close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

«1C:Бухгалтерия птицефабрики;doc

код для вставкиСкачать
A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watei
И. К. К И К О И Н
А. К. К И К О И Н
Основные механические единицы
Метр -м
М ет р
приближ енно равен
1/40 ООО ООО части длины
зем ного меридиана,
п р оходящ его
через П ари ж
М е т р равен р а сстоян и ю , проходимому
в вакууме плоской электром агнитной
волной за 1/299 7 9 2 4 5 8 долей секунды
Э т алон м ет ра
международной системы
(СИ)
Секунда -с
С
равна 9 192 631 7 7 0 периодам
излучения, с о о т в е т с тв у ю щ е го переходу
м еж ду двумя св е рхтонким и уровнями
о с но в н ого со сто яни я атома цезия -1 3 3
С екун да
Килограмм - к г
К илограм м
приближ енно
равен массе
1 л чистой воды
при температуре
15°С
Э т алон килограм м а
ББК 22.3я 72
К 38
У чебник получил третью премию на Всесоюзном конкурсе учебников дл я средней
общ еоб разовательн ой школы.
К38
К икоин И. К ., К икоин А. К .
Физика: Учеб. д л я 9 кл. сред. ш к. - 2-е
вещение, 1992. - 191 с.: ил. - ISBN 5-09-004006-0.
„ 4306021200-123
,
..................
К ------- инф. письмо - 92, Ко 112
1 VI з
J)
7Z
ISBN 5-09-004006-0
изд.
-
М.:
П р ос­
_
„
ББК 22.3я/2
© Кикоин И. К., Кикоин А. К., 1990
•МЕХАНИКА*
ВВЕДЕНИЕ
Все, что реально существует в ми­
ре, на Земле и вне Земли, называют
материей. М атериальны окру ж аю ­
щие нас тела и вещества, из которых
они состоят. Звук, свет, радиовол­
ны, хотя их телами не называют, то ­
ж е материальны — они реально су­
ществуют. В ыражение «реально су­
ществуют» означает, что тот или иной
предмет (вообще, окруж аю щ ий нас
материальный мир) существует н еза­
висимо от нашего сознания и дей­
ствует или может действовать на н а­
ши органы чувств.
Одно из основных свойств мате­
р и и — ее изменчивость. В севозм ож ­
ные изменения, происходящие в м а ­
териальном мире, изменения м а ­
терии назы ваю т явлен и я м и при­
роды.
Физика — наука о неживой при­
роде. Она изучает свойства м а­
терии, всевозможные ее изменения
(явления природы), законы, которые
описывают эти изменения, связи
между явлениями.
От других наук физика отли ча­
ется тем, что при изучении свойств
материи и ее изменений вводятся
физические величины, которые м о ж ­
но измерять и в ы р а ж ать числами.
Бл аго д ар я этому и ход явлений и
связи между ними в ы р а ж аю тс я м а ­
тематическими соотношениями (ф ор­
мулами) между введенными вели­
чинами. Самые важ н ы е соотноше­
ния между величинами, х ар а к тер и ­
зующими свойства материи, явления
природы, назы ваю тся законам и при­
роды. Они тоже в ы раж аю тся в виде
математических формул.
И тальянский ученый Галилео Г а ­
лилей т а к ск азал о значении мате­
матики для физики: «Ф илософия н а ­
писана в той величественной книге,
которая постоянно открыта у нас
перед глазами (я имею в виду
Вселенную), но которую невозможно
понять, если не научиться п ред ва­
рительно ее языку и не узн ать те
письмена, которыми она начертана.
Ее язы к — математика...»
3
о неживой природе. Ее изучают хи­
Д ал ек о не все свойства материи,
не все законы природы уж е извест­
мия, астрономия, геология и др. Но в
ны и изучены. Но все развитие фи­
основе всех этих наук леж и т то, что
зики и других наук показывает,
исследует физика. Вместе все эти
что в мире нет ничего такого, что
науки позволяют предвидеть бу­
нельзя было бы изучить, узнать, по­ дущее. Это очень важ н о сейчас, ког­
да деятельность людей, владею щих
нять. Познаваемость материального
мощной техникой, оказы вает боль­
мира тоже можно считать его в а ж ­
нейшим свойством.
шое влияние на окруж аю щ ую нас
земную среду. Чтобы это влияние
Изучение свойств материи, за к о ­
нов природы отвечает естественному
не принесло людям непоправимые
беды, нужно зар анее предвидеть
стремлению человека зн ать и пони­
мать окруж аю щ ий его мир. Это
последствия. Д л я этого необходимо
знание составляет важную часть то ­
как можно больше знать о зак о н ах
природы, в том числе и о тех, что
го, что называется человеческой
изучает физика.
культурой. Но науки о природе, и
М атериальный мир един, все в
прежде всего физика, имеют и пер­
нем взаимно связано и на части
востепенное практическое значение.
его делить нельзя. Но при изучении
Они позволяют заранее знать ход
наук о природе, в частности, при
тех или иных явлений. Инженер, н а­
изучении курса физики, все ж е удобпример, еще до того, как построена
машина, знает, как она будет р а ­ * но делить его на отдельные части, в
каж дой из которых изучаются от­
ботать, потому что, со зд ав ая проект
дельные явления или классы я в л е ­
машины, он пользовался данными
ний и законов. В первой такой части,
науки, прежде всего физики. Знание
которой посвящена эта книга, мы по­
законов физики позволяет и о б ъ я с ­
знакомимся с одним из самых из­
нять прошлое, потому что законы
вестных и хорошо изученных я в ­
природы в прошлом были такими
л е н и й — м еханическим
движ ением.
же, как теперь, и такими они бу­
Н азы вается этот раздел физики м е­
дут всегда.
Физика — не единственная наука
ханикой.
ОСНОВЫ К И Н Е М А ТИ К И
1. О бщ ие сведения о движ ении
2. П рямолинейное неравномерное движ ение
3. Криволинейное движ ение
ГЛА ВА 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О Д В И ЖЕ Н И И
ОСНОВНАЯ ЗАД АЧА М ЕХАН И КИ
Все в мире происходит где-то и
когда-то: в пространстве (где?) и во
времени (к о г д а ? ) . К аж д о е тело в л ю ­
бой момент времени занимает опре­
деленное положение в пространстве
относительно других тел. Если с те­
чением времени положение тела не
изменяется, то говорят, что тело на­
ходится в покое. Если же с тече­
нием времени положение тела изме­
няется, то это значит, что тело со­
вершает м еханическое движ ение.
М еханическим движ ением тела
называется изм енение его полож е­
ния в пространстве относительно
д р уги х тел с течением времени.
Изучить движение тела — значит
узнать, как изменяется его поло­
жение с течением времени. Если
это известно, то можно вычислить
положение тела в любой момент вре­
мени. В этом и состоит основная
зад а ч а механики — определять поло­
жение тела в лю бой момент времени.
Так, астрономы, пользуясь законами
механики, могут вычислять полож е­
ния небесных тел друг относительно
друга и с большой точностью пред­
ск азы вать такие небесные явления,
как затм ения Солнца или Луны.
И не только предсказывать! Если
бы, например, историки не знали
точной даты н ачала похода князя
Игоря против половцев, то ее могли
бы вычислить астрономы. В зн ам е­
нитом «Слове о полку Игореве»,
в котором воспет этот поход, р ас ск а­
зы вается о полном солнечном затм е­
нии, совпавшем со вступлением кня­
зя И горя в землю половецкую. Это­
го достаточно, чтобы установить, что
на границе половецкой земли войска
Игоря были 1 мая 1185 г.1.
Тела могут соверш ать р азн ооб ­
разные механические движ ения: д в и ­
гаться по разным траекториям, быст­
рее или медленнее и т. д. Чтобы
решить основную зад ачу механики,
нужно кратко и точно указать, как
движ ется тело, как изменяется его
положение с течением времени. Д р у ­
гими словами, надо найти м а тем а­
тическое описание движения, уст а­
новить связь между величинами,
характеризующими движение. Эти
величины и связи между ними мы
рассмотрим в первом разделе м еха­
ники, называемом кинематикой.
1 О ш ибиться здесь нельзя, потому что
(это тож е установлено на основании з а к о ­
нов механики) в одном и том ж е месте
полное солнечное затм ение бы вает примерно
один р аз в 200 лет. В XII в. в районе до н ­
ских степей могло быть всего одно затм ение.
5
§ 1. П О С Т У П А Т Е Л Ь Н О Е Д В И Ж Е Н И Е Т Е Л . М А Т Е Р И А Л Ь Н А Я Т О Ч К А
Чтобы изучать движение тела,
т. е. изменение положения тела в
пространстве, нужно прежде всего
уметь определять само это поло­
жение. Но здесь возникает затр у д ­
нение. К аж д ое тело имеет определен­
ные размеры, и, следовательно, р а з ­
ные точки тела находятся в разных
местах пространства. К ак же опре­
делить положение тела? Всех его
точек?
Но оказывается, во многих слу­
ч аях нет необходимости указы вать
положение каждой точки д в и ж у щ е ­
гося тела.
Этого не нужно делать тогда,
когда все точки тела движутся
одинаково. Зачем, например, описы­
вать движение каждой точки санок,
которые мальчик тянет в гору, если
эти движ ения ничем не различаю тся
между собой?
Одинаково движ утся все точки
чемодана, который мы поднимаем
с пола (рис. 1), кабины аттрак-’
циона «колесо обозрения» в парке,
ступеньки эскалатора в метропо­
литене и т. д.
Д виж ение тела, при котором все
его точки движутся одинаково, н а ­
зывается поступательным. При т а ­
ком движении лю бая прямая, мыс­
ленно проведенная в теле, остается
п араллельной самой себе. М ожно и
так сказать: тело движ ется посту­
пательно, если оно одновременно не
Р ис.1
6
вращ ается и д а ж е не поворачи­
вается.
Не нужно описывать движение
каждой точки тела и тогда, когда
размеры тела малы по сравнению с
расстоянием, которое оно проходит.
Например, океанский лайнер мал по
сравнению с протяженностью его
рейса, поэтому при описании его
движения в океане корабль можно
считать точкой.
Так поступают и астрономы при
описании движения небесных тел.
Планеты, звезды, Солнце, конечно,
не малые тела. Но радиус Земли,
например, примерно в 24 ООО раз
меньше, чем расстояние от Земли до
Солнца. Поэтому Землю можно счи­
тать точкой, движ ущ ейся вокруг
другой точки — центра Солнца.
В дальнейшем, говоря о д в и ж е ­
нии тела, мы в действительности
будем иметь в виду движение какойто одной его точки. Но не надо з а ­
бывать при этом, что материаль­
ная точка отличается от тела толь­
ко тем, что она не имеет р а зм е ­
ров.
Тело, разм ерам и которого в д а н ­
ны х у с л о в и я х движ ения можно пре­
небречь,
называют материальной
точкой.
Слова «в данных условиях» о з н а ­
чают, что одно и то же тело при
одних его движ ениях можно считать
материальной точкой, при других —
нет. Например, когда мальчик идет
из дома в школу и при этом про­
ходит расстояние 1 км, то в этом
движении его можно считать м ате­
риальной точкой. Но когда тот же
мальчик выполняет уп раж нения у т­
ренней зарядки, то точкой его счи­
тать уж е нельзя.
Вопросы
В ка ки х и з с л е д у ю щ и х сл у ч а е в тела м о ж ­
но счи тать м а т е р и а л ь н ы м и т о ч к а м и :
1. На
с та н к е
и з го т о в л я ю т
3. За
ля
с п о р ти в н ы й
движ ением
следят
из
Ц е н тр а
на З е м л е . За т е м
д и с к . Тот ж е д и с к п о с л е б р о с к а с п о р т с м е н а
косм онавт,
п р о л е т а е т р а с с то я н и е 55 м.
ковку в косм осе.
2. К о н ь к о б е ж е ц п р о х о д и т д и с т а н ц и ю с о ­
ревнований.
Ф и гур и ст
вы полняет
упраж ­
не ни я п р о и з в о л ь н о й п р о г р а м м ы .
к о с м и ч е с к о го
управления
ж е кораблем
осущ ествляю щ ий
4. З е м л я
вр а щ а е тся
З ем ля д виж ется
с
вокруг
по о р б и те
кораб­
полетом
наблю дает
ним
сты ­
своей
о си .
в о к р у г Солнца.
Р ад иус о р б и т ы 150 000 00 0 км .
§ 2. П О Л О Ж Е Н И Е Т Е Л А В П Р О С Т Р А Н С Т В Е .
СИСТЕМ А КООРДИНАТ
К ак ж е определить положение
тела (материальной т о ч к и )?
В одном древнем документе, о т­
носящ емся к началу нашей эры, при­
ведено такое описание м естонахож ­
дения клада: «Стань у восточного
угла крайнего дома села лицом на
север и, пройдя 120 шагов, повер­
нись лицом на восток и пройди
200 шагов. В этом месте вырой яму
в 10 локтей и найдешь 100 талантов
золота». Если бы указанны е в д о­
кументе село и дом сохранились до
наших дней, то кл ад нетрудно было
бы добыть. Этот пример показывает,
что положение тела или точки м о ж ­
но з а д а т ь только относительно к а ­
кого-нибудь другого тела, которое
н азы ваю т телом отсчета.
Тело отсчета можно выбрать про­
извольно. Им может быть дом, в
котором мы живем, вагон поезда, в
котором мы едем, и т. д. Телами
отсчета могут служить Земля, С олн­
це, звезды.
Координаты. Когда тело отсчета
выбрано, через какую-нибудь его
Р и с .2
точку проводят оси координат, и по­
ложение любой точки в пространстве
описывают ее координатами.
Как, например, определить поло­
жение двух автомобилей / и II на д о ­
роге (рис. 2)? Проведем вдоль д о ­
роги ось координат О Х с началом
отсчета в точке О. Координаты,
отсчитываемые вправо от О, будем
считать положительными, а влево —
отрицательными. Тогда положение
автомобиля I определяется его коор­
динатой х , = О В . На рисунке 2 м а сш ­
таб выбран так, что лг; = 1200 м.
Д л я автомобиля II координата в ы р а­
ж ается числом 400 м, но т ак как
она отсчитывается влево от начала
отсчета, то х И = — 400 м. Таким
образом, положение точки на п р я ­
мой определяется одной координа­
той.
Если тело может д вигаться в пре­
дел ах некоторой плоскости (напри­
мер, лодка на озер е), то из вы б ран ­
ной на плоскости точки (н ачала
координат) проводят две взаимно
перпендикулярные оси ОХ и O Y
II
I
400м
1200м
7
(рис. 3). Положение точки на плос­
кости определяю т двумя координа­
тами. Например, у точки А коорди­
наты такие: х = 3, у — 4; координаты
точки В: х = 2, у = -— 1,5.
Наконец, если тело (точка) мо­
ж ет двигаться не вдоль определен­
ной прямой и не в определенной
плоскости, а в пространстве (н а­
пример, самолет в воздухе), то через
выбранную на теле отсчета точку
(н ачало координат) проводят три
взаимно перпендикулярные оси коор­
динат: OX, O Y и OZ (рис. 4). Соот­
ветственно этому положение точки в
пространстве зад ается тремя коорди­
натами: х, у , г. Именно т а к а я систе­
ма координат использована в доку­
менте о кладе. Чтобы найти клад,
нужно зн ать тело отсчета — дом
на краю села.
И так, полож ение точки на линии,
плоскости и в пространстве опреде­
ляют соответственно одним, двум я
и ли тремя числам и — координатами.
Пространство, в котором мы ж и ­
вем,— пространство трех измерений,
или, как говорят, трехмерное про­
странство.
Система отсчета. Тело отсчета и
система координат, с в яза н н а я с
ним, позволяют зад ать положение
тела в пространстве. Но при д в и ж е ­
нии тела (точки) его положение
изменяется со временем. Значит,
нужен еще прибор для измерения
времени (часы!), связанный с телом
отсчета. Вместе они образую т систе­
м у отсчета.
Тело отсчета, система координат,
связа н н а я с ним, и прибор д л я и з ­
м ерения врем ени образуют систему
отсчета. Относительно выбранной
системы отсчета и рассматривается
любое движение.
Что такое изменение? С одной
стороны, изменение — это процесс
смеры одного значения физической
величины другим его значением. Но,
с другой стороны, изменение фи зи ­
ческой величины — это тож е ф и ­
зическая величина. Поясним это
на примере изменения координат
точки.
Пусть, например, координаты точ­
ки, отсчитанные по осям координат
в какой-то момент времени, кото­
рый мы будем считать начальным
(/ = 0 ), были равны соответственно
х 0, уо и Zo- Через некоторый проме­
ж уток времени t они изменились и
стали равными х, у и z. Это значит,
что за указанное время координа­
та х изменилась на величину х — х 0,
координата у — на величину у — у 0 и
координата 2 — на величину 2 — z 0.
Величины х — jt0, у — Уо и 2 — 20 пред­
ставляю т собой изменения коорди­
нат х, у и z. Следовательно, и з ­
м енения координат — это величины ,
равны е разностям и х конечны х и н а ­
ч альны х значен ий (но не наоборот!).
Это относится и к изменениям д р у­
гих физических величин.
Иногда изменения величины мы
будем обозначать знаком Л (грече-
щ а я буква «дельта»), например:
Х — Х0 = АХ] у — у 0 = \ у ; z — z 0 = Az.
Вопросы
1. К а к и м и в е л и ч и н а м и о п р е д е л я е т с я п о ­
л о ж е н и е те л а (т о ч к и ) в п р о с тр а н с тв е ? С к о л ь ­
ко т а ки х вел ич ин?
3. М о ж е т
тельно й
4. М о ж е т
2. Ч то т а к о е си с те м а отсчета?
ли
координата
б ы ть
отрица-
вел и ч и н о й ?
ли
изм енение
координаты
б ы ть о т р и ц а т е л ь н о й вел и ч и н о й ?
§ 3. П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е
С изменениями координат с в я ­
зан а первая из величин, вводимых
для описания д ви ж ени я,— перем е­
щ ение. Представим себе, что в какойто начальный момент времени д ви ­
ж ущ ееся тело (точка) занимало по­
ложение Mi (рис. 5), а через не­
который промежуток времени оно
о казал ось в другом положении на
расстоянии s от начального. К ак
найти новое положение тела? Оче­
видно, д ля этого недостаточно знать
расстояние s, потому что есть бес­
численное множество точек, удал ен ­
ных от M i на это расстояние (см.
рис. 5).
Д ви ж у щ еес я тело не просто д ви ­
жется. Оно всегда движется куда-то,
в каком-то направлении. И чтобы
найти новое положение тела, нужно
знать направление отрезка прямой,
соединяющего начальное и конечное
положение тела. Этот направленный
отрезок прямой и есть перемещение
тела. Конец отрезка, и зо б р а ж а ю ­
щего перемещение, для наглядности
отмечают стрелкой. П риставив отре­
зок к точке M i, мы у конца стрелки
найдем новое положение тела М 2
(рис. 6 ).
П еремещ ением тела (м ат ериаль­
ной точки) называют н а п р а в л е н ­
ный отрезок прямой, соединяю щ ий
начальное полож ение тела с его
последую щ им полож ением.
Перемещение тела надо отличать
от его траектории (линии, по которой
происходит движение т е л а ). Т р а е к ­
тория движения тела мож ет и не
совпадать с перемещением, как это
видно, например, из рисунка 7, где
показана траектория, вдоль которой
тело переместилось из М, в М 2, и
совершенное телом
перемещение.
Следующий пример поясняет это.
На рисунке 8 и зображ ен а геогра­
фическая карта района Черного мо­
ря. Расстояние между Одессой и С е­
вастополем по прямой составляет
270 км, и для того чтобы попасть из
Р и с .5
\
\S ?
\
,'S?
/
s>
s?
Is?
9
Одессы в Севастополь нужно совер­
шить перемещение, направленное на
юго-восток и численно равное 270 км.
Если отправиться в путешествие на
теплоходе, то его действительное
движение может происходить по п ря­
мой, совпадаю щей с перемещением.
Но из Одессы в Севастополь можно
ехать по железной дороге через Н и ­
колаев, Херсон, Д ж ан ко й . Ее про­
тяж енность 660 км. Если пассажир,
покинувший Одессу, проехал 660 км,
то еще неизвестно, в каком пункте
он в результате ока зал ся — в С ев ас­
тополе или, например, близ З а п о ­
рожья. Но если известно, что из
Одессы он совершил перемещение,
направленное на юго-восток и равное
270 км, то можно установить, что
конечным пунктом его путешествия
был именно Севастополь.
Итак, чтобы найти положение т е ­
л а в любой момент времени, нужно
знать его начальное положение и пе­
ремещение, совершенное к этому мо­
менту.
Вопросы
1. Н а б л ю д е н и я за д в и ж е н и е м ф у т б о л и с ­
та п о к а з а л и :
за в р е м я
м атча
12 км . Ч то это за в е л и ч и н а —
он
пробеж ал
перем ещ ение
к о р а б л ь н а к а н у н е в е ч е р о м . Ч то о з н а ч а е т это
ч и с л о : д л и н у п е р е м е щ е н и я и ли п р о й д е н н ы й
путь?
3.
и ли п р о й д е н н ы й путь?
2. Ш т у р м а н ,
определяя
утром
положе­
м аш ину
Д е ж у р н ы й п о га р а ж у , п р и н и м а я а в т о ­
у
за ко н чи вш е го
зап иса л
увеличение
х о д и т с я в т о ч к е , р а с п о л о ж е н н о й на 100 км
на
км .
к северу
пройденный
ние
корабля,
от
обнаруж ил,
п у н к та ,
что
корабль
в котором
на­
находился
300
Ч то
путь
работу
показания
о зн а ч а е т
или
длину
эта
ш оф ера,
с ч е тч и ка
зап ись:
перем ещ ения?
§ 4. О В Е К Т О Р Н Ы Х В Е Л И Ч И Н А Х
Величина «перемещение» о тли ча­
ется от многих других физических
величин тем, что о ней, кроме число­
вого значения, надо знать еще, как
она направлена. Такие величины н а­
зы ваю тся векторными. Векторную
величину и зо б р а ж аю т в виде отрез­
ка, который начинается в некоторой
точке и закан чи вается острием, у к а ­
зы ваю щ им направление (см. рис. 6 ).
Такой отрезок-стрелка назы вается
вектором. Иногда и саму векторную
ю
величину назы ваю т вектором и г о ­
ворят, например, что перемещение —
это вектор. Д л и н а стрелки в вы бран ­
ном масштабе в ы р а ж ае т модуль век­
торной величины. Векторы об о зн а­
чают буквами со стрелкой над
ними. Например, вектор перемещ е­
ния на рисунке 6 обозначен s. Такой
же буквой, но без стрелки мы бу­
дем обозначать модуль вектора — s.
Д л я векторной величины одинаково
важ ны числовое значение (модуль)
и направление. Равными считаются
векторы, у которых одинаковы и мо­
дули, и направления.
Величины, о которых нельзя с к а ­
зать, что они имеют какое-то н а­
правление,
и которые задаю тся
только числом, назы ваю тся с к а л я р ­
ными величинами или скалярам и.
Например, число парт в классе,
длина, ширина, высота классной
комнаты — величины
скалярные.
М о дуль вектора — тоже скаляр.
Действия над векторами. Из
курса геометрии известно, что дей­
ствия над векторами выполняют по
особым правилам, не похожим на
правила, которые применяются при
действиях над обычными числами.
Напомним эти правила. Начнем
со сложения векторов. Допустим,
что вектор а (рис. 9) — вектор пере­
мещения туристской группы, д ви ­
гающейся в восточном направлении.
Совершив это перемещение, группа
повернула на северо-восток и про­
должала
движение.
Пусть
век­
тор b — вектор перемещения группы
в северо-восточном
направлении.
Проведем вектор с из н ачала век­
тора а к концу вектора Ь. Если бы
группа совершила только одно пере­
мещение с, то она о к а зал ас ь бы в
том же месте^что и после двух перемещений а и Ь. Значит, вектор с есть
сумма
двух
векторов
а
и b
(с = а - \- Ь ) . Это правило назы вается
п р а ви ло м треугольника.
Тот ж е результат можно полу­
чить и другим построением. Р а с ­
Рис. 9
Р ис. 10
положим оба вектора а и Ь, с о х р а­
нив их длины и направления, так,
чтобы они исходили из одной точ­
ки (рис. 1_0). Считая, что два век­
тора а и b составляют две стороны
параллелограм м а, достроим п а р а л ­
лелограмм и проведем диагональ из
точки, в которой совмещены н ачала
векторов. Эта диагональ (со стрел­
кой!)^ и есть результирующий век­
тор с. Н ахож дение суммы векторов
таким способом назы вается с л о ж е ­
нием по п р а ви л у параллелограм м а.
Часто приходится вычитать один
вектор из другого. Но, как и в слу­
чае чисел, действие вычитания м о ж ­
но свести к действию сложения.
Например, вы ражение 7 — 4 = 3 м о ж ­
но заменить выражением 7j=4_r|-3J.
Подобно этому, равенство а — Ь = с
можно^ заменить равенством а —
= Ь -\-с Следовательно,
вычесть
один вектор (Ь) из другого^ (а) —
значит найти такой вектор с, кото­
рый в сумме с вектором b д а е т век­
тор а. С делать это можно таким
построением. Допустим, что нужно
найти разность двух векторов а и
b (рис. 11Д вверху). Перенесем век­
торы а и b параллельно самим себе
и расположим их так, чтобы они
исходили из одной точки. Затем
соединим их концы вектором, н а­
правленным от вычитаемого к умень­
шаемому (от конца вектора b к
концу вектора а ) . Этот вектор и есть
вектор с (рис. 11, внизу). И з ри­
сунка 11 видно, что сумма векторов
b и с равна вектору а.
Р ис. 11
11
Рис.13
Рис.12
C+d
Коллинеарные векторы. Коллинеарные векторы — это векторы, н а ­
правленные вдоль одной прямой, или
параллельны е друг другу. Они могут
быть направлены в одну сторону или
в противоположные стороны (ри­
сунки 12, а и 13, а ) .
Коллинеарные векторы склады ­
ваются так же, как и векторы
неколлинеарные. Из рисунков 12 и
13 видно, что в случае коллинеарных
векторов к геометрическим построе­
ниям можно и не прибегать. По мо­
дулю результирующий вектор равен
арифметической сумме (рис. 12, б)
либо
арифметической
разности
(рис. 13, б) модулей склады ваемых
векторов. Н аправлен результирую ­
щий вектор либо в ту ж е сторону,
что
и
склады ваемые
векторы
(рис. 12, б), либо в сторону боль­
шего по модулю вектора (рис. 13, б ) .
Умножение вектора на скаляр.
Часто приходится встречаться ^ у м ­
ножением векторной величины а на
скалярную величину k (она может
быть и именованной}. В результате
получается вектор ka. Он направлен
в ту же сторону, что и вектор а,
если k > 0 , и в противоположную,
еслц k < .0 . По модулю же новый
вектор равен произведению модулей
вектора а и ск ал яр а k.
Вопросы
1. Ч е м
о тл и ч а е тс я
векторная
ве л и ч и н а
3. Д ва в е к т о р а р а в н ы д р у г д р у г у п о м о ­
о т ска л я р н о й ?
дулю ,
2. К а к у ю
величину
изм еряет
килом етров в автом аш ине—
с ч е тч и к
векторную
но
направления
векторов
различны .
М о ж н о ли ска за ть, что эти в е к т о р ы
или
4. Ч то
означает
ум нож ение
равны?
вектора
на — 1?
ск а л я р н у ю ?
Задания
1.
лова
П о в т о р и т е по у ч е б н и к у А . В. П о г о р е « Г е о м е тр и я ,
7— 11» п р а в и л а
д е й с тв и й
на д в е к т о р а м и .
НАД
по стро ени ем
сум м у
и
раз­
взаим но
ВЕКТОРА НА К О О РД И Н АТН Ы Е ОСИ.
ПРОЕКЦИЯМИ
В § 3 говорилось, что если и з­
вестно начальное положение тела,
то положение его через некоторый
промежуток времени можно найти,
«приставив» к нему вектор переме­
щения тела за этот промежуток
времени. В реальной жизни векторы,
12
Н айдите
пе рпен д икулярн ы х векторов.
§ 5. П Р О Е К Ц И И
ДЕЙСТВИЯ
2.
но сть д в ух о д и н а к о в ы х по м о д у л ю
конечно, ни к чему не «пристав­
ляют». Вектор — это математический
символ. Тем не менее знание векто­
ра перемещения позволяет находить
положение тела в любой момент
времени, но не «приставлением»,
а вычислением. Д л я этого п озна­
Рис. 14
Рис. 15
комимся с понятием проекции век­
тора.
Проекции вектора на координат­
ные оси. Н а рисунке 14 изображены
координатная ось X и некоторый
вектор а, л еж а щ и й с осью X в одной
плоскости. Опустим из н ачала А и
конца В вектора а перпендикуля­
ры А А | и В В \ на ось X. Основания
перпендикуляров — точки А\ и В\ —
это п роекции точек Л и В на ось X.
Д лину отрезка А \В \ меж ду проек­
циями начала и конца вектора а,
взятую со знаком « + » или « — »,
н азы ваю т проекцией вектора а на
ось X. Проекция вектора — величина
скалярн ая.
Проекцию считают полож итель­
ной, если от проекции н ачала к
проекции конца вектора нужно идти
по направлению самой оси (см.
рис. 14). В противном случае проек­
ция вектора отрицательна (рис. 15).
Если вектор перпендикулярен оси,
то при любом направлении вектора
его проекция на ось рав н а нулю
(рис. 16).
Проекцию вектора на ось о б о зн а­
чают той же буквой, что и вектор,
но без стрелки и с индексом оси.
Так, проекции векторов а и b на
ось X (см. рис. 14 и 15) обозначены
соответственно ах и Ьх.
Если вектор параллелен оси, то
модуль его проекции равен модулю
самого вектора. При этом если
вектор и ось сонаправлены (рис. 17),
то проекция положительна, если на-
Рис. 16
1=
Р и с .1 7
правления вектора и оси противо­
положны друг другу (рис. 18),
проекция вектора отрицательна.
Проекции суммы и разности век­
торов. Н а рисунке 19 показаны
векторы^ а и b и результирующий
вектор с. П оказаны т а к ж е проекции
всех трех векторов на ось X. Из
рисунка видно, что проекция суммы
векторов равна сумме проекций с к л а ­
дываемых векторов.
13
Проекции векторов могут быть и
противоположных знаков (рис. 20).
К ак видно из рисунка, проекция
результирующего вектора по-прежнему о казы вается равной сумме про­
екций обоих векторов, но с учетом
того, что одна из проекций отри­
цательна. Следовательно, вообще
п р оекция суммы векторов на коорди­
натную ось р а вн а алгебраической
сумме проекций склады ваем ы х ве к ­
торов на ту же ось. Поскольку вы­
читание векторов сводится, как мы
видели, к сложению, это правило
относится и к проекции разности
векторов.
Таким образом, для того чтобы
найти проекцию суммы или разности
векторов, надо сложить проекции
всех векторов, учитывая их знаки.
Р и с. 21
Проекции векторов перемещения
и координаты тела (материальной
точки). Если известен вектор пере­
мещения, то известна и его проек­
ция на координатную ось (или оси).
А проекция вектора прямо св язан а с
координатами тела. Поясним это на
примере движения тела на плос­
кости.
Пусть тело совершило переме­
щение s = M 0M (рис. 21). Оси коор­
динат X и У с началом отсчета О
выбраны так, что вектор s леж и т в
плоскости XO Y.
Из рисунка 21 видно, что проек­
ция вектора s на ось X — это отре­
зок P0P : s x = PoP. Д ли н а отрезка,
т. е. численное значение проекции,
равна х — х 0, т. е. изм енению коор­
динаты при перемещении тела. Точ­
но т ак ж е проекция sy вектора s на
ось Y
это отрезок QoQ, длина ко­
торого равна у — у 0 — изм енению ко­
ординаты у тела:
S x = X — X q,
( 1)
s u= y — y 0.
(2 )
П роекции вектора перем ещ ения s
на оси координат X и Y равны и з ­
м енениям координат тела х и у.
Отсюда следует, что, зн ая вектор
перемещения (а значит, и проекции
его на оси координат), можно узнать
и координаты тела х и у:
X =
X 0 -\ -S x
У— Уо + s i/>
(la)
(2 а)
где х 0 и у о — начальные значения
координат х и у.
Формулы (1), (2), (1а) и (2а)
справедливы при любом располо­
жении вектора s на плоскости ХОУ
14
Р ис. 2 2
Вопросы
1. Ч то н а з ы в а ю т
проекцией
вектора
на
к о о р д и н а т н у ю ось?
2. К ак связа н в е к т о р п е р е м е щ е н и я тела
с е го координатам и?
3. Если
координата
точки
с
течен ие м
s2
в р е м е н и у в е л и ч и в а е тс я , то к а к о й зна к и м е е т
п р о е к ц и я в е к т о р а п е р е м е щ е н и я на к о о р д и ­
н а т н у ю ось? А если о н а ум е н ь ш а е тс я ?
4. Если в е к т о р п е р е м е щ е н и я п а р а л л е л е н
о си
X,
то
вектора
чем у
на
эту
равен
ось?
м одуль
проекции
м одуль
проекции
А
э т о г о ж е в е к т о р а на ось Y?
6. Если
лико,
5. О п р е д е л и т е зна ки п р о е к ц и й на ось X
22.
К ак
при
этих
перем ещ ениях
из­
м е н я ю т с я к о о р д и н а т ы тела?
значение
м ож ет
п р о й д е н н о го
ли
м одуль
пути
ве ­
перем ещ ения
б ы ть м алы м ?
в е к т о р о в п е р е м е щ е н и я ,и з о б р а ж е н н ы х на р и ­
су н к е
то
7. П о ч е м у в м е х а н и к е б о л е е в а ж е н в е к ­
тор
перем ещ ения
тела,
чем
пройденный
и м путь?
Упражнение 1
1. В
на чал ь н ы й
находилось
=
в
— 2 м и уо =
точку
с
м ом ент
точке
с
врем ени
координатам и
тело
торы и
хо =
ремещ ения
4 м . Те ло п е р е м е с т и л о с ь в
координатам и
х =
2 м
и
у =
1 м.
Н а й д и т е п р о е к ц и и в е к т о р а п е р е м е щ е н и я на
оси
X
и
У.
Н ачертите
вектор
перем ещ е­
ния.
— 3 м
начальной
и у0 =
точки
1 м
с координатам и
тело
прош ло
неко-
так
что
на
о сь
5,2 м , а на о сь У —
проекция
X
вектора
о ка за л а сь
пе­
равной
3 м. Н айдите ко о р д ин а ты
к о н е ч н о г о п о л о ж е н и я тела. Н а ч е р т и т е в е к т о р
пе рем ещ ени я . Ч ем у равен е го м одуль?
3.
Л ю б и тел ь
ю жном
2. И з
хо =
путь,
пр о гул о к
прош ел
н а п р а в л е н и и , а за те м е щ е
5 км
12 к м
в
во сточн ом направлении. Ч ем у равен м од ул ь
с о в е р ш е н н о го им перем ещ ения?
Задание
У б е д и т е с ь в т о м , что ф о р м у л ы (1 а) и (2а)
с п р а в е д л и в ы пр и л ю б о м р а с п о л о ж е н и и в е к -
тора
s,
отличном
от
п о ка за н н о го
на
ри­
с у н к е 21.
§ 6. П Р Я М О Л И Н Е Й Н О Е Р А В Н О М Е Р Н О Е Д В И Ж Е Н И Е . С К О Р О С Т Ь
Чтобы найти координаты д в и ­
ж ущ егося тела в любой момент
времени, нужно, как мы видели,
знать проекции вектора перемеще­
ния (а значит, и сам вектор). К ак
найти вектор перемещения?
Мы рассмотрим сн ач ал а самый
простой вид движ ения — п р ям о ли ­
нейное равном ерное движ ение.
Прямолинейное движение — это
движение, при котором траектория
тела (точки) — п рям ая линия. П ри ­
мером может служить движение а в ­
томобиля по участку дороги, на ко­
тором нет подъемов, спусков, пово­
ротов. А прям олинейны м р авн ом ер­
ным движ ением называют такое д в и ­
жение, при котором тело (точка) за
лю бы е равны е промежутки врем ени
совершает одинаковы е перем ещ ения.
Д л я описания прямолинейного
движения удобно направить одну из
15
в
координатных осей, например ось X,
вдоль той прямой, по которой д ви ­
жется тело. Тогда координата х бу­
дет единственной координатой, ко­
то рая изменяется при движении.
Вектор перемещения при таком вы­
боре оси может быть направлен
либо т а к же, как координатная ось,
ЛИбо П Р О Т И В О П О Л О Ж Н О ей ( C M . S2 и
S3 на рисунке 22). В ^первом случае
проекция sx вектора s 2 положитель­
на и равна модулю вектора: s 2x = s 2 Во втором она отрицательна и равна
S3x= — S3.
Скорость. К ак найти (вычислить)
перемещение тела за какой-то про­
межуток времени /? Д л я этого
нужно знать перемещение тела за
одну единицу времени. Если за t еди­
ниц времени совершено перемеще­
ние s, то отношение ~
Скоростью равном ерного прям о­
линей н о го движ ения называют по­
стоянную векторную величин у, р а в ­
ную отношению перем ещ ения тела
за лю бо й промежуток врем ени к
значению этого промежутка.
З н а я скорость v, мы найдем и
перемещение за любой промежуток
времени t :
( 1)
Н аправлен вектор скорости так
же, как вектор перемещения. Н а ­
правление вектора скорости — это и
есть направление движения тела.
16
s x = v xt.
(la)
Теперь, используя формулы s x =
= х — х 0 (см. § 5) и (1), можно
вычислить координату х тела в л ю ­
бой момент времени t:
х — x 0 = v xt, или
показывает,
какое перемещение соверш ает тело
в одну единицу времени. Это отно­
шение назы ваю т скоростью д в и ж е ­
ния тела и обозначаю т буквой v :
-vt.
Как изменяется положение дви­
жущегося тела со временем? При
вычислениях перемещения и ско­
рости пользуются ф9рмулами, в ко­
торые входят не векторы, а их про­
екции на оси (или ось) координат.
Проекции векторов — величины с к а ­
лярные, поэтому над ними можно
производить алгебраические дей­
ствия. Так как векторы s и v t равны,
то равны и их проекции на ось X.
Поэтому формула (1а) в скалярной
форме записы вается так:
х = х 0 + vxt.
(2)
Таким образом, мы нашли, как
координата х тела зависит от времени
t. А это и есть решение основной
задачи механики.
Формулу (2) можно использовать
и для того, чтобы вычислить проек­
цию скорости v x тела, если нам из­
вестна проекция s x перемещения:
х —х0
и* = —
•
(2а)
Эта формула позволяет понять,
какой смысл имеет величина «ско­
рость». И з нее видно, что проекция
скорости на координатную ось равн а
изм енению координаты в единицу
врем ени, т. е. скорость показывает,
как быстро изменяются при д в и ­
жении координаты тела. Но при этом
необходимо помнить, что проекция
скорости v x может быть как поло­
жительной, т ак и отрицательной
(рис. 23 и 24).
Рис. 24
Рис. 23
г>х>0
X
Таким образом, для решения ос­
новной задачи механики нужно знать
именно вектор скорости (или его
п роекц и ю ).
Спидометры, устанавливаемые на
автомобилях, показываю т только мо-
wx<0
О
дуль скорости. Им «все равно», куда
дви ж ется автомобиль. По их пока­
заниям поэтому нельзя определить
ни направления движения ав том о­
биля, ни его положение в любой
момент времени.
Вопросы
1.
А вто м о би ль
движ ется
к
востоку
со
2. М о ж н о ли, зная н а ч а л ьн о е п о л о ж е н и е
с к о р о с т ь ю 40 к м /ч . Д р у г о й а в т о м о б и л ь д в и ­
тела
ж ется
к о н е ч н о е п о л о ж е н и е тела?
к ю гу с той ж е с к о р о с ть ю
40 к м /ч .
М о ж н о ли сказа ть, что об а а в т о м о б и л я д в и ­
ж у т с я с о д и н а к о в ы м и с к о р о с тя м и ?
ПРИМ ЕРЫ
I.
ж утся
60
3. К ак
п р о й д е н н о го
связа на
им
скорость
пути ,
те л а
с
найти
изме­
н е н и е м е г о п о л о ж е н и я при д в и ж е н и и ?
РЕШ ЕНИЯ
ЗАДАЧ
П о д о р о ге н а в с тр е ч у д р у г д р у г у д в и ­
д ва
к м /ч ,
автом обиля:
д р у го й —
90
станции
а в то м о б и л и
должили
свой
к а ж д о го
в стр е чи
и длину
путь.
к м /ч .
со
У
с к о р о с ть ю
заправочной
вс тр е ти л и с ь
О пр ед ели те
ав то м о б и л я
и
од и н
через
р а с с то я н и е
30
между
и
про­
полож ение
мин
ни м и
после
в
этот
м ом ент.
Р е ш е н и е . З а начало координат
примем заправочную станцию, а вре­
мя будем отсчитывать от момента
встречи автомобилей. Координатную
ось X направим по направлению
дви ж ени я первого автомобиля. Тогда
координаты автомобилей через 0,5 ч
после встречи можно вычислить по
формулам:
х \= Xo i
-|-
V[xt
и
X - 2 = X q2 +
U 2xt.
Н ачальны е координаты jc0i и х 02
у обоих автомобилей равны нулю.
Поэтому X i= V ix t и X2 = V2xt-
Проекция v \x первого автомо­
биля положительна, потому что век­
тор его скорости направлен так же,
как ось X: ui* = 60 км /ч. П р оек­
ция v 2x отрицательна и равн а и2х =
= — 90 км /ч. Следовательно,
х , = 6 0 к м /ч - 0 ,5 ч = 30 км;
Х2 = — 90 к м /ч - 0 , 5 ч = —45 км.
Расстояние / между автомобилями
равно разности их координат:
1— Х1— х 2 =
= 30 к м — ( — 45 км) = 7 5 км.
2.
Д в а а в то м о б и л я д в и ж у т с я по вза и м н о
перпендикулярны м
д о р о га м
нию
(р и с .
к
п е р е кр е стку
по
2 5 ).
В
направле­
н е ко то р ы й
м ом ент врем ени пе рвы й а в то м о б и л ь , ско р о сть
1>1
к о т о р о го
равна
27
к м /ч ,
находится
на
р а с с то я н и и 11 = 3 0 0 м от п е р е кр е стка . В то р о й
в т о т ж е м ом ент времени н а х о д и т с я н а р а с ­
с то я н и и
/ 2 == 450 м о т пе рекре стка .
с к о р о с ть ю
если
он
v 2 д виж ется
д о с т и га е т
второй
п е рекре стка
С к а ко й
а в то м о б и л ь ,
через
t=
= 5 с после первого?
17
x = x 0-\-V[Xt. При движении второго
автомобиля изменяется только коор­
дината у: y = y 0-\-v 2yt.
По условию задачи х 0= — l t \
Уо = к \ V\x = V\\ v 2y = — v 2. О б о зн а­
чим через 11 время, когда первый
автомобиль проходит перекресток.
Его координата в этот момент х — 0.
Второй автомобиль проходит пере­
кресток в момент времени
В этот момент его координата у — 0.
Следовательно,
Р е ш е н и е . З а начало отсчета
координат примем перекресток д о ­
рог, а отсчет времени начнем с мо­
мента, когда автомобили находились
на расстояниях 1\ и /2 от перекрестка.
Оси координат направим вдоль д о­
рог. Первый автомобиль движется
вдоль оси X, второй — противопо­
лож н о направлению оси Y. Поэтому
при движении первого автомобиля
изменяется со временем только коор­
дината х. Ее найдем по формуле:
0 = — 1\ -)- V \ti;
0 = 12 — v 2{t\ -\-t) •
Р е ш а я совместно эти два уравнения,
находим
/2
hv 1
V2 =
11 V]t
Vi- + t
450 м-7,5 —
с
V2 ■
= 36
10
300 м-|-37,5-
KM
4
Упражнение 2
1. Г р у п п а т у р и с то в , д в и га я с ь с п о с т о я н ­
ной по м о д у л ю
скор остью
5 к м /ч , сначала
на з н а ч е н и я
за н е к о т о р ы й
м е н и . С ка к о й
пром еж уток
скор остью
он
должен
вре­
про­
в т е ч е н и е 1 ч и д е т на с е в е р , з а т е м в т е ч е ­
д о л ж а т ь д в и ж е н и е , ч т о б ы за т а к о е ж е в р е м я
ние
д о с т и г н у т ь ц ели и в е р н у ть с я о б р а т н о ?
0,5 ч —
ни е 1,5 ч —
на
и,
наконец,
в тече­
э ти х
трех
потребуется
уч а с тк о в ?
С колько
на в о з в р а щ е н и е
в
и с х о д н у ю то чку по прям ой?
2. А в т о м о б и л и с т , д в и га я с ь с о с к о р о с т ь ю
30 к м /ч ,
проехал
половину
пути
§ 7. Г Р А Ф И Ч Е С К О Е
до
м еста
грозо й
путник
увидел
в с п ы ш к у м о л н и и , а ч е р е з 10 с д о н е го д о ­
не слись
р а ска ты
нии
н е го
есл и
от
гр о м а .
На к а к о м
р а с с то я ­
гр о зо во й
разряд,
произош ел
скор ость
зв ука
в
воздухе
равна
340 м /с ?
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Д ВИЖ ЕНИЯ
Формула x = x 0 + v xt показывает,
как с течением времени изменяется
координата тела (точки) при прямо­
линейном равномерном движении.
Она, как говорят, описывает д в и ж е ­
ние. Но описать движение тела м о ж ­
но и с помощью графика.
Если по горизонтальной оси (оси
абсцисс) отклады вать в выбранном
18
3. З а с т и гн у т ы й
на ю г . Г де о к а ж е т с я гр у п п а по сл е
прохож дения
в р е м е н и ей
восток
масш табе время, прошедшее с н ач а­
ла отсчета времени, а по верти­
кальной оси (оси ординат) — тоже в
определенном м асш табе — значения
координаты тела, то полученный
график показывает, как изменяется
координата тела со временем.
Допустим, что тело (точка) д ви ­
жется по некоторой прямой, вдоль
которой мы направим и ось коорди­
нат X. Значит, при движении изме­
няется только координата х. Пусть
в начальный момент времени t — О
и моменты времени /, = 10 с, t2 =
= 20 с, ^з = 30 с и т. д. тело нахо­
дилось в точках, координаты кото­
рых соответственно равны: х0 = 3 м,
X i= 4 м, х 2 = 5 м и т. д. (рис. 26).
О тлож ив по оси абсцисс время
и по оси ординат координаты тела
(рис. 27 ), получим график зависи­
мости координаты тела от времени.
Такой график называю т графиком
движения. Д л я нашего случая п р я­
молинейного движ ения он представ­
л яет собой прямую линию. Другими
словами, координата линейно з а в и ­
сит от времени.
Граф ик движения (см. рис. 27)
не следует путать с траекторией
движ ения (см. рис. 26), которая в
нашем случае тоже прямая линия.
Граф ик движ ения есть такое же
полное описание движения, как и
формула (2), выведенная в § 6 . По
графику, как и по формуле, можно
найти координату тела в любой
момент времени, в том числе и в мо­
менты времени, предшествовавшие
начальному моменту / = 0 (если
предположить, что тело двигалось с
такой ж е скоростью и до начала
отсчета времени). Например, про­
долж им график (см. рис. 27, штри­
ховая линия) в сторону, противо­
положную направлению оси абсцисс
(времени), и увидим, что за 30 с до
того, как тело оказал ось в точке Л,
оно находилось в точке начала о т­
счета координаты (х = 0 ).
По виду графиков движения м о ж ­
но судить не только о координате
тела, но и о его скорости. Чем круче
график движ ения, т. е. чем больше
угол между ним и осью абсцисс, тем
больше скорость движения. На ри­
сунке 28 показано несколько гра-
Рис. 26
Р ис. 2 8
19
Рис. 3 0
Рис.29
«X I
j
О
t
О
фиков движений. Они относятся к
движ ениям с различными скоростя­
ми. Графики 1, 2 и 3 показывают,
что тела движ утся вдоль оси X в положительном направлении оси X.
Тело, график движения которого
прямая 4, движ ется в направлении,
противоположном
направлению
оси X.
Из графиков движения можно
найти и перемещение тела за любой
промежуток времени. И з рисунка 28
видно, например, что тело, график
движения которого обозначен циф­
рой 3, за первые 4 с совершило
перемещение в положительном н а­
правлении оси X, по модулю р а в ­
ное 2 м. З а это же время тело, д ви ­
ж ущ ееся по графику 4, перемести­
лось в противоположном н ап рав л е­
нии на 4 м.
График скорости. Н а р яд у с г р а ­
фиками дви ж ени я часто пользуются
граф икам и скорости. Их получают,
откл ад ы в ая по оси абсцисс время, а
по оси ординат — проекции скорости
тела. Такие графики показывают,
как изменяется скорость с течением
времени.
t,
t
В случае прямолинейного равн о­
мерного движения «зависимость»
скорости от времени состоит в том,
что скорость со временем не изме­
няется. Поэтому график скорости
представляет собой прямую, п а р а л ­
лельную оси времени (рис. 29).
График 1 на этом рисунке относится
к случаю, когда тело дви ж ется в
сторону положительного н ап рав л е­
ния оси X. График 2 — к случаю,
когда тело движ ется в противо­
положном оси X направлении (про­
екция скорости отри цател ьна).
По графику скорости тож е м о ж ­
но определить перемещение тела
за данный промежуток времени.
Оно численно равно площади з а ­
штрихованного
прямоугольника
(рис. 30).
Действительно, площ адь прям о­
угольника равна произведению двух
смежных его сторон. Но в нашем
случае одна из сторон в вы б ран ­
ном масш табе равна времени t\, а
д ругая — проекции скорости v \ x век­
тора V. А их произведение v \ xt\ как
раз и равно проекции вектора пере­
мещения тела.
Вопросы
1.
ф и к,
К аком у движ ению
изображ енны й
с о о т в е т с т в у е т гр а ­
ш триховой
линией
на
р и с у н к е 28? Ч е м о т л и ч а ю т с я д в и ж е н и я , с о о т ­
в е т с т в у ю щ и е гр а ф и к а м 2 и 4?
20
2. К а к и м д в и ж е н и я м с о о т в е т с т в у ю т гр а ­
ф и к и 1 и 2 на р и с у н к е 29?
3. К ак
по
гр а ф и ку
скор ости
тела н а х о д я т е г о п е р е м е щ е н и е ?
движ ения
ПРИМ ЕР
На
жения
рисунке
31
показаны
а в то м о б и л я
П ользуясь
РЕШ ЕНИЯ
/
и
гр а ф и к а м и ,
ЗАДАЧИ
гр а ф и к и
дви­
н а й д и те
Р ис. 31
2.
в ел осип ед и ста
время
Х.м
и
место и х встречи
Р е ш е н и е . График 1 п о казы в а­
ет, что автомобиль дви ж ется равн о­
мерно вдоль оси X со скоростью
20 м /с . Из графика 2 видно, что
велосипедист дви ж ется ему навстре­
чу со скоростью 5 м /с. В н ач ал ь ­
ный момент времени (/ = 0 ) ав то­
мобилист и велосипедист находи­
лись на расстоянии 250 м один от
другого. Графики пересекаются в
точке М . В этой точке и встретились
автомобиль и велосипедист. Встреча
произошла через 10 с от начала
отсчета времени на расстоянии 200 м
t, C
от начального положения автомоби­
ля и 50 м от начального положения
велосипедиста.
У пражнение 3
1.
П ользуясь
гр а ф и к а м и
2
и
4
(см .
2.
П о гр а ф и к у , и з о б р а ж е н н о м у на р и с у н ­
р и с . 28), н а й д и те р а с с то я н и е м е ж д у д в и ж у ­
ке 27, о п р е д е л и т е , как н а п р а в л е н а с к о р о с т ь
щ и м и с я те л а м и
тела. Ч е м у р а в е н м о д у л ь ско р о с ти ?
в м ом ент врем ени f =
3 с.
Задание
П о гр а ф и к а м
1 и 2 (с м . р и с . 29), в ы р а ­
ж а ю щ и м з а в и с и м о с ть п р о е к ц и й с к о р о с т и о т
§ 8.
О ТНО СИТЕЛЬНО СТЬ
Положение тела в пространстве
всегда зад ается относительно какого-то другого тела — тела отсчета.
С этим телом связы ваю т систему
координат, и положение тела з а д а ­
ется его координатами.
Но за тело отсчета можно вы­
брать любое тело и с каж ды м из
них св язать систему координат. Тог­
да положение одного и того же тела
можно рассматривать относительно
разны х систем отсчета. Координаты
одного и того же тела относительно
времени,
постройте
гр а ф и к
м одулей
ско­
р о с те й .
ДВИЖ ЕНИЯ
разных тел отсчета могут о казаться
различными. Например, положение
автомобиля на дороге (рис. 32) м о ж ­
но зад ать, у казав, что он находится
на расстоянии 1\ к северу от насе­
ленного пункта 1. Но можно с к а ­
зать, что автомобиль расположен на
расстоянии /2 к востоку от населен­
ного пункта 2. Это и значит, что
положение тела относительно: оно
р а зли ч н о относительно р а зн ы х сис­
тем координат.
Но относительно не только по21
Р ис. 3 2
—
Ч
2~ -
л
4 —
S.
ложение тела. Относительно и его
движ ение. В чем состоит относитель­
ность движения?
Ребенок, впервые попавший на
берег реки во время ледохода, спро­
сил: «На чем это мы едем?» Оче­
видно, ребенок «выбрал» в качестве
тела отсчета плывущую по реке л ьд и ­
ну. Н аходясь в покое относительно
берега, ребенок двигался вместе с бе­
регом относительно «выбранной» им
системы отсчета — льдины.
В стихотворении И. А. Бунина
«В поезде» есть такие строки:
Вот мост железный над рекой
П р ом чался с грохотом под нами...
На первый взгляд они каж утся
бессмысленными: ведь не мост под
поездом, а поезд по мосту мчится
«с грохотом». Здесь писатель-пас­
са ж и р «выбрал» систему отсчета,
связанную с поездом. Поэтому поезд
условно считается неподвижным. О т­
носительно этой системы отсчета
мост в самом деле движется. Отно­
сительно ж е Земли (системы отсче­
та, связанной с ней), наоборот, по­
коится мост, а дви ж ется поезд.
В двустишии отмечается также,
что не только движение тела, но и
его положение относительно: мост
расположен под поездом, но над
рекой.
Еще один всем известный пример
относительности движения и покоя.
К аж дому, наверное, приходилось н а ­
блюдать, как иногда трудно, нахо­
22
дясь в вагоне поезда и глядя в
окно на проходящий мимо по сосед­
нему пути поезд, выяснить, какой из
поездов движется, а какой покоит­
ся. Строго говоря, если видеть толь­
ко соседний вагон и не видеть зем­
ли, строений, облаков и т. д., то
узнать, какой из поездов движется
прямолинейно и равномерно, а какой
покоится, невозможно. Если п асса­
жир одного из поездов утверждает,
что движ ется «его» поезд, то п ас­
саж и р другого поезда с таким же
правом может сказать, что д ви ­
жется «его» поезд, а соседний не­
подвижен. П равы оба п ассаж и ра —
движение и покой относительны.
Одно и то ж е движение с разных
точек зрения. Рассмотрим движение
одного и того ж е тела относительно
двух разных систем отсчета, д в и ж у ­
щихся одна относительно другой пря­
молинейно и равномерно. Одну из
них мы будем условно считать не­
подвижной. Д р у г а я движ ется отно­
сительно нее прямолинейно и равн о­
мерно. Вот простой пример. Л одка
пересекает реку перпендикулярно те­
чению, двигаясь с некоторой ско­
ростью относительно воды. Вода в
реке дви ж ется относительно берега
со скоростью течения реки.
Представим себе, что з а д в и ж е ­
нием лодки следят два наблю дателя:
один неподвижный, располож ился на
берегу в точке О (рис. 33), д р у ­
гой — на плоту, плывущем по т е ­
чению (со скоростью течения р е к и ).
Оба наблю дателя измеряют переме­
щение лодки и время, затраченное
на него. Относительно воды плот не­
подвижен, а по отношению к берегу
он движ ется со скоростью течения
реки.
Проведем мысленно через точку О
систему координат X O Y. Ось X
направим вдоль берега, ось Y —
перпендикулярно течению реки. Это
неподвиж ная система координат.
Д ру гую систему координат X 'O 'Y '
свяж ем с плотом. Оси X ' и Y'
параллельны осям X и Y. Это —
подвиж ная система координат.
К ак движ ется лодка относитель­
но наших двух систем?
Н аблю датель на плоту, двигаясь
вместе со «своей» системой коорди­
нат по течению, видит, что лодка
уд аляется от него к противополож­
ному берегу все время перпенди­
кулярно течению. Он видит это и в
точке А , и в точке В, и в любой д р у ­
гой точке. А когда через некоторое
время плот окаж ется в точке С,
лодка достигнет противоположного
берега в точке С '. Относительно
подвижной системы координат (пло­
та) лодка совершила перемещение
S\ = CC'. Р азделив его на I, под­
вижный наблюдатель получит ско­
рость лодки v\ относительно плота:
VI =
Р ис. з з
подвижном системы координат мы
получим, разделив перемещение s на
время t :
- __
___S,
^
S2
илй
V = V\ +1>2,
S2
где v 2 = - f
Совсем другим представится д ви ­
жение лодки неподвижному наблю ­
дателю на берегу. Относительно
«его» системы координат лодка за
то же время t совершила перемеще­
ние s = О д '. З а это же время под­
в и ж н а я система отсчета вместе с пло­
том совершила перемещение s 2 (лод­
ку, как говорят, «отнесло» вниз по
течению). Схематически перемеще­
ния лодки показаны на рисунке 34.
Формула сложения перемещений.
И з рисунков 33 и 34 видно, что пере­
мещение s лодки относительно не­
подвижной системы координат с в я ­
зано с перемещениями s, и s2 ф о р ­
мулой :
5
(2 )
скорость плота отно­
сительно берега (скорость течения).
Формула (2) — это формула сл о ж е ­
ния скоростей.
Скорость тела относительно н е­
подвиж ной системы координат равна
геометрической сумме скорости тела
относительно подвиж ной системы
координат и скорости подвиж ной
системы относительно неподвиж ной.
Мы видим, что и перемещение и
скорость тела относительно разных
( 1)
Формула сложения скоростей.
Скорость v лодки относительно не­
23
систем отсчета различны. Различны
и траектории движения ( С С ' — отно­
сительно
подвижной
системы
и
О С ' — относительно неподвижной).
В этом и состоит относительность
движения.
В нашем примере мы считали
неподвижной
систему
координат,
связанную с берегом. Но мы могли
бы условиться считать неподвижной
систему координат, связанную с пло­
том. Тогда подвижным о к а зал ся бы
берег и св язан н ая с ним система
координат, и мы рассматривали бы
движение берега относительно плота
и лодки. Формулы сложения пере­
мещений и скоростей остались бы
такими же. Мы уже и раньш е го­
ворили, что относительно не только
движение, относителен и покой.
Вопросы
1. В ч е м
состоит
о тносительно сть
дви­
в
автом аш ину.
2. К ак
в
прим ере
с
лодкой
д виж утся
3. К о м б а й н ,
убираю щ ий
в
поле
хлеб,
ж ется?
2,5 к м /ч и, не оста н а в л и в а ясь , ссы п а е т з е р н о
коится?
ПРИМ ЕРЫ
1.
П ловец,
воды
ш ириной
V] — b к м /ч ,
/ = 120
те че н и ю .
= 3,24 к м /ч .
РЕШ ЕНИЯ
ск о р о с ть
м,
д в и га я с ь
К аковы
t
треб уется
толкает
те л
О тносительно
по
реке
о тсч е та
к а к о го
чтоб ы
барж у.
барж а
тела
она
дви­
по­
о т н о с и ­дуль
реку
ч 2=
перем ещ ение s и с к о ­
пловцу,
ка ки х
s 2 найдем из равенства s 2 =
= V2 1. Заменив t через t — — , поV\
перпендику­
течения
ро сть v п л о в ц а о тн о с и те л ь н о б ерега?
время
тела
ЗАДАЧ*
к о т о р о го
п е репл ы вает
С к о р о с ть
Б уксир
носительно
д в и ж е т с я о т н о с и т е л ь н о з е м л и со с к о р о с т ь ю
лярно
к а к о го
к а к о го по кои тся ?
4.
во д а и б е р е г о т н о с и т е л ь н о ло д ки ?
те л ьн о
О тноси те льно
о тс ч е та а в т о м а ш и н а д в и ж е т с я и о т н о с и т е л ь н о
ж ен ия ?
К акое
пере­
v2 I.I
лучим: s2 = —
Из векторного треугольника пере­
мещений (рис. 35) имеем:
п л ы ть реку?
Р е ш е н и е . Относительно систе­
мы координат, связанной с водой,
пловец дви ж ется со скоростью V\ пер­
пендикулярно течению. Его пере­
мещение Si по модулю равно ши­
рине реки I: s ^ = l . Время t, з а т р а ­
ченное пловцом, находим из равен ­
ства / = и 11, т. е. / = — (замечательЦ|
но, что это время от скорости т е ­
чения не зависит!).
Относительно берега пловец д ви ­
ж ется иначе. Перемещение s пловца
относительно берега склады вается из
его перемещения относительно во­
ды si и перемещения s 2 самой воды
относительно берега: s = s i + s 2. М о ­
24
= V s i + si
Так как si = / , a s 2
- V
•
V2
Vt
I,
TO
' , + e ) , ' * - f \ A + (£ )'■
Подставив сюда приведенные в
условии задачи значения /, v\ и р2, по­
лучаем:
/
м
/
/ 0,90 —
143 м.
s = 120 м
лv М - Г1,39т—)
Скорость v пловца относительно
берега находим из векторного тре­
угольника скоростей (см. рис. 35):
О т­
§ 9. О С И С Т Е М Е Е Д И Н И Ц
Из того, что до сих пор говори­
лось о движении, ясно, что при его
изучении приходится определять две
величины — перемещение, т. е. д ли ­
ну, и время.
Длины перемещений, как и про­
межутки времени, вы раж аю тся к а ­
кими-то числами. А получатся эти
числа в результате измерений. Из
курса VII класса известно, как и з­
мерить величину. Измерить в е л и ­
чину — значит сравнить ее какимнибудь способом с однородной ей
величиной, ус ло вн о принятой за
еди н и ц у этой величины .
Таким образом, прежде всего
необходимо выбрать единицу для
измеряемой величины, в данном
случае — длины.
В настоящ ее время принята еди­
ная для всех стран единица длины —
м е т р (сокращенно м).
1 метр — это единица длины , р а в ­
ная расстоянию между двум я штри­
хам и, нанесенны м и на стержне осо­
бой формы, изготовленном из сп л а ­
ва платины и иридия.
Недавно предложено новое, более
точное определение метра. Метр —
это расстояние, на которое распро­
страняется в ва куум е плоская э л е к ­
тромагнитная во лн а за 1/299792458
долю секунды . Это не есть какой-то
новый метр. Это тот ж е метр, но
определенный более точно.
Единицу времени тоже можно
выбрать произвольно. Но нельзя,
разумеется, изготовить эталон вре­
мени в виде какого-то предмета, вро­
де линейки-метра. Эталоном единицы
времени может служить продолжи­
тельность какого-нибудь правильно
повторяющегося процесса. В настоя­
щее время в качестве такого про­
цесса выбрано движение Земли во­
круг Солнца: один оборот Земля
26
соверш ает за год. Но за единицу
времени принимается не год, а опре­
деленная часть года — с е к у н д а
(сокращенно с ):
секунда равна
1 /8 6 400 части средних солнечных су­
т о к 1.
Кроме длины и времени, мы уже
имели дело еще с одной величи­
ной — скоростью. Нужно ли и для нее
выбирать
специальную
единицу?
Этого, оказывается, можно не д е ­
лать, потому что скорость, как мы
знаем, связан а с длиной и временем
формулой: v = -j~. И з нее видно, что
если за 1 с тело соверш ает пере­
мещение, равное по модулю 1 м, то
скорость будет равна единице (1 -^-).
Скорость такого тела и можно при­
нять за единицу скорости. З а ед и­
ницу скорости принимают скорость
такого равном ерного п р ям о ли н ей ­
ного движ ения, при котором тело
(точка) за 1 с перемещается на
расстояние 1 м.
В каких же случаях надо вы­
бирать специальную единицу, а в
каких не надо?
М еж ду физическими величинами
существуют определенные зав и си ­
мости, потому что все явления при­
роды связаны между собой. Эти с в я ­
зи вы раж аю тся в виде математиче­
ских формул. Такие ж е формулы
связы ваю т и единицы физических
величин. Поэтому единицы одних
величин могут быть выражены через
единицы других. Например, единица
скорости в ы р а ж ае тся через еди­
ницы длины и времени.
1 Это упрощ енное определение секунды,
которое разреш ен о применять в средней
ш коле. Строгое определение секунды см. на
переднем ф орзаце.
М ож но выбрать небольшое число
величин — их называю т основны ­
ми — и для них произвольным о б р а ­
зом установить единицы. Единицы
же для всех других величин (произ­
водных величин) можно тогда уста­
новить на основании мгтематических
формул, которые связы ваю т их с ос­
новными величинами.
Совокупность установленных т а ­
ким образом единиц для всех ф изи­
ческих величин н азы вается системой
единиц.
Системы единиц могут быть р а з ­
ные. Они отличаются одна от другой
САМОЕ ВАЖ НО Е
В ПЕРВОЙ
и набором основных величин и вы­
бором единиц для этих величин.
В настоящее
время
принята
М еж дународная
система
единиц
(сокращенно СИ — Система И н тер­
национальная) .
М еж дун ародн ая система единиц
строится на основе семи основных
величин. В их число входят и длина и
время. Метр, как единица длины, и
секунда, как единица времени, вхо­
дят в СИ (см. передний ф о р за ц ).
С другими основными величина­
ми и их единицами мы познакомимся
в других частях курса.
ГЛАВЕ
Явление механического движ ения состоит в том, что полож е­
ние тел относительно других тел, т. е. их координаты, с течением
времени изменяется.
Д л я определения положения тела (ego координат) в любой
момент времени нужно знать начальные значения его координат
и вектор перемещения, потому что изменения координат как раз
и равны проекциям вектора перемещения на соответствующие
координатные оси.
Чтобы найти вектор перемещения, нужно знать скорость.
При прямолинейном равномерном движении скорость — вели­
чина постоянная, р авн ая отношению вектора перемещения тела к
промежутку времени, за который перемещение совершено.
Если направить координатную ось вдоль прямой, по которой
происходит движение (в направлении движения или против него),
то положение тела определяется всего одной координатой. Эта
координата (например, х) вычисляется по формуле x = x 0-\-v xt,
где х 0 — начальная координата и их — проекция скорости д в и ­
жения v на координатную ось X.
Д виж ение относительно. Это значит, что перемещение, ско­
рость, траектория движения различны относительно разных
систем координат.
Относителен и покой. Абсолютно покоящихся тел не сущ ест­
вует: тело, покоящееся относительно одной системы координат,
движется относительно каких-то других систем. М атерия сущ ест­
вует только в движении.
ГЛА ВА 2
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ НЕРАВНОМЕРНОЕ Д В И Ж Е Н И Е
СКОРОСТЬ М О Ж Е Т ИЗМ ЕНЯТЬСЯ
Прямолинейное равномерное д ви ­
жение, т. е. движение с постоянной
(по модулю и направлению) ско­
ростью, не очень часто встречается
на практике. Гораздо чащ е прихо­
дится иметь дело с такими д в и ж е ­
ниями, при которых скорость д в и ж е ­
ния со временем изменяется. Такие
движ ения называю тся неравном ер­
ными.
Неравномерно д виж утся обыч­
но автомобили, самолеты и т. д.
§ 10. С К О Р О С Т Ь
ПРИ
НЕРАВНОМЕРНОМ Д ВИ Ж ЕН И И
Средняя скорость. В некоторых
случаях, когда имеют дело с нерав­
номерным движением, пользуются
средней скоростью. Ее получают,
разделив перемещение тела s на вре­
мя, в течение которого оно совер­
шено:
Если, например, поезд, двигаясь
по прямой, проходит 600 км за
10 ч, то это значит, что в среднем
он за каждый час проходит 60 км.
Но ясно, что какую-то часть времени
поезд вовсе не двигался, а стоял на
остановке; трогаясь со станции, по­
езд увеличивал свою скорость, при­
б л и ж а я сь к ней — уменьшал ее. Все
это при определении средней ско­
рости мы не принимаем во внима­
ние и считаем, что поезд каждый
час проходил по 60 км, каждые
полчаса — по 30 км и т. д. П ользуясь
формулой у ср= - ^ - ,
мы
как
бы
считаем, что поезд двигался равн о­
28
Неравномерно движ утся падаю щие
тела, тела, брошенные вверх.
При неравномерном движении
определять перемещение по ф ор­
муле s = v t уж е нельзя, потому что
скорость в разных местах траектории
и в разны е моменты времени р а з ­
лична. К ак ж е определить переме­
щение тела, а значит, и его коорди­
наты при неравномерном движении?
Что такое скорость при неравномер­
ном движении?
мерно со скоростью 60 к м /ч , хотя,
,быть может, за все эти 10 ч не было
ни одного такого часа, за который
поезд прошел бы именно 60 км.
Знание средней скорости позво­
ляет найти перемещение по формуле
Но надо помнить, что эта форму­
л а дает верный результат только для
того участка траектории, д ля кото­
рого определена средняя скорость.
Если, пользуясь значением средней
скорости в 60 км /ч, вычислять пе­
ремещение поезда не за 10 ч, а за
2, 4 или 5 ч, то мы получим невер­
ный результат. Средняя скорость
за время 10 ч не равна средним
скоростям за 2, 4 или 5 ч.
Таким образом, средняя скорость,
вообще говоря, не позволяет вычис­
л ять перемещение, а значит, и коор­
динаты в любой момент времени.
Д л я вычисления полож ения тела
в любой момент времени скорость
все-таки нужно знать, но не сред­
нюю, а т а к называемую м гновенную
скорость.
Мгновенная
скорость.
Всякое
д ви ж ущ ееся тело обладает ско­
ростью. С другой стороны, при своем
движении по траектории тело про­
ходит через все ее точки. А таких
точек бесконечно много. Через к а ж ­
дую из них тело проходит в опреде­
ленный момент времени. Таких мо­
ментов времени тож е бесконечно
много. Выходит поэтому, что в к а ж ­
дый момент времени и в каждой точ­
ке траектории тело обладает какойто скоростью. Вот эта скорость и
назы вается мгновенной. М гновенной
скоростью тела называется скорость
тела в данны й момент врем ени или
в данной точке траектории.
При прямолинейном равномер­
ном движении скорость тела равна
отношению его перемещения к про­
межутку времени, за который это
перемещение совершено. Этому о т­
ношению равна и средняя скорость
при неравномерном движении. Оно
же поможет нам понять и смысл
мгновенной скорости.
Допустим, что некоторое тело
(как всегда, мы имеем в виду опре­
деленную точку тела) движется п ря­
молинейно, но не равномерно. Нас
интересует мгновенная скорость, на­
пример, в точке А его траектории
(рис.
37).
Выделим
небольшой
участок 1 на этой траектории, вклю­
чающий точку А . М алое перемещение
тела на этом участке обозначим
через si, а малый промежуток вре­
мени, в течение которого оно со­
вершено, через
Р азд ел и в si на
t\, мы получим среднюю скорость
на этом участке; это именно средняя
скорость, потому что скорость непре­
рывно изменяется, и в разных
местах участка она разная.
Уменьшим теперь длину участка.
Выберем участок 2 (см. рис. 37),
тож е включающий точку А . П ере­
мещение теперь равно s 2 (s 2< s i ) ,
и соверш ает его тело за меньший
промежуток времени t 2■ Н а этом
участке скорость успевает изменить­
ся на меньшую величину. Но отноS2
шение — дает нам и теперь сред­
нюю скорость на этом меньшем
участке. Еще меньше изменение ско­
рости „ на протяжении участка 3
(такж е включающего в себя точ­
ку А ) , меньшего, чем участки 1 и 2.
Разд ел и в перемещение s 3 на про­
межуток времени ts, мы опять по­
лучим среднюю скорость на этом
малом участке траектории.
Будем продолж ать уменьшать
промежуток времени, за который
мы рассматриваем перемещение т е ­
ла. Вместе с ним будет ум еньш ать­
ся и перемещение. В конце концов
промежуток времени станет так мал,
что можно будет пренебречь изм е­
нением скорости за это время (дви­
жение станет ка к бы равномерны м).
Т раектория
29
Участок траектории, пройденный за
этот, совсем у ж е малый, промежуток
времени как бы стянется в точку А,
а промежуток времени — в момент
времени. Тогда-то средняя скорость
и станет мгновенной скоростью тела
в точке А.
М гн о вен на я скорость, или ско­
рость в данной точке, равн а отно­
ш ению достаточно м алого переме­
щ ения на участке траектории, в к л ю ­
чаю щ ем эту точку,
к
м алом у
промежутку времени, в течение кото­
рого это перемещ ение совершается.
Мгновенная скорость — это век­
торная величина. Направление век­
тора мгновенной скорости совпа­
д ает с направлением движения в
данной точке. В дальнейшем, говоря
о скорости неравномерного д в и ж е ­
ния, мы будем иметь в виду именно
мгновенную скорость.
О мгновенной скорости можно
говорить и в случае равномерного движения. Разн иц а только в
том, что при равномерном д в и ж е ­
нии мгновенная скорость в любой
точке и в любой момент времени
одна и та же. При неравномерном
же движении она в разных точках
и в различные моменты времени р а з ­
лична.
Прием, к которому мы прибегли,
чтобы пояснить смысл мгновенной
скорости, состоит, таким образом, в
следующем.
Участок
траектории,
включающий интересующую нас точ­
ку и время, в течение которого он
проходится, мы мысленно постепен­
но уменьшаем до тех пор, пока
участок у ж е нельзя отличить от точ­
ки и неравномерное движение от р а в ­
номерного. Таким приемом всегда
пользуются, когда исследуются я в л е ­
ния, в крторых играют роль непре­
рывно
изменяющиеся
величины1.
Вопросы
1. Ч то т а к о е с р е д н я я с к о р о с ть ? К ак о н а
определяется?
2. М о ж н о
за
3. Ч то т а к о е
м гн о в е н н а я
с к о р о с ть ?
Как
н а п р а в л е н в е к т о р м г н о в е н н о й с к о р о с ти ?
ли,
зная
определенны й
средню ю
пром еж уток
скорость
врем ени,
4. Ч ем о тл и ч а е тс я
при
равном ерном
м гн о в е н н а я с к о р о с т ь
прям олинейном
движ е­
найти п е р е м е щ е н и е , с о в е р ш е н н о е т е л о м за
нии о т м г н о в е н н о й с к о р о с т и п р и н е р а в н о м е р ­
л ю б у ю часть э т о г о п р о м е ж у т к а ?
ном движ ении?
Упражнение 5
1.
о д н о го
П оловину
п у н к та
в
врем ени
д р уго й
пр и
переезде
автом обиль
дви­
и зс п о с т о я н н о й
средней
скор остью
скор остью
60 к м / ч .
д в и га л ся
С
како й
а в то м о б и л ь ?
гался с п о с т о я н н о й с к о р о с т ь ю 60 к м /ч . С ка ­
кой
п о стоя нно й ск о р о с ть ю
гаться
оставш ееся
он д о л ж е н д в и ­
время,
есл и
средняя
с к о р о с т ь д в и ж е н и я ра вна 65 к м /ч ?
h
П ервую
п о л о в и н у пу ти д о м е с та
зн а ч е н и я а в т о м о б и л ь
скор остью
30
50
к м /ч ,
на­
прош ел
с п о стоянно й
а вторую
половину —
1 Краткое, но вы разительное описание
этого приема, составляю щ его основу, так
назы ваем ого, ди ф ф еренц иального исчисле­
ния, мож но найти на первой странице
третьей части III тома ром ан а Л . Н. Т ол­
стого «Война и мир».
§ 11. У С К О Р Е Н И Е . Р А В Н О У С К О Р Е Н Н О Е Д В И Ж Е Н И Е
При неравномерном движении
мгновенная скорость тела непре­
рывно изменяется от точки к точке,
от одного момента времени до д р у ­
гого. К ак же вычисляется мгновен­
ная скорость?
Мы видели раньше, что для вы­
числения координаты тела в любой
момент времени нужно знать, как
быстро она изменяется, т. е. каково
ее изменение за единицу времени.
Быстрота
изменения
координаты
равна, как мы видели, проекции ско­
рости на соответствующую коор­
динатную ось. Точно так ж е для вы­
числения скорости в любой момент
времени нужно знать, как быстро
изменяется скорость, на сколько она
изменяется за единицу времени.
Равноускоренное движение. Д л я
простоты мы будем рассматривать
такое неравномерное движение, при
котором скорость тела за каждую
единицу времени и вообще за любые
равные промежутки времени и з­
меняется одинаково. Такое движение
назы ваю т равноускоренным. Д в и ­
ж ение тела, при котором его ско­
рость за лю бы е равны е промежутки
врем ени изменяется одинаково, н а ­
зывается равноускоренны м движ е­
нием.
Если в некоторый начальный
момент времени скорость тела равна
у0, а через промежуток времени t
она оказы вается равной и, то, для
того чтобы узнать, на сколько ско­
рость изменилась за единицу време­
ни, нужно взять отношение измене­
ния скорости v — Уо к промежутку
,
~
V — Vo
времени t. Это отношение —-—
и
есть быстрота изменения скорости.
Ее называю т ускорением .
Ускорением тела при его р а вн о ­
ускоренном движ ении называется
величина, р а вн а я отношению изм е­
нения скорости к промежутку вре­
мени, в течение которого это и з ­
менение
произош ло.
О бозначаю т
ускорение буквой а:
а—
-Vо
( 1)
Так ка к ускорение равно произ­
ведению векторной величины v — v 0
1
на скалярную величину — , то уско­
рение — величина векторная.
Если ускорение тела по модулю
велико, это значит, что тело быстро
набирает скорость (когда оно р а з ­
гоняется) или быстро теряет ее
(при тормож ении).
З н а я ' начальную скорость те­
ла vo и его ускорение а, можно
найти скорость v тела в любой
момент времени. Действительно, из
формулы ( 1) следует, что
(2 )
v = v 0 + at.
Единица
ускорения.
Так
как
V — v0
1
'
вен единице, если равен единице мо­
дуль изменения скорости v — Vo и
равен единице промежуток време­
ни t. Поэтому за единицу ускорения
в СИ принимается ускорение такого
равноускоренного движ ения,
при
котором за I с скорость тела изм е­
няется на 1 м /с . Следовательно, в
СИ ускорение в ы р аж ается в м е т ­
р а х в с е к у н д у за с е к у н д у
или в м е т р а х на с е к у н д у в
квадрате ( м /с 2).
Проекции скорости и ускорения.
Мы уже говорили, что при вычисле­
ниях нужно пользоваться ф о р м у л а­
31
ми, в которые входят не векторы,
а их проекции на оси координат.
При прямолинейном движении
векторы Do и v направлены вдоль
одной прямой. Эта п рям ая в то же
время есть траектория движения.
Вдоль этой ж е прямой удобно н а­
править и координатную ось (на­
пример, ось X ) .
В § 5 мы видели, что проекция
суммы двух векторов на какую-ни­
будь ось равна сумме их проекций
на ту же^ось. Обозначим проекции
векторов и, uo и а через v x, v 0x и ах.
Тогда из уравнения (2) следует, что
Vx
—
(3)
V q x ~{~ CLx l .
Так как все три вектора и, v0 и а
л е ж а т на одной прямой (на оси X ) ,
то модули их проекций равны моду­
лям самих векторов, а знаки проек­
ций определяются тем, как н ап р ав л е­
ны векторы по отношению к оси.
Если знаки проекции векторов и0 и
а совпадают, то модуль скорости v
возрастает с течением времени —
тело разгоняется. Если же знаки
проекций и0 и а противоположны,
то модуль скорости v с течением
времени уменьшается — тело тормо­
зится. Векторы v, v 0 и а при дви­
жении с возрастаю щ ей скоростью
сонаправлены. При торможении век­
тор а направлен противоположно
векторам v и у0О движении тел при торможении.
Обычно движение с возрастающей
по модулю скоростью н азы ваю т уско­
ренным движением. Д ви ж ени е же с
убывающей скоростью — зам ед лен ­
ным движением. Но в механике л ю ­
бое движение с изменяю щ ейся ско­
ростью назы ваю т ускоренным д ви ­
жением. Трогается ли автомобиль с
места (скорость р а с т е т !), или тормо­
зит (скорость уменьш ается!), в обо­
их случаях он дви ж ется с ускоре­
нием. Ускоренное движение отли­
чается от замедленного лиш ь знаком
проекции вектора ускорения на ко ­
ординатную ось.
Если скорость тела с течением
времени уменьшается (тело торм о­
шится), то в какой-то момент вре­
мени скорость тела может стать
равной нулю. К ак оно дви ж ется
после этого? Ясно, что, когда какаялибо величина, изменяясь, проходит
через значение нуль, она изменяет
свой зн ак на противоположный.
В нашем случае изменяет зн ак ско­
рость. Это значит, что после того,
как скорость тела станет равной ну­
лю, оно начнет двигаться в проти­
воположном направлении (см. з а д а ­
чу 2 на с. 33).
Вопросы
1. Ч то т а к о е у с к о р е н и е и д л я
6 . К ак н а п р а в л е н в е к т о р у с к о р е н и я п р и
ч е го е го
н у ж н о знать?
прям олинейном
2. П ри л ю б о м н е р а в н о м е р н о м д в и ж е н и и
7. С к о р о с т ь —
и з м е н я е т с я с к о р о с т ь . К ак у с к о р е н и е х а р а к ­
3. Ч ем
4. Ч то
о тл и ч а е тс я
движ ение
такое
«зам едленное»
от
пря­
« у с к о р е н н о го » ?
равноускоренное
дви­
ж ение?
5. М о ж е т ли т е л о д в и га ть с я с б о л ь ш о й
ско р о сть ю , но с м алы м ускорением ?
32
движ е­
векторная
ве л и ч и н а ,
и
и з м е н я ть с я м о ж е т ка к м о д у л ь с к о р о с т и , так
т е р и з у е т это и з м е н е н и е ?
м олинейное
неравном ерном
нии?
и н а п р а в л е н и е в е к т о р а с к о р о с т и . Ч то и м е н ­
но
и з м е н я е тс я
пр и
прям олинейном
равно­
ус к о р е н н о м движ ении?
8. М о ж е т
б ы ть
нул ю ?
равной
ли
скор ость
нулю ,
движ ения
а ускорение
не
тела
равно
ПРИМ ЕРЫ
РЕШ ЕНИЯ
ЗАДАЧ
1. А в то м о б и л ь п р о е з ж а е т м им о н а б л ю д а ­
теля , д в и га я с ь со с к о р о с ть ю
10 м /с .
Рис. 38
В этот
м ом ент вод и те ль н а ж и м а е т на то р м о з и а в т о ­
м об ил ь
начинает
д в и га ть с я
с
ускор ени ем ,
по м о д ул ю ра в н ы м 1,0 м /с 2. С к о л ь к о времени
п р о й д е т до о с т а н о в к и а в то м о б и л я ?
Р е ш е н и е . Выберем за начало
отсчета координаты место н ах о ж ­
дения наблю дателя, а координатную
ось направим в сторону движения
автомобиля (рис. 38). Обозначим
скорость автомобиля в момент, когда
он проходит мимо наблюдателя, че­
рез ко, а его ускорение после вклю ­
чения тормоза через а.
Воспользуемся формулой vx—
= v0x + axt. Здесь vx, v0x и ax — соот­
ветственно проекции конечной ско­
рости v, начальной скорости у0 и
ускорения а на ось X.
Скорость автомобиля сонаправлена с осью X, поэтому v0x = V0 ,
а так как скорость его уменьшается,
то ах = — а. В момент остановки
v x = 0. Следовательно, 0 = и0 — at,
Vo
Подстаили at = vo- Отсюда t
с
вив в это выражение
Уо и а, получим
значения
10 с.
1,0
2.
по
V\x — Vq—
Vix
м о д ул ю
м ом ент времени
равно
4
м од уль
м /с 2.
В
с к о р о с ти
не кото ры й
тела Ио =
= 20 м /с . Н а й д и те ск о р о с ть т е л а через 11 =
—4 с и
<2
= 8 с после э т о го м ом ента.
Р е ш е н и е . Н аправим коорди­
натную ось X по направлению век­
тора скорости и0- Тогда проекция
v0x положительна и равна модулю
вектора у0: vox—-vo- А так как ско-
=
ь
•4 с = 4
20
а для момента времени t2:
v2x = v 0 — a t2',
V2x = = 20
м
—
С
-
„2
С =
Зн а к «минус» означает, что к исхо­
ду 8-й секунды тело двигалось в н а ­
правлении, противоположном н а ­
чальному. Очевидно, что перед тем,
как начать движение в обратном
направлении, тело долж но было
остановиться. В какой момент вре­
мени t' это произошло? Проекция
v x равна нулю, когда v 0x= — axt'
Тело д в и ж е т с я п р я м о л и н е й н о с у м е н ь ­
ш а ю щ е й с я с к о р о с ть ю . У ско рени е а п о с то я н н о
и
рость тела уменьшается, то проек­
ция ускорения ах отрицательна и
равна — а: ах = — а.
Чтобы найти проекцию скорости
их в указанны е в зад ач е моменты
времени, применим формулу v x =
= Vox-\- axt. Отсюда д ля момента вре­
мени t найдем:
Отсюда / ' -
Vox
dX
20t' =
—4
= 5 с. Н аправление движения изме­
нилось на обратное через 5 с после
того момента, когда скорость тела
была равна 20 м /с.
Д ви гаться так, как описано в этой
задаче, могло бы, например, тело,
которое толкнули вверх по наклон­
ной плоскости.
33
Упражнение 6
1. Т р о л л е й б у с ,
ж ется
Через
с
т р о га я с ь
постоянны м
какое
врем я
с
м еста,
ускорением
он
дви­
1,5
м / с 2.
приобретает
ско­
р о с ть 54 к м /ч ?
2. А в т о м о б и л ь ,
ро стью
можении
36
к м /ч ,
в течение
ны м ускор ением
движ ущ ийся
о с та н а в л и в а е тс я
4 с. С
д виж ется
каким
со
ско­
при
тор­
п о стоя н­
автом обиль
пр и
3. А в т о м о б и л ь ,
д в и га я сь
с
п о с то я н н ы м
у с к о р е н и е м , на н е к о т о р о м у ч а с т к е пути у в е ­
личил
свою
какое
врем я
скорость
с
15
произош ло
до
это
25
м /с .
За
увеличение,
есл и у с к о р е н и е а в т о м о б и л я р а в н о 1,6 м / с 2.
4. Какая
д о с т и гн у т а ,
скорость
есл и
бы
движ ения
тело
была
в течение
бы
0,5 ч
д в и га л о с ь с у с к о р е н и е м 10 м / с 2 п р и на ча л ь­
ной с к о р о с т и , р а в н о й нул ю ?
торм ож ении?
§ 12.
ПЕРЕМЕЩ ЕНИЕ
ПРИ
ПРЯМОЛИНЕЙНОМ
РАВНОУСКОРЕННОМ
ДВИЖ ЕНИИ
Теперь мы должны выяснить с а ­
мое главное — как изменяется коор­
дината тела при его прямолинейном
равноускоренном
движении.
Для
этого, ка к мы знаем, нужно знать
перемещение тела, потому что про­
екция вектора перемещения как раз
и равна изменению координаты.
Формулу для вычисления переме­
щения проще всего получить гр аф и ­
ческим методом.
При равноускоренном движении
тела вдоль оси X скорость изме­
няется со временем согласно ф ор­
муле vx = vox + axt. Так как время в
эту формулу входит в первой степе­
ни, то график для проекции ско­
рости в зависимости от времени
представляет собой прямую, как это
показано на рисунке 39. П р я м ая 1
на этом рисунке соответствует двиР ис. 3 9
34
жению с положительной проекцией
ускорения (скорость растет), пря­
мая 2 — движению с отрицательной
проекцией ускорения (скорость убы­
вает). Оба графика относятся к слу­
чаю, когда в момент времени t — 0
тело имеет некоторую начальную
скорость voПеремещение выражается пло­
щадью. Выделим на графике ско­
рости равноускоренного движения
(рис. 40) маленький участок ab
и опустим из точек а и Ь перпенди­
куляры на ось t. Д л и н а отрезка cd
на оси t в выбранном масштабе
равна тому малому промежутку
времени, за который скорость изме­
нилась от ее значения в точке а до ее
значения в точке Ь. П од участком ab
графика получилась узкая полоска
abccL.
Если промежуток времени, соот­
ветствующий отрезку c d , достаточно
мал, то в течение этого малого
времени скорость не может заметно
измениться — движение в течение
этого малого промеж утка времени
можно считать равномерным. П о­
лоска abed поэтому мало отличается
от прямоугольника, а ее площ адь
численно равна проекции переме­
щения за время, соответствующее
отрезку cd (см. § 7).
Но на такие узкие полоски м о ж ­
но разбить всю площ адь фигуры,
расположенной под графиком ско­
рости. Следовательно, перемещение
за все время t численно равно пло­
щади трапеции О АВС . П л ощ адь же
трапеции, как известно из геометрии,
равна произведению полусуммы ее
оснований на высоту. В нашем слу­
чае длина одного из оснований чис­
ленно равна v 0x, другого — v x (см.
рис. 40). Высота же трапеции чис­
ленно равна t. Отсюда следует,
что проекция s x перемещения вы­
р а ж а е тс я формулой
Vox
Но
v x = v0x + axt.
Vox
+ Vox + Qxt
t.
Значит,
s x=
„
= ------- ^------- t. Отсюда
Рис.41
*Х1
Jr
О
t
При пользовании формулами (1)
(2) Н у Ж Н О П О М Н И Т Ь , ЧТ О S x , V o x и
v x могут быть как положительными,
так и отрицательными — ведь^ это
проекции векторов s, v0 и v на
ось X.
Таким образом, мы видим, что
при равноускоренном движении пе­
ремещение растет со временем не
так, как при равномерном движении:
теперь в формулу входит квад рат
временя. Это значит, что переме­
щение со временем растет быстрее,
чем при равномерном движении.
Как зависит от времени коорди­
ната тела? Теперь легко получить
и формулу для вычисления коорди­
наты х в любой момент времени
д ля тела, движ ущ егося равноуско­
ренно. В § 5 мы видели, что про­
екция sx вектора перемещения равна
изменению координаты х — х 0. П о ­
этому формулу ( 1) можно записать
И
в виде х — x 0 = v 0xt + —тг~-
Отсюда
( 1)
Если проекция vqx начальной ско­
рости равна нулю (в начальный
момент времени тело покоилось!),
то формула ( 1) принимает вид:
(2)
Г рафик скорости такого движения
показан на рисунке 41.
(3)
Из формулы (3) видно, что, для
того чтобы вычислить координату х
в лю бой момент врем ени t, нужно
знать н а ч а льн ую координату, н а ­
чальную скорость и ускорение.
Формула (3) описывает прямо­
линейное равноускоренное д в и ж е ­
ние, подобно тому как формула (2 )
35
§ 6 описывает прямолинейное р а в ­
номерное движение.
Другая формула для переме­
щения. Д л я вычисления перемеще­
ния можно получить и другую по­
лезную формулу, в которую время
не входит.
Из выражения v x = Vox-\- axt по­
лучим
выражение
для
времени
. Vx Vox
,
t — — -— и подставим его в ф ор­
мулу для перемещения s x, приве­
денную выше. Тогда получаем:
Vox{v, — Vox)
+
Отсюда
V x — Vox
2 ах
или
)
ах
(4)
v'i — vox = 2 axs x.
Эти формулы позволяют найти пере­
мещение тела, если известны уско­
рение, а так ж е н ачальная и конеч­
ная скорости движения. Если н а ­
чальн ая скорость у0 равна нулю,
формулы (4) принимают вид:
, ах /Vx—Vox\ 2
+ ТЛ
'
Vx
■
Ух = 2 axs x
2 ах '
Вопросы
1. Ч ем
о т л и ч а е тс я
гр а ф и к
скор ости
р а в н о уско р е н н о го
р а в н о м е р н о г о п р я м о л и н е й н о г о д в и ж е н и я от
гр а ф и к а с к о р о с т и р а в н о у с к о р е н н о г о д в и ж е ­
ния?
по
граф ику
ПРИМ ЕРЫ
проекции
ско р о сти
РЕШ ЕНИЯ
т о ф о р а , н а ж а л н а торм оз.
П осле э т о го с к о ­
р о с ть
у м е н ь ш а ть с я
м /с
ния,
каж дую
которы е
стала
секунду.
а в то м о б и л ь
Н а й д и те
проходит
на
ра сстоя­
в
пер­
вые 2 с после н а ч а л а т о р м о ж е н и я и до п о л ­
ной е го о с т а н о в к и .
Р е ш е н и е . Координатную ось X
направим по направлению движения
автомобиля (рис. 42), а за начало
Р ис. 4 2
п
ОДИ М цМ_______________ „
о
36
Чем
от
различаю тся
времени
при
з а в и с и м о с ти
равном ерном
пере­
и
ЗАДАЧ
ско р о с ть ю 72 к м /ч , ув и д е в к р а с н ы й свет све­
а в то м о б и л я
определяю т
р а в н о уско р е н н о м движ ениях?
В од ител ь а в т о м о б и л я , д в и ж у щ е г о с я соотсчета
1.
5
3.
м ещ ения
2. К ак
движ ения
п р о е к ц и ю п е р е м е щ е н и я тела?
х
координаты примем то место
на дороге, где началось тор м о ж е­
ние. Н ач ал о отсчета времени отне­
сем к моменту, когда водитель н а­
ж а л на тормоз.
Н а ч ал ь н ая скорость у0 автом о­
биля сонаправлена с осью X, а
ускорение направлено в противопо­
ложную сторону, так что проекция
начальной скорости у0х полож итель­
на, а проекция ускорения ах — от­
рицательна. Значит, у0х = у0 и ах =
= — а. Расстояния, пройденные а в ­
томобилем,— это проекции переме­
щения s x, a s x = x — х0. Т а к как
х0 = 0 , то нужно найти коорди­
наты х\ и х 2 автомобиля через 2 с
после н ачала тормож ения и в момент
остановки. Координату х, (через 2 с)
найдем
по формуле
(3 ):
at2
X, = XQ-\-V o t----- 2~ >
5 - у • 4 с2
X] = 0 + 20 -^—2 с --------^ ----- = 30 м.
Координату лгг можно найти по фор
муле (4), поскольку нам известны
н ач ал ьн ая и конечная скорости.
Конечная скорость v равн а нулю
(автомобиль
остановился),
так
vlx
,
ЧТО s x = X2 — X0= ---- 2 а7 (здесь Хо
тож е равна нулю), значит:
«тау») проекция скорости v x равна
нулю. Но v x = vox-\-axt\. Поэтому
0 = vox + a xtu
ах = -----у*- .
откуда
11
Все время движения
Следовательно,
-К )'
равно
2т.
(2т)2
х 2 = ------------= 40 м.
Sx =
V o x - 2 t - \ ---------------- ---------- =
= 2 и0*т — 1 ^ 1 __ о
2.
О пр ед ел и те перем ещ ение тела, гр а ф и к
п р оекц и и
с к о р о с ти
к о т о р о го п о к а з а н
на р и ­
сун ке 43.
Р е ш е н и е . Проекцию s x переме­
щения находим по формуле s x =
CLxt2
= voxt Н— 5- • И з рисунка 43 видно,
что
при
t\ = т
(греческая
буква
Ответ показывает, что график рисун­
ка 43 соответствует движению тела
сн ачала в одном направлении, а з а ­
тем на такое ж е расстояние в про­
тивоположном направлении, в ре­
зультате чего тело оказы вается в
исходной точке.
Упражнение 7
1. П о с т р о й т е в к о о р д и н а т н ы х ося х (х , f)
гр а ф и к и
скорости
двух
тел,
движ ущ ихся
р а в н о у с к о р е н н о : о д н о с во зр аста ю щ ей по м о ­
дулю
скор остью ,
д р уго е —
Н а ча л ьн ы е с к о р о с т и
с
и В
тел с о о т ­
вы раж ения
3. П о л ь зуя сь
сунке
проекций
тел,
вы полните
следую щ ие
трех
а)
оста н о вки ? Ч е р е з к а к о е в р е м я с к о р о с т и о б о и х
с тав ь те
тел ста н у т о д и н а к о в ы м и и к а к о й п у ть п р о й ­
сим о сти
д е т за это в р е м я п е р в о е тело?
в
проекций
скоростей
изображ ены
движ ения
гр а ф и к и
трех
тел.
и на­
и
приведенны м и
гр а ф и к а м и
1,5 м / с 2. К а к о й путь п р о й д е т в т о р о е т е л о д о
44
скор ости
45
в е т с т в е н н о р а в н ы : 1 м / с и 0,5 м / с 2; 9 м / с и
2. На р и с у н к е
для
пере­
м е щ е н и я эти х тел.
убы ваю щ ей.
и ускорения
граф ика? О п р е д е л и т е у с к о р е н и я
пиш ите
определите
чем
жения,
для
ускорения
ка ж д о го
скорости
сходны
и
тела
от
в
рисунке
46
ри­
задания:
тел;
б)
ф орм улу
времени;
чем
соответствую щ и е
4. На
эти х
на
скоростей
в)
со­
зави ­
н а й д и те ,
ра зл ич аю тся
дви­
гр а ф и к а м
и
приведены
2
3?
гр а ф и к и
К а ко в х а р а к т е р д в и ж е н и я э т и х тел? Ч то м о ж ­
п р о е к ц и й с к о р о с т е й д в и ж е н и й т р е х те л . П о
но сказа ть о с к о р о с т я х д в и ж е н и я тел в м о ­
э т и м гр а ф и к а м : а) о п р е д е л и т е , ч е м у с о о т в е т ­
м енты вре м е ни , со о тве тствую щ и е точкам А
с т в у ю т о т р е з к и О А , О В и О С на о с я х к о о р д и -
37
Рис. 4 4
на т;
б)
ш и те
Рис.45
н а й д и те
вы раж ения
ускорения
д ля
тел;
скор ости
в)
и
напи­
перем е­
Рис. 46
после
щ е н и я к а ж д о г о тела.
5. С а м о л е т пр и
ную
имеет
ускорением
скор ость
лош адь
д в и га л с я
100
м /с .
сам олет
С
по
со
что
0,001
с, и п о с л е э т о г о е г о с к о р о с т ь
снаряда
200
в толщ е
стенку
скор остью
м /с ,
равной
м /с .
стенки
п о сл е
« р а з го н и тс я »
в з л е тн о й
1000
вается
он
все
время
дви­
п о ка за л и ,
т о го ,
ка к она,
на п р о т я ж е н и и
лош адь
что
ска ко в а я
наибольш ей
ска ч е т
с
скор ости
приняв
старт,
30 м . С чи та я,
постоянны м
ускоре­
н и е м , н а й д и те это у с к о р е н и е .
л е тя щ и й
пробивает
бы
д о с т и га е т
15 м / с
каким
п о л о с е и ка ко ва е е длина?
6. С н а р я д ,
если
9. Н а б л ю д е н и я
в з л е те п р о х о д и т в з л е т­
п о л о с у за 15 с и в м о м е н т о т р ы в а о т
зем ли
старта,
гался п р я м о л и н е й н о с у с к о р е н и е м 9,8 м / с 2?
блиндаж а
10. Ч то б ы о т о р в а ть с я о т з е м л и , с а м о л е т
за
д о л ж е н н а б р а ть с к о р о с т ь 180 м / с . На к а к о м
оказы ­
р а с с то я н и и о т м е ста ста р та на в з л е т н о й п о ­
движ ение
л о с е с а м о л е т д о с т и га е т э т о го з н а ч е н и я с к о ­
равноускоренны м ,
р о с т и , если е г о у с к о р е н и е п о с т о я н н о и р а в н о
С чи та я
н а й д и те е е т о л щ и н у .
2,5 м / с 2?
7. Р акета д в и ж е т с я с у с к о р е н и е м 45 м / с 2
11. П а с с а ж и р с к и й п о е з д т о р м о з и т и д в и ­
и к н е к о т о р о м у м о м е н т у в р е м е н и д о с т и га е т
ж ется
скор ости
р а с с то я н и и
900 м / с . К а к о й
путь она
пройдет
в с л е д у ю щ и е 2,5 с?
с
ускорением
от
0,15
м е ста
м / с 2.
На
вклю чения
каком
торм оза
с к о р о с т ь п о е з д а ста н е т р а в н о й 3 ,8 7 м /с , если
8 . На к а к о м р а с с то я н и и
от
Зем ли
ока­
в м о м е н т начала т о р м о ж е н и я с к о р о с т ь б ы л а
зался бы к о с м и ч е с к и й к о р а б л ь ч е р е з 30 м и н
54 к м /ч ?
Задания
1.
то р о го
П р и н а б л ю д е н и и за д в и ж е н и е м н е к о ­
те л а
врем ени f
д ля
б ы ли
определенны х
получены
м ом ентов
следую щ ие
зна­
По
э ти м
данны м
постро йте
на
м илли­
м е т р о в о й б у м а ге гр а ф и к з а в и с и м о с ти х о т t.
С равните
е го
с
гр а ф и ко м
(с м .
рис.
27)
ра в н о м е р н о го движ ения.
че ни я к о о р д и н а т ы х (с м . т а б л и ц у ).
2. П о
гр а ф и к у
проекции
скор ости
(см .
р и с . 43) п о с т р о й т е гр а ф и к м о д у л я с к о р о с т и .
t
0
5
10
15
20
25
30
4,8
10,8
19,2
30,0
43,2
3. С р а в н и в ф о р м у л ы
скорости
X м
0 1,2
д ля
на к о о р д и н а т н у ю
о сь
пр и
равно­
у с к о р е н н о м д в и ж е н и и ра вна п о л у с у м м е на­
чальной и кон ечн ой с к о р о сте й .
38
перем ещ ения
на с. 35— 36, д о к а ж и т е , что п р о е к ц и я с р е д н е й
Г а ли лей
ф изик
Галилео
(1 564— -1642) —
и астроном .
Он
первым
з н а м е н и ты й
прим енил
и та л ь я н с ки й
о п ы тн ы й
м етод
и с с л е д о в а н и я п р и р о д ы . О т к р ы л з а к о н ы п а д е н и я те л , у с т а н о ­
вил за ко н и н е р ц и и . И з о б р е л з р и т е л ь н у ю т р у б у и п р и м е н и л
ее
для
астроном ических
откры тий.
Зем ли,
К ак
Г а ли лей
сторонник
дваж ды
н а б л ю д е н и й , сд ел а в
теории
К оперника
привлекался
к
суду
ряд
о
ва ж н ы х
вращ ении
инквизиции,
в ы н у д и в ш е й е г о п у б л и ч н о о т р е ч ь с я от это й т е о р и и . С о гл а с ­
но
л е ге н д е ,
Г а ли лей
после
с в о е го
в ы н у ж д е н н о го
«о тре­
че ни я» в о с к л и к н у л : « А в с е -та к и в е р ти тс я !»
§ 13. С В О Б О Д Н О Е
ПАД ЕН И Е ТЕЛ.
Замечательный пример прямоли­
нейного равноускоренного д в и ж е ­
ния, наблю даю щ егося в природе,
представляет собой свободное паде­
ние тела и движение тела, брошен­
ного вертикально вверх.
Такие движения изучал еще в
конце XVI в. Г а л и л е о Г а л и л е й .
Он установил, что эти движения
равноускоренные, что ускорение н а ­
правлено по вертикали вниз. И з ­
мерения показали, что по модулю
оно равно 9,81 м / с 2.
Особенно удивительно и в течение
долгого времени было загадкой то,
что это уско р ени е одинаково д ля всех
тел.
Если взять стальной шар, фут­
больный мяч, развернутую газету,
птичье перо, все эти разнородные
предметы одновременно бросить с
высоты
в несколько
метров
и
наблю дать за их движением, то мы
увидим, что их ускорения разл и ч ­
ны. Но это объясняется тем, что
на пути к земле телам приходится
проходить сквозь воздух, который
мешает их движению. И если бы
можно было устранить мешающее
влияние воздуха, то ускорения всех
тел оказали сь бы одинаковыми.
В этом можно убедиться на опыте с
толстостенной трубкой длиной около
УС К О Р ЕН И Е СВО БО Д Н О ГО
ПАДЕНИЯ
метра, один конец которой запаян,
а другой снабжен краном.
Поместим в трубку три разных
предмета, например свинцовую д р о ­
бинку, кусок пробки и птичье перо.
Затем быстро перевернем трубку.
Все три тела упадут на дно трубки,
но в разное время: сн ач ал а д р о ­
бинка, затем пробка и, наконец,
перо (рис. 47). Так падают тела,
когда в трубке есть воздух. Стоит
Р и с .47
Р и с .4 8
Р и с .4 9
39
только воздух откачать насосом
(рис. 48) и, закры в кран после от­
качки, снова перевернуть трубку
(рис. 49), мы увидим, что все три
тела упадут одновременно. Это и
показывает, что в вакууме все тела
падают с одинаковым ускорением.
Такое падение в вакууме и н азы ­
вается свободным падением.
Чтобы отличать свободное паде­
ние от всех других ускоренных д ви ­
жений, принято ускорение свободно­
го падения обозначать буквой g
вместо а. Таким образом, вектор g
всегда направлен вниз: вниз тело
движ ется
с возрастающ ей
ско­
ростью, и скорость каж дую секунду
увеличивается на 9,8 м /с. Вверх
брошенное тело движ ется с убы­
вающей скоростью. Если, как это
обыч'но делают, направить коорди­
натную ось по вертикали (вверх
или вниз) и обозначить ее через У,
то модуль проекции g y будет равен
модулю вектора g, проекция будет
положительной, если ось У н а п р а в ­
лена вниз, и отрицательной, если
она направлена вверх.
САМ ОЕ В А Ж Н О Е ВО В Т О РО Й ГЛА ВЕ
Основная зад ач а механики — вычисление положения тела в
любой момент времени — решается по своеобразной «цепочке»:
чтобы найти координату точки, нужно знать ее перемещение, а
чтобы найти перемещение, нужно знать скорость. При прямоли­
нейном равномерном движении используется именно эта «цепоч­
ка»: скорость — перемещение — координата.
При равноускоренном движении нужно еще знать ускоре­
ние, и «цепочка» другая: ускорение — скорость — перемеще­
ние — координата. И для равномерного, и для равноускорен­
ного движения должны быть известны начальные условия —
н ачальная координата и нач ал ьн ая скорость.
При равноускоренном движении скорость непрерывно изме­
няется, и для нахождения скорости в любой момент времени
(мгновенной скорости) нужно знать, как быстро о н а и з м е н я е т с я
Быстрота изменения скорости зад ается ускорением а:
-
V— Vo
Проекцию скорости их на координатную ось находят по формуле
Vx — Vqx ~\t Clxt,
где vox— проекция начальной скорости и ах — проекция уско­
рения.
Координату х тела вычисляют по формуле
ак?
X = Xq-\- Vqxt -|— 2~ ,
а проекцию перемещения s x = x — х 0 — по формуле
a j2
s x — Voxt -\----2~ •
40
Все эти формулы переходят в формулы для равномерного д в и ­
жения, если положить в них ускорение, равным нулю.
Перемещение (а значит, и координату) можно определить и
по формуле
Во всех формулах знаки проекций векторов и0, v и а, а так ж е
зн ак начальной координаты определяются условием зад ач и и
направлением координатной оси.
Г ЛА ВА 3
КРИВОЛИНЕЙНОЕ Д В И Ж Е Н И Е
ДВИЖ ЕНИЕ
БОЛЕЕ СЛО Ж НО Е
И в природе и в технике очень
часто встречаются движения, тр ае к ­
тории которых представляют собой
не прямые, а кривые линии. Это к ри­
волинейны е движения. По криволи­
нейным траекториям д ви ж утся в кос­
мическом пространстве планеты и ис­
кусственные спутники Земли, а на
Земле г— всевозможные
средства
транспорта, части машин и механиз­
мов, воды рек, воздух атмосферы
и т. д.
Криволинейное движение сл о ж ­
нее прямолинейного. При таком д ви ­
жении уж е нельзя сказать, что из­
меняется только одна координата.
Если, например, движение происхо­
дит на плоскости, то, как это видно
из рисунка 50, изменяются две
§ 14. П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е
ПРИ
ЧЕМ ПРЯМ О ЛИНЕЙНО Е
координаты: х н у .
Непрерывно
изменяется направление движения,
т. е. направление вектора скорости,
а значит, и направление вектора
ускорения. Могут изменяться и мо­
дули скорости и ускорения. Все это и
делает криволинейное движение мно­
го сложнее прямолинейного.
Рис. 5 0
И СКОРОСТЬ
КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖ ЕНИИ
При прямолинейном движении
направление вектора скорости всегда
совпадает с направлением переме­
щения. Что можно ск азать о н ап р ав ­
лении перемещения и скорости при
криволинейном движении?
Перемещение — по хордам. На
рисунке 51 представлена некоторая
криволинейная траектория. Д оп у с­
тим, что тело движ ется по ней из
точки А в точку В. Пройденный
телом при этом путь — это длина д у ­
ги АВ, а перемещение — это вектор,
направленный по хорде А В . Теперь
мы не можем сказать, что скорость
41
Рис- 51
Рис. 52
Р ис. 5 4
Р ис. 5 6
всегда направлена вдоль вектора пе­
ремещения. Но проведем между точ­
ками А и В ряд хорд и представим
себе, что тело движ ется именно по
этим хордам. На каждой из них тело
дви ж ется прямолинейно, и вектор
скорости направлен вдоль хорды, т. е.
вдоль
вектора
перемещения
(рис. 52).
Мгновенная скорость — по каса­
тельной. Сделаем наши прямоли­
42
Рис.53
нейные участки более короткими
(рис. 53). По-прежнему на каждом
из них вектор скорости направлен
вдоль хорды. Но видно, что эта
л ом ан ая линия у ж е больше походит
на плавную кривую.
П р о д о л ж ая
уменьш ать
длину
прямолинейных участков (и, конеч­
но, увеличивая их число), мы как бы
стягиваем их в точки, и лом ан ая
линия п ревращ ается в плавную кри­
вую. Скорость же в каж д ой точке
о казы вается направленной по к а с а ­
тельной к кривой в этой точке
(рис. 54).
М гн овен ная скорость тела в л ю ­
бой точке криволинейной траектории
на п р а влен а по касательной к траек­
тории в этой точке.
В том, что скорость при криво­
линейном движении действительно
направлена по касательной, у б е ж ­
д ает нас, например, наблюдений за
работой на точиле (рис. 55). Если
п риж ать к в ращ аю щ ем уся точиль­
ному камню конец стального прут­
ка, то раскаленные частицы, отры­
вающиеся от камня, будут видны в
виде искр. Эти частицы летят с той
скоростью, которой они обладали в
момент отрыва от камня. Хорошо
видно, что направление движения
искр совпадает с касательной к
окружности в той точке, где пруток
касается камня. По касательной д в и ­
ж утся и брызги от колес буксую­
щего автомобиля (рис. 56).
Таким образом, мгновенная ско­
рость тела в разных точках криво­
линейной траектории имеет разл и ч ­
ные направления, как это показано
на рисунке 57. По модулю же ско­
рость может быть всюду одинако­
вой (см. рис. 57) или изменяться
от точки к точке (рис. 58).
Но д а ж е если по модулю скорость
тела не изменяется, ее все ж е нельзя
считать постоянной. Ведь скорость —
величина векторная. А для вектор­
ных величин модуль и направление
одинаково важны. Поэтому кр и во ­
линейное движ ение — это всегда д в и ­
жение с ускорением , д а ж е если по
модулю скорость постоянна. Мы
ограничимся рассмотрением именно
такого криволинейного движ ения —
криволинейного движения с постоян­
ной по модулю скоростью. Его н а­
зывают равном ерны м кр и во ли н ей ­
ным движ ением. Ускорение при т а ­
ком движении связано с изменением
направления скорости. К ак н ап р ав ­
лено и чему равно это ускорение?
Криволинейное движение — дви­
жение по дугам окружностей. Изме-
нение скорости по направлению при
криволинейном движении должно,
конечно, зависеть от формы т р а е к ­
тории. А различных форм кривых
линий бесчисленное множество. Но
оказывается, не
нужно р ассм ат­
ривать движения по каж д о й отдель­
ной кривой.
Н а рисунке 59 п оказана неко­
то рая сл ож н ая криволинейная т р а ­
ектория. Из рисунка видно, что от­
дельные части криволинейной т р а ­
ектории представляют собой при­
близительно дуги окружностей, изоб­
раж енны х штриховой линией. Н а ­
пример, участок
K L — это
дуга
окружности малого радиуса, а у ч а с ­
ток EF — дуга окружности большего
радиуса и т. д.
Выходит, что движение по любой
криволинейной траектории можно
приближенно представить ка к д в и ­
жение по дугам некоторых о к р у ж ­
ностей. Поэтому з а д а ч а нахож дения
ускорения при равномерном криво­
линейном движении
сводится
к
отысканию ускорения при рав н ом ер ­
ном движении тела по окружности.
Вопросы
1. К ак н а п р а в л е н а м гн о в е н н а я
скор ость
при кр и в о л и н е й н о м движ ении?
2. Ч е м
различаю тся
изм енения
нии
совпадать
направления
векторов
ско­
р о с т и и уск о р е н и я ?
ско­
р о с т и пр и п р я м о л и н е й н о м и к р и в о л и н е й н о м
движ ениях?
3. М о г у т ли п р и к р и в о л и н е й н о м д в и ж е -
4. М о ж е т
ли т е л о
д в и га ть ся
по
криво­
л инейной тра е кто р ии без ускорения?
5. К акая
движ ением
связь
и
между
движ ением
криволинейны м
по
окруж ности?
43
§ 15. У С К О Р Е Н И Е
ПРИ
РАВНОМ ЕРНОМ Д ВИ Ж ЕН И И
Равномерное движение по о к р у ж ­
ности — это движение с ускорением,
хотя по модулю скорость не изме­
няется. Н а ш а зад ач а выяснить, как
направлено и чему равно это уско­
рение.
Вектор ускорения направлен к
центру. Ускорение, как известно,
определяется равенством
и —и0
( 1)
Обозначим для краткости разность
двух значений скорости^ т. е. ее и з­
менение v — v 0, через Av. Тогда
Ясно, что вектор а направлен
т ак же, ка к вектор Ду, потому что
t — величина скалярная.
Допустим, что тело движется по
окружности радиусом л и в неко­
торый момент времени, который мы
примем за начальный (/ = 0 ), оно
находится в точке А (рис. 60). С ко­
рость vo в этой точке направлена по
касательной. Рассмотрим еще одну
точку, очень близкую к точке А ,—
Рис. 6 0
44
ПО О К Р У Ж Н О С Т И
точку В, в которой тело, двигаясь по
окружности, окаж ется через очень
малый промежуток времени t. Будем
считать, что точки А и В настолько
близки друг к другу, что дуга Л В не­
отличима от хорды А В , хотя на ри­
сунке это и нельзя изобразить. Но
как бы точка В ни была близка к
точке А, скорость v в точке В все же
отличается от скорости vo н а п р а в ­
лением, хотя и не отличается от нее
по модулю (v = vo)^ Теперь мы мо­
жем найти вектор Ду (см. § 4 ): пере­
несем вектор v параллельно ^самому
себе так, чтобы он и вектор у0 исхо­
дили из точки А, и соединим концы
обоих векторов отрезком прямой,
направив его от v0 к v. П олучив­
шийся направленный отрезок и есть
вектрр Av. И з рисунка видно, что
вектор Ду направлен внутрь о к р у ж ­
ности. И если точки А и В будут
предельно близки друг к другу, то
вектор Ду, перенесенный в точку А,
будет направлен к центру о к р у ж ­
ности. Туда же будет направлен и
вектор ускорения а. Таким образом,
при равномерном движении тела по
окружности его ускорение во всех
точках окружности
«устремлено»
к ее центру. Его так и называют
центростремительным
ускорением .
Обозначим его а.
У скорение тела, равном ерно д в и ­
ж ущ егося по окружности в лю бой
ее точке, центростремительное, т. е.
направлено по р а д иусу окружности к
ее центру. В любой точке вектор
ускорения перпендикулярен вектору
скорости. Эта особенность уско­
рения при равномерном движении по
окружности п оказана на рисунке 61.
Чему равен модуль центростреми­
тельного ускорения? Числовое зн ач е­
ние (модуль) ускорения мы легко
найдем из рисунка 60.
Треугольник, составленный из
векторов v0, v и Ди, равнобедрен­
ный, так как v — v 0. Треугольник ОАВ
на том же рисунке тож е р ав н о ­
бедренный, потому что стороны ОА и
О В — радиусы окружности. Углы
при вершинах обоих треугольников
равны, т а к как они образованы
взаимно перпендикулярными сторо­
нами: Уо-LCM и vA -O B . Поэтому
треугольники подобны, как р авн о­
бедренные с равными углами при
вершинах. И з подобия треуголь­
ников следует пропорциональность
сходственных сторон:
Здесь v и Да — модули скорости и
изменения скорости при переходе из
точки А в В, г — радиус окружности.
Но, как у казы валось раньше, если
точки А и В очень близки друг к
другу, то хорда А В неотличима от
дуги А В . Д ли н а же дуги А В —
это путь, пройденный телом с по­
стоянной по модулю скоростью V .
Он равен vt. Поэтому можно напи­
сать:
- ^ = -2-, или
vt
г
t
г
Так как рассматриваемы й нами про­
межуток времени очень мал, то
есть модуль ускорения. С ледо­
вательно,
(3)
Таким образом, при равномерном
движении по окружности во всех ее
точках ускорение по модулю одно
и то же — а. Но направлено оно
всегда по радиусу к центру (см.
рис. 61), т ак что направление уско­
рения от точки к точке изменяется.
Равномерное движение по о к р у ж ­
ности нельзя назвать равноускорен­
ным.
Напомним, что равномерное д в и ­
жение по окружности нас интере­
совало потому, что всякое движение
по криволинейной траектории можно
представить как движение по дугам
окружностей различных радиусов.
Теперь мы можем сказать, что в
любой точке криволинейной тр ае к ­
тории тело движется с ускорением,
направленным к центру той о к р у ж ­
ности, частью которой является
участок траектории, содерж ащ ий
эту точку. Модуль же ускорения з а ­
висит от скорости тела и от радиуса
соответствующей окружности. На
рисунке 62 п оказана некоторая с л о ж ­
ная траектория, по которой дви ж ется
тело, и центростремительные ускоре­
ния тела в различных ее точках.
45
Вопросы
1. К ак н а п р а в л е н о у с к о р е н и е тела, д в и ­
ж ущ е го ся
по
окруж ности
с п о стоя нно й
по
ли
ускорение
м о д у л ю скор остью ?
4.
2. М о ж н о ли счи тать ц е н т р о с т р е м и т е л ь ­
ж ах
по стоянны м , а р а в н о м е р н о е
м ож ет
движ ение
окруж ности
окруж ности,
равноускорен­
ным?
пр и
м одуль
движ ении
скорости
тела
по
и з м е н я е тс я ,
окруж ­
будет
по
с л е д о в а ть
внутри
3. Если
н о сти
направлено
к
центру
К а те р со с п о р т с м е н о м на в о д н ы х лы ­
д в и ж е тс я
ное ускорение
по
тела
окруж ности?
но
окруж ности.
за
м ож ет
окр уж ности.
скоростей
катером
д в и га ть с я
Каково
спортсм ена
С пор тсм ен
по
и
то й
и
же
вне
и
соо тно ш ен ие
к а те р а
в
этих
т р е х случаях?
§ 16. П Е Р И О Д И Ч А С Т О Т А О Б Р А Щ Е Н И Я
Период обращения. Д виж ение те­
ла по окружности часто характери ­
зуют не скоростью v движ ения тела,
а промежутком времени, за который
тело соверш ает один полный оборот.
Н азы вается эта величина периодом
о б р а щ ен и я ; обозначаю т ее буквой Т.
Так, например, в сообщениях о з а ­
пуске
очередного
искусственного
спутника Земли указы вается именно
период его обращ ения, а не скорость
его движения по орбите. Но если
известен период обращ ения Т, то
легко найти и скорость у. Д ействи­
тельно, за время, равное периоду Т,
тело проходит путь, равный длине
окружности 2 л г. Отсюда
2яг
где г — радиус окружности, по ко­
торой дви ж ется тело.
Подставив это выражение д л я v
в формулу (3) предыдущего п а р а ­
граф а, получаем другое выражение
д ля центростремительного ускорения
характеризовать еще одной величи­
ной — числом оборотов по о к р у ж ­
ности в единицу времени. Ее н азы ­
вают частотой обращ ения и о б о зн а­
чают буквой п. Она очень просто
св язан а с периодом обращ ения Т.
Если, например, период обращ ения
равен 0,1 с, то за 1 с тело совер­
шает 10 оборотов. Так что частота —
это величина, обратн ая периоду:
п =
I
—
.
Единица частоты — это — , или с - 1 .
Скорость v движения тела по
окружности можно выразить и че­
рез частоту п. В самом деле, при
одном обороте тело проходит путь,
равный 2лг, где г — радиус о к р у ж ­
ности. Значит, при п оборотах тело
пройдет за 1 с путь, равный 2л гп.
Следовательно, v = 2nnr. Подставив
это выражение в формулу (3) пре­
дыдущего п ар агр аф а, мы получим
д ля центростремительного ускорения
еще одну формулу:
а = А л2п 2г.
(2)
4л г
а= ■
( 1)
Частота обращения. Д виж ение
тела (точки) по окружности можно
4 (>
О
зависимости центростремитель­
ного ускорения от радиуса окруж­
ности. Согласно формуле (3) § 15
центростремительное ускорение об­
ратно пропорционально радиусу ок­
ружности г. По формулам же (1) и
(2 ) этого п арагра ф а оно прямо
пропорционально оадиусу. Это мо­
жет п оказаться странным. Но ника­
кого противоречия здесь нет. Мы
знаем,
что
центростремительное
ускорение пропорционально к в а д р а ­
ту скорости (а = — ). Но если ско­
рость выразить через частоту п или
су
период Т (v = 2nnr\ у = —г) и под­
ставить в формулу а = ^ ~ , то это и
приводит к формулам ( 1) и (2 ), по
которым центростремительное уско­
рение
пропорционально
радиусу.
При решении зад ач можно поль­
зоваться любой из трех формул для
центростремительного ускорения —
формулой (3) § 15 и формулами (1)
и (2) этого п араграф а.
Вопросы
1. Ч то т а к о е п е р и о д о б р а щ е н и я ?
4. К ак в ы р а ж а е т с я ц е н т р о с т р е м и т е л ь н о е
2. Ч то т а к о е ча стота о б р а щ е н и я ?
3. К ак св я з а н ы
м еж д у собой
ускорение через пери од обращ ения?
период
и
ча стота о б р а щ е н и я ?
5. К ак
ное
вы раж ается
ускорение
через
центрострем итель­
ч а сто ту
обращ ения?
Упражнение 8
1. Т о ч и л ь н ы й к р у г р а д и у с о м 10 см д е л а ­
р а в н я л с я ' 90 м и н . С р е д н я я
вы со та с п у т н и к а
е т о д и н о б о р о т за 0,2 с. Н а й д и т е с к о р о с т ь
на д З е м л е й б ы ла ра вна 320 км . Р ад иус З е м л и
точек,
6400 км . В ы ч и сл и те с к о р о с т ь к о р а б л я .
наиболее
удаленны х
от
оси
вращ е­
ния.
4. К акова с п о р о с т ь д в и ж е н и я а в т о м о б и ­
2. А в т о м о б и л ь д в и ж е т с я п о з а к р у гл е н и ю
д о р о г и р а д и у с о м 100 м . Ч е м у р а в н о ц е н т р о ­
ля, если е г о к о л е с а р а д и у с о м 30 с м д е л а ю т
600 о б о р о т о в в м ин уту?
5. Л у н а д в и ж е т с я в о к р у г З е м л и на ра с­
с т р е м и т е л ь н о е у с к о р е н и е а в т о м о б и л я , если
о н д в и ж е т с я со с к о р о с т ь ю 54 к м /ч ?
3. П е р и о д
обращ ения
ч е с к о го к о р а б л я —
п е р в о го
стоянии
косм и­
с п у т н и к а З е м л и « В о сто к»
§ 17. К А К И З М Е Н Я Ю Т С Я
ПРИ
нее, с о в е р ш а я
один
т е л ь н о е у с к о р е н и е Л ун ы .
КООРДИНАТЫ
РАВНОМЕРНОМ Д ВИ Ж ЕН И И
Допустим, что некоторое тело
равномерно движ ется по окружности
радиусом г. Систему координат
удобно
(хотя
и необязательно)
выбрать так, чтобы начало коорди­
нат совпадало с центром окружности, а оси X и Y были направлены
вдоль двух взаимно перпендикуляр­
ных диаметров (рис. 63).
Пусть при своем движении тело в
какой-то момент времени находит-
380 000 к м о т
о б о р о т за 27,3 су т . В ы чи сл и те ц е н т р о с т р е м и ­
Т Е Л А СО В Р Е М Е Н Е М
ПО О К Р У Ж Н О С Т И ?
Рис-63
________
47
ся в точке М на окружности. Коор­
дината х в этот момент равна о т­
резку ОА на горизонтальном д и а ­
метре, а координата у — отрезку ОВ
на вертикальном.
Координаты повторяются. Через
промежуток времени, равный пе­
риоду о бращ ени я Т, тело снова о к а ­
жется в точке М и его коорди­
наты х и у будут снова равны ОА и
ОВ соответственно. Такими же они
будут и через два периода, и через
три периода и т. д. Это и есть гл ав ­
ная особенность движения по о к р у ж ­
ности — координаты тела через каж­
дый период об ращ ения повторя­
ются.
Равномерное движение по о к ­
р у ж н о с т и — это периодическое д ви ­
жение. Из того, что мы уж е знаем о
скорости и ускорении тела, равн о­
мерно движ ущ егося по окружности,
ясно, что и эти величины тоже
изменяются
периодически:
через
каждый период повторяются и чис­
ленные значения, и направления
скорости и ускорения.
Такого рода периодические и з ­
менения величин н азы ваю т колеб а­
ниям и' .
Вопросы
1. На р и с у н к е
лож ения,
которы е
64 п о к а з а н ы
ч е ты р е
последовательно
по­
зани-
м ает
т о ч ка
пр и
ее
движ ении
по
окруж ­
н о с ти . К а ки е к о о р д и н а т ы х и у и м е е т т о ч к а
в этих п о л о ж е н и я х ?
2. В к а к о й -т о м о м е н т в р е м е н и
ната" х
тела,
окруж ности,
чению .
ни
д в и ж ущ е го ся
равна
Через
таким
же
коорди­
равном ерно
м аксим альном у
ка к о й
пром еж уток
будет
значение
ее
по
зн а ­
врем е­
координа­
ты у?
3. К ак и з м е н я е тс я к о о р д и н а т а х или у в
течение п р о м е ж у тк а вре м е ни , р а в н о го п о л о ­
вине пе р и о д а об ращ ения?
§ 18. Д В И Ж Е Н И Е
НА В Р А Щ А Ю Щ Е М С Я
Все мы живем на поверхности
земного ш ара, который вращ ается
(вместе с нами!) вокруг своей оси.
Мы, однако, этого вращ ения не з а ­
мечаем, если не считать смены дня
и ночи, вызванной этим вращением.
Но не зам ечаем мы этого вращения
потому, что вращ ается Земля очень
медленно. Один оборот Зем ля делает
за сутки. Это значит, что частота
обращ ения Земли равна примерно
1 • 1СГ5 с ~ ‘.
Но если какое-нибудь тело в р а ­
щ ается с достаточно большой часто­
той, то всякое тело, на нем нахо­
48
ТЕЛЕ
дящ ееся, соверш ает очень любопыт­
ное движение. Его легко наблюдать,
если проделать простой опыт: не­
большое проволочное кольцо надеть
на
стержень
(спицу,
кар ан даш
и т. д.) и быстро повернуть стер­
жень. Кольцо со стержня соскольз­
нет. Почему оно соскальзывает?
Рассмотрим этот опыт более под­
робно.
Представим себе стержень, на ко­
торый надет просверленный шарик.
1 П одробнее о колебаниях вы прочитаете
в последних гл ав ах книги.
Пусть стержень в ращ ается вокруг
оси, проходящей через его середи­
ну (рис. 65). Чтобы выяснить, как
долж ен себя вести шарик, будем
вращение рассматривать как мно­
жество последовательных малых по­
воротов вокруг оси.
К ак ведет себя ш арик при таких
поворотах? Пусть в некоторый мо­
мент времени шарик находится в
точке А на расстоянии ОА от оси
вращения. Если бы шарик был в этом
положении закреплен на стержне,
то при вращении он двигался бы по
окружности радиусом ОА, п о казан ­
ной штриховой линией на рисунке.
Но ш арик не закреплен. Поэтому он
станет двигаться вдоль вектора ско­
рости, который, как мы знаем, на­
правлен по касательной к о к р у ж ­
ности, т. е. перпендикулярно ОА.
Когда стержень совершит малый
поворот, шарик окаж ется в точке В.
Ясно, что О В больше, чем ОА , по­
тому что треугольник О А В прямо­
угольный и в нем сторона ОВ —
гипотенуза, а ОА — катет.
При следующем малом повороте
ш арик опять продвинется перпенди­
кулярно новому положению стержня,
т. е. ОВ, и попадет в точку С.
В прямоугольном треугольнике ОВС
сторона ОС (гипотенуза) больше
стороны ОВ (катет). То ж е отно­
сится к треугольнику OCD и т. д.
Мы видим, что при вращении сте р ж ­
ня ш арик все время удал яется от
оси, скользя вдоль стержня.
САМОЕ ВАЖ НО Е
В ТРЕТЬЕЙ
Если мысленно связать со с т е р ж ­
нем систему координат и направить
одну из осей, например ось X, вдоль
стержня, то относительно этой систе­
мы отсчета ш арик движ ется по п р я ­
мой вдоль стерж ня (оси ^ ) . О тно­
сительно неподвижной системы о т­
счета (Земли) траектория будет сов­
сем другой (раскр уч иваю щ аяся спи­
р ал ь ). Это еще одно проявление о т­
носительности движения.
Примерно то же, что с ш а р и ­
ком на в ращ аю щ ем ся стержне, про­
исходит с ребятами в аттракционе
«вращ аю щ и йся
пол».
При
вра­
щении пола они соскальзывают к его
краям (рис. 66). Описанное явление
широко используют в технике, нап ри ­
мер в стиральных машинах и во мно­
гих других устройствах.
ГЛАВЕ
При криволинейном движении тела (материальной точки)
непрерывно изменяется направление вектора скорости. В к а ж ­
дой точке траектории вектор скорости направлен по касательной
к траектории в данной точке. Поэтому д а ж е равномерное д в и ­
жение (с постоянной по модулю скоростью) по криволинейной
траектории есть движение ускоренное.
49
Д виж ение тела по окружности характеризуется не только ско­
ростью и, но и периодом обращ ения Т и частотой обращ ения п.
Модуль скорости связан с этими величинами соотношениями:
2л г
_
v = - у - ; v = Znnr,
где г — радиус окружности.
При равномерном движении тела по окружности вектор уско­
рения в любой ее точке направлен перпендикулярно вектору ско­
рости к центру окружности. Поэтому его называют центростреми­
тельным ускорением. Модуль центростремительного ускорения а
связан с величинами v, Т и п соотношениями:
V2
4л2
л
2
2
а = — ; а = — г г ', а = 4 л п г.
Координаты тела, движ ущ егося равномерно по окружности,
зави сят от времени так, что они через промежуток времени, р а в ­
ный периоду обращения, повторяют свои значения. То же отно­
сится к модулям и направлениям векторов скорости и ускорения.
основы
динамики
4. Зак оны движ ения
5. Силы в природе и движ ения тел
ГЛ А В А 4
ЗАКОНЫ ДВИ Ж ЕН И Я
САМЫЙ
ВАЖ НЫ Й
ВОПРОС —
В разделе «Основы кинематики»
мы ознакомились с различными ви­
дами движения тел. Они р азл и чаю т­
ся не только формой траектории
(прямолинейные,
криволинейные).
Главное, что отличает одно д в и ж е ­
ние от другого,— это ускорение. Так,
при прямолинейном равномерном
движении ускорение равно нулю; при
прямолинейном
равноускоренном
движении ускорение постоянно по
модулю и по направлению; при р а в ­
номерном движении по окружности
ускорение постоянно по модулю и
всегда направлено к центру о к р у ж ­
ности.
В о круж аю щ ем нас мире мы н а ­
блюдаем, что движения тел начи­
наются и прекращаю тся, становятся
более быстрыми или, наоборот, ме­
нее быстрыми, что изменяется н а­
правление движения. Во всех этих
§ 19. Т Е Л А
ПОЧЕМУ?
случаях происходит изменение д ви ­
жения, т. е. изменение его скорости
(по модулю или по направлению ).
Это означает, что появляются уско­
рения. Понятно поэтому, насколько
важ н о уметь находить (вычислять)
ускорения. Без этого нельзя реш ать
задачи механики, нельзя управлять
движением. Но чтобы находить уско­
рения, „нужно знать, почем у и как
они возникают. Физика вообще всег­
да стремится выяснить не только,
как происходит то или иное я в л е ­
ние, но и почему оно происходит и
почему оно происходит так, а не и н а­
че. В кинематике мы выяснили, как
происходит движение (например, с
ускорением или без у с к о р ен и я ). А на
вопрос о том, почему, по какой при­
чине тела движ утся так или иначе,
отвечает главная часть механики —
динам ика.
И ИХ О К Р УЖ Е Н И Е . П ЕРВЫ Й
Чтобы выяснить причину возник­
новения ускорения, нужно обрати ть­
ся к опыту, к наблюдениям. Но сн а ­
чала мы выясним, при каких усло­
виях у тела нет ускорения.
Всякое тело, дви ж ется оно или
покоится, не одиноко в мире. Вокруг
него много других тел — близких и
далеких, больших и малых, покоя­
щихся и движущ ихся. Естественно
предположить, что некоторые из них,
ЗАКОН
НЬЮ ТОНА
а может быть и все, как-то действуют
на то тело, которое мы рас см а т р и ­
ваем, как-то влияют на его д в и ж е ­
ние. Наблюдение, опыт позволяют
выяснить, каково это влияние.
Рассмотрим такой пример. Н а ри­
сунке 67 показан шарик, подвеш ен­
ный на шнуре. Относительно системы
отсчета, связанной с Землей, он по­
коится. Около ш арика есть множ ест­
во тел: шнур, на котором он висит,
51
стены помещения, различные пред­
меты в нем и в соседних поме­
щениях и, конечно, Земля. Понятно,
что все эти тела неодинаково влияют
на шарик. Если, например, убрать
или переставить мебель в поме­
щении, тс это не о к а ж ет какоголибо влияния на шарик. Он по-преж ­
нему останется в покое. Но если пере­
резать шнур (рис. 6 8 ), ш арик сразу
начнет падать вниз — он станет д ви ­
гаться с ускорением.
Хорошо известно, что именно под
действием Земли все тела падают
вниз. Но пока шнур не перерезан,
ш арик все же находится в покое.
Этот простой опыт показывает, что
из тел, окруж аю щ их шарик, только
два заметно влияют на него: шнур и
Зем ля. Но их совместное влияние
обеспечивает состояние покоя ш а ­
рика. Стоило устранить одно из этих
тел — шнур, и состояние покоя н а­
рушилось, у шарика появилось уско­
рение. Если бы можно было, сох ра­
нив действие натянутого шнура,
убрать... Землю, то это то ж е н ару­
шило бы покой шарика: он стал бы
двигаться с ускорением, но в проти­
воположную сторону.
Это приводит к выводу, что дей­
ствия на ш арик двух тел — шнура и
Земли — компенсируют (иногда го­
ворят, уравновешиваю т) друг друга.
Когда говорят, что действия двух
Р и с .6 7
52
Р и с .6 8
или многих тел компенсируются, то
это значит, что результат их сов­
местного действия такой же, как
если бы этих действий вовсе не было.
Рассмотренный нами пример и
много других подобных примеров
позволяют сделать такой вывод: тело
находится в состоянии покоя (отно­
сительно З е м л и ), если действия на
него д р уги х тел скомпенсированы .
Заметим, что если тело покоится,
то это значит, что оно не о б ладает
ускорением, что его скорость остает­
ся постоянной или равной нулю.
Выберем другую систему отсчета.
Мы знаем, что и движение и покой
относительны. Если по отношению к
одной системе отсчета тело покоит­
ся, то относительно других систем
отсчета тело может двигаться. Отно­
сительно системы отсчета, связанной
£ Землей, наш ш арик покоится. Но
представим себе, что мимо него дви­
жется, например, велосипедист с по­
стоянной по модулю и по н а п р а в ­
лению скоростью. Относительно сис­
темы отсчета, связанной с велосипе­
дистом, ш арик не покоится, а д в и ­
жется прямолинейно и равномерно.
Выходит, что при компенсации дей­
ствий на тело других тел оно мо­
ж ет не только покоиться, но и д ви ­
гаться прямолинейно и равномерно,
т. е. двигаться без ускорения.
Точно так ж е шайба, л е ж а щ а я на
льду хоккейного поля, покоится о т­
носительно системы отсчета, с в я з а н ­
ной с Землей: влияние на нее Земли
компенсируется действием льда. Но
по отношению к системе отсчета,
связанной с хоккеистом, мчащ имся
прямолинейно и равномерно мимо
этой шайбы, она дви ж ется прямоли­
нейно и равномерно (рис. 69).
Первый закон Ньютона. Эти при­
меры и другие, им подобные, при­
водят нас к одному из основных
законов механики, который н а з ы в а ­
ется первым законом движения или
первым законом Ньютона:
Существуют такие системы от­
счета, относительно которых посту­
пательно движ ущееся тело сохра­
няет свою скорость постоянной, если
на него не действуют други е тела
(или действия други х тел компенси­
руются ) .
-
которые
инерциальными
считать
нельзя. Это системы отсчета, кото­
рые д виж утся относительно инерциальной системы с ускорением . Н а ­
пример, система отсчета, с в я за н н а я с
В наших примерах такими систе­
хоккеистом, который скользит по
мами отсчета были система отсчета,
св я за н н а я с Землей, и системы от­
льду с ускорением относительно З е м ­
ли, не мож ет считаться инерциальсчета, которые движ утся относитель­
ной. Ведь относительно такого хок­
но Земли прямолинейно и равн о­
кеиста шайба, спокойно л е ж а щ а я на
мерно.
льду, дви ж ется с ускорением, и пер­
Само явление сохранения ско­
вый закон Ньютона не выполняется.
рости тела постоянной (в частности,
скорости, равной нулю) назы ваю т
Такие системы отсчета, дви ж у щ иеся
инерцией. Поэтому и системы отсче­
относительно инерциальной систе­
мы с ускорением, так и назы ваю тся:
та, относительно которых тела д ви ­
ж утся с постоянной скоростью при
неинерциальны е системы отсчета.
компенсации внешних воздействий
В дальнейшем мы будем пользо­
на них, называю тся ин ер циальны м и ,
ваться только инерциальными систе­
а первый закон Ньютона назы вают
мами отсчета.
С открытием закона инерции бы­
законом и н е р ц и и '. Ясно, что инерло покончено с одним давним з а ­
циальных систем отсчета неисчисли­
мо много.
блуждением. Д о этого на п р о т я ж е ­
нии веков считалось, что при отсут­
Первый закон Ньютона д ает нам
ответ на вопрос, поставленный в н а ­
ствии внешнего воздействия на тело
оно может находиться только в
чале п арагр аф а: почему, при каких
состоянии покоя. Д л я д виж ения же
условиях тело дви ж ется с постоян­
с постоянной скоростью необходимо,
ной скоростью? Ответ на него такой.
чтобы на него постоянно действо­
Тело движ ется прямолинейно и р а в ­
номерно потому, что действия на
вало другое тело. К азалось, что это
подтверж дает и повседневный опыт:
него других тел скомпенсированы.
И пока т ак ая компенсация есть,
чтобы повозка д ви гал ась с постоян­
скорость тела остается неизменной,
ной скоростью, ее д о л ж н а все время
тянуть лош адь; чтобы стол д ви гался
тело движ ется без ускорения (в со­
стоянии покоя тело тоже не имеет
по полу, его нужно непрерывно т я ­
уск о р ен и я !).
нуть или толкать и т. д.
Существуют и другие системы от­
Итальянский ученый Г а л и л е о
счета. Надо, однако, иметь в виду,
Галилей
первый показал, что
что есть и такие системы отсчета,
это неверно и что в отсутствии внеш­
них воздействий тело может не
1
Ф ормулировка первого зак она движе-только покоиться, но и двигаться
ния, д а н н а я самим Ньютоном, отличается от
прямолинейно и равномерно. И если
приведенной здесь.
тележку, для того чтобы она д в и ­
53
галась, нужно тянуть или толкать,
то это объясняется тем, что при д в и ­
жении тележки пол не только ком­
пенсирует действие Земли, но и со­
зд ает дополнительное действие на
тележку, называемое трением. Д е й ­
ствие того, кто толкает тележку, и
нужно для того, чтобы скомпенси­
ровать трение. Галилей сделал от­
сюда вывод, что, не будь трения,
тело (те л е ж к а ), приведенное в дви-
жение, п родолж ало бы дви гаться с
постоянной скоростью и без того,
чтобы его тянуть или толкать. Систе­
мой отсчета для Галилея служ ила
Земля, т. е. инерциальная система
отсчета.
Английский физик и математик
И с а а к Н ь ю т о н обобщ ил вывод
Галилея на все случаи и включил
закон инерции в число основных
законов движения.
Вопросы
1. Г р е б ц ы , п ы т а ю щ и е с я застави ть л о д к у
д в и га ть ся
проти в
т е ч е н и я , не м о г у т с э т и м
с п р а в и ть с я , и л о д к а о с та е тс я в п о к о е о т н о ­
с и т е л ь н о б е р е г а . Д е й с тв и я к а к и х тел пр и э т о м
4. П ри ка ки х ус л о в и я х т е л о м о ж е т д в и гаться п р я м о л и н е й н о и р а в н о м е р н о ?
5. К а ки е с и с те м ы
отсчета
использую тся
в м е хан ике ?
6 . На р и с у н к е 1 п о ка за н п р и м е р п о с т у п а ­
ком пе нси рую тся ?
2. В ч е м с о с т о и т яв л ени е и нер ц и и ?
т е л ь н о го д в и ж е н и я тела (ч е м о д а н а ). М о ж н о
3. В ч е м с о с т о и т п е р в ы й за к о н Н ь ю то н а
ли сказа ть, что все в о з д е й с т в и я д р у г и х тел
(з а к о н и н е р ц и и )?
на? ч е м о д а н с к о м п е н с и р о в а н ы ?
§ 20. В З А И М О Д Е Й С Т В И Е Т Е Л .
УС К О Р ЕН И Е ТЕЛ
ПРИ
ИХ ВЗАИМ О Д ЕЙСТВИИ
Согласно первому закону Ньюто­
на, тело дви ж ется без ускорения
(относительно инерциальной систе­
мы отсчета), когда действия на него
других тел скомпенсированы.
Если же мы наблюдаем ускорен­
ное движение тела, то всегда м о ж ­
но у к а за ть какое-то другое тело,
действие которого это ускорение вы­
звало. П адаю щ ий ш арик на ри­
сунке 68 движ ется с ускорением, и
«виновато» в этом действие Земли.
Ш айба, спокойно л е ж а в ш а я на льду,
после у д ар а клюшки получает ускоР и с .7 0
С.....
%___\
А
ч
54
рение. Тело, сообщившее ускоре­
ние шайбе,— клюшка. Стальной ш а ­
рик (рис. 70) движ ется с ускоре­
нием, если вблизи находится магнит.
Причина ускорения ш арика — дей­
ствие магнита и т. д.
М ожно, значит, сказать, что при­
чина ускорения движ ения тел —
действия на н и х д р уги х тел.
Не просто действие, а взаимное
действие. От чего зави сят модуль и
направление ускорения, которое со­
общ ается телу действием другого
тела?
Чтобы ответить на этот вопрос,
надо, как всегда, обратиться к опыту.
В таком опыте должны участвовать,
по крайней мере, два тела: то, ко­
торое действует, и то, которое под­
вергается его действию.
Но в действительности оба тела,
Рис. 71
Сталь
-*
Алюминий
..._
г>,=0
W llllllilllll
____
О
__________ ГА
О
____
_____ _
_______ Г
т ак сказать, равноправны. К аж д ое
из них и влияет и подвергается
влиянию. Происходит, как говорят,
взаимное действие тел друг на д р у ­
га — взаимодействие. Когда, напри­
мер, футболист в стремительном бе­
ге сталкивается с другим ф утбо­
листом, то при этом они взаи м о ­
действуют и оба изменяют свою
скорость.
Самое важное понятие в науке.
Понятие взаимодействия — одно из
самых важ ны х не только в физике,
но и во всей науке. Именно взаи м о­
действия различного рода — причина
всех изменений в материальном ми­
ре. В механике нас, однако, интере­
суют лиш ь те взаимодействия между
телами, которые приводят к изме­
нению движения тел, т. е. к п о я в ­
лению ускорения. Каковы эти уско­
рения?
Ускорения при взаимодействии
тел. Опыты, которые можно про­
вести с различными телами, пока­
зывают, что при взаимодействии двух
тел оба тела получают ускорения,
направленные в противоположные
стороны. Кроме того, д л я д в у х д а н ­
ны х взаим одейст вую щ их тел отно­
ш ение м одулей их ускорений всегда
одно и то же. Отношение это не
зависит от того, как происходит
взаимодействие. Это может быть
столкновение двух тел. Тела могут
взаимодействовать посредством пру­
жины, нити и т. д. Наконец, тела
могут взаимодействовать, не сопри­
к а сая сь друг с другом, как взаим о­
?
'
действуют планеты с Солнцем, м аг­
нит с куском железа.
Модули ускорений каж дого из тел
могут быть различными при р а зл и ч ­
ных взаимодействиях. Но остается
одинаковым их отношение.
Если, например, взять две о д и н а­
ковые по размеру тележки — одну
алюминиевую,
другую
стальную
(рис. 71), и заставить их столк­
нуться, то во время столкновения
обе они изменят свою скорость —
получат „ускорения. Измерения п о ка­
зали бы, что модуль а\ ускорения
алюминиевой тележки в три р аза
больше модуля а2 ускорения с т а л ь ­
ной тележки, независимо от того,
какие скорости были у тел еж ек до
столкновения.
И зм ер ять ускорения тел при
столкновении трудно, потому что
столкновение длится очень короткое
время. П рощ е провести опыт, в ко­
тором взаимодействующие тела д ви ­
ж утся по окружности, и измерять
центростремительные ускорения.
Схема такого опыта п оказан а на
рисунке 72. Д в а одинаковых по р а з ­
меру цилиндра — алюминиевый и
стальной — с просверленными
по
осям отверстиями надеты на стер­
жень, вдоль которого они могут
скользить с малым трением.
Установим стержень с ц илиндра­
ми на центробежную машину и при­
ведем ее во вращение. Цилиндры
тотчас ж е соскользнут к концам
стержня. В этом опыте цилиндры
не взаимодействуют друг с другом.
55
Р и с .72
Сталь
г\ и /-2. Но по окруж ностям тела
д виж утся с центростремительным
ускорением, равным 4п п 2г, где п —
частота обращ ения и г — радиус
окружности
Отношение
модулей
ускорений алюминиевого и ста л ь ­
ного цилиндров поэтому равно
«1 _ п_
02
Гг
Измерив радиусы Г\ и г2, мы у в и ­
дим, что их отношение равно 3.
Это значит, что и отношение уско­
рений равно 3.
М ожно изменить длину нити, с в я ­
зывающей цилиндры, можно изме­
нить частоту обращ ения. И то и
другое изменит ускорения а.\ и а2,
но не изменит их отношения.
Алюминий
С вяж ем теперь цилиндры нитью
(см. рис. 72) и снова приведем
стержень во вращение. Теперь ци­
линдры
взаимодействуют посред­
ством нити. Скользя вдоль сте р ж ­
ней, цилиндры остановятся каждый
на определенном расстоянии от оси
вращения. При этом они будут в р а ­
щаться по окруж ностям радиусами
Вопросы
1.
Ч то
явл яется
причиной
ускорения скор ость
•
о д н о го
из
ни х
увеличилась.
Как
* и з м е н и л а с ь с к о р о с т ь в т о р о г о тела?
тела?
2. Ч то
м ожно
ск а з а ть
об
ускорениях
д в у х в з а и м о д е й с т в у ю щ и х тел?
4.
тел
3. В р е з у л ь т а т е в з а и м о д е й с т в и я д в у х тел
М о ж н о ли сказа ть, ч т о д е й с т в и я о д н и х
на д р у г и е
я в л я ю тс я
причиной
их
дви­
ж ений?
Упражнение 9
1. Н а й д и т е
леж ки
после
скор ость
ее
алю м иниевой
столкновения
со
те­
с та л ь н о й
т е л е ж к о й , е с л и на чальн ая с к о р о с т ь ста л ь н о й
свя з а н ы н и т ь ю
ды й из ц илиндров?
те л е ж ки 4 м /с , а ее ско р о сть после с то л кн о ­
3.
вен ия 2 м / с . Д о с т о л к н о в е н и я а л ю м и н и е в а я
нитью
тележ ка покоилась.
2. А л ю м и н и е в ы й
что
и с та л ь н о й
цилиндры ,
о п ы т с к о т о р ы м и о п и с а н в э т о м п а р а гр а ф е ,
д л и н о й 8 см . На к а к о м р а с­
с т о я н и и о т оси в р а щ е н и я р а с п о л о ж и т с я к а ж ­
В том
д р уго й
же
опы те
длины .
алю м иниевы й
П ри
цилиндр
стерж ня располож ился
цилиндры
этом
при
связа ны
оказалось,
вращ ении
на р а с с т о я н и и
9 см
о т о си в р а щ е н и я . К а ко в а д л и н а нити?
§ 21. И Н Е Р Т Н О С Т Ь И М А С С А Т Е Л
Из описанных в предыдущем
п арагр а ф е опытов видно, что о т­
ношение модулей ускорений взаи м о ­
действующих тел зависит только от
того, какие тела взаимодействуют.
Следовательно, каж дое тело о б л а д а ­
ет некоторым присущим ему свой­
ством, которое и определяет отно­
шение его ускорения к ускорению
56
его «партнера» по взаимодействию.
Что это за свойство?
Инертность. Мы видели, что сами
модули ускорений обоих взаи м о­
действующих тел различны: одно
больше, другое меньше. Но уско­
р е н и е — это величина, рав н ая отно­
шению изменения скорости v — vo
к промежутку времени t, за которое
и — Vo
это изменение произошло: а — —— .
Время t, в течение которого тела
взаимодействуют, у обоих тел одина­
ковое. Значит, скорость изменилась
на большее значение у того тела,
у которого ускорение больше.
Когда тело движется без уско­
рения, говорят, что оно движется
«по инерции». Поэтому о теле, ко­
торое при взаимодействии изменило
свою скорость на меньшее значение,
говорят, что оно более инертно,
чем другое тело, скорость которого
изменилась на большее значение.
Его движение как бы ближе к дви­
жению «по инерции». И з двух в з а ­
имодействующих тел то из них
менее инертно, которое за время
взаимодействия «успело» больше и з­
менить свою скорость, чем другое.
Но любому телу для изменения ско­
рости требуется какое-то время. Ни
у какого тела, ни при каком взаим о­
действии скорость не может изме­
ниться мгновенно. В этом и состоит
то свойство тел, о котором мы упо­
минали и которое назы вается инерт­
ностью.
Свойство инертности, присущ ее
всем телам, состоит в том, что д ля
изм енения скорости тела требуется
некоторое время.
Из двух взаимодействующих тел
то тело более инертно, которое мед­
леннее изменяет свою скорость.
Следующий опыт показывает, как
проявляется инертность и какую роль
играет время взаимодействия.
На тонкой нити подвешен груз
(рис. 73, а ). Снизу к нему прикреп­
лена д р угая т а к а я ж е нить. Если
резко дернуть за нижнюю нить, то
она обрывается, а груз остается
висеть на верхней нити (рис. 73, б ).
Но если нижнюю нить не дергать,
а медленно тянуть, то оборвется
верхняя
нить
и
груз
упадет
(рис. 73, в ) . Это объясняется тем,
что когда нижнюю нить резко д ер ­
гают, то время взаимодействия руки
и нити настолько мало, что груз не
успевает изменить свою скорость и
верхняя нить не обрывается: у груза
велика инертность. В то же время у
нижней нити, много менее инертной,
скорость изменяется на большее з н а ­
чение, и она обрывается.
Когда же нижнюю нить тянут
медленно, взаимодействие тянущей
руки с грузом длится большее вре­
мя и груз успевает приобрести такую
скорость, что его перемещение о к а ­
зы вается достаточным для разры ва
и без того растянутой верхней нити.
Свойство инертности — одно из
важнейш их свойств тел. Ведь от него
зависит ускорение тела при его в з а ­
имодействии с другим телом или те­
лами.
Масса тел. В физике свойства
изучаемых объектов обычно х а р а к ­
теризуются определенными величи­
нами, которые можно измерять и вы ­
р а ж а т ь числами. Например, свойство
тела заним ать какую-то часть про­
странства характеризуется величи­
ной, называемой объемом тела. Свой­
ство, которое мы н азвали инерт­
ностью, тож е характеризуется осо­
бой величиной — массой.
То из двух взаимодействующих
тел, которое получает меньшее по
модулю ускорение, т. е. более инерт­
Р и с .7 3
а
Тб
"в
57
ное, имеет и большую массу. Вто­
рое тело, менее инертное, имеет мень­
шую массу. Поэтому говорят, что
масса тела — это мера его инерт­
ности.
Если обозначить массы взаим о­
действующих тел через гп\ и т 2, то
можно написать
а|
т 2
Отношение м одулей ускорений
д в у х взаимодейст вую щ их тел равно
обратному отношению и х масс.
Мы, например, видели, что отно­
шение ускорения алюминиевого ци­
линдра к ускорению стального р а в ­
но 3. Это значит, что масса ал ю ­
миниевого цилиндра в три р а за мень­
ше массы стального.
Как измерить массу тела? И з ­
мерив ускорения двух тел, взаи м о­
действующих каким-то образом м е ж ­
ду собой, мы можем найти отно­
ш ение их масс согласно формуле ( 1).
А ка к найти массу отдельного тела?
Ее можно измерить. Д л я этого н у ж ­
но выбрать тело, масса которого
условно принимается за единицу —
эталон массы.
З атем нужно провести опыт, в
котором тело, масса которого изме­
ряется, долж но как-то взаимодей­
ствовать с эталоном массы. Тогда
оба они, и тело и эталон, получат
ускорения, которые можно измерить
(например, так, как это показано на
рисунке 72), и мы сможем напи­
сать равенство
а эт
т
аТ
т эт ’
т
И ЛИ
аэт
т т= ——
ит т эт,
58
(2 )
где т т и а т— масса и модуль уско­
рения тела, а т эт и а эт— масса и
модуль ускорения эталона. Но масса
эталона равна единице, поэтому
аэт
т т = ---- единиц массы.
ат
(3)
М асса тела — это величин а, х а ­
ракт еризую щ ая его инертность. Она
определяет отношение м о д уля ус к о ­
рен ия эталона массы к м одулю ус к о ­
рения тела при и х взаимодействии.
За единицу массы м еж д у наро д ­
ным соглашением принята масса э т а ­
лона — специально
изготовленного
цилиндра из сплава платины и ири­
дия. Н азы вается единица массы
килограмм
(сокращенно:
кг).
С достаточной точностью можно счи­
тать, что массой 1 кг о б л а д а ет 1 л
чистой воды при 15 °С. Н аряд у с д ли ­
ной и временем масса входит в число
основных вели чи н СИ, а кило­
грамм — в число основных единиц
СИ.
Не следует думать, что каждый
раз, когда нужно измерить массу
какого-нибудь тела, его застав л яю т
как-то взаимодействовать с э т а л о ­
ном массы и измеряют ускорения
тела и эталона. Такой способ п рак­
тически, конечно, неудобен. С ущ ест­
вует другой способ измерения м а с­
сы — взвеш и ва н и е, которым обычно
и пользуются. Но есть случаи, когда
массу определяют именно по уско­
рениям при взаимодействии. Нельзя,
например, взвешиванием определять
массы планет, Земли, Солнца и д р у ­
гих небесных тел. Взвешиванием
нельзя определять и очень малые
массы, например массы атомов и мо­
лекул и тех частиц, из которых они
состоят.
М асса тела, как уж е говорилось,
в ы р а ж ае т его собственное свойство
(инертность). Поэтому она не з а ­
висит ни от того, в каких взаи м о ­
действиях тело участвует, ни от того,
как оно движется. Где бы тело ни
находилось, как бы оно ни двигалось,
масса его остается одной и той же.
Вопросы
1. М о ж н о
ли
м гн о в е н н о
и з м е н и ть
ско­
р о с т ь тела?
2. В ч е м
3. К а к о й
состоит
свойство
величиной
и н е р тн о с ти ?
хар акте ризуется
и н е р т н о с т ь тела?
связа ны
м ежду
собой
м ассы
м ассы
к а ю щ и е п р и их в з а и м о д е й с тв и и ?
5. К а ки м о б р а з о м м о ж е т б ы ть и з м е р е н а
м асса о т д е л ь н о г о тела?
ПРИМ ЕР
С равните
4. К ак
в з а и м о д е й с т в у ю щ и х те л и у с к о р е н и я , в о з н и ­
РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧИ
Л унь;
и
З ем ли,
если
и зве стн ы ра д и у с ы о р б и т Л у н ы и З ем ли.
Р е ш е н и е . Обычно считают, что
Л у н а (под влиянием Земли) о б р а ­
щ ается вокруг нее так, как будто
центр Земли есть центр лунной ор­
биты. Но это неверно. При взаи м о­
действии Земли и Луны оба эти тела
должны получать ускорения. И если
Л ун а, двигаясь по орбите, получает
центростремительное ускорение, то
центростремительное
ускорение
д о л ж н а получать и Земля. И в с а ­
мом деле, астрономические наблю де­
ния показали, что Л ун а обращ ается
не вокруг центра Земли, а вокруг
некоторой точки Р (рис. 74, а ) ,
отстоящей от центра Земли на
4700 км. Вокруг этой же точки д в и ­
жется по окружности и центр З е м ­
ли (рис. 74, б ). Но центр Земли
дви ж ется по окружности радиусом
/ " з ^ 4 7 0 0 км, а центр Луны —
по
окружности
радиусом
гл =
= 380 000 км.
* В § 20 мы видели, что отн о ш е­
ние модулей центростремительных
ускорений равно отношению р ад и у ­
сов окружностей, по которым д в и ­
ж утся взаимодействующие тела.
Следовательно, можно написать
ап
гп
а3 ~
гз
'
Р и с .7 4
а
59
где а п и а 3 — ускорения Луны и
Земли. Но отношение ускорений
взаимодействующих тел равно о б ­
ратному отношению их масс. П о ­
этому
т л —
380 000 км _ 0 |
4700 км ~
М асса Земли в 81 раз больше массы
Луны.
Упражнение 10
1.
Т е л е ж к а д в и ж е т с я п о го р и з о н т а л ь н о й
поверхности
со
скор остью
0,5
м /с .
С
ней
2.
Т ележ ка д виж ется по го р и зо н та л ьн о й
по ве р хн о сти
со с к о р о с т ь ю
30 с м /с
и стал ­
ста л ки в а е тс я в то р а я т е л е ж к а , д в и ж у щ а я с я в
ки вается с п о к о я щ е й с я
т о м ж е н а п р а в л е н и и со с к о р о с т ь ю
м а ссы , ка к и ее со б с тв е н н а я . В р е з у л ь та те
1,5 м /с .
тележ ко й
т а ко й
же
П осле стол кно вени я об е тележ ки п р о д о л ж а ­
столкновения
ю т д виж ени е в пр е ж н е м направлении с о д и ­
н а влива ется. О п р е д е л и т е с к о р о с т ь , с к о т о р о й
наковы м и скор остя м и
б у д е т д в и га ть ся д р у га я т е л е ж к а п о с л е с т о л к ­
1 м /с . Н а й д и те о т н о ­
ш е н и е м асс этих т е л е ж е к .
§ 22. С И Л А . В Т О Р О Й З А К О Н
В предыдущем параграф е мы ви­
дели, что ускорение какого-либо тела
всегда вызы вается действием на не^о
другого тела — того, с которым оно
взаимодействует.
В физике действие одного тела
на другое, действие, которое вызы­
вает ускорение, называю т силой.
М ожно сказать, что сила — это и есть
причина ускорения. Именно т ак опре­
делял силу И. Ньютон: «П ри лож ен ­
ная сила есть действие, произво­
димое над телом, чтобы изменить его
состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения». П р о и з­
водит это действие какое-то другое
тело. Если, например, свободно п а­
даю щ ее тело движ ется с ускорением,
то оно вызвано действием на это
Рис-75
во
движ ущ аяся
тележ ка
оста­
новения.
НЬЮ ТО НА
тело Земли. Но теперь мы скажем,
что ускорение падающ его тела вы­
звано силой, прилож енной к нему
(или действующей на него). Эту
силу называют силой тяжести.
Другой пример. Пусть один ко­
нец спиральной пружины закреплен
(рис. 75, вверху). Прикрепим к
другому концу брусок — он останет­
ся в покое. Удлиним пружину на Л/
(рис. 75, внизу) и опять прикрепим
к ней брусок. Отпустив растянутую
пружину, мы увидим, что брусок д в и ­
жется с ускорением. Оно, конечно,
вызвано взаимодействием бруска с
пружиной. Но теперь мы скажем,
что на брусок действует сила со
стороны пружины, которая и в ы зв а­
ла ускорение бруска. Эта сила н а­
зы вается силой упругости.
Сила упругости и сила тяжести
по своей природе совершенно р а з ­
личные силы. Это видно уж е из
того, что пружина действует на тело
и сообщает ему ускорение' при не­
посредственном соприкосновении и
только в том случае, когда она р а с ­
тянута или сж а т а . Зе м л я ж е дей­
ствует на тело без соприкосновения
Н ью тон
И саак
зи к о в
м атем атиков
и
(1 6 4 3 — 1727) —
вал о б щ и е з а к о н ы
в с е м и р н о го
н о го
и
эти
в в о з р а с те
позж е
и
и н те гр а л ь н о го
около
в двух
создал
из
величайш их
Н ью тон
и
основы
исчисления.
исследования
откры тия
один
времен.
по
исследования
25 л е т.
к н и га х —
в
В
О публикованы
проведены
основе
вы полнены
гр а н д и о зн о м
з а ко н
диф ф еренциаль­
Н ью тон ом
о п ти к е .
ф и­
сф орм улиро­
м е ха н и ч е ско го д ви ж е н и я , откр ы л
т я го т е н и я
зам ечательны е
все
в се х
они
труде
св о е й
Н ью тон ом
были
м н о го
« М ате м ати­
ч е с к и е на чала н а ту р а л ь н о й ф и л о с о ф и и » и « О п ти к а » .
с ним и действует всегда. Но обе
эти силы сходны в том, что они сооб­
щают ускорения телам, к которым
приложены.
Сила — физическая
величина.
Сила о зн ач ает не только действие
одного тела на другое, сила в то же
время физическая величина, которая
может быть вы раж ен а числом. Ведь
одна сила сообщ ает телу большее
ускорение, д ругая — меньшее.
Сила — векторная величина. На
рисунке 76, б показан груз, под­
вешенный к пружине и покоящийся
в этом положении. На груз действует
сила тяжести, потому что сущ еству­
ет Земля, и сила упругости, потому
что пруж ина растянута (сравните
с рис. 76, а ) . К а ж д а я из этих сил
может сообщить телу ускорение.
Сила тяж ести, будь она одна, сооб­
щила бы телу ускорение свободного
падения g . Сила упругости, если бы
она была единственной силой, сооб­
щила бы телу какое-то ускорение а.
Но тело, находящ ееся под действием
этих двух сил, покоится, его уско­
рение равно нулю. Это значит, что
ускорение g и а равны по модулю и
противоположны по направлению:
g = — а. А силы? Ясно, что если к
телу приложены две силы, а ускоре­
ния у тела нет, то эти силы, как и
ускорения, равны по модулю и про­
тивоположны по направлению. З н а ­
чение силы характеризуется не то л ь ­
ко числом, но и направлением.
Сила — векторная величина! В ек­
торы силы упругости F упр и силы т я ­
жести FT показаны на рисунке 76, в.
Второй закон Ньютона. Что же
это за величина — сила? Чему она
равна? К ак сила св яза н а с ускоре­
нием, которое она вызывает? Чтобы
ответить на эти вопросы, как всегда,
об р ати м ся к опыту.
Д л я опыта удобно восп ользовать­
ся силой упругости, например силой,
возникающей при растяж ении или
сжатии пружины. От всех других
сил она отличается тем, что з а ­
висит только от того, насколько
растянута или сж а т а пружина. Но
она не зависит от того, к какому
61
телу она приложена. (Опыт п оказы ­
вает, что других сил, о б л а д а ю ­
щих таким свойством, в природе
нет.)
Проведем
такой,
на
первый
взгляд, простой опыт. К тележке
известной массы т прикрепим один
конец пружины, а другой ее конец
прикрепим к нити с грузом, пере­
кинутой через блок (рис. 77, а ).
Груз под действием силы тяжести
дви ж ется вниз и растяги вает пру­
жину. Р астянутая на определенную
длину Д/ пружина действует на те­
л еж к у и сообщает ей ускорение,
которое можно измерить. Пусть
ускорение о казалось равным а.
Повторим опыт, но не с одной,
а с двум я тележками, соединенными
вместе (рис. 77, б) так, чтобы их
о б щ ая масса была р авн а 2т . И з ­
мерим ускорение этого «поезда» при
том же удлинении пружины Д/, т. е.
при той же силе упругости (для этого
придется изменить груз на нити).
Опыт покажет, что ускорение двух
а
соединенных тележек равно — .
Если составить «поезд» из трех,
четырех и т. д. тележек, то при том
же удлинении пружины (при той же
силе) ускорение ока ж етс я равным
62
-Ц-, у и т . д . Это значит, что во всех
случаях одинаковым будет произве­
дение т а.
П рощ е произвести тот же опыт,
ерли телам различной массы сооб­
щ ать центростремительные ускоре­
ния. Воспользуемся снова центро­
бежной машиной.
Поместим тело М в виде а л ю ­
миниевого цилиндра с просверлен­
ным по его оси отверстием на стер­
жень
центробежной
машины
(рис. 78, а ). Прикрепим к цилиндру
конец пружины, а другой ее конец
закрепим на раме машины в точ­
ке А. Приведем машину во в р а ­
щение. Цилиндр М начнет скользить
по стержню, у д ал яя сь от Л и р а с т я ­
гивая тем самым пружину. Не будь
пружины, цилиндр дошел бы до упо­
ра в точке В. Но вследствие д ей ­
ствия силы упругости растянутой
пружины цилиндр, удаливш ись не­
сколько (на расстояние Д/) от оси
вращ ения,
станет
двигаться
по
окружности радиусом г (рис. 78, б).
Центростремительное ускорение ци­
линдра направлено по радиусу к
центру. Вдоль радиуса действует и
сила упругости пружины. Именно
эта сила сообщ ает телу центростре­
мительное ускорение. По модулю это
ускорение равно
Рис. 78
а = 4 л 2п 2г,
где п — частота обращ ения, г — р а ­
диус окружности, по которой дви­
ж ется тело. Измерив п и г, мы найдем
значения ускорения.
Заменим алюминиевый цилиндр
таким ж е по разм ерам стальным.
Мы уже знаем, что его масса в три
р аза больше массы алюминиевого
цилиндра. Приведем машину снова
во вращение и подберем такое число
оборотов в единицу времени, чтобы
растяж ени е пружины было в точ­
ности таким же, как и в первом
опыте. Тогда и сила, действую щая
на стальной цилиндр, будет такой
же. Опыт покажет, что ускорение
стального цилиндра в три р аза
меньше, чем алюминиевого. С ледо­
вательно, для обоих цилиндров оди­
наковым будет произведение т а.
На рисунке 79 показан прибор, на
котором выполняется описываемый
опыт.
Описанные опыты и множество
других, подобных им, показывают,
что если на разные тела (тела р а з ­
ных масс) действует одна и та же
сила, то величина, р авн ая произ­
ведению массы тела на его уско­
рение, остается одной и той же. Это и
позволило И. Ньютону сформули­
ровать важ нейш ий закон движения,
называемый сейчас вторым законом
Ньютона:
Сила, действующая на тело, р а в ­
на произведению массы тела на
сообщ аемое этой силой ускорение.
Математически
второй
закон
Ньютона в ы раж ается формулой F =
= m a, где F — модуль силы. Так
как сила F и ускорение а — вели­
чины векторные, то формулу, вы­
р аж аю щ у ю второй закон Ньютона,
нужно писать в векторной форме:
-та.
( 1)
Ускорение, которое сила с о о б щ а­
ет телу (точке), определяется фор’ мулой
-
а
_р_
т '
(2 )
К ак видно из формул (1) и (2),
ускорение всегда направлено так же,
как вы зв ав ш а я его сила, поскольку
масса — величина
ск а л я р н а я
и
т > 0.
На тело может действовать не­
сколько сил К ак показы ваю т опыты,
они «не мешают» друг другу сооб­
щ ать телу ускорение. Ускорение в
этом случае оказы в ается таким, к а ­
кое ему сообщила бы одна-единственная сила, рав н ая геометричеРис.79
скои сумме всех приложенных сил.
Сумму эту обычно назы ваю т р а в ­
нодействующей или результ ирую щ ей
силой.
С ила, р а вн а я геометрической сум­
ме всех, прилож енны х к телу (точке)
сил, называется равнодейст вующ ей
и ли результ ирую щ ей силой.
В формуле второго закона Н ью ­
тона F = m a под F надо понимать
именно результирующую силу.
Другая формулировка первого
закона Ньютона. В § 19 говорилось
о том, как ведет себя тело, когда
действия на него других тел скомпен­
сированы.
Но «действия других
тел» — это силы, а компенсация дей­
ствий означает, что результирую щ ая
сила равна нулю. Поэтому первый
закон Ньютона можно теперь сф ор­
мулировать так:
Существуют такие системы от­
счета, относительно которых посту­
пательно движ ущееся тело сохра­
няет свою скорость постоянной, если
результирующая всех сил, приложен­
ных к телу, равна нулю.
К ак и первый закон, второй з а ­
кон Ньютона справедлив лиш ь в том
случае, если движение р ассм атри ­
вается относительно инерциальных
систем отсчета.
Единица силы. На основе второго
закона Ньютона F = m a у с та н а в л и ­
вается единица силы. Сила F равна
единице, если единице равна масса
тела m и единице равно ускоре­
ние а. З а единицу силы принимается
сила, сообщ аю щ ая телу массой 1 кг
ускорение 1 м /с 2. Эта единица н а­
зы вается
ньютон
(сокращенно:
Н ) : 1 Н = 1 к г - м / с 2.
Вопросы
1. Ч то
та к о е
сила?
Э та
величина
ска­
л я р н а я или в екторн ая?
2. М о ж н о ли, и с х о д я из ф о р м у л ы F =
утверж дать,
что сила, п р и л о ж е н н а я
та,
к телу,
за в и си т о т м ассы тела и е г о у с к о р е н и я ?
3.^_М ож но
m =
—
,
ли,
исходя
утверж дать,
что
из
вы раж ения
м асса
тела
за­
а =
F
— ,
m
утверж дать,
что
з ав и си т о т п р и л о ж е н н о й
ускорение
тела
к н е м у си лы
и от
м ассы тела?
5. К ак
ф орм улируется
первы й
за ко н
Н ь ю то н а , есл и п о л ь з о в а т ь с я п о н я т и е м силы?
6 . Ч то т а к о е р е з у л ь т и р у ю щ а я сила?
7. Т е л о
движ е тся
по
окруж ности
и
в и си т от п р и л о ж е н н о й к н е м у с и л ы и о т е г о
по этом у обладает ц е н тростре м и тел ьны м ус­
ускорения?
к о р е н и е м . К ак н а п р а в л е н а п р и л о ж е н н а я к т е ­
4.
М ож но
ли,
§ 23. Т Р Е Т И Й
исходя
из
ра венсл
твуа сила?
ЗАКОН
НЬЮ ТО НА
Д ействия тел друг на друга
всегда имеют характер взаим одей­
ствия. К аж д ое из тел действует на
другое и сообщает ему ускорение.
В § 21 мы видели, что отношение
модулей ускорений взаимодействую­
щих тел равно обратному отношению
а|
т2
их масс: — = ---- , или m \a\ = пг2а2.
а2
т 1
Там же указывалось, что ускорения
обоих тел направлены в противо­
64
положные стороны. М атематически
это записы вается в таком виде:
т \й\ = — т 2а 2.
Теперь мы знаем, что произве­
дение массы тела на его ускорение
равно приложенной к телу силе. Это
значит, что т\а[ равно силе F\,
действующей на первое тело, а
— т 2а2 равно силе F2, приложенной
ко второму телу. Следовательно,
Рис. 8 0
.
6
Q
__ ___0 _ _ , _ 5 _ _
о
6
А
г\
▲
о
б
2_
"81.. S'
ж
а
6
л
.
_
Ж
Л =
Это равенство в ы раж ает третий з а ­
кон Ньютона:
Гела действуют д р у г на друга с
силами, равными по модулю и про­
тивоположными по направлению.
Третий закон Ньютона показы ­
вает, что из-за взаимного действия
тел друг на друга силы всегда по­
являю тся парами. Если на какое-то
тело действует сила, то обязательно
есть какое-то другое тело, на кото­
рое первое тело действует с такой же
по абсолютному значению силой, но
направленной в противоположную
сторону.
Так же как первый и второй
законы
Ньютона,
третий
закон
справедлив, когда движения р а с ­
сматриваю тся относительно инерциальных систем отсчета.
Следующий опыт поясняет смысл
третьего закона Ньютона.
Возьмем две одинаковые тел е ж ­
ки, к одной из которых прикреп­
лена упругая стальная пластинка.
Согнем пластинку и свяж ем ее нит­
кой, а вторую тележку приставим к
первой так, чтобы она плотно сопри­
с)
0 ____
ш
1
т
У
_....... ..
к а сал ась с другим концом пластинки
(рис. 80, а ). Перережем теперь
нить, удерж иваю щ ую пластинку в
согнутом виде. П ластинка начнет
выпрямляться, и мы увидим, что обе
тележки придут в движение. Это
значит, что обе они получили уско­
рение. Так как массы тел еж ек оди­
наковы, то одинаковы по модулю и
их ускорения, а следовательно и ско­
рости, о чем можно судить по о дин а­
ковой длине перемещений тел еж ек за
одинаковое время.
Если на одну из тележ ек поло­
жить какой-нибудь груз (рис. 80, б ),
то мы увидим, что перемещения те­
л еж ек будут неодинаковыми. Это
значит, что и ускорения их неоди­
наковы: ускорение нагруженной те ­
лежки меньше. Но ее масса больше.
Произведение ж е массы на ускоре­
ние, т. е. сила, действую щ ая на к а ж ­
дую из тележек, по модулю оди­
накова.
В этом примере, как и в любых
других, можно отметить ещ е одну
особенность тех двух сил, которые,
согласно третьему закону Ньютона,
появляются одновременно при в за и ­
модействии: силы эти всегда одной
и той же природы. Если, например,
65
как в нашем примере, на одно из
тел со стороны другого действует
сила упругости, то оно «отвечает»
этому другому телу тоже силой уп­
ругости.
Нужно всегда помнить, что силы,
возникающие при взаимодействии
двух тел, приложены к разным телам. Поэтому нельзя сказать, что
сумма сил, приложенных к каж дому
телу, равна нулю, что эти силы у р а в ­
новешиваются.
У равновеш иваться
могут лиш ь силы, приложенные к
одному и тому же телу.
Вопросы
1. С ф о р м у л и р у й т е т р е т и й з а к о н Н ь ю т о ­
на.
Есть
ли
ф изическое
ра з­
личие м е ж д у д ействием и противод е йствие м ?
2. К о м п е н с и р у ю т
ли
друг
д р у га
силы ,
к о т о р ы е в о з н и к а ю т пр и в з а и м о д е й с тв и и д в ух
тел?
Ч то с о б о й п р е д с т а в л я ю т « д е й с т в и е » и « п р о ­
т и в о д е й с т в и е » Н ью тон а?
4.
3. Т р е т и й з а к о н Н ь ю т о н а с а м и м Н ь ю т о ­
ном
тиводействие».
был
сф орм улирован
та к :
«Д ействию
в се гд а ес ть р а в н о е и п р о т и в о п о л о ж н о е п р о -
П очем у
автом аш ины
с
пр и
столкновении
н а гр у ж е н н ы м
л е гк о в о й
гр узов и ком
п о в р е ж д е н и я у л е гк о в о й а в т о м а ш и н ы все гд а
б о л ь ш е , ч е м у гр у з о в о й ?
§ 24. ЧТО М Ы УЗН АЕМ ИЗ ЗАКО Н О В НЬЮ ТОНА?
Одни законы для всех сил.
Р а с с к а зы в а я в предыдущих п а р а ­
граф ах о законах Ньютона, мы поль­
зовались примерами,
в которых
действовали, главным образом, силы
упругости, например, со стороны
пружины, изогнутой пластинки. М о ­
жет быть, законы Ньютона и верны
только д ля сил упругости?
Но это не так. Чтобы это по­
яснить, вернемся к рисунку 76. Мы
видели (см. § 2 2 ), что ускорения
g н а равны по модулю и противо­
положны по направлению: g = — а.
Но если верно равенство g = — а,
то верно и равенство m g = — та.
Т ак как мы уж е знаем, что произ­
ведение т а равно силе упругости,
то ясно, что величина m g равна силе
тяж ести. Она, следовательно, тож е
равна произведению массы тела на
ускорение, которое она сообщает
телу. Таким же образом можно д о ­
казать, что второй закон Ньютона и
оба других закона справедливы для
всех сил. Это одно из проявлений
того, что мы назы ваем единством
природы: силы и тела могут быть
66
разными, но законы одни для всех
сил и всех тел.
Сила и движение. Законы Н ью ­
тона позволяют нам теперь о т­
ветить на те вопросы «почему?»,
которые мы за д а в а л и в начале
этого раздела. Почему, при каких
условиях тело соверш ает прямоли­
нейное равномерное движение? О т ­
вет на этот вопрос д ает первый
закон Ньютона. Если тело движ ется
прямолинейно и равномерно или н а ­
ходится в покое, то это значит,
что на него не действуют силы или,
если силы действуют, их геометриче­
ская сумма равна нулю.
Заметим, что если тело находится
в покое или д ви ж ется прямолинейно
и равномерно, то о таком теле (м ате­
риальной точке) говорят, что оно
находится в состоянии равн овесия.
Чтобы тело (точка) находилось в
равновесии, нужно, чтобы сумма
приложенных к нему сил была равна
нулю.
Почему, при каких условиях тело
дви ж ется прямолинейно и равн о­
ускоренно? На этот вопрос дает
ответ второй закон Ньютона. Д л я
того чтобы тело двигалось с постоян­
ным ускорением по прямолинейной
траектории, необходимо, чтобы дей­
ствую щ ая на него сила или равн о­
д ействую щ ая нескольких сил была
постоянной по модулю и по н ап р ав ­
лению.
Почему, при каких условиях тело
д ви ж ется равномерно по окр у ж ­
ности? И на этот вопрос отвечает
второй закон Ньютона. При таком
движении ускорение центростреми­
тельное, по модулю во всех точках
V2
траектории одинаково и равно — .
Поэтому и сила
направлена
к
центру той окружности, по которой
д ви ж ется тело, постоянна по модуто!
лю и равна —-— .
Третий закон Ньютона объясняет,
как вообще возникает сила. Согласно
этому закону, сила возникает при
взаимодействии тел. При этом на
ка ж д ое из взаимодействующих тел
действует сила, и каж дое получает
ускорение.
В аж н о понять, что сила, согласно
законам Ньютона, определяет уско­
рение, а не скорость. Это значит,
что сила не есть причина движения.
Сила — это причина изм енения д в и ­
ж ения, т. е. изменения скорости д ви ­
жения. Само же движение ни в какой
причине не нуждается. Ведь первый
закон Ньютона показывает, что дви­
гаться (прямолинейно и равномер­
но) тело может и без действия сил.
Но измениться движение может
только под действием силы. Поэтому,
например, криволинейное движение,
при котором скорость непрерывно
изменяется по направлению, без дей­
ствия силы невозможно.
Если направление ускорения всег­
да совпадает с направлением силы,
то о направлении скорости этого
ск азать нельзя. Скорость может
совпадать по направлению с силой,
например, при свободном падении
тел. Но она может быть направлена
и в противоположную силе сторо­
ну — таково, например, движение
тела,
брошенного
по вертикали
вверх. Направление скорости может
быть и перпендикулярным н ап р ав ­
лению силы. Так движ ется тело по
окружности.
Законы Ньютона и относитель­
ность движения. Мы знаем, что пер­
вый закон Ньютона верен, если р а с ­
см атривать движение тела относи­
тельно инерциальной системы отсче­
та. Инерциальных систем отсчета
имеется бесчисленное множество. И,
конечно, первый закон Ньютона для
любой из них один и тот же. А д р у ­
гие два закона?
Сила, приложенная к телу, не
может измениться из-за того, что мы
заменили одну инерциальную сис­
тему отсчета другой. Не мож ет изза этого измениться и масса тела.
Точно так же от выбора системы
отсчета не может зависеть и ускоре­
ние тела. А так как, кроме силы, м а с­
сы и ускорения, никакие другие ве­
личины в законы Ньютона не входят,
то можно утверж дать, что законы
м еханического движ ения одинаковы
д л я всех инер ц и а льны х систем от­
счета. Это утверждение н а зы в а е т ­
ся принципом относительности Г а ­
ли лея. Он означает, что любые ме­
ханические
процессы
происходят
одинаково, какую бы инерциальную
систему отсчета мы ни выбрали.
Мы знаем, что при переходе от
одной системы отсчета к другой мо­
гут изменяться скорость тела, его пе­
ремещение и д а ж е траектория (см.
§ 8 ), но не законы движения.
67
Вопросы
1. К ак
направлено
ускорение
тела,
.
6 На р и с у н к е 81 с х е м а т и ч е с к и п о ка за н ы
вы ­
к а ч е л и , и з в е с т н ы е п о д н а з в а н и е м « ги га н т с к и е
з в а н н о е д е й с т в у ю щ е й на н е го силой?
2. М о ж е т ли те л о , на к о т о р о е д е й с тв у е т
ш а ги » . На « п а сса ж и р а » д е й с т в у ю т д в е си лы :
о д н а -е д и н с тв ,е н н а я сила, д в и га ть с я с п о с т о я н ­
сила
н о й с к о р о с т ь ю ? Н а х о д и ть с я в по кое?
та
3. В е р н о ли у т в е р ж д е н и е : с к о р о с т ь тела
определяется
д ей ствую щ ей
на
н е го
силой?
4. В е р н о ли у т в е р ж д е н и е : т е л о д в и ж е тс я
тя ж е с т и
Рг,
направлена
сила?
ствую т
только
д ей ствую щ ей
на
н е го силой?
сила
н а тя ж е н и я
вдоль
кан а­
кан ата .
равнодействую щ ая
7. На р и с у н к е 82 п о к а з а н
веш енны й
тела о п р е д е л я е т с я
и
К уд а
двух
сил,
д е й с т в у ю щ и х на «п ассаж и ра »?
туда, ку д а н а п р а в л е н а п р и л о ж е н н а я к н е м у
5. В е р н о ли у т в е р ж д е н и е : п е р е м е щ е н и е
Fi
направленная
ф онарь,
под­
на д в у х т р о с а х . На ф о н а р ь
дей­
три
н а тя ж е н и я
си л ы :
сила
тросов
Fi
равнодействую щ ая
равна
тяж ести
и
эти х
F2 .
трех
равнодействую щ ая
сил
Рз и силы
Чем у
сил?
Fi
ра вна
Чему
и
F2 ?
Рис. 82
П РИ М ЕРЫ Р Е Ш Е Н И Я ЗАДАЧ
Напомним, что делать вычисле­
ния, пользуясь формулами, зап и ­
санными в векторной форме, нельзя.
Поэтому при решении зад ач с при­
менением законов Ньютона форму­
лы следует записы вать в скалярной
форме, т. е. для проекций векторов
на координатные оси.
1.
Брусок массой т = 2 кг покоится
горизонтальной идеально гладкой поверх­
ности. С каким ускорением будет двигать­
ся брусок, если к нему приложить гори­
зонтально направленную силу F = 10 Н>
Р е ш е н и е . Сила F сообщает
бруску ускорение, направленное так
же, как и сама сила. И з второго
закона Ньютона
68
F
а~ —
т
Если направить координатную
ось X вдоль направления силы, то
проекция ах вектора а будет равна
его модулю: ах — а. Проекция Fх век­
тора F тоже равна его модулю:
FX= F. В скалярной форме ур ав н е­
на ние второго закона имеет вид:
а = — , откуда
а~
10 н
=5 4 .
2.
Тело, движущееся под действием по­
стоянной силы F, прошло в первую секунду
движения 0,5 м. Чему равна эта сила, если
масса тела 0,25 кг?
Р е ш е н и е . Под действием по­
стоянной силы тело дви ж ется р а в ­
ноускоренно. Н аправим координат­
ную ось X по направлению д в и ж е ­
ния. Тогда проекция ускорения ах
равна модулю вектора а: ах = а.
Проекция перемещения sx = s . Точно
так же проекция силы равна модулю
вектора F: F X= F.
Так как н ач ал ьн ая скорость тела
равна нулю, то проекцию ускорения
можно найти из формулы s x =
axt2
at2
, откуда
Р е ш е н и е . Н аправи м коорди­
натную ось X по направлению д ви ­
ж ения правой (нагруженной) тел е ж ­
ки. На левую тележ ку действует
сила F , , на правую F„. Согласно
третьему закону Ньютона, F л =
= — F п. Обозначим эту одинаковую
по модулю для обеих тележ ек силу
через F, так что Р л = — F и F„ = F.
Поэтому ее проекция на ось X поло­
жительна. Тогда в соответствии со
вторым законом Ньютона можно н а ­
писать:
F
F — т пtinx,
2s_
а=
rriji CLjix,
е ■
Ф ормула второго закона Ньютона
в скалярной форме (для проекций)
имеет вид:
где т л и т п — массы левой и правой
(нагруженных) тележек, а лх и а пх —
проекции на ось X ускорений левой
и правой тележек.
Отсюда
F x = m a x, или F — ma.
Подставим сюда полученное в ы р а­
жение д ля а
2m s
F= -
F
а„г =
Проекции s лх и s nje перемещений
найдем по формулам:
алХt _
F = 2 - 0,25 к г -0 ,5 м: (1 с) 2= 0,25 Н.
3.
ке
В о п ы те , схем а к о т о р о го пр ед ста в л ена
равна
0,3
к г.
П руж инящ ая
п л а с ти н к а
в ы п р я м л я е тс я за 2 с. С и л у у п р у го с ти
тинки
в течен ие э т о го
стоянной и равной
времени
плас­
с ч и т а ть
_If2т л
2
а „ г t2
F t2
2
2m,
s ™ —
на р и с у н к е 80, б, м асса к а ж д о й из т е л е ж е к
р а в н а 0,2 к г . М а с с а гр у з а на п р а в о й т е л е ж ­
а пг= -
т„
П од ставл яя данные из условия з а д а ­
чи, получаем:
с
по­
_
1 Н. К акое перем ещ ение
1 Н (2 c f
2-0 ,2 кг
— 10 м;
со в е р ш и т к а ж д а я из т е л е ж е к за 2 с? М а ссо й
1 Н (2 с)2
п л а с ти н к и и трением пренебречь.
2 -0 ,5 кг
=4 м.
Упражнение 11
1 к г па д а ет на з е м л ю с
3. А в т о м о б и л ь , м асса к о т о р о г о 2160 кг,
п о с т о я н н ы м у с к о р е н и е м 9,8 м / с 2. Ч е м у равна
н а чи н а е т д в и га ть ся с у с к о р е н и е м , к о т о р о е в
сила, д е й с т в у ю щ а я на тело?
течение
1. Т е л о м а с с о й
2. А в т о м о б и л ь м а с с о й 1000 к г д в и ж е тс я
врем я
30 с о ста е тся
он
проходит
по стоянны м .
500 м .
п о к о л ь ц е в о й д о р о г е р а д и у с о м 100 м с п о ­
дулю
стоянной скор остью
в р е м е н и на а в то м о б и л ь ?
20 м / с . Ч е м у ра вна си ­
ла, д е й с т в у ю щ а я на а в то м о б и л ь ? К ак о н а на­
правлена?
сила, д е й с тв о в а в ш а я
4. За
м н о го
лет
до
К а ко в а
За это
по
в течение
Н ью тона
м о­
это го
и та л ь я н ­
с к и й х у д о ж н и к и у ч е н ы й Л е о н а р д о да В инчи
69
вы сказа л с л е д у ю щ е е у т в е р ж д е н и е : «Если си ­
в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы с с и л о й 50 Н к а ж д ы й .
ла за з а д а н н о е в р е м я п е р е м е щ а е т т е л о на
Р а з о р в е тся ли в е р е в ка , есл и о н а
о п р е д е л е н н о е р а с с то я н и е , то та ж е сила п о ­
вает н а тя ж е н и е д о 80 Н?
6.
л о в и н у т а к о г о тела п е р е м е с т и т на т а к о е ж е
р а с с то я н и е за в д в о е м е н ь ш е е в р е м я » . В е р н о
это у т в е р ж д е н и е или л о ж н о ?
5. Д ва ч е л о в е к а т я н у т в е р е в к у в п р о т и ­
50
к г,
Д ва
стоят
мальчик
10 Н.
м а л ь ч и ка ,
на
о т та л к и в а е т с я
К аки е
м ассы
коньках
ускорения
на
от
вы держ и­
которы х
льду.
д р уго го
получат
40
П е р вы й
с си л о й
м альчики ?
§ 25. К А К И З М Е Р Я Ю Т С И Л У ?
И з курса физики VII класса из­
вестно, что силу измеряют с помощью
силомера, главной частью которого
является пружина.
П ру ж и н а особенно удобна для
измерения силы, потому что, будучи
растянута или сж а т а на определен­
ную длину, она действует на любое
тело с одной и той же силой. Кроме
того, при помощи одной и той же
пружины можно получить различные
значения силы упругости, растяги ­
вая ее на различную длину.
Чтобы пользоваться пружиной
для измерения сил, надо заранее
знать значения сил упругости при
различных е.е растяжениях. Другими
словами, нужно знать, как сила уп­
ругости зависит от удлинения пру­
жины. Д л я этого можно было бы
воспользоваться центробежной м а­
шиной, поместив туда пружину с
прикрепленным к ней телом известР и с .8 3
70
нои массы и измерив ее удлинение
при различном числе оборотов.
Но теперь, когда мы знаем з н а ­
чение силы тяжести, действующей
на тело, можно более простым спо­
собом найти нужную нам зав и си ­
мость силы упругости от удлинения
пружины.
Д л я этого надо к вертикально
расположенной пружине подвеши­
вать тела различной массы и к а ж ­
дый раз измерять удлинение с по­
мощью шкалы (рис. 83). Д ей ств и ­
тельно, мы знаем, что на тело м ас­
сой т действует сила тяж ести, р а в ­
ная по модулю m g. Когда тело под­
вешено на пружине и находится в
покое, эта сила тяж ести у равн о ве­
шена силой упругости пружины.
Следовательно, и сила упругости
пружины по модулю равна m g.
П одвеш ивая к пружине р азл и ч ­
ные грузы известной массы, можно
установить, как зависит сила упру­
гости пружины от ее удлинения. Если
против каж дого деления шкалы, у
которого останавливается указатель,
прикрепленный к пружине, поставить
значение силы упругости в ньюто­
нах, то пружина будет гр ад у и р о ва­
на. Т ак ая градуи рованн ая п р у ж и ­
на — это уж е прибор, пригодный для
измерения силы. Н азы в ается этот
прибор динамометр.
Динамометром можно измерять
любую силу. Допустим, что на какое-то тело действует горизонтально
F,
которую
направленная
сила
и
Рис. 8 4
Рис.85
нужно измерить (рис. 84). П рикре­
пим к этому телу крючок непод­
вижного и горизонтально располо­
женного динамометра. Под дейст­
вием силы F тело получает ускоре­
ние и движется, увлекая за собой и
конец пружины динамометра. П ру ­
жина удлиняется, возникает сила
упругости, направленная против си­
лы F.
Когда сила упругости Р упр и си­
ла Р станут по модулю равными,
тело остановится и стрелка дин ам о­
метра у к а ж е т на его ш кале зн ач е­
ние силы F.
Заметим, что динамометр и тело,
САМОЕ
ВАЖ НОЕ
к которому приложена и зм еряем ая
сила, не обязательно долж ны нахо­
диться в покое в момент измерения
силы. Ничего не изменится, если они
вместе будут двигаться п рямоли­
нейно и равномерно. Ведь прям о­
линейное и равномерное движение
тож е происходит при равенстве про­
тивоположно направленных сил. На
рисунке 85 показано, например,
как измеряют силу, с которой земля
(почва) действует на платформу,
влекомую трактором. Чтобы изме­
рение было верным, нужно только,
чтобы трактор двигался с постоян­
ной скоростью.
В ЧЕТВЕРТОЙ
ЗНАЧЕНИЕ ЗАКОНОВ
ГЛАВЕ
НЬЮ ТОНА
Опыты и наблюдения показывают, что причиной изменения
движ ения тел, т. е. причиной изменения их скорости, являю тся
воздействия на них других тел. Количественно действие одного
тела на другое, вызываю щее изменение скорости, вы р а ж ае тся
величиной, называемой силой.
Действие одного тела на другое не одностороннее. Тела в з а и ­
модействуют. Ускорение, которое получает тело при данном
взаимодействии, зависит от особого свойства всякого тела —
7!
его инертности. Количественно это свойство в ы раж ается вели­
чиной, называемой массой.
Эти опытные факты л е ж а т в основе трех законов движения
(динамики), открытых И. Ньютоном и изложенных им в книге
«Математические начала натуральной философии», опубликован­
ной в 1687 г. Эти законы имеют простую и краткую формули­
ровку, если дви ж ени я тел рассматриваю тся относительно н ад ­
л еж ащ и м образом выбранных систем отсчета — инерциальных
систем.
Первый закон Ньютона утверждает, что относительно инер­
циальных систем отсчета тело дви ж ется прямолинейно и р ав н о­
мерно или находится в покое, если сумма сил, действующих на
него, равна нулю. Другими словами, в этом случае тело нахо­
дится в состоянии равновесия. Вывести тело из состояния р а в ­
новесия может только приложенная к нему сила.
Второй закон Ньютона устанавливает связь силы с вы зв ан ­
ным ею ускорением: сила, действующ ая на тело независим о от
ее природы, равн а произведению массы тела на сообщ аемое
этой силой ускорение:
F = ma.
Третий закон Ньютона указы в ает на то, что действие одного
тела на другое имеет взаимный характер: тела действуют друг
на друга силам и одной и той же природы , равны м и по м одулю и
противополож ными по направлению :
F x= - F 2.
Законы движения вы раж аю тся двумя простыми (на первый
взгляд) формулами. Но содержится в них необыкновенно много.
Ведь вокруг нас происходят самые разнообразные движения:
течет вода в реках, низвергаются водопады, проносятся над
Землей ветры и ураганы, мчатся по дорогам автомобили, п л а­
вают по морям корабли, летают в воздухе самолеты, в космиче­
ском пространстве движ утся галактики, звезды, планеты и со зд ан ­
ные человеком космические корабли. Эти движения и тела, ко­
торые их совершают, не похожи одно на другое. Различны и
силы, действующие на них. Но для всех этих движений, тел и
сил справедливы законы Ньютона, математически выраженные в
приведенных выше формулах, на вид таких простых.
М еханика Ньютона была первой в истории физики (да и
вообще науки) законченной теорией, правильно описывающей
обширный класс явлений — дви ж ени я тел. Один из современ­
ников Ньютона так выразил свое восхищение этой теорией в
стихах, которые мы приводим в вольном переводе С. Я- М ар ш ак а :
Был этот мир глубокой тьмой окутан.
Д а будет свет! И вот явился Ньютон.
Законы Ньютона в принципе позволяют решить любую зад ачу
механики. Если известны силы, приложенные к телу, можно найти
ускорение тела в любой момент времени, в любой точке его т р а е к ­
тории.
Так зав ерш ается та «цепочка», о которой говорилось в конце
третьей главы: по известным силам и массе тела находят уско­
рение, затем вычисляют его скорость, перемещение и, наконец,
координаты тела в любой момент времени. Д л я этого нужно
еще знать начальные условия — начальное положение и н а ч а л ь ­
ную скорость тела.
Законы Ньютона позволяют людям не только изучать д в и ­
жения, но и уп р авл ять ими. Например, ученым, которые уп ­
равляю т полетом космического корабля, необходимо, конечно,
знать положение корабл я в любой момент времени. Они и у з ­
нают его, пользуясь упоминавш ейся «цепочкой». Им известно
начальное положение корабля на стартовой площ адке и его н а ­
чал ьн ая скорость. Им известны и силы, действующие на ко­
рабль в любой точке его траектории. П ользуясь этими данными,
они и решают зад ач у механики применительно к космическому
кораблю. Но сил, действующих на корабль, много, они все время
изменяются, а вычислять нужно не одну координату, а три. П о ­
этому вычисления настолько сл о ж н ы , что приходится привле­
кать на помощь вычислительные машины.
Не следует думать, что законами механики пользуются исклю­
чительно для того, чтобы вычислять координаты дви ж ущ ихся
тел. Нередки случаи, когда движение тела известно, т. е. и з­
вестно его положение в различные моменты времени. Тогда з а ­
коны Ньютона позволяют выяснить, какие силы действуют на тело.
ГЛ А В А 5
СИЛЫ В П РИ РО ДЕ И Д ВИ Ж Е Н И Я ТЕЛ
М НО ГО Л И
СИЛ
В ПРИРОДЕ?
Силы, как мы теперь знаем, сооб­
щаю т телам, к которым они прило­
жены, ускорения, а возникают эти
силы при взаимодействиях одних тел
с другими. Много ли в природе р а з ­
личных взаимодействий, различных
сил?
На первый взгляд мож ет п ока­
заться, что различных сил очень мно­
го. В самом деле, ускорение телу
можно сообщить, толкнув или потя­
нув его рукой. Значит, при этом
действует сила. С ускорением д в и ­
жется всякое падаю щ ее тело. С у ск о­
рением начинает дви гаться корабль,
когда ветер надувает его паруса.
В этой книге мы уж е упоминали о си­
ле тяж ести, силе упругости. К аж д ы й
слышал о таких силах, как электри ­
ческая сила, магнитная сила, сила
прилива и отлива, сила зем л е тр я ­
сений и т. д.
73
Действительно ли в природе так
много разных сил? Оказы вается,
нет.
При рассмотрении механического
движ ения тел приходится иметь
дело всего с тремя видами сил: с
силой упругости, силой тяготения и
силой трения. К ним и сводится
большая часть тех сил, о которых
мы только что говорили. В этой
главе мы познакомимся с этими си­
лами и с движениями, которые со­
вершают тела, на которые они дей­
ствуют.
§ 26. С И Л А У П Р У Г О С Т И
Мы у ж е знаем, что сила упру­
гости возникает при растяжении или
сжатии пружины. Если пружина р а с ­
тянута, то сила упругости н ап рав л е­
на так, что пружина снова с ж и м а ­
ется. Если пружина сж ат а, то сила
упругости стремится пружину р а с тя ­
нуть. Вообще, сила упругости — это
сила, восстанавл и ваю щ ая то состоя­
ние, которое было до сж ати я или
растяжения.
Все это относится не только к
пружине, но и к любому телу. В ся­
кое тело может играть роль пру­
жины.
Например, при растяжении стер­
жня, один конец которого закреплен
(рис. 86, а ) , тоже возникает сила
упругости, направленная в сторону,
противоположную направлению сме­
щения конца стержня (рис. 86, б ).
Если же стержень сж ат, так что ко­
нец стерж ня смещен влево, то сила
Рис. 8 6
1
1
т
^
р
*
Ь
^ |1
1
1
74
|
У ПР
х _ 1_ X
р
1—
У ПР I
^
I
1
1
|
упругости
направлена
вправо
(рис. 86, в ).
Такие восстанавливаю щ ие силы
возникают не только при р а с т я ­
жении и сж атии тел. Они возни­
кают такж е, когда тела изгиба­
ют (рис. 87, а)
или скручивают
(рис. 87, б ) .
Растяж ение, сжатие, изгиб, кру­
чение называю тся деф орм ациям и
тел. При любом виде деформации,
если она невелика по сравнению с
размерами тела, возникает сила уп­
ругости, восстанавл и ваю щ ая то сос­
тояние, в котором тело находилось
до деформации.
В дальнейшем мы будем р ассм ат­
ривать только силы упругости, воз­
никающие при деформации р а с тя ­
жения или сж атия.
Почему возникают силы упру­
гости? Вообще говоря, в механике
причины возникновения тех или иных
сил не изучаются. М еханика — это
наука о том, как тела д ви ж утся под
действием сил. Но о силах упругости
мы все ж е расскаж ем. Возникнове­
ние силы упругости связан о вот
с чем.
И з курса физики VII класса и з­
вестно, что все тела состоят из
атомов или молекул. Расстояния
между ними т ак же малы, как и
сами частицы. Частицы эти взаи м о­
действуют между собой. Силы в з а и ­
модействия между частицами тела
имеют такую любопытную особен­
ность. Если слегка увеличить р а с ­
Рис. 87
стояние между частицами, то силы
взаимодействия оказы ваю тся с и л а ­
ми притяжения между ними. Если
же расстояния между частицами
немного уменьшить, они сразу с т а ­
новятся силам и отталкивания. Р а с ­
тяги вая стержень, мы как раз и
увеличиваем расстояния между ч ас­
тицами, а сж и м ая его, уменьшаем их.
Понятно поэтому, почему возникают
при деформации силы упругости.
Закон Гука. Опыты, подобные
тем, что описаны в § 25 (см.
рис. 83), проводились не только на
пружинах, но и на твердых стержнях.
Они позволили выяснить, как с в я ­
зан а сила упругости с вызывающей
ее деформацией. О казалось, что при
достаточно малых удлинениях (м а ­
лых по сравнению с длиной самого
стержня) модуль вектора силы упру­
гости пропорционален модулю век­
тора перемещения свободного кон­
ца стержня. Но проекции на ось X
этих векторов, как мы видели (см.
рис. 86), противоположны по з н а ­
ку. Поэтому математически зав и си ­
мость силы упругости от удлинения
(деформации) в ы раж ается равен­
ством
( % ?)*==— kx.
( 1)
Здесь х — удлинение тела
(пру­
ж и н ы ), k — коэффициент пропор­
циональности,
называемый жест­
костью тела (пруж ины). Ж есткость
зависит от размеров стерж ня и от
м атериала, из которого он изгот
,
(^упр)я
товлен. 1ак как k = ------- , то ж е с т X
кость в ы раж ается в н ь ю т о н а х
на м е т р ( Н / м ) .
Удлинение х положительно при
растяж ении тела (пружины) и о три ­
цательно при сж атии. Это видно на
рисунке „8 6 . Заметим, что если о т­
считывать координату от положения
конца недеформированного стержня,
то х — это и координата конца д е ­
формированного стержня.
Формула (1) в ы р а ж ае т з а к о н
Гука:
Сила упругости, возникаю щ ая
при деформации тела, пропорцио­
нальна удлинению тела и нап равле­
на противоположно направлению
перемещения частиц тела относи­
тельно други х частиц при деф ор­
мации.
Как возникают деформации? С и ­
лы упругости возникают при д е ­
формации тела. А как возникают
сами деформации? Возьмем две те ­
леж ки с прикрепленными шариками
из мягкой резины (рис. 8 8 ). П р и в е­
дем тележки в движение так, что­
бы они столкнулись. Когда шарики
коснутся один другого, на частицы
обоих шариков у места соприкос­
новения станут действовать силы.
Эти частицы получат ускорение и
см е с т я т с я
о тн о си тел ь н о
других
75
Рис. 8 8
Q
О
e : o ....
частиц, к которым сила сн ач ал а при­
л ож ен а не была. Ш арики окаж утся
деформированными,
и
возникнет
сила упругости, н ап равлен ная про­
тив движения тележ ек и шариков.
Эти силы зас тав ят тележки на
мгновение остановиться, а затем —
д вигаться в обратном направлении.
И з этого опыта видно, что причиной
деформации шариков явилось д в и ­
жение одних частиц относительно
других, а следствием деформации —
сила упругости.
Если бы шарики были не рези­
новые, а стальные, результат был
бы тот же, но деформации не были
бы заметны, потому что жесткость
стального ш арика много больше, чем
резинового. Причиной деформации
здесь, как и в других случаях, я в ­
ляется движение одних частей тела
относительно других. Когда мы к л а ­
дем груз на стол, он под действи­
ем силы тяжести начинает д ви гать ­
ся вниз, как всякое падаю щ ее тело.
При этом смещаются частицы, из
которых состоит со п ри касаю щ аяся
с ним часть стола. Стол д еф о рм и ­
руется, и возникает сила упругости,
н аправленная вверх и рав н ая силе
тяж ести, действующей на груз. П о ­
этому груз на столе находится в
покое. Деформируется, разумеется,
и груз. Если положить груз на под­
ставку из мягкой резины, то будут
видны и перемещения, и конечная
деформация резины (рис. 89). То же
можно ск азать и о действии подве­
са (рис. 90, а, б ). Хорошо заметны
так ж е деформации пружин, резино­
вых шнуров. Силу упругости, дейст­
вующую на тело со стороны опоры
или подвеса, назы ваю т силой р еак­
ции опоры.
В а ж н а я особенность силы упру­
гости состоит в том, что она н а ­
правлена перпендикулярно поверх­
ности соприкосновения тел, а если
идет речь о таких телах, как д е­
формированные пружины, сж аты е
или растянутые стержни, шнуры,
нити, то сила упругости направлена
вдоль их осей.
Рис.90
/6
Вопросы
1. П р и
каки х
условиях
возникаю т
силы
Рис.91
у п р у го с т и ?
2. Ч то т а к о е ж е с т к о с т ь те л а (п р у ж и н ы )?
3. В ч е м с о с т о и т з а к о н Гука?
4. П р и
каких
условиях
возникает
де­
ф о р м а ц и я тела?
5. На
рисунке
91
из л ука . Д е ф о р м а ц и я
изображ ен
к а к о го
стрелок
тела
вы звала
п о я в л е н и е си лы у п р у го с ти ?
6 . На н а к л о н н о й п л о с к о с т и
неподвиж но
л е ж и т г р у з (р и с . 92). Д е й с т в у е т ли на н е го
си л а
у п р у го с т и ?
Д еф орм ация
к а к о го
тела
в ы зы ва е т ее?
7. Ч то т а к о е р е а к ц и я
опоры
ПРИМ ЕР РЕШ ЕНИЯ
На
м ассой
то н к о й
10
увеличилась
к г.
на
пр о во л о ке
П ри
0,5
этом
мм.
(п о д в е са )?
ЗАДАЧИ
по д в е ш е н
длина
Ч ем у
груз
проволоки
равна
F T= rng ,
написать
■kx.
Тогда
можно
ж ест­
m g = kx.
ко сть нити?
Р е ш е н и е . Груз, подвешенный
на проволоке, находится в покое.
Значит, сила упругости нити f ynp
по модулю равн а силе тяжести
PT= m g : F ynv = F T. Равны и модули
их проекций. Если направить коор­
динатную ось X по вертикали вниз,
то F TX= m g x, (F „ p)x = — kx, или
Откуда
k=
П одставив сюда данные задачи , по­
лучим
10 к г . 9,80 ,5 -10
§ 27. Д В И Ж Е Н И Е Т Е Л А П О Д Д Е Й С Т В И Е М
Рассмотрим случай, когда на не­
которое тело действует сила упру­
гости и нет других сил, приложен­
ных к нему. Примером мож ет слу­
жить движение тележки с грузом,
прикрепленной к пружине (рис. 93).
На тележ ку действует сила тяжести,
но она компенсируется силой реа к­
ции опоры. Если оттянуть тележку
и тем самым деформировать пру­
жину, а затем отпустить ее, то мы
увидим, что тел еж ка станет д ви гать ­
mg
м
СИЛЫ
196 000 Н /м .
УПРУГО СТИ
ся вправо и влево, все время повто­
ряя свое движение. Такое движение
н азы вается колебательным движ е­
нием. Его можно наблю дать и под­
весив тело к вертикально располо­
женной пружине.
Если направить координатную
ось X вдоль движ ения колеблю щ е­
гося груза, то уравнение второго
закона Ньютона запиш ется в виде:
m a x — — kx.
77
Рис.93
Решив это уравнение, можно
найти координату х в любой момент
времени. Но зад ач а эта трудная,
потому что сила упругости во время
движ ения непрерывно изменяется, а
вместе с ней изменяется и уско­
рение. К этому вопросу мы вернем­
ся в последних главах книги.
Колебательное движение под дей­
ствием силы упругости тело совер­
шает тогда, когда и сила и переме­
щение направлены вдоль одной и той
же прямой (см. рис. 93).
Вопросы
*
1. К ак д в и ж е т с я те л о , если е д и н с т в е н н о й
силой,
прилож енной
Совсем иначе дви ж ется тело,
когда сила упругости действует пер­
пендикулярно направлению д в и ж е ­
ния тела. Ведь если сила перпен­
дикулярна скорости (напомним, что
направление вектора скорости — это
и есть направление д в и ж е н и я), то
и ускорение перпендикулярно ско­
рости. Ускорение же, перпендику­
лярное скорости,— это центростре­
мительное ускорение, которым о б л а ­
дает тело, дви ж ущ ееся по о к р у ж ­
ности. Следовательно, под действием
силы упругости, приложенной к телу
перпендикулярно направлению его
движения, тело дви ж ется по о к р у ж ­
ности. Известным примером служит
движение по окружности грузика на
нити. Сила упругости здесь — это
сила упругости натянутой нити.
к нем у,
яв л яется сила
ны е . К к а к о м у в и д у д в и ж е н и й о т н о с и т с я к о ­
лебательное движ ение?
у п р у го с т и , н а п р а в л е н н а я в д о л ь н а п р а в л е н и я
е го движ ения?
2. К ак д в и ж е т с я т е л о , к к о т о р о м у
лож ена
си л а
у п р у го с т и ,
направленная
д е л я тс я
виду
на
траектории
прям олинейны е
от
си л а
точки
к
перем енная:
точке,
от
од­
А
ус­
н о го
пер­
корение?
тела
ся по о к р у ж н о с т и . К акая сила д е й с т в у е т на
м о м ен та
врем ени
к
д р уго м у.
5. Г руз, п р и к р е п л е н н ы й к н и ти , д в и ж е т ­
движ ения
и
у п р у го с т и —
и з м е н я е тс я
при­
п е н д и к у л я р н о д в и ж е н и ю тела?
3. П о
4. С ила
она
криволиней­
гр у з ? К ак он а направлена?
Задание
П роследите
за
поведением
тела,
вес
к о то р о го хотят определить с п о м о щ ью пр у­
ж инны х
весо в.
С разу
ли
оно
приходит
в
с о с т о я н и е по коя?
§ 28. С И Л А В С Е М И Р Н О Г О Т Я Г О Т Е Н И Я
Ньютон открыл законы движения
тел. Согласно этим законам, дви­
жение тела с ускорением возможно
только под действием силы. Так как
п адаю щ ие тела движ утся с ускоре­
нием, направленным вниз, то на них
действует сила, направленная вниз,
сила притяжения к Земле. Только ли
Зем ля об л а д а ет свойством действо­
вать на все тела силой п ри тя ж е­
78
ния? В 1667 г. И с а а к Ньютон вы ска­
зал предположение, что вообще м е ж ­
ду всеми телами действуют силы
взаимного притяжения. Теперь их
называю т силам и всем ирного тяго­
тения или гравит ационны ми силами.
Почему же мы зам ечаем силу
притяжения всех тел к Земле, но не
замечаем
взаимного
притяжения
между самими этими телами?
Ньютону удалось доказать, что
сила притяжения между телами з а ­
висит от масс обоих тел и, как о к а­
залось, достигает заметного зн ач е­
ния только тогда, когда тела (хотя
бы одно из них) об ладаю т д оста­
точно большой массой.
Роль масс притягивающихся тел.
Ускорение свободного падения име­
ет ту любопытную особенность, что
оно одинаково для всех тел, для тел
любой массы. А ведь ускорение по
второму закону Ньютона обратно
F . T
Z
пропорционально массе: а — —
Как
же объяснить, что ускорение, сооб­
щаемое телу силой притяжения З е м ­
ли, одинаково для всех тел?
Единственное объяснение, кото­
рое можно найти этому, состоит в
том, что сама сила притяжения про­
порциональна массе притягиваемого
тела. Действительно, в этом случае
увеличение массы тела, например
вдвое, приведет к увеличению и силы
вдвое. Ускорение останется таким
же. Ньютон и сделал этот единствен­
но возможный вывод: сила всемир­
ного тяготения
пропорциональна
массе того тела, к которому она
приложена. Но ведь тела притяги­
ваются взаимно (третий закон Н ью ­
тона!). Следовательно, не только
Зем л я притягивает тело, но и тело
притягивает Землю и эта сила при­
тяж ен ия пропорциональна уж е мас­
се Земли. А силы эти одинаковы.
Отсюда следует, что сила взаимного
притяжения тел пропорциональна
массам обоих тел. Это значит, что
сила п р о п о рциональна произведению
масс обоих тел.
Роль расстояния между телами.
От чего ещ е зависит сила взаимного
притяжения двух тел? Ньютон пред­
положил, что сила взаимного притя­
жения д о л ж н а зависеть от рассто я­
ния меж ду ними.
Из опыта хорошо известно, что
ускорение свободного падения равно
9,8 м / с 2 и оно одинаково д ля тел,
падаю щ их с высоты 1, 10 и 100 м, т. е.
не зависит от расстояния между те ­
лом и Землей. Это как будто бы
означает, что и сила от расстояния
не зависит.
Ньютон считал, что отсчитывать
расстояния надо не от поверхности,
а от центра Земли. Но радиус Земли
6400 км. Понятно, что несколько д е ­
сятков, сотен или д а ж е тысяч мет­
ров над поверхностью Земли не мо­
гут заметно изменить значение уско­
рения свободного падения.
Чтобы выяснить, как влияет р а с ­
стояние между телами на силу их
взаимного притяжения, нужно было
бы узнать, каково ускорение тел,
удаленных от Земли на достаточно
большие расстояния. О днако н аб лю ­
д ать и изучать свободное падение
тела с высоты в тысячи километров
над Землей трудно. Но сам а природа
пришла здесь на помощь и д а л а воз­
можность определить ускорение те ­
ла, движ ущ егося по окружности во­
круг Земли и об ладаю щ его поэтому
центростремительным
ускорением,
вызванным, разумеется, той ж е си­
лой притяжения к Земле. Таким те­
лом является естественный спутник
Земли — Л ун а. Если бы сила п ритя­
жения между Землей и Л уной не з а ­
висела от расстояния меж ду ними,
то центростремительное ускорение
Л уны было бы таким же, как уско­
рение тела, свободно падаю щ его
близ поверхности Земли. В действи­
тельности ж е центростремительное
ускорение Л уны равно 0,0027 м / с 2.
А это в 3600 р аз меньше, чем ус­
корение тел, свободно падаю щ и х у
поверхности Земли. В то ж е время
известно, что расстояние между
центрами Земли и Л ун ы равно
384 000 км. Это в 60 раз больше ра
79
диуса Земли, т. е. расстояния от
центра Земли до ее поверхности.
Таким образом, увеличение р а с ­
стояния между притягивающимися
телами в 60 раз приводит к умень­
шению ускорения в 602 раз.
Отсюда Ньютон заключил, что у с­
корение, сообщаемое телу силой все­
мирного тяготения, а значит, и сама
эта сила обратно пропорциональны
квадрату расстояния между взаи м о­
действующими телами.
Закон
всемирного
тяготения.
Можно, следовательно, написать,
что два тела, массы которых равны
т | и т 2, притягиваются друг к д р у ­
гу с силой F, которая в ы раж ается
формулой
риальные точки.
М атериальными
точками можно считать планеты и
Солнце, Землю и Луну, когда вы­
числяют силы тяготения между ними.
Если тела имеют форму шаров,
то д а ж е в том случае, когда их р а з ­
меры сравнимы с расстоянием между
ними, шары притягиваю тся друг к
другу, как материальные точки, р а с ­
положенные в центрах шаров. В этом
случае R в формуле (1) — это р ас­
стояние между центрами шаров.
М атериальной точкой можно счи­
тать и тело произвольной формы,
когда оно взаимодействует с шаром,
радиус которого много больше р а з ­
меров тела. Именно так мы посту­
паем, когда рассматриваем п ри тя ж е­
ние тел к земному шару. Если тело
находится на поверхности Земли
n
~m,m2
или достаточно близко от нее, то R
F=G 1 T '
«. в формуле ( 1) — это просто радиус
Земли.
где R — расстояние между телами,
Гравитационная постоянная. В
G — коэффициент
пропорциональ­
формулу, вы раж аю щ у ю закон все­
ности, одинаковый для всех тел.
мирного тяготения, входит постоян­
Коэффициент G называется постоян­
ная G. Она имеет простой смысл.
ной всем ирного тяготения или гр а ­
Если массы взаимодействующих тел
вит ационной постоянной.
гп\ и т 2 равны единице (т\ = т 2 =
Ф ормула (1) в ы р аж ает закон
= 1 кг) и расстояние R между ними
всем ирного
тяготения,
открытый
тож е равно единице (R — 1 м), то,
Ньютоном:
как видно из формулы (1), F числен­
Тела притягиваются д р у г к д р у гу
но равно G: Гравит ационная по­
с силой, модуль которой пропор­
стоянная численно равн а силе при­
ционален произведению их м асс и
тяжения д в у х тел массой 1 кг каж­
обратно пропорционален квадрату
дое при расстоянии между ними 1 м.
расстояния между ними.
Если переписать формулу (1) в виде
Что надо понимать под р асстоя­
FR2
G = ------ , то из этого выраж ения
нием между телами?
ГП\Ш2
Формула (1), в ы р а ж а ю щ а я з а ­
видно, что единицей G является
кон всемирного тяготения, сп равед ­
1 Н - м 2/ к г 2.
лива, когда расстояние между т е л а ­
Что касается числового значения
ми настолько велико по сравнению
G, то оно может быть найдено только
с их размерами, что тела можно
из опыта. Опыт состоит в том, чтобы
считать
материальными
точками
измерить силу притяжения двух тел
(ведь расстояние R имеет смысл
известной массы при известном р а с ­
только для точек!). Н аправлен а сила
стоянии между ними. Такие опыты
вдоль прямой, соединяющей мате­
проводились много р аз различными
80
методами,
зультат:
и они
дали
такой
ре­
G = 6,67- 1 0 - " Н • м2/ к г 2.
К ак видно, G — очень м алая ве­
личина. Именно потому, что зн ач е­
ние G т а к мало, мы и не замечаем
притяжения обычных тел, о к р у ж а ­
ющих нас, и сами не испытываем
к ним притяжения. Ведь д а ж е два
ш ара массой 1 т каждый, нахо­
дящ иеся на расстоянии 1 м один от
другого, притягиваются друг к другу
с силой, составляю щей 6,67 стоты­
сячных долей ньютона!
Вопросы
1. К ак и з м е н и т с я сила п р и т я ж е н и я м е ж д у
д в у м я ш а р а м и , есл и о д и н
д р уги м ,
ду
м асса
и з них за м е н и ть
к о то р о го
вдвое
ж ения
этих
же
те л
к
Земле
наблю дать
л е гко ?
м еньш е?
4.
П л а н е ты
д виж утся
по
своим
орби­
2. К ак и з м е н и т с я сила п р и т я ж е н и я м е ж ­
там
двум я
т я го т е н и я , д е й с т в у ю щ а я на п л а н е ты со с т о ­
ш арам и,
если
ра сстояние
м ежду
н и м и у в е л и ч и т ь вдвое?
вокруг
роны
3. П о ч е м у м ы не з а м е ч а е м п р и т я ж е н и я
о к р у ж а ю щ и х тел д р у г к д р у г у , х отя п р и т я -
Солнца.
С олнца?
пл а н е ты
в
К уд а
К уд а
лю бой
направлена
направлено
точке
на
сила
ускорение
о р б и те ?
Как
н а п р а в л е н а ско р о сть ?
Упражнение 12
1. Д ва к о р а б л я м а с с о й 50 000 т к а ж д ы й
стоят
на
рейде
на
р а с с то я н и и
1 км
один
пр и тя ги ва ю т
раз
сила
о т д р у г о г о . К аков а сила п р и т я ж е н и я м е ж д у
б ольш е, чем
ним и?
1730 км .
2. В ы ч и с л и те
силу
З ем ле. М асса Л уны
са
Зем ли —
6-
10'
притяж ения
ра в на 7 •
кг.
Л уны
к
1022 кг, м ас­
Р а сстоян ие
м еж ду
Л у н о й и З е м л е й с чи та ть р а в н ы м 384 000 км .
3. К о с м о н а в т
вы сад и л ся
на
Л уну.
Е го
4.
о рбите,
и Л уна
Зем ля
150
Зем ля.
Во
сколько
косм онавта
к
к З ем л е? Р ад иус Л у н ы
которую
радиусом
и
притяж ения
д виж ется
м ож но
м лн.
км .
вокруг
Л уне
ра вен
Солнца
счи тать
кр уго в о й,
Н айдите
скор ость
З е м л и на о р б и т е , е сл и м асса С о л н ц а равна
2-
Ю 30 кг.
§ 29. С И Л А Т Я Ж Е С Т И
Одно из проявлений силы все­
мирного тяготения — сила притя­
жения тела к Земле, назы ваемая
та к ж е силой тяжести. Обозначим
массу Земли через М 3 , а массу
тела — через т т . Силу, действу­
ющую на тело, согласно закону все­
мирного тяготения, находим по ф ор­
муле
F= G ^ jp .
( 1)
Если тело расположено на по­
верхности Земли или близко от нее,
то R в формуле (1) — это радиус
Земли R 3 . Тогда ускорение тела,
сообщаемое телу силой тяж ести ,—
это и есть ускорение свободного
падения, которое мы обозначаем
буквой g и которое, как показы ваю т
измерения, равно примерно 9,8 м / с 2.
Согласно второму закону Нью­
тона,
Это и есть сила тяж ести. Она н ап р ав ­
лена к центру Земли.
81
по
Из этого выраж ения видно, что
ускорение свободного падения не
зависит от массы тела и, следователь­
но, одинаково для всех тел. Таково
удивительное свойство силы т я ж е с ­
ти, а значит, и вообще силы всемир­
ного тяготения. Удивительное по­
тому, что по второму закону Н ью ­
тона ускорение долж но быть обратно
пропорционально массе тела. Закон
всемирного
тяготения
Ньютона
объяснил эту странность: сила все­
мирного тяготения потому сообщает
всем телам одинаковые ускорения,
что сама она пропорциональна м ас­
се того тела, на которое действует.
Таким образом, для силы тяжести
можно написать равенство
Fт = m g .
которое мы получили раньше (см.
§ 24).
Если тело находится не на по­
верхности Земли, а на высоте h над
ней, то ускорение свободного п ад е­
ния определяется не равенством (2 ),
а равенством
~
Мч
g=
(R3 + h f •
И з формулы видно, что с ростом
высоты h ускорение свободного п а­
дения долж но уменьшаться. Но для
того чтобы оно уменьшилось на
1 м / с 2, нужно подняться над по­
верхностью Земли на 300 км. При
высотах же в десятки, сотни и д аж е
тысячи метров над Землей ускоре­
ние свободного падения (а значит,
и силу тяж ести) можно считать
постоянным, не зависящ им от вы-
соты. Только поэтому свободное п а­
дение вблизи Земли можно считать
равноускоренны м движением.
Измерение массы тела взвешива­
нием. В четвертой главе мы видели,
что массу тела можно определить,
измеряя отношение модулей ускоре­
ний при взаимодействии этого тела с
телом, масса которого принята за
единицу,— эталоном массы. П о н я т­
но, что этот способ очень неудобен.
На практике применяется более
удобный способ измерения массы —
взвеш иван ие. Он основан на том,
что сила тяжести, действую щ ая на
тело, и масса этого тела пропор­
циональны друг другу:
Fт = m g .
А силу тяжести можно измерить
динамометром (пружинными веса­
ми). И зм еряя силу тяж ести F T и
зн ая ускорение g, находим массу
тела по формуле
М ожно измерять массу и на ры ­
чаж ных весах. Когда весы уравно­
вешены, мож но утверж дать, что на
тело (на одной чаше весов) и на гири
(на другой чаш е) действуют од ин а­
ковые силы тяж ести. А это значит,
что и масса тела р ав н а массе гирь.
Так как на гирях указан ы именно
их массы, то массу тела мы узнаем,
просто сложив числа, проставленные
на гирях. Р ы чаж ны е весы — очень
чувствительный прибор. Наимень­
ш ая масса, которую мож но измерить
наиболее чувствительными весами,
составляет несколько стом иллиард­
ных долей килограмма.
Вопросы
1. Ч то т а к о е сила тяж е сти ?
2. П о ч е м у у с к о р е н и е ,
ж ести
массы?
82
сообщ ает
те л а м ,
3. У с к о р е н и е
к о т о р о е сила т я ­
не
за в и с и т
от
их
с в о б о д н о го
падения
от
м ассы тела не за ви си т. А си л а т я ж е сти ?
4. И з м е н я е т с я
ли
сила
тяж ести
у д а л е н и и тела о т п о в е р х н о с т и З ем ли ?
при
5.
нута
Зем ля —
у
полю сов.
не т о ч н ы й ш а р : о н а с п л ю с ­у с к о р е н и я
Р а з л и ч а ю тс я
ли
значения
с в о б о д н о го
падения
и
си лы
тя­
ж е с т и на п о л ю с е и на э к в а т о р е З ем ли ?
Упражнение 13
1. К а к о в а
ж ести,
м асса
д е й ствую щ а я
тела,
на
Те ло н а х о д и т с я в б л и з и
2. На
какой
в ы с о те
если
н е го ,
сила
ра вна
по верхно сти
на д
тя­
49 Н?
Зем ли.
Зем лей
3. Н а й д и т е
на
тело
силу
притяж ения,
вблизи
1 кг.
от
Во с к о л ь к о
си лы
тяж ести,
р а з эта сила
д ей ствую щ ей
на то ж е т е л о у п о в е р х н о с т и З ем ли ?
сила
т я ж е с т и у м е н ь ш а е т с я в два раза?
ю щ ую
М а сса тела
о т л и ч а е тс я
4.
В ы чи сл и те у с к о р е н и е с в о б о д н о г о
д е н и я тел в б л и зи п о в е р х н о с т и М а р с а . М а с ­
д ей ству­
по верхно сти
Л уны .
са
М арса
ра вна
6-
102i
кг,
е го
радиус
3300 км .
§ 30. В Е С Т Е Л А . Н Е В Е С О М О С Т Ь
Напомним, что вес тела — это си­
ла, с которой тело, вследствие его
притяжения к Зем ле, действует на
опору и л и подвес (см. «Физика-7»,
§ 25).
Почему т а к а я сила возникает,
как она направлена и чему равна?
Рассмотрим, например, тело, под­
вешенное к пружине, другой конец
которой закреплен (рис. 94, сп рав а).
На тело действует сила тяжести
F T = m g , направленная вниз. Оно
поэтому начинает падать, увлекая
за собой нижний конец пружины.
П руж ина окаж ется из-за этого д е ­
формированной, и появится сила уп­
ругости F yпр пружины. Она прило­
ж ена к верхнему краю тела и н ап р ав ­
лена вверх. Верхний край тела будет
поэтому «отставать» в своем п ад е­
нии от других его частей, к кото­
рым сила упругости пружины не
приложена. Вследствие этого и тело
деформируется. Возникает еще одна
сила упругости — сила упругости
деформированного тела. Она прило­
ж ена к пружине и направлена вниз.
Вот эта-то сила и есть вес тела.
По третьему закону Ньютона
обе эти силы упругости равны по
модулю и направлены в противо­
положные стороны.
После нескольких колебаний те­
ло на пружине оказы вается в покое.
Это значит, что сила тяж ести m g
по модулю равна силе упругости Р упр
пружины. Но этой ж е силе равен и
вес тела.
Таким образом, в нашем приме­
ре вес тела, ^который мы об о зн а­
чим буквой Р, по модулю равен
силе тяжести:
P = m g.
Но это не значит, что вес тела
и сила тяж ести, прилож енная к не­
му, одно и то же.
Сила
тяж ести — это
гравита­
ционная сила, приложенная к телу.
Вес тела — это сила упругости,
приложенная к подвесу.
Р и с .9 4
83
па­
Рис. 95
Если тело не подвешено, а уст а­
новлено на опоре (рис. 95), то и на
опору действует сила, возникаю щ ая
аналогичным образом и тож е н азы ­
в аем ая весом.
Невесомость. Представим себе,
что пружину с подвешенным к ней
грузом (лучше пружинные весы)
д е р ж а т в руках (рис. 96). По ш к а­
ле пружинных весов можно отсчи­
тать вес тела. Если рука, д е р ж а ­
щ а я весы, покоится относительно
Земли, весы покажут, что вес тела
по модулю равен силе тяж ести tjig.
А теперь представим себе, что весы
выпустили из рук и они вместе с
грузом свободно падают. Л егко з а ­
метить, что при этом стрелка ве­
сов устанавливается на нуле, п ока­
зы вая, что вес тела стал равным
нулю. И это понятно. При свобод­
ном падении и весы и груз д в и ж у т ­
ся с о д и н ак о вы м ускорением, р а в ­
ным g. Нижний конец пружины не
увлекается грузом, а сам следует за
ним, и пружина не деформируется.
Поэтому нет силы упругости, кото­
рая действовала бы на груз. Значит,
и груз не деформируется и не дейст­
вует на пружину. Вес исчез! Г ру з;
как говорят, стал невесомым.
Невесомость объясняется тем,
что сила всемирного тяготения, а
значит, и сила тяж ести сообщают
всем телам (в нашем случае — гру­
зу и пружине) одинаковое ускоре­
ние g (см. § 28). Поэтому всякое
тело, на которое действует только
сила тяжести или вообще сила все­
мирного тяготения, находится в
состоянии невесомости. Именно в т а ­
ких условиях находится всякое сво­
бодно п адаю щ ее тело. Но надо пом­
нить, что если в нашем опыте стрел­
ка весов стоит на нуле, то это не
значит, что исчезла сила тяжести.
Исчез ве с, т. е. сила, с которой груз
действует на подвес. Сила же т я ­
жести, действую щая на весы и на
груз, остается, и именно она — при­
чина свободного падения.
Невесомость совсем не редкое для
людей состояние. В таком состоянии
находится прыгун с момента отрыва
от Земли и до момента приземле­
ния; пловец, прыгающий с вышки,
до соприкосновения с водой. Д а ж е
бегун в короткие промежутки вре­
мени между касаниями ногой зем ­
ли находится в состоянии невесо­
мости.
Возникновение невесомости при
свободном падении можно наблю ­
д ать в следующем опыте.
М еж ду гирями наборного груза
(рис. 97)
зак л ад ы в аю т полоску
бумаги, и свободный ее конец з а ­
ж и м аю т в лапке штатива. Если мед-
ленно опускать груз, то полоска натягивается и рвется. Это значит,
что полоска была достаточно сильно
з а ж а т а гирями. Заменив порванную
полоску другой, дают возможность
грузу свободно падать. Б у м а ж н а я
полоска при этом повисает непо­
врежденной на лапке штатива. Этот
опыт показывает, что при свобод­
ном падении верхняя гиря не давит
на опору — нижнюю гирю, т. е. гиря
при падении стала невесомой.
Ещ е один опыт показан на ри­
сунке 98. В рамке, которая может
скользить по двум направляю щ им
стержням, на двух одинаковых пру­
жинах подвешены д ва различных
груза. Они, конечно, по-разному р а с ­
тягиваю т пружины. Но если пере­
жечь нить, удерж иваю щ ую рамку,
то рамка будет свободно п адать и
можно видеть, что деформации пру­
жин исчезли: грузы стали неве­
сомыми!
Вопросы
1. Ч то т а к о е вес тела?
5. В че м с о с т о и т п р и ч и н а н е в е с о м о с т и ?
2. В чем р а з л и ч и е м е ж д у в е с о м тела и
6 . И сч е за е т
с и л о й т я ж е с т и , д е й с т в у ю щ е й на тело?
3. Тело п о к о и т с я на о п о р е . К а к и е силы
к
с т о я н и и н е в е с о м о с ти ?
ли
сила
переходе
притяж ения
те л а
в
тела
состояние
7. Г р уз, в ы п у щ е н н ы й и з р у к и , с в о б о д н о
па д а ет
и
находится
в
состоянии
невесо­
м о с т и . А есл и т е л о б р о ш е н о вверх?
§ 31. В Е С Т Е Л А , Д В И Ж У Щ Е Г О С Я
Вес тела может быть меньше
силы тяжести. Рассмотрим теперь
случай, когда тело вместе с пру­
жинными весами дви ж ется относи­
тельно Земли с ускорением, но не
соверш ает свободного падения. Д л я
этого можно, не выпуская весы из
рук, просто резко опустить их вниз,
сообщив им и грузу некоторое ус­
корение
а,
направленное
вниз
(рис. 99). Легко при этом заметить,
при
н е в е с о м о сти ?
д е й с т в у ю т на т е л о и на о п о р у ?
4. В к а к и х с л уч аях т е л о н а х о д и т с я в с о ­
Земле
С УСКОРЕНИЕМ
что стрелка весов поднимется вверх.
Это значит, что вес тела стал мень­
ше, чем он был тогда, когда весы и
тело покоились.
Почему уменьшился вес?
На тело в нашем опыте дейст­
вуют силы: сила тяжести F T = m g ,
н ап равлен ная вниз, и сила упруго­
сти F ynp пружины весов, н ап р ав л ен ­
ная вверх. Вместе они и сообщают
телу ускорение а. Согласно второму
85
Рис. 100
о
YT
закону Ньютона,
F yvnp + m g = m a.
( 1)
Все три вектора, входящие в это
уравнение, параллельны координат­
ной оси Y, которую мы направили
по вертикали вниз (см. рис. 99).
Поэтому для проекций этих векторов
на ось У формула (1) примет вид
{ F y n p )y
m g y
=
m ay.
(2 )
Векторы g и а сонаправлены с
осью Y, поэтому их проекции поло­
жительны и равны модулям самих
векторов: g y = g , ау = а. А вектор
F ynp направлен против оси Y, так что
его проекция на эту ось о три цатель­
на: (F упР)</=
F уПр. Формулу (2)
можно поэтому записать в виде:
Fynf = m g — та.
Вес Р тела по модулю равен
силе F ynр (по третьему закону Н ью ­
тон а), так что
P — m g — m a = m (g — а).
86
(3)
Отсюда видно, что если a < ig , то
вес тела по модулю меньше силы
тяжести m g, т. е. меньше веса по­
коящегося тела. Е сли тело вместе с
опорой или подвесом движется с у с ­
корением, которое н а правлено . так
же, как ускорение свободного паде­
ния, то его вес меньш е веса по ко я­
щ егося тела.
Напомним еще раз, что речь идет
об уменьшении веса, а не силы т я ­
жести.
Вес тела может быть больше
силы тяжести. Если весы с подве­
шенным к ним грузом резко поднять
вверх, сообщив им ускорение а,
направленное вверх (рис. 100), то
стрелка весов опустится, показы вая,
что вес тела увеличился. К этому
случаю применимы приведенные вы­
ше рассуждения, с той только р а з ­
ницей, что теперь проекция вектора
а на ось Y отрицательна. Поэтому
формула для веса тела Р в с к а л я р ­
ной форме имеет вид:
P = m (g + a).
{4,
Вес тела теперь больше силы
тяжести m g, т. е. больше веса по­
коящегося тела. Е сли тело (вместе
с опорой или подвесом) движется с
ускорением , направленны м противо­
полож но ускорению свободного п а ­
дения, то его вес больш е веса по­
коящ егося тела.
Увеличение веса, вызванное его
ускоренным движением, назы вается
перегрузкой.
Все сказанное относится не толь­
ко к случаю, когда тело подвешено
к пружинным весам. Все это сп р а­
ведливо и для любого подвеса,
для любой опоры.
Приведем некоторые примеры и з­
менения веса тела при его уско­
ренном движении.
1.
Автомобиль, д виж ущ ийся по
выпуклому мосту (рис. 101), легче
того ж е автомобиля, неподвижно
стоящего на том же мосту.
Действительно, движение по вы­
пуклому мосту — это движение по
части окружности. Значит, автомо­
биль движ ется с центростремитель­
ным ускорением, по модулю равным
а = -у -, где v — скорость автомобиля
и г — радиус кривизны моста. В мо­
мент, когда автомобил^ь находится
в высшей точке моста, а направлено
по вертикали вниз. Это ускорение
сообщ ается автомобилю р а в н о д е й ­
ствующей силы тяжести F T = m g и
силы реакции опоры М. Уравнение,
в ы р аж аю щ ее второй закон Ньютона,
в векторной форме имеет вид:
m g -\- N = та.
Направим координатную ось У
вертикально вниз и напишем это
уравнение для проекций векторов
на эту ось: m g y -\-N у — т а у. Ясно,
что gy = g , N y = — N и ау = а = ~ .
Тогда
ч = -у -.
mg — N
P= N= m( g—
' т ’ е ' Р < - т 8-
Уменьшается, конечно, и вес пас­
саж и ров автомобиля.
2.
Летчик, выводящий самолет
из пикирования (рис. 102), в н и ж ­
ней части траектории подвергается
перегрузке.
В самом деле, в этой точке
траектории самолет дви ж ется по ч а с ­
ти окружности, и значит, с центро­
стремительным ускорением, по мои2
дулю равным <2= — и нап равл ен ­
ным к центру окружности, т. е. вверх.
Проекция вектора ускорения на
ось У* направленную вниз, отрицаv2
г
тельна, т. е. а „ = — а = -------. Сле’
г
довательно, вес летчика, т. е сила,
с которой он действует на опору
(сиден ье), в соответствии с форму­
лой (4), определяется выражением
P = m (g + a) = m ( g + -j-') , т. е. Р >
> m g . Вес летчика больше «нор­
мального» веса, равного силе тя-
Отсюда
лг
/
т и 2\
N = m [ g ----- - ) •
Рис.101
Вес автомобиля Р по третьему
закону Ньютона р ав ен ^п о модулю
силе реакции опоры N. С л ед ова­
тельно,
m v2
жести m g, на величину — .
Рис.102
87
Если при выходе из пикирования
v2
ускорение — превышает ускорение
свободного
падения
(у - = ng\ ,
то
g
вес
в
п
раз
летчика
Р=
= m g ( n - \- 1), т. е. он будет в п + 1
раз больше «нормального» веса л ет ­
чика.
При перегрузке увеличивают свой
вес и внутренние органы летчика,
увеличивается сила, с которой они
действуют друг на друга и на с а ­
молет. Это вызывает болезненные
ощущения, а при чрезмерной пере­
грузке может стать опасным для
здоровья.
Тренированные пилоты
выдерж иваю т перегрузку до 10m g
(обычно перегрузку вы раж аю т не
через величину m g, а через величи­
ну g и говорят, что перегрузка
равна, например, 10g ).
Вопросы
1. К ак
и з м е н я е тс я
вес
тела
пр и
е го
у с к о р е н н о м д в и ж е н и и вверх? Вниз?
4. К ак
и з м е н я е тс я
вес
косм онавта
при
т о р м о ж е н и и п р и з е м л я ю щ е го с я к о с м и ч е с к о го
кор абл я?
2. И з м е н я е т с я
д виж ется
с
ли
вес
ускорением
тела,
в
если
оно
го р и зо н та л ь н о м
н а п равл ени и ?
3. Как
5. Как
ш а ю щ е го
и з м е н я е тс я
ф и гур у
Н е с т е р о в а ),
и з м е н я е тс я
вес
с т а р т е р а к е ты , в ы в о д я щ е й
косм онавта
при
косм ический
ко­
р а б л ь на о р б и ту ?
вес
л е тч и ка ,
« м е р тв а я
к о гд а
он
совер­
пе тля»
находится
в
(п е тл я
нижней
и в е р х н е й т о ч к а х ф и гур ы ?
6 . И з м е н я е т с я ли вм е сте с и з м е н е н и е м
веса тела и е го масса?
Упражнение 14
1. Б е т о н н у ю п л и ту м а с с о й 500 к г п о д ъ е м ­
ным
краном
вверх;
б)
перем ещ аю т:
равном ерно
т а л ь н о . Ч е м у ра в н ы
сила
тяж ести
и
вес
а)
равном ерно
в)
го р и з о н ­
дей ствую щ ая
вниз;
на пл иту
п л иты
в
каж дом
из
2. На
есл и
дне
100
ш а х тн о й
кг.
кл е ть :
корением
0,4 м / с 2; в) д в и ж е т с я
а)
0,3
К аков
кл е ти
п о д н и м а е тс я
м / с 2;
б)
леж ит
будет
гр у з
3. На с к о л ь к о
биля
е сл и
в
в ы сш е й
радиус
опускается
с
с
§ 32. Д В И Ж Е Н И Е Т Е Л А
ТЕЛО Д ВИЖ ЕТСЯ
ус­
уско­
ум еньш ится
точке
кривизны
2000
кг,
вес а в т о м о ­
вы п укл о го
м о ста
100 м ,
скор ость
е го
м о ста ,
м асса
движ е­
ния 60 к м /ч ?
в е с ' гр у з а ,
вверх
равном ерно;
г) с в о б о д н о падает?
автом обиля
эти х случаев?
м ассой
рением
4. Н а й д и т е
полю се
и
вес те л а
на э к в а т о р е .
м ассой
Р ад иус
1000
Зем ли
г
на
сч и ­
тать р а в н ы м 6400 км .
ПОД Д ЕЙ С ТВИ Е М С И ЛЫ
ТЯЖ ЕСТИ:
ПО В Е Р Т И К А Л И
Ещ е в конце XVI в. Галилео
Галилей установил, что движение
свободно падаю щего тела — это д ви ­
жение равноускоренное. Кроме того,
Галилей установил, что ускорение
свободного падения одинаково для
всех тел, независимо от их массы,
и что по модулю это ускорение
равно 9,81 м / с 2.
Законы
движения,
открытые
Ньютоном, и закон всемирного тяго ­
тения объясняю т основные особен­
ности свободного падения. Тело, п а­
д ая, дви ж ется с ускорением потому,
что на него действует сила тяжести,
н аправленная вниз. Ускорение по­
стоянно, так как постоянна действу­
ю щ ая на тело сила. Ускорение не
зависит от массы тела потому,
что сама сила пропорциональна
массе.
Ускорение падающего тела не
изменится, если мы толкнем тело
вниз, сообщив ему начальную ско­
рость у0- Только нарастание ско­
рости тела начнется не от нуля,
а от иоЕсли сообщить телу начальную
скорость vo, направленную вверх,
то это не изменит ни направления,
ни численного значения ускорения
тела, потому что толчок вверх не
мож ет изменить силу тяж ести. В
обоих случаях траектория тела —
вертикальная прямая.
При решении задач, относящ их­
ся к такому движению, в качестве
тела
отсчета удобно
принимать
Землю с началом отсчета на ее по­
верхности или в любой точке выше
или ниже поверхности, а координат­
ную ось направлять по вертикали
вверх или вниз. Высоту тела над
какой-то поверхностью принято обо­
зн ачать буквой h (рис. 103). Тогда
координата у тела — это просто вы ­
сота h тела над точкой начала
отсчета. Проекция вектора переме­
щения тела соответствует измене­
нию высоты и равна h — ho, где h o —
нач ал ьн ая высота.
Формулы для вычисления коор­
динат (высот) и скоростей ничем
не отличаются от формул, полу­
ченных нами для прямолинейного
равноускоренного движения.
y= h=
h 0y +
( 1)
V 0 y t +
Скорость тела в любой момент вре­
мени
(2 )
Doy ~ \ - g y t -
Vy —
Скорость тела в любой точке т р а е к ­
тории
Vy =
(3)
v ly + 2 g y(h — ho).
Проекция g y положительна, если
ось У направлена вниз, и о тр и ц а­
тельна, если она направлена вверх.
Проекции D0у и v y положительны,
если скорости сонаправлены с осью
У, и отрицательны, если векторы
скоростей и ось У имеют противо­
положные направления.
Вопросы
1. С
бодно
каким
ускорением
падаю щ ее
тело?
д виж ется
Т е ло,
сво­
брош енное
вверх?
тяж ести,
п о стоя нно
и
не
за ви си т
о т е г о массы?
2. Ч е м
ем ое
3. П о ч е м у у с к о р е н и е , с о о б щ а е м о е т е л у
силой
те л а м
о т л и ч а е тс я
силой
ускорение,
тяж ести,
от
сообщ а­
ускорений,
к о т о р ы е с о о б щ а ю т и м д р у г и е силы?
4. Если
в ы со ты
м етров,
в
бы
тело
несколько
было
бы
падало
сот
е го
или
на
Зем лю
ты ся ч
движ ение
с
кило­
равно-
89
ус к о р е н н ы м ? З а в и с е л о ли б ы в э т о м с л у ч а е
духа
ускорение
н е б р е чь )?
от
м ассы
тела
ПРИМ ЕРЫ
1.
вы соты
Н екотор ое
1С0
м.
(в л и я н и е м
РЕШ ЕНИЯ
тело
Н а й д и те
упало
время
воз-
на
зем лю
па д е ни я
и
Р е ш е н и е . Направим коорди­
натную ось Y вверх, а начало о т­
счета О выберем на поверхности
Земли (см. рис. 103). Тогда g y = — g,
v y — — v, v Oy = 0 (тело упало, а не
брошено!). В момент приземления
тела Л = 0 .
Время падения тела найдем, ис­
пользуя формулу ( 1):
0 = /г0 + 0 — 4 т ,
t'-
сюда
данные
2-100 м
на
задачи,
' 4,5 с.
Скорость в момент приземления
вычислим-по формуле (2 ), которая
ч
О
90
пре-
нашем случае имеет вид: — v = 0 —
— g t. Отсюда v = gt.
Подставив сюда данные задачи
и только что полученное значение
времени, найдем
и = 9,8-^--4,5 с « 4 4 м/с.
с
2.
На
по дн им ется
чальной
какую
тело,
м аксим альную
б р ош е нно е
с к о р о сть ю
t i 0 = 44
вверх
м /с ?
с
вы соту
на­
В ы чи сл и те
время подъ ем а на эт у вы со ту.
Р е ш е н и е . К ак и в предыду­
щей задаче, направим координат­
ную ось Y вверх (рис. 104). В этом
случае voy = vo, g y = ~ g - В высшей
точке подъема и = 0. Уравнение (2)
принимает вид: 0 = Уо — gt, или t =
Уо
Отсюда
лл —м
44
с
;4,5 с.
9 ,8 ^
с
Высоту подъема можно вычис­
лить, пользуясь формулой (3), с уче­
том того, что h 0 = 0 , а т а к ж е того,
что в высшей точке подъема, на
высоте h, v — 0.
Формула (3) имеет поэтому вид:
0 = vo — 2 gh,
\
те л а
св
9,8 т -
Рис. 104
движ ение
ЗАДАЧ
ско р о сть т е л а в м ом ент у д а р а о зем лю .
Подставив
найдем
атм осф еры
или
(« £ )’
h= -
h
2g
Отсюда
100 м.
2 - 9 ,8 -
С равнивая результаты решений
зад ач 1 и 2 , мы видим, что время
падения тела с некоторой высоты
равно времени его подъема на эту
же высоту, если начальная ско­
рость брошенного вверх тела равна
конечной скорости падающего тела.
Это и неудивительно. Ведь на па-
даю щее тело и тело, брошенное
вверх, действует одна и та ж е сила —
сила тяжести, со о б щ а ю щ ая им оди­
наковые ускорения.
Упражнение 15
П ри
реш ении
зад ач
влиянием
воздуха
на д в и ж е н и е те л п р е н е б р е ч ь .
1. К а м е н ь
падал
на д н о
в ы со ты
ущ елья
4,0 с.
падал
бы
телебаш ни
гр уз
(5 4 0
с
м)?
К акова б ы л а бы е г о с к о р о с т ь в м о м е н т па­
д е н и я на з е м л ю ?
3. За
дение
путь,
какое
вниз
равны й
тело,
состояния
4,9
м?
начавш ее
покоя,
К аков а
е го
па­
пройдет
скор ость
в к о н ц е э т о г о пути?
он
ную
а
бросил
вслед
второй
скорость
кам ню ,
если
зем лей
5. Те ло с в о б о д н о па д а ет с в ы с о т ы 20 м
удара
о
зем лю ?
На
ка к о й
вы соте
е го
с к о р о с т ь в д в о е м еньш е?
6. С тр е л а в ы п у щ е н а из л у к а в е р т и к а л ь ­
но в в е р х с н а ч а л ьн о й с к о р о с т ь ю 30 м / с . На
за
тем
через
кам ень.
м альчик
оба
7. Тело, б р о ш е н н о е с з е м л и
вер тикал ь­
но в в е р х, у п а л о ч е р е з 8,0 с. На к а к у ю
вы ­
соту он о поднялось
на­
и ка ко ва б ы л а е г о
чальная ско р о сть?
4. С то я на к р а ю скал ы , м а л ь ч и к у р о н и л
ка м е н ь ,
над
к а к ую вы соту она подним ется?
врем я
из
ска л ы
над з е м л е й . К акова с к о р о с т ь те л а в м о м е н т
времени
О станкинской
В ы сота
180 м.
К а ко ва гл у б и н а ущ елья?
2. С к о л ь к о
одноврем енно?
ка м н я
секунду
Какую
сообщ ил
упали
на ча л ь ­
. Т е ло
К акие
зем лю
сотах?
на
скор ости
ПОД Д ЕЙ С ТВИ ЕМ
СКОРОСТЬ ТЕЛА
Часто приходится иметь дело с
движением тел, получивших н ач ал ь ­
ную скорость не параллельно силе
тяжести, а под некоторым углом к
ней (или к горизонту). Когда, н а­
пример, спортсмен толкает ядро, ме­
тает диск или копье, он сообщает
этим предметам именно такую ско­
рость. При артиллерийской стрель­
бе стволам орудий придают некото­
рый угол возвышения, так что сн а ­
ряд в стволе тож е получает н ач ал ь ­
ную скорость, направленную под уг­
лом к горизонту.
К ак в этом случае движ ется тело?
Будем по-прежнему считать, что
влиянием воздуха на движение м о ж ­
но пренебречь.
На рисунке 105 показан стро­
боскопический снимок ш арика, бро­
брош ено
вертикально
скор остью
40
м /с .
вверх
На
с
како й
в ы с о т у о н о о к а ж е т с я ч е р е з 3 с? Ч е р е з 5 с?
втором у
§ 33. Д В И Ж Е Н И Е Т Е Л А
НАЧАЛЬНАЯ
8
начальной
у
СИЛЫ
НАПРАВЛЕНА
н е го
будут
на
эти х
вы ­
ТЯЖ ЕСТИ:
ПОД УГЛО М
К ГО РИЗО НТУ
шенного под углом 60° к горизонту.
Соединив последовательные поло­
жения
ш арика
плавной
кривой,
мы и получим траекторию д в и ­
жения шарика. Это зн аком ая из
алгебры кривая, н азы ваем ая пара­
болой.
Если пренебречь влиянием воз­
духа на движение тела, то на тело,
брошенное под углом к горизонту,
как и на тело, свободно падающее,
или на тело, получившее начальную
скорость, направленную вертикаль­
но, действует только сила тяжести.
К ак бы тело ни двигалось, сила т я ­
жести может сообщить ему только
ускорение g , направленное вниз.
Этим определяются и траектория
движения тела, и характер его д в и ­
жения.
91
Пусть из некоторой точки О
брошено тело с начальной скоростью
d 0 , направленной под углом а к го­
ризонту. Примем за начало отсчета
координат точку, из которой бро­
шено тело, а за начало отсчета
времени момент броска. Ось X н а ­
правим горизонтально, а ось Y —
вертикально вверх (рис. 106). И з
рисунка видно, что проекции векто­
ра v0 на оси X и Y равны соответ­
ственно и0 cos ос и D0 sin a:
v0x = v0 cos a;
voy = vo sin a.
Так как на тело действует лишь
сила тяжести, то при движении
тела будет изменяться только проек­
ция d 0у. Проекция же v0x изменяться
не будет. Поэтому координата х тела
с течением времени изменяется так
же, как при прямолинейном р а в ­
номерном движении:
X =
V 0x t .
(
9
9
9
92
У == Voyt -j- ~~2~~'
9
9
9
®
(2)
Чтобы найти траекторию д в и ж е ­
ния тела, надо подставить в у р а в ­
нения ( 1) и (2 ) последовательно
увеличивающиеся значения t и вы ­
числить координаты х и у для к а ж ­
дого значения t при известных з н а ­
чениях модуля начальной скорости
D0 и угла а . По полученным з н а ­
чениям х и у нанести точки, и зо б р а­
ж аю щ ие последовательные полож е­
ния тела. Соединив их плавной кри­
вой, мы и получим траекторию д ви ­
жения тела. Она ока ж етс я подоб­
ной той, что и зображ ен а на ри­
сунке 106.
Тело
брошено
горизонтально.
Тело можно бросить^ и так, что его
начальная скорость d 0 будет н ап р ав ­
лена горизонтально ( а = 0). Так
направлена, например, н ачальн ая
скорость тела, оторвавш егося от
горизонтально летящ его самолета.
Рис. 106
Рис. 105
9
1)
Координата же у изменяется так
же, как при прямолинейном равн о­
ускоренном движении:
Р и с .107
Рис. 108
Л егко понять, по какой траектории
будет двигаться такое тело. О б р а ­
тимся снова к рисунку 106, на ко­
тором п оказана траектория тела,
брошенного под углом а к гори­
зонту. В высшей точке параболы
скорость тела как раз и нап равл е­
на горизонтально. А за этой точкой
тело дви ж ется по правой ветви
параболы. Очевидно, что и всякое
тело, брошенное горизонтально, т о ­
же будет двигаться по ветви п а р а ­
болы (рис. 107).
Траекторию движения тел, бро­
шенных горизонтально или под углом
к горизонту, можно наглядно изу­
чить в простом опыте. Сосуд, н а­
полненный водой, помещают на не­
которой высоте над столом и сое­
диняют резиновой трубкой с нако­
нечником,
снабженным
краном
(рис.
108).
Выпускаемые
струи
воды непосредственно показывают
траектории частиц воды. Таким о б ­
разом можно наблю дать траектории
при разных значениях угла а и скоpocjn DoМы рассмотрели несколько при­
меров движения тел под действием
силы тяжести. Во всех случаях
тело движ ется с ускорением сво­
бодного падения, и оно не зависит
от того, имело ли тело ещ е и ско­
рость в горизонтальном направлении
или нет.
Поэтому, например, пуля, выпу­
щенная стрелком из руж ья в гори­
зонтальном направлении, упадет на
землю одновременно с пулей, слу­
чайно оброненной стрелком в момент
выстрела. Но оброненная пуля у п а ­
дет у ног стрелка, а пуля, вылетев­
ш ая из ружейного ствола — во мно­
гих сотнях метров от него.
Вопросы
1. Ч то
ш енны х
о б щ е го
в
в ер ти кал ьн о,
движ ении
тел,
го р и з о н т а л ь н о
бро­
и
под
у г л о м к го р и з о н т у ?
2. П о к а к о й
траектории
траектории
б р о ш е н н о е го р и з о н та л ь н о ?
ли
счи тать
движ ение
го р и з о н т а л ь н о
или
под
тела,
угл о м
к го р и зо н ту, равноускоренны м ?
д в и ж е т с я те л о ,
б р о ш е н н о е п о д у г л о м к го р и з о н ту ?
3. П о к а к о й
4. М о ж н о
б р о ш е н н о го
д в и ж е тс я те л о ,
5. В е к т о р
лен
под
угл о м
к
на ча л ьн о й
угл о м
к
го р и з о н ту
скорости
го р и зо н ту.
направлен
направ­
Под
вектор
каким
ско­
р о с т и в м о м е н т п а д е н и я на з е м л ю ?
93
П Р И М Е РЫ Р Е Ш Е Н И Я ЗАД АЧ
1.
лом
zi,).
б)
а
С наряд
к
го р и з о н т у
Н айдите:
а)
м аксим альную
вылетел
с
из
пуш ки
начальной
время
по д
с к о р о с ть ю
полета
в ы соту по дъ ем а;
снаряд а;
в) даль­
в)
Д ал ьн ость полета I — это м ак­
симальное ' значение координаты х.
Его мы получим, если в формулу
для координаты х подставим вместо
уг­
2uo sin a
ность по лета с н а р я д а .
t время полета: t полета ==---- -— •
Р е ш е н и е . Д ви ж ени е тела, бро­
шенного под углом к горизонту,
описывается формулами ( 1) и (2 ).
Так как V 0x = v 0 c o s c c , voi/ = v o s i n а
/
Х тах --- ^ o /полета COS ОС,
2vo sin a
или / = u0 c o s a ---------- =
g
и g y = ~ g > то
2 v l sin a cos a
x = v 0t cos а;
■ a — gt2
y = v0ti sin
^ .
g
При каком значении угла a
дальность полета максимальна? И з ­
a)
В конце полета сн ар яда коор­вестно, что 2 sin a cos a = sin 2 a . С ле­
дината у — 0. Время t полета найдем
довательно,
по формуле для у. 0 = v0t sin ос —
.
vl sin 2 a
Р е ш а я это квадратное
относительно t, найдем
уравнение
Значение t\ соответствует началу
полета (в этот момент у тож е равен
нулю), a t% — это искомое время
полета:
J
Lполета
2vo sin а
= ~~£
Отсюда видно, что дальность /
будет наибольшей, если s i n 2a = l .
Это значит, что 2а = 90° и а = 45°.
В этом можно убедиться, например,
с помощью описанного опыта с во­
дяной струей
2.
~•
та л ь н о м
С
са м о л е та ,
направлении
л е т я щ е го
со
в
скор остью
го р и зо н ­
vo —
Время движения до высшей = 720 к м /ч , на вы соте й = 3920 м н а д зем­
лей с б р о ш е н гр у з . К а к д а л е ко о т места
траектории вдвое меньше
с б р а с ы в а н и я г р у з уп а д е т на зем лю ?
времени движения,
т. е.
Vo sin а
Р е ш е н и е . З а начало отсчета
/подъема = — ~— • М акси м альная вы­ координат примем точку, где груз
был сброшен, а за начало отсчета
сота подъема Лтах — это значение
времени — момент сбрасывания. Ось
координаты у, которое получится,
X направим горизонтально, а ось
если в выражение для координаты
Y — вертикально вверх (рис. 109).
у вместо t подставить найденное
Д ви ж ени е груза описывается и з­
значение времени подъема:
вестными
уравнениями:
Vo sin а
б)
точки
всего
«m ax = У о S ln
а
-- g ----
g (Vo sin a \ 2
“
94
2Л
g
)
x — Vot cos a ;
vo s i n 2 a
=
2g
,
'
■
y = v 0t sin a —
g t2
(1)
В нашей зад ач е а = 0 и, значит,
s i n a = 0 и c o s a = l . Тогда у р а в ­
нения ( 1) примут вид:
Vr
\
(2 )
X = Vo t\
.ill
У=
Рис. 109
2 •
\
\
(3)
\
В момент приземления груза
у = — h, а дальность полета 1 = х.
Из уравнения (3) находим время
полета:
t=
П одставив это выражение в у р а в ­
нение (2 ), получаем:
.
1= 2 0 0 -
/ 2Л
2-3920 м
:5600 м.
9,8-
Упражнение 16
1. М я ч
зон ту
с
брош ен
под
начальной
угл о м
30°
скор остью
к го р и ­
10
м /с .
О п р е д е л и те вы соту подъ ем а, врем я и д аль­
На с к о л ь к о сн и з и тс я пул я в о т в е с н о м на­
правлении
но сть по л е та .
2. П уля
н а п р а в л е н и и и л е ти т со с р е д н е й с к о р о с т ь ю
8б0 м /с .
в ы л е та е т
в
го р и з о н т а л ь н о м
во
время
по л е та ,
есл и
расстоя­
ние д о ц е л и 600 м?
§ 34. И С К У С С Т В Е Н Н Ы Е С П У Т Н И К И З Е М Л И
Мы только что видели, как д в и ­
жется тело, которому на высоте h
над Землей сообщена нач ал ьн ая ско­
рость vo в горизонтальном н ап рав ­
лении. Тело движется по ветви п а ­
раболы, и, д ви гаясь по ней, оно
в конце концов падает на Землю.
При этом мы принимали, что
поверхность Земли плоская. Такое
упрощение допустимо при не очень
больших скоростях, при которых
дальность полета сравнительно неве­
лика (рис. 110).
Земля уходит из-под тела. В
действительности Земля — шар. П о ­
этому одновременно с продвижением
тела по его траектории поверхность
Земли несколько удаляется от него
(рис. 111). И можно подобрать т а ­
кое значение скорости тела vq, при
котором поверхность Земли из-за ее
кривизны будет удаляться от тела
как раз на столько, на сколько
тело приближается к Земле б л а г о ­
д ар я притяжению к ней. Тогда тело
будет двигаться на постоянном р ас­
стоянии h от поверхности Земли,
т. е. по окружности радиусом R 3 -j-h,
Р ис .110
\
ч
N
Поверхность Земли
Р и с.111
где R з — радиус Земли (рис. 112).
Какова эта скорость?
Искусственный спутник Земли.
Р а з тело движется равномерно по
окружности, то его ускорение —
центростремительное и по модулю
V2
*
оно равно а = - ... Это ускорение
к 3 +п
телу сообщает сила притяжения к
Земле; ее модуль равен:
F= G
М зт т
( * 3 + ^ ! )2
Здесь М 3 — масса Земли, т т— м ас­
са тела. По второму закону Ньютона
F
М3
«т
( R
з
+
h
f
ла
ним (см. § 29), что G ^ = g и, сле-
Следовательно,
R3 +h
Откуда
G
м3
(«з +^)2
м-.
( i :
Значит, если телу сообщить в
горизонтальном направлении на вы­
соте h над Землей скорость, опреде­
ляемую формулой ( 1), то оно будет
двигаться по окружности вокруг
Земли. Такое тело назы вается ис96
кусственным
спутником
Зем ли
(И С З).
Первая космическая скорость.
Спутником Земли может стать тело
любой массы, лишь бы ему была
сообщена достаточная скорость (в
формулу ( 1) масса тела не в х о ­
дит!). Эта скорость, вычисляемая
по формуле ( 1), назы вается первой
космической скоростью. П е р ва я —
потому что есть еще и вторая, и
третья космические скорости, ко­
торые мы здесь вычислять не будем.
Вычислим первую космическую
скорость для И С З, запускаемого
вблизи поверхности Земли ( Л « 0).
/ ЛТГ
В этом случае v = ^ / G — . Н а п о и ­
М3
довательно, G -гг- — g R 3 .
Отсюда
"з
для скорости у ‘получаем выражение:
Подставив в эту формулу з н а ­
чения величин g = 9,8 м / с 2 и R 3 =
= 6 ,4 -1 06 м, получаем
v = -д/9,8 м / с 2 • 6,4 • 10б м « 8 км /с.
Такую скорость в горизонталь­
ном направлении нужно сообщить
телу на небольшой, сравнительно с
радиусом Земли, высоте, чтобы оно
не упало на Землю, а стало ее
спутником, движ ущ им ся по круговой
орбите. Иногда именно эту ско­
рость ( « 8 к м /с ) назы ваю т первой
космической скоростью.
Восемь километров в секунду —
это почти 29 ООО километров в час!
Сообщить телу такую скорость, ко­
нечно, не просто. Только в 1957 г.
советским ученым впервые в исто­
рии человечества удалось с помощью
мощной ракеты сообщить телу мас­
сой около 85 кг первую космичес-
кую скорость, и оно стало первым
искусственным
спутником
Земли.
Сейчас в околоземном простран­
стве движ утся многие тысячи ИС З,
запущенных учеными разных стран.
Но старт в космос человечеству был
дан с территории нашей страны со­
ветскими учеными.
Д вижение спутников вокруг З е м ­
ли происходит под действием толь­
ко силы всемирного тяготения, ко­
торая сообщает всем телам од ин а­
ковое ускорение — и спутнику, и все­
му, что в нем находится. Это з н а ­
чит, что все тела в спутнике, в том
числе и пассажиры, находятся в сос­
тоянии невесомости.
Вопросы
1. К ак
долж на
бы ть
в мом ент
направлена
е го
вы в од а
ско­
р о с ть
тела
на
говую
о р б и т у , ч т о б ы о н о с та л о и с к у с с тв е н ­
3.
ны м с п у т н и к о м Зем ли?
М о ж н о ли счи тать д в и ж е н и е И С З р а в ­
ноускоренны м ?
кру­
*
4. С о в е т с к и й к о с м о н а в т А . Л е о н о в в п е р ­
вы е в и с то р и и
2. К ак н а п р а в л е н о у с к о р е н и е и с к у с с тв е н ­
в ы ш е л и з к о с м и ч е с к о го
ко­
р а б л я в о т к р ы т ы й к о с м о с . Был ли о н в это
в р е м я в со с т о я н и и н е в е со м о сти ?
н о го с п у т н и к а З ем ли?
Упражнение 17
1. В ы ч и с л и те п е р и о д о б р а щ е н и я с п у т н и ­
ка З е м л и на в ы с о т е 300 км .
2. В ы ч и с л и те п е р в у ю
р о с ть
д ля
в ы со ты
косм ическую
над
4. На
Зем ли
Зем лей,
ско­
равной
бы
к а ко й
должен
период
е го
в ы со те
б ы ть
над
по верхностью
запущ ен спутник, что­
обращ ения
по
ор би те
бы л
ра вен 24 ч?
радиусу Зем ли.
3. На
З ем ли
какой
пе р в а я
в ы с о те
на д
косм ическая
поверхностью
скор ость
равна
5. В ы чи сл и те ч а сто ту о б р а щ е н и я п о о р ­
б и те с п у т н и к о в , о к о т о р ы х
го в о р и т с я
в за­
дачах 1 и 4.
6 к м /с ?
§ 35. С И Л А
ТРЕНИЯ.
ТРЕНИЕ
Нам остается еще рассмотреть
третью механическую силу — силу
трения. О трении мы уже не раз
упоминали. О трении и о силе тре­
ния нельзя не упоминать, потому
что в земных условиях трение и сила
трения всегда сопутствуют любому
движению тел.
Напомним
(см.
«Физику-7»,
§ 30), что сила трения возникает
ПОКОЯ
при непосредственном соприкосно­
вении тел и всегда направлена вдоль
поверхности соприкосновения. Этим
она отличается от силы упругости,
направленной перпендикулярно этой
поверхности.
Трение покоя. Проследим- на опы ­
те за возникновением силы трения.
На рисунке 113 показана установ­
ка для опыта. К телу, располож ен ­
97
Рио. 113
ному на подставке, прикреплен ди ­
намометр, пружину которого можно
деформировать усилием руки. Н а ри­
сунке 114 схематически показаны
силы, ^действующие на тело. Это
сила F, п араллельная поверхности
соприкосновения тела со столом. Ее
и показы вает динамометр. К^оме
того, на тело действует сила т я ­
жести FT и у равн о веш и ваю щ ая ее
сила упругости деформированного
стола — сила реакции опоры N.
Она направлена перпендикулярно
поверхности соприкосновения тела
со столом.
Если сила F недостаточно вели­
ка, тело остается в покое. А так как
силы FT и N компенсируют друг
друга, то это значит, что на тело
действует^еще одна сила, равн ая по
модулю F, но направленная в про­
тивоположную ей сторону. Это и
есть сила трения покоя / гтр.
98
Н атянем сильнее шнурок, при­
крепленный к телу. Д инам ометр по­
кажет, что сила F увеличилась, но
тело по-прежнему остается в покое.
Значит, вместе с F увеличилась и
сила трения покоя, так что они попрежнему равны по модулю и н а­
правлены противоположно друг д р у ­
гу. В этом и состоит главная осо­
бенность силы трения покоя: сила
трения покоя равн а по м одулю и
направлена противоположно силе,
прилож енной к покоящ ем уся телу
п а р а ллельн о поверхности соприкос­
новения его с другим телом.
Наконец, при некотором опре­
деленном значении силы F тело сдви­
нется с места и начнет скользить.
Существует, следовательно, опреде­
ленная ^максимальная сила трения
покоя (F.rP)max- И только тогда, ког­
да сила F станет хотя бы немного
больше, чем (FTp)max, тело получит
ускорение. Сила трения покоя —
это та сила, которая меш ает нам
сдвинуть с места тяж елы й пред­
м е т - - ш к а ф , стол, сундук и т. д.
Но почему важ н о то, что пред­
мет тяж елы й? Ведь двигаем мы его
не вверх, не против силы тяж ести.
На этот вопрос тож е отвечает опыт.
Поместим на тело дополнитель­
ный груз, чтобы сильнее приж ать
Рис. 115
тело к столу (рис. 115, 116) (м о ж ­
но п риж ать его и рукой, пружиной).
Этим мы увеличиваем силу, перпен­
д и к уля р н ую поверхности соприкос­
новения тела со столом.^Если мы
теперь снова измерим (F Tp)max, то
окаж ется, что она увеличилась во
столько раз, во сколько раз увели­
чилась сила, перпендикулярная по­
верхности соприкосновения. Эту силу
иногда называю т силой нормального
давления. По модулю она равна
силе реакции опоры N . Д л я м акси­
мальной силы трения покоя можно,
значит, написать:
(F tp )max
сторону (третий закон Ньютона!),
сообщ ает ускорение... Земле. Коле­
са автомобилей как бы оттал ки ­
ваются от земли, и эта «толкаю щ ая»
сила есть сила трения покоя. В ре­
менной передаче (рис. 118) силой,
сообщающей ускорение ободу ш ки­
ва, тож е является сила трения покоя.
'l^N,
где |л — коэффициент пропорцио­
нальности, называемый коэф ф ициен­
том трения.
М а кси м а льна я сила трения по­
коя пропорциональна силе н орм аль­
ного давления.
Трение покоя и движение. Сила
трения покоя — это как будто бы
сила, которая мешает телу начать
двигаться. Но бывает и так, что
именно сила трения покоя служит
причиной начала д в и ж е н и я .Т а к при
ходьбе сила трения покоя F\ дейст­
вую щ ая на подошву, сообщ ает нам
ускорение (рис. 117). Сила же F2.
направленная в противоположную
Р ис. 117
Р ис. 118
99
Вопросы
1. П р и к а к и х о б с то я т е л ь с т в а х в о з н и к а е т
4. Ч то та к о е к о э ф ф и ц и е н т трения?
сила т р е н и я по коя? К ак о н а направлена?
2. Д е й с тв у е т
ли
сила
трения
покоя
5. Ч е л о в е к
на
с то л , с т о я щ и й на полу?
3. Ч то т а к о е сила д авле ни я? О б я з а т е л ь ­
но ли это сила тяж ести ?
§ 36. С И Л А Т Р Е Н И Я
100
о ста е тся
зд е с ь
второй
тором у
толкает
в покое.
закон
книж ны й
Не
ш ка ф ,
но
н а р у ш а е тс я
ли
Н ь ю то н а ,
тело, к к о т о р о м у
с о гл а с н о
прилож ена
ко­
сила,
и з м е н я е т с в о ю с ко р о сть ?
СКОЛЬЖ ЕНИЯ
Если сила, приложенная к телу
п а р а ллельн о поверхности соприкос­
новения его с другим телом, хотя
бы немного превосходит м акси м аль­
ную силу трения покоя, тело полу­
чает ускорение и начинает сколь­
зить по поверхности другого тела.
Но и теперь на уж е движ ущ ееся
тело действует сила трения. Однако
это у ж е другая сила трения. Ее
н азы ваю т силой трения скольж ения.
Измерения показывают, что по мо­
дулю она почти равна м акси м аль­
ной силе трения покоя. Н аправлен а
сила трения скольжения (в д а л ь ­
нейшем мы будем назы вать ее просто
силой трения) всегда в сторону, про­
тивоположную
направлению д ви ­
жения (направлению вектора ско­
рости) тела относительно того тела,
с которым оно соприкасается. Это
сам ая в а ж н а я особенность силы
трения.
Н а п р а влени е силы трения проти­
вополож но на п р а влению движ ения
тела. Это значит, что ускорение,
сообщаемое телу силой трения, н а ­
правлено против движения тела.
Поэтому сила трения приводит к
уменьшению скорости тела.
К ак и м аксимальная сила трения
покоя, сила трения скольжения про­
порциональна силе давления, а з н а ­
чит, и силе реакции опоры
F тр = \iN.
ш каф
Коэффициент пропорционально­
сти (х приблизительно равен коэф ­
фициенту (х в формуле для макси­
мальной силы трения покоя. И з
приведенной формулы видно, что
коэффициент трения |я равен отно­
шению модулей силы трения и силы
реакции опоры
Обычно
коэффициент
трения
меньше единицы сила трения мень­
ше силы давления.
Коэффициент трения р, х а р а к те ­
ризует не тело, на которое действует
сила трения, а сразу два тела, тру­
щиеся друг о друга. Значение ц
зависит от того, из каких материалов
сделаны оба тела, как обработаны
их поверхности и т. д. Но коэф ф и ­
циент трения не зависит от п л о щ а­
ди соприкасаю щихся поверхностей1
и от относительного
положения'
обоих тел. Коэффициент трения, н а ­
пример, конька о лед одинаков на
всем протяжении ледяной д о р о ж ­
ки, если, конечно, поверхность льда
всюду одинакова. Сила трения этим
отличается от сил упругости и т я ­
готения, которые зави сят от в заи м ­
ного положения тел. Сила же тре­
ния зависит от относительной ско­
рости тела. Зависимость эта состоит
в том, что при изменении н ап р ав ­
ления скорости изменяется и н а п р а в ­
ление силы трения.
Значения коэффициента трения |i
для некоторых пар материалов при­
ведены в таблице.
М атериалы
Д ерево по дереву
Рези на по бетону
К ож а по чугуну
С тал ь по стали
С таль по льду
К оэф фициент
трения
0,25
0,75
0,56
0,20
0,02
Приведенные в таблице коэффи­
циенты трения относятся к несма­
занным поверхностям. С мазка су­
щественно изменяет силу трения.
Трение между соприкасаю щ и­
мися твердыми телами (без см аз­
ки) называю т сухим трением.
Почему смазка уменьшает коэф­
фициент трения? Жидкое трение.
Все дело в том, что когда твердое
тело движется, соприкасаясь с ж и д ­
костью или газом, тож е возникает
сила, п ар ал л ел ьн ая поверхности со­
прикосновения и направленная про­
тив движения, т. е. против относи­
тельной скорости тела. Этим она
напоминает силу трения скольж е­
ния. Ее часто так и называют: «сила
ж идкого трения». Иногда ее н азы ­
вают та к ж е силой сопротивления.
Сила жидкого трения много мень­
ше, чем сила сухого трения. Н а ­
пример, находясь на плоту, можно
с помощью шеста сравнительно не­
большим усилием привести плот в
движение. Но не стоит и пытаться
на том ж е плоту таким же спосо­
бом передвигаться по суше. Именно
поэтому см азка уменьшает силу тре­
ния между твердыми телами — тре­
ние перестает быть сухим!
В жидкости и газе нет силы тр е­
ния покоя. Д а ж е сам ая м алая сила,
приложенная к телу в жидкости или
газе, сообщает ему ускорение. Это
легко наблюдать в таком опыте.
Положим
небольшой деревянный
брусок на воду в широком сосуде.
Брусок легко привести в движение,
если подуть на него или толкнуть
бумажной полоской (рис. 119).
Сила жидкого трения (сила со­
противления) зависит не только от
направления движения тела, но и от
значения его скорости. При неболь­
ших скоростях сила сопротивления
пропорциональна скорости, а при
больших скоростях она пропорцио­
нальна у ж е
квадрату
скорости.
Кроме того, сила сопротивления
зависит и от формы тела. На рисун­
ке 120 показаны тела различной
формы, но с одинаковой площадью
поперечного сечения. При д в и ж е ­
нии эти£ тел в жидкости или газе
наибольш ая
сила
сопротивления
действует на плоскую шайбу, а н аи ­
меньшая — на тело каплеобразной
формы.
Форму тела, при которой сила
сопротивления (сила жидкого тре­
ния) мала, называю т обтекаемой
формой. С амолетам, подводным л о д ­
кам, движ ущ им ся с большими ско­
ростями в воздухе или в воде, с т а ­
раются придать обтекаемую форму.
Это помогает уменьшить силу сопро­
тивления. Обтекаемую форму имеют
и животные, обитающие в воде.
Ри с.1 2 0
Ч
-
V
Г
Х ф
101
Вопросы
1. Ч то т а к о е сила трения? Как о н а н а п р а в ­
больш ую
скорость
р а зв и в а е т
в е л о с и п е д и с т,
тем с больш е й м ускул ьн о й силой он д о л ж е н
лена?
2. П о ч е м у
опасно
вести
м аш ину
по
д е й с тв о в а ть
м у косм ическим
3. Ч то т а к о е ж и д к о е трени е?
4. С и ла
си п е д а
и
скор ости .
трения
м ежду
д о р о го й
М ежду
на п е д а л и . С ч е м э т о связано?
5. Н у ж н о ли п р и д а в а ть о б т е к а е м у ю ф о р ­
о б л е д е н е л о й д о р о ге ?
п о ч ти
тем
колесам и
не
вело­
зав и си т
известно,
что
6
от
че м
ко р а б л я м ? А р а к е та м , вы ­
в о д я щ и м их в ко см о с?
.
П о ч е м у не п р и д а ю т о б т е к а е м у ю ф о р ­
м у т р а к т о р а м , д о р о ж н ы м каткам ?
Упражнение 18
1. В ы ч и с л и те
то л к а т ь
полу,
си лу,
деревянны й
чтобы
он
с
брус
которой
по
д в и га л с я
нуж но
деревянном у
с
постоянно й
трения
тать,
3.
ж иной
2. П ри д л и те л ь н о й р а б о т е л о ш а д ь р а з ­
ви вает п о с т о я н н у ю
си м а л ь н ы й
м асса
с и л у 600 Н. К а к о й
м ак­
гр у з о н а м о ж е т в е зти на санях,
которы х
100
кг,
есл и
о
о гл о б л и
снег
са н е й
равен
0,05?
параллельны
С чи­
до­
р о ге , а д о р о га го р и з о н т а л ь н а я .
с к о р о с т ь ю . М а сса б р у с а 20 кг. П ол г о р и з о н ­
та л ьн ы й .
полозьев
что
руго сти
и
по
К в е р ти к а л ь н о й
бето нно й
стене
пру­
п р и ж а т р е з и н о в ы й б р у с о к . С ила у п ­
пруж ины
м одулю
перпендикулярна
ра вна
100
Н.
Какую
сте н е
си л у
н у ж н о п р ил о ж и ть, чтоб ы сд вин уть б р у с о к с
коэф ф ициент
§ 37. Д В И Ж Е Н И Е Т Е Л А ПОД Д Е Й С Т В И Е М С И Л Ы ТРЕНИЯ
Сила трения отличается от д р у ­
гих сил тем, что она всегда н ап р ав ­
лена в сторону, противоположную
направлению вектора скорости д ви ­
ж ущ егося тела. Сила упругости и
сила тяж ести тоже могут быть н а ­
правлены против движения, но си­
ла трения всегда так направлена.
Это значит, что и ускорение, кото­
рое сила трения сообщает телу,
направлено против его скорости.
Отсюда следует, что сила трения
приводит к ум еньш ению ч ислово­
го зна ч ен и я скорости тела и если на
тело действует только сила трения,
то тело в конце концов останавл и ­
вается.
Рассмотрим этот часто встре­
чающийся случай.
Представим себе, что перед д ви ­
ж ущ имся поездом неожиданно по­
явилось какое-то препятствие и м а­
шинист отключил двигатель и вклю ­
чил тормоз. Н ачи ная с этого мо­
102
мента, на поезд действует только
постоянная сила трения, так как
сила тяжести скомпенсирована си­
лой реакции рельсов; силой сопро­
тивления воздуха можно пренебречь.
Через некоторое время t поезд,
пройдя расстояние I — т а к н а зы в а ­
емый тормозной путь, остановится.
Найдем время t, нужное д ля о с т а ­
новки, и тормозной путь I.
Под действием силы трения Fip
поезд будет двигаться с ускорением
а
=
^
~ .
m
Н аправим координатную ось X
вдоль направления дви ж ени я поезда
(рис. 121). Сила трения и в ы зв ан ­
ное ею ускорение а направлены в
сторону, противоположную оси. П о ­
этому проекции этих векторов на
ось X отрицательны, а по модулю
равны модулям самих векторов. СлеF
довательно,
а х —
— а — ------1Р. Но
Рис.121
Vx—
at
= Vot -\— • Но проще использовать
Vox
ax= — -— , где v x и v0x— проекции
векторов 5 и D0 на ось X. Обе проек­
ции положительны, т. е. vx = v и
vox = vo- Отсюда
V
V° и t4-= —
V° .
а— —
t
-
V- — Vo
2а
f
Vo
В нашем случае а = - ^ - ;
-
Нас интересует время t от начала
тормож ения (когда скорость поезда
v — vo) до остановки (когда его ско­
рость р ав н а нулю: у = 0). Поэтому
можно написать
t--
1-S
—
а= —
Отсюда
формулу
а
mvо
Это важно знать всем. Найдем
теперь тормозной путь /. Тормоз­
ной путь — это модуль проекции на
ось X вектора перемещения поезда
за время t. Чтобы его вычислить,
воспользуемся
формулой:
[= s =
и = 0.
Поэтому
/=-=
mvо
2F7n
Таким образом, пройденный до
остановки
путь
пропорционален
квадрату начальной скорости. Если
^увеличить скорость поезда вдвое, то
потребуется вчетверо больший путь
до остановки. Это следует знать и
помнить машинистам поездов, во­
дителям автомаш ин и вообще всем,
кто управляет транспортными сред­
ствами. Об этом нужно помнить и
пешеходам, пересекающим ож и в лен ­
ную улицу: для остановки д в и ж у ­
щихся тел нужны время и простран­
ство.
Вопросы
1. К ак
направлено
ускорение,
сооб­
щ а е м о е т е л у с и л о й трения?
2. М о ж н о ли счи тать д в и ж е н и е те л а п о д
д ействием
силы
трения
3. К а к и е д в и ж е н и я
4. О т к а к и х в е л и ч и н за в и си т в р е м я т о р ­
м о ж е н и я и т о р м о з н о й путь?
равноускоренны м ?
в природе
происхо­
д я т б е з д е й с тв и я сил трения?
5. Д ля
можно
ум еньш ения
либо
увел ичить
то р м о зн о го
си л у
трения,
пути
либо
у м е н ь ш и т ь с к о р о с т ь . К а ко й и з э т и х с п о с о б о в
э ф ф е к ти в н е е ?
Упражнение 19
1. С
какой
скор остью
д в и га л и с ь
аэро­
заторм о зил
пр и
скор ости
автом обиля
сани, есл и п о с л е в ы к л ю ч е н и я д в и га т е л я он и
72 к м /ч . С к о л ь к о в р е м е н и б у д е т д в и га ть ся
пр ош ли д о остановки
автом обиль
путь
250 м? ц = 0,02.
2. Ш о ф е р в ы к л ю ч и л д в и га те л ь и р е з к о
до
остановки,
есл и
(х = 0,60?
К а к о й путь о н пр и э т о м п р о й д е т?
103
§ 38. Д В И Ж Е Н И Е Т Е Л А П О Д Д Е Й С Т В И Е М Н Е С К О Л Ь К И Х С И Л
В предыдущих п а р а г р а ф а х этой
главы мы говорили о движении тела,
на которое действует только одна
сила — сила упругости, сила т я ж е ­
сти или сила грения. В действитель­
ности такие движения в земных ус­
ловиях почти никогда не происхо­
дят. Это следует уж е из того, что
наряду с силами упругости или
тяж ести почти всегда действует и
сила трения.
Как решать задачи механики,
когда на тело действует несколько
сил? Напомним, что в уравнении,
вы раж аю щ ем второй закон Нью то­
на,
F = та
F — это векторная сумма всех сил,
приложенных к телу. Векторное
сложение сил можно заменить а л ­
гебраическим сложением их проек­
ций на координатные оси (см. § 5).
Приступая к решению задачи,
нужно сначала выбрать направление
координатных осей и изобразить на
чертеже векторы всех сил и вектор
ускорения тела, если известно его
направление. Затем необходимо най­
ти проекции всех векторов на эти
оси координат. Наконец, написать
уравнение второго закона Ньютона
д ля проекций на каждую ось и ре­
ш ать совместно полученные у р а в ­
нения.
Как решаются задачи механики,
когда в движении участвуют не­
сколько тел? Нередки случаи, когда
в движении участвуют несколько
тел, так или иначе связанны х м е ж ­
ду собой, или, как говорят, система
тел. Примером такого движ ения мо­
жет служить движение спортсмена,
следующего за катером на водных
л ы ж ах, или движение грузов на
нити, перекинутой через блок. При
104
этом на каж дое из тел могут дейст­
вовать несколько сил. К ак в таких
случаях реш ать задачи? Общий по­
рядок решения зад ач остается т а ­
ким, какой мы только что описали.
С той только разницей, что он д ол ­
жен быть применен к каж дому из
тел системы: уравнения второго з а ­
кона Ньютона пишут для каж д о го из
тел системы сначала в векторной
форме, а затем в скалярной (для
проекций) и решают совместно по­
лученные уравнения.
Случай, когда сумма сил, дейст­
вующих на тело, равна нулю. В ф о р ­
муле F = m a под F мы понимаем
равнодействующую всех прилож ен­
ных к телу сил, т. е. векторную сум­
му всех сил. Из нее видно, что если
F = 0, то и ускорение а равно нулю.
О теле, у которого нет ускорения,
говорят, что оно находится в состоя­
нии равновесия. Такое тело может
двигаться прямолинейно и р ав н о ­
мерно. Но может находиться и в
покое. Именно об этом говорится в
первом законе Ньютона. Если п р я ­
молинейное равномерное движение
встречается редко, то с покоящ им и­
ся относительно какой-то системы
отсчета телами мы имеем дело часто.
Всякое тело, которое покоится, н а­
пример, относительно Земли, н ах о­
дится в состоянии равновесия. Сум­
ма сил, приложенных к нему, равна
нулю. М ож но так ж е сказать, что
тело находится в равновесии, если
сумма проекций всех сил на лю бую
ось равн а нулю . В этом состоит
ус л о ви е равн овесия тела (точки).
Надо, однако, заметить, что это
относится к случаю, когда тело со­
верш ает поступательное движение.
К ак указы валось раньше, при посту­
пательном движении тело можно
рассм атривать как материальную
точку, к которой приложены силы.
Но реальное тело может совершать
и другие движения. Например, тело
еще мож ет вращаться вокруг неко­
торой оси. Д о сих пор мы р ассм ат­
ривали только поступательное д ви ­
жение, т. е. считали тела м атери аль­
ными точками, хотя и не всегда
подчеркивали это. Д а ж е когда го-
ворилось о движении тела по о к р у ж ­
ности, речь шла о его поступа­
тельном движении по окружности.
Если выполнено условие равн о­
весия, о котором мы только что
говорили, т. е. сумма сил действу­
ющих на теле равна нулю, тело
при этом все-таки может в р ащ аться
вокруг некоторой оси.
Вопросы
1. К ак
ф орм улируется
второй
закон
Н ь ю то н а , е с л и на т е л о д е й с тв у е т н е с к о л ь к о
с о с т о я н и и р а в н о в е с и я п о о т н о ш е н и ю к п о с ту ­
п а тел ьном у д виж ению ?
сил?
3.
2. В
каком
случае
тело
ПРИМ ЕРЫ
I.
По
наклона
(р и с .
а
1 2 2 ).
РЕШ ЕНИЯ
наклонной
движ е тся
н а х о д и тс я
п л оскости
брусок
К оэф ф и ц ие нт
Как п р и м е н я т ь за ко н Н ь ю то н а , есл и в
д в и ж е н и и уч а с тв у е т н е с к о л ь к о тел?
ЗАДАЧ
с
м ассой
тр е н и я
в
у гл о м
m
бруска
о п л о ско с ть ц. Н а й д и те у с к о р е н и е а б р у с к а .
Р е ш е н и е . На брусок действу­
ют три силы: сила тяжести FT = m g,
сила трения F Tр и сила реакции
опоры N. Н аправления сил указаны
на рисунке. Вместе они и сообщают
бруску ускорение а, направленное
вдоль плоскости вниз1.
Н аправим оси координат X и Y
так, как показано на рисунке. Вто­
рой закон Ньютона в векторной
форме записы вается так:
Проекция (FT)X положительна и р а в ­
на, как видно из треугольника A B D ,
m g sin а:
(Fr)x = m g sin а .
Проекция (FTр)х отрицательна и р а в ­
на — F Tp.
Проекция N x вектора N равна нулю:
N х = 0. Уравнение второго закона
Ньютона в скалярной форме з а п и ­
сывается поэтому так:
т а — m g sin a — F Tp.
(1)
Перейдем к проекциям на ось Y.
Проекция ау равна нулю (вектор а
перпендикулярен оси К!): ау = 0.
т а = m g -1- N -{- FTp.
Нам нужно записать его в с к а ­
лярной форме для проекций входя­
щих в него векторов на оси X и Y.
Начнем с проекций на ось X.
Проекция ах положительна и равна
модулю вектора а: ах = а .
1
Чтобы упростить рисунок 122, мы по­
к азал и на нем все три силы прилож енными к
одной точке — к центру бруска. В действи­
тельности, силы F Tp и N прилож ены к осно­
ванию бруска.
105
Проекция (FT)y отрицательна.
треугольника A D C видно, что
Из
(F T)y = — m g cos а
Проекция N y положительна и равна
модулю вектора N: N y = N.
Проекция (Fтр)у равна нулю: (FTp)y—
= 0. Тогда уравнение второго за к о ­
на Ньютона имеет вид:
0 = jV — m g cos а,
или N = m g cos а .
(2)
Сила трения, как мы знаем, р а в ­
на |x N . С учетом равенства (2) вы­
раж ение для силы трения можно
записать в виде:
FTр = 1| m g cos а.
Р е ш е н и е . Здесь мы имеем слу­
чай, когда в движении участвуют
два тела.
Если предоставить систему гру­
зов самой себе, то груз т i станет
двигаться вниз, а груз т 2 — вверх.
Ускорения обоих грузов, если пре­
небречь малым растяж ением нити,
по модулю одинаковы: а \ = а 2 = а.
Чтобы найти ускорение, напишем
уравнения второго закона Ньютона
для каждого груза.
Координатную ось Y направим
по вертикали вверх (рис. 123).
На левы й груз действуют сила
тяжести FTl = m \ g и сила натяж ения
нити F. Уравнение второго закона
Ньютона для него имеет вид:
П одставив его в формулу (1), по­
лучим
a = g(sin a — |i cos a).
Ускорение a, как видно из отве­
та, меньше, чем g.
Наклонные плоскости и исполь­
зуются на практике как устройства,
позволяющие как бы «уменьшить»
g при движении тел вниз или вверх.
m xg -\-F = m [a x.
Из рисунка 123 видно, что проек­
ция, щ у = — а, а проекция g y = — g.
Проекция же Fy = F. В скалярной
форме уравнение второго закона
Ньютона записывается поэтому так:
F — m lg = — m la.
(1)
На правы й груз действуют сила
тяж
ести P T2 — mog и сила н атяж ения
2.
Ч ерез н е п о д в и ж н ы й б л о к п е р е к и н у та
нити F (такая же, как на левый
н и ть, к к о н ц а м ко то р о й п р и к р е п л е н ы гр у з ы
груз). Проекция g y = — g, проекция
м ассам и т \ и т 2, причем m \ > m 2 - С ч и та я ,
а2у
= а и проекция Fy = F. Уравнение
что м ассы ни ти и б л о к а м алы ср а в н и те л ь н о
второго закона Ньютона в скалярйЬй
с м ассам и т , и m 2 , н а й д и те у с к о р е н и е а
форме имеет вид:
гр у з о в .
F — m 2g = m 2 a.
(2)
Вычтем уравнение (1) из уравнения
( 2 ):
m 2a — ( — m la ) = — m 2g — ( — m lg),
или
т 2)а = ( т \ — m 2 )g.
Таким образом, для ускорения
получаем:
Ш\ —т 2
;-----Яа = ---r r ii + m-i °
а
Так как разность т i — т 2 мень­
ше, чем сумма m i + m 2, то ускорение
106
а меньше ускорения свободного па­
дения.
Блоки иногда и используются
д ля того, чтобы заставить тело п а­
д ать с ускорением меньшим, чем g
На этом основано применение про­
тивовесов в лиф тах и других подъем­
ных устройствах.
Упражнение 20
1. С в е р ш и н ы
сотой
20
см
наклонной
соскальзы вает
плоскости
брусок.
вы­
О пре­
делите скор ость б руска в кон ц е плоскости.
Трением пренебречь.
2. С анки
10 м
5.
вает
Ш а р и к , п р и в я з а н н ы й на н и ти , о п и с ы ­
окруж ность
в
го р и зо н та л ьн о й
п л о с­
к о с т и , с о в е р ш а я о д и н о б о р о т за 0 ,5 0 с. С ка ­
к о й с и л о й д е й с тв у е т ш а р и к на нить, застав­
скаты ваю тся
за 2 с. Н а й д и те
с
у го л
го р к и
длиной
наклона
горки.
л я ю щ у ю е г о вращ аться? Д л и н а н и т и 0,5 0 м.
М а сса ш а р и к а 0,20 кг.
Т р е н и е не у ч и ты в а ть .
3. На н а к л о н н о й п л о с к о с т и в ы с о т о й 5 м
и
длиной
50
кг, на к о т о р о е д е й с т в у е т сила F,
10
м
н а х о д и тс я т е л о м а ссо й
л е нная го р и з о н т а л ь н о и равная
300
Н
(р и с .
124).
Р и с .124
направ­
по м о д у л ю
О пределите
ускорение
тела (т р е н и е м п р е н е б р е ч ь ).
4. В ы ч и с л и те
зя щ е го
вы сота
циент
по
ускорение
наклонной
равна
трения
длине
тела
тела,
плоскости,
основания,
о
наклонную
сколь­
если
ее
а коэф ф и­
п л о с к о с ть
р а в е н 0,20.
§ 39. П Р И
КАКИ Х УСЛО ВИЯХ ТЕЛО Д ВИ Ж ЕТСЯ
ПО СТУПАТЕЛЬНО?
ЦЕНТР ТЯ Ж ЕС ТИ ТЕЛА
И зуч ая движение тела под дейст­
вием силы или нескольких сил, мы
обычно считали, что движ утся не
тела, а материальные точки, и не
принимали во внимание размеры и
форму тел. Но что это за точки,
которыми мы как бы заменяли р еаль­
ные тела? Почему и при каких у с­
ловиях т а к а я замена возможна?
В начале этой книги у к а з ы в а ­
лось, что размеры тела можно не
учитывать и считать тело точкой,
если оно движется поступательно.
При таком движении все точки тела
движ утся одинаково — с одинако­
выми скоростями и ускорениями.
Значит, надо выяснить, при каких
условиях тело движ ется поступа­
тельно.
Проведем такой опыт. Возьмем
брусок
прямоугольной
формы
(рис. 125, а) и с помощью нити,
прикрепленной к нему, приложим к
бруску в точке А силу, н ап р ав л ен ­
ную вдоль его оси. Брусок придет в
Р и с .1 2 5
а
б
*
If
A
F
1» -----------------
•А
F
107
Рис.126
поступательное движение. Но если
с помощью той же нити приложить
в той же точке А силу, нап равлен ­
ную перпендикулярно оси (рис. 125, б),
то брусок повернется, т. е. его дви­
жение не будет поступательным. Е с ­
ли нить прикреплена в точке А, то
существует только одна прямая,
вдоль которой долж на быть н ап рав ­
лена сила, чтобы движение было
поступательным. Это верно и для
любой другой точки приложения
силы. На рисунке 126 красными
линиями отмечены прямые, вдоль
которых д олж на быть направлена
сила, приложенная к соответствующей точке (как говорят, ли н и я
действия си лы ), чтобы движение те­
ла было поступательным. Черные
прямые — это некоторые линии дей­
ствия сил, вызывающих поворот
тела.
Центр тяжести (центр масс).
Из рисунка 126 видно, что все л и ­
нии действия сил, вызываю щих по­
ступательное движение
(красные
прямые), пересекаются в одной точ­
ке. Эта точка, через которую долж ­
на проходить л и н и я действия силы,
чтобы тело двигалось поступатель­
но, называется центром тяжести или
центром масс тела. Л ю б а я же сила,
линия действия которой не проходит
через центр тяжести (черные п ря­
мые на рисунке 126), непременно
вызывает поворот или вращение
т^ла.
Когда движение тела мы р а с ­
см атривали как движение точки,
то считали, что линия действия
приложенной силы (или равнодейст­
вующей нескольких сил) проходит
через центр тяжести (центр масс).
Центр тяж ести — вот та точка тела,
которой мы «заменяли» реальное
тело.
Вопросы
1. П р и
каких
условиях
тело
движ ется
2. Ч то та к о е ц е н т р масс?
САМОЕ
3.
прилож ена
п о ступ а те л ь н о ?
ВАЖ НОЕ
Как
ведет
сила,
се б я
линия
тело,
д е й с тв и я
к
которо м у
которой
не п р о х о д и т ч е р е з ц е н т р масс?
В
ПЯТОЙ
ГЛАВЕ
К механическим силам относятся: сила упругости, сила трения,
сила всемирного тяготения.
Сила упругости — это проявление взаимодействия между
частицами тела. Возникает она при деформации тела, при кото­
рой частицы тела удаляю тся одна от другой или сближ аю тся
(растяж ение или сжатие тел а ).
Сила трения т ак ж е есть проявление взаимодействия частиц.
Г лавная особенность силы трения состоит в том, что она н а п р а в ­
лена против движ ения тела, к которому приложена.
108
Сила всемирного тяготения — сила взаимодействия тел.
Она пропорциональна произведению масс взаимодействующих
тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между
телами.
Проявлением этого взаимодействия является сила тяжести.
В аж н ей ш а я особенность силы тяжести, как и вообще силы все­
мирного тяготения, состоит в том, что она сообщает всем телам
одинаковые ускорения.
Сила упругости и сила тяж ести — это силы, зави сящ ие от
координат взаимодействующих тел относительно друг друга. С и ­
ла трения зависит от скорости тела, но не зависит от координат.
Движ ение тела можно рассм атривать как движение м ате­
риальной точки, если тело движ ется поступательно. П оступа­
тельно же тело движется, если прямая, вдоль которой направлена
сила или равнодействую щ ая нескольких сил, приложенных к
телу, проходит через его центр тяжести.
Если сумма сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело
находится в состоянии равновесия. Это значит, что тело покоится
или совершает равномерное прямолинейное движение. Это, о д ­
нако, не мешает телу вращ аться.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В М Е Х А Н И К Е
6. З ак он сохранения импульса
7. Зак о н сохранения энергии
ГЛАВА 6
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
ФИЗИЧЕСКИЕ
ВЕЛИЧИНЫ
Мы видели в предыдущих г л а ­
вах, как законы движения позво­
ляют реш ать задачи механики, если
известны силы, приложенные к те­
лам. М ож ет показаться, что на этом
можно было бы закончить изучение
механики. Но во многих случаях
законы дви ж ени я нельзя использо­
вать для решения зад ач именно по­
тому, что неизвестны силы. Когда,
например, приходится рассм атри ­
вать столкновения двух тел, будь
то столкновение автомобилей, ваго­
нов или бильярдных шаров, труд­
но определить значения возника­
ющих при этом сил. Мы знаем, что
здесь действуют силы упругости.
Но деформации в таких случаях
§ 40. С И Л А
скорости:
а-~
Подставив это
вы ражение в формулу второго з а ­
кона Ньютона, получим
(i:
t
здесь v — vo — изменение скорости,
t — время, за которое это измене­
ние произошло. Но t — это и время
действия силы, так как скорость
110
очень сложные (ведь тут идет речь
не о стержнях, которые удлиняются
или укорачиваю тся!). Д а и время
действия сил очень мало.
В таких случаях для решения
задачи пользуются следствиями из
законов движения. При этом п ояв­
ляю тся новые величины вместо сил
и ускорений. Эти величины — им ­
п ульс и энергия. О них будет р а с ­
сказано в этом разделе.
Импульс и энергия — особые ве­
личины. Они обладаю т свойством
сохранения. И сами эти величины,
и их свойство сохранения играют
важ ную роль не только в механике,
но и во всех р азд ел ах физики. В этом
состоит их особое значение.
И ИМ ПУЛЬС
Формулу второго закона Ньютона
Р = т а можно написать по-другому,
если вспомнить, что ускорение а
характеризует быстроту изменения
V — Vo
СО С В О Й С Т В О М С О Х Р А Н Е Н И Я
изменяется только под действием
силы.
И з формулы (1) видно, что и зменение
скорости
v- ■vo
ft
Это
значит, что одна и та же сила F,
действую щая в течение одного и
того же времени t, вызы вает у тел
разной массы различны е изменения
скорости.
Перепишем формулу (1) в таком
виде:
Ft = m v — m v 0.
(2)
В правой части этого равенства
стоит изменение величины m v —
произведения массы тела на его ско­
рость. Эта величина носит особое
название — им пульс тела: им п уль­
сом тела называется величина, р а в ­
ная произведению массы тела на
его скорость.
Формула (2) — это просто иначе
записанный второй закон Ньютона.
Она позволяет сформулировать его
иначе, чем мы это делали раньше:
в результате действия силы изме­
няется импульс тела. Изменение им­
пульса равно произведению силы,
приложенной к телу, на время ее
действия. А это значит, что одна и
та же сила за одно и то же время
вызывает у лю бого тела одно и то
же изменение импульса, т а к как в
левую часть равенства (2) масса
не входит.
Величина Ft тоже имеет н а з в а ­
ние — им пульс силы , так что, со­
гласно
формуле
(2),
изменение
им пульса
тела равн о
им пульсу
силы.
Импульс тела m v и импульс
силы Ft — величины векторные. Век­
тор импульса тела направлен так
же, как вектор скорости. Вектор
импульса силы — так же, как век­
тор силы.
Из формулы (2) следует, что
импульс тела m v вы р а ж ае тся в
к и л о г р а м м-м е т р а х
в
се­
к у н д у ( к г - м / с ) , импульс силы —
в н ь ю т о н - с е к у н д а х (Н - с ).
Вопросы
1. Ч то т а к о е и м п у л ь с тела? Ч е м у равен
м одуль
и м п у л ь с а тела? К ак н а п р а в л е н в е к ­
т о р и м п у л ь с а тела?
2. М о ж н о
дает
ли
им пульсом
■9
прилож енная
им пульс.
Чему
к телу, изм еняет
равно
изм енение
им­
пульса?
сказа ть,
потом у,
что
что
тело
на
обла­
н е го
6
дей­
.
Ч то м о ж н о сказа ть о б и м п у л ь с е тела,
есл и с у м м а сил, п р и л о ж е н н ы х к н е м у , равна
ств уе т сила?
3. Ч то т а к о е и м п у л ь с силы? Ч е м у равен
м одуль
5. С ила,
е го
нул ю ?
и м п у л ь с а силы? К ак н а п р а в л е н в е к ­
т о р и м п у л ь с а силы?
4. М о ж е т
ли
7. И м п у л ь с
тела
вы раж ается
гр а м м -м е т р а х в с е к у н д у (к г *
им пульс
тела
ра в нять ся
н ул ю ?
си лы —
в
кило­
м /с ) . И м п у л ь с
в н ь ю т о н -с е к у н д а х (Н * с). О д и н а к о ­
вы ли эти е д и н и ц ы или ра зличны ?
Упражнение 21
t. Н айдите
им пульс
тела
м ассой
5
кг,
д в и ж у щ е г о с я со с к о р о с т ь ю 2 м /с .
ш ую
2. В ц и с т е р н е п о л и в о ч н о й м а ш и н ы м а с ­
сой
4
Чему
т
находится
равен
маш ина
д виж ется
ро стью
18
ж ется
со
вод а
им пульс
к м /ч ;
к
объем ом
м аш ины :
м есту
б)
скор остью
54
4
а)
по л и в а
к о гд а
со
у п р у го
нее
по
ш арик
скор остью
о стальную
п л и ту
в пр оти воп ол о ж ную
м одулю
си л у ,
дли­
4. Ш о ф е р
в ы к л ю ч и л д в и га т е л ь
автом о­
б ил я пр и с к о р о с т и 72 к м /ч . Ч е р е з 3,4 с а в т о ­
ско­
м о б и л ь о ст а н о в и л с я . С ила т р е н и я
а с ф а л ь ту
израсходо­
вы звав­
р а вн а
5880
им пульс автом обил я
Н.
Чему
в мом ент
к о л е с по
был
р а ве н
вы клю чения
д в ига тел я? К а ко ва м асса а в т о м о б и л я ?
3. М е т а л л и ч е с к и й
со
и средню ю
дви­
вав всю воду?
падающ ий
ш а р и ка
это и з м е н е н и е , есл и с о у д а р е н и е
л о сь 0,1 с.
м 3.
к о гд а
м аш ина
к м /ч ,
импульса
м а ссо й
5 м /с ,
20
г,
ударяется
и о т с к а к и в а е т от
с т о р о н у с то й ж е
ско р о с ть ю . Н айдите и зм е нен ие
5. А в т о м о б и л ь
скор остью
для
м а ссо й 2 т д в и ж е т с я со
36 к м /ч . К а ко е в р е м я т р е б у е т с я
полной
остановки
автом обиля
вы клю чения
д в и га те л я ,
е сл и
си л а
по сл е
трения
к о л е с о д о р о г у ра вна 5880 Н?
1 11
Задание
Проанализируйте реш ения
задач 4 и 5
тановки
упраж нения 21 и выясните, от какой вели­
чины зависит тормозное врем я движущ егося
анализа
тела (врем я от начала торм ож ени я до ос­
(с. 103).
§ 41. З А К О Н
СОХРАНЕНИЯ
тела)
при
заданном
значении
мо­
дуля то рм озящ ей силы. Сравните результат
с
ф о рм уло й ,
приведенной
в § 37
ИМ ПУЛЬСА
Импульс о бладает интересным
и важны м свойством, которое есть
лиш ь у немногих физических ве­
личин. Это свойство сохранения.
В чем оно состоит?
Свойство сохраняться — это свой­
ство оставаться неизменным. Имен­
но таково свойство импульса тел.
Относится оно к случаю, когда
два или более тел взаимодействуют
друг с другом, но на них не дейст­
вуют внешние силы. Т а к а я группа
тел, или, как говорят, система*тел,
назы вается замкнутой: замкнутая
система тел — это совокупность тел,
взаимодейст вую щ их между собой,
но не взаимодейст вую щ их с д р у ­
гими телами.
Поясним понятие замкнутой сис­
темы и свойство сохранения им­
пульса простыми опытами.
Поставим
на
горизонтальные
рельсы две тележки одинаковой
массы т. К торцу одной из них
прикреплен ш арик из пластилина,
и к каждой из них на торцах при­
креплены
пружинные
буфера
(рис. 127). Пусть сн ачала тележки
обращены друг к другу торцами,
лишенными пружин. Сообщим обе­
им тележ кам одинаковые по модулю
скорости навстречу одна другой.
Тележки встретятся, пластилин скре­
пит их и они остановятся. Р е з у л ь ­
таты опыта легко понять. Д в е ст а л ­
кивающиеся тележки — это система
двух взаимодействующих тел. Ее
можно считать замкнутой системой,
потому что действия на них других
тел — Земли и опоры скомпенсиро­
ваны Д о встречи импульсы обеих
тележ ек по модулю равны друг
другу, а по направлению противо­
положны. Следовательно, сумма им­
пульсов обеих тележ ек равна нулю.
Во время столкновения тележки
взаимодействуют, т. е. действуют
друг на друга с некоторыми си л а­
ми, равными по модулю и противо­
положными по направлению (тре­
тий закон Н ью тона). Поэтому им­
пульс каждой из тележ ек изменил­
ся. Но сумма импульсов осталась
такой же, т. е. равной нулю — ведь
тележки остановились!
Повернем тележки так, чтобы они
были обращ ены друг к другу пру­
жинными
буферами
(рис.
128).
Повторив опыт, мы убедимся в том,
что после столкновения тележки
разъ едутся в противоположные сто­
роны с одинаковыми по модулю, но
противоположными по направлению
скоростями. Значит, при взаим о­
действии импульсы опять измени­
лись, но сумма импульсов по-преж­
нему осталась равной нулю, как
говорят, она сохранилась.
Массы и скорости тел могут быть
и различными. Не следует думать,
что полный импульс системы тел
сохраняется только тогда, когда он
равен нулю. Пусть массы тележ ек
не одинаковы: масса левой тел е ж ­
ки равна гп\, правой — т 2. Пусть и
скорости,
сообщенные ^тележкам,
различны — и 1 у левой и » 2 у правой
тележки. Значит, до столкновения
импульс левой тележки был ni\V\,
правой — m 2v 2. При столкновении
на левую тележку подействовала
некоторая сила F, на правую —
рав н ая ей по модулю, но противо­
полож ная по направлению сила^
т. е. — F. Время t действия силы F
такое же, как время действия си­
лы — F. В результате действия сил
скорости обеих тележек изменились.
Пусть скорость левой тележки стала
равной v\, правой — v 2. И змени­
лись, конечно, и импульсы тележек.
Запиш ем для каждой тележки
уравнение (2) предыдущего п а р а г ­
раф а.
Д л я левой тележки:
Ft = m.\v\ — m \V \ ;
для правой:
— Ft = m 2v 2 — m 2v 2.
Сложим почленно эти равенства
0 = m\V\— m\V\ -\-m2V2 — m2v2,
или
m\V\ -\-m 2 v 2 — m \v\ -\-m 2 v 2.
В левой части равенства стоит
сумма импульсов обеих тележ ек до
столкновения, в правой — сумма им­
пульсов тех же тележ ек после в з а и ­
модействия. Импульс каж дой те ­
лежки* изменился, сумма же о ста­
л ась неизменной.
Закон сохранения импульса. Е с­
ли взаимодействуют не два, как в
наших примерах, а много тел, то
можно, применив к каждому из них
формулу (2) предыдущего п а р а г р а ­
фа, доказать, что и в этих случаях
сумма импульсов замкнутой системы
взаимодействующих тел не изме­
няется (сохраняется). В этом и
состоит закон сохранения импульса.
Геометрическая сумма и м п у ль ­
сов тел, сост авляющ их замкнутую
систему, остается постоянной при
лю бы х движ ениях и взаимодейст­
ви я х тел системы.
С системами тел, которые м о ж ­
но считать замкнутыми, мы постоян­
но встречаемся в природе и тех­
нике. Такими системами являю тся
ружье и пуля в его стволе, пушка и
снаряд, оболочка ракеты и топливо
в ней, Солнце и планеты, Зе м л я и
ее спутник. И всякий раз, когда под
действием сил взаимодействия и з­
меняется импульс одного из тел
системы, непременно изменяются и
импульсы других тел, но всегда так,
что общий импульс всех тел ост а­
ется неизменным.
Если система тел не замкнута.
Н езамкнутая система тел — это сис­
тема тел, взаимодействующих м еж ­
ду собой, на которую, кроме того,
действуют и какие-то внешние, «по­
сторонние» системе тела, внешние
силы. В таком случае общий им­
пульс системы не будет сохраняться.
Он изменяется. А изменение им­
пульса равно импульсу той силы,
которая приложена к системе. С тоя­
щего на льду конькобежца может
заставить сдвинуться с места (из­
менить импульс!) толчок его т о в а ­
рища. Но если конькобежец будет
тянуть одной своей рукой другую,
то это не изменит его импульс.
Вопросы
1. Ч то т а к о е з а м к н у та я с и с те м а тел?
уста н о в л е н н о го
2. В чем с о с т о и т з а к о н с о х р а н е н и я и м ­
у с т а н о в л е н на д р у г о й л о д ке ?
4.
пульса?
3. П а р у с н а я
о с та н о в и л а с ь .
гаться,
лодка
М ож но
на дува я
по п а л а
ли
п а р уса
с
в
застав и ть
помощ ью
ш тил ь
и
ее дви­
насоса,
на е е б о р т у ? А
М о г у т ли о с к о л к и
наты л е те ть в о д н о м
в зр ы в а
гр а н а та
е сл и
насос
в зо р в а в ш е й с я г р а ­
н а п р а в л е н и и , е сл и д о
п о ко и л а сь?
А
е сл и
д в и га ­
лась?
П РИ М ЕР Р ЕШ ЕН И Я ЗАД АЧИ
Железнодорожный вагон массой 30 т,
движущийся со скоростью 1,5 м/с, сцеп­
ляется с неподвижным вагоном, масса ко­
торого 20 т. Какова скорость вагонов после
сцепки (участок пути прямолинейный)?
Р е ш е н и е . В условии задачи
ничего не говорится о действующей
силе: она неизвестна. Поэтому ре­
ш ать зад ач у следует с помощью
закона сохранения импульса.
Н аправим
координатную
ось
вдоль вектора скорости первого в а ­
гона. Согласно закону сохранения
импульса,
геометрическая
сумма
импульсов обоих вагонов сохраняет­
ся постоянной. Значит, остается по­
стоянной и алгебраическая сумма
проекций импульсов на координат­
ную ось. Обозначим массу первого
(движ ущ егося) вагона через т \, вто­
рого — через /п2- Скорость первого
вагона до сцепки обозначим через
V\, общую скорость обоих вагонов
после столкновения — через v. Д о
сцепки общий импульс системы был
равен m\ V\ . Его проекция равна
т \V\X, или Ш\Х)\ (так как v \ x = v \ ) .
После сцепки оба вагона д виж утся
как одно тело массой т \ - \ - т 2, а
проекция общего импульса равна
ч п \
4- 111- 2) 0 , так что можно написать
т ivi ={ni\+m2)VxОтсюда
mlVl
V x= —
;— ;
mi+m-2
M
3 -1 0 4 кг - 1,5 —
с
ЛЛ M
ста н е т
тележ ка
Упражнение 22
1.
д о го н я е т
Ч е л о в е к , б е гу щ и й со с к о р о с т ь ю 7 м /с ,с к о р о с т ь ю
тележ ку,
движ ущ ую ся
со
ско­
р о с т ь ю 2 м /с , и в скаки в ае т на нее. С како й
1 14
этого? М а ссы
д в и га ть ся
человека
и тележ ки
с т в е н н о р а в н ы 70 и 30 кг.
по сл е
соо твет­
2. П ри
н о го
ф орм ировании
со ста ва
ж ущ иеся
ю тс я
с
со
тр и
скор остью
неподвиж ны м
все в а го н ы
ж елезнодорож ­
сцепленны х
0,4
ва го н а ,
м /с ,
в а го н о м ,
с та л к и в а ­
после
п р о д о л ж а ю т д в и га ть с я
с т о р о н у . Н а й д и те с к о р о с т ь
дви­
ч е го
в ту ж е
в а го н о в , если у
всех в а го н о в о д и н а к о в а я м асса.
направлении,
д о сти гн ув
зовалось
те л и сь
причем
9
кг,
18 к г —
три
под
осколка.
прям ы м
скор ость
р а вн а
60
Д ва
у гл о м
о д н о го
м /с ,
а
из
них
друг
из
к
разле­
д р угу,
них,
м а ссо й
д р у го го ,
м а ссо й
40 м /с . Т р е ти й о с к о л о к о т л е т е л со
с к о р о с т ь ю 200 м / с . О п р е д е л и т е гр а ф и ч е с к и
3. З е н и тн ы й с н а р я д , в ы п у щ е н н ы й в в е р ­
тикальном
м а л ь н о й вы со ты , в зо р в а л с я . П ри э т о м о б р а ­
м акси-
направление
п о л е та
тр е ть е го
осколка.
Ка­
кова е го масса?
§ 42. Р Е А К Т И В Н О Е Д В И Ж Е Н И Е
Интересный и важный пример
проявления и практического приме­
нения закона сохранения импуль­
са — это реактивное движ ение. Так
назы ваю т движение, которое возни­
кает, когда от тела отделяется и
движ ется с некоторой скоростью
какая-то его часть. Типичным при­
мером реактивного движения может
служить движение ракет..
Ракета — система двух взаимо­
действующих тел. На рисунке 129
схематически представлено устрой­
ство ракеты. В головной части 1
ракеты помещается полезный груз.
Это может быть заряд, научные
приборы или космонавты. В части
2 ракеты находятся зап ас топли­
ва и различные системы у п р ав ­
ления. Топливо подается в кам е­
ру сгорания 3, где оно сгорает и
п ревращ ается в газ высокой тем­
пературы и высокого давления. Ч е­
рез насадку 4, называемую р еак­
тивным соплом, газ вырывается наР и с.1 2 9
ружу и образует реактивную струю.
Назначение сопла состоит в том,
чтобы повысить скорость струи. Газ
в камере сгорания и все остальное,
что составляет ракету,— это система
двух взаимодействующих тел. Г аз —
это и есть отделяю щ аяся часть
т е л а — ракеты (рис. 130).
Перед стартом ракеты ее импульс
относительно Земли равен нулю. В
результате взаимодействия газа в
камере сгорания и всех остальных
частей ракеты вырывающийся через
сопло газ получает некоторый им­
пульс. Будем пока считать, что
сила притяжения к Земле отсутству­
ет. Тогда ракета представляет собой
замкнутую систему, и общий ее
импульс долж ен и после запуска
оставаться равным нулю. Поэтому и
оболочка ракеты со всем, что в ней
находится, получает импульс, р а в ­
ный по модулю импульсу газа, но
противоположный по направлению.
На рисунке 129 красными стрел ка­
Ц иолковский
К онстантин
ск и й
учены й
и
ти к и .
С
го д о в
80 -х
строи те льства
Э дуардович
изобретате ль,
п р о ш л о го
дириж аблей,
(1 8 5 7 — 1935).
основополож ник
века
з а н и м а л ся
сам ол ето в,
ракет
Р ус­
косм онав­
вопросам и
и
вы двинул
и д е ю использования ракет для полетов в косм осе . И м енно
в
это й
области
з у л ь та ты .
кетны х
Ц иолковским
П редлож енны е
д в и га т е л е й ,
им
получены
идеи,
косм ических
ш о е в л и я н и е на р а з в и т и е р а к е т н о й
важ нейш ие
касаю щ иеся
полетов,
ре­
р а к е т,
оказали
ра­
боль­
и косм и ческо й техники
в С ССР и за р у б е ж о м .
ми показаны силы давления газа,
сообщаю щие оболочке ракеты этот
импульс.
Скорость ракеты. Закон со хра­
нения импульса позволяет оценить
скорость ракеты. Предположим сн а ­
чала, что весь газ, образующийся
при сгорании топлива, вы б расы в а­
ется из ракеты сразу, а не посте­
пенно, как это происходит в дейст­
вительности. Обозначим массу газа
через т г , а скорость газа через
иг. Массу и скорость оболочки обо­
значим соответственно т об и vo6.
Н аправим
координатную
ось
вдоль направления движения обо­
лочки, тогда проекции скоростей г а ­
за и оболочки по модулю будут
Иб
равны модулям векторов v r и иоб,
но знаки их противоположны.
Так как сумма импульсов обо­
лочки и газа долж на быть равна
нулю, то нулю д олж на быть равна
и сумма их проекций:
m r v T — m o6 v o6 = 0 ,
или
т г v r= m
o6 иоб.
Отсюда находим скорость иоб обо­
лочки:
тг
v o6 = — v r .
т об
И з формулы видно, что скорость
оболочки тем больше, чем больше
скорость выбрасываемого газа и
чем больше отношение массы газа
к массе оболочки. Если, например,
требуется, чтобы скорость оболочки
была в 4 р аза больше скорости г а ­
зовой струи, нужно, чтобы масса
топлива была в 4 раза больше мас­
сы оболочки. Оболочка д о л ж н а со­
ставлять лишь одну пятую массы р а ­
кеты на старте. А ведь «полезная»
часть ракеты как раз оболочка!
Мы считали, что весь газ в ы б р а ­
сывается из ракеты мгновенно. На
самом деле он вытекает постепенно,
хотя и довольно быстро. Это значит,
что после выброса какой-то части
газа оболочке приходится «возить»
с собой ещ е не вылетевшую часть
К о р о л е в С е р ге й П а вл о ви ч
Гагари н Ю р и й А л е к с е е в и ч
(1 9 0 7 — 1966)
(1 934— 1968)
топлива. Кроме того, мы не учли,
что на ракету действуют сила т я ­
жести и сила сопротивления в о з­
духа. Все это приводит к тому, что
т
отношение —- (массы топлива к
т об
массе оболочки) много больше, чем
мы получили. Более точный расчет
показывает, что при скорости газа
2000 м /с для достижения скорости,
равной первой космической, масса
топлива д олж н а быть в 55 раз боль­
ше массы оболочки. Д л я м еж п ланет­
ных полетов (с возвращением на
Землю)
масса
топлива
долж на
быть в тысячи раз больше массы
оболочки.
В отличие от других транспорт­
ных средств ракета может д в и ­
гаться, не взаимодействуя ни с к а ­
кими другими телами, кроме про­
дуктов сгорания содерж ащ егося в
ней самой топлива. Именно поэтому
ракеты используются для запуска
искусственных спутников Земли и
космических кораблей и для их
передвижения в космическом прост­
ранстве. Там им не на что опираться
и не от чего отталкиваться, как это
делаю т земные средства транспорта.
При необходимости ракету м о ж ­
но тормозить. Именно так поступа-
ют космонавты, когда, зак ан чи вая
космический полет, они тормозят,
чтобы вернуться на Землю. Понятно,
что для этого газ из сопла должен
вылетать в ту же сторону, куда
движется ракета.
Йдея использования ракет для
космических полетов была предло­
жена еще в начале нашего столе­
тия русским ученым К о н с т а н т и ­
ном Э д у а р д о в и ч е м Ц и о л к о в ­
с к и м . Приведенное нами значение
отношения масс топлива и оболочки
было получено по формуле, извест­
ной как формула Циолковского.
Идея К- Э. Циолковского была
осуществлена советскими учеными
под руководством ак адем и ка С е р ­
гея
Павловича
Королева.
Первый в истории искусственный
спутник Земли с помощью ракеты
был запущен в Советском Союзе
4 октября 1957 г
Первым человеком, который на
И С З совершил полет в космическом
пространстве, был граж дани н С о ­
ветского Союза Ю р и й А л е к с е ­
е в и ч Г а г а р и н . 12 апреля 1961 г.
он облетел земной шар на кораблеспутнике «Восток».
Советские ракеты первыми дос­
тигли Луны, первыми облетели Луну
1 17
и сфотографировали ее невидимую
с Земли сторону, первыми достигли
планеты Венера и доставили на ее
поверхность
научные
приборы.
В 1986 г. два советских космичес­
ких корабля «Вега-1» и «Вега-2» с
близкого расстояния исследовали
комету Галлея, приближаю щую ся к
Солнцу один раз в 76 лет. Ракеты
впервые в истории человечества
доставили человека на поверхность
небесного тела: в 1969— 1972 гг. ам е­
риканские астронавты совершили
шесть полетов на Луну с выходом
на ее поверхность и длительным
(до трех суток) пребыванием на
ней. Ими, а та к ж е советскими ав то­
матическими кораблями на Землю
доставлены образцы лунного грунта.
Н аш а страна занимает ведущее мес­
то в исследовании космического
пространства.
Вопросы
1. С у щ е с т в у ю т с уд а с в о д о м е т н ы м д в и ­
3. Р акета
га т е л е м , в ы б р а с ы в а ю щ и м и з к о р а б л я в о д я ­
косм ическом
п р о с тр а н с т в е ,
гд е
нет
те л .
тем
ную
струю .
сторону,
движ ения
П ри
этом
корабль
противоп оло ж ную
струи.
Я вляется
д виж ется
в
направлению
ли
движ ение
корабл я ре акти вны м движ ением ?
2. П ри
ощ ущ ает
вы стреле
удар
из
приклада
стрелок
(о тд а ч а ).
М ожно
ВАЖ НОЕ
нуж на
сила,
п о л у ч и ть
М ежду
а
сила —
ускорение
вокруг
это
для
в
нее
уско­
д е й с тв и е
о д н о г о тела на д р у г о е . П о ч е м у у с к о р я е т с я
ракета?
руж ья
ли д в и ж е н и е п р и к л а д а счи тать ре акти вны м ?
САМОЕ
никаких
рения
м ож ет
В
Ш ЕСТОЙ
4. О т ч е го зави си т с к о р о с т ь р а ке ты ?
5. Как о с у щ е с т в л я е тс я т о р м о ж е н и е к о с ­
м и ч е с к о г о кор абл я?
ГЛАВЕ
Н ар яд у со скоростью важной характеристикой движения я в ­
ляется и м п ульс тела — векторная величина, р авн ая произведе­
нию массы тела на его скорость.
Результат действия силы на тело — изменение его импульса.
Изменение импульса тела равно им п ульсу силы — произведению
силы на время ее действия.
Один и тот же импульс силы сообщ ает разным телам (телам с
различной массой) различные скорости, но одинаковые импульсы.
Импульс — одна из немногих сохраняющихся величин. Закон
сохранения импульса состоит в том, что полный импульс всех
тел, составляю щ их замкнутую систему, остается неизменным при
любых д виж ениях и любых взаимодействиях тел системы.
ГЛАВА 7
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
О Д Н А ИЗ В А Ж Н Е Й Ш И Х
ВЕЛИЧИН
В предыдущей главе мы видели,
какое важ ное значение имеет импульс, для которого существует за118
В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
кон сохранения. Столь же большую
роль играет д ругая величина, которая для замкнутой системы тоже
.остается постоянной. Эта величи­
на — энергия, с которой приходится
иметь дело не только в механике, но
и в других разд ел ах физики, во
всех науках о природе, во всех о т­
раслях техники да и в повседневной
жизни.
§ 43. Р А Б О Т А С И Л Ы
Подобно тому, как одна вели­
чина — импульс тела связан а с д р у­
гой величиной — импульсом силы,
энергия тоже св язан а с другой
величиной — работой силы, или м е­
ханической работой. Познакомимся
сначала с понятием работы.
(М Е Х А Н И Ч Е С К А Я
Величина, которую мы назвали
работой силы (или просто работой),
была введена в механику лишь в
XIX в., почти через 150 лет после
открытия Ньютоном законов д в и ж е ­
ния. П оявилась она, когда широко
стали применять всевозможные м а­
шины. Ведь о действующей маш и­
не говорят, что она «работает».
С понятием «механическая р аб о­
та» мы уже встречались в курсе
физики VII класса (см. «Физика-7»,
§ 53). Там мы видели, что когда на
дви ж ущ ееся тело действует постоян­
ная сила F и тело соверш ает в
направлении действия силы переме­
щение s, то, как говорят, сила со ­
вершает работу А, равную п роизве­
дению м одулей силы и перемещения:
A = Fs.
Там же была введена и единица
работы д ж о у л ь ( Д ж ) : за едини­
цу работы принимают работу, совер­
шаемую силой в 1 Н на пути, р а в ­
ном 1 м:
1 Д ж = 1 Н -м .
Р аб ота — скал яр н ая величина.
Сила и перемещение — величины
векторные. Но работа равна^ произ­
ведению модулей векторов F и s, а
модуль вектора — величина с к а л я р ­
ная. Поэтому и работа — ск ал яр н ая
величина. О работе нельзя сказать,
что она куда то направлена.
Положительная и отрицательная
работа. В выражении A = Fs, кото­
РАБОТА)
рое определяет работу, F — сила,
приложенная к телу (ее м о д у л ь ).
Но на д ви ж ущ ееся тело может
действовать не одна, а несколько
сил. И к а ж д а я из них. может со­
вершать работу. В этом случае F
в выражении для работы означает
модуль равнодействующей всех сил.
Р аб о т а ж е этой равнодействующей
равна сумме работ отдельных сил.
Равнодействую щ ая, однако, мо­
ж ет быть равна нулю (тело нахо­
дится в равновесии). Тогда если
тело движется, то прямолинейно и
равномерно. Сумма всех сил при
этом равна нулю. Значит, равна
нулю и сум марная работа всех сил.
Но для этого работа одних сил
д олж н а быть положительной, д р у ­
гих — отрицательной. Иначе, их сум­
ма не может быть равной нулю.
Положительной считается работа
сил, сонаправленных с перемещ е­
нием тела, отрицательной — работа
сил, направленных противоположно
перемещению. Так, при равн ом ер­
ном подъеме груза с помощью
подъемного крана на груз действует
сила н атяж ения каната, н ап р ав л ен ­
ная вверх, т. е. вдоль направления
движ ения груза, и сила тяж ести,
направленная вниз, против д в и ж е ­
ния груза. Р аб ота силы натяж ен ия
каната положительна, а работа силы
тяжести отрицательна. Т ак как силы
эти по модулю равны, то и работы
их одинаковы по модулю и противо­
положны по знаку.
119
Общее выражение для работы
силы. Если направление силы сов­
падает с направлением перемеще­
ния, то это значит, что угол между
векторами силы и перемещения р а ­
вен нулю. Когда сила и переме­
щение противоположны друг другу,
угол между этими векторами равен
180°. Но силы, приложенные к д ви ­
ж ущ емуся телу, могут образовывать
с направлением перемещения угол,
отличный от 0 и 180°. Например,
к санкам, движущ им ся по горизон­
тальной дороге в направлении, у к а ­
занном стрелкой (рис. 131, 132),
в какой-то момент подействовала
сила, направленная под углом а
к горизонту.
В первом случае
(рис. 131) угол а острый, во втором
(рис. 132) — тупой. К ак вычислить
работу, которую соверш ает сила F,
если перемещение санок равно s?
Д л я этого формулу для работы
нужно записать в таком виде:
A = Fs cos а ,
( 1)
где а — угол между векторами силы
и перемещения.
^В самом деле, если векторы F
и s совпадают по направлению, угол
между ними равен нулю. Но cos 0° = 1.
В этом случае A = Fs. Если векторы
F и s направлены противоположно
друг другу, то а = 180°, cos 180° =
= — 1 и работа А = — Fs. Когда
120
угол а острый (см. рис. 131), его
косинус положителен и работа такой
силы положительна. Когда угол а
тупой (см. рис. 132), его косинус
отрицателен и работа силы, н ап рав ­
ленной таким образом,
отри ца­
тельна.
Работа постоянной силы равна
произведению м одулей векторов си­
лы и перем ещ ения на косинус у гл а
между этими векторами.
Когда работа силы равна нулю.
Направление силы, приложенной к
телу, может быть и перпендикуляр­
но направлению перемещения тела.
В этом случае угол а = 90°, cos 90° =
= 0 и работа, как это видно из ф о р­
мулы (1), равна нулю. Так, сила
тяжести, которая действует на санки,
перпендикулярна направлению д ви ­
жения санок, поэтому она работы
не совершает. Не соверш ает работы
и сила, вы н уж даю щ ая тело д ви гать­
ся равномерно по окружности: она
в любой точке траектории перпен­
дикулярна направлению скорости
тела, т. е. направлению его д ви ­
жения. Например, сила натяж ения
нити, к которой привязано тело,
движ ущ ееся по окружности, не со ­
вершает работы, хотя именно нить
застав л яет тело так двигаться. Не
соверш ает работы и сила всемир­
ного тяготения, под действием ко­
торой
искусственные
спутники
Земли движутся по круговой о р ­
бите.
Вопросы
1. Ш т а н г и с т
и
поднял
заф иксировал
ее
с
по м о ста
над
ш т а н гу
го л о в о й .
Чем у
п р и э т о м р а в н а р а б о т а си лы т я ж е с т и , д е й с т ­
вую щ ей
на
ш тангу?
Чем у
ра в на
работа
си лы у п р у го с т и м ы ш ц ш тангиста?
2. Ш т а н г и с т п о д н и м а е т в в е р х ш т а н гу . В
че м
различие
го сти
м ежду
мышц
работой
ш та н ги с та
и
сл уч ае
сила,
силы
упру­
работой
силы
тяж ести ?
3. В
к
каком
движ ущ ем уся
телу,
не
прилож енная
соверш ает
ра­
5.
б оту?
4. Те ло б р о ш е н о в е р т и к а л ь н о в в е р х . К а­
ков
На
рисунке
133
изображ ено
тело,
к к о т о р о м у п р и л о ж е н о н е с к о л ь к о си л . Ч е р ­
зн а к
работы
си лы
тяж ести:
а)
ной
стрелкой
ния
тела.
при
п о д ъ е м е т е л а ; б ) п р и е го падении?
указано
К акие
ж и те льную
из
направление
сил
движ е­
соверш аю т
работу, к а к и е —
поло­
отри ца те льную ?
Упражнение 23
1.
На
гр уз,
го р и зо н та л ьн о й
ла
200
Н,
скользящ ий
по верхно сти ,
направленная
к го р и зо н ту.
Чем у
перем ещ ении
ра в на
с
под
по
2.
Л ыжник
м а ссо й
70
кг
п о д н и м а е тс я
си ­
на п о д ъ е м н и к е в д о л ь с к л о н а д л и н о й 180 м,
угл о м
60°
о б р а з у ю щ е го
силы
при
чи сл и те р а б о т у си лы т я ж е с т и , д е й с т в у ю щ е й
работа
тела, р а в н о м
трением
д ействуе т
5 м, есл и
дви­
с
го ри зон том
у го л
60 °.
В ы­
на л ы ж н и к а . К акой о н а и м е е т знак? К а к у ю р а ­
ж е н и е тела п р я м о л и н е й н о е и р а в н о м е р н о е ?
б оту
К аков
п о д ъ е м н и ка ? С к о р о с т ь п о д ъ е м н и к а п о с т о я н ­
коэф ф ициент
трения
гр у з а
о
плос­
соверш ает
сила
на тя ж ени я
каната
ная.
кость? М а с с а тела 31 кг.
Задани е
Р а с с м о т р и те
прикрепленное
рисунки
к
134
пруж ине,
и
135
движ е тся
(т е л о ,
вни з,
сила
у п р у го с т и
соверш ает
работу, в каком —
а за те м , п р о й д я н а и н и з ш е е п о л о ж е н и е , д в и ­
ком
ж ется
т ельна , в к а к о м —
в в е р х ). В ы яс н и те : а) в к а к о м
сл у ч а е
случае
п о л ож и те л ьную
о т р и ц а т е л ь н у ю ; б ) в ка­
работа
си лы
тяж ести
положи­
о тр и ц а те л ь н а ?
§ 44. Р А Б О Т А С И Л , П Р И Л О Ж Е Н Н Ы Х К Т Е Л У ,
И И З М Е Н Е Н И Е ЕГО С К О Р О С Т И
Рассмотрим тело, к которому
приложена постоянная сила F —
она мож ет быть и равнодейству­
ющей нескольких сил. О силе F
можно сказать, во-первых, что она
сообщ ает телу ускорение, т. е. и з­
меняет его скорость. Во-вторых, что
она соверш ает работу, потому что
тело под действием этой силы пере­
мещается. М еж ду работой, произве­
денной силой, и изм енением скорости
д олж на поэтому сущ ествовать связь.
Найдем ее.
Рассмотрим простейший случай,
когда векторы силы и перемещения
направлены вдоль одной прямой в
одну и ту же сторону. В ту же сто­
рону направим и координатную ось
(рис. 136). Тогда проекции силы F,
перемещения s, ускорения а и ско121
Рис.134
Рис. 135
ИЛИ
А= —
2
mv I
(4)
2
Эта формула и связы вает р аб о ­
ту силы А с изменением скорости
тела (точнее, к в ад р ата скорости).
Кинетическая энергия. В ы р а ж е ­
ние в правой части равенства (4)
представляет собой изм енение ве­
упр
личины
половины произведе­
ния массы тела на квад рат его ско­
рости. Эта величина имеет особое
название — кинетическая энергия.
Обозначим ее через
Тогда ф ор­
мула (4) примет вид:
рости v будут равны модулям самих
этих векторов.
Напишем для этого случая вы­
ражение для работы силы:
A = Fs
(1)
и формулу второго закона Ньютона:
F = m a.
(2)
Во второй главе мы видели, что
при прямолинейном равноускорен­
ном движении (в нашем случае д в и ­
жение именно такое, так как сила
постоянная) перемещение и скорость
тела связаны соотношением
V2 —V]
2а
(3)
где v\ и и2 — модули вектора ско­
рости в начале и в конце участка s.
П одставив в формулу (1) в ы р а ж е­
ния для F и s из формул (2) и (3),
.
Рис. 136
122
2
2
V 2 — V,
получим: А = т а-
2а
A = Ek2 — Е,-и-
(5)
Работа силы (и л и равнодейст ву­
ю щ ей си л ) равн а изм енению к и не­
тической энергии тела.
Это утверждение н азы вается тео­
ремой о кинетической энергии.
Когда сила, действую щ ая на
тело, направлена в сторону д в и ж е ­
ния и, следовательно, соверш ает положительную работу, то
mv1
mu?
> —— .
Это означает, что кинетическая энер­
гия тела увеличивается. Т ак и д о л ж ­
но быть, так как сила, н ап равлен ­
ная в сторону движ ения тела, уве­
личивает модуль его скорости. П о ­
нятно, что, если сила направлена в
сторону, противоположную н а п р а в ­
лению движения тела, она совер ш а­
ет отрицательную работу и кинети­
ческая энергия тела уменьшается.
Из формулы
(4)
видно, что
кинетическая энергия в ы раж ается в
тех ж е единицах, что и работа, т. е.
в джоулях.
Теорема о кинетической энергии
была нами получена из второго
закона Ньютона. М ож но д а ж е с к а ­
зать, что формулы (4) и (5) — это
просто иначе записанные формулы
второго закона Ньютона. Поэтому
теорема о кинетической энергии (5)
справедлива независимо от того, к а ­
кие именно силы приложены к телу:
сила упругости, сила тяжести или
сила трения.
Таким образом, формула (4)
(или (5 )) показывает, что если на
тело действует сила, то изменяется
его кинетическая энергия. А изме­
нение кинетической энергии равно
работе силы. У любого тела (любой
массы) кинетическая энергия изме­
нится на одну и ту же величину, если
работа силы одна и та же. Больш ая
сила при малом перемещении тела
вызовет такое же изменение кине­
тической энергии, как м алая сила
при большом перемещении; если
только работа силы, т. е. произ­
ведение силы на перемещение, будет
одной и той же.
Что характеризует кинетическая
энергия тела? Представим себе, что
покоящемуся телу (ц0 = 0) массой
т требуется сообщить скорость,
равную v (например, сообщить ско­
рость v покоящемуся в стволе ору ­
дия сн аряду ). Д л я этого сила, при­
лож ен н ая к телу, д олж на совершить
определенную работу. Чему равна
эта работа? Согласно теореме о ки­
нетической энергии,
Следовательно, кинетическая энер­
гия тела массой т , движ ущ егося
со скоростью и, равн а работе, кото­
рую нужно совершить, чтобы сооб­
щить телу эту скорость. Такую же
работу, но противоположного знака
нужно совершить, чтобы тело, д в и ­
жущ ееся с такой скоростью, о ста­
новить. Из теоремы о кинетической
энергии следует такж е, что кине­
тическая энергия — это ф изическая
величина, характ еризую щ ая движ у­
щ ееся тело; изм енение этой в е л и ­
чины равно работе силы , прилож ен­
ной к телу.
Вопросы
1. Ч то та к о е к и н е т и ч е с к а я эне ргия?
2. В
чем
состоит
теорем а
о
5.
кинети­
ч е с к о й эн е р ги и ?
м одулю
3. Как и з м е н я е тс я к и н е т и ч е с к а я э н е р ги я
тела,
е сл и
верш ает
сила,
прилож енная
по лож и те льную
к
нем у,
р а б о ту ?
со­
О трица­
т е л ь н у ю р а б о ту ?
кинетическая
направления
э н е р ги я
вектора
е г о ско р о с ти ?
работу
свою
= 108 к м /ч ?
Ш ары
м одулю
гл а д ко й
ст а л к и в а ю тс я ,
в пр оти воп оло ж ны х
м а ссы
одинаковы м и
по очень
о с та н а в л и в а ю тся ,
по
с
п о сл е
катятся
по
по­
на м г н о в е ­
ч е го
д виж утся
н а п р а в л е н и я х с та ки м и
скоростям и.
Чем у
равна
их о б щ а я ки н е т и ч е с к а я э н е р ги я д о с т о л к н о ­
в ен ия ,
в
м ом ент
столкновения
и
п о сл е
нуж но
ЗАДАЧИ
со в е р ш и ть ,
чтобы
поезд, д в и ж у щ и й с я со с к о р о с ть ю v\ = 72 к м /ч ,
уве л и ч и л
д р у гу
него?
ПРИМ ЕР РЕШ ЕНИЯ
Какую
ни е
ш а ра о д и н а к о в о й
друг
скор остям и
верхности.
же
4. И з м е н я е т с я ли
тела п р и и з м е н е н и и
Д ва
н а в с тр е ч у
ск о р о с ть
М асса
до
по езд а
значения
1000 т.
=
К акова
Решение.
Д л я определения
работы А используем формулу тео­
ремы о кинетической энергии в сле­
дующем виде:
д о л ж н а б ы ть с и л а т я г и л о к о м о ти в а , если это
увеличение
с к о р о с ти
должно
у ч а с тк е д л и н о й 2000 м?
пр о и з о й ти
на
.
mv\
~2
mv |
2~ '
123
П одставив сюда приведенные в з а ­
даче данные, находим:
Если A = F s, то F =
Следова-
тельно,
106 кг с 3 0 — V
А= -
10° кг
(» т Г
2
F==
2
2 , 5 -Ю8 Д ж
2 • 103 м
= 1, 25 Х
х ю 5 Н = 125 кН.
= 2 , 5 - 108 Д ж .
Упражнение 24
1. К п о к о я щ е м у с я те л у м а с с о й 3 к г п р и ­
лож ена
сила 40
Н.
П осле э то го
тело
про­
н о с ти
радиусом
0,5
м,
обладая
х о д и т по гл а д к о й г о р и з о н т а л ь н о й п л о с к о с т и
вую щ ая
без
Ч е м у р а вн а р а б о т а это й силы?
трения
3 м.
З а те м
сила
ум еньш ается
д о 20 Н, и т е л о п р о х о д и т е щ е 3 м . Н а й д и те
кинетическую
э н е р ги ю
тела и е г о с к о р о с ть
в к о н ц е п е р в о г о уча стка.
остановки
поезда
на
м ассой
1000 т, д в и ­
пр и
3. В ы чи сл и те к и н е т и ч е с к у ю
э н е р ги ю
ис­
к у с с т в е н н о г о с п у т н и к а З е м л и м а с с о й 1300 кг,
Как
вы клю чил
скор ости
она
д в и га те л ь
72 к м /ч .
м, а в т о м о б и л ь
на правл ена ?
автом о­
П ройдя
п о сл е
остановился. Чем у
б ы л а р а вн а ки н е т и ч е с к а я э н е р ги я а в т о м о б и л я
в м о м е н т в ы к л ю ч е н и я д в и га те л я , есл и сила
трения
ж у щ е г о с я со с к о р о с т ь ю 108 к м /ч ?
тело?
5. Ш о ф е р
биля
э т о г о 34
2. Какая р а б о т а д о л ж н а б ы ть с о в е р ш е н а
для
кинети­
ч е с к о й э н е р ги е й 10 Д ж . К акова си л а, д е й с т ­
колес
о д о р о гу
р а вн а
58 80 Н? К а­
к о ва м асса а вто м о б и л я ?
6 . А в т о м о б и л ь м а ссо й 4 т д в и ж е т с я со
д в и ж у щ е г о с я п о к р у г о в о й о р б и т е на вы соте
скор остью
100 к м на д п о в е р х н о с т ь ю З е м л и .
а в т о м о б и л ь д о п о л н о й о с т а н о в к и , е сл и сила
4. Те ло д в и ж е т с я р а в н о м е р н о п о о к р у ж -
36
к м /ч .
К акой
путь
прош ел
т р е н и я к о л е с о д о р о г у ра вна 5880 Н?
Задание
П роа н а л изи р уй те
и
в ы я с н и те ,
торм озн ой
от
путь
реш ения
какой
зад ач
ве л и ч и н ы
д в и ж ущ е го ся
тела
§ 45. Р А Б О Т А С И Л Ы
5 и 6
С равните
при
п р и в е д е н н о й в § 37.
за­
Yi
hi - - * А
I
t
h2 —
0
124
€
в
р е з у л ь та т
ан али за
с
ф орм улой,
ТЯЖ ЕСТИ
Теорема о кинетической энергии,
позволяю щ ая вычислять работу си­
лы, справедлива для любых сил, при­
ложенных к движ ущ ем уся телу.
Р ис.137
д а н н о м зн а ч е н и и м о д у л я т о р м о з я щ е й си лы .
зависит
Но работу силы можно вычис­
лить, пользуясь формулой A = Fs
и выражениями, которые мы полу­
чили д ля отдельных сил — силы т я ­
жести, силы упругости и силы тр е­
ния. Начнем с силы тяж ести. Тело
д ви ж ется вертикально. При неболь­
ших расстояниях от поверхности
Земли сила тяжести постоянна и по
модулю
равна
m g.
Рассмотрим
простейший случай — свободное п а­
дение тела. Пусть тело массой т
свободно п адает с высоты /г, над
каким-то уровнем, с которого мы ве­
дем отсчет высоты, до высоты h 2
над тем же уровнем (рис. 137). При
этом перемещение тела по модулю
равно h \ — /г2. Так как направления
перемещения и силы совпадают, то
работа силы тяжести равна
A = m g(h \ — h2).
(1)
Высоты h\ и /г2 можно отсчи­
ты вать от любого уровня. Это мо­
ж ет быть уровень моря, поверхность
Земли, дно ямы, вырытой в земле,
пол класса или поверхность стола
и т. д. Высоту выбранного уровня
принимают равной нулю. Поэтому
этот уровень назы ваю т нулевы м.
Если тело падает с некоторой
высоты h до нулевого уровня, то
работа силы тяжести в ы раж ается
равенством
A — m gh.
(2)
Если тело брошено вверх с ну­
левого уровня и поднимается на вы­
соту h над ним, то работа силы
тяж ести отрицательна и равна
А = — m gh.
Тело движется не по вертикали.
Теперь выясним, какую работу со­
вершает сила тяжести в случае, ког­
да тело движ ется не по вертикали.
В качестве примера рассмотрим
движение тела по наклонной плос­
кости (рис. 138). Пусть тело м ас­
сой т по наклонной плоскости вьгсотой h соверш ает перемещение s,
по модулю равное длине наклонной
плоскости.
Р аб о та силы тяж ести в этом
случае равна А = m g s cos а , где
а — угол между векторами силы и
перемещения. Из рисунка 138 видно,
что s c o s a = /i. Поэтому
A = m gh.
Мы получили для работы силы
тяж ести то же выражение, что и в
случае движения по вертикали (см.
формулу 2). Выходит, что работа
силы тяжести не зависит от того,
движется ли тело по вертикали
или проходит более длинный путь по
наклонной плоскости. При одной и
той ж е «потере высоты» работа
силы тяжести одна и та же (рис. 139).
Р аб о та силы тяж ести оп ред ел я­
ется «потерей высоты» (или набо­
ром высоты) не только при д в и ж е ­
нии по наклонной плоскости, но и
по любой другой траектории. В с а ­
мом деле, допустим, что тело д ви ­
жется по некоторой произвольной
траектории, подобной той, что изо­
бр аж е н а на рисунке 140. Ее можно
разбить мысленно на маленькие
участки А А ), А \А 2, А 2А 3 и т. д.
К ажды й из них может считаться
маленькой наклонной плоскостью, а
движение тела по траектории А В —
Р ис. 139
125
Р и с .140
А
движением по множеству наклонных
плоскостей, переходящих одна в
другую. Р аб ота силы тяжести на
каждой из них равна произведению
силы тяж ести m g на изменение
высоты на ней.
Если изменения высоты на от­
дельных участках равны Аь h 2, h 3
и т. д., то работы силы тяж ести на
них равны m g h \, m g h 2, m g h 3 и т. д.
Полную же работу на всем пути
мы найдем, сложив их: A — m g h \-\+ m g h 2 -\-m g h 3 + ... = m g{hi + h 2 +
-j- Л з + •••)•
h \ -\-h 2 -\-h 3-\r ■■■= h .
Следовательно,
A = m gh.
Таким образом, работа силы т я ­
жести не зависит от формы т р а е к ­
тории движ ения тела и всегда равна
произведению модуля силы тяжести
на разность высот в исходном и
конечном положениях. При д в и ж е ­
нии вниз работа положительна, при
д ви ж ени и
вверх — о тр и ц а т е л ь н а .
Если после спуска по любой
траектории тело в о звращ ается (тоже
по любой траектории) в исходную
точку, то работа на такой за м к н у­
той траектории равна нулю. Это
в а ж н а я особенность работы силы
тяжести: работа силы тяжести на
замкнутой траектории р а вн а нулю .
Для чего применяются наклон­
ные плоскости? Известно, что на­
клонные плоскости часто применя­
ются в технике и быту. Почему?
Ведь работа перемещения груза по
наклонной плоскости т а к а я же, как
и при движении по вертикали. О т­
вет на этот вопрос мы, в сущности,
уж е получили раньше.
При решении зад ач и 1 в § 38 мы
видели, что наклонная плоскость
как бы уменьшает силу тяжести
(m g sin а вместо m g l ) . Конечно,
сила тяжести (сила притяжения к
Земле) в действительности не умень­
шается. Просто на тело на наклон­
ной плоскости, кроме силы FT = m g ,
действует еще и сила упругости
реакции опоры (м атер и ал а наклон­
ной плоскости). А сумма этих двух
сил оказы вается по модулю равной
m g sin а . Но работа этой силы
д олж на, как мы только что видели,
быть такой же, как и силы m g. Яс­
но, что это возможно только при у с­
ловии, если перемещение тела будет
больше. Оно и в самом деле больше
(гипотенуза всегда больше катета!).
Больший путь — это «плата» за то,
что по наклонной плоскости можно
поднимать груз с помощью мень­
шей силы.
Вопросы
1. О т к а к и х в е л и ч и н з а в и с и т р а б о т а силы
тяж ести ?
тяж ести,
если
траектории
2. З а в и с и т
ли
работа
си лы
тяж ести
от
д л и н ы п у ти , п р о й д е н н о го телом ?
3. Т е л о , б р о ш е н н о е в в е р х п о д н е к о т о р ы м
начальная
тела
леж ат
и
конечная
на о д н о й
тали?
4.
Т е ло
плоскости
без
движ ется
вниз
си л а
совер­
р а б о ту?
З а в и с и т ли
работа
ш а ет
о т д л и н ы н а к л о н н о й пл о ско сти ?
126
Чему
ра в на
работа
силы
пр и
этом
наклонной
К акая
ло
зем лю .
по
трения.
у гл о м к го р и з о н ту , описало па раб олу и упа­
на
точки
го р и з о н ­
§ 46. П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н А Я
ПОД НЯТО ГО
ЭНЕРГИЯ
Равенство
Обозначим потенциальную энер­
гию m gh через Ер. Тогда можно н а ­
писать:
A = mg(h\ — h 2\
вы раж аю щ ее работу силы тяжести,
приложенной к телу, можно пред­
ставить в другом виде. Раскрыв
скобки и переставив порядок чле­
нов в правой части равенства, по­
лучим
А = — (m ghz — m gh\).
П р а в а я часть этого равенства
представляет собой изм енение ве­
личины m gh. Этому изменению, в з я ­
тому с противоположным знаком,
рав н а работа силы тяжести.
Р ан ьш е (см. § 44) мы назвали
величину
mv~
-у -,
ТЕЛА,
НАД ЗЕМ ЛЕЙ
изменение
»
которой
равно работе силы, кинетической
энергией движ ущ егося тела. Теперь
мы встретились еще с одной вели­
чиной, изменение которой (но с про­
тивоположным знаком) тож е равно
работе силы — в данном случае силы
тяж ести. Поэтому величину m gh
тож е называю т энергией, но не
кинетической,
а
потенциальной:
m g h — это пот енциальная энергия
тела, поднятого на высоту h над
нулевым уровнем, которым, в ч аст ­
ности, может быть и поверхность
Земли. З н а к минус перед измене­
нием потенциальной энергии о з н а ­
чает, что, когда работа силы т я ­
жести положительна, потенциальная
энергия тела уменьшается
(она
уменьшается при падении тел а ).
Наоборот, при отрицательной р аб о ­
те силы тяжести (тело брошено
вверх) потенциальная энергия тела
увеличивается. Кинетическая энер­
гия «ведет себя» противоположным
образом.
А
=
— (E p2 — Epi).
Если тело падает с высоты h
до нулевого уровня, то работа силы
тяжести просто равна потенциаль­
ной энергии
А = ЕР.
Следовательно,
пот енциальная
энергия тела, поднятого на некоторую
высоту Had нулевы м уровнем , равна
работе силы тяжести при падении
„тела с этой, высоты до н улево го
уровня. Чтобы поднять тело с нуле­
вого уровня на эту же высоту,
долж н а быть совершена т а к а я же
работа, т. е. работа, р авн ая потен­
циальной энергии, какой-то другой
силой, направленной против силы
тяжести.
В отличие от кинетической энер­
гии, которая зависит от скорости
движ ения тела, потенциальная энер­
гия от скорости не зависит, т а к что
потенциальная энергия может быть
и у покоящегося тела. П отенциаль­
ной энергией, например, обладает
груз, поднятый подъемным краном
и удерживаем ый им в покое на
некоторой высоте. Но если д ать э то­
му грузу возможность упасть, то
сила тяж ести совершит работу, р а в ­
ную его потенциальной энергии.
П отенциальная энергия зависит
от положения тела относительно
нулевого уровня, т. е. от координат
тела. Ведь высота как раз и есть
координата тела, отсчитываемая от
нулевого уровня.
Так как нулевой уровень может
быть выбран произвольно, то может
оказаться, что тело находится ниже
нулевого уровня. В этом случае его
потенциальная энергия будет отри­
цательной. Например, если за нуле­
вой уровень выбрана поверхность
Земли, то тело, находящ ееся на
дне ямы, вырытой в земле, обладает
отрицательной потенциальной энер­
гией. Таким образом, знак и числен­
ное значение потенциальной энер­
гии зави сят от выбора нулевого
уровня. Р аб ота же, которая совер­
шается при перемещении тела, от
выбора нулевого уровня не зависит,
потому что она равна изм енению
потенциальной энергии.
Потенциальная энергия — энер­
гия взаимодействия. Говоря о потен­
циальной энергии тела, поднятого
на высоту, мы как бы «забыли» о
том, что энергией тело обладает
потому, что оно взаимодействует
с Землей. Не будь Земли, не будь
силы притяжения к Земле, не было
бы и потенциальной энергии. П о ­
этому о потенциальной энергии го­
ворят, что это энергия взаим одей­
ствия.
Потенциальная энергия, строго
говоря, относится не к одному о т­
дельно взятому телу, а к системе
тел. В нашем случае эту систему
составляю т Земля и поднятое над
ней тело.
Вопросы
1. К ак
связа на
п о те н ц и а л ь н а я
3. И з м е н я е т с я
э н е р ги я
тела с р а б о т о й с и л ы тяж ести ?
гия
2. К ак и з м е н я е тс я п о те н ц и а л ь н а я э н е р ги я
при
ли
движ ении
п о те н ц и а л ь н а я
тела
энер­
параллельно
по­
в е р х н о с т и Зем ли?
тела п р и е го д в и ж е н и и вверх?
4. Ч то та к о е н у л е в о й ур о ве н ь?
Упражнение 25
1. Г р у з м а с с о й
10
м.
На
2,5 к г
скол ько
ц и а л ьн а я
э н е р ги я
п а д е ни я?
Н ачальная
п а д а е т с вы соты
через
1 с
тав л я ет 400 м . С л а л о м и с т
е го
п о тен­
и
после
начала
работа
и з м е н и тс я
скорость
гр у з а
равна
б л а го п о л уч н о
4.
ж ести,
м ается
работа
к о гд а
по
с о в е р ш а е тс я
человек
л е с тн и ц е
м ассой
от
силой
75 к г
вхо д а
в
тя­
подни­
дом
до
6 -го этаж а, есл и в ы со та к а ж д о г о э та ж а 3 м?
3. П е р е п а д в ы с о т м е ж д у м е с т а м и старта
и ф иниш а
го р н о л ы ж н ы х
соревнований
§ 47. Р А Б О Т А С И Л Ы
сос­
е сл и
Чем у
равна
м асса
слало­
М е сто
сор евнова ни й
на д
уровнем
вы соте
равна
400
ф иниш а
находится
м оря,
м
над
п о те н ц и а л ь н а я
а
тр а ссы
на
точка
точкой
го р н о л ы ж н ы х
вы соте
2000 м
старта —
ф иниш а.
эн е р ги я
на
Чему
лы ж ника
на
старте о тн о с и те л ь н о точки ф иниш а и у р о в ­
ня м о ря ? М а с с а л ы ж н и к а 70 кг.
УПРУГО СТИ
Сила упругости — это сила, воз­
никаю щ ая при деформации тела.
В качестве примера силы упругости
удобно рассматривать силу упру­
гости пружины, хотя все з ак он о ­
мерности, установленные для пру­
жины, относятся и к другим д еф ор­
мированным телам. Сила упругости
128
тяж ести,
м и с та п е р е д с т а р т о м ра вна 70 кг?
нулю .
2. Какая
си л ы
п р и н и м а е т ста р т
ф иниш ирует.
пропорциональна
деформации,
в
частности удлинению пружины. Н а ­
правлена она в сторону, противо­
положную смещению частиц тела
при деформации.
На рисунке 141, а показана
пружина в ее естественном, недеформированном состоянии. Правы й
конец пружины закреплен, а к л е­
вому прикреплено какое-то тело.
Н аправим ось координат X так, как
показано на рисунке. Если пружину
сж ать, сместив ее левый конец в п ра­
во на расстояние Х\, то возникает
сила упругости (рис. 141, б ), н ап р ав ­
ленная влево. Проекция этой силы
на ось X равна — k x \, где k — ж ест­
кость пружины.
Предоставим
теперь
пружину
самой себе. Тогда конец пружины
будет см ещ аться влево. При этом
движении сила упругости соверш ает
работу.
Предположим, что левый конец
пружины (и тело, скрепленное с ним)
переместился из положения А в по­
лож ение В (рис. 141, в ). В этом
положении деформация (удлинение)
пружины равна уж е не Х\, а х 2.
Перемещение конца пружины равно
разности координат конца пружины:
Х\ — Х2.
Н аправления силы и перемеще­
ния совпадают, и чтобы найти р а ­
боту, нужно перемножить модули
силы упругости и перемещения. Но
сила упругости при движении изме­
няется от точки к точке, потому
что изменяется удлинение пружины:
в точке А модуль силы упругости
равен k x \, в точке В — k x 2. Д л я вы­
числения работы силы упругости
нужно взять среднее значение силы
упругости и умножить его на пере­
мещение:
A = F cp(x 1— х 2).
Среднее значение силы упругос­
ти равно полусумме начального и
конечного ее значений:
kX\ -\-kX2
Fс
Х\
Х2
Подставим это значение средней
силы в формулу для работы:
Рис.141
а
тт<\ЛЛЛЛЛЛЛЛЛ>
-
-
/
ynpi
б
*'
/
/\
т *2 ^
-«VWVWVW^'
-------------- ►
РУПР2^
О
.
. X, + х 2 .
,
A = k — 2— (х, — Х2).
Так как (х \- \- х 2 ) ( х \ — х 2) = х \ —
— х 2, то работа получается равной
.
kx\
kx\
( 1)
2~ ‘
Работа, как видно из этой ф ор ­
мулы, зависит только от координат
Х\ и х 2 начального и конечного по­
ложений конца пружины (xi w х 2 —
это и удлинения пружины, и коор­
динаты ее конца).
Интересно, что в формулу для
работы не входит масса тела, при­
крепленного к пружине. Но и сила
упругости от массы тела, к которому
она приложена, не зависит. Уже
ранее указывалось, что в этом со­
стоит особенность силы упругости.
Потенциальная энергия деф ор­
мированного тела. Формулу (1) для
работы силы упругости мож но з а ­
писать (переставив порядок членов
в правой части) в таком виде:
~2
/ kX2
kxl
kX\
k x 2\ \
(2 )
Здесь в правой части равенства
стоит
изм енение
величины
kx2
со
знаком «минус».
В предыдущем п арагра ф е вели­
чину m g h , изменение которой (с про129
тивоположным знаком) равно р а ­
боте силы тяжести, мы назвали по­
тенциальной энергией поднятого те ­
ла. Такое ж е название можно дать и
kx^
величине — , раз ее изменение, и
тоже
с
равно
противоположным
знаком,
kx^
работе.
Если за начало отсчета коор­
динаты принять положение конца
недеформированной пружины, а пру­
жина удлинена на х, то формула (2)
принимает вид:
Величина —
пред­
ставляет собой потенциальную энер­
гию деформированного тела, в част­
ности пружины.
Ф ормула (2) означает, что р а ­
бота силы упругости равна изм е­
нению потенциальной энергии у п ­
руго деф орм ированного тела (п р у ­
ж ины), взятому с противоположным
знаком.
Р аб о та силы упругости, как и
работа силы тяжести, зависит толь­
ко от начальной и конечной коор­
динат свободного конца, например,
пружины (от X] до х 2) . Поэтому о
ней можно сказать то же, что и о р а ­
боте силы тяж ести ,— эта работа не
зависит от формы траектории. А
если траектория зам кнутая, то р а ­
бота равна нулю.
kx^
Но —---- это потенциальная энер­
гия тела (пружины) при удлине­
нии х. Значит, пот енциальная эн ер ­
гия деф орм ированного тела равн а
работе силы упругости при пере­
ходе тела (пруж ины ) в состояние, в
котором его деф орм ация р а вн а нулю .
О
потенциальной энергии тела,
на которое действует сила тяжести,
мы говорили, что это энергия в за и ­
модействия. П отенциальная энергия
упруго деформированного тела —это тоже энергия взаимодействия.
Но теперь это энергия взаимодейст­
вия частиц, из которых состоит тело.
Это относится и к пружине. В ней
взаимодействуют витки пружины,
частицы вещества, из которых она
сделана.
Вопросы
1. Ч е м у
равно
среднее
значение
силы
2. В ч е м
б оты
э н е р ги е й
тело,
находящ ееся
в
со с т о я н и и
ра вновеси я?
у п р у го с ти ?
си лы
сходство
у п р у го с т и
вы раж ений
и
работы
для
ра­
силы
тя­
5. М о ж е т
э н е р ги е й
ли
тело,
обладать
на
п о те н ц и а л ь н о й
которое
не
д ей ствую т
н и к а к и е силы?
ж ести ?
3. Ч е м у
е сл и
ра в на
тело,
пройдя
на
к а к о е -т о
работа
си лы
у п р у го с т и ,
она
д е й с тв у е т,
которое
р а с с то я н и е ,
вернулось
ли
7. Ч то
в
о б щ е го
у
по тен циал ьны х
гий д е ф о р м и р о в а н н о г о тела и тела,
и с х о д н у ю точку?
4. М о ж е т
6 . Ч ем у ра вна п о те н ц и а л ь н а я э н е р г и я у п ­
р у г о д е ф о р м и р о в а н н о г о тела?
о б л а д а ть
по тенциал ьной
энер­
на к о ­
т о р о е д е й с т в у е т сила тяж ести ?
Упражнение 26
1.
М а л ь ч и к о п р е д е л и л , что м а к с и м а л ь н а я
2.
К
пруж ине,
закреплен,
подвеш ено
н а м о м е т р , р а в н а 400 Н. Ч е м у р а в н а р а б о та
П ри
длина
это й
К о гд а
сила,
с которой
си лы
Ж есткость
10 ООО Н /м .
130
пр и
он
м ож ет
растяж ении
пруж ины
р а с тя ги в а ть
ди­
динам ом етра?
динам ом етра
равна
30
этом
кг,
работу,
же
ее
к
ней
длина
которую
верхний
тело
пруж ины
подвеш ено
ра вна
12
соверш ает
конец
м ассой
р а вн а
тело
см .
которой
18
10
кг.
см .
м а ссо й
В ы чи сл и те
внеш няя
сила
пр и
ра стя ж е н и и
Какую
работу
пруж ины
от
соверш ает
10 д о
пр и
15 см .
этом
Р ис. 142
Рх Н |
сила
1—
у п р у го с ти ?
3. На
рисунке
142
показан
гр а ф и к
за­
в и с и м о с т и си лы у п р у го с т и , в о з н и к а ю щ е й п р и
сж а т и и
пруж ины ,
ч и сл и те ,
у
8
от
ее
используя
деф орм ации.
этот
гр а ф и к ,
/
6
4
работу
/
в н е ш н е й с и л ы пр и с ж а т и и п р у ж и н ы на 2 см .
Д окаж ите,
что
эта
работа
численно
равна
ж есткостью .
д р уга я
О дна
р а с тя н у та
из
ни х
на
5
с одинаковой
сж ата
см .
на
Чем
1
1
2
пл ощ ади тр е уго л ь н и ка А О В .
4. И м е ю т с я д в е п р у ж и н ы
1
Вы­
0
5 см ,
,
|в
1
2
L, см
разли­
ч а ю тс я у д л и н е н и я э ти х п р у ж и н и их п о т е н ­
6. С ж а та я
ц и а л ь н ы е э н е р ги и ?
5. К п р у ж и н н ы м
П ри
этом
гр уз
о ста н о в и л а с ь
л и ч и л а сь
ве со в,
о п у с ти л с я
на ц и ф р е
а
ш кала
и стрелка
эн е р ги я
в есо в
р а с с то я н и е
подвеш ен
3. На с к о л ь к о
п о те н ц и а л ь н а я
если
нью тонах,
весам
гр уз.
весов
уве­
пруж ины
гр а д у и р о в а н а
м ежду
в
соседним и
д е л е н и я м и р а в н о 5 мм?
§ 48. З А К О Н С О Х Р А Н Е Н И Я
рой
10 000
пруж ина,
Н /м ,
ж есткость
действуе т
на
кото-
прикреплен­
н о е к ней т е л о с с и л о й 400 Н. Ч е м у ра вна
п о те н ц и а л ь н а я э н е р ги я п р у ж и н ы ? К акая
ра­
б о та б ы ла с о в е р ш е н а в н е ш н е й с и л о й п р и ее
с ж ати и?
Какую
работу
соверш ит
си л а
уп­
р у г о с т и п р у ж и н ы , е сл и д ать ей в о з м о ж н о с т ь
в о с с т а н о в и с ь п е р в о н а ч а л ь н у ю ф о р м у?
П О Л Н О Й М Е Х АН И Ч Е С КО Й ЭНЕРГИИ
В начале этой главы мы говори­
ли, что энергия, как и импульс,
сохраняется. Однако когда мы р а с ­
сматривали кинетическую и потен­
циальную энергии, об их сохранении
ничего не говорилось. В чем же
состоит закон сохранения энергии?
Рассмотрим, как изменяется энер­
гия тел, взаимодействующих только
друг с другом. Такие системы, как
мы знаем, назы ваю тся замкнутыми.
Т ак ая система может об ла д а ть и
кинетической и потенциальной энер­
гией. Кинетической — потому, что
тела системы могут двигаться, по­
тенциальной — потому, что тела сис­
темы взаимодействуют друг с другом.
И та и другая энергия системы
мож ет изменяться с течением вре­
мени.
Обозначим через Е р\ потенциаль­
ную энергию системы в какой-то
момент времени, а через E k\ общую
кинетическую энергию системы тел
в тот же момент времени. П отен­
циальную и кинетическую энергии
этих же тел в какой-нибудь другой
момент времени обозначим соответ­
ственно через Е р2 и E kiВ предыдущих п а р а гр а ф а х мы
установили, что, когда тела в заи м о ­
действуют друг с другом силами
тяжести или упругости, соверш енная
этими силами работа равна взятому
с противоположным знаком изме­
нению потенциальной энергии тел
системы:
А = - ( Е р2 - Е р1).
(1)
С другой стороны, согласно тео­
реме о кинетической энергии, эта же
работа равн а изменению кинети­
ческой энергии:
A = Ek2 - E kl.
(2)
131
Энергия превращается из одного
вида в другой. В левых частях
равенств (1) и (2) стоит одна и
та же величина — работа сил взаи м о ­
действия тел системы. Значит, и
правые части равны друг другу:
E k2^ E kl = - ( E p2- E pl).
(3)
И з этого равенства видно, что
кинетическая и потенциальная энер­
гия в результате взаимодействия
и движ ения тел изменяется так,
что увеличение одной из них равно
уменьшению другой. На сколько
одна из них возрастает, на столько
другая уменьшается. Д ел о выглядит
так,
как будто бы происходит
п ревращ ение одного вида энергии
в другой. В этом состоит в а ж н а я
особенность величины, называемой
энергией: есть различные формы
энергии, и они могут превращ аться
одна в другую. Но ни об одной
из них нельзя сказать, что она
сохраняется.
Полная механическая энергия.
Закон сохранения полной механи­
ческой энергии. Если из двух видов
энергии один уменьшается ровно на
столько, на сколько увеличивается
другой, то это значит, что сумма
энергий обоих видов остается неиз­
менной. Это видно из формулы (3),
которую можно переписать так:
Ek2-\-ЕР2 — EkI -\-Epi.
(4)
В левой части равенства мы
видим сумму кинетической и потен­
циальной энергий системы тел в к а ­
кой-то момент времени, в правой —
ту же сумму в другой момент
времени. Эта сумма назы вается
полной м еханической энергией систе­
мы. Д л я системы тел, в которой
действует сила тяжести, например
для системы «Земля — падающ ее
тело» или «Земля — тело, брошенное
вверх», она равна m g h +
• Если
между телами системы действует
сила упругости, то полная механи­
ческая
энергия
запиш ется
так:
kx2
,
mv2
Р авенство (4) означает, что пол­
ная механическая энергия замкнутой
системы тел остается неизменной,
сохраняется. В этом состоит закон
сохранения энергии.
Полная механическая энергия
замкнутой системы тел, взаим одей­
ствующих силами тяготения или си­
лами упругости, остается неизменной
’п ри любых движениях тел системы.
Превращения энергии и работа.
Тот факт, что одна и та же работа
приводит к увеличению кинетической
или к такому же уменьшению по­
тенциальной энергии, означает, что
работа равна энергии, превратив­
шейся из одного вида в другой.
Мы видели, например, что поло­
жительная работа силы равна умень­
шению потенциальной энергии. Но,
согласно закону сохранения полной
энергии, потенциальная энергия не
может уменьшаться, не превратив­
шись в энергию кинетическую!
Закон сохранения энергии, как
и закон сохранения импульса, можно
использовать для решения многих
механических задач. Этим способом
многие задачи решаются более прос­
то, чем при прямом применении
законов движения.
Вопросы
1. Ч то т а к о е п о л ная м е х а н и ч е с к а я э н е р -
2.
В чем с о с т о и т за ко н с о х р а н е н и я м е ­
х а н и ч е с к о й эн е р ги и ?
132
3. В ы п о л н я е тс я ли з а к о н с о х р а н е н и я м е ­
ха н и ч е с к о й
врем енно
э н е р ги и ,
и сила
4. К ак в л и яе т
д ействие
есл и
д ей ствую т
одно­
и у п р у га я
сила?
тяж ести
на э н е р г и ю
внеш ней
с и с те м ы
силы? С о х р а н я е т с я
тел
ли
в
этом
сл у ч а е
5.
Зем ли.
е го
п о л ная
м еханическая
э н е р ги я ?
С п у т н и к вр а щ а е тся п о о р б и т е в о к р у г
С
пом ощ ью
перевели
на
р а ке тн о го
д р угую
ор би ту.
д в и га т е л я
И зм ени­
лась ли е го м е х а н и ч е с к а я эн е ргия ?
П Р И М ЕР Ы Р ЕШ Е Н И Я ЗАДАЧ
К а к о й вы соты д о с т и га е т тело, б р о ш е н ­ равна
1.
ное
по
в е р ти к а л и
в в ер х
с
начальной
с к о р о сть ю и 0?
Р е ш е н и е . Примем за начало
отсчета высоты точку, откуда бро­
шено тело. В этой точке потенциаль­
ная энергия тела равна
нулю,
2
а кинетическая энергия равна
Значит,
п
.
полная
m vl
m vl
О—
|— — = —— .
энергия
„
В
равна
верхней
точке,
на высоте h, кинетическая энергия
тела равна нулю, а потенциальная —
m gh.
П олная
энергия
равна
О-\-m g h = m gh. По закону сохранения
mvо
энергии ——L = m gh.
Отсюда
.= ±
нулю. Следовательно, Е р\ —
это и полная энергия Е\ системы
« ш а р — пружина» в начальный мо­
мент:
E \= m g ( h + l).
Когда после падения ш ара пру­
ж ина максимально сж ата, кине­
тическая энергия ш ара равна нулю,
а потенциальная энергия пружины
kl2
равна — . Это в то же время и
полная
энергия
системы
«шарпружина» в момент максимального
сж ати я пружины, так как потен­
ц иальная энергия ш ара равна нулю.
kl2
Следовательно, Е 2= —— . По закону
сохранения
2 g '
2.
Ш ар
вы соте
л е нны м
м ассой
Л= 3
м
на п р у ж и н е
т = 3
над
кг
у д е р ж и в а е тс я
Р и с .143
укреп­
с тол и ком ,
(р и с .
143, а ) .
Н ай д ите
т
ном п а д е н и и ш а р и к а на с т о л и к (р и с . 143, б) ,
ее
или
Решив это квадратное уравнение
и подставив данные из условия
задачи, найдем /да 0,5 м.
м акси м а л ь н о е с ж а т и е I п р у ж и н ы п р и своб од ­
если
Е \ = Е 2,
m g(h+l) = Ц ~ -
Такой же результат мы получали
и раньше (§ 32, пример решения
зад ач и 2).
на
энергии
ж есткость
к — 700
Н /м .
h
М ассам и
п р у ж и н ы и с то л и к а пренебречь.
Р е ш е н и е . Потенциальную энер­
гию ш ар а на столике при макси­
мально сж атой пружине будем счи­
тать равной нулю (нулевой уровень).
Тогда в начальный момент потен­
ц иальная
энергия
ш ара
равна:
Ep\ — m g (h -\-l). Кинетическая энер­
гия ш а р а и пружины в этот момент
v
тт
133
Упражнение 27
1. Те ло па да ет с н е к о т о р о й
зем лей. В м ом ент
р о с ть
е го
ра в на
в ы с о ты над
п а д е н и я °на з е м л ю
30
м /с .
С
какой
ско­
вы соты
у п а л о тело?
м а ссо й
2
начальную
вер ти кал ьн о
скорость
вверх.
На
280 м /с ,
какой
эн е р ги ю
е го
к и н е т и ч е с к а я э н е р ги я ра вна п о те н ц и а л ь н о й ?
3. Баба
копра
пр и
падении
с
вы соты
па да ет
с
вы соты
те л а
в
м ом ент,
к о гд а
оно
над з е м л е й
нахо­
и в м о­
м е н т п а д е н и я на з е м л ю .
5. Р астянутая
л е ти т
вы с о те
кг
на д з е м л е й . В ы ч и сл и те к и н е т и ч е с к у ю
д и тся на в ы с о т е 15 м
2. С н а р я д , п о л у ч и в ш и й п р и в ы с т р е л е из
орудия
4. Те ло
30 м
лекает
за
собой
пруж ина,
тело
сокращ аясь,
м ассой
50
кг
ув­
по
гори зон тал ьной плоскости без трения. В м о ­
м ент,
к о гд а
деф орм ация
пруж ины
ра вна
8 м о б л а д а е т в м о м е н т у д а р а о св а ю к и н е ­
н у л ю , с к о р о с т ь тела ра вна 5 м / с . На с к о л ь ­
т и ч е с к о й э н е р ги е й
ко б ы л а р а с тя н у та п р у ж и н а , есл и е е
18 000 Д ж . К а ко в а м асса
б а б ы копра?
ж ест­
к о сть р а вн а 10 000 Н /м ?
Задание
Тело
рисунке
м ости
от
не
брош ено
144
вер ти кал ьн о
показаны
обозначенны х
времени.
К акой
из
вверх.
гр а ф и к и
на
этих
оси
На
з ави си ­
Y
ве л и ч и н
гр а ф и к о в
по-
на зы вает и з м е н е н и е со в р е м е н е м : а ) к о о р ­
д и н а ты
ной
тела;
э н е р ги и ;
б) ускорения;
г) и м п у л ь с а ;
в) п о т е н ц и а л ь ­
д)
кинетической
э н е р г и и ; е ) п о л н о й эн е р ги и ?
Рис.144
О
о
О
\
о
о
о
§ 49. Р А Б О Т А С И Л Ы
ТРЕНИЯ
Н ам остается еще рассмотреть
работу третьей механической силы —
силы трения. В земных условиях
134
И М ЕХАНИЧЕСКАЯ
/
V У
ЭНЕРГИЯ
сила трения в той или иной
мере играет роль при всех движениях.
Чем отличается работа силы тр е­
ния от работы других сил?
Напомним,
что
сила
трения
(имеется в виду трение скольжения)
возникает при движении одного тела
относительно другого. Н аправлена
сила трения всегда против н ап р ав ­
ления движения. В этом ее главное
отличие от сил тяжести и упругости.
Р аб ота силы тяжести и силы
упругости может быть и положи­
тельной и отрицательной. Например,
при свободном падении тела работа
силы тяж ести положительна и его
кинетическая энергия растет. Если
же тело брошено вертикально вверх,
оно дви ж ется против силы тяжести,
работа силы тяж ести отрицательна,
и кинетическая энергия тела умень­
шается. В конце концов тело оста­
навливается на миг и начинает
обратный путь вниз.
И наче «ведет себя» сила трения.
Если толкнуть тело, л еж а щ ее на
горизонтальной поверхности, оно ста­
нет двигаться против силы трения
подобно тому, как движется тело,
брошенное
вверх.
Кинетическая
энергия тела уменьшается (работа
о трицательная!). Пройдя какое-то
расстояние, тело остановится, но
не «на миг». Оно останавливается
совсем и в обратный путь не дви­
нется.
Механическая энергия не всегда
сохраняется. Все дело в том, что
в примере с телом, брошенным
вверх, кинетическая энергия тела,
постепенно уменьшаясь, п р ев р ащ а­
ется в энергию потенциальную. На
«обратном» пути
потенциальная
энергия снова превращ ается в кине­
тическую. В случае же движения
тела под действием силы трения
кинетическая энергия тела ум е н ь ш а­
ется, но в потенциальную энергию
не п ревращ ается. Поэтому у такого
тела «обратного» пути нет.
Таким образом, когда на тело
действует сила трения (сам а по
себе или вместе с другими силам и),
закон сохранения полной механиче­
ской энергии нарушается: кинети­
ческая энергия
уменьшается,
а
потенциальная взамен не появл яет­
ся. П олная механическая энергия
уменьшается. Если, например, тело
падает не в пустоте, а в воздухе,
то потенциальная энергия умень­
шается на m g h , как и в пустоте.
Но скорость тела, когда оно дости­
гает поверхности Земли, будет мень­
ше, чем при свободном падении.
Меньшей будет и его кинетическая
энергия, так что ее увеличение уже
не будет равно уменьшению потен­
циальной энергии. Уменьшение пол­
ной механической энергии произо­
шло из-за работы силы сопротив­
ления воздуха, а эта сила очень
похожа на силу трения.
И все-таки энергия сохраняется!
Но оказывается, что нарушение
закона сохранения энергии из-за
действия силы трения только к а ж у ­
щееся. Д ел о в том, что трение
одного тела о другое всегда приводит
к нагреванию обоих трущихся тел,
к повышению их температуры. А из
курса физики VIII класса известно,
что температура тел определяется
кинетической энергией
движ ения
частиц (м олекул), из которых со­
стоят все тела. Тщательные изме­
рения показали, что кинетическая
энергия молекул увеличивается как
раз на столько, на сколько умень­
шается кинетическая энергия тру­
щихся тел. Но энергия движ ения
молекул не считается механической
энергией. М еханическая энергия —
это энергия тел, а не частиц, из
которых тела состоят. Ведь в законы
механики температура не входит!
Таким образом,
механическая
энергия тела
или системы тел
135
в случае, когда действуют силы
трения, действительно не сохраня­
ется, а уменьшается. Но мы здесь
имеем дело с еще одним примером
превращения энергии: механическая
энергия превращ ается в энергию
движ ения молекул. Эту энергию н а ­
зывают внутренней энергией. Закон
сохранения
полной м еханической
энергии может и наруш аться. Но
никогда не наруш ается закон сохра­
нения полной энергии, если понимать
под полной энергией не только
механическую энергию, а сумму
всех видов энергии — потенциальной,
кинетической, внутренней и других
видов, с которыми мы познакомимся
в других частях курса.
Сила трения в технике. Работа
приложенных к телу сил всегда
равна изменению его кинетической
энергии. При действии сил трения
часть механической энергии преоб­
разуется и в немеханическую (внут­
реннюю) энергию, что приводит к
нагреванию трущихся тел. Но ведь
за счет энергии соверш ается ме-
ханическая работа (работа равна
изменению энергии!), так что энер­
гия, п реврати вш аяся во внутреннюю
энергию, для получения работы
пропадает.
Поэтому
во всяком
устройстве
(м аш ине), п ред н азн а­
ченном для совершения механиче­
ской
работы,
всегда
стараю тся
уменьшить силы трения.
Об этом нужно знать и помнить
тем, кто конструирует и строит
машины, и тем, кто пользуется
ими. Если машина, двигатель, а п ­
п арат и т. д. во время работы
чрезмерно нагреваются — это вер­
ный признак того, что действуют
слишком большие силы трения и
нужно принимать меры для их
уменьшения (возможно, требуется
см азка !). Мы говорим о чрезмерном
нагревании, потому что полностью
устранить трение в механических
устройствах нельзя. Какой-то нагрев,
а значит, какая-то потеря механи­
ческой
энергии
неизбежны.
Но
их нужно по возможности умень­
шать.
Вопросы
1. На т е л о
ж ет
ли
д е й с тв у е т сила т р е н и я . М о ­
э н е р ги я
этой
н а р я д у с д р у г и м и си л а м и д е й с т в у е т и сила
работа
силы
ра в нять ся
нулю ?
2. Р абота си лы т я ж е с т и и силы у п р у го с т и
на з а м к н у т о й т р а е к т о р и и ра вна н у л ю . С п р а ­
ведливо
ли
это
утверж дение
д ля
работы
си сте м ы
тел,
е сл и
м еж ду
те л а м и
трени я ?
5. В сегд а
ли
верен
зако н
сохранения
п о л н о й м е х а н и ч е с к о й эн е р ги и ?
6 . П о д д е й с тв и е м си лы т р е н и я и з м е н я ­
си лы трени я ?
3. Ч то т а к о е в н у т р е н н я я эне ргия?
е тся к и н е т и ч е с к а я э н е р ги я те л а . И з м е н я е т с я
4. К ак и з м е н я е тс я п о л ная м е х а н и ч е с к а я
ли пр и э т о м и п о те н ц и а л ь н а я э н е р ги я ?
Упражнение 28
1. С ани м а с с о й 60 кг, с к а ти в ш и с ь с го р ы ,
п р оехал и по го р и зо н та л ь н о м у уча стку д о р о ­
ги
20 м .
Н айдите
работу
си лы
трения
на
делает
180 о б /м и н , а к о э ф ф и ц и е н т т р е н и я
д е та л и о ка м е н ь р а в е н 0,3.
3.
Ш о ф е р а в т о м о б и л я в ы к л ю ч а е т д в и га ­
э т о м у ч а с тк е , если к о э ф ф и ц и е н т т р е н и я п о ­
тель и н а чи н а е т т о р м о з и т ь в 20 м о т с в е т о ­
л о з ье в са н е й о с н е г 0,020.
ф о р а (д о р о г а г о р и з о н т а л ь н а я !). С чи та я си л у
2. К т о ч и л ь н о м у к а м н ю р а д и у с о м 20 с м
приж им аю т
20
Н.
е тся
136
затачиваем ую
О пределите,
д в и га т е л е м
за
какая
2
д е та л ь
работа
м ин,
есл и
с
силой
соверш а­
ка м е н ь
трения
н а й д и те ,
колес
пр и
о
д о р о гу
какой
равной
наибольш ей
4000
Н,
ско р о сти
а в т о м о б и л ь у с п е е т о с т а н о в и т ь с я п е р е д све ­
т о ф о р о м , если м асса а в т о м о б и л я 1,6 т.
4. На
движ ущ ееся
по
го р и з о н т а л ь н о й
д о п р и з е м л е н и я , р а в н о м е р н о . К а ко в а р а б о ­
п л о с к о с т и т е л о на п р о т я ж е н и и п ути д л и н о й
та
15
р а в н о м е р н о го движ ения?
м
д ействуе т
скол ько
сила
изм енилась
трения
100
м еханическая
Н.
На
ка
сопротивления
6.
э н е р ги я
тела?
си лы
240
м
Те ло
и
м а ссо й
проникает
воздуха
2
в
кг
за
падает
гр ун т
на
врем я
с
вы соты
гл уб и н у
5. П а р а ш ю т и с т м а с с о й 70 к г п о с л е п р ы ж ­
0,2 м . С ила т р е н и я о г р у н т р а в н а 10 000 Н.
с
С о в е р ш а л о ли т е л о с в о б о д н о е п а д е н и е или
с а м о л е та
д виж ется
сначала
ускорен­
но, а з а те м , на чи ная с в ы с о ты h = 10ОО м и
д в и га л о с ь в в о зд ухе ?
§ 50. М О Щ Н О С Т Ь
парового
двигателя
Джемса
Воду из цистерны можно вычер­
Уатта.
пывать
ведрами,
но для
этой
Формула (2) позволяет ввести
цели можно воспользоваться насо­
сом, снабженным двигателем. М е­
ещ е одну единицу работы (а значит,
ханическая
работа,
совершенная
и энергии). За единицу работы
при этом, будет одной и той же.
можно принять работу, которая
Но насос выполнит эту работу быст­
соверш ается в течение 1 с при
рее, за более короткий промежуток
мощности 1 Вт. Н азы в ае тся она
времени. Значит, не только совер­
в а т т - с е к у н д о й (В т-с): 1 В тХ
ш аем ая работа, но и быстрота
Х с=1Д ж .
Часто
используются
ее выполнения, т. е. работа, совер- „ более крупные единицы работы и
ш аемая в единицу времени,— в а ж ­
энергии: к и л о в а т т - ч а с (кВ т-ч)
ная характеристика всякого устрой­
и м е г а в а т т - ч а с (М В т -ч ):
ства, с помощью которого совер­
1
кВ т-ч = 1000 Вт -3600 с = 3 ,6 Х
шается работа. Величина, х ар а к те­
Х Ю 6 Дж.
ризую щ ая быстроту выполнения р а ­
боты, назы вается мощностью. О бо­
1 М В т - ч = 1 0 0 0 к Вт-3600с = 3,6 X
значаю т ее буквой N.
X I О9 Д ж .
Мощностью называется ве л и ч и ­
Мощность, сила и скорость.
на, р а вн а я отношению соверш енной
Самолеты, автомобили, корабли и
работы к промежутку времени, за
другие транспортные средства д ви ­
который она соверш ена:
ж утся часто с постоянной скоростью.
Это значит, что силы, действующие
на них б лаго даря работе двигателя,
N = ±.
(1)
равны по модулю и противополож­
ны по направлению силам сопротив­
ления. От чего зависит скорость
Если
мощность известна,
то
д вижения таких «тел»? О казы вается,
работа вы р а ж ае тся равенством:
она определяется мощностью дви­
гателя^ В самом деле, примем, что
A = N t.
(2)
сила F и перемещение s н ап р ав л е­
Из формулы (1) видно, что в СИ
ны вдоль координатной оси. Тогда
за единицу мощности принимается
работа в формуле (1) выразится
джоуль
в секунду
(Д ж /с).
равенством A = F s , где F и s —
Н азы вается эта единица в а т т ( В т ) :
модули силы и перемещения. Сле1 В т = 1 Д ж / с . Название дано в
Fs
s
честь изобретателя универсального
довательно, N = — . Но — = у , где
137
v — скорость. Поэтому
(3)
N = Fv.
Эта формула показывает, что
при постоянной силе сопротивления
движению скорость пропорциональ­
на
мощности двигателя. Поэтому
быстроходные поезда, автомобили,
самолеты нуждаю тся в двигателях
большой мощности.
Из формулы (3) видно такж е,
что при постоянной мощности д ви ­
гателя сила тем меньше, чем больше
скорость.
Вот почему мы хорошо чувству­
ем ускорение, когда автомобиль
трогается с места (скорость еще
мала, и сила поэтому в ел и ка), и
почти не чувствуем его на большой
скорости.
Вот
почему
водитель
автомобиля при подъеме в гору,
когда нужна н аи больш ая сила тяги,
переключает двигатель на малую
скорость.
Вопросы
4. Как связа ны м е ж д у с о б о й м о щ н о с т ь ,
1. Ч то та к о е м о щ н о с ть ? В каки х е д и н и ц а х
он а в ы ра ж ается?
2. К
числу
сила и ско р о сть?
каких
величин,
3. О т
н о го
ч е го зав и си т с к о р о с т ь
движ ения
тела,
5. К акая
скалярны х
или в е к т о р н ы х , о т н о с и т с я м о щ н о с ть ?
6.
равном ер­
п р и в о д и м о го
ф и зи ч е ска я
величина
вы ра­
ж а е тс я в к и л о в а т т -ч а с а х ;
в
дви­
при
К о гд а а в т о м о б и л ь
п о стоянно й
м ощ ности
набирает скор ость
д в и га те л я , о с т а ­
ется ли сила тя ги п о сто я н н о й ?
ж е н и е д в и га те л е м ?
Упражнение 29
1. С а м о л е т л е ти т п р я м о л и н е й н о
номерно
сила
со
скор остью
сопротивления
900
и ра в ­
ра б о та ,
к м /ч .
К акова
2 м ин?
есл и
разви­
воздуха,
вае м а я д в и га т е л е м с а м о л е та м о щ н о с т ь р а в ­
на 1800 кВт?
2. П о д ъ е м н ы й
н о стью
ной
8
кВ т
к р а н с д в и га т е л е м
подним ает
скор остью
6
м /м и н .
гр у з
с
мощ ­
м асса
груза?
3. На
вал.
токарном
М о щ но сть,
станке
о б р а б а т ы в а е тс я
развиваем ая
д в и га т е л е м
станка, 3 кВ т. Какая с о в е р ш а е тс я
4. К акая
пр и э т о м
на
обработку
работа
ро стан ции
в
м ощ ность
ее
вала
сове рш ае тся
течение
го д а ,
ге н е р а то р о в
на
если
ра вна
уходит
ги д ­
средняя
2,5
М Вт?
5. А в т о м о б и л ь м а ссо й 2000 к г д в и ж е т с я
постоян­
К акова
есл и
по
гори зон тал ьной
72
к м /ч .
составляет
кую
С ила
0,05
м ощ ность
со
скор остью
сопротивления
движ ению
е го
д о р о ге
веса.
развивает
О пределите,
при
этом
ка ­
дви­
гатель.
§ 51. П Р Е В Р А Щ Е Н И Е Э Н Е Р Г И И
И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ М А Ш И Н
Уже более двухсот лет человек
широко использует всевозможные
машины и механизмы. Они приводят­
ся в движение двигателями, ко­
торые, в свою очередь, получа­
ют энергию от какого-либо источ­
ника.
138
С точки зрения механики исполь­
зование машин сводится к тому, что
с их помощью какие-то силы совер­
шают механическую работу. Но
соверш ать работу можно только за
счет
какой-то
энергии
при
ее
превращениях.
В наше время главные виды
энергии, за счет которых совер­
шается раб ота,— это энергия, осво­
б о ж д аю щ а я ся при сгорании топлива
(угля, нефти, г а з а ), энергия пад аю ­
щей воды и так н азы ваем ая ядерная
энергия. Но ни один из этих видов
энергии не подается непосредственно
к машинам.
На пути к машинам, в которых
соверш ается работа, энергия пре­
терпевает превращ ения из одной
формы в другую. Так, например,
потенциальная энергия взаимодей­
ствия частиц горючего и кислорода
сн ач ал а преобразуется во внутрен­
нюю энергию частиц, образую щихся
при сгорании. Эта энергия передает­
ся водяному пару и через него
паровой турбине, приводящей в
движение электрический генератор.
В нем механическая энергия в р а ­
щения преобразуется в энергию
электрического тока. З атем энергия
передается по проводам к электри­
ческим двигателям, установленным
на бесчисленных станках и других
устройствах. В них электрическая
энергия
снова
преобразуется
в
механическую и с помощью разл и ч ­
ных передаточных механизмов, н а­
пример рычагов, винтов, блоков,
подается
к станкам
и другим
машинам.
Мы привели здесь некоторые
превращения, которые испытывает
энергия «по дороге» от тепловой
электростанции к машине. К этому
следует добавить, что само топливо
появилось на Земле в результате
сложной цепи превращения энергии,
цепи, н ачало которой — энергия, и з­
л у чаем ая Солнцем — источником
жизни на нашей планете.
Д л я нас здесь важ н о то, что
все эти превращения подчиняются
у ж е известному нам закону со хр а­
нения энергии. И з него следует,
что при лю б ы х п р евр а щ ен и ях нель зя
получить энергии одного вид а б о ль­
ше, чем затрачено другого вида.
Точно так же ни в одном двигателе
н е ль зя получить больш е м еха ни ч е­
ской работы, чем затрачено энергии.
Наоборот, в реальных д вигателях
часть энергии неизбежно теряется
из-за сил трения. Теряется в том
смысле, что часть энергии из-за
отрицательной работы сил трения
преобразуется во внутреннюю энер­
гию, что приводит к нагреванию
двигателя. Трение существует и в
машине, так что и в ней некоторая
часть энергии «теряется».
О «вечных двигателях». Д о того,
как был открыт закон сохранения
энергии, в течение столетий упорно
делались попытки создать такую
машину, которая позволила бы со­
вершать ^больше работы, чем т р а ­
тится энергии. Она д а ж е заранее
получила название «вечный д в и г а ­
тель» (perpetuum m obile). Но т а к а я
машина никогда не была создана,
и создана она быть не может.
На рисунке 145 п оказана схема
одного из бесчисленных проектов
«вечного двигателя». М аш ин а со­
стоит из двух колес (ш кивов),
помещенных в верхней и нижней
частях башни, наполненной водой.
Через шкивы переброшен бесконеч­
ный канат с прикрепленными к
нему легкими ящ иками. И з рисунка
видно, что в каждый момент времени
часть ящ иков погружена в воду,
в то время как остальные нахо­
дятся в воздухе. Автор проекта
уверял, что правые на рисунке
ящики, всплывая под действием
архимедовой силы, за с т а в я т в р а ­
щ аться колеса. На смену всплы­
вающим ящ икам в воду будут
входить другие, поддерж ивая «веч­
ное» движение. В ращ аю щ и еся ко­
леса могли бы приводить в движение,
139
Коэффициент полезного действия.
Когда в какой-нибудь машине со­
вершается работа, нужно отличать
так называемую полезн ую работу
от полной совершенной работы.
П олезн ая работа — это та работа,
ради которой создана и использует­
ся машина. Д л я подъемного крана —
это работа подъема груза, для то ­
карного станка — работа против сил
трения изделия о резец и т. д.
Но в любой машине, в любом
двигателе полезная работа всегда
меньше полной работы, потому что
всегда существуют силы трения,
отрицательная работа которых при­
водит к нагреванию каких-то частей
устройства. А нагревание нельзя
считать полезным результатом дей­
ствия машины, созданной для других
целей. Ведь на нагревание затрачена
например, электрические генераторы,
часть энергии, которая в механи­
д а в а я таким образом «бесплатную» * ческую энергию уж е не будет пре­
энергию в неограниченном количе­
о бразована.
стве, поскольку устройство действует
К а ж д а я машина, каждый д в и г а ­
тель характеризуется поэтому осо­
«вечно».
В действительности такой дви­
бой величиной, показывающей, н а­
гатель работать не может. Ведь
сколько эффективно используется
если одни ящики всплывают, то
подводимая к ней энергия. Н а з ы ­
другие, наоборот, входят в воду.
вается эта величина коэффициентом
полезного действия. С окращ енно его
А эти входящие в воду ящики
движ утся против архимедовой силы.
обозначаю т буквами К П Д . Коэф ф и­
К тому же входят они в воду
циентом полезного действия назы ­
внизу, где на них действует сила
вается величина, р а вн а я отношению
полезной работы ко всей соверш ен­
давлен ия всего столба воды, которая
ной работе. В ы р аж аю т К П Д в про­
еще больше, чем архимедова сила.
Подобные ошибки легко найти
центах. М ожно говорить и о К П Д
в любом проекте «вечного д ви га­
генератора, в котором один вид
теля». Попытки создать такое устрой­
энергии преобразуется в другой.
ство обречены на неудачу. Закон
В электрическом генераторе, напри­
сохранения энергии зап р ещ ает полу­
мер, механическая энергия п р ев р а­
чение работы большей, чем з а т р а ­
щ ается в энергию электрическую.
ченная энергия.
Здесь К П Д равен отношению полу­
З а д а ч а техники не в том, чтобы
ченной энергии одного вида к з а т р а ­
попытаться обойти закон сохранения
ченной энергии другого вида.
энергии, а в том, чтобы уменьшать
Коэффициент полезного действия
потери энергии в различных м аш и ­
не может быть больше единицы.
В реальных маш инах и генераторах
нах, двигателях, генераторах.
140
он всегда меньше единицы из-за
неизбежных потерь энергии, вы зв ан ­
ных прежде всего работой сил тре­
ния. Есть и другие причины потер!
энергии.
Подчеркнем еще раз, что слово
«потеря» не означает исчезновение
энергии. Оно только означает, что
часть энергии превращ ается тоже
в энергию, но не в ту, что нужна,
и поэтому теряется для полезного
использования.
Если обозначить К П Д буквой т]
(греческая буква «эта»), полезную
работу через А п и полную совер­
шенную работу через А е, то
Вопросы
1. Д ля ч е го с л у ж а т м аш ины ?
2. К а к у ю
роль
и гр а ю т
4. Ч то
д в и га те л и ?
Ге­
н е раторы ?
3. В
5. К у з н е ц
чем
состоит
идея
« в е ч н о го
дви­
гателя»? П о ч е м у о н а н е о с у щ е с тв и м а ?
ПРИМ ЕР
П од ъ ем ны й
времени
в ы со ту
50
кран
п р и в о д и тс я
по тре буе тся
м гр у з а
коэф ф ициент
п о л е з н о го
по
изделию
поднял
на
м олот
наковальне.
и
ударил
Какие
им
превра­
щ е н и я э н е р ги и п р о и с х о д я т п р и этом ?
РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧИ
ствие д в и га те л е м м о щ н о с ть ю
ко
такое
д ействия?
д ля
м ассой
в
дей­
10 к В т . С к о л ь ­
подъ ем а
2 т, если
на
КПД
Согласно условию задачи, полез­
но используется 75% работы. С ле­
довательно,
,
mgh
д в и га те л я ра в ен 7 5 % ?
0,75/V '
Р е ш е н и е . С помощью крана
долж на быть выполнена полезная
работа A „ = m g h . Вся совершен­
ная работа в ы раж ается равенством
А с = N t, где N — мощность д ви га­
теля, t — время работы крана.
После подстановки данных задачи
получаем:
М
2 -Ю 3 к г - 9,8 — -5 0 м
t = ---------------- ^ ------ - д а 130 с.
П74 . IП4
Упражнение 30
1. П о д ъ е м н ы й к р а н с н а б ж е н д в и га те л е м
м ощ ностью
7,36
кВ т.
О пределите
м ассу
гр у з а , п о д н и м а е м о г о с п о с т о я н н о й с к о р о с т ь ю
2. С а м о л е т л е ти т п р я м о л и н е й н о
си л у
со
тяги
скор остью
м оторов,
800
есл и
ра вна 1800 кВт, а К П Д —
3. Н а со с
к м /ч .
с м отором
20 м .
и рав­
Н а й д и те
м ощ ность
их
м ощ ностью
3 кВт
из
м ассу
колодца
поднятой
гл у б и н о й
воды,
если
на сос р а б о т а е т 2 ч, а К П Д е г о д в и га т е л я 7 0 % .
С п л о ти н ы ги д р о с т а н ц и и в ы с о т о й 30 м
каж дую
секунду
па д а ет
170 т в о д ы .
Э лек­
т р и ч е с к а я м о щ н о с т ь , д а ва е м а я э л е к т р о с т а н ­
ц ие й,
щ ения
70% .
воду
Н а й д и те
4.
6 м /м и н , если К П Д д в и га те л я 8 0 % .
номерно
подним ает
ра вна
10
М В т.
м еханической
К аков
э н е р ги и
КПД
превра­
в эле ктри че­
скую ?
141
§ 52. Д В И Ж Е Н И Е Ж И Д К О С Т Е Й
ЗАКОН
Закон сохранения энергии позво­
ляет понять практически важное
свойство движущ ихся по трубам
потоков жидкости и газов. С такими
движениями мы часто встречаемся
в технике, быту и в природе.
По трубам водопровода течет вода
в домах,
в машинах
подается
масло для смазки. По трубам нефтеи газопроводов текут нефть и при­
родный
газ.
Кровообращ ение у
человека и животных — это д в и ж е ­
ние крови по трубам — кровеносным
сосудам. Д а ж е течение воды в реках
можно считать движением жидкости
по трубам. Здесь русло реки — это
тоже «труба».
Вопреки закону Паскаля. К ак
известно,
неподвижная
жидкость
в сосуде, согласно закону П аскаля,
передает внешнее давление ко всем
точкам жидкости без изменения.
Но когда жидкость течет без трения
Р ис. 146
I
-£
__I
Р и с .147
142
(И
Г А З О В ) ПО Т Р У Б А М .
БЕРНУЛЛИ
по трубе
переменной
толщины,
давление в разных местах трубы
неодинаково.
О казы вается, в узких местах
трубы давление жидкости меньше,
чем в широких. Схематически это
показано на рисунке 146. Труба,
по которой течет жидкость, сн аб ­
ж ена впаянными в нее открытыми
трубками — манометрами. В узких
местах трубы высота столбика ж и д ­
кости меньше, чем в широких. Это
и значит, что в этих узких местах
давление меньше. Чем это о б ъ я с­
няется?
Скорость жидкости и сечение
трубы. Предположим, что жидкость
течет
по горизонтальной
трубе,
стечение которой в разных местах
различное (часть такой трубы изо­
б раж ен а на рисунке 147).
Выделим
мысленно
несколько
сечений в трубе, площади которых
обозначим через S b S 2, S 3 . За
какой-то промежуток времени t
через каж дое из этих сечений д о л ж ­
на пройти жидкость одного и того
ж е объема (одной и той же м а с с ы ).
Вся жидкость, которая за время t
проходит через
первое сечение,
д олж н а за это же время пройти
и через второе сечение, и третье
сечение. Если бы это было не так
и через сечение
площ адью
S3
за время t прошло меньше жидкости,
чем через сечение площ адью S 2,
то избыток жидкости долж ен был
где-то накапливаться. Но жидкость
заполняет трубу, и накапливаться
ей негде. Заметим, что мы считаем,
что жидкость данной массы повсюду
имеет один и тот же объем, что
она не может сж им аться (о ж и д ­
кости говорят, что она несж и­
маема) .
Бернулли
Д аниил
(1 7 0 0 — 1782) —
м атем атик
и
м еханик.
С 1725 п о 1733 г. р а б о т а л в А к а д е м и и н а ук в Р осси и, гд е ,
кром е
м атем атики
и
м еханики,
заним ался
такж е
ф изио­
л о ги е й . З д е с ь им на пи сана к н и га « Г и д р о д и н а м и к а » . В это й
кн и ге
Б ернулли
впервы е
вводит
понятие
работы ,
поль­
з у е т с я п о н я т и е м к о э ф ф и ц и е н т а п о л е з н о г о д е й с тв и я , п р и в о ­
дит
вы вод
уравнения, о п и сы в а ю щ е го
движ ение
идеальной
ж и д к о с т и , и з в е с т н о го п о д н а з в а н и е м з а к о н а Б е р н у л л и .
К ак же может жидкость, протек­
ш ая через первое сечение, «успеть»
за то же время протечь и через
значительно меньшее сечение пло­
щ адью S 2? Очевидно, что для
этого при прохож дении у з к и х частей
трубы скорость движ ения жидкости
долж на быть больш е, чем при про­
хож дении ш ироких. И в самом деле,
туристам, например, хорошо изве­
стно, что в узких местах реки ско­
рость течения всегда больше, чем
там, где река широко разливается.
Скорость и давление. Так как
при переходе жидкости с широкого
участка трубы в узкий скорость
течения увеличивается, то это з н а ­
чит, что где-то на границе между
узким и широким участками трубы
жидкость получает ускорение. А по
второму закону Ньютона д ля этого
на этой границе д олж на действовать
сила.
Этой силой может быть только
разность между силами давления в
широком и узком участках трубы
(ведь труба горизонтальная, т а к что
сила тяж ести везде один акова).
В широком участке трубы давление
долж но быть больше, чем в узком.
Этот вывод непосредственно сле­
дует из закона сохранения энергии.
Действительно, если в узких мес­
тах трубы увеличивается скорость
жидкости, то увеличивается, значит
и ее кинетическая энергия. А так
как мы условились, что жидкость
течет без трения, то этот прирост
кинетической энергии долж ен ком ­
пенсироваться уменьшением потен­
циальной энергии, потому что полная
энергия д о л ж н а
оставаться
по­
стоянной.
О какой же потенциальной энер­
гии здесь идет речь? Это не по­
тенциальная энергия m gh, ■потому
что труба горизонтальная и высота
h везде одна и та же. Измениться
на границе между широкой и узкой
частями трубы она
не может.
Значит, остается только потенциаль­
ная энергия, св язан н ая с силой
упругости. Сила давления ж и д кос­
ти — это и есть сила упругости
сжатой жидкости. В широкой части
трубы жидкость несколько сильнее
сж ата, чем в узкой. П равд а, мы
только что говорили, что жидкость
считается несжимаемой. Но это
значит, что жидкость не настолько
сж ата, чтобы сколько-нибудь з а м е т ­
но изменился ее объем. Очень
малое сжатие, вызываю щее п ояв­
ление силы упругости, неизбежно.
Оно-то и уменьшается в узких
частях трубы.
В этом и состоит закон (иногда
говорят,
п р инцип), открытый
в
1738 г. петербургским академиком
Даниилом Бернулли:
143
Ж уковский
ны й
в
Н иколай
области
Е го р о в и ч
м еханики,
(1 8 4 7 — 1921) —
русский
основополож ник
уче­
соврем енной
гид р о а эр о д ин а м ики , развитие ко то р о й н е разры вно связано с
пр о гр е ссо м
тором
сам ол етостроения.
и первы м
руководителем
а эр о гид р о д ин а м ич е ско го
Ж уковский
бы л
о р га н и з а ­
(с
1918 г.)
Ц е н тр а л ьн о го
и н с т и т у та
(Ц А Г И ).
Ж уковском у
п р и н а д л е ж а т м н о г о ч и с л е н н ы е о р и ги н а л ь н ы е и с с л е д о в а н и я в
о б л а с ти м е х а н и к и
т в е р д о г о тела, а с т р о н о м и и , м а т е м а т и к и ,
г и д р о д и н а м и к и и д р . О н я вл яе тся т а к ж е а в т о р о м у ч е б н и к о в
по т е о р е т и ч е с к о й м е х а н и к е .
Д авление жидкости, текущей в
трубе, больше в тех частях трубы,
где скорость ее движения меньше,
и наоборот, в тех частях, где
скорость больше, давление меньше.
Приведенные рассуждения и, сле­
довательно, выводы из них относи­
лись к случаю, когда жидкость, теку­
щую по трубе, можно было считать
замкнутой системой («ж идкость—
труба»). В реальных случаях жидкость
течет в трубе под действием внешней
силы, создающей разность давлений
на ее концах, где, кроме того,
действуют силы трения. И то и
другое нужно, конечно, учитывать
при расчетах. Но принцип Бернулли
остается верным и в этом случае.
Зависимость давления жидкости
от скорости широко используется
в технике. Приведем
некоторые
примеры.
В узких частях труб скорость
течения жидкости велика, а давление
мало (см. рис. 146). Можно, следо­
вательно, подобрать такое малое
сечение, чтобы давление в нем было
меньше
атмосферного.
Н а этом
основано действие водоструйного
насоса. Струю воды пропускают
через трубку А с узким отверстием
на конце (рис. 148). Д авление
жидкости у отверстия можно сделать
меньше атмосферного. Тогда в о з­
144
дух из откачиваемого сосуда через
трубку В
втягивается к концу
трубки А и уд аляется вместе с
водой.
За ко н Бернулли относится не
только к жидкости, но и к газу,
если газ не сж им ается настолько,
чтобы изменился его объем. Поэтому
в узких частях труб, по которым
течет газ, давление тож е может
быть сделано меньше атм осферно­
го. На этом основано действие
пульверизатора, в котором быстрый
поток газа
увлекает
за
собой
жидкость.
В некоторых случаях д а ж е не
нужна труба. К ажды й может про­
делать такой простой опыт: если
взять полоску бумаги и дуть вдоль
ее верхней поверхности (рис. 149),
то
полоска
поднимается
вверх.
Д авлени е газа над полоской меньше
д авлен ия снизу.
Почему летают самолеты? П охо­
жее явление д елает возможным
полет самолета. Встречный поток
воздуха
набегает
на
выпуклую
поверхность крыла летящ его сам ол е­
та и при н ад ле ж ащ ем выборе формы
(профиля) крыла и угла, под кото­
рым оно «встречает» воздушный
поток, давление над крылом о к а зы ­
вается меньше давления под ним
(рис. 150). Именно поэтому возни-
Рис. 148
Рис. 149
Вода
кает подъемная сила крыла. Каким
д олж ен быть профиль крыла, как
влияет угол встречи с потоком
воздуха — все это и многое другое
необходимо, конечно, рассчитывать.
Теорию крыла, позволяющую делать
такие расчеты, создал русский уче­
ный Н. Е. Ж у к о в с к и й , которого
В. И. Ленин назвал «отцом рус­
ской авиации».
Вопросы
1. П о ч е м у
в
узких
частях
трубы
ско­
4. К к а к о м у в и д у м е х а н и ч е с к и х си л от­
р о с ть д в и ж е н и я ж и д к о с т и б о л ь ш е , чем в ш и ­
н о с и тс я
р о ки х?
к о с т и в у з к и х м е ста х трубы ?
2. В чем с о с т о и т з а к о н Б ернулли?
3. М о ж н о
нул ли —
ли
считать,
что
за к о н
сила,
5. П о ч е м у
Бер­
с л е д с т в и е за к о н а с о х р а н е н и я э н е р ­
ускоряю щ ая
на
движ ение
наконечниках
жид­
пож арных
ш л а н го в о т в е р с т и я узкие?
6. В че м р а з л и ч и е м е ж д у в о д о с т р у й н ы м
насосом и пульверизатором ?
гии?
САМОЕ
ВАЖ НОЕ В СЕДЬМ ОЙ
ГЛАВЕ
Р абота силы — это ск ал яр н ая величина, р авн ая произведению
модуля силы, приложенной к телу, на модуль его перемещения
и на косинус угла между направлениями векторов силы и
перемещения. О работе силы можно говорить лишь в том
случае, когда сила приложена к движ ущ емуся телу.
Если к движ ущ емуся телу приложено несколько сил и их
геометрическая сумма равна нулю, то алгебраическая сумма
работ этих сил равна нулю, но работа каждой из сил не равна
нулю.
В результате действия силы на тело изменяется его кинетити2
.
ческая энергия ■■■—- . Ее изменение равно совершенной работе.
145
Когда на тело действует сила тяжести (вообще, сила всемир­
ного тяготения) или сила упругости, то изменение кинетической
энергии сопровождается изменением потенциальной энергии,
причем эти изменения равны по модулю, но противоположны
по знаку.
П отенциальная энергия тела, на которое действует сила
упругости, равна
kx?
> где
х — удлинение
пружины
и
k — ее
жесткость. Если к телу приложена сила тяжести, потенциаль­
ная энергия равна m g h , где h — высота над уровнем, выбранным
нулевым, т — масса тела и g — ускорение свободного падения.
Д л я замкнутой системы взаимодействующих тел, если тела
взаимодействуют силами всемирного тяготения или силами
упругости, справедлив закон сохранения полной механической
энергии: полная м еханическая энергия замкнутой системы тел
остается неизменной.
Зако н сохранения энергии и закон сохранения импульса
относятся к числу основных законов физики. Импульс и механи­
ческая энергия—это характеристики движения. Сохранение этих
величин означает сохранение движения: движение не может
быть создано, оно не может исчезнуть. В самом деле, когда д в и ж у ­
щееся тело останавливается,1' то можно как будто бы сказать,
что его движение исчезло. Когда покоящееся тело приходит
в движение, то как будто бы возникло движение, которого
прежде не было. Законы сохранения импульса и энергии п оказы ­
вают, что это не так. Ведь если движ ущ ееся тело остановилось,
то его остановка вы звана взаимодействием с каким-то другим
телом, действием какой-то силы. Если это сила трения, то это
значит, что вместо «исчезнувшего» механического движения
тела появилось другое движение — движение частиц внутри
взаимодействующих тел (оба они нагреваю тся). Если причина
остановки — другие силы, то это значит, что вместо одного
механического движения появилось механическое движение д ру ­
гого тела, которому остановившееся тело как бы передало
свои импульс и энергию.
Таким образом, движение может изменять свою форму,
оно может передаваться от одного тела к другому. Но при всех
таких изменениях выполняются законы сохранения импульса
и энергии. Не может быть такого явления, процесса в природе,
в котором энергия и импульс исчезли бы без компенсации.
Если же энергия какой-то системы тел изменяется, то это значит,
что система
незамкнутая.
Но тогда
изменение
вызвано
действием каких-то тел, не входящих в систему. В этом случае
изменение энергии равно работе внешних сил, а изменение
импульса — импульсу внешних сил.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
8. Механические колебания
9. Волны
ГЛА ВА 8
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Д В И Ж Е Н И Е , КОТОРОЕ ПОВТОРЯЕТСЯ
Своеобразные движения, которые
назы ваю тся
колебательными
или
просто колебаниями, всем хорошо
известны. Они широко распростра­
нены в окруж аю щ ей нас жизни.
Колеблются ветки деревьев во время
ветра, качели, отклоненные от вер­
тикали, вагоны на рессорах при
движении и т. д.
В этой книге колебания уже
упоминались д важ ды .
В § 17 мы видели, что коорди­
наты х и у тела, равномерно д в и ­
ж ущ егося по окружности, изме­
няются со временем так, что их
значения периодически повторяют­
§ 53. КО ЛЕБАНИЯ
ТЕ Л А
НА
На рисунке 151, а показана
пружина и скрепленное с ней тело.
П руж и н а пока не деформирована
(не с ж а т а и не р ас тян у та), так
что на тело сила упругости не
действует. Будем считать, что сила
трения тела об опору равна нулю.
Сила тяж ести уравновеш ена силой
реакции опоры. Вся система нахо­
дится в состоянии равновесия.
Направим координатную ось X
вдоль опоры, а за начало отсчета
примем центр тяжести тела в поло­
жении равновесия (х = 0).
Отведем тело влево от положения
равновесия на некоторое р ассто я­
ние А (рис. 151, б ). Пружина
ся, или колеблются. В § 27 мы
говорили, что тело, подвешенное
на пружине, мож ет соверш ать коле­
бательное движение, если его то л ­
кнуть в вертикальном н ап р ав л е­
нии (хотя может и не соверш ать
его — оно может просто висеть на
пружине, не д вигаясь!).
В сякая система, которая может
соверш ать (но может и не совер­
шать!)
колебательные движения,
н азы вается колебательной системой.
Тело, скрепленное с пружиной,—
одна из таких систем. С движением
этой системы мы прежде всего и
ознакомимся.
ПРУЖ ИНЕ
окаж ется сжатой, и на тело будет
действовать сила упругости, н ап р ав ­
ленная вправо. Отпустим тело и
пружину. Тело станет двигаться с
ускорением вправо и дойдет до
положения равновесия, но не о с т а ­
новится в нем, а вследствие инерции
перейдет его и отклонится вправо
на расстояние, тоже равное А
(рис. 151, в ) . Теперь пружина
растянута, на тело действует сила,
направленная
влево,
куда
тело
после мгновенной остановки и начнет
двигаться. Оно снова пройдет через
положение равновесия (теперь уже
справа налево) и опять отклонится
от него на расстояние А, т. е.
147
Рис. 151
а
МММ-
1
вернется в точку, откуда оно начало
свое движение (рис. 151, г ). З а ­
вершено одно колебание, и начинает­
ся следующее, во всем на него
похожее.
Мы видим, что в любой точке
траектории колеблющегося тела си­
ла упругости направлена к полож е­
нию равновесия, т. е. противополож­
но отклонению от него. Эта сила
пропорциональна отклонению х, и ее
проекция на ось X равна: (F y„p ) x =
= — kx. Отклонение тела от поло­
ж ения равновесия назы ваю т сме­
щением.
Механические колебания, кото­
рые происходят под действием силы,
пропорциональной смещению и н а­
правленной противоположно ему,
назы ваю т гарм оническим и ко леб а ­
ниями.
Амплитуда колебания. Из описа­
ния гармонического колебания вид­
но, что траектория такого колеба­
148
тельного движения — прямая. При
этом колеблющееся тело не у д ал яет­
ся от положения равновесия на р а с ­
стояние, большее, чем А. Это наи­
большее (по модулю) отклонение
тела
от
положения
равновесия
назы вается амплитудой колебания.
Она зависит только от того, на
сколько тело было отведено от
положения равновесия перед тем,
как его предоставили самому себе.
Период и частота колебаний.
На
то, чтобы
совершить одно
полное колебание, требуется опреде­
ленное время. Продолжительность
одного полного колебания н азы ва ет­
ся периодом колебания. О бозначаю т
период буквой Т и в ы раж аю т в
секундах. Колебания характеризую т­
ся так ж е частотой колебаний. Ч а с ­
тота колебаний — это число коле­
баний в единицу времени. О б о зн а­
чают частоту греческой буквой v.
З а единицу частоты принимают
частоту такого колебания, при кото­
ром в единицу времени соверш ает­
ся одно колебание. Эта единица
назы вается г е р ц
(Гц): 1 Гц =
= 1 с
М еж ду периодом колебания и его
частотой связь, очевидно, т а к а я же,
как и между периодом обращ ения
тела по окружности и частотой
обращ ения (см. § 16):
Скорость и ускорение при коле­
бательном движении. К ак и другие
движения, колебательное движение
характеризуется скоростью и уско­
рением. При колебательном д в и ж е ­
нии обе эти величины изменяются
от точки к точке, от одного момента
времени к другому. Так, в точках
максимального отклонения от поло­
жения равновесия (х = А и х = —А )
скорость равн а нулю — в этих точках
тело останавливается, чтобы начать
движение в обратном направлении.
В точке равновесия скорость м ак­
симальная.
Ускорение,
наоборот,
в точке равновесия равно нулю,
потому что в этой точке сила
равна нулю. В точках же, соответ­
ствующих максимальному отклоне-
нию от положения равновесия (х =
= А и х = — А ), ускорение м ак­
симальное, потому что в этих точках
сила упругости максимальна. Итак,
скорость и ускорение, как и коорди­
ната, в колебательном движении
изменяются
периодически.
Через
каждый период Т модуль и н ап р ав ­
ление векторов скорости и ускорения
повторяются.
Вопросы
1. К а к о е
те л ьн ы м ?
В
движ ение
че м
на зы вается
гл а в н о е
отличие
колеба­
е го
от
д р уги х движ ений?
5. К а ки е
величины ,
ко л еб а тел ьное
хар акте ри зую щ и е
движ ение,
изм еняю тся
пе­
риодически?
2. Ч то т а к о е п е р и о д к о л е б а н и й ? Ч то та­
6 . Ч то м о ж н о
сказа ть
о
си л е,
которая
к о е частота к о л е б а н и й ? К акова связь м е ж д у
д о л ж н а д е й с тв о в а ть в к о л е б а т е л ь н о й с и с те ­
ним и?
м е, чтоб ы она соверш ала га р м о н и ч е ски е к о ­
3. С и с те м а к о л е б л е тс я с ч а с то то й
1 Гц.
4. В
каких
то ч к а х
траектор ии
лебания?
7. К а ко е
Ч е м у р а в е н п е р и о д кол еб а ни я?
колеб­
леблю щ ееся
л ю щ е г о с я те л а с к о р о с т ь р а вн а нул ю ? У с к о ­
р а в е н ^путь,
р е н и е р а в н о нул ю ?
врем я?
перем ещ ение
соверш ит
тело
период?
за
один
пройденны й
телом
за
ко­
Чему
это
же
§ 54. ЭНЕРГИЯ К О Л Е БА ТЕ Л ЬН О ГО Д В И Ж Е Н И Я
Мы видели, что если тело, при­
крепленное к пружине, было перво­
начально отклонено от положения
равновесия на расстояние А , н а ­
пример,
влево, то оно, пройдя
через положение равновесия, откло­
нится вправо. И мы утверждали,
что и вправо оно отклонится на
расстояние А . Но откуда это сле­
дует? Почему отклонения вправо и
влево при колебаниях непременно
должны быть одинаковыми? Это,
оказы вается, следует из закона со­
хранения энергии.
И з предыдущей главы мы знаем,
что потенциальная энергия сжатой
или растянутой пружины
равна
kx^
—т—, где k — жесткость пружины
и х — ее удлинение. В нашем при­
мере (см. рис. 151) в крайнем
левом положении удлинение пруж и­
ны х = — А , следовательно,
kA2
циальная энергия равна - у - -
потенКи­
нетическая энергия в этот момент
равна нулю, потому что нулю равна
скорость.
Значит,
потенциальная
м 2
энергия —-------это полная м еха н и ­
ческая энергия системы в этот
момент.
Так как мы условились, что си­
л а трения равн а нулю, а другие
силы уравновешены, то нашу систему
можно считать замкнутой и ее
полная энергия при движении не
может измениться. Когда тело при
своем движении окаж ется в к р ай ­
нем правом положении
(х — А ),
его кинетическая энергия снова
будет равна нулю и полная энергия
опять равна потенциальной. А пол­
ная энергия не может измениться.
149
Значит, она снова равна
Это
и означает, что и вправо тело
отклонится на расстояние, равное А.
В положении равновесия, н а ­
против, потенциальная энергия р а в ­
на нулю, потому что х = 0 (пружина
не деф орм ирована!). В этом поло­
жении полная энергия тела равна
т. е. полная энергия в любом поло-
kA2
жении тела, равна - у - .
П о лн а я
м еханическая энергия W к о л еб лю ­
щ егося тела пропорциональна к ва д ­
рату амплитуды его колебаний:
m vi,
его кинетическои энергии —к— , где
т
— масса тела и
и т
— его скорость
(она в этот момент максимальна!).
Но эта кинетическая энергия тоже
долж н а
иметь значение,
равное
kA2
~2~'
При
колебательном движении
происходит, следовательно, п ревра­
щение кинетической энергии в потен­
циальную и обратно. В любой же
точке между положениями равн о­
весия и максимального отклонения
тело обладает и кинетической энер­
гией и потенциальной, но их сумма,
Из закона сохранения энергии
следует
интересное
соотношение
между амплитудой колебаний А
и максимальной скоростью vm ко­
леблю щегося тела (оно нам будет
необходимо в дальнейш ем).
Как мы видели,
mv'm
kA 2
2 '
Отсюда
_А_
Vm
Вопросы
1. В
каких
то ч к а х
траектории
колеб­
чи на
п о с то я н н а я
н о й э н е р ги е й ?
т и ч е с к о й и п о т е н ц и а л ь н о й эн е р ги и ?
2. В к а к о й
тело
точке
обладает
траектории
только
колеблю ­
кинетической
э н е р ги е й ?
3. П ри д а н н о й а м п л и т у д е к о л е б а н и й п о л ­
ная э н е р ги я к о л е б л ю щ е г о с я те л а есть в е л и ­
4. З а ви си т
ли
ли
то
временем
н я е т с я ).
щ ееся
М ож но
(с о
л ю щ е е ся тело обладае т то л ько по тен циал ь­
же
э н е р ги я
не
сказа ть
о
изм е­
кине­
ко л е б л ю щ е го ся
тела о т е г о массы?
5. Ч е м у р а вн а п о л ная э н е р ги я к о л е б л ю ­
щ е го с я
те л а
в
произвольной
точке
траек­
тории?
§ 55. ГЕО М ЕТРИ ЧЕС КАЯ М О Д Е Л Ь К О Л Е БА ТЕ Л ЬН О ГО Д В И Ж Е Н И Я
Как и для всякого движения,
для
колебаний
нужно
получить
формулу, позволяющую реш ать о с ­
новную задачу механики — опреде­
л ять координату в любой момент
времени. Кроме того, поскольку
колебания — движение периодичес­
кое, нужно уметь вычислять пе­
риод колебаний.
150
Чтобы найти зависимость коор­
динаты
колеблющегося
тела
от
времени, нужно, как мы знаем,
решить уравнение второго закона
Ньютона. Но сила, действую щ ая на
колеблющееся тело, переменная, и
решить уравнение обычным ал г еб ­
раическим способом нельзя (об этом
говорилось и в § 27).
Но мы все же найдем и ф о р ­
мулу для координаты и формулу
для периода, если рассмотрим вместо
движ ения тела, скрепленного с пру­
жиной,
вполне сходное с ним
движение.
Пусть маленький шарик М р а в ­
номерно движется по окружности
со скоростью v. Радиус окружности
мы на этот раз обозначим буквой А .
Д ви ж ени е шарика по о к р у ж ­
ности — это тож е движение периоди­
ческое. Ведь ш арик через опреде­
ленный
промежуток
времени
Т
(период обращ ения) оказы вается в
том же самом месте. Но это
движение не колебательное, и оно
не похоже
на движение тела,
скрепленного с пружиной: тело на
пружине движ ется «туда-сюда», а
шарик — только «туда», по часовой
стрелке или против часовой стрелки.
Рассмотрим, однако, не д в и ж е ­
ние ш арика, а движение его проек­
ции на горизонтальный диаметр
окружности. Вдоль диаметра н а­
правим
координатную ось X с
началом отсчета в центре О о к р у ж ­
ности (рис. 152). И з рисунка видно,
что при движении
шарика
по
окружности его проекция М ' совер­
шает колебания вдоль диаметра,
т. е. вдоль оси X. Именно такое
колебательное движение мы увидим,
если станем смотреть на шарик
«сбоку», поместив глаз в плоскости
обращения. Ясно, что движение
проекции — это точная геометриче­
ская модель колебательного д в и ж е ­
ния тела (его центра т я ж ести ),
скрепленного с пружиной. Центр
окружности О здесь играет роль
точки равновесия (л: = 0). Амплиту­
да колебания проекции М ' равна
радиусу А окружности. А период
колебания Т равен периоду о б р а щ е ­
ния ш арика по окружности.
Скорость
движ ения
проекции
М ' тоже «ведет себя» совершенно
так же, как скорость тела, прикреп­
ленного к пружине. В тот момент,
когда ш арик при своем движении
проходит точку
а
(рис.
153),
скорость его равна v и направлена
параллельно оси X. В этот момент
проекция М ' проходит через центр
окружности О и проекция v x скорос­
ти цо модулю равна v. Это макси­
мальное значение скорости проекции
М ': vxm = v. Когда ш арик М прохо­
дит точку Ь, скорость ш арика по
модулю равна и, но направлена
перпендикулярно оси X, так что
проекция скорости
равна
нулю.
Таким образом, в положении х = 0
скорость максимальна, а в полож е­
нии х = А она равна нулю. Так
ж е изменяется и скорость колеблю­
щегося тела
на
пружине.
Это
подобие движ ения тела, прикреп­
ленного к пружине, и проекции
тела, равномерно дви ж ущ егося по
151
окружности, позволяет нам получить
формулы для координаты и периода
колеблющегося тела.
Период колебаний. Период о б ­
ращ ения ш арика по окружности мы
найдем, если разделим длину о к р у ж ­
ности 2 л А на скорость движения
ГТ
1 2Л^\
у I
.Т'
v: Т = — • Но
Т — это
период
колебания проекции М ', а скорость
v — это в то же время максимальная
скорость движения проекции: vxm —
= v. Следовательно, мы можем н а­
писать:
j,
2 лА
V xm
В предыдущем п арагр аф е мы
получили выражение для отношения
амплитуды колебания к м акси м аль­
ной
скорости:
— = -л/-^-. Ввиду
Vm
V
полного сходства колебаний проек­
ции тела, равномерно движ ущ егося
по окружности, и тела, скрепленного
с пружиной, мы можем написать
для периода колебаний формулу:
некоторый промежуток времени t
шарик о к а зал ся в точке Ь, а его
проекция в точке Ь', так что
координата шарика равна х. П р о ­
ведем радиус и в точку Ь. З а
время t ш арик прошел путь l = a b ,
а его проекция совершила переме­
щение, равное х. При этом радиус,
проведенный к шарику, повернулся
на угол ф. И з треугольника O bb'
находим, что ^ - = s i n c p , отсюда
л: = у4 sin ф.
(2)
Угол ф — это центральный угол.
А дуга, стягиваю щ ая центральный
угол, ка к известно из геометрии,
равна произведению угла на радиус
окружности, поэтому мы можем на­
писать: / = Лф. С другой стороны,
.
,
2лА
.
l = vt, a v = —jr~ , так что д ля /
мы получаем ещ е одно выражение:
/=
П р и р авн ивая
или
О!
П ериод колебаний тела, скреп­
ленного с пружиной, тем больше,
чем больше масса тела, и тем
меньше,
чем
больше
жесткость
пружины. От амплитуды колебаний
период колебаний не зависит.
Как изменяется координата ко­
леблющегося тела со временем?
Обратимся опять к движению ш ари ­
ка по окружности и к движению
его проекции на горизонтальный
диаметр (рис. 154). Пусть в какой-то
момент времени ш арик находится в
точке а. Проекция его в этот момент
проходит через центр окружности О.
Проведем в точку а радиус. Через
152
в ы р а­
жения д ля /, находим:
Аф=
=2л_Л/х
оба
2яА
-t,
2л ,
ф = — t.
Подставив это значение ф в ф орм у­
лу (2), получаем:
х = А sin у t.
( 3)
Эта формула показывает, как коор­
дината колеблющегося тела и з­
меняется со временем. Это и есть
решение основной задачи механики
для колебательного движения.
Формулы (1) и (3) — основные
формулы колебательного движения.
Мы их получили для модели (гео­
метрической) колебательного дви-
жения. Но ввиду того, что это
очень точная модель, полученные
формулы справедливы и для реаль-
ного гармонического колебательного
движения, в частности для колебаний тела, прикрепленного к пружине.
Вопросы
1. В
чем
состоит
сходство
3. Как изменится период колебаний тела
движения
тела, скрепленного с пружиной, и движ е­
ния проекции тела, равном ерно вр ащ а ю ­
на
щегося по окружности?
2. От
каких
пружине,
если
увеличить
массу
тела
в 4 раза?
4. Как изменится период колебаний те­
величин
зависит
период
колебаний тела на пружине?
ла
на
пружине,
другой,
с
если
вчетверо
заменить
больш ей
п р уж и н у
жесткостью?
З адани я
1.
Выведите ф о р м у л у для определения
Напишите ф о р м у л у
2.
частоты колебаний тела, скрепленного с п р у­
нее входил
жиной.
тота v колебаний.
не период
(3) так,
чтобы
в
Т колебания, а час­
Упражнение 31
1. Ч е м у
массой
100
равна
частота
колебаний
г, прикрепленного
к
3.
тела
пружине,
ней
тело
массой
с
к пруж ине, со­
некоторы м
перио­
Если fвeличить массу тела на 60 г, то пе­
2. Ч е м у равна жесткость пружины, если
с
колебания
д о м Т.
жесткость которой равна 40 Н /м ?
скрепленное
Тело, прикрепленное
верш ает
30
г со­
верш ает за 1 мин 300 колебаний?
§ 56. М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й
риод
колебаний
удваивается.
Какова
пер­
воначальная масса тела?
М АЯТНИК
Рассмотренный нами пример ко­
лебательного д виж ения тела, скреп­
ленного с пружиной, показывает,
что такое движение происходит,
если: а) сила, действую щ ая на тело
в любой точке траектории, н ап р ав ­
лена к положению равновесия, а в
самой точке равновесия рав н а нулю;
б) сила пропорциональна отклоне­
нию тела от положения равновесия.
Именно такой силой явл яется сила
упругости. З н ач и т ли это, что воз­
можны
гармонические колебания
только под действием силы упругос­
ти? О казы вается, нет. В сякая другая
сила (или равнодействую щ ая не­
скольких сил), удовлетворяю щ ая
условиям а) и б ), з ас тав л я ет тело
соверш ать гармонические колеба­
ния. С одной такой колебательной
системой, в которой действует не
только сила упругости, мы и п озна­
комимся.
М атематическим маятником н а­
зы вается подвешенный к тонкой
нити груз, размеры которого много
меньше длины нити, а его масса
много больше массы нити. Это
значит, что тело (груз) и нить
должны быть такими, чтобы груз
можно было считать материальной
точкой, а нить невесомой.
Когда нить с подвешенным к
ней грузом зан и м ает вертикальное
положение, маятник покоится. Это
его положение равновесия (рис. 155).
Если отвести маятник в сторону,
например до положения А (рис.
156, а ), он начнет соверш ать ко­
лебания.
Н а первый взгляд может пока­
заться,
что движение
маятника
153
Рис. 156
Рис. 155
Fy n p
б
совсем не похоже на движение
тела, скрепленного с пружиной.
Ведь это тело колеблется по прямой,
а груз на нити движ ется по дуге
А В . Но если отклонить маятник на
достаточно малый угол, например
не до точки А , а до точки а
(рис. 156, б ), то дуга будет очень
мало отличаться от прямой (от
хорды). При малых углах отклоне­
ния
колебания
математического
м аятн ика становятся похожими на
колебания тела, прикрепленного к
пружине (комбинацию «тело — пру­
ж и н а» часто называют пружинным
м аятником). А причина сходства
в том, что сходны силы, вы зы ваю ­
щие колебания в обеих системах.
Сила, вызывающая колебания
маятника. В положении равновесия
(см. рис. 155) на подвешенный
к нити груз действуют сила т я ж е с ­
ти
FT= m g
и
сила
упругости
F ynp натянутой нити. М аятни к по­
коится, значит, эти силы у р ав н о­
вешиваю т одна другую:
F т + F y np = 0 .
(1)
Но вот маятник отклонен на
малый угол а (рис. 157). На груз
по-прежнему действуют силы г т
и г упр. Но теперь они не у р а в ­
154
новешены. Их равнодействую щ ая F
н ап равлен а по касательной к дуre А Е . Если угол а , как^м ы у сло­
вились, мал, то дуга А Е , по котоцой д ви ж ется груз, очень мало
отличается от полухорды А В . Поэ-.
тому мож но считать, что груз м а ­
ятника дви ж ется по хорде, вдоль
которой мы направили коорди нат­
ную ось X.
Вместо равенства (1) мы д о л ж ­
ны теперь написать:
F = F r + F yn,
(2)
Запиш ем
равенство
(2)
для
проекций векторов сил на касательную к дуге А Е . Но при малом
угле а можно считать, что эти
проекции есть в то же время проек­
ции на ось X:
FX= ( F T)X.
Проекция Fx равнодействующей F
равна проекции ( F T) X силы тяж ести
F T, т а к ка к проекция на касательную
силы упругости
равна нулю.
И з рисунка 157 видно, что (F T) X
по модулю равно m g sin а .
Из
треугольника ОВ А имеем s i n a = - ^ —,
где х — отклонение груза от полож е­
ния равновесия, / — длина подвеса.
Тогда предыдущее выражение м о ж ­
но записать
Fx =
Рио. 157
(3)
-х.
З н а к «— » означает, что сила
н аправлена против смещения.
F
Период колебаний маятника. Си­
ла F — это та сила, которая з а ­
ставляет маятник колебаться. Из
формулы (3) видно, что эта сила
очень похожа на силу упругости,
заставл яю щ у ю колебаться пружин­
ный маятник ( ( / ;,упр) х= — k x ) . Р а з ­
ница только в том, что вместо
жесткости пружины k здесь стоит
(4)
В данном месте Земли, где уско­
рение свободного падения g есть
постоянная величина, период коле­
бания маятника определяется только
длиной его подвеса.
Поскольку любой маятник имеет
вполне определенный период коле­
баний, маятники используют для
регулировки хода часов. П рименяю т­
ся маятники с периодами колебаний
2 с (большие маятниковые ч асы ),
либо 1 с («ходики»).
М аятник находит т а к ж е важ ное
применение в геологической р азв ед ­
ке. Известно, что в разны х местах
земного ш ара значения g различны.
Различны они потому, что Зем л я —
не вполне правильный шар. Кроме
того, в тех местах, где залегаю т
плотные породы, например некото­
рые металлические руды, значение
g аномально высоко. Точные изме­
рения g с помощью математического
маятника иногда позволяют о б н а­
ружить такие месторождения.
И з формулы (4) видно, что пе­
риод колебаний
математического
маятника не зависит от массы
подвешенного груза и амплитуды
колебаний (если она м ала!).
мы получили формулу, в ы раж аю щ ую
зависимость координаты колеблю­
щегося
тела
от
времени.
Она
относится не только к пружинному,
но и к математическому маятнику.
величина
■ Как
и
сила
F упр’
v
сила F пропорциональна отклоне­
нию х тела от положения р авн о­
весия и н аправлена в сторону про­
тивоположную
смещению
( Fx =
= — '^y-x'j. В этом и состоит при­
чина сходства движ ения м а тем а­
тического и пружинного м аятни­
ков. Одинаковые причины приводят
к одинаковым следствиям. В таком
случае значение периода колебаний
математического маятника мы полу­
чим, если
в формулу
вместо k подставим
mg
Т = 2л
. Тогда пе­
риод Т колебаний MaTeMafnnecKoro
маятника будет равен:
Т = 2л"Л/—
в
График гармонического колеба­
ния. В предыдущем параграф е
155
Р ис. 158
п тг}
L
В.
Р и с .1 5 9
Р и с .160
156
....... ........ т
Более наглядное представление о
характере гармонического колебания
можно получить из графика такого
д вижения. И зобразить такой граф ик
можно «поручить» самому колеблю­
щемуся телу. Д л я этого к нему
прикрепляют какое-нибудь легкое
пишущее
устройство
(к аран даш ,
перо), а под ним помещают б у м а ж ­
ную ленту. Если во время колебаний
маятника ленту двигать с некоторой
постоянной скоростью в н а п р а в л е ­
нии, перпендикулярном направлению
колебаний, то на ней появится
кривая, к а ж д а я точка которой соот­
ветствует положению пера, а значит,
и тела в различные моменты времени.
На рисунках 158 и 159 показаны
устройства для получения граф ика
и сам график. К ривая, графически
и зо б р а ж а ю щ а я зависимость коорди­
наты от времени, н азы вается си н у­
соидой. Ранее мы установили, что
координата х изменяется по закону
синуса (форм ула 3, § 55).
Тот ж е результат (синусоиду)
можно
получить совсем
просто.
Возьмите в руки мел и чертите
им на доске вверх-вниз, одновре­
менно д ви гаясь вдоль доски (по
возможности равномерно).
Вычерчивая таким способом г р а ­
фик колебаний, мы, как говорят,
«разверты ваем » колебание во в ре­
мени. Равномерное движение бу­
мажной ленты как бы символизи­
рует течение времени. Такие графики-развертки очень наглядно п о ка­
зы ваю т основные характеристики
колебательного движ ения — а м п л и ­
туду, период, а значит, и частоту
(см. рис. 159). По граф икам к о л еб а­
ний удобно сравнивать различные
виды колебаний. На рисунке 160, а, б,
например, показаны два колебания
с одинаковой амплитудой, но с р а з ­
ными частотами. На рисунке 161
мы видим два колебания с одина-
новыми частотами, но с разными
амплитудами.
Напомним еще раз, что формула
(3) и графики на рисунках 156—
159 относятся к случаям, когда
угол отклонения маятника от верти­
кали (т. е. от положения равн ове­
сия) мал. Он не долж ен превышать
5 — 10°.
Рис. 161
Вопоосы
1. К а к и е си лы д е й с т в у ю т пр и д в и ж е н и и
м а т е м а т и ч е с к о г о м аятника?
2. К а к и м и
веш енны й
должны
к
ней
5. К ак
б ы ть
гр уз,
нить
и
чтоб ы
под­
м а я тн и к а
период
зам енить
гр уз
колебаний
д р уги м ,
по
м а я тн и к
6. К ак
3. П р и к а к и х о т к л о н е н и я х о т п о л о ж е н и я
колебания
есл и
м а ссе в д в о е м е н ь ш и м ?
м о ж н о б ы л о с чи та ть м а т е м а т и ч е с к и м ?
равновесия
и зм е нится
м а я тн и к а ,
будут
га р ­
и зм е ни тся
м а я тн и к а ,
есл и
7. С п р а в е д л и в а
н и ка с д л и н о й п о д в е с а 1 м?
колебаний
длину
подвеса
в 4 раза?
м оническим и?
4. Ч е м у р а в е н п е р и о д к о л е б а н и й м ая т­
период
ум еньш ить
д ы д у щ е го
ли
п а р а гр а ф а
ф орм ула
д ля
(3 )
пре­
м а т е м а т и ч е с к о го
м ая тни ка?
Упражнение 32
1. М а я т н и к
соверш ает
за 30 с. Ч е м у р а в н ы
24
период
колебания
и ча стота е го
колебаний?
ч а с то т о й о н к о л е б л е тс я ? Ч е м у р а вн а а м п л и ­
колебаний
м а я тн и к а ,
если
он
откло­
не н о т в е р ти к а л и на 5°?
3. М а я т н и к ,
ш ал
0,5
которы й
свободны е
Гц,
ч а с то т о й
м ая тник
будет
ко­
л е б а ть с я на п о в е р х н о с т и Л у н ы , г д е у с к о р е ­
ни е с в о б о д н о г о п а д е н и я в 6 р а з м е н ь ш е , ч е м
2. Д л и н а п о д в е с а м а я тн и к а 98 м . С к а к о й
туда
Л у н у . С ка р о й
был
4.
на
Зем ле
с
совер­
ча с то то й
косм онавтам и
§ 57. К О Л Е Б А Н И Я
И
на
пущ ены .
м а я тн и к а
П ервы й
4
м
м еж уток
за э т о
отклон ены
от
своих
же
м ая тник
соверш ил
врем ени
врем я
15
за
длиной
под­
некоторы й
с
про­
колебаний.
соверш ил
В то р о й
10 к о л е б а н и й .
К а к о в а д л и н а в т о р о г о м аятника?
ВНЕШ НИЕ
Мы
познакомились
с двумя
колебательными системами — с пру­
жинным и математическим м аятн и ­
ками. Пружинный
маятник — это
система «тело — пружина». М ате м а­
тический маятник — система «нить —
груз — Земля». В этих системах,
когда они выведены из состояния
равновесия, возникают колебания,
очень похожие друг на друга —
Д ва
п о л о ж е н и й равновесия и о д н о в р е м е н н о от­
веса
колебания
доставлен
на З ем ле?
СИЛЫ
гармонические колебания. При этом
мы
считали,
что
колебательное
движение определяется в них только
силами, действующими в самой сис­
теме. В пружинном маятнике —
это сила упругости деформированной
пружины. В математическом м а я т ­
нике — это сила упругости натянутой
нити и сила тяж ести. Сходством
этих сил и объясняется сходство
157
движений в обеих системах. Внеш­
ние силы, в частности сила трения,
на системы не действуют.
К олебания в таких системах,
не подверженных действию внешних
сил, называются свободными. И н о­
гда их назы ваю т так ж е собственны­
ми колебаниями.
Свободные колебания—«вечные»
колебания. Колебательные системы,
на которые не действуют внешние
силы,— это замкнутые системы. А в
замкнутой системе полная энергия
сохраняется, происходит только пре­
вращение потенциальной энергии в
кинетическую и обратно. Энергия
колебаний определяется квадратом
амплитуды колебаний. Поэтому сво­
бодные колебания — это колебания
с постоянной амплитудой. Маятник,
выведенный из положения равн о­
весия, долж ен колебаться вечно! *
Влияние силы трения. Затухание
колебаний. Иногда действительно
можно наблю дать колебания, д л я ­
щиеся
поразительно долго.
Н а­
пример, длинный маятник, отклонен­
ный на малый угол, может в
течение многих часов совершать
колебания с постоянной амплитудой.
Однако, как бы долго ни продол­
ж ались свободные колебания м а я т ­
ника, он в конце концов все-таки
останавливается,
колебания,
как
говорят, затухают. «Виновата» в
этом сила трения, которая в р еаль­
ных земных условиях действует
на все, что движется.
Р и с.162
158
Сила трения, как мы знаем,
направлена в сторону, противопо­
ложную движению, поэтому она со­
верш ает отрицательную работу. А
мы знаем (см. § 49), что если
работа отрицательна, то полная
механическая энергия уменьшается.
Уменьшение энергии озн ач ает умень­
шение амплитуды. В этом уменьш е­
нии амплитуды и состоит затухание
колебаний. Зат ухаю щ ие к о л е б а н и я —,
это колеб ания с ум еньш аю щ ейся
амплитудой. Чем сила трения б оль­
ше, тем быстрее уменьшается ам пл и ­
туда. На рисунке
162 показан
график такого затухаю щ его коле­
бания. Если сила трения достаточно
велика, колебания вообще не в о з­
никают. Отклоненный от положения
равновесия маятник просто посте­
пенно в озвращ ается в это полож е­
ние.
Вынужденные колебания. З а т у ­
хающие колебания нельзя считать
свободными колебаниями, посколь­
ку свободные колебания — это коле­
бания с постоянной амплитудой.
Рассмотрим теперь случай, когда
на колебательную систему действует
внешняя сила, но не постоянная
сила трения, а некоторая периоди­
чески изм еняю щ аяся сила. Приведем
такой пример. Стержень с небольшим
изгибом (рис. 163) может вр ащ а тьс я
в подшипниках с помощью рукоятки.
К изгибу стержня прикреплен пру­
жинный маятник. Н а п р а в л я ю щ а я
щель дает возможность маятнику
двигаться только вверх-вниз. Будем
в р ащ а ть стержень с некоторой по­
стоянной частотой. Тогда на пру­
жинный маятник будет действовать
сила, которая изменяется периоди­
чески с той частотой, с которой
вращ ается стержень. К ак будет д в и ­
гаться груз на пружине? П р уж и н а
с грузом — это колебательная систе­
ма. У нее «свой» период колебаний
Рис. 164
Р и с .163
7’= 2 л -у -jjpv = - 7^
-
и
«своя»
частота
( этот период и эту часто­
ту обычно н азы ваю т собственным
периодом, собственной частотой).
Но сила, которая создается при
вращении рукоятки, будет « н а в я ­
зы вать» маятнику свою частоту,
свой период колебаний. Колебания,
которые соверш ает колебательная
система при воздействии внешней
периодической
силы,
называю тся
вы нуж денны ми колебаниям и, а пе­
риодическая сила, в ы зы в аю щ ая т а ­
кие колебания, назы вается вынуж ­
даю щ ей силой. Итак, колебательная
система, на которую действует внеш­
няя периодическая сила, совершает
вынужденные колебания. Частота
вынужденных колебаний (период)
равна частоте (периоду) вы нуж ­
дающей силы.
Амплитуда вынужденных коле­
баний при данной частоте вы нуж ­
даю щей силы не изменяется, д аж е
если на систему, кроме вы н у ж д аю ­
щей силы, действует и сила трения.
Потеря энергии из-за трения вос­
полняется за счет работы в ы н уж ­
дающей силы.
Резонанс. Будем изменять часто­
ту вынуждающ ей силы. В нашем
примере (см. рис. 163) это можно
сделать, изменяя скорость в ращ ения
рукоятки. Опыт покажет, что ам пли ­
туда вынужденных колебаний сущ е­
ственно зависит от частоты в ы н уж ­
дающей силы. И зм ен яя частоту вы­
нуждаю щей силы и измеряя ам пли ­
туду колебаний груза на пружине,
мы увидим, что, когда частота
вынуждающ ей силы приближ ается
к собственной частоте пружинного
маятника, амплитуда колебаний рез­
ко возрастает. Амплитуда колебаний
максимальна, когда частота в ы н уж ­
даю щей силы равна собственной
частоте маятника. При дальнейшем
росте частоты вынуждаю щ ей силы
амплитуда уменьшается. Это яв л ен и е
резкого возрастания амплитуды вы ­
нуж денны х колебаний при равенстве
частот вы нуж даю щ ей силы и собст­
венной частоты колебат ельной сис­
темы называется резонансом . На
рисунке 164 п оказана зависимость
амплитуды вынужденных колебаний
от частоты вынуждаю щ ей силы.
159
Амплитуда
достигает
максимума
при определенном значении частоты
v = v0, где vo и есть собственная
частота колебательной системы. На
резкость максимума сильно влияет
сила трения. К ривая 1 соответствует
малой силе трения: максимум очень
резкий.
К ривая 2 соответствует
большой силе трения: резкого м а к ­
симума нет.
В чем причина явления резон ан ­
са? Почему растет амплитуда коле­
баний, когда частота вынуждаю щ ей
силы приближается к частоте соб­
ственной?
Совпадение частот означает, что
сила упругости в самой системе
действует «в такт» с вынуждаю щ ей
силой. Если сила упругости и
в ы н уж д аю щ ая
сила
в какие-то
моменты действуют в одном н а­
правлении, то они склады ваю тся и
их действие усиливается. И д аж е
если в ы н у ж д аю щ ая сила м ала, она
приведет к росту амплитуды. Ведь
эта м а л а я сила добавляется к си­
ле упругости пружины каж ды й пе­
риод.
Явление резонанса мож ет быть
полезным, поскольку оно позволяет
получить д а ж е с помощью малой
силы большое увеличение амплитуды
колебаний. С другой стороны, резо­
нанс может о казаться вредным и
д а ж е опасным. Если, например,
на фундаменте установлена машина,
в которой какие-нибудь части совер­
шают периодические дви ж ени я, то
они передаются фундаменту и он
будет соверш ать вынужденные ко­
лебания. Фундамент — это т о ж е ко­
л еб ательн ая система со своей соб­
ственной частотой. И если частота
периодических движений совпадет
с собственной частотой фундамента,
то амплитуда его колебаний мож ет
возрасти настолько, что это приве­
дет к его разрушению. Известны
случаи, когда мосты разруш али сь
при прохождении по ним «в ногу»
военных отрядов, потому что случай­
но собственная частота колебаний
моста о к а зы в а л а с ь равной частоте
солдатского ш ага. Поэтому с о п а с ­
ными результатами резонанса нужно
бороться, т. е. его не допускать.
Д л я этого нужно зар анее рассчитать
частоты колебаний машин, ф у н д а­
ментов, средств транспорта и т. д.,
с тем чтобы при обычных условиях
их эксплуатации резонанс не мог
наступить.
С явлением резонанса мы встре­
чаемся и в повседневной жизни.
Если в комнате за д р еб езж ал и окон­
ные стекла при проезде по улице
тяж елого грузовика, то это значит,
что собственные частоты колебаний
стекла совпали с частотой кол еб а­
ний машины.
Вопросы
1. Ч то
П ри
С
такое
каких
какой
вы нуж денны е
о б с то я т е л ь с т в а х
ч а с то т о й
колебания?
они
возникаю т?
происходят
вы нуж ден­
н ы е ко л е б а н и я?
3. О т
ч е го
за в и си т
ам плитуда
вы нуж ­
денны х колебаний?
4. К а к о в а р о л ь си лы т р е н и я п р и в ы н у ж ­
д е н н ы х к о л е б а н и я х ? П р и в о д и т ли си л а т р е ­
2. В че м с о с т о и т яв л ени е ре зонан са?
ния к з а т у х а н и ю к о л е б а н и й ?
Упражнение 33
1.
ко то р о го
К
перем енная
160
концу
имеет
сила,
пруж ины
м ассу
1
ча стота
кг,
м а я тн и к а ,
прилож ена
колебаний
ко­
г р у зт о р о й
р а вн а
16
Гц.
Б удет
ли
при
этом
н а б л ю д а т ь с я р е з о н а н с , е сл и ж е с т к о с т ь п р у ­
ж и н ы 400 Н /м ?
2. П е р и о д с о б с т в е н н ы х в е р ти к а л ь н ы х к о лебаний
ж е л е з н о д о р о ж н о го
вагон а
равен
дические удары , вы зы ваю щ ие вы нуж денны е
к о л е б а н и я ва го н а . П р и ка к о й с к о р о с т и п о е з да
1,25 с.
На сты к а х р е л ь с о в в а го н п о л у ч а е т п е р и о -
САМОЕ ВАЖ НО Е
В ВОСЬМОЙ
возникнет
резонанс,
есл и
длина
каж -
д о г о р е л ь с а м е ж д у с т ы к а м и 25 м?
ГЛАВЕ
В природе и технике большую роль играют колебательные
системы, т. е. тела и устройства, которые, будучи выведены из
состояния равновесия, соверш аю т как бы «сами по себе»
колебательное движение. Если при этом на систему не действуют
внешние силы, эти колебания называются свободны м и или
собственными.
Механическое колебательное движение — это движение, при
котором координата колеблющегося тела, его скорость и
ускорение повторяются через определенный промежуток вре­
мени, назы ваемы й периодом колебаний, или, что одно и то же,
повторяются с определенной частотой. М еж ду периодом Т и
частотой v существует связь:
Период колебаний и частота колебаний пружинного маятника
определяются соответственно формулами:
Период Т колебаний и частота v колебаний математического
маятника определяются формулами:
Сила трения, которую нужно считать внешней силой, вы зы ­
вает постепенное уменьшение амплитуды колебаний. Такие
колебания назы ваю т затухающ ими колебаниями.
Если внешней силой, приложенной к системе, является
периодически и зм еняю щ аяся сила, то система соверш ает
вынуж денные колебания. Ч астота вынужденных колебаний равна
частоте вынуждаю щ ей силы. При равенстве частоты в ы н у ж д аю ­
щей силы и частоты собственной колебательной системы происхо­
дит резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных
колебаний.
ГЛАВА
9
ВОЛНЫ
КОЛЕБАНИЯ
ПЕРЕДАЮ ТСЯ
ОТ
Многим, наверное, приходилось
видеть некошеное поле в ветренную
погоду, когда, по словам поэта, «вол­
нуется ж е лте ю щ ая нива». Г лядя на
такое поле, мы видим, что вдоль
него что-то перемещается. Но что
именно перемещается, неясно. Ведь
стебли растений остаются на месте.
Они лиш ь наклоняются, выпрям­
ляются, снова наклоняются и т. д.
Наблюдаемый нами процесс пред­
ставляет собой волну.
Поместим на поверхность воды в
сосуде легкий поплавок. Осторожно
добавим еще один. Появление второ­
го поплавка никак не о тр аж ается
на первом, и можно считать, что
поплавки не взаимодействуют. А те­
перь легкими н аж атиям и заставим
ТО ЧКИ
К ТОЧКЕ
один из поплавков соверш ать коле­
бания. К этому второй поплавок
не остается «равнодушным». Через
некоторое время станет колебаться
и он. Но при этом мы увидим, что
от поплавка, который мы привели
в колебательное движение, по воде
«пошли круги». Эти круги — тоже
волны.
Еще один пример. Возьмем длин­
ный шнур и закрепим один его
конец, а другой приведем в колеба­
тельное движение (рис. 165). Мы
увидим, что вдоль шнура что-то
«бежит», хотя концы шнура остаются
на месте. То, что «бежит» по
* шнуру — это тож е волна (такого
рода волны так и назы ваю тся
б егу щ и м и ).
§ 58. Ч Т О Т А К О Е В О Л Н А ?
Что же распространяется вдоль
поля, по воде, вдоль шнура?
Во всех трех примерах источни­
ком волн являю тся колебания. К оле­
блются стебли растений, деф орм и­
руемые ветром, колеблются частицы
воды, колеблется конец шнура. А ко­
лебания, возникшие в одном месте
(например, на конце ш н ура), пере­
даю тся другим частицам. То, что мы
назы ваем волной, и есть распростраР и с.1 6 5
162
нение колебаний от точки к точке,
от частицы к частице.
Хорошей моделью об разован ия
волны в шнуре может служить це­
почка маленьких шариков (точек),
массой m каждый, между которыми
действует сила упругости. Мы мо­
жем вообразить, что между ш а р и ­
ками расположены маленькие пру­
жинки (рис. 166).
Пусть точка / отведена вверх и
отпущена. Пруж инка, с в язы в аю щ а я
ее с точкой 2, при этом растянется,
возникнет сила упругости, которая
действует не только на точку 1, но
и на точку 2. Начнет, следовательно,
колебаться и точка 2. Это приведет
к деформации следующей пружинки,
так что начнет соверш ать колебания
и точка 3 и т . д . Так ка к у всех
шариков одинаковые массы и у всех
Р и с .1 6 6
t= 0
© W < 2 > (^ @ V V < 5 )V V (6 )W (7 )W < 8 )^
CDW 2,
4 4т
t= iT
t=f T
O r T
*
^2)w(8)wi(9)[email protected])W(n)Wl^2)W<T3)VV'(l4)lW'(l5)'W'(l§)
^ 6 W(7)w| . f
d rV
gu ^
t= T
7J1' t
1<tl3)w(g>W(l5)VV^
§ * ;^ Ц |
t=l T
пружинок одинаковые жесткости, то
все шарики будут колебаться ( к а ж ­
дый около своего положения равн о­
весия) с одинаковыми периодами и
одинаковыми амплитудами. Однако
начнутся эти колебания неодновре­
менно. Ведь все шарики обладаю т
инертностью (у них есть масса!)
и, значит, на изменение их скорости
требуется время. Поэтому вторая
точка начнет колебаться позже, чем
первая, третья — позже, чем вторая,
и т. д.
Д л и н а волны. Допустим, что к
тому моменту времени, когда точка 1
пройдет путь от положения р ав н о­
весия до крайнего верхнего п олож е­
ния (на это уйдет четверть периода
колебаний), успеют начать кол еб а­
ния точки 2 и 3 (см. рис. 166). Точки,
правее третьей, еще покоятся. Д о
них не дош ла «очередь». К моменту,
когда точка 1 вернется в положение
равновесия, начнут свои колебания
точки 4 — 6 и т. д.
Через промежуток времени, р а в ­
ный периоду колебаний шариков,
шарик 1 завер ш ит свое первое ко­
лебание. К этому времени соседняя
точка 2 этого сделать не успеет, по­
тому что она н ачала д ви гаться поз­
же. Она и закончит свое первое коле­
бание позж е точки 1. Ещ е по зж е это
сделают точки 3 , 4 и т. д.
На некотором расстоянии от точ­
ки 1 находится точка, которая «опаз­
дывает» с началом колебаний ровно
на один период (на рисунке 166 это
точка 13). Это значит, что за время,
равное периоду колебания Т, коле­
бание «успело» распространиться до
точки 13. Эта точка начнет свое
первое колебание в тот момент, ког­
да точка 1 начнет свое второе коле­
бание. Обозначим расстояние, на
которое колебание распространяется
за время Т, греческой буквой А,.
Н азы вается оно д линой волны .
Ясно, что точка, располож енн ая
на расстоянии 2Х от точки 1,
163
начнет свое первое колебание в тот
момент, когда точка 1 начнет свое
третье колебание, а точка 13 —
второе. Эти точки, следовательно,
д виж утся одинаково: они одновре­
менно начинают двигаться вверх,
вместе проходят положение р ав н о­
весия, одновременно д виж утся вниз,
одновременно заканчиваю т очеред­
ное колебание и начинают следую­
щее. И не только они, но и любые
точки, отстоящие одна от другой на
расстояниях, равных ЗА., 4А и т. д.
М ожно поэтому сказать, что длина
волны равна расстоянию между
двумя ближ айш им и точками в волне,
движ ущ им ися одинаково и имею­
щими одинаковые отклонения от
положения равновесия.
Р еальны е тела — это, конечно,
не цепочка шариков с пружинками
между ними. Но частицы в них
реально существуют. Силы взаи м о­
действия между ними тоже дейст§ 59. Д В А
K = vT.
Так
связан
как период
с частотой
(1)
Т
v
колебаний
колебаний
соотношением Т = —.
то А = —
, или
V
V
V
— Av.
(2)
Скорость волны равн а пр о и звед е­
нию частоты колеб аний в волн е на
д ли н у волны.
ВИД А ВОЛН
Вернемся еще раз к нашей мо­
дели — цепочке шариков и пруж и­
нок. Мы видели, как р аспростра­
няются в виде волны колебания,
вызванные тем, что первая в цепи
точка была отведена вверх, т. е.
так, что эта точка, как и все
остальные, колебалась вдоль верти­
кальных прямых. Колебания же
распространялись вдоль горизон­
тальной линии. В олны , распростра­
няю щ иеся в нап р а влении, перпенди­
к уляр н о м на п р а влению колебаний
частиц в волне, называются по­
перечными.
Но волну вдоль цепочки можно
вызвать и иначе. Первый шарик
можно отвести не вверх или вниз,
а вправо или влево. Это тоже з а с т а ­
вило бы его колебаться, и эти коле­
бания передавались бы вдоль цепоч164
вуют. Поэтому и волны в них —
тоже реально существуют.
Скорость волны. Волна — это р ас­
пространение колебаний в простран­
стве. Поэтому можно говорить о
скорости v этого распространения.
Эта скорость н азы вается скоростью
волны . Мы только что видели, что
за время, равное периоду Т, кол еб а­
ние распространяется на расстояние,
равное длине волны А. Значит,
ки, образуя волну. Но теперь ч асти ­
цы колеблются вдоль горизонталь­
ной прямой, и вдоль этой ж е прямой
распространяю тся колебания (рис.
167). В олна, в которой колеб ания
происходят вдоль той же прямой,
что и и х распространение, н а зы ва ­
ется продольной волной.
Когда в цепочке в озбуж дается
поперечная волна (см. рис. 166),
это приводит к видимому изменению
формы цепочки. На ней появляю тся
горбы и впадины. Расстояние между
горбами т ак же, как и между
впадинами, равно длине волны.
Когда ж е в той же цепочке воз­
никает продольная волна (см. рис,
167), цепочка остается прямой, но
в ней образую тся сгущения и р а з ­
режения. Расстояние между сосед­
ними сгущениями, как и между
Рис. 167
Олл * » т ^^оллло^О'^чЭ^Ю'МЗ^ЧЗ^О^Ю^О^'Ю^О^Ю
(>vOwOw OwOw Ж w> » ^ХУМУ^УМУ^У^КУ^Ю'^О^О
(>лг0^М 1>^<>л/0'''Ю А/Ю л(Ю лМ > ^' w w # w q w O w O w O ^O
0''Ю^ОЮ*Э«Г)^О^МЭ'^ЮМ>К>М>Ю^<)^'!. Ж Х Ж Ж )
I
разреж ениями, тож е равно длине
волны. Вдоль поперечной волны
«бегут» горбы и впадины, вдоль
продольной — сгущения и р а з р е ж е ­
ния.
Формулы, связы ваю щ ие скорость
волны с частотой и длиной волны,
относящ иеся к поперечной волне,
справедливы
и для
продольной
волны.
Обратим внимание на следующее.
Д л я возникновения волны в среде
необходима деформация, без нее не
будет силы упругости. Д л я того
чтобы возникла продольная волна,
необходима д еф орм аци я растяж ения
или сж ати я. Р астя ги в ать ся и сж и ­
маться может лю бая с р е д а — т в е р ­
дая, ж и д к ая и газо об разн ая. П о ­
этому продольные волны могут в оз­
никать и распространяться в любой
среде. Д л я возникновения ж е попе­
речной волны требуется деформация
другого вида. Это деф орм аци я сдвига
(схематически она показана на рисун­
ке 168 с п р а в а ) . А деф орм аци я сдвига
возм ож на только в твердых телах.
Поэтому поперечные волны могут
возникать и распространяться только
в твердых средах.
График волны. Г раф ик колебаний
(см. рис. 159) показывает, как
изменяется координата одной колеб­
л.
_|
лющейся точки со временем. В
волне колеблются все точки, ее
образующие. Поэтому граф ик волны
долж ен показать, как зависит коор­
дината вс ех точек волны от их
места в волне. Такой график показан
на рисунке 169. По оси ординат
отложены значения отклонения х
каждой точки от ее положения р ав н о­
весия, по оси а б с ц и с с — расстояние
той или иной точки от некоторого
н ачала,
например от источника
волны. Графики колебаний и волны
не следует путать. Хотя они внешне
похожи.
Рис. 168
Сжатие
Р и с.169
Сдвиг
ний, хотя сами носители этой энергии,
колеблющиеся частицы, с волной не
переносятся. Таким образом, волна
оказы вается так ж е и переносчиком
энергии.
Волна и энергия. С колебаниями,
как мы знаем, связан а энергия.
Напомним, что она пропорциональ­
на квадрату амплитуды колебаний.
Поэтому вместе с колебаниями вол­
ной переносится и энергия колебаВопросы
1. Ч то т а к о е волна? П р и к а к о м у с л о в и и
длина
в о з м о ж н о р а с п р о с т р а н е н и е волны ?
2. Ч то т а к о е с к о р о с т ь волны ?
3. К а к "с в я з а н ы
длина
волны
и
между
ча стота
собой
волны
и
период
5. Какая в ол на н а зы вается
ско р о сть,
колебаний
6. В
ча сти ц
каких
средах
распространяться
св яза ны
между
собой
ча сти ц
продольной?
П оперечной?
в волне?
4. К ак
колебаний
в волне?
ско р о сть,
м о гут
поперечны е
в о з н и к а ть
волны ?
и
П ро­
д о л ь н ы е волны?
Упражнение 34
1. Р ы бак з а м е ти л , что г р е б н и в ол н п р о ­
ходят
м им о
на я к о р е ,
кормы
через
е го
каж ды е
р а спростра няе тся
лодки,
стоящ ей
р о с ть
6 с. О н
изм ерил
д л и н а волны?
расстояни е м е ж д у б л и ж а й ш и м и гр е б н я м и и
на ш ел,
что
оно
равно
с
ча с то то й
20
м.
К акова
в среде,
р а вн а
330
З .^ В д о л ь у п р у г о г о
в
м /с .
которой
Ч ем у
ско­
равна
ш нура ра сп р о стр а н я­
е тся п о п е р е ч н а я в о л н а со с к о р о с т ь ю 20 м /с ,
ско­
п е р и о д к о л е б а н и й т о ч е к ш н у р а 0,5 с. Н а й д и ­
р о с ть волны?
2. В ол н а
волны
колебаний
§ 60. З В У К О В Ы Е
165
Гц
те д л и н у в о л н ы .
ВОЛНЫ
Человек живет в мире звуков.
Зву к — это то, что слышит ухо.
Мы слышим голоса людей, пение
птиц, звуки музыкальных инструмен­
тов, шум леса, гром во время грозы.
Зв у ч а т работаю щ ие машины, д в и ж у ­
щийся транспорт и т. д.
Что такое звук? К ак он возни­
кает? Чем одни звуки отличаются
от других?
Р азд ел физики, в котором и зу ч а­
ются звуковые явления, назы вается
акустикой.
З в у к — волна. Услыш ав какой-то
звук, мы обычно можем установить,
что он дошел до нас от какого-то
источника. Р асс м атр и в ая этот источ­
ник, мы всегда найдем в нем что-то
колеблющееся. Если, например, звук
исходит от репродуктора, то в
Рис. 170
° ”о°0°<?0°" <
%\O00000°O000 »
°°0°§2%°0 о
о °0
° п0°п
°Оо°оО°Оо° °
о
Колеблющийся
поршень
166
о
°
°о°оо‘о §
° ° ° °
1 °°(РО0о° °
о
A ftfo o o
о °°М °
°
о
°
о
°# ? °°°° о
°
° OоOоO0gD
gOo Оо °
0°
°4 fe v °
о
°°°оЖ с°о °
°
ООО
0о°0ооо „° о°
О
I
°о °
° о°o^So
ОО
°о о о о о
О о о
owo S
о
°
нем колеблется мембрана — легкий
диск, закрепленный по его о к р у ж ­
ности. Если звук издает музы каль­
ный инструмент, то источник звука —
это колеблю щ аяся струна, колеблю­
щийся столб воздуха и др.
Но как звук доходит до нас?
Очевидно, через воздух, который
разделяет ухо и источник звука.
Но
распространяю щиеся
кол еб а­
н и я — это
волна.
Следовательно,
звук распространяется в виде волн.
И
кое-что о звуковых
волнах
мы можем сразу сказать. Если
звуковая волна распространяется в
воздухе, значит — это волна про­
дольная, потому что в газе только
такие волны и возможны.
В продольных волнах колебания
частиц приводят к тому, что в газе
возникают сменяющие друг друга
области сгущения и разреж ения. На
рисунке 170 показана т а к а я волна
сгущений и разрежений.
То, что воздух — «проводник» зву­
ка, было д оказано опытом, постав­
ленным в 1660 г. Р. Б о й л е м . Если
откачать воздух и з - п о д колокола
воздушного насоса (рис. 171), то
мы не услышим звучания нах од ящ е­
гося там электрического звонка.
Звук может распространяться
т а к ж е и в жидкой, и в твердой
среде. Тот, кто нырял в реку или
море, знает, что под водой хорошо
слышны звуки гребных винтов тепло-
{—
I
-
\ н
насосу
ходов, удары камней и др. Звук
движ ущ егося поезда хорошо слы­
шен, если приложить ухо к рельсу.
Звуковые частоты. Если звук —
это волна, р аспр остран яю щ аяся в
воздухе, то он долж ен возникать
всякий раз, когда частицы воздуха
приходят в колебательное движение.
Разм ахиван и е
руками, например,
тож е долж но было бы вызвать
звук: ведь машущие руки зас тав л яю т
частицы колебаться. Известно, о д ­
нако, что разм ахивание руками не
воспринимается ухом как звук, хотя
волна при этом возникает. О б ъ я с ­
няется это тем, что ощущ ение звука
создается только при определенных
частотах колебаний в волне. Опыт
показывает, что для органа слуха
человека звуковыми являю тся толь­
ко такие волны, в которых коле­
бания происходят с частотами от 20
до 20 000 Гц. Р азм а х и в ать руками
20 и более раз в секунду никто
не может!
Вопросы
1. Ч то
м ожет
б ы ть
исто чни ком
звука?
2. К ак р а с п р о с т р а н я е т с я звук?
3. М о ж е т
ли
звук
распространяться
в
4. Всякая
ли
волна,
д о с т и гш а я
волны,
не в о с п р и н и м а ю т с я
вы зы ваем ы е
Колебаниям и
объема
ка к
биениям и
л е гк и х
пр и
зву­
сер д ц а?
д ы хан ии ?
6 . М о г у т ли к о с м о н а в т ы к о с м и ч е с к и х к о ­
п р о с т р а н с т в е , л и ш е н н о м вещ ества?
сл у х а че л о в е к а , в ы зы ва ет о щ у щ е н и е
5. П о ч е м у
ки
о р га н а
звука?
ра б л е й
подд ер ж и вать
связь
между
кораб­
л я м и с п о м о щ ь ю з в у к о в ы х си гн а л о в?
167
§ 61. С В О Й С Т В А З В У К А
Ощущение
звука
вызывается
звуковыми волнами, достигающими
органа
слуха — уха.
В аж н ей ш ая
часть этого органа — б арабан н ая
перепонка.
П ри ш едш ая
звуковая
волна вызы вает вынужденные ко­
лебания перепонки с частотой коле­
баний в волне. Они и воспринимают­
ся мозгом как звук.
Звуки бывают разные. Мы легко
различаем свист и дробь б арабан а,
мужской голос (бас) от женского
(с о п р а н о ).
Чем ж е отличаются звуки друг
от друга?
Тон звука. Об одних звуках
говорят, что они низкого тона,
другие мы называем звуками вы со­
кого тона. Ухо их легко различает.
Звук, создаваемы й большим б а р а б а ­
ном, это звук низкого тона, свист —
звук высокого тона. Простые изме­
рения (развертка колебаний) пока­
зывают, что звуки низких тонов —
это колебания малой частоты в зв у ­
ковой волне. Звуку высокого тона
соответствует больш ая частота коле­
баний. Частота колебаний в звуковой
волне определяет тон звука.
Существуют особые источники
звука, испускающие единственную
частоту, так называемый чистый
тон.
Это
камертоны
различных
размеров — простые
устройства,
Рис.172
168
I
представляющ ие собой изогнутые
металлические стержни на нож ках
(рис. 172). Чем больше размеры
камертонов, тем ниже звук, который
он испускает при ударе по нему.
Громкость звука. Звуки д аж е
одного тона могут быть разной
громкости. С чем связан а эта х а ­
рактеристика звука? Нетрудно по­
нять, что она связан а с энергией
колебаний в источнике и в волне.
Энергия же колебаний определяется
амплитудой колебаний Громкость,
следовательно, зависит от амплиту­
ды колебаний. Но связь между
громкостью и амплитудой не простая.
Самый слабый еще слышимый
звук, дошедший до барабанной
перепонки, приносит в 1 с энер­
гию, равную примерно 1 0 " 16 Д ж , а
самый громкий звук (реактивного
ракетного двигателя в нескольких
метрах от н е г о ) — около 10“ 4 Д ж .
Следовательно, по мощности самый
громкий звук примерно в тысячу
миллиардов раз превосходит самый
слабый. Но этого нельзя сказать
о громкости звука. О звуках вообще
нельзя сказать, что один из них в два,
в три, а тем более в миллионы
или
в
миллиарды
раз
громче
другого. О звуках различной гром­
кости говорят, что один громче
другого не во столько-то раз, а
на столько-то единиц. Единица гром­
кости
назы вается
децибелом
( д Б ). Например, громкость звука
шороха листьев оценивается 10 дБ,
шепота — 20 дБ, уличного шума —
70 дБ. Шум громкостью 130 дБ
ощ ущ ается кожей и вызы вает о щ у­
щение боли. О громкости уличного
шума, например, можно сказать,
что она на 60 д Б больше громкости
шороха листьев.
Скорость звука. К ак и всякая
волна, звуковая волна хар актери ­
зуется скоростью распространения
колебаний в ней. С длиной волны
X и частотой колебаний v скорость
и с в я за н а у ж е известной нам форму­
лой.
v — Xv.
Скорость звука различна в р а з ­
личных средах (вещ ествах). Так,
в воздухе при температуре 20 °С
скорость звуковых волн (любых
длин волн) равна 340 м /с . В других
средах
она
может
быть
иной.
В таблице приведены данные о
скорости звука в разных средах.
Частицы жидкости, в которой
распространяется звуковая волна,
соверш аю т вынужденные колебания
с частотой, «навязанной» им коле­
баниями в источнике звука. Но
длина волны д а ж е одного и того
же звука в разных средах различна,
потому что различны скорости звука.
Вещество
Скорость звука, м / с
Воздух (при 2 0 °С)
Водород
Вода
Ж е л езо
Резина
Морская вода
343,1
1284
1483 (при 2 0 °С)
5850
1800
1530
Вопросы
1. О т
ч е го
2. З в у к о в а я
зави си т
в ол на
гр о м ко сть
переносит
3.
звука?
эн е р ги ю .
З вуки
имею т
н и зко го
или
длину
волны
больш ую
в ы с о к о го
тона
в
данной
наблю дателя
произо­
сре де ?
З ависи т ли т о н з в у к а о т эне ргии ?
Упражнение 35
1. Н а й д и т е
ве ч е ско го
длины
го л о с а ,
звуковы х
вы сота
волн
тона
чело­
к о то р о го
каком
4. К а к и м
с о о т в е т с т в у е т ч а с то те :
а) 80 Гц; б ) 1400 Гц.
2. С
сотой
время
верш ины
1000
м
наблю датель
кам ень.
на
ск а л ы
Через
верш ине
вы ­
ка к о е
после
т о го ,
гр о м а
как
был услы ш ан
сверкнула
§ 62. З В У К О В Ы Е
человеком
длинам
вол н
соо тветствую т
8 с
м олния.
На
звук?
Расчет
сделайте
для
5. С т р е л о к у с л ы ш а л з в у к о т у д а р а пули
о
через
ка к
воздуха.
услы ш ит
з в у к о т у д а р а к а м н я п р и е го па де ни и?
3. У д а р
от
гр а н и ч н ы е з н а ч е н и я ча стот, в о с п р и н и м а е м ы х
вер ти кал ьн ой
упал
р а с с то я н и и
ш ел г р о з о в о й р а зр я д ?
На
м иш ень
каком
через
4
р а с с то я н и и
с
п о сл е
находится
в ы стр е л а .
м иш ень,
е сл и с к о р о с т ь пул и 600 м /с ?
ЯВЛЕНИЯ
Отражение звука. З в у к о в ая вол­
на, распространяясь в некоторой
среде, рано или поздно доходит
до границы этой среды, а за ней
начинается д ругая среда, состоящ ая
из других частиц, в которой и
скорость звука другая. На такой
границе происходит явление отраже­
ния звуковой волны.
Почему отр аж аетс я звук? П рои с­
ходит это потому, что колебания,
принесенные
волной
к границе,
передаются частицам второй среды
и они сами становятся источником
новой звуковой волны. Эта вторич­
ная
волна
распространяется
не
только во второй среде, но и в
первой, откуда пришла первичная
169
волна. Это и есть отраж ен ная
волна.
С явлением отраж ения звука
связано такое известное явление,
как эхо. Оно состоит в том, что
звук от источника доходит до к а ­
кого-то
препятствия
(«препят­
ствие» — это и есть граница двух
сред!), о тр аж аетс я от него и воз­
вращ а ется к месту, где он возник.
И если первичный звук и звук
отраженный доходят до слушателя
не одновременно, то он слышит
звук д ва ж д ы . Звук может испытать
и несколько отражений. Тогда можно
услы ш ать звук много р аз — отсюда,
например, раскаты грома.
Звуколокация. На явлении эхо
основан метод определения расстоя­
ний до различных предметов и
обнаруж ения их месторасположений.
В самом деле, допустим, что неко­
торым источником звука испущен
звуковой сигнал и зафиксирован
момент его испускания. Зву к встре­
тил какое-то препятствие, отразился
от него, вернулся и был принят при­
емником звука. Если при этом был и з­
мерен промежуток времени между
моментами испускания и приема, то
170
легко найти и расстояние до препят­
ствия. З а измеренное время звук
прошел расстояние, равное 2s, где
s — расстояние до препятствия. Е с ­
ли скорость звука v известна, то
можно написать:
По этой формуле можно найти
расстояние до о т р а ж а т е л я сигнала.
Но ведь надо еще знать, где он
находится, в каком направлении
от источника сигнал встретил его.
М еж ду тем звук распространяется
по всем направлениям, и о т р а ж е н ­
ный сигнал мог прийти с разных
сторон. Чтобы избегнуть этой труд­
ности, используют не обычный звук,
а ульт развук.
Ультразвуковые волны по своей
п р и р о д е - такие же, ка к звуковые
но они не воспринимаются челове­
ком как звук. Это объясняется тем,
что частота колебаний в них больше,
чем 20 000 Гц. Такие волны наблю ­
даю тся в природе. Есть д а ж е живые
существа, способные их испускать
и принимать. У льтразвуковы е волны
и притом большой мощности (б ол ь­
шой амплитуды) можно создавать
с помощью электрических и магнит­
ных методов.
Г л авная особенность у л ьт р а зв у ­
ковых волн состоит в том, что
их можно сделать направленны м и,
распространяю щ имися по определен­
ному направлению от источника.
Б л аг о д ар я этому по отраж ению
ультразвука можно не только найти
расстояние (скорость у л ьтр азв уко­
вых волн т а к а я же, как и обычных),
но и узнать, где находится тот
предмет, который их отразил. Так
можно, например, измерять глубину
моря под кораблем
(рис. 173).
Звуколокаторы (их н азы ваю т и
эхолокаторами) позволяют о б н ар у­
ж и в ать и определять местополож е­
ние различных повреждений в и зде­
лиях (пустоты, трещины, посторон­
ние включения). В медицине у л ьт р а­
звук используют для обнаруж ения
различных аномалий в теле боль­
ного — опухолей, искажений формы
органов или их частей и т. д.
Чем короче длина ультразвуковой
волны, тем меньше размеры о б н а ­
руж иваем ых деталей. У льтразвук ис­
пользуется так ж е для лечения неко­
торых болезней.
Акустический резонанс. Звуковые
колебания, переносимые звуковой
волной, могут служить вы н уж д аю ­
щей, периодически изменяющейся
силой для колебательных систем
и вызы вать в этих системах я в л е­
ние резонанса, т .е . заставить их
звучать. Такой резонанс назы ваю т
акустическим резонансом . Приведем
простой пример. Выше мы упоминали
об устройстве для получения чистого
тона, т. е. звука одной частоты,—
камертоне. Сам по себе этот прибор
дает очень слабый звук, потому
что п лощ адь поверхности колеблю ­
щихся ветвей камертона, соприка­
саю щ ейся с воздухом, м а ла и в
колебательное движение приходит
слишком
мало
частиц
воздуха.
Поэтому камертон обычно укрепляют
на деревянном ящ ике (рис. 174),
подобранном так, чтобы частота
его собственных колебаний была
равна частоте звука, создаваемого
камертоном. Б л аго д ар я резонансу
стенки ящ и к а тож е начинают коле­
баться с частотой камертона. Это
колебания большой амплитуды (ре­
зонанс!), д а и площ адь поверхности
ящ ик а велика, поэтому звук кам ер­
тона оказы в ается значительно более
громким. Ящик так и н азы ваю т —
резонатор. В музыкальных инстру­
ментах без резонаторов тож е нельзя
обойтись. Ими сл у ж а т деки. Без
них, от одних струн, звуки были
бы почти не слышны. Полость рта
человека -— тоже резонатор д л я го­
лосовых связок.
Вопросы
1. Ч е м д о л ж н ы
чт о б ы
на
их
3. Ч то т а к о е у л ь тр а зв ук? К акая е г о о с о ­
р а з л и ч а ть с я д в е с р е д ы ,
гр ан иц е
происходило
отра­
бенно сть
позволяет
использовать
е го
д ля
звуколокации?
ж е н и е звука?
4. Ч то т а к о е а к у с т и ч е с к и й р е зо н а н с?
2. Ч то т а к о е эхо?
Упражнение 36
1.
Н а б л ю д а т е л ь н а х о д и т с я на р а с с то я н и и
2.
85 м о т о т в е с н о й с ка л ы . Ч е р е з к а к о е в р е м я
ны й
он
от
услы ш ит
эхо
от
п р о и з н е с е н н о го
им
К а ко в а
гл у б и н а
ультразвуковой
м о р с к о го
д на
м оря,
си гн а л ,
в о з в р а ти л с я
е сл и
послан­
отразивш ись
через
1,2 с?
в о скл и ц а н и я ?
171
САМ ОЕ В А Ж Н О Е В Д Е ВЯ ТО Й ГЛАВЕ
Волна — это распространение колебаний в среде. Чтобы
колебания могли распространяться, среда д олж н а быть упругой.
Частота колебаний в волне определяется частотой колебаний
в источнике. Д ли н а ж е волны зависит т ак ж е от скорости
распространения волны в данной среде. Скорость волны, частота
колебаний и длина волны связаны соотношением
v — Xv.
Частным и очень важ ны м случаем волн являю тся звуковые
волны. Звуковые волны доходят до органа слуха человека
через воздух. Следовательно, звуковые волны в воздухе — волны
продольные.
Человеком воспринимаются как звуки только волны с частотой
колебаний в пределах 2 0 — 20 000 Гц. Волны с большей
частотой колебаний назы ваю тся ультразвуковыми. Они широко
используются в технике для звуколокации, а т ак ж е для
воздействия на вещество.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы познакомились с элементами
одной из важнейш их физических
наук, назы ваемой классической ме­
ханикой или механикой Ньютона.
Важ ность этого раздела физики
определяется тем, что многие величи­
ны, введенные в механике, встре­
чаются и используются во всех
других р азд ел а х физики.
Мы видели, что законы механики
позволяют понять и объяснить любые
явления, связанны е с движениями
тел, тел любых — от гигантских
небесных тел до мельчайших частиц.
И не только объяснить, но и
предсказать. Когда-то неожиданные
появления на небесном своде комет
люди считали проявлениями какихто таинственных сил, предвещаю щ их
людям беды и несчастья. Знание
законов механики позволило понять,
что ничего таинственного, сверхъ­
172
естественного в кометах нет, что
это тела, движ ущ иеся под действием
гравитационной силы, открытой Нью­
тоном. Их движение можно точно
вычислить. Такие вычисления пока­
зали, например, что комета, н а з ­
ванная в честь Эдмонда Галлея,
современника Ньютона, появится в
начале 1986 г. И она появилась
в «назначенное» время.
Законы
Ньютона позволили вычислить поло­
жение кометы для любого момента
времени, причем настолько точно,
что можно было отправить косми­
ческие ко рабл и для «встречи» с
кометой и ее изучения. В свою
очередь, движение самих кораблей
было заранее вычислено по законам
механики. И законы эти и вычисле­
ния по формулам, вы р аж аю щ им
эти законы, «не п одв ел и »— встреча
кораблей с кометой состоялась.
Уборку зеленой массы на силос ведут самоходные кормозаготовительные комбайны «Ярославец»
М еханика — это наука о д в и ж е ­
нии тел, т. е. о явлении, н аблю дае­
мым каждым, о явлении, играющем
огромную роль в жизни человека,
в технике.
Повседневная жизнь
человека, его труд тесно связаны
с движением. Само название науки
о движении и н азвания ее разд елов—
кинематика и динамика вошли в пов­
седневную нашу жизнь: кинемато­
граф, ги дроди нам и ка,аэроди н ам и ка,
механизм, энергетика, механизация
и т. д.
М еханизация - это переход от
ручного труда к труду с помощью
машин. А во всякой машине есть
что-то. движ ущ ееся. И рассчитать
машину нельзя без использования
законов механики. Построенные че­
ловеком машины успешно работают,
тем самым д оказы вая правильность
и точность законов механики.
М еханизация — это
избавление
человека от тяж елого ручного труда,
многократное увеличение его произ­
водительности. Когда-то при строи-
Проходка выемки под полотно железной
дороги выполняется ковшовыми экскаваторами
Д о б ы ч а угля ведется с помощью высоко­
производительных роторных экскаваторов
173
-■»-> i.«i.
i
лопата, кирка, тачка. О том, как
тяж ел и изнурителен был труд,
мы знаем из стихотворения Н. А. Н ек­
расова « Ж елезн ая дорога»:
Мы надрывались под зноем, под
холодом,
С вечно согнутой спиной.
Зем лян ы е работы производятся с помощью
бул ьдозеров
тельстве зданий рабочие переносили
на себе кирпичи и другие материалы.
Сейчас это делают подъемные краны.
При строительстве ж елезны х дорог
орудиями строителей были лом,
Теперь на помощь строителям
пришли экскаваторы , бульдозеры,
путеукладчики и другие машины.
М ех анизация коренным образом
изменила одну из основных отраслей
хозяйства — земледелие.
М ех анизация — процесс
непре­
рывный. С овершенствование машин,
повышение их производительности,
облегчение труда на них — всем
этим постоянно заним ается про­
мышленность. Все большую роль
при этом начинают играть роботы.
В последние десятилетия м е х ан и за­
ция производства стала дополняться
автоматизацией. А в том атизаци я со­
Портальны е краны — первые помощники современных грузчиков
174
У кладка рельсов на зе мляное полотно строящ ейся железной дороги производится путеук­
ладчиком
стоит в том, что управление м а ш и ­
нами, контроль их работы п ередаю т­
ся специальным устройствам — а в то ­
матам, которые сами являю тся м еха­
низмами, машинами. В частности,
роботы — это тож е автоматические
устройства, машины.
М ехани зац и я и ав то м ати зац и я —
это благо для людей. Но нельзя
заб ы вать и о вредных последствиях,
связанны х с ними.
С овременная техника прямо или
косвенно воздействуют на о к р у ж а ю ­
щий нас мир природы. Тяж елые
тракторы и другие сельскохозяй­
ственные машины уплотняют почву
на полях, сн и ж ая ее плодородие.
Плотины
гидроэлектростанций и
водохранилищ а губят рыбные з а ­
пасы, затоп ляю т леса и пахотные
земли. Электростанции, на которых
сж игается топливо, загр я зн я ю т атм о­
сферу. Атомные электростанции тая т
в себе опасность радиоактивных
загрязнений и т. д. Поэтому в высшей
степени важ но, р азв и в а я технику,
учитывать данные экологии — науки
о взаимодействии организмов (р а с ­
тений и животных) меж ду собой и с
окруж аю щ ей средой.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ1
I.
И ЗМ ЕРЕН И Е УСКОРЕНИЯ ТЕЛ А
ПРИ
РАВНОУСКОРЕННОМ Д ВИ Ж ЕН И И
Ц е л ь р а б о т ы : вычислить ус­
корение, с которым скатывается
шарик по наклонному желобу. Д л я
этого измеряют длину перемещения
s шарика за известное время t.
Так как при равноускоренном д ви ­
жении
без
начальной
скорости
at2
s — ~ 2 ~> то> измерив s и t, можно
найти ускорение ш арика. Оно равно:
a — 2s
Никакие измерения не делаю тся
абсолютно точно. Они всегда про­
изводятся
с некоторой
погреш­
ностью, связанной с несовершен­
ством средств измерения и другими
причинами. Но и при наличии
погрешностей имеется несколько спо­
собов проведения достоверных изме­
рений. Наиболее простой из них —
вычисление среднего арифметиче­
ского из результатов нескольких
независимых измерений одной и той
же величины, если условия опыта
не изменяются. Это и предлагается
сделать в работе.
Средства
измерения:
1) измерительная лента; 2) метроном.
М а т е р и а л ы : 1) желоб; 2) ш а ­
рик; 3) штатив с муфтами и л а п ­
кой; 4) металлический цилиндр.
1 В составлении инструкций к л а б о р а ­
торным р або там принимали участие Ю. И. Дик
и Г. Г. Никифоров.
176
П орядок вы полнения работы
1. Укрепите желоб с помощью
штатива в наклонном положении
под небольшим углом к горизонту
(рис.
175).
У
нижнего
конца
желоба положите в него м еталли ­
ческий цилиндр.
2. Пустив ш арик (одновременно
с ударом метронома) с верхнего
конца ж елоба, подсчитайте число
ударов метронома до столкновения
шарика с цилиндром. Опыт удобно
проводить при 120 уд арах метронома
в минуту.
3. М еняя угол наклона ж елоба
к горизонту и производя небольшие
передвижения металлического ци­
линдра, добивайтесь того, чтобы
между моментом пуска ш арика и
моментом его столкновения с цилинд­
ром было 4 уд ар а метронома (3 про­
межутка между у д ар ам и ).
4. Вычислите время движения
шарика.
5. С
помощью
измерительной
ленть^ определите длину перемещ е­
ния s ш арика. Не меняя наклона
ж елоба
(условия опыта долж ны
оставаться неизменными), повторите
опыт пять раз, доби ваясь снова
совпадения четвертого у д а р а мет­
ронома с ударом ш арика о м етал­
лический цилиндр (цилиндр для
этого можно немного передвигать).
Рис. 175
6. По формуле
Sl “I- ^2“1 ^3—
(—^4 ~f“S5
S° p —
7. Р езультаты измерений и вы­
числений занесите в таблицу:
5
S,
найдите среднее значение модуля
перемещения, а затем рассчитайте
среднее значение модуля ускорения:
2. И З М Е Р Е Н И Е Ж Е С Т К О С Т И
Ц е л ь р а б о т ы : найти ж ест­
кость пружины из измерений удли­
нения
пружины
при
различных
значениях силы тяж ести F T = m g ,
уравновеш иваю щ ей силу упругос­
ти F ynp, на основе закона Гука:
F
k = >1ф . В каждом из опытов
\х\
жесткость определяется при разных
значениях силы упругости и удли ­
нения, т. е. условия опыта меняются.
Поэтому для нахождения среднего
значения жесткости нельзя вычис­
лить среднее арифметическое резуль­
татов измерений. Воспользуемся г р а ­
фическим
способом
нахождения
среднего значения, который может
быть применен в таких случаях.
По результатам нескольких опытов
построим график зависимости моду­
ля С И Л Ы упругости F ynр от модуля
удлинения
\х\.
При
построении
графика
по
результатам
опыта
Номер
опыта
м
5ср ’
м
Число
ударов
м етро­
нома
/, с
^ср ’
м/с2
ПРУЖ ИНЫ
экспериментальные точки могут не
оказаться на прямой, которая соот­
ветствует формуле F ynf>= k \ x \ . Это
связано с погрешностями измерения.
В этом случае график надо прово­
дить так, чтобы примерно одинако­
вое число точек о казалось по разные
стороны от прямой. После построе­
ния графика возьмите точку на
прямой (в средней части г р аф и к а ),
определите по нему соответствую­
щие этой точке значения силы упру­
гости и удлинения и вычислите
жесткость k. Она и будет искомым
средним значением жесткости пру­
жины &ср.
Р езультат измерения обычно з а ­
писывается в виде вы раж ен и я k =
= /гср± Л /г ,
где Д/г— наибольш ая
абсолю тная погрешность измерения.
И з курса алгебры
(VII класс)
известно, что относительная погреш­
ность (е/0 равна отношению а б ­
177
солютной погрешности Ak к значению
I е* = — , откуда Ak
ЛI =
величины k:
— Rkk- Существует правило для
расчета относительной погрешности:
если определяемая в опыте величина
находится в результате умножения
и деления приближенных величин,
входящих в расчетную формулу,
то относительные погрешности ск л а­
дываются. В данной работе k = ^ r .
I |
Поэтому
Б* — em+ eg + ex...
( 1)
Средства
измерения:
1) набор грузов, масса каждого
равна т 0 = 0,100 кг, а погрешность
Д т 0 = 0,002 кг; 2) линейка с милли­
метровыми делениями.
2. Рядом с пружиной или за ней
установите и закрепите линейку с
миллиметровыми делениями.
3. Отметьте и запишите то деле­
ние линейки, против которого при­
ходится
стрел ка-ук азател ь
пру­
жины.
4. Подвесьте к пружине груз
известной массы и измерьте вы ­
званное им удлинение пружины.
5. К первому грузу добавьте
второй, третий и т. д. грузы, зап и ­
сы вая каж ды й раз удлинение \х\
пружины. По результатам измерений
заполните таблицу:
т , кг
Номер
опыта
mg',
1*1> м
Н
-*•
М а т е р и а л ы : 1) штатив с муф­
тами и лапкой; 2) спиральная пру­
жина.
6. По
результатам
измерений
постройте граф ик зависимости силы
упругости от удлинения и, пользуясь
П о рядок вы п о лнения работы
1.
Закрепите на штативе конецим, определите среднее значение
жесткости пружины k cp.
спиральной пружины (другой конец
пружины снабж ен стрелкой-указате­
7. Р ассчитайте наибольшую от­
лем и крючком — рис. 176).
носительную погрешность, с которой
найдено значение /гср (из опыта
с одним грузом). В формуле (1)
Рис. 176
Дт
0,002 кг
0,100 кг
0,02 м / с
10 м / с
= 0 ,02;
=0 , 002 ;
так как погрешность при измерении
удлинения Д х = 1 мм, то
&х
А х __ 1 мм
х
25 мм
q
’
8.
Найдите A k = ekk cp и запишите
ответ в виде: k = k cp + A k .
1 Принять gz z 10 м /с 2.
178
3. И З М Е Р Е Н И Е К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А Т Р Е Н И Я С К О Л Ь Ж Е Н И Я
Цель
работы:
определить
коэффициент трения деревянного
бруска, скользящ его по деревянной
линейке, используя формулу F Tр =
= цР. С помощью динамометра и з­
меряют силу, с которой нужно
тянуть брусок с грузами по гори­
зонтальной поверхности так, чтобы
он д ви гался равномерно. Эта сила
равна по модулю силе трения F Tp,
действующей на брусок. С помощью
того же динамометра можно найти
вес бруска с грузом. Этот вес
по модулю равен силе нормального
давления N бруска на поверхность,
по которой он скользит. Определив
таким образом значения силы трения
при различных
значениях
силы
нормального давления, необходимо
построить граф ик зависимости F rp
от Р и найти среднее значение
коэффициента трения (см. работу
№ 2 ).
Основным измерительным прибо­
ром в этой работе яв л яется д инам о­
метр. Д инам ометр имеет погреш­
ность Ад = 0 , 0 5 Н. Она и равна
погрешности измерения, если у к а з а ­
тель совпадает со штрихом шкалы.
Если ж е указател ь в процессе
измерения не совпадает со штрихом
шкалы (или колеблется), то погреш­
ность измерения силы равна AF =
= 0,1 Н.
Средства
намометр.
измерения:
ди­
линейку.
На
брусок
поставьте
груз.
2. Прикрепив к бруску дин ам о­
метр, как можно более равномерно
тяните его вдоль линейки. Заметьте
при этом показание динамометра.
3. Взвесьте брусок и груз.
4. К первому грузу добавьте
второй, третий грузы, каж ды й раз
взвеш ивая брусок и грузы и изм е­
ряя силу трения.
По результатам измерений з а ­
полните таблицу:
Номер
опыта
Р, н
АР, Н
F Tр , Н A F TP, H
5. По
результатам
измерений
постройте график зависимости силы
трения от силы давления и, п оль­
зуясь им, определите среднее з н а ­
чение коэффициента
трения
|лср
(см. работу № 2).
6. Р ассчитайте максимальную от­
носительную погрешность измерения
коэффициента
трения.
Т ак
как
Fтр
и-
АРтр
р > т° 8n== e fTp + e f>=~р
тр
Ь
АР
+ — (1) (см. формулу (1) работы
№ 2).
И з формулы (1) следует, что с
наибольшей погрешностью измерен
коэффициент трения в опыте с одним
Материалы:
1) деревянный
грузом (так как в этом случае
брусок;
2) д еревян н ая
линейка;
знаменатели имеют наименьшее з н а ­
3) набор грузов.
чение) .
7. Найдите абсолютную погреш­
П о р ядо к вы п о лнения работы
1.
П олож ите брусок на горизон­ность Ар, = ецЦср и запиш ите ответ
тально расположенную деревянную
в виде: |д, = ц,ср+ Ар,.
179
s
\
ч
4
4. И З У Ч Е Н И Е Д В И Ж Е Н И Я Т Е Л А , Б Р О Ш Е Н Н О Г О
Ц е л ь р а б о т ы : измерить н а­
чальную скорость, сообщенную телу
в горизонтальном направлении при
его движении под действием силы
тяжести.
Если ш арик брошен горизонталь­
но, то он движ ется по параболе.
З а начало координат примем н а­
чальное положение ш арика. Н а п р а ­
вим ось X горизонтально, а ось Y —
вертикально вниз. Тогда в любой
момент времени t x — vot, а у —
= - ^ 2~.
Д ал ьн ость
полета
/ — это
значение координаты х, которое
она будет иметь, если вместо t
подставить время падения тела с
высоты h. Поэтому можно записать:
l — v Qt\ /г = -^—. Отсюда легко найти
время
падения
СКОРОСТЬ
,
f2h
VT
180
t
и
начальную
V q.
I
И
V o
=
T
i
’
ИЛИ
U o =
l
Гё
\
2
h
-
ГО РИЗО НТАЛЬНО
Если несколько р аз пускать ш а ­
рик в неизменных условиях опыта
(рис. 177), то значения дальности
полета будут иметь некоторый р а з ­
брос из-за влияния различных при­
чин, которые невозможно учесть.
В таких
случаях
за
значение
измеряемой величины принимается
среднее арифметическое результатов,
полученных в нескольких опытах.
С р е д с т в а и з м е р е н и я : ли­
нейка с миллиметровыми делениями.
М а т е р и а л ы 1) штатив с муф­
той и лапкой; 2) лоток для пуска
шарика; 3) ф ан ерн ая доска; 4) ш а ­
рик; 5) бумага; 6) кнопки; 7) ко­
п ировальная бумага.
П орядок вы полнения работы
1.
С помощью штатива укрепите
фанерную доску вертикально. При
этом
той
же
лапкой
заж м ите
выступ лотка. Загнутый конец лотка
долж ен быть горизонтальным (см.
рис. 177).
2. Прикрепите к фанере кнопка­
ми лист бумаги шириной не менее
20 см и у основания установки
на полоску белой бумаги положите
копировальную бумагу.
3. Повторите опыт пять раз,
пуская ш арик из одного и того
же места лотка, уберите копироваль­
ную бумагу.
4. Измерьте высоту h и дальность
полета I. Р езультаты измерения
занесите в таблицу:
Номер
опыта
h, м
/, м
/с р, м
6.
= Уосрt
П ользуясь
формулами
х=
и у = ^ - , найдите координату
л: тела (координата у уж е под­
считана) через каж д ы е 0,05 с и
постройте траекторию дви ж ени я на
листе
бумаги,
прикрепленном
к
фанерной доске:
У0 ср. м/ с
t, С
0
х, м
0
у, м
0
0,05
0,10
0,15
0,2
0,012
0,049
0,110
0,190
7.
Пустите ш арик по ж елобу и
5.
Р ассчитайте среднее значениеубедитесь в том, что его траектория
начальной скорости по формуле
близка к построенной параболе.
■V
5. И З У Ч Е Н И Е Д В И Ж Е Н И Я
ТЕЛА
ПО О К Р У Ж Н О С ТИ
ПОД Д Е Й С Т В И Е М СИ Л УП РУГО С ТИ
Цель
р а б о т ы : убедиться в
том, что при движении тела по
окружности под действием несколь­
ких сил их равнодействую щ ая равна
произведению массы тела на ускоре­
ние: F = m a. Д л я этого используется
конический маятник (рис. 178, а ).
На прикрепленное к нити тело
(им в работе является груз из
И ТЯЖ ЕСТИ
набора по механике)
действуют
сила тяж ести F\ и сила упругости
F 2. Их равнодействую щ ая равна
^ F = F x+ F 2.
Сила F и сообщ ает грузу цент­
ростремительное ускорение
4 л 2г
а = -—
Р и с .178
а
б
181
(л — радиус окружности, по которой
д ви ж ется груз, Т — период его о б р а ­
щения) .
Д л я нахождения периода удобно
измерить время t определенного
числа
N оборотов.
Тогда
Т—
/
4тт2А/2
= — и а = — — г (1). Модуль р а в ­
нодействующей F сил F\ и F2
можно измерить, скомпенсировав ее
силой упругости F упр пружины ди­
намометра так, как это показано
на рисунке 178, б.
Согласно второму закону Нью­
тона, — = 1. При подстановке в
та
г
это равенство полученных в опы­
те значений F ynp, т и а мо­
жет о казаться, что л е в а я часть
этого равенства отличается от еди­
ницы. Это и позволяет оценить
погрешность эксперимента.
Средства
измерения:
1) линейка с миллиметровыми деле­
ниями; 2) часы с секундной стрел­
кой; 3) динамометр.
М а т е р и а л ы : 1) штатив с муф­
той и кольцом; 2) прочная нить;
3) лист бумаги с начерченной ок­
ружностью радиусом 15 см; 4) груз
из набора по механике.
П орядок вы п о лнения работы
1. Нить длиной около 45 см при­
вяж ите к грузу и подвесьте к кольцу
ш татива.
2. Одному из учащ ихся взяться
двумя пальцами за нить у точки
подвеса и привести во вращение
маятник.
3. Второму учащ емуся измерить
лентой радиус г окружности, по
6. И З У Ч Е Н И Е
РАВНОВЕСИЯ
ТЕЛ
Ц е л ь р а б о т ы : установить со­
отношение между моментами сил,
приложенных к плечам рычага при
182
которой дви ж ется груз. (Окружность
можно начертить заранее на бумаге
и по этой окружности привести в
движение маятник.)
4. Определите период Т о б р ащ е­
ния маятника при помощи часов
с секундной стрелкой.
Д л я этого учащ ийся, вращ аю щ ий
маятник, в такт с его оборотами
произносит вслух: нуль, нуль и т. д.
Второй учащ ийся с часами в руках,
уловив по секундной стрелке удоб­
ный момент для н ач ал а отсчета,
произносит: «нуль», после чего пер­
вый вслух считает число оборотов.
Отсчитав 3 0 - 40 оборотов, фикси­
рует промежуток времени t. Опыт
повторяют пять раз.
5. Р ассчитайте среднее значение
ускорения по формуле ( 1) , учиты­
вая, что с относительной погреш­
ностью не более 0,015 можно считать
л 2 = 10.
6. Измерьте модуль равнодей­
ствующей F, уравновесив ее силой
упругости
пружины динамометра
(см. рис. 178, б ) .
7. Р езультаты измерений зан еси ­
те в таблицу:
Номер
опыта
/, с
*ср>
с
N т, кг г,
м
а,
м/с*
F упр ’
8. Сравните отношение
н
с
единицей и сделайте вывод о погреш­
ности экспериментальной проверки
того, что центростремительное уско­
рение сообщ ает телу
векторная
сумма действующих на него сил.
ПОД Д ЕЙ С ТВИ Е М
НЕСКОЛЬКИХ
СИЛ
его равновесии. Д л я этого к одному
из плеч рычага подвеш ивают один
или несколько грузов, а к другому
прикрепляют динамометр (рис. 179).
С помощью этого динамометра
измеряют модуль силы F, которую
необходимо приложить для того,
чтобы рычаг находился в равнове­
сии. З а т ем с помощью того же
динамометра измеряют модуль веса
грузов Р. Д лины
плеч рычага
измеряют с помощью линейки. После
этого определяют абсолютные зн а ­
чения моментов М \ и М 2 сил Р и
F:
М 1= Р1\ и М 2= Г12.
Вывод о погрешности эксперимен­
тальной проверки правила моментов
можно сделать, сравнив с единицей
м,
м2
отношение: -77—.
Средства
измерения:
1) линейка; 2 ) динамометр.
М а т е р и а л ы : 1) штатив с муф­
той; 2 ) рычаг; 3) набор грузов.
П о рядок вы полнения работы
1. Установите рычаг на штатив
и уравновесьте его в горизонтальном
положении с помощью располож ен­
ных на его концах передвижных
гаек.
2. Подвесьте в некоторой точке
одного из плеч рычага груз.
3. Прикрепите к другому плечу
рычага динамометр и определите
силу, которую необходимо прило-
Рис.179
ж ить к рычагу для того, чтобы
он находился в равновесии.
4. Измерьте с помощью линейки
длины плеч рычага.
5. С помощью динамометра опре­
делите вес груза Р.
6 . Найдите аб сол ю тн ы е значения
моментов сил Р и F
7. Найденные величины занесите
в таблицу:
1\, м
/2> м
Р, Н
8 . Сравните
F, Н Mi — Pit, M 2 = Fl2,
Н-м
Н -м
отношение
М2
с
единицей и сделайте вывод о погреш­
ности экспериментальной проверки
правила моментов.
7. И З У Ч Е Н И Е З А К О Н А С О Х Р А Н Е Н И Я
М ЕХАН И ЧЕС КО Й ЭНЕРГИИ
Ц е л ь р а б о т ы : сравнить две
величины— уменьшение потенциаль­
ной энергии прикрепленного к пру­
жине тела при его падении и
увеличение потенциальной энергии
растянутой пружины.
Средства
измерения:
1) динамометр, жесткость пружины
которого равна 40 Н /м ; 2) линейка
измерительная; 3) груз из набора
по механике; масса груза равна
(0,100 + 0 ,002) кг
Материалы:
1) фиксатор;
2 ) штатив с муфтой и лапкой.
Д л я работы используется уст а­
новка, п о казан н ая на рисунке 180.
Она представляет собой укрепленный
на штативе динамометр с фикса183
нение пружины, равное расстоянию
от упора до фиксатора.
Если поднять груз, висящий на
крючке динамометра, так, чтобы
пружина не была растянута, то
потенциальная энергия груза по
отношению, например, к поверхности
стола равна mg H. При падении
груза
(опускание на расстояние
x = h ) потенциальная энергия груза
уменьшится на E \ = m g h , а энер­
гия пружины при ее деформации
увеличивается на £ 2= — .
тором /. П руж и н а динамометра
закан чи вается проволочным с те р ж ­
нем с крючком. Фиксатор (в уве­
личенном
масш табе он показан
отдельно — помечен цифрой 2) —
это л егкая пластинка из пробки
(разм ерам и 5 Х 7 Х 1 . 5 мм) , проре­
зан н ая ножом до ее центра. Ее
н аса ж и ва ю т на проволочный стер­
жень динамометра. Фиксатор должен
перемещ аться вдоль стержня с не­
большим трением, но трение все
же долж но быть достаточным, чтобы
фиксатор сам по себе не падал
вниз. В этом нужно убедиться
перед началом работы. Д л я этого
фиксатор устанавливаю т у нижнего
края шкалы на ограничительной
скобе. З атем растягиваю т и отпус­
кают.
Фиксатор вместе с проволочным
стержнем долж ен подняться вверх,
отмечая этим максимальное удли ­
184
П орядок вы полнения работы
1. Груз из набора по механике
прочно укрепите на крючке д и н а­
мометра.
2. Поднимите рукой груз, р азгр у ­
ж а я пружину, и установите фик­
сатор внизу у скобы.
3. -Отпустите груз. П а д а я , груз
растянет пружину. Снимите груз
и по положению фиксатора измерь­
те линейкой максимальное удлинение
х пружины.
4. Повторите опыт пять раз.
5. Подсчитайте E icfl = m g h cp
и
6.
лицу:
Номер
опыта
Результаты
^та х ’
х ср —
М
7. Сравните
^ср
занесите
в
£ 1ср-
Е 2с р ,
Е 1ср
Дж
Дж
^2ср
отношение
£
-=-^-
таб­
с
*2ср
единицей
и сделайте
вывод о
погрешности, с которой был прове­
рен закон сохранения энергии.
8. И З М Е Р Е Н И Е У С К О Р Е Н И Я
С ПОМОЩ ЬЮ
Ц е л ь р а б о т ы : вычислить у с ­
корение свободного падения из ф ор­
мулы для периода колебаний мате­
матического маятника:
Т=
С ВО БО Д Н О ГО
ПАДЕНИЯ
М АЯТНИКА
(1)
Д л я этого необходимо измерить
период колебания и длину подвеса
маятника. Тюгда из формулы (1)
можно вычислить ускорение свобод­
ного падения:
3. Измерьте длину подвеса мер­
ной лентой.
4. Измерьте время At 40 полных
колебаний ( N) .
5. Повторите измерения At (не
изменяя условий опыта) и найдите
среднее значение Д /ср.
6. Вычислите среднее значение
периода колебаний Т ср по среднему
значению Д /ср.
7. Вычислите значение g cp по ф ор­
муле:
gcp
= у п - / .
(3 )
1 ср
Средства
измерения:
1) часы
с секундной
стрелкой;
2) измерительная лента
(Дл =
= 0,5 с м ) .
М а т е р и а л ы : 1) ш арик с о т ­
верстием; 2) нить; 3) штатив с
муфтой и кольцом.
П орядок вы п о лнения работы
1. Установите на краю стола
штатив.
У его верхнего конца
укрепите при помощи муфты кольцо
и подвесьте к нему ш арик на
нити. Ш ари к долж ен висеть на
расстоянии 3 — 5 см от пола.
2. Отклоните маятник от поло­
жения
равновесия
на 5 — 8 см
и отпустите его.
8. Полученные
несите в таблицу:
Номер /, м
опыта
N
результаты
т
Л t, с Л 'с р . 1 ср =
С
Д^ср
=
N
за­
8 ср ’
м
7
;Т
9.
Сравните полученное среднее
значение для g cp со значением
g = 9,8 м / с 2 и рассчитайте отн о­
сительную погрешность измерения
по формуле:
_ igcp - g !
g
ОТВЕТЫ К У П Р А Ж Н Е Н И Я М
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
№
186
1. 1. sx = 4 м; sy = — 3 м. 2. х — 2,2 м; у — 4 м; « 6 м. 3. 13 км.
2. 1. « 3 , 5 км к юго-востоку; 42 мин. 2. 90 км /ч . 3 3,4 км.
3. I. 7,5 м. 2. 0,1 м /с.
4. 1. 950 км /ч ; 850 км /ч . 2. 225 с. 3. х — 72 км; у = 1440 км; 2 = 8 км
Ось ОХ направлена с з а п а д а на восток, ось O Y — с юга на север, ось OZ —
вертикально вверх.
5. 1. 70 км /ч . 2. « 5 5 км /ч .
6. 1. 10 с.
2. 2,5 м / с 2. 3. « 6 , 3 с. 4. 64 800 км/ч.
7. 1. 27 м; 4 с; 8 м. 2. 1-е тело д в и ж е тс я равномерно, 2-е и 3-е равноускоренно.
В момент времени, соответствующий точке А: v \ x = v 2x = 2 м /с; и3* = 0,5 м /с
и точке В: v i x — v 3x = 2 м /с; v 2x = 8 м / с ; | а и = 0; а2х = 2 м / с 2; а 3л: = 0,5 м / с 2.
3. а) а 1х= 1 м / с 2; а2х = 0,5 м / с 2;
а3х= — 0,5 м / с 2. 4. а)
0 / 1 = 9 м /с;
ОВ = 3 м /с; ОС = 5 с; б) a u = o2i= l м / с 2; а3х= — 1,8 м / с 2. 5. « 6 , 7 м / с 2;
« 7 5 0 м. 6. 0,6 м. 7. 2,4 км. 8. 1 , 6 - 104 км. 9. « 3 , 8 м / с 2. 10. « 5 0 0 м.
И . « 7 0 0 м.
8. 1. « 3 , 1 м /с . 2. « 2 , 3 м / с 2. 3. « 7 , 8 к м /с . 4. « 19 м /с . 5. « 2 , 7 - 10_3 м / с 2.
9. I. 6 м /с. 2. 2 см; 6 см. 3. 12 см.
10. 1.
1. 2 . 30 см /с .
11. 1.9,8Н. 2. 4 кН. 3. 2400 Н. 4. Л ож н о: время
не в 2, а в д/2 р а з а меньше.
5. Нет. 6. 0,25 м / с 2; 0,2 м / с 2.
12. 1. « 0 , 1 7 Н. 2. - 2 - Ю 20 Н. 3. В 560 раз. 4. 3 - 1 04 м /с.
13. 1. 5 кг. 2. « 2 6 0 0 км. 3. « 1 , 6 Н; В « 6 , 3 р а за меньше. 4. « 3 , 7 м / с 2.
14. 1. Во всех случаях 4900 Н. 2. а) 1010 Н; б) 980 Н; в) 940 Н; г) 0. 3. Умень­
шится на 5600 Н. 4. 9,80 Н; « 9 , 7 7 Н.
15. 1. 78 м. 2. « 1 0 , 5 с; « 1 0 3 м / с . 3. 1 с; 9,8 м /с . 4. « 1 1 м /с. 5. « 2 0 м /с;
15 м. 6. 46 м. 7. 78 м; 39 м /с . 8. 75 м; 10 м /с ; 10 м /с.
16. 1. 1,3 м; 1,0 с; 8,8 м. 2. 2,8 м.
17. 1. 90 мин. 2. 5,59 к м /с . 3. 4700 км. 4. 36 000 км. 5. 16 о б/с ут; 1 о б /с у т.
18. 1. 49 Н. 2. « 1 1 0 0 кг. 3. 75 Н.
19. 1. 10 м /с . 2. « 3 , 4 с; « 3 4 м.
20. 1. 2 м /с. 2. 30°. 3. « 1 0 м / с 2. 4. 5,5 м / с 2.
5. « 1 6
Н.
21. 1. 10 к г - м / с . 2. а) 3 - 104 к г - м / с ; б) 6 - 1 04 к г - м / с . 3. 0,2 к г - м / с . 2 Н.
4. ~ 20 000 к г - м / с ; 1000 кг. 5. « 3 , 4 с.
22. 1. 5,5 м /с . 2. 0,3 м /с . 3. 4,5 кг.
23. 1. 500 Д ж ; « 0 , 6 6 . 2. — 1,1-Ю 5 Д ж .
№ 24. 1. 180 Д ж ; да 11 м / с . 2. — 4 , 5 - 108 Д ж . 3. 4 . 1 0 !о Д ж 4. 40 Н; по радиусу;
4 == 0. 5. 200 к Д ж ; 1000 кг. 6. да 34 м.
№ 25. 1. — 120 Д ж . 2. яг — 1 , 1 - 104 Д ж . 3. 2 , 7 4 - 105 Д ж . 4. 2 , 7 - 105 Д ж ;
л; 1 , 6 - 106 Д ж .
№ 26. 1 8 Д ж . 2. да 16 Д ж . 3. 0,085 Д ж . 4. Удлинения отличаются знаком,
а потен циальные энергии одинаковы. 5. на 0,02 Д ж . 6. 8 Д ж .
№ 27. I 46 м. 2. 2000 м. 3. 230 кг. 4. 290 Д ж ; 590 Д ж . 5. На 0,01 м.
№ 28. 1 — 240 Д ж . 2. 2,7 к Д ж . 3. 36 км /ч . 4. Кинетическая энергия у меньш илась
н 1500 Д ж . 5. — 700 к Д ж . 6. Д в и г а л о с ь в воздухе.
№ 29. 1 7200 Н. 2. 8 т. 3. 360 к Д ж . 4. 7 , 9 - 1013 Д ж . 5. 20 кВт.
№ 30. 1 6 т. 2. 5700 Н. 3. 77 т. 4. 20% .
№ 31. 1 3 Гц. 2. 30 Н /м . 3. 0,02 кг.
№ 32. 1 1, 25 с; 0,8 Гц. 2. « 0 , 0 5 Гц; 8,5 м. 3. 0,2 Гц. 4. да9 м.
№ 33. 1 Нет. 2. 72 км/ч.
№ 34. 1 « 3 , 3 м /с . 2. 2 м. 3. 10 м.
№ 35. 1 4,25 м; 0,24 м. 2. да 17 с. 3. 2,7 км. 4. да 17 м; w 1,7 см. 5. да 1,7 км.
№ 36. 1 0,5 с. 2. д а 918 м.
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акустика 166
Амплитуда 148
Б е р н у л л и Д а н и и л 143
Ватт (единица мощности) 137
Вектор 10
Векторы
коллинеарные
12
Величина векторная 10
— с к а л я р н а я (скаляр) 11
Вес 83, 86
Весы пружинные 82
— р ы чаж н ы е 82
Взвешивание 58, 82
Волна 162
— поперечная 164
— продольная 164
Г а г а р и н Ю. А. 117
Г а л и л е й Г а л и ле о 3, 39,
53
Герц (единица частоты) 148
Г равитационн ая постоянная
80
Г раф и к волны 165
— гармонических
ний 156
— движ ения 19
— скорости 20
к олеб а­
О
188
Единица времени 26
— громкости 168
— длины 26
— жесткости 75
— импульса 111
— массы 58
— мощности 137
•— ра боты 119
— силы 64
— скорости 26
— ускорения 31
— частоты 148
— энергии 122
Жесткость 75
Ж у к о в с к и й Н.
Д в и ж е н и е жидкости 142
— колебательное 77 — криволинейное 41
равномерное 43
— механическое 4,5
— неравномерное 28
— .относительность 22
— периодическое 48
— по окруж ности 44
— поступательное 6,
Движение
прямолинейное
равномерное 21
------ равноускоренное
31
— реактивное 115
Д е ф о р м а ц и я 74
Децибел (единица громкос­
ти) 168
Д ж о у л ь (единица работы)
119
Д и н ам и к а 51
*
Динамометр 70
Д л и н а волны 163
104
Е.
144,
145
Закон 3
— Бернулли 144
— всемирного тяготения 80
— Гука 75
— Ньютона второй 63
первый (закон инер­
ции) 53, 64
------ третий 65
Закон сохранения импульса
113
------ энергии 132
Импульс тела 111
— силы 111
Инертность 57
Инерция 53
Искусственный спутник З е м ­
ли 96
Камертон 168
Килограмм 58
Кинематика 5
Колебания вынужден ные 159
— гармонические 148
— за ту х а ю щ и е 158
— с вободны е
(собст в ен­
ные) 158
Координата 7, 48, 152
К ор олев С. П. 117
Коэф фициент полезного де й ­
ствия 140, 141
— трения 99, 100
М асса 57, 58
М а т е р и а л ь н а я точка 6
М атер ия 3
М аятник математический 153
— пружинный 157
Метр 26
Механика 4
Модуль вектора 11
Мощность 137
Начало координат 8
— отсчета 7
Невесомость 84
Ньютон И саак 54, 61
Ньютон (единица силы) 64
Основная (гл а в на я) з а д а ч а
механики 5
П а р а б о л а 92
П ерегрузка 88
Перемещение 9, 34, 36
Период колебания 148, 152,
155
— о бр ащ ени я 46
П р а в и л о п а рал л е л огр а м м а 11
— треугольника 11
Принцип относительности Г а ­
лилея 67
П роекция вектора 13
Ра бота 119, 120
Равновесие 66, 104
Ра к ет а 115
Резонанс 159
— акустический 171
Свободное падение 39
Секунда 26
Сила 60
— всемирного тяготения 78
— нормального давления
99
— подъем ная 145
Сила
равнодействующ ая
(результирующая) 64
— реакции опоры 76
— сопротивления 101
— трения 97
покоя 98
------ скольжения 100
— т яж ести 60, 81
— упругости 60, 74
Синусоида 156
Система единиц 27
------ М е ж д у н а р о д н а я
27
— зам к нутая 112, 131
— кол еб ател ьная 147
— координат 7
— отсчета 8
— инерциальная 53
— неинерциальная 53
Скорость 16
— волны 164
— зв ука 169
— мгновенная 29, 30, .,42
— первая космическая 96
— равномерного прям о л и­
нейного движ ения 16
— средняя 28
Смещение 148
Тело отсчета 7
Теорема о кинетической эн ер­
гии 122
Тормозной путь 102
Траектория 9
Трение жидкое 101
— покоя 97
— сухое 101
Ускорение 31
— свободного падения 39
— центростремительное 44
Формула слож ения переме­
щений 23
------ скоростей 23'
Центр масс 108
— т я ж ести 108
Ц и о л ко вс ки й К ■ Э. 116
Частота колебаний 148
— обращ ени я 46
— собствен ная 159
Энергия 119
— внутренняя 136
— кинетическая 122
— механическая 132, 135
— потенциальная 127, 130
Явление 3
ОГЛАВЛЕНИЕ
М е х а н и к а ...........................................................
В в е д е н и е ...........................................................
3
—
Гла ва
3.
К риволинейное
движ ение
ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ
Г л а в а 1. Общ ие сведения о движении
5 § 14. Перемещение и скорость при
криволинейном движении . . .
Основная з а д а ч а механики . . . .
— § 15. Ускорение при равномерном д в и ­
§ 1. Поступательное движение тел.
жении по окружности . . . .
М атер и а л ьн а я т о ч к а .........................
6 § 16. Период и частота обращ ени я
§ 2. П олож ение тела в пространстве.
Упражнение 8 ....................................
Система к о о р д и н а т .........................
7 § 17. Как изменяются координаты тела
§
3.
П е р е м е щ е н и е ............. 9
со временем при равномерном
§
4.
О векторах в е л и ч и н ............. 10
движ ении по окружности? . . .
§ 5. Проекции вектора на координат­
§ 18. Д в и ж е н и е на в ра щ а ю щ е м с я т е ­
ные оси. Д ействия над проек­
ле
...........................................................
циями .......................................................
12
Самое важ но е в третьей главе
У праж нение 1 .....................................
15
§ 6. Прямолинейное равном ерное дв и ­
жение. С к о р о с т ь ...............................
—
П римеры решения з а д а ч . . .
17
ОСНОВЫ Д И Н АМ И КИ
У праж нение 2 .....................................
18
Г л а в а 4. З а к о н ы д в и ж е н и я . . . .
§ 7. Графическое представление д в и ­
ж ени я ......................................................
—
Самый важ ны й вопрос — почему? . .
При мер решения за да чи . . .
21 § 19. Тела и их окружение. Первый
Упражнение 3 ....................................
—
закон Н ь ю т о н а ..............................
§
8.
Относительность движ ения .
. § 20. Взаимодействие
.—
тел. Ускорение
Примеры ре шения з а д а ч . . .
24
тел при их взаимодействии . . .
Упражнение 4 ....................................
25
Упражнение 9 ....................................
§
9.
О системе единиц ............. ................... 26
§ 2 1 . Инертность и масса тел .
С ам ое в аж н о е в первой главе
27
Пример решения задачи . . . .
Упражнение 1 0 ....................................
Г л а в а 2. Прямолинейное неравномерное
§ 22. Сила. Второй закон Ньютона .
д в и ж е н и е ................................................
28
§ 23. Третий закон Ньютона . . . .
Скорость может изменяться . . . .
—
§ 24. Что мы узнаем
из законов
§ 10. Скорость при неравномерном д в и ­
Н ь ю т о н а ? ...............................................
жении ......................................................
—
Примеры решения з адач . . .
У пражнение 5 ....................................
30
Упражнение 1 1 .............................
§ 11. Ускорение. Равноускоренное д в и ­
§ 25. Как измеряют с и л у ? .......................
жение ......................................................
31
Самое в аж н о е в четвертой главе.
Примеры решения з а д а ч . . . .
33
Значение за конов Ньютона . . .
У праж нение 6 ....................................
34
§ 12. Перемещение при прямолиней­
Г л а в а 5. С илы в п р и р о д е и д в и ж е н и я
т е л ...............................................................
ном равноускоренном движении
—
Много ли сил в природе.......................
Примеры решения за д а ч . . .
36
§ 26. Сила у п р у г о с т и ...................................
Упражнение 7 ....................................
37
§ 13. Свободное падение тел. Ускорение
Пример решения з адачи . . .
§ 27. Движ ение тела под действием
свободного падения ........................
39
силы у п р у г о с т и ....................................
С ам ое в а ж н о е во второй главе
40
190
41
Д в и ж е н и е более сложное, чем п рям о­
линейное
.................................................. —
—
44
46
47
—
48
49
51
—
—
54
56
59
60
64
66
68
69
70
71
73
—
74
77
—
§ 28. Сила всемирного тяготения . . .
Упражнение 1 2 .............................
§ 29. Сила т я ж е с т и ...................................
Упражнение 1 3 .............................
§ 30. Вес тела. Невесомость....................
§ 31. Вес тела, движ ущ егося с уско­
рением .....................................................
Упражнение
14................................
§ 32. Движ ение тела под действием
силы тяжести:
тело дв ижется по вертикали . .
Примеры решения за да ч . . .
Упражнение 1 5 ..............................
§ 33. Движ ение тела под действием
силы тяжести:
начальная скорость тела н а п р а в ­
лена под углом к горизонту
Примеры решения з а д а ч . . .
Упражнение
16................................
§ 34. Искусственные спутники Земли
Упражнение 1 7 ..............................
§ 35. Сила трения. Трение покоя . . .
§ 36. Сила трения скольжения . . .
Упражнение 1 8 ..............................
§ 37. Движ ение тела под действием
силы т р е н и я ...................................
Упражнение 1 9 .............................
§ 38. Движение тела под действием
нескольких с и л ...................................
Примеры решения з а д а ч . . . .
Упражнение 2 0 ...................................
§ 39. При каких условиях тело д в и ­
жется поступательно? Центр т я ­
жести т е л а .........................................
Самое в аж ное в пятой главе
ЗАКОНЫ СО ХРАНЕНИЯ
78
81
—
83
—
85
88
88
90
91
—
94
95
—
97
—
100
102
—
103
104
105
107
—
108
В МЕХАНИКЕ
Гл а ва 6. З а к о н со х р а н е н и я и м п у л ь с а .
110
Физические величины со свойством
сохранения .....................................................
§ '40. Сила ии м п у л ь с .................................
Упражнение 2 1 ..............................
§ 4 1 . Закон сохранения импульса . .
Пример решения за да чи . . .
Упражнение 2 2 .....................................
§ 42. Реактивное движ ение . . . .
Самое важ ное в шестой главе
—
—
111
112
114
—
115
118
Глава 7. З а к о н с о х р а н е н и я э н е р ги и
Одна из важнейш их величин в науке
и т е х н и к е ...........................................................
§ 43. Работа силы (механическая р а ­
бота) ......................................................
Упражнение 23...................................
§ 44. Работа сил, приложенных к телу,
и изменение его скорости . . .
Пример решения за дачи . . . .
Упражнение 2 4 ..............................
—
—
§ 45. Р а б о т а силы т я ж е с т и ........................
§ 46. Потенциальная энергия тела, под­
нятого над Землей
. . . .
Упражнение 2 5 ...................................
§ 47. Р або та силы упругости . . . .
Упражнение 2 6 ...........................
§ 48. Закон сохранения полной м е х а ­
нической
э н е р г и и ........................
Примеры решения з а д а ч . . .
Упражнение 27......................................
§ 49. Ра б о т а силы трения и механи­
ческая энергия ............................
Упражнение 2 8 ...........................
§ 50. М о щ н о с т ь .........................................
Упражнение 2 9 ...................................
§ 5 1 . П ревращ ен ие энергии и исполь­
зование м а ш и н ............................
Пример ре шения з а д а ч и . . .
У пражнение 3 0 ............................
$ 52. Д в и ж е н и е жидкостей (и газов)
по трубам. Закон Бернулли . . .
Самое в аж н о е в седьмой главе .
КОЛЕБАНИЯ
Глава
$.
127
128
—
130
131
133
134
—
136
137
138
—
141
—
142
145
И ВОЛНЫ
Механические
колебания
147
Движ ение, которое повторяется . . .
§ 53. Колебания тела на пружине . .
§ 54. Энергия колебательного д в и ж е ­
ния ........................
........................
§ 55. Геометрическая модель к ол еб а ­
тельного д в и ж е н и я .....................150
У пражнение 3 1 ................................ 153
§ 56. Математический маятник . . .
Упражнение 3 2 .............................
§ 57. Колебания и внешние силы . . .
Упражнение 33 .
........................
Самое важ но е в восьмой главе . .
—
157
—
160
161
Глава
162
9.
Волны
.
.
........................
—
—
149
Колебания передаются от точки к
т о ч к е .................................................................
§ 58. Что такое в о л н а ? ............................
§ 59. Д в а вида волн
......................
Упражнение 34 .
........................
§ 60. Звуковые волны
......................
§ 6 1 . Свойства звука .
........................
Упражнение 3 5 ....................................
§ 62. Звуковые я в л е н и я ............................
Упражнение 36 .
........................
Самое важ ное в девятой главе .
—
—
164
166
—
168
169
—
171
172
З а к л ю ч е н и е .....................................................
Л аб о р ато р ны е р а б о т ы .............................
Ответы к у п р а ж н е н и я м ........................
Предметно-именной указатель . . . .
—
176
186
188
119
121
—
123
124
Учебное издание
ИБ № 14032
Кикоин Исаак Константинович
Кикоин Абрам Константинович
Подписано к печати с диапозитивов
20. 03. 91. Формат 70x90V16. Бум. офсетная.
Гарнит. литературная. Печать офсетная. Уел.
печ. л. 14,04+0,29 форз. Уел. кр.-отт. 29,25.
Уч.-изд. л. 12,62+0,48 форз. Цена 1 р. 80 к.
ФИЗИКА
Учебник
для
9
класса
средней
школы
Зав. редакцией В. А. Обменина
Редактор Т. П. Каткова
Художник В. Я. Сиднин
Художественный редактор В. М. Прокофьев
Технические редакторы Г. В. Субочева,
Е. Н. Зелянина
Корректоры И. А. Корогодина, JI. Н. М и­
хайлова
Макет издания разработан В. П. Богдановым.
№
Фамилия и имя
ученика
Ордена Трудового Красного Знамени издате­
льство «Просвещение» Министерства печати
и массовой информации РСФСР. 129846,
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано при посредстве В/О «Внешторгиздат».
Отпечатано Графишер Гросбетриб Пёснек
ГмбХ • Эйн Мондрук-Бетриб
Gedruckt bei Graphischer GroBbetrieb Pofineck
G m bH • Ein Mohndruck-Betrieb
Учебный год
Состояние учебника
в начале года
1
2
3
4
в конце года
Производные единицы СИ
Наименование
величины
Наименование
единицы
О б озн а ч ен и е
единицы
С н ор о сть
метр в секунду
м/с
Уснорение
метр на секунду
в квадрате
м /с 2
Сила
ньютон
н
Ж есткость
ньютон на метр
Н/м
Импульс
килограмм на метр
в секунду
кг-м/с
Импульс силы
н ью тон-секунда
Н-с
Работа, энергия
дж оуль
Дж
'Мощность
ватт
Вт
Плотность
килограмм на
кубический метр
кг/м3
Ч астота периодичесного
п р о ц есс а
герц
гЦ
■9
Большие и малые величины
-р а с с т о я н и е до наиболее удаленного от нас
объекта, который м ож но наблю дать
с помощ ью соврем енного телескопа
-диам етр атомных ядер
Расстояние
С корость
3 -Ю 8 м /с
Уснорение
1/ч 23
Время
10” с
10 24с
Масса
Ю 30к г
Ю '30кг
Плотность
4-10 17 кг/м 3 -п л о т н о с т ь я д ерного вещ ества
10
к г/м * - с р е д н я я плотность м е ж зв е зд н о го
вещ ества
Мощность
6 м лн.кВ т
10
м/с
о
-м аксим альная с к о р о с т ь -с к о р о с т ь света
в вакууме
- с таким ускорением д в и ж е тс я эл ектрон
в атоме водорода
-в о з р а с т Земли
- з а та ко е время св е т проходит расстояние,
равное диаметру ядра атома в од орода
-м а с с а С олнца
-м а сса электрона
-м о щ н о сть К р а с н о я р с к о й
ГЭС
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа