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Génération d’états non-classiques et intrication en
variables continues à l’aide d’un oscillateur paramétrique
optique
Julien Laurat
To cite this version:
Julien Laurat. Génération d’états non-classiques et intrication en variables continues à l’aide d’un
oscillateur paramétrique optique. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie
Curie - Paris VI, 2004. Français. �tel-00007442�
HAL Id: tel-00007442
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007442
Submitted on 17 Nov 2004
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scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
DE L'ECOLE NORMALE SUPERIEURE
UNIVERSITE PARIS VI
LABORATOIRE KASTLER BROSSEL
Thèse de doctorat de l’Université Paris VI
Spécialité : Optique et Photonique
Présentée par
Julien LAURAT
Pour obtenir le titre de Docteur de l’Université Paris VI
Sujet de la thèse :
Etats non-classiques et intrication
en variables continues
à l’aide d’un oscillateur paramétrique optique
Soutenue le 27 septembre 2004 devant le jury composé de :
M. Hans BACHOR
Membre invité
M. Thomas COUDREAU
Examinateur
M. Claude FABRE
Directeur de thèse
M. Jean-Marc FRIGERIO
Président
M. Philippe GRANGIER
Examinateur
M. Gerd LEUCHS
Rapporteur
M. Jean-François ROCH
Rapporteur
Résumé
Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et expérimentale de différents niveaux de
corrélations quantiques en variables continues, mettant en jeu une ou deux quadratures. Dans cet
objectif, un oscillateur paramétrique optique de type II, où signal et complémentaire sont émis
suivant des polarisations orthogonales, a été développé. Une lame biréfringente introduite à
l'intérieur de la cavité induit un couplage des deux modes et permet un fonctionnement dégénéré en
fréquence.
Un protocole original de préparation conditionnelle d'un état non-classique, de distribution
statistique sub-Poissonienne, a été étudié théoriquement et mis en oeuvre expérimentalement. Il
repose sur les corrélations d'intensité des faisceaux émis au-dessus du seuil en l'absence de lame.
Une compression de 9.5 dB du bruit sur la différence d'intensité a été obtenue.
En présence de la lame, les faisceaux émis sont dégénérés en fréquence et en principe
intriqués. La dégénérescence a permis la première mesure des anti-corrélations de phase au-dessus
du seuil. Malgré un excès de bruit qui reste à expliquer, ce résultat ouvre une voie intéressante pour
la génération directe d'états intriqués intenses. L'oscillateur paramétrique optique, avec ou sans
lame, peut également fonctionner au-dessous du seuil et générer des faisceaux fortement intriqués.
L'intrication obtenue, stable pendant plusieurs heures, est la plus forte observée à ce jour et elle est
préservée jusqu'à des fréquences de bruit très basses. En présence de la lame, les propriétés
quantiques originales du système sont également détaillées et une opération passive, réalisée à
l'aide de lames biréfringentes, est mise en évidence pour optimiser l'intrication. L'action
d'opérations passives sur un état à deux modes est discutée théoriquement.
Mots Clés
Optique non-linéaire, oscillateur paramétrique optique, verrouillage de modes, polarisation,
variables continues, états comprimés, corrélations quantiques, intrication, EPR, information
quantique, préparation conditionnelle
Abstract
This thesis studies, both theoretically and experimentally, different levels of quantum
correlations in the continuous variables regime, where one or two quadratures are concerned. For
this purpose, a type II optical parametric oscillator, where signal and idler beams are orthogonally
polarized, has been developed. A birefringent plate inserted inside the cavity creates a coupling of
the two modes and results in a frequency degenerate operation.
An original protocol of conditional preparation of a non-classical state, with a subPoissonian noise distribution, has been studied theoretically and realized experimentally. It relies
on the intensity quantum correlations of the beams emited above threshold without the plate. A
reduction by 9.5 dB of the noise on the intensity difference has been obtained.
With the plate, the beams are at the same frequency and, in principle, entangled. The
degenerate operation has permited for the first time to measure the phase anti-correlations above
threshold. In spite of a slight excess noise, this result opens a promising way to generate directly
bright entangled beams. The optical parametric oscillator, with or without the plate, can also be
operated below threshold and generate strongly entangled modes. The measured entanglement,
stable during many hours, is the strongest reported to date and is preserved for noise frequencies as
low as 50 kHz. With the plate, the original quantum properties are detailed and a passive operation,
realized with birefringent plates, is put into evidence to maximize the entanglement. The action of
passive operations on a two-mode state is discussed theoretically.
Keywords
Nonlinear optics, optical parametric oscillator, mode locking, polarization, continuous variables,
squeezed states, quantum correlations, entanglement, EPR, quantum information, conditional
preparation
Remerciements
Ce travail de thèse a été réalisé dans le groupe d’Optique Quantique du laboratoire Kastler
Brossel entre 2001 et 2004. Mes premiers pas en optique quantique remontent quant à eux à
l’an 2000 où un stage me conduisit, accompagné de mon acolyte Jérôme Wenger, à l’université
de Taiyuan. Zhang Kuanshou, Kunchi Peng, Changde Xie et Ruixiang Guo m’initièrent alors
aux ”squeezed states” et autres terminologies que je découvrais. C’est donc à eux que mes
premiers remerciements s’adressent, pour avoir guidé ces premiers pas et les liens d’amitié
que nous avons tissés.
Les premiers papiers que je découvrais alors étaient pour la plupart signés Claude Fabre,
dont la photo était d’ailleurs en bonne place sur le tableau des visiteurs honorés de l’université
de Taiyuan. Un an plus tard, Claude est devenu mon directeur de thèse. Au long de ces trois
années, à son habitude, Claude a dirigé mon travail avec patience, précision et avec l’enthousiasme à toute épreuve qu’il sait insuffler à son groupe. Sa pédagogie, sa rigueur lors de la
rédaction des articles ont été pour moi une formidable école. Je tiens également à le remercier
de la confiance qu’il m’a accordée tout au long de cette thèse. Thomas Coudreau a également
encadré ce travail. Au-delà de son enthousiasme et de ses encouragements, j’ai apprécié nos
discussions fréquentes et fructueuses dont je garde un excellent souvenir. Mes remerciements
s’adressent également à Agnès Maı̂tre et Nicolas Treps pour leurs conseils et leur grande disponibilité. Je n’oublie pas Laurent Longchambon avec qui j’ai travaillé au début de ma thèse et
je souhaite bon vent aux deux nouveaux thésards, Gaëlle Keller et José-Augusto O. Huguenin.
Je tiens à remercier Franck Laloë pour m’avoir accueilli au sein du laboratoire Kastler
Brossel, où convivialité et échanges ne sont pas de vains mots. Je remercie très sincèrement
tous les membres du laboratoire, chercheurs permanents, doctorants, électroniciens, informaticiens, mécaniciens. Ces derniers ont souvent épaulé mon travail, parfois dans l’urgence. Je
pense également à Monique Bonnamy, Laëtitia Morel et Christelle Sansa pour leur grande
disponibilité et leur gentillesse. Merci aussi à Sylvain et Brahim pour leur bonne humeur
quotidienne.
J’ai eu l’opportunité au cours de ma thèse d’être moniteur à Paris 6. Je tiens à exprimer
toute ma reconnaissance à Jean-Marc Frigerio et Danielle Fournier qui m’ont fait confiance
lorsque la licence LIOVIS est apparue et m’ont alors donné l’occasion d’organiser mon propre
cours. J’ai pris également beaucoup de plaisir à enseigner avec Victor Dana et Lydia TchangBrillet. Qu’ils en soient tous très chaleureusement remerciés.
Un grand merci également à tous les membres du jury, Hans Bachor, Philippe Grangier,
Jean-Marc Frigerio. Je tiens à remercier tout particulièrement les rapporteurs Gerd Leuchs
et Jean-François Roch pour la lourde tâche qu’ils ont accepté de remplir en cette période de
rentrée universitaire.
Je n’oublie évidemment pas dans ces remerciements ma famille et mes parents pour leur
soutien au long de toutes ces années d’étude. Mon dernier merci s’adresse à Jeanne qui a su
mêler au cours de ces trois dernières années patience, enthousiasme et bonne humeur.
Table des matières
Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Partie I Introduction à l’information quantique en variables continues et
Techniques expérimentales
5
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Variables continues et bruit quantique de la lumière . . . . . . . . . . . . . . .
C
Corrélations quantiques en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Optique non-linéaire : générer des états non-classiques . . . . . . . . . . . . . .
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
13
23
28
3. Techniques expérimentales . . . . . . . .
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Laser, doublage de fréquence et filtrage .
C
Détection et analyse du bruit . . . . . .
D
Asservissement des cavités optiques . . .
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
32
36
44
48
Partie II
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49
Oscillateur Paramétrique Optique
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Théorie classique de l’OPO . . . . . . . . . . . . .
C
Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . .
D
Accordabilité expérimentale . . . . . . . . . . . . .
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Propriétés quantiques au-dessus du seuil : génération de faisceaux
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Théorie au-dessus du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Mesure expérimentale des corrélations d’intensité . . . . . . . . . . . .
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jumeaux
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53
53
54
57
63
64
65
65
66
72
ii
Table des matières
D
E
Acquisition informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Préparation conditionnelle en régime de comptage . . . . . . . . .
C
Protocole en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Reproduction des articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
continues
. . . . . . .
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74
75
77
77
78
80
83
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. 97
. 97
. 98
. 100
. 105
. 110
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du seuil . . . .
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Amplification paramétrique dégénérée en fréquence . . . . . . . .
C
Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Applications possibles d’une source comprimée à basse fréquence
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Diffusions de phase : une limitation ? . . . . . . . . . . . . . . .
C
Propriétés spectrales théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Obtenir expérimentalement la dégénérescence . . . . . . . . . .
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie III
113
113
114
117
121
123
125
Oscillateur Paramétrique Optique à auto-verrouillage de phase
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage .
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Synchronisation d’oscillateurs : un phénomène universel
C
Propriétés classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Observation expérimentale de l’accrochage . . . . . . . .
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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129
130
131
138
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143
143
144
145
150
154
11.Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Etat à deux modes : compression et intrication . . . . . . . . .
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155
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10.Propriétés quantiques d’un OPO à auto-verrouillage
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Linéarisation des fluctuations . . . . . . . . . . . . . .
C
Etude au-dessous du seuil . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Etude au-dessus du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table des matières
D
E
iii
OPO à auto-verrouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.Caractérisation expérimentale des propriétés quantiques
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Schéma expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Au-dessus du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Au-dessous du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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169
170
171
174
180
13.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
Cristaux non-linéaires de KTP . . . . . . . . . .
B
Propriétés quantiques en configuration triplement
C
Circuits électroniques et Plans mécaniques . . . .
. . . . . .
. . . . . .
résonant
. . . . . .
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187
189
195
201
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
1. Introduction
Contexte général
Au cours de l’été 1977, à l’Université de Rochester, Kimble, Dagenais et Mandel apportent
la première preuve expérimentale de la nature quantique de la lumière. Envoyant la lumière
de fluorescence d’un atome unique sur une lame séparatrice, ils mesurent un signal dit de
”dégroupement de photons”. Cette observation confirme l’impossibilité de ”couper en deux” un
photon et ne peut s’expliquer que par la quantification du champ électromagnétique. Cette
expérience historique donna un essor décisif à une discipline nouvelle : l’Optique Quantique.
Depuis cet été 1977, de nouveaux états non-classiques de la lumière ont été étudiés et obtenus
expérimentalement.
De nombreux travaux ont porté en particulier sur les fluctuations d’un mode du champ
électromagnétique. Les variables qui le caractérisent ont un spectre continu. Elles sont ainsi
dites ”variables continues” par opposition aux ”variables discrètes” qui décrivent des systèmes
de faible dimension, telles que la polarisation d’un photon unique. Le champ électrique associé
à une onde plane monochromatique peut être décomposé en ”composantes de quadrature” qui
correspondent classiquement aux projections du champ dans le repère de Fresnel. La nature
quantique de la lumière impose une limite à la précision de la mesure que l’on peut faire
de ces composantes : par exemple, la mesure de l’intensité des champs lumineux usuels est
limitée par le bruit de grenaille. En outre, dans les sources ”classiques” de lumière (source
thermique, laser standard), les fluctuations sont réparties équitablement suivant toutes les
composantes de quadrature. Cette limite, appelée ”bruit quantique standard”, n’est cependant
pas fondamentale. L’inégalité de Heisenberg impose en effet une borne inférieure au produit des
variances de deux observables qui ne commutent pas mais ne fixe pas les variances individuelles.
Un état comprimé est ainsi un état pour lequel les fluctuations sont distribuées de manière
asymétrique : une composante peut voir ses fluctuations diminuer à condition que celles de
la composante conjuguée augmentent en proportion. On peut ainsi imaginer des faisceaux
présentant un bruit d’intensité plus faible que le bruit quantique standard et un bruit de phase
par conséquent plus important. La génération de tels états nécessite un processus qui dépend
de la phase : l’optique non-linéaire fournit les outils de l’optique quantique.
Le premier état comprimé fut obtenu en 1985, dans l’équipe de R.E. Slusher, par mélange à
quatre ondes dans une vapeur de sodium. De nombreuses expériences utilisèrent par la suite des
milieux non-linéaires χ(3) (atomes, fibres...) ou des milieux paramétriques χ(2) . Les meilleures
compressions de bruit atteignent aujourd’hui 85 %. Au-delà de la génération de ces états
monomodes, l’intérêt s’est également porté vers des états à deux modes présentant de fortes
corrélations non-classiques en intensité : on parle de ”faisceaux jumeaux”. Plus récemment,
2
1. Introduction
une double corrélation quantique a été recherchée. De tels états sont alors dits ”intriqués”.
Introduite en 1935 par Einstein, Podolsky et Rosen sous la forme d’un paradoxe, l’intrication
caractérise l’impossibilité de décrire deux objets quantiques, même très éloignés, de manière
indépendante. L’intrication des composantes de quadrature se traduit ainsi par des corrélations
et anti-corrélations des fluctuations de deux composantes de quadrature orthogonales (phase
et amplitude par exemple). La première démonstration expérimentale du paradoxe EPR en
variables continues fut donnée en 1992 par l’équipe de H.J. Kimble.
Parallèlement à ces recherches et à peu près indépendamment, se développa le domaine de
l’information quantique devenu aujourd’hui particulièrement actif et multidisciplinaire. L’information quantique consiste à utiliser les propriétés de la mécanique quantique pour développer des protocoles inédits de communication et de traitement de l’information : distribution
sécurisée de clé secrète en cryptographie, transmission à distance d’états quantiques, calcul
quantique... Les premières propositions et les premiers protocoles expérimentaux ont reposé
sur la manipulation de systèmes discrets à deux niveaux, appelés bits quantiques ou ”qubits”.
Ce n’est que plus récemment que les variables continues sont apparues comme des supports
prometteurs de l’information. L’acte fondateur fut sans nul doute la proposition théorique en
1994 d’un protocole de téléportation par L. Vaidman. La démonstration expérimentale qui
suivit en 1998 dans l’équipe de H.J. Kimble confirma cette approche et suscita alors un grand
intérêt de la communauté de l’optique quantique. Outre la richesse des protocoles imaginables,
les variables continues présentent également des avantages technologiques indéniables. Le principal d’entre eux est bien sûr la détection qui peut se faire à l’aide de photodiodes usuelles,
efficaces et bon marché.
La plupart des protocoles repose sur l’échange entre deux parties d’états intriqués. Une
thématique expérimentale centrale est donc de développer des sources efficaces d’intrication en
variables continues.
Contexte au sein du Laboratoire Kastler Brossel
Depuis le milieu des années 80, le groupe d’optique quantique du Laboratoire Kastler
Brossel s’est intéressé, théoriquement puis expérimentalement, aux propriétés quantiques des
oscillateurs paramétriques optiques (OPO) de type II pompés au-dessus du seuil d’oscillation.
Formé d’un cristal non-linéaire inséré dans une cavité optique résonante, un OPO génère par
conversion paramétrique des faisceaux intenses (quelques mW), polarisés orthogonalement et
présentant de très fortes corrélations quantiques en intensité. La première compression de bruit
sur la différence des intensités des deux champs, qui traduit ces corrélations quantiques, a été
obtenue au laboratoire en 1987. La théorie prévoit également que ces faisceaux sont anti-corrélés
en phase. Ce sont donc en principe des faisceaux intriqués en quadrature – corrélés en intensité
et anti-corrélés en phase – qui pourraient être utilisés dans divers protocoles d’information
quantique. Cette propriété est cependant difficile à mettre en évidence expérimentalement
car les faisceaux ne sont qu’accidentellement à la même fréquence. C’est pour cette raison
qu’aucune expérience n’a démontré à ce jour la génération de faisceaux EPR au-dessus du
seuil d’oscillation d’un tel système.
Une solution élégante et ”tout-optique” est cependant possible pour forcer le fonctionnement
3
à dégénérescence et consiste à associer au couplage non-linéaire un couplage linéaire. L’idée
fut proposée et mise en œuvre expérimentalement en 1998 par E.J. Mason et N.C. Wong. Une
lame biréfringente, introduite dans la cavité et dont les axes sont tournés par rapport à ceux
du cristal, induit une injection mutuelle des deux champs signal et complémentaire. Il est alors
possible d’obtenir un phénomène d’accrochage en fréquence : le système génère deux champs à
même fréquence, verrouillés en phase et intriqués en quadrature. Si l’accrochage a été observé
dès 1998, aucune étude des propriétés quantiques n’avait en revanche été menée jusqu’à ces
dernières années.
L’objectif de cette thèse était donc de développer un oscillateur paramétrique optique de
type II afin d’étudier ses propriétés classiques et quantiques en présence de la lame biréfringente. Une expérience entièrement nouvelle a ainsi été développée au cours de cette thèse et
a permis la caractérisation d’un OPO de type II dans divers régimes de fonctionnement. En
l’absence de lame, la réduction du bruit sur la différence d’intensité a tout d’abord été optimisée pour atteindre un nouveau record, 9.5 dB de compression soit près de 90%. Un protocole
original de préparation conditionnelle d’un état sub-Poissonien à partir de faisceaux corrélés
en intensité a ensuite été développé théoriquement et mis en œuvre expérimentalement. La
stratégie conditionnelle est bien connue en variables discrètes, par exemple pour préparer un
photon unique à partir de photons jumeaux, mais n’avait pas d’équivalent jusqu’à présent en
variables continues. L’OPO a également été utilisé au-dessous du seuil d’oscillation. Cette configuration fut celle utilisée en 1992 par H.J. Kimble lors de la première génération expérimentale
de faisceaux EPR en variables continues. La stabilité de notre expérience a permis d’obtenir
la meilleure intrication à ce jour et d’atteindre des fréquences d’analyse de bruit très basses.
Enfin, en présence de la lame, l’accrochage en fréquence a été caractérisé puis les propriétés
quantiques du champ produit étudiées tant au-dessus qu’au-dessous du seuil d’oscillation.
Plan de la thèse
Ce mémoire, dont la progression est donnée figure 1.1, s’organise en trois parties. Après
une première partie générale, les parties II et III s’intéressent aux propriétés théoriques et
expérimentales d’un oscillateur paramétrique optique de type II, respectivement sans et avec
lame biréfringente insérée dans la cavité.
Une première partie est consacrée aux outils théoriques et expérimentaux de l’optique quantique. Les états comprimés ou corrélés sont introduits, ainsi que les méthodes de génération qui
reposent généralement sur l’optique non-linéaire. La place centrale de l’intrication dans les protocoles d’information quantique est également soulignée à travers l’exemple de la téléportation.
La plupart des techniques expérimentales utilisées au cours de cette thèse, et communes aux
expériences en régime continu, est ensuite détaillée. Cette partie pourra être omise par un lecteur familier de l’optique quantique et des développements récents de l’information quantique
en variables continues.
Une seconde partie décrit la mise en œuvre expérimentale d’un OPO de type II (sans lame).
C’est l’occasion de présenter le fonctionnement classique d’un tel système et les performances
obtenues, en particulier en terme de stabilité. Les corrélations d’intensité des faisceaux intenses
générés au-dessus du seuil sont ensuite étudiées puis mises à profit dans un protocole original
4
1. Introduction
Introduction
Partie I
Introduction à l’information quantique en
variables continues et techniques expérimentales
Variables continues: de la compression
de bruit à l’information quantique
Techniques expérimentales
Partie II
Partie III
Oscillateur paramétrique optique
Oscillateur paramétrique optique
à auto-verrouillage de phase
OPO triplement résonant:
propriétés classiques
Propriétés classiques d’un OPO
à auto-verrouillage de phase
Propriétés quantiques au-dessus du seuil:
génération de faisceaux jumeaux
Propriétés quantiques d’un OPO
à auto-verrouillage de phase
Préparation conditionnelle d’un état
non-classique en variables continues
Compression de bruit et intrication
d’un état à deux modes
Propriétés spectrales
et contrôle du battement en fréquence
Caractérisation expérimentale
des propriétés quantiques
Compression de bruit
et intrication au-dessous du seuil
Conclusion
Fig. 1.1: Structure de la thèse.
de préparation conditionnelle d’un état sub-Poissonien. La fin de cette partie est consacrée à
l’accordabilité en fréquence des faisceaux signal et complémentaire. Un fonctionnement proche
de la dégénérescence permet, en passant au-dessous du seuil d’oscillation, de générer par amplification paramétrique des faisceaux vides fortement intriqués. L’intrication est préservée pour
des fréquences de bruit très faibles et peu usuelles en optique quantique expérimentale.
La dernière partie est consacrée à l’étude des propriétés classiques et quantiques d’un oscillateur paramétrique à auto-verrouillage de phase, c’est-à-dire avec une lame biréfringente
insérée dans la cavité. Evoqué au cours des parties précédentes, le lien intrication-compression
de bruit est ici développé en termes de matrices de covariance et explicité dans le cas de l’OPO
à auto-verrouillage. Ce mémoire se termine par l’étude expérimentale des propriétés quantiques
de ce système original, tant au-dessus qu’au-dessous du seuil d’oscillation.
Première Partie
Introduction à l’information quantique en variables
continues et Techniques expérimentales
7
L’information quantique est devenue au cours des dernières années un domaine de recherche
particulièrement actif et multidisciplinaire. La mécanique quantique offre en effet des possibilités inédites de communication et de traitement de l’information. L’intérêt s’est tout d’abord
porté vers la manipulation de systèmes discrets, tels que les systèmes à deux niveaux appelés
bits quantiques ou ”qubits”. De nombreux protocoles, en particulier de cryptographie ou de téléportation, ont été réalisés avec succès. Plus récemment, coder une information continue dans
les quadratures d’un mode du champ électromagnétique (amplitude ou phase par exemple) ou
dans le moment angulaire collectif d’un ensemble d’atomes est apparu comme une alternative
prometteuse aux variables discrètes. Les démonstrations expérimentales récentes de téléportation [Furusawa98, Bowen03a], de codage dense [Li02], ou encore d’intrication d’ensembles
atomiques [Julsgaard01] ont confirmé cette approche et ainsi fortement contribué au développement de l’information quantique en variables continues. Dans ce contexte, une thématique
expérimentale centrale est la génération d’états dits intriqués, l’intrication étant l’ingrédient
principal de la plupart des protocoles.
Les variables à spectre continu, en particulier les fluctuations et les corrélations des composantes de quadrature, sont étudiées depuis longtemps en optique quantique : compression
de bruit [Slusher85, JosaB87], faisceaux jumeaux [Heidmann87, Fabre89], étude du bruit des
lasers [Marin95, Giacobino95] ou encore mesures quantiques non destructives [Roch97, Grangier98]. Un premier chapitre revient sur la description des états non-classiques du rayonnement,
comprimés ou corrélés. Différents niveaux de corrélations quantiques sont alors introduits. Ce
chapitre résume également les méthodes de génération d’états intriqués et illustre leur place
centrale en information quantique à travers le protocole de téléportation.
Un second chapitre détaille les outils et techniques expérimentales utilisés au cours de cette
thèse, et communs à la plupart des expériences d’optique quantique : du laser aux systèmes
de détection et de traitement de données en passant par l’asservissement des cavités optiques.
Ce chapitre permettra de décrire la plupart des éléments de cette expérience, à l’exception de
l’oscillateur paramétrique optique qui sera le sujet des deux autres parties de ce mémoire.
2. Variables continues : de la compression de bruit à
l’information quantique
Sommaire
A
Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
B
Variables continues et bruit quantique de la lumière . . . . . . . .
10
C
D
E
A
B.1
Variables continues en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . .
10
B.2
Commutateurs et inégalité de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . .
11
B.3
Etat comprimé du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Corrélations quantiques en variables continues . . . . . . . . . . . .
13
C.1
Faisceaux jumeaux : critère de ”gémellité” . . . . . . . . . . . . . . . .
13
C.2
Critère de corrélation QND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
C.3
Le paradoxe EPR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
C.4
Critère de démonstration du paradoxe en variables continues . . . . .
17
C.5
Critère d’inséparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
C.6
Intrication et compression de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
C.7
Influence des pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
C.8
Un exemple de protocole : la téléportation . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Optique non-linéaire : générer des états non-classiques . . . . . . .
23
D.1
Processus non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
D.2
Non-linéarités du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
D.3
Equations de base de la conversion paramétrique . . . . . . . . . . . .
26
Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Introduction
Après une présentation de la notion de variables continues en mécanique quantique, ce
premier chapitre s’intéresse au bruit de la lumière. Les états monomodes sont rapidement
introduits ainsi que la possibilité de produire des états dits ”comprimés”.
Les propriétés de corrélations d’état à deux modes ont pendant longtemps été au cœur
de nombreuses discussions sur la nature de la mécanique quantique, discussions ouvertes dès
les débuts de la mécanique quantique et renouvelées en 1935 par le fameux article EPR. La
troisième partie décrit de telles corrélations, suivant une ou deux quadratures, et introduit 4
niveaux de corrélations quantiques. Il s’est avéré plus récemment que ces propriétés, parmi
10
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
les plus intrigantes de la mécanique quantique, pouvaient être à la base de protocoles inédits.
Un exemple de protocole d’information quantique conclut cette étude. Une dernière partie
est consacrée à l’optique non-linéaire qui fournit la plupart des outils pratiques de l’optique
quantique.
B
Variables continues et bruit quantique de la lumière
Cette partie introduit la notion de variables continues en mécanique quantique puis s’intéresse aux fluctuations d’un mode du champ électromagnétique.
B.1
Variables continues en mécanique quantique
Les systèmes discrets ont joué un rôle primordial dans le développement de la mécanique quantique et constituent des systèmes modèles. Un grand nombre de systèmes physiques
peuvent en effet être décrits, de manière exacte ou approchée, dans des espaces de Hilbert de
faible dimension. Les systèmes à deux états sont les plus simples puisque leur vecteur d’état
s’écrit comme combinaison linéaire de deux vecteurs de base. L’état de polarisation d’un photon
unique en est un exemple familier. Il peut s’exprimer par exemple comme combinaison linéaire
de polarisations horizontale et verticale : |ψi = |V i + α eiφ |Hi. De multiples problèmes en physique atomique se réduisent également à l’étude d’un système à deux niveaux. L’information
quantique a donné à ces systèmes discrets le nom de bits quantiques, ou ”qubits”.
L’information quantique ne s’est que plus récemment intéressée aux variables à spectre
continu, c’est-à-dire qui sont valeurs propres d’opérateurs définis dans un espace de Hilbert
de dimension infinie et a priori beaucoup plus riche. La position et l’impulsion d’une particule
sont les archétypes ”historiques” de telles variables continues. En optique, les analogues de ces
grandeurs sont les composantes de quadrature d’un mode du champ électromagnétique. Cette
analogie résulte directement de la quantification du champ qui permet de décrire un mode
comme un oscillateur harmonique quantique [Grynberg97].
Pour introduire simplement ces composantes, considérons un mode du champ électromagnétique, correspondant à une onde plane de polarisation et de direction fixées et de fréquence
ω. En physique classique, le champ électrique associé peut s’écrire :
E(t) = E0 cos(ωt + ϕ) = EP cos ωt + EQ sin ωt
(2-1)
E0 et ϕ sont l’amplitude et la phase de l’onde. EP et EQ sont les amplitudes des deux quadratures du champ dans le repère de Fresnel. Dans le cadre d’une description quantique, le champ
électrique se définit à partir des opérateurs de création et d’annihilation de photon :
Ê(t) = E0 (âe−iωt + ↠eiωt ) = E0 (P̂ cos ωt + Q̂ sin ωt)
(2-2)
où les opérateurs de quadrature P̂ et Q̂ s’expriment :
P̂ = â + â†
et Q̂ = −i(â − ↠)
(2-3)
E0 est une constante de normalisation qui correspond au champ électrique associé à un photon.
B. Variables continues et bruit quantique de la lumière
11
Que ce soit pour la lumière ou pour les atomes, il existe d’autres variables continues. La
polarisation d’un faisceau lumineux se définit par exemple à partir des opérateurs de Stokes
quantiques [Korolkova02]. Cette description suscite actuellement un grand intérêt car les fluctuations des composantes du vecteur de Stokes sont facilement mesurables uniquement à l’aide
de mesures en intensité, et donc sans avoir recours à une détection homodyne. De manière similaire, l’état quantique d’un ensemble macroscopique d’atomes à deux niveaux peut être décrit
par son moment angulaire collectif défini comme la somme des spins individuels [Hald99]. Ces
deux descriptions permettent de considérer polarisation de la lumière et spin atomique collectif
de manière équivalente et d’imaginer des protocoles de transfert d’information continue d’un
système à l’autre. Les propositions récentes de mémoires quantiques à atomes reposent sur de
tels transferts [Kozhekin00, Dantan04].
B.2
Commutateurs et inégalité de Heisenberg
Les opérateurs de quadrature d’un mode du champ électromagnétique vérifient la même
relation de commutation ”canonique” que les opérateurs position et impulsion d’une particule :
[P̂ , Q̂] = 2i
(2-4)
L’ensemble des propriétés découle de cette relation de commutation. En particulier, elle impose
une limite inférieure au produit des variances des deux variables conjuguées, notées V (P̂ ) et
V (Q̂). Cette contrainte est connue sous le nom d’inégalité de Heisenberg :
V (P̂ ) V (Q̂) ≥ 1
(2-5)
Les composantes de quadrature ne peuvent donc pas être mesurées avec une précision infinie.
Leurs fluctuations constituent le ”bruit quantique” de la lumière.
Le choix des composantes de quadrature est arbitraire et correspond à un choix de l’origine
des phases dans le plan de Fresnel. Un couple de composantes de quadrature conjuguées s’écrit
de manière générale :
P̂ (θ) = (âe−iθ + ↠eiθ ) et Q̂(θ + π/2) = −i(âe−iθ − ↠eiθ )
(2-6)
Tout couple de quadratures conjuguées vérifie la relation de commutation précédente. Il existe
un couple de quadrature particulier lorsque la valeur moyenne du champ est non nulle : les
quadratures définies par θ = φ, où φ est la phase du champ, et θ = φ + π/2 correspondent
respectivement aux quadratures dites d’amplitude et de phase.
Un état particulier est l’état vide pour lequel toutes les composantes de quadrature présentent la même variance de bruit : V (P̂ ) = V (Q̂) = 1. Cet état définit ainsi une référence pour
les fluctuations que l’on appellera par la suite ”limite quantique standard” ou ”bruit quantique
standard”. Ces fluctuations correspondent aux fluctuations de point-zéro d’un oscillateur matériel. L’état dont les propriétés sont les plus proches de celles d’un champ classique est obtenu
en superposant à ce dernier les fluctuations du vide. De tels états, introduits par Glauber en
1965 [Glauber65], sont appelés états cohérents. Le vide est un état cohérent dont le nombre
moyen de photons est nul.
12
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
Q
Q
Q
de
litu
p
Am
Phase
P
P
P
Fig. 2.1: Représentation de Fresnel du champ électromagnétique : représentation classique,
fluctuations instantanées et aire des fluctuations.
Une interprétation corpusculaire permet de donner une image du bruit d’intensité d’un
faisceau, appelé bruit de grenaille ou ”shot noise”. On peut se représenter le faisceau comme
formé de photons aléatoirement répartis temporellement, suivant une distribution Poissonienne.
Le bruit de grenaille est ainsi le bruit que ferait un jet de grains de sable frappant une paroi.
Une représentation commode du bruit consiste à superposer dans le plan de Fresnel un
champ classique et ses fluctuations. Le champ classique est représenté par un vecteur dont la
norme donne l’amplitude et l’angle la phase. La nature quantique de la lumière fait apparaı̂tre
des fluctuations instantanées autour de cette valeur moyenne : l’extrémité du vecteur se déplace
à l’intérieur d’une zone d’incertitude. L’extension de cette zone est généralement schématisée
par un contour dont la distance à la valeur moyenne donne la variance du bruit pour chaque
quadrature. Dans le cas d’un état cohérent, ce contour est un cercle. La figure 2.1 détaille cette
représentation pour un état cohérent.
B.3
Etat comprimé du rayonnement
Si la relation d’incertitude définit une borne inférieure pour le produit des variances de
deux quadratures conjuguées, elle n’impose en revanche aucune contrainte sur les variances
individuelles. Il est donc possible d’imaginer des états où la symétrie entre les quadratures
est brisée. La variance d’une quadrature peut alors être plus petite que la limite quantique
standard, à condition que la quadrature conjuguée voie ses fluctuations augmenter. De tels états
sont dits comprimés, ou ”squeezés”. Dans le diagramme de Fresnel, l’aire d’incertitude prend
alors la forme d’une ellipse dont le petit axe donne le bruit suivant la quadrature comprimée
(figure 2.2).
A nouveau, dans certains cas, une image corpusculaire est possible. La compression du
bruit d’intensité se traduit par une distribution plus régulière des photons dans le faisceau : la
distribution est dite sub-Poissonienne. Cette image corpusculaire explique également la grande
fragilité aux pertes des états comprimés. Toute perte (absorption, réflexion partielle ou encore
mauvaise efficacité de détection) prélève aléatoirement des photons et tend donc à rendre la
distribution statistique plus aléatoire, pour tendre rapidement vers une distribution Poissonienne.
C. Corrélations quantiques en variables continues
Q
13
Q
Q
Compression du bruit d’intensité
Compression du bruit de phase
P
Suivant une quadrature quelconque
P
P
Fig. 2.2: Exemples d’états comprimés suivant des quadratures différentes.
C
Corrélations quantiques en variables continues
Alors que la partie précédente s’intéressait aux états monomodes, cette troisième section
décrit des systèmes à deux modes dont les composantes de quadrature sont corrélées. Différents
niveaux de corrélations quantiques sont définis, mettant en jeu soit la mesure d’une seule
corrélation soit de deux suivant des composantes de quadrature orthogonales. Le rôle central des
corrélations dans les protocoles d’information quantique est finalement illustré par l’exemple
de la téléportation quantique. Des commentaires en italique viennent conclure la plupart de
ces développements et les relient aux résultats à venir. Cette partie, relativement longue, peut
être considérée en soit comme un guide de lecture pour la suite de ce mémoire.
C.1
Faisceaux jumeaux : critère de ”gémellité”
On considère deux modes, 1 et 2, pouvant être séparés spatialement. Les fluctuations du
mode i pour la quadrature Pi sont notées δPi . On appelle facteur de Fano Fi la variance de
bruit normalisée au bruit quantique standard suivant cette quadrature :
Fi = hδPi2 i = V (Pi )
(2-7)
Un facteur de Fano plus petit que 1 correspond à un état comprimé suivant cette quadrature.
La mesure simultanée des fluctuations pour chaque mode permet d’accéder à la corrélation
normalisée définie par :
hδP1 δP2 i
C12 = √
F1 F2
(2-8)
Cette grandeur varie entre -1 (anti-corrélations parfaites) et 1 (corrélations parfaites).
La méthode la plus simple pour produire des faisceaux corrélés consiste à envoyer un faisceau
”classique” sur une lame 50/50. Un calcul simple, tenant compte du mode vide entrant par la
seconde voie de la lame, fournit l’expression de la corrélation des deux faisceaux de sortie :
C12 =
Fin − 1
Fin + 1
(2-9)
où Fin est le facteur de Fano du faisceau entrant. Lorsque Fin tend vers l’infini, c’est-à-dire
lorsque le bruit du mode vide peut être négligé devant le bruit du faisceau entrant, le facteur
C12 tend vers 1 : un faisceau très bruité divisé sur une lame 50/50 donne deux faisceaux très
14
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
fortement corrélés. Une corrélation C12 proche de 1 n’est donc pas nécessairement le signe
d’une corrélation d’origine quantique : c’est même ici l’inverse puisque elle traduit le fait que
les fluctuations quantiques peuvent être négligées !
Un critère plus adapté est fourni par le mesure du bruit sur la différence (ou la somme s’il
s’agit d’anti-corrélations) des deux modes :
P− = P1 − P2
(2-10)
La variance de cette mesure ne dépend pas du facteur de Fano car l’excès de bruit classique est
supprimé lors de la différence. On peut montrer que la plus petite valeur qui peut être obtenue
classiquement vaut 2. On introduit ainsi, pour deux modes de même valeur moyenne et même
facteur de Fano, la ”gémellité” G définie par :
G=
V (P− )
V (P1 − P2 )
=
2
2
(2-11)
Le critère de gémellité est d’avoir une valeur de G inférieure à 1 :
G=
V (P1 − P2 )
<1
2
(2-12)
La corrélation mesurée ne peut pas alors être décrite par un modèle semi-classique mettant en
jeu des champs ayant des fluctuations ”classiques”. Des faisceaux présentant une telle corrélation sont dits ”jumeaux”.Soulignons à nouveau que, si les modes sont anti-corrélés, on définit
de manière équivalente une gémellité (ou ”anti-gémellité”...) donnée par le bruit sur la somme
des fluctuations.
La meilleure gémellité publiée à ce jour est de G = 0.11 et a été obtenue au cours de cette
thèse à partir de faisceaux intenses corrélés quantiquement en intensité. Ce résultat est détaillé
au chapitre 5.
C.2
Critère de corrélation QND
Un second niveau de corrélations quantiques, mettant toujours en jeu une seule corrélation
entre deux modes, est associé à la notion de mesure quantique non-destructive (QND). Lorsque
deux quadratures sont parfaitement corrélées, la mesure de l’une donne sans incertitude la
valeur de l’autre. La mesure effectuée sur le premier système est alors une mesure QND réalisée
sur le second.
De nombreuses études ont été consacrées aux mesures QND et aux critères associés [Roch97,
Grangier98]. La mesure QND est considérée comme effective lorsque la mesure de la quadrature d’un mode fournit suffisamment d’informations sur les fluctuations instantanées de la
quadrature de l’autre mode pour le corriger de ses fluctuations, via par exemple une boucle de
rétroaction, et le transformer en un état comprimé. Ce critère s’exprime à partir de la variance
conditionnelle Vc (P1 |P2 ) qui correspond à la variance des fluctuations du mode 1 connaissant
celles du mode 2 :
Vc (P1 |P2 ) = V (P1 ) −
hδP1 δP2 i2
V (P2 )
(2-13)
C. Corrélations quantiques en variables continues
15
La mesure est QND lorsque la variance conditionnelle est inférieure à 1.
Pour deux modes de même valeur moyenne et même facteur de Fano, les variances conditionnelles Vc (P1 |P2 ) et Vc (P2 |P1 ) sont égales et notées Vc . Cette grandeur peut également
s’écrire à partir du facteur de Fano F et de la gémellité G. Le critère de corrélation QND
s’exprime alors :
Vc = 2G −
G2
<1
F
(2-14)
D’après l’expression de Vc en fonction de la gémellité,
G ≤ Vc ≤ 2G
(2-15)
Tous les faisceaux qui vérifient le critère de corrélation QND sont donc ”jumeaux”. La réciproque n’est pas vraie et dépend du bruit individuel. Par ailleurs, une gémellité plus petite que
0.5 assure toujours une corrélation QND.
La valeur G = 0.11 obtenue au cours de cette thèse est donc la signature d’une corrélation
QND. Ce critère sera important au chapitre 6 qui utilisera ces corrélations en intensité dans
un protocole de préparation conditionnelle d’un état sub-Poissonien.
Les deux critères présentés jusqu’à présent caractérisent la situation où une seule corrélation
entre deux modes est mesurée : par exemple deux faisceaux corrélés quantiquement en intensité.
Intéressons nous désormais aux configurations où une double corrélation est considérée. Le
paradoxe EPR permet d’introduire cette notion de double corrélation. Deux critères seront
ensuite définis, cette fois-ci dans l’ordre inverse de leur généralité.
C.3
Le paradoxe EPR
En 1935, dans un article intitulé ”Can quantum mechanical description of physical reality
be considered complete ?”, Einstein, Podolsky et Rosen présentèrent ce qu’ils pensaient être
une insuffisance de la mécanique quantique, et qui en constitue à coup sûr un des ses aspects
les plus étranges [Einstein35].
Ils définissent tout d’abord le concept de réalité physique : si on peut, sans perturber
un système, prédire avec certitude une de ses grandeurs physiques, alors il existe un élément
de réalité physique associé à cette quantité. Ils considèrent ensuite deux particules séparées
spatialement et les opérateurs position et impulsion de chacune d’elles, (PA , QA ) et (PB , QB ).
Position et impulsion de chaque particule ne commutent pas et les observables associées ne
peuvent donc pas être connues simultanément avec une précision infinie. En revanche, somme
et différence des ces opérateurs commutent :
[PA − PB , QA + QB ] = 0
(2-16)
Il est donc possible de créer des états à deux particules pour lesquels les positions sont parfaitement corrélées et les impulsions parfaitement anti-corrélées, quelle que soit la distance qui
les sépare.
16
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
dj2
dj1
dI2
dI1=dI2
dj1=-dj2
dI1
Fig. 2.3: Exemple de faisceaux EPR idéaux dont les fluctuations d’intensité (notées δI) sont
corrélées et les fluctuations de phase (δϕ) anti-corrélées.
Le paradoxe naı̂t du raisonnement suivant. En raison de leur corrélation, une mesure de
la position de particule A donne avec certitude la position de la particule B sans qu’il y ait
interaction physique entre les deux particules. Par conséquent, la prédiction de la position de
la particule B n’a pas perturbé cette dernière. Einstein et ses collègues estime alors qu’il doit
exister un élément de réalité physique associé à la seule particule B concernant cette grandeur,
et donc une valeur prédéterminée pour sa position. Un raisonnement identique pour l’impulsion conduit à associer à la même particule B une impulsion prédéterminée. La position et
l’impulsion de cette particule se trouvent donc toutes deux définies simultanément. Cette définition parfaite de deux observables qui ne commutent pas n’est pas autorisée par la mécanique
quantique. L’article de 1935 en conclut que la mécanique quantique ne donne qu’une description incomplète de l’état d’une particule. Einstein, Podolsky et Rosen soulignaient ainsi les
problèmes soulevés par la mécanique quantique pour les tenants d’une vision réaliste et locale
du monde physique.
Enoncé en terme de variables continues, l’argument EPR fut écrit sous une forme différente
en 1952 par D. Bohm à l’aide de variables discrètes, telles que le spin de deux particules ou la
polarisation de deux photons. Longtemps cloisonée au domaine théorique, voire philosophique,
la question connut un tournant en 1964 lorsque J. Bell établit une inégalité dont la violation
éliminerait toute théorie réaliste et locale. Les expériences de Fry puis d’A. Aspect entre 1980
et 1982 établirent une violation claire de cette inégalité à partir de paires de photons émis dans
une cascade atomique d’atomes de calcium et corrélés en polarisation [Aspect82]. De fortes
violations ont par la suite régulièrement été obtenues [Kwiat95].
Une réalisation expérimentale du paradoxe EPR sous sa forme originale fut proposée en
1988 par M. Reid et P. Drummond [Reid88]. Comme souligné dans la partie précédente, les
composantes de quadratures d’un mode du champ électromagnétique sont les analogues en optique de la position et de l’impulsion d’une particule. Le paradoxe EPR peut s’énoncer alors de
manière équivalente en considérant deux modes du champ dont deux composantes de quadrature conjuguées sont respectivement corrélées et anti-corrélées. La figure 2.3 donne l’exemple
de faisceaux EPR idéaux dont les fluctuations d’intensité sont corrélées et les fluctuations de
phase sont anti-corrélées.
C. Corrélations quantiques en variables continues
C.4
17
Critère de démonstration du paradoxe en variables continues
L’argument EPR se résume en la possibilité de déduire une observable d’un système d’une
mesure effectuée sur un autre système séparé spatialement du premier. Si les corrélations ne sont
pas parfaites, la prédiction sera moins précise. Cependant, pour des corrélations suffisamment
fortes, le paradoxe peut être démontré.
Considérons deux modes notés 1 et 2. Les composantes de quadrature P1 et P2 seront
supposées corrélées, Q1 et Q2 anti-corrélées. Les erreurs sur la prédiction des composantes de
quadratures du mode 1 par mesure du mode 2 sont données par les variances conditionnelles
Vc (P1 |P2 ) et Vc (Q1 |Q2 ).
Comme souligné à plusieurs reprises, la mesure simultanée des quadratures P1 et Q1 est
restreinte par l’inégalité de Heisenberg :
V (P1 )V (Q1 ) ≥ 1
(2-17)
Le paradoxe EPR en variables continues est lié à une violation apparente de cette relation
d’incertitude. Sa démonstration expérimentale nécessite ainsi de vérifier :
Vc (P1 |P2 ) Vc (Q1 |Q2 ) < 1
(2-18)
Pour des faisceaux symétriques, on introduit la gémellité GP qui évalue les corrélations
quantiques entre les quadratures Pi et la gémellité GQ qui mesure les anti-corrélations des
quadratures orthogonales. En notant FP et FQ les facteurs de Fano, le critère peut s’écrire
sous la forme :
³
G2Q ´
G2 ´ ³
2GP − P
2GQ −
<1
FP
FQ
(2-19)
Ce critère, développé par M. Reid en 1989 [Reid89], s’appuie sur des considérations très
proches de celles développées lors de l’étude des mesures QND. Une double corrélation est ici
requise. Par ailleurs, ce critère impose qu’au-moins l’une des variances conditionnelles soit plus
petite que 1 : des faisceaux EPR vérifient donc nécessairement le critère de corrélation QND.
C.5
Critère d’inséparabilité
Le critère de Reid définit un ensemble d’états dont les corrélations sont qualifiées de EPR.
Un autre critère, moins restrictif, permet de distinguer les états dits intriqués. L’intrication
repose sur la notion d’inséparabilité, caractéristique des plus intrigantes de la mécanique quantique.
Un système à deux modes 1 et 2 sera dit séparable si cet état est factorisable, c’est-àdire si sa matrice densité ρ peut s’écrire sous la forme d’une superposition statistique d’états
factorisables :
ρ=
X
i
pi ρi1 ⊗ ρi2
(2-20)
18
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
où ρi1 et ρi2 sont les matrices densité des modes 1 et 2 et pi les probabilités associées. Un état
non-séparable est donc un état qui ne peut être décrit par la description indépendante de ses
parties.
Dans le cas des états gaussiens, le critère introduit par Duan et al. établit une condition
suffisante d’inséparabilité [Duan00]. Ce critère met en jeu la demi-somme, notée par la suite Σ
et appelée ”séparabilité”, des variances de bruit de la somme et de la différence des composantes
corrélées et anti-corrélées. Le critère sera vérifié si la séparabilité est inférieure à 1 :
Σ=
1 ³ V (P1 − P2 ) V (Q1 + Q2 ) ´
<1
+
2
2
2
(2-21)
´
1³
GP + GQ < 1
2
(2-22)
La séparabilité apparaı̂t comme la demi-somme des gémellités GP et GQ introduites au paragraphe précédent. Ainsi le critère peut s’écrire sous forme condensé :
Σ=
Ce critère nécessite qu’au-moins l’une des deux gémellités soit inférieure à 1. Des faisceaux
non-séparables sont donc ”jumeaux”. En revanche, le critère de corrélation QND n’est pas nécessairement vérifié. Soulignons à nouveau que le critère EPR (critère de Reid) est plus fort
que le critère d’intrication (critère de Duan). Notons également que si la séparabilité est plus
petite que 0.5 alors les deux gémellités sont également plus petites que 0.5, et donc les deux
variances conditionnelles plus petites que 1. Dans ce cas, le critère EPR est nécessairement
vérifié : des faisceaux avec une séparabilité plus petite que 0.5 sont des faisceaux EPR.
Le dernier chapitre de la partie 2 ainsi que la partie 3 de ce mémoire seront consacrées à
la génération d’états intriqués. Le système développé a permis d’obtenir les meilleurs faisceaux
intriqués (qui sont également les meilleurs faisceaux EPR) à ce jour en variables continues.
C.6
Intrication et compression de bruit
Il existe un lien très fort entre intrication et compression de bruit. Considérons deux faisceaux A1 et A2 . Après mélange sur une lame 50/50 (figure 2.4), les deux modes obtenus
s’écrivent :
A+ =
A1 + A2
√
2
et A− =
A1 − A2
√
2
(2-23)
Les variances de bruit pour deux quadratures orthogonales P et Q s’expriment alors :
V (P− ) =
V (P1 − P2 )
= GP
2
et V (Q+ ) =
V (Q1 + Q2 )
= GQ
2
(2-24)
Ainsi, la variance de bruit du mode A+ pour la quadrature Q est liée aux anti-corrélations
suivant Q des modes qui sont mélangés. De même, la variance de bruit du mode A− pour la
quadrature P est liée aux corrélations.
Si A1 et A2 sont des faisceaux EPR idéaux :
V (P1 − P2 ) → 0 et V (Q1 + Q2 ) → 0
(2-25)
C. Corrélations quantiques en variables continues
19
Q
Q
A+
A+
A1
A1
P
P
Y
Q
A-
AP
A2
A2
P
Fig. 2.4: Deux faisceaux comprimés suivant des quadratures orthogonales et mélangés sur une
lame 50/50 permettent de générer des faisceaux intriqués, et réciproquement. Deux faisceaux
comprimés en intensité doivent ainsi être déphasés de π/2 avant le mélange.
et les variances V (P− ) et V (Q+ ) tendent également vers zéro. Ainsi, deux faisceaux EPR
idéaux mélangés sur une lame donnent deux faisceaux parfaitement comprimés suivant des
quadratures orthogonales.
La séparabilité Σ, qui s’exprime initialement à partir des corrélations et anticorrélations
des faisceaux intriqués, peut donc s’écrire de manière strictement équivalente à partir des
compressions de bruit de ces superpositions de modes :
Σ=
´
´
1³
1³
V (P1 − P2 ) + V (Q1 + Q2 ) < 1 ⇔ Σ =
V (P− ) + V (Q+ ) < 1
4
2
(2-26)
Pour que le critère soit vérifié, il est nécessaire qu’au moins l’une des variances soit inférieure à
1. Deux faisceaux intriqués mélangés sur une lame donne donc toujours au moins un faisceau
comprimé. Cette équivalence sera employée pour caractériser les états intriqués générés au cours
de cette thèse. Le chapitre suivant revient sur cette méthode d’un point de vue expérimental.
Le raisonnement qui vient de montrer le lien intrication/compression peut bien sûr être
mené dans le sens inverse : deux faisceaux parfaitement comprimés suivant des quadratures
orthogonales et mélangés sur une lame 50/50 donnent en sortie deux faisceaux EPR idéaux.
Ainsi, par exemple, deux faisceaux comprimés en intensité doivent être mélangés en quadrature.
Même s’il existe des méthodes pour générer directement des faisceaux intriqués, de nombreuses
expériences reposent sur cette stratégie [Furusawa98, Silberhorn01, Bowen03a].
Cette étude montre également qu’il suffit de disposer d’un seul faisceau comprimé pour obtenir des faisceaux intriqués. Un état comprimé divisé sur une lame 50/50 (c’est-à-dire mélangé
avec le vide entrant par l’autre port de la lame) donne deux faisceaux : l’une des géméllités
sera au bruit quantique standard alors que l’autre sera donnée par la compression de bruit de
l’état entrant. La séparabilité sera ainsi de 0.5 augmentée de la moitié du taux de compression
initiale : le critère de Duan sera vérifié.
Cette étude reposait jusqu’à présent sur des faisceaux de même polarisation séparés spa-
20
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
tialement. Une autre configuration sera particulièrement utile par la suite. Si les faisceaux sont
dans le même mode spatial mais polarisés orthogonalement, les modes A+ et A− seront alors
les modes polarisés à ±45◦ des faisceaux A1 et A2 . A nouveau, le raisonnement est valable
dans les deux sens.
Le lien entre intrication et compression de bruit sera au cœur de cette thèse. Le chapitre 11
le développera à nouveau en termes de matrice de covariance. Les modes les plus comprimés
et les modes les plus intriqués que l’on peut obtenir par opérations passives à partir d’un état
à deux modes donné seront alors reliés.
C.7
Influence des pertes
Cette étude va permettre de quantifier l’effet des pertes sur les deux critères, EPR et
inséparabilité. L’effet des pertes va s’avérer très différent et renseigne sur une différence majeure
entre les deux critères.
Si un faisceau subit des pertes caractérisées par le coefficient 1 − η (η est donc l’efficacité
de transmission, de détection,...), son facteur de Fano F devient (cf. chapitre 6) :
F ′ = (1 − η) + η F
(2-27)
De manière similaire, si deux modes subissent des pertes symétriques, la gémellité s’exprime :
G′ = (1 − η) + η G
(2-28)
Ces expressions témoignent à nouveau de la fragilité des états comprimés ou corrélés aux pertes
puisque celles-ci ramènent les fluctuations au bruit quantique standard.
Ces différentes grandeurs permettent d’écrire le critère EPR et le critère d’inséparabilité,
avant et après des pertes. Avant, les deux critères s’écrivent :
Critère EPR :
³
2GP −
G2Q ´
G2P ´ ³
2GQ −
<1
FP
FQ
Critère d’inséparabilité :
´
1³
GP + GQ < 1
2
(2-29)
(2-30)
Pour simplifier les expressions, les modes intriqués ainsi que les pertes subies sont supposés
symétriques : les gémellités GP et GQ sont égales à une valeur commune G et les facteurs de
Fano à F . En supposant que les états sont initialement purs, le facteur de Fano s’exprime :
1´
1³
G+
(2-31)
F =
2
G
Après les pertes, les expressions précédentes deviennent :
³
´2
2η − 1
Critère EPR : 4 1 − η +
<1
η(G + G1 − 2) + 2
Critère d’inséparabilité : (1 − η) + η G < 1
(2-32)
(2-33)
C. Corrélations quantiques en variables continues
21
Fig. 2.5: Grandeurs associées au critère d’inséparabilité et au critère EPR en fonction de
l’efficacité de détection (ou tout autre type de pertes). Les faisceaux sont supposés symétriques
ainsi que les pertes subies. Initialement, les faisceaux sont des états purs et la gémellité atteint
0.1.
Les grandeurs associées aux deux critères évoluent très différemment sous l’action de pertes.
Suivant une évolution linéaire, le critère d’inséparabilité est toujours vérifié si la gémellité
initiale est inférieure à l’unité. Cela n’est pas le cas pour le critère EPR. L’expression (2-32)
montre que, quelle que soit la gémellité, le critère n’est plus vérifié dès que les pertes sont
supérieures à 50%. Ces évolutions soulignent une différence majeure entre les deux critères :
le critère EPR est très sensible à la pureté de l’état alors que le critère d’inséparabilité en est
totalement indépendant. La figure 2.5 donne l’évolution des deux expressions en fonction des
pertes pour une valeur initiale des deux gémellités de 0.1. Une étude expérimentale de cette
dépendance a été réalisée par W. Bowen et al. et rapportée dans [Bowen03b].
C.8
Un exemple de protocole : la téléportation
Au cours des dernières années, il est apparu que l’intrication, qui n’a pas d’équivalent
classique, pouvait être l’ingrédient central de protocoles originaux de communication et de
traitement de l’information. De nombreux schémas reposent ainsi sur le partage entre deux
protagonistes, traditionnellement Alice et Bob, d’états intriqués. Tout d’abord développés en
variables discrètes, ces protocoles ont ensuite été étendus aux variables continues. Par le biais
d’opérations locales et de communications classiques (LOCC), Alice peut par exemple téléporter vers Bob un état inconnu [Vaidman94, Braunstein98] ou encore réaliser un protocole de
codage dense (”dense coding”) qui permet un taux de transfert d’information plus important
qu’en l’absence d’intrication [Braunstein00, Li02]. L’intrication peut également permettre la
distribution sécurisée de clé quantique en cryptographie [Ralph00] ou être mise en œuvre dans
des processus de calcul quantique. Le succès expérimental de la téléportation, en variables discrètes [Bouwmeester97] puis en variables continues [Furusawa98,Bowen03a], fut sans nul doute
une étape décisive dans le développement de l’information quantique. Nous allons donner une
22
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
Alice
Ain
Mesure
d’amplitude
Mesure
de phase
A1
Intrication
A2
PM
AM
Aout
Bob
Fig. 2.6: Protocole de téléportation en variables continues. Alice et Bob partagent une paire de
faisceaux intriqués. Bob reconstruit l’état initial à partir des informations classiques fournies
par Alice.
présentation de ce protocole en variables continues.
Alice souhaite transmettre à Bob un état inconnu, uniquement à l’aide de communications
classiques. En l’absence d’intrication, la meilleure procédure qu’Alice puisse choisir consiste à
diviser cet état sur une lame 50/50, à mesurer sur l’une des voies la quadrature d’amplitude
et sur l’autre la quadrature de phase puis à transmettre à Bob ces informations. Ce dernier
transforme alors un état cohérent à l’aide de deux modulateurs, en phase et en amplitude. Le
résultat sera bien sûr mauvais car l’estimation faite par Alice est faussée par le bruit ajouté
par le port non utilisé de la lame et la reconstruction ajoute également du bruit car elle se fait
à partir d’un état cohérent qui a ses fluctuations propres.
La situation devient très différente si Alice et Bob disposent chacun d’un des faisceaux d’une
paire intriquée, A1 et A2 . On note Ain le champ à transmettre et Aout le champ reconstruit
par modulation de A2 (figure 2.6). Alice mélange sur une lame 50/50 son faisceau intriqué et
le champ à transmettre. Les deux voies s’écrivent alors :
Aa =
Ain + A1
√
2
et Ab =
Ain − A1
√
2
(2-34)
Une mesure en amplitude sur une voie et une en phase sur l’autre fournissent deux grandeurs :
P = Pin − P1
et Q = Qin + Q1
(2-35)
Ces deux grandeurs sont transmises à Bob qui opère alors deux modulations sur le second
D. Optique non-linéaire : générer des états non-classiques
23
faisceau intriqué A2 :
Pout = P2 + P = Pin + (P2 − P1 ) et Q = Q2 + Q = Qin + (Q1 + Q2 )
(2-36)
Si les faisceaux sont parfaitement corrélés,
P2 − P1 = 0 et Q1 + Q2 = 0
(2-37)
et la reconstruction est idéale. Les bruits ajoutés lors de la mesure et de la reconstruction se
compensent.
La ressemblance entre l’état reconstruit et l’état initial est évaluée par la ”fidélité” F. Elle
correspond à l’intégrale de recouvrement entre les deux états [Furusawa98] :
F = hψin |ρout |ψin i
(2-38)
Dans le cas d’états gaussiens, la fidélité peut s’exprimer en fonction des bruits ajoutés, ou
encore des 2 géméllités en phase et en amplitude :
1
1
=p
F=p
(1 + GP )(1 + GQ )
(1 + V (P1 − P2 )/2)(1 + V (Q1 + Q2 )/2)
(2-39)
Une reconstruction idéale correspond à une fidélité égale à l’unité. Si les deux faisceaux échangés
sont des états cohérents, les deux gémellités valent 1 et la fidélité atteint 0.5. Cette valeur est
ainsi la limite entre un régime classique et un régime quantique où l’intrication est nécessaire.
F. Grosshans et Ph. Grangier ont montré que la fidélité est étroitement reliée au théorème
de non-clonage [Grosshans01]. Ils distinguent en particulier le régime où F > 2/3 : au-delà
de cette valeur, aucune copie meilleure que celle de Bob ne peut exister. Dans le cas où les
variances sont symétriques, ce régime est atteint dès que celles ci sont inférieures à 0.5. La
première démonstration expérimentale a été obtenue en 1998 par l’équipe de H.J. Kimble [Furusawa98] avec une fidélité de 0.58. Cette valeur a récemment été portée à 0.64 par l’équipe de
H.-A. Bachor [Bowen03a]. La limite des 2/3 reste donc à ce jour un défi expérimental. Un autre
défi est de téléporter le plus fidèlement possible un état non-classique, en particulier un état
intriqué. Cette opération, appelée ”entanglement swapping”, a été obtenue expérimentalement
pour la première fois en juin 2004 par l’équipe de K. Peng et C. Xie [Jia04].
Les faisceaux EPR générés au cours de cette thèse permettraient d’atteindre une fidélité de
0.75. Ce protocole n’a pas été mis en œuvre en raison de la difficulté des divers asservissements
lorsque les faisceaux sont de valeur moyenne nulle. La téléportation reste cependant un objectif
de cette expérience à moyen terme.
D
Optique non-linéaire : générer des états non-classiques
Les parties précédentes ont présenté différents états non-classiques du rayonnement, états
comprimés, corrélés ou intriqués. Comment générer expérimentalement de tels états ? L’optique
non-linéaire, dont le traitement théorique fut initié par Bloembergen au début des années 60,
fournit les outils de l’optique quantique.
24
D.1
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
Processus non-linéaires
La propagation d’un champ électromagnétique dans un milieu diélectrique induit une déformation des distributions de charge à l’équilibre et l’apparition d’une polarisation macroscopique. Linéaire avec les champs faibles, cette dernière doit être exprimée en une série convergente de puissances du champ dès que l’amplitude devient plus importante :
´
³
(2-40)
P = ε0 χ(1) E + ε0 χ(2) E 2 + χ(3) E 3 + ...
où ε0 est la permitivité diélectrique du vide. Les termes pairs n’apparaissent qu’en l’absence de
symétrie d’inversion (milieux non centrosymétriques). La polarisation induite étant un terme
source pour le champ électromagnétique, elle peut avoir pour effet de modifier la statistique
du champ incident.
Le premier terme, χ(1) E, est à l’origine des propriétés linéaires du milieu, telles qu’indice de
réfraction ou absorption. Ce terme définit le domaine de l’optique linéaire où les composantes
de quadrature jouent des rôles symétriques et les ondes se propagent sans influence mutuelle.
Dans ce domaine, les états du champ restent donc ”classiques”.
En revanche, les termes d’ordre supérieurs, même s’ils décroissent rapidement, peuvent être
à l’origine de nombreux phénomènes : indice non-linéaire, génération d’harmoniques, conversion paramétrique... Ces processus agissent de manière asymétrique sur les composantes de
quadrature ou couplent plusieurs champs. Ils peuvent ainsi conduire à la génération d’états
non-classiques, comprimés ou corrélés.
Le terme d’ordre 3 donne un exemple simple de processus asymétrique permettant la génération d’un état comprimé. Ce terme est responsable d’une dépendance de l’indice de réfraction
avec l’intensité, appelée effet Kerr. Il peut en effet s’écrire sous la forme
³
´
χ(3) E 3 = χ(3) |E|2 E
(2-41)
qui fait apparaı̂tre le terme χ(3) |E|2 comme une correction de la susceptibilité linéaire à l’origine
de l’indice de réfraction. Par effet Kerr, le déphasage induit par la traversée du milieu dépend
donc de l’intensité. Si l’on reprend l’image du bruit quantique dans la représentation de Fresnel,
il est facile de voir qu’un état cohérent est transformé en un état comprimé : la rotation
dépendant de l’intensité, le disque des fluctuations est transformé en une ellipse (figure 2.7).
Une réduction du bruit par effet Kerr peut être obtenue par exemple à l’aide d’atomes froids en
cavité [Lambrecht96]. La génération d’états intriqués dans le groupe de G. Leuchs à Erlangen
repose sur le mélange de deux états comprimés obtenus par effet Kerr dans une fibre optique
[Silberhorn01].
D.2
Non-linéarités du second ordre
Cette thèse est centrée sur les processus non-linéaires du second ordre, également connus
sous le nom de ”mélange à 3 ondes”. Ces processus couplent en effet trois champs, de fréquence
ω0 , ω1 et ω2 , avec conservation de l’énergie :
ω0 = ω1 + ω2
(2-42)
D. Optique non-linéaire : générer des états non-classiques
25
Q
Milieu Kerr
P
Fig. 2.7: L’optique non-linéaire permet de rompre la symétrie entre les quadratures. L’effet
Kerr impose par exemple un déphasage qui dépend de l’intensité.
Parmi les effets du second ordre, deux sont particulièrement importants en optique quantique (figure 2.8). Tout d’abord, la génération de seconde harmonique où deux photons à la
même fréquence donnent un photon à la fréquence double. Cet effet non-linéaire fut le premier
observé expérimentalement et permet de doubler en fréquence un laser. Il permet également de
générer un état comprimé car il n’agit pas de manière symétrique sur les quadratures : plus la
puissance est grande et plus le doublage est efficace. Le disque de bruit devient ainsi une ellipse
comprimée suivant la direction du champ moyen. Seul l’aspect doublage de fréquence d’un laser
sera utile au cours de cette thèse. Le second processus, appelé ”conversion paramétrique” ou
parfois ”parametric splitting” en anglais, génère à partir d’un photon pompe de fréquence ω0
deux photons, dits signal et complémentaire, de fréquence ω1 et ω2 .
w
w
w0
Doublage de fréquence
w0
w1
w2
Conversion paramétrique
Fig. 2.8: Mélanges à 3 ondes : doublage de fréquence ou conversion paramétrique.
En plus de la conservation de l’énergie, tout processus non-linéaire nécessite d’accorder les
vitesses de phase des ondes en présence :
k0 = k1 + k2
soit n0 ω0 = n1 ω1 + n2 ω2
(2-43)
Lorsque le cristal est de dimension finie, la condition d’accord de phase se relâche et peut n’être
vérifiée qu’approximativement. L’interaction sera bien sûr d’autant plus efficace que l’écart à
26
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
cette condition sera faible. Des matériaux isotropes avec une dispersion normale, c’est-à-dire
pour laquelle l’indice augmente avec la fréquence, ne permettent pas de vérifier une telle condition. L’accord de phase est donc généralement obtenu par biréfringence en tirant profit des
indices différents vus par les polarisations ordinaire et extraordinaire dans un milieu uniaxe
négatif. Deux configurations sont possibles :
• Accord de Type I : l’onde à fréquence ω0 se propage avec une polarisation ordinaire
et les deux autres avec une polarisation extraordinaire. Soit e + e ←→ o.
• Accord de Type II : l’onde à fréquence ω0 est polarisée suivant l’axe extraordinaire et
les deux autres suivant les axes ordinaire et extraordinaire. Soit e + o ←→ e.
Pour un accord de phase de type I, les photons sont émis dans le même mode. On parle
alors de conversion paramétrique dégénérée. Cette configuration permet de produire des états
comprimés. Un champ incident sera amplifié ou désamplifié suivant la phase relative avec la
pompe : la symétrie des quadratures est à nouveau brisée. La génération d’états intriqués dans
le groupe de H.-A. Bachor et P.K. Lam repose ainsi sur le mélange de deux états comprimés
produits par désamplification d’un état cohérent [Bowen03a].
Pour un accord de phase de type II, les photons signal et complémentaire sont émis suivant des polarisations orthogonales et sont donc distinguables. Cette configuration, dite nondégénérée (en polarisation), produit des états fortement corrélés. La conservation de l’énergie
impose que ces photons soient en effet émis simultanément. Cette configuration est le sujet de
cette thèse : l’étude des états générés par conversion paramétrique en accord de phase de type
II.
D.3
Equations de base de la conversion paramétrique
Afin d’obtenir une description plus quantitative qui servira de base aux chapitres ultérieurs, il est nécessaire de décrire la conversion paramétrique en termes de champ électrique.
Trois champs sont couplés : un champ pompe E0 , un champ signal E1 et son complémentaire
E2 . Chaque champ – supposé se propager suivant une direction commune Oz – est noté en
représentation complexe :
Ej (z, t) = Ej (z, t)ei(kj z+ωj t)
(2-44)
La polarisation macroscopique induite est un terme source pour les champs électriques.
L’évolution de chaque champ lors de la propagation dans le milieu non-linéaire est alors régie
par l’équation de Maxwell-Faraday :
△Ej −
∂ 2 Pj
1 ∂ 2 Ej
=
µ
0
c2 ∂t2
∂t2
(2-45)
L’effet non-linéaire étant a priori petit, il est possible de le considérer comme une perturbation
de la solution linéaire et de faire l’approximation de l’enveloppe lentement variable. Cette
approximation consiste à supposer que les enveloppes varient peu sur une longueur d’onde.
D. Optique non-linéaire : générer des états non-classiques
27
L’équation de propagation de l’enveloppe du champ dans le milieu non-linéaire peut alors se
mettre sous la forme [Shen84] :
iωj
∂Ej
=
P N L e−ikj z
∂z
2nj ε0 c i
(2-46)
où P N L correspond à la polarisation macroscopique non-linéaire et s’écrit :
(2)
PjN L = ε0 χef f Ek El
(2-47)
(2)
χef f correspond à la susceptibilité effective du milieu pour la configuration utilisée. Les équations de propagation non-linéaires couplées prennent donc la forme suivante :

iω0 (2)
∂E0


=
χef f E1 E2 e−i∆k z


∂z
2n
c

0


 ∂E
iω
1 (2)
1
(2-48)
=
χef f E0 E∗2 ei∆k z

∂z
2n
c
1





iω2 (2)
∂E2


=
χ E0 E∗1 ei∆k z
∂z
2n2 c ef f
avec ∆k = k0 − k1 − k2 le désaccord de phase.
Afin de symétriser les équations précédentes, il est nécessaire d’introduire de nouvelles
variables, de sorte que le module carré de celles-ci soit égal au flux de photons. Le vecteur de
Poynting permet d’exprimer l’intensité de l’onde en W/m2 ,
1
Ij = ε0 cnj |Ej |2
2
(2-49)
ou encore le flux de photons Nj puisque Ij = Nj ~ωj . On introduit donc les nouvelles variables
Aj définies par :
Nj = |Aj |2
(2-50)
Ces variables s’écrivent sous la forme :
Aj =
r
nj cε0
Ej
2~ωj
(2-51)
En effectuant un changement d’origine des phases pour le champ pompe, A0 → −iA0 , les
équations non-linéaires couplées se simplifient finalement en :

∂A0


= −ξA1 A2 e−i∆k z


∂z



∂A1
(2-52)
= ξA0 A∗2 ei∆k z

∂z





 ∂A2 = ξA0 A∗ ei∆k z
1
∂z
r
~ω0 ω1 ω3
(2)
un coefficient de couplage commun aux trois équations.
avec ξ = χef f
2c3 ǫ0 n0 n1 n2
28
2. Variables continues : de la compression de bruit à l’information quantique
Il est facile de montrer que les quantités ~(ω0 N0 +ω1 N1 +ω2 N2 ) et ∆N = N1 −N2 se conservent
au cours de la propagation. La première grandeur représente la somme des flux énergétiques des
trois ondes qui interagissent. Sa conservation montre qu’il n’y a pas de transfert d’énergie vers
le milieu. La seconde relation, ∆N = constante, connue également sous le nom de relation de
Manley-Rowe, vient appuyer la présentation de l’interaction paramétrique comme la création
simultanée d’une paire de photons signal et complémentaire à partir d’un photon pompe.
Afin d’augmenter l’interaction entre les différents champs, le cristal non-linéaire peut être
inséré dans une cavité optique résonante pour un ou plusieurs champs : on parle alors d’oscillateur paramétrique optique simplement, doublement ou triplement résonant. Cette dernière
configuration est au cœur de cette thèse et sera étudiée dans divers régimes de fonctionnement.
Fig. 2.9: Séparabilité obtenue expérimentalement depuis 1992 par différentes techniques.
E
Conclusion
La mécanique quantique offre des possibilités inédites de communication et de traitement
de l’information. La téléportation d’un état quantique en est sans doute un des exemples les
plus frappants. Etudiées depuis longtemps en optique quantique, les variables continues – telles
que les composantes de quadrature – se sont avérées récemment des supports prometteurs de
l’information quantique. L’intrication est l’ingrédient indispensable à la plupart des protocoles
et sa génération est ainsi une thématique expérimentale centrale. La figure 2.9 résume les
valeurs de séparabilité obtenues depuis 1992, année de l’expérience du groupe de H.J. Kimble.
La plus petite valeur correspond aux mesures effectuées au cours de cette thèse (et qui vérifient
également le critère EPR), et qui seront présentées dans la troisième partie de ce mémoire.
E. Conclusion
29
Différentes méthodes existent pour préparer des états intriqués en variables continues. Le
lien étroit entre intrication et compression de bruit suggère une première stratégie. Elle consiste
à mélanger sur une lame 50/50 deux faisceaux comprimés, ces derniers pouvant être obtenus
par effet Kerr (fibres, atomes) ou encore par conversion paramétrique dégénérée (OPO/OPA
type I). De manière équivalente, si les faisceaux sont dans le même mode spatial mais polarisés
orthogonalement, les modes intriqués sont les modes polarisés à ±45◦ des faisceaux comprimés.
L’interaction paramétrique non-dégénérée (en polarisation) permet quant à elle une génération directe d’états corrélés. C’est le sujet de cette thèse qui s’intéresse aux propriétés des
oscillateurs paramétriques dont l’accord de phase est de type II, c’est-à-dire pour lequel les
faisceaux émis sont polarisés orthogonalement. Ce système sera caractérisé dans divers régimes
de fonctionnement qui feront apparaı̂tre les 4 niveaux de corrélations quantiques définis au
cours de ce chapitre : gémellité (chapitre 5), corrélation QND (chapitre 6), inséparabilité et
EPR (chapitre 8 et partie III). Le chapitre suivant détaille les techniques expérimentales qui
permettront la réalisation d’un tel dispositif et la caractérisation des états générés.
3. Techniques expérimentales
Sommaire
A
Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
B
Laser, doublage de fréquence et filtrage . . . . . . . . . . . . . . . .
32
C
D
E
A
B.1
Laser ”Diabolo” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
B.2
Accordabilité en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
B.3
Bruit du laser infrarouge et cavité de filtrage . . . . . . . . . . . . . .
33
Détection et analyse du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
C.1
Photodiodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
C.2
Détection directe et détection balancée . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
C.3
Détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
C.4
Double détection homodyne : une mesure directe de l’intrication . . .
40
C.5
Analyse du bruit : analyseur de spectre ou ordinateur . . . . . . . . .
43
Asservissement des cavités optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
D.1
Obtenir un signal d’erreur et rétroagir . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
D.2
”Dither and lock” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
D.3
Pound-Drever-Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
D.4
Tilt-Locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Introduction
Ce chapitre décrit les outils et techniques expérimentales utilisés au cours de cette thèse
et qui interviennent dans la plupart des expériences d’optique quantique. Une première partie
est consacrée aux sources lasers continues et à leur filtrage fréquentiel et spatial. Différentes
méthodes de caractérisation du bruit des états générés sont ensuite décrites. En particulier, une
méthode reposant sur deux détections homodynes simultanées permet la caractérisation directe
d’états intriqués. Une dernière partie est consacrée à l’asservissement des cavités optiques,
point délicat et crucial pour la stabilité des expériences. Différentes méthodes sont illustrées
expérimentalement. Ce chapitre est ainsi l’occasion de présenter des techniques générales, tout
en détaillant les caractéristiques et réglages propres à notre expérience.
32
3. Techniques expérimentales
Nd:YAG
E.O.
Fig. 3.1: Laser ”Diabolo” à deux sorties de la société allemande Innolight : un laser Nd:YAG
monolithique doublé en fréquence par une cavité externe.
B
Laser, doublage de fréquence et filtrage
La source laser est bien sûr le premier élément de toute expérience d’optique quantique.
Cette partie détaille les sources continues utilisées dans notre expérience ainsi que leurs propriétés d’accordabilité et de bruit.
B.1
Laser ”Diabolo”
L’expérience repose sur un laser commercial ”Diabolo” de la société allemande Innolight.
Ce laser Nd:YAG continu doublé en fréquence a la particularité rare de posséder deux sorties
cohérentes : une sortie infrarouge à 1064 nm de 250 mW et une sortie doublée à 532 nm de 500
mW. Disposer d’une fraction de la puissance infrarouge initiale sera indispensable ultérieurement pour caractériser par détection homodyne les états obtenus par conversion paramétrique
du faisceau doublé. Peu de constructeurs, voire uniquement Innolight, proposent aujourd’hui
cette possibilité.
La figure 3.1 donne la photographie et le schéma de principe de ce laser. Le laser Nd:YAG
est pompé par diodes à 808 nm et conçu suivant une structure monolithique en anneau non
planaire. La largeur de raie est de 1 kHz sur 100 ms et la longueur de cohérence dépasse
le kilomètre. Le faisceau infrarouge, dont 250 mW environ sont prélevés, est adapté à une
cavité de doublage semi-monolithique construite autour d’un cristal de Niobate de Lithium. La
cavité est asservie à résonance par la méthode Pound-Drever-Hall (expliquée en D.3) à l’aide
d’une modulation de phase à 12 MHz réalisée à la sortie du laser. Ce laser commercial est
particulièrement stable et simple d’emploi. Un nettoyage des optiques de la cavité de doublage
est cependant nécessaire tous les six mois pour retrouver puissance et stabilité nominales.
La polarisation du faisceau vert est légèrement elliptique (5%). Une lame λ/4 placée à la
sortie du laser permet de corriger facilement cette ellipticité (0.5%).
B.2
Accordabilité en fréquence
L’accordabilité d’un laser est toujours une propriété importante, par exemple en spectroscopie pour atteindre une transition donnée. Il en sera de même dans le cadre de notre étude où
un laser peu accordable constituerait un obstacle majeur pour atteindre la dégénérescence en
B. Laser, doublage de fréquence et filtrage
Puissance
Largeur
Accordabilité
33
500 mW @ 532 nm / 250 mW @ 1064 nm
1 kHz sur 100 ms
Température : -6 GHz/K sur ∼100 GHz
PZT : 2 MHz/V sur ±200 MHz
Fig. 3.2: Caractéristiques principales du laser ”Diabolo” et accordabilité en fréquence.
fréquence de l’OPO. Le cristal de Nd:YAG est intercalé entre un élément Peltier qui permet de
contrôler sa température et un actionneur piézoélectrique agissant par contrainte mécanique.
La fréquence émise est modifiée à l’aide de ces deux éléments : lentement en changeant la
température ou plus rapidement en appliquant une tension.
• La température du cristal modifie sa longueur optique et par conséquent la fréquence de
résonance. Cette méthode, relativement lente, permet de parcourir plusieurs intervalles
spectraux libres de la cavité laser. Le déplacement en fréquence n’est pas monotone :
la fréquence varie linéairement avant qu’un saut de modes ne se produise. Lorsque l’on
diminue la fréquence, la nouvelle fréquence après le saut est supérieure à celle avant le
saut car les plages continues se recouvrent pour moitié. Ce comportement est illustré sur
la figure 3.2 qui donne les plages d’accord en fonction de la température. L’accordabilité
obtenue sur le faisceau doublé est de -6 GHz/K sur les plages continues et de -3 GHz/K
en tenant compte des sauts de mode. La plage accessible est d’environ 100 GHz. Au-delà
de 45 ◦ C, la stabilité du laser est moins bonne et la puissance plus faible.
• La tension appliquée à l’élément piézoélectrique autorise un accord sur une plage de fréquence beaucoup plus petite. La contrainte mécanique a également pour effet de modifier
la longueur optique de la cavité mais beaucoup plus faiblement que la température : seule
une fraction de l’intervalle spectral libre est balayée. L’accord en fréquence du faisceau
vert est de l’ordre de 2 MHz/V pour une plage totale de ± 200 MHz. Cette méthode a
cependant pour avantage d’être relativement rapide (jusqu’à 50 à 100 kHz) et pourra
être utilisée par exemple pour asservir la fréquence du laser sur une cavité de référence
ou tout autre signal d’erreur qui dépend de cette fréquence.
B.3
Bruit du laser infrarouge et cavité de filtrage
Un laser présente à basse fréquence un important bruit technique – dû aux perturbations
acoustiques, thermiques ou électriques – ainsi qu’une éventuelle oscillation de relaxation. Les
lasers solides pompés par diodes sont aujourd’hui parmi les sources les moins bruyantes. Il n’en
reste pas moins que ces deux phénomènes restent importants et empêchent le faisceau émis
d’être au bruit quantique standard avant une fréquence de l’ordre de 10 MHz. C’est le cas de
notre laser pour lequel une forte oscillation de relaxation se produit vers 1 MHz. La figure 3.5
34
3. Techniques expérimentales
Miroir plan
Miroir R=1m
Servo
Fig. 3.3: Cavité de filtrage triangulaire. Les miroirs sont rigidement fixés sur un support en
Invar. La finesse est de 3500 et la transmission atteint 80%.
donne le bruit d’intensité, normalisé au bruit quantique standard, d’une fraction du faisceau
infrarouge (5 mW). L’excès de bruit dépasse 35 dB autour de 1 MHz.
Une première solution pour réduire ce bruit à basse fréquence est de rétroagir sur le laser,
via les diodes laser de pompe par exemple. Un tel système, appelé ”noise eater” (”mangeur de
bruit”), est en option sur les lasers Innolight et notre laser n’en dispose pas. Cette technique
diminue fortement le bruit lié à l’oscillation de relaxation mais en aucun cas ne ramène le
faisceau au bruit quantique standard.
Afin de diminuer la fréquence à partir de laquelle le bruit d’intensité est à la limite quantique
standard, la seule solution efficace consiste à filtrer le faisceau à l’aide d’une cavité de faible
bande passante dite ”cavité de filtrage”. Asservie à résonance, elle se comporte comme un filtre
passe-bas en transmission et réfléchit ainsi les composantes dont la fréquence est plus grande
que sa bande passante.
Considérons une cavité triangulaire (cette configuration évite les retours vers le laser) dont
les transmissions des trois miroirs, supposées petites, sont notées T1 et T2 pour les miroirs
d’entrée et de sortie et T3 pour le dernier miroir. La finesse F, l’intervalle spectral libre I et la
largeur à mi-hauteur ∆ d’une cavité de longueur L s’expriment :
2π
T1 + T2 + T3
c
I =
L
I
c (T1 + T2 + T3 )
∆ =
=
(3-1)
F
2πL
Une cavité aura ainsi une bande passante d’autant plus petite qu’elle sera longue et de grande
finesse.
Une seconde caractéristique clé d’une cavité de filtrage est sa transmission, qui doit être la
plus grande possible pour ne pas perdre de puissance au cours de cette première étape. Dans
le cas d’une cavité de finesse élevée, elle s’écrit à résonance :
F =
T
=
4T1 T2
(T1 + T2 + T3 )2
(3-2)
La transmission maximale est donc obtenue pour des transmissions égales des miroirs d’entrée
et de sortie et une transmission la plus faible possible du troisième miroir. En cas d’égalité des
B. Laser, doublage de fréquence et filtrage
35
Fig. 3.4: Puissance transmise lorsque la longueur de la cavité est balayée, pour les polarisations
s (finesse 3500) et p (finesse 200).
trois transmissions, cette grandeur serait limitée à 44%. Obtenir une bonne transmission est
délicat dans le cas des cavités de grande finesse car, tous les miroirs étant nécessairement de
transmissions faibles, il est difficile de faire en sorte que celle du troisième miroir soit beaucoup
plus faible que les deux autres. De très bons traitements réfléchissants sont donc nécessaires.
La cavité de filtrage triangulaire réalisée sur notre expérience est présentée figure 3.3 et son
schéma mécanique ”épuré” donné en annexe C. Les trois miroirs sont liés rigidement à un bloc
d’Invar afin de limiter les fluctuations de longueur dûes à la température de la pièce. Le bloc
d’Invar est évidé et la lumière se propage à l’intérieur du bloc. Cette configuration compacte,
massive et close permet une grande stabilité mécanique. La longueur optique est de l’ordre de
40 cm. Les miroirs d’entrée et de sortie sont des miroirs plans et le miroir de fond est de rayon
de courbure 1 m. Les traitements réfléchissants de grande qualité ont été réalisés par Research
Electro-Optics. Etant donnée la configuration triangulaire qui implique des incidences obliques
(42 ◦ ), la finesse dépend fortement de la polarisation. Pour la polarisation s, la plus résonante,
les transmissions annoncées par le fabricant sont de 700 ppm pour les miroirs d’entrée et de
sortie et de 100 ppm pour le troisième miroir. Ces valeurs conduisent à une finesse théorique
de 4500 et une transmission de 87%. La figure 3.4 donne les pics de résonance pour les deux
polarisations lorsque la longueur de la cavité est balayée. Expérimentalement, la finesse est
de l’ordre de 200 pour la polarisation p et de 3500 pour la polarisation s, et la transmission
atteint 80% pour cette dernière. Afin d’isoler encore davantage la cavité – mécaniquement et
thermiquement –, le support est placé sur une plaque de caoutchouc amortisseur et l’ensemble
est enfermé dans une boite en plexiglas. La stabilité est excellente et la cavité peut rester
asservie à résonance une journée durant. En six mois d’utilisation, ni dégradation de la finesse
ni désalignement n’ont été observés.
Avec une finesse de 3500 et une longueur de 40 cm, la bande passante est théoriquement de
200 kHz. La figure 3.5 donne le bruit d’intensité normalisé au bruit quantique standard d’une
fraction du faisceau infrarouge (5 mW), avant et après la cavité de filtrage. Le faisceau est
désormais limité au bruit quantique standard à partir de 3 MHz.
Par ailleurs, la même cavité de filtrage a également pour effet de ”nettoyer” le profil transverse du faisceau puisque la cavité est asservie sur son mode fondamental TEM00 . Nous verrons
dans la partie suivante qu’une mauvaise superposition spatiale des modes lors d’une mesure
36
3. Techniques expérimentales
Fig. 3.5: Puissance de bruit normalisée au bruit quantique standard d’une fraction du faisceau
infrarouge (5 mW) avant et après la cavité de filtrage.
par détection homodyne s’apparente à des pertes, et conduit donc à une dégradation des effets
quantiques mesurés. Cependant, dans le cas de notre laser, le profil transverse est déjà très bon
avant même la cavité, comme en témoigne l’amplitude très faible des pics secondaires sur la
figure 3.4. La visibilité des détections homodynes n’a donc été que légèrement améliorée (1 à
2%) par la présence de la cavité de la filtrage.
C
Détection et analyse du bruit
La partie précédente a présenté les sources laser mises en jeu. A l’autre extrémité de l’expérience interviennent la détection et la caractérisation des états générés. Cette partie détaille
différentes méthodes de détection et d’analyse du bruit.
C.1
Photodiodes
La détection est l’un des avantages technologiques des variables continues. Alors que les protocoles à base de photons uniques requièrent des détecteurs généralement d’efficacité quantique
limitée, assez lents et onéreux (photodiodes à avalanche par exemple), les variables continues
permettent d’utiliser des photodiodes usuelles qui sont bon marché et efficaces. La détection à
1064 nm est aujourd’hui l’une des plus efficaces. Cette longueur d’onde est donc parfaitement
adaptée aux expériences d’optique quantique.
Les photodiodes utilisées sont des photodiodes Epitaxx 300 en InGaAs de 300 µm de diamètre. Le taux de conversion photon/électron (ou rendement quantique) est généralement
supérieur à 95% : la statistique de la lumière est fidèlement transférée au photocourant. Afin
de limiter les pertes aux interfaces lors de la détection, la fenêtre de protection des photodiodes
est également retirée. La mesure expérimentale de l’efficacité quantique est difficile et nécessite
des dispositifs particuliers. L’utilisation d’un micro-wattmètre et d’un voltmètre de précision
conduisent à une incertitude de l’ordre de 5%.
C. Détection et analyse du bruit
37
Chaque photodiode est insérée dans un montage amplificateur à deux voies dont le schéma
électronique est donné en annexe C. Une première voie, dite ”DC”, donne accès à la partie basse
fréquence du photocourant jusqu’à une dizaine de kHz : elle permet une mesure de la puissance
incidente moyenne. Un potentiomètre permet de régler le gain. Une seconde voie est construite
autour d’un amplificateur bas bruit et fournit la partie ”haute fréquence” du photocourant,
jusqu’à 20 MHz. C’est cette voie qui sera utilisée pour les mesures quantiques.
Les faisceaux caractérisés dans cette thèse sont continus. Les détections mises en œuvre
sont dites résolues en fréquence : les photocourants sont analysés dans une bande étroite autour
d’une fréquence centrale (”resolution bandwidth” d’un analyseur de spectre par exemple). Les
propriétés quantiques dépendent fortement de la fréquence centrale : un fort excès de bruit sera
généralement présent à basse fréquence en raison des divers bruits techniques et les fluctuations
seront limitées au bruit quantique standard à haute fréquence. Cette approche est différente
de celle mise en œuvre par exemple avec des impulsions femtosecondes où la détection peut
être résolue en temps [Grosshans03, Wenger04b].
C.2
Détection directe et détection balancée
La méthode de détection la plus simple, lorsque le faisceau est de valeur moyenne non
nulle, consiste à l’envoyer directement sur une photodiode et à analyser la puissance de bruit en
fonction de la fréquence à l’aide d’un analyseur de spectre. Cette méthode ne permet cependant
d’accéder qu’au bruit d’intensité du faisceau. De plus, il est nécessaire de calibrer cette mesure
par rapport au bruit quantique standard.
Une détection à deux photodiodes équilibrées permet cette calibration. Le faisceau est
séparé en deux parties de puissance égale à l’aide d’une lame, ou d’un cube séparateur de
polarisation. La somme des photocourants donne alors le bruit du faisceau alors que la différence
permet d’accéder au bruit quantique standard de la mesure. Cette méthode distingue bruit
quantique et excès de bruit classique. En effet, ce dernier étant corrélé dans les deux voies, il
est éliminé dans la différence. C’est par cette méthode que les mesures de bruit avant et après
la cavité de filtrage, présentées dans la partie précédente, ont été réalisées.
Pour éliminer l’excès de bruit, il est nécessaire que l’équilibrage des photodiodes, pour la
voie DC comme pour la voie HF, soit excellent. En effet, il est toujours possible de compenser
un déséquilibre électronique par un déséquilibre des puissances optiques. Mais si le faisceau est
comprimé, cette procédure diminuera l’efficacité de détection et donc la compression mesurée.
La procédure détaillée n’est pas rappelée ici [Hadjar98, Treps01] : elle consiste à équilibrer les
voies DC à l’aide d’un potentiomètre pour avoir la même réponse à puissance incidente égale,
puis les voies HF en obtenant la réjection maximale d’une modulation d’intensité sur une large
plage de fréquence. Pour cela, un potentiomètre n’est pas assez précis et stable. Il est nécessaire
d’utiliser des résistances calibrées et d’ajuster leur valeur en ajoutant des résistances de forte
valeur en parallèle (voir schéma en annexe C). La différence des photocourants est obtenue à
l’aide d’un soustracteur Mini-Circuits ZSCJ-2-2. Expérimentalement, la réjection de l’ensemble
est supérieure à 40 dB entre 1 et 10 MHz. Elle atteint encore 30 dB à 100 kHz et à 15 MHz.
Un dernier point important est de s’assurer de la linéarité de la réponse des photodiodes
à la fréquence d’analyse du bruit, en fonction de la puissance incidente. Aucune saturation
38
3. Techniques expérimentales
n’a été observée à 4 MHz pour des puissances jusqu’à 10 mW par photodiode. A 20 MHz, la
saturation se produit beaucoup plus rapidement, dès 5 mW.
C.3
Détection homodyne
La détection directe ou balancée renseigne uniquement sur les fluctuations d’intensité du
faisceau à caractériser, et seulement si celui-ci est de valeur moyenne non nulle. Pour mesurer le
bruit suivant une quadrature quelconque d’un champ, aussi bien intense que vide, on réalise une
détection homodyne en faisant interférer le faisceau avec un autre faisceau de même fréquence
appelé ”oscillateur local”. La phase relative impose la quadrature mesurée.
Le principe général et les mises en œuvre expérimentales sont résumés figure 3.6. Deux
schémas sont possibles : soit les deux faisceaux de même polarisation sont mélangés sur une lame
50/50 (cas b) soit, de manière équivalente, ils sont polarisés orthogonalement et sont mélangés
sur un cube séparateur de polarisation (cas c). Pour obtenir des interférences, cette dernière
méthode nécessite un second cube précédé d’une lame λ/2 qui fait tourner les polarisations de
45◦ . Les deux voies sont ensuite détectées et les photocourants soustraits.
Notons A et Alo eiϕ respectivement le mode à caractériser et l’oscillateur local lors de la
recombinaison sur une lame 50/50. ϕ est la phase relative des deux champs. Les enveloppes
des champs détectés s’écrivent alors :
A+ =
A + Aol eiϕ
√
2
et A− =
A − Aol eiϕ
√
2
(3-3)
Les fluctuations sont linéarisées autour des valeurs moyennes. Les champs se mettent sous la
forme :
A = A + δP + iδQ et Aol eiϕ = (Aol + δPol + iδQol )eiϕ
(3-4)
Au rendement quantique près, les intensités mesurées par les deux photodiodes s’expriment
alors :
p
1³
I + Iol ± 2 Iol I cos ϕ
I± = |A± |2 =
2
p
+2 Iol (δPol ± δP cos ϕ ± δQ sin ϕ)
´
√
+2 I (δP ± δPol cos ϕ ∓ δQol sin ϕ)
(3-5)
Les photocourants sont ensuite soustraits. Les fluctuations de cette différence se déduisent de
l’expression précédente :
p
δ(I+ − I− ) = 2 Iol (δP cos ϕ + δQ sin ϕ)
√
+2 I (δPol cos ϕ − δQol sin ϕ)
(3-6)
Deux contributions apparaissent : l’une proportionnelle à la puissance de l’oscillateur local,
l’autre à celle du mode à caractériser. Deux configurations sont dès lors possibles :
C. Détection et analyse du bruit
39
(b)
IN
(a)
-
Êq
Champ à caractériser
Oscillateur local
Oscillateur local
(c)
Choix de la polarisation l/2
à caractériser
l/2 @ 22.5°
Êp
IN
l/2
-
Fig. 3.6: (a) Principe de la mesure par détection homodyne, (b) Configuration ”classique”
où champ à caractériser et oscillateur local sont mélangés sur une lame, (c) Configuration en
polarisation.
• Cas ”standard”
La puissance de l’oscillateur local est grande devant celle du mode à caractériser. Les
fluctuations de la différence des photocourants se réduisent alors à :
p
δ(I+ − I− ) = 2 Iol (δP cos ϕ + δQ sin ϕ)
(3-7)
et la variance s’exprime :
V (I+ − I− ) = 4Iol (δP 2 cos2 ϕ + δQ2 sin2 ϕ)
(3-8)
Le signal de sortie de la détection homodyne est proportionnel aux fluctuations de la
quadrature correspondant à la phase ϕ. En balayant la phase de l’oscillateur, à l’aide
d’une cale piézoélectrique, les fluctuations de toutes les quadratures sont mesurées. Une
propriété remarquable est que cette mesure est indépendante du bruit de l’oscillateur
local. Pour calibrer le bruit quantique standard, il suffit de bloquer la voie caractérisée :
ce sont alors les fluctuations du vide qui sont homodynées.
• Cas où les puissances sont comparables
Il n’est parfois pas possible de se placer dans le cas précédent. Si le faisceau à caractériser
a une puissance de quelques mW, un oscillateur local de plusieurs dizaines de mW serait
nécessaire. Cette puissance saturerait les photodiodes. Pour simplifier, considérons le cas
où les puissances sont égales. La variance s’exprime alors
³
´
(3-9)
V (I+ − I− ) = 4I (δP 2 + δPol2 ) cos2 ϕ + (δQ2 + δQ2ol ) sin2 ϕ
Pour une quadrature donnée, les puissances de bruit s’ajoutent. Expérimentalement, par
2
exemple pour ϕ = 0, on accède à (δP 2 + δPol2 ) et à δvide
en bloquant la voie à caractériser
(cas précédent). Si l’oscillateur local est à la limite quantique standard, alors cette der2 . La différence des deux mesures donne donc accès
nière mesure correspond à : δP 2 + δvide
40
3. Techniques expérimentales
au bruit recherché. Expérimentalement, à l’analyseur de spectre, la trace de référence
doit être rehaussée de 3 dB : une compression de bruit donnera une trace sous cette nouvelle limite. Cependant, la valeur de la compression ne peut pas être lue directement à
l’écran. Une compression parfaite donnera une trace confondue avec la première mesure.
Si l’oscillateur local n’est pas au bruit quantique, il faut une mesure supplémentaire : celle
de son bruit propre pour toutes les quadratures et avec une très bonne précision. Cette
mesure est très délicate. Le filtrage de l’oscillateur local est donc une étape indispensable
lorsqu’une détection homodyne n’est pas appliquée dans sa configuration ”standard”.
La superposition spatiale des modes lors de la recombinaison est un réglage important. Sa
qualité est estimée par la visibilité V = (Imax − Imin )/(Imax + Imin ) des franges d’interférences
lorsque les puissances moyennes des champs recombinés sont égales. Une mauvaise superposition est équivalente à des pertes lors de la détection. L’efficacité totale de détection est alors
dégradée par un facteur V2 [Bachor04].
C.4
Double détection homodyne : une mesure directe de l’intrication
Le paragraphe précédent a montré comment mesurer les propriétés non-classiques d’un état
monomode. Qu’en est-il de la caractérisation d’un état à deux modes ? On considérera plus
particulièrement le cas de deux modes de polarisation orthogonale.
Les corrélations d’intensité sont simples à mettre en évidence. Les deux modes sont séparés en polarisation puis détectés. Les corrélations sont alors mises en évidence en mesurant le
bruit sur la différence des photocourants, c’est-à-dire la gémellité : si les corrélations sont nonclassiques, le bruit mesuré est plus faible que celui obtenu lors de la détection de deux états
cohérents. Cette mesure est possible même si les deux modes n’ont pas la même fréquence.
L’équilibrage des photodiodes est là encore crucial puisqu’il s’agit d’une détection balancée.
Cela est d’autant plus vrai que des faisceaux très corrélés sont généralement très bruités individuellement : il faut donc une très bonne réjection entre les deux voies. Cette méthode est
utilisée par exemple pour détecter les corrélations quantiques en intensité des faisceaux jumeaux émis par un oscillateur paramétrique optique au-dessus du seuil d’oscillation. Elle sera
employée au chapitre 5 qui est consacré à cette étude.
La mesure des corrélations suivant une quadrature quelconque est plus complexe. Elle nécessite traditionnellement une détection homodyne pour chaque mode et la mesure de la somme
(anti-corrélations) ou de la différence (corrélations) des photocourants de chacune de ces détections. Cette méthode a été proposée par M. Reid [Reid89] puis mise en œuvre lors de la
première démonstration expérimentale du paradoxe EPR en variables continues par le groupe
de H.J. Kimble en 1992 [Ou92] ou, plus récemment, dans le groupe de E. Polzik [Schori02] ou
de P.K. Lam [Bowen03b]. La quantification de l’intrication nécessite la mesure de deux grandeurs : corrélations et anti-corrélations suivant des quadratures orthogonales. Deux mesures
successives sont donc a priori nécessaires.
Une mesure simultanée est cependant possible. Comme présenté au chapitre précédent et
développé plus formellement au chapitre 11, il existe un lien très fort entre intrication et compression de bruit. Une double corrélation suivant des quadratures orthogonales est équivalente
C. Détection et analyse du bruit
41
IN Trig
Détections en phase
ou en quadrature
Choix des polarisations
à caractériser
-
l/4 @ 0°
l/2
l/2
Champ à caractériser
IN Trig
-
l/2
l/4
Correction des
défauts des cubes
PZT
Oscillateur local
Rampe
Fig. 3.7: Deux détections homodynes simultanées. L’absence ou la présence d’une lame λ/4
dont les axes sont alignés avec ceux du cube les configure en phase ou en quadrature. Le couple
{λ/4, λ/2} sur le trajet de l’oscillateur local permet de corriger les biréfringences résiduelles
des cubes.
à une double compression de bruit, également suivant des quadratures orthogonales, des modes
obtenues en mélangeant les faisceaux intriqués sur une lame ou, dans le cas où les modes sont
polarisés orthogonalement, des modes polarisés à ±45◦ . De nombreux résultats de cette thèse
s’appuieront sur cette équivalence. La mesure simultanée de ces deux compressions de bruit
fournit directement une mesure de la séparabilité Σ, définie au chapitre précédent comme la
demi-somme de ces compressions.
La figure 3.7 résume le schéma expérimental d’une double détection homodyne lorsque les
modes intriqués sont séparés en polarisation. Ce système a également été mis en œuvre au
cours de la thèse de V. Josse où a été caractérisée l’intrication produite par l’interaction d’un
faisceau peu intense avec un nuage d’atomes froids [Josse03]. Détaillons les particularités et
réglages de ce système :
• Oscillateur local et mesure en phase
La particularité de ce montage est de ne disposer que d’une seule voie oscillateur local.
Une seule phase est donc balayée. Afin de mesurer des quadratures bien déterminées l’une
par rapport à l’autre dans chacune des détections homodynes, il faut s’assurer que les
détections aient le plus précisément possible la même référence de phase : la compression
de bruit de deux états comprimés suivant la même quadrature doit être obtenue pour
la même phase de l’oscillateur local. Expérimentalement, lorsque l’oscillateur local est
polarisé à 45◦ des axes du premier cube, les détections ne sont pas en phase. L’écart,
de l’ordre d’une dizaine de degrés, est dû pour l’essentiel à des biréfringences résiduelles
des cubes polariseurs. Afin de les corriger, la polarisation de l’oscillateur local est ren-
42
3. Techniques expérimentales
(RR)
(TT)
(RR)
(TT)
Fig. 3.8: Mesure en mode XY des photocourants des deux photodiodes en réflexion (RR) ou en
transmission (TT) des derniers cubes. La première ligne correspond au meilleur réglage obtenu
en cherchant à ce que les signaux soient en phase, la seconde en opposition.
due légèrement elliptique en introduisant un couple de lames {λ/4, λ/2}. A partir d’une
polarisation linéaire, cette association permet de réaliser tout état de polarisation. Pour
effectuer ce réglage, il est nécessaire d’envoyer dans chacune des détections homodynes
deux champs à caractériser de même phase. Pour cela, un cube auxiliaire est placé avant
la détection pour sélectionner une polarisation puis la lame λ/2 est tournée de 22.5◦ . Les
photocourants des deux photodiodes en réflexion et en transmission sont mesurés à l’aide
de deux oscilloscopes en mode XY, et la phase de l’oscillateur local est balayée. Le couple
de lames {λ/4, λ/2} est alors ajusté pour obtenir des signaux en phase ou en opposition.
La figure 3.8 donne cette mesure pour la meilleure correction obtenue lorsqu’on cherche
des signaux en phase ou en opposition. Seule cette dernière configuration permet un bon
réglage pour les deux couples de photodiodes simultanément. Une vérification est ensuite
effectuée en envoyant un état dont le bruit dépend de la quadrature (vide comprimé à
la sortie de l’OPO, cube et λ/2 à 22.5◦ ). Les bruits mesurés sur les deux analyseurs de
spectre présentent bien des variations simultanées.
• Mesure en quadrature
Les compressions de bruit des modes A+ et A− polarisés à ±45◦ des modes intriqués
sont obtenues suivant des quadratures orthogonales. Afin de les mesurer simultanément,
les détections homodynes ne doivent plus être en phase mais en quadrature. Cette configuration est simple à obtenir à partir de la précédente : il suffit d’ajouter sur le trajet
des faisceaux à mesurer, avant le premier cube, une lame λ/4 dont les axes sont alignés
avec ceux du cube. Les modes caractérisés seront alors A+ et iA− et les compressions de
C. Détection et analyse du bruit
43
bruit seront obtenues pour la même phase de l’oscillateur local.
Résumons les possibilités offertes par ce montage lorsque les faisceaux intriqués sont polarisés orthogonalement suivant les axes du cube, ce qui sera le cas expérimentalement :
• Mesure d’une seule corrélation
La lame λ/2 reste alignée avec les axes du cube et la lame λ/4 n’est pas insérée. Les deux
détections homodynes mesurent alors le bruit de chacun des faisceaux intriqués suivant
la même quadrature. La somme ou la différence des photocourants des deux détections
homodynes renseignent sur les corrélations. Cette configuration est équivalente à deux
détections homodynes séparées mais ici la configuration en polarisation rend la mise en
œuvre plus compacte et plus simple. Il n’en reste pas moins que deux mesures successives
sont nécessaires pour mettre en évidence la double corrélation et accéder à la séparabilité
Σ.
• Mesure simultanée de deux compressions
La lame λ/2 est tournée de 22.5◦ pour aligner avec les axes du cube les modes polarisés à
±45◦ . Ces faisceaux sont comprimés suivant des quadratures orthogonales et les compressions ne sont donc pas observées pour la même phase de l’oscillateur local. En ajoutant
la lame λ/4 alignée avec les axes du cube, les modes caractérisés sont alors comprimés
suivant la même quadrature et les compressions mesurées simultanément. Une seule mesure, la somme des deux photocourants, donne accès à la séparabilité Σ définie comme
la demi-somme de ces compressions.
C.5
Analyse du bruit : analyseur de spectre ou ordinateur
Les photocourants sont généralement envoyés sur un analyseur de spectre qui donne accès
uniquement à la puissance de bruit. Une alternative consiste à démoduler le photocourant à une
fréquence donnée puis à l’échantillonner à l’aide d’une carte d’acquisition informatique (figure
3.9). Cette méthode fournit la distribution de probabilité des faisceaux à cette fréquence : il est
alors possible d’obtenir la puissance de bruit en calculant la variance de ces échantillons mais
aussi, de manière générale, de calculer tous les moments d’ordres supérieurs. L’accès à l’ensemble des distributions de probabilité des quadratures permettrait de réaliser la tomographie
de l’état mesuré [Breitenbach97,Coudreau97]. Des protocoles originaux peuvent également être
réalisés par post-sélection grâce à cette méthode d’acquisition : le chapitre 6 détaille ainsi un
protocole original de préparation conditionnelle d’un état non-classique à partir de faisceaux
jumeaux.
La chaı̂ne d’acquisition, présentée schématiquement figure 3.9, a été développée par A.
Maı̂tre, N. Treps et M. Martinelli [Treps01, Martinelli01]. Elle se compose de 6 éléments :
• un filtrage (non représenté) pour éliminer l’ excès de bruit à basse fréquence (oscillation de
relaxation du laser) et le pic de modulation à 12 MHz qui satureraient les amplificateurs
à toutes les fréquences. Un filtre coupe-bande centré autour de 1 MHz et un passe-bas
44
3. Techniques expérimentales
HF
IN
CAN
Analyseur de spectre
MIXER
Acquisition informatique
Fig. 3.9: Le photocourant peut être soit envoyé vers un analyseur de spectre qui donne accès à la
puissance de bruit, soit vers une chaı̂ne d’acquisition informatique qui permet d’échantillonner
le signal démodulé à une fréquence choisie et d’obtenir ainsi sa distribution de probabilité.
•
•
•
•
•
Mini-Circuits de fréquence de coupure 5 MHz ont été associés en série.
un amplificateur très bas bruit, Nuclétude 10-36-2, fournissant 36 dB de gain, avec une
puissance maximale de +17 dBm dans une bande de fréquence allant de 1 à 1000 MHz.
un démodulateur qui multiplie le courant amplifié par une sinusoı̈de de fréquence choisie
puis réalise un filtrage passe-bas (5 kHz, 25 kHz ou 100 kHz) équivalent à la ”Resolution
BandWidth” d’un analyseur de spectre.
un amplificateur basse fréquence afin d’adapter la puissance du signal aux caractéristiques
de la carte d’acquisition.
une carte d’acquisition National Instruments PCI-6110E (notée CAN pour convertisseur
analogique-numérique). Cette carte possède 4 entrées simultanées avec une fréquence
d’échantillonnage maximale de 5 MHz et une résolution de 12 bits.
un ”virtual-instrument” LabView qui permet l’acquisition des données et des traitements
statistiques divers. Le lecteur pourra se référer à [Treps01] pour le détail des programmes.
De même que pour les photodiodes, il est crucial d’équilibrer les gains des différentes voies
qui sont légèrement différents en raison des nombreux composants électroniques mis en jeu
et de leurs dérives au cours du temps. La méthode consiste à envoyer sur chaque entrée de la
chaı̂ne un bruit blanc généré par un GBF. La comparaison des puissances de bruit permet alors
d’attribuer à chacune des voies un gain correctif. La correction se fera ensuite informatiquement
sur les données enregistrées. Cette procédure doit être appliquée pour chaque fréquence de
démodulation car la réponse n’est pas parfaitement linéaire en fonction de cette dernière.
Un exemple d’acquisition et de distribution de probabilité est présenté en fin de chapitre 5
avant que la méthode ne devienne une pièce centrale du protocole développé au chapitre 6.
D
Asservissement des cavités optiques
Entre le laser source et les systèmes de détection interviennent des cavités optiques, actives
ou passives, de finesse variée : cavité de doublage, cavité de filtrage, oscillateur paramétrique
optique... L’asservissement des cavités optiques est souvent un exercice difficile et une étape
clé. De la qualité des asservissements va dépendre la stabilité de l’expérience, la mise en œuvre
plus ou moins aisée des étapes aval et, au final, la mesure des effets quantiques. Cette partie
détaille trois méthodes parmi les plus courantes pour asservir au sommet d’une résonance. Les
D. Asservissement des cavités optiques
45
deux dernières sont illustrées expérimentalement.
D.1
Obtenir un signal d’erreur et rétroagir
Les différentes méthodes d’asservissement ont pour but de fournir un signal d’erreur exploitable, c’est-à-dire qui renseigne sur la longueur de la cavité : ce signal doit ainsi être
proportionnel à l’écart à résonance et changer de signe pour cette dernière. Un signal typique
prend la forme d’une dispersion lorsque la longueur de la cavité est balayée.
Le signal d’erreur est ensuite envoyé sur un correcteur PI (gain proportionnel et intégrateur)
puis sur la cale piézoélectrique de la cavité. Les gains et constantes de temps sont finement
ajustés pour assurer la stabilité de la boucle de rétroaction : de manière générale, le gain doit
diminuer quand la fréquence augmente et le déphasage être inférieur à π pour la fréquence
où le gain vaut 1. Cette fréquence est généralement limitée à quelques dizaines de kHz. Elle
sera d’autant plus grande que le substrat du miroir sera léger et que la cale sera fixée sur
un composant massif qui fera contre-poids. Une amélioration très significative, de l’ordre d’un
facteur 2, peut également être obtenue en comprimant la cale piézoélectrique.
D.2
”Dither and lock”
La première méthode consiste à moduler à basse fréquence – quelques kHz à quelques
dizaines de kHz – la fréquence du laser ou la longueur de la cavité à l’aide d’une cale piézoélectrique [White65]. Dans ce dernier cas, il est nécessaire de rechercher une résonance de la
cale. Le faisceau transmis est ensuite détecté et démodulé à l’aide d’une détection synchrone.
L’exemple d’une cavité de filtrage asservie par cette méthode est donné dans la thèse de K.
Zhang [Zhang02].
Cette méthode est en fait très générale et utilisée pour asservir un signal en un extremum
local. Les détections homodynes peuvent ainsi être asservies sur la frange sombre ou brillante à
l’aide d’une modulation appliquée sur la cale piézoélectrique permettant de balayer la phase de
l’oscillateur local. Il est également possible d’asservir sur le bruit d’une détection homodyne,
après démodulation à une fréquence donnée (chapitre 8).
D.3
Pound-Drever-Hall
La méthode précédente reposait sur une fréquence de modulation très petite devant la bande
passante de la cavité : seul le faisceau transmis pouvait donc être utilisé pour obtenir un signal
d’erreur. La méthode Pound-Drever-Hall, la plus répandue, utilise une fréquence de modulation
plus grande que la bande passante (ou du-moins suffisamment grande) pour que la modulation
puisse être détectée en réflexion. Cette différence est essentielle : elle permet d’augmenter la
bande passante de l’électronique de rétroaction, d’éviter un retard dû au passage à travers la
cavité et elle n’est pas sensible au bruit à basse fréquence puisque ce dernier n’est pas réfléchi.
La méthode PDH consiste donc à utiliser le battement entre le champ moyen et des bandes
latérales obtenues par modulation de phase. Les bandes latérales, réfléchies au moins partiellement par la cavité, fournissent une référence de phase. Un modulateur de phase est placé
46
3. Techniques expérimentales
Ä 12 MHz
Servo
PZT
E.O.
Isolateur
Fig. 3.10: Asservissement Pound-Drever-Hall. La lumière réfléchie et éjectée par l’isolateur est
détectée puis démodulée à la fréquence du modulateur de phase. Le graphe donne la puissance
réfléchie et le signal d’erreur obtenu dans le cas de l’OPO.
avant la cavité à asservir et la lumière réfléchie est détectée puis démodulée à la fréquence de
modulation.
Si la cavité est à résonance, la lumière réfléchie reste modulée uniquement en phase. Le
signal démodulé est donc nul puisque les deux bandes latérales se compensent. En dehors de
résonance, les bandes latérales subissent un déphasage différent. Il n’y aura plus compensation
et une modulation d’amplitude sera détectée. Le signal d’erreur aura ainsi une forme typique :
linéaire proche de la résonance, il s’annule pour cette dernière.
L’oscillateur paramétrique optique (finesse 100), qui sera au cœur des chapitres à venir, a
été asservi à résonance pompe par cette méthode. Une modulation de phase à 12 MHz, utilisée
dans le laser pour asservir la cavité de doublage, est encore présente sur le faisceau à 532 nm
et de nouveau utilisée pour ce second asservissement. Il n’a pas été utile d’ajouter un autre
modulateur. La figure 3.10 donne le signal d’erreur obtenu lorsque la longueur de la cavité est
balayée. L’OPO peut rester asservi à résonance pompe pendant plusieurs heures. Cependant,
un très bon asservissement de la pompe à résonance ne présume pas de la stabilité, voire de
la présence, d’infrarouge en sortie. Cette difficulté propre aux OPO triplement résonants est
étudiée au chapitre 4.
D.4
Tilt-Locking
L’inconvénient majeur de la technique précédente est d’être relativement coûteuse : elle
nécessite un générateur fonctionnant à quelques dizaines de MHz et un modulateur électrooptique. Une nouvelle méthode dite du ”Tilt-Locking”, introduite en 1999 [Shaddock99], apporte une solution beaucoup plus simple et tout aussi efficace [Shaddock00]. Elle repose également sur l’interférence du champ moyen et d’une référence de phase directement réfléchie
par la cavité. Cette fois-ci, la référence n’est plus donnée par des bandes latérales mais par un
mode transverse d’ordre supérieur et non résonant : le Tilt-Locking est le pendant spatial de
la méthode PDH.
Le faisceau incident est légèrement désaligné de telle sorte que coexistent le mode fondamental TEM00 et le mode TEM01 . Ce dernier mode est loin de résonance et sera donc totalement
réfléchi, comme l’étaient, du moins partiellement, les bandes latérales dans la technique PDH.
D. Asservissement des cavités optiques
47
Photodiode
à 2 éléments
Servo
Fig. 3.11: Tilt-Locking appliqué à la cavité de filtrage. Le graphe donne la puissance transmise
et le signal d’erreur lorsque la longueur de la cavité est balayée.
L’interférence des 2 modes réfléchis est détectée à l’aide d’une photodiode à 2 éléments dont
les photocourants sont soustraits. Les deux éléments correspondent aux deux lobes du mode
TEM01 (figure 3.11).
Considérons l’interférence de ces deux modes en fonction de la longueur de la cavité. Alors
que le mode fondamental a une phase uniforme, les deux parties du mode TEM01 sont déphasées de π. A résonance pour le mode fondamental, les deux parties du mode TEM01 obtenu
par tilt du faisceau incident sont déphasées de ±π/2 par rapport au mode fondamental : les
amplitudes sont alors égales sur chaque moitié du détecteur et la différence des photocourants
s’annule. Pour un désaccord donné, la phase du mode fondamental est modifiée alors que celle
du mode TEM01 reste inchangée : le déphasage devient ainsi plus grand que π/2 pour un des
éléments et plus petit pour l’autre. La configuration s’inverse de l’autre côté de la résonance.
Ces déphasages différents ont pour effet de dissymétriser les amplitudes résultantes : la différence des photocourants ne s’annule plus et dépend linéairement du désaccord proche de la
résonance. De manière équivalente, un signal d’erreur de signe opposé est obtenu proche de la
résonance du mode TEM01 . Un tilt très léger – de l’ordre de 1% de la puissance dans le mode
d’ordre supérieur – suffit à obtenir un signal d’erreur exploitable.
Cette méthode est très simple à mettre en œuvre et peu coûteuse puisqu’elle ne nécessite
qu’une photodiode à 2 quadrants. La cavité de filtrage (finesse 3500) a été asservie par cette
technique. Une photodiode à 4 quadrants (EG&G C30843E) est utilisée et les quadrants de
chaque moitié sont reliés et sommés afin d’obtenir deux éléments verticaux (schéma électronique
et photographie en Annexe C). La figure 3.11 donne la puissance transmise et le signal d’erreur
obtenu lorsque la longueur de la cavité est balayée. La cavité peut rester asservie une journée
durant. Par ailleurs, le réglage du signal d’erreur est très stable : en six mois d’utilisation, il
n’a pas été nécessaire de réaligner la cavité.
L’oscillateur paramétrique a également été asservi avec succès par Tilt-Locking. Cette solution n’a cependant pas été retenue car la qualité du signal d’erreur est très sensible à l’alignement. Or, l’OPO, qui est l’élément central de l’expérience, est souvent réaligné pour changer
de point de focalisation sur le cristal ou de miroir de sortie. La méthode PDH s’avère donc plus
appropriée. Par contre, pour une cavité qui ne nécessite pas de réglages fréquents, telle qu’une
cavité de filtrage, le Tilt-Locking est une solution extrêmement intéressante et très efficace.
48
E
3. Techniques expérimentales
Conclusion
Ce chapitre a détaillé les sources laser continues et les techniques expérimentales qui seront
utilisées tout au long de ce mémoire. Elles permettront de mettre en œuvre un oscillateur paramétrique optique de type II, dans divers régimes de fonctionnement. Ce chapitre a également
présenté différentes méthodes de caractérisation des états générés : de la détection balancée
qui permet de mesurer la gémellité de deux faisceaux corrélés en intensité à la double détection homodyne qui permet de mesurer simultanément deux compressions de bruit et d’acceder
ainsi directement à la séparabilité. La partie suivante est consacrée à l’oscillateur paramétrique
optique sans lame biréfringente, aussi bien d’un point de vue expérimental que théorique.
Deuxième Partie
Oscillateur Paramétrique Optique
51
Depuis le milieu des années 80, l’étude des propriétés quantiques des oscillateurs paramétriques optiques de type II pompés au-dessus du seuil par un laser continu a constitué une des
thématiques centrales du groupe d’optique quantique du Laboratoire Kastler Brossel. Les faisceaux intenses générés par conversion paramétrique et polarisés orthogonalement présentent,
dans la bande passante de la cavité, de très fortes corrélations quantiques en intensité : on
parle de ”faisceaux jumeaux”. La compression au-dessous du bruit quantique standard de la
différence des fluctuations d’intensité des deux champs a été observée pour la première fois en
1987 [Heidmann87]. Cette réduction de bruit a par la suite été améliorée pendant le travail de
thèse de J. Mertz et T. Debuisschert pour finalement atteindre 8.5 dB [Mertz91a]. Plusieurs applications ont également été mises en œuvre. La thèse de J. Mertz a montré qu’un des faisceaux
jumeaux pouvait être converti en un état présentant une statistique sub-Poissonienne en contrôlant via un modulateur électro-optique ses fluctuations à l’aide de l’information fournie par la
détection de l’autre faisceau [Mertz90,Mertz91b]. Ces faisceaux corrélés peuvent également être
utilisés pour améliorer la sensibilité de mesures spectroscopiques par différence. Un bruit de
fond fortement réduit a été ainsi démontré au cours de la thèse de C. Schwob lors d’une mesure
d’absorption de la transition à deux photons 4S-5S du potassium [Schwob97a, Schwob97b].
Les faisceaux présentent également, en principe, de fortes anti-corrélations de leurs fluctuations de phase : ce sont donc des faisceaux intriqués en quadrature qui pourraient être utilisés
dans divers protocoles d’information quantique. Cette propriété est cependant difficile à mettre
en évidence expérimentalement car les faisceaux ne sont qu’accidentellement à la même fréquence. Au-dessous du seuil, ce problème est moins important car le système n’est plus un
oscillateur actif qui ”choisit” son point de fonctionnement mais un amplificateur passif. Ce
système permet alors de générer des faisceaux vides fortement intriqués. Pour étudier ces différentes propriétés, un nouvel OPO a été construit. Cette seconde partie en donne les propriétés
classiques et quantiques mesurées expérimentalement dans divers régimes de fonctionnement.
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
Sommaire
A
Introduction
B
Théorie classique de l’OPO
C
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
54
B.1
Mélange à trois ondes en cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
B.2
Equations de bouclage en cavité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
B.3
Solutions stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
C.1
L’oscillateur paramétrique optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
C.2
Schéma expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
C.3
Longueur de cavité et optimisation du seuil . . . . . . . . . . . . . . .
60
C.4
Asservissement de l’OPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
C.5
Puissance de sortie et efficacité de conversion . . . . . . . . . . . . . .
61
D
Accordabilité expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
E
Conclusion
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction
Après une brève présentation théorique, ce chapitre détaille les propriétés classiques de
l’oscillateur paramétrique optique de type II réalisé au cours de ce travail de thèse. Constitué
d’un cristal non-linéaire de KTP inséré dans une cavité résonante à la fois pour la pompe à
532 nm et les champs infrarouges émis autour de 1064 nm, ce système compact est optimisé
pour minimiser le seuil d’oscillation et obtenir une grande stabilité. L’asservissement d’un OPO
triplement résonant est un exercice difficile : ce chapitre présente les difficultés expérimentales
propres à ce dispositif et élargit ainsi la présentation donnée au chapitre 3 des asservissements
de cavité optique. Un fonctionnement stable et sans saut de mode est obtenu pendant plusieurs
heures.
Les OPO ont la propriété d’émettre des faisceaux dont la longueur d’onde est accordable.
Cette propriété a suscité un grand intérêt au cours des années 70-80 puis, plus récemment,
pour produire des faisceaux dans l’infrarouge lointain. La contrepartie de cette accordabilité
est qu’il n’existe qu’un seul point de fonctionnement où les faisceaux ont même fréquence.
Cette propriété est rapidement étudiée en fin de chapitre. Elle deviendra par la suite un point
central de notre étude.
54
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
B
B.1
Théorie classique de l’OPO
Mélange à trois ondes en cavité
Le processus paramétrique est un effet non-linéaire d’ordre 2 qui couple trois champs :
un champ pompe A0 , un champ signal A1 et un champ complémentaire A2 . Le chapitre 2 a
montré que les équations de propagation non-linéaire des enveloppes des champs à la traversée
du cristal pouvaient s’écrire :

∂A0


= −ξA1 A2 e−i∆k z


∂z



∂A1
(4-1)
= ξA0 A∗2 ei∆k z

∂z





 ∂A2 = ξA0 A∗ ei∆k z
1
∂z
où ∆k = k0 − k1 − k2 représente le désaccord de phase. Ces équations sont solubles dans le
cas général en termes de fonctions elliptiques [Armstrong62, Rosencher02]. Cependant, lorsque
le gain paramétrique est faible, les équations de couplage se simplifient car elles peuvent être
développées aux ordres faibles en g = lξ où l est la longueur du cristal.
Les équations sont déterminées à l’ordre 2 en écrivant que les champs varient de manière
linéaire à l’intérieur du cristal :
Ai (z) ≃ Ai (0) + z
dAi
(0)
dz
(4-2)
En reportant dans le terme de couplage et en intégrant sur la longueur l du cristal,

³ ∆kl ´
−i ∆kl

2 sinc
A
(l)
=
A
(0)
−
ge
A1 (0)A2 (0)

0
0


2

i


g 2 ∗ ³ ∆kl ´ h

2
2

|A
f
(0)|
+
|A
(0)|
−
A0 (0)

1
2

2
2



³ ∆kl ´

∆kl


 A1 (l) = A1 (0) + gei 2 sinc
A0 (0)A∗2 (0)
2
i
g 2 ³ ∆kl ´ h



|A0 (0)|2 − |A2 (0)|2 A1 (0)
+ f


2
2


´
³


∆kl
∆kl


A2 (l) = A2 (0) + gei 2 sinc
A0 (0)A∗1 (0)


2


i


g 2 ³ ∆kl ´ h

+ f
|A0 (0)|2 − |A1 (0)|2 A2 (0)
2
2
avec f (x) =
(4-3)
eix ix
(e − sinc(x)).
ix
Dans le cas d’un OPO triplement résonant, les trois champs sont recyclés au sein de la
cavité. Lorsque l’OPO fonctionne en régime stationnaire, le gain paramétrique égale les pertes :
les pertes étant faibles pour les trois champs, le gain l’est également et l’ordre le plus bas des
équations précédentes est suffisant pour décrire le processus paramétrique. Cette approximation
revient à négliger la variation des trois champs dans le terme de couplage au lieu de considérer
B. Théorie classique de l’OPO
55
R0 @ 532 nm
Rmax @ 1064 nm
Rmax @ 532 nm
R @ 1064 nm
Signal
et Complémentaire
Pompe
w0
M1
w1
w2
Cristal
M2
Fig. 4.1: Schéma d’un OPO triplement résonant.
une variation linéaire. Le système précédent se simplifie alors en :

³ ∆kl ´
g −i ∆kl


2 sinc
(l)
=
A
(0)
−
A
A1 (0)A2 (0)
e

0
0

2
2



³ ∆kl ´
∆kl
A1 (l) = A1 (0) + gei 2 sinc
A0 (0)A∗2 (0)

2



³ ∆kl ´


 A2 (l) = A2 (0) + gei ∆kl
2 sinc
A0 (0)A∗1 (0)
2
B.2
(4-4)
Equations de bouclage en cavité linéaire
Le cas considéré ici d’une cavité linéaire triplement résonante est représenté figure 4.1. Le
miroir d’entrée est totalement réfléchissant pour les champs infrarouges alors que le miroir de
sortie est totalement réfléchissant pour la pompe. Les coefficients de réflexion en amplitude du
miroir de sortie pour les champs signal et complémentaire et du miroir d’entrée pour la pompe
sont notés respectivement r et r0 . Les déphasages sur les miroirs ne sont pas pris en compte.
Il a été montré dans la référence [Debuisschert93] que ces déphasages pouvaient augmenter le
seuil d’oscillation mais que cette augmentation pouvait être partiellement compensée par le
désaccord de phase. Dans le pire des cas, le seuil est augmenté d’un facteur 1.92.
La cavité étant de grande finesse, les coefficients de réflexion peuvent s’écrire r = 1 − γ
et r0 = 1 − γ0 avec γ ≪ 1 et γ0 ≪ 1. Les transmissions en intensité sont alors données par
T ≃ 2γ et T0 ≃ 2γ0 . Les pertes intracavité, dûes par exemple à l’absorption dans le cristal
ou aux réflexions aux interfaces, sont notées µ et µ0 . Par analogie, on définit des coefficients
de réflexion généralisés qui tiennent compte des pertes ”utiles” des miroirs de couplage et des
pertes intracavité : r′ = 1 − γ − µ = 1 − γ ′ et r0′ = 1 − γ0 − µ0 = 1 − γ0′ .
Les équations de bouclage en régime stationnaire sont obtenues en écrivant que les champs
reviennent identiques à eux-mêmes au bout d’un aller-retour dans la cavité. En notant Ain
0 le
champ pompe à l’entrée de la cavité :

(−r′ + eiδ1 )A1 = r′ gA0 A∗2



(4-5)
(−r′ + eiδ2 )A2 = r′ gA0 A∗1


p

(−r0′ + eiδ0 )A0 = −r0′ gA1 A2 + 2γ0 Ain
0
où δi = ki (ni l + L) représente le déphasage subi par Ai sur un aller-retour.
56
iδi
e
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
En supposant que les désaccords δi par rapport à la résonance sont petits et en posant
≃ 1 + i∆i , les équations de bouclage se simplifient :

(γ ′ − i∆1 )A1 = gA0 A∗2



(4-6)
(γ ′ − i∆2 )A2 = gA0 A∗1


p
 ′
(γ0 − i∆0 )A0 = −gA1 A2 + 2γ0 Ain
0
Le premier terme de gauche décrit la décroissance des champs intracavité en raison de la
transmission des miroirs de couplage et des pertes internes alors que le second terme correspond
à l’écart à la résonance. Les termes de droite traduisent le couplage paramétrique entre les
différents champs. Le dernier terme de l’équation sur la pompe donne le champ pompe entrant
dans la cavité.
B.3
Solutions stationnaires
Les deux premières équations du système (4-6) forment un système homogène pour les
champs signal et complémentaire et leurs conjugués. Ce système admet une solution non triviale
si son déterminant est nul. Cette condition impose :


∆1 = ∆ 2 = ∆

(4-7)
γ ′2 + ∆2

 N0 = |A0 |2 =
2
g
La seconde relation montre que l’OPO est un système présentant un seuil d’oscillation.
Au-dessus de ce seuil, le flux pompe intracavité ne dépend plus du flux pompe incident. La
puissance est alors dite ”clampée”.
Le flux pompe intracavité N0 est indépendant du fait que la cavité soit résonante ou non
pour la pompe. Si la pompe ne résonne pas, son expression donne directement le flux incident
nécessaire pour atteindre le seuil de l’OPO. La résonance de la pompe permet de diminuer le
flux incident nécessaire pour atteindre cette valeur intracavité. La valeur seuil du flux pompe
incident s’écrit alors :
(N0in )seuil =
γ0′2 + ∆20
(γ ′2 + ∆20 )(γ ′2 + ∆2 )
N0 = 0
2γ0
2γ0 g 2
(4-8)
Le seuil est minimum lorsque les trois champs sont à résonance, ∆ = ∆0 = 0, et se réduit à :
(N0in )seuil =
γ0′ γ0′ γ ′2
γ0 2g 2
(4-9)
La troisième équation du système 4-6, l’équation sur la pompe, permet d’exprimer le flux
signal ou complémentaire à l’intérieur de la cavité lorsque l’OPO est pompé au-dessus du seuil
d’oscillation. Au point de seuil minimum et en notant σ un nouveau paramètre réduit qui
mesure la ”force” du pompage par rapport au seuil,
s
s
′ (σ − 1)
in
γ
N
I0in
0
N1 = N2 = |Ai |2 =
avec
σ
=
=
(4-10)
g2
N0
I0
C. Description de l’expérience
57
Miroir d’entrée
Cristal de KTP
Miroir de sortie
Fig. 4.2: L’oscillateur paramétrique optique semi-monolithique.
I0 et I0in sont respectivement l’intensité de seuil et l’intensité de la pompe incidente. En sortie
de la cavité, le flux signal ou complémentaire N out devient :
N out =
γ 2γ ′2 γ0′
(σ − 1)
γ ′ g2
(4-11)
Par ailleurs, la conversion paramétrique fixe la somme des phases des champs signal et
complémentaire. D’après les équations de bouclage,
³∆´
ϕ1 + ϕ2 = ϕ0 + arctan ′
(4-12)
γ
En revanche, la différence des phases est libre de fluctuer : le système est invariant par le
changement de phase A1 → A1 eiϕ , A2 → A2 e−iϕ . Les phases individuelles sont donc libres de
diffuser.
C
C.1
Description de l’expérience
L’oscillateur paramétrique optique
Une photographie de l’OPO est présentée figure 4.2. L’élément central est un cristal de KTP
de 10 mm de longueur et de section 3x3 mm2 . Le KTP présente de nombreuses caractéristiques
intéressantes : fort coefficient non-linéaire, faible absorption dans l’infrarouge, accord de phase
à température ambiante ou encore large acceptance en température. L’annexe A revient sur
ses propriétés et compare différents cristaux de KTP utilisés au cours de ce travail de thèse.
Afin de réduire les pertes aux interfaces, qui limitent l’efficacité de conversion et les effets
quantiques, et obtenir une plus grande stabilité, une structure linéaire semi-monolithique a
été choisie : le miroir d’entrée est directement déposé sur une des faces du cristal de KTP. Ce
miroir plan est hautement réfléchissant pour l’infrarouge et le coefficient de réflexion est de 95%
pour la pompe. C’est l’inverse pour le miroir de fond de rayon de courbure 38 mm puisque le
traitement est hautement réfléchissant pour la pompe. La finesse infrarouge peut être modifiée
en changeant ce miroir. Trois transmissions ont été utilisées : T = 2%, 5% et 10%. Le miroir de
58
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
Ä 12 MHz
Servo
l/2
KTP
Signal
PZT
Complémentaire
Isolateur
Nd:YAG
E.O.
Laser “Diabolo”
Fig. 4.3: Schéma expérimental. Les faisceaux infrarouges polarisés orthogonalement peuvent
être séparés et détectés individuellement. E.O. : modulateur électro-optique.
sortie est fixé sur une céramique piézoélectrique qui permet de contrôler finement la longueur
de la cavité. Le tableau suivant résume les propriétés en réflexion des traitements des miroirs
et de l’anti-reflet déposé sur la seconde face du cristal.
532 nm
1064 nm
Entrée
95%
<0.1%
AR
0.5%
0.1%
Sortie
<0.1%
Variable
Le cristal est inséré dans un four en cuivre muni d’un module Peltier et d’une thermistance.
Une boucle d’asservissement permet de contrôler très finement la température du cristal. Il est
important que la thermistance soit bien sûr proche du cristal mais également en très bon contact
thermique avec le cuivre qui l’entoure. Ce contact peut être amélioré en l’entourant de pâte
thermique. Les meilleures pâtes actuellement disponibles sont celles utilisées en informatique
pour maximiser la conduction thermique entre le processeur et le système de refroidissement.
La plus performante à ce jour (et également la plus chère !) est la pâte ”Arctic Silver” à base
d’argent. Sa conductivité est pratiquement dix fois supérieure à celle des pâtes siliconées utilisées jusqu’à présent. De plus, elle est beaucoup plus fluide, ce qui facilite sa mise en place
autour de la thermistance. L’utilisation de cette pâte a amélioré le temps de réponse de l’asservissement en température de plus de 30%. Une seconde thermistance de test, extérieure à
la boucle de régulation, a montré qu’il était possible de modifier la température par pas de 0.5
mK sans oscillation et que la stabilité sur dix minutes était supérieure au mK.
L’ensemble des éléments est lié à un bloc massif de Dural. Le four est fixé rigidement au bloc
et ne dispose d’aucun réglage en position. La monture du miroir de sortie dispose des réglages
usuels en rotation par butées différentielles et elle est montée sur des platines en translation
XYZ.
C.2
Schéma expérimental
Le schéma expérimental détaillé est représenté figure 4.3. Le laser continu Nd:YAG doublé
”Diabolo” décrit au chapitre 3 est utilisé pour pomper l’OPO. Un isolateur optique Conoptics
C. Description de l’expérience
59
permet d’éliminer les retours vers le laser (5% de pertes à l’injection et 37 dB d’isolation).
A nouveau, le nombre d’éléments optiques a été minimisé afin de limiter les causes possibles
de vibrations. Une seule lentille, de focale 150 mm, est ainsi utilisée pour adapter le mode de
la pompe au mode de l’OPO. Cette lentille est montée dans un support trois axes (Newport
LP-1A-XYZ) permettant un réglage très fin, en position et en focalisation, et assurant une
grande stabilité. L’adaptation obtenue est de l’ordre de 99% comme le montre la figure 4.4 qui
donne les pics de résonance de la pompe lorsque la longueur de la cavité est balayée. La pompe
réfléchie par l’OPO est détectée en utilisant la voie d’éjection en retour de l’isolateur optique.
Les faisceaux infrarouges émis au-dessus du seuil et polarisés orthogonalement sont quant à
eux séparés en sortie de l’OPO et détectés par des photodiodes Epitaxx 300 en InGaAs.
La structure semi-monolithique facilite le réglage de l’OPO. Dans un premier temps, les
deux miroirs d’injection permettent de choisir un point de focalisation sur le cristal et d’assurer
une incidence normale du faisceau en superposant faisceau aller et faisceau retour. Les réglages
en translation (sauf la focalisation) de la monture du miroir de sortie sont ensuite utilisés pour
obtenir en sortie une tache unique. Toutes ces étapes sont réalisées à l’œil et sont largement
suffisantes pour obtenir un premier réglage presque parfait. Il est ensuite possible d’optimiser
l’adaptation de modes à l’oscilloscope à l’aide des butées différentielles du miroir de sortie ou
des réglages très fins de la lentille d’injection. Ce réglage n’a besoin d’être repris que toutes les
une à deux semaines.
Fig. 4.4: Résonances pompe observées en réflexion lorsque la longueur de la cavité est balayée
et signal d’erreur associé après démodulation à 12 MHz.
60
C.3
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
Longueur de cavité et optimisation du seuil
Afin de maximiser la conversion paramétrique et réduire le seuil d’oscillation, la focalisation
du faisceau pompe doit être adaptée à la longueur du cristal. Trop forte, le faisceau divergerait
rapidement. Trop faible, l’effet non-linéaire ne serait pas exalté. En première approximation, il
faut donc un faisceau dont la longueur de Rayleigh ZR soit du même ordre de grandeur que la
longueur du cristal. Plus précisément, lorsque le waist est au milieu du cristal, on peut montrer
que l’optimum est obtenu pour une longueur de Rayleigh reliée à la longueur du cristal l par
la relation de Boyd et Kleynman [Boyd68] :
l
=ξ
2ZR
où ZR =
nπw02
λ
(4-13)
En l’absence de walk-off, le paramètre ξ optimal vaut 2.84. Pour une configuration semimonolithique, le waist n’est pas au milieu du cristal mais à l’entrée du cristal. Le cristal doit
donc être considéré deux fois plus long et la relation précédente se réduit alors à :
l
=ξ
ZR
(4-14)
Cette expression permet de déduire le waist w0 du faisceau pompe. Avec une longueur géométrique l de 10 mm pour un indice moyen n = 1.8, le critère de Boyd et Kleinman donne un
waist pompe de l’ordre de 18 µm.
Afin de calculer la longueur de la cavité adaptée à ce waist, la longueur effective est introduite : L′ = L − l(1 − 1/n) où L est la longueur de la cavité hors cristal. La longueur effective
peut être reliée au rayon de courbure R du miroir et à la longueur de Rayleigh par :
′
ZR
=
ce qui donne
p
πw02
′
L′ (R − L′ ) où ZR
=
λ
L′ =
R±
q
′
R2 − 4ZR2
(4-15)
(4-16)
2
Avec un rayon R de 38 mm, cette longueur est de 37.9 mm. Cette valeur est très proche de la
limite de stabilité qui est égale au rayon R.
Expérimentalement, une forte dépendance avec la longueur de la cavité est observée. Le
seuil diminue à l’approche de la limite de stabilité et est minimum pour une longueur effective
de l’ordre de 33 mm. Cette valeur apparaı̂t donc sensiblement différente de la valeur théorique
précédente. Cependant, la valeur ξ = 2.84 correspond à l’optimum en l’absence de walk-off. La
prise en compte de cet effet conduirait à une valeur optimale de ξ plus petite et éloignerait la
longueur optimale calculée précédemment de la limite de stabilité [Suret00].
Par ailleurs, le seuil d’oscillation dépend quadratiquement de la transmission du miroir de
sortie. Le tableau suivant résume les seuils mesurés pour différentes transmissions.
Transmission
2%
5%
10%
Seuil
11 mW
18 mW
65 mW
C. Description de l’expérience
C.4
61
Asservissement de l’OPO
A la différence d’un grand nombre d’expériences, l’infrarouge émis n’est pas asservi en intensité. Seule la pompe est asservie à résonance par la méthode Pound-Drever-Hall présentée
au chapitre 3. Une modulation à 12 MHz, obtenue à l’aide d’un modulateur électro-optique
New-Focus résonant à la sortie du laser Nd:YAG, permet d’asservir la cavité de doublage.
Encore présente sur le faisceau à 532 nm, cette modulation est à nouveau utilisée pour l’asservissement de l’OPO. Le signal d’erreur obtenu après démodulation est donné figure 4.4. Par
cette technique, l’OPO reste asservi sur la résonance pompe pendant plusieurs heures. L’OPO
est placé sous une boı̂te de plexiglas qui limite les transferts thermiques par convection et isole
des vibrations acoustiques. Une plaque de caoutchouc ”amortisseur” est également inséré entre
l’OPO et la table optique.
Dans le cas d’un OPO triplement résonant au-dessus du seuil, l’asservissement sur la résonance pompe ne garantit pas l’émission de faisceaux infrarouges. Ce phénomène est particulièrement vrai lorsque l’OPO est proche du seuil. L’infrarouge n’est émis que lorsque la ou les
longueurs pour lesquelles les champs signal et complémentaire sont simultanément résonants
tombent à l’intérieur de la résonance pompe, ce qui nécessite un ajustement fin de la température du cristal. Une transmission importante pour l’infrarouge, c’est-à-dire une finesse plus
faible, peut donc sembler à première vue favorable en relâchant les contraintes sur la triple
résonance. Cette idée est en fait généralement fausse. Supposons que nous souhaitions une
sortie de quelques mW, quel que soit le miroir utilisé. A puissance de sortie donnée, l’OPO
doit être pompé d’autant plus proche du seuil que la transmission est grande, ce qui limite
d’autant la zone de fonctionnement. De plus, la puissance pompe intracavité augmente quadratiquement avec la transmission utilisée, conduisant à de nombreux effets thermiques qui
rendent l’asservissement très difficile.
Expérimentalement, la grande stabilité de l’asservissement en température du cristal a
permis d’obtenir une sortie infrarouge stable pendant plus d’une heure avec les transmissions
T=2% (figure 4.5) ou T=5%. La transmission T=10% n’a été utilisée que marginalement
(chapitre suivant) car la stabilité n’excédait pas quelques minutes, même avec le meilleur
cristal dont nous disposions. Certains cristaux, présentant une plus forte absorption pompe,
n’ont jamais permis un fonctionnement asservi avec cette transmission élevée.
Une telle stabilité n’est pas possible avec tous les cristaux de KTP. En effet, malgré les
puissances modestes utilisées – quelques dixièmes de MW/cm2 au point de focalisation – certains cristaux ont subi des évolutions très rapides de leurs propriétés. Cette dégradation est
connue sous le nom de ”gray-tracking”. L’absorption augmentait ainsi très rapidement : le seuil
a parfois doublé en moins de dix minutes de fonctionnement asservi. L’annexe A revient sur ce
phénomène et détaille les performances des différents types de cristaux de KTP utilisés.
C.5
Puissance de sortie et efficacité de conversion
La puissance de sortie totale signal+complémentaire est donnée figure 4.6 en fonction de
la puissance de pompe. Cette étude a été réalisée avec un cristal de KTP Raicol et un miroir
de transmission T = 2% pour lequel le seuil est de 11 mW. Au-delà de deux à trois fois le
seuil, la puissance de sortie devient plus faible que la prédiction théorique. Cet écart n’est pas
62
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
Fig. 4.5: Evolution de la puissance de sortie infrarouge pendant une heure. L’OPO est asservi
sur la pompe, 4 fois au-dessus du seuil. (T=2%)
complètement compris. Une des causes les plus probables serait l’existence d’une absorption
non-linéaire de la pompe. Des effets thermiques peuvent également dégrader l’adaptation des
modes ou modifier la longueur de la cavité, ce qui conduit à une augmentation du seuil.
La figure 4.6 donne également le taux de conversion entre la puissance incidente et la
puissance infrarouge totale générée. L’expression du rendement η est obtenue directement à
partir de l’équation (4-11) :
η=4
γ γ0 1
1
( − 2)
′
′
γ γ0 σ σ
(4-17)
Il est bien connu que le rendement maximal est atteint 4 fois au-dessus du seuil (σ = 2) et se
réduit alors à :
γ γ0
(4-18)
ηmax = ′ ′
γ γ0
En l’absence de pertes, le rendement théorique est de 100% et s’accompagne donc d’une dépletion totale de la pompe. D’après l’expression précédente, il est en fait limité par les pertes
intracavité, en particulier lorsqu’elles deviennent non-négligeables devant la transmission des
miroirs de couplage : plus la finesse est grande et plus il est difficile d’obtenir un rendement
élevé. La configuration la plus favorable est celle qui utilise un OPO doublement résonant et
monolithique avec une transmission infrarouge importante, tout en restant raisonnable pour
ne pas trop augmenter le seuil. Une telle configuration, réalisée à l’Université de Constance, a
permis d’obtenir le meilleur rendement expérimental à ce jour, 81% [Breitenbach95]. Comme le
montre la figure 4.6, avec une transmission T=2%, un rendement maximum de l’ordre de 45%
a été obtenu pour notre OPO à environ 3 fois au-dessus du seuil. Le miroir de transmission
T=5% permettrait d’augmenter ce rendement de 10% environ. La limitation est principalement dûe aux pertes sur la pompe, pertes qui n’interviendraient pas dans le cas d’un OPO
doublement résonant.
D. Accordabilité expérimentale
63
Fig. 4.6: Puissance de sortie signal+complémentaire et efficacité de conversion en fonction
de la puissance de pompe. Les traits pleins donnent la dépendance théorique ajustée sur les
premiers points. (T=2%)
D
Accordabilité expérimentale
Une propriété remarquable des faisceaux émis par un OPO est d’être accordable en longueur
d’onde. La condition d’accord de phase impose une plage de fréquences qui minimise le seuil
d’oscillation : changer la température du cristal modifie différemment les indices respectifs
des deux polarisations et donc cette condition. La valeur précise des fréquences est ensuite
déterminée par les conditions de résonance qui seront étudiées ultérieurement. Alors qu’avec
un cristal de type I il existe une température limite au-delà de laquelle la condition d’accord
de phase ne peut plus être réalisée, une telle région interdite n’existe pas avec un cristal de
type II.
Les longueurs d’onde des faisceaux signal et complémentaire sont mesurées à l’aide d’un
spectromètre à réseau de résolution 0.2 nm. L’écart en fréquence est donné figure 4.7 en fonction
de la température du cristal. La pente mesurée expérimentalement est de 19.5±0.5 GHz/K,
valeur sensiblement différente de celle qui sera établie théoriquement au chapitre 7. Cet écart
peut s’expliquer par le fait que les dépendances en température des indices sont des valeurs
mal connues et qui peuvent fortement différer d’un cristal à l’autre, et a fortiori d’un fabricant
à l’autre. Ce tracé montre que la dégénerescence en fréquence ne peut être atteinte que pour
une seule température du cristal, appelée ”température de dégénérescence” et qui se situe ici
autour de 45,5◦ C. Cette température est imposée par l’angle de coupe du cristal (ou l’angle
d’incidence). La relation entre angle de coupe et température de dégénérescence est détaillée
dans l’Annexe A. Un des inconvénients de la structure semi-monolithique est de ne pas pouvoir modifier l’angle d’incidence sur le cristal : si ce dernier est mal taillé, la température de
dégénérescence n’est plus accessible expérimentalement et il n’est pas possible de compenser
cette erreur en jouant sur l’incidence.
Cette étude s’est limitée à l’accordabilité grossière par saut de modes sur une large plage
64
4. OPO triplement résonant : propriétés classiques
Fig. 4.7: Ecart à la dégénerescence des modes signal et complémentaire en fonction de la
température du cristal.
de température. Un accord fin par glissement de fréquence est possible localement avec une
pente beaucoup plus petite. Le comportement spectral de l’OPO sera détaillé dans le chapitre
7 où un fonctionnement dégénéré en fréquence sera ardemment recherché.
E
Conclusion
Nous avons conçu un oscillateur paramétrique de type II constitué d’un cristal non-linéaire
de KTP inséré dans une cavité optique triplement résonante et semi-monolithique. La compacité du montage et la grande stabilité du laser ont permis d’asservir par la méthode PDH
la longueur de la cavité sur la résonance pompe pendant plusieurs heures. Une régulation en
température du cristal très performante a ensuite permis, au-dessus du seuil, de stabiliser la
puissance infrarouge pendant plus d’une heure. La difficulté expérimentale dépend de la finesse
infrarouge : travailler avec le miroir de transmission 10% est beaucoup plus difficile qu’avec
celui de transmission 5%.
En contrepartie de leur accordabilité, les faisceaux émis ne sont qu’accidentellement à la
même fréquence. Ce comportement spectral deviendra crucial lors de la génération d’états
intriqués et sera alors amplement détaillé dans le chapitre 7, aussi bien d’un point de vue
théorique qu’expérimental. Par contre, il est sans importance pour l’étude quantique des corrélations d’intensité entre les faisceaux signal et complémentaire puisqu’aucune interférence n’est
nécessaire pour leur détection. L’étude des corrélations d’intensité et leur utilisation sont le
sujet des deux chapitres suivants.
5. Propriétés quantiques au-dessus du seuil :
génération de faisceaux jumeaux
Sommaire
A
B
C
D
E
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorie au-dessus du seuil . . . . . . . . . . . . . .
B.1
Equations linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2
Bruit sur la différence des fluctuations . . . . . . .
B.3
Bruit sur la somme des fluctuations . . . . . . . .
B.4
Bruit des faisceaux individuels . . . . . . . . . . .
Mesure expérimentale des corrélations d’intensité
C.1
Schéma expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2
Mesure des corrélations d’intensité . . . . . . . . .
Acquisition informatique . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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65
66
66
68
69
71
72
72
73
74
75
Introduction
Le chapitre précédent a permis de décrire les propriétés classiques d’un oscillateur paramétrique optique pompé au-dessus du seuil. Sa grande stabilité en fait une source idéale pour
étudier les propriétés quantiques des faisceaux émis dans ce régime de fonctionnement.
On peut se représenter la conversion paramétrique de manière simple en terme de photons : un photon pompe donne naissance à deux photons dits signal et complémentaire. La
conservation de l’énergie impose que les deux photons soient émis simultanément. Ils sont donc
parfaitement corrélés temporellement [Friberg85] : on parle de ”photons jumeaux”. La cavité
dans laquelle est inséré le cristal permet d’obtenir des faisceaux intenses mais modifie l’ordre
temporel des photons. La corrélation, initialement parfaite, est dégradée et ne se manifeste
plus qu’à des fréquences d’analyse du bruit inférieures à la bande passante de la cavité. Par
ailleurs, plus la transmission du miroir de sortie sera faible devant les pertes intracavité, plus
les corrélations initiales seront perdues.
Les corrélations en intensité sont mises en évidence en mesurant la gémellité, c’est-à-dire le
bruit sur la différence d’intensité des faisceaux signal et complémentaire : un bruit inférieur au
bruit sur la différence de deux faisceaux cohérents de même puissance traduit des corrélations
quantiques. C’est le premier niveau de corrélations défini au chapitre 2. La première démonstration expérimentale a été obtenue dans notre groupe en 1987 avec 1.5 dB de réduction de
66
5. Propriétés quantiques au-dessus du seuil : génération de faisceaux jumeaux
bruit [Heidmann87]. Cette valeur a par la suite été largement améliorée pour atteindre 8.5
dB [Mertz91a]. En 1998, une réduction de 9.2 dB a été obtenue avec un cristal de KTP α-cut
dans le groupe de K. Peng à l’Université de Taiyuan [Gao98]. La stabilité de notre expérience a
permis de porter cette valeur à 9.5 dB, record à ce jour des mesures de réduction de bruit. Audelà de cette légère amélioration, cette mesure est venue confirmer la qualité de notre nouvelle
expérience pour générer efficacement des états non-classiques. Ce chapitre détaille ce résultat
et illustre également la méthode alternative d’acquisition informatique présentée en première
partie.
B
Théorie au-dessus du seuil
Une analyse ”semi-classique” permet d’exprimer les fluctuations quantiques des champs
émis ainsi que leurs corrélations [Fabre89]. La dynamique des petites fluctuations est décrite
en linéarisant les équations classiques autour des valeurs moyennes.
B.1
Equations linéarisées
Afin de simplifier les calculs et de faire apparaı̂tre clairement le comportement quantique
du système, l’oscillateur paramétrique optique est considéré doublement résonant (figure 5.1).
La résonance pompe s’accompagne en effet de phénomènes quantiques supplémentaires, en
particulier l’apparition d’une oscillation de relaxation. Cependant, à proximité du seuil ou à
des fréquences d’analyse du bruit faibles devant la bande passante de la cavité, il n’y a pas
de différence majeure entre un OPO doublement résonant et un OPO triplement résonant.
Le lecteur trouvera en Annexe B une étude théorique complète en configuration triplement
résonant qui met en évidence ce phénomène de relaxation.
Comme précédemment, le coefficient de réflexion en amplitude des champs signal et complémentaire est noté r et supposé réel. La finesse étant supposée grande, on introduit un
paramètre γ ≪ 1 tel que r = 1 − γ. La transmission en amplitude du miroir de couplage s’écrit
√
alors t = 2γ. Pour prendre en compte les pertes intracavité notées µ, on définit un coefficient
de réflexion généralisé r′ = 1 − γ − µ = 1 − γ ′ .
A résonance pour les champs signal et complémentaire, c’est-à-dire au point de seuil minimum, les équations dynamiques classiques du système s’écrivent :

p
p
dA1

+ γ ′ A1 = gA0 A∗2 + 2γAin
+ 2µB1in
τ

1


dt


p
p
dA2
(5-1)
+ γ ′ A2 = gA0 A∗1 + 2γAin
τ
2µB2in
2 +

dt




g

A0 = − A1 A2 + Ain
0
2
τ est le temps d’aller-retour d’un photon dans la cavité et Ain
0 le champ pompe entrant. Les
in
in
champs A1 et A2 sont de valeur moyenne nulle et correspondent aux fluctuations du vide
entrant par le miroir de couplage de la cavité. Les champs Biin sont associés aux fluctuations
du vide couplées par les pertes intracavité.
Afin d’exprimer la dynamique des fluctuations, ces équations sont linéarisées autour des
B. Théorie au-dessus du seuil
67
Rmax @ 1064 nm
R @ 1064 nm
Signal
et Complémentaire
Pompe
w1
w2
w0
Cristal
M1
M2
Fig. 5.1: Schéma d’un OPO doublement résonant.
valeurs moyennes. Le champ pompe A0 est désormais choisi réel et les phases des champs signal
et complémentaire sont notées ϕ1 et ϕ2 . Les solutions stationnaires ont été établies au chapitre
précédent :

γ′


A
=

0


g


s

2γ ′ (σ − 1)
(5-2)
|
=
|A

i

2

g





ϕ +ϕ =ϕ =0
1
En posant pour tous

dδA1


τ
+ γ ′ δA1


dt



dδA2
τ
+ γ ′ δA2

dt






δA0
2
0
les champs Ai = Ai + δAi , les équations linéarisées s’écrivent
= γ ′ δA∗2 +
= γ ′ δA∗1 +
= −
p
p
p
2γ ′ (σ − 1)δA0 e−iϕ2 + 2γδAin
2µδB1in
1 +
p
p
p
2γ ′ (σ − 1)δA0 e−iϕ1 + 2γδAin
2µδB2in
2 +
(5-3)
1p ′
2γ (σ − 1)(δA1 e−iϕ1 + δA2 e−iϕ2 ) + δAin
0
2
Par transformée de Fourier, ce système d’équations différentielles est transformé en un système
d’équations algébriques :

s
√
√

2γ g
2µ g
(σ − 1) f

−iϕ2
∗
in
in

f
f

+ ′ δ A1 (Ω) + ′ δ B
δ A0 (Ω)e
(1 + 2iΩ)δ A1 (Ω) = δ A2 (−Ω) + 2

1 (Ω)
′

γ
γ
γ



s

√
√
(σ − 1) f
2γ g
2µ g
−iϕ1
∗
in
in
f
f
 (1 + 2iΩ)δ A2 (Ω) = δ A1 (−Ω) + 2
+ ′ δ A2 (Ω) + ′ δ B
δ A0 (Ω)e
2 (Ω)

′

γ
γ
γ




p


g
in (Ω)

f1 (Ω)e−iϕ1 + δ A
f2 (Ω)e−iϕ2 ) + δ A
f0 (Ω) = − 1 2γ ′ (σ − 1)(δ A
A
0
2
(5-4)
ω
2γ ′
ωτ
est la fréquence de bruit normalisée à la bande passante de la cavité Ωc =
Ω= ′ =
.
2γ
Ωc
τ
Les fluctuations d’un mode Ai pour une fréquence d’analyse du bruit et une quadrature
données dans la direction ϕ de la représentation de Fresnel sont données par :
f∗ (−Ω)eiϕ
fi (Ω)e−iϕ + δ A
pi (ϕ, Ω) = δ A
i
(5-5)
68
5. Propriétés quantiques au-dessus du seuil : génération de faisceaux jumeaux
En particulier les fluctuations d’amplitude pi et de phase qi s’expriment :
f∗ (−Ω)eiϕi
fi (Ω)e−iϕi + δ A
pi = δ A
i
³
´
f∗ (−Ω)eiϕi
fi (Ω)e−iϕi − δ A
qi = −i δ A
i
(5-6)
Nous allons maintenant considérer le bruit sur la somme ou la différence des fluctuations
des champs signal et complémentaire, notées :
q± =
q1 ± q2
√
2
et p± =
p1 ± p2
√
2
A partir de ces notations, les équations du système 5-4 se découplent :

p
p
′
′
in

2γ
(1
+
iΩ)p
−
2γp
−
2µpin
−

−
−


p
p


in
in′

2iΩγ ′ q− − 2γq−
− 2µq−
p
p
p
′


2γ ′ (σ − 1 + iΩ)p+ − 2γpin
− 2µpin
− 2 γ ′ (σ − 1)pin
+
0
+



p
p
p


′
in
in′
2γ (σ + iΩ)q+ − 2γq+ − 2µq+ − 2 γ ′ (σ − 1)q0in
(5-7)
= 0
= 0
= 0
(5-8)
= 0
Les fluctuations décrites par ces équations correspondent aux fluctuations intracavités. Les
fluctuations des champs sortants de la cavité s’obtiennent en écrivant une condition aux limites
sur le miroir de sortie.
p
p
in
out
in
pout
2γp± − pin
et q±
≃ 2γq± − q±
(5-9)
± = t p ± − r p± ≃
±
Cette condition aux limites permet d’exprimer les fluctuations sortantes de la cavité en
fonction des fluctuations des champs entrants :

√
in′
−2(µ + γ ′ iΩ)pin

− + 2 µγp−
out


 p− =

2γ ′ (1 + iΩ)





in + 2√µγq in′

2(γ − γ ′ iΩ)q−

−
out


 q− =
′
2γ iΩ
(5-10)
p
√
′
′


−2(µ + γ (σ + iΩ))pin
+ 2 µγpin
+ 2 2γγ ′ (σ − 1)pin
+
+
0

out

p+ =


2γ ′ (σ − 1 + iΩ)




p

in + 2√µγq in′ + 2 2γγ ′ (σ − 1)q in

2(γ − γ ′ (σ + iΩ))q+

+
0
out

 q+ =
2γ ′ (σ + iΩ)
Les champs entrants sont des fluctuations non corrélées et leurs variances, limitées au bruit
quantique standard, seront normalisées à 1 :
′
2
in 2
h(pin
i ) i = h(pi ) i = 1
B.2
(5-11)
Bruit sur la différence des fluctuations
Les équations (5-10) montrent que la différence des fluctuations de phase ou d’amplitude
ne dépendent pas des fluctuations de la pompe. Les résultats qui suivent sont donc également
B. Théorie au-dessus du seuil
69
indépendants de la résonance pompe. Les spectres de bruit sont obtenus en calculant la variance
out
des fluctuations pout
− et q− .
Le spectre de bruit sur la différence de phase des deux champs peut ainsi s’écrire
¯ 2(γ − γ ′ iΩ) ¯2 ¯ 2√µγ ¯2
¯
¯
¯
¯
out
out 2
(5-12)
V (q− ) = h(q− ) i = ¯
¯ +¯ ′ ¯
′
2γ iΩ
2γ iΩ
et se simplifie en :
out
V (q−
)=1+
γ 1
γ ′ Ω2
(5-13)
Cette expression, toujours supérieure à 1, diverge à fréquence nulle. Cette divergence traduit le
phénomène de diffusion de phase évoquée au chapitre précédent : les phases des champs signal
et complémentaire diffusent librement.
Un calcul similaire donne le bruit sur la différence d’amplitude des deux champs. Les intensités moyennes étant égales, le bruit sur la différence d’intensité des deux champs est proportionnel au bruit sur la différence d’amplitude. Il est par définition égal à la gémellité en
intensité GP introduite au chapitre 2.
1
γ
V (pout
(5-14)
− ) = GP = 1 − ′
γ 1 + Ω2
Toujours comprimé sous le bruit quantique standard, ce bruit traduit de fortes corrélations
quantiques en intensité des champs signal et complémentaire. C’est cette propriété qui a été
présentée en introduction et qui sera étudiée expérimentalement dans ce chapitre. Une comout présente un excès de bruit.
pression de bruit est possible car la grandeur conjuguée q−
La figure 5.2 donne la réduction de bruit en fonction de la fréquence d’analyse et des pertes
intracavité normalisées respectivement à la bande passante de la cavité et à la transmission du
miroir de sortie. La compression prend la forme d’une lorentzienne avec la fréquence et n’est
significative qu’à l’intérieur de la bande passante de la cavité. L’effet de la cavité peut être expliqué simplement. Les photons sont émis par paires mais un photon peut être transmis alors
que l’autre photon de la paire est réfléchi. Les photons jumeaux peuvent ainsi ne pas sortir
de la cavité au même instant. Une mesure à la fréquence f correspond à une mesure intégrée
pendant une durée t = 1/f . Les fréquences faibles correspondent donc à des temps d’analyse
longs. Sur un temps long, l’effet de décorrélation est faible puisque les deux photons de la paire
ont eu le temps de sortir de la cavité et d’être détectés. Cela explique que la réduction soit
maximale à fréquence nulle.
Par ailleurs, cette réduction maximale à fréquence nulle s’écrit γ/(γ + µ). A pertes intracavité µ données, la transmission du miroir γ doit donc être la plus forte possible. Si l’on note
η l’efficacité de détection, la réduction maximale de bruit sera donnée par η γ/(γ + µ). Ce
terme correspond à la proportion de photons émis qui parviennent aux détecteurs. Un compromis est cependant nécessaire puisque le seuil d’oscillation augmente quadratiquement avec
la transmission et l’asservissement s’avère plus difficile à réaliser.
B.3
Bruit sur la somme des fluctuations
A l’inverse du cas précédent, le bruit sur la somme des fluctuations dépend du bruit pompe
et donc du taux de pompage σ.
70
5. Propriétés quantiques au-dessus du seuil : génération de faisceaux jumeaux
1
V(p-)
1
0.5
Pertes
0
0.5
1
Fréquence W
2
3
0
Fig. 5.2: Bruit sur la différence d’intensité des faisceaux signal et complémentaire en fonction
de la fréquence d’analyse Ω et des pertes µ normalisées à la transmission γ du miroir de sortie.
Ce bruit est égal à la gémellité en intensité introduite au chapitre 2.
Si la pompe est au bruit quantique standard, le spectre de la somme des phases, qui donne
la gémellité en phase (ou l’anti-gémellité...), peut s’écrire :
out
V (q+
) = GQ = 1 −
γ
1
′
2
γ Ω + σ2
(5-15)
Ce bruit est toujours comprimé : les fluctuations de phase sont anti-corrélées. La réduction est
d’autant meilleure que l’OPO est pompé proche du seuil. Au seuil, cette expression est identique
au bruit sur la différence d’intensité. On retrouve les dépendances précédentes, générales aux
expériences d’optique quantique en cavité : de faibles pertes relativement à la transmission du
miroir de sortie et une étude à faible fréquence d’analyse optimisent la réduction. La figure 5.3
donne la réduction en fonction de la fréquence et du taux de pompage.
Un excès de bruit sur la pompe dégrade les anti-corrélations. Si la pompe présente un bruit
de phase de variance V0q normalisée au bruit quantique standard, le spectre devient :
out
V (q+
) = 1−
γ 1 − 2(V0q − 1)(σ − 1)
γ′
Ω2 + σ 2
(5-16)
A fréquence nulle et en l’absence de pertes, le bruit résiduel s’écrit :
V
out
)
(q+
=
2(V0q − 1)(σ − 1)
σ2
(5-17)
Pour σ = 1.2, cette variance dépasse 1 dès que V0q atteint 4.6. Un excès de bruit sur la pompe
dégrade ainsi rapidement les anti-corrélations de phase.
B. Théorie au-dessus du seuil
71
1
V(q+)
3
0.5
Pompe s
0
2
1
Fréquence W
2
3
1
Fig. 5.3: Bruit sur la somme des phases en fonction de la fréquence d’analyse du bruit et du
taux de pompage. (µ = 0)
Corrélés en intensité et anti-corrélés en phase, les faisceaux signal et complémentaire sont
ainsi des faisceaux intriqués qui pourraient être utilisés dans divers protocoles d’information
quantique. Cependant, les anti-corrélations ne pourront pas être démontrées expérimentalement
en raison de la séparation en fréquence des faisceaux signal et complémentaire. La troisième
partie de ce mémoire est justement consacrée à lever cette difficulté.
Le bruit sur la somme des intensités est obtenu de manière équivalente :
V (pout
+ )=1+
1
γ
γ ′ Ω2 + (σ − 1)2
(5-18)
Ce bruit, toujours supérieur à 1, diverge proche du seuil. Un excès de bruit d’intensité sur la
pompe se traduit cette fois-ci par une augmentation du bruit sur la somme des intensités. En
notant V0p la variance du bruit d’intensité de la pompe, il s’écrit :
V (pout
+ )=1+
B.4
γ 1 + 2(V0p − 1)(σ − 1)
γ′
Ω2 + (σ − 1)2
(5-19)
Bruit des faisceaux individuels
Les variances des bruits individuels s’obtiennent facilement à partir des expressions précédentes puisque les grandeurs introduites en (5-7) sont décorrélées. Avec V0p et V0q les variances
des bruits d’amplitude et de phase de la pompe,
V
(q1out )
out ) + V (q out )
V (q+
γ σ 2 + 2Ω2 (V0q − 1)(σ − 1)
−
=
=1+ ′
2
2γ
Ω2 (Ω2 + σ 2 )
(5-20)
72
5. Propriétés quantiques au-dessus du seuil : génération de faisceaux jumeaux
V (pout
1 )=
out
V (pout
γ σ(σ − 2) − 2(1 + Ω2 )(V0p − 1)(σ − 1)
+ ) + V (p− )
=1− ′
2
2γ
(1 + Ω2 )(Ω2 + (σ − 1)2 )
(5-21)
Proche du seuil et à fréquence faible, les faisceaux individuels sont généralement très bruités.
Un phénomène intéressant apparaı̂t sur le bruit d’intensité donné par (5-21). Plus le taux
de pompage est élevé, plus le bruit diminue. En l’absence d’excès de bruit sur la pompe, le
bruit d’intensité peut être comprimé au-dessous du bruit quantique standard dès que le taux
de pompage est supérieur à σ = 2. En l’absence de pertes intracavité et pour des taux de
pompage très forts, la compression est au maximum d’un facteur 2. Une expérience récente a
permis d’observer indirectement cette réduction de bruit sur les faisceaux individuels [Zhang04].
C
C.1
Mesure expérimentale des corrélations d’intensité
Schéma expérimental
La première étude quantique réalisée avec l’oscillateur paramétrique précédemment décrit
a été de mesurer les corrélations d’intensité entre les champs signal et complémentaire émis
au-dessus du seuil. Le cristal de KTP utilisé ici est le cristal Litton qui présente l’absorption
la plus faible. Le montage expérimental est donné figure 5.4. Comme expliqué au chapitre
3, les faisceaux sont séparés par un cube polariseur et détectés par une paire équilibrée de
photodiodes Epitaxx 300 en InGaAs. Ces photodiodes ont été décapsulées afin de limiter les
pertes et l’efficacité quantique est supérieure à 95%. Les photocourants sont soustraits à l’aide
d’un boı̂tier Mini-Circuits ZSCJ2-2. Dans la gamme de fréquence considérée, la réjection est
de l’ordre de 40 dB. La différence est ensuite envoyée sur un analyseur de spectre qui donne
accès à la puissance de bruit.
Ä 12 MHz
Servo
l/2
l/2
KTP
PZT
Laser Nd:YAG
doublé
Isolateur
IN
Fig. 5.4: Schéma expérimental. Les faisceaux signal et complémentaire sont séparés par un
cube puis détectés. La variance du bruit sur la différence des photocourants est mesurée à
l’aide d’un analyseur de spectre.
Pour calibrer le bruit quantique standard de cette mesure, une lame λ/2 est placée en amont
du cube. Lorsqu’elle est tournée de 22.5◦ , les polarisations des faisceaux jumeaux sont à 45◦
des axes du cube. Ce dernier se comporte alors comme une lame 50/50 usuelle : les faisceaux
C. Mesure expérimentale des corrélations d’intensité
73
Fig. 5.5: Bruit sur la différence d’intensité des faisceaux signal et complémentaire. (Cristal
Litton, T=10%, RBW 100 kHz, VBW 100 Hz)
mesurés sont décorrélés et la mesure du bruit sur la différence correspond au bruit quantique
standard de la somme des intensités incidentes.
C.2
Mesure des corrélations d’intensité
La figure 5.5 donne la réduction de bruit obtenue avec un miroir de sortie de transmission
T = 10%, pour une fréquence d’analyse comprise entre 1 et 10 MHz. Après correction du bruit
électronique, la réduction de bruit maximale atteint 9.5 ± 0.5 dB (89%). Elle correspond à une
gémellité GP de 0.11 ± 0.01. Cette valeur est la plus faible obtenue à ce jour. La remontée du
bruit aux basses fréquences s’explique par un large excès de bruit classique.
Cette réduction de bruit doit être comparée à la valeur théorique η γ/(γ + µ). Les pertes
lors de la propagation (lame, cube, lentilles de focalisation non représentées sur le schéma expérimental) ont été mesurées à 4% ± 1%. Compte tenu d’une efficacité quantique des photodiodes
estimées à 95%, l’efficacité totale de détection est de η = 0.95 × 0.96 = 0.91 ± 0.05. Les pertes
intracavité sont de l’ordre de 0.5%. La valeur théorique après détection, ηγ/γ ′ , est donc de 9
dB ± 1 dB. Cette valeur est en accord avec la mesure. De plus, l’efficacité des photodiodes a
très probablement été sous-estimée dans ce calcul.
Pour des pertes intracavité données – imposées par les traitements antireflets et l’absorption du cristal –, plus la transmission du miroir de sortie est forte et plus la réduction de bruit
sera importante. Augmenter la transmission permettrait d’améliorer encore la réduction de
bruit. Cependant, comme cela a été montré dans le chapitre précédent, plus la transmission
infrarouge est grande et plus l’asservissement de l’OPO s’est avéré difficile. L’OPO n’a pu être
asservi que pendant quelques minutes avec le miroir de transmission T = 10%. Avec le miroir
de transmission T = 5%, l’OPO est asservi pendant plus d’une heure et la réduction de bruit,
légèrement plus faible, est de 8.5 dB (86%).
74
5. Propriétés quantiques au-dessus du seuil : génération de faisceaux jumeaux
Ä 12 MHz
Servo
l/2
l/2
KTP
PZT
Laser Nd:YAG
doublé
Isolateur
HF
MIXER
CAN
Fig. 5.6: Acquisition informatique. Les photocourants sont amplifiés, démodulés à une fréquence d’analyse donnée puis enregistrés informatiquement.
D
Acquisition informatique
Nombre d’événements
Photocourant normalisé
Une alternative à la mesure du bruit à l’analyseur de spectre est d’enregistrer informatiquement les fluctuations des photocourants, après démodulation à une fréquence d’analyse donnée
(cf chapitre 2 pour le détail de la chaı̂ne d’acquisition). Cette méthode, présentée au chapitre
3, permet d’avoir accès à la statistique des faisceaux et pas seulement à la puissance de bruit.
Le schéma expérimental est donné figure 5.6. Le bruit d’intensité d’un faisceau individuel est
présenté figure 5.7 à la fréquence d’analyse de 3.5 MHz. Comme prévu théoriquement, proche
du seuil, les faisceaux individuels sont très bruités.
Pour étudier le bruit sur la différence d’intensité, on peut également soustraire les fichiers de
données obtenus et calculer la variance de la distribution statistique associée. Les compressions
de bruit ainsi mesurées sont en très bon accord avec les mesures directes à l’analyseur de spectre.
Cette méthode d’acquisition sera particulièrement utile pour la mise en œuvre du protocole
présenté au chapitre suivant.
40
20
0
-20
-40
0
10000
Points expérimentaux
20000
-40
-20
0
20
40
Photocourant normalisé
Fig. 5.7: Fluctuations d’intensité d’un faisceau individuel et distribution de probabilité associée. Le bruit est démodulé à 3.5 MHz et normalisé au bruit quantique standard.
E. Conclusion
E
75
Conclusion
Les faisceaux signal et complémentaire émis au-dessus du seuil présentent de très fortes
corrélations quantiques en intensité. Une réduction de 9.5 dB (89%) sous le bruit quantique
standard a été obtenue, ce qui correspond à une gémellité de 0.11. Cette mesure constitue la
plus forte compression de bruit rapportée à ce jour.
Au cours des dernières années, les corrélations quantiques des faisceaux jumeaux ont été
utilisées pour réduire le bruit de fond de mesures spectroscopiques ou d’absorption par différence [Schwob97b, Gao98]. Un des faisceaux jumeaux peut également être converti en un état
présentant une statistique sub-Poissonienne en contrôlant ses fluctuations, via un modulateur
électro-optique, par l’information fournie par la détection de l’autre faisceau [Mertz90]. Le chapitre suivant propose d’étendre aux faisceaux intenses une stratégie bien connue en régime de
comptage de photons : la préparation conditionnelle d’un état dont le pré-requis est l’existence
de fortes corrélations quantiques entre deux modes séparés spatialement.
6. Préparation conditionnelle d’un état
non-classique en variables continues
Sommaire
A
A
Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
B
Préparation conditionnelle en régime de comptage . . . . . . . . .
78
C
Protocole en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
D
Conclusion
83
E
Reproduction des articles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Introduction
Les états non-classiques du rayonnement sont généralement produits à partir d’un processus Hamiltonien non-linéaire : génération paramétrique, mélange à quatre ondes, effet Kerr,
bistabilité optique... Une méthode moins directe consiste à exploiter la réduction d’état induite
par la mesure d’une des composantes d’un système bi-partite présentant de fortes corrélations
quantiques. Une mesure sur l’un des modes alors appelé ”trigger” projette le mode dit ”signal”
dans un état conditionné par le résultat de cette mesure. Cette stratégie hautement non-linéaire
s’est avérée au cours des dernières décennies être une méthode particulièrement efficace pour
générer des états non-classiques, que ce soit dans le cas où ces états ne peuvent être produits en
raison par exemple de non-linéarités expérimentales insuffisantes ou dans le cas où le processus
est certes réalisable mais peu efficace. A l’inverse des méthodes directes de génération d’états
non-classiques, la fenêtre temporelle où l’état conditionné est produit n’est ici pas contrôlée.
La probabilité de préparation, c’est-à-dire la probabilité de générer l’état dans un intervalle
de temps donné, est donc un des paramètres importants pour caractériser l’efficacité de tels
protocoles.
Les corrélations d’intensité entre les faisceaux signal et complémentaire émis par un oscillateur paramétrique optique au-dessus du seuil permettent de mettre en œuvre un protocole
de préparation conditionnelle entièrement réalisé en détection continue. Le mode signal est
conditionné par les fluctuations du complémentaire qui doivent être comprises par exemple
dans une bande de largeur finie. Par cette technique très simple, un état sub-Poissonien 4.4
dB (64%) sous le bruit quantique standard a été généré à partir de faisceaux jumeaux présentant 7.5 dB (82%) de réduction de bruit sur leur différence d’intensité. L’article publié dans
Physical Review Letters décrivant la mise en œuvre expérimentale de ce protocole [Laurat03]
78
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
Protocole,
Détection...
Trigger
Source de
photons jumeaux
Filtrage Spatial
et Spectral
Fig. 6.1: Préparation conditionnelle d’un état à un photon. Les photons jumeaux peuvent être
générés par cascade atomique ou, plus efficacement, par conversion paramétrique.
ainsi que l’article publié dans Physical Review A qui établit théoriquement les propriétés de
l’état sélectionné [Laurat04a] sont reproduits en fin de chapitre. Après avoir présenté un bref
historique de la préparation conditionnelle en optique quantique, ce chapitre se limite donc à
introduire le protocole proposé en variables continues et à présenter les principaux résultats
expérimentaux.
B
Préparation conditionnelle en régime de comptage
La stratégie de préparation conditionnelle a trouvé sa première application en régime de
comptage de photons au cours des années 80 par la génération d’états à un photon à partir
de photons corrélés quantiquement (”photons jumeaux”). Si on appelle ”signal” et ”trigger”
les deux modes dans lesquels les photons sont émis, la méthode consiste à ne retenir parmi
les événements collectés sur la voie signal uniquement ceux qui ont lieu lorsqu’un photon
est détecté sur la voie trigger (dans une fenêtre temporelle définie). Si les paires de photons
corrélés peuvent être émises par cascade atomique [Grangier86], la conversion paramétrique
s’est avérée une méthode bien plus efficace [Hong86]. L’état à un photon préparé peut ensuite
être caractérisé ou utilisé dans divers protocoles (figure 6.1).
Illustrons la stratégie de préparation conditionnelle dans le cas de la conversion paramétrique. Les photons émis se distinguent par leur fréquence et direction de propagation : les
modes associés seront notés de manière générale i1 et i2 . En supposant la conversion multimode, l’état du système peut alors s’écrire [Milburn] :
P
|Ψi = e
i1 , i2
³
+
∗
λâ+
i âi −λ âi1 âi2
= (cosh λ)−1
1
2
∞
X
X
n=0 i1 , i2
´
|0, 0i
(tanh λ)n |nii1 |nii2
(6-1)
âi1 (respectivement â+
i1 ) est l’opérateur annihilation (respectivement création) d’un photon
dans le mode i1 . λ est proportionnel à l’amplitude de la pompe et à la non-linéarité du milieu.
Un filtre spatial et spectral permet sélectionner un mode i1 . Dans le cas expérimentalement
le plus fréquent d’une conversion paramétrique faible, l’état après filtrage peut s’approximer
par :
|Ψi ≃ |0, 0i + λ|1, 1i
(6-2)
B. Préparation conditionnelle en régime de comptage
79
Fig. 6.2: Tomographie d’un état à un photon. L’état à un photon est préparé conditionnellement à partir de paires de photons générées par conversion paramétrique. Les événements
enregistrés au niveau de la détection homodyne ne sont conservés que lorsqu’un photon est
détecté sur la voie trigger. (Schéma extrait de [Lvovsky01])
Lorsqu’un photon est détecté dans la voie trigger, le système est alors réduit dans l’état de
Fock à un photon |1i.
Une expérience récente par A. Lvovsky et al. réalisée à l’Université de Constance a ainsi
permis de reconstruire la fonction de Wigner négative à l’origine d’un état à un photon produit
de manière conditionnelle [Lvovsky01]. La figure 6.2 présente le dispositif expérimental. La
détection d’un photon sur la voie trigger est utilisée pour post-sélectionner les mesures de la
détection homodyne réalisée sur le mode signal. Il est important de noter que, de même que
celle-ci, la plupart des expériences mettant en jeu une préparation conditionnelle s’effectue par
post-sélection des événements parmi tous ceux mesurés sur les deux voies, après que la mesure
ait eu lieu. Il n’y a donc pas de réduction d’état à proprement parler au cours de l’expérience.
Divers protocoles ont été proposés et implémentés pour générer d’autres états non-classiques
par préparation conditionnelle. Par exemple, une expérience récente réalisée par J. Wenger et
al. à l’Institut d’Optique à Orsay a permis d’obtenir un état présentant une statistique nongaussienne [Wenger04a]. Une petite partie d’une impulsion comprimée obtenue par conversion
paramétrique dégénérée est prélevée et détectée par un compteur de photons. Les impulsions
qui ont donné lieu à un coup sur le compteur sont réduites à un état dont la distribution de
probabilité est non-gaussienne. A nouveau, la distribution statistique est obtenue par postsélection des événements de la détection homodyne. Une telle ”dé-gaussification” appliquée
à des états intriqués pourrait constituer la première étape d’un protocole de purification de
l’intrication. En électrodynamique quantique en cavité, la mesure d’une variable atomique dans
un système bi-partite atome-champ a également permis de générer des états non-classiques du
rayonnement [Raimond01].
80
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
w0
Trigger
w1
w2
Fig. 6.3: Préparation conditionnelle d’un état sub-Poissonien à partir des corrélations quantiques d’intensité entre les faisceaux intenses émis par un ND-OPO au-dessus du seuil. Le
photocourant associé au faisceau signal est conservé uniquement lorsque les fluctuations du
complémentaire prennent une valeur définie ou sont incluses à l’intérieur d’une bande étroite.
D’autres critères de sélection pourraient être imaginés et permettre de générer des états nonclassiques plus ”exotiques”.
Plus proche de notre protocole où une détection continue est utilisée à la fois pour détecter
le trigger et caractériser l’état sélectionné, plusieurs protocoles théoriques ont été proposés
reposant sur un état intriqué vide généré par un amplificateur paramétrique [Watanabe88,
D’Ariano99,Fiurásek01]. Une détection homodyne sur le complémentaire peut ainsi être utilisée
pour conditionner la détection du mode signal et générer un état comprimé [Fiurásek01].
C
Protocole en variables continues
Aucune préparation conditionnelle d’un état non-classique intense n’avait jusqu’à présent
été proposée et a fortiori mise en œuvre expérimentalement. Les fortes corrélations quantiques
du bruit d’intensité des faisceaux signal et complémentaire à la sortie d’un OPO de type II
pompé au-dessus du seuil constituent une ressource adéquate pour un tel protocole.
Un OPO pompé au-dessus du seuil émet des faisceaux intenses fortement corrélés en intensité et bruités individuellement. La méthode schématisée sur la figure 6.3 consiste à ne conserver
parmi les mesures effectuées sur la voie signal que celles qui ont lieu lorsque les fluctuations
du complémentaire (trigger) prennent une valeur bien définie ou plus généralement se situent
dans une bande d’extension finie. Tous les autres intervalles de temps sont rejetés.
L’étude théorique montre que – pour un trigger prenant une valeur unique – l’état sélectionné présente une distribution du bruit d’intensité dont la variance est égale à la variance
conditionnelle Vc des fluctuations d’intensité du signal connaissant les fluctuations du trigger.
Pour des faisceaux symétriques, cette grandeur s’exprime :
Vc = 2G −
G2
F
(6-3)
où G est la gémellité, c’est-à-dire le bruit résiduel sur la différence d’intensité des faisceaux,
et F le bruit individuel. Pour des corrélations quantiques parfaites, l’état généré est ainsi un
état nombre intense. Dans le cas plus général de corrélations non idéales, l’état présente une
distribution de probabilité sub-Poissonienne si la variance conditionnelle est inférieure à 1. Les
C. Protocole en variables continues
81
1
(a)
1
(b)
0.8
0.8
(a)
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-10
-5
5
0
-10
10
1
(c)
0.8
-5
5
0
1
10
(d)
0.8
0.6
(c)
0.4
0.4
0.2
0.2
-15
-10
-5
0
5
(d)
0.6
10
15
-20
-10
0
10
20
Fig. 6.4: Distribution de probabilité de l’état sélectionné (traits fins). Toutes les distributions
sont normalisées à 1 à leur maximum. L’axe horizontal est normalisé à l’écart-type d’un état
cohérent de même puissance moyenne. La courbe épaisse donne la distribution gaussienne
initiale du signal et celle en pointillé correspond à celle d’un état cohérent de même puissance
moyenne. Les flèches indiquent la position et la largeur de la bande de sélection appliquée sur
le trigger.
faisceaux mis en jeu doivent donc vérifier le second niveau de corrélation quantique introduit
au chapitre 2 : la corrélation d’intensité doit être QND. Pour de fortes corrélations et un fort
excès de bruit individuel, ce qui correspond au cas expérimental, la variance conditionnelle est
égale au double de la gémellité : la corrélation QND est alors établie dès que cette dernière est
inférieure à 0.5 ou, en d’autres termes, que la compression de bruit sur la différence d’intensité
des faisceaux dépasse 3 dB.
Cependant, conditionner sur une valeur unique conduit à une probabilité de préparation
quasi-nulle. En conditionnant sur une bande d’extension finie, l’état sélectionné conserve une
distribution de bruit sub-Poissonienne tant que la largeur de la bande reste petite devant
l’écart-type d’un état cohérent de même puissance moyenne. La figure 6.4 résume la distribution de probabilité de l’état obtenu pour différents cas typiques : bande de sélection centrée
ou non, étroite ou large. Plus la bande est large, plus la probabilité de préparation augmente.
Parallèlement, la distribution obtenue s’élargit. Il existe donc un compromis entre probabilité
de préparation et non-classicité de l’état généré.
Expérimentalement, par cette technique très simple, un état sub-Poissonien 4.4 dB (64%)
sous le bruit quantique standard a été généré à partir de faisceaux jumeaux présentant 7.5
dB (82%) de réduction de bruit sur leur différence d’intensité. La probabilité de préparation
est de l’ordre de 1%. Ces résultats expérimentaux sont présentés figure 6.5. L’acquisition du
bruit est réalisée à l’aide de la méthode informatique décrite dans la première partie. La figure
82
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
(a)
40
20
0
-20
-40
0
20000
10000
(b)
Nombre d’événements
Photocourant normalisé
6.6 illustre le compromis entre la probabilité de préparation et la réduction de bruit de l’état
sélectionné en fonction de la largeur de la bande de sélection. Un des avantages d’un protocole
ne mettant en jeu que des détections continues est de sélectionner, malgré une probabilité faible
inhérente à toute stratégie conditionnelle, un grand nombre d’événements en un temps court :
200000 échantillons ont été enregistrés en 1 s et 1700 ont été conservés.
-40
800
2
0
-2
-4
0
20
40
1700
(c)
4
0
10000
Points expérimentaux
(d)
Nombre d’événements
Photocourant normalisé
0
-20
Photocourant normalisé
Points expérimentaux
20000
-4
-2
0
2
4
Photocourant normalisé
Fig. 6.5: Résultats expérimentaux. (a) Fluctuations d’intensité du complémentaire à la fréquence d’analyse de 3.5 MHz, 200000 points acquis en 1 s, 20000 points représentés. (b) Distribution de probabilité associée. Le photocourant est normalisé à l’écart-type σ d’une distribution
Poissonienne de même puissance moyenne. (c) Fluctuations d’intensité du signal sélectionné
par les fluctuations du complémentaire (bande de largeur 0.2σ autour de la valeur moyenne)
superposés avec le bruit quantique standard mesuré expérimentalement. (d) : Distributions
associées. L’état sélectionné présente une distribution sub-Poissonienne. Le tracé noir épais est
un ajustement par une gaussienne.
L’efficacité du protocole peut être encore largement améliorée en conditionnant sur plusieurs bandes réparties dans la distribution de bruit initial du trigger, distribution large car
les faisceaux émis juste au-dessus du seuil sont très bruités. Des bandes indépendantes correspondent à des intervalles de temps différents. Pour chacun d’entre eux, le signal est réduit à un
état sub-Poissonien. Cette possibilité qui permet de conserver la plupart des événements est
spécifique aux variables continues et n’a pas d’équivalent en régime de comptage de photons.
Le lecteur est invité à se référer aux deux articles reproduits en fin de chapitre pour de plus
amples détails théoriques et expérimentaux.
% de points
Réduction de bruit (dB)
D. Conclusion
83
2
0
-2
-4
0.02
20
0.2
2
15
10
5
0
0.02
0.2
Largeur de la bande
2
Fig. 6.6: (a) Réduction de bruit de l’état généré et (b) probabilité de préparation en fonction
de la largeur de la bande de sélection normalisée à l’écart-type d’un état cohérent de même
puissance moyenne. Cercles : données expérimentales. Carrés : prédictions théoriques.
D
Conclusion
Les corrélations quantiques très fortes entre les faisceaux émis par un oscillateur paramétrique optique ont permis de mettre en œuvre expérimentalement, pour la première fois, une
préparation conditionnelle d’un état non-classique entièrement réalisée en détection continue.
La variance de l’état obtenue étant imposée par la variance conditionnelle, il est nécessaire
que la corrélation d’intensité soit QND pour obtenir une distribution sub-Poissonienne. Cette
méthode est équivalente à envoyer le faisceau signal à travers un modulateur d’intensité qui
transmettrait totalement le faisceau si la condition sur le trigger est vérifiée ou le bloquerait
dans les autres cas. Cette action très fortement non-linéaire apparaı̂t ainsi comme très différente de la technique usuelle qui consiste à corriger les fluctuations du faisceau par une boucle
optoélectronique [Mertz90].
Le protocole précédent repose uniquement sur les corrélations d’intensité des faisceaux jumeaux. Cette stratégie pourrait être étendue au cas de faisceaux intenses intriqués en quadrature pour lesquels une double corrélation peut être exploitée. La détection directe du faisceau
trigger est remplacée par une détection homodyne et la quadrature observée devient alors
un paramètre supplémentaire. La quadrature comprimée de l’état sélectionné peut ainsi être
choisie. Très fortement non-linéaire, la stratégie conditionnelle devrait également permettre
de générer des états non-classiques plus ”exotiques”, par exemple à partir de conditions de
sélection plus complexes qu’une simple bande.
84
E
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
Reproduction des articles
Le lecteur trouvera ci-dessous la reproduction de l’article publié dans Physical Review
Letters décrivant la mise en œuvre expérimentale de la préparation conditionnelle d’un état
sub-Poissonien à partir de faisceaux jumeaux [Laurat03] ainsi que la reproduction de l’article
publié dans Physical Review A qui établit théoriquement les propriétés de l’état sélectionné
[Laurat04a].
E. Reproduction des articles
VOLUME 91, N UMBER 21
85
PHYSICA L R EVIEW LET T ERS
week ending
21 NOVEMBER 2003
Conditional Preparation of a Quantum State in the Continuous Variable Regime:
Generation of a sub-Poissonian State from Twin Beams
J. Laurat, T. Coudreau,*,† N. Treps, A. Maı̂tre,* and C. Fabre
Laboratoire Kastler Brossel, UPMC, Case 74, 4 Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France
(Received 16 April 2003; published 18 November 2003)
We report the first experimental demonstration of conditional preparation of a nonclassical state of
light in the continuous variable regime. Starting from a nondegenerate optical parametric oscillator
which generates above threshold quantum intensity correlated signal and idler ‘‘twin beams,’’ we keep
the recorded values of the signal intensity only when the idler intensity falls inside a band narrower
than its standard deviation. By this very simple technique, we generate a sub-Poissonian state 4.4 dB
(64%) below shot noise from twin beams exhibiting 7.5 dB (82%) of noise reduction in the intensity
difference.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.91.213601
A well-known technique to generate a single photon
state from quantum correlated photons (‘‘twin photons’’)
is to use the method of conditional measurement: if one
labels (1) and (2) the two modes in which the twin photons
are emitted, it consists of retaining in the information
collected on mode (1) only the counts occurring when a
photon is detected in mode (2) (within a given time
window T). This method has been widely and very
successfully used over the past decades, first with twin
photons generated by an atomic cascade [1], then by
using the more efficient technique of parametric downconversion [2]. Various protocols have been proposed to
use conditional preparation in order to generate other
kinds of nonclassical states, for example, Schrödinger
cat states using a squeezed vacuum state transmitted
through a beam splitter and a measurement conditioned
by the counts detected on the reflected port [3]. In a
similar way, teleportation of a quantum state of light
can be achieved by using conditional measurements [4]
and the degree of entanglement can be improved by
photon subtractions [5]. In cavity QED, conditional measurements on the atomic state have also led to the experimental generation of nonclassical photon states [6].
State reduction is obviously not restricted to the case of
photon counting, so that it may be interesting to extend
this technique to the continuous variable regime, where a
continuously varying photocurrent is measured instead of
a series of photocounts. Continuous detection conditioned
by a photon counting event has been implemented in
various schemes [7]. Closer to our proposal where continuous measurements are used both for triggering and
characterizing the generated state, many theoretical protocols have been suggested relying on a two-mode
squeezed vacuum produced by a nondegenerate optical
parametric amplifier [8,9]. For instance, homodyne measurements on the idler can be used to condition the
detection of the signal and would reduce it to a squeezed
state [8].
213601-1
0031-9007=03=91(21)=213601(4)$20.00
PACS numbers: 42.50.Dv, 42.65.Yj
In a conditional state preparation, the generation of the
nonclassical state can be seen as the collapse of the
entangled wave function induced by the measurement
on one of its components. However, very frequently, the
measurement is made by postselection of the relevant
events in the record of all the values measured on the
two channels, which can be made after the end of the
physical measurement, so that no wave-function collapse
actually occurs during the experiment. Note that, in contrast to the methods of direct generation of a nonclassical
state, the exact time window when the state is produced is
not controlled in a conditional measurement, and what we
call the ‘‘preparation probability,’’ i.e., the probability of
generating the nonclassical state in a given time interval,
is an important parameter to characterize its efficiency.
To the best of our knowledge, no scheme has been
suggested so far to generate nonclassical intense beams
by the technique of conditional measurement performed
on continuous variables. This is the purpose of the present
Letter, which proposes a very simple way of conditionally
preparing a bright sub-Poissonian beam from twin
beams, and reports on its experimental implementation.
The theory of the presented technique will be detailed in
a forthcoming publication [10].
It is well-known that a nondegenerate optical parametric oscillator (ND-OPO) produces above threshold
an intense signal and idler twin beams [11]: in the ideal
case of a system without losses, the Fourier components
of the signal and idler intensity quantum fluctuations
which lie inside the cavity bandwidth are perfectly correlated. The correlations are characterized by the ‘‘gemellity,’’ which is the remaining noise on the intensity
difference between the signal and idler intensities normalized to the corresponding quantum noise level [12].
The instantaneous values of the signal and idler photocurrents play therefore the role of the occurrence of
counts in the photon counting regime. The conditional
technique that we propose consists of selecting the signal
 2003 The American Physical Society
213601-1
86
VOLUME 91, N UMBER 21
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
photocurrent Is only during the time intervals when the
idler intensity Ii has a given value I0 (within a band I
smaller than the photocurrent standard deviation). The
measurements outside these time intervals are discarded.
If the correlation is perfect and the interval I close to
zero, the recorded signal intensity is perfectly constant,
and an intense number state is generated.
In a real experiment, the correlation between the
signal and idler photocurrents is not perfect, and the
selection band I is finite, so that the method will not
prepare a perfect number state, but a sub-Poissonian
state instead. The density matrix describing the state
of light which is produced by such a state reduction
technique can be determined within the approximation that the signal and idler photon distributions are
Gaussian [10]. In the limit where I is very small, one
finds that, whatever the initial intensity noise of the
beams are, the conditional measurement produces a
sub-Poissonian signal beam, characterized by a Fano
factor equal to the conditional variance of the intensity
fluctuations of the signal beam knowing the intensity
fluctuations of the idler beam, which plays an important
role in the characterization of quantum nondemolition
measurements [13]. In other words, in the limit of large
correlations, the intensity noise reduction on the conditionally prepared state is equal to the twin beam noise
reduction minus 3 dB.
Obviously, if I is very small, the probability that the
idler intensity lies within the chosen band is also very
small, and the preparation probability of the nonclassical
state production by such a conditional measurement is
also very low. Computer simulations, as well as analytical
calculations [10], show that the Fano factor of the generated state remains almost constant in a wide range of I
values, whereas the preparation probability of the method
increases quickly. It is only when I reaches values
comparable to the shot noise standard deviation that the
postselection process becomes less efficient, and the Fano
factor tends to its uncorrected value.
The present conditional measurement technique has
strong analogies with the method of active feed-forward
correction of the signal beam intensity, by optoelectronics techniques, using the information obtained from
the measurement of the idler intensity [14,15], which
produces a sub-Poissonian state with a Fano factor also
equal to the conditional variance. The present technique
is much simpler to implement, whereas the active correction technique is nonconditional and has the advantage of
producing the nonclassical state at all times.
The experimental setup is shown in Fig. 1. A continuous frequency-doubled Nd:YAG laser pumps a triply
resonant ND-OPO above threshold, made of a semimonolithic linear cavity: in order to increase the mechanical
stability and reduce the reflection losses, the input flat
mirror is directly coated on one face of the 10-mm-long
KTP crystal. The reflectivities for the input coupler are
95.5% for the pump (532 nm) and almost 100% for the
213601-2
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21 NOVEMBER 2003
PHYSICA L R EVIEW LET T ERS
Servo
λ/2
KTP
λ/2
PDLock
PZT
532 nm
laser
Isolator
HF
ADC
MIX
FIG. 1 (color online). Experimental layout. The 1064 nm
orthogonally polarized bright twin beams generated by the
ND-OPO are separated by a polarizing beam splitter and
detected. The high frequency components of the photocurrents
are amplified and demodulated at a given Fourier frequency.
The two channels are digitized and simultaneously recorded on
a computer.
signal and idler beams (1064 nm). The output coupler
(R 38 mm) is highly reflecting for the pump and its
transmission is 5% for the infrared. At exact triple resonance, the oscillation threshold is less than 15 mW. The
OPO is actively locked on the pump resonance by the
Pound-Drever-Hall technique: we detect by reflection a
remaining 12 MHz modulation present in the laser and
the error signal is sent to a homemade proportionalintegral controller. In order to stabilize the OPO infrared
output intensity, the crystal temperature has to be drastically controlled (within a mK). The OPO can operate
stably during more than one hour without mode hopping. The signal and idler orthogonally polarized beams
(1–5 mW range) generated by the OPO are then separated by a polarizing beam splitter and detected on a
pair of balanced high quantum efficiency InGaAs photodiodes (Epitaxx ETX300, quantum efficiency: 95%). A
half-wave plate is inserted before the polarizing beam
splitter. When the polarization of the twin beams is
turned by 45 with respect to its axes, it behaves as a
50% usual beam splitter, which allows us to measure the
shot noise level [11].
In almost all the bright twin beam experiments to
date [11], the photocurrents are subtracted and the difference is sent onto a spectrum analyzer which gives the
variance of the photocurrent distribution. We have implemented a different protocol to have access to the full
photon-number quantum statistics of the signal and idler
beams at a given Fourier frequency
(see also [16]):
each photocurrent is amplified and multiplied by a sinusoidal current at frequency produced by a signal generator, and filtered by a 22 kHz low-pass filter in order to
obtain the instantaneous value of the photocurrent
Fourier component at frequency , which is then digitized at a sampling rate of 200 kHz by a 12-bit, 4-channel
acquisition card, which also simultaneously records the
instantaneous values of the dc photocurrents. Two successive acquisitions (200 000 points for each channel) are
required, one for calibrating the shot noise by rotating the
213601-2
E. Reproduction des articles
87
0
4
10000
Data Points
800
2
0
-2
-4
0
20000
1700
(c)
10000
Data Points
20000
-40 -20 0
20 40
Normalized photocurrent
(d)
-4
-2
0
2
4
Normalized photocurrent
FIG. 2 (color online). Experimental results: (a) idler intensity
fluctuations: 200 000 acquired points at 3.5 MHz demodulation frequency (only 20 000 shown). (b) Corresponding
probability distribution. The unit is the width 0 of the
Poisson distribution of the same mean intensity (shot noise).
(c) Values of the signal intensity conditionally selected by
the value of the idler intensity recorded at the same time
(selection bandwidth I equal to 0:2 0 around the mean),
superimposed to the corresponding experimentally measured
shot noise. (d) Corresponding probability distribution, compared to the Poisson distribution (grey line), displaying the
sub-Poissonian character of the conditionally generated state.
The black line is a Gaussian fit of the intensity distribution.
213601-3
Noise reduction (dB)
-40
0
(b)
stress that the shot noise is unchanged by this selection
process: the beam exists only in the selection intervals so
that the unselected intervals do not contribute to the
average value. Figure 2(d) gives the probability distribution of the intensity fluctuations of the conditionally
prepared state normalized to the shot noise, together
with the Poissonian distribution of photons for the same
mean intensity. With a selection bandwidth I equal to
0.2 times the standard deviation 0 of a coherent state
having the same power (shot noise level), the conditionally prepared light state exhibits 4.4 dB of noise reduction below the Poisson distribution. This value is very
close to the theoretical expectation in the case of a vanishingly narrow intensity band. The preparation probability of the conditional preparation is around 0.85%
(1700 points out of 200 000 are accepted). This value
would be higher for an initial state with less excess noise.
The preparation probability can be improved by increasing the selection bandwidth, at the expense of a
decreased nonclassical character of the selected state.
Figure 3 shows the measured residual noise in the conditionally produced state, and the preparation probability of the state generation, as a function of the selection
bandwidth normalized to 0 . The noise reduction turns
out to be almost constant until the normalized selection
bandwidth becomes of the order of 0.1, whereas the
preparation probability steadily increases, in very good
agreement with numerical simulations. However, one
can see a slight increase in the noise when the selection bandwidth becomes very narrow. This artifact is
due to the sampling process on a finite range of bits,
which restricts the resolution of the acquisition.
In Fig. 4, we give the measured residual noise for
different amounts of intensity correlations between the
beams, which can be varied by inserting losses on the
OPO beams. One checks on the figure the validity of
the prediction that the noise reduction is equal to the
2
0
-2
-4
0.02
20
% of points
0
-20
Number of events
(a)
20
Number of events
Normalized photocurrent Normalized photocurrent
half-wave plate and the other to record the quantum
correlated signals.
Figure 2 sums up the measurements obtained with a
demodulation frequency =2 3:5 MHz. Figure 2(a)
shows the actual recording of the fluctuations of the idler
beam during a time interval of 100 ms. As the OPO is
pumped close to threshold, the signal and idler beams
have intensity fluctuations which are much larger than the
standard quantum limit, as can be seen on curve 2(b),
giving the probability distribution of the intensity fluctuations normalized to the shot noise. The corresponding
Fano factor exceeds 100 (20 dB above the shot noise
level). One can calculate the noise variance on the difference between the signal and idler intensities. It reaches a
value of 7.5 dB below the standard quantum limit (8.5 dB
after correction of dark noise), in good agreement with
the value of the noise variance measured on the spectrum
analyzer. The dark noise, which is more than 6 dB below
all measurements, is not subtracted in the following
experimental results.
The conditional measurement is performed in the following way: the signal intensity values are kept only if
the idler intensity values recorded at the same time fall
inside a narrow band around its mean value. The remaining ensemble of values of the signal intensity is given in
Fig. 2(c), in which the shot noise is given at the same
time: one indeed observes a significant narrowing of the
probability distribution below the shot noise level. Let us
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PHYSICA L R EVIEW LET T ERS
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2
15
10
5
0
0.02
0.2
Selection bandwidth
2
FIG. 3 (color online). Measured intensity noise on the postselected signal (a) and preparation probability (proportion
of selected points) (b) as a function of the selection bandwidth on the idler normalized to 0 . Circles: experimental data.
Squares: theoretical predictions.
213601-3
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-8
-7
-4
-3
-6
-5
Quantum Intensity Correlation (dB)
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
(a)
-20
20
0
Selection center
(b)
1
0
-20
0
20
Selection center
-2
FIG. 4 (color online). Measured intensity noise reduction
for different values of the signal-idler correlation. The selection bandwidth is taken equal to 0.2 times the shot noise.
Circles: experimental data. Dotted line: theoretical prediction
at the limit of a very small selection bandwidth (gemellity
minus 3 dB).
gemellity minus 3 dB. One also observes that, when the
intensity difference noise is reduced by less than 3 dB
below the standard quantum level, the conditional state
has reduced intensity noise fluctuations in comparison
with the very noisy initial beam, but that it is not a
nonclassical sub-Poissonian state.
The continuous variable regime offers a unique
possibility to improve dramatically the efficiency of
conditional strategy, by choosing multiple selection
bands with different mean values on the idler intensity.
Independent selection bands will correspond to independent sets of time windows. By using hundreds of
independent intervals, one keeps most of the values of
the signal, each of these intervals reducing the signal
to a given sub-Poissonian state. Figure 5 shows that
the noise reduction does not depend of the band center
and that the preparation probability follows the initial
Gaussian noise distribution.
To conclude, we have shown the first experimental
demonstration of conditional preparation of a quantum
state in the continuous variable regime. We have studied
the influence of the selection bandwidth on the obtained
nonclassical state and on the preparation probability of its
preparation and shown that many sub-Poissonian states
can be produced in parallel. This method to generate
nonclassical states of light in the continuous variable
regime is equivalent to sending the signal beam through
an intensity modulator which either totally transmits the
beam when the idler beam has the right value, or blocks it
when it is not the case. It therefore drastically changes the
light state and seems to be very different from the usual
technique which consists of correcting the beam fluctuations by a feed-forward or feedback optoelectronic loop
which only slightly modifies the quantum fluctuations.
This strongly nonlinear character of the action on the
light may lead to the generation of non-Gaussian states.
One could also envision other criteria of conditioning the
quantum state than simply imposing to the idler beam
intensity to lie within a given band. This could also lead to
the generation of new families of nonclassical bright
states of light.
213601-4
week ending
21 NOVEMBER 2003
PHYSICA L R EVIEW LET T ERS
Noise reduction (dB)
Noise Reduction (dB)
VOLUME 91, N UMBER 21
% of points
88
FIG. 5. Measured intensity noise on the reduced state (a) and
preparation probability (b) as a function of the band center
normalized to 0 . The selection bandwidth is taken equal to
0.4 times the shot noise.
Laboratoire Kastler-Brossel, of the Ecole Normale
Supérieure and the Université Pierre et Marie Curie, is
associated with the Centre National de la Recherche
Scientifique (UMR 8552). We acknowledge support
from the European Commission project QUICOV (IST1999-13071) and from ACI Photonique (Ministère de la
Recherche).
*Also at the Pôle Matériaux et Phénomènes Quantiques
FR CNRS 2437, Université Denis Diderot, Paris, France.
†
Electronic address: [email protected]
[1] P. Grangier, G. Roger, and A. Aspect, Europhys. Lett. 1,
173 (1986).
[2] C. K. Hong and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 56, 58 (1986).
[3] M. Dakna et al., Phys. Rev. A 55, 3184 (1997).
[4] C. H. Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993);
D. Bouwmeester et al., Nature (London) 390, 575 (1997).
[5] T. Opatrny, G. Kurizki, and D. G. Welsch, Phys. Rev. A
61, 032302 (2000); P. T. Cochrane, T. C. Ralph, and G. J.
Milburn, Phys. Rev. A 65, 062306 (2002).
[6] J.-M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Rev. Mod.
Phys. 73, 565 (2001).
[7] G. T. Foster et al., Phys. Rev. Lett. 85, 3149 (2000); A. I.
Lvovsky et al., Phys. Rev. Lett. 87, 050402 (2001).
[8] K. Watanabe and Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 38, 3556
(1988); J. Fiurásek, Phys. Rev. A 64, 053817 (2001).
[9] G. M. D’Ariano et al., Phys. Rev. Lett. 83, 2490 (1999).
[10] J. Laurat, T. Coudreau, N. Treps, A. Maı̂tre, and C. Fabre
(to be published)
[11] A. Heidmann et al., Phys. Rev. Lett. 59, 2555 (1987);
J. Mertz et al., Opt. Lett. 16, 1234 (1991); J. Gao et al.,
Opt. Lett. 23, 870 (1998).
[12] S. Reynaud, C. Fabre, and E. Giacobino, J. Opt. Soc. Am.
B 4, 1520 (1987)
[13] P. Grangier, J.-M Courty, and S. Reynaud, Opt. Commun.
83, 251 (1991); J.-Ph Poizat, J. F. Roch, and P. Grangier,
Ann. Phys. (Paris) 19, 265 (1994).
[14] J. Mertz et al., Phys. Rev. Lett. 64, 2897 (1990)
[15] J. Mertz, A. Heidmann, and C. Fabre, Phys. Rev. A 44,
3229 (1991)
[16] Y. Zhang, K. Kasai, and M. Watanabe, Opt. Lett. 27, 1244
(2002); M. Martinelli et al., Phys. Rev. A 67, 023808
(2003).
213601-4
E. Reproduction des articles
89
PHYSICAL REVIEW A 69, 033808 (2004)
Conditional preparation of a nonclassical state in the continuous-variable regime:
Theoretical study
J. Laurat, T. Coudreau,*,† N. Treps, A. Maître,† and C. Fabre
Laboratoire Kastler Brossel, UPMC, Case 74, 4 Place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France
(Received 29 November 2003; published 16 March 2004)
We study the characteristics of the quantum state of light produced by a conditional preparation protocol
totally performed in the continuous-variable regime. It relies on conditional measurements on quantum intensity correlated bright twin beams emitted by a nondegenerate optical parametric oscillator above threshold.
Analytical expressions as well as computer simulations of the selected state properties and preparation efficiency are developed and show that a sub-Poissonian state can be produced by this technique. Projection onto
a given trigger value is studied and then extended to a finite band. The continuous-variable regime offers the
unique possibility to improve dramatically the preparation efficiency by choosing multiple selection bands and
thus to generate a great number of sub-Poissonian states in parallel.
DOI: 10.1103/PhysRevA.69.033808
PACS number(s): 42.50.Dv, 42.65.Yj
I. INTRODUCTION
Conditional state preparation opens the possibility to generate a wide range of nonclassical states of light. Quantum
correlation between two modes—a signal and a trigger—is
the prerequisite for such a general procedure. Preassigned
events on the trigger condition the readout of the signal and
cause a nonunitary state reduction.
Various protocols have been proposed and implemented
successfully in the photon counting regime. For instance, this
strategy has been widely used to generate single-photon
Fock states. The required two-mode correlation can be obtained by an atomic cascade [1] or by the more efficient
technique of parametric down-conversion [2]. The singlephoton state is created from the initial two-mode state when
a photocount event is recorded in the trigger path. Two output ports of a beam splitter can also provide the required
correlation: it has been shown theoretically that a squeezed
vacuum transmitted through a beam splitter is reduced to a
Schrödinger-cat-like state when a photon is detected on the
reflected port [3]. Nonclassical photon states have also been
experimentally prepared by triggering on a given atomic
state [4].
Recently, several conditional preparation protocols were
introduced for the continuous-variable regime where a continuously varying photocurrent is measured instead of singlephoton counts. For instance in Ref. [5], continuous measurements are triggered by photocounts. The triggering condition
and the characterization of the selected state can also be done
both in the continuous-variable regime. Some theoretical
protocols have been proposed relying on two-mode squeezed
vacuum generated by an optical parametric amplifier [6].
The scheme we propose relies on quantum intensity correlated bright twin beams—signal and idler—generated by a
*Electronic address: [email protected]
†
Also at the Pôle Matériaux et Phénomènes Quantiques FR CNRS
2437, Université Denis Diderot, 2, Place Jussieu, 75251 Paris cedex
05, France.
1050-2947/2004/69(3)/033808(7)/$22.50
nondegenerate optical parametric oscillator (ND-OPO)
pumped above threshold [7]. The procedure, sketched in Fig.
1, is the following. Among all the recorded values of the
signal beam intensities, one only keeps the events occurring
in the time intervals when the idler intensity takes a given
preassigned value, or more precisely lies around this value
within a small intensity range. All other time intervals are
discarded. In the present paper, we study theoretically this
conditional preparation technique. Its experimental implementation and the corresponding results have been detailed
in Ref. [8].
This paper is organized as follows. In Sec. II, we describe
the quantum state generated by a ND-OPO above threshold.
Conditioning on a given value of the idler intensity results in
a state reduction which generates a sub-Poissonian state.
This procedure, presented in Sec. III, is then extended to the
case of a selection interval of bandwidth D around a given
value in Sec. IV. The state reduction is characterized according to the initial correlation, individual noise on each beam,
and position and width of the conditioning band. Section V
proposes a Monte Carlo simulation of the reduced state properties. Section VI is then devoted to multiple-band selection,
a possibility to significantly increase the efficiency of the
conditional strategy which is only offered by schemes in the
continuous-variable regime. In Sec. VII, the main conclusions of the paper are summarized and possible extensions to
FIG. 1. (Color online) Proposed conditional measurement protocol in the continuous-variable regime. A ND-OPO generates
above threshold orthogonally polarized and quantum intensity correlated bright twin beams which are detected by high efficiency
photodiodes. The continuously varying signal photocurrent is kept
only when the idler photocurrent takes a given value or falls inside
a narrow band.
69 033808-1
©2004 The American Physical Society
90
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
LAURAT et al.
PHYSICAL REVIEW A 69, 033808 (2004)
more exotic nonclassical states are discussed.
II. QUANTUM STATE PRODUCED BY A ND-OPO
ABOVE THRESHOLD
The starting point of the theoretical analysis of the present
conditional measurement is the precise knowledge of the
quantum state produced by a nondegenerate OPO, from
which the conditionally prepared state will be deduced by
state reduction. When the twin photons are produced by
spontaneous parametric down-conversion, the quantum state
of the system is well known and given by [9]
`
† †
uCl = eslâ1â2−l
*â â d
1 2
u0,0l = scosh ld−1
FIG. 2. (Color online) The dotted rectangle models a ND-OPO
which can be described by a source of perfect intensity correlated
beams plus a partition process generated by two symmetric beam
splitters with intensity transmission T and reflection R. The “gemellity” G of the beams is found to be equal to the loss coefficient R.
o stanh ldnun,nl,
+`
n=0
uCOPOl =
s1d
where the indices 1 and 2 refer, respectively, to the signal
and idler modes and âi srespectively â†i d is the annihilation
srespectively creationd operator of a photon in mode i. l is
proportional to the pump amplitude and crystal nonlinearity.
The state un1 , n2l is a Fock state with n1 photons in the signal
mode and n2 photons in the idler mode. When the parametric
down-conversion efficiency is very weak, which is experimentally the most frequent case, the state of the system reduces to the simple entangled state
uCl . u0,0l + lu1,1l.
with
ucnu2 =
F
1
Î2pFn̄ exp
s3d
−
sn − n̄d2
2Fn̄
G
,
s4d
or more generally by a density matrix
r=
o cn,n8un,nlkn8,n8u,
s5d
n,n8
s2d
When a photon is detected in the idler mode, the system
collapses by the state reduction process into the signal-mode
single-photon state u1l, as is well known.
To the best of our knowledge, there is so far no complete
theory giving the state of light produced by an OPO in the
Schrödinger picture, comparable to the Lamb theory giving
the density matrix of the light produced by a laser [10]. The
OPO has been described instead in most theoretical approaches in the Heisenberg picture, in terms of operators,
which is not useful in the present case. Only Graham et al.
[11] have considered this problem, mainly to determine the
phase diffusion properties of the OPO and not its joint
photon-number distribution.
In the absence of a complete theory, we will use here a
semiphenomenological approach, relying on both theoretical
considerations and experimental observations [7,8]: OPOs
produce above threshold phase-coherent light in both signal
and idler modes which have a Gaussian statistics and present
close to threshold a large excess noise compared to the shotnoise level. We will call F the Fano factor of this photon
distribution defined as the noise variance normalized to the
one of a Poissonian distribution of same mean power: close
to threshold, this factor is large. Furthermore, one knows that
in the absence of losses and in the case of a single output
mirror of the OPO cavity, there is a perfect intensity correlation between the two modes when they are measured on
time intervals long compared to the cavity storage time [12].
From this, we infer that the quantum state describing the
output of such a perfect OPO is the eigenvector of Î1 − Î2
= â†1â1 − â†2â2 with a zero eigenvalue. By assuming a Gaussian
photon statistics, the state can be described by
o cnun,nl,
n=0
with cn,n equal to the expression of ucnu2 given by Eq. s4d.
This form of the density matrix ensures at the same time a
Gaussian distribution of photon numbers in each mode and a
perfect intensity correlation between them. It will be shown
later that the unknown expressions of cn,n8 for n Þ n8 are not
relevant in our calculations.
Uncorrelated losses in the system inevitably degrade the
initial correlation between the signal and idler modes. These
linear losses, which we will assume to be equal for the signal
and idler modes, can be modeled by a beam splitter of intensity reflection coefficient R equal to the loss coefficient and
of transmission coefficient T = 1 − R (Fig. 2). If the input state
impinging on such a beam splitter is the tensor product un , 0l
of a Fock state on the input mode 1 and the vacuum in the
loss mode, the output state uCoutl is [13] given by
n
uCoutl =
o An,pun − p,pl,
p=0
s6d
n!
T n−pR p
p ! sn − pd!
s7d
with An,p given by
An,p =
Î
corresponding to a binomial distribution of the photons over
the two outputs of the beam splitter, characteristic of a partition process. The system is then described by a pure state
belonging to a four-mode Hilbert space: the signal, idler
modes, and the two loss modes of the two outputs. By tracing over these two loss modes which are not measured, one
obtains the following reduced density matrix:
033808-2
E. Reproduction des articles
91
CONDITIONAL PREPARATION OF A NONCLASSICAL…
r8 =
o
n,n8,p,p8
PHYSICAL REVIEW A 69, 033808 (2004)
*
*
cn,n8An,pAn8,pAn,p8An8,p8un − p,n − p8lkn8 − p,n8 − p8u.
This expression is valid for any values of the parameters
R , n̄, and F. From it, one can calculate the probability distribution of the intensity difference. Its mean value is zero. Its
variance can be written as
As the numbers of photon are large, the parameters d and
« can be considered as continuous variables. The sum can
thus be rewritten as an integral
Ps«d =
D2sÎ1 − Î2d = Tr„r8sÎ1 − Î2d2…
n
`
=
o
n=0
ucnu2
o
p,p8=0
uAn,pu2uAn,p8u2sp − p8d2
s8d
s9d
1
1
1
T Î2pn̄8R Î2pFn̄
3
E
F
+`
exp −
−`
G F
G
sd − «d2
d2
exp −
dd .
2Fn̄8T
2Rsd + n̄8d
s15d
and becomes
D2sÎ1 − Î2d = 2Rn̄T = 2Rn̄8 ,
s10d
where n̄T = n̄8 is the mean photon number of the signal and
idler modes after the beam splitter. D2sÎ1 − Î2d is independent
of F and coincides with the value obtained by the usual
linearized theory for the fluctuations. From this, one finds
that the “gemellity” G, which is the remaining noise on the
intensity difference normalized to the total shot-noise level
2n̄8, is equal to the loss coefficient R.
As bright beams have very large mean values in comparison with the Poissonian standard deviation, one can easily
assume that both the reflected and transmitted beams have
also large mean values, even for R or T close to 1. Thus, one
can use the Stirling’s approximation and show that in a normalized form
F
G
sp − nRd2
exp −
uAn,pu =
.
Î2pnRT
2nRT
1
2
o
*
n,n8,p
Ps«d =
cn,n8An,pAn8,pun − plkn8 − pu.
F S
3exp − d 2
s12d
o ucnu2uAn,n−n u2
s13d
1
and becomes
+`
Psn1d =
1
1
o Î2pFn̄ Î2pnRT
n=0
F
3exp −
snT − n̄8d2
2Fn̄8T
G
sn − n1 − nRd2
.
−
2nRT
E
2Fn̄8T
−`
+
1
2Rn̄8
+`
expf− A1d 2 + A2dgdd =
−`
D
+d
«
Rn̄8
−
«2
2Rn̄8
G
dd ,
Î
F G
A2
p
exp − 2
A1
4A1
s17d
the probability distribution can be integrated to give
Psn1d =
1
Î2pn̄8F8
F
exp −
sn1 − n̄8d2
2n̄8F8
G
s18d
with
F8 = R + FT.
s19d
Thus we find that the new Fano factor F8 after the beam
splitter is given by R + FT. In the case of important losses
sR → 1 , T → 0d, this Fano factor goes to 1, i.e., the output
state distribution is Poissonian as expected.
III. STATE REDUCTION BY A PHOTON-NUMBER
MEASUREMENT
In this section, we study the reduced state resulting from a
photon-number measurement on beam 2 giving the preassigned value N. By tracing over the trigger mode, the reduced density matrix r- for the signal mode only can be
written as
r- =
o
n,n8,p
s14d
We introduce d = nT − n̄8 and « = n1 − n̄8, and we assume that n
can be taken constant and equal to n̄ in the factor 1 / Î2pnRT.
1
+`
and by using the formula
+`
n=0
E
s16d
The normalized probability distribution for the number of
photons can thus be written as
Psn1d = kn1ur9un1l =
1
1 1
T Î2pFn̄ Î2pn̄8R
s11d
Let us calculate the photon distribution of the individual
beams after the beam splitters. If we only consider measurements involving output 1, the reduced density matrix r9 is
obtained by tracing over the output 2:
r9 =
Developed to the first order in d / n̄8 and « / n̄8
*
*
cn,n8An,pAn8,pAn,n−NAn8,n−Nun − plkn8 − pu.
s20d
One can see that the photon probability distribution depends
only on the diagonal terms of the density matrix r. The pho-
033808-3
92
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
LAURAT et al.
PHYSICAL REVIEW A 69, 033808 (2004)
ton probability distribution of beam 1 when a given value N
is measured on beam 2 is thus
+`
Psn1,n2 = Nd =
o ucnu2uAn,n−n u2uAn,n−Nu2 .
n=0
1
s21d
With F8 and n̄8 the Fano factor and mean value established
in the last section, this distribution can be read as
Psn1,Nd =
+`
1
F
G
1
o 2pnRT exp
Î2pFn̄ n=0
−
−
snT − n̄8d2
2sF8 − Rdn̄8
snT − n1d2 snT − Nd2
−
.
2nRT
2nRT
s22d
Let us consider « = n1 − n̄8 introduced in the preceding section
and a = N − n̄8 which corresponds to the distance between the
value of conditioning N and the distribution center n̄8. Using
calculation techniques similar to the ones of the preceding
section, the probability distribution can finally be written as
Ps«, ad =
SÎ
SÎ
1
2pn̄8F8
3
F
exp −
1
2pn̄8Vc
F
a2
2n̄8F8
exp −
GD
s« − bad2
2n̄8Vc
GD
s23d
with
b=1−
G
,
F8
Vc = 2G −
G2
.
F8
s24d
s25d
Vc is the conditional variance of the intensity fluctuations of
the signal beam knowing the intensity fluctuations of the
trigger beam. This parameter plays an important role in the
characterization of quantum nondemolition measurements
f14g.
The first factor between parenthesis in Eq. (23) expresses
the preparation probability, i.e., the proportion of selected
points in an experimental implementation. It is maximum
when a = 0. A value chosen in the wings of the Gaussian
distribution leads to a smaller efficiency. The preparation
probability is inversely proportional to ÎF8n̄8. This factor is
thus very small in the case of bright beams: for 1064 nm
beams with a mean power of 1 mW and a Fano factor equal
to 100, the maximal preparation probability obtained when
a = 0 is as small as 5 3 10−10.
The second factor of this probability shows that the selected state has a Gaussian photon distribution centered
around the value ba, slightly different from the triggering
value a except for a = 0. This difference can be interpreted
by the dissymmetry of the probability distribution around the
conditioning value. For a conditioning value equal to the
mean of the distribution sa = 0d, this difference vanishes as
the distribution is symmetric.
According to Eq. (23), the reduced state has a photon
variance equal to the conditional variance Vc. This shows
FIG. 3. Conditional variance as a function of the Fano factor for
different initial intensity correlation between signal and idler beams,
measured by the “gemellity” G. Values of G as small as 0.1 have
been obtained experimentally [15].
that the selection process we have used in the conditional
measurement has extracted the maximum information available from the correlation of the two beams and has transferred it to the signal beam. This beam can exhibit a subPoissonian photon distribution when Vc , 1. Figure 3 shows
the conditional variance as a function of the Fano factor for
different gemellities G. If the correlation is perfect, this protocol generates a number state. It is worth noting that for a
gemellity inferior to 0.5 the distribution is sub-Poissonian
whatever the initial Fano factor. For large Fano factors,
which is the experimental case, the noise reduction is twice
the initial gemellity as Vc can be approximated by 2G.
The conditional variance Vc also characterizes the noise
reduction obtained when an active feed-forward correction of
signal beam intensity is implemented by optoelectronics devices controlled by information collected on the idler [16].
The two techniques which take advantage of the quantum
correlation have therefore the same ultimate performance.
IV. STATE REDUCTION BY A BAND SELECTION
As shown in the preceding section, triggering on a single
value of photon number in our regime of bright beams where
n̄8 is very large leads to a close to zero preparation probability incompatible with experimental implementation. An interesting question is to determine the photon distribution
when one projects onto a finite band instead of a given value.
It is worth pointing out that it is always the experimental
case because of the limited acquisition precision.
Let us consider a conditioning band of width D around the
value N = n̄8 + a. The photon probability distribution of the
reduced state can now be written as
S
P «, a −
=
D
D
, n2 − n̄8 , a +
2
2
1
1
Î2pn̄8F Î2pn̄8Vc
F
3exp −
and integrated as
033808-4
E
s« − bxd2
2n̄8Vc
D
a+D/2
a−D/2
G
F
exp −
dx
x2
2n̄8F8
G
s26d
E. Reproduction des articles
93
CONDITIONAL PREPARATION OF A NONCLASSICAL…
PHYSICAL REVIEW A 69, 033808 (2004)
FIG. 5. Kurtosis coefficient of the conditionally selected state
according to the selection bandwidth normalized to s = În̄8 (b):
zoom for small bandwidth sa = 0 , F8 = 100, G = 0.18d.
FIG. 4. (Color online) Photon probability distributions of conditionally prepared state. The probability distributions are all normalized to 1 at their maxima for clarity of the plots. The horizontal
unit is the width s = În̄8 of the Poisson distribution of same mean
intensity. Thick curves give the initial Gaussian distribution and
dashed ones correspond to a coherent state of same mean intensity.
Arrows give the extension of the selection band. (a),(b) The selection band is centered on the mean value sa = 0d. The bandwidth is
D = 0.1s for (a) and 10s for (b). A large band results in a wide
distribution (kurtosis coefficient lower than 3). (c),(d) The band is
centered on a = 10s: D = 0.1s for (c) and 10s for (d). Noncentral
selection band results in an asymmetry of the distribution (non-null
skewness) sF8 = 100, G = 0.18d.
S
P «, a −
=
D
D
, n2 − n̄8 , a +
2
2
1
Î2pF8n̄8
3
13
1
erf
2
F
exp −
«2
2n̄8F8
S D
a+
D
G
D
− b«
2
Î2n̄8Vc
4 3
− erf
S D
a−
D
− b«
2
Î2n̄8Vc
42
terized by the coefficients of skewness and kurtosis which
are related to higher moments of the probability distribution
[17]. The coefficient of skewness provides a dimensionless
measure of the asymmetry of the probability distribution.
Skewness is null when the band is centered on the mean
value. For a normalized probability total surface, the kurtosis
coefficient distinguishes distributions which are tall and thin
from those that are short and wide. It has a value of 3 for a
Gaussian distribution and a value lower than 3 corresponds
to a less peaked distribution. Let us note that the third-order
cumulant corresponds to the kurtosis excess. A very small
value of kurtosis is associated with a square-shaped distribution. A perfect Gaussian distribution is obtained in the limit
of very narrow bandwidth—as calculated in the preceding
section—or in the case of very large bandwidth which corresponds to keep all the values and the selected state corresponds thus to the initial state. A narrow band of selection
results in a close to Gaussian distribution with a kurtosis
coefficient almost constant around 3. This coefficient decreases when the band is extended (Fig. 5).
We can derive from Eq. (27) an approximate but analytical expression for the probability distribution by expanding
in powers of D / În̄8:
S
P «, a −
,
F
= Ps«, ad D +
s27d
where erf denotes the error function.
From this exact expression, one can plot the probability
distribution of the conditionally prepared state in different
cases. The initial Fano Factor and gemellity are taken from
our ND-OPO experiment detailed in Ref. [8] sF8 = 100, G
= 0.18d. Figure 4 gives the photon probability distribution in
different possible configurations. The band can be centered
around the mean sa = 0d or around an arbitrary value taken in
the wings of the initial Gaussian distribution sa Þ 0d. The
bandwidth D can also be small or large relative to the standard deviation s of a Poisson distribution of same mean
intensity. The noise distribution of the initial state and of a
coherent state of same mean intensity have been superimposed. One observes a narrowing of the probability distribution below the shot-noise level in the case of a very narrow
bandwidth for any band center. When the bandwidth increases, the reduced state differs more and more from a
Gaussian distribution.
The distance from a Gaussian distribution can be charac-
D
D
, n2 − n̄8 , a +
2
2
+o
D3
24n̄8V2c
XS Î D CG
D
n̄8
S
D
−1+
sa − b«d2
n̄8Vc
D
5
s28d
,
with Ps« , ad the probability distribution determined in the
last section.
Let us underline that for D = 1 the photon distribution is
equal to the one established in the last section. This value
corresponds to the minimum bandwidth necessary to discriminate two consecutive photon-number states.
The third-order term in D can be neglected in this approximation as long as D ! s = În̄8. The preparation probability can then be written as
F
G
sa/sd2
Nselected sD/sd
=
,
exp −
Î2pF8
Ntotal
2F8
s29d
where Ntotal and Nselected correspond, respectively, to the
total number of events and to the number of selected ones
by the conditional protocol.
033808-5
94
6. Préparation conditionnelle d’un état non-classique en variables continues
LAURAT et al.
PHYSICAL REVIEW A 69, 033808 (2004)
FIG. 6. (a) Intensity noise on the reduced state and (b) preparation probability (proportion of selected points) as a function of the
selection bandwidth normalized to s sa = 0 , F8 = 100, G = 0.18d.
As a result, conditioning on a narrow band results in a
preparation probability proportional to D without decreasing
the nonclassical character of the projected state. This range
of D is the optimal one in order to generate a sub-Poissonian
state. With a bandwidth equal to 0.1s the efficiency reaches
0.4%.
From Eq. (27), it is possible to compute the exact properties of the state for any value of D. In Fig. 6, we give the
noise reduction and the probability of preparation for a narrow bandwidth. One can see that for very narrow bandwidth
the preparation efficiency increases linearly with the bandwidth whereas the squeezing is almost constant. This corresponds to the first order in D as appears in Eq. (28). For a
larger band, the efficiency still increases but at the expense
of a decreased noise reduction. The efficiency would be
higher for an initial state with less excess noise above shot
noise. This case can correspond to a ND-OPO pumped well
above threshold where it has been shown theoretically that
both twin beams can be individually squeezed [18] and still
highly correlated. In the case of narrow bandwidth, the band
center has no effect on the nonclassical character but results
in a lowered preparation efficiency due to the Gaussian distribution of the initial noise (Fig. 7). It is worth noting that
the large extension of the initial noise should permit to
implement a great number of independent selection bands.
Section VI is devoted to this particular conditional strategy
offered by continuous-variable regime.
V. MONTE CARLO SIMULATION OF THE
STATE REDUCTION
So far we have examined the conditionally prepared state
from its theoretical probability distribution expression. How-
FIG. 7. Preparation probability as a function of the center of the
narrow D = 0.1s selection band sF8 = 100, G = 0.18d.
ever, our protocol is easy to test by Monte Carlo simulations.
In order to implement the protocol, one needs to prepare
two random arrays A and B with super-Poissonian statistics
and exhibiting a given amount of correlations. These two
arrays will correspond to the fluctuation distribution of the
signal and idler twin beams. Actually, we generate three independent arrays. Let us call C a super-Poissonian distribution and X and Y two Poissonian distributions. If the correlation between the signal and idler beams is perfect, we
associate to the signal and idler beams the same distribution
C. For a finite amount of correlations, a similar strategy to
the one detailed in Sec. II is performed. We add to the initial
common distribution C independent contributions which can
be seen as vacuum contributions when the initial state is
incident on a beam splitter with reflection coefficient R. The
statistics distribution of signal and idler after the partition
process can be defined by
A = ÎR X + Î1 − R C,
B = ÎR Y + Î1 − R C.
s30d
The parameter R is the same as the one used in previous
sections and determines the gemellity of the beams.
The selection of relevant events can then be done. It is
worth noting that conditional measurement experiments are
very frequently made after the end of the physical measurement, i.e., by postselection of the events [8]. So, when the
two previous distributions have been generated, we dispose
of the same kind of data as that available after an experiment.
We have simulated all the properties presented before. As
expected, the simulations are in perfect agreement with our
theoretical predictions. Such simulations also should allow to
test the protocol when n̄8 is not too large, a case where the
approximations leading to Eq. (23) are no longer valid.
VI. MULTIBAND SELECTION
In any conditional protocol, the preparation probability in
a given time interval is an important parameter to characterize its efficiency. The efficiency of all conditional preparation techniques is usually very low. Improving the brightness
of the source is thus an important and topical challenge in the
photon counting regime [19]. The preparation probability is
also low in our protocol as shown in Figs. 6 and 7 but the
continuous detection results in a great number of selected
points in a very short recording time [8].
Furthermore, the continuous-variable regime offers the
possibility to improve the efficiency of the conditional measurement strategy by a large factor. This possibility does not
exist for the single-photon counting case. One can implement
multiple selection bands with different centers on the idler
intensity. Independent selection bands will correspond to independent sets of time windows. In each of them, the state is
reduced to a given sub-Poissonian state with a constant noise
reduction, wherever the band center. By using independent
intervals, one keeps most of the values of the idler intensity
and so improve by a large factor the success rate of the
preparation. This scheme—directly related to the nature of
033808-6
E. Reproduction des articles
95
CONDITIONAL PREPARATION OF A NONCLASSICAL…
PHYSICAL REVIEW A 69, 033808 (2004)
FIG. 8. Experimental multiband selection. The horizontal unit is
the width s of the Poisson distribution of same mean intensity.
Independent bands of width D = 0.2s have been implemented. Band
are separated by 4s in (a) and 2s in (b) sF8 = 100, G = 0.18d.
continuous variable—opens the possibility to generate in
parallel a great number of sub-Poissonian states. Figure 8
gives the experimental implementation of multiband selection for different distances between the band center. Experimental details are given in Ref. [8].
VII. CONCLUSIONS
tion equal to the conditional variance, i.e., the initial gemellity minus 3 dB in the case of a large Fano factor. We have
extended this triggering condition to a finite band. For a band
largely narrower than the standard deviation of a coherent
state of same mean intensity, the preparation probability increases linearly with the bandwidth and the noise reduction
remains almost constant. As opposed to the discrete variables
case, there is a trade-off between the preparation efficiency
and the nonclassical character of the selected state. Theoretical calculations and computer simulations are in very good
agreement, and both account very well for the experimental
results detailed in Ref. [8].
The next step should be to extend this conditional measurement strategy to the preparation of more exotic nonclassical states as it is the case in the photon counting regime.
One can think for instance to generate Schrödinger-cat-like
state. It could be also of great interest to extend this protocol
to EPR beams, in particular generated by a self-phase-locked
OPO where the anticorrelated phase fluctuations of the twin
beams are accessible [20].
In the photon counting regime, conditional measurements
play a crucial role as illustrated by the various schemes theoretically proposed or experimentally implemented. The extension to the continuous-variable regime is of great importance as the efficiency can be dramatically improved and
more complex triggering schemes implemented.
The required quantum correlation is generated in our protocol by a ND-OPO above threshold. It has been shown that
conditioning on a given value of the idler intensity leads to
the preparation of a sub-Poissonian state with a noise reduc-
Laboratoire Kastler-Brossel, of the Ecole Normale
Supérieure and the Université Pierre et Marie Curie, is associated with the Centre National de la Recherche Scientifique
(UMR 8552). We acknowledge support from the European
Commission project QUICOV (Grant No. IST-1999-13071)
and ACI Photonique (Ministère de la Recherche).
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quant-ph/0310036; e-print quant-ph/0311123.
ACKNOWLEDGMENTS
033808-7
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en
fréquence
Sommaire
A
B
C
D
E
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diffusions de phase : une limitation ? . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1
Diffusion du champ pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2
Diffusion de la différence des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés spectrales théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1
Dépendances imposées par les conditions d’oscillation . . . . . . . . .
C.2
Sélection par accord de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3
Résonance des champs signal et complémentaire . . . . . . . . . . . .
C.4
Résonance du champ pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obtenir expérimentalement la dégénérescence . . . . . . . . . . . .
D.1
Dispositifs d’analyse en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2
Confirmation d’une éventuelle dégénérescence . . . . . . . . . . . . . .
D.3
Stratégie pour approcher expérimentalement la dégénérescence . . . .
D.4
Répétabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.5
La dégénérescence : un point de fonctionnement accidentel . . . . . .
D.6
Asservissement électronique et verrouillage de phase . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
98
98
98
100
100
101
103
104
104
105
105
107
107
108
108
109
110
Introduction
Un oscillateur paramétrique optique au-dessus du seuil permet de générer des faisceaux
intenses dont les fluctuations d’intensité sont très fortement corrélées au niveau quantique. Les
deux chapitres précédents ont mis en évidence expérimentalement cette propriété et montré
qu’un état sub-Poissonien pouvait être préparé par stratégie conditionnelle à partir de ces
corrélations.
Les fluctuations de phase sont quant à elles, en principe, fortement anti-corrélées. Cette
propriété a été rappelée théoriquement au chapitre 5 : au seuil, le spectre du bruit sur la
somme des phases est identique au spectre sur la différence des intensités. Les faisceaux émis
au-dessus du seuil sont ainsi intriqués en quadrature et pourraient être utilisés dans divers protocoles d’information quantique. Cependant, la mesure des fluctuations de phase est beaucoup
98
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
plus délicate expérimentalement que la mesure des fluctuations d’intensité car elle requiert
une interférence avec un champ de référence, appelé oscillateur local. Or une diffusion rapide
affecte les phases moyennes. Pour limiter ce phénomène, s’approcher de la dégénérescence en
fréquence de l’OPO est nécessaire. Le battement entre les champs signal et complémentaire
renseigne en effet sur leur phase relative et peut permettre une rétroaction. De plus, travailler
à dégénérescence exacte en fréquence permettrait de mettre en œuvre les techniques usuelles
de détection homodyne. Ce chapitre détaille ces phénomènes et explique comment trouver
expérimentalement le battement et se rapprocher de la dégénérescence.
B
Diffusions de phase : une limitation ?
Deux diffusions de phase affectent les champs émis par un OPO au-dessus du seuil : la
diffusion du champ pompe liée à la largeur Schawlow-Townes du laser et la diffusion de la
différence des phases des champs émis, liée quant à elle à la largeur Schawlow-Townes propre
de l’OPO. Cette section décrit l’influence de ces deux processus sur la mesure des bruits de
phase.
B.1
Diffusion du champ pompe
Un premier phénomène affecte la phase des champs émis : la diffusion de phase du laser
pompe. La phase absolue d’un laser n’est en effet pas déterminée dans le régime stationnaire.
Les bruits entrants couplés à cette quantité vont donc la faire évoluer sans qu’aucune force de
rappel ne la ramène vers une valeur fixe. Ce phénomène peut s’interpréter comme une ”marche
au hasard” temporelle de la phase. Le bruit responsable de la diffusion est, dans le cas d’un
laser, le bruit d’émission spontanée. A cause de ce phénomène, la somme des phases ϕ1 + ϕ2
des champs signal et complémentaire, qui ”suit” la phase ϕ0 du champ pompe, est très bruitée
à basse fréquence.
Cependant, la phase des champs n’est généralement pas mesurée relativement à une référence absolue mais en utilisant un oscillateur local issu du laser initial. Le spectre de bruit sur
la somme des phases qui nous intéresse est donc en fait le bruit sur ϕ1 + ϕ2 − ϕ0 et non sur
ϕ1 + ϕ2 . Il a été montré dans la référence [Courtois91] que la soustraction de la phase du laser
supprime la divergence du bruit de phase à fréquence nulle. L’effet de la diffusion de phase
n’est pas totalement supprimé aux autres fréquences. L’excès de bruit apporté reste cependant
négligeable si la largeur de raie du laser est très petite devant la bande passante de l’OPO. La
figure 7.1 donne le spectre du bruit sur la somme des phases en fonction de la largeur du laser
normalisée à la bande passante de l’OPO. Le laser pompe utilisé ayant une largeur de raie de
l’ordre de quelques kHz sur 100 ms, la diffusion du champ pompe n’est pas un facteur limitant
pour notre étude.
B.2
Diffusion de la différence des phases
Le second phénomène est propre à l’OPO, indépendamment de la pompe. La conversion
paramétrique fixe en effet la somme des phases des champs signal et complémentaire mais pas
B. Diffusions de phase : une limitation ?
99
1
1
0.5
Largeur WL
0
0.5
1
Fréquence W
2
3
Fig. 7.1: Bruit sur la somme des phases en fonction de la fréquence d’analyse et de la largeur
de raie ΩL du laser pompe normalisées à la bande passante de l’OPO. (γ = γ0 , σ = 1.1, µ = 0)
leur différence. Les équations qui régissent le fonctionnement de l’OPO s’écrivent :
(
(γ ′ − i∆1 )A1 = gA0 A∗2
(γ ′ − i∆2 )A2 = gA0 A∗1
(7-1)
Aucune solution stationnaire n’est imposée à la différence des phases : le système est invariant
par le changement de phase A1 → A1 eiϕ , A2 → A2 e−iϕ . Les phases individuelles sont donc
libres de diffuser, cette diffusion étant toujours symétrique par rapport à la phase de la pompe
(figure 7.2).
Cette diffusion est à relier à la diffusion Schawlow-Townes propre à l’OPO : à puissance
de sortie égale, la diffusion de la différence de phase dans un OPO est identique à celle de la
phase d’un laser. Divergent à fréquence nulle, le bruit décroit en 1/Ω2 à l’intérieur de la bande
passante de la cavité pour tendre vers le bruit quantique standard d’un état cohérent. Alors
que le bruit responsable de la diffusion de phase d’un laser est le bruit d’émission spontanée,
c’est ici le bruit de fluorescence paramétrique qui est à l’origine de ce phénomène.
Si la diffusion de phase est suffisamment lente et s’il y a asservissement, la phase de l’oscillateur peut suivre les phases individuelles et permettre ainsi la mesure des fluctuations. Le
coefficient de diffusion Schawlow-Townes est donné pour les phases moyennes par Ω2c /(2Nout )
où Ωc est la bande passante de la cavité et Nout le flux de photons en sortie de l’OPO. Avec
une largeur de l’ordre de 50 MHz et un flux de 1016 photons par seconde, ce qui correspond
aux puissances typiques obtenues proche du seuil, la diffusion est de l’ordre de 10 rad/s. Ce
taux est important et rend toute mesure très difficile. Très au-dessus du seuil, le taux de diffusion diminue. Ce dernier régime est cependant peu intéressant car les anti-corrélations sont
rapidement dégradées quand le taux de pompage σ augmente.
Afin de mesurer les anti-corrélations de phase, il est donc indispensable de limiter ce phénomène de diffusion. De plus, travailler à dégénérescence exacte en fréquence permettrait de
mettre en œuvre les techniques usuelles de détection homodyne. C’est donc ce fonctionnement
100
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
A1
j1
j2
A2
Fig. 7.2: Représentation de Fresnel des champs émis. Seule la somme des phases des champs
signal et complémentaire est fixée. Les phases individuelles diffusent librement, symétriquement
à la phase de la pompe.
particulier qui sera recherché : des faisceaux signal et complémentaire à même fréquence et dont
la diffusion de la phase relative est verrouillée. Deux solutions existent. La première consiste à
asservir en phase le battement entre les deux champs. Un contrôle fin de ce dernier est donc nécessaire pour l’amener vers zéro. Cette méthode sera présentée rapidement dans ce chapitre. La
seconde solution consiste à verrouiller la phase à dégénérescence par l’entremise d’un processus
physique : elle sera le sujet de la troisième partie de ce mémoire. Il apparaı̂tra alors qu’il est
également indispensable de savoir contrôler finement le battement. Les deux parties suivantes
décrivent les propriétés spectrales d’un OPO triplement résonant et le contrôle expérimental
du battement. L’ensemble des résultats à venir reposera sur cette maı̂trise.
C
Propriétés spectrales théoriques
En contrepartie de leur accordabilité, les faisceaux signal et complémentaire ne sont qu’accidentellement à la même fréquence. Cette section décrit théoriquement les propriétés spectrales
d’un OPO de type II en cavité linéaire. A paramètres donnés, un oscillateur paramétrique
optique choisit toujours le couple de fréquences qui minimise le seuil d’oscillation. Une étude
très détaillée a été donnée dans les références [Debuisschert93] et [Fabre97].
C.1
Dépendances imposées par les conditions d’oscillation
Par conservation de l’énergie, la somme des fréquences ν1 et ν2 émises est égale à la fréquence
pompe : ν0 = ν1 +ν2 . Seule la fréquence de battement définie par ∆ν = ν1 −ν2 est un paramètre
libre. Les fréquences signal et complémentaire peuvent s’exprimer en fonction de ce paramètre :
ν1 =
ν0 ∆ν
+
2
2
et ν2 =
ν0 ∆ν
−
2
2
(7-2)
C. Propriétés spectrales théoriques
101
Il a été montré au chapitre 4 que les équations stationnaires des champs signal et complémentaire admettent une solution non nulle si les déphasages ∆i au bout d’un tour dans
la cavité sont égaux pour ces deux champs. Ces déphasages ont été supposés petits mais ils
sont bien sûr définis modulo 2π. La condition nécessaire pour qu’il y ait oscillation peut ainsi
s’écrire :
∆2 = ∆1 + 2mπ
avec m entier
(7-3)
Cette condition va entraı̂ner une discrétisation des fréquences d’oscillation.
Chaque déphasage est défini à partir de la longueur de la cavité L et des caractéristiques
du cristal, longueur l et indices pour chaque polarisation. La dispersion des indices du cristal
ayant un très faible effet au regard des plages d’accord considérées, elle ne sera pas prise en
compte.
∆i =
2πνi
2(L + ni l)
c
(7-4)
La condition (7-3) donne alors les valeurs de battements possibles ∆νm :
∆νm = −ν0
c
lδn
−m
= α − m ISL
L + nl
2(L + nl)
(7-5)
2
2
avec n = n1 +n
l’indice moyen et δn = n1 −n
la demi-biréfringence du cristal. A paramètres
2
2
fixés, il existe un ensemble discret de couples (ν1 ,ν2 ) susceptibles d’osciller. Les fréquences de
battement sont séparées par l’intervalle spectral libre de la cavité, noté ISL.
Le paramètre α intervenant dans (7-5), et qui fixe la valeur du battement pour m = 0, peut
être modifié de deux manières. Cette grandeur étant proportionnelle à ν0 δn, il faut soit modifier
la fréquence pompe, soit modifier la birefringence du cristal en changeant sa température ou
encore l’angle d’incidence du faisceau pompe. Cette dernière possibilité, qui revient à avoir un
angle de coupe différent (cf annexe A), n’est pas offerte par la structure semi-monolithique
car le miroir d’entrée est directement déposé sur une face du cristal et impose une incidence
normale.
Considérons la dépendance en température de la biréfringence. La variation de δn, établie
à partir des valeurs données en Annexe A, est de 0.655 10−5 /K. En considérant une longueur
de cavité de L + nl = 4.5 cm, la dépendance de ∆νm , à m fixé, est de 410 MHz/K.
Modifier la fréquence pompe permet également de modifier le terme α. Pour une cavité de
même longueur que précédemment, augmenter la fréquence pompe de 1 GHz diminue le paramètre α d’environ 10 MHz. Il en résulte une translation d’autant des fréquences de battement.
La figure 7.3 résume ces différentes dépendances.
C.2
Sélection par accord de phase
A température du cristal et longueur de cavité données, il existe donc un ensemble discret
mais infini de couples de fréquences pouvant osciller. La condition d’accord de phase va sélectionner le couple pour lequel le seuil est le plus faible, c’est-à-dire qui minimise le désaccord
102
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
Dnm
Dn
n0 ­
Dnm+1
Dnm+2
Dnm+3
0
T
ISL
Fig. 7.3: Fréquences de battement ∆ν permises, pour une longueur de cavité donnée, en fonction de la température du cristal. Il existe un ensemble discret de couples pouvant osciller,
définies par la valeur du paramètre m. A une température donnée, chaque battement possible est séparé par l’intervalle spectral libre de l’OPO, noté ISL. Cet ensemble est translaté
verticalement lorsque la fréquence pompe ν0 est modifiée.
∆k = k0 − k1 − k2 . Ce paramètre peut être écrit en fonction des indices et des fréquences définis
précédemment :
´
2π ³
(n0 − n)ν0 − δn∆ν
∆k =
(7-6)
c
Le battement ∆νk qui annule ce paramètre est ainsi donné par :
∆νk = ν0
n0 − n
δn
(7-7)
C’est le battement le plus proche de cette valeur qui va osciller.
Tout comme le paramètre α défini précédemment, cette valeur peut être modifiée en changeant la fréquence de la pompe ou la température du cristal. La pente de ∆νk en fonction de
la température du cristal est de l’ordre de 14 GHz/K. Cette pente est donc 35 fois plus grande
que celle de α. Augmenter la fréquence du laser a pour effet d’augmenter cette pente, sans
modifier la température pour laquelle ∆νk s’annule. Ce changement de pente est en fait infime
et n’aura donc aucune influence.
Les fréquences de battement autorisées par la condition d’oscillation ont été superposées
figure 7.4 avec la condition d’accord de phase en fonction de la température du cristal. Il y a
donc deux accordabilités en fréquence lorsque la température du cristal est modifiée : une lente
et l’autre rapide. La forte différence de pente a pour conséquence que l’OPO sera accordable
par sauts de mode. Ce comportement est similaire à celui des diodes lasers. Les plages de
fonctionnement ont été représentées en gras, les pointillés correspondent aux sauts de mode.
Cette figure fait apparaı̂tre clairement que la dégénérescence peut ne jamais être atteinte :
dans le cas représenté, un saut de mode se produit avant. Dans le pire des cas, le saut de mode
C. Propriétés spectrales théoriques
103
Dnk
Dn
Dnm
n0 ­
Dnm+1
Dnm+2
Dnm+3
0
T
ISL
Fig. 7.4: Fréquences de battement permises, pour une longueur de cavité donnée, superposées
à la condition d’accord de phase ∆νk en fonction de la température du cristal. Le couple le
plus proche de cette dernière condition, qui aura donc le seuil le plus bas, est sélectionné. Ces
plages de fonctionnement ont été représentées en gras. Les pentes très différentes conduisent
à une accordabilité en saut de modes. Il est nécessaire d’ajuster la fréquence du laser pour
que la dégénérescence en fréquence soit possible, c’est-à-dire qu’une plage en gras coupe l’axe
∆ν = 0.
se produit pour une fréquence de battement égale à la moitié de l’intervalle spectral libre de
l’OPO. Il est donc nécessaire de modifier la fréquence de pompe (c’est-à-dire modifier α) de
telle sorte que l’une des plages de fonctionnement possibles coupe la dégénérescence. Cette
figure montre également que la dégénérescence ne peut être obtenue qu’accidentellement : c’est
un point d’extension nulle dans l’espace des paramètres expérimentaux. La moindre fluctuation
de température fait passer de part et d’autre.
C.3
Résonance des champs signal et complémentaire
L’égalité ∆1 = ∆2 = ∆ nécessaire à l’oscillation ne dit rien sur le seuil de cette oscillation.
Le seuil minimum est obtenu à résonance, c’est-à-dire pour ∆ = 0. Afin de vérifier à la fois
la condition d’oscillation et la résonance des champs signal et complémentaire, les déphasages
doivent s’écrire de manière générale :
∆1 = 2pπ
et ∆2 = 2(p + m)π
(7-8)
Les longueurs de cavité correspondantes sont alors données par :
L + nl =
λ0 ³
δnl
δnl ´
)
(2p + m) +
(m + 2
2
λ0
L + nl
(7-9)
Considérons tout d’abord le premier terme du second membre de cette expression et supposons
le second négligeable. A une longueur de cavité qui assure l’oscillation du système correspond
104
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
une valeur fixée de q = 2p+m. Plusieurs valeurs de p et m sont donc possibles et correspondent
à des fréquences de battement différentes. Il est important de noter que q et m ont la même
parité. Ainsi, si q est pair alors m est pair et seuls les battements α, α±2 ISL,... peuvent exister.
De même, si q est impair alors m l’est aussi : seuls les battements α± ISL, α±3 ISL,... peuvent
osciller.
Le second terme ne dépend que de m. Il a donc pour effet de lever la dégénérescence en
longueur des différentes fréquences de battements possibles. La distance entre deux résonances
δnl
est égale à λ0
soit environ λ0 /100. Les pics sont donc très proches relativement à la
L + nl
distance séparant deux résonances pompes.
L’OPO va ainsi présenter un fonctionnement discret en fonction de la longueur de la cavité.
La condition de résonance n’étant pas stricte, les plages de fonctionnement seront centrées
autour des longueurs définies en (7-9). La largeur de ces plages dépend à la fois de la finesse
infrarouge et du taux de pompage. Cette discrétisation des longueurs de fonctionnement est
spécifique aux OPO de type II doublement ou triplement résonants et les distingue des lasers
qui peuvent osciller pour toute longueur de leur cavité.
C.4
Résonance du champ pompe
Un dernier critère va sélectionner les modes qui vont osciller. Afin d’avoir une oscillation
pour une puissance pompe proche du seuil, la longueur de la cavité doit être proche d’une
résonance pompe. Pour une résonance pompe donnée, les valeurs de m pour lesquelles les
longueurs de cavité définies en (7-9) sont les plus proches d’un multiple de λ0 /2 seront ainsi
favorisées. De plus, chaque résonance pompe correspond à une parité donnée de q, donc des m
sélectionnés.
Si la résonance pompe est fine, seuls quelques modes, voire un seul, peuvent osciller. Dans
notre expérience où la finesse pompe est de l’ordre de 100, un seul mode peut osciller dans
la résonance pompe car la séparation des pics est justement, comme calculé précédemment,de
l’ordre de λ0 /100.
C.5
Résumé
La fréquence des faisceaux émis est globalement imposée par la condition d’accord de phase.
Les valeurs précises sont ensuite déterminées par les conditions de résonance. La figure 7.5
résume les résultats précédents lorsque la longueur de la cavité est balayée, à une température
du cristal donnée.
Les oscillations infrarouges n’apparaissent qu’au niveau des résonances pompes où le seuil
est bas. Les fréquences de battement, discrétisées et paramétrées par m, sont différentes d’une
résonance pompe à la suivante. Il est donc nécessaire d’étudier deux résonances pompes successives pour trouver le battement le plus proche de la dégénérescence.
Lorsque la température du cristal est modifiée, les pics infrarouges se déplacent relativement
à la résonance pompe, s’approchant ou s’éloignant du seuil minimum. A longueur fixée, par
exemple au sommet de la résonance pompe où l’OPO sera asservie, le mode oscillant voit
sa fréquence modifiée avec la température tout en s’éloignant de résonance. Puis, c’est le
D. Obtenir expérimentalement la dégénérescence
q pair
ql0/2
105
(q+1)l0/2
Lc
m pair
m-2 m m+2 ....
m-1 m+1 m+3 ...
Fig. 7.5: Résonances du champ pompe et oscillations infrarouges lorsque la longueur de la
cavité est balayée. Les fréquences de battement, définies par les valeurs de m, sont différentes
d’une résonance pompe à la suivante.
mode suivant qui oscille à cette longueur fixée. Un saut de mode s’est produit entre les deux
oscillations.
La dégénérescence en fréquence est difficile à obtenir. Un saut de modes se produit généralement avant de l’atteindre. Il est alors nécessaire de modifier la fréquence du laser. Un
ajustement très fin est à trouver pour pouvoir assurer également au mode dégénéré d’être résonant simultanément avec la pompe et avoir donc un seuil bas. C’est toute la difficulté de la
triple résonance.
D
Obtenir expérimentalement la dégénérescence
Cette section détaille comment approcher expérimentalement la dégénérescence. La condition de triple résonance rend cette recherche plus difficile. Cette étape est cruciale et l’ensemble
des résultats ultérieurs en dépend.
D.1
Dispositifs d’analyse en fréquence
Afin de déterminer les fréquences des champs émis, trois dispositifs différents ont été réalisés.
Un miroir de renvoi mobile à la sortie de l’OPO permet de diriger les faisceaux infrarouges
vers ces trois dispositifs simultanément. Le schéma du bloc d’analyse en fréquence est détaillé
figure 7.6.
Une première étude grossière est réalisée à l’aide d’un spectromètre à réseau de résolution
0.2 nm. Utilisée pour mettre en évidence la dépendance grossière en fréquence, qui correspond à
la condition d’accord de phase (∼20 GHz/K), cette étude permet de déterminer la température
de dégénérescence à quelques dixièmes de degré près. Un résultat typique de cette analyse a
été présenté au chapitre 4. Indispensable pour caractériser chaque nouveau cristal, cette étude
n’est réalisée qu’une seule fois.
Lorsque les fréquences des faisceaux signal et complémentaire sont suffisamment proches,
106
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
Spectromètre
Bloc “Analyse en fréquence”
Photodiode rapide
FP Confocal
l/2
50/50
Ä 12 MHz
Servo
l/2
l/2
l/2
KTP
PZT
Flip
l/2
Laser Nd:YAG
doublé
Isolateur
PZT
Servo
Fig. 7.6: Un miroir mobile (”Flip”) à la sortie de l’OPO permet d’envoyer les faisceaux signal et
complémentaire dans un bloc d’analyse en fréquence. Trois caractérisations sont possibles selon
l’écart à la dégénérescence : spectromètre, Fabry-Perot et battement. A ces dispositifs s’ajoute
un oscillateur local permettant de confirmer une éventuelle dégénérescence par interférences.
le battement entre les deux champs peut être détecté à l’aide d’une photodiode rapide, jusqu’à
des fréquences de l’ordre de 1 GHz. La photodiode en InGaAs utilisée (Hamamatsu G8376-02)
est polarisée sous sa valeur maximale admissible, 18 V. La capacité de la photodiode diminue
en effet avec cette tension et il est donc légitime de l’augmenter le plus possible pour réaliser
un système de détection de grande bande passante. Le photocourant est directement converti
en tension par une résistance de charge de 50 Ω. Afin de réduire les capacités parasites qui
limiteraient rapidement la bande passante, le circuit doit être très compact et les pattes des
composants les plus courtes possibles. Pour cela, des composants pour montage en surface
(CMS) ont été utilisés. Le photocourant est ensuite amplifié (Nuclétudes 10.36.2) et visualisé
sur un analyseur de spectre.
Un Fabry-Perot confocal vient compléter ce dispositif. De finesse expérimentale 300 et
d’intervalle libre 1.5 GHz, il a été construit à partir de deux miroirs plan-concaves de rayon
de courbure 50 mm et de coefficient de réflexion 99%. La résolution relativement faible, de
l’ordre de 5 MHz, conduit fréquemment à des superpositions accidentelles des deux pics. Une
telle superposition n’est jamais la preuve d’une dégénérescence en fréquence. Le Fabry-Perot
est en fait d’une utilité réduite car la photodiode rapide apporte beaucoup plus d’informations.
Il confirme cependant le fonctionnement monomode longitudinal de l’OPO.
La figure 7.7 donne un exemple typique des signaux obtenus au Fabry-Perot et à la photodiode rapide. La différence d’amplitude des pics signal et complémentaire au Fabry-Perot est
principalement due à des coefficients de réflexion des miroirs de renvoi différents suivant les
D. Obtenir expérimentalement la dégénérescence
107
Dn~6 MHz
Fig. 7.7: Observations typiques obtenues à l’aide du Fabry-Perot et de la photodiode rapide.
Cette dernière permet de mesurer le battement entre les faisceaux signal et complémentaire.
deux polarisations.
D.2
Confirmation d’une éventuelle dégénérescence
Deux méthodes permettent de confirmer une éventuelle dégénérescence en fréquence. La
première technique consiste à faire interférer les champs émis avec le laser infrarouge initial.
L’observation d’interférences lorsque la phase de l’oscillateur local est balayée à quelques Hz
confirme la dégénérescence. Une autre méthode, plus originale et plus rapide, est également
utilisée. Si les champs signal et complémentaire sont à la même fréquence, alors le champ
émis par l’OPO, superposition de ces deux composantes orthogonales, a une polarisation bien
définie : l’intensité infrarouge détectée après le cube polariseur est modifiée en tournant la lame
demi-onde à la sortie de l’OPO. Cela n’est bien sûr jamais le cas lorsque les deux faisceaux
polarisés orthogonalement sont à des fréquences différentes.
D.3
Stratégie pour approcher expérimentalement la dégénérescence
La première étape consiste à déterminer autour de quelle température la dégénérescence
peut être obtenue. L’étude au spectromètre permet de situer la température de dégénérescence
à quelques dixièmes de degrés près.
Le battement est ensuite recherché à la photodiode rapide. Généralement, aucun battement
n’est observé à cette étape. Il faut alors changer la fréquence du laser par pas d’environ 500
MHz. A chaque pas, la température du cristal est balayée dans une plage de quelques dixièmes
de degrés, valeur de l’incertitude sur ce paramètre. Cette étape consiste à assurer qu’une des
plages de fonctionnement de l’OPO passe par la dégénérescence (figure 7.4). Il ne faut pas non
plus oublier d’étudier deux résonances pompes successives car le battement le plus proche de
la dégénérescence n’est obtenu que pour une résonance pompe sur deux.
Une fois le battement trouvé, généralement à quelques centaines de MHz, un ajustement fin
est nécessaire. Changer la fréquence du laser ou la température du cristal diminue la fréquence
108
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
de battement mais écarte également le mode considéré de résonance : le seuil augmente. C’est
en jouant conjointement sur ces deux paramètres que, de proche en proche, le battement est
amené à zéro, tout en assurant un seuil bas. La figure 7.7 montre un battement obtenu à
quelques MHz.
Il est généralement nécessaire de beaucoup modifier la fréquence du laser. Nous avons vu
précédemment que, dans le pire des cas, il fallait décaler les battements d’un demi intervalle
spectral libre, soit 1.5 GHz. Avec une translation de 10 MHz par modification de la fréquence
pompe de 1 GHz, la pompe devra donc être modifiée au plus de 150 GHz : c’est justement la
limite de son accordabilité. Un laser pompe peu accordable en fréquence serait un obstacle majeur à la recherche de la dégénérescence et aux études ultérieures. Cela montre également qu’il
n’existe qu’une seule zone de fréquence du laser pour laquelle la dégénérescence est possible.
Par ailleurs, l’accordabilité du laser n’est pas continue : des sauts de modes se produisent tous
les 20 GHz environ. La fréquence juste après le saut de mode est différente de celle juste avant
car deux plages de fonctionnement successives se recouvrent en fréquence pour moitié (figure
3.2).
D.4
Répétabilité
Au cours d’une même journée ou d’une journée à la suivante, les paramètres qui permettent
d’obtenir la dégénérescence – température du cristal et fréquence du laser – évoluent. Statistiquement, ces paramètres doivent être fréquemment ajustés dans une plage de l’ordre de 500
MHz pour la fréquence pompe et de 0.1 K pour la température du cristal.
Lorsque le point de focalisation sur le cristal est modifié, la recherche du battement est à
nouveau nécessaire. En raison d’une légère inhomogénéité, des variations locales des indices
de réfraction modifient les paramètres de fonctionnement. Si la température du cristal reste
toujours dans une plage de 0.5 K, la fréquence du laser peut être assez différente (plusieurs
sauts de mode). Des changements supérieurs à 10 GHz ont souvent été nécessaires.
D.5
La dégénérescence : un point de fonctionnement accidentel
Le battement peut être amené à zéro par un ajustement fin et simultané de la fréquence
pompe et de la température du cristal. La figure 7.8 donne le battement en configuration
MaxHold. Cette configuration conserve la valeur maximale atteinte à chaque fréquence et
permet ainsi de visualiser en une seule trace toutes les fréquences de battement obtenues lors
de cette procédure d’ajustement : de 8 MHz, le battement se rapproche progressivement de zéro
jusqu’à atteindre la dégénérescence. Cependant, la dégénérescence n’est qu’accidentelle : elle
correspond à un point d’extension nulle dans l’espace des paramètres expérimentaux. Aucun
signe d’accrochage en fréquence n’a en effet été observé : le battement fluctue autour de la
dégénérescence, passant de part et d’autre, voire s’éloignant rapidement. Il n’a pas été possible
d’obtenir des interférences stables avec l’oscillateur local lorsque sa phase est balayée à quelques
Hz.
D. Obtenir expérimentalement la dégénérescence
109
Modification de la température
du cristal ou de la fréquence du laser
Fig. 7.8: Battement signal/complémentaire observé à l’analyseur de spectre. Le battement se
déplace lorsque la température du cristal ou la fréquence du laser sont modifiées. Le second
tracé est obtenu en configuration MaxHold. Le battement passe continûment par zéro lorsque
les paramètres précédent sont modifiés, sans aucun signe d’accrochage.
D.6
Asservissement électronique et verrouillage de phase
Un asservissement électronique peut permettre de stabiliser le battement à dégénérescence,
ou à toute autre fréquence, par comparaison à une fréquence de référence. Par l’intermédiaire
d’une boucle à verrouillage de phase, la phase du battement peut également être asservie sur
la phase de ce signal de référence. La rétroaction modifie un indice du cristal via des électrodes
directement déposées sur ce dernier. Une stabilisation à quelques GHz fut ainsi démontrée pour
la première fois en 1992 par D. Lee et N.C. Wong [Lee92].
Plus récemment, l’équipe de O. Pfister à l’Université de Virginie a développé un OPO
doublement résonant dont les fréquences d’émission sont asservies à dégénérescence [Feng03,
Feng04]. Cependant, diverses dérives n’ont pas permis à ce jour d’obtenir une compression de
bruit sur la somme des fluctuations de phase.
Une telle étude est également en cours sur notre expérience. La figure 7.9 résume la technique utilisée. La transmission résiduelle à 1064 nm du miroir d’entrée de l’OPO permet de
détecter en réflexion quelques µW des faisceaux signal et complémentaire. L’un des faisceaux
est décalé en fréquence de 50 MHz par un modulateur acousto-optique. Le battement entre
les deux modes est ensuite mesuré et comparé à la phase de cette fréquence de référence. Un
signal d’erreur a déjà été obtenu et il est désormais nécessaire de mettre en place les électrodes
sur le cristal. Un nouveau four qui permettra d’appliquer une tension sur ces électrodes est en
cours de réalisation.
Un asservissement électronique a cependant pour défaut majeur d’être lent, pour deux
raisons principales. Tout d’abord, la puissance du battement est faible puisque il ne peut être
obtenu qu’en utilisant une petite fraction des champs signal et complémentaire afin de ne pas
dégrader les effets quantiques. Il est donc nécessaire de moyenner sur quelques millisecondes
à quelques secondes pour obtenir un rapport signal à bruit exploitable dans la boucle de
rétroaction. De plus, la boucle est limitée par la bande passante de l’électronique de rétroaction
110
7. Propriétés spectrales et contrôle du battement en fréquence
Bloc “Asservissement du battement”
Spectromètre
Photodiode rapide
FP Confocal
50/50
l/2
HF
A.O.
l/2
50/50
Servo
Servo
l/2
l/2
l/2
KTP
PZT
Flip
l/2
Laser Nd:YAG
doublé
Isolateur
PZT
Servo
Fig. 7.9: Asservissement du battement à dégénérescence. Le battement est décalé de 50 MHz
par un modulateur acousto-optique et comparé à cette fréquence qui sert de référence. Le signal
d’erreur est ensuite envoyé sur des électrodes déposées sur le cristal de l’OPO.
(PID, amplificateur haute tension...). Les fluctuations rapides ne sont donc pas corrigées. La
troisième partie de ce mémoire sera consacrée à une solution alternative ”tout-optique”.
E
Conclusion
Les anti-corrélations de phase des champs émis par un oscillateur paramétrique optique
au-dessus du seuil sont beaucoup plus difficiles à observer que les corrélations d’intensité. Pour
accéder à cette propriété, il est nécessaire de limiter la diffusion de phase qui affecte les phases
individuelles. Travailler à dégénérescence en fréquence est également beaucoup plus simple et
permet de mettre en œuvre les techniques usuelles de détection homodyne. Ces contraintes
nécessitent toutes deux de contrôler le battement entre les champs signal et complémentaire :
ce chapitre a ainsi détaillé le comportement spectral du système et a montré comment obtenir
expérimentalement la dégénérescence, point de fonctionnement accidentel dans l’espace des
paramètres expérimentaux. Un ajustement de la fréquence du laser – parfois important – et de
la température du cristal sont nécessaires.
Un verrouillage électronique devrait permettre de limiter la diffusion de phase et d’asservir
le battement à dégénérescence. Une telle étude est en cours de réalisation sur notre expérience.
Cette technique a cependant pour défaut d’être lente et peu aisée à mettre en œuvre. Une autre
possibilité est d’obtenir un verrouillage ”tout-optique” en introduisant un couplage linéaire entre
les champs signal et complémentaire. L’étude de ce phénomène d’auto-verrouillage de phase
à dégénérescence en fréquence et des propriétés quantiques des faisceaux émis constituent le
sujet de la troisième et dernière partie de ce manuscrit.
E. Conclusion
111
Les paramètres permettant d’obtenir la dégénérescence au-dessus du seuil assurent la triple
résonance de la pompe et des modes infrarouges dégénérés en fréquence. Cette configuration
est également celle requise, au-dessous du seuil, pour générer par amplification paramétrique
dégénérée en fréquence des faisceaux vides intriqués en quadrature. Le chapitre suivant décrit
les propriétés quantiques de l’OPO au-dessous du seuil, théoriquement et expérimentalement.
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du
seuil
Sommaire
A
Introduction
B
Amplification paramétrique dégénérée en fréquence
C
D
E
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
. . . . . . . . 114
B.1
Equations linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.2
Variances de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.3
Critère d’intrication et critère EPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
C.1
Schéma expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
C.2
Asservissement de la détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . 119
C.3
Mesure sur une large bande de fréquence
C.4
Mesure à basse fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
. . . . . . . . . . . . . . . . 120
Applications possibles d’une source comprimée à basse fréquence
121
D.1
Mesures interférométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
D.2
Mesures à faible fréquence de modulation . . . . . . . . . . . . . . . . 122
D.3
Mesures dans une fenêtre temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Introduction
La recherche de la dégénérescence au-dessus du seuil a permis de déterminer les paramètres expérimentaux – fréquence de pompe et température du cristal – pour lesquels le champ
pompe et les champs infrarouges dégénérés en fréquence sont simultanément résonants. Ce réglage pourrait également être obtenu, sans jamais passer au-dessus du seuil, en injectant un
champ infrarouge issu du laser initial et en assurant la triple résonance. Cette configuration
est également celle requise au-dessous du seuil pour générer des faisceaux vides présentant
des corrélations EPR entre quadratures orthogonales. C’est à l’aide d’un dispositif similaire
que fut obtenue en 1992 par Z.Y. Ou et al. la première démonstration expérimentale de telles
corrélations [Ou92]. Ce chapitre établit théoriquement les propriétés quantiques du système et
détaille sa mise en œuvre expérimentale.
Les compressions de bruit rapportées jusqu’à présent dans ce mémoire ont été mesurées
à des fréquences d’analyse du bruit de quelques MHz. Il en est de même pour la plupart des
114
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du seuil
expériences d’optique quantique. A des fréquences plus basses, le fort excès de bruit technique
vient généralement masquer les propriétés non-classiques des systèmes étudiés. A ce jour, peu
d’expériences ont permis d’observer une compression de bruit à basse fréquence. En 1987, dans
une expérience de mesures interférométriques réalisée par Ph. Grangier et al., une réduction
de bruit jusqu’à une fréquence de 200 kHz a été obtenue [Grangier87]. Plus récemment, une
technique consistant à insérer la source de lumière non-classique au sein d’un interféromètre
de Mach-Zehnder a permis d’améliorer cette valeur : une partie du bruit technique est rejetée
lors de la recombinaison des deux voies [Bowen02]. Par cette méthode, R. Schnabel et al. ont
réalisé une source continue de vide comprimé jusqu’à des fréquences de bruit de l’ordre de 100
kHz [Schnabel04].
Notre expérience a permis d’améliorer à nouveau cette fréquence limite sans avoir recours à
la technique précédente [Laurat04b]. Grâce à la stabilité de notre montage, les propriétés nonclassiques de l’état généré par l’OPO au-dessous du seuil – compression et intrication – sont
préservées pour des fréquences aussi basses que 50 kHz. Ce chapitre revient finalement sur les
applications possibles d’une source non-classique à basse fréquence. Elle permettrait d’améliorer
la sensibilité de nombreuses expériences mettant en jeu la détection d’effets physiques très
faibles, telles que la détection d’ondes gravitationnelles ou la mesure de petits déplacements
d’un faisceau laser.
B
Amplification paramétrique dégénérée en fréquence
Cette section établit les propriétés quantiques d’un OPO de type II pompé au-dessous
du seuil d’oscillation. Les états produits sont caractérisés à l’aide du critère d’inséparabilité
et du critère EPR, qui correspondent respectivement aux troisième et quatrième niveau de
corrélations quantiques introduits au chapitre 2. Une étude en fonction des pertes intracavité
renseigne à nouveau sur une différence majeure entre ces deux critères.
B.1
Equations linéarisées
Cette étude reprend les notations utilisées au cours des chapitres précédents. En particulier,
le champ pompe est choisi réel. Les équations de bouclage dynamiques s’écrivent à résonance :

p
p
dA1


2µB1in
+ γ ′ A1 = gA0 A∗2 + 2γAin
 τ
1 +
dt
(8-1)
p
p

dA
2

′
∗
in
in
 τ
+ γ A2 = gA0 A1 + 2γA2 + 2µB2
dt
Au-dessous du seuil, les valeurs moyennes de A1 et A2 sont nulles. Le bruit sur la pompe,
qui apparaı̂t dans les équations multiplié par les valeurs moyennes de A1 et A2 , n’intervient
donc pas dans les équations linéarisées autour des valeurs moyennes :

√
√
2γ in
2µ in
τ dδA1

∗

+
δA
=
σδA
+
δA
+
δB1

1
2
1
 γ ′ dt
γ′
γ′
(8-2)
√
√

τ
dδA
2γ
2µ

2

 ′
δB2in
+ δA2 = σδA∗1 + ′ δAin
2 +
γ dt
γ
γ′
B. Amplification paramétrique dégénérée en fréquence
115
Par transformée de Fourier, ces équations deviennent algébriques. Comme précédemment,
on définit Ω la fréquence de bruit normalisée à la bande passante de la cavité Ωc et pi (ϕ, Ω)
les fluctuations du mode Ai pour une quadrature et une fréquence données :
ωτ
ω
=
′
2γ
Ωc
f∗ (−Ω)eiϕ
fi (Ω)e−iϕ + δ A
pi (ϕ, Ω) = δ A
i
Ω =
Les équations du système sont alors réduites sous la forme :

√
√
2γ in
2µ in′



 p1 (ϕ)(1 + 2iΩ) − σp2 (−ϕ) − γ ′ p1 − γ ′ p1
√
√

2γ in
2µ ′


 p2 (−ϕ)(1 + 2iΩ) − σp1 (ϕ) − ′ p2 − ′ pin
γ
γ 2
(8-3)
= 0
(8-4)
= 0
′
in
où pin
i et pi correspondent aux fluctuations du vide qui sont indépendantes de la phase. Seules
les quadratures avec des phases ±ϕ interagissent. En introduisant les quadratures orthogonales,
p1 = p1 (ϕ) et q1 = p1 (ϕ + π/2)
p2 = p2 (−ϕ) et q2 = p2 (−ϕ + π/2)
(8-5)
on obtient deux équations identiques régissant l’évolution de la somme des fluctuations q1 + q2
et la différence des fluctuations p1 − p2 :

√
√
2γ in
2µ in′

in
in′


 (p1 − p2 )(1 + 2iΩ + σ) − γ ′ (p1 − p2 ) − γ ′ (p1 − p2 ) = 0
(8-6)
√
√

2γ in
2µ in′

in
in′

 (q1 + q2 )(1 + 2iΩ + σ) − ′ (q1 + q2 ) − ′ (q1 + q2 ) = 0
γ
γ
En écrivant une condition aux limites sur le miroir de sortie, il est simple d’exprimer les
fluctuations sortantes puis d’obtenir les variances des différents bruits.
B.2
Variances de bruit
Les faisceaux individuels présentent un excès de bruit indépendant de la quadrature et ce
bruit est d’autant plus important que l’OPO est pompé proche du seuil. En notant F le facteur
de Fano, le spectre est donné par :
F = Spout
= Sq1out = 1 +
1
γ
8σ 2
γ ′ (4Ω2 + (σ − 1)2 )(4Ω2 + (σ + 1)2 )
(8-7)
out
La somme des fluctuations sortantes q1out + q2out et la différence des fluctuations pout
1 − q2
sont comprimées au-dessous du bruit quantique standard. Les variances de bruit associées, qui
donnent les gémellités Gp et Gq , sont identiques. Les gémellités sont donc égales à une valeur
commune G :
out = Sq out +q out
G = Spout
1 −p2
1
2
= 1−
4σ
γ
γ ′ 4Ω2 + (σ + 1)2
(8-8)
116
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du seuil
S
1
1
0.5
V C2
1
Pompe s
0
1
0.5
Pompe s
0
0.5
Fréquence W
0.5
Fréquence W
1
2 0
1
2 0
Fig. 8.1: Séparabilité Σ et produit des variances conditionnelles Vc2 au-dessous du seuil, en
fonction du taux de pompage et de la fréquence d’analyse (µ = 0).
La réduction de bruit est d’autant plus forte que l’OPO est pompé proche du seuil. Au seuil, et
à fréquence nulle, la compression de bruit est maximale et donnée par le rapport γ/γ ′ . Ce terme
est celui qui intervenait également lors de l’étude au-dessus du seuil : à transmission donnée, la
compression est d’autant plus forte que les pertes intracavité sont faibles. Soulignons à nouveau
que les modes polarisés à ±45◦ des modes signal et complémentaire sont comprimés suivant
des quadratures orthogonales. Leur compression de bruit est égale à la gémellité G.
B.3
Critère d’intrication et critère EPR
La séparabilité Σ est définie comme la demi-somme des gémellités : elle est donc égale
à l’expression donnée en (8-8). Le critère de Duan assure l’inséparabilité si cette grandeur
est plus petite que l’unité, ce qui sera donc ici toujours le cas. Cette situation correspond au
troisième niveau de corrélations défini au chapitre 2. La figure 8.1 donne la séparabilité Σ en
fonction du taux de pompage et de la fréquence d’analyse. Au seuil, à fréquence nulle et en
l’absence de pertes, les deux modes générés sont parfaitement corrélés et anti-corrélés suivant
des quadratures orthogonales : Σ est réduite à zéro.
Le quatrième niveau de corrélations quantiques, le critère EPR, nécessite que le produit
des variances conditionnelles soit inférieur à 1. Le calcul de la variance conditionnelle fait
intervenir le facteur de Fano F et la gémellité G suivant la relation Vc = 2G − G2 /F . Puisque
les modes sont symétriques, les variances conditionnelles sont égales et le produit s’écrit Vc2 .
Cette grandeur est donnée par la figure 8.1. En l’absence de pertes, le critère est vérifié quels
que soient les paramètres.
L’évolution des deux critères en fonction des pertes µ s’avère très différente. La gémellité
G étant toujours inférieure à 1, le critère de Duan reste vérifié quelles que soient les pertes. En
revanche, cela n’est pas le cas du critère EPR dès que les pertes µ dépassent la transmission
γ (ce qui revient à dire qu’il y a plus de 50% de pertes). La figure 8.2 donne à nouveau la
séparabilité et le produit des variances conditionnelles mais pour des pertes µ égales au double
de la transmission γ : les modes générés sont bien intriqués mais le critère EPR n’est plus
vérifié. Cette différence majeure a été soulignée au chapitre 2 : le critère EPR est très sensible
aux pertes alors que le critère d’inséparabilité en est totalement indépendant.
C. Résultats expérimentaux
S
117
1
1
0.5
Pompe s
0
VC2
1.5
1
1
Pompe s
0
0.5
0.5
Fréquence W
Fréquence W
1
2 0
1
2 0
Fig. 8.2: Séparabilité Σ et produit des variances conditionnelles Vc2 au-dessous du seuil, en
fonction du taux de pompage et de la fréquence d’analyse. Les pertes µ sont égales à deux
fois la transmission γ. Critère d’inséparabilité et critère EPR évoluent très différemment sous
l’action de pertes.
C
Résultats expérimentaux
Le chapitre précédent a permis de déterminer les paramètres expérimentaux – température
du cristal et fréquence du laser – qui assurent la résonance simultanée de la pompe et des
champs infrarouges dégénérés en fréquence. En passant au-dessous du seuil, il est alors possible
de générer des faisceaux vides intriqués en quadrature. Cette partie décrit expérimentalement
ce régime de fonctionnement.
C.1
Schéma expérimental
Une mesure directe des corrélations ou des anti-corrélations nécessite deux détections homodynes. Le bruit sur la différence ou la somme des photocourants donne alors accès à ces
grandeurs. Comme détaillé au chapitre 3, une autre méthode de caractérisation de l’intrication
consiste à mesurer le bruit des modes polarisés à ±45◦ des modes signal et complémentaire,
qui sont comprimés suivant des quadratures orthogonales. La séparabilité Σ est alors définie
comme la demi-somme de ces compressions.
Le schéma expérimental est donné figure 8.3. L’oscillateur paramétrique optique est pompé
au-dessous du seuil. La lame λ/2 à la sortie de l’OPO permet de choisir le champ à caractériser : modes signal ou complémentaire qui sont intriqués, ou les modes polarisés à ±45◦ qui
sont comprimés. L’oscillateur local est filtré spatialement à l’aide d’une cavité de finesse 3000
asservie à résonance par tilt-locking (chapitre 3). La visibilité de la détection homodyne est de
l’ordre de 97%. Le bruit quantique standard de chaque mesure est obtenu en bloquant la sortie
de l’OPO : ce sont alors les fluctuations du vide qui sont homodynées.
La figure 8.4 donne la variance de bruit mesurée pour les faisceaux individuels et les modes
à ±45◦ lorsque la phase de l’oscillateur local est balayée. La mesure est effectuée à une fréquence d’analyse du bruit de 2 MHz et un taux de pompage σ de 0.9. Plus proche du seuil,
la compression de bruit est dégradée. En effet, plus l’OPO est pompé proche du seuil et plus
le bruit sur la quadrature amplifiée est important et la plage angulaire pour laquelle la compression est observée réduite. Toutes fluctuations de la phase relative de l’oscillateur local et
118
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du seuil
Ä 12 MHz
Servo
l/2
l/2
KTP
l/2
PZT
-
l/2
Laser Nd:YAG
doublé
Isolateur
IN
PZT
Servo
Fig. 8.3: Schéma expérimental. La lame λ/2 à la sortie de l’OPO permet de choisir le champ
à caractériser : modes signal ou complémentaire qui sont intriqués, ou les modes polarisés à
±45◦ qui sont comprimés.
du mode étudié (vibrations,...) deviennent critiques et ont pour effet de moyenner rapidement
le bruit autour de la compression maximale.
Les faisceaux individuels sont fortement bruités et ce bruit est indépendant de la quadrature. Les modes à ±45◦ sont quant à eux fortement comprimés au-dessous de la limite quantique
standard. Une réduction de bruit de l’ordre de 5 dB (70%) est obtenue pour chaque mode, ce
qui donne une séparabilité Σ, définie comme la demi-somme de ces variances comprimés, de
l’ordre de 0.3 après correction du bruit électronique. Cette intrication est la plus forte obtenue
à ce jour en variables continues.
A partir du bruit individuel, il est également possible de vérifier le critère EPR. Le produit
des deux variances conditionnelles atteint ici 0.4. Cette valeur est largement inférieure à l’unité
et confirme ainsi que les faisceaux générés sont des faisceaux EPR. Notons que ce calcul n’était
pas nécessaire car une séparabilité plus petite que 0.5 assure que le critère EPR est vérifié.
Fig. 8.4: Variance du bruit normalisée au bruit quantique standard lorsque la phase de l’oscillateur local est balayée. (a) faisceau individuel A1 ou A2 , (b) mode A+ , (c) mode A− . (2 MHz,
σ = 0.9)
C. Résultats expérimentaux
C.2
119
Asservissement de la détection homodyne
La phase de l’oscillateur local peut être asservie sur la quadrature comprimée par une technique proche de la méthode ”dither and lock” exposée au chapitre 3. Cette méthode, présentée
figure 8.5, exploite la dépendance en phase du bruit. Le photocourant de la détection homodyne est amplifié puis démodulé à 4 MHz : cette étape utilise la même électronique que celle
développée pour l’acquisition informatique des fluctuations (description au chapitre 3). L’enveloppe de ce signal est ensuite détectée puis filtrée. Ces différentes étapes sont similaires à celles
qu’effectue un analyseur de spectre. La méthode pourrait ainsi être appliquée en récupérant le
signal avant affichage. Cette option n’est cependant pas disponible sur tous les analyseurs de
spectre. Pour asservir au minimum du bruit, une petite modulation à quelques kHz est appliquée à la cale piézoélectrique qui contrôle la phase de l’oscillateur local. L’enveloppe est à son
tour démodulée à cette fréquence à l’aide d’une détection synchrone commerciale Stanford. Le
signal d’erreur ainsi obtenu est ensuite appliqué, après amplification, à la cale piézoélectrique.
Cette technique a permis d’asservir la détection homodyne sur la quadrature comprimée pendant plus d’une heure. La fréquence de démodulation du bruit étant fixée à 4 MHz, un signal
à observer à basse fréquence ne sera pas affecté par la boucle de rétroaction.
l/2
l/2
IN
-
l/2
PZT
Signal d’erreur
~2 kHz
BF
D.S.
Modulation
HF
D.E.
MIXER
Fig. 8.5: Asservissement de la détection homodyne sur la quadrature comprimée. La différence
des photocourants est amplifiée puis démodulée à la fréquence de 4 MHz. L’enveloppe de ce
signal est ensuite détectée puis à son tour démodulée à la fréquence de modulation de la cale
piézoélectrique qui fixe la phase de l’oscillateur local. D.S. : détection synchrone commerciale
Stanford. D.E. : détection d’enveloppe. Les traces expérimentales sont obtenues lorsque la phase
de l’oscillateur local est balayée.
120
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du seuil
Fig. 8.6: Puissance de bruit normalisée des modes à ±45◦ sur une plage de fréquence de 300
kHz à 10 MHz et séparabilité pour les modes signal et complémentaire. La séparabilité Σ est
définie comme la demi-somme des variances représentées. (RBW 100 kHz, VBW 300 Hz)
C.3
Mesure sur une large bande de fréquence
La figure 8.6 donne le bruit sur les modes polarisés à ±45◦ pour une fréquence d’analyse
comprise entre 300 kHz et 10 MHz. On observe que ces deux modes sont très fortement comprimés au-dessous du bruit quantique standard sur une large bande de fréquence. Un pic étroit
d’excès de bruit est cependant présent autour de 1 MHz et correspond à l’oscillation de relaxation du laser. Cet excès est moins important sur le mode A+ qui est sensible au bruit de
phase et non d’intensité du laser. Un ”noise-eater” installé sur le laser permettrait de fortement
diminuer le bruit résiduel à cette fréquence. La figure 8.6 donne également la valeur de la séparabilité définie comme la demi-somme des variances comprimées. Excepté autour de 1 MHz,
on constate que le critère de Duan est bien vérifié sur une large bande de fréquence.
C.4
Mesure à basse fréquence
Pour étudier le bruit à basse fréquence, la fréquence de coupure basse des photodiodes a
été diminuée jusqu’à une dizaine de kHz. Cette fréquence est fixée par la capacité à l’entrée
de l’étage HF du circuit d’amplification (schéma électronique en Annexe C). Un analyseur de
spectre différent de celui utilisé généralement au cours de cette thèse a également été nécessaire pour cette étude (Agilent E4443A). Il permet des mesures de bruit pour des fréquences
comprises entre 3 Hz et 6.7 GHz.
La figure 8.7 donne les mêmes mesures que la figure 8.6 mais pour des fréquences de bruit
très différentes. La mesure est maintenant effectuée entre 40 kHz et 150 kHz, fréquences peu
D. Applications possibles d’une source comprimée à basse fréquence
121
Fig. 8.7: Puissance de bruit normalisée des modes à ±45◦ sur une plage de fréquence de 40
kHz à 150 kHz et séparabilité pour les modes signal et complémentaire. Le bruit électronique
est corrigé. (RBW 3 kHz, VBW 10 Hz)
usuelles en optique quantique expérimentale. Le bruit électronique, au moins 4 dB inférieur à
toutes les mesures, est soustrait. La compression est encore de 3 dB pour chaque mode à 100
kHz et le bruit quantique standard est atteint pour des fréquences inférieures à 50 kHz. Le fait
qu’il n’y ait pas de différence significative entre les deux modes montre que la conservation
de la compression à basse fréquence n’est pas dûe à une rejection de mode commun du bruit
classique mais bien à l’absence intrinsèque de bruit basse fréquence dans notre système.
Il faut souligner enfin que tout retour optique du système de détection vers l’OPO dégrade
immédiatement la compression de bruit à ces fréquences. Il est donc nécessaire de s’assurer
qu’aucun élément optique après l’OPO ne renvoie de la lumière dans sa direction en tiltant
légèrement les optiques et les photodiodes.
D
Applications possibles d’une source comprimée à basse
fréquence
Aux fréquences d’analyse de bruit relativement faibles, un fort excès de bruit technique vient
généralement s’ajouter aux mesures. Un spectre typique du bruit d’un laser a été présenté au
chapitre 3 : au-dessous de 1 MHz, l’excès de bruit est très important. Pour s’en affranchir et
augmenter le rapport signal à bruit d’une mesure, il est souvent utile de moduler les signaux
étudiés pour s’éloigner de cette région. Cependant, certains dispositifs ne peuvent pas être
modulés rapidement. De plus, une modulation ajoute généralement du bruit et des pertes.
Obtenir des états non-classiques continus à de faibles fréquences de bruit – du Hz à quelques
122
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du seuil
centaines de kHz – est donc un sujet de recherche particulièrement actif. Cette section décrit
quelques applications possibles.
D.1
Mesures interférométriques
Suite aux travaux de C.M. Caves qui montrèrent la possibilité d’améliorer la sensibilité des
mesures interférométriques en utilisant une source non-classique [Caves81] et les démonstrations
expérimentales qui suivirent [Grangier87, Xiao87], divers protocoles reposant sur l’utilisation
d’une source de vide comprimé ont été proposés afin de battre la limite quantique standard
dans les détecteurs interférométriques d’onde gravitationnelle [Unruh, Jaekel90]. Un résumé de
ces techniques et de leurs potentialités à moyen et long terme a été fourni récemment par H.J.
Kimble et al. dans un article très détaillé publié dans Physical Review D [Kimble02]. Les futures générations de détecteurs d’ondes gravitationnelles sont prévues pour n’être plus limitées
que par le bruit quantique standard dans la bande de fréquence 10 Hz-10 kHz, bande de fréquence acoustique où sont attendues les manifestations de ces ondes. Dès lors, une amélioration
possible est d’utiliser une source de vide comprimé injectée dans un port de l’interféromètre.
En 2002, une équipe australienne a obtenu une amélioration du rapport signal à bruit dans une
configuration très proche des détecteurs actuels [McKenzie02]. Cependant, cette expérience a
été réalisée à une fréquence de bruit de 5 MHz et non pas aux fréquences acoustiques. L’avenir de cette méthode repose ainsi sur la réalisation d’une source de lumière comprimée à des
fréquences de bruit très basses.
D.2
Mesures à faible fréquence de modulation
Plus généralement, un grand nombre de mesures très sensibles réalisées à des fréquences
de modulation assez basses pourrait profiter d’une compression de bruit. Mesurer avec une
grande sensibilité le déplacement modulé d’un faisceau laser en est un exemple. La manière la
plus commune de le mesurer est d’utiliser un détecteur à quatre quadrants : la différence des
photocourants est proportionnelle au déplacement du faisceau. La sensibilité de cette mesure
est limitée par le bruit quantique de la lumière, et plus particulièrement par la distribution
transverse aléatoire des photons : c’est le domaine de l’imagerie quantique multimode [Treps01].
En 2003, un ”pointeur laser quantique” a permis d’améliorer la mesure d’un déplacement modulé dans les deux directions de l’espace [Treps03]. Ce dispositif repose sur le mélange d’un
état cohérent brillant et de deux vides comprimés avec des distributions transverses adaptées.
L’amélioration est obtenue pour des fréquences de modulation autour de 5 MHz, fréquences
auxquelles la compression de bruit est disponible. Une compression de bruit à des fréquences
basses permettrait d’étendre cette technique prometteuse à de multiples techniques actuelles
qui reposent sur la mesure de déflection périodique d’une faisceau laser. On peut penser par
exemple à la microscopie à force atomique en mode oscillant où le levier – sur lequel se réfléchit
un faisceau laser dont on mesure la position – oscille à sa fréquence de résonance, typiquement
autour de quelques centaines de kHz. La précision de la technique de spectroscopie par effet
thermo-optique proposée dans les années 80 et permettant la mesure de très faible absorption pourrait également être améliorée [Boccara80] : la modulation thermique d’un échantillon
induit un gradient d’indice également périodique et se traduit par la déflection d’un faisceau
E. Conclusion
123
sonde. Une sensibilité accrue sur la mesure de cette déflection augmenterait d’autant la précision de la mesure d’absorption.
D.3
Mesures dans une fenêtre temporelle
Même si l’information n’est pas portée par une fréquence unique de modulation, une source
de lumière comprimée sur une large bande de fréquence s’avère très utile pour améliorer la
sensibilité d’une mesure. Lorsqu’un faisceau est détecté pendant un temps T , le rapport signal
à bruit de la mesure dépend de la densité spectrale de bruit sur une large plage de fréquence.
La variance d’une telle mesure s’écrit en effet
Z +∞
2
σ =
S(ν) sinc2 (πνT)dν
0
où S(ν) est la densité spectrale de bruit. La variance est donc principalement sensible aux
valeurs du bruit comprises entre la fréquence nulle et la fréquence 1/T . Pour des mesures
pendant un temps ”long”, la contribution du bruit à basse fréquence devient prépondérante. Il
est donc nécessaire d’utiliser une source comprimée non seulement sur une bande de fréquence
aussi large que possible mais également aux basses fréquences. L’amélioration du rapport signal
à bruit lors de la détection de faibles signaux impulsionnels ou encore la réduction du taux
d’erreur de bit lors de la lecture d’informations optiques numérisées sont quelques exemples
d’applications.
Evaluons numériquement l’amélioration apportée pour une fenêtre temporelle d’une durée
T = 1 µs si notre source était utilisée. Elle peut se modéliser comme étant limitée au bruit
quantique standard au-dessous de 50 kHz (l’excès de bruit peut être réduit par une boucle de
rétroaction) et comprimée de 3 dB au-delà. La variance est alors divisée par 1.7 par rapport à
une mesure effectuée avec une source qui serait limitée au bruit quantique standard à toutes les
fréquences. Cette valeur n’est pas significativement modifiée en tenant compte du pic de bruit
autour de 1 MHz et en limitant la compression à 10 MHz. Il est à noter que l’amélioration
optimale serait d’un facteur 2 si la source était comprimée de 3 dB à toutes les fréquences.
L’écart à cette valeur s’explique donc par le bruit entre 0 et 50 kHz. Le bruit à basse fréquence
apporte une contribution prépondérante. Cet exemple très simple illustre bien l’intérêt d’une
source de lumière comprimée à la fois à basse fréquence et sur une large bande pour améliorer
la sensibilité de nombreuses mesures physiques.
E
Conclusion
Les conditions permettant d’obtenir la dégénérescence et définies au chapitre précédent
sont aussi celles qui permettent, au-dessous du seuil d’oscillation, de générer par amplification
paramétrique dégénérée en fréquence des faisceaux vides intriqués en quadrature. Ces corrélations peuvent être caractérisées par la compression de bruit des modes polarisés à ±45◦ des
axes du cristal : 5 dB de réduction de bruit ont été obtenus sur chacun de ces deux modes.
Le critère EPR est ainsi vérifié. En exploitant la dépendance en phase du bruit, la détection
homodyne est asservie pendant plus d’une heure sur la quadrature comprimée.
124
8. Compression de bruit et intrication au-dessous du seuil
Dans la plupart des expériences d’optique quantique en variables continues, les propriétés
non-classiques du rayonnement sont obtenues pour des fréquences d’analyse du bruit de l’ordre
de quelques MHz en raison d’un large excès de bruit technique aux fréquences plus basses.
La génération d’états non-classiques dans le domaine du kHz ouvre cependant la possibilité
d’améliorer la sensibilité de nombreuses mesures. La détection des ondes gravitationnelles en
est un exemple typique. La compacité de notre expérience et la grande stabilité du laser de
pompe ont permis de générer des faisceaux continus intriqués ou comprimés jusqu’à 50 kHz.
La limite actuelle de 50 kHz semble essentiellement dûe au bruit technique du laser et au
bruit des asservissements des différentes cavités (OPO, cavité de filtrage). L’installation d’un
”noise-eater” sur le laser de pompe devrait permettre d’atteindre des fréquences de bruit encore
plus faibles.
Suite à cette démonstration expérimentale de compression à basse fréquence, une expérience
similaire a été réalisée à l’Université de Canberra et a atteint une fréquence de l’ordre de 200
Hz [McKenzie04]. Elle repose sur un OPO de type I au-dessous du seuil (et genère donc un
état comprimé et non pas intriqué comme c’est le cas de notre expérience) et la même méthode
d’asservissement de la détection homodyne a été utilisée. L’OPO est cependant doublement
résonant et la longueur de la cavité n’est pas asservie. Ce dernier point explique peut-être une
remontée du bruit plus rapide dans le cas de notre expérience. Une autre hypothèse pourrait
être que, même si les retours directs vers l’OPO sont évités, la diffusion est suffisante pour
dégrader les performances à très basse fréquence. Un isolateur optique en sortie de l’OPO
pourrait alors être nécessaire. L’équipe australienne a retenu cette solution.
Troisième Partie
Oscillateur Paramétrique Optique à
auto-verrouillage de phase
127
Les faisceaux intenses émis par un oscillateur paramétrique optique de type II pompé
au-dessus du seuil sont intriqués en quadrature. La diffusion des phases individuelles et le
fonctionnement non-dégénéré en fréquence sont cependant des obstacles majeurs à l’étude des
anti-corrélations de phase et, a fortiori, à leur utilisation dans un protocole d’information quantique. C’est pour cette raison qu’à ce jour aucune expérience n’a démontré la génération de
faisceaux EPR au-dessus du seuil. La partie précédente a détaillé comment il était possible
d’approcher expérimentalement la dégénérescence en fréquence. La mesure du battement permet alors d’asservir électroniquement la différence de phase et de travailler à dégénérescence.
Une telle étude est en cours de réalisation.
Une solution élégante et ”tout-optique” permet de s’affranchir de cet asservissement électronique, lent et peu aisé à mettre en œuvre. L’idée fut proposée et mise en œuvre pour la
première fois en 1998 par E.J. Mason et N.C. Wong [Mason98] et étudiée théoriquement l’année
suivante, au niveau classique, par C. Fabre et al. [Fabre99]. Une lame biréfringente, introduite
dans la cavité et dont les axes neutres sont tournés par rapport à ceux du cristal, induit une
injection mutuelle des champs signal et complémentaire. Si les fréquences signal et complémentaire sont suffisamment proches, il se produit un auto-verrouillage de phase à dégénérescence
en fréquence. Les propriétés quantiques diffèrent notablement de celles établies précédemment.
En particulier, seuls des couplages faibles permettent de conserver de fortes corrélations.
La troisième et dernière partie de ce mémoire décrit les propriétés classiques et quantiques
de cet oscillateur paramétrique optique à auto-verrouillage de phase. Elle revient également sur
le lien entre compression de bruit et intrication, développé en termes de matrice de covariance :
les modes les plus comprimés ou les plus intriqués que l’on peut obtenir à partir d’un état à
deux modes donné sont mis en évidence. Un dernier chapitre est consacré à la caractérisation
expérimentale de l’OPO à auto-verrouillage dans divers régimes de fonctionnement, tant audessus et au-dessous du seuil d’oscillation.
9. Propriétés classiques d’un OPO à
auto-verrouillage
Sommaire
A
B
C
D
E
A
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Synchronisation d’oscillateurs : un phénomène universel . . . . . .
Propriétés classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1
Action d’une lame biréfringente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2
Equations de bouclage pour les champs dégénérés en fréquence . . . .
C.3
Solutions stationnaires dégénérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.4
Origine des paramètres expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5
Zone d’accrochage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.6
Interprétation en termes de polarisations propres . . . . . . . . . . . .
C.7
Cavité linéaire : décalage en température et dissymétrie . . . . . . . .
Observation expérimentale de l’accrochage . . . . . . . . . . . . . .
D.1
OPO semi-monolithique et lame λ/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2
Décalage de la température de dégénérescence . . . . . . . . . . . . . .
D.3
Accrochage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.4
Interférences avec l’oscillateur local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
130
131
131
132
133
134
134
136
136
138
138
139
139
141
142
Introduction
Les faisceaux émis par un oscillateur paramétrique optique au-dessus du seuil ne sont
qu’accidentellement à la même fréquence et leurs phases individuelles diffusent rapidement. Une
alternative élégante au verrouillage électronique à dégénérescence, lent et peu aisé à mettre en
œuvre, consiste à forcer les champs signal et complémentaire à se synchroniser par l’entremise
d’un couplage ”tout-optique”. Une lame biréfringente, introduite dans la cavité de l’OPO et
dont les axes neutres sont tournés relativement aux axes du cristal, permet de projeter à chaque
passage une fraction du signal sur le complémentaire et réciproquement. La synchronisation de
deux oscillateurs par l’intermédiaire d’une interaction mutuelle est un phénomène très général
et aux exemples divers. Un rapide aperçu en est donné en début de chapitre.
Ce chapitre établit ensuite les propriétés classiques de ce système original. L’étude est
restreinte au couplage faible, c’est-à-dire aux petits angles de la lame. Une dernière partie
détaille les résultats expérimentaux et étudie l’accrochage en fonction de l’angle de la lame.
130
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage
e1
~
e2
~
DW
w1
w2
Dw
Plage de
synchronisation
Fig. 9.1: Dessin original de Huygens représentant deux horloges à pendule suspendues à un
support commun et principe général de l’accrochage en fréquence par interaction mutuelle
de deux oscillateurs entretenus. Le dernier graphique donne la fréquence de battement des
oscillateurs en fonction de la fréquence de battement lorsqu’ils ne sont pas couplés. Il existe
une plage d’extension non nulle pour laquelle les oscillateurs se synchronisent.
B
Synchronisation d’oscillateurs : un phénomène universel
La synchronisation est le processus par lequel des oscillateurs ajustent leur rythme en
raison d’une interaction mutuelle, généralement faible. La première description scientifique de
ce phénomène fut donnée en 1665 par Christian Huygens.
Après son invention des horloges à pendule, Huygens s’efforça d’améliorer leur précision et
leur stabilité. Pour assurer aux marins d’avoir toujours une horloge en fonctionnement malgré
les nécessaires entretiens de ce système, il installa deux horloges sur un même support (figure
9.1). Il observa alors un phénomène surprenant : ”...It is quite worth noting that when suspended
two clocks so constructed from two hooks imbedded in the same wooden beam, the motions
of each pendulum in opposite swings were so much in agreement that the sound of each was
always heard simultaneously”. Pour décrire ce phénomène, Huygens parlera de ”sympathie des
horloges” : il avait observé la synchronisation des deux oscillateurs par l’intermédiaire d’un
couplage ténu à travers le support commun. Cette observation devait donner naissance à un
sujet de recherche central en sciences du non-linéaire [Pikovsky01].
De nouvelles descriptions de phénomènes semblables furent données au début du siècle
dernier. En 1922, Lord Appleton démontre ainsi la possibilité de synchroniser la fréquence d’un
générateur par un faible signal extérieur. Cette découverte permit de stabiliser la fréquence d’un
générateur puissant par un second, plus faible mais plus précis. Cette méthode est aujourd’hui
généralisée et appliquée par exemple au laser : un laser maı̂tre de raie fine injecte un laser
esclave plus puissant et lui impose sa stabilité. La synchronisation est un mécanisme universel,
se manifestant dans des domaines divers : biologie, vie sociale, physique des lasers, dynamique
C. Propriétés classiques
131
chaotique...
Au-delà des particularités de chaque oscillateur et de chaque couplage, le mécanisme général de synchronisation peut être ainsi défini : deux ou plusieurs oscillateurs avec des fréquences
initiales différentes et des phases indépendantes ajustent leur rythme et finissent par osciller
avec une fréquence commune sous l’action d’un couplage faible. Cet ajustement des fréquences,
qui s’accompagne également d’une relation de phase bien définie entre les oscillateurs, se produit si les fréquences des oscillateurs autonomes sont suffisamment proches. De plus, cette
égalité exacte des fréquences est obtenue dans une plage d’extension non-nulle dans l’espace
des paramètres et non pas accidentellement.
La figure 9.1 résume schématiquement le phénomène de synchronisation lors de l’interaction
mutuelle de deux oscillateurs. Le dernier graphe, dont l’allure est typique, donne la fréquence
de battement lorsque deux oscillateurs sont couplés en fonction de ce même battement en
l’absence de couplage. Si l’écart en fréquence des systèmes autonomes n’est pas trop grand,
alors les fréquences deviennent égales lorsque les systèmes interagissent. La largeur de cette
plage d’accrochage augmente généralement avec la force du couplage. Le couplage linéaire des
champs signal et complémentaire par l’intermédiaire d’une lame biréfringente introduite dans
la cavité de l’OPO va conduire à un tel mécanisme de verrouillage.
C
Propriétés classiques
Une lame λ/4 pour les champs signal et complémentaire est désormais insérée dans la cavité
d’un oscillateur paramétrique optique de type II (figure 9.2). Cette lame est considérée λ pour
la pompe et n’aura donc pas d’effet sur la polarisation de cette dernière.
C.1
Action d’une lame biréfringente
On considère une lame biréfringente d’épaisseur e et d’indices propres nR et nL . Les axes
propres de la lame, notés R et L, sont tournés d’un angle ρ par rapport à la polarisation du
champ A1 (figure 9.2). Dans le repère de la lame, le champ A1 s’écrit :
−
→
A1 X = A1
Ã
→
− !
cos(ρ) L
−
→
− sin(ρ) R
(9-1)
La lame va introduire un déphasage différent suivant ses deux axes neutres. Le champ sortant
−
→ −
→
s’exprime alors dans le repère de la lame puis dans ( X , Y ) :
A1
Ã
Ã
−
→ !
−
→ !
) + i sin( ∆Φ
) cos(2ρ) X
cos(ρ)eiknL e L
cos( ∆Φ
ikne
2
2
= A1 e
→
−
→
−
i sin( ∆Φ
− sin(ρ)eiknR e R
2 ) sin(2ρ) Y
(9-2)
L
l’indice moyen et ∆Φ = k(nL − nR )e le déphasage dû à la biréfringence du
avec n = nR +n
2
cristal. Pour un angle ρ non nul, la lame a pour effet de coupler deux polarisations orthogonales.
→
−
−
→
Une polarisation incidente suivant X donne en sortie une composante suivant X et une suivant
→
−
Y , d’autant plus faible que l’angle est petit.
132
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage
R0 @ 532 nm
Rmax @ 1064 nm
Signal
et Complémentaire
Pompe
w0
M1
R
Rmax @ 532 nm
R @ 1064 nm
w1
w2
Cristal
Y
r
Lame l/4
A2
L
Lame l/4 M2
A1
X
Fig. 9.2: Schéma d’un OPO triplement résonant associé à une lame biréfringente dont les axes
neutres sont tournés d’un angle ρ par rapport à ceux du cristal.
Plus généralement, l’action de la lame peut être résumée en une matrice de passage :
Ã
!Ã
à ′−
→ !
−
→ !
iψ
α
A
A1 X
e
ε
0
1X
= eikne
(9-3)
→
−
→
′ −
−iψ
ε
α0 e
A2 Y
A2 Y
avec :
³
³ ´
+ i sin ∆Φ
cos(2ρ)
2
³ ´
sin(2ρ) = iε0
ε = i sin ∆Φ
2
α0 eiψ = cos
∆Φ
2
´
(9-4)
L’unitarité de la matrice impose : α02 + ε20 = 1
Un double passage dans la lame peut être défini par la même matrice en changeant uniquement le terme ∆Φ/2 en ∆Φ et le terme de propagation globale. Dans le cas d’une lame λ/4 et
en double passage, la matrice s’écrit finalement :
Ã
!Ã
à ′−
→ !
−
→ !
cos(2ρ)
sin(2ρ)
A
A1 X
1X
= ieikn2e
(9-5)
→
−
→
′ −
sin(2ρ) − cos(2ρ)
A2 Y
A2 Y
Si l’angle de la lame est petit, cette matrice se simplifie en :
Ã
!Ã
à ′−
→ !
−
→ !
1 2ρ
A1 X
A1 X
ikn2e
= ie
→
−
→
′ −
2ρ −1
A2 Y
A2 Y
C.2
(9-6)
Equations de bouclage pour les champs dégénérés en fréquence
Les notations sont identiques à celles employées dans la partie 2. La cavité étant de grande
finesse pour l’infrarouge, le coefficient de réflexion peut s’écrire r = 1 − γ avec γ ≪ 1. Les
pertes en amplitude sont notées µ. Par analogie, on définit un coefficient de réflexion généralisé
r′ = 1 − γ − µ = 1 − γ ′ . Comme précédemment, les déphasages sur les miroirs ne sont pas pris
en compte.
La cavité linéaire se comporte différemment de la cavité en anneau. En cavité linéaire, les
faisceaux interagissent deux fois par tour dans le cristal. La phase étant un paramètre important
lors de la conversion paramétrique, la phase accumulée par les différents champs entre les deux
interactions doit donc être prise en compte. En l’absence de lame, seuls les déphasages sur
C. Propriétés classiques
133
les miroirs influent sur cette grandeur. Nous les avons jusqu’à présent négligés. Cependant,
la lame contribue désormais également à cette phase globale. Dans un premier temps, nous
allons considérer que les champs sont en phase lors de la seconde interaction. Cela revient à
considérer le cas d’un OPO en anneau avec une lame λ/2. Un paragraphe ultérieur viendra
compléter cette étude et préciser l’effet de cette accumulation de phase.
Les équations de bouclage sont obtenues en écrivant que les champs reviennent identiques
à eux-mêmes au bout d’un aller-retour dans la cavité. Ces équations peuvent être facilement
obtenues par méthode matricielle.

 (α0 r′ − ei(δ−θ+ψ) )A1 = α0 gA0 A∗2 + εr′ ei(θ−ψ) A2 + εgei(θ−ψ) A0 A∗1
(9-7)
 (α r′ − ei(δ+θ−ψ) )A = α gA A∗ + εr′ e−i(θ−ψ) A + εge−i(θ−ψ) A A∗
0
2
0
0 1
1
0 2
avec δ =
ω0
ω0
n1 + n2
(2ne + 2nl + 2L), n =
, et θ =
(n2 − n1 )l.
2c
2
2c
Le paramètre δ correspond au déphasage moyen au bout d’un aller-retour et θ au déphasage
induit par la biréfringence du cristal. Les désaccords à résonance au bout d’un tour des modes
signal et complémentaire seront notés ∆i et supposés petits :
∆1 = δ − θ + ψ
et ∆2 = δ + θ − ψ
(9-8)
La lame biréfringente ajoute ainsi aux équations de l’OPO ”standard” un terme de couplage linéaire entre les deux champs. Ce terme a pour conséquence de lever l’invariance par
changement de phase A1 → A1 eiϕ , A2 → A2 e−iϕ . La différence de phase des champs signal et
complémentaire va donc désormais être fixée.
L’angle de la lame par rapport aux axes du cristal, c’est-à-dire donc par rapport aux polarisations signal et complémentaire, sera par la suite supposé petit. Une étude à tout angle a été
donnée dans [Longchambon03] et [Longchambon04a]. Les équations de bouclage se simplifient
à l’ordre 1 et s’expriment :

 (γ ′ − i∆1 )A1 = gA0 A∗2 + iε0 ei(θ−ψ) A2
(9-9)
 (γ ′ − i∆ )A = gA A∗ + iε e−i(θ−ψ) A
2
2
0 1
0
1
avec ε0 = 2ρ.
C.3
Solutions stationnaires dégénérées
Les équations (9-9) accompagnées de leurs conjuguées constituent un système pour lequel
une solution non nulle existe si et seulement si son déterminant est nul. Cette condition conduit
à une équation du second degré en le flux pompe pompe intracavité, N0 = |A0 |2 , dont les deux
solutions s’écrivent :
q
´
1³
(9-10)
N0± = 2 γ ′2 + ∆1 ∆2 + ε20 ± 4ε20 ∆1 ∆2 − γ ′2 (∆1 − ∆2 )2
g
Lorsque la lame est tournée, l’OPO présente deux seuils d’oscillation distincts et donc deux
régimes de fonctionnement possibles, l’un à seuil bas et l’autre à seuil haut. Seule la solution
134
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage
à seuil bas sera considéré. Il est possible de montrer que l’autre solution est instable, ainsi que
la solution non-dégénérée [Gross03].
Alors que les équations de bouclage imposaient pour un OPO ”standard” une relation unique
entre les déphasages, ∆1 = ∆2 , ces grandeurs doivent désormais vérifier l’inégalité :
4ε20 ∆1 ∆2 − γ ′2 (∆1 − ∆2 )2 ≥ 0
(9-11)
Cette inégalité définit une zone d’aire non nulle, appelée zone d’accrochage, à l’intérieur de
laquelle une oscillation dégénérée en fréquence peut se produire si l’OPO est pompé au-dessus
du seuil défini en (9-10). Cette zone est d’autant plus grande que l’angle de la lame et la
puissance de pompe sont importants. Alors que la dégénérescence en fréquence ne pouvait être
qu’accidentelle dans un OPO ”standard”, le couplage entre les deux champs introduit par la
lame permet d’obtenir une zone d’extension non nulle.
C.4
Origine des paramètres expérimentaux
Considérons que la lame n’est pas tournée. Dans ce cas, l’inégalité (9-11) est réduite à la
condition stricte ∆1 = ∆2 , condition identique à celle d’un OPO standard. La dégénérescence
en fréquence est obtenue pour une température T0 , identique à celle qui permettrait de l’obtenir
en l’absence de lame. Le seuil est minimisé à résonance, c’est-à-dire pour une longueur L0 telle
que ∆1 = ∆2 = 0. T0 et L0 vont ainsi constituer l’origine des paramètres expérimentaux. On
note désormais :
T = T0 + δT
et L = L0 + δL
Ces notations conduisent à écrire les paramètres δ et θ sous la forme :
µ
¶
ω0
1 ³ dn1 dn2 ´
δ=
δL +
lδT
+
c
2 dt
dt
π ω0 ³ dn2 dn1 ´
θ= +
lδT
−
2
2c dt
dt
(9-12)
(9-13)
La relation ∆1 = ∆2 est désormais équivalente à δT = 0. Pour cette température, égale à la
température de dégénérescence, δ ne dépend que de δL.
C.5
Zone d’accrochage
Lorsque la lame est tournée d’un angle ρ, l’équation (9-10) montre que le seuil est minimum
lorsque ∆1 = ∆2 = ∆, c’est-à-dire pour la même température du cristal qui minimise le seuil
lorsque la lame n’est pas tournée. Le seuil s’écrit alors :
N0− =
γ ′2 + (∆ ± ε0 )2
g2
(9-14)
La valeur minimale est identique à celle obtenue dans le cas sans lame mais elle est atteinte
pour deux longueurs de cavité symétriques par rapport à l’origine et vérifiant ∆ = ±ε0 . En un
point de fonctionnement quelconque, on note σ s le seuil d’oscillation normalisé à cette valeur
minimale.
C. Propriétés classiques
135
dL/l0
0.3
s
s
r=5°
5
0.2
4
A
A’
0.1
s=3
3
A
dT (K)
2
-1
-0.5
0.5
r=1°
-0.1
-0.2
1
1
A’
dL/l0
-0.06
- 0.05
- 0.04
- 0.03
- 0.02
- 0.01
0.01
-0.3
Fig. 9.3: Zone d’accrochage en fonction de la longueur de la cavité et de la température du
cristal, pour des angles de la lame de 1◦ et de 5◦ . L’OPO est pompé 3 fois au-dessus du seuil
minimum (σ = 3). La figure de droite donne une coupe selon AA’ des zones d’accrochage pour
une valeur fixée de la température. (γ ′ = 2.5 10−2 )
A paramètres fixés, une oscillation dégénérée est obtenue si la puissance pompe, définie par
σ, est supérieure à la valeur seuil σ s . C’est donc la puissance pompe qui fixe l’extension de la
zone d’accrochage. A puissance pompe et angle de la lame donnés, l’extension transverse de la
zone dépend de la finesse infrarouge.
Pour une puissance pompe égale à 3 fois le seuil minimum (σ = 3), la figure 9.3 donne
l’extension de la zone d’accrochage en fonction des paramètres δL et δT , pour des angles de
1◦ et 5◦ . Plus l’angle est petit, plus l’extension de la zone est limitée. L’origine du graphe
correspond au point de fonctionnement pour lequel le fonctionnement dégénéré et à résonance
serait obtenu accidentellement lorsque la lame n’est pas tournée.
A l’intérieur de la zone d’accrochage, la diffusion de la différence de phase des champs signal
et complémentaire est supprimée : la somme étant imposée par la conversion paramétrique, les
phases individuelles sont dès lors fixées. Les équations de bouclage permettent d’exprimer la
somme et la différence de ces phases :
r ´¶
µ ³r
∆1
∆2
1
ϕ1 + ϕ2 = ϕ0 − arccos
+
2
∆2
∆1
r ´¶
µ ′ ³r
∆1
∆2
γ
(9-15)
−
ϕ1 − ϕ2 = θ − ψ − arcsin
2ε0
∆2
∆1
Pour ∆1 = ∆2 = ∆, c’est-à-dire pour δT = 0, la somme des phases prend la valeur de la phase
de la pompe et la différence des phases vaut 0 (∆ < 0) ou π (∆ > 0). La polarisation du champ
de sortie de l’OPO, superposition des modes signal et complémentaire, est ainsi linéaire et à
±45◦ des axes du cristal suivant la zone d’accrochage considérée.
La somme et la différence des phases permet de déterminer 2ϕ1 ou 2ϕ2 modulo 2π. Il
en résulte que les phases individuelles sont définies à π près. On obtient ainsi deux solutions
136
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage
possibles, comme cela est également le cas pour un OPO de type I dégénéré. Ces deux solutions
sont stables mais une perturbation du système pourra faire passer de l’une à l’autre.
C.6
Interprétation en termes de polarisations propres
Une interprétation en termes de modes propres de polarisation offre une vision synthétique des propriétés du système. En l’absence de lame, les polarisations propres, c’est-à-dire les
polarisations qui reviennent identiques à elles-même au bout d’un aller-retour, sont les polarisations définies par les axes neutres du cristal. Elles résonnent simultanément à la température
de dégénérescence. En revanche, dès que la lame est tournée, les deux modes propres, qui sont
linéaires suivant des directions qui dépendent de la température du cristal, ne peuvent jamais
résonner simultanément. C’est pour cette raison que deux zones d’accrochage apparaissent :
chaque fond de zone est défini par la condition de résonance d’un mode propre. L’évolution
du seuil peut également se comprendre à partir de ces polarisations propres. A la température
de dégénérescence, elles sont linéaires à ±45◦ et se projettent donc équitablement suivant les
polarisations horizontale et verticale. Cette configuration maximise le couplage non-linéaire : le
seuil est alors minimum. Pour une température différente, les projections sont dissymétriques
et le seuil augmente. Par ailleurs, cette interprétation explique également l’existence de deux
seuils. Le seuil bas correspond à l’oscillation du mode propre résonant alors que le seuil haut
correspond à celle du mode non résonant. Une étude détaillée est donnée dans la thèse de L.
Longchambon [Longchambon03].
C.7
Cavité linéaire : décalage en température et dissymétrie
L’accumulation de phase entre les deux passages dans le cristal n’a pas été prise en compte
jusqu’à présent, ce qui revenait à considérer le cas d’une cavité en anneau. Alors que ce paramètre ne dépend que des déphasages sur les miroirs dans le cas d’un OPO standard, négligés
jusqu’à présent, la lame y apporte désormais une contribution non négligeable. Les équations
de bouclage sont modifiées et s’écrivent de manière plus générale :

 (γ ′ − i∆1 )A1 = g ′ (1 + eiξ )A0 A∗2 + iε0 ei(θ−ψ) A2 + iε0 ei(θ−ψ) g ′ (1 − eiξ )A0 A∗1
(9-16)
 (γ ′ − i∆ )A = g ′ A A∗ + iε e−i(θ−ψ) A + iε ei(θ−ψ) g ′ (1 − eiξ )A A∗
2
2
0 1
0
1
0
0 2
où ξ = ∆kl + δφ avec δφ = k(2n′0 − nR − nL ) qui mesure la différence entre la phase de la
pompe et celles des champs signal et complémentaire à l’entrée du cristal, lors du second
passage. Les déphasages miroir sont à nouveau négligés. Ils s’ajouteraient simplement à δφ.
Au cours des chapitres précédents, l’accord de phase a été supposé parfait. Il doit désormais
être pris en compte. Le gain paramétrique s’écrit :
g ′ = ge
i∆kl
2
sinc(∆kl/2)
(9-17)
Dans les paragraphes précédents, le paramètre ξ avait été considéré comme nul. Ce paramètre va conduire à deux nouveaux effets.
Le premier effet est de modifier la température pour laquelle la dégénérescence est obtenue
et d’augmenter le seuil d’oscillation par rapport à la situation où ∆k = 0. Ce phénomène est
C. Propriétés classiques
df=p/2
137
s
r=5°
df=p
s
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
r=1°
-0.04
-0.02
s
0.02
s
dL/l0
dL/l0
0.04
-0.04
-0.02
0.02
0.04
Fig. 9.4: Seuil d’oscillation dégénérée à δT = 0, pour des angles de 1◦ et 5◦ , en fonction de
la longueur de la cavité. Les deux tracés correspondent à un déphasage δφ de π/2 et π. Dans
chaque cas, l’origine des paramètres expérimentaux est différente et correspond à la température
pour laquelle le seuil est minimisé lorsque la lame n’est pas tournée.
général et se produit en l’absence de lame si l’on prend en compte les déphasages miroirs.
Lorsque la lame n’est pas tournée, les équations de bouclage sont similaires à celles obtenues
précédemment à condition de changer le gain paramétrique g en g ′ (1 + eiξ ). On peut montrer
que le seuil d’oscillation est alors multiplié par le facteur :
(∆kl/2)2
sin (∆kl/2) cos2 (∆kl/2 + δφ/2)
2
(9-18)
La dégénérescence était obtenue pour une température T0 telle que le désaccord de phase était
nul et donc le seuil minimum. A δφ donné, le seuil minimum n’est plus obtenu pour ∆kl = 0
mais pour une valeur qui dépend de ce déphasage. Dans le pire des cas où δφ vaut π, le seuil
est minimum pour ∆kl = ±2.33 et a augmenté d’un facteur 1.92. Cette valeur maximale de
∆kl correspond à un décalage en température par rapport à ∆kl = 0 d’environ 6◦ C. Ajouter
la lame dans la cavité peut donc modifier la température de dégénérescence de cette valeur au
maximum.
Le second effet de l’accumulation de phase est de dissymétriser les zones d’accrochage
par la présence des termes en 1 ± eiξ . Ces deux phénomènes sont résumés figure 9.4. Le seuil
d’oscillation σ s est tracé à δT = 0 en fonction de la longueur de la cavité, pour des angles
de 1◦ et 5◦ . Deux valeurs du déphasage δφ, π/2 et π, sont considérées. Pour chacune de ces
valeurs, la température T0 a été ajustée afin de minimiser le seuil d’oscillation lorsque la lame
n’est pas tournée, c’est-à-dire minimiser le facteur (9-18) : les deux courbes correspondant à
des déphasages différents n’ont donc pas la même origine. Lorsque la lame est tournée, les
zones d’accrochage n’ont pas le même seuil minimum, mais ces seuils prennent des valeurs
symétriques par rapport à la valeur seuil lorsque la lame n’est pas tournée. Ainsi, dans le cas
le plus défavorable, δφ = π, les zones sont symétriques par rapport à la valeur 1.92 évoquée
précédemment. Plus l’angle augmente, plus la dissymétrie est importante. Pour une puissance
pompe donnée, les zones d’accrochage seront donc de tailles différentes.
138
D
D.1
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage
Observation expérimentale de l’accrochage
OPO semi-monolithique et lame λ/4
Une lame λ/4 est insérée dans la cavité linéaire de l’OPO semi-monolithique décrit dans
la seconde partie de ce mémoire (figure 9.5). La lame est montée dans un support motorisé
permettant un contrôle fin en rotation par pas de l’ordre de 0.01◦ (New Focus Model 8401 et
”Tiny pico-motor”). Cependant, l’actuateur piezoélectrique utilisé n’assure pas une répétabilité
excellente : après 10 pas dans un sens, 10 dans le sens inverse ne conduisent pas précisément à
l’angle de départ.
La lame est choisie pour être exactement λ/4 à 1064 nm et le plus près possible de λ à 532 nm
pour ne pas modifier la polarisation et les propriétés de résonance de la pompe. La biréfringence
étant du même ordre de grandeur que la dispersion, cette configuration n’est possible qu’en
utilisant des lames d’ordre multiple. La lame retenue est ainsi 4.75λ à 1064 nm et 9.996λ à 532
nm. Une attention toute particulière a été apportée au traitement anti-reflet : les réflexions
aux interfaces ajoutent des pertes qui ont pour effet d’augmenter le seuil d’oscillation et de
diminuer les effets quantiques. L’anti-reflet bi-bande a été réalisé chez VLOC. Les mesures
en sortie de cloche donnent des coefficients de réflexion de R ≃ 0.06% pour l’infrarouge et
R ≃ 0.08% pour la pompe.
Les autres caractéristiques de l’OPO sont identiques à celles décrites dans la partie 2. Pour
cette étude, la transmission du miroir de sortie est de 5% pour les champs infrarouges. Le
cristal de KTP est un cristal Raicol, comme cela était le cas pour le dernier chapitre de la
partie 2. En effet, le cristal Litton, idéal pour les études quantiques, n’a pas pu être utilisé
en raison d’une température de dégénérescence autour de quelques degré celsius. Le montage
expérimental est rappelé figure 9.6. Il est identique à celui utilisé au chapitre 7, à l’exception
de la lame insérée désormais dans la cavité.
Lame l/4
Miroir d’entrée
Cristal de KTP
Miroir de sortie
Fig. 9.5: Une lame λ/4 pour les champs signal et complémentaire est insérée dans la cavité de
l’OPO linéaire semi-monolithique.
D. Observation expérimentale de l’accrochage
139
Spectromètre
Bloc “Analyse en fréquence”
Photodiode rapide
FP Confocal
l/2
50/50
Ä 12 MHz
Servo
l/2
l/2
l/2
KTP
l/4
PZT
Flip
l/2
Laser Nd:YAG
doublé
Isolateur
PZT
Servo
Fig. 9.6: Un miroir mobile (”Flip”) à la sortie de l’OPO permet d’envoyer les faisceaux signal et
complémentaire dans un bloc d’analyse en fréquence. Trois caractérisations sont possibles selon
l’écart à la dégénérescence : spectromètre, Fabry-Perot et battement. A ces dispositifs s’ajoute
un oscillateur local permettant de confirmer une éventuelle dégénérescence par interférences.
D.2
Décalage de la température de dégénérescence
La première étape consiste à déterminer, à quelques dixièmes de degré près, la température
de dégénérescence à l’aide du spectroscope à réseau. Comme détaillé théoriquement en C.7, la
présence de la lame modifie cette température. La figure 9.7 donne l’écart en longueur d’onde
des faisceaux signal et complémentaire en fonction de la température du cristal, avec et sans
lame. L’ajout de la lame a eu pour effet de diminuer la température de dégénérescence de l’ordre
de 4◦ C. C’est autour de cette température qu’il faut dès lors rechercher la dégénérescence.
D.3
Accrochage expérimental
La lame est ensuite tournée d’un petit angle, quelques dixièmes de degré. La stratégie est
alors identique à celle présentée dans le chapitre 7 : un ajustement simultané de la fréquence
pompe et de la température du cristal permet de trouver le battement à la photodiode rapide
puis d’approcher la dégénérescence, tout en assurant un seuil bas. La présence de la lame
n’ajoute pas de difficultés supplémentaires à cette opération.
En revanche, le comportement du système devient très différent lorsque le battement s’approche de zéro. Alors que ce dernier était ajusté continûment jusqu’à s’annuler en l’absence de
lame, il disparaı̂t désormais avant d’atteindre zéro : il se produit un accrochage en fréquence
dès que les fréquences signal et complémentaire sont suffisamment proches. La fréquence pour
laquelle l’accrochage se produit dépend de l’angle de lame, c’est-à-dire de la force du couplage
140
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage
Fig. 9.7: Ecart à la dégénerescence des modes signal et complémentaire, sans et avec lame, en
fonction de la température du cristal.
linéaire entre les deux modes. La figure 9.8 donne le battement en fréquence observé à l’analyseur de spectre en configuration MaxHold : une zone de synchronisation, d’extension non-nulle,
apparaı̂t. Le graphe résume le battement minimum observé pour différents angles de lame : ce
graphe donne ainsi l’extension en fréquence de la zone d’accrochage. Au-delà de 1◦ , la dépendance est quasiment linéaire et la pente de 40 MHZ/◦ . L’accrochage en fréquence a été observé
pour des angles de la lame jusqu’à 6◦ . Notons qu’il n’a pas été possible en présence de la lame
de ne pas avoir d’accrochage. La moindre rotation, comme par exemple l’incertitude sur la
position ”angle nul”, induit un couplage suffisant pour que la synchronisation se produise.
Une fois les paramètres ajustés pour obtenir le verrouillage, l’OPO peut osciller quelques
dizaines de minutes sur les modes dégénérés. Les fluctuations de la température ambiante
ainsi que la dérive en fréquence du laser (2MHz/min) finissent par faire sortir le système de
la zone d’accrochage, a fortiori si l’angle de la lame est petit. Les paramètres permettant
l’accrochage évoluent ainsi au cours du temps. Cette évolution est à relier à celle présentée
en D.4. Statistiquement, les paramètres doivent être fréquemment ajustés dans une plage de
l’ordre de 500 MHz pour la fréquence pompe et de 0.1 K pour la température du cristal.
La dégénérescence en fréquence est facilement confirmée en caractérisant l’état de polarisation en sortie de l’OPO. Si les champs signal et complémentaire sont à la même fréquence,
alors le champ émis par l’OPO, superposition de ces deux composantes orthogonales, a une
polarisation bien définie. L’intensité mesurée après le cube polariseur est ainsi modifiée lorsque
la lame λ/2 placée à la sortie de l’OPO est tournée. Au fond de la zone d’accrochage, les
champs ont a priori même intensité et sont déphasés de 0 ou π suivant la zone considérée :
la polarisation de sortie est linéaire et à 45◦ des modes signal et complémentaire. En ajustant
finement la température du cristal et la fréquence pompe, il est possible de se placer très proche
de ce point de fonctionnement. Expérimentalement, des ellipticités de l’ordre de 2 à 3% ont
été au mieux obtenues.
D. Observation expérimentale de l’accrochage
141
r~0.2°
Zone
d’accrochage
Fig. 9.8: Battement à l’analyseur de spectre en configuration MaxHold et battement minimum
observé pour différents angles de la lame.
D.4
Interférences avec l’oscillateur local
Une seconde confirmation de la dégénérescence est obtenue par l’observation d’interférences
avec l’oscillateur local lorsque sa phase est balayée à quelques dizaines de Hz.
Ces interférences mettent en évidence une autre propriété de l’OPO auto-verrouillé. Il a
été établi précédemment que les phases des champs signal et complémentaire sont en effet
définies à π près (équations C.5). Les deux solutions correspondent à des fonctionnements
stables mais une perturbation du système peut faire passer de l’une à l’autre. Cette bifurcation
est simple à observer. En frappant assez fort dans les mains, sans que saute l’asservissement de
la cavité, la phase des champs change de π. La figure 9.9 donne deux enregistrements successifs
des interférences d’un mode individuel avec l’oscillateur local, juste avant et juste après la
perturbation.
Fig. 9.9: Interférence de l’oscillateur local avec le mode signal. Une petite perturbation (taper
dans les mains par exemple) fait passer d’une solution à l’autre.
142
E
9. Propriétés classiques d’un OPO à auto-verrouillage
Conclusion
La synchronisation d’oscillateurs par l’entremise d’une interaction mutuelle est un mécanisme très général. Observé pour la première fois par C. Huygens entre pendules suspendus à
un support commun, ce phénomène s’est ensuite avéré être au coeur de nombreux processus
physiques et biologiques et un outil très utile (et plus rarement un phénomène gênant comme
dans le cas des gyrolasers où il est responsable de l’existence d’une zone aveugle).
L’auto-verrouillage peut ainsi être une alternative élégante, et efficace, à l’asservissement
électronique du battement des champs signal et complémentaire. Une lame biréfringente, introduite dans la cavité de l’OPO et dont les axes neutres sont tournés relativement à ceux du
cristal, induit un couplage linéaire entre les deux champs. Si les fréquences sont suffisamment
proches, un verrouillage de phase se produit à dégénérescence en fréquence. Ce chapitre a établi
théoriquement l’existence de deux zones d’accrochage dans l’espace des paramètres expérimentaux. Plus le couplage est fort, plus l’étendue des zones augmente. Dans le cas d’une cavité en
anneau, le seuil minimum est identique à celui en l’absence de lame et les zones sont symétriques. En cavité linéaire, les seuils d’oscillation augmentent en raison du déphasage accumulé
entre les deux interactions dans le cristal. Suivant la valeur de ce déphasage, la température
de dégénérescence est modifiée et le seuil, lorsque la lame n’est pas tournée, augmente dans le
cas le plus défavorable d’un facteur 1.92. Les zones d’accrochage se dissymétrisent par rapport
à cette valeur et l’augmentation du seuil reste donc modérée.
Expérimentalement, l’ajout de lame a eu pour effet de diminuer la température de dégénérescence d’environ 4 degrés. L’accrochage en fréquence a été observée autour de cette nouvelle
valeur pour des angles allant jusqu’à 6◦ . Il est possible d’obtenir pendant quelques dizaines de
minutes une interférence stable avec l’oscillateur local.
L’auto-verrouillage permet ainsi de générer des faisceaux à même fréquence et dont les
phases individuelles ne diffusent plus. Le bruit de ces faisceaux est dès lors mesurable par
détection homodyne. Le chapitre suivant établit les propriétés quantiques du système aussi
bien au-dessus qu’au-dessous du seuil d’oscillation. Nous allons voir que le couplage linéaire
modifie notablement les propriétés quantiques de l’OPO.
10. Propriétés quantiques d’un OPO à
auto-verrouillage
Sommaire
A
Introduction
B
Linéarisation des fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
C
D
E
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.1
Equations de bouclage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.2
Linéarisation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Etude au-dessous du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C.1
Equations linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C.2
Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C.3
Fluctuations des modes signal et complémentaire . . . . . . . . . . . . 147
C.4
Correlations et anti-corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Etude au-dessus du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
D.1
Equations linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
D.2
Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
D.3
Fluctuations des modes signal et complémentaire . . . . . . . . . . . . 151
D.4
Corrélations et Anti-corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
D.5
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Introduction
Le chapitre précédent a montré que l’ajout d’un couplage linéaire par l’entremise d’une
lame biréfringente introduite dans la cavité d’un OPO permet de supprimer la diffusion de
la différence des phases des champs émis et de travailler à dégénérescence en fréquence. Ce
verrouillage a été obtenu expérimentalement et étudié en fonction de l’angle de la lame.
Dans la seconde partie de ce mémoire, les propriétés quantiques d’un OPO ont été établies,
aussi bien au-dessous qu’au-dessus du seuil d’oscillation : les champs signal et complémentaire sont fortement corrélés et anti-corrélés suivant des quadratures orthogonales. Au seuil,
à fréquence nulle et en l’absence de pertes, ces champs sont maximalement intriqués. La présence de la lame modifie notablement ces propriétés. Ce chapitre théorique se propose de les
établir dans les deux régimes de fonctionnement. Le résultat principal est que corrélations et
anti-corrélations ne sont plus obtenues suivant des quadratures orthogonales.
144
B
10. Propriétés quantiques d’un OPO à auto-verrouillage
Linéarisation des fluctuations
La méthode est identique à celle utilisée dans la seconde partie de ce mémoire. La dynamique
des petites fluctuations est décrite en linéarisant les équations classiques autour des valeurs
moyennes. Cette section établit les équations linéarisées du système.
B.1
Equations de bouclage
Au-dessous du seuil, le bruit de la pompe n’intervient pas : l’étude est donc identique que la
pompe soit résonante ou non. En revanche, au-dessus du seuil, la triple résonance s’accompagne
d’effets nouveaux, tels que l’apparition d’une oscillation de relaxation. L’annexe B en donne
une étude détaillée. Cependant, très proche du seuil ou à des fréquences d’analyse du bruit
faibles devant la bande passante de la cavité, il n’y a pas de différence majeure entre un OPO
doublement résonant et un OPO triplement résonant. Afin de simplifier les calculs, l’OPO sera
donc considéré doublement résonant (figure 10.1).
Comme précédemment, les déphasages sur les miroirs ne sont pas pris en compte. Cette
dernière hypothèse simplifie les équations de bouclage établies au chapitre précédent. En supposant que les champs sont proches de résonance et l’angle de la lame petit, les équations de
bouclage dynamiques s’écrivent :

p
p
dA1

′
∗
i(θ−ψ)
in

τ
−
i∆
)A
=
gA
A
+
2iρe
A
+
2γA
+
2µB1in
+
(γ

1
1
0
2
2
1

dt



p
p
dA2
′
∗
−i(θ−ψ)
in
τ
−
i∆
)A
=
gA
A
+
2iρe
A
+
2γA
+
2µB2in
+
(γ
2
2
0
1
1
2

dt




g


A0 = − A1 A2 + Ain
0
2
(10-1)
in
où A0in donne le champ pompe entrant. Les champs Ain
i et Bi , de valeur moyenne nulle,
correspondent aux fluctuations du vide couplées respectivement par le miroir de sortie et par
les pertes internes.
L’étude va être effectuée au point de seuil minimum, défini par ∆1 = ∆2 = 2ρ. Cette
relation impose également θ = ψ. On introduit un nouveau paramètre qui mesure la force du
couplage linéaire : c = 2ρ/γ ′ . Notons, qu’avec un paramètre γ ′ égal à 3 10−2 , c = 1 correspond
à un angle de lame de l’ordre de 0.8◦ . Les équations se simplifient alors en :

gA0 ∗
τ dA1


+ (1 − ic)A1 =
A + icA2 +


′ dt

γ
γ′ 2



τ dA2
gA0 ∗
+ (1 − ic)A2 =
A + icA1 +

′

γ dt
γ′ 1




g


A0 = − A1 A2 + Ain
0
2
√
√
2γ in
2µ in
A
+
B
γ′ 1
γ′ 1
√
√
2γ in
2µ
A2 + ′ B2in
′
γ
γ
(10-2)
C. Etude au-dessous du seuil
145
Rmax @ 1064 nm
R @ 1064 nm
Signal
et Complémentaire
Pompe
w0
M1
w1
w2
Cristal
Lame l/4 M2
Fig. 10.1: Schéma d’un OPO doublement résonant avec une lame λ/4 dont les axes neutres
sont tournés d’un angle ρ par rapport à ceux du cristal.
B.2
Linéarisation des équations
Les équations de bouclage sont linéarisées autour des valeurs moyennes. En posant pour
chaque champ, Ai = Ai + δAi , les équations dynamiques deviennent :

gA0 ∗ gδA0 ∗
τ dδA1


δA2 +
A2 + icδA2 +
+ (1 − ic)δA1 =


′

γ dt
γ′
γ′



τ dδA2
gA0 ∗ gδA0 ∗
+ (1 − ic)δA2 =
δA1 +
A1 + icδA1 +

′ dt

γ
γ′
γ′




g


δA0 = − (A2 δA1 + A1 δA2 ) + δAin
0
2
√
√
2γ in
2µ
δA1 + ′ δB1in
′
γ
γ
√
√
2γ in
2µ
δA2 + ′ δB2in
γ′
γ
(10-3)
Au-dessous ou au-dessus du seuil d’oscillation, ces équations vont s’écrire différemment. Les
parties suivantes sont consacrées successivement à ces deux régimes de fonctionnement.
C
C.1
Etude au-dessous du seuil
Equations linéarisées
Au-dessous du seuil d’oscillation, les équations (10-3) se simplifient : les valeurs moyennes
des champs signal et complémentaire étant nulles, le terme qui dépend des fluctuations de la
pompe disparaı̂t. De plus, le terme gA0 /γ ′ est égal à la puissance pompe normalisée au seuil
minimal de l’OPO. Ce terme est donc égal au taux de pompage σ, le fonctionnement au-dessous
du seuil correspondant à σ < 1. Dans ce régime, les équations (10-3) prennent finalement la
forme :

τ dδA1

∗


 γ ′ dt + (1 − ic)δA1 = σδA2 + icδA2 +

 τ dδA2

 ′
+ (1 − ic)δA2 = σδA∗1 + icδA1 +
γ dt
√
2γ in
δA1 +
γ′
√
2γ in
δA2 +
γ′
√
2µ in
δB1
γ′
√
2µ in
δB2
γ′
(10-4)
146
C.2
10. Propriétés quantiques d’un OPO à auto-verrouillage
Variances
Par transformée de Fourier, les équations précédentes deviennent algébriques :

√
√

2κ g
2µ g

∗
in
in
f
f
f

 δ A1 (Ω)(1 − ic + 2iΩ) − σδ A2 (−Ω) − icδ A2 (Ω) − ′ δ A1 (Ω) − ′ δ B1 (Ω) = 0
κ
κ
√
√

2µ g

g
in (Ω) −
 δA
f∗ (−Ω) − icδ A
f2 (Ω)(1 − ic + 2iΩ) − σδ A
f1 (Ω) − 2γ δ A
δ B2in (Ω) = 0

1
2
γ′
γ′
(10-5)
ω
ωτ
où Ω = ′ =
est la fréquence de bruit normalisée à la bande passante de la cavité.
2γ
Ωc
Les fluctuations d’un mode Ai pour une fréquence d’analyse du bruit et une quadrature
données s’expriment
f∗ (−Ω)eiϕ
fi (Ω)e−iϕ + δ A
pi (ϕ, Ω) = δ A
i
Les équations 10-5 peuvent être alors écrites sous la forme :

√
2γ


−
p1 (ϕ)(1 + 2iΩ) − σp2 (−ϕ) + c(p1 (ϕ + π/2) + p2 (ϕ + π/2)) − ′ pin


γ 1
√

2γ


 p2 (−ϕ)(1 + 2iΩ) − σp1 (ϕ) + c(p2 (−ϕ + π/2) − p1 (−ϕ + π/2)) − ′ pin
−
γ 2
(10-6)
√
2µ in′
p
κ′ 1
√
2µ in′
p
γ′ 2
= 0
= 0
(10-7)
in′ correspondent aux fluctuations du vide qui sont indépendantes de la phase.
et
p
où pin
i
i
Pour c = 0, c’est à dire en l’absence de couplage, ces équations sont identiques à celles d’un
OPO ”standard” au-dessous du seuil où seules les quadratures avec des phases ±ϕ interagissent.
Lorsque la lame est tournée (c 6= 0), la dépendance en phase devient beaucoup plus complexe
puisque chaque quadrature est également couplée à la quadrature orthogonale.
En introduisant les quadratures orthogonales
π
p1 = p1 (ϕ1 )
q1 = p1 (ϕ1 + )
2
π
q2 = p2 (ϕ2 + )
p2 = p2 (ϕ2 )
(10-8)
2
avec ϕ1 = π/2 et ϕ2 = −π/2, le système (10-7) se transforme en :

√
√
2γ in
2µ ′


= 0
 p1 (1 + 2iΩ) − σp2 + c(q1 − q2 ) − ′ p1 − ′ pin
1


γ
γ



√
√


2γ in
2µ in′


= 0

 p2 (1 + 2iΩ) − σp1 + c(q2 − q1 ) − γ ′ p2 − γ ′ p2
(10-9)
√
√

2γ in
2µ in′



= 0
q (1 + 2iΩ) + σq2 + c(p2 − p1 ) − ′ q1 − ′ q1

 1
γ
γ



√
√


2γ in
2µ ′


 q2 (1 + 2iΩ) + σq1 + c(p1 − p2 ) − ′ q2 − ′ q2in = 0
γ
γ
Ce système permet de calculer les fluctuations à l’intérieur de la cavité. Les fluctuations des
champs sortants sont obtenues en écrivant une condition aux limites sur le miroir de sortie :
p
pout
2γpi (Ω) − pin
(10-10)
i (Ω) =
i
C. Etude au-dessous du seuil
147
La variance de pout
est ensuite déterminée par :
i
out
Spout
(Ω) =< pout
i (Ω) pi (−Ω) >
i
(10-11)
Les variances des fluctuations du vide sont normalisées à 1.
C.3
Fluctuations des modes signal et complémentaire
Lorsque la lame n’est pas tournée, les modes signal et complémentaire présentent un excès
de bruit qui ne dépend pas de la quadrature considérée. Le spectre a été établi au chapitre
8. Cela n’est plus le cas lorsque la lame est tournée. Le spectre de bruit s’écrit de manière
générale, pour une quadrature définie par l’angle ϕ par rapport à pout
1 :
cos2 (ϕ) + Sq1out sin2 (ϕ) + α cos(2ϕ)
S(ϕ) = Spout
1
(10-12)
avec
Spout
1
= 1+
Sq1out
= 1+
α =
γ 8σ(σ((σ − 1)2 + 4Ω2 ) − c2 (4Ω2 − 4(1 + c2 ) + (σ + 1)2 )
γ′
(4Ω2 + (σ − 1)2 )(16Ω2 + (4Ω2 − 4c2 + σ 2 − 1)2 )
γ 8σ(σ((σ + 1)2 + 4Ω2 ) + c2 (4Ω2 − 4(1 + c2 ) + (σ − 1)2 )
γ′
(4Ω2 + (σ + 1)2 )(16Ω2 + (4Ω2 − 4c2 + σ 2 − 1)2 )
−8σc
γ
γ ′ 16Ω2 + (4Ω2 − 4c2 + σ 2 − 1)2
(10-13)
Lorsque le couplage augmente, la quadrature présentant le bruit minimal tourne. Plus le
couplage est fort, et plus cette quadrature tend vers q1 . Ce bruit peut être comprimé sous la
limite quantique standard. La figure 10.2 donne l’angle de cette quadrature et la variance de
bruit associée en fonction du couplage.
C.4
Correlations et anti-corrélations
Après avoir établi le spectre de bruit des modes signal et complémentaire, nous étudions
les propriétés de corrélations entre ces deux modes.
Le bruit sur la somme des fluctuations est identique à celui établi au chapitre 7 et ne dépend
pas du couplage. Cette propriété apparaı̂t clairement dans les équations (10-9) : la somme des
équations sur pi ou qi fait disparaı̂tre la contribution du terme de couplage.
Sq1out +q2out
out
Spout
1 +p2
γ
4σ
γ ′ 4Ω2 + (σ + 1)2
4σ
γ
= 1+ ′ 2
γ 4Ω + (σ − 1)2
= 1−
(10-14)
out est ainsi très bruité alors que q out + q out est toujours comprimé sous
Le bruit sur pout
1 + p2
1
2
le bruit quantique quantique standard. On retrouve que les anti-corrélations sont parfaites à
fréquence nulle, au seuil et en l’absence de pertes. Le paramètre γ/γ ′ , récurrent depuis le début
de ce mémoire, impose la réduction maximale : à pertes données, la transmission du miroir de
sortie doit être la plus grande possible.
148
10. Propriétés quantiques d’un OPO à auto-verrouillage
Fig. 10.2: Angle de la quadrature pour laquelle le bruit des modes signal et complémentaire
est minimal et variance de bruit normalisée au bruit quantique standard. (Ω = 0, σ = 0.9,
µ = 0)
En revanche, le bruit sur la différence des fluctuations dépend grandement du couplage
linéaire imposé par la lame. Le spectre de bruit s’écrit :
2
2
out cos (ϕ) + Sq out −q out sin (ϕ) + 2α cos(2ϕ)
S(ϕ) = Spout
1 −p2
1
2
(10-15)
où α a été défini en 10-13 et
out
Spout
1 −p2
= 1−
Sq1out −q2out
= 1+
γ 4σ(4Ω2 − 4c2 + (σ − 1)2 )
γ ′ 16Ω2 + (4Ω2 − 4c2 + σ 2 − 1)
γ 4σ(4Ω2 − 4c2 + (σ + 1)2 )
γ ′ 16Ω2 + (4Ω2 − 4c2 + σ 2 − 1)
(10-16)
Dans un OPO ”standard”, les corrélations apparaissent suivant une quadrature orthogonale à
celle qui est anti-corrélée. La configuration devient très différente en présence de la lame. La
quadrature corrélée tourne avec l’angle de la lame et la corrélation est de plus en plus dégradée.
Comme souligné à plusieurs reprises, les modes polarisés à ±45◦ des modes signal et complémentaire sont comprimés. Ils seront notés :
A+ =
A1 − A2
√
2
et
A− =
A1 + A2
√
2
Les indices ± ne désignent pas ici +45 ou −45 : A+ est le mode à −45◦ , A− est le mode à +45◦ .
Cette notation simplifie cependant la compréhension du système car + et − sont associés aux
modes dont les compressions traduisent respectivement les anti-corrélations et les corrélations.
Le spectre de bruit de ces modes s’écrit en effet :
1
out
SA+ (ϕ) = Spout
2 1 (ϕ)+p2 (ϕ+π)
1
out
et SA− (ϕ) = Spout
2 1 (ϕ)−p2 (ϕ+π)
C. Etude au-dessous du seuil
149
A-
q
AA+
A-
A+
q
A+
Fig. 10.3: Représentation de Fresnel des ellipses de bruit des modes A+ et A− lorsque l’angle
de la lame augmente. En l’absence de couplage, la compression de bruit est obtenue suivant
des quadratures orthogonales. En présence d’un couplage, l’ellipse de bruit du mode A− tourne
et la compression est réduite. Le mode A+ n’est pas affecté.
Notons que pour l’autre zone d’accrochage (∆ = −ε0 ) les définitions de A+ et A− seraient
échangées. L’évolution des corrélations et anti-corrélations est résumée figure 10.3, en terme
de compression de bruit des modes à ±45◦ : le mode A+ n’est pas affecté par le couplage alors
que le mode A− voit sa quadrature comprimée tourner et la compression de bruit diminuer.
En dérivant l’équation (10-15), une expression analytique de l’angle θ de tilt de l’ellipse de
bruit du mode A− peut être obtenue :
tan(2θ) =
4Ω2
4c
− 4c2 + σ 2 + 1
(10-17)
La figure 10.4 donne l’angle de la quadrature la plus comprimée et la variance de bruit
associée, en fonction du paramètre de couplage c et de la fréquence d’analyse normalisée à
la bande passante de la cavité. Une coupe à fréquence nulle est représentée figure 10.5. Le
taux de pompage σ influe très peu sur l’allure générale de ces courbes et impose seulement la
compression maximale.
(a)
(b)
1
90
Angle
4
45
Variance
3
0
4
0.5
3
0
2
Couplage c
1
1
2
Fréquence W
2
Couplage c
1
4 0
1
2
Fréquence W
3
3
4
0
Fig. 10.4: Angle de la quadrature pour laquelle le bruit est minimal et variance de bruit
normalisée au bruit quantique standard, en fonction de la fréquence d’analyse et du couplage
(σ = 0.9, µ = 0)
150
10. Propriétés quantiques d’un OPO à auto-verrouillage
Fig. 10.5: Angle de la quadrature pour laquelle le bruit est minimal et variance de bruit
normalisée au bruit quantique standard, en fonction du couplage et à fréquence nulle (σ = 0.9,
µ = 0)
D
Etude au-dessus du seuil
D.1
Equations linéarisées
Au-dessus du seuil, les valeurs moyennes des champs signal et complémentaire sont nonnulles : les fluctuations de la pompe ne disparaissent donc plus dans les équations de bouclage
linéarisées. De plus, la valeur de A0 est fixée à la valeur seuil quel que soit le taux de pompage.
2γ ′
Avec gA0 /γ ′ = 1 et |Ai |2 = 2 (σ − 1), les équations (10-3) deviennent :
g

τ dδA1


+ (σ − ic)δA1 = δA∗2 + (σ − 1 + ic)δA2

′ dt

γ

p

√


2γ ′ (σ − 1) in −iϕ2
2γ


+ ′ δAin
+
δA0 e

1 +

′
γ
γ

τ dδA2


+ (σ − ic)δA2 = δA∗1 + (σ − 1 + ic)δA1

′ dt

γ

p

√


2γ ′ (σ − 1) in −iϕ1
2γ



+
δA0 e
+ ′ δAin
2 +
′
γ
γ
D.2
√
2µ in
δB1
γ′
√
2µ in
δB2
γ′
(10-18)
Variances
Une procédure identique à celle développée précédemment permet d’obtenir un système de
4 équations régissant l’évolution des quadratures p1 , p2 , q1 , et q2 définies en (10-8). Au-dessus
du seuil, ces paramètres sont associés aux fluctuations d’amplitude (pi ) et de phase (qi ) des
D. Etude au-dessus du seuil
151
champs signal et complémentaire.

p
√

2γ ′ (σ − 1) in
2γ


p0 − ′ pin
−
 p1 (σ + 2iΩ) + (σ − 2)p2 + c(q1 − q2 ) −
′

γ
γ 1



p

√


2γ ′ (σ − 1) in
2γ


p0 − ′ pin
−

 p2 (σ + 2iΩ) + (σ − 2)p1 + c(q2 − q1 ) −
′
γ
γ 2
p
√


2γ ′ (σ − 1) in
2γ in


q
(σ
+
2iΩ)
+
σq
+
c(p
−
p
)
−
q
−
q1 −

1
2
2
1
0
′
′

γ
γ



p

√


2γ ′ (σ − 1) in
2γ



q0 − ′ q2in −
q2 (σ + 2iΩ) + σq1 + c(p1 − p2 ) −
′
γ
γ
D.3
√
2µ in′
p
γ′ 1
√
2µ in′
p
γ′ 2
√
2µ in′
q
γ′ 1
√
2µ in′
q
γ′ 2
= 0
= 0
= 0
= 0
(10-19)
Fluctuations des modes signal et complémentaire
Le spectre de bruit des modes individuels peut s’écrire :
cos(ϕ)2 + Sq1out sin(ϕ)2 + α cos(2ϕ)
S(ϕ) = Spout
1
(10-20)
avec
Spout
1
= 1−
Sq1out
= 1+
α =
γ Ω2 (c2 + σ(σ − 2)) − c2 (c2 + (σ − 1)2 )
2γ ′ (Ω2 + (σ − 1)2 )(Ω2 + (Ω2 − c2 )2 )
γ σ 2 + (c2 + σ 2 )(Ω2 − c2 )
2γ ′ (Ω2 + σ 2 )(Ω2 + (Ω2 − c2 )2 )
−c
γ
2γ ′ Ω2 + (Ω2 − c2 )2
(10-21)
Lorsque la lame n’est pas tournée, ces expressions sont identiques à celles établies au chapitre 5 : les quadratures de phase et d’amplitude sont décorrélées et le bruit d’intensité peut
être comprimé sous le bruit quantique standard dès que le taux de pompage σ est plus grand
que 2.
En présence d’un couplage, le comportement est similaire à celui déterminé au-dessous
du seuil. La quadrature présentant le bruit minimal tourne et s’approche de la quadrature qi
lorsque le couplage augmente. Pour un fort couplage, les faisceaux individuels sont comprimés
en phase, dans la limite de 3 dB.
D.4
Corrélations et Anti-corrélations
Comme précédemment, les spectres de bruit sur la somme des fluctuations de phase ou
d’amplitude ne sont pas affectés par la présence de la lame. On retrouve les expressions établies
au chapitre 5.
Sq1out +q2out
out
Spout
1 +p2
γ
1
′
2
γ Ω + σ2
1
γ
= 1+ ′ 2
γ Ω + (σ − 1)2
= 1−
(10-22)
152
10. Propriétés quantiques d’un OPO à auto-verrouillage
Le mode A+ , désormais de valeur moyenne non-nulle, est comprimé en phase. Au seuil, à
fréquence nulle et en l’absence de pertes, le bruit de phase est réduit à zéro.
Le bruit sur la différence des fluctuations dépend quant à lui du couplage :
2
2
out cos(ϕ) + Sq out −q out sin(ϕ) + 2α cos(2ϕ)
S(ϕ) = Spout
1 −p2
1
2
(10-23)
où α a été défini en (10-21) et
out
Spout
1 −p2
= 1−
Sq1out −q2out
= 1+
Ω2 − c2
γ
γ ′ Ω2 + (Ω2 − c2 )2
γ Ω2 + 1 − c2
γ ′ Ω2 + (Ω2 − c2 )2
(10-24)
On retrouve le même comportement qu’au-dessous du seuil : la quadrature corrélée tourne avec
le couplage et la corrélation diminue. En termes de compression des modes polarisés à ±45◦ ,
la quadrature comprimée du mode A− tourne avec le couplage et la compression de bruit
est dégradée. Notons également que le spectre ne dépend pas du taux de pompage. C’était
également le cas des corrélations d’intensité en l’absence de lame.
La comparaison avec les expressions sans lame est ici intéressante. En l’absence de pertes, le
bruit sur la différence des intensités s’annulait à fréquence nulle alors que celui sur la différence
des phases divergeait traduisant ainsi le phénomène de diffusion de phase en 1/Ω2 . Le couplage a
pour effet de bloquer cette diffusion de phase : ce dernier bruit prend donc désormais une valeur
finie à fréquence nulle. Par conséquent, la compression du bruit sur la différence d’intensité ne
peut plus être maximale.
L’angle de rotation de l’ellipse de bruit est donné par :
tan(2θ) =
2c
2Ω2 − 2c2 + 1
(10-25)
Cet angle ne dépend plus du pompage et est égal à l’expression (10-17) trouvée au-dessous
du seuil en posant σ = 1. Cette grandeur étant très peu dépendante du taux de pompage
au-dessous du seuil, l’angle de rotation est donc quasiment identique dans les deux régimes de
fonctionnement.
La compression de bruit donnée en (10-24) est identique à celle obtenue au-dessous du seuil
en posant σ = 1. L’angle de la quadrature comprimée ainsi que la variance de bruit associée
est donc quasiment identique à l’évolution présentée figure 10.5 et tracée pour σ = 0.9.
D.5
Résumé
Le fonctionnement au-dessous et au-dessus du seuil conduisent à des équations linéarisées
différentes. Cependant, proche du seuil, la dépendance du bruit avec le couplage est très similaire. Les modes à ±45◦ des champs signal et complémentaire donnent une image synthétique
du comportement du système.
Proche du seuil, le mode A+ est comprimé et le couplage est sans effet sur ce mode. Audessus du seuil, ce mode est de valeur moyenne non-nulle et la quadrature comprimée correspond à la quadrature de phase. En termes de corrélations, cela signifie que les fluctuations des
D. Etude au-dessus du seuil
153
champs individuels sont anti-corrélées toujours suivant la même quadrature, indépendamment
du couplage.
Le mode A− , de valeur moyenne nulle quel que soit le régime de fonctionnement, est également comprimé mais, en l’absence de couplage, suivant une quadrature orthogonale à celle du
mode A+ . Lorsque le couplage augmente, la quadrature comprimée tourne et se rapproche de
plus en plus de celle du mode A+ . Parallèlement, la compression de bruit diminue. En termes
de corrélations, cela signifie que les modes signal et complémentaire voient leurs quadratures
corrélées tourner et la corrélation diminuer.
La figure 10.6 résume les deux régimes de fonctionnement pour différents angles de la lame.
La courbe en pointillé correspond au cas sans lame : les modes A+ et A− ont la même variance
de bruit au-dessous du seuil puis la compression de bruit de A+ est dégradée au-dessus du
seuil alors que celle de A− reste maximale. Les tracés en trait plein correspondent à différentes
valeurs de c et donnent la variance de la quadrature la plus comprimée pour le mode A− . Le
bruit du mode A+ est quant à lui inchangé lorsque le couplage augmente. La seconde figure
donne la séparabilité, définie comme la demi-somme des variances comprimées précédentes.
Le bruit des modes individuels présente également une évolution originale avec le couplage. Indépendant de la phase en l’absence de couplage, les champs signal et complémentaire
deviennent comprimés lorsque l’angle de la lame augmente.
Fig. 10.6: Variance normalisée des modes A+ et A− en fonction du taux de pompage et pour
différents angles. La courbe en pointillé donne le bruit en l’absence de lame : alors que les bruits
sont identiques au-dessous du seuil, A− est parfaitement comprimé au-dessus alors que A+ voit
son bruit augmenter. Les courbes en trait plein donnent le bruit de A− pour différents angles.
Le bruit du mode A+ ne dépend pas du couplage et est donc toujours donné par la courbe en
pointillé. Le second graphe correspond à la séparabilité définie comme la demi-somme de ces
variances. (Ω = 0, µ = 0)
154
E
10. Propriétés quantiques d’un OPO à auto-verrouillage
Conclusion
Un oscillateur paramétrique optique associé à une lame biréfringente insérée dans la cavité
permet de générer des faisceaux fortement corrélés suivant des quadratures non-orthogonales.
Les propriétés quantiques sont très similaires au-dessous et au-dessus du seuil. La quadrature
anti-corrélée ne dépend pas du couplage induit par la lame alors que la quadrature corrélée,
orthogonale à la précédente en l’absence de couplage, tourne et se rapproche de cette dernière.
Les modes polarisés à ±45◦ des champs signal et complémentaire donnent une image synthétique de ce comportement. Ces modes sont comprimés : le mode A+ n’est pas affecté par le
couplage alors que le mode A− voit sa quadrature comprimée se rapprocher de celle du mode
précédent et la compression de bruit diminuer.
Une question intéressante est dès lors de déterminer quelle intrication il est possible d’extraire de ce système par l’intermédiaire d’opérations passives, réalisables à l’aide de lames
séparatrices et de déphasages. Le chapitre suivant répond à cette question et résume les propriétés quantiques du système en s’appuyant sur le formalisme de la matrice de covariance.
11. Compression de bruit et intrication d’un état à
deux modes
Sommaire
A
Introduction
B
Matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C
D
E
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B.1
Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B.2
Cas monomode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
B.3
Cas à deux modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Etat à deux modes : compression et intrication . . . . . . . . . . . 159
C.1
Transformations passives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C.2
Modes les plus comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
C.3
Modes les plus intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
OPO à auto-verrouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
D.1
Matrices de covariance en l’absence de couplage . . . . . . . . . . . . . 165
D.2
Matrices de covariance en présence de couplage . . . . . . . . . . . . . 166
D.3
Optimisation de l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Introduction
Le chapitre précédent a montré qu’un OPO associé à une lame biréfringente insérée dans
la cavité génère des faisceaux intriqués suivant des quadratures non-orthogonales. Lorsque le
couplage est important, ces faisceaux peuvent également être comprimés. Le comportement du
système est donc particulièrement riche et à première vue complexe : quelle compression de
bruit maximale, ou quelle intrication maximale, peut-on en extraire ? Comment ces propriétés
sont-elles reliées l’une à l’autre ?
Ce chapitre se propose de répondre à ces questions en étudiant l’action d’opérations passives
sur un état gaussien à deux modes. Les opérations passives, c’est-à-dire qui conservent le nombre
de photons, sont obtenues par déphasage ou mélange sur des lames séparatrices. Lorsque les
deux modes sont polarisés orthogonalement, ces opérations peuvent être réalisées de manière
équivalente à l’aide de lames biréfringentes. L’étude s’appuiera sur le formalisme de la matrice
de covariance qui offre une vision synthétique des propriétés d’un état.
156
11. Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
La dernière partie est consacrée au cas particulier de l’état à 2 modes généré par un OPO
à auto-verrouillage. Les propriétés quantiques établies au chapitre précédent sont résumées en
termes de matrice de covariance puis discutées au regard des développements de ce chapitre.
B
Matrice de covariance
Un état gaussien est entièrement caractérisé par ses moments du premier et second ordre.
Seuls ces derniers apportent une information sur les propriétés de compression de bruit et de
corrélations. Les moments du second ordre d’un état gaussien à N modes sont résumés en
une matrice de dimension 2N × 2N , dite ”matrice de covariance”. Cette partie introduit cette
notation puis considère le cas particulier des états à 1 mode et à 2 modes.
B.1
Définition générale
Un état gaussien à N modes est défini par le vecteur r = (p1 , q1 , p2 , q2 , ..., pN , qN ) formé des
quadratures conjuguées des N modes. L’état est entièrement déterminé par le vecteur moyen
ξ = (hp1 i, hq1 i, hp2 i, hq2 i, ..., hpN i, hqN i) et les moments du second ordre donnés par la matrice
de covariance Γ, réelle, symétrique et définie positive :
Γ = h(r − ξ)(r − ξ)T iS = hδrδrT iS

hδp1 δq1 iS hδp1 δp2 i
hδp21 i
 hδp1 δq1 iS
hδq12 i
hδq1 δp2 i

 hδp δp i hδq δp i
hδp22 i

1 2
1 2

hδq1 δq2 i hδp2 δq2 iS
hδp1 δq2 i
= 

..
..
..


.
.
.

 hδp1 δpN i hδq1 δpN i hδp2 δpN i
hδp1 δqN i hδq1 δqN i hδp2 δqN i
hδp1 δq2 i
hδq1 δq2 i
hδp2 δq2 iS
hδq22 i
..
.
···
···
···
···
..
.
hδq2 δpN i
hδq2 δqN i
···
···
hδp1 δpN i
hδq1 δpN i
hδp2 δpN i
hδq2 δpN i
..
.
hδp1 δqN i
hδq1 δqN i
hδp2 δqN i
hδq2 δqN i
..
.
(11-1)

hδp2N i
hδpN δqN iS
2 i
hδpN δqN iS
hδqN











où a été introduite la notation symétrisée h iS qui correspond à une mesure où l’ordre n’intervient pas. Pour deux opérateurs δp et δq,
1
(11-2)
hδp δqiS = hδp δq + δq δpi
2
Cette définition n’a d’influence sur le résultat que si les opérateurs que l’on considère ne commutent pas.
La matrice de covariance définit entièrement les propriétés de bruit d’un état gaussien. En
particulier, la pureté P d’un état mixte décrit par sa matrice densité ρ peut s’obtenir facilement
à partir de sa matrice de covariance Γ. Définie par P = T r(ρ2 ), elle s’exprime :
1
P= p
det(Γ)
(11-3)
La pureté d’un état pur vaut 1, valeur que prend donc aussi le déterminant de sa matrice
de covariance. Des propositions récentes utilisent la notion de pureté, globale et marginale,
pour quantifier l’intrication d’un état mixte [Adesso04]. Cette approche pourra constituer une
thématique très intéressante pour les travaux qui suivront cette thèse.
B. Matrice de covariance
B.2
157
Cas monomode
Dans le cas monomode, la matrice de covariance se réduit à :
Ã
!
hδp1 δq1 iS
hδp21 i
Γ=
hδp1 δq1 iS
hδq12 i
(11-4)
En écrivant que le déterminant est supérieur ou égal à 1, on retrouve la relation de Heisenberg
généralisée :
1
det Γ = hδp21 ihδq12 i − hδp1 δq1 + δq1 δp1 i2 ≥ 1
4
(11-5)
Le choix des quadratures de base impose la valeur des coefficients de la matrice Γ. Par
une rotation dans l’espace des phases, il est toujours possible de choisir la base qui diagonalise
la matrice de covariance. Cette rotation est la seule opération passive possible pour un état
monomode et correspond physiquement à une propagation sur une longueur l telle que kl = θ.
Notée R(θ), elle transforme les opérateurs de quadrature selon la relation :
!Ã
!
Ã
! Ã
!
Ã
p1
cos θ sin θ
p1
p1 (θ)
= R(θ)
=
(11-6)
q1
q1
− sin θ cos θ
q1 (θ)
Montrons que la base qui diagonalise la matrice de covariance est également celle pour
laquelle les éléments diagonaux sont extrémaux. Cela revient à montrer que, quelle que soit la
base, l’élément diagonal le plus petit est toujours supérieur ou égal à la plus petite des valeurs
propres. La matrice de covariance initiale est notée sous la forme générale :
Ã
!
n1 c
Γ=
(11-7)
c n2
Après une rotation d’un angle θ, la matrice de covariance Γ(θ) s’écrit :
Γ(θ) =
D
Ã
p1 (θ)
q1 (θ)
!Ã
p1 (θ)
q1 (θ)
!T
E
S
D
= R(θ)
Ã
p1
q1
!
³
R(θ)
Ã
p1
q1
!
´T E
S
(11-8)
soit finalement
Γ(θ) = R(θ) Γ R(θ)T
(11-9)
Les coefficients diagonaux de la nouvelle matrice s’exprime alors à partir des éléments initiaux
n1 , n2 et c :
n1 (θ) = n1 cos2 (θ) + n2 sin2 (θ) + c sin(2θ)
n2 (θ) = n1 sin2 (θ) + n2 cos2 (θ) − c sin(2θ)
(11-10)
L’angle θ0 qui rend les éléments diagonaux extrémaux vérifie
dn1 (θ) ¯¯
= 0 et
¯
dθ θ=θ0
dn2 (θ) ¯¯
=0
¯
dθ θ=θ0
(11-11)
158
11. Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
et s’écrit :
θ0 =
³ 2c ´
1
arctan
2
n1 − n2
(11-12)
En l’absence de corrélations (c = 0), l’angle de rotation à appliquer pour obtenir les éléments
diagonaux extrémaux est nul : la base qui diagonalise la matrice de covariance est donc la base
pour laquelle les éléments diagonaux, qui sont alors les valeurs propres, sont extrémaux. En
d’autres termes, les quadratures extrémalement comprimées sont totalement décorrélées et le
bruit minimal est donné par la plus petite valeur propre. Le choix de l’angle θ peut s’interpréter
”géométriquement” dans le repère de Fresnel où le bruit est représenté par une ellipse : c’est
l’angle pour lequel les quadratures de base correspondent aux petit et grand axes de l’ellipse.
Ce résultat est donc bien connu mais cette étude a permis de développer le formalisme de la
matrice de covariance qui sera très utile pour la seconde partie.
Lorsque la base est choisie de manière quelconque, il n’est pas facile de savoir a priori
si une matrice de covariance décrit un état comprimé : une matrice de covariance avec des
coefficients diagonaux tous supérieurs à 1 peut en effet correspondre à un tel état. L’étude
précédente conduit ainsi à définir une ”variance comprimée généralisée” [Simon94] donnée par
la plus petite des valeurs propres de la matrice de covariance :
³
´
λ1 = min vap(Γ)
(11-13)
où vap(Γ) désigne l’ensemble des valeurs propres de Γ. Une rotation dans l’espace des phases
rend la compression de bruit explicite.
Pour illuster ce point, considérons un état dont la matrice de covariance s’écrit :
Γ=
Ã
cosh η sinh η
sinh η cosh η
!
(11-14)
avec η positif et réel. Cette matrice est celle d’un état comprimé mais elle ne fait pas apparaı̂tre
explicitement cette propriété puisque tous les éléments diagonaux sont supérieurs à 1. En
appliquant une rotation d’angle θ0 = π/4, la matrice devient :
Γ(θ0 ) =
Ã
e−η 0
0 eη
!
(11-15)
La compression de bruit apparaı̂t désormais explicitement : les quadratures de base ont été ”alignées” avec les axes de l’ellipse de bruit. La plus petite valeur propre, e−η , donne la compression
de bruit maximale.
La compression de bruit d’un état monomode est ainsi naturellement définie comme un
invariant par rotation dans l’espace des phases (invariant par le groupe U(1)). Une approche
similaire sera recherchée dans le cas à deux modes.
C. Etat à deux modes : compression et intrication
B.3
159
Cas à deux modes
Dans le cas d’un état gaussien à

hδp21 i
 hδp δq i

1 1 S
Γ=
 hδp1 δp2 i
hδp1 δq2 i
deux modes, la matrice de covariance s’écrit

hδp1 δq1 iS hδp1 δp2 i hδp1 δq2 i
hδq12 i
hδq1 δp2 i hδq1 δq2 i 


hδq1 δp2 i
hδp22 i
hδp2 δq2 iS 
hδq1 δq2 i hδp2 δq2 iS
hδq22 i
et peut s’exprimer à l’aide de blocs 2 × 2 sous la forme
Ã
!
Γ1 σ1 2
Γ=
σ1 2 Γ2
(11-16)
(11-17)
où Γ1 et Γ2 donnent les propriétés de chaque mode et σ1 2 les corrélations intermodales. Deux
exemples simples sont donnés ci-dessous :
• Deux modes minimaux, indépendants et comprimés suivant des quadratures
orthogonales


λ1
0
0
0
 0 1/λ
0
0 


1
Γ=
(11-18)

 0
0
1/λ2 0 
0
0
0
λ2
avec λ1 < 1 et λ2 < 1.
• Deux modes intriqués et symétriques

n 0
 0 n

Γ=
 c 0
0 −c

c 0
0 −c 


n 0 
0 n
(11-19)
Cette matrice correspond à une forme ”standard” où les modes sont symétriques et corrélés suivant des quadratures orthogonales. Elle décrit l’état obtenu en mélangeant en
quadrature deux faisceaux comprimés par exemple en intensité (chapitre 2) ou l’état directement disponible à la sortie d’un OPO de type II (sans lame).
Dans le cas général, il est simple de diagonaliser par une rotation dans l’espace des phases
l’un des blocs diagonaux. Cependant, cette opération n’est pas suffisante à elle seule pour faire
apparaı̂tre explicitement les propriétés de l’état. La partie suivante établit les propriétés de
compression de bruit et d’intrication d’un état gaussien à deux modes.
C
Etat à deux modes : compression et intrication
Etant donné un état gaussien à deux modes, comment obtenir par opérations passives les
modes les plus comprimés ou les plus intriqués ? Comment ces deux propriétés sont-elles reliées
l’une à l’autre ? Cette partie détaille cette question et établit une stratégie pour accéder à ces
modes (figure 11.1).
160
11. Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
A1
A2
Opérations passives
j
Lame séparatrice
Déphasage
A’1
A’2
Fig. 11.1: Comment obtenir, à partir de deux modes gaussiens donnés et par opérations passives, les modes les plus comprimés ou les plus intriqués ?
C.1
Transformations passives
Seules des transformations passives, c’est-à-dire qui conservent le nombre de photons, sont
considérées. En notant S la matrice complexe 2 × 2 associée à une telle transformation, les
modes A′1 et A′2 sont obtenus à partir des modes A1 et A2 par la relation :
Ã
!
Ã
!
A′1
A1
=S
(11-20)
A′2
A2
Donnons deux exemples de transformations typiques :
• Lame séparatrice
L(φ) =
Ã
cos φ sin φ
sin φ − cos φ
!
(11-21)
t = cos φ et r = sin φ correspondent aux coefficients de transmission et de réflexion de
la lame. Sans perte de généralité, les lames sont supposées ne pas induire de déphasage.
Lorsque la lame est 50/50, la matrice associée s’écrit :
!
Ã
1
1 1
L= √
(11-22)
1 −1
2
• Déphasage relatif
D(θ) =
Ã
eiθ
0
0 e−iθ
!
(11-23)
Le déphasage d’un mode par rapport à l’autre est obtenu par l’intermédiaire d’une longueur différente de propagation.
Une transformation passive arbitraire sur les deux modes est réalisée en combinant ces deux
opérations [Yurke86,Han90,Arvind95]. La figure 11.2 donne le schéma le plus général : les modes
subissent un déphasage, sont mélangés sur une lame, subissent à nouveau un déphasage afin
d’être recombinés puis déphasés. La matrice S la plus générale s’écrit alors :
!
Ã
ei(θ1 +θ3 ) cos θ2 −ie−i(θ1 −θ3 ) sin θ2
S = D(−θ3 ) · L · D(−θ2 ) · L · D(θ1 ) =
(11-24)
−iei(θ1 −θ3 ) sin θ2 e−i(θ1 +θ3 ) cos θ2
C. Etat à deux modes : compression et intrication
161
A’2
-q3
A’1
q3
A1
A’1
A2
A’2
-q2
A1
l/4
l/2
l/4
a1
a2
a3
q2
q1
-q1
A2
Fig. 11.2: Une transformation arbitraire sur deux modes est obtenue à l’aide de déphasages
et de lames séparatrices, et se réduit à 3 paramètres indépendants. Lorsque les deux modes
sont polarisés orthogonalement, la transformation est obtenue de manière équivalente à l’aide
de trois lames biréfringentes tournées selon des angles αi .
Cette matrice décrit la transformation la plus générale du groupe SU (2). L’ajout d’une propagation globale permettrait de passer de SU (2) à U (2).
Soulignons que le fait d’avoir considéré des lames 50/50, et non des lames avec des coefficients de réflexion quelconques, ne restreint pas la généralité de cette écriture. Il est toujours
possible de se ramener à la forme précédente définie par 3 paramètres indépendants.
Lorsque les deux modes diffèrent uniquement par leur polarisation, cette transformation
arbitraire peut être réalisée à l’aide de deux lames λ/4 et d’une lame λ/2 (figure 11.2). Il a été
montré dans la référence [Simon90] que ce nombre de lames est minimal et que toute association
de ces trois lames dans un ordre quelconque est équivalente. La transformation s’écrit alors en
fonction des 3 angles de rotation.
C.2
Modes les plus comprimés
Dans le cas monomode, lorsque la base était choisie de manière quelconque, il était difficile
de savoir a priori si la matrice de covariance correspondait à celle d’un état comprimé. Un
invariant a été trouvé, la plus petite valeur propre, et permet de répondre simplement à cette
question. De manière équivalente, il est difficile de savoir a priori si la matrice de covariance
d’un état à deux modes correspond à un état pouvant, moyennant une opération passive,
présenter des compressions de bruit sous la limite quantique standard. Il est donc nécessaire à
nouveau de trouver un invariant par toute tranformation passive qui permettrait de répondre
simplement à cette question.
Comment s’exprime la matrice de covariance d’un état après la transformation la plus
générale définie précedemment ? La matrice S agit sur les modes en notation complexe. Pour
exprimer la matrice de covariance après la transformation, il est nécessaire d’introduire la
162
11. Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
matrice réelle β, de dimension 4 × 4, qui agit sur les composantes de quadrature :




p′1
p1
 q′ 
 q 
 1 
 1 
 ′ =β

 p2 
 p2 
q2′
q2
(11-25)
La matrice de covariance Γ′ après la transformation s’exprime alors simplement sous la forme
d’un produit matriciel :
Γ′ = β Γ β T
(11-26)
A partir de l’expression générale de S, il est simple d’obtenir celle de la matrice β :
!
Ã
X
Y
β=
−Y T X T
où
X=
et
Y =
Ã
Ã
cos (θ2 ) cos (θ1 + θ3 ) − cos (θ2 ) sin (θ1 + θ3 )
cos (θ2 ) sin (θ1 + θ3 ) cos (θ2 ) cos (θ1 + θ3 )
− sin (θ2 ) sin (θ1 − θ3 ) sin (θ2 ) cos (θ1 − θ3 )
− sin (θ2 ) cos (θ1 − θ3 ) − sin (θ2 ) sin (θ1 − θ3 )
!
!
(11-27)
(11-28)
(11-29)
Pour déterminer les modes les plus comprimés, considérons un état à deux modes dont
la matrice de covariance est diagonale, c’est-à-dire dont les modes 1 et 2 sont totalement
décorrélés, et montrons que ces modes donnent les bruits minimaux.


n1 0 0 0
 0 n
0 0 


2
(11-30)
Γ=

 0 0 n3 0 
0 0 0 n4
La transformation la plus générale est alors appliquée. La nouvelle matrice de covariance est
déterminée à partir de l’expression de β et de la relation (11-26). En particulier, le premier
élément diagonal s’écrit :
n1′ (θ1 , θ2 , θ3 ) = cos2 (θ2 ) (n1 cos2 (θ1 + θ3 ) + n2 sin2 (θ1 + θ3 )))
+ sin2 (θ2 ) (n3 sin2 (θ1 − θ3 ) + n4 cos2 (θ1 − θ3 )))
(11-31)
L’optimisation d’une fonction de plusieurs variables est un problème complexe. La nullité de
toutes les dérivées partielles (c’est-à-dire du vecteur gradient) est une condition nécessaire pour
l’observation d’un extremum en un point :
∂n′1
∂θ2
= 0 ⇒ sin (2θ2 )(−n1 cos2 (θ1 + θ3 ) − n2 sin2 (θ1 + θ3 )
+n3 sin2 (θ1 − θ3 ) + n4 cos2 (θ1 − θ3 )) = 0
(11-32)
C. Etat à deux modes : compression et intrication
∂n′1
∂θ1
163
= 0 ⇒ cos2 (θ2 ) sin (2(θ1 + θ3 ))(n2 − n1 )
+ sin2 (θ2 ) sin (2(θ1 − θ3 ))(n3 − n4 ) = 0
∂n′1
∂θ3
(11-33)
= 0 ⇒ cos2 (θ2 ) sin (2(θ1 + θ3 ))(n2 − n1 )
− sin2 (θ2 ) sin (2(θ1 − θ3 ))(n3 − n4 ) = 0
(11-34)
Les équations (11-33) et (11-34), qui diffèrent uniquement par le signe au début de la
seconde ligne, imposent sin2 (θ2 ) sin (2(θ1 − θ3 )) = 0. Cette condition donne alors : θ2 = 0 [π]
(cas 1) ou θ1 − θ3 = 0 [π/2] (cas 2).
Pour vérifier ensuite les équations (11-33) ou (11-34) qui sont devenues identiques, il est
nécessaire d’avoir dans le premier cas θ1 + θ3 = 0 [π/2] et, dans le second cas, θ2 = π/2 [π] ou
θ1 + θ3 = 0 [π/2]. Cependant, cette dernière solution associée à θ1 − θ3 = 0 [π/2] ne permet
de vérifier qu’accidentellement (11-32) suivant les valeurs des ni . C’est donc, pour le cas 2, la
solution θ2 = π/2 qui est conservée. Par ailleurs, la condition 11-32 est bien vérifiée pour les
valeurs précédentes de θ2 .
Finalement, pour rendre n′1 extrémal, il est donc nécessaire d’avoir :
θ2 = 0 [π]
et
θ1 + θ3 = 0 [π/2]
(11-35)
ou
θ2 = π/2 [π]
et
θ1 − θ3 = 0 [π/2]
Un tracé de n′1 en fonction de θ1 et θ3 fait apparaı̂tre les extremums de la fonction et il est
facile de vérifier que l’une des solutions fournit un minimum global. Donnons une interprétation
de ces différents cas à partir de l’expression (11-31). Pour θ2 = 0, la solution θ1 + θ3 = 0 laisse
n1 inchangé. En revanche, la solution θ1 + θ3 = π/2 échange n1 et n2 . Pour θ2 = π/2, les modes
1 et 2 sont échangés : la solution θ1 − θ3 = 0 remplace n1 par n4 , la seconde n1 par n3 . Ces 4
solutions laissent donc n1 inchangé ou l’échangent avec les autres éléments diagonaux : la plus
petite valeur de n1 est ainsi donnée par la plus petite valeur propre.
Ces valeurs de θ2 sont riche d’enseignements. Elles annulent en particulier tous les termes
des blocs ”inter-modaux” et empêchent donc tout ”couplage” des deux modes : pour que les
éléments diagonaux soient extrémaux, il est nécessaire que les modes soient décorrélés. Cette
propriété apparaı̂t clairement sur la matrice S : diagonale pour θ2 = 0 ou anti-diagonale pour
θ2 = π/2, elle agit sur chaque mode indépendamment (et les échange pour π/2). La transformation est alors réduite à un simple déphasage relatif des deux modes, qui dépend des valeurs
de θ1 et θ3 . L’étude précédente du cas monomode a montré que la compression de bruit d’un
mode donné est invariante par déphasage. Le choix des angles θ1 et θ3 n’aura donc d’autres
effets que de rendre les compressions de bruit explicites. Soulignons pour être complet que
la solution accidentelle qui n’a pas été retenue se traduit par des termes ”inter-modaux” tous
nuls : cette solution conduit donc bien également à des modes décorrélés.
164
11. Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
Il est important de souligner que l’ensemble des opérations passives n’est pas a priori suffisant pour diagonaliser une matrice de covariance dans le cas le plus général. En revanche,
lorsque cela est possible, les modes totalement décorrélés sont alors, d’après la démonstration
précédente, les modes les plus comprimés qu’il est possible d’obtenir. Conformément à l’étude
du cas monomode, les meilleures compressions qu’il est possible d’obtenir modulo une transformation passive sont données par les plus petites valeurs propres de chaque bloc diagonal.
Ces valeurs sont invariantes par toute transformation passive (invariantes par U(2)).
C.3
Modes les plus intriqués
Les modes les plus comprimés ayant été déterminés la stratégie optimale est immédiate. Les
modes les plus intriqués sont obtenus en mélangeant ces derniers sur une lame 50/50, à un déphasage relatif près qui assure que les deux compressions de bruit sont suivant des quadratures
orthogonales. Il a été démontré au chapitre 2 que cette stratégie conduit à des gémellités égales
aux deux compressions de bruit initiales. Deux modes identiques sont ainsi superposés après un
déphasage de π/2 : c’est le cas ”usuel” où deux faisceaux intriqués s’obtiennent en mélangeant
en quadrature deux faisceaux comprimés par exemple en intensité. De manière équivalente, si
les modes sont séparés en polarisation, les modes les plus intriqués sont les modes polarisés à
±45◦ des modes les plus comprimés, toujours à un déphasage relatif près qui assure l’orthogonalité des quadratures comprimées. On peut alors définir la valeur de la séparabilité Σ la
plus petite qu’il est possible d’obtenir : elle est égale à la demi-somme des bruits minimaux
des modes décorrélés, c’est-à-dire à la demi-somme des deux plus petites valeurs propres de
chaque bloc.
Pour étudier plus avant l’effet d’une transformation passive et illustrer ”numériquement” la
stratégie optimale, il est nécessaire de pouvoir quantifier l’intrication d’un état à deux modes
quelconque à l’aide d’une mesure monotone qui puisse se calculer facilement à partir de sa
matrice de covariance. La négativité logarithmique EN (”logarithmic negativity”) d’un état
gaussien arbitraire présente cette propriété. Cette mesure repose sur la notion de ”transposition
partielle”, qui renseigne sur la séparabilité de l’état, et peut donc être considérée comme une
version quantitative du critère d’inséparabilité. En écrivant la matrice de covariance sous la
forme générale
!
Ã
ΓA σA B
(11-36)
Γ=
σA B ΓB
il a été montré dans la référence [Vidal02] que cette grandeur pouvait s’exprimer :
EN = max [0, − log2 (ξ)]
(11-37)
où
´
p
1³
D − D2 − 4 det (Γ)
2
D = det (ΓA ) + det (ΓB ) − 2 det (σA B )
ξ2 =
(11-38)
D. OPO à auto-verrouillage
165
La connaissance de la matrice de covariance permet de calculer facilement ces grandeurs et
d’accéder ainsi à la négativité. Un état est intriqué si ξ < 1, ou encore EN>0. Si l’état est séparable, ξ > 1 et EN s’annule. Etant donnée une matrice de covariance, quelle valeur maximale
de EN est-il possible d’obtenir moyennant une transformation passive ?
Ce problème a été traité dans un article récent de M. Wolf et al. intitulé ”Entangling power
of passive optical elements” [Wolf03a]. Il repose à nouveau sur les valeurs propres de la matrice
qui, invariantes par toute transformation passive, renseignent sur la ressource ”disponible”.
M. Wolf et al. montrent tout d’abord qu’il est possible d’obtenir un état intriqué par une
transformation passive donnée si :
λ1 λ2 < 1
(11-39)
où λ1 et λ2 sont les deux plus petites valeurs propres de la matrice de covariance. Tout état
intriqué est donc comprimé, au sens du critère défini précedemment : il existe une transformation passive qui permet de rendre explicite la compression de bruit. De plus, cette relation
montre qu’il est possible d’obtenir un état intriqué à partir d’un mode comprimé et d’un mode
vide. Cette possibilité avait déjà été soulignée au chapitre 2.
Dans un second temps, ils établissent que la négativité logarithmique maximale qu’il est
possible d’obtenir s’exprime à partir des deux valeurs propres précédentes :
max
= max [0, − log2 (λ1 λ2 )/2]
EN
(11-40)
La stratégie définie au début ce paragraphe permet d’atteindre cette valeur optimale.
D
OPO à auto-verrouillage
Cette partie résume en termes de matrice de covariance les propriétés quantiques de l’OPO
à auto-verrouillage établies au chapitre précédent. Lorsque la lame est tournée, une opération
”non-locale” est nécessaire pour extraire l’intrication maximale du système.
D.1
Matrices de covariance en l’absence de couplage
En l’absence de couplage, ce système est équivalent à un OPO sans lame. Pour une fréquence
de bruit nulle et un taux de pompage σ égal à 0.9, les matrices de covariance s’expriment, pour
les modes signal et complémentaire ou les modes polarisés à ±45◦ :
ΓA1 A2

180.5014

0
=
 180.4986
0
0
180.5014
0
−180.4986
180.4986
0
180.5014
0

0
−180.4986 


0
180.5014
↔
ΓA+ A−


=

361
0
0
0
0
0.00277
0
0
0
0
0.00277
0

0
0 

0 
361
Ces matrices s’écrivent suivant les formes typiques qui avaient été introduites au paragraphe
B.3. Les modes A+ et A− sont totalement décorrélés et sont donc les modes les plus comprimés.
Les compressions de bruit étant également suivant des quadratures orthogonales, les modes A1
et A2 sont les modes les plus intriqués. On retrouve la forme standard où corrélations et anticorrélations sont obtenues suivant des quadratures orthogonales.
166
11. Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
L’intrication maximale qui peut être extraite d’un système a été établie au cours de la
partie précédente. La négativité logarithmique associée est donnée par :
max
= − log2 (λ1 λ2 )/2
EN
(11-41)
où λ1 et λ2 sont les deux plus petites valeurs propres de la matrice de covariance. La valeur
max = 8.5. La relation (11-37) permet de calculer la négativité logarithmaximale est ici de EN
mique associée à la matrice de covariance des modes intriqués A1 et A2 : EN = 8.5. Cette
valeur étant égale à la valeur maximale qu’il est possible d’obtenir, ce calcul confirme que A1
et A2 sont bien les modes les plus intriqués.
D.2
Matrices de covariance en présence de couplage
Lorsque la lame introduite dans la cavité de l’OPO est tournée, les corrélations des champs
signal et complémentaire apparaissent suivant des quadratures non-orthogonales, aussi bien
au-dessous qu’au-dessus du seuil d’oscillation. Cette propriété a également été interprétée en
termes de compression de bruit des modes polarisés à ±45◦ : la quadrature comprimée du
mode A− tourne lorsque le couplage augmente. Les matrices de covariance fournissent une
vision synthétique de ces propriétés.
Les matrices suivantes correspondent aux matrices de covariance de l’état disponible à la
sortie de l’OPO, exprimées pour deux couples de modes : les modes signal et complémentaire,
A1 et A2 , et les modes polarisés à ±45◦ , A+ et A− . Le paramètre de couplage c a été pris
égal à 1.5, le taux de pompage σ à 0.9 et la fréquence de bruit nulle. Les quadratures ont été
choisies afin de diagonaliser le premier bloc.
ΓA1 A2

181.192

0

=
179.808
−0.255
0
0.386
−0.255
−0.383
179.808
−0.255
181.192
0

−0.255
−0.383 


0
0.386
↔
ΓA+ A−


=

361
0
0
0
0
0.00277
0
0
0
0
1.383
−0.256

0

0

−0.256 
0.770
La matrice pour les modes A+ et A− fait apparaı̂tre deux résultats très importants. Tout
d’abord, tous les termes des blocs non-diagonaux sont nuls : les modes à ±45◦ sont totalement
décorrélés et restent donc les deux modes les plus comprimés du système même lorsque la lame
est tournée. En revanche, la base qui diagonalise A+ ne diagonalise pas simultanément A− .
Cette propriété correspond au fait que les quadratures comprimées ne sont pas orthogonales
lorsque la lame est tournée.
Les valeurs propres des matrices précédentes sont {361, 0.00277, 0.677, 1.476}. D’après la
relation (11-40), EN a donc pour valeur maximale 4.53. La formule générale (11-37) permettant
de calculer la valeur de ce paramètre pour une matrice quelconque donne 4.06 pour la matrice
ΓA1 A2 : A1 et A2 ne sont pas les modes les plus intriqués. Une transformation est nécessaire
pour extraire l’intrication maximale de l’état à deux modes généré par l’OPO.
D.3
Optimisation de l’intrication
La partie précédente a montré que l’intrication maximale est obtenue lorsque les modes
à ±45◦ des modes intriqués sont les modes les plus comprimés et suivant des quadratures
E. Conclusion
167
orthogonales. Un simple déphasage relatif des modes A+ et A− , qui sont déjà les modes les
plus comprimés, est donc suffisant et permet de diagonaliser simultanément les blocs diagonaux
de la matrice précédente.
L’angle θ du déphasage à imposer est égal à l’angle de rotation de l’ellipse de bruit calculé
au chapitre précédent. La matrice de passage des modes signal et complémentaire initiaux aux
modes les plus intriqués s’exprime sous la forme :
Ã
!
cos θ/2
−i sin θ/2
S=
−i sin θ/2
cos θ/2
Il est important de souligner que cette opération est non-locale, dans le sens où elle couple les
modes intriqués A1 et A2 . Si ces modes sont séparés spatialement, la transformation n’est plus
possible. Une opération locale, c’est-à-dire qui agit sur les modes intriqués indépendamment,
ne peut augmenter l’intrication.
Cette opération est réalisée facilement : soit à l’aide de la configuration mettant en jeu un
Mach-Zehnder (tous les déphasages sont alors nuls sauf celui qui intervient dans les bras de
l’interféromètre), soit à l’aide de lames biréfringentes. C’est cette dernière solution qui sera
mise en œuvre expérimentalement au chapitre suivant. Les matrices de covariance exprimées
pour les nouveaux modes s’écrivent, avant et après la transformation, soit pour les modes A1
et A2 , soit pour les modes polarisés à ±45◦ :
ΓA1 A2

181.192

0

=
179.808
−0.255
ΓA+ A−

361
 0
=
 0
0
0
0.386
−0.255
−0.383
0
0.00277
0
0
179.808
−0.255
181.192
0
0
0
1.383
−0.256

−0.255
−0.383 


0
0.386

0

0

−0.256 
0.770
=⇒
=⇒
ΓA′ A′
1
2
ΓA′

180.839

0

=
180.161
0
′
+ A−

361
 0
=
 0
0
0
0.739
0
−0.736
0
0.00277
0
0
180.161
0
180.839
0
0
0
0.677
0

0
−0.736 


0
0.739

0

0


0
1.476
Une fois cette opération réalisée, les matrices s’écrivent suivant les formes typiques données
au paragraphe B.3 et qui intervenaient également en l’absence de couplage. Les modes A′+
et A′− sont toujours les modes les plus comprimés mais désormais suivant des quadratures
orthogonales : les modes A′1 et A′2 sont donc les modes les plus intriqués. Ceci est confirmé par
le calcul de la négativité. La transformation permet de passer de EN = 4.06 à EN = 4.53, valeur
maximale imposée par les plus petites valeurs propres de l’état généré. Notons finalement que
cette valeur optimale est plus faible qu’en l’absence de couplage : plus la lame est tournée et
plus l’intrication disponible diminue.
E
Conclusion
Le formalisme de la matrice de covariance offre une vision synthétique et complète des
propriétés d’un état gaussien. Cet outil présente l’intérêt d’être relativement ”intuitif” et s’accompagne également de nombreuses possibilités d’algèbre linéaire qui n’ont été que peu utilisées
dans ce chapitre. Les développements théoriques de l’information quantique ont ainsi conduit
168
11. Compression de bruit et intrication d’un état à deux modes
à construire un cadre formel très efficace (groupe symplectique, transpostion partielle...). Le
lecteur pourra se référer aux thèses théoriques de G. Giedke [Giedke01] et M.M. Wolf [Wolf03b]
disponibles sur le web.
Au cours de ce chapitre, un lien très fort a été établi entre compression de bruit et intrication
d’un état à deux modes. Les modes les plus intriqués sont facilement obtenus à partir des
modes les plus comprimés : ce sont les modes polarisés à ±45◦ , à un déphasage relatif près qui
assure l’orthogonalité des quadratures comprimées. L’intrication maximale, ou les compressions
maximales, qui peuvent être obtenues sont reliées aux deux plus petites valeurs propres. Ainsi,
à partir d’une matrice de covariance qui ne fait pas apparaı̂tre explicitement les propriétés
du système, il est simple de déterminer les ”potentialités” en compression ou en intrication
uniquement à partir des valeurs propres qui sont invariantes par toute transformation passive.
Dans le cas de l’OPO à auto-verrouillage de phase, les modes polarisés à ±45◦ sont totalement décorrélés et sont donc les plus comprimés que l’on puisse obtenir. Les quadratures
comprimées n’étant pas orthogonales lorsque la lame est tournée, un déphasage relatif est
nécessaire pour obtenir les modes les plus intriqués et se ramener à la forme ”standard” où
corrélations et anti-corrélations sont obtenues suivant des quadratures orthogonales. Ce déphasage relatif des modes comprimés couple les modes intriqués : en ce sens, il s’agit d’une
opération ”non-locale” qui ne peut plus être réalisée si les modes intriqués ont été séparés spatialement. Le chapitre suivant étudie expérimentalement les propriétés quantiques du système,
tant au-dessus qu’au-dessous du seuil d’oscillation.
12. Caractérisation expérimentale des propriétés
quantiques
Sommaire
A
Introduction
B
Schéma expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
C
D
E
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.1
Deux détections homodynes simultanées . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.2
Schéma expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Au-dessus du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.1
Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C.2
Tentatives d’explication et améliorations en cours . . . . . . . . . . . . 172
Au-dessous du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
D.1
En l’absence de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
D.2
Lorsque le couplage augmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
D.3
Optimisation de l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Introduction
Une lame biréfringente introduite dans la cavité de l’OPO modifie notablement les propriétés quantiques du système : corrélations et anti-corrélations des modes signal et complémentaire
n’apparaissent plus suivant des quadratures orthogonales mais suivant des quadratures nonorthogonales qui dépendent de l’angle de lame. Ce chapitre détaille expérimentalement ces
propriétés, au-dessus et au-dessous du seuil, et les compare aux prédictions théoriques des
deux chapitres précédents.
Au-dessus du seuil, comme l’a montré expérimentalement le premier chapitre de cette partie,
la présence de la lame permet de générer des faisceaux intenses à même fréquence et dont les
phases individuelles ne diffusent plus : le bruit de ces faisceaux est dès lors mesurable par
détection homodyne. L’étude du bruit de phase au-dessus du seuil présentée dans ce chapitre
constitue la première démonstration expérimentale d’une telle mesure.
Afin de caractériser l’état à deux modes généré par l’OPO, une double détection homodyne est mise en œuvre. Elle permet de mesurer simultanément la compression de bruit des
modes polarisés à ±45◦ et d’accéder ainsi directement à la séparabilité définie comme leur
demi-somme. Lorsque la lame est tournée, une opération unitaire, réalisée à l’aide de lames
170
12. Caractérisation expérimentale des propriétés quantiques
IN Trig
Détections en phase
ou en quadrature
Choix des polarisations
à caractériser
-
l/4 @ 0°
l/2
l/2
Champ à caractériser
IN Trig
-
l/2
l/4
Correction des
défauts des cubes
PZT
Oscillateur local
Rampe
Fig. 12.1: Deux détections homodynes simultanées. Elles peuvent être configurées en phase ou
en quadrature à l’aide d’une lame λ/4.
biréfringentes, est nécessaire pour extraire l’intrication maximale. Cette opération est détaillée
expérimentalement en fin de chapitre.
B
Schéma expérimental
Le schéma expérimental est identique à celui mis en œuvre dans le premier chapitre de
cette partie. L’état généré est ensuite caractérisé à l’aide d’une double détection homodyne.
B.1
Deux détections homodynes simultanées
La caractérisation de l’état à deux modes généré par l’oscillateur paramétrique optique nécessite deux détections homodynes avec la même référence de phase. Cette référence commune
permettra par exemple de caractériser l’angle entre les quadratures comprimées des modes polarisés à ±45◦ ou d’accéder directement à la séparabilité des faisceaux intriqués. Cette dernière
possibilité est particulièrement intéressante puisque la technique usuelle consiste à mesurer
succesivement corrélations et anti-corrélations.
Le principe, ainsi que le réglage, d’une double détection homodyne ont été détaillés au
chapitre 2. La figure 12.1 en rappelle les éléments. Une lame λ/2 permet de choisir les 2 modes
à caractériser : modes signal et complémentaire qui sont corrélés ou les modes polarisés à ±45◦
qui sont comprimés. Par la suite, l’étude portera principalement sur ces derniers modes.
Les deux détections homodynes sont réglées de façon à être en phase : deux états comprimés
suivant la même quadrature doivent donner à l’analyseur de spectre un bruit simultané lorsque
la phase de l’oscillateur est balayée. Pour cela, les analyseurs de spectre sont déclenchés sur
le même signal, la rampe qui permet par l’intermédiaire d’une cale piezoélectrique de balayer
la phase de l’oscillateur local. Cela n’est cependant pas suffisant car les cubes séparateurs de
polarisation présentent des biréfringences résiduelles. Ces défauts sont compensés à l’aide d’un
C. Au-dessus du seuil
171
Bloc “Double détection homodyne”
IN Trig
l/4 l/2 l/4
-
l/4
{
Ä 12 MHz
Servo
l/2
l/2
l/2
KTP
l/4
PZT
IN Trig
-
l/2
l/4
Laser Nd:YAG
doublé
Isolateur
PZT
Rampe
Servo
Fig. 12.2: Schéma expérimental. L’état généré est caractérisé à l’aide de deux détections homodynes, en phase ou en quadrature. Le couple {λ/4, λ/2} inséré sur le trajet de l’oscillateur
local corrige les biréfringences résiduelles des cubes. L’association de 3 lames, qui peut être
inséré à la sortie de l’OPO, permet de réaliser toute transformation passive sur un état à 2
modes, en particulier celle qui optimise l’intrication.
couple de lames {λ/4, λ/2} inséré sur le trajet de l’oscillateur local. Cette association permet,
à partir d’une polarisation linéaire, de réaliser tout état de polarisation.
Une fois réglées en phase, les deux détections homodynes peuvent être configurées en quadrature en ajoutant avant le premier cube une lame λ/4 dont les axes sont alignés avec les
axes de ce dernier. Dans cette configuration, deux états comprimés suivant des quadratures
orthogonales donnent des réductions simultanées sur les deux analyseurs de spectre.
B.2
Schéma expérimental
Le schéma expérimental complet est donné figure 12.2. La transmission du miroir de sortie
de l’OPO est fixée à 5% pour toutes les études de ce chapitre.
Sur ce schéma récapitulatif, la double détection homodyne est encadrée. Une fois réglée,
elle peut être vue comme une ”boite noire” caractérisant, en phase ou en quadrature, deux
polarisations orthogonales pré-définies à l’entrée de ce bloc.
Une association de 3 lames biréfringentes {λ/4, λ/2, λ/4} (ou toute autre combinaison de
ces 3 lames) peut être insérée à la sortie de l’OPO afin de réaliser toute opération passive,
en particulier celle décrite au chapitre précédent et qui permet d’optimiser l’intrication. Cette
association n’interviendra qu’en fin de chapitre.
C
Au-dessus du seuil
L’auto-verrouillage des faisceaux signal et complémentaire permet de générer au-dessus du
seuil des faisceaux de quelques mW, à la même fréquence, et de supprimer le phénomène de
172
12. Caractérisation expérimentale des propriétés quantiques
diffusion de phase. Ce verrouillage ouvre la possibilité d’étudier les propriétés en phase de l’état
généré.
C.1
Résultats expérimentaux
Au fond de la zone d’accrochage, c’est-à-dire au point de seuil minimum, les champs signal et complémentaire sont en opposition de phase : A+ , dont la compression traduit les
anti-corrélations, est ainsi un mode intense alors que A− , dont la compression traduit les
corrélations, est de valeur moyenne nulle. De nouveau, la triple résonance rend extrêmement
difficile de se placer précisément en ce point de fonctionnement. La méthode consiste à régler
très finement et conjointement température du cristal et fréquence du laser afin de minimiser
progressivement la puissance du mode A− . Expérimentalement, des ellipticités de l’ordre de 2
à 3% ont été au mieux obtenues.
Le bruit quantique standard est calibré en bloquant la sortie de l’OPO. Le mode A− étant
de valeur moyenne nulle, cette mesure donne accès directement au bruit quantique standard.
Par contre, cela n’est plus le cas pour le mode intense A+ . Comme il n’est pas possible d’avoir
une puissance grande devant celle de l’oscillateur local, les puissances sont prises égales : le
bruit quantique standard est alors obtenu en ajoutant 3 dB à la mesure effectuée en bloquant
la sortie de l’OPO (chapitre 3). Cette relation simple n’est cependant valable que dans le cas
où l’oscillateur local est au bruit quantique standard. C’est pour cette raison qu’une cavité de
filtrage a été mise en place sur le trajet de l’oscillateur local : ce dernier est au bruit quantique
standard dès 2 MHz.
La figure 12.3 donne le bruit à l’analyseur de spectre des modes A+ et A− lorsque la phase
de l’oscillateur local est balayée et pour des fréquences d’analyse du bruit de 1.5 MHz à 10
MHz. Le mode A− est comprimé sous le bruit quantique standard. Cette compression de bruit
est à relier aux corrélations des modes signal et complémentaire. Elle dépend très fortement
du point de fonctionnement : la valeur moyenne du mode A− doit être la plus petite possible
pour espérer l’observer. Cette compression a souvent été très difficile à obtenir car travailler
exactement au fond de la zone d’accrochage est très délicat. En revanche, aucune compression
de bruit n’a été observée pour le mode A+ . Dans le meilleur des cas, l’excès de bruit est
de l’ordre de 3 dB par rapport au bruit quantique standard. Cette expérience n’en reste pas
moins la première démonstration expérimentale d’une caractérisation par détection homodyne
des faisceaux signal et complémentaire émis par un OPO de type II au-dessus du seuil.
C.2
Tentatives d’explication et améliorations en cours
Plusieurs tentatives d’explications peuvent être avancées. La première est la difficulté de se
placer exactement au fond de la zone d’accrochage. Il n’y a cependant pas de raisons a priori
que les anti-corrélations de phase soient plus sensibles à ce réglage que les corrélations. Ce
point sera à étudier plus en détail.
Un second point concerne le couplage du bruit de la pompe. En effet, d’après les équations
établies au chapitre 10, le bruit de la pompe n’est pas couplé aux corrélations mais il est en
revanche couplé aux anti-corrélations. Un excès de bruit de phase peut ainsi dégrader la compression. Si la pompe présente un bruit de phase de variance V0 normalisée au bruit quantique
C. Au-dessus du seuil
173
(a)
(b)
Fig. 12.3: Variance de bruit des modes (a) A+ et (b) A− au-dessus du seuil. La phase de
l’oscillateur local est balayée et le bruit est observé entre 1.5 MHz et 10 MHz. Pour le mode
A+ , la trace donnant le bruit quantique standard doit être translatée de 3 dB vers le haut.
(σ = 1.2, c = 0.5)
standard, le spectre de bruit devient :
S = 1−
γ 1 − 2(V0 − 1)(σ − 1)
γ′
Ω2 + σ 2
(12-1)
Avec σ = 1.2, Ω = 0.1, γ = 0.025 et γ ′ = 0.03, valeurs proches de celles de notre étude,
la variance passe de 0.42 lorsque la pompe est au bruit quantique standard à 0.65 lorsque la
pompe présente un excès de bruit de 3 dB. Pour obtenir un excès de bruit de l’ordre de 3 dB,
ce que l’on observe expérimentalement, le bruit de phase de la pompe doit être environ 10 dB
au-dessus du bruit quantique standard.
Afin d’étudier l’influence du bruit de pompe, une cavité de filtrage est en cours de réalisation. La mise en place d’une telle cavité est nécessaire pour confirmer ou infirmer cette
hypothèse. Cependant, quelques doutes existent. En premier lieu, sur la figure 12.3, l’excès de
bruit est tout aussi important à 3 MHz qu’à 10 MHz. On s’attendrait à ce que ce bruit diminue
avec la fréquence s’il provenait essentiellement du bruit de la pompe. En second lieu, la valeur
précédente de 10 dB d’excès de bruit semble peu réaliste. Le bruit de phase de la pompe a
été caractérisé par auto-homodynage : le faisceau est séparé en deux voies déséquilibrées en
puissance d’un facteur 10 puis recombinées sur une lame 50/50 avec une phase variable. La voie
la plus forte joue le rôle d’oscillateur local et le déséquilibre important permet de se ramener au
cas standard des détections homodynes où le bruit de ce dernier n’intervient pas. Cette étude
a montré que le bruit de phase était au plus de 5 dB. Une estimation précise est cependant très
difficile car il est nécessaire de fortement atténuer le faisceau pompe pour ne pas saturer les
photodiodes : une incertitude sur la mesure induit une incertitude beaucoup plus grande sur le
faisceau non-atténué. Enfin, il est également possible que d’autres sources de bruit extérieures
viennent se coupler (couplage aux phonons par exemple comme cela est le cas pour les fibres
optiques).
174
D
12. Caractérisation expérimentale des propriétés quantiques
Au-dessous du seuil
Les propriétés du système sont désormais étudiées au-dessous du seuil d’oscillation et pour
différents angles de la lame. Le comportement très riche du système est mis en évidence.
Une dernière étude est consacrée à l’optimisation de l’intrication réalisée à l’aide de lames
biréfringentes insérées à la sortie de l’OPO.
D.1
En l’absence de couplage
Dans un premier temps, l’angle de la lame est ajusté pour être quasiment nul. Ce réglage est
obtenu facilement en mesurant le bruit des modes signal et complémentaire : en l’absence de
couplage, le bruit individuel ne dépend pas de la quadrature. Le bruit des modes polarisés
à ±45◦ est donné figure 12.4 à une fréquence d’analyse de 3.5 MHz, pour des détections
homodynes en phase puis en quadrature. On retrouve le cas standard d’un OPO au-dessous
du seuil (étudiée à la fin de la partie 2 de ce mémoire) où la compression de bruit des modes
à ±45◦ est prédite suivant des quadratures orthogonales [Grangier87, Ou92].
La figure 12.5 donne la variance de bruit de la quadrature comprimée pour chacun des
deux modes. Les détections homodynes sont en quadrature et la phase de l’oscillateur local est
désormais asservie. Cette configuration permet une mesure simultanée des deux compressions
de bruit et donc, en les sommant, une mesure directe de la séparabilité. Les compressions de
bruit atteignent −4.3 ± 0.3 dB (63%) et −4.5 ± 0.3 dB (64.5%). Après correction du bruit
électronique, ces valeurs deviennent −4.7 ± 0.3 dB (66%) et −4.9 ± 0.3 dB (67.5%). Elles sont
à comparer à l’expression théorique donnée au chapitre 7 :
S = 1−
4σ
γ
γ ′ 4Ω2 + (σ + 1)2
(12-2)
Les pertes intracavité sont estimées à 1%. Avec σ = 0.9, Ω = 0.1, γ = 0.025 et γ ′ = 0.03,
la compression de bruit attendue avant détection est ainsi de −7.5 dB (82%). Reste à tenir
compte des pertes lors de la détection. L’efficacité quantique des détecteurs est estimée à 0.95, la
visibilité de la détection homodyne à 0.97 et l’efficacité lors de la propagation à 0.96. On obtient
ainsi une efficacité totale de détection de l’ordre de 0.95 · 0.972 · 0.96 = 0.86. Après détection,
la compression attendue est donc finalement de −5.3 dB (72%). La faible différence avec les
valeurs expérimentales peut s’expliquer par la présence de walk-off qui limite légèrement le
recouvrement des modes. Les paragraphes suivant donnent quelques caractérisations possibles
de l’intrication obtenue.
Les compressions de bruit donnent accès directement à la séparabilité Σ qui est définie
comme leur demi-somme et permet de vérifier le critère de Duan ou critère d’inséparabilité.
La double détection homodyne configurée en quadrature permet une mesure directe de cette
grandeur en sommant les deux variances de bruit des modes à ±45◦ . La figure 12.5 donne la
séparabilité. Après correction du bruit électronique, elle atteint Σ = 0.33±0.02. Cette valeur est
la meilleure obtenue à ce jour en variables continues. Elle a été représentée sur l’historique des
mesures de séparabilité donné en conclusion du chapitre 2. Une valeur plus petite a été obtenue
D. Au-dessous du seuil
175
Fig. 12.4: Variance de bruit normalisée des modes à ±45◦ , à 3.5 MHz, lorsque la phase de
l’oscillateur local est balayée. Le premier tracé correspond à des détections homodynes en
phase, le second à des détections en quadrature. A la sortie de l’OPO, les compressions de
bruit sont donc obtenues suivant des quadratures orthogonales. (σ = 0.9, RBW=100 kHz,
VBW=1 kHz)
Fig. 12.5: Variance de bruit normalisée des modes à ±45◦ , à 3.5 MHz, et séparabilité Σ. Les
détections homodynes sont en quadrature. Après correction du bruit électronique, la séparabilité Σ atteint 0.33 ± 0.02, meilleure valeur obtenue à ce jour en variables continues. (σ = 0.9,
RBW=100 kHz, VBW=300 Hz)
176
12. Caractérisation expérimentale des propriétés quantiques
au chapitre 8 mais la phase de l’oscillateur local était balayée. Les détections homodynes sont
ici asservies.
A partir des compressions précédentes et des bruits individuels, il est également possible de
calculer les variances conditionnelles et de vérifier ainsi le critère de Reid ou critère EPR. En
effet, ces variances s’écrivent de manière générale Vc = 2G − G2 /F où F est le bruit individuel
et G la compression de bruit observée. La courbe 12.8 donne le bruit des modes signal et
complémentaire, bruit indépendant de la phase de l’oscillateur local en l’absence de couplage.
Il atteint 8.2 ± 0.5 dB. Le produit des deux variances conditionnelles est alors de 0.42 ± 0.05.
Cette valeur est largement inférieure à l’unité et confirme ainsi que les faisceaux intriqués
générés sont également des faisceaux EPR. Notons que ce calcul n’était pas nécessaire puisque
des faisceaux intriqués avec une séparabilité inférieure à 0.5 sont nécessairement EPR (chapitre
2). Il est intéressant de souligner ici que l’étude du critère EPR nécessite toujours deux mesures
successives puisque le bruit individuel doit être mesuré. La double détection homodyne permet
ainsi une mesure directe de la séparabilité mais pas une vérification directe du critère EPR :
une seconde mesure est là aussi nécessaire.
L’intrication peut être quantifiée à l’aide de l’entropie de formation (entanglement of formation). Cette mesure représente la quantité minimale d’intrication entre états purs nécessaire
pour préparer l’état intriqué mixte effectivement obtenu. L’intérêt principal de cette quantité, outre d’avoir une signification physique claire, vient de la possibilité de comparer des
expériences variées, aussi bien dans le domaine des variables discrètes que dans le domaine
des variables continues. Introduite par C.H. Bennet et al. dans le cadre des variables discrètes [Bennett96], cette grandeur a été plus récemment explicitée par G. Giedke et al. pour
des états gaussiens symétriques [Giedke03]. L’entropie de formation, notée EOF, est alors reliée
directement, et de manière monotone, à la séparabilité Σ par :
EOF = c+ log2 (c+ ) − c− log2 (c− )
(12-3)
c± = (Σ−1/2 ± Σ1/2 )2 /4
(12-4)
avec
La valeur numérique de Σ déterminée précédemment donne une valeur égale à 1.1 ± 0.1 ebits.
D’un point de vue plus appliqué, cette intrication permettrait également d’attendre une fidélité
de téléportation de 0.75 dans une expérience à gain unité [Braunstein01, Grosshans01].
D.2
Lorsque le couplage augmente
Les propriétés des modes à ±45◦ sont ensuite étudiées pour différents angles de la lame.
Rappelons que le couplage est défini par un paramètre c égal à 2ρ/γ ′ , où ρ est l’angle de
la lame. Avec γ ′ = 0.03, c = 1 correspond à un angle de 0.8◦ . Les détections homodynes
sont en quadrature : des compressions de bruit, à la sortie de l’OPO, suivant des quadratures
orthogonales sont observées simultanément.
La figure 12.6 donne la variance de bruit normalisée lorsque la phase de l’oscillateur local
est balayée, pour quatre valeurs de couplage. Lorsque le couplage augmente, la compression de
bruit n’est plus obtenue suivant des quadratures orthogonales. Parallèlement à cette rotation,
D. Au-dessous du seuil
177
la compression de bruit du mode A− diminue. L’angle de rotation de l’ellipse de bruit et la
variance de bruit associée sont résumés figure 12.7 et comparés à la dépendance théorique
établie au chapitre 10. L’angle de rotation est en très bon accord. En revanche, on constate
que la compression de bruit n’est dégradée que beaucoup plus lentement que prévu. Ce fort
écart à la théorie reste à expliquer.
Fig. 12.6: Variance de bruit normalisée des modes à ±45◦ , à 3.5 MHz, lorsque la phase de
l’oscillateur local est balayée et pour différentes valeurs de couplage : (a) c = 0, (b) c = 0.35,
(c) c = 0.85, (d) c = 1.8. Les détections homodynes sont en quadrature. (σ = 0.9, RBW=100
kHz, VBW=1 kHz)
178
12. Caractérisation expérimentale des propriétés quantiques
Fig. 12.7: Angle de la quadrature du mode A− pour laquelle le bruit est minimal et variance
de bruit associée en fonction du couplage c. Les courbes en trait plein donnent la dépendance
théorique. (σ = 0.9, Ω = 0.1)
Le bruit individuel des modes signal et complémentaire dépend également du couplage.
Lorsque ce dernier augmente, le bruit devient dépendant de la quadrature et peut être comprimé sous le bruit quantique standard. La figure 12.8 donne le bruit des modes signal et
complémentaire pour les mêmes valeurs de couplage que précédemment. Les tracés en pointillé
correspondent à la variance du bruit sur la différence des deux modes. Cette mesure est réalisée
simultanément par la différence des deux photocourants : 3 analyseurs de spectre synchronisés
sont alors nécessaires. Plus le couplage augmente, plus le bruit minimal des modes signal et
complémentaire est obtenue pour des quadratures proches de celles qui sont corrélées, quadratures qui tendent également vers celles qui sont anti-corrélées comme l’a montré l’étude
précédente.
D.3
Optimisation de l’intrication
Comme il a été démontré au cours des deux chapitres précédents, l’intrication des modes signal et complémentaire n’est pas optimale lorsque la lame est tournée. Un déphasage relatif des
modes A+ et A− , qui sont les modes les plus comprimés, est nécessaire afin d’obtenir la compression de bruit suivant des quadratures orthogonales. C’est cette configuration qui maximise
l’intrication. Cette opération est ”non-locale” : couplant les modes signal et complémentaire,
elle n’est plus possible si les deux modes ont été séparés spatialement.
Le déphasage peut être obtenu à l’aide de 3 lames biréfringentes {λ/4, λ/2, λ/4} insérées
à la sortie de l’OPO (figure 12.2). La configuration {α1 = 0, α2 , α3 = 0}, où les angles des
lames sont définis par rapport aux polarisations du mode signal ou complémentaire, permet
tout déphasage relatif des modes polarisés à ±45◦ .
D. Au-dessous du seuil
179
Fig. 12.8: Variance de bruit normalisée des modes signal et complémentaire, à 3.5 MHz, lorsque
la phase de l’oscillateur local est balayée et pour différentes valeurs de couplage : (a) c = 0,
(b) c = 0.35, (c) c = 0.85, (d) c = 1.8. Les tracé en pointillé donnent la variance de bruit sur
la différence des deux modes. Les détections homodynes sont en phase. (σ = 0.9, RBW=100
kHz, VBW=1 kHz)
180
12. Caractérisation expérimentale des propriétés quantiques
Expérimentalement, 2 lames {λ/4, λ/2} se sont avérées suffisantes. Les variances de bruit
des modes à ±45◦ sont superposées figure 12.9 pour un paramètre de couplage c égal à 0.35,
avant et après la transformation. Une fois cette opération réalisée, les compressions de bruit,
qui n’ont pas diminué, sont obtenues suivant des quadratures orthogonales. Il a également été
vérifié que ces modes étaient bien décorrélés en mesurant, en plus des deux variances de bruit
précédentes, le bruit sur la différence des deux photocourants. Les modes les plus intriqués sont
donc polarisés à ±45◦ de ces modes.
Fig. 12.9: Variance de bruit normalisée, à 3.5 MHz, des modes à ±45◦ lorsque la phase de
l’oscillateur local est balayée et pour une valeur de couplage c = 0.35, avant et après la transformation réalisée à l’aide de 2 lames biréfringentes. Après cette opération, la compression
de bruit est obtenue suivant des quadratures orthogonales. Les détections homodynes sont en
quadrature. (σ = 0.9, RBW=100 kHz, VBW=1 kHz)
En théorie, il n’est cependant pas possible d’effectuer un déphasage par cette association
de 2 lames : deux polarisations orthogonales sont nécessairement couplées par cette transformation. Ce désaccord reste à expliquer et le formalisme introduit au chapitre précédent devrait
apporter des éléments de réponse. On peut se demander en particulier à quel point la ”meilleure”
transformation que l’on puisse faire avec ce couple est éloignée de celle à réaliser. Il est possible
que la différence soit suffisament faible pour ne pas être mise en évidence expérimentalement.
Une étude détaillée est en cours et nécessitera probablement des mesures complémentaires.
E
Conclusion
L’introduction d’une lame biréfringente dans la cavité de l’OPO a permis, sans recourir à
des techniques d’asservissement électronique, de générer des faisceaux à même fréquence dont
E. Conclusion
181
les phases individuelles ne diffusent plus. L’étude détaillée dans ce chapitre, rendue possible
par ce phénomène de synchronisation, constitue la première démonstration expérimentale d’une
caractérisation par détection homodyne des faisceaux émis par un OPO de type II au-dessus
du seuil. Si les corrélations sont bien présentes, les anti-corrélations de phase présentent en
revanche un excès de bruit de l’ordre de 3 dB au-dessus du bruit quantique standard. L’origine
de cet excès de bruit n’est pas encore clairement identifiée. Des améliorations sont en cours,
en particulier la mise en place d’une cavité de filtrage sur la pompe, et devraient apporter
des éléments de réponse. Cette première étude ouvre cependant une voie prometteuse pour la
génération directe d’états intriqués à grand nombre de photons, utiles pour réaliser par exemple
une expérience de téléportation quantique.
Une étude plus complète a ensuite été réalisée au-dessous du seuil. Une double détection
homodyne permet de caractériser simultanément les modes polarisés à ±45◦ et de mesurer
ainsi directement la séparabilité. Cette détection originale a également permis de comparer les
dépendances théoriques et expérimentales en fonction du couplage. La rotation des quadratures
corrélées lorsque la lame est tournée a ainsi été vérifiée et une opération ”non-locale” finalement
mise en oeuvre pour optimiser l’intrication. Ce système génère à ce jour les meilleurs faisceaux
EPR en variables continues.
13. Conclusion
Résumé de la thèse
Etudiées depuis longtemps en optique quantique, les variables continues (phase et amplitude par exemple) sont apparues récemment comme une alternative prometteuse aux variables
discrètes pour le traitement quantique de l’information. C’est dans ce contexte que cette thèse
a débuté. Elle avait pour objectif de développer une nouvelle expérience qui permettrait de
générer des états non-classiques ou intriqués pouvant être utilisés dans divers protocoles d’information quantique. Un nouvel oscillateur paramétrique optique de type II, où signal et complémentaire sont émis suivant des polarisations orthogonales, a été développé et caractérisé
dans divers régimes de fonctionnement.
L’oscillateur paramétrique optique réalisé, semi-monolithique et triplement résonant, s’est
avéré particulièrement stable et peut rester asservi pendant plus d’une heure. Au niveau quantique, cette grande stabilité a permis d’améliorer la compression du bruit sur la différence
d’intensité des champs signal et complémentaire et d’atteindre 9.5 dB (89%). Cette réduction de bruit est la plus forte publiée à ce jour. Les corrélations d’intensité de ces faisceaux
jumeaux ont ensuite été mises à profit dans un protocole original de préparation conditionnelle d’un état dont la distribution statistique est sub-Poissonienne. Bien connu en régime de
comptage pour préparer des états à un photon, la stratégie conditionnelle n’avait pas, jusqu’à
présent, d’équivalent en variables continues.
La théorie prévoit également que les fluctuations de phase sont anti-corrélées. Les faisceaux
émis au-dessus du seuil sont donc en principe des faisceaux intriqués, présentant une double
corrélation suivant des quadratures orthogonales. Cependant, cette propriété n’a jamais été
mise en évidence car les faisceaux signal et complémentaire ne sont qu’accidentellement à la
même fréquence et leur différence de phase fluctue librement. Une solution élégante et ”toutoptique” consiste à forcer les faisceaux à se synchroniser par l’entremise d’un couplage linéaire.
Cette thèse s’est alors intéressée à un système original où sont associés couplage non-linéaire et
couplage linéaire : une lame biréfringente dont les axes sont tournés par rapport à ceux du cristal
est introduite à l’intérieur de la cavité. Pour des paramètres expérimentaux qui définissent une
zone dite d’accrochage, les faisceaux générés au-dessus du seuil sont verrouillés en phase à
dégénerescence en fréquence. Les propriétés quantiques sont sensiblement différentes mais les
faisceaux restent fortement intriqués si l’angle de lame est petit. Le comportement quantique
original de ce système a conduit à s’intéresser au formalisme de la matrice de covariance. La
compression de bruit la plus forte, ou l’intrication la plus forte, qu’il est possible d’obtenir
ont été établies. Expérimentalement, après avoir obtenu l’accrochage en fréquence, le bruit
sur la somme des phases a dès lors pu être mesuré à l’aide d’une détection homodyne, ce qui
184
13. Conclusion
constitue la première mesure de cette grandeur au-dessus du seuil. En revanche, un excès de
bruit de quelques dB a empêché d’obtenir une compression sous le bruit quantique standard.
Cette première étape ouvre cependant une voie prometteuse pour la génération directe d’états
intriqués intenses.
L’oscillateur paramétrique optique, avec ou sans lame, peut également fonctionner audessous du seuil d’oscillation. Dans cette configuration, les faisceaux vides générés sont fortement intriqués. Alors que la plupart des expériences réalise deux mesures successives pour
mettre en évidence une intrication, une double détection homodyne a permis une caractérisation simultanée des réductions de bruit et donc une mesure directe de l’intrication. L’intrication
obtenue, Σ = 0.33 ± 0.02 < 1, stable pendant plusieurs heures, est la plus forte rapportée à ce
jour en variables continues. De plus, cette intrication (et donc les compressions de bruit qui lui
sont associées) est préservée jusqu’à des fréquences d’analyse de bruit très faibles, de l’ordre de
50 kHz, fréquences où un fort excès de bruit technique vient généralement s’ajouter aux mesures et masque les propriétés non-classiques des systèmes étudiés. Une compression de bruit à
de telles fréquences pourrait améliorer la sensibilité de nombreuses expériences mettant en jeu
la détection d’effets physiques très faibles (mesures interférométriques, petits déplacements...).
Situation en fin de thèse
Une première étude en cours consiste à asservir électroniquement le battement entre les
faisceaux émis. La mise en place de cette technique permettra de la comparer à la méthode
”tout-optique” où la lame est insérée à l’intérieur de la cavité. Un signal d’erreur a déjà été
obtenu et il est désormais nécessaire de mettre en place des électrodes sur le cristal de l’OPO
pour la rétroaction. Un nouveau four qui permettra d’appliquer une tension sur ces électrodes
est en cours de réalisation. Au-delà de cet asservissement, la possibilité de modifier par effet
électro-optique un des indices du cristal ajoutera à l’expérience un nouveau paramètre qui
pourra être très utile pour se placer finement au fond de la zone d’accrochage.
Le point central des études à venir est également de comprendre l’origine de l’excès de bruit
qui a empêché jusqu’à présent d’observer une compression du bruit sur la somme des phases
dans le cas de l’OPO auto-verrouillé au-dessus du seuil. La principale hypothèse est un excès
de bruit de phase de la pompe qui dégraderait les corrélations. Afin d’étudier l’influence de ce
bruit, une cavité de filtrage est en cours de réalisation. Elle permettra rapidement de confirmer
ou d’infirmer cette hypothèse.
Perspectives à moyen terme
Au-delà de ces deux études en cours de réalisation, l’une des perspectives importantes à
moyen terme sera de développer une technique expérimentale permettant de déterminer la
matrice de covariance d’un état à deux modes. En imposant des contraintes fortes (un certain
nombre de coefficients nuls par exemple), cette mesure est relativement simple. En revanche,
si aucune contrainte n’est imposée a priori, la détermination devient beaucoup plus difficile.
Des tentatives ont été menées au cours de cette thèse mais ont conduit à des incertitudes
trop importantes sur des termes clés. Parallèlement à cette étude, différentes caractérisations
185
indirectes de l’intrication seront étudiées. Des protocoles récents, reposant par exemple sur la
mesure de la pureté de l’état et des puretés marginales, pourront ainsi être explorés.
Une seconde direction concerne la stratégie de préparation conditionnelle. Des protocoles
similaires mais reposant sur des faisceaux intriqués ou sur des procédures de sélection différentes devraient permettre d’étendre cette technique et d’obtenir des états non-classiques
plus ”exotiques”. Cette technique permet-elle en particulier de générer des états à statistique
non-gaussienne dont la fonction de Wigner serait négative ?
Si l’OPO auto-verrouillé génère finalement des faisceaux intriqués intenses, suite par exemple
à l’ajout de la cavité de filtrage sur la pompe, une expérience de téléportation quantique sera
alors réalisée. Une fidélité supérieure à 2/3 reste aujourd’hui encore un défi expérimental. La
très bonne intrication obtenue au cours de cette thèse, et qui permettrait a priori de dépasser
cette valeur, n’a pas donné lieu à la mise en place de ce protocole car les faisceaux intriqués
n’ont pas de champ moyen, ce qui rend les multiples asservissements très délicats. L’injection
d’un ”petit” champ cohérent qui servirait de référence pourrait être également envisagé.
Enfin, à plus long terme, un nouveau système très original pourrait être développé : un
OPO constitué de deux cristaux de type II tournés de 90◦ l’un par rapport à l’autre et pompé
à 45◦ des axes neutres. Ce système a été étudié théoriquement au cours de cette thèse mais n’a
pas été décrit dans ce mémoire. En insérant une lame à l’intérieur de la cavité, car il est nécessaire à nouveau d’obtenir un verrouillage en phase, ce système génère a priori deux faisceaux
de fréquences différentes et accordables. Ces faisceaux ont la particularité d’être intriqués en
polarisation et peuvent ainsi trouver des applications intéressantes dans le développement de
l’interface lumière-atomes qui est aujourd’hui une thématique centrale de l’information quantique en variables continues.
186
13. Conclusion
Laser Diabolo
Cavité de filtrage
Bloc de détection
Analyse en fréquence
Fig. 13.1: Photographies de l’expérience.
Annexe
188
Annexe
A. Cristaux non-linéaires de KTP
A
189
Cristaux non-linéaires de KTP
Cette annexe s’intéresse aux propriétés des cristaux non-linéaires de KTP. Différentes méthodes de fabrication existent et peuvent conduire à des propriétés assez différentes en termes
de tenue au flux ou d’absorption. Cette annexe revient également sur la notion de ”température
de dégénérescence”, température autour de laquelle le fonctionnement dégénéré de la conversion
paramétrique ou le doublage de fréquence le plus efficace sont obtenus, et relie cette grandeur
à l’angle de coupe du cristal. Une dernière section présente rapidement le KTP α-cut utilisé
par quelques groupes et qui présente l’avantage d’être sans walk-off.
A.1
Le KTP : un cristal non-linéaire
Le KTP (Potassium Titanyl Phosphate) a été synthétisé pour la première fois en 1890
mais ses propriétés non-linéaires ne furent identifiées que dans les années 1970. Son coefficient
non-linéaire important, son seuil de dommage élevé, sa large plage de transparence, sa grande
acceptance angulaire et en température ou encore le fait qu’il ne soit pas hygroscopique en font
aujourd’hui l’un des cristaux les plus courants pour le doublage ou la conversion paramétrique.
Le KTP possède également des propriétés électro-optiques très intéressantes qui sont utilisées
dans les modulateurs en guides d’ondes.
Au niveau microscopique, un faisceau lumineux incident sur un milieu induit un dipôle
provenant de la déformation des distributions de charge à l’équilibre. Ce dipôle peut être
développé en puissance du champ électrique incident : un matériau non-linéaire est ainsi un
matériau pour lequel les termes d’ordre supérieurs deviennent significatifs. Le KTP présente
cette propriété. Sa structure, dite orthorhombique, est caractérisée par des octaèdres de T iO6
reliés à deux sommets par des liaisons T i − O alternativement courtes et longues. C’est cette
alternance qui rend le KTP non centro-symétrique et lui confère son large coefficient nonlinéaire d’ordre 2.
A.2
Méthodes de fabrication et gray-tracking
Plusieurs méthodes de croissance cristallographique sont utilisées. On distingue en particulier la méthode dite ”Flux-Grown” et la méthode ”Hydrothermally-Grown”. La seconde
méthode, employée par Litton, est beaucoup plus longue : le cristal croı̂t dans une solution
aqueuse de KTP sous pression et température élevées, ce qui confère au bloc obtenu une
plus grande homogénéité. Les indices de réfraction sont légèrement différents d’une méthode à
l’autre.
Un des problèmes majeurs lors de l’utilisation du KTP est l’apparition d’une absorption
accrue et d’une efficacité non-linéaire moindre après un temps d’utilisation relativement court :
de quelques dizaines de minutes à quelques heures suivant la source laser. Ce phénomène est
connu sous le nom très général de ”Gray-Tracking” et se manifeste a priori pour des puissances
pompe importantes. Cette dégradation, dont les étapes sous-jacentes et la cinétique sont très
étudiées mais encore mal connues [Boulanger00], est liée en particulier à l’apparition de centres
colorés T i3+ crées par le faisceau à 532 nm via un processus à 2 photons. Le gray-tracking est
toujours réversible et disparaı̂t par chauffage à une température de l’ordre de 170◦ C pendant
190
Annexe
plusieurs heures. Ce phénomène se manifeste quelle que soit la méthode de croissance, la
dégradation étant cependant beaucoup plus lente pour le KTP ”hydrothermally-grown”.
Le gray-tracking est un phénomène bien connu en regime pulsé lorsque les puissances pompe
sont importantes. Cependant, cette dégradation s’est avérée bien présente dans le cas de notre
expérience où l’OPO est pompé par un laser continu. Avec les cristaux fournis par Cristal Laser,
le seuil d’oscillation est doublé en moins de 10 minutes. La puissance pompe intracavité au
point de focalisation atteint typiquement 0.1 MW/cm2 , puissance qui peut sembler très faible à
première vue. Afin de comparer les régimes de fonctionnement, raisonnons en terme d’énergie.
Un test réalisé par Cristal Laser a mis en évidence une réduction par un facteur 2 de l’efficacité
de doublage après 12 millions d’impulsions de durée 50 ns et de puissance locale 50 MW/cm2 .
L’énergie fournie est ainsi de l’ordre de 30 MJ/cm2 . Dans notre expérience continue, une durée
de 10 minutes correspond à une énergie apportée de 60 MJ/cm2 . Les ordres de grandeurs sont
donc similaires. Ce phénomène a rendu difficile l’utilisation des cristaux Cristal Laser car il
est nécessaire de changer de point de focalisation très souvent, ce qui dérègle l’ensemble de
l’expérience en aval. En revanche, aucune évolution du seuil n’a été constatée avec le cristal
Litton, même après plusieurs centaines d’heures d’utilisation. La dégradation est également
lente avec les cristaux Raicol. Ces derniers nécessitent de changer de point toutes les 50 heures
d’utilisation environ.
Pour limiter ce phénomène de gray-tracking, divers fournisseurs ont développé des cristaux
”flux-grown” plus résistants au gray-tracking : HGTR pour ”high gray-track resistant” chez
Raicol ou ”KTP.fr” pour ”full-resistant” chez Cristal laser. Ces différents cristaux ont été testés.
Avec le KTP.fr, une augmentation du seuil par un facteur 2 se produit en quelques minutes
puis le seuil se stabilise. Des structures spatiales ont également été observées en sortie de
l’OPO, traduisant probablement une distorsion du faisceau par le cristal. Il faut noter que
nous disposions à ce moment là d’une version prototype du KTP.fr et que les performances
ont depuis été grandement améliorées. L’utilisation du KTP HGTR de Raicol conduit à des
observations similaires. Le tableau suivant résume les fournisseurs, les méthodes de croissance
employées et les noms donnés aux KTP plus résistants au gray-tracking.
Cristal Laser
Raicol
Litton
A.3
Flux-Grown
X
X
Hydro-Grown
KTP.fr
X
HGTR KTP
X
X
Propriétés en absorption
Les propriétés initiales de ces cristaux diffèrent notablement. Le tableau suivant résume
une étude récente de Cristal Laser portant sur l’absorption à 532 nm et à 1064 nm.
Cristal Laser standard
Litton
HGTR KTP
KTP.fr
Absorption à 532 nm
%/cm
1
0.22
0.35
1
Absorption à 1064 nm
%/cm
0.01
0.005
0.03
0.01
A. Cristaux non-linéaires de KTP
191
Ces valeurs sont importantes à plus d’un titre. Au niveau classique, plus les pertes sont faibles
relativement aux transmissions des miroirs de la cavité et plus le rendement de conversion
pourra être important (chapitre 4). Au niveau quantique, plus les pertes infrarouges sont faibles
et plus la réduction de bruit sera forte (chapitre 5) . Par ailleurs, l’absorption à la longueur
d’onde pompe est un paramètre clé car elle s’accompagne de phénomènes thermiques qui
peuvent limiter la stabilité de l’asservissement.
Les absorptions mesurées par Cristal Laser confirment globalement les comportements observés. Le cristal Litton, qui présente l’absorption la plus faible à 1064 nm, a permis d’obtenir
la meilleure réduction de bruit. Lorsque l’OPO est pompé très au-dessus du seuil, les effets
thermiques sont également beaucoup plus faibles avec ce cristal. Il faut cependant savoir que
le KTP Litton est vendu 5 à 10 fois plus cher que les cristaux standards de Cristal Laser ou
de Raicol.
A.4
Indices de réfraction et température de dégénérescence
Le tableau ci-dessous donne les indices de réfraction suivant les différents axes cristallographiques pour un KTP ”flux-grown” à une température de 295K. Ces valeurs sont fournies par
le logiciel SNLO [SNLO] et diffèrent légèrement d’une méthode de fabrication à l’autre.
532 nm
1064 nm
nx
1.7797
1.7404
ny
1.7897
1.7478
nz
1.8876
1.8296
Pour être efficace, tout processus non-linéaire nécessite d’adapter les vitesses de phases,
c’est-à-dire d’annuler le paramètre ∆k = k0 − k1 − k2 . L’accord de phase du KTP est de
type II. L’onde à 532 nm est polarisée suivant l’axe extraordinaire et les champs infrarouges
suivant les axes ordinaire et extraordinaire : e ↔ e + o. La condition d’accord de phase qui
assure le doublage de fréquence le plus efficace ou le fonctionnement dégénéré en fréquence de
la conversion paramétrique s’écrit donc :
2 ne (532nm) = n0 (1064nm) + ne (1064nm)
(A-1)
La coupe d’un cristal est définie par deux angles θ et ϕ. Les cristaux de KTP usuels sont
généralement coupés selon θ = 90◦ : l’indice ordinaire est ainsi donné par l’axe z. L’angle ϕ
par rapport aux axes x et y impose la valeur des indices extraordinaires selon la relation :
n2e = n2x sin2 ϕ + n2y cos2 ϕ
(A-2)
A une température donnée, un seul angle de coupe permet de vérifier la condition d’accord de phase qui optimisera le doublage ou la conversion paramétrique dégénérée. A 295K,
l’angle de coupe doit être de ϕ = 23.5◦ . Les indices mis en jeu sont alors : ne (1064) = 1.7466,
no (1064) = 1.8296 et ne (532) = 1.7881. La condition (A-1) est bien vérifiée. Etant donné un
angle de coupe, la température particulière qui permet de vérifier cette condition est appelée ”température d’accord de phase”, ou plus spécifiquement ”température de dégénérescence”
lorsque le cristal est utilisé en conversion paramétrique. Expérimentalement, un cristal peut
192
Annexe
Fig. 14.1: Ecart en fréquence signal/complémentaire en fonction de la température du cristal
pour ϕ=23.5◦ et dépendance de la température de dégénérescence avec l’angle de coupe.
donc être rapidement caractérisé par une expérience de doublage en simple passage. La température de dégénérescence est la température pour laquelle la puissance verte est maximale.
Cette méthode permet de la déterminer à 2 ou 3◦ C près.
Que se passe-t-il si, en conversion paramétrique, la température de fonctionnement est
différente de la température de dégénérescence ? C’est alors un autre couple de fréquences,
{1064 + ∆λ, 1064 − ∆λ}, qui va optimiser l’accord de phase. La température du cristal est
ainsi un paramètre d’accord en fréquence des faisceaux émis par un OPO puisque ce dernier
oscille toujours suivant le couple qui minimise le seuil. La dépendance théorique de l’écart en
fréquence des faisceaux signal et complémentaire avec la température est établie au chapitre 7
et représentée figure 14.1. L’accord est de l’ordre de 14 GHz/K. Il faut souligner qu’une cavité
linéaire peut modifier sensiblement la température pour laquelle la dégénérescence est obtenue
en raison de la phase accumulée lors de la seconde interaction paramétrique (deux interactions
par tour). Ce point est détaillé au chapitre 9. Il n’en reste pas moins que la détermination de
la température qui optimise le doublage fournit une très bonne indication de ce que sera la
température de dégénérescence en cavité.
A.5
Angle de coupe et température de dégénérescence
L’angle de coupe ϕ impose la valeur des indices extraordinaires. A angle donné, il existe
une température pour laquelle la condition d’accord de phase est vérifiée à dégénérescence : à
23.5◦ , la température est de 295K. La variation de cette température avec l’angle de coupe est
très rapide.
Le tableau suivant donne la dépendance en température des indices donnée par SNLO :
dne (1064)/dT
0.8 10−5 /K
dno (1064)/dT
1.455 10−5 /K
dne (532)/dT
1.335 10−5 /K
Connaissant ces paramètres et la relation (A-2), il est possible d’optimiser la température
permettant de vérifier la condition d’accord de phase et d’obtenir ainsi la dépendance de la
température de dégénérescence avec l’angle de coupe (figure 14.1). Cette température augmente
avec l’angle : la pente est de l’ordre de 40 K/◦ . Une erreur faible sur la coupe induit ainsi une
A. Cristaux non-linéaires de KTP
193
forte variation de la température de dégénérescence. Lorsqu’un fabricant, Litton en particulier,
garantit cet angle à ±1◦ , l’incertitude sur la température de dégénérescence est de ±40 K.
Ce problème a été rencontré avec le cristal Litton dont nous disposions : la température de
dégénérescence était de quelques degrés celsius. Une étude aux rayons X a montré que la coupe
était de 23.4◦ au lieu de 24◦ (l’angle de coupe est plus grand pour les KTP hydrothermaux).
C’est pour cela qu’il n’a pas été possible d’utiliser le cristal Litton, pourtant idéal pour les
études quantiques, dans les configurations dégénérées en fréquence. Seule la génération de
faisceaux corrélés en intensité, qui n’est pas affectée pas l’écart en fréquence des faisceaux émis,
a été réalisée avec ce cristal. De même, les cristaux Raicol spécifiés par défaut ”température
ambiante” fonctionnent autour d’une dizaine de degrés celsius. Lors d’une commande, il est
nécessaire de préciser les conditions de fonctionnement souhaitées afin d’adapter la coupe.
Modifier légèrement l’incidence sur le cristal est équivalent à modifier l’angle de coupe et
peut ainsi permettre de modifier la température de dégénérescence. Cependant, ce degré de
liberté n’est pas disponible lorsque une configuration semi-monolithique est utilisée.
A.6
Walk-off et KTP α-cut
Les cristaux de KTP coupés autour de ϕ = 23.5◦ présentent un angle de walk-off de 4.7
mrad. Cet angle entraı̂ne une légère séparation spatiale des faisceaux infrarouges et limite ainsi
le recouvrement des deux modes.
Le walk-off disparaı̂t pour un accord de phase dit ”non-critique” obtenu pour ϕ = 0◦ . On
parle alors de KTP α-cut. Cependant, aux fréquences des lasers Nd:YAG, cette coupe ne permet
pas de vérifier la condition d’accord de phase à dégénérescence en fréquence à des températures
accessibles expérimentalement. La solution consiste donc à changer de longueur d’onde et à
utiliser des lasers Nd:YAP dont l’émission est à 1080 nm. Les groupes de H.J. Kimble puis de
K. Peng à Taiyuan ont retenu cette solution. Avec une telle coupe, la conversion 540 nm - 1080
nm est accordée en phase autour de la température ambiante. De plus, l’absorption du KTP
est moindre à 1080 qu’à 1064 nm, ce qui est favorable aux effets quantiques [Gao98, Guo02].
Notons finalement l’apparition récente d’un nouveau cristal, le Na:KTP, qui permet également
un accord de phase non-critique à température ambiante [Feng03]. A l’état de prototype et pas
disponible commercialement, ses propriétés restent à ce jour mal connues.
194
Annexe
B. Propriétés quantiques en configuration triplement résonant
B
195
Propriétés quantiques en configuration triplement résonant
Cette annexe détaille les propriétés quantiques d’un OPO pompé au-dessus du seuil. L’étude
théorique du chapitre 5 avait été restreinte au cas doublement résonant. Le calcul est ici étendu
au cas triplement résonant. La dynamique des trois modes couplés est beaucoup plus complexe.
En particulier, une oscillation de relaxation peut apparaı̂tre.
B.1
Equations linéarisées
Les notations ont été définies au cours des chapitres 4 et 5. Les équations de bouclage
tiennent compte désormais de la résonance pompe et s’écrivent à résonance des trois champs :

p
p
dA1


+ γ ′ A1 = gA0 A∗2 + 2γAin
+ 2µB1in
τ
1


dt



p
p
dA2
+ γ ′ A2 = gA0 A∗1 + 2γAin
τ
2µB2in
2 +

dt




p
p

 τ dA0 + γ ′ A0 = −gA1 A2 + 2γ0 Ain + 2µ0 B in
0
0
0
dt
(B-1)
Le champ pompe A0 est choisi réel. Les solutions stationnaires sont alors données par :









A0 =
γ′
g
s
γ ′ γ0 (σ − 1)
|A
|
=

i


g2




 ϕ +ϕ = ϕ =0
1
2
0
(B-2)
Afin d’exprimer la dynamique des fluctuations, les équations (B-1) sont linéarisées autour
des valeurs moyennes. En posant pour les trois champs Ai = Ai + δAi , les équations linéarisées
prennent la forme :

q
p
p
dδA1
′
′
∗


+
γ
δA
=
γ
δA
+
γ0′ γ ′ (σ − 1)δA0 e−iϕ2 + 2γδAin
+ 2µδB1in
τ
1
2
1


dt



q
p
p
dδA2
′
′
∗
+ γ δA2 = γ δA1 + γ0′ γ ′ (σ − 1)δA0 e−iϕ1 + 2γδAin
τ
+ 2µδB2in
2

dt



q

p
p
dδA

0
 τ
+ γ0′ δA0 = − γ0′ γ ′ (σ − 1)(δA1 e−iϕ1 + δA2 e−iϕ2 ) + 2γ0 δAin
2µ0 δB0in
0 +
dt
(B-3)
Exprimons ce système dans le domaine des fréquences en écrivant sa transformée de Fourier.
En notant
β=
γ0′
γ′
et α2 = β(σ − 1)
(B-4)
196
Annexe
on obtient :

√
√
2γ g
2µ g

−iϕ2
∗
in

f
f
f
(Ω)
=
δ
A
(−Ω)
+
αδ
A
(Ω)e
δ
A
(Ω)
+
δ B1in (Ω)
(1
+
2iΩ)δ
A
+

1
0
2
1

′
′

γ
γ



√
√

2γ g
2µ g
−iϕ1
∗
in
in
f
f
f
1 + 2iΩ)δ A2 (Ω) = δ A1 (−Ω) + αδ A0 (Ω)e
+ ′ δ A2 (Ω) + ′ δ B
2 (Ω)

γ
γ



√
√


γ0′
2γ0 g
2µ0 g

−iϕ1
−iϕ2
in

f
f
f
 ( ′ + 2iΩ)δ A0 (Ω) = −α(δ A1 (Ω)e
δ A0 (Ω) +
δ B0in (Ω)
+ δ A2 (Ω)e
)+
′
γ
γ
γ′
(B-5)
ω
ωτ
la fréquence de bruit normalisée à la bande passante de la cavité.
avec Ω = ′ =
2γ
Ωc
Nous allons maintenant considérer le bruit sur la somme ou la différence des fluctuations des
champs signal et complémentaire. La somme ou la différence des fluctuations à une fréquence
donnée sont désormais notées :
q± =
q1 ± q2
√
2
et p± =
p1 ± p2
√
2
(B-6)
où pi désignent les fluctuations d’amplitude et qi les fluctuations de phase. A partir de ces
notations, les équations du système (B-5) se découplent. Les équations portant sur la différence
des fluctuations ne dépendent pas du bruit pompe et sont donc identiques à celles données en
configuration doublement résonant :

p
p
′

− 2µpin
= 0
2γ ′ (1 + iΩ)p− − 2γpin
−
−



p
p

′

in
in

2iΩγ ′ q− − 2γq−
− 2µq−
= 0




p
p

′
2µpin
2γ ′ (α2 + βiΩ − 2Ω2 )p+ − (β + 2iΩ)( 2γpin
+ +
+ )
(B-7)
√
√
′


−2α( γ0 pin
+ µ0 pin
) = 0

0
0



p
p

in
in′


+ 2µq+
)
2γ ′ (βσ + (β + 2)iΩ − 2Ω2 )q+ − (β + 2iΩ)( 2γq+


√ in √

in′
−2α( γ0 q0 + µ0 q0 ) = 0
Les grandeurs p+ et q+ – donc également les bruits individuels – sont régies par des équations
différentielles du second ordre alors que le cas doublement résonant conduisait uniquement à
des équations du premier ordre. Le spectre de bruit des champs émis par l’OPO peut ainsi
présenter des résonances, similaires à celles observées pour les lasers.
Considérons par exemple l’équation sur p+ . La fonction de transfert H, qui relie les fluctuations p+ aux fluctuations pin
+ , peut s’écrire comme le produit d’une fonction de transfert du
premier ordre et une du second ordre. Mise sous forme canonique, elle s’exprime :
1 + iΩ
2
β
1 γ β
H=√ ′ 2
2 γ α 1 + iΩ β − Ω2 2
α2
α2
(B-8)
La fonction du second ordre peut ainsi être à l’origine d’une résonance, qui se traduit dans
le domaine temporel par une oscillation de relaxation. Par identification avec un oscillateur
B. Propriétés quantiques en configuration triplement résonant
197
harmonique régi par ẍ + 2mẋ + Ω20 x = 0, le dénominateur de H permet de déterminer la
fréquence caractéristique Ω0 et le coefficient d’amortissement m :
Ω20 =
α2
β(σ − 1)
=
2
2
et m2 =
β2
β
=
8α2
8(σ − 1)
(B-9)
L’équation sur q+ révèle des coefficients différents. La fonction de transfert H ′ , qui relie les
in , s’exprime :
fluctuations q+ aux fluctuations q+
2
1 + iΩ
1
1
γ
β
H′ = √ ′
2 γ σ 1 + iΩ β + 2 − Ω2 2
βσ
βσ
(B-10)
La fréquence caractéristique Ω′0 et le coefficient d’amortissement m′ s’écrivent alors :
′
Ω02 =
βσ
2
′
et m 2 =
(β + 2)2
8βσ
(B-11)
Les fluctuations décrites par ces équations correspondent aux fluctuations intracavité. Les
fluctuations des champs sortants de la cavité sont obtenues en écrivant une condition aux
limites sur le miroir de sortie :
pout
± =
B.2
p
2γp± − pin
±
out
et q±
=
Bruit sur la somme des fluctuations
p
in
2γq± − q±
(B-12)
Seuls les bruits sur la somme des fluctuations diffèrent du cas doublement résonant. On
donne ci-dessous l’expression des spectres du bruit sur la somme des fluctuations d’amplitude
out
V (pout
+ ) et des fluctuations de phase V (q+ ) :
γ
1+λ
′
2
2
γ Ω + σ + λ(1 + Ω2 − α2 )
(B-13)
1+λ
γ
′
2
γ Ω + (σ − 1)2 + λ(Ω2 − α2 )
(B-14)
out
)=1−
V (q+
V (pout
+ )=1+
avec λ =
4Ω2
.
β2
Exactement au seuil (σ = 1), ces expressions sont identiques au cas doublement résonant.
Le paramètre λ est le paramètre pertinent pour comparer les configurations doublement et
triplement résonant : si λ est très petit devant 1 alors la différence entre les deux configurations
est très faible. Cette condition est vérifiée si Ω est très petit ou si γ0′ est très grand devant γ ′ ,
c’est-à-dire si la finesse pompe est beaucoup plus petite que celle infrarouge.
Le spectre du bruit sur la somme des phases est représenté figure 14.2 dans le cas doublement résonant et dans le cas triplement résonant avec des finesses égales pour la pompe et
les faisceaux infrarouges. La réduction de bruit est toujours meilleure dans le cas triplement
198
Annexe
(a)
(b)
1
1
V(q+)
3
0.5
V(q+)
Pompe s
0
3
0.5
Pompe s
0
2
2
1
1
Fréquence W
Fréquence W
2
3
1
2
3
1
Fig. 14.2: Variance du bruit sur la somme des phases en fonction de la fréquence d’analyse
du bruit et du taux de pompage. (a) OPO doublement résonant, (b) OPO triplement résonant
avec des finesses égales pour la pompe et l’infrarouge. (µ = 0, µ0 = 0)
résonant. Il apparaı̂t un minimum local qui s’éloigne en fréquence lorsque le taux de pompage
augmente.
La figure 14.4 donne le spectre de bruit sur la somme des phases pour différents rapports
des finesses pompe et infrarouge. Plus la finesse pompe est petite devant la finesse infrarouge,
plus le spectre se rapproche du cas doublement résonant. A l’inverse, plus la finesse pompe est
grande, plus la compression de bruit est améliorée et présente un minimum local qui se déplace
vers les basses fréquences.
B.3
Bruits individuels
Les bruits individuels se déduisent facilement des spectres précédents car les équations
(B-7) sont découplées :
out ) + V (q out )
V (q+
σ 2 + λ(1 + α2 )
γ
−
=1+ ′ 2 2
2
2γ Ω (Ω + σ 2 + λ(1 + Ω2 − α2 ))
(B-15)
out
V (pout
γ
σ(σ − 2) − λ(1 + α2 )
+ ) + V (p− )
=1− ′
2
2γ (1 + Ω2 )(Ω2 + (σ − 1)2 + λ(Ω2 − α2 ))
(B-16)
V (q1out ) =
V (pout
1 )=
La figure 14.3 donne le bruit d’intensité en fonction de la fréquence et du taux de pompage
dans deux configurations : doublement résonant et triplement résonant avec égalité des finesses
pompe et infrarouge. Dans ce second cas, un pic de bruit apparaı̂t. Plus le taux de pompage
est important et plus ce pic s’éloigne en fréquence. Etant donné que le bruit d’intensité est
out
donnée par la demi-somme du bruit sur pout
+ et p− , et que ce dernier est régi par une équation
du premier ordre, les caractéristiques de la résonance sont donnés par les paramètres (B-11)
définis à partir de l’équation du second ordre sur p+ . En particulier, la fréquence de résonance
dépend de la racine carrée du taux de pompage σ, et donc de la racine quatrième de la puissance pompe. Cette dépendance a été confirmée expérimentalement dans [Lee98].
B. Propriétés quantiques en configuration triplement résonant
(a)
199
(b)
6
1
5
6
1.5
5
1
0.5
4
Pompe s
0
3
1
Fréquence W
4
0.5
Pompe s
0
3
1
2
3
2
Fréquence W
2
3
2
Fig. 14.3: Variance du bruit d’intensité des faisceaux individuels en fonction de la fréquence
d’analyse et du taux de pompage. (a) OPO doublement résonant, (b) OPO triplement résonant
avec des finesses égales pour la pompe et l’infrarouge. Par souci de clarté, le second tracé est
limité verticalement. (µ = 0, µ0 = 0)
Fig. 14.4: Variance du bruit sur la somme des phases (a) et du bruit d’intensité des faisceaux
individuels (b) en fonction de la fréquence d’analyse. L’OPO est pompé à σ = 1.2 pour (a)
et σ = 4 pour (b). La courbe rouge épaisse correspond au cas doublement résonant alors que
les autres courbes sont obtenues pour un rapport γ0′ /γ ′ égal à 1/4, 1 et 2. Plus ce rapport est
grand et plus le tracé se rapproche du cas doublement résonant. (µ = 0, µ0 = 0)
200
Annexe
La figure 14.4 donne le spectre 4 fois au-dessus du seuil, c’est-à-dire pour un taux intéressant
car permettant d’observer une compression de bruit individuel, pour différents rapports des
finesses. La résonance est d’autant plus importante et à fréquence basse que la finesse pompe
est grande devant la finesse infrarouge.
Alors que la triple résonance améliore toujours la compression de bruit sur la somme des
phases, la réduction du bruit d’intensité des faisceaux individuels pour un fort taux de pompage
peut s’avérer plus difficile à observer expérimentalement. Une expérience visant à mettre en
évidence cette compression de bruit devra être réalisée avec une finesse infrarouge plus grande
que la finesse pompe.
C. Circuits électroniques et Plans mécaniques
C
201
Circuits électroniques et Plans mécaniques
Amplificateurs DC et HF pour photodiodes
Définie la fréquence
de coupure basse
Equilibrage par ajout
de résistances en parallèle
100 pF
82
Equilibrage
par potentiomètre
202
Annexe
Photodiodes à quatre quadrants réunis en deux éléments
+ 15 Vdc
5V
1 µF
820 W
5.1 kW
820 W
390 W
AD 845
390 W
Moitié 1
1 kW
AD 845
1 kW
5.1 kW
5.1 kW
Equilibrage
par potentiomètre
Moitié 2
C. Circuits électroniques et Plans mécaniques
Plan de la cavité de filtrage
203
204
Annexe
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