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Diffusion Rayleigh-Brillouin dans les gaz polyatomiques
Anne-Marie Cazabat
To cite this version:
Anne-Marie Cazabat. Diffusion Rayleigh-Brillouin dans les gaz polyatomiques. Physique Atomique
[physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1976. Français. �tel-00011822�
HAL Id: tel-00011822
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011822
Submitted on 8 Mar 2006
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émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
UNIVERSITÉ
DE PARIS
N°
d’enregistrement
au C.N.R.S.
LABORATOIRE DE PHYSIQUE
DE L’ÉCOLE NORMALE
A.0.12.605
SUPÉRIEURE
THESE DE DOCTORAT D’ETAT
ès Sciences
Physiques
présentée
à l’Université Pierre et Marie Curie
(Paris VI)
par Anne-Marie CAZABAT
pour obtenir le grade de Docteur ès Sciences
Sujet de la thèse : "DIFFUSION RAYLEIGH-BRILLOUIN DANS LES GAZ POLYATOMIQUES"
Soutenue le
devant le
10 JUIN 1976
Jury composé de :
MM. J. BROSSEL ,
Président
L. CECCHI
J.P.
LALLEMAND
HANSEN
NOUCHI
P.
G.
M.
Examinateurs
NELKIN , membre invité
N°
d’enregistrement
au
C.N.R.S.
THESE DE DOCTORAT D’ETAT
ès Sciences
Physiques
présentée
à l’Université Pierre et Marie Curie
(Paris VI)
par Anne-Marie CAZABAT
pour obtenir le
Sujet
grade
de Docteur ès Sciences
de la thèse :
"DIFFUSION RAYLEIGH-BRILLOUIN DANS LES GAZ
Soutenue le
10 JUIN 1976
devant le Jury composé de :
MM. J. BROSSEL, Président
L. CECCHI
J.P. HANSEN
P.G. LALLEMAND
NOUCHI
Examinateurs
M. NELKIN, membre invité
POLYATOMIQUES"
Ce travail a été effectué au Laboratoire de Physique de
l’Ecole Normale Supérieure dans le groupe de recherches de Messieurs
les Professeurs A. KASTLER et J. BROSSEL. Je les remercie vivement
de leur accueil.
P. LALLEMAND
et la richesse de ses
mental, sont pour moi
cours
de
ce
assumé la direction de cette thèse. Son dynamisme
idées, sur le plan théorique aussi bien qu’expériune aide précieuse qu’il ne m’a pas ménagée au
travail. Je lui exprime ici toute ma gratitude.
a
Dans le cadre de sa thèse de 3ème cycle, Jean LAROUR m’a apporté
1974-1975 une collaboration que ses qualités et sa personnalité ont
rendue fructueuse et agréable. Je l’en remercie chaleureusement.
en
a
animé
J’ai trouvé dans le Laboratoire de bons camarades. Leur sympathie
années de recherche; je suis très heureuse de les remercier ici.
ces
Je remercie également les techniciens et ingénieurs du groupe,
tout particulièrement P. CASSOU et J.C. GUILLAUME qui ont réalisé au long
de ce travail, avec leur habituelle gentillesse et compétence, les éléments
mécaniques
du montage.
L’asservissement électronique du laser doit beaucoup à G. CAMY,
du groupe de Physique des Lasers de l’Université Paris-Nord. Je lui exprime
ici toute ma reconnaissance.
Mademoiselle BRODSCHI s’est chargée, avec sa gentillesse et son
efficacité coutumières, de la frappe de ce mémoire. Madame AUDOIN, dans
des conditions difficiles, en a assuré le tirage. Je les en remercie très
vivement.
J’adresse enfin mes respectueux remerciements à tous les
Professeurs qui ont accepté de constituer le Jury de cette thèse.
TABLE
DES
MATIÈRES
INTRODUCTION
CHAPITRE I
:
GÉNÉRALITÉS
SUR LES GAZ
CARACTERISTIQUES D’UN GAZ PUR
1) Ordres de grandeur
I. ECHELLES
2)
3)
I.1
I.1
I.4
I.6
Comparaison à l’échelle d’observation
Définitions usuelles
II. DESCRIPTIONS D’UN GAZ PUR
I.8
Echelle
Domaine
Domaine
1.8
I.10
I.14
1)
2)
3)
macroscopique : Rappels
hydrodynamique
cinétique
III. APPLICATION DE CES THEORIES AUX FLUCTUATIONS
I.17
IV. LA METHODE DE MORI
I.21
1) Equation de Langevin généralisée
2) Construction d’un espace de Hilbert sur les
variables dynamiques
3) Décomposition en sous-espaces orthogonaux
4) Discussion de la relation < f(t) A*
0 > 0
=
V. ANALYSE D’UNE EXPERIENCE DE DIFFUSION DE LA LUMIERE
1) Schéma
une
du montage et intensité diffusée dans
direction donnée
2) Calcul de
CHAPITRE II : THÉORIES
A. GAZ
S(q,03C9)
DES GAZ
MONOATOMIQUES
1) Méthode de Chapman-Enskog
2) L’hydrodynamique translationnelle
3) L’hydrodynamique généralisée
4) La méthode de Wang Chang et Uhlenbeck
5) La méthode des modèles
B. GAZ POLYATOMIQUES
1) Phénomènes de relaxation dans les gaz polyatomiques
2) Théorie de l’hydrodynamique translationnelle
3) Théorie des modèles
I.21
I.22
I.23
I.25
I.28
I.29
I.36
II.1
II.2
II.3
II.10
II.12
II.17
II.28
II.41
II.41
II.52
II.60
CHAPITRE III : MONTAGE EXPÉRIMENTAL
III.1
1) Laser Hélium-Néon
2) Laser à Argon ionisé
3) Quelques généralités sur les
FP plans
4) Les Fabry-Perot sphériques
5) Schéma général du montage
CHAPITRE IV : ETUDE EXPÉRIMENTALE
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
ET
interféromètres
RÉSULTATS
Introduction
Procédés expérimentaux
L’Oxygène et l’Azote
Le Méthane
Généralisation de la théorie TH
Le Dioxyde de Carbone
L’Hexafluorure de Soufre
Conclusion
III.3
III.9
III.14
III.18
III.23
IV.1
IV.1
IV.4
IV.7
IV.13
IV.19
IV.20
IV.22
IV.30
APPENDICES
APPENDICE I :
Rappel
sur
les notations tensorielles
A.I.1
APPENDICE II :
A.II.1
A.II.8
APPENDICE
A.III.1
APPENDICE
APPENDICE
A) Matrices de Mori
B) Hydrodynamique translationnelle
III : Méthode de Chapman Enskog
IV : Complément chapitre II : Gaz monoatomique
V : Complément chapitre III : Gaz polyatomiques
APPENDICE VI : Corrections de
BIBLIOGRAPHIE :
Références
non
idéalité des gaz
A.IV.1
A.V.1
A.VI.1
R.1
-
INTRODUCTION -
La diffusion de la lumière par les
et les
poussières
suspensions
colloïdales est d’observation courante. C’est elle qui, par exemple, met
évidence le trajet d’un faisceau lumineux. La
systématique
un
de la diffusion par de
gaz est due à
en
première étude expérimentale
petites particules
suspension dans
en
Tyndall (1869).
L’existence d’une diffusion par les molécules mêmes d’un gaz pur
et
homogène
a
été
envisagée théoriquement
quer la couleur bleue du
Cabannes (1915)
qui put
ciel, et mise
déduire
en
La théorie du
sont les fluctuations
que
ce
qui
sont à
l’origine
Rayleigh (1900)
évidence pour la
en
une
phénomène
par
mesure
du nombre
est due à Einstein
statistiques
en
première
(1910). Il
fluide à
un
fois par
d’Avogadro.
locales de la constante
de la diffusion observée dans
d’expli-
vue
a
établi
diélectrique
l’équilibre.
(On suppose bien entendu ici que la longueur d’onde utilisée n’excite
fluorescence du
système.)
Dans
un
gaz,
les fluctuations de constante
diélectrique
essentiellement
aux
rectilignement,
la lumière diffusée est alors totalement
tuations
laquelle
Le
donnée
a
fluctuations de densité. Pour
d’anisotropie présentes
ques donnent lieu,
ble à
aucune
elles, à
nous
ne
spectre
été déterminé
mière approximation,
nous
en
une
un
faisceau incident
polarisée.
dans les gaz formés de molécules
diffusion
dépolarisée
sont dues
Les fluc-
non
sensiblement
polarisé
sphéri-
plus fai-
intéresserons pas.
fréquence
de la lumière diffusée dans
théoriquement
par Brillouin
la lumière diffusée
incidente. Une analyse à l’échelle du
a
la même
gigahertz
une
direction
(1922) et Landau. En
fréquence
pre-
que la lumière
montre l’existence d’une
2
structure fine de la raie diffusée pour
dont la mise
monochromatique,
évidence expérimentale est due à Gross (1930) qui
en
la lumière diffusée par
un
cristal de quartz, puis par
Lors de l’observation à
aux
faisceau incident
un
un
un
analysé
a
liquide.
est sensible
angle donné, l’expérience
excitations de vecteur d’onde donné q.
Les excitations élémentaires de vecteur d’onde q
présentes
dans le milieu et évoluant selon
raie centrée
De
sur
fréquence
la
symétrique
dont l’écart
son
excitations
se
d’ondes
en
fréquences
qui jouent
un
La mise
dans les gaz
en
en
est
proportionnel
Rayleigh.
propageant
interprétables
et sont
préoccupera
se
ne
au
en
des
termes
pas ici d’ondes trans-
rôle dans les solides et dans certains liquides
évidence
expérimentale
noms
visqueux.).
spectre Rayleigh-Brillouin
du
équilibre (effet Brillouin spontané)
On peut notamment y associer les
un
vecteur
correspondent à
dans le milieu. Elles
acoustiques longitudinales. (On
versales
c’est la raie
une
trouve les raies Brillouin constituant
on
en
d’onde q et à la vitesse du
qui évoluent
mode diffusif conduisent à
de l’onde incidente :
part et d’autre de cette raie,
doublet
un
est
plus récente (1964).
Greytak, Lastovska, May,
de Benedek,
Stoicheff.
Ceci est dû à la faiblesse de l’intensité diffusée dans cescorps,
mais aussi
aux
ment Brillouin.
des
petites
La
valeurs
largeur
L’étude du spectre
sources
développée depuis
intenses et
la vitesse du son,
de la structure à étudier est
lampes spectrales utilisées
rablement
qu’y prend
comme
comparable à
déplacecelle
sources.
Rayleigh-Brillouin
la mise
donc le
au
point
dans les gaz s’est considé-
des lasers,
monochromatiques à l’échelle de la
qui constituent
des
structure à étudier.
Outre qu’elles conduisent à la détermination d’un certain nombre
de
propriétés thermodynamiques
ou
de coefficients de
fusion de la lumière sont intéressantes
car
leur
transport, les expériences de dif-
interprétation
fait
appel
aux
méthodes
3
de
certains tests de
de la
l’énergie
générales de
de
théories : calcul des fluctuations, test des équations
ces
des gaz.
dynamique
Enfin, les phénomènes spécifiques liés
interne dans les gaz
sion de la lumière ont
sur
mentaux
domaines
ces
joué
théories
aux
rôle inducteur sensible,
un
de diffu-
expériences
comme
nous
le verrons
le plan
se
théorique
sont effectués dans
dizaine d’années aussi
plan expérimental. Les progrès expéri-
le
sur
que
une
plusieurs directions : mise
(1965) stabilisés de plus
en
au
point de
lasers
plus élaborés; développement
techniques d’interférométrie à haute résolution; enfin utilisation de laplus puissants depuis la commercialisation des lasers à Argon ionisé (1970)
sers
Notre travail de recherche
chercheurs du M.I.T.,
disposant d’un
électronique évoluée
avaient
gazGreytak
les
dant pas
déjà
et Benedeck -
a
débuté
en
1969. A cette
époque,
les
laser He-Ne monomode et stabilisé et d’une
premiers spectres de qualité dans
obtenu les
1966
)
1
(
).
interprétation n’était
Leur
cepen-
possible, du fait de l’absence de théories spécifiques des gaz.
Celles-ci ont été rapidement
un
les
théoriques,
sujet s’est donc développé depuis
monomodes Hélium-Néon
de
rattachent
se
l’exposé.
Le
bien
polyatomiques
transport
au
la relaxation.
Dans chacun de
lors de
phénomènes irréversibles, permettant ainsi
des
thermodynamique statistique
groupe de théoriciens
en
développées
relation
dans le
cette
avec
cas
des gaz
monoatomiques
par
équipe (parmi lesquels Boley,
Nelkin, Ranganathan, Sugawara, Yip, puis plus récemment Oppenheim, Selwyn,
Weinberg
dont
nous
retrouverons les
rimentaux obtenus dans
1975
) )
3
(
ces
peuvent être considérés
En revanche,
notre
tion
gaz par
objet,
la
thermique
posait
dans la suite).
Greytak
comme
et
un
a
plus tard
Les résultats
Clark( 1970
expé-
) 2
(
définitifs.
dans l’étude des gaz
progression
y
noms
été plus lente,
polyatomiques qui constitue
car
le traitement de la relaxa-
problème supplémentaire. La théorie phénoménologique
4
),
4
(
de Mountain (1966)
date à
jusqu’en 1971,
très fructueuse dans les
laquelle
liquides,
été utilisée
a
groupe de théoriciens canadiens s’est
un
constitué (Desai, Kapal, Tenti, puis Boley et
Weinberg)
liaison
en
avec
équipe d’expérimentateurs plus ancienne (Hara, Hubert, May). Cette
équipe s’est consacrée à l’étude de l’hydrogène et de ses isotopes, dans
une
la théorie des modèles de
lesquels
Boley, Tenti, Desai (1972, 1974) est
féconde.
Pour notre part,
théoriques,
nous
et
parfois
nous
avons
disposer rapidement des publications
pu
aussi des programmes de calcul de
essentiellement dans le cadre de la théorie de
translationnelle
développée
Weinberg, Kapal
par
de nos déterminations est devenue excellente.
un
large
domaine de conditions
l’hydrodynamique
tion
obtenu la
translationnelle
première
thermique dans
périorité
un
mise
gaz
de la théorie de
antérieures. Cette
du
ou
et
)
6
(SF
l’hydrodynamique
évolué et la
a
nous
a
le test de la théorie de
expérimentale
apporté
nous
De
plus,
nous
d’une raie de relaxa-
ainsi la preuve directe de la
l’hydrodynamique translationnelle
supériorité,
précision
permis d’effectuer,
de la théorie des modèles.
évidence
en
Ceci
expérimentales,
le verrons,
tient à la
su-
les théories
sur
prise
en
compte
transport diffusionnel de l’énergie interne dans les gaz, phénomène à
rapprocher de l’effet Dicke, étudié entre
Nous allons d’abord
présenter
spectres de la lumière diffusée par
du
qui
(1972).
et Desai
Corrélativement, le montage expérimental
avons
ce
groupe,
permis d’approfondir notre étude des gaz polyatomiques (O
, N
2
, CH
2
,
4
a
, SF
2
CO
),
6
dans
ce
type cinétique
atomiques
en
ou
du
précisant
exposé général
un
gaz,
).
5
May (
puis
nous
sur
le calcul des
présenterons
type hydrodynamique applicables
aux
gaz
les théories
mono
et
poly-
leur domaine de validité. Nous décrirons ensuite les
montages utilisés, puis discuterons
l’aide des théories
un
autres par
présentées
au
en
détail
début.
nos
résultats
expérimentaux
à
CHAPITRE I
-
Nous
au
repos dans
un
nomènes est
étudié, dans
avons
ce
travail, le comportement d’un gaz
ne
se
produit pas dans le gaz de réactions chimiques, ni
électroniques. D’autre part,
en
général
une
commencer
par mettre
en
qui y apparaissent. La comparaison de
nous
description classique des phé-
suffisante.
Pour décrire l’évolution d’un gaz
est utile de
températures rencontrées
domaine de pression étendu. Aux
(de 18 à 26°C), il
d’excitations
GENERALITES SUR LES GAZ -
en
fonction de la
évidence les distances
ces
pression, il
caractéristiques
distances à l’échelle d’observation
permettra de définir divers régimes dans lesquels le comportement observé
du gaz est différent.
I. ECHELLES
CARACTERISTIQUES D’UN GAZ PUR
Un gaz pur est constitué de molécules
identiques,
déplaçant
se
dans toutes les directions et effectuant entre elles des collisions
deux molécules
ou
plus. Ces molécules sont
quelconque,et interagissent selon
1).
un
mono
sphérique
traire
du
de forme
poly-atomiques,
potentiel à relativement courte portée.
Ordres de grandeur
La dimension des molécules est la
que du gaz.
ou
impliquant
Par dimension,
on
entend
première longueur caractéristi-
généralement
la
portée
03C3 de
la
partie
potentiel répulsif entre molécules. Cette définition semble arbi-
puisque la valeur
considéré. L’intérêt de
exacte du diamètre moléculaire
ce
choix est que, pour
un
dépend
du
potentiel
potentiel donné, il
ne
1.2.
subsiste pas
d’ambiguité
La variation de celui-ci, d’un
sur 03C3.
potentiel à
l’autre, est d’ailleurs faible. Les valeurs numériques déterminées diffèrent
peu d’un gaz à l’autre et sont de l’ordre de 3 à 6 Å.
La distance moyenne
considérer. Elle est définie
contenant
un
entre molécules est une autre
longueur à
comme
la moyenne des distances dans
une
nombre N de molécules et
grand
La loi
d’Avogadro
l’inverse de la racine
atmosphérique,
d
cubique
occupant
un
volume V :
permet de calculer d qui varie
nous
assemblée
de la densité du gaz. A 0°C et à la
comme
pression
obtient :
on
Dimension des molécules et distance moyenne intermoléculaire
sont des
caractéristiques statiques
propriétés dynamiques
mouvement.
et
C’est
en
de celui-ci,
du gaz.
liées
une
on
perturbation extérieure
ou
peut s’intéresser
en
qui permet le transport
et conditionne par suite la
son
aux
fait que les molécules sont
effet le mouvement des molécules
la transmission d’influences locales,
du gaz à
au
Mais
comportement
en
régime
réponse
d’écoule-
ment, par exemple.
La
première grandeur dynamique caractéristique d’un
libre parcours moyen d’une
rue
molécule, c’est-à-dire la distance moyenne parcou-
entre deux collisions successives
gaz est peu dense,
ticules est
la
gaz est le
avec
d’autres molécules.
Lorsque le
probabilité de collisions impliquant plus de deux par-
négligeable :
seules interviennent dans les divers bilans les
collisions binaires. Aux densités élevées, la
tiples devient significative.
probabilité
de collisions mul-
I.3.
Dans le domaine des collisions binaires, le libre parcours
moyen A est inversement
efficace de collision
d’Angströms
proportionnel à la densité 03C1
0
.
2
03C003C3
à la pression
Il est de l’ordre de
-6
(10
atm.),
basses
macroscopiques (quelques centimètres).
contenant le gaz constituent
une
du gaz sont alors
Lorsqu’ils
Le libre parcours moyen
l’impulsion
des molécules.
D’autres
d’une collision,
avec
collision suffit
au
transfert de
lécule
un
excès
possédant
moyen peu
supérieur
conduisant, dans
sions
une
au
dans
probabilité plus
polyatomique, à
inélastiques)
ont
une
l’excitation
ou
la
est faible (en
rot
Z
Il
ne
dépend
A
une
distance
ou
un
transport de
être transférées lors
moins élevée :
).
c
03C4
pratiquement,
En revanche,
transfert
à
densité,
ce
).
5
10
ce
de
se
une
mo-
les collisions
interne (colli-
produire. Le temps
interne est
supérieur à
le nombre moyen de chocs nécessaire à
représente
3
(10
d’énergie
d’énergie
niveau. Pour les niveaux de rotation,
général quelques unités).
pas de la
grandeur.
probabilité plus faible
désexcitation de
les niveaux de vibration
on
propriétés dynamiques
gaz caractérise le
un
temps entre collisions
c
03C4/03C4
prépondérants,
l’énergie cinétique (c’est-à-dire qu’une
d’énergie cinétique l’aura perdu après un temps
gaz
=
deviennent
quantités peuvent
un
Leur rapport Z
plus importante des
en
ordres de
caractérisant l’évolution d’un niveau donné
.
c
03C4
parois du récipient
les
sur
modifiées.
profondément
figure 1 indique quelques
La
il atteint des valeurs
moléculaire. Les
régime
ou
Les chocs
fraction de plus
collisions subies par les molécules.
parle de régime de Knudsen,
quelques centaines
et à 0°C.
atmosphérique
pressions très
Aux
et à la section
Il est
beaucoup plus élevé
Le nombre Z varie
qui justifie
son
transport d’énergie interne dans le gaz.
de
ces
la
température.
introduction.
chaque niveau d’énergie interne du gaz,
caractéristique Z. L’ensemble
avec
pour
on
peut donc associer
distances caractérise le
03C4
Fig.
I-1
I.4.
La description du gaz polyatomique
que celle du gaz
venir
qu’une
monoatomique, dont
seule distance,
nous
propriétés dynamiques
plus complexe
ne
font inter-
le libre parcours moyen.
avoir défini les distances
Après
donné, il
les
par suite
sera
caractéristiques
dans
faut les comparer à notre échelle d’observation et
selon leurs valeurs relatives,
les différents
un
gaz
distinguer,
types de comportement apparent
du gaz.
à l’échelle d’observation
2). Comparaison
Nous avons,
relativement étroit de longueurs d’onde et
d’onde
employées
verrons
varié de 30° à 180°
a
d’observation. Les
avec
un
plus loin, à
une
< ~
aux
<
sur
la
figure 1,
de l’ordre du libre parcours moyen.
de l’observation.
Les
du milieu,
moyennées telles
ce
le
que cette échelle d’observation est
dimensions moléculaires. Elle est
molécules présentes dans
nous
1 03BC
également toujours supé-
rieure à la distance entre molécules mais peut devenir,
tistique
longueurs
échelle d’observation ~ comprise entre 2.500 et 10.000 A
On constate,
supérieure
domaine
d’expériences réali-
maximum
(le laser He-Ne n’a été utilisé qu’à 180°). Ceci correspond,
0,25 03BC
très
d’angles
un
sont :
l’angle d’observation
sées à 90°
expérimentale, utilisé
lors de notre étude
un
La
~,
ce
qui donne
une
grandes valeurs constatées suggèrent
qui
est
déjà
idée de la finesse
une
description
utilisé dans l’introduction de
que le libre parcours moyen
pressions,
2 indique le nombre moyen N de
figure
cube de côté
basses
aux
ou
sta-
quantités
la distance intermoléculaire.
Fig.
I-2
I.5.
On peut, à l’échelle de
valeur
sera
p(r, t),
connue
avec
une
,
3
~
très bonne
définir des grandeurs locales dont la
précision :
la vitesse moyenne locale des molécules
E(r, t) constituée d’une partie cinétique
un
qui
gaz
équilibre,
en
sont
ces
c
E
ainsi la densité locale
(r,
0
v
et d’une
t) et l’énergie locale
partie interne
Dans
grandeurs s’écartent peu de leurs valeurs d’équilibre
respectivement 03C1
, 0, E
0
. On
0
a
par exemple :
L’amplitude des fluctuations statistiques
autour de leur valeur
.
i
E
d’équilibre dépend
des
grandeurs
locales
du rapport ~/d de l’échelle d’obser-
vation à la distance intermoléculaire.
En revanche,
luent dans le
temps
d’observation
au
ou
la
dans
rapidité
l’espace
bles du
les
(*)
dépend
du
d’observation est
grandeurs locales apparaissent
et de
temps
laquelle les variables locales évorapport ~/ de l’échelle
libre parcours moyen.
Lorsque l’échelle
moyen,
avec
comme
l’espace. Lorsque l’analyse
grande
devant le libre parcours
des fonctions
est
lentement varia-
plus fine, la rapidité des
variations constatées s’accroît.
(*)
Vis-à-vis
se
de la
correspondent
lécules.
Ainsi
A
A
c
03C4
du gaz, les échelles de temps et de distances
l’intermédiaire
de la vitesse moyenne
par
0 des moY
dynamique
o
=Y
c
03C4
libre parcours moyen
temps moyen entre collisions
=
0
Y
0
8kT
03C0m
d’une molécule
m
masse
k
constante de Boltzmann
I.6.
Le comportement de la variable
énergie
interne
i
E
est déterminé
par les valeurs relatives de l’échelle d’observation et des distances
carac-
téristiques ZA.
L’ensemble de
usuelles que
nous
3).
allons
considérations peut être résumé
ces
en
présenter.
Définitions usuelles
Nous dirons que l’analyse d’un gaz est microscopique
de la
définitions
quand l’échelle
description n’est pas très grande devant les distances intermoléculaires.
Dans le
cas
contraire,
on
parlera d’analyse continue.
Ces définitions
référence
aux
se
rapportent
propriétés dynamiques,
on
aux
propriétés statiques
du gaz. En
parlera de domaine cinétique quand
l’échelle de description n’est pas très grande devant le libre parcours moyen,
de domaine
hydrodynamique
dans le
cas
contraire.
Cette définition des domaines cinétique et
porte
aux
propriétés
nir les domaines
hydrodynamique
translationnelles du gaz. On peut la
cinétique
et
généraliser
hydrodynamique vis-à-vis d’un processus
se
rap-
et défiinterne
donné.
Nous appellerons locale
tale.
l’échelle ~
de notre observation
expérimen-
Elle est située dans le domaine continu et, selon la pression, peut
trouver dans le
régime cinétique
ou
L’échelle macroscopique
se
hydrodynamique.
sera
c’est-à-dire de l’expérimentateur et de
l’échelle d’observation courante,
ses
Le gaz y est caractérisé par
sa
récipients.
pression,
son
rature, variables liées entre elles par l’équation d’état.
volume et
sa
tempé-
I·7.
On peut
jusqu’à quelle échelle l’équation
demander
se
valable et notamment dans quelles conditions elle peut
bles locales;
s’appliquer
dans le
)
6
(
ble de molécules d’un tel gaz
évolution
spontanée
.
moyens.
Elle
La
que,
quel que soit l’état initial d’un
(supposé proche
l’équilibre
vers
correspond physiquement à
système
est
une
et
une
de
l’équilibre absolu),
qu’elle s’effectue
est réalisée
première étape
L’analyse statistique effectuée
dans le
aussi allons-nous
simple du gaz monoatomique.
cas
On peut montrer
une
après quelques
a
équilibre
.
local à
en
ensem-
il y
deux
a
étapes :
libres parcours
"thermalisation" locale du fluide.
alors montre que la distribution des vitesses
maxwellienne centrée autour de la vitesse locale et
faisant intervenir les valeurs locales de la densité et de la
on
varia-
aux
parle alors d’équilibre local du gaz.
on
Cette notion apparaîtra souvent dans la suite,
l’expliciter
d’état est
température :
local.
La seconde
étape
l’équilibre absolu,
en
est
un
lente :
le
système
passe de
l’équilibre
temps long devant le temps entre collisions,
caractérisant l’évolution des trois variables locales dans le domaine hydro-
dynamique.
L’intérêt de la notion
quelques collisions,
le gaz
d’équilibre
présente
de cette
pas dans
à cet état
propriété
sera
(pour
qu’après
local.
Une
le gaz
monoatomique).
La formulation
donnée plus loin . Une telle simplicité
l’étape rapide, qui amène
d’équilibre
le fait
puisse être décrit dans le domaine hydrodynamique
par seulement trois variables locales
rigoureuse
local est
le
système,
en
ne
se
quelques collisions,
analyse cinétique plus détaillée
est alors
nécessaire.
Le
paragraphe
suivant
sera
consacré à
une
théories des gaz, qui permettent de décrire l’évolution
rapide présentation des
spontanée
du
système
partir d’un état proche de l’équilibre. Elles seront détaillées dans le
chapitre II.
à
I.8.
Ces théories
ne
sont pas directement
applicables à l’étude
fluctuations statistiques constatées à l’échelle de l’observation dans
des
un
gaz
équilibre macroscopique. Leur utilisation exige une analyse statistique
préalable qui a été essentiellement effectuée par MORI. Les travaux de celui-ci
en
seront
présentés
au
paragraphe
IV.
II. DESCRIPTIONS D’UN GAZ PUR
Nous introduirons
cription macroscopique
paragraphe
par
quelques rappels
sur
la des-
des gaz.
Echelle
1).
ce
macroscopique : Rappels
L’échelle macroscopique est celle de
l’équation d’état qui peut
s’écrire :
La loi de Mariotte,
il
ne
se
=
,
0
RT
est la
V
le volume
0
T
la
R
est la constante des gaz
pression
à
l’équilibre
température
définit le gaz
parfait,
parfaits
dans
produit pas de collisions, les molécules étant ponctuelles et
teraction mutuelle. Des
senter le
V
0
P
0
P
équations empiriques plus complexes permettent
lequel
sans
de
in-
repré-
comportement des gaz réels.
grandeurs définies à partir de l’équation d’état
Les
milières. Dans la suite,
v
C
=
nous
( ~U ~T )V
nous
sont fa-
rencontrerons :
U
énergie
v
C
chaleur
spécifique
molaire à volume constant
I.9.
H
p
C
U
=
+
V enthalpie
0
P
chaleur
IC
vib
vib
E
spécifique
molaire à pression constante
interne de vibration
chaleur
spécifique
énergie
interne de vibration
et de même pour la rotation
(La différentielle est totale
car
vib
E
et
rE
otne
dépendent
est le coefficient
Entre
ces
quantités existent
Le calcul
VT
P
0
cas
explicite
du gaz
est
isotherme
le coefficient de
compressibilité
le coefficient de
compressibilité adiabatique
de
ces
grandeurs
en
l’équation d’état.
fonction des variables
Il est
particulièrement
parfait pour lequel :
Si le gaz parfait est monoatomique,
spécifiques
d’expansion thermique
les relations :
suppose la connaissance de
simple dans le
température).
que de la
purement translationnelle :
la contribution
aux
chaleurs
I.10.
S’il est polyatomique :
le gaz n’est pas
Lorsque
valables, notamment
et
p
C
parfait,
dépendent
v
C
de la
relations cessent d’être
ces
pression (CI rot
et
I vib
C
ne
sont pas modifiées).
Comme
relations
de
et
macroscopique,
l’équilibre
jusque
dans
Domaine
2).
Nous
équations
et de
de
savons
une
description
comportement dyna-
au
hydrodynamique
que l’évolution d’un fluide dans
l’hydrodynamique.
l’énergie
dans
façon empirique,
l’aide d’hypothèses
point de
vue
que
un
en
domaine satisfait
Celles-ci constituent la formulation locale
particules, de la quantité de mouvement
milieu continu à cette échelle. On peut les obtenir,
),
7
(
thermodynamique des processus irréversibles
simples
nous
ce
et
à
compte tenu des symétries du problème. C’est
la démonstration
présentons ici,
rigoureuse
de
ces
ce
lois
donnée ultérieurement.
Dans
nirons les
2022 n(r,
2022
domaine,
intéresser maintenant
nous
des lois de conservation du nombre de
sera
ce
le
hydrodynamique dans
de celui-ci.
mique
de
le domaine
Elle constitue, dans
local.
statique du gaz. Nous allons
aux
et les
précédemment, l’équation d’état,
qu’elle implique entre les différentes variables, sont valables
à l’échelle
cas
l’avons dit
nous
un
grandeurs
fluide pur,
non
soumis à
une
force extérieure,
nous
défi-
locales :
t) densité locale de particules
au
masse
d’une
(r,
0
v
t) vitesse locale déjà introduite
molécule,03C1(r
t)
=
point
r
à l’instant t
n(r, t)m est la densité
en
(si
masse)
m
est la
I.11.
2022 u(r, t) est la densité d’énergie "interne" locale; elle est définie
valeur locale de la densité
nement"
.
2
0
1 2 03C1v
d’énergie,
Elle prend
en
non
leur
enfin leur
d’interaction mutuelle.
énergie
Les
comprise la contribution "d’entraî-
interne éventuelle de rotation et vibration,
) :
8
(
de conservation s’écrivent alors
équations
Les notations tensorielles sont celles de la référence 8. Elles sont
dans
l’appendice
de mouvement
I.
P est le tenseur des
. Il est,
0
03C1v
au
pressions. C’est
c’est-à-dire qu’il conduit dans l’expression de l’entropie à
nel à
P :
un
la "force"
terme
quantité
,
0
v
proportion-
Vv0.
De même,
"force"
rappelées
le flux de la
thermodynamique, conjugué de
sens
la
compte l’énergie cinétique d’agitation thermi-
que des molécules,
énergie
comme
le vecteur flux
d’énergie q
est le "flux
conjugué"
de la
~T.
Les méthodes de la
admettre, dans
un
thermodynamique irréversible consistent alors à
système proche
de
l’équilibre local,
une
relation linéaire
entre "flux" et "forces" associés.
Dans
un
fluide
homogène,
permet alors d’obtenir, pour P et
q,
la
des
prise
en
compte des diverses symétries
expressions phénoménologiques.
1.12.
ce
qui définit la conductivité thermique 03BB. Cette expression constitue la loi
empirique
de Fourier.
L’expression
de P est donnée par la loi
empirique
de Newton.
U est le tenseur unité
P la
pression hydrostatique
03A3 le tenseur des contraintes
Introduisant :
i, j coordonnées cartésiennes
on
peut donner l’expression de la composante
Les facteurs
S
~
et
v
~
sont
respectivement
ij
03A3
:
la viscosité de cisaillement et la
viscosité de volume.
La définition des coefficients de
relations entre "forces" et "flux
conjugués"
dynamique des processus irréversibles.
transport ~ et 03BB à partir des
est
un
procédé général
en
thermo-
I.13.
De la même
au
façon,
on
peut associer
processus de self-diffusion
se
produisant
~03C1 (ici
d’une "force"
cules lié à la force par la loi
d’où
l’équation
dans
densité),
de
gradient
un
un
coefficient de
un
se
fluide;
produit
un
l’effet
flux de
parti-
de Fick :
phénoménologique
habituelle de la diffusion :
2
~
Ces
procédés cependant
de
l’équilibre local;
du
système; d’autre part
d’une part
car
on
ne
car
a
On voit que
est le
laplacien.
sont utilisables que dans
ils
recours
dans la transformation de certaines
de fermer le
sous
transport
postulent
à
un
état proche
la linéarité de la
l’équation d’état
réponse
liant p, T et P
équations.
l’hypothèse
d’une relation entre flux et forces permet
système.
Reportons dans
les
équations
de conservation les
expressions
de
P et q. On obtient la formulation suivante :
Le
système étant proche
linéariser
ces
de
0303C1
0
C1-03C1
gradients
l’équilibre(
équations vis-à-vis
des
Après quelques transformations,
habituelle :
«
nous
1 par
exemple ) ,on
et des écarts à
obtenons la
pourra
l’équilibre.
formulation
I.14.
Nous
verrons
que
0 apparaît
V
comme
la vitesse du
son
adiabatique
dans le milieu.
Ces
le fluide est
équations
sont valables dans le domaine
proche de l’équilibre
local. A cette
crire le retour
spontané
che de celui-ci
(elles peuvent également, si
à
l’équilibre
rieure, décrire la réponse du fluide à
Ces
analyse plus fine
équations
du fluide à
on
échelle, elles peuvent dé-
partir d’un état initial pro-
y fait
figurer
petite perturbation
une
sont pas valables dans
ne
hydrodynamique lorsque
le domaine
est alors nécessaire afin de déterminer la
à des perturbations rapidement variables
ou
son
évolution
une
force exté-
lentement variable)
cinétique. Une
réponse
du fluide
spontanée à l’échelle
du libre parcours moyen.
3). Domaine cinétique
La base
théorique
De même que les
est alors constituée par
équations
de
l’équation
de Boltzmann.
l’hydrodynamique exprimaient, dans
ce
domaine, des lois de conservation, de même l’équation de Boltzmann n’est pas
autre chose
qu’une loi de continuité, exprimée à l’échelle du libre parcours moyen
I.15.
Soit f la fonction de distribution des vitesses moléculaires. La
quantité
f(r, v,
t)
l’élément de volume
le domaine
v
3
d
que f évolue
rique
d 3
r
3
d représente le
v
r autour du point r
3
d
autour de la valeur
sous
nombre de molécules situées dans
et dont la vitesse est
L’équation
v.
de Boltzmann
comprise dans
exprime le fait
l’effet des collisions moléculaires et traduit le bilan numé-
de celles-ci.
Pour
un
gaz
monoatomique
l’absence de force extérieure
en
appliquée,
ceci s’écrit :
l’expression
formelle(
~f ~t )coll
peut être explicitée
potentiel d’interaction moléculaire,
Pour l’instant,
validité de cette
nous
ce
qui
fait
au
l’on
chapitre
insisterons essentiellement
donne le
se
sur
suivant.
le domaine de
équation.
Elle est limitée
aux
collisions binaires et à
grande devant la durée des collisions (ou
devant les dimensions
au
sera
si
moléculaires),
ce
encore
à
une
qui correspond
échelle de temps
une
échelle spatiale grande
dans
nos
définitions
domaine continu.
Cette limitation tient
états avant et après la collision,
teragissent. L’équation
sans
fait que l’on n’effectue
traiter la
La fonction f est
bilan des
les molécules in-
une
de fonctions de distribution à
fonction de
probabilité
(elle donne la densité de probabilité de trouver,
vitesse v).
période où
qu’un
n’est pas valable pour les collisions multiples dont la
description implique l’utilisation
ticules.
au
au
à
une
point
r,
plusieurs
par-
seule molécule
une
molécule de
I.16.
Il est possible de
atomiques. Si
au
sens
nous
de la
représentons
mécanique
généraliser
équation
cette
au
par Q l’ensemble des coordonnées
molécules) et par P l’ensemble de leurs moments conjugués,
ques que les collisions
inélastiques
lation
dernières reste
explicite de
ces
écrirons (
)
8
nous
échange d’énergie
avec
généralisées
:
aussi bien les collisions élasti-
compte
en
poly-
l’absence de force extérieure
en
prend
des gaz
les coordonnées internes des
(y compris
hamiltonienne
Le second membre
cas
encore
interne. La formu-
problème théorique à
un
appro-
fondir.
Nous discuterons
tiques
de
dans la suite les
longuement
de Boltzmann et les méthodes
l’équation
propriétés
employées
pour
sa
mathéma-
résolution.
Bornons-nous ici à quelques remarques :
2022 Le second membre de
la densité du gaz.
de collision.
celle-ci tend
Lorsque
Une solution de
correspondant à l’équilibre
2022
admet des solutions
très rapidement
en
non
analytiques (ce
signification physique de
par
L’équation
de
intégration,
à des
l’hydrodynamique.
en
est de même du terme
absolu.
de
unique;
façon générale, outre
sont des distributions)
d’interpréter
microscopiques,
hydrodynamique tant que
zéro, il
est alors la distribution de Maxwell
temps de l’ordre de
un
proportionnel à
de Boltzmann est
la
proche d’une maxwellienne, l’équation de Boltzmann
Il est tentant
2022
vers
l’équation
Cette solution n’est pas
fonction de distribution
fluctuations
l’équation
ces
que l’on
qui s’atténuent
.
c
03C4
ces
appelle
solutions
comme
traduisant des
modes de Knudsen.
solutions sont, pour l’instant,
Les avis
sur
la
partagés.
de Boltzmann est bien entendu valable dans le domaine
les collisions
multiples
équations qui, près
Elle permet donc, pour
de
un
sont
négligeables.
l’équilibre local,
Elle conduit,
seront celles
potentiel d’interaction donné,
et 03BB et fournit
le calcul
explicite
ainsi
démonstration des lois empiriques de Fick, Newton et Fourier de même
qu’une
une
des coefficients de
bonne étude de leur validité.
transport
S
~
,~
v
,D
I.17.
Cette équation est utilisable dans le domaine
basses
cinétique
et
aux
pressions du domaine hydrodynamique. Les équations phénoménologiques
prennent la relève dans la région des pressions élevées.
Après
disposons
ils sont
cette
présentation rapide
pour décrire l’évolution d’un gaz,
applicables pratiquement à
fluctuations
spontanées dans
un
nous
devons
problème, qui
notre
gaz à
des outils
théoriques
nous
dont
demander
nous
en
quoi
est le traitement des
l’équilibre.
III. APPLICATION DE CES THEORIES AUX FLUCTUATIONS
L’état
microscopique
d’un
système classique
est
connu
si l’on
se
donne à tout instant les positions et les vitesses de toutes les molécules,
c’est-à-dire le point X(t)
6N coordonnées
représentant
le
système
dans l’espace des
phases à
(N est le nombre de molécules, le gaz est supposé monoatomique).
L’évolution temporelle de X(t) obéit
aux
équations
de Hamilton.
Elle est par-
faitement définie.
Pour effectuer la description d’un tel système par des méthodes
statistiques,
et de la
on
position
introduit les variables
r,
que
nous
l’impulsion
phase X(t)
l’équation
d’évolution :
de Liouville s’écrit :
où H est le hamiltonien du
et
fonctions de la
noterons :
Ces variables satisfont
L’opérateur
dynamiques
système,
dE la molécule
j.
La
respectivement
rjet pjsont
prise
somme
est
sur
la
position
toutes les molécules.
I.18.
La valeur moyenne d’une variable
dynamique
A
sur
l’état décrit
par le hamiltonien H s’écrit :
Z est la fonction de
Le hamiltonien de
partition du système :
l’équilibre canonique
sera
noté
0
H
et les
moyennes correspondantes :
Ces
quantités
sont des constantes.
partir d’un hamiltonien différent dépendent
Pour décrire le système
avec
en
une
En revanche,
général
de
r
les moyennes à
et t.
précision correspondant à
la
donnée de X(t), il faudrait bien entendu utiliser 6N variables dynamiques indé-
pendantes. On conçoit cependant qu’il est possible d’obtenir
grossière
l’objet
du traitement statistique du
problème.
Le principe de la méthode consiste à réduire le
dans
système fermé
équations :
lesquelles l’opérateur L comporte
variables, à
un
6N-p variables
force
description
à l’aide d’un nombre réduit p de variables convenablement choisies.
Ceci constitue
des 6N
une
qui
ne
système de
restantes
sera
p
sera
équations
traité
des termes
aux
comme
couplant entre elles les 6N
p variables retenues.
une
force aléatoire f
L’effet des
appliquée,
bien entendu définie que par des critères statistiques.
I.19.
Il
de la
s’agira
ensuite d’établir le lien entre
réponse linéaire, qui décrit
petite force extérieure appliquée
le
ou
ce
procédé
comportement du système
son
sous
et la théorie
l’effet d’une
évolution à partir d’un état initial
proche de l’équilibre.
On peut montrer que la donnée de la fonction de corrélation de la
force aléatoire suffit à la
le processus aléatoire étant markovien
description,
("le futur est indépendant du passé pour
un
présent
connu"
9
(
)
).
La fonction de corrélation de la force aléatoire s’écrit :
*
où f
est
le
complexe conjugué de f.
Le
système étant macroscopiquement
aléatoires considérés sont stationnaires,
plus, l’homogénéité du système
ne
dépend
que de
et
son
donc ~
isotropie
en
ne
équilibre,
dépend
ont pour
les processus
que de t-t’.
De
conséquence que ~
|r - r’|.
On peut expliciter les critères permettant le choix des variables
retenues
en
comparant leur temps d’évolution à celui de ~.
~ Dans le
cas
où le choix des p variables
a
quelconque, leurs temps d’évolution sont
de ~
et le
procédé
ne
présente
aucun
été effectué de façon
du même ordre que celui
intérêt. En effet,
on
décrète
arbitrairement de traiter différemment des quantités dont les
va-
riations sont comparables. On peut donc s’attendre à de mauvais
résultats.
~ En revanche, s’il est possible de trouver
bles
celui
dynamiques
de ~,
dont les
la force f
un
temps d’évolution soient longs devant
possèdera effectivement,
variables, le caractère d’une force aléatoire
fructueux.
ensemble de p varia-
vis-à-vis de
et le
procédé
ces
sera
I.20.
Cette situation
deux classes bien
-
-
séparées
se
présente lorsqu’il
est
de
possible
distinguer
de variables :
des variables
"lentes"
des variables
"rapides" dont le temps d’évolution
plus court et qui
qui
seront
seront retenues
remplacées globalement
est sensiblement
par la force
aléatoire.
Dans le
limite où les
cas
temps d’évolution des variables rapides
sont infiniment courts devant ceux des variables lentes et devant
temps
de
l’observation,
on
pourra considérer que le
l’échelle de
temps de corrélation de la
force aléatoire est nul :
Pour classer les variables
il faut
référer
se
aux
dynamiques
en variables lentes et
processus de collisions entre molécules
ou
rapides,
à
encore
l’équa-
tion de Boltzmann.
Lors des collisions entre molécules
se
conservent
variables
globalement
une
seuls
molécules, l’impulsion et l’énergie. Les
dynamiques associées qui sont la densité 03C1(X, r), la vitesse v
(X, r),
0
l’énergie cinétique
ont
le nombre de
supposées ponctuelles,
(X,
c
E
r) et dont les valeurs locales ont été déjà introduites,
évolution lente devant l’intervalle
03C4
c
entre
collisions.
On les
appelle
variables conservatives.
Toute autre grandeur microscopique associée à
effectuant
une
un
couple de molécules
collision est modifiée par celle-ci. Les variables dynamiques
respondantes sont non-conservatives. Leur temps d’évolution est comparable à
Dans
un
un
gaz
monoatomique,
ensemble de variables lentes,
ques de
description
ce
force à
.
c
03C4
les variables conservatives constituent
qui explique le succès des procédés empiri-
des gaz à l’aide des variables locales associées dans
le
domaine hydrodynamique : les variables rapides peuvent y être remplacées par
une
cor-
temps de corrélation nul.
I.21.
L’introduction
second membre de
au
riables lentes d’une force aléatoire f(t)
rapides
est due à
phénoménologique
lation nul,
Langevin
de
dans
l’équation d’évolution
Langevin, écrite
va-
représentant l’effet des variables
étude du mouvement brownien.
son
des
dans le
où f(t)
cas
a
L’équation
temps de corré-
un
été démontrée par Mori et
a
généralisée à des temps de corrélation
nous allons présenter maintenant.
finis. C’est le travail de Mori que
IV. LA METHODE DE MORI )(
10
(
)
11
de
1). Equation
Le
variables
en
un
D
est
à résoudre est la réduction du
système fermé
à p variables
opérateur linéaire
toire traduisant l’effet des
1
A
en
...
A
p
A
que l’on écrira,
qu’il faut définir.
6N-p variables
non
en
f(t) est la force aléa-
retenues dont la fonction de
Les variables dynamiques sont choisies de
l’équilibre
Voyons
6N
notation matricielle :
corrélation doit être déterminée par le calcul. Le système est
à
aux
dynamiques indépendantes :
système
un
problème
Langevin généralisée
soit nulle :
tout d’abord comment est définie la force f(t).
façon
en
équilibre.
que leur moyenne
I.22.
On peut toujours écrire l’évolution de A
sous
la forme :
où le second membre comporte deux contributions :
On
distingue
et la partie
F
(
1
t) qui est une fonction de A(t’)
t’ t
(t) qui dépend explicitement des variables rapides.
2
F
(t) la partie linéaire en A qui peut s’écrire :
1
F
dans
linéaire qui
non
s’ajoutera à F
2
de
départ s’écrit
ce
qui définit f de façon unique.
Il
s’agit
mathématiques
2).
de
particulière.
La méthode
employée
Construction d’un espace de Hilbert
choisi ici de
Cette
à
utilise les techni-
projecteurs.
miques d’une structure d’espace
sera
système fermé
maintenant d’effectuer la réduction du
On peut munir l’ensemble des valeurs
Celui-ci
L’équation
donc :
6N variables à cette forme
ques
pour constituer f(t).
hypothèse
de Hilbert
façon
ne
permet de développer entièrement
que
en
sur
numériques
y définissant
l’opérateur
dynamiques
des variables
un
dyna-
produit scalaire.
de Liouville soit hermitien.
suffit pas à définir le
les calculs.
les variables
Dans la
produit
scalaire mais
présentation
de Mori,
l’in-
troduction d’un produit scalaire explicite n’intervient qu’en conclusion de ceux-ci
Nous sacrifierons ici la
le
départ
rigueur
et la
la forme du produit scalaire,
généralité mathématiques
ce
et donnerons dès
qui permettra de faire apparaître
plus clairement la signification physique ultime
des
manipulations.
I.23.
Soient G et K deux variables
dynamiques (telles
que <G>=<K>=0).
On définira leur produit scalaire par :
qui n’est autre
bien que
que la fonction de corrélation de
maintenant
va
lution lente, et
3). Décomposition
On
sépare l’espace
-
-
ce
0
A
en
de Hilbert
en
l’espace qui
ces
projecteurs P
par
Ce choix
ces
.
0
A
La
étudiée
sera
en
décomposition d’une variable
complémentaires
s’effectuera par action des
orthogonal.
particulier
sous-espaces orthogonaux
entre
orthogonal
0
A
:
et 1 - P sur le sous-espace
sous-espace
0 des p variables A(t).
=
0
A
lui est
deux sous-espaces
sur
évo-
deux sous-espaces :
référence à l’état initial particulier
sur
une
orthogonaux
sous-espaces
que l’évolution des variables
qui signifie physiquement
donnée
scalaire.
deux sous-espaces
sous-espace où les variables ont
l’ensemble des valeurs à t
l’espace engendré
et
un
en
produit
ce
sous-espace correspondant à des variations rapides.
un
Soit
de Hilbert
séparer l’espace
dans le but de définir
orthogonaux,
deux variables. On vérifie
de Liouville est hermitien vis-à-vis de
l’opérateur
On
ces
sera
pour la
séparation
l’espace
fructueux si à tout instant f(t)
orthogonal à A
, c’est-à-dire s’il
0
grandeurs :
de
y
a
de Hilbert
appartient
au
indépendance statistique
en
I.24.
Dans
ces
les deux sous-espaces
simplifiée obtenue
Il
entre f(t)
obtenus.
et
conditions, la projection des équations du mouvement
orthogonaux
conduit
nous
0 qui
A
au
et l’étude dans chacun d’eux de
sur
l’équation
résultat final :
reste à discuter la condition
est la base du calcul et à
d’indépendance statistique
expliciter
les résultats
1.25.
4).
Discussion de la relation
Nous avons, dans
*
0
A
< f(t)
qui précède, défini
ce
>
0
=
de
façon unique
la force
f(t) et choisi pour le produit scalaire la forme particulière permettant l’in-
terprétation physique
du
procédé mathématique
de
projection.
*
La relation
imposée
à l’état initial
statistique, effectuée
il faut
y ait
qu’il
f(t)
<
,
0
A
en
ce
>
0
A
0
"compatibilité"
pas
la
une
état initial donné, soit fructueuse,
un
entre le processus aléatoire stationnaire
lesquels peut
se
trouver le
a
système.
distinguer parmi
pu
description utilise précisément les variables lentes. C’est le
en
régime hydrodynamique
S’il n’est pas
bien distinctes,
ou
si la
possible de séparer
bles
supplémentaires,
monoatomiques
peut
les variables
description doit traiter
caractérisant les variables lentes,
Il
les
ce
avec
se
faire
non
en
précision
qui impose d’y
la condition n’est pas réalisée
dans le domaine
cas
des gaz
quasi hydrodynamique.
ou
ceux
des gaz
condition
deux groupes de temps d’évolution très différents et si
dynamiques
monoatomiques
que
comme
surprenant. Pour que l’analyse
Cette condition est triviale si l’on
variables
donc
apparaît
qui n’est
référence à
et l’ensemble des états dans
=
en
deux classes
des
temps plus courts
inclure des varia-
général.
C’est le
cas
hydrodynamique.
également qu’il
existe
une
variable "intermédiaire"
entre les variables lentes et les variables
rapides,
de relaxation.
relaxation, il faut l’inclure parmi
Pour traiter
précisément
les variables lentes. Bien entendu,
nouvel ensemble de variables
sera
la
c’est le
l’indépendance statistique
cas
des processus
entre f(t)
et
ce
d’autant mieux réalisée que la relaxation est
plus lente.
Cette relation
d’indépendance statistique peut
remment en utilisant la notion d’état
liaison entre
du
l’équation
de
contraint, qui
Langevin généralisée
système à partir d’un état initial proche
de
nous
et celle
être formulée diffé-
permettra de faire la
qui
décrit l’évolution
l’équilibre canonique.
I.26.
L’état
0
A
dans lequel
se
trouve le
système à
t
=
0
peut être
-~) à l’équilibre
appliquant à celui-ci, supposé initialement (t
canonique, une force extérieure F(r, t) se couplant aux variables A (la préobtenu
en
=
sentation utilisée ici est celle de
que celle de Mori).
La
préparation
du
Selwyn
Le hamiltonien du
système
dans l’état
et
(
) plus explicite
2
Oppenheim 1
système s’écrit
0
A
alors :
est effective si l’évolution de F
est lente devant celle de toutes les variables A donc si
été
application
a
adiabatique.
A l’instant t
=
0, la force est supprimée et l’on s’intéresse à l’évolution du
système
à partir de l’état initial
système
hors
Dans
son
d’équilibre décrit
.
0
A
12
) :
sur
le
par H s’écrivent :
l’approximation linéaire vis-à-vis
établir la relation (
Les moyennes des variables A
de la
perturbation H - H
,
0
on
peut
I.27.
avec :
ce
qui peut s’exprimer ainsi :
L’évolution à partir d’un état initial hors d’équilibre de la
moyenne de la variable
dynamique
A est la même que celle de la fonction d’auto-
corrélation de cette variable. Ceci constitue la démonstration de
l’hypothèse
13
(
d’Onsager ).
Les
équations d’évolution
bles A s’obtiennent
en
des fonctions de corrélation des varia-
projetant l’équation de Langevin généralisée
(on suppose que la transformée de Fourier spatiale
L’évolution des valeurs moyennes
équations
que
nous
A(q,
pouvons par suite identifier
l’évolution
spontanée du système à partir d’une
indépendamment de la façon dont cette situation
Ce sont les
obtenues par des théories
équations
de
a
les
On obtient :
ces
équations décrivant
situation hors
d’équilibre,
été réalisée.
l’hydrodynamique
pour
q
«
1, et celles
plus évoluées dans les situations où q ~ 1.
Quelle est l’expression de la moyenne de f
par le hamiltonien H ?
0
A
été effectuée).
t) obéit également à
avec
a
sur
sur
le
système décrit
I.28.
L’indépendance statistique
f est nul,
cessus
de
que l’on
ce
peut interpréter
entre f et
comme
une
A se traduit par le
0
"compatibilité" entre
fait que
le pro-
aléatoire stationnaire et l’état atteint par le système : l’évolution
A (ou de E)
est l’évolution
Nous voyons à
des fluctuations
statistiques présentes
décrivant l’évolution de
Mis à
ce
gaz dans
un
ou
de la théorie de
dans
l’exposé
et ~
sont calculables dans le
expression
est
un
gaz à
dans
un
état
non
part cet acquis théorique,
tats obtenus sont utilisables,
et que leur
peut directement appliquer à l’étude
que l’on
présent
lorsqu’on néglige f(t).
de A
la plus probable
on
l’équilibre
les théories
uniforme.
peut
se
demander si les résul-
bien s’ils sont purement formels. Nous
l’hydrodynamique généralisée
que les matrices 03A9
temps de corrélation très court,
cas
où f(t)
bon
guide théorique lorsque
a
verrons
un
celui-ci augmente.
matrice ~ sont identifiables lorsque ~(t) ~ 03B4(t)
transport 03BB et n
S
dont ils constituent l’expression micro-
Les termes de la
coefficients de
aux
scopique. On
thodes
trouvera
en
de calcul de 03A9
pratiques
Il
plus de détails dans l’appendice II dans lequel les mé-
nous
faut à
et ~
obtenus sont
tions de densité dont
présentées
un
gaz
en
équilibre.
un
gaz
Nous
monoatomique.
on
recueille
verrons
que les
proportionnels à la fonction de corrélation des fluctuanous
venons
de montrer que
à l’aide des théories des gaz. Les outils dont
fait
pour
présent étudier quels renseignements
étudiant la lumière diffusée par
spectres
sont
adaptés à l’interprétation
de
l’expérience
son
nous
que
évolution est calculable
disposons
nous
sont donc tout à
aborderons ensuite.
V. ANALYSE D’UNE EXPERIENCE DE DIFFUSION DE LA LUMIERE
Nous allons dans cette partie établir l’expression de la lumière
diffusée dans
une
direction donnée par
incident monochromatique.
un
gaz illuminé à l’aide d’un faisceau
Fig.
I-3
Schéma d’un montage de diffusion de la lumière
I.29.
Nous savons qu’un milieu
homogène
inhomogénéités
la direction du faisceau incident. Ce sont les
fluctuations qui sont à
l’origine
diffuse la lumière que dans
ne
locales dues
aux
de la diffusion observée dans toutes les di-
rections.
Schéma du montage et intensité diffusée dans
1).
figure
La
3
de la lumière.
fusion
lignement,
est
présente
recti-
polarisé
dans la cellule contenant le gaz.
envoyé
gaussienne
de dif-
principe d’une expérience
le schéma de
Le faisceau incident, monochromatique et
L’onde incidente
structure
direction donnée
une
sera
les corrections dues à la
supposée plane,
du faisceau étant
dans notre étude
négligeables
Nous écrirons donc le champ
électrique incident dans
14
(
).
le milieu
sous
la forme :
avec :
où C est la vitesse de la lumière dans le vide;
est la
incidente. Le faisceau diffusé est étudié dans la
pulsation
faisant
l’angle 03B8
la distance R de
avec
la direction incidente
champ électrique
donc y définir
à
ce
tante
terme)
une
E,
constante
03B5(r, t).
03B5. Les
equ
( fig.
4 )en
un
203C003BD
0
direction j
=
point M situé à
l’origine.
A l’échelle de la
tiale du
l’indice du milieu; 03C9
0
n
longueur d’onde, c’est-à-dire
le milieu est,
diélectrique
Si le milieu était
nous
de l’évolution spa-
l’avons vu, continu. On peut
locale (au
homogène,
sens
que
nous
avons
cette valeur serait
donné
une
fluctuations de la densité locale du gaz ont pour effet des
cons-
Fig.
I-4
I.30.
fluctuations de la constante
de la densité locale
tuant le
03C1(r,
développement
selon la méthode
de
proposée
On admet que 03B5(r, t)
diélectrique.
t) et l’on met
en
évidence
),
que
ses
dépend
ne
variations
en
que
effec-
Taylor :
par Pecora
15
(
nous
allons suivre lors de
l’exposé :
La constante
0
03C1
en
nous
diélectrique
première approximation
formule
par la
du milieu est liéée à
de Lorentz-Lorenz
sa
densité
16ce
(
),
qui
permet d’évaluer le terme différentiel :
où 03B5
0 est la
permittivité
du vide.
Introduisant l’indice
L’expression
au
equ
03B5
premier
ordre
point M, situé à
en
du
n
du milieu,
champ simplement diffusé
écrirons :
d
E
s’obtient
en
résolvant
perturbation les équations de Maxwell dans le milieu. Au
la distance R du milieu,
mensions de celui-ci
nous
(
|R| » |r|
supposée très grande
), l’expression de
d
E
s’écrit
devant les di-
(onde sphérique)
I.31.
Les transformées de Fourier
par les
expressions :
Lorsque
la confusion est
nous
temporelle
sont définies
possible, la variable est explicitée :
Le vecteur d’onde de la diffusion est q
Si
et
spatiale
i
k
- k
.
d
=
posons :
nous
pouvons écrire :
( On
choisit
quelquefois d’exprimer
hors du milieu du
champ diffusé
le
champ incident. Si celle-ci, soit
suffira bien entendu de remplacer dans la formule
en
0
03B5
,
fonction de la valeur
se
réfère
précédente E
0
au
vide, il
expression :
par
son
une
variable
d
E
du
champ diffusé
aléatoire de moyenne nulle. Cette variable
ne
s’annule pas à l’infini, aussi
De même que la
quantité 039403C1, l’amplitude
prenant simplement le carré du module de
ne
peut-on pas calculer le spectre
sa
transformée de Fourier. Il faut avoir
en
est
recours
à des traitements statistiques
I.32.
qui font intervenir la fonction de corrélation du champ, elle-même transformée
de Fourier de la densité
Khintchine
spectrale I(q,
compte du fait
homogène
des
et
selon le théorème de Wiener-
1
(
)7
:
La fonction d’autocorrélation du
tenant
)
d
03C9
champ diffusé
a
été écrite
sous
la forme
que le processus aléatoire est stationnaire,
isotrope (ce dernier point
a
pour
simple
et le milieu
conséquence l’indépendance
des
mo-
spatiaux).
Explicitons l’expression précédente :
avec :
(expression
obtenue
en
utilisant, dans le calcul des dérivées temporelles, le
fait que le processus aléatoire est stationnaire).
La fonction d’autocorrélation des fluctuations de densité
apparaît dans l’intégrale
les
est
une
périodes lumineuses. On peut
grandeur "certaine" qui
par suite faire
qui
varie lentement devant
l’approximation habituelle :
I.33
Soit :
expression où l’on
Cette
a
introduit la variation de
pulsation, associée à l’évolution
est très faible devant les
densité,
pulsation
de la fonction d’autocorrélation de la
pulsations lumineuses 03C9
0
et
d
03C9
qui sont
pratiquement égales. Aussi parle-t-on de diffusion quasi-élastique. On utilise
également
le terme de diffusion cohérente. En effet,
les processus
pris
compte par le calcul étant scalaires, les contributions moléculaires
diffusé sont partout parallèles
On peut
comme
l’expression
champ incident
constitué du
diffusé
(impulsion
incident
photon
énergie
,
d
k
et
en
phase
avec
champ
lui.
la double relation :
de la conservation de
système
d’impulsion q
interpréter
au
au
en
)
d
03C9
l’impulsion
(impulsion
et du
,
i
k
l’énergie dans le
énergie 03C9
) du photon
0
et de
phonon acoustique d’énergie 03C9 et
associé à la fluctuation considérée.
I.34.
ou
encore,
si 03B8 est
Cette
l’angle
des vecteurs unitaires
interprétation
ne
s’applique
excitations de durée de vie infinie. La
peut comporter
tions ont
une
élargissement
une
en
fréquence 03C9
partie imaginaire qui correspond
durée de vie finie et qui
i et j :
se
toute
des
rigueur qu’à
des excitations réelles
au
fait que
excita-
ces
traduit dans le spectre par
un
des raies.
Dans le
cas
de fluctuations
qui
ne
se
propagent
pas,
on
interprè-
tera la relation :
comme
traduisant la condition de réflexion de Bragg
constitué par la composante
sur
le réseau de pas
203C0/q
t) de la modulation spatiale de la constante
(q,
1
03B5
diélectrique.
Le pas
nos
expériences,
203C0/q
est de l’ordre des
Le calcul
la densité
autour de
La
spectrale
ce
donne l’échelle de l’observation du milieu
au
qui précède
point
point s’écrit
2 représente
E
0
quantité 1 2 C03B5
l’écrire :
faisceau. On
peut
nous
( fig.
la
dans
longueurs d’onde lumineuses.
a
donc
permis d’établir l’expression
M. L’intensité diffusée dans
alors
qui,
l’angle
de
solide d03A9
4 ) :
puissance incidente
par unité de surface du
I.35.
0
P
puissance incidente
A
section droite du faisceau
(et également du volume éclairé)
Nous introduirons
l’expression normalisée
Le dénominateur de cette
<
039403C1(q,0) 039403C1(-q,0)
Si L est la
>
longueur
=
de
du
spectre de la lumière diffusée :
quantité
18
(
)
:
est donné par
03C1
kT
2
0
V~
T
où V est le volume éclairé.
=
V et
l’expression
simplifie
dans
un
celui-ci, AL
de
d J
s’écrit :
Cette dernière
moyennes pour
0
03BB
est la
lesquelles n-1
longueur d’onde
Nous
pouvoir
nous
avons
expression
se
est faible et
proportionnel à
incidente dans le vide
gaz
aux
densités
la densité
Q
03BB
0
2
= 203C0C
1p
03C9
p
effectué la totalité du développement numérique afin de
référer dans la suite à l’expression complète de l’intensité diffusée
Pour l’instant,
trer notre attention
sur
le
nous
allons
renoncer
spectre normalisé
à cette
généralité
et
S(q,03C9).
concen-
I.36.
S(q,
2). Calcul
de
Le spectre
S(q, 03C9)
03C9)
est
proportionnel à
la double transformée de
Fourier, dans le temps et dans l’espace, de la fonction d’autocorrélation des
fluctuations de densité locale :
qu’il
nous
faut à
présent
calculer.
L’étude de Mori
de
C[r,
imposée
t) peut être obtenue
de densité. Soient
a
nous
permis d’établir
écrivant la
en
1
A
...
p
A
réponse
les variables
que
l’équation
du gaz à
une
d’évolution
variation
dynamiques utilisées
pour
décrire le
système, parmi lesquelles se trouveront l’écart de la densité à sa
valeur moyenne 03C1(X, r) - 0
03C1 noté 039403C1 , la vitesse v
(X, r) et l’écart de l’éner0
gie cinétique à sa valeur moyenne noté 0394E
(X, r). Nous savons que dans un gaz
c
monoatomique,
ces
trois variables sont les variables lentes du
elles suffisent à le décrire
en
temps caractéristiques
L’équation
de
des variables
non
03C4
C
,qui
qu’
Langevin généralisée s’écrit,
l’équation matricielle :
est de l’ordre
conservatives).
sous
La matrice E(r, t) des fonctions de corrélation :
satisfait
et
régime hydrodynamique (c’est-à-dire lorsque
l’échelle temporelle de l’observation est grande devant
des
problème
forme matricielle :
I.37.
En limite
hydrodynamique, ~
s’identifie
équations
aux
Dans le
fonction mémoire
cas
est
de
une
fonction 03B4 et le
général,
le
système obtenu
est
plus complexe et la
dépend du temps.
de A,
spatiales
03A9 et ~ dépendent
obtenu
l’hydrodynamique linéarisées (appendice II).
Nous supposerons ici les
Fourier
système d’équations
selon la
alors de q.
équations écrites
présentation
de
pour les
composantes
l’appendice II. Les matrices
La transformée de Laplace
temporelle de l’équation
précédente s’écrit :
soit
encore :
où I est la matrice unité.
La fonction de corrélation des fluctuations de densité
a
pour
expression :
Dans
un
système
correlées à
un
en
équilibre,
instant donné
tique. Nous supposerons
définies pour être
non
les fluctuations de la densité
avec
que les
celles de la vitesse et de
ne
sont pas
l’énergie
ciné-
p-3 variables dynamiques utilisées ont été
correlées à la densité à
de
un
instant donné. Alors :
Tableau I-1
Matrice des coefficients des
équations hydrodynamiques
I.38.
soit finalement :
S(q, 03C9)
Le spectre
est alors :
La connaissance de la matrice M, que l’on peut déterminer, soit
étudiant la réponse du
directement à
partir
système à
perturbation extérieure, conduit donc immédiatement
une
des formules de
Mori, soit
en
au
spectre
de la lumière diffusée dans le gaz.
Nous allons, pour illustrer
la lumière diffusée par
un
résultat, calculer le spectre de
ce
dans le domaine
monoatomique
gaz
hydrodynamique.
On montre, dans l’appendice II, que la matrice M obtenue dans
ce
cas,
où ~
identique à
est une fonction
ne
nous
donc à leur
intéressons
projection
Le spectre
en
03C9
par
un
les modes du
q
polynôme
tableau
1
une
équations de l’hydrodynamique.
les variables p, T
sur
qu’aux composantes longitudinales
sur
S(q, w)
est
du troisième
racine
des
et j=
.
0
pv
fluctuations,
le vecteur d’onde q.
le
quotient d’un polynôme
degr D(03C9).
système : c’est l’équation
-
petit devant 1, est strictement
est
la matrice des coefficients des
Nous l’avons écrite dans le
Nous
03B4 et où
de
complexe pure :
L’équation
dispersion.
du second
D(03C9)=
degré
0 détermine
Elle admet :
I.39.
et deux racines
-
complexes conjuguées :
Les calculs ont été faits à l’ordre 2
l’ordre
d’approximation
dans M.
Le spectre
S(q, 03C9)
il est constitué de trois raies
est la raie
qui
incidente
qui
Rayleigh,
et
un
car
qui correspond à
expression :
( figure
doublet
5 ).
Une raie lorentzienne
symétrique
par
de
antisymétrique
ce
doublet est la
par
rapport à la
rapport des intensités intégrées
de
raies est :
ces
nous
largeur
nous
des raies est faible devant le
trouvons dans le
déplacement
de
fréquence
Dans
régime hydrodynamique (q petit).
domaine, le gaz présente des modes collectifs bien définis, du fait que,
nous
déplacée
rapport à la fréquence
Chaque composante
et d’une raie
non
19
(
rapport de Landau-Placzek ).
La
0q
V
ce
q
.
0q
±V
Le
C’est le
pour
est le doublet Brillouin.
superposition d’une lorentzienne
fréquence
a
en
ce
comme
l’avons dit plus haut, l’échelle d’observation est grande devant le libre
parcours moyen des molécules.
Pour aborder la
plus étendu de fréquenceset
de
l’hydrodynamique
au
chapitre suivant.
description
des gaz
monoatomiques dans
de vecteurs d’ondes, il faut
par des théories plus élaborées que
Les gaz
un
domaine
relayer les équations
nous
allons
présenter
polyatomiques seront considérés ensuite.
CHAPITRE II
-
Le but de
avons
ce
utilisées lors de
THEORIES DES GAZ -
chapitre est de présenter
de
l’interprétation
nos
les théories que
nous
Ce
expérimentaux.
résultats
sont, d’une part la théorie de l’hydrodynamique translationnelle, d’autre
part la théorie des modèles. D’abord écrites pour les gaz monoatomiques,
elles ont ensuite été
des gaz
pour décrire les
complétées
comportements spécifiques
polyatomiques.
Le but de la méthode des modèles est la résolution
de Boltzmann
l’équation
sur
la totalité de
dire aussi bien dans le domaine
fait
largement appel
plus anciennes,
la méthode de
consistant toutes deux
mais dans
en
acquis théoriques de
deux méthodes
et
aux
résolution
est différente :
elle
probabilité
des fondamentales de
L’écart
dans
appartient à
hydrodynamique, appliquées
tant que
ce
ne
de Boltzmann
f de
ensemble de méthodes
un
aux
variables
théorique
entre
et
dynamiques,
chapitre, d’exposer
Chapman Enskog
ces
Wang Chang
ces
analogies
aux
travaux de
souvent
non
plus à
la
procédés
est moins
avons-nous
impor-
choisi,
méthodes par domaine de validité croissant :
et les méthodes à base
Mori, et cela
profondes
et
et Uhlenbeck y sont utilisés.
deux types de
enfin celle des modèles. La validité de chacune de
référence
d’approximation à
de Boltzmann. Les résultats des métho-
l’équation
Chapman Enskog
l’hydrodynamique translationnelle
tées tout d’abord. Puis l’on expose la méthode de
des
l’équation
le laisserait supposer leur formulation. Aussi
la méthode de
en
de
Uhlenbeck,
et
Wang Chang
domaine plus restreint.
un
fonction de
et celle de
approchée
La formulation de la méthode de
base
domaine de validité (c’est-àCette méthode
Chapman Enskog
une
de
cinétique qu’hydrodynamique).
procédés
aux
son
approchée
nous
hydrodynamique sont trai-
Wang Chang
ces
et Uhlenbeck, et
méthodes
sera
permettra de mettre
entre les différentes théories.
en
traitée
évidence
Fig.
II-1
II.2.
Nous
ques. L’extension
présenterons l’ensemble des méthodes
aux
polyatomiques
gaz
pour les gaz monoatomi-
des théories utilisées
exposée
sera
ensuite.
Dans le
l’équation
de Boltzmann
qui traduit le fait
ses
d’un gaz monoatomique,
cas
sous
aux
apparaît
dans
potentiel d’interaction entre ceux-ci, qui
l’expression du second
est la fonction de distribution
vitesses
après
membre :
correspondant à la vitesse v
, f’
1
collision.
différentielle pour la vitesse relative g et
verses
grandeurs géométriques
différentielle
I(g, 03B8)
La résolution de cette
collisions entre atomes.
suppose la connaissance du
aux
écrit
que l’évolution de la fonction de distribution f des vites-
moléculaires est due
correspondent
précédemment
avons
la forme :
équation
1
f
nous
sont
indiquées
est calculée à
I(g, 03B8)
l’angle
figure
et
1
f’
est la section efficace
de diffusion 03B8.
1
Les di-
La section efficace
.
partir du potentiel d’interaction choisi.
Notamment, le produit gI(g, 03B8) est indépendant de la vitesse relative g dans le
cas
de molécules de Maxwell,
dont le
propriété explique l’usage fréquent
en
de
ce
potentiel
est
.
4
1/r
en
dans la suite,
Cette
les calculs
étant considérablement simplifiés.
Les
au
potentiel d’interaction
cours
de
propriétés particulières
l’exposé
de
l’équation
des méthodes de résolution
tout d’abord la méthode de
ancienne pour résoudre
ce
de Boltzmann
employées.
Nous
présenterons
Chapman Enskog qui constitue la tentative
problème.
apparaîtront
la
plus
II.3.
1°).
Méthode de
)(
8
(
)
Chapman-Enskog (ou Hilbert-Enskog) 20
Le but de cette méthode est d’établir
de
l’hydrodynamique,
sions
mathématiques,
rigoureusement
les
équations
d’obtenir pour les coefficients de transport des expresenfin de
généraliser
la théorie
au
domaine
non
hydrodynamique.
Elle consiste à déterminer, par approximations successives,
tion de distribution f(r, v, t)
(r, t), T(r,
0
v
en
fonction des trois variables locales
la fonc-
p(r, t),
t). Celles-ci ont pour expression (k est la constante de Boltzmann) :
densité locale
en
masse
(n est la densité de molécules locale)
vitesse locale
et, dans le
cas
d’un gaz parfait :
température
locale
*)
(définie
Nous
en
avons
référence à
dit que
des variables
ces
l’énergie d’agitation thermique
variables sont conservatives
microscopiques globalement conservées
car
des molécules)
elles sont associées à
lors des collisions.
L’expression locale de cette conservation s’obtient
l’équation
de Boltzmann
sur
l’espace
.
en
intégrant
des vitesses :
*)
température T est définie d’après une expression de l’énergie d’agitation
thermique dans laquelle n’est pas pris en compte le potentiel intermoléculaire.
Celui-ci figure cependant au second membre de l’équation de Boltzmann. Aussi
utiliserons-nous pour le gaz le terme de gaz "parfait". Les collisions sont
prises en compte pour établir l’évolution dynamique du système, mais tous
les coefficients thermodynamiques et de transport sont calculés dans la
limite des pressions évanescentes, comme dans les développements simples de
théorie cinétique des gaz ).
21
(
La
II.4.
comme
avec,
précédemment (chapitre I):
L’expression
de P est :
Nous reconnaissons les
sous
cette forme,
pour le gaz
signifie
strictement
équations
équivalentes
que P
et q
ne
prévoir qu’il
sera
c’est-à-dire d’exprimer P
a
au
de Boltzmann écrite
pas fermé :
ce
qui
moyen des trois
va-
.
0
v
variables lentes du problème,
qui
l’équation
peuvent s’exprimer uniquement
Ces variables étant, dans le
ce
l’hydrodynamique qui sont,
"parfait". Le système écrit ci-dessus n’est
riables p , T et
tent de
à
de
d’un gaz
les considérations
monoatomique, les
déjà développées
nous
seules
permet-
possible, de façon approchée, de fermer le système,
et q
en
fonction des seules variables lentes.
été effectué lors de l’approche
faire maintenant d’une
cas
phénoménologique
façon plus rigoureuse.
et
C’est
qu’il s’agit de
II. 5.
La résolution de
l’équation
l’ordre 0 d’approximation étant
de Boltzmann s’effectue par
l’équilibre
itération,
local décrit par la fonction de
distribution de Maxwell :
On pose alors :
où h est petit devant 1. On
Le
les termes de
négligera
développement
des calculs fait
largement appel
tensorielles et conduit finalement à des expressions du
où dans
(2)
h
(1)
h
apparaissent
des dérivées
obtenus
sous
forme de
d’ordre croissant.
Le
développement
paramètre
aux
en
h.
symétries
type :
spatiales premières
des dérivées secondes, et ainsi de suite.
à 1
degré supérieur
Les flux P
de p,
et q
T, v
,
0
dans
sont
également
faisant intervenir des dérivées
spatiales
réel du
développement
est la
quantité
A~ ~r
où
est le libre parcours moyen des molécules. Aussi la convergence est-elle
bonne dans le domaine
Le
de
hydrodynamique.
système fermé
l’hydrodynamique
est le
obtenu
en
portant
système d’équations
ces
valeurs dans les
d’Euler.
équations
II.6.
les notations sont les mêmes que
Ceci constitue
et Fourier;
les
quantités 03BC
précédemment.
démonstration des lois empiriques de Newton
une
calculables
et 03BD,
en
fonction du
potentiel
d’in-
teraction, s’identifient respectivement à la viscosité et à la conductivité
thermique. On obtient à cet ordre le système d’équations de Navier Stokes qui
nous
est familier.
à l’ordre 2 apparaissent dans P et q des dérivées
2022
condes et des
Burnett
on
produits
).
8
(
de dérivées
L’ordre 3
s’appelle
premières,
conduisant
superburnett
encore
équations
aux
...
spatiales
se-
de
théoriquement
et
peut pousser indéfiniment le développement, bien qu’en pratique les calculs
soient inabordables.
On trouvera,
f à l’ordre 1,
dans
l’appendice III,
ainsi que pour 03BB et
.
S
~
les
expressions obtenues
Nous les rencontrerons à nouveau,
pour
en
effet, lors de l’exposé de la méthode des modèles.
Avant de discuter la validité du
nous
allons
expliciter,
aux
premiers
donnant l’évolution des variables p,
Nous
et
négligerons,
leurs dérivées. On
ordres du
développement,
Chapman Enskog,
la matrice M
T, et j=03C1
v dans cette théorie.
0
dans P et
q,
les termes
peut à présent effectuer
spatiale des équations linéaires
de
développement
une
obtenues pour faire
non
linéaires
équations
ont été écrites
en
,v
03C1-03C1
,
0
transformée de Fourier
apparaître
le vecteur
d’onde q.
Les
en
projection
sur
l’axé q.
0
T-T
II.7.
à l’ordre 0 :
à l’ordre 1
s’ajoutent :
les coefficients
Aux ordres
ce
w
et 03B8 sont obtenus
supérieurs apparaissent
qui correspond
au
développement
dans M des termes de
en
puissances
22
(
).
numériquement
du
degré
croissant
en
q,
paramètre q.
Quelle est la validité d’un tel développement ? Mathématiquement
parlant,
que
zone
Aq
la convergence est
est
non
acquise dès
que
q
<
plus faible. Ces équations paraissent donc
hydrodynamique
En fait,
tant que la convergence du
les
hypothèses
considérations de convergence
ne
plus rapide
1 et d’autant
du calcul sont
un
d’explorer
moyen
développement
la
est suffisante.
plus restrictives que les
le laisseraient supposer. On
a
en
effet admis,
II.8.
ce
est
qui
une
très bonne
système était proche
de
hypothèse
dans le domaine
hydrodynamique,
l’équilibre
local. Selon le
langage
que les trois variables conservatives sont
signifie
et que la force aléatoire f(t)
de Mori, cela
aptes à décrire le milieu,
les autres variables
représentant
que le
a
un
temps
de corrélation nul :
Ceci
se
traduit par le fait
qu’il n’y
a
pas de
aussi
ser
développement
loin que
de
Chapman Enskog
le désirons le
nous
du vecteur d’onde. Or, dans
un
dans les
q.
coefficients 03BB et ~ apparaissant dans P et
Le
dépendance temporelle
permet théoriquement de
nous
développement
de P et q
en
pous
puissances
fluide, les évolutions spatiales et temporelles
sont liées par l’intermédiaire de la vitesse du
(ou de la vitesse des molé-
son
cules). Toute description approchée de la dynamique d’un système devra être
effectuée
au
des dérivées
même ordre
d’approximation vis-à-vis
ne
voit pas
de ceci est
dans le
développement de Chapman Enskog où
apparaître,dans
P et q,
de dérivées
qu’elles
a
telle
proche
l’équation d’état
le
développement
l’équation
du gaz,
de
continuité
qui n’est valable qu’à
des calculs plus loin que les
été discuté depuis très longtemps;
conduit les théoriciens à
se
de
temporelles. La raison
de Navier Stokes est donc incorrect.
Ce point
Il
le
ont été éliminées à l’aide de
(toujours valable) et
l’équilibre local. Pousser
récente et
et
cas
de p
équations
spatiales
temporelles.
Ce n’est pas
l’on
des dérivées
a
trouve
rejeter l’équation
probablement été
a
de Burnett et les suivantes est
fortement influencée par les travaux de Mori.
cependant que la dépendance
en
fréquence
de la vitesse du son,
qu’on l’obtient à partir des équations précédentes,
des valeurs
l’évolution qui
expérimentales
aux
est
ordres 2 (Burnett) et 3
beaucoup plus
qu’à
l’ordre 1
Fig.
II-2
II.9.
(Navier Stokes),
qui est manifeste
ce
sont meilleurs à l’ordre 2
comme
apparu
fortuit. Nous
Après
obtenus par cette méthode dans le
-
Les lois
de
proche
présente
-
On
intérêt fondamental :
du gaz
Ce travail
que
nous
a
(r,
0
v
blème
été compris
et l’accord constaté est
il est bon de
du gaz
cas
rappeler les résultats positifs
"parfait".
non
système
un
de Navier Stokes
équations
effet, la justification des équations phé-
en
rigoureuse
parfait.
l’expression
des coefficients de transport
S
n
et 03BB
potentiel interatomique.
enfin
n’avons pas
Les
et
a
à celles-ci de prendre le relais de la théorie
d’autre part obtenu
a
fonction du
en
-
cas
plus rigoureuses
local. La démonstration des
l’équilibre
noménologiques permet
dans le
Ce comportement
de Fourier et Newton ont été démontrées dans
empiriques
un
et 3.
reparlerons plus loin.
en
critiques,
ces
2 . Les spectres calculés
figure
la
qu’aux ordres 1
de théories
développement
lors du
sur
exigé le développement
exposées, mais qui ont
équations d’évolution
t) étant obtenues, il
particulier, qui
gaz ainsi décrit. Nous
nous
vu
été
mathématiques complexes,
largement utilisées
des variables locales
faut maintenant les
est le calcul du
avons
de méthodes
dans la suite.
p(r, t), T(r, t)
appliquer à
notre pro-
spectre de la lumière diffusée par le
que celui-ci est
proportionnel à
la fonction
d’autocorrélation de la densité dont l’évolution est la même que celle de la
variable locale
03C1(r,
t). On
qui est proportionnelle
Il
tistique
choix
au
va
donc calculer la transformée de Fourier
de noter que la relation
entre les fluctuations de p,
T et v
0
de conditions initiales
On voit que l’évolution correcte de p
temps :
03C9)
spectre de la lumière diffusée.
importe cependant
particulier
03C1(q,
sera
aux
prises
au
moyennes
obtenue
en
d’indépendance
sta-
même instant impose
p(r,
t),
T(r,
t),
un
(r,
0
v
prenant à l’origine des
t).
II.10.
Ce choix
particuler de conditions initiales apparaîtra dans toutes les théories
exposées plus loin.
Le
il faut à
de la
description hydrodynamique
aborder l’extension des théories
présent
Nous allons
et
problème
présenter
tout d’abord les théories de
"translationnelle". Comme leur
et
dynamique
prétendent
ne
La référence
l’hydrodynamique
très brève,
méthode voisine de
physique
est
en
aux
non
résolu,
hydrodynamique.
l’hydrodynamique "généralisée"
ces
théories sont à base hydro-
cinétique.
fait la forme correcte du
développement
de
calculs de Mori est directe dans la méthode de
translationnelle que
car son
l’indique,
domaine
décrire que le début du domaine
Elles constituent
Chapman Enskog.
nom
au
des gaz étant
nous
présenterons
tout d’abord de
façon
intérêt est surtout évident pour les gaz polyatomiques. La
l’hydrodynamique généralisée,
précieuse,
sera
dont la formulation
plus
exposée plus longuement.
23
(
)
24
2°). L’hydrodynamique translationnelle )(
Le domaine
de Mori,
en
hydrodynamique
traité, dans le cadre de la méthode
choisissant pour variables les trois variables conservatives et
admettant que la force aléatoire
temps de corrélation nul.
ces
est
Nous
représentant
avons
les variables non retenues
a
en
un
montré, plus haut, l’équivalence, dans
conditions, des calculs de Mori et du premier ordre d’approximation dans
la méthode
de Chapman Enskog (équations
de Navier Stokes).
Comment devons-nous modifier ces choix pour étendre le domaine de
validité de la
description à
de
plus grandes valeurs de q et
03C9
(ou de plus
II.11.
valeurs de
petites
-
Ou bien
on
et
r
conserve
t) ?
la force aléatoire n’a
à 3 variables conservatives,
description
une
plus
auquel
cas
temps de corrélation nul (hydrodynamique
un
généralisée).
-
Ou bien
on
retient, dans la description, des variables autres que les varia-
bles conservatives,
développée
c’est la méthode de
selon le schéma de Mori.
d’une force aléatoire à
L’hypothèse
alors être
l’hydrodynamique translationnelle,
temps
de corrélation nul
sauvegardée.
Les nouvelles variables retenues sont directement liées
des
pressions P et
On obtient ainsi
domaine
non
au
flux de chaleur q de
généralisation
une
de
quantités
de
tenseur
Chapman Enskog.
valable dans le début du
mémoire ~
système
du
temporelle (ou
à temps de corrélation nul,
supposée
des nouvelles variables
ne
la
comporte pas de dépen-
dépendance apparaît lorsque
le
système
contracté, c’est-à-dire lorsqu’on exprime les nouvelles variables
en
fonc-
dance
est
ces
l’approximation
au
hydrodynamique.
La force aléatoire étant
matrice
peut
en
fréquence).
Cette
tion des variables conservatives seules.
Le
est
calqué
sur
développement
les calculs de
est introduite.
Aussi
nous
Mori, et
d’indépendance statistique
subordonnée à la
riables de
gaz
possibilité
de
de Mori est le fait que la
l’approche
distinguer
"rapides"
effectivement deux groupes de
l’hydrodynamique
est discutable. Comme
de la méthode de
l’exception
n’y
re-
est
va-
temps caractéristiques très différents.
monoatomique
l’exposé
l’appendice II,
notion fondamentale nouvelle
entre variables "lentes" et
En cela, la méthode de
au
aucune
dans
contenterons-nous ici d’en discuter la validité.
Un point fondamental de
lation
présenté
de cette théorie,
Wang Chang
nous
le
verrons
et Uhlenbeck,
des variables conservatives, ont des
translationnelle
appliquée
plus loin, lors de
les variables
dynamiques, à
temps d’évolution très compara-
bles (et de plus il existe des variables plus lentes que celle associée à P).
II.12.
Augmenter
porelle
le nombre des variables et admettre
des fonctions mémoires n’est pas
non
cessent d’être calculables, et doivent être
phénoménologiques. On conçoit d’ailleurs
voie, puisque l’indépendance statistique
d’être possible tandis que
plus satisfaisant,
remplacées
par des
que la solution
car
celles-ci
expressions
soit pas dans cette
ne
des variables lentes et rapides
dernières prennent de plus
ces
tem-
dépendance
une
cesse
plus d’importance.
en
Enfin, la validité d’une telle méthode est difficile à prévoir.
Nous
polyatomiques
pour
reparlerons plus longuement dans
Dans cette partie,
théorie de
nous
choisirons
12
(
l’hydrodynamique généralisée )
l’alternative : c’est
la fonction
application
lesquels existent effectivement des variables
possibilités d’interprétation physique qu’elle
quelle
son
La méthode est alors très fructueuse, du fait de
lentes.
des
en
une
sa
aux
conservatives
non
grande simplicité
du
et
offre.
d’exposer plus longuement
la
qui représente l’autre terme de
description à trois variables conservatives
mémoire ~ dépend
gaz
temps. La comparaison de
ces
pour la-
deux théories
n’a pas, à notre connaissance, été effectuée. On peut s’attendre à des domaines
de validité très
comparables
car,
comme
nous
le verrons, de telles
permettent pas de progresser sensiblement dans le domaine
au
début duquel elles sont
expérimentaux,
celle de
sa
car
son
nous
hydrodynamique,
ne
12
(
)
26
25
)(
l’ayions
application
aux
pas utilisée lors de
gaz
l’hydrodynamique translationnelle,
polyatomiques
cette théorie
nos
dépouillements
est moins
sera
simple
exposée
que
ici
car
formulation est plus physique que celle de la méthode de Mori (nous l’avons
d’ailleurs utilisée dans le chapitre
De
ne
équivalentes.
3°). L’hydrodynamique généralisée
Bien que
non
approches
précédent) qu’elle permet
de mieux comprendre.
plus, elle comporte la première discussion théorique du développement de
Chapman Enskog.
II.13.
Le but de cette méthode,
qui utilise
riables conservatives p, v
0 et E, est de
dynamique qui décrivent l’évolution
l’équilibre. D’après
l’étude
tera, outre la dépendance
au
introduites dans le
L’égalité
nous
a
M(q, 03C9)
un
les
la matrice M de
d’onde,
vecteur
en
généraliser
équations
de
va-
l’hydro-
système à partir d’un état proche de
précédente,
fait que la force aléatoire
La matrice
du
pour variables les trois
une
ces
dépendance
temps de corrélation
non
équations
en
compor-
fréquence
due
nul.
est celle de l’évolution des variables
A(q, 03C9)
chapitre précédent :
établie alors :
permet d’exprimer
M(q,
03C9)
en
termes des fonctions de corrélation des
variables A :
On
va
déterminer
d’onde (on sait
M(q, 03C9)
sous
déjà qu’à
forme d’un
l’ordre 2, M est la matrice
riables A étant conservatives,
si jest
le flux
conjugué
on
a :
de A.
D’autre part,
en
développement
transformée de Laplace :
l’équation
en
puissances
du vecteur
hydrodynamique).
Les
va-
II.14.
L’application répétée
termes de la matrice
M(q, 03C9)
de
permet d’exprimer les
formules
ces
à l’aide de fonctions de corrélation
analogues à celles qui apparaissent dans 03A9
particulières,
à l’issue des calculs de Mori,
et ~
c’est-à-dire :
des fonctions de corrélation
-
variables conservatives
dépendance
sans
fréquence
en
des
(constituant la matrice 03A9 selon la formu-
lation de Mori).
des fonctions de corrélation
-
parties non-conservatives
lation de Mori,
des flux
dépendance
avec
des flux
fréquence
en
~.
La
des variables conservatives
en
leurs
conservative et non-conservative est tout à fait
développements figurant
en
fréquence) présente,
apparent dans la présentation de Mori,
gaz
aux
. Le
parties
analogue
aux
outre
un
avec
sans
ou
intérêt
théorique
intérêt pratique lors de l’étude des
densités modérées :
développement
portée
du
des fonctions de corrélation
dépendance temporelle
paramètre q03C3,
en
où 03C3 est la
potentiel interatomique. Dans notre situation expérimentale, q03C3
toujours très inférieur à 1,
ce
tions de corrélation dans la limite
est bien
sans
du vecteur d’onde q fait intervenir le
puissances
est
un
séparation
l’appendice II.
dans
Cette distinction entre fonctions de corrélation
dépendance temporelle (ou
dans la formu-
conjugués qui,
constituent la matrice mémoire
conjugués
des
connue
qui
nous
autorise à calculer
hydrodynamique (q ~ 0) où
ces
leur
fonc-
expression
(ceci est implicitement utilisé dans les calculs de l’hydro-
dynamique translationnelle )
23
(
. Nous l’avons explicité dans la présentation
de
l’appendice II).
. Dans le
mètre du
cas
des fonctions de corrélation à
développement est,
cette fois,
par le libre parcours moyen . Aussi
pendance temporelle (ou
en
le
ces
fréquence) dès
dépendance temporelle,
produit q
fonctions
que
q
du vecteur d’onde q
présentent-elles
n’est plus
1, c’est-à-dire dès que l’on sort du domaine hydrodynamique,
fait conforme
au
le para-
une
négligeable
ce
comportement prévu pour la fonction mémoire ~.
qui
dédevant
est tout à
II.15.
Cette
choix des variables permet
de la
fréquence
dans
figure
IV.
l’appendice
12
(
)
pour
ces
expressions
aux
et
dans le
03C9
cas
dont
dépendant
l’expression
développement
hydrodynamique est
par la méthode de Chapman
S
~
obtenues
de
du gaz parfait constitué
leur limite
. Bien entendu,
de 03BB et
modification du
généralisés
ont établi le
Oppenheim
de q et
puissances
en
de molécules de Maxwell
identique
Selwyn
sans
les fonctions de corrélation
d’interpréter
des coefficients de transport
comme
coefficients
ces
M(q, 03C9)
de la matrice
généralisation
Enskog
molécules.
Peut-on estimer la validité de la méthode de
l’hydrodynamique
généralisée ?
et
Oppenheim
nous
l’avons
Selwyn
poussé
ont
au
sixième ordre
en
q le
dévelop-
pement de M(q, 03C9).
Comme
au
sujet
C’est la confrontation
avec
l’expérience qui peut
l’étendue. Les résultats expérimentaux de Clark
numériquement
l’hydrodyna-
27
(
)
en
déterminer
permettent de fixer
domaine de validité à :
ce
q
q
<
0,2
pour
l’approximation
de Navier Stokes
<
0,3
pour
l’approximation
de
Ce
qui
qu’elle projette
discuter
de la méthode de
la validité d’un tel calcul est difficile à estimer
mique translationnelle,
théoriquement.
signalé
nous
sur
et
Oppenheim.
intéresse surtout dans cette méthode, c’est la lumière
les autres
pratiquement
Selwyn
approches théoriques. Elle permet notamment de
le bien fondé des différents ordres de
l’approximation
de
Chapman Enskog
a) Pour
un
degré
2
en
q et pour 03C9 ~
0,
on
trouve la matrice des
équations
de
Navier Stokes.
b) Le degré 2
en
en
q dans M
correspond à l’approximation hydrodynamique.
compte de termes d’ordre supérieur n’est donc plus compatible
passage à la limite
poursuivre
équations
le
hydrodynamique
développement
de Navier Stokes.
03C9 ~ 0.
Il est par suite
par la méthode de
La
avec
prise
le
impossible dé
Chapman Enskog au-delà des
On montre effectivement que les spectres calculés
II.16.
par cette méthode sont incorrects, bien que les racines de
dispersion soient
bonnes,
assez
ce
c) Cependant, et de façon fortuite, il
de corrélation
nous
que
avons
l’équation
de
la fonction de corrélation des fluctuations de densité est, elle,
exacte
jusqu’en
Ceci
Burnett dans
l’interprétation
des
(le calcul
été fait pour
potentiel
a
un
performances des
les bonnes
explique
expériences
gé-
en
néral,
.
3
q
).
trouve que, bien que les fonctions
se
dans la matrice de Burnett soient incorrectes
figurant
2
figure
déjà signalé (
équations
de
de diffusion de la lumière
de Maxwell).
d) Lorsque M dépend de 03C9, l’équation de dispersion
écrite dans le chapitre II admet
Les racines associées
en
aux
général plus
modes mettant
servatives sont caractérisées par le fait que 03C9 ~ 0
la
qui
généralisation
en
constituent
hydrodynamique,
on
s’annulent pas à q
delà de l’ordre 4
des modes
=
0.
en
q.
en
de
général
n’apparaissent
Maxwell :
pour
mérateur et
au
reviendrons
sur
ce
pas
degré
jeu
f(q).
=
les variables
lorsque q ~
jusqu’à
2
en
q.
Outre
des racines dites
La contribution de
Notons, pour finir, que
de 03C9,
en
03C9
0.
con-
Elles sont
hydrodynamiques déjà introduits.
l’approximation
trouve
de trois racines
ces
ces
ces
ne
dernières devient importante
au-
racines, présentes dès que M dépend
l’ordre 4
experison
cette remarque dans le
d’origine
microscopiques, qui
en
q dans le
cas
potentiel particulier, elles interviennent
dénominateur de l’
racines
du
spectic
des molécules de
en
facteur
au
nu-
et s’éliminent. Nous
paragraphe suivant.
II.17.
Le calcul
du
complet
spectre de la lumière diffusée par
un
gaz
dans le cadre de cette théorie suppose la connaissance des conditions initiales.
Celles-ci sont
encore
déterminées par des conditions d’indépendance statistique
entre les fluctuations des variables p, v
0 et T
n’étant proportionnelle à
q03C3
«
au
même instant (cette dernière
des molécules que dans la limite
l’énergie cinétique
1)
L’exposé
suivant
sera
consacré à la méthode de Wang
Uhlenbeck, très proche de la précédente dans
résultats sinon dans
ses
et
Chang
son
principe.
La méthode WCU constitue, par le travail
mathématique qu’elle
et par le
procédé d’approximation qu’elle emploie,
la base de la théorie des
modèles que
4°).
avons
nous
utilisée et dont la
La méthode de WangChang et Uhlenbeck
La méthode WCU est
ximation de
d’exposer.
A
[X, r]
Chapman Enskog
Le traitement
mais
sur
ne
présentation
procédés
porte pas
en
suivra.
28
(
)
beaucoup plus proche
que des
contient
à base
effet
la fonction de distribution
sur
dans
sa
forme de
hydrodynamique
les variables
f(r, v,
l’appro-
que nous venons
dynamiques
t) solution de l’équation
de Boltzmann :
A
un
ordre donné
équivalentes, l’équation
Liouville,
ce
qui
Le
a
été
problème
d’approximation,
de Boltzmann étant
rappelé
au
chapitre
une
les deux
conséquence
de
sont évidemment
l’équation
de
I.
est donc de résoudre par
l’équation intégro-différentielle
approches
de Boltzmann,
approximation portant
sur
qui s’écrit explicitement :
f
II.18.
avec
les notations
déjà
équation n’est
Cette
méthode
calculs.
introduites.
d’approximation
de
pas
linéaire,
Chapman Enskog
et
a
ce
qui
est apparu dans la
considérablement alourdi les
Cette complication est inutile lorsque le but du calcul est l’étude
des fluctuations des
grandeurs locales, puisque les équations peuvent toujours
être linéarisées vis-à-vis des fluctuations considérées
C’est d’ailleurs
de
ce
l’approximation
que
nous
avons
fait
après
pour
pouvoir
on
peut donc espérer
La méthode WCU n’est,
vecteur
de
coup pour utiliser les résultats
une
départ,
a
qui
ce
est effectué dans
des calculs suffisante
simplification
étendre la validité à des valeurs plus
en
de leurs dérivées.
C.E.
En linéarisant le problème dès le
la méthode WCU,
ou
grandes
priori, limitée ni
en
de q et
fréquence,
03C9.
ni
en
d’onde, la seule hypothèse de départ étant que le système est proche
l’équilibre
absolu
0 et T
03C1
0 sont les valeurs
de la densité et de la
température à l’équilibre.
Dans
d’équilibre
on
se
local
placera
en
ce
calcul
qui
n’apparaîtra
limite
ne
que
comporte pas de base hydrodynamique, la notion
comme
hydrodynamique.
conséquence
des
approximations lorsqu’
II.19.
La méthode WCU est constituée de deux
l’équation
nouvelle
équation
propriétés démontrées
est
proposée.
plan
que
jusqu’à présent,
nous
essaierons de
nous
suivrons dans cet
dégager
dans
Comme
exposé.
l’exposé
la
nous
seront
1. Linéarisation de
Portons dans
et éliminons dans cette
à
l’opérateur
signification
l’équilibre
exposés
l’équation
l’équation
équation
appendice.
de Boltzmann
précédente :
de Boltzmann la formule
les termes
satisfait alors
N est linéaire.
en
quadratiques
l’équation
en
h. L’écart
de Boltzmann linéarisée :
On introduit habituellement les
grandeurs
sans
dimension :
où n
0 est le nombre de particules par unité de volume à
a
l’avons
des calculs dont les résultats essentiels seront donnés. Certains dé-
veloppements mathématiques
h(r,v,t)
première,
propriétés mathématiques de la
seconde, une méthode d’approximation
sont étudiées. Dans la
C’est le
physique
Dans la
de Boltzmann est litéarisée et les
utilisant les
fait
parties.
les dimensions d’une surface.
vitesses sont normalisées
en
Son expression
référence à la
sera
l’équilibre
et 03A3
donnée plus loin. Les
vitesse2kT
II.20.
2.
Propriétés de l’équation linéarisée (cas général)
En
vue
initiales données,
l’opérateur
l’équation
J
de résoudre
l’équation
valeurs
recherchera les fonctions propres et
on
s’appliquant à l’espace
sur ces
de Boltzmann pour des conditions
des fonctions de
fonctions propres afin d’obtenir
c.
On
propres de
projettera ensuite
un
ensemble
en
indiquant d’abord
d’équations
dif-
férentielles linéaires.
Nous allons donc étudier
propriétés générales (indépendantes
propriétés particulières dépendant
indiquées
l’opérateur
J
de la forme exacte du
de la forme exacte du
ses
potentiel). Quelques
potentiel
seront
ensuite.
a) L’opérateur J admet cing valeurs propres nulles. Les fonctions propres
associées sont :
1
qui correspondent
binaire :
aux
le nombre de
c
cinq
(3 composantes)
2
c
constantes du mouvement
impliquées
particules, les trois composantes
de
dans
une
collision
l’impulsion,
et
l’énergie cinétique.
b) Toutes les autres valeurs propres sont
négatives. Selon le potentiel d’interaction, elles peuvent être ou non dégénérées, et leur ensemble est ou non borné.
Dans le cas de molécules de Maxwell (potentiel en ),
-4 le spectre
r
est entièrement discret avec des dégénérescences finies. Il n’est pas borné inférieurement.
Le potentiel des sphères dures, de même, semble-t-il, que la plupart
des
potentiels plus réalistes (par exemple Lennard-Jones) donne naissance,
plus d’une infinité de valeurs
propres
discrètes, à
un
continuum
non
borné in-
férieurement.
c) L’opérateur J étant scalaire,
ses
fonctions propres
en
peuvent s’écrire :
II.21.
La partie radiale R
dépend
ne
Les valeurs
sphérique.
dégénérées.
que du module de
~m
Y
c.
indépendantes
r~
propres
03BBsont
(c) est l’harmonique
de
m
et donc 2~ +1 fois
Les fonctions propres sont orthonormées vis-à-vis du
produit scalaire
choisi :
d) On peut donner des caractéristiques des fonctions propres
physique
ment
Si
étudiant l’évolution temporelle d’un écart à
homogène (donc indépendant
nous
nous
en
développons
h
interprétation
l’équilibre
L’équation linéarisée s’écrit
h
spatiale-
alors :
les fonctions propres de J
sur
obtenons :
Tandis que
propres nulles restent
associées
une
de r).
une
les
inchangées (03C4
valeurs propres
aux
constante de temps
-
aux
valeurs
non
est
infini), les projections
sur
les FP
sur
nulles tendent exponentiellement
vers
0
avec
.
k
03C4
Aux temps
aux
les FP associées
composantes de h
longs,
quantités
seules
persisteront
conservatives.
les
premières correspondant
Tableau II-1
Méthode WCU. Potentiel
Les coefficients
distribution f -
0
f
03B1
quelconque
apparaissent
comme
les moments de la
par suite du choix du produit scalaire :
grandeurs conservatives (valeurs propres nulles)
fonction
propre 03C8
moment associé
(gaz "parfait")
Tableau II-2
Méthode WCU. Molécules de Maxwell
Les fonctions propres ont été écrites
Fonctions
F(03B8) est
)
*
(
en
(*)
propres
une
fonction universelle de 03B8.
projection
sur
n’apparaît
pas.
z
Valeurs propres de J
Numériquement
Le choix de La normalisation varie avec l’auteur.
-3/4
03C0
l’axe
Souvent, le facteur
II.22.
La décroissance
-
exponentielle
des secondes est d’autant
rapide que la densité et le module de
valeurs propres de
plus
en
Pour
un
ment
approchée grâce à
lorsque
sont
plus’grands. Aux
plus négatives sont donc associées
des contributions à durée de vie de
-
k
03BB
plus
plus
en
plus courte.
intervalle de temps donné, l’évolution de h est correcteun
à densité donnée
la densité diminue (de même
l’on considère des instants de plus
On retrouve ici
une
qui croît
nombre de fonctions propres
lorsque
plus courts).
en
distinction entre variables lentes et variables
rapides analogue à celle de Mori. L’identification des premières est indiquée
où les fonctions propres correspondant
tableau 1
pour le gaz "parfait" dans le
aux
valeurs propres nulles ont été
par des
arguments de conservation valables quel que soit
action choisi. Ce n’est pas le
tement
rappelées. Celles-ci
négatives qui
Dans le
possible
et
ne
cas
cas
des FP associées
aux
sont pas calculables dans le
cas
le
en
effet
connues
potentiel d’inter-
valeurs propres stric-
général.
particulier des molécules de Maxwell, le calcul est
tableau
été fait par Wang Chang et Uhlenbeck. Le
a
sont
2
qui
résume les résultats doit être introduit soigneusement pour éviter les confusions de notation :
afin de traiter le
problème
en
et Uhlenbeck ont choisi d’éliminer toute référence
la définition de
On
dans
l’opérateur
sans
au
généralité, Wang Chang
gaz considéré
en
modifiant
J.
part de l’équation :
laquelle l’opérateur N(h)
quantités
toute
dimension
c
et
a
u.
été partiellement
Comme
nous
l’avons
explicité
et où
figurent
signalé, l’intégrale
a
les
la
II.23.
dimension d’une surface par suite de la
présence
qui dépend du potentiel d’interaction. Dans le
I(u, 03B8)
ne
est
proportionnel à 1/u. On introduit
dépendant
que de
de la section efficace
cas
I(u,03B8)
potentiel de Maxwell,
du
alors la
quantité
sans
dimension
l’angle 03B8 :
où K est la force du potentiel
et l’on écrit
La
du gaz.
quantité
sans
Dans la notation de
dimension constituant
Wang Chang
et Uhlenbeck,
l’intégrale
on
ne
dépend
pas
pose :
3. Méthode de résolution pour des molécules de Maxwell
On
de
procède
par
projection
l’opérateur J, méthode simple
est discret.
dans
de
ce
l’équation
cas
sur
les fonctions propres
puisque le spectre de l’opérateur
Tableau II-3
Gaz
"parfait"
Interprétation
(1) projection
sur
premières lignes
de
l’équation matricielle
(en projection sur q)
00
03C8
le seul terme
0M
0r~non
la
sur
projection
des
00
03C8
nul est
est
00,01
M
l’équation
(2) projection
sur
01
03C8
Les termes
non
nuls sont
=12
de conservation de la
terme de viscosité
(3) projection
sur
10
03C8
Les termes
non
nuls sont
ce
en
masse :
02 approché grâce
03B1
qui conduit à :
terme de conductivité
identique
aux
équations
monoatomique parfait
de
thermique
l’hydrodynamique linéarisée
en
11
03B1
pour le gaz
II.24.
Posons :
et
projetons
sur
où l’on introduira le vecteur
spatiale.
On obtient
d’onde q
En omettant le troisième
un
écrite
les 03C8 r~m l’équation,
système matriciel
milières. Elles correspondent
en
effet
aux
premières lignes
équations
La détermination des coefficients de
de
théories. Nous allons pour l’instant
équation
Après
transformée de
nous
nous
intéresser
aux
aux
sont fa-
l’hydrodynamique linéa3
).
transport 03BB et ~
méthode est traitée dans l’appendice IV et confrontée
cette
l’axe z’z :
indice, inutile ici :
risée écrites pour le gaz "parfait" monoatomique ( tableau
approchée de
sur
// z’z par transformée de Fourier
infini dont les
en
projection
dans cette
résultats des autres
méthodes de résolution
matricielle infinie.
Laplace temporelle,
le
système s’écrit :
Tableau II-4
Premières
det =
lignes
du déterminant infini WCU
0
(1) déterminant
(2) "
(3) "
des
équations d’ Euler
°
de Novier Stokes
"
de Burnett
II.25.
L’équation
infini de
ce
de
dispersion
est obtenue
premières lignes
du
degré
).
L’ordre choisi est celui des valeurs croissantes
2r + ~ des fonctions
degré donné,
dimension
sans
et colonnes du déterminant ainsi introduit sont données
4
( tableau
ci-contre
annulant le déterminant
système linéaire.
On introduit les notations
Les
en
0393~
propres
03C8et,
de valeurs croissantes de ~.
Pour l’instant,
à l’intérieur d’un groupe de
L’équation correspondante
approximation n’a été effectuée
aucune
peut affirmer que, sauf problèmes mathématiques de convergence
nous
sur
est :
et l’on
lesquels
reviendrons, le déterminant infini est strictement équivalent à l’équation
de Boltzmann linéarisée.
Des
approximations
déterminant à
une
expression calculable.
ramener
ce
Il n’a pas été
possible
de
sont à
présent
développer
une
nécessaires pour
méthode de calcul valable
quelles que soient les valeurs des paramètres 03C9
0 et q
. Lorsque ceux-cine sont
0
pas très
Bien
petits
devant 1,
qu’a priori
non
l’ensemble du déterminant doit être
limitée
en
vecteur d’onde et
en
fréquence,
conduit à des formules utilisables que dans le domaine où
devant 1, c’est-à-dire le domaine
cinétique (nous
qui
hydrodynamique
Dans
minant, indiquées
en
considération.
la méthode WCU
0 et q
03C9
0 sont petits
et le tout début du domaine
considérons pas ici les traitements
seront abordés
pris
numériques à
l’ordinateur
plus loin).
ce
sur
domaine,
le
on
tableau
procède
4 .
par troncatures successives du déter-
ne
II.26.
Dans la
pondant
des
ce
aux
première,
ne
est la vitesse du
celui de conductivité
s’annulent pour q
=
son
adiabatique dans le
prend
on
0 et
0 et
correspondent
correspondent
La
est celle
dispersion obtenue
au
on
au
monoatomique parfait considéré.
gaz
compte le terme de viscosité et
en
obtenue
thermique. L’équation
de Navier Stokes. A l’ordre suivant,
=
corres-
et les racines s’écrivent :
A l’ordre suivant,
pour q
que les éléments de matrice
garde
variables conservatives. La relation de
équations d’Euler
qui
on
l’équation
de
degré d’approximation
obtient 8 racines dont trois s’annulent
de
degré d’approximation
de Burnett.
l’équation
développements
entre la convergence des
comparaison
5 racines dont trois
a
de WCU et
C.E., ainsi que la façon dont s’introduisent dans les formules les coefficients
de transport 03BB et n sont
développées
la même
expression
des racines de
dynamique généralisée (dans
On
C.E. bien que
a
présentant
fait est que,
cas
d’un
une
comme
précédentes
nous
l’avons
non
correcte dans le
conservatifs
cas
la méthode WCU conduit à
dispersion
que celle de
l’hydro-
potentiel de Maxwell)
convergence plus
rapide.
ont éclairci
signalé
dynamique généralisée, l’approximation
persion
de
l’équation
dit souvent que la méthode WCU était
inexact et les discussions
en
le
l’appendice IV.
soient différents,
procédés
Bien que les
dans
ce
équivalente à la méthode
Ceci est
point.
Ce
principe
qui
des molécules de Maxwell, pour
une
l’hydro-
équation
lesquelles
ordre. Ceci n’est pas
produit
se
à propos de la méthode de
de Burnett conduit à
disparaissent jusqu’au 4e
en
de dis-
les modes
généralisable.
II.27.
Ces modes
sions.
non
conservatifs ont donné lieu à de nombreuses discus-
L’interprétation physique
de relaxation est
nous
que
en
avons
séduisante, et sûrement valable
donnée
aux
termes de processus
en
premiers ordres
loppement, c’est-à-dire pour les premières valeurs propres
non
du déve-
nulles de J.
Cependant, le spectre de l’opérateur J peut présenter des particularités donnant lieu à
comportement "anormal" des racines de l’équation de dispersion
un
dont la réalité
Ainsi, pour le potentiel de Maxwell,
est douteuse.
physique
l’égalité :
a
pour
conséquence
particularité
ne
validité semble
que les modes atténués
J
a
se
propagent. Cette
s’étend pas à des potentiels différents bien que pour
29
(
)
fréquente
.
des
r
=
2
sa
La question reste ouverte.
Dans le même ordre d’idées,
l’opérateur
correspondants
l’existence d’un spectre continu pour
conséquences mathématiques (nous
en
parlerons plus loin)
très importantes. Or le comportement physique des gaz concernés semble, pour
l’instant, peu sensible
au
potentiel choisi ...
La méthode de troncature
lumière de
rang les
ce
a
une
signification physique
qui précède. Elle consiste à supposer qu’au-delà d’un
phénomènes
relaxent
en
un
claire à la
certain
temps infiniment court. Ceci correspond à
prendre 03BB infini à partir d’un certain rang dans le déterminant (certains
teurs commettent ici
une
erreur
Le terme d’ordre le
minant désiré :
en
au-
prenant 03BB=0 à partir d’un certain rang).
plus élevé contient alors
en
facteur le déter-
II.28.
Enfin,
comme
précédemment,
le calcul
explicite du spectre de la
lumière diffusée par le gaz est obtenu à partir des conditions initiales :
4. Conclusion
Au
décevant
premier abord,
le résultat obtenu par cette méthode semble
elle reste limitée à
car
domaine essentiellement
un
hydrodynamique.
Cependant, l’étude mathématique de l’équation de Boltzmann linéarisée
acquis
fondamental. Elle constitue
des calculs de Mori dont
développement
D’autre part,
l’opérateur
peut être développée très loin littéralement,
valeurs propres,
comme
nous
avons
nous
J est nécessaire
souligné l’importance.
la méthode de troncature du déterminant,
à l’ordinateur dans lesquels
on
le
peut prendre
verrons
un
effet la base de toutes les théories
le classement des valeurs propres de
actuelles :
au
en
est
prête
se
en
compte
à des calculs
un
très
grand
qui
ne
numériques
nombre de
plus loin.
Enfin, l’étude détaillée de cet opérateur est le point de départ
de la théorie des
dité s’étend
5°).
au
modèles, que
domaine
nous
allons aborder maintenant et dont la vali-
cinétique.
La méthode des modèles
Lors de l’étude de la méthode
le passage
en
limite
hydrodynamique
a
WCU,
on
peut
se
demander pourquoi
été inévitable. Pouvait-on écrire diffé-
remment le déterminant ? Ou bien la notion même de déterminant infini est-elle
à
proscrire ?
II.29.
Il semble bien,
qu’un problème existe à
ce
d’après l’étude
niveau. Bien qu’à tous les ordres
une
équation
de
est
probable
que le déterminant lui-même
dispersion dont les racines hydrodynamiques
tion différente est
préférable,
dans
30
(
)
de J. Foch et G.W. Ford
,
puisse écrire
on
sont correctes, il
diverge et qu’une méthode d’approximalaquelle n’apparaît pas de développement
infini.
Dans les méthodes WCU et C.E.,
par
approximations
concerne
successives
l’opérateur J,
sur
que l’on
de Boltzmann
l’équation
f. Dans la méthode des
remplace par
a
été résolue
modèles, l’approximation
opérateur plus simple
un
pour le-
quel la résolution mathématique de l’équation est possible. L’étude de J effectuée par
pour
ce
Wang Chang et Uhlenbeck
procédé. De plus, nombre
On peut
prévoir
les
constitue évidemment
de calculs ont
que,
dans les deux situations limites de
que,
l’opérateur
J est
l’hydrodynamique
il suffit
en
tions propres pour décrire le comportement du
Dans le second cas,
le facteur
effet d’un
et du domaine cinéti-
nombre de fonc-
petit
devant J
assure
obtenue.
une
description
comme
une
méthode
correcte du gaz dans la limite
ainsi que pour des pressions extrêmement faibles. Dans le domaine
la
précision dépendra évidemment
1.
qu’aux
zéro et que par suite la
vers
La méthode des modèles apparaît donc
lation fournissant
remarquant
en
système.
0
n
présent
pressions basses le terme de collisions tendra
sera
méthode,
telle
simple.
Dans le premier cas,
limite correcte
été effectués.
déjà
avantages d’une
guide indispensable
un
Principe
de la
complexité
de
l’opérateur
d’interpo-
hydrodynamique
intermédiaire,
choisi.
de la méthode
De nombreux modèles ont été
proposés,
dont le
principe est
commun :
II.30.
L’opérateur
par
)
0393
03BB
un
de
J de
de Boltzmann linéarisée est
l’équation
opérateur
K
plus simple dont la définition
est la suivante :
Les
n
premières
(et valeurs propres associées
l’opérateur
K sont
fonctions
identiques à
propres 03C8
0393
celles de J.
Toutes les autres valeurs propres sont
leur propre de
dégénérescence infinie,
Les
fectués
en
de
premiers développements
utilisant
Gross et Krook)
aux
ne
petit nombre de
un
prend
en
Ce modèle n’admet pas
l’utilisation de trois moments
Le
permis
comme
développement
ne
cela
31
(
)
ont été ef-
le modèle B.G.K.
une
une
groupé
en
(Bhatnager,
limite
une
seule valeur
approximation de temps de
dans le traitement des
hydrodynamique
phénomènes
correcte
apparaîtra plus loin.
numériques
utilisant les ordinateurs
plus précis :
de Maxwell pour lequel les fonctions propres et valeurs propres sont
fonctions 03C8
0393
comme
potentiel interatomique différent,
base mais
de
puisque
Les calculs sont effectués le plus souvent à l’aide d’un
un
re-
permet pas de rendre compte des coefficients
des méthodes
de construire des modèles
(Si l’on désire traiter
va-
Soit :
de cette méthode
consiste à faire
fréquemment utilisé
physique du solide).
transport 03BB S
et,
n
seule
une
en
compte exactement que les fonctions propres associées
en
négative (procédé qui
transport
a
n+1
valeur
03BB.
termes :
laxation et qui est
de
groupées
valeurs propres nulles, le reste du spectre étant
propre
remplacé
l’opérateur
J n’est alors pas
on
potentiel
connues
conserve
diagonal.).
les
II.31.
Les théories
développées
de valeurs propres retenues et
principe diffèrent
sur ce
également
par le choix de
par le nombre
valeurs propres.
ces
Le classement des fonctions propres et des valeurs propres
dans la méthode WCU est
propres
se
classement
présentent d’après
2
(A
nous
leur
ce
classement
obtenons le modèle
ce
degré
en
en
sens
ce
que les fonctions
c :
polynomial
appelé
nous
retenons les
cinq premiers
3P dans lequel :
nom
de 3P)
modèle sont déterminés si la force du potentiel est
connue
Les trois coefficients
dans
"polynomial"
est une constante voisine de 2.72).
Si dans
termes,
un
proposé
Le calcul de 03BB et
numériques (d’où
S
n
effectué
le
à l’aide de
ce
apparaissant
32
(
).
modèle conduit à :
II.32.
d’où 03BB
=
15 4 nS
k
11
03BB
puisque
Le classement
des valeurs propres,
a
souligné l’aspect
et effectué
cela
proportionnels.
sont
polynomial
comme
correspond
ne
haut.
apparaît plus
pas à
Le
arbitraire du classement choisi par
étude
une
02
03BB
et
systématique
polynomial d’une part,
et
ment, d’autres auteurs
32
(
)ont
33
)(
des
ordre
un
premier, Sirovitch
Wang Chang
propriétés comparées
abordé le
29
(
)
et Uhlenbeck
des classements
les valeurs propres d’autre
d’après
progressif
part. Plus récem-
problème à l’ordinateur.
Nous
en
reparlerons.
Le classement par valeurs propres donne la succession suivante :
La valeur propre suivante est
et
également,
comme
quence que les
nous
poids relatifs
malgré l’approximation
eigenvalue)
l’avons
34
(
)
02
03BB
=
-
3 4 A2
qui
signalé plus haut, à 03BB
.
30
est
Ceci
égale
a
des fonctions propres associées sont
.
Le modèle
correspondant
et 03BB
fonction de
à
21
03BB
pour consé-
respectés
est noté 3E (E pour
et s’écrit :
Les
expressions de
S
n
en
mêmes que précédemment. Les trois coefficients
déterminés par la force du potentiel.
02
03BB
numériques
et
11
03BB
sont les
sont entièrement
II.33.
2.
Développement
des calculs
La résolution pratique de
membre
approché
par K est très
analogue
expression dans laquelle l’opérateur
l’opérateur
J de la théorie WCU (on
Passant
Laplace temporelle,
en
on
encore,
pour
tout p
au
de Boltzmann
écrit :
n :
avec
K est déduit par la méthode
a
le second
début de la méthode WCU. On écrit :
pris garde
précédente
de
à la cohérence des notations).
transformée de Fourier spatiale et
posant
ou
l’équation
en
transformée de
II.34.
système d’équations
s’exprime
plasma
dans
à l’aide du
35
(
)
,
lequel :
produit
de
par la fonction de
polynômes
de
dispersion
calculable à l’ordinateur.
La condition initiale choisie est
la distribution h étant choisie telle que tous
le
premier, associé à
la densité p,
dans les méthodes
comme
Le second membre s’exprime alors
grales
ce
système
fini s’effectue
nateur pour des valeurs données de q et 03C9.
on
inverse
initiales
assure
alors que le terme
(q,
0
03B1
nous
par
développement
méthode de résolution
allons
un
Les
intégrales
fonction des inté-
à l’ordi-
numériquement
pr
I
sont calculées
des conditions
w) est simplement proportionnel
par le gaz dans
ce
modèle,
des calculs par cette méthode fait
ordinateurs performants. Parallèlement à
une
précédentes.
comme
au
nous
déjà noté.
Le
pée
en
l’équation matricielle. Le choix particulier
spectre S(q, 03C9) de la lumière diffusée
l’avons
simplement
nuls, sauf
op
I
.
La résolution de
puis
moments soient
ses
parler brièvement
modèle donné.
l’approche
numérique basée
car
sur
elle permet de
le
appel à des
des modèles s’est
développement
prévoir
la
dévelop-
WCU dont
précision atteinte
II.35.
3. Test de
précision
La résolution
a
pour
point de départ
le
des modèles 3E et 3P
numérique
de
développement
l’équation
de
Wang
de Boltzmann à l’ordinateur
Chang
et Uhlenbeck. Pour q et 03C9
donnés, des troncatures successives sont effectuées et le calcul de S(q, 03C9) mené
à bien. Le processus est
stoppé lorsque
la convergence semble atteinte, c’est-
à-dire lorsque le résultat n’est plus modifié par les troncatures suivantes.
Cette méthode
ment
lorsque
numérique
converge évidemment de plus
pas utilisable dans le domaine ciné-
augmentent. Elle n’est
q et 03C9
plus lente-
en
tique extrême mais permet
de décrire le domaine intermédiaire entre les compor-
tements
cinétique.
hydrodynamique
et
pour le test de modèles
précisément
C’est
le domaine intéressant
déterminés, dont les formes limites sont,
on
le
sait,
correctes.
La comparaison des modèles 3P et 3E
de
29
(
façon théorique )
ne
vont
guère
a
été
déjà mentionnée
au-delà de la constatation
montrant
préférable
qu’effectivement
ce
Dans l’étude de
valeurs de q et
férieures
Stokes
-
3E
a
au
été
et
au
32
(
)
Yip
a
tranché
en
3P.
, l’écart relatif
cas
du modèle 3E.
Il atteint 10% dans la
du modèle 3P et est surtout sensible à des
déplacement
Brillouin
q.
0
V
Dans cette
zone
inter-
fréquences
in-
étude, l’équation de Navier
également représentée.
Si l’on admet
couvre
cas
Ranganathan
dégénérescence
ordre très élevé est de moins de 2% pour toutes les
dans le
03C9
médiaire dans le
un
modèle était
que la
modèle 3E. Le calcul
au
spectre calculé à
par Sirovitch
, puis traitée numériquement. Les arguments théoriques
des valeurs propres de J semble favorable
au
entreprise
un
écart relatif partout inférieur à 2%
sur
le spectre, le modèle
l’ensemble des domaines hydrodynamique et cinétique.
est limitée à y
>
4.
Le modèle 3P
aux
domaines
y
4 et
y
0,2
L’équation
N.S.
II.36.
-
Si l’on admet 10% le modèle 3P
limité à
-
2, soit
y
La méthode
on
q ~
l’ensemble des domaines.
couvre
0,5.
32
(
numérique )
n’a pas été
au-delà de y
poussée
=
doit utiliser 80 valeurs propres pour obtenir la convergence.
les
3E et 3P sont, eux,
équations NS,
pour y très
second membre nul. On obtient alors
avec
0,6 pour lequel
Les calculs
sur
toujours possibles. La courbe asymptotique
est obtenue par résolution directe de
petit
N.S. est
une
l’équation
de Boltzmann
gaussienne correspondant
à l’effet
Doppler.
Nous constatons les excellentes
la
précision peut être
de valeurs propres
de
plus
encore
(jusqu’à
plus puissants.
en
mais le fait
qu’un petit
comparable à
celle que l’on
Après
ler
quelles
ces
Ce n’est pas
ce
et le
dernier
ces
méthodes.
transport n’est pas
en
non
présentés
modèles 3E et 3P
sont
également
les valeurs
un
précision (2%)
nous
faut maintenant rappe-
a
été effectué dans le
cas
de
température obtenue alors pour les
accord avec l’expérience. De même, le
en
l’opérateur
nulles. On traite ensuite
respectivement par
une
Remarques
on
11
03BB
cas
expérimentales
paramètre ajustable (03BB
20
valables dans la méthode WCU.
de
02
03BB
aux
de 03BB et
ou
).
03
03BB
autrement dit,
expressions
comme
par
En
potentiels "diagonaux"
de Maxwell :
renonce
et
prévue
potentiels plus réalistes.
le calcul n’est abordable que dans le
les fonctions propres de J mais
propres
déjà
intéresse,
mesuré peut être différent de la valeur 2/3
vis-à-vis des fonctions propres de
garde
nous
méthodes.
ces
le calcul. On est alors conduit à utiliser des
pratique,
à des ordinateurs
recours
point qui
considérations positives, il
molécules de Maxwell. Or, l’évolution
p
~C
03BB
méthodes, dont
peut obtenir dans les expériences.
2022 L’ensemble des calculs
nombre de Prandtl
33
(
)
21 moments)
nombre de termes dans K fournit
4. Limites de
ces
par l’utilisation d’un nombre très élevé
accrue
sont les limitations de
coefficients de
performances de
des
.
S
~
on
des valeurs
paramètres déterminés
Il reste alors dans les
De telles considérations
II.37.
La
des modèles obtenus doit alors être testée par
précision
l’expérience.
2022 D’autre part, la méthode des modèles,
est valable pour
gaz
précis
ne
l’équation
un
une
est
n’est pas
encore
2022 Du point de
soit valable
avec
au
sens
pourquoi
suffisante. Dans la
la méthode des
théorique,
modèles, dont la précision
incontestable,conduit à des particularités dont la signification
vue
claire.
mathématique,
strict du terme
ont été
Foch et Ford
vers
numériques
J
puisque
30
(
)
souligné que, si l’on
retenus, l’opérateur K ne converge
ont
celui-ci n’est pas borné. C’est
et
non
Le
théoriques.
nous
problème à résoudre
avons
est
présent mathématique.
2022 On peut remarquer que,
lors du
développement
été amené à diviser les deux membres des
qui peut s’annuler
si la
Ceci donne naissance à
de
faibles pour que
les seules estimations de la validité de cette méthode que
présentées
à
assez
précision
une
augmente indéfiniment le nombre de moments
pas
pressions
un
contrainte sérieuse.
Sur le plan
numérique
faire que pour des
se
parfait
ceci est
pratique,
les méthodes CE et WCU,
"parfait" monoatomique. L’application d’un modèle à
gaz
peut donc
du gaz
comme
un
de la méthode des modèles,
égalités
partie imaginaire de
03C9
par
on
a
l’expression :
devient
égale
continuum de "modes" tous atténués
au
avec
terme réel.
la constante
temps :
mais pour
lesquels n’existe
pas de relation de
dispersion, c’est-à-dire
lien entre 03C9 et q. Ces "modes de Knudsen" sont souvent considérés
modes de
particule libre pour laquelle l’équation
comme
de Boltzmann s’écrit
de
des
simplement
II.38.
soit :
gaussien correspondant à l’élargissement Doppler.
limite, l’expérience est sensible au comportement dynamique indi-
On reconnaît le spectre
Dans cette
viduel des molécules, l’échelle d’observation étant
petite
devant le libre
parcours moyen.
Quel que soit le modèle choisi, cette forme limite est obtenue
0
n
~
pour
0. Bien que
de Knudsen"
compte numériquement dans le spectre, les "modes
en
l’équation
casion de remarques intéressantes :
tions de la méthode WCU,
w
=
quels
w
de q
0 pour q
il
signifie
que
donne
également
de même que dans les diverses
apparaît,
=
outre les modes
0. On constate que, à
varier d’un mode à
l’oc-
approxima-
"hydrodynamiques" (tels
l’autre),
ces
partir d’une
modes
valeur donnée
disparaissent,
ce
qui
l’équation de dispersion n’admet plus de racines dans le plan
complexe (ceci
polynomiale).
dispersion
de
0) des modes "microscopiques" rapidement atténués pour les-
=
n’est pas nul à q
(qui peut
la divi-
03C9).
2022 Le comportement des racines de
que
dispersion du fait de
de
l’équation
pas dans
figurent
ne
D(q, v,
sion par
pris
se
ne
produisait
pas dans la méthode WCU où cette
équation
est
Pour les grandes valeurs de q n’existent que les "modes de
Knudsen".
Quel
sens
physique peut-on dégager
tique ?
Le fait que le
à basse
pression
q ?
0
(n
n+1
03BB
Les valeurs
particularité mathéma-
comportement de particule isolée devienne prédominant
~
tion des modes pour lesquels
de
de cette
0) est satisfaisant. Y a-t-il réellement dispari03C9
et q sont liés à
critiques trouvées
sont
partir d’une certaine
proportionnelles à
valeur
n+1
0
n
03BB
,ce
qui
permet de supposer qu’une disparition brusque est le fait de l’existence d’une
troncature dans la méthode;
une
contribution de
ces
un
traitement exact montrerait
modes tendant
asymptotiquement
vers
plus probablement
0
lorsque
q
augmente
II.39.
2022 Le domaine
cinétique extrême
de la lumière et
également
dernières, les conditions
a
été étudié expérimentalement par diffusion
acoustiques
)
36
.(
par des méthodes
aux
limites
qui déterminent le poids relatif
au
niveau de la
des différents
source
Dans
et du
modes, sont mal
ces
détecteur,
connues.
Aussi les résultats obtenus dans le domaine cinétique extrême par les méthodes
acoustiques doivent-ils être analysés
genre
d’ambiguité qui
n’a été mise
des gaz
6°).
monoatomiques par
présent
un
soin suffisant pour lever
un
évidence
en
riences de diffusion n’offrent pas
Nous allons à
avec
ces
qu’assez récemment.
-
expé-
désavantages.
conclure cette
présentation
des théories
résumé succint.
Résumé
1) La description théorique de l’évolution
gaz
Les
ce
proche de celui-ci peut
Ou bien
on
se
l’équilibre
d’un
faire par deux méthodes essentielles :
résout approximativement
. Si
vers
l’équation
l’approximation porte
sur
des bases
sur
des bases
sur
f,
on
de Boltzmann
obtient :
hydrodynamiques,
non
la méthode de
Chapman-Enskog
Wang Chang
la méthode de
hydrodynamiques,
et Uhlenbeck
. Si
- Ou bien
on
l’approximation porte
s’intéresse
aux
variables
de Liouville et l’on essaie d’obtenir
sur
J,
on
a
la méthode des modèles.
dynamiques A(X, r) obéissant à l’équation
une
description à l’aide d’un nombre
limité de celles-ci.
. On peut établir
une
équation d’évolution
fini de variables bien choisies : c’est
par Mori
qui
est utilisée dans
restreinte
un
nombre
Langevin démontrée
l’hydrodynamique translationnelle.
l’équation
la méthode de
impliquant
de
II.40.
. Ou bien
on
s’intéresse à l’évolution des moyennes de
ensemble hors
d’équilibre
c’est la méthode de
est claire
sous
sur
un
l’hydrodynamique généralisée
dont
l’analogie
avec
C.E.
cette forme.
valable pour le gaz
*
en
variables
soit :
2) On peut résumer la validité de
à l’ordre 6
ces
q.
parfait :
ces
méthodes par le schéma,
II.41.
La condition q03C3
«
1 définit le domaine de validité de
de Boltzmann donc des méthodes des modèles
gaz réels,
assez
qui s’en déduisent.
l’équation
Dans le
des
cas
les méthodes sont limitées à des valeurs du libre parcours moyen
pour que les corrections de non-idéalité restent
grandes
négligeables.
Au-delà, les équations phénoménologiques prennent le relais dans le domaine
où
q
«
1. On
ne
dispose pas de théorie permettant de décrire le gaz
parfait dans le domaine où
pas dans les
expériences
q ~
1
non
(En pratique, cette situation n’apparaît
.
de diffusion de la lumière.)
La description des gaz monoatomiques étant effectuée, il faut à
présent
gaz
la
compléter
pour
prendre
compte les phénomènes particuliers
en
aux
polyatomiques.
I. Phénomènes de relaxation dans les gaz polyatomiques
(1)
Généralités
Les gaz
que leurs molécules
sur
les gaz
polyatomiques
polyatomiques diffèrent
possèdent
des niveaux
des gaz
d’énergie
monoatomiques
par le fait
interne de rotation et de
vibration.
La
population i
n de
loi exponentielle de Boltzmann :
molécules dans
où
et
i
g
sa
i
E
est
un
niveau donné i obéit à
l’énergie
une
du niveau correspondant,
dégénérescence.
A la
température ambiante,
les
énergies
de rotation sont faibles
kT (sauf dans le cas de l’hydrogène) et un grand nombre de niveaux sont
0
peuplés; la chaleur spécifique interne de rotation atteint sa valeur limite à
devant
haute
température qui est,
par mole :
II.42.
32
R pour les molécules
linéaires
non
R pour les molécules linéaires
, SF
4
CH
6
, N
2
O
.
2
, CO
2
La situation n’est pas la même pour la vibration dont les niveaux
d’énergie
sont
spécifique
au
contraire
de niveaux sont
espacés. Peu
de vibration est beaucoup
plus faible que
0 représentant précisément
kT
gées
d’énergie donné permet
de
fiée lors des chocs. A
une
correspond le plus
si
prévoir
souvent
chaleur
une
population
sa
spécifique
des
grandeur
la contribution à la chaleur
lors des collisions,
valeur limite .
sa
l’ordre de
et la chaleur
peuplés
spécifique
sera
non
ou
de rotation
égale
valeur faible du nombre moyen
énergies
échan-
d’un niveau
facilement modi-
à32
rot
Z
R (ou R)
de collisions
nécessaire pour modifier l’état interne de rotation d’une molécule. De même,
plus la chaleur spécifique interne de vibration est faible devant
maximale, plus
on
s’attendra à
valeur élevée de
une
forme du potentiel intermoléculaire
valeur de Z,
indépendamment
de
,
I
C
également
a
une
.
v
Z
ibBien
sa
entendu, la
grande influence
aussi le raisonnement
valeur
précédent
sur
la
n’est-il
qu’indicatif.
L’existence de chaleurs
des chaleurs
nent, pour
spécifiques
une
p
C
et
v
C
Dans la limite basse
interne (c’est-à-dire
"hydrodynamique",
on
prend
en
qui,
internes modifie les valeurs
pour le gaz
parfait polyatomique, devien-
mole :
et n sont
également modifiés.
vis-à-vis des processus
d’échange d’énergie
Les coefficients de
utilise alors
spécifiques
on
fréquence
03C9
transport 03BB
coll
203C0 Z 03C4) que
nous
avons
dans le
chapitre I appelée
peut les calculer par la méthode de Chapman - Enskog. On
l’équation
de Boltzmann
compte dans le
généralisée au second membre de laquelle
potentiel une partie inélastique (appendice V).
II.43.
2022 Le tenseur des contraintes s’écrit,
au
premier ordre
en
Le terme de viscosité de cisaillement n’est pas modifié;
ajoute
un
terme de viscosité de volume dont
figure
en
appendice
et dont
l’expression
allons donner ici
nous
Cette viscosité de volume constitue
taire dû
au
fait que la mise
l’énergie
avec
i
c
0
i
Z
3C4
,où Z
cas
simple où
par
couplage direct
où
i
C
un
formulation
terme
la mise
à ~
v
en
avec
il
s’y
microscopique
simple :
dissipatif supplémen-
équilibre d’un niveau donné d’énergie interne
translationnelle n’est pas instantanée, mais s’effectue
d’un temps moyen
contributions
en
une
exacte
gradients :
est
équilibre
au
bout
du niveau considéré. Dans le
caractéristique
de chacun des niveaux considérés s’effectue
la translation
(processus
"en
parallèle"),
leurs
sont additives et l’on obtient :
est la contribution du niveau i à la chaleur
spécifique
interne molaire.
Nous constatons ainsi que la viscosité de volume est, dans le
des gaz
polyatomiques
tion de
l’énergie
en
limite basse
fréquence,
cas
directement liée à la relaxa-
interne.
(Les hypothèses soulignées sont nécessaires
-
d’une part il apparaît
monoatomiques
en
régime
une
non
dynamique translationnelle
-
viscosité de volume dans les gaz
hydrodynamique (théories
ou
de
l’hydro-
généralisée)
d’autre part, dans les liquides la viscosité de volume peut être
due à d’autres types de relaxation)
II.44.
2022 Dans le flux de chaleur :
la conductivité
est
simple
thermique 03BB comporte
dans le
des contributions internes. Son
où la relaxation de
cas
l’énergie
très long devant le temps entre collisions (tous les
les de Maxwell,
le
premier
on
terme
l’expression du
représente
gaz
)
8
(
trouve alors
la
prend
interne
l’énergie
sion D dans le
cas
où
»
i
Z
1,
»
temps
est
identique à
noté 03BB**.
sera
transport d’énergie interne dû
du volume considéré. 0394, est le coefficient de
compte
en
i
E
ce
un
1). Pour des molécu-
partie translationnelle de 03BB et
à la diffusion des molécules hors
diffusion de
i
Z
en
mole) :
(par
monoatomique parfait. Il
Le second terme
s’effectue
expression
.
que
le
Il est
nous
égal
avons
au
coefficient de self diffu-
supposé.
Soit finalement :
En
pratique,
ce
raisonnement n’est valable que pour la contribution vibration-
nelle à la conductivité
i
Z
sont faibles
en
thermique. Dans le
ont cherché à calculer
proposée :
de la rotation, les valeurs de
général (quelques unités).
Certains auteurs
le transfert de
cas
i
0394
,
l’énergie
37
(
)
interprété
, conservant la formulation
comme
précédente,
le coefficient de diffusion pour
interne et différent de D. La formule suivante
a
été
II:45.
i
Elle conduit à des valeurs proches de D dès que Z
est supérieur à 3
A la lumière des calculs
en
présentés
fait que,pour les faibles valeurs de
il
,
i
Z
l’appendice V,
dans
n’y
quantités 03BB**
et
0
03C1
il
4.
apparaît
plus découplage entre les
a
contributions translationnelle et rotationnelle à la conductivité
que l’introduction même des
ou
r
C
rot
0394
est
ot
thermique
et
criticable. On
peut seulement écrire :
Nous reparlerons plus loin de
(2)
Relaxation de
ce
problème.
l’énergie
interne
Lorsque l’échelle temporelle d’observation devient
temps caractéristique
n’y
a
c
Z03C4
du transport de
plus équilibre local entre l’énergie interne
On constate alors que la vitesse du
dans le gaz croît
progressivement
interne
l’énergie
à partir de
sa
et
son
ou
l’énergie
de l’ordre du
plus petite, il
translationnelle.
mesurée à la fréquence
valeur à
fréquence
03C9
nulle qui
est, pour le gaz parfait :
Dans la limite haute
cesse
de "suivre" l’évolution de
La vitesse du
et le terme dissipatif
son
fréquence
l’énergie
coll
(03C9Z03C4
»
1), l’énergie interne
de translation.
reste alors constante à la valeur
v disparaît.
~
II.46.
La description des processus de relaxation de
dans les gaz polyatomiques est
longtemps restée phénoménologique.
compte de l’évolution de la vitesse du
terme
v (grandeurs
~
de supposer
une
l’énergie
accessibles
aux
mesures
relaxation des chaleurs
(03C4 est le temps de relaxation de
Pour rendre
d’absorption
et de l’excès
son
interne
dû
au
ultrasonores), il est équivalent
spécifiques
l’énergie)
de la viscosité de volume
ou
avec
est
~
(03C4
le
temps
la relation
de relaxation de la viscosité).
Il n’en est pas de même dans les études par diffusion de la lumière
où il est nécessaire d’étudier
xation
pour rendre
plus précisément
compte de l’ensemble des spectres.
Le premier, Mountain
l’hydrodynamique (N.S.)
en
vue
de
de calculer le
un
)
4
(
l’absorption
son.
Nous allons
dans les
en
a
introduit dans les
spectre de la lumière diffusée par
basse
fréquence,
en
limite haute
équations
de la
dépendant
terme de viscosité de volume
relaxation. Ce terme doit être nul
une
la nature du processus de rela-
un
fluide
fréquence
de
fréquence
présentant
et rendre
compte
ainsi que de l’évolution de la vitesse du
rapidement présenter cette théorie phénoménologique, excellente
liquides associés tels
utilisée dans les gaz.
que la
glycérine
et
qui
a
longtemps été
Tableau II-5
Matrice
Théorie
hydrodynamique
*
~
03C4
temps
de relaxation de la viscosité
de relaxation de
=
c
n
M
*
c
= Z03C4 v
vc
03C4V Cc
si T est le
temps
l’énergie
x
dans la vitesse HF il intervient
x
dans
l’absorption
v
~
03C4
BF il intervient ~
v
d’où le choix de
v
n
et
~
03C4
Théorie
phénoménologique
de Mountain
Evolution des composantes de la raie centrale
Fig. II-3
II.47.
(3)
Théorie
Le
tableau
phénoménologique
5
présente
de Mountain
la matrice
Mp
hydrodynamique complétée
du terme de viscosité de volume.
Nous
(q
«
avons
monoatomique
dans
ce
1) est constitué de trois raies dont les caractères sont indiqués
chapitre
domaine
au
I.
Du fait de
l’équation
sera
que le spectre d’un gaz
vu
de
l’apparition
dans la matrice M du dénominateur 1
+
~
i03C903C4
dispersion polynomiale
cette fois du 4e
dans le spectre par
degré
une
et admettra par suite 4 racines.
raie lorentzienne
la relaxation et que l’on
supplémentaire
)
4
appelle raie Mountain (
non
Cela
se
déplacée
traduira
due à
.
Nous allons examiner les caractères du spectre obtenu dans les
limites basse et haute
fréquence (
Introduisons les
L’équation
de
figure
quantités
dispersion
se
3
sans
).
dimension :
développe
Les quantités 0393 et 0394 sont très inférieures à 1
en :
dans le domaine considéré
(qA
«
1).
II.48.
En limite basse fréquence
L’intensité
et de
soit
fréquence
plus 039303B8, 03B603B8, 039403B8
l’équation
intégrée
Rayleigh (
celle de la raie
En limite haute
4
03B8s
»
4
1
, on a
approximativement
de la raie Mountain est
). Le rapport Landau - Placzek est :
1
03B8s
1
1
devient :
encore :
La racine la plus
négligeable
petite correspond à la
raie Mountain :
devant
II.49.
la racine
qui
Rayleigh
pratique
en
est
est très peu différente de
le doublet Brillouin
Ry
correspond à :
L’intensité
intégrée de la raie Mountain est cette fois
raie Rayleigh et elle doit être très haute car
ordre que celle de la
Le
du même
très fine
rapport Landau - Placzek est modifié.
fine
en
L’expérience n’a pas confirmé la présence dans les gaz d’une raie
limite haute fréquence. Ce fait a été longtemps attribué à la résolution
insuffisante des montages. Celle-ci augmentant, la théorie
elle-même
a
été mise
en
38
(
question. Mountain )
fective du processus de relaxation
Desai
39
(
)
au
cas
des gaz,
a
(théorie M 03BE) qui
selon la formulation de
phénoménologique
entrepris
a
été
une
analyse ef-
adaptée
par
l’hydrodynamique
transla-
tionnelle.
Plus récemment, s’est
une
généralisation
aux
gaz
polyatomiques de
Avant d’aborder
les difficultés
l’exposé de
particulières
sujet difficile à aborder
développée
avec
ces
une
approche cinétique basée
sur
la méthode des modèles.
théories, il
à l’étude des gaz
nous
faut
polyatomiques qui
quelque généralité.
en
souligner
font
un
II.50.
Problèmes
(4)
Nous
avons
parfaits monoatomiques
subsiste de
vu
spécifiques
qu’il
et de
est
possible
l’appliquer à
fonction des coefficients de transport
procédé
de bâtir
particulier
cas
expérimentaux
les
uns
contributions :
monoatomique,
molécules,
xation
i
03C4
la
partie élastique
permet
en
du gaz.
des gaz
cas
polyato-
qu’une
théorie
du
polyatomiques comportent
potentiel, comparable à
deux
celle d’un gaz
partie iné-
varie pas fondamentalement d’un gaz à l’autre. La
ne
contraire, dépend fortement des caractéristiques du gaz et de la forme des
qui
ce
conduit à des valeurs très variables pour les
des divers niveaux
Dans le
ne
ambiguité
sans
des autres pour
Les potentiels d’interaction des gaz
au
qu’il
sans
développée.
soit
lastique,
théorie des gaz
une
n’est pas utilisable dans le
miques qui diffèrent trop profondément
générale
un
polyatomiques
Ceux-ci ont été calculés
paramètre ajustable.
Un tel
des gaz
cas
d’énergie
général,
pas de remonter à
un
interne
temps de rela-
peuplés.
la connaissance des coefficients de
transport
potentiel intermoléculaire de manière univoque
(appendice V).
Des calculs de
riquement l’évolution d’un niveau d’énergie donné
tion
ou
avec
des niveaux voisins.
systèmes à deux
ou
s’agit
par
Ces calculs sont
).
2
H
En revanche, ils
de décrire l’évolution du
ne
couplage
précieux
trois niveaux (niveaux de vibration
nellement rotation dans
de déterminer théo-
dynamique moléculaire permettent
sont
dans le
sur
cas
de
général, et exceptionqu’indicatifs lorsqu’il
en
système plus compliqué constitué
des niveaux de rotation d’une molécule,
la transla-
avec
lequel l’expérience
ne
par l’ensemble
nous
fournit
qu’une information globale.
Pratiquement,
de niveaux
les
d’énergie peuplés
et
systèmes
que l’on sait décrire
correspondent
comportent peu
par suite à Z » 1;
il
s’agit
II.51.
des niveaux de vibration dont la contribution
aux
est
alors toute la
saire et
comporte pas
ne
pendamment par
nombre et de
détail des
est sensible
vité
néces-
rigueur
Z peut être déterminé indé-
ultrasonore.
de la rotation,
40
(
)
phénomènes,
sur
les niveaux interviennent
parallèle", où
le processus "en
les
et il n’est pas
car
nous
phénomènes
ne
pouvons
égal
justifié d’entrer
en
grand
chaque
ici dans le
obtenir que des informations
de relaxation). Aussi le nombre moyen
l’expérience apparaît-il
expérimentalement
sairement
paramètre, puisque
façon complexe (outre
processus "en série"
obtenue
cas
présente
couple à la translation indépendamment, il existe probablement des
se
globales
de
d’absorption
mesure
Dans le
niveau
La théorie
théoriquement.
connue
coefficients de transport
par
comme
un
de la valeur
paramètre, proche
absorption ultrasonore
à celle-ci. Des deux premiers termes
41
(
)
, mais
figurant
auquel
rot
Z
non
néces-
dans la conducti-
thermique :
seule la
donc leur
somme
est
connue
séparation
ainsi que
nous
l’avons montré dans
l’appendice V,
est arbitraire.
Ces quelques remarques
à prendre dans la suite avant
expliquent
d’appliquer à
les
précautions
que
nous
la relaxation rotationnelle
aurons
une
théorie déterminée.
Nous allons
présenter
translationnelle de Desai, que
nous
maintenant la théorie de
comparerons
avec
la relaxation établie par Mountain. Cette dernière
de relaxation
pouvant
thermique désigne les
notre propos.
non
se
la théorie
couvre
générale
de
les divers types
produire dans les fluides. Le terme de relaxation
processus de relaxation de
On parle de relaxation structurale
instantané de la structure locale, processus
l’énergie interne, qui sont
lorsqu’il y a réarrangement
qui n’intervient
gaz dans notre domaine d’étude. La théorie de Mountain
cas
l’hydrodynamique
d’une relaxation purement thermique.
sera
notée
pas dans les
M 03BE
dans le
II-52.
II. Théorie de
l’hydrodynamique
39
(
)
42
)(
translationnelle
de la méthode
(1) Principe
Cette théorie décrit la relaxation d’un niveau donné
interne lorsque le temps
caractéristique associé
est
devant
grand
d’énergie
c
03C4
(Z » 1).
Plus
généralement, elle traite la relaxation d’un ensemble de niveaux internes
lorsqu’on peut rendre compte du processus par un temps de relaxation unique
long devant
un
degré
Ceci
.
c
03C4
s’applique à l’ensemble
de liberté donné de vibration, par
des niveaux
exemple,
car
d’un oscillateur harmonique. En revanche, les niveaux
associés à
même
un
de liberté ont des
degré
de plus, sont de l’ordre de
Dans
quelques
qui suit,
ce
nous
d’énergie
ces
associés à
niveaux sont
d’énergie
ceux
de rotation
temps de relaxation différents qui,
.
c
03C4
supposerons que l’étude
concerne
un
degré
de liberté de vibration donné.
Comme dans le
consiste à
selon le
ajouter
procédé
Les
un
gaz
aux
cas
du gaz monoatomique,
variables conservatives
une
le
principe de
variable
la méthode
supplémentaire
de Mori.
quantités conservées globalement
lors des collisions sont,
pour
polyatomique :
-
-
-
le nombre des molécules
leur
impulsion
l’énergie totale,
somme
des contributions internes et de
l’énergie
de translation.
Les variables conservatives associées sont :
la densité
03C1(q,t)
la densité
d’impulsion
et la
et
orthogonale
aux
température
j(q,t)
T(q,t)
deux autres variables :
associée à
l’énergie
totale
E(q,t)
II.53
indiqué précédemment (A.II).
selon le choix
Lorsque
système
le
est
placé
d’équilibre,
hors
de la translation et de la rotation s’effectue
ques
.
c
03C4
Il
en
un
temps de l’ordre de quel-
est de même de la thermalisation des niveaux de vibration.
en
Au bout d’un temps très court, il est alors
le
système
termes
en
la thermalisation
d’énergie,
ou
encore
de
de décrire
possible
température associée à
un
degré
de liberté donné.
Nous noterons
la
température
la
tr
T
température
de translation
à
égale
est
qui
de rotation
vib
T
la
de vibration
température
Avec bien entendu :
I
C
chaleur
C*V
=C
hypothèse,
aux
a
des
interne de vibration
I
C
Il
apparaît
un
temps d’évolution long devant
autres variables
rapide
spécifique
que la variable associée à
,
c
03C4
est par suite lente par
conservatives décrivant la translation
non
entre les divers niveaux
populations
l’énergie interne, qui,
d’énergie
par
rapport
l’évolution
ou
d’un même
degré
de
liberté.
En
on
ajoutant
obtiendra donc
faite
plus haut,
une
sera
un
trois variables conservatives cette variable lente,
description qui, d’après la discussion
excellente dans le domaine où
La théorie
(donc à
aux
a
été
développée
dans le
cas
q
»
d’un
nous
avons
1.
système
seul temps de relaxation). La différence de leurs
est notée .
12
u
que
à deux niveaux
énergies
internes
Tableau
II-6.a)
Hydrodynamique translationnelle -
viscosité de volume
en
limite haute
Gaz
fréquence
polyatomique
Tableau
Matrice réduite 3 x 3
II-6.b)
II.54.
On décrit le
-
système
comme
un
mélange
des composants est constitué des molécules
un
le niveau 1.
Sa densité est
trouvant dans
les molécules dans le niveau 2 constituent le second
-
de densité 03C1
2
- les deux
Dans les
à
20
(03C1
de
équations
composant,
l’équilibre).
composanto
outre les termes habituels,
ont
polaresabilité
même
associées
l’hydrodynamique
apparaissent,
des termes de diffusion mutuelle et le terme de
réaction chimique décrivant le passage d’un état à l’autre
de l’ordre de
ractéristique
se
10 à l’équilibre
03C1
et
1
03C1
,
43
(
)
réaction
en
avec
temps
un
ca-
.
c
Z03C4
La variable lente introduite est associée à la fluctuation de
densité
interne F :
d’énergie
et choisie pour être
La matrice obtenue
trois dimensions
fréquence (
avec
orthogonale
qui dépend
phénoménologique
chimique"
ainsi que
fréquence.
matrice 3 x 3 s’identifie
transport d’énergie interne
"réaction
6
bien entendu de la
.
p
M
les termes de diffusion deviennent
le
trois variables conservatives,
tableau
dans le
figure
1 03C4 ~ ~) cette
la matrice
aux
ne
prépondérants,
peut plus
se
sans
q
revanche,
traduit le fait que
devenant infiniment lente.
cela est strictement
Pour permettre
une
identique à
comparaison
mulation utilise des variables différentes,
changements de
qui
en
en
faire que par diffusion, la
Ce processus de diffusion n’est pas
M 03BE qui
En limite basse
fréquence
ce
réduction à
deuxième ordre
au
En limite haute
sa
soit :
variables
qui
de
pris
en
compte
dans la théorie
la théorie TH.
ces
nous
deux
avons
sont résumés dans les
théories, dont la fordû effectuer quelques
tableaux 7, 8, 9.
Tableau II-7
Hydrodynamique
translationnelle. Variables
non
orthogonales
Tableau II-8
Théorie M03BE
Relaxation
thermique
II.55.
Dans le
TH pour les variables
orthogonale
aux
7
tableau
,
nous
et la variable
pTj
avons
écrit la matrice de la théorie
d’énergie
interne F,
n’est pas
qui
de celle-ci s’écrit :
précédentes. L’équation d’évolution
Or, F est donné par :
En limite basse
ratures interne et de
fréquence, lorsqu’il y
translation,
int
0394T
L’expression précédente peut
traduisant le fait que
l’énergie
est
a
tempé-
entre les
équilibre
égal à 0394T.
donc s’écrire :
interne évolue selon
un
double processus, rela-
xation et diffusion.
Ce processus de diffusion
fluctuation de
température 0394T,
et
s’ajoute
Le tableau
a
au
8
donc de
apparaît également
l’énergie
terme de conduction
présente
totale 0394E
dans l’évolution de la
=
dérivée 03BE
T
par
relaxation 03BE ajoutée ici
rapport à la température
la matrice de la théorie
s’identifie
à
.
I
C
0
03C1
AT
thermique.
été écrite par Mountain, c’est-à-dire pour les variables p,
La variable de
v
C
0
03C1
sans
M 03BE
telle
T
t
,r
jet
qu’elle
03BE.
difficulté à F et
sa
Tableau II-9
Relaxation
Théorie M03BE
bilan
thermique
énergétique
matrice
identique à
03B *
celle du
= 03BB
ou
tableau
encore
7
D
=
pour
0
II.56.
tableau
Dans le
bles p
9 ,
la matrice
M 03BE
est écrite
sur
les varia-
T j F et peut donc être comparée à la matrice TH écrite dans le tableau 7
L’identification des termes est immédiate, les deux matrices
ne
différant que
par la disparition du terme D, traduisant le processus de diffusion,
pas
pris
en
compte dans la théorie M 03BE . On
L’équation d’évolution
et pour
a
alors 03BB
qui n’est
03BB*.
=
de F est seulement :
totale :
l’énergie
Donnons à
les résultats des calculs menés selon
présent
ces
diffé-
rentes méthodes.
(2)
Caractères des
On peut,
de
précédemment, résoudre approximativement l’équation
dispersion obtenue à partir
. En limite basse
le
comme
déplacement
prépondérant
La raie
devant
Rayleigh
a
)
2
Dq
et
pour demi
Les raies Brillouin sont
de la matrice
M(q).
la raie Mountain de relaxation est plus
fréquence,
Brillouin et
obtenus
spectres
a
pour demi
son
largeur à
intensité
largeur
déplacées
de
intégrée
1= 103C4
n
v
C*
03C4 C
faible.
mi-hauteur
est
2
03BBq
.
p
C
0
03C1
± V
q
0
large
et ont pour demi
largeur
que
(terme
II.57.
Nous
avons
que cette limite basse
vu
celle que fournit la théorie
phénoménologique
conduirait
avec :
même résultat,
au
Les intensités
intégrées
est strictement
fréquence
des raies sont
de Mountain
).
p
(M
également identiques
identique à
La théorie
M 03BE
dans les trois
théories.
. En limite haute
fréquence
(1 03C4 ~ 0),
peut s’attendre à
on
entre les théories du fait de la
présence
de diffusion. A haute
ou
fréquence,
une
forte
divergence
dans la seule théorie TH des termes
encore,
qui est équivalent dans
ce
un
gaz,
à basse pression, le coefficient de diffusion D, inversement proportionnel à la
densité, devient important. Ce n’est pas le
les théories
du
M 03BE
et TH sont
Le
tableau
spectre TH
en
haute
équivalentes
7
nous
fréquence
cas
dans les liquides pour lesquels
dans leur domaine de validité
(qA
«
1).
permet de déterminer immédiatement la limite
car
l’énergie
interne
se
découple des autres
variables dans cette limite.
-
de la raie
Rayleigh qui
-
du fait du
La raie de relaxation
est à
présent
une
a
2
03BB*q
C
0
p
03C1
*
Les raies Brillouin sont
découplage,
demi largeur
2comparable
Dq
(en pratique
déplacées
de
±V*q
à celle
03BB* C* # p
p
03BB.C
)
et ont pour demi
largeur :
l’intensité Mountain est faible devant celle des autres raies.
Fig.
II-4
Fig.
II-5
II.58.
La théorie
égale
Mountain
conduit dans cette limite à
M 03BE
à 1/03C4 donc très faible. La demi largeur
demi
une
Rayleigh
largeur
est
2
03BBq
C
0
p
03C1
*
.
de ±V* q et ont pour demi
Les raies Brillouin sont
déplacées
L’intensité Mountain est
négligeable.
largeur
*
part la différence
Mis à
spectres prévus par
entre 03BB
dont
peut montrer qu’elle
on
rale de Mountain dans le
La
très loin
où
q ~
en
limite haute
fréquence
car
Rayleigh
on
zone
et
est entièrement située
comparables à
Nous
avons
prévisions
les intensités
son.
figure
la
raie centrale dans la
les
4
5
zone
et
se
phéno-
à la théorie
se
M 03BE
et TH
trouve
ne
géné-
peut être poussée
rapidement dans le domaine
en
où les racines Rayleigh et Mountain
couplent fortement dans l’équation
représentent l’évolution
et Mountain dont les intensités
relaxation de la vitesse du
avec
grandeur
figures
dispersion. Les
pas
équivalente
la théorie
1.
deviennent du même ordre de
(Cette
supérieures à
est
entre les théories
Plus intéressante est la
de
limite HF, puisque
en
d’une relaxation structurale
cas
comparaison
peut prévoir que les
négligeable.
Ces deux théories sont donc bien
p
M
on
deux théories diffèreront peu
ces
la raie de relaxation y est
ménologique
et 03BB ,
intégrées
limite haute
Aussi les
figures
sont alors
fréquence
4
largeurs
comparables.
vis-à-vis
5
et
des
ne
de la
sont-elles
3 ).
réussi à analyser expérimentalement la structure de la
zone
du
couplage. Elle s’est avérée
de la théorie TH tant pour les
intégrées.
en
parfait accord
largeurs de raies que pour
II.59.
M 03BE ne rend compte correctement d’aucun de ces paral’importance du processus diffusionnel introduit par
La théorie
mètres,
confirme
qui
ce
Desai.
Nous disposons donc d’une théorie
valable dans le
de cette théorie
rapides (Z
où Z
cas
»
1.
domaine
au
hydrodynamique
de la relaxation
problèmes restent à résoudre : l’extension
Deux
cinétique,
et le traitement des relaxations
plus
1).
>
La théorie des modèles dont
faitement le
premier problème. Quant
au
nous
loin nésout par-
parlerons plus
second,
nous
allons
l’expliciter quelque
peu.
Le
nous
cas
reportons
nous
que des difficultés
n’est pas
où
Z ~
aux
hypothèses
présentent.
se
reste la notion même
avons
fréquent
pour la relaxation de rotation. Si
de base de la théorie TH,
En effet,
l’énergie
c
03C4
d’énergie
ce
ne
lors du calcul de la conductivité
problème
sont pas calculables, mais
On
de déterminer
ne
ses
encore
ne
se
performances.
fréquence de
diqué
v
~
dans
pas
non
eux.
Nous
thermique À
seulement
ne
(A.V).
«
1) donc
dépend
ne
couvre
au
domaine de validité des
que la
partie
basse et
la relaxation.
volume ~ qui
v
ne
découplent
Ce test est limité
En limite basse fréquence,
sion de
puisqu’à
peut alors que tester expérimentalement la théorie, afin
hydrodynamiques (qA
viscosité de
sens
sont pas thermalisés entre
dont les contributions translationnelle et rotationnelle,
moyenne
constatons
interne de rotation
interne de rotation n’a pas de
les niveaux de rotation
déjà rencontré
théories
nous
variable lente devant les variables translationnelles, et du
une
l’échelle de
1 est
avons
vu
que c’est le terme de
détermine les caractères des spectres. Or l’expres-
pas de l’ordre de
l’appendice.
nous
grandeur de Z,
comme
nous
l’avons in-
II.60.
Ceci laisse bien augurer des performances de la théorie TH même
pour des valeurs relativement faibles de
avant la
zone
rot’
Z
la limitation
q ~
1 intervenant
de relaxation.
critique
III. Théorie des modèles
Dans le domaine
non
par la théorie des modèles de
tion
aux
Boley, Desai
des théories
polyatomiques
gaz
et Tenti
(théorie BDT),
a
été modifiée
1974 par la théorie BDT6
en
Nous allons
sera
sans
généralisa-
notée BDT7
qui comporte 6
indiquer le principe,
en
relayée
La formulation la
déjà présentées.
ancienne de la théorie BDT (1972) comporte 7 moments et
Elle
TH doit être
hydrodynamique, la théorie
revenir
moments
les
sur
plus
)
4
(
4
34
(
)
.
points
déjà développés.
1.)
Linéarisation de
l’équation
La forme linéarisée de
second membre de
été obtenue par
quels peut
interne
dont
gie
se
laquelle
on
une
l’équation
de Boltzmann
45.
(
)
généralisée,
au
a
Les différents états dans les-
molécule donnée sont caractérisés par leur
On écrit alors pour le gaz les équations d’un
.
i
E
polyatomiques
compte des collisions inélastiques,
en
et Uhlenbeck
Wang Chang
trouver
prend
de Boltzmann pour les gaz
mélange
énergie
réaction,
en
est l’ensemble des molécules situées dans un état d’éner-
chaque composant
donné.
Le
les niveaux
niveau
principe de
d’énergie
d’énergie
sont
cette
dégénérés,
de rotation est
rant que par l’orientation de la
des transitions
sous
en
l’absence de
la diffusion
qui est le
cas
composé d’un ensemble
de la rotation.
de sous-niveaux
se
ces
Chaque
ne
diffé-
molécule, entre lesquels peuvent s’effectuer
J est
composé
champ extérieur,
tions existant, du fait de
états d’orientation
ce
l’effet de collisions "désorientantes".
canique quantique, chaque niveau
énergie
description scalaire n’est pas valable lorsque
de 2J+1
donc 2J+1
fois
(En termes de mé-
sous-niveaux
dégénéré).
m
de même
Les corréla-
collisions désorientantes, entre les divers
manifestent dans des
Rayleigh dépolarisée
ou
l’effet
phénomènes
non
Senftleben -
scalaires tels que
Beenakker. Elles sont
II.61.
prises
en
sur
laquelle vient d’être développée
des
phénomènes scalaires, qui interviennent
polarisée,
46
(
)
compte dans l’équation plus récente de Waldmann et Snider
a
on
montré
une
théorie des modèles. Pour
,
ce
qui
est
seuls dans les études de diffusion
47 l’équivalence
(
)
48
)(
des
équations
de Waldmann - Snider
et
Wang Chang et Uhlenbeck, ce qui nous autorise à user de la formulation la
plus simple, celle de Wang Chang et Uhlenbeck, dont nous allons poursuivre l’exposé.
Pour chaque état
tion
(v)
0
f
(r,v,t)
i
f
est
et la déviation
la distribution
0 la densité moyenne de
n
i
x
d’énergie
(r,v,t)
i
h
,
i
E
à
on
introduit la fonction de distribu-
l’équilibre
absolu :
d’équilibre :
particules0
( n
=
0
03C1
m)
m
la fraction moyenne de molécules dans l’état i
L’équation linéarisée s’écrit alors,
La section efficace de collision
k~
I
ij
d’énergie
i
E
pour l’état i :
correspond à l’évènement :
II.62.
On dira que la collision est
élastique lorsque
l’état des molécules n’est pas
modifié :
(le qualificatif d’élastique
i~j i
lesquelles il
pour
s’applique pas
ne
y
aux
collisions "résonnantes"
conservation des deux termes de
a
l’énergie
séparément)
Soit N le nombre des états
d’énergie
interne. On notera h le vecteur
colonne dont les N composantes sont les
quantités
.
i
h
que
nous
J ,est
noterons
Il est constitué d’une
le
cas
où le
cules, est
potentiel
un
présence
tement transposables.
1
2 (L
L
+
2
L
=
et d’une
x
de collision,
N :
partie élastique
J’
été établie par Wang Chang et Uhlenbeck dans
pour toutes les
paires
de molé-
de Maxwell :
de deux
les résultats obtenus pour
et
a
J"
potentiel d’interaction, identique
Du fait de la
1
L
matriciel, de dimension N
partie inélastique
l’opérateur J’
La théorie de
alors
L’opérateur
types de molécules
l’opérateur
Wang Chang et
J du gaz
au
second membre de
monoatomique
ne
Uhlenbeck ont introduit les
J) qui sont des opérateurs scalaires
l’équation,
sont pas immédia-
opérateurs partiels
II.63.
se
rapporte aux
de
référence, dont
molécules heurtant la molécule
on
a
à calculer la contribution
totale
Les fonctions propres de
mais
avec
1
L
~
valeur propre
pour la fonction
en
et
2
L
sont les mêmes que celles de J
des valeurs propres différentes :
2
L
~valeur propre
i
(J’h)
1
L
sous
r~
03BC
J valeur propre
r~
03BD
propre 03C8
0393~m
de J définie
r~
03BB
*03BC
r~ r~
+ 03BD
plus haut. On peut alors écrire
la forme :
introduisant les matrices N
x
Les valeurs propres de la matrice
N :
SS
M
sont 03BB
et N-1
fois
.
S
03BC
On met
en
évidence
II.64.
S
03BB
-
associée
S
03BC
dégénérescence,
à
lorsqu’on remarque que pour
proportionnelles (et
viennent
toutes les
comme
=
S
03BC
Elle est donc
0 toutes les colonnes de-
lignes identiques).
toute base de N-1 vecteurs
peut être prise
0
V
des colonnes.
somme
vecteur propre
au
-
vecteur
lorsqu’on effectue la
p
V
du sous-espace
base de vecteurs propres (N
Du fait de la
orthogonal
>
>
p
au
0) associée
.
S
03BC
Ceci
matriciel J’.
permet
de déterminer les fonctions propres de
l’opérateur
Ce sont :
associées
aux
valeurs propres
S
03BB
identiques à
celles de J
associées
aux
valeurs propres
S
03BC
de
l’opérateur partiel L
1
On constate donc que les résultats sont différents selon que les
niveaux internes apparaissent tous de façon identique
remarquer
etc...
au
peuplement
).
p
(V
On peut
(ne sont pas fonctions propres
,
p
V
même, soit
de J’)
c’est-à-dire quelle que soit la combinaison
choisie pour la contribution des divers niveaux,
la
non
d’un niveau interne donné.
D’autre part, quel que soit
toujours
ou
effet que chacun des vecteurs :
en
correspond
)
0
(V
.
S
03BC
la valeur propre
associée est
II.65.
De
l’opérateur
propres associées
aux
inélastique J
",
on
ne
connaît que les fonctions
grandeurs conservées lors des collisions, nombre de
par-
ticules, impulsion, énergie totale. Elles peuvent s’écrire, selon la notation
précédente :
avec
comme
précédemment
J"que
Chacune des fonctions propres de
fonction propre de
son
J’,
approximation par
ce
qui
va
nous
venons
d’écrire est
simplifier l’expression de
la méthode des modèles.
J
également
et
également
II.66.
J" dépendent
Les autres fonctions propres de
inélastique
choisi et
d’exprimer
J"
sur
ne
n’est pas
Pour obtenir
un
le plus
les fluctuations des
et leur
-
-
-
modèle correct de
l’opérateur
de J’ dont
J , il
nous
faut
les moments associés
significatifs
sont :
(ici
en
notation
sans
dimension)
populations de chaque niveau
v
0
n
la vitesse moyenne u
0
la fluctuation de la
température
de translation
la fluctuation de la
température
interne
Ktchaleur
,
I
où
I
t
-
somme
Sur cette
d’importance.
Les moments
-
J’.
diagonal.
conclure quelles sont les fonctions propres
présentent
potentiel
sont pas calculables. Aussi choisit-on
la base de fonctions propres choisie pour
J"
base, l’opérateur
général
en
du
est
sans
spécifique
interne par molécule,
dimension.
la fluctuation de la
température totale
a
été définie plus haut.
II.67.
On peut
également
considérer la fluctuation du tenseur des pressions
et les contributions translationnelle et interne
Voyons à présent quels modèles
au
flux de chaleur
ont été conçus à
partir
de
ces
considérations.
2.)
Modèles pour les gaz
polyatomiques
Deux modèles ont été construits successivement pour la
des gaz
description
polyatomiques.
La théorie à 7 moments
(BDT7) est l’extension
aux
gaz
polyatomiques
du modèle 3P du gaz monoatomique.
La théorie BDT6, plus récente, comporte 6 moments et est l’extension
gaz polyatomiques du modèle 3E. Ce dernier modèle
simplifiée
aux
rapport
précédent,
au
le même
présente,
type de supériorité que le modèle 3E
sur
modèle 3P.
a.
~~
modèle à 7 moments
l’opérateur
J’est approché
termes conservés
par
7
K’
tel que
lors d’une collision
élastique
le
par
II.68.
flux de chaleur translationnel;
fait intervenir
associé
11m,0
~
fait intervenir
Son
rang. En pratique,
propres de
J’
J’ et
(élément
on
n’est pas
diagonal
sur
les fonctions propres de
J’.
expression générale
peut être approchée
sur
pressions;
020,0
~
l’opérateur J"
~~
fait intervenir
donc la valeur propre est 03BC
01
01m,1
~
tenseur des
au
flux de chaleur interne;
non
posant
en
on
ne
figurant
S’n’
~
, J" )
Sn
(~
retiendra de
J"
que
~
ses
dans K’, afin d’obtenir
,03B4
SS
03B4
,
nn
au-delà d’un certain
composantes
une
sur
approximation
les fonctions
de même ordre
J".
diagonal),
obtient finalement le modèle
proposé
tout d’abord par Hanson et Morse
49)
(
:
II.69.
~
termes conservés lors d’une collision
relaxation
~
~
flux de chaleur interne
flux de chaleur translationnel
termes croisés du flux de chaleur
tenseur des contraintes
Remarquant
on
peut grouper K’
et K"
que, dans
en
un
seul
J’,
les valeurs propres sont
opérateur
K où
simplement :
les
apparaîtront
grandeurs
globales :
La connaissance des coefficients de transport
gaz
permet,
selon le
procédé habituel exposé
l’ensemble des éléments de matrice de
le
dans
l’opérateur
temps caractéristique de la relaxation.
expérimentaux
l’appendice V,
K total
sans
du
de déterminer
hypothèse
sur
II.70.
La théorie
aux
grandes
sans
pour
sur
départ
2~
00,0dont
présente
la base de l’étude des gaz
la théorie 3E.
la contribution
monoatomiques,
a-t-on cherché à
en
compte de la fonction propre
peut s’exprimer
en
termes de
ne
200
03C8
+
pas calculables, mis àpart
Le modèle finalement retenu est
b. modèle
Dans cette expression,
excepté
le terme dans
On
a
on
prendre
Cependant, la prise
2
(15 4 - 5c
=
-3/4
~2/15
03C0
d’interprétation physique simple.
alors
priori limitée
les mêmes faiblesses que la théorie 3P.
mesurables, n’a pas été possible. Cette fonction propre
avec
a
valeurs du nombre Z caractérisant la relaxation.
Cette théorie
Aussi,
obtenue n’est donc pas
paramètre
un
) expression
4
c
a
grandeurs physiques
en effet pour expression
dont le moment n’a pas
Les éléments de matrice de
200
J’
qui
est lié à la
200,0ne
~
conductivité
sont
thermique.
modèle à 6 moments, qui s’écrit :
à 6 moments
reconnaît l’ensemble des contributions
lequel intervient le
bien entendu
précédentes,
tenseur des contraintes.
FIGURE II-6
II.71.
Là encore, tous les éléments de matrice peuvent
fonction de
en
grandeurs mesurables,
ajustable. On constate qu’elle
où la théorie 3E
distingue
se
ce
qui
conduit à
de la théorie 3P
exprimés
sans
paramètre
la théorie à 7 moments
supérieure à
est
théorie
une
être
aux
(ce qui n’était pas évident
points
a
priori, puisque ~
20 n’a pas été traitée exactement)
3.)
Résultats obtenus et discussions
Jusqu’à présent,
la théorie à 6 moments est
l’ensemble des déterminations
avec
tions de
assez
idéalité du gaz sont
non
dans le domaine où les
expérimentales
négligeables,
excellent accord
en
qui constitue
ce
sévère. Pour l’instant, seuls ont été étudiés
l’hydrogène
limitation
une
et
correc-
ses
isotopes
d’une part, le méthane d’autre part. La relaxation rotationnelle est lente dans
ces
gaz
9), aussi
(Z ~
représente
1/q
un
théorique parfait
gaz
fonction du
en
paramètre
pour différentes valeurs de Z.
On vérifie bien que
domaine
ces
deux théories sont
hydrodynamique. L’écart qu’elles présentent
dépend pratiquement
ne
6
figure
rapport B/R calculé par la théorie des modèles d’une part, par la
le
théorie TH d’autre part pour
y ~
La
le test n’est-il pas très sensible.
pas de la valeur de Z :
de 03BB*
le
dans le domaine intermédiaire
peut donc l’attribuer
on
ment incorrect de la translation par la théorie TH.
la valeur erronnée
équivalentes dans
Comme
nous
dans cette dernière théorie n’a pas de
l’avions
au
traite-
prévu,
conséquences
visibles.
Lorsque la pression diminue
cinétique, l’influence
de Z
sur
le
et que l’on
spectre diminue
s’approche
et la limite
du domaine
cinétique
de la
théorie des modèles (seule utilisable alors) est identique à celle du gaz monoato-
mique. Ainsi,
Z
=
1,5
1,7 et Z
x
.
-2
10
pour y
=
Ce
=
0,6 l’écart maximal mesuré
250 est-il seulement de 5
comportement
des collisions diminue.
est
x
.
-2
10
sur
les
Pour y
prévisible puisque
dans
=
ce
spectres
obtenus pour
0,3, il tombe à
domaine l’influence
N
N
II.72.
Aussi
peut-on considérer actuellement
que les tests
de la théorie des modèles ont surtout confirmé la bonne
translationnelle du gaz. La
exemple
en
qui
ce
concerne
supériorité
de cette théorie
rest
Z
ot
de la conductivité
faible
, SF
2
(CO
)
6
thermique
ne
se
être
et dans
découple
nelle et interne. Le nombre de moments pris
domaine où les temps
description
la théorie TH par
devra déterminer la
envisagée
sur
en
des gaz pour
lesquels par conséquent l’expression
en
ses
en
pas
contributions translation-
compte est-il
suffisant dans le
de la translation et de la relaxation sont
caractéristiques
du même ordre et où la notion même de
L’expérience
sur
de la
le traitement de la relaxation n’a pas été mise
évidence pour l’instant. L’expérience doit
lesquels
qualité
expérimentaux
température
interne
cesse
d’être valable ?
atteinte par cette méthode
précision
d’interpo-
lation dont les limites sont exactes.
Les trois
le méthane (Z
=
figures qui suivent
illustrent le comportement
prévu
dans
9) par diverses théories lorsque la pression diminue. Chacune des
courbes est normalisée à
son
maximum. A
un
bar
(y
=
3,5) la différence entre les
théories à 6 et 7 moments est sensible. La théorie TH diffère des précédentes
par la
position
de la raie Brillouin. La théorie
trop haute due à la relaxation
Aux
=
1,7)
La théorie TH
nous
pressions supérieures,
dement. En revanche, à
0,5 bar (y
comme
p
M
l’avons
toutes
prévoit
une
raie centrale
indiqué.
ces
théories
se
confondent rapi-
la différence entre les théories à 6 et 7 moments est maximale.
prévoit
un
spectre beaucoup trop étroit qui
se
rapproche
de la
réalité lorsqu’on y introduit des corrections de type Burnett. Cependant,
pressions plus
A
pression plus basse, les divergences s’accentuent.
(0,03 bar),
faibles
celles-ci sont
aux
impuissantes à rendre compte du
spectre, bien décrit par les théories des moments désormais confondues. La théorie
p
M
est totalement
inacceptable.
Dans tous les cas,
validité des théories
là partie
c’est
l’expérience qui détermine
disponibles. Aussi
expérimentale
de
ce
travail.
allons-nous à
présent
le domaine de
nous
tourner
vers
III
CHAPITRE
-
MONTAGE EXPERIMENTAL -
Le schéma d’une
l’avons vu, très
expérience
de diffusion de la lumière est, nous
simple. Un faisceau lumineux
est
envoyé
dans le milieu à
étudier; la lumière diffusée dans la direction choisie est isolée à l’aida de
diaphragmes appropriés,
un
et reçue sur
un
photomultiplicateur après
interféromètre. La réalisation pratique est moins
évoquer rapidement
2022
les
aisée,
passage dans
et nous allons
performances exigées des divers éléments du montage :
Le premier
problème
à résoudre est celui des faibles valeurs
de l’intensité diffusée par un gaz. Donnone
grandeur : la
figure 1 représente une expérience typique, Le volume V est la partie du
volume éclairé qui se trouve dans le champ du récepteur, placé à la distance R.
On caractérise la diffusion à
dI d03A9
l’angle 03B8
quelques
ordres de
par le coefficient
03B8
R
’
d’angle solide dans la direction considérée, P
0 est la puissance incidente, L la longueur observée de faisceau. Le
coefficient de Rayleigh R est homogène à l’inverse d’une longueur. Dans l’air
à 1 atm, R
-8 cm
-1 ( 50
). Si l’on admet L ~ 500 03BC
90
~ 2 x 10
est l’intensité diffusée par unité
Soit pour p
d’angle
photons incidents par seconde,
p
photons diffusés par unité
solide.
La lumière est
réduit
-9
10
(l’ouverture
solide voisin de 3 x
en
fait recueillie dans un angle beaucoup
radien, soit un angle
-13 p photons par
qui ramène à 3 x 10
maximale est de l’ordre de
-4steradian),
10
ce
-2
10
plue
III.2.
seconde à l’entrée du
dispositif interférumétrique, dans notre
ces un
Fabry-Perot
plan ou sphérique. Cette intensité serait égaleà l’intensité intégrée du spectre
expérimental si l’interféromètre n’avait pas de pertes. En pratique, celles-ci
sont notables, surtout dans les interféromètres de haute réflectivité, par suite
de
des miroirs.
des couches
diélectriques multiples constituant le traitement
L’intensité transmise est dans les meilleurs ces 20 à 40% de l’in-
l’absorption
(Fabry-Perot plan Burleigh, Fabry-Perot sphérique de grande
tombe à quelques pour cent dans le cas du Fabry-Perot sphérique
résolution. On arrive alors à la valeur ultime de 10
-14 p photons
tensité incidente
longueur),
mais
Tropel de haute
au niveau du
détecteur.
Ces valeurs très faibles nécessitent
mais
dépoussiérage total du gaz, l’élimination
réflexions parasites à tous les niveaux du montage,
également
tant de
l’emploi d’une
un
intense,
source
de la lumière résulet enfin
un
récepteur
sensible et peu bruyant.
2022
Le second
problème, particulier à la diffusion Brillouin,
est
la forte résolution nécessaire à
un
l’analyse d’un domaine de fréquences s’étendant
mégahertz à quelques gigahertz. Ceci exige, non seulement des interféromètres
qualité, mais aussi une source monochromatique à cette échelle, c’est-à-dire
laser monomode qu’il sera parfois nécessaire de stabiliser, afin de réduire
sa
largeur spectrale.
du
de
Quelle puissance peut-on obtenir à l’aide d’une telle source ?
Argon ionisé monomode fournit pour des longueurs d’ondes voisines
0,5 03BC une puissance lumineuse de l’ordre de 500 milliwatts, ce qui correspond
Un laser à
de
à
18 photons
10
dans
de
quelques milliers au niveau du détecteur
l’exemple considéré. Cette valeur faible impose l’utilisation d’une chaîne
par seconde.
Il
en
reste
comptage.
Dans le
cas
d’un laser hélium-néon de 5 milliwatts, on obtient
photons au niveau du détecteur. Le bruit propre du
photomultiplicateur, même refroidi, devient sensible et les performances de la
environ cent fois moins de
chaîne de comptage insuffisantes.
E
III.3.
Laser et interféromètre sont les éléments fondamentaux du
aussi y consacrerons-nous l’essentiel de cette
Nous
utilisé tout d’abord
avons
le rouge à 6328 A,
puis
laser à
un
à l’aide du second,
avons
en
effet
nous
parlerons
un
un
assez
familiariser,
sur
longuement
cet
nous
fonctionnant dans
laser He-Ne,
sur
expérimentaux présentés
des méthodes d’asservissement que
avec
sur
pu
nous
description.
Argon ionisé, accordé
Bien que les résultats
montage,
la raie verte 5145 A.
aient été obtenus
du premier laser cité. Nous
appareil relativement
avons
peu
sophistiqué,
ensuite utilisées aisément
laser industriel.
1. Laser Hélium-Néon
Nous
avons
)
déjà décrit ( 51
monomode à l’aide d’un sélecteur de Smith (
Les miroirs
3
M
pas de même pour le miroir
et
4
M
ont
2 qui joue
M
Les modes du laser sont
finie par les miroirs
miroir
2
M
,
on
52
)et
ce
laser, rendu
dont le schéma est
rappelé
2 ).
( figure
du miroir
le fonctionnement de
peut
1
M
et
.
3
M
Si
2
R
réflectivité proche de 1, il n’en est
une
le rôle de
de la
ceux
séparatrice.
"grande cavité" quasi confocale dé-
est le coefficient de réflexion
montrer que l’ensemble du sélecteur est
en
intensité
équivalent à
un
unique de coefficient de réflexion :
où03BB est la longueur d’onde émise. R représente la fraction de l’intensité incidente
renvoyée
dans la cavité pour y être
trop faible, il n’y
a
pas effet laser.
amplifiée. Lorsque
cette valeur est
III.4.
En fonction de la
le coefficient R
,
3
L
+
série de pics dont la finesse et le contraste
une
Nous
de
longueur L
2
porté
avons
cette
quantité
la
sur
figure
de la valeur de
dépendent
3
présente
.
2
R
pour des valeurs habituelles
2
R
:
0.4
et
numériques
des
2
R
Les valeurs
=
2
R
=
0.6
qui
est la valeur choisie.
fréquences indiquées
figure
la
sur
sont celles du
montage :
-
grande cavité laser,
les modes de la
confocale de
longueur
2 m, sont distants
de 75 MHz
-
les modes du sélecteur sont distants de 1500 MHz,
largeur
de la courbe de
est de l’ordre de la
qui
ce
du laser. On est alors assuré de n’utiliser
gain
qu’un
seul mode du sélecteur.
Du fait de la
entre deux modes
linéarité de l’effet laser, il y
non
d’amplification pour éliminer
l’un à
de l’autre. C’est le
l’avantage
sélecteur de modes : par ajustement mécanique du miroir
réflexion du sélecteur
le seul
amplifié dans
sur
la
un
des modes les
plus intenses
mécaniques
au
et des dérives
cours
grande cavité (déterminée
par
1
L
+
)
2
L
principe du
amène le pic de
on
du laser
qui
est alors
est ensuite
du temps. En effet, par
thermiques, la position
quence des modes du sélecteur (déterminée par la
la
,
4
M
grande cavité. Un asservissement électrique
nécessaire pour maintenir cette coïncidence
suite des vibrations
compétition
Il suffit alors d’une faible différence
successifs.
longitudinaux
a
2
L
somme
évolue dans le
+
)
3
L
temps
en
fré-
et des modes de
de
façon incon-
trôlée.
Les variations absolues de longueur de la
tantes, du fait de
Le sélecteur,
plus
sa
taille et de
son
montage
sur
un
grande
cavité sont
impor-
de duralumin.
support
compact, de petite taille et constitué d’invar est, lui, beaucoup
stable. Aussi le premier stade d’un asservissement est-il
mode choisi de la
grande cavité
pour l’amener
en
coïncidence
d’agir
avec
sur
le
le mode du
III.5.
On
tension
Le
agit
à la cale
appliquée
principe
la
sur
grande cavité
de la
longueur
4 .
figure
sélecteur. Le montage correspondant est indiqué
piézoélectrique C
1
sur
faisant varier la
en
est monté le miroir
laquelle
.
1
M
de l’asservissement est le suivant :
La tension alternative de référence de la détection synchrone,
convenablement
amplifiée,
de la
de la
longueur
appliquée
est
grande cavité
Le mode du sélecteur étant
à la cale
C Il en résulte
.
1
position en fréquence
donc de la
fixé, ceci produit
une
de la modulation recueillie
phase
sortie
est
un
utilisant
sur
une
1
C
signal
comme
à
comparaison
de
en
déphasage. Celui-ci, amplifié,
ce
(On voit que
d’erreur.
du mode laser.
celle de la référence et fournit
avec
signal continu proportionnel
envoyé
modulation
modulation de l’intensité laser,
recueillie par la photodiode. La détection synchrone effectue la
la
une
ce
d’asservissement,
type
détection synchrone, permet la stabilisation du mode laser dans
un
état où la puissance est extremum. Cet extremum de puissance, correspondant ici
au
de réflexion du
pic
correspondant
au
sélecteur, pourrait aussi être constitué par le minimum
Lamb-dip. On réaliserait alors
le centre de la courbe de
adapté à
centrée
tions
sur
le
mécaniques
fréquence
signal
performances
La position
autour de cette
en
position
sera
tion à
ce
qui
synchrone
est réalisé par
constate effectivement
ce
car
le
gain
en
donc effectivement
moyenne
sera
fréquences
en
revanche médiocre.
sensiblement
de modulation (de l’ordre de 200 Hz) au-dessus de
cesse
d’être
problème
sa
laquelle le
significatif.
aux
inférieures
Il est donc
fréquences
l’intégrateur.
Le domaine des vibrations
on
fréquence,
de cet asservissement.
nécessaire de diminuer fortement le gain de l’asservissement
et
en
).
thermiques lentes
moyenne du mode laser
effet limité à des
fourni par la détection
élevées, c’est
53
pic du sélecteur. La réduction du "jitter" produit par les vibra-
L’asservissement est
à la
aux
la correction des dérives
continu peut être élevé.
asservissement
gain étant parfaitement défini). (
Intéressons-nous à présent
Il est bien
un
acoustiques est mal couvert par
vulnérabilité
aux
bruits et à la
semble être d’effectuer la modulation à
une
ce
montage,
parole. La solu-
fréquence plus
III.6.
élevée, mais
on
heurte alors à la
se
réponse
fréquence
en
de l’ensemble cale
piézoélectrique + miroir. Les expériences ultérieures effectuées
à Argon nous permettent de conclure qu’une amélioration décisive
rait
-
exigé plusieurs
du
montage
au-
conditions simultanées :
effectuer le montage de la
d’une cavité de 2
le laser
sur
m
grande cavité
construite
sur
une
sur
support lourd : la stabilisation
un
de duralumin n’est pas
"planche"
un
pro-
blème simple
-
remplacer les miroirs par des miroirs plus petits
même pour la cale
-
local
un
la correction du
grande cavité
présentant
mentionne pas de
ne
posent
se
1) la tension de correction
cette valeur est atteinte,
le
nouveau
il y
au
Ceci
sélecteur
vissement. Ce "saut de mode" s’effectue
celle-ci est déterminée par le
la courbe de
problèmes d’origine thermique.
gain
encore :
ne
peut dépasser 1000 volts. Lorsque
remise à zéro de
a
mode utile du laser.
grande cavité par rapport
puisque
difficile.
sera
sont effectivement correctement résolus par l’asservisse-
ment ; cependant, deux problèmes
sur
et faire de
peu de vibrations car, de toute
"jitter" acoustique
La liste ci-dessus
Ceux de la
plus légers,
piézoélectrique
placer le montage dans
façon,
et
a
que la dérive
signifie
et stabilisation
thermique
de la
excédé la plage de correction de l’assersans
changement de fréquence, puisque
pic du sélecteur,
du milieu
l’intégrateur
et
sans
variation d’intensité,
amplificateur n’est pas modifiée, mais elle
augmente la vulnérabilité de l’asservissement,
2) le comportement du sélecteur n’est pas modifié par le montage
qui précède. Ses vibrations mécaniques s’ajoutent
grande cavité
un
déplacement
pour
élargir
sité lumineuse et de la
Il
"jitter" résiduel
spectre du laser. Sa dérive thermique
le
du mode laser
au
sur
la courbe de
gain
donc
une
a
de la
pour effet
variation de l’inten-
fréquence.
apparaît
que la contribution des vibrations
mécaniques
du
sélecteur est négligeable devant le "jitter" résiduel de la grande cavité
qui était prévisible, les fréquences
acoustique où l’asservissement
en
cause
ce
étant situées dans le domaine
est peu efficace.
III.7.
Reste le
problème
des dérives
ont
thermiques qui
un
double
effet, sauts de mode et variations de l’intensité et de la fréquence lumineuse.
Le
comportement de la grande cavité est différent de celui du sélecteur. Elle
dilate (ou
contracte) beaucoup plus que
se
dernier, mais atteint également
ce
plus vite l’équilibre thermique. Ceci explique
sélecteur sont maintenues constantes,
on
que,
lorsque les dimensions du
constate, après
un
régime
transitoire
de l’ordre d’une
heure, la disparition totale des sauts de mode, qui
duit pas
le sélecteur est libre.
lorsque
se
Imposer
au
sélecteur
une
ne
se
pro-
longueur
tante est donc le dernier stade de l’asservissement, l’intensité et la
cons-
fréquence
lumineuse étant alors fixées.
Nous
du sélecteur
ment et
sur
le
avons
réalisé cette
étape
un
mécaniquement
5
figure
stable. La
four, puis est recueilli par
et filtré (A I
est
son
tour le mode
pic de transmission d’un Fabry-Perot extérieur, thermique-
Un faisceau laser traverse le
dans
asservissant à
en
un
une
donne le schéma.
en
référence, placé
de
Fabry-Perot
photodiode. Le signal est alors amplifié
amplificateur opérationnel utilisé
en
afin
intégrateur)
d’éliminer les hautes fréquences et notamment la modulation à 200 Hz puis
sur
une
des voies du ratiomètre R.
L’autre voie
reçoit
un
signal, filtré
envoyé
lui
aussi, proportionnel à l’intensité laser. La tension de sortie du ratiomètre
réglable affichable dans l’ampli A haute tension
(en jouant sur le potentiomètre "d’offset"). La différence des deux est donc
amplifiée et appliquée sur la cale C
4 comme tension de correction. Ceci permet
est
comparée à
une
tension
d’asservir le pic du sélecteur à
scope. Cette
niveau choisi
Fabry-Perot. On contrôle
transmission du
interféromètre
un
supplémentaire, balayé
précaution
est
tendance à
à l’aide de la dent de scie de l’oscillo-
indispensable
modes
Il est
l’apparition d’un
longitudinaux, qui
en
effet
pouvoir laser
en
assez
car
même temps,
en
géométrie
la
et des
mode transverse,
doit être éliminé
proche
fréquences
malgré
la
le flanc de la courbe de
la forme de raie émise à l’aide d’un
parfois, du fait de déformations du tube laser
une
sur
en
du mode laser évolue
supports. On constate alors
à mi distance
(37,5 MHz) des
corrigeant l’alignement du tube.
du mode
présence
longitudinal utilisé
du sélecteur.
pour
III.8.
Le
réglage
initial de
ce
amenant la courbe de transmission du
point choisi
par
rapport
au
deuxième asservissement est obtenu
mode du sélecteur,
le
fonctionnement. Ceci est réalisé à l’aide de la tension
la
pile. On boucle alors le deuxième asservissement.
température
du
thérmique
L’ensemble de
ces
La
source
intensité,
compensé,
stable
ce
une
qui
deux asservissements
nous
l’avons
géométriquement
en
fréquence
de l’ordre de 20 à 30 MHz dans
déjà dit,
par des modifications radicales du
mise
une
en
donc totalement
effectivement été vérifié. Elle a, du fait du
largeur spectrale
.Comme
(*)
supprime
réalisée est alors parfaitement stable,
a
après
heure.
l’évolution thermique lente des éléments définissant
laser.
fournie par
réglable
obtenue est très bonne,
montage de l’ordre d’une
au
asservissement étant
premier
en
La stabilité
de référence
Fabry-Perot sphérique
en
la réduction de cette
un
la cavité
donc
"jitter"
en
non
environnement
largeur passe
montage.
problème majeur est d’ailleurs moins la largeur finale obtenue
des périodes où l’asservissement 1 est opérationnel. D’autre part,
Le
que la rareté
l’intensité émise est faible, de l’ordre de 7 mwatt
L’emploi
de
téristiques
de
dispositifs d’accumulation
de l’asservissement. De
photomultiplicateurs
Malgré
(*)
les excellentes
au
maximum
monomode.
n’est pas concevable du fait des
carac-
plus, la raie rouge 6328 A impose l’emploi
grandes longueurs d’onde, donc bruyant
performances du photomultiplicateur employé ’(ITT FW 130),
sensibles dans les
premier asservissement ne peut fonctionner lorsque
pièce est mauvais, ce qu’on peut définir par un
périeur à une conversation normale.
Le
de la
en
l’état vibratoire
niveau sonore su-
III.9.
les
expériences réalisées
point du montage
représente
à
le laser He-Ne
et seront seulement
évoquées
la plus belle courbe obtenue
très bonne performance du
une
ment
avec
précis
2. Laser à
des hauteurs et des
avec
montage,
apparaissent
laser; bien que
ne
permet pas
pointé
suffisam-
positions des raies.
Argon
nous
que
avons
utilisé est le modèle commercial
52 A des Coherent Radiation Laboratories. Les deux raies les
spectre sont
tensité
au
Argon ionisé
Le laser à
son
un
mise
une
figure 6
correspondant
dans la suite. La
ce
elle
comme
une
raie bleue à 4880 A, et
une
plus intenses de
raie verte à 5145 A.
Leur in-
multimode est comparable et de l’ordre du watt.
en
On le rend monomode par l’insertion dans la cavité d’un sélecteur
de modes fourni par le constructeur. Ce sélecteur est
on
un
peut régler manuellement l’orientation dans la cavité,
coïncider
son
pic de transmission
avec
le mode de
gain
étalon Fabry-Perot dont
ce
qui permet
maximum du laser
de faire
sur
la
raie considérée.
La
ce
longueur de
qui correspond à
la
grande cavité laser
des modes distants de 115
est de l’ordre de 130 cm,
megahertz. L’épaisseur du Fabry-
Perot plan constituant le sélecteur est de 15 mm, l’intervalle entre modes est
par suite de 10 GHz, valeur
supérieure à
la
largeur
de la courbe de
gain qui
est d’environ 3 GHz.
Ce sélecteur isole correctement
un
mode
unique
sur
toutes les
raies, excepté la raie bleue dont le gain semble particulièrement important et
qui exigerait
un
5145 A, parfois
du
sélecteur
un
spécial.
Ceci
a
orienté notre choix
peu moins intense mais, elle,
sur
la raie verte
monomode. Cependant,
un
contrôle
spectre émis, par exemple à l’aide d’un Fabry-Perot sphérique supplémentaire
(comme
nous
l’avons fait pour le laser He-Ne) reste nécessaire. En effet,
on
III.10.
constate que pour
dans le
gain
position du sélecteur correspondant
une
vert,
effet laser parasite
un
à la raie verte monomode
produit
sur
superposer
raie bleue multimode à 4880 Å. L’effet laser
une
les réflexions partielles
En monomode, celle-ci
au
niveau du sélecteur, du fait du
ordre
en
réglant
en
se
gain
le sélecteur
celle de la raie rouge :
varie
,
4
1/03BB
en
et aussi
on
gagne
en
effet
sur
du
photomultiplicateur :
plus aisément de bons rendements quantiques dans le vert,
moins
bruyantes
comptage
a
montage
ce
qui
est
pu être considérablement
aux
augmenté,
ce
mécanique,
des
qui
a
son
tube
sur
plus court
et de
prendre
du tube.
en
aux
la
sur
figure
le
sa
).
plus
"grande
perturbations extérieures. Les seules vibrations à
compte sont celles que produit le circuit de refroidissement par
Le sélecteur est de
6
plan de la
constitution
sa
compacte et surtout plus élaborée. Ces caractéristiques font que
cavité" est peu sensible
photocathodes
diminué la sensibilité
Argon présente également des avantages
du fait de
obtient
on
plus, le seuil de la chaîne de
De
avantage.
avec
parasites extérieurs (l’ascenseur par exemple
Le laser à
stabilité
double
un
laser He-Ne.
l’intensité de la diffusion, qui
réponse spectrale
la
sur
valeurs fournies par le
correspondante est beaucoup plus favorable que
d’onde
longueur
aux
de l’ordre de 400 milliwatts,
puissance
une
a
qui est évidemment très supérieur
D’autre part, la
du
se
le mode suivant de la raie verte.
sur
ce
On voit alors
apparaît.
de la raie bleue. On remet les choses
important
modes de fort
aux
eau
petite taille, donc également peu vulnérable. Sans
asservissement, la largeur spectrale de la raie verte monomode est de l’ordre de
20 MHz.
Au point de
comparable à celui du
rature mais atteint
Le sélecteur,
vue
thermique, le comportement de l’appareil est très
laser He-Ne :
rapidement
grande cavité varie sensiblement
équilibre thermique (une dizaine
constitué de cervit, évolue très peu (la stabilité de
est bien meilleure que celle de
sieurs heures durant
coup
son
la
l’invar), mais
lesquelles l’intensité
plus faiblement cependant que pour
un
sa
et la
étalon
mise à
tempé-
de minutes).
ce
matériau
l’équilibre exige plu-
fréquence
en
en
laser varient (beau-
invar).
III.11.
du fait de l’excellente stabilité
Pratiquement,
thermique de
l’étalon, seule la variation de température provoquée par la mise
tube,
on
effet sensible
un
a
le sélecteur.
sur
peut considérer que celui-ci
est
dérive
en
fréquence
d’autre part que
et
démarrage,
pic de
se
déplacer,
transmis-
cohstate
on
intensité de la lumière émise. Nous
en
largeur spectrale due, elle,
sa
Son
le
rapport à la courbe de gain du milieu amplificateur. Cepen-
dant, le mode de la grande cavité étant libre de
une
journée).
service du
que soit l’évo-
thermiquement stable, quelle
lution du local (elle peut atteindre 8°C dans la
sion est donc fixe par
après
heures
Quelques
en
signalé
mécaniques rapides,
vibrations
aux
encore
avons
était de l’ordre de 20 MHz.
On peut souhaiter améliorer
performances
ces
double
au
point
de
vue
de la stabilité et de la finesse de la raie émise. Comme l’étalon constitue
une
référence stable,
procédé employé
selon le
montage
on
pourrait songer à stabiliser
sur
lui la grande cavité
dans le premier asservissement du laser He-Ne.
est tout à fait concevable.
Cependant,
des valeurs basses, très inférieures à la
il est limité
fréquence
de
fréquences à
en
modulation, et d’autre
part l’existence même de cette modulation élargit le spectre de la
Or, elle doit
notamment de la
se
grande largeur
faire à
suffit d’asservir la
exemple
par
Il
a
par le
fallu pour
ce
de la courbe de transmission de l’étalon.
avons
sur
sur une
pu utiliser
d’y introduire
cale de
une
a
le second
Le sélecteur étant stable, il
référence extérieure stable, fournie
l’anneau isolant de bakélite
relativement bonne tenue
en
tenue évolue très lentement
a
une
un
piézoélectrique
la cale
sur
( figure7 ).
piézoélectrique, elle-même
qu’on peut bloquer
de la
l’avantage
cylindre
creux
encore
de
en
simplicité
fréquence. (L’efficacité de
en fonction de la fréquence
kHz, valeur pour laquelle elle est
maximale-). Initialement,
cale
petites dimensions du fait de la taille ré-
été collé
collage
3
le laser He-Ne.
problème présent
faire démonter l’avant du laser et modifier le support initial
couvercle. La méthode du
jusqu’à
au
Fabry-Perot sphérique déjà utilisé dans le montage précédent.
duite des miroirs. Le miroir
collée
sur
grande cavité
du miroir de sortie afin
Nous
source.
niveau relativement élevé, du fait
un
On peut alors chercher à adapter
type d’aservissement utilisé
Un tel
verrouillant le
et
assure
une
la modulation laser ob-nous
l’avons étudiée
notable : 1/5 de
sa
valeur
bakélite, situé entre la cale
III.12.
piézoélectrique
et le support extérieur, assurait le
miroir et le retenait
en
de défaillance du
cas
bien que n’étant pas dans le
car,
illuminé pour "fumer" très
guidage
Nous
collage.
frottement du
sans
dû y
avons
renoncer
trajet du faisceau direct, il était suffisamment
légèrement.
Les
poussières émises, s’accumulant
en
certains points du faisceau (entre le tube et le miroir), provoquaient des insta-
bilités de la puissance.
Ce
été aisée. Nous
problème étant résolu,
avons
utilisé
constante de temps sont
a
un
la mise
au
en
de l’asservissement
amplificateur haute tension dont
figures
séparément ajustables (
été réalisé par G. CAMY qui
point
a
assuré la mise
au
8
et
le
a
et la
gain
9 ). Cet ampli
point. Nous
heureux
sommes
de le remercier ici.
choisi de
avons
du ratiomètre
mais leur
5000 Hz,
viron,
qui
le
ce
sans
9
montages utilisés. Nous
pas utiliser de référence extérieure et d’éviter ainsi
est souvent peu commode.
est le même.
une
Les schémas utilisés sont
l’emploi
assez
L’ensemble de l’asservissement fonctionne
oscillation. Celle-ci
qui conduit à
figure
donne le schéma d’un des
montage possède
sont totalement
(
ne
principe
maximum
gain
7
figure
La
encore
un
se
gain
produisant à
non
bonne réduction du
une
fréquence
de
au
2000 à
1000 Hz
négligeable jusqu’à
variés,
en-
"jitter" mécanique. Les dérives
éliminées, du fait de la très grande valeur du gain
). La largeur spectrale obtenue est de l’ordre de 1
en
MHz*,
continu
ce
qui est
bon. Pour descendre au-dessous de cette valeur, il faudrait probablement jouer
sur
-
plusieurs paramètres :
améliorer la qualité vibratoire du local, les vibrations mécaniques du FabryPerot de référence devant alors être prises
-
considération,
diminuer les vibrations propres dues à la circulation d’eau. S’il n’est
de réduire
pensable
tabilités venant de
-
en
une
débit
déjà faible, on peut envisager
l’alimentation générale.
un
modification radicale consisterait, à
E.R. PIKE
54
(
* pour
ce
qui
sera
a
été réalisé par
nécessaire si les deux premières
sont insuffisantes.
un
d’amortir les ins-
), à disjoindre mécaniquement le tube à décharge et la circula-
tion d’eau du support des miroirs. Ce
mesures
l’exemple de
guère
ran age
sur
la
raie en 1o
s. en
III.13.
L’asservissement ainsi réalisé est peu sensible
perturbations
aux
extérieures, pourtant très importantes. Certains parasites électriques (trains
d’oscillations HF véhiculés par le secteur)
l’affectent
pas totalement filtrés par l’alimentation stabilisée.
bruit propre, dû
aux
commutations, et qui
un
Celle-ci y
manifeste par
se
une
ils
car
peu,
ne
ajoute
sont
son
modulation de
l’intensité laser à des fréquences multiples du secteur. La largeur de raie peut
atteindre 2 MHz lorsque
ces
particulièrement importants,
effets sont
fréquent.
pas
Une limitation
tube à
décharge lui-même,
réelle,
dont la
contraintes
revanche, est la stabilité thermique du
en
est très élevée.
température
ble de faire fonctionner le laser à
sa
traduit par des séries de
se
La limitation est plus
qu’en hiver (24 Ampères). Nous
laser et de l’alimentation afin
remment celui-ci est
un
avons
prévu
peu faible. Ceci
serpentin
lement de
son
séparer
nous
tensité de l’ordre de 400 mwatt pour
source
une
presque
été (21
Ampères)
les circuits d’eau du tube
puisqu’appales vi-
elles sont actuellement filtrées par
disposons,
asservissement, d’une
en
exigera d’atténuer spécialement
car
les
intensité plus faible,
importante
de refroidissement de l’alimentation.
En conclusion,
une
possi-
niveau des fi-
le débit dans le tube,
d’augmenter
brations dans le circuit d’eau du tube
le
de
au
car
"craquements" amenant
à coup sûr le décrochement de l’asservissement. Pour
phénomène disparaît.
Il n’est pas
puissance maximale (30 Ampères)
thermiques provoquent des réajustements mécaniques
xations du tube. Cela
le
qui n’est
ce
avec
Le
montage
le laser à
est
en
Argon
.
(*)
muni éventuel-
stable à l’échelle de la
largeur spectrale
cours
journée, d’in-
d’environ 1
Megahertz.
Le deuxième élément fondamental du montage est l’interféromètre,
dont
nous
allons parler à
présent.
(*)
Note ultérieure : Le
à
fonctionnement est satisfaisant
puissance maximale.
et le laser
fonctionne
III.14.
3.
Quelques généralités
Nous
plans
-
les interféromètres F.P.
sur
plan
utilisé plusieurs types d’interféromètres
avons
Fabry-Perot,
confocaux.
ou
Dans le rouge,
Fabry-Perot plan réalisée
monture de
une
anciennement par
Jobin-Yvon et munie de lames achetées à l’extérieur
-
-
Puis
nous
nous
avons
avons
acheté
changé
Tropel
ensuite les miroirs pour l’adapter
Nous étudions actuellement
(50 cm) réalisé
confocal
Fabry-Perot
un
Fabry-Perot
un
au
finesse dont
grande
laser à
Argon
confocal de grande dimension
laboratoire afin d’obtenir
au
de
un
instrument de très haute
résolution
-
Enfin,
nous
est
cours,
en
La
d’un
disposons
Fabry-Perot plan Burleigh dont
10
figure
Pour
épaisseur
une
plaçant
au
système
un
anneau
et
en
réalise l’analyse
on
bien
principe
connu
donnée de l’interféromètre,
e
d’anneaux
foyer de la lentille
rapport à celui du premier
de l’interféromètre,
le schéma de
représente
dans le plan focal de la lentille
par
point
au
l’appareil commercial n’étant pas immédiatement opérationnel.
Fabry-Perot plan.
En
la mise
en
un
d’égale
on
d’un
observe
inclinaison.
diaphragme de diamètre faible
faisant varier
fréquences de
l’épaisseur optique
la lumière incidente.
L’interféromètre est bien adapté à l’étude de spectres dont la largeur est de l’ordre de quelques
gigahertz
autour d’une
fréquence
moyenne optique
(il s’agit alors de la structure fine d’une raie). Son interordre I
choisi du même ordre de
grandeur que l’étendue
du
= c 2ne
spectre à analyser,
les recouvrements d’ordres successifs (e ~ quelques mm). La variation
seur
à
optique nécessaire
les de fréquences, de
l’exploration d’un interordre étant faible,
longueur d’onde
et
d’épaisseur optique
sont
en
est
évitant
d’épaisles échel-
proportionnelles
dans le domaine étudié.
En
pratique,
optique. L’échelle
fréquences.
des
on
temps
réalise
sur
une
variation
l’enregistreur
temporelle linéaire du chemin
est alors aussi
une
échelle de
Fig.
III-10
III.15.
L’enregistrement correspondant à
un
faisceau incident monochroma-
tique fournit la fonction d’appareil de l’interféromètre
sa
finesse N, rapport de l’interordre I qui est la
à la
largeur totaleà
La
dues à
de la fonction
à 1.
des
enregistrements
est la résultante des
d’appareil
largeurs
par la finesse maximum théo-
plusieurs facteurs, qu’on peut caractériser
-
égal
période
permet de définir
mi-hauteur de cette raie.
largeur
rique associée à
et
chacun d’eux.
Le coefficient de réflexion R des lames n’est pas strictement
La finesse limite
correspondante
est la finesse réflectrice :
Une finesse réflectrice de 100 est obtenue pour R
Une finesse réflectrice de 300 est obtenue pour R
La fonction
uniquement déterminée
0,97
=
=
0,99
d’appareil d’un Fabry-Perot
pour
par la valeur de R est
une
fonction
la finesse est
lequel
d’Airy
de
largeur
R
I/N
à mi-hauteur.
-
Le
diaphragme placé
foyer de la lentille n’est pas infiniment
au
petit, donc infiniment sélectif. La finesse limite due
I est l’interordre du
0
i
est le rayon
de la
figure
La fonction
Fabry-Perot (ici
angulaire
sous
lequel
en
est
fréquences)
vu
le
au
et
diaphragme
est
(
) :
55
0 la fréquence étudiée.
03C9
diaphragme. Avec
les notations
10 ;
d’appareil associée
est
une
fonction
rectangulaire
de
largeur
.
F
I/N
III.16.
Enfin, les lames
-
parallèles. Il s’agit
2022
sont ni
ne
de défauts de surface
Si les lames
de
ou
présentent
finesse associée à
ni
parfaitement planes,
une
réglage :
parfaitement
55
(
)
courbure de flèche
03BB/n,
la
défaut est :
ce
où 03BB est la longueur d’onde incidente. La fonction d’appareil associée est
2022
Si elles
rectangulaire
présentent
térisé par
son
un
de
largeur
défaut de micropoli
écart quadratique moyen
D1
I/N
gaussien
carac-
=03BB/n,
2
x
la
finesse limite est :
D2= n 4,7
N
de
gaussienne
2022
IN
D2
largeur
en
totale
03BB/n,
d’appareil
est
une
à mi-hauteur
présence d’un défaut
Enfin,
de
parallélisme d’amplitude
la finesse limite est
D3
N
~
largeur
et la fonction
IN
D3
0,58
n
= 0393 et varie
la fonction
d’appareil
comme 1- 2
3(03C9 0393)
.
est donc intermédiaire entre la
gaussienne
a
pour
Sa forme
et la fonction
rectangulaire.
2022
Dans le
ment.
cas
général,
La fonction
ces
trois défauts existent simultané-
d’appareil associée à l’ensemble
est
donnée par le produit de convolution des trois fonctions
partielles.
De
-
le
produit
même, la fonction d’appareil complète de l’interféromètre est
de convolution des fonctions associées à la finesse
la taille du
diaphragme
est évidemment
et
aux
réflectrice, à
défauts de surface. La luminosité d’un F.P.P.
proportionnelle à
la surface utilisée des lames. Or,
on
constate
III.17.
que dans
néité
l’expression
grande
les deux F.P.P.
mais cette
qualité
ce
type de problème que
utilisés. Non traitées,
ne
de
impose
pla-
réglage
de
(On
concave.
diaphragmer
ne
nous
avons
rencontré
les lames sont excellentes
(
03B 20 ),
le traitement semiréfléchissant.
persiste pas après
L’étude détaillée des lames traitées
de courbure
sont des écarts absolus à la
ce
surface sont donc difficiles.
C’est effectivement
sur
,
D
N
interviennent. La réalisation et le
parallélisme qui
ou au
lames de
de la finesse
nous
montré essentiellement
a
constate pas de défaut de
il
fortement l’interféromètre;
l’apparition
micropoli sensible). Ceci
en
résulte évidemment
une
perte de luminosité.
Lorsque
les
(*)
optique
seur
balayage
et
de stabilité du
problèmes
à l’étude.
en
la finesse
On
conçoit
dépasse 40,
réglage
que dans
pression,
avec
Le F.P.P.
Burleigh
11
se
(*)
n
et
pas de e,
non
on
fait
applique
une
également
tension
en
nous
) dont la finesse
sur
Burleigh,
Ils sont actuellement
l’épais-
trois cales
dent de scie. Le
ne
procédé
pour le
dépassait guère
25.
balayé électriquement.
piézoélectriques auxquel-
réglage
par l’intermédiaire de tensions
est aisé à réaliser
avons
actuellement à l’étude est
Le support d’un des miroirs est monté
du F.P.P.
chute de finesse, est délicate. Un
linéarité est souvent bonne. C’est ainsi que
sa
cas
conditions la modification de
sans
variation de
premier F.P.P. utilisé ( figure
les
est le
qui
deviennent cruciaux.
ces
qui doit s’effectuer
ne,
ce
fin de l’interféromètre
réglables appliquées
à
ces
cales.
Note ultérieure : Nous avons placé l’interféromètre dans l’enceinte réalisée
par Jobin-Yvon et l’avons thermostatée (environ au 1/10e de degré).
Dans ces conditions, une finesse de 60 est stable sur plusieurs heures.
Enl’absence de régulation de température l’interféromètre, même placé
dans une enceinte fermée, se dérègle en moins de quinze minutes.
,L’étude a montré que les dilatations thermiques observées au niveau
des cales piézoélectriques sont en cause. Elles sont importantes et
surtout non identiques d’une cale à l’autre (le rapport des dilatations
relatives d’une cale à l’autre peut atteindre 2).
Fig.
III-11
III.18.
de 60 pour un diamètre utile de 10
lisée,
un
balayage
en
pression
par suite des variations de
féromètre. Nous
fortement
en
avons
de
cours
température qui
signalé
se
balayage
remplir lentement
4. Les
en
en
en
en
résultent
en
effet que la
manipulation. Aussi,
enceinte fermée, n’est-il pas
celle-ci lors du
ne
environ. Malgré la faible surface utidonne pas de bons résultats, probablement
mm
le
température
équilibre thermique
une
niveau de l’inter-
de la
pièce
varie
Fabry-Perot, placé dans
pression (l’enceinte
ouvrant
au
est
avec
l’air
une
pénétrant
vidée, puis
on
dans
la laisse
microfuite).
Fabry-Perot sphériques
La théorie du
CONNES (
56
). Nous
Pour réaliser
une
avons
analyse
Fabry-Perot sphérique confocal (FPS) est due à
le schéma de l’interféromètre.
rappelé figure 12
en
fréquence,
d’éliminer le second terme dans 03B4) puis
Comme dans le
cas
du FPP,
on
celui-ci doit être
son
diaphragmé (afin
épaisseur optique modulée.
peut caractériser les divers facteurs
limitant la finesse de l’interféromètre par des finesses maximales associées
à chacun d’eux. Ainsi, la finesse réflectrice :
elle est moitié de celle d’un FPP dont les lames ont la même réflectivité,
car
l’interféromètre est parcouru 4 fois (2 aller - retour). Ceci apparaît d’ailleurs
dans
l’expression
La finesse due
aux
de l’interordre :
diaphragmes s’écrit :
III.19.
Du fait de la
à
un
symétrie
de
il
l’appareil,
n’y
a
défaut de parallélisme des lames. En revanche, les défauts de
sont
gênants.
près
sont
également se faire que les miroirs, qui au 4e ordre
toujours sphériques en un point donné, n’aient pas exactement le
homologue
de la concavité des lames pour le FPP).
On constate alors que la valeur d du diamètre du
tant d’obtenir
une
de
.
F
N
fortes valeurs de la finesse,
Ceci est, bien sûr,
comme
nous
féromètre Tropel : les diaphragmes de 0.5
finesse de 110
de
F
N
~
sur
une
une
qui
mm
30.000
(03BB
=
5145
Å,
e
5
=
valeur de R
réglage
proche
de l’unité
(quelques
en
sa
=
grande
est
effet à
une
valeur
finesse réflectrice
0,995) et
pour cent. Voir
a
pour
conséquence
plus haut).
de la distance entre les miroirs,
FPS de finesse moyenne (~ 30),
permis d’atteindre
). On conçoit que l’inter-
cm
(R
utilisant l’inter-
en
ont
nous
le faisceau diffusé conduisaient
transmission très faible
Le
surtout sensible pour de
l’avons constaté
féromètre n’est alors pas très lumineux. De plus,
(300) impose
diaphragme permet-
finesse donnée est très inférieure à la valeur donnée par
l’expression précédente
théorique
micropoli
Il peut
même rayon de courbure (défaut
une
d’équivalent
pas
qui est aisé dans
plus délicat lorsque celle-ci atteint
un
des
valeurs élevées.
La finesse limite obtenue
en
cas
d’écart
03B5
à la distance correcte
est donnée par :
ce
qui correspond, dans le
un
faisceau laser, à :
cas
du FPS
Tropel,dont
la finesse atteint 300
Cette valeur très faible explique les difficultés rencontrées lors du
en
longueur
de
ce
type d’interféromètres.
sur
réglage
III.20.
La
du FPS de 5
longueur
dû être retouchée pour permettre à
cm a
l’interféromètre d’atteindre les finesses précédemment mentionnées.
On constate que le
être réalisé
0.12
03BC)
sur
un
faute de
balayage
en
épaisseur
de l’interféromètre doit
petit nombre d’interordres (c’est-à-dire de 03BB/4, soit
quoi il y
chute de la finesse.
a
La condition n’est
critique.
pas
Un des miroirs de l’interféromètre est monté
électrique,
tension
en
le
balayage s’effectue
dents de scie. Les
donc
problèmes
en
appliquant
de stabilité
sur
sur
critiques,
aussi le
balayage
L’ajustement
n’évolue pas. Le seul
Ce
réglage,
de la
mécanique
longueur
Nous
également
avons
divers
(50 cm) construit
sa
de l’interféromètre,
sur
et
points
utilisé
symétrie,
un
Fabry-Perot sphérique
de
face de miroirs utilisée
guides.
grande longueur
s’explique
(D ~ 2 mm)
car
par la relativement
elle n’est pas améliorée
pour
e
sur-
lorsqu’on
F
N
50 cm).
L’interféromètre Tropel
de l’ordre de 100
pareil de 15 MHz
sur
de
de 8 MHz de
un
interordre de 1500 MHz et
le faisceau diffusé,
grande longueur
ce
conduit à
qui
une
une
finesse
fonction
sera
a
un
interordre de 150 MHz et
large. Il devrait être possible d’améliorer
achetant des miroirs de meilleure
lisation du laser
a
d’ap-
large.
Le FPS de
d’appareil
mau-
grande
accroît la réflectivité des miroirs et est beaucoup plus faible que
(~ 10
5
Il est
figures d’in-
les
car
des faisceaux de sortie sont de bons
vaise finesse de celui-ci (F ~ 20)
=
peu
fois réalisé,
une
laboratoire. Sa monture est constituée d’invar. La
au
une
thermique
le faisceau laser direct.
relativement aisé lorsque le FPS est réellement confocal
en
piézo-
pose-t-il pas de problème particulier.
fin, est réalisé
assez
terférence
cale
réglage à effectuer est celui de l’orientation de l’inêtre aligné et correctement centré sur le faisceau inci-
terféromètre qui doit
dent.
ne
une
cette dernière
sont, du fait de la petite taille de l’interféromètre et de
en
cependant
qualité optique (le problème
alors à reconsidérer).
Il
a
l’avantage
une
fonction
cette valeur
de la stabi-
d’être très
III.21.
lumineux, et
domaine du
grande résolution
sa
57 ).
mégahertz (
cessaire de le thermostater
variations de
aux
qui précède, supposé le balayage de l’épaisseur
ce
ment de
l’enregistreur régulier.
Fabry-Perot parfaitement
l’interordre pour
linéaire
Les
en
balayé
et
linéarité du
au
utilise
balayage.
non
un
d’un
cours
pression (moins de 1%
double cause,
hystérésis
sont alors
et le défile-
périodiques
dans le défilement de
spectres enregistrés
ne
sont pas
l’interordre, distance entre raies homologues de deux ordres
gênante lorsqu’on
une
d’irrégularité
constate que les
on
successifs, n’est pas constant
est
temps,
période.
l’enregistreur. Cependant,
non
du
cours
au
enregistrements
Nous n’avons pas observé
traduit la
taille, très sensible
sa
température.).
du
car
bon instrument d’étude dans le
il est, du fait de
car
optique
périodiques,
un
(Pour des enregistrements longs, il serait né-
Nous avons, dans
avec
fait
en
enregistrement. Cette
Elle est faible lorsque l’interféromètre
sur
un
interordre), mais devient souvent
balayage piézoélectrique.
linéarité de la dent de scie
de la cale
variation
Elle est alors due à
appliquée,
non
linéarité
piézoélectrique.
Le choix de cette dernière est
lités de linéarité et de stabilité
en
en
fait
un
compromis entre les
qua-
température qui semblent incompatibles.
Aussi est-il restreint. Le seul élément susceptible d’être modifié est la
qualité de la dent
dents de scie
de la cale
de scie elle-même. On
parfaitement linéaires,
piézoélectrique
par
une
non
peut, soit réaliser
linéarité
provoquée
et
s’impose
sitifs d’accumulation (
Nous lui
linéaire,
car,
registrements
par le calcul.
en
les
58
avons
surtout dans les
non
linéarité
de la dent de scie.
un
montage élec-
expériences utilisant
des
dispo-
).
préféré l’emploi d’une
dent de scie
parfaitement
l’absence d’accumulation, il est aisé d’évaluer
non
de
générateur
soit tenter de compenser la
Cette dernière méthode exige, pour donner de bons résultats,
tronique complexe
un
linéarités de balayage et de les corriger
sur
avec
les
en-
précision
III.22.
Cette dent de scie de
truit
qualité
est fournie par
un
générateur
cons-
laboratoire.
au
Une rampe basse tension (de 0 à 10 volts) dont la linéarité est
-4est
10
meilleure que
dispositif logique suivi d’un
obtenue à l’aide d’un
convertisseur
digital-analogique. On peut en choisir les tensions extrêmes
(qui peuvent être égales) de façon quasi continue et la vitesse d’incrémentation dans un rapport 2
12 par le jeu des divers compteurs et diviseurs.
Cette tension
alimentation Fluke (
une
été substituée à la tension de référence d’une
a
). A la sortie de celle-ci,
0 - 2000 volts
rampe de haute tension,
le
De par la construction même
maximum 2000 volts pour 10 volts d’entrée).
de
l’alimentation, la linéarité de la rampe n’est pas altérée.
Cette rampe est ensuite
et les tensions
l’appareil. Pour
une
nûment
réglables,
appliquée
prélevées envoyées
à trois
sur
potentiomètres montés
-4près.
10
La linéarité des
ce
Ceci permet le
potentiomètres,
que
nous
avons
d’un
pilotage précis
supplémentaire, permettent
(l’ajustement
balayage
sur
Fabry-Perot plan
l’emploi
une
bonne
est
Tropel,
fin d’un
équivalent
Après
mais
sur
une
ou
sphérique.
source
de
Fabry-Perot plan
une
du
armature
des cales, le
balayage
utilisé les rampes dé-
moins
linéaire (3% de
assez
l’hystérésis
les rampes montantes), e
l’hystérésis
montage.
avons
Du fait de
cette étude des lasers et
présenter l’ensemble
nous
un
reproductivité.
linéarité atteint 10%
Burleigh
du FPS
générateur qui fournissent
linéarité et
non
tempé-
en
l’autre).
croissantes du
la
réglage
des tensions continues s’effectue sur
Lors de
non
le
conti-
vérifié.
Trois potentiomètres identiques, alimentés par
tension
rampes
n’est pas nécessaire. En revanche, leur stabilité
rature doit être bonne,
en
les bornes de sortie de
position donnée des potentiomètres, les trois
obtenues sont linéaires à
obtient
rapport de conversion étant réglable (avec
au
parallèle
on
de la cale,
balayage du FPP
prononcée.
interféromètres,
nous
allons
III.23.
5. Schéma général du montage
figure
La
rience réalisée à
13
donne le schéma du
une
expé-
90°; l’interféromètre est le FPS
de diffusion de
angle
un
montage optique pour
Tropel.
L’ensemble de
x
15
en
cm), isolée
montage repose
ce
de la table de bois
"Vibrachoc" qui filtrent les vibrations
de la lumière
parasite
venant de la
une
dalle de
granit (260
130
x
supportant le tout par des amortisseurs
mécaniques
pièce
rideaux noirs soutenus par des panneaux
sur
du bâtiment. L’élimination
est assurée par
un
calfeutrage
de
rigides.
L’utilité de l’enceinte d’Altuglas placée devant le laser est double :
environnement propre à l’avant du laser,
assurer un
thermique
du FPS de référence,
placé dans
son
et réaliser l’isolement
"four" à l’intérieur de l’enceinte.
Il n’est alors pas nécessaire de thermostater celui-ci
ce
qui simplifie l’orga-
nisation du montage : pour thermostater correctement le four, il faudrait
effet lui
imposer
une
température
reviendrait à créer dans la
celle-ci
Une
ne
pièce
sensiblement différente de
pas d’isoler facilement.
L’optique
placée
disposition à
deux
La structure
étages
a
des rails de duralumin
sur
été
générale, très lourde,
conçue spécialement pour ce montage
leur reproductibilité.
adoptée
qui
lors de
l’usage
rectangulaires.
de
Fabry-Perot plans.
est peu sensible aux vibrations.
afin de faciliter les
Le gaz à étudier est placé dans
caractéristiques
ce
point chaud que les petites dimensions de
un
permettraient
est
l’ambiante,
en
sont déterminées par
une
l’angle
réglages
Elle
a
été
et d’assurer
cellule métallique dont les
de diffusion choisi et la pres-
sion maximum utilisée.
Les cellules utilisées pour les
90° sont
en
angles
laiton noirci et ont des caractères
de diffusion de
assez
voisins.
30°, 45°
et
III.24.
La lumière
est peu
parois
parasite due
gênante
détermine la constitution de
supportent
centaine
une
angles. Aussi
ces
pour
cellules
ces
prépondérant.
sur
les vitres
est-ce la tenue
sont de taille
qui
les
ou
pression qui
en
faible et
assez
d’atmosphères.
La cellule de diffusion
14 )
précédentes ( figure
réflexions
aux
La diffusion
le
car
a
vers
l’arrière est très différente des
problème
de la lumière
est alors
parasite
lieu à 170° du fait de la fenêtre n° 2 constituée
d’une lentille conique. Le tuyau
d’isoler la fenêtre d’entrée
métallique permet
et d’éliminer la lumière parasite à
Enfin, la lumière parasite due
niveau.
son
à la fenêtre de sortie, placée à l’incidence de Brewster, est hors du
champ
de la lentille conique.
Ces
réalisée
avons
noirci à la
précautions imposent
en
une
cellule de
grande taille,
duralumin, plus léger que le laiton (l’intérieur
peinture mate). La fenêtre arrière
est très
sans
risque
une
pour la diffusion
vers
aux
la raie centrale. Elle
nous
a
encore
un
alors à
au
placer
ouverture notable
sans
par
un
élargissement apparent
position).
Ceci n’était pas à
nous
avons
dans le vert.
parasite
expériences utilisant
le
est très faible. On cherche
que l’incertitude relative
le vecteur d’onde diffusé devienne
Mais
51
)
plus grand angle de diffusion possible, afin de pouvoir
sur
leur
peu de lumière
été utile lors des
lesquelles l’intensité diffusée
une
peut dépasser
cellules antérieurement utilisées (
laser He-Ne, pour
utiliser
été
l’arrière, du fait essentiellement de l’isolement de
la fenêtre d’entrée, cette cellule donne
se
a
pression de 7 atmosphères.
Bien que très supérieure
sur
ne
en
et constitue
grande
vis-à-vis de la pression le point faible de la cellule. On
nous
que
gênante (elle
se
qui
avec
une
source
abandonné cet angle de diffusion lorsque
résulte
traduit essentiellement
des raies Brillouin du fait de la
négliger
en
dispersion
de faible
nous
sur
puissance.
avons
travaillé
III.25.
Le dernier point du montage dont
est le détecteur.
le bruit de fond
Il
d’un
s’agit
n’avons pas
encore
photomultiplicateur sensible, dont
refroidissant
en
nous
photocathode
sa
par
une
parlé
on
diminue
circulation d’azote
gazeux.
Il est suivi d’une chaîne de comptage munie d’un discriminateur.
Dans le rouge,
Le taux de
est
on
utilisé
a
comptage
un
varié de
a
ITT FW 130 choisi pour
3
10
5 coups/minute
10
à
son
très faible bruit.
le bruit du PM
environ;
d’origine statistique.
Dans le vert,
on
a
utilisé
EMI 9635 QB, peu bruyant pour
un
très grande sensibilité. Le signal varie de
du compteur
/mn,
6
(10
réduit à
contribution statistique. On
sa
éventuellement
4 coups/mn
10
atténuateur). Là
avec
a
éventuellement
à la
constante de temps du compteur, qui peut varier de 0.5 à 50
jamais utilisé
les valeurs 5
de constantes de
s
et 10
s.
mécanique- qui peuvent
passer
inaperçues,
temps supérieures à 10
Les instabilités de toute sorte
affecter le
tout
en
15 et
16
passerons ensuite à
montage
sont
en
le bruit est
recours
s.
à la
Nous n’avons
et très rarement
-électrique
ou
effet lissées et peuvent
ayant déformé le spectre enregistré.
Nous conclurons cette
figures
s,
pleine échelle
encore,
eu
une
présentation
qui illustrent
l’exploitation
de
le
du montage
expérimental
type d’enregistrements obtenus,
ces
résultats.
par les
et
CHAPITRE IV
ETUDE EXPERIMENTALE ET RESULTATS -
-
I. INTRODUCTION
Le but de notre travail
expérimental était initialement (1970)
la détermination des nombres Z caractérisant la relaxation de rotation d’un
ensemble de gaz à l’aide de la
obtenus
avec
les
mesures
pMet
théorie
,
la confrontation des résultats
acoustiques.
L’amélioration des techniques expérimentales
veaux
théoriques,
travaux
tels la théorie TH dans le domaine
la théorie des modèles dans le domaine
l’emploi
vers
ainsi
une
de
cinétique,
suscité de
nou-
hydrodynamique
et
et notre travail s’est orienté
descriptions, l’approche initiale constituant
nouvelles
ces
a
étude préliminaire.
Parmi les
est celle du M.I.T.
être considérés
équipes
travaillant dans
dont les travaux
comme
sur
les gaz
ce
domaine, la plus ancienne
)( peuvent
2
(
)
monoatomiques 3
définitifs et qui est actuellement orientée
vers
d’au-
tres secteurs de recherches.
L’hydrogène
par
l’équipe
du Professeur
et
ses
May,
isotopes
de Toronto
sont étudiés de
59
(
).
60
)(
La théorie des modèles est testée
dans
son
domaine de validité
(gaz parfait) jusque
La difficulté de cette étude est due
diffusée par
ces
corrections de
gaz
non
légers,
son
avec
une
dans le
grande précision
régime cinétique.
très faibles valeurs de l’intensité
polarisabilité
idéalité y sont
valeurs de la vitesse du
résolution moyenne.
de
aux
façon très complète
faible. En
longtemps négligeables,
contrepartie,
les
et les fortes
(donc du déplacement Brillouin) permettent
une
IV.2.
Nous
théorique
et
avons
eu
expérimental
avec
ce
groupe de nombreux contacts
le
sur
plan
et sommes heureux de le remercier ici.
Notre travail,
s’est
dans
développé
une
de stricte validité des
et
ses
auquel collabore depuis Octobre 1974, Jean Larour,
voie un peu différente : si l’on examine les conditions
descriptions théoriques,
isotopes mis à part,
-
aucun
apparaît
appliquée
temps unique
un
gaz réels mais
aux
qu’un processus à temps de relaxation unique
Nous devons déterminer
parmi
ces
des restrictions absolues et celles dont il est
-
Rien
par
n’empêche
a
l’hydrogène
la relaxation d’un gaz parfait
la caractériser par
La théorie TH peut être
que,
les satisfait.
ne
La théorie des modèles décrit
lorsqu’on peut
-
gaz usuel
il
celles
hypothèses
long devant
qui imposent
processus décrit
un
plusieurs temps de relaxation voisins, si ceux-ci et les chaleurs spécifi-
ques associées sont
entièrement. On devrait alors tenir compte du fait
connus
que l’évolution des divers niveaux
d’énergie
s’effectue par
translation, mais aussi par couplage mutuel. En pratique,
est inutile dans la théorie de la diffusion,
couplage
une
la
avec
analyse complète
car
les
spectres obtenus
nissent qu’une information moyenne, peu sensible
aux
détails des processus.
On peut donc
contenter dans
se
tion qui apparaîtra
Cette
-
Si
gaz
leur
comme
une
première restriction
plusieurs processus
spécifique,
avons
ainsi
en
cas
moyenne
d’une théorie à
sur
seul
four-
temps de relaxa-
les différents niveaux
d’énergie.
ce
qui
est
le
cas
des
contribution vibrationnelle notable à la cha-
une
sera
affecté d’un temps de relaxation
compte séparément lorsque
généralisé
un
ne
n’est donc pas fondamentale.
chacun d’eux
pris
ce
de relaxation interviennent,
possédant à l’ambiante
et devra être
Nous
ces
temps
la théorie TH à deux processus
ne
en
unique
sont pas
proches.
parallèle
de
temps caractéristiques très différents.
-
.
c
03C4
de s’affranchir.
possible
priori de généraliser les théories à
et
traite
ne
L’hypothèse
de l’état
parfait
de la théorie des modèles dans
corrections de
non
est
en
laquelle
idéalité du gaz.
revanche nécessaire à la validité
on
ne
peut introduire facilement de
IV.3.
-
La condition Z
1 dans la théorie TH intervient dans
»
l’expression
de la
con-
*
ductivité thermique
limite haute
en
fréquence (03BB*) donc
raie centrale dans cette limite. Comme
limite
un
bon
mique)
se
trouve dans le domaine
cinétique
comportement de la théorie TH dans
Z~
pour
le détail de la
signalé plus haut, cette
1, ce qui laisse prévoir
domaine de validité
son
(hydrodyna-
.
(*)
même pour Z ~ 1
de nombreux gaz par
espérer décrire pratiquement
On peut donc
un
l’avons
nous
sur
emploi judicieux des calculs actuellement disponibles,
le contrôle de
sous
l’expérience.
C’est
nous
le test des théories dans
vers
ces
situations limites que
orienté notre travail.
avons
Sa difficulté
particulière
est d’éviter toute
doit s’assurer qu’une défaillance de la théorie n’a pas été
choix erronné de Z
ou
Ceci
de
des corrections de
nous
a
non
aujourd’hui
conduit à des études couvrant
Avant de
indiquer quels procédés
grandeur
du
par
un
domaine étendu
.
6
SF
élevée, qui
a
Ceci constitue
61
(
plus précise de la validité de la théorie TH ).
présenter
le détail de
nos
expériences,
sont utilisés habituellement dans les
diffusion de la lumière par les gaz,
ordres de
un
de résolution
la structure de la raie centrale dans
la preuve la
masquée
on
idéalité du gaz.
pressions donc à l’élaboration d’un montage
permis d’analyser
ambiguïté :
ce
qui
nous
nous
allons
montages de
permettra de situer les
problème.
(*)
peut paraître très discutable d’utiliser la théorie TH même pour Z ~ 1
prétexte que ses insuffisances ne seront de toute façon pas observées.
Pourquoi ne pas utiliser alors les théories Mp ou M03BE ? La raison en est que,
même si l’expression de 03BB* est approchée, sa valeur numérique est en général assez bonne car les quantités qui y apparaissent sont toujours proches.
D’autre part, l’évolution des largeurs de raies en fonction de la pression
est respectée du fait de la présence des termes en Dq
. Ceci permet de pré2
Il
sous
voir que seules des variations mineures
apparaîtront.
IV.4.
II. PROCEDES EXPERIMENTAUX
Nous
avons
vu
que le
paramètre caractérisant
q~
translationnel d’un gaz est le produit
parcours moyen A. De même,
gaz par
rapport
la valeur du
comportement
du vecteur d’onde q par le libre
paramètre ZqA caractérise l’état du
processus de relaxation de
au
le
temps
c
est
Z03C4où 03C4
,
c
le
temps
entre collisions.
Pour observer l’ensemble des comportements translationnels d’un
gaz,
ou
l’ensemble d’un
phénomène
de relaxation,
il faut faire varier le para-
mètre correspondant entre les valeurs
domaine
hydrodynamique
limite basse
domaine
cinétique
limite haute
Ceci peut être réalisé par variation de
mais également,
qui
ce
Dans le
cas
du gaz
Dans le
cas
des gaz
du fait de la
tement du gaz.
non
est
fréquence
spécifique
fréquence
l’angle
des gaz,
parfait, les résultats de
réels, les observations
par modification de la densité 03C1
0
ces
ne
deux
procédés
sont
sont pas absolument
idéalité, mais q~ (ou Zq~) reste
un
bon
identiques
équivalentes
paramètre du
compor-
Tableau 1
déplacement
Brillouin
largeur Rayleigh
Les valeurs
les gaz
soulignées
parfaits.
en
limite
totale à mi-hauteur
sont mesurées.
Les autres sont calculées en
supposant
IV.5.
La
angle donné
ration
est
methode
consistant
taire
varier
la
pression du gaz à
général choisie. Elle a l’intérêt de permettre une exploexpérimentale continue des phénomènes, et de ne pas nécessiter de moen
dification du montage optique,
des conditions
verture
a
expérimentales
angulaire tolérée
ou
qui permet d’être plus sûr de la stabilité
ce
au
cours
de l’étude
de la sensibilité du
(notamment
au
sujet
de l’ou-
montage à la lumière parasite)
Selon
l’angle choisi, le domaine de pressions à analyser sera différent. Le
tableau 1 indique la correspondance approchée entre angles d’observation et
pressions pour des valeurs caractéristiques du paramètre qA.
Les ordres de
grandeur de la largeur Rayleigh
Brillouin permettent de déterminer les caractères de
trique adaptée dans chaque
cas.
On
a
pris
pour
et du
déplacement
l’analyse interféromé-
longueur d’onde incidente celle
du laser à argon
Le temps entre collisions
(formule obtenue pour
potentiel
de
S
~
cest
03C4
calculé selon la convention usuelle
par la méthode de
sphères dures,
pour
Chapman Enskog
dans le
lesquelles la définition de
cas
62
(
)
d’un
cne présente
03C4
pas de difficulté).
Cette convention permet
est le
également
de définir
rapport du temps de relaxation
03C4
de
sans
ambigüité
l’énergie
interne
le nombre
au
temps
Z, qui
centre
03C4
collisions :
Le domaine où
son.
La
Zq~ ~
demi-largeur
1 est celui où l’on observe la
dispersion de la vitesse
du
à mi-hauteur de la raie Mountain de relaxation est alors
Tableau 2
Domaines de
couplage
Rotation
*
nos
déterminations
Vibration
**
début du couplage. On
gaz
se
liquéfie.
ne
peut
pousser
plus loin l’observation
car
le
Fig.
IV-1
IV. 6.
de l’ordre du
déplacement
entre les racines
Brillouin. Ceci
fiées. Aussi parlerons-nous de
les
une
avons
vu
"couplage
interaction que nous
que cette
conséquence
de
sont modi-
Brillouin-Mountain". De même, lorsque
observe entre
on
"couplage Rayleigh-Mountain". Nous
très sensible au type de théorie employée (
),
5
7
est
zone
interaction
une
dispersion qui
et Mountain deviennent du même ordre,
largeurs Rayleigh
elles
pour
l’équation
de
correspondantes
a
nommerons
bien qu’elle n’ait pas été étudiée
en
jusqu’à présent (les expériences
détail
de diffusion étant influencées par les
permettent pas d’étudier cet
expériences acoustiques plus anciennes
effet). Le tableau 2 situe numériquement
qui
ne
ces
domaines pour différentes valeurs de Z.
des racines de
les
l’équation
sur
(couplage
la raie centrale
Zq~,
(couplage
l’effet de la relaxation
R - M), soit
de diffusion
le doublet Brillouin
sur
réalisé l’ensemble de
avons
30°,
à
supérieurs
ce
nos
expériences
qui correspond à des pressions
montage est alors peu sensible à la lumière parasite (sauf
et la résolution nécessaire n’est pas
problèmes
comme
corrections de
non
assez
vers
angles
fortes.
l’arrière)
petits angles
En
contrepartie, les
idéalité deviennent importantes et leur traitement constitue
part croissante du travail de dépouillement.
sion des chaleurs
PV RT
effet
en
spécifiques
disposer
p
C
et des coefficients de
et
de l’évolution
C
v
,du
transport
l’aide des coefficients du
Curtisset Bird
indiqué
62
(
)
dans
pour
un
03BB,
S
n
coefficients de
de Lennard-Jones.
l’appendice VI. Il n’est utilisable
faibles, aussi peut-on considérer
transport 03BB
et
comme
~
S
,D
compressibilité
et D.
premières quantités
viriel, tabulés dans l’ouvrage
potentiel
fonction de la pres-
en
coefficient de
La variation des trois
est
aux
à des
plus, l’intensité
De
exemple).
la densité du gaz donc est notable.
On doit
=
critique (on aurait
de stabilisation de laser par
diffusée varie
une
sensible
sera
B - M).
Nous
des
évidence
en
couplages successifs entre elles.
soit
w
indique l’évolution
dispersion lorsque Zq~ varie et met
de
Selon la valeur de
Le
1
figure
La
est calculable à
de Hirschfelder,
Le
procédé
de calcul
que pour des variations
constants dans cette
approximation les
étant pris proportionnel à
.
0
1/03C1
Tableau 3
20°C
*
valeurs obtenues par les méthodes
*
valeur usuelle
40
(
)
41
)(
acoustiques
mais différente de
S
~
1,27p
qui donnerait 0,85
IV.7.
Aux pressions plus élevées,
de valeurs mesurées dis-
l’emploi
ponibles dans la littérature devient nécessaire. Les problèmes rencontrés à
cette occasion seront
exposés
pour
Nous allons aborder à
présent
rimental. Bien que les résultats obtenus
gique,
de
nous
présenterons,
les
complexité
dans la suite.
chaque gaz
le détail de notre travail
présentent
par souci de
simplicité,
chronolo-
progression
une
gaz par gaz,
expé-
par ordre
croissante :
-
-
-
-
l’azote et
l’oxygène N
, O
2
2
le méthane
puis
le gaz
4
CH
carbonique CO
2
enfin l’hexafluorure de soufre
On trouvera dans le
tableau 3
6
SF
quelques caractéristiques de
ces
gaz.
III. L’OXYGENE ET L’AZOTE
Comme
comportent
en
on
le voit
tableau 3 , l’oxygène
le
sur
diffusion de la lumière de
vibrationnelle dans
ces
se
façon très analogue. La contribution
40
(
)
gaz est faible
et l’azote
et
la relaxation associée très
lente, aussi n’a-t-on à tenir compte que de la relaxation de rotation dont
le
temps caractéristique, déterminé par
est de l’ordre de 4 à 5 03C4
c
-
Les
mesures
d’absorption ultrasonore,
36
(
).
41
)(
63
(
expériences préliminaires à faible résolution )
ordres de
grandeur, conduisant
On utilisait
source
un
à| Z ~ 4|
de diffusion
montage
deux gaz
ces
pour
Le choix de
l’angle
Fabry-Perot permettent d’atteindre, malgré
source,
des taux de
une
4
comptage de quelques 10
cellule évoluée,
20% de lumière parasite
au
pic
on
selon la
avec
pour
Fabry-Perot plan
d’observation et la bonne lumino-
sité du
l’on ait utilisé
un
ces
( tableau 4 ).
l’arrière
vers
lumineuse le laser He-Ne et pour interféromètre
de finesse 25 environ.
ont confirmé
la faible intensité de la
par minute.
observe
sur
pression, qui
Cependant, bien
que
la raie centrale 10 à
a
varié de 5 à 8
atmosphères.
Tableau 4
2
N
Expérience préliminaire
et
2
O
IV.8.
Pour la détermination de Z,
Zq~ ~
1
qui correspond
C
I
B
2I
Placzek
couplage
des intensités
Brillouin varie dans
et constitue le
est
au
ce
Brillouin - Mountain. Le rapport Landau-
intégrées
de la raie centrale et du doublet
le
basse
fréquence
haute
fréquence
la détermination de Z.
plus sensible pour
rapport B/R des hauteurs
au
64
(
)
.
domaine entre les valeurs
paramètre
proportionnel
le domaine sensible est celui où
au
pic de
raies
ces
qui
Il
est le
paramètre directement accessible à l’expérience
largeur mesurée
de la raie centrale,
fonction
d’appareil comprise
Du fait de la
être utilisé.
Le
dépouillement
des
de lumière
parasite,
spectres expérimentaux
ce
a
paramètre
n’a pu
été effectué de la
suivante :
façon
Le
convolué
avec
spectre théorique calculé à l’aide de la théorie Mp
la fonction
La détermination de Z
a
d’appareil expérimentale
pic de
en
utilisant
une
a
été
pour différentes valeurs de Z.
été effectuée par comparaison numérique
expérimentaux à l’ordinateur
le
présence
avec
les spectres
méthode de moindres carrés excluant
la raie centrale.
Il est apparu que l’introduction dans les éléments de la matrice
Mp
des corrections translationnelles de Burnett conduisait à
sur
nous
la
position du pic Brillouin. Ceci
l’avons dit plus haut,
le
pour les molécules de Maxwell.
permis d’obtenir
un
est
un
accord meilleur
aujourd’hui expliqué puisque,
développement de
Ce procédé, bien
accord excellent entre les
comme
Burnett est fortuitement correct
que peu clair alors,
spectres théoriques
mentaux, et de déterminer pour Z des valeurs tout à fait correctes.
et
nous
a
expéri-
Tableau 5
(rappel)
Matrice d’évolution de l’hydrodynamique translationnelle
paramètre
non
critique
IV.9.
La sensibilité à Z de
l’expérience
cependant médiocre du
reste
fait de la faible résolution et de l’importance de la lumière
précision
lorsque
et la fiabilité des
nous
avons
du FPS
permis l’emploi
Tropel
ont été considérablement
expériences
pu utiliser
comme
parasite. La
le laser à
source
Sa
Argon.
accrues
puissance
a
de forte résolution (mais peu lumineux) et le
choix
d’angles d’observation plus propices à l’élimination de la lumière
parasite. On trouvera dans le tableau 4 les caractéristiques des expériences
réalisées ainsi.
La lumière
vérifié
en
(P # 0)
sur
faisant
en
parasite
cours
été totalement éliminée,
a
y
d’expérience
lesquels n’apparaît
des
enregistrements
que le bruit d’obscurité du
(en général négligeable devant le
signal), qui
La théorie utilisée lors des
théorie TH dont la matrice d’évolution est
ce
qui
est
cellule vidée
photomultiplicateur
constitue le niveau zéro.
dépouillements
rappelée
est à
dans le
la
présent
tableau 5 . La
*
valeur de 03BB
qui y figure est donnée
dans laquelle la valeur
pour 0394
rot
importantes de03B *
indécelables,
Nous
ques et
est mal
connue.
En pratique,
nous
avons
utilisé
la valeur du coefficient de diffusion D et vérifié à l’ordinateur que
des variations
des effets
de 0394
rot
par la relation :
avons
ce
qui
(10 à 20%) avaient
est conforme à
préféré à
expérimentaux l’étude
de
la
les résultats du calcul
sur
nos
prévisions.
comparaison
directe des
paramètres
spectres théori-
bien choisis caractérisant le
spectre
Le
paramètre R/B, qui est le plus sensible à Z.
. Le
déplacement
Brillouin 0394B apparent, mesuré
. Les
largeurs Br et Ry des raies
2Br et 2Ry, fonction d’appareil
du minimum RB entre les raies
Brillouin et
non
comprise)
Rayleigh
au
pic.
Rayleigh
ou
(ou plutôt les largeurs
totales à mi-hauteur
parfois le rapport RB/B
et Brillouin
au
pic Brillouin
B.
Fig.
IV-2
IV.10.
L’évolution de
été déterminée et
la fonction
comparée
prévisions théoriques (après
aux
l’intensité laser
de
et de
d’angle
vénients (nécessité d’une
électronique évoluée
suffisante pour
ne
D’autre part,
perposition
précieux
est facilement
qui
-ce
il est
de
les
ensemble d’en-
un
pression, même si
les dérives
corriger
pour
subir les incon-
en
on
connaît la
avec
d’une
système
des
dispersion
disposer de paramètres individuels
subjectif-,
méthode de moindres carrés, nécessairement
être discutée,
sans
que d’estimer la coïncidence de deux
objectifs, plutôt
avec
ainsi est multi-
pas réduire la résolution du
façon souvent difficile à contrôler). De plus,
résultats.
a
l’interordre apparent ont évolué. Nous bénéficions ainsi
ou
avantages des méthodes d’accumulation de données,
précision
sur
pression
convolution
procéder
est aisé d’effectuer des moyennes
dans les mêmes conditions
registrements pris
une
fonction de la
en
d’appareil expérimentale). L’intérêt
ple : D’une part, il
des
paramètres
ces
su-
soit même à l’ordinateur par
et
globale,
poids statistiques accordés
spectres, soit par
aux
qui d’ailleurs peut
différentes
régions
du
spectre n’étant pas nécessairement égaux.
Lorsque, de plus, l’expérience
étendu de pressions,
réseaux de tous
ces
la
Comment
En
varient
dépend
en
se
paramètre R/B croît
sur
zone
pratiquement constant
ici est due à la
(*)
De
non
avec
la
(*)
domaine
l’aide des
présentent-ils pratiquement ?
1/P et leur recouvrement (RB/B]
ristique apparaît
expérience à
les
première approximation (gaz parfait),
peu de Z dans la
un
devient très sûre.
Zq~ ~
(et par suite le paramètre RB/B)
Le
entre théorie et
comparaison
paramètres
est réalisée dans
en
en
.
2
1/P
revanche la
dépendent
La
de raie
largeur Rayleigh Ry
largeur
Brillouin Br
par l’intermédiaire de
.
v
n
pression donnée. Son comportement caracté-
Z à
figure
hors
1,
en
largeurs
2 . Si le gaz était parfait, R/B serait
de la
zone
de relaxation.
La croissance observée
idéalité du gaz.
façon rigoureuse, c’est le rapport R/B avant convolution par la fonction
d’appareil qui est constant dans ce cas. Comne les largeurs de raie varient
en 1/03C1
0 et qu’elles sont différentes en général, le rapport R/B après convolution varie avec la pression. Dans notre cas, l’effet est faible.
IV.11.
Pour introduire dans les calculs les corrections correspondantes,
il
faut tenir compte de la
nous
dépendance
d’évolution ( tableau 5 ). Dans le
En revanche,
dont
on
pression
en
le réseau de la
expression.
Le
précautions particulières,
température,
plus souvent,
Dans
(1) qui comporte
comme
l’oxygène
nous
nos
le
et l’azote,
fait suffisante dans le domaine de
W
nous
verrons
en
03B1
s’élimine.
en
est :
fonction de la
qui permet
ce
en
une
PV PT
=
compressibilité
modifie faiblement le terme d’ordre 2
de la formule exacte
résultat de
le coefficient
compressibilité
pour différentes valeurs de la
(qui
L’emploi
développement,
fonction de la
en
général
de calculer cette
mation
pression des éléments de la matrice
doit déterminer :
l’expression
On connaît
en
utiliserons
en
principe
l’approxi-
pression ) :
dérivation demande des
plus loin.
la formule
approchée (2)
est tout à
pressions envisagé. Voyons à présent le
expériences :
a) Oxygène
L’accord entre la théorie et
pour
un
il y
a
angle
l’expérience
de diffusion de 90° entre 15 et 35 bars
a
été testé d’abord
(au-dessous de 15 bars,
recouvrement des raies Brillouin d’ordres successifs).
La valeur de 03C4
IV.12.
obtenue est 7
paramètres
- 10s
10
x
soit Z ~ 4.4 et l’accord est bon
le domaine des basses
été
a
reprise à
figure 3 )et
(
tres testés
de 45° afin
angle
d’explorer
pressions jusqu’à 5 bars, valeur au-dessous de laquelle
spectres deviennent médiocres. Là
les
un
l’ensemble des
déplacement Brillouin 0394B.
testés qui sont le rapport R/B et le
L’expérience
sur
encore,
l’accord est bon
les
sur
paramè-
la valeur obtenue pour Z est bien 4.4 environ
(4,4 ± 0.5). Nous disposions pour le dépouillement des spectres expérimentaux
des valeurs
suivantes :
numériques
en
65
(
pression et de la température )
fonction de la
à
atmosphère
une
fonction de la
en
température.
La théorie TH est testée ici dans le domaine où
et
Zq~
avec
<
0.6 où l’on
l’expérience
b) L’azote
deux
de
a
peut
en
attendre de bons résultats.
un
groupés
parlant, il
effectuées
une
avec
sur
finesse de 80.
figure
la
4
des finesses différentes
tervient dans B/R y est différente.
correspondante est négligeable,
tion
entre 15 et 40 bars
Les résultats de
qui représente
est incorrect de comparer les
avec
l’accord
Effectivement,
de diffusion de 90° entre 15 et 135 bars
angle
expériences successives. La première
ont été
0.15
<
est très bon.
été étudié à
55, la seconde
q~
ce
avec
ces
deux
finesse
expériences
rapport B/R (strictement
le
rapports B/R donnés
puisque
une
en
la fonction
par des
expériences
d’appareil qui
in-
Ici, le calcul montre que la correction
qui
nous
autorise à utiliser cette
présenta-
globale).
On voit que l’accord est excellent, tant pour la valeur de Z obtenue :
que pour l’évolution
pression.
en
disposions d’un ensemble
Une telle
précision
a
été possible
car
nous
de données étendu :
65
(
)
66
)(
en
à
L’accord est
une
fonction de la
atmosphère
également
en
température
fonction de la
et de la
pression
température.
obtenu pour la valeur et l’évolution
en
pression du dé-
IV.13.
placement Brillouin. Les largeurs
théoriques. Nous
lors
les
ne
des
pas étudiées
avons
desquelles la stabilisation
fluctuations de la fonction
largeurs à
plus forte,
mesurer ou
permis
lution
nous
en
assurer
programme de
de la bonne
dépouillement,
L’exposé
mettre
d’explorer
de
avec
spectres
nos
dont la mise
au
de notre travail
domaine plus
un
conduira à des
nous
qualité
point
moyenne est de l’ordre
cette étude
problèmes théoriques
nouveaux
nous
où l’évo-
cas
un
pu ainsi
avons
et de l’exactitude de notre
a
été
progressive.
va
maintenant
nous
de conditions
large
précise.
détermination
une
certitude. Nous
le méthane
sur
réalisée. Les
résultats dans
nos
connue
expériences
ces
la théorie TH,
avec
de
pas
les valeurs
avec
encore
largeur
permettent
ne
précision
du gaz étudié est
pression
détail dans
en
dont la
prévisible
de vérifier la bonne
compatibles
du laser n’était pas
d’appareil,
Outre l’accord
a
de raies sont
expérimentales,
( tableau 6 ).
per-
qui
ce
IV. LE METHANE
(a) Les expériences préliminaires réalisées dans le méthane
un
à
de diffusion
montage
une
vers
valeur de Z de l’ordre de 8 à 9,
déterminations acoustiques
(b) Nous
un
63
(
)
l’arrière
ensuite
avons
angle de diffusion
ont conduit
nous
bon accord
les
avec
41
(
).
68
(
entrepris )
de
en
avec
30°,
dans
une
étude
plus précise à
domaine de
un
pressions
cou-
vrant la relaxation de rotation ainsi que le début du domaine
cinétique (q~
Sur le
inférieures
>
1).
plan expérimental,
nous
avons
rencontré pour des pressions
à 2 bars des difficultés dues à la faiblesse du
signal. Il
a
été
nécessaire d’effectuer des enregistrements longs (environ 20 minutes par inter-
ordre) et d’utiliser
valeur minimale
une
constante de
une
constante de
disponible
temps
sur
de 1
s,
temps supérieure
la chaîne de
puis 5
riences faites à 0,2 et 0,5 bar (
s
comptage.
à 0,5 s,
De 2 à 1 bar,
à 1 bar, et enfin 10
figure 5 ) .Afin
qui
s
de limiter
est la
on
pour les
au
a
utilisé
expé-
maximum les
parasites électriques, difficilement identifiables lorsque le signal est filtré,
et qui déforment le spectre, ces expériences à bas niveau ont été réalisées après
20 heures.
fiées
La
symétrie
systématiquement.
et
la
reproductibilité des enregistrements ont été véri-
Tableau 6
Le méthane
paramètre
non
sensible
(approché)
IV.14.
Nous
La valeur
pression.
au
étudié les paramètres R/B et 0394B
avons
expérimentale
de 0394B est le
pic qui n’est pas strictement Vq
préférable
en
effet d’utiliser des
l’expérience plutôt
que des
détermination exige
un
connues
les
inclura
simplement
largeurs
aux
basses
calcul
Lors de la
Brillouin mesuré
pressions. Nous
(ici
fondamentales
lors
supplémentaire
de raies.
déplacement
jugé
avons
directement accessibles à
quantités
grandeurs plus
fonction de la
en
duquel
comparaison
dont la
doit supposer
on
avec
Vq)
la théorie,
dans le programme de calcul la détermination de la
du maximum Brillouin
qui
sera
Le domaine étudié
vis-à-vis de la vibration
position
comparée à 0394B expérimental.
Les théories utilisées pour le
TH et celle des modèles.
on
vib
(Z
q~
se
dépouillement
trouve
ont été la théorie
limite haute
en
fréquence
300). Aussi peut-on utiliser des théories
>
décrivant seulement la relaxation de rotation à condition d’y utiliser
en
li-
mite basse fréquence
4 ))
69
(
vib
Z
~ 10
(formule rigoureuse
La
première difficulté
la détermination de
en
effet très vite
et
en
constitue la
Les
expérimental,
nous
que
nous
avons
l’angle exact
avec
de diffusion. Le
égale
en
Z.
mesure
la
avons
été
Brillouin varie
plus précise.
enregistrements ayant été effectués
avons
pu déterminer
obtenu :
avec
le même
l’angle d’observation d’après
montage
les
dépla-
domaine où la vitesse du son reste constante
à celle du gaz parfait associé, et
Nous
déplacement
a
l’angle lorsque celui-ci devient faible :
cements mesurés entre 4 et 20 bars,
et
rencontrée lors du dépouillement
présente
une
dépendance très faible
Fig. IV-6
Rapport R/B mesuré dans le méthane à
angle de 29,3°
2022
2014
+
2014
expérience
un
théorie des modèles à 6 moments
Fig.
IV-7
2022
2014+2014
expérience
théorie des modèles à 6 moments
IV.15.
soit
écart de
un
de 3% des
0,7°
à la valeur
déplacements
prévue,
Brillouin que
qui
ce
nous
laquelle la théorie TH
au-dessus de
delà de 4 bars, les corrections de
On observe
une
est valable
R/B et 0394B. On constate
et 10.5 environ.
lement
bon accord
en
figure 8 ,
la
obtenus.
faible
basses
6 et 7 présen-
paramètres
avons
vu
sur
constate
pressions, où
figure 5 ,
la
sur
une
l’on
et cela est
voit
ne
ce
que la sensibilité à Z devient
plus progressivement que le
qui est observée. Ce point
les corrections de
présenté :
des coefficients du viriel,
employées,
ce
déjà
a
décroissance de 0394B
non
été
ce
l’expérience.
pouvant être obtenue
un
nouveau
sans
aux
pressions
pente de la courbe R/B
La
On
prévoyaient
une
pouvait donc penser
les corrections calculées étaient inexactes aussi bien pour
La valeur de Z à utiliser
gaz
exacte mais les calculs
confirmée par
haut.
souligné plus
idéalité calculées à partir
non
qui semblait légitime dans
près
comporte-
son
été utilisée et
a
sont apparues tout à fait incorrectes.
au-dessus de 5 bars était à peu
com-
domaine, le gaz est peu différent
Au-dessus de 3 bars, la théorie TH
s’est
illustré
également
d’un gaz monoatomique et c’est essentiellement la modification de
problème
éga-
est
description excellente des spectres
flgure 6
la
portement individuel des molécules. Dans
ment translationnel
entre 9
comprise
représentée ici,
non
pas
la théorie.
avec
on
effet sensibles.
en
pour les
valeur de Z
une
3 bars, pres
jusqu’à
0.13). Au-
<
figures
Les
l’expérience
expérimentale RB/B,
que celle-ci fournit
Cependant,
aux
bon accord pour
un
La courbe
Nous
sur
cette théorie et
comparaison entre
(q~
décalage
près.
expérimentale R/B qui n’apparaît
remontée de la courbe
dans le réseau calculé par la théorie des modèles.
tent la
été utilisée
a
idéalité deviennent
non
un
à mieux que 1%
mesurons
La théorie des modèles à 6 moments
sion
traduit par
se
Cpque
ambigüité
que
pour W.
entre 3 et 10 bars :
Z ~ 9 à 10
en
bon accord
avec
la détermination
raccordement des théories,
fonction de la
obtenu est
nous
précédente,
avons
Nous
avons
qui montre l’excellent
calculé quelle variation de W et
des courbes
riences à
pression plus élevée
montre la
comparaison entre la théorie TH et l’expérience pour
calculées de
p
C
et
W.
p
C
en
expérimentales (le résultat
ensuite entrepris de vérifier ceci par des expéavec une résolution supérieure. La
figure 9
pression rendait compte
unique).
ce
ces
valeurs
IV.16.
(c) L’expérience suivante
90°,
de
mise
au
point,
raie centrale,
relaxation étant
une
Le
Rayleigh,
la contribution des raies de
déjà
non
constaté entre
l’expérience
la variation calculée du
Brillouin étant de
déplacement
qui constitue
ce
une
numériques
correctes
bonne évidence de la sensibilité
déterminations expérimentales et la meilleure preuve de leur sécurité :
impossible
quantités qui
des
signe
expérimentale.
été extrêmement longue,
il est
et les calculs
idéalité déduites des coefficients du viriel
La reconstitution d’un ensemble de valeurs
nos
résolution excel-
à toutes les pressions considérées.
négligeable
contraire à la variation
de
été
étudié les paramètres 0394B, B/R et la largeur Ry de la
avons
utilisant les corrections de
a
a
précision.
Le désaccord
s’est accentué,
qui permet d’atteindre
ce
est celle de la raie
qui
de diffusion
angle
déplacement Brillouin, peu différent de
( figure 10 )peut être déterminé avec une très
l’interordre
Nous
un
entre 35 et 100 bars. La stabilisation du laser
lente (15 MHz).
bonne
été réalisée à
a
compte de l’évolution de 0394B, B/R, Ry si chacune
de rendre
y
n’est pas
figurent
connue
précisément.
Les isothermes du méthane ont été déterminés par Michels et al.
ce
qui
dente.
nous
a
fourni W et
La détermination de
employée,
le
,
v
C
p
C
a
consistant à obtenir
premier
Cp
d’après
en
03BB et
la littérature
Nous
au
planimètre
avons
le rapport est :
fonction de la
l’estimation
précé-
déplacement Brillouin,
intégrées
avec
pression
a
conduit
les valeurs mesurées de
des coefficients de
transport
71
(
).
73
72
)(
alors déterminé
les intensités
le
incompatibles
R/B et Ry et l’évolution
disponibles dans
avec
été plus difficile. La méthode précédemment
à des variations très importantes,
S
n
bon accord
en
7
(
expérimentalement
des raies
Rayleigh
et
p
C
en
mesurant
Brillouin, dont
Fig. IV-10
IV.17.
plus modérée et bien confondue
La variation obtenue est
pressions faibles (< 30 bars)
le calcul
avec
cédente. L’examen des courbes R/B et
périence,
montre alors
Ry
duquel
nous
72
(
)
(*).
En revanche,
l’expérience pré-
bon accord avec l’ex-
aux
pressions
Une recherche
74
(
)
les
p
C
pour
approchée :
une
signe opposé
variation de
bibliographique systématique
la variation déterminée pour
thermique
déplacement Brillouin
le
utilisé l’expression
avons
plus faibles,
à celle que fournit l’expérience ( fig. 10 ).
présente, même
confirmer
un
de
surtout si l’on utilise la valeur de la conductivité
donnée par Tufeu et al.
le calcul
empirique
aux
(à l’aide des
permis de
a
nous
mesures
au
plani-
mètre) qui s’est révélée très bonne. On voit l’excellent accord obtenu entre
la théorie et
on
a
porté
sur
l’expérience
pour les
la courbe la
paramètres B/R ( fig. 11 )
largeur réelle
de la raie,
et
fonction
fig. 12 :
Ry (
d’appareil
non
comprise ).
Ceci confirme
rience
précédente,
faut à
présent
on
doit
en
tant pour
également
p
C
rendre compte du
conclure que
les déterminations
que pour W,
ce
qui
est satisfaisant.
déplacement Brillouin.
l’expression (2)
empiriques
p
C
et
v
C
de
l’expé-
Il nous
étant corrects,
est insuffisante et revenir à
l’expres-
sion exacte :
La détermination de la
dérivée(~W ~P)
T
d’une
courbe
expérimentale
est
une
en-
treprise aléatoire dont la précision est difficile à estimer. Il apparaît
cependant, et cela explique bien l’échec des calculs utilisant les coefficients
du viriel, que dans
(*)
Les
l’expression
de W :
valeurs de Misic et Thodos )
73 sont
(
l’écart atteint 3/100 à 100 bars.
plus faibles
que les
précédentes.
Fig.
IV-11
Méthane : confrontation de
l’expérience
et de la théorie TH
Fig.
IV-12
Méthane : confrontation de
l’expérience
et de la théorie TH
IV.18.
le terme
est très faible,
quadratique
contient dès 50 bars des termes de
ont
poids
un
et
degré
qu’un développement polynomial
élevé
en
P
(
on
). On peut minorer l’effet dans
dans W
en
2
0
C
la courbe par
approchant
qui atteignait 4/100 à 93 bars
93 bars et 3/100 à 110 bars,
en
le
sans
soit
qu’il
possible
pression élevée
permet à
nous
en
P
développement
le
théorique
et
expérimen-
de variation étant cette fois correct.
avec
la valeur exacte
de le chiffrer
cependant considérer que le problème
est résolu.
de(~W ~P)
T
sera
plus précisément. On peut
Cette étude exhaustive à
de vérifier notre
nouveau
et de conclure à la validité des corrections
sées
assez
et 7/100 à 110 bars est réduit à 2/100 à
sens
conclut que l’accord obtenu
meilleur
détermination
des termes d’ordre élevé
constate alors que l’écart entre les déterminations
tale
On
une
pour tester réellement 0394B dont la variation relative est faible
fig. 10
présents
dans la dérivation,
accru.
Il n’est pas possible d’effectuer ici
précise
qui,
de W
empiriques
précision expérimentale,
de
idéalité utili-
non
précédemment.
Le méthane est donc correctement décrit dans tout
exploré,
valeurs
par la théorie TH pour
q~
<
0.15, par la théorie des modèles pour les
Les valeurs de Z obtenues par chacune de
supérieures.
le domaine
ces
méthodes sont
compatibles
entre elles et
avec
les déterminations
41
(
acoustiques ).
La théorie TH utilisée pour
effectuées à
à
un
un
angle
l’interprétation
de diffusion de 30° est,
seul temps de relaxation,
quence pour la vibration.
le
nous
des
l’avons dit,
système étant supposé
en
expériences
une
théorie
limite haute fré-
IV.19.
expériences effectuées à
Dans les
q~
est 100 et
minimale atteinte pour
vib
Z
traverse le domaine de
couplage
de vibration
(situé
sément la vibration
entre la raie
généralisant
tion, selon la méthode que
pression, la valeur
rapide calcul
Rayleigh
montre que l’on
et la raie Mountain
prudent de décrire plus préci-
50 bars). Aussi est-il
vers
en
un
haute
la théorie TH à deux processus de relaxa-
allons maintenant exposer.
nous
V. GENERALISATION DE LA THEORIE TH
Pour prendre
xation, il
est
nous
compte dans la théorie deux processus de rela-
en
faut savoir s’ils sont
séparément couplé
Nous
supposé
avons
nous
que
plus simple. Cette hypothèse simplificatrice
gaz les choses sont moins
rément à la translation,
conséquence
simples :
mais
on
car
entre elles
ceux
leur évaluation
le détail des évènements.
rZ
otest
ne
des processus élémentaires
Il
sont pas
quelques unités
de l’ordre de
du fait d’un éventuel
quantités
ces
inaccessible à notre étude.
laxations
Ce
couplage
en
impliqués,
est de même
spécifiques.
Lorsque
la modification de
connu
40
(
).
apparents (mesurables expéri-
que les temps de relaxation
supposant
couplées sépa-
vibration et rotation sont
également couplées
corres-
ne
sait que dans de nombreux
mentalement) sont différents de
pour les chaleurs
si chacun d’eux
trouvions dans le second cas,
nous
pond pas à la réalité physique des processus,
pour
ou
à la translation.
dont le traitement est
a
entre eux,
couplés
C’est
qui
ce
et
couplage
vib rot
Z
>> z
,
est faible et
autorise à supposer que les
nous
re-
couplées.
Les domaines de relaxation de la rotation et de la vibration sont
entièrement disjoints. Dans
ne
sus
présente
De
façon rigoureuse,
d’un
avons
vu
en
effet
qu’elle décrit
un
unique par les équations d’un mélange binaire de gaz
(caractérisé chacun par
équations
conditions, la généralisation de la théorie TH
pas de difficulté. Nous
de relaxation
tion.
ces
mélange
un
la
en
en
réac-
compte de deux processus de relaxation
temps unique) devrait donc faire intervenir les
à 3 composants
domaines de relaxation soient
problèmes indépendants
prise
proces-
en
réaction mutuelle. Le fait que les
disjoints permet
de
consistant chacun à traiter
ramener
un
ce
mélange
problème à
deux
à deux composants.
Tableau 7
Hydrodynamique translationnelle.
2 relaxations
non
couplées
temps de relaxation de l’énergie de vibration
03C4
*
03C4
temps de relaxation
de
l’énergie
de rotation
quantités approchées
de
rot
0394
du fait
IV.20.
A
des basses
partir
fréquences,
rencontre d’abord la rela-
on
xation de vibration
puis
aux
On voit
fréquences élevées
tableau 7
le
sur
limite haute
fréquence
précédente (avec
la relaxation de rotation
la matrice d’évolution 5 x5
pour la vibration,
=0
v
~**
puisque
C’est cette théorie
expériences à
interpréter
les
que dans la
zone
un
seul
de
on
correspondante. En
toutes les relaxations sont traitées).
généralisée
que
nous
avons
utilisée pour
forte résolution dans le méthane.
On
constate
pressions étudiées, elle est équivalente à la théorie à
temps de relaxation (de rotation) : le couplage Rayleigh-Mountain
vibration n’a donc pas d’effet décelable dans
ce
domaine. L’étude du
et de l’hexafluorure de soufre
va
nous
de carbone
2
CO
complètement
cette théorie
VI. LE DIOXYDE DE CARBONE
Les
une
valeur de
l’époque
cas
4
retrouve bien la matrice 4
rot
Z
obtenir
un
faible
rot
(Z
~
accord satisfaisant
sous-estimation des corrections de
ou
3
permettre de tester plus
2
CO
précédents. Ceci s’explique à
pression dépasse 2
dioxyde
généralisée.
expériences préliminaires réalisées
assez
de
2 à 4).
avec
la
la lumière de
non
atmosphères.
sur
Cependant,
ce
gaz
nous
indiquent
n’avons pu à
théorie, contrairement
nos
aux
résultats actuels par la
idéalité qui sont notables dès que la
Tableau 8
Le
Expérience préliminaire
dioxyde
de carbone
IV.21.
Le cheminement
ce
gaz est très
réalisée à 45°
mais
son
analogue à
avec
ce
interprétation
exigé
a
travail à résolution
un
bibliographique détaillée
a
étude
une
donné des résultats prometteurs
a
élevée afin de s’assurer des corrections de
cherche
dans l’étude de
qui s’est passé dans le méthane :
résolution moyenne
une
théorique suivi
et
expérimental
et
supérieure
pression
idéalité à employer. Une
non
été nécessaire. Nous
re-
ainsi trouvé
avons
dans la littérature :
W,
(75)
v
p
C
, C
62
(
)
connu
à
atmosphère
une
l’utilisation de
données
ces
On
porté
a
à la
largeur Rayleigh Ry.
rot
Z
=
78
(
)
et
Z
v
ib=
atm.
figure
les
54000
79
(
)
Brillouin est
bien que
de la
sa
non
dérivée(~W ~P)
Le détail de
température.
figures 13
et 14
paramètre B/R
le
avec
soit faible,
à l’aide de la théorie TH
T
dans
comme
le domaine
exploré
généralisée.
qui
ce
expérimentales
de la
des
expériences à 45°.
La connaissance des corrections de
analyse précise des données obtenues
à 45°. Nous constatons
prouve que
sur
déplacement
figure 15 ,
la formule :
points expérimentaux correspondant à des pressions faibles
une
On
du fait de l’estimation
précédemment,
Les
permet
la lar-
ont été effectués pour
théoriques
les valeurs
et
comprise) pratiquement égale
non
idéalité du gaz sont valables. Le calcul du
compatible
précision
températures
température.
l’appendice VI.
dans
Les calculs
diverses
fonction de la
fonction de la
constate que l’accord est bon dans tout
les corrections de
en
(fonction d’appareil
geur de la raie centrale
3
sur
en
pression à
fonction de la
et à 1
77
(
)
S
~
),
76
)(
75
03BB
(
D est
en
la
figure 16
non
dans
sont déduits
idéalité du gaz
l’expérience
le bon accord
avec
nous
de diffusion
la théorie pour
*
rot
Z
~
3. On voit
de 10% environ
sur
qu’une variation de 5/100
sur
la valeur déterminée pour Z.
03BB
a
pour effet
La connaissance
une
variation
précise de 03BB
IV.22.
est donc
valeur de
nécessaire,
03BB*
l’expérience permet
car
valeur donnée de Z,
une
sans
seulement d’associer à toute
que le choix entre les couples ainsi
déterminés soit possible, du moins dans certaines limites. La formule donnant
*
À
étant rigoureuse, il
ne
sont bien
transport du gaz
subsiste pas
d’ambigüité
si les coefficients de
connus.
Cette remarque
va
les difficultés de
permettre d’expliquer
nous
dans lequel
tous ordres rencontrées dans l’étude de l’hexafluorure de soufre,
les corrections de
non
idéalité sont importantes et très mal
VII. L’HEXAFLUORURE DE SOUFRE
On trouvera
réalisées
sur
disposions que de
Weinberg, Kapal
23°C
=
1
atmosphère
6
SF
le
sur
tableau 9
les caractères des
expériences
.
6
SF
premières manipulations effectuées
Lors des
t
connues.
valeurs
rares
et Desai
vib
03C4
=
D
n=
de
39
(
),
qui sont indiquées ci-dessous
7,3
-7s
10
x
3,47
=
numériques, tirées
gaz, nous ne
l’article théorique de
sur
x
ce
-2cm
10
/s
2
156 03BC poises
*
~= 203 03BC
v
03BB= 1430
03BB* =523
v
C
=
sK
erg/cm
erg/cm
sK
10,6 R par mole
C*=3
v
L’hexafluorure de soufre,
isolantes
poises correspondant à la rotation
R par mole
qui est utilisé à
haute
température
est en effet peu étudié dans les conditions
dans lesquelles
nous
avons
opéré.
pour
ses
propriétés
(20°C environ. 1 à 20 bars)
Tableau 9
L’hexafluorure de soufre
IV.23.
La valeur
est liée
v
~*
au
temps de relaxation
de la rotation
T
par la relation
ce
qui conduit ici à :
03C4*=
Dans
1,2
x
-9ssoit Z
10
rot
~
gaz lourd et polarisable,
ce
l’ordre de 2 à 3, donc
En
on
attendrait plutôt des valeurs de Z de
viscosité de volume
une
03BB*=
leurs
on
03C4* ~ 10
s
-9
constate que la valeur
excède
raies
l’expérience
a
une
de
valeur de
on
v
n*
pour les 2 valeurs de
(Dans
ce
et
prévue
plus
de
pour RB/B
180°) : le couple de
30%,
ce
accord
un
est conduit à choisir le
de l’ordre de
l’angle
nous
savons
formule exacte,
que 03BB*
ce
qui
6 bars
acceptable
sur
les deux para-
couple :
70 03BC poises. L’accord
est alors observé
de diffusion.
non
idéalité ont été calculées à
avec
n’a-
l’expérience
au-dessus de 6 bars).
Cette constatation
car
va-
qui montre bien que la largeur des
l’aide des coefficients du viriel, aussi la comparaison
poussée
l’expérience
pressions inférieures à
aux
premier calcul, les corrections de
t-elle pas été
avec
conduit pour R/B à des valeurs correctes, mais
été surestimée. Si l’on désire
mètres R/B et RB/B,
soit
désaccord
en
angles de diffusion utilisés (90°
523,
faible (
).
81
)(
80
beaucoup plus
que soit la valeur de Z utilisée dans les
pratique, quelle
calculs, les résultats obtenus sont apparus
pour les deux
10, valeur qui semble très élevée.
nous
est obtenu à
ne
nous
a
posé
partir
un
problème théorique sérieux,
de la valeur mesurée de 03BB par
autorise pas à
en
une
disposer aussi largement.
IV.24.
Une série
préciser
afin de mieux
sions les
(Z=
vib
82 qui,
(
))
faible valeur de
Le
de
cas
les
6
SF
dans le
Ivib
C
.
est, à
De fait,
(L’intensité de la raie Mountain y est
aux
pres-
de vibration
négligeable).
très favorable.
vue,
remarqué
avons
nous
entreprise,
pouvait espérer
on
couplage Rayleigh-Mountain
du
centrale semblaient
pieds de la raie
donc été
a
méthane, n’est pas observable du fait de la
point de
ce
D’autre part,
problèmes.
plus élevées voir l’effet
6100
à haute résolution
d’expériences
un
environs de 20 bars que les
aux
larges. Le calcul, puis
peu
le calcul
machine ont confirmé que la raie centrale n’est pas constituée d’une lorentzienne
unique (
fig. 17
).
Ceci
la
représente
la raie Mountain dans
un
Du fait de
gaz.
l’hexafluorure de soufre était,
montage était excellente,
acquise.
De
plus,
ce
pour les deux
montage
et
qui
nous
indique
une
fig.
supérieure,
en
intégrée
Mp
de la fonction
et
a
avec
18
a
d’appareil
pieds très
des
réduits.
la forme obtenue pour
contribution à l’intensité
intégrée comparable
). Plus récemment, J. Larour, l’aide d’un
pu
de chacune des
Les théories
que parce que la stabilité
possible
excellent accord
analyser directement la
le détail
cette raie et confirmer cet accord dans
et l’intensité
bon candidat pour cette
un
été favorable, celle-ci
a
de
expérimentale
forte contribution vibrationnelle,
reproductibilité
et la
composantes (
de résolution
sa
évidence
en
l’avons dit,
nous
La théorie TH est
la raie centrale,
mise
la conclusion n’a été
expérience. Cependant,
du
première
M03BE
en
structure de
déterminant la largeur
composantes.
de Mountain
prévoient
dans
ce
domaine que
la raie centrale est constituée d’une
composante de largeur proche de celle de
la raie Rayleigh, et d’une composante plus étroite. On voit l’importance que
prend ici le processus de diffusion introduit dans la théorie TH, qui permet
seul de rendre
largeurs
de
celle de la
de la
ces
compte de
la raie de relaxation
deux composantes est
largeur apparente
largeur Rayleigh.
indiquée
de la raie
large observée. L’évolution
sur
la
complexe qui,
figure
on
19
des
ainsi que
le voit, est
proche
Fig. IV-19
IV.25.
Après
succès, il
ce
nous
restait à résoudre le
relaxation de rotation, et tout d’abord celui des corrections de
(la valeur de
du gaz
utilisée pour le calcul de
p
C
2
03BBq
p
03C1C
pression,
étant
v
C
Une recherche
bibliographique
Nous
à
une
a
obtenu
83
(
)
84
atmosphère )(
sans
compliquée.
Weinberg,
par
86
(
).
et de la chaleur
spécifique
Kapal
part
thermique 03BB
et Desai est celle
200 à
450°C,
avec
Il semble
87
(
),
seul
un
50°C. Aussi peut-on mettre
lation.
interne
Ivib
C
S
~
fonc-
en
=
1430
erg/cm
sK
qu’ont déterminée Choy
et
Leurs résultats ont été essentiellement obtenus dans le domaine de
température
est
la variation de la viscosité
problème
La valeur de la conductivité
Raw
rares
85
(
température ).
tion de la
indiquée
fonction de la
en
été entreprise, que la dispersion des
a
considérablement
avons
19
figure
par le calcul à l’aide des coefficients du viriel).
approché
données expérimentales
idéalité
non
reporté
ayant été choisie pour rendre compte de l’évolution de R/B
de la
problème
en
point à
une
basse qui
température plus
doute la valeur obtenue à 20°C par extrapo-
préférable d’utiliser
Lis et Kellard d’autre part
les données obtenues par Venart d’une
88 qui
(
),
voisines de 20°C et ont obtenu des résultats
ont
exploré
les
températures
compatibles
21°C
erg/cm sK
1 atm.
03BB = 1320
*
La valeur de 03BB
notre
précédente détermination,
rotation et montre à
nouveau
Les valeurs
en
correspondante
fonction de la
ce
est
en
excellent accord
avec
qui résout le problème de la relaxation de
la sécurité de
numériques
nos
résultats.
nécessaires sont donc
température. Leur évolution
en
connues
à 1 atm.
fonction de la pression
a
été
plus difficile à obtenir.
Il existe dans la littérature
mentales
de la
89
(
)
des isothermes de
90 Elles ont
(
pression ).
6
SF
plusieurs déterminations expéri-
donc de W et
une
mesure
servi de base à des calculs
de
p
C
en
fonction
théoriques conduisant
IV.26.
à des
équations d’état plus
immédiatement la
moins
ou
dérivée(~W ~P)
sibilité isotherme
T
~
ou
L’évolution des chaleurs
encore
91
(
).
93
92
compliquées )(
On
déduit
en
dans le coefficient de compres-
T
apparaissant
dans :
spécifiques
et
p
C
est alors obtenue
v
C
en
utilisant
les formules :
Les résultats de
calculs
ces
présentent
certaine
une
dérivations qui y figurent et le choix entre
conduit à des
W
et
(~W ~P)
T
avons
vu
donné est proportionnelle à
de la
en
2 T
0
03C1
~
.Aussi
enlevant l’interféromètre.
fig.
T
~
2
W
20
),
ce
nous
un
L’accord
avons-nous
angle
avec
qui indique
a
les
enregistré
de 90° dans le
fonction
en
montage habituel,
calculs de Morsy )
93
(
que la variation
angle
un
est
qu’il obtient
pour
est correcte.
Il est
possible de
tester
séparément
la variation obtenue pour W
mesurant l’intensité totale des raies Raman de vibration
nelle à
tage
Ceci
effet que l’intensité totale diffusée à
pression l’intensité diffusée à
excellent (
en
en
est difficile.
fait des
dans le but de déterminer directement
expériences complémentaires
. Nous
eux
dispersion du
)
0
03C1
au
spectromètre.
de diffusion
Raman sont
prévue par Morsy. On peut
bien décrite.
en
(qui
est
Les résultats obtenus par Jean Larour
également
en
bon accord
conclure que chacune des
avec
proportion-
sur
un
mon-
la variation de W
quantités
W et
T
~
est
IV.27.
cette
Malgré
d’accorder
aux
variations obtenues pour
thode de calcul de
la
première vérification,
quantités
ces
v
C p et C
est très détournée.
lequel
on
pris
a
V*0
= 03B3* C
d’employer
la détermination
croît entre les valeurs
le
déplacement
en
théoriques
une
décroissance de
qui n’est pas conforme
développement polynomial
de W
du
méthane, donc
espérer
peut
Si l’on
p
C
vers
5 bars,
en
procède
sur
de la
antérieure de
mesure
laquelle
nous
Cp
que les valeurs calculées
lorsque
par
d’assez bons résultats à
ces
de
Morsy
pour(
une
on
v
~C
T
~V) et C
p
-
v
C
et
Outre la détermination de
p
C
S
~
en
des données suivantes :
(et ici,
.
v
C
se
donne
qu’il faut
Ceci indique
sont douteuses et
les résultats de
cas
au
complet l’évolu-
trouve
valeur constante de
ce
pressions).
itération, c’est-à-dire si l’on
Brillouin mesuré,
,
contrairement
montre pas d’anomalie,
ne
pressions est correct
l’étude précise de la
manque aussi celle de 03BB et
disposons
C - C
5 bars,
pression dépasse
la
est nécessaire d’utiliser d’autres sources au-dessus de 5 bars.
être utilisés pour
possédons
ne
tenu de la valeur calculée pour
v
C
déplacement
au
associer aux valeurs de
domaine des basses
l’écart
après quoi
et que l’on détermine à l’aide du programme
conduisant
plus prudent
calcul utilisant les coefficients du viriel
au
le
tion de
jusque
Morsy rendent compte
ceci conduit à
v
C
il est
son
Brillouin à 20 bars.
expérimentaux. Compte
la variation de
les valeurs détermi-
v
C
et les valeurs mesurées, pour atteindre
pas de détails
on
notre
(En pratique, la vitesse du
90
(
pression due à Plank )
fonction de la
prévoit
générale.).
Les calculs de
p
C
la mé-
car
étant connus,
T
~
que
grand domaine de pressions, mais
sur un
Les résultats sont bons
sur
et
p
C
pour
nées par Morsy permet de tester celles-ci.
10%
W et
convient
qu’il
n’est pas totale
comparaison du déplacement Brillouin mesuré à celui
programme de calcul dans
est
la confiance
qu’il
Cependant,
le
Morsy pourront
relaxation de rotation.
et
fonction de la
v
C
au-dessus de 5 bars, il
pression
pour
laquelle
nous
nous
IV.28.
03BB en fonction de la pression à 39°C
-
l’article de
-
et al.
Borisoglevskii
)
8
(
8
94 indiquant
(
)
la loi des états
couple de gaz CO
2
- SF
6 suit
pour la viscosité dans le domaine de
Il
trouve que l’on
se
que le
correspondants
températures envisagé.
de l’évolution de la conductivité
dispose
75 en fonction de la pression à 25°C, température associée
(
thermique de 2
CO )
à 39°C pour SF
6 par les états correspondants. Nous avons pu vérifier qu’à
cette
et
la loi
température
avons
s’applique également à
admis que ceci était valable pour le
problème n’était
Le
numériques
à 13°C mais,
2
CO
pour
Le Neindre et al.
pérature
T donnée,
pression
P par
pas
comme
67
(
)
couple qui
résolu,
nous
la conductivité
car
on
l’avons
ont étudié dans
que de la densité réduite
sa
valeur à
(rapport
pression
sa
pas de valeurs
à 25°C.
plusieurs
gaz, à
valeur
qu’elle
de gaz,
dont
,
2
CO
et
l’ont tabulée.
pression à 20°C par l’intermédiaire de
sont donnés dans
l’appendice
Nous
façon
les
en
déduit la conductivité thermique de
en
avons
quantités :
dépend
un
certain
La connaissance de p, donc de W,
permet alors de déterminer 03BB à la température désirée
On
ne
la
critique)
Ils ont vérifié que la fonction f était la même pour
nombre
tem-
une
thermique mesurée à
nulle et trouvé
de la densité à
intéresse
dispose
déjà dit,
l’accroissement de la conductivité
rapport à
ne
nous
thermique,
celle de
.
2
CO
fonction de la
6
SF
en
pression.
fonction de la
Les détails du calcul
VI.
admis
qu’il était possible
de déterminer de la même
IV.29.
fonction de la densité
en
et leur
avons
ensuite
appliqué
la loi des états
fonction de la densité
en
La connaissance de W permet de passer à la variation
en
Le
v
**
déplacement
Brillouin obtenu
L’évolution de
p
C
de ensuite.
varie peu
v
C
est
avec
proche jusqu’à
jusqu’à
valeurs de C
ces
fonction de la
puis croît
la
avec
Pour les pressions inférieures à 5 bars,
détermination de Morsy pour
ployé
et
pris
v
C
largeurs
des raies centrale
théoriques,
de même que le
est satisfaisant
rapi-
pression.
nous
avons
nous
utilisé la
avons
em-
correspondants.
(proche
Brillouin, mesurées au-dessus de 5 bars, sont
sions
pression.
p
C**
Morsy puis plus
constant. Au-dessus,
les valeurs obtenues par la loi des états
Les
et
p
C
et
5 bars des valeurs de
5 bars
pour passer à
correspondants
en
de la
largeur Rayleigh)
bon accord avec les
prévi-
rapport RB/B utilisé jusqu’aux pressions les
plus faibles où le recouvrement des raies rend
Les
figures 21 et 22 montrent le bon accord
la
mesure
obtenu
sur
des
le
largeurs incertaine.
paramètre
sensible
B/R pour la valeur :
La théorie TH est valable
le
cas
de
l’importance
du gaz
jusqu’à
2 bars environ
(q~ ~ 0.25).
De même que dans
carbonique, la théorie des modèles n’a pu être utilisée du fait
des corrections de
non
idéalité du gaz, notables dès 1 bar.
IV.30
VIII. CONCLUSION
Nous constatons,
au
terme de cette
les excellents résultats de la théorie de
hydrodynamique (q~
dans le domaine
mètre Z. Ceci confirme
dans la limite de
que,
une
excellente
0.2) quelle que soit la valeur du para-
<
et
nous
permet de conclure
validité translationnelle, cette théorie constitue
sa
vibration, mais aussi de la
de la relaxation de
description
relaxation de rotation,
l’hydrodynamique translationnelle
prévisions théoriques
nos
présentation expérimentale,
qui autorise
ce
son
emploi dans
la
plupart
des gaz
usuels.
Cette conclusion positive
de
nos
a
déterminations expérimentales, dont
Pour tester
façon continue
dans
sans
ambiguité
pu être
nous
une
est intéressante
sur
les méthodes
non
totalement liés
tion N.S. C’est
(ainsi R/B et 0394B;
effet
un
ce
manifeste pas
prévisible
trés :
cours
soit
de
l’expérience
ces
d’une série
largeur
et
en
raie centrale de
l’équa-
lié à la relaxation et
suppose
l’expérience.
avec
Nous
en
ne
premier lieu
pensons pas
en
sécurité des spectres enregis-
montré qu’elle n’était pas très reproductible
d’enregistrements
au
consécutifs (elle dépend de la structure
part, la fonction d’appareil doit être reproductible
forme à la
6
SF
paramètres
systématiquement trop petit
non
paramètres numériques
de la soustraire
a
nous
des
l’avantage
R/B).
sur
possible
du mode laser). D’autre
en
d’autre part
la translation est traitée par
et calculable
l’absence totale de lumière parasite dans
qu’il
présente
dernier est
q~ augmente puisque
L’usage
effet
permet de matérialiser par des
globales (moindres carrés) d’étudier séparément
théorie TH lorsque
se
théorie, il faut l’étudier de
elle
car
réseaux de courbes cette étude continue. Ceci
ne
rappellerons l’idée directrice :
large domaine expérimental, afin de pouvoir déceler
un
simples et objectifs
qui
la sécurité
systématique; pour cela, l’utilisation de paramètres numériques
tout écart
en
acquise grâce à
avec
un
précision désirée (ainsi
laser stabilisé).
1 MHz dans
l’analyse de la
IV.31.
En
ce
qui
trouvée dans le méthane
concerne
excellent accord
en
expliqué plus haut,
l’avons
la théorie des
ce
avec
modèles,
l’expérience.
d’expérimentateurs
l’avons
Ainsi que
résultat doit être considéré plus
confirmation du bon traitement de la translation (ce
le groupe
nous
de Toronto)
que
comme
qui
déjà été
a
précis
test
un
comme
nous
une
observé par
du traitement
de la relaxation.
Nous
donc d’orienter à
envisageons
notre travail vers
présent
le test de cette théorie dans des gaz pour lesquels Z est faible, tels
et
dont
,
6
SF
et dans
lesquels
corrections de
soit
parfait
connaissons bien le
nous
par
non
conséquent
nous
idéalité sont
comportement
angles
sera
(FPP Burleigh,
test des théories de la
au
présentation
de
supérieures
aux
méthodes acoustiques, qui
numériques plus précises
(n
v
,Z),
spécifique
et
aux
complémentaires.
des méthodes de diffusion dans le
la
cas
non
plus
possibilité d’étendre
la
fréquence f, mais
qui peut être aisément modifiée.
se
en
soulignant
révèlent très bien
sur ce
point
les processus de relaxation
Ceci constitue l’intérêt
des gaz dans
le domaine de
méthodes acoustiques n’est pas fondamentale,
étant cette fois
du gaz
comme
FPS
revanche fournissent des valeurs
paramètres caractérisant
apparaissent donc
l’inverse des liquides,
sible
des
en
travail
ce
des gaz. Elles sont
dynamique
ou
(30°).
l’importance des méthodes de diffusion de la lumière qui
adaptées
où les
qu’une théorie de gaz
envisagée à l’aide d’interféromètres
de diffusion modérés
Nous pouvons conclure la
pression
faibles pour
de finesse moyenne (50 à 60) mais de bonne luminosité
à construire), et à des
domaine
pouvons déterminer le
assez
applicable. Cette étude
fonction de la
en
2
CO
son
le
lesquels, à
fréquences
acces-
paramètre significatif
rapport f/P à la pression
P
APPENDICE I.
1°)
RAPPEL
SUR LES NOTATIONS TENSORIELLES
Définitions
Les tenseurs considérés sont du second ordre.
Soit V le vecteur de
composantes
x
V
A.I.2.
2°) Produits de vecteurs et tenseurs
V est
~ un
un
vecteur, (de composantes
tenseur (de
composantes
ij
~
)
)
i
V
APPENDICE II.
A) MATRICES
Nous allons donner
sant dans la théorie de
Mori, dans le
Les variables
l’énergie (ou
vitesse et
1°)
Forme des variables
(t)
i
r
est
prise
sur
en
des matrices i03A9
d’un calcul à base
cas
dynamiques utilisées
la
température).
sont alors la
Le gaz est
et ~ apparaishydrodynamique.
densité, la
monoatomique.
dynamiques (cas général)
est la
position de la molécule i à l’instant t. La
somme
toutes les molécules.
La fluctuation de
On
l’expression
MORI
DE
03C1(X,r)
par
définit la transformée de Fourier
rapport à
spatiale,
sa
sur
valeur
d’équilibre s’écrit :
laquelle
on
raisonnera
désormais :
V volume considéré.
b) On procède de même pour la densité de courant
Cette variable n’est pas celle qui avait été introduite dans les
l’hydrodynamique
des molécules
car
elle
prend
en
équations
compte l’énergie "d’entraînement" locale
(donc dépend du référentiel)
au
lieu de
ne
faire intervenir
de
A.II.2.
que
à
l’énergie thermique
laquelle
on
peut lier simplement la température
locale. Aussi cette variable E est-elle corrélée à p.
dans la théorie
sera
Cette variable est, à
La variable utilisée
définie par :
instant donné,
un
statistiquement indépendante de p et j.
(On peut lui associer la variable
généralisation à q ~ 0 de la température thermodynamique.
C(q) apparaît comme la généralisation de la chaleur spécifique à volume
qui
est la
tant et s’identifie à
v
C
premier
au
ordre
en
q
cons-
-voir plus loin-
k constante de Boltzmann).
Les variables
riables conservatives
produit
et j
constituent donc
un
ensemble de trois
statistiquement indépendantes (orthogonales
au
sens
va-
du
scalaire introduit).
2°) Expression
Le
03B8, p
problème
tudinales).
de i03A9 dans le
sera
traité
en
cas
général
projection
sur q
(q
suivant x)
(fluctuations longi-
A.II.3.
Les
de conservation s’écrivent :
équations
03C0 est
le tenseur des contraintes. On
a
noté
03C0par 03C0
xx
Q est la densité de courant d’énergie totale.
Par suite de
l’orthogonalité
On peut noter que
< 0394j 039403C1*
Cette matrice est
indépendante
>
= -iq < j j
de t, mais
des variables :
>
dépend
de q.
(On remarquera que la notation matricielle employée prête à confusion. La
volonté de garder
lignes
ne
une
présentation
et colonnes des matrices
sont pas constituées de
base
orthogonale
au
sens
ou
en
matrices 3
vecteurs
composantes de
de Mori).
x
3
en
est la
cause.
Les
qui apparaissent dans l’exposé
ces
matrices (ou vecteurs)
sur
une
A.II.4.
3°) Expression
de
f(t)
f(t) est donné par
Revenons
équations
aux
de continuité et posons f
(bien entendu
Projetons 03C0
sur
039403C1, 039403B8 ,
0394j
(cette composante
sera
nulle par raison de
symétrie).
Les deux
premières composantes apparaissent
la partie restante de 03C0 (t
On introduit,
comme
=
dans i03A9. On notera 03C3
0)
précédemment,
la
partie
non
conservative de Q
qui
sera
notée R et qui s’exprime simplement par :
L’application à f(0)
de
cependant formel
les
tement.
car
l’opérateur
quantités
it(1-P)L
e
obtenues
ne
conduit à f(t). Ceci reste
sont pas calculables
explici-
A.II.5.
Dans le
particulier où
cas
le
temps de corrélation
f
03C4
de la
caractéristique 03C4
A des variables
matrice ~ peut être approchée par
force f(t) est très faible devant le temps
dynamiques A(t),
on
montrer que la
peut
la matrice :
tant que l’intervalle de temps considéré reste
long devant le temps de corré-
lation de f(t).
La double condition
signifie, lorsque
les variables A sont les variables conservatives, que l’on
se
trouve dans le domaine
ou
au
début du domaine
Dans
ces
non
hydrodynamique (alors ~(t)
est
proportionnel à 03B4(t))
hydrodynamique.
conditions,
on
écrira :
formule 1
les termes hors
diagonale
les coefficients de
sont nuls par
l’équation
prises à vecteur d’onde
q
de
Langevin
nul. Dans
non
symétrie.
~,
Aussi bien dans i03A9 que
dans ~ ,
sont des fonctions de corrélation
on
peut avoir de plus
une
dépendance
temporelle.
Ces
la structure
quantités
particulière
ne
sont pas calculables dans le
des matrices i03A9 et
symétries tensorielles, puisse
Dans le
on
cas
~,
cas
général
bien que
déduite de considérations de
être instructive.
particulier
de la diffusion de la lumière dans
peut considérablement simplifier le problème
en
un
gaz,
remarquant que les fonctions
A.II.6.
de corrélation
dépendance temporelle
sans
potentiel interatomique. Aussi
En revanche,
développent
C’est
gaz.
namique (q~
et
fait-il par l’intermédiaire du
S
~
en
puissances
le
précisément
1)
«
sont dans
au
cas
du
puissances
paramètre
=
)
v
C
dépendance temporelle
q~, où A est le libre parcours moyen dans le
de
paramètre définissant
régime cinétique
(q~ ~
1)
le passage du
régime hydrody-
(les coefficients de transport 03BB
permet d’affirmer qu’il est légitime dans tous
nous
de calculer les fonctions de corrélation
sans
dépendance temporelle
quantités thermodynamiques correspondantes
La notion de "limite
corrélation à
(*)
cas).
ce
limite q ~ 0. Les
en
03C3
(par exemple C(q)
les fonctions de corrélation à
Cette remarque
les
se
portée
fonctions
ces
dimension q03C3 qui est toujours très inférieur à 1
sans
se
de
développement
un
successives du vecteur d’onde q
font intervenir la
hydrodynamique"
dépendance temporelle (ou
en
concernera
sont bien
en
connues.
les fonctions de
fréquence).
et validité
4°) Calculs explicites
On introduit les notations :
V
volume considéré
T
~
coefficient de
v
C
chaleur
(*)
k constante de Boltzmann
compressibilité
isotherme
03B1
coefficient
d’expansion
thermique
spécifique
à volume constant
mesure du possible, conservé les notations des auteurs
dont nous exposons la théorie. Ici, la portée 03C3 du potentiel moléculaire
ne doit pas être confondue avec la composante 03C3 du tenseur 03C3
Nous avons, dans la
A.II.7.
b) matrice i03A9
c)
matrice ~
Les fonctions de corrélation des variables
et 03C3
conduisent, en limite hydrodynamique,
aux
non
conservatives R
coefficients de
transport 03BB
et n
(dont l’expression pourra être comparée à celle donnée par la méthode de
Chapman - Enskog, exposée
l’appendice III)
dans
(nous n’avons pas précisé la nature mathématique de la limite).
Au début du domaine
et
en
vecteur d’onde
*
Comme il
est strictement
Langevin
place des
a
hydrodynamique,
aux
équations
de
Tant que l’on peut approcher
coefficients de
dépendance
identique à
l’équation
l’hydrodynamique
lorsqu’on suppose que f(t)
restera formellement
une
en
fréquence
dans les termes :
été dit dans le chapitre I,
équivalente
tion de Navier-Stokes
*
apparaît
non
est à
de
dans
Langevin
l’approxima-
temps de corrélation nul.
~(t) par la formule 1, l’équation
ces équations, mais on trouvera, à
de
la
transport, des quantités dépendant de la fréquence et
du vecteur d’onde, que l’on pourra
appeler coefficients de transport généralisés.
A.II.8.
B) HYDRODYNAMIQUE
APPENDICE II.
TRANSLATIONNELLE
généralisation de A) par la méthode
l’hydrodynamique translationnelle (gaz monoatomique). Les variables
Ceci constitue la
de
retenues
sont :
p, j, 03B8
auxquelles
on
adjoint,
variables conservatives
selon les notations
03C3 et R variables
symétrie
général
avec,
et
orthogonales
des fluctuations
par raison de
On obtient
comme
aux
orthogonales
précédentes
longitudinales,
symétrie
précédemment :
précédentes :
entre elles par raison de
par définition.
on
aura
Dans le traitement
à considérer
A.II.9.
1
a
2
a
3 font intervenir des termes
a
en
< R
03C3 >
Le choix des nouvelles variables est tel que f est de la forme :
et que,
par
suite, ~
est constitué ainsi :
(même approximation que dans
A) )
A.II.10.
Le fait d’avoir conservé
tenseur 03C3
en
on
trouve par
négligeant
système d’équations
les termes de
hydrodynamique
apparaît
maintenant
Une relaxation y
a
en
nouveaux.
éliminant
Si
ces
en
effet,
nouvelles
on
va-
exemple :
couplage
Le terme de diffusivité
limite
les variables le vecteur R et le
permet de rendre compte de phénomènes
résout partiellement le
riables,
parmi
et était donné
sous
la forme :
été incluse.
entre 03C3 et R.
thermique ,
précédemment
qui
a
par :
pour limite
03B 03C1
v
C
0
en
A.II.11.
De même, il
de cisaillement et
relaxation.
~(t)
~
terme de viscosité
un
affectés tous deux d’une
(Ce dernier terme n’apparaissait pas précédemment pour
Ceci
ce
stade ultérieur de
s’explique
n’apparaissent
l’approximation est-il réellement
par la remarque que
nous
avons
faite
précédemment :
prises à intervalle
que des fonctions de corrélation
temps nul et qui peuvent donc être calculées pour q
=
0
jusqu’à
développement. Aussi gagne-t-on en précision à augmenter
variables bien qu’à première vue le procédé soit assez formel.
poussé
de
de j
03B4(t).
positif ?
de
dans l’évolution
terme de viscosité de volume,
un
Pourquoi
dans i03A9
apparaît
du
Le calcul est achevé
03C3 et
R.
en
négligeant
un
stade
le nombre
les termes de couplage entre
APPENDICE III.
Il
de résoudre par
s’agit
de Boltzmann pour les gaz
nous
que
Le
DE
CHAPMAN ENSKOG
approximations successives l’équation
monoatomiques :
écrirons :
problème
à la
MÉTHODE
est traité par
présence
de
récurrence, chaque niveau de récurrence correspondant
gradients spatiaux d’ordre donné.
La récurrence est
possible du fait que seul l’opérateur
D
est différentiel.
à l’ordre
n
le
problème
à résoudre s’écrit :
(nous n’entrerons pas dans le détail de l’opérateur
de savoir
en
ce
qui
.
(r)
Il
nous
suffit
0n-1
f
... f
).
sur
les
n
On obtient bien
une
relation de récurrence permettant de calculer
qu’il n’agit que
théorie du moins,
Voyons
D
se
(n)
f
quand
premières
(n-1)
f
est
passe à l’ordre 0
On choisit pour condition
fonctions
connu.
A.III.2.
La relation
0
Log f
0
1
J(f
étant
une
)
0
f
=
0
nous
est familière.
Elle
se
résout
combinaison linéaire des invariants du
en :
système.
03B1 , 03B2
et 03B3 sont
déterminés par le calcul à l’ordre 0 de la densité, la vitesse, et la température
locales,
ce
0 à:
qui conduit finalement pour f
où 03C1, v
0 et T sont des fonctions de
r
et t.
0
f
est la distribution de Maxwell
Boltzmann locale.
A l’ordre suivant
l’équation à résoudre étant :
Posons
La
prise
en
compte des propriétés de symétrie tensorielle du
problème conduit finalement à
Les coefficients A et B sont obtenus
J
de
0 f
(f
)+ J1
1
(f f
) l’expression
0
~T
et
S
0
~v
avec
ceux
en
reportant
1
f
et
en
qui apparaissent
au
premier membre.
de
dans
identifiant les coefficients
A.III.3.
Si l’on note :
alors A et B sont solutions de :
Calculons à
présent
P et q dans
ces
approximations.
à l’ordre 0
où P est la
à l’ordre 1
ce
qui
d’où :
de même
avec
donne
pression hydrostatique
A.III.4.
Le calcul de 03BB et
S
~
nécessite la résolution des équations
et
Celle-ci
et
se
fait par
une
approximation indépendante
de
l’approximation
sur
peut théoriquement atteindre n’importe quel degré de précision.
Il est à remarquer que le résultat est obtenu dès le premier
ordre
d’approximation
avec
un
potentiel
de Maxwell
en
4
1/r
(voir A.IV.)
f
APPENDICE IV.
Cet
appendice
a
COMPLÉMENT
CHAPITRE
pour but d’établir le
II : GAZ
MONOATOMIQUE
rapport mathématique étroit
existant entre les méthodes C.E. et WCU pour des molécules de Maxwell. On montre
ensuite comment
cette seconde
tion
appliquer
partie,
on
ces
calculs à l’étude pratique d’un gaz donné. Dans
considère
également
les autres méthodes
exposées.
I. Relation entre les méthodes C.E. et WCU
1) Correspondance
L’équation
0
f
est
l’équilibre
des notations
de Boltzmann linéarisée
peut s’écrire :
absolu.
On introduit la formulation
sans
dimension
d’approxima-
A.IV.2.
On s’intéresse à
n,
l’opérateur
I tel que :
T, v
0 sont des grandeurs locales dépendant de
r
et t.
On pose :
Par des transformations immédiates,
où cette
fois ~
est
une
fonction
on
obtient :
de L
d’où l’identification
avec
L’identification n’a pu
fait de la différence entre
2)
(donc de I) sont
faire
(v) équilibre
0
f
sous
absolu et
la forme
0
f
gauche
non
(v,r,t)
~(L)
réduite du
équilibre
local.
Molécules de Maxwell
Dans le
J
se
à
cas
connues.
des molécules de Maxwell,
les fonctions propres de
Les relations déterminant la conductivité
et la viscosité deviennent très
simples. On
a :
thermique
A.IV.3·
J admet pour fonctions propres
l’opérateur
On
a
alors :
03BB et
S
~
sont
directement liées
Le calcul
a
aux
valeurs propres associées. On obtient :
montre comment l’étude
mathématique
de
méthode WCU permet d’achever très rapidement la détermination de 03BB et
S
~
Jans le
cas
Comment
se
qui précède
des molécules de Maxwell dans le cadre de la méthode C.E.
présente
ce
calcul dans la méthode WCU ?
Avec les notations du
s’écrivent :
chapitre
II, les premières équations
A.IV.4.
02
03B1
dans
est à
l’origine
du terme de viscosité.
Il évolue selon
l’approximation N.S.)
en
le troisième et
première approximation (on néglige
11 devant 03B1
03B1
01
car
il est d’ordre
le
premier
supérieur
qui, compte tenu des coefficients numériques permettant
à 0394j ( tableau 2 ) donne finalement :
ce
On reconnaît
laquelle
de
l’équation (tronquée
S
~
,
on
a
fait
q) :
de passer de 03B1
01
l’impulsion dans
le terme de viscosité. Pour obtenir
apparaître
l’approximation faite
de conservation de
l’équation
en
terme devant
sur
linéaire entre flux et force dont
l’expression
02 n’est autre que l’hypothèse d’une relation
03B1
nous
Cette expression de
avons
S
~
est
déjà parlé.
identique à celle de
C.E.
Il
en
serait
de même pour 03BB.
La méthode WCU semble plus
effectivement
plus vite dans
le
cas
convergence sont comparables dans le
rapide
que la méthode C.E.
Elle converge
des molécules de Maxwell. Les vitesses de
cas
de
potentiels quelconques.
A.IV.5.
l’opérateur
J
gaz donné
3) Application
à
Pour
les résultats obtenus
sans
appliquer
dimension à
ristiques du problème :
m,
un
un
, n
0
T
0
de la viscosité du gaz (ou de
sa
cas
précédemment
concret, il faut
et la force K du
se
sur
donner les caracté-
potentiel. La connaissance
conductivité thermique quilui est proportion-
nelle) suffit à déterminer la force du potentiel par la relation :
Le
problème
(même
aux
est donc entièrement déterminé.
ordres suivants
II. Détermination plus
a
pas de
paramètre ajustable
la relation entre les méthodes C.E. et WCU
d’approximation,
la détermination de 03BB et
n’y
d’approximation).
Voyons à présent
et les autres méthodes
Il
en
ce
qui
concerne
la définition et
.
S
~
générale
des coefficients de transport
1) Rappel : Méthodes
C.E. et WCU
Dans la
de
présentation
Chapman Enskog,
le flux de chaleur q est
défini par :
de même
Les
le tenseur des contraintes
quantités
théories de
q et P -
pU
ne
comportent
l’hydrodynamique généralisée
pas de
ou
partie conservative,
translationnelle.
au
sens
des
A.IV.6
au
Les
premier ordre
quantités 03BB
en
et
gradients
S
~
sont
des constantes
dans les méthodes (C.E. et WCU)
quelle
on
considère le gaz
des méthodes dérivées de
(A.II.) :
gaz
L’expression microscopique
sur
l’hydrodynamique,
cette
des flux
conjugués
est
compliquée
du fait de la
potentiels d’interaction. Si l’on note :
le tenseur des contraintes
prise
hydrodynamique
"parfait" n’apparaît pas dès l’abord. Les variables intro-
duites sont
est
"parfait".
Dans le
au
des
comme
à base
cas
de la densité du gaz
dérivées de l’équation de Boltzmann dans la-
2) Méthodes
restriction
présence
indépendantes
03C4
et le flux
les molécules) :
d’énergie totalej
e
s’écrivent (la
somme
A.IV.7.
Nous
de
des coefficients de
l’hydrodynamique ,
apparaissent
aux
variables conservatives,
théorème de fluctuation-dissipation (
de
cas
on
transport généralisés. Ceux-ci
les fonctions de corrélation de la
comme
des flux associés
défini, lors de l’exposé des méthodes dérivées
avons
l’hydrodynamique
introduit, dans le
17
).
de
qui
point
a
non
conservative
est
l’expression
été
explicité
(appendice II).
translationnelle
cas
Ce
ce
partie
De
l’hydrodynamique généralisée,
du
dans le
façon équivalente
les flux
non
conser-
vatifs :
et le flux de chaleur
0 pression hydrostatique
P
(E est une densité d’énergie)
(définition strictement identique à celle de l’hydrodynamique translationnelle :
on
a
seulement
explicité
les fonctions de corrélation dans la limite q ~ 0
car g03C3 1).
Les
expressions obtenues
matrice M sont tout à fait
analogues à
à trois dimensions la matrice de
fectuant ensuite
lerons pas
pour les
ce
développement
un
point.
quantités
Ce
S
~
et
qui
03BB,
nous
pour les divers coefficients de la
ce
que l’on obtiendrait
en
contractant
ef-
l’hydrodynamique translationnelle
et
en
q de la matrice obtenue. Nous
ne
détail-
en
intéressera ici est l’expression obtenue
A.IV.8.
Le calcul de
fait de la
dance
en
est inabordable
expressions
ces
présence simultanée d’une dépendance
potentiel d’interaction
Dans le
cas
dans
(Cette approximation
nous
ramène
L’expression de E,
et q
nous
03C4
03C3 se
cas
au
du
dépen-
de R et 03C3.
l’expression
du gaz dilué où l’on peut
contribution, les expressions de R et
et d’une
fréquence
en
général
en
négliger
simplifient
cette dernière
et deviennent :
"parfait" traité jusqu’à présent,
du gaz
permet de mieux comprendre le comportement
en
pression des divers coefficients.
Les termes
en
03A3 V
k~
cement dans C
et C
donnent
contribution
une
La dépendance est plus tardive dans 03BB et
expressions telles que
raisonnement est très
k~
~V
~
~r
k~
r
analogue
à
S
~
en
densité qui apparaît
du fait de la faible valeur des
due à la courte
portée
l’approximation q03C3
dans les fonctions de corrélation des flux
«
sur
q dans le
en
cas
du
potentiel (le
1) qui apparaissent
conservatifs.)
non
Le calcul des fonctions de corrélation de
achevé à l’ordre 2
préco
ces
des molécules de Maxwell.
quantités
a
L’intégration
l’espace des phases fait alors apparaître des expressions analogues
intégrales
variables
c
3
d
A.I(A)
B : I(B)
Wang Chang
11
03B1
02
03B1
c
3
d
ou
et
q et 03C9 tendent
vers
limites les coefficients de transport
3)
Chapman Enskog,
0,
ces
thermodynamiques
aux
pour
Méthode des modèles
sont pas modifiées
jusqu’à
Les relations donnant
associées
aux
habituels.
Enskog
dans la théorie des modèles puisque les fonctions propres de
ne
encore
expressions admettent
L’utilisation des résultats de Chapman
collision
ou
aux
et Uhlenbeck.
de
Lorsque
de
été
fonctions propres
02
03C8
S
~
et
un
l’opérateur
de
certain ordre.
et 03BB
11
03C8
est immédiate
en
fonction des valeurs propres
sont donc
toujours valables.
APPENDICE V.
Dans
polyatomiques
COMPLÉMENT
première partie,
une
de la méthode
CHAPITRE
expose la
on
GAZ
:
POLYATOMIQUES
généralisation
de C.E. et
d’approximation
II
on
aux
gaz
écrit les expressions
des coefficients de transport.
Une seconde partie montre comment sont utilisés
dans la méthode des modèles et les
ces
résultats
simplifications éventuelles qui peuvent
se
présenter.
I. Equation
de Boltzmann
Dans
un
généralisée (
)
8
polyatomique,
gaz
lécule sont déterminés par
moments associés P.
Les trois
siennes et leurs moments
le nombre de
degrés
et leurs moments
un
la
et le mouvement d’une
position
ensemble de coordonnées
premières coordonnées
conjugués
généralisées Q
mo-
et leurs
sont les coordonnées carté-
composantes de l’impulsion. Si S est
sont les
de liberté de la molécule, il reste S-3 coordonnées internes
conjugués.
L’équation
de Boltzmann
généralisée
se
déduit du théorème de
Liouville et s’écrit :
On cherche à obtenir
une
approximation
de f valable pour
une
échelle de temps grande devant les périodes des mouvements internes de rotation
et de vibration.
La distribution f
ne
-de rotation et de vibration- et du moment
le terme de collision,
niveaux
d’énergie
on
interne.
l’énergie interne
angulaire éventuel du système. Dans
dépend
effectue par suite
alors que de
une
moyenne
sur
l’ensemble des
A.V.2.
quantités qui
Les
se
sion sont le nombre de molécules,
angulaire, correspondant
aux
conservent
l’impulsion, l’énergie
fonctions, écrites dans
moment
Comme
et l’on note E
nement
précédemment,
0
v
un
totale et le moment
référentiel fixe :
autour du centre de
angulaire
introduit la vitesse
on
l’énergie thermique,
la vitesse
avec
globalement lors d’une colli-
dans
n’est pas prise
masse.
thermique v - v
0
laquelle l’énergie cinétique d’entraîen
compte. Il n’y
a
pas de force
extérieure appliquée.
A
1)
et de
même ,
si
Le nombre N est
unités par
Et
l’équilibre
est
accru
degré
absolu
l’énergie
d’une unité par
degré
il’énergie
E
température
nous
interne :
de liberté de rotation et de 2
de liberté de vibration entièrement
la contribution de vibration est,
leur limite haute
de translation et
peuplés .
En pratique,
l’avons vu, très inférieure à
du fait du faible
peuplement
sa
des niveaux.
va-
.V.3.
2)
Hors
Le
principe
d’équilibre
du calcul est le même
monoatomique. Les quantités A
la même
et B déterminant 03BB et
S
~
s’y
cas
du gaz
introduisent de
façon.
On obtient,
en
que dans le
négligeant
en
première approximation :
dans A les termes contenant h
0
de même
et enfin la
quantité qui apparaîtra
dans la viscosité de volume
Introduisons la notation habituelle :
Si
on
pas le
néglige
cas
h, A
est
au
premier ordre fonction propre de J mais
de chacun des termes
ce
n’est
qui le constituent et qui représentent respec-
tivement les parties translationnelle et interne du flux de chaleur. Aussi a
12
n’est-il pas nul.
A.V.4.
L’expression de 03BB est, à
cet ordre :
elle s’est considérablement
potentiel
assure
compliquée.
D’autre
l’expression donnée pour
que
part, même si
A soit strictement fonction
propre de J, il faut noter que la contribution à A de h
De même ,
au
premier
On peut établir les relations
II.
ordre
le choix du
(mais ici
sans
a
été
négligée.
hypothèse
sur
h)
générales
à la méthode des modèles
Application
Comme dans le
cas
du gaz
monoatomique, l’utilisation
de
ces
résultats dans la méthode des modèles est immédiate. Avec les notations du
chapitre
II
(B),
on
a
34
(
)
:
A.V.5.
On
peut montrer
L’ensemble de
de
ces
plus que :
(analogue
à (2)
(analogue
à (1))
avec
notations)
ces
relations permet de calculer tous les éléments de matrice
utilisés dans les modèles à 6
ou
7 moments
en
fonction des coefficients de
transport mesurés.
III. Cas simple où Z
1. Discussion
Dans cette limite, il y
et
l’énergie
la viscosité
S
~
de translation,
V
~
tend
vers
n’est pas modifié
03BB devient :
On remarque que a
1111
= b
ce
qui
l’infini
se
a
découplage
entre
l’énergie
traduit par :
proportionnellement
à Z
interne
A.V.6.
d’autre part, dans la limite Z
»
1,
on
trouve :
où D est le coefficient de self diffusion du gaz.
Soit finalement :
L’examen des expressions fait apparaître que l’approximation
**
12
a
=
0 est nécessaire à l’identification du terme 03BB
séparation
qu’à
la
des contributions et à l’identification du second terme. La
quantité a
12 apparaît
En
La
au
premier ordre dans tous les
cas.
particulier, dans l’expression de 03BB
seul le dernier terme
a
une
signification
séparation indiquée
et de translation est de
de
aussi bien
petites valeurs de
plus
rot
Z
.
possibilité d’une dépendance
Nous la
nous
utilisons :
ambigüe.
ici entre les contributions de rotation
plus arbitraire à
en
en
non
que
conservons
mesure
que l’on considère
cependant afin de rappeler la
vecteur d’onde de la conductivité thermique
dans le domaine de la relaxation de rotation.
Bien entendu,
petit
que dans la
choisi.
mesure
nous
ne
pourrons utiliser
où elle n’est pas sensible
au
une
théorie pour
type de
rot
Z
séparation
APPENDICE VI.
I. Calcul à
CORRECTIONS
(pour
DES GAZ
des gaz à faible densité peut être écrite
développement :
forme d’un
une
IDÉALITÉ
partir des coefficients du viriel
L’équation d’état
sous
DE NON
mole).
Les coefficients B, C
à
viriel et sont calculables
connaissance
partir
du
e
3
...
coefficients du
potentiel intermoléculaire. Leur
de déterminer l’évolution
permet
,
e
2
sont les
...
fonction de la densité des
en
et
v
C
On trouve dans les tables les valeurs de B, C et leurs dérivées pour
un
grandeurs thermodynamiques
qui s’écrivent, pour
une
spécifiques
telles que les chaleurs
p
C
mole :
tiel intermoléculaire donné.
Nous
avons
poten-
utilisé le potentiel de Lennard Jones
~(r)
Le
paramètre
03B5
détermine la force du
la distance 03C3 pour
laquelle ~(r)
potentiel
s’annule
peut
et
a
être
la dimension d’une
interprétée
comme
énergie;
un
rayon moléculaire.
Les tables fournissent les valeurs
réduite :
en
fonction de la
température
A.VI.2
des
grandeurs réduites :
Pour passer de
des corrections pour
un
et 03C3 (dont la valeur
a
grandeurs réduites
ces
gaz donné,
aux
valeurs
il suffit de connaître
les
été obtenue à l’aide de la détermination
numériques
paramètres
03B5
expérimentale
de B(T)).
On trouvera ci-dessous les valeurs de 03B5 et 03C3 que
nous
avons
utilisées
Nous
nous
sommes
Les coefficients de transport
les des
ne
s’expriment
pas
en
terme de dérivées
aussi leur évolution
grandeurs thermodynamiques,
pression n’est-elle
l’approximation linéaire
contentés de
pas calculable à
partir
en
partiel-
fonction de la
des coefficients du viriel.
Lorsque la densité augmente, la convergence du développement
du viriel devient lente et il faut prendre
mal
dépendant
en
général
et
doit-on avoir
recours
à d’autres
connus
en
compte des termes d’ordre élevé
fortement du potentiel utilisé. Aussi
procédés d’approximation.
A.VI.3.
II. Loi des états
correspondants
La loi des états correspondants est souvent
domaine où le
développement
plus stricte, elle exprime
employée
dans le
du viriel devient insuffisant. Sous la forme la
que
l’équation d’état
du gaz est
une
fonction
uni-
verselle des variables réduites
sont les coordonnées du
dépend
que de
elle est
Rigoureusement valable dans le cas où l’équation d’état ne
3 paramètres (équation de Van der Waals ou de Clausius simplifiée),
approchée
dans le
C
(
v
P=0)
C
mais
non
pratique, l’expérience
ou
moins
valeur réduite est
une
une
En fait, il est souvent
connues
et
états correspondants
associés :
et
sa
validité doit
transport 03BB
montre que ceux-ci obéissent
et
être testée par
S
~
C
(
p
P=0),
C
par
également
"loi des états correspondants",
exemple.
-de
façon plus
c’est-à-dire que leur
fonction universelle des variables réduites. Ainsi :
préférable
de
transport (ou des chaleurs
cients de
sont mal
général
les coefficients de
En
précise- à
cas
d’état du gaz permet de calculer W,
l’expérience. L’équation
...
point critique.
ne
pas utiliser les valeurs des coeffi-
spécifiques)
divergent éventuellement. Nous
sous
au
point critique où elles
avons
la forme suivante, où 1 et 2
utilisé la loi des
désignent
les deux gaz
A.VI.4.
Pour
nelle
C
p
**
et
**
qui
v
C
C
p
la loi
v
C
,
même
est la
température,
de la
dépend pas
et
donc
ne
s’applique qu’à leur partie translation-
pour tous les gaz à
on
pression nulle et
écrira simplement :
**
Des réseaux de courbes donnant l’évolution de
S
~
et 03BB
la compilation des données
C’est
en
un
réseau de
type que
ce
sur
sommes
car
pas très loin du
le gaz est étudié
point critique. Les
extrêmement vite (en échelle
,
à partir de
et
4
CH
.
2
CO
utilisé pour déterminer l’évolution
avons
nous
, C
v
de nombreux gaz, dont
pression des chaleurs spécifiques du méthane. Dans le
méthode est inutilisable
ne
expérimentales
**
p
C
fonction des coordonnées réduites ont été construits
en
ne
logarithmique)
jusqu’à
cas
la
de
,
6
SF
une
liquéfaction
telle
et
nous
courbes du réseau varient alors
et l’incertitude de
pointé devient
prohibitive.
Comme
couple
nous
2
CO
6
satisfait
SF
et la conductivité
l’avons dit
thermique.
point critique de
température correspondant
Or, les valeurs expérimentales dont
et au-delà pour
ce
montre que le
correspondants pour la viscosité
la loi des états
Les coordonnées du
La
précédemment, l’expérience
gaz. Nous
S
~
- ~
S
(P=0)
avons
et
nous
ces
à 20°C pour
deux gaz sont :
6
SF
est 13°C
pour
.
2
CO
disposons sont obtenues à 0°C, 25°C
alors admis que les écarts
analogues
ne
dépendaient
en
première approxi-
mation que de la densité du gaz,
(03C1,
S
~
(03C1,
S
~
0)
=
f(p)
été établi de façon plus générale pour la conductivité thermique
Ceci
a
nous
l’avons
espérer
T) -
une
déjà
assez
dit
au
chapitre IV,
bonne validité pour
et est donc exact pour
.
S
~
03BB,
ce
qui
03BB,
comme
laisse
A.VI.5.
En
en
qui
et
température
absolue T
l’erreur relative
sur
sa
figure
-0)
C
(
p
C
dans les
ou
v
C
,
d’état plus précise conduirait à
un
peut
simplifiée
calculer leur évolution
-0)
C
(
v
C
dans
.
2
CO
aucun
On
telles que
de Dieterici.
varie lentement
écart du même
tats obtenus semblent confirmer le fait.
ou
expressions obtenues
valeur n’excède dans
température 25°C ~ 13°C effectué
on
d’équations d’état simples
de Van der Waals, de Clausius
mais le terme correctif
de
p
C
concerne
fonction de la densité à partir
l’équation
La
ce
cas
de
avec
façon diverse,
T et
8% pour le changement
peut espérer qu’une équation
ordre
ou
moindre. Les résul-
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