureusement
point
Pi
décroissance
assez
donne
en
un
l/r
1 'équation et l a décroissance en l / r
l e même e f f e t pour
bien
conditionnée:
f a c t e u r dominant
de
G;
1 'équation
pour
Y. en
1
le membre de d r o i t e de
du f a c t e u r
bG/d
n produisent
ai. Chaque sous-matrice a donc des sous-diago-
n a l e s dominantes ( f i g . 1 5 ) .
La
résolution
triangularisation
elle-même
de
Gauss
du
avec
système
test
linéaire
de
pivots
se
et
fait
par
substitution
inverse.
2.3.4
Résolution p a r une méthode projective.
Au
lieu
N é q u a t i o n s 2.30
d'écrire
pour déterminer directe-
ment l e s N inconnues, on peut é c r i r e :
pour
N
fonctions
s i les fonctions
W.
1
c ' e s t l a méthode d e projection
sont l e s fonctions poids p .
W.
1
de
l'intégrale
2.31
d e Galerkin
définies a u $2.3.1.
1
L' estimation
@*
-'
nécessite
le
calcul
de
en p l u s de N points P de S , p a r exemple en 4 points de Gauss
par
de
élément,
la
ce
matrice.
qui
Pour
revient
une
à
doubler
discrétisation
r é s u l t a t s peut ê t r e a i n s i améliorée
119
le
temps
donnée,
la
d'assemblage
qualité
des
1.
La méthode i n t é g r a l e é t a n t elle-même
une méthode p r o j e c t i v e ,
i l peut p a r a i t r e c u r i e u x de procéder a i n s i à une seconde projection.
Pour
expliquer
1 ' intérêt
de
cette
procédure,
calculons
q u a d r a t i q u e moyenne :
et minimisons l a p a r r a p p o r t à un coefficient
'ki
'
1' e r r e u r
ce q u i correspond à une projection s u r l a fonction:
aki' voir
k : N o de l ' é l é m e n t correspondant a u coefficient d u potentiel p a r r a p p o r t a u q u e l on minimise
t
2
.
k ' : N o d e l ' é l é m e n t s u r lequel s e trouve l e point P k , q u i
e s t l e point c o u r a n t d e l a fonction d e projection.
Cette
du
fonction
maillage,
est
prépondérante
el l e
correspond
sur
aux
l'élément
coefficients
k;
du
aux
noeuds
potentiel
dans
l a matrice d e l a méthode d i r e c t e , c e q u i e s t conforme à l a théorie
de
la
résolution
des
systèmes l i n é a i r e s surdéterminés p a r l a mé-
thode d e s moindres c a r r é s . Elle peut ê t r e développée avec précision
à 1 ' a i d e d e s fonctions p :
i , j: N o des fonctions poids p .
Si on
la
nullité
aussi
sur
résoud
de
la
toute
2.31
par
projection
combinaison
la
sur
à
approximation
chaque
linéaire
l i e r s u r l ' e x p r e s s i o n 2.35 d e w
ki '
La méthode de projection
première
méthode d e G a l e r k i n ,
de
minimiser
fonction
de ces
on impose
poids
fonctions,
Galerkin
l'écart
revient
p,
dcnc
en p a r t i ainsi
quadratique
en
moyen
A
e n t r e l e développement
que
1 ' amélioration
de
@
e t l e potentiel i n t é g r a l
résultats
constatée :
on
@*
c e q u i expli-
n ' annule
plus
le
A
terme
@*-
@
en
certains
points
prédéterminés
(ce qui
ne
limite
p a s les osci.llations d e c e t t e g r a n d e u r ) mais on minimise s e s oscill a t i o n s a u t o u r de zéro.
52.3.2
Au
en
des
nous
points
Pi
de
a v i o n s choisi
S,
sans
d'écrire
autre
1'équation
précision.
Il
intégrale
est
clair
l e s solutions obtenues dépendent d u choix des points Pi
doit
exister
un
choix
optimal
pour
une
que
et q u ' i l
discrétisation
donnée.
La méthode de Galerkin conduit indirectement à ce choix optimal,
a u p r i x d ' u n t r a v a i l d ' a s s e m b l a g e a u moins deux fois p l u s import a n t que c e l u i de l a méthode d i r e c t e .
L ' expérience
montré
que
les
des
solutions
des points Pi
position
résolutions
effectuées
obtenues
sont
des é q u a t i o n s ,
assez régulièrement r é p a r t i s
très
j u s q u ' ici
peu
nous
a
à
la
sensibles
d a n s l a mesure où i l s sont
s u r les interfaces
( c e q u i e s t néces-
s a i r e pour o b t e n i r un bon conditionnement d e l a m a t r i c e ) s a u f à proximité
des
méthode
points
mixte
frontières et
de
anguleux:
nous
résolution,
envisageons
directe
p a r méthode projective
sur
les
pour
l'avenir
parties
de Galerkin
sur
lisses
les
une
des
éléments
contenant un point a n g u l e u x .
2.3.5 Arêtes e t points a n g u l e u x .
Aux
côniques
la
points
en
fonction
continue.
On
géométriquement
tridimensionnel,
Y liée
points
singuliers :
anguleux
arêtes
en
et
points
bidimensionnel,
à une dérivée normale d u potentiel
n'est
pas
définit donc une v a l e u r limite de Y en un tel point
p a r élément f i n i concerné ( f i g . 1 6 ) .
Fig. 16
Nous
même
en
possible
seuls
utilisant
de
la
résoudre
noeuds
contenter
des
introduisons
du
de
là
méthode
1 'équation
mieux
inconnues
est
supplémentaires:
( $ 2 . 3 . 3 ) , il
directe
Il
de
ne
1 'équation
sera
plus
intégrale
théoriquement
possible
aux
de
se
supplémentaire nécessaire entre deux
ce maillage,
numériquement
des
1 'écriture
par
maillage.
d'écrire
noeuds
par
mais
on
conditionné
en
obtient
un
système l i n é a i r e
répartissant
régulièrement
les points des équations ( f i g . 1 7 ) .
Point de discrétisation
I
I
Point d'équation
Fig. 17: Ecriture d ' u n e équation
supplémentaire d a n s 1' angle.
Fig. 18: Fonction de projection
dédoublée d a n s l ' a n g l e .
Si l a méthode projective ($2.3.4) est utilisée pour l a résolution, 1 'équation supplémentaire e s t obtenue en dédoublant l a fonction de projection w au point singulier ( f i g . 1 8 ) .
Ces considérations, pour t r i v i a l e s q u ' e l l e s puissent p a r a i t r e
n'en
sont
lisses
mi
pas
sans
et Y!
1
en
moins
originales:
condition
chaque
aux
noeud
pour
limites,
Pi
du
les
nous
à
frontières
deux
inconnues
problèmes
avons
,
maillage en éléments finis des
interfaces. Chaque noeud a p p a r t e n a n t à deux régions, i l est possible
d'y
écrire
deux
équations
intégrales
différentes,
et
ainsi
qui
fonc-
de résoudre le problème.
Cette
correspondance
noeuds-inconnues-équations
tionne très bien sauf en présence de points géométriquement singuliers,
a introduit d a n s l ' e s p r i t de quelques a u t e u r s une confusion
certaine;
lorsqu'ils
désespérément
par
de
de
"petits"
introduisent des points s i n g u l i e r s , i l s tentent
conserver
éléments
cette correspondance:
finis,
définition
d'une
angles
arrondis
normale moyenne
dans
1' a n g l e ,
définition
à l a place d u coin
de deux points géométriquement "proches"
1,
13
traitement
de
la
variable
discontinue
p a r éléments f i n i s d ' o r d r e zéro ( 5 1, e t c . .
côté
A
Y
de
, à laquelle
cette
nous
question
pensons
relative
avoir
à
la
apporté
discontinuité
une
réponse
de
raison-
demeure un problème l i é à l a p h y s i q u e d e s a n g l e s diélec-
nable,
triques
(conducteurs,
devient
en
théorie
à
la
infini
limite)
1
ou
Vol.
6
2,
magnétiques:
.
préface1
le
champ
y
L'approximation
de Y p a r un segment p a r a b o l i q u e ne peut c o n d u i r e à une solution
qualité
à
proximité
intéressant
-
en
d'excellente
s'avérer
teurs
de
d u type
,
l'électrostatique
4
' .
1
1
r
Vol.
immédiate
particulier
pour
de
l'angle
les
et
i l peut
problèmes conduc-
- d ' i n t r o d u i r e un développement s p é c i a l
2,
1 , 256) comme fonction poids complé-
mentaire ( f i g . 1 9 ) .
Fig. 19
2.3.6 Le f a c t e u r a n g u l a i r e "c" d e l ' é q u a t i o n i n t é g r a l e .
Ce
facteur intervient
1.55 e t e s t d é f i n i
( a n g l e solide
des
S:
noyaux
en
de
en
dès
l'écriture
1.56 e t 2.8;
tridimensionnel)
l'intégrale
2.13,
s i P e s t un point r é g u l i e r
il
sous
voit
d e l ' i d e n t i t é de Green
e s t proportionnel
lequel
la
le
point
surface
de S, c v a u t
volume correspondant à c e t t e s u r f a c e , c v a u t 1.
4;
à l'angle
P,
centre
d'intégration
s i P est dans le
Numériquement, c peut ê t r e é v a l u é à p a r t i r de 2.29:
en
sommant
des
coefficients
qui
doivent
être
de
toutes
façons
calculés.
Mais
pourquoi
calculer
un
coefficient
dont
on
connait
la
v a l e u r ? C ' e s t i n t é r e s s a n t pour l e s r a i s o n s s u i v a n t e s :
-
lorsqu'une
équation
est
écrite
en
un
point
singulier
de l a f r o n t i è r e , l ' a n g l e solide n ' y e s t p a s connu a p r i o r i ;
aux
-
courbes,
tion
des
éléments
a p p a r a î t en g é n é r a l de "faux"
il
de ces
facteur
points-extrémités
c
éléments:
l e u r compensation
correspondant
non
pas
à
la
finis
points
par
le c a l c u l
frontière
sa
exact
réelle
mais
du
à
de façon déci-
( f i g . 20).
1121
-
frontières
a n g u l e u x , jonc-
s a représentation d i s c r é t i s é e améliore l e s r é s u l t a t s
sive
de
le
valeur
facteur
cl
théorique
numériquement
est
connue,
peut
calculé
être
en
des
points
où
considéré
comme
un
f a c t e u r de q u a l i t é d e l ' i n t é g r a t i o n numérique ($2.4.2-3.3.1,
Erreur maximale
sur .
..
c = 4 pour chaque
équation :
113
1 ).
c calculé d ' a p r è s
l ' é q u a t i o n 2.36:
le potentiel :
1.6 %
0.04 %
1 'induction
normale :
8.8 %
0.1 %
Fig. 20: Correction des "faux" points a n g u l e u x .
Sphère magnétique d a n s un champ uniforme; représentation axisymétrique p a r
4 éléments f i n i s d u second o r d r e .
Terminons
ce
facteur
par
angulaire:
une
remarque
Pour
chaque
illustrant
région
l'importance
intérieure,
le
de
système
l i n é a i r e 2.30 s e met sous l a forme p l u s d é t a i l l é e :
où A , B , e t C sont d e s matrices.
En
est.
chacun
une
matrice
diagonale
dont
particulier,
des
d'après
termes
est
2.36, C
égal
à
l a 'somme des termes c o r r e s p o n d a n t s de A .
La
matrice
(A-C)
e s t donc s i n g u l i è r e ,
son
noyau
( a u sens
de l ' a l g è b r e l i n é a i r e ) c o r r e s p o n d a n t à un potentiel c o n s t a n t s u r S c e
qui
est
conforme à l a r é a l i t é :
e s t d é f i n i à un potentiel
un problème de Neumann
intérieur
c o n s t a n t p r è s q u ' o n peut f i x e r a r b i t r a i -
rement.
Pour
de
c
le
à
liée
problème
la
extérieur,
fixation
du
la
potentiel
définition
à
particulière
2.8
zéro à l ' i n f i n i , conduit
à des problèmes de Neumann bien d é f i n i s .
Nous venons d ' é t u d i e r d a n s c e t t e section 2.3 l e s p r i n c i p a u x
problèmes
rencontrés
équations intégrales
lors
de
de
la
frontière
résol.ution
de
par
la
méthode
l ' é q u a t i o n d e Laplace.
A
résolution
en
qui
général
conduisant
fournit
qu'une
aux
les
fonctions
première
grandeurs
étape
utiles
consacrée à cette seconde é t a p e .
surfaciques
suivie
cherchées:
Cette
A
et
@
d'une
la
des
Y
ne s e r a
"exploitation"
section
2.4
est
EXPLOITATION DES RESULTATS
2.4
La différence de p r i n c i p e des mgthodes i n t é g r a l e s en v a r i a tionnelles se retrouve a u niveau de l ' e x p l o i t a t i o n d e s r é s u l t a t s .
L'utilisation
des problèmes
de
finis
le
de
tout
physique
des méthodes v a r i a t i o n n e l l e s
champs
nécessite
la
domaine
d'étude:
après
correspondante
d'isovaleurs
est
est
connue
élémentaire,
en
pour l a résolution
d i s c r é t i s a t i o n p a r éléments
résolution,
chaque
spectaculaire
point
et
la
et
souvent
grandeur
le
tracé
rassurant
q u a n t à l a q u a l i t é de l a solution; il n ' e s t que rarement u t i l e .
En
premier
points
peu
méthode
temps
avant
sur
nécessite
réaliste
tout
intégrale,
le
au
les
un
calcul
solution
interfaces.
travail
tracé
la
Sa
obtenue
détermination
supplémentaire
systématique
des
est
grandeurs
utiles
en
important
d'isovaleurs:
du
on
type
dans
un
d'autres
qui
rend
s'attachera
champ
aux
points c r i t i q u e s , f l u x , c h a r g e , force.
2.4.1 Calcul d u potentiel e t d u champ en dehors d e s i n t e r f a c e s .
Le potentiel en un point P n ' a p p a r t e n a n t p a s a u x i n t e r f a c e s
e s t donné p a r l a q u a d r a t u r e 2.12:
l'expression
de c a l c u l
est
donc
discrétisée
de
1 étant
donnée p a r 2.27.
La q u a n t i t é
nécessaire à l a détermination d u potentiel en un
la
même
que
pour
la
construction
d'une
ligne
point
de
la
matrice de résolution p a r l a méthode d i r e c t e ( $ 2 . 3 . 3 ) .
Le champ i n d u i t en ce point P , correspondant à cette approximation O* d u potentiel e s t donnée p a r l ' é q u a t i o n 1.32:
et on a
une expression
d i s c r é t i s é e est
du
même
semblable pour l ' é l e c t r o s t a t i q u e .
type
que
celle ( 2 . 2 7 )
La forme
d u potentiel
11 1.
On a p a r exemple, pour une direction m donnée:
avec :
en
bidimensionnel
sionnel
plan
et
des
formules comparables
en tridimen-
1I 1.
Cette
possibilité
de
déterminer
le
potentiel
et
le
champ
approchés en un point quelconque du volume v p a r une i n t é g r a t i o n
s u r s a s u r f a c e S peut ê t r e a p p l i q u é e a u t r a c é d ' u n e l i g n e équipotentielle:
l e s procédés de t r a c é h a b i t u e l s
du volume et sont i n u t i l i s a b l e s i c i .
sont l i é s à un m a i l l a g e
Nous proposons une méthode p a s à p a s d a n s l e p l a n i l l u s trée p a r l a figure 21.
Fig. 21: Principe d u t r a c é d ' une équipotentielle.
-Po e s t l e point de d é p a r t ,
- l e potentiel e t l e champ sont c a l c u l é s en P
1;
- u n e correction l i n é a i r e donne P ' s u r l a l i g n e ;
1
- s i n é c e s s a i r e , une seconde correction ( q u a d r a tique) est calculée,
-etc.,
2.4.2
pas à pas.
Cas d ' u n point "proche" d ' u n e frontière.
Lorsque le point P e s t proche de l a f r o n t i è r e , l e s i n t é g r a n t s
G,
bG/ bn,
du
point
r (b G / bn) v a r i e n t t r è s rapidement a u p a s s a g e
CG et
courant
s a précision.
Q
près
Nous l ' a v i o n s
de
P
et
l'intégration
d é j à s i g n a l é a u 52.3.2
numérique
perd
dans le cadre
de l a construction d u système l i n é a i r e d ' é . i . f . .
Cette
divergence
numérique
n'est
pas
gênante
dans
la
mesure où le c a l c u l du f a c t e u r de q u a l i t é de l ' i n t é g r a t i o n numérique,
c , permet d ' e n ê t r e a v e r t i
(exemple numérique a u 53.3.1) :
l e s g r a n d e u r s physiques seront déterminées en ce point p a r i n t e r polation
plus
entre
éloigné
s a qualité.
l e s v a l e u r s s u r l a f r o n t i è r e e t c e l l e s en un point
pour
lequel
l'intégration
numérique
aura
retrouvé
2.4.3 Point s u r une f r o n t i è r e .
Sur
la
A
frontière,
deux
grandeurs
approchent
1.e potentiel:
A
et
a*.
nous
le
é t a n t connu d è s q u e le système d l é . i . f .
choisissons
comme
potentiel
approché
sur
est résolu,
la
frontière.
A
a"--(et
Rappelons que le c a l c u l d e
s a comparaison
avec
@) permet
l ' e s t i m a t i o n de l ' e r r e c r ($92.2.2-2.2.3).
Les
mêmes
remarques
s'appliquent
au
calcul
du
champ
s u r l a f r o n t i è r e : l ' a p p r o x i m a t i o n l a p l u s simple e s t :
11 s e r a i t également possible de r e c h e r c h e r
l e s limites de -'i'@*(P)
lorsque l e point P tend v e r s l a s u r f a c e S. Les e x p r e s s i o n s a n a l y t i q u e s e t l e s algorithmes de c a l c u l
a s s o c i é s sont d ' u n e r a r e com-
p l e x i t é , l e u r mise en o e u v r e n ' e s t g u è r e j u s t i f i é e .
2.4.4
Grandeurs globales.
Le c a l t u l d ' u n f l u x à t r a v e r s une s u r f a c e A e s t p a r t i c u l i è 1
rement
simple
lorsque
A
fait
partie
des
frontières
définissant
l e problème: i l s u f f i t d a n s ce c a s d ' i n t é g r e r l a v a r i a b l e Y :
Si
kA
A
est
éléments
en
finis;
dehors des frontières,
nous
calculerons
le
nous l a d é f i n i r o n s p a r
champ
total
normal
en
chacun d e s p o i n t s d e d i s c r é t i s a t i o n e t nous a p p l i q u e r o n s 1 a formule
ci-dessus.
Le t e n s e u r d e Maxwell
ou
le
couple
s'exerçant
sur
1
7
un
; 11
1
permet d e c a l c u l e r l a force
volume
par
une
intégrale
des
g r a n d e u r s s u r f a c i q u e s . Les composantes d u t e n s e u r sont:
Tmn
p(HnHm
=
'mn H ~ )
-
pour l e magnétisme e t
(2.44)
T
mn
((EnEm -
=
La composante F
l'extérieur
non
p o u r 1' é l e c t r o s t a t i q u e .
de l a force v a u t :
H sont respectivement l a perméabilité e t l e champ en s u r f a c e ,
p et
à
m
'mn E ~ )
2
linéaire,
problème
du
volume.
était
extérieur
pourrait
La
Ainsi,
résolu
par
par
méthode
même
une
si
le
méthode
intégrale,
le
problème
intérieur,
variationnelle
tenseur
de
et
le
Maxwell
ê t r e u t i l i s é pour déterminer 1 a force.
forme d i s c r é t i s é e d e s e x p r e s s i o n s 2.44 e t 2.45 e s t donnée
p a r B. Ancelle d a n s
1
I
1.
Soulignons pour conclure c e t t e section consacrée à 1 'exploitation
des
résultats
c'est-à-dire:
une
partie
force
de
que
sur
les
une
grandeurs
région,
globales
flux
les
plus
d'induction
à
utiles,
travers
f r o n t i è r e ( q u i permet de c a l c u l e r une i n d u c t a n c e ) ,
flux d u déplacement é l e c t r i q u e
( q u i permet d e c a l c u l e r l a c h a r g e ,
et donc l e s c a p a c i t é s ) sont c a l c u l é e s à p a r t i r de l a solution s u r
les
frontières
obtenue
i n t é g r a l e s de f r o n t i è r e .
directement
par
la
méthode
des
équations
2.5
La
façon
originale
CONCLUSION
avec
laquelle
nous
avons
abordé dans
ce c h a p i t r e l a méthode d e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s de f r o n t i è r e nous
a
permis
de
d'établir
Laplace
des
erreurs
avec
une
la
bidimensionnel l e .
introduites
méthode
apporté
et
de
point
de
quelque
du
proche
l a méthode d e s r é s e a u x
D'un
condition
16
vue
Nous
fait
de
du
avons
celle
moins
système
la
de
Vol. 3, 1 (
clarification
résolution
d'équivalence
ensuite
avec
abordé
discrétisation
utilisée
par
1' é q u a t i o n
E.
1 ' étude
numérique,
Durand
pour
.
théorique,
sur
les
nous
méthodes
d ' équations
espérons
avoir
de
construction
intégrales
discrétisées:
s u r q u e l l e s s u r f a c e s é c r i r e l e s é q u a t i o n s e t comment l e s r é p a r t i r ;
qu ' a t t e n d r e
aborder
les
d ' une
méthode
singularités
projective
pour
géométriques;
1a
résolution ; comment
comment
compenser
les
e r r e u r s i n t r o d u i t e s p a r l e s "faux" points a n g u l e u x d u s à l a discrétisation
géométrique; comment estimer l a précision
numérique; e t c . .
de l'intégration
.
Nous pensons enfin a v o i r montré que l e f a i t que l a solution
ne
soit
connue,
d a n s un
premier
temps,
que
s u r les interfaces,
n ' e s t p a s un réel h a n d i c a p pour l ' o b t e n t i o n d e g r a n d e u r s g l o b a l e s .
3
C H A P I T R E
FORMULATION EN AXISYMETRIE DE LA METHODE D'E. 1 .F.
TIREE DE L'IDENTITE DE GREEN
La
résolution
des
problèmes
axisymétriques
à
intéresse
1 ' évidence 1 ' électrotechnicien q u i u t i l i s e quotidiennement des dispositifs
est
dont
un
premier
axisymétrique:
de h a u t - p a r l e u r
et
diverses
modèle,
et
même
parfois
un
bon
modèle,
p a r exemple c e r t a i n s c o n t a c t e u r s ou un
pour le magnétisme,
des i s o l a t e u r s ,
d ' appareillages
parties
haute
tension
moteur
des éclateurs
pour
1 'électro-
statique.
D'un
objet
les
point
tridimensionnel
problèmes
s'affranchit
s a n s pour
il
autre
doit
obtenus
le
vue,
exactement
associés
ainsi
de
des
un
axisymétrique
descriptible
intéressent
difficultés
objet
donc
de
dans
aussi
le
pourront
pour
les
servir
de
problèmes
dits
t e s t s de v a l i d a t i o n
qui
dans l'espace
a priori,
"plans".
un
demi-plan:
théoricien
représentation
a u t a n t f a i r e d ' a p p r o x i m a t i o n physique
faire
un
est
Les
comme
résultats
pour l e s méthodes
de résolution tridimensionnelles actuellement en développement.
3.1
METHODE
Considérons un problème axisymétrique quelconque et plaçonsnous
d a n s un
système de
coordonnées
cylindriques
,
, ,
dont
l ' a x e est l ' a x e de symétrie d u problème ( f i g . 22, p a g e s u i v a n t e ) .
I
Fig. 22: Problème axisymétrique typique.
La géométrie et l e s sources é t a n t axisymétriques, les g r a n deurs physiques
8.
Par
dérivée
contre,
normale,
et
la
[email protected]/bn (ou Y ) sont indépendantes de l ' a n g l e
fonction
qui
de Green
sont
dépendent de cet angle:
R
les
=
L ' i n t é g r a l e de 1 ' é . i . f .
centrée en P , Gp (Q) et s a
"noyaux"
des é . i . f .
PQ v a r i e avec
8
1.58
et
1.63
pour r et z fixés.
porte s u r ds=dc d l .
et
h a / hn ne
dépendant p a s de l ' a n g l e 8 on a u r a :
Ainsi,
en
"préintégrant"
les noyaux s u r les cercles C on obtient
1 ' expression des é . i . f . en axisymétrie:
avec :
Le
problème
passant
par
frontières
axisymétrique
l'axe
de
curvilignes
est
entièrement
symétrie;
L
ainsi
défini
l'intégration
définies.
par
3.2
une coupe
porte
L'expression
sur
3.2
les
obtenue
pour les équations i n t é g r a l e s de frontière en axisymétrie est comparable
aux
expressions
tri-
et
bidimensionnelles:
on
n'a
fait
que remplacer l e s noyaux h a b i t u e l s p a r l e s noyaux G
du
point
de
vue
théorique,
la
différence
est q u ' o n n ' a p a s l ' é g a l i t é e n t r e bGax/bn
3.2
et G i x
.
DETERMINATION DES NOYAUX ET INTEGRATION
L'expression
de 1 ' é . i . f .
la
et Gax ;
ax
p l u s remarquable
3.3
des
noyaux
de
la
forme
axisymétrique
n ' e s t p a s s a t i s f a i s a n t e c a r e l l e suppose une description
tridimensionnelle
de 1 a géométrie.
Nous allons donc r é a l i s e r a n a l y -
tiquement l e s i n t é g r a t i o n s s u r l e s cercles C.
3.2.1 Calcul des noyaux G
L'analogie
d'une
charge
entre
ponctuelle
ax
la
et G i x .
fonction
est,
à
la
de
Green
dimension
G
et
près,
le
potentiel
évidente.
e s t donc analogue a u c a l c u l du potentiel
ax
distribution linéique uniforme de c h a r g e s s u r un cercle.
calcul
de G
Le
d'une
Ce r é s u l t a t e s t c l a s s i q u e
K est
espèce
donc
1.
19
la
fonction
16
intégrale
Vol. 1 , IV, 2021, on o b t i e n t :
elliptique
complète
de
première
p , R et D sont définis en f i g u r e 23.
+
Fig. 23
Le
calcul
de G a x
à
de G
quoiqu'il
a2
encore p l u s f a s t i d i e u x ; le r é s u l t a t e s t l e s u i v a n t :
G'
ax
E e s t donc
espèce
1
9
=
ressemble
celui
C O S a'
~ ( k +~Dcos
) a - 2Rcos(a- Y ) E ( k 2 )
2 D
2 D ' ~
la
1 .a , Y
fonction
intégrale
elliptique
complète
et D' sont définis en f i g u r e 23.
soit
(3.7)
de deuxième
Les
La
singularité
cours
K
fonctions
K
de
pour
d'intégration,
des noyaux G
E ont
et
du
k2
point
=
l'allure
présentée en
1 correspond
courant
à
la
figure 24.
confusion,
avec l e point P ,
Q
en
centre
ax
Fig. 24: a l l u r e d e s fonctions Ket E.
3.2.2
Intégrations singulières.
Dans
é.i.f.
le
les
méthode
intégrale
que
nous
avons
choisie,
les
sont é c r i t e s avec PEL ( $ 2 . 3 . 2 ) . En cours d ' i n t é g r a t i o n ,
3.2
point
la
courant Q
se trouvera
donc
une
fois confondu
avec P ;
noyaux
G
et G '
tendent a l o r s v e r s l ' i n f i n i . L ' i n t é g r a l e
ax
ax
de surface 3 . 2 converge cependant p u i s q u ' e l l e v a u t c . @ ( P ) .
Cette situation e s t b a n a l e , p a r exemple:
lim ln(r)
r+O
= -03
et
!
In(r)dr
=
-1
O
mais
il
est
nécessaire
de
prendre
des
précautions
a u n i v e a u de
1 ' intégration numérique.
On montre (
c'est-à-dire
que
9
la
1
que:
s i n g u l a r i t é de K
est
du
type
logarithmique.
Il
existe
heureusement
une
formule
de
Gauss
pour
l'intégration
numérique des fonctions présentant une telle s i n g u l a r i t é
où
les poids et abscisses de Gauss,
1
1
9
:
et x. , sont donnés p a r
W.
l
I
une table pour chaque n .
L ' application
nécessite
de
"l'extraction"
cette
du
méthode
logarithme
d ' intégration
de
qui est rendu possible p a r l e développement
l'intégrant
19
numérique
de
3.2
ce
K
peuvent
3.7
de G&
( :
c<2 1 0 - ~pour N = 4
a
Les
et bi sont tabulés.
i
singularités
des
intégrants
à
dues
la
fonction
a i n s i être intégrées.
La
lorsque
limite
le
point
indéterminée
du
facteur
courant
Q
de
tend
Le calcul
02/02
p a s de problème à p a r t i r
E
dans
vers
P
analytique
l'expression
apparait
de
cette
sous
limite
la
ne
forme
pose
des expressions de toutes les g r a n d e u r s
géométriques en fonction du paramètre u des éléments finis.
3.2.3 Noyaux pour le calcul du champ.
Comme
en un
nous
l'avons
montré
au
$2.4.1,
le
champ
induit
point P n ' a p p a r t e n a n t p a s a u x interfaces peut être calculé
p a r intégration de
Q,
et Y s u r l a frontière de s a région:
1
ce
qui
nécessite
le
calcul
d e s noyaux vectoriels
Avec beaucoup de p e r s é v é r a n c e , on obtient
dGax
d~
-- -
COSÛ.
2.R
. -dGax
dp
(13
1
:
CGax
'
et
VGax.
Notons
que
toutes
ces
expressions
fonctions elliptiques K et E que G
Lorsque
procédons
le
point
comme
P
A
à p a r t i r des fonctions
et
des
mêmes
et GAx.
à
appartient
$2.4.3
au
ax
dépendent
une
calculons
frontière
le
champ
L,
nous
directement
A
et Y (équation 2.42).
0,
3.2.4 Calcul numérique.
L 'intégration
calcul
des
numérique
intégrales
pour
3.2
l'équation
2.28
associées
2.28
sont
aux
noyaux
revient
au
axisymétriques
3.4 et 3 . 7 .
Les
Gauss:
intégrales
méthode
l'élément
sur
k
normale
calculées
lorsque
lequel
porte
le
point
par
P
l'intégration,
une
méthode
n'appartient
méthode
pas
de
à
spéciale
de
évaluer
un
l'équation 3.10 lorsque P a p p a r t i e n t à cet élément.
Les
intégrants
3.2
1'é.i.f.
de
sont
donc
à
t r è s g r a n d nombre de fois, p a r exemple en 4 ou 6 points de Gauss
par
élément
fini
de
discrétisation;
il
est
donc
indispensable
de
minimiser l a durée de leur calcul.
Nous
K et E en
k2
avons tabulé
avec précision
les intégrales elliptiques
101 points correspondants à la variation du paramètre
entre O et 1 ; nous interpolons entre ces v a l e u r s tabulées pour
améliorer
la précision.
Pour k
2
E
K est calculé à l ' a i d e
1.99,1.[
du développement 3.11, beaucoup plus long à mettre en oeuvre.
Les résultats
de cette section 3 . 2
et les techniques présen-
tées au chapitre 2 ont permis l a réalisation d ' u n programme d ' o r d i nateur pour l a résolution des problèmes axisymétriques de champs,
par
la
l'identité
méthode
de
des
Green.
équations
A
la
intégrales
section
de
suivante,
frontières
nous
résultats de validation pour ce programme PHIAX.
tirée
présentons
de
les
3.3
La
blèmes
validation
dont
palement
la
de
RESULTATS DE VALIDATION
des
solution
résultats
analytique
est
réalisée
e s t connue.
à
partir
de pro-
11 s ' a g i t princi-
l a sphère diélectrique ou magnétique d a n s un champ
d'excitation uniforme,
de l a sphère creuse,
ou de géométries plus
compliquées mais à permittivité ou perméabilité relatives u n i t a i r e s .
3.3.1 Sphère conductrice chargée d a n s l ' e s p a c e infini.
Il
est
s ' a g i t d ' u n problème de Dirichlet extérieur:
imposé
et à V
à
zéro
à
l'infini
par
la
méthode
le potentiel
elle-même
(52.1.3)
s u r l a shère p a r les données ( f i g . 2 5 ) .
O
l
Fig. 25
La
trique
de
méthode
normal
charge;
intégrale
donne comme solution
à l a surface de l a sphère,
le potentiel
approché
0"
et
le champ élec-
c'est-à-dire
le
champ
l a densité
électrique
E;k
peuvent ensuite etre calculés en tout point de l ' e s p a c e .
La solution analytique est obtenue en remarquant simplement
que tout se passe à l ' e x t é r i e u r de l a sphère comme s ' i l n ' y a v a i t
p a s de sphère mais seulement une charge ponctuelle en son centre:
.
R
r a d i a l e t v a u t p a r conséquent 1 E I=V - ,son
n o r2
module e s t c o n s t a n t à l a s u r f a c e d e l a s p h è r e .
Le champ e s t
L'erreur
sur
la
solution
e s t représentée
en
et
discrétisations
pour
finis
deux
du
f i g u r e 26 en
second o r d r e
pour
la
sur
la
(constantes)
frontière
la
méthode
intégrale
grossières:
demi-sphère.
2
Elle
4 éléments
et
est
de
pourraient
l'ordre
.
Remarquons
que
les
n
potentiel e t d e s a d é r i v é e
du
fonctions de d i s c r é t i s a t i o n :
par
fonction de l ' a b s c i s s e c u r v i l i g n e ,
assez
de 1%, respectivement 1% s u r E
théoriques
donnée
être
exactement
représentées
valeurs
normale
par
les
l ' e r r e u r provient ici de l'inexactitude
de l a d i s c r é t i s a t i o n géométrique.
Sur
la
même
figure,
nous a v o n s r e p r é s e n t é
limite s u r l a f r o n t i è r e d u potentiel i n t é g r a l
@*
l'erreur
sur la
($2.2.2) q u i f o u r n i t
l e s v a l e u r s extrèmes de l ' e r r e u r d a n s l ' e s p a c e e n t i e r ; nous a v o n s
ici
moins
de
0.5%,
respectivement
0.8%0 p a r
rapport
à l a valeur
maximale d u potentiel s u r l a f r o n t i è r e .
$ erreur
abscisse
curviligne
t
Fig. 26
Problème d e l a
sphère chargée :
erreurs curvilignes
erreur
Sphère d i s c r é t i s é e p a r
q u a t r e é l t s finis.
- - - - - -
abscisse
curviligne
Dans ce c a s , i l est même possible d ' ê t r e p l u s p r é c i s encore:
l'erreur
sur
la
est,
tout
sphère:
selon
la
peut
donc
être
par
rapport
à
par
le
ces
même loi
calcul
comme ,
deux
valeur
(fig.
potentiel
"potentiels"
dont
vont
les
décroitre
sources
27).
inférieure
locale de
Cette
à
0.5%,
,
remarque
l'erreur
respectivement
ce
qu'on
s'applique
sont
sensiblement
l o r s q u ' o n s ' é l o i g n e de l a s p h è r e :
(*)
estimée
la
un
p.ut
à
0.8%0
vérifier
tous
les
problèmes de Dirichlet e x t é r i e u r s .
zône où l ' e r r e u r d ' i n t é g r a t i o n e s t importante.
Fig. 27:
E r r e u r s r e l a t i v e s a u x v a l e u r s locales
pour l e potentiel e t l e champ. Sphère
-&SC-rét-isée- par- 4 -é-lts- f i n i s du 26-OFd r e . Calcul s u r A A ' .
- - -
r e l a t i v e s locales
1
abscisse s u r AA'
(*)
c ' e s t l a décroissance en l / r d u moment monopolaire d e s sources.
-
-
Le coefficient a n g u l a i r e c (92.3.6) a été utilisé pour définir
à proxi mité de l a sphère ( f i g . 27): d a n s cette
la "zone interdite"
zone,
car
1' intégrale
le
point
1 'intégrant
partir
définissant
courant
varie
des
sur
trop
mêmes
la
@*
(P)
est
frontière
brusquement.
intégrales,
et
numériquement
passe
Mais c
la
valeur
très
peut
imprécise,
près
et
calculé
à
comparée
à
être
obtenue
P
de
l a valeur théorique qui est 1.
Notre
expérience
permet
de définir le c r i t è r e s u i v a n t
(fig.
28) :
1
erreur sur c
intégration numérique
fantaisiste
peu précise
parfaite
F i g . 28:
Facteur de qualité de l ' i n t é g r a t i o n .
On peut ccnsidérer le même problème, mais vu de l ' i n t é r i e u r
de
la
à Vo
sphère:
théoriquement,
le
y est constant et égal
potentiel
, le champ et s a composante normale s u r l a frontière y sont
nuls.
Cette
l'erreur
fois-ci,
de discrétisation
n ' importe
théoriques:
a
dans
1'erreur
son
constantes
volume
peuvent
discrétisation
est
nulle,
car
géométrique ne modifie p a s les r é s u l t a t s
quelle
le
de
surface
potentiel
fermée
à
constant et
potentiel
le
champ
être
exactement
représentées p a r
le
programme
d'équations
les
constant
nul;
ces
éléments
finis.
En
exactement
pratique,
le
résultat
théorique
(En
=
O.
en
intégrales
simple
donne
précision)
ce qui montre que les e r r e u r s d ' i n t é g r a t i o n numérique, d ' a r r o n d i s
et
de
résolution
sont
négligeables
dans
ce c a s simple.
Pour des
problèmes définis p a r un
lution
du
problème
g r a n d nombre d'éléments f i n i s ,
intérieur
de
à
Dirichlet
l a réso-
potentiel
constant
p o u r r a s e r v i r à l ' e s t i m a t i o n des e r r e u r s numériques.
3 . 3 . 2 Sphère magnétique c r e u s e d a n s un champ uniforme.
Le
problème
analytique
champ
est
induit
ici
dans
posé
est
aussi
le
schématisé en
connue
trou
est
1
,VI
7
uniforme
f i g u r e 29.
et
s'oppose
avec :
' ~ r
2
(2pr+ l ) ( p - 1 ) - 2 ( p r - 1 ) ( a / b ) 3
r
Fig. 29: Problème de l a s p h è r e creuse.
Fig. 30:
Valeurs de A en fonction de
u
,
r
.
solution
,348 e t s u i v a n t e s J : le
inducteur Ho :
A =
La
au
champ
La f i g u r e 30 donne quelques v a l e u r s de A en fonction de l a perméabilité
A
=
relative
de
la
sphère;
par
pour p, =1000, on
exemple,
a
.00513, c'est-à-dire:
Le potentiel induit d a n s le trou a u r a l a forme:
La
validation
fait
pas
obtenue
en
la
méthode
comparant
cette
à
meilleure
de
solution
approche
la
intégrale
solution
(au
tant
(champ et
analytique,
possible
en
mais
sens
en
des
que telle
potentiel
la
ne
se
induit)
comparant à l a
moindres
carrés)
de
l a solution analytique p a r l a même discrétisation.
Pour
représenté
illustrer
en
figure
cette
remarque
31 l ' e r r e u r
fondamentale,
nous
avons
curviligne s u r le potentiel
l ' u n des éléments finis d i s c r é t i s a n t le "trou".
pour
Cette e r r e u r oscille
entre -1.6%0 et +1.7%0 alors q u ' e l l e v a u t environ -0.3%0 a u x noeuds
de
discrétisation.
thode
i n tégrale
devait ê t r e a t t r i b u é e à l a mé-
Si cette e r r e u r
elle-même,
on
ne
p o u r r a i t qu ' ê t r e très pessimiste
s u r son a v e n i r , ce problème ne comptant que 18 noeuds.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
erreur
l
I
Discrét isation
X ~ r r e u rsur les valeurs
aux noeuds
Erreur curviligne s u r l a
\solution
des é. i. f . (u=l.1%
\
Erreur minimale possible
\ p o u r l a fi discrétisation
'(moindres c a r r é s : u=.8%,)
Fig. 31
-
-
-
-
-
-
-
- - - - -
La seconde courbe de l a figure 31 représente l ' e r r e u r entre
la
solution analytique et
cette
été
à
l'aide
pour
la
solution
utilisées
la
meilleure
représentation
des
fonctions
de
méthode
intégrale
possible
discrétisation
de
qui
ont
ont
été
( l e s coefficients
obtenus en minimisant l ' e r r e u r q u a d r a t i q u e moyenne).
Deux remarques s ' imposent :
-
l a solution obtenue est proche de l a solution optimale ( l e s résul-
t a t s sont du même type pour les a u t r e s éléments de d i s c r é t i s a t i o n ) ,
ce qui constitue une validation de l a méthode.
- on constate que l ' e r r e u r s u r les v a l e u r s a u x noeuds de discrétisation
n'est
p a s significative:
elle e s t ,
pour cet élément,
infé-
rieure à 0.3%0 ; on a u r a i t p u , p a r h a s a r d , tomber s u r des v a l e u r s
encore
erreur,
plus
faibles
à
n'auraient
guère
modifié
ou encore s u r les v a l e u r s "idéales"
l a publication
ou
qui
la
courbe
d'
qui sont plus élevées:
de r é s u l t a t s destinés à l a validation d ' u n e méthode
des comparaisons
entre
méthodes
sous
forme
de v a l e u r s en
un ou en quelques points est contestable. Deux v a l e u r s permettent
éventuellement
de
résumer
un
résultat:
la
moyenne
et
l'écart
type de 1 ' e r r e u r .
Au
delà
de
cette
validation
de
la
méthode
intégrale,
nous devons mettre ici en évidence l a faiblesse de notre méthode,
et en général des méthodes liées au calcul des g r a n d e u r s i n d u i t e s :
les g r a n d e u r s physiques utiles sont le potentiel ou le champ total.
Dans
la
sphère,
ils
de deux nombres voisins, H
tante
peut
être
pour
pr
1000,
=
de
sont calculés en
O
l'ordre
une
et -Hi
de
erreur
de
f a i s a n t l a différence
( c f . éq. 3.25) : l ' e r r e u r résul-
la
valeur
0.3%0 s u r
exacte!
le
Par
potentiel
exemple,
induit
se
t r a d u i t p a r une e r r e u r de 6% s u r le potentiel t o t a l ; pour p r = 10000
on a u r a i t déjà 60%, etc..
Ce
problème
magnétisme,
le
ne
se
coup1 age
pose
avec
pas
une
en
électrostatique;
méthode
être formulé de façon à é v i t e r cette difficulté.
pour
variationnelle
le
devra
La comparaison
par
différentes
des solutions s u r l e potentiel t o t a l obtenues
méthodes
numériques,
avec
des
discrétisations
sensiblement é q u i v a l e n t e s e s t donnée en f i g u r e 22.
Les
valeurs
correspondantes
du
champ
total
dans
le creux
sont données en f i g u r e 33.
I
1
2
.
Solution analytique
PHIAX avec C.A.L.
(Pot.tota1
=pot. induit)
4 O Yhthode inthgrale
(Pot. total I l 7 1 )
5
PHlAX (Pot. induit)
O
abscisse curviligne
I
I
I
I
Fig. 32: Potentiel s u r l e s f r o n t i è r e s , problème d e l a s p h è r e c r e u s e .
Méthode
E r r e u r s u r l e champ d a n s l e c r e u x
moyen ne
é.i.f. 3D
pot. t o t a l
119
I
+6.1%
écart type
v a l e u r ponctuel l e
variationnel le
+1.6%
1%
é.i.f. a x i
pot. i n d u i t
+6.1%
1%
idem avec CAL
(pot. induit =
pot. t o t a l )
PHIAX
+O. 057%
Fig. 33: Champ t o t a l d a n s l e c r e u x .
O. 063%
Pour le calcul p a r méthode v a r i a t i o n n e l l e , le champ d ' e x c i tation
uniforme
adéquates
manière,
(fig.
on
la
solution
le
potentiel
a
à
simulé
été
l'aide
34) avec a l = l O a . En
identifie
donnée
total
grandeurs
par
et
notre
de conditions
posant
induites
méthode
nous
l'avons
obtenue
sur
aux
limites
le problème de cette
et
grandeurs
intégrale
déterminée
à
est
totales:
directement
t i t r e comparatif,
avec a '=100a.
La
précision
le
potentiel
total
est
la
même
que précédemment s u r le poter:tiel i n d u i t . Le potentiel et le champ
dans
le
et un
creux
sont
obtenus
avec
une
erreur
moyenne
de 0.057%
é c a r t type de 0.063%, l a solution exacte é t a n t donc incluse
d a n s cette fourchette d ' e r r e u r .
L'estimation
de
l'erreur
A
par
le
calcul
de
-
*
donne
à
l a surface du creux un é c a r t type de 0.02% plus difficile à interpréter que d a n s le c a s du problème de Dirichlet du $3.3.1.
Soulignons
ces
résultats
cette
milieu,
de
est
100 entre
ce qui permet
écarts
conclure
( t r è s proches
discrétisation)
rapport
des
pour
d'ordres
exemple
que
la
qualité
dans
dimensions
de
ce
la
dernier
sphère
cas
avec
un
et
celles
du
d ' e s p é r e r de t r è s bons r é s u l t a t s mPme avec
de
g r a n d e u r s d a n s les dimensions des objets
modélisés , particulièrement en électrostatique.
Fig
.
de
des meilleurs r é s u l t a t s possibles pour
obtenue
les
cet
Simulation d ' u n champ uniforme p a r des
conditions a u x limites.
3.3.3 Exemple de problème d' électrostatique.
Pour
des
tracés
illustrer
notre
d'isovaleurs
travail,
pour
une
nous
présentons
géométrie
ci-dessous
axisymétrique
simple
conductrice
(poten-
mais comportant une pointe e t des a r ê t e s .
La
tiel
0.V)
figure
face
à
35 correspond
à un
plan
une
conducteur
pointe
(potentiel + l . V ) et l a
figure
36 à l a même pointe d a n s un tube conducteur.
Le
d'une
problème
méthode
de
ce
35 a a u s s i été résolu à l ' a i d e
figure
variationnelle,
de manière à
choisis
la
que
associée
les
à
frontières
des
du
éléments
problème
finis
soient
discrétisées de l a même façon que pour l a méthode intégrale.
La comparaison des r é s u l t a t s ( f i g . 37) montre:
- que l a
qualité,
et
méthode
intégrale fournit des r é s u l t a t s de bonne
particulièrement
de l ' a r ê t e
où
ils
sont
à
proximité
de
la
pointe
et
plus réalistes que ceux obtenus
p a r méthode variationnelle;
- l'économie de moyens de l a
économie
qui
sera
méthode i n t é g r a l e
particulièrement
appréciée
applications à venir a u x problèmes tridimensionnels.
(fig. 38),
pour
les
Fig. 35 :
Pointe conduc-
t r i c e f a c e à un p l a n conducteur.
Fig. 36 :
Pointe conduc-
t r i c e d a n s un t u b e conducteur.
F i g . 37 :
Comparaison d e s r é s u l t a t s .
- - - méthode des é . i . f .
méthode v a r i a t i o n n e l l e
é.i.f.
Nbre de noeuds
23
L a r g e u r de b a n d e
de l a matrice
24
Longueur de l a
matrice
F i g . 38 :
576
méth. v a r .
120
2573
Comparaison d e s moyens mis en o e u v r e .
3.4
Au
cours
du
CONCLUSION
développement
théorique
de c e t t e
formulation
axisymétrique de l a méthode d e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s d e f r o n t i è r e s ,
nous
avons
briques
pu
craindre
obtenues
ne
que
la
complexité
à
conduise
des
des e x p r e s s i o n s algé-
résultats
numériques
d'une
p a r t excessivement longs à o b t e n i r , d ' a u t r e p a r t d e p i è t r e q u a l i t é .
Pour ce q u i e s t de l a q u a l i t é d e s r é s u l t a t s q u ' i l e s t possible
d'obtenir,
qui
est
des
150% et
nous
temps
200% d e
pouvons
de
ceux
être
calcul,
de
la
pleinement
nous
les
version
rassurés.
estimons
Pour
compris
bidimensionnelle
ce
entre
plane
du
programme.
Cependant,
problèmes
(60
nous n ' a v o n s j u s q u ' i c i
noeuds
pour l a construction
au
des
comparaisons
car
le
programme
interactif
des données que nous mettons a u point n ' e s t
p a s encore opérationnel.
et
maximum)
t r a i t é q u e de t r è s p e t i t s
Dès q u ' i l l e s e r a , d e s t e s t s p l u s complets
systématiques
de
résultats
obtenus
par
d'
a u t r e s méthodes numériques pourront ê t r e r é a l i s é s .
L'étude
de
questions
alors être entreprise:
restées
jusqu'ici
sous
silence p o u r r a
r ô l e et choix d u nombre de points d e Gauss
p a r élément pour 1 ' i n t é g r a t i o n , t a i l l e d e problème maximale possible,
partir
précision
nécessaire
des courants,
pour
autres
déjà
calcul
méthodes
g r a n d s systèmes l i n é a i r e s , e t c . .
Si beaucoup a
le
de
du
champ
résolution
inducteur
à
pour l e s t r è s
.
été f a i t , beaucoup r e s t e à f a i r e !
C O N C L U S I O N
Après
deux
années
de
travail
consacrées
principalement
a u x méthodes d e s é q u a t i o n s in t é g r a l e s de f r o n t i è r e s , nous pensons
a v o i r offert a u l e c t e u r un
point de v u e o r i g i n a l s u r c e s méthodes
e t espérons l ' a v o i r a i n s i a i d é à l e s comprendre p l u s intimement.
Toutes l e s techniques nouvelles que nous a v o n s développées
été implantées s u r l e s programmes PHI2D ( r é s o l u t i o n d e s pro-
ont
blèmes
elles
plans)
le
PHI3D.
et
PHIAX
seront
Elles
(version
prochainement
axisymétrique
sur
s'appliqueraient
la
du
version
cependant
tout
chapitre
3) ;
tridimensionnelle
aussi
bien
à
la
( $ 1 . 3 ) e t nous e s p é r o n s a v o i r 1'occasion
méthode i n t é g r a l e "directe"
d e développer selon cette méthode e t avec c e s techniques un logiciel performant d e s t i n é a u x problèmes d e l ' é l e c t r o s t a t i q u e .
Les é q u a t i o n s i n t é g r a l e s de f r o n t i è r e s permettent de résoudre
le
problème
de
assez
nombreux
nôtre;
cependant,
d e s jalons
Laplace,
pour
qui
régit
des
phénomènes
physiques
lui
seul
des
comme l a
à
justifier
études
tout a u long de notre exposé,
pour
le
couplage
de
aux
ces
équations
éléments
finis:
nous a v o n s posé
avec l e s méthodes
variationnelles
associées
pour
les
problèmes
d e magnétisme,
c ' e s t d a n s ce couplage que l a méthode d e s équa-
tions i n t é g r a l e s d e f r o n t i è r e s t i e n t s a j u s t i f i c a t i o n .
11 e s t i n u t i l e de d i s p o s e r d ' u n e f ' ~ e r c e d e { si l ' o n doit remorquer
ont
au
un
antique
aujourd'hui
moins
intégrales
des
années
pour
en
70.
modernisation,
à
char
atteint
les
boeufs:
un
niveau
problèmes
étaient
restées
les
si
de
à
deux
à
leur
méthodes
perfection
dimensions
préhistoire
variationnelles
- tout
certain
- l e s méthodes
jusqu'au
milieu
Nous espérons a v o i r modestement c o n t r i b u é à l e u r
et
les
premiers
essais
d'attelage
aux
méthodes
v a r i a t i o n n e l l e s pourront bientôt ê t r e t e n t é s s a n s t r o p de r i d i c u l e .
B I B L I O G R A P H I E
ANCELLE B.
de
tée
: "Emploi d e l a méthode d e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s
frontière
et
mise
en
oeuvre d e l a conception a s s i s -
p a r o r d i n a t e u r d a n s l e c a l c u l d e s systèmes électro-
magnétiques"
-
Thèse d ' é t a t . , Grenoble, 14.12.79
Conférence
multiple multipole method" -
: "The
BALLISTI R., HAFNER Ch.
Compumag,
Gênes,
mai
1983
-
IEEE
Trans.
on Magnetics ( à p a r a i t r e ) .
BREBBIA C. A .
:
"The
boundary
element
method
for
engi-
neers" - Pentech P r e s s , Plymouth, 1980.
"Application
de
à l a mécanique"
-
la
méthode
des
équations
intégrales
CETIM, S e n l i s , 1979.
: "
CRISTINA S., DI NAPOLI A.
Combination
of
finite
- Confé-
b o u n d a r y elements for magnetic f i e l d a n a l y s i s "
rence
Compumag,
Gênes,
Magnetics ( à p a r a i t r e )
DLTRAND E .
mai
IEEE
-
Trans.
on
.
"Electrostatique",
:
1983
and
3 volumes
-
Masson,
Paris,
1964 et 1966.
D U R A N D E.
:
"Magnétostatique" - Masson, P a r i s , 1968.
FAWZI T . H., ALI K . F . , E A R L BURKE P.
Equations
Symmetry"
Analysis
-
of
IEEE
Induction
Trans.
on
:
"Boudary
Devices
Magnetics,
with
Vol.
Integral
Rotational
Mag-19,
N o l , j a n v i e r 1983.
ABRAMOWITZ M., STEGUN A.
:
"
Handbook
of
mathematical
functions" - Dover P u b l i c a t i o n .
JASWON M . A.
: " I n t e g r a l equation method i n p o t e n t i a l theory"
- Proceedings of t h e Royal Society, 1963, vol. A275.
JLlFER M .
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électromécaniques" - T r a i t é d ' é l e c -
t r i c i t é vol. IX, é d i t i o n s Georgi, 1979.
KRAHENBUHL L., NICOLAS A .
integral
boundary
"Efficient
:
equations
techniques
method
for
for
potential
pro-
- Conférence Compumag, Gênes, mai 1983 - IEEE
blemç"
Tranç. on Magnetics ( à p a r a i t r e ) .
KRAHENBUHL L., NICOLAS A.
"Axisymmetric
:
formulation
for boundary i n t e g r a l equations methodç in s c a l a r potent i a l problems" - Conférence Compumag, Gênes, mai 1983
-
IEEE Trans. on Magnetics ( à p a r a i t r e ) .
MAYERGOYZ 1. D.
"Boundary
:
Gallerkin's
finite element electromagnetic
rence
Compumag,
Gênes,
Magnetics ( à p a r a i t r e )
NICOLAS A .
: "Application
grales
de
boundary
1983
IEEE
-
3D
Confé-
-
Trans.
on
.
à
la
modélisation
des
phénomènes
Thèse d ' é t a t , Lyon, 24.06.83
-
integral
Conférence
field computation"
mai
SCHNEIDER J . M.
SALON S. J . ,
for
de l a méthode des équations inté-
frontière
d'induction"
method
"
:
An
formulation
Intermag,
of
Grenoble,
hybrid
finite
Poisson ' s
-
1981
element
equation"
IEEE
-
Trans.
on Magnetics, vol. MAG 17-6, pp. 2574-2576.
SAVALLE D.
:
à
"Adaptation
1 'axisymétrie
d'un
programme
de calcul de systèmes électromagnétiques en deux dimensions,
de
utilisant
la
méthode
des
équations
intégrales
- Laboratoire Rutherford, Oxford et DEA,
frontières"
ECL, septembre 1983.
TROWBRIDGE C. W .
blems
using
:
"The
scalar
solution
of
potentials"
-
3D magnetostatic
Conférence
pro-
Compumag,
Grenoble , 1978.
TROWBRIDGE C. W., SIMKIN J . , ARMSTRONG A .
method
of
weighted
maenetostatic
in
three
residual
çcalar-potential
dimensions"
-
applied
"The
:
to
the
Galerkin
restricted
boundary-integral
Conférence
equation
Compumag,
Gênes,
mai 1983 - IEEE T r a n s . on Magnetics ( à p a r a i t r e ) .
ZIENKIEWICZ O. C., KELLY D. W., BETTESS P.
l i n g of the finite element method
procedures"
-
:
"The
coup-
a n d boundary solution
IJNME, vol. 11, p. 355.
Liste d e s symboles u t i l i s é s
1. Lettres majuscules.
équation
définition
figure
densité d e c o u r a n t s u r f a c i q u e
induction
con tour
déplacement é l e c t r i q u e
di s t a n c e s
champ électrique
11
inducteur
II
induit
fonction i n t . e l l . de 2ème espèce
flux
fonction de Green ( d e c e n t r e P )
noyaux de 1 ' é . i . f . en axisymétrie
H
H
champ magnétique
Il
inducteur
It
induit
O
Hi
champ i n d u c t e u r normal
I(P)
1
erreur
J(u)
expression i n t é g r a l e
~ ( k ~ )
L
M
P
P
fonction i n t . e l l . de l è r e espèce
con tour
aimantation
polarisation
point
point c o u r a n t ( i n t é g r a t i o n )
surface d ' intégration
s u r f a c e des c e n t r e s des noyaux d ' i n t é g r a t i o n
tenseur de Maxwell
potentiel t o t a l
11
d u champ i n d u c t e u r
Q
s
s'
T
v
vo
m
'
11
j acobien
potentiel e r r e u r
2. Lettres minuscules.
coefficients de l a matrice d u système
d ' é q u a t i o n s i n t é g r a l e s de frontières.
f a c t e u r d ' a n g l e de 1 ' é . i . f .
fonction de projection
densité de c o u r a n t
II
coefficient
surfacique
Lettres minuscules s u i t e .
équation
définition
figure
vecteur normal (norinale e x t é r i e u r e )
densité de dipôles
fonctions poids ( é l t s f i n i s )
coefficient
d i s t a n c e PQ 1 rayon en coordonnées c y l .
rayon d é f i n i s s a n t l e potentiel logarithmique
surface ( d 'intégration )
vecteur t a n g e n t u n i t a i r e
vol ume ( d ' i n t é g r a t i o n )
fonction de projection
coordonnée c y l i n d r i q u e
3. Lettres grecques.
angle
II
permittivité d u v i d e
II
relative
e r r e u r q u a d r a t i q u e moyenne
angle
perméabilité d u v i d e
11
relative
densité de c h a r g e
II
conductivité
II
surfacique
surfacique
densité s u r f a c i q u e de dipôles normaux
potentiel d u champ i n d u i t
susceptibilité
induction ou champ électrique normal normalisé
a n g l e solide
4. Autres symboles.
V
v~
o p é r a t e u r del
II
( d é r i v a t i o n p a r r a p p o r t a u x coordonnées de P )
o p é r a t e u r laplacien
approximation p a r une combinaison l i n é a i r e (2.10-2.24-2.33 etc. )
approximation p a r une expression i n t é g r a l e (2.12-2.38 e t c . )
H
équivalence
c a r a c t è r e g r a s : vecteurs.
A
.
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