close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

1228087

код для вставки
Structures différentielles en géométrie complexe et
presque complexe
Nefton Pali
To cite this version:
Nefton Pali. Structures différentielles en géométrie complexe et presque complexe. Mathématiques
[math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2004. Français. �tel-00007104�
HAL Id: tel-00007104
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007104
Submitted on 14 Oct 2004
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Stru tures diérentielles en géométrie
omplexe et presque omplexe
Nefton PALI
Septembre 2004
.
2
This PHD thesis is dedi ated in honor of Flora, Ida Lezhia Pali and Fran Pali, for all the
suerings aused to them by the di tatorial Albanian omunist government of enver hoxha.
I feel that they have resisted to those suerings just for me, just for example to give me the
opportunity to realise a PHD thesis one day.
I know very well that my eorts to justify all that they have done for me is nothing, but i will
always try my best to express my gratitude.
3
.
4
Remer iements
Le 20 novembre de
haque année, les vietnamiens fêtent le ngày nhà giao (la journée des
Professeurs). Ce jour là, ils rendent visite à leurs an iens enseignants : ils leur orent des présents et passent un peu de temps ave
eux ;
'est l'o
asion de leur rendre hommage et de les
remer ier pour le savoir transmis.
Même si
ette fête n'a pas d'équivalent en Europe j'ai toujours essayé de garder les
onta ts ave
mes maîtres spirituels.
Tout d'abord je veux remer ier mon dire teur de thèse, Jean-Pierre Demailly, pour l'immense
aide s ientique et humaine qu'il a su m'orir le long des
Je suis aussi énormément re onnaissant pour la
inq années que j'ai passé en Fran e.
onan e qu'il m'a a
Je remer ie Jean-Claude Sikorav et Andrei Teleman pour avoir a
membres du jury de
ordé dès que je l'ai
onnu.
epté d'être rapporteurs et
ette thèse. Je remer ie en parti ulier Jean-Claude Sikorav pour toutes les
pré ieuses dis ussions que j'ai eu ave
lui et pour m'avoir invité donner un seminaire à l'ENS
Lyon en 2003. C'est aussi un grand honneur pour moi la présen e dans les membres du jury de
Julien Duval et Paul Gaudu hon.
Je remer ie Chris Peters pour son soutien et pour sa disponibilité ami ale le long des derniers
trois ans passés à l'Institut Fourier. Je suis parti ulièrement heureux de sa présen e aujourd'hui
en tant que membre du jury.
Un grand mer i à tous les
des dis utions à
her heurs de L'Institut Fourier ave
lesquels j'ai eu le plaisir d'avoir
ara tère mathématique. Je tiens à les remer ier i i un par un. Je
par Sylvestre Gallot et Laurent Manivel. Je suis très re onnaissant pour la
ommen e
onan e qu'ils ont
montré en moi.
Je remer ie Bernard Malgrange pour l'intérêt qu'il a montré pour mes re her hes sur les faiseaux et pour la publi ité qu'il m'a fait en Fran e et aux Etas Unis.
Je suis très re onnaissant à Laurent Bonavero pour m'avoir aidé à obtenir une amélioration
drastique de la qualité de mes exposées. Je remer ie aussi Christine Laurent, Yves Colin de
Verdière et Tierry Gallay pour avoir é outé mes problèmes mathématiques de
désespéré. Je ne sais pas
ara tère souvent
omment remer ier Gerard Vinel pour avoir supporté toutes mes betises
informatiques et non informatiques.
Je remer ie aussi les
her heurs du Département de Mathématiques de l'Université de Rome La
Sapienza pour leurs disponibilités. Je
ommen e par remer ier Alessandro Silva pour sa pré-
sen e paternelle le long des derniers six ans. Chaque fois que j'ai un problème, il est toujours là
pour trouver une solution. Ce qui m'étone de lui
pour ma
'est qu'il trouve toujours une solution optimale
arrière a adémique. J'exprime i i le plus profond sentiment de gratitude envers lui.
Je remer ie Kieran O'Grady pour m'avoir trasmis des que j'étais petit une vision très dynamique des mathématiques.
Un grand mer i à Marialuisa de Resmini pour tout. Des fois, les mots ne susent pas pour
exprimer
e qu'on ressent.
Je remer ie Antonio Mas hietti et Giulio Campanella pour m'avoir montré pour la première fois
la Géométrié, la vraie.
Je suis très re onnaissant à Gang Tian et à Joseph John Kohn pour avoir permis ma longue
visite post-do
à l'Université de Prin eton. Je remer ie aussi Raghavan Narasimhan pour sa
grande disponibilité.
Je remer ie tous mes
hers amis et
thémati iens bientt. Je
loze, Fran
ollegues jeunes mathémati iens, sans doute des grands ma-
ommen e par David Bourqui, Pierre Emanuel Chaput, Adrien Dubu-
Doray, Frank S huhma her, Tomasz Miernowski, Ion Alexandru Mihai, Ivano Primi,
Guillemette Reviron, Fabio Zuddas. Je les remer ie pour toutes les dis ussions de
thématique et non ! Je remer ie en parti ulier David pour ses
5
ara tère ma-
ommentaires très pertinents sur
mon mémoire de thése. Je remer ie également tous e qui ont lu ma thése.
Je remer ie aussi tous mes hers amis non mathémati iens. La liste serait trop longue. Un grand
mer i à Iris Simoni et Julien Pi hot.
Un remer iement au servi e du personel extraordinaire de l'Institut Fourier. Je ommen e par
la élèbre Arlette Guttin-Lombard. On serait tous perdus sans Arlette.
Un mer i aux membres les plus souriants, Marie Cheban he et Nathalie Catrain. Un mer i à
Bruno Le Gougue et Jani k Jouko pour la pré ieuse aide bibliothé aire des derniers inq ans.
Je remer ie également Myriam Charles, Brigitte Loiodi e, Fran oise Martin et Corinne Sallustio
pour leurs grandes e a ités. Je remer ie énormément Mi kael Mar hand pour sa grande ompéten e et sa disponibilité.
Je remer ie tous les membres de ma famille pour leur soutien onstant et je m'ex use de ne pas
avoir été très présent dans leur vie quotidienne. Ils m'ont tous manqué et ils vont me manquer
en ore plus dans les années à venir.
Note au Le teur Je m'ex
use au près du le teur pour le format non usuel de
e manus ript. J'utilise un format
fullpage à 11pt pas simplement pour des raisons de préservations des forêts tropi ales, (ave
11pt, le manus ript devient d'environ 200 pages) mais aussi pour ne pas
qui aurait rendu la le ture du manus ript en ore plus di le.
6
ouper
le format usuel, à
ertaines formules et
al uls,
e
Table des matières
0
1
Introdu tion
0.1
0.2
0.3
0.4
9
Philosophie de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Fais eaux ∂¯- ohérents sur les variétés omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Fondements de la géométrie hermitienne sur les variétés presque omplexes . . . 17
Fon tions plurisousharmoniques et ourants positifs de type (1, 1) sur une variété
presque omplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Fais eaux
∂¯-
ohérents sur les variétés
omplexes
1.1 Présentation du résultat et des appli ations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Idée de la preuve du théorème 1.1.8 dans le as des fais eaux de E -modules lo alement libres ave la te hnique de type Nash-Moser . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Expression lo ale de la ondition d'intégrabilité ∂¯2 = 0 dans le as des
fais eaux de E -modules lo alement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Formulation du problème diérentiel dans le as des fais eaux de E -modules
lo alement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Choix des normes et opérateur de Leray-Koppelman . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Esquisse du s héma de onvergen e rapide de type Nash-Moser dans le as
des fais eaux de E -modules lo alement libres . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Introdu tion au as de E -résolution lo ale de profondeur homologique égale à un
(m = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Expression lo ale de la ondition d'intégrabilité ∂¯2 = 0 dans le as m = 1
1.3.2 Introdu tion à la formulation du problème diérentiel dans le as m = 1 .
1.4 Idée de la preuve du théorème 1.1.8 dans le as général d'une E -résolution lo ale
de longueur arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Première étape : présentation de l'expression lo ale de la ondition d'intégrabilité ∂¯2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Deuxième étape : la notion de re alibration . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Troisième étape : introdu tion à la formulation du problème diérentiel .
1.4.4 Quatrième étape : introdu tion au s héma de onvergen e rapide de type
Nash-Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 La preuve omplète du théorème de ara térisation diérentielle des fais eaux
analytiques ohérents dans le as général de longueur arbitraire de la E -résolution
lo ale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Première étape : Preuve de l'expression lo ale de la ondition d'intégrabilité ∂¯2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Deuxième étape : le formalisme du pro édé itératif . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Troisième étape : la formulation du problème diérentiel . . . . . . . . . .
1.5.4 Détails sur le hoix des normes et sur l'opérateur de Leray-Koppelman . .
7
25
26
37
37
37
38
39
40
40
43
44
44
46
48
49
53
53
56
61
64
1.5.5 Quatrième étape : présentation du s héma de onvergen e rapide de type
Nash-Moser et existen e d'une solution du problème diérentiel (Sω ) . . .
1.5.6 Cinquième étape : n de la preuve du théorème 1.1.8 . . . . . . . . . . . .
1.6 Fais eaux ∂¯- ohérents sur les ourbes holomorphes lisses . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Un résultat d'intégrabilité des onnexions sur les fais eaux de E -modules au dessus
d'une variété diérentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Eet de la non intégrabilité forte d'une stru ture presque- omplexes J sur
la ∂¯J -stabilité des fais eaux d'idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Fondements de la géométrie hermitienne sur les variétés presque omplexes
2.1 Connexions sur les fais eaux de modules de fon tions C ∞ au dessus des variétés
presque omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Connexions hermitiennes sur les brés ve toriels au dessus des variétés presque
omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Extension de l'opérateur ∂¯J aux puissan es de S hur du bré des (1, 0)-formes . .
2.4 Expression lo ale des opérateurs ∂J , ∂¯J , θJ et θ̄J . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Relation entre la onnexion de Chern du bré tangent TX,J d'une variété presque
omplexe et la onne tion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 La ourbure de Chern des puissan es de S hur du bré des (1, 0)-formes . . . . .
2.6.1 Interprétation géométrique de la notion de ourbure de Chern dans le as
presque omplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 La ourbure de Chern du bré tangent d'une variété presque omplexe . .
2.7 Coordonnées presque omplexes d'ordre N en un point . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Expression asymptotique normale à l'ordre un d'une onnexion de Chern sur le
bré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Le as d'une métrique symple tique sur une variété presque omplexe . .
2.8.2 Expression asymptotique normale du ot géodésique d'une onnexion de
Chern sur le bré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
78
80
81
81
85
86
92
94
96
97
102
104
106
106
113
117
118
3 Fon tions plurisousharmoniques et ourants positifs de type (1, 1) sur une
variété presque omplexe
121
3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2 Plongements par feuilles ourbes J -holomorphes et hamps de ve teurs J -plats
sur les variétés presque omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3 Courants positifs sur les variétés presque omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3.2 Exemples fondamentaux de ourants positifs sur les variétés presque omplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4 Les potentiels des ourants positifs de type (1, 1) sur les
variétés presque omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5 Sur la régularisation des potentiels sur les variétés presque omplexes ave ontrle
asymptotique de la perte de
positivité du ourant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.5.1 Expression lo ale normale, asymptotique à l'ordre deux du Hessien presque
omplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.6 Appendi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
∗,∗,∗
3.6.1 Expressions des oe ients R∗,∗
du Hessien presque omplexe . . . . . . 149
8
Chapitre 0
Introdu tion
0.1
Philosophie de la thèse
En géométrie diérentielle omplexe, on a souvent oexisten e de stru tures très ri hes et
rigides omme par exemple les stru tures analytiques omplexes et d'autres très élastiques,
omme les stru tures diérentielles ou en ore d'autres extrêmement irrégulières omme elles
données par les fon tions lo alement intégrables ou les distributions. Nous ommençons par
énon er quelques résultat lassiques qui onstituent le point de départ de ette thèse.
Une variété presque omplexe (X, J) est une variété diérentielle munie d'une se tion J de lasse
C ∞ du bré des endomorphismes du bré tangent telle que J 2 = −I. Le omplexié de ette
se tion sur le omplexié du bré tangent admet deux sous brés propres. Le bré des ve teurs
omplexes de type (1, 0), qui est elui relatif au valeur propre i et le bré des ve teurs omplexes
de type (0, 1), qui est elui relatif au valeur propre −i. Une variété presque omplexe est dite
intégrable si le bré des ve teurs de type (0, 1) est intégrable, (où de façon équivalente si le bré
des ve teurs de type (1, 0) est intégrable), e qui signie que le ro het de Lie de deux hamps de
ve teurs de type (0, 1) est en ore un hamp de ve teurs de type (0, 1). Dans e ontexte on a le
élèbre théorème de Newlander-Nirenberg, (voir [We-1℄, [Hör℄, [Dem-1℄, hapitre VIII, [Mal-2℄,
[Nij-Woo℄ et [New-Nir℄), qui permet de ara tériser les variétés omplexes parmi les variétés
presque omplexes.
Théorème 1 (Newlander-Nirenberg)
d'une stru ture holomorphe sur la variété
égale à
J
Soit
X
(X, J)
une variété presque
telle que la stru ture presque
est équivalente à l'intégrabilité de la stru ture presque
omplexe
omplexe. L'existen e
omplexe asso iée soit
J.
Nous donnons maintenant un deuxième exemple. Une fon tion semi- ontinue supérieurement u
sur une variété presque omplexe (X, J) est dite plurisousharmonique si la restri tion à toute
ourbe J -holomorphe lo ale est sous-harmonique. Dans le as d'une variété omplexe on a le
résultat fondamental suivant due à Bombieri (voir [Bom℄, [Sko℄ et [Dem-1℄, hapitre VIII )
Théorème 2 (Bombieri)
X.
Soit
A
ϕ une fon tion plurisousharmonique sur une variété
x ∈ X tels que la fon tion e−ϕ soit non intégrable
sous-ensemble analytique omplexe de X .
Soit
l'ensemble des points
voisinage de
x.
Alors
A
est un
omplexe
dans un
Ce résultat est d'une importan e fondamentale pour prouver par exemple le théorème de semiontinuité de Siu pour les ourants positifs fermés. Celui- i onstitue notre troisième exemple.
Un ourant de bidegré (q, q) sur une variété presque omplexe (X, J) de dimension n est une
(q, q)-forme à valeurs dans le fais eau des distributions omplexes sur X . L'espa e des ourants
de bidegré (q, q) s'identie par l'intégration des formes ave le dual topologique de l'espa e des
9
(n − q, n − q)-formes C ∞
à support
ompa t muni de la topologie de la
onvergen e uniforme de
(q, q) est dit positif si il est positif par rapport à tous
les sous-espa es omplexes de dimension p := n − q . Il est dit fermé si il est fermé par rapport
à l'opérateur de diérentiation extérieure. Le nombre de Lelong ν(Θ, x) d'un ourant positif
fermé Θ en un point x ∈ X mesure le omportement asymptotique de la masse du ourant Θ
par rapport au volume de la boule omplexe p-dimensionnelle. Il est bien onnu que dans le as
omplexe intégrable, si Θ = [A] est le ourant d'intégration sur un sous-ensemble analytique A
de X , le nombre de Lelong au point x ∈ A de [A] est égal à la multipli ité du germe de A en e
toutes les dérivées. Un
point. Dans
e
ourant de bidegré
ontexte on a le résultat suivant (voir [Siu℄, et aussi [Dem-1℄,
une preuve élégante et plus
ourte).
Théorème 3 (Siu)
un
Θ
Soit
omplexe X et c > 0 une
ν(Θ, x) ≥ c est un sous-ensemble
ourant positif fermé sur une variété
onstante arbitraire. Alors l'ensemble des points
analytique de
X.
x∈X
tels que
Nous donnons maintenant une première idée des résultats obtenus dans
Fais eaux ∂¯- ohérents sur les variétés
Dans le premier
hapitre de
ohérents un résultat
ette thèse nous généralisons au
sur un bré ve toriel
En introduisant la notion de fais
¯eau ∂
ontexte des fais eaux analytiques
C∞
Le résultat
atégorie des fais eaux
on ernant l'intégrabilité des
au dessus d'une variété
omplexe.
ohérent, qui est une notion qui vit dans le
nous montrons l'existen e d'une équivalen e (exa te) entre la
ohérents et la
ette thèse.
omplexes
lassique de Koszul-Malgrange ([Ko-Mal℄)
(0, 1)
onnexions de type
hapitre III, pour
∂¯-
atégorie des fais eaux analytiques
ohérents.
lassique de Koszul-Malgrange (voir [Ko-Mal℄) arme qu'un bré ve toriel
diérentiable au dessus d'une variété
¯2 = 0 possède une
que ∂
C∞,
ontexte
omplexe, qui admet une
onnexion
∂¯
de type
omplexe
(0, 1)
telle
stru ture de bré ve toriel holomorphe. En d'autres termes, en utilisant
l'équivalen e entre les notions de bré ve toriel et de fais eau lo alement libre sur une variété, on
observe que le noyau de la
essentiel de
e résultat
onnexion
∂¯ est
O-modules
lo alement libre. Le point
onsiste à prouver l'existen e d'une solution de l'équation diérentielle
g−1 ∂¯J g = A (où ∂¯J est la
∞
C et A représente la (0, 1)-forme de
∂¯J A + A ∧ A = 0.
quasi-linéaire
Nous généraliserons
un fais eau de
(0,1)- onnexion
anonique sur le fais eau des fon tions
onnexion lo ale de
ette équation pour prouver notre
omme objet nouveau la notion de fais eau
∂¯-
∂¯)
ave
la
ondition d'intégrabilité
ara térisation diérentielle qui introduit
ohérent. Pré isément un fais eau
∂¯-
ohérent est
∞ à valeurs omplexes, muni d'une onnexion ∂
¯ de type
un fais eau G de modules de fon tions C
2
(0, 1) telle que ∂¯ = 0, et qui admet lo alement des résolutions de longueur nie, par des modules
de fon tions
de la
C∞
onnexion
entre la
à valeurs
∂¯
omplexes. Notre
ara térisation arme essentiellement que le noyau
est un fais eau analytique
atégorie des fais eaux analytiques
ohérent. On obtient don
ohérents et la
l'équivalen e exa te
atégorie des fais eaux
∂¯-
ohérents.
L'exa titude de l'équivalen e est due à la délité plate de l'anneau des germes des fon tions
à valeurs
omplexes sur l'anneau des germes des fon tions holomorphes, (voir [Mal-1℄).
C∞
L'hypothèse sur les résolutions lo ales peut sembler à première vue di ile à vérier, mais dans
les appli ations (voir les
prin ipale de notre
orollaires
1.1.13
et
1.1.16)
stru tures analytiques obtenues par déformation
La di ulté essentielle de la preuve de notre
soit le
elle est toujours assurée. L' appli ation
¯-stabilité qui permet de trouver des
ara térisation est une méthode, la ∂
hoix de la résolution lo ale du fais eau
C∞
d'autres stru tures analytiques.
ara térisation
G,
10
onsiste à montrer que quel que
on peut trouver au voisinage de
haque point
de l'ouvert sur lequel on
onsidère la résolution lo ale, une autre résolution lo ale
matri es holomorphes. En d'autres termes on
de
onnexion nulles. Pour atteindre
néralise la notion
type
(0, 1)
lassique de
onstituée de
her he une résolution lo ale admettant des formes
et obje tif on introduit la notion de re alibration, qui gé-
hangement de jauge pour les formes lo ales d'une
onnexion de
intégrable sur un fais eau lo alement libre. La notion de re alibration ne représente
rien d'autre qu'une a tion d'un semi-groupe sur l'ensemble des formes qui représentent lo alement la
ondition d'intégrabilité de la
onnexion
∂¯.
La notion en question permet de traduire
notre problème en termes d'un système diérentiel quasi-linéaire dont le terme prin ipal est
un opérateur
∂¯
usuel. Les
expressions lo ales de la
onditions d'intégrabilité de
e système ne sont rien d'autre que les
ondition d'intégrabilité de la
onnexion
∂¯.
Les solutions du système
diérentiel seront obtenues à l'aide d'un pro édé itératif de type Nash-Moser, dont
haque étape
est déterminée par une re alibration obtenue en fon tion de l'étape pré édente.
La preuve de l'existen e de solutions du système diérentiel en question est exposée dans la
sous-se tion
1.5.5,
et
fais eaux analytiques
onstitue la partie essentielle de la preuve de notre
ohérents. La te hnique qui
ara térisation des
onsiste à utiliser des s hémas itératifs pour
montrer l'existen e des solutions de problèmes non linéaires est aujourd'hui bien
lyse
omplexe. On peut
onnue en ana-
iter par exemple les travaux de Webster [We-1℄ et [We-2℄, qui utilisent
des te hniques de type Nash-Moser, (voir [Mos-1℄, [Mos-2℄ et [Gro℄) pour prouver l'existen e
des solutions de deux problèmes diérentiels fondamentaux en géométrie
nal qui permet de
omplexe. L'ingrédient
on lure notre preuve est le résultat profond de Malgrange mentionné pré-
édemment, qui permet aussi d'obtenir une généralisation du théorème de Dolbeault au
fais eaux analytiques
¯- ohérents). Enn on obtient aussi
ohérents (∂
sultat d'intégrabilité pour les
omme
as des
orollaire un ré-
onnexions sur les fais eaux admettant des résolutions lo ales de
longueur nie sur les variétés diérentiables. Ce résultat permet de montrer que la notion de
∂¯-stabilité
est une notion très restri tive dans le
as presque
omplexe non intégrable.
Fondements de géométrie hermitienne sur les variétés presque omplexes
Sur une variété presque
sur le bré des
(X, J)
omplexe
(p, 0)-formes.
Dans le
l'opérateur
∂¯J
induit une
as d'une stru ture presque
onnexion de type
(0, 1)
omplexe intégrable
ette
anonique du bré des (p, 0)-formes. En onsidérant
p = 1 on peut étendre la onnexion orrespondante à toutes les puissan es de S hur du
bré des (1, 0)-formes. En utilisant l'isomorphisme C-linéaire entre le bré des (1, 0)-formes et
∗
le bré otangent omplexe TX,J on déduit aussi des onnexions anoniques de type (0, 1) sur
∗
les puissan es de S hur du bré otangent omplexe TX,J .
onnexion induit la stru ture holomorphe
le
as
Dans le
de
as
omplexe intégrable
es brés. Dans le
es
as presque
onnexions donnent les stru tures holomorphes
omplexe non intégrable les
seulement les stru tures holomorphes
aux images des
ourbes
J -holomorphes
Nous introduisons la notion de
anoniques sur les restri tions des brés
orrespondants
lisses.
ourbure de Chern pour
trique est la généralisation naturelle de la notion
holomorphes sur une variété
anoniques
onnexions en question donnent
es brés, notion dont le sens géomé-
lassique de
ourbure de Chern pour les brés
omplexe. Nous remarquons que la notion de
au sens de Griths est liée de manière dire te à la
J -plurisousharmoni
ourbure négative
ité des normes
ertain se tions que nous appelons presque holomorphes spé iales en un point donné.
Nous portons un intérêt parti ulier au
régularisation des fon tions
as du bré tangent en vue des appli ations
J -plurisousharmoniques
|σ|2
de
on ernant la
à l'aide du ot géodésique d'une
onnexion
de Chern sur le bré tangent. Cette méthode à été déjà utilisée par Demailly [Dem-2℄ dans le
as
omplexe intégrable.
11
Nous montrons une formule expli ite qui relie la onnexion de Chern du bré tangent ave la
onnexion de Levi-Civita à l'aide des obstru tions géométriques dérivant de la torsion de la
stru ture presque omplexe et du défaut de la métrique à être symple tique. En parti ulier nous
donnons une formule expli ite qui permet de relier la torsion de la onnexion de Chern du bré
tangent ave les obstru tions pré édentes. Une formule qui relie les deux onnexions pré édentes
peut être aussi trouvée dans l'arti le de Gaudu hon [Gau℄. L'utilité de la onnexion de Chern
dans le problème de régularisation des fon tions J -plurisousharmoniques dérive du fait que son
expression lo ale par rapport à des repères du bré des (1, 0)-ve teurs tangents est la plus simple
possible parmi les onnexions hermitiennes.
Ensuite nous introduisons la notion de oordonnées presque omplexes au voisinage d'un point.
Cette notion nous permet d'étudier la façon dont la torsion de la stru ture presque omplexe et
le ara tère non symple tique de la métrique se traduisent en une obstru tion à l'existen e de
oordonnées géodésiques omplexes, qui n'existent que dans le as Kählerien. Cette étude est
né essaire pour le al ul asymptotique du ot géodésique induit par une onnexion de Chern sur
le bré tangent.
Fon tions plurisousharmoniques et ourants positifs de type
presque omplexe
(1, 1)
sur une variété
Comme dans le as analytique omplexe, nous onje turons que la notion de plurisousharmoni ité pour une fon tion u est équivalente à la positivité du (1, 1)- ourant i∂J ∂¯J u, (lequel n'est
pas for ément fermé dans le as non intégrable). La onje ture est triviale dans le as d'une
fon tion u de lasse C 2 . Le résultat en question est élémentaire dans le as omplexe intégrable
ar l'opérateur i∂J ∂¯J s'é rit omme un opérateur à oe ients onstants dans des oordonnées
omplexes. On peut don fa ilement onserver la positivité du ourant en régularisant ave des
noyaux C ∞ usuels. Dans le as presque omplexe non intégrable e i e n'est pas possible et la
preuve du résultat exige un étude beau oup plus intrinsèque. Nous montrons la né essité de la
positivité du (1, 1)- ourant i∂J ∂¯J u en utilisant la théorie lo ale des ourbes J -holomorphes. Nous
montrons aussi la susan e de la positivité dans le as parti ulier d'une fon tion f semi- ontinue
supérieurement et ontinue en dehors du lieu singulier f −1 (−∞). Pour prouver la susan e de
la positivité dans le as général où u est une distribution réelle nous proposons une méthode qui
utilise un déli at argument de régularisation des fon tions plurisousharmoniques introduit par
Demailly ([Dem-2℄).
Question ouverte. L'étude basique des fon tions J -plurisousharmoniques que nous présen-
tons dans ette thèse peut être onsidérée omme une première étape vers la ompréhension
dans le as presque omplexe non intégrable de la question fondamentale suivante. Soit ϕ une
fon tion J -plurisousharmonique sur une variété presque omplexe (X, J). Soit A l'ensemble des
points x ∈ X tels que la fon tion e−ϕ est non intégrable dans un voisinage de x. Que peut
on-dire de la stru ture J -analytique de A ? Dans le as où la dimension de Hausdor de A est
deux, peut-on déduire que lo alement A est donné par les images d'un nombre ni de ourbes
J -holomorphes ?
Nous donnons maintenant une présentation plus détaillée des résultats obtenus dans ette thèse.
12
0.2
Fais eaux
∂¯-
ohérents sur les variétés
omplexes
Cette se tion est une version simpliée de la se tion 1.1 du hapitre I. On va ommen er
par rappeler un résultat lassique bien onnu du à Koszul-Malgrange. On a besoin d'abord de
quelques notations et remarques. Soit (X, J) une variété omplexe, où J est le tenseur de la
stru ture presque- omplexe supposée intégrable. On désigne par EX le fais eau des fon tions C ∞
à valeurs omplexes, par EX0,q le fais eau des (0, q)-formes et par ∂¯J la omposante de type (0, 1)
de la diérentielle. Soit F −→ X un bré ve toriel omplexe C ∞ . On rappelle que sur une variété
omplexe il y a une équivalen e entre les notions suivantes.
{Fibrés ve toriels omplexes C ∞ } ←→ {Fais eaux de E -modules lo alement libres}
F
7−→
E(F ) := Fais eau des se tions C ∞ de F
L'équivalen e pré édente est aussi valable pour les brés ve toriels holomorphes et les fais eaux
de O-modules lo alement libres dénis sur une variété omplexe. On onsidère la dénition
suivante.
Dénition 0.2.1 Une onnexion de type
(0, 1) sur un fais eau G de EX -modules est un mor¯ · f ) = (∂g)
¯ · f + g ⊗ ∂¯ f ,
phisme de fais eaux de groupes additifs ∂¯ : G −→ G ⊗EX EX0,1 tel que ∂(g
J
pour tout g ∈ Gx et f ∈ EX,x .
Une onnexion de type (0, 1) sur le fais eau de EX -modules G s'étend grâ e à la règle de Leibnitz
à une dérivation ∂¯ de type (0, 1) sur le omplexe (G ⊗EX EX0,q )q≥0 . Souvent on pense une onnexion
en termes de son extension au omplexe (G ⊗EX EX0,q )q≥0 . Pour tout fais eau F de OX -modules
on peut onsidérer la onnexion anonique de type (0, 1) sur le fais eau de EX -modules
F ∞ := F ⊗OX EX
suivante
dénie par la formule
0,q
0,q+1
∂¯F : F ⊗OX EX
−→ F ⊗OX EX
,
∂¯F (ψ ⊗Ox f ) := ψ ⊗Ox ∂¯J f
0,q
pour tout ψ ∈ Fx et f ∈ EX,x
. Bien évidemment la dénition pré édente est une généralisation
immédiate de la notion lassique de onnexion de type (0, 1) anonique asso iée à un bré ve toriel holomorphe, (voir par exemple les ouvrages [Dem-1℄, ([Gri-Ha℄ et([Wel℄). Nous porterons
un intérêt parti ulier aux onnexions de type (0, 1) intégrables, 'est à dire aux onnexions telles
que ∂¯2 = 0. Un exemple de (0, 1)- onnexion intégrable est évidemment la onnexion ∂¯F introduite pré édemment. Ave les notations introduites pré édemment on peut énon er le résultat
de Koszul-Malgrange ([Ko-Mal℄) sous la forme suivante.
Théorème 0.2.2 (Koszul-Malgrange). Soit
F −→ X un bré ve toriel omplexe C ∞ sur
une variété omplexe X . Alors l'existen e d'une stru ture de bré ve toriel holomorphe sur F
est équivalente à l'existen e d'une onnexion ∂¯ : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX0,1 de type (0, 1) intégrable
(i.e. ∂¯2 = 0) sur le fais eau de E -modules E(F ).
En utilisant l'équivalen e entre les notions de brés ve toriels holomorphes et fais eaux de Omodules lo alement libres sur une variété omplexe, on peut reformuler en termes équivalents le
théorème 0.2.2 sous la forme suivante.
13
Théorème 0.2.3 (Koszul-Malgrange). Soit F
−→ X un bré ve toriel omplexe C ∞ sur une
¯
variété omplexe X muni d'une onnexion ∂ : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX0,1 telle que ∂¯2 = 0. Alors le
¯ · EX = E(F ), ( e i signie
fais eau de O-modules Ker∂¯ ⊂ E(F ) est lo alement libre et (Ker∂)
que les trivialisations lo ales du noyau Ker∂¯ sur le fais eau OX sont aussi des trivialisations
lo ales de E(F ) sur le fais eau EX ).
On a en on lusion que le noyau de la onnexion ∂¯ est le fais eau des se tions holomorphes O(F )
du bré F et la onnexion ∂¯ oïn ide ave la onnexion anonique
0,1
∂¯F : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX
.
On remarque que si F est un fais eau C-analytique ohérent, le théorème des syzygies (voir
[Kob℄, hapitre 5) implique l'existen e d'une O-résolution de longueur nie
ϕm−1
ϕm
ϕ2
ϕ1
ψ
0 → OU⊕pm −→ OU⊕pm−1 −→ · · · −→ OU⊕p1 −→ OU⊕p0 −→ F|U → 0
dans la atégorie des fais eaux C-analytiques ohérents. En rappelant que F ∞ := F ⊗OX EX
on obtient grâ e à la platitude de l'anneau EX,x sur l'anneau OX,x , ( f. [Mal-1℄) l'exa titude du
omplexe
0
✲ F|
U
✲ F∞
|U
∂¯✲
F
¯
F
0,1 ∂✲
F|∞
⊗
E
F|∞
⊗E EU0,2
E
U
U
U
U
U
✲ ···
On est don parti d'un fais eau analytique ohérent F pour obtenir un fais eau de E -modules
F ∞ admettant des E -résolutions lo ales de longueur nie, muni d'une onnexion ∂¯F de type
(0, 1) intégrable dont le noyau est le fais eau C-analytique ohérent de départ F . De manière
générale on a la ara térisation diérentielle suivante.
Théorème 0.2.4 (Cara térisation diérentielle des fais eaux analytiques ohérents)
Soit X une variété omplexe et soit G un fais eau de EX -modules qu'on suppose muni d'une
onnexion ∂¯ : G −→ G ⊗EX EX0,1 de type (0, 1) telle que ∂¯2 = 0. Si de plus le fais eau G admet
des E -résolutions lo ales de longueur nie, alors le fais eau de OX -modules Ker∂¯ ⊂ G est C¯ · EX ∼
¯ ⊗
EX et la onnexion ∂¯
analytique ohérent, on a les égalités G = (Ker∂)
= (Ker ∂)
O
X
oïn ide, à isomorphisme anonique près, ave l'extension naturelle ∂¯Ker∂¯ asso iée au fais eau
analytique ohérent Ker∂¯.
Le théorème pré édent montre don qu'on est dans la même situation que elle dé rite pré édemment. Bien évidemment le théorème 0.2.4 onstitue une généralisation du théorème 0.2.3.
¯ ≡ G ¯ où G et ∂¯ vérient les hypothèses du théorème 0.2.4 est appelé fais eau
Un ouple (G, ∂)
∂
¯
∂ - ohérent.
Le théorème 0.2.4 et la délité plate du fais eau EX sur OX montrent que sur une variété omplexe on a une équivalen e exa te entre la atégorie des fais eaux C-analytiques ohérents et la
atégorie des fais eaux ∂¯- ohérents.
Le as des fais eaux d'idéaux.
Soit I ⊆ OX un fais eau d'idéaux de fon tions holomorphes (non né essairement ohérent). On
onsidère le fais eau d'idéaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes I ∞ := I · EX ⊆ EX et on
remarque que la règle de Leibnitz implique que pour tout germe de (0, 1)- hamps ξ ∈ E(TX0,1 )x
on a l'in lusion
ξ. Ix∞ ⊆ Ix∞ ,
pour tout x ∈ X . De manière générale on a la dénition suivante :
14
Dénition 0.2.5 (Notion de
à valeurs omplexes est dit
l'in lusion ξ. Jx ⊆ Jx, pour
∂¯J -stabilité) Un fais eau d'idéaux J ⊆ EX de fon tions C ∞
¯
∂J -stable si pour tout germe de (0, 1)- hamps ξ ∈ E(TX0,1 )x on a
tout x ∈ X .
La ∂¯J -stabilité d'un fais eaux d'idéaux J ⊆ EX de fon tions C ∞ à valeurs omplexes entraîne
qu'on peut onsidérer l'opérateur ∂¯J omme une onnexion
0,1
∂¯J : J −→ J ⊗EX EX
de type (0, 1) intégrable sur le fais eaux J . Dans le as où J = I ∞ on a omme onséquen e
de la platitude de l'anneau EX,x sur l'anneau OX,x que la onnexion en question oïn ide, à
isomorphisme anonique près, ave la onnexion anonique ∂¯I asso iée au fais eau I . De plus le
noyau de ette onnexion est le fais eau I . Une onséquen e immédiate du théorème pré édent
est le orollaire suivant :
Corollaire 0.2.6 Soit
un fais eau d'idéaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes ∂¯J stable admettant des E -résolutions lo ales de longueur nie. Alors le fais eau d'idéaux J ∩ OX
est analytique ohérent et (J ∩ OX ) · EX = J , (autrement dit le fais eau d'idéaux J ∩ OX est
un O-module lo alement de type ni et ses générateurs lo aux sur OX sont aussi des générateurs
lo aux du fais eau J sur EX ).
J ⊆ EX
Con rètement pour vérier la ∂¯J -stabilité du fais eau J il sut de faire un hoix arbitraire de
repère lo al (ξ1 , ..., ξn ) ∈ E(TX0,1 )⊕n (U ), de générateurs (ψ1 , ..., ψp ) ∈ J ⊕p (U ) et de montrer,
pour tout x ∈ U , l'existen e de germes de fon tions Ak,l,j ∈ EX,x qui vérient les égalités
ξk,x .ψl,x =
p
X
j=1
Ak,l,j · ψj,x .
Le orollaire 0.2.7 montre l'existen e d'une équivalen e exa te entre la atégorie des fais eaux
d'idéaux de fon tions holomorphes ohérents et la atégorie des fais eaux d'idéaux J ⊆ EX de
fon tions C ∞ à valeurs omplexes admettant des E -résolutions lo ales de longueur nie, qui sont
stables par rapport aux dérivations le long des hamps de ve teurs de type (0,1).
Corollaire 0.2.7 Soit
un sous-ensemble fermé d'une variété omplexe X tel que pour
tout x ∈ Z il existe un voisinage ouvert oordonné Ux de x et des fon tions ψ1 , ..., ψpx ∈ EX (Ux )
(0), les relations
telles que Z ∩ Ux = ψ1−1 (0) ∩ ... ∩ ψp−1
x
Z ⊂X
px
X
∂ψl
=
Ak,l,j · ψj ,
∂ z̄k
j=1
Ak,l,j ∈ EX (Ux ) soient satisfaites pour tous les indi es l, k (les oordonnées (z1 , ..., zn ) sont relatives à l'ouvert Ux ) et le fais eau des E -relations RE (ψ1 , ..., ψpx ) ⊂ EUx admet des E -résolutions
lo ales de longueur nie. Alors Z est un sous-ensemble analytique de X .
On déduit alors le orollaire suivant dans lequel l'hypothèse sur la résolution lo ale de longueur
nie est immédiatement vérié.
Corollaire 0.2.8 Soit
Φ : U1 −→ U2 , Φ(z) = ζ un diéomorphisme de lasse C ∞ entre deux
ouverts de , soit I ⊂ OU1 un fais eau d'ideaux de fon tions holomorphes lo alement de type
ni ( omme O-module), et Z := V (I) ⊂ U1 son ensemble des zéros.
Si le fais eau d'ideaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes Φ∗ I ∞ ⊂ EU2 est ∂¯J -stable alors
Cn
15
Φ(Z) ⊂ U2 est un sous-ensemble analytique de U2 .
De façon plus expli ite : pour tout x ∈ Z soient ψ1 , ..., ψpx ∈ OX (Ux ), Ux ⊂ U1 des fon tions
holomorphes telles que
Z ∩ Ux = ψ1−1 (0) ∩ ... ∩ ψp−1
(0).
x
Si pour tout x ∈ Z il existe des fon tions Ak,l,j ∈ E(Φ(Ux )) telles que les fon tions Ψk := ψk ◦Φ−1
vérient les relations
px
X
∂Ψk
=
Ak,l,j · Ψj ,
∂ ζ̄l
j=1
(0.2.1)
alors Φ(Z) ⊂ U2 est un sous-ensemble analytique de U2 .
Dans le as où I = IZ est le fais eau des fon tions holomorphes qui s'annullent le long de Z et
Z est lisse le résultat pré édent est élémentaire. En eet la ∂¯J -stabilité du fais eau d'ideaux de
fon tions C ∞ à valeurs omplexes Φ∗ IZ∞ ⊂ EU2 entraîne que le bré tangent TΦ(Z) de la sousvariété Φ(Z) est un sous-bré omplexe du bré TU2 . On déduit alors fa ilement l'analyti ité
de Z , (voir [Dem-1℄, hapitre I). En général les équations holomorphes qui dénissent un sousensemble analytique présentent des ordres d'annullations arbitraires. Le orollaire 0.2.8 trouve
tout son intérêt dans le as général.
Les orollaires 0.2.6 et 0.2.8 se généralisent fa ilement au as des sous-fais eaux G ⊆ E(F ) du
fais eau des se tions C ∞ d'un bré ve toriel holomorphe F , (voir la se tion 1.1).
Une autre
onsequen e du théorème
0.2.4
On a aussi le orollaire suivant que l'on déduit des arguments exposés dans la sous-se tion 1.4.3.
Corollaire 0.2.9
Soit
ϕm
ϕm−1
ϕ2
ϕ1
ψ
0 → E(Fm ) −→ E(Fm−1 ) −→ · · · −→ E(F1 ) −→ E(F0 ) −→ G → 0
une suite exa te de fais eaux de E -modules sur une variété omplexe X , où Fk , k = 0, ..., m sont
des brés ve toriels omplexes C ∞ sur X . Supposons qu'il existe une onnexion D̄ : E(F0 ) −→
0,1
de type (0, 1) sur E(F0 ) telle que les in lusions
E(F0 ) ⊗EX EX
0,1
D̄ Im ϕ1 ⊆ (Im ϕ1 ) ⊗EX EX
et D̄2 E(F0 ) ⊆ (Im ϕ1 ) ⊗EX EX0,2
soient satisfaites. Alors la onnexion quotient ∂¯ : G −→ G ⊗EX EX0,1 est intégrable et son noyau
¯ · EX = G . De plus pour
Ker ∂¯ est un fais eau de O-modules analytique ohérent tel que (Ker ∂)
tout entier l ≥ 0 et k = 1, ..., m les sous-ensembles Zl (ϕk ) := {x ∈ X | rgC ϕk (x) ≤ l} sont des
sous-espa es omplexes de X .
On remarque que la ohomologie des fais eaux ohérents (∂¯- ohérents) sur une variété omplexe peut se al uler, grâ e à l'isomorphisme fon toriel de De Rham-Weil (voir par exemple les
ouvrages [Dem-1℄, [Gri-Ha℄ et [Wel℄), par la formule suivante :
0,∗ ¯
¯ ∼
H q (X, G∂¯) := H q (X, Ker ∂)
= H q (Γ(X, G ⊗EX EX ); ∂),
qui onstitue une généralisation du théorème de Dolbeault.
Fais eaux
∂¯-
ohérents sur les
ourbes holomorphes lisses
Dans le as où la dimension omplexe de X est un on peut, pour des raisons banales d'intégrabilité, supprimer l'hypothèse sur les E -résolutions lo ales de longueur nie des fais eaux de
E -modules. Nous obtenons les orollaires suivants.
16
Corollaire 0.2.10 Soit X une variété omplexe de dimension un et soit G un fais eau de EX modules qu'on suppose muni d'une onnexion ∂¯ : G −→ G ⊗EX EX0,1 de type (0, 1). Si de plus
le fais eau G admet des E -présentations lo ales, alors le fais eau de OX -modules Ker∂¯ ⊂ G est
¯ · EX ∼
¯ ⊗
analytique ohérent, on a les égalités G = (Ker∂)
EX et la onnexion ∂¯
= (Ker ∂)
O
X
oïn ide, à isomorphisme anonique près, ave l'extension naturelle ∂¯Ker∂¯ asso iée au fais eau
analytique ohérent Ker∂¯.
Corollaire 0.2.11 Soit X une variété omplexe de dimension un,
un bré ve toriel
holomorphesur X et G ⊆ E(F ) un sous-fais eau de E -modules lo alement de type ni et ∂¯F -stable,
où
F −→ X
0,1
∂¯F : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX
désigne la onnexion anonique asso iée au fais eau O(F ). Alors le fais eau de OX -modules
G ∩ O(F ) est analytique ohérent et (G ∩ O(F )) · EX = G , (autrement dit le fais eau G ∩ O(F ) est
un O-module lo alement de type ni et ses générateurs lo aux sur OX sont aussi des générateurs
lo aux du fais eau G sur EX ).
Un résultat d'intégrabilité des onnexions sur les fais eaux de E -modules au dessus
d'une variété diérentiable
Il est possible de déduire aussi un résultat d'intégrabilité dans le as des variétés C ∞ . Considérons
en eet (X, EX ) une variété C ∞ (EX ≡ EX (R) représente i i le fais eau des fon tions C ∞ à
valeurs réelles) et D : G −→ G ⊗EX E(TX∗ ) une onnexion sur le fais eau de EX (K)-modules G où
K = R, C. Si le fais eau des se tions parallèles KerD engendre G sur EX (K) alors évidemment
D2 = 0. Le théorème suivant donne une ré iproque de e fait dans un as parti ulier.
Théorème 0.2.12 Soit
(X, EX ) une variété diérentiable et soit G un fais eau de EX (K)modules, muni d'une onnexion D : G −→ G ⊗EX E(TX∗ ) telle que D2 = 0. Si de plus le fais eau G
admet lo alement une E(K)-résolution de longueur nie, alors le fais eau des se tions parallèles
KerD engendre sur EX (K) le fais eau G qui est le fais eau des se tions d'un système lo al de
oe ients (le fais eau G est don lo alement libre) et le omplexe (G ⊗EX E(Λ• TX∗ ) ; D) est une
résolution a y lique du fais eau des se tions parallèles. On a alors l'isomorphisme fon toriel de
De Rham-Weil H k (X, KerD) ∼
= H k (Γ(X, G ⊗EX E(Λ• TX∗ )) ; D).
Nous utilisons e résultat pour expliquer l'eet gênant de la ∂¯J -stabilité des fais eaux d'idéaux
dans le as des variétés presque- omplexes. En eet on a le orollaire suivant.
Corollaire 0.2.13 Soit (X, J) une variété presque- omplexe onnexe telle que
0,1
TX,x ⊗R C = Ch [ξ, η](x) | ξ, η ∈ E(TX,J
)(X) i
pour tout x ∈ X et soit J ⊂ E(C) un fais eau d'idéaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes sur
X admettant des E(C)-résolutions lo ales de longueur nie. Si J est ∂¯J -stable alors soit J = 0
soit J = E(C).
0.3
Fondements de la géométrie hermitienne sur les variétés presque
omplexes
Relation entre la onnexion de Chern du bré tangent TX,J d'une variété presque
omplexe et la onne tion de Levi-Civita
17
Soit (X, J) une variété presque omplexe ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) une métrique hermitienne sur
J
TX,J ,
DJω : E(TX,J ) −→ E(TX∗ ⊗R TX,J )
la onnexion de Chern du bré hermitien (TX,J , ω) et g := ω(·, J·) ∈ E(SR2 TX∗ )(X) la métrique
riemannienne J -invariante asso iée à ω . On désigne par
∇g : E(TX ) −→ E(TX∗ ⊗R TX )
la onnexion de Levi-Civita relative à la métrique riemanienne g et par
TX∗ ⊗C TX,J )(X)
NJ ∈ E(Λ0,2
J
le tenseur de Nijenhuis. On rappelle la dé omposition
ΛkR TX∗ ⊗R TX,J ≃C ΛkC (TX ⊗R C)∗ ⊗C TX,J ≃C
M
p+q=k
Λp,q
TX∗ ⊗C TX,J .
J
Le théorème suivant relie la onnexion de Chern du bré hérmitien (TX,J , ω) ave la onnexion
de Levi-Civita relative à la métrique riemannienne g.
Soit (X, J) une variété presque omplexe, ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) une métrique
J
2
∗
hermitienne sur TX,J et g := ω(·, J·) ∈ E(SR TX )(X) la métrique riemannienne J -invariante
asso iée à ω . Il existe deux tenseurs réels
Théorème 0.3.1
δJ ω ∈ E((TX∗ )⊗2 ⊗R TX )(X)
0,1 ∗,⊗2
et NJω ∈ E((TX,J
)
⊗C TX,J )(X)
tels que dω = 0 si et seulement si δJ ω = 0 ; NJ = 0 si et seulement si NJω = 0. La onnexion de
Chern DJω du bré hermitien (TX,J , ω) est relié à la onne tion de Levi-Civita ∇g par la formule
DJω, ξ η := ∇gξ η + δJ ω(ξ, η) − NJω (ξ, η)
(0.3.1)
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(U ), (U ⊆ X ouvert arbitraire). Le 2-tenseur réel
δJ ω est déni par la formule
2,0
0,2
1,1
2δJ ω := γω,J
+ γω,J
+ Jγω,J
(·, J·)
où
2,0
1,1
0,2
γω,J
∈ E(Λ2,0
TX∗ ⊗C TX,J )(X), γω,J
∈ E(Λ1,1
TX∗ ⊗C TX,J )(X) et γω,J
∈ E(Λ0,2
TX∗ ⊗C TX,J )(X)
J
J
J
sont les omposantes, (par rapport à la stru ture presque omplexe J) de la 2-forme réelle
γω ∈ E(Λ2 TX∗ ⊗R TX )(X) dénie par la formule
ω(γω (ξ, η), µ) = dω(ξ, η, µ)
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η, µ ∈ E(TX )(X). Enn le (0, 2)-tenseur réel NJω est dénie
par la formule NJω := τJω + τ̄Jω où
0,1 ∗,⊗2
1,0
τJω ∈ E((TX,J
)
⊗C TX,J
)(X)
est le (0, 2)-tenseur déni par la formule
ω(τJω (ξ, η), µ) = ω(ξ, [η, µ]1,0 )
0,1
0,2 = 0. La forme de
pour tout (0, 1)- hamp de ve teurs ξ, η, µ ∈ E(TX,J
)(X). Si NJ = 0 alors γω,J
ω
torsion TDJω de la onnexion de Chern DJ vérie l'identité
2,0
TDω = γω,J
− NJ .
J
18
(0.3.2)
La ourbure de Chern des puissan es de S hur du bré des (1, 0)-formes.
∗
Considérons plus généralement les brés ve toriels omplexes FJλ := S λ Λ1,0
TX∗ ou FJλ := S λ TX,J
J
λ
au dessus de (X, J), où S désigne la puissan e de S hur relative à une partition λ. Soit h
une métrique hermitienne quel onque sur FJλ et DFh λ la onnexion de Chern du bré hermitien
J
(FJλ , h) −→ (X, J). On donne la dénition suivante.
Dénition 0.3.2 Le tenseur de ourbure de Chern
Ch (FJλ ) ∈ E(Λ1,1
TX∗ ⊗C EndC (FJλ ))(X)
J
du bré ve toriel hermitien (FJλ , h) −→ (X, J) est la (1, 1)-forme donnée par la formule
Ch (FJλ ) := Θ(DFh λ )1,1
J
où Θ(DFh λ ) := (DFh λ )2 . La ourbure de Chern
J
J
CFh λ ∈ E(Herm(TX,J ⊗C FJλ ))(X)
J
est la forme hermitienne sur le bré ve toriel omplexe TX,J ⊗C FJλ dénie par la formule
CFh λ (ξ ⊗ σ, η ⊗ τ ) := h(Ch (FJλ )(ξJ1,0 , ηJ0,1 ) · σ, τ ),
J
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(U ) et se tions σ, τ ∈ E(FJλ )(U ) sur un ouvert U
quel onque.
Bien évidemment il est équivalent de donner soit le tenseur de ourbure soit la ourbure de
Chern. On aura besoin de la dénition suivante.
Dénition 0.3.3 Une se tion
σ ∈ E(FJλ )(U ) est dite presque-holomorphe au point x ∈ U si
on a ∂¯ σ(x) = 0. Un repère lo al (σk )k ⊂ E(FJλ )(U ) est dit presque-holomorphe spé ial au point
x ∈ U si ∂¯ σk (x) = 0 et (D h )1,0 ∂¯ σk (x) = 0 pour tout k.
La dénition de repère lo al presque-holomorphe spé ial en un point est indépendante de la
métrique hermitienne. Le lemme élémentaire suivant donne une première idée de l'utilité de la
notion de ourbure de Chern.
Lemme 0.3.0.1 Soit (σk )k ⊂ E(FJλ )(U ) un repère lo al presque-holomorphe spé ial en un point
x ∈ U du bré hermitien (FJλ , h) −→ (X, J) et ξ, η ∈ E(TX )(U ) deux hamps de ve teurs réels.
Alors au point x on a les identitées
1,0
1,0
CFh λ (ξ ⊗ σk , η ⊗ σl )|x = ∂¯J ∂J h(σk , σl )(ξ 1,0 , η 0,1 )|x + h(ξD
. σk , ηD
. σl )|x .
(0.3.3)
1,0
i∂J ∂¯J |σk |2h (ξ, Jξ)|x = −2 CFh λ (ξ ⊗ σk , ξ ⊗ σk )|x + 2 |ξD
. σk |2h |x .
(0.3.4)
J
J
Dans le as d'une variété omplexe (X, J) et d'un bré ve toriel holomorphe hermitien (F, h) −→
(X, J) on a pour toutes se tions holomorphes σ, τ ∈ O(F )(U ) l'identité
1,0
1,0
CFh (ξ ⊗ σ, η ⊗ τ ) = ∂¯J ∂J h(σ, τ )(ξ 1,0 , η 0,1 ) + h(ξD
. σ, ηD
. τ)
19
sur l'ouvert U . On déduit en parti ulier la formule remarquable suivante
1,0
i∂J ∂¯J |σ|2h (ξ, Jξ) = −2 CFh (ξ ⊗ σ, ξ ⊗ σ) + 2 |ξD
. σ|2h
qui montre que pour tout se tion holomorphe σ ∈ O(F )(U ) la fon tion |σ|2h est plurisousharmonique sur l'ouvert U si la ourbure du bré F est négative au sens de Griths, autrement dit
si CFh (ξ ⊗ σ, ξ ⊗ σ) ≤ 0 pour tout ξ ∈ TX,x et σ ∈ Fx . On déduit en parti ulier que si la variété
omplexe X est ompa te, onnexe et σ ∈ O(F )(X) est une se tion globale d'un bré ve toriel
holomorphe F admettant une métrique hermitienne à ourbure négative au sens de Griths
alors le se tion σ est identiquement nulle sur X si elle s'annule en un point. On remarque que
la notion de positivité (négativité) au sens de Griths pour un bré (FJλ , h) ne signie rien
d'autre que pour tout ve teur réel ξ ∈ TX,J l'endomorphisme h-hermitien iCh (FJλ )(ξ, Jξ) est
positif (négatif). Si la ourbure du bré (FJλ , h) est stri tement négative au sens de Griths en
un point x alors on déduit d'après la formule (2.6.3) que les fon tions |σk |2h sont stri tement
J -plurisousharmoniques au voisinage du point x.
Le lemme fondamental suivant est une version presque omplexe d'un lemme lassique de la
géométrie hermitienne omplexe ([Dem-1℄, hapitre V).
Soit (X, J) une variété presque omplexe et (FJλ , h) −→ (X, J) le bré ve toriel
hermitien d'une puissan e de S hur du bré des (1, 0)-formes. Soient (z1 , ..., zn ) des oordonnées
C ∞ omplexes entrées en un point x telles que J(x) = J0 , où J0 désigne la stru ture presque
omplexe anonique relative à es oordonnées. Il existe un repère lo al (σk )k ∈ E(FJλ )⊕rλ (Ux )
presque-holomorphe spé ial au point x pour lequel les oe ients de la métrique hermitienne h
s'é rivent sous la forme
Lemme 0.3.0.2
h(σl , σm ) = δl,m +
X
j,k̄
Hl,m
zj z̄k + O(|z|3 ).
1≤j,k≤n
Quel que soit le hoix du repère (σk )k ∈ E(FJλ )⊕rλ (Ux ) presque-holomorphe spé ial au point x
pour lequel les oe ients de la métrique hermitienne h s'é rivent sous la forme pré édente on
a les expressions suivantes pour le tenseur de ourbure et la ourbure de Chern au point x ;
Ch (FJλ )|x = −
X
1≤l,m≤rλ
j,k̄
∗
Hl,m
dzj ∧ dz̄k ⊗ σm
⊗ σl
(0.3.5)
1≤j,k≤n
CFh λ (ξ ⊗ σl , η ⊗ σm )|x = ∂¯J ∂J h(σl , σm )(ξ 1,0 , η 0,1 )|x ,
J
(0.3.6)
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(Ux ) et tout indi e l, m.
Le lemme nous montre que la ourbure de Chern au point x mesure l'obstru tion à l'existen e
de repères lo aux presque-holomorphes spé iaux et orthonormaux à l'ordre deux en x.
.
Avant de donner une expli ation pré ise de la notion de oordonnées presque omplexes d'ordre
N = 2 nous voulons donner une idée de ette notion dans le as général. Soient (z1 , ..., zn ) des
oordonnées lo ales C ∞ entrées en x ∈ X telles que le repère lo al ( ∂z∂1 , ..., ∂z∂n ) soit une base
1,0
omplexe de TX,J,x
au point x.
Les oordonnées (z1 , ..., zn ) sont appelées presque omplexes d'ordre N ≥ 1 en x si on a l'équivalen e suivante : le jet d'ordre k = 1, ..., N de la stru ture presque omplexe J en x oïn ide
ave la stru ture presque omplexe anonique de Cn relative à es oordonnées, si et seulement
Coordonnées presque
omplexes d'ordre
N ≥1
20
en un point
si le jet d'ordre k − 1 de la torsion de la stru ture presque omplexe J en x est nul.
Nous donnons maintenant une expli ation plus pré ise de la notion de oordonnées presque omplexes d'ordre deux en un point. Soient (z1 , ..., zn ) des oordonnées lo ales C ∞ entrées en x ∈ X
1,0
telles que le repère lo al ( ∂z∂1 , ..., ∂z∂n ) soit une base omplexe de TX,J,x
au point x. On dénote
par MJ ∈ M2n,2n (E) la matri e de la stru ture presque omplexe J ∈ E(EndC (TX ⊗R C))(X) par
rapport au repère omplexe ( ∂z∂1 , ..., ∂z∂n , ∂∂z̄1 , ..., ∂∂z̄n ). Le fait que J = J implique que la matri e
MJ s'é rit sous la forme :
MJ (z) =
A(z) B(z)
B(z) A(z)
ave A(0) = iIn , B(0) = 0n . Si on suppose que la stru ture presque omplexe est intégrable
il existent d'après le théorème de Newlander-Nirenberg des oordonnées lo ales holomorphes
(z1 , ..., zn ). La stru ture presque omplexe s'é rit alors par rapport à es oordonnées sous la
forme
X
J(z) = J0 = i
k
dzk ⊗
∂
∂
− dz̄k ⊗
,
∂zk
∂ z̄k
autrement dit A(z) ≡ i In , B(z) ≡ 0n . Ave les notations introduites pré édemment on a la
proposition suivante.
Pour tout point x d'une variété presque omplexe (X, J) il existe des oordonnées (z1 , ..., zn ) de lasse C ∞ entrées en x telles que les matri es A(z) et B(z) de la stru ture
presque omplexe J relatives à es oordonnes admettent les développements asymptotiques
Proposition 0.3.4
B(z) =
X
B r zr +
r
X
B r,s zr zs + B r,s̄ zr z̄s + O(|z|3 )
(0.3.7)
r,s
A(z) = i In +
iX r
B · B s zs z̄r + O(|z|3 )
2 r,s
(0.3.8)
où B r , B r,s, B r,s̄ ∈ Mn,n (C) sont des matri es telles que B r,s soit symétrique par rapport aux
r = 0 pour r ≤ l, B r,s = 0 pour r, s ≤ l, B r,s̄ = 0 pour r ≤ l. De plus si on
indi es r, s et Bk,l
k,l
k,l
onsidère l'expression lo ale de la forme de torsion de la stru ture presque omplexe
τJ =
X
[ζk , ζl ]0,1
⊗ ζk∗ ∧ ζl∗ =
J
1≤k<l≤n
X
1≤k<l≤n
1≤r≤n
r
N k,l ζk∗ ∧ ζl∗ ⊗ ζ̄r
1,0
1,0
où ζl := (∂/∂zl )1,0
∈ E(TX,J
)(Ux ), l = 1, ..., n est le repère lo ale du bré des (1, 0)-ve teurs TX,J
J
issue des oordonnées (z1 , ..., zn ) on a l'expression
r
N k,l (z) =
i
i Xh
i l
l,s
k,s
l,s̄
2(Br,k
− Br,l
) zs + Br,k
z̄s + O(|z|2 )
Br,k +
2
2 s
pour tout k < l. Le jet d'ordre k = 0, 1 de la forme de torsion de la stru ture presque omplexe
au point x est nul si et seulement si les oe ients B∗,∗ (z) de la stru ture presque omplexe
relatifs aux oordonnées en question s'annulent à l'ordre k + 1.
Les oordonnées qui vérient les propriétés de l'énon e de la proposition pré édent seront appelées oordonnées presque omplexes d'ordre deux en x par rapport à la stru ture presque
omplexe J . Elle jouent un rle important dans le al ul asymptotique du ot géodésique induit
par une onnexion de Chern sur le bré tangent et dans l'expression asymptotique normale du
Hessien presque omplexe. Ces deux dernières expressions ont un rle de base pour la régularisation des fon tions J -plurisousharmoniques sur les variétés presque omplexes.
21
0.4
Fon tions plurisousharmoniques et
(1, 1)
Soit
(X, J)
sur une variété presque
une variété presque
(1, 1)-
ourant
omplexe
omplexe de dimension
une distribution réelle. Pour l'étude de la
du
ourants positifs de type
i∂J ∂¯J u ∈ D ′ 1,1 (X),
omplexe
J -plurisousharmoni
n
et soit
′ (R)(X)
u ∈ D2n
ité on est intéressé à la positivité
autrement dit à la positivité de la distribution
1
i∂J ∂¯J u (ξ, Jξ) = (ξ. ξ. u + Jξ. Jξ. u + J[ξ, Jξ]. u).
2
pour tout
hamps de ve teurs réel
ξ ∈ E(TX )(U ),
ave
susant de se restreindre à une famille dénombrable de
U ⊂X
simplier l'expression pré édente il est utile d'utiliser les
ouvert. Dans la pratique il est
hamps qu'on introduit de suite. Pour
hamps de ve teurs
J -plats.
Dénition 0.4.1 Un hamp de ve teurs réel
ξ ∈ E(TX r 0X )(U ) au dessus d'un ouvert U est
dit J -plat si vérie l'équation diérentielle non linéaire de premier ordre [ξ, Jξ] = 0 sur l'ouvert
U.
D'après le théorème de Newlander-Nirenberg on déduit que si la stru ture presque
intégrable alors tout
ouvert
U
de ve teurs
qu'un
hamp de ve teurs réel holomorphe
quel onque est
J -plats
J -plat
ξ ∈ O(TX r 0X )(U ) au
PJ (U, TX ) l'ensemble
En général on désigne par
au dessus de l'ouvert
hamp de ve teurs
J -holomorphes
J -plat.
U.
omplexe est
dessus d'un
des
hamps
La remarque élémentaire suivante nous montre
donne lieu lo alement à des plongements par feuilles
ourbes
lisses. De façon pré ise on à le lemme élémentaire suivant.
Lemme 0.4.0.3 Soit
une variété presque omplexe de dimension omplexe n et ξ un
hamp de ve teurs J -plat sur un ouvert U . Pour tout x ∈ U il existe un voisinage ouvert Ux ⊂ U
de x et une arte lo ale (Ux , σξ−1 ), σξ : Bδ1 ×Bδn−1 −→ Ux, ompatible ave l'orientation anonique
de (Ux , J) telle que pour tout z2 ∈ Bδn−1 , les appli ations z1 ∈ Bδ1 7→ σξ (z1 , z2 ) sont des ourbes
∂
J -holomorphes et dσξ ( ∂t
) = ξ ◦ σξ , z1 = t + is.
(X, J)
On a le résultat général suivant lequel assure la possibilité d'ee tuer des plongements du
J -holomorphes en toutes les positions possibles et l'existen
hamps de ve teurs J -plats.
lindre par feuilles
quantité des
Théorème 0.4.2 Soit
y-
e lo ale en grande
une variété presque omplexe de dimension omplexe n. Pour
tout point x0 ∈ X il existe un voisinage ouvert Ux0 de x0 et un voisinage ouvert B(TUx0 ) ⊂
TUx0 , B(TUx0 ) ≃ Ux0 × B n , de la se tion nulle sur Ux0 tels que :
(X, J)
A) Il existe une appli ation de lasse C ∞
Φ : B11 × B(TUx0 ) −→ X
telle que pour tout v ∈ B(TUx0 ) l'appli ation z ∈ B11 7→ Φ(z, v) est une ourbe J -holomorphe qui
vérie la ondition ∂t Φ(0, v) = v, z = t + is.
B) Il existe une famille de plongements
pour tout α ∈ I et z2 ∈
Bδn−1
(Ψα : Bδ1 × Bδn−1 −→ X)α∈I
les appli ations
de lasse C ∞ telle que
z1 ∈ Bδ1 7→ Ψα (z1 , z2 )
sont des ourbes J -holomorphes, Ψα (Bδ1 × Bδn−1 ) ⊃ Ux0 et
n
o n
o
TX,p r 0p = λ∂t Ψα (0, 0) | λ ∈ R r 0, α ∈ I = ξ(p) | ξ ∈ PJ (Ux0 , TX )
22
pour tout
p ∈ Ux0 , (z1 = t + is).
En on lusion soit σξ : Bδ1 × Bδn−1 −→ X , omme dans l'énon é du lemme 0.4.0.3. On déduit
alors l'expression suivante
1
1
i∂J ∂¯J u (ξ, Jξ) = (ξ. ξ. u + Jξ. Jξ. u) = (σξ−1 )∗ ∆z1 (u ◦ σξ )
2
2
où ∆z1 := ∂t2 + ∂s2 désigne le Lapla ien par rapport à la variable z1 = t + i s ∈ Bδ1 dans l'ouvert
Bδ1 × Bδn−1 . Cette formule joue un rle important pour la preuve du résultat suivant.
Théorème 0.4.3 Soit
ou bien
f ≡ −∞
(X, J) une variété presque omplexe onnexe et f ∈ P sh(X, J). Alors
f ∈ L1loc (X). Dans e dernier as le (1, 1)- ourant i∂J ∂¯J f est positif.
ou bien
Nous proposons une onje ture ré iproque du théorème 3.3.9 qu'on énon e sous la forme suivante.
omplexe de dimension omplexe n et soit u ∈
(1, 1)- ourant i∂J ∂¯J u ∈ D ′ 1,1 (X) soit positif. Alors
1
unique fon tion f ∈ P sh(X, J) ∩ Lloc (X) telle que la distribution orrespondante
la distribution u.
Conje ture 1 Soit
′ (R)(X)
D2n
(X, J)
une variété presque
une distribution réelle telle que le
il existe une
oïn ide ave
A l'aide de la notion de hamp de ve teurs J -plat et de plongement à feuilles ourbes J holomorphes, nous avons montré la onje ture dans le as parti ulier suivant.
Théorème 0.4.4 Soit
(X, J)
une variété presque
f ∈ L1loc (X)
et telle que le
(1, 1)-
ourant
f : X −→ [−∞, +∞) une
X r f −1 (−∞),
positif. Alors f ∈ P sh(X, J).
omplexe et
f soit ontinue
¯
i∂J ∂J f ∈ D ′ 1,1 (X) soit
fon tion semi- ontinue supérieurement telle que
sur l'ensemble
Pour la solution de la onje ture dans le as général d'une distribution réelle u (qui est un
1,1
élément de Wloc
(X) par onséquen e de la positivité du (1, 1)- ourant i∂J ∂¯J u) nous proposons
une te hnique de régularisation des potentiels u des (1, 1)- ourants positifs du type i∂J ∂¯J u sur
les variétés presque omplexes analogue à elle utilisé ave su ès par Demailly [Dem-2℄ dans
le as omplexe intégrable. Soit (X, J) une variété presque omplexe et ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) une
J
métrique hermitienne sur TX,J . Soit exp : U ⊂ TX −→ X le ot géodésique induit par la
onnexion de Chern du bré tangent
DJω : E(TX,J ) −→ E(TX∗ ⊗R TX,J )
asso ié à la métrique ω , (I i U ⊂ TX désigne un voisinage ouvert de la se tion nulle). Soit
(χε (| · |2 ))ε>0 une famille de noyaux régularisant usuels sur Cn et onsiderons l'opérateur régularisant
Z
u ◦ expx (ζ) · χε (|ζ|2ωx )dλx (ζ),
uε (x) :=
ζ∈TX,x
où dλx désigne la mesure de Lebesgue de l'espa e hermitien (TX,J,x , ωx ). Étudier la onje ture revient à étudier le ontrle asymptotique de la positivité des (1, 1)-formes i∂J ∂¯J uε ar si
i∂J ∂¯J u ≥ 0 alors, omme dans [Dem-2℄, il existe une ostante K > 0 susament grande telle
que la suite de fon tions uε + Kε2 onverge de façon dé roissante vers la fon tion u lorsque ε
tend vers zéro. Comme dans [Dem-2℄ il est né essaire d'utiliser une métrique ω ave ourbure
partiellement positive au sens de Griths que nous expliquons à la n du hapitre III.
23
24
Chapitre 1
Fais eaux
∂¯-
ohérents sur les variétés
omplexes
Abstra t.-In this hapter we give a generalization, in the ontext of oherent analyti
sheaves, of a lassi al result of Koszul-Malgrange ([Ko-Mal℄) on erning the integrability of
onne tions of type (0, 1) over a C ∞ omplex ve tor bundle over a omplex manifold. We introdu e the notion of ∂¯- oherent sheaf, whi h is a C ∞ notion, and we prove the existen e of
an (exa t) equivalen e between the ategory of oherent analyti sheaves and the ategory of
∂¯- oherent sheaves. The prin ipal di ulty of the proof is the solution of a quasi-linear dierential equation with standard ∂¯ as its prin ipal term. We are able to nd a solution of this
dierential equation, using a rapidly onvergent iteration s heme of Nash-Moser type. To estabilish the equivalen e between the two previous ategories we also use a deep result of Malgrange
asserting that the ring of germs of omplex dierentiable fun tions at a point is faithfully at
over the ring of germs of holomorphi fun tions at the same point. The main appli ation of
this hapter on erns a method whi h allows to nd analyti stru tures whi h are obtained by
smooth deformations of other ones.
25
1.1
Présentation du résultat et des appli ations
Soit (X, J) une variété omplexe, où J est le tenseur de la stru ture presque- omplexe supposée intégrable. On désigne par EX le fais eau des fon tions C ∞ à valeurs omplexes, par EX0,q
le fais eau des (0, q)-formes et par
0,q
0,q+1
∂¯J ∈ HomOX (EX
, EX
)(X)
la omposante de type (0, 1) de la diérentielle. Soit F −→ X un bré ve toriel omplexe C ∞ .
On rappelle que sur une variété omplexe il y a une équivalen e entre les notions suivantes.
{Fibrés ve toriels omplexes C ∞ } ←→ {Fais eaux de E -modules lo alement libres}
7−→
F
E(F ) := Fais eau des se tions C ∞ de F
L'appli ation inverse envoie G sur (F, (ψ̄α )α ) où
F :=
a
x∈X
Gx /m(Ex ) · Gx
≃
et les trivialisations lo ales ψ̄α : Uα × Cr −→
F|Uα sont obtenues de façon naturelle à partir des
≃
⊕r
trivialisations lo ales ψα : EUα −→ G|Uα du fais eau lo alement libre G .
L'équivalen e pré édente est aussi valable pour les brés ve toriels holomorphes et les fais eaux
de OX -modules lo alement libres dénis sur une variété omplexe. On onsidère la dénition
suivante.
Dénition 1.1.1
Une
pour tout
g ∈ Gx
et
(0, 1) sur un fais eau G de EX -modules est un mor0,1
¯ · f ) = (∂g)
¯ · f + g ⊗ ∂¯ f ,
∂¯ : G −→ G ⊗EX EX
tel que ∂(g
J
onnexion de type
phisme de fais eaux de groupes additifs
f ∈ EX,x .
La donnée d'une onnexion de type (0, 1) sur le fais eau de EX -modules G détermine de façon
univoque une dérivation ∂¯ de type (0, 1) sur le omplexe (G ⊗EX EX0,q )q≥0 . En eet on peut dénir
l'extension
0,q
0,q+1
∂¯ : G ⊗EX EX
−→ G ⊗EX EX
par la formule lassique
¯
(∂ω)(ξ
0 , ..., ξq ) :=
X
0≤j≤q
+
X
0≤j<k≤q
¯
b
(−1)j ∂(ω(ξ
0 , ..., ξj , ..., ξq ))(ξj )+
(−1)j+k ω([ξj , ξk ], ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbk , ..., ξq ),
ave ω ∈ (G⊗EX EX0,q )(U ) et ξj ∈ E(TX0,1 )(U ), sur un ouvert U quel onque, ou de façon équivalente,
par la règle de Leibnitz
¯ ⊗ α) := ∂g
¯ ∧ α + g ⊗ ∂¯ α,
∂(g
J
0,q
ave g ∈ Gx et α ∈ EX,x
pour tout x ∈ X .
Souvent on pense une onnexion en termes de son extension au omplexe (G ⊗EX EX0,q )q≥0 . Pour
tout fais eau F de OX -modules on peut onsidérer la onnexion anonique de type (0, 1) sur le
fais eau de EX -modules
F ∞ := F ⊗OX EX
26
suivante
0,q+1
0,q
∂¯F := IF ⊗OX ∂¯J : F ⊗OX EX
−→ F ⊗OX EX
.
De façon expli ite ette onnexion est dénie par la formule
∂¯F (ψ ⊗Ox f ) = ψ ⊗Ox ∂¯J f
0,q
pour tout ψ ∈ Fx et f ∈ EX,x
. Bien évidemment la dénition pré édente est une généralisation
immédiate de la notion lassique de onnexion de type (0, 1) anonique asso iée à un bré
ve toriel holomorphe, (voir par exemple les ouvrages [Dem-1℄, hapitre V [Gri-Ha℄ et [Wel℄).
La donnée d'une onnexion de type (0, 1) sur G détermine aussi le tenseur de ourbure de la
onnexion qu'on notera par
0,2
(X)
Θ∂¯ ∈ EndE (G) ⊗E EX
X
et qu'on dénit par la formule
X
Θ∂¯(ξ, η) · g := (∂¯2 g)(ξ, η)
¯
ave g ∈ G(U ) et ξ, η ∈ E(TX0,1 )(U ). On note de plus par ξ∂¯ .g := ∂g(ξ)
la dérivée ovariante de
la se tion g al ulée le long du hamp ξ et on remarque que la première dénition de l'extension
de la onnexion ∂¯ implique de façon triviale la formule
ξ∂¯ . (η∂¯ . g) − η∂¯ . (ξ∂¯ . g) = [ξ, η]∂¯ . g + Θ∂¯(ξ, η) . g,
(1.1.1)
où [ξ, η] ∈ E(TX0,1 )(U ), grâ e à l'hypothèse d'intégrabilité du tenseur de la stru ture presqueomplexe J ∈ C ∞ (TX∗ ⊗R TX )(X). Le tenseur de ourbure Θ∂¯ exprime don le défaut de ommutativité des dérivées ovariantes se ondes des se tions de G le long des hamps de type (0, 1).
Il est aussi élémentaire de vérier l'identité
∂¯2 ω = Θ∂¯ ∧ ω
0,q
pour toute forme ω ∈ (G ⊗EX EX
)(U ).
Nous porterons un intérêt parti ulier aux onnexions de type (0, 1) intégrables, 'est à dire aux
onnexions telles que ∂¯2 = 0. La formule (1.1.1) ara térise alors e type de onnexions (0, 1)
omme étant elles pour lesquelles les dérivées ovariantes se ondes, al ulées le long de deux
hamps qui ommutent, ommutent également. En termes expli ites on a l'égalité
ξ∂¯ . (η∂¯ . g) = η∂¯ . (ξ∂¯ . g)
si [ξ, η] = 0. Un exemple de (0, 1)- onnexion intégrable est évidemment la onnexion ∂¯F introduite pré édemment.
Ave les notations pré édentes on peut énon er le résultat de Koszul-Malgrange ([Ko-Mal℄) sous
la forme suivante.
Théorème 1.1.2 (Koszul-Malgrange).
Soit F −→ X un bré ve toriel omplexe C ∞ sur
une variété omplexe X . Alors l'existen e d'une stru ture de bré ve toriel holomorphe sur F
est équivalente à l'existen e d'une onnexion ∂¯ : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX0,1 de type (0, 1) intégrable
(i.e. ∂¯2 = 0) sur le fais eau de E -modules E(F ).
En utilisant l'équivalen e entre les notions de brés ve toriels holomorphes et fais eaux de OX modules lo alement libres sur une variété omplexe, on peut reformuler en termes équivalents le
théorème 1.1.2 sous la forme suivante.
27
Théorème 1.1.3 (Koszul-Malgrange). Soit F
−→ X un bré ve toriel omplexe C ∞ sur une
¯
variété omplexe X muni d'une onnexion ∂ : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX0,1 telle que ∂¯2 = 0. Alors le
¯ · EX = E(F ), ( e i signie
fais eau de OX -modules Ker∂¯ ⊂ E(F ) est lo alement libre et (Ker∂)
que les trivialisations lo ales du noyau Ker∂¯ sur le fais eau OX sont aussi des trivialisations
lo ales de E(F ) sur le fais eau EX ).
On a en on lusion que le noyau de la onnexion ∂¯ est le fais eau des se tions holomorphes O(F )
du bré F et la onnexion ∂¯ oïn ide ave la onnexion anonique
0,1
∂¯F := IO(F ) ⊗OX ∂¯J : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX
.
Dans le as des fais eaux de EX -modules inversibles qui admettent une onnexion ∂¯0 de type
(0, 1) telle que ∂¯02 = 0 on sait que toutes les onnexions de e type, et seulement elles i, sont
0,1
de la forme ∂¯0 + A⊗ où A ∈ EX
(X) est une (0, 1)-forme ∂¯J -fermée. On en déduit que si L est
un bré en droites holomorphe alors les stru tures de bré ve toriel holomorphes sur L sont en
bije tion ave les (0, 1)-formes globales ∂¯J -fermées.
Avant d'énon er le résultat qu'on se propose de démontrer on aura besoin de quelques rappels
et préliminaires. Une atégorie plus générale que la atégorie des fais eaux de OX -modules
lo alement libres est la atégorie des fais eaux C-analytiques ohérents qu'on appellera en abrège
analytiques ohérents. On rappelle i i la dénition.
Dénition 1.1.4 Un fais eaux F de OX -modules sur une variété omplexe X est dit analytique
ohérent si les deux propriétés suivantes sont satisfaites.
1) Le fais eau F est lo alement de type ni omme OX -module.
2) Pour tout ouvert U ⊂ X et pour tout (ψ1 , ..., ψp ) ∈ F ⊕p (U ) le fais eau des relations
R(ψ1 , ..., ψp ) := Ker (ψ1 , ..., ψp ) : OU⊕p −→ F|U
est lo alement de type ni omme OU -module sur U .
On a les théorèmes lassiques suivants, qui donnent des exemples fondamentaux de fais eaux
analytiques ohérents.
Théorème 1.1.5 (Oka) Sur une variété omplexe X le fais eau stru tural OX est analytique
ohérent.
Théorème 1.1.6 (Cartan) Soit
A ⊂ X un sous-ensemble analytique dans une variété omplexe X . Alors le fais eau d'idéaux des fon tions holomorphes JA ⊂ OX qui s'annulent le long
de A est analytique ohérent.
Une propriété importante des fais eaux ohérents est onstituée par le fait que si on a un morphisme de fais eaux ohérents alors le noyau et le onoyau sont aussi ohérents. On déduit alors
grâ e au théorème de Oka qu'un fais eau de OX -modules est analytique ohérent si et seulement
si le fais eau F admet des OX -présentations lo ales, en d'autres termes il existe lo alement des
suites exa tes ourtes
OU⊕p1 −→ OU⊕p0 −→ F|U → 0.
On voit en parti ulier que tout fais eau F de OX -modules lo alement libre est analytique ohérent. On aura besoin aussi du résultat fondamental suivant du à Malgrange, (voir l'ouvrage de
Malgrange [Mal-1℄).
28
Soit X une variété omplexe. Pour tout point x ∈ X l'anneau
des germes des fon tions C ∞ à valeurs omplexes EX,x au point x est dèlement plat sur l'anneau
des germes de fon tions holomorphes OX,x au point x.
Théorème 1.1.7 (Malgrange)
On remarque que si F est un fais eau analytique ohérent, le théorème des syzygies (voir [Kob℄,
hapitre V) implique l'existen e d'une O-résolution de longueur nie
ϕm−1
ϕm
ϕ2
ψ
ϕ1
0 → OU⊕pm −→ OU⊕pm−1 −→ · · · −→ OU⊕p1 −→ OU⊕p0 −→ F|U → 0
dans la atégorie des fais eaux C-analytiques ohérents. En rappelant que F ∞ := F ⊗OX EX
on obtient le diagramme ommutatif suivant dont toutes les dire tions horizontales et verti ales
sont exa tes.
0
✻
0
✲F
|U
✻
0
0
✲ F∞
|U
ψ
✲ O ⊕p0
U
✲ E ⊕p0
U
0
✲ O ⊕p1
U
✻
✲ E ⊕p1
U
✻
0
∂¯J ✲ 0,1 ⊕p1
(EU )
..
.
∂¯J ✲ 0,2 ⊕p0
(EU )
✻
∂¯J ✲ 0,2 ⊕p1
(EU )
✻
ϕ2 ⊗ I(0,1)
..
.
∂¯J✲
✻
ϕ2 ⊗ I(0,2)
ϕm−1 ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕pm−1
✻
ϕm ⊗ I(0,1)
∂¯J ✲ 0,1 ⊕pm
(EU )
✲ ···
✻
ϕm−1 ⊗ I(0,1)
(EU0,1 )⊕pm−1
✲ ···
ϕ1 ⊗ I(0,2)
✻
∂¯J✲
✲ ···
ψ ⊗ I(0,2)
✻
ϕm
✲ E ⊕pm
U
✻
ϕ1 ⊗ I(0,1)
✻
ϕm
U
✻
ϕm−1
✻
✲ O ⊕pm
U
∂¯J ✲ 0,1 ⊕p0
(EU )
✻
✲ O ⊕pm−1 ✲ E ⊕pm−1
U
U
F|∞
⊗E EU0,2
U
ψ ⊗ I(0,1)
..
.
ϕm−1
∂¯F✲
✻
ϕ2
✻
✻
U
✻
..
.
0
F|∞
⊗E EU0,1
U
ϕ1
ϕ2
0
∂¯F✲
✻
ϕ1
0
✻
✻
ψ
✻
0
✻
✲ ···
ϕm ⊗ I(0,2)
∂¯J ✲ 0,2 ⊕pm
(EU )
✻
✻
✻
0
0
0
✲ ···
La raison de l'exa titude est la suivante : la platitude de l'anneau EX,x sur l'anneau OX,x implique
l'exa titude des autres è hes verti ales. L'exa titude du dernier omplexe
((EU0,q )⊕pm ; ∂¯J )q≥0
implique l'exa titude du omplexe
(RE (ϕm−1 ) ⊗EU EU0,q ; ∂¯J )q≥0 ,
29
où RE (ϕm−1 ) désigne le fais eau des relations de ϕm−1 sur le fais eau EX . En pro édant par
ré urren e dé roissante et en utilisant l'exa titude des omplexes en ∂¯J et l'exa titude des è hes
verti ales on obtient nalement l'exa titude du omplexe
0
✲ F|
U
∂¯✲
F
✲ F∞
|U
¯
F
0,1 ∂✲
F|∞
⊗
E
F|∞
⊗E EU0,2
E
U
U
U
U
U
✲ ···
Faisons maintenant le point de la situation obtenue jusqu'i i. On est parti d'un fais eau analytique ohérent F pour obtenir un fais eau de E -modules F ∞ admettant des E -résolutions lo ales
de longueur nie, qui est muni d'une onnexion ∂¯F de type (0, 1) intégrable dont le noyau est le
fais eau analytique ohérent de départ F . De manière générale on a la ara térisation diérentielle suivante.
Théorème 1.1.8 (Cara térisation diérentielle des fais eaux analytiques ohérents)
Soit X une variété omplexe et soit G un fais eau de EX -modules qu'on suppose muni d'une
onnexion
0,1
∂¯ : G −→ G ⊗EX EX
de type (0, 1) telle que ∂¯2 = 0. Si de plus le fais eau G admet des E -résolutions lo ales de longueur
nie, alors le fais eau de OX -modules Ker∂¯ ⊂ G est analytique ohérent, on a les égalités
¯ · EX ∼
¯ ⊗
G = (Ker ∂)
EX
= (Ker ∂)
O
X
et la onnexion ∂¯ oïn ide, à isomorphisme anonique près, ave l'extension naturelle ∂¯Ker∂¯
asso iée au fais eau analytique ohérent Ker∂¯.
Le théorème pré édent montre don qu'on est dans la même situation que elle dé rite pré édemment. Bien évidemment le théorème 1.1.8 onstitue une généralisation du théorème 1.1.3.
Considérons maintenant la dénition suivante.
Dénition 1.1.9 Un ouple
¯ ≡ G ¯ où G et ∂¯ vérient les hypothèses du théorème 1.1.8
(G, ∂)
∂
est appelé fais eau ∂¯- ohérent. Un morphisme
ϕ : A∂¯1 −→ B∂¯2
de fais eaux ∂¯- ohérents est un morphisme de fais eaux de EX -modules tels que le diagramme
suivant soit ommutatif
0,1
A ⊗E EX
ϕ ⊗ I(0,1)
✲ B⊗
E
X
∂¯1
X
✻
∂¯2
ϕ
A
0,1
EX
✻
✲B
Le théorème 1.1.8 et la délité plate du fais eau EX sur OX montrent que sur une variété omplexe on a une équivalen e exa te entre la atégorie OCoh des fais eaux analytiques ohérents
¯
et la atégorie ∂Coh
des fais eaux ∂¯- ohérents. Plus expli itement on a le fon teur ∞ qui agit
de la façon suivante :
∞
¯
F ∈ OCoh 7−→ F∂∞
¯ ∈ ∂Coh
F
∞
∞
ϕ ∈ HomOX (A, B) 7−→ ϕ ⊗ I ∈ Hom(A∞
∂¯ , B∂¯ )
A
30
B
et son inverse :
−1
∞
¯
G∂¯ ∈ ∂Coh
7 → Ker ∂¯ ∈ OCoh
−
−1
∞
ϕ ∈ Hom(A∂¯1 , B∂¯2 ) 7−→ ϕ|.. ∈ HomOX (Ker ∂¯1 , Ker ∂¯2 )
Le as des fais eaux d'idéaux.
Soit I ⊆ OX un fais eau d'idéaux de fon tions holomorphes (non né essairement ohérent). On
onsidère le fais eau d'idéaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes
I ∞ := I · EX ⊆ EX
et on remarque que la règle de Leibnitz implique que pour tout germe de (0, 1)- hamps ξ ∈
E(TX0,1 )x on a l'in lusion
ξ. Ix∞ ⊆ Ix∞ ,
pour tout x ∈ X . De manière générale on a la dénition suivante :
Dénition 1.1.10 (Notion de
∂¯J -stabilité) Un fais eau d'idéaux J ⊆ EX de fon tions C ∞
¯
à valeurs omplexes est dit ∂J -stable si pour tout germe de (0, 1)- hamps ξ ∈ E(TX0,1 )x on a
l'in lusion ξ. Jx ⊆ Jx , pour tout x ∈ X .
La ∂¯J -stabilité d'un fais eaux d'ideaux J ⊆ EX de fon tions C ∞ à valeurs omplexes implique
évidemment qu'on peut onsidérer l'opérateur ∂¯J omme une onnexion
0,1
∂¯J : J −→ J ⊗EX EX
de type (0, 1) intégrable sur le fais eaux J . Dans le as où J = I ∞ on a par onséquen e
de la platitude de l'anneau EX,x sur l'anneau OX,x que la onnexion en question oïn ide, à
isomorphisme anonique prés, ave la onnexion anonique ∂¯I asso iée au fais eau I . De plus le
noyau de ette onnexion est le fais eau I . Une onséquen e immédiate du théorème pré édent
est le orollaire suivant :
Corollaire 1.1.11 Soit J
⊆ EX un fais eau d'idéaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes ∂¯J stable admettant des E -résolutions lo ales de longueur nie. Alors le fais eau d'idéaux J ∩ OX
est analytique ohérent et
(J ∩ OX ) · EX = J ,
(autrement dit le fais eau d'idéaux J ∩ OX est un O-module lo alement de type ni et ses
générateurs lo aux sur OX sont aussi des générateurs lo aux du fais eau J sur EX ).
Con rètement pour vérier la ∂¯J -stabilité du fais eau J il sut de faire un hoix arbitraire de
repère lo al (ξ1 , ..., ξn ) ∈ E(TX0,1 )⊕n (U ), de générateurs (ψ1 , ..., ψp ) ∈ J ⊕p (U ) et de montrer,
pour tout x ∈ U , l'existen e de germes de fon tions Ak,l,j ∈ EX,x qui vérient les égalités
ξk,x .ψl,x =
p
X
j=1
Ak,l,j · ψj,x .
En termes plus élémentaires on a le orollaire suivant.
31
Soit Z ⊂ X un sous-ensemble fermé d'une variété omplexe X tel que pour
tout x ∈ Z il existe un voisinage ouvert oordonné Ux de x et des fon tions ψ1 , ..., ψpx ∈ EX (Ux )
telles que
Corollaire 1.1.12
Z ∩ Ux = ψ1−1 (0) ∩ ... ∩ ψp−1
(0),
x
les relations
px
X
∂ψl
=
Ak,l,j · ψj ,
∂ z̄k
j=1
ave Ak,l,j ∈ EX (Ux ) soient satisfaites pour tous les indi es l, k (les oordonnées (z1 , ..., zn ) sont
relatives à l'ouvert Ux ) et le fais eau des E -relations
RE (ψ1 , ..., ψpx ) ⊂ EUx
admet des E -résolutions lo ales de longueur nie. Alors Z est un sous-ensemble analytique de
X.
On déduit alors le orollaire suivant.
Soit Φ : U1 −→ U2 , Φ(z) = ζ un diéomorphisme de lasse C ∞ entre deux
ouverts de , soit I ⊂ OU1 un fais eau d'ideaux de fon tions holomorphes lo alement de type
ni ( omme O-module), et Z := V (I) ⊂ U1 son ensemble des zéros.
Si le fais eau d'ideaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes Φ∗ I ∞ ⊂ EU2 est ∂¯J -stable alors
Φ(Z) ⊂ U2 est un sous-ensemble analytique de U2 .
De façon plus expli ite : pour tout x ∈ Z soient ψ1 , ..., ψpx ∈ OX (Ux ), Ux ⊂ U1 des fon tions
holomorphes telles que
Corollaire 1.1.13
Cn
(0).
Z ∩ Ux = ψ1−1 (0) ∩ ... ∩ ψp−1
x
Si pour tout x ∈ Z il existe des fon tions Ak,l,j ∈ E(Φ(Ux )) qui vérient les relations
px
n ∂Φ−1 X
X
∂ ψl
r
−1
Ak,l,j · (ψj ◦ Φ−1 ),
=
◦Φ
·
∂zr
∂
ζ̄
k
r=1
j=1
(1.1.2)
alors Φ(Z) ⊂ U2 est un sous-ensemble analytique de U2 .
P reuve. Les fais eaux d'ideaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes Φ∗ I ∞ ⊂ EU2 et
J := E(Φ∗ ψ1 , ..., Φ∗ ψpx ) ⊂ EΦ(Ux )
admettent des E -résolutions lo ales de longueur nie. Bien évidemment les relations diérentielles pré édentes expriment la ∂¯J -stabilité du fais eau J , (remarquer que les relations 1.1.2
sont banalement vériée si le diéomorphisme Φ est holomorphe). La on lusion dé oule alors
des orollaires 1.1.11 et 1.1.12.
Remarque relative au
orollaire
1.1.13. Soient ψ1 , ..., ψr ∈ EX (U ) des fon tions telles que
dx Re ψ1 ∧ ... ∧ dx Re ψr ∧ dx Im ψ1 ∧ ... ∧ dx Im ψr 6= 0
pour tout x ∈ Z := ψ1−1 (0) ∩ ... ∩ ψr−1 (0). La ∂¯J -stabilité du fais eau d'ideaux de fon tions C ∞
à valeurs omplexes
J := E(ψ1 , ..., ψr ) ⊂ EU
implique que le bré tangent de la sous-variété Z ⊂ U est un sous-bré omplexe de TU . On
déduit alors fa ilement l'analyti ité de Z , ( f. [Dem-1℄, hapitre I).
32
En général les équations holomorphes qui dénissent un sous-ensemble analytique présentent des
ordres d'annullations arbitraires. Le orollaire 1.1.13 trouve tout sa valeur dans e as général.
Remarques relatives au orollaire 1.1.11. En général le fait qu'un fais eau d'idéaux J
⊆ EX
soit un E -module lo alement de type ni n'implique pas né essairement que le fais eau d'idéaux
J ∩ OX soit un O-module lo alement de type ni. On a le ontre-exemple suivant.
Contre-exemple 1. Soit
X = C et J := E(ψ) ⊆ EC le fais eau d'idéaux de fon tions C ∞
à valeurs omplexes engendré sur EC par la fon tion C ∞ sur C,
ψ(z) := exp(−1/x2 ) · sin(1/x) + i y,
(z = x + i y). On a que (J ∩ OC )z = 0 pour z = 0, (J ∩ OC )z = m(OC,z ) pour tout
z = 1/(kπ), k ∈ Z et (J ∩ OC )z = OC,z pour z 6= 0, 1/(kπ), k ∈ Z. Le fais eau d'idéaux
J ∩ OC n'est pas un O-module lo alement de type ni. En eet pour tout voisinage ouvert
U ⊂ C tel que 0 ∈ U on a (J ∩ OC )(U ) = 0. Ce i signie bien évidemment que tous les morphismes ϕ : OU⊕r −→ (J ∩ OC )|U sont nuls.
D'autre part la ∂¯J -stabilité d'un fais eau d'idéaux J ⊆ EX de fon tions C ∞ à valeurs omplexes n'est pas susante pour assurer l'égalité (J ∩ OX ) · EX = J ni la ohéren e du fais eau
d'idéaux J ∩ OX . En eet on a les ontre-exemples suivants.
Contre-exemple 2. Soit
∞ à valeurs omJ := m∞
x0 (EX ) le fais eau d'idéaux de fon tions C
plexes plates en un point xé x0 ∈ X . Le fais eau J est ben évidemment ∂¯J -stable mais
Jx0 ∩ OX,x0 = 0x0 .
Contre-exemple 3. Soit
X = C et J le fais eau d'idéaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes tel que Jx = EX,x si x ∈ B1 (0) (boule ouverte de entre l'origine et rayon unité) et
Jx = 0x si x 6∈ B1 (0). Le fais eau J est bien ∂¯J -stable, non lo alement de type ni omme
E -module (don en parti ulier J n'admet pas des E -résolutions lo ales de longueur nie) et le
fais eau J ∩ OCn n'est pas ohérent. On raisonne par l'absurde pour voir que le fais eau J est
non lo alement de type ni omme E -module.
En eet soient ψ1 , ..., ψr ∈ J (Ux ), x ∈ ∂B1 (0) des générateurs lo aux de J où Ux est un
voisinage ouvert de x. On a alors que
ψ1 , ..., ψr ∈ PC\B1 (0) (Ux )
où PC\B1 (0) désigne le fais eau d'idéaux des fon tions à valeurs omplexes plates sur C \ B1 (0).
D'autre part le fais eau PC\B1 (0) ⊂ J est non lo alement de type ni omme E -module, (voir
[Mal-1℄) e qui ontredit le fait que les fon tions ψ1 , ..., ψr sont des générateurs lo aux du faiseau J .
Le orollaire 1.1.11 montre l'existen e d'une équivalen e exa te entre la atégorie des fais eaux
d'idéaux de fon tions holomorphes ohérents et la atégorie des fais eaux d'idéaux J ⊆ EX de
fon tions C ∞ à valeurs omplexes admettant des E -résolutions lo ales de longueur nie, qui sont
stables par rapport aux dérivations le long des hamps de ve teurs de type (0,1).
Le as des sous-fais eaux
riel holomorphe F .
G ⊆ E(F )
du fais eau des se tions
33
C∞
d'un bré ve to-
De façon un peu plus générale on peut onsidérer la situation suivante. Soit F −→ X un bré ve toriel holomorphe sur X et F ⊆ O(F ) un sous-fais eau de O-modules. La platitude de
l'anneau EX,x sur l'anneau OX,x appliquée à la suite exa te 0 → F −→ O(F ) donne l'exa titude
de la suite
0 → F ⊗OX EX −→ O(F ) ⊗OX EX ∼
= E(F )
L'image du morphisme pré édent est le fais eau G := F · EX ⊆ E(F ). On a alors l'isomorphisme
G∼
= F ⊗OX EX . Si
0,1
∂¯F := IO(F ) ⊗OX ∂¯J : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX
0,1
désigne la onnexion anonique asso iée au fais eau O(F ), on a l'in lusion ∂¯F G ⊆ G ⊗EX EX
qui permet de voir la restri tion
0,1
∂¯F : G −→ G ⊗EX EX
omme une onnexion de type (0, 1) intégrable sur le fais eau de E -modules G et ayant pour
noyau le fais eau F , ( e i dé oule de la délité plate de l'anneau Ex sur l'anneau Ox ou plus
simplement de la délité plate de l'anneau des séries formelles Ex /m∞ (Ex ) = Ôx en x, sur l'anneau Ox (voir[Mal-1℄)).
L'isomorphisme G ∼
= F ⊗OX EX implique alors que la onnexion pré édente oïn ide, à isomorphisme anonique près, ave la onnexion anonique ∂¯F asso iée au fais eau F . On a la dénition
suivante.
∂¯F -stabilité) Soit F −→ X un bré ve toriel holomorphe
sur une variété omplexe X et G ⊆ E(F ) un sous-fais eau de E -modules. Le fais eau G est dit
∂¯F -stable si on a l'in lusion
0,1
∂¯F G ⊆ G ⊗EX EX
.
Dénition 1.1.14 (Notion de
Dans e ontexte on a une autre onséquen e immédiate du théorème 1.1.8.
Corollaire 1.1.15 Soit
F −→ X un bré ve toriel holomorphe sur une variété omplexe X
et G ⊆ E(F ) un sous-fais eau de E -modules ∂¯F -stable admettant des E -résolutions lo ales de
longueur nie. Alors le fais eaux de OX -modules G ∩ O(F ) est analytique ohérent et
(G ∩ O(F )) · EX = G,
(autrement dit le fais eau G ∩ O(F ) est un O-module lo alement de type ni et ses générateurs
lo aux sur OX sont aussi des générateurs lo aux du fais eau G sur EX ).
Con rètement pour vérier la ∂¯F -stabilité du fais eau G il sut de faire un hoix arbitraire de
repère lo al holomorphe e1 , ..., er ∈ O(F )(U ) du bré F (où r designe le rang omplexe de F ),
de générateurs lo aux ψ1 , ..., ψp ∈ G(U ) du fais eau G ,
ψk =
r
X
l=1
el · uk,l ,
0,1
uk,l ∈ EX (U ) et de vérier pour tout x ∈ U l'existen e de germes de (0, 1)-formes αk,j ∈ EX,x
telles que les égalités
∂¯J uk,l,x =
p
X
j=1
uj,l,x · αk,j
soient satisfaites pour tout les indi es k, l. On déduit le orollaire suivant.
34
Soient F1 −→ X1 , F2 −→ X2 deux brés ve toriels holomorphes sur deux
variétés omplexes X1 , X2 et soit Φ
Corollaire 1.1.16
Φ ✲
F2
≃
F1
πF 2
πF 1
❄
X1
ϕ✲ ❄
X2
≃
un isomorphisme C ∞ de brés ve toriels. Soit F ⊂ O(F1 ) un fais eau de OX1 -modules lo alement
de type ni ( omme OX1 -module) tel que le fais eau Φ∗ F ∞ ⊂ E(F2 ) soit ∂¯F2 -stable. Alors le
fais eau de OX2 -modules Φ∗ F ∞ ∩ O(F2 ) est lo alement de type ni omme OX2 -module, on a
l'égalité
(Φ∗ F ∞ ∩ O(F2 )) · EX2 = Φ∗ F ∞
et l'ensemble des zéros V (Φ∗ F ∞ ) = ϕ(V (F)) est un sous-espa e omplexe de X .
En eet le fais eau Φ∗ F ∞ ⊂ E(F2 ) admet des EX2 -résolutions lo ales de longueur nie. On rappelle que l'ensemble des zéros V (Φ∗ F ∞ ) est par dénition l'ensemble donné lo alement par les
zéros d'un système de générateurs lo aux du fais eau Φ∗ F ∞ .
Une autre
onséquen e du théorème
1.1.8.
On a aussi le orollaire suivant que l'on déduit des arguments exposés dans la sous-se tion
1.4.3.
Corollaire 1.1.17
Soit
ϕm−1
ϕm
ϕ2
ϕ1
ψ
0 → E(Fm ) −→ E(Fm−1 ) −→ · · · −→ E(F1 ) −→ E(F0 ) −→ G → 0
une suite exa te de fais eaux de E -modules sur une variété omplexe X , où Fk , k = 0, ..., m sont
des brés ve toriels omplexes C ∞ sur X . Supposons qu'il existe une onnexion
0,1
D̄ : E(F0 ) −→ E(F0 ) ⊗EX EX
de type (0, 1) sur le fais eau E(F0 ) telle que les in lusions
0,1
D̄ Im ϕ1 ⊆ (Im ϕ1 ) ⊗EX EX
et D̄2 E(F0 ) ⊆ (Im ϕ1 ) ⊗EX EX0,2
soient satisfaites. Alors la onnexion quotient ∂¯ : G −→ G ⊗EX EX0,1 est intégrable et son noyau
¯ · EX = G . De plus pour
Ker ∂¯ est un fais eau de OX -modules analytique ohérent tel que (Ker ∂)
tout entier l ≥ 0 et k = 1, ..., m les sous-ensembles
Zl (ϕk ) := {x ∈ X | rgC ϕk (x) ≤ l}
sont des sous-espa es omplexes de X .
On remarque que la ohomologie des fais eaux ohérents (∂¯- ohérents) sur une variété omplexe peut se al uler, grâ e à l'isomorphisme fon toriel de De Rham-Weil (voir par exemple les
ouvrages [Dem-1℄, [Gri-Ha℄ et [Wel℄), par la formule suivante :
0,∗ ¯
¯ ∼
H q (X, G∂¯) := H q (X, Ker ∂)
= H q (Γ(X, G ⊗EX EX ); ∂),
35
qui onstitue une généralisation du théorème de Dolbeault. Un as parti ulier (ou une généralisation si on veut) de la formule pré édente est la suivante :
p
q
∼
¯
H q (X, G∂¯ ⊗EX E∂p,0
¯ ) := H (X, (Ker ∂) ⊗OX O(ΩX )) =
J,p
p,∗
∼
= H q (Γ(X, G ⊗EX EX ); ∂¯π ) =: H p,q (X, G∂¯),
p,0 ¯
, ∂π ) et
où ∂¯J,p := (−1)p ∂¯J , G∂¯ ⊗EX E∂p,0
:= (G ⊗EX EX
¯
J,p
p,0
p,1
∂¯π : G ⊗EX EX
−→ G ⊗EX EX
désigne la onnexion sur le fais eau produit G ⊗EX EXp,0, qui est dénie par la règle de Leibnitz. On
remarque enn que le fait que les groupes de ohomologie H q (U, G) d'un fais eau de E -modules
G (sur X ) soient nuls pour tout q ≥ 1 et tout ouvert U ⊆ X implique qu'une suite de fais eaux
de E -modules (sur X )
· · · −→ G2 −→ G1 −→ G0 → 0
est exa te si et seulement si pour tout ouvert U ⊆ X la suite de EX (U )-modules
· · · −→ G2 (U ) −→ G1 (U ) −→ G0 (U ) → 0
est exa te. Ce fait sera utilisé de façon systématique à partir de la se tion 1.3.
Note au le teur. La te hnique qui utilise des pro édés itératifs de type Nash-Moser pour
la solution de problèmes diérentiels est une te hnique très puissante et très souple. Ce i signie
que lorque le problème diérentiel est très simple alors le pro édé itératif l'est aussi. Pour des
raisons d'ordre dida tique nous ommençons par présenter le omportement du pro édé itératif
de type Nash-Moser dans le as simple des fais eaux de E -modules lo alement libres, as qui a
été déjà traité par Koszul et Malgrange ave une méthode diérente. Nous évitons de donner
tous les petits détails te hniques dans e as, où le pro édé itératif est très simple. Le le teur
pourra trouver tout les détails te hniques dans la preuve omplète du théorème 1.1.8 dans le as
général, (voir la se tion 1.5).
36
1.2
Idée de la preuve du théorème
de
E -modules
1.1.8
dans le
lo alement libres ave
as des fais eaux
la te hnique de type
Nash-Moser
1.2.1 Expression lo ale de la ondition d'intégrabilité ∂¯2 = 0 dans le as des
fais eaux de E -modules lo alement libres
A partir de maintenant on va noter par Mk,l (EX0,q (U )) l'espa e des matri es k ×l à oe ients
≃
dans l'espa e des (0, q) formes EX0,q (U ). Soit ψ : EU⊕r −→
G|U une trivialisation lo ale du fais eau
0,1
G . Le fait que ψ est surje tive implique l'existen e d'une matri e ω 0,0 ∈ Mp0 ,p0 (EX
(U )) telle
que
¯ = ψ · ω 0,0
∂ψ
On obtient alors le diagramme ommutatif suivant :
G|U
✻
ψ ≀
EU⊕p0
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,1
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,2
U
U
✻
∂¯J + ω 0,0✲
✻
≀ ψ ⊗ I(0,1)
∂¯J + ω 0,0✲
(EU0,1 )⊕p0
≀ ψ ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p0
L'hypothèse d'intégrabilité ∂¯2 = 0 est équivalente lo alement à l'égalité 0 = ∂¯2 ψ. En expli itant
elle- i on a :
¯ · ω 0,0 ) = ∂ψ
¯ ∧ ω 0,0 + ψ · ∂¯ ω 0,0 = ψ(∂¯ ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 )
0 = ∂¯2 ψ = ∂(ψ
J
J
Le fait que ψ soit inje tive implique alors la relation
∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = 0
Don l'hypothèse d'intégrabilité ∂¯2 = 0 s'exprime lo alement par ette relation. Dans la suite de
ette se tion on désignera par Ω(U ) ⊂ Mp0 ,p0 (EX0,1 (U )) l'ensemble onstitué par des matri es ω 0,0
qui vérient la ondition en question. Les éléments de et ensemble seront appelés calibrations.
1.2.2 Formulation du problème diérentiel dans le as des fais eaux de E modules lo alement libres
On veut trouver pour haque x ∈ U un voisinage ouvert V de x et un élément η0,0 ∈
Mp0 ,p0 (EX (V )) tel que g0 ≡ g0 (η) := Ip0 + η 0,0 ∈ GL(p0 , E(V )), η ≡ η 0,0 , qui soit solution de
l'équation diérentielle
¯ · g0 ) = 0.
∂(ψ
Si on atteint e but on obtiendra le diagramme ommutatif suivant :
0
¯
✲ (Ker ∂)
|
✻
ψη ≀
0
✲ O ⊕p0
V
V
✲ G
|
¯
∂
✲
V
✻
ψη ≀
✲ E ⊕p0
V
37
G|V ⊗E EV0,1
V
✻
∂¯J ✲
≀ ψη ⊗ I(0,1)
(EV0,1 )⊕p0
où ψη = ψ·g0 (η), lequel permet de on lure dans le as des fais eaux lo alement libres. L'équation
pré édente est équivalente à l'équation ψ(ω 0,0 · g0 + ∂¯J η0,0 ) = 0. L'inje tivité de ψ implique alors
que l'équation pré édente est équivalente à l'équation
(Sω ) : ∂¯J η 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ω 0,0 = 0.
On a la proposition suivante.
La ondition ∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = 0 est la ondition d'intégrabilité du
problème diérentiel quasi-linéaire (Sω ), (le problème est quasi-linéaire ar on her he η0,0 dans
un espa e non linéaire).
Proposition 1.2.1
Il est élémentaire de vérier la né essité de la ondition ∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = 0. La matri e
ωη0,0 := g0−1 (∂¯J η 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ω 0,0 )
vérie les relations
¯ η = ψη · ωη0,0 ,
∂ψ
∂¯J ωη0,0 + ωη0,0 ∧ ωη0,0 = 0.
On voudrait alors appliquer un pro édé itératif pour faire de sorte que ωη0,0 = 0, e qui équivaut
à résoudre le système (Sω ). Dans la suite on appellera élément de re alibration un élément
η 0,0 ∈ Mp0 ,p0 (EX (U )) tel que g0 = Ip0 +η 0,0 ∈ GL(p0 , E(U )) et on désignera par P(U ) l'ensemble
onstitué par de tels éléments. Venons-en maintenant à un préliminaire te hnique avant d'exposer
l'idée de la preuve de l'existen e des solutions pour le système diérentiel (Sω ).
1.2.3
Choix des normes et opérateur de Leray-Koppelman
P
Dans ette se tion on va supposer que U = B1 est la boule unité. Soit u = ′|I|=q uI dz̄I est
une (0, q)-forme à oe ients des (k, l)-matri es à oe ients dérivables jusqu'à l'ordre h ≥ 0.
On dénit une norme de Hölder invariante par hangement d'é helle
kukr, h, µ, q :=
X
|I|=q
|α|≤h
S|α| r |α|+q k∂ α uI kr,µ
où k · kr,µ est la norme de Hölder invariante usuelle d'une fon tion, µ ∈ (0, 1) une onstante xée
une fois pour toutes dans notre problème et (Sk )k≥0 ⊂ (0, ∞) une suite de poids ( ette suite
sera hoisie à dé roissan e assez rapide de façon à rendre en parti ulier les séries onvergentes).
On remarque que si le degré q est supérieur ou égale à un on a que la norme kukr,h,µ,q tend vers
zéro lorsque le rayon r tend vers zéro. On onsidère maintenant l'opérateur de Leray-Koppelman
lassique de la boule de rayon r (le le teur peut onsulter ave prot les ouvrages lassiques de
Henkin-Leiterer [He-Le℄, de Range [Ra℄ et l'arti le de Harvey-Polkin [Ha-Po℄)
h,µ
h,µ
Tr,q : C0,q+1
(B̄r , Mk,l (C)) −→ C0,q
(Br , Mk,l (C)).
Les propriétés de l'opérateur de Leray-Koppelman qui nous intéressent sont les suivantes :
h,µ
1) Pour toute forme diérentielle u ∈ C0,q+1
(B̄r , Mk,l (C)), 0 ≤ q ≤ n − 1 on a la formule
d'homotopie :
u = ∂¯J Tr,q u + Tr,q+1 ∂¯J u
38
valable sur la boule Br .
2) Il existe une suite de poids S = (Sk )k≥0 de la norme de Hölder introduite pré édemment telle
h,µ
que pour toute forme diérentielle u ∈ C0,q+1
(B̄r , Mk,l (C)) on a l'estimation intérieure :
(1.2.1)
kTr,q ukr(1−σ), h+1, µ, q ≤ C · σ −s(h) · kukr, h, µ, q+1
ave C > 0 une onstante indépendante de la régularité h et σ ∈ (0, 1), s(h) ∈ N une fon tion
ane stri tement roissante. Pour simplier les notations
on identiera dans la suite de ette
P
se tion k · kr,h,µ,q ≡ k · kr,h , Tr,q ≡ Tr et k∂ h f k• ≡ |α|=h k∂ α f k• .
1.2.4
Esquisse du s héma de
le
as des fais eaux de
onvergen e rapide de type Nash-Moser dans
E -modules
Estimation fondamentale du s héma de
de
E -modules
lo alement libres
onvergen e rapide dans le
as des fais eaux
lo alement libres
On désigne par ε ∈ (0, 1/2) une onstante xée telle que pour toutes les matri es A ∈
Mp0 ,p0 (C) telle que kAk < ε on a l'inversibilité de la matri e Ip0 + A.
Supposons donnés ω0,0 ∈ Ω(B1), r, σ ∈ (0, 1), h ∈ N et les poids Sj >
0, j = 0, ..., h + 1 de la norme de Hölder tels que l'estimation (1.2.1) soit satisfaite. Supposons
que le rayon r soit susamment petit pour assurer l'estimation
Proposition 1.2.2
C · σ −s(h) · kω 0,0 kr,h < ε.
Supposons de plus que le poids Sh+1 soit susamment petit pour pouvoir assurer l'estimation
Sh+1 k∂ h+1 ωI0,0 kr,µ ≤ kωI0,0 kr,µ
où ωI0,00,0sont les oe ients de la forme ω0,0 par rapport aux oordonnées hoisies. Alors η0,0 :=
−Tr ω est un paramètre de re alibration tel que
kωη0,0 kr(1−σ),h+1 ≤ 6C · σ −s(h) · kω 0,0 k2r,h
Sans l'hypothèse sur le poids Sh+1 l'estimation pré édente est valable pour h à la pla e de h + 1,
pour toutes les matri es ω 0,0 qui vérient la relation ∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = 0. L'hypothèse sur
les poids Sh+1, omme on verra mieux ensuite, joue un rle fondamental pour la onvergen e
vers une solution C ∞ du problème (Sω ).
P reuve. En utilisant la dénition du paramètre η 0,0 et la formule d'homotopie pour l'opérateur
∂¯J on a :
ωη0,0 = g0−1 (Tr ∂¯J ω 0,0 − ω 0,0 ∧ Tr ω 0,0 ) =
= −g0−1 (Tr (ω 0,0 ∧ ω 0,0 ) + ω 0,0 ∧ Tr ω 0,0 )
Le fait que ε ∈ (0, 1/2) implique que kg0−1 kr(1−σ),h+1 < 2 (voir les détails dans la preuve omplète,
prop 1.5.3 dans la sous-se tion 1.5.5). L'hypothèse sur le poids Sh+1 implique l'inégalité suivante :
kω 0,0 ∧ Tr ω 0,0 kr(1−σ),h+1 ≤ 2kω 0,0 kr,h · kTr ω 0,0 kr(1−σ),h+1 .
On obtient alors l'inégalité :
kωη0,0 kr(1−σ),h+1 ≤ 2 C · σ −s(h) · kω 0,0 k2r,h + 2C · σ −s(h) · kω 0,0 k2r,h
qui permet de on lure.
39
Idée du pro édé itératif dans le
as des fais eaux de
E -modules
lo alement libres
Les alibrations ωk0,0 ∈ Ω(B̄rk ) obtenues au k-ième pas du pro édé itératif sont dénies par
0,0
0,0
la formule ré ursive ωk+1
= ωk,
ηk+1 où rk+1 := rk (1 − σk ) et où σk ∈ (0, 1) est un paramètre
qui ontrle la dé roissan e des rayons des boules, (le rayon initial r0P
étant hoisi susamment
petit). On hoisit les quantités σk ∈ (0, 1) de telle sorte que la série σk soit onvergente. Le
0,0
rayon limite r∞ := limk→+∞ rk est alors non nul. Le paramètre ηk+1
∈ P(B̄rk+1 ) qui ontrle la
0,0
re alibration des éléments ωk , k ≥ 0 au k-ième pas du pro édé itératif est déni par la formule
0,0
ηk+1
:= −Trk ωk0,0 .
Les poids sont hoisis de telle sorte que les estimations suivantes soient satisfaites pour tout
entier k ≥ 0.
0,0
0,0
Sk+1 k∂ k+1 ωk,
I krk , µ ≤ kωk, I krk , µ
Sk+1 k∂ k+1 g0 (k)±1 krk , µ ≤ 2−k−1 kg0 (k)±1 krk , µ
où
−→
Y
g0 (k) :=
g0,j
0≤j≤k
(on pose par dénition g0 := Ip0 ). Le symbole de produit ave une è he vers la droite désigne
le produit non ommutatif de termes qui sont é rits en ordre roissant de l'indi e vers la droite.
La dernière inégalité sert à assurer un bon fon tionnement du pro édé itératif, plus pré isément
elle permet d'appliquer la proposition pré édente à toutes les étapes du pro édé. On pose par
dénition
−s(k)
ak := kωk0,0 krk , k
et
bk := H · σk
· ak
Ave les notations introduites pré édemment on a la proposition suivante.
Proposition 1.2.3
Pour tout entier k ≥ 0 on a les estimations suivantes ;
−s(k)
ak+1 ≤ H · σk
· a2k ≤ 1,
0,0
kηk+1
krk+1 , k+1 ≤ bk < ε < 1/2
et les quantités ak , bk tendent (ave la bonne vitesse) vers zéro lorsque k tend vers plus l'inni.
En on lusion la limite
η 0,0 = −Ip0 + lim g0 (k)
k→∞
est une solution du système diérentiel (Sω ).
1.3
Introdu tion au
mologique égale à un
1.3.1
E -résolution
(m = 1)
as de
Expression lo ale de la
lo ale de profondeur ho-
ondition d'intégrabilité
Nous ommençons par prouver le lemme élémentaire suivant.
40
∂¯2 = 0 dans le
as
m=1
Soit X une variété omplexe et soit G un fais eau de EX -modules. Si le fais eau
G admet des E -présentations lo ales, soit par exemple
Lemme 1.3.1.1
ϕ
ψ
EU⊕p1 −→ EU⊕p0 −→ G|U → 0
une E -présentation au dessus d'un ouvert U , alors l'existen e d'une onnexion ∂¯ de type (0, 1) sur
le fais eau G|U telle que ∂¯2 = 0, implique l'existen e de matri es ω s,0 ∈ Mps ,ps (EX0,1 (U )), s = 0, 1
¯ = ψ · ω 0,0 et les relations
et ω 0,1 ∈ Mp1 ,p0 (EX0,2 (U )) telles que ∂ψ
∂¯J ϕ + ω 0,0 · ϕ = ϕ · ω 1,0 ,
(1.3.1)
∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = ϕ · ω 0,1
(1.3.2)
soient satisfaites. Ré iproquement l'existen e de matri es ω s,0 , s = 0, 1 et ω 0,1 qui vérient les
relations (1.3.1) et (1.3.2), implique l'existen e d'une onnexion ∂¯ de type (0, 1) sur le fais eau
¯ = ψ · ω 0,0 et ∂¯2 = 0.
G|U telle que ∂ψ
P reuve. La E -présentation de G|U onsidérée dans l'hypothèse implique l'existen e des E -présentations
(EU0,q )⊕p1 −→ (EU0,q )⊕p0 −→ G|U ⊗E EU0,q −→ 0
U
0,1
¯ = ψ·ω 0,0 .
pour q ≥ 0. On aura alors l'existen e d'une matri e ω 0,0 ∈ Mp0 ,p0 (EX
(U )) telle que ∂ψ
En appliquant la onnexion ∂¯ à l'identité ψ ◦ ϕ = 0 on obtient la relation
ψ(∂¯J ϕ + ω 0,0 · ϕ) = 0.
L'exa titude des E -présentations pré édentes, (pour q = 1), implique alors l'existen e d'une
0,1
matri e ω 1,0 ∈ Mp1 ,p1 (EX
(U )) telle que la relation (1.3.1) soit satisfaite. On obtient alors le
diagramme ommutatif suivant, ayant des è hes verti ales exa tes :
0
0
✻
G|U
✻
✻
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,2
U
U
✻
∂¯J + ω 0,0✲
✻
✻
ψ ⊗ I(0,1)
∂¯J + ω 0,0✲
(EU0,1 )⊕p0
ψ ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p0
✻
ϕ1
EU⊕p1
✻
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,1
ψ
EU⊕p0
0
∂¯J + ω 1,0✲
✻
ϕ1 ⊗ I(0,1)
∂¯J + ω 1,0✲
(EU0,1 )⊕p1
ϕ1 ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p1
L'hypothèse d'intégrabilité ∂¯2 = 0 implique
ψ(∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 ) = 0
0,2
d'où l'existen e d'une matri e ω 0,1 ∈ Mp1 ,p0 (EX
(U )) telle que la relation (1.3.2) soit satisfaite.
Pour prouver la ré iproque du lemme il sut de onsidérer la onnexion quotient ∂¯ obtenue par
la onnexion ∂¯J + ω 0,0 ∧ •.
41
En appliquant l' opérateur
∂¯J
(1.3.1)
à la relation
on obtient l'égalité :
∂¯J ω 0,0 · ϕ − ω 0,0 ∧ ∂¯J ϕ = ∂¯J ϕ ∧ ω 1,0 + ϕ · ∂¯J ω 1,0 .
En utilisant la relation
(1.3.1)
dans l'égalité pré édente on obtient
∂¯J ω 0,0 · ϕ + ω 0,0 ∧ ω 0,0 · ϕ − ω 0,0 ∧ ϕ · ω 1,0 =
= −ω 0,0 · ϕ ∧ ω 1,0 + ϕ(ω 1,0 ∧ ω 1,0 + ∂¯J ω 1,0 ).
En utilisant la relation
(1.3.2)
on a :
ϕ(∂¯J ω 1,0 + ω 1,0 ∧ ω 1,0 − ω 0,1 · ϕ) = 0.
Dans notre
as
ϕ
est inje tive. On déduit alors la relation
∂¯J ω 1,0 + ω 1,0 ∧ ω 1,0 = ω 0,1 · ϕ.
En appliquant l'opérateur
∂¯J
à la relation
(1.3.2)
on a :
∂¯J ω 0,0 ∧ ω 0,0 − ω 0,0 ∧ ∂¯J ω 0,0 = ∂¯J ϕ ∧ ω 0,1 + ϕ · ∂¯J ω 0,1 .
En utilisant les relations
(1.3.1)
et
(1.3.2)
dans l'égalité pré édente on obtient
−ω 0,0 ∧ ω 0,0 ∧ ω 0,0 + ϕ · ω 0,1 ∧ ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 ∧ ω 0,0 − ω 0,0 ∧ ϕ · ω 0,1 =
= −ω 0,0 · ϕ ∧ ω 0,1 + ϕ(ω 1,0 ∧ ω 0,1 + ∂¯J ω 0,1 ).
On a don
ϕ(∂¯J ω 0,1 − ω 0,1 ∧ ω 0,0 + ω 1,0 ∧ ω 0,1 ) = 0.
L'inje tivité de
ϕ
implique alors la relation
∂¯J ω 0,1 − ω 0,1 ∧ ω 0,0 + ω 1,0 ∧ ω 0,1 = 0.
On a obtenu en
on lusion les relations
∂¯J ϕ + ω 0,0 · ϕ = ϕ · ω 1,0
et

∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = ϕ · ω 0,1





∂¯J ω 1,0 + ω 1,0 ∧ ω 1,0 = ω 0,1 · ϕ
(∗)




 ¯ 0,1
∂J ω − ω 0,1 ∧ ω 0,0 + ω 1,0 ∧ ω 0,1 = 0.
ϕ·ω •,• ou ω •,• ·ϕ.
¯2 = 0 dans
d'intégrabilité ∂
Il faut remarquer que dans la dernière expression on n'a pas de termes du type
Les expressions
(∗) onstituent les expressions lo ales de la ondition
m = 1 de la E -résolution lo ale. La relation (1.3.1) est simplement une identité
le
as de longueur
de
ommutation.
42
1.3.2 Introdu tion à la formulation du problème diérentiel dans le as m = 1
La partie prin ipale de la preuve onsiste à prouver l'existen e, pour tout x ∈ U , d'un
voisinage ouvert V ⊂ U de x et g0 = Ip0 + η0,0 ∈ GL(p0 , E(V )), g1 = Ip1 + η1,0 ∈ GL(p1 , E(V ))
solution du système diérentiel
(Σ)

¯ · g0 ) = 0
 ∂(ψ
 ¯ −1
∂J (g0 · ϕ · g1 ) = 0.
Si on atteint e but on obtiendra le diagramme ommutatif suivant :
0
0
✻
0
¯
✲ (Ker ∂)
|V
✻
✲ G
|V
✻
ψ̃|..
0
¯
∂
✲
G|V ⊗E EV0,1
V
✻
ψ̃ ⊗ I(0,1)
ψ̃
✲ O ⊕p0
V
✻
✲ E ⊕p0
V
✲ O ⊕p1
V
∂¯J ✲
(EV0,1 )⊕p0
✻
✻
ϕ̃|..
0
✻
ϕ̃ ⊗ I(0,1)
ϕ̃
✲ E ⊕p1
V
∂¯J ✲
(EV0,1 )⊕p1
ave ψ̃ := ψη := ψ ·g0 et ϕ̃ := ϕη := g0−1 ·ϕ·g1 . On peut on lure alors en utilisant des arguments
élémentaires d'algèbre homologique (voir la preuve omplète, se tion 1.5.6 pour plus de détails).
En reprenant un al ul fait dans le as m = 0, mais valable en tous les as, on a :
¯ · g0 ) = ψ(∂¯ η 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ω 0,0 ).
∂(ψ
J
0,1
0,1 ∈ M
¯
Si ∂(ψ·g
0 ) = 0 alors l'hypothèse d'exa titude implique l'existen e d'une matri e η
p1 ,p0 (EX (U ))
solution de l'équation
∂¯J η 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ϕ · η 0,1 + ω 0,0 = 0.
¯ · g0 ) = 0. Si on pose
On a don que l'équation pré édente est équivalente ave l'équation ∂(ψ
par dénition
ωη0,0 := g0−1 (∂¯J η 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ϕ · η 0,1 + ω 0,0 )
¯ η = ψη · ωη0,0 . De façon analogue, si on pose par dénition
on aura la validité de la relation ∂ψ
ωη1,0 := g1−1 (∂¯J η 1,0 + ω 1,0 ∧ η 1,0 + η 0,1 · ϕη + ω 1,0 ),
ωη0,1 := g1−1 (∂¯J η 0,1 + ω 0,1 ∧ η 0,0 + ω 1,0 ∧ η 0,1 + η 0,1 ∧ ωη0,0 + ω 0,1 )
on aura la validité des relations (voir arti le pour les détails des al uls en général prop 1.5.1 de
la sous-se tion 1.5.2)
∂¯J ϕη + ωη0,0 · ϕη = ϕη · ωη1,0
43
et


∂¯J ωη0,0 + ωη0,0 ∧ ωη0,0 = ϕη · ωη0,1





∂¯J ωη1,0 + ωη1,0 ∧ ωη1,0 = ωη0,1 · ϕη





 ∂¯ ω 0,1 − ω 0,1 ∧ ω 0,0 + ω 1,0 ∧ ω 0,1 = 0
η
η
η
η
J η
lesquelles sont analogues à la relation (1.3.1) et aux relations (∗) onsidérées pré édemment. En
utilisant l'hypothèse d'exa titude on obtient le lemme suivant.
Pour tout hoix de matri es ω s,0, ω 0,1 , s = 0, 1 qui vérient les relations (1.3.1)
et (∗) on a que l'existen e d'une solution g := (g0 , g1 ) du système diérentiel (Σ) est équivalente
à l'existen e d'une solution η := (η0,0 , η1,0 , η0,1 ), g = g(η), du système diérentiel quasi-linéaire
Lemme 1.3.2.1

∂¯J η 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ϕ · η 0,1 + ω 0,0 = 0





∂¯J η 1,0 + ω 1,0 ∧ η 1,0 + η 0,1 · ϕη + ω 1,0 = 0
(Sω )




 ¯ 0,1
∂J η + ω 0,1 ∧ η 0,0 + ω 1,0 ∧ η 0,1 + ω 0,1 = 0
qui n'est rien d'autre que le système diérentiel
 s,0
ωη = 0





ωη0,1 = 0





s = 0, 1.
On a besoin de l'hypothèse d'exa titude de la E -résolution lo ale seulement pour prouver que
les systèmes (Σ) et (Sω ) sont équivalents. A partir du moment où on s'intéresse seulement au
système (Sω ) l'hypothèse d'exa titude n'a plus au un intérêt. En termes pré is on a la proposition
suivante.
Proposition 1.3.1
Supposons données des matri es ω s,0, ω 0,1 , s = 0, 1 et ϕ telles que
Alors les relations
∂¯J ϕ + ω 0,0 · ϕ = ϕ · ω 1,0 .

∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = ϕ · ω 0,1





∂¯J ω 1,0 + ω 1,0 ∧ ω 1,0 = ω 0,1 · ϕ
(∗)




 ¯ 0,1
∂J ω − ω 0,1 ∧ ω 0,0 + ω 1,0 ∧ ω 0,1 = 0
onstituent les onditions d'intégrabilité du système diérentiel (Sω ).
1.4
Idée de la preuve du théorème
E -résolution
1.4.1
1.1.8
dans le
as général d'une
lo ale de longueur arbitraire
Première étape : présentation de l'expression lo ale de la
d'intégrabilité
∂¯2 = 0
ondition
On pose par dénition Im := {(s, k) | s = 0, ..., m, k = −1, ..., m − s, (s, k) 6= (0, −1)}.
On utilisera dans la suite la onvention qui onsiste à négliger les termes d'une somme ou d'un
44
produit si l'ensemble des indi es sur lesquels on ee tue es opérations est vide. On a le lemme
suivant.
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
m−1
m
2
1
EU⊕pm−1 −→ · · · −→ EU⊕p1 −→ EU⊕p0 −→ G|U → 0 une
Soit 0 → EU⊕pm −→
E -résolution lo ale de longueur nie. Alors l'existen e d'une onnexion ∂¯ de type (0, 1) sur le
fais eau G telle que ∂¯2 = 0, implique l'existen e des matri es ω s,k ∈ Mps+k ,ps (EX0,k+1 (U )) pour
(s, k) ∈ Im telles que si on utilise l'identi ation ϕs ≡ ω s,−1 , on aura la validité des relations
¯ = ψ · ω 0,0 et
∂ψ
Lemme 1.4.1.1
∂¯J ω s,k +
k+1
X
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j = 0.
(1.4.1)
j=−1
On obtient alors le diagramme ommutatif suivant, dont les è hes verti ales sont exa tes :
0
0
✻
✻
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,2
U
✻
U
✻
∂¯J + ω 0,0✲
✻
ψ ⊗ I(0,1)
ψ
∂¯J + ω 0,0✲
(EU0,1 )⊕p0
ψ ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p0
✻
✻
∂¯J + ω 1,0✲
✻
ϕ1 ⊗ I(0,1)
ϕ1
EU⊕p1
✻
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,1
G|U
EU⊕p0
0
∂¯J + ω 1,0✲
(EU0,1 )⊕p1
✻
ϕ1 ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p1
✻
✻
La gure 1.1 montre les matri es ω s,k qui sont représentées par des è hes dans le diagramme
suivant lequel représente le omplexe déterminé par la E -résolution lo ale (ϕ, ψ) dans le as de
longueur m = 4.
0
p0
ω 0,0
ω 1,−1
p1
4
5
ω 1,1
ω 0,2
ω 2,1
ω 1,2
ω 0,3
ω 3,1
ω 2,2
ω 1,3
ω 2,0
ω 3,0
ω 4,−1
p4
3
ω 0,1
ω 3,−1
p3
2
ω 1,0
ω 2,−1
p2
1
ω 0,4
ω 4,0
Fig.
1.1 Dans la relation (1.4.1) on utilise les onventions formelles ω 0,−1 := 0, ω −1,j := 0 et ω s,k := 0 si
45
s ≥ m + 1 ou k ≥ m − s + 1. Le diagramme suivant montre les matri es qui interviennent dans
la relation (1.4.1) pour (s, k) = (1, 2), dans le as de longueur m = 4.
0
1
2
3
4
5
p0
ω 1,−1
p1
ω 1,0
ω 1,1
p2
ω 2,1
ω 1,2
ω 0,3
∂¯J ω 1,2
p3
ω 3,0
ω 1,3
ω 4,−1
p4
Fig.
1.2 On onsidère le as m = 4 qui est le as de longueur minimale pour laquelle on voit le problème
en toute sa généralité. Les relations (1.4.1) pour les indi es k ≥ 0 onstituent les expressions
lo ales de la ondition d'intégrabilité ∂¯2 = 0 de la onnexion ∂¯ relativement à la E -résolution
lo ale hoisie. Les relations (1.4.1) pour les indi es (s, k) = (•, −1) représentent simplement des
identités de ommutation. La liberté homologique qui ara térise le hoix des matri es ω s,k est
exprimée par une a tion de semi-groupe qui aura une importan e onsidérable dans la preuve
du théorème 1.1.8 et qu'on expose dans la sous-se tion suivante.
1.4.2
Deuxième étape : la notion de re alibration
On ommen e ave les dénitions suivantes. On pose
M
Γ(U ) :=
GL(ps , EX (U )).
s=0,...,m
On onsidère Γ(U ) ave la loi de groupe naturelle induite par les groupes GL(p• , EX (U )).
Dénition 1.4.1
La lasse [ϕ, ψ] de E -isomorphisme de la E -résolution lo ale (ϕ, ψ) est l'enE -résolutions lo ales (ϕ̃, ψ̃) de longueur m au dessus de l'ouvert U pour lesquelles il
g ∈ Γ(U ) tel que le diagramme suivant soit ommutatif.
semble des
existe
0
✲ E ⊕pm ϕ̃m ✲ · · ·
U
ϕ̃2✲
gm ≀
0
❄
ϕm✲
✲ E ⊕pm
···
U
EU⊕p1
ϕ̃1✲
g1 ≀
ϕ2✲
❄
EU⊕p1
EU⊕p0
ψ̃ ✲
g0 ≀
ϕ1✲
❄
EU⊕p0
G|U
✲ 0
I
ψ✲
❄
G|U
✲0
−1
On a alors que [ϕ, ψ] = {(ϕg , ψg ) | g ∈ Γ(U )} où ψg := ψ · g0 et ϕs,g := gs−1
· ϕs · gs . Ensuite on
désigne par
M
0,k+1
¯ ⊂
Ω(U, ϕg , ψg , ∂)
Mps+k ,ps (EX
(U ))
(s,k)∈Im
46
E -résolution lo ale (ϕ, ψ), onstitué par
0,k+1
¯ g = ψg · ω 0,0 et
(U )) tels que ω •,−1 = ϕ•,g , ∂ψ
ω = (ω s,k )s,k , ω s,k ∈ Mps+k ,ps (EX
(1.4.1) soit satisfaite. Ensuite on dénit la bration
a
¯ :=
¯
Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
Ω(U, ϕg , ψg , ∂)
l'ensemble, non vide par l'hypothèse d'exa titude de la
les éléments
la relation
g∈Γ(U )
Γ(U ),
au dessus du groupe
calibrations
dont les éléments seront appelés
paramètres au dessous de l'ouvert
et l'ensemble des
U
P(U ) ⊂
M
0,k
Mps+k ,ps (EX
(U ))
s=0,...,m
k=0,...,m−s
0,k
η = (η s,k )s,k , η s,k ∈ Mps+k ,ps (EX
(U )), tels que Ips +η s,0 ∈ GL(ps , EX (U )),
s = 0, ..., m. On munit P(U ) de la loi de semi-groupe donnée par le produit extérieur des paramètres qu'on dénit de la façon suivante ; si η1 , η2 ∈ P(U ) on désigne par η1 ∧ η2 ∈ P(U ) le
onstitué par les éléments
paramètre dont les
omposantes sont dénies par la formule
(η1 ∧ η2 )s,k := η1s,k + η2s,k +
L'élément neutre de
k
X
j=0
η1s+j,k−j ∧ η2s,j .
ette loi est le zéro. Considérons maintenant l'appli ation
¯ −→ Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
¯
R : P(U ) × Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
7−→
(η, ω)
où les
omposantes de
ωη
ωη
sont dénies par ré urren e sur
k,
s,m−s+1
par la formule (i i on utilise les dénitions formelles η
pour tous les indi es
:=
0, η −1,j
:= 0
(s, k) ∈ Im
:= 0)
s,−1
et η
k+1
k−1
−1 X
X
ω s+j,k−j ∧ η s,j −
(−1)k−j η s+j,k−j ∧ ωηs,j + ω s,k .(1.4.2)
ωηs,k = Ips+k + η s+k,0
∂¯J η s,k +
j=0
0
j=−1
1
2
3
4
p0
ωη1,−1
p1
ωη1,0
η1,0
η1,1
ωη1,1
p2
η2,1
p3
ω 1,2 , ∂¯J η1,2 ,
ω 2,1
η1,2
η0,3
g3−1
ω 3,0
η1,3
p4
ω 4,−1
.
Fig. 1.3 Le diagramme 1.3 montre les matri es qui interviennent dans la dénition de la matri e
47
ωη1,2
dans le as où la longueur de la résolution est égale à 4. Le le teur peut alors essayer d'avoir une
per eption visuelle de la formule de re alibration (1.4.2). On appelle R appli ation de re alibration et on dit que ωη est la re alibration de ω ave paramètre de re alibration η. Dans la suite
on utilisera aussi les notations gs ≡ gs (η) := Ips + ηs,0 , ψη ≡ ψg(η) . Ave la première notation
•,−1
¯ alors pour tout
. On remarque aussi que si ω ∈ Ω(U, ϕ, ψ, ∂)
on a évidemment ωη•,−1 = ωg(η)
η ∈ P(U ), la re alibration R(η, ω) ≡ ωη de ω détermine le diagramme ommutatif suivant :
0
0
✻
G|U
✻
∂¯
✲G ⊗
E
|
U
V
✻
ωη1,−1
∂¯J + ωη0,0 ✲
∂¯
EU0,1
✲G ⊗
E
|
U
∂¯J + ωη1,0 ✲
U
✻
∂¯J + ωη0,0 ✲
(EU0,1 )⊕p0
✻
✻
EU⊕p1
✻
ψη ⊗ I(0,1)
ψη
EU⊕p0
0
✻
ωη1,−1 ⊗ I(0,1)
∂¯J + ωη1,0 ✲
(EU0,1 )⊕p1
EU0,2
ψη ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p0
✻
ωη1,−1 ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p1
✻
✻
✻
..
.
..
.
..
.
On a la proposition fondamentale suivante.
L'appli ation de re alibration R est bien dénie et onstitue une a tion de
¯.
semi-groupe transitive sur l'ensemble Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
Proposition 1.4.2
1.4.3 Troisième étape : introdu tion à la formulation du problème diérentiel
La partie prin ipale de la preuve onsiste à prouver l'existen e, pour tout x ∈ U , d'un
voisinage ouvert V ⊂ U de x et g ∈ Γ(V ) solution du système diérentiel
 ¯
∂(ψ · g0 ) = 0





−1
∂¯J (gs−1
· ϕs · gs ) = 0
(Σ)





s = 1, ..., m.
Bien évidemment résoudre e système diérentiel équivaut à trouver une autre E -résolution de
G|V dans la lasse [ϕ, ψ], à partir de la E -résolution donnée (ϕ, ψ), de telle sorte qu'elle admette
des matri es de onnexion ω s,0 nulles. Des arguments élémentaires d'algèbre homologique permetent alors de on lure que le fais eau Ker ∂¯ est analytique ohérent, (voir la se tion 1.5.6
pour les détails).
On a le lemme suivant.
48
¯ on a que l'existen e d'une
Pour tout hoix de alibration ω ∈ Ω(U, ϕ, ψ, ∂)
solution g ∈ Γ(U ) du système diérentiel (Σ) est équivalente à l'existen e d'une solution η ∈
P(U ), g = g(η), du système diérentiel quasi-linéaire
Lemme 1.4.3.1
(Sω )

k+1
X


s,k
¯

ω s+j,k−j ∧ η s,j + (−1)k η s−1,k+1 ∧ ωηs,−1 + ω s,k = 0
∂
η
+


 J
j=0




k = 0, ..., m


s = 0, ..., m − k
qui n'est rien d'autre que le système diérentiel
 s,t
 ωη = 0
s = 0, ..., m

t = 0, ..., m − s.
On a besoin de l'hypothèse d'exa titude de la E -résolution lo ale seulement pour prouver que les
systèmes Σ et (Sω ) sont équivalents. A partir du moment où on s'intéresse seulement au système
(Sω ) l'hypothèse d'exa titude n'a plus au un intérêt. On a seulement besoin d'avoir le omplexe
verti al (ω •,−1 ). La notion de re alibration existe en ore et elle est une a tion de semi-groupe.
La proposition suivante permet de traduire notre problème en termes purement diérentiels.
Proposition 1.4.3
telles que
et
Supposons données des matri es ω s,k ∈ Mps+k ,ps (EX0,k+1 (U )), (s, k) ∈ Im
ω s−1,−1 · ω s,−1 = 0, s = 2, ..., m
∂¯J ω s,−1 + ω s−1,0 · ω s,−1 = ω s,−1 · ω s,0 , s = 1, ..., m.
Alors, pour k ≥ 0, les relations ((1.4.1)s,k )
∂¯J ω s,k +
k+1
X
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j = 0
j=−1
onstituent les onditions d'intégrabilité du système diérentiel (Sω ).
A partir de maintenant on désignera par
Ω(U, m) ⊂
M
0,k+1
Mps+k ,ps (EX
(U ))
(s,k)∈Im
l'ensemble onstitué par les éléments ω dont les omposantes vérient la ondition ω s−1,−1 ·
ω s,−1 = 0, s = 2, ..., m et la relation (1.4.1).
1.4.4
Quatrième étape : introdu tion au s héma de
onvergen e rapide de
type Nash-Moser
Idée de la preuve de l'estimation fondamentale du s héma de
onvergen e rapide
Soit ω ∈ Ω(B1 , m). Pour r ∈ (0, 1) on dénit la quantité
ah (ω, r) := max{kω s,k kr,h | 0 ≤ s ≤ m , 0 ≤ k ≤ m − s}.
49
On remarque que, par dénition de la norme de Hölder, la quantité
lorsque le rayon
r
tend vers zéro. Pour tout
σ ∈ (0, 1)
ah (ω, r)
tend vers zéro
on dénit les rayons
rl := r(1 − l · σm )
l = 0, ..., m + 1 où on pose σm := σ/(m + 1). A partir de maintenant on désigne par
ε ∈ (0, 1/2) une onstante xée telle que pour toutes les matri es A ∈ Mps ,ps (C) telle que
kAk < ε on a l'inversibilité de la matri e Ips + A.
•,−1 ) une suite de poids qui vérie l'inégalité kω •,−1 k
On désignera par S(ω
1,S(ω) < +∞. Venonspour
en maintenant à la partie essentielle de la preuve du théorème. Ave
les notations introduites
pré édemment on a la proposition suivante.
Supposons donnés ω ∈ Ω(B1 , m), r, σ ∈ (0, 1), h ∈ N et les poids 0 <
Sj ≤ Sj (ω), j = 0, ..., h + 1 de la norme de Hölder k · kr,h+1 . Supposons que le rayon r soit
susamment petit pour assurer l'estimation
Proposition 1.4.4
−s(m,h)
L · σm
· ah (ω, r) < ε
où L = L(ω •,−1 ) > 0 onstante positive et s(m, h) ∈ N, (m ≥ 0, h ≥ 0) une fon tion ane
stri tement roissante par rapport à la variable h et la quantité ah (ω, r) est al ulée par rapport
au poids Sj , j = 0, ..., h. Supposons de plus que le poids Sh+1 soit susamment petit pour
pouvoir assurer l'estimation :
Sh+1 k∂ h+1 ωIs,k kr,µ ≤ kωIs,k kr,µ
pour tout k = 0, ..., m, s = 0, ..., m − k et |I| = k + 1. Il existe alors le paramètre de re alibration
η ∈ P(B̄r(1−σ) ) dont les omposantes sont dénies par la formule de ré urren e dé roissante sur
k = m, ..., 0
η s,k := −Trm−k ω s,k + ω s+k+1,−1 ∧ η s,k+1 + (−1)k η s−1,k+1 ∧ ω s,−1
tel que les estimations suivantes
−s(m,h)
· ah (ω, r),
(1.4.3)
−s(m,h)
· ah (ω, r)2
(1.4.4)
kη •,k kr(1−σ),h+1 ≤ L · σm
kωη•,k kr(1−σ),h+1 ≤ L · σm
soient satisfaites pour tout k = 0, ..., m.
Sh+1 l'estimation (1.4.4) est valable pour h à la pla e de h + 1,
ω •,k k ≥ 0 qui vérient la relation (1.4.1), une fois qu'on a xé les
•,−1 et les poids 0 < S ≤ S (ω), j = 0, ..., h + 1. L'hypothèse
verti al ω
j
j
Sans l'hypothèse sur le poids
pour toutes les matri es
matri es du
omplexe
Sh+1 , omme on verra mieux ensuite, joue un rle fondamental pour la onvergen e
∞ du problème (S ). On pose (voir la preuve de la proposition 1.5.3 pour
solution C
ω
sur les poids
vers une
l'interprétation
orre te !)
ωηs,k
= ω s,k + ω s+k+1,−1 ∧ η s,k+1 + (−1)k η s−1,k+1 ∧ ω s,−1 .
[k+1]
On obtient l'estimation
problème i i
ωηs,−1 .
(1.4.4)
à l'aide d'une ré urren e
roissante sur les indi es
onsiste dans le fait qu'on ne peut pas avoir un
k ≥ 0.
Le
ontrle quadratique sur le terme
Pré isément les termes qui posent un problème pour obtenir l'estimation quadratique
50
relativement aux matri es ωηs,k sont les termes qui apparaissent dans la parenthèse de la dénition
des omposantes η s,k . En eet on peut é rire ωηs,−1 sous la forme
ωηs,−1 = (I + θ s−1,0 ) · ω s,−1 · (I + η s,0 )
ave un ontrle
kθ s,0 kr(1−σ),h+1 ≤ 2kη s,0 kr(1−σ),h+1
sur la norme de la matri e θ s,0 . Ensuite en dé omposant l'expression de la matri e ωηs,−1 à
l'aide de l'expression pré édente on arrive à séparer le terme gênant η •,• ∧ ω •,−1 pour les indi es
adéquats dans la deuxième somme. On a don :
−1 ¯ s,k
ωηs,k = gs+k
(∂J η + (termes quadratiques) + ωηs,k
).
[k+1]
On obtient alors en utilisant la formule d'homotopie pour l'opérateur ∂¯J l'expression :
−1
ωηs,k = gs+k
(Trm−k ∂¯J ωηs,k
+ (termes quadratiques)).
[k+1]
Le le teur omprend don l'exigen e d'avoir une estimation quadratique de la norme h + 1 du
terme Trm−k ∂¯J ωηs,k
. On observe que dans le as (s, k) = (0, m), (k = m ⇒ s = 0) on a que
[k+1]
le terme ωηs,k
se réduit à ω 0,m . On remarque que la relation ((1.4.1)0,m ) est la seule, parmi les
[k+1]
autres relations ((1.4.1)•,• ), qui ne présente pas de fa teurs de type ω •,−1 dans les termes quadratiques. Le diagramme suivant montre les matri es qui interviennent dans la relation ((1.4.1)0,m ).
0 ω 0,0
1
2
3
4
5
6
p0
ω 0,1
p1
ω 0,2
p2
ω 1,2
ω 0,3
ω 2,2
ω 1,3
p3
ω 4,0
ω 3,1
ω 0,4
∂¯J ω 0,4
p4
Fig.
1.4 On déduit alors à l'aide de l'inégalité (1.2.1), l'estimation quadratique de la norme h + 1 du
terme Tr ∂¯J ω 0,m . Une ré urren e dé roissante sur les indi es k = m, ..., 0 ombinée ave le fait
que les matri es ω vérient la ondition d'intégrabilité (1.4.1) montre l'estimation quadratique
−s(m,h)
kTrm−k ∂¯J ωηs,k
k
≤ Q · σm
· a2h
[k+1] r(1−σ),h+1
pour tout k = 0, ..., m, (où Q > 0 est une onstante positive).
On explique maintenant où intervient l'hypothèse sur le poids Sh+1 dans la preuve de l'estimation (1.4.4). Pour obtenir elle- i on doit estimer les normes du type kω •,• ∧ η •,• kr(1−σ), h+1 .
L'hypothèse faite sur le poids Sh+1 nous permet d'obtenir l'estimation
kω •,• ∧ η •,• kr(1−σ), h+1 ≤ 2kω •,• kr, h · kη •,• kr(1−σ), h+1 .
Voi i ertaines des idées prin ipales de la preuve de la proposition.
51
Esquisse du pro édé itératif
Les alibrations ωk ∈ Ω(B̄rk , m) obtenues au k-ième pas du pro édé itératif sont dénies par
la formule ré ursive ωk+1 := ωk, ηk+1 où rk+1 := rk (1 − σk ) et où σk ∈ (0, 1) est un paramètre
qui ontrle la dé roissan e des rayons des boules, (le rayon initial r0P
étant hoisi susamment
petit). On hoisit les quantités σk ∈ (0, 1) de telle sorte que la série σk soit onvergente. Le
rayon limite r∞ := limk→+∞ rk est alors non nul. Le paramètre ηk+1 ∈ P(B̄rk+1 ) qui ontrle
la re alibration des éléments ωk , k ≥ 0 au k-ième pas du pro édé itératif est déni de façon
analogue à elle de la proposition 1.4.4 en fon tion de la alibration ωk . Les poids sont hoisis de
telle sorte que les estimations suivantes soient satisfaites pour tout entier k ≥ 0 et t = 0, ..., m.
•,t
•,t
Sk+1 k∂ k+1 ωk,
I krk , µ ≤ kωk, I krk , µ ,
(1.4.5)
Sk+1 k∂ k+1 g• (k)±1 krk , µ ≤ 2−k−1 kg• (k)±1 krk , µ
(1.4.6)
où
−→
Y
gs (k) :=
gs,j
0≤j≤k
(i i on rappelle qu'on pose par dénition g0 := Ip0 et que le symbole de produit ave une è he
vers la droite désigne le produit non ommutatif de termes qui sont é rits en ordre roissant de
l'indi e vers la droite). Cette dernière inégalité sert à assurer un bon fon tionnement du pro édé
itératif, plus pré isément elle permet d'appliquer la proposition pré édente à toutes les étapes
du pro édé. On pose par dénition
ak := max{kωks,t krk , k | 0 ≤ s ≤ m , 0 ≤ t ≤ m − s}
et
−s(m,k)
bk := H · σm, k
· ak
σm, k := σk /(m + 1)
Ave les notations introduites pré édemment on a la proposition suivante.
Proposition 1.4.5
Pour tout entier k ≥ 0 on a les estimations suivantes ;
−s(m,k)
ak+1 ≤ H · σm, k
· a2k ≤ 1,
(1.4.7)
•,t
kηk+1
krk+1 , k+1 ≤ bk < ε < 1/2,
(1.4.8)
s,−1
kωk+1
krk+1 ,k+1 ≤ 4kω •,−1 k1,S(ω•,−1 )
(1.4.9)
et les quantités ak , bk tendent (ave la bonne vitesse) vers zéro lorsque k tend vers plus l'inni.
L'estimation (1.4.9) montre que la norme du omplexe verti al n'explose pas. La ondition (1.4.6)
sert aussi à assurer ette inégalité. Si on pose par dénition
η(k) :=
−→
^
ηj
1≤j≤k
(i i aussi le symbole de produit extérieur ave une è he vers la droite désigne le produit non
ommutatif de termes qui sont é rits en ordre roissant de l'indi e vers la droite), le paramètre
de re alibration sur la boule Br∞ on aura la formule ωk = ωη(k) , grâ e au fait que la re alibration
R est une a tion. On a alors la proposition suivante.
52
Proposition 1.4.6
La limite
η := lim η(k)
k→∞
existe en topologie C h,µ pour tout h ≥ 0 et onstitue un paramètre de re alibration η ∈ P(Br∞ ),
solution du problème diérentiel (Sω ).
Le fait que η onstitue une solution (de lasse C ∞ ) pour le problème diérentiel (Sω ) est lair.
En eet
ωηs,t = lim ωks,t
k→∞
et
kωηs,t kr∞ ,0 = lim kωks,t kr∞ ,0 ≤ lim ak = 0
k→∞
k→∞
e qui montre que η ∈ P(Br∞ ) est une solution du système diérentiel (Sω ).
1.5 La preuve omplète du théorème de ara térisation diérentielle des fais eaux analytiques ohérents dans le as général
de longueur arbitraire de la E -résolution lo ale
1.5.1
Première étape : Preuve de l'expression lo ale de la
grabilité
∂¯2 = 0
ondition d'inté-
On ommen e par rappeler la dénition de l'ensemble d'indi es
Im := {(s, k) | s = 0, ..., m, k = −1, ..., m − s, (s, k) 6= (0, −1)}.
Ave
ette notation on a le lemme élémentaire suivant.
Soit X une variété omplexe et soit G un fais eau de EX -modules.
Supposons que le fais eau G admet des E -présentations lo ales et soit
Lemme 1.5.1.1
(A)
ϕ
ψ
EU⊕p1 −→ EU⊕p0 −→ G|U → 0
une E -présentation au dessus d'un ouvert U . Alors l'existen e d'une onnexion ∂¯ de type (0, 1) sur
le fais eau G|U telle que ∂¯2 = 0, implique l'existen e de matri es ω s,0 ∈ Mps ,ps (EX0,1 (U )), s = 0, 1
¯ = ψ · ω 0,0 et
et ω 0,1 ∈ Mp1 ,p0 (EX0,2 (U )) telles que ∂ψ
∂¯J ϕ + ω 0,0 · ϕ = ϕ · ω 1,0 ,
(1.5.1)
∂¯J ω 0,0 + ω 0,0 ∧ ω 0,0 = ϕ · ω 0,1 .
(1.5.2)
Ré iproquement l'existen e des matri es ω s,0 , s = 0, 1 et ω 0,1 qui vérient les relations (1.5.1)
et (1.5.2), implique l'existen e d'une onnexion ∂¯ de type (0, 1) sur le fais eau G|U telle que
¯ = ψ · ω 0,0 et ∂¯2 = 0.
∂ψ
(B) Supposons que le fais eau G admet des E -résolutions lo ales de longueur nie et soit
ϕm
ϕm−1
ϕ2
ϕ1
ψ
0 → EU⊕pm −→ EU⊕pm−1 −→ · · · −→ EU⊕p1 −→ EU⊕p0 −→ G|U → 0
53
une telle E -résolution. Alors l'existen e d'une onnexion ∂¯ de type (0, 1) sur le fais eau G|U telle
que ∂¯2 = 0, implique l'existen e des matri es
0,k+1
(U ))
ω s,k ∈ Mps+k ,ps (EX
pour (s, k) ∈ Im telles que si on utilise l'identi ation ϕs ≡ ω s,−1 et les onventions formelles
ω 0,−1 := 0, ω −1,j := 0 et ω s,k := 0 si s ≥ m + 1 ou k ≥ m − s + 1, on aura les relations
¯ = ψ · ω 0,0 et
∂ψ
∂¯J ω s,k +
k+1
X
(1.5.3)
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j = 0
j=−1
pour tout (s, k) ∈ Im .
Ré iproquement l'existen e des matri es ω s,k qui vérient la relation (1.5.3) implique l'existen e
¯ = ψ · ω 0,0 et ∂¯2 = 0.
d'une onnexion ∂¯ de type (0, 1) sur le fais eau G|U telle que ∂ψ
P reuve de (A). La preuve de (A) a été donnée dans la sous-se tion (1.3.1). On rappelle qu'on
obtient le diagramme ommutatif suivant, dont les è hes verti ales sont exa tes :
0
0
✻
G|U
✻
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,2
U
U
✻
∂¯J + ω 0,0✲
✻
ψ ⊗ I(0,1)
∂¯J + ω 0,0✲
(EU0,1 )⊕p0
ψ ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p0
✻
✻
ϕ1
EU⊕p1
✻
∂¯ ✲
G|U ⊗E EU0,1
ψ
EU⊕p0
0
✻
∂¯J + ω 1,0✲
✻
ϕ1 ⊗ I(0,1)
∂¯J + ω 1,0✲
(EU0,1 )⊕p1
ϕ1 ⊗ I(0,2)
(EU0,2 )⊕p1
P reuve de (B). Pour (s, k) = (1, −1) et (s, k) = (0, 0) la relation (1.5.3) exprime les relations (1.5.1) et (1.5.2) de la partie (A) du lemme. En appliquant l'opérateur ∂¯ aux identités
J
ϕt−1 ◦ ϕt = 0 on obtient indu tivement, de la même façon que pour obtenir la relation (1.5.1),
0,1
l'existen e d'une matri e ω s,0 ∈ Mps ,ps (EX
(U )), s = 1, ..., m telle que
∂¯J ϕs + ω t−1,0 · ϕs = ϕs · ω t,0 .
Ces relations onstituent les relations (1.5.3) pour (s, −1), s = 1, ..., m. On va montrer maintenant l'existen e des matri es ω s,k , k ≥ 1 qui vérient la relation (1.5.3) à l'aide du pro édé
ré ursif triangulaire suivant. Pour un ouple (s, k), s = 0, ..., m − 1 et k = 1, ..., m − s on suppose
avoir déjà déni ω σ,κ pour σ + κ ≤ s + k, κ ≤ k + 1, et on applique l'opérateur ∂¯J à l'expression
((1.5.3)s,k−1 ) pour k ≥ 1. On obtient alors la relation suivante :
k
X
(−1)k−j−1 ∂¯J ω s+j,k−j−1 ∧ ω s,j −
j=−1
54
k
X
j=−1
ω s+j,k−j−1 ∧ ∂¯J ω s,j = 0.
En expli itant les termes ∂¯J ω •,• dans la relation pré édente (qui bien évidemment, grâ e à
l'hypothèse de ré urren e pré édente, vérient la relation ((1.5.3)•,• ) pour les indi es voulus) on
obtient :
k
X
(−1)k−j−1 ω s+k,−1 ∧ ω s+j,k−j ∧ ω s,j +
j=−1
k k−j−1
X
X
+
(−1)r+1 ω s+j+r,k−j−1−r ∧ ω s+j,r ∧ ω s,j +
j=−1 r=−1
+
j+1
k−1 X
X
(−1)j−r ω s+j,k−j−1 ∧ ω s+r,j−r ∧ ω s,r − ω s+k,−1 ∧ ∂¯J ω s,k = 0.
j=−1 r=−1
En faisant le hangement d'indi e j ′ = j + r , r ′ = j dans la deuxième somme et en rappelant
que ω s−1,−1 ∧ ω s,−1 = 0 on obtient :
ω
s+k,−1
∧ ∂¯J ω s,k +
k
X
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j = 0.
j=−1
L'hypothèse d'exa titude nous permet de hoisir ω s,k+1 telle que la relation
∂¯J ω s,k +
k
X
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j = ω s+k+1,−1 ∧ ω s,k+1
j=−1
soit satisfaite. Ce type de ré urren e peut se visualiser grâ e au tableau de la gure 1.5.
L'hypothèse de nitude de la longueur des E -résolutions lo ales de G permet d'arrêter e pro édé
k
m
II ème pas
I er pas
m s
0
Fig.
1.5 après un nombre ni d'étapes. On a don prouvé la première impli ation de la partie (B) du
lemme. Le ré iproque dans la partie (B) est évidemment une onséquen e banale de la partie
(A) du lemme.
Les relations (1.5.3) pour les indi es k ≥ 0 onstituent les expressions lo ales de la ondition
d'intégrabilité ∂¯2 = 0 de la onnexion relativement à la E -résolution lo ale hoisie. Les relations
(1.5.3) pour les indi es (s, k) = (•, −1) représentent simplement des identités de ommutation.
Si on désigne par P0 (U ) ⊂ P(U ) le sous-semigroupe des paramètres tels que η •,0 = 0 on a que la
¯ −→ Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
¯ est une appli ation
restri tion de la re alibration R0 : P0 (U ) × Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
bré qui ontrle la liberté homologique qui ara térise le hoix des matri es ω •,• relativement
55
aux E -résolutions lo ales (ϕg , ψg ), g ∈ Γ(U ).
Remarque. A partir de maintenant le le teur doit tenir ompte du fait que ertains des al uls
et formules qui suivront n'existent pas dans le as de longueur m = 0 de la E -résolution lo ale,
autrement dit dans le as des fais eaux lo alement libres. Cependant les al uls qui survivent
ont en ore sens et ils font partie de notre preuve (diérente de la preuve donnée par KoszulMalgrange) dans e as. On rappelle aussi qu'on utilise la onvention qui onsiste à négliger
les termes d'une somme ou d'un produit si l'ensemble des indi es sur lesquels on ee tue es
opérations est vide.
1.5.2
Deuxième étape : le formalisme du pro édé itératif
On ommen e par prouver la proposition suivante.
L'appli ation de re alibration R est bien dénie et onstitue une a tion de
¯
semi-groupe transitive sur l'ensemble Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
Proposition 1.5.1
P reuve. Nous ommençons par prouver que l'appli ation R est bien dénie. On prouve d'abord
¯ η = ψη · ωη0,0 . En eet on a :
les relations ∂ψ
¯ η = ∂ψ
¯ · g0 + ψ · ∂η
¯ 0,0 = ψ · (∂η
¯ 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ω 0,0 ) =
∂ψ
¯ 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ω 1,−1 ∧ η 0,1 + ω 0,0 ) = ψη · ω 0,0 .
= ψ · (∂η
η
On prouve maintenant que les matri es ωη•,• vérient la relation (1.5.3) pour l'indi e k = −1,
autrement dit on veut montrer la relation :
∂¯J ωηs,−1 + ωηs−1,0 · ωηs,−1 = ωηs,−1 · ωηs,0 .
¯ ηs,−1 , en utilisant la relation (1.5.3) pour l'indi e k = −1,
On ommen e par développer le terme ∂ω
relativement aux matri es ω •,• . On obtient alors les égalités suivantes :
−1
−1
∂¯J ωηs,−1 = −gs−1
· ∂¯J gs−1 · gs−1
· ω s,−1 · gs +
−1
−1
· ∂¯J ω s,−1 · gs + gs−1
· ω s,−1 · ∂¯J gs =
+gs−1
−1 ¯ s−1,0
= −gs−1
(∂J η
+ ω s−1,0 ∧ η s−1,0 + ω s−1,0 ) · ωηs,−1 +
+ωηs,−1 · gs−1 (∂¯J η s,0 + ω s,0 ∧ η s,0 + ω s,0 ).
−1
En rappelant que ω s−1,−1 · ω s,−1 = 0 et en rajoutant et en soustrayant le terme −gs−1
· ω s,−1 ·
¯ ηs,−1 , on obtient :
η s−1,1 · ωηs,−1 à la dernière expression de ∂ω
∂¯J ωηs,−1 = −ωηs−1,0 · ωηs,−1 +
+ωηs,−1 · gs−1 (∂¯J η s,0 + ω s,0 ∧ η s,0 + η s−1,1 ∧ ωηs,−1 + ω s,0 ) =
= −ωηs−1,0 · ωηs,−1 + ωηs,−1 · ωηs,0 .
On va montrer maintenant la validité de la formule (1.5.3) pour tous les indi es, relativement aux
matri es ωη•,• , ave un pro édé ré ursif analogue à elui qui nous a permis de dénir les matri es
56
ω •,• .
Voi i les détails de la ré urren e. Pour un
ouple
suppose avoir déjà montré la relation
κ+1
X
∂¯J ωησ,κ +
(s, k), s = 0, ..., m, k = 0, ..., m − s
(−1)κ−j ωησ+j,κ−j ∧ωησ,j = 0
on
((1.5.3)σ,κ
η )
j=−1
pour
σ = s, κ = −1, ..., k − 1.
En développant le terme en
∂¯J
de l'expression suivante on a
l'égalité :
k
X
∂¯J ωηs,k +
(−1)k−j ωηs+j,k−j ∧ ωηs,j =
j=−1
k+1
k+1
X
X
−1
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ∂¯J η s,j −
∂¯J ω s+j,k−j ∧ η s,j −
= gs+k
− ∂¯J η s+k,0 ∧ ωηs,k +
j=0
j=0
−
k−1
X
(−1)k−j ∂¯J η s+j,k−j ∧ ωηs,j −
j=−1
+
k
X
k−1
X
j=−1
η s+j,k−j ∧ ∂¯J ωηs,j + ∂¯J ω s,k +
(−1)k−j ωηs+j,k−j ∧ ωηs,j = (A1 ).
j=−1
∂¯J ω s+j,k−j
En développant les termes
et
((1.5.3)s,j
η )
et
∂¯J ωηs,j
à l'aide respe tivement des expressions (1.5.3)
on obtient :
k+1
X
−1 s+k+1,−1 ¯ s,k+1
ω s+j,k+1−j ∧ η s,j +
(A1 ) = gs+k
ω
∂J η
+
j=0
−1
+gs+k
k−j
k+1 X
X
k−j−r+1 s+j+r,k−j−r
(−1)
ω
j=0 r=−1
−
k
X
k−j ¯
(−1)
∂J η
s+j,k−j
j=−1
∧ ωηs,j
+
+
k
X
∧ω
j+1
k−1 X
X
s+j,r
∧η
s,j
k
X
−
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ∂¯J η s,j −
j=0
(−1)j−r η s+j,k−j ∧ ωηs+r,j−r ∧ ωηs,r + ∂¯J ω s,k +
j=−1 r=−1
(−1)k−j ωηs+j,k−j ∧ ωηs,j = (A2 ).
j=−1
En faisant le
hangement d'indi e
développant les premiers fa teurs
j ′ = j + r, r′ = j
ωηs+j,k−j
dans la première somme double et en
de la dernière somme on a :
k+1
X
−1 ¯ s,k
−1 s+k+1,−1 ¯ s,k+1
∂J ω
ω s+j,k+1−j ∧ η s,j + gs+k
(A2 ) = gs+k
ω
∂J η
+
j=0
k
X
−1 s+j,k−j
(−1)k−j+1 gs+k
ω
+
j=−1
+
k
X
−1
(−1)k−j gs+k
j=−1
k−j+1
X
r=0
∧ ∂¯J η s,j +
j+1
X
r=0
ω s+r,j−r ∧ η s,r +
ω s+j+r,k−j−r ∧ η s+j,r + ω s+j,k−j ∧ ωηs,j = (A3 ).
57
En rappelant que gs+j,0 := Is+k + ηs+j,0 , en dé omposant les termes extrêmes de la somme
Pk−j+1
et en dé omposant les fa teurs ωηs,j qui apparaissent dans les produits ω s+j,k−j ∧ ωηs,j
r=0
on obtient les égalités suivantes :
(A3 ) =
−1 s+k+1,−1
gs+k
ω
k+1
k
X
X
s,k+1
s+j,k+1−j
s,j
¯
∂J η
+
ω
∧η −
(−1)k+1−j η s+j,k+1−j ∧ ωηs,j +
j=−1
j=0
−1 ¯ s,k
+gs+k
∂J ω
+
+
k
X
−1 s+j,k−j
(−1)k−j gs+k
ω
j=−1
k−j
k X
X
j=−1 r=1
∧
j−1
X
(−1)j−r+1 η s+r,j−r ∧ ωηs,r + ω s,j
r=−1
−1 s+j+r,k−j−r
(−1)k−j gs+k
ω
∧ η s+j,r ∧ ωηs,j = (A4 ).
En faisant le hangement d'indi e j ′ = j + r , r ′ = j dans la dernière somme double on a
nalement :
k+1
k
X
X
−1 s+k+1,−1 ¯ s,k+1
(A4 ) = gs+k
ω
∂J η
+
ω s+j,k+1−j ∧ η s,j −
(−1)k+1−j η s+j,k+1−j ∧ ωηs,j +
j=0
j=−1
k
X
−1
+gs+k
∂¯J ω s,k +
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j = ωηs+k+1,−1 ∧ ωηs,k+1
j=−1
e qui justie la formule ((1.5.3)s,k
η ). On a alors qu'à la n de ette ré urren e toutes les matri es
s,k
ωη vérient la relation ((1.5.3)η ). Montrons maintenant que l'appli ation R est une a tion de
semi-groupe. On se propose don de montrer la formule R(η2 , ωη1 ) =: ωη1 ,η2 = ωη1 ∧η2 qui en
s,k
termes de omposantes s'exprime sous la forme ωηs,k
1 ,η2 = ωη1 ∧η2 pour tout k ≥ −1. On montre la
formule pré édente par ré urren e sur k. On remarque que la formule est évidente pour k = −1.
En expli itant l'expression de ωηs,k
1 ,η2 et en utilisant l'hypothèse de ré urren e on a :
k−1
k+1
X
X
s,j
s,j
−1
k−j s+j,k−j
s,k
s+j,k−j
¯ η s,k +
(−1)
η
∧
ω
+
ω
·
g
=
ω
−
∧
η
ωηs,k
=
g
∂
s,2
η1 ∧η2
η1
η1
J 2
2
2
s+k,2
1 ,η2
j=−1
j=1
k+1
h
X
= (gs+k,1 · gs+k,2 )−1 gs+k,1 · ∂¯J η2s,k +
∂¯J η1s+j,k−j ∧ η2s,j +
j=1
+
|
k+1 k−j+1
X
X
j=1 r=1
ω s+j+r,k−j−r ∧ η1s+j,r ∧ η2s,j +
{z
k+1
X
j=1
ω s+j,k−j ∧ gs+j,1 · η2s,j −
}
(1)
k+1 k−j−1
k−1
X
X
X
s,j
k−j−r s+j+r,k−j−r
s+j,r
(−1)
η1
∧ ωη1 ∧ η2 −
−
(−1)k−j gs+k,1 · η2s+j,k−j ∧ ωηs,j
+
1 ∧η2
|
j=1 r=−1
{z
}
(2)
j=−1
k+1
k−1
i
X
X
s,k
s,j
s+j,k−j
¯
+ ∂J η1 +
ω
∧ η1 −
+ω s,k · gs,1 gs,2 = (B1 ).
(−1)k−j η1s+j,k−j ∧ ωηs,j
1
j=1
|
{z
(1)
}
j=−1
|
{z
(2)
58
}
En rappelant l'expression du terme ∂¯J (η1 ∧ η2 )s,k , en faisant le hangement d'indi e j ′ = j + r,
r ′ = j dans la première et deuxième somme double et en regroupant opportunément les termes
on obtient :
−1
(B1 ) = (gs+k,1 · gs+k,2 )
−
k−1
X
h
∂¯J (η1 ∧ η2 )s,k +
|
k+1
X
j=0
ω s+j,k−j ∧ (η1 ∧ η2 )s,j +ω s,k −
{z
}
(1)
j+1
X
s,r
s,j
−
(−1)k−j η1s+j,k−j ∧ ∂¯J η2s,j +
ωηs+r,j−r
∧
η
+
ω
η1
2
1
j=−1
−
k−1
X
|
r=0
{z
}
(2)
(−1)k−j gs+k,1 · η2s+j,k−j ∧ ωηs,j
1 ∧η2
j=−1
i
= (B2 ).
En utilisant l'hypothèse de ré urren e et la dénition des matri es ωηs,j1 ,η2 , on peut é rire le terme
entre parenthèses rondes sous la forme suivante :
∂¯J η2s,j +
j+1
X
r=0
ωηs+r,j−r
∧ η2s,r + ωηs,j
=
1
1
j
X
(−1)j−r η2s+r,j−r ∧ ωηs,r
+ ωηs,j
.
1 ∧η2
1 ∧η2
r=−1
On aura alors
k+1
h
X
(B2 ) = (gs+k,1 · gs+k,2 )−1 ∂¯J (η1 ∧ η2 )s,k +
ω s+j,k−j ∧ (η1 ∧ η2 )s,j + ω s,k −
j=0
−
−
k−1
X
j
k−1 X
X
(−1)k−r η1s+j,k−j ∧ η2s+r,j−r ∧ ωηs,r
−
1 ∧η2
j=−1 r=−1
k−1
i
X
s+j,k−j
s,j
k−j s+k,0
−
(−1)k−j η1s+j,k−j + η2s+j,k−j ∧ ωηs,j
(−1)
η
∧
η
∧
ω
η1 ∧η2 .
2
1 ∧η2
j=−1
j=−1
En faisant le hangement d'indi e j ′ = r, r ′ = j − r dans la somme double et en regroupant
. La transitivité de
e terme ave les deux dernières sommes, on obtient le terme her hé ωηs,k
1 ∧η2
l'a tion R est omplètement laire par les al uls qui ont permis de prouver que l'a tion même
est bien dénie
On va onsidérer maintenant quelques formules utiles pour le pro édé itératif de la onvergen e
rapide qui sera exposé en détail dans la sous-se tion 1.5.5. On explique formellement les étapes
¯ le hoix initial de la alibration ω .
du pro édé itératif. On désigne par ω0 := ω ∈ Ω(U, ϕ, ψ, ∂)
¯ et
Au k-ième pas du pro édé itératif on suppose avoir obtenu la alibration ωk ∈ Ω(U, [ϕ, ψ], ∂)
avoir déterminé le paramètre ηk+1 ∈ P(U ) en fon tion de ωk . On dénit alors la alibration
ωk+1 := R(ηk+1 , ωk ) ≡ ωk, ηk+1 . Si on pose par dénition
η(k) :=
−→
^
1≤j≤k
59
ηj ,
où le symbole de produit extérieur ave une è he vers la droite désigne le produit non ommutatif de termes qui sont é rit en ordre roissant de l'indi e vers la droite, on aura la formule
ωk = ωη(k) , grâ e au fait que la re alibration R est une a tion de semi-groupe. Si on pose par
dénition g(k) := g(η(k)) ∈ Γ(U ) on aura que les omposantes de g(k) sont dénies par la
formule
gs (k) :=
−→
Y
gs,j ,
0≤j≤k
pour s = 0, ..., m, où gj := g(ηj ) et g0 := Ip0 , (i i aussi le symbole de produit ave une è he
vers la droite désigne le produit non ommutatif de termes qui sont é rits en ordre roissant de
l'indi e vers la droite). On é rit maintenant, à l'aide de ette dernière dénition, les omposantes
η(k)s,t , t ≥ 1 du paramètre η(k) déni pré édemment, sous une forme utile pour la onvergen e
vers une solution d'un problème diérentiel qu'on exposera dans la troisième partie.
Pour tout entier
paramètre η(k) sous la forme
k ≥ 1
Lemme 1.5.2.1


η(k)s,t = 

X
−→
^
on peut é rire les omposantes
s+σ(τ,r), τρ(τ )+1−r
gs+σ′ (τ,r) (jr − 1) · ηjr
τ ∈∆t
1≤r≤ρ(τ )
J∈Jk (ρ(τ ))
η(k)s,t , t ≥ 1
du


· gs+σ(τ,r) (jr )−1 
 gs (k) (1.5.4)
où
∆t :=



τ ∈ Nt | τj 6= 0 ⇒ τj−1 6= 0 ,
t
X
τj = t
j=1
ρ(τ ) := max{j | τj 6= 0},



,
Jk (ρ(τ )) := {J ∈ {1, ..., k}ρ(τ ) | j1 < ... < jρ(τ ) },
ρ(τ )+1−r
′
σ (τ, r) :=
X
τj
et
j=1
ρ(τ )−r
σ(τ, r) :=
X
τj .
j=1
Remarquons que Jk (ρ(τ )) = ∅ si k < ρ(τ ).
P reuve. On remarque que l'expression (1.5.4) est évidente dans le as k = 1, 2. Il est immédiat
de vérier à l'aide d'une ré urren e élémentaire la validité de l'expression (1.5.4) pour t = 1 et
k ≥ 1 entier quel onque. Dans e as la formule (1.5.4) s'é rit sous la forme
s,1
η(k)
=
k
X
j=1
gs+1 (j − 1) · ηjs,1 · gs (j)−1 · gs (k).
On montre maintenant la validité de l'expression (1.5.4) en général à l'aide du pro édé ré ursif
suivant. On suppose vraie la formule (1.5.4) pour les omposantes η(k)•,j , j = 1, ..., t + 1 , k ≥ 1
60
et on prouve la formule pour la omposante η(k + 1)•,t+1 En eet on a
η(k + 1)s,t+1 := (η(k) ∧ ηk+1 )s,t+1 :=
s,t+1
= η(k)
=
· gs,k+1 + gs+t+1 (k)
X
X
τ ∈∆t+1 J∈Jk (ρ(τ ))
t
X
X
X
s,t+1
· ηk+1
k+1
X
j=1
+
X
X
τ ∈∆t+1 J∈Jk (ρ(τ ))
ρ(τ )≥2
k+1
X
j=1
j=1
s,j
η(k)s+j,t+1−j ∧ ηk+1
=
s,t+1
... · gs (k + 1) + gs+t+1 (k) · ηk+1
+
−→
^
j=1 τ ∈∆t+1−j J∈Jk (ρ(τ )) 1≤r≤ρ(τ )
=
+
t
X
s,j
(...) ∧ gs+j (k) · ηk+1
=
gs+t+1 (j − 1) · ηjs,t+1 · gs (j)−1 · gs (k + 1) +
X
... · gs (k + 1) +
X
τ ∈∆t+1 J∈Jk+1 (ρ(τ ))
ρ(τ )≥2
jρ(τ ) =k+1
X
gs+t+1 (j − 1) · ηjs,t+1 · gs (j)−1 · gs (k + 1) +
... · gs (k + 1) =
X
τ ∈∆t+1 J∈Jk+1 (ρ(τ ))
ρ(τ )≥2
... · gs (k + 1)
(les trois points ... désignent les fa teurs du produit extérieur non ommutatif de la formule
(1.5.4)), e qui prouve la formule (1.5.4) pour la omposante η(k + 1)s,t+1 et don pour tout
omposantes.
1.5.3 Troisième étape : la formulation du problème diérentiel
La partie prin ipale de la preuve onsiste à prouver l'existen e, pour tout x ∈ U , d'un
voisinage ouvert V ⊂ U de x et g ∈ Γ(V ) solution du système diérentiel
 ¯
∂(ψ · g0 ) = 0





−1
(Σ)
∂¯J (gs−1
· ϕs · gs ) = 0





s = 1, ..., m.
Bien évidemment résoudre e système diérentiel équivaut à trouver une autre E -résolution de
G|V dans la lasse [ϕ, ψ], à partir de la E -résolution donnée (ϕ, ψ) de telle sorte qu'elle admet
des matri es de onnexion ω s,0 nulles. Maintenant on va prouver les deux résultats suivants.
¯ on a que l'existen e d'une
Pour tout hoix de alibration ω ∈ Ω(U, ϕ, ψ, ∂)
solution g ∈ Γ(U ) du système diérentiel (Σ) est équivalente à l'existen e d'une solution η ∈
P(U ), g = g(η), du système diérentiel quasi-linéaire
Lemme 1.5.3.1
(Sω )

k+1
X


¯ η s,k +

ω s+j,k−j ∧ η s,j + (−1)k η s−1,k+1 ∧ ωηs,−1 + ω s,k = 0
∂


 J
j=0





 k = 0, ..., m
s = 0, ..., m − k.
61
La proposition suivante permet de traduire notre problème en termes purement diérentiels.
Supposons données des matri es ω s,k ∈ Mps+k ,ps (EX0,k+1 (U )), (s, k) ∈ Im
telles que ω s−1,−1 · ω s,−1 = 0 pour s = 2, ..., m et ∂¯J ω s,−1 + ω s−1,0 · ω s,−1 = ω s,−1 · ω s,0 pour
s = 1, ..., m. Alors, pour k ≥ 0, les relations ((1.5.3)s,k )
Proposition 1.5.2
∂¯J ω s,k +
k+1
X
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j = 0
j=−1
onstituent les onditions d'intégrabilité du système diérentiel (Sω ).
Venons-en maintenant à la preuve du lemme 1.5.3.1.
P reuve du lemme 1.5.3.1. Soit g ∈ Γ(U ) une solution du système (Σ). On é rit les omposantes de g sous la forme gs = Ips + ηs,0 . Ave es notations le système (Σ) s'é rit sous la
forme
 ¯
∂ψη = 0





(Σ1 )
∂¯J ωηs,−1 = 0





s = 1, ..., m.
On rappelle que les al uls utilisés pour montrer que l'appli ation de re alibration R est bien
dénie, (proposition 1.5.1) nous donnent les égalités :
 ¯
∂ψη = ψ · (∂¯J η 0,0 + ω 0,0 ∧ η 0,0 + ω 0,0 )





∂¯J ωηs,−1 = −ωηs−1,0 · ωηs,−1 + ωηs,−1 · gs−1 (∂¯J η s,0 + ω s,0 ∧ η s,0 + η s−1,0 ∧ ωηs,−1 + ω s,0 )





s = 1, ..., m.
L'hypothèse d'exa titude de la E -résolution lo ale implique alors l'existen e d'une matri e η0,1 ∈
0,1
Mp1 ,p0 (EX
(U )) telle que
∂¯J η 0,0 +
1
X
j=0
ω j,−j ∧ η 0,j + ω 0,0 = 0.
L'équation pré édente est bien évidemment équivalente à l'équation ωη0,0 = 0 (remarquons
que la dépendan e ee tive des matri es ωη•,0 du paramètre η est limitée aux omposantes
η •,k , k = 0, 1). On a don que l'équation du système (Sω ), relative aux indi es (s, k) = (0, 0) est
satisfaite. On obtient alors à l'aide d'une ré urren e roissante sur les indi es s = 1, ..., m relatifs
aux expressions pré édentes des matri es ∂¯J ωηs,−1 et de l'exa titude de la E -résolution lo ale,
l'existen e de matri es ηs,1 ∈ Mps+1 ,ps (EX0,1 (U )), s = 0, ..., m telles que ωηs,0 = 0 pour les indi es
en question. Ces équations ne représentent rien d'autre que le système diérentiel quasi-linéaire
(S1 )

1
X


s,0
¯

∂
η
+
ω s+j,−j ∧ η s,j + η s−1,1 ∧ ωηs,−1 + ω s,0 = 0
 J




j=0
s = 0, ..., m.
62
qui est évidemment équivalent au système (Σ). On rappelle aussi que les al uls relatifs à la
bonne dénition de l'appli ation de re alibration R, nous donnent les égalités
∂¯J ωηs,k +
k
X
(−1)k−j ωηs+j,k−j ∧ ωηs,j =
j=−1
=
−1 s+k+1,−1
ω
gs+k
∂¯J η s,k+1 +
k+1
X
ω
s+j,k+1−j
j=0
∧η
s,j
−
k
X
(−1)k+1−j η s+j,k+1−j ∧ ωηs,j + ω s,k+1
j=−1
On obtient alors à l'aide d'une ré urren e triangulaire, analogue à elle qui nous a permis de
hoisir les matri es ω •,• dans la première étape de la preuve, l'existen e des matri es ηs,k telles
que ωηs,k = 0 pour s = 0, ..., m, k = 0, ...., m. Le système formé par es équations est bien
évidemment équivalent au système (Sω ), e qui prouve le lemme.
Venons maintenant à la proposition 1.5.2. On ommen e par prouver la né essité des onditions
d'intégrabilité pour le système (Sω ). La susan e de es onditions sera prouvée dans l'étape
suivante de la preuve du théorème 1.1.8.
Preuve de la né essité des
onditions d'intégrabilité pour le système
(Sω )
On ommen e par prouver la validité des relations ((1.5.3)•,k ), k ≥ 0 à l'aide d'une ré urren e
roissante sur k = 0, .., m. On rappelle que, le fait que par hypothèse on dispose des relations
ω s−1,−1 ·ω s,−1 = 0, s = 2, ..., m et ((1.5.3)•,−1 ), ombiné ave le fait que les équations du système
(Sω ), relatives aux indi es (s, 0) ne représentent rien d'autre que les équations ωηs,0 = 0, implique
la validité des équations ∂¯J ωηs,−1 = 0. On suppose par hypothèse de ré urren e la validité des
relations ((1.5.3)•,j ) pour j = −1, ..., k − 1. En utilisant la validité des équations du système (Sω )
et en appliquant l'opérateur ∂¯J à l'équation relative aux indi es (s, k) de e système on obtient
les égalités suivantes
0 = ∂¯J ω s,k · gs − (−1)k ω s,k ∧ ∂¯J η s,0 +
k+1
X
j=1
∂¯J ω s+j,k−j ∧ η s,j −
k+1
X
−
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ∂¯J η s,j + (−1)k ∂¯J η s−1,k+1 ∧ ωηs,−1 =
j=1
= ∂¯J ω s,k · gs −
k+1 k−j+1
X
X
(−1)k−j−r ω s+j+r,k−j−r ∧ ω s+j,r ∧ η s,j −
j=1 r=−1
k+1
X
−
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ∂¯J η s,j + (−1)k ∂¯J η s−1,k+1 ∧ ωηs,−1 .
j=1
En faisant le hangement d'indi e j ′ = j + r, r ′ = j dans la somme double on obtient
0 = ∂¯J ω s,k · gs −
j+1
k+1
X
X
ω s+r,j−r ∧ η s,r +
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ∂¯J η s,j +
r=1
j=0
k+1
X
+(−1)k ∂¯J η s−1,k+1 ∧ ωηs,−1 = ∂¯J ω s,k +
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j · gs +
j=0
k+1
X
ω s+j,k−j ∧ η s−1,j+1 ∧ ωηs,−1 =
+(−1)k ∂¯J η s−1,k+1 +
j=0
63
k+1
X
= ∂¯J ω s,k +
(−1)k−j ω s+j,k−j ∧ ω s,j · gs .
j=−1
L'inversibilité de gs permet alors de on lure la preuve de la né essité des onditions d'intégrabilité ((1.5.3)•,k ), k ≥ 0 pour le système (Sω ).
La proposition 1.5.2 nous suggère de onsidérer les dénitions suivantes. On dénit l'ensemble
non vide
Ω(U, p) ⊂
M
0,k+1
Mps+k ,ps (EX
(U )),
(s,k)∈Im
p = (p1 , ..., pm ), onstitué par les éléments ω = (ω s,t )s,t tels que ω s−1,−1 · ω s,−1 = 0 et la
relation (1.5.3) soit satisfaite. Si on dispose de matri es ω0s,−1 ∈ Mps−1 ,ps (EX (U )), s = 1, ..., m
qui vérient la relation é rite pré édemment on peut dénir l'ensemble
•,−1
Ω(U, ω0•,−1 ) := {ω ∈ Ω(U, p) | ∃g ∈ Γ(U ) : ω •,−1 = ω0,
g }
dont les éléments seront en ore appelés alibrations. Les al uls relatifs à la proposition 1.5.1
permettent d'étendre la re alibration R à l'appli ation
R : P(U ) × Ω(U, ω0•,−1 ) −→ Ω(U, ω0•,−1 )
qui est en ore une a tion de semi-groupe. A partir de maintenant on va onsidérer plus généralement la re alibration en termes de l'appli ation dénie pré édemment. Venons-en maintenant à
un préliminaire te hnique avant d'exposer la preuve de l'existen e des solutions pour le système
diérentiel (Sω ).
1.5.4
Détails sur le
hoix des normes et sur l'opérateur de Leray-Koppelman
A partir de maintenant on va supposer que U = B1 (0) est la boule ouverte de Cn de entre
l'origine et de rayon unité. Si A ∈ Mk,l (C) on dénit la norme kAk := supv∈Cl −{0} kAvk/kvk et
P
si u = ′|I|=q uI dz̄I est une (0, q)-forme à oe ients des (k, l)-matri es à oe ients dérivables
jusqu à l'ordre h ≥ 0, on dénit une norme de Hölder invariante par hangement d'é helle
kukr, h, µ, q :=
X
|I|=q
|α|≤h
S|α| r |α|+q k∂ α uI kr,µ
où
kf kr, µ := sup kf (z)k + sup r µ
z∈Br
z,ζ∈Br
z6=ζ
kf (z) − f (ζ)k
,
kz − ζkµ
ave µ ∈ (0, 1) une onstante xée une fois pour toutes dans notre problème et (Sk )k≥0 ⊂
(0, ∞), S0 := 1 est une suite de réels qu'on onstruira ensuite et qui vérie l'inégalité
α + β −1
Sk ≤ max
Sj Sk−j
α
|α+β|=k
pour tout k ≥ 1 et j = 1, ..., k − 1 On remarque que si le degré q ≥ 1 on a que la norme kukr,h,q
h,µ
tend vers zéro lorsque le rayon r tend vers zéro. On désignera par C0,q
(B̄r , Mk,l (C)) l'espa e de
Bana h de (0, q)-formes sur la boule fermée B̄r à oe ients des (k, l)-matri es à oe ients
dérivables jusque à l'ordre h ≥ 0, telles que la norme k · kr,h,q soit nie (on ne notera pas les
64
h,µ
h,µ
dimensions des matri es). On remarque que si u ∈ C0,q
(B̄r , Mk,l (C)) et v ∈ C0,p
(B̄r , Ml,t (C))
alors on a l'inégalité ku ∧ vkr,h,p+q ≤ kukr,h,q · kvkr,h,p . On rappelle très rapidement la dénition
de l'opérateur de Leray-Koppelman (voir les ouvrages lassiques de Henkin-Leiterer [He-Le℄, de
Range [Ra℄ et l'arti le de Harvey-Polkin [Ha-Po℄). L'opérateur de Leray-Koppelman de la boule
unité
h,µ
h,µ
Tq : C0,q+1
(B̄1 , Mk,l (C)) −→ C0,q
(B1 , Mk,l (C))
pour 0 ≤ q ≤ n − 1 est déni par une formule du type
Tq u(z) :=
Z
u(ζ) ∧ Kq (ζ, z) +
ζ∈B1
Z
u(ζ) ∧ kq (ζ, z)
ζ∈∂B1
où le premier opérateur intégral s'exprime en termes des oe ients uI de la forme u, par des
termes du type
Z
uI (ζ) · K(ζ, z) dλ(ζ)
ave
K(ζ, z) =
ζ∈B1
ζ̄l − z̄l
|ζ − z|2n
et le deuxième par des termes du type
Z
uI (ζ) · k(ζ, z) dσ(ζ)
ave
k(ζ, z) =
ζ∈∂B1
|ζ −
(ζ̄j − z̄j ) · ζ̄k
n−1−l
· ζ̄ · (ζ̄ − z̄)
z|2l+2
l = 0, ..., n − 2. Pour n = 1 on pose par dénition k(ζ, z) ≡ 0. L'opérateur de Leray-Koppelman
h,µ
h,µ
Tr,q : C0,q+1
(B̄r , Mk,l (C)) −→ C0,q
(Br , Mk,l (C)), 0 ≤ q ≤ n − 1 de la boule de rayon r et de
∗
∗
entre l'origine est déni par la formule Tr,q := (λ−1
r ) ◦Tq ◦λr ave λr : B1 → Br l'homothétie de
rapport r. On pose par dénition Tr,n := 0. Les propriétés de l'opérateur de Leray-Koppelman
qui nous intéressent sont les suivantes :
h,µ
(B̄r , Mk,l (C)), 0 ≤ q ≤ n − 1 on a la formule
1) Pour toute forme diérentielle u ∈ C0,q+1
d'homotopie :
u = ∂¯J Tr,q u + Tr,q+1 ∂¯J u
(1.5.5)
valable sur la boule Br .
2) Il existe une suite de poids S = (Sk )k≥0 de la norme de Hölder introduite pré édemment telle
h,µ
que pour toute forme diérentielle u ∈ C0,q+1
(B̄r , Mk,l (C)) on a l'estimation intérieure :
kTr,q ukr(1−σ), h+1, µ, q ≤ C · σ −s(h) · kukr, h, µ, q+1 ,
(1.5.6)
ave σ ∈ (0, 1), s(h) = 2n+h+2 et C = C(n, µ) > 0 une onstante indépendante de la régularité
h. La preuve de la formule d'homotopie est exposée dans les ouvrages lassiques mentionnés
pré édemment. Une estimation analogue à la (1.5.6) a été déjà montrée par S.Webster (voir
[We-1℄). Nous utiliserons essentiellement les mêmes arguments de Webster pour montrer elle- i.
La diéren e ave l'estimation obtenue par Webster onsiste dans le fait que la onstante C > 0
est indépendante de la régularité h. A partir de maintenant on désignera par C une onstante
stri tement positive indépendante de la régularité des formes. Pour prouver l'estimation (1.5.6)
il sut de se restreindre au as r = 1, la norme étant hoisie invariante par hangement d'é helle.
On onsidère à e propos une fon tion ρ ∈ C ∞ (R, [0, 1]) telle que ρ(x) = 1 pour x ≤ 0 et ρ(x) = 0
pour x ≥ 1. On dénit alors la fon tion de ut-o χσ , ave σ ∈ (0, 1), par la loi
χσ (z) :=
1
si |z| ≤ 1 − σ/2
ρ(2σ −1 (|z| − 1 + σ/2)) si 1 − σ/2 ≤ |z|
65
On aura alors, omme onséquen e de l'invarian e par translation de K(ζ, z), les égalités suivantes :
J1α (z)
:=
∂zα
Z
uI (ζ) · K(ζ, z) dλ(ζ) =
ζ∈B1
=
∂z1α
Z
∂ζα−1α (χσ
Z
· uI )(ζ) · K(ζ, z) dλ(ζ) +
((1 − χσ ) · uI )(ζ) · ∂zα K(ζ, z) dλ(ζ)
ζ∈B1 −B1−σ/2
ζ∈B1
pour |z| ≤ 1 − σ et pour tout multi-indi e |α| = k + 1, k ≥ 0. I i on désigne par 1α un multiindi e tel que |1α | = 1 et 1α ≤ α. La théorie lassique du potentiel (voir par exemple [Gi-Tru℄)
nous fournit alors les estimations
∂z1α
Z
∂ζα−1α (χσ · uI )(ζ) · K(ζ, z) dλ(ζ)
≤ C(n, µ) · σ −2n−1 · k∂ α−1α (χσ · uI )k1, µ
ζ∈B1
1−σ, µ
et |∂zα K(ζ, z)| ≤ C(n, µ) · |ζ − z|1−2n−|α| . On aura alors l'estimation suivante :
kJ1α k1−σ, µ ≤ C(n, µ) · σ −2n−1 · k∂ α−1α (χσ · uI )k1, µ + C(n, |α|) · (σ/2)1−2n−|α| · kuI k1, 0
et don
kJ10 k1−σ, h+1, µ ≤
≤ kJ1 k1−σ, µ + C(n, µ) · σ
−2n−1
·
X
|α|≤h+1
X X
|α|≤h β≤α
+σ −2n−h · kuI k1, 0 ·
X
S|α| kJ1α k1−σ, µ ≤
α
S|α|
σ −|β| k∂ β ρk1, µ · k∂ α−β uI k1, µ +
β
|α|≤h+1
S|α| · C(n, |α|) · 2|α|+2n−1 .
Pour un hoix onvenable dePla suite S := (Sk )k≥0 , qu'on P
présentera ensuite, on peut se ramener
à supposer que kρk1, S, µ := α≥0 S|α| k∂ α ρk1, µ < +∞ et α≥0 S|α| · C(n, |α|) · 2|α|+2n−1 < +∞.
On aura alors l'estimation
kJ10 k1−σ, h+1, µ ≤ C(n, µ) · σ −2n−1 · kuI k1, µ + C(n, µ) · σ −2n−h−1 · kρk1, h, µ · kuI k1, h, µ +
+C · σ −2n−h · kuI k1, 0 ≤ C · σ −2n−h−1 · kuI k1, h, µ .
(1.5.7)
Enn pour estimer les termes du type
J2α (z)
:=
∂zα
Z
uI (ζ) · k(ζ, z) dσ(ζ) =
ζ∈∂B1
Z
uI (ζ) · ∂zα k(ζ, z) dσ(ζ)
ζ∈∂B1
ave |z| ≤ 1 − σ , il sut de dériver |α| + 1 fois le noyau k(ζ, z), de remarquer l'estimation
élémentaire :
|J2α (z) − J2α (z̄)|
≤ |z − z̄|1−µ ·
|z − z̄|µ
Z
|uI (ζ)| · |∇z ∂zα k(ζ, ẑζ )| dσ(ζ)
ζ∈∂B1
66
(où ẑζ est un point entre z et z̄ ) et les inégalités |ζ − z| ≥ 3σ, |ζ̄ · (ζ − z)| ≥ 3σ pour |ζ| = 1 et
|z| ≤ 1 − 3σ . On aura alors l'estimation
kJ2α k1−σ, µ ≤ C(n, |α|) · σ −2n−1−|α| · kuI k1,0 .
Par l'hypothèse faite pré édemment sur la suite de poids on aura l'estimation
kJ20 k1−σ, h+1, µ ≤ C · σ −s(h) · kuI k1,0
qui ombinée ave l'estimation (1.5.7) nous donne l'estimation (1.5.6) sur la boule de rayon
unité.
Venons-en à la dénition partielle de la suite S = (Sk )k≥0 qui sera déterminée en partie par
l'exigen e de satisfaire les hypothèses faites dans les al uls pré édents.
Dénition partielle de la suite de poids
On pose par dénition
Ak :=
X
|α|=k
max{k∂ α ρk1, µ , k∂ α ω s,−1 k1, µ , s = 0, .., m, },
−1
Bk := (max{Ak , C(n, k)})−1 si max{Ak , C(n, k)} 6= 0 et 1 sinon, Dk := [max|α+β|=k α+β
α ] .
On pose par dénition S0 = 1, S1 = B1 > 0 et on dénit Sk , k ≥ 2 à l'aide de la formule
ré ursive
0 < Sk := min{2−k Bk , Rk , Lk , Dk ·
min
1≤j≤k−1
Sj · Sk−j }
où Rk , Lk sont des onstantes qui seront déterminées dans la deuxième étape. On désigne par
S(ω) la suite de poids obtenue si on pose Rk = Lk = +∞, dans la dénition pré édente des poids.
Ave es dénitions on aura kω •,−1 k1,S ≤ kω •,−1 k1,S(ω) < +∞. Pour simplier les notations on
P
identiera dans la suite k · kr,h,µ,q ≡ k · kr,h , Tr,q ≡ Tr et k∂ h f k• ≡ |α|=h k∂ α f k• .
1.5.5 Quatrième étape : présentation du s héma de onvergen e rapide de
type Nash-Moser et existen e d'une solution du problème diérentiel
(Sω )
Preuve de l'estimation fondamentale du s héma de onvergen e rapide
Dans ette partie de la preuve on va montrer l'existen e d'un paramètre de re alibration η des
alibrations ω , lequel permettra un ontrle quadratique de la norme des matri es ωη•,t , t ≥ 0
en termes de la norme des matri es ω •,t , t ≥ 0. Ce ontrle est essentiel pour montrer la
onvergen e vers zéro de la norme des matri es ωk•,t , t ≥ 0 obtenues au k-ième pas du pro édé
itératif de la onvergen e rapide. La onvergen e vers une solution du problème diérentiel (Sω )
est appelée rapide en raison de l'estimation quadratique mentionnée pré édemment. Avant de
prouver l'estimation en question on va introduire quelques notations utiles pour la suite. Soit
ω ∈ Ω(B1 , p). Pour r ∈ (0, 1) on dénit les quantités
ah (ω, r) := max{kω s,k kr,h | 0 ≤ s ≤ m , 0 ≤ k ≤ m − s},
c(ω) := max{kω s,−1 k1, S(ω) | 1 ≤ s ≤ m}.
On remarque que par dénition de la norme de Hölder, la quantité ah (ω, r) tend vers zéro
lorsque le rayon r tend vers zéro. Pour tout σ ∈ (0, 1) on dénit les rayons rl := r(1 − l · σm )
pour l = 0, ..., m+1 où on pose par dénition σm := σ/(m+1). Ensuite on dénit par ré urren e
67
dé roissante sur k = m, ..., 0, les onstantes Lk = Lk (C, c(ω)) > 0 par les formules Lm := C et
Lk−1 := max{C, 2c(ω)·C ·Lk }. A partir de maintenant on désigne par ε ∈ (0, 1/2) une onstante
xée telle que pour toutes les matri es A ∈ Mps ,ps (C) telles que kAk < ε on a l'inversibilité de
la matri e Ips + A. Ave es notations on a la proposition suivante :
Proposition 1.5.3 Supposons donnés ω ∈ Ω(B1 , p), r, σ ∈ (0, 1), h ∈ N et les poids 0 <
Sj ≤ Sj (ω), j = 0, ..., h + 1 de la norme de Hölder k · kr,h+1 . Supposons que le rayon r soit
susamment petit pour assurer les estimations
−(m+1)·s(h)
L0 (C, c(ω)) · σm
· ah (ω, r) < ε
et ah (ω, r) ≤ 1, où la quantité ah (ω, r) est al ulée par rapport au poids Sj , j = 0, ..., h. Supposons de plus que le poids Sh+1 soit susamment petit pour pouvoir assurer l'estimation :
Sh+1 k∂ h+1 ωIs,k kr,µ ≤ kωIs,k kr,µ
pour tout k = 0, ..., m, s = 0, ..., m − k et |I| = k + 1. Si on dénit les omposantes ηs,k
du paramètre de re alibration η ∈ P(B̄r(1−σ) ) par la formule de ré urren e dé roissante sur
k = m, ..., 0
0,k
(Brm−k ))
η s,k := −Trm−k ω s,k + ω s+k+1,−1 ∧ η s,k+1 + (−1)k η s−1,k+1 ∧ ω s,−1 ∈ Mps+k ,ps (EX
pour s = 0, ..., m − k, alors on aura la validité des estimations
−(m+1)·s(h)
kη •,k kr(1−σ),h+1 ≤ L · σm
ν(m,h)
kωη•,k kr(1−σ),h+1 ≤ R · σm
· ah (ω, r),
· ah (ω, r)2
(1.5.8)
(1.5.9)
pour tout k = 0, ..., m, ave L = L(C, c(ω)) := maxk Lk > 0, R = R(C, c(ω)) > 0 onstantes
positives et ν(m, h) := [(m + 2) · m + 1] · s(h), (m ≥ 0, h ≥ 0).
P reuve. Dans les al uls qui suivront on utilisera les identi ations ah ≡ ah (ω, r) et c = c(ω).
On ommen e par prouver l'estimation (1.5.8). Si on dénit σm,l > 0 par la formule rl+1 =
rl (1 + σm,l ) on a que σm,l ≥ σm . On obtient alors à l'aide de l'estimation (1.5.6) et d'une
ré urren e élémentaire dé roissante sur k = m, ..., 0, l'estimation suivante
−(m−k+1)·s(h)
kη •,k krm−k+1 ,h+1 ≤ Lk · σm
· ah ,
(1.5.10)
qui prouve l'estimation (1.5.8). Venons maintenant à la preuve de l'estimation (1.5.9). Pour ela
on dénit les tron atures η[t] := (η[t] s,k )s,k ∈ P(Brm−t ) du paramètre η déni dans l'hypothèse
de la proposition 1.5.3, de la façon suivante ; η[t] s,k := 0 si k < t et η[t] s,k := ηs,k sur la boule
Brm−t , si k ≥ t. Par dénition de la re alibration ave paramètre η[k+1] on aura alors :
ωηs,k
= ω s,k + ω s+k+1,−1 ∧ η s,k+1 + (−1)k η s−1,k+1 ∧ ω s,−1
[k+1]
sur la boule Brm−k−1 pour k = 0, ..., m. On montre maintenant à l'aide d'une ré urren e en ordre
dé roissant sur k = m, ..., 0, l'estimation quadratique
−b(m,k,h)
kTrm−k ∂¯J ωηs,k
k
≤ Qk · σm
· a2h
[k+1] rm−k+1 ,h+1
(1.5.11)
où Qk = Qk (C, c) > 0 est une onstante positive, b(m, k, h) := [2(m − k) + 1] · s(h). Pour k = m
on a banalement ωη0,m
= ω 0,m . L'estimation pré édente dé oule alors immédiatement de la
[m+1]
relation ((1.5.3)0,m ), qui peut être é rite expli itement sous la forme
∂¯J ω 0,m = −
m
X
(−1)m−j ω j,m−j ∧ ω 0,j
j=0
68
et de l'estimation (1.5.6). Le diagramme de gure 1.6 montre les matri es qui interviennent dans
la relation (1.5.3) dans le as où k = m. On remarque que la relation ((1.5.3)0,m ) est la seule,
0 ω 0,0
1
2
3
4
5
6
p0
ω 0,1
p1
ω 0,2
p2
ω 1,2
ω 0,3
ω 2,2
ω 1,3
p3
ω 3,1
ω 4,0
ω 0,4
∂¯J ω 0,4
p4
Fig.
1.6 parmi les autres relations ((1.5.3)•,• ), qui ne présente pas de fa teurs de type ω •,−1 dans les
termes quadratiques.
Montrons maintenant l'estimation quadratique (1.5.11) pour 0 ≤ k−1 < m (si m ≥ 1, autrement
il n'y a plus rien à prouver en e qui on erne l'estimation (1.5.11)) en admettant qu'elle soit
vraie pour 1 ≤ k ≤ m. En eet en utilisant la relation (1.5.3) relativement aux matri es ∂¯J ωηs,k−1
[k]
on obtient l'expression suivante :
∂¯J ωηs,k−1
= (−1)k+1 ωηs−1,k
∧ ω s,−1 + ω s+k,−1 ∧ ωηs,k
+
[k]
[k]
[k]
+
k−1
X
j=0
(−1)k−j ωηs+j,k−1−j
∧ ωηs,j
[k]
[k]
(1.5.12)
(remarquons que ωη•,−1
= ω •,−1 étant k ≥ 1). En expli itant à l'aide de la formule de re alibration
[k]
relative au paramètre η[k] les termes ωη•,k
qui apparaissent dans l'expression pré édente et en
[k]
utilisant la formule d'homotopie pour l'opérateur ∂¯J on obtient :
=
ωηs,k
= ∂¯J η s,k + ω s+k,0 ∧ η s,k − (−1)k η s,k ∧ ωηs,0
+ ωηs,k
[k]
[k]
[k+1]
= Trm−k ∂¯J ωηs,k
+ ω s+k,0 ∧ η s,k − (−1)k η s,k ∧ ωηs,0
.
[k+1]
[k]
Le diagramme suivant montre les matri es qui interviennent dans la dénition de la matri e ωη1,2
[2]
dans le as m = 4.
On estime don la norme des matri es ωηs,k
à l'aide de l'expression obtenue pré édemment, de
[k]
l'hypothèse ré ursive et de l'estimation (1.5.10).
−[2(m−k)+1]·s(h)
kωηs,k
k
≤ Qk · σm
[k] rm−k+1 ,h
· a2h + kω s+k,0 ∧ η s,k krm−k+1 ,h +
+kη s,k ∧ ω s,0 krm−k+1 ,h + 2c · kη s,k krm−k+1 ,h · kη •,k krm−k+1 ,h ≤
69
0
1
2
3
4
p0
ω 1,−1
ω 1,0
p1
η0,3
p2
ω 1,2 , ∂¯J η1,2
η1,2
p3
ω 3,0
ω 4,−1
η1,3
p4
Fig. 1.7 −[2(m−k)+1]·s(h)
≤ Qk · σm
−(m−k+1)·s(h)
+2Lk · σm
· a2h +
−2(m−k+1)·s(h)
· a2h + 2c · L2k · σm
· a2h .
On a alors prouvé l'estimation quadratique
−2(m−k+1)·s(h)
kωηs,k
k
≤ H k · σm
· a2h
[k] rm−k+1 ,h
(k ≥ 1), où Hk = Hk (C, c) > 0 est une onstante positive (on remarque que le terme quadratique
2c · kη s,k krm−k+1 ,h · kη •,k krm−k+1 ,h , et don le dernier terme
−2(m−k+1)·s(h)
2c · L2k · σm
· a2h
de la dernière inégalité pré édente, sont présents seulement si
t ≥ 2).
On estime maintenant la norme
k=1
ωη•,0
= ω •,0
[t]
du fait que
kTrm−k+1 ∂¯J ωη•,k−1
krm−k+2 ,h+1
[k]
si
à l'aide de l'expression
(1.5.12) et de l'estimation obtenue pré édemment. On a :
−s(h)
kTrm−k+1 ∂¯J ωη•,k−1
krm−k+2 ,h+1 ≤ 2c · C · σm
· kωη•,k
k
+
[k]
[k] rm−k+1 ,h
−s(h)
+k · C · σm
2
ah + 2c · kη •,k krm−k+1 ,h ≤
−[2(m−k+1)+1]·s(h)
≤ 2c · C · Hk · σm
−s(h)
+k · C · σm
· a2h +
−(m−k+1)·s(h)
ah + 2c · Lk · σm
e qui prouve l'estimation (1.5.11) pour l'indi e
· ah
2
k − 1 et don pour tous les indi
(2c)2 · kη •,k k2rm−k+1 ,h , et don
es
[i i aussi on remarque que les termes quadratiques
en dérivent
−(m−k+1)·s(h)
2c · Lk · σm
· ah
2
et qui apparaissent dans l'estimation pré édente, sont présents seulement dans le
eet, pour arriver à
ette
on lusion il sut de tenir
dans l'expression (1.5.12). Le
as
k = 1 est
ompte de la relation
elui pour lequel le poids
70
k = 0, ..., m.
les termes qui
−b(m,k−1,h)
σm
as
ωη•,j
= ω •,j
[t]
k = 1. En
j < t−1
si
gurant dans
l'estimation de la norme kTrm−k+1 ∂¯J ωη•,k−1
krm−k+2 ,h+1 est le plus grand℄. On est maintenant en
[k]
position de prouver l'estimation (1.5.9). On pose par dénition θ s,0 := (Ips + ηs,0 )−1 − Ips ∈
Mps ,ps (EX (Brm )). Le fait que supz∈Br(1−σ) kη s,0 (z)k < ε < 1 implique l'égalité
θ s,0 =
∞
X
(−1)j (η s,0 )j
j=1
(a priori la série pré édente est onvergente en topologie C 0 vers l'élément θ s,0 de lasse C ∞ ,
mais une étude élémentaire plus pré ise, dont on n'aura pas besoin i i, montre que l'estimation
pré édente supz∈Br(1−σ) kηs,0 (z)k < ε < 1 est susante pour assurer la onvergen e de la série
en topologie C h pour tout h). L'inégalité
−(m+1)·s(h)
kη s,0 kr(1−σ),h+1 ≤ L0 · σm
· ah < ε < 1/2
implique la onvergen e de la série pré édente en topologie C h+1,µ (B̄r(1−σ) ) et permet d'ee tuer
les estimations
kθ
s,0
kr(1−σ),h+1 ≤
∞
X
j=1
kη s,0 kjr(1−σ),h+1 ≤ 2kη s,0 kr(1−σ),h+1
et kg•±1 kr(1−σ),h+1 < 2. On utilisera es deux inégalités et l'estimation (1.5.11) obtenue pré édemment pour prouver l'estimation (1.5.9) sous la forme plus pré ise suivante :
(1.5.13)
−[(k+2)·m+1]·s(h)
kωη•,k kr(1−σ),h+1 ≤ Rk′ · σm
· a2h
où Rk′ = Rk′ (C, c) > 0 est une onstante positive. Nous onsidérons pourtant l'expression suivante
de ωηs,k , pour tous les indi es k = 0, ..., m
k
k−1
X
X
−1
ωηs,k = gs+k
· ∂¯J η s,k +
ω s+j,k−j ∧ η s,j −
(−1)k−j η s+j,k−j ∧ ωηs,j +
j=0
j=0
−1
+(−1)k η s−1,k+1 ∧ θ s−1,0 ∧ ω s,−1 + (−1)k η s−1,k+1 ∧ gs−1
· ω s,−1 ∧ η s,0 + ωηs,k
[k+1]
=
−1
gs+k
=
k
k−1
X
X
s,k
s+j,k−j
s,j
¯
· Trm−k ∂J ωη[k+1] +
ω
∧η −
(−1)k−j η s+j,k−j ∧ ωηs,j +
j=0
j=0
−1
+(−1)k η s−1,k+1 ∧ θ s−1,0 ∧ ω s,−1 + (−1)k η s−1,k+1 ∧ gs−1
· ω s,−1 ∧ η s,0 .
Dans le as k = 0, l'expression pré édente s'é rit sous la forme :
−1
s,0
s,0
s−1,1
s−1,0
s,−1
s−1,1
s,−1
s,0
ωηs,0 = gs−1 · Trm ∂¯J ωηs,0
+
ω
∧
η
+
η
∧
θ
∧
ω
+
η
∧
g
·
ω
∧
η
.
s−1
[1]
On estime maintenant la norme kωηs,0 kr(1−σ),h+1 . L'hypothèse faite sur le poids Sh+1 implique
l'inégalité
kω s,0 ∧ η s,0 kr(1−σ),h+1 ≤ 2kω s,0 kr,h · kη s,0 kr(1−σ),h+1 ,
71
qui ombinée ave les inégalités kθ s,0kr(1−σ),h+1 ≤ 2kηs,0 kr(1−σ),h+1 , kg•±1 kr(1−σ),h+1 < 2, l'estimation (1.5.10) et l'estimation (1.5.11) pour k = 0, prouvée pré édemment, donne les estimations
suivantes :
−(2m+1)·s(h)
kωηs,0 kr(1−σ),h+1 ≤ 2Q0 · σm
· a2h + 4kω s,0 kr,h · kη s,0 kr(1−σ),h+1 +
+2c · kη s−1,1 kr(1−σ),h+1 · kθ s−1,0 kr(1−σ),h+1 +
+4c · kη s−1,1 kr(1−σ),h+1 · kη s,0 kr(1−σ),h+1 ≤
−(2m+1)·s(h)
≤ 2Q0 · σm
−(m+1)·s(h)
· a2h + 4L0 · σm
−(2m+1)·s(h)
+4c · L1 · L0 · σm
· a2h +
· a2h .
e qui prouve l'estimation (1.5.13) dans le as k = 0. On montre maintenant l'estimation quadratique (1.5.13) pour tous les indi es à l'aide d'une ré urren e roissante sur k = 0, ..., m − s,
appliquée à l'expression pré édente de la matri e ωηs,k et à l'aide de l'estimation quadratique
(1.5.11). On suppose vraie l'estimation (1.5.13) pour tout j = 0, ..., k − 1 et on onsidère l'estimation suivante dans laquelle on utilise omme pré édemment l'hypothèse faite sur le poids
Sh+1 de la norme de Hölder et l'hypothèse ah ≤ 1 :
−[2(m−k)+1]·s(h)
kωηs,k kr(1−σ),h+1 ≤ 2Qk · σm
+4
k
X
j=0
+
k−1
X
j=0
· a2h +
kω s+j,k−j kr,h · kη s,j kr(1−σ),h+1 +
kη s+j,k−j kr(1−σ),h+1 · kωηs,j kr(1−σ),h+1 +
+8c · kη s−1,k+1 kr(1−σ),h+1 · kη •,0 kr(1−σ),h+1 ≤
−(2m+1)·s(h)
≤ (2Qk + 4(k + 1) · L) · σm
+
· a2h +
k−1
X
−[m+(j+2)·m+1]·s(h)
(Lk−j · Rj′ ) · σm
· a2h +
j=0
−(2m+1)·s(h)
+8c · Lk+1 · L0 · σm
· a2h .
La dernière inégalité implique évidement l'estimation (1.5.13) et don l'estimation (1.5.9), e qui
prouve la proposition 1.5.3.
Bon fon tionnement du pro édé itératif
Dans ette partie on va établir les hypothèses qui permettent d'appliquer l'estimation fondamentale (1.5.9) à une étape quel onque du pro édé itératif. On ommen e par pré iser les
paramètres qui ontrleront les étapes de la onvergen e rapide. Pour ela on dénit d'abord les
72
paramètres σk := e−k−2 qui ontrleront les restri tions des rayons des boules, lesquels sont dénis de façon ré ursive par la formule rk+1 := rk (1 − σk ) pour tout entier k ≥ 0. Bien évidemment
le rayon limite
r∞ := lim rk = r0
k→+∞
∞
Y
(1 − σk )
k=0
P
− σk ) ≤ Cst ∞
k=0 σk < ∞. Ensuite on désigne par
r(k, l) := rk (1 − l · σm,k ), l = 0, ..., m + 1 où σm,k := σk /(m + 1). Pour le hoix du rayon initial
est non nul étant donné que −
P∞
k=0 log(1
on onsidère les suites numériques
2k
αk (r) := a0 (r)
·
2k
βk (r) := b0 (r)
k−1
Y
k−1−j
H2
j=0
·
k−1
Y
−ν(m,j)·2k−1−j
· σj
k−1−j
,
k−1−j
P2
· e−γ(m,j)·2
j=0
−(m+1)·s(0)
où b0 (r) := H · σm,0
· a0 (r), H > 0, P > 0 sont deux onstantes (dépendantes seulement
de m) et γ(m, j) est une fon tion ane stri tement roissante en j . On rappelle que par dénition
de la norme de Hölder on a que la quantité a0 = a0 (r) tend vers zéro lorsque r > 0 tend vers
zéro. Avant de faire le hoix du rayon initial on a besoin du lemme élémentaire suivant.
Lemme 1.5.5.0 Il existe
(A),
(B)
pour tout
r ∈ (0, ρ]
ρ ∈ (0, 1)
lim
r→0+
(C),
pour tout
r ∈ (0, ρ]
tel que ;
les séries numériques
∞
X
P
k≥0 αk (r) et
αk (r) = 0,
lim
r→0+
k=0
k≥0
et entier
∞
X
P
k≥0 βk (r) sont
onvergentes.
βk (r) = 0
k=0
on a les inégalités
αk (r) ≤ 1
et
βk (r) < ε
P reuve. Par le ritère du rapport il sut de vérier que les suites ln(αk+1 /αk ) et ln(βk+1 /βk )
tendent vers −∞ lorsque k tend vers +∞. En expli itant les logarithmes on a :
k−1
k−1
X
X
ν(m, j)2−j ln σm,j −
2−j − 2−1
ln(αk+1 /αk ) = 2k · ln a0 (ρ) + 2−1 (ln H)
j=0
j=0
−ν(m, k) ln σm,k + ln H
k
−1
ln(βk+1 /βk ) = 2 · ln b0 (ρ) + 2
(ln P )
k−1
X
−j
2
−1
+2
j=0
k−1
X
j=0
γ(m, j)2−j + γ(m, k) + ln P.
Il sut don de hoisir ρ > 0 susamment petit pour assurer les inégalités
−1
ln a0 (ρ) + 2
(ln H)
∞
X
−j
2
−1
+2
j=0
ln b0 (ρ) + 2−1 (ln P )
∞
X
ν(m, j)[j + 2 + ln(m + 1)]2−j < 0,
j=0
∞
X
2−j + 2−1
j=0
∞
X
j=0
73
γ(m, j)2−j < 0
(se rappeler la dénition de σj ). On aura alors la onvergen e voulue pour les suites ln(αk+1 /αk )
et ln(βk+1 /βk ). Le fait que pour tout entier k ≥ 0 les quantités αk (r) et βk (r) tendent monotonement vers zéro lorsque r tend vers zéro, implique par le théorème de la onvergen e dominée
les on lusions (B) et (C) du lemme.
D'aprèsPle lemme pré édent on peut hoisir le rayon initial r0 ∈ (0, ρ] de telle sorte que l'inégalité ∞
k=0 βk (r0 ) < 1/2 + 1/(4 ln 2) soit satisfaite. Dans la suite on notera αk := αk (r0 ) et
βk := βk (r0 ). On dénit maintenant le paramètre ηk+1 , qui ontrle la re alibration des alibrations ωk , k ≥ 0 au k-ième pas du pro édé itératif (on désigne ave ω0 = ω le hoix initial de
ω asso iée au système diérentiel (Sω )), de la façon suivante ; on dénit ré ursivement en ordre
dé roissant sur t = m, ..., 0 les matri es
s,t
0,t
s,t+1
s−1,t+1
(Br(k,m−t) ))
ηk+1
:= −Tr(k,m−t) ωks,t + ωks+t+1,−1 ∧ ηk+1
+ (−1)t ηk+1
∧ ωks,−1 ∈ Mps+t ,ps (EX
s,0
s,t
(z)k <
et on pose ηk+1 := (ηk+1
)s,t ∈ P(B̄r(k,m) ). On va justier ensuite l'estimation supz∈Br kηk+1
s,t
s,t
ε qui assure l'inversibilité de la matri e gs,k+1 . On dénit alors les matri es ωk+1 := ωk, ηk+1 ∈
0,t+1
Mps+k ,ps (EX
(B̄rk+1 )) pour tout t = −1, ..., m. Les onstantes Rk , Lk qui apparaissent dans la
dénition des poids S = (Sk )k≥0 de la norme de Hölder sont dénies par les formules :
s,t
k+1 s,t
Rk+1 := max{kωk,
ωk, I krk , µ | 0 ≤ s ≤ m, 0 ≤ t ≤ m − s, |I| = t + 1},
I krk , µ /k∂
Lk+1 := max{2−k−1 kgs (k)±1 krk , µ /k∂ k+1 gs (k)±1 krk , µ | 0 ≤ s ≤ m}
s,t
pour tout entier k ≥ 0. I i on suppose que max{kωk,
I krk , µ | 0 ≤ s ≤ m, 0 ≤ t ≤ m − s, |I| =
t + 1} > 0, autrement il n'y a rien à prouver. Ave e hoix des poids Sk > 0 on aura que les
inégalités
•,t
•,t
Sk+1 k∂ k+1 ωk,
I krk , µ ≤ kωk, I krk , µ ,
(1.5.14)
Sk+1 k∂ k+1 g• (k)±1 krk , µ ≤ 2−k−1 kg• (k)±1 krk , µ
(1.5.15)
seront satisfaites pour tout entier k ≥ 0 et t = 0, ..., m. On pose par dénition
ak := max{kωks,t krk , k | 0 ≤ s ≤ m , 0 ≤ t ≤ m − s},
−(m+1)·s(k)
bk := H · σm, k
proposition suivante.
· ak et c ≡ c(ω0 ). Ave les notations introduites pré édemment on a la
k≥0
Proposition 1.5.4 Pour tout entier
on a les estimations suivantes ;
−ν(m,k)
ak+1 ≤ H · σm, k
où
· a2k ≤ 1,
(1.5.16)
s,t
kηk+1
krk+1 , k+1 ≤ bk < ε < 1/2,
(1.5.17)
s,−1
kωk+1
krk+1 ,k+1 ≤ 4c
(1.5.18)
H := max{R(C, 4c), L(C, 4c)} > 0
et les inégalités
ak ≤ αk , bk ≤ βk .
P reuve. On montre les trois estimations pré édentes à l'aide d'une ré urren e sur k ≥ 0. Pour
k = 0 on a d'après le lemme 1.5.5.0, la validité des inégalités α0 (r) ≤ 1 et β0 (r) < ε < 1/2. On
74
est don en position d'appliquer la proposition 1.5.3, qui assure les inégalités (1.5.16) et (1.5.17)
pour k = 0. On obtient alors l'estimation kη1•,0 kr1 ,1 < 1/2 laquelle, pour les al uls faits dans la
±1
preuve de la proposition 1.5.3, assure les inégalités kg•,1
kr1 ,1 < 2. Ces inégalités assurent don
l'estimation (1.5.18) pour k = 0, ar
−1
kω1s,−1 kr1 ,1 ≤ kgs−1,1
kr1 ,1 · kω s,−1 kr1 ,1 · kgs,1 kr1 ,1 .
Supposons maintenant par hypothèse ré ursive que les estimations (1.5.16), (1.5.17) et (1.5.18),
sont vraies pour tout l = 0, ..., k − 1. L'inégalité (1.5.16) implique alors l'inégalité
bl+1 ≤ P · eγ(m,l) · b2l
pour les indi es en question. On obtient don les inégalités al ≤ αl ≤ 1, bl ≤ βl < ε. Le fait que
par hypothèse indu tive on dispose de l'estimation kωk•,−1 krk , k < 4c permet alors d'appliquer
la proposition 1.5.3 qui assure la validité des estimations (1.5.16) et (1.5.17) pour l = k. En
parti ulier l'estimation (1.5.17) assure la validité de l'estimation
•,0
kηk+1
krk+1 , k+1 ≤ βk < ε < 1/2.
s,−1
On passe maintenant à l'estimation des normes kωk+1
krk+1 , k+1 . On a par dénition des matri es
s,−1
ωk+1 l'estimation
s,−1
kωk+1
krk+1 , k+1 ≤ kgs−1 (k + 1)−1 krk+1 , k+1 · kω s,−1 krk+1 , k+1 · kgs (k + 1)krk+1 , k+1 .
La ondition (1.5.15) sur les poids implique que pour tout k ≥ 0 on dispose de l'inégalité
±1
kgs (k + 1)±1 krk+1 , k+1 ≤ (1 + 2−k−1 ) · kgs,k+1
krk+1 , k+1 · kgs (k)±1 krk , k .
L' hypothèse indu tive nous permet alors d'ee tuer les estimations suivantes pour k ≥ 1
kgs (k +
≤
√
e·
k+1
Y
j=1
1)±1 krk+1 , k+1
(1 ±
≤
kηjs,0 krj , j )±1
≤
√
k+1
Y
−j
(1 + 2
j=2
)·
k+1
Y
j=1
±1
kgs,j
krj , j ≤
k+1
X
√
≤ e · exp 2(ln 2)
kηjs,0 krj , j ≤
j=1
∞
X
e · exp 2(ln 2)
βj < 2
j=0
s,−1
(rappeler le hoix initial du rayon r0 ). On obtient don l'estimation voulue kωk+1
krk+1 , k+1 ≤ 4c,
e qui on lu la preuve des trois estimations (1.5.16), (1.5.17) et (1.5.18) pour j = k et don
pour tout entier positif k.
Preuve de la onvergen e vers une solution du problème diérentiel (Sω )
Ave les notations introduites pré édemment on a la proposition suivante.
Proposition 1.5.5 . Les limites
η s,t := lim η(k)s,t
k→∞
existent en topologie C h,µ (Br∞ ) pour tout h ≥ 0 et elles onstituent
les omposantes du paramètre de re alibration η = (ηs,t )s,t ∈ P(Br∞ ), solution du problème
diérentiel (Sω ).
s = 0, ..., m, t = 0, ..., m − s
75
P reuve. Nous ommençons par prouver l'existen e des limites
gs :=
−→
Y
gs,j = lim gs (k) = Ips + lim η(k)s,0
k→∞
j≥1
k→∞
en topologie C h,µ (Br∞ ) pour h ≥ 0 quel onque et le fait que les matri es gs sont inversibles.
On aura alors ηs,0 = gs − Ips . On déduit immédiatement de la proposition 1.5.4 les estimations
kηk•,• kr∞ ,h < βk < 1/2 et kg• (k)±1 kr∞ ,h < 2 pour tout k ≥ h. Le fait que gs (k + 1) − gs (k) =
s,0
ηk+1
· gs (k) implique les estimations suivantes :
s,0
s,0
kgs (k + 1) − gs (k)kr∞ , h ≤ kηk+1
kr∞ , h · kgs (k)kr∞ , h ≤ 2kηk+1
kr∞ , h ≤ 2βk
pour tout k ≥ h. On a alors
∞
X
k=0
kgs (k + 1) − gs (k)kr∞ , h ≤
h
X
k=0
kgs (k + 1) − gs (k)kr∞ , h + 2 ·
∞
X
k=h+1
βk < ∞
et don l'existen e des matri es gs ∈ C h,µ (Br∞ , Mps ,ps (C)) pour tout h ≥ 0 telles que
gs = lim gs (k) = Ips +
k→∞
∞
X
k=0
(gs (k + 1) − gs (k))
en topologie C h,µ (Br∞ ). D'autre part l'égalité
−1
gs (k + 1)
−1
− gs (k)
−1
= gs (k)
·
∞
X
s,0 j
(−1)j (ηk+1
)
j=1
permet d'ee tuer les estimations suivantes :
−1
kgs (k + 1)
−1
− gs (k)
−1
kr∞ , h ≤ kgs (k)
kr∞ , h ·
∞
X
j=1
s,0 j
s,0
kηk+1
kr∞ , h ≤ 4kηk+1
kr∞ , h ≤ 4βk
pour tout k ≥ h, lesquelles assurent la onvergen e de la série
∞
X
k=0
kgs (k + 1)−1 − gs (k)−1 kr∞ , h ≤
h
X
k=0
kgs (k + 1)−1 − gs (k)−1 kr∞ , h + 4 ·
∞
X
k=h+1
βk < ∞,
e qui prouve l'existen e des matri es ρs ∈ C h,µ (Br∞ , Mps ,ps (C)) telles que ρs = limk→∞ gs (k)−1
en topologie C h,µ (Br∞ ), pour tout h ≥ 0. On a alors l'égalité Ips = limk→∞ gs (k)·gs (k)−1 = gs ·ρs ,
qui montre que gs ∈ GL(ps , E(Br∞ )) et ρs = gs−1 . Montrons maintenant l'existen e des limites
η s,t pour t ≥ 1. En rappelant l'expression des omposantes η(k)s,t , t ≥ 1, du paramètre η(k)
introduite dans la sous-se tion 1.5.1 et en tenant ompte de l'existen e de la limite g ∈ Γ(U )
prouvée pré édemment, on déduit qu'il sut de prouver l'existen e des limites
lim
k→∞
X
−→
^
J∈Jk (ρ(τ )) 1≤r≤ρ(τ )
s+σ(τ,r), τρ(τ )+1−r
gs+σ′ (τ,r) (jr − 1) · ηjr
76
· gs+σ(τ,r) (jr )−1
τ ∈ ∆t , t ≥ 1 en topologie C h,µ (Br∞ ), ave h ≥ 0 quel onque, pour obtenir l'existen e de la
limite ηs,t ∈ Mps+t ,ps (EX0,t (Br∞ )). Il sut don de prouver que pour tout h ≥ ρ(τ ) la limite
k→∞
Y
J∈Jk (ρ(τ )) r=1
X
= lim
k→∞
ρ(τ )
X
lim
X
kg• (jr − 1) · ηj•,•
· g• (jr )−1 kr∞ ,h =
r
l
Y
l+p=ρ(τ ) I∈Jh (l) r=1
l,p≥0
×
p
Y
X
I∈Jh,k (p) r=1
kg• (ir − 1) · ηi•,•
· g• (ir )−1 kr∞ ,h ×
r
kg• (jr − 1) · ηj•,•
· g• (jr )−1 kr∞ ,h
r
est nie. I i on pose par dénition Jh,k (p) := {J ∈ {h + 1, ..., k}p | j1 < ... < jp }, Jh (0) =
Jh,k (0) := ∅, (rappeler qu'on utilise la onvention qui onsiste à négliger les symboles de somme
et de produit si l'ensemble d'indi es sur lequel on ee tue es opérations est vide). On onsidère
pourtant les estimations suivantes pour 1 ≤ p ≤ ρ(τ )
lim
k→∞
p
< 4 lim
k→∞
X
p
Y
J∈Jh,k (p) r=1
X
p
Y
I∈Jh,k (p) r=1
kg• (jr − 1)kr∞ ,h · kηj•,•
kr∞ ,h · kg• (jr )−1 kr∞ ,h <
r
p
βjr −1 < 4 lim
k→∞
X
βjp −1
k
X
j −h−1
= 4 lim
· βj−1 < ∞.
k→∞
p−1
p
j=h+p
J∈Jh,k (p)
La dernière limite est nie par le ritère du rapport, rappeler en fait que limk→∞ βk+1 /βk = 0,
d'après la preuve du lemme 1.5.5.0. On a don prouvé l'existen e du paramètre limite η ∈
P(Br∞ ). Prouvons maintenant qu'il onstitue une solution (de lasse C ∞ ) pour le problème
diérentiel (Sω ). En eet l'existen e de la limite η en topologie C h,µ (Br∞ ), pour h ≥ 1 implique
les égalités
s,t
ωηs,t = lim ωη(k)
= lim ωks,t
k→∞
k→∞
en topologie C h−1,µ (Br∞ ). En rappelant l'inégalité ak ≤ αk obtenue dans la preuve de la proposition 1.5.4 on obtient
kωηs,t kr∞ ,0 = lim kωks,t kr∞ ,0 ≤ lim ak = 0,
k→∞
k→∞
e qui prouve que η ∈ P(Br∞ ) est une solution du système diérentiel
 s,t
 ωη = 0
s = 0, ..., m

t = 0, ..., m − s
qui n'est rien d'autre que le système diérentiel (Sω ).
77
1.5.6 Cinquième étape : n de la preuve du théorème 1.1.8
L'étape pré édente montre qu'on peut se ramener à onsidérer le diagramme ommutatif
suivant.
0
0
✻
0
¯|
✲ (Ker ∂)
V
G|V ⊗E EV0,1
V
✻
ψ̃|..
✻
ψ̃ ⊗ I(0,1)
ψ̃
✲ O ⊕p0
V
∂¯J ✲
✲ E ⊕p0
V
(EV0,1 )⊕p0
✻
✻
ϕ̃|..
0
¯
∂
✲
✲ G|
V
✻
0
✻
✻
ϕ̃ ⊗ I(0,1)
ϕ̃
✲ O ⊕p1
V
∂¯J ✲
✲ E ⊕p1
V
(EV0,1 )⊕p1
ave V := Br∞ , ψ̃ := ψg et ϕ̃ := ϕ1, g . Ce diagramme est exa t, sauf pour l'instant au niveau
des premières è hes verti ales à gau he. Pour on lure il nous reste don à montrer l'exa titude
de la suite
ϕ̃|..
ψ̃|..
¯| →0
OV⊕p1 −→ OV⊕p0 −→ (Ker ∂)
V
On identie ϕ̃ = (ϕ̃1 , ..., ϕ̃p1 ), on désigne par ϕ̃kl ∈ OX (V ) la k-ème omposante de ϕ̃l , et on
pose par dénition
ak,x := Ox ϕ̃k1,x + ... + Ox ϕ̃kp1 ,x ⊳ Ox
Le fait que (ak,x · Ex ) ∩ Ox = ak,x (par dénition de délité plate de l'anneau Ex sur l'anneau
Ox . On peut aussi déduire l'égalité pré édente en utilisant un résultat beau oup plus simple,
i.e la délité plate de l'anneau des séries formelles Ex /m∞ (Ex ) = Ôx en x, sur l'anneau Ox
(voir[Mal-1℄)) implique la surje tivité du morphisme
ϕ̃|.. : OV⊕p1 −→ RO (ψ̃)
où RO (ψ̃) = RE (ψ̃) ∩ OV⊕p0 désigne le fais eau des relations holomorphes de ψ̃. On pose par
dénition
L'exa titude de la suite
¯| )
F := Im(ψ̃|.. : OV⊕p1 −→ (Ker ∂)
V
ψ̃|..
ϕ̃|..
OV⊕p1 −→ OV⊕p0 −→ F → 0
implique la ohéren e du fais eau F . Considérons maintenant le morphisme de fais eaux de
E -modules α : F ⊗O EV −→ G|V , déni par la loi
V
α:
p0
X
k=1
ψ̃k,y ⊗Oy fk,y 7→
p0
X
k=1
ψ̃k,y · fk,y ,
fk,y ∈ Ey . Le morphisme en question est bien évidement surje tif. Il est aussi inje tif, en eet
soient fk,y ∈ Ey telles que
p0
X
ψ̃k,y · fk,y = 0.
k=1
78
L'exa titude de la suite
ϕ̃|..
ψ̃|..
EV⊕p1 −→ EV⊕p0 −→ G|V → 0
implique l'existen e de germes de fon tions u1,y , ..., up1 ,y ∈ Ey tels que
fk,y =
p1
X
ϕ̃kl,y · ul,y .
l=1
On a alors les égalités
p0
X
k=1
ψ̃k,y ⊗Oy fk,y =
p0 X
p1
X
k=1 l=1
ϕ̃kl,y
ψ̃k,y ⊗Oy
Le fait que
p0
X
k=1
· ul,y =
p1 X
p0
X
l=1
k=1
ψ̃k,y · ϕ̃kl,y ⊗Oy ul,y
ψ̃k,y · ϕ̃kl,y = 0
implique l'inje tivité du morphisme α lequel est don un isomorphisme. Les égalités
∂¯F
p0
X
k=1
ψ̃k,y ⊗Oy fk,y
p0
X
∂¯
k=1
ψ̃k,y · fk,y
=
p0
X
ψ̃k,y ⊗Oy
p0
X
ψ̃k,y ⊗Ey ∂¯J fk,y
k=1
=
k=1
∂¯J fk,y ∼
=
p0
X
k=1
ψ̃k,y ⊗Ey ∂¯J fk,y
impliquent la ommutativité du diagramme suivant :
¯
∂✲
G|V
G|V ⊗E EV0,1
V
✻
α ≀
F ⊗O EV
∂¯F✲
V
■
✻ ❅
❅ α ⊗ I(0,1)
≀
❅
❅
F ⊗O EV0,1 ≃ F ∞ ⊗E EV0,1
V
V
Le fait que le fais eau F soit analytique ohérent implique, par les remarques faites dans la se tion 1.1, (remarques qui utilisent de façon essentielle la platitude de l'anneau Ex sur l'anneau Ox )
¯| ,
que F = Ker∂¯F . La ommutativité du diagramme pré édent montre alors que F = (Ker∂)
V
e qui démontre le théorème 1.1.8.
Remarque. Dans la situation en examen la platitude de l'anneau Ex sur l'anneau Ox n'est
pas né essaire pour prouver que Ker∂¯ est un fais eau analytique ohérent. En eet la quatrième
étape montre l'existen e des éléments ψ̃, ϕ̃k , k = 1, ..., m tels que ∂¯ψ̃ = 0, ∂¯J ϕ̃k = 0. La platitude de l'anneau des séries formelles Ex /m∞ (Ex ) = Ôx en x sur l'anneau Ox implique alors
l'exa titude du omplexe
ϕ̃m−1
ϕ̃m
ϕ̃2
ϕ̃1
ψ̃
0 → OV⊕pm −→ OV⊕pm−1 −→ · · · −→ OV⊕p1 −→ OV⊕p0 −→ F → 0,
¯ | ). De plus on dispose des suites exa tes
où F := Im(ψ̃ : OV⊕p1 −→ (Ker∂)
V
ϕ̃m
ϕ̃m−1
ϕ̃2
ϕ̃1
ψ̃
0 → (EV0,q )⊕pm −→ (EV0,q )⊕pm−1 −→ · · · −→ (EV0,q )⊕p1 −→ (EV0,q )⊕p0 −→ G|V ⊗E EV0,q → 0,
V
79
pour tout q ≥ 0. Le même argument ré ursif utilisé pour prouver l'exa titude du omplexe
(F|∞
⊗E EV0,q ; ∂¯F )q≥0
V
V
dans la se tion 1.1, (ave G|V à la pla e de F|∞
et ∂¯ à la pla e de ∂¯F ) montre en parti ulier que
V
¯ | , e qui prouve la ohéren e du fais eau Ker ∂¯. Les faits que G ∼
¯ ⊗ EX
F = (Ker ∂)
= (Ker ∂)
O
V
X
¯
et que la onnexion ∂ oïn ide, à isomorphisme anonique près, ave l'extension naturelle ∂¯Ker∂¯
asso iée au fais eau analytique ohérent Ker∂¯ dé oulent immediatement des arguments de la
inquième étape qui n'utilisent pas la platitude de l'anneau Ex sur l'anneau Ox . A la n de la
inquième étape on utilise la platitude de l'anneau Ex sur l'anneau Ox pour prouver la ohéren e
du fais eau Ker∂¯, (en eet pour montrer que F = Ker∂¯F on utilise de façon essentielle la
platitude de l'anneau Ex sur l'anneau Ox ) ar on peut onsidérer la situation plus générale dans
laquelle on dispose seulement de la suite exa te
ϕ̃
ψ̃
EV⊕p1 −→ EV⊕p0 −→ G|V → 0,
ave ∂¯ψ̃ = 0 et ∂¯J ϕ̃ = 0. Cette situation est vériée sous les hypothèses du orollaire 1.6.1 de la
se tion suivante, dont la on lusion est assurée par l'argument exposé dans la inquième étape.
1.6
Fais eaux
∂¯-
ohérents sur les
ourbes holomorphes lisses
Soit X une variété omplexe de dimension un et ω 0,0 ∈ Mp0 ,p0 (EX0,1 (U )) une matri e à
oe ients (0, 1)-formes dénie sur un ouvert U ⊆ X . Les onsidérations faites dans la sousse tion 1.2.2 montrent que pour tout x ∈ U il existe un voisinage ouvert V de x et un élément
η 0,0 ∈ Mp0 ,p0 (EX (V )) tel que Ip0 + η 0,0 ∈ GL(p0 , E(V )), qui soit solution de l'équation diérentielle
(Sω ) : ∂¯J η 0,0 + ω 0,0 · η 0,0 + ω 0,0 = 0.
Les onsidérations faites dans les sous-se tions 1.4.3 et 1.5.6 impliquent immédiatement la on lusion suivante.
Soit X une variété omplexe de dimension un et soit G un fais eau de EX modules qu'on suppose muni d'une onnexion ∂¯ : G −→ G ⊗EX EX0,1 de type (0, 1). Si de plus
le fais eau G admet des E -présentations lo ales, alors le fais eau de OX -modules Ker∂¯ ⊂ G est
¯ · EX ∼
¯ ⊗
EX et la onnexion ∂¯
analytique ohérent, on a les égalités G = (Ker∂)
= (Ker ∂)
O
X
oïn ide, à isomorphisme anonique près, ave l'extension naturelle ∂¯Ker∂¯ asso iée au fais eau
analytique ohérent Ker∂¯.
Corollaire 1.6.1
La remarque pré édente implique aussi le orollaire suivant.
Corollaire 1.6.2 Soit X une variété omplexe de dimension un, F −→ X un bré ve toriel
holomorphesur X et G ⊆ E(F ) un sous-fais eau de E -modules lo alement de type ni et ∂¯F stable (autrement dit on a l'in lusion ∂¯F G ⊆ G ⊗EX EX0,1 ), où
0,1
∂¯F := IO(F ) ⊗OX ∂¯J : E(F ) −→ E(F ) ⊗EX EX
désigne la onnexion anonique asso iée au fais eau O(F ). Alors le fais eau de OX -modules
G ∩ O(F ) est analytique ohérent et (G ∩ O(F )) · EX = G , (autrement dit le fais eau G ∩ O(F ) est
un O-module lo alement de type ni et ses générateurs lo aux sur OX sont aussi des générateurs
lo aux du fais eau G sur EX ).
80
Un fais eau ∂¯- ohérent sur une variété omplexe de dimension un est simplement un ouple
¯ ≡ G ¯ où G est un fais eau de EX -modules admettant des E -présentations lo ales et
(G, ∂)
∂
0,1
∂¯ : G −→ G ⊗EX EX
une onnexion de type (0, 1), (bien évidemment en dimension un toutes les
onnexions de type (0, 1) sont intégrables).
1.7 Un résultat d'intégrabilité des onnexions sur les fais eaux
de E -modules au dessus d'une variété diérentiable
Le présent travail s'est situé prin ipalement dans le adre omplexe ar 'était notre prin ipal
intérêt. Toutefois, il est possible de déduire aussi un résultat d'intégrabilité dans le as des
variétés C ∞ . Considérons en eet (X, EX ) une variété C ∞ (EX ≡ EX (R) représente i i le fais eau
des fon tions C ∞ à valeurs réelles) et D : G −→ G ⊗EX E(TX∗ ) une onnexion sur le fais eau
de EX (K)-modules G où K = R, C. Si le fais eau des se tions parallèles KerD engendre G sur
EX (K) alors évidemment D 2 = 0. Le théorème suivant donne une ré iproque de e fait dans un
as parti ulier.
Soit (X, EX ) une variété diérentiable et soit G un fais eau de EX (K)-modules,
muni d'une onnexion D : G −→ G ⊗EX E(TX∗ ) telle que D2 = 0. Si de plus le fais eau G admet lo alement une E(K)-résolution de longueur nie, alors le fais eau des se tions parallèles
KerD engendre sur EX (K) le fais eau G qui est le fais eau des se tions d'un système lo al de
oe ients (le fais eau G est don lo alement libre) et le omplexe (G ⊗EX E(Λ• TX∗ ) ; D) est une
résolution a y lique du fais eau des se tions parallèles. On a alors l'isomorphisme fon toriel de
De Rham-Weil H k (X, KerD) ∼
= H k (Γ(X, G ⊗EX E(Λ• TX∗ )) ; D).
Théorème 1.7.1
P reuve. On ommen e par substituer formellement dans les étapes de la preuve du théorème
1.1.8 la onnexion ∂¯ ave D, les opérateurs ∂¯J ave d et l'opérateur de Leray-Koppelman ave
l'opérateur d'homotopie de Poin aré
h
Pq : Cq+1
(Br , Mk,l (K)) −→ Cqh (Br , Mk,l (K))
pour q ≥ 0. Il est élémentaire de vérier qu'on peut hoisir une suite de poids S = (Sk )k≥0 ⊂
(0, +∞) pour les normes C h de telle sorte à obtenir une estimation du type kPq ukr,h ≤ C ·kukr,h ,
ave C > 0 indépendante de la régularité h ≥ 0 de la q + 1-forme u. A ondition de restreindre
opportunément le rayon r > 0 on obtient un s héma de onvergen e rapide onsidérablement plus
simple que elui expliqué dans la preuve du théorème 1.1.8. En eet dans le as en onsidération
on n'a pas besoin de restreindre les rayons de la boule pendant les étapes du pro édé itératif ar
on dispose de l'estimation pré édente. Les détails de simpli ation et d'adaptation du pro édé
itératif relatif à la preuve du théorème 1.1.8, au as en examen sont laissés au le teur. On
obtient en on lusion une E(K)-résolution lo ale, à partir d'une E(K)-résolution initiale, telle
que les nouvelles matri es ϕ̂j (i i on utilise les mêmes notations que dans le théorème 1.1.8)
soient toutes onstantes. En parti ulier le fait que ϕ̂1 = Cst implique que G est un fais eau de
E(K)-modules lo alement libre. La suite du théorème 1.7.1 dérive alors de résultats lassiques
bien onnus.
1.7.1 Eet de la non intégrabilité forte d'une stru ture presque- omplexes
J sur la ∂¯ -stabilité des fais eaux d'idéaux
J
Pour les notions de base de la géométrie presque omplexe nous renvoyons le le teur au
première paragraphe du hapitre qui suivra. Un orollaire du théorème 1.7.1 est le suivant.
81
Corollaire 1.7.2
Soit (X, J) une variété presque- omplexe onnexe telle que
0,1
)(X) i
TX,x ⊗R C = Ch [ξ, η](x) | ξ, η ∈ E(TX,J
pour tout x ∈ X et soit J ⊂ E(C) un fais eau d'idéaux de fon tions C ∞ à valeurs omplexes sur
X admettant des E(C)-résolutions lo ales de longueur nie. Si J est ∂¯J -stable alors soit J = 0
soit J = E(C).
L'hypothèse sur le
omplexié de l'espa e tangent signie que la stru ture presque- omplexe
est fortement non-intégrable. Les variétés presque- omplexes pour lesquelles le
l'espa e tangent est engendré pon tuellement par les
ro hets des
hamps de ve teurs de type
(0, 1) seront appelées fortement non-intégrables. Les variétés presqueintégrables ont né essairement une dimension
stru tures presque
deux on a
omplexes fortement non-
omplexe supérieure à deux. En eet toutes les
omplexes sont intégrables en dimension
dimC Λ0,2
TX = 1.
J
omplexié de
omplexe un. En dimension
omplexe
Si
1,0
τ̄J ∈ E(Λ0,2
TX∗ ⊗C TX,J
)(X)
J
0,1
pour tout
1,0
TX,J
est
ξ, η ∈
ontenu stri tement dans
1,0
TX,J
J
si
dimC X = 2.
Le diagramme suivant
πJ1,0
0,1 ⊕2 ✲
τ̄J (x) : E(TX,J
)x
TX,x ⊗R C
7−→ [ξ, η](x)
(ξ, η)
(où
1,0
πJ1,0 : TX ⊗R C −→ TX,J
pas être engendré par les
x∈X
ro hets des
un exemple de variété presque
✲ T 1,0
X,J,x
7−→ [ξ, η]1,0 (x)
(1, 0)-ve teurs tangents)
TX,x ⊗R C ne peut
(0, 1). On donne maintenant
désigne la proje tion sur le bré des
montre alors que pour tout point
Exemple.
0,1 1,0
onjugué de la torsion de la stru ture presque- omplexe (τ̄J (ξ, η) := [ξ
,η ]
0,2
E(TX ⊗R C)(U ), où U ⊂ X désigne un ouvert quel onque), on a que τ̄J (Λ TX ) ⊂
désigne le tenseur
le
omplexié de l'espa e tangent
hamps de ve teurs de type
omplexe fortement non-intégrable.
Sur un voisinage ouvert
U ⊆ Cn , n ≥ 3
0,1
presque- omplexe dont le bré TU,J est engendré par les
ξk :=
de l'origine on
onsidère la stru ture
hamps de ve teurs
omplexes
X
∂
∂
r
Cl,k
z̄r
−
,
∂ z̄k
∂zl
1≤l≤n
k<r≤n
k = 1, ..., n,
où
r ∈ C
, Cl,k
sera dénie en suite, (on rappelle qu'on utilise la
onvention qui
onsiste à négliger les termes d'une somme si l'ensemble des indi es sur lesquels on ee tue
ette
Cn est
U ⊆
F ⊂ TU ⊗R C, rgC F = n tel que F ⊕ F = TU ⊗R C.
Bien évidemment dans notre as le voisinage ouvert U de l'origine est hoisi susamment petit
pour pouvoir assurer ette dernière ondition. Il est fa ile de vérier que pour tout k < t on a :
opération est vide). On remarque que donner une stru ture presque- omplexe sur
équivalent à donner un sous-bré
omplexe
[ξk , ξt ] =
n
X
t
Cr,k
r=1
∂
.
∂zr
Le fait que n ≥ 3 permet de hoisir n-multi-indi es (Lk )k=1,...,n , Lk = (l1,k , l2,k ), 1 ≤ l1,k < l2,k ≤
t par la règle suivante ; C t = 1 si (k, t) = (l , l )
n diérents. On dénit alors les onstantes Cr,k
1,r 2,r
r,k
t
et Cr,k = 0 autrement. On aura alors
[ξl1,k , ξl2,k ] =
82
∂
.
∂zk
Le fait que [ξk , zk ξk ] = ξk montre alors que
TU,0 ⊗R C = Ch [ξl1,k , ξl2,k ](0), [ξk , zk ξk ](0), k = 1, ..., n i.
Si on désigne par X ⊂ U le voisinage ouvert de l'origine sur lequel la propriété pré édente est
vériée on a que la variété presque- omplexe (X, J) est fortement non-intégrable.
La on lusion du orollaire pré édent montre qu'en général sur une variété presque omplexe
non-intégrable, la notion de fais eau d'ideaux ∂¯J - ohérent ne se généralise pas de façon immediate. Venons-en maintenant à la preuve du orollaire 1.7.2.
P reuve. Le fait que le fais eau J soit ∂¯J -stable ombiné ave le fait que le omplexié de
l'espa e tangent est engendré pon tuellement par les ro hets des hamps de ve teurs de type
(0, 1), implique que le fais eau J est d-stable, en d'autres termes stable par rapport à tous les
hamps de ve teurs. On peut voir alors l'opérateur d omme une onnexion
d : J −→ J ⊗EX E(TX∗ )
intégrable sur le fais eau d'ideaux J . Une onséquen e de la preuve du théorème 1.7.1 est
l'existen e lo ale d'un générateur ψ du fais eaux d'ideaux J tel que dψ = 0, e qui permet de
on lure.
83
84
Chapitre 2
Fondements de la géométrie
hermitienne sur les variétés presque
omplexes
Abstra t. The ∂¯
operator over an almost omplex manifold indu es anoni al onne tions
J
of type (0, 1) over the bundles of (p, 0)-forms. If the almost omplex stru ture is integrable
then the previous onne tions indu e the anoni al holomorphi stru tures of the bundles of
(p, 0)-forms. For p = 1 we an extend the orresponding onne tion to all S hur powers of the
bundle of (1, 0)-forms. Moreover using the anoni al C-linear isomorphism betwen the bundle
∗
we dedu e anoni al onne tions of
of (1, 0)-forms and the omplex otangent bundle TX,J
∗ . If the almost omplex
type (0, 1) over the S hur powers of the omplex otangent bundle TX,J
stru ture is integrable then the previous (0, 1)- onne tions indu es the anoni al holomorphi
stru tures of those bundles. In the non integrable ase those (0, 1)- onne tions indu es just the
holomorphi anoni al stru tures of the restri tions of the orresponding bundles to the images
of smooth J -holomorphi urves. We introdu e the notion of Chern urvature for those bundles.
The geometri al meaning of this notion is a natural generalisation of the lassi al notion of Chern
urvature for the holomophi ve tor bundles over a omplex manifold. We have a parti ular
interest for the ase of the tangent bundle in view of appli ations on erning the regularisation
of J -plurisubharmoni fon tions by means of the geodesi ow indu ed by a Chern onne tion on
the tangent bundle. This method has been used by Demailly [Dem-2℄ in the omplex integrable
ase. Our spe i study in the ase of the tangent bundle gives an asymptoti expanson of the
Chern ow whi h relates in a optimal way the geometri obstru tions aused by the torsion of
the almost omplex stru ture, and the non symple ti nature of the metri .
85
2.1
Connexions sur les fais eaux de modules de fon tions
dessus des variétés presque
omplexes
C∞
au
Soit (X, J) une variété presque omplexe de lasse C ∞ et de dimension réelle 2n. On désigne
1,0
par EX ≡ EX (R) le fais eau des fon tions C ∞ à valeurs réelles, par πJ1,0 : TX ⊗R C −→ TX,J
la
proje tion sur le bré des (1, 0)-ve teurs tangents et par πJ0,1 elle sur le bré des (0, 1)-ve teurs
tangents. On désigne par TX,J le bré tangent dont les bres sont munies de la stru ture omplexe
donnée par J et par
1,0 ∗
0,1 ∗
p,q
TX∗ ), Λp,q
TX∗ := ΛpC (TX,J
) ⊗C ΛqC (TX,J
)
EX,J
≡ E(Λp,q
J
J
le fais eau des (p, q)-formes par rapport à la stru ture presque omplexe J . On rappelle que sur
une variété presque omplexe la diérentielle se dé ompose sous la forme
d = ∂J + ∂¯J − θJ − θ̄J ,
où pour toute k-forme omplexe ω ∈ E(ΛkC (TX ⊗R C)∗ )(U ) au dessus d'un ouvert U et tout
hamp de ve teurs omplexes ξ0 , ..., ξk ∈ E(TX ⊗R C)(U ) on a les expressions suivantes :
X
∂J ω (ξ0 , ..., ξk ) :=
0≤j≤k
+
X
0≤j<l≤k
(−1)j+l ω([ξj1,0 , ξl1,0 ]1,0 + [ξj0,1 , ξl1,0 ]0,1 + [ξj1,0 , ξl0,1 ]0,1 , ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk )
∂¯J ω (ξ0 , ..., ξk ) :=
X
0≤j≤k
+
X
0≤j<l≤k
(−1)j ξj1,0 . ω(ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk )+
(−1)j ξj0,1 . ω(ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk )+
(−1)j+l ω([ξj0,1 , ξl0,1 ]0,1 + [ξj0,1 , ξl1,0 ]1,0 + [ξj1,0 , ξl0,1 ]1,0 , ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk )
θJ ω (ξ0 , ..., ξk ) := −
θ̄J ω (ξ0 , ..., ξk ) := −
X
0≤j<l≤k
X
0≤j<l≤k
(−1)j+l ω([ξj1,0 , ξl1,0 ]0,1 , ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk )
(−1)j+l ω([ξj0,1 , ξl0,1 ]1,0 , ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk )
ave ξ 1,0 := πJ1,0 (ξ), [·, ·]1,0 := πJ1,0 [·, ·] et de façon analogue pour les indi es (0, 1). Les bidegrés
des opérateurs ∂J , ∂¯J , θJ et θ̄J sont respe tivement (1, 0), (0, 1), (2, −1) et (−1, 2). En eet
p,q (U ) est une (p, q)-forme alors les (p + q + 1)-formes ∂ ω, ∂
¯ ω, θ ω, θ̄ ω sont nulles
si ω ∈ EX,J
J
J
J
J
r,s
en restri tion aux brés ΛJ TX , r + s = p + q + 1 respe tivement aux bidegrés (r, s) 6= (p +
1, q), (r, s) 6= (p, q+1), (r, s) 6= (p+2, q−1), (r, s) 6= (p−1, p+2). On déduit alors que l'opérateur
T = ∂J , ∂¯J , θJ où θ̄J vérie la règle de Leibnitz
T (u ∧ v) = T u ∧ v + (−1)deg u u ∧ T v.
On a aussi les formules (∂J u) = ∂¯J ū, (θJ u) = θ̄J ū.
Dénition 2.1.1 On désigne par
0,1
τJ ∈ E(Λ2,0
TX∗ ⊗C TX,J
)(X) le tenseur de la torsion de la
J
stru ture presque omplexe dénie par la formule τJ (ξ, η) := [ξ 1,0 , η1,0 ]0,1 pour tout ξ, η ∈
86
E(TX ⊗R C)(U ),
où U ⊂ X désigne un ouvert quel onque. Le tenseur de la stru ture presque
omplexe est dit intégrable si τJ = 0.
On remarque que τJ = 0 si et seulement si θJ = 0, si et seulement si d = ∂J + ∂¯J .
Note au le teur. Le C-isomorphisme anonique TX,J,x
1,0
→ TX,J,x
implique le C-isomorphisme
1,0
∗
∗
Λp,q
TX,x
⊗C TX,J,x → Λp,q
TX,x
⊗C TX,J,x
, α 7→ u. Pour tout ve teur réel ξ ∈ Λp+q
TX,x on a
J
J
R
1,0
1,0
l'égalité α(ξ) = u(ξ) + u(ξ). en eet soit (ζk )k ⊂ (TX,J,x
)⊕n un repère omplexe de TX,J,x
. Alors
⊕n
(vk )k ⊂ (TX,J,x
omplexe de TX,J,x . La forme α s'é rit alors sous la
P ) , vk = ζk + ζ̄k est ∗un repère P
p+q
forme α = k αk ⊗J vk , α ∈ Λp,q
T
et
u
=
X,x
k αk ⊗ ζk . Pour tout élément ξ ∈ ΛC (TX ⊗R C)
J
on a par dénition
X
X
αk (ξ) ×J vk =
α(ξ) =
k
Si ξ ∈
Λp+q
TX,x
R
⊂
Λp+q
(TX,x
C
(αk (ξ)ζk + α(ξ)ζ̄).
k
⊗R C) on a l'égalité voulue. Nous onsidérons l'espa e ve toriel
1,0
∗
RJp,q (TX,x ⊗R C) := {u + ū | u ∈ Λp,q
TX,x
⊗C TX,J,x
}
J
ave la stru ture de produit ×J dénie par la formule c ×J (u + ū) := cu + cu, c ∈ C. Le fait
qu'une forme C-linéaire sur le omplexié TX,x ⊗R C de l'espa e tangent TX,x soit déterminée
de façon univoque à partir de sa restri tion à TX,x nous suggère qu'il est très naturel de onsi∗ ⊗ T
p,q
dérer le C-isomorphisme Λp,q
TX,x
X,J,x → RJ (TX,x ⊗R C), α 7→ u + ū. Dans la suite on
C
J
∗ ⊗ T
TX,x
identiera don les éléments de l'espa e ve toriel Λp,q
X,J,x ave les éléments du type
C
J
1,0
∗
p,q
u + ū, u ∈ ΛJ TX,x ⊗C TX,J,x . L'utilité d'un tel formalisme sera larié dans la suite.
On dénit le tenseur de Nijenhuis
NJ ∈ E(Λ0,2
TX∗ ⊗C TX,J )(X)
J
par la formule NJ := τJ + τ̄J . Bien évidemment NJ = 0 si et seulement si τJ = 0. Il est
élémentaire de vérier l'identité :
4NJ (ξ, η) = [ξ, η] + J[ξ, Jη] + J[Jξ, η] − [Jξ, Jη]
pour tout hamp de ve teurs omplexes ξ, η ∈ E(TX ⊗R C)(X). On rappelle le élèbre théorème de Newlander-Nirenberg (voir [We-1℄, [Hör℄, [Dem-1℄, hapitre VIII, [Mal-2℄, [Nij-Woo℄ et
[New-Nir℄).
Théorème 2.1.2 (Newlander-Nirenberg). Soit (X, J) une variété presque omplexe. L'existen e d'une stru ture holomorphe OX sur la variété X telle que la stru ture presque omplexe
asso iée JOX soit égale à J est équivalente à l'intégrabilité de la stru ture presque omplexe J .
On onsidère les dénitions suivantes.
Dénition 2.1.3 Soient (X, J1 ) et
(Y, J2 ) deux variétés presque omplexes et f : X → Y une
appli ation diérentiable. L'appli ation f est dite (J1 , J2 )-holomorphe si sa diérentielle vérie
la ondition J2 (f (x)) · dx f = dx f · J1 (x) pour tout x ∈ X .
Pour tout appli ation diérentiable f : X → Y , la diérentielle df ∈ Γ(X, TX∗ ⊗R f ∗ TY ) se
dé ompose sous la forme
df = ∂J1 ,J2 f + ∂¯J1 ,J2 f,
87
où
1
dx f − J2 (f (x)) · dx f · J1 (x)
2
1
dx f + J2 (f (x)) · dx f · J1 (x) .
:=
2
∂J1 ,J2 f|x :=
∂¯J1 ,J2 f|x
Bien évidemment
∗
∂J1 ,J2 f ∈ Γ(X, TX,J
⊗C f ∗ TY,J2 )
1
∗
∂¯J1 ,J2 f ∈ Γ(X, TX,−J
⊗C f ∗ TY,J2 )
1
et l'appli ation f est (J1 , J2 )-holomorphe si et seulement si ∂¯J1 ,J2 f = 0.
Dénition 2.1.4 Soit
(X, J) une variété presque omplexe et (Σ, j) une ourbe holomorphe
lisse. Une ourbe (j, J)-holomorphe est une appli ation diérentiable γ : (Σ, j) −→ (X, J) dont
la diérentielle vérie la ondition J(γ(z)) · dz γ = dz γ · j pour tout z ∈ Σ. On désigne par i
la stru ture presque omplexe anonique sur R2 ≡ C. Une ourbe J -holomorphe lo ale est une
ourbe (i, J)-holomorphe γ : (Bδ1 , i) −→ (X, J) dénie sur le disque omplexe de rayon δ > 0.
On a alors qu'une appli ation diérentiable γ : Bδ1 −→ X est une ourbe J -holomorphe lo ale
∂
) = 0, z = t + is qui s'é rit expli itement sous la
si et seulement si elle vérie l'équation ∂¯j,J γ( ∂t
forme
∂s γ = J(γ) · ∂t γ,
∂
où ∂s γ := dγ( ∂s
). On peut montrer, (voir prop.2.3.6 dans l'arti le de Sikorav, dans l'ouvrage
[Au-La℄) que si γ est une ourbe J -holomorphe alors γ ∈ C ∞ (Bδ1 ; X). On aura besoin aussi de
la dénition suivante.
Dénition 2.1.5 Soit G un fais eau de E(C)-modules sur X . Une onnexion sur le fais eau
G
⊗R C)
est un morphisme de fais eaux de groupes additifs ∇G : G −→ G ⊗E
≃ G ⊗E(C)
tel que ∇G (g · f ) = ∇G g · f + g ⊗ df pour tout g ∈ G(U ) et f ∈ E(C)(U ), où U ⊂ X est un ouvert
quel onque.
E(TX∗ )
E(TX∗
La donnée d'une onnexion ∇G sur le fais eau de E(C)-modules G détermine de façon univoque
une dérivation sur le omplexe (G ⊗E E(ΛkR TX∗ ))k≥0 . En eet on peut dénir l'extension
∇G : G ⊗E E(ΛkR TX∗ ) −→ G ⊗E E(Λk+1
TX∗ )
R
par la formule lassique
∇G ω (ξ0 , ..., ξk ) :=
+
X
0≤j<l≤k
X
0≤j≤k
(−1)j ∇G (ω(ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk ))(ξj )+
(−1)j+l ω([ξj , ξl ], ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk )
pour tout ω ∈ (G⊗E E(ΛkR TX∗ ))(U ) et tout hamp de ve teurs omplexes ξ0 , ..., ξk ∈ E(TX ⊗R C)(U )
L'extension ainsi dénie vérie la règle de Leibnitz ∇G (g ⊗ f ) = ∇G g ∧ f + g ⊗ df pour tout
88
g ∈ G(U ) et f ∈ E(ΛkR TX∗ )(U ). En eet
∇G (g ⊗ f ) (ξ0 , ..., ξk ) :=
+
X
0≤j<l≤k
=
X
0≤j≤k
X
0≤j≤k
(−1)j ∇G (g · f (ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk ))(ξj )+
(−1)j+l g · f ([ξj , ξl ], ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk ) =
h
i
(−1)j ∇G g(ξj ) · f (ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk ) + g · (ξj .f (ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk )) +
+
X
0≤j<l≤k
(−1)j+l g · f ([ξj , ξl ], ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk ) =
= (∇G g ∧ f + g ⊗ df )(ξ0 , ..., ξk ).
Le fait que d2 = 0 entraîne l'existen e du tenseur de ourbure de ∇G
Θ(∇G ) ∈ EndE(C) (G) ⊗E(C) E(Λ2R TX∗ ) (X)
dénie par la formule Θ(∇G )(ξ, η) · g := (∇2G g)(ξ, η) pour tout ξ, η ∈ E(TX )(U ) et g ∈ G(U ).
On note de plus par ξ∇G .g := ∇G g(ξ) la dérivée ovariante de la se tion g le long du hamp
de ve teurs ξ . La dénition de l'extension de la onnexion ∇G implique de façon immédiate la
formule
ξ∇ . (η∇ . g) − η∇ . (ξ∇ . g) = [ξ, η]∇ . g + Θ(∇G )(ξ, η) · g.
G
G
G
G
G
Le tenseur de ourbure Θ(∇G ) de la onnexion ∇G mesure don le défaut de ommutation des
dérivées ovariantes se ondes des se tions de G . Il est aussi élémentaire de vérier l'identité
∇2G ω = Θ(∇G ) ∧ ω
(2.1.1)
pour tout ω ∈ (G ⊗E E(Λ•R TX∗ ))(U ). Le fait que les opérateurs θJ et θ̄J vérient la règle de
Leibnitz entraîne que
p,q
p+2,q−1
θJ ∈ HomE(C) (EX,J
, EX,J
)(X)
p,q
p−1,q+2
et θ̄J ∈ HomE(C) (EX,J
, EX,J
)(X)
On dénit alors les opérateurs de torsion sur G
p+2,q−1
p,q
θG,J := IG ⊗E(C) θJ : G ⊗E(C) EX,J
−→ G ⊗E(C) EX,J
p,q
p−1,q+2
θ̄G,J := IG ⊗E(C) θ̄J : G ⊗E(C) EX,J
−→ G ⊗E(C) EX,J
.
De façon expli ite es opérateurs sont dénis de façon analogue aux opérateurs θJ et θ̄J . Ce sont
des dérivations, autrement dit on a les formules
θG,J (ω ∧ f ) = θG,J ω ∧ f + (−1)deg ω ω ∧ θJ f
θ̄G,J (ω ∧ f ) = θ̄G,J ω ∧ f + (−1)deg ω ω ∧ θ̄J f
pour tout ω ∈ (G ⊗E E(Λ•R TX∗ )(U ) et f ∈ E(Λ•R TX∗ )(U ). Comme dans le as de la diérentielle
extérieure on a la dé omposition
∇G = ∇1,0
+ ∇0,1
− θG,J − θ̄G,J
G,J
G,J
89
où les opérateurs
p,q
p+1,q
∇1,0
: G ⊗E(C) EX,J
−→ G ⊗E(C) EX,J
G,J
et
p,q
p,q+1
−→ G ⊗E(C) EX,J
∇0,1
: G ⊗E(C) EX,J
G,J
sont dénis par les formules analogues à elles qui dénisent les opérateurs ∂¯J et ∂J ,
∇1,0
ω (ξ0 , ..., ξk ) :=
G,J
+
X
0≤j<l≤k
et
+
0≤j<l≤k
0≤j≤k
(−1)j ∇G (ω(ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk ))(ξj1,0 )+
(−1)j+l ω([ξj1,0 , ξl1,0 ]1,0 + [ξj0,1 , ξl1,0 ]0,1 + [ξj1,0 , ξl0,1 ]0,1 , ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk ) (2.1.2)
ω (ξ0 , ..., ξk ) :=
∇0,1
G,J
X
X
X
0≤j≤k
(−1)j ∇G (ω(ξ0 , ..., ξbj , ..., ξk ))(ξj0,1 )+
(−1)j+l ω([ξj0,1 , ξl0,1 ]0,1 + [ξj0,1 , ξl1,0 ]1,0 + [ξj1,0 , ξl0,1 ]1,0 , ξ0 , ..., ξbj , ..., ξbl , ..., ξk ) (2.1.3)
Le fait que ∇G vérie la règle de Leibnitz implique les formules
∇1,0
(g ⊗ f ) = ∇1,0
g ∧ f + g ⊗ ∂J f
G,J
G,J
∇0,1
(g ⊗ f ) = ∇0,1
g ∧ f + g ⊗ ∂¯J f
G,J
G,J
pour tout g ∈ G(U ) et f ∈ E(Λ•R TX∗ )(U ). En degré zéro on a les formules
∇1,0
g=
G,J
1
1
et ∇0,1
g
=
∇G g − i(∇G g) ◦ J
∇
g
+
i(∇
g)
◦
J
G
G
G,J
2
2
pour tout g ∈ G(U ). En général on a la dénition suivante.
Dénition 2.1.6
Soit
G
un fais eau de
E(C)-modules
sur
X.
Une
onnexion de type
′′
le fais eau G est un morphisme de fais eaux de groupes additifs ∇ : G −→
G
∇′′G (g · f ) = ∇′′G g · f + g ⊗ ∂¯J f pour tout g ∈ G(U ) et f ∈ E(C)(U ), où U
quel onque.
(0, 1)
sur
0,1 tel que
EX,J
G ⊗E(C)
⊂ X est
un ouvert
On a bien sûr une dénition analogue pour les onnexions de type (1, 0). Comme pré édemment
une onnexion de type (0, 1), (resp. (1, 0)) peut être étendue à une dérivation extérieure de type
(0, 1), (resp. (1, 0)) sur le omplexe
(G ⊗E E(ΛkR TX∗ ))k≥0
grâ e à la formule 2.1.3, (resp. 2.1.2) ou grâ e à la règle de Leibnitz. On rappelle maintenant que
si A et B sont deux endomorphismes du fais eau de E(C)-modules G ⊗E E(Λ•R TX∗ ), leur ro het
de ommutation est déni par la formule
[A, B] := AB − (−1)deg A·deg B BA.
La dé omposition pré édente de ∇G implique la dé omposition suivante au niveau des opérateurs,
∇2G = (∇1,0
+ ∇0,1
− θG,J − θ̄G,J )2 =
G,J
G,J
90
2
2
, θG,J ] + (∇0,1
= (∇1,0
)2 − [∇0,1
)2 − [∇1,0
, θ̄G,J ] + θG,J
+ θ̄G,J
+
| G,J
{z G,J
} | G,J
{z G,J
} |{z} |{z}
2,0
0,2
−2,4
+ [∇1,0
, ∇0,1
] + [θG,J , θ̄G,J ] − [∇1,0
, θG,J ] − [∇0,1
, θ̄G,J ].
G,J
G,J
G,J
|
{z
} |
{z
} | G,J{z
}
1,1
D'autre part en
4,−2
3,−1
onsidérant la dé omposition de la forme de
−1,3
ourbure
Θ(∇G ) = Θ(∇G )2,0
+ Θ(∇G )1,1
+ Θ(∇G )0,2
J
J
J
en ses
omposantes de type
(2, 0), (1, 1), (0, 2)
et la formule (2.1.1) on déduit les identités sui-
vantes au sens des opérateurs
Θ(∇G )2,0
∧ · = (∇1,0
)2 − [∇0,1
, θG,J ]
J
G,J
G,J
0,1 2
1,0
Θ(∇G )0,2
∧ · = (∇G,J
) − [∇G,J
, θ̄G,J ]
J
Θ(∇G )1,1
∧ · = [∇1,0
, ∇0,1
] + [θG,J , θ̄G,J ]
J
G,J
G,J
2
θG,J
= 0,
[∇1,0
, θG,J ] = 0
G,J
En parti ulier si
G = E(C)
et
∇G = d
∂J2 = [∂¯J , θJ ],
En
2
=0
θ̄G,J
[∇0,1
, θ̄G,J ] = 0.
G,J
on a les identités supplémentaires
∂¯J2 = [∂J , θ̄J ]
et
[∂J , ∂¯J ] = −[θJ , θ̄J ].
on lusion on a les identités fondamentales de la géométrie presque
∂J2 = ∂¯J θJ + θJ ∂¯J ,
omplexe :
∂¯J2 = ∂J θ̄J + θ̄J ∂J ,
∂J ∂¯J + ∂¯J ∂J = −θJ θ̄J − θ̄J θJ ,
∂¯J θ̄J = −θ̄J ∂¯J ,
∂J θJ = −θJ ∂J ,
θJ2 = 0,
θ̄J2 = 0.
En général en degré zéro on a les formules
Θ(∇G )2,0
= (∇1,0
)2 − θG,J ∇0,1
,
J
G,J
G,J
(2.1.4)
Θ(∇G )0,2
= (∇0,1
)2 − θ̄G,J ∇1,0
,
J
G,J
G,J
(2.1.5)
Θ(∇G )1,1
= [∇1,0
, ∇0,1
],
J
G,J
G,J
(2.1.6)
qui sont équivalentes aux identités évidentes
1,0
1,0
1,0
1,0
ξ∇
. (η∇
. g) − η∇
. (ξ∇
. g) = [ξ 1,0 , η 1,0 ]∇ . g + Θ(∇G )J2,0 (ξ 1,0 , η 1,0 ) · g,
G
G
G
G
G
0,1
0,1
0,1
0,1
ξ∇
. (η∇
. g) − η∇
. (ξ∇
. g) = [ξ 0,1 , η 0,1 ]∇ . g + Θ(∇G )J0,2 (ξ 0,1 , η 0,1 ) · g,
G
G
G
G
G
1,0
0,1
0,1
1,0
ξ∇
. (η∇
. g) − η∇
. (ξ∇
. g) = [ξ 1,0 , η 0,1 ]∇ . g + Θ(∇G )J1,1 (ξ 1,0 , η 0,1 ) · g.
G
G
G
G
G
91
On a don en parti ulier que la omposante de type (2, 0), (resp. (0, 2)) du tenseur de ourbure
mesure le défaut de ommutation des dérivées ovariantes se ondes des se tions de G le long
des hamps de ve teurs de type (1, 0), (resp. (0, 1)). La omposante de type (1, 1) du tenseur
de ourbure exprime le défaut de ommutation des dérivées ovariantes se ondes des se tions de
G le long des hamps de ve teurs de type (1, 0) et (0, 1). Soit G un fais eau de E(C)-modules
lo alement de type ni, soit ψ ≡ (ψ1 , ..., ψr ) ∈ G ⊕r (U ) un système de générateurs lo aux et
ω = ψ · f ∈ (G ⊗E E(ΛkR TX∗ ))(U ),
f ∈ Mr,1 (E(ΛkR TX∗ )(U )).
1,0 (U )), A′′ ∈ M (E 0,1 (U )) telles que ∇ ψ =
Soient de plus A ∈ Mr,r (E(TX∗ )(U )), A′J ∈ Mr,r (EX,J
r,r X,J
G
J
′
′′
ψ · A et A = AJ + AJ . La règle de Leibnitz implique alors les égalités
∇G ω = ψ · (df + A ∧ f ) et
Θ(∇G ) ∧ ω = ψ · (dA + A ∧ A) ∧ f.
De plus on a les identités
∇0,1
ω = ψ · (∂¯J f + A′′J ∧ f ),
G,J
∇1,0
ω = ψ · (∂J f + A′J ∧ f ),
G,J
θG,J ω = ψ · θJ f,
θ̄G,J ω = ψ · θ̄J f.
En dé omposant la 2-forme dA + A ∧ A où en expli itant les identités (2.1.4), (2.1.5) et (2.1.6)
on obtient les expressions lo ales suivantes.
Θ(∇G )2,0
∧ ω = ψ · (∂J A′J + A′J ∧ A′J − θJ A′′J ) ∧ f
J
Θ(∇G )0,2
∧ ω = ψ · (∂¯J A′′J + A′′J ∧ A′′J − θ̄J A′J ) ∧ f
J
Θ(∇G )1,1
∧ ω = ψ · (∂¯J A′J + ∂J A′′J + A′J ∧ A′′J + A′′J ∧ A′J ) ∧ f,
J
2.2 Connexions hermitiennes sur les brés ve toriels au dessus
des variétés presque omplexes
Nous onsidérons à partir de maintenant un bré ve toriel omplexe C ∞ , F −→ X et G =
∗
E(F ) :=fais eau des se tions C ∞ de F . Soit h ∈ E(F ∗ ⊗C F )(X) une métrique hermitienne sur
F . On rappelle qu'une onnexion
∇F : E(F ) −→ E(F ) ⊗E E(TX∗ ) ≃ E(F ) ⊗E(C) E(TX∗ ⊗R C)
sur F est dite h-hermitienne si pour tout hamp de ve teurs omplexes ξ ∈ E(TX ⊗R C)(U ) et
toute se tions σ, τ ∈ E(F )(U ), (U ⊆ X est un ouvert quel onque), on a la formule
ξ.h(σ, τ ) = h(ξ∇ .σ, τ ) + h(σ, ξ¯∇ .τ ).
Il est bien sûr équivalent de restreindre l'identité pré édente aux seuls hamps de ve teurs
1,0
ξ ∈ E(TX,J
)(U ). On a alors que la donnée d'une onnexion
0,1
∇′′F : E(F ) −→ E(F ) ⊗E(C) EX,J
de type (0, 1) entraîne l'existen e d'une unique onnexion h-hermitienne ∇F sur le bré F telle
que ∇0,1
= ∇′′F . En eet la partie de type (1, 0) de ∇F est donnée par la formule
F
h(∇F1,0 σ(ξ), τ ) = ξ.h(σ, τ ) − h(σ, ∇′′F τ (ξ̄))
92
1,0
pour tout (1, 0)- hamp de ve teurs ξ ∈ E(TX,J
)(U ) et toutes se tions σ, τ ∈ E(F )(U ). Bien
évidemment on a un résultat analogue pour les onnexions de type (1, 0). Soit (e1 , ..., er ) ∈
E(F )⊕r (U ) un repère de F|U . On a l'identi ation ∇F ≃e d + A par rapport au repère (e1 , ..., er ).
Soit de plus H := (h(eλ , eµ ))λ,µ la matri e hermitienne de la métrique h. Le fait que la onnexion
∇F soit h-hermitienne équivaut lo alement aux égalités
ξ.Hλ,µ =
X A′s,λ (ξ)Hs,µ + A′′s,µ (ξ̄)Hλ,s ,
1≤s≤r
1,0
ξ ∈ E(TX,J
)(U ). On a alors ave des notations matri ielles la relation ∂J H = A′tJ H + HA′′J . Le
fait que la matri e H soit hermitienne implique que ette relation est équivalente à la relation
A′J = H
−1
t
(∂J H − A′′J H).
(2.2.1)
On a en on lusion qu'une onnexion ∇F est h-hermitienne si et seulement si la relation (2.2.1)
est satisfaite sur tout les ouverts de trivialisation de F . Considérons maintenant le produit
sesquilinéaire
{·, ·}h : E(ΛpR TX∗ ⊗R F ) × E(ΛqR TX∗ ⊗R F ) −→ E(Λp+q
TX∗ ⊗R C)
R
sur le fais eau E(Λ•R TX∗ ⊗R F ) déni par la formule
{σ, τ }h (ξ) =
X
ε(I)h(σ(ξI ), τ (ξ̄∁I )),
|I|=p
où ξ = (ξ1 , ..., ξp+q ), ξj ∈ E(TX ⊗R C)(U ) et ε(I) désigne le signe de la permutation (1, ..., p+q) →
(I, ∁I). Alors le fait que la onnexion ∇F soit hermitienne est équivalent à l'identité plus générale
d{σ, τ }h = {∇F σ, τ }h + (−1)deg σ {σ, ∇F τ }h
qui équivaut aussi à une des identités
∂J {σ, τ }h = {∇1,0
σ, τ }h + (−1)deg σ {σ, ∇0,1
τ }h
F,J
F,J
∂¯J {σ, τ }h = {∇0,1
σ, τ }h + (−1)deg σ {σ, ∇1,0
τ }h .
F,J
F,J
On obtient alors, en appliquant la diérentielle extérieure à la première des trois identités pré édentes, l'identité 0 = {Θ(∇F )σ, τ }h + {σ, Θ(∇F )τ }h qui implique, pour des raisons de bidegré,
l'identité
0 = {Θ(∇F )1,1
σ, τ }h + {σ, Θ(∇F )1,1
τ }h .
J
J
Si deg σ = deg τ = 0 on déduit l'égalité
1,1
0 = h Θ(∇F )1,1
(ξ,
η)
·
σ,
τ
+
h
σ,
Θ(∇
)
(
ξ̄,
η̄)
·
τ
F J
J
(2.2.2)
qui montre que pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(U ) on a
iΘ(∇F )1,1
(ξ, η) ∈ E(Hermh (F ))(U ),
J
où Hermh (F ) désigne le bré (réel) des endomorphismes h-hermitiens de F . Considérons maintenant l'expression lo ale de la omposante de type (1, 1) du tenseur de ourbure
Θ(∇F )1,1
=
J
X
1≤λ,µ≤r
93
Cλ,µ ⊗ e∗µ ⊗ eλ
de la onnexion hermitienne ∇F . On a
C := ∂¯J A′J + ∂J A′′J + A′J ∧ A′′J + A′′J ∧ A′J .
1,0 ⊕n
1,0
Si (ζk )k ∈ E(TX,J
) (U ) est un repère du bré TU,J
, on a l'expression lo ale suivante
Θ(∇F )1,1
=
J
X
1≤λ,µ≤r
k,l ∗
ζk ∧ ζ̄l∗ ⊗ e∗µ ⊗ eλ .
Cλ,µ
1≤k,l≤n
L'identité (2.2.2) entraîne que si en un point x0 ∈ U le repère e1 (x0 ), ..., er (x0 ) est h(x0 )k,l
l,k
orthonormé alors on a les relations Cλ,µ
(x0 ) = Cµ,λ
(x0 ). Si de plus ∇0,1
ek (x0 ) = 0 pour tout k,
F
on obtient en utilisant l'expression (2.2.1) l'égalité
t
C(x0 ) = (∂¯J ∂J H − ∂¯J H ∧ ∂J H + ∂J A′′J − ∂¯J A′′J )(x0 ).
(2.2.3)
2.3 Extension de l'opérateur ∂¯ aux puissan es de S hur du bré
des (1, 0)-formes
J
Rappelons qu'étant donné un espa e ve toriel omplexe V de dimension omplexe r, les
représentations irrédu tibles de GLC (V ) sont en orrespondan e biunivoque ave le plus haut
poids λ = (λ1 , ...λr ), λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λr de la représentation d'un sous-tore maximal T r ≃
(C∗ )r < GLC (V ), (t1 , ..., tr ) 7→ tλ1 1 · · · tλr r . On note S λ V l'espa e de la représentation asso iée,
qu'on appelle puissan e de S hur asso iée au poids λ. On a par exemple
puissan e symétrique usuelle
puissan e extérieure.
S (m,0,...,0) V = S m V
S
(1,1,...,1,0,...,0)
k
V =Λ V
Nous renvoyons le le teur aux ouvrages lassiques de [Fu-Ha℄ pour une expli ation détaillé de la
notion de puissan e de S hur.
Considérons maintenant les onnexions de type (0, 1)
p,0
p,0
0,1
∂¯J,p := (−1)p ∂¯J : EX,J
−→ EX,J
⊗E(C) EX,J
sur les brés Λp,0
TX∗ . De façon expli ite les onne tions ∂¯J,p sont dénies par les formules
J
∂¯J,p ω(η), ξ1 , ..., ξp := ∂¯J ω(η, ξ1 , ..., ξp )
= η . ω(ξ1 , ..., ξp ) +
X
1≤l≤p
(−1)l ω([η, ξl ]1,0 , ξ1 , ..., ξbl , ..., ξp )
(2.3.1)
p,0 (U ), η ∈ E(T 0,1 )(U ) et ξ , ..., ξ ∈ E(T 1,0 )(U ). Bien évidement dans le
pour tout ω ∈ EX,J
1
p
X,J
X,J
as omplexe intégrable les fais eaux de OX,J -modules ΩpX,J ≡ O(Λp,0
TX∗ ) := Ker ∂¯J,p sont
J
lo alement libres et donnent une stru ture de bré ve toriel holomorphe aux brés Λp,0
TX∗ . De
J
plus on a l'identité
∂¯J,p = IΩp
X,J
⊗OX ∂¯J .
Dans le as presque omplexe, en étendant la onnexion ∂¯J,1 à toutes les puissan es de S hur
FJλ := S λ Λ1,0
TX∗ on obtient des onne tions de type (0, 1) anoniques
J
∂¯F λ : E(FJλ ) −→ E(Λ0,1
TX∗ ⊗C FJλ )
J
J
94
∗
sur les brés FJλ . De façon analogue, la onnexion induite sur TX,J
par ∂¯J,1 grâ e au C-isomorphisme
∗
∗ . Pour simanonique de Λ1,0
TX∗ ave TX,J
peut être étendue aux puissan es de S hur S λ TX,J
J
λ
∗
λ
plier nous désignerons aussi S TX,J par FJ . Les dénitions pré édentes sont ompatibles ave
les dénitions lassiques de la géométrie omplexe. En eet dans le as omplexe intégrable
les brés FJλ admettent une stru ture holomorphe anonique donné par le fais eau des se tions
holomorphes O(FJλ ), qui est dénie de façon naturelle à partir du fais eau Ω1X,J . La onnexion
anonique de type (0, 1) sur le bré FJλ induite par le fais eau O(FJλ )
IO(F λ ) ⊗OX ∂¯J
J
oïn ide évidement ave la onnexion ∂¯F λ induite par la onnexion ∂¯J,1 et de plus on a toujours
J
l'égalité évidente
O(FJλ ) = Ker ∂¯F λ .
J
Dans le as d'une variété omplexe intégrable on a don le diagramme ommutatif suivant.
Ω1X,J ←→ ∂¯J,1
❄
❄
O(FJ ) ←→ ∂¯F λ
λ
J
Dans le as presque omplexe non intégrable le fais eau OX := Ker ∂¯J est un fais eaux de fon tions onstantes pour un hoix générique de stru ture presque omplexe J non intégrable. Il sut
de prendre par example une stru ture fortement non intégrable. On rappelle qu'une stru ture
presque omplexe est dit fortement non-intégrable si le bré tangent est engendré pon tuellement par les ro hets des hamps de ve teurs de type (0, 1). D'autre part dans ette situation
il n'existe pas de repères lo aux omplexes (αk )k ∈ E(Λ1,0
TX∗ )⊕n (U ) tels que ∂¯J,1 αk ≡ 0 sur
J
l'ouvert U pour tout k = 1, ..., n, ar sinon e i entraînerait que le bré Λ1,0
TX∗ est plat, e qui
J
n'est pas toujours le as pour une variété presque omplexe. Un tel phénomène peut être aussi
envisagé pour les brés FJλ et la onne tion anonique ∂¯F λ .
J
Cependant la onnexion ∂¯F λ induit une stru ture holomorphe anonique sur toutes les restri J
tions FJλ|γ(Σ) du bré FJλ aux images des plongements (j, J)-holomorphes γ : (Σ, j) −→ (X, J)
d'une ourbe holomorphe lisse Σ ⊂ Cm . En eet la restri tion
∗
λ
∂¯F λ |γ(Σ) : E FJλ|γ(Σ) −→ E Λ0,1
T
⊗
F
C
γ(Σ)
|
J
J γ(Σ)
J
∗
de la onnexion ∂¯F λ est bien évidement intégrable étant donné que Λ0,2
Tγ(Σ)
= 0. La stru ture
J
J
λ
holomorphe anonique sur le bré FJ |γ(Σ) est alors donné par la formule
O FJλ|γ(Σ) := Ker ∂¯F λ |γ(Σ) .
J
Soit h une métrique hermitienne quel onque sur FJλ . On dénit alors la onnexion de Chern DFh λ
J
omme étant l'unique onnexion hermitienne sur FJλ telle que
(DFh λ )0,1 = ∂¯F λ .
J
J
95
2.4
Expression lo ale des opérateurs
∂J , ∂¯J , θJ
et
θ̄J .
1,0 ⊕n
1,0
Soit (ζk )k ∈ E(TX,J
) (U ) un repère lo ale du bré TX,J
et M k , N k , U k , V k ∈ Mn (E(U )) les
n × n-matri es dénies par les relations
n
X
=
[ζ̄j , ζ̄r ]1,0
J
k
Nj,r
ζk
[ζ̄j , ζ̄r ]0,1
=
J
n
X
k
Mj,r
ζ̄k
[ζj , ζr ]0,1
=
J
n
X
N j,r ζ̄k
=
[ζj , ζ̄r ]0,1
J
n
X
k
Vj,r
ζ̄k
k=1
[ζj , ζr ]1,0
=
J
n
X
k=1
k
M j,r ζk
k=1
n
X
=
[ζj , ζ̄r ]1,0
J
k
k=1
k
Uj,r
ζk
k=1
k=1
k
k = −M k , N k = −N k et V k = −U . De plus on a l'expression lo ale
On a les relations Mj,r
r,j
r,j
j,r
r,j
j,r
X
τJ =
[ζk , ζl ]0,1
⊗ ζk∗ ∧ ζl∗ =
J
1≤k<l≤n
X
r
1≤k<l≤n
N k,l ζk∗ ∧ ζl∗ ⊗ ζ̄r
1≤r≤n
pour la forme de torsion de la stru ture presque omplexe J . On rappelle que les éléments
∗
TX,x
⊗C TX,J,x s'identient naturellement ave les éléments du type
de l'espa e ve toriel Λp,q
J
1,0
p,q
∗
u + ū, u ∈ ΛJ TX,x ⊗C TX,J,x . On introduit maintenant une notation très utile pour la suite. Soit
1,0
(ζk )k ∈ (TX,J,x
)⊕n un repère. Alors (ζk + ζ̄k )k ∈ (TX,J,x )⊕n est un repère omplexe de l'espa e
ve toriel (TX,x , Jx ). On notera
c ×J ζk := c · ζk + c̄ · ζ̄k
∗
l'opération de produit d'un s alaire c ∈ C ave le ve teur réel ζk + ζ̄k ∈ TX,x . Si α ∈ Λp,q
TX,x
J
on notera
α ⊗J ζk := α ⊗ ζk + ᾱ ⊗ ζ̄k
la (p, q)-forme à valeurs dans l'espa e ve toriel TX,J,x . Ave
l'expression lo ale suivante pour le tenseur de Nijenhuis
X
NJ =
1≤k<l≤n
r
Nk,l
ζ̄k∗ ∧ ζ̄l∗ ⊗J ζr =
X
1≤k,l,r≤n
es notations on aura par exemple
r
Nk,l
ζ̄k∗ ⊗ ζ̄l∗ ⊗J ζr .
1≤r≤n
P
P
Si f est une fon tion on a ∂J f = nk=1 (ζk .f ) ζk∗ , ∂¯J f = nk=1 (ζ̄k .f ) ζ̄k∗ , θJ f = 0 et θ̄J f =
0. De plus en utilisant les expressions intrinsèques des opérateurs ∂J , ∂¯J , θJ et θ̄J on a les
expressions
∂J ζk∗ = −
X
1≤l<t≤n
∂¯J ζk∗ = −
θJ ζ̄k∗ =
X
k
M l,t ζl∗ ∧ ζt∗
1≤l,t≤n
X
1≤l<t≤n
∂J ζ̄k∗ =
1≤l,t≤n
∂¯J ζ̄k∗ = −
k ∗
Ul,t
ζl ∧ ζ̄t∗
k
N l,t ζl∗
∧ ζt∗
Soit
u=
X
|K|=p
X
θ̄J ζk∗ =
X
1≤l<t≤n
X
1≤l<t≤n
uK,L ζK∗ ∧ ζ̄L∗
|L|=q
96
k
U t,l ζl∗ ∧ ζ̄t∗
k ∗
ζ̄l ∧ ζ̄t∗
Ml,t
k ∗
Nl,t
ζ̄l ∧ ζ̄t∗
une (p, q)-forme par rapport à la stru ture presque omplexe J . Le fait que l'opérateur T :=
∂J , ∂¯J , θJ où θ̄J vérie la règle de Leibnitz implique l'égalité
Tu =
q
p
X
X
X (−1)p+j−1 uK,L T ζ̄l∗j ∧ζK∗ ∧ ζ̄ ∗ ,
(−1)j−1 uK,L T ζk∗j ∧ζ ∗ ∧ ζ̄L∗ +
T uK,L ∧ζK∗ ∧ ζ̄L∗ +
K̂j
j=1
|K|=p
L̂j
j=1
|L|=q
où K̂j := (k1 , ..., k̂j , ..., kp ) et analoguement pour L̂j . On déduit alors les expressions lo ales
X X
∂J u =
1≤r≤n
|K|=p
X
(ζr .uK,L ) ζr∗ ∧ ζK∗ ∧ ζ̄L∗ +
k
(−1)j uK,L · M r,tj ζr∗ ∧ ζt∗ ∧ ζ ∗ ∧ ζ̄L∗
K̂j
1≤j≤p
1≤r<t≤n
|L|=q
X
−(−1)p
l
1≤j≤q
j
ζr∗ ∧ ζ̄t∗ ∧ ζK∗ ∧ ζ̄ ∗
(−1)j uK,L · U t,r
L̂j
(2.4.1)
1≤r,t≤n
∂¯J u =
X X
|K|=p
1≤r≤n
(ζ̄r .uK,L ) ζ̄r∗ ∧ ζK∗ ∧ ζ̄L∗ +
X
k
1≤j≤p
(−1)j uK,L · Ur,tj ζr∗ ∧ ζ̄t∗ ∧ ζ ∗ ∧ ζ̄L∗
K̂j
1≤r,t≤n
|L|=q
X
+(−1)p
l
1≤j≤q
(−1)j uK,L · Mr,tj ζ̄r∗ ∧ ζ̄t∗ ∧ ζK∗ ∧ ζ̄ ∗
L̂j
(2.4.2)
1≤r<t≤n
θJ u = −(−1)p
X
X
|K|=p 1≤j≤q
l
j
(−1)j uK,L · N r,t
ζr∗ ∧ ζt∗ ∧ ζK∗ ∧ ζ̄ ∗
L̂j
(2.4.3)
|L|=q 1≤r<t≤n
θ̄J u = −
X
X
|K|=p 1≤j≤p
k
(−1)j uK,L · Nr,tj ζ̄r∗ ∧ ζ̄t∗ ∧ ζ ∗ ∧ ζ̄L∗
K̂j
(2.4.4)
|L|=q 1≤r<t≤n
2.5 Relation entre la onnexion de Chern du bré tangent TX,J
d'une variété presque omplexe et la onne tion de LeviCivita
Pour p = 1 la dénition (2.3.1) de la onnexion ∂¯J,1 s'é rit sous la forme
∂¯J,1 α(η) · ξ = η . α(ξ) − α([η, ξ]1,0 )
1,0 (U ), η ∈ E(T 0,1 )(U ) et ξ ∈ E(T 1,0 )(U ). La onnexion duale
pour tout α ∈ EX,J
X,J
X,J
∂¯
1,0
T
X,J
1,0
1,0
: E(TX,J
) −→ E(Λ0,1
TX∗ ⊗C TX,J
)
J
1,0
sur le bré TX,J
, dénie par la formule
(∂¯J,1 α) · ξ = ∂¯J (α · ξ) − α · ∂¯
1,0
T
X,J
97
ξ
vérie alors l'identité
∂¯
1,0
T
X,J
ξ(η) = [η, ξ]1,0 .
1,0 ⊕n
1,0
Soit (ζk )k ∈ E(TX,J
) (U ) un repère lo al du bré TX,J
et A′′J =
onnexion de ∂¯T 1,0 par rapport au repère en question. On a alors
P
′′ r ∗
r (AJ ) ζ̄r
la forme de
X,J
∂¯
1,0
T
X,J
ζj (ζ̄r ) = −[ζj , ζ̄r ]1,0 =
X
k
(A′′J )k,j (ζ̄r )ζk = −
X
k
Uj,r
ζk .
k
k . En utilisant l'isomorphisme C-linéaire anonique du
On déduit alors la formule (A′′J )rk,j = −Uj,r
1,0
bré TX,J
ave le bré tangent TX,J on déduit la onnexion de type (0, 1) anonique
∂¯TX,J : E(TX,J ) −→ E(Λ0,1
TX∗ ⊗C TX,J )
J
du bré tangent TX,J . De façon expli ite on a pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(U )
l'expression suivante :
∂¯TX,J ξ(η) = ∂¯TX,J ξ(η 0,1 ) = [η 0,1 ξ 1,0 ]1,0 + [η 1,0 , ξ 0,1 ]0,1
=
1
[η, ξ] + [Jη, Jξ] + J[Jη, ξ] − J[η, Jξ] .
4
Soit ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) une métrique hermitienne sur TX,J . On désignera par
J
DJω : E(TX,J ) −→ E(TX∗ ⊗R TX,J )
la onnexion de Chern du bré hermitien (TX,J , ω), autrement dit l'unique onnexion ω -hermitienne
telle que
(DJω )0,1 = ∂¯TX,J .
Considérons maintenant la métrique riemannienne J -invariante asso iée g := ω(·, J·) ∈ E(SR2 TX∗ )(X).
On désigne par
∇g : E(TX ) −→ E(TX∗ ⊗R TX )
la onnexion de Levi-Civita relative à la métrique riemannienne g. Dans la suite on aura besoin
de onsidérer la dé omposition
ΛkR TX∗ ⊗R TX,J ≃C ΛkC (TX ⊗R C)∗ ⊗C TX,J ≃C
M
p+q=k
Λp,q
TX∗ ⊗C TX,J .
J
Le théorème suivant relie la onnexion de Levi-Civita ave une onnexion fondamentale de la
géométrie presque omplexe. Une autre formule peut être trouve dans [Gau℄.
Soit (X, J) une variété presque omplexe, ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) une métrique
J
∗
2
hermitienne sur TX,J et g := ω(·, J·) ∈ E(SR TX )(X) la métrique riemannienne J -invariante
asso iée à ω . Il existe deux tenseurs réels
Théorème 2.5.1
δJ ω ∈ E((TX∗ )⊗2 ⊗R TX )(X)
0,1 ∗,⊗2
et NJω ∈ E((TX,J
)
⊗C TX,J )(X)
tels que dω = 0 si et seulement si δJ ω = 0 ; NJ = 0 si et seulement si NJω = 0. La onnexion de
Chern DJω du bré hermitien (TX,J , ω) est relié à la onne tion de Levi-Civita ∇g par la formule
DJω, ξ η := ∇gξ η + δJ ω(ξ, η) − NJω (ξ, η)
98
(2.5.1)
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(U ), (U ⊆ X ouvert arbitraire). Le 2-tenseur réel
δJ ω est déni par la formule
2,0
0,2
1,1
2δJ ω := γω,J
+ γω,J
+ Jγω,J
(·, J·)
où
2,0
1,1
0,2
γω,J
∈ E(Λ2,0
TX∗ ⊗C TX,J )(X), γω,J
∈ E(Λ1,1
TX∗ ⊗C TX,J )(X) et γω,J
∈ E(Λ0,2
TX∗ ⊗C TX,J )(X)
J
J
J
sont les omposantes, (par rapport à la stru ture presque omplexe J) de la 2-forme réelle
γω ∈ E(Λ2 TX∗ ⊗R TX )(X) dénie par la formule
ω(γω (ξ, η), µ) = dω(ξ, η, µ)
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η, µ ∈ E(TX )(X). Enn le (0, 2)-tenseur réel NJω est dénie
par la formule NJω := τJω + τ̄Jω où
0,1 ∗,⊗2
1,0
τJω ∈ E((TX,J
)
⊗C TX,J
)(X)
est le (0, 2)-tenseur déni par la formule
ω(τJω (ξ, η), µ) = ω(ξ, [η, µ]1,0 )
0,1
0,2 = 0. La forme de
pour tout (0, 1)- hamp de ve teurs ξ, η, µ ∈ E(TX,J
)(X). Si NJ = 0 alors γω,J
ω
torsion TDJω de la onnexion de Chern DJ vérie l'identité
(2.5.2)
2,0
TDω = γω,J
− NJ .
J
Remarque. Il est bien onnue ( f. [Gau℄) que pour tout onnexion hermitienne
D sur le -
bré hermitien (TX,J , ω) la omposante
de type (0, 2) de la torsion de D vérie l'identité
TD0,2 = −NJ . D'autre part il est aussi bien onnue que la onnexion de Chern du bré hermitien
(TX,J , ω) peut étre ara térisé par la ondition TD1,1 = 0, dans l'espa e des onnexions hermitienes D du bré hermitien (TX,J , ω).
TD0,2
Preuve du théorème
Expression de la onnexion de Chern DJω du bré hermitien (TX,J , ω).
Soit hω la forme hermitienne sur le bré TX,J asso iée à ω . On rappelle qu'elle est dénie par la
formule hω (ξ, η) := ω(ξ, Jη) − iω(ξ, η). La onnexion de Chern DJω est dénie par les formules
DJω, ξ η = DJω, ξ 1,0 η + ∂¯TX,J η(ξ 0,1 ),
hω (DJω, ξ 1,0 η , µ) = ξ 1,0 . hω (η, µ) − hω (η, ∂¯TX,J η(ξ 0,1 ))
(2.5.3)
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η, µ ∈ E(TX )(U ). L'identité hω (ξ, η) = hω (ξ 1,0 , η0,1 ) =
−2iω(ξ 1,0 , η 0,1 ) et la dénition de la onnexion anonique ∂¯TX,J montrent que la formule 2.5.3
est équivalente à la formule
ω(DJω, ξ 1,0 η , µ0,1 ) = ξ 1,0 . ω(η 1,0 , µ0,1 ) − ω(η 1,0 , [ξ 1,0 , µ0,1 ]0,1 )
On obtient en on lusion que la onnexion de Chern peut étre dénie par la formule
ω(DJω, ξ η , µ0,1 ) = ξ 1,0 . ω(η 1,0 , µ0,1 ) − ω(η 1,0 , [ξ 1,0 , µ0,1 ]0,1 ) + ω([ξ 0,1 , η 1,0 ]1,0 , µ0,1 )
99
(2.5.4)
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η, µ ∈ E(TX )(U ).
Expression de la
onnexion de Levi-Civita
La onnexion de Levi-Civita
∇g
: E(TX ) −→
∇g .
⊗R TX ) est dénie par la formule lassique
E(TX∗
2g(∇gξ η, µ) = ξ .g(η, µ) − µ .g(ξ, η) + η .g(µ, ξ)
−g(ξ, [η, µ]) + g(µ, [ξ, η]) + g(η, [µ, ξ])
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η, µ ∈ E(TX )(U ). Bien évidemment la dénition pré édente
est équivalente à la formule
2ω(∇gξ η, −iµ0,1 ) = ξ . ω(η 1,0 , −iµ0,1 ) − µ0,1 . ω(ξ, Jη) + η . ω(µ0,1 , iξ 1,0 )
−ω(ξ, J[η, µ0,1 ]) + ω(µ0,1 , i[ξ, η]1,0 ) + ω(η, J[µ0,1 , ξ]).
0,2 .
γω,J
∗ ⊗ T
On rappelle que les éléments de l'espa e ve toriel Λp,q
TX,x
X,J,x s'identient naturellement
C
J
1,0
p,q
∗
ave les éléments du type u + ū, u ∈ ΛJ TX,x ⊗C TX,J,x , (voir la se tion 2.1). On a don les
Expression des
2,0 , γ 1,1 (·, J·)
2-tenseurs γω,J
ω,J
(2.5.5)
et
identités
2,0
2,0
2,0
γω,J
= γ̂ω,J
+ γ̂ω,J
,
1,1
1,1
1,1
γω,J
= γ̂ω,J
+ γ̂ω,J
,
0,2
0,2
0,2
γω,J
= γ̂ω,J
+ γ̂ω,J
,
sur TX , ave
1,0
1,0
1,0
2,0
1,1
0,2
γ̂ω,J
∈ E(Λ2,0
TX∗ ⊗C TX,J
)(X), γ̂ω,J
∈ E(Λ1,1
TX∗ ⊗C TX,J
)(X) et γ̂ω,J
∈ E(Λ0,2
TX∗ ⊗C TX,J
)(X).
J
J
J
La dé omposition dω = ∂J ω + ∂¯J ω − θJ ω − θ̄J ω implique alors les identités
2,0
2,0 1,0 1,0
ω(γ̂ω,J
(ξ, η), µ0,1 ) = ω(γ̂ω,J
(ξ , η ), µ0,1 ) = ∂J ω(ξ 1,0 , η 1,0 , µ0,1 ),
1,1
1,1 1,0
1,1 0,1
ω(γ̂ω,J
(ξ, Jη), µ0,1 ) = ω(γ̂ω,J
(ξ , −iη 0,1 ), µ0,1 ) + ω(γ̂ω,J
(ξ , iη1,0 ), µ0,1 ) =
= ∂¯J ω(ξ 1,0 , −iη 0,1 , µ0,1 ) + ∂¯J ω(ξ 0,1 , iη1,0 , µ0,1 ),
0,2 0,1 0,1
ω(γ̂ω,J
(ξ , η ), µ0,1 ) = −θ̄J ω(ξ 0,1 , η 0,1 , µ0,1 )
En expli itant les formes ∂J ω, ∂¯J ω et θ̄J ω dans les identités pré édentes on obtient les expressions
suivantes
2,0
ω(γ̂ω,J
(ξ, η), µ0,1 ) = ξ 1,0 . ω(η 1,0 , µ0,1 ) − η 1,0 . ω(ξ 1,0 , µ0,1 )
−ω([ξ 1,0 , η 1,0 ]1,0 , µ0,1 ) + ω([ξ 1,0 , µ0,1 ]0,1 , η 1,0 ) − ω([η 1,0 , µ0,1 ]0,1 , ξ 1,0 ),
100
(2.5.6)
1,1
ω(γ̂ω,J
(ξ, Jη), µ0,1 ) = iη 0,1 . ω(ξ 1,0 , µ0,1 ) − iµ0,1 . ω(ξ 1,0 , η 0,1 )
+iξ 0,1 . ω(η 1,0 , µ0,1 ) − iµ0,1 . ω(η 1,0 , ξ 0,1 )
+iω([ξ 1,0 , η 0,1 ]1,0 , µ0,1 ) − iω([ξ 1,0 , µ0,1 ]1,0 , η 0,1 ) + iω([η 0,1 , µ0,1 ]0,1 , ξ 1,0 )
+iω([η 1,0 , ξ 0,1 ]1,0 , µ0,1 ) − iω([η 1,0 , µ0,1 ]1,0 , ξ 0,1 ) + iω([ξ 0,1 , µ0,1 ]0,1 , η 1,0 )
(2.5.7)
et en n
0,2 0,1 0,1
ω(γ̂ω,J
(ξ , η ), µ0,1 ) = −ω([ξ 0,1 , η 0,1 ]1,0 , µ0,1 )
+ω([ξ 0,1 , µ0,1 ]1,0 , η 0,1 ) − ω([η 0,1 , µ0,1 ]1,0 , ξ 0,1 ).
(2.5.8)
En remplaçant −iµ0,1 à la pla e de µ0,1 dans les identités 2.5.6 et 2.5.8, en sommant les identités
obtenues ave l'identité 2.5.7 et en tenant ompte de la formule 2.5.4 on obtient l'identité voulue
1,1 (·, J·) soit symétrique implique l'identité
2.5.1. Le fait que le 2-tenseur γω,J
h
i
2,0
0,2
TDω (ξ, η) = γω,J
+ γω,J
(ξ, η) − NJω (ξ, η) + NJω (η, ξ).
J
pour la forme de torsion de la onnexion de Chern. Pour montrer l'identité (2.5.2) on va montrer
l'identité
0,2
−NJ (ξ, η) = γω,J
(ξ, η) − NJω (ξ, η) + NJω (η, ξ)
pour tout hamps de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(U ). Il sut de montrer pour tout (0, 1)- hamps
0,1
)(U ), l'identité
de ve teurs ξ, η, µ ∈ E(TX,J
0,2
−τ̄J (ξ, η) = γ̂ω,J
(ξ, η) − τJω (ξ, η) + τJω (η, ξ),
(2.5.9)
1,0
TX∗ ⊗C TX,J
)(X) désigne le onjugué du tenseur de la torsion de la stru ture
ou τ̄J ∈ E(Λ0,2
J
presque omplexe J . Si on pose par dénition
0,2
S(ξ, η) := γ̂ω,J
(ξ, η) − τJω (ξ, η) + τJω (η, ξ),
on aurà l'égalité
ω(S(ξ, η), µ) = −ω([ξ, η]1,0 , µ) + ω([ξ, µ]1,0 , η)
−ω([η, µ]1,0 , ξ) − ω(ξ, [η, µ]1,0 ) + ω(η, [ξ, µ]1,0 ).
On obtient en on lusion l'identité
ω(S(ξ, η), µ) = −ω([ξ, η]1,0 , µ)
0,1
pour tout (0, 1)- hamps de ve teurs ξ, η, µ ∈ E(TX,J
)(U ), e qui prouve l'identité (2.5.9).
101
2.6 La ourbure de Chern des puissan es de S hur du bré des
(1, 0)-formes
On a la dénition suivante.
Dénition 2.6.1 Le tenseur de ourbure de Chern
Ch (FJλ ) ∈ E(Λ1,1
TX∗ ⊗C EndC (FJλ ))(X)
J
du bré ve toriel hermitien (FJλ , h) −→ (X, J) est la (1, 1)-forme donnée par la formule
Ch (FJλ ) := Θ(DFh λ )1,1 .
J
La ourbure de Chern
CFh λ ∈ E(Herm(TX,J ⊗C FJλ ))(X)
J
est la forme hermitienne sur le bré ve toriel omplexe TX,J ⊗C FJλ dénie par la formule
CFh λ (ξ ⊗ σ, η ⊗ τ ) := h(Ch (FJλ )(ξJ1,0 , ηJ0,1 ) · σ, τ )
J
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(U ) et se tions σ, τ ∈ E(FJλ )(U ) sur un ouvert U
quel onque.
La ourbure de Chern CFh λ est une forme hermitienne sur le bré ve toriel omplexe TX,J ⊗C FJλ
J
grâ e à la relation (2.2.2) (remarquée dans la se tion 2.2). Soit
Ch (FJλ ) =
X
1≤l,m≤rλ
j,k ∗
Cl,m
ζj ∧ ζ̄k∗ ⊗ e∗m ⊗ el
1≤j,k≤n
l'expression lo ale du tenseur de ourbure de Chern, (i i rλ := rgC FJλ ). Si le repère lo al (el )l ∈
E(FJλ )⊕rλ (U ) est h(x0 )-orthonormé en un point x0 alors l'expression lo ale de la ourbure de
Chern s'é rit sous la forme
CFh λ (x0 ) =
J
X
1≤l,m≤rλ
j,k
Cl,m
(x0 ) ζj∗ ⊗ e∗m ⊗ ζ̄k∗ ⊗ ē∗l
1≤j,k≤n
j,k
k,j
où les oe ients vérient la relation Cl,m
(x0 ) = Cm,l
(x0 ) vue dans la se tion 2.2. Remarquons
∗
∗
⊕n
que (ζk|T )k ∈ E(TX,J ) (U ) est le repère dual du repère (ζk + ζ̄k )k ∈ E(TX,J )⊕n (U ) par rapport
X
à la stru ture J . Bien évidemment il est équivalent de donner soit le tenseur de ourbure soit la
ourbure de Chern. On aura besoin de la dénition suivante.
Dénition 2.6.2 Une se tion
σ ∈ E(FJλ )(U ) est dite presque-holomorphe au point x ∈ U si
¯
on a ∂ σ(x) = 0. Un repère lo al (σk )k ⊂ E(FJλ )(U ) est dit presque-holomorphe spé ial au point
x ∈ U si ∂¯ σk (x) = 0 et (D h )1,0 ∂¯ σk (x) = 0 pour tout k.
La dénition de repère lo al presque-holomorphe spé ial en un point est indépendante de la
métrique hermitienne. En eet si A′′σ est la matri e de la onnexion de type (0, 1) anonique du
bré ve toriel FJλ relative au repère (σk )k ⊂ E(FJλ )(U ), la ondition que le repère lo al (σk )k
soit presque-holomorphe spé ial au point x s'exprimé par les égalités A′′σ (x) = 0 et ∂J A′′σ (x) = 0.
Le lemme élémentaire suivant donne une première idée de l'utilité de la notion de ourbure de
Chern.
102
Soient σ, τ ∈ E(FJλ )(U ) deux se tions presque-holomorphes en un point x ∈ U
du bré hermitien (FJλ , h) −→ (X, J) et ξ, η ∈ E(TX )(U ) deux hamps de ve teurs réels. Alors
au point x on a l'identité
Lemme 2.6.0.1
1,0
1,0
. σ, ηD
. τ )|x
CFh λ (ξ ⊗ σ, η ⊗ τ )|x = ∂¯J ∂J h(σ, τ )(ξ 1,0 , η 0,1 )|x + h(ξD
J
1,0 0,1
1,0 0,1
+h(ξD
. ηD . σ, τ )|x + h(σ, ηD
. ξD . τ )|x .
(2.6.1)
Soit (σk )k ⊂ E(FJλ )(U ) un repère lo al presque-holomorphe spé ial au point x ∈ U . Alors au
point x on a l'identité
1,0
1,0
CFh λ (ξ ⊗ σk , η ⊗ σl )|x = ∂¯J ∂J h(σk , σl )(ξ 1,0 , η 0,1 )|x + h(ξD
. σk , ηD
. σl )|x .
J
(2.6.2)
En parti ulier
1,0
i∂J ∂¯J |σk |2h (ξ, Jξ)|x = −2 CFh λ (ξ ⊗ σk , ξ ⊗ σk )|x + 2 |ξD
. σk |2h |x .
J
(2.6.3)
Dans le as d'une variété omplexe (X, J) et d'un bré ve toriel holomorphe hermitien (F, h) −→
(X, J) on a pour toutes se tions holomorphes σ, τ ∈ O(F )(U ) l'identité
1,0
1,0
CFh (ξ ⊗ σ, η ⊗ τ ) = ∂¯J ∂J h(σ, τ )(ξ 1,0 , η 0,1 ) + h(ξD
. σ, ηD
. τ)
sur l'ouvert U . On déduit en parti ulier la formule remarquable suivante
1,0
i∂J ∂¯J |σ|2h (ξ, Jξ) = −2 CFh (ξ ⊗ σ, ξ ⊗ σ) + 2 |ξD
. σ|2h
qui montre que pour tout se tion holomorphe σ ∈ O(F )(U ) la fon tion |σ|2h est plurisousharmonique sur l'ouvert U si la ourbure du bré F est négative au sens de Griths, autrement
dit si CFh (ξ ⊗ σ, ξ ⊗ σ) ≤ 0 pour tout ξ ∈ TX,x et σ ∈ Fx , (voir [Gri℄ et [Dem-1℄, hapitre VII
pour des appli ations fondamentales de la notion de ourbure au sens de Griths). On déduit
en parti ulier que si la variété omplexe X est ompa te, onnexe et σ ∈ O(F )(X) est une se tion globale d'un bré ve toriel holomorphe F admettant une métrique hermitienne à ourbure
négative au sens de Griths alors le se tion σ est identiquement nulle sur X si elle s'annule en
un point. On remarque que la notion de positivité (négativité) au sens de Griths pour un bré
(FJλ , h) ne signie rien d'autre que pour tout ve teur réel ξ ∈ TX,J l'endomorphisme h-hermitien
iCh (FJλ )(ξ, Jξ) est positif (négatif). Si la ourbure du bré (FJλ , h) est stri tement négative au
sens de Griths en un point x alors on déduit d'après la formule (2.6.3) que les fon tions |σk |2h
sont stri tement J -plurisousharmoniques au voisinage du point x, (voir le hapitre III pour la
notion de fon tion stri tement J -plurisousharmoniques et pour plus de détails).
P reuve du lemme 2.6.0.1. On a l'égalité
∂J ∂¯J h(σ, τ ) = {DF1,0 ∂¯F σ, τ }h − {∂¯F σ, ∂¯F τ }h + {DF1,0 σ, DF1,0 τ }h + {σ, ∂¯F DF1,0 τ }h .
Le fait que deg σ = deg τ = 0 et l'identité {Ch (F ) · σ, τ }h + {σ, Ch (F ) · τ }h = 0 impliquent
∂J ∂¯J h(σ, τ ) = −{Ch (F ) · σ, τ }h − {σ, DF1,0 ∂¯F τ }h + {DF1,0 ∂¯F σ, τ }h
−{∂¯F σ, ∂¯F τ }h + {DF1,0 σ, DF1,0 τ }h .
103
(2.6.4)
En expli itant l'égalité pré édente par rapport au
hamps de ve teurs réels
ξ
et
η
on obtient
l'identité
1,0 0,1
1,0 0,1
CFh (ξ ⊗ σ, η ⊗ τ ) = ∂¯J ∂J h(σ, τ )(ξ 1,0 , η 0,1 ) + h(ξD
. ηD . σ, τ ) + h(σ, ηD
. ξD . τ )
1,0
1,0
0,1
0,1
+h([η 0,1 , ξ 1,0 ]0,1
. σ, τ ) + h(σ, [ξ 0,1 , η 1,0 ]0,1
. τ ) + h(ξD
. σ, ηD
. τ ) + h(ηD
. σ, ξD
. τ)
D
D
(σk )k le
x;
qui permet de déduire la formule (2.6.1). Soit
repère de l'énon e du lemme. On déduit
d'après l'identité (2.6.4) l'égalité suivante au point
∂J ∂¯J h(σk , σl )|x = −{Ch (F ) · σk , σl }h |x + {DF1,0 σk , DF1,0 σl }h |x
(σk )k ⊂ E(FJλ )(U ) presqueω
holomorphes spé iaux en un point x ∈ U tels que D σk (x) = 0 pour tout k . Dans
e
as on
J
déduit d'après les formules (2.6.2) et (2.6.3) les identités suivantes au point x ;
qui permet de
on lure la preuve du lemme.
Dans la sous-se tion suivante on montre l'existen e de repères lo aux
ω
CX,J
(ξ ⊗ σk , η ⊗ σl )|x = ∂¯J ∂J h(σk , σl )(ξ 1,0 , η 0,1 )|x
i∂J ∂¯J |σk |2h (ξ, Jξ)|x = −2 CFh λ (ξ ⊗ σk , ξ ⊗ σk )|x ,
J
pour tout
2.6.1
hamps de ve teurs réels
ξ, η ∈ E(TX )(U ).
Interprétation géométrique de la notion de
as presque
Le lemme fondamental suivant est une version presque
géométrie hermitienne
ourbure de Chern dans le
omplexe
omplexe (voir [Dem-1℄,
omplexe d'un lemme
lassique de la
hapitre V).
Soit (X, J) une variété presque omplexe et (FJλ , h) −→ (X, J) le bré ve toriel
hermitien d'une puissan e de S hur du bré des (1, 0)-formes. Soient (z1 , ..., zn ) des oordonnées
C ∞ omplexes entrées en un point x telles que J(x) = J0 , où J0 désigne la stru ture presque
omplexe anonique relative à es oordonnées. Il existe un repère lo al (σk )k ∈ E(FJλ )⊕rλ (Ux )
presque-holomorphe spé ial au point x pour lequel les oe ients de la métrique hermitienne h
s'é rivent sous la forme
Lemme 2.6.1.1
h(σl , σm ) = δl,m +
X
j,k̄
Hl,m
zj z̄k + O(|z|3 ).
1≤j,k≤n
Quel que soit le hoix du repère (σk )k ∈ E(FJλ )⊕rλ (Ux ) presque-holomorphe spé ial au point x
pour lequel les oe ients de la métrique hermitienne h s'é rivent sous la forme pré édente on
a les expressions suivantes pour le tenseur de ourbure et la ourbure de Chern au point x :
Ch (FJλ )|x = −
X
1≤l,m≤rλ
j,k̄
∗
Hl,m
dzj ∧ dz̄k ⊗ σm
⊗ σl
(2.6.5)
1≤j,k≤n
CFh λ (ξ ⊗ σl , η ⊗ σm )|x = ∂¯J ∂J h(σl , σm )(ξ 1,0 , η 0,1 )|x ,
J
pour tout hamp de ve teurs réels ξ, η ∈ E(TX )(Ux ) et tout indi e l, m.
104
(2.6.6)
Le lemme nous montre que la ourbure de Chern au point x mesure l'obstru tion à l'existen e
de repères lo aux presque-holomorphes spé iaux et orthonormaux à l'ordre deux en x.
P reuve. Soit e ≡ (ek )k ∈ E(FJλ )⊕rλ (Ux ) un repère lo al h(x)-orthonormé au point x. On peut
supposer que la forme de la onnexion de Chern DFh λ relative à e repère vérie la ondition
Ae (x) = 0. En eet en ee tuant un hangement de repère e′ = e·g0 ave g0 = I+O(|z|), dg0 (x) =
−Ae (x) on a que la forme de onnexion Ae′ = g0−1 (dg0 + Ae · g0 ) relative au repère e′ vérie la
propriété voulue. Soient
(He )l,m = δl,m +
X j
j
Hl,m
zj + H m,l z̄j
1≤j≤n
X
+
1≤j,k≤n
j,k
j,k
j,k̄
Hl,m
zj zk + H m,l z̄j z̄k + Ĥl,m
zj z̄k + O(|z|3 )
les oe ients de la métrique hermitienne h par rapport au repère e. La relation
t
−1
A′e = H e (∂J H e − A′′e H e )
j
ombinée ave les égalités A′e (x) = 0, A′′e (x) = 0 implique alors ∂¯J He (x) = 0 et don Hl,m
=0
pour tout les indi es j, l, m. Par rapport aux oordonnées hoisies on a l'é riture
(∂J A′′e )m,l =
X
1≤j,k≤n
k̄
(∂J A′′e )j,
m,l (0) dzj ∧ dz̄k + O(|z|).
Considérons maintenant le hangement de repère σ = e · g donné par la formule
σl = el −
X
1≤m≤rλ
j,k
k̄
Hl,m
zj zk + (∂J A′′e )j,
(0)
z
z̄
em ∈ E(FJλ )(Ux ).
j
k
m,l
1≤j,k≤n
Un al ul élémentaire montre que les oe ients de la métrique hermitienne h par rapport à e
repère s'é rivent sous la forme
(Hσ )l,m = δl,m +
X
j,k̄
Hl,m
zj z̄k + O(|z|3 ).
j,k
Si A′′σ désigne la forme de onnexion relative au repère σ on a la formule de hangement de
matri e de onnexion A′′σ = g−1 (∂¯J g + A′′e · g). Le fait que A′′e (x) = 0 et ∂¯J g(x) = 0 implique
alors l'égalité A′′σ (x) = 0. De plus au point x on a l'égalité
∂J A′′σ (x) = ∂J ∂¯J g(x) + ∂J A′′e (x) = 0.
On déduit alors d'après la formule 2.2.3 que la ourbure de Chern s'é rit au point x sous la
forme
X
Ch (FJλ )|x = −
m,l
∗
∂J ∂¯J hl,m (x) ⊗ σm
⊗ J σl .
qui montre la validité de la formule (2.6.5). La formule (2.6.6) est une onséquen e immédiate
des identités
t
−1
et (2.6.2).
A′σ (x) = H σ (∂J H σ − A′′σ H σ )(x) = 0
105
2.6.2 La ourbure de Chern du bré tangent d'une variété presque omplexe
Dans le as du bré tangent d'une variété presque omplexe le tenseur de ourbure de Chern
∗
TX∗ ⊗C TX,J
⊗C TX,J )(X)
Cω (TX,J ) := Θ(DJω )1,1 ∈ E(Λ1,1
J
s'é rit sous la forme lo ale
Cω (TX,J ) =
X
1≤j,k,l,m≤n
(2.6.7)
j,k ∗
∗
Cl,m
ζj ∧ ζ̄k∗ ⊗ ζm
⊗ J ζl .
La notation α ⊗ ζl∗ ⊗J ζm où α est une (1, 1)-forme par exemple doit être interprétée sous la
forme suivante. Si ξ1 , ξ2 ∈ TX,x ⊗R C et η = ηl ζl + η̄l ζ̄l ∈ TX,x alors
α ⊗ ζl∗ ⊗J ζm (ξ1 , ξ2 , η) = α(ξ1 , ξ2 ) ηl ζm + α(ξ1 , ξ2 ) ηl ζm .
En parti ulier la ourbure de Chern du bré tangent
∗,⊗2
∗,⊗2
ω
)(X)
CX,J
∈ E(TX,J
⊗C TX,−J
est dénie par la formule
ω
CX,J
(ξ1 ⊗ η1 , ξ2 ⊗ η2 ) := hω (Cω (TX,J )(ξ11,0 , ξ20,1 ) · η1 , η2 )
pour tout hamp de ve teurs réels ξj , ηj ∈ E(TX )(U ), j = 1, 2, où hω est la forme hermitienne
asso iée à ω . On rappelle qu'elle est dénie par la formule hω (ξ, η) := ω(ξ, Jη) − iω(ξ, η). Le fait
⊗2
ω
ω (ξ ⊗ η, ξ ⊗
que CX,J
soit une forme hermitienne sur le bré TX,J
implique que la quantité CX,J
η), ξ, η ∈ E(TX )(U ) est réelle. On déduit alors les identités
ω
CX,J
(ξ ⊗ η, ξ ⊗ η) = ω(Cω (TX,J )(ξ, Jξ) · η, η)
et
ω(Cω (TX,J )(ξ, Jξ) · η, Jη) = 0.
1,0 ⊕n
La ourbure de Chern du bré tangent s'é rit en un point x où le repère (ζk )k ∈ E(TX,J
) (U )
est hoisie ω(x)-orthonormé sous la forme
ω
CX,J
(x) =
X
1≤j,k,l,m≤n
j,k
∗
Cl,m
(x) ζj∗ ⊗ ζm
⊗ ζ̄k∗ ⊗ ζ̄l∗
j,k
k,j
ave la relation de symétrie hermitienne Cl,m
(x) = Cm,l
(x).
Remarque.0,2Le fait que la
onnexion de Chern soit hermitienne implique que en un point x
ω 0,2
on a Θ(DJω )|x = 0 si et seulement si Θ(DJω )2,0
|x = 0. On peut montrer que Θ(DJ )|x = 0 si le jet
d'ordre un de la forme de torsion de la stru ture presque omplexe est nul au point x.
2.7
Coordonnées presque
omplexes d'ordre
N
en un point
Soient (z1 , ..., zn ) des oordonnées lo ales C ∞ entrées en x ∈ X telles que le repère lo al
1,0
( ∂z∂ 1 , ..., ∂z∂n ) soit une base omplexe de TX,J,x
au point x. On désigne par MJ ∈ M2n,2n (E) la
matri e de la stru ture presque omplexe J ∈ E(EndC (TX ⊗R C))(X) par rapport au repère
omplexe ( ∂z∂1 , ..., ∂z∂n , ∂∂z̄1 , ..., ∂∂z̄n ). Le fait que J = J implique que la matri e MJ s'é rit sous la
forme :
MJ (z) =
A(z) B(z)
B(z) A(z)
106
On voit alors que la stru ture presque
omplexe s'exprime sous la forme :
X
∂
∂
∂
∂ + Bk,l (z) dzl ⊗
+ B k,l (z) dz̄l ⊗
+ Ak,l (z) dz̄l ⊗
J(z) =
Ak,l (z) dzl ⊗
∂zk
∂ z̄k
∂zk
∂ z̄k
k,l
ave
A(0) = iIn , B(0) = 0n .
Si on suppose que la stru ture presque
grable il existe d'après le théorème de Newlander-Nirenberg des
(z1 , ..., zn ).
La stru ture presque
omplexe est inté-
oordonnées lo ales holomorphes
omplexe s'é rit alors par rapport à
es
oordonnées sous la
forme
J(z) = J0 = i
X
∂
∂ dzk ⊗
− dz̄k ⊗
∂zk
∂ z̄k
(2.7.1)
k
autrement dit
A(z) ≡ i In , B(z) ≡ 0n .
Ave
les notations introduites pré édemment on a la
proposition suivante.
Proposition 2.7.1 Pour tout point x d'une variété presque omplexe (X, J) et pour tout entier
N ≥ 2 il existe des oordonnées (z1 , ..., zn ) de lasse C ∞ entrées en x telles que les matri es
A(z) et B(z) de la stru ture presque omplexe J relatives à es oordonnées admettent les déve-
loppements asymptotiques
A(z) = i In +
B(z) =
i
2
X
Aα,β z α z̄ β + O(|z|N +1 )
(2.7.2)
|α+β|≤N
|α|,|β|≥1
X
B α,β z α z̄ β + O(|z|N +1 )
(2.7.3)
|α+β|≤N
|α|≥1
où Aα,β , B α,β ∈ Mn,n (C) sont des matri es telles que les oe ients des matri es B α,β vérient
α,β
la propriété ; Bk,l
= 0 pour tout l ≥ max{k ∈ {1, ..., n} | αk 6= 0}. Les matri es Aα,β sont
obtenues à partir des matri es B α,β , (ave la onvention B 0,β := 0), grâ e à la formule :
[|α+β|/2]
Aα,β =
X
k=1
X
(−4)−(k−1)
−→
Y
1≤r≤k
Pk
(ρr +µr )=α
Pr=1
k
r=1 (λr +γr )=β
B
λr ,µr
· B ρr ,γr
(2.7.4)
où le symbole [c] désigne la partie entière de c et le symbole de produit ave une è he vers la
droite désigne le produit non ommutatif des termes qui sont é rits en ordre roissant de l'indi e
vers la droite.
(Remarquons que dans la formule (2.7.4) la
nulles sont
elles
B 0,β = 0 implique
|λr |, |ρr | ≥ 1).
onvention
orrespondantes aux multi-indi es
que les sommes non
Dénition 2.7.2 Les oordonnées qui vérient les propriétés de l'énon e de la proposition préédente seront appelées oordonnées presque omplexes d'ordre N en x par rapport à la stru ture
J.
Dans le
as parti ulier
N =3
la formule (2.7.4) s'é rit sous la forme ;
Aα,β =
X
µ+ρ=α
λ+γ=β
On ré-énon e la proposition pré édente dans le
pratique pour les
λ
B · B ρ,γ
as
N = 3
al uls relatifs à la sous-se tion qui suivra.
107
sous une forme plus expli ite et
Pour tout point x d'une variété presque omplexe (X, J) il existe des oordonnées (z1 , ..., zn ) de lasse C ∞ entrées en x telles que les matri es A(z) et B(z) de la stru ture
presque omplexe J relatives à es oordonnes admettent les développements asymptotiques
Corollaire 2.7.3
B(z) =
X
B r zr +
r
X
B r,s zr zs + B r,s̄ zr z̄s
r,s
X
+
B r,s,t zr zs zt + B r,s,t̄ zr zs z̄t + B r,s̄,t̄ zr z̄s z̄t + O(|z|4 )
(2.7.5)
r,s,t
A(z) = i In +
+
iX r
i X t,r̄
t,s̄
t
B · B s zs z̄r +
B · B s + B · B r + 2B · B r,s zr zs z̄t
2 r,s
4 r,s,t
iX t
s
s,t
B · B r,s̄ + B · B r,t̄ + 2B · B r zr z̄s z̄t + O(|z|4 )
4 r,s,t
(2.7.6)
où B r , B r,s , B r,s̄, B r,s,t, B r,s,t̄, B r,s̄,t̄ ∈ Mn,n (C) sont des matri es telles que B r,s soit symétrique
par rapport aux indi es r, s, B r,s,t par rapport à r, s, t, B r,s,t̄ par rapport à r, s, B r,s̄,t̄ par rapport
r = 0 pour r ≤ l, B r,s = 0 pour r, s ≤ l, B r,s̄ = 0 pour r ≤ l, B r,s,t = 0 pour r, s, t ≤ l,
à s, t et Bk,l
k,l
k,l
k,l
r,s,t̄
r,s̄,t̄
Bk,l
= 0 pour r, s ≤ l, et Bk,l
= 0 pour r ≤ l. De plus si on onsidère l'expression lo ale de la
forme de torsion de la stru ture presque omplexe
τJ =
X
[ζk , ζl ]0,1
⊗ ζk∗ ∧ ζl∗ =
J
1≤k<l≤n
X
1≤k<l≤n
1≤r≤n
r
N k,l ζk∗ ∧ ζl∗ ⊗ ζ̄r
1,0
1,0
où ζl := (∂/∂zl )1,0
∈ E(TX,J
)(Ux ), l = 1, ..., n est le repère lo ale du bré des (1, 0)-ve teurs TX,J
J
issue des oordonnées (z1 , ..., zn ) on a l'expression
r
N k,l (z) =
i
i l
i Xh
l,s
k,s
l,s̄
2(Br,k
− Br,l
) zs + Br,k
z̄s + O(|z|2 )
Br,k +
2
2 s
pour tout k < l. Le jet d'ordre k = 0, 1 de la forme de torsion de la stru ture presque omplexe
au point x est nul si et seulement si les oe ients B∗,∗ (z) de la stru ture presque omplexe
relatifs aux oordonnées en question s'annulent à l'ordre k + 1.
Les
oordonnées pré édentes seront appelées
oordonnées presque
omplexes d'ordre 3 au point
x.
Preuve de la proposition 2.7.1
I) Les hangements de oordonnées
J 2 = −I
A2 = −In − B · B
et A · B =
−B · A. Le hoix fait sur les oordonnées lo ales implique que relativement à elles- i on a
J(0) = J0 , A(0) = i In , B(0) = 0n . La relation A2 = −In − B · B implique alors que la matri e
A admet un développement asymptotique du type A(z) = i In + O(|z|2 ). Si Z = Φ(z) est un
La
ondition
hangement de
est exprimée par les
onditions lo ales
oordonnées alors la matri e de la stru ture presque
MJ (Z) =
A(Z) B(Z)
B(Z) A(Z)
108
omplexe
par rapport aux nouvelles oordonnées est donné par la formule MJ (Z) = dΦ · MJ (z) · dΦ−1 .
De manière expli ite on a alors les formules
Ak,l (Z) :=
X
∂zt ∂Zk
∂zt ∂Zk
+ Bs,t(Z)
As,t (Z)
∂Z
∂z
∂Z
s
l
l ∂ z̄s
s,t
+B s,t (Z)
Bk,l (z) :=
∂ z̄t ∂Zk
∂ z̄t ∂Zk + As,t (Z)
∂Zl ∂zs
∂Zl ∂ z̄s
(2.7.7)
X
∂zt ∂ Z̄k
∂zt ∂ Z̄k
+ Bs,t (Z)
As,t (Z)
∂Z
∂z
∂zl ∂ z̄s
s
l
s,t
+B s,t(Z)
∂ z̄t ∂ Z̄k
∂ z̄t ∂ Z̄k + As,t (Z)
.
∂Zl ∂zs
∂Zl ∂ z̄s
(2.7.8)
Considérons maintenant pour tout entier N ≥ 1 les hangements de oordonnées Z = ΦN (z)
Zk = zk −
α−δ
l(α)
i B k,l(α)
X
,β
2αl(α)
|α+β|=N +1
|α|≥1
z β z̄ α
où l(α) := max{r ∈ {1, ..., n} | αr 6= 0} et les oe ients B α,β , |α + β| = N seront dénis dans
la suite. On onsidère aussi les hangements inverses
α−δ
zk = Zk +
,β
l(α)
i B k,l(α)
X
Z β Z̄ α + O(|Z|2N +1 )
2αl(α)
|α+β|=N +1
|α|≥1
On dénit aussi
α−δ
α−δl ,β
Bk,l
:=
α−δl ,β
Bk,l
Bk,l(α)l(α)
− αl ·
,β
αl(α)
α,β
pour tout les multi-indi es α tels que αl ≥ 1. Ave la onvention 0 = max ∅, on a alors Bk,l
=0
pour tout les multi-indi es |α + β| = N tels que l(α) ≤ l. Ave la onvention pré édente on a en
parti ulier B 0,β = 0 lorsque |β| = N . On a les expressions suivantes pour les dérivées partielles :
∂zt
= δt,l +
∂Zl
∂zt
=
∂ Z̄l
|α+β|=N +1
|α|, βl ≥1
X
|α+β|=N +1
αl ≥1
∂Zk
= δs,k −
∂zs
∂Zk
=−
∂ z̄s
α−δ
X
βl ·
αl ·
|α+β|=N +1
αs ≥1
i B t,l(α)l(α)
2αl(α)
βs ·
Z β Z̄ α−δl + O(|Z|2N )
l(α)
i B k,l(α)
2αl(α)
α−δ
αs ·
Z β−δl Z̄ α + O(|Z|2N )
,β
α−δ
|α+β|=N +1
|α|, βs ≥1
,β
2αl(α)
α−δ
X
X
i B t,l(α)l(α)
l(α)
i B k,l(α)
2αl(α)
109
,β
Z β−δs Z̄ α + O(|Z|2N )
,β
Z β Z̄ α−δs + O(|Z|2N )
Nous allons montrer maintenant à l'aide d'une ré urren e sur N , l'existen e de oordonnées
pour lesquelles les matri es A(z) et B(z) admettent les développements asymptotiques (2.7.2)
α,β
expliquées dans l'énon e du lemme. On
et (2.7.3) ave les onditions sur les oe ients Bk,l
ommen e par ee tuer le hangement de oordonnées Z = Φ1 (z) où les matri es B α,β , |α+β| =
1 qui apparaissent dans la dénition de tel hangement sont elles du développement :
X
B(z) =
B α,β z α z̄ β + O(|z|2 )
|α+β|=1
(rappelons que B(0) = 0n ). En substituant les expressions des dérivées partielles relatives au
hangement de oordonnées Z = Φ1 (z) et en tenant ompte des développements asymptotiques
des matri es A(z) et B(z) obtenues pré édemment dans les expressions (2.7.7), (2.7.8) on aura,
relativement aux nouvelles oordonnées, les développements asymptotiques suivants :
Ak,l (Z) =
Bk,l (Z) =
=−
X
As,t (Z)
s,t
∂zt ∂Zk
+ O(|Z|2 ) = i δk,l + O(|Z|2 )
∂Zl ∂zs
X ∂zs ∂ Z̄k
∂ z̄s ∂ Z̄k −
+ Bk,l (Z) + O(|Z|2 ) =
i
∂Z
∂z
∂Z
∂
z̄
s
s
l
l
s
α−δ
X
|α+β|=2
αl ≥1
αl ·
=
Bk,l(α)l(α)
αl(α)
X
|α+β|=2
αl ≥1
,β
Z α−δl Z̄ β + Bk,l (Z) + O(|Z|2 ) =
α−δl ,β α−δl β
Bk,l
Z
Z̄ + O(|Z|2 )
Pour simplier les notations dans les al uls qui suivront on va noter à partir de maintenant
A à la pla e de A, B à la pla e de B et z à la pla e de Z . Ave es notations on a alors
que la matri e B(z) peut être é rite sous la forme asymptotique (2.7.3) ave N = 1 et les
α,β
onditions orrespondantes sur les oe ients Bk,l
. La relation A2 = −In − B · B entraîne
alors que la matri e A(z) admet le développement asymptotique (2.7.2) ave N = 2. Supposons
maintenant qu'il existe des oordonnées telles que la matri e B(z) admette le développement
(2.7.3) relativement à l'entier N −1, N ≥ 2. On peut alors é rire le développement asymptotique
suivant :
B(z) =
X
|α+β|≤N −1
|α|≥1
B α,β z α z̄ β +
X
B α,β z α z̄ β + O(|z|N +1 )
|α+β|=N
α,β
relativement aux oordonnées en question, où Bk,l
= 0 pour l ≥ l(α), |α + β| ≤ N − 1, |α| ≥ 1.
L'expression pré édente de B(z) ombinée ave la relation A2 = −In − B · B implique que
la matri e A(z) s'é rit sous la forme (2.7.2). On onsidère maintenant le hangement de oordonnées Z = ΦN (z) où les matri es B α,β , |α + β| = N qui apparaissent dans la dénition de
tel hangement sont elles qui apparaissent dans l'expression asymptotique pré édente de B(z).
Par rapport aux nouvelles oordonnées les matri es A(z) et B(z) admettent les développements
110
asymptotiques suivants :
Ak,l (Z) =
X
As,t (Z)
= iδk,l +
i
2
X
Bk,l (ζ) =
=
|α+β|≤N
|α|,|β|≥1
α−δ
|α+β|=N +1
αl ≥1
X
α β
N +1
Aα,β
),
k,l Z Z̄ + O(|Z|
X ∂zs ∂ Z̄k
∂ z̄s ∂ Z̄k i
−
+ Bk,l (Z) + O(|Z|N +1 ) =
∂Z
∂z
∂Z
∂
z̄
s
s
l
l
s
X
=−
s,t
∂zt ∂Zk
+ O(|Z|N +1 ) =
∂Zl ∂zs
Bk,l(α)l(α)
αl ·
,β
Z α−δl Z̄ β + Bk,l (Z) + O(|Z|N +1 ) =
αl(α)
X
α,β α β
Z Z̄ +
Bk,l
|α+β|=N +1
αl ≥1
|α+β|≤N −1
|α|≥1
α−δl ,β α−δl β
Z̄ + O(|Z|N +1 ).
Bk,l
Z
De la même façon que pré édemment, on va noter à partir de maintenant A à la pla e de A,
B à la pla e de B et z à la pla e de Z . Ave es notations on obtient en on lusion que les
matri es A(z) et B(z) peuvent être é rites sous les formes asymptotiques (2.7.2) et (2.7.3), ave
α,β
les onditions orrespondantes sur les oe ients Bk,l
.
(2.7.4)
On montre maintenant la formule (2.7.4) à l'aide d'une ré urren e sur N ≥ 2. Pour simplier
les notations dans les al uls qui suivront on utilisera les onventions Aα,0 = A0,β = 0. En
tenant ompte des expressions (2.7.2) et (2.7.3) pour 2 ≤ N ≤ 3 on peut é rire la relation
A2 = −In − B · B sous la forme
II) Preuve de la formule
−In −
= −In −
X
Aα,β z α z̄ β + O(|z|N +1 ) =
|α+β|≤N
X
|α+β|≤N
X
µ+ρ=α
λ+γ=β
λ
B · B ρ,γ z α z̄ β + O(|z|N +1 ),
(rappelons qu'on utilise la onvention B 0,β = 0). On a alors
Aα,β =
X
λ
µ+ρ=α
λ+γ=β
B · B ρ,γ
pour 2 ≤ |α + β| ≤ 3, qui n'est rien d'autre que la formule (2.7.4) dans les as parti uliers en
onsidération. Nous supposons maintenant avoir montré la formule (2.7.4) pour 2 ≤ |α+β| ≤ N .
Comme pré édemment la relation A2 = −In − B · B s'é rit, à l'aide des expressions (2.7.2) et
(2.7.3) pour N + 1, sous la forme :
−In −
X
|α+β|≤N +1
Aα,β z α z̄ β −
1
4
X
|α+β|≤N +1
X
111
λ+ρ=α
µ+γ=β
Aλ · Aρ,γ z α z̄ β + O(|z|N +2 ) =
= −In −
X
|α+β|≤N +1
X
µ+ρ=α
λ+γ=β
λ
B · B ρ,γ z α z̄ β + O(|z|N +2 )
Cette identité implique que pour tout α, β, |α + β| = N + 1 on a :
Aα,β =
X
µ+ρ=α
λ+γ=β
λ
B · B ρ,γ −
1 X
4
λ+ρ=α
µ+γ=β
Aλ · Aρ,γ .
En rappelant la onvention A0,β = Aα,0 = 0 on a que les termes non nuls de la dernière somme
sont les termes relatifs aux multi-indi es |λ + µ|, |ρ + γ| ≤ N . En utilisant l'hypothèse ré ursive
relativement à l'expression (2.7.4) on peut é rire l'expression pré édente de la matri e Aα,β sous
la forme;
Aα,β =
X
µ+ρ=α
λ+γ=β
−
1
4
X
Pk1
(ρr1 +µr1 )=λ
1≤k1 ≤[|λ+µ|/2]
Pk1
(λr1 +γr1 )=µ
1≤k2 ≤[|ρ+γ|/2]
P k2
(ρr2 +µr2 )=ρ
Pk2
(λr2 +γr2 )=γ
λ+ρ=α
µ+γ=β
r1 =1
r1 =1
r2 =1
r2 =1
X
(−4)−(k1 +k2 −2)
λ
B B ρ,γ −
−→
Y
B
λr1 ,µr1
B ρr1 ,γr1
−→
Y
B
λr2 ,µr2
B ρr2 ,γr2 .
1≤r2 ≤k2
1≤r1 ≤k1
En analysant l'ensemble des indi es qui apparaissent sous les sommes pré édentes on s'aperçoit
de la validité de l'expression (2.7.4) relativement aux multi-indi es α, β en onsidération. Preuve du
orollaire 3.5.3
Le repère lo al ζk = (∂/∂zk )1,0 , k = 1, ..., n s'é rit sous la forme
J
ζk =
=
∂
i X
∂ 1 ∂
Ar,k
−
+ Br,k
=
2 ∂zk
2 r
∂zr
∂ z̄r
∂
1 X h p
iX
∂
∂
jet2 Bt,k (z)
+
−
+ O(|z|3 )
B t,j Bj,k zp z̄h
∂zk
4
∂zt 2 t
∂ z̄t
p,h,t,j
où jet2 Bt,l (z) désigne le jet d'ordre 2 du oe ient Bt,l de la stru ture presque omplexe J par
rapport aux oordonnées en question. On déduit alors fa ilement l'expression suivante pour le
ro het
[ζk , ζl ] =
io ∂
Xh
iXn l
1X p l
∂
l,p
k,p
l,p̄
Br,k +
2(Br,k
− Br,k
) zp + Br,k
z̄p
−
+ O(|z|2 ).
B r,j Bj,k z̄p
2 r
∂
z̄
4
∂z
r
r
p
pr,j
En tenant ompte de l'expression de la stru ture presque omplexe à l'ordre un
J(z) = i
X
∂
∂
∂ X p
∂ p
+
Bk,l zp dzl ⊗
+ O(|z|2 )
− dz̄k ⊗
+ B k,l z̄p dz̄l ⊗
dzk ⊗
∂zk
∂ z̄k
∂ z̄k
∂zk
k
k,l,p
on obtient l'expression
J[ζk , ζl ] =
io ∂
Xh
1Xn l
iX p l
∂
l,p
k,p
l,p̄
Br,k +
2(Br,k
− Br,k
) zp + Br,k
z̄p
+
B r,j Bj,k z̄p
+ O(|z|2 ).
2 r
∂
z̄
4
∂z
r
r
p
pr,j
112
On déduit alors l'expression
0,1
[ζk , ζl ]J
io ∂
Xh
iXn l
∂
1X p l
l,p
k,p
l,p̄
=
2(Br,k − Br,k ) zp + Br,k z̄p
B r,j Bj,k z̄p
Br,k +
−
+ O(|z|2 ).
2 r
∂
z̄
4
∂z
r
r
p
pr,j
En tenant ompte de l'expression
ζ̄r =
∂
∂
iX p
+
B z̄p
+ O(|z|2 )
∂ z̄r
2 s,p s,r ∂zs
∗
on déduit l'expression voulue pour les oe ients N ∗,∗ de la forme de torsion de la stru ture
presque omplexe. Ces oe ients s'annulent à l'ordre k = 0, 1 si et seulement si les oeients B∗,∗ (z) de la stru ture presque omplexe s'annulent à l'ordre k + 1. En eet supposons
l,s
k,s
− Br,l
que Trk,l,s := Br,k
soit nul pour tout les indi es k, l, s, r. Si k ou l est le maximum de
l,s
k,s
l'ensemble {k, l, s} alors on a immédiatement Br,k
= 0. Sinon, s = max{k, l, s} et don
= Br,l
k,s,l
s,l
l,s
Tr
= Br,k = Br,k = 0.
Le al ul fait dans la preuve du orollaire 3.5.3 montre que M ∗ = O(|z|2 ). Une onséquen e
immédiate des formules (2.7.7) et (2.7.8) est le orollaire suivant.
Soient (z1, ..., zn ) des oordonnées presque omplexes à l'ordre N ≥ 1 en un
point x et soit Zk = zk + P|α|=N +1 Cαk zα un hangement de oordonnées holomorphe. Alors
∗,∗
les oordonnées (Z1, ..., Zn ) sont presque omplexes à l'ordre N en x et les oe ients B∗,∗
du
jet d'ordre N de la stru ture presque omplexe par rapport aux nouvelles oordonnées sont les
mêmes que les oe ients relatifs aux oordonnées (z1, ..., zn ).
Corollaire 2.7.4
2.8 Expression asymptotique normale à l'ordre un d'une onnexion
de Chern sur le bré tangent
Le lemme suivant est né essaire pour le al ul asymptotique du ot géodésique induit par
une onnexion de Chern sur le bré tangent. L'expression asymptotique du ot de Chern est
utile pour une te hnique de régularisation globale des (1, 1)- ourants positifs du type i∂J ∂¯J u sur
les variétés presque omplexes (voir le hapitre trois pour plus de détails). Ce lemme et elui
qui suivra montrent de façon optimale ombien on est loin du as Kählerien, où on dispose de
oordonnées géodésiques omplexes entrées en un point.
Soit (X, J) une variété presque omplexe, ω ∈ E(Λ1,1TX∗ )(X) une métrique
hermitienne et soient (z1, ..., zn ) des oordonnées presque omplexes1,0d'ordre N ≥ 2 en un point
x telles que le repère normal (ζk + ζ̄k )k ∈ E(TX )(Ux ), ζk = (∂/∂zk ) soit ω(x)-orthonormé. La
métrique ω s'é rit alors sous la forme
Lemme 2.8.0.1
J
J
ω=
i
i X j k
iXh
hl,m +
Br,l B r,m zj z̄k dzl ∧ dz̄m
2
4
l,m
−
où
j,k,r
1X
1X
jet2 Bl,m (z) dzl ∧ dzm −
jet2 Bl,m (z) dz̄l ∧ dz̄m + O(|z|3 ),
4
4
hl,m = δl,m +
l,m
X
p
(2.8.1)
l,m
X
p
p,h
p
p,h
p,h̄
Hl,m
zp + H m,l z̄p +
Hl,m
zp zh + H m,l z̄p z̄h + Hl,m
zp z̄h + O(|z|3 )
p,h
113
et jet2 Bl,m désigne le jet d'ordre 2 du oe ient Bl,m de la stru ture presque omplexe J par
rapport aux oordonnées en question. Pour tous hamps de ve teurs réels η = Pk (ηk ∂z∂ + η̄k ∂∂z̄ )
∈ E(TX )(Ux ) on a l'expression asymptotique de la dérivée de Chern
k
DJω η =
Xh
dηk +
k
où
Ek,l :=
Xh
Les oe ients
i
X
∂
i
Ek,l ηl − (d jet2 Bk,l ) η̄l ⊗J0
+ O(|z|2 ),
2
∂zk
l
p
Hl,k
+
p
∗,∗
Sk,l
X
h
i
X p̄,h
p,h
p,h̄
p̄,h̄
(Sk,l
zh + Sk,l
z̄h ) dzp +
(Sk,l zh + Sk,l
z̄h ) dz̄p .
sont données par les formules
1X j
p
h
(B k,p − B k,j )Bj,l
,
4
j
i j h i h,k̄ X p h
p,h
,
−
Hl,j Hj,k + H k,l Bj,p
= 2Hl,k
− Bl,p
2
2
p̄,h
Sk,l
=
p,h
Sk,l
k
p,h
p̄,h̄
Sk,l
=
i h,l̄
iX j h
Hl,k B j,p ,
B k,p −
2
2
j
p,h̄
Sk,l
j
1X j
p,h
p
= −Ck,l
(0) −
B k,hBj,l
,
4
j
où Ck,lp,h(0) sont les oe ients de la ourbure de Chern
Cω (TX,J ) =
X
j,k,m,l
j,k
Cm,l
(0) dzj ∧ dz̄k ⊗ dzl ⊗J0
∂
+ O(|z|).
∂zm
au point x. Ils sont donnés par la formule
j,k
j,k̄
Cm,l
(0) = −Hl,m
+
i
1Xh j k
k
r
k
j
j
r
4Hl,r H m,r + (B m,r − B m,k )Br,l
+ (Bl,r
− Bl,j
)B r,m .
4 r
(2.8.2)
P reuve
On déduit fa ilement d'après la preuve du orollaire 3.5.3 l'expression asymptotique à l'ordre
deux du repère (ζl )l et du repère dual (ζl∗ )l . On a les expressions asymptotiques suivantes.
ζl =
∂
∂
1 X h p
iX
∂
+
−
jet2 Bt,l (z)
+ O(|z|3 )
B t,j Bj,l zp z̄h
∂zl 4
∂zt
2 t
∂ z̄t
(2.8.3)
p,h,t,j
ζl∗ = dzl −
iX
jet2 Bl,t (z) dz̄t + O(|z|3 ).
2 t
(2.8.4)
P
∗
En tenant ompte de ette dernière expression on déduit que la métrique ω = 2i l,m hl,m ζl∗ ∧ ζ̄m
s'é rit sous la forme (2.8.1). On al ule maintenant les expressions asymptotiques des oe ients
U ∗ , dénis dans la se tion 1, relativement au repère ζl = (∂/∂zl )1,0
, l = 1, ..., n. Pour tout indi e
J
k, h on a
[ζk , ζ̄h ] =
i ∂
X h i l,k̄
1X j
h
l
B r,h z̄l +
(B r,h − B r,j )Bj,k
zl
2
4
∂zr
j
r,l
i ∂
X h i l,h̄
1X k
l
j
+
(Br,j − Br,k
)B j,h z̄l
Br,k zl +
+ O(|z|2 )
2
4
∂ z̄r
r,l
j
114
En tenant
J(z) = i
ompte de l'expression de la stru ture presque
omplexe à l'ordre un
X
∂
∂
∂ ∂ X p
p
+
Bk,l zp dzl ⊗
+ O(|z|2 )
− dz̄k ⊗
+ B k,l z̄p dz̄l ⊗
dzk ⊗
∂zk
∂ z̄k
∂ z̄k
∂zk
k
k,l,p
on obtient l'expression
Xh
J[ζk , ζ̄h ] =
r,l
+
i ∂
1 l,k̄
iX j
h
l
(B r,h − B r,j )Bj,k
− B r,h z̄l +
zl
2
4
∂zr
j
i ∂
X h 1 l,h̄
iX k
l
j
(Br,j − Br,k
)B j,h z̄l
Br,k zl −
+ O(|z|2 )
2
4
∂ z̄r
j
r,l
On a alors
[ζk , ζ̄h ]1,0
=
J
X h1 X j
i l,k̄ i ∂
h
l
(B r,h − B r,j )Bj,k
zl + B r,h z̄l
+ O(|z|2 ).
4
2
∂zr
j
r,l
En tenant
ompte de l'expression asymptotique à l'ordre un du repère
r
Uk,h
(z) =
(ζk )k
on déduit l'expression
X h1 X j
i l,k̄ i
h
l
(B r,h − B r,j )Bj,k
zl + B r,h z̄l + O(|z|2 ),
4
2
(2.8.5)
j
l
qui nous donne l'expression normale asymptotique à l'ordre un de la forme de
relative au repère normal
ζk = (∂/∂zk
à l'ordre un de la forme de
matri e inverse
H −1
=
onnexion
(hr,k )
En utilisant l'expression de la forme
l'expression
(A′ζ )k,l =
∂J hl,r =
J
A′ζ
Nous
∗
p (ζp .hl,r )ζp ,
p
ζp .hl,r = Hl,r
+
A′′ζ
al ulons maintenant l'expression asymptotique
à l'aide de l'expression pré édente de la forme
X
X
j
(Hr,k
zj + H k,r z̄j ) + O(|z|2 ).
A′′ζ .
La
A′ζ
obtenue dans la preuve du théorème
j
j
hr,k ∂J hl,r +
r
P
onnexion
admet le developpement asymptotique suivant.
hr,k = δr,k −
ave
)1,0 .
X
2.5.1
on déduit
l
U k,p dzp + O(|z|2 ),
p
où
i
X h p,h i X t
p,h̄
h
z̄h + O(|z|2 ).
2Hl,r −
H r,l Bt,p
zh + Hl,r
2 t
h
En utilisant l'expression du jet d'ordre un du repère
∂J hl,r =
Xn
p
Hl,r
+
p
X h
h
−
p,h
2Hl,r
−
(ζp∗ )p
on obtient l'expression
io
iX t h p,h̄
H r,l Bt,p zh + Hl,r
z̄h dzp
2 t
i X t h
Hl,r B t,p z̄h dz̄p + O(|z|2 ).
2
p,t,h
On déduit alors l'expression asymptotique à l'ordre un de la forme de
onnexion de Chern
Aζ = A′ζ + A′′ζ .
Aζ = ∂J hl,k −
X
j
p
j
Hl,r
(Hr,k
zj + H k,r z̄j ) dzp +
X
p
p,r,j
115
l
k
(U k,p dzp − Ul,p
dz̄p ).
La matri e de la forme de onnexion de l'extension DJω : E(TX ⊗R C) −→ E(TX∗ ⊗R (TX ⊗R C)) de
la onnexion de Chern au omplexié du bré tangent TX ⊗R C par rapport au repère (ζk , ζ̄k )k
est
Aζ,ζ̄ =
Aζ
0n
0n
Aζ
.
On doit maintenant al uler la matri e Az de la forme de onnexion de l'extension de la onnexion
de Chern par rapport au repère ( ∂z∂k , ∂∂z̄k )k du omplexié du bré tangent TX ⊗R C. La formule (2.8.3) nous donne l'expression asymptotique de la matri e g−1 du hangement de repère
(ζk , ζ̄k )k = ( ∂z∂k , ∂∂z̄k )k · g−1 . Les expressions asymptotiques à l'ordre deux des matri es g et g−1
sont les suivantes

g=
In
− 2i jet2 B
i
2 jet2 B
In

 + O(|z|3 ),
P
h
Aζ
− 2i d jet2 B

g−1 = 
i
2 jet2 B
T
− 2i jet2 B
T

 + O(|z|3 ),
p
où Tk,l = δk,l + 14 p,h,j B k,j Bj,l
zp z̄h . La matri e de la forme de onnexion qu'on her he est
−1
donnée par la formule Az = g (dg + Aζ,ζ̄ g). On a alors les expressions asymptotiques

Az = g−1 
i
2d
jet2 B
Aζ


 + O(|z|3 ) = 
E
i
2d
− 2i d jet2 B
jet2 B
E

 + O(|z|3 ),
e qui nous donne l'expression voulue de la onnexion de Chern. Le fait que le repère (ζk + ζ̄k )k ∈
E(TX )(U ) soit ω(x)-orthonormé en x entraîne qu'on dispose de l'égalité (2.2.3) au point x. On
en déduit don la formule
X
∂¯J hr,m ∧ ∂J hl,r + ∂J (A′′ζ )m,l − ∂¯J (A′′ζ )l,m (x).
Cm,l (x) = ∂¯J ∂J hl,m −
r
pour les oe ients de l'expression lo ale (2.6.7) du tenseur de ourbure de Chern du bré
tangent. On a l'expression
∂¯J ∂J H = −
ave ζj .H =
P
p (2H
j,p z
p
X ∂
(ζj .H) dzj ∧ dz̄k + O(|z|)
∂ z̄k
j,k
+ H j,p̄ z̄p ) + O(|z|2 ). On déduit alors l'expression
X
∂¯J ∂J H = −
H j,k̄ dzj ∧ dz̄k + O(|z|).
j,k
On a aussi l'expression
∂J A′′ζ =
X ∂
(A′′ζ )k dzj ∧ dz̄k + O(|z|).
∂ z̄j
j,k
En rappelant l'expression normale asymptotique (2.8.5) de la forme de onnexion A′′ζ par rapport
au repère normal (ζk )k on déduit l'expression
∂J (A′′ζ )m,l =
1X k
r
j
(B m,r − B m,k )Br,l
dzj ∧ dz̄k + O(|z|).
4
j,k,r
En ombinant les expressions ainsi obtenues on obtient l'expression (2.8.2) pour les oe ients
j,k
Cm,l
(x) de la ourbure au point x.
116
2.8.1
Le
as d'une métrique symple tique sur une variété presque
omplexe
Dans le as où la variété presque omplexe admet une métrique symple tique, ertains des
oe ients du lemme pré édent se simplient. On a le lemme suivant.
Lemme 2.8.1.1 Soit
ω∈
(z1 , ..., zn )
tique
ω=
(X, J)
une variété presque
E(Λ1,1
TX∗ )(X). Pour tout point
J
d'ordre
N ≥2
en
x
x
omplexe admettant une métrique symple -
on peut
hoisir des
oordonnées presque
omplexes
telles que
i
i X h j,k
iX
iX j k j,k
j,k̄
dzl ∧ dz̄l +
Hl,m zj zk + H m,l z̄j z̄k + Hl,m
Br,l B r,m zj z̄k dzl ∧ dz̄m
+
2
2
4 r
l
l,m,j,k
−
1X
4
l,m
Quels que soient les
la métrique
ω
jet2 Bl,m (z) dzl ∧ dzm −
oordonnées presque
1X
jet2 Bl,m (z) dz̄l ∧ dz̄m + O(|z|3 ).
4
l,m
omplexes
(z1 , ..., zn ) d'ordre N ≥ 2 en x pour lesquelles
s'é rit sous la forme pré édente on a l'expression suivante pour le tenseur de
ourbure de Chern.
Cω (TX,J ) =
X
j,k,m,l
j,k
(0) dzj ∧ dz̄k ⊗ dzl ⊗J0
Cm,l
∂
+ O(|z|)
∂zm
ave
j,k
j,k̄
Cm,l
(0) = −Hl,m
+
i
1Xh k
r
k
j
j
r
(B m,r − B m,k )Br,l
+ (Bl,r
− Bl,j
)B r,m .
4 r
j,k
Contrairement au as Kählerien, (voir [B-D-I-P℄) on ne peut pas éliminer les termes Hl,m
zj zk et
j,k
H m,l z̄j z̄k . L'obstru tion dérive des termes d'ordre un du jet de la torsion de la stru ture presque
omplexe.
P reuve
Soient (z1 , ..., zn ) des oordonnées presque omplexes d'ordre un au point x et (ζk + ζ̄k )k ∈
E(TX )(U ), ζk = (∂/∂zk )1,0
un repère ω(x)-orthonormé. En onsidérant l'expression du jet
J
d'ordre un du repère (ζk∗ )k on obtient l'expression lo ale suivante de la métrique
i X p
iX
p
dzl ∧ dz̄l +
Hl,m zp + H m,l z̄p dzl ∧ dz̄m
ω=
2
2
l
l,m,p
1X p
1 X p
Bl,m zp dzl ∧ dzm −
B l,m,p z̄p dz̄l ∧ dz̄m + O(|z|2 ).
−
4
4
l,m,p
l,m
p
l . En ee tuant le
Le fait que la métrique ω soit symple tique implique l'égalité Hl,m
= Hp,m
hangement de variables
Zm = zm +
1X p
Hl,m zp zl
2
p,l
on obtient, d'après le orollaire 2.7.4, des oordonnées presque omplexes (Z1 , ..., Zn ) à l'ordre
∗,∗
un en x ave les mêmes oe ients B∗,∗
du jet d'ordre un de la stru ture presque omplexe.
L'expression de la métrique par rapport aux nouvelles oordonnées est
ω=
1 X p
1X p
iX
dZl ∧ dZ̄l −
Bl,m Zp dZl ∧ dZm −
B l,m,p Z̄p dZ̄l ∧ dZ̄m + O(|Z|2 ).
2
4
4
l
l,m,p
l,m
117
A partir des oordonnées ainsi obtenues on peut onstruire (d'après la preuve de la proposition
2.7.1) des oordonnées presque omplexes d'ordre N ≥ 2 en x tout en onservant les oe ients
∗,∗
B∗,∗
du jet d'ordre un de J . En tenant ompte de l'expression (2.8.4) du jet d'ordre deux du
repère (ζk∗ )k par rapport aux oordonnées en question on déduit fa ilement que la métrique ω
s'é rit sous la forme donnée dans l'énon é du lemme.
2.8.2 Expression asymptotique normale du ot géodésique d'une onnexion
de Chern sur le bré tangent
On rappelle que par dénition expz (v) := γ(1), où γ : [0, 1] −→ X est la ourbe géodésique
solution de l'équation diérentielle ordinaire (γ ∗ DJω )γ̇ = 0, γ̇ := dγ/dt ∈ E(γ ∗ TX )((0, 1]) ave
les onditions initiales γ(0) = z et γ̇(0) = v. Le résultat suivant est une généralisation dans le
as presque omplexe non intégrable d'un al ul fait par Demailly dans [Dem-2℄.
TX∗ )(X) une métrique
Soit (X, J) une variété presque omplexe, ω ∈ E(Λ1,1
J
hermitienne et soient (z1 , ..., zn ) des oordonnées presque omplexes d'ordre N ≥ 2 en un point
x telles que le repère normal (ζk + ζ̄k )k ∈ E(TX )(Ux ), ζk = (∂/∂zk )1,0
soit ω(x)-orthonormé. Le
J
ot géodésique exp : U ⊂ TX −→ X induit par la onnexion de Chern du bré tangent
Théorème 2.8.1
DJω : E(TX,J ) −→ E(TX∗ ⊗R TX,J )
asso ié à la métrique ω , (i i U ⊂ TX désigne un voisinage ouvert de la se tion nulle), admet
l'expression asymptotique suivante au point (x, 0) ∈ TX,x :
expz (v)k = zk + vk −
+
i
1 X h p,h
p,h̄
p̄,h
p̄,h̄
Ŝk,l zh + Sk,l
z̄h vp vl + Sk,l
zh + Sk,l
z̄h v̄p vl
2
l,p,h
i
X p,h̄
i Xh p
p,h
B k,l +
B k,l zh + 2B k,l z̄h v̄p v̄l + O(|v|2 (|z|2 + |v|))
4
p,l
h
P
p,h
p,h i h,k̄ i
où v = k (vk ∂z∂k +v̄k ∂∂z̄k ) ∈ TX,z , Ŝk,l
:= 2Hl,k
− 2 Bl,p − 2
∗,∗
Sk,l sont donnés dans l'énon e du lemme 2.8.0.1.
P
j
j
h et les autres oe ients
H k,l Bj,p
P reuve. Par rapport aux oordonnées presque omplexes en question nous onsidérons les é ritures γ(t) ≡ (γ1 (t), ..., γn (t)) et
γ̇(t) =
X
∂
∂
.
+
γ̇k (t)
γ̇
(t)
k
∂zk |γ (t)
∂ z̄k |γ (t)
k
On pose par dénition γ̈k := d2 γk /dt2 . On déduit d'après le lemme 2.8.0.1 que l'équation diérentielle ordinaire (γ ∗ DJω )γ̇ = 0 s'é rit sous la forme
γ̈k (t) +
Xh
l
i
i
Ek,l |γ(t) (γ̇(t)) · γ̇l (t) − d jet2 Bk,l |γ(t) (γ̇(t)) · γ̇l (t) + O(|γ(t)|2 )|γ̇(t)|2 = 0. (2.8.6)
2
Les onditions initiales γ(0) = z et γ̇(0) = v donnent l'expression asymptotique γk (t) = zk +
tvk + O(t2 |v|2 ). On remarque que si τJ (x) = 0 alors le terme d'erreur est O(t2 |z| |v|2 ). En
remplaçant l'expression pré édente dans l'équation (2.8.6) et en remarquant qu'on peut toujours
p
l
= −Hp,k
on obtient l'expression asymptotique suivante pour les
supposer la ondition Hl,k
118
dérivées deuxièmes de la ourbe γ :
γ̈k (t) = −
X h
l,p,h
i
p,h
p,h̄
p̄,h
p̄,h̄
Ŝk,l
zh + Sk,l
z̄h vp vl + Sk,l
zh + Sk,l
z̄h v̄p vl
i
X p,h̄
i Xh p
p,h
+
B k,l +
B k,l zh + 2B k,l z̄h v̄p v̄l + O(|v|2 (|z|2 + |v|))(t).
2
p,l
h
p
Si τJ (x) = 0 alors le al ul peut être ee tue ave plus de pré ision ar les termes B k,l sont nuls
dans e as. Le terme d'erreur serait alors O(|v|2 (|z|2 + |v|)2 )(t). En intégrant deux fois de suite
l'expression pré édente on obtient l'expression asymptotique
γk (t) = zk + tvk −
+
i
t2 X h p,h
p̄,h
p̄,h̄
p,h̄
Ŝk,l zh + Sk,l
zh + Sk,l
z̄h v̄p vl
z̄h vp vl + Sk,l
2
l,p,h
i
X p,h̄
it2 X h p
p,h
B k,l +
B k,l zh + 2B k,l z̄h v̄p v̄l + O(|v|2 (|z|2 + |v|))(t)
4
p,l
h
qui permet de on lure la preuve du théorème.
119
120
Chapitre 3
Fon tions plurisousharmoniques et
ourants positifs de type (1, 1) sur une
variété presque omplexe
Abstra t.-If (X, J) is an almost
omplex manifold, then a fun tion u is said to be plurisubharmoni on X if it is upper semi- ontinuous and its restri tion to every lo al pseudoholomorphi urve is subharmoni . As in the omplex ase, it is onje tured that plurisubharmoni ity is equivalent to the fa t that the (1, 1)- urrent i∂J ∂¯J u is positive, (the (1, 1)- urrent
i∂J ∂¯J u need not be losed here !). The onje ture is trivial if u is of lass C 2 . The result is
elementary in the omplex integrable ase be ause the operator i∂J ∂¯J an be written as an
operator with onstant oe ients in omplex oordinates. Hen e the positivity of the urrent
is preserved by regularising with usual onvolution kernels. This is not possible in the almost
omplex non integrable ase and the proof of the result requires a mu h more intrinsi study.
In this hapter we prove the ne essity of the positivity of the (1, 1)- urrent i∂J ∂¯J u. We prove
also the su ien y of the positivity in the parti ular ase of an upper semi- ontinuous fun tion
f whi h is ontinuous in the omplement of the singular lo us f −1 (−∞). For the proof of the
su ien y of the positivity in the general ase of a real distribution u, we suggest a method
depending on a rather deli ate regularisation argument introdu ed by Demailly ([Dem-2℄). This
method onsists of regularing the fun tion u by means of the ow indu ed by a Chern onne tion
on the tangent bundle.
121
3.1
Préliminaires
Dans tout e hapitre (X, J) désigne une variété presque omplexe de lasse C ∞ et de dimenp
sion réelle 2n. On désigne par Hm
la mesure de Hausdor p-dimensionnelle dans Rm et par λ la
mesure de Lebesgue sur Rm . On désigne par Br (x) la boule ouverte de Rm de entre l'origine
et de rayon r > 0 et par Sr (x) la sphère de dimension m − 1 dans Rm de entre l'origine et de
rayon r > 0. Soit f une fon tion Borel-mesurable et lo alement bornée sur un ouvert U ⊂ Rm .
Pour tout Br (x) ⊂ U on dénit les quantités
µB (f, x, r) :=
1
λ(Br (x))
Z
f dλ et
µS (f, x, r) :=
Br (x)
1
m−1
Hm (Sr (x))
Z
m−1
f dHm
.
Sr (x)
On a la dénition suivante ( f. [Dem-1℄ pour plus de détails).
Dénition 3.1.1 Une fon tion
semi- ontinue supérieurement est dite
sous-harmonique si elle vérie une des deux propriétés équivalentes suivantes :
a) f (x) ≤ µB (f, x, r) pour tout Br (x) ⊂ U ;
b) f (x) ≤ µS (f, x, r) pour tout Sr (x) ⊂ U .
f : U −→ [−∞, +∞)
Si f ∈ C 2 (U, R) alors on déduit d'après la deuxième identité de Green que f est sous-harmonique
si et seulement si ∆f ≥ 0. De façon générale on a le théorème lassique suivant ( f. [Dem-1℄,
hapitre I).
Théorème 3.1.2 Soit
f une fon tion sous-harmonique sur un ouvert onnexe U . Alors soit
f ≡ −∞, soit f ∈ L1loc (U ) et dans e as le Lapla ien au sens des distributions ∆f est une mesure
positive. Ré iproquement soit u une distribution sur U telle que ∆u soit une mesure positive.
Alors il existe une unique fon tion f sous-harmonique sur U telle que u soit la distribution
asso iée à f .
On déduit d'après le théorème 3.1.2 q'une fon tion f est sous-harmonique sur un ouvert U si
et seulement si pour tout x ∈ U il existe un voisinage ouvert Vx ⊂ U de x tel que f est sousharmonique sur Vx .
On désigne par j la stru ture presque omplexe anonique sur R2 ≡ C, par J0 la stru ture
presque omplexe anonique sur R2n ≡ Cn et par Bδ1 ⊂ R2 la boule omplexe de entre l'origine
et de rayon δ. On rappelle la dénition suivante.
Dénition 3.1.3 Soit
une variété presque omplexe. Une ourbe J -holomorphe lo ale
est une appli ation diérentiable γ : Bδ1 −→ X telle que sa diérentielle vérie la ondition
J(γ(z)) · dz γ = dz γ · j pour tout z ∈ Bδ1 .
(X, J)
On a la dénition suivante.
Dénition 3.1.4 Soit (X, J) une variété presque omplexe. Une fon tion f : X −→ [−∞, +∞)
semi- ontinue supérieurement est dite J -plurisousharmonique si pour toute ourbe J -holomorphe
lo ale γ dénie sur le disque Bδ ⊂ R2 , la omposée f ◦ γ est sous-harmonique sur le disque Bδ .
Nous désignerons par P sh(X, J) l'ensemble des fon tions J -plurisousharmoniques. Si
′ (X, C) est une distribution à valeurs omplexes sur X nous sommes parti ulièrement
u ∈ D2n
intéressés par le ourant i∂J ∂¯J u ∈ D′ 1,1 (X). En général on désigne par D′ k,k (X) les se tions
globales du fais eau
′
E(Λk,k
TX∗ ) ⊗EX (C) D2n
(C)
J
122
′ (C) représente le fais eau des distributions à valeurs omplexes sur X . Il est bien onnu
où D2n
′
que D′ k,k (X) s'identie naturellement par intégration au dual topologique Dn−k,n−k
(X) de l'esn−k,n−k
∞
pa e D
(X) des (n − k, n − k)-formes C à support ompa t muni de la topologie de
la onvergen e lo alement uniforme de toutes les dérivées ( f. [Dem-1℄, hapitre I et [DeR℄).
′
(X). Le
On utilisera pourtant dans la suite l'identi ation des notations D′ k,k (X) ≡ Dn−k,n−k
¯
ourant i∂J ∂J u s'é rit expli itement sous la forme
i∂J ∂¯J u (ξ0 , ξ1 ) = iξ01,0 . ξ10,1 . u − iξ11,0 . ξ00,1 . u − i[ξ00,1 , ξ11,0 ]0,1 . u − i[ξ01,0 , ξ10,1 ]0,1 . u
(3.1.1)
pour tout hamp de ve teurs omplexes ξ0 , ξ1 ∈ E(TX ⊗R C)(X). On rappelle que la dérivée ξ. u
d'une distribution u par rapport à un hamp de ve teurs ξ est donnée par la formule
hξ. u, ϕi := −hu, d(ξ
ϕ)i
pour tout ϕ ∈ D2n (X, C). On remarque que si la distribution u est réelle alors le ourant i∂J ∂¯J u
l'est aussi. En eet en degré zéro on a l'identité ∂J ∂¯J = −∂¯J ∂J . Ce i dé oule de la relation
∂J ∂¯J + ∂¯J ∂J = −θJ θ̄J − θ̄J θJ
et du fait que les opérateurs θJ et θ̄J sont nuls en degré zéro. Si (ζ1 , ..., ζn ) est un repère lo al
1,0
du bré TX,J
alors l'expression du ourant en question par rapport au repère hoisi est :
i∂J ∂¯J u = i
X
1≤k,l≤n
(3.1.2)
(ζk .ζ̄l . u − [ζk , ζ̄l ]0,1 . u) ζk∗ ∧ ζ̄l∗
On remarque que dans le as intégrable, si on onsidère un repère lo al holomorphe ζk ∈
1,0
O(TX,J
)(U ), k = 1, ..., n, on a [ζk , ζ̄l ] = 0 pour tout indi e k, l. Rappelons maintenant la dénition suivante :
Dénition 3.1.5
∗
(p, p)-forme u ∈ Λp,p
TX,x
est dite
J
pour tout ve teur ξ1 , ..., ξp ∈ TX,x .
q,q ∗
Une (q, q)-forme v ∈ Λ TX,x est dite fortement positive si
J
Une
v=
X
t
ave
λt ≥ 0
et
positive si
u(ξ1 , Jξ1 , ..., ξp , Jξp ) ≥ 0
elle peut être exprimée sous la forme
λt iαt,1 ∧ ᾱt,1 ∧ ... ∧ iαt,q ∧ ᾱt,q
1,0
αt,k ∈ (TX,J,x
)∗ .
Bien évidemment l'ensemble des (q, q)-formes fortement positives est un ne onvexe fermé.
Il est bien onnu que l'ensemble des (p, p)-formes positives est le ne dual des (q, q)-formes
fortement positives, où q = n − p, via la dualité donnée par le produit extérieur ( f. [Dem-1℄,
hapitre III et [Lel℄). La dualité en question implique alors que toutes les formes positives sont
réelles, (les formes fortement positives étant réelles). Soit
u = ip
2
X
|K|=|H|=p
∗
∗
uK,H ζK
∧ ζ̄H
P
une (p, p)-forme et ξt = k (λt,k ζk + λ̄t,k ζ̄k ), t = 1, ..., p, ve teurs réels. On désigne par λ =
(λt,k ) ∈ Mp,n (C) la (p, n)-matri e asso iée aux oe ients λt,k . Les identités
ξ1 ∧ Jξ1 ∧ ... ∧ ξp ∧ Jξp = 2p (−i)p ξ11,0 ∧ ξ10,1 ∧ ... ∧ ξp1,0 ∧ ξp0,1
123
et ip (−1)p(p−1)/2 = ip impliquent les égalités
2
u(ξ1 , Jξ1 , ..., ξp , Jξp ) = 2p (−i)p u(ξ11,0 , ξ10,1 , ..., ξp1,0 , ξp0,1 ) =
= 2p (−i)p (−1)p(p−1)/2 u(ξ11,0 , ..., ξp1,0 , ξ10,1 , ..., ξp0,1 ) =
= 2p
X
|K|=|H|=p
uK,H det λK · (det λH ).
On aura alors que la (p, p)-forme u est positive si et seulement le dernier terme de l'égalité
pré édente est positif pour toute matri e λ. Dans le as p = 1 la matri e hermitienne (uk,h )
asso iée au oe ients de la forme u est semidénie
P positive et une diagonalisation de elle i
montre qu'on peut exprimer u sous la forme u = 1≤t≤r i αt ∧ ᾱt , où r est le rang de la forme
u. On a don que la notion de positivité oïn ide ave elle de forte positivité en degré (1, 1) et
par dualité aussi en degré (n − 1, n − 1) (et bien évidement en bidegré (0, 0) et (n, n)). Nous
montrons maintenant un premier résultat qui exprime la relation forte qui existe entre les formes
positives et les fon tions plurisousharmoniques.
Lemme 3.1.0.1 Soit
est positive.
f ∈ C 2 (X, R). Alors f ∈ P sh(X, J) si et seulement si la forme i∂J ∂¯J f
P reuve. Nous ommençons par montrer la né essité de la positivité de la forme i∂J ∂¯J f . En eet
soit ξ ∈TX,xun ve teur réel. Il existe alors une ourbe J -holomorphe γ telle que γ(0) = x et
(voir par exemple l'arti le de Sikorav, théorème 3.1.1 dans l'ouvrage de Audin
et Lafontaine [Au-La℄ ou la preuve du théorème 3.2.2 qui suivra). Le fait que la ourbe γ soit
J -holomorphe implique la première et troisième des égalités suivantes :
ξ = dγ
∂
∂x |0
∂ ∂ ,
dγ
=
i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ) = i∂J ∂¯J f dγ
∂x |0
∂y |0
∂
∂
∂ ∂ ¯
=
= γ ∗ i∂J ∂¯J f
|0 ,
|0 ,
|0 = i∂j ∂j (f ◦ γ)
∂x ∂y
∂x ∂y |0
=i
∂
∂ 1
∂ 2 (f ◦ γ)
(0) dz ∧ dz̄
,
= ∆(f ◦ γ)(0)
∂z ∂ z̄
∂x |0 ∂y |0
2
e qui montre la né essité de la positivité. Le même al ul, ave z ∈ Bδ à la pla e de 0, montre
aussi la susan e de la positivité.
Dénition 3.1.6 Une fon tion f
∈ C 2 (X, R) sur une variété presque omplexe (X, J) est dite
stri tement J -plurisousharmonique s'il existe une métrique hermitienne ω ∈ C 0 (Λ1,1
TX∗ )(X) sur
J
le bré tangent telle que i∂J ∂¯J f ≥ ω .
Quelques exemples élémentaires de fon tions stri tement J -plurisousharmonique.
Exemple 1. On déduit fa ilement que si (z1 , ..., zn ) sont des oordonnées C ∞ telles que J(0) = J0
et f (z) = |z|2 , on a l'é riture
i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ)(z) = 2
X ∂2f
¯
(z) ξk ξ̄l + O(|z|)(ξ, ξ),
∂zk ∂ z̄l
k,l
124
(voir par exemple le lemme 3.5.1.1). On a alors que la fon tion
plurisousharmonique sur un voisinage de l'origine des
Exemple 2.
f (z) = |z|2
est stri tement
J-
oordonnées.
FJλ := S λ TX,J une puissan e de S hur du bré tangent et onsidérons une
λ
métrique hermitienne sur FJ telle que la ourbure au sens de Griths soit stri tement négative
λ
en un point x. Soit (σk )k ⊂ E(FJ )(U ) un repère lo al presque-holomorphe spé ial au point
x ∈ U . En utilisant le lemme pré édent on déduit d'après la formule (2.6.3), prouvée dans le
2
hapitre II, que les fon tions fk := |σk |h sont stri tement J -plurisousharmoniques au voisinage
du point x.
Pour réduire l'hypothèse de régularité de la fon tion f , on a besoin de donner quelques éléments
Soit
de la théorie des
ourants positifs sur les variétés presque
omplexes. Pour faire
e i on a besoin
de quelques résultats et notions préliminaires que nous présentons tout de suite.
3.2
Plongements par feuilles
de ve teurs
J -plats
ourbes
J -holomorphes
sur les variétés presque
et
hamps
omplexes
n ⊂ Cn la boule ouverte de dimension 2n, de rayon 2r et de entre l'origine.
B2r
On veut plonger dans une variété presque omplexe (X, J) de dimension omplexe n le ylindre
Bδ1 × Bδn−1 ⊂ Cn , ave δ > 0 susamment petit, de telle sorte que les disques Bδ1 × p, p ∈ Bδn−1
se plongent de façon J -holomorphe dans X . De plus on veut pouvoir plonger dans toutes les
On désigne par
positions possibles les
à la notion de
ylindres pré édents. L'existen e de
hamp de ve teurs
J -plat
qu'on introduit
Dénition 3.2.1 Un hamp de ve teurs réel
es plongements est dire tement liée
i-dessous.
au dessus d'un ouvert U est
dit J -plat s'il vérie l'équation diérentielle non linéaire de premier ordre [ξ, Jξ] = 0 sur l'ouvert
U . On désigne par PJ (U, TX ) l'ensemble des hamps de ve teurs J -plats au dessus de U .
ξ ∈ E(TX r 0X )(U )
D'après le théorème de Newlander-Nirenberg on déduit que si la stru ture presque
est intégrable alors tout
d'un ouvert
U
hamp de ve teurs réel holomorphe
quel onque est
J -plat.
d'ee tuer des plongements du
ξ ∈ O(TX r 0X )(U )
omplexe
au dessus
On a le résultat général suivant qui assure la possibilité
ylindre, dont les feuilles sont des
ourbes
toutes les positions possibles et l'existen e lo ale en grande quantité des
J -holomorphes,
en
hamps de ve teurs
J -plats.
Théorème 3.2.2 Soit
une variété presque omplexe de dimension omplexe n. Pour
tout point x0 ∈ X il existe un voisinage ouvert Ux0 de x0 et un voisinage ouvert B(TUx0 ) ⊂
TUx0 , B(TUx0 ) ≃ Ux0 × B n , de la se tion nulle sur Ux0 tels que :
(X, J)
A) Il existe une appli ation de lasse C ∞
Φ : B11 × B(TUx0 ) −→ X
telle que pour tout v ∈ B(TUx0 ) l'appli ation z ∈ B11 7→ Φ(z, v) est une ourbe J -holomorphe qui
vérie la ondition ∂t Φ(0, v) = v, z = t + is.
B) Il existe une famille de plongements
pour tout α ∈ I et z2 ∈
Bδn−1
(Ψα : Bδ1 × Bδn−1 −→ X)α∈I
les appli ations
de lasse C ∞ telle que
z1 ∈ Bδ1 7→ Ψα (z1 , z2 )
sont des ourbes J -holomorphes, Ψα (Bδ1 × Bδn−1 ) ⊃ Ux0 et
n
o n
o
TX,p r 0p = λ∂t Ψα (0, 0) | λ ∈ R r 0, α ∈ I = ξ(p) | ξ ∈ PJ (Ux0 , TX )
125
pour tout
p ∈ Ux0 , (z1 = t + is).
Avant de passer à la preuve du théorème 3.2.2 on a besoin de quelques préliminaires te hniques.
Soit J0 la stru ture presque omplexe usuelle sur R2n identié ave Cn via l'identi ation z ≡
(x, y). Nous onsidérons un système de oordonnées lo ales entrées en x0 ∈ X et on suppose,
quitte à ee tuer un hangement linéaire de oordonnées, que J(0) = J0 . On onsidère aussi
n ⊂ Cn sur laquelle l'endomorphisme J + J est inversible et on pose par
une boule ouverte B2r
0
dénition
n
qJ := (J0 + J)−1 · (J0 − J) ∈ C ∞ (EndR (R2n ))(B2r
).
On remarque que qJ (0) = 0. On suppose pour simplier les notations qui suivront que r = 1.
Si γ : B11 −→ (B2n , J) est une ourbe J -holomorphe, la ondition de J -holomorphie ∂s γ =
J(γ)∂t γ, z = t + i s peut être é rite de façon équivalente sous la forme
∂z̄ γ + qJ (γ)∂z γ = 0
(3.2.1)
où ∂z̄ := 12 (∂t + J0 ∂s ) et ∂z := 12 (∂t − J0 ∂s ). En eet en utilisant les identités ∂t = 12 (∂z + ∂z̄ ) et
∂s = J20 (∂z − ∂z̄ ) on peut é rire la ondition ∂s γ = J(γ)∂t γ sous la forme
(J0 + J(γ)) ∂z̄ γ = (J0 − J(γ)) ∂z γ.
L'inversibilité de l'endomorphisme J +J0 donne alors l'é riture sous la forme (3.2.1). On rappelle
aussi (voir l'arti le de Sikorav dans l'ouvrage de Audin et Lafontaine [Au-La℄ pour plus de détails)
que l'opérateur
P : C k+µ (B11 ; Cn ) −→ C k+µ+1 (B11 ; Cn ),
k ∈ N, µ ∈ (0, 1) déni par la formule P γ(z) := P ′ γ(z) − P ′ γ(0), ave
Z
1
γ(ζ)
′
P γ(z) :=
dζ ∧ dζ̄,
2πi
ζ−z
ζ∈B11
vérie les propriétés suivantes : ∂z̄ ◦ P = I et pour tout entier k ∈ N et µ ∈ (0, 1) il existe une
onstante ck,µ > 0 telle que pour toute ourbe γ ∈ C k+µ (B11 ; Cn ) on a l'estimation
kP γkk+µ+1 ≤ (2 + ck,µ )kγkk+µ ,
(3.2.2)
où k·kk+µ désigne la norme de Hölder usuelle sur B11 . Pour prouver le théorème 3.2.2 on utilisera
la remarque essentielle suivante, utilisée par M Du (voir le lemme 1.4 dans [M D℄ ) et aussi par
Sikorav pour prouver le théorème 3.1.1 dans l'ouvrage [Au-La℄ : une ourbe γ : B11 −→ (B2n , J)
est J -holomorphe si et seulement si la ourbe
γ0 := γ + P qJ (γ) ∂z γ
est J0 -holomorphe. De plus on a l'égalité γ0 (0) = γ(0).
On aura besoin de quelques remarques élémentaires de topologie diérentielle qui seront utilisées plusieurs fois dans la suite.
Remarque 1. Soit f : X × Y −→ Z une appli ation entre espa es topologiques telle que
l'appli ation Φf : X × Y −→ X × Z, Φf (x, y) := (x, f (x, y)) soit ouverte. Alors pour tout
(x0 , y0 ) ∈ X × Y , pour tout voisinage ouvert Vy0 ⊂ Y de y0 et pour tout ompa t K ⊂ fx0 (Vy0 )
(i i on pose par dénition fx := f (x, ·)) il existe un voisinage ouvert Ux0 ⊂ X de x0 tel que
126
pour tout x ∈ Ux0 on a fx (Vy0 ) ⊃ K . L'hypothèse pré édente est vériée par exemple si f est
une appli ation de lasse C 1 entre variétés de Bana h telle que pour tout x ∈ X l'appli ation
fx : Y −→ Z soit un plongement ouvert, autrement dit fx est inje tive et
dy fx : TY,y −→ TZ,fx (y)
est un isomorphisme pour tout y ∈ Y . En eet dans e as le théorème d'inversion lo ale implique que l'appli ation Φf est ouverte.
Remarque 2. Dans le as où l'appli ation fx0 : Y −→ Z est un plongement ouvert seulement
en un point x0 ∈ X on a d'après le théorème des fon tions impli ites que pour tout ompa t
K ⊂ Z il existe un voisinage ouvert VK ⊂ Z de K , un voisinage ouvert W ⊂ Y de fx−1
(VK ) et
0
un voisinage ouvert Ux0 ⊂ X de x0 tel que pour tout x ∈ Ux0 l'appli ation
fx : fx−1 (VK ) ∩ W −→ VK
soit un diéomorphisme de lasse C 1 .
Remarque 3. Le théorème des fon tions impli ites implique que si f : X × Y ′ −→ Z est
une appli ation de lasse C 1 entre variétés de Bana h telle qu'il existe un point x0 ∈ X et un
ouvert relativement ompa t Y ⊂ Y ′ (don Y ′ est de dimension nie) tels que fx0 : Y −→ Z
soit inje tive et
dy fx0 : TY ′ ,y −→ TZ,fx0 (y)
soit un isomorphisme pour tout y ∈ Y , alors il existe un voisinage ouvert Ux0 ⊂ X de x0 tel que
pour tout x ∈ Ux0 l'appli ation fx : Y −→ Z est un plongement ouvert.
Preuve du théorème 3.2.2
Preuve de la partie A
Pour tout entier k ∈ N, k ≥ 2 nous onsidérons l'appli ation de lasse C k−1
F : [0, 1] × C k+µ (B11 × B1n × B1n ; B2n ) ✲ C k+µ (B11 × B1n × B1n ; Cn )
(ε, φ)
7−→ φ + Pz qJ (εφ) ∂z φ
où µ ∈ (0, 1) est une onstante xée et (Pz φ)(z, x, v) := (P φ(·, x, v))(z), (z, x, v) ∈ B11 ×B1n ×B1n.
Considérons aussi l'appli ation holomorphe H ∈ O(B11 × B1n × B1n ; B2n ) dénie par la formule
H(z, x, v) := x + zv .
Le fait que l'appli ation
F0 := F (0, ·) : C k+µ (B11 × B1n × B1n ; B2n ) −→ C k+µ (B11 × B1n × B1n ; Cn )
soit l'in lusion anonique entraîne, d'après la remarque 2, l'existen e d'un voisinage ouvert Vk ⊂
C k+µ (B11 × B1n × B1n ; B2n ) de H (ave Vk ⊃ Vk+1 ), d'un voisinage ouvert
Wk ⊂ C k+µ (B11 × B1n × B1n ; B2n )
de Vk , Wk ⊃ Wk+1 et de ε0 ∈ (0, 1] tel que pour tout ε ∈ [0, ε0 ] l'appli ation
Fε : Fε−1 (Vk ) ∩ Wk −→ Vk
127
est un diéomorphisme de lasse C k−1 . On pose alors par dénition φε := Fε−1 (H) et on remarque
que l'appli ation ε φε ∈ C ∞ (B11 ×B1n ×B1n; B2n ) est J -holomorphe par rapport à la variable z ∈ B11 .
Nous onsidérons maintenant l'appli ation de lasse C ∞
✲ B n × Cn
2
χ : [0,ε0 ] × B1n × B1n
(ε, x, v)
7−→ (x, ∂t φε (0, x, v)),
z = t+i s. On rappelle que φε (0, x, v) = x. Le fait que l'appli ation χ0 := χ(0, ·, ·) soit l'in lusion
anonique entraîne, d'après les remarques 3 et 1, que quelque soit r ∈ (0, 1) et ρ ∈ (0, r) il existe
ε1 = ε1 (r, ρ) ∈ (0, ε0 ] tel que pour tout ε ∈ [0, ε1 ] l'appli ation
χε : Brn × Brn −→ χε (Brn × Brn ) ⊃ Bρn × Bρn
n
n
n
n
est un diéomorphisme de lasse C ∞ . On onsidère l'appli ation χ−1
ε : Bρ × Bρ −→ Br × Br et
on dénit l'appli ation
✲ Bn
2
n
n
Φε :B11 × Bερ
× Bερ
(z, x, v)
−1
−1
7−→ εφε (z, χ−1
ε (ε x, ε v)).
n et B(T
n
n
Si on pose par dénition Ux0 := Bερ
Ux0 ) := Bερ × Bερ on a que l'appli ation Φε vérie
les onditions de la partie A de l'enon é du théorème 3.2.2. On verra de suite que pour satisfaire
aussi la on lusion B du théorème 3.2.2 il est né essaire de onsidérer un voisinage ouvert Ux0
plus petit.
Preuve de la partie B
On rappelle qu'on désigne par J0 la stru ture presque omplexe usuelle sur R2n identié à Cn
via z ≡ (x, y). Ave ette identi ation on voit le groupe Gl(n, C) omme sous-groupe du groupe
Gl(2n, R). Pré isément A ∈ Gl(n, C) ⊂ Gl(2n, R) si et seulement si A J0 = J0 A. Dans la suite
on désignera par U (n) := O(2n) ∩ Gl(n, C) le groupe unitaire. Soit δ = ρ/2 et
l : Bδn × Bδn−1 × U (n) −→ Bρn ⊂ R2n ≡ Cn
l'appli ation dénie par la formule
∂
∂ ,
+ y2 ·
l(p, z2 , A) = p + A x2 ·
∂x2
∂y2
ave l'identi ation z2 ≡ (x2 , y2 ) et x2 ≡ (x2 , ..., xn ), y2 ≡ (y2 , ..., yn ). Considérons don l'appliation de lasse C ∞
Φ :[0, ε1 ] × (Bδ1 × Bδn−1 ) × Bδn × U (n)
(ε; (z1 , z2 ); (p, A))
✲ Bn
2
∂ 7−→ φε z1 , χ−1
,
l(p,
z
,
A);
A
2
ε
∂x1
où φε := Fε−1 (H) est l'appli ation dénie dans la preuve de la partie A. Ave l'identi ation
Φ(ε; (z1 , z2 ); (p, A)) ≡ Φp,A
ε (z1 , z2 ) on a les propriétés suivantes :


Φp,A
ε (0, z2 ) = l(p, z2 , A)








∂
∂t Φp,A
ε (0, z2 ) = A
∂x1






∂
∂

p,A

+ sA
+ l(p, z2 , A)
 Φ0 (z1 , z2 ) = t A
∂x1
∂y1
128
(rappelons que z1 := t + i s). Soit δ1 ∈ (0, δ) un réel susamment petit pour pouvoir assurer
n−1
1
l'in lusion Bδn1 ⊂ Φp,A
) pour tout p ∈ Bδn1 et A ∈ U (n). On aura alors que l'image
0 (Bδ × Bδ
du plongement
Φ0 × I :(Bδ1 × Bδn−1 ) × Bδn1 × U (n)
((z1 , z2 ); (p, A))
✲ B n × B n × U (n)
2
δ1
7−→ (Φp,A
0 (z1 , z2 ); (p, A))
ontient le ompa t Bδn1 ×Bδn1 ×U (n) (rappelons que le groupe U (n) est ompa t). On aura d'après
les remarques 3 et 1 l'existen e de ε2 ∈ (0, ε1 ] tel que pour tout ε ∈ (0, ε2 ] et (p, A) ∈ Bδn1 × U (n)
l'appli ation
n−1
1
) ⊃ Bδn1
Φp,A
: Bδ1 × Bδn−1 −→ Φp,A
ε
ε (Bδ × Bδ
est un diéomorphisme de lasse C ∞ . Nous onsidérons don l'appli ation
n
Ψε : (Bδ1 × Bδn−1 ) × Bεδ
× U (n) −→ B2n
1
dénie par la formule Ψp,A
:= ε Φεε
ε
propriétés suivantes :
−1 p,A
n × U (n) et on remarque qu'elle vérie les
, (p, A) ∈ Bεδ
1
p,A
p,A
∂z̄1 Ψp,A
=0
ε + qJ (Ψε ) ∂z1 Ψε
1
n−1
n
) ⊃ Bεδ
Ψp,A
ε (Bδ × Bδ
1
Ψp,A
ε (0, 0) = p
∂t Ψp,A
ε (0, z2 ) = εA
∂
∂x1
On dénit les hamps de ve teurs J -plats
p,A −1
ξp,A := ∂t Ψp,A
ε ◦ (Ψε )
ξp,A (p) = εA
∂
∂x1
n . Le fait que l'a tion de U (n) est transitive sur la sphère S 2n−1 , (voir [Bo-Tu℄)
sur l'ouvert Bεδ
1
entraîne que la famille
n
n
{λξp,A ∈ PJ (Bεδ
, TX ) | λ ∈ R r {0}, (p, A) ∈ Bεδ
× U (n)}
1
1
n r 0X , e qui prouve la partie B du théoengendre pon tuellement (au sens ensembliste) TX|Bεδ
1
n
n
rème 3.2.2 ave Ux0 := Bεδ1 et I := Bεδ1 × U (n).
Le lemme élémentaire suivant montre que tout hamp de ve teurs J -plat provient lo alement
d'un plongement dont les feuilles sont des ourbes J -holomorphes.
Lemme 3.2.0.2 Soit
(X, J)
une variété presque
omplexe de dimension
omplexe
n
ξ un
Ux ⊂ U
et
J -plat sur un ouvert U . Pour tout x ∈ U il existe un voisinage ouvert
x et une arte lo ale (Ux , σξ−1 ), σξ : Bδ1 ×Bδn−1 −→ Ux , ompatible ave l'orientation anonique
n−1
1
de (Ux , J) telle que pour tout z2 ∈ B
, les appli ations z1 ∈ Bδ 7→ σξ (z1 , z2 ) sont des ourbes
δ
∂
J -holomorphes et dσξ ( ∂x1 ) = ξ ◦ σξ , z1 = x1 + iy1 .
hamp de ve teurs
de
P reuve. Soient v2 , ..., vn ∈ TX,x des ve teurs tels que ξ(x), v2 , ..., vn soit une base sur C de TX,x
et τ des oordonnées lo ales entrées en x telles que :
∂ ∂ dτ −1
dτ −1
= Jξ(x)
|0 = ξ(x)
∂x1
∂y1 |0
∂ ∂ dτ −1
= Jvk
dτ −1
|0 = vk
∂xk
∂yk |0
129
pour tout k = 2, ..., n, (on désigne par (x1 , y1 , ..., xn , yn ) les oordonnées sur R2n ). On désigne
par φξ , φJξ : Vx × (−δ, δ) ⊂ X × R −→ X les ots respe tifs des hamps ξ et Jξ au voisinage
Vx de x (pour simplier les notations on utilisera dans la suite l'identi ation φξ (x, t) ≡ φtξ (x))
et on onsidère l'appli ation σξ : Im τ −→ X dénie par la formule
σξ (x1 , y1 , ..., xn , yn ) := φxξ 1 ◦ φyJξ1 ◦ τ −1 (0, 0, x2 , y2 , ..., xn , yn ) =
=
φyJξ1 ◦ φxξ 1 ◦ τ −1 (0, 0, x2 , y2 , ..., xn , yn ).
D'après le théorème d'inversion lo ale on a l'existen e d'un voisinage ouvert Ux ⊂ U de x tel
que (Ux , σξ−1 ) soit une arte lo ale ompatible ave l'orientation anonique de (Ux , J) telle que
dσξ
∂ = ξ ◦ σξ
∂x1
et dσξ
∂ = Jξ ◦ σξ .
∂y1
Si on suppose σξ−1 (Ux ) = Bδ1 × Bδn−1 ⊂ R2 × R2n on en déduit que les appli ations (t, s) ∈ Bδ1 7→
σξ (t, s, a2 , b2 , ..., an , bn ) sont des ourbes J -holomorphes pour tout (a2 , b2 , ..., an , bn ) ∈ Bδn−1 . On aura besoin aussi du lemme suivant.
(X, J) une variété presque omplexe de dimension omplexe n et soit
1
γ : Bδ −→ X une ourbe J -holomorphe lisse. Il existe alors un plongement
σ : Bρ1 × Bρn−1 −→ X, ρ ∈ (0, δ) de lasse C ∞ qui préserve les orientations anoniques tel que
n−1 soient des ourbes J -holomorphes et σ(·, 0) = γ .
les appli ations σ(·, z2 ), z2 ∈ Bρ
Lemme 3.2.0.3 Soit
P reuve. Soit B2n ⊂ X une boule oordonnée telle que J(0) = J0 et γ(0) = 0. Soit µλ : B11 −→
Bλ1 , µλ (z) = λz l'homothétie de fa teur λ > 0 et γλ , λ ∈ (0, δ] la ourbe J -holomorphe dénie
par la formule γλ := γ ◦ µλ . Considérons la famille de ourbes J0 -holomorphes (uλ )λ∈(0,δ] dénie
par la formule
h
i
uλ := λ−1 γλ + P qJ (γλ ) ∂z γλ .
Considérons des ve teurs ξ2 , ..., ξn ∈ R2n ≡ Cn tels que les ve teurs λ∂t uλ (0), ξ2 , ..., ξn forment
une base J0 - omplexe de R2n et la famille d'appli ations J0 -holomorphes
(Hλ )λ∈(0,δ] ⊂ O(B11 × B1n−1 ; B2n ),
dénie par la formule Hλ (z1 , z2 ) = uλ (z1 ) + ξ · z2 . Nous onsidérons aussi l'appli ation
F : [0, 1] × C k+µ (B11 × B1n−1 ; B2n ) −→ C k+µ (B11 × B1n−1 ; Cn )
dénie omme dans la preuve du théorème 3.2.2. Le fait que l'ensemble
(Hλ )λ∈(0,δ] ⊂ C k+µ (B11 × B1n−1 ; B2n )
soit ompa t, (pour tout k ≥ 1) entraîne, d'après la remarque 2 de la preuve du théorème 3.2.2,
l'existen e d'un ρ ∈ (0, δ] pour lequel il existe les appli ations φε := Fε−1 (Hε ), ε ∈ (0, ρ], (les
appli ations Fε−1 sont dénies omme dans la preuve du théorème 3.2.2). De façon expli ite on
a don l'identité
φε + Pz1 qJ (εφε ) ∂z1 φε = Hε .
On déduit alors, grâ e à l'inégalité (3.2.2), que pour ε > 0 susamment petit, (disons ε ∈ (0, ρ]),
on a l'inégalité
kφε − Hε kk+µ+1 ≤ εCk,µ kd0 qJ k · kφε kk+µ · kdφε kk+µ ,
130
qui ompte tenu de la ompa ité de la famille (φε )ε∈(0,ρ] ⊂ C k+µ (B11 × B1n−1 ; B2n ), (pour tout
k ≥ 1) implique l'inégalité
′
kφε − Hε kk+µ+1 ≤ Ck,µ
ε.
On onsidère le plongement linéaire L(z1 , z2 ) := d0 γ(z1 ) + ξ · z2 et on remarque l'inégalité
′
kHε − Lkk+µ+1 = kuε − d0 γkk+µ+1 ≤ εCk,µ
kd0 qJ k · kd0 γk2 ,
pour tout ε ∈ (0, ρ]. On déduit alors que les appli ations φε sont des plongements pour ρ > 0
susamment petit (voir lemme 1.3 du hapitre 2 dans l'ouvrage de Hirs h [Hir℄) . On onsidère
don les plongements ψε := εφε et on remarque les égalités
h
i
ψε + Pz1 qJ (ψε ) ∂z1 ψε (·, 0) = εuε = γε + Pz1 qJ (γε ) ∂z1 γε
qui montrent l'égalité ψε (·, 0) = γε . On déduit alors que l'appli ation
(z1 , z2 ) ∈ Bρ1 × Bρn−1 7→ σ(z1 , z2 ) := ψρ (ρ−1 z1 , z2 )
est le plongement voulu.
3.3
3.3.1
Courants positifs sur les variétés presque
omplexes
Généralités
On ommen e par rappeler quelques dénitions générales de la théorie des ourants.
Dénition 3.3.1 Soit
un ourant de degré k, d'ordre zéro sur une variété diérentiable X orientable et orientée de dimension n. Une masse du ourant Θ est une mesure de
Radon positive µ sur X telle que si ψ ∈ E(Λn TX∗ )(X) est une formeR de volume arbitraire et si
A ⊂ X est un ensemble de Borel alors µ(A) = 0 si et seulement si A Θ(ξ1 , ..., ξk ) · ψ = 0 pour
tout hamp de ve teurs ξ1 , ..., ξk ∈ E(TX )(X).
Θ ∈ D ′ k (X)
On remarque que si µ1 et µ2 sont deux masses du même ourant alors l'une est absolument
ontinue par rapport à l'autre. Il est bien onnu, ( f. [Fed℄, [G-M-S℄) que tout ourant d'ordre
zéro admet une masse qui peut être dénie par la formule
µg (Θ)(U ) :=
sup
ϕ∈D n−k (U )
|ϕ|g ≤1
Z
Θ∧ϕ
U
pour tout ouvert U ⊂ X relativement ompa t dans X , (i i g est une métrique Riemannienne
sur X ). Ave les notations de la dénition 3.3.1 on a par onséquen e du Théorème de RadonNikodym l'existen e d'une k-forme θµ,ψ telle que pour tout hamp de ve teurs ξ1 , ..., ξk ∈
E(TX )(X) la fon tion θµ,ψ (ξ1 , ..., ξk ) ∈ L1loc (X, BX , µ) (i i BX désigne la σ -algèbre de Borel)
est dénie µ-presque partout par la formule
1
θµ,ψ (ξ1 , ..., ξk )(x) := lim
r→0 µ(Br (x))
Z
Θ(ξ1 , ..., ξk ) · ψ
Br (x)
où Br (x) est une boule de rayon r relative à un ouvert oordonné quel onque. On aura alors
pour tout Borelien A ∈ BX l'égalité
Z
A
Θ(ξ1 , ..., ξk ) · ψ =
Z
θµ,ψ (ξ1 , ..., ξk )dµ
A
131
qu'on dénote souvent sous la forme Θ = θµ,ψ · µ. Nous rappelons maintenant quelques résultats
de base de la théorie des ourants d'ordre zéro ( f. [Fed℄, [G-M-S℄).
Théorème 3.3.2 (Compa ité faible de la masse). Soit {Θν }ν ⊂ D′ k (X) une suite de ou-
rants d'ordre zéro telle que supν µ(Θν )(U ) < ∞ pour tout ouvert relativement ompa t U de X .
Il existe alors une sous-suite {Θνj }νj de {Θν }ν onvergente pour la topologie faible des ourants
d'ordre zéro vers un ourant d'ordre zéro Θ ∈ D′ k (X).
Ce théorème est juste une onséquen e du théorème lassique de Bana h-Alaoglu. Le théorème
pré édent admet un ré iproque que nous énonçons sous la forme suivante.
Théorème 3.3.3 Soit
{Θν }ν ⊂ D ′ k (X) une suite de ourants d'ordre zéro sur X telle que
supν | hΘν , ϕi | < ∞ pour toute forme à support ompa t ϕ ∈ C 0 (Λn−k TX∗ )(X). Alors les masses
des ourants Θν sont lo alement équi-bornées au sens suivant : pour tout ouvert relativement
ompa t U de X on a supν µ(Θν )(U ) < ∞.
Ce théorème est simplement une onséquen e du théorème lassique de Bana h-Steinhaus. Nous
avons aussi la lemme très utile suivant.
Lemme 3.3.1.1 Soit {Θν }ν ⊂ D′ k (X) une suite de ourants d'ordre zéro onvergente faiblement
vers un ourant d'ordre zéro Θ ∈ D′ k (X). Si supν µ(Θν )(X) < ∞ alors la suite {Θν }ν onverge
vers le ourant Θ dans la topologie faible des ourants d'ordre zéro.
Considérons à partir de maintenant une variété presque omplexe (X, J) de lasse C ∞ et de
dimension réelle 2n munie d'une métrique ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) et les (p, p)-formes fortement
J
positives ωp := 1/p! ω p pour p = 0, ..., n. On remarque que ωn est la forme de volume asso iée à
la métrique ω . Les notations pré édentes seront utiles pour montrer l'équivalen e des dénitions
suivantes.
Dénition 3.3.4 Un ourant
′ (X) sur une variété presque omplexe (X, J) est dit
Θ ∈ Dp,p
positif si il vérie une des trois propriétés équivalentes suivantes.
a) Pour tout hamp de ve teurs réels ξ1 , ..., ξn−p ∈ E(TX )(X) et pour toute forme ϕ ∈ D 2n (X)
positive on a l'inégalité
hΘ(ξ1 , Jξ1 , ..., ξn−p , Jξn−p ), ϕi ≥ 0.
b) Le ourant Θ est d'ordre zéro et le ourant Θ ∧ ωp détermine une masse kΘkω du ourant Θ
telle que quel que soit le représentant
θω ∈ θkΘkω ,ωn ∈ E(ΛJn−p,n−p TX∗ ) ⊗EX (C) L1loc (BX , kΘkω ) (X)
∗
de la forme θkΘkω ,ωn on a que la forme θω (x) ∈ ΛJn−p,n−p TX,x
est positive pour kΘkω -presque
tout x ∈ X .
c) Pour tout (p, p)-forme ϕ ∈ E(Λp,p
TX∗ )(X) fortement positive le ourant Θ ∧ ϕ détermine une
J
mesure de Radon positive.
′ (X)+ .
Le ne des ourants positifs de bidimension (p, p) sera noté par Dp,p
P reuve de l′ équivalence. Nous montrons les impli ations a) =⇒ c) et c) =⇒ b). L'impli ation
b) =⇒ a) est évidente. Commençons par prouver l'impli ation a) =⇒ c).
1,0
Soit U ⊂ X un ouvert oordonnée, soit (ζ1 , ..., ζn ) un repère du bré TX,J
|U et (ρε )ε>0 une
famille de noyaux régularisants usuels. Si
2
Θ = i(n−p)
X
|K|=|H|=n−p
132
∗
∗
ΘK,H ζK
∧ ζ̄H
est l'expression lo ale du ourant Θ on dénit les (n − p, n − p)-formes
X
2
Θ ∗ ρε := i(n−p)
|K|=|H|=n−p
∗
∗
ΘK,H ∗ ρε ζK
∧ ζ̄H
.
Soient de plus ξ1 , ..., ξn−p ∈ E(TX )(U ) des hamps de ve teurs à oe ients onstants par rapport
au repère (ζ1 , ..., ζn ). L'égalité
Θ(ξ1 , Jξ1 , ..., ξn−p , Jξn−p ) ∗ ρε = (Θ ∗ ρε )(ξ1 , Jξ1 , ..., ξn−p , Jξn−p )
entraîne que les formes Θ ∗ ρε sont positives. Pour tout (p, p)-forme ϕ ∈ E(Λp,p
TX∗ )(X) fortement
J
positive on a alors l'inégalité (Θ ∗ ρε ) ∧ ϕ ≥ 0. En passant à la limite on obtient la on lusion
voulue.
Nous montrons maintenant l'impli ation c) =⇒ b). Montrons d'abord que le ourant Θ est
d'ordre zéro. Soit U ⊂ X sur lequel TX|U est trivial et soit (ζ1 , ..., ζn ) un repère ω -orthonormé
1,0
du bré TX,J
|U . Les formes ωp s'expriment alors par rapport au repère hoisi sous la forme
2
ip X ∗
∗
ωp = p
ζK ∧ ζ̄K
.
2
|K|=p
Pour tout multi-indi e |L| = n − p on désigne par R := ∁L le multi-indi e omplémentaire de L
dans l'ensemble {1, .., n}. On a alors que le ourant
2
∗
∗
ΘL,L · ωn = ip 2−n Θ ∧ ζR
∧ ζ̄R
peut être identié ave une mesure de Radon positive sur l'ouvert U . Nous reprenons maintenant
un al ul fait par Demailly dans [Dem-1℄, hapitre III. On désigne par R := ∁K, Q := ∁H les
multi-indi es omplémentaires de K et H dans l'ensemble {1, .., n} et ave ε• := ±1, ±i. Ave
es notations on aura alors :
2
∗
∗
ΘK,H · ωn = ±ip 2−n Θ ∧ ζR
∧ ζ̄Q
= ±2−n Θ ∧
= 2−n Θ ∧
^ 1≤s≤p
X
as ∈(Z/4Z)
^
1≤s≤p
iζr∗s ∧ ζ̄q∗s =
i
εas (ζr∗s + ias ζq∗s ) ∧ (ζr∗s + ias ζq∗s ) .
4
En eet il sut de remarquer l'identité extérieure
4ζj∗ ∧ ζ̄k∗ = (ζj∗ + ζk∗ ) ∧ (ζj∗ + ζk∗ ) − (ζj∗ − ζk∗ ) ∧ (ζj∗ − ζk∗ )
+i(ζj∗ + iζk∗ ) ∧ (ζj∗ + iζk∗ ) − i(ζj∗ − iζk∗ ) ∧ (ζj∗ − iζk∗ ).
(3.3.1)
On obtient don l'expression
ΘK,H · ωn = 2−n Θ ∧
Le fait que les formes
γa :=
X
a∈(Z/4Z)p
εa
^ i
(ζ ∗ + ias ζq∗s ) ∧ (ζr∗s + ias ζq∗s ).
4 rs
1≤s≤p
^ i
(ζ ∗ + ias ζq∗s ) ∧ (ζr∗s + ias ζq∗s ),
4 rs
1≤s≤p
133
(3.3.2)
a ∈ (Z/4Z)p sont fortement positives entraîne, par hypothèse, que les ourants ΘK,H ·ωn peuvent
être identiés ave des mesures de Radon omplexes sur l'ouvert U , e qui montre que le ourant
Θ est d'ordre zéro. D'autre part on a les égalités
2−n Θ ∧
^ 1≤s≤p
X
as ∈(Z/4Z)
= 2−n Θ ∧
= 2−n Θ ∧
^
1≤s≤p
X
t∈E
i ∗
(ζrs + ias ζq∗s ) ∧ (ζr∗s + ias ζq∗s ) =
4
(iζr∗s ∧ ζ̄r∗s + iζq∗s ∧ ζ̄q∗s ) =
2
∗
∗
=
∧ ζ̄M
ip ζM
t
t
X
t∈E
ΘHt ,Ht · ωn
où E est un ensemble d'indi es de ardinalité inférieure ou égale à 2p , Mt ⊂ R ∪ Q est un pmulti-indi e et Ht := ∁Mt . En utilisant l'expression (3.3.2) on obtient alors l'inégalité suivante :
Z
p
ΘK,H · ωn ≤ 2
A
X
Z
L⊃K∩H A
ΘL,L · ωn < +∞
(3.3.3)
pour tout Borelien A ⊂ U . On remarque de plus que le ourant Θ ∧ ωp s'é rit sous la forme
Θ ∧ ωp = 2n−p
X
|L|=n−p
ΘL,L · ωn .
Le ourant Θ ∧ ωp détermine une mesure de Radon Positive kΘkω donnée expli itement par la
formule
Z
Θ ∧ ωp
kΘkω (A) := inf
U ⊃A
U
pour tout sous-ensemble A ⊂ X relativement ompa t. L'inégalité (3.3.3) montre alors que les
mesures de Radon omplexes déterminées par les ourants ΘK,H · ωn sont absolument ontinues
par rapport à la mesure kΘkω restreinte à l'ouvert trivialisant U , e qui prouve que la mesure
de Radon kΘkω est une masse du ourant Θ.
∗
Nous montrons maintenant que la forme θω (x) ∈ ΛJn−p,n−p TX,x
est positive pour kΘkω -presque
p,p
∗
tout x ∈ X . On désigne par F Pp (TX,x ) ⊂ ΛJ TX,x l'ensemble des (p, p)-formes fortement
positives au point x et par
F Pp (ζ) ⊂ E(Λp,p
TX∗ )(U )
J
l'ensemble des (p, p)-formes fortement positives à oe ients onstants par rapport au repère
(ζ1 , ..., ζn ). On onsidère un sous-ensemble (ϕν )ν∈N ⊂ F Pp (ζ) dense dans F Pp (ζ). Soit ξω ∈
E(Λn,n
TX )(X) le (n, n)- hamp de ve teurs tel que ωn (ξω ) = 1 sur X . On remarque que pour
J
TX∗ )(X) et tout Borelien A ⊂ X on a les identités
tout (p, p)-forme ϕ ∈ E(Λp,p
J
Z
Θ∧ϕ=
A
Z
(Θ ∧ ϕ)(ξω ) · ωn =
A
Z
(θω ∧ ϕ)(ξω ) kΘkω .
A
On a alors que l'ensemble
Eν := {x ∈ Dom θω ∩ U | θω (x) ∧ ϕν (x) < 0}
134
est un ensemble de kΘkω -mesure nulle (i i Dom θω désigne le domaine du représentant θω ). Le
fait que
F Pp (TX,x ) = {ϕ(x) | ϕ ∈ F Pp (ζ)}
pour tout x ∈ U ombiné ave le fait que, par densité, pour tout ϕ ∈ F Pp (ζ) il existe une suite
(νl )l telle que ϕ = liml→+∞ ϕνl entraînent
θω (x) ∧ ϕ(x) = lim θω (x) ∧ ϕνl (x) ≥ 0
l→+∞
pour tout point x ∈ Dom θω ∩ U \ ∪ν Eν . Ce i entraîne la on lusion voulue sur la forme θω . Voyons maintenant quelques exemples fondamentaux de (1, 1)- ourant positif sur les variétés
presque omplexes.
3.3.2
Exemples fondamentaux de
ourants positifs sur les variétés presque
omplexes.
On ommen e par une dénition.
Dénition 3.3.5 Une sous-variété
(X, J)
Y ⊂ X de dimension 2p d'une variété presque omplexe
est dite presque omplexe si J(TY ) = TY .
Un exemple de sous-variété presque omplexe est onstitué par les images γ(P1C ) ⊂ X des ourbes
J -holomorphes régulières. Les résultats qui suivront vont assurer l'existen e d'exemples de sousvariétés presque omplexes de dimension omplexe supérieure à un. On ommen e par rappeler
la proposition suivante (voir [M D-Sa℄).
Proposition 3.3.6 Soit
X une variété diérentielle de dimension réelle 2n. S'il existe une 2forme ω ∈ E(Λ2 TX∗ )(X) non dégénéré alors l'espa e des stru tures presque omplexes ompatibles
ave ω
n
o
JX,ω := J ∈ E(TX∗ ⊗R TX )(X) | J 2 = −I, ω(Ju, Jv) = ω(u, v), ω(u, Ju) > 0 ∀u, v ∈ TX,x r{0x }
est non vide et ontra tile.
On a aussi la proposition suivante, (voir l'arti le de Audin dans l'ouvrage [Au-La℄).
Proposition 3.3.7 Soit
X une variété diérentielle de dimension réelle 2n admettant une 2forme ω ∈ E(Λ2 TX∗ )(X) non dégénérée et soit Y ⊂ X une sous-variété telle que i∗Y ω soit non
dégénérée. Il existe alors une stru ture presque omplexe J ∈ JX,ω telle que (Y, J|Y ) soit une
sous-variété presque omplexe de (X, J).
On a le résultat fondamental suivant du à S.K Donaldson (voir [Don℄).
Théorème 3.3.8 Soit (X, ω) une variété symple tique ompa te de dimension réelle
2n. Pour
tout p = 1, ..., n il existe des sous-variétés symple tiques (Yp , i∗Yp ω) fermées de dimension réelle
2p.
Le premier exemple de ourant positif qu'on onsidère est le ourant d'intégration sur une
sous-variété presque omplexe Y de dimension 2p de mesure lo alement nie ave l'orientation
′ (X)
anonique donnée par la stru ture presque omplexe J|Y ∈ E(TY∗ ⊗R TY )R. Le ourant
] ∈ D2p
R [Y
′
p,p
s'identie naturellement ave un élément de l'espa e Dp,p (X) étant Y ϕ = Y ϕ pour tout
ϕ ∈ D 2p (X), où ϕp,p désigne la omposante de type (p, p) de la forme ϕ. Le ourant [Y ] est
135
évidemment positif grâ e à la propriété 3.3.4.c. Sous les hypothèses du théorème 3.3.8 on a alors
l'existen e de ourants [Yp ] lesquels sont de bidegré (n − p, n − p) et positifs par rapport à une
stru ture presque omplexe Jp ∈ JX,ω . De plus les ourants en question sont fermés, i.e d[Yp ] = 0
en onséquen e de la formule de Stokes. La notion intuitive de la masse k[Y ]kω est lariée par
le lemme suivant qui est une généralisation immédiate d'un résultat bien onnu dans le as des
variétés omplexes (voir le hapitre III dans l'ouvrage de Demailly [Dem-1℄).
Y ⊂ X une sous-variété orientable et orientée de dimension
2p d'une variété presque omplexe (X, J) munie d'une métrique ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X). Si on désigne
J
par dVY,ω la forme de volume asso iée à la restri tion à TY de la métrique riemannienne g(·, ·) :=
ω(·, J·) asso iée à la métrique ω on a l'existen e d'une fon tion α ∈ C 0 (Y, [−1, 1]) telle que
ωp|Y = α · dVY,ω . De plus |α| = 1 si et seulement si Y est une sous-variété presque omplexe.
Dans e as α = 1 si l'orientation de Y
oïn ide ave l'orientation anonique donnée par la
stru ture J|
et α = −1 sinon. La fon tion α est identiquement nulle si et seulement si Y est
Y
une sous-variété ω -isotropique.
Lemme de Wirtinger 3.3.3 Soit
Le théorème suivant nous fournit un autre exemple fondamental de (1, 1)- ourant positif.
(X, J) une variété presque omplexe onnexe et f ∈ P sh(X, J). Alors
1
¯ f est positif.
bien f ∈ Lloc (X). Dans e dernier as le (1, 1)- ourant i∂J ∂
J
Théorème 3.3.9 Soit
ou bien
f ≡ −∞
ou
P reuve
Intégrabilité lo ale de
l'appli ation
f . Ave les notations du théorème 3.2.2 on a que pour tout x ∈ Ux0
ϕx : (0, δ) × S 1 × S 2n−1 (TX,x )
✲X
(r, θ, v)
7−→ Φ(reiθ , v)
est une submersion de lasse C ∞ . Par hypothèse on a l'inégalité de la moyenne
1
f (x) ≤
2πr
Z2π
0
f ◦ ϕx (r, θ, v) dθ.
On onsidère les ouverts relativement ompa ts
Cr1 ,r2 (x) := ϕx (r1 , r2 ) × S 1 × S 2n−1 (TX,x ) , 0 < r1 < r2 < δ
et la forme de volume de lasse C ∞
dVx (p) :=
Z
dr dθ dσ(v)
(r,θ,v)∈ϕ−1
x (p)
sur l'ouvert Imϕx , où dσ désigne la forme de volume sur la sphère S 2n−1 (TX,x ). Ave
on a alors
Z
p∈Cr1 ,r2 (x)
f (p) dVx (p) =
Z
v∈S 2n−1 (TX,x )
dσ(v)
Zr2
r1
dr
Z2π
0
es notations
f ◦ ϕx (r, θ, v) dθ ≥ f (x) Kr1 ,r2
(3.3.4)
où Kr1 ,r2 > 0 est une onstante. Soit W ⊂ X l'ensemble des points p ∈ X tels que la fon tion
f soit intégrable sur un voisinage de p. Par dénition le sous-ensemble W est ouvert en X et
136
f > −∞ presque partout sur W . Si p ∈ W , on peut hoisir un point x ∈ W tel que f (x) > −∞
et p ∈ Cr1 ,r2 (x). On déduit alors d'après l'inégalité (3.3.4), que la fon tion f est intégrable sur
le voisinage Cr1 ,r2 (x) de p, e qui montre que p ∈ W et don que W est aussi fermé en X . On a
alors soit W = X , soit W = ∅. Dans le dernier as l'inégalité (3.3.4), implique f ≡ −∞. On a
don prouvé que soit f ≡ −∞ soit f ∈ L1loc (X).
Positivité du ourant
i∂J ∂¯J f . On montre d'abord que pour tout ξ ∈ PJ (Ux0 , TX ) la distribution i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ) est positive sur Ux0 . Pour tout x ∈ Ux0 soient (Ux , σξ−1 )
σξ : Bδ1 × Bδn−1 −→ Ux ⊂ Ux0
les oordonnées du lemme 3.2.0.2. En rappelant l'expression expli ite (3.1.1) du ourant i∂J ∂¯J f
on aura pour tout ξ ∈ E(TX )(Ux0 ) les égalités suivantes :
i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ) = 2∂J ∂¯J f (ξ 1,0 , ξ 0,1 ) = 2(ξ 1,0 . ξ 0,1 . f − [ξ 1,0 , ξ 0,1 ]0,1 . f ) =
1
= (ξ. ξ. f + Jξ. Jξ. f + J[ξ, Jξ]. f )
2
Le fait que dans notre as [ξ, Jξ] = 0, implique les expressions :
1
1
i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ) = 2ξ 1,0 . ξ 0,1 . f = (ξ. ξ. f + Jξ. Jξ. f ) = (σξ−1 )∗ ∆z1 (f ◦ σξ )
2
2
où ∆z1 := ∂x21 + ∂y21 désigne le Lapla ien par rapport à la variable z1 = x1 + i y1 ∈ Bδ1 dans
l'ouvert Bδ1 × Bδn−1. Grâ e au théorème de Fubini on en déduit l'inégalité
Z
(f ◦ σξ ) · ∆z1 ϕ dλ ≥ 0
Bδ1 ×Bδn−1
pour tout ϕ ∈ D(Bδ1 × Bδn−1 ), ϕ ≥ 0. Le Lapla ien ∆z1 (f ◦ σξ ) est don positif, e qui prouve la
positivité de la distribution i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ) sur l'ouvert Ux0 pour tout hamp ξ ∈ PJ (Ux0 , TX ).
Nous montrons maintenant que le ourant i∂J ∂¯J f est d'ordre zéro.
1,0
Soit ζ1 , ..., ζn un repère omplexe du bré des (1, 0)-ve teurs tangents TX,J|U
. On déduit d'après
x0
∗
l'identité extérieure (3.3.1), (ave ζ à la pla e de ζ ) l'existen e de hamps de ve teurs ρk ∈
1,0
E(TX,J
)(Ux0 ), k = 1, ..., n2 du type ρk = ζsk + iak ζtk , ak ∈ Z/4Z tels que les (1, 1)- hamps de
2
ve teurs (ρk ∧ ρ̄k )nk=1 forment un repère omplexe du bré Λ1,1
TUx0 . On hoisit un point x ∈ Ux0
J
1,0
et ξk ∈ PJ (Ux0 , TX ) tels que ξk (x) = ρk (x). On aura alors que les (1, 1)- hamps de ve teurs
2
(ξk1,0 ∧ ξk0,1 )nk=1 forment un repère omplexe du bré Λ1,1
TVx ou Vx ⊂ Ux0 est un voisinage ouvert
J
du point x. L'identité
i∂J ∂¯J f (ξk , Jξk ) = 2∂J ∂¯J f (ξk1,0 ∧ ξk0,1 )
montre alors que le ourant i∂J ∂¯J f est d'ordre zéro.
Venons-en maintenant à la positivité du ourant en question. Soit µ une masse du ourant i∂J ∂¯J f
∗
et onsidérons l'é riture i∂J ∂¯J f = θ ·µ. Nous montrons que la forme θ(x) ∈ Λ1,1
TX,x
est positive
J
pour µ-presque tout x ∈ X . On désigne par
QTX|Ux0 := TX|Ux0 ∩ (Q2n × Q2n ),
en supposant que l'ouvert Ux0 est un ouvert oordonné. D'après la preuve du théorème 3.2.2
il existe une famille dénombrable de hamps (ξν )ν∈N ⊂ PJ (Ux0 , TX ) telle que pour tout v ∈
137
il existe ν ∈ N tel que ξν (π(v)) = v (π désigne la proje tion anonique π : TX → X )
x ∈ Ux0 l'ensemble (ξν (x))ν∈N est dense dans TX,x . La positivité de la distribution
i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ) sur l'ouvert Ux0 entraîne que l'ensemble
QTX|Ux0 r0X
et pour tout
Eν := {x ∈ Dom θ ∩ Ux0 | θ(ξν , Jξν )(x) < 0}
est de
µ-mesure
nulle (i i Dom
θ
désigne le domaine du représentant
θ ).
Pour tout point
x ∈ Dom θ ∩ Ux0 \ ∪ν Eν
v ∈ TX,x
et pour tout
onsidérons une suite
(νl )l
telle que
v = liml→+∞ ξνl (x).
La limite
θ(v, Jv)(x) = lim θ(ξνl , Jξνl )(x) ≥ 0
l→+∞
entraîne alors la
3.4
on lusion voulue sur la forme
Les potentiels des
variétés presque
Dans
θ.
ourants positifs de type
(1, 1)
sur les
omplexes
ette se tion nous proposons une
onje ture ré iproque du théorème
3.3.9 qu'on énon
e
sous la forme suivante.
Conje ture 2
′ (R)(X)
D2n
omplexe de dimension omplexe n et soit u ∈
(1, 1)- ourant i∂J ∂¯J u ∈ D ′ 1,1 (X) soit positif. Alors
1
unique fon tion f ∈ P sh(X, J) ∩ Lloc (X) telle que la distribution orrespondante
la distribution u.
il existe une
oïn ide ave
Il est bien
(X, J)
Soit
une variété presque
une distribution réelle telle que le
onnu que la
Remarque 1. On
onje ture est vraie dans le
as
omplexe intégrable (voir [Dem-1℄).
onsidère l'opérateur
dcJ :=
En degré zéro il se réduit à la forme
la géométrie presque
i ¯
(∂ − ∂J ).
2 J
dcJ := − 12 df ◦ J .
En utilisant les identités fondamentales de
omplexe on déduit fa ilement qu'en degré zéro on a l'identité
i∂J ∂¯J = ddcJ + iθJ ∂¯J − iθ̄J ∂J ,
qui montre de quelle façon la torsion de la stru ture presque
pour le
(1, 1)-
ourant
omplexe représente l'obstru tion
i∂J ∂¯J u à être d-fermé. D'après l'identité pré
édente on déduit alors l'égalité
ddcJ u (ξ, Jξ) = i∂J ∂¯J u (ξ).
On a don
que le
ve teurs réel
as
ξ
(1, 1)-
ourant
la distribution
ddc
J
i∂J ∂¯J u
u(ξ, Jξ)
est positif si et seulement si pour tout
est positive. On remarque de plus que
hamps de
omme dans le
omplexe intégrable, ( f. [Dem-1℄) on a d'après la formule de Stokes l'égalité
Z
U
pour tout ouvert
C 2 (Λp,p
TX∗ )(U )
J
et
c
c
ϕ ∧ ddJ ψ − ddJ ϕ ∧ ψ =
Z
ϕ ∧ dcJ ψ − dcJ ϕ ∧ ψ
(3.4.1)
∂U
U ⊂ X relativement ompa t à bord C 1 par mor eaux et pour tout ϕ ∈
ψ ∈ C 2 (Λq,q
TX∗ )(U ), p + q = n − 1. En utilisant la formule pré édente et le
J
138
fait que ∂J ∂¯J + ∂¯J ∂J = 0 en bidegré (n − 1, n − 1), on déduit pour tout ϕ ∈ Dn−1,n−1 (X) les
égalités suivantes
Z
i∂J ∂¯J u ∧ ϕ =
X
Z
c
ddJ u ∧ ϕ =
X
Z
c
u · ddJ ϕ =
X
Z
u · i∂J ∂¯J ϕ.
X
. Soit ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) une métrique hermitienne sur TX,J . On dénit le LaplaJ
′
ien de u ∈ D2n (R)(X) par rapport à la stru ture presque omplexe J et la métrique ω par la
formule
Remarque 2
∆J,ω u := Tra eω (i∂J ∂¯J u) =
n · i∂J ∂¯J u ∧ ω n−1
.
2 · ωn
Soit (ξk )k ∈ E(TX,J )(U )⊕n un repère lo al omplexe ω -orthonormé du bré TX,J et soit ζk := ξk1,0 .
En rappelant l'é riture lo ale (3.1.2) on obtient l'égalité
n
X
(ζk .ζ̄k . u − [ζk , ζ̄k ]0,1 . u) =
∆J,ω u =
k=1
=
n
n
k=1
k=1
1X
1X
(ξk . ξk .u + Jξk . Jξk .u + J[ξk , Jξk ] .u) =
i∂J ∂¯J u(ξk , Jξk ).
4
2
Ce al ul montre que le symbole de ∆J,ω oïn ide ave le symbole du Lapla ien lassique ∆ ≡
∆J0 ,ω0 sur Cn , où ω0 = 2i ∂J0 ∂¯J0 |z|2 est la métrique J0 -invariante plate sur Cn . On obtient alors
que l'opérateur de Green de ∆J,ω oïn ide ave l'opérateur de Green lassique de ∆ au sens des
opérateurs pseudo-diérentiels. Si le ourant i∂J ∂¯J u est positif alors ∆J,ω u est une mesure de
Radon positive. On déduit alors d'après la théorie lassique des opérateurs elliptiques d'ordre
1,1
deux que u ∈ Wloc
(X) := {v ∈ L1loc (X) | dv ∈ L1loc (TX∗ )(X)}, ( f. [Sta℄, paragraphe 9, théorèmes
9.1 et 9.4).
Nous montrons maintenant la onje ture dans le as parti ulier suivant.
Théorème 3.4.1 Soit
(X, J)
une variété presque
f ∈ L1loc (X)
et telle que le
(1, 1)-
ourant
f : X −→ [−∞, +∞) une
X r f −1 (−∞),
positif. Alors f ∈ P sh(X, J).
omplexe et
f soit ontinue
¯
i∂J ∂J f ∈ D ′ 1,1 (X) soit
fon tion semi- ontinue supérieurement telle que
sur l'ensemble
Avant de passer à la preuve du théorème 3.4.1 nous aurons besoin de quelques notions et résultats
préliminaires. On ommen e par prouver le lemme suivant.
Lemme 3.4.0.1 Sous les hypothèses du théorème
pour tout
3.4.1,
le
ourant
i∂J ∂¯J log(ef + ε)
est positif
ε > 0.
P reuve. Le fait que f ∈ L1loc (X) implique que l'intérieur de l'ensemble f −1 (−∞) est vide.
On déduit que pour tout x ∈ f −1(−∞) et pour tout r > 0 il existe y ∈ Brn(x) r f −1(−∞).
L'hypothèse de semi- ontinuité ombinée ave la ontinuité de la fon tion f sur l'ensemble X r
f −1 (−∞) entraînent alors la ontinuité de la fon tion ef sur tout X , (en parti ulier l'ensemble
f −1 (−∞) est fermé dans X ). On obtient alors la ontinuité des fon tions fε := log(ef + ε). On
remarque que si u est une fon tion de lasse C 2 on a la formule
i∂J ∂¯J uε =
εeu
eu
¯ u+
i∂
∂
i∂ u ∧ ∂¯J u
J
J
eu + ε
(eu + ε)2 J
139
et la (1, 1)-forme i∂J u ∧ ∂¯J u est positive. En eet pour tout hamps de ve teurs réels ξ on a les
égalités
i∂J u ∧ ∂¯J u (ξ, Jξ) = i∂J u(ξ) · ∂¯J u(Jξ) − i∂J u(Jξ) · ∂¯J u(ξ) =
= 2∂J u(ξ) · ∂¯J u(ξ) =
1
(du(ξ)2 + du(Jξ)2 ) ≥ 0
2
On en déduit alors que si notre fon tion f est de lasse C 2 la (1, 1)-forme i∂J ∂¯J fε est positive.
Dans le as général nous onsidérons une famille de noyaux régularisants (ρη )η>0 sur un ouvert
η
oordonnée V ⊂ X et les fon tions f η := f ∗ ρη , fεη := log(ef + ε) ∈ E(U, R) où U ⊂ V est
un ouvert relativement ompa t dans V . (On remarque que si la stru ture presque omplexe
n'est pas intégrable les (1, 1)-formes i∂J ∂¯J f η ne sont pas positives). Pour prouver la positivité
du ourant i∂J ∂¯J fε on remarque que pour tout forme ϕ ∈ D2n (U ) positive et pour tout hamp
de ve teurs réels ξ ∈ E(TX )(U ) on a les égalités suivantes
Z
i∂J ∂¯J fε (ξ, Jξ) ϕ = lim
η→0
U

= lim 
η→0
Z
Z
i∂J ∂¯J fεη (ξ, Jξ) ϕ =
U
η
ef
ef η + ε
i∂J ∂¯J f η (ξ, Jξ) ϕ +
(ef η + ε)2
Z
ef
i∂ ∂¯ f (ξ, Jξ) ϕ ≥ 0.
ef + ε J J
η
εef
U
U

Z
i∂J f η ∧ ∂¯J f η (ξ, Jξ) ϕ.
De plus on va montrer l'égalité
lim
η→0
Z
η
ef
i∂ ∂¯ f η (ξ, Jξ) ϕ =
ef η + ε J J
U
(3.4.2)
U
On aura alors
Z
i∂J ∂¯J fε (ξ, Jξ) ϕ =
U
Z
ef
i∂ ∂¯ f (ξ, Jξ) ϕ + lim
η→0
ef + ε J J
U
Z
η
εef
i∂ f η ∧ ∂¯J f η (ξ, Jξ) ϕ.
η
(ef + ε)2 J
U
La dernière limite est positive ar la forme i∂J f η ∧ ∂¯J f η est positive. Pour prouver l'égalité
(3.4.2) il sut de montrer que la suite (i∂J ∂¯J f η )η>0 onverge vers le ourant i∂J ∂¯J f aussi dans
la topologie faible des ourants d'ordre zéro. Ce fait ombiné ave le fait que la suite de fon tions
η
η
ef /(ef + ε) onverge uniformément vers la fon tion ef /(ef + ε) prouve l'égalité (3.4.2). Pour
prouver la onvergen e de la suite (i∂J ∂¯J f η )η>0 dans la topologie faible des ourants d'ordre
zéro il sut de montrer la onvergen e de la suite
(i∂J ∂¯J f η − (i∂J ∂¯J f ) ∗ ρη )η>0
dans la même topologie étant donné que la suite ((i∂J ∂¯J f ) ∗ ρη )η>0 est onvergente dans ette
topologie. D'après le lemme 3.3.1.1 il sut don de remarquer l'inégalité
sup µ(i∂J ∂¯J f η − (i∂J ∂¯J f ) ∗ ρη )(U ) ≤ Ckf kW 1,1 (U ) < ∞
η>0
qui dé oule du lemme de K.O. Friedri hs ( f. [Hör-1℄).
On rappelle la dénition suivante.
140
Dénition 3.4.2
U ⊂ Rm est
point x ∈ U il existe un voisinage ouvert onnexe Vx ⊂ U de x et une fon
sur Vx , u 6≡ −∞, telle que A ∩ Vx ⊂ {y ∈ Vx | u(y) = −∞}.
Un sous-ensemble
A ⊂ U
d'un ouvert
dit polaire si pour tout
tion
u sous-harmonique
D'après le théorème 3.1.2 on a qu'un sous-ensemble polaire est de mesure de Lebesgue nulle. On
a le théorème lassique suivant ( f. [Dem-1℄, hapitre I).
Théorème 3.4.3
A ⊂ U un sous-ensemble polaire fermé et soit v une fon tion sousU r A, borné supérieurement sur un voisinage de tout point de A. Il
existe alors une unique extension sous-harmonique ṽ de v sur U . En parti ulier si v est une
fon tion ontinue sur U et sous-harmonique sur l'ouvert U r A alors v est sous-harmonique sur
U.
Soit
harmonique sur l'ouvert
Preuve du théorème 3.4.1. D'après le lemme 3.4.0.1 il sut de montrer le théorème dans le
as d'une fon tion ontinue étant donné que la fon tion f est limite dé roissante des fon tions
ontinues fε := log(ef + ε) (lorsque ε tend vers zéro) et une limite dé roissante de fon tions plurisousharmoniques est plurisousharmonique. A partir de maintenant on suppose don f ontinue
et on remarque que pour tout ourbe J -holomorphe γ : Bρ1 −→ X la fon tion f ◦ γ est sousharmonique sur Bρ1 si et seulement si elle est sous-harmonique sur l'ouvert
{z ∈ Bρ1 | dz γ 6= 0}.
Ce i dé oule du fait que l'ensemble {z ∈ Bρ1 | dz γ = 0} est ni (voir [M D-1℄, hapitre II) et
du théorème 3.4.3. On peut don supposer que la ourbe J -holomorphe γ : Bρ1 −→ X est un
plongement.
D'autre part on remarque qu'une fon tion ontinue u : Ω ⊂ Rn −→ R est sous-harmonique si et
seulement si ∆u ≥ 0. En eet en onsidérant une famille de noyaux régularisants usuels (ρε )ε>0
on a 0 ≤ (∆u) ∗ ρε = ∆(u ∗ ρε ). On déduit alors l'inégalité
Z
1
λ(Br (x))
u ∗ ρε dλ ≥ (u ∗ ρε )(x).
Br (x)
En passant à la limite pour ε tendent vers zéro on déduit la sous-harmoni ité de u. On va don
montrer l'inégalité ∆(f ◦ γ) ≥ 0 pour tout plongement J -holomorphe γ : Bρ1 −→ X . D'après le
lemme 3.2.0.3 on a, quitte à restreindre ρ > 0, l'existen e d'un plongement
σ : Bρ1 × Bρn−1 −→ σ(Bρ1 × Bρn−1 ) ⊂ X
qui préserve les orientations anoniques tel que σ(·, z2 ) soit une ourbe J -holomorphe pour tout
∂
z2 ∈ Bρn−1 et σ(z1 , 0) = γ(z1 ), z1 = t + is. Le fait que le hamp ξ := dσ( ∂t
) ◦ σ −1 soit J -plat
sur l'ouvert σ(Bρ1 × Bρn−1 ) implique les égalitées
i∂J ∂¯J f (ξ, Jξ) = 2ξ 1,0 . ξ 0,1 . f =
1
1
(ξ. ξ. f + Jξ. Jξ. f ) = (σ −1 )∗ ∆z1 (f ◦ σ)
2
2
où ∆z1 := ∂t2 + ∂s2 désigne le Lapla ien par rapport à la variable z1 = t + i s ∈ Bρ1 dans l'ouvert
Bρ1 × Bρn−1 . Le fait que le plongement σ préserve les orientations anoniques implique l'inégalité
∆z1 (f ◦ σ) ≥ 0
sur l'ouvert Bρ1 × Bρn−1. Considérons maintenant une famille de formes positives
(δε )ε>0 ⊂ D n−1,n−1 (Bρn−1 )+
141
onvergentes faiblement vers le ourant de Dira δ0 ∈ D′n−1,n−1 (Bρn−1 )+ en 0 lorsque ε tend
vers 0, (sur le ne des ourants positifs la topologie faible oïn ide ave la topologie faible des
ourants d'ordre zéro). Si on désigne par p2 : Bρ1 × Bρn−1 −→ Bρn−1 la deuxième proje tion on a
[Bρ1 × 0] = lim p∗2 δε ,
ε→0
où la limite est onsidéré dans la topologie faible des ourants d'ordre zéro.
Pour tout forme ϕ ∈ D1,1 (Bρ1 × Bρn−1 , J0 )+ positive par rapport à la stru ture presque omplexe
anonique de Cn on a
0≤
Z
Z
∆z1 (f ◦ σ) p∗2 δε ∧ ϕ =
Bρ1 ×Bρn−1
(f ◦ σ) p∗2 δε ∧ ∆z1 ϕ.
Bρ1 ×Bρn−1
Si on désigne par j : Bρ1 → Bρ1 × Bρn−1 , j(Bρ1 ) = Bρ1 × 0, l'immersion anonique on a
Z
∆(f ◦ γ) j ∗ ϕ =
Z
(f ◦ γ) ∆(j ∗ ϕ) = lim
ε→0
Bρ1 ×Bρn−1
Bρ1
Bρ1
Z
(f ◦ σ) p∗2 δε ∧ ∆z1 ϕ ≥ 0.
La surje tivité de l'appli ation ϕ ∈ D1,1 (Bρ1 × Bρn−1 , J0 )+ 7→ j ∗ ϕ ∈ D1,1 (Bρ1 )+ permet alors de
on lure.
3.5
Sur la régularisation des potentiels sur les variétés presque
omplexes ave
positivité du
ontrle asymptotique de la perte de
ourant
Pour la solution de la onje ture dans le as général d'une distribution réelle u (qui est un
1,1
élément de Wloc
(X) d'après la remarque 2 de la se tion pré édente) nous proposons une te hnique de régularisation globale des potentiels u des (1, 1)- ourants positifs du type i∂J ∂¯J u sur
les variétés presque omplexes analogue à elle utilisé ave su ès par Demailly [Dem-2℄ dans le
as omplexe intégrable. La né essité d'utiliser une te hnique globale dérive du fait que sur une
variété presque omplexe non intégrable on a pas de oordonnées naturelles qui permettent de
régulariser u sans perte de positivité du ourant i∂J ∂¯J u.
Soit (X, J) une variété presque omplexe et ω ∈ E(Λ1,1
TX∗ )(X) une métrique hermitienne sur
J
ω
TX,J . Soit exp : U ⊂ TX −→ X le ot géodésique induit par la onnexion de Chern du bré
tangent
DJω : E(TX,J ) −→ E(TX∗ ⊗R TX,J )
asso ié à la métrique ω , (i i U ⊂ TX désigne un voisinage ouvert de la se tion nulle). On désigne
par
expωx,ε := expωx (ε·) : TX,x ∩ ε−1 U −→ X, ε > 0,
et on onsidère une
χ : R −→ R de lasse C ∞ telle que χ(t) > 0 pour t < 1, χ(t) = 0
R fon tion
pour t ≤ 1 et Cn χ(|v|2 ) dv = 1. On introduit alors les fon tions χε (t) := χ(t/ε2 )/ε2n et
l'opérateur régularisant
uε (x) :=
Z
u
◦ expωx
(ζ) ·
χε (|ζ|2ωx )
n
ωx,ζ
n!
=
Z
ζ∈TX,x
ζ∈TX,x
142
u ◦ expωx,ε (ζ) · χ(|ζ|2ωx )
n
ωx,ζ
n!
.
Étudier la onje ture revient à étudier le ontrle asymptotique de la positivité des (1, 1)-formes
i∂J ∂¯J uε ar si i∂J ∂¯J u ≥ 0 alors, omme dans le théorème de Demailly qui suivra [Dem-2℄, il
existe une ostante K > 0 susament grande telle que la suite de fon tions uε + Kε2 onverge
de façon dé roissante vers la fon tion u lorsque ε tend vers zéro. Avant de présenter le théorème
de Demailly nous introduisons les dénitions suivantes.
TX∗ )(X) une métriques
Dénition 3.5.1 Soit (X, J) une variété presque omplexe et ω ∈ E(Λ1,1
J
hermitienne sur TX,J . On appelle ourbure de Griths inférieure du bré hermitien (TX,J , ω) la
fon tion Gω (TX,J ) : TX r 0X −→ R homogène de degré deux sur les bres de TX dénie par la
formule
Gω (TX,J )x (ξ) := min
η∈TX,x
ω (ξ ⊗ η, ξ ⊗ η)
CX,J
|η|2h
ω ∈ E(Herm(T ⊗2 ))(X) désigne la ourbure de Chern de (T
où CX,J
X,J , ω). Soit
X,J
∗
α : PC (TX,J ) −→ PC (TX,J
), ξ¯ →
7 αξ̄
une appli ation bré de lasse C ∞ telle que αξ̄ ⊕ Cξ = TX,x , ξ ∈ TX,x r 0x pour tout x ∈ X .
On appelle ourbure de Griths α-partielle inférieure du bré hermitien (TX,J , ω) la fon tion
α
G⊥
ω (TX,J ) : TX r 0X −→ R homogène de degré deux sur les bres de TX dénie par la formule
α
G⊥
ω (TX,J )x (ξ) := min
η∈αξ̄
ω (ξ ⊗ η, ξ ⊗ η)
CX,J
|η|2h
.
On remarque que le nombre Gω (TX,J ) est la plus petite valeur propre de l'endomorphisme
hermitien iCω (TX,J )(ξ, Jξ) de (TX,J , ω), où Cω (TX,J ) désigne le tenseur de ourbure de Chern
α
de (TX,J , ω). De plus on a l'inégalité évidente G⊥
ω (TX,J ) ≥ Gω (TX,J ). Une appli ation α peut
étre induite par une métrique hermitienne sur TX par exemple. Il est fa ile de voir ( f. [Dem-2℄)
qu'il existe une métrique hermitienne ω sur P1C × C , où C est une ourbe holomorphe de gendre
ω
g ≥ 2 telle que G⊥
ω (TX,J ) > 0. On peut énon er le résultat de Demailly sur la forme suivante.
Théorème 3.5.2 (Demailly) Soit (X, J, ω) une variété omplexe hermitienne telle que
α
G⊥
ω (TX,J ) ≥ 0 pour une ertaine α et soit ψ une fon tion quasi-plurisousharmonique telle que
i∂J ∂¯J ψ ≥ γ , où γ est une (1, 1)-forme ontinue. Soit exphω la partie holomorphe sur les bres
du bré tangent de l'appli ation exponentielle expω . L'opérateur régularisant
Z
n
ωx,ζ
ψε (x) :=
ψ ◦ exphωx (ζ) · χε (|ζ|2ωx )
n!
ζ∈TX,x
vérie les propriétés suivantes :
A) pour tout point x ∈ X il existe une ostante Kx > 0 susament grande telle que la suite
de fon tions (ψε + Kx ε2 )ε>0 ⊂ E(X, R) onverge pon tuellement, de façon dé roissante sur un
voisinage de x, vers ψ lorsque ε > 0 tend vers zéro,
B) on a le ontrle
i∂J ∂¯J ψε ≥ γ − δε ω sur la perte de positivité, où (δε )ε>0 ⊂ (0, +∞) est
une famille de réels qui tend vers zéro de façon dé roissante lorsque ε > 0 tend vers zéro.
Le théorème pré édent reste valable même si on onsidère simplement l'appli ation exponentielle
expω , mais les al uls de la preuve deviennent plus ompliquées. Dans le as presque omplexe
non intégrable on ne peut pas envisager de dénir l'appli ation exphω , pour des raisons déli ates
sur le jet d'ordre deux de la stru ture presque omplexe.
143
On estime que le lemme 3.5.1.1 de la sous-se tion qui suivra peut être utile pour la preuve
de la onje ture. On rappelle d'abord la notion de oordonnées presque omplexes entrées en
un point, notion qui a été introduite dans le hapitre II. On rappelle le orollaire suivant qui à
été exposé dans le hapitre II.
Corollaire 3.5.3 Pour tout point x d'une variété presque omplexe (X, J) il existe des oordonnées (z1 , ..., zn ) de lasse C ∞ entrées en x telles que les matri es A(z) et B(z) de la stru ture
presque omplexe
X
∂
∂
∂ ∂
J(z) =
Ak,l (z) dzl ⊗
+ Bk,l (z) dzl ⊗
+ B k,l (z) dz̄l ⊗
+ Ak,l (z) dz̄l ⊗
,
∂zk
∂ z̄k
∂zk
∂ z̄k
k,l
relatives à es oordonnées admettent les développements asymptotiques
B(z) =
X
B r zr +
r
X
B r,s zr zs + B r,s̄ zr z̄s
r,s
X
+
B r,s,t zr zs zt + B r,s,t̄ zr zs z̄t + B r,s̄,t̄ zr z̄s z̄t + O(|z|4 )
(3.5.1)
r,s,t
A(z) = i In +
+
iX r
i X t,r̄
t,s̄
t
B · B s zs z̄r +
B · B s + B · B r + 2B · B r,s zr zs z̄t
2 r,s
4 r,s,t
iX t
s
s,t
B · B r,s̄ + B · B r,t̄ + 2B · B r zr z̄s z̄t + O(|z|4 )
4 r,s,t
(3.5.2)
où B r , B r,s , B r,s̄, B r,s,t, B r,s,t̄, B r,s̄,t̄ ∈ Mn,n (C) sont des matri es telles que B r,s soit symétrique
par rapport aux indi es r, s, B r,s,t par rapport à r, s, t, B r,s,t̄ par rapport à r, s, B r,s̄,t̄ par rapport
r = 0 pour r ≤ l, B r,s = 0 pour r, s ≤ l, B r,s̄ = 0 pour r ≤ l, B r,s,t = 0 pour r, s, t ≤ l,
à s, t et Bk,l
k,l
k,l
k,l
r,s,t̄
r,s̄,t̄
Bk,l = 0 pour r, s ≤ l, et Bk,l = 0 pour r ≤ l. De plus si on onsidère l'expression lo ale de la
forme de torsion de la stru ture presque omplexe
τJ =
X
[ζk , ζl ]0,1
⊗ ζk∗ ∧ ζl∗ =
J
1≤k<l≤n
X
1≤k<l≤n
1≤r≤n
r
N k,l ζk∗ ∧ ζl∗ ⊗ ζ̄r
1,0
1,0
où ζl := (∂/∂zl )1,0
∈ E(TX,J
)(Ux ), l = 1, ..., n est le repère lo ale du bré des (1, 0)-ve teurs TX,J
J
issue des oordonnées (z1 , ..., zn ) on a l'expression
r
N k,l (z) =
i
i l
i Xh
l,s
k,s
l,s̄
Br,k +
2(Br,k
− Br,l
) zs + Br,k
z̄s + O(|z|2 )
2
2 s
pour tout k < l. Le jet d'ordre k = 0, 1 de la forme de torsion de la stru ture presque omplexe
au point x est nul si et seulement si les oe ients B∗,∗ (z) de la stru ture presque omplexe
relatifs aux oordonnées en question s'annulent à l'ordre k + 1.
Les oordonnées pré édentes sont appelées oordonnées presque omplexes d'ordre 3 au point x.
3.5.1
Expression lo ale normale, asymptotique à l'ordre deux du Hessien
presque
omplexe
Nous avons la dénition suivante.
144
Dénition 3.5.4 Soit (X, J) une variété presque omplexe de dimension omplexe n. Pour tout
′ (R)(X) et tout hamp de ve teurs réel ξ ∈ E(T )(X) on dénit le
distribution réelle u ∈ D2n
X
Hessien presque omplexe par la formule
HJ u (ξ) := i∂J ∂¯J u (ξ, Jξ) = 2∂J ∂¯J u (ξ 1,0 , ξ 0,1 ) =
Ave
les notations du
orollaire
3.5.3
1
(ξ. ξ. u + Jξ. Jξ. u + J[ξ, Jξ]. u).
2
on a le lemme suivant.
Lemme 3.5.1.1 Soit
′ (R)(X) une distribution
(X, J) une variété presque omplexe et u ∈ D2n
réelle sur X . Soient (z1 , ..., zn ) des oordonnées lo ales presque omplexes d'ordre
N ≥ 3 en un
P
∂
∂
point x ∈ X . Alors pour tout hamp de ve teurs réels ξ = k ξk ∂zk + ξ̄k ∂ z̄k on a l'expression
asymptotique à l'ordre deux du Hessien presque omplexe suivante :
HJ u (ξ)(z) = 2
h
i
X
X ∂2u
∂2u
∂2u
(z) ξk ξ̄l +
ℜe Qk,l̄ (z, ξ)
(z) + Qk,l (z, ξ)
(z) +
∂zk ∂ z̄l
∂zk ∂ z̄l
∂zk ∂zl
k,l
k,l
h
∂u
i
X
s
s
s
¯
¯
¯
+
(z)
+ O(|z|3 )(ξ, ξ)
ℜe Rk,l
(z) ξk ξl + Rk,
(z)
ξ
ξ
+
R
(z)
ξ
ξ̄
k l
k l
l̄
k̄,l̄
∂zs
k,l,s
où
Qk,l (z, ξ) := 2i
X
jet2 Bl,t (z) ξk ξt +
t
X
s,t,r,h
h
r
r
B k,s Bs,t
ξt ξ¯l + Bl,t
ξt ξ̄s zr z̄h ,
X
Qk,l (z, ξ) := i
jet2 Bk,t (z) ξl ξ̄t + jet2 Bl,t (z) ξk ξ̄t −
t
i
X h1 h
h
r
h
r
−
B k,s ξl ξt + B l,s ξk ξt Bs,t zr z̄h − B k,s B l,t z̄r z̄h ξ̄s ξ̄t
2
s,t,r,h
et jet2 Bl,t (z) est la omposante (l, t) du jet d'ordre deux au point zéro de la matri e B(z) de la
stru ture presque omplexe par rapport aux oordonnées en question. De plus
s
Rk,l
(z) :=
X s,r,h
s,r,h̄
s,r̄,h̄
Rk,l zr zh + Rk,l
zr z̄h + Rk,l
z̄r z̄h
r,h
s
Rk,
l̄ (z) :=
X X
r
t
r,k̄
r
Bt,k
B s,l zr + 2i B s,l z̄r
t
X s,r,h
s,r,h̄
s,r̄,h̄
+
Rk,l̄ zr zh + Rk,
z
z̄
+
R
z̄
z̄
r
r
h
h
l̄
k,l̄
r,h
s
Rk̄,
l̄ (z) :=
X s,r,h̄
s,r̄,h̄
Rk̄,l̄ zr z̄h + Rk̄,
z̄
z̄
r
h
l̄
r,h
∗,∗,∗
¯ désigne un poly). Enn O(|z|3 )(ξ, ξ)
(voir l'appendi e pour les expressions des oe ients R∗,∗
nme homogène de degré deux par rapport aux variables ξk , ξ̄k et à oe ients dans m(E0 (C))3 ·
′ (C) , (i i m(E (C)) désigne l'ideal maximal dans l'anneau des germes des fon tions C ∞ à
D2n
0
0
¯ = O(|z|3 )(ξ, ξ)
¯ . Si le jet d'ordre un
valeurs omplexes dénis sur l'origine) tel que O(|z|3 )(ξ, ξ)
de la forme de torsion de la stru ture presque omplexe est nul au point x alors l'expression
145
assymptotique du Hessien presque
omplexe se réduit à la forme
HJ u (ξ)(z) = 2
X ∂2u
(z) ξk ξ̄l −
∂zk ∂ z̄l
k,l
−2
X
∂u
i
h
h,r̄,k̄
r,h,k̄
¯
2B s,l zr z̄h + B s,l z̄r z̄h
(z) ξk ξ̄l + O(|z|3 )(ξ, ξ)
∂zs
Im
k,l,s,r,h
Si de plus la stru ture presque
omplexes
entrées en
x∈X
omplexe est intégrable alors par rapport à tout
on a l'expression
HJ u (ξ)(z) = 2
oordonnées
lassique
X ∂2u
(z) ξk ξ¯l
∂zk ∂ z̄l
k,l
P reuve. On va é rire les expressions des opérateurs diérentiels Jξ. Jξ et J[ξ, Jξ]. Ave les
notations introduites pré édemment on a
Jξ =
Xh
(Ak,l ξl + B k,l ξ̄l )
k,l
∂
∂ i
+ (Ak,l ξ¯l + Bk,l ξl )
∂zk
∂ z̄k
(3.5.3)
Bien évidemment il sut d'ee tuer nos al uls pour des hamps de ve teurs réels à oe ients
onstants. A partir de maintenant on va don supposer que le hamp ξ est à oe ients onstants
par rapport aux oordonnées presque omplexes en onsidération. On a alors Jξ. Jξ = T + T où
T :=
X Ak,l ξl + B k,l ξ¯l
k,l,s,t
+
X k,l,s,t
+
∂A
Ak,l ξl + B k,l ξ̄l
s,t
∂zk
ξt +
∂B s,t ¯ ∂
ξt
∂zk
∂zs
As,t ξt + B s,t ξ̄t
∂2
∂zk ∂zs
∂A
X ∂Bs,t ∂
s,t
ξ̄t +
ξt
Ak,l ξl + B k,l ξ̄l
∂zk
∂zk
∂ z̄s
k,l,s,t
+
X Ak,l ξl + B k,l ξ̄l As,t ξ̄t + Bs,t ξt
k,l,s,t
∂2
∂zk ∂ z̄s
En utilisant les expressions (3.5.2) et (3.5.1) on a
∂A
iX r
i X t,k̄
t,r̄
t
(z) =
B · B k z̄r +
B · B r + B · B k + 2B · B k,r zr z̄t
∂zk
2 r
2 r,t
+
iX t
r
r,t
B · B k,r̄ + B · B k,t̄ + 2B · B k z̄r z̄t + O(|z|3 )
4 r,t
∂A
iX k
i X k,r̄
k,t̄
k
(z) =
B · B r zr +
B · B t + B · B r + 2B · B r,t zr zt
∂ z̄k
2 r
4 r,t
+
iX t
k
k,t
B · B r,k̄ + B · B r,t̄ + 2B · B r zr z̄t + O(|z|3 )
2 r,t
X
X
∂B
3B k,r,szr zs + 2B k,r,s̄zr z̄s + B k,r̄,s̄ z̄r z̄s + O(|z|3 )
(z) = B k +
2B k,r zr + B k,r̄ z̄r +
∂zk
r,s
r
X
X
∂B
(z) =
B r,k̄ zr +
B r,s,k̄ zr zs + 2B r,s̄,k̄ zr z̄s + O(|z|3 )
∂ z̄k
r
r,s
146
On expli ite maintenant les quatre termes de l'opérateur
sur les dérivées premières des matri es
I-er terme de l'opérateur
T
A, B
T
à l'aide des expressions pré édentes
et des relations (3.5.2), (3.5.1).
:
∂A
X ∂B s,t ∂
s,t
Ak,l ξl + B k,l ξ¯l
ξt +
ξ̄t
=
∂zk
∂zk
∂zs
k,l,s,t
∂
X ∂As,t
∂B s,t
ξk ξt +
ξk ξ̄t
i
∂zk
∂zk
∂zs
=
k,s,t
+
i
2
∂
r
h
r
k
h
k
B k,j Bj,l
z̄r z̄h ξl ξ̄t
Bs,t
zh z̄r + B k,t B s,j Bj,l
∂zs
X
k,l,s,t,r,h,j
X
+
∂
∂
r
h,k̄
B k,l B s,t z̄r z̄h ξ¯l ξ̄t
+ O(|z|3 )
∂zs
∂z
k,l,s,t,r,h
T
II-ème terme de l'opérateur
:
X Ak,l ξl + B k,l ξ¯l
k,l,s,t
=
Xh
k,l
− ξk ξl + 2i
+
X
t
X
As,t ξt + B s,t ξ̄t
jet2 Bl,t (z) ξk ξ̄t −
r
h
B k,s B l,t z̄r z̄h ξ̄s ξ̄t
k,l,s,t,r,h
III-ème terme de l'opérateur
T
X ∂2
=
∂zk ∂zs
r
h
B k,j Bj,t
zh z̄r ξl ξt
r,h,j,t
i
∂2
∂zk ∂zl
∂2
∂2
+ O(|z|3 ) 2
∂zk ∂zl
∂z
:
Ak,l ξl + B k,l ξ̄l
k,l,s,t
=
X
∂Bs,t ∂
ξ¯t +
ξt
=
∂zk
∂zk
∂ z̄s
∂A
s,t
∂
X ∂As,t
∂Bs,t
i
ξ̄t ξk +
ξk ξt
∂zk
∂zk
∂ z̄s
k,s,t
+
X h
k,l,s,t,r
+
X
k,l,s,t,r,h
r
k
B k,l Bs,t
z̄r ξ̄l ξt +
i ∂
iX r
r
h
k
h
k
B k,j Bj,l
Bs,t
zh z̄r ξl ξt − B k,l Bs,j
B j,t z̄h z̄r ξ̄l ξ¯t
2
∂ z̄s
j,h
h
i
∂
∂
r
r,h̄ k
r
r,h k
k,h
k,h̄
2B k,l Bs,t
+ O(|z|3 )
+ B k,l Bs,t
z̄r zh + B k,l Bs,t
+ B k,l Bs,t
z̄r z̄h ξ̄l ξt
∂ z̄s
∂ z̄
147
IV-ème terme de l'opérateur T :
X Ak,l ξl + B k,l ξ̄l As,t ξ̄t + Bs,tξt
k,l,s,t
=
X
ξk ξ̄l
k,l
1
∂2
+
∂zk ∂ z̄l
2
+i
X
k,l,t,r,h,j
r
h
B k,j Bj,t
zh z̄r ξt ξ¯l
X
jet2 Bl,t (z) ξk ξt
k,l,t
X
+
∂2
=
∂zk ∂ z̄s
∂2
∂2 h
r
+ Bk,j
B j,t z̄h zr ξ¯t ξl
∂zk ∂ z̄l
∂ z̄k ∂zl
∂2 ∂2
− jet2 Bl,t (z) ξ¯k ξ̄t
∂zk ∂ z̄l
∂ z̄k ∂zl
r
h
B k,s Bl,t
z̄r zh ξ̄s ξt
k,l,s,t,r,h
∂2
∂
+ O(|z|3 )
∂zk ∂ z̄l
∂z∂ z̄
Venons-en maintenant au al ul du hamp de ve teurs J[ξ, Jξ]. On remarque d'abord que :
[ξ, Jξ] =
X ∂As,t
∂B s,t ¯ ∂
∂B s,t
∂As,t
ξk ξ̄t
ξk ξt +
ξk ξ̄t +
ξt ξ̄k +
∂zk
∂zk
∂ z̄k
∂ z̄k
∂zs
k,s,t
+
∂
X ∂As,t
∂Bs,t
∂As,t ¯
∂Bs,t
ξ̄k ξ¯t +
ξ̄k ξt +
ξt ξk +
ξk ξt
∂ z̄k
∂ z̄k
∂zk
∂zk
∂ z̄s
k,s,t
En appliquant la relation (3.5.3) ave [ξ, Jξ] à la pla e de ξ on a J[ξ, Jξ] = η + η̄ ave :
η :=
X h
∂A
s,t
Ar,s
∂zk
k,s,t,r
+B r,s
ξk ξt +
∂B s,t ¯ ∂As,t ¯
∂B s,t
ξk ξt +
ξt ξk +
ξ̄k ξ̄t
∂zk
∂ z̄k
∂ z̄k
∂A
i ∂
∂Bs,t
∂As,t ¯
∂Bs,t
ξ̄k ξ¯t +
ξ̄k ξt +
ξt ξk +
ξk ξt
∂ z̄k
∂ z̄k
∂zk
∂zk
∂zr
s,t
En tenant ompte des relations (3.5.2), (3.5.1) et elles sur les dérivées premières des matri es
A, B dans l'expression du hamp η on obtient :
η=i
∂
X ∂As,t
∂B s,t ¯ ∂As,t
∂B s,t
ξk ξt +
ξk ξt +
ξt ξ̄k +
ξ̄k ξ̄t
∂zk
∂zk
∂ z̄k
∂ z̄k
∂zs
k,s,t
+
X
k,l,s,t,r,h
+
X h
k,l,s,t,r
∂
iX l
l
h
h,t̄
k
B r,s Bs,k
zh z̄l −
B r,j Bj,s
B s,t z̄l z̄h ξk ξ̄t
2
∂zr
j
i
X l
∂
∂
l
l
k,h
k,h̄
k
B r,s Bs,t
z̄l +
zh z̄l + B r,s Bs,t
z̄l z̄h ξk ξt
+ O(|z|3 )
2B r,s Bs,t
∂zr
∂z
h
En regroupant et en simpliant les termes obtenus jusqu'i i (et en symetrisant de façon adequate les oe ients) on obtient l'expression asymptotique voulue pour la distribution HJ u (ξ).
Si maintenant on suppose que la stru ture presque omplexe est intégrable il existe d'après
le théorème de Newlander-Nirenberg des oordonnées lo ales omplexes. La stru ture presque
omplexe s'é rit alors par rapport à es oordonnées sous la forme
J(z) = J0 = i
X
∂
∂ dzk ⊗
− dz̄k ⊗
.
∂zk
∂ z̄k
k
148
Un al ul immédiat montre alors que pour tout hamps de ve teurs réels ξ à oe ients onstants
par rapport aux oordonnées omplexes on a :
X
1
∂2
(ξ.ξ + Jξ.Jξ) = 2
ξk ξ̄l
,
2
∂zk ∂ z̄l
k,l
(bien évidemment [ξ, Jξ] = 0), e qui permet de on lure dans le as d'une stru ture presque
omplexe intégrable.
3.6
Appendi e
3.6.1 Expressions des oe ients R
∗,∗,∗
∗,∗
s,r,h
Rk,l
:=
du Hessien presque omplexe
iX t r h
h
r
r
h
h r
Bj,l
+ Bt,l
Bj,k
+ Bt,l
Bj,k
B s,j Bt,k Bj,l + Bt,k
8
t,j
s,r,h̄
Rk,l
:= −
i
1 X h h,k̄ r
h,l̄ r
h,r̄
k
l
+ Bt,k
B s,t Bt,l + B s,t Bt,k
+ B s,t Bt,l
2 t
s,r̄,h̄
Rk,l
:= −
s,r,h
Rk,
:=
l̄
h,r̄,k̄
s,r,h̄
Rk,
:= 4i B s,l
l̄
+
1 X r,h k
l
B s,t Bt,l + Bt,k
2 t
1 X r t,h̄
t,r̄
r,h t
h
Bt,k B s,l + Bt,k
B s,l + 2Bt,k
B s,l
2 t
X
iX h r t t,h
h
r,h̄ t
r,l̄
r
2Bt,k
B s,l + Bt,k
B s,l + Bt,k
B s,t +
B t,j Bj,k Bs,l
2
t
j
s,r̄,h̄
Rk,
l̄
iX r h
r,h,k̄
h
r
t
k
B t,l B s,j + B t,l B s,j Bj,k
:= 2i B s,l +
− Bj,t
4
t,j
s,r,h̄
Rk̄,
:= −
l̄
s,r̄,h̄
Rk̄,
l̄
iX r h t
h
t
Bt,j B j,k B s,l + B j,l B s,k
4
t,j
1 X r h,t̄
h
r,t̄
r
h,t̄
h
r,t̄
:=
B t,k B s,l + B t,k B s,l + B t,l B s,k + B t,l B s,k .
4 t
149
150
Bibliographie
[Au-La℄
Eds Holomorphi urves in symple ti geometry,
Birkhuser, Basel.
[B-D-I-P℄ J. Bertin, J.-P. Demailly, L.Illusie, C. Peters (1996). Introdu tion à la théorie
de Hodge. Théorie de Hodge L2 et théorèmes d'annulation, 4-111, publi ation de la
SMF, nr3.
[Bom℄ Bombieri, E. (1970) Algebrai values of meromorphi maps, Invent. Math. 10,(1970),
267-287 ; Addendum, Invent. Math. 11, (1970), 163-166.
[Bo-Tu℄ Bott, R. Tu, L. W (1982) Dierential forms in Algebrai Topology, GTM 82,
Springer-Verlag, New York
[Dem-1℄ Demailly, J.P. (1997) Complex analyti and dierential geometry, available at :
http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr
[Dem-2℄ Demailly, J.P.(1992) Regularisation of losed positive urrents of type (1, 1) by
the ow of a Chern onne tion. (English) Skoda, Henry (ed.) et al., Contributions to
omplex analysis and analyti geometry. Based on a olloquium dedi ated to Pierre
Dolbeaut, Paris, Fran e, June 23-26, 1992. Brauns hweig : Vieweg. Aspe ts Math. E
26, 105-126 (1994)
[DeR℄ de Rham, G. (1955) Variétés diérentiables, Herman, Paris.
[Don℄ Donaldson,S.K. (1996) Symple ti submanifolds and almost omplex geometry, Jurnal of Dierential Geometry 44, 666-705.
[Fed℄
Federer, H.(1969) Geometri mesure theory, Springer-Verlag, Grundleheren der
math. Wissens haften, Band 153, Berlin
[Fu-Ha℄ Fulton, W, Harris.J (1991) Representation theory. A rst ourse. GTM 129, Readings in Mathemati s, Springer-Verlag, New York
[M D℄ M Duff.D.(1992) Singularities of J -holomorphi urves in almost- omplex 4manifolds, J. Geom. Anal 2, 249-265.
[M D-1℄ M Duff.D. (1994) J -holomorphi Curves and Quantum Cohomology, University Le ture Series, vol 6.
[M D-Sa℄ M Duff.D, Salomon (1995) Symple ti topology, Oxford Universyty Press.
[Gau℄ Gaudu hon, P. (1997) Hermitian Conne tions and Dira operators, Boll. U.M.I. (7),
11-B, Suppl. fas . 2, 257-288.
[G-M-S℄ Giaquinta, M., Modi a, G., Sou ek, J.(1998) Cartesian urrents in the al ulus
of variations I, Springer vol. 37.
[Gi-Tru℄ Gilbarg, D., Trudinger, N. (1977) Ellipti partial dierential equations of se ond
order. Berlin Heidelberg New York : Springer
[Gro℄
Griomov, M. (1986) Partial Dierential Relations, Springer-Verlag, 9, Berlin, Heidelberg
Audin. M, Lafontaine. J.(1994)
151
[Gri℄
Hermitian dierential Geometry, Chern lasses and positive
ve tor bundles, Global Analysis, papers in honor of K. Kodaira, Prin eton Univ. Press,
Prin eton, 181-251.
[Gri-Ha℄ Griffiths, P.A., Harris, J. (1978) Prin iples of algebrai geometry, Wiley, NewYork
[Ha-Po℄ Harvey, R., Polkin,J. (1979) Fundamental solutions in omplex analysis I. II. Duke
Math. J. 46. 253-340
[He-Le℄ Henkin,G.M., Leiterer,J. (1984) Theory of fun tions on omplex manifolds. Boston : Birkhäuser
[Hör℄
Hörmander,L. (1966) An introdu tion to Complex Analysis in several variables, 3rd
edition, North-Holand Math.Libr.,vol.7, Amsterdam, London (1990)
[Hör-1℄ Hörmander,L. (1963) Linear Partial Dierential Operators, Grundlehren der math.
Wissen haften, Band 116, Springer-Verlag, Berlin.
[Hir℄
Hirs h, M.W. (1991) Dierential topology, GTM 33, Springer-Verlag.
[Kob℄ Kobayashi,S. (1987) Dierential Geometry of Complex Ve tor Bundles, Publi ations
of the mathemeti al so iety of Japan 15 (Kan Memorial Le tures 5). Iwanami Shoten
Publishers and Prin eton University Press
[Ko-Mal℄ Koszul,J-L., Malgrange,B. (1958) Sur ertaines stru tures brées omplexes,
ar h.mat, vol.IX.
[Lel℄
Lelong, P. (1968) Fon tions plurisousharmoniques et formes diérentielles positives,
Dound, Paris, Gordon Brea h, New York.
[Mal-1℄ Malgrange,B. (1966) Ideals of dierentiable fun tions, Oxford university press.
[Mal-2℄ Malgrange,B. (1969) Sur l'intégrabilité des stru tures presque omplexes. Symposia
Math. vol. II, 289-296, London : A ademi Press.
[Mos-1℄ Moser,J.K. (1961) A new te hnique for the onstru tion of solutions of nonlinear
dierential equations, Pro . Nat. A ad. S i. U.S.A, vol 47, pp 1824-1831
[Mos-2℄ Moser,J.K. (1966) A rapidly onvergent iteration method and nonlinear dierential
equations I,II. Ann. S uola Norm. Sup. Pisa 20, 499-535
[New-Nir℄ Newlander,A., Nirenberg,L. (1957) Complex analyti oordinates in almost
omplex manifolds. Ann. Math. 65, 391-404
[Nij-Woo℄ Nijenhuis,A., Woolf,W. (1963) Some integrations problems in almost omplex
manifolds, Ann. Math. 77, 424-489
[Ra℄
Range,M. (1986) Holomorphi fun tions and integral reppresentations in several omplex variables, Berlin Heidelberg New York : Springer
[Siu℄
Siu, Y.T. (1974) Analyti ity of sets asso iated to Lelong numbers and the extension
of losed positive urrents, Invent. Math. 27, 53-156.
[Sko℄
Skoda, H. (1976) Estimations L2 pour l'opérateur ∂¯ et appli ations arithmétiques, Séminaire P. Lelong (Analyse), année 1975/76, Le ture Notes in Math. no 538, SpringerVerlag, Berlin (1977), 314-323.
[Sta℄
Stampa hia,G. (1963) Le problème de Diri hlet pour les équations elliptiques du
se ond ordre à oe ients dis ontinus, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 15, 1, 185-258.
[We-1℄ Webster,S.M. (1989) A new proof of the Newlander-Nirenberg theorem,
Math.Zeit.201,303-316
[We-2℄ Webster,S.M. (1989) On the proof of Kuranishi's embedding theorem.
Ann.Inst.Henri Poin are, Nouv Serie., B(ANL) vol.6
Griffiths, P.A. (1969)
152
[Wel℄
Dierential analysis on omplex manifolds, Graduate Texts in
Math. 65, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin
Wells, R.O (1980)
Nefton Pali
Institut Fourier, UMR 5582, Université Joseph Fourier
BP 74, 38402 St-Martin-d'Hères edex, Fran e
E-mail : nefton.paliujf-grenoble.fr
153
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа