close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

1228015

код для вставки
Modèles multi-échelles pour les fluides viscoélastiques
Tony Lelièvre
To cite this version:
Tony Lelièvre. Modèles multi-échelles pour les fluides viscoélastiques. Modélisation et simulation.
Ecole des Ponts ParisTech, 2004. Français. �tel-00006797�
HAL Id: tel-00006797
https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00006797
Submitted on 2 Sep 2004
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
!#"$%&' ( %& )($
*,+.- 0/21 * 3 5 4 -6+ 37 89: + 89;37
* < = + 8 > ? - [email protected]/AB 4 CD%FE#&%& GIH EJLK M EJ%[email protected] F%FN$
BEJ
'QP 3R03R:SUT21
WVXYAG Z L[ \]_^a`cb d>ef^!gihkjmlmnSoO`_^&^p`cb qO[rets ^p`cb uvethw\`cb xLhybnc[zl_^|{zb_j
gihw}~e'`b€
ƒ‚ „m†y‡Fˆc‰Šˆ‹F‡'Œ‡#ŽD‘p„’“ˆBŽ•” ”Š–—‡F˜•‰Šˆ †tŒ“‡™‘p„mšp›$‹F‚ œS‚ žpŸJ—‡
¡ šaŸižp’“—‡Fˆ †
¡ ‰•†yšp’“‹£¢$¤¥§¦L¨©¤¤¥«ª
¨fšaˆc‰•„—®­W¥«¯D°©ªY±f¥
¬ ‰•_‚Ššp†y‡F„šažO
¯™‡iˆ‚Š²† ¡ ¥ ¬ ¦±f¨J³I¥
¥z´‰•œ’ˆc‰•†y‡F„šažJ
µ ŸiŒ“’¶´ ·©¦¦t·
¸ ‡i‰Šˆ¹5³I’“‹£º‡FŒX»z¨tªY±f¥ ¬ ¨W¼W­
­W’“šp‡i‹&†y’“‚ŠˆB—m‡O†aº½ižp‡
¯™‡iˆ¾‘a‰Šœ¿’“ˆ ¸ ·J° ¬ ­¨WÀ5¼
ªDŒ“‰Š„—‡#¤¥§¯ ¬ À|
¸ ‡˜ ‚ „—mšy‰Š’žr†a‚ „m†«— ‰S‚ ša—ša‡Fœ‡Fša‹F’“‡iš«ªDŒ“‰Š„—‡t¤‡t¯Dša’žr‡F†™¯D‡iˆ ‘a‰Šœ’ˆ ¸ ‚ „šp—c‰Š’“ˆ „’ ‚ ˆ †
‰Šžpža„špŸWŒ“‰O—m’“ša‡F‹F†a’“‚ ˆ—‡tœ ‰©†aº½ižp‡‰ ˜Š‡i‹_‡i‰Š„‹F‚ „ —m‡f—’žaS‚ ˆ’’“Œ’†yŸŠ¤‰O‹i‚ œ¿ŒŸiœ¿‡iˆ †£‰Ššp’†aŸ
—‡$Œ‡i„špžQ‹i‚ œ¿SŸF†y‡Fˆ‹i‡FžQ‡F†—‡ Œ“‡i„mš ‡&´’Š‡iˆ‹F‡ ‰Š’“ˆžp’ „‡$Œ‡i„špžƒ„‰ŠŒ“’ †yŸiž'º „œ ‰•’“ˆ‡Fž œ ‚ ˆ †
S‡w‰Š„m‹i‚ „0‰Šm_‚ š|†yŸ ¸ ‡ža„m’“žŸ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †ša‡F—‡F˜•‰ mŒ“‡ ¸ ‡i‰Šˆ¹5µcšpŸi—ŸFša’“‹ !O‡F"š S‡w‰Š„US‚ „šŒ“‡
†a‡iœ¿#ž ƒ$„ ’Œœ ‰ ‹i‚ ˆmžy‰Š‹Fša%Ÿ œ¿'‡ & ‰Š’ša‡Jc‰Šš|†—‡Oža‚ ˆB‡&´SŸišp’“‡iˆm‹i‡#‡iˆB‹w‰ŠŒ‹i„ŒXžp‹i’‡iˆ †y)’ (* „‡ ªD‡'†ašy‰w˜•‰Š’“Œ—‡O†yºm½iža‡'ˆ ‰Š„šy‰•’†tc‰Šžf„ ‰ S‚ „m†a’“šžy‰•ˆžWŒ‡ižtˆ‚ +œ šp‡i„žp‡ižf—’“žp‹i„žpža’“‚Šˆ,ž „‡
‘ ‰Š’„‰w˜ ‚Š’“šf‰ ˜Š‡i‹'Œ“„žp’“‡F„šažt‹£º‡išp‹£º‡i„mša-ž ¸ ‡O†y’‡iˆ.ž šp‡iœ¿‡išp‹i’“‡Fš ¬ ‚ Œ“‰Šˆ— /O‡F„ˆ’0ˆ ž ƒ„m’z‰
žp„ˆ‚ „ž™’“ˆ †yšp‚—m„’“šp‡f‰•„ ža„ ‘p‡F†Y—m‡iž 1c„m’“—‡Fž™S‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž«‡iˆ _‚ ža‰Šˆ †DŒ‡i2ž _‚ ˆmˆ‡i2ž ƒ„m‡ižp†a’“‚ ˆm-ž ±f‰ŠˆžªDºša’žp†y’“‰Š4ˆ 3W†a†y’0ˆ ‡F-š ­W‡Fˆ’“žO¦ ‰ŠŒ ‰w› L³I’“šp‡i’“ŒŒ“‡¯D‚ žaž|5› ³®‰Ššp‹i‚ ¡ ’“‹w‰•žaža‚B‡F† ªDºšp’“žp†a‚ º
‹£7º 6D‰ S‚ „š —‡Fž™šp‡iˆ‹F‚ ˆ †yšp‡ižr†yša½Fž™‡Fˆša’‹£º’“žpžy‰Šˆ †a‡i-ž ³I‡Fša‹F’c-Ÿ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ 8† #¥ršp’“‹tªY‰Šˆm‹i½iž«S‚ „š
žp‡ižt’“—ŸF‡iž‚ ša’ ’“ˆ‰ŠŒ“‡F-ž ƒža‚ :ˆ 95žp‡iˆžtº ›ƒža’ „<‡ ;#‡F†ža‰¿—’žaS‚ ˆ’ ’“Œ’†yŸ ¸ ‡¿†a’“‡Fˆ=ž Iša‡Fœ‡Fša‹F’“‡iš ¡ ‰•†yšp’“‹£¢ ¤‡¦ ‰ŠŒŒ“‡i‹Q$— ‰w˜ ‚Š’“š'‰Š‹i‹F‡im†aŸ—‡šaŸFža’—‡iš#œ‚Šˆ‘p„mšp› —‡
†aº½ižp‡ ¨fšaˆc‰Š„m— ­W-‡ m„žažp‹£º‡I‡&†Q¯D‡Fˆ‚Š²† ¡ ‡išp†aºc‰Šœ¿‡— ‰w˜ ‚ ’>š ’‡iˆR˜Š‚ „Œ“„Ršy‰ŠS‚ š|†y‡iš#ža„mš ‹i‡
†ašy‰w˜•‰Š’“?Œ mµzŸFŒ“’¶´ ·©†p†y‚Q‡&† ¸ ‡w‰Šˆƒ¹|³I’‹£º‡iŒ~»«‰•‹£º‡iša‰Šˆ— — ‰ ˜Š‚ ’“šY‰Š‹i‹F‡im†aŸ#—m,‡ & ‰Š’“šp‡©c‰Šš|†y’‡W—‡Jœ¿‚ ˆ
‘p„š|5› ¸ ‰•’“œ¿‡išy‰•’“žša‡Fœ‡Fša‹F’“‡išf-Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ †[email protected]Œ ‡iˆ †yšp‡išp’“žp‡ ¡ ‡i‹£º’ˆ‡F›®‡F†©mŒ“„žtc‰Šš|†y’“‹F„Œ“’½išp‡iœ¿‡iˆ †tŒ“‡
¤‰ S‚ šy‰¾†y‚ ’ša‡©—‡ ¬ ‡i‹£º‡Fša‹£º‡'—‡ižfµ ‰ šp’“‹w‰¾†y’“‚ŠˆžY‰Š’ˆžaA’ „‡OŒ‡#ªD‡iˆ †yšp‡'—‡ ¬ ‡i‹£º‡Fša‹£º‡'—‡O»r‚•¹
šp‡iS‡YS‚ „šz„mˆ‡Y‹i‚ŠŒ“Œ ‰ _‚ ša‰•†y’‚ ˆ©†yšp½iž ‡iˆšp’“‹£º’žažy‰•ˆ †a‡ ³I‡išp‹i*’ WªDŒ ‰Š„—m‡™»«‰Šˆ ˜ ‚Šša‡iˆQ—m‡Yœ ‰w˜ ‚ ’š
‰Š‹F‹i‡Fm†yŸ ‰Š„ žp‡i’ˆ —‡ža‚Šˆ -Ÿ „’“S‡S‡iˆ—‰Šˆ †Q„ˆ ‰Šˆ ¸ ‡w‰Šˆƒ¹|³®‰Ššp’“:‡ !#‰Š’Œ“Œ“‰Šša— X¼f’“‹F‚ Œ ‰•ž ¤’ ‚¾¹
ˆ‡Fža‹£º‡ X³B‚ "š ‰•ˆ®±t‡išp˜Š‡F†t‡F†t¦º’‡išpšp›$¦L‚ œ‰Šža’ˆ‚Q_‚Š„šža‚ ˆ$†yša‰w˜Š‰•’“ŒXžp„šŒ“‡J‹i‚ƒ—‡'³I’žp†yša‰Š@Œ ¸ ‡W†y’‡iˆž ša‡Fœ‡Fša‹F’“‡iš™Œ“‡FžDS‡išažp‚ ˆˆ‡FBž „’~Cœ ‚Šˆ †D‡iˆ‹F‚ „ša‰ DŸ %& ‰•’“ša‡t—‡©Œ“‰'šp‡i‹£º‡Fša‹£º‡O‚ „
S‡išpœ’žX—‡ršaŸi‰ŠŒ“’ža‡iš_‹i‡&†a†y‡ †aº½ižp‡tw±f‡iˆmša’ ¯D‡Fša‡Fžp†!›ƒ‹£¢ @’ !O’Œ“Œ‡ižX¤‡ _‡i‰Š„ µcšy‰•0ˆ Ei‚ ’ž¤‰Š„—‡FFˆ c‰Š‹£º ¡ ’“‡Fšašp‡#¨fšaˆ‚Š„G´ ¡ ’‡išpša‡&¹!¥ œœ‰Šˆ „‡iŒªDºc‰Š„m-† ¼f’‹i‚ Œ“‰Šž¯D‚ „mŒ“‡w‰•„B‡&†t¨WŒ ‰•’“ˆ ¼f‡&˜ ‡F„ ¤‡WªY¥ ¬ ³IÀ|ª ‡iž|†D„mˆ‡Fˆ—ša‚Š’†«‡&´‹i‡Fm†y’‚ ˆˆ‡FŒ_S‚ „šrœ¿‡iˆ‡F8š =’‡iˆ„ˆ¿†ašy‰w˜•‰Š’“Œc—m‡†aº½ižp‡ ˆ‚•†£‰Šœ¿œ‡Fˆ †Qc‰ŠšQŒ“‰®‹i‚ œ¿SŸF†y‡Fˆ‹i‡ Œ ‰®‹F‚ œ¿Œ“ŸFœ‡Fˆ †y‰Šša’ †yŸ‡F†Œ ‰I—’“žp_‚ ˆm’ ’Œ“’†aŸ—‡$†y‚ „žQžp‡iž
‹£º‡Fša‹£º‡F„šaž ¸ ‡ šp‡iœ¿‡išp‹i’“‡¿¯D‡Fšaˆc‰•ša—v¤‰ŠS‡F›ƒšp‡ S‚ „š#ža‚ ˆR‰Š‹i‹F„‡i’Œ«‡&†žp‡iž'‹i‚ ˆžp‡i’Œ“-ž ³I‡Fša‹F’ ¨fŒ“‡&´m‰Šˆm—ša‡$¥ špˆ _‚ „mš'ˆ‚Šž —’“žp‹i„žpža’‚ ˆž žp„šŒ“‰Iœ¿ŸF†yºm‚—‡—‡ižŸiŒ“ŸFœ‡Fˆ †y>ž (cˆm’“-ž L‡F†ža„š'†y‡iŒ¶¹
Œ‡iœ¿‡iˆ †©— ‰Š„m†aša‡Fž©ža„¾‘p‡&†yž ¸ ‡†a’“‡iˆmžW-Ÿ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ ,† šp‡iœ¿‡iša‹F’“‡Fš ¸ ‡w‰•ˆ¹5µcšy‰•0ˆ Ei‚ ’žW­f‡iŒ“œ‰Šžt‡F†Jžp‡iž
9!‡&´‚ žša’ ‚ Œ“‚ŠHž ;t‡F† ¸ ‡w‰Šˆ¹ ¡ º’“Œ’“S‡JªDºc‰•ˆ‹i‡FŒ“’“‡FšYS‚ „šža‚ŠˆI‰•’“—‡©žp„št‹F’“Œ ‰ mI¤ ‡iˆžp‡i’ ˆ‡iœ¿‡iˆ †
[email protected]Œ ¥r¼ ¡ ª Cœ ‰©ŸF†yŸY†aša½Fž«mša‚ (†y‰ Œ‡Y‡F†~‘p‡šp‡iœ¿‡iša‹F’“‡¯D‡Fˆ¾‘a‰Šœ¿’“ˆ ¸ ‚ „mša—c‰Š’ˆQ‡F†r¨fŒ“‡&´m‰Šˆm—ša‡¥ šaˆ
—‡Cœ ‰w˜Š‚ ’“šJ‹F‚ Jˆ (cŸ—‡Fž#‹F‚ „šp-ž ³I‡išp‹i’ ‡FJˆ (c4ˆ †a‚ „žJŒ“‡Fž#‰Š„m†yšp‡ižO‹£º‡Fša‹£º‡F„šaž'_‚ „mšJ—‡iž#—’“ž5¹
‹F„žažp’“‚ ˆž™‡iˆšp’“‹£º’žaža‰Šˆ †y‡ižWm³B’“‹£º‡FŒS—m‡©¤‰Ššy‰O‡F†™ža‡Fž & ‚ Lš KF†yž M!O’Œ S‡išp†rªY‰ŠŒ ‰•’“ˆ¿‡F†™ža‡iž™Ÿiˆ’ œ¿‡iž
œ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡i-ž ¬ -Ÿ ’ž ³B‚ ˆˆ‡i‰Š„ ¸ ‰Š’ƒ-Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ N† _‡i‰Š„‹F‚ „Q‰ŠmšaŸF‹i’“Ÿ™Œ“‡FžzŸi‹£º‰Š0ˆ ‡Fž ‰w˜ ‡i‹
Œ„ža’‡i„špž‹£º‡išp‹£º‡i„špž —‡$‰Šžaža‰ ‡B‰Š„ ªY¥ ¬ ³IÀ|ª ¬ ‚ _‡Fšp†¥ ›ƒœ ‰•ša— ¸ ‡i‰Šˆ¹5¤„C‹ !J„‡Fš|¹
œ¿‚ ˆ— ¸ ‰Š‹ƒ„m‡iž ¡ ša’“ˆ †a‡iœ¿žz‡F† ¨Wˆ †y‚ ˆm’“ˆ‚X‰Šˆ‡F†p†y‡ ¸ ‡Yšp‡iœ¿‡iša‹F’“‡™Ÿ- ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ † ¸ ‰•‹- „‡ižr­W‰Šˆ’“‡FŒ
S‚ „šOža‚Šˆv‰Š’—‡Q‡F†#žy‰B—’“žp_‚Šˆ’’Œ“’ †yŸ#‡iˆR‹i‰ŠžO—‡¿ša‚5mŒ“½iœ¿‡Q’“ˆM& ‚ šaœ‰•†y’ „‡ ¸ ‡¿šp‡iœ¿‡išp‹i’“‡Œ‡iž
žp‡i‹išpŸF†y‰Š’“šp‡iž¿ƒ›ƒŒ˜ƒ’‡¯D‡Fšp†y‡ ‡F†/Jºc‰Š—m’ ‘a‰®¥ ŒD¤‚Š„c‰ŠŒ“’«S‚ „šŒ‡i„š#†yša‰ ˜•‰Š’Œ™—$ ‚ šL ‰Šˆ’žy‰•†a’“‚ ˆ †yšp½iž
špŸi‹F’“‡i„ƒ´B‡F†tŒ“‡F„š‰Š’“—m‡ ¤‡QªY¥ ¬ ³BÀ|ª®‡ižp†©‰Š„žpža’z„mˆ ‡iˆ—mša‚ ’ †t†aša½FžW˜ƒ’˜•‰Šˆ †Wˆm‚Š†£‰Šœ¿œ¿‡iˆ † š Š‹F+‡ ¿Œ ‰ S‚ ˆˆm‡º „¹
œ¿‡i„šO—‡Q†a‚ „žJŒ“‡FžJ†yºŸFžy‰Ššp—-ž ¸ ‡ža„m’“žOša‡F—‡F˜•‰ Œ‡ †a‚ „žJ‹F‡i„´ „’ ‚ ˆ †#c‰Šš|†£‰ ŠŸ‰ ˜Š‡i‹¿œ‚Š’
‹F‡ižY‰•ˆˆŸi‡FžD—‡†yºm½iža‡'³®‰¾´’“œ¿‡_‚ „mš«ža%‰ ‡Fˆ †y’“ŒŒ“‡Fžaža‡ «‚ „žpšy‰'‡&†Dža%‰ S‚ ˆˆ‡tº „œ¿‡i„š ¤’ˆ—c‰
S‚ „šža‚ ˆ ŸF‹i‚ „†y‡®‡&†¨fˆ †a‚ ’“ˆm‡®S‚ „š†y‚ „m†a‡ižža‡iž º’“ž|†y‚ ’ša‡iž ™³I‡išp‹i'’ †y‚ „mž ‹i‡F„´ ƒ„m’W‚ ˆ †
c‰•šp†£‰ ŸQ—‡iž©†aºŸ ¾†yša‡F-ž —‡FžD‘p5‚ 5 ’0ˆ -ž S—‡Fž#šp‡iž|†£‰Š„ša‰Šˆ †yžO‚ „—‡FžOc‰Ššp†a’“‡Fž©—‡Q‹w‰•šp†y‡FžX¨—‡i?Œ ¨fˆˆ‡ ¸ „Œ’“‡Fˆ ¤‰Š‡&†y’†a’ J‰ •¯D‚ „mºc‰Šša?’ µcšaŸF—Ÿišp’“‹ ³I‚ ˆžp’“‡i„mšrµ ša‰Š0ˆ EF‚ ’“ž ¨—ša’‡iˆ ¸ ‰Š’m-Ÿ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †
S‡w‰Š„m‹i‚ „ ‰ŠmšaŸF‹i’“Ÿ$Œ‡iž ŸF‹£ºc‰Š0ˆ Š‡ižža‹F’“‡iˆ †a’ (* „‡Fž‰w˜Š‡i‹ J‰w˜ƒ’“‡FšQ¯DŒ ‰•ˆ‹ zµ špŸi—ŸFša’‹$¤‡ !O‚ŠŒ“@Œ ¨f„šaŸFŒ“’“‡Fˆv¨W)Œ & ‚ ˆž[email protected]’ ¸ „Œ“’‡iˆ !J„m›Š‚ ˆ ‡F-† z‡iˆ —m‡iº‚ špž —„ ªY¥ ¬ ³IÀ|ªG ‰w˜ ‡F‹$¨—ša’‡iˆ ¤‡F› „m‡ ¨fŒ“‡&´‡F’¤‚ i’“ˆmža¢ ’‡F†t¨Wˆm—ša‡i‰¯D‚Šˆ’†a0‚ ¸ ‡†y’“‡Fˆž -Ÿ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ I† Ošp‡iœ¿‡išp‹i’“‡Fš Œ“‡Fžr‰Š„m†yšp‡ižrœ¿‡i+œ šp‡ižr—„ªY¥ ¬ ³BÀ|ª „’c‹i‚Šˆ †aša’ „‡iˆ †
‚ „ ‚ ˆ †‹i‚ ˆ †yšp’ „mŸ + Œ ‰ S‚ ˆˆm‡ ‰Š+œ ’“‰Šˆ‹i‡ ‡F† Œ ‰®†aša½FžQša’“‹£ºm‡ ‰Š‹F†a’˜ƒ’†aŸža‹F’“‡iˆ †a’ (* „‡$—„
Œ“‰ _‚Ššy‰•†a‚ ’“šp‡I !J‡i‚ ~ša‰ ›R¨——‡ r³®‰Ššp‹ ¯Y‰Ššp†a‚ ˆ œ¿’†aº /J‡iJˆ Š› ¯Y‰•šp†!5› ³®‰Šša’‡ ¡ ’“‡Fšaša‡¯Y‰¾¹
˜Š‚ „ i‡&† _±fŸFŒ“‚ ža‡O¯D‡i‰Š0„ ‡Fˆ—ša‡ S¥rŒ’“ža‰ _‡&†a†y‰ªY‰•šaŒ“’ˆ@’ ³®‰Š„šp‡i‡FˆªDŒ“‡F‹ !J„m›BªD‚ ºm‡iˆ _ªDŒ ‰•„—‡
­W’‚ ˆ •³I‚ º‰Šœ‡F—¨fœ’+ˆ !Jº‚ Lš _‡[email protected]Œ ¦ºŸFša½ižp#‡ !J„’“Œ c‰Š„— w±f‡iš|˜ #Ÿ !O‰ŠŒ’“‹£º‡F-š ¬ ‡iˆc‰Š„m+— /J‡išp’˜ ‡Fˆ ·©Œ“’ ˜ƒ’“‡iš ¸ „c‰•ˆ ¬ ‡FˆŸ ¤‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ † Sµ ‰ ’‡iˆI¤‡ ¸ ‡i„ˆm‡ ³I‰ F› ‰ŠšJ³I’šaša‰Šº’“Cœ c¼t’“‹i‚ŠŒ ‰Šžf³I‚ šp‡iˆ?’ ¨fˆ †a‚ ˆ’ˆ ·©šaša’‚ Œ“ž ¸ ‡w‰Šˆ¹!µcšy‰Š0ˆ EF‚ ’“ž ¡ ‚Šœœ‰Šša‡&† ¸ ‡iˆmˆ’ & ‡Fš ¡ ša‚ & -† ¦ºm’“‡išpšp›vm‰ŠŒža‡F-† !O‰ šp’“‡FŒ
ƒ†a‚ Œ† c¥ œ¿œ ‰•ˆƒ„m‡iŒ¦L‡iœ‰Šœ@‡&'† !O‰ šp’“‡FŒ~¦L„ša’ˆ’“‹[email protected]’ ¸ ‡˜ ‚ „—mšy‰Š’ž«‡FJˆ (cˆša‡iœ¿‡išp‹i’‡iš †y‚Š„m†«c‰Ššp†a’“‹F„Œ“’½iša‡Fœ‡Fˆ † œ‡Fžrša‚ƒ‹£º‡i8ž „’cCœ ‚ ˆ †ržp‚ „m†y‡Fˆ „
—c‰•ˆžœ¿‚ ˆ§šp‚¾‘p‡F†ša‚ & ‡Fžažp’“‚ ˆˆm‡[email protected]Œ «¦L‚ „m†y‡Iœ 4‰ šy‰•†a’†a„—‡ Rœ‡Fž c‰•ša‡iˆ †a-ž v³®‰•†yºm’ ‰Šž‡F†
³®‰•„— ‡F† ³®‰Ššp’“‚ ˆ X³I‚ƒ—½iŒ‡ižœ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡ižDS‚ „šŒ‡iž 1c„’—‡iž˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ“‰Šžp†a’ „‡iž
ªD‡ †yšy‰w˜•‰Š’ŒzS‚ šp†a‡ ša’ˆ‹i’c‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †©žp„šOŒ@ ‰Šˆc‰ŠŒ ›žp‡ œ‰•†yºŸFœ ‰¾†y’ „‡'—‡Qœ¿‚•¹
—½FŒ“‡FžLœ„Œ†a’ ¹!ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fž_S‚ „šŒ“‰Dža’œ „Œ ‰¾†y’“‚ŠˆW—‡ 1c„m’“—‡Fž_‚ Œ ›ƒœŸFša’ „‡Fž-wªD‡ižœ‚ƒ—½FŒ“‡iž~‹i‚ „mŒ“‡iˆ †-
‰Š„ˆm’˜ ‡i‰Š„œ¿’“‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ S„ˆ‡ —‡Fža‹Fša’“†y’“‚Šˆ œ‚ŠŒ“Ÿi‹F„Œ ‰•’“ša‡O—‡Œ@ ŸF˜ ‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆI—‡iž©‹£º‰•² ˆ‡Fž©—‡
S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡ ža‚Š„ž & ‚ šaœ¿‡ — „ˆ‡ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ —’ ~ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ“Œ“‡Ižp†a‚‹£ºc‰•žp†y’ „‡ $‰w˜ ‡F‹t‰Š„ ˆ’˜Š‡w‰Š„
œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ Œ‡iž-Ÿ „c‰¾†y’“‚ŠˆžY—‡O‹i‚Šˆža‡Fšp˜•‰•†y’‚ ˆ$—‡JŒ“‰ œ ‰Šžpža‡J‡&†—‡OŒ >‰ „c‰•ˆ †a’†aŸJ—‡Jœ‚Š„¹
˜Š‡iœ¿‡iˆ † _‚Š„šŒ“‡Iža‚ Œ ˜•‰Šˆ † žp‚ „ž & ‚ špœ‡I— -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž ‰•„´ —mŸiša’ ˜ ŸF‡iž$c‰Šš|†y’‡iŒ“Œ‡iž ™¤‡®‹£ºc‰¾¹
’ †yšp‡7B’“ˆ †yšp‚—m„’†Œ‡iž¿œ‚ƒ—½iŒ‡iž‡F†—‚ ˆmˆ‡IŒ‡iž¿ša’ˆ‹i’c‰Š„´ šaŸižp„Œ†y‰•†yž¿5‚ m†a‡iˆ „ž D­©‰•ˆž Œ‡iž
‹£ºc‰•’†aša‡ižQMŽ J– I‡&† I‚ ˆRœ‚ ˆ †aša‡ ‡Fˆ „‡iŒDža‡iˆmž Œ“‡Fž-Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž ža‚Šˆ +† ’“‡Fˆv_‚ŠžaŸi‡Fž S‚ „š
—’ ˜ ‡Fšaž œ¿‚—½FŒ“‡Fž —‡D_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡ ¾‡iˆQ‹F‚ ˆžp’“—ŸFšy‰Šˆ † žp‚ ’† —‡iž ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †až º‚ œ¿5‚ ½Fˆ‡iž •žp‚ ’†z—‡iž
ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yžr‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸiž Œ ‰Šˆm-ž ­©‰•ˆžrŒ“‡iž ‹£º‰Š’†aša‡Fž«MŽ J J‡&† M ‚ ˆ¿‰Šˆc‰•Œ›ƒža‡‡&†™‚Šˆ¿mša‚ „m˜Š‡Œ ‰
‹F‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡—‡Yœ¿ŸF†aº‚—m‡ižzˆ „œ¿Ÿišp’ „‡Fž _‚Š„š ‹F‡iž œ¿‚—m½iŒ“‡F-ž ¾¥ Jˆ (cˆ •Œ“‡«‹£ºc‰Š’ †yšp‡ f‹F‚ ˆ‹i‡Fšaˆ‡
Œ‡Q‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡Fœ‡Fˆ †©‡iˆ †y‡Fœmž©Œ“‚ Jˆ $—„ žp›ƒžp†a½iœ¿‡ °fˆm‡Q—‡i„´’½iœ¿‡Qc‰Ššp†a’“‡ —m‡Q‹i‡—‚ƒ‹i„œ¿‡iˆ †
‡Fžp†t‹i‚ ˆmžp†y’ †y„ŸF‡O—‡J†yša‚Š’“žY‹£ºc‰•’†aša‡ižS‚ šp†y‰Šˆ †ža„š„ˆ$†ašy‰w˜•‰Š’“ŒX‡Fˆ œ ‰ ŠˆŸF†a‚ º ›—mša‚ƒ—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡
³®±W­ < ‡iˆ ‹F‚ Œ“Œ“‰ _‚Ššy‰•†a’“‚ ˆ7‰w˜ ‡i‹ ?Œ ’ˆ—„ž|†yša’‡ ¤‡‹£ºc‰Š’ †yšp‡ ‡iž|†„ˆ‡$’“ˆ †aša‚ƒ—„‹F†a’“‚ ˆ Œ ‰
šp5‚ ŒŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡W‰Š’ˆža’ „ ‰Š„´ œŸ&†yº‚ƒ—‡ižDˆƒ„mœŸFša’ „‡FžY„m†a’“Œ“’žaŸF‡i-ž ƒ¤‡W‹£º‰Š’†aša‡ w”'—ŸF‹iša’ †Y„ˆ
ˆ‚Š„m˜ ‡i‰Š„‹w‰•ž|¹ †a‡iž|†D‡Fˆ$³®±f>­ m¥ Jˆ (ˆ Œ“‡‹£ºc‰Š’ †yšp‡' t—‚ ˆmˆ‡f„mˆ‡W‰•ˆc‰ŠŒ›ƒžp‡f—‡tŒ ‰Jž|†£‰ ’Œ“’ †yŸY—„
žp‹£ºŸiœ‰ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡J„m†a’“Œ“’žaŸ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžW—’ ~ŸFša‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡Fžtž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ „‡F-ž S-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmž©‰Š„´I—ŸFša’ ˜ Ÿi‡FžWc‰•š|¹
†a’“‡iŒŒ“‡F-ž ž|›ž|†y½Fœ‡I‹i‚ „mŒ“Ÿ œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡I—m‡®³B‚ ˆ †y‡ªY‰•šaŒ“J‚ z†y‡F‹£ºˆ’ „‡Fž —‡BšaŸF—„‹&†y’“‚Šˆ§—‡$˜•‰¾¹
šp’ ‰Šˆ‹F‡ cšp5‚ Œ½iœ¿‡©œ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡i-ž 1c„’—‡J_‚ŠŒ›ƒœŸFša’ ƒ„m‡ œ‰ ˆŸ&†y‚ º ›ƒ—šp‚—m›ƒˆc‰•œ’ ƒ„m‡ ³I„Œ†a’“žp‹w‰ŠŒ‡©œ‚ƒ—‡FŒ“ž & ‚ šY˜ƒ’ža‹i‚ƒ‡iŒ“‰Šžp†a’“'‹ 1c„m’“—ž X¦º‡Oœ‚Šžp†’“œ¿S‚ šp†y‰Šˆ †c‰Šš|†f‚ & †aº’“ž 6™‚ ša¢$—m‡w‰ŠŒ#ž 6’ †yº$†yºm‡#œ‰•†aº‡iœ‰•†y’‹w‰ŠŒ
‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža’žJ‚ &Yœ„Œ†a’“ža‹i‰ŠŒ“‡'œ‚ƒ—‡FŒ“ž©‚ &D_‚ŠŒ›ƒœ‡Fša’%‹ 1c„’—-ž ¦ºm‡iža‡œ‚ƒ—‡FŒ“ž©‹F‚ „Œ‡ ‰•†J†aº‡œ’¶¹
‹Fša‚ žp‹i‚ ’‹ Œ‡F˜ ‡[email protected]Œ ‰Bœ‚ Œ‡i‹F„Œ ‰ŠšJ—m‡iža‹Fša’m†y’‚ ˆ7‚ &D†yºm‡ ‡F˜Š‚ Œ“„†y’“‚Šˆ7‚ &™†yº‡_‚ŠŒ›ƒœ‡FšJ‹£ºc‰Š’ˆž ’“ˆ
†a‡išaœ¿ž#‚ &žp†a‚‹£º‰Šžp†a’“‹¿—’ _‡išp‡iˆ †y’“‰ŠŒr-‡ „c‰•†a’“‚ ˆž #‰•ˆ— L‰•†#†yº‡¿œ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’“‹¿Œ“‡&˜ ‡i?Œ X†yº‡œ ‰•žaž
‹F‚ ˆža‡Fšp˜•‰•†a’“‚ ˆ7‰Šˆ— œ‚Šœ‡Fˆ †a„œ2‡ ƒ„‰•†y’‚ ˆDž & ‚ šJ†yº‡žp‚ Œ˜Š‡iˆ † 6º’“‹£ºR‰Šša‡c‰•šp†y’“‰ŠŒz—m’ _‡iša‡Fˆ¹
†a’ ‰ŠŒ«-‡ „c‰•†a’“‚ ˆmž À!ˆ ªDºc‰Šm†a‡iš N6™‡$’“ˆ †yšp‚—„m‹i‡†aº‡œ¿‚—m‡iŒ“ž‰Šˆ— ’ ˜ ‡¿†yº‡œ‰Š’ˆRša‡Fža„Œ †yž
5‚ †£‰Š’ˆ‡i— ƒÀ!ˆ ªDºc‰•m†y‡FšažMŽ 0– '‰•ˆ— =6™‡Wœ‰Š¢Š‡fša‡F‹i’ža‡W†aº‡Wœ‰•†yºm‡iœ‰•†y’‹w‰ŠŒœ¿‡w‰•ˆ’“0ˆ ‰Šˆ—
†aº‡ 6™‡iŒŒ ¹ _‚ žp‡i—ˆm‡ižažr‚ &S†yºm‡t‡ „c‰•†y’‚ ˆžr’“ˆ‡F’†yºm‡iš º‚ œ¿5‚ ‡Fˆ‡i‚Š„Iž 1c‚ 6ž™‚ š mŒ ‰Šˆ‡žpº‡w‰•8š 1c‚ 6ž
& ‚ šOžp‚ œ‡Qžp_‡F‹i)’ (c‹œ¿‚ƒ—‡iŒž©‚ &™_‚ Œ ›ƒœ‡FšJ‹£ºc‰Š’“ˆm-ž À!ˆRªDºc‰Šm†a‡išažMŽ J I‰Šˆm— 6D‡‰Šˆc‰ŠŒ ›ƒža‡
‰Šˆm—vša‚ ˜Š‡ ‹i‚Šˆ ˜Š‡iLš ‡iˆ‹F‡$‚ &žp‚ œ‡¿ˆ „œ¿‡iša’‹w‰ŠŒržp‹£º‡iœ¿‡iž µz’ˆc‰ŠŒ“Œ 5› _’“ˆ ªDº‰Šm†y‡Fš JA6™‡ —‡i‰ŠŒ
6’ †yº †aº‡WŒ‚ 0ˆ Š†a’“œ¿B‡ _‡Fºc‰w˜’‚ „š«‚ &†yºm‡W‹i‚Š„Œ“‡F— ž|›ž|†y‡Fœ ¨ ža‡F‹i‚ ˆm—$c‰Ššp†™‚ &X†aº’“ž™—‚ƒ‹i„œ¿‡iˆ †
‹F‚ ˆ‹i‡Fšaˆžt‰œ‰ ˆm‡F†y‚Šº ›ƒ—šp‚—›ˆ‰Šœ’‹ ³®±W­ «ša5‚ mŒ“‡iœ ‹i‚Šœ’0ˆ %& šp‚ œ ’“ˆ—„mžp†yš|5› À!ˆBªDº‰Š¹
†a‡iš MF6™‡W’ˆ †yša‚ƒ—„‹F‡f†aº‡fmša5‚ Œ‡iœ ‰Šˆm— †yº‡fˆ „œ‡Fša’‹w‰ŠŒcœ¿‡F†aº‚—mžD„žp‡i— R‡fša‡Fža‡Fˆ †‰'ˆ‡ 6
†a‡ižp†|¹!‹i‰Šža‡'’“ˆI³®±W­ ’“ˆIªDºc‰Šm†a‡iš# J” µz’ˆc‰ŠŒŒ5› F6™>‡ ’ ˜ ‡#‰¿ž|†£‰ m’“Œ“’ †!›$‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža’ž‚ &z†aº‡#ža‹£º‡Fœ‡
’ˆ®ªDº‰Šm†y‡Fš'Š5 ƒž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’“‹™—’ _‡išp‡iˆ †y’“‰ŠŒ -‡ „c‰•†a’“‚ ˆm-ž ¾c‰Ššp†a’ ‰ŠŒ —m’ _‡iša‡Fˆ †y’ ‰•Œƒ‡ „c‰•†y’‚ ˆž •‹F‚ „¹
Œ‡i— žp›ƒž|†y‡iCœ r³I‚Šˆ †a‡BªY‰ŠšaŒ‚ œ¿‡F†yºm‚— L˜•‰Šša’“‰Šˆ‹i‡ ša‡i—m„‹F†a’“‚ ˆv†a‡i‹£ºˆ’ „‡iž œ „Œ†a’“žp‹w‰ŠŒ‡šp‚•¹
Œ‡iCœ S‚ Œ›ƒœ¿‡iša’,‹ 1c„’— œ‰ ˆ‡&†y‚ º ›ƒ—šp‚—m›ƒˆc‰•œ’‹ ! #"$%&
$ '
(
)
* " +
,
-
. /
0
1
4
32
5+6
87
M ” ± M ”/ M ŠªY” M
Šª J” ª M ³  MŽ •¨ ”J ³7w”J 0” M Ž ªŽŠŽM Ž ª 5 Ž ª ”M ŽŠ­ ŠJ” 1
*,. 1 *,
" * $
) " $ * " *,
2
1
1
7
! 7
!"#$%&('&)&&+*,-/.012$34)&
87 :9
6
>=
" . * $ *,
$
" * " 7
$ 7
$ 5
"
<;
/
5
?
3
5  ³I‚ƒ—½iŒ‡ižœ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚S‚ „šŒ‡iž 1c„’—‡ižS‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž =%==%= %=
5 5  ¥ „c‰¾†y’“‚Šˆž—‡OŒ ‰ —m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡O—‡FžB1c„’“—m‡iž-cšpºŸi‚ŠŒ“‚5 ’‡ ==%= %=
5  5  µzŒ“„’—‡ižˆm‡ 6†y‚Šˆ’“‡Fˆž %=%= %==%=%==%= %=
5  5 Ž µzŒ“„’—‡ižY˜ƒ’ža‹i‚ƒŸiŒ“‰Šžp†a’ „‡Fž‡F†tŸi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †yžža’œŒ‡iž %=
5  5 J„m‡iŒ „‡Fž‡&´_ŸFša’‡iˆ‹F‡ižW—m‡#špºŸi‚ŠŒ“5‚ ’‡ %=%==%= %=
5  5 – ¤‚Š’X—‡O‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ '† =%= %==%=%==%= %=
5 5 Ž ³I‚—m½iŒ“‡Fžœ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡ižS‚ „šŒ‡iBž 1c„’—‡ižS‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡iDž = %=
5  MŽ  ³I‚—m½iŒ“‡Fž—’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒ“ž =%= %==%=%==%= %=
5  MŽ Ž ³I‚—m½iŒ“‡Fž’“ˆ †yŸ šy‰Š„ƒ´ %=%= %==%=%==%= %=
5 5 ³I‚—m½iŒ“‡Fžœ’‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡Fž_‚ „mšŒ“‡iBž 1c„m’“—‡FžtS‚ Œ ›œ¿Ÿišp’ „‡Fž = %=
5  J  ¥ ˜Š‚ Œ“„†y’“‚ŠˆB$— „ˆm‡#‹£º‰•² ˆ‡O—‡OS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡©—c‰Šˆž„ˆB‹£ºc‰Šœ¿
—‡J˜’ †y‡Fžaža‡ (m´Ÿ %==%=%= %==%=%==%= %=
5  J Ž ªD‚ ˆ †yša’ „m†a’“‚ ˆ—‡ižYS‚ Œ ›œ¿½išp‡ižD‰Š„ †y‡Fˆža‡F„šY—‡FžY‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡iž
5  J ¤‡Ož|›ž|†y½Fœ‡#œ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚ = %==%=%==%= %=
5  J – ¨L˜•‰Šˆ †£‰ ‡iž ‡F† ’“ˆ‹F‚ ˆ ˜ Ÿiˆm’“‡iˆ †až —‡iž œ‚ƒ—½FŒ“‡ižœ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž
5  J ¬ ‰ @¿ˆ‡Fœ‡Fˆ †yž‡F†f‰Š„m†aša‡Fžtœ¿‚ƒ—½iŒ‡iž =%=%==%= %=
5 5 – ³I‚—m½iŒ“‡Fžœ’‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡Fž‡F†t-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžf‰•„´ —ŸFša’˜ŠŸi‡Fžfc‰•šp†y’‡iŒŒ“‡i#ž =
5  0–  ACB EDFDHGIG º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆm-ž S‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚ŠˆžY—D‡ & ‡išpœ‡&†y„šp‡ =
5  0– Ž ¤ -Ÿ „c‰¾†y’“‚ŠˆB—m‡'µc‚ ¢ ¢•‡iš ¡ Œ“‰Šˆ‹£¢ %==%=%==%= %=
5  0– ¤ -Ÿ „c‰¾†y’“‚ŠˆB—m‡'µc‡&›ˆmœ ‰Šˆƒ¹ /O‰Š‹ %==%=%==%= %=
5 Ž ¬ Ÿiža„mŒ†£‰¾†yžœ ‰¾†yºŸFœ ‰•†a’ „‡FžY‡F†tˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž = %==%=%==%= %=
5 MŽ  ³I‚—m½iŒ“‡Fžœ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡iž ==%=%= %==%=%==%= %=
5 Ž 5  ¬ ŸFža„Œ †£‰•†ažœ ‰•†aºŸiœ‰•†a’ „‡iž %==%=%==%= %=
5 Ž 5 Ž ³IŸF†aº‚—m‡ižtˆƒ„mœŸFša’ „‡Fž %= %==%=%==%= %=
5 MŽ Ž ³I‚—m½iŒ“‡Fžœ’‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡Fž ==%=%= %==%=%==%= %=
5 Ž MŽ  ¨Wˆc‰ŠŒ ›ƒža‡Oœ ‰¾†yºŸFœ ‰•†a’ „C‡ %= %==%=%==%= %=
& $ *,
*,
*,
&
”

Ž
Ž




ŽŽ
Ž
Ž•–
m
Ž
' –
–Ž
––
–
–
3
–
–
3

J;
(
5 Ž ŽM Ž ¨Wˆc‰ŠŒ ›ƒža‡ —‡FžLœ¿ŸF†aº‚ƒ—‡ižˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ižX†!›ƒS‡™ª·O¼f¼Wµ µz¥™ ¹
À!¦ %= %=%==%=%= %==%=%==%= %=
5 Ž MŽ ¨W„m†aša‡ižtœ¿ŸF†yºm‚—‡Fžˆ „œŸFša’ƒ„m‡iž ==%=%==%= %=
5 ªD‚ ˆ‹FŒ“„žp’“‚ ˆmžt‡&†_‡Fšažp_‡F‹F†y’ ˜ ‡FžB%=%==%=%= %==%=%==%= %=
5 ¨ ³I‚ƒ—½iŒ‡ižœ „Œ †y’¶¹!Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡iž™‡F†tœŸ&†yº‚ƒ—‡Fžtœ„Œ†a’ ¹!ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fž %=%==%= %=
5 ¨>  ³I‚—m½iŒ“‡Fžœ „Œ†a’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ“‡FžD‡&†fž|†£‰ m’“Œ“’žy‰•†a’“‚ ˆ %==%=%==%= %=
5 ¨> Ž ³I‚—m½iŒ“‡Fžœ „Œ†a’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ“‡FžDS‚ „št‰Šœ¿ŸiŒ’“‚ šp‡išDŒ“‰ —’“žp‹išpŸF†y’žy‰•†a’“‚ ˆ %=
5 >¨ ³I‚—mŸiŒ“’žy‰•†a’“‚ ˆ œ „Œ†a’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ“‡FžY—‡OºŸFˆ‚ œ¿½iˆ‡Fžfmº ›ƒžp’ „‡iž = %=
5 >¨ – ±t›ƒ_‚•†yº½Fža‡#—‡OžaŸi‰Ššy‰•†a’“‚ ˆ —‡FžfŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fž %==%=%==%= %=
”
* $ 5
-7
9
7
&$ 7.
7
)
$ $
)
=
<;
.
" -7
$ Ž
Š–
(
Ž
?
ŽM  !À ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ =%==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %= Š”
ŽM Ž ¦ º‡#œ‚ƒ—‡FŒX‰Šˆ—B‚ „šœ‰Š’ˆ$ša‡ižp„Œ†-==%=%= %==%=%==%= %=
ŽM ¯Dšp’“‡ & œ‰•†yº‡Fœ ‰¾†y’“‹i‰ŠŒ_‰Šˆc‰ŠŒ ›žp’“ž‚ &L†yºm‡#‹F‚ ˆ †y’ˆƒ„m‚ „žša‚Œ“‡Fœ ==%= %=
MŽ J  ¡ šp‡i‹F’“ža‡#ža‡&†a†a’“0ˆ ‚ &L†yº‡O‡ ƒ„‰•†y’‚ ˆžt‰Šˆ— —‡ (cˆ’†a’“‚ ˆ ‚& ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž =
MŽ J Ž µ ‚Ššaœ‰ŠŒ ‡Fžp†a’“œ‰•†y‡F-ž =%=%= %==%=%==%= %=
MŽ J ¥ ´’žp†y‡Fˆ‹i‡ 4==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %=
MŽ M J  ‡iœ¿’ ¹ —’“žp‹iša‡&†y’ i‡i:— 6™‡w‰•:¢ & ‚ šaœ „mŒ ‰•†a’“‚ ˆ =%==%= %=
MŽ M J Ž ¥ ´’žp†y‡Fˆ‹i‡#‚ &z‰Qža‡iœ¿’ ¹ —’“žp‹išp‡F†y’ i‡F—Bžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ =%= %=
MŽ M J ªD‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡'†a‚ 6Y‰Ššp—žf‰‹F‚ ˆ †y’ˆƒ„m‚ „žža‚ Œ„m†y’‚ ˆ = %= ”
ŽM – ¨Wˆ‰ŠŒ›ƒža’ž‚ &L†yº‡Oˆ „œ¿‡iša’‹w‰ŠŒ~ža‹£º‡Fœ‡ =%=%= %==%=%==%= %= Ž
MŽ 0–  ªD‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡‚ & †aº‡Ožac‰Š‹F‡&¹ —’“žp‹iša‡&†y’ i‡i—Iša‚ Œ“‡Fœ %==%= %=
MŽ 0– Ž ªD‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡‚ & †aº‡J†y’“œ¿‡&¹ —’“žp‹išp‡F†y’ i‡F—$ša5‚ mŒ“‡iCœ =%==%= %=
MŽ 0– ªD‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡‚ & †aº‡'³I‚ ˆ †y‡ªY‰ŠšaŒ‚Q—’“žp‹išp‡F†y’ i‡F—Išp5‚ Œ‡iCœ = %= Ž
MŽ 0– – ªD‚ ˆ‹iŒ„ža’‚ ˆ c‹i‚ ˆ ˜Š‡i"š Š‡iˆ‹F‡‚ &L†yºD‡ & „ŒŒ›—’“žp‹išp‡F†y’ i‡F—Išp5‚ Œ‡iCœ I%=r ”m
ŽM ¼f„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒXšp‡iža„mŒ†yž N==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %=r ” Ž
3
"
" 7
"
*
/ 7
J  !À ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ %=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%= % =r ”
J Ž  ‚ œ¿‡Jœ‰•†yº‡Fœ ‰¾†y’“‹i‰ŠŒSša‡ižp„Œ†až‚ ˆB†aº‡O‹i‚ „mŒ“‡F—Bž|›ƒžp†y‡Fœ %=%==%= % =r ”
J ©· m†y’œ ‰•Œ“’†!›¿’ˆ$žac‰Š‹F‡ =%= %=%==%=%= %==%=%==%= % =r  ”
* $ "$
7.
$
* $ $ *
% 7
;
9
7 >9
7
–0  !À ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆB‰Šˆ—Bœ‚•†y’˜•‰•†a’“‚ ˆ =%==%=%= %==%=%==%=
–0 Ž z¥ ´’“žp†a‡iˆ‹F‡'‚& ‰Qža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ†a‚¿†aº‡Ožp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’‹J—’ _‡išp‡iˆ †y’“‰ŠŒX‡- „c‰¾†y’“‚Šˆ =
0– ŽM  ¼f‚Š†a’“‚ ˆ ‚& ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ %=%==%=%= %==%=%==%=
0– ŽM Ž °fˆ’ƒ„m‡iˆ‡Fžaž =%= %=%==%=%= %==%=%==%=
0– MŽ ¥ ´’žp†y‡Fˆ‹i‡ 6º‡Fˆ g = 0 ==%=%==% =%==%=%==%
0– MŽ – ¥ ´’žp†y‡Fˆ‹i‡#’“ˆ$†aº‡ ‡iˆ‡Fšy‰ŠŒ‹i‰Šža‡ %=%= %==%=%==%=
–0 ¼f‚•†y’“‚Šˆ$‚ & žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ‰Šˆ— ‡iž|†y’“œ‰•†a‡iž‚ ˆ$†yºm‡#‹F‚ „Œ‡i—Bžp›ƒžp†a‡iœ
0– J  ¼f‚Š†a’“‚ ˆ ‚ & ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ %=%==%=%= %==%=%==%=
0– J Ž ‡Fžp†a’“œ‰•†y‡Fž %=%==%=%= %==%=%==%=
* $ 5
(
7
&$ 7
7
)
)
$ $
$ )
$
"
$
%=r w–
%=r  
%=r  
%=r  
=%r  ŽŠ”
%=r  Ž•–
%=r  Ž
%=r  Ž
%=r  Ž
0– M ŽM  µz’“špžp†‡iˆm‡iš"•›$‡iž|†y’“œ‰•†a‡ =%= %==%=%==%=
–0 M ŽM Ž ‡i‹F‚ ˆ—®‡Fˆ‡išLŠ›$‡Fžp†y’œ ‰¾†y‡ = %==%=%==%=
0– – ¥z´’“žp†a‡iˆ‹F‡'‚& ‰Qža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ†a‚¿†aº‡O‹i‚ „mŒ“‡i— ž|›ž|†y‡Fœ %==%=%==%=
–0 –0  ­W‡ (cˆm’†y’‚ ˆB‰Šˆ—Bša‡Fža‚ Œ„m†y’‚ ˆ$‚ &L†yº‡O—’ža‹išp‡F†a’ i‡F—Imša‚5Œ‡iœ %=
–0 –0 Ž ªD‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡‚ & †aº‡O—’“žp‹iša‡&†y’ i‡i—Bšp‚5Œ“‡Fœ ==%=%==%=
–0 0– °fˆ’ ƒ„m‡iˆ‡FžažW‚ & †aº‡Oža‚ Œ„m†y’‚ ˆ =%=%= %==%=%==%=
9
M  !À ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ %=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%=
M Ž z¥ ´’“žp†a‡iˆ‹F‡‰•ˆ—I„mˆ’ „‡Fˆ‡ižpž' %=%==%=%= %==%=%==%=
M ŽM  ¦ ša‰ ‘p‡i‹&†y‚ šp’ ‰ŠŒX„mˆ’ „‡Fˆ‡ižpž.& ‚ šžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž6’†aº ˜•‰ŠŒ„‡iž’ˆ =
M ŽM Ž ¥ ´’žp†y‡Fˆ‹i‡#’“ˆ$†aº‡O‹w‰Šžp‡ g ∈ L %=%= %==%=%==B%=
M ŽM ¥ ´’žp†y‡Fˆ‹i‡#’“ˆ$†aº‡O‹w‰Šžp‡ g ∈ L (R ) %==%=%==%=
M ­W‚ƒ‡iž†yºm‡#žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ$ša‡w‰•‹£ºI†yºm‡=S ‚ „ˆm—c‰Ššp› %= %==%=%==%=
M J  ¼f‡i‹F‡ižpžy‰Šš|›®‰•ˆ—Ižp„[email protected]¿‹i’‡iˆ †t‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆž %==%=%==%=
M J Ž ¼f‚ ˆ¹ „ˆ’ƒ „m‡iˆ‡Fžažt’“ˆ ‹w‰Šžp‡ b < 2 ==% =%=%==%=%=
M – À!ˆ ˜•‰Šša’“‰Šˆ †ša‚5 ‰ ’“Œ’†!›œ‡i‰Šža„mša‡O’“ˆ$‹i‰Šža‡ g = 0 ‰•ˆ— b ≥ 2 ==%=%
* $ 5
(
7
7
&$ 7
7
)
$ $
)
$
∞
t
1
+
(
%=r Ž
%=r  Ž
%=r  Ž
%=r 
%=r 
%=r 
%=rw– Ž
%=r w–
%=r w–
%=r w–
%=r w–
%=r  
%=r  
%=r  •–
=%r 
3
3
?
J  !À ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆB‰Šˆ—Bœ‚•†y’˜•‰•†a’“‚ ˆ =%==%=%= %==%=%==%= %=r ”
J 5  ³I’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚Qœ¿‚—m‡iŒ“žD‚&z—m’“Œ“„†y‡©žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž ==%=%==%= %=r ”
J Ž ¦º ‡#—‡iS‡iˆm—‡iˆ‹&›B‚& †aº‡#¯Dša‚ 6ˆ’“‰Šˆ œ‚•†y’“‚Šˆ’“ˆ ža‰Š‹i‡ %=%==%= %=r
J ŽM  ¦º‡'œ¿‚ƒ—‡iŒ’“ˆ0˜ƒ’‡6S‚ ’“ˆ † ==%=%= %==%=%==%= %=r
J ŽM Ž ¦º‡'ˆ „œ¿‡išp’“‹i‰ŠŒ~˜ƒ’“‡ 6_‚ ’ˆ †4==%=%= %==%=%==%= %=r
J ŽM ¦º‡'œ‰•†aº‡iœ‰•†y’‹w‰ŠŒ ˜ƒ’“‡ 6 _‚ ’ˆ †%=%= %==%=%==%= %=r Š–
J ¥z´Œ“’‹i’†Y‹i‚ œ¿„m†y‰•†y’‚ ˆž‚L& ˜•‰Šša’“‰Šˆ‹i‡Fž’“ˆB‰Qža’œŒ‡©‹w‰•ža‡ =%==%= %=r
J J  ¨žp’“œ¿Œ“‡Wœ‚ƒ—‡iŒzm†yº‡O„mša‡Ožaº‡i‰Šš#c1 ‚ 6 %==%=%==%= %=r
J J Ž ¦º‡'—m’“ža‹Fša‡&†y’ F‡i— šp‚5 Œ“‡Fœ ==%=%= %==%=%==%= %=r
J J ­W‡iS‡iˆ—m‡iˆ‹&›I‚z& †yºm‡©˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡J’ˆ †a‡išpœ ‚L& †yº‡O‹i‚Ššaša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ$’ˆ žac‰Š‹F‡  Š”
J M J  ªD‚ œm„m†£‰•†a’“‚ ˆ$‚& †aº‡J˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡Fž ==%=%==%= %=r Š”
J M J Ž ¨Wˆc‰ŠŒ ›ƒža’“ž‚& †aº‡O‹w‰Šžp‡iž K = À!—®‰Šˆm— K = J =%= %=r 
J M J ¨Wˆc‰ŠŒ ›ƒža’“ž‚z& ‚Š†aº‡iš‹F‚ šašp‡iŒ ‰¾†y’“‚Šˆ$œ ‰•†aša’‹i‡iž K =%= %=r 
J – ¼f„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒXžp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆž = %=%==%=%= %==%=%==%= %=r 
J –0  ±f‚ƒ‚ ¢Š‡i‰ŠˆI—m„œ+0S ‡iŒŒ“žC%=%==%=%= %==%=%==%= %=r 
J –0 Ž µ ¥r¼W¥§—„mœ+0S ‡iŒ“Œž %=%==%=%= %==%=%==%= %=r 
J ¬ ‡iŒ ‰¾†y‡i— ’žaža„m‡iž =%==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %=r  m
J M  ­W‡iS‡iˆ—m‡iˆ‹&›I‚z& †yºm‡©˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡Fž#6 ’ †yº ša‡FžaS‡i‹&†f†a‚†aº‡Ožac‰•‹i‡#žp†y‡F δy  m
J M Ž ‚ œ¿‡Jša‡iœ‰Ššp¢ƒž‹F‚ ˆ‹i‡Fšaˆ’ˆ0 †yº‡  ’“‰Šž = %==%=%==%= %=r  m
J ªD‚ ˆ‹FŒ“„žp’“‚ ˆmž %=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %=r 
* $ 5
(
7
7
7
7
" 7.
*, %* " 7 7 ;
7
7
6
M  !À ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ %=%==%= %=%==%=%= % ==%=%==%= % =r
M Ž Dª ‚ ˆ †y’ˆ „‚ „žŒ“‡&˜ ‡FŒ«†yº‡Oˆ‚ ˆmŒ“’“ˆm‡w‰Šš­©¥ =%= % ==%=%==%= % =r Ž
3
" 7
*
*,
* "$ *
;
(
M ­W’ža‹išp‡F†a‡'Œ‡F˜ ‡FŒ m†yºm‡#‰Ššp†a’“‹iŒ‡©žp›ƒž|†y‡iœ =%=%= %==%=%==%=
M J  ¥ ´’žp†y‡Fˆ‹i‡#‚& ža‚ Œ„m†y’‚ ˆžY†a‚ M  Ž %= %==%=%==%=
M J Ž ¡ šp‚ S‡išp†a’“‡Fžt‚&zžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmžD†y‚  Ž %= %==%=%==%=
M – ªD‚ ˆ ˜ ‡Fš" ‡Fˆ‹i‡'‚& τ †a‚ D6 ‰Ššp—ž τ ==%=%= %==%=%==%=
M –0  ¨ˆm‚ ˆŒ“’ˆ‡w‰•šYœ ‰•šp†y’ˆ0 ‰ŠŒ‡fmša‚5Œ‡iœ %= %==%=%==%=
M –0 Ž R‡i‰Š¢‹i‚Šˆ ˜Š‡išL ‡iˆ‹F‡‚& †yº‡J‡Fœm’“ša’‹w‰ŠŒ_—’“ž|†yšp’„m†a’“‚ ˆ %==%=
M –J ŽM  ƒ†y‡F7 = %=%==%=%= %==%=%==%=
M –J ŽM Ž ƒ†y‡F Ž = %=%==%=%= %==%=%==%=
M –J ŽM ƒ†y‡F = %=%==%=%= %==%=%==%=
M –0 ªD‚ ˆ ˜ ‡išL ‡iˆm‹i‡‚& †aº‡Ožp†yšp‡ižpžf†y‡Fˆža‚Šš %= %==%=%==%=
M –J J  ƒ†y‡F7 = %=%==%=%= %==%=%==%=
M –J J Ž ƒ†y‡F Ž = %=%==%=%= %==%=%==%=
M –J J ¥rˆm—I‚L& †yºm‡#mša‚ƒ‚z& ‚z& ¦º‡F‚ ša‡Fœ =%=%==%=
M ªD‚ ˆ‹FŒ“„žp’“‚ ˆ =%=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%=
%=r Š–
%=r  Š–
%=r 
%=r 
%= ŽŠ” ”
%= ŽŠ” Ž
%= ŽŠ” Ž
%= ŽŠ”
%= ŽŠ”Š–
%= ŽŠ”
%= ŽŠ”
%= Ž ”
%= Ž
%= Ž
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
M
p
p
2
7
7
$%
J  !À ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ %=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%=
J Ž W¨ ˆ‰ŠŒ›ƒža’ž‚&L†yº‡#±f‚ƒ‚ ¢•‡w‰ŠˆB—„œ+J_‡FŒ“ŒXœ¿‚—m‡iŒX’ˆI‰Qžpº‡w‰ŠšB1c‚ 6 =%=
J Dª ‚ ˆ ˜ ‡Fš" ‡Fˆ‹i‡#†y‚‡- „’Œ“’ša’„œ ›†aº‡O‡iˆ †yšp‚  › œ‡&†yº‚ƒ— =%==%=
J J  ¨ (šažp†t‡Fˆ‡išLŠ›$‡iž|†y’œ ‰•†a‡ %==%=%= %==%=%==%=
J J Ž ¥rˆ †aša‚  ›B‰Šˆ—B‹i‚Šˆ ˜Š‡išL ‡iˆ‹F‡'†a‚¿‡ „’“Œ’šp’“„œ =%=%==%=
J – ¦º‡#‹w‰Šžp‡O‚z& ˆm‚ ˆIºm‚ œ‚ ‡iˆ‡F‚ „žBS ‚ „ˆ—‰Ššp›$‹F‚ ˆ—’ †y’‚ ˆž =%==%=
J –0  ªY‰ŠŒ“‹F„Œ“„ž’ˆB‰Š ‡iˆ‡Fšy‰ŠŒA ‡F‚ œ¿‡F†yš|› %= %==%=%==%=
J –0 Ž ¦º‡'‹i‰Šža‡O‚z& ‰Qžaº‡i‰Šš#c1 ‚ 6 ==%=%= %==%=%==%=
J –0 ·©†aº‡iš‡Fˆ †aša‚  › & „ˆm‹F†y’‚ ˆž ==%=%= %==%=%==%=
J ªD‚ ˆ‹FŒ“„žp’“‚ ˆB‰Šˆm—IS‡išpžaS‡i‹F†a’˜Š‡iž =%==%=%= %==%=%==%=
Ž
Ž
ŽŽŽ
ŽŽŽ
ŽŽ
ŽŽ
ŽŽ
ŽŽ
ŽŽ
ŽŽ
! 1 . $ .! 34) &1 ! E#) "E J1 "/. J!")& &) 7
=
?
J  À!ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ %=%==%= %=%==%=%=
J 5  ¦º‡'’ˆ—„ž|†yšp’ ‰ŠŒ_ša‚5mŒ“‡iœ %==%=%=
J 5 Ž ¨ˆm‡i‡i— & ‚ šˆ „œ¿‡išp’“‹w‰•ŒXža’œ „Œ ‰¾†y’“‚Šˆž =
J Ž ¦º‡#œ‚ƒ—‡FŒ“’“ˆJ žp†ašy‰•†a‡-Š › = %=%==%=%=
J ¼f„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒXž|†yšy‰¾†y‡-Š ’“‡iž %= %=%==%=%=
J J  ¦º‡'‚Šˆ‡&¹@c1 „’“—I³®±f­‡ „c‰•†y’‚ ˆž =%=
J J Ž ¦º‡#† ™6 ‚•¹@c1 „’“—mžt³®±W­‡- „c‰•†a’“‚ ˆž %=
J – ¼f„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒXžp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆž = %=%==%=%=
J –0  ¦º‡'ž|†y‡i‰Š—m›$ž|†£‰•†a‡#‚& †aº‡O‹i‡iŒŒ %=%=
J –0 Ž ¦º‡'šp‚ Œ“Œ’“ˆ0' º‡Fˆ‚ œ¿‡iˆ‚ ˆ ==%=%=
*&
;
. 8* $ 7
"
7
7. %==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
%==%=%==%=
7.
/ %=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
Ž
Ž
Ž
Ž
Ž•– ”
Ž•– ”
Ž•– Ž
Ž•–
Ž•–
Ž•– –
7
 ”J vÀ!ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ %=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%=
 J” Ž ¦º‡#º ›ƒža’“‹i‰ŠŒº‡Fˆ‚ œ¿‡iˆ‚Šˆ %=%==%=%= %==%=%==%=
 J” ¼f„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒX‹£º‚Š’“‹i‡Fž‚&z‚Š„š‹i‚ƒ—‡ %==%=%= %==%=%==%=
 J” J ¦º‡'‡ „c‰•†y’‚ ˆž‚ & ³®±f­ %==%=%= %==%=%==%=
 J” J Ž>¼f„œ¿‡išp’“‹w‰•Œ‰Šžažp‡F†ažW‰Šˆm—B—mšy‰ 6#c‰Š‹£¢ žW‚&z‚ „mšža‹£º‡Fœ‡C%==%=
 J” J Ž 2ªD‚ „Œ’“0ˆ Q‚ & œ‰ ˆ‡&†y’“'‹ (‡iŒ“—mž‰Šˆ— ˜ ‡iŒ‚‹F’†!› =%=
 J” J Ž Ž³I‚Š†y’‚ ˆ ‚ &L†yº‡O’“ˆ †a‡iLš & ‰•‹i‡ %= %==%=%==%=
 J” J Ž A¦’“œ¿‡J—’“žp‹iša‡&†y’ w‰•†a’“‚ ˆ ‰Šˆm—Bž|†£‰ m’“Œ“’ †!› %=%==%=
 J” –U¼f„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒXžp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆž = %=%==%=%= %==%=%==%=
 J” 0–  ªDº‚ ’“‹F‡O‚ & †aº‡J†y‡Fžp†t‹w‰Šžp‡ %==%=%= %==%=%==%=
 J” 0– Ž ‚ œ¿‡Jša‡ižp„Œ†a+ž =%= %=%==%=%= %==%=%==%=
 J” ªD‚ ˆ‹FŒ“„žp’“‚ ˆ =%=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%=
* $
* 7
$ $
(
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
%=
?
Ž Š”
Ž Š”
Ž 
Ž Ž
Ž
Ž
Ž
Ž
Ž •–
Ž •–
Ž •–
Ž
?
 5 vÀ!ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ %=%==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %= Ž ”
 5 Ž ¦º‡³®±W­-‡ „c‰¾†y’“‚ŠˆžB& ‚ šY† 6D‚1c„’—žD=%=%= %==%=%==%= %= Ž Ž
 5 MŽ ¼f‚Š†y‰•†y’‚ ˆž ==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %= Ž Ž
 5 MŽ Ž>¼f‚ ˆ¹ —’“œ¿‡iˆmža’“‚Šˆc‰ŠGŒ & ‚Ššaœ ‰•ˆ— S‚ƒ—m› & ‚ šp‹i‡O‹i‚Ššaša‡F‹F†a’“‚ ˆ ==%= %= Ž
 5 7‡w‰Š¢¨W¤¥ & ‚ šaœ„Œ ‰•†a’“‚ ˆ & ‚ šY† 6D‚¾¹ 1c„’—I³®±W­ 1c‚ 6ž=%=%==%= %= Ž Š–
 5 –U­W’ža‹išp‡F†a’ w‰¾†y’“‚Šˆ =%==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %= Ž
 5 0–  c‰Š‹F‡'—’ža‹Fša‡F†a’ i‰•†y’‚ ˆ %=%==%=%= %==%=%==%= %= Ž
 5 0– Ž ¦’“œ¿‡J—’“žp‹iša‡&†y’ w‰•†a’“‚ ˆ ‰Šˆm—BŒ’“ˆ‡i‰Šša’ w‰•†a’“‚ ˆ %==%=%==%= %= Ž Š”
 5 0– !OŒ5‚ c‰ŠŒ~‰ŠŒ ‚Šša’†aºœ %=%==%=%= %==%=%==%= %= Ž 
 5 ªD‚ ˆžp‡iš|˜Š‰¾†y’“‚Šˆ®‰Šˆm—Bž|†£‰ m’“Œ“’ †!› mša‚ S‡iš|†y’“‡Fž =%= %==%=%==%= %= Ž Ž
 5 M  !O‡F‚ œ‡&†yšp’“‹©‹F‚ ˆža‡Fšp˜•‰•†a’“‚ ˆBŒ ‰ 6 %=%= %==%=%==%= %= Ž Ž
 5 M Ž>­W’“žp‹iša‡&†y‡#œ ‰•žaž‹i‚Šˆža‡Fšp˜•‰•†y’‚ ˆ =%=%= %==%=%==%= %= Ž
 5 M ­W’“žp‹iša‡&†y‡#‡iˆ‡F"š Š›’“ˆ‡ ƒ„‰ŠŒ“’ †!› =%=%= %==%=%==%= %= Ž •–
 5 U„Hš & ‰Š‹i‡J†a‡iˆžp’“‚ ˆ %==%= %=%==%=%= %==%=%==%= %= Ž
 5 §¼f„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒX‡k´mS‡išp’“œ¿‡iˆ †yž = %=%==%=%= %==%=%==%= %= Ž
 5 M  ·Jˆ †yºm‡#œ‰Šžpž‹i‚ ˆžp‡iš|˜Š‰¾†y’“‚Šˆ =%=%= %==%=%==%= %= Ž
 5 M Ž ¨ ³I±W­‡&´_‡Fša’œ‡Fˆ #† 6’ †yºB+‰ & ša‡i‡Ožp„Lš & ‰Š‹F‡‰•ˆ—B‰ & šp‡i‡O’“ˆ †a‡iLš & ‰•‹i‡ = Ž ”
 5 M >¨WŒ“„mœ’ˆ’“„œ ‡FŒ“‡i‹&†yšp‚ Œ›ƒža’ž‹i‡FŒ“Œ“žžp’“œ „mŒ ‰•†a’“‚ ˆIž ==%=%==%= %= Ž
 5 M –6³I‡F†y‰ŠŒc‰Š—Bša‚ ŒŒ~’ˆžp†y‰ ’“Œ’†a’“‡iž =%=%= %==%=%==%= %= Ž Š–
$ *,
* "
3
* " )
$ 2
)
$
7
*
%
;
;
(
C C ¤ ‡W†yša‰ ˜•‰Š’Œ —‡©†yº½Fža‡O‰S‚ š|†yŸ©šp’“ˆ‹F’“c‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ †™ža„šDŒ@ ŸF†y„m—‡©œ‰•†yºŸFœ ‰¾†y’ „‡t—‡Jœ¿‚—m½iŒ“‡Fž
œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚J—‡B1c„m’“—‡Fž™S‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž À!Œcž- ‰ ’ †«— Ÿ&†y„—m’“‡išr—‡Fž™ž|›ƒžp†y½Fœ‡FžD‹F‚ „Œ“‰Šˆ †™Ÿ „c‰¾¹
†a’“‚ ˆž#‰Š„ƒ´ —Ÿišp’˜ŠŸi‡iž#c‰Šš|†y’‡iŒ“Œ‡iž ‰Š„ ˆ’˜Š‡w‰Š„ œ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡J‡&†#Ÿ- „c‰•†a’“‚ ˆžO—’ ~ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ“Œ“‡Fž
ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’ „‡Fž ‰•„ ˆ’ ˜ ‡w‰•„ œ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡ <tªD‡iž®ž|›ƒžp†y½Fœ‡Fž®‚ ˆ †IŸF†aŸR‰Šžpža‡ RšaŸF‹i‡Fœœ¿‡iˆ †
’ˆ †aša‚ƒ—„’ †yžt_‚ „mšW‹i‚Šˆžp†aša„’ša‡ —‡Fž©Œ“‚Š’“ž—‡ ‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ ,† c‰Šš|†y’šf—‡œ‚ƒ—½iŒ‡ižtœ’‹išp‚ ža‹F‚•¹
’ „‡ižO—ŸF‹iša’ ˜•‰Šˆ †[email protected]Œ ŸF˜Š‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ®—‡ižOœ¿’“‹išp‚ žp†aša„‹&†y„šp‡iž Œ“‡FžJœ‚ ŒŸi‹F„Œ“‡FžW—‡QS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡iž t—c‰Šˆž
Œ'‡ 1c„’“—m‡ ¡ šaŸi‹F’“žp‚ ˆžŒ“‡Fžt‹F‚ ˆ †yšp’ „m†a’“‚ ˆmž‚ ša’ ’“ˆc‰•Œ“‡iž™—‡O‹i‡J†yša‰w˜Š‰•’“Œz
³I‰•†yºŸFœ ‰¾†y’ „‡Fœ‡Fˆ † ¾‚ ˆQ‰fm„ —Ÿiœ¿‚ ˆ †yšp‡iNš ƒ„m‡YŒ“‡Fž œ¿‚—m½iŒ“‡Fž œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰•‹iša‚—8‡ 1c„’—‡iž
S‚ Œ ›œ¿Ÿišp’ „‡FžJŒ“‡ižJmŒ“„žO‹i‚Š„šy‰Šˆ †až#žp‚ ˆ =† ’“E ‡Fˆ DFDSH ‚GIG žp Ÿiž Œ“‡FžJ-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmž'‰•—œ‡&†a†a‡iˆ †O„ˆ‡
žp‚ Œ“„†y’“‚ŠˆI‡&†f„mˆ‡žp‡i„Œ‡ œ¿‚—½FŒ“‡Fžt—m‡iž B
º‚‚Š¢ŠŸi‡FˆžW‡&†©µz¥«¼f¥ _‚Š„šfŒ‡Ožp›ƒž|¹
†a½iœ¿‡J‹i‚ „mŒ“ŸJ—c‰•ˆž„ˆBŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“Ÿ ƒ‰Š’ˆžaG’ „‡OŒ“‡ižŸ „c‰•†y’‚ ˆž—’ ~ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ“Œ“‡Fž
ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ „‡FžOµ ¥r¼W¥U‡F†Jµ ¥r¼W¥z¹ ¡ —c‰Šˆmž©Œ“‡#‹w‰ŠžW— „mˆŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †Wº‚ œ¿5‚ ½Fˆ‡ S‚ ˆ
‰-Ÿ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †‰Šˆc‰ŠŒ ›žpŸOŒ“‡J‹i‚ŠœS‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †‡iˆ †y‡FœmžtŒ‚ 0ˆ Q—„Bžp›ƒž|†y½iœ¿‡ ¼t„œ¿Ÿiša’ „‡iœ¿‡iˆ † ~‚ ˆ ‰„ —Ÿiœ¿‚ ˆ †yšp‡išJŒ ‰‹i‚ ˆ ˜ ‡F"š ‡Fˆ‹i‡¿—‡Qœ¿ŸF†aº‚—m‡ižJˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž
—‰Šˆž‹i‡Fšp†y‰Š’“ˆž‹i‰Šž œ¿‚ƒ—½iŒ‡ižY—‡Fž B EDFDHGIG ºm‚‚ ¢•Ÿi‡Fˆž‡F†tµ ¥r¼W¥z¹ ¡ D‡&†‰Šˆc‰•Œ›ƒža‡FšŒ ‰
œ‰Šˆ’½išp‡W—‚ ˆ †DŒ ‰'—mŸiS‡iˆ—c‰•ˆ‹i‡J‡Fˆ$‡iža‰Š‹i‡J—„ œ‚ „˜ ‡iœ¿‡iˆ B† mša‚ 6ˆ’“‡Fˆ$’“ˆ †y‡Fšy‰ Š’†™‰w˜ ‡i‹
Œ‡iž‚ SŸiša‰•†y‡F„šaž—’ ~ŸFša‡iˆ †a’“‡iŒž_‚Š„š’“Jˆ 1„‡iˆ‹F‡išŒ ‰˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡J—‡FžfšpŸiža„mŒ†£‰¾†y-ž ¤‰ mša‡iœ¿’“½Fša‡c‰Šš|†y’‡Q—‡Œ ‰†yº½Fža‡¿‡iž|†'—m‚ ˆ‹¿‹i‚ ˆža‰Š‹išpŸi‡ $Œ ‰$šaŸFža‡Fˆ †y‰•†y’‚ ˆ —‡‹F‡ižO†yša‰¾¹
˜•‰Š„G´ ~¤‡'ša‡Fœ’‡išf‹£ºc‰Š’ †yša‡'‡iž|†J„ˆ‡'’“ˆ †yšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ ŠŸiˆŸFšy‰ŠŒ‡ ‰Š„C´ 1c„m’“—‡FžW˜ƒ’“ža‹F‚ŸFŒ ‰Šž|†y’ ƒ„m‡iž
‡&†špŸi‹i’ža‡ Œ‡iž¿œ‚ƒ—½FŒ“‡iž¿„m†a’“Œ“’žaŸFž ‰Š’ˆža#’ „‡ Œ‡iž¿šaŸFža„Œ †£‰•†až „‡ ˆ‚Š„ž‰w˜ ‚Šˆž5‚ m†a‡iˆ „ž D‡iˆ
‡Fžažy‰w› ‰Šˆ †—‡ Œ“‡FžQ_‚Šža’†a’“‚ ˆmˆ‡iš'c‰Ššaœ¿’YŒ‡iž‰Šˆc‰•Œ›ƒža‡FžQœ ‰•†aºŸiœ‰•†a’ „‡ižQ—mŸF˜ ‡FŒ“‚ m_ŸF‡iž—‡im„’“ž
Œ„žQ—‡†aša‡iˆ †a‡ ‰ŠˆžQža„mšQŒ“‡ižœ‚ƒ—½iŒ‡iž œ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž _‚Š„š Œ“‡F"ž „‡FŒ“žQŒ“‡Fž Œ“‚Š’“ž—m‡$‹i‚ œQ¹
S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †Jžp‚ ˆ †J—‚ ˆˆmŸi‡ižJ ‰Šš©—‡Fž©-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžJ‰Š„´®—Ÿišp’˜ŠŸi‡ižJ‰Ššp†a’“‡iŒŒ“‡Fžf‚ „®—‡ižJŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆž
’ˆ †a-Ÿ ša‰ŠŒ“‡Fž ‡F†Wˆ‚ ˆ c‰•ž —‡FžWŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆžW—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡ižžp†a‚‹£ºc‰•žp†y’ „‡iž X¤‡FžW‹£ºc‰Šm’†yšp‡iž
žp„’˜•‰Šˆ †yž—‚Šˆˆ‡iˆ †tŒ“‡Fž—ŸF†y‰Š’“ŒžY—‡O‹£ºc‰Š‹F„ˆ®—m‡ižšaŸFža„Œ †£‰•†ažŸF˜ ‚ „Ÿižt—c‰ŠˆmžtŒ‡J‹£ºc‰Š’ †yšp‡Q5 c¤‡iž
‹£ºc‰•’†aša‡ižJŽ ‡F† ža‚ ˆ †J‡Fžaža‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ †J‹i‚Šˆžy‰Š‹FšaŸFž @Œ ŸF†a„—‡—m‡ Œ ‰¿‹i‚ ˆ ˜ ‡F"š ‡Fˆ‹i‡— „ˆ ‰ŠŒ¶¹
‚Šša’†aºœ¿‡J‹iŒ ‰•žaža’ „‡iœ¿‡iˆ †f„m†y’Œ“’“žpŸJ_‚Š„š—’“žp‹išaŸ&†y’ža‡ištŒ“‡Ož|›ž|†y½Fœ‡'œ’‹iša‚¾¹!œ‰Š‹išp0‚ m—c‰•ˆžfŒ‡O‹w‰Šž
—„ œ¿‚—m½iŒ“‡¿—‡Fž B E DFDH GIG Eºm‚DF‚ D¢•HGIŸiG ‡F ˆ-ž r­©‰•ˆžQŒ“‡‹£ºc‰Š’ †yša‡ 0– ‚Šˆ ŸF†y„m—’“‡Œ‡ ž|›ž|†y½Fœ‡$‹F‚ „¹
ŒŸ'S‚ „šŒ‡'œ¿‚—m½iŒ“‡J—m‡iž B
µz¥«¼f¥§†y‡Fˆc‰Šˆ †W‹F‚ œ¿m†y‡#—‡#@Œ ‡&´ƒ†y‡Fˆža’ ’“Œ’†y'Ÿ (ˆ’“‡#—‡#Œ ‰
œ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ‡ †£‰•ˆ—’“=ž „‡ Œ‡‹£º‰Š’†aša‡ B-ž ’“ˆ †aŸiša‡Fžažp‡$Œ“„ž#žaSŸi‹F’ (* „‡Fœ‡Fˆ † ®@Œ -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆ7—)’ & ¹
& ŸFša‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡¿žp†a‚‹£ºc‰•žp†y’ „‡ šp-Ÿ ’žažy‰•ˆ †@Œ ŸF˜Š‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ —„R_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡¿_‚ „mš'‹F‡ œ¿‚—½FŒ“‡ ­©‰Šˆž'Œ“‡
‹£ºc‰•’†aša‡ J_‚ ˆ -ž ’“ˆ †yŸFša‡ižpža‡ Œ ‰¿˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡ —m‡ižOšaŸFža„Œ †£‰•†a-ž ~„mˆ+‡ & ‚ ’“žWŒ“‡ ž|›ž|†y½Fœ‡—’ža‹išpŸF†a’“žaŸ ‡Fˆ & ‚ ˆm‹F†y’‚ ˆ —‡FžOc‰Ššy‰•œ½&†yša‡FžJˆ „œŸFša’ ƒ„m‡i-ž X¤‡Q‹£º‰Š’†aša‡ ‡Fžp†#‹i‚ ˆmžy‰Š‹FšaŸ @Œ ŸF†a„—‡Q— „ˆ‡
7
" * $ Ÿƒ„‰•†y’‚ ˆ —’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒ“Œ‡ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ „‡ ˆ‚Šˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Š’“šp‡ ‰Š„ žp‡iˆž—‡B³B‹ /O‡i‰Šˆ „’‰Š‰Ššy‰•²†
—c‰•ˆž„ˆ$œ¿‚—½FŒ“‡f‚$’“ˆ †y‡Fšp˜ƒ’“‡Fˆ †„ˆ‡O‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ¿—‡'& ‡išpœ‡&†y„šp‡¤‡©‹£º‰Š’†aša‡ —m‚ ˆˆ‡
—‡FžšpŸiža„mŒ†£‰¾†yžOc‰Šš|†y’“‡FŒ“žJžp„š'„mˆ7†yša‰w˜Š‰•’“Œ ‡FˆR‹i‚Š„šaž#‹i‚ ˆm‹i‡išpˆc‰Šˆ † Œ‡ižOšp‚ ša’ŸF†aŸiž#—„7ž|›ƒžp†y½Fœ‡
‡FˆI†y‡FœmžŒ“‚ 0ˆ J
°fˆ,‡ šy‰Šˆm—‡©c‰Šš|†y’‡W—‡J‹F‡ižY†yšp‚ ’“žD‰ŠˆˆŸF‡iž‰Ÿ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †ŸF†aŸ©‹i‚Šˆžy‰Š‹FšaŸF‡ —‡ižžp„¾‘p‡F†ažŒ“’“ŸFž
—‡ižt‹i‚Šˆ †ašy‰•†až’“ˆ—„mžp†yšp’“‡FŒ“-ž ·©ˆ®‰’“ˆ‹FŒ“„$—c‰•ˆž„ˆ‡#—‡i„´’½iœ¿‡#‰Ššp†a’“‡J—‡O‹i‡O—‚ƒ‹i„mœ‡Fˆ †tŒ‡iž
†ašy‰w˜•‰Š„´ ‡ ~‡F‹F†y„mŸižW‡FˆI‰Ššp†a‡iˆc‰Ššp’ ‰•†‰ ˜Š‡i‹#Œ ‰ žp‚‹F’“ŸF†aŸO¨WŒ“„mœ’ˆ’“„œ ¡ ‡i‹£º’ˆ‡F› ¡ ‚ „mš „ˆ‡I’“ˆ †yšp‚—m„‹F†a’“‚ ˆ 7Œ“‰ œ¿‚—mŸiŒ“’žy‰•†a’“‚ ˆ —m‡iž‹F„m˜ ‡Fž— ŸiŒ“‡F‹F†aša‚ Œ ›žp‡®— ‰ŠŒ„œ’ˆ’“„mœ ‚ ˆ ša‡Fˆ ˜Š‚ ’“‡ 7Œ“‰ †yº½Fža‡®—m‡ ¸ ‡i‰Šˆ¹5µcšpŸi—ŸFša’“‹ !J‡iLš _‡i‰Š„ ‹ & ŠŽ < ‡F† ‰Š„´ —‡F„´ ša‡Fœ’½išp‡iž
žp‡i‹F†a’“‚ ˆmžf—„I‹£ºc‰Š’ †yšp‡ M ­W’“žp‚ ˆžtža’“œ¿Œ‡iœ¿‡iˆ †‡F†tža„m‹i‹i’ˆ‹F†a‡iœ¿‡iˆ .† ƒ$„ ’ŒLž ‰ ’†—‡#šaŸFža‚ „m—ša‡
„ˆ¿šp5‚ Œ“½Fœ‡—m‡œ ‰ ŠˆŸF†a‚•¹!º ›ƒ—ša‚ƒ—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡ ³®±W­ r‰w˜Š‡i‹t—‡i„+´ 1c„’“—m‡ižržaŸFc‰ŠšaŸFž™‰Šš „ˆ‡
’ˆ †a‡iHš & ‰Š‹i‡ „’ †y‡©‰•„´ †ašy‰w˜•‰Š„´ šaŸi‰ŠŒ“’žaŸiž«c‰Šš ¸ ‡w‰Šˆ¹!µcšaŸi—mŸiša’D‹ !J‡iLš _‡i‰Š„‡F†ªDŒ ‰Š„—m‡©¤‡J¯Dšp’“žD—‰ŠˆžYŒ‡iž
‰ŠˆmˆŸi‡Fžt ¹5ŽŠ” ” J” ¾„ˆ‹i‚ƒ—‡— ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yž (ˆ’“ž —mŸF˜ ‡FŒ“‚ m_Ÿ‡iˆª 0S‡išpœ‡&†a†y‰Š’†z—‡ža’œ „Œ“‡Fš
—‡FžŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †až ³I±W­ ‰ ˜Š‡i‹I’“ˆ †y‡FLš & ‰Š‹F‡$Œ“’ mša‡‡Fˆ „m†a’“Œ’“žy‰•ˆ † „ˆ‡ & ‚ šaœ„Œ ‰•†a’“‚ ˆ7¨WLš ’†ašy‰Šš|›
¤‰ ša‰Š0ˆ ’“‰Šˆ ¥ „Œ“‡Fša’“‰Šˆ ¨©¤¥ ¡ Œ„ža’‡i„šp#ž ƒ„m‡ižp†a’“‚ ˆmžtšp‡iž|†£‰Š’‡iˆ †t‡iˆBža„žp_‡Fˆž
¨fˆc‰ŠŒ ›žp‡Oˆƒ„mœŸFša’ „‡O—‡OŒ“‰ žp†£‰ ’“Œ’†yŸW—„Ižp‹£ºŸiœ‰—c‰ŠˆžŒ“‡J‹i‰Šž—‡[email protected]Œ ’“ˆ †y‡FLš & ‰Š‹F‡JŒ“’ ša‡ ¡ šp’“ža‡O‡FˆI‹F‚ œ†y‡J—‡OŒ ‰ †a‡iˆžp’“‚ ˆ —‡Oža„mLš & ‰Š‹F‡ »«‰•Œ“’“—‰•†y’‚ ˆ—„B‹i‚ƒ—‡J—c‰Šˆmžf—‡Fž‹i‚ Jˆ (0 „šy‰¾†y’“‚Šˆž‹i‚ œ¿Œ‡&´‡iž ¼t‚ „ž ‰w˜ ‚Šˆž „ špŸiS‚ ˆ—špB‡ W‹£ºc‰Š‹F„ˆQ—‡Y‹F‡iž S‚ ’ˆ †ažz‡&† Œ“‡Fžz‹£ºc‰Šm’†yšp‡iž ža„’ ˜Š‰•ˆ †až —ŸF‹iša’ ˜ ‡Fˆ †r‹F‡iž
špŸiža„mŒ†£‰¾†y-ž ¡ Œ“„mžfšpŸi‹F’“žaŸFœ‡Fˆ † Œ“‡O‹£ºc‰Šm’†yšp‡ ‡iž|†W„mˆ‡'’ˆ †yša‚ƒ—„‹&†y’‚ ˆB‰Š„´Bšp5‚ Œ“½Fœ‡Fž_‚ žpŸiž
c‰•š Œ ‰Wžp’“œ „mŒ ‰•†a’“‚ ˆ#—‡iž ‹F„m˜ ‡Fž — ŸiŒ“‡F‹F†aša‚ Œ ›žp‡—‡Y?Œ ‰ŠŒ„œ¿’“ˆ’„œ ‡&† šaŸFža‡Fˆ †a‡ža„‹F‹i’“ˆm‹F†y‡Fœ‡Fˆ †rŒ ‰
ž|†yšy‰¾†y-Ÿ Š’“‡Oˆ „œŸFša’ ƒ„m%‡ „’L‰ŸF†yŸ'‰Š—‚Šm†yŸF‡‰Š’ˆža$’ ƒ„m‡Œ“‡Fžža’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆmžYˆ „œŸFša’ ƒ„m‡ižtŒ“‡ižŒ„ž
šp‡išpŸiža‡Fˆ †£‰•†a’˜ ‡F-ž L¤‡ ‹£ºc‰Šm’†yšp‡ ” —mŸi‹išp’†JmŒ“„ž©‡Fˆ —ŸF†y‰Š’“ŒL„ˆ‹w‰•ž©†y‡iž|†JS‡išp†a’“ˆ‡Fˆ †J—„ _‚Š’“ˆ †
—‡O˜ƒ„‡’ˆ—„ž|†yšp’“‡iAŒ „’S‡išpœ‡&†f—m‡'‹F‚ œ‰Šša‡Fštˆm‚Š†yšp‡'‰•ša‚ƒ‹£º‡#ˆ „œŸFša’ ƒ„m‡‰w˜ ‡F‹— ‰Š„m†aša‡F-ž ¥ Jˆ (c$ˆ _Œ‡'‹£ºc‰•’†aša‡ —m‚ ˆˆ‡#Œ“‡Fžf—Ÿ&†£‰Š’Œ“ž—‡#@Œ ’“œ¿Œ“ŸFœ‡Fˆ †£‰•†a’“‚ ˆˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ _‰•’“ˆžpA’ ƒ„m‡—‡
?Œ ‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža‡J—m‡#Œ“‰Qžp†£‰ ’“Œ’†yŸf—„Bža‹£ºŸFœ J‰ ¤‰©Œ“„‰Ššp†z—‡iž ‹£ºc‰•’†aša‡iž žp‚ ˆ † —‡Fž ša‡imša‚ƒ—„‹F†a’“‚ ˆmž — ‰Ššp†a’“‹iŒ‡iž ‰Šša„žz‚ „‰Š‹i‹F‡im†aŸižrS‚ „š
J„ Œ“’‹w‰•†a’“‚ ˆ Ž M 0– J Jc  ‚ „¿ža‚ „œ¿’“ž r‚Š„ ’‡iˆ¿‡iˆ‹F‚ ša‡f— ‰•‹F†y‡FžD—‡t‹i‚ŠJˆ & Ÿišp‡iˆ‹F‡iž M
 ” c‡F†?Œ ‡Fˆža‡F+œ Œ‡#mšaŸižp‡iˆ †y‡#—‚ ˆm=‹ „‡FŒ „‡Fžfšp‡i—‚ ˆm—c‰Šˆ‹F‡i-ž &
AA C A C C ¡  .¯ ¸ ‚ „mša—c‰Š’ˆ L¦D ¤‡iŒ’“½F˜ƒšp‡ ‰Šˆ— ª, ¤‡ ¯Dša’ž-¥z´’“ž|†y‡iˆm‹i‡$‚&žp‚ Œ“„m†a’“‚ G ˆ & ‚ š ‰Iœ ’‹iša‚¾ ¹ G
œ‰Š‹F šaG ‚v œ¿ ‚—m‡iŒW‚&'S‚ Œ ›œ¿‡išp’“‹C1c„’“—<™†yº‡ µ ¥r¼f¥6œ¿‚—‡FŒ@ B
B
cŽ•” $ Ž  McŽŠ” ”•0– ¡ Ž .
¯ ¸ ‚ „šp—c‰Š’“$ˆ ,ª ¤‡¯Dšp’“-ž ‰Šˆ—D¦ ¤‡iŒ’“½F˜ƒšp‡_·©ˆ‰©˜•‰Ššp’ ‰Šˆ‹F‡Yša‡F—„‹&†y’“‚Šˆ†a‡i‹£ºˆm’ „‡B& ‚ š
œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰•‹iša‚¿ža’œ „Œ“‰•†y’‚ ˆžt‚ &«_‚ Œ ›ƒœ‡Fša’“=‹ 1c„’—-ž "G B Ž•” ” J ¦L‚‰ŠS‡w‰Šš ¡ .
¯ ¸ ‚ „šp—c‰Š’“$ˆ ~D¦ ¤‡iŒ’“½F˜ƒšp‡ ‰Šˆm—R,ª ¤‡¯Dšp’“ž Q¼f„œ¿‡išp’“‹i‰ŠŒ ‰Šˆc‰•Œ›ƒža’ž©‚ &™œ’‹iša‚¾¹!œ‰Š‹išp‚
žp ’“œ „m Œ ‰• †aG ’“ ‚ ˆžz‚ &X S‚ Œ›ƒ œ¿‡išp’“‹ 1c„m’“— 1c‚ 6žWƒ‰#žp’“œ¿Œ“‡‹i‰Šža‡ H G ~ Ž f ŽŠ”  Ž•– JŽŠ” ” MŽ ¡ – D
¦ ™¤‡iŒ’“½F˜ƒšp‡ 0·©m †y’œ ‰•Œ ‡išašp‚ š ‡F"Gžp†a’“œ ‰•†y‡ & ‚ š†yº‡ª·O¼f¼Wµ µz¥™mÀ!¦.‰Ššp‚ ‰Š‹£º ’ˆ ‰
žp’“œ¿Œ“‡W‹w‰Šžp‡ B
B $ m ŽŠJ” ŽŠ” ”Š0– ¡ ¸ ¹52
µ !J‡iLš _‡i‰Š„ z,ª ¤‡$¯Dšp’“ž z‰Šˆm—vD¦ ¤‡iŒ’“½&˜šp‡ ®’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆmž#‚ &f³®±W­ 1c‚ 6>ž 6’ †yº
œ¿‚ ˜ƒ’“0ˆ Q’ˆ †a‡iHš & ‰Š‹i‡F-ž ! B G B G#"$% X Š–   m5 cŽ•” ” J
¡ ¸ ¹52
µ !O‡F"š S‡w‰Š$„ z,ª L¤‡¿¯Dša’-ž L‰Šˆ— D¦ L¤‡iŒ“’½F˜ƒša‡ ³B‚—‡FŒ“Œ’“0ˆ ‰Šˆm—Rža’œ „Œ“ ‰•†y ’‚ ˆ ‚ &™†yº‡
’ˆG —„ ž|†yšp’ ‰ŠŒšp‚—„m‹F†y’‚ ˆ®‚ &«‰ŠŒ“„œ¿’“ˆm’“„œ;_†yºm‡ˆ‚ ˆmŒ“’“ˆm‡w‰Ššf‰Ššp‚ ‰Š‹£º & B
B B ”m mw0– ŽŠ” ”ŠJ– , "
" (
(
-
(
(
A C A A ¡r¬  '¯, ¸ ‚ „mša—c‰Š’ˆ®‰•ˆ—®¦DS¤‡iŒ’“½F˜ƒšp‡³I‰•†yº‡Fœ ‰¾†y’“‹i‰ŠŒ‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža’ž‚& ‰žp†a‚‹£ºc‰•žp†y’‹'—m’ _‡iša‡Fˆ¹
†a’ ‰ŠŒY‡ „c‰•†y’‚ ˆ ‰Šša’ža’“Jˆ ’“ˆ †yº‡ œ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚ œ¿‚—m‡iŒ“Œ’“ˆ0®‚&WS‚ Œ ›œ¿‡išp’“‹:1c„m’“—ž À!ˆ
À 4³ ­©‰w˜’‡iž " =¼ ¸D<‰ŠD‹iI5‚ G $ ƒ %¨ ¦ šp„ œ ‰•ˆ ƒ +· &"G±f‰Š žaža!‰Šˆ " M/ƒ³I‚ š" ‰Šˆ ƒ‰Šˆ—¼% ¡ R ‡i‰•†yºm ‡& ¹
šp’“Œ“?Œ Š ‡F— ’†a‚ šaž B
c‰ ‡ižfŽŠ” Ž Ž J R‚ŠšaŒ“—Bƒ‹i’“‡Fˆ †y’ (‹ SŽŠ” ” J
¡r¬ Ž ¸ ¹5
µ !J‡i"š S‡w‰•„ z D¦ ¤ ‡FŒ“’“ ½& ˜ƒG ša‡ z,ª ¤‡$¯™ša’“ž ‰Šˆm— %¼ z¤’ ‚ ˆ‡Fža‹£º‡ 7³I‡F†y‰ŠŒDc‰•— ša‚ ŒŒ
’ˆžp†y‰ ’“Œ’†a’“‡iž cc‰ Š‡iž– – MŽŠ” ” MŽ zša‚ƒ‹i‡F‡i—’0ˆ ‚ & †aº‡'ŽŠ” ” Ž ¦t³ 
¨fˆˆ „c‰ŠŒ ³I‡i‡&†y’0ˆ ¿‰Šˆ—I¥ ´º’ ’†a’“‚ $ˆ ¡r¬ ¸ ¹5
µ !J‡i"š S‡w‰•„ D¦ z¤‡iŒ“’½F˜ƒša‡ z‰•ˆ— ,ª G ¤‡ ¯Dša’-ž ¼tG „ œ¿‡iša’ ‹w‰ŠŒr žp’“" œ „Œ“‰•†y ’‚ ˆžO ‚ &† 6™‚•¹
1c„m’“—ž³®±W­ 1‚ 6ž À!ˆ B
G#" mc‰ ‡ižÀ  ”m À  A ” ŽŠ” ” Ž ¡r¬ – '
µ ­W0„ S‚ ’“žQ‰•ˆ— D¦ ¤‡iŒ“’½F˜ƒša‡ R¥ @¿‹i’‡iˆ †šp’“‹i’0ˆ ‚ &t¨Wžp’ ‰Šˆ ‚Šm†y’‚ ˆ+ž ›v†aº‡ ¡ ­©¥
‰Šmša‚ ‰•‹£º ƒŽŠ” ”ŠJ– ¬ ‰ŠS‚ š|†™ªY¥ ¬ ³IÀ|ªŽŠ” ”Š–•¹5Ž J¾žaJ„ œ’ †a†a‡i—Q†y‚ ¸ ‚ „špˆc‰ŠŒc‚ &XªD‚ œQ¹
„†£‰•†a’“‚ ˆc‰•Œµz’“ˆ‰Šˆ‹i‡ ¡r¬ ¸ ¡ ªDšp‚ ’“žp’“ŒŒ“‡ %
¨ X¥ šaˆ ~D¦ ¤‡iŒ“’½F˜ƒša‡ X‰Šˆm— ¸ ¡ ša‚ & -† '¨fˆc‰ŠŒ ›žp’“žJ‰•ˆ—ža’œ „Œ ‰¾†y’“‚ŠˆI‚ &
‰‹i‚Š„Œ“‡F— º ›ƒS‡i"š S‚ Œ’“‹ ¾c‰Ššy‰ _‚ Œ’“‹¿œ‚ƒ—‡FŒYša‚ Œ“‡Fœ ŽŠ” ”Š0– ¬ ‰Šm_‚ š|†¿ªY¥ ¬ ³BÀ|ª
ŽŠ”Š”Š–•¹|Ž MŽ mžp0„ œ¿’†p†y‡i—$†a‚ ¸ ‚Š„šaˆc‰•Œ‚ & ¼t„œ¿‡iša’‹w‰ŠŒX³®‰•†aº‡iœ‰•†y’‹iž ¡r¬ ',
¯ ¸ ‚Š„ša—c‰•’“ˆ¿‰Šˆ—¿D¦ ¤‡iŒ“’½F˜ƒša‡ XªD‚Šˆ ˜Š‡iLš ‡iˆ‹F‡©‚ &~‰Jžp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’‹t‰Ššp†a’“‹iŒ‡‰Ššp‚w´m’œ ‰ ¹
†a’“‚ ˆ ‚ &«†yº‡ž|†yša‡Fžaž#†y‡iˆmža‚ Dš & ‚ š©†aº‡¿µ ¥r¼W¥z¹ ¡ œ¿‚ƒ—‡i?Œ ŽŠ” ”•0– ¬ ‰•_‚Ššp†'ªY¥ ¬ ³BÀ|ª
ŽŠ”Š”Š–•¹|Ž Jmžp0„ œ¿’†p†y‡i—$†a‚  †y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’“‹ ¡ ša‚ƒ‹i‡Fžaža‡FžW‰•ˆ—B†aº‡i’š¨WmŒ“’“‹i‰•†y’‚ ˆž 32
2
"
(
-
(
C : A AA A C C C C ¤‡ižtœ‚ƒ—½iŒ‡iž‡&†WŒ‡iž†y‡F‹£ºˆ’ „‡FžWœ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚ ‚ „Iœ„Œ†a’ ¹!ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fž ™žp‡'žp‚ ˆ ,† S‡w‰Š„m‹i‚ „
—Ÿ&˜ ‡FŒ“‚ SŸiž™‹i‡Fž™—‡Fšaˆ’½išp‡iž™‰ŠˆˆŸF‡iž-ƒ‰Š„mžaža’ ’‡iˆ¿— „ˆS‚ ’ˆ †r—m‡t˜ƒ„‡tˆ „œŸFša’ƒ„m‡ „‡tœ‰•†yºŸk¹
œ‰•†y’ „‡ _¤+‡ „c‰ŠŒ“)’ (c‹w‰¾†y’ &zœ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚’“ˆ—’ „‡?Œ ‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡ —‡ —‡F„´ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fž©—’“ž|†y’ˆ‹F†a‡iž
‡iˆ‡ižpc‰Š‹i‡‚ „Q‡FˆQ†y‡iœ¿ž zž- ’“Jˆ 1c„m‡i0ˆ Ei‰Šˆ †[email protected]Œ „ˆ‡@Œ ‰Š„m†aša‡™‡F†rža‚Š„ž|¹ †y‡iˆm—¿—m‚ ˆ‹@Œ ‡&´’žp†y‡Fˆ‹i‡$— „ˆ
‹F‚ „Œ“‰ ‡J‡iˆ †aša‡#—‡iž-Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž ‹£º‰Š‹i„ˆI—‡ižtˆ’ ˜ ‡w‰•„G´ ¨[email protected]Œ ‚ šp’ ’ˆ‡I—m‡ ‹i‡&†a†y‡‡k´Œ“‚ žp’“‚ $ˆ D‚ ˆ †aša‚ „m˜Š‡ ’“‡FˆUž š$?Œ Ÿ&˜ ‚ Œ„m†y’‚ ˆ ’Jˆ & ‚ šaœ‰•†a’ „‡B‡F†
ˆ‚•†£‰Šœ¿œ‡Fˆ †QŒ ‰ c‰•šy‰ŠŒŒ“ŸiŒ’“ža‰•†y’‚ ˆ XŒ‡ižQœ¿ŸF†yºm‚—‡FžQœ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚®‹F‚ ˆ—„’žy‰Šˆ †žp‚ „m˜ ‡Fˆ :† „ˆ
ša‰Šˆ—7ˆ‚ +œ šp‡—m‡ S‡F†y’ †yž#ša‚ Œ“½Fœ‡Fž#’ˆ—ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ †yž'_‚Š„m˜•‰Šˆ >† K&†yša‡¿†yša‰Š’†aŸiž#‡iˆR‰Ššy‰ŠŒŒ“½FŒ“‡ ¡ ‰ŠšJ‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž „ˆ‹F‡išp†y‰Š’“ˆIˆ‚ +œ mša‡—m‡œ¿ŸF†yºm‚—‡FžWœ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡iž Œ ‰žp†y‰ ’Œ“’“ža‰•†y’‚ ˆ ?Œ ºm‚•¹
œ¿5‚ ŸFˆŸi’žy‰•†a’“‚ ˆ ¾Œ ‰fšaŸi—m„‹F†a’“‚ ˆQ—‡ž|›ƒžp†y½Fœ‡Fž S‡i„m˜Š‡iˆ †Dž ’ˆ †y‡išpšaŸ&†y‡Fš ‹i‚ œ¿œ‡™—‡ižrœ¿ŸF†aº‚—m‡iž
œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša0‚ ‹w‰Šš¿‡iŒŒ“‡Fž¿šp‡iS‚ ža‡Fˆ †ža„mš?Œ ‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡®—‡B—‡i„ƒ´§ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fž ‡iˆ§‡Fžac‰•‹i‡ ‚ „ ‡iˆ
†a‡iœ¿ž <
¤‡iž†y‡i‹£ºmˆ’ „‡Fžœ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚‚ ˆ † ˆm‚Š†£‰Šœ¿œ¿‡iˆ †¿ŸF†yŸB’“ˆ †aša‚ƒ—„’†a‡iž‡iˆ§šaºŸF‚ Œ“5‚ Š’“‡$S‚ „š
žp’“œ „Œ‡išLŒ“‡Fž 1c„m’“—‡FžzS‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡iž ¡ ‚ „š šaŸ&˜ ‚ ’šz‡F†zœ’‡i„´#‹F‚ œ¿ša‡Fˆ—ša‡™Œ“‡«‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †
— „ˆ 1„’“—‡‹F‚ œmŒ“‡&´‡ ƒ‚Šˆ œ¿‚—ŸFŒ“’ža‡Œ ‰Jœ‰Šˆ’½iša‡—‚Šˆ †™Œ“‡ ‹£ ºc‰•œ¿—‡f˜ƒ’ †y‡ižpža‡t—c‰Šˆž™Œ“B‡ 1c„’—‡
’Jˆ 1c„‡Fˆ‹i‡tŒ“‡Fž œ’‹iša‚Šžp†yšp„‹F†a„ša‡F-ž Œ‡Y‹i‚ „mŒ ‰ Š‡ža#‡ & ‰Š’“ža‰Šˆ † Œ‡Y†y‡Fˆža‡F„š™—m‡ižr‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡iž „’
—ŸF_‡Fˆ—®—m‡#Œ“‰Q‹i‚ Jˆ (0 „šy‰¾†y’“‚Šˆ$—‡ižtœ’‹išp‚ žp†aša„‹&†y„šp‡i-ž ·©ˆža‡Jšp‚ S‚ ža‡©—‰ŠˆžY„ˆ$mša‡iœ¿’“‡Fš™†a‡iœ¿žD—‡J—mŸi‹išp’“šp‡WšpŸi‹i’žaŸFœ‡Fˆ †Œ‡iž™œ‚ƒ—½iŒ‡iž™œ’‹iša‚¾¹
œ‰Š‹išp‚ —‡ 1c„’—‡ižtS‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡iž S‡&†WmŒ“„žtšaŸF‹i’žaŸiœ¿‡iˆ †W—‡ižfža‚ Œ„m†y’‚ ˆž’“Mˆ (cˆ’“œ¿‡iˆ †t—’Œ“„ŸF‡iž
—‡I_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡F-ž r‡iˆ œ¿‚ ˆ †yša‰Šˆ †¿Œ“‡i„mšaž Œ’“‡Fˆž¿‰ ˜Š‡i‹ Œ‡iž¿œ‚ƒ—½FŒ“‡ižœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡iž mŒ“„ž†yša‰¾¹
—’ †y’‚ ˆˆ‡FŒ“ž#—‡ 1c„m’“—‡Fž˜ƒ’“ža‹F‚ŸFŒ ‰Šž|†y’ ƒ„m‡i-ž z·©ˆv’“ˆm—’ „‡Fšy‰®‡Fˆža„’ †y‡Œ“‡iž'ša’ˆ‹i’c‰Š„´7špŸiža„mŒ†£‰¾†yž
œ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡ižD‡&†Yˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ižD5‚ m†y‡Fˆ „ž‰Š’ˆža’ „'‡ „‡iŒ „‡ižYS‡išpžaS‡i‹&†y’˜Š‡iž ¡ ‰ŠšY‰Š’“ŒŒ“‡i„mša-ž ‚ ˆ —Ÿ&†£‰Š’Œ“Œ‡f‡FˆI‰•ˆˆ‡&´D‡ „‡FŒ „‡iž‹i‰Ššy‰Š‹&†yŸFša’“ž|†y’ ƒ„m‡iž‹i‚Šœœ „mˆ‡ižY—m‡ižœ‚ƒ—½FŒ“‡iž™‡F†œ¿ŸF†aº‚—m‡iž
œ „mŒ†y’¶¹!ŸF‹£º‡iŒŒ“‡iž ?
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
H ¿("7F M %FC™z+8M E'C™ F:9I$%i($ #&P M ;8
z%FN$
¼f‚ „mž™ˆ‚Š„ž™mša‚ S‚ ža‚Šˆž™—‰Šˆž«‹i‡F†p†y‡fža‡i‹&†y’‚ ˆ—$ ’ˆ †aša‚ƒ—„’ša‡Œ“‡Fž«œ¿‚ƒ—½iŒ‡ižrœ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚©—‡
1c„m’“—‡Fž'S‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž ‡F†'c‰Šš|†y’“‹F„Œ“’½išp‡iœ¿‡iˆ †JŒ“‡FžOœ‚ƒ—½iŒ‡ižO—‡¿ža‚ Œ„m†y’‚ ˆžJ—’Œ“„ŸF‡ižO—‡¿_‚ŠŒ› ¹
œ¿½išp‡iž-z·©ˆRž ‰Šm„’“‡¿’“‹F’ ža„š#Œ“‡Fž'‚Š„m˜ƒšy‰ ‡Fž'—m‡ šaŸ & Ÿišp‡iˆ‹F‡ ¶ MŽ i J Mi ŽŠM” i Ž Ž @‰Š’ˆža’ „‡
žp„š Œ‡iž¿ˆ‚Š†y‡Fž—m‡I‹F‚ „šaž wJ”   ?r¤‡Fž —‡F„´ Œ“’ ˜šp‡iž J tža‚ ˆ †—‡iž’“ˆ †yšp‚—m„‹F†a’“‚ ˆžŒ„ž
‹F‚ „šp†a‡iž ‡&†'†aša½Fž ‰Š‹F‹i‡ižpža’ Œ“‡F+ž IŒ“‰BšpºŸi‚ŠŒ“5‚ ’‡ Œ ‰ ža‹F’“‡Fˆ‹i‡ ƒ„m’™Ÿ&†y„—’‡ Œ‡iž#—Ÿ & ‚ špœ ‰¾†y’“‚ŠˆžO‡F†
?Œ ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †Y—m‡©Œ ‰œ‰•†a’“½išp‡ ‡F†‡Fˆ$c‰Šš|†y’“‹F„Œ“’‡i8š Œ ‰#šaºŸF‚ Œ“‚ ’“‡t—‡i2ž 1c„’“—m‡ižYS‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž ­©‰Šˆž¿Œ ‰ ža„m’†y‡ ‚ ˆ§‡Fˆ †y‡iˆm—šy‰R‰Šš_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡ „ˆ‡Bœ ‰•‹iša‚Šœ‚ ŒŸi‹F„Œ“‡ ‹ ‡iž|†p¹ ¹!—’ša‡ „ˆ‡
œ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ‡ & ‚ šaœ¿Ÿi‡B—‡BŒ“„žp’“‡F„šaž¿œ’Œ“Œ’“‡išpž — ‰•†y‚Šœ‡Fž Q‹i‚ ˆž|†y’ †y„ŸF‡®—‡BŒ ‰ šaŸF_Ÿ&†y’†a’“‚ ˆ — „ˆ‡
S‡F†a’†y‡„ˆ’†aŸ‹£º’œ’ „‡ ‰Šm_‡FŒ“Ÿi‡œ‚ ˆm‚ œ½Fša‡ ~I¤ ‡&´‡iœ¿Œ“‡'†!›m’ „‡ ‡Fžp†O„ˆ‡‹£ºc‰•² ˆm‡ —‡QS‚•¹
Œ › ŸF†aº ›Œ½iˆ‡—=‡ & ‚Ššaœ „Œ‡ CH − (CH ) − CH S‰w˜ ‡i‹ n ša‰Šˆ— Œ„ža’‡i„špžfœ¿’“ŒŒ“’“‡Fšaž c·©ˆ
S‡i„m†tS‡iˆžp‡i.š Q‹i‡F†p†y‡#œ‚ŠŒ“Ÿi‹F„Œ“‡W‹i‚ œ¿œ'‡ „mˆIžpc‰ º‡&†a†[email protected]’ ·©ˆ‰ŠS‡iŒ“Œ8‡ 1„’“—‡™†y‚ „m†zœ ‰¾†yŸišp’ ‰Š„'ša‡F"ž „‡’“ˆm‹i‚ œ¿ša‡Fžažp’ Œ‡ „’m‹F‚ „Œ‡ Š‹ ‡Fžp†|¹ ¾¹ —’“šp‡ „’
šp‡iˆ— Œ“%‰ & ‚ šaœ¿‡W—m„BšpŸi‹F’“’‡iˆ † „’XŒ‡W‹F‚ ˆ †y’“‡Fˆ † Ÿ&˜ ‡iˆ †a„‡iŒŒ“‡iœ¿‡iˆ †‡Fˆ$„ˆ$†y‡iœ¿žYŒ‚ 0ˆ 0mªD‡F†p†y‡
ˆ‚•†y’“‚Šˆ—ŸiS‡iˆ— ’‡iˆ ž šJ—m‡¿?Œ ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ žpc‰•†a’ ‰ŠŒ‡‡F†O—m‡¿?Œ ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ —m‡ †y‡iœ¿žJ— 5‚ žp‡iš|˜Š‰¾†y’“‚Šˆ ¥ ˆ¿œŸF‹w‰Šˆ’ „‡—‡iž 1„’“—‡Fž ‹i‚ œ¿œ¿‡Y‡iˆœ¿Ÿi‹w‰•ˆ’ „‡—‡Fžrža‚ Œ’“—‡F-ž Š‚Šˆ¿‹£ºm‡iša‹£ºm,‡ ©‹F‚ œmša‡iˆm—ša‡
Œ‡iž©šp‡iŒ ‰¾†y’“‚Šˆžf‡Fˆ †yša‡Œ“‡ižWža‚ ŒŒ“’“‹F’†y‰•†y’‚ ˆž ‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡‚ „—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆI‰ŠŒ’ „ŸF‡ižJ‰Š„ _‚ šp—
‡&†JŒ ‰šaŸF_‚ ˆmža‡ —„®œ ‰•†aŸišp’ ‰Š„ ‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡'‚ „®—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆB5‚ m†a‡iˆ „‡ižJ—‰ŠˆžW?Œ ŸF‹£ºc‰Šˆ †y’Œ“Œ‚ ˆ žp‚ ’†™—c‰Šˆž«„ˆšp-Ÿ ’œ‡†ašy‰Šˆžp’†a‚ ’“šp‡ žp‚ ’†«—c‰ŠˆmžD„ˆŸ&†£‰•†™žp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰•’“ša‡ ­©‰ŠˆmžDŒ“‡t‹w‰•ž™—‡fŒ ‰OœŸk¹
‹i‰ŠˆG ’ „‡=—<HG‡F ž ža ?‚ > Œ’“—‡F -ž •‚ ˆœ‡Fža„šp‡‡iˆ ŸiˆŸFšy‰ŠŒmŒ ‰W—Ÿ & ‚ ša œ ‰•†a’“‚ ˆ ‡Fˆ & ‚ ˆ‹F†a’“‚ ˆQ—m‡Œ ‰©‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡
B < ¡ ‚ „š„ˆ 1c„’—‡W˜ƒ’“Lž „‡i„´ [email protected] B
<‹ ‡Fžp†‡iˆ & ‰Š’ †YŒ‡f†£‰•„´
—‡ —Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ ‰Š„m†aša‡Fœ‡Fˆ †—m’†QŒ“‰®˜’ †y‡Fžaža‡ —‡$—mŸ & ‚ špœ ‰•†a’“‚ ˆ „’‡Fžp†šp‚ _‚Ššp†y’‚ ˆˆ‡FŒ Œ“‰ ‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡ ‹ & Œ :‰ & ‚ špœ „Œ“‡ 5 B< HG W‹ i ’¶?¹!> —‡Fžaža‚Š„ž < ¡ ‚ „š#Œ“‡Fž 1„’“—‡Fž ƒ„m’«ˆm‚ „ž#’“ˆ †yŸFša‡ižpža‡Fˆ †
‡&'† „‡?Œ ‚Šˆ®‰Šm_‡FŒ“Œ“‡ @ B B cŒ‡O‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡Fœ‡Fˆ †f‡Fžp†W„ˆ‡‹F‚ +œ ’ˆc‰Š’ža‚ ˆ —‡
‹F‡iž —‡F„´R‹w‰Šž'‡F†'Œ“‡i„mš'œ¿‚—mŸiŒ“’žy‰•†a’“‚ ˆšp‡iž|†y‡„ˆ7ža„¾‘p‡&† —’ @¿‹i’“Œ‡‡F† $— ‰Š‹&†y„c‰•Œ“’†aŸ ¤‡i=ž 1c„’—‡iž
˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ“ ‰Š žp†a’ „‡iž & ‚ ˆ †¿c‰Šš|†y’“‡$$— „ˆm‡I‹FŒ ‰Šžpža‡BŒ“„ž’œS‚ šp†y‰Šˆ †y‡—mC‡ 1c„m’“—‡Fž ‰Šm_‡FŒ“Ÿiž @ B —m‚ ˆ †‚ ˆ7ˆ‡ ža‰Š’†#c‰•ž'—ŸF‹išp’“ša‡¿ža’œmŒ“‡iœ¿‡iˆ †OŒ‡‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ -† ¤ ŸF†a„—‡
—‡™‹i‡«‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †Lža‚ „ž Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †z‡Fžp† ’œS‚ š|†£‰Šˆ †‹i‰Šš ‹F‡iž 1c„’“—m‡ižz’ˆ †y‡iš|˜ƒ’“‡iˆmˆ‡iˆ † —c‰Šˆž
—‡Oˆ‚Š+œ ša‡F„ža‡Fžt‰ŠŒ’“‹w‰¾†y’“‚Šˆž ’“ˆ—m„žp†aša’“‡©‰ŠŒ“’œ‡Fˆ †y‰Š’“šp‡ S‡i’“ˆ †a„ša‡ ’“ˆ—m„žp†aša’“‡WŒ ‰Šž|†y’ ƒ„m‡ )) <
¤‡iIž 1c„’—‡iž«ˆ‚ ˆ¹ ˆ‡ 6†a‚ ˆ’‡iˆž ‹ ‡Fžp†|¹ ¾¹ —’“šp‡Y†y‡iŒž ƒ„m‡fŒ‡Y†£‰Š„´Q—‡f—mŸ & ‚ špœ ‰•†a’“‚ ˆQ$ˆ ‡Fžp†«c‰Šž
šp‚ S‚ šp†a’“‚ ˆˆm‡iŒ Œ ‰Q‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡ ža‚ ˆ ††yšp½ižf‹i‚ „ša‰Šˆ †yžt—c‰ŠˆžtŒ ‰Qˆc‰¾†y„šp‡'‡&†f—‰Šˆž[email protected]Œ ’“ˆ—„mžp†yšp’“‡ ¤‡iž _‚Š„‡iž tŒ‡ žy‰Š0ˆ ža‚Šˆ †I—‡Fž 1c„’—‡iž ˆ‚Šˆ¹!ˆ‡ 6†y‚ ˆm’“‡iˆm-ž t­W‡Rœ Kiœ¿‡ D—c‰ŠˆžBŒ“‡ —‚ œ‰Š’ˆ‡
‰ŠŒ’“œ¿‡iˆ †£‰•’“ša‡ _Œ+‡ Œ“‰Šˆ‹Q— ‚‡FJ„ & XŒ“‰œ ‰w› ‚Šˆˆc‰Š’ža‡ ~Œ“>‡ & šp‚ œ ‰ ‡ ‚ „ Œ“‡‹£º‚‹F‚ Œ ‰¾D† & ‚ ˆ—„ X­©‰Šˆž
?Œ ’ˆ—„ž|†yša’‡ ‚ ˆQ‰ ‘p‚ „m†y‡™ža‚ „˜ ‡iˆ †r—‡Fž S‚ Œ›ƒœ¿½iša‡Fž t—‡iž 1„’“—‡Fž S‚ „šLŒ“‡i„mšz‹i‚ŠJˆ & Ÿišp‡išz‹F‡iš|†£‰Š’ˆ‡iž
šp‚ šp’“ŸF†aŸiž ­W‡ †a‡iŒ“%ž 1c„’“—m‡iž ‚ —m‡Œ“‚ Jˆ „‡ižœ‚ ŒŸi‹F„Œ“‡F>ž c‰Š’ ˆ‡Fˆ †—c‰ŠˆžQ„mˆ ža‚ Œ ˜Š‰•ˆ †ža‚ ˆ †
‰Šm_‡FŒ“Ÿiž —‡FCž 1„’“—‡Fž _‚ Œ ›ƒœŸFša’ „‡F-ž t,ª ‡iž|†®Œ‡‹w‰Šž —‡FžIžpºc‰Šœ¿_‚ƒ‚ ’“Jˆ -ž ™—‡iCž ‡iŒž$‚ „0—‡iž
—Ÿ&†y‡F"š ‡Fˆ †a-ž ·Jˆ7Ÿic‰•’“žažp’†#—‡Fž'S‡i’ˆ †a„ša‡F-ž L—‡iž#—‡Fˆ †a’ & šp’“‹i‡F-ž —‡Fžža‚Š„_‡Fž‚ „ —‡Fžžy‰•„‹i‡Fž‡iˆ
‰ ‘p‚Š„m†£‰Šˆ †J—m‡ižJS‚ Œ›ƒœ¿½iša‡Fž©’“ˆmŸiŒ ‰•žp†y’ „‡iž X·©ˆ †yšp‚ „m˜Š‡Q-Ÿ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †©—m‡ižO‰ŠmŒ“’“‹i‰•†y’‚ ˆžt—c‰ŠˆžWŒ“‡
—‚Šœ ‰Š’ˆ‡Y—‡?Œ ‰•„m†y‚ œ¿5‚ ’Œ“‡r‚ ‚ ˆ¿‰ ‘p‚ „†y‡—‡Fž _‚ Œ ›ƒœ½Fša‡iž S‚ „šzœ‚ƒ—’ (‡išzŒ‡‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †
—‡Fž'‹i‰Š"š m„šy‰Šˆ †až#žp‚ „ž#—‡ižO‹F‚ ˆ—’ †y’“‚ŠˆžJc‰Šš|†y’“‹F„Œ“’½išp‡iž©—‡Q†a‡iœ¿_ŸFšy‰•†a„ša‡Q‡&†'—m‡¿mša‡ižpža’‚ ˆ ‚ „
‡Fˆ‹i‚ šp‡7—‰ŠˆžBŒ“‡ —‚ œ‰Š’“ˆm‡ —‡ @Œ ’“ˆ—„mžp†yšp’“‡ SŸF†aša‚ Œ’“½Fša‡S‚ „š žp†y‰ ’“Œ’“žp‡iš?Œ ’ˆ †a‡iHš & ‰Š‹i‡ ‡w‰•„ 465!4
3
2 n
3
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
SŸF†aša‚ Œ‡‰(cˆ — ‡k´ƒ†yšy‰•’“ša‡QmŒ“„žJ—‡SŸF†aša‚ Œ‡¥ ˆJ(cˆ$ža’Šˆc‰ŠŒ“‚Šˆž©„ˆ‡—‡Fšaˆ’½išp‡¿mša‚ šp’“Ÿ&†yŸ †yšp½iž
„m†a’“Œ‡ —‡i:ž 1„’“—‡Fž$_‚ŠŒ›ƒœŸFša’ƒ„m‡iž‡&†$‡iˆ‹F‚ ša‡ œ‰ŠŒt‹i‚ œ¿ša’ža‡vD‡iˆ0‰ ‘p‚ „m†y‰Šˆ ††yšp½iž$S‡i„ —‡
S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡i+ž B„ˆvžp‚ Œ˜•‰Šˆ † ‹i‚Šœœ¿‡—‡ Œ? ‡i‰Š„ ‚ ˆRšaŸi—m„’†'Œ ‰ ‹£º „m†y‡—m‡ šp‡i žažp ’“‚ ˆR _‚ „m š'„ˆ
ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †#—c‰ŠˆžJ„mˆ †a„m› ‰•„$‘p„Lž „ Š” ‹F‡¿mºŸiˆ‚Šœ½Fˆ‡Q‡iž|†‰•_‡FŒ“Ÿ
B <
ªD‡F‹i’~†aša‚ „m˜Š‡©—‡Fž‰ŠŒ’“‹i‰•†y’‚ ˆžr—c‰Šˆž™†y‚ „m†Dša‚ƒ‹iŸF—Ÿ©ˆŸF‹i‡Fžaža’ †£‰Šˆ †Œ‡t†ašy‰Šˆžp_‚Ššp†Y—$ „ˆ$Œ’ „’—‡
Œ ‰Šˆ‹F=‡ ’ˆ‹i‡Fˆ—’‡ )) <
¤‡i2ž 1„’“—‡Fž™S‚ Œ ›œ¿Ÿišp’ „‡Fž™‹F‚ ˆžp†a’†a„‡iˆ †Y„mˆ‡Wc‰•šp†r†yšp½ižD’œS‚ š|†£‰Šˆ †y‡—‡fŒ ‰Oša‡F‹£º‡išp‹£º‡©‡iˆ
špºŸi‚ Œ5‚ ’‡ —‡ c‰•šWŒ“‡F„šW’ˆ †yŸiLš KF†W’“ˆ—„mžp†yšp’“‡FŒ — „ˆ‡c‰Ššp-† _‡&†O‰Š„žpža’ c‰Šša‹F+‡ „ ‚ ˆ_‡F„m†™‘p‚ „m‡iš
žp„šzŒ‡i„špž šp‚ šp’“ŸF†aŸiž —‡Dœ‰Šˆ’½iša‡ržp’“œ¿Œ“‡ wc‰ŠšL‡&´‡iœ¿Œ‡D‡iˆ'‹£ºc‰Š0ˆ Š‡w‰Šˆ † Œ“‰t‹F‚ ˆ‹i‡Fˆ †yšy‰¾†y’“‚Šˆ‚ „
Œ‡ižWmša‚ šp’“Ÿ&†yŸižf—‡ižf_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡Fž©‰ ‘p‚ „†yŸižW‰Š„ žp‚ Œ˜•‰Šˆ † ¡ ‰Ššaœ¿’Œ“‡iž 1c„’—‡ižf_‚ Œ ›ƒœŸFša’ „‡F-ž ‚ ˆ
—’žp†a’“0ˆ „m‡DŒ“‡Fžzžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmžz—’Œ“„ŸF‡ižz—m‡DS‚ Œ›ƒœ¿½iša‡FžzS‚ „š Œ“‡iLž „‡iŒŒ“‡ižz‚ ˆ S‡i„m†zˆ-Ÿ Œ’ ‡Fš Œ‡iž ’ˆ †y‡iš5¹
‰Š‹&†y’‚ ˆž‡iˆ †yšp‡™Œ‡iž‹£ºc‰•²“ˆ‡ižL—‡«_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡F-ž —‡Fž S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡iž & ‚ ˆ—m„ž ‚Š„'žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž‹i‚ ˆ‹F‡iˆ †yšpŸi‡Fž
S‚ „šŒ‡i"ž „‡FŒ“Œ‡iž‹i‡Fž’“ˆ †y‡Fšy‰Š‹&†y’“‚Šˆž ‘p‚ „‡Fˆ †„mˆIš Œ“‡©’œS‚ š|†£‰Šˆ † ­©‰ŠˆmžtŒ“‰ ža„’ †y‡ ˆ‚ „ž‰•Œ“Œ“‚Šˆž
ˆ‚Š„žf‹F‚ ˆ‹F‡iˆ †yšp‡ištža„š@Œ ŸF†a„—‡Jœ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡©—‡ižtœ¿‚—½FŒ“‡Fž_‚ „mšŒ“‡ižžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž—’“Œ„Ÿi‡F-ž ¼f‚ „mž#ˆm‚ „žOša‚Š_‚ žp‚ ˆžOœ‰Š’“ˆ †y‡Fˆc‰Šˆ †J—‡œ¿‚ ˆ †yšp‡išJ‹i‚Šœœ¿‡iˆ †O‚ ˆ S‡i„m†#—ŸF‹iša’ša‡œ‰•†yºŸk¹
œ‰•†y’ „‡iœ¿‡iˆ †Œ‡I‹F‚ œ¿_‚ š|†y‡Fœ‡Fˆ † —‡iž 1c„’“—m‡iž S‚ Œ ›œ¿Ÿišp’ „‡F-ž «‡iˆU—Ÿ&˜ ‡iŒ‚ c‰•ˆ †c‰Ššp†a’“‹F„¹
Œ’“½išp‡iœ¿‡iˆ †Œ“‡Fž‰Ššp‚‹£ºm‡iž c‰ŠžpŸi‡iž¿ža„mš¿Œ‡$‹i‚ „mŒ ‰ Š‡$‡iˆ †yšp‡BŸ „c‰•†y’‚ ˆžœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž‡F†
œ¿‚—m½iŒ“‡Fžœ‚ŠŒ“Ÿi‹F„Œ ‰•’“ša‡F-ž ƒ—„ †!›S‡#-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž—m‡¤‰Š0ˆ Š‡F˜ƒ’“ˆ 34)&! (! .!-3 )& ' )& 1""
·©ˆBž ’ˆ †yŸišp‡ižpža‡+Q—‡Fž1„’“—‡Fž’“ˆ‹F‚ œmša‡ižpža’Œ“‡Fž-m‹F‡% „’žp‡J†yšy‰•—„’†‰ŠšJ
 
‚ u(t, x)t—Ÿižp’ ˆ‡'Œ“‡'‹£ºc‰Šœ¿—‡˜ƒ’†a‡ižažp‡ t ≥ 0 Œ‡'†a‡iœ¿ž-_‡F† x Œ ‰˜•‰Šša’“‰Œ“‡#— ‡ižpc‰Š‹i‡
·©ˆBža„S‚ žp‡% „‡ x ∈ D ‚ D ‡iž|†W„mˆI—‚Šœ ‰Š’ˆ‡'S‚ šaˆmŸJ—‡ R d =2 ‚Š„ d = 3< > ¤I Ÿƒ„‰•†y’‚ ˆ —‡‹i‚ ˆžp‡iš|˜Š‰¾†y’“‚Šˆ —m‡¿Œ“‰: „c‰Šˆ †y’ †yŸ—‡œ‚Š„m˜ ‡Fœ‡Fˆ †
B B
‡Fˆ ‰Šˆ0ŠŒ ‰Š’ž «S‚ „š„mˆC1c„m’“—‡O’“ˆm‹i‚ œ¿ša‡Fžažp’Œ‡©ž- Ÿi‹Fša’†#
5 Ž
ρ (∂ u + u.∇u) = div (σ) + f
‚ ρ —Ÿižp’ ˆ‡7Œ ‰ —‡iˆžp’†aŸR—„ 1„’“—‡ ‹F‚ ˆžp†y‰Šˆ †y‡v‰Šš®º ›ƒ_‚•†yº½Fža‡ — ’“ˆ‹F‚ œ¿ša‡Fžaža’ ’“Œ’†aŸ „ˆ‡ & ‚ šp‹i‡R˜Š‚ Œ“„œ¿’ „‡7‡&´ƒ†yŸFša’‡i„šp‡ ‡F† (σ(t, x)) Œ‡7†a‡iˆžp‡i„š—‡Fž‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡iž (f (t, x))
ªD‡$†y‡Fˆža‡F„šQ‡iž|†Q†y‡FŒ „‡ σ(t, x).n(x) ša‡imšaŸižp‡iˆ †y‡ Œ“‰ & ‚ ša‹F‡$ža„Hš & ‰Š‹i’ „‡$ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †£‰Š’ša‡ ƒ„m’
ž ‡k´m‡Fša‹F‡‰Š„ †y‡Fœž t ža„š[email protected]Œ ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †J—‡¿ža„mLš & ‰Š‹F‡¿žp’†a„Ÿ¿‰Š„ _‚ ’ˆ † x ‡&†'—m‡¿ˆm‚ šaœ‰ŠŒ“‡ n(x) ¡ ‰Šš—‡ižšy‰•’“ža‚Šˆˆ‡iœ¿‡iˆ †až‹iŒ ‰•žaža’ „‡iž c‚ ˆ œ‚ ˆ †ašaD‡ „‡OŒ“‡©†a‡iˆžp‡i„š σ —‚Š’#† KF†aša‡Jž|›œ¿ŸF†aša’ ƒ„m‡ I¤ ‡&´ša‡Fžažp’“‚ ˆI—‡ σ ‡ižp†tŒ“‰ ža„’ ˜Š‰•ˆ †a‡
À!—
5
σ = −p + τ ,
‚ (p(t, x)) ‡iž|†Œ“‡t‹£ºc‰Šœ¿ —m‡©ša‡Fžažp’“‚ ˆ—‰ŠˆžDŒ‡ 1„’“—‡ À!— —Ÿižp’ ˆ‡fŒ ‰# œ ‰• †aša ’‹i ‡’“— ‡Fˆ †y’†aŸf—m‡
†y‰Š’“ŒŒ“‡ d × d ‡F† (τ (t, x)) —Ÿižp’ ˆm‡WŒ“‡†a‡iˆžp‡i„šY—m‡ižD‡k´ƒ†yšy‰ ¹!‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡iž
<
¡ ‚ „2š & ‡Fšaœ¿‡išrŒ“‡ž|›ž|†y½Fœ‡ ’Œcša‡iž|†y.‡ 'špŸi‹F’“ža‡Fš™„mˆ‡fšp‡iŒ“‰•†y’‚ ˆ‡iˆ †yšp‡ τ ‡&† u ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ¿‰ŠS‡iŒŸi‡
Œ‚ ’X—‡O‹i‚ŠœS‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ † div (u) = 0,
d
t
$7
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
= + A G B B , G G % ?> B G G GB< G B
B
σ
G > >
*
*,
$ 7.
6
% ¡ ‚ „mšW„ˆ 1c„m’“—‡'ˆ‡6†a‚ ˆ’“‡Fˆ S‚ ˆ S‚ žp†a„Œ“‡'„ˆ‡šp‡iŒ“‰•†y’‚ ˆ®Œ’“ˆŸi‰Š’“šp‡J‡iˆ †yšp‡ τ ‡F†WŒ“‡O†y‡iˆmža‡i„mš
†y‰Š„´ — ‡O—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ γ̇ —Ÿ(cˆm’c‰ŠšJ
5 –
γ̇ = ∇u + (∇u) .
¬ ‡iœ‰Š"š „‡Fš ƒ„m‡t‰Šš º ›S‚Š†aº½ižp‡f— ’“ˆm‹i‚ œ¿ša‡Fžažp’ ’Œ“’†aŸ ‡Fžp†™—‡Y†yša‰Š‹i‡ˆ „ŒŒ“‡ ¤L‰J‹F‚ ˆžp†y‰Šˆ †y‡
—‡šp‚ S‚ šp†a’“‚ ˆˆ‰ŠŒ“’ †yŸ#‡iˆ †yšp‡ τ ‡&† γ̇ -ž ‰ŠS‡iŒŒ“‡ Œ“‰ ˜’ža‹F‚ γ̇ža’ †yŸ —›ˆ‰Šœ’ „‡ W‡&†'‡Fžp†Oˆ‚•†yŸi‡ η ·©ˆB5‚ m†y’‡iˆ †t‰ŠŒ‚ šaž?Œ ‡k´mmša‡ižpža’‚ ˆIžp„’˜•‰Šˆ †a‡#S‚ „š σ
À!—
5 σ = −p + η ∇u + (∇u) ,
‡&†'‡Fˆ ’“ˆ¾‘p‡F‹F†£‰•ˆ †O‹F‡F†p†y‡ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ —‰Šˆž 5 Ž W‡&†O‡iˆ „m†y’Œ“’žy‰Šˆ †JŒ“‰ ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ— ’“ˆm‹i‚ œ¿ša‡Fžažp’ ’¶¹
Œ’†yŸ 5  c‚ŠˆB‚ m†y’‡iˆ †Œ“‡FžtŸ „c‰•†y’‚ ˆž—‡#¼f‰ ˜ƒ’‡iš|¹5ƒ†y‚Š¢Š‡iž#
5 ρ (∂ u + u.∇u) − η∆u + ∇p = f ,
div (u) = 0.
À!Œc‡Fžp†«’“œ¿_‚Ššp†£‰•ˆ †z—‡ˆ‚Š†a‡iIš „ ‡iˆ—Ÿi’ † —‡Œ ‰©žp’“œ¿Œ“’‹i’ †yŸ«—‡Œ ‰©šp‡iŒ ‰¾†y’“‚Šˆ —‡‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †
S‚ žp†a„Œ“ŸF‡ c‹F‡iž-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžtS‡išpœ‡&†a†a‡iˆ †—‡Oža’œ „Œ“‡FšY„Cˆ šy‰•ˆ— ˆ‚ +œ šp‡J—D‡ 1c„’—‡iž ?Œ ‡i‰Š„ Œ“‡
œ¿’“‡[email protected]Œ )) ‡&† & ‚ „špˆ’“žpža‡Fˆ †D—‡iž™šaŸFža„Œ †£‰•†až „’Sža‡W‹F‚ œ¿c‰Šša‡Fˆ †D†yšp½i2ž ’“‡F:ˆ ?Œ ‡k´mSŸišp’“‡Fˆ‹i‡ œ Kiœ¿‡
—c‰•ˆžf—m‡iž‹i‚ ˆm—’†a’“‚ ˆž‡k´ƒ†y"š KFœ‡Fž ˆ‚ >œ ša‡O—‡ ¬ ‡F›ƒˆ‚ Œ—žŸiŒ‡F˜ Ÿ Ÿi‚ œ¿ŸF†aša’‡©‹i‚ œ¿Œ‡&´‡ <
T
T
t
> $ 7.
" / $ *
>=
3
"
$ 7
$ ¤ ‡iž 1c„’—‡iž ˜ƒ’ža‹i‚ƒŸiŒ“‰Šžp†a’ „‡Fž ža‚ ˆ †r‹w‰•šy‰Š‹&†yŸišp’“žpŸiž c‰Šš Œ‡& ‰Š’ † „‡Œ ‰WšpŸiS‚ ˆžp‡.©„mˆ‡—Ÿ& ‚Šš|¹
œ‰•†y’‚ ˆ$špŸiža‡Fˆ †y‡%Œ“‰>& ‚ ’“žD„ˆ ‹w‰Šša‰Š‹F†a½iša‡J˜ƒ’“žL „‡i„´ ‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡Jša‚Š_‚ š|†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ“‡f‰Š„$†£‰•„´
—‡'—Ÿ& ‚Ššaœ‰•†y’‚ ˆ ™‡&†W„ˆI‹w‰Šša‰Š‹F†a½išp‡'ŸFŒ ‰Šž|†y’ „‡ ‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡'šp‚ S‚ šp†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“Œ‡DŒ ‰Q—Ÿ& ‚Ššaœ‰¾¹
†a’“‚ ˆ <c¤‡iBž 1c„’—‡ižS‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡ižžp‚ ˆ †t—‡i#ž 1c„’—‡iž˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ ‰•žp†y’ „‡iž
¡ ‚ „mš©‡&´Œ‚ ša‡Fš©Œ“‡'‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡Fœ‡Fˆ †W—‡F'ž 1c„’—‡ižW˜ƒ’ža‹i‚ƒŸiŒ“‰Šžp†a’ „‡Fž©‡F†JmŒ“„ž. ŸiˆŸFšy‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †
—‡FCž 1„’“—‡Fž ˆ‚ ˆ¹ ˆ‡ 6†a‚ ˆ’“‡Fˆ-ž ‡&†B_‚ „mš$‹i‚ œ¿c‰Ššp‡iš$Œ“‡Fž$œ‚ƒ—½FŒ“‡iž$‡&† Œ“‡FžB‡k´_ŸFša’“‡Fˆ‹i‡F-ž ‚ ˆ
Ÿ&†y„—’‡Œ ‰BšaŸF_‚ ˆmža‡$—‡‹F‡i>ž 1„’“—‡Fž —c‰Šˆmž —‡ižŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †až —’ † ža’œmŒ“‡iž#S‚ „šŒ‡iLž ƒ„m‡iŒ“žŒ“‡
‹£ºc‰•œ—m‡W˜ƒ’†y‡Fžažp‡©‡iž|†‹i‚ ˆmˆƒ„ ‡&´Œ“’‹i’ †y‡iœ¿‡iˆ †™‡F†D_‚ „mšDŒ“‡F"ž „‡FŒ“žD’Œ ‡ižp† & ‰Š‹i’Œ“‡—‡©‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“‡Fš™Œ‡iž
‹F‚ ˆ †y šy‰• ’“ˆ †y‡Fž špŸi—’ †y‡Fž c‰•šLŒ‡ižLœ‚ƒ—½FŒ“‡iž ¤8‡ & ‰•’† „‡«Œ“‡r‹£ºc‰Šœ¿—‡r˜ƒ’†a‡ižažp‡™m„’“žpža8‡ KF†yšp‡™—m‚ ˆˆŸ
mša‚ ˜ƒ’“‡iˆ †z—%„ & ‰Š’ † ƒ„m‡Y‹i‡FžzŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž ža‚ ˆ † º‚Šœ5‚ Š½iˆ‡Fž ‹ & ¾ža‡i‹&†y’‚ ˆ 5 5 J fS‚ „š
„ˆm‡J—Ÿ (cˆm’†y’‚ ˆ‡&†„ˆ‡J‡&´Œ’“‹i‰•†y’‚ ˆ —‡J‹F'‡ & ‰Š’† mªD’†a‚ ˆžY—‡F„´$‡k´‡iœ¿Œ“‡Fžc‰Ššp†a’“‹F„Œ“’½iša‡Fœ‡Fˆ †
’œS‚ šp†y‰Šˆ †yžŒ@ Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †'‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“Ÿ žp’“œ¿Œ“‡‡F†'Œ“‡Fž'ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †až'ŸFŒ“‚ 0ˆ ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ“ž ‹ & ˆ‚•¹
†y‰Šœœ¿‡iˆ †Œ‡J‹£ºc‰Š’ †yša‡ —‡ ¶ Ž °fˆUŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †$‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸ ža’“œ¿Œ‡®‡iž|† „ˆUŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †$S‚ „šŒ-‡ „‡iŒfŒ ‰7˜ƒ’ †y‡ižpža‡ u ‡Fžp†
—‚ŠˆˆŸi‡#c‰Šš
u(t, x) = (γ̇(t)y, 0, 0),
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
y
V
u
sortie
entrée
y=L
profil de vitesse
5  ¬ ‡išpŸiža‡Fˆ †£‰•†a’“‚ ˆ#ža‹£ºŸFœ ‰¾†y’ „‡r— „ˆ#šaºŸF‚ œ¿½F†yšp‡ ‚ „J˜ƒ’“žp‹i‚ žp’“œ¿½F†yšp‡ ~‹&›Œ’“ˆ—mša’ „‡
„mšf„ˆm‡'S‚ šp†a’“‚ ˆ ’ˆJ(cˆ’ †yŸižp’“œ‰ŠŒ“‡m‚ ˆBšaŸi‰ŠŒ“’ža‡O„ˆBŸi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †W‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸm‰ŠS‡iŒ“ŸOŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †
—‡IªD‚ „m‡F†a†a‡ ‹i‰Ššy‰Š‹&†yŸFša’“žpŸ$c‰ŠšQŒ‡ša‚(cŒ—‡˜ƒ’†a‡ižažp‡ (u(t, y), 0, 0) ¤‰®˜’ †y‡Fžaža‡ ‡Fˆ y = L
‡Fžp† (V, 0, 0) D·©ˆU‰7-Ÿ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †šp‡išpŸižp‡iˆ †yŸ „‡iŒ „‡iž‹£º‰•² ˆ‡Fž—‡ S‚ Œ ›œ¿½išp‡ RŒ? ŸF‹£º‡iŒŒ“‡
œ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡ „’ ža‚ ˆ †#—Ÿ & ‚ šaœ¿Ÿi‡FžJc‰Šš[email protected]Œ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ † ­W‰ŠˆžOŒ“‡ ‹i‰ŠžO‚ u(t, y) = γ̇(t)y
‚ ˆBc‰ŠšpŒ“‡J— Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †t‹i’“ža‰Š’“ŒŒ“Ÿtža’œŒ‡ $7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
‚ x = (x, y, z) ‡F† ‚ γ̇ ‡iž|†Q„ˆ ža‹i‰ŠŒ ‰•’“ša‡‰ŠS‡iŒŸ†y‰Š„´R—‡‹i’žy‰Š’Œ“Œ‡iœ¿‡iˆ † ­©‰•ˆž —‡ †a ‡iŒž
ŸF‹i ‚ „Œ‡i œ¿ ‡iˆ †yž ‚ ˆ ‡iž|†¿ˆ‚Š†£‰•œœ¿‡iˆ † ’ˆ †yŸišp‡ižpžaŸ c‰ŠšQŒ“‰I˜ƒ’“ža‹F‚ ža’ †yŸ$—‡$‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“‡iœ¿‡iˆ † η
Y—Ÿ (cˆ’‡Jc‰ŠšO
5 τ (t)
σ (t)
=
η(t) =
,
γ̇ (t)
γ̇(t)
‡&†Wc‰•šfŒ‡ižša‡Fœ’½išp‡#‡&†Wžp‡i‹F‚ ˆ—‡'—’ _Ÿišp‡iˆ‹F‡ižW—m‡ižt‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡ižtˆ‚ šaœ‰ŠŒ‡iž ?’ ‡ c—‡ižt‹i‚ œ¿S‚•¹
ža‰Šˆ †y‡ižt—’“‰ ‚ ˆc‰•Œ“‡ižD—„B†a‡iˆžp‡i„št—‡Fžf‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡Fž ©
5
N (t) = σ (t) − σ (t),
5
N (t) = σ (t) − σ (t).
ªD‡Fž „c‰Šˆ †y’ †yŸFž™žp‚ ˆ †D’ˆ †aŸišp‡ižaža‰Šˆ †y‡FžD‹w‰•š«œ¿‡ižp„šy‰ Œ“‡Fž«‡Fˆ ša‰•†y’ „‡ ¡ ‚ „š«—‡iž 1c„’—‡iž«ˆ‡ 6†a‚•¹
ˆ’‡iˆž Œ“‰#˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†aŸf—‡f‹i’žy‰Š’Œ“Œ“‡Fœ‡Fˆ †r‡ižp†D‹i‚ ˆmžp†£‰•ˆ †a‡ -Ÿ ‰ŠŒ,‡ #Œ ‰O˜’ža‹F‚ ža’ †yŸt—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡ η r‡F†
Œ‡iž«—’ _Ÿišp‡iˆ‹F‡iž«—‡iž«‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡ižrˆ‚ špœ ‰•Œ“‡iž žp‚ ˆ †Dˆ „ŒŒ“‡F-ž — ‰Ššp½iž«Œ ‰Jša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ 5 „’"ž „‡
Œ‡iž†a‡išpœ‡Fž—’“‰ ‚ ˆ‰Š„´ —‡ ∇u ža‚ ˆ † ˆƒ„mŒ“-ž «°tˆ‡®—‡Fž ‹i‰Ššy‰Š‹&†yŸFša’“ž|†y’ ƒ„m‡iž¿—‡iž 1„’“—‡Fžˆm‚ ˆ¹
ˆ‡ 6†y‚ ˆm’“‡iˆmž ‡iž|I† „‡ η ˆ ‡Fžp† ‰Šž ‹F‚ ˆžp†y‰Šˆ † Š¥rˆšy‰•†a’ „‡ •‚ ˆQŸ&†y„—m’“‡D‹F‡™†!›ƒS‡Y— Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †
—c‰•ˆžO—‡ižJšpºŸi‚ œ¿½F†aša‡FžJ‚ Œ“>‡ 1c„m’“—‡ ‡Fžp†#Œ“‰Š‹iŸ ‡Fˆ †yša‡Q—m‡i„´ ‹&›ƒŒ“’“ˆm—ša‡F-ž X?Œ „ˆ (´m‡‡&†[email protected]Œ ‰Š„m†aša‡
Ÿ&†£‰Šˆ †'‡iˆvšp‚Š†£‰•†a’“‚ ˆ ‹ & A(* „mša‡B5  À!Œr-ž ‰ ’ †'‡F4ˆ & ‰Š’ †O—c‰Šˆž#‹i‡¿‹w‰•ž'— „ˆ7Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ %† „’
‡Fžp†Œ‚‹i‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †™„ˆŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †D‹i’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸOƒ‚ ˆc‰ŠšpŒ“‡t— Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †D˜’ža‹F‚ œŸ&†yšp’ „‡ ‹ & Š žp‡i‹F†a’“‚ ˆ®MŽ MŽ ‚ „ ¶ žp‡i‹&†y’“‚Šˆ M Ž <
¥ ˆB‡ ~‡F‹F†a„c‰Šˆ †t—‡ižœ¿‡iža„mša‡ižžp„š—‡ižŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yžž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡i-ž ‚ ˆ$S‡i„m†t‹i‚Šˆžp†aša„’ša‡
S‚ „š'„ˆ 1c„’—‡ —m‚ ˆˆŸŒ“‡i=ž & ‚ ˆ‹&†y’“‚Šˆž η(γ̇) N (γ̇) ‡F† N (γ̇) ‚ γ̇ = ‡Fžp† Œ‡¿†y‰Š„´7—‡
‹F’“žy‰•’“Œ“Œ‡iœ¿‡iˆ † @Œ ŸF†y‰•†žp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰•’“ša‡ ‹ & (0 „ša‡ 5  ¡ ‚ „šŒ“‰ mŒ“„c‰•šp†—‡Fž 1c„m’“—‡Fž¿ ˆm ‚ ˆ ¹
ˆ ‡ 6†y‚ ˆm’“‡iˆm-ž c‚ ˆ$ 5‚ mža‡iš|˜ ‡ „‡ η ‡Fžp†„ˆm'‡ & ‚ ˆ‹F†a’“‚ ˆ —Ÿi‹Fša‚ ’žažy‰•ˆ †a‡O—‡ γ̇ ‚ ˆ$c‰ŠšpŒ“‡©—m‡
‡F†Y—m,‡ 1c„’—‡WšpºŸi‚ 1„’“—)’ ( ‰Šˆ † I „’_†a‡iˆ—˜Š‡išpžY„ˆ‡©‹F‚ ˆž|†£‰Šˆ †y‡ „c‰Šˆ—
†γ̇ y‡Fˆ—˜ ‡Fšaž[email protected]Œ ’“Mˆ (cˆ@’ ‡&†©˜ ‡FšažO„ˆ‡˜•‰ŠŒ‡i„š η ‰ŠS‡iŒŸi‡ η „c‰•ˆ— γ̇
†a‡iˆ—Q˜ ‡Fšaž FŸišp0‚ ¡ ‰Šš ‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž Œ“‡Fž ‡&´SŸiša’‡iˆ‹F‡iž žp0„ 5 ½Fša‡iˆ I† „‡—m‡ižz˜•‰ŠŒ‡i„špžzˆ‚ ˆQˆ „ŒŒ“‡FžzS‚ „š
‡F†
‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’ža‡Fˆ †z—‡iž 1c„’—‡ižL˜’ža‹F‚ŸFŒ ‰Šž|†y’ „‡F-ž ¾¤2‡ & ‰Š’ † ƒ$„ „ˆ‹i’“ža‰Š’“ŒŒ“‡Fœ‡Fˆ †’ˆ¹
N (γ̇) N (γ̇)
†aša‚ƒ—„’“žp‡—‡iž«—’ ~ŸFša‡iˆm‹i‡ižr—c‰•ˆžrŒ“‡ižr‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡Fž«ˆm‚ šaœ‰ŠŒ“‡Fž ‡iž|†«Œ“’“ŸY‰Š„ & ‰Š’I† „‡[email protected]Œ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †
—‡#‹i’žy‰Š’Œ“Œ‡iœ¿‡iˆ †D’ˆ †yša‚ƒ—„’ †—‡FžW‰Šˆm’“ža‚•†yša‚Š’“‡FžY—c‰ŠˆžŒ“‰œ¿’“‹Fša‚ ž|†yšp„‹F†a„ša‡J—„ 1c„’—‡ I¤ ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †‹i’žy‰Š’Œ“ŒŸ žp’“œ¿Œ“‡ ‡Fžp†L-Ÿ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †X„m†y’Œ“’“žpŸzS‚ „šŸ&†y„—’‡iš—‡Fž‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡Fœ‡Fˆ †yž
—m›ƒˆc‰•œ’ ƒ„m‡i-ž _·©ˆ®S‡i„†f‰Ššf‡k´‡iœ¿Œ“‡OŸF†a„—’‡išŒ ‰QšaŸF_‚Šˆža>‡ ¿„ˆm‡'žp‚ Œ“Œ’“‹i’ †£‰•†a’“‚ ˆ_ŸFša’‚—’ „‡
žp’“ˆ „ža‚ —c‰ŠŒ‡©—,‡ & ‰•’ Œ‡W‰Šœ¿Œ’†y„m—‡' = γ cos(ωt) mªD‡F†a†a‡J‡&´SŸiša’‡iˆ‹F‡J_‡Fšaœ¿‡F†Dˆ‚Š†£‰•œ¹
œ¿‡iˆ †r—‡—’žp†a’“0ˆ „m‡iš Œ“‰©šaŸiS‚ ˆžp‡ŸiŒ“‰Šžpγ̇(t)
†a’ „‡—„ 1c„’—‡ ƒ„m’‹i‚ špša‡FžaS‚ ˆ— ©„ˆ‡‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡Y‡iˆ
º‰Šža‡J‰w˜Š‡i‹JŒ ‰O—Ÿ & ‚ šaœ‰•†y’‚ ˆ —‡fŒ ‰#šaŸiS‚ ˆžp‡W˜ƒ’“Lž ƒ„m‡i„žp‡ 0 „’S‹i‚ špša‡FžaS‚ ˆ— '„mˆ‡©‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡
‡Fˆ ƒ„‰Š—šy‰¾†y„šp‡—‡º‰Šža‡$‰w˜Š‡i‹Œ“‰I—Ÿ & ‚ šaœ‰•†y’‚ ˆ ‹ & Œ“‡¿œ‚ƒ—½FŒ“‡¿—‡ ³®‰¾´ 6™‡iŒŒD„ˆ’—’“œ¿‡iˆƒ¹
žp’“‚ ˆˆm‡iŒ‡F†t?Œ ‰Šˆ‰ŠŒ“5‚ Š’“‡f‰ ˜Š‡i‹#„ˆB‹i’“šp‹i„’ †ŸiŒ‡i‹F†aša’ ƒ„m‡ ¬ ,ª 0(* „ šp‡5 @
¤‡ižLŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †až ŸFŒ“‚ Jˆ ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ“ž ‰ŠS‡iŒ“ŸFžz‰•„žažp’
X’ˆ †a‡iš|˜’‡iˆˆm‡iˆ † žp‚ „¹
˜Š‡iˆ †z—‰ŠˆžŒ“‡FžLmša‚ƒ‹iŸi—mŸiž’“ˆ—m„žp†aša’“‡FŒ“ž (cŒ ‰ ‡ wžp‚ „ ‰ ‡r‚ „OŸ&†y’“ša‰ ‡ —I‡ (cŒœ F‹ & žp‡i‹F†a’“‚ ˆ <
¨ ?Œ Ÿ&†£‰•†Wžp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰Š’ša‡ S„mˆŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †WŸiŒ‚ 0ˆ ‰•†a’“‚ ˆmˆ‡iŒ‡iž|†O‹w‰Šša‰Š‹F†aŸišp’“žaŸ'c‰Šš©Œ%‡ & ‰Š’ ,† „‡Œ“‡
‹£ºc‰•œB—‡J˜ƒ’†y‡Fžažp‡'ž ŸF‹iša’ †O
x,y
x,y
x,y
1
x,x
y,y
2
y,y
z,z
1
V
L
2
∞
0
1
2
0
u(x) = (x,
˙ my,
˙ −(1 + m)z)
˙
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
z
x
5 Ž ¬ ‡FšaŸFža‡iˆ †y‰•†y’‚ ˆ'žp‹£ºŸiœ‰•†a’ „‡ — „ˆ#‰Šc‰•ša‡i’Œ7 „c‰•†aša‡ ša‚Š„Œ“‡i‰Š„´JS‚ „š~ša‚ƒ—„’ša‡
„ˆBŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †tŸiŒ“‚Šˆ0 ‰•†a’“‚ ˆˆm‡iŒ~mŒ ‰Šˆ ‚ ˙ i‡ ž|†Q‰Šm_‡FŒ“ŸQ†£‰Š„ƒ´RŸFŒ“‚ ˆJ ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ ‡F† m ∈ {−0.5, 0, 1} _‚ „mš#Œ‡iž#Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †yžŸFŒ“‚ ˆƒ¹
‰¾†y’“‚Šˆˆ‡iŒžQ‹iŒ“‰Šžažp’ „‡iœ¿‡iˆ †¿ŸF†a„—’Ÿiž ‹ & (* „šp‡  Ž_‚Š„šQŒ“‡$‹i‰Šž m = 0 ‹i‚Ššaša‡FžaS‚ ˆ—c‰•ˆ †
„mˆ Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †©ŸiŒ‚ ˆ0 ‰¾†y’“‚Šˆˆ‡iŒmŒ ‰Šˆ <S¤ ¿‡iˆ‹F‚ ša‡~‚ ˆ®—Ÿ(cˆm’†f—‡iž' „c‰•ˆ †a’†aŸiž- & ‚ ˆ‹&†y’‚ ˆž
—„ †£‰•„´—‡—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ ˙ „‡@Œ ‚ ˆ_‡F„m†#‡iž|†y’“œ¿‡išW—c‰ŠˆžO—‡Fž#‡k´_ŸFša’“‡Fˆ‹i‡F-ž LªD‡ža‚Šˆ †#Œ‡iž
˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†aŸižŸiŒ‚ 0ˆ ‰•†a’“‚ ˆmˆ‡iŒŒ“‡iž µ ‡F† µ —Ÿ (ˆ’“‡Fžfc‰•šJ
5 w”
σ −σ
µ ()
˙ =
,
2(2 + m)˙
5 Š
σ −σ
µ ()
˙ =
.
2(1 + 2m)˙
‚ ‡Fžp†'Œ ‰$˜ƒ’“ža‹F‚ ža’ †yŸ¿—m›ƒˆc‰¾¹
¡ ‚ „š„m4ˆ 1c„’—‡ˆ‡ 6†a‚ ˆ’‡iˆ L‚ ˆ ˜ Ÿišp’ (c‡ „‡
œ¿’ „‡Y—mŸ (cˆ’‡Y—c‰Šˆmž 5 ¡ ‚ „mš —‡iž 1„’“—‡Fž ˆµ‚ ˆ¹ =ˆ‡ µ6†a‚ =ˆ’‡iηˆž ‹i‡Fηž ‹i‚ƒ‡ @¿‹i’‡iˆ †yž —ŸF_‡Fˆ—‡Fˆ †
ŸFˆŸiša‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †f—m‡ ˙ 1
2
x,x
z,z
y,y
z,z
1
2
1
> $
=
;27
%
" 7
3 $
2
¤ ‡iž 1c„’“—m‡ižLˆ‚ ˆ¹ ˆ‡6†a‚ ˆ’“‡FˆžL‚ ˆ †z—‡Fžz‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ †až „’ƒS‡išaœ¿‡F†p†y‡Fˆ † —‡«Œ“‡FžL—m’ _Ÿiša‡Fˆ¹
‹F’“‡išWˆ‡F†p†y‡iœ¿‡iˆ †J—m‡iž'1c„’—‡ižWˆ‡6†a‚ ˆ’“‡Fˆž-X¼f‚ „žW—Ÿi‹Fša’˜Š‚ ˆž©’‹i’ Œ“„žp’“‡F„šažf‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡Fœ‡Fˆ †yž
†!›ƒ’ ƒ„m‡iœ¿‡iˆ †©ˆ‚Šˆ¹!ˆ‡ 6†y‚ ˆm’“‡iˆmžt—m‡iž#1c„’“—m‡iž˜’ža‹F‚•¹!ŸFŒ ‰Šž|†y’ „‡Fž-c‡Fˆ®‡ižpžy‰w› ‰•ˆ †W—‡#Œ“‡ižŸF‹iŒ ‰•’“ša‡Fš
‰Ššp†a’“š«—‡ižYmša‚ šp’“Ÿ&†yŸiž™‡&´º’ _ŸF‡ižY—c‰•ˆžYŒ“‡FžDŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž™ža’œŒ‡iž«—Ÿi‹Fša’ †yžD—‰ŠˆžYŒ“‰'ža‡F‹F†a’“‚ ˆ
špŸi‹FŸi—‡Fˆ †a‡ °fˆ‡'ša‡Fœ’½išp‡#‡k´_ŸFša’“‡Fˆ‹i‡'ža„špša‡Fˆc‰Šˆ †y‡‡ižp†WŒ“‡ HG ED ‹ & *(*Š„ša‡¿5 ‚ „
(*Š„ša‡#5 # c #—c‰•ˆž  ŽŠŽ Y ‚ ˆ¿Œ‚ 0ˆ ‡„ˆm.‡ c‰•šaša‡—c‰•ˆž™„mˆ 1c„m’“—‡t‡F†«‚ ˆ¿Œ '‰ & ‰Š’ † †y‚ „mšaˆ‡F-š ¡ ‚ „š«„ˆ 1„’“—‡ˆm‡ 6†y‚Šˆ’“‡Fˆ Œ ‰Jža„mLš & ‰Š‹F‡tŒ’ špB‡ J†y‡iˆm—c‰Šˆ‹F,‡ Jža‡‹Fša‡i„mža‡išD‰Š„m†a‚ „š —‡Œ D‰ c‰•šaša‡ ¡ ‚ „š#‹i‡iš|†£‰Š’ˆž 1c„’“—m‡ižO˜’ža‹F‚ŸFŒ ‰Šž|†y’ „‡F-ž ‚ ˆ75‚ žp‡išp˜Š‡ „‡¿Œ“‡ 1c„’—‡ ša’œS‡QŒ“‡Œ‚ 0ˆ —‡¿Œ ‰
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
5 ¬ ‡FšaŸFža‡Fˆ †y‰•†y’‚ ˆ pž ‹£ºŸiœ‰•†a’ „‡ — ‡ — ‡i„´0‹F‚ œ¿_‚ š|†y‡Fœ‡Fˆ †až až „špša‡Fˆc‰Šˆ †yžI—‡iž
1c„m’“—‡FžS‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡ižŒ“‡ HG ED C ‰Š„‹£º‡#‡&†Œ‡ —šp‚ ’†a‡ <
c‰•šaša‡ ‚ ˆUc‰ŠšpŒ“‡I—‡ Œ@ ‡ _‡F† R‡F’“žažp‡iˆFS‡iš" t·©ˆU_‡F„m†$œ¿‚ ˆ †yšp‡išc‰•š—‡iž$ša‰Š’“žp‚ ˆˆ‡Fœ‡Fˆ †yž
žp’“œ¿Œ“‡Fž8 „‡f‹i‡fºŸiˆm‚ œ½Fˆ‡t‡ižp†DŒ“’Ÿ‰Š„ & ‰Š’ † „‡WŒ‡iž«—’ _Ÿišp‡iˆ‹F‡ižD—m‡ižD‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fž™ˆm‚ šaœ‰ŠŒ“‡Fž
‹&  ©ˆ‡ža‚ ˆ †#c‰ŠžOˆ „Œ“Œ‡ižO—c‰Šˆmž#„mˆ7ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †#‹i’žy‰Š’Œ“Œ“Ÿ ‹ &    – ¾¹  „’ ‹i’ †y‡
¨% G ¤‚ƒ—0 ‡ ¶ ” °fˆ‡«ža‡F‹i‚ ˆm—‡Y‡&´SŸišp’“‡iˆm‹i‡D‡Fžp†zŒ“‡ ‹ & (0 „ša‡t5 f‚ „=(* „šp‡f « 
—c‰•ˆž¶ Ž Ž • ·©ˆ‚5m ža‡iš|˜ ‡ „‡D_‚ „mš ‹F‡išp†y‰Š’“ˆmžNc1 „’—‡ižL˜ƒ’“ža‹F‚•¹!ŸFŒ ‰Šž|†y’ƒ „m‡iž- ‚ ˆ_‡F„m† ˜ƒ’—‡iš ‹i‚ œQ¹
Œ½F†a‡iœ¿‡iˆ †Y„ˆšaŸF‹i’“m’“‡iˆ †™ža’œŒ‡iœ¿‡iˆ †r‡iˆ‰Šœ‚Šš"wE ‰•ˆ †™Œ@ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †«‡iˆ—‡Fº‚ špžD—„šaŸi‹F’“’‡iˆ †
‡F† ža‰Šˆž#†y„m› ‰Š„ < ªD‡ºŸFˆ‚ œ¿½iˆ‡‡ižp†ša‡FŒ“’“Ÿ Œ@ ‡&´’“ž|†y‡Fˆ‹i‡—‡˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†aŸŸFŒ“‚ ˆ0 ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ“‡
’œS‚ šp†y‰Šˆ †y‡
°fˆ‡t†yšp‚ ’“žp’“½iœ¿‡‡&´SŸišp’“‡iˆm‹i‡ƒ Œ„žDžp’“œ¿Œ“‡ ‹i‚ ˆmža’“ž|†y‡, ' ‹i ‚Š ˆža’—Ÿišp‡išDŒ? Ÿ&˜ ‚ Œ„m†y ’‚ ˆ‡iˆ †a‡iœ¿ž
@
— „ˆ c1 „m’“—‡I’“ˆ’ †y’ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ †¿‰Š„ ša‡F_‚ žD „m’“ž ‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“Ÿ
B
‹& « Œ“‡iž m( ¹
„mša‡iž 5  ‡F† 5 – < ¡ ‚ „mšB„mˆ c1 „m’“—‡ˆ‡ 6 †y‚ ˆm’“‡iˆ$Y ‚ ˆ ‚5 žp‡išp˜Š‡7„mˆ šp‚c( Œ©—m‡ ˜ƒ’ †y‡ižpža‡ „’
‰•†p†y‡F’“ˆ †tša‚5Š ša‡ižpža’ ˜ ‡iœ¿‡iˆ †W‡F†f—‡'œ‰Šˆ’½išp‡Jœ‚ ˆm‚Š†y‚ ˆm‡#‡FˆI†a‡iœ¿žfŒ? Ÿ&†£‰•†ž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡ ¡ ‚ „š
—‡FžIc1 „’“—m‡iž S‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡ižŠ ‚ ˆ‚5 žp‡iš|˜ ‡„ˆ‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ † —’ ~ŸFša‡iˆ † ‹& ™ Œ“‰W˜ƒ’†y‡Fžažp‡
‰w˜•‰Šˆ † — ‰•†a†a‡i’ˆ—ša‡Dža‚ ˆQŸ&†£‰•†zžp†£‰¾†y’“‚Šˆˆc‰Š’ša ‡ c‰•žaža‡Œ‚‹i‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †z‰•„¹!—‡FŒ W —m‡Yžy‰W˜•‰ŠŒ‡i„šN© Œ@ ŸF†y‰•†
ž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡ ºmŸiˆ‚ œ¿½iˆm‡'— ža„mštŒ“‰˜ƒ’†y‡Fžažp‡ ’Š ˆc‰ŠŒ“‚Šˆž'‡FˆJc( ˆ —‡F„´ ‹i‰Šž†a‡ižp†ažQža„š—‡ižQŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž‹i‚ œ¿Œ“‡k´‡iž+ „’™ža‚ ˆ †Q„m†a’“Œ’“žaŸFž
—c‰•ˆžDŒ“‰OŒ’†p†yŸiša‰•†y„mša‡J ‹w‰ŠŒ‹i„Œ‡išrŒ@ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †™‰Š„m†y‚Š„šr— „mˆ‹F›ƒŒ“’ˆ—šp‡ ‡F†™Œ@ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †«—c‰Šˆž
„ˆm‡™‹F‚ ˆ †yšy‰•‹F†y’‚ ˆO–O ‹ & (* „šp‡t < ·©ˆ'—m’“žaS‚ žp‡«S‚ „š‹F‡ižLŸi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †yž—‡«œ‡Fža„šp‡iž‡F†L’“Œž
‹F‚ ˆžp†a’†a„‡iˆ † —m‚ ˆ‹D—m‡iž S ‚ ˆžL‹w‰•ž †y‡Fžp†ažzS‚ „š˜Š‰•Œ“’“—m‡iš—‡Fžzœ¿‚—½FŒ“‡FžL—m‡DŒ“‚Š’ —‡™‹F‚ œ¿_‚ š|†y‡Fœ‡Fˆ †-
#2
> 17
"
7
·©ˆRž- ’“ˆ †aŸiša‡Fžažp‡—c‰Šˆž#Œ ‰ ža„m’†y‡ I—mŸi‹išp’“šp‡œ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ƒ„m‡iœ¿‡iˆ †OŒ“‡¿‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †#—‡iž
1c„m’“—‡FžS‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž ¡ ‚Š„š‹i‡iŒ“‰J ‚ ˆ —Ÿi‹F‚ œ¿_‚ žp‡ Œ“‡†y‡Fˆža‡F„š τ —‡Fž¿‡k´ƒ†yšy‰ ¹!‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡iž
—Ÿ c( ˆ’_c‰Šš 5 ‡iˆ „mˆ‡W‹F‚ ˆ †yša’„m†a’“‚ ˆˆ‡6†a‚ ˆ’“‡Fˆˆ‡f—„ža‚ŠŒ˜•‰Šˆ †«‡F†Y„mˆ‡W‹F‚ ˆ †yša’„m†a’“‚ ˆ¿—„‡
‰Š„ƒ´ _‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡Fž#
5  Ž
τ = η γ̇ + τ ,
‚ η —Ÿižp’ ˆm‡QŒ ‰ ˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†yŸQ—m„ žp‚ Œ˜•‰Šˆ †J‡&† γ̇ ‡Fžp†#—Ÿ c( ˆ’ c‰•š 5 – ~ ¤‡ †y‡iˆmža‡i„mš τ ‡iž|†#Œ ‰
c‰•šp†y’‡'—m„I†y‡Fˆža‡F„šW—m‡ižW‡k´ƒ†yšy‰ ¹!‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡ižt—„‡Fž©‰Š„ƒ´®S‚ Œ ›œ¿½išp‡iž ¤ ‚5ƒ ‘p‡F‹F†a’& —‡FžWœ¿‚—m½iŒ“‡Fž
s
s
p
p
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
Re=0.1 Epsilon=0.9, T=1.
Re=0.1 Epsilon=0.9, We=0.5, T=1.
u
10
u
1
0
01
L
0
01
y
L
0
01
y
 – ¬ ‡išpŸiža‡Fˆ †£‰•†a’“‚ ˆ —m„®šp‚ (cŒL—‡'˜ƒ’†a‡ižpža‡ ‰•„®‹i‚Š„šažf—„®†y‡Fœmžf—c‰•ˆžW?Œ ‡k´mSŸišp’“‡Fˆ‹i‡
— „ B @ ·©ˆšp‡išpŸižp‡iˆ †y‡fŒ“‡šp‚(cŒc—‡˜ƒ’†a‡ižažp‡ u & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ—‡Œ ‰JS‚ ža’ †y’‚ ˆ
~‹ & $(* „šp‡$5  ,—’ ~ŸFša‡iˆ †ažO’“ˆž|†£‰Šˆ †yžW—‡QŒ@ ’“ˆ †y‡Fšp˜•‰ŠŒŒ“‡
: ‰Š„‹£º‡S‚ „š©„mˆ 1„’“—‡
y
ˆ‡ 6†y‚ ˆmE’“‡iDFˆ$DHGI‡FG † —ša‚Š’†y‡iS‚ „š‹F‡«œ Kiœ¿‡ 1c„m’“—‡r‰Š„Jƒ„m‡iŒ ‚ ˆ#[0,‰‰ 1]‘p‚ „†yŸr —‡i žS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡iž œ‚ƒ—½iŒ‡
—‡Fž B
º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆž c·©ˆ‚ ža‡Fšp˜ ‡J„mˆºŸFˆ‚ œ¿½iˆ‡f— ža„mšYŒ ‰J˜ƒ’†y‡Fžažp‡ ¡ ‚ „š
Œ“‰—mŸ (cˆ’ †y’‚ ˆ$—‡ižtc‰Šša‰Šœ¿½F†yšp‡iž‰Š—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆˆm‡iŒ“ž Re We m‹ &  – $7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
1
4
5 ¬ ‡išpŸiža‡Fˆ †£‰•†a’“‚ ˆBža‹£ºŸFœ ‰¾†y’ „‡O—‡O—‡F„´B‹w‰•ž†a‡iž|†yž†!›S‡iž#cŒ ‰ ‹F‚ ˆ †yša‰Š‹F†a’“‚ ˆB– 
‡iˆ ºc‰Š„m† '‡F†Œ? ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †‰Š„†y‚ „šQ—$ „ˆ ‹&›Œ’“ˆ—mša‡ ‡Fˆ c‰Šž <r·©ˆ ‹w‰ŠŒ‹i„Œ‡_‚Š„š ‹i‡Fž‹w‰Šž
†a‡ižp†ažIŒ‡iž ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž žp†£‰¾†y’“‚Šˆˆc‰Š’ša‡iž·©ˆ ‰ ’ˆ—’ „Ÿ Œ‡iž$šp‚(cŒ“ž$—m‡ ˜ƒ’†a‡ižpža‡ ‡iˆ0‡iˆ †yšpŸi‡7‡F†
‡Fˆvža‚ š|†y’‡‰•’“ˆžpI’ ƒ„m‡Œ‡ižOŒ“’ ˆ‡ižO—‡¿‹i‚Š„šy‰Šˆ †-L‡FˆRS‚ ’“ˆ †a’“Œ“ŒŸS‚ „šOŒ ‰ ‹i‚Šˆ †ašy‰Š‹&†y’‚ ˆ7– 5 „š
Œ“‰ ‹F‚ ˆ †yšy‰•‹F†y’‚ ˆ§– 5 rŒ ‰†£‰Š’Œ“Œ“‡ ‡F†Œ ‰ & ‚ šaœ¿‡ —‡IŒ“‰ F‚ ˆ‡B—‡Bša‡i‹F’“šp‹i„Œ“‰•†y’‚ ˆ 7Œ@ ‡iˆ †ašaŸi‡B—‡
Œ“‰I‹i‚Šˆ †ašy‰Š‹&†y’‚ ˆR—ŸF_‡Fˆ—R†!›ƒ’ ƒ„m‡iœ¿‡iˆ †Q—„ 1„’“—‡¿S‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡‹i‚ ˆžp’“—ŸFšaŸ ‹ & A(* „mša‡® —c‰•ˆž ¶ <
œ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ƒ„m‡iž‡iž|†—‡ †yšp‚ „m˜ ‡Fš„mˆ‡& ‚ špœ „Œ‡$—‚ ˆˆc‰•ˆ †Œ“‡ †y‡Fˆža‡F„š τ ‡iˆ& ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ —‡
?Œ º’žp†a‚ ’“šp‡#—m‡Œ ‰—Ÿ & ‚ šaœ‰•†y’‚ ˆB—„1c„m’“—‡XªD‡&†a†y‡'ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆBž- ‰ŠS‡iŒŒ“‡#„ˆ‡Œ‚ ’—‡'‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡k¹
œ¿‡iˆ † ƒ‡F†D_‡F„m†Ymša‡iˆm—ša‡f—‡iž& ‚Ššaœ¿‡ižr†yša½FžD—’ ~ŸFša‡Fˆ †a‡ižmc‰ŠšH& ‚ ’“žrŸƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ †y‡ižf—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡
‚ „’ˆ †y-Ÿ Ššy‰ŠŒ‡ ‹ & Sža‡i‹&†y’‚ ˆ 5 5 Ž t‚ „ œ¿‚ › ‡Fˆˆ‡ — „ˆ+‡ & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“Œ‡O—Ÿi‹Fša’˜•‰Šˆ †JŒ‡ižfœ’‹iša‚¾¹
ž|†yša„m‹F†y„mša‡ižf—„ 1c„’“—m‡ ‹ & cžp‡i‹&†y’“‚Šˆ  5 <
¤‰¿žp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆ$— „ˆ ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †f‹i‚ œ¿Œ“‡&†tˆŸi‹F‡ižažp’†a‡—‚ ˆm‹Œ ‰šaŸFža‚ Œ„m†y’‚ ˆ —„®ž|›ƒžp†y½Fœ‡
‹F‚ ˆžp†a’†a„ŸQ—‡ižOŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆžJ‰Š„ƒ´—ŸFša’˜ŠŸi‡Fž#‰Ššp†a’“‡iŒŒ“‡Fž    Ž ‰w˜ ‡F‹ σ ‡F† τ šp‡ižaS‡i‹&†y’ ˜ ‡&¹
œ¿‡iˆ †—Ÿ (cˆ’“ž‰Šš  «‡F† 5  Ž ™‡&†— „ˆD‡ & ‚ špœ „Œ“‡f—‚ ˆˆ‰Šˆ † τ —m„ †!›ƒS‡ 5  < 5 Ž
‚ „B‡iˆm‹i‚ šp‡ 5 –m 5 – ‹ & c‹i’¶¹!—‡Fžažp‚ „ž <_,ª ‡Fžp†f„ˆImša5‚ Œ½iœ¿‡J_‚ŠžaŸOža„š†yšp‚ ’“ž’ˆ‹i‚Šˆˆ „‡iž
‚ ˆ7‰ŠšaŒ‡¿—m‡¿mša5‚ Œ½iœ¿‡ $†aša‚ ’žO‹£ºc‰Šœ¿ž Œ ‰˜ƒ’†a‡ižpža‡ u(t, x) Œ ‰$šp‡ižpža’“‚Šˆ p(t, x) ‡F†#Œ‡
†a‡iˆžp‡i„š —m‡ižz‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fžz—„m‡iž ‰Š„ƒ´#_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡iž τ (t, x) ©„c‰Šˆ— ?Œ Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ#ža„š τ ‡ižp†z„ˆ‡
Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ—’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒ“Œ‡Y‚ „’“ˆ †a-Ÿ ša‰ŠŒ“‡ Š‚ ˆc‰ŠšpŒ“‡Y—m‡tœ¿‚ƒ—½iŒ‡iž œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡iž ‚ „œ¿‚—m½iŒ“‡Fž
œ‰Š‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚ <©„c‰Šˆm—¿?Œ ‡k´ša‡Fžaža’‚ ˆ—‡ τ ’“œ¿Œ“’ ƒ„m‡D—‡Fž ˜Š‰•ša’ ‰ Œ“‡Fž œ’‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž —‚ ˆ †
‚ ˆBœ¿‚—ŸFŒ“’ža‡©?Œ Ÿ&˜ ‚ Œ„m†y’‚ ˆ$—c‰ŠˆžŒ'‡ 1c„’“—m‡ ‚ ˆBc‰ŠšpŒ“‡©—m‡#œ¿‚ƒ—½iŒ‡ižœ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša0‚ p
p
p
p
p
&!"#$- *&3 )&+* ") +' )+* "/.01234)
f± ’žp†y‚Šša’ „‡Fœ‡Fˆ † ¾Œ“‡iž ša‡Fœ’‡išpž œ‚ƒ—½FŒ“‡iž „’‚ ˆ †zŸF†yŸB•†y’žzS‚ „šz‹F‚ ˆž|†yša„m’“ša‡D—‡iž Œ‚ ’“žL—‡
‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ †W_‚ „mšfŒ‡iž.1„’“—‡FžW˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ ‰•žp†y’ „‡ižtŸF†y‰Š’“‡Fˆ †W—‡ižWœ‚ƒ—½iŒ‡ižtœ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡Fž-
—c‰•ˆž©Œ“‡#ža‡Fˆž©‚®‹i‡ižWœ‚ƒ—½iŒ‡ižt‹£º‡išp‹£ºc‰Š’‡iˆ † —‚Šˆˆ‡išf—’“šp‡i‹&†y‡iœ¿‡iˆ †W„ˆ‡ šp‡iŒ ‰¾†y’“‚ŠˆI‡Fˆ †aša‡'Œ“‡
†a‡iˆžp‡i„š τ ‡F†™Œ“‡Y†a‡iˆžp‡i„š™—„†y‰Š„´—m‡f—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ γ̇ ‚ „¿— ‰Š„m†yšp‡iž«†y‡iˆmža‡i„mšažD‹F‚ ˆž|†yša„m’†y8ž p
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
η
E
τ
γ
5 ‹£ºŸiœ‰f„mˆ’“—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆ‡FŒ —„'œ‚ƒ—½iŒ‡ —‡D³®‰¾´ 6D‡FŒ“Œ? ¤ ‰Šˆc‰•Œ“‚5 ’‡ ‰w˜ ‡F‹D„ˆ'‹i’“šp‹i„’ †
ŸFŒ“‡i‹&†yšp’ „‡ ‡Fžp†JŸ&˜’—‡iˆ †a‡XŒ“‰—Ÿ & ‚ šaœ‰•†y’‚ ˆ γ ‘p‚Š„c‰Šˆ †©Œ‡š ŠŒ“‡—$ „ˆm‡†y‡Fˆža’‚ ˆ SŒ ‰ ‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡
‘p‚Š„c‰Šˆ †WŒ‡'š Œ“‡#—‡'Œ@ ’“ˆ †y‡Fˆža’ †yŸ ‡&† ‡F† žp‡‹i‚Šœc‰•šy‰Šˆ †fša‡ižp_‡F‹F†a’˜ ‡Fœ‡Fˆ † Œ ‰‹w‰•c‰Š‹i’ †yŸ
τ
— „ˆI‹i‚ ˆ—m‡iˆža‰•†y‡F„šf‡&†.Œ“‰ ‹i‚ ˆm—„‹Fη†a’˜ƒ’†aŸOE— „mˆ‡OšaŸižp’“ž|†£‰Šˆ‹F‡
c‰•šp†y’šz—‡Œ? ºm’“žp†a‚ ’“šp‡™—m‡Œ ‰W—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ ‹ & ža‡F‹F†y’‚ ˆ$5 5 ŽM Ž Šža‰Šˆž ’ˆ †aša‚ƒ—„’ša‡«—‡Y˜•‰Šša’“‰Œ“‡Fž
žp„ŒŸiœ¿‡iˆ †£‰Š’ša‡FžWœ¿’“‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡i-ž ~ªD‡ižWŒ“‚ ’žtœ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡ižf_‡F„m˜ ‡Fˆ †Ož ŸF‹išp’“ša‡'ža‚ ’ †Wžp‚ „ž
Œ“>‰ & ‚ šaœ¿‡©— „ˆ‡JŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆ$—’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒŒ“‡ „’X—‡&˜’‡iˆ †t‡iˆ & ‰Š’ †Y„ˆ‡JŸ „c‰•†y’‚ ˆ ‰Š„´—Ÿišp’˜ŠŸi‡iž
c‰•šp†y’‡iŒŒ“‡iž¿„ˆ‡ & ‚ ’“ž¿’“ˆ †yšp‚—m„’†a‡B?Œ ‰•—m˜ ‡F‹F†y’‚ ˆ <™žp‚ ’†ža‚ „mžŒ ‰ & ‚ šaœ¿‡I$— „ˆm‡ ’“ˆ †yŸ šy‰•Œ“‡ „’
ž ŸF‹iša’ †#Œ“‡QŒ“‚Š0ˆ $—‡ižOŒ’ ˆ‡Fž©—‡‹i‚Š„šy‰Šˆ †#„ˆ‡ & ‚ ’ž©‹i‚Šˆža’—ŸišpŸi‡@Œ ‰Š—m˜Š‡i‹F†a’“‚ ˆ ­©‰•ˆžJ†y‚ „žOŒ‡iž
‹i‰Š-ž ‹i‡Fž-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž†ašy‰Š—„m’“ža‡Fˆ †fŒ'‡ & ‰Š’† ƒ„m‡ τ —ŸiS‡iˆm—®—‡[email protected]Œ º’žp†y‚Š’“ša‡f—‡OŒ ‰ —Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ > > !
7
9
p
$ 7
8
$
¤ ‡Qœ‚ƒ—½iŒ‡—‡‰Šža‡S‚ „š©Œ‡iž'1c„’—‡iž©˜ƒ’ža‹i‚ƒŸiŒ“‰Šžp†a’ „‡FžJ‡ižp†OŒ‡ œ¿‚—½FŒ“‡ —m‡¿³®‰¾´ 6D‡FŒ“Œ?XÀ!Œ
‹F‚ ˆža’žp†a‡Bf‹F‚ œ+’ˆ‡išL„ˆ œ¿‚—m½iŒ“‡r— ŸiŒ“‰Šžp†a’“‹F’†yŸ«Œ“’ˆŸw‰•’“ša‡w‡F†z„ˆ œ¿‚—m½iŒ“‡r—‡«˜ƒ’“ža‹F‚ ža’ †yŸ™Œ“’“ˆmŸw‰Š’ša‡
¡ ‚ „šŒ“‡Wœ‚ƒ—½iŒ‡©— ŸiŒ“‰Šžp†a’“‹i’ †yŸfŒ“’“ˆmŸw‰Š’ša‡ ‚ ˆ S‚ žp†a„Œ“‡,ƒ„m‡JŒ ‰ ‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡©‡Fžp†šp‚ _‚Ššp†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ‡
Œ ‰ —Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ Œ“‚ ’D—‡B±f‚ƒ‚ ¢Š‡ Œ“‡ ‹i‚ƒ‡ @¿‹i’‡iˆ †¿—‡ ša‚ S‚ š|†y’“‚Šˆc‰ŠŒ“’ †yŸŸF†£‰•ˆ †Œ‡$œ‚ƒ—„Œ‡
— «‚ „Jˆ E ™‚Šˆ ‰Šžažp‚‹F’“‡®ˆ‰•†y„šp‡iŒŒ“‡iœ¿‡iˆ :† R‹i‡ œ¿‚ƒ—½iŒ‡®„ˆUšp‡ižažp‚ šp†º‚‚Š¢ŠŸi‡Fˆ ¡ ‚ „šŒ‡iž
1c„m’“—‡Fž#ˆm‡ 6†y‚Šˆ’“‡Fˆ-ž X‚Šˆ S‚ ž|†y„Œ‡ ƒ„m‡QŒ ‰‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡Q‡iž|†Oša‚Š_‚ š|†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ“%‡ $Œ ‰˜ƒ’ †y‡ižpža‡—‡
—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ Œ‡ ‹F‚H‡ @‹F’“‡Fˆ †—‡ mša‚ S‚ šp†a’“‚ ˆ‰ŠŒ“’ †yŸQŸF†y‰Šˆ † Œ“‰B˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†yŸ η ‚Šˆ ‰Šžažp‚‹F’“‡ I‹i‡
œ¿‚—m½iŒ“‡#„ˆ m’“žp†a‚ ˆ S¥ ˆ œ¿‡F†a†y‰Šˆ †W‡Fˆ žaŸFša’‡„ˆ šp‡ižpža‚ š|†©º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆ‡&†W„ˆ®’“ž|†y‚ ˆ S‚ ˆI5‚ m†y’‡iˆ †
Œ‡#mša’“ˆm‹i’“S‡J„ˆ’—’“œ¿‡iˆmža’“‚Šˆˆ‡iŒ_—„®œ¿‚ƒ—½iŒ‡©—‡³®‰¾´ 6D‡FŒ“Œ ‹ & 0(* „mša‡¿5 c­©‰•ˆžfŒ‡J‹w‰Šžt„ˆ’¶¹
—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆ‡[email protected]Œ _ža’ ‚ ˆ ˆ‚Š†a‡ τ Œ ‰‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡‡F† γ̇ Œ ‰ ˜ƒ’ †y‡ižpža‡—‡—Ÿ & ‚ šaœ‰•†y’‚ ˆ S‚ ˆ 5‚ m†a’“‡iˆ †
?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ —’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒ“Œ‡©‚ šp—’“ˆc‰•’“ša‡fža„’ ˜•‰Šˆ †y‡
5 
1 dτ
τ
γ̇ =
+ .
·©ˆB_‡F„m†tšaŸiŸF‹išp’“ša‡O‹F‡F†a†a‡O-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ ža‚Š„žfŒ“>‰ E& ‚ dtšaœ¿‡ η
5 w–
dτ
λ + τ = η γ̇,
dt
‚ λ = η ‡Fžp†t„ˆ †y‡iœ¿ž—‡Ošp‡iŒ ‰ ´‰¾†y’“‚Šˆ$—„Iž|›ƒžp†y½Fœ‡ ¡ ‚ „mšEc‰Šžpža‡FšQ‰Š„vœ¿‚—m½iŒ“‡¿—‡³®‰¾´ 6D‡FŒ“Œ«†y‡iˆmža‚ šp’“‡i?Œ ’“IŒ & ‰Š„m†ša‡iœ¿Œ“‰Š‹i‡Fš'Œ“‰I—ŸFša’˜ŠŸi‡ †a‡iœQ¹
S‚ ša‡FŒ“Œ‡—c‰•ˆž  w– #c‰Šš'„ˆ‡—mŸiša’ ˜ ŸF‡‹i‚ ˆ ˜Š‡i‹F†a’˜Š‡$ža„š „mˆv†y‡iˆmža‡i„m-š ¡ ‰Šš—‡Fž‰Š"š Š„œ‡Fˆ †yž
?
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
— ’“ˆ ˜•‰Ššp’ ‰Šˆ‹F‡‰Šš'‹£º‰Šˆ0 ‡Fœ‡Fˆ †—‡¿šaŸ& ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ ‚ ˆRc‰•šaŒ“‡¿‰Š„mžaža’«—‡—Ÿišp’˜ ŸF‡iž'‚5ƒ‘p‡i‹&†y’ ˜ ‡iž ‚ ˆBœ¿‚ ˆ †yšaD‡ „ „ˆIœ‚ƒ—½iŒ‡©S‚ žažp’ Œ‡J‡ižp†tŒ‡Jža„’ ˜Š‰•ˆ †O
5 
λ ∂ τ + u.∇τ − ∇uτ − τ (∇u) + τ = η γ̇,
‚ λ ‡Fžp†„mˆ †y‡Fœž«—‡fša‡iŒ“‰¾´m‰•†y’‚ ˆ ‡&† η „ˆ‡W˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†aŸf—„m‡©‰Š„´S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡i-ž m·©ˆ ša‰ŠS‡iŒ“Œ‡
„‡ Œ‡#†a‡iˆžp‡i„šW—‡iž©‡k´ƒ†yšy‰ ¹!‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡iž τ ‡iž|†©‡Fˆža„’ †y‡'—‚ ˆˆŸc‰Šš 5  Ž <_­W‰Šˆž©Œ‡'‹i‰ŠžW‚
•‚ ˆc‰ŠšaŒ‡Y—„¿œ‚ƒ—½FŒ“‡ H GIG °Wª³ ­©‰ŠˆžrŒ“‡D‹w‰Šžr‚ η 6= 0 η =0
‚ ˆBc‰ŠšpŒ“‡J—„Bœ¿‚—½FŒ“‡O·©Œ—ša‚ ›ƒ—¹5¯ ‚ „ œ‚ƒ—½iŒ‡©—‡ ¸ ‡ _ša‡&›ƒž = A > B B > B B & (∇u) = ∂u G > B 0 G < H GIG B x∂x G ? > B < B B G h G B u
B ∇u(x) h > B D B B , G % ? > B G (∇u) = ∂u 6 > B G G &
B < CG < > B ∂x
=
< < # G H GIG G B B < < B < G < < E G > G B < < H G B G G B B B < < B < 4 G < < H GIG H G< < < > G B < < B B B < B B G B G B HG B G < < B < H GIG > B B H GIG ;> B H G C G HG $< ? > B HG 6 > B B GIG < G B B HG % ? > B I GIG B < < > I G B < G G HG % ? > G & B B G B HG "$ B B B B $ " " B B B C G % ? > B B C G < < < G B ¤‡$œ‚ƒ—½iŒ‡$·©Œ“—mša‚ ›ƒ—¹5¯ špŸižp‡iˆ †y‡ Œ„ža’‡i„špžQ—Ÿ & ‰Š„†y-ž ¥rˆ ‡ ~‡&† ‰w˜ ‡F‹ ‹i‡ œ‚ƒ—½FŒ“‡ L‚ ˆ
5‚ mža‡iš|˜ %‡ ƒ„m‡ ‹ & cžp‡i‹F†a’“‚ ˆ 5 5 5 Ž f
—‰Šˆž«Œ“‡iž«Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž«‹i’žy‰Š’Œ“Œ“ŸFž ža’œmŒ“‡iž ž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc ‰Š’“šp‡i ž Œ ‰©˜ƒ’“ža‹F‚ ža’ †yŸt —‡‹i’žy‰Š’Œ“Œ“‡Fœ‡Fˆ †
ˆm‡#—mŸiS‡iˆ—Bc‰Šž—„B‹i’žy‰Š’Œ“Œ‡iœ¿‡iˆ † γ̇ c‰Šž—‡
η
—‰ŠˆžŒ“‡FžQŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †až‹i’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸFžža’œmŒ“‡ižžp†£‰¾†y’“‚Šˆˆc‰Š’ša‡iž zŒ“‰ ža‡i‹F‚ ˆ—‡ —’ ~ŸFša‡Fˆ‹i‡ —‡
‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fžˆ‚ šaœ‰ŠŒ‡iž N ‡iž|†tˆƒ„mŒ“Œ“‡ ‡&†®žp„šp†a‚ „m-† t—‰Šˆž®Œ‡iž Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yžBŸiŒ‚ 0ˆ ‰•†a’“‚ ˆmˆ‡iŒž$žp†£‰¾†y’“‚Šˆˆc‰Š’ša‡iž Œ“‡Fž ˜ƒ’ža‹i‚Šža’†aŸiž
ŸFŒ“‚ Jˆ ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ‡iž ‡&† ‡k´Œ“‚ žp‡iˆ †f_‚ „mš„ˆB†y‰Š„´ ŸFŒ“‚ Jˆ ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ (cˆ?’ ¦L‚ „m†a‡iž‹i‡FžšaŸF—’“‹&†y’‚ ˆžYµžp‚ ˆ †‡iµˆ ‹i‚Šˆ †ašy‰Š—m’“‹F†a’“‚ ˆ‰ ˜Š‡i‹JŒ‡ižYšpŸiža„mŒ†£‰¾†yžY— ‡&´SŸišp˙’“‡iˆm‹i‡ižœ¿‡iˆŸF‡iž
žp„šOŒ ‰$Œ“„mc‰Ššp†©—‡iž 1c„’—‡ižOS‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡iž ¼f‚Š†a‚ ˆDž „‡¿‹i‡Fž#špŸižp„Œ†y‰•†yžOža‚Šˆ †O†aša½ižOžp’“œ¿Œ“‡k¹
œ¿‡iˆ †©‚ m†y‡Fˆƒ„mž©‡iˆ ’ˆ¾‘p‡i‹&†£‰Šˆ †f—c‰Šˆž 5  YŒ@ ‡&´šp‡ižpža’“‚Šˆ —‡Œ“‰¿˜ƒ’†a‡ižpža‡ u(t, x) = (γ̇y, 0, 0)
S‚ „š«@Œ Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †™‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸYžp’“œ¿Œ“‡ ‚ „ u(t, x) = (x,
_‚Š„š™?Œ ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †
˙ −y/2,
˙
−z/2)
˙
t
p
p
p
p
T
p
p
p
s
s
*,
i
i,j
j
j
i,j
i
*,
2
1
2
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
ŸFŒ“‚ ˆ0 ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ ‹& ¶ Ž Ž ¾¹ f‚ „   ¾¹ •– •­©‰Šˆmž ‹i‡iž —m‡i„´‹i‰Šž-ŠŒ“‡™†a‡iˆžp‡i„š τ ˆ‡
—ŸF_‡Fˆ—c‰•ž«—m‡fŒ? ‡Fžac‰Š‹F‡f‡&†«‡ižp†™—‚ ˆm‹,J—’ ˜ ‡išL ‡iˆm‹i‡Wˆ „ŒŒ“‡ ‹i‡ „’ ’“œ¿Œ“’ƒ„m‡ „‡fŒ? Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ
žp„š ‡iž|†—ŸF‹i‚ „mŒ“Ÿi‡W—‡©Œ@ Ÿ- „c‰¾†y’“‚Šˆ  Ž rža„š ‹& mŒ‡f‰Ššy‰Ššy‰Šºm‡Wža„mšYŒ“‡FžDŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž
º‚Šœτ5‚ Š½iˆ‡Fžt—‰ŠˆžŒ ‰Qža‡F‹F†a’“‚ ˆ 5 5 J Mc‰ ‡ Š– u
­W‡ižœ¿‚ƒ—½iŒ‡iž«œ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡ižD_‡Fšaœ¿‡F†a†y‰Šˆ †— 5‚ m†a‡iˆ’šD—‡FžšaŸižp„Œ†y‰•†y2ž „c‰ŠŒ“’ †£‰•†a’˜Š‡iœ¿‡iˆ †
Œ„žO‡iˆ ‰Š‹F‹i‚ šp—R‰w˜ ‡F‹Œ“‡ižJ‡k´_ŸFša’“‡Fˆ‹i‡Fž'‚Šˆ †#‰•Œ“‚ špžJŸF†yŸQ—mŸF˜ ‡FŒ“‚ m_ŸF-ž L­W‡œ ‰•ˆ’“½Fša+‡ ŸFˆŸiša‰ŠŒ“‡ ‹F‡ižtœ‚ƒ—½iŒ‡ižž ŸF‹iša’ ˜ ‡Fˆ †'
5 
λ ∂ τ + u.∇τ − ∇uτ − τ (∇u) + T (τ , γ̇) = η γ̇,
‚ T (τ , γ̇) —ŸF_‡Fˆ—$†!›ƒ’ „‡Fœ‡Fˆ †—m‡©œ ‰•ˆ’“½Fša‡Wˆm‚ ˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Š’“šp‡f—m‡ τ cªD’ †y‚ ˆžDža’“œ¿Œ‡iœ¿‡iˆ †
†aša‚ ’žœ‚ƒ—½iŒ‡ižc‰•šaœ¿’XŒ“‡FžŒ“„ž„†y’“Œ’“žpŸi-ž ¤‡#œ¿‚ƒ—½iŒ‡©—%‡ !O’‡ižp‡i¢ „ž ‹ & Š– D’ˆ †aša‚ƒ—„’ †„ˆ †y‡išpœD‡ „c‰•—šy‰•†a’ „‡
5 
λ
λ ∂ τ + u.∇τ − ∇uτ − τ (∇u) + τ + α τ τ = η γ̇.
η
‚ α ‡iž|†t„ˆ‡#‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †a‡ ¤‡Rœ¿‚—½FŒ“‡ —‡ ¡ º‰Šˆ¹!¦ºm’“‡iˆ ¦z‰•ˆˆ‡iš ¡ ¦¦ B‡Fžp† —mŸiša’ ˜ Ÿ7— „mˆ<œ‚ƒ—½iŒ‡ ža„šIšaŸižp‡w‰Š„
‹ & ¶ Ž•– D‡F†t-ž Ÿi‹Fša’ †'
p
p
t
p
p
p
p
T
p
p
p
p
t
p
p
p
T
p
p
p
p
p
p
ξ
λ ∂t τ p + u.∇τ p − ∇uτ p − τ p (∇u)T + Z(tr(τ p ))τ p + λ (γ̇τ p + τ p γ̇) = ηp γ̇,
2
‰w˜ ‡F‹—‡F„´ ‹£º‚Š’ ´ S‚ žažp’Œ‡ižS‚ „šŒ“‰& ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ
Z(tr(τ p )) =
5
Z
5
tr(τ p )
1 + λ
ηp
,
tr(τ p )
exp λ
ηp
‚ ξ ‡F† ža‚Šˆ †t—‡Fž‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †a‡iž-
ªD’†a‚ ˆž‡iˆM(cˆIŒ‡Jœ‚ƒ—½FŒ“‡Jµ ¥r¼f¥ ¹ ¡ * „‡#Œ@ ‚ ˆ$ša‡&†yšp‚ „m˜ ‡Fšy‰c‰ŠšŒ ‰ žp„’†a‡J‹w‰Šš’Œ~S‡i„m†KF†aša‡
—ŸFša’ ˜ Ÿ+c‰Šš|†y’št—$ „ˆIœ‚ƒ—½FŒ“‡J‹i’ˆŸF†a’ „‡~ƒ„’˜•‰Šˆ †tŒ“‡Fžf’—Ÿi‡Fžf—‡ ¡ ‡&†y‡FšaŒ“’ˆ ‹& ¶ Ž S¯D’ša—
‡&†W‰•@Œ ‹ & ¶w– Y‚ ˆ ’“ˆ †yšp‚—„m’†Œ‡Jœ‚ƒ—½iŒ‡©ža„m’˜•‰Šˆ †O
‰w˜ ‡F‹
λ ∂t τ p + u.∇τ p − ∇uτ p − τ p (∇u)T + Z(tr(τ p ))τ p
ηp −λ τ p +
((∂t + u.∇) ln (Z(tr(τ p )))) = ηp γ̇,
λ
À!—
5 Ž•”
5 Žƒ
‚ d ‡Fžp†OŒ ‰—’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆ®—‡ Œ@ ‡ižpc‰Š‹F‡Q‡F† b ‡ižp†O„mˆ‡ ‹i‚Šˆžp†y‰Šˆ †y‡ „‡QŒ@ ‚ ˆ ’ˆ †a‡išpšaŸ&†y‡iša‰—c‰Šˆž
Œ“‰žp„’†a‡O‹i‚ œ¿œ‡JŸ&†£‰Šˆ †tšp‚ _‚Ššp†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ‡©‰Š„B‹w‰ŠšpšaŸO—‡#Œ@ ‡&´ƒ†y‡Fˆža’’“Œ’†aŸWœ‰¾´’“œ‰ŠŒ“‡f—‡ižt_‚ŠŒ› ¹
œ¿½išp‡i-ž d
Z(tr(τ p )) = 1 +
b
tr(τ p )
1+λ
,
d ηp
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
Dª ºc‰Š‹F„ˆ —‡J‹i‡Fžtœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižDˆm‚ ˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Š’“šp‡iž™—‚ ˆˆ‡Fˆ †Œ“’“‡F„ —‡Fžt‹F‚ œ¿_‚ š|†y‡Fœ‡Fˆ †až „c‰ŠŒ’†£‰ ¹
†a’˜ ‡Fœ‡Fˆ † ‹i‚Ššaša‡F‹F†až —c‰Šˆž'Œ“‡Fž'ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž'ža’œŒ‡ižO—ŸF‹iša’ †yž'—c‰Šˆž'Œ ‰ ža‡i‹&†y’‚ ˆ 5 5 5 Ž z·©ˆ
šp‡F†y’‡iˆ—mšy‰ „‡'Œ“‡ižfœ‚ƒ—½FŒ“‡ižtœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fžfžp‚ ˆ †J—ŸFša’˜ŠŸižf—‡'†a‡iŒ“Œ‡'žp‚ šp†a‡> „ ’“Œžt˜ŠŸiša’)(c‡iˆ †
—‡Fž©šp’“ˆ‹F’“S‡ižt— ’ˆ ˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡#c‰Ššt‹£ºc‰Š0ˆ Š‡iœ¿‡iˆ †J—‡'šaŸ & ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ ‡&'† „‡Œ‡i„šf‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †
„c‰ŠŒ’†y‰•†y)’ &'—‰Šˆž —‡ižBŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yžBža’œŒ‡iž$žp‚ ’† S‚ ˆ ­W‡ Œ„ž _‡i‰Š„‹F‚ „ —m‡7œ¿‚—m½iŒ“‡Fž
œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ižY—’ ~ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ“žD‚Šˆ †Y‡i:ˆ & ‰Š’ †DŸ&†yŸ©—ŸFša’ ˜ Ÿiž c‰Ššp†a’“š«—‡©‹F‚ ˆža’—Ÿiša‰•†y’‚ ˆž™œ’‹iša‚¾¹
žp‹i‚ ’ „‡iž ‹ & cža‡i‹&†y’‚ ˆ7 5 <
·©ˆ$_‡F„mB† ŸFˆŸiša‰ŠŒ“’ža‡iš™‹i‡Fžœ‚ƒ—½iŒ‡iž™‡iˆ$‹i‚Šˆža’—Ÿiša‰Šˆ †Œ“„mža’“‡F„šaž™†y‡iœ¿žY—m‡Jša‡iŒ“‰¾´m‰•†y’‚ ˆ
‡&†OŒ“„žp’“‡F„šažW˜ƒ’ža‹i‚Šža’†aŸiž η ‡F†O‡Fˆ S‚ ža‰Šˆ † τ = P τ ‚ τ ˜ ŸFša’ (‡Qc‰Šš©‡k´m‡FœmλŒ“‡
5  D‚ „ 5  5  «‰w˜ ‡i‹ λ = λ ‡F† η = η >
!
p,i
7
9
$ p
i
;
imax
i=1
p
p,i
p,i
p,i
* Dª ‚ ˆžp’“—ŸFša‚ ˆž fˆ‚Š„m˜ ‡i‰Š„QŒ“‡«œ‚ƒ—½FŒ“‡r—‡³®‰ ´M6™‡iŒŒ„mˆ’“—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆ‡FŒ 5 w– <¾¤L‰tža‚ Œ„m†y’‚ ˆ
S‡i„m†tž ŸF‹iša’ša‡Oža‚Š„ž& ‚Ššaœ¿‡©’“ˆ †yŸ šy‰•Œ“‡Q
Z
5 Ž Ž
t−t
t−s
η
+
γ̇(s) ds.
τ (t) = τ (t ) exp −
exp −
λ
λ
λ
¥ ˆ & ‰•’“žy‰•ˆ † †a‡iˆ—mša‡ t ˜Š‡išaž −∞ ‡&†™‡Fˆžp„S‚ žy‰•ˆ 2† „‡ τ ša‡iž|†y‡ _‚ŠšaˆŸža’ γ̇ @Œ ‡iž|† ‚ ˆ¿5‚ m†a’“‡Fˆ †
Œ“‰ & ‚Ššaœ¿‡©ža„’ ˜•‰Šˆ †y‡
Z
5 Ž
η
t−s
τ (t) =
γ̇(s) ds.
exp −
λ
¥ ˆ®’ˆ †yša‚ƒ—„’žy‰Šˆ † γ(t , t) —Ÿ (ˆ’c‰ŠšO λ
5 Ž¾–
γ(t , t) = γ̇(t)
,
γ(t , t ) = 0
‚ ˆB5‚ m†a’“‡Fˆ †‰Šš’“ˆ †yŸ šy‰•†a’“‚ ˆ c‰Ššc‰Šš|†y’“‡W„ˆ‡#ša‡iŒ“‰•†y’‚ ˆŸ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ †y=‡ 5 Ž W
Z
5 Ž
t−s
η
τ (t) =
γ(t, s) ds.
exp −
λ
λ
‚Š„ž'‹F‡F†p†y‡ & ‚Ššaœ¿‡ X‚ ˆ ˜ ‚ ’ † „‡ Œ“‰ ‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡ @Œ ’“ˆž|†£‰Šˆ † —mŸiS‡iˆ—v—m‡?Œ º’žp†a‚ ’“šp‡ —‡¿Œ ‰
—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ m¤‰ & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ exp − ‡ižp†f‰Šm_‡FŒ“ŸiD‡ & ‚ ˆm‹Ft†y’‚ ˆ$œ¿Ÿiœ¿‚ ’“šp‡ ªD‡®‹i‰ŠŒ“‹F„Œf„mˆ’“—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆ‡FŒ‡F† º‚ œ¿5‚ ½iˆm‡I‡Fˆ ‡ižpc‰Š‹i‡®ža‡ ŸFˆŸiša‰ŠŒ“’ža‡B‡iˆ Œ“‰ & ‚Ššaœ „Œ‡
žp„’˜•‰Šˆ †y‡
Z
À!—
5 Ž
τ (t, x) = −
M (t − s)f C (s, x) ( − C (s, x)) ds.
‚ M ‡ižp†D„ˆ‡ & ‚ ˆ‹F†a’“‚ ˆœŸFœ‚Š’“ša‡ f „mˆ,‡ & ‚ ˆ‹&†y’‚ ˆ #˜Š‰•Œ“‡i„mš™špŸi‡iŒŒ“‡ ƒ‡&† C (s, x) —Ÿižp’ ˆ‡
Œ‡B†a‡iˆžp‡i„š—‡iž—Ÿ & ‚ špœ ‰¾†y’“‚ŠˆžQ—‡Iµz’“0ˆ Š‡iš šp‡iŒ ‰¾†y’ &, Œ ‰ ‹i‚ Jˆ (0 „šy‰¾†y’“‚Šˆ§‰Š„ †y‡Fœmž t<D¤‡
†a‡iˆžp‡i„š—‡©µz’“0ˆ Š‡iš C (s, x) ‡iž|†@Œ ’“ˆ ˜Š‡išažp‡ œ‰•†aša’“‹F’“‡FŒ —„†a‡iˆžp‡i„šD—‡iž—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆžr—‡
ªY‰Š„m‹£º › ša‡iŒ“‰•†y)’ & ¿Œ“‰ ‹i‚ Mˆ (* „ša‰•†y’‚ ˆB‰Š„$†y‡iœ¿ž t C (s, x) „’‡iž|†W—Ÿ (cˆ’c‰•šJ
5 Ž
C (s, x) = F (s, x) F (s, x)
t
0
0
t0
0
t
−∞
0
d
dt
0
0
0
t
−∞
η
λ2
2
t−s
λ
t
−1
t
p
−∞
−1
t
−1
t
−1
t
t
t
t
T
t
i
>>
‚
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
‡ižp†tŒ‡D šy‰Š—m’“‡iˆ †—‡O—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ ša‡iŒ“‰•†y’)& QŒ ‰Q‹i‚ ˆM(* „ša‰•†y’‚ ˆ ‰Š„ †y‡iœ¿ž t©
5 Ž
F (s, x) = ∇(χ (s))(x)
‚ χ (s) —Ÿižp’ ˆ‡@Œ ‰ŠŒ’“‹i‰•†y’‚ ˆ „’«‡iˆ ˜ ‚ ’‡ Œ‡iž#c‰Ššp†a’“‹F„Œ“‡Fž#—m‡Œ‡i„š#_‚Šža’†a’“‚ ˆ [email protected]Œ ’“ˆž|†£‰Šˆ †
Œ‡i„šf_‚ žp’†a’“‚ ˆ @Œ ’“ˆž|†£‰Šˆ † s ~¼t‚Š†y‡F'š „ ’Œ ‡Fžp†Jˆ‰•†y„šp‡iŒ —>‡ & ‰Š’ša‡'‰Šc‰Šša‰•²“†aša‡'Œ“‡O†y‡iˆmža‡i„mš
t
_‚Š„šO—Ÿ (cˆm’“š#„ˆ‡¿‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡ ‹w‰ŠšO‹ ‡Fžp† ‹F‡iŒ„’ ƒ„m’«‹i‰Ššy‰•‹F†yŸFša’ža‡¿Œ ‰$—Ÿ & ‚Ššaœ‰•†y’‚ ˆ —‡iž
C
žp„Lš & ‰Š‹F‡iž ‹ &  ” ~ Ž <‡&† „ ’“ŒS‡ižp†YŒ“5‚ ’ „‡f—m‡©_‡Fˆža‡FBš „‡©Œ“‡FžD‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡FžYža„Hš & ‰Š‹i’ „‡iž
—ŸF_‡Fˆ—‡Fˆ † —‡DŒ“‰t—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆOc‰ŠžpžaŸF‡Y—‡iž ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yžL—‡Džp„Lš & ‰•‹i‡Džp„šLŒ“‡iLž „‡iŒžz‡iŒŒ“‡Fž ‰ ’“žpža‡iˆ †
‹ & ¶   •– ·©ˆ¿S‡i„† ˜ Ÿišp’ (c‡FIš „‡Œ ‰©—ŸFša’˜ŠŸi‡ža„mš|¹!‹F‚ ˆ ˜ ‡F‹F†yŸF‡ c‰Šš ša‰ŠS‚ šp8† tz—„†y‡Fˆža‡F„šr—‡µz’ˆ¹
‡Fš C ‡Fžp† ˆ „ŒŒ“‡ •­W‰Šˆž Œ‡D‹w‰•ž M (t − s) = η exp − t − s ‡F† f = 1 •‚Šˆ˜ ŸFša)’ (c‡‰Š’ˆža’
c‰•štžp’“œ¿Œ“‡f—Ÿišp’˜•‰•†a’“‚ ˆ$—‡OŒ“>‰ & ‚ šaœ „mŒ“‡ 5 Ž 2λ „‡#Œ“‡W†a‡iˆžp‡iλ„š τ —mŸ (cˆ’‰Šš 5 Ž «˜ŠŸišp’ (c‡
?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ —’ ~ŸFša‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡r—ŸFša’˜ŠŸi‡Y—m„Qœ‚ƒ—½iŒ‡™—m‡³®‰¾´ 6™‡iŒŒ   •¤‡™c‰Šša‰Šœ½&†yšp‡ λ -ž ’“ˆ †y‡Fš|¹
šp½F†a‡©—‚ ˆ.‹ & ‰Š‹i’Œ“‡iœ¿‡iˆ †«ža‚Š„žY‹i‡&†a†a,‡ & ‚ šaœ¿‡t‹i‚ œ¿œ‡tŒ“‡t†y‡Fœž™‹w‰Šša‰Š‹F†aŸišp’“žp†a’ „.‡ ƒ$„ ’Œ & ‰Š„†‰Š„
ž|›ž|†y½Fœ‡JS‚ „š™‚ 0„ Œ’“‡iš«@Œ º’žp†y‚Š’“ša‡t—‡©Œ“‰'—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ ƒ­W‡Wœ KFœ.‡ ƒ„m‡©—c‰ŠˆžDŒ“‡W‹i‰ŠžY—‡FžYœ¿‚•¹
—½FŒ“‡FžL—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“ž i‚ ˆOS‡i„m† ŸFˆŸiša‰ŠŒ“’ža‡iš~‹i‡rœ‚ƒ—½FŒ“‡z‡Fˆ'‹F‚ ˆžp’“—ŸFšy‰Šˆ †Œ„ža’‡i„špžX†y‡iœ¿ž—‡ršp‡&¹
Œ“‰¾´m‰•†y’‚ ˆ λ ‡F†Œ„ža’‡i„špžX˜’ža‹F‚ ža’ †yŸiž η ‡F†‡Fˆ#S‚ ža‰Šˆ † M (t − s) = X η exp − t − s ·©ˆša‡&†yša‚Š„m˜ ‡—c‰•ˆž ‹i‡‹i‰Šž Œ“‡Yœ¿‚ƒ—½iŒ‡D—‡³I‰¾´ 6D‡FŒ“*Œ ŸFˆŸiša‰ŠŒ“’žaŸDŸ&˜ ‚ „Ÿ ©λŒ .‰ (cˆ—‡Œ“‰Wža‡Fλ‹F†a’“‚ ˆ
špŸi‹FŸi—‡Fˆ †a‡ ¼f‚Š†a‡i'š „ ’“ŒL‡&´’žp†y‡Q—m‡ižJœ¿‚—½FŒ“‡FžW’“ˆ †a-Ÿ ša‰Š„´ ƒ„m’zˆ ‚ ˆ †Oc‰Šž©$— Ÿ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ †Jža’œŒ‡'žp‚ „ž
& ‚ špœ‡J—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡ c·©ˆ ša‡Fˆ ˜ ‚ ’‡‰Š„ ‹£ºc‰•’†aša‡ Q—‡  Ž _‚Š„š—‡ižt‡&´‡FœŒ‡iž = > B B < < < B =
A
G HG < H G > B I G - < G B B H G &> B G B B G B B < G (G FB B G B < B B < < B < &B G B < < B < B B τ
Z
5 Ž
τ (t, x) = −
M (t − s)g (C (s, x)) (C (s, x) − ) ds.
B < I G F t (s, x)
t
t
t
−1
t
,
−1
t
p
2
p
imax
i
p,i
i=1
p,i
2
i
i
*,
p
t
p
t
t
−∞
&#$- *&3 )&* ")+' )&*,"/.01234)
©­ ‰ŠˆžŒ ‰ ža‡F‹F†y’‚ ˆ 5 ŽMr‚ ˆ§‰7‹£º‡Fša‹£ºŸ ŸF†y‰Œ“’š„ˆ‡Bša‡iŒ“‰•†y’‚ ˆ ‡iˆ †yšp‡®Œ“‡$†a‡iˆžp‡i„š τ
—‚Šˆˆc‰Šˆ †©Œ“‰¿‹F‚ ˆ †yšp’„m†a’“‚ ˆ —‡FžWS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡ižt‰Š„I†a‡iˆžp‡i„šf—‡ižf‡&´ƒ†yša‰¾¹!‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fž ‹& 5  Ž
‡&†'?Œ ºm’“žp†a‚ ’“šp‡—‡Œ“‰—Ÿ& ‚ špœ ‰¾†y’“‚Šˆ ‰Š„†yšy‰w˜Š‡išaž#—‡+& ‚ špœ „Œ‡ižJˆ‡& ‰Š’žy‰Šˆ †J’ˆ †a‡iš|˜ ‡iˆm’“š „‡—‡iž
ša‰Šˆ—‡F„šažtœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž ‹& 5  D‡&† 5 Ž <
p
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
©· ˆž- ’“ˆ †aŸiša‡Fžažp‡Dœ‰Š’“ˆ †y‡Fˆc‰Šˆ †NfŸF‹iša’ša‡«„ˆ‡«Œ“‚ ’ —m‡™‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ †L‡iˆ'c‰Šš|†£‰Šˆ † — „mˆQ‰Š„m†aša‡
S‚ ’“ˆ †«—‡˜ƒ„‡# ‚ ˆ‹£ºm‡iša‹£ºm‡'O—Ÿi‹Fša’“šp‡Œ ‰©œ‰Šˆ’“½Fša‡—‚Šˆ †™ŸF˜Š‚ Œ“„m‡iˆ †«Œ“‡ižrS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡iž«‰Š„ˆ’˜Š‡w‰Š„
œ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡—c‰ŠˆžOŒ“‡Q‹£º‰Šœ —‡Q˜ƒ’†a‡ižažp‡—m„7žp‚ Œ˜•‰Šˆ †#„’ž-X‡Fˆža„’ †y‡L‹F‚ œ¿œ‡Fˆ †OŒ‡ižOS‚•¹
Œ ›œ¿½išp‡iž©’Jˆ 1c„‡Fˆ‹i‡Fˆ †JŒ“‡#†y‡iˆmža‡i„mš©—‡ižW‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡iž©‡&†J—‚ ˆ‹'@Œ Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †©œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡ ¼t‚ „ž ‰ŠŒ“Œ‚ ˆž—‚ ˆm‹™’ˆ †aša‚ƒ—„’ša‡ —‡FžL˜•‰Ššp’ ‰ Œ‡ižžp„ŒŸiœ¿‡iˆ †£‰Š’ša‡FžL—‰ŠˆžLŒ“‡rša‚ Œ“½Fœ‡ S‚ „šœ¿‚•¹
—ŸFŒ“’ža‡iš Œ‡ižrœ¿’“‹išp‚ žp†aša„‹&†y„šp‡iž ¼f‚ „mž«ˆm‡tS‚ „m˜Š‚ ˆžrc‰Šžrˆ‚Š„žr_‡Fšaœ¿‡F†a†aša‡—‡—ŸF‹išp’“ša‡†aša½iIž (cˆm‡&¹
œ¿‡iˆ †rŒ“‡Fž œ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ‡iž —‡S‚ Œ ›œ¿½išp‡D—c‰•ˆžrŒ“2‡ 1„’“—‡ ‡iˆ„m†a’“Œ’“žy‰•ˆ †zc‰Šš ‡k´‡iœ¿Œ“‡YŒ“‰©œŸF‹w‰Šˆm’ „‡
„c‰Šˆ †a’ „‡‚ „QŒ“‰f—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡Dœ‚ ŒŸi‹F„Œ ‰Š’ša‡ _‚ „mš —‡iž ša‰Š’“žp‚ ˆž —‡Y‹i‚ m† ‹w‰•Œ“‹i„[email protected]Œ ¾„’“Lž „‡@Œ ‚ ˆ
‹£º‡Fša‹£º‡ žp’“œ „Œ‡išf—‡iž©ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †až @Œ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡ —„‹i‡Fˆ †y’“œ¿½F†aša‡ ‡&†J—‡ Œ“‰ ža‡F‹i‚ ˆm—‡ ¼t‚ „ž
‰ŠŒŒ“‚ ˆmž Œ“„† Š†Q„†y’“Œ’“žp‡iš—m‡ižœ‚ƒ—½FŒ“‡iž‹i’“ˆmŸF†y’ „‡iž z†!›ƒ_‡ -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆ —m‡ ¤L‰•0ˆ ‡F˜ƒ’ˆ S‚ „šQža’¶¹
œ „mŒ“‡iš¿@Œ ŸF˜Š‚ Œ“„†y’“‚Šˆ —m‡®Œ ‰ ‹i‚ŠJˆ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ —‡Fž S‚ Œ›ƒœ¿½iša‡Fž ‚ ˆ c‰ŠšaŒ‡I‰ŠLš & ‚ ’ž—‡®œ¿‚—m½iŒ“‡Fž
œ¿Ÿižp‚ ža‹F‚ ’ „‡F-ž XS‚ „štŒ“‡FžW—’žp†a’“0ˆ „m‡išW—m‡ižWœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižWmŒ“„ž (cˆ,ž „’ —Ÿi‹Fša’šy‰Š’‡iˆ †©?Œ Ÿ&˜ ‚ Œ„m†y’‚ ˆ
—‡FžWœ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ‡iž‡FŒ“Œ“‡Fž|¹ œ KFœ‡Fž cªD‡ižtœ‚ƒ—½iŒ‡iž‚ ˆ †tŸF†aŸ'—Ÿ&˜ ‡FŒ“‚ SŸižt—‡F„’“žtŒ“‡Fžt‰ŠˆˆŸF‡iž ”
œ‰Š’“ž™‚ ˆ †ža„mšp†y‚Š„m†ŸF†aŸJ‰Šœ¿ŸiŒ’“‚ špŸiž«—„šy‰•ˆ †YŒ“‡iž«†yšp‡iˆ †y‡J—‡Fšaˆ’½išp‡iž‰ŠˆmˆŸi‡Fž ‹ &  MŽ a M J ‡&†@Œ ’“—mŸi‡ —‡®‹F‚ „Œ‡iš‹i‡Fžœ¿‚—½FŒ“‡Fž‰w˜Š‡i‹®Œ‡iž¿-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmž œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fžžp„š Œ“‰ ˜ƒ’ †y‡ižpža‡
S‚ „šža’œ „Œ‡išY—‡FžfŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †ažt‹F‚ œ¿Œ“‡k´m‡Fž—c‰•†y‡O—‡FžW‰•ˆˆŸi‡Fž' ” ‹ & ‡F†tŒ“‡Fž†yº½Fža‡iž
špŸi‹i‡Fˆ †y‡iž  J£ ” J£i– > >
;
$ 7
" .*
+7
7.
$ 5
9
7.* " .* 7
7
% ¼f‚ „mž$ˆ‚ „ž$’ˆ †aŸišp‡ižažp‚ ˆž —c‰Šˆmž$„ˆUša‡Fœ’‡iš †a‡iœ¿ž vŒ“‰v—‡ižp‹iša’m†y’‚ ˆU—‡Œ? Ÿ&˜ ‚ Œ„m†y’‚ ˆ
— „ˆ¿_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡Y—‰Šˆž „ˆ‹£ºc‰Šœ¿—‡Y˜ƒ’†a‡ižažp‡—‚ ˆˆŸ ¤I º ›ƒS‚Š†yº½Fža‡#& ‚ ˆ—c‰•œ‡Fˆ †y‰ŠŒ“‡2 „‡ˆ‚ „ž
& ‡Fša‚ ˆžfc‰ŠšŒ ‰ža„m’†y‡ ‹ & „ˆ‡#—’“žp‹i„žpža’“‚Šˆ —‡#‹i‡ižfº ›S‚Š†aº½ižp‡iž©—c‰•ˆžfŒ“‰¿žp‡i‹&†y’“‚ŠˆR5 5 J ‡Fžp†
„‡ G G HGIG ™¼f‚Š„ž ˆ‚Š„žŒ“’œ’ †y‡Fša‚ ˆž
—‚Šˆ=‹ ¿Œ“‰ œ‚ƒ—ŸiŒ’“ža‰•†y’‚ ˆ —‡Fž 1„’“—‡Fž_‚ Œ ›ƒœŸFša’ „‡Fž IG B < B B HG B B E DFDH GIG °fˆ —‡Fžfœ¿‚—m½iŒ“‡FžYŒ“‡FžŒ“„mžža’“œ¿Œ‡iž „’S‡išpœ‡&†a†y‡Fˆ †f—m‡#—mŸi‹išp’“šp‡JŒ ‰ ‹i‚ŠJˆ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ$— „ˆ
S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡W—c‰ŠˆmžY„ˆ$ža‚ŠŒ˜•‰Šˆ †Y‡Fžp†Œ ‰#‹£ºc‰•²“ˆ‡©—D‡ /Jša‰Šœ‡Fšaž ‹ & (* „šp‡ 5 m·©ˆ$ša‡FšaŸFža‡iˆ †a‡JŒ“‡
S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡ c‰Šš©„mˆ‡Q‹£ºc‰•²“ˆ‡ —‡ N m’“Œ“Œ‡ižtša‡FŒ“’“ŸF‡iž©‰Šš N − 1 †a’ ‡Fž©ša’ ’“—‡FžW—‡QŒ‚ 0ˆ „m‡i„š a ­©‰•ˆž ‹i‡œ¿‚—½FŒ“‡ ™Œ‡iž ’Œ“Œ“‡Fžšp‡išpŸižp‡iˆ †y‡Fˆ †®—‡iž$S‚ š|†y’“‚Šˆž—‡  ” Ž•”vœ‚ ˆm‚ œ½Fša‡F-ž ·©ˆ
žp„S‚ ža‡™c‰ŠšL‰Š’“ŒŒ“‡F„šaž „‡™Œ“‡Fž ‰•0ˆ Œ“‡Fž‡iˆ †yšp‡«†a’ ‡FžLžp‚ ˆ †zŒ’ šp‡iž w‹ ‡iž|†p¹ ¹!—’ša‡ „‡™Œ‡ižS‚ ža’ †y’“‚Šˆž
—‡FžY†y’ ‡iž™ža‚ ˆ †šp‡išpŸiža‡Fˆ †yŸi‡Fžf‰ŠšD—‡FžD˜•‰Šša’“‰ Œ‡iž™‰ŠŒ“Ÿi‰•†y‚ ’ša‡Fž™’ˆ—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ †y‡Fž„ˆ’ & ‚Ššaœ¿Ÿiœ¿‡iˆ †
—’žp†aša’ m„Ÿi‡FžWža„mšfŒ“‰¿žpº½išp‡ ‚Šˆ®c‰ŠšpŒ“‡O—'‡ 95‹£ºc‰¾² ˆ‡#Œ“’ ša<‡ ; cªD‡F†a†a‡º ›ƒ_‚•†yº½Fža‡ — ‰ žp‡iˆ‹F‡ —‡
‹F‚ šašpŸiŒ ‰¾†y’“‚Šˆ7‡Fˆ †aša‡¿Œ“‡Fž#†a’ ‡Fž'‡Fžp†'— ‰•’“Œ“Œ‡i„špžO‹i‡ ƒ„m’™—Ÿ&†y‡Fšaœ¿’“ˆ‡Œ ‰ Œ“‚Š0ˆ „‡F„š'—m‡ižO†y’ Š‡iž ‚ ˆ
c‰•šaŒ“‡™—‡Džp-‡ œ¿‡iˆ †zžp†£‰¾†y’“ž|†y’ ƒ„m‡D—‡ /O„mºˆ ŠªD‡Yœ¿‚—m½iŒ“‡ršpŸižp‡iˆ †y‡Œ„ža’‡i„špž ‹i‰Ššy‰•‹F†yŸFša’žp†y’ „‡iž
— „ˆ'‡ 9!˜ƒša‰Š’“<‡ ;©‹£ºc‰¾² ˆ‡O—‡OS‚ Œ›ƒœ¿½iša‡Q
Œ“‰Q‹£ºc‰•² ˆm‡J_‚ žpža½F—‡'„mˆ ša‰Šˆ—Bˆ‚ +œ mša‡J—‡O—‡ šaŸFžf—‡OŒ’ S‡išp†aŸ©’“ˆ †a‡išaˆm‡i-ž ‡FŒ“Œ‡J_‡F„m† KF†yšp‡OŸF†y’šaŸF‡J‚ „I‚Šša’“‡Fˆ †yŸi‡ ‡FŒ“Œ‡J_‚ žpža½F—‡'„mˆ‡OŒ“‚ 0ˆ Š„‡i„šœ‰¾´’“œ‰ŠŒ‡' (N − 1)a ­©‰•ˆž Œ ‰Œ“’œ’ †y‡ ša‰Šˆ— ¾‡iˆ „†y’“Œ’“ža‰Šˆ †Œ“‡r†yºŸF‚ ša½Fœ‡™—‡DŒ“‰tŒ’“œ¿’†y‡z‹i‡iˆ †ašy‰ŠŒ‡ ‹ & $  Ž ¹£
‚ „ ¶  i– XN‚Šˆ S‡i„†'œ¿‚ ˆ †yšp‡iDš „ „ˆ‡†yšp½iž _‚Šˆˆ‡¿‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚Šˆ —‡Œ ‰—‡Fˆža’ †yŸ—‡
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
3
a
N−1
2
X
1
N
X
5 ³I‚ƒ—ŸiŒ’“ža‰•†y’‚ ˆ®— „ˆS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡ ~—m‡QŒ ‰ œ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ‡‰•„œ‚ƒ—½iŒ‡—„ B E DFDH GIG ‡iˆ
c‰•žažy‰•ˆ †c‰Šš Œ‡Iœ¿‚ƒ—½iŒ‡I—‡IŒ ‰ ‹£ºc‰•² ˆm‡®Œ“’ša‡ —‡’“ŒŒ“‡iž‡&†—‡B†y’Š‡iž ‰ŠS‡iŒŸi‡B‹£ºc‰•² ˆm‡®—‡
/Jšy‰•œ‡Fšaž <S·©ˆB—mŸiža’ ˆ‡Oc‰Šš X Œ‡©˜ ‡F‹F†y‡F„šƒ„m’‘p‚Š’“ˆ †„ˆ‡O‡k´†ašaŸFœ’ †yŸ Œ@ ‰Š„m†yšp‡
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
šp‚5c‰m’“Œ“’ †yŸ™_‚ „mš Œ“‡Y˜Š‡i‹F†a‡i„š S‚ „m†|¹ ¾¹ _‚ „† X ‘p‚ ’ ˆc‰Šˆ † Œ‡iž —‡F„´‡k´†ašaŸFœ’ †yŸiž —m„¿S‚ Œ ›œ¿½išp‡
‹ & 0(* „mša‡5 —‰Šˆž„ˆB‹£ºc‰Šœ¿I—‡J˜ƒ’†a‡ižpža‡Oˆ „Œ“Œ‡‡Fžp†#
5 Š”
3||X||
φ (X) = Z exp −
‚ Z ‡Fžp†™„ˆ‡W‹F‚ ˆž|†£‰Šˆ †y‡f—‡tˆ‚ šaœ‰ŠŒ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ ŠI¤ Ÿiˆ‡F2(N
"š ’‡f−Œ’ 1)a
šp‡—„ ž|›ž|†y½Fœ‡fŸF†£‰•ˆ †™—‚ ˆmˆŸi‡ J
„ˆm‡t‹F‚ ˆž|†£‰Šˆ †y‡‰•——’†a’˜Š‡Yša½F-ž ‰Šš
Š‚ —ŸFža’ ˆ‡YŒ“‰©‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †a‡
—‡t¯D‚ŠŒ† Fœ ‰•ˆˆQ‡F† T Œ“‰W†y‡FœSŸiša‰•†y„A(X)
šp‡ ža„m=_‚Š−kT
žaŸi‡‹F‚ ln(φ
ˆžp†y‰Šˆ (X))
†y‡t—c‰Šˆž †a‚k„m†y‡Œ“‰©ža„’ †y‡ < ‚ ˆS‡i„m†
’ˆ †aša‚ƒ—„’ša‡B„ˆ‡ & ‚ šp‹i‡ ƒ„m’f‡Fžp†$šp‡iŒ“’Ÿi‡I‰Š„´ ˜•‰Šša’“‰•†y’‚ ˆž—‡ ?Œ ŸFˆ‡iLš ’“‡BŒ“’ ša‡ ‡&†$—Ÿ (ˆ’“‡Ic‰Šš
‹F‡ „’‚Šša’“‡Fˆ †y‡ Œ ‰ & ‚ šp‹i‡ F «·©ˆ 5‚ m†a’“‡Fˆ †‰ŠŒ‚ šažQ„mˆ‡ & ‚ ša‹F‡BŒ’“ˆŸi‰Š’“šp‡ dA = F (X).dX
‹F‚ šašp‡ižaS‚ ˆ—‰Šˆ '† Q„ˆBša‡Fžaža‚Ššp†tº‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆR
5 m
F
(X) = HX
‚ H = 3kT —Ÿižp’ ˆ‡Œ ‰ ‹i‚ ˆmžp†£‰•ˆ †a‡—‡šy‰Š’—‡i„š#—„všp‡ižpža‚ š|† ·©ˆ ‰ _‚ „†y’†#—‚Šˆ:‹ „ˆœ¿‚ƒ—½i(N
Œ‡#†aša−½ižW1)aža’“œ¿Œ‡#—‰Šˆž©Œ-‡ „‡iŒ „ˆ S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡'‡Fžp†Jœ¿‚—mŸiŒ“’žaŸOc‰Ššf—‡i„ƒ´ ’Œ“Œ“‡FžšaE ‡iŒDF’“DŸFH ‡iGIž G
c‰•š„ˆ§ša‡ižpža‚ š|†º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆ ‹ & I(*Š„ša‡ 5 r‹F‡®œ¿‚—½FEŒ“‡$DFžDH‰ŠGImG _‡FŒ“Œ“‡Bœ¿‚—½FŒ“‡$—„ B
º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡i$ˆ «·Jˆ ‰Šm_‡FŒ“Œ“‡Fšy‰®‰ŠšQŒ ‰®žp„’†a‡$œ‚ƒ—½FŒ“‡ —m‡ B
º‰ŠŒ†a½iša‡ ‡iˆ & šy‰ŠJˆ Ew‰Š’ž #†a‚ „m†
œ¿‚—m½iŒ“‡—‡¿Œ ‰ ‹£ºc‰•²“ˆ‡¿—‡S‚ Œ ›œ¿½išp‡c‰ŠšO—‡i„ƒ´ m’“Œ“Œ‡ižJšp‡iŒ“’Ÿi‡Fž'c‰•š#„mˆRša‡Fžažp‚ šp-† z¼t‚Š†y‡F%š „‡
Œ“‰ & ‚ ša‹F‡Qša‡FŒ“’ ‰•ˆ †fŒ“‡Fž©—‡F„´ ’Œ“Œ“‡Fžf—‰ŠˆžJ‹i‡FžJœ‚ƒ—½FŒ“‡ižf‡iž|†O„ša‡Fœ‡Fˆ †O— ‚Šša’ Š’“ˆ‡#‡iˆ †yšp‚ ’ ƒ„m‡ I¤ º ›ƒS‚Š†yºm½iža‡ & ‚ ˆ—c‰Šœ¿‡iˆ †y‰ŠŒ“‡—‡Fšaša’½išp‡¿‹F‡F†p†y‡ œ¿‚ƒ—ŸiŒ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ ‡iž|+† „‡¿@Œ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ“‡—‡†y‡Fœm>ž Œ“‰ „‡iŒŒ“‡©‚ ˆ$šp-‡ ‰•ša—‡JŸ&˜ ‚ Œ„‡išŒ‡©_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡©—‰ŠˆžŒ“.‡ 1c„’“—m‡J‡ižp†žp$„ @¿žy‰Šœ¿œ¿‡iˆ #† šy‰•ˆ—‡JS‚ „š
„‡$Œ“‰Iœ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ‡‰•’† Œ‡¿†a‡iœ¿ž — Ÿi‹£º‰Šˆ †y’“ŒŒ“‚ ˆmˆ‡iš#@Œ ‡ižpc‰Š‹i‡ —‡iž ‹F‚ Jˆ (*Š„šy‰•†a’“‚ ˆmžS‚ žažp’ Œ‡iž
-Ÿ „’“Œ’ šp‡Jžp†y‰•†y’žp†y’ „‡ <
I¤ ‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ špŸi‹FŸi—‡Fˆ †a‡ ‰ŠS‡iŒŸi‡‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ ‰Š„mžaža’‡iˆˆm‡ ©_‡F„m=† KF†aša‡‰ @Q¹
ˆŸF‡ S‚ „š¿ša‡Fˆ—ša‡I‡iˆ ‹F‚ œ¿m†y‡[email protected]Œ ‡&´ƒ†y‡Fˆža’ ’“Œ’†a:Ÿ (cˆ’“‡B—‡BŒ ‰ ‹£ºc‰•²“ˆ‡ ¡ ‰Šš¿—‡Fž$‰Š"š Š„œ‡Fˆ †yž
—‡ º ›ƒža’ „‡ žp†£‰¾†y’“ž|†y’ ƒ„m‡ Y‚ ˆ S‡i„m† œ¿‚ ˆ †yšp‡iš ‹ & Y‹£º‰Š’†aša‡ —‡ ¶w– „ „ˆ‡ S‚ ˆˆ‡
‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ$—‡OŒ >‰ & ‚Šša‹i‡ „’ž ‡k´m‡Fša‹F‡‡iˆ †aša‡OŒ“‡Fžt—m‡i„´ ‡k´ƒ†yšaŸFœ’ †yŸFžt—m‡#Œ“‰Q‹£ºc‰•² ˆm‡J‡ižp†#
5 Ž
X
kT
||X||
F
(X) =
L
||X||
‚ L —ŸFža’ Šˆ‡OŒ ‰QšaŸF‹i’“mša‚ ƒ„m‡#—m‡#Œ“>‰ & ‚aˆ‹&†y’“‚Šˆ$—(N‡¤−‰ŠJˆ 1)a
‡F˜ƒ’“ˆ —Ÿ (cˆ’‡#‰ŠšJ
5 1
L(x) = coth(x) − .
ªD‡&†a†y‡J‡k´ša‡Fžaža’‚ ˆ$‡iž|†—’ @‹F’“Œ‡iœ¿‡iˆ †«œ ‰Šˆm’“„Œ“‰ Œ‡‡iˆ$xša‰•†y’ ƒ„m‡ ƒ‡F†Y‚ŠˆŒ“„’SšpŸ & ½išp‡©ža‚Š„m˜ ‡Fˆ †
žp‚ ˆ®‰•ša‚w´’“œ‰•†a’“‚ ˆ$’ˆ †aša‚ƒ—„’ †y‡©c‰•š v‰Ššpˆ‡iš ¶ Ž 5 •–
HX
F
(X) =
1−
‚ H=
‡&† b = 3(N − 1) ·©ˆ ‰ŠS‡iŒŒ“‡ ‹F‡$œ‚ƒ—½FŒ“‡ Œ‡œ¿‚—½FŒ“‡—‡iž B E DFDH GIG µ ¥r¼f¥ > D G G G B E DFDH GIG _‹w‰ŠšOŒ ‰ & ‚Šša‹i‡ F —c‰•ˆžOŒ“‡
šp‡ižažp‚ šp†«‡k´mmŒ“‚ žp‡ „c‰•ˆ—
†y‡iˆm—¿˜Š‡išaž
¼t‚Š†y‡FIš ƒ„m‡t—‰Šˆž Œ“‡Fž Œ“’œ’ †y‡iž
†a‡iˆ—
˜Š‡išaž 0 ‚ „ ’“‡Fˆ b †y‡iˆm—B˜Š||X||
‡išaž ∞ ‚ ˆ šp‡F†yšp‚(N„m˜Š−%‡ 1)a’‡iˆ Œ +‰ & ‚ šp‹i‡Jº‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆmˆ‡ 5  ||X||
2
−1
eq
2
eq
Hook
2
3
−1
Lang
−1
12
FENE
||2
||
b kT /H
3kT
(N −1)a2
FENE
>> $2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
G B H = 3kT b = 3(N − 1) G <D G *,
=
(N − 1)a
d=3
G B B B EDFDHGIG B $<
„S‚ žp‚ ˆž©„ˆ®’“ˆž|†£‰Šˆ †' „‡Œ“‡žp‚ Œ˜•‰Šˆ †fža‚ ’ †©‰•„ ša‡F_‚ žW‡F†©‹F‚ ˆžp’“—ŸFša‚ ˆžWža’“œ¿Œ‡iœ¿‡iˆ †tŒ“‡
œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †Y— „ˆ‡,’“ŒŒ“‡—c‰ŠˆmžDŒ“‡#1c„’—‡ ‹& ¶ ŽŠ” S Ž ¹ ƒ·©ˆ—mŸi‹i‚ŠœS‚ ža‡fŒ ‰D& ‚ ša‹F‡, „‡
Œ‡Jža‚ Œ ˜Š‰•ˆ †‡k´‡iša‹F‡žp„šŒ +‰ ’Œ“Œ“‡W‡iˆB—‡i„´†!›S‡ižt—D‡ & ‚ šp‹i‡ ‰Šmša‚ƒ‹£º‡O—‡#¤‰Šˆ0 ‡&˜’ˆ W
„mˆ‡ & ‚ ša‹F‡D—2‡ & ša’“‹&†y’‚ ˆ ša‚Š_‚ š|†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ“8‡ WŒ“‰f˜ƒ’†a‡ižažp‡Yša‡FŒ ‰•†a’˜Š‡D—‡YŒ“‰,’Œ“Œ“‡rc‰•šzšy‰•_‚Ššp†
‰•„Qža‚ Œ ˜Š‰•ˆ -† Œ“‡D‹F‚H‡ @¿‹i’“‡Fˆ † —‡ & ša’‹F†a’“‚ ˆ'‡ižp†rˆm‚Š†yŸ ‡&† _‡F„mI† K&†yša‡‡Fžp†a’“œ¿Ÿ ¾c‰Šš ‡k´m‡FœmŒ“‡
‡FˆI„†y’“Œ’“ža‰Šˆ †Œ ‰ Œ‚ ’X—‡'ƒ†a‚ ¢Š‡F-ž ‹ & ¶ Ž $ SŽ ζ
„mˆ=‡ & ‚Šša‹i‡ šp‚ 6ˆ’“‡Fˆˆ‡ Sšp‚ ˜Š‡iˆc‰•ˆ †f—‡Fžfˆ‚Š+œ ša‡F„´B’“œ¿c‰Š‹&†yž‰ŠŒŸw‰•†a‚ ’“šp‡iž—‡FžfS‡F†a’†a‡iž
œ¿‚ ŒŸi‹i„mŒ“‡iž—m„Ižp‚ Œ˜•‰Šˆ †ža„mštŒ“+‰ ’“ŒŒ“‡fša‡imšaŸižp‡iˆ †£‰•ˆ †W„ˆ,‡ 9 Šša‚ žpža‡ ;Jœ‚ ŒŸi‹F„Œ“‡ I¤ º ›ƒS‚Š†yºm½iža‡®—„ ‹w‰•šy‰Š‹&†y½išp‡ mša‚ 6ˆ’“‡Fˆ —‡BŒ ‰ & ‚ ša‹F‡I‡k´‡iša‹FŸi‡ ‰ŠšŒ‡ ža‚ Œ ˜Š‰•ˆ †ža„mšŒ“‰ ’Œ“Œ‡
šp‚ ˜’‡iˆ †B—„ & ‰Š’† ƒ$„ ‚ ˆ0ža„m_‚Šža‡ ƒ„m‡ Œ“‰v‹i‚ špšaŸFŒ ‰•†a’“‚ ˆ ‡Fˆ0†a‡iœ¿ž$S‚ „š$‹i‡&†a†a‡ & ‚Šša‹i‡‡Fžp†
†aša½ižS‡F†a’†a‡W—‡&˜Š‰•ˆ †YŒ“‡f†a‡iœ¿žD$— 5‚ mža‡iš|˜•‰•†y’‚ ˆ—„$œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †—‡©Œ“%‰ ’Œ“Œ‡ ƒ¥ ˆ$ˆ‚Š†£‰•ˆ † m Œ ‰
œ‰Šžažp‡Y—‡YŒ“,‰ ’Œ“Œ“‡r‡&† V žp‚ ˆ ˜ ‡F‹F†y‡F„š ˜ƒ’†a‡ižažp‡ ‚Šˆ 5‚ m†a’“‡iˆ †z—‚ ˆ‹Y?Œ Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ —„œ‚ „˜ ‡iœ¿‡iˆ †
žp„’˜•‰Šˆ †y‡ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ —‡'¤‰Š0ˆ ‡&˜’ˆ W
5 m dV = −ζV dt + D dB ,
‚ B —Ÿižp’ ˆ‡I„ˆ œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ :† šp‚ 6ˆ’“‡Fˆ žp†y‰Šˆ—c‰Ššp— d¹!—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆˆm‡[email protected]Œ z‡F† D „ˆ c‰Šša‰¾¹
œ¿½F†aša‡žp‹w‰ŠŒ“‰Š’“šp‡ „‡[email protected]Œ ‚ ˆR˜Š‡i„m†—mŸF†y‡Fšaœ¿’“ˆ‡F-š ¤‰ ža‚ Œ„m†y’‚ ˆR‡Fžp†„ˆ šp‚‹F‡ižpža„ž— ·©šaˆž|†y‡i’ˆ¹
°tºŒ“‡Fˆ S‡i‹£¢
2
&
t
t
t
t
t
Z
D t
ζ
ζ
V t = V 0 exp − t +
exp − (t − s) dB s ,
m
m 0
m
‚
— ŸFža’Šˆ‡WŒ“‰#˜ƒ’†a‡ižažp‡J’“ˆ’ †y’“‰ŠŒ“‡ „‡WŒ@ ‚ ˆža„m_‚Šža‡©’ˆ—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ †y‡©—m‡ B ¤‡Wmša‚ƒ‹i‡ižpža„ž
‡iž|†t—‚ ˆ‹O„ˆBša‚ƒ‹i‡Fžažp„ž. ‰Š„žažp’“‡FˆI—‡Oœ¿‚ › ‡iˆmˆ‡
V0
Vt
t
ζ
E(V t ) = E(V 0 ) exp − t ,
m
‡&†f—m‡#œ‰•†aša’“‹F‡©—‡O˜•‰Šša’“‰Šˆ‹i‡k¹!‹F‚ ˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡
E ((V t − E(V t )) ⊗ (V t − E(V t )))
2ζ
= E ((V 0 − E(V 0 )) ⊗ (V 0 − E(V 0 ))) exp − t
m
2
D
2ζ
+
.
1 − exp − t
2ζm
m
!À —
·©ˆI‰žp„S‚ žaŸ „‡OŒ“‡'1„’“—‡JŸ&†£‰Š’ † ‰Š„ ša‡F_‚Šž-c‡F†‚ŠˆBž ‰¾†a†y‡Fˆ—B—‚ ˆ‹= i‹ ‡ „‡OŒ“‡Jmša‚ƒ‹i‡ižpža„ž
ža‚Š’†ž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡m‹F‡% „’’œS‚ žp‡
V

 E(V ) = E(V ) = 0,
5 D À!—
t
t
0
 E (V t ⊗ V t ) = E (V 0 ⊗ V 0 ) =
2
2ζm
.
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
X
X
R
1
X
2
5 ³I‚—m½iŒ“‡®—„ B E DFDHGIG D¤‡ ˜Š‡i‹&†y‡i„mšCS‚ „m†|¹ ¾¹ _‚Š„m† X ‡Fžp† Œ“‰v—’ _Ÿišp‡iˆ‹F‡—‡iž
˜Š‡i‹F†a‡i„špžS‚ ža’ †y’‚ ˆž©—‡QŒ“E‰:DFD’“HŒŒ“GI‡G 2 ‡F†O—‡QŒ“‰:’“ŒŒ“‡ 1 ¤‡ ˜ ‡i‹&†y‡F„š R m— ‚ ˆˆ‡QŒ“‰_‚ žp’†a’“‚ ˆ —m„
‹F‡iˆ †yšp‡'—‡Oœ‰Šžažp‡O—„ B ¥ ˆ „m†y’Œ“’“ža‰Šˆ †JŒ“‡Qmša’“ˆm‹i’“S‡ — Ÿ- „’c‰Šš|†y’†a’“‚ ˆ—m‡¿Œ? ŸFˆ‡išL ’“‡X‚ ˆ žy‰•’† „‡Œ@ Ÿiˆ‡Fš" ’‡Q‹i’ˆŸF†a’ „‡
œ¿‚ › ‡iˆmˆ‡ m E(||V || ) —m‚ ’†BK&†yšp‡#Ÿ ‰ŠŒ‡ kT — ‚IŒ“‰ ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ$—‡#¼t‡išaˆmžp†p¹!¥ ’“ˆž|†y‡i’ˆ
p
5 D = 2kT ζ.
ªD‡#šy‰Š’ža‚ ˆmˆ‡iœ¿‡iˆ †‡iž|†tŒ“’“Ÿ©‰Š„B†aºŸi‚Šša½iœ¿‡J—D‡ 1c„‹&†y„c‰¾†y’“‚Šˆ¹!—’žažp’“c‰•†a’“‚ $ˆ À!ˆ †yŸišp‡ižpža‚ ˆž5¹!ˆ‚Š„žœ ‰•’“ˆ †y‡Fˆc‰Šˆ † #„ˆ.‡ ’“ŒŒ“‡— „ˆ B E DFDH GIG —c‰ŠˆmžD„ˆ‹£ºc‰Šœ¿—‡f˜ƒ’ †y‡ižpža‡
(m´Ÿ u(t, x) ‚ ˆQšy‰Šm_‡FŒ“Œ“2‡ „‡ t —Ÿižp’ ˆ‡Œ“‰W˜•‰Šša’“‰ Œ“‡«—‡Y†a‡iœ¿ž ‡F† x Œ ‰f˜•‰Ššp’ ‰ mŒ“‡D$— ‡Fžac‰Š‹F‡ <
¨f„´B—‡i„ƒ´ & ‚Šša‹i‡FžšaŸF‹iŸi—m‡iœ¿œ‡Fˆ †fŸF˜ŠM‚ „ŸF‡iž©ž ‰ ‘p‚ „m†y‡#Œ +‰ & ‚ šp‹i‡O—c‰ŠˆmžfŒ‡Jša‡ižpža‚ š|† „‡#ˆ‚ „ž
ˆ‚•†y‚ ˆ%ž ŸiˆmŸiša’ „‡iœ¿‡iˆ † F (X) ‹ & 5 m < 5 Ž J‚ „  Š– L·©ˆvˆm‚Š†y‡ X Œ‡¿˜Š‡i‹F†a‡i„š
S‚ ža’ †y’‚ ˆ—‡QŒ :‰ m’“Œ“Œ‡
‚ „ W—‡Qžp‚ šp†a‡ „‡
‹ & $(* „šp‡$5 ·©ˆ
’ˆ †aša‚ƒ—„’ †-Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ † iRi== 1 X 2+ X Œ ‰ S‚ ža’ †y’‚Xˆ$—=„BX‹i‡iˆ †a−ša‡OX—‡Oœ ‰•žaža‡O—„ B E DFDH GIG ·©ˆI‰ ‹ & c?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ$—‡#¤‰Š0ˆ ‡&˜’ˆ 5 t
1
2
t
d
2
2
2
1
2
1
1
i
t
2

p
dX 1t
dX 1t

1

− u(t, X t ) dt + F (X t ) dt + 2kT ζ dB 1t ,
= −ζ
 md
dt 2
dt 2 p
dX t
dX

t
2

 md
− u(t, X t ) dt − F (X t ) dt + 2kT ζ dB 2t ,
= −ζ
dt
dt
5
‚ B ‡&† B —Ÿižp’ ˆ‡Fˆ †—‡i„´ œ¿‚ „m˜ ‡Fœ‡Fˆ †yžBšp‚ 6ˆm’“‡iˆmž d¹!—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆ‡FŒ“ž«’“ˆ—mŸiS‡iˆ—c‰•ˆ †až-
­©‰•ˆž$Œ ‰RŒ’“œ¿’†a‡$‚ †a‡iˆ— ˜Š‡išaž ‹ ‡iž|†p¹ ¾¹!—’ša‡Iža’WŒ? ŸF‹£º‡iŒŒ“‡I—‡®†y‡Fœmž vŒ ‰ „‡FŒ“Œ‡I‚ ˆ
šp-‡ ‰Ššp—‡Œ‡'œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †f—„ S‚ Œ›ƒœ¿½i0ša‡O‡Fžp†W†aša½Fž, ša‰Šˆ—‡'—‡F˜•‰Šˆ †©Œ‡J†y‡iœ¿žf‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’žp†a’ „‡
1
t
2
t
m
ζ
>>
m
ζ
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
c‰•št‹F‚ œ+’ˆc‰Š’ža‚ ˆ$Œ’“ˆŸi‰Š’“šp‡W—‡Fžt—m‡i„´BŸƒ„‰•†y’‚ ˆž—‡ 5 <‚ ˆ ‚5m†a’“‡Fˆ †—m‚ ˆ‹

s

kT
2

1
2
1


 dX t = u(t, X t ) − u(t, X t ) dt − ζ F (X t ) dt + 2 ζ dW t ,
s


1
kT
1
2


dW 2t ,
 dRt = 2 u(t, X t ) + u(t, X t ) dt +
ζ
W 1t = √12 B 2t − B 1t
W 2t = √12 B 1t + B 2t
d
‚
5
‡F†
ža‚ ˆ †—‡F„´Bœ‚Š„m˜ ‡Fœ‡Fˆ †až#ša‚ 6ˆ’‡iˆž
¹ —’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆmˆ‡iŒžY’“ˆ—mŸiS‡iˆ—c‰•ˆ †až-
·©ˆ & ‰•’†œ‰Š’“ˆ †a‡iˆc‰Šˆ †Œ‡ižt‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚ŠˆžDžp„’˜•‰Šˆ †y‡Fž'
‚ŠˆI‡ ~‡F‹F†y„m‡'Œ‡iž—Ÿ&˜ ‡iŒ‚ S‡iœ¿‡iˆ †yžtŒ“’œ’ †yŸFž
u(t, X it ) ' u(t, Rt ) + ∇u(t, Rt )(X it − Rt )
S‚ „š i = 1, 2 Š‹i‡F†p†y‡f‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚Šˆ ŸF†y‰Šˆ †‘p„mžp†y’)(cŸi‡c‰•š«Œ‡ & ‰Š’† ƒ„m‡fŒ“‰J†y‰Š’“ŒŒ“‡™—„S‚•¹
Œ ›ƒœ½Fša‡W‡Fžp†S‡F†a’†a‡Wc‰Šš™šy‰Šm_‚ š|†‰Š„ƒ´ ˜•‰Ššp’ ‰•†a’“‚ ˆžržpc‰•†y’“‰ŠŒ“‡FžD—‡WŒ ‰#˜ƒ’ †y‡ižpža‡©—m„$ža‚ Œ ˜Š‰•ˆ †-
‚Šˆ7žp„šp’“œ¿‡QŒ“‡šp„’†J—‰ŠˆžOŒ@ Ÿ- „c‰•†a’“‚ ˆžp„š R W = 0<X‹i‡&†a†y‡¿‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ
Ÿ&†£‰Šˆ †r‘p„žp†a’ (cŸF‡'c‰•šfŒ‡ & ‰•’† „‡Œ‡#†a‡išaœ¿‡ u(t, X ) + u(t, X ) dt ‡iž|†©—‡O†£‰•’“Œ“Œ‡
9!œ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „<‡ ;Jc‰Ššša‰ŠS‚ šp† Q„ˆm‡#˜•‰Ššp’ ‰•†a’“‚ ˆ q dW 9!œ’‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡<; ·©ˆB‚ m†y’‡iˆ †f‰ŠŒ“‚ špž ‡FˆIˆm‚Š†£‰Šˆ † W = W W
t
1
2
2
t
1
t
kT
ζ
2
t
2
t
1



2
dX t = ∇u(t, Rt )X t dt − F (X t ) dt + 2
ζ


dRt = u(t, Rt ) dt.
s
5 – ”
kT
dW t ,
ζ
©· ˆ‰Š— ‘p‚ ’“ˆ †,‹i‡žp›ƒžp†a½iœ¿‡ — Ÿ- „c‰•†a’“‚ ˆžf—‡ižf‹i‚ ˆm—’†a’“‚ ˆžt’“ˆm’†y’“‰ŠŒ“‡FžJ X Œ ‰‹i‚ ˆJ& ‚Ššaœ‰•†y’‚ ˆ
’ˆ’†a’ ‰ŠŒ‡Q—„R˜ ‡F‹F†a‡i„š+S‚ „m†|¹ ¾¹ _‚Š„m† ©‡F† R Œ ‰ _‚Šža’†a’“‚ ˆ ’“ˆm’†y’“‰ŠŒ“‡Q—m„v_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡ L·©ˆR˜ ‚Š’†
—‚Šˆ‹ „‡¿Œ“‡Fž'šp‚‹F‡ižpža„ž X ‡F†'—‚ ˆ‹¿Œ“‡Fž'œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †yž%ša‚ 6ˆ’‡iˆž W ©ža‚ ˆ †ˆc‰•†y„mša‡iŒ¶¹
Œ‡iœ¿‡iˆ †O’“ˆ—m‡&´ŸižOc‰ŠšJŒ‡iž©†ašy‰ ‘p‡F‹F†y‚Š’“ša‡FžJ—‡ižOc‰•šp†y’‹i„Œ‡iž —’“žp‚ ˆžJc‰•šJ‡&´‡iœ¿Œ“‡Q‰Šš R X—„
œ¿‚ ’“ˆmž™—c‰•ˆžDŒ“‰#œ¿‡ižp„ša‡f‚ Œ‡f‹£ºc‰•œ—m‡f˜ ‡F‹F†a‡i„š u(t, x) ‡iž|†Yžp$„ @¿žy‰Šœ¿œ‡Fˆ †YšaŸ „Œ’“‡išrS‚ „š
S‚ „m˜Š‚ ’“š KF†aša‡B’“ˆ †yŸ šaŸ Dƒ’f‚ ˆ ’“ˆ †yšp‚—m„’†„ˆm‡®—‡Fža‹išp’“m†a’“‚ ˆ ‡i„mŒ“Ÿišp’“‡Fˆˆ‡B—„§˜ ‡F‹F†a‡i„:š S‚ „m†|¹
¾¹ _‚Š„m† X (x) ša‡FšaŸFža‡Fˆ †y‰Šˆ †$Œ ‰‹F‚ Jˆ & ‚ špœ ‰•†a’“‚ 4ˆ 9 †!›ƒ_<‡ ;B— „mˆ§S‚ Œ›ƒœ¿½iša‡ žp’†y„mŸI‰•„§S‚ ’“ˆ †
@Œ ’“ˆž|†£‰Šˆ † z‚ ˆ 5‚ m†a’“‡iˆ †Q?Œ Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ ‰Š„ƒ´ —ŸFša’˜ŠŸi‡Fž¿‰Ššp†a’“‡iŒŒ“‡Fž'ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’ „‡ ¥r­ ¡ 
x
žp„’˜•‰Šˆ †y‡Ožp„š Xt (x)
0
0
t
t
0
t
t
2
dX t (x) + u(t, x).∇X t (x) dt = ∇u(t, x)X t (x) dt − F (X t (x)) dt + 2
ζ
s
kT
dW t .
ζ
5 –m
¼t‚Š†y‡FšAƒ„m‡«Œ? ‚ŠˆO‰Y’“‹i’•ža„m_‚ žpŸ ƒ„m‡«Œ‡ œ¿‚ „m˜ ‡Fœ‡Fˆ † ša‚ 6ˆ’‡iˆ W ˆm‡ —ŸiS‡iˆ—#c‰Šž—m‡ Œ@ ‡iža‰Š‹i‡
‹& ža‡F‹F†y’‚ ˆ 5 Ž ŽM ŽQ‡F†t‹£ºc‰Š’ †yšp‡ _‚Š„š„ˆ‡#—’“žp‹i„žpža’“‚ŠˆI—‡FžW—‡Fža‹Fša’“†y’“‚Šˆž‡i„ŒŸiša’‡iˆˆm‡ižt‡F†
Œ“‰ šy‰•ˆ0 ’“‡Fˆˆ‡Fž ¤‡œ¿‚—m½iŒ“‡ „‡ˆ‚ „ž#‹i‚Šˆža’—Ÿišp‡iša‚Šˆž'—‰ŠˆžŒ“‰$ža„’ †y‡¿‡ižp†'—‚ ˆm‹ 5 – ” ©‚ „ 5 – J‰w˜ ‡i‹
S‚ „šOŒ ‰ & ‚Šša‹i‡‡Fˆ †aša‚ m’ „‡ F ža‚Š’†OŒ“‡œ‚ƒ—½iŒ‡QŒ“’ˆŸw‰Š’ša‡ F = F X‹ & 5 m Xžp‚ ’†©Œ“‡
Hook
?
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
π 0 (l)
l
q
bkT
H
5 ¬ ‡FšaŸFža‡iˆ †y‰•†y’‚ ˆ§—‡BŒ ‰ & ‚ šp‹i‡ ‡iˆ & ‚ ˆ‹F†a’“‚ ˆ —‡BŒ ‰Œ“‚Šˆ0 „‡F„š_‚ „mš¿Œ‡ œ‚ƒ—½iŒ‡
º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆ ‡FˆBa† šy‰Š’ †Œ“‡F’“ˆ «‡F†t_‚Š„šŒ“‡©œ¿‚—m½iŒ“‡Oµz¥«¼f¥ ‡FˆB†ašy‰Š’ †S‚ ’“ˆ †y’Œ“ŒŸ œ¿‚—m½iŒ“‡ µz¥«¼f¥ †y‡Fˆc‰Šˆ †¿‹i‚ œ¿m†a‡B—m‡BŒ? ‡k´ƒ†y‡iˆmža’m’“Œ“’ †yŸ (cˆ’“‡ —‡FžS‚ Œ ›œ¿½išp‡iž F = F ‹ & 5 Š– ­W‡Yœ‰Šˆ’½iša‡8 ŸFˆŸiša‰ŠŒ“‡•Œ“‰& ‚ šp‹i‡ F (X) —Ÿišp’˜Š‡D†y‚ „ ‘p‚ „šaž — „ˆQ_‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒƒ‹i‚Šˆ ˜Š‡&´‡ Π(X)
„’S‡i„m†tž- Ÿi‹Fša’ša‡Oža‚ „mžtŒ“‰>& ‚ šaœ¿‡ Π(X) = π(||X||) _‚Š†a‡iˆ †y’‡iŒša‰Š—’ ‰•Œ ƒ¨W’ˆža’?
5 – Ž
X
F (X) = π (||X||)
.
||X||
»r‚ ’‹i’ „‡FŒ „‡Fžf‡k´m‡FœmŒ“‡iž—‡OS‚Š†y‡Fˆ †y’“‡FŒ“ž„m†a’“Œ’“žaŸFžY‡iˆBša‰•†y’ ƒ„m‡ ‹ & 0(*Š„ša‡Q5 W
Œ‡J_‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒºm‚‚ ¢•Ÿi‡Fˆ ‹ &  m W π (l) = H l Œ‡J_‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒµz¥«¼f¥ ‹ &  Š– W π (l) = − bkT2 ln 1 − l ·©ˆQS‡i„m†rŸ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ † ‹i’ †y‡FšzŒ“‡D_‚Š†a‡iˆ †y’‡iŒ—‡YŒ ‰ & ‚ ša‹F‡Y—‡¤‰Š0ˆ 2Š‡F˜ƒ’“ˆ ‹ & bkT
5 Ž /H
‚ „Q„ˆQS‚Š†y‡Fˆ¹
†a’“‡iŒ•†y‡iˆ‰Šˆ †‹i‚ œ¿m†y‡z—‡iž‡ _‡F†až—‡ ˜ ‚ Œ„œ¿‡ ‡&´‹iŒ„ ‹ &  Ž•”  Ž π (l) = H(1 − ν)l
‰w˜ ‡F‹©†!›ƒ’ „‡Fœ‡Fˆ † ν = 0.6 ‡Fˆ—’“œ¿‡iˆmža’“‚Šˆ JmªD‡iš|†£‰Š’ˆž™‰Š„m†y‡F„šažD„m†y’Œ“’“žp‡iˆ †™‰Š„žpža’SŒ ‰'žp‚ œ¿œ‡
— „ˆI_‚Š†a‡iˆ †y’‡iŒXºm‚‚ ¢•Ÿi‡Fˆ „c‰Š—ša‰•†y’ „‡J‡F†t— „ˆ †y‡išpœ‡O‡FˆI„m’“žaža‰Šˆ‹F=‡ „c‰¾†yša‡ ‹ & = ! B < 3 > B B $<> B B 3 > B B
α B π B
Π
>B H GIG 6
α
π (0) ≥ 0
FENE
0
2
Hook
2
FENE
#
1/(1−ν)
ev
*,
0
>>
> )
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
7 :9
7.
$ 5
8
* 7 "
*
©· ˆ¿—m’“žaS‚ žp‡œ ‰Š’ˆ †y‡iˆ‰Šˆ † — „ˆœ¿‚ƒ—½iŒ‡D—ŸF‹iša’ ˜•‰Šˆ †rŒ@ ŸF˜ ‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ —$ „ˆ¿S‚ Œ›ƒœ¿½iša‡D—c‰Šˆž „ˆ
‹£ºc‰•œ —m‡˜ƒ’†y‡Fžažp‡ u(t, x) —m„ ža‚ Œ ˜•‰Šˆ †W—‚ŠˆˆŸ ¡ ‚ „mšWS‚ „m˜ ‚Š’“š#& ‡išaœ¿‡išfŒ“‡#žp›ƒžp†a½iœ¿‡_’“ŒA& ‰Š„m†
‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“‡FšŒ ‰ ‹i‚Šˆ †aša’„m†y’‚ ˆ τ —m‡ižt_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡iž‰•„ †a‡iˆžp‡i„št—‡Fžf‡k´†ašy‰¾¹ ‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡iž τ B B τ
¥ ˆ „m†a’“Œ“’žy‰Šˆ † ŒB‡ & ‰Š’† „‡fŒ“‡Y†y‡Fˆža‡F„šD—m‡ižD‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fž«†a‡iž|†yŸt‹i‚ ˆ †yšp‡f„mˆ˜ ‡F‹F†a‡i„š™„ˆ’†y‰Š’“šp‡
—‚ ˆˆm‡®Œ ‰ & ‚ ša‹F‡ „’f-ž ‡&´‡išp‹i‡ ža„š@Œ ŸiŒŸiœ¿‡iˆ † —m‡ ža„šH& ‰Š‹i‡®—‡®ˆ‚Ššaœ‰ŠŒ“‡ ™‚Šˆ œ‚Šˆ †aša‡
n
„‡ τ ž ‡k´mmša’“œ¿‡—m‡ Œ ‰ & ‰ Ei‚ ˆ®ža„’ ˜Š‰•ˆ †a‡ ‡iˆ & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆI—‡ X ‹ & ¶ ŽŠ”  Ln  J žp‡i‹F†a’“‚ ˆ J M 0– ‚ „  ža‡F‹F†a’“‚ ˆ  J W
À!— ,
5 –
τ (t) = n E(X ⊗ F (X )) − kT
‚ ⊗ —ŸFža’ Šˆ‡ Œ“‡$šp‚—„m’†Q†y‡Fˆža‚Šša’“‡FŒ‡F† n Œ ‰ ‹i‚Šˆ‹i‡Fˆ †ašy‰•†a’“‚ ˆ ‡iˆ ‹£ºc‰•²“ˆ‡iž—‡B_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡ ªD‡&†a†y‡¿‡&´šp‡ižpža’“‚ŠˆR‡iž|†#5‚ m†y‡Fˆ „‡‡Fˆ7ŸF‹išp’˜•‰Šˆ † „‡Œ“‰ & ‚ ša‹F‡ ƒ„m’ -ž ‡&´‡išp‹i‡ žp„E š[email protected]Œ D ŸiH ŒGIŸiG œ¿ ‡iˆ †J—‡
žp„Lš & ‰Š‹F‡—‡ˆ‚ špœ ‰ŠŒ‡ n ‡iž|†r-Ÿ ‰ŠŒ‡‰Š„>´ & ‚ ša‹F‡iž ‹F„œ „ŒŸi‡iž —m‡iž ša‡Fžažp‚ šp†až«—m‡iž B
‹F‚ „SŸiž
c‰•š©@Œ ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †©—‡ža„Hš & ‰Š‹i‡ ¤‰ & ‚ šaœ „mŒ“‡ 5 – ž- ‰ŠS‡iŒ“Œ‡ Œ ‰ & ‚ šaœ„Œ“‡'—‡ /Jšy‰Šœ¿‡išp-ž ~¼f‚Š†a‡iš
„‡$‹F‡F†a†a:‡ & ‚ šaœ„Œ“‡¿‡iž|†Q†y‡iŒŒ“‡ ƒ„m‡ τ ‡ižp†„mˆv†y‡iˆmža‡i„mšQžp›ƒœŸ&†yšp’ „‡ z— ‰•ša½Fž @Œ ‡&´šp‡ižažp’“‚ ˆ
ŸFˆŸiša‰ŠŒ“‡O—‡OŒ“>‰ & ‚ ša‹F‡ 5 – Ž ? > < < G < D G % = ? > B x B H GIB G B B G G τ < E G E G ! > B X EG & B G< τ < G x B < G t G G X (x) ¡ ‰Šš„mˆ#‹i‰ŠŒ“‹F„ŒŠ$— À † tžp„šŒ“‡ †a‡iˆžp‡i„š—‡ ž|†yšp„‹F†a„ša‡ (X (x)⊗X (x)) F‡iˆ#„m†y’Œ“’“ža‰Šˆ † 5 – ‚ ˆB5‚ m†a’“‡Fˆ †O
4kT À!—
d(X (x) ⊗ X (x)) = (dX (x)) ⊗ X (x) + X (x) ⊗ (dX (x)) +
dt
p
p
p
t
p
p
t
t
p
p
*,
p
t
p
t
t
t
=
·©ˆBˆ‚Š†y‡
t
t
t
t
t
t
ζ
− u(t, x).∇ (X t (x) ⊗ X t (x))
+∇u(t, x)(X t (x) ⊗ X t (x)) + (X t (x) ⊗ X t (x))(∇u(t, x))T
2
4kT 2
− F (X t ) ⊗ X t − X t ⊗ F (X t ) +
dt
ζ
ζ
ζ
s
kT
+2
((X t (x) ⊗ dW t ) + (dW t ⊗ X t (x))) .
ζ
A(t, x)
À!—
Œ ‰Qœ‚ ›Š‡iˆˆ‡O—„ †y‡Fˆža‡F„št—‡Ožp†yšp„‹F†a„ša‡¿
A(t, x) = E(X t (x) ⊗ X t (x)).
5 – –
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
¥ ˆ$ža„m_‚Šžy‰Šˆ †B „‡©Œ‡fmša‚ƒ‹i‡ižpža„ž X ‡iž|†D†a‡iŒ$ „‡mS‚ „šr†y‚ „† t ≥ 0 R X (x) ⊗ dW ‡Fžp†
„ˆm‡Wœ‰Ššp†a’“ˆ0 ‰•Œ“‡ c‰Šš«‡&´‡iœ¿Œ‡ X ‡iž|†Y„ˆša‚ƒ‹i‡Fžažp„ž™†a‡iŒ „‡ R E(||X || ) ds < ∞ ‚Šˆ
‚5†y’“‡Fˆ †fŒ? Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ$ža„m’˜•‰Šˆ †y‡Oža„mš A(t, x)
t
t
0
t
t
0
t
s
s
2
∂t A(t, x) + u(t, x).∇A(t, x) − ∇u(t, x)A(t, x) − A(t, x)(∇u(t, x))T
4kT
4
.
= − E(X t ⊗ F (X t )) +
ζ
ζ
!À —
¥ ˆ „m†y’Œ“’“ža‰Šˆ †  – ~‚Šˆ7‚5†y’“‡Fˆ †#‰ŠŒ“‚ špž©„ˆ‡‡k´mmša‡ižpža’‚ ˆRS‚ „š τ ‰ŠS‡iŒŸi‡‡&´šp‡ižažp’“‚ ˆ —‡
!J’“‡Fža‡i¢ „ž „’‡iž|†fŸ „’˜•‰ŠŒ‡iˆ †y‡=‹i‡iŒŒ“‡J—‡=/Jšy‰•œ‡Fšaž-mœ Š‰ ’žB „’ˆ‡ & ‰Š’†’ˆ †y‡iš|˜ ‡Fˆ’“#š „‡#—‡iž
œ¿‚ œ¿‡iˆ †yž— ‚ ša—mša‡J—‡F„´B—„Bša‚ƒ‹i‡Fžaža„mž X
5 –
τ (t, x) =
p
t
3
p
ζ
− np ∂t A(t, x) + u(t, x).∇A(t, x) − ∇u(t, x)A(t, x) − A(t, x)(∇u(t, x))T .
4
¨f„m†yšp‡iœ¿‡iˆ † —’ † τ ‡Fžp†zša‚ S‚ š|†y’“‚Šˆˆ‡iŒFŒ ‰—ŸFša’˜ŠŸi‡™ža„š5¹!‹i‚Šˆ ˜Š‡i‹&†yŸi‡—m‡ A ‹ & ša‡iœ‰ŠšLƒ„m‡ <
¼t‚Š†y‡FBš ƒ$„ ‰w˜ ‡F‹'‹F‡F†p†y‡J‡&´šp‡ižpža’“‚Šˆ c‚ ˆ ‰’“‡Fˆ τ = 0 Œ@ Ÿ- „’“Œ’šp‡ „ˆ‡D „c‰Šˆ †a’†yŸJ‡Fžp†—’ †y‡
9 ?Œ Ÿ „’“Œ’ šp‡ ;. „c‰Šˆ—I‹ ‡ižp†tŒ“‰žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ$—„Imša‚5Œ½iœ¿‡©žp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰•’“ša‡©‰ ˜Š‡i‹ u = 0<
% A > B 8 G B < G >DIG < B
=
E DFDH GIG ? > I G B B G B I GIG G G B @ B A B G B B E DFDH GIG < :G < > B I G > D % I G > B G % < q
B 8 G H =
> B B
tr(A)D G G B B G I GIG B G √
d=3 a N −1
p
p
*,
3kT
(N −1)a2
dkT
H
> 5
9
" 6
* " ·©ˆ —’“žp_‚ žp‡ ‹i‡$ž|†£‰Š—m‡$—‡ †y‚Š„m†y‡FžQŒ“‡ižŸ- „c‰•†a’“‚ ˆžQS‚ „š'_‚Š„m˜ ‚ ’š iŸ ‹Fša’ša‡„ˆ ž|›ƒžp†y½Fœ‡
œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚7—Ÿi‹Fša’˜•‰Šˆ † Œ? Ÿ&˜ ‚ Œ„m†y’‚ ˆ§— „ˆ 1c„’—‡ S‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡D¥rˆ šp-‡ šp‚ „c‰Šˆ † 5
5 Ž 5 5 Ž 5 – 5 – <ƒ‚ŠˆB‚m†y’‡iˆ †Œ“‡Jž|›ž|†y½Fœ‡#ža„’ ˜•‰Šˆ †'

ρ (∂t u(t, x) + u(t, x).∇u(t, x)) − ηs ∆u(t, x) + ∇p(t, x)




= div (τ p (t, x)) + f (t, x),




div (u(t, x)) =


0,

τ p (t, x) = np E(X t (x) ⊗ F (X t (x))) − kT
,


dX t (x) + u(t, x).∇X t (x) dt


s



2

kT


= ∇u(t, x)X t (x) dt − F (X t (x)) dt + 2
dW t .

ζ
ζ
À!—
5 –
¼t‚Š†y‡Fš2 „‡fŒ“‡iž™¥r­J¿—m‚ ’˜Š‡iˆ †K&†yšp‡WšaŸFža‚ Œ„‡iž«‡iˆ‹£ºc‰ „‡f_‚ ’ˆ †™—m‡WŒ@ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ † ¤‡tša‚ƒ‹i‡Fž|¹
žp„ž X —ŸF_‡Fˆ— —‚ ˆm‹'—‡ t —‡ x ‡&†W—m‡'Œ“‰˜•‰Ššp’ ‰mŒ“‡J—‡#ša‚c‰’Œ“’†aŸD „‡Œ? ‚ ˆBˆ‚Š†a‡ ω SªD‡
t
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
†!›ƒS‡©—‡tœ‚ƒ—½iŒ‡œ’‹iša‚¾¹!œ‰Š‹išp‚Jša‡iŒ½F˜Š‡W—‡fŒ ‰O‹iŒ ‰•žaža‡. ŸiˆmŸišy‰•Œ“‡t—‡Wœ¿‚—m½iŒ“‡FžrŸF˜ ‚ „Ÿi‡W—c‰Šˆž™Œ ‰
žp‡i‹F†a’“‚ ˆ 5 >¨ J
·©ˆ žp‡Imša‚ S‚ ža‡$—m‡BšpŸiŸF‹iša’ša‡ ‹i‡ ž|›ž|†y½Fœ‡I‰w˜ ‡i‹B—‡Fž˜•‰Ššp’ ‰ mŒ“‡iž ‰Š—’“œ¿‡iˆmža’“‚Šˆˆ‡iŒŒ“‡F-ž ·©ˆ
’ˆ †aša‚ƒ—„’ †J—‚ ˆ‹¿„ˆ‡Q˜ƒ’†a‡ižpža‡¿‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’žp†a’ „‡ U ‡&†'„mˆ‡Œ‚ 0ˆ „m‡i„šJ‹i‰Ššy‰Š‹&†yŸFša’“ž|†y’ ƒ„m‡ L ¤‡
†a‡iœ¿ž'‡Fžp† ‰ŠŒ“‚ špžO‰Š—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆŸc‰Šš L/U ‡&† X c‰Šš L ¡ ‰Šš'‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž X‚ ˆ7’“ˆ †yšp‚—„m’†J„ˆ
†a‡iœ¿ž©‹w‰•šy‰Š‹&†yŸišp’“ž|†y’ „‡—‡Qša‡FŒ ‰¾´m‰•†a’“‚ ˆI—‡iž©S‚ Œ ›œ¿½išp‡iž λ „’zža‡Qœ¿‡iža„mša‡ ‡Fˆža‡i‹F‚ ˆ—‡ ©‡F†
Œ“‰Q˜ƒ’ža‹i‚Šža’†aŸJ—„‡'‰Š„ _‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡ η ƒ„m’ža‡Oœ‡Fža„šp‡O‡iˆ ¡ ‰Šža‹i‰Š@Œ ža‡F‹i‚ ˆm—‡ —Ÿ (ˆ’“žc‰ŠšJ
5 –
ζ
,
λ=
4H
5 –
η = n kT λ.
ªD‡FžD‡&´šp‡ižpža’“‚ŠˆžDžp‚ ˆ †D—Ÿ (cˆ’‡iž«_‚ „mš«Œ‡iIž & ‚ šp‹i‡iž«º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆˆm‡ižD‡&†Yµz¥«¼f¥R‡F†™ža‡Fša‚ ˆ †‘p„žp†a’ (cŸF‡iž
—c‰•ˆžIŒ“‰ žp‡i‹&†y’“‚Šˆ 5 5 0– 5 ­©‰ŠˆžBŒ“‡ ‹i‰ŠžI$— ‰Š„†yša‡FCž & ‚Šša‹i‡F-ž H ‡ižp†IŒ„ž ŠŸiˆŸFšy‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †BŒ ‰
—ŸFša’ ˜ Ÿi‡žp‡i‹F‚ ˆ—‡ —„US‚Š†y‡Fˆ †y’“‡FŒ π ‡Fˆ 0 Y·JˆUˆm‚Š†y‡ η = η + η Œ“‰ ˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†yŸI†y‚Š†y‰ŠŒ“‡I‡F†
‚ ˆR‰Š—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆ‡ ‡F† ‰Šš L·©ˆ7‰Š—’“œ¿‡iˆmža’“‚Šˆˆ‡ f c‰Šš ηU/L L·©ˆR’ˆ †aša‚ƒ—„’ †
œ‰Š’“ˆ †a‡iˆc‰Šˆ †Œ‡ižˆ‚ τ+œ mša‡ižtp‰Š—m’“œ¿‡iηU/L
ˆžp’“‚ ˆˆm‡iŒ“žDža„’ ˜Š‰•ˆ †ažJ
t
p
p
p
s
p
2
p

ρU L
ηp

 Re =
, = ,
η
η
λU
L2 H

 We =
, µ=
.
L
kT
5 –
¤ ‡ ša‡Fœ’‡išˆm‚ œ+šp‡7‰•—’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆmˆ‡iŒ Re ‡iž|†BŒ“‡ˆ‚ œ>ša‡—‡ ¬ ‡F›ƒˆ‚ Œ—ž „’Oœ‡Fža„šp‡Œ“‡
ša‰ŠS‚ šp†W—‡ižJ‡ ~‡&†yž©— ’“ˆm‡išp†a’“‡'ža„š©Œ“‰˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†yŸ œ‡Fža„šp‡ Œ@ ’“ˆM1c„‡iˆm‹i‡šp‡iŒ“‰•†y’ ˜ ‡—m‡
Œ“‰˜’ža‹F‚ ža’ †yŸ©’ˆ †aša‚ƒ—„’ †y‡W‰ŠšYŒ“‡FžYS‚ Œ›ƒœ¿½iša‡FžYc‰ŠšDšy‰Š∈S(0,‚ š|†B1] Œ ‰#˜’ža‹F‚ ža’ †yŸ©†y‚•†£‰ŠŒ‡ We ‡iž|†Œ“‡
ˆ‚Š+œ ša‡r—‡ 7‡i’žažp‡iFˆ _‡F"š ‰Š„žpža’ ‰Šm_‡FŒ“Ÿ ˆ‚ >œ ša‡ —‡r­f-‡ S‚ šy‰Šº ‡&†‡iž|† Ÿ ‰ŠŒ ‰•„'ša‰ŠS‚ šp†—$ „ˆ
†a‡iœ¿ž ‹w‰Šša‰Š‹F†aŸišp’“žp†a’ „‡Y—m‡ša‡iŒ“‰¾´m‰•†y’‚ ˆS‚ „šzŒ“‡ižz_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡ižz‡F†r— „ˆ †y‡Fœmž ‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’žp†a’ „‡
—‡ @Œ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ † µ œ‡Fža„šp‡ Œ“‡‹w‰•šašaŸ —„0šy‰•_‚Ššp† q‡iˆ †aša‡ Œ ‰ Œ“‚ Jˆ „‡i„mš$‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’žp†a’ „‡
‹£º‚Š’“ža’‡ L ‡&† Œ ‰W†y‰Š’“ŒŒ“‡«‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’žp†a’ „‡Y—‡Fžr_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡iž
‹ & •ša‡iœ‰ŠLš ƒ„m‡ ¤‡Yž|›ƒžp†y½Fœ‡
5 – «žp‡©šaŸFŸi‹išp’†Y‰ŠŒ“‚ šp-ž ‡iˆ$žp„šaŒ’ ˆ‰Šˆ †DŒ‡iž™˜•‰Ššp’ ‰ mŒ“‡iž™‰Š—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆŸF‡iž ‡&†Y‡iˆ$‚Šœ‡&†a†£‰•ˆ †™’“‹F’
Œ‡iž—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ‹F‡ižW‡FˆB†a‡iœ¿ž‡F†t‡FˆI‡Fžac‰Š‹F‡
2
kT
H

Re ∂t u + u.∇u − (1 − )∆u + ∇p = div (τ p ) + f ,





 div (u) =0,
τp =
µE(X ⊗ F (X)) −
,

We


1
1


F (X) dt + √
dW t .
 dX + u.∇ X dt = ∇uX dt −
2We
We µ
À!—
5 •”
‚'Œ“‡FžL‚Šp_ŸFšy‰•†a‡i„špžLžp„šaŒ’ ˆmŸiž’“ˆ—m’ „‡iˆ † „ ’“Œ“žL‰Š’“žažp‡iˆ †Lža„šL—‡FžL˜•‰Ššp’ ‰Œ‡iž‰Š—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆˆmŸi‡iž
‡ižp† „ˆ'œ‚ „˜ ‡iœ¿‡iˆ N† ša‚ 6ˆ’‡iˆ#‡F† Œ ‰ & ‚ šp‹i‡™‰Š—’“œ¿‡iˆmža’“‚ŠˆˆŸi‡ F —Ÿ (ˆ’“‡
W = U/LW
c‰•š#
t
tL/U
F (X) =
F (LX)
HL
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
‰_‚Š„š_‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒ Π(X) = π(||X||) c‰w˜ ‡F‹
π(l) =
π(Ll)
.
HL2
©­ ‰Šˆž™Œ ‰#ža„’ †y‡ƒ‹i‚Šœœ¿‡‹i‡iŒ“‰‡iž|†D†aša½iž™ža‚ „˜ ‡iˆ †Œ‡f‹i‰ŠžD—c‰•ˆžDŒ‡ižY‰•šp†y’‹iŒ‡iž«‡F†YŒ‡iž«‚ „m˜ƒšy‰ ‡iž
—‡#šaŸ & Ÿišp‡iˆ‹F‡ ‚ ˆ ša‡Fˆ—
‹ ‡Fžp†p¹ ¾¹!—m’“ša.‡ „ ‚Šˆ‹£º‚ ’ža’†Dq_‚Š„š™Œ‚ 0ˆ „m‡i„š™µ‹w=‰Šša‰Š1,‹F†aŸiša’žp†a’ „‡t—„$žp›ƒžp†a½iœ¿‡ L Œ ‰O†£‰Š’Œ“Œ“‡‹i‰Ššy‰•‹&¹
†aŸiša’žp†a’ „‡J—‡Fž_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡iž ‡F†Y‚ ˆ ža‡JŒ“‰Š‹i‡©—mŸiža‚Ššaœ‰Š’“žY—‰ŠˆžŒ“‡W‹w‰Š—šp‡J—‡ižŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆž
‰Š—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆˆmŸi‡iž 5 •” ¥ ˆ0‚ œ¿‡F†a†y‰Šˆ †B—Ÿižp‚ šaœ‰Š’“ž$‡&†B_‚ „mš$Œ“„ž —‡ ‹FŒ ‰Šš|†yŸŒ“‡Fž c‰Ššašp‡iž
žp„šaŒ’ ˆc‰•ˆ †WŒ“‡FžW˜•‰Šša’“‰ Œ“‡Fž©‰Š—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆˆmŸi‡iž ~Œ‡šp5‚ Œ“½Fœ%‡ „’ ˆ‚ „mžJ’“ˆ †yŸFša‡ižpža‡Q‡Fžp†O—‚ ˆm>‹ (m¹
ˆc‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ †O
kT
H

Re (∂t u + u.∇u) − (1 − )∆u + ∇p = div (τ p ) + f ,





 div (u) =0,
τp =
,
E(X ⊗ F (X)) −

We


1
1


F (X) dt + √
dW t .
 dX + u.∇X dt = ∇uX dt −
2We
We
5 ƒ
À!—
‰w˜ ‡F‹D†!›ƒ’ „‡iœ¿‡iˆ † F (X) E=DFDXHGIG —c‰ŠˆžŒ“‡®‹i‰Šž —m‡iž B EDFDHGIG º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆž ‡F† F (X) =
—c‰ŠˆžŒ“‡J‹i‰Šž—‡iž B
µz¥«¼f¥B
G G B B D G D G B B ED =
A
?
D E D G &G G " B B G HG b ?> B G -G G < < ?> => B G B G B HG B B B B ;>B B ,G B B IGIG E D G G B B G < > B G E
D D B HG $< ? > B B ¡ ‚ „mšr‰Šˆc‰ŠŒ ›žp‡iš Œ“,‰ „c‰ŠŒ“’ †yŸY—m‡‹i‡ižrœ¿‚—m½iŒ“‡F-ž •‚ ˆQ_‡F„m†«‹i‚ œ¿œ¿‡iˆ‹F‡iš c‰•š ‹w‰ŠŒ‹i„Œ‡iš S‚ „š
—‡Fžf‹£º‰Šœmžt—m‡O˜ƒ’ †y‡ižpža‡#—‚ ˆˆmŸiž‡F†tº‚ œ¿5‚ ½Fˆ‡iž‹ ‡Fžp†p¹ ¾¹!—m’“ša‡J—m‡#Œ“>‰ & ‚ šaœ¿‡Q τ
1−||
||2 /b
*,
p
u(t, x) = κ(t)x,
‚ κ(t) ‡ižp†O„mˆ‡œ ‰•†aša’‹i‡—m‡Q—’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆ d × d —‡ †ašy‰Š‹F‡Qˆƒ„mŒ“Œ“‡X¼t‚Š†y‡Fš' „‡—c‰ŠˆžJ‹F‡Q‹w‰Šž
ˆ‡ —mŸiS‡iˆ—0c‰Šž—m‡Œ ‰RS‚ ža’ †y’‚ ˆ ‡F† „‡Œ? ‚Šˆ _‡F„m† —‚ ˆm‹‹£º‡išp‹£º‡iš —‡Fž
∇u = κ(t)
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmžt—m‡  – B „’Lˆ‡'—ŸiS‡iˆ—m‡iˆ †Jc‰Šžt—‡'xŒ ‰ ˜•‰Šša’“‰Œ“‡O— ‡ižpc‰Š‹F‡ x _ªD ‡i‹i’ _‡Fšaœ¿‡F†t‡iˆ
c‰•šp†y’‹i„Œ’“‡Fš#$— ŸFŒ“’“œ¿’“ˆm‡iš©Œ‡¿†a‡išaœ¿‡ u.∇ —c‰•ˆž 5 –m ‡&† ‹i‚Šˆ—„’ †—‚Šˆ‹  – DI„ˆ
†a‡iˆžp‡i„š —‡iž ‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡iž τ ’“ˆm—ŸiS‡iˆ—‰Šˆ †z—‡ x ¾­©‰ŠˆžLŒ ‰œ¿‡ižp„ša‡«‚’Œ ‡&´’žp†y‡«„ˆ‡«šp‡ižažp’“‚ ˆ
‡&†J„ˆ+‡ & ‚ šp‹i‡Q‡k´†aŸišp’“‡i„mša‡ f †a‡iŒ“Œ>‡ „‡ (u(t, x), p(t, x)) ‡iž|†Oža‚ Œ„m†y’‚ ˆ —‡FžJ-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmž©—‡
p
p
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
f¼ ‰ ˜ƒ’‡iš|¹5ƒ†y‚Š¢Š‡iž Œ“‡Fžf—m‡i„´Išp‡iœ¿’“½išp‡ižtŸ- „c‰•†a’“‚ ˆmžf—‡ 5  ‰w˜ ‡F‹ div (τ ) = 0< Œ“‡J†yšp’“Œ‡F†
‹F‚ ˆžp†a’†a„‡ m’“‡iˆ7„ˆ‡ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ —„vžp›ƒž|†y½iœ¿‡ 5  W†y‚ „†‡Fˆ †a’“‡Fš'„m’“ž" „‡ τ ˆ‡
(u, p, τ )
—ŸF_‡Fˆ— c‰Šž©—m‡ Œ@ ‡ižpc‰Š‹i‡X¤‡ šp‚5Œ½iœ¿‡‡iž|†J—‚ ˆm‹ —c‰ŠˆžW‹i‡ ‹i‰Šž©c‰Šš|†y’‡iŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ †f—Ÿi‹F‚ „ŒŸ
Œ‡ ‹£ºc‰Šœ¿ —‡˜ƒ’ †y‡ižpža‡Q’Jˆ 1c„‡'ža„š X ‡F†J—m‚ ˆ‹ žp„š τ ~œ‰Š’ž τ ˆ ’“ˆ †y‡Fšp˜ƒ’“‡Fˆ †Jc‰Šž©—‰Šˆž©Œ‡iž
Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆžJža„mš#Œ‡ ‹i‚Š„Œ“‡ (u, p) X¤L‰œ¿‡ižp„ša‡Q—m‡ižO‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡ižJ—c‰•ˆžJ—‡Q†y‡FŒ“ž©ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž
S‡išpœ‡&†Q‰ŠŒ‚ šaž#—‡—‚Šˆˆ‡iš'—‡iž‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’žp†a’ „‡iž—„ 1c„’—‡ ‡&† —‡˜ Ÿišp’ (c‡FšŒ“‰B˜•‰ŠŒ“’—’†aŸ—‡iž
Œ‚ ’“žY—m‡#‹F‚ œ¿_‚ š|†y‡Fœ‡Fˆ †—m‡#œ‰Šˆ’½išp‡Jža’“œ¿Œ‡ ‹ & Œ ‰Qža‡F‹F†a’“‚ ˆ 5 5 5 Ž ¼f‚ „mž ‰w˜ ‚ ˆž —mŸ5"‘ Wšp‡iˆ‹F‚ ˆ †yšaŸ—‰Šˆž Œ“‰Wža‡F‹F†y’‚ ˆ$5 5 5 Žt—‡i„´'†!›ƒ_‡Fž — Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ † º‚ œ¿‚•¹
½Fˆ‡iž Œ‡iž ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †až ‹i’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸFž žp’“œ¿Œ“‡Fžz‡F†rŒ‡iž ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †až ŸiŒ“‚Š0ˆ ‰•†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“ž '· žp‡iš|˜ ‚ ˆž
Œ‡f‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ †«—„œ‚ƒ—½iŒ‡—‡iž B EDFDHGIG º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆžD‡F†Dµ ¥r¼W¥v—c‰Šˆmž™‹F‡ižDŸFE ‹i‚ DF„mDH Œ“‡iGIG œ¿ ‡iˆ †a-ž ·©ˆ§œ¿‚ ˆ †yšp‡iša‰ —‰ŠˆžŒ ‰ža„m’†y‡ ‹ & rža‡F‹F†y’‚ ˆ05  0–  > „‡BŒ“‡$œ¿‚—m½iŒ“‡$—m‡iž B
º‚ƒ‚•¹
¢•Ÿi‡iˆmž$‡ižp† ‡iˆ & ‰Š’†¿-Ÿ „’ ˜•‰ŠŒ“‡Fˆ † ‰Š„ œ‚ƒ—½iŒ‡ —‡³®‰ M´ 6™‡iŒŒ ‹ &   «¥ ˆ§‰Ššp†a’“‹i„mŒ“’“‡F-š ’Œ
špŸižp‡iˆ †y‡ Œ“‡Fžœ Kiœ¿‡iž ’ˆ‹i‚Šˆ ˜ŠŸiˆ’‡iˆ †yž „ˆ‡®˜ƒ’ža‹i‚Šža’†aŸ —‡ ‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“‡iœ¿‡iˆ †¿’“ˆm—ŸiS‡iˆ—‰Šˆ †y‡ —„
†y‰Š„´R—‡$‹i’žy‰Š’Œ“Œ“‡Fœ‡Fˆ † X„ˆm‡$ža‡i‹F‚ ˆ—‡$—m’ _Ÿiša‡Fˆ‹i‡ —‡ižQ‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡Fž ˆ‚ špœ ‰ŠŒ‡iž#ˆ „Œ“Œ‡ ‡F† —‡iž
˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†aŸižOŸiŒ‚ 0ˆ ‰•†a’“‚ ˆmˆ‡iŒŒ“‡i.ž „’ S‡i„m˜Š‡iˆ †‡k´Œ“‚ žp‡išOS‚ „šJ—‡FžO†y‰Š„´ ŸFŒ“‚ Jˆ ‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Ež DF(cDˆH’“GIž G ‹ & «žp‡i‹&†y’“‚Šˆ 5 5 MŽ  r¥ ˆ§’ˆ †aša‚ƒ—„’žy‰Šˆ †„ˆ‡I‡&´ƒ†y‡Fˆža’ ’“Œ’†aŸ$œ ‰¾´’œ ‰ŠŒ‡ S‚ „š¿Œ“‡ B Œ‡ œ¿‚—½FŒ“‡¿µ ¥r¼W¥S‡išaœ¿‡F†'—‡‹F‚ šašp’ ‡Fš'‹F‡iž mša5‚ Œ½iœ¿‡iž#‡F†Q$— 5‚ †y‡iˆm’“š#„ˆ ‹i‚ œ¿S‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ †
„c‰ŠŒ’†y‰•†y)’ &z‹F‚ šašp‡i‹F†fS‚ „štŒ“‡ižžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmžtž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡iž— Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †yžWºm‚ œ‚ ½iˆ‡Fžfžp’“œ¿Œ“‡Fž
‡iˆBc‰Ššp†a’“‹F„Œ“’‡išYŒ“‰ ša‚ mša’“Ÿ&†yŸJ—‡ ‹ &   Ž ¹ <
B < B G I GIG< <$< G ­©‰ŠˆžŒ ‰ ža„’ †y‡ «ˆm‚ „ž¿‹i‚ ˆžp’“—ŸFša‡Fša‚ ˆž¿†yšp½iž žp‚ „m˜Š‡iˆ †$Œ“‡ ‹i‰Šž — „ˆ Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ † ‹i’žy‰Š’Œ“Œ“Ÿ
‹ & (*Š„ša‡5  '‡Fˆ —’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆ = 2 ­©‰•ˆžQ„ˆ Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †Q‹i’žy‰Š’Œ“Œ“Ÿ ‚ ˆ ža„m_‚ žp‡ ƒ„m‡
Œ“‰B˜ƒ’†a‡ižažp‡ ž ŸF‹iša’ † žp‚ „ž Œ“‰ & ‚ špœ‡d u(t,
‡&+† „‡ †a‚ „m†a‡ižŒ‡i=ž „c‰Šˆ †y’ †yŸiž'ˆ‡
x)
=
(u(t,
y),
0)
—ŸF_‡Fˆ—‡Fˆ † „‡ —‡ y ?Œ ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †Q‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“Ÿ žp’“œ¿Œ“‡ ’“ˆ †yšp‚—„m’†Q—c‰•ˆžŒ ‰ ža‡F‹F†a’“‚ ˆ 5 5 5 Ž
‹F‚ šašp‡ižaS‚ ˆ— ‰Š„®‹i‰Šž u(t, y) = γ̇(t)y S·©ˆ®ˆm‚Š†y‡ τ (t, y) Œ“‰¿‹F‚ œ¿_‚ ža‰Šˆ †y‡ (x, y) —„B†y‡iˆmža‡i„mš
‡F† f (t, y) Œ ‰šp‡iœ¿’“½Fša‡©‹F‚ œS‚ ža‰Šˆ †y‡©—‡JŒ“%‰ & ‚ šp‹i‡©‡k´†aŸišp’“‡i„mša‡ f (t, x) ·©ˆ$œ‚ ˆ †aša‡J‰ŠŒ‚ šaž
τ
& ‰Š‹F’“Œ‡iœ¿‡iˆ B† „‡#Œ“‡Jžp›ƒž|†y½iœ¿‡ 5  ™žp‡'žp’“œ¿Œ“)’ (c‡W‡Fˆ7
p
p
p
p
p
p

Re ∂t u(t, y) − (1

− )∂y,y u(t, y) =∂y τ (t, y) + f (t, y),




E Xt (y)FY (X t (y)) ,
τ (t, y) =


We
1
1
dXt (y) = ∂y u(t, y)Yt(y) dt −
FX (X t (y)) dt + √
dVt ,


2We
We



1
1

 dYt (y) = −
FY (X t (y)) dt + √
dWt ,
2We
We
5 ŠŽ
‚‚ ˆ‰Oˆ‚Š†aŸ (X (y), Y (y)) Œ“‡ižr‹F‚ œS‚ ža‰Šˆ †y‡iž™—„ mša‚ƒ‹i‡ižpža„ž X (y) (V , W ) Œ‡ižr‹i‚ œ¿S‚•¹
ža‰Šˆ †y‡iž™—„ œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †8ša‚ 6ˆ’‡iˆ W ‡&† (F (X), F (X)) Œ“‡Fž«‹F‚ œ¿_‚ ža‰Šˆ †y‡Fž™—‡tŒ ‰'& ‚ šp‹i‡
S·©ˆIša‰ŠS‡iŒ“Œ‡D „‡'—$ ‰Šmša½ižtŒ@ ‡&´šp‡ižpža’“‚Šˆ ŸFˆŸiša‰ŠŒ“‡  – ŽD—‡ F cŒ“‡©†y‡Fˆža‡F„š τ ‡Fžp†
F (X)
ž|›œ¿ŸF†aša’ ƒ„m‡'‡&†—‚ ˆ‹ c‚ ˆ®‰‰Š„mžaža’
t
t
t
t
X
t
t
Y
p
τ (t, y) =
E Yt (y)FX (X t (y)) .
We
·©ˆ —’“ž|†y’0ˆ „‡ ‡Fˆ c‰Ššp†a’“‹F„Œ“’‡išt—‡i„´®†!›ƒ_‡Fž#—$ ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †O‹i’žy‰Š’Œ“ŒŸ_Œ@ Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †©—‡ ¡ ‚ ’¶¹
žp‡i„’Œ“Œ“‡r_‚ „mšŒ‡iž" „‡FŒ“ž f 6= 0 ‡F† u ‡ižp†ˆƒ„mŒfžp„šŒ“‡Fž‰Šša‚ ’ž _‡Fˆža‡Fš R„ˆ§Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
pž ‚ „žšp‡ižpža’“‚Šˆ —c‰Šˆž„ˆ †a„m› ‰•„ ™‡F†Œ@ Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †—‡ ªD‚ „‡F†p†y‡DS‚ „š¿Œ“‡- „‡FŒ f = 0 ‡F†
‹& *(*Š„ša‡¿5  S¼f‚•†y‡iš „‡—‰ŠˆžtŒ“‡O‹w‰Šžf— „ˆ®ŸF‹i‚ „Œ‡&¹
u(t, y = 0) = 0 u(t, y = L) = V
œ¿‡iˆ †©‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸD ŸFˆŸiša‰ŠŒ@c‚ ˆ ‰ ’‡i ˆ® „m ˆ® ˜ƒ šy‰Š’Lžp›ƒžp†a½iœ¿‡‹F‚ „ŒŸ u ’“ˆ †y‡Fšp˜ƒ’“‡Fˆ †W—c‰•ˆžWŒ‡iž©¥r­J
žp„ š (X, Y ) ‡F† (X, Y ) —ŸiS‡iˆm—
—‡#@Œ ‡iža‰Š‹i‡ S—m‚ ˆ‹O’“ˆ †y‡Fšp˜ƒ’“‡Fˆ †W—c‰•ˆžfŒ? ¥r­ ¡ ža„š u
∂ τ
y
> (
*
*
"
%
7 7
9
$ " 7 >=
"
¤ ‡iž$œ¿‚—½FŒ“‡Fžœ’‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž‚ ˆ † — ‰S‚ ša—UŸ&†yŸ —ŸF˜Š‡iŒ‚ SŸiž —c‰Šˆž$Œ‡ „m† —m‡‹i‚ œQ¹
šp‡iˆ—mša‡ ƒ„m‡iŒ“Œ‡‡iž|†IŒ? ’ˆJ1c„‡Fˆ‹i‡—m‡iž _‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡Fž$ža„š Œ“‡ †a‡iˆžp‡i„šB—‡FžB‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fž ‡F† —‡
‹F‚ ˆžp†aša„’ša‡ —‡Fž¿œ¿‚ƒ—½iŒ‡ižQœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fžža„š τ ‡iˆ †yšy‰w˜•‰Š’Œ“Œ ‰•ˆ †'—c‰Šˆmž¿„mˆ ‹£ºc‰•œ —‡
˜ƒ’†a‡ižpža‡º‚Šœ5‚ Š½iˆ‡ L‚ŠˆR‹£º‡Fša‹£º‡ B‹i‚ œ¿šp‡iˆ—šp‡ Œ‡iž#’“ˆ †y‡Fšy‰Š‹&†y’“‚Šˆž'‡Fˆ †yša‡Œ“‡¿ža‚ Œ ˜•‰Šˆ †'‡&† Œ‡iž
S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡i-ž z‡F†@Œ ’“Mˆ 1c„‡iˆm‹i‡ „ ‚ ˆ †Œ“‡ižQS‚ Œ ›œ¿½išp‡iž žp„šQ„ˆ‡ „c‰Šˆ †a’†yŸ$œ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡ Œ“‡
†a‡iˆžp‡i„š#—‡ižJ‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡F-ž I¤ ’“—ŸF‡Q— „†y’“Œ’“žp‡išW—m’“ša‡F‹F†a‡iœ¿‡iˆ †O‹i‡Fž#œ¿‚ƒ—½iŒ‡iž©S‚ „š©žp’“œ „mŒ“‡išW—‡iž
ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yžf‹i‚ œ¿Œ‡&´‡ižt‡iž|†W˜ ‡Fˆ „‡ ‡iˆmža„’ †y‡ ‹ & Œ“‰¿œ¿ŸF†aº‚—m‡ ª·J¼W¼fµ µ ¥«À!¦ M <
­©‰•ˆžf‹F‡O‹w‰Šž c‚ ˆIšpŸižp‚ „m†t—‚ ˆ‹O—’ša‡F‹F†y‡Fœ‡Fˆ † 5  ¤‡iž ‰w˜•‰Šˆ †£‰ Š‡iž —‡Y‹F‡F†p†y‡‰Šmša‚ƒ‹£º‡œ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚c‰Šš ša‰ŠS‚ šp† ©„ˆ‡‰Šmša‚ƒ‹£º‡Yœ‰Š‹išp‚•¹
žp‹i‚ ’ „‡Œ“„žf†yšy‰•—’†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“Œ‡ ƒ„m’ ‹i‚ ˆmža’“ž|†y‡ $‹i‚Š„Œ“‡Fš©Œ“‡Fž©-Ÿ „c‰¾†y’“‚ŠˆžJža„šJŒ“‰˜ƒ’†a‡ižažp‡‰w˜ ‡i‹
„ˆm‡'Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ œ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡Jža„mš τ ža‚ ˆ †tŒ“‡Fžža„’ ˜Š‰•ˆ †ažJ
‹F‡iž#œ‚ƒ—½FŒ“‡ižJžp‡i+œ m Œ“‡i ˆ '† 95 m Œ“„žJž šaž ;¿‹w‰ŠšJ’Œ“žJša‡F_‚Šža‡iˆ †'ža„šO„ˆm‡‰•ša‚ƒ‹£º‡¿‹i’ˆŸF†a’ „‡
—m‚ ˆ †f‚ŠˆI‹F‚ ˆˆc‰•²†
Œ‡ižŒ“’œ’ †y‡iž«‡F†tŒ‡ižº ›S‚Š†aº½ižp‡i-ž Œ‡iž ‹F‚ ˆž|†£‰Šˆ †y‡Fžr’“ˆ †yšp‚—„m’†y‡Fžz—c‰•ˆž ‹i‡Fž œ‚ƒ—½iŒ‡iž H b k T ζ L‚ ˆ † „ˆm‡ža’ Šˆ’ (c‹i‰•†y’‚ ˆ
mº ›ƒžp’ „‡#‹iŒ ‰•’“ša‡f‡F†tS‡i„m˜Š‡iˆ † KF†yšp‡O‡ižp†a’“œ¿Ÿi‡F#ž ‰Ššp†a’“šD—m‡ižša‚Šša’ŸF†yŸFž—‡ižS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡iž
‡&†t—„Ižp‚ Œ˜•‰Šˆ -† ‹F‡ižœ¿‚—½FŒ“‡FžX_‡Fšaœ¿‡F†p†y‡iˆ †— ‡&´Œ‚ ša‡FGš 95ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡iœ¿‡iˆ H† ; Œ‡ižšy‰•_‚Ššp†yž‡Fˆ †yša‡ ‹F‚ œ¿_‚ š5¹
†a‡iœ¿‡iˆ †©œ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡'‡&†©‹i‰Ššy‰Š‹&†yŸFša’“ž|†y’ ƒ„m‡ižWœ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡ižt—‡Fž©œ’‹išp‚ žp†aša„‹&†y„šp‡iž
‡&†t‚ „m˜ƒša‡Fˆ †fc‰Šš‹F‚ ˆžp-Ÿ „‡iˆ †W—‡Oˆ‚ „m˜Š‡w‰Š„´B‹£º‰Šœmžt—m‡#œ¿‚ƒ—ŸiŒ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ_‚Šžaža’ Œ“‡F-ž ’Œmžp‡i+œ Œ‡ „‡—c‰Šˆmž —‡ižrŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž ‹F‚ œmŒ“‡&´‡F-ž ŠŒ‡iž œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡iž ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡iIž •†y’‡iž
Bc‰Šš|†y’“š#—‡Fžœ¿‚—½FŒ“‡Fž#œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰•‹iša‚ žp‚ ’“‡Fˆ †'Œ„ž'šp5‚ „ž|†y‡F+ž „‡ ‹F‡iŒ“Œ‡iž#‹i‚ ˆmžp†yšp„’†a‡iž
S‚ „ššpŸiža‚Š„—ša‡O—‡Fžfœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižYœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡iž ‹ & w–  QS‚ „šŒ‡J‹w‰ŠŒ‹i„ŒX$— „ˆ
ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †‰Š„m†a‚ „š $— „ˆ ‹F›ƒŒ’“ˆ—šp‡$c‰ŠšQ‡k´m‡FœmŒ“‡$‚ „ ¶  D  ®‡F† Ž S‚ „šŒ“‡
‹i‰ŠŒ“‹F„Œ— „ˆBŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †žp„št„ˆ‡O‹i‚ ˆ †ašy‰Š‹&†y’“‚ŠˆB–  I¤ ’ˆ‹i‚ ˆ ˜ŠŸiˆ’‡iˆ † ša’ˆ‹i’c‰ŠŒt—‡@Œ ‰Šmša‚ƒ‹£º‡œ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚7‡Fžp† „ ‡iŒŒ“‡ šp‡ižp†a‡ ‡&´ƒ†yLš Kiœ¿‡&¹
œ¿‡iˆ †#‹i‚ †y‡i„mža‡¿c‰ŠšOšy‰Šm_‚ š|=† $„ˆ‡‰Ššp‚‹£º‡œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ „’"ž „ ‡iŒŒ“‡QˆŸF‹i‡ižpža’ †y‡¿Œ ‰
špŸiža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ$— „ˆ‡OŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆ —’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒ“Œ‡Wž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’ „‡OS‚ „š‹£ºc‰ „‡#S‚ ža’ †y’“‚Šˆ x —’“žp‚ ˆž
S‚ „š™‹£ºc‰ „‡©S‚ ’“ˆ †™—D‡ !O‰Š„žpžD—„ œ ‰Š’Œ“Œ“‰ ‡YS‚ „š™„ˆ‡W—m’“ža‹FšaŸ&†y’“ža‰•†y’‚ ˆ¿c‰ŠšDŸFŒ“ŸFœ‡Fˆ †a2ž (cˆm’“ž <
©„‡FŒ“Œ“>
‡ ƒ„m‡¿žp‚ ’†OŒ“‰œŸ&†yº‚ƒ—‡ —m‡¿špŸižp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ—m‡Q‹i‡F†p†y‡¿¥r­J ža‹£ºmŸiœ‰B— ¥ „Œ“‡FšJža„šO?Œ ¥r­J
‚ „$špŸižp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ—‡©?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ —‡©µ ‚Š¢ƒ¢•‡iš5¹ ¡ Œ ‰Šˆm‹£¢ ‰Šžpža‚ƒ‹i’Ÿi‡ ‹ & ƒža‡F‹F†y’‚ ˆ5 5 0– Ž Œ“‡fœ‚ƒ—½iŒ‡
ˆŸF‹i‡Fžaža’ †y‡—‚ ˆ‹Œ“‡Q‹i‰ŠŒ“‹F„Œ —‡Œ„žO—‡ ƒ„‰Šˆ †y’†aŸiž —‡FžJ˜Š‰•ša’ ‰ Œ“‡FžJœ’‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡FžJ‚ ˆ †'Ÿ&†yŸ
’ˆ †aša‚ƒ—„’ †y‡iž , „ „mˆRœ¿‚—½FŒ“‡Qœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ ‹i‡ „’«‰ —‡ižO‹i‚ŠˆžaŸ ƒ„m‡iˆ‹F‡ižQ‡iˆ †y‡Fšaœ¿‡ižO—‡
‹F‚ m†—‡J‹i‰ŠŒ“‹F„Œ~‡&†—‡Jžp†a‚‹£¢¾‰ ‡J‡Fˆ œŸFœ‚ ’ša‡ À!Œ & ‰Š„m†‹F‡iS‡iˆ—c‰•ˆ †tšp‡iœ‰Š"š „‡FBš ƒ„m‡JŒ“‡iž¥r­J
žp‚ ˆ † ’“ˆm—‡&´Ÿi‡Fžc‰•š#Œ‡ižJ†yša‰ ‘p‡i‹&†y‚ ’ša‡F-ž ‡F%† „ ‚ŠˆRS‡i„m-† LS‚ „šO„ˆ7‹£ºc‰Šœ¿R—‡˜ƒ’†a‡ižažp‡—m‚ ˆˆŸ
žp„šJ„ˆ’“ˆ †a‡išp˜•‰ŠŒŒ“‡O—‡†a‡iœ¿ž [t , t ] _Œ‡iž©špŸiža‚Š„—ša‡QžpŸic‰•šaŸiœ¿‡iˆ †Q_Œ ‰¿c‰Ššy‰•Œ“Œ“ŸFŒ“’žy‰•†a’“‚ ˆ$—„
p
p
n
n+1
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
X1
X2
1
Xn
2
N
3
5  ” ³I‚ƒ—ŸiŒ’“ža‰•†y’‚ ˆ —„ S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡Wc‰ŠšD„ˆ‡O‹£ºc‰•²“ˆ‡©—‡ N m’“Œ“Œ‡iž™‡F† n = N − 1 šp‡iž5¹
žp‚ šp†až-ƒ¤‡ižr˜ ‡i‹&†y‡F„šaž X ž- ‰ŠS‡iŒŒ“‡iˆ †«Œ“‡Fž ˜ ‡i‹&†y‡F„šaž™‹i‚ ˆˆm‡i‹F†a‡i„špž-m¤‡œ¿‚—m½iŒ“‡—m‡iž B EDFDHGIG ‹F‚ šašp‡ižaS‚ ˆ—®‰Š„ ‹w‰Šž N = 2 i
žp‹£ºŸiœ‰vˆ „œŸFša’ƒ„m‡I‡Fžp†$’œœ¿Ÿi—’“‰•†y‡ ¨‹F†a„‡iŒŒ“‡iœ¿‡iˆ †-«Œ? ‰•ša‚ƒ‹£º‡Bœ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚ ‡ižp† „ˆ‡
’žp†a‡f˜•‰ŠŒ“’—Ÿi‡c‰•š™Œ‡ižDŒ“‰ S‚ šy‰•†a‚ ’“šp‡ižr‰Š‹i‰Š—ŸFœ’ƒ„m‡iž«‡F† „’Sža‡Fœ+Œ‡Wšp‚ œ‡&†a†a‡i„žp‡ƒœ ‰Š’žrˆ ‡Fžp†
c‰•žt‡Fˆ‹i‚Šša‡#„m†y’Œ“’“žpŸi‡©‰ŠšŒ“‡Fžt‹F‚—m‡iž‹i‚ œ¿œ¿‡iša‹F’ ‰Š„ƒ´‡FœŒ‚ › Ÿižc‰•štŒ‡iž’ˆ—„ž|†yša’‡iž
¡ ‰Šš‰Š’“ŒŒ“‡F„šaž @Œ ‰Ššp‚‹£º‡¿œ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚ ˆ‡ S‡išpœ‡&† c‰•ž—‡šaŸižp‚ „—šp‡ †y‚Š„m†y‡Fž Œ“‡Fž'—’)& ¹
(c‹F„Œ†aŸižQšp‡iˆ‹F‚ ˆ †yšaŸF‡iž¿—c‰ŠˆžŒ ‰ œ¿‚—ŸFŒ“’žy‰•†a’“‚ ˆ —‡Fž 1„’“—‡Fž S‚ Œ›ƒœ¿Ÿiša’ „‡iž ¥ ˆ c‰Ššp†a’“‹F„Œ“’‡iš-
œ Kiœ¿‡©S‚ „šY—‡Fžœ‚ƒ—½FŒ“‡ižDža‚ ºm’“žp†a’ „ŸFž ‹ & ža‡F‹F†y’‚ ˆ 5 5 M <’Œ~šp‡ižp†a‡J‡iˆ ŸFˆŸiša‰ŠŒ~—’ @¿‹i’“Œ‡
—‡#ša‡&†yšp‚ „m˜ ‡F#š ƒ„‰Šˆ †y’†y‰•†y’ ˜ ‡Fœ‡Fˆ †Œ‡ižšaŸFža„Œ †£‰•†až—‡ižt‡&´SŸišp’“‡iˆm‹i‡iž > *
* 7
9
$ ¤‡ œ‚ƒ—½FŒ“‡#—‡iž B E DFDH GIG —ŸF‹išp’†J—c‰•ˆž©Œ“‡FžWžp‡i‹F†a’“‚ ˆmž©šaŸF‹iŸF—‡iˆ †y‡FžO‡F†Jžp„š©Œ“‡ „‡iŒ ˆ‚ „ž
‰ŠŒŒ“‚ ˆmž ˆ‚ „ž ‹F‚ ˆ‹F‡iˆ †yšp‡iš«—c‰ŠˆžrŒ ‰fža„’ †y‡ ‡Fžp†r„ˆ¿œ¿‚—½FŒ“‡«†yša‚Š Šša‚ žpža’“‡Fš _‚Š„š _‚Š„m˜ ‚ ’š œ¿‚—Ÿk¹
Œ’“ža‡Fš „c‰Šˆ †y’ †£‰•†a’˜Š‡iœ¿‡iˆ † Œ“‡D‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡Fœ‡Fˆ † —‡iž S‚ Œ ›œ¿½išp‡iž ¥ ˆc‰Ššp†a’“‹F„Œ“’‡iš-¾‚ ˆQ‚5mža‡iš|˜ ‡‡iˆ
ša‰•†y’ „‡ „‡™Œ“„žp’“‡F„šažL†y‡iœ¿ž —‡Dšp‡iŒ ‰ ´‰¾†y’“‚Šˆ'špŸ- ’žaža‡Fˆ † Œ“‡«‹i‚ŠœS‚ šp†a‡iœ¿‡iˆ † —‡iž _‚ Œ ›ƒœ½Fša‡iž
¡ ‚ „šJša‡FœŸF—’“‡FDš ‹i‡ša5‚ mŒ“½iœ¿‡ _‚ ˆS‡i„m†J’ˆ †yša‚ƒ—„’ša‡'„ˆ‡Q‹£ºc‰•²“ˆ‡ ‹& $(*Š„ša‡ ” f—‡ N
’Œ“Œ‡ižDšp‡iŒ’“Ÿi‡FžDc‰•š n = (N − 1) šp‡ižpža‚ š|†yž ‡&†ˆ‚ ˆ$‰Šž (N − 1) †a’ ‡FžDša’ ’“—m‡ižD‹F‚ œ¿œ‡f—c‰Šˆž
Œ‡ œ‚ƒ—½FŒ“‡—m‡ Œ ‰ ‹£º‰•² ˆ‡Q—m‡ /Jšy‰Šœ¿‡išp-ž ~‹ & ~žp‡i‹F†a’“‚ ˆ 5 5 J  _­©‰ŠˆžJŒ‡ ‹w‰•ž©‚ ‹i‡FžJša‡Fžaža‚Ššp†yž
žp‚ ˆ †f†a‚ „žt—‡ižtša‡Fžaža‚Ššp†yžfº‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆž _‚ ˆBcE‰ŠšpDFŒ“D‡OHGI—G „Bœ‚ƒ—½FŒ“‡J—‡ ¬ ‚Š„ža‡ _¥ ˆIža„’ ˜Š‰•ˆ †tŒ“‰¿œ Kiœ¿‡
—ŸFœ ‰•ša‹£º=‡ „‡O_‚ „mšŒ“‡Jœ¿‚—½FŒ“‡©—m‡iž B
‹ & ža‡F‹F†a’“‚ ˆ 5 5 M <‚ ˆ œ¿‚ ˆ †yša‡J—‰Šˆž‹i‡
‹i‰Š.ž „‡OŒ‡iž-Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž 5 – ” D—‡&˜ƒ’“‡iˆmˆ‡iˆ †'



n
1X
dX i,t = ∇u(t, Rt )X i,t dt −
Ai,k F (X k,t ) dt +
ζ k=1


dRt = u(t, Rt ) dt.
s
!
N
X
2kT
d
Si,l B l,t ,
ζ
l=1
5
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
‚ §Œ“‡ ˜ ‡i‹&†y‡F„š X ša‡FšaŸFža‡Fˆ †a‡Œ@ ŸF†y‰•† —$ Ÿ&†y’“šp‡iœ¿‡iˆ †—m„ k¹ ’“½iœ¿‡ ša‡Fžaža‚Ššp† 1 ≤ k ≤ n Œ‡iž (B ) pž ‚ ˆ † N œ‚ „˜ ‡iœ¿‡iˆ †ažmša‚ 6ˆ’“‡Fˆž d¹!—’œ‡Fˆža’‚ ˆˆ‡FŒ“ž™’“ˆ—ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ †až-c‡F†Œ‡iž
œ‰•†yšp’“‹F‡iž A ‡F† S až ‚ ˆ †t—Ÿ(ˆ’“‡Fžt‰ŠšO
k,t
l,t 1≤l≤N

2 −1 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1





A=

 0

 0
0

0
···
···
···
0
0
0




0


,
0

−1 2 −1 0 

0 −1 2 −1 
0 −1 2
0
−1 1
 0 −1


S=
0

 0 ···
0 ···
···
···
···
0
1

··· 0
0 ··· 0 


.
0

−1 1 0 
0 −1 1
0
¡ ‰Ššt‰Š’“ŒŒ“‡i„mšaž-Œ ‰>& ‚ špœ „Œ‡ 5 – D—m‚ ˆˆc‰Šˆ †tŒ“‡©†a‡iˆžp‡i„št—‡Fžt‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fž τ —‡&˜’‡iˆ †#
!
X
!
À
—
5 ¾–
τ (t) = n
.
E(X ⊗ F (X )) − nkT
­W‡fœ KFœ#‡ „ ‚ ˆ œ¿‚ ˆ †yšp‡iša‰'—c‰Šˆmž™Œ“‰#žp‡i‹F†a’“‚ ˆB5 5 0–  „‡WŒ‡œ‚ƒ—½iŒ‡—„ B EDFDHGIG º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆ
‡Fžp† Ÿ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ † W„mˆ œ‚ƒ—½FŒ“‡r—‡³I‰¾´ 6D‡FŒ“Œ ‹ & 5  ‡F†zža‡F‹F†y’‚ ˆ  5 MŽ  ¾‚ ˆ'_‡F„m† œ¿‚ ˆ †yšp‡iš
‡Fˆ —’ ‰ ‚ ˆc‰ŠŒ’“ža‰Šˆ † A ‡&†©‡Fˆ®„m†a’“Œ“’žy‰Šˆ †Œ=‡ & ‰Š’ #† „‡ A = SS ‹ &  ŽŠ” Lža‡F‹F†y’‚ ˆ®–J „‡'Œ“‡
œ¿‚—m½iŒ“‡W—‡ ¬ ‚ „mža‡J‡iž|†t-Ÿ „’˜•‰ŠŒ‡iˆ † Q„ˆ œ‚ƒ—½FŒ“‡©—‡#³I‰¾´ 6D‡FŒ“Œ—’ ~ŸFša‡iˆ †a’“‡i$Œ ŸiˆŸFšy‰ŠŒ’“žpŸJ‰w˜ ‡i‹
—‡FžD†y‡FœmžD—‡fša‡iŒ“‰¾´m‰•†y’‚ ˆ λ = ‚ (a )
—mŸiža’ ˆ‡Fˆ †YŒ“‡ižr˜•‰ŠŒ“‡F„šaž™ša‚Šša‡FžD—‡fŒ ‰
œ‰•†yšp’“‹F‡ A ¡ ‰Šš'‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž XŒ“‡Fž'mša’“ˆm‹i’“‰Š„´ ‡ _‡F†a>ž „’«œ ‰•0ˆ „‡iˆ †Q‰•„Rœ¿‚—½FŒ“‡Q—ŸF‹išp’†'—c‰Šˆž'Œ“‡iž#ža‡F‹&¹
†a’“‚ ˆžfšaŸF‹iŸF—‡iˆ †y‡FžJža‚ ˆ †JŒ“‰¿œ¿‚ƒ—ŸiŒ’“žy‰¾†y’“‚ŠˆB—m‡iž©’ˆ †a‡iša‰Š‹F†a’“‚ ˆžtº ›ƒ—ša‚ƒ—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡FžW‡F†W—‡ižW‡ & ¹
& ‡&†yž —‡D˜Š‚ Œ“„mœ‡™‡&´‹iŒ„ ·©ˆ‰ŠS‡iŒŒ“I‡ 95’“ˆ †a‡išy‰•‹F†y’‚ ˆžLº ›—mša‚ƒ—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡iž ;YŒ‡iž ’ˆ †y‡iša‰Š‹F†a’“‚ ˆmž „’
‡k´m’žp†a‡iˆ †‡iˆ †yšp‡Œ“‡F>ž ’Œ“Œ‡ižO— „ˆ‡$‹£ºc‰•²“ˆ‡ m ’“Œ“Œ‡&¹ ša‡ižpža‚ š|†#—„ & ‰Š’%† „‡Œ‡œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †Q— „ˆ‡
’Œ“Œ‡™’Jˆ 1c„‡™Œ“‡Dœ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ † — „ˆ‡Y‰Š„m†yšp‡ Œ ‰t_‡Fšp†a„"š c‰¾†y’“‚Šˆ—„Q‹£ºc‰•œQ—‡™˜’ †y‡Fžaža‡D—„Qža‚ Œ¶¹
˜•‰Šˆ †r‰Š„†y‚ „šz—‡YŒ ‰t‹£ºc‰•²“ˆ‡ ·JˆQS‡i„† ša‡Fˆ—šp‡‡iˆQ‹i‚Šœm†a‡D‹F‡iž ’“ˆ †a‡išy‰•‹F†y’‚ ˆž ‚ ˆ‰ ‘p‚ „m†y‰Šˆ † „ˆ
†a‡išaœ¿‡Wžp„ŒŸiœ¿‡iˆ †£‰•’“ša‡f—c‰ŠˆžDŒ“‡tžp›ƒžp†a½iœ¿‡J— ¥r­J 5 šaŸiŸF‹išp’†žp„šDŒ“‰'S‚ ža’ †y’“‚Šˆ—‡FBž ’“ŒŒ“‡Fž
‹ & & ‚ šaœ„Œ“‡ 0– Š– X—c‰Šˆž ¶ ŽŠ” ¥ ˆO†y‡Fˆc‰Šˆ †z‹F‚ œ¿m†y‡r—‡r‹i‡Fž ’ˆ †y‡iša‰Š‹F†a’“‚ ˆmžLžp‚ „ž & ‚ šaœ¿‡ — „ˆ‡
‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆQ—„†!›ƒ_‡t‹£ºc‰Šœ¿œ¿‚ › ‡Fˆ —m„œ Kiœ¿‡Y†!›ƒ_‡ „‡f?Œ ‰•ša‚w´’“œ‰•†a’“‚ ˆµ ¥r¼W¥z¹ ¡ ‹ & Sžp‡i‹&†y’“‚ŠˆR5 5 0–  ‚ ˆI‰Ššašp’˜ ‡'‰Š„Iœ‚ƒ—½iŒ‡J—‡ ~’“œ¿œ ·Jˆ®‰ŠS‡iŒŒ“,‡ 95‡ ~‡&†yžt—‡#˜Š‚ Œ“„mœ‡O‡&´ ¹
‹FŒ“M„ ; Œ‡ & ‰Š’† „‡B‹i‡Fšp†£‰•’“ˆ‡Fž‹F‚ Jˆ (* „mšy‰•†a’“‚ ˆž—‡Fž¿˜Š‡i‹&†y‡i„mšaž‹F‚ ˆˆ‡F‹F†y‡F„šaž (X ) ža‚ ˆ †
’ˆ †a‡išp—’†a‡ižO„’"ž „‡—‡i„ƒ´ ’“ŒŒ“‡Fž©—‡Œ ‰‹£ºc‰¾² ˆ‡ˆ‡QS‡i„m˜Š‡iˆ † ‰ŠžJ‚‹F‹i„S‡išOŒ‡Qœ KFœ‡QS‚ ’“ˆ -† ªD‡Fž‡ _‡F†až'S‡i„˜ ‡iˆ >† KF†yšp‡mša’“žJ‡FˆR‹F‚ œ†y‡‡iˆ7œ‚ƒ—’ (c‰Šˆ †JŒ :‰ & ‚ šp‹i‡ F ‹ & ža‡F‹F†a’“‚ ˆ 5 5 M
‡&† ¶ ŽŠ” ža‡F‹F†y’‚ ˆB0– M <
p
n
p
p
k,t
k,t
k=1
T
i
ζ
2Hai
i 1≤i≤N −1
k 1≤k≤n
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
¬ ‰•_‡FŒ“‚ ˆmž#‡FˆJ(cˆ „‡Œ“‡iž#œ¿‚—½FŒ“‡Fž#—mŸF˜ ‡FŒ“‚ m_ŸFž ‹i’¶¹!—‡Fžaža„mžˆ‡-ž ‰ŠŒ’ „‡iˆ %† „ I—‡iž
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmžY—’“Œ„Ÿi‡FžY—‡JS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡iž-m¥ ˆB‡ ~‡&† ’Œ“ž™ˆ‡W†y’‡iˆˆm‡iˆ †c‰Šž‹F‚ œ†y‡©—‡Fž’“ˆ †y‡Fšy‰Š‹&†y’‚ ˆž
‡Fˆ †aša‡'‹£ºc‰•² ˆm‡ižW—m‡'S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡iž- ­W‰ŠˆžWŒ‡O‹w‰Šžt—‡ižf_‚ŠŒ›ƒœ½Fša‡Fžtžp‚ „Œ‡iž_Œ“‰œ¿‚ƒ—ŸiŒ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ$—‡iž
’ˆ †a‡iša‰Š‹F†a’“‚ ˆž„m†a’“Œ’“ža‡ Œ‡r‹i‚ ˆ‹F‡im† —‡«ša‡Fm†£‰•†a’“‚ ˆ ‹ & Ž ‡F† Œ ‰Y†yºmŸi‚ šp’“‡r—‡™­W‚ ’ ¹!¥ J— 6Y‰•ša—ž <
ªD‡Fž©†yºŸF‚ ša’‡iž©ž ‰ŠmŒ“’ ƒ„m‡iˆ †©†!›ƒ’ „‡Fœ‡Fˆ †#‰Š„´®_‚ Œ ›ƒœ½Fša‡iž & ‚ ˆ—„m-ž ­©‰•ˆž©Œ“‡‹w‰Šž©—m‡ _‚ŠŒ› ¹
œ¿½išp‡ižtša’ Š’“—‡F-ž cŒ ‰Qœ¿‚—mŸiŒ“’žy‰•†a’“‚ ˆ$—m‡ižt’“ˆ †y‡Fšy‰Š‹&†y’“‚Šˆž_‡F„m†Wžp=‡ & ‰•’“ša‡ —‡ižW‰Ššp‚ ´’œ ‰•†a’“‚ ˆmž
†!›ƒS‡™‹£ºc‰•œ'œ‚ › ‡Fˆ ‹ & ‹£ºc‰Šm’†yšp‡ ”—‡ ¾ªD‡r†!›ƒ_‡«—‡rœ¿‚—½FŒ“‡ ž ‰ŠmŒ“’ ƒ„m‡«ˆm‚Š†£‰Šœ¿œ¿‡iˆ †
‰Š„ƒ´ ‹išp’“žp†y‰Š„´ Œ’ „’—‡iž & " * 34)::134)&! !") &12 "1 * ! !À Œc‡iž|†’‡iˆ‹i‚ ˆˆ „ ƒ„m‡fšp‚‹F‡ižpža„ž™žp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ƒ„m‡ižD‡&†DŸ „c‰•†y’‚ ˆž«‰Š„´¿—mŸiša’ ˜ ŸF‡ižD‰Ššp†a’“‡iŒŒ“‡Fž
‡Fˆ †aša‡&†y’“‡Fˆˆ‡Fˆ †—m‡ižYŒ’“‡iˆmžDŸF†aša‚ ’ †yžÀ!Œ ›‰‰Š„œ¿‚ ’“ˆž«—‡F„´:& ‰EF‚ ˆž«†yša½FžYˆc‰•†a„ša‡FŒ“Œ‡ižD—$ ‰Šžpža‚ƒ‹i’‡iš
„ˆm‡®¥r­ ¡ „ˆ‡B¥r­JG«¤‰ša‡Fœ’½išp‡$‹i‚ ˆžp’“ž|†y‡CŸi‹išp’“šp‡BŒ? ¥r­ ¡ ˜ Ÿišp’(cŸF‡ c‰ŠšŒ ‰ —‡Fˆža’ †yŸ
—‡ša5‚ ‰ ’“Œ’†aŸJ—„ šp‚‹F‡ižažp„ž ‹ & Sža‡i‹&†y’‚ ˆv5 5 0– Ž _ªD‡F†p†y‡ ¥r­ ¡ -ž ‰ŠS‡iŒŒ“‡#@Œ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆB—‡
µc‚ ¢ ¢Š‡Fš|¹ ¡ Œ“‰Šˆ‹£¢ ‚ „-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ —'‡ /t‚ Œ“œ¿5‚ ‚ šp‚ +˜ & ‚ Lš 6D‰Ššp— ‚Š„ ‡iˆm‹i‚ šp‡©-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆœ ‰¾²“†yšp‡ižpža‡ <
¤‰ —‡F„´’“½Fœ‡#‹i‚ ˆmža’“ž|†y>‡ Ÿi‹Fša’ša‡#@Œ ¥«­ ¡ ˜ŠŸišp’ (cŸF‡c‰Šš[email protected]Œ ‡ižp_ŸFšy‰Šˆ‹F‡— „ˆ=‡ & ‚ ˆ‹&†y’“‚Šˆˆ‡iŒŒ“‡J—„
šp‚‹F‡ižpža„ž ‹ & ža‡i‹&†y’‚ ˆ 5  0– <ªD‡F†p†y‡¥r­ ¡ -ž ‰ŠS‡iŒŒ“‡ Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ —‡¿µc‡F›ƒˆœ‰Šˆ¹ /O‰Š‹ ‚ „
Ÿƒ„‰•†y’‚ ˆ'—m‡ /t‚ Œ“œ¿5‚ ‚ šp‚ ,˜ c‰•‹£F¢ 6D‰Ššp— ¾¥ Jˆ (cˆ ’Œ ‡iž|†zŸ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †_‚ žpža’ Œ“‡r—c‰ŠˆmžL‹F‡iš|†£‰Š’ˆž‹w‰Šž
— 5‚ m†a‡iˆ’š©—‡Fž#Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ,ž & ‡Fšaœ¿Ÿi‡FžJža„š©Œ‡iž©œ¿‚ œ¿‡iˆ †yžW—„ ša‚ƒ‹i‡Fžaža„mž ‹ & _ža‡i‹&†y’‚ ˆ 5 5 J–  <
¼t‚ „žYˆ‚Š„žYšp‚ _‚Šža‚ ˆžD—c‰ŠˆžY‹F‡F†p†y‡©žp‡i‹F†a’“‚ ˆ$$— ‡k´mmŒ“‚ šp‡išDŒ‡ižYŒ’“‡Fˆž™‡Fˆ †yša‡O¥r­ ¡ ‡F†¥«­© —c‰Šˆž
Œ‡J‹w‰Šžt—„ œ‚ƒ—½FŒ“‡Jœ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚—m‡ 1„’“—‡Fž_‚ Œ ›ƒœŸFša’ „‡Fž‡&´S‚ žaŸ#‹i’¶¹!—‡Fžaža„m-ž > > ACB E DFDH GIG 7 7 ;
¥ ˆ#‚ ža‡Fšp˜•‰Šˆ †LŒ“‡iž~—‡i„´J‡&´ša‡Fžažp’“‚ ˆžŸ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ †y‡iž—‡ τ ‡k´ša‡Fžaža’‚ ˆO—8‡ /Jšy‰Šœ¿‡išpž 5 –
‡&†J‡&´šp‡ižažp’“‚ ˆ—m‡ !J’“‡ižp‡i¢ „ž 5 – < ‚ ˆ®˜ ‚Š’.† ƒ„m‡ ža’ ⊗ F (X)) -ž ‡&´šp’“œ¿‡‡Fˆ & ‚ ˆ‹k¹
†a’“‚ ˆ —‡QŒ“‰œ‚ › ‡Fˆˆ‡—„ †y‡Fˆža‡F„šO—‡žp†yšp„‹F†a„ša‡ A =E(X
X‚Šˆ S‡i„†'‚ m†y‡Fˆ’“š©„mˆ‡
E(X
⊗
X)
Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ®‰•„´ —ŸFša’˜ŠŸi‡Fžfc‰•šp†y’‡iŒŒ“‡iž™ža„š A ‡&†—‚ ˆ‹Oža„mš τ ­©‰ŠˆžfŒ“‡O‹w‰•žW—‡Fž B E DFDH GIG º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆž _‚Šˆ ‰ E(X ⊗ F (X)) = HE(X ⊗ X) ‡F†f‚ ˆ
5‚ †y’“‡Fˆ †f—m‚ ˆD‹ & ‰Š‹i’Œ“‡Fœ‡Fˆ †[email protected]Œ ¥«­ ¡ ža„’ ˜•‰Šˆ †y‡Jža„mš A
*
*,
7
p
3
p
∂t A(t, x) + u(t, x).∇A(t, x) − ∇u(t, x)A(t, x) − A(t, x)(∇u(t, x))T
4kT
4H
A(t, x) +
=−
,
ζ
ζ
À!—
„’ža‡OšpŸiŸi‹Fša’ †ža‚ „žtŒ ‰>& ‚Ššaœ¿‡Jža„’ ˜Š‰•ˆ †a‡Oža„š
τp
ζ
∂t τ p (t, x) + u(t, x).∇τ p (t, x) − ∇u(t, x)τ p (t, x) − τ p (t, x)(∇u(t, x))T
4H
ζ
= −τ p (t, x) + np kT
∇u(t, x) + (∇u(t, x))T .
4H
?
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
¥ ˆ ’“ˆ †yšp‚—m„’“ža‰Šˆ †WŒ‡'†y‡Fœmž©—‡ šp‡iŒ ‰ ´‰¾†y’“‚Šˆ λ —mŸ(cˆ’zc‰Šš 5 – t‡&†JŒ ‰˜ƒ’“ža‹F‚ ža’ †yŸ η —Ÿ(ˆ’“‡
c‰•š  – ‚ ˆ šp‡F†aša‚ „m˜Š‡D—‚Šˆ‹D‡k´‰•‹F†y‡Fœ‡Fˆ † Œ“‡«œ¿‚—½FŒ“‡rœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡«—‡Y³®‰¾´ 6D‡FŒ“Œ 5  <
ªD‡F‹i’m‘p„žp†a’(c‡OŒ‡iž‡&´šp‡ižpža’“‚Šˆž 5 – D‡F† 5 – ·©ˆv˜ ‚ ’ †Q—‚ ˆ‹ „‡$‹F‡iš|†£‰Š’ˆž œ¿‚—½FŒ“‡Fž œ’‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž ža‚Šˆ †Ÿ „’˜•‰ŠŒ‡iˆ †yž —m‡ižQœ¿‚•¹
—½FŒ“‡FžJœ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡iž ·©ˆša‡Fœ ‰•š" „‡+ „‡Q‹ ‡Fžp†=’“‡Fˆ Œ ‰—Ÿišp’˜ ŸF‡Qža„š5¹!‹F‚ ˆ ˜ ‡i‹&†yŸF‡ „’z‰Š¹
c‰•šy‰•²†Qˆc‰•†a„ša‡FŒ“Œ“‡Fœ‡Fˆ † c‰Ššp†a’“š —m‡$œ‚ƒ—½iŒ‡iž ‹F’“ˆŸ&†y’ ƒ„m‡iž ‹ & ša‡Fœ ‰ŠLš „‡ ¤:‡ & ‰•’† „‡
Œ? ‚ ˆ šp‡F†yšp‚ „m˜Š‡#—m‡ižœ‚ƒ—½FŒ“‡ižDœ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡i#ž Qc‰•šp†y’šY—‡Jœ¿‚—m½iŒ“‡FžY‹i’ˆŸF†a’ „‡FžtS‡išpœ‡&†—‡
‹F‚ Jˆ & ‚ š|†y‡iš@Œ „ˆ‡ ‡&† ?Œ ‰Š„†yša‡‰Šmša‚ƒ‹£º‡iž ¬ ‡Fœ ‰•"š „‚ ˆž'-Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ %† „‡$Œ“‡¿œ‚ƒ—½FŒ“‡¿œ’‹iša‚¾¹
žp‹i‚ ’ „‡Q‹i‚ ˆ †a’“‡iˆ † S‡w‰Š„m‹i‚ „mŒ“„ž©$— ’Jˆ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆžt„’"ž „‡Q?Œ ‚ ˆ®œ‚ƒ—ŸiŒ’“žp‡'Œ“‰ ‹£ºc‰•²“ˆ‡ —‡
S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡ ‡iŒŒ“‡&¹ œ KFœ‡ c‡F†Oˆ‚Šˆc‰Šž©žp‡i„Œ‡iœ¿‡iˆ †O„ˆ‡Q‡FžaSŸišy‰•ˆ‹i‡Q— „ˆ+‡ & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“Œ‡'—m‡QŒ ‰
‹F‚ Jˆ & ‚ špœ ‰•†a’“‚ ˆ$—m„IS‚ Œ›ƒœ¿½išp‡ ¥ ˆ§—‡Fº‚ šaž¿—„ œ‚ƒ—½iŒ‡$—‡iž B E DFDH GIG º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆž ™‚Šˆ§ˆ‡Bžy‰Š’ †¿c‰Šž¿‡&´ša’œ‡Fš τ ‡iˆ
& ‚ ˆm‹F†y’‚ ˆ —‡ A S‚ „šf5‚ m†a‡iˆ’šf„ˆm‡ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ ‰Š„´I—Ÿišp’˜ŠŸi‡ižJ‰Ššp†a’“‡iŒŒ“‡Fžtžp„š A ‡F†©—‚ ˆ‹'ža„š
·©š —‡©†y‡FŒ“Œ‡ižYŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆžœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fžža‚ ˆ †t’“ˆ †aŸiša‡Fžaža‰Šˆ †y‡iž— „ˆB_‚Š’“ˆ †—‡©˜ƒ„‡Oˆ „¹
τ
œ¿Ÿišp’ „‡ ‹i‰Šš©Œ“‡F„šWšpŸižp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆIˆŸi‹F‡ižpža’†a‡œ‚ ’ˆžt—‡†y‡FœmžOª ¡ ° ‡F†J—‡œŸFœ‚ ’ša‡ S¨ (cˆ—‡
žp‡fša‰Šœ‡Fˆ‡i8š O„ˆ‡f¥r­ ¡ ‚ ˆ¿_‡F„m†D‰ŠŒ“‚ špž & ‰Š’“šp‡—‡iž™‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆž ‰ŠS‡iŒ“ŸF‡iž™‰Ššp‚w´m’œ ‰ ¹
†a’“‚ ˆž™—.‡ & ‡Fšaœ¿‡F†a„ša‡ ¡ šp‡iˆ‚Šˆž[email protected]Œ ‡&´‡FœŒ‡W—„ œ‚ƒ—½iŒ‡Wµz¥«¼fB¥ S‚ „š™Œ“-‡ „‡FŒ_‚Šˆˆ‡©‹F‚ ˆˆc‰•²†
c‰•'ž ‹F‡‘p‚ „mšW—‡#œ‚ƒ—½FŒ“‡#œ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡#-Ÿ „’˜•‰ŠŒ‡iˆ † S¥ ˆ žp„’˜•‰Šˆ †fŒ“‡ižf’“—ŸF‡ižt—‡ ¡ ‡F†a‡išaŒ’“ˆ
‹ &  Ž <S¯D’“šp—®‡F†©‰Š@Œ ‹ & w– ‚ ˆ †©šp‚ S‚ žaŸ'—‡šp‡iœ¿Œ ‰Š‹F‡ištŒ ‰ & ‚ ša‹F‡ µ ¥r¼f¥ 5 Š– c‰Šš
„ˆm=‡ & ‚ šp‹i‡O‰w˜ ‡F‹'„mˆ‡#˜•‰ŠŒ‡i„šœ¿‚ › ‡Fˆˆ‡O—‡[email protected]Œ ŸiŒ‚ 0ˆ ‰•†a’“‚ ˆ‰Š„ —Ÿiˆ‚Šœ’ˆc‰•†y‡F„šJ
5 HX
F
(X ) =
.
3
p
3
-
p
p
t
FENE−P
t
1−
||2 )
(|| t
bkT /H
„mštŒ‡Jžp›ƒžp†a½iœ¿‡ 5 – m‚ ˆ ‚5m†y’‡iˆ †t—‚ ˆ‹OS‚ „šŒ‡iž—‡F„´B—‡išpˆ’“½Fša‡FžtŸ „c‰•†y’‚ ˆžO

!
À
—
HE (X ⊗ X )


− kT
,
 τ =n

p
t
t
2
|| ) /(bkT /H)
p
1 − E (||X t
s
X
kT
2H

t


 dX t + u.∇X t dt = ∇uX t − ζ 1 − E (||X ||2 ) /(bkT /H) dt + 2 ζ dW t .
t
5
¥ ˆ „†y’“Œ’“ža‰Šˆ † Œ@ ‡&´šp‡ižažp’“‚ ¿ˆ —‡ τ ‚ ˆ‚5m†a’“‡iˆ †™‰ŠŒ‚ šaž Jc‰Šš|†y’š —‡ 5 – z‡F†«—‡ 5 – zŒ@ ¥r­ ¡
žp„’˜•‰Šˆ †y‡Ožp„š A
p
∂t A(t, x) + u(t, x).∇A(t, x) − ∇u(t, x)A(t, x) − A(t, x)(∇u(t, x))T
4H
A(t)
4kT
=−
.
+
ζ 1 − tr(A(t))/(bkt/H)
ζ
À!—
¥ ˆR’ˆ¾‘p‡i‹&†£‰Šˆ †'‰ŠŒ‚ šažJ—c‰•ˆžO‹i‡F†p†y‡¥r­ ¡ Œ@ ‡&´šp‡ižažp’“‚ ˆ ža„m’˜•‰Šˆ †y‡¿—‡ A ‚5m†a‡iˆ „‡ Bc‰•šp†y’š©—‡
Œ? ‡k´mmša‡ižpža’‚ ˆI—m‡ τ
!
À
—
1
τ
A=
+ kT
,
p
p
HZ(tr(τ p ))
np
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
‚ Z ‡iž|†W—Ÿ (cˆ’c‰•š 5 Ž <‚ ˆB‚5m†y’‡iˆ †Œ@ Ÿ- „c‰¾†y’“‚Šˆ$ža„’ ˜Š‰•ˆ †a‡Oža„š
τp
ζ
∂t τ p (t, x) + u(t, x).∇τ p (t, x) − ∇u(t, x)τ p (t, x) − τ p (t, x)(∇u(t, x))T
4H
ζ
+Z(tr(τ p ))τ p −
(τ p + np kT ) (∂t + u.∇) ln(Z(tr(τ p )))
4H
ζ
∇u(t, x) + (∇u(t, x))T ,
= np kT
4H
À!—
„’r‡iž|†#‡&´m‰Š‹F†a‡iœ¿‡iˆ †#Œ“‡Qœ¿‚—m½iŒ“‡ µ ¥r¼W¥z¹ ¡ 5 ŽŠ” f’ˆ †aša‚ƒ—„’ †JšaŸF‹iŸF—‡iœ¿œ‡Fˆ † ‡iˆ šp‡iˆc‰Šˆ †
†a‚ „¾‘p‚ „špž_‚ „mš λ ‡F† η Œ“‡Fž‡&´ša‡Fžažp’“‚ ˆž  – D‡F† 5 – <
¤‡œ‚ƒ—½iŒ‡Yµ ¥r¼f¥ ¹ ¡ ˆ ‡iž|† ƒ„$ „ˆm‡W‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ—m„¿œ¿‚ƒ—½iŒ‡µ ¥r¼W¥B& ‰Š’ †y‡YS‚ „šz‚5¹
†a‡iˆ’š™„ˆ œ‚ƒ—½iŒ‡œ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡ ·©ˆ ‚ ža‡Fšp˜ ‡W—‡iž™—’ _Ÿišp‡iˆ‹F‡iž „c‰•Œ“’†y‰•†y’ ˜ ‡Fž«’œS‚ š|†£‰Šˆ †y‡Fž
‡Fˆ †aša‡'‹i‡ižf—‡i„ƒ´®œ¿‚ƒ—½iŒ‡ižˆ‚Š†y‰Šœœ¿‡iˆ †—c‰•ˆžf—m‡ižWŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †ažt†ašy‰Šˆžp’†a‚ ’“šp‡iž ‹ & <~·©ˆ
šp‡iˆ ˜ ‚ ’‡ Ÿ- ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †, – – LS‚ „šW„mˆ‡—’ža‹F„žažp’“‚ ˆ —m‡iž©‡ ~‡&†yžW—m‡ ‹i‡#†!›S‡ — ‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ
S‚ „šQ—‡FžŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †ažQŸiŒ‚ ˆ0 ‰•†a’“‚ ˆmˆ‡iŒž- ¡ Œ„ža’‡i„špž‰Šœ¿ŸiŒ“’‚ šy‰¾†y’“‚ŠˆžO—„ œ‚ƒ—½iŒ‡µ ¥r¼f¥ ¹ ¡
‚ ˆ †J—$ ‰Š’Œ“Œ‡i„špžfŸ&†yŸ šp‚ S‚ žaŸF‡iž ‹ & ¶ c‰Š ‡ J Ž z‡&†JŒ“‡'œ‚ƒ—½FŒ“‡'µ ¥r¼W¥z¹|ª ¬ ~ ‚ „  ”•– ‡&†fŒ‡Jœ‚ƒ—½FŒ“‡Jµ ¥r¼f¥ ¹!¤  ¼f‚Š†a‚ ˆž „‡ ‹i‡Fž¿‰Ššp‚ ´’œ ‰•†a’“‚ ˆmž—‡:& ‡Fšaœ¿‡F†y„mša‡$S‡i„m˜Š‡iˆ †‰w˜Š‚ ’“šQ„ˆ ’ˆ †aŸišLFK †—c‰ŠˆmžQŒ“‡
‹i‰Š—ša‡™—‡ižzža’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆmžœ’‹iša‚¾¹!œ‰Š‹išp‚‹w‰ŠšLŒ“‡Fž žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž —‡Fž ¥r­ ¡ ‚5m †a‡iˆ „‡Fž _‡F„m˜ ‡Fˆ †rža‡iš|˜ƒ’“š
—‡O˜•‰Šša’“‰ Œ‡W—‡O‹i‚Šˆ †aš Œ‡J_‚Š„ššaŸi—m„’“šp‡JŒ ‰ ˜•‰Šša’“‰Šˆ‹i‡J—m‡ižšaŸFža„Œ †£‰•†až ‹&  žp‡i‹&†y’“‚Šˆ75 ŽM ŽM Ž 3
p
>
=
*,
7.
3
$ * "
À!Œzˆ ‡iž|†#c‰ŠžJˆŸF‹i‡ižpžy‰Š’ša‡Q—‡Q‹F‚ ˆˆc‰¾²“†yšp‡ Œ ‰Œ‚ ’L—„ ša‚ƒ‹i‡Fžaža„mž ) _‚ „mš©‹w‰ŠŒ‹i„Œ‡išfŒ“‡
†a‡iˆžp‡i„š —m‡ižz‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fž τ žp‡i„Œ‡ižzžp„[email protected]¿ža‡Fˆ † Œ“‡ižLŒ“‚Š’“žœ‰Šš" ’ˆc‰ŠŒ‡i(X
ž ‹ ‡Fžp†|¹ ¾¹ —’“šp‡«Œ‡ižLŒ“‚ ’ž—‡iž
˜•‰Ššp’ ‰ Œ‡ižr‰ŠŒŸw‰•†a‚ ’“šp‡iž X S‚ „š t ≥ 0 ·©š ‚ ˆžy‰Š’ † ƒ„m‡f‹F‡ižrŒ“‚ ’ž ža‚Šˆ †™ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆžz—‡Œ@ Ÿ- „c‰¾¹
†a’“‚ ˆ—‡µc‚ ¢ ¢•‡iš ¡ Œ ‰Šˆ‹£¢®‰Šžažp‚‹F’“ŸF‡ Œ? ¥r­J X¨W’ˆža’?~‚ ˆS‡i„m†OšpŸiŸF‹iša’ša‡Œ“‡ša‚5mŒ“½iœ¿‡ 5 ƒ
žp‚ „žtŒ >‰ & ‚ špœ‡Q
t t≥0
p
t

Re (∂t u(t, x) + u(t, x).∇u(t, x)) − (1 − )∆u(t, x) + ∇p(t, x)




= div (τ p (t, x)) + f (t, x),




div (u(t, x)) = 0,Z



τ p (t, x) =
(X ⊗ F (X))ψ(t, x, X) dX −
,

We



∂t ψ(t, x, X) + u.∇ ψ(t, x, X)




1
1


= −div
∇u(t, x)X −
F (X) ψ(t, x, X) +
∆ ψ(t, x, X).

2We
2We
À!—
5 ·©ˆ žy‰•’†%ƒ„m‡ža’ x), p(t, x), X (x)) ‡iž|† žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ7—‡ 5  #‡&†+ „‡ X (x) ‰Š—œ¿‡F†
„ˆm‡'—‡Fˆža’ †yŸ#—‡O(u(t,
ša‚c‰’Œ“’†aŸ ψ(t, x, X) ‰ŠŒ“‚Ššaž (u(t, x), p(t, x), ψ(t, x, X)) ‡Fžp†tža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ
—‡ 5 D¤L‰všpŸi‹F’“šp‚M „‡ˆ ‡iž|†Bc‰Šž ‰Š„žpža’JŸ&˜’—‡iˆ †a‡ŸF†y‰Šˆ † —‚ ˆˆmŸ ƒ„m‡ ?Œ ’Jˆ & ‚ špœ ‰•†a’“‚ ˆ
‹F‚ ˆ †y‡iˆ „‡Q—‰ŠˆžWŒ“‰& ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ ‡Fžp†Wœ‚ ’ˆž’“œ¿_‚Ššp†£‰•ˆ †a‡D „‡ Œ@ ’“ˆM& ‚ šaœ‰•†y’‚ ˆ‹F‚ ˆ †y‡iˆ „‡—c‰Šˆž
Œ‡Jša‚ƒ‹i‡Fžaža„mž (X ) ψ
t
t
t t≥0
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
 ’ ‚ ˆ ‡Fžp†O’“ˆ †aŸiša‡FžažpŸc‰•š©Œ ‰—‡Fˆža’ †yŸ—‡Qšp‚5c‰m’“Œ“’ †yŸ%$Œ@ Ÿ- „’“Œ’šp‡S‹ ‡iž|†p¹ ¹!—’ša‡ c‰•šJŒ ‰
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ$ž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡W—‡JŒ? Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ$—‡Oµc‚ ¢ ¢Š‡Fš|¹ ¡ Œ“‰Šˆ‹£¢_‚ „mš u = 0 ’“ŒG& ‰•„m†ža‡Jžp‚ „m˜ ‡Fˆ’“š
„‡Œ“‰.& ‚ ša‹F‡ F —ŸFša’˜Š‡Y— „ˆQS‚Š†y‡Fˆ †a’“‡FŒ Π ‹& 5 – Ž ¾À!Œm‡Fžp†r‰ŠŒ‚ šaž & ‰Š‹i’Œ“‡«—‡D˜ŠŸiša’)(c‡iš ƒ„$ „ˆm‡
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ$ž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡©‡iž|†W—m‚ ˆˆŸF‡#‰Šš
5 ψ (X) = C exp(−Π(X))
‚ C = R exp(−Π(X)) dX ‡iž|†L„ˆ‡«‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †a‡D—‡rˆ‚ špœ ‰•Œ“’“ža‰•†y’‚ ˆ F¼f‚Š†a‡iš „‡«‹i‡F†p†y‡
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡ ‡iž|=† ’“‡Fˆ ‡FˆR‰•‹i‹i‚Šša— ‰w˜ ‡i‹¿Œ ‰—m‡iˆžp’†yŸ—‡šp5‚ c‰ m’“Œ“’ †y>Ÿ ?Œ Ÿ „’“Œ’ šp‡
—mŸ (cˆ’‡Wc‰•š  ” r—c‰•ˆžYŒ“‡t‹w‰•žYº‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆ 2 „’SŸF†y‰Š’† ?Œ ‚ šp’ ’ˆ‡—‡W?Œ ‡k´ša‡Fžaža’‚ ˆ—‡WŒ ‰
φ
& ‚ šp‹i‡ F ¥ ˆ & ‰•’†«‹i‡&†a†y‡Wža‚ Œ„m†y’‚ ˆ‡Fžp†Dœ’‡i„´ „‡fžp†£‰¾†y’“‚Šˆˆc‰Š’ša‡O‡FŒ“Œ‡t‡Fžp†DšaŸF˜Š‡išpža’ mŒ“‡ ‚ ˆ—’ †
‰Š„mžaža’ž|›œ¿ŸF†aša’ ƒ„m‡ SªD‡FŒ ‰Qža’ ˆ)’ (cD‡ „ ‡FŒ“Œ‡©˜ Ÿišp’ (c‡OŒ“‰ ša‡iŒ“‰•†y’‚ ˆ$— -Ÿ „’Œ“’ mša‡J—Ÿ&†£‰Š’Œ“Œ“Ÿ'
5
−F (X)ψ (X) + ∇ ψ (X) = 0.
¤,‡ & ‰Š’ † „‡[email protected]Œ ‚ :ˆ „c‰ŠŒ’ (c‡t‹i‡&†a†y‡Wža‚ Œ„m†y’‚ ˆ —‡WšaŸF˜Š‡išpža’ mŒ“‡Wmša‚ ˜ƒ’“‡iˆ †—m:„ & ‰Š’2† „‡©ža’_Œ“‡fša‚ƒ‹i‡Fž|¹
žp„ž X ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ—‡@Œ ¥r­J‰Šžažp‚‹F’“Ÿi‡ [email protected]Œ -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆ—‡¿µ ‚Š¢ƒ¢•‡iš5¹ ¡ Œ ‰Šˆm‹£¢‰$_‚ „mšJ‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆ
’ˆ’†a’ ‰ŠŒ‡'„ˆm‡ ˜Š‰•ša’ ‰ Œ“‡‰ŠŒ“Ÿi‰•†y‚ ’ša‡'—‡Q—‡iˆmža’†aŸ ψ X‰ŠŒ“‚ špžWŒ“‰Œ“‚ ’ —‡ (X , X ) ‡Fžp†#-Ÿ ‰•Œ“‡ Œ“‰'Œ“‚Š’S—m‡ (X , X ) mªD‡i‹F’~S‡i„m†Dža‡©—mŸiœ¿‚ ˆ †yša‡Fš & ‰Š‹F’“Œ“‡Fœ‡Fˆ †™‡Fˆ$ža„’ ˜•‰Šˆ † ƒc‰ŠšD‡k´‡iœ¿Œ“‡ Œ‡iž
‰ŠLš „œ¿‡iˆ †yžW—‡ ¬ ‚ ‡išpžW—c‰Šˆmž  ‹ & ~‰Š„žažp’ Š– ~·Jˆ‹F‚ œ¿ša‡Fˆ—-Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ ,† ƒ„m‡Q‹i‡F†p†y‡
—‡Fˆža’ †yŸYž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡rža‚ ’ † ‰Šžpža‚ƒ‹i’“ŸF‡ W?Œ ’—Ÿi‡«— -Ÿ „’Œ“’ mša‡«‹w‰Šš ’“Œ ‡iž|† ˆc‰•†a„ša‡FMŒ „ ©@Œ -Ÿ „’Œ“’ mša‡ ‚ ˆBˆ‡J˜ ‚Š’“‡Jc‰ŠžŒ“‰ 1½i‹£º‡#—„ †y‡iœ¿ž ¬ ‡Fœ ‰•"š „‚ ˆ,ž ƒ„m‡¿?Œ ‚Šˆ _‡F„m†O‡iˆm‹i‚ šp‡Q’“—‡Fˆ †a’ (c‡Fš©„ˆ‡Qžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ žp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰Š’ša‡#šaŸ&˜ ‡išpža’ Œ“‡
—c‰•ˆž©Œ“‡'‹w‰ŠžW— „mˆŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †Wžp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰Š’ša‡#º‚ œ¿5‚ ½Fˆ‡S‚Š†y‡Fˆ †y’“‡FŒ ‚ ˆ —’ '† „ „ˆŸi‹F‚ „Œ‡&¹
œ¿‡iˆ †™‡ižp†D_‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒ žp’_Œ‡t‹£º‰Šœ—‡˜’ †y‡Fžaža‡W-ž Ÿi‹išp’† u(t, x) = ∇φ(t, x) ‚ φ : R × D →
c‹ ‡Fžp†p¹ ¾¹!—m’“ša‡Jžp’
R
‰w˜ ‡F‹ κ „mˆ‡Wœ‰•†yšp’“‹F‡fž|›œ¿ŸF†aša’ ƒ„m‡ ¥rˆ$u(t,
‡ ~‡&† x)—c=‰Šˆκx,
ž™‹i‡©‹i‰Š-ž Œ“‡†y‡išpœ‡f—‡W—mŸiša’ ˜ ‡©—‰ŠˆžY?Œ ¥r­J
—ŸFša’˜Š‡Y—„QS‚Š†y‡Fˆ †y’“‡FŒ
‡F†rŒ“‰fža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ
e
κX −
F (X)
Π(X)
= (κX.X)−
Π(X)
ž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡©šaŸ&˜ ‡išpža’ Œ“‡O‡iž|†W—m‚ ˆ‹O—‚ ˆˆmŸi‡Oc‰ŠšO
 ”
ψf (X) = C exp(−Π(X)) exp(We (κX.X))
‚ C ‡iž|†W„ˆm‡'‹F‚ ˆžp†y‰Šˆ †y‡#—‡#ˆ‚ šaœ‰ŠŒ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ ·JˆI‰ša‡iˆm‹i‚ ˆ †yšpŸ„ˆB‡&´‡FœŒ‡O— ŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †
º‚Šœ5‚ Š½iˆ‡f_‚Š†a‡iˆ †y’‡iŒ žp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰•’“ša‡—c‰•ˆžDŒ“‰#žp‡i‹F†a’“‚ ˆ®5  5 Ž'‰w˜Š‡i‹©Œ‡iž«Ÿi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †ažDŸFŒ“‚ 0ˆ ‰¾¹
†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“žž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡iž ¡ ‰Šš™‹i‚ ˆ †aša‡ m—c‰ŠˆžYŒ‡f‹i‰ŠžY— „ˆ$ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †Yž|†£ ‰•†a ’“‚ ˆm ˆc ‰Š ’“šp.‡ „‡FŒ“‹F‚ 0ˆ „‡ ˆm‚ ˆº‚ œ¿5‚ ½Fˆ‡
S‚Š†y‡Fˆ †y’“‡FŒ <~Œ ‰ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ®ž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡ˆ ‡iž|†Oc‰Šž
šaŸ&˜ ‡Fšaža’ Œ“‡ X‹i‡ „’ ‰ —‡ižO’œŒ’ ¹
‹i‰•†y’‚ ˆžža„š—‡Fžša‚ mša’“Ÿ&†yŸFžt—m„B†!›ƒS‡#‹F‚ ˆ ˜ ‡F"š ‡Fˆ‹i‡#˜ ‡išpžf?Œ Ÿ „’“Œ’ šp‡ ‹ & ža‡F‹F†y’‚ ˆ 5 Ž MŽ  <
eq
−1
eq
eq
eq
t
eq
t
t−δ
t
t+δ
+
1
2We
1
2
1
2We
eq
>
=
*,
7.
35
*
6
4
* "
°fˆ‡O—‡Fšaˆ’½išp‡Jœ ‰Šˆm’“½išp‡Jˆc‰•†a„ša‡FŒ“Œ“‡W— ‡Fžaža‰ ›Š‡išf—‡OšaŸižp‚ „—šp‡OŒ“‡Jšp‚5Œ“½Fœ‡ 5  Dc‰•š—‡iž
œ¿ŸF†aº‚—m‡iž#—‡¿†!›ƒS‡¥r­ ¡ ‡Fžp† —m‡‹£º‡Fša‹£º‡FšŒ? Ÿƒ„‰•†y’‚ ˆ7—m‡ µc‡F›ƒˆœ‰Šˆ¹ /O‰Š‹ ˜ FŸ ša’(Ÿi‡ ‰ŠšOŒ“‡
>>
$2 #%6 !",.(16# ($# +,.* /13% )(#%
†a‡iˆžp‡i„št—‡ižt‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡ižS·©ˆIS‡i„m†˜ŠŸišp’(c‡Fš „‡
‚
τ p (t, x) =
T t (s, x, X)
Q˜•‰ŠŒ“‡F„šaž—c‰•ˆž
À!— ™˜ŠŸišp’(c‡OŒ@ ¥r­ ¡ žp„’˜•‰Šˆ †y‡c_‚Š„šY†y‚ „†
E(T t (t, x, X 0 )) −
We
Rd×d
0≤s≤t

∂s T t (s,x, X) − u(t − s, x).∇ T t (s, x,X)



1
1
= ∇u(t − s, x)X −
F (X) .∇ T t (s, x, X) +
∆ T t (s, x, X),

2W
e
2W
e

 t
T (0, x, X) = X ⊗ F (X).
5 
Dª ‡&†a†y‡tœ¿ŸF†yºm‚—‡ˆ ‡iž|†D‰Šžr„m†y’Œ“’“ža‰Œ‡D‡iˆ¿ša‰•†y’ƒ„m‡ ‹w‰•š«‡FŒ“Œ‡Yˆ‡t_‡Fšaœ¿‡F†rc‰Šž«‹i‚ŠœŒ½F†a‡iœ¿‡iˆ †
— ŸiŒ’“œ¿’“ˆ‡Fšr—‡ižY‡FžaSŸiša‰Šˆ‹i‡Fž ’Œ_šp‡ižp†a‡Dœ¿‚ › ‡iˆmˆ‡išYžp„šDŒ‡iž™‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆž«’“ˆ’ †y’“‰ŠŒ“‡Fž z‡F†Y‹w‰Šš™‡iŒ“Œ‡
ˆŸF‹i‡Fžaža’ †y‡Fšy‰Š’ †I‹£º‰ „‡c‰Šž#—‡¿†y‡iœ¿ž'„ˆRˆ‚Š„m˜ ‡i‰Š„v‹w‰•Œ“‹i„mŒ™‹F‚ œmŒ“‡F† _‚ „mš 0 ≤ s ≤ t
—‡Œ :‰ & ‚ ˆ‹&†y’‚ ˆ T ža‰ŠJ„ &—‰Šˆž#Œ“‡‹w‰Šž#— Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †yžºm‚ œ‚ ½iˆ‡F-ž S‚ „š#Œ“‡F"ž „‡iŒž T ˆ‡
—ŸF_‡Fˆ— c‰Šž —m‡Œ ‰ ˜Š‰•ša’ ‰ Œ“‡¿—‡S‚ ža’ †y’‚ ˆ x<z¥ Œ“Œ‡‰®‹F‡iS‡iˆ—‰Šˆ †Œ“‡ œ¿Ÿišp’†a‡—‡ œ‡&†a†yšp:‡ ˆ‚Š„m˜ ‡i‰Š„®‡FˆBŸ&˜ƒ’“—‡Fˆ‹i‡OŒ“'‡ & ‰•’† „‡OŒ“‰˜Š‰•Œ“‡i„mš—„$†y‡iˆmža‡i„mšt—m‡iž‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡iž [email protected]Œ ’“ˆž|†£‰Šˆ † t ‰Š„
S‚ ’“ˆ † x —ŸF_‡Fˆ——‡Y†y‚ „†y‡@Œ º’žp†y‚Š’“ša‡«—‡Œ“‰W—Ÿ & ‚Ššaœ‰•†y’‚ ˆ—„ 1c„m’“—‡Œ‡DŒ“‚Š0ˆ ©—‡Fžr†ašy‰ ‘p‡F‹F†a‚ ’“šp‡iž
‰ S‚ „m†a’“žpžy‰Šˆ †t‡iˆ x [email protected]Œ ’“ˆmžp†£‰•ˆ † t ‹ & cŒ“‡Fž†y‡išpœ‡Fž‹i‚ ˆ †a‡iˆc‰Šˆ † u(t − s, x) —‰Šˆž 5 m ¼f‚ „mžt†a‡išaœ¿’“ˆm‚ ˆž‹i‡&†a†y‡#ža‡F‹F†a’“‚ ˆI—‡'mšaŸižp‡iˆ †£‰¾†y’“‚Šˆ®—‡Fžfœ¿‚—m½iŒ“‡Fž_‚ „mšfŒ‡iBž 1c„’—‡ižt_‚ŠŒ› ¹
œ¿Ÿišp’ „‡iž‰ŠšY„ˆ$žp‹£ºŸiœ‰QšaŸi‹i‰Š’ †y„Œ“‰Šˆ †YŒ“‡FžY’“ˆ †a‡išy‰•‹F†y’‚ ˆžY‡Fˆ †yša‡Jœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižDœ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž
‡&†œ¿‚ƒ—½iŒ‡iž œ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž ‹ & (*Š„ša‡ 5   <z‡F†¿‡Fˆ —m‚ ˆˆc‰Šˆ †¿—‡Fž¿’ˆ—’‹w‰•†a’“‚ ˆž'ža„šŒ‡iž
œ¿ŸF†aº‚—m‡iž©ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ižW‡iœ¿Œ“‚ › ŸF‡iž©S‚ „šfŒ“‡FžW—’ža‹išpŸF†a’“ža‡F-š _‹i+‡ „’ ža‡iša‰—ŸF˜Š‡iŒ‚ SŸ —c‰ŠˆžWŒ ‰
žp‡i‹F†a’“‚ ˆBža„m’˜•‰Šˆ †y‡ t
t
Considérations phénoménologiques
Principes de la mécanique des fluides
Modèles intégraux
Discrétisation de
l’intégrale en
utilisant la
fonction mémoire
Modélisation microscopique
Modèles différentiels
Eléments finis
Simulations macro−macro
Modèles stochastiques
Eléments finis (fluide)
Monte Carlo (polymères)
Simulations micro−macro
5   ¤‡ižYžp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆžrœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž ‚Š„ža’œ „Œ ‰¾†y’“‚Šˆžrœ ‰Š‹Fša‚•¹ œ ‰•‹iša‚ z‹i‚ „mŒ“‡iˆ †
„ˆ#œ¿‚—½FŒ“‡ —’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒ ‚ „O’ˆ †aŸ- ša‰ŠŒŠžp„š τ ‰w˜Š‡i‹rŒ@ Ÿ- „c‰•†a’“‚ ˆJžp„šŒ ‰™˜ƒ’ †y‡ižpža‡•¤‡Fžža’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆmž
œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚O‹i‚Š„Œ“‡Fˆ †Y—‡FžYœ‚ƒ—½FŒ“‡ižrœ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ“‰Š’“šp‡ižrS‚ „š«‹w‰ŠŒ‹i„Œ‡iš τ ‰ ˜Š‡i‹©Œ? Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ¿ža„š
Œ“‰Q˜ƒ’ †y‡ižpža‡ p
p
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
1 [email protected] EOLK$M EJ%iN¿[email protected] M Y %iN¿$
­©‰Šˆž$‹F‡F†p†y‡ ža‡F‹F†y’‚ ˆ Yˆm‚ „ž ˆ‚ „ž$’ˆ †yŸišp‡ižpža‚ ˆžB‰Š„ƒ´UšaŸFža„Œ †£‰•†až$œ ‰¾†yºŸFœ ‰•†a’ „‡Fž‚5m†a‡&¹
ˆ „ž'ža„š'Œ“‡iž#œ¿‚—½FŒ“‡Fž#—m‡ 1c„m’“—‡Fž'˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ ‰•žp†y’ „‡ižOšpŸiža‡Fˆ †yŸižQmšaŸi‹FŸi—‡Fœœ¿‡iˆ †-z¼t‚ „ž#ˆ‚ „ž
‹F‚ ˆ‹i‡Fˆ †yša‡Fša‚ ˆmžža„š«Œ“‡Fž™œ¿‚—m½iŒ“‡Fž™—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“ž ‹ & ža‡i‹&†y’‚ ˆ 5 5 ŽM ‡F†DŒ“‡Fž™œ¿‚—m½iŒ“‡Fžrœ’‹iša‚¾¹
œ‰Š‹išp‚ ‹ & cžp‡i‹F†a’“‚ ˆ 5 5 cŒ‡ižœ‚ƒ—½FŒ“‡iž’ˆ †a-Ÿ ša‰Š„´ ‹ & cžp‡i‹F†a’“‚ ˆ75 5 Ž Ž Y‰w› ‰Šˆ †WŸ&†y=Ÿ _‡i‰Š„¹
‹F‚ „$œ¿‚ ’“ˆžrŸ&†y„—’Ÿiž m‰Š„mžažaG’ ’“‡Fˆ —„ _‚ ’ˆ †D—‡t˜ƒ„‡©ˆ „œ¿Ÿiša’ „,‡ „‡fœ ‰•†aºŸiœ‰•†a’ „‡ Ÿ&†£‰Šˆ †
—‚ŠˆˆŸi‡Fž'Œ‡ižJ—’ @¿‹i„Œ †yŸižJS‚ žpŸi‡iž#c‰ŠšJŒ‡i„šJ’œmŒ“Ÿiœ¿‡iˆ †y‰•†y’‚ ˆ ‹ & X‹£ºc‰•’†aša‡ $—‡  Ž Ž ’¶¹
ˆ‰ŠŒ“‚ ˆmžža’“œ¿Œ‡iœ¿‡iˆ B† „‡#‹i‡iš|†£‰Š’ˆ‡ižœ¿ŸF†aº‚—m‡ižˆ „œ¿Ÿiša’ „‡ižža‚Šˆ .† c‰ŠžpŸi‡Fžfžp„š„ˆ‡O—’“žp‹išpŸ&¹
†a’“žy‰¾†y’“‚Šˆ —‡[email protected]Œ ’“ˆ †a-Ÿ ša‰ŠŒ“‡$‡Fˆ †y‡Fœmž—„ †!›ƒ_‡IœŸ&†yº‚ƒ—‡ —‡iž¿†yša‰Š_½ i‡Fž ‡iˆ †y‡iˆ‰Šˆ † ‹F‚ œ†y‡
—„ & ‰•’† „‡ Œ ‰ & ‚ ˆ‹&†y’“‚Šˆ®œ¿Ÿiœ¿‚ ’“šp‡ M (t) †a‡iˆ—‡k´_‚ ˆm‡iˆ †y’‡iŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ †t˜’ †y‡#˜ ‡išpž iŸFša:‚ „c‰Šˆm—
‡F†„mˆB‹i‰ŠŒ“‹F„Œ~—m„ †a‡iˆžp‡i„š—‡Oµ ’“0ˆ ‡Fš C S‚ „šY—’ ~ŸFša‡Fˆ †až’“ˆž|†£‰Šˆ †až t ‡FˆB„†y’“Œ’“ža‰Šˆ †
t→∞
ŒC‡ & ‰Š’ † ƒ„m‡®Œ ‰ —ŸFša’˜ŠŸi‡Iža„š5¹!‹i‚Šˆ ˜Š‡i‹&†yŸi‡ c‰Šš¿šy‰Šm_‚ š|† tQ—‡®‹F‡I†y‡Fˆža‡F„š ‡Fžp† ˆƒ„mŒ“Œ“‡ ‹ & žp‡i‹F†a’“‚ ˆ 5 5 MŽ Ž ¼f‚ „mžzˆ‚ „mž ša‚Š_‚ žp‚ ˆžL†y‚ „m†z— ‰ _‚Šša— —‡DšaŸižp„œ¿‡išzŒ‡iž —’ @¿‹i„mŒ†yŸFžzœ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡ižL‹i‚ œQ¹
œ „mˆ‡i#ž ‹F‡ižœ¿‚—½FŒ“‡Fž œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰•‹iša‚#‚ „$œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡iž <m¦L‚ „m†$— ‰ S‚ šp— m‹F‡ižžp›ƒž|†y½iœ¿‡iž
‹F‚ ˆ †y’“‡Fˆˆ‡Fˆ †Œ“‡iž-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmž—‡®¼W‰w˜ƒ’“‡Fš|¹| †y‚ ¢•‡iž —„ œ¿‚ ’“ˆžžp’ η 6= 0 «‰w˜ ‡F‹ „ˆ§†a‡išpœ‡
—‡ & ‚ šp‹i‡Oža„mŒ“ŸFœ‡Fˆ †y‰Š’“šp‡ div (τ ) ‹ & cŒ‡iž-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmž 5 Ž 5 5  Ž <I¤ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ
žp„š τ ‡Fžp†‡ižažp‡iˆ †y’‡iŒŒ“‡iœ¿‡iˆ †'„ˆ‡-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ7—‡¿†ašy‰ŠˆmžaS‚ šp†'‡F-† & ‚Ššaœ¿‡iŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ † τ ‰IŒ“‰BšpŸ&¹
„mŒ ‰Ššp’†yŸQ—m‡ ∇u ‹F‡ „I’ & ‰Š’ D† „‡Œ‡Q†y‡išpœ‡ div (τ ) ‰Š„ ža‡F‹i‚ ˆm—vœ‡F+œ šp‡Q—‡?Œ Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ
žp„šOŒ ‰ ˜ƒ’†a‡ižažp‡¿‰ŠS‚ šp†a‡‰Š„ œ’‡i„´ „ˆ _‡F„7Œ„žJ—‡Q˜ƒ’“žp‹i‚ žp’†yŸ Œ“>‡ & ‰•’D† „‡ τ ‰ Œ“‰šaŸ „¹
Œ“‰Šša’ †yŸ¿—‡ ∇u ža‡šp‡F†aša‚ „m˜Š‡iša‰ ®Œ ‰ & ‚ ’“ž'—c‰Šˆž'Œ“‡iž‡iža‰Š‹i‡F+ž & ‚ ˆ‹F†a’“‚ ˆmˆ‡iŒž'„m†a’“Œ’“žaŸFž'—‰Šˆž Œ‡iž
šp‡i„m˜Š‡ižY$— ‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡&¹!„mˆ’“‹F’†yŸ ‡F†™—c‰ŠˆžrŒ‡t‹£ºm‚ ’ ´—m‡iž«‡iža‰Š‹i‡FžD— ‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚Šˆž < ·©ˆž ‰¾†p¹
†a‡iˆ——‚Šˆ+‹ šp‡iˆ‹F‚ ˆ †yšp‡iG šJ& ‰Š„®< > œ‚ ’ ˆžf ‰Š„m†£ ‰• ˆ †W — ‡ —m ’ @¿ ‹i„Œ †yŸFžW—c‰Šˆmž[email protected]Œ ŸF†a„—‡ —m‡‹i‡Fž©žp›ƒž|†y½iœ¿‡iž
— -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž „‡©S‚ „š B
S‚ „š«Œ“‡F"ž „‡iŒŒ“‡Fž™‚ ˆžy‰Š’ †Dmša‚ „m˜Š‡iš
?Œ ‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡#—m‡#žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž & ‰Š’ Œ“‡Fž Œ“‚ c‰ŠŒ“‡F-ž œ ‰Š’žDŒ‡iBž „‡iž|†y’‚ ˆžt—‡[email protected]Œ „ˆ’‹i’†aŸ©—‡Fžtžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž
& ‰Š’ Œ“‡Fž‡&† —‡?Œ ‡k´’“žp†a‡iˆ‹F‡$—‡žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆm=ž & ‚ š|†y‡F+ž Œ“‚ c‰ŠŒ“‡Fž'šp‡iž|†y‡iˆ †‚ „˜ ‡iš|†y‡F-ž ¨f„´v—m’ @¿‹i„Œ¶¹
†aŸižY’ˆºŸišp‡iˆ †y‡Fž‰Š„´Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆžD—m‡©¼W‰w˜ƒ’“‡Fš|¹5ƒ†y‚ ¢•‡iž ‹ ‡iž|†p¹ ¹!—’ša‡t‡ižažp‡iˆ †y’‡iŒŒ“‡iœ¿‡iˆ †D‰Š„ †a‡išaœ¿‡
™ž ‰ ‘p‚ „m†y‡Fˆ †—‡ižšp5‚ Œ½iœ¿‡ižDS‚ žpŸižc‰Šš™Œ“‡FžY-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžYža„š τ 5  r_‚ „mšYŒ“‡FžDœ¿‚•¹
u.∇u
—½FŒ“‡FžY—’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒžD‡F† 5 – 5 – S‚ „ šDŒ‡ižYœ¿ ‚ƒ—½iŒ‡iž«œ‚ ŒŸi‹F„Œ ‰Š’ša‡Fž ¦L‚ „m†Y— ‰ _‚ šp— m‹F‡iž
Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆžt‹i‚ ˆ †y’‡iˆˆm‡iˆ † B
—c‰•ˆžfŒ‡ižœ¿‚—½FŒ“‡Fžt—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“ž u.∇τ
—c‰•ˆž Œ“‡Fžzœ¿‚—m½iŒ“‡Fž œ¿‚ ŒŸi‹i„mŒ ‰Š’ša‡i ž Xžy‰Š ˆž †yG ‡i špœG ‡™— ‡Y—’ ~„mža’“‚Šˆ ¡ ‰Ššz‰Š’“ŒŒ“‡i„mša-ž Œ‡iž Ÿ „c‰¾¹
u.∇X
†a’“‚ ˆž—‚Šˆˆc‰Šˆ † τ ‹F‚ ˆ †y’“‡Fˆˆ‡Fˆ † B
B
S‚ „šŒ‡iž
œ¿‚—m½iŒ“‡Fž™—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“ž ƒ‚Š„ ∇uX _‚ „mš™Œ‡ižDœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižrœ‚ŠŒ“Ÿi‹F„Œ ‰•’“ša‡Fž z—∇u
‚Šˆ †DŒ ∇uτ
‰Oˆ‚ ˆ¹ Œ“’ˆŸw‰Ššp’†aŸ
‡Fžp†—’ @¿‹i’“Œ,‡ #†yšy‰•’†y‡F-š ’ ˆc‰ŠŒ‚ ˆž«‡iJˆ (cˆ „‡JŒ‡iž™œ‚ƒ—½iŒ‡i8ž „’~S‡išpœ‡&†a†y‡Fˆ † —‡W—mŸi/‹iG šp ’“$<šp'‡ „c ‰¾<¹
Œ ’†£‰¾†y’G˜Š<‡iœ¿‡iˆ †# Œ“‡Fž šp‚ ša’ŸF†aŸiž—m‡i>ž 1c„m’“—‡Fž _‚ŠŒ›ƒœŸFša’ ƒ„m‡iž#‹i‚ ˆ †y’‡iˆˆm‡iˆ †
B
—c‰Šˆž'Œ“‡ižOŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆž#—Ÿ (cˆm’“žaža‰Šˆ † τ Œ ‰ & ‚ ˆ‹&†y’“‚Šˆ T —c‰Šˆž 5  ©S‚ „š
Œ‡ižœ‚ƒ—½FŒ“‡iž—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“žY‚Š„IŒ“>‰ & ‚ ša‹F‡ F —c‰Šˆmž 5 – DS‚ „šŒ“‡Fžœ‚ƒ—½FŒ“‡ižœ¿‚ ŒŸi‹i„mŒ ‰Š’ša‡iž ¥ ˆIšpŸiža„mœŸ cŒ“‡iž—m’ @¿‹i„Œ †yŸFžtœ‰•†aºŸiœ‰•†y’ „‡ižYžp‚ ˆ †t—%‡ „c‰¾†yša‡J†!›ƒS‡iž#
’ †a‡išpœ‡J—‡#¼f‰ ˜ƒ’‡iš u.∇u —‰Šˆž@Œ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ$žp„š u ’’ †y‡Fšaœ¿‡J—‡J†yša‰ŠˆžaS‚ š|†—c‰ŠˆžŒ“‡Fž-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž—mŸ (cˆ’žaža‰Šˆ † τ ’’“’ †y‡išpœ‡œ„Œ†a’“Œ’“‹w‰¾†y’ &W—„ †!›S‡ ∇uτ ‚ „ ∇uX —c‰Šˆž Œ“‡Fž -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž —Ÿ (cˆ’ž|¹
ža‰Šˆ † τ 465
−1
t
s
p
p
p
p
p
p
p
t
p
p
t
p
p
p
p
t
>
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
’ ˜ˆ‚Šˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Šša’ †yŸ#9!’“ˆ †y‡Fšaˆ‡<;J—c‰•ˆžŒ“‡ižŸ „c‰•†y’‚ ˆž—Ÿ (cˆ’“žpžy‰Šˆ † τ ªD‡Fž „c‰•†yšp‡©—’ @‹F„Œ†aŸiž«‹i‚ ˆm—„’“žp‡iˆ †‡Fˆ: ŸiˆmŸišy‰•Œ@ ža„šDŒ“‡iž«šp‚5Œ“½Fœ‡Fž™—mŸiS‡iˆ—c‰•ˆ †Y—„†y‡Fœž
R—m‡ižšpŸiža„mŒ†£‰¾†yž —$ ‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡ c‰Šš|†y’“‡FŒ“ž¿—„§†!›ƒS‡®‡&´’žp†y‡Fˆ‹i‡—m‡®ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž& ‚ š|†y‡iž ˜Š‚ ’“šp‡ šp-Ÿ „Œ“‰Šša’ †yŸ C ‡iˆI†a‡iœ¿ž_‡&†y’ † ¡ ‰•šW‰Š’Œ“Œ‡i„šp-ž m‡FŒ“Œ‡iž‚ ˆ †WŸ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †—‡ižf’“œ¿Œ“’‹w‰•†a’“‚ ˆmžDˆ „¹
œ¿Ÿišp’ „‡iž —’ @¿‹i„mŒ†yŸFž—‡O‹i‚ ˆ ˜Š‡i"š Š‡iˆ‹F‡ ~‹£ºm‚ ’ ´— ‡Fžac‰•‹i‡ižf—‡O—’“žp‹išpŸF†y’žy‰•†a’“‚ $ˆ ) ¼f‚ „mžšaŸFža„œ¿‡išp‚ ˆž †a‚ „m†$— ‰ S‚ ša—§šy‰Š’—‡iœ¿‡iˆ † Œ“‡iž ša’ˆ‹i’c‰Š„´ šaŸFža„Œ †£‰•†ažœ‰•†yºŸFœ ‰ ¹
†a’ „‡iž¿‡F†ˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž¿5‚ m†a‡iˆ „ž¿ža„š¿Œ“‡Fž¿œ¿‚ƒ—½iŒ‡ižœ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡F-ž «¼f‚ „mž¿mšaŸižp‡iˆ †y‡Fša‚ ˆmž
‡Fˆža„’ †y‡Œ‡iž †ašy‰w˜•‰Š„´§ˆƒ„mœŸFša’ „‡Fž$—‡—’ ˜ ‡išpža‡Fž$-Ÿ „’“S‡iž$žp„š$Œ“‡Fžœ¿‚—½FŒ“‡Fž œ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ“‰Š’“šp‡i-ž ‰Š’ˆža,’ ƒ„m‡7ˆ‚•†yša‡ †ašy‰w˜•‰Š’“Œf— ‰Šˆc‰ŠŒ ›žp‡ œ ‰•†aºŸiœ‰•†a’ „‡®—m‡ ‹F‡iž œ¿‚—½FŒ“‡Fž$‡F† —‡FžIœ¿ŸF†aº‚—m‡iž
ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡iž ‡F†Oˆ‚Š†y‰Šœ¿œ‡Fˆ †OŒ‡iDž „‡Fžp†y’‚ ˆžOžaSŸi‹F’ (* „‡F%ž „ ’“ŒžJ_‚Šža‡iˆ † ‡k´’“žp†a‡iˆ‹F‡—m‡¿žp‚•¹
Œ„m†y’‚ ˆ+ž I—‡ižQ¥r­J ‰w˜ ‡F‹$—‡iž †a‡išpœ‡Fž—‡—mŸiša’ ˜ ‡$‡k´mmŒ“‚ žp’ & -ž ‰Šˆc‰•Œ›ƒža‡—‡Œ ‰B˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡—‡iž
špŸiža„mŒ†£‰¾†yž-)) p
k
&!"#$- *&3 )&
Dª ‚ ˆ‹F‡išaˆ‰Šˆ † Œ? ‰•ˆc‰ŠŒ›ƒžp‡ œ ‰•†aºŸiœ‰•†a’ „‡ —‡Fžœ‚ƒ—½iŒ‡ižXœ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž ˆ‚ „žša‡Fˆ ˜ ‚ › ‚ ˆmž
©Œ? ‚ „˜ša‰ ‡™—‡³4 ¬ ‡iˆ‰Šša—m› ¶ ? ¡ ‚ „š Œ‡iž œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡iž ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡Fž- ˆ‚Š„ž ša‡Fˆ ˜ ‚ › ‚ ˆmž™‰•„´
‰Šš|†y’‹iŒ“‡FžY—‡©šp‡F˜ƒ„‡ –0 X‡F†B Œ@ ‚ „m˜ƒšy‰Š‡©—‡ ¬ !·,6™‡iˆž‡&†¦D ¼= ¡ º’“ŒŒ“’“mž ¶ Ž Ž XS‚ „šYŒ‡iž
—Ÿ&˜ ‡FŒ“‚ S‡iœ¿‡iˆ †ažfŒ‡ižŒ“„mžšaŸi‹F‡iˆ †yž
¡ ‚ „mš Œ“„mž —‡$‹iŒ“‰Ššp†aŸ L‚ ˆ šy‰•_‡FŒ“Œ‡ ’“‹F’™Œ‡œ¿‚—½FŒ“‡¿œ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡Œ‡Œ„ž ža’œmŒ“‡ ža‰ ˜Š‚ ’“šDŒ“‡Wœ¿‚ƒ—½iŒ‡f—„†!›ƒS‡©ža„mš|¹!‹F‚ ˆ ˜ ‡F‹F†yŸ Ÿi‹išp’†D’“‹i’Sža‚Š„ž & ‚ šaœ¿‡f‰Š—’“œ¿‡iˆmža’“‚ŠˆˆŸi‡‹ & 5 Ž
5 5  Ž 5  
 Re (∂t u + u.∇u) − (1 − )∆u + ∇p = div (τ p ) + f ,
div (u) = 0,

We ∂t τ p + u.∇τ p − ∇uτ p − τ p (∇u)T + τ p = γ̇,
5 Ž
‚ γ̇ ‡iž|†—Ÿ(cˆm’Xc‰Šš 5 – ¡ ‚ „šŒ“‰ —Ÿ(cˆm’†y’‚ ˆ—‡Fžˆ‚ œ+šp‡iž‰Š—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆˆm‡iŒ“ž‚Šˆ$ša‡iˆ ˜Š‚ ’“‡
5 – <¾·©ˆ'ša‰ŠS‡iŒ“Œ‡I „‡ ∈ (0, 1] Œ‡ ‹w‰Šž = 1 ‹i‚ špša‡ižp_‚Šˆ—c‰Šˆ †z‰Š„'œ¿‚ƒ—½iŒ‡ —‡Y³I‰¾´ 6D‡FŒ“Œ@
‡&† ∈ (0, 1) ‰Š„Iœ¿‚ƒ—½iŒ‡©—‡'·©Œ“—šp‚ ›ƒ—¹!¯,
>
$ *,
*&
*&
=
Dª ‚ ˆ‹F‡išaˆ‰Šˆ † Œ? ‡k´’“žp†a‡iˆ‹F‡r—‡rža‚ Œ„m†y’‚ ˆžXS‚ „šŒ‡ižœ¿‚—½FŒ“‡FžXœ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡FžL—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“ž
‚ ˆ#†yšp‚ „m˜ ‡«—c‰ŠˆmžLŒ“‰Œ“’†p†yŸFšy‰•†a„ša‡ ‡Fžaža‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ † ƒ„‰•†yšp‡«†!›ƒS‡ižL—‡™špŸižp„Œ†y‰•†yžža„mš Œ‡«mša‚5Œ½iœ¿‡
‹F‚ „ŒŸ¿
—m‡ižtšaŸižp„Œ†y‰•†yž‡FˆI†a‡iœ¿ž_‡&†y’ †yž S‡iš|†y„Lš c‰•†a’“‚ ˆž—m‡#Œ“‰Q‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆ$’“ˆm’†y’“‰ŠŒ“‡ —m‡ižšaŸFža„Œ †£‰•†ažY‡iˆ†a‡iœ¿žDŒ‚ 0ˆ Q‰w˜Š‡i‹J—‚ ˆmˆŸi‡Fž_‡&†y’†a‡iž S‡išp†a„"š ‰•†y’‚ ˆ—‡©?Œ Ÿ „’“Œ’ šp‡ —m‡iž špŸiža„mŒ†£‰¾†yžz$— ‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡—‡Džp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž ž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡iž_‡Fšp†a„"š c‰¾†y’“‚Šˆžz—‡™@Œ -Ÿ „’Œ“’ mša‡ —m‡ižWšpŸižp„Œ†y‰•†yžt— ‡&´’“ž|†y‡iˆm‹i‡ —‡#ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆžž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡ižS‡išp†a„"š ‰•†y’‚ ˆžt—‡'žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž
—m‡ižt-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž—‡#¼f‰ ˜ƒ’‡iš|¹5ƒ†y‚Š¢Š‡ižž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡i-ž $7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
v¨ †y’ †yša‡ — ‡&´‡iœ¿Œ“‡ ‹i’ †y‚ ˆž~ža’“œ¿Œ‡iœ¿‡iˆ †XŒ‡ šaŸFža„Œ †£‰•†‚5†y‡iˆ „Oc‰ŠšL³ ¬ ‡Fˆc‰Ššp—m›©—c‰•ˆž  ” ?
¤I ‰Š„m†y‡F„šL‹i‚ ˆžp’“—½Fša‡rŒ“‡ršp‚5Œ½iœ¿‡ ‹i‚ „mŒ“Ÿrža„m’˜•‰Šˆ † S‚ žaŸr—c‰•ˆž „mˆ'—‚Šœ ‰Š’ ˆ‡ D _‚ŠšaˆŸr—‡ R
3


ρ (∂t u + u.∇u) = div τ p − ∇p + f ,


div (u) = 0,
∂uk


+ g i,j (τ p ),
 (∂t + u.∇) (τ p )i,j = Ai,j,k,l(τ p )
∂xl
5
‚ ‚ ˆ „m†a’“Œ’“ža‡ Œ ‰®‹F‚ ˆ ˜ ‡iˆ †a’“‚ ˆ —‡$ža‚ œ¿œ‰•†y’‚ ˆvža„mšQŒ“‡ižQ’ˆ—’‹i‡ižQšpŸiSŸF†aŸiž—c‰ŠˆžŒ“‰®—‡išpˆ’“½Fša‡
Ÿƒ„‰•†y’‚ ˆ c¼t‚Š†y‡FšBƒ„$ ‚ ˆB‹i‚Šˆža’—½išp‡J’“‹i’_„ˆ 1c„’“—m‡Jžy‰ŠˆžY˜ƒ’ža‹i‚Šža’†aŸ η = 0<c¤‡Jžp›ƒžp†a½iœ¿‡O‡ižp†
‹F‚ œmŒ“ŸF†aŸ—‡‹F‚ ˆ—’ †y’‚ ˆž ‰•„´vŒ’“œ¿’†a‡ižO—‡ ­W’ša’“‹£ºmŒ“‡F†'º‚ œ¿‚5 ½Fˆ‡ižža„šQŒ“‰B˜ƒ’†a‡ižažp‡ u z‰Š’“ˆžp’
„‡B—‡ ‹i‚ ˆm—’†a’“‚ ˆžQ’ˆ’†a’ ‰ŠŒ‡iž z¼t‚Š†y‡Fš „‡BŒ“‡FžQœ‚ƒ—½FŒ“‡ižQ—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“žQšp‡iˆ‹F‚ ˆ †yšaŸFž —c‰•ˆžŒ ‰
žp‡i‹F†a’“‚ ˆ< 5 MŽ  ša‡Fˆ †yša‡Fˆ † ’“‡Fˆ —c‰Šˆž ‹i‡ ‹i‰Š—ša‡ ŠŸiˆŸFšy‰ŠŒ?D¤I ‰Š„m†y‡F„š’ˆ †aša‚ƒ—„’ †‡Fˆža„m’†y‡®Œ“‡
†a‡iˆžp‡i„št— ‚ ša—šp‡O–I
5 •–
C
=A
− (τ ) δ ,
‚ δ —ŸFža’ ˆ‡JŒ“‡Jž|›ƒ+œ _‚ŠŒ“‡J—=‡ /Jša‚ ˆm‡i‹£¢Š‡F-š ‡FB† & ‰•’†?Œ º ›ƒ_‚•†yº½Fža‡O— ‡iŒ“Œ’“m†a’“‹F’†y#Ÿ & ‚ š|†y‡Jža„m’˜•‰Šˆ †y‡
žp„š C ∀ζ, η ∈ R
5 C
(τ )ζ ζ η η ≥ κ|ζ| |η|
‰w˜ ‡F‹
„ˆm‡J‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †a‡#ˆm‡J—ŸiS‡iˆ—‰Šˆ †f‰Šž—‡ ‚ „mž—‡ižº ›ƒ_‚•†yº½Fža‡ižtža„mŒ“ŸFœ‡Fˆ¹
†y‰Š’“šp‡ižLκ—>‡™ž|0›ƒœŸ&†yša’‡™žp„šzŒ‡ †y‡iˆmža‡i„mš A ‡F† —‡«ša-Ÿ Š„Œ ‰Ššp’τ†aŸ«‚Š„‹i‚Šœc‰¾†y’ m’“Œ“’ †yŸLža„š Œ“‡Fž ‹F‚ ˆ—’ †y’“‚Šˆž
’ˆ’†a’ ‰ŠŒ‡i-ž ƒ@Œ ‰Š„m†a‡i„šœ¿‚ ˆ †yšp‡Q
H G > B G +
J
9
HG B T
>
0
B B ?> B G B < B G < s
i,j,k,l
i,j,k,l
p i,l k,j
3
i,j,k,l
p
2
i k j l
2
p
3 &
u∈
4
\
* 87
5
0
C k ([0, T 0 ], H 4−k (D), τ p ∈
3
\
C k ([0, T 0 ], H 3−k (D).
f¼ ‚ „mž©ša‡Fˆ ˜Š‚ › ‚ ˆž#Ÿ- ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †©‰Š„´I†yša‰ ˜•‰Š„ƒ´ —‡Qª, !O„m’“Œ“Œ‚ SŸJ‡F† ¸ ª,m‰Š„† ƒ5 ŠŽLˆ‚•¹
†y‰Šœœ¿‡iˆ †JS‚ „šWŒ@ ‰Šˆc‰ŠŒ ›žp‡ —„‹i‰ŠžJ‚ η 6= 0 G „’ S‡išaœ¿‡F†©— ‚m†y‡Fˆ’“š©—m‡ižOšaŸFža„Œ †£‰•†až©—c‰Šˆž
—‡Fžf‡Fžac‰•‹i‡ižt„ˆB_‡F„Iœ¿‚ ’ˆžšaŸ „Œ“’‡išpž „‡'—‰ŠˆžŒ“‡©†aºŸi‚ šp½iœ¿‡JšaŸF‹iŸF—‡iˆ † ’ Šˆc‰ŠŒ“‚Šˆ2ž „ ’“ŒS‡&´’žp†y‡Wc‰ŠšY‰•’“Œ“Œ‡i„špž™„mˆ‡©Œ“’ †a†aŸišy‰¾†y„šp‡f’œS‚ šp†y‰Šˆ †y‡tža„šDŒ“‡iž2 „‡iž|†y’“‚ŠˆžY—‡
ž|†£‰ ’Œ“’ †yŸQ—‡Fž'ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yž#—‡ 1c„’—‡ižO˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ ‰•žp†y’ „‡iž L‡&†#—„R‹£ºc‰•0ˆ ‡iœ¿‡iˆ †'—‡†!›S‡¿—‡iž
Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ-ž ƒ¼t‚ „ž«ša‡iˆ ˜Š‚ ›Š‚ ˆ#ž  ‡F†  ŽŠŽ S_‚ „mš«Œ‡ižr—Ÿ&†£‰Š’Œ“žr‡F†™„ˆ‡ ’ mŒ“’“‚ šy‰Šmº’“‡™ža„š
‹F‡ižtža„¾‘p‡&†y-ž c»r‚ ’š‰Š„žpža’@Œ ‰Šš|†y’“‹FŒ“‡f—‡Oša‡F˜ƒ„‡ – ?
k=0
k=0
s
3
! 7
/ >=
¤ ‰ Œ“„‰Ššp†—‡FžœŸ&†yº‚ƒ—‡ižQˆ „œ¿Ÿišp’ „‡Fž „’D‚ ˆ †ŸF†yŸ —Ÿ&˜ ‡FŒ“‚ SŸi‡Fžžp„šQŒ“‡$mša‚5Œ½iœ¿‡
‹F‚ „ŒŸ œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡¿—ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ † —m„R†y‡Fœž#ža‚Šˆ †—‡†!›S‡ ŸFŒ“ŸFœ‡Fˆ †až%(cˆm’“ž ‹& ‹F‡iS‡iˆ¹
—c‰•ˆ †  ŽŠŽ«_‚ „mš—‡Fž œŸ&†yº‚ƒ—‡FžžaS‡i‹&†yša‰ŠŒ“‡Fž #‡&† ‹F‚ ˆža’žp†a‡iˆ † ®‹£ºc‰ „‡‰Šž—‡†y‡iœ¿ž špŸiža‚Š„—ša‡ — ‰ S‚ ša— Œ‡ šp‚5Œ½iœ¿‡ža„šQŒ“‰I˜ƒ’†a‡ižažp‡I ‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡ (m´Ÿi‡ m„’“ž špŸižp‚ „—šp‡$Œ“‡
šp5‚ Œ½iœ¿‡Wža„mšDŒ ‰#‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡M'˜ƒ’†a‡ižažp‡,(m´Ÿi‡­W‚Šˆˆ‚ ˆžDŒ“‡iž™ša’ˆ‹i’c‰ŠŒ‡iž«—’ @¿‹i„mŒ†yŸFžDS‚ žaŸF‡iž
c‰•štŒ“‰ —’“žp‹išpŸF†y’žy‰•†a’“‚ ˆ$$— „ˆBžp›ƒž|†y½iœ¿‡#—„B†!›ƒS‡ 5 Ž >
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
f° ˆ‡ša‡Fœ’½išp‡¿—m’ @¿‹i„Œ †yŸ¿ˆ „œŸFša’ƒ„m‡šp‚ ˜’‡iˆ †'—‡ G B B „’
—‚Š’†'K&†yšp‡'˜ ŸFša’)(cŸi‡Q‡Fˆ †aša‡ Œ‡ižt†yša‚Š’“žW‡Fžac‰•‹i‡ižJ‚ Œ@ ‚ ˆ®—m’“ža‹FšaŸ&†y’“žp‡ ša‡FžaS‡i‹&†y’˜Š‡iœ¿‡iˆ †JŒ“‰˜ƒ’†y‡Fžažp‡
Œ“‰ša‡Fžaža’‚ ˆ‡F†OŒ‡†y‡Fˆža‡F„šJ—‡FžJ‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡iž ‹ & ¶ ¡ Œ„ž©špŸi‹i’žaŸFœ‡Fˆ †-AŒ ‰‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆ
—‡¿‹i‚Šœc‰¾†y’ m’“Œ“’ †yŸ#‹iŒ“‰Šžažp’ „‡‡iˆ †yšp‡?Œ ‡Fžac‰•‹i‡¿‡iˆ ˜’ †y‡Fžaža‡¿‡F†'@Œ ‡ižpc‰Š‹F‡¿‡FˆRšp‡ižpža’“‚Šˆ7ž ‰ ‘p‚Š„m†y‡
„ˆm‡‹F‚ ˆ—’ †y’“‚Šˆ —‡‹i‚ œ¿c‰•†a’ ’Œ“’ †yŸ#ža„mŒ“Ÿiœ¿‡iˆ †y‰Š’“šp‡Q‡iˆ †yšp‡¿?Œ ‡Fžac‰•‹i‡‡iˆ ˜ƒ’†y‡Fžažp‡‡&†[email protected]Œ ‡iža‰Š‹i‡
‡Fˆ0‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡F-ž Y‹F‡F†p†y‡ ‹F‚ ˆ—’ †y’“‚Šˆ ša‚ ˜Š‡iˆc‰Šˆ †B—„ & ‰Š’ :† „‡?Œ ‚ ˆ ˜ ‡i„† „ˆ‡šp‚ ša’ŸF†aŸ®—‡
ž|†£‰ ’Œ“’ †yŸ#œ KFœ‡'—c‰Šˆž©Œ“‰Œ’“œ¿’†y‡ η S‡F†a’†©‰ŠšWša‰ŠS‚ šp'† η ‹ ‡Fžp†|¹ ¾¹ —’“šp‡ †y‡Fˆ— ˜ ‡Fšaž 1 ªD‡&†a†y‡f‹i‚ œ¿c‰•†a’ ’Œ“’ †yŸ«ˆŸi‹F‡ižaža‰Š’“šp‡W‡Fˆ †aša‡tŒ“‡Fžr†aša‚ ’žr‡iža‰Š‹i‡FžD— ‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚Šˆ‰#Ÿ&†yŸf‰Šˆc‰ŠŒ ›žpŸi‡
žp„šfŒ‡Jžp›ƒžp†a½iœ¿‡O—‡'ƒ†y‚ ¢•‡i.ž †aša‚ ’žY‹£ºc‰Šœ¿žO

 −η ∆u + ∇p − div (τ ) = f ,
5 div (u) = 0,
s
p
s
p

τ p − ηp γ̇ = g,
(u, p, τ p )
ηs ≥ 0
‚Œ‡ižf’“ˆ‹F‚ ˆˆ „‡ižWža‚ ˆ †
‡&†©‚
‡F†
¡ Œ„ža’‡i„špž©œ¿ŸF†yºm‚—‡FžW‚ ˆ †WŸF†yŸ
šp‚ S‚ žaŸF‡ižt_‚ „mš‰Ššp‚ ´’œ‡Fš‹i‡Oša‚Œ“½Fœ‡J‹F‚ šašp‡i‹F†a‡iηœ¿‡i>ˆ †#0
°†y’Œ“’“žp‡iš —m‡iž‡ižpc‰Š‹i‡Fž „’Y˜ŠŸiša’)(c‡iˆ †Œ“‡FžQ‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆžQ’ˆJ& ¹!žp„ rªD‡Fž‡Fžac‰Š‹F‡iž¿ža‚ ˆ †¿‡iˆ
ŠŸiˆŸFšy‰ŠŒ‰Šžpža‡ '‹F‚ œmŒ“’ „ŸF#ž Q’“œ¿Œ“ŸFœ‡Fˆ †a‡iš ‹ & cc‰•š‡&´‡iœ¿Œ“‡ ¶  ” À!ˆ †aša‚ƒ—„’“šp‡„ˆm‡ ’“ˆ‹F‚ ˆˆ „‡ žp„ŒŸiœ¿‡iˆ †£‰•’“ša‡#S‚ „šWŸ&˜ƒ’†y‡Fš©Œ ‰¿‹i‚ ˆm—’†a’“‚ ˆB—‡ ‹F‚ œ‰•†y’¶¹
m’“Œ“’ †yŸf‡iˆ †yšp‡[email protected]Œ ‡iža‰Š‹i‡O— ‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚Šˆ —‡JŒ“‰˜’ †y‡Fžaža‡O‡&†@Œ ‡iža‰Š‹i‡J— ‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ
—m„B†a‡iˆžp‡i„št—‡ižt‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡iž ‹ & GŒ“ ‰ œ¿ŸF†aº ‚ƒ— ‡O¥ > »O$ —c‰Šˆž °†y’Œ“’“žp‡išr„ˆ‡WœŸ&†yº‚ƒ—‡†!›S‡
B ‹ & ƒža‡i‹&†y’‚ ˆ 5 >¨  «S‚ „š«S‚ „¹
˜Š‚ ’“š‹£º‚Š’“ža’š—‡ižt‡ižpc‰Š‹i‡FžW—‡#—’ža‹išpŸF†a’“žy‰¾†y’“‚ŠCˆ „‡FŒ“‹F‚ 0ˆ „‡ižf_‚Š„šŒ“‡iž†aša‚ ’žt’ˆ‹i‚Šˆˆ „‡iž
‹ & ¶ ’ η > 0 ’“ŒDˆ ‡Fžp†¿c‰Šž ˆŸi‹F‡ižaža‰Š’“šp‡ — ‰ ‘p‚ „m†y‡Fš„ˆ‡ ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ —‡ ‹F‚ œ‰•†y’ ’“Œ’†yŸ
‡Fˆ †aša‡#@Œ ‡ižpc‰Š‹i‡#— ‰Ššp‚w´m’œ ‰¾†y’“‚Šˆ—‡#Œ ‰˜ƒ’†a‡ižažp‡'‡&†[email protected]Œ ‡iža‰Š‹i‡#— ‰Ššp‚ ´’œ ‰•†a’“‚ ˆ —„B†a‡iˆžp‡i„š
—‡Fž‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡i-ž «ªD‡F‹i’—’ † —½iž „‡ η ‡ižp†S‡F†a’†Q‰ŠšQšy‰Šm_‚ š|† η z‚ ˆ ša‡iˆm‹i‚ ˆ †yšp‡ —‡iž
—’ @¿‹i„Œ †yŸižˆ „œ¿Ÿišp’ „‡iž * „’ˆŸi‹F‡ižažp’†a‡iˆ †W—m‡O˜ŠŸišp’ (c‡Fšt‹F ‡i žtša‡FŒ ‰•†a ’“‚ ˆ žD—‡O ‹i ‚ œ¿c‰•†a’ ’Œ“’†aŸ °fˆ‡D—‡i„´’½iœ¿‡D—’ @‹F„Œ†aŸ™ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡Ymša‚ ˜ƒ’“‡iˆ †
fŒ ‰ & ‚Š’“žL—c‰Šˆž
Œ? Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ®‡Fˆ ˜’ †y‡Fžaža‡‡F†©—‰Šˆž©?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ®žp„š ¡ Œ„ža’‡i„špžf†a‡i‹£ºˆ’ „‡ižJS‡išpœ‡&†a†y‡Fˆ †©—‡
†ašy‰Š’ †y‡iš#‹i‡&†a†a‡—’ @¿‹F„Œ†aŸIL„m†y’Œ“’žy‰• †a ’“‚ ˆ — ‡œŸ&†yº ‚ƒτ— ‡FG ž — ‡ž|†£‰ m’“Œ“’žy‰•†a’“‚ ˆ †!›ƒS‡ m° ¡ !L„m†y’Œ“’ ¹
ža‰•†y’‚ ˆ7$— „ˆm‡¿œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡Q†!›S‡ A
B B
‹ & – ‚ „ ‡iˆm‹i‚ šp‡„m†a’“Œ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ
—‡$Œ“‰® œ¿ ŸF†y"ºm‚— ‡ H—G ‡ižQ ‹i‰Š šy‰Š‹&†yŸFša’“ž|†y’ ƒ„m‡iž ‹ & ¶ D‚ „ Œ ‰IœŸ&†yº‚ƒ—‡ % %   z·JˆRša‡iˆ ˜Š‚ ’“‡$‰•„v‹£ºc‰Š’ †yšp‡ I—‡  ŽŠŽ D‡&
† ” ™S‚ „š
—‡FžYšaŸ & Ÿišp‡iˆ‹F‡ižYžp„šD‹F‡ižY—’ ~ŸFša‡Fˆ †a‡iž™œŸ&†yº‚ƒ—‡iž™—c‰Šˆž™Œ“‡‹w‰•—ša‡f—‡WŒ“‰#žp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆ—‡i8ž 1c„’—‡iž
˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ“‰Šžp†a’ „‡iž ‹ & ~‰Š„žažp’ Šw– _‚ „mšJ„ˆ‡Q‹i‚Šœc‰•šy‰Š’ža‚ ˆI—‡Q—’ _Ÿišp‡iˆ †yžJžp‹£ºŸiœ‰Šž LªD‡F†p†y‡
—’ @¿‹i„Œ †yŸt‰Šc‰•šy‰•²† ˆ‚Š†y‰Šœœ¿‡iˆ †rS‚ „šr—‡F2ž ša‰Šˆ—žrˆ‚Š+œ ša‡Fž™—m‡ ¬ ‡F›ƒˆ‚ŠŒ“—ž „ˆm‡tŒ’“œ¿’†a‡ „’
‡Fžp†tšy‰Ššp‡iœ¿‡iˆ †ŸF†a„—’Ÿi‡O‡iˆ ša‰•†y’ ƒ„m‡ D‚ „ S‚ „š—‡Fž Ššy‰Šˆ—mžˆ‚ +œ šp‡iž—‡ 7‡i’žaža‡FFˆ _‡F"š „’
‡Fžp†f„ˆI‹i‰Š#ž _‡i‰Š„‹F‚ „BŒ“„ž‹F‚ „ša‰Šˆ † ¥ Jˆ (cˆ „mˆ‡†yša‚Š’“ža’½iœ¿‡™—m’ @¿‹i„Œ †yŸYˆ „œ¿Ÿišp’ „‡šp‚ ˜’‡iˆ †r—„ /G $< ∇uτ +
—‰ŠˆžrŒ ‰©—ŸFša’ ˜ Ÿi‡‹F‚ ˆ ˜ ‡i‹&†y’ ˜ ‡t—‡ τ ­©‰ŠˆžrŒ“‰WŒ“„mc‰Ššp†r—m‡ižrža‹£ºŸFœ ‰•ž«ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡F-ž τ (∇u)
’ŒXža‡F+œ Œ“D‡ „‡O‹F‡©†y‡išpœ‡J‡Fžp†tša‡Fˆ—„ ‡&´Œ’“‹F’†y‡W‡iˆBša‡Fˆc‰Šˆ †žy‰Q˜•‰ŠŒ“‡F„šY‡iˆ$†a‡iœ¿žšaŸF‹iŸi—m‡iˆ † ¤’“ˆmŸw‰Ššp’“ža‡FšW‹F‡†y‡Fšaœ¿‡‡iˆ‡k´Œ“’‹i’†y‰Šˆ †WŒ“‰˜ƒ’†a‡ižažp‡ ‡F†©‡iˆ’“œ¿Œ’“‹i’ †£‰Šˆ †Œ“‰ ‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡‹F‚ ˆ—„m’†
— ‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž t„ˆ#šp5‚ Œ“½Fœ‡ œ‰ŠŒ S‚ žpŸ«žp’ Œ“‡rˆ‚ >œ ša‡ —‡ 7‡i’žaža‡FFˆ _‡F"š W$ˆ ‡Fžp† c‰Šžža$„ @¿ža‰Šœœ¿‡iˆ †
p
s
s
p
p
2
p
p
T
p
2
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
S‡F†a’†  Ž ¥ ˆIšpŸiža„mœŸcŒ ‰ —’ža‹išpŸF†a’“žy‰¾†y’“‚Šˆ$— „mˆ‡OŸ- „c‰•†a’“‚ ˆ —„ †!›ƒ_‡  ŽD_‚ žp‡©†yšp‚ ’“ž—’ @¿‹i„Œ †yŸiž
„’ža‚Šˆ †tšp‡iŒ“’Ÿi‡Fž‰Š„´ —’ @¿‹i„Œ †yŸižœ‰•†aºŸiœ‰•†y’ „‡iž—‡Fžœ‚ƒ—½iŒ‡iž ‹& cc‰Š‡J– – W
’ BªD‚Šœc‰¾†y’ m’“Œ“’ †yŸ—‡Fžf‡Fžac‰Š‹F‡ižt— ‰Ššp‚ ´’œ ‰•†a’“‚ ˆ˜ƒ’ †y‡ižpža‡cša‡Fžaža’‚ ˆ c‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡
’’ ¦Lšy‰Š’ †y‡iœ¿‡iˆ †—‡Fž†y‡išpœ‡Fž— ‰•—m˜ ‡F‹F†y’‚ ˆ ’’“’ ¿¦ ša‰Š’†a‡iœ¿‡iˆ †—‡iž†a‡išaœ¿‡ižˆ‚Šˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Š’“šp‡ižD—‰Šˆž@Œ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ žp„š ¥ ˆ Œ“„mžY—‡J‹i‡Fž—’ @¿‹F„Œ†aŸi-ž mŒ ‰žp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆ¿‡ižp†t‰•žaža‡ J‹i‚ †y‡i„mža‡O„’"ž „τ‡[email protected]Œ ‚ ˆ$—‚Š’†Y‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“‡Fš
†aša‚ ’ž ‹£ºc‰•œžz—‡Džp‚ Œ“„m†a’“‚ $ˆ ¾žpM’ m’“‡i>ˆ ƒ„m‡DŒ ‰tŒ“„mc‰Ššp† —‡Fž ža’œ „Œ ‰¾†y’“‚Šˆžˆ „œŸFša’ ƒ„m‡iž —8‡ 1c„’—‡iž
˜ƒ’“žp‹i‚ƒŸiŒ“‰Šžp†a’ „‡iž‚ ˆ †tS‚ „šŒ“‡Jœ¿‚ œ¿‡iˆ †Ÿ&†yŸ & ‰Š’†a‡ižY‡Fˆ®—’œ‡Fˆža’‚ ˆ d = 2 ¼f‚ „mžY‰w˜ ‚ ˆmžY˜„ „‡W—‡i„´ —‡©‹F‡ižD†aša‚ ’ž™—m’ @¿‹i„Œ †yŸFžDˆ „œ¿Ÿiša’ „‡ižYžp‚ ˆ †‡&´m‰Š‹F‡iLš _ŸF‡ižS‚ „š
—‡Fž ša‰Šˆ— ž ˆm ‚ +œ šp‡i žz —m‡ D7 ‡i ’“žp ža‡Fˆ ES‡iDLš 0 " %­ ‰ŠD ’Œ“G Œ‡i „šp-ž „ˆ‡YŒ’†p†yŸiša‰•†y„mša‡r’“œ¿_‚Ššp†£‰•ˆ †a‡r‡ižp† ‹i‚ ˆža‰¾¹
‹FšaŸi‡#‰Š„ƒ´
B
‹ & ˆm‚Š†£‰Šœ¿œ¿‡iˆ †YŒ‡J‹£ºc‰Š’ †yša‡ Q—m‡  ŽŠŽ <
„’tža‡ œ‰Šˆ)’ & ‡iž|†y‡ ‡iˆ mšy‰•†a’ „‡Bc‰Šš¿Œ ‰ ˆ‚ ˆ¹ ‹i‚ ˆ ˜ ‡F"š ‡Fˆ‹i‡—m‡iž —m’“ža‹FšaŸ&†y’“ža‰•†y’‚ ˆž „c‰Šˆ—§Œ“‡
ˆ‚Š+œ ša‡'—‡ R‡F’“žažp‡iFˆ S‡i"š ‰•0„ œ¿‡iˆ †y‡ S‡&†W—m‚ ˆ †©@Œ ‚ šp’ ’ˆ‡©ˆ ‡iž|†©žy‰•ˆžW—‚Š„m†y‡'c‰Šžtža‡i„mŒ“‡iœ¿‡iˆ †
ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ _·©ˆB‰¿‡FˆI‡ ~‡&†tc‰ŠLš & ‚Š’“ž5‚ žp‡iš|˜ Ÿ#ža„št‹i‡Fšp†£‰•’“ˆ‡Fž ŠŸi‚ œ¿ŸF†aša’“‡FBž „‡OŒ“‡Oˆ‚ +œ mša‡J—‡
7‡i’žaža‡FFˆ _‡F"š ¿œ ‰¾´’œ „œ _‡Fšaœ¿‡F†p†£‰Šˆ †Œ“‰‹i‚ ˆ ˜Š‡i"š Š‡iˆ‹F‡'—‡JŒ“‰—’ža‹išpŸF†a’“žy‰¾†y’“‚Šˆ—’“œ¿’“ˆ „‡W‰w˜ ‡i‹
Œ‡¿‰ŠžO—„Rœ‰Š’“ŒŒ ‰ Š‡ ‹ & ” ‹i‡ „’ ža‡F+œ Œ‡išy‰•’†O’“ˆm—’ „‡Fš#„mˆ7—Ÿ & ‰Š„m†#—‡¿šaŸ „Œ ‰•ša’†aŸ —‡
Œ“‰ ža‚ Œ„m†y’‚ ˆv‹i‚Šˆ †a’“ˆ „‡ ‡iŒŒ“‡k¹!œ Kiœ¿‡ ‹ & ¶ ‹i‡$ža„ ‘p‡F† < À!ŒY‡iž|†¿—‚ ˆ‹$S‚ žažp’ Œ:‡ „‡ ‹i‡Fš|¹
†y‰Š’“ˆ‡FžQ—’ @¿‹F„Œ†aŸiž S‚ „š Œ‡i+ž Ššy‰Šˆ—mžQˆ‚ +œ šp‡ižQ—‡ R‡F’“žažp‡iFˆ S‡i"š šp‚ ˜ƒ’‡iˆˆ‡Fˆ †—„ œ‚ƒ—½iŒ‡
Œ„’ ¹ œ KFœ‡ „’~’“ˆ—„m’†Y—m‡ižºŸFˆ‚ œ¿½iˆ‡Fž—‡J‹i‚ „m‹£º‡ižŒ“’œ’ †y‡F-ž ‚ „ —‡Fžža’“Jˆ „Œ ‰•ša’†aŸiž™‰Š„$˜ ‚ ’¶¹
žp’“ˆc‰ Š‡ —‡ižJ‹F‚ ’“ˆmžWša‡Fˆ †yšy‰•ˆ †a-ž LªD‡FžO‰ŠžaS‡i‹&†yžJ‚ ˆ †Jˆ‚•†£‰Šœ¿œ‡Fˆ †©ŸF†aŸ ŸF†a„—’Ÿiž©ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡iœ¿‡iˆ †
—c‰•ˆžf—m‡ižtŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †ažt‰Š„m†y‚Š„š— „ˆ®‹&›Œ’“ˆ—mša‡J‚ „B—c‰Šˆž„ˆm‡'‹F‚ ˆ †yšy‰•‹F†y’‚ ˆ ‹ & 0(* „šp‡¿ <
ªD‚ ˆm‹i‡išpˆc‰Šˆ †[email protected]Œ ŸF†y„m—‡O—‡[email protected]Œ ‰Šžp›ƒœ¿m†y‚Š†a’ „‡ We → ∞ ‚ŠˆBšp‡iˆ ˜ ‚Š’“‡'‰Š„ ‹£ºc‰Š’ †yša‡ Q—‡ ¶ ?
¥ Cˆ Š„’“žp‡©—‡©†yša‰Šˆžp’†y’‚ ˆ‰w˜Š‡i‹OŒ ‰žp‡i‹&†y’“‚ŠˆBžp„’˜•‰Šˆ †a‡ žp’ ˆc‰•Œ“‚ ˆ2ž „‡JŒ“‡FžYœ‚ƒ—½FŒ“‡ižDœ’‹iša‚¾¹
œ‰Š‹išp‚I$ˆ ‰Šm_‚ š|†y‡Fˆ †'c‰Šž —‡ža‚ Œ„m†y’‚ ˆžO‰Š„´ —m’ @¿‹i„Œ †yŸFž'Ÿ&˜ ‚ ƒ„mŸi‡iž‹i’ ¹ —‡ižpža„ž L¥rˆ
c‰•šp†y’‹i„Œ’“‡F-š iŒ‡z†yša‰Š’†a‡iœ¿‡iˆ †—‡Fž†a‡išpœ‡Fž— ‰•—m˜ ‡F‹F†y’‚ ˆ#ša‡iž|†y‡«ša‚ Œ“ŸFœ ‰•†a’ „‡ F—‡rœ Kiœ¿I‡ „‡rŒ ‰
—’ža‹FšaŸF†a’“ža‰•†y’‚ ˆJ—‡ižˆ‚Šˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Šša’ †yŸižS—c‰ŠˆmžL?Œ ¥r­J ¡ ‰Šš‰•’“Œ“Œ‡i„šp-ž &‚ ˆOžy‰Š’ A† „‡r‹i‡Fšp†£‰•’“ˆžœ¿‚—m½iŒ“‡Fž
œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚ žp‚ ˆ †WŸ „’˜•‰ŠŒ‡iˆ †yž —‡ižtœ‚ƒ—½FŒ“‡ižœ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž ‹ & cža‡F‹F†y’‚ ˆ 5  0–  <c‡F†
‹F‚ œœ¿‡O‹i‡Fšp†£‰•’“ˆ‡Fžf—‡FžW—’ @¿‹i„Œ †yŸižtœ¿‡iˆ †y’‚ ˆˆŸF‡ižt‹i’ ¹ —‡ižpža„žtža‡F+œ Œ‡iˆ †WŒ’“ŸF‡ižf‰Š„´Bšp‚ ša’ŸF†aŸiž
—‡Fž ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž—„ša5‚ mŒ“½iœ¿‡«‹i‚ ˆ †y’ˆ „ ‚ ˆ ˆ‡™-ž ‰•†a†a‡iˆ— ‰Šž t‹i‡ „ ‡iŒŒ“‡Fž žp‚ ’“‡Fˆ †zšaŸFža‚ Œ„‡iž c‰Šš
?Œ ‰Šmša‚ƒ‹£º‡Jœ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša0‚ ’ ˆc‰ŠŒ‚ ˆž™†a‚ „m†a‡ & ‚ ’ž „‡J—c‰Šˆž‹F‡išp†y‰Š’“ˆmžY‹w‰Šž c’“Œ_ža‡i>œ Œ“'‡ „‡OŒ‡iž
œ¿ŸF†aº‚—m‡ižˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž ‰ŠžaŸF‡ižža„šD—‡ižœ¿‚—m½iŒ“‡FžDœ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚#‚ ˆ †S‡išaœ¿’“ž™— 5‚ m†y‡Fˆ’“šD—‡iž
špŸiža„mŒ†£‰¾†yž™‰ ˜Š‡i‹t—‡iž«ˆ‚ >œ ša‡Fž«—m‡ 7‡i’žaža‡FFˆ _‡F"š mŒ“„ž ša‰Šˆ—ž „‡tŒ“‡ižrœ¿ŸF†aº‚—m‡ižr‹i‚ ˆmžp†yšp„’†a‡iž
S‚ „š —‡Fž œ‚ƒ—½FŒ“‡ižzœ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡iž ‹ &  M Ž J i– ªD‡F‹i’c—’ † •‹i‚ œ¿œ‡™‡&´Œ’ „Ÿ—c‰Šˆmž Œ ‰
žp‡i‹F†a’“‚ ˆR5  J 0– c?Œ ‰w˜•‰Šˆ †£‰ Š‡#mša’“ˆm‹i’“‰ŠŒ—‡#@Œ ‰Ššp‚‹£º‡#œ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚Qša‡Fžp†a‡Œ“‡FžfS‚ žpža’ m’“Œ“’ †yŸFž
žp„ŒŸiœ¿‡iˆ †£‰Š’ša‡Fžt—m‡#œ¿‚ƒ—ŸiŒ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ „ ‡iŒ“Œ‡J‚ _ša‡ p
2
2
2
2
2
&#$- *&3 )&
¤ ‡ižD „‡iž|†y’‚ ˆžO— ‡&´’“ž|†y‡iˆm‹i‡—‡Qža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž~—‡Q‹F‚ ˆ ˜ ‡Fš" ‡Fˆ‹i‡¿—‡ižJžp‹£ºŸiœ‰ŠžOˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž
‡&†O—‡Qša‚Šša’ŸF†yŸFž' „c‰ŠŒ’†£‰¾†y’˜Š‡ižf—‡ižJžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmžW—„ šp‚5Œ“½Fœ‡'œ’‹išp‚•¹!œ‰Š‹išp‚ 5  f‚ ˆ †JŸ&†yŸ
šp‡iŒ ‰¾†y’˜Š‡iœ¿‡iˆ †QS‡i„ ‡k´mmŒ“‚ špŸi‡iž‰w˜•‰Šˆ †Q‹F‡†yšy‰w˜•‰Š’Œ@ ·©ˆ _‡F„m†ˆŸw‰•œœ¿‚ ’“ˆmž'‹F’†y‡Fš Œ@ ‰Šš|†y’“‹FŒ“‡—‡
4³ ¬ ‡iˆ‰Šša—m›   -ž ’“ˆ †aŸiša‡Fžaža‰Šˆ † ‰Š„Ošp5‚ Œ“½Fœ‡ & ‚Ššaœ „ŒŸ ‰w˜ ‡F‹™?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆJ—‡«µc‚ ¢ ¢Š‡iš5¹ ¡ Œ ‰•ˆ‹£¢
>
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
‹ & 5 _S‚ „š„mˆ‡ ‹i‡Fšp†£‰•’“ˆ‡ ‹FŒ ‰Šžpža‡ —‡ & ‚ šp‹i‡Fž F ·©ˆ#S‡i„†Ÿ- ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †’ˆ—’ „‡FšXŒ“‡ †yšy‰w˜•‰Š’Œ
—‡ ¡ _­W‡-Š‚ ˆ— ~³4_¤‡Fœ‚Š„®‡F†J³4 ¡ ’‹w‰Šžpža‚ Š– N „’Lža‡ža‚ ˆ †©’ˆ †yŸišp‡ižpžaŸiž'—‡FžW—Ÿ&˜ ‡iŒ‚ S‡&¹
œ¿‡iˆ †yž#‰Šž|›ƒœm†a‚Š†y’ „‡ižO—„ œ‚ƒ—½FŒ“‡Qµ ¥r¼f¥ _‚Š„šJ‚5m†a‡iˆ’š©—‡iž#œ¿‚—½FŒ“‡Fž©œ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡Fž-
·©ˆBša‡iˆ ˜Š‚ ’“‡O-Ÿ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ † Q?Œ ‰Šš|†y’‹iŒ“‡W—‡Oša‡F˜ƒ„‡ ‡&† ¶ ?
¤‰mŒ“„c‰•šp†—‡Fžfm0„ Œ“’‹w‰•†a’“‚ ˆmžY‰Š„m†a‚ „š—‡Fžtœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižYœ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚ —m‡ 1„’“—‡Fž_‚ŠŒ›ƒœŸk¹
šp’ „‡ižL‹i‚Šˆ‹i‡Fšaˆ‡™Œ“„m† Š†—‡Fž šp5‚ Œ½iœ¿‡ižˆ „œŸFša’ ƒ„m‡iž« „‡FŒ“Œ‡ižœŸ&†yº‚ƒ—‡FžL„†y’“Œ’“žp‡išS‚ „š—’“ž5¹
‹FšaŸF†a’“žp‡iš Œ‡Džp›ƒž|†y½iœ¿‡   J„m‡iŒ“Œ‡ižLža‚ ˆ † Œ‡iž špŸižp„Œ†y‰•†yž ˆƒ„mœŸFša’ „‡Fž ‚5m†a‡iˆ „ž ‡&† ‹i‚Šœœ¿‡iˆ †
žp‡‹i‚ œ¿c‰Ššp‡iˆ †p¹ ’“Œž ®@Œ ‡&´SŸiša’‡iˆ‹F‡ $I¤ ’—Ÿi‡¿—‡ —m’“ža‹FšaŸ&†y’“žp‡iš'Œ“‡¿žp›ƒžp†a½iœ¿‡c‰Šš#„ˆ‡œŸ&†yº‚ƒ—‡
— ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †y'ž (ˆ’“žJS‚ „š©?Œ Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ ‡Fˆ ˜ƒ’ †y‡ižpža‡‡F†Omša‡ižpža’‚ ˆ X‹F‚ „ŒŸi‡ „ˆ‡Qœ¿ŸF†aº‚ƒ—‡ žp†a‚•¹
‹£ºc‰•žp†y’ „‡ ³I‚ ˆ †y‡WªY‰ŠšpŒ“‚O_‚Š„š«‰Ššp‚ ´’œ‡Fš @Œ ‡ižaSŸiša‰Šˆ‹F‡t‡&†«ža‹£ºŸFœ ‰#— ¥ „Œ‡išrS‚ „š[email protected]Œ ¥r­J
‰Ÿ&†yŸ šp‚ S‚ žaŸF‡Q‰Š„ —Ÿ G „m †JG —m‡i žJ‰ŠˆmˆŸi‡F žQ ”¿c ‰Š šO4³ _¤"G‰Šža‚$ ‡&†J =± ,ª 3© †p†yG ’0ˆ ‡iš @~ªD‡F†p †y‡ œ¿ŸF †aº ‚ —m‡' ž ‰ŠmG _‡F Œ“Œ“‡ B ?> B
B ª·J¼W¼fµ µ ¥« À!¦<¥ Œ“Œ“‡‰‰Š „D—ŸFc ‰Šš|†JŸF†aŸQ „m†y’< Œ“’“žpŸi‡'‰w˜ ‡i‹ „ˆm‡®œ¿ŸF †y ºm‚ — ‡B Œ ‰ šy ‰ŠJˆ G ’“‡F ˆˆ ‡ ža„š¿@Œ ¥r­J ‡&†
B
B
B ‹ & X¦r›ƒ’ „‡Fœ‡Fˆ † S‚ „šJ‹£ºc‰ „‡c‰•žJ—‡ †y‡Fœž [email protected]Œ ‰ŠŒ¶¹
‚Šša’†aºœ¿‡fžp‡©—Ÿi‹F‚ œ¿_‚ žp‡©‡iˆ „c‰¾†yša‡WŸF†£‰•_‡FžJ‚ ˆ$‹F‚ œ¿œ‡Fˆ‹i‡fc‰ŠšDšpŸižp‚ „—šp‡[email protected]Œ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆža„š
ƒ„’“žD‚ ˆ‹w‰•Œ“‹i„mŒ“‡WŒ‡iž™œ‚ „˜ ‡iœ¿‡iˆ †ažYœ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡FžY—‡iž B E DFDH GIG ƒ‡iˆžp„’†a‡©‚ ˆ’ˆ¹
(u, p)
†a-½ šp‡f?Œ ¥r­JŒ“‡Œ“‚ Jˆ #—m‡fŒ“‰J†ašy‰ ‘p‡F‹F†a‚ ’“šp‡ ‡F†«‡iMˆ (cˆ‚ E ˆ¿DF‹wD‰ŠH ŒGI‹iG „ Œ‡Œ“‡†y‡Fˆža‡F„š™—m‡ižD‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡Fž τ
c‰•š#„mˆ‡œ‚ › ‡Fˆˆ‡¿‡iœ¿’“šp’ „‡ Œ‚‹i‰ŠŒ“‡ža„šOŒ“‡Fž B
špŸižp‡iˆ †yž'—c‰ŠˆžO‹£ºc‰ „‡¿ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †
(cˆ[email protected]’ ~ªD‡F†a†a‡ ‰Šmša‚ƒ‹£º‡Œ“‰ ša‰Š0ˆ ’‡iˆˆ‡O‡Fžp†JŒ“‰¿Œ„žWˆ‰•†y„šp‡iŒŒ“‡O„’"ž „‡ ‹ ‡Fžp†©‹F‡iŒŒ“%‡ Œ ‰ ƒ„m‡iŒ“Œ‡
‚ ˆ‰Ššašp’˜ .‡ „c‰Šˆ—‚Šˆ—Ÿišp’˜Š‡WŒ“‡fœ‚ƒ—½FŒ“‡ ‹ & žp‡i‹F†a’“‚ ˆ®5  <ªD‡iS‡iˆ—c‰•ˆ -† m—:„ & ‰•’†«—„ †a‡išaœ¿‡
Œ‡iž«šaŸižp„Œ†y‰•†yž™ˆ „œŸFša’ ƒ„m‡ižYžp‚ ˆ †‰ŠŒ‚ šažr†yšp½iž mša„’ †yŸiž™ža„š™Œ ‰J˜ƒ’†y‡Fžažp'‡ „c‰Šˆ—‚Šˆ„m†y’¶¹
div (τ )
Œ’“ža‡J—m‡ižœ‚Š„m˜ ‡Fœ‡Fˆ †a#ž ša‚ 6ˆ’‡iˆž’ˆ—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ †yžt— „ˆ‡J†yša‰ ‘p‡i‹&†y‚ ’šaD‡ [email protected]Œ E ‰Š„mDFD†ašaH‡GIG c­W‡OŒ“„m-ž ’Œ
‡Fžp†t—’ @¿‹F’“Œ“‡tˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iœ¿‡iˆ †—‡Jžp„’˜ƒša‡WŒ“‡ižY†ašy‰ ‘p‡F‹F†a‚ ’“šp‡ižY—‡JE ‹£ºDF‰ D H „GIG ‡ B ƒ‡F†—‡W-ž ‰Šž|¹
žp„ša‡FIš t‹£º‰ „‡Yc‰Šž —‡r†y‡iœ¿Nž ƒ$„ ’Œ ›'‰tža$„ @¿ža‡Fœœ¿‡iˆ †z—‡ B
—‰Šˆžz‹£º‰ „‡YŸiŒŸiœ¿‡iˆ †
—„ œ‰Š’“ŒŒ ‰ Š‡ I¤ ’—Ÿi‡‡ižp†O‡Fˆža„m’†y‡‰•c‰Ššp„‡ — „m†y’Œ“’ža‡išfŒ ‰˜Š‡išpža’“‚Šˆ ‡F„Œ“ŸFša’‡iˆˆ‡—‡[email protected]Œ ¥r­J ‡F†
— ’“ˆ †aša‚ƒ— „’“ šp ‡™—m‡ižz‹£ HºG ‰Šœmžz—‡«˜ ‡i‹&†y‡F„šaž S‚ „m†|¹ ¾¹ _‚Š„m†« X (x) ‹ & Œ“‡«‹i‚ ˆ‹F‡im† —‡
B
’ˆ †aša‚ƒ—„’ †'‰ŠšQ4³ >¨ z±f„Œža‡Fˆ z%¨ ¡ ! ˜•‰Šˆ ±t‡i‡FŒD‡F†Q,¯ =± %¨ %¨ ˜•‰Šˆ
—‡FˆB¯Dša„Œ‡ Ž ­W‰ŠˆžY‹F‡FG †a†a‡J—‡ižp‹išp’“m†a’“‚ ˆ$‡F„Œ“ŸFša’“‡FDˆˆ ‡ mŒ“‡f ‹£º‚ ’¶´Œ‡©Œ“„mžYˆc‰•†a„ša‡FŒ~‡F†YŒ“‡©Œ„ž
žp’“œ¿Œ“‡‡Fžp†¿—‡ šp‡iˆ—šp‡
B
‡Fˆ ‹£º‰ „‡IS‚ ’ˆ † —‡ @Œ ‡iža‰Š‹i‡
ˆ‚ „ž¿ša‡&˜’‡iˆ—mša‚ ˆž¿ža„mš‹F‡BS‚ ’ˆ †¿—c‰•ˆžŒ ‰ža‡F‹F†y’‚ ˆ05 Ž MŽ Ž <«ªD‡i‹i’t‰ _‡Fšaœ¿’“žQ—‡BšaŸF—„’ša‡
Œ“‰ ˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡Qžp„šJŒ ‰ ˜ƒ’†a‡ižpža‡ œ‰Š’“žW‹i„šp’“‡i„mža‡iœ¿‡iˆ †#c‰ŠžJžp„šOŒ ‰‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡ X‹ & X‹£º‰Š’†aša‡ <
¤ ‰—m ’“ža‹FšaŸ&†y ’“ža‰• †y’‚ G ˆB — „I†a‡išaœ¿‡#—‡#†ašy‰ŠˆmžaS‚ šp†f_‡F„m†W‰ŠŒ“‚ šp#ž KF†yšp%‡ & ‰Š’ †y‡Oc‰Šš„ˆm‡œ¿ŸF†yºm‚—‡ A
B B
‹ & Ž f‚ „„ˆm‡QœŸ&†yº‚ƒ—‡—m‡ižJ‹w‰•šy% ‰Š‹&†y Ÿišp’“ ž|†y’ „ %‡Fž ‹ & ~Œ ‰ œ Ÿ&†yº‚ƒ —‡
‡F"œ Œ‚ H› G Ÿi‡¿ c‰Š š ¸ ,ª L¯D‚ ˆ ˜ƒ’“ˆ ‡F†4³ ¡ ’“‹i‰Šžažp‚ ¶ ‚ „7Œ“‰
—‡ ¡ R‰ŠS‡išp‚ Cœ ¬ $/J‡F„ˆ’“Jˆ žW‡&†©+» _¤-‡ ‰•†   _¼f‚Š†a‡i,š „‡ˆ‚ „ž
ˆ ŸF˜ŠM‚ „‚Šˆž’“‹iG’ „‡JŒ“‡FžDœ¿ŸF†yºm‚—‡FžYšp5‚ c‰ ’Œ“’žp†y‡F-ž ƒÀ!Œ~‡k´m’žp†a‡J-Ÿ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †Y—m‡ižœ¿ŸF†yºm‚—‡FžYˆ „¹
œ¿Ÿišp’ „‡iž c‰ŠžaŸF‡iž žp„š Œ ‰fšaŸižp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ—‡Y?Œ Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ —‡Yµ ‚Š¢ƒ¢•‡iš5¹ ¡ Œ ‰Šˆm‹£¢ ‹ & Šžp‡i‹&†y’“‚Šˆ5 MŽ Ž <
I¤ 5‚ ‘p‡i‹F†a’ &—‡$‹F‡ †yša‰w˜Š‰•’“Œ«‡ižp† — ‡k´Œ“‚ šp‡išQŒ‡iž’ˆ †y‡iša‰Š‹F†a’“‚ ˆmž‡iˆ †aša‡$-Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž —Ÿ&†y‡išpœ’¶¹
ˆ’žp†a‡iž ‡&†¿-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž¿žp†a‚‹£º‰Šžp†a’ „‡iž_‚ŠžaŸi‡Fž c‰•š?Œ ‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža‡$œ‰•†aºŸiœ‰•†y’ „‡ ‡F†¿Œ ‰ —’“žp‹išpŸ&¹
†a’“žy‰¾†y’“‚Šˆ — „mˆ ž|›ž|†y½Fœ‡ —„ †!›ƒ_‡   ¡ Œ„žšaŸF‹i’“žpŸiœ¿‡iˆ † ˆm‚ „žQˆ‚ „mž¿žp‚ œ¿œ‡FžQ_‚ žpŸiž
†aša‚ ’ž†!›ƒS‡ižt—‡ „‡iž|†y’“‚Šˆž'cžp‡iˆž ‡&´’“ž|†y‡iˆm‹i‡‡&†tša‚ mša’“Ÿ&†yŸFžtœ‰•†aºŸiœ‰•†y’ „‡iž—‡Fžfžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž
—‡Fž œ‚ƒ—½iŒ‡ižœ¿‚ ŒŸi‹i„mŒ ‰Š’ša‡iž «‹F‚ ˆ ˜ ‡F"š ‡Fˆ‹i‡ —‡iž œ¿ŸF†aº‚—m‡iž$ˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž Dša‚ mša’“Ÿ&†yŸFž$—‡iž
p
p
t
2
?
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
žp‹£ºŸiœ‰Šžtˆƒ„mœŸFša’ „‡Fž ˆ‚Š†y‰Šœ¿œ‡Fˆ †˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡J—‡Fžtžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž <
¡ ‚ „mšYŒ“„mžY—‡J‹iŒ“‰Ššp†aŸƒ‚ ˆ$šy‰•_‡FŒ“Œ‡W’“‹F’_Œ‡©žp›ƒž|†y½iœ¿‡Jœ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚'‰Š„0 „‡iŒ~‚ ˆ$ž- ’“ˆ †yŸFša‡Fžaža‡
‹ &   W


Re (∂t u + u.∇u) − (1 − )∆u + ∇p = div (τ p ) + f ,




 div (u) = 0,
(E(X ⊗ F (X)) − ),
τp =

We


1
1


F (X) dt + √
dW t .
 dX + u.∇X dt = ∇uX dt −
2We
We
5
À!—
w‰ ˜ ‡F‹ F (X) = X —c‰•ˆžQŒ“‡‹w‰ŠžQ—‡Fž B E DFDH GIG ºm‚‚ ¢•Ÿi‡Fˆž- F (X) =
—c‰ŠˆžŒ“‡
‹i‰Šž'—m‡iž B EDFDHGIG µ ¥r¼W¥ ‚Š„7‡Fˆ‹i‚ šp‡ F (X) =
—c‰Šˆž#Œ“‡Q‹i‰Šž'—m‡iž B EDFDHGIG µ ¥r¼f¥ ¹ ¡ _·©ˆ®ša‰ŠS‡iŒ“Œ‡D „‡ x ∈ D ‚ D ‡ižp†W„ˆB—‚ œ‰Š’“ˆ‡ S‚ šaˆmŸ#—m‡ R ‡F†f‚ ˆIžp„S‚ ža‡
—c‰•ˆžŒ“‰Bžp„’†a‡ „‡‹i‡ ž|›ƒžp†y½Fœ‡‡iž|† ‹i‚ŠœŒŸF†aŸ—‡¿‹i‚Šˆ—’†a’“‚ ˆmž'‰•„´7Œ“’“œ¿’†a‡iž©žp„šŒ“‰ ˜ƒ’ †y‡ižpža‡
‡&†f—m‡J‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆžY’ˆ’†a’ ‰ŠŒ‡iž«ža„šŒ“‰˜ƒ’†y‡Fžažp‡#‡&†Œ“‡FžYša‚ƒ‹i‡Fžažp„žfž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ „‡Fž- ­©‰•ˆžŒ ‰ ža„m’†y‡
ˆ‚Š„žfžp„S‚ ža‡Fša‚ ˆmž ∈ (0, 1) ¯D’“‡Fˆ „‡#Œ„ža’‡i„špžf‰•ˆc‰ŠŒ›ƒžp‡ižtšaŸFža‡iˆ †aŸi‡ižW—c‰ŠˆžtŒ ‰Qža„m’†y‡Ožp‚ ’“‡Fˆ †˜•‰ŠŒ“‰ Œ“‡Fž_‚Š„š‹i‡#žp›ƒž|¹
†a½iœ¿'‡ ŸiˆmŸišy‰•Œ ‹ & m‹£º‰Š’†aša‡Fž J ƒˆ‚ „žY‰ ˜Š‚ ˆžžp„šp†a‚ „m†YŸ&†y„—m’“Ÿ©—‡FžYža’œmŒ“’ (‹w‰•†a’“‚ ˆž —m‡©‹i‡
ž|›ž|†y½Fœ‡¿cŒ“‡J‹i‰Šž—‡ižŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †yžtº‚ œ¿5‚ ½Fˆ‡iž‡&†fŒ‡J‹w‰Šž—‡FžŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †až‹i’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸF-ž ¦ ‚Š„m† — ‰ S‚ ša— Š_‚ „mš ža‡‹F‚ ˆ‹i‡Fˆ †yša‡Fšrža„š Œ‡iž ‰Šžp_‡F‹F†až žp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ ƒ„m‡i-ž ˆm‚ „žr‰w˜ ‚ ˆmž«Ÿ&†y„—m’“Ÿ
Œ<‡ižJ-Ÿ G „c‰¾†y’“‚ŠˆžJ—’ _Ÿi šp‡iˆ †y’‡iŒŒ“‡ižWžp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ ƒ„m‡ižO_‚Š„šOµ ¥r¼W¥0‡F†'µ ¥r¼W¥z¹ ¡ —c‰ŠˆžJŒ‡Q‹w‰ŠžJ$— „ˆ
B
‹ & žp‡i‹F†a’“‚ ˆ05 5 J rªD‡F‹i’‹i‚ ˆm‹i‡išpˆ‡BŒ“‡ižQ‹£º‰Š’†aša‡Fž ‡F† M«·©ˆ
ša‰ŠS‡iŒ“Œ‡ „‡—‰ŠˆžO‹i‡¿‹w‰Šž ‡F†#—‚ ˆm‹ ˆ‡¿—ŸiS‡iˆ—m‡iˆ † c‰•ž#—m‡¿?Œ ‡Fžac‰•‹i‡ žpI’ ’“‡F4ˆ „‡
špŸiža‚Š„—ša‡¿Œ“‡Qž|›ƒžp†y½Fœ‡¿ša‡&˜ƒ’“‡iˆ X†#‡iˆ & ‰Š’ =† špτŸižp‚ „—šp‡?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ—’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒŒ“‡ ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’ „‡
ža‰ŠˆžW†a‡išaœ¿‡#—‡'†ašy‰Šˆžp_‚Ššp† S‚ „šf„ˆ®‹£ºc‰•œ —m‡'˜ƒ’†a‡ižažp‡—‚ŠˆˆŸ u(t, x) = κ(t)x „‡ ?Œ ‚Šˆ
žp„S‚ ža‡©žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ—‡[email protected]Œ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ¿—‡W¼W‰w˜ƒ’“‡iš5¹|ƒ†a‚ ¢Š‡F-ž m¤‡tžp›ƒž|†y½iœ¿'‡ „’Sˆ‚ „ž™’“ˆ †yŸFša‡Fžaža‡W—c‰Šˆž
‹F‡'‹i‰Šž‡ižp†t—‚Šˆ‹

À!—

(E(X ⊗ F (X)) − ),
 τ =
5 We
1
1
||2 /b
1−||
1− (||
||2 )/b
d
&
#
p
p

 dX = κ(t)X dt −
F (X) dt + √
dW t .
B ¡ G ‰Šš‰Š’Œ“Œ“‡F„ šažzIGIˆG<‚Š„ž‹ & ‰w˜ (*‚Š ˆ„žšp‡IŸ&†y„—m5’“ŸBŒ‡iŒ“žO‡ ‹£žpºc›ƒ‰Šžpm†a½i’†yœ¿šp‡i‡®ž‹FŽM‚ „JŒŸB–B—‡F‰Š† ˆž Œ ‡ W­ ‹w‰Š‰Šˆž¿ž#c‹i‰Š‡F†pš|†y†y‡’“‹F„ Œ“Ÿi’‚Š‡iœš —$Ÿ&†y „ša’ˆ ‡
<
2We
We
c‰•šp†y’‹i„Œ’“½Fša‡‚ ˆBšy‰ŠS‡iŒŒ“‡' „‡OŒ‡Jžp›ƒžp†a½iœ¿‡'ž ŸF‹iša’ † ‹& 5 Ž t
.

Re ∂t u(t, y) − (1 − )∂y,y u(t, y) = ∂y τ (t, y) + f (t, y),





τ (t, y) =
E(Xt (y)FY (X t (y))),


We
1
1
dXt (y) = ∂y u(t, y)Yt(y) dt −
FX (X t (y)) dt + √
dVt ,


2We
We



1
1

 dYt (y) = −
FY (X t (y)) dt + √
dWt ,
2We
We
5
‚ ‚ ˆ‰#ˆ‚Š†aŸ
Œ“‡iž«‹i‚ŠœS‚ žy‰•ˆ †a‡iž«—„ mša‚ƒ‹i‡ižpža„ž
—‡F„´œ‚Š„¹
˜Š‡iœ¿‡iˆ †yž ša‚ 6(Xˆ’‡i(y),
ˆžQ’Yˆ—(y))
ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ †yž‡&† (F (X), F (X)) Œ“‡iXžQ‹F‚(y)œ¿_(V‚ ža‰Š,ˆ W†y‡FžQ) —‡$Œ ‰& ‚ šp‹i‡
t
t
t
X
Y
t
t
>
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
m­W‰ŠˆžD‹F‡W‹i‰Šž- y ∈ (0, 1) ‡F†D‚ ˆ žp„S‚ ža‡©—m‡ižY‹F‚ ˆ—’ †y’“‚Šˆž«‰Š„´Œ“’œ’ †y‡Fž —‡©­W’ša’‹£ºŒ“‡&†
žp„šWŒ“‰˜ƒ’†a‡ižpža‡‡Fˆ y = 0 ‡&†W‡Fˆ y = 1 _¤‡FžW‹i‚Šˆ—’†a’“‚ ˆmžt’ˆ’†a’ ‰ŠŒ‡iž (X , Y ) ža‚ ˆ †Wža„S‚ žpŸi‡iž
’ˆ—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ †y‡Fžf‡Fˆ †aša‡#‡iŒŒ“‡iž ‡F†t’ˆ—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ †y‡Fžf—‡Fžœ‚ „˜ ‡iœ¿‡iˆ †ažmša‚ 6ˆ’“‡Fˆž-
F (X)
0
0
G > G < D G G< = B +B % B D<DIG < (Ω,B F , P)B B B B " G (F ) < G <D B HGIG B > B B G B (F ) < ω G <D G D<DIG <
¡ šaŸi‹F’“žp‚ ˆžW†a‚ „m†J—‡ža„’ †y‡S‚ „šL „‚ ’z’Œ ‡Fžp†JS‡iš|†y’ˆ‡iˆ †J— ŸF†a„—’‡iš©Œ‡œ¿‚—½FŒ“‡#—c‰ŠˆžW‹i‡F†p†y‡
ŸF‚ œ¿ŸF†yšp’“‡‰Ššp†a’“‹i„mŒ“’“½Fša‡ zI¤ ‰ ˜•‰Šˆ †y‰ ‡$šp’“ˆ‹F’“c‰ŠŒ™‡iž|† ’“‡Fˆ ž š „‡ @Œ ‚ ˆ & ‰Š’ †Q‰Š’ˆža’Y—m’“ža‰¾¹
ša‰•²“†aša‡Œ“‡Fž#†a‡išaœ¿‡ižO— ‰Š—m˜Š‡i‹&†y’“‚Šˆ „’rža‚ ˆ †'ša5‚ mŒ“Ÿiœ‰•†a’ „‡iž œ KFœ‡S‚ „šO—‚ ˆmˆ‡iš#„ˆRžp‡iˆž
¿@Œ ¥«­© „’L‡iž|†W‡Fˆ & ‰Š’†t„ˆm‡ ¥r­ ¡ I—c‰ŠˆmžWŒ“‡#‹w‰•.ž ŸFˆŸiša‰ŠŒ ‹ &  ”Š” L‡F†f‹£ºc‰Š’ †yša‡ ¿‹i‡
žp„¾‘p‡F† ­©‰ŠˆmžŒ ‰Œ’“žp†a‡W—‡Fž—’ @¿‹F„Œ†aŸiž‰Šžpža‚ƒ‹i’“ŸF‡iž‰Š„ƒ´œ¿‚—m½iŒ“‡FžYœ‰•†yºŸFœ ‰¾†y’ „‡FžD—‡Fž 1c„’—‡iž
S‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž ‹F‡i‹F$’ & ‰Š’†™—‚ ˆm‹©—’“žpc‰Šša‰•²“†aša‡tŒ“‡iž™—‡i„ƒ´$šp‡iœ¿’“‡išpžD’ †y‡iœ¿ž ‹ & ƒc‰ ‡W– – mªD‡F†p†y‡
žp’“œ¿Œ“)’ (c‹w‰•†a’“‚ ˆ#ˆ‚ „mž _‡Fšaœ¿‡F†r‰•Œ“‚ špžz—‡ˆ‚Š„ž ‹i‚Šˆ‹i‡Fˆ †aša‡Fš«žp„š Œ‡iž „‡Fžp†y’‚ ˆž žp‚ „Œ“‡&˜ ŸF‡ižrc‰Šš Œ“‡
‹F‚ „Œ“‰ ‡©‡Fˆ †aša‡©Œ‡ižY—m‡i„´-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž m„ˆm‡©—ŸF†a‡išpœ’ˆ’“ž|†y‡W‡&†@Œ ‰Š„m†aša‡fžp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ ƒ„m‡ ¥ ˆ$c‰•š|¹
†a’“‹i„mŒ“’“‡F-š ˆm‚ „žr˜ ‡išpša‚ ˆmžDŒ“‡Fžrša5‚ mŒ“½iœ¿‡ižrS‚ žaŸFž™‰ŠšrŒ“‡†y‡Fšaœ¿‡ ∂ u(t, y)Y (y) —‰Šˆž«@Œ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ
žp„š X (y) c‚ „®‡Fˆ‹i‚ šp‡žp„šW?Œ ’ˆ †a‡iša‰Š‹F†a’“‚ ˆ ‡iˆ †aša‡Œ“‰˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡#—‡ižfšaŸižp„Œ†y‰•†yžt‡F†WŒ“‡Fžfœ‰•†yšp’“‹F‡iž
5‚ †y‡iˆ „‡FžQc‰Šš'—’“žp‹išaŸ&†y’žy‰•†a’“‚ ˆ7—‡iž ‚Š_ŸFšy‰•†a‡i„špž—’ ~ŸFša‡iˆ †a’“‡iŒž'—‰Šˆž ?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆRžp„š u(t, y) ¼t‚ „žY—’ža‹F„m†y‡Fša‚ ˆžŸ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †D?Œ ’Jˆ 1c„‡Fˆ‹i‡W— „mˆ,‡ & ‚ šp‹i‡©‡k´mmŒ“‚ žp’˜ ‡ F —„†!›ƒ_‡©µ ¥r¼W¥ —c‰Šˆž
?Œ ¥r­JG L¼t‚Š†y‡F=š „‡¿‹i‡&†a†a‡ ŸF‚ œ¿ŸF†yšp’“‡Qc‰•šp†y’‹i„Œ’“½Fša‡ ‹F‚ šašp‡ižaS‚ ˆ—7c‰Šš#‰Š’Œ“Œ“‡F„ša'ž B„ˆ Ÿi‹F‚ „Œ‡&¹
œ¿‡iˆ N† ƒ„m’ƒ‡Fžp†zža‚ „m˜Š‡iˆ † šp‡iˆ‹F‚ ˆ †yšpŸD‡iˆ'šy‰¾†y’ „‡ ‡FN† „’ ‡ižp†z„m†y’Œ“’žaŸ ‡k´mSŸišp’“œ¿‡iˆ †£‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ †LS‚ „š
‹i‰Ššy‰Š‹&†yŸFša’“žp‡išOŒ“‡FDž 1c„’“—m‡iž ‹ & (* „šp‡I5  <>­ ‰Š’“ŒŒ“‡i„mša-ž _‹i‡¿‹w‰Š—mša‡— „ˆRŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †#‹i’žy‰Š’Œ“Œ“Ÿ
‰ ŸF†yŸI‹£º‚ ’ža’tc‰Šš¿Œ“„žp’“‡F„šaž‰Š„m†a‡i„špž S‚ „š¿—‡ižŸF†y„m—‡ižœ ‰•†aºŸiœ‰•†a’ „‡iž¿‡F†ˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž
‹ & ¶ M MŽ Xc‰•š‡&´‡iœ¿Œ“‡ ’ Šˆc‰ŠŒ“‚Šˆž ‡iMˆ (cˆ „‡[email protected]Œ 5‚ ƒ‘p‡F‹F†a’ &_—‡‹i‡F†p†y‡ža‡F‹F†a’“‚ ˆ¿ˆ ‡ižp†™c‰Šžr—‡šp‡iˆ †yšp‡išr—c‰ŠˆžrŒ‡ižr—ŸF†y‰Š’“Œž
†a‡i‹£ºˆ’ „‡iž—‡Fžša‡F„m˜ ‡Fž ‚ ˆ$ša‡Fˆ ˜ ‚ ’‡J‰Š„´ ‹£ºc‰Š’ †yšp‡ižža„m’˜•‰Šˆ †yžYS‚ „šD‹i‡iŒ“‰ «œ‰Š’ž™Œ„m† •†Y—‡
—‚Šˆˆ‡ištŒ“‡Fžša’ˆ‹i’c‰Š„´šaŸFža„Œ †£‰•†ažt—m‡#œ‰Šˆ’½išp,‡ & ‚ šaœ¿‡iŒŒ“‡ <
*,
t t≥0
t
y
t
t
>
(
* $ 5
*,
&
*,
>=
¡ ‚ „mštŸ&†y„—m’“‡iš‹F‡ižžp›ƒž|†y½iœ¿‡ižtœ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚0ƒˆ‚ „žt‰w˜ ‚Šˆžt‰Š—‚ m†aŸO„ˆ‡O—Ÿiœ‰Ššp‹£º‡J˜Š‰•ša’ ‰ ¹
†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“Œ‡X‡FˆR‹£º‡Fša‹£ºc‰•ˆ † —‡iž#‡iž|†y’“œ¿Ÿi‡Fž žp„š'Œ‡žp›ƒžp†a½iœ¿‡ ‡F†'‡iˆ7„m†y’Œ“’žy‰Šˆ †J‡Fˆža„’ †y‡
„ˆm‡JœŸ&†yº‚ƒ—‡©—=‡ !O‰ŠŒ‡iša¢ ’ˆ ªD‡&†a†a‡O‰Ššp‚‹£º‡JmšaŸižp‡iˆ †y‡OŒ? ‰w˜•‰Šˆ †£‰Š‡W—‡JS‡išpœ‡&†a†yšp‡©—‡©†ašy‰Š’¶¹
†a‡i+š Œ ‰ & ‚ ’ž#—m‡i>ž „‡Fžp†a’“‚ ˆž#†yºŸF‚ ša’ „‡iž#— ‡&´’“ž|†y‡iˆm‹i‡—‡ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ ‡F†'—‡iž% „‡iž|†y’“‚ŠˆžŒ„ž
ša‰•†y’ „‡iž—‡O‹i‚Šˆ ˜Š‡iLš ‡iˆ‹F‡—‡Fžfžp‹£ºŸiœ‰Šžtˆ „œŸFša’ ƒ„m‡iž—„ †!›S‡OŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yBž (cˆ’-ž ’ Šˆc‰ŠŒ“‚ŠˆžJc‰Šš'‰Š’“ŒŒ“‡F„šaDž „‡ˆ‚ „ž'‹£º‡išp‹£º‚ ˆžQ—‡Fžžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmžO†a‡iŒŒ“‡iž „‡@Œ ¥«­ ¡ žp„š
—c‰•ˆž 5 Jža‚Š’† ˜ŠŸišp! ’ > (cŸF ‡$‰Š„ œ¿‚ ’“ˆž'‰Š„v žp%‡iˆžQ—m‡ižQ—’žp†yšp’ „†y’“‚Šˆ-ž ‡F†'†y‡FŒ“Œ“‡F>ž „‡Œ‡ižQ¥r­Ju
žp‚ ’“‡Fˆ †$˜ŠŸišp’ (cŸF‡iž B
B
‰•’“ˆžp,’ „‡S‚ „š$šp‡i"ž „‡†a‚ „m†$†y‡Fœmž$‡F†
šp‡iLž ƒ„m‡'ž ša‡Fœ‡Fˆ † SªD‡F‹i’’“œ¿Œ’ „‡ ƒ„m‡#ˆm‚ „ž—‡Fœ ‰Šˆm—‚ ˆž„ˆm‡Jša-Ÿ Š„Œ ‰Ššp’†aŸWœ¿’“ˆ’œ ‰ŠŒ‡ža„š
†y‡FŒ“Œ2‡ „‡— „ˆ‡Dc‰Ššp-† •Œ‡™†a‡išaœ¿‡ ∂ u —c‰Šˆž ?Œ ¥r­J ‰•’† „ˆ ža‡Fˆž šp‡i"ž „‡‰Ššp†a‚ „m† ‡FˆQ‡ižpc‰Š‹i‡
u
‡&†S‚ „š mša‡iLž „‡ †y‚ „††a‡iœ¿-ž «‡F††y‡iŒŒ“C‡ „‡®— ‰Š„m†aša‡Ic‰Ššp-† ™Œ“‰7‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡ τ ‹i‚Šˆžp†aša„’ †y‡
c‰Šš|†y’“šQ—m‡iž¿ža‚ Œ„m†y’‚ ˆž—‡ @Œ ¥r­J ž ’—‡iˆ †a’ (cC‡ ’“‡F
ˆ „ˆ‡ —’žp†aša’ m„m†y’‚ ˆ ‹i‡ „’ša‡&˜ƒ’“‡iˆ †
y
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
‡Fžaža‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ †®—‡Fœ ‰•ˆ—‡iš—‡Œ@ ’“ˆ †aŸ- ša‰’“Œ’†aŸ Œ“‚ƒ‹w‰ŠŒ‡‡Fˆ ‡ižpc‰Š‹i‡$‡&†Q‡iˆv†a‡iœ¿žžp„š τ ªD‡Fžfº ›ƒ_‚•†yº½Fža‡ižfža‚ ˆ † ’‡iˆ ˜ Ÿišp’(cŸF‡ižt—c‰ŠˆžŒ‡iž‹w‰•žtºm‚‚ ¢•Ÿi‡Fˆžf‡&†fµ ¥r¼W¥B
< < G ¦ ‚Š„m†y‡FžYŒ“‡Fž‰Šˆc‰ŠŒ ›ƒža‡iž ƒ„m‡©ˆ‚ „žY‰ ˜Š‚ ˆž‹F‚ ˆ—„’ †y‡FžYša‡F_‚ žp‡iˆ †ža„mšY„ˆ‡©‡Fžp†a’“œ¿Ÿi‡©— Ÿiˆm‡iš"Š’“‡
„’X‡Fžp†5‚ †y‡iˆ „‡ & ‚ šaœ¿‡iŒŒ“‡Fœ‡Fˆ †™—„$œ¿‚ ’“ˆmž «—$ „ˆm‡Jc‰Ššp†Y‡iˆ$œ „Œ †y’Œ“’“‰Šˆ †rŒ@ Ÿ- „c‰•†a’“‚ ˆžp„š
—c‰•ˆž 5 c‰Šš u m„’“ž«‡iˆ’“ˆ †yŸ šy‰Šˆ †™‡iˆ‡iža‰Š‹i‡f‡F†™‡iˆ†a‡iœ¿-ž ‡&†D— ‰Š„m†aša‡fc‰Ššp†«‡Fˆ & ‰Š’“ža‰Šˆ u†
„ˆ0‹w‰•Œ“‹i„mŒJ— À † ža„š Π(X ) ‡iˆ0’“ˆ †yŸ šy‰•ˆ † ‡Fˆ ‡Fžac‰•‹i‡ ‡F†B‡iˆ †y‡Fœž „m’“ž$‡iˆ0šp‡iˆc‰Šˆ †
Œ? ‡FžaSŸišy‰•ˆ‹i‡ ‚ ˆ ša‰ŠS‡iŒ“Œ‡ „‡ Π ‡iž|†Œ‡®S‚Š†y‡Fˆ †a’“‡FŒf—‡IŒ ‰ & ‚ ša‹F‡ F <Dµc‚ špœ‡FŒ“Œ“‡Fœ‡Fˆ † ‡Fˆ
žp„S‚ žy‰Šˆ †®—‡ižI‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆž ‰Š„ƒ´0Œ“’“œ¿’†a‡iž—m‡R­W’ša’‹£ºŒ“‡&†Iºm‚ œ‚ ½iˆ‡ žp„š u ‡&†®„ˆm4‡ & ‚ šp‹i‡
‡k´†aŸišp’“‡i„mša‡ f ˆƒ„mŒ“Œ“‡ ‚ ˆ 5‚ m†a’“‡Fˆ †S‚ „š?Œ ‡Fžp†y’œ ‰¾†y’“‚Šˆ‰Šžpža‚ƒ‹i’“ŸF=‡ Œ“‰ ˜’ †y‡Fžaža‡
t
Re
2
Z
Z tZ
2
|u| (t, x) + (1 − )
|∇u|2 (s, x)
0
D
Z
Z tZ
Re
2
E(X s (x) ⊗ F (X s (x))) : ∇u(s, x).
|u| (0, x) −
=
2 D
We 0 D
D
¡ ‰Ššt‰Š’“ŒŒ“‡i„mšaž-„ˆB‹w‰ŠŒ‹i„ŒX—$ À † S‡išpœ‡&†— ‚m†y‡Fˆ’“š †y‚ „¾‘p‚Š„šažB& ‚ špœ‡FŒ“Œ“‡Fœ‡Fˆ † t
Z
Z tZ
1
E(Π(X t (x))) +
E(||F (X s (x))||2 )
2We
D
Z
Z0 t ZD
E(F (X s (x)).∇u(s, x)X s (x)) +
=
E(Π(X 0 (x))) +
¥ ˆ ‰•——’†a’“‚ ˆmˆc‰Šˆ †‹i‡Fž—‡i„´BŸ ‰ŠŒ’†yŸFžY‡F†t„m†a’“Œ’“žy‰•ˆ †YŒ“‡,& ‰Š’ †# „‡
0
D
D
1
2We
Z tZ
0
E(X s (x) ⊗ F (X s (x))) : ∇u(s, x) = E(F (X s (x)).∇u(s, x)X s (x)),
‚ ˆB‚5m†a’“‡Fˆ †t‰•Œ“‚ špž-c‰Šmša½iž—ŸFša’ ˜Š‰¾†y’“‚Šˆ$‡iˆ †y‡iœ¿žO
Re d
2 dt
Z
Z
d
|u| (t, x) + (1 − )
|∇u| (t, x) +
E(Π(X t (x)))
We dt D
D
D
Z
Z
2
+
E(||F (X t (x))|| ) =
∆Π(X t (x)).
2We 2 D
2We 2 D
2
Z
5 Š”
∆Π(X s (x)).
D
5 
2
5 Ž
¤‡ šp’“ˆ‹F’“c‰•Œ’“ˆ‹F‚ ˆ ˜ Ÿiˆm’“‡iˆ †J—m‡ ‹i‡&†a†y‡‡ižp†a’“œ¿Ÿi‡#‡iž|†JŒ ‰¿šaŸFža‡iˆm‹i‡Q—„®†a‡išpœ‡ S‚ ža’ †y’&z—„& ‰Š’ †
—‡Œ“‰ ‹i‚ ˆ ˜Š‡&´’†aŸ¿—m‡ ΠW—c‰ŠˆmžJŒ“‡ œ¿‡iœ+mša‡Q—‡Q—šp‚ ’†a‡_‡F† „’ ’ˆ †a‡išp—’†Wc‰ŠšJ‡&´‡FœŒ‡ †y‚ „†y‡
Ÿ&†y„—‡™—„#‹i‚ œ¿_‚Ššp†y‡Fœ‡Fˆ † ‡Fˆ#†a‡iœ¿žLŒ“‚ ˆ0 ‹& Œ“‡rc‰•šy‰ ša‰Šº‡r‹F‚ ˆžy‰•‹išaŸ2‹i‡F†p†y‡8 „‡iž|†y’“‚Šˆ‹i’¶¹
—‡Fžažp‚ „ž <Š¼t‚Š†y‡Fšc‰Šš‰Š’Œ“Œ“‡F„šažG „‡™‹F‡F†p†y‡r‡iž|†y’“œ¿Ÿi‡rS‡išpœ‡&†ža‡i„mŒ“‡iœ¿‡iˆ †L—‡r‹i‚Šˆ †aš Œ‡išŒ“‰Yˆ‚ šaœ¿‡
—‡ ‡F†f‚ ˆB_‡F„m†t—‚ ˆ‹Ož ‰•†p†y‡Fˆ—ša‡>Q—‡ižt—’ @¿‹F„Œ†aŸiž_‚Š„šc‰Šžažp‡iš.¿Œ“‰QŒ“’“œ¿’†a‡W—c‰•ˆžŒ“‡
H
†a‡išaœ¿‡Eˆu‚ DFˆD¹ HŒ“GI’G ˆ Ÿw‰Š’ša‡ ∇uX —c‰ŠˆžOŒ@ ¥rE­JDFGDHGI¼tG ‚ „ž'‰ ˜Š‚ ˆž#„m†y’Œ“’žaŸ ‹F‡F†a†a‡‡ižp†a’“œ¿Ÿi‡—c‰Šˆmž#Œ‡Q‹w‰Šž
—‡Fž B
º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆmžW‡F†f—‡Fž B
µ ¥r¼W¥ S‚ „šŸ&†y„—’‡iš[email protected]Œ ‡&´’“ž|†y‡Fˆ‹i‡#‡F†[email protected]Œ „ˆ’‹i’†aŸ
—‡Fžžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž'‰•„Ršp‚5Œ“½Fœ‡‹F‚ „ŒŸL‰Š’“ˆmža’I „‡ Œ“‰B‹F‚ ˆ ˜ ‡F"š ‡Fˆ‹i‡$—„7ža‹£ºŸFœ ‰Bˆ „œŸFša’ ƒ„m‡ —c‰•ˆžfŒ‡J‹w‰Šž—‡OŒ? ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸWS‚ „šŒ“‡Wœ‚ƒ—½iŒ‡Jº‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆ B EDFDHGIG < B < B G I GIG< $ 1
>
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
©­ ‰ŠˆžzŒ“‡«‹w‰Šž —‡iž B E DFDH GIG º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆmž —c‰Šˆžz„ˆ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ † ‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸw‚Šˆ ‚5m†a’“‡iˆ †z‡iˆ>& ‰Š’ †
Œ? ‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡f‡&†DŒ? „ˆm’“‹i’ †yŸY—m‡tžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ‰•„ž|›ž|†y½Fœ‡ 5 zžp„š«„ˆ’ˆ †y‡iš|˜•‰ŠŒ“Œ‡—‡†y‡iœ¿ž [0, T ]
‰w˜ ‡F‹ T ‰Šš"m’†yša‰Š’“šp‡‡&†¿_‚ „mš†y‚ „†y‡$—‚ ˆmˆŸi‡r¤L‰žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆR‡ižp†¿„ˆm‡Bžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ & ‰Š’mŒ“‡® u ∈
™ªD‡®špŸiža„mŒ†£‰¾† S‡i„m† ža„špša‡Fˆ—šp‡ „c‰Šˆ— ‚Šˆ§Œ“‡B‹i‚Šœc‰•ša‡ †y‚Š„ž Œ‡iž
L (L ) ∩ L (H )
špŸiža„mŒ†£‰¾†yž©‡Fˆ®†y‡FœžW_‡&†y’†fºc‰ m’†y„m‡iŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ †t5‚ m†a‡iˆ „-ž ~c‰ŠšW‡k´‡iœ¿Œ“‡'ža„š©Œ‡ižfœ‚ƒ—½iŒ‡iž†!›ƒ_‡
·©Œ“—mša‚ ›ƒ—¹5,¯ iÀ!Œ ‡iž|†‡iˆ & ‰Š’†~— =„mˆ‡ žaSŸi‹F’ (c‹F’†yŸ —m„'œ¿‚—m½iŒ“‡ º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆ#—c‰Šˆž‹F‡F†a†a‡ Ÿi‚ œ¿ŸF†aša’‡Y
S‚ „šJ„ˆm‡ & ‚Šša‹i‡QŒ’“ˆŸi‰Š’“šp‡ SŒ ‰‹F‚ œS‚ ža‰Šˆ †y‡ Y ˆm‡¿—mŸiS‡iˆ— c‰ŠžJ—‡ X ‹i‰Šš F (X ) = Y ‹ & 5 ‡F†¿—‚ ˆ‹ rŒ“‡†y‡Fšaœ¿‡ ∂ u(t, y)Y —c‰Šˆmž¿?Œ ¥r­J ža„mš X ‡ižp†¿„ˆ †y‡Fšaœ¿‡ Œ“’“ˆmŸw‰Š’ša‡ °tˆB‹F‚ ša‚ŠŒ“Œ ‰•’“ša‡—‡W‹i‡F†p†y‡Jšp‚ šp’“ŸF†aŸ©‡iž|B† „‡JŒ“‡fša‚ƒ‹i‡Fžažp„ž Y ‡Fžp†„ˆ$šp‚‹F‡ižpža„ž— ·©šaˆž|†y‡i’ˆ¹
°tºŒ“‡Fˆ S‡i‹£¢$’ˆ—ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ †—‡JŒ“‰˜Š‰•ša’ ‰ Œ“‡f— ‡Fžac‰•‹i‡ ‡&†ˆ‚ ˆ$‹F‚ „ŒŸO‰Š„´$Ÿ „c‰•†y’‚ ˆžžp„š
‡&† X ­W‡Œ“„m-ž Xˆ‚Š„žOžy‰w˜ ‚ ˆm%ž „‡Œ“‡Qœ¿‚ƒ—½iŒ‡ º‚ƒ‚ ¢ŠyŸF‡iˆ7‰ „mˆ7Ÿ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ †Oœ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „u‡
‹F:‡ „’Džp‡ †yša‰Š—„’ †’‹i’rc‰Šš'Œ“‡ & ‰•’%† ƒ„m‡@Œ ‚ ˆRS‡i„† —‚ ˆmˆ‡iš „mˆ‡ & ‚ špœ „Œ“‡‡k´mmŒ“’“‹F’†a‡šp‡iŒ“’“‰Šˆ †
‹ & Œ ‰$ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ MŽ Ž W—c‰ŠˆžOŒ‡¿‹£º‰Š’†aša‡Ž <¤‰Bšp‡i„m˜Š‡ — ‡&´’žp†y‡Fˆ‹i‡¿‡F†#— „ˆ’‹i’ †yŸ
τ u
—‡Œ“‰ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ —c‰Šˆmž#‹F‡Q‹w‰ŠžO‡Fžp†O—‚ ˆm‹†aša½FžJža’“œ¿Œ‡ ¡ ‰ŠšO‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž _—m„ & ‰•’†J—‡QŒ“‰Œ“’ˆŸw‰Ššp’†aŸ
—„Ržp›ƒžp†a½iœ¿‡ L‚ ˆ7‚ m†y’‡iˆ †—m‡iž#ža‚ Œ„m†y’‚ ˆžOŒ“„mž#šp-Ÿ „mŒ“’“½Fša‡Fž'—½F%ž „‡Œ“‡Fž#—m‚ ˆˆŸF‡iž žp‚ ˆ †Œ„ž
šp-Ÿ „Œ’“½Fša‡iž A B G B E DFDH GIG $ ¼f‚ „mž®ˆ‚ „mž®ža‚Šœœ¿‡ižI‡iˆžp„’†a‡R’“ˆ †aŸiša‡FžažpŸiž ‰Š„ œ‚ƒ—½iŒ‡Rµz¥«¼fB¥ W°tˆ‡všp‡iœ¿’“½išp4‡ „‡Fž|¹
†a’“‚ ˆ ‹i‚Šˆ‹i‡Fšaˆ‡[email protected]Œ ‡&´’“ž|†y‡iˆm‹i‡B—‡ ža‚ Œ„m†y’‚ ˆž @Œ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ —’ ~ŸFša‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ „‡BS‚ „š
„ˆ ‹£ºc‰Šœ¿—‡f˜ƒ’ †y‡ižpža‡©—m‚ ˆˆŸ ‹ & 5 <¼t‚ „žD‰ ˜Š‚ ˆžD˜ƒ:„ „‡WŒ D‰ & ‚ ša‹F‡©µ ¥r¼W¥ F (X) =
J‰BŸ&†yŸ¿’“ˆ †yšp‚—m„’†a‡ _‚Š„š#†a‡iˆ’šJ‹i‚ œ¿m†a‡¿—m‡?Œ ‡k´†a‡iˆžp’ ’Œ“’ †y>Ÿ (cˆm’“‡—‡iž#‹£ºc‰•²“ˆ‡iž#—‡
S‚ Œ›ƒœ¿½išp‡ ¼t‚ „ž#‰w˜ ‚ ˆž#‡ _‡i‹&†y’ ˜ ‡iœ¿‡iˆ †#œ¿‚ ˆ †yšaŸ „‡¿—½F=ž „‡ 0 ‡&†√κ ∈ L (R ) ’Œ
‡k´m’žp†a‡#„mˆ‡J„ˆ’ ƒ„m‡Jža‚ Œ„m†y’‚ ˆ X ˜•‰ŠŒ‡i„šY—‰ŠˆžŒ >‰ S‚ „Œ,‡ √& ‡išpœbŸF‡ >B(0,
‡&#† „‡JŒ“‡©mša‚•¹
b)
‹F‡ižažp„ž ˆ‡f†a‚ „‹£º‡fc‰Šž™Œ D‰ & ša‚ ˆ †y’½išp‡f—‡fŒ ‰ _‚Š„Œ“‡
ža’S‡F†Dža‡F„Œ“‡Fœ‡Fˆ †Dža’ ‹F‡
„’‡iž|†tX„ˆ‡#º ›ƒS‚Š†yºm½iža‡O˜ ŸFša)’ (cŸi‡#‡iˆBšy‰¾†y’ „‡ ‹ & cša‡FB(0,
œ ‰•"š „b)‡ cªD‡ižtšaŸižp„Œ†y‰•†yž—bŸF‹i≥‚ „m2Œ“‡iˆ †
—‡O†yša‰w˜Š‰•„´$—‡#B¥ SªDŸi‰ Ž Ž ža„mštŒ‡ižt¥r­J$œ „Œ†a’˜ŠM‚ „‡F-ž B E DFDH GIG $ B < B G I GIG< ¥ ˆ7c‰•žažy‰•ˆ †#—„ œ¿‚—½FŒ“‡ —m‡iž B E DFDH GIG º‚ƒ‚ ¢•Ÿi‡iˆmž‰Š„ œ¿‚—m½iŒ“‡—‡iž B E DFDH GIG µz¥«¼f¥
—c‰•ˆžfŒ‡Jša‚ Œ“½Fœ‡©‹F‚ „ŒŸ c—‡F„´ ˆ‚Š„m˜ ‡FŒ“Œ“‡Fž—’ @¿‹i„mŒ†yŸFžt‰Šc‰Šša‰Š’“žpža‡Fˆ †O
†a‚ „m†«— ‰ S‚ ša— ŠŒ '‰ & ‚ ša‹F‡ˆ‚ ˆ¹ Œ“’“ˆmŸw‰Š’ša‡D‹F‚ ˆ—„m’8† O—‡ižr—’ @‹F„Œ†aŸižrS‚ „š ‹i‚Šˆžp†aša„’ša‡„ˆ‡
žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ ¿?Œ ¥r­J‡iŒŒ“‡k¹!œ Kiœ¿‡ ‹ & cc‰Šša‰ šy‰•º‡JšpŸi‹iŸF—‡iˆ † ‡Fˆža„m’†y‡ W‡&† ža„mšp†y‚Š„m† tŒ ‰ ‹i‚ œ¿_‚Šžy‰Šˆ †y‡ Y —ŸiS‡iˆm—<—‡ X ‰•„ †yša‰ ˜Š‡išpž —„ †a‡išaœ¿ ‡
#‡F† ‚ ˆ ‰ —‚ ˆ‹$„mˆ‡˜ ŸFša’†y‰ Œ‡ ˆ‚ ˆ Œ’“ˆŸi‰Šša’ †yŸ¿—c‰Šˆž ?Œ ¥r­Jvžp„š X F (X (y))
Œ‡©†y‡Fšaœ¿‡
¤‰ ƒ„m‡ižp†a’“‚ ˆ „∂’ ‡iu(t,
ž|†#—y)Y
‚ ˆ‹S‚ žaŸF‡—c‰•ˆžO‹i‡‹w‰ŠžO‡Fžp†¿_‚Š„šJ„ˆ‡¿šaŸ „Œ ‰•ša’†aŸ —‚ ˆmˆŸi‡—‡ u „‡FŒ“Œ“‡ ‡Fžp† Œ ‰Yšp-Ÿ „Œ“‰Šša’ †yŸ —m‡ τ ¡ Œ“„žšpŸi‹i’žaŸFœ‡Fˆ -† ža’ ‚ ˆO‹F‚ ˆža’—½išp‡[email protected]Œ ‡ižp†a’“œ¿Ÿi‡ & ‚ ˆm—c‰Šœ¿‡iˆ †£‰ŠŒ‡
—‚ŠˆˆŸi‡#‹i’¶¹!—‡Fžažp„-ž S‚ „š u ∈ L (L ) ∩ L (H ) 0 „‡iŒŒ“‡J‡iž|†tŒ ‰QšaŸ „Œ ‰•ša’†aŸ©—‡ τ ¼f‚ „mž ˆ ‰ ˜Š‚ ˆž c‰•ž „ špŸiS‚ ˆ—špB‡ W‹i‡&†a†aB‡ ƒ„m‡ižp†a’“‚ ˆ †a‡iŒŒ“8‡ ƒ„m‡iŒ“Œ‡ •¥ +ˆ & ‰Š’-† & ‚Ššaœ¿‡iŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ † —„ & ‰Š’†«—„¿†y‡išpœ‡tˆ‚ ˆŒ“’ˆŸw‰Š’ša‡ ∇uX —c‰Šˆž™@Œ ¥r­JG τ ‰#Œ ‰Oša-Ÿ Š„Œ ‰Ššp’†aŸ—‡ exp(R ∂ u) ‹i‡
„’ˆ ‡iž|†Wc‰•žtžp$„ @¿žy‰Šˆ †W_‚ „mš’“—‡Fˆ †a’ (c‡Fš τ „ˆ‡O—’žp†aša’ m„m†y’‚ ˆ$c‰Šš‡&´‡FœŒ‡ ¼t‚ „žf‰ ˜Š‚ ˆž
—‚Šˆ‹©ŸF†aŸ©‹i‚Šˆ—„’ †yž '—‡iœ‰Šˆ—‡FšYŒ„žD—‡fšaŸ „Œ ‰•ša’†aŸfžp„šYŒ“‰#˜ƒ’†a‡ižažp‡ u ‡&B† ‹F‚ ˆžp’“—ŸFša‡išD—‡iž
∞
t
2
y
2
t
1
0,y
t
y
t
t
Y
t
t
t
t
1−||
||2 /b
1
loc
+
t
t
t
Y
t
t
t
y
t
∞
t
2
t
2
y
t
1
0,y
t
0
y
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
L³®‰ŠŒ“ºm‡i„šp‡i„žp‡iœ¿‡iˆ † [email protected]Œ ‡iž|†y’“œ¿Ÿi‡ )
žp‚ Œ“ „m†a ’“ ‚ —ˆm‚ ž ˆ& ˆ‚Š‰Ššp†yˆ ‡F†žO‹i—‡&†a‡†y‡W?Œ ¥r‡ižp­ †a’“¡ œ¿Ÿi‡fuˆ∈‡WSL‡i„m† (HKF†yšp‡W)‚5∩†yL‡iˆ (H
„‡D „ ‡iˆ†a‡iœ¿žDS‡F†a’†-‡Fˆœ „Œ †y’“mŒ“’ ‰•ˆ †
?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆžp„š —c‰Šˆž 5 c‰•š
‡F†™‡iˆ„m†y’Œ“’“ža‰Šˆ †rŒ“‡†yºmŸi‚ šp½iœ¿‡f—‡'!O’šaža‰Šˆ‚ ˜QS‚ „š
‡k´mmŒ“’“‹F’†a‡išŒ ‰ —mŸiuS‡iˆ—c‰•ˆ‹i‡#—‡OŒ ‰Q‹i‚Š−∂ˆ †ašy‰Š’uˆ †y‡ τ ‡iˆBŒ ‰ ˜•‰Šša’“‰Œ‡©— ‡iža‰Š‹i‡ y žp‚ „žtŒ ‰>& ‚ špœ‡Q
∞
t
1
0,y
2
t
2
y
y,y
Xt (y)Yt (y)
τ (t, y) = E
1−
ft = (X̃t , Ỹt )
X
∂y u = 0
E
1
√
We
Z
•
5
! !
Z •
1
∂y u(y)Ỹs dVs
,
E √
X̃ 2 +Ỹ 2
We 0
T
1− tb t
‡Fžp†Œ‡ ša‚ƒ‹i‡Fžaža„mžža‚ Œ„m†y’‚ ˆ —‡IŒ? ¥r­J _‚ „mšŒ‡Bœ¿‚ƒ—½iŒ‡Iµz¥«¼f¥>‰w˜ ‡i‹
ft = −
dX
ft
1
1
X
dt + √
dW t ,
ft ||2 /b
2We 1 − ||X
We
‡&† E —Ÿižp’ ˆm‡#Œ? ‡k´_‚ ˆm‡iˆ †y’‡iŒ“Œ‡©œ‰Ššp†a’“ˆ0 ‰•Œ“‡
,
X̃t Ỹt
= E
‚
(Xt (y))2 +(Yt (y))2
b
!
∂y uỸs dVs
= exp
1
√
We
Z
t
1
∂y uỸs dVs −
2We
Z t
∂y uỸs
2
ds .
t¼ ‚Š†y‡FšBƒ„m‡#—‰Šˆž 5 <mŒ“‰—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ‹F‡'—‡ τ ‡Fˆ y ˆ‡Jšp‚ ˜’‡iˆ †# „‡O—„$†y‡Fšaœ¿‡J‡&´_‚Šˆ‡iˆ¹
†a’“‡iŒŒ“‡œ‰Ššp†a’“ˆ0 ‰ŠŒ“‡ ¤I „†y’“Œ’“ža‰•†y’‚ ˆQ—„†aºŸi‚Šša½iœ¿‡t—‡D!J’“špžy‰Šˆ‚ ˜QS‡išpœ‡&†D—m‚ ˆ‹t— ‡k´Œ“’‹i’†a‡išr—‡
œ‰Šˆ’½iša‡™ša’ ‚ „šp‡i„žp‡DŒ ‰t—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ‹F‡‡&´_‚Šˆ‡iˆ †y’‡iŒŒ“‡D—m‡ ‡iˆ+& ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ'—‡ Ÿ&˜ ‚ ƒ„mŸi‡špŸ&¹
‹FŸi—‡Fœœ¿‡iˆ † ¡ ‰Ššr‰Š’Œ“Œ‡i„šp-ž ¾‡iˆQ„m†a’“Œ“’žy‰Šˆ †zŒ“‡ & ‰Š’ † „‡ ∂ uτ∈ H _‚Š„š šp‡i"ž ∂ „u‡†y‚Š„m† †y‡Fœmž
‡&†D‡Fžp†™—‚ ˆ‹ _‚ŠšaˆŸ ƒ‚Šˆ5‚ †y’“‡Fˆ †™—m‡iž«‡ižp†a’“œ‰•†y’‚ ˆž ‡Fˆ ˆ‚ špœ‡ žp„š _‚ „mš«mša‡iLž „‡f†a‚ „m†
†a‡iœ¿ž <™¤‡ †yºŸF‚ ša½Fœ‡B—‡ !O’šaža‰Šˆ‚ ˜ S‡išaœ¿‡F†¿—‚Šˆ‹ Œ ‰ & L‚ ’žQ—‡I—mτŸ (cˆ’š τ ‹i‚Šœœ¿‡$„ˆ‡
—’žp†aša’ m„m†y’‚ ˆ c‡F†f— ‡&´Œ’“‹i’ †y‡FštŒ“‰Qša-Ÿ Š„Œ ‰Ššp’†aŸ#—m‡ τ ‡iˆ & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆB—‡Œ“‰Qša-Ÿ Š„Œ ‰Ššp’†aŸ#—m‡ u _ªD‡iž
‡Fžp†y’œ ‰¾†y’“‚ŠˆžYža‚Šˆ †‡FˆB†a‡iœ¿žS‡F†y’ †‹w‰•š‚ ˆ$5‚ m†a’“‡iˆ B† (cˆ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †Y„ˆI‹F‚ ˆ †yš Œ“‡©žp„š„ˆ'‡ & ‚ ˆm‹&¹
†a’“‚ ˆˆm‡iŒ“Œ‡f$— ŸFˆ‡iLš ’“‡©—m„†!›S‡ R(t) ≤ A + C R exp(γR(s)) ds ‹ & mžp‡i‹&†y’“‚Šˆ0– J Ž Ž'—‰Šˆž
Œ‡J‹£ºc‰Š’ †yša‡O–S‚ „šŒ“‡Fž—ŸF†y‰Š’“Œž ¥ ˆ‹i‚ ˆm‹iŒ“„mža’“‚Šˆ Œ“‰#ˆm‚ ˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Šša’ †yŸ
—c‰ŠˆžY?Œ ¥r­J‰'Œ“’œ’ †yŸŒ‡fšpŸiža„mŒ†£‰¾B† '„mˆ‡©‡&´’ž|¹
†a‡iˆ‹F‡—‡Yža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž & ‚ š|†y‡ižz‡iˆ†a‡iœ¿ž S∇uX
‡F†y’ † ¾­W‡Œ„-ž ¾Œ ‰tša‡F„m˜ ‡—m‚ ˆˆŸF‡Y_‚Š„š @Œ Ÿi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †
‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸˆ ‡ižp†Yc‰ŠžD—m’“ša‡F‹F†a‡iœ¿‡iˆ † ŠŸiˆŸFšy‰ŠŒ’“žy‰ Œ“‡S‚ „š«—‡ižYŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †ažD‡iˆ —’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆ Ž#‹i‰Šš
‡FŒ“Œ“‡t„m†a’“Œ“’ža‡?Œ ’ˆ‹iŒ„ža’‚ ˆ—‡ H —c‰Šˆž L _‚ „mšD‹i‚Šˆ †aš Œ‡iš«Œ“‡Fž«†a‡išaœ¿‡iž™—„†!›ƒS‡ exp(R ∂ u) C G B $ ¼f‚ „mž‰ ˜Š‚ ˆž˜ƒ„ ƒ„m‡#?Œ ‡Fžp†a’“œ¿Ÿi,‡ & ‚ ˆm—c‰Šœ¿‡iˆ †£‰ŠŒ‡ 5 ŠŽ ™ˆ ŸF†y‰Š’†‰Šž„m†y’Œ“’žy‰ Œ‡f‡FˆB†a‡iœ¿ž
Œ‚ 0ˆ ‹i‰Š„žp‡I— „ˆ †y‡išpœ‡$—m‡ 9!ša‚ƒ—„‹&†y’“‚Šˆ $— ŸFˆ‡iLš ’“<‡ ;$šp‚ ˜Š‡iˆc‰•ˆ † —„ ‹w‰ŠŒ‹i„Œ— À † Jr¥rˆ
& ‰Š’ † ƒ_‚Š„šYŸiŒ’“œ¿’“ˆ‡Fš™‹F‡©†y‡Fšaœ¿‡ m’GŒ & ‰Š„†‹i‚ ˆmža’“—mŸiša‡Fš„ˆ†y‡Fšaœ¿‡©ža„mŒ“ŸFœ‡Fˆ †£‰Š’ša‡©— ‡iˆ †aša‚ ’‡Q
’Œ~ža‡F+œ Œ,‡ „‡JŒ %‰ _‚ Gˆmˆ< ,‡ & ‚ ˆ C‹&†yG ’>‚ Dˆˆ ‡FŒ“Œ“‡tS‚ „šYŸ&†y„—’‡išYŒ‡W‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ †‡Fˆ†y‡FœžDˆ‡Jža‚ ’ †
c‰•žt?Œ ŸFˆ‡iLš ’“‡Jœ‰Š’ž
¡ ‚ „mšB’ˆ †yša‚ƒ—„’ša‡ ?Œ ‡Fˆ †yša‚Š’“‡ Y‚ ˆ —‚ ’ † ‹i‚ ˆžp’“—ŸFša‡FšBŒ“‰v—‡iˆmža’†aŸ —„ mša‚ƒ‹i‡ižpža„ž ‡F†
—‚Šˆ‹ Œ“‡žp›ƒž|†y½iœ¿‡ ‹i‚ „mŒ ‰Šˆ † ?Œ ¥r­ ¡ žp„š$Œ ‰R˜ƒ’ †y‡ižpža‡7‰w˜ ‡i‹ ?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆU—‡ µc‚ ¢ ¢Š‡iš5¹ X¡ Œ ‰•ˆ‹£¢
0
t
0
0
y
1
y
y
∞
y
t
0
t
1
∞
t
0
y
t
>
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
‹ & 5 ¤‡iž©‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“žtšpŸiža‡Fˆ †yŸižO—c‰•ˆžWŒ“‰ža„m’†y‡'ža„m_‚ žp‡iˆ † A G B G „ˆm‡ & ‚Šša‹i‡O‡k´†aŸišp’“‡i„mša‡ f ˆƒ„mŒ“Œ“‡J‡&†Œ@ ‡&´’“ž|†y‡Fˆ‹i‡#— „ˆ‡Oža‚ Œ„m†y’‚ ˆ
‰Š„Bšp‚5Œ“½Fœ‡ 5 DS‚ „š
¥ †£‰Šˆ †t—‚ ˆmˆŸi‡FžWŒ“‡Fž‹i‚ ˆm—’†a’“‚ ˆž‰•„´BŒ“’œ’ †y‡iž™ža„š u cŒ ‰
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ$ž|†£‰•†a’“‚ ˆmˆc‰Š’“šp‡9|‰¾†a†y‡Ftˆ∈—„R‡<;O‡iž|†#
+
u(∞, x) = 0,
‚ C ‡Fžp†#„ˆ & ‰Š‹&†y‡i„mšJ—‡ˆ‚ šaœ‰ŠŒ’“žy‰¾†y’“‚Šˆ ¼f‚ „mžO‰ŠŒ“Œ‚ ˆžWœ¿‚ ˆ †yšp‡iš'& ‚ špœ‡FŒ“Œ‡iœ¿‡iˆ †©S‚ „šLƒ„m‚ ’
‚ ˆQ‚m†y’‡iˆ † „ˆm‡‹i‚ ˆ ˜ ‡Fš" ‡Fˆ‹i‡‡k´mS‚ ˆ‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡™˜ ‡Fšaž ‹F‡iž ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž žp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰Š’ša‡Fž-•·©ˆQša‡iˆ ˜Š‚ ’“‡
’‹i’ |ŽM£ ” ?
¼f‚ „mžt’ˆ †yša‚ƒ—„’ža‚ ˆmžŒ@ Ÿiˆ‡Fš" ’‡©‹i’ˆŸF†a’ „‡
Z
5 •–
Re
E(t) =
|u| (t, x).
2
·©ˆI‰‹F‚ œ¿œ‡JšpŸi‹FŸi—‡Fœœ¿‡iˆ † ‹ & 5 Š” W
ψ(∞, x, X) = ψeq (X) = C exp(−Π(X)),
2
D
Z
dE
= −(1 − )
dt
|∇u| (t, x) −
We
D
2
¼t‚ „žt’“ˆ †yšp‚—„m’“ža‚ŠˆžYŒ@ ‡iˆ †aša‚ ’‡Q
Z Z
Z Z
d
D
(X ⊗ ∇Π(X)) : ∇u(t, x)ψ(t, x, X).
Z Z
Π(X)ψ(t, x, X) +
ψ(t, x, X) ln(ψ(t, x, X)) − |D| ln C,
d
D
Z Z
ψ(t, x, X)
=
ψ(t, x, X) ln
.
ψeq (X)
d
D
H(t) =
D
d
5
¼t‚Š†y‡Fš+ „‡$Œ@ ‚ ˆvœ¿‚ ˆ †yšp‡ & ‰Š‹F’“Œ“‡Fœ‡Fˆ †+ „‡ H(t) ≥ 0 ‡Fˆ „m†y’Œ“’žy‰Šˆ †'Œ“‡ & ‰•’†%ƒ„m‡ x ln(x) ≥
‰w˜ ‡i‹ x = ψ ‡F†‡FˆBœ„Œ†a’“Œ’ ‰Šˆ †rŒ@ ’“ˆmŸ- ‰ŠŒ’†aŸfc‰•š ψ m¨Wmša½iž# „‡FŒ „‡iž‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“ž ‡iˆ
x−1
„m†a’“Œ’“žy‰•ˆ † 5  D‡ψ&†fŒ,‡ & ‰Š’ #† ƒ„m‡ div (u) = 0 ‚ ˆB5‚ m†a’“‡Fˆ †O
eq
eq
Z Z
ψ(t, x, X)
dH
1
ψ(t, x, X) ∇ ln
=−
dt
2We D d
ψeq (X)
Z Z
+
(X ⊗ ∇Π(X)) : ∇u(t, x)ψ(t, x, X).
>­ ‚ žp’X‚ ˆ _‚Šža‡
„ˆm‡'ŸFˆ‡išL ’“‡JŒ’šp‡ f
dF
= −(1 − )
dt
Z
D
d
F (t) = E(t) +
|∇u| (t, x) −
2We 2
D
2
H(t) F
We
Z Z
D
d
2
‡Fžp†t—‡Jžp’ ˆ‡W_‚ žp’†a’&‡F†‹F‚ šašp‡ižp_‚ ˆm—
ψ(t, x, X) ∇ ln
ψ(t, x, X)
ψeq (X)
5
2
.
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
©· ˆU˜ ‚ ’ †—‚Šˆ‹ „‡Œ@ ’“ˆ †yšp‚—m„‹F†a’“‚ ˆ —‡Œ@ ‡iˆ †aša‚ ’‡ ‰vS‡išpœ’ž — ŸiŒ’“œ¿’“ˆ‡Fš¿Œ‡®†y‡Fšaœ¿‡ — À †
‰Š„7œ‡Fœ+šp‡¿—m‡—šp‚ ’†a‡—‡ 5 Ž ­f‡‹F‡F†a†a‡Ÿ ‰ŠŒ’†yŸQ‚Šˆ7S‡i„m†'—ŸF—„’“šp‡ „‡¿Œ“‡Fž'žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž
ž|†£‰•†a’“‚ ˆˆ‰Š’“šp‡ižz—m„¿ž|›ƒžp†y½Fœ‡‹F‚ „ŒŸYža‚Šˆ † m’“‡iˆ u = 0 ‡F† ψ = ψ ¡ ‰Šš ‰Š’“ŒŒ“‡i„mšaž- ‡Fˆ¿„†y’“Œ’“ža‰Šˆ †
?Œ º ›ƒ_‚•†yº½Fža‡ ∈ (0, 1) X„ˆ‡’ˆ-Ÿ ‰•Œ“’†aŸ—‡ ¡ ‚ ’“ˆ‹i‰ŠšaŸžp„š u ‡F†#„ˆ‡’“ˆmŸ- ‰ŠŒ’†aŸ—‡‚5S‚ Œ‡F˜
Œ5‚ ‰Ššp’†yºmœ’ ƒ„m‡Jža„š ψ ‚ ˆI—Ÿi—m„’†f—‡‹F‡F†p†y‡’ˆŸ- ‰ŠŒ“’ †yŸJŒ ‰—ŸF‹iša‚Š’“žaža‰Šˆ‹F‡ ‡&´S‚ ˆ‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡O—‡
‡&†©—‚Šˆ‹—‡ u˜Š‡išaž 0 S¤ ’“ˆm-Ÿ ‰ŠŒ’†aŸJ—‡QªDžp’“ž i‰Šš|¹ /J„Œ“Œ c‰Š‹£¢S‡išpœ‡&†©‰ŠŒ‚ šažt— ‡iˆ —mŸi—„’ša‡
F
„‡ ψ †y‡Fˆ—I˜Š‡išpž ψ ‡&´_‚Šˆ‡iˆ †y’‡iŒŒ“‡iœ¿‡iˆ †˜ƒ’†a‡O‡iˆBˆ‚ šaœ¿‡ L (L ) = + $< G < D G G ? > B B ψ eq
eq
2
eq
*,
1
eq
Z
ψ ln
ψ
ψeq
≤C
Z
ψ
ψ ∇ ln
ψeq
d
2
< < => B G B Π α µ ‰Š’“žp‚ ˆžB „‡iŒ „‡ižtša‡Fœ ‰ŠšL „‡ižža„mšt‹F‡ižt‹w‰ŠŒ‹i„Œž-
¦ ‚Š„m†t— ‰_‚ šp— c’“Œ~‡ižp†f’“œ¿S‚ šp†y‰Šˆ †—‡#ˆ‚Š†y‡Fš#ƒ„m‡'ˆ‚Š„žfˆ$ ‰w˜ ‚Šˆžf‰Šžfm„ ŸFˆŸiša‰ŠŒ“’ža‡Fšt‹F‡iž
‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“ž‰Š„B‹w‰•ž u(∞, x) 6= 0 ¡ ‰Šš‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž Œ“‡B‹£º‚ ’¶´ —‡®?Œ ‡Fˆ †aša‚ m’“‡ žp‡i+œ Œ‡I’œS‚ š|†£‰Šˆ †¿—c‰ŠˆžŒ“‡ ‹w‰•Œ“‹i„mŒ'rža’t‚ ˆ
‹£º‚Š’“ža’ †„ˆ‡O‡iˆ †aša‚ ’‡OŒ“„Bž ŠŸiˆŸFšy‰ŠŒ‡ H
d
H(t) =
Z Z
h
ψ
ψeq
ψeq
‰w˜ ‡F‹
—‡‹iŒ“‰Šžažp‡ L‹i‚Šˆ ˜Š‡&´‡ ‡F† †a‡iŒŒ“‡ ƒ„m‡ = 0 ‹& Ž < Œ‡iž†a‡išaœ¿‡iž
‹F‚ ˆ †y‡ihˆ‰Š:ˆ † R 5→  R ˆ‡fž- ŸiŒ’“œ¿’“ˆ‡FˆC†8 „‡f_‚ „mš™Œ? ‡Fˆ †aša‚ m’“‡95º h(1)
›ƒža’ „‡ ; h(x) = x ln(x) − (x −
cªD‡F‹i’S‡i„m†Yža‡iœ>Œ“‡FšYŸF†a‚ ˆˆc‰Šˆ †‹i‰Šš „c‰Šˆ— ‚ ˆ$‹F‚ ˆžp’“—½Fša‡JŒ@ Ÿ- „c‰¾†y’“‚Šˆ—‡Oµc‚ ¢ ¢Š‡Fš|¹ ¡ Œ“‰Šˆ‹£¢
1)
žp‡i„Œ‡ ‰w˜ ‡i‹ u = 0<X‚ ˆ S‡i„m†#c‰ŠšJ‡k´‡iœ¿Œ“‡Qšp‡iˆ—mša‡ h(x) = (x − 1) ‡&†O„ˆ‡’“ˆmŸ- ‰ŠŒ’†aŸ
—‡ ¡ ‚ ’“ˆm‹w‰ŠšpŸ©ža„š ψ ža$„ @†t‰ŠŒ‚ šaž™_‚Š„šYšp‚ „m˜ ‡FšŒ ‰‹F‚ ˆ ˜ ‡F"š ‡Fˆ‹i‡#‡&´S‚ ˆ‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡f—‡ ψ ˜Š‡išaž
‡FˆIˆm‚ šaœ¿‡ ψ
¥ Jˆ (cˆ ‚ ˆ SL‡i„m†#ˆ‚Š†a‡iDš „‡¿Œ ‰‹F‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡ —m‡ F ˜ ‡išpž 0 ˆ‡žp$„ @†'‰ŠžO‡iˆ ŸiˆŸFšy‰ŠŒ 5‚ †y‡iˆm’“šŒ ‰Q‹F‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡—m„B†a‡iˆžp‡i„št—‡iž‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡F-ž % B C G F
¼f‚ „mž _‚Š„m˜ ‚ ˆmž ‹i‡ž|†£‰Š—m‡ & ‰Š’“šp‡ „‡FŒ „‡ižQšp‡iœ‰Š"š „‡Fž ža„mš @Œ ’“œ¿_‚Ššp†£‰•ˆ‹i‡—‡FžQº ›ƒS‚•¹
†aº½ižp‡i>ž & ‰Š’ †y‡Fž#žp„š F z·©ˆ7šy‰ŠS‡iŒŒ“‡ „‡@Œ ‚ ˆR‰ ža„m_‚ŠžaŸ „‡ F —mŸiša’ ˜•‰Š’†#— „ˆRS‚Š†a‡iˆ †y’‡iŒ
šy‰Š—m’ ‰ŠŒ @’ ‡ * „’-ž Ÿi‹Fša’ † Π(X) = π(||X||) ‹ & L – Ž »r‚ ’“‹F’Œ“‡ižº ›ƒ_‚•†yº½Fža‡i,ž ƒ„m‡'ˆ‚Š„ž
Π
‰w˜ ‚Šˆžf„†y’“Œ’“žpŸi‡iž ‘p„m"ž „ ¿œ‰Š’“ˆ †a‡iˆc‰Šˆ †O
¤=‡ & ‰Š’.† „‡Œ“‰ & ‚ šp‹i‡#—Ÿišp’˜ ‡— „mˆ _‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒ ’“ˆ †y‡Fšp˜ƒ’“‡Fˆ †W—c‰ŠˆžfŒ“‡ & ‰Š’.† „ ’“Œ‡&´’žp†y‡
„mˆ‡'—m‡iˆžp’†yŸO—‡Ošp5‚ c‰ m’“Œ“’ †yŸfžp†£‰¾†y’“‚Šˆˆc‰Š’ša‡©‡&† Π < > D G [email protected]Œ -Ÿ „’“Œ’ šp‡ ¤‡ & ‰•’† „‡YŒ“‡™_‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒ ža‚ ’ † šy‰•—’ ‰ŠŒ ’ˆ †y‡iš|˜ƒ’“‡iˆ † —m‡Dœ‰Šˆ’“½Fša‡«‹išp„‹i’“‰ŠŒ“‡«_‚Š„š ‰•žaža„mša‡iš
Œ“‰ ž|›ƒœŸ&†yša’‡I—m„§†y‡Fˆža‡F„š Π—‡Fž ‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡F-ž DªD‡F†a†a‡®ž|›œ¿ŸF†aša’‡I‡Fžp†’œS‚ š|†£‰Šˆ †y‡$$— „ˆ
S‚ ’ˆ †—m‡O˜ƒ„‡#º ›ƒža’ ƒ„m‡ ‡F†t’“ˆ †a‡išp˜ƒ’‡iˆ †—c‰ŠˆžŒ‡iž‡iž|†y’“œ¿Ÿi‡Fž ‹ & 5  I¤ º ›S‚Š†aº½ižp‡J—‡W‹F‚ ˆ ˜ ‡&´’ †yŸ©—„ _‚Š†a‡iˆ †y’‡iŒ ‹ & ƒša‡Fœ ‰ŠLš „‡ ‡iž|†Y’œS‚ šp†y‰Šˆ †y‡S‚ „š
?Œ ‰•ˆc‰ŠŒ›ƒžp‡J—‡ižf¥r­J „ˆ’‹i’†aŸJ—‡ižžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmΠ-ž ’ˆ †a‡išpšaŸ&†£‰•†a’“‚ ˆ$‡Fˆ®¥r­J œ „Œ†a’˜ŠM‚ „‡ D
∗
+
d
2
2
eq
eq
2
>
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
I¤ α¹ ‹i‚ ˆ ˜ ‡k´’†yŸ«—„#_‚•†y‡iˆ †a’“‡iŒ Π ‡Fžp†L„m†a’“Œ“‡ ƒ„‰Šˆ—‚Šˆ'ž ’ˆ †aŸišp‡ižažp‡Y‰Š„O‹F‚ œS‚ š|†y‡iœ¿‡iˆ †‡Fˆ
†a‡iœ¿žWŒ‚ ˆ00 „m’“ž" „ ‡iŒŒ“‡#_‡Fšaœ¿‡F†W— ‚m†y‡Fˆ’“štŒ@ ’“ˆŸ ‰ŠŒ’†yŸW—‡‚5S‚ Œ‡F˜ Œ“‚ ‰Šša’ †yºœ¿’ „‡
žp„š ψ m‡F†t—‚ ˆ‹OŒ“‰ ‹i‚ ˆ ˜ ‡Fš" ‡Fˆ‹i‡'‡&´S‚ ˆ‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡©˜Š‡išažtŒ@ ŸF†y‰•†žp†y‰•†y’‚ ˆˆc‰•’“ša‡
eq
* $ 5
(
7.
7.
>=
7
5
©­ ‰Šˆž#‹i‡&†a†a‡ ža‡F‹F†a’“‚ ˆ ˆm‚ „ž#ˆ‚ „ž#’“ˆ †yŸFša‡Fžaža‚Šˆž+BŒ ‰$—’“žp‹išpŸF†y’žy‰•†a’“‚ ˆ —„7žp›ƒžp†a½iœ¿‡ 5
c‰•št—m‡ižœŸ&†yº‚ƒ—‡Fžtmša‚5c‰’“Œ’“žp†a‡iž
< CG B < B G ! IGIG<
­©‰Šˆžzˆ‚ žz†ašy‰w˜•‰Š„G´ Šˆ‚Š„ž ˆ‚ „žzža‚ œ¿œ‡Fžz‹F‚ ˆžy‰•‹išaŸFž WŒ@ ŸF†a„—‡Y—m‡YŒ ‰Wœ¿ŸF†aº‚ƒ—‡ª·J¼W¼fµL¹
µ ¥«ƒÀ!¦ —c‰ŠˆmžŒ“‡J‹w‰•ž— „mˆBŸF‹i‚ „mŒ“‡iœ¿‡iˆ †‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸ ‹& 5 <­©‰•ˆž‹i‡O‹w‰•ž-Œ‡iž‰Šmša‚ƒ‹£º‡iž
‡F„Œ“ŸFša’“‡Fˆˆ‡Fž©‡F†WŒ ‰ ša‰Š0ˆ ’‡iˆˆm‡ižt‰ S‚ „m†y’žažp‡iˆ †J‰Š„®œ KFœ‡#žp›ƒžp†a½iœ¿‡ _‡F†©Œ‡'ž|›ƒžp†y½Fœ‡—’“žp‹išaŸ&†y’žaŸ
ž ŸF‹iša’ †©ƒža„m_‚ žp‚ ˆž „‡ u X ‡&† Y žp‚ ˆ †‹i‚Šˆˆ „-ž ƒ†yša‚Š„m˜ ‡Fš u ∈ V †y‡FGŒ „‡ mS‚ „š
†a‚ „m† v ∈ V n
h
j
h,n
j
h,n
n+1
h
h
h
Re
δt
Z
y
(un+1
h
−
unh )v
= −(1 − )
Z
R
τh,n
j
j
Xh,n+1
− Xh,n
j
j
Yh,n+1
− Yh,n
y
∂y un+1
h ∂y v
−
Z
τh,n ∂y v +
y
Z
f v,
y
1 X j
j
j
=
Xh,n FY (Xh,n
Yh,n
),
We R j=1
1
j
j
n+1 j
FX (Xh,n , Yh,n ) δt
=
∂y uh Yh,n −
2We
1 j
j
+√
Vh,tn+1 − Vh,t
,
n
We
1 j
1
j
j
j
FY (Xh,n , Yh,n)δt + √
= −
Wh,tn+1 − Wh,tn .
2We
We
I¤ ’“ˆ—’‹i‡ —Ÿižp’ ˆ‡Œ‡Dˆ „œ¿Ÿišp‚J—„c‰Šž —‡Y†a‡iœ¿ž ‡&†rŒ@ ’“ˆ—’‹i‡ Œ‡Yˆ „œ¿Ÿiša‚J—m‡YŒ ‰WšpŸw‰ŠŒ’“ža‰•†y’‚ ˆ
— ‡WŒ@ ¥«­©Bnƒ‚ ˆ‹i‚Šˆža’—½išp‡ R †yša‰ ‘p‡i‹&†y‚ ’ša‡Fž™—‡FžD˜•‰Šša’“‰Œ‡iž«‰ŠŒŸw‰•j†a‚ ’“šp‡iž (X , Y ) ¥ ˆJ(cˆ V
—ŸFža’ ˆ‡„ˆ‡ižpc‰Š‹i‡— ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yž (ˆ’“ž5 „‡ˆ‚ „žršp‡iˆ‚Šˆž —c‰Šˆž Œ“‰©ža„’ †y‡Ÿ ‰ŠŒ0 P1 •—‡ža‚Ššp†y‡
„‡ X Y ‡F† τ ‰Šc‰•šp†y’‡iˆˆm‡iˆ †. P0 ‹& 0(* „mša‡5  Ž G < G B EDFDHGIG <
¤‰Yša‡Fœ’½iša‡ ƒ„m‡ižp†a’“‚ ˆOˆc‰¾†y„šp‡iŒ“Œ‡ ‡iž|†— ŸF†y„m—’“‡FšŒ ‰Y‹i‚Šˆ ˜Š‡iLš ‡iˆ‹F‡™—m‡ @Œ ‰ŠŒ ‚Šša’†aºœ¿‡zª·J¼f¼WµL¹
µ ¥«ƒÀ!¦@—c‰Šˆmž¿Œ“‰®Œ“’œ’ †y‡
‡&†
¼f‚ „mž‰ ˜Š‚ ˆž¿„ ‡ _‡i‹&†y’˜Š‡iœ¿‡iˆ †
œ¿‚ ˆ †yšpŸE Œ“DF‰BDH ‹FGI‚ G ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡$—δt‡@Œ → ‰ŠŒ 0‚Šša’h†aº→œ¿‡0—c‰ŠˆmžRŒ“‡→‹i‰Šž∞—‡@Œ Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †'‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸQ‡F†'S‚ „š
—‡Fž B
º‚‚Š¢ŠŸi‡Fˆ-ž S­©‰•ˆžf‹F‡O‹w‰Šž cŒ ‰Q‹i‚ œ¿S‚ žy‰Šˆ †a‡ Y ˆ‡O—ŸF_‡Fˆ—®‰Šž—‡[email protected]Œ ‡iža‰Š‹i‡
‡&†Y‡iž|†Y—‚Šˆ‹Wˆ‚•†yŸi‡ Y m’ ‚ ˆ œ¿‡ižp„ša‡[email protected]Œ ‡išašp‡i„š«‡iˆ ˆ‚ šaœ¿‡ L (L (L )) _‚ „mš™Œ“‰O˜ƒ’†a‡ižpža‡ ‡F†
‡FˆIˆ‚Ššaœ¿‡ L (L (L )) S‚ „šŒ ‰ ‹F‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †y‡ ‚ ˆ S‡i„m†œ¿‚ ˆ †yšp‡iBš „‡[email protected]Œ ‡išpša‡i„mšY‡iž|†fœ‰ ‘p‚ špŸi‡
c‰•š C δt + h + _‚ „mš Œ“‰t˜ƒ’†a‡ižažp‡D‡&† c‰Šš C δt + h + S‚ „šLŒ ‰‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡ •¤‡iž
šp’“ˆ‹F’“c‰•Œ“‡ižD—’ @¿‹i„mŒ†yŸFžYšp‚ ˜ƒ’‡iˆˆ‡Fˆ †—„ & ‰Š’† ƒ„m‡#Œ“‰'˜ƒ’†a‡ižažp‡ u ‡iž|†—‡F˜Š‡iˆ „‡#„ˆ‡J˜•‰Šša’“‰ Œ‡
h,n
h,n
h,n
∞
t
h,n
1
y
2
j
n
1
ω
1
√
R
j
h,n
∞
t
2
y
√1
R
n
h
2
ω
h,n
h
$7
*
yI = 1
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
UI = 0
u : P1
τ : P0
τh,n =
h
y0 = 0
1
We R
PR
j
j=1 (Xh,n FY
j
j
(Xh,n
, Yh,n
))
u
τ
U0 = 1
 Ž ¤‰¿œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡#ª·J¼W¼Wµzµ ¥«À!¦ —‰ŠˆžtŒ“‡©‹i‰Šžf—$ „ˆBŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †‹i’žy‰Š’Œ“Œ“Ÿ
‰ŠŒŸw‰•†a‚ ’“šp‡ ‡&†=ƒ„m‡‹F‡išp†y‰Š’“ˆm‡iž#‡ižp†a’“œ¿Ÿi‡Fž & ‰•’†y‡FžO‰Š„ ˆ’˜Š‡w‰Š„ ‹i‚ ˆ †a’“ˆ „7ˆm‡¿žp‡¿†ašy‰Š—m„’“žp‡iˆ †#— ‚ ˆ‹
c‰•ž#—m’“ša‡F‹F†a‡iœ¿‡iˆ †#‰Š„ ˆ’˜Š‡w‰Š„ —’ža‹išp‡F† „‡†y‚ „†y‡ižJŒ‡iž©†ašy‰ ‘p‡F‹F†y‚Š’“ša‡FžOža‚ ˆ †O‹i‚Š„Œ“ŸF‡iž Œ ‰
˜ƒ’†a‡ižpža‡O‡F#† „‡OS‚ „šYšp‚ „m˜Š‡išŒ ‰ ž|†£‰ ’Œ“’ †yŸt—„ ža‹£ºŸFœ ‰Jc‚ŠˆI‰+S‡ižp‚ ’“ˆ$—$ „ˆm‡#‡Fžp†a’“œ¿Ÿi‡Jža„mšŒ ‰
œ¿‚ › ‡iˆmˆ‡'‡Fœm’“ša’ „‡J—„ ‹w‰ŠšpšaŸO—‡ Y
j
n
R
1X j 2
(Y ) < 1.
δt
R j=1 n
¡ ‚ „š©šp‚ „m˜Š‡išWŒ“‰‹F‚ ˆ ˜ ‡išL ‡iˆm‹i‡~ˆ‚ „žW‰ ˜Š‚ ˆž©—m‚ ˆ‹mša‚ S‚ žaŸ'— „m†y’Œ“’“žp‡iš„ˆ ‹F„m†p¹ ‚ ža„š Y „m’“ž«œ‚ ˆ †ašaŸƒ„m‡W‹i‡f‹i„m†|¹!‚ ˆ$ Ÿ&†£‰Š’ †™„†y’“Œ’“žpŸ „ ‰w˜ ‡F‹©„ˆ‡tša‚c‰’Œ“’†aŸ‡&´ƒ†yšLKiœ¿‡iœ¿‡iˆ †& ‰•’Œ‡
„c‰Šˆm— δt ‡ižp†Wža„[email protected]¿ža‰Šœœ¿‡iˆ †W_‡&†y’†f‚ „ R ža„[email protected]¿žy‰•œœ¿‡iˆ †'Ššy‰Šˆ—$_¼t‚ „žW‰ ˜Š‚ ˆž©œ¿‚ ˆ †yšpŸ% „‡
‹F‡#špŸižp„Œ†y‰•†—‡J‹F‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡Ÿ&†£‰Š’ †Y˜•‰ŠŒ ‰ Œ“.‡ ƒ„m‡iŒ“Œ'‡ „‡Jža‚Š’†Œ“‰ —ŸiS‡iˆ—‰Šˆ‹i‡O‡FˆI‡Fžac‰Š‹F‡O—‡iž
œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †yž ša‚ 6ˆ’‡iˆž (W ) &B B G < B G G < % B D $ ¼f‚ „mžf‰w˜Š‚ ˆžt-Ÿ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †šaŸ 1cŸi‹£ºm’ žp„š@Œ ’“Jˆ 1c„m‡iˆ‹F‡#—m‡#Œ“‰Q—ŸiS‡iˆ—‰Šˆ‹i‡#—‡Fžfœ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †yž
šp‚ 6ˆ’“‡Fˆž‡iˆU‡Fžac‰•‹i‡ ‹ & Dˆm‚Š†£‰Šœ¿œ¿‡iˆ † Œ“‰7žp‡i‹F†a’“‚ ˆ J Ž —c‰Šˆž Œ“‡B‹£ºc‰Š’ †yša‡ D·©ˆ S‡i„m†
žp‡ ‹i‚Šˆ ˜•‰Š’ˆ‹išp‡ —„vœ¿‚ ’ˆžJ—c‰Šˆž'Œ“‡‹w‰•ž—‡¿ža‚ Œ„m†y’‚ ˆžOšaŸ „Œ’“½išp‡iž Aƒ„m‡ Œ ‰ —ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ‹F‡ —„
œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ 8† ša‚ 6ˆ’‡iˆ¿‡iˆŒ ‰W†ašy‰ ‘p‡F‹F†y‚Š’“ša‡$ˆ ‰Jc‰Šžr— E ’“MˆDFD1cH„GIG‡i ˆm‹i‡ža„šrŒ‡YšaŸFža„Œ †£‰•†r‹F‚ ˆ †y’“ˆ „ ƒ·©ˆ
‰Wm„ ‡iˆ †a‚ „m† ‹i‰ŠžzŒ‡™—mŸiœ¿‚ ˆ †yša‡Fšz—c‰•ˆž Œ“‡«‹w‰•ž —‡iž B
º‚‚Š¢ŠŸi‡Fˆž —c‰Šˆmžz„ˆQŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †
‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸ ¡ ‰•šJ‹i‚ ˆ †yšp‡ X‹F‡F†p†y‡Q—ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ‹F‡¿‰„ˆ‡Q’“Mˆ 1c„‡iˆm‹i‡Qža„mšJŒ ‰˜•‰Ššp’ ‰Šˆ‹F‡—‡FžOšaŸižp„Œ†y‰•†yž „ˆm‡ & ‚Š’“žWŒ‡ šp5‚ Œ“½Fœ‡—’“žp‹išaŸ&†y’žaŸX‚Šˆ5‚ ža‡Fšp˜Š‡ „‡‹£º‚Š’“ža’šW—‡FžOœ‚ „˜ ‡iœ¿‡iˆ †aDž ša‚ 6ˆ’‡iˆž
—ŸF‹i‚ špšaŸFŒ“Ÿižf‡iˆ ‡Fžac‰•‹i‡mŒ“„m† Š†ƒ„m‡ˆ‡#—ŸiS‡iˆm—c‰Šˆ †©c‰•žW—‡#@Œ ‡ižpc‰Š‹i‡‰Š0„ œ¿‡iˆ †a‡'Œ“‰Q˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡
žp„š Œ ‰B˜’ †y‡Fžaža‡ œ ‰Š’ž'Œ“‰I—’œ’ˆ „‡žp„š Œ“‰®‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡ zªD‡F†p†y‡$5‚ žp‡iš|˜Š‰¾†y’“‚Šˆv‰ ŸF†aŸ & ‰Š’ †y‡¿c‰Šš
Œ„ža’‡i„špžt‰Š„m†y‡F„šaž ‹ & ¶ M •– j
n
j
h,t 1≤j≤R
>
=%($ '' 31 )(1# &#=(3% )(#%
f¼ ‚ „mž ‰w˜ ‚ ˆmž ‰Šˆc‰•Œ›ƒžaŸ™Œ ‰˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡«—‡iž šaŸFža„Œ †£‰•†ažz‡iˆ%& ‚ ˆ‹F†a’“‚ ˆ#—‡Fž —’ _Ÿišp‡iˆ †yž c‰Šša‰Šœ½&†yšp‡iž
ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡iž#‡F†#ˆ‚•†£‰Šœ¿œ‡Fˆ †O—‡Œ ‰œ‰•†yšp’“‹i‡Q—m‡¿‹F‚ šašpŸiŒ“‰•†y’‚ ˆ‡iˆ ‡ižpc‰Š‹i‡¿—‡Fž'œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †yž
šp‚ 6ˆ’“‡Fˆž (W ) ™¼f‚ „mž$‰w˜ ‚ ˆž‰Š’“ˆžp’fm„ —Ÿiœ¿‚ ˆ †yšp‡iš™†y‚Š„¾‘p‚ „špž —c‰Šˆmž Œ“‡I‹w‰Šž —‡iž
B EDFDHGIG ºm‚‚ ¢•Ÿi‡Fˆžf—‰Šˆž„ˆBŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †‹F’“ža‰Š’“ŒŒ“Ÿ „‡¿
‰ $¤‰˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡ ža„mš Œ“‰D˜’ †y‡Fžaža‡«‡iž|†Lœ’ˆ’“œ „mœ0S‚ „š„mˆ'œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ † ša‚ 6ˆ’‡iˆ#‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †
‡FˆI‡Fžac‰•‹i‡ °t†y’Œ“’ža‡išS—‡FžLœ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †yž šp‚ 6ˆ’“‡Fˆž‹i‚ œ¿Œ½F†y‡Fœ‡Fˆ †—Ÿi‹F‚ šašpŸiŒŸižˆ ‡iž|† ‰ŠžŒ“‡ œ¿‡i’Œ“Œ‡i„š
œ¿‚ › ‡Fˆ —‡fšaŸi—m„’“šp‡tŒ“‰©˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡ža„mš @Œ „m†a’“Œ“’žy‰•†a’“‚ ˆ'— „ˆ šp‚ 6ˆ’“‡Fˆ œ „Œ †y’Œ“’ŸY‰ŠŒ †y‡iš5¹
ˆ‰•†y’ ˜ ‡iœ¿‡iˆ †#c‰Šš +1 ‚ „ −1 —c‰•ˆž'Œτ‡ižJ‹F‡iŒ“Œ„Œ“‡FžJ‡iž|†‚ †y’“œ‰ŠŒL_‚Š„šO‹i‡ ƒ„m’ ‡ižp†'—‡Œ ‰
˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡Jža„mš ‹ $À!ŒX‡iž|†_‚Šžaža’ Œ“τ‡W—‡OšaŸi—m„’“šp‡©Œ ‰˜•‰Ššp’ ‰Šˆ‹F‡©ža„mš τ c‡iˆ ‹F‚ œ‰Ššy‰Š’ža‚ ˆ —„ ‹w‰Šž— „ˆ œ‚Š„¹
˜Š‡iœ¿‡iˆ .† ša‚ 6ˆ’‡iˆB‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †t‡iˆB‡ižpc‰Š‹F‡ ‡F†t‹i=‡ ‹i‚ †‹w‰ŠŒ‹i„Œ‹F‚ ˆžp†y‰Šˆ † ¡ ‚ „šJŒ“‡'—ŸF†y‰Š’“?Œ ˆ‚ „ž©šp‡iˆ ˜ ‚ ›Š‚ ˆž'‰Š„ ‹£ºc‰Šm’†yšp‡ ‡&†Jˆ‚Š†y‰Šœœ¿‡iˆ †©‰Š„´I†£‰ Œ‡w‰Š„ƒ´ špŸi‹w‰•’†a„¹
Œ“‰•†y)’ & ž J  ”Q‡F† J  5 < B G B G HG $ " $ ¼f‚ „mž ˆ‚ „žža‚ œ¿œ‡F%ž (cˆ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †’“ˆ †yŸFša‡FžažaŸFž¿‰Š„vœ¿‚—½FŒ“‡µ ¥r¼W¥z¹ ¡ ·©ˆ šy‰•_‡FŒ“Œ‡ „‡
S‚ „š$‹F‡œ‚ƒ—½iŒ‡ ™‚ ˆUša‡FœŒ“‰Š‹i‡®Œ“‡ ‹i‰ŠšašpŸ—‡Œ ‰vˆ‚Ššaœ¿‡ —„U˜ ‡F‹F†y‡F„š _‚Š„m†p¹ ¾¹ S‚ „m† —c‰Šˆž
Œ‡—Ÿiˆm‚ œ’ˆc‰•†a‡i„š ‰Šš žy‰ œ¿‚ › ‡Fˆˆ‡ À!Œ™-ž ‰ ’ †Q—‚ ˆ‹ — „mˆ‡B‰Ššp‚ ´’œ ‰•†a’“‚ ˆ †!›ƒ_‡$‹£ºc‰•œ
œ¿‚ › ‡iˆ „’ ‰S‚ „.š „m†W— ‚ m†y‡Fˆ’“št„ˆ‡'-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ & ‡Fšaœ¿Ÿi‡#ža„šWŒ“‡O†y‡iˆmža‡i„mš©—‡ižf‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡iž
‹ & cža‡F‹F†a’“‚ ˆ 5 5 J–  <
¼f‚ „mžO‰ ˜Š‚ ˆž#‰Šˆc‰•Œ›ƒžaŸQ?Œ ¥r­J‰Šžpža‚ƒ‹i’“ŸF‡¿‰Š„œ‚ƒ—½FŒ“‡Qµ ¥r¼f¥ ¹ ¡ „’ ‡Fžp†Oˆ‚Šˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Š’“šp‡ ‰Š„
žp‡iˆž«—‡t³I‹ /J‡w‰Š$ˆ ¼f‚ „mž ˆ‚ „ž žp‚ œœ¿‡iž S‚ „šz‹i‡iŒ“‰©Œ ‰•‹iŸiž —‰ŠˆžrŒ“‡Y‹i‰Š—šp‡— „mˆŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †
—‡ ˜ƒ’ †y‡ižpža‡Q‹F‚ ˆˆ „ ‹ & 5 ~¼f‚ „ž©‰ ˜Š‚ ˆžJœ¿‚ ˆ †yšp+Ÿ „‡[email protected]Œ ¥r­J®ˆ‚ ˆ¹ Œ“’ˆŸw‰Š’ša‡'‰Š—œ¿‡F†p†£‰Š’ †
„ˆm‡„ˆm’ „‡¿ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ °tˆ‡ & ‚ ’“žOŒ“‡Qmša5‚ Œ½iœ¿‡—’“žp‹išaŸ&†y’žaŸ ‚Šˆ7S‡i„m†'„m†a’“Œ“’ža‡Fš©„ˆ‡‰Ššp‚w´m’¶¹
œ‰•†y’‚ ˆ$c‰Šš|†y’‹i„Œ“‰Š’“šp‡W—‡[email protected]Œ ¥r­J$ža‚ „žŒ“‰ & ‚Ššaœ¿‡ ‹ & W ∀1 ≤ i ≤ M !
5 X
1
1
dX
= κ(t)X
−
dW
dt + √
P
2We 1 −
We
||X || /b
‚ (W ) —mŸiža’ ˆ‡„ˆ‡¿‹i‚ ŒŒ“‡i‹&†y’‚ ˆ7—m‡ M œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ †y>ž ša‚ 6ˆ’‡iˆž'’“ˆ—ŸF_‡Fˆ—c‰Šˆ †a-ž ¤‡J†y‡Fˆža‡F„šf—m‡ižt‹i‚ ˆ †yša‰Š’“ˆ †a‡iž‡iž|†W‰•Œ“‚ špžY‡iž|†y’“œ¿ŸJc‰ŠšŒ“‰ œ‚ › ‡Fˆˆ‡#‡iœ¿’“šp’ „‡
 P 
X
⊗
X
À!—
ε 
τ =
− .
P
We
1−
||X || /b
¼t‚ „žO‰w˜ ‚ ˆmž#œ¿‚ ˆ †yšpŸ @Œ ‡&´’žp†y‡Fˆ‹i‡Q$— „ˆm‡Qža‚ Œ„m†y’‚ ˆ‰Š„šp5‚ Œ½iœ¿‡c‰Šš|†y’‹i„Œ“‰Š’“šp‡ 5 t‡&†OŒ ‰
‹F‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡#—„$†y‡iˆmža‡i„mšt—m‡iž‹i‚Šˆ †ašy‰Š’ˆ †y‡iž—‰ŠˆžŒ ‰'Œ“’“œ¿’†a‡ M → ∞ ¤‰ šp‡i„m˜Š‡#‡Fžp#† c‰•žaŸi‡
žp„š Œ ‰v—ŸFœ‚ ˆmžp†yša‰•†y’‚ ˆ —‡ Œ“‰7†y‡Fˆža’‚ ˆ —‡ Œ ‰Ržp„’†a‡—‡iž œ¿‡iža„mša‡iž ‡Fœ’ša’ ƒ„m‡i-ž ™„’ž$ža„š
Œ? ’—‡iˆ †y)’ (c‹w‰¾†y’“‚Šˆ$—‡OŒ ‰ œ¿‡iža„mša‡OŒ“’œ’ †y‡ „ˆBšp5‚ Œ“½Fœ‡J—m‡#œ‰Šš|†y’“Jˆ ‰ŠŒ“‡ j
h,t 1≤j≤R
i,M
t
i
i,M
t
i,M
t
M
i=1
1
M
i,M
t
2
i
t
1≤i≤M
M
i=1
1
M
M
p
i,M
t
M
i=1
1
M
i,M
t
i,M 2
t
(
7.
/
>=
­©‰ŠˆžJ‹F‡F†p†y‡Qža‡F‹F†a’“‚ ˆ ~ˆ‚ „žJšpŸižp‡iˆ †y‚ ˆmž'— ‰Š„m†aša‡FžO‰ŠžaS‡i‹&†yžOˆ „œŸFša’ƒ„m‡ižJ—‡QŒ“‰ —’“žp‹išpŸF†y’¶¹
ža‰•†y’‚ ˆ —‡ 5 <
?
$7 !"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
< B *
f° ˆ$‰•žaS‡i‹F†D’“œ¿_‚Ššp†£‰•ˆ †«—‡WŒ ‰Oža’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆ—‡ 5 c ‰Šš«Œ ‰#œŸ&†yº‚ƒ—‡Jª·J¼f¼Wµ µ ¥«ƒÀ!¦
‡Fžp†Œ“‰'šaŸF—„‹&†y’“‚Šˆ$—‡f˜•‰Ššp’ ‰Šˆ‹F‡¼f‚ „mžYša‡Fˆ ˜Š‚ › ‚ ˆž  ~S ‚ „š™—‡ižD†a‡i‹£ºˆm’ „‡iž—m‡W˜•‰Šša’“‰Œ“‡Fž
—‡#‹i‚Šˆ †aš Œ‡À!Œž ‰ ’†—m‡#špŸiŸF‹iša’ša‡OŒ@ Ÿ- „c‰¾†y’“‚Šˆ$ža„š τ —‰Šˆ ž 5 Džp‚ „žŒ ‰+& ‚ špœ‡
À!— τ =
E(X ⊗ F (X) − X ⊗ F (X)) + E(X ⊗ F (X)) −
‚ X —ŸFža’ ˆ‡BWe„ˆ šp‚‹F‡ižažp„ž$ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ — „ˆ‡ ¥r­J 9!ša‚ƒ‹£º<‡ ;B—‡®‹F‡iŒ“Œ‡B˜ŠŸišp’ (cŸF‡®c‰Šš X
_‚ „m'š „‡ Œ ‰˜•‰Šša’“‰Šˆ‹i‡'—‡ Œ“‰˜•‰Šša’“‰ Œ“‡'‰ŠŒŸw‰•†a‚ ’“šp‡
ža‚ ’ †©Œ„ž
⊗ F (X))
S‡F†a’†y,‡ ƒ„m‡#Œ“‰'˜•‰Šša’“‰Šˆ‹F‡©—‡ (X ⊗ F (X))™‡&††y‡FŒ“Œ“.‡ (X „⊗‡JŒ F+‰ (X)
„c‰Šˆ −†a’†yXŸ E(X
S‡i„m†
⊗ F (X))
K&†yša‡‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“ŸF‡Y—‡œ‰Šˆ’½iša‡™’“ˆ—mŸiS‡iˆ—c‰•ˆ †a‡‡F† špŸi‹F’“ža‡ ža‚ Œ„m†y’‚ ˆQ‰Šˆ‰ŠŒ› †y’ „‡ •ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ — „ˆ‡
¥r­ ¡ À!IŒ & ‰Š„m%† ’“‡FˆRˆ‚Š†a‡i%š ƒ„m‡ Œ“‡Fž‰•ša‚w´’“œ‰•†a’“‚ ˆžO—‡ & ‡išpœ‡&†y„šp‡ ‹ & ža‡F‹F†y’‚ ˆ 5 5 0– 
„’JS‡išpœ‡&†a†y‡Fˆ † — ‚ m†y‡Fˆ’“š—m‡iž œ‚ƒ—½FŒ“‡iž œ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡iž$Ÿ „’˜•‰ŠŒ‡iˆ †yž'‘p‚ „m‡iˆ † „ˆ š Œ‡
’œS‚ šp†y‰Šˆ †—c‰Šˆmžf‹F‡#—m‚ œ ‰•’“ˆ‡ ‹w‰Šš‚ ˆBS‡i„m†t‡iˆmža„’ †y‡O„m†y’Œ“’ža‡išD‹i‡ižtœ¿‚—½FŒ“‡Fž_‚ „mš •†y’š—‡iž
˜•‰Ššp’ ‰ Œ‡iž—m‡ ‹i‚ ˆ †aš Œ‡ Y¨f’“ˆž[email protected]’ «‚ ˆU_‡F„m† ‹£º‚ ’ža’š ‹i‚Šœœ¿‡®˜•‰Šša’“‰ Œ‡I—‡‹F‚ ˆ †yš Œ“‡ S‚ „š Œ“‡
œ¿‚—m½iŒ“‡fµ ¥r¼WB¥ ƒža‚ ’ †DŒ‡fmša‚ƒ‹i‡ižpža„#ž #@Œ -Ÿ „’Œ“’ mša‡ ∂ u = 0 —c‰Šˆž™@Œ ¥r­J ƒža‚Š’†™Œ“‡tša‚ƒ‹i‡Fžaža„mž
‰w˜ ‡F‹ Œ ‰ & ‚ šp‹i‡ºm‚‚ ¢•Ÿi‡Fˆˆ‡ zža‚ ’ †QŒ“‡ša‚ƒ‹i‡Fžaža„mž‰w˜Š‡i‹$Œ C‰ & ‚ ša‹F‡$µ ¥r¼W¥z¹ ¡ ­©‰•ˆžQŒ“‡mša‡iœ¿’“‡Fš
‹i‰Š-ž ‚ ˆ¿‹i‚Šˆˆc‰•²†r‰Šˆc‰ŠŒ › †y’ „‡Fœ‡Fˆ †rŒ ‰W˜•‰ŠŒ“‡F„š —‡ E(X ⊗ F (X)) Š†y‰Šˆ—’Iž „‡f—‰Šˆž Œ“‡Fžr—‡i„´
—‡Fšaˆ’‡išpžt‹i‰Š-ž ‚ ˆ S‡i„m†tŒ“‰ ‹w‰ŠŒ‹i„Œ‡iš‡iˆBšaŸFža‚ Œ ˜•‰Šˆ †„ˆ‡#¥r­ ¡ ‹ & cža‡i‹&†y’‚ ˆ 5  0–  <
< G B C G < > B " G ¡ Œ“„žp’“‡i„mšažr-Ÿ „’_‡Fž«žp‡fžp‚ ˆ †DŸ ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †r’“ˆ †yŸFša‡FžažaŸF‡iž #Œ“‰©šaŸižp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ¿—m„ž|›ž|†y½Fœ‡ 5 <
’ ˆc‰ŠŒ‚ ˆž ‡Fˆ ‰Ššp†a’“‹i„mŒ“’“‡FšŒ“‰®†yº½Fža‡ šaŸF‹i‡iˆ †a‡I—‡$%¨ r¤‚ i’ˆža¢ ’ ¶ ” ‰Š’“ˆžp’ „‡ ¶w– ? ¤‡iž
œ¿ŸF†aº‚—m‡iž«žaS‡i‹F†ašy‰ŠŒ‡iž«ža‚ ˆ †™‡iˆ ŸiˆŸFšy‰ŠŒ šp’˜ƒ’“Œ-Ÿ ’Ÿi‡Fž _‚ „mš«špŸižp‚ „—šp‡[email protected]Œ -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆ¿—m‡Wµc‚ ¢ ¢Š‡Fš|¹
¡ Œ ‰•ˆ‹£¢'‡&† žp‚ ˆ † ‹i‚ „mŒ“ŸF‡iIž t„ˆ‡Yœ¿ŸF†aº‚—m‡D— ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yž (cˆ’“ž _‚Š „ šz?Œ Ÿ ƒ „‰•†y’‚ ˆžp„š Œ ‰˜ƒE’†y‡FDFžaDžpH‡ GIG
¤‡Oša‚ Œ“½Fœ‡Jšp’“ˆ‹F’“c‰•ŒX—‡O‹i‡&†a†y‡#‰Šmša‚ƒ‹£º‡#‡ižp† „ ‡iŒŒ“‡J‡iž|†
Œ“’œ’ †yŸi‡W‰Š„ B
‡&†™—m’ @¿‹i’Œ“‡iœ¿‡iˆ † ŸiˆŸFšy‰ŠŒ’“ža‰ Œ“‡ ©„ˆ‡‹£ºc‰•²“ˆ‡—‡šp‡ižažp‚ šp†a-ž 7 „’c‡Fžp†r„ˆ¿œ‚ƒ—½FŒ“‡DmŒ“„ž špŸw‰ŠŒ’“žp†a‡
‹ & Sža‡i‹&†y’‚ ˆv5 5 J S¼f‚ „mž©‰w˜ ‚ ˆmž©‹i‡F_‡Fˆ—c‰Šˆ †J‹F‚ œœ¿‡iˆm‹i+Ÿ †y‡Fžp†y‡Fš©—‡FžW†y‡F‹£ºˆ’ „‡Fž©S‚ „š
S‚ „m˜Š‚ ’“štšaŸFža‚ „—mša‡ ?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆI—m‡ µc‚ ¢ ¢Š‡Fš|¹ ¡ Œ“‰Šˆ‹£¢ ‡iˆ Ššy‰Šˆ—m‡—’œ‡Fˆža’‚ ˆ c‡F†WŒ“‡Fžfšp‡iœ¿’“‡Fšaž
špŸiža„mŒ†£‰¾†yžža‡F+œ Œ“‡Fˆ †fmša‚ œ¿‡F†p†y‡i„mšaž †ašy‰w˜•‰Š’“Œ_‡iˆB‹i‚ „špž‡iˆB‹i‚ ŒŒ ‰ S‚ šy‰¾†y’“‚Šˆ‰w˜ ‡F‹ ,ª S‹£7º 6D‰ <
- ' CDi %& Y6Y C™% 465
¼f‚ „mžJ‰w˜ ‚ ˆžJ—‰ŠˆžJ‹i‡‹£ºc‰Š’ †yša‡’“ˆ †yšp‚—„m’†fŒ“‡ižWœ‚ƒ—½iŒ‡ižfœ‚ ŒŸi‹F„Œ ‰Š’ša‡FžtS‚ „šWŒ“‡iž 1c„’—‡iž
S‚ Œ›ƒœ¿Ÿišp’ „‡iž'‡F†Qœ¿‚ ˆ †yšpŸ ‹F‚ œœ¿‡iˆ †‹i‡ižQœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižŸ&†£‰Š’‡iˆ † Œ’“ŸFž ‰Š„´Rœ¿‚—½FŒ“‡Fžœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚•¹
’ „‡iž ¼f‚ „ž‰w˜Š‚ ˆž‡iˆžp„’†a‡r‰Šˆc‰ŠŒ ›ƒžaŸ Œ“‡Fžœ‚ƒ—½FŒ“‡iž~œ’‹iša‚¾¹!œ‰Š‹išp0‚ <ƒ„m’ ‹i‚ „mŒ“‡Fˆ †Œ‡ižœ¿‚—m½iŒ“‡Fž
œ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ“‰Š’“šp‡iž™‰Š„´ -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžYœ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡FžY—‡©‹F‚ ˆža‡Fšp˜•‰•†a’“‚ ˆ$—„$œ¿‚ œ¿‡iˆ †™‡F†— ’“ˆm‹i‚ œQ¹
šp‡ižpža’ m’“Œ“’ †yŸ©žp„šŒ ‰ ˜ƒ’†a‡ižažp‡ ­W„ _‚ ’ˆ †—‡B˜ƒ„‡ —‡[email protected]Œ ‰Šˆc‰•Œ›ƒža‡$œ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡—„ ša5‚ mŒ“½iœ¿‡$‹i‚Š„Œ“Ÿ ˆ‚ „ž¿‰w˜ ‚Šˆ-ž —c‰•ˆžŒ‡Q‹w‰Š—šp‡$— „ˆRŸi‹i‚Š„Œ“‡Fœ‡Fˆ †#‹F’“žy‰•’“Œ“ŒŸ _ša‡F†aša‚ „˜ Ÿ Œ‡ižO—’ @‹F„Œ†aŸižOœ‰•†yºŸFœ ‰¾†y’ „‡FžO—Ÿ5"‘ šp‡iˆ‹F‚ ˆ †yšaŸF‡ižc‰ŠšŒ“„žp’“‡F„šaž‰Š„m†y‡F„šažQ—‰Šˆž ?Œ ‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža‡—‡ižQœ¿‚ƒ—½iŒ‡ižœ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž ¤‡iž
ˆ‚Šˆ¹!Œ’“ˆŸi‰Šša’ †yŸižt—c‰ŠˆmžJŒ“‡œ¿‚ƒ—½iŒ‡'‹F‚ ˆ—„’ža‡Fˆ =† —m‡ižJšaŸFža„Œ †£‰•†až©— ‡&´’“ž|†y‡Fˆ‹i‡Q‡&†J„ˆ’‹i’†aŸc‰•š|¹
†a’“‡iŒ-ž ~¼f‚ „ž#‰w˜ ‚ŠˆžOc‰ŠšJ‰Š’Œ“Œ‡i„špžWœ¿‚ ˆ †yšaŸ AŸi‹F‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †O—‚ ˆˆmŸ @Œ ‡&´’žp†y‡Fˆ‹i‡—‡Qžp‚ Œ“„†y’“‚Šˆž
p
p
y
> 1% (*+#&,.# ,.#%B#%
‰Š„ƒ´U¥r­J§špŸ- ’žažy‰•ˆ †Œ@ ŸF˜ ‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ —„ B E DFDH GIG S‚ „šŒ“‡ižœ‚ƒ—½FŒ“‡iž¿º‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆ Yµ ¥r¼W¥ ‡F†
µ ¥r¼f¥ ¹ ¡ ­W„ _‚Š’“ˆ †©—‡'˜„m‡¿—m‡ @Œ ‰Šˆc‰ŠŒ ›ƒža‡ ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ —‡FžJœ‚ƒ—½FŒ“‡iž_ˆm‚ „žO‰w˜ ‚ ˆmžJ„ X—c‰•ˆžJ‹i‡Fš|¹
†y‰Š’“ˆž ‹w‰Šž$žp’“œ¿Œ“)’ (cŸiž ™œ¿‚ ˆ †yšp‡išŒ“‰v‹i‚ ˆ ˜ ‡Fš" ‡Fˆ‹i‡ —‡Fž$œŸ&†yº‚ƒ—‡iž$ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡Fž$‡iœ¿Œ“‚ › ŸF‡iž
ª·O¼f¼Wµ µz¥™mÀ!¦ _­W‡#Œ“„ž cˆ‚ „žf‰w˜ ‚ ˆmžW‰Šˆ‰ŠŒ›ƒžaŸOŒ“‰œ‰Šˆ’½išp‡#—m‚ ˆ †fŒ“‰ ˜Š‰•ša’ ‰•ˆ‹i‡O—‡FžfšpŸ&¹
žp„Œ†y‰•†yžf—ŸiS‡iˆ—‰Š’†W—‡iž©‰Ššy‰Šœ¿½F†aša‡FžWˆ „œ¿Ÿiša’ „‡iž ~‡F†Wˆ‚Š†y‰Šœœ¿‡iˆ †f—‡Œ“‰œE‰ŠˆDF’D½iHšaGI‡#G —‚ ˆ †WŒ“‡
œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ † ša‚ 6ˆ’‡iˆOœ‚ƒ—ŸFŒ“’“ža‰Šˆ †XŒ‡ _‚Š+œ c‰Ššp—‡iœ¿‡iˆ †—„Ožp‚ Œ˜•‰Šˆ †žp„šŒ“‡ B
—ŸiS‡iˆ—
—‡[email protected]Œ ‡iža‰Š‹i‡ Š¥ Jˆ (c$ˆ Šˆ‚ „mž ‰w˜ ‚ ˆmž -Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ † œ‚Šˆ †ašaŸ«Œ ‰‹i‚ ˆ ˜Š‡i"š Š‡iˆ‹F‡t$— „ˆm‡Y‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ
c‰•šp†y’‹i„Œ“‰Š’“šp‡©—c‰ŠˆmžtŒ‡J‹w‰Šž—„Bœ¿‚—½FŒ“‡Jµz¥«¼f¥z¹ ¡ ¡ Œ“„žp’“‡i„mšaBž „‡iž|†y’‚ ˆžša‡Fžp†y‡Fˆ ,† Q‹F‡Y‘p‚Š„šY‚ „m˜Š‡iš|†y‡iž S­W„IS‚ ’ˆ †Y—‡©˜ƒ„‡O—‡[email protected]Œ ‰Šˆc‰ŠŒ ›žp‡©œ‰¾¹
†aºŸiœ‰•†y’ „‡ ’“Œmša‡iž|†y,‡ = ŸFˆŸiša‰ŠŒ“’ža‡Fš«Œ‡iž«šaŸFža„Œ †£‰•†až«‚ m†y‡Fˆƒ„mžDS‚ „šr—‡iž™Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †yž«‹i’“ža‰Š’“ŒŒ“ŸFž
B—‡iž#Ÿi‹F‚ „Œ“‡Fœ‡Fˆ †y=ž ƒ„m‡iŒ“‹F‚ 0ˆ „‡F-ž ¼t‚ „ž#_‡Fˆža‚Šˆ>ž „‡¿@Œ ‡&´ƒ†yša‰ŠS‚ Œ ‰•†a’“‚ ˆ—m‡ˆ‚Šž'špŸiža„mŒ†£‰¾†yž
— ‡&´’žp†y‡Fˆ‹i‡B‡iˆ †a‡iœ¿ž S‡F†y’ †Qža„mšQŒ“‡ž|›ž|†y½Fœ‡$‹F‚ „ŒŸ$‡iˆ —’“œ¿‡iˆmža’“‚Šˆvža„SŸišp’“‡F„ša‡
‚ „ d = 3#—m‚ ’>† KF†yšp‡S‚ žažp’ Œ‡ Lœ ‰Š’ž‡Fˆ ’“ˆ ˜ ‚ „c‰Šˆ †Qc‰ŠHš & ‚ ’“ž'— ‰Š„m†yšp‡ižQ‰•"š „œ¿‡iˆ †až d‡F†Q=‡Fˆ2
—‡Fœ ‰•ˆ—c‰Šˆ †$ža‰Šˆž$—‚ „†y‡ Œ„ž —m‡ šaŸ „Œ ‰•ša’†aŸIžp„šŒ‡ižžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž ‹ & DŒ‡ižšpŸižp„Œ†y‰•†yž¿†!›m’ ¹
„‡Fœ‡Fˆ †Y5‚ m†y‡Fˆ „žDžp„šDŒ‡iž«œ‚ƒ—½iŒ‡ižrœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž <mªD‡F_‡Fˆ—c‰Šˆ -† mŒ ‰J˜ ŸFša’ †£‰ Œ#‡ ƒ„m‡ižp†a’“‚ ˆ
šp‡ižp†a‡[email protected]Œ ‡&´’“ž|†y‡Fˆ‹i‡©—m‡Wža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆž™‡iˆ †a‡iœ¿žYŒ‚ 0ˆ 0ƒ¥ ˆ$c‰Šš|†y’“‹F„Œ“’‡iš ˆ‚ „žY$ˆ ‰w˜ ‚Šˆ žY c ‰Š žD‡i ˆ‹F‚ ša‡
„7‡&´Œ‚ ’†a‡iš©?Œ ‡Fžp†y’œŸF+‡ & ‰Š’“ža‰Šˆ †O’“ˆ †y‡Fšp˜Š‡iˆ’š#?Œ ‡Fˆ †yša‚Š’“‡ 5 , „’ ‹i‚ ˆ †a’“‡iˆ †
Œ„ž
— ’“Mˆ & ‚ šaœ‰•†y’‚ ˆž „‡'Œ ‰Qšp‡iœ¿’“½išp‡O‡ižp†a’“œ¿Ÿi‡O— Ÿiˆ‡F"š ’‡ 5 Ž „‡#ˆ‚ „žf‰w˜ ‚ ˆžf„m†y’Œ“’žaŸi‡ c­W‡
œ Kiœ¿‡ cŒ“‰ „‡Fžp†y’‚ ˆ®—m‡'?Œ ‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža‡O—‡FžWœ¿‚—m½iŒ“‡Fžœ’‹iša‚¾¹!œ‰Š‹išp‚ —c‰ŠˆžfŒ“‡O‹w‰•ž = 1 ‹ ‡Fžp†|¹ ¾¹
—’ša‡¿c‰Šž#—‡˜’ža‹F‚ ža’ †yŸ¿—c‰Šˆž#Œ“‡¿ža‚ Œ ˜•‰Šˆ † ©ˆ ‰Ic‰Šž#ŸF†aŸ ‰ _‚ šp—Ÿi‡¿‡F†'ža‡F+œ Œ‡—’ @¿‹i’“Œ‡ ¼t‚ „ž
‰w˜ ‚ŠˆžWŸ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †fžp‚ „Œ‡F˜ Ÿ#Œ„ža’‡i„špž „‡Fžp†a’“‚ ˆžtža„mšfŒ‡#‹F‚ œ¿_‚ š|†y‡Fœ‡Fˆ †t‡FˆI†y‡FœmžtŒ‚ 0ˆ —‡
‹F‡ižOœ‚ƒ—½FŒ“‡iž $ „’ žp‡i+œ Œ‡Q„ˆ ‰ŠžaS‡i‹&†OŒ“„mžJžaSŸi‹i)’ (* „‡¿‰Š„´ œ‚ƒ—½iŒ‡iž©œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰•‹išaJ‚ _¼t‚ „ž
‰w˜ ‚Šˆžf‰Šš‰Š’Œ“Œ“‡F„šaž™@Œ ’“ˆ †y‡Fˆ †y’“‚Šˆ—‡ ŸiˆmŸišy‰•Œ“’“žp‡išYŒ‡ižYšpŸižp„Œ†y‰•†yž5‚ †y‡iˆ „ž Q— ‰Š„m†aša‡ižœ¿‚—m½iŒ“‡Fž
—‡ 1c„’—‡iž‹F‚ œ¿Œ“‡k´m‡Fž ‹ & cžp‡i‹&†y’“‚Šˆ75 5 J ­W„S‚ ’ˆ †L—‡r˜ƒ„‡«—‡D?Œ ‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža‡ ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ ¾ˆm‚ „ž †ašy‰w˜•‰Š’“ŒŒ“‚ ˆmž‰Š‹F†a„‡iŒŒ“‡Fœ‡Fˆ †žp„šLŒ ‰šaŸižp‚•¹
Œ„m†y’‚ ˆ—m‡f?Œ Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ—m‡©µc‚ ¢ ¢Š‡Fš|¹ ¡ Œ“‰Šˆ‹£¢‡iˆ šy‰Šˆm—‡f—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆ ¡ ‰Šš™‰Š’“ŒŒ“‡i„mša-ž ŠŒ ‰ ƒ„m‡ižp†a’“‚ ˆ
—‡[email protected]Œ ‰Šˆc‰ŠŒ ›ƒža‡t—‡W‹F‚ ˆ ˜ ‡iLš ‡iˆm‹i‡©—„†y‡iˆmža‡i„mšY—‡iž™‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡iž«—c‰Šˆž™Œ“‡t‹w‰Šž™—„ œ¿‚ƒ—½iŒ‡fµz¥«¼f¥
‡Fˆ „m†y’Œ“’žy‰Šˆ †„ˆIža‹£ºŸFœ ‰ ˆ „œ¿Ÿišp’ „‡'‰Š—c‰Š†yŸ#_‚ „mšf—’ža‹FšaŸF†a’“žp‡iš[email protected]Œ ¥«­©Bša‡Fžp†a‡„ˆ mša5‚ Œ½iœ¿‡
‚ „˜ ‡iš|† ¡ Œ„ž špŸi‹i’žaŸFœ‡Fˆ -† ’“Œ«-ž ‰ ’ † —‡ ša‚ „˜ ‡išQŒ“‰®‹i‚Šˆ ˜Š‡iLš ‡iˆ‹F‡ —‡@Œ ‡ižp_ŸFšy‰Šˆm‹i‡$— „ˆ‡
& ‚ ˆm‹F†y’‚ ˆ ža’“Jˆ „Œ“’½išp‡ Œ“‡Q†a‡iˆžp‡i„š'—‡iž#‹i‚ ˆ †ašy‰Š’ˆ †a‡iž O—‡¿Œ ‰$žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ — „ˆ7ža‹£ºŸFœ ‰®$— ¥ „Œ‡iš
‰Šžpža‚ƒ‹i’Ÿi‡ „ˆ‡O¥r­J—‚Šˆ †Œ‡W†y‡Fšaœ¿‡©—‡J—ŸFša’ ˜ ‡JšpŸiža‡Fˆ †y‡OŒ ‰œ Kiœ¿‡©žp’“0ˆ „mŒ ‰Ššp’†yŸ ƒ¥rˆ ‚ „†yša‡ ’Œža‡iša‰Š’†t’ˆ †aŸišp‡ižaža‰Šˆ †W—m‡'‹F‚ œmša‡iˆm—ša‡Oža’Œ‡ižša‚Šša’ŸF†yŸFž‡iˆI†a‡iœ¿žŒ“‚ Jˆ ¿—m‡ižt-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆžf‰Š„
ˆ’ ˜ ‡i‰Š„$‹i‚ ˆ †a’“ˆ „$ža‡W†ašy‰Š—m„’“žp‡iˆ †Yc‰•šY—‡ižDša‚ mša’“Ÿ&†yŸFžDža’œ’Œ ‰Š’ša‡Fž ža„šYŒ‡Wšp5‚ Œ½iœ¿‡W—’ža‹išpŸF†a’“žaŸ ¤‡ižtža‹£ºmŸiœ‰Šžfˆ „œ¿Ÿišp’ „‡Fžt‹F‚ „Œ“‰Šˆ †tœŸ&†yº‚ƒ—‡iž— ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yBž (cˆm’“ž‡F†tœ¿ŸF†yºm‚—‡Fž—‡'³I‚ ˆ †y‡
ªY‰ŠšpŒ“‚ žp‚ ˆ † ‹F‡išp†y‰Š’“ˆm‡iœ¿‡iˆ † ‡Fˆ‹i‚ šp‡ †yšp½iž šp’“‹£º‡Fž —:‡ „‡Fžp†a’“‚ ˆž’“ˆ †yŸFša‡ižpžy‰Šˆ †a‡ižQ‡F†‚ ša’ ’“ˆ‰ŠŒ“‡Fž
šaŸi—m„‹F†a’“‚ ˆB—‡J˜•‰Šša’“‰Šˆ‹i‡ ‹i‚Šˆ ˜Š‡iLš ‡iˆ‹F‡ Sža‹£ºŸFœ ‰•žf‡FˆB†a‡iœ¿ž <
$7
*
9
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
H ¿("7&§M $&% 8C K$&F Y M YLK$¿( M $&% 8mC K &&
¨.(cˆ®—‡'mšaŸižp‡iˆ †y‡Fš©Œ“‡#‹i‚Šˆ †a‡&´ƒ†y‡—‡ižfœ‚ƒ—½iŒ‡ižœ¿’“‹išp‚•¹!œ‰Š‹Fša‚_‚Š„šfŒ‡iž#1c„’—‡ižt_‚ŠŒ›ƒœŸk¹
šp’ „‡iž™‚Šˆ§ža‡Iša‚Š_‚ žp‡®—‡I—ša‡Fžažp‡iš „mˆ šy‰Šm’“—‡Bc‰Šˆ‚Ššy‰Šœ‰—‡ižœ‚ƒ—½iŒ‡iž¿œ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡i-ž ‡Fˆ šy‰Šm_‡FŒ ‰Šˆ †tŒ“‡F„šažtša’ˆ‹i’c‰ŠŒ‡iž‹w‰Šša‰Š‹F†aŸišp’“žp†a’ „‡Fžf‡&†©Œ“‡F„š„m†y’Œ“’žy‰•†a’“‚ ˆ ·©ˆ®ˆ‡#šaŸ&†y‡Fˆ— ’“‹F’
‰Š„‹F„ˆ‡‚ šp’ ’ˆc‰ŠŒ“’ †yŸOˆ’ ‡k´mº‰Š„žp†a’˜ƒ’†aŸ ¡ ‚ „šO„ˆ‡QmšaŸižp‡iˆ †£‰¾†y’“‚Šˆ7Œ„žJ‹i‚ŠœŒ½F†a‡ — ‰Š„m†yšp‡iž
šp5‚ Œ½iœ¿‡ižœ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡i-ž ƒ‚ ˆ ša‡Fˆ ˜ ‚ ’>‡ ?
¤=‡ „c‰•Œ“’ (‹w‰•†a’ &Lœ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡ižYž ‰ŠmŒ“’ ƒ„m>‡ Q†y‚ „†fœ¿‚ƒ—½iŒ‡J‚ „Iœ¿ŸF†aº‚ƒ—D‡ & ‰Š’“ža‰Šˆ †f’ˆ †y‡iš5¹
˜Š‡iˆ’š‰Š„œ¿‚ ’“ˆmž«—m‡i„´Ÿi‹£º‡FŒ“Œ“‡Fž —‡W†y‡FœmžD‚ „$— ‡Fžac‰Š‹F‡ ™—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y‡iž ¤‡ižD5‚ ƒ‘p‡i‹&†y)’ & žD—‡©‹F‡iž
œ¿‚—m½iŒ“‡Fž_‡F„m˜ ‡Fˆ '† KF†aša‡
—m‡#ž|†£‰ m’“Œ“’ža‡FšY„ˆ‡Oœ¿ŸF†yºm‚—‡Oˆ „œ¿Ÿišp’ „‡ $— ‰Šœ¿ŸiŒ’“‚ šp‡išY„mˆ‡O—’“žp‹išaŸ&†y’žy‰•†a’“‚ ˆ$‡&†f—m‡#špŸi—„m’“ša‡J?Œ ‡Fšašp‡i„š —m‡$œ‚ƒ—ŸiŒ’“žp‡iš#Œ“„=ž (cˆ‡Fœ‡Fˆ †—m‡ižQºŸFˆ‚ œ¿½iˆ‡FžQ‡iˆ —ŸF‹išp’˜•‰Šˆ †QŒ“‡Fž S‡F†y’ †y‡FžŸi‹£ºm‡iŒ“Œ‡iž
‰w˜Š‡i‹#—‡ižt-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžtžp_ŸF‹i)’ (* „‡iž ­WŸF˜Š‡iŒ‚ S‚ ˆžt‹£ºc‰Š‹i„mˆI—‡FžfS‚ ’ˆ †ažŸF˜ŠM‚ „ŸFžW‹i’¶¹!—‡Fžažp„-ž 465
& )& 1 ! ! ¥ ˆ ‹F‡ „’‹F‚ ˆ‹i‡Fšaˆ‡BŒ ‰ž|†£‰’Œ“’žy‰•†a’“‚ ˆ L‚ ˆ _‡F„m†¿’“ˆ †y‡FšašpŸF†a‡išŒ“‡Fž¿œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡iž—„ †!›ƒ_‡
9 „Œ“Œ‡ ; ‹& Ž5 Ž Ž ‚Š„ m° ¡ ! ‹ & Ž J Š”J ” z‹i‚Šœœ¿‡—‡ižYœ¿ŸF†aº‚ƒ—‡iž«œ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡iž —‡
Œ“‰Wœ ‰•ˆ’“½Fša‡Džp„’˜•‰Šˆ †a‡ ·©ˆQ‹i‚Šˆža’—½išp‡„ˆQša‚Œ“½Fœ‡™— ‰•—m˜ ‡F‹F†y’‚ ˆ¹ —’ _„ža’‚ ˆ žp„š „ˆQ—‚ œ‰Š’ˆ‡
cS‚ žaŸOžp„š„ˆD‡ & ‚ ˆ‹&†y’“‚Šˆ u : D → R
D⊂R
žp„š D,
−k∆u + c.∇u = f
žp„š ∂D.
u=0
·©ˆ§žp„S‚ žaC‡ „‡ k ‡Fžp†„ˆ ža‹w‰•Œ ‰Š’ša‡$S‚ ža’ †y’ &t‡&† S‚ „šža’œŒ’ (c‡F-š Nƒ„m‡ c ‡Fžp†¿„ˆ§‹£º‰Šœ
—’˜Š‡iLš ‡iˆ‹F‡Rˆ „ŒŒ“‡ ·Jˆ0ˆ‚Š†a‡ @Œ ‚ _ŸFšy‰•†a‡i„š$—mŸ (cˆ’Oc‰•š = −k∆u + c.∇u °tˆ‡
& ‚ špœ „Œ“‰•†y’‚ ˆ$˜Š‰•ša’ ‰¾†y’“‚Šˆˆ‡iŒŒ“‡J—‡'‹iL‡ mša5‚ Œ½iœ¿‡'ž ŸF‹išp’† †yšp‚ „m˜ŠLu
‡iš u ∈ H (D) †y‡FNŒ „‡ ∀v ∈
‰ ˜Š‡i‹
H (D) a(u, v) = l(v)
d
1
0
1
0
a(u, v) =
‡&†
Z
k∇u.∇v +
l(v) =
Z
Z
c.∇u v
f v.
©· ˆvžp„S‚ ža‡ S‚ „š (m´‡iš'Œ“‡iž#’“—mŸi‡iž ƒ„m‡ c ∈ L (D) ‡F† f ∈ L (D) À!Œ«‡Fžp†>’“‡FˆR‹i‚Šˆˆ „
„ „ˆ‡$œ¿ŸF†aº‚—m‡ — ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yž=(cˆ’“ž'žp†y‰Šˆ—c‰Ššp—ž žp„š ‹i‡ ša‚5mŒ“½iœ¿‡¿—‚ ˆˆ‡ —‡ œ‰Š„m˜•‰Š’ž'špŸ&¹
žp„Œ†y‰•†yž.ƒ„‰Šˆ—Œ@ ‰Š—m˜Š‡i‹&†y’“‚Šˆ —‚ œ¿’“ˆ‡#Œ ‰¿—’ _„žp’“‚ ˆ ||c|| h k ‚ h —Ÿižp’ ˆ‡'Œ“‡'c‰ŠžW—m„
œ‰Š’“ŒŒ ‰ Š‡ fSŒ“‡FžW‡iž|†y’œ ‰•†a’“‚ ˆmžt$— ‡Fšaša‡F„šažW‡iˆ ˆ‚Ššaœ¿‡'— Ÿiˆm‡iš"Š’“‡žp‡ —Ÿ šy‰Š—m‡iˆ †©‡&†©‚ ˆ ‚ža‡Fšp˜ ‡
„ˆm‡ ‚ ža‹F’“ŒŒ ‰•†a’“‚ ˆ —‡Fž©ža‚ Œ„m†y’‚ ˆžtža’ Œ“‡ižf‹i‚ „m‹£º‡ižJŒ’“œ¿’†y‡Fžˆ‡ žp‚ ˆ †©c‰ŠžWšaŸižp‚ Œ“„m‡iž ‹ ‡iž|†p¹ ¹!—’ša‡
žp$„ @¿žy‰Šœ¿œ‡Fˆ † (ˆ‡iœ¿‡iˆ †fœ ‰Š’Œ“ŒŸi‡iž I¤ ’—Ÿi‡ ‡iž|†‰•Œ“‚ špž¿—m‡I—ŸF‹i‚ œ¿S‚ ža‡Fš¿Œ“‰ žp‚ Œ“„†y’“‚Šˆ ‡iˆ „ˆ‡Bc‰Ššp†a’“‡ šp‚ žažp’“½išp‡ ‡F†„ˆ‡
c‰•šp†y’‡YŒ„ž (cˆ‡ u ·©ˆQ_‡F„m†«‰Š„žpža’’ˆ †a‡išpšaŸ&†y‡iš u ‹F‚ uœœ¿‡Y„ˆm‡œ‚ › ‡Fˆˆ‡‡&† u ‹i‚ œ¿u œ‡™„ˆ‡
∞
2
L∞
0
0
>
$2 #
(
( 0 % # #%+#=$#%6 ($00 # #%
˜•‰Ššp’ ‰•†a’“‚ ˆJ‰•„m†y‚ „mšX—‡ ‹i‡&†a†a‡«œ¿‚ › ‡Fˆˆ‡ ¦r›ƒ’ „‡Fœ‡Fˆ † ‚Šˆ & ‰•’†XŒ? º ›ƒS‚Š†yº½Fža‡ „‡ u ∈ V ‚ V
‡Fžp†«„ˆ‡ižpc‰Š‹i‡— ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yž (ˆ’“ž Œ“‰ ša‰Šˆ0 ’‡iˆž ža„š „ˆœ‰Š’“ŒŒ ‰Š‡ T = S K ‚ K —mŸiža’ ˆ‡
Œ‡ižŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yž—m„Iœ‰Š’“ŒŒ ‰Š‡ ‡F†# „‡ u ‰Šc‰•šp†y’‡iˆ †#Q„ˆ ‡ižpc‰Š‹F‡ V ža„mŒ“Ÿiœ¿‡iˆ †y‰Š’“šp‡J—‡ V
—c‰•ˆž H z·©ˆvža‡ ša‚ S‚ žp‡$‰ŠŒ“‚Ššaž#—‡ špŸiža‚Š„—ša‡$Œ“C‰ & ‚ špœ „Œ“‰•†y’‚ ˆ˜Š‰•ša’ ‰¾†y’“‚Šˆˆ‡iŒŒ“‡ žp„’˜•‰Šˆ †a‡
†aša‚ „m˜Š‡iš u ∈ V ‡F† u ∈ V †y‡FAŒ ƒ„m‡
h
h
0
1
0
0
h
h
h
h
0
h
0
a(u, v) + a(u0 , v) = l(v),
∀v ∈ Vh ,
0 0
0
0
a(u , v ) = l(v ) − a(u, v ), ∀v 0 ∈ V 0 .
¦L‡iŒB „‡FŒ@ ‹F‡$ša‚5m Œ“½iœ¿‡‡Fžp†Ÿ- „’ ˜•‰ŠŒ“‡Fˆ † špŸižp‚ „—šp‡$Œ“‡šp‚5Œ½iœ¿‡‹i‚ ˆ †a’“ˆ „ ¤I º ›ƒS‚Š†yºm½iža‡
& ‚ ˆm—c‰Šœ¿‡iˆ †£‰ŠŒ‡ „’_‡Fšaœ¿‡F† —m‡DšaŸFža‚ „m—ša‡—‡Dœ ‰Šˆm’“½išp‡™žp’“œ¿Œ“‡«Œ“‡«šp‚5Œ“½Fœ‡™ža„š u WŒ@ Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡
(cˆm‡ ‹i‚Šˆža’žp†y‡ I žp‡šp‡ižp†aša‡F’“ˆ—šp‡:B„ˆR‡Fˆža‡Fœ+Œ“‡ V —‡ & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆž= „’rž- ‰Šˆˆ „Œ‡iˆ † žp„šŒ‡iž
S ‚ ša—mžW—‡FžfŸFŒ“Ÿiœ¿‡iˆ †až ‚ŠˆIˆ ‰ ‰•Œ“‚ špžtŸ&˜ƒ’“—‡Fœœ¿‡iˆ †fŒ“„ž V ⊕ V = H (D) S¤‡#ša‚5mŒ“½iœ¿‡
žp„š u —m‡F˜ƒ’“‡Fˆ †™‰ŠŒ‚ šažz„ˆ‡‹i‚ ŒŒ“‡F‹F†y’‚ ˆ —‡šp‚5 Œ½iœ¿‡iž —ŸF‹i‚ „mŒ“Ÿižr‡&†r_‚ žpŸiž«ža„š ‹£º‰ „‡fœ‰Š’Œ“Œ“‡
‚ ˆ c‰ŠšaŒ‡©—‡Ošp‚5 Œ“½Fœ‡FžYža‚Š„ž|¹ œ ‰Š’Œ“Œ‡ ‹& ‰Š„mžaža’ <c¤‰& ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ ƒ„m’—ŸiS‡iˆ—B—‡
‡Fžp†©—m‚ ˆ‹#‹i‚ ˆž|†yšp„’†a‡% c‰Šš|†y’št—$ „ˆm‡'‹F‚ Œ“Œ‡i‹F†a’“‚ ˆ$—m‡'S‡F†a’†yžšp‚5 Œ½iœ¿‡iuž’“ˆ—mŸiS‡iˆ—c‰•ˆ †ažW„mu’“ž
špŸi’“ˆ ‘p‡i‹F†aŸi‡t—c‰ŠˆžrŒ? Ÿƒ „‰•†y’‚ ˆža„š u ·©ˆS‡i„†™‰Ššr‡&´‡iœ¿Œ“‡šp‡iˆ—mša‡t_‚ „mš V —‡ižI& ‚ ˆ‹&†y’‚ ˆž
 „mŒ“Œ“‡Fž—c‰Šˆž‹£ºc‰ƒ „m‡ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †‡F†t‚ ˆ ‚5 †y’“‡Fˆ †t‰ŠŒ“‚ špž„ˆ‡Ošp‡iœ¿’“½išp‡JœŸ&†yº‚ƒ—‡Jˆ „œ¿Ÿišp’ „‡
°fˆ‡ ‰Š„m†yšp‡’—Ÿi‡'‹i‚ ˆžp’“ž|†y‡ špŸižp‚ „—šp‡Q—‡œ‰Šˆ’½iša‡‰Ššp‚‹£ºmŸi‡ ‡&†J‰Šˆc‰•Œ› †y’ƒ „m‡iœ¿‡iˆ †©Œ‡iž
šp‚5 Œ½iœ¿‡ižzžp‚ „ž5¹!œ‰Š’“ŒŒ“‡ „’m‹F‚ ˆžp†a’†a„‡iˆ † „mˆ‡D‹F‚ Œ“Œ‡i‹F†a’“‚ ˆ#—‡™ša‚5m Œ“½iœ¿‡ižLŒ“’ˆŸw‰•’“ša‡Fž’“ˆ—ŸF_‡Fˆ¹
—c‰•ˆ †až- ¤‡Jža‡F‹i‚ ˆm—Iœ¿‡iœ+m ša‡©— „ˆ šp‚5 Œ“½Fœ‡Wža‚ „ž5¹!œ‰Š’“ŒŒ“‡t‹i‚ ˆ †a’“‡iˆ †Œ‡©šaŸFža’“—m„B—m„Bmša‚5 Œ½iœ¿‡
žp„š u ‹w‰Šš l(v )−a(u, v ) = P R (f +k∆u−c.∇u)v ‚Šˆ ‰W„m†a’“Œ’“žaŸ«Œ“‡ & ‰Š’ † „‡ v ž- ‰Šˆ¹
ˆ „Œ‡'‰•„CS ‚ šp—B—m‡ižtŸiŒ“ŸFœ‡Fˆ †yž < ·©ˆIS‡i„†—‚ ˆ‹OŸi‹Fša’ša‡J—‡Oœ‰Šˆ’“½Fša‡©ž|›ƒœ+_ ‚ŠŒ“’ „‡JŒ“‰ ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ
‰Š„´ša‚ Œ“½Fœ‡FžYža‚ „mž|¹!œ‰Š’Œ“Œ“‡tža‚Š„žŒ ‰%& ‚ špœ‡ u = M (f + k∆u − c.∇u) ‚ M —ŸFža’ ˆ‡
u
„ˆ ‚ SŸiša‰•†y‡F„šJŒ“’ˆŸw‰Š’ša‡>$ ˜•‰ŠŒ‡i„šJ—‰Šˆž V ¥ ˆ7’ˆ¾‘p‡i‹&†£‰Šˆ †O‹i‡&†a†a‡¿šp‡iŒ“‰•†y’‚ ˆ —c‰Šˆmž#Œ? Ÿ „c‰•†y’‚ ˆ
žp„š r ‚ ˆ§‚m †y’‡iˆ †‰•ša½Fž „ˆ‡I’“ˆ †yŸ šy‰¾†y’“‚Šˆ c‰•šc‰•šp†y’‡ Œ ‰ & ‚Ššaœ „Œ“‰•†y’‚ ˆv˜•‰Šša’“‰•†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ‡
†aša‚ „mu˜Š‡iš u ∈ V †y‡iŒA „‡ ∀v ∈ V 0
0
0
h
0
1
0
0
0
0
0
Kh
0
Kh
0
0
0
0
h
h
a(u, v) −
Z
M (−k∆u + c.∇u − f )L0 (v) = l(v),
‚ L = −k∆ − c.∇ —Ÿižp’ ˆm‡tŒ? ‚Š_ŸFšy‰•†a‡i„š †ašy‰Šˆžp_‚ŠžaŸ—‡ L ¦«›ƒ’ƒ„m‡iœ¿‡iˆ † ‚ ˆ‰Ššp‚w´m’œ‡
‡Fˆža„’ †y‡ M c‰ŠšOŒ ‰œ „mŒ†y’Œ“’‹w‰•†a’“‚ ˆ c‰•š#„mˆ‡‹i‚ ˆž|†£‰Šˆ †a‡ τ (K ) žp„šO‹£ºc‰Š‹F„ˆ7—m‡iž#ŸiŒ“ŸFœ‡Fˆ †yž
‡F†tŒ‡©†y‡išpœ‡J—m‡#ž|†£‰ m’“Œ“’žy‰•†a’“‚ ˆž- Ÿi‹Fša’†t—‚Šˆ‹
K
0
h
h
−
Z
0
M (−k∆u + c.∇u − f )L (v) =
X
τ (Kh )
Z
(−k∆u + c.∇u − f )S(v),
‰w˜ ‡F‹ = −L (v) ªD‡O‹£º‚ D ’¶´$ S‚ „š Œ?G ‚ S Ÿiša‰•†y‡F„š S ¾‘p„ž|†y’)(cŸOc‰Šš‹i‡&†a†a‡'‰•ša‚ƒ‹£º‡Jœ „mŒ†y’¶¹
FŸ ‹£º‡iŒŒ“S(v)
‡L‹i‚Ššaša‡FžaS ‚ ˆ G— B Œ ‰ B > ³ <z¤‡‹£º‚ ’ ´ S = L ‹F‚ šašp‡ižp_‚ ˆm—
RŒ“‰ œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡
B !O¤L «¤‡®‹£º‚Š’ ´
‹F‚ šašp‡ižp_‚ ˆm— 7Œ ‰
œ¿ŸF†aº‚—m‡ G " G m° ¡ ! ‹& S =”Sc.∇v
‚ „šL„ˆ‡™‹i‚ œ¿c‰Šša‰Š’“žp‚ ˆ
—‡ ‹i‡ižœŸ&†yº‚ƒ—‡iž zªD‡iž œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡iž žp‚ ˆ † Ÿƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ †y‡iž—c‰Šˆž'Œ“‡ ‹i‰Šž—$ ŸFŒ“Ÿiœ¿‡iˆ †až>(cˆ’ž'—„
šp‡iœ¿’“‡Fš'—‡ šaŸ zÀ!Œ«‡iž|† ’“œ¿S‚ šp†y‰Šˆ †'—m‡ ža’ ˆc‰ŠŒ‡iš „‡‹F‡iž œ¿ŸF†aº‚—m‡ižS‡išpœ‡&†a†a‡iˆ †Q‰Š„mžaža’«—‡
ž ‰ _šy‰•ˆ‹£º’“šJ—m‡ Œ ‰ ‹F‚ ˆ—’ †y’‚ ˆ ’“Mˆ & ¹!ža„m—c‰ŠˆžJŒ“‰ šaŸFža‚ Œ„m†y’‚ ˆ —„šp5‚ Œ½iœ¿‡ —‡ƒ†a‚ ¢Š‡F-ž ¯D’‡iˆ
Kh
Kh
0
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
„‡O‹i‡FžœŸ&†yº‚ƒ—‡ižšp‡iS‚ ža‡Fˆ †fžp„š„ˆ‡Jº ›ƒS‚Š†yº½Fža‡#—’ @¿‹F’“Œ“‡Fœ‡Fˆ †L‘p„ž|†y’(c‰Œ“‡ Œ ‰'ˆƒ„mŒ“Œ“’ †yŸf—‡iž
& ‚ ˆm‹F†y’‚ ˆž—‡ V Œ? ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ c( ˆm‡«žp„šŒ“‡Fž‰Šš"&K †y‡iž—m„'œ‰Š’“ŒŒ ‰Š ‡ £ ‡FŒ“Œ‡ižS‡išaœ¿‡F†p†y‡Fˆ †‡Fˆ'mšy‰•†a’ „‡
— ‰Šœ¿ŸiŒ’“‚ šp‡iš~Œ‡ižšpŸiža„mŒ†£‰¾†yž‚5m †a‡iˆ „žc‰Šš„mˆ‡rœŸ&†yº‚ƒ—‡ — ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †yžAc( ˆm’“žžp†y‰Šˆ—c‰•ša—ž—c‰•ˆž—‡iž
‹i‰Šž ‚Q‹i‡&†a†a‡—‡išpˆ’“½Fša‡Yž ‰w˜ ½Fša‡—Ÿ c( ‹i’‡iˆ †y‡ƒ ªD‡iž œ¿ŸF†yºm‚—‡Fž —‡Yž|†£‰m ’“Œ“’žy‰•†a’“‚ ˆ#ža‚Šˆ †rŒ“‰Šš"Š ‡iœ¿‡iˆ †
„m†a’“Œ’“žaŸF‡ižQ‰•„¾‘p‚ „šp— º „’? ˆ‚Š†y‰Šœ¿œ‡Fˆ † —c‰ŠˆžQŒ‡‹w‰Š—mša‡ —‡$Œ ‰ œ¿Ÿi‹i‰Šˆ’ƒ „m‡$—‡ižc1 „’—‡iž S‚ „š
& ‰Š’ša‡Q—‡Fž'‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“ž $ —‡Fž'ˆm‚ œ+ šp‡ižO—‡ ¬ ‡&›ƒˆ‚ Œ“—mž#mŒ“„žOŸiŒ‡F˜ŠŸiž=ƒ „m‡‹F‡ „‡¿S‡išaœ¿‡F†p†y‡Fˆ †#Œ‡iž
œ¿ŸF†aº‚—m‡iž#c ‰ŠžpŸi‡ižtža„mšt—m‡ižtŸiŒ“ŸFœ‡Fˆ †yžBc( ˆ’žžp†£‰•ˆ—c‰Ššp—ž-
0
& )& 1 & *,-) !-1"$2 ! 1 ! ¡ ‚ „mšf—‡FžfŸ „c‰•†y’‚ ˆžt—‚ ˆ †tŒ ‰—’“žp‹išpŸF†y’žy‰•†a’“‚ ˆ ˆ‡OS‚ ža‡#c‰Šžt—‡#ša‚ Œ“½Fœ‡Fžt—m‡'ž|†£‰ ’Œ“’ †yŸ Œ‡ižJœ¿ŸF†yºm‚—‡FžJœ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡ižt_‡F„m˜ ‡Fˆ †'Ÿ- ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †W_‡Fšaœ¿‡F†p†yša‡Q—$ ‰Šœ¿ŸiŒ’“‚ šp‡ištŒ ‰—’ža‹FšaŸF†a’“ža‰¾¹
†a’“‚ ˆQ‡&† —‡šaŸF—„’ša‡YŒ? ‡Fšaša‡F„š — ‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆ ¾¤I ‡k´m‡FœmŒ“‡Y†!›ƒ’ „‡‡Fžp†rŒ? º‚Šœ‚5ŠŸiˆŸF’“žy‰¾†y’“‚Šˆ
‹ & z·©ˆv‹i‚ ˆmža’“—m½iša‡ „ˆvœ¿’“Œ“’‡i„†yšp½iž ºmŸF†yŸFša5‚ Š½iˆ‡—‰Šˆž Œ-‡ „‡iŒ«‚ ˆR˜Š‡i„m†‰Šš‡k´m‡FœmŒ“‡
‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“‡Fš«„mˆ‹£ºc‰Šœ¿ —‡†y‡FœSŸiša‰•†y„mša‡ ƒ¤‡tša5‚ mŒ“½iœ¿‡-ž Ÿi‹Fša’†f †yšp‚ „m˜ ‡Fš u ∈ H (D) †y‡FŒ „‡
1
0
‚ D ‡ižp†©„ˆ—‚ œ‰Š’“ˆm‡—‡ R A(x/) —ŸFža’Šˆ‡ Œ ‰¿œ ‰¾†yša’‹i‡#—‡Q‹i‚Šˆ—„‹&†y’˜ƒ’ †yŸ'†aº‡išpœ’ „‡
„’L˜Š‰•ša’“‡J†!›ƒ’ƒ„m‡iœ¿‡iˆ †Jža„mšW„ˆ‡'Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡—‡ —Ÿižp’ ˆ‡'Œ ‰Q†£‰Š’Œ“Œ‡©†!›m’ „‡—$ „ˆm‡ œ’‹išp‚•¹
ž|†yša„m‹F†y„mša‡t—c‰Šˆž Œ‡œ ‰•†aŸišp’ ‰Š„ <Š¤‰©špŸiža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆQ—‡‹F‡ša‚5mŒ“½iœ¿‡YˆŸF‹i‡Fžaža’ †y‡Fšy‰Š’ †rˆ‚ šaœ‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ †
„ˆRœ ‰Š’Œ“Œ“‰ +‡ „’«‹w‰Š†y„šp‡ @Œ Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡ —‡iž'œ’‹iša‚Šžp†yšp„‹F†a„ša‡Fž ‹i‡F‹i’™‡ižp>† ’“‡Fˆvža‚Š„m˜ ‡Fˆ † ’“œQ¹
S‚ žažp’ Œ‡$‡iˆ ša‰•†y’ ƒ„m‡ ‡F†‚Šˆ ‹£ºm‡iša‹£ºm‡I—‚Šˆ‹ „ˆ ša5‚ mŒ“½iœ¿‡Ÿ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ † S‚ žaCŸ @Œ Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡
œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ cœ‰Š’“žD†a‡iˆc‰•ˆ †t‹F‚ œ†y‡O—‡ižœ¿’“‹Fša‚ ž|†yša„m‹F†y„mša‡iž—„Bœ‰•†yŸFša’ ‰•„ I¤ º ›ƒ_‚•†yº½Fža%‡ & ‚Šˆ—c‰Šœ¿‡iˆ †£‰•Œ“‡O_‚Š„š_‚ „˜ ‚ ’štžpŸic‰•ša‡išfŒ“‡Fžtmša5‚ Œ½iœ¿‡ižt‰Š„Iˆ’˜Š‡w‰Š„Iœ’‹iša‚¾¹
žp‹i‚ ’ „‡®‡Fžp†—c‰Šˆž¿‹i‡B‹w‰Š—mša‡B„ˆ‡®‹F‚ ˆ—’ †y’‚ ˆ —‡ISŸišp’“‚ƒ—’“‹F’†aŸža„š A ‚ ˆ ža„m_‚Šža‡®’‹i’ A
SŸišp’“‚ƒ—’ „‡f—‡©œ‰Š’“ŒŒ“‡ŸiŒŸiœ¿‡iˆ †£‰Š’ša‡ Q = (0, 1) <m¥ ˆ c‰Šžpžy‰Šˆ #† Œ“‰'Œ’“œ¿’†y‡ → 0 mŒ‡ižDmša‚•¹
Œ½iœ¿‡iž'œ’‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡FžS‚ žaŸFž ‡iˆ ‹£ºc‰ ƒ„m‡$_‚ ’ˆ †œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ x ˜ ‚Šˆ † ža‡—ŸF‹i‚ „mŒ“‡F-š À!ˆ—m’ „‚ ˆž ža’“œ¿Œ‡iœ¿‡iˆ †¿„ˆ‡®œ¿ŸF†aº‚ƒ—‡IS‚ „š‹w‰ŠŒ‹i„Œ‡išŒ“‡Bšp5‚ Œ“½Fœ‡Bº‚ œ¿5‚ ŸFˆŸi’žaŸ «ža‰Šˆž
šp‡iˆ †yšp‡iš—c‰ŠˆžŒ‡ižY—mŸF†£‰•’“Œ“žDœ ‰•†aºŸiœ‰•†a’ „‡iž‘p„žp†a’ ( ‰•ˆ †Œ“‰œ¿ŸF†yºm‚—‡ c¤‡©šp’“ˆ‹F’“S‡©‹i‚ ˆmža’“ž|†y‡ S‚ žp†a„Œ“‡Fš„ˆ —ŸF˜Š‡iŒ“‚Š_‡Fœ‡Fˆ †WŒ’“œ¿’†y.Ÿ Q—‚ 0„ mŒ“‡OŸi‹£º‡FŒ“Œ‡J—‡OŒ +‰ & ‚ šaœ¿‡
d
−div (A(x/)∇u ) = f (x),
d
‚‚ ˆžp„S‚ ža‡# „‡Œ“‡Fž
žp‚ ˆ †«_ŸFša’“‚ƒ—’ƒ „m‡iž ‡Fˆ¿Œ“‰W˜•‰Šša’“‰Œ“‡ „‡Œ@ ‚ ˆ‰ŠS‡iŒŒ“‡
9 ˜Š‰•ša’ ‰Œ“‡«šy‰Šm’“—‡<;D‹i‰Ššz‡FŒ“(uŒ‡D‚ (x,žp‹i’“y))
ŒŒ“‡™‰w˜ ‡i‹„mˆ‡YSŸiša’‚—m‡ WŒ? ŸF‹£º‡iŒŒ“‡D—m‡YŒ ‰Wœ¿y’“‹Fša‚ ž|†yšp„‹F†a„ša‡ •¥rˆ
’ˆ¾‘p‡i‹&†£‰Šˆ †f‹i‡#—ŸF˜Š‡iŒ“‚Š_‡Fœ‡Fˆ †WŒ’“œ¿’†yŸf—c‰ŠˆžtŒ@ Ÿ- „c‰¾†y’“‚ŠˆBžp„š u ‡F†f‡iˆB’“—‡Fˆ †y’(c‰Šˆ †fŒ‡iž†y‡Fšaœ¿‡iž
‰Š„ƒ´ —m’ _Ÿiša‡Fˆ †yž«‚ ša—šp‡iž™‡iˆ ƒ ‚Šˆ ‚5m †a’“‡Fˆ †™ža„m‹i‹i‡Fžažp’˜ ‡Fœ‡Fˆ † ‡Fˆ & ‰Š‹F†a‡i„š«—‡ „’ž™—‡ u (x) = u0 (x) + u1 (x, x/) + 2 u2 (x, x/) + ...
i
i≥1
−1
0
−div y (A(y)(∇x u0 (x) + ∇y u1 (x, y))(x, x/) = 0,
−div x (A(y)(∇x u0 (x) + ∇y u1 (x, y)))(x, x/)
−div y (A(y)(∇x u1 (x, y) + ∇y u2 (x, y)))(x, x/) = f (x).
­W‡QŒ“‰šp‡iœ¿’“½Fša‡ Ÿƒ„‰•†y’‚ ˆ ‹i‚ŠœŒŸF†aŸi‡‰Šš©Œ“‡FžW‹F‚ ˆ—’ †y’“‚Šˆž©‰Š„ƒ´ Œ’“œ¿’†y‡Fž—‡ SŸiša’‚—m’“‹i’ †yŸO‡iˆ
žp„š u c‚ ˆ —Ÿi—m„’†
y
5
u (x, y) = U (y).∇u (x)
1
1
0
>
$2 #
(
‚ $ c‰Šš—Ÿ(ˆ’†a’“‚ ˆ zŒ ‰ i¹ ½iœ¿‡B‹F‚ œ¿_‚ ža‰Šˆ †y‡
œ¿‚ › ‡iˆmˆ‡'ˆ „ŒŒ“‡Jžp„š Q —‡
( 0 % # #%+#=$#%6 ($00 # #%
Ui (y)
—m‡ U ‡Fžp†ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ SŸiša’‚—m’ „‡$‡F†¿—‡
−div y (A(y)(ei + ∇y Ui (y)) = 0,
‚ e —Ÿižp’ ˆm‡ Œ‡ i¹!½Fœ‡ ˜Š‡i‹&†y‡i„mš®—‡ Œ ‰ ‰Šža‡ ‹w‰Šˆm‚ ˆ’ „‡¤I º ›ƒ_‚•†yº½Fža‡R—m‡ SŸišp’“‚ƒ—’“‹F’†aŸ
’ˆ †a‡iš|˜’‡iˆ † ’‹i’m—m‡Yœ ‰•ˆ’“½Fša‡D‹Fša„‹F’ ‰ŠŒ‡DS‚ „š S‚ „m˜Š‚ ’“š šaŸFža‚ „—mša‡žaŸFc‰ŠšpŸiœ¿‡iˆ †rŒ“‡Fž ša‚Œ“½Fœ‡Fžz—‡
‹F‡iŒ“Œ„Œ“‡Fž ‹ ‡ižp†|¹ ¾¹ —’“šp‡YŒ“‡Fž šp‚5Œ“½Fœ‡FžzS‚ žaŸFž ža„š Q< ¡ ‚Š„š —‡iž mša‚5Œ½iœ¿‡iž mŒ“„ž ‹F‚ œ¿Œ“’ƒ„mŸiž
c‰ŠšD‡k´‡iœ¿Œ“‡t‡iˆ$—’œ‡Fˆža’‚ ˆ Ž#‚ „ ƒ‚ ˆ S‡i„†YšaŸFža‚ „m—ša‡©‹F‡ižYmša‚5Œ½iœ¿‡iž«_‚ŠžaŸižŒ@ Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡
œ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡J—‡Oœ ‰•ˆ’“½Fša‡Jˆ „œ¿Ÿiša’ „‡ ‹& 0‹F‡'žp„¾‘p‡F† ¶   ¥ ˆ'S‚ žy‰•ˆ †‡Fˆža„m’†y‡ < φ >= R φ(y) dy ‡F†L‡Fˆ#mša‡iˆ‰Šˆ † Œ“‰Yœ‚ ›Š‡iˆˆ‡«—‡ Œ“‰—m‡i„´’“½Fœ‡
Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆ ‡iˆB„m†y’Œ“’žy‰Šˆ †YŒ'‡ & ‰Š’† ƒ„m‡ < ∂ ψ >= 0 S‚ „šY†a‚ „m†a‡ & ‚Šˆ‹F†a’“‚ ˆ ψ Q¹!SŸišp’“‚ƒ—’ „‡ ‚ ˆB5‚ m†a’“‡Fˆ †O
−div < A(y)(∇ u (x) + ∇ u (x, y)) >= f.
¥ ˆ$’“ˆ ‘p‡i‹F†y‰Šˆ †Œ ‰#ša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ 5 —c‰ŠˆžD‹i‡F†p†y‡JŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆ ƒ‚ ˆ5‚ m†a’“‡Fˆ 2† (cˆc‰ŠŒ‡iœ¿‡iˆ † „‡ u ‡Fžp†
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ$—m„Išp5‚ Œ½iœ¿‡Jº‚ œ¿5‚ ŸiˆmŸi’“žpŸQ
i
#
1
|Q|
Q
y
x
x 0
y 1
0
‰w˜ ‡F‹
−div
A∗
< A∗ ∇x u0 (x) >= f.
—Ÿ (cˆ’c‰•šJc_‚ „mšY†y‚ „m†˜Š‡i‹F†a‡i„š p x
A∗ p =< A(y)p + A(y)∇y (U (y).p) > .
©­ ‰Šˆžr‹F‡F†a†a‡f‡k´‡iœ¿Œ“‡ ‚ ˆQ˜ ‚ ’ †r—‚ ˆ‹‹i‚Šœœ¿‡iˆ †r‚ ˆ¿_‡F„m†«—Ÿi—m„’“šp‡t—m‡tŒ? Ÿ „c‰•†y’‚ ˆQ’“ˆm’†y’“‰ŠŒ“‡
„ˆša‚Œ“½Fœ‡ža‚Š„ž|¹ œ ‰Š’Œ“Œ‡D—‚ ˆ †™Œ ‰Jža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ Š„ˆ‡#& ‚ ’“ž špŸi’“ˆ ‘p‡i‹F†aŸi‡t—c‰Šˆž«Œ@ Ÿ- „c‰¾†y’“‚Šˆ¿’ˆ’†a’ ‰ŠŒ‡
S‡išpœ‡&† —‡S‚ ža‡Fš „ˆša‚Œ“½Fœ‡™œ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡89!Ÿ- „’˜•‰ŠŒ‡iˆ †L;«†a‡iˆc‰Šˆ † ‹F‚ œ¿m†y‡Y—m‡iž Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡iž
(cˆm‡ižt—„Imša5‚ Œ½iœ¿‡ &1 ! ) 1 & * & 1 - & * . 34)
©­ ‰ŠˆžQŒ‡iž ‡k´‡iœ¿Œ“‡FžQšaŸFža‡iˆ †aŸižšaŸF‹iŸF—‡iœ¿œ‡Fˆ † „ˆm‡$Ÿi‹£º‡FŒ“Œ“‡ (cˆ‡$‡iž|†šaŸFža‡Fˆ †a‡ —c‰Šˆž
Œ‡ižŸ „c‰•†y’‚ ˆž%ƒ„m‡Œ@ ‚ ˆR‹£ºm‡iša‹£ºm‡ ®—’“žp‹išpŸF†y’ža‡Fš-L‡F† ‹F‡F†p†y‡ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ (ˆ‡ —‚Š’†%KF†yšp‡ šp’“žp‡ ‡iˆ
‹F‚ œ†y‡ žp’W‚ ˆ§˜Š‡i„m†‚5m†y‡Fˆ’“š—‡iž šaŸižp„Œ†y‰•†yž žy‰•†a’“žL& ‰•’“žy‰•ˆ †až-«À!Œf ‡k< ´> ’“žp†a‡ Ÿ- ‰ŠŒ“‡Fœ ‡F<ˆ † —‡iž ‹w‰Šž
‚< > @Œ ‚ ˆ ‡ižp† <’“ˆ †y ŸFša‡FžažaŸ®G c<‰ŠšH GIœG ‚ƒ—ŸF%Œ“’“žp‡iš Œ@ Ÿi‹£?ºm> ‡iŒ“ Œ‡ (cˆ‡Bc‰Šš
B
B
B _·©ˆ _‡Fˆža‡QŸ&˜ƒ’“—‡Fœœ¿‡iˆ †©’‹i’ ‰Š„´®ža‹F’“‡iˆm‹i‡iž
—‡FžWœ‰•†yŸFša’“‰Š„G´ ‚ BŒ“‡FžtŒ‚ ’“ž—m‡'‹F‚ ˆžp†a’†a„m†y’‚ ˆž —m‚ ˆˆc‰Šˆ †fŒ ‰Qša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ$‡Fˆ †yša‡#Œ“‡J†a‡iˆžp‡i„šf—‡iž
‹F‚ ˆ †yšy‰•’“ˆ †y‡Fžt‡&† cŒ“‰—mŸ & ‚ špœ ‰•†a’“‚ ˆ —c‰ŠˆžŒ“‡J‹i‰Šž—‡OŒ ‰ œ¿Ÿi‹i‰Šˆ’ „‡O—‡Fžža‚ Œ’“—‡Fž‚ „IŒ‡W†£‰•„´ —‡
—Ÿ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆO—c‰ŠˆmžzŒ“‡r‹i‰Šž —m‡DŒ ‰œ¿Ÿi‹i‰Šˆ’ „‡«—‡FNž 1c„’—‡iž ˆmŸi‹i‡Fžažp’†y‡Fˆ † ža‚ „˜ ‡iˆ †z—‡Dœ¿‚—mŸiŒ“’ža‡Fš
Œ‡iž#Ÿi‹£º‡FŒ“Œ“‡Fžœ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž#_‚Š„š'‹F‚ œ¿ša‡Fˆ—ša‡¿Œ ‰ šaŸF_‚Šˆža‡ I„ˆ‡ža‚ ŒŒ“’‹i’†y‰•†y’‚ ˆ ¡ Œ“„m† Š†
„‡¿—‡_‚Šžp†y„mŒ“‡išO—‡FžOŒ“‚ ’ž©‡iœ¿’“šp’ „‡F-ž X‚ ˆ špŸ & ½išp‡ ‰•Œ“‚ špž©—Ÿi‹Fša’ša‡ Ÿ&˜ ‡Fˆ †a„‡iŒŒ“‡Fœ‡Fˆ †'— „ˆ‡
œ‰Šˆ’½iša‡I‰Šmša‚ƒ‹£ºŸi‡ DŒ“‡Fž ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ižœ’‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡Fž ‡&† †yša‰Š—„’ša‡B‡iˆžp„’†a‡®?Œ ’Jˆ 1c„‡Fˆ‹i‡I—‡iž
ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ižtœ¿’“‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ižža„mštŒ‡ižY˜•‰Ššp’ ‰ Œ‡ižYœ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’ > „ ‡iž ·©ˆ _‡F„m†‹i’ †y‡iš—c‰ŠˆžQ‹F‡F†a†a‡$‹iŒ“‰Šžažp‡$—‡$œ‚ƒ—½FŒ“‡iž'Œ ‰ B
BB
Oª³
—c‰•ˆžŒ ‰ ƒ„m‡iŒ“Œ‡I?Œ ŸFˆ‡iLš ’“‡Bœ¿Ÿi‹w‰•ˆ’ „‡ ‡Fžp†$‹i‰ŠŒ“‹F„Œ“ŸF‡ R‰Ššp†a’“š¿—‡ S‚Š†y‡Fˆ †a’“‡FŒ“ž¿œ‚ ŒŸi‹F„Œ ‰Š’ša‡Fž
$7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
‹& i– – Q‚Š„ ‰ŠŒ‚ šažQŒ‡iž¿œ‚ƒ—½iŒ‡iž‹i’ˆŸF†a’ „‡Fž—‡ 1c„’—‡iž¿‹i‚ŠœŒ‡&´‡iž¿—c‰ŠˆmžŒ‡iž" „‡FŒ“ž¿„ˆ‡
Ÿƒ„‰•†y’‚ ˆ—m„†!›ƒ_‡f¤‰Šˆ0 ‡&˜ƒ’“ˆ¿—Ÿi‹Fša’†«Œ“‰#‹F‚ ˆJ& ‚ špœ ‰•†a’“‚ ˆQ—m‡iž«œ ‰Š‹Fša‚ œ¿‚ ŒŸi‹i„mŒ“‡ižz—c‰Šˆž«Œ“‡B1c„’—‡
‹& ¶ MŽ ! M J! ŽŠ”S‚ „š Œ‡iž 1c„m’“—‡Fž _‚ Œ ›ƒœŸFša’ „‡Fž ‚ „ S‚ „š Œ‡iž žp„žaS‡iˆžp’“‚ ˆmž«‹F‚ ˆ‹F‡iˆ¹
†ašaŸi‡F-ž Y‰Šš ‡k´m‡FœmŒ“‡ <ªD‡&†a†y‡ †aº½ižp‡ S‚ šp†a‡ ža„š —‡®†y‡FŒ“žœ‚ƒ—½iŒ‡ižšaºŸF‚ Œ“‚5Š’ „‡iž_‚Š„š Œ‡iž
1c„m’“—‡FžtS‚ Œ ›œ¿Ÿišp’ „‡F-ž ·©ˆBša‡iˆ ˜Š‚ ’“=‡ QŒ ‰Qža‡F‹F†a’“‚ ˆ 5 'S‚ „šŒ‡J—ŸF†y‰Š’“Œ~—‡O‹i‡ižœ¿‚—m½iŒ“‡Fž-
­W‡ œ‰Šˆ’½iša=‡ ŸFˆŸiša‰ŠŒ“‡ ~‚ ˆ S‡i„†J—Ÿi‹Fša’ša‡ Œ‡ižWmºŸiˆ‚Šœ½Fˆ‡iž ?Œ ŸF‹£º‡iŒŒ“‡#œ’‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡ žp„’˜•‰Šˆ †$Œ“‰RšaŸF‹i’ža’“‚Šˆ ša‡ ƒ„m’“ža‡ Yc‰ŠšŒ“‡Fž-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmž—‡ Œ“‰RœŸF‹w‰Šˆm’ „‡ „c‰Šˆ †a’ „‡ Ÿ „c‰¾¹
†a’“‚ ˆ—‡¿ƒ‹£ºš ƒ—’“Jˆ ‡iš XŒ‡ižJ-Ÿ „c‰¾†y’“‚ŠˆžJ—‡QŒ ‰—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡Qœ¿‚ Œ“ŸF‹i„Œ“‰Š’“šp‡ ‚ „ —‡ižOŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆž
‹F’“ˆŸ&†y’ „‡Fž -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž$—‡ ¤‰Š0ˆ ‡&˜’ˆ YŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆž —‡ µc‚ ¢ ¢Š‡Fš|¹ ¡ Œ“‰Šˆ‹£¢ ¨ @Œ Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡ œ‰¾¹
‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡ ‹F‡¿žp‚ ˆ †#ºc‰ ’ †y„‡FŒ“Œ“‡Fœ‡Fˆ †©Œ“‡FžJ‹iŒ“‰Šžažp’ „‡ižJŸ „c‰•†y’‚ ˆžJ—‡‹F‚ ˆža‡Fšp˜•‰•†a’“‚ ˆ —m‡QŒ ‰
„c‰Šˆ †a’†yŸI—‡®œ¿‚ „m˜Š‡iœ¿‡iˆ † «—„ œ¿‚ œ¿‡iˆ †‹i’“ˆmŸF†y’ „‡ «—‡®Œ“‰ œ‰Šžpža‡ «—‡[email protected]Œ Ÿiˆ‡F"š ’‡ #) „’
žp‚ ˆ †J„m†y’Œ“’žaŸi‡Fž _‡Fˆža‡FšJ‰Š„´IŸ ƒ„‰•†y’‚ ˆžW—m‡Œ ‰¿—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „‡'—‡i,ž 1„’“—‡FžW‚ „®—‡?Œ ŸFŒ ‰Šž|†y’“‹F’†aŸ ·©„m†aša‡#Œ ‰Q—’ @¿‹F„Œ†aŸJ—„®‹F‚ „Œ“‰ ‡J—‡FžfŸF‹£º‡iŒŒ“‡ižt‡iˆB‡ižpc‰Š‹F‡ža‡OS‚ ža‡#-Ÿ ‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ †’‹i’Œ“‰ „‡Fž|¹
†a’“‚ ˆ—„‹i‚Š„Œ ‰ ‡f—m‡ižYŸF‹£º‡iŒŒ“‡iž™‡iˆ †a‡iœ¿žWƒŒ“‡FžDºmŸiˆ‚ œ¿½iˆm‡ižYœ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž«‚ ˆ †Y‡Fˆ‡ _‡F†
žp‚ „m˜ ‡Fˆ †O—‡ižW†a‡iœ¿žt‹w‰Šša‰Š‹F†aŸiša’žp†a’ „‡i.ž _‡i‰Š„‹F‚ „ Œ„žWS‡F†a’†a.ž „‡ ‹F‡i„´®ša‡FŒ ‰•†a’ & žt‰Š„´IºmŸ&¹
ˆ‚Šœ½Fˆ‡ižœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡iž ‹ & M(0 „ša‡5  ,ª ‡Fžp†S‚ „"š „‚Š’_†y‚Š„žYŒ“‡FžY‹i‚Š„Œ ‰ ‡ižYˆm‡©ža‚ ˆ †
c‰•ž©†y‚ „¾‘p ‚Š„ šaž©S ‚ žpža’ mŒ“‡ižf‡iˆ ša‰•†y’ ƒ„m‡ ~‡&†J’“Œ & ‰Š„m†Wc‰ŠHš & ‚ ’“žW‰ ˜Š‚ ’“šWša‡i‹F‚ „špDž —‡iž©†a‡i‹£ºˆm’ „‡iž
—‡
„’f_‡Fšaœ¿‡F†p†y‡iˆ †$—m‡ šaŸFŸi‹išp’“šp‡®Œ“‡Fž-Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž œ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž 7—‡iž
ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ižœ¿‚ ’ˆ2ž (cˆm‡i-ž mc‰ŠšY‡k´m‡FœmŒ“‡JS‚ „šDˆm‡Jša‡F†a‡iˆ’šY—‡JŒ“‰—m›ƒˆc‰Šœ¿’ „D‡ ?Œ ŸF‹£º‡iŒŒ“‡fœ’‹iša‚¾¹
žp‹i‚ ’ „‡ „‡Q‹i‡Fšp†£‰•’“ˆž©Ÿ&˜ ½Fˆ‡iœ¿‡iˆ †yž#šy‰•ša‡i,ž ƒ„m’ ’“Jˆ 1„‡iˆ‹F‡iˆ †[email protected]Œ Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡ X¤‰
„‡Fžp†y’‚ ˆ®—m„®‹i‚Š„Œ ‰ ‡O—‡ižtŸi‹£º‡FŒ“Œ‡ižtša‡iž|†y‡#—’ @¿‹F’“Œ“‡J‡&†t—ŸiS‡iˆ— šy‰Šˆm—‡iœ¿‡iˆ †t—„®mša5‚ Œ½iœ¿‡
Ÿ&†y„—’Ÿ ªD‡&†a†a‡t—m’ @¿‹i„Œ †yŸY$ˆ ‡Fžp†«c‰Šž ˆ‚Š„m˜ ‡FŒ“Œ“‡JŠ„ˆ—‡ižr5‚ ƒ‘p‡F‹F†a’ & ž —‡Œ“‰©º ›žp’ „‡žp†y‰•†y’žp†a’ „‡
‡Fžp†W‘p„ž|†y‡iœ¿‡iˆ †Q—m‡ †y’ša‡iš#—‡—m‚ ˆˆŸF‡ižQœ¿’“‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡iž—m‡iž ˜•‰Šša’“‰ Œ‡iž#œ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡iž‡F†
— ŸF†a„—’‡išŒ‡iž'ša‡iŒ“‰•†y’‚ ˆžO‡iˆ †aša‡ ‹F‡iž˜•‰Ššp’ ‰ mŒ“‡ižOœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡i-ž L‡i4ˆ & ‚ ˆ‹F†a’“‚ ˆ7—‡iž'Œ“‚ ’žOœ’¶¹
‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡iž ¬ ‡iŒ“’‡išQŒ‡iž¿Œ“‚ ’žQœ ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ m’ „‡iž —‡ižœ‚ƒ—½iŒ‡ižœ¿’“‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡iž‡iž|† „ˆ
‹£ºc‰•ˆ †a’“‡Fš#‡Fˆ‹i‚Šša‡‚ „m˜Š‡išp†#—c‰•ˆžJŒ“„mža’“‡F„šažJ‹i‰Šž Œ’“œ¿’†a‡'—‡FžO-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆžJ—m‡¯™‚ Œ† iœ‰Šˆˆ®˜Š‡išaž
ƒ†a‚ ¢Š‡Fžf‚Š„®¼f‰ ˜ƒ’‡iš|¹5ƒ†y‚Š¢Š‡iž‹F‚ œmša‡ižpža’ Œ“‡Jc‰•št‡k´‡iœ¿Œ“‡ ·©ˆ šp‡iœ‰Š"š „‡ „ B?Œ ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Qœ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡ XŒ‡ ºc‰Šža‰Šša— ’“ˆ †a‡išp˜ƒ’‡iˆ †#—‡œ ‰Šˆm’“½išp‡†yšp½iž
ˆc‰¾†y„šp‡iŒ“Œ‡O—c‰ŠˆžtŒ ‰œ‚ƒ—ŸFŒ“’“ža‰•†y’‚ ˆ ‡iˆIœŸF‹w‰Šˆm’ „=‡ ƒ„‰Šˆ †y’ „‡ Œ“‡#ºc‰Šžy‰•ša—B‡ižp†W„ˆ‡#‹i‚ œ¿S‚•¹
ža‰Šˆ †y.‡ & ‚Šˆ—c‰Šœ¿‡iˆ †£‰•Œ“‡—‡tŒ ‰©†yºmŸi‚ šp’“‡t’“œ¿_‚ žpŸi‡c‰•š«ŒB‡ & ‰Š’† „‡fŒ“‡šaŸFža„Œ †£‰•†«— „ˆ‡tœ‡Fža„šp‡f‡Fžp†
‰ŠŒŸw‰•†a‚ ’“šp‡ w‡Fˆ'—m›ƒˆc‰•œ’ ƒ„m‡ œ‚ ŒŸi‹F„Œ ‰Š’ša‡ FŒ“‰ˆm‚Š†y’‚ ˆO—‡rºc‰Šžy‰•ša—#‡F†L—‡r—‡ižp‹išp’“m†a’“‚ ˆOžp†y‰•†y’žp†a’ „‡
šp‚ ˜’‡iˆ †t— „ˆ‡#c‰Ššp†—m‡#Œ“+‰ šy‰•ˆ—‡Oža‡Fˆža’ ’“Œ’†yŸW—„Iž|›ƒžp†y½Fœ=‡ Q—‡FžfS‡iš|†y„Lš c‰•†y’‚ ˆž ˆ‚Š†y’‚ ˆ
—‡#‹£ºc‰Š‚Šž ‡F†t-Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ †t—C„ šy‰•ˆ—Iˆm‚ +œ šp‡#—m‡'—‡ šaŸFžf—m‡#Œ’ S‡iš|†yDŸ „’ža‡#ža„S‡išp_‚Šža‡iˆ †W‡F†
—‚Šˆ †O‚Šˆ®˜ ‡F„m†O‡&´ƒ†yša‰Š’“šp‡ —‡FžJ’“Jˆ & ‚ špœ ‰¾†y’“‚Šˆž @Œ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ „‡ †!›ƒ’ „‡Fœ‡Fˆ †O—‡iž
’Jˆ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ.ž @Œ -Ÿ „’Œ“’ ša‡ _ˆ‚•†y’“‚Šˆ „’ ža‡Q—mŸ (cˆ’ †Oˆc‰•†a„ša‡FŒ“Œ“‡Fœ‡Fˆ D† @Œ Ÿi‹£ºm‡iŒ“Œ‡ œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚•¹
’ „‡ LŒ“‡FžO-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆž#‹i’ˆŸF†a’ „‡Fž'‚ ˆ †'-Ÿ ‰•Œ“‡iœ¿‡iˆ †#„ˆ‡’“ˆ †y‡FšašpŸF†y‰•†y’‚ ˆ ša5‚ ‰ ’“Œ’“ž|†y‡ X¥rˆ
ša‰•†y’ „‡ S‹i‡FŒ ‰ža’ Šˆ’ (c=‡ „‡?Œ ‚ŠˆIšp‡iˆ‹F‚ ˆ †yša‡ža‚ „m˜Š‡iˆ †J—‡FžW‹i‰ŠžW‚ IŒ@ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡'œ¿’“‹Fša‚ žp‹i‚ ’ „‡
‡Fžp† —ŸF‹išp’†y‡™c‰ŠšL—‡ižzœ‚ƒ—½iŒ‡iž ‰ŠŒ“Ÿi‰•†y‚Š’“ša‡Fž -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆžz—’ ~ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ“Œ“‡Fžžp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ ƒ„m‡i-ž •‹£ºc‰•²“ˆ‡iž
—‡³®‰Ššp¢Š‚ ˜ N)) ‰ŠŒ“‚ŠšaBž „‡?Œ ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Jœ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’ ƒ„m‡'‡Fžp†f—Ÿi‹Fša’†a‡Oc‰Ššt—‡ižtœ‚ƒ—½FŒ“‡iž—Ÿ&†y‡Fš|¹
œ¿’“ˆ’žp†a‡iž -Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆžO—’ ~ŸFša‡Fˆ †a’“‡FŒ“Œ“‡FžW‚ šp—’“ˆ‰Š’“šp‡i-ž _-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆmžO‰Š„´ —ŸFša’ ˜ Ÿi‡FžOc‰Ššp†a’“‡FŒ“Œ“‡F-ž N) <
I¤ ŸF†y„m—‡œ ‰¾†yºŸFœ ‰•†a’ „‡ —‡ ‹F‡ižž|›ƒžp†y½Fœ‡Fž$‹i‚ „mŒ“ŸFž & ‰Š’†—‚ ˆm‹ ‰ŠS‡i,Œ R—‡Fžˆ‚Š†a’“‚ ˆž¿‡iˆ
šp5‚ c‰ m’“Œ“’ †yŸFž«‡&†Y‹i‰ŠŒ“‹F„Œ žp†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ ƒ„m‡ ‰Š’“ˆžp’ ƒ$„ ‡Fˆ ‰Šˆc‰ŠŒ ›žp.‡ & ‚ ˆm‹F†y’‚ ˆˆ‡FŒ“Œ‡ —‡F„´ —‚ œ‰Š’“ˆ‡Fž
„’Y‚Šˆ †‹F‡iš|†y‡ižQS‚ „šža‚ƒ‹iŒ“‡ ‹i‚ œ¿œ „ˆvŒ“‰I†yºmŸi‚ šp’“‡—‡$Œ“‰®œ¿‡iža„mša‡œ‰Š’“%ž „’Yža‡$žp‚ ˆ †—ŸF˜Š‡&¹
% >
(
$2 #
( 0 % # #%+#=$#%6 ($00 # #%
Temps caractéristique
Mécanique
des
milieux
continus
Modèles
cinétiques
Briques
élémentaires
: "segments
moléculaires",
particules
ensuspension,
...
Dynamique moléculaire
Briques élémentaires : Atomes
Mécanique quantique
Briques élémentaires : Noyaux et électrons
5  ªDºc‰Šœ¿— ‰ŠŒ’“‹i‰•†y’‚ ˆ®—‡FžJœ‚ƒ—½FŒ“‡ižfœ „Œ †y’ ¹ Ÿi‹£º‡FŒ“Œ‡ižtŸF†y„m—’“ŸFžJ—c‰ŠˆžJ‹F‡Q—‚‹F„¹
œ¿‡iˆ † Œ‡ižŸi‹£ºm‡iŒ“Œ‡ižža‚Šˆ †fŒ“‚ ‰Šša’ †yºœ¿’ „‡Fž <
Taille caractéristique
Œ‚ SŸižY‡FˆCŠšy‰Šˆ—m‡©c‰Šš|†y’“‡fžaŸFc‰ŠšaŸFœ‡Fˆ † c¦r›m’ „‡iœ¿‡iˆ †-Œ“‡FžYšaŸ „Œ ‰•ša’†aŸiž™„m†y’Œ“’“žpŸi‡FžD‡iˆ ‹i‰ŠŒ“‹F„Œ
ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’ „‡Jžp‚ ˆ †—‡ižšp-Ÿ „mŒ ‰Ššp’†yŸFžD± Œ“—mŸiša’‡iˆˆm‡iž‰ŠŒ‚ ša8ž „ ‚ ˆ$„m†y’Œ“’ža‡tŒ“„ž™˜ ‚ Œ‚ ˆ †y’“‡Fšaž™—‡iž
šp-Ÿ „Œ“‰Šša’ †yŸFž©‚ _‚ Œ‡F˜BS‚ „šW?Œ ‰•ˆc‰ŠŒ›ƒžp‡'œ‰•†yºmŸiœ‰•†y’ ƒ„m‡'—‡Fž©œ¿‚—½FŒ“‡Fžf’žaža„mž©—‡Œ“‰º ›ƒža’ „‡
ªD‡Fž 95—mŸF†£‰•’“Œ“ž ;«†y‡i‹£ºmˆ’ „‡FžD‹i‚Šˆ—„’ža‡iˆ † J—‡iž«—’ @¿‹F„Œ†aŸižrœ ‰¾†yºŸFœ ‰•†a’ „‡Fž „c‰Šˆ—‚ ˆŸ&†y„—m’“‡
‹F‡ižtœ‚ƒ—½iŒ‡iž . * & (( 12* ! ! &1 ¤‡BS‚%’ ˆ † ‹F ‚ œ¿ œ „ ˆ B—< ‡ †y ‚„ ž‹F‡iž¿-œ<‚ƒ—½iHŒGI‡iG žQ ‡&†—m‡I‹F‡iž¿œŸ&†yº‚ƒ—<‡iž‡Fžp†G „ G ’ Œ“ž šaG‡F _‚ŠG ža‡iˆ †
žp„š© „ ˆ‡ ?> ƒ„m’ S‡išpœ‡&†©—‡ B
B B
B
B LªD‡—ŸF‹i‚ „mŒ ‰ ‡‹i‚ ˆm—„’†+®„ˆ‡‹i‚ ŒŒ“‡F‹F†y’‚ ˆ —‡ šp‚5Œ½iœ¿‡iž
< m¤‡FžŸ- „c‰•†a’“‚ ˆž‰•„´ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fžœ’‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡FžYža‚ ˆ †t‰ŠŒ‚ šaž™šaŸFža‚ Œ„‡iž—‡Jœ‰¾¹
ˆ’½išp‡ ‡&´m‰Š‹&†y‡‚Š„v‰Šmša‚ƒ‹£ºŸi‡zža‚Š’†'ˆƒ„mœŸFša’ „‡Fœ‡Fˆ † Ÿ&˜ ‡Fˆ †a„‡iŒŒ“‡Fœ‡Fˆ †‡iˆv‰Ššy‰ŠŒŒ“½FŒ“‡ <ža‚ ’ †
‰Šˆ‰ŠŒ› †y’ „‡iœ¿‡iˆ † L‡F†'Œ“‡Fžžp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆmž'—‡‹i‡Fž Ÿ- „c‰•†a’“‚ ˆmž'’ˆ †a‡iš|˜’‡iˆˆm‡iˆ †Q—c‰ŠˆmžŒ“‡FžŸƒ„‰•†y’‚ ˆž
‰Š„ƒ´ ŸF‹£º‡iŒŒ“‡ižfœ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’ „‡F-ž _¤‡Fž©œ¿‚—ŸFŒ“’žy‰•†a’“‚ ˆžœ„Œ†a’ ¹!ŸF‹£º‡iŒŒ“‡Fž‹i‚ ˆ—m„’“žp‡iˆ †J—‚ ˆm‹'†yšp½iž
ŸFˆŸiša‰ŠŒ“‡Fœ‡Fˆ C† —m‡iž ‹i‚ „mŒ ‰ Š‡iž‡Fˆ †aša‡ -Ÿ „c‰¾†y’“‚Šˆž „’J_‡F„m˜ ‡Fˆ † K&†yšp‡ —m‡ˆc‰•†y„mša‡iž —’ ~Ÿk¹
šp‡iˆ †y‡Fž ™Ÿ „c‰•†y’‚ ˆž ‰Š„´ —ŸFša’˜ŠŸi‡Fžc‰Šš|†y’“‡FŒ“Œ‡i-ž Ÿ „c‰•†y’‚ ˆž—’ _Ÿišp‡iˆ †y’‡iŒ“Œ‡iž‚ šp—’“ˆc‰•’“ša‡Fž —m› ¹
ˆc‰•œ’ ƒ„m‡Qœ‚ ŒŸi‹F„Œ ‰Š’ša‡ S-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆžJ—m’ _Ÿiša‡Fˆ †y’“‡FŒ“Œ‡iž©ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’ „‡Fž šaºŸF‚ Œ“5‚ Š’“‡ <~Ÿ ƒ„‰•†y’‚ ˆž
’ˆ †a-Ÿ ša‰ŠŒ“‡Fž šaºŸF‚ Œ“5‚ Š’“‡ <cša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆžf‰ŠŒ -Ÿ šp’ „‡Fž špŸi—„m‹F†y’‚ ˆ —‡'žp›ƒžp†a½iœ¿‡iž )ªD‡FŒ ‰ ‹F‚ ˆ—„m’†
žp‚ „m˜ ‡Fˆ D† Q—‡iž „‡iž|†y’‚ ˆžœ ‰¾†yºŸFœ ‰•†a’ „‡Fž‡F†ˆ „œ¿Ÿiša’ „‡ižt‚ ša’ ’“ˆ‰ŠŒ“‡F-ž $7
*
!"$#%&' ()*+$#-,.0/132%!#%
A
: A C C ¤‡iž špŸi žp„ Œ †yG ‰•†yž'šaHŸFG ža‡iˆ †aŸižQ —c‰Šˆmž‹i‡ ‹£ ºc‰Š  ’ †yšpG ‡ ‚ ˆ †=& ‰Š’†#Œ@ ‚5_ƒ·©‘p‡&ˆ†——$ŸF „œˆ ‚ ˆ‰•†ašpša†y‡’‹iŒ„‡¿ˆ †a‰ŠºšaŸi„7‚Šša—c½i‰Šœ¿ˆ‡ž
— ‡&´’žp†y‡Fˆ‹i‡#‡F†Y„ˆ’“‹F’†aŸW‡iˆ$†a‡iœ¿žŒ“‚ ˆJ _‚Š„šYŒ“‡fœ‚ƒ—½FŒ“‡W—m‡iž—„œ+J_‡FŒ“Œ_±f‚ƒ‚ ¢ŠŸF‡iˆžc‡F†ža„mš|¹
†a‚ „m†J„ˆ špŸiža„mŒ†£‰¾†J—‡ ‹F‚ ˆ ˜ ‡išL ‡iˆm‹i‡¿— „mˆ‡QœŸ&†yº‚ƒ—‡ „†y’“Œ’“žpŸi‡S‚ „šW—’“žp‹išaŸ&†y’ža‡išWŒ“‡ž|›ƒžp†y½Fœ‡
‹F‚ „Œ“‰Šˆ † ¼f‰w˜’‡iš5¹|ƒ†a‚ ¢Š‡Fž‰w˜Š‡i‹B„ˆ‡B-Ÿ „c‰•†a’“‚ ˆ —’ ~ŸFša‡iˆ †a’“‡iŒŒ“‡ž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šž|†y’ „‡ Œ“‰ œŸ&†yº‚ƒ—‡
ª·J¼W¼fµ µ ¥«À!D¦ ¦L‚ „žO‹i‡FžOšaŸižp„Œ†y‰•†yžOžp‚ ˆ †OŸF†£‰ Œ“’ž©—c‰ŠˆžOŒ‡Q‹w‰Š—šp‡— „mˆ7ŸF‹i‚ „Œ‡iœ¿‡iˆ †O‹i’¶¹
ža‰Š’“ŒŒ“Ÿ ?
$7
*
=1 /)'# ( $2 # $#%6$($.# *%# 7
3
" * $
$ 5
*
* $ 5
3
"
7
" 6
6
7
* " '
*
'$ *,
$ " *
"! $#&% ' ( *) + ,% - .
/ 0214365/87+9:0<;>[email protected][email protected]@NMPO<=I+EQM,@ EP/R+CSTM>M [email protected]>9
WYX[Z\P]^ O<C_M ;>C?`9baac*dde/RCfhgiMNjkM>S"[email protected]:nolCIi;>@ ^
pQq =S"[email protected] ?`[email protected] ] [email protected][email protected] lNFvMxwyh;>@VlNfFH;NM ^ @ Ig+; ^ z l
{|L} ~.u$m€v., r D€L + #".r.  &.rAL} LL ‚ ƒ .rA r  ,} #TL „+ L„ +L #D€P.r€u 2„ † r€‡ ˆ u
" D‰‰i . " GŠo‹ r€ Œ € ~.   €. uL .r&Ž € €.€ ‚
( D . A}  Y.‘’r~.} ‰  L . r Œ u.4 ‰i}} A  ‘. }€v.r  .ru.>“N . + # ‰i +.r .
” .•.ru}ƒ > .2€+  } r " . Š+–P LA ~. <.>r~.
€ T( Œ u  r€+ — # v. r˜ . € L6Ž ” Ar- uu$bA.r}+ ” ‚
Ar A™J &r} .<š ,) ~ A˜~r *.“2 > .›€ } . r  6}+  œ A™J $rv u r ežL. €+. - Ÿ™J $rv u r .r#". Š
: Qz¿( C™%& 5
7‡¿‰Šša‡Q‹F‚ ˆ‹i‡Fšaˆ‡F—7ºm‡iša‡6’ †yº †yºm‡Qˆƒ„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒ ‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža’ž©‚&™‰$ža’œŒ‡œ¿’“‹Fša‚•¹ œ ‰Š‹Fša‚ža’“œ„¹
Œ“‰•†y’‚ ˆR‚ &t‰ S‚ Œ ›œ¿‡išp’“‹ 1c„’— 1c‚ 6 r³I‚ šp‡šp‡i‹i’ža‡FŒ›5 6D‡$—m‡w‰ŠŒ86’†yº7†yº‡žp’†a„c‰•†y’‚ ˆ 6º‡Fša‡
†aº‡Q_‚ŠŒ›ƒœ‡Fša’‹#Œ’ „’— *6º’“‹£º ’“žfº‡išp‡ ža„m_‚Šža‡i—†a‚ _‡Q‰•ˆ ’“ˆJ(ˆ’†a‡iŒ› —m’“Œ“„†y‡i—®ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ®‚&
S‚ Œ›ƒœ¿‡išp-ž ‡k´mS‡išp’“‡Fˆ‹i‡FžW‰Q„šp‡Ožaº‡i‰ŠBš 1c‚ 6<‰Šˆ— ’žœ‚ƒ—‡iŒ‡i— ‰•††aº‡Oœ’‹išp‚ ža‹F‚ ’“‹Wža‹w‰•Œ“D‡ ›
†aº‡O—m›ƒˆc‰Šœ¿’“‹iž‚ &zž|†y‚ƒ‹£ºc‰Šžp†a’“‹O±t‚‚ ¢•‡w‰ŠˆB—„>œ 0_‡FŒ“Œ-ž m¦L‚†yºD‡ S‡iž|†f‚ &z‚ „mš¢ƒˆm‚ 6Œ‡i0— Š‡ cža„m‹£º
‰ž|†y„—›’ž™ˆm‡ 6 7‡Wžpºc‰ŠŒŒS‡k´Œ ‰Š’ˆ S‡iŒ‚ 6 6º 5› m—m‡ižam’†y‡t†yº‡fža’œŒ’“‹F’†!› ‚ &X†yº‡t„ˆ—m‡išaŒ ›ƒ’“0ˆ œ¿‚—m‡[email protected]Œ ‚ „mNš 6™‚ ša¢#‹w‰Šˆ S‡Džp‡i‡Fˆ‰Šž .‰ (cšpžp†zžp†y‡F †y‚ 6D‰Šša—ž †aº‡™†aša‡i‰•†yœ¿‡iˆ † ‚ &c†yº‡Yœ¿‚ šp‡™žp‚ º’ž|¹
†a’“‹w‰¾†y‡i— œ¿‚—m‡iŒ“ž«†yºc‰¾†t‰Šša‡©‹F‚ œ¿œ‚ ˆmŒ›¿„ža‡F—I’ˆ†yº‡J‹F‚ ˆ †y‡k´†t‚ &†aº‡Oža‚•¹ ‹w‰ŠŒŒ“‡i— œ’‹iša‚¾¹!œ‰Š‹išp‚
‰Šmša‚ ‰•‹£ºI’ˆB‹F‚ œ¿„m†£‰¾†y’“‚Šˆc‰ŠŒ~špº‡i‚ŠŒ“5‚ Š› ¼f„œ¿‡išp’“‹i‰ŠŒXža’œ „Œ“‰•†y’‚ ˆž‚ & †yº‡ 1c‚ 6<‚ &z‹i‚ œ¿Œ“‡k´ 1c„’—žtža„‹£º‰•žtS‚ Œ ›œ¿‡išp’“‹JŒ’ „’“—mž’“ž
‰QŒ“‚Š0ˆ Œ ‰•žp†y’0ˆ ‹£ºc‰•Œ“Œ“‡F0ˆ ‡ ¦º‡J‹i‡Fˆ †yšy‰•Œ—’ @¿‹i„mŒ†!›’“žY†yºm‡Jšaº‡F‚ Œ“5‚ •› ‚ &†aº‡ižp‡ 1„’“—ž º’ ºŒ›
ˆ‚Šˆ¼f‡ 6†y‚ ˆm’ ‰Šˆ’“ˆ¿ˆc‰•†y„mša‡# †aº‡išp‡W’ž«ˆm‚ža’œmŒ“‡Œ“’ˆ‡w‰•š ša‡iŒ“‰•†y’‚ ˆŒ“’ˆ¢ ’“0ˆ J†yºm‡fž|†yša‡Fžaž«†y‡iˆmža‚ š
‰Šˆ—Q†yºm‡t—m‡ & ‚ špœ ‰•†a’“‚ ˆ'†y‡iˆmža‚ š
‰Šž ’“ˆQ†yºm‡‹w‰Šžp‡t‚ &X¼t‡ 6†y‚Šˆ’ ‰Šˆ 1c„m’“—ž ¦º’“ž
τ‰ŠŒ -‡ mšy‰Š’‹Yša‡FŒ ‰•†a’“‚ ˆ ¾†yº‡žp‚•¹!‹i‰ŠŒ“Œ‡i—Q(∇u
‹i‚Šˆžp†a+’†y„∇u)
†y’˜Š‡-‡ „c‰•†a’“‚ ˆ‚ &S†yºB‡ 1c„m’“— ’ž ša‡imŒ ‰Š‹F‡i—’“ˆža„m‹£º
1c„m’“— › ‰c‰Ššp†a’ ‰ŠŒ«—’ ~‡Fša‡iˆ †a’ ‰ŠŒ™-‡ „c‰•†a’“‚ ˆ ‰ 0ša‡&˜ƒ’ ‰•†a‡i— ’“ˆ ¡ ­©¥ ’ˆ †yº‡$žp-‡ „‡iŒ ‚ &†yº‡
& ‚ špœ
Ž 
Dτ
= f (τ , ∇u),
†a+‚ _‡f’“ˆ †y‡ šy‰¾†y‡i— ‰ŠŒ“‚Š0ˆ #†aº‡©¤‰ Ššy‰Š0ˆ ŠDt’ ‰Šˆ†yša‰ ‘p‡i‹&†y‚ šp’“‡iž™‚ &X†aº‡Wc‰•šp†y’‹iŒ‡i-ž ‚ 8š ›‰Šˆ’“ˆ †a-‡ šp‚•¹
5!4
2
&2
1
2
t
>
'!$(B*
—’ ~‡Fša‡Fˆ †a’ ‰ŠŒ~‡- „c‰•†a’“‚ ˆ †aº‡O’“ˆ †y‡ šy‰•ŒX’“žY†y‰Š¢Š‡Fˆ ‰ŠŒ‚ ˆ0 †yºm‡O†ašy‰ ‘p‡F‹F†a‚ ša’‡iž
Ž Ž
6º‡Fša‡ m ’žO‰$œ‡Fœ‚ š|›& „mˆ‹F†a’“‚ ˆ †!›ƒ’‹w‰ŠŒŒ›®‰$—‡i‹Fša‡w‰•ža’“ˆJB‡k´_‚ ˆm‡iˆ †y’“‰ŠŒ ©‰Šˆm— S (s) ’“žO‰
—‡ & ‚ šaœ‰•†a’“‚ ˆ¹ —‡iS‡iˆm—‡iˆ ††y‡Fˆža‚Šš †!›m’“‹w‰•Œ“Œ› ‰+& „ˆ‹&†y’“‚ŠˆB‚& †aº‡#µz’“ˆ0Š‡išYž|†yšy‰•’“ˆ$†y‡Fˆža‚ š ¦º‡®ž|†£‰Šˆm—c‰Šša— 95œ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’‹ ; ‰Ššp‚ ‰Š‹£º§†a‚Rža’œ „Œ“‰•†y‡ ‰Šˆ ’“ˆ‹F‚ œ¿ša‡Fžaža’Œ“‡ 1c‚ 6.‚ &
žp„‹£º$_‚ŠŒ›ƒœ‡Fša’‹tŒ’ „’—ž †yº‡Fša‡& ‚Šša‡W‹F‚ ˆžp’“žp†ažD’ˆ‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’ˆ0J†yº‡fža‚ Œ„m†y’‚ ˆ¿†a‚ ‰‹F‚ „Œ‡i—
ž|›ž|†y‡Fœ ‚& †aº‡D& ‚ šaœ
MŽ Du
= −∇p + η∆u + div τ ,
ρ
Dt
Ž –
div u = 0,
τ =
Z
t
−∞
m(t − s)S t (s) ds,
t


D
Dt

Š‚=š
ŽM
f (τ , ∇u),
Rt
=
m(t − s)S t (s) ds,
a† ‚5 ‡F†aº‡išI6’ †yºQ‹i‚Šˆ ˜Š‡iˆ’‡iˆ †™’“ˆ’ †y’ ‰•Œ‰•ˆ—_‚ „mˆ—c‰Šš|›Q‹i‚ ˆm—’†a’“‚ ˆžŠ¦º‡—‡Fša’ ˜Š‰¾†y’˜Š‡ —m‡iˆ‚Š†a‡iž
†aº‡f‹F‚ ˆ ˜ ‡F‹F†y’ ˜ ‡©—m‡iša’ ˜•‰•†y’ ˜ ‡
†yº‡˜ ‡F‹F†a‚ š —‡Fˆ‚Š†y‡Fž«†aº‡#1c„’“—Q˜Š‡iŒ“‚ƒ‹i’ †!›5 —‡iˆm‚Š†y‡Fž
†aº‡ ša‡Fžaža„mša‡ ¦ºm‡ † 6™‚ ‹i‚ ˆmžp+†£‰•u.∇
ˆ †až ρ ‰•ˆ— η —‡iˆmu‚Š†y‡$šp‡ižaS‡i‹&†y’ ˜ ‡iŒ ›v†yºm‡$—‡iˆžp’†!› p ‰•ˆ—v†yº‡
¼t‡ 6†y‚Šˆ’ ‰Šˆ˜’ža‹F‚ ža’ †!› ‚ &~†yº‡©žp‚ Œ˜Š‡iˆ † R‡fša‡ & ‡išD†aº‡Wšp‡w‰Š—‡FšD†y‚ ¬ ‡ & -ž M M” m pw– G& ‚ŠšD‰
‡Fˆ‡iša‰ŠŒz’ˆ †yša‚ƒ—„‹&†y’‚ ˆB†a‚†aº‡žp0„ ƒ‘p‡i‹&† ‰•ˆ—®†y‚ ¬ ‡ & -ž ƒ5 MŽ k Ž Jk MŽ k A& ‚ št‡&´m‰Šœ¿Œ‡iž
‚ &™†yº‡¿ˆ „œ¿‡iša‚Š„ž'œ‰•†aº‡iœ‰•†y’‹w‰ŠŒ žp†a„—’“‡Fž#†aºc‰•†'ºc‰w˜ ‡ _‡F‡iˆ7—‡F˜Š‚Š†y‡F—R†y‚Bža„‹£ºRœ‚ƒ—‡iŒ-ž XÀ!ˆ
†aº’“>ž (‡iŒ“$— †yºm‡œ‚Šžp† šp‡i‹F‡iˆ †‹i‚ ˆ †aša’ m„m†y’‚ ˆv’“ž'—„‡ †a‚ ¡ I¤ ¤’“‚ ˆmž ‰Šˆ— =¼ ³®‰•žaœ¿‚ „—’™’“ˆ
¬ ‡ & ¶ ” ?
¨WŒ †yº‚ J„ º$˜ ‡iš|›B‡ @¿‹i’‡iˆ † c†yºm’“žt„ša‡FŒ›$œ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’‹#‰Ššp‚ ‰Š‹£ºB’“žˆ‚ 6 S‡i’“Jˆ „‡Fžp†y’‚•¹
ˆ‡F— ƒ¦º‡fœ‰Š’ˆ¿‹F‚ ˆ‹F‡išaˆmžY‰Ššp‡t’ˆ—‡F‡i—†a=‚ (ˆ— ‚ƒ‚ƒ—¿‹F‚ ˆž|†y’†a„m†y’ ˜ ‡t-‡ „c‰•†a’“‚ ˆmž MŽ  ‚ š MŽ Ž
†aºc‰•†f‹i‚ „Œ— ‰ŠmŒ›$†a‚¿†aº‡‡&˜ ‡išf’“ˆ‹Fša‡i‰Šža’0ˆ ˆ „+œ S‡išt‚ & ˆm‚ ˆ ¼t‡ 6†y‚Šˆ’ ‰ŠCˆ 1c„’—žf‚ & ’“ˆ †a‡iša‡Fžp†
’ˆ7†y‚ƒ—c‰w› žO†y‡F‹£ºˆ‚ Œ5‚ Š› ‰•ˆ—v‰ŠŒža‚ †y‚B‡F˜•‰ŠŒ„c‰•†y‡Q†aº‡ ’œc‰•‹F†O‚ &Dža‚ œ¿‡‹FŒ“‚ žp„ša‡¿º ›ƒ_‚Š†aº‡ižp’“ž
œžp„‰ŠŒ†-— ‡O¨W†y‚ˆ ‰Š„Œ†a’“‡iŒ—Bšpˆc†a‰•º†y‡i’ ˜ žp‡‡$‹i‰•‚Šˆžpša†a‚ ’†y‰Š„‹£†yº ’ ˜Š‡'6‡º ’‹£„cº ‰•†y‹F’‚’“špˆ‹ižf„œ‚ ˆI˜Š‡i†aˆ º†y>‡ ž †y„cºm‰Š‡ Œ’_†!› ‚Š†p†yŒ‡i˜Šˆ‰•‡FŒ“’“‹£—m¢v’†!›‚&t‚ œ & †y‰•º¢ƒ‡ ’ˆ0(c ˆc†y‰•ºmŒ ‚ špža‡&‡ ¹
‹FŒ“‚ žp„ša‡º ›ƒ_‚Š†aº‡ižp’“ž Lº‰Šž©†yº‡Fša‡ & ‚ ša‡ S‡i‡iˆ7—‡F˜Š‡iŒ‚ _‡F—7‚Šˆ †aº‡ c‰Šžp’“žO‚ &™¢ƒ’ˆ‡F†a’“‹†aº‡i‚Ššp5› À!ˆ
‰Qˆ „m†yžpº‡iŒ@Œ m†aº’“ž‰•ša‚ ‰Š‹£º ‹i‚ ˆžp’“ž|†yž’“:ˆ (cˆm—’“0ˆ ¿‰Šˆ ‡k´mmša‡ižpža’‚ ˆI‚ &L†aº‡Oœ ‰•‹iša‚Šža‹i‚Š’“‹©ž|†yšp‡ižaž
†a ‡i ˆ žpG ‚ š© > ’“GˆI †y‡išpœžf‚ & †yºm‡œ¿’“‹išp‚ ža‹F‚ ’‹'—m›ƒˆc‰•œ’‹ižW‚ & †yº‡ S‚ Œ ›œ¿‡išt‹£ºc‰Š’ˆž©‰•ˆ— ’“ˆI†yša‡i‰•†y’0ˆ S‚Š†yº žp‹w‰ŠŒ‡iž’“ˆ$†yºm‡#žp’“œ „mŒ ‰•†a’“‚ ˆ m·©ˆ$†yº‡O‹i‚Šˆ †ašy‰Šš|›5c‹F‚ ˆžp†a’†a„m†y’ ˜ ‡OŒ ‰ 6ž‰Ššp‡#—m‡iša’¶¹
˜Š‡i—’“ˆ®‰¿œ¿‚ šp‡'‚ štŒ“‡Fžažfša’ Š‚ ša‚ „m#ž 6D‰w› & ša‚ œ †aº‡¢ ’“ˆm‡F†y’‹J†yº‡F‚ šp› 6’†aºI†aº‡º‡FŒ“I‚ & ‹iŒ‚ ža„mša‡
‰Šmša‚w´’“œ‰•†y’‚ ˆž X†yº‡¢ ’ˆ‡F†a’“‹ & ‚ „ˆ—c‰¾†y’“‚Š4ˆ S‡i’0ˆ ®ˆ‡k´ƒ+† & ‚ "š Š‚Š†a†a‡iˆ À!ˆž|†y‡w‰•— ‚ & Ž <†yº‡
ž|›ž|†y‡Fœ †yº‰•†zº‰ŠžL†aº‡išp‡ & ‚ šp‡™†a,‚ S‡«†aša‡w‰¾†y‡i—’“ž MŽ !¹ MŽ – _†a5‚ ‡F†aº‡iš 6’†aº'†yºm‡Dµc‚ ¢ ¢Š‡Fš ¡ Œ ‰•ˆ‹£¢
‡ ƒ„‰•†y’‚ ˆI—m‡iža‹Fša’ ’“0ˆ Q†aº‡Oœ’‹iša‚Šža‹i‚Š’“‹©—›ˆ‰Šœ’‹iž
MŽ 2
∂ψ
σ
(∇ uQ − F (Q))ψ + ∆ ψ,
+ u.∇ ψ = −div ∂t
ζ
ζ
‰Šˆm—B†aº‡O‡&´ša‡Fžažp’“‚ ˆI‚ & †aº‡Ožp†aša‡ižpžt†a‡iˆžp‚ št‰Šž†yº‡#‰w˜ ‡Fšy‰ Š‡
Z
À!—
MŽ τ = n (Q ⊗ F (Q))ψ(t, x, Q) dQ − nk T .
τ
−∞
D
Dt
∂
∂t
2
2
x
2
B
$7
*
=1 /)'# ( $2 # $#%6$($.# *%# ¦ º‡ & „ˆ‹&†y’‚ ˆ ψ(t, x, Q) ’“ž†yºm‡#mša‚5c‰’“Œ’†!›¿—‡iˆmža’†!› & „mˆ‹F†a’“‚ ˆ ‚&L†yº‡O‡Fˆ—¹ †a‚•¹!‡Fˆ— ˜ ‡i‹&†y‚ š
‚&†yºm‡©_‚ŠŒ›ƒœ‡FšD‰¾†D†y’œ‡ ‰Šˆ—$‰¾†YS‚ ža’ †y’“‚Šˆ ¦º‡,& „ˆ‹&†y’‚ ˆ †y’“‚Šˆ — ‡iˆm’“‚Šž †y†y‡FºmžY‡f†yºˆ ‡,„œ+& ‚ŠSša‹i‡i‡š
Q
6’ †yº’ˆ¿†aº‡Wžpša’ˆ0=6ºm’“‹£º œ¿t‚ƒ—‡iŒžr†aº‡t_‚ Œ ›ƒœ‡Fš-x ζ —‡Fˆ‚Š†a‡iž™†aº‡.& špF’“‹&(Q)
—‡Fˆža’ †!›‚ &c_‚ŠŒ›ƒœ‡Fšaž ‰Šˆ— σ ’“žL—‡ (ˆ‡i— › σ = 2k T ζ 6º‡Fša‡ T ’“ž†yº‡«†y‡inœ¿S‡išy‰¾†y„šp‡ R‡
šp‡ & ‡išr†y‚ ¬ ‡ & -ž ¶ MŽ 5 J J5 Ž•” 0& ‚ šrœ¿‚ ša‡—‡&†£‰Š’Œ“žr‰ S‚ „m†r†yºm‡f—‡Fša’ ˜Š‰¾†y’“‚Šˆ¿‚&Xža„m‹£º$‡- „c‰•†a’“‚ ˆž
µcša‚ œ †yº‡J†aº‡i‚ šp‡F†a’“‹w‰•ŒXžp†y‰Šˆ—S‚ ’“ˆ -† m†yº’ž‰Šmša‚ ‰Š‹£ºB’“žD‹iŒ“‡i‰ŠšaŒ ›œ¿‚ ša‡Wžy‰•†a’“Lž & ‰•‹F†y‚Ššp› †aºc‰Šˆ
†aº‡Imša‡F˜ƒ’‚ „ž¿‚ ˆ‡ À †’“žº‚ 6™‡F˜Š‡iš ˆm‚Š†¿_‡FLš & ‡i‹&†® ‹F„šašp‡iˆ †šp‡ižp‡w‰Ššp‹£º§’“ˆ †yºm‡Iœ¿‚—m‡iŒ“’0ˆ ‚ &
‹F‚ œmŒ“‡&´ 1c‚ 6ž‰Š’œžD‰•B† ‚ ’0ˆ >& „š|†yº‡FšD†yºm‡Jža’“œ¿Œ‡fžp‡F†a†a’“0ˆ Q‚ &A9 †yº‡Fšaœ¿‚—›ˆ‰Šœ’‹iž™‰•†‡ ƒ„m’ ¹
Œ’ šp’“„œ ; „S‚ =ˆ 6º’“‹£º†aº’“ž ‰Šmša‚ ‰Š‹£º’“ž ‰Šža‡F— žp‡i‡ ‡ & ž J J < µ šp‚ œ?†yºm‡Dœ‰•†yº‡Fœ ‰ ¹
†a’“‹w‰•Œžp†£‰•ˆ—S‚ ’“ˆ † cž|›ƒžp†y‡Fœžf‚ &z†aº‡O†!›S‡ MŽ MŽ – ¬ MŽ Y‰Šˆ— MŽ Yºc‰w˜ =‡ _‡F‡iˆ®ž|†y„—m’“‡i—
& ‚ š'’“ˆž|†£‰Šˆm‹i‡ ’ˆ ¬ ‡ & -ž Š0– w  @ ‰Šˆ—v‰Šša‡¿†yº‡Fša‡ & ‚Šša‡ša‰•†yº‡F%š 6™‡iŒŒ™¢ ˆ‚ 6ˆ ±t‚ 6D‡&˜ ‡iš z†yºm’“ž
‰Šmša‚ ‰•‹£º z‰•ž'žp„‹£º Lža„ _‡išp>ž & ša‚ œ2‰Iža‡&˜ ‡Fša‡—ša‰ 6#c‰Š‹£¢ ‰Šž & ‰Šš‰•ž'ˆ „œ¿‡išp’“‹w‰•Œ ža’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆmž
‰Ššp‡O‹i‚ ˆ‹F‡išpˆ‡i— m†yºm‡'µc‚ ¢ ¢•‡iš Œ ‰Šˆ‹£¢-‡ „c‰•†a’“‚ ˆ ’žY†y‚Q—c‰•†a‡O‚ ˆŒ›¿†yša‰Š‹F†y‰ Œ‡©ˆ „œ‡Fša’‹w‰ŠŒŒ›’“ˆ
žpc‰Š‹i‡Fž‚ &tžaœ‰ŠŒ“Œ«—’“œ¿‡iˆmža’“‚Šˆ N¡ N& ‰Šš žaœ‰ŠŒŒ“‡iš#†yºc‰•ˆv†yº‡†!›ƒ’‹w‰ŠŒ N ša-‡ „’ša‡F— ’ˆ šy‰•‹F†y’‹i‡
žy‰w›
<X±t‚ 6™‡F˜Š‡iš ºƒJ„ ‡‡ _‚ šp†a-ž $6’ †yºšp‚ œ’ža’0ˆ šp‡iža„mŒ†yž ‰Ššp‡Q—‡F˜Š‚Š†y‡F— †a‚$ža„‹£º
‰„Iˆm†a—‡i‡i‹£špNºŒˆm›ƒ’“’“=‹0ˆ J100
žaž|‡F†y‡ ‚ƒ‹£¬ ºc‰Š‡ &ž|†y’“‹w–—m’ _‡ <iša‡F¦ˆ º†y‡’ ‰•Œ’—‡ ‡wƒ‰B„‰•ºc†y‰Š’‚žˆ ‡Fœ‰ ‡F0"š m ša‡F‡F—v˜ƒ’“’“‰•ˆ †y‡F†y—Qº‡’“ˆ¿‡wm‰Š­©špŒ›¥ ’“ˆ M” †ažOº†y‡‚Iža‡ žaƒ’“œ„m‡i„Œ Œ zš‰•a†a‰•‡Q†y†yºmº‡i‡š
†aºc‰Šˆ†aº‡tµc‚ ¢ ¢Š‡iš ¡ Œ ‰Šˆm‹£¢ -‡ „c‰•†a’“‚ ˆ¿’†aža‡FŒ & ¦º’ž«‰Ššp‚ ‰Š‹£º º‰Šž _‡F‡iˆ ‹i‰ŠŒ“Œ‡i—ª·J¼W¼fµ µ ¥« ¹
À!¦ 6ºm’“‹£ºœ¿‡w‰ŠˆžJªY‰ŠŒ“‹F„Œ ‰•†a’“‚ ˆI‚ &«¼f‚Šˆ¹5¼t‡ 6†y‚Šˆ’ ‰Šˆ µ Œ“„’—ž'~µz’“ˆm’†y‡'¥ Œ“‡Fœ‡Fˆ †ažO‰Šˆ—
ƒ†a‚‹£º‰Šžp†a’“‹'’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆ¦ ‡F‹£ºˆ’ ƒ„m‡i-ž ¦º%‡ 95œ¿‚ƒ—‡išpMˆ ;=6Y‰w› ‚ &™žp’“œ „mŒ ‰•†a’“0ˆ ‰Šˆ’“ˆ‹F‚ œ¿ša‡Fžaža’ Œ“=‡ 1c‚ 6 ‚ &D‰•ˆ’“Jˆ (cˆm’†y‡FŒ›B—’Œ“„m†a‡i—
žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆ$‚ & S‚ Œ›ƒœ¿‡išY’žY†yº‡Fša‡ & ‚Šša‡J†y‚¿‰Šmša‚w´’“œ‰•†y‡
2
2
B
'
 ∂
ρ( ∂t + u.∇u) = −∇p + η∆u + div (τ ),



 div (u) = 0,
τ = nE(Q ⊗ F (Q))

− nkB T , 

 dQ + u.∇Qdt = ∇uQ − 2 F (Q) dt +
ŽM
À!—
ζ
√
2σ
dW t ,
ζ
6º‡Fša‡ E —‡Fˆ‚Š†y‡Fž<†yº‡ ‡&´S‡i‹&†£‰•†a’“‚ ˆ‰Šˆ— W ’“ž‰žp†y‰Šˆ—c‰Ššp— œ „Œ †y’“—m’“œ¿‡iˆžp’“‚ ˆc‰•Œ
¯Dšp‚ 6 ˆ’ ‰ŠˆIœ‚•†y’“‚Šˆ m¦º’žt˜Š‡iš|›IŒ’˜Š‡iŒ› (c‡iŒ—®‚&zˆ „œ‡Fša’‹w‰ŠŒžp’“œ „Œ“‰•†y’‚ ˆ‹i‰ŠˆS‡‰•ša‚ ‰Š‹£º‡i—
›B†yº‡#ša‡i‰Š—’“ˆJ ‚& 6™‚ šp¢ƒžWža„‹£º‰•ž ¬ ‡& ž- ¶ Mk M Mk Ž•”Jkw– ža‡F‡‚Š†aº‡ištša‡ & ‡išp‡iˆ‹F‡iž©†yºm‡&¹
špº ‡i„’“ˆˆ —m~ ša‡iÀ —m†Wž'žaº‚‚Š™& „’“Œ“ˆ — †a‡iS ša‡F‡Qžp†a‰Š’“Œˆ0ša‡w ‰•—m„›B‡F‹ižp†yŒ“‡i’‚‰ŠˆšWž’Aˆ®_†y‚Šºm†a‡ ºša†y‡iº‰Š‡F—‚ ‡išaš‡& †yžW’“‹iœ‰Š’Œ ˆ‰Š—®ˆm—†yºˆ‰•„†©œ¿žp„‡i‹£špº ’“‹i‰Š‰ŠŒ@ˆ ~‰Š‰Šˆ— šp‰Š‚ Œ“‰ŠŒ ‹£Œº›ƒ’“šaˆJ‰Š$’“žp‰•‡i†ž
†aº‡’“ˆ †y‡Fšažp‡i‹F†a’“‚ ˆ§‚O& †yº‡™6 ‚ špŒ“—U‚& ¡ ­©¥ ž ‰Šˆ—0­©¥ ž ‚ š ‡&˜ ‡Fˆ  ¡ ­W¥rž ’? ‡Džp†a‚‹£º‰Šžp†a’“‹
c‰•šp†y’“‰ŠŒL—’ _‡išp‡iˆ †y’“‰ŠŒ ‡ „c‰•†y’‚ ˆž ƒ‚:& ‰Šš©‰Šž.D6 ‡Q¢ ˆ‚ 6 X ˆ‚$‡k´’“žp†a’“ˆ0 žp†y„m—m› —‡i‰ŠŒ“ž.6’†yºI†yº‡
‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡J‚& ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ τ , Q ) †y‚'†yº‡W‰_ ‚ ˜Š‡©žp›ƒžp†a‡iœ ŽM ‚ šY‰Šˆ ›žp›ƒžp†a‡iœ6‚X& †yºm‡©žy‰Šœ¿‡
& ‰Šœ¿’“Œ ›5~ ³I‚ šp‡i‚ ˜ ‡Fš- —‡ižp(u,
’†a‡Q†yº‡ˆ „œ¿‡iša‚Š„žOža’“œ„Œ ‰•†a’“‚ ˆmžW—‚ ˆm‡ ˆ‚Bša‚ƒ‚«& ‚™& ‹i‚ ˆ ˜Š‡iš"Š ‡iˆ‹F‡
‚& ‰Qˆƒ„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒXžp‹£º‡iœ¿‡#†a‚ Y6 ‰Ššp—ž†yº‡,!9 ‹i‚ ˆ †y’ˆ „‚ „ž J; ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ$ºc‰•žt‡&˜ ‡Fš.S ‡i‡FˆI‡Fžp†£‰ Œ“’žaº‡F— ·©„š mša‡ižp‡iˆ † ™6 ‚ šp¢'‰•’“œ¿ž ‰¾†NŠ ’˜ƒ’“ˆ0f ‰‹i‚ œ¿Œ“‡&†y‡rœ‰•†yº‡Fœ ‰¾†y’“‹i‰ŠŒ ‰Šˆm—ˆ „œ¿‡iša’‹w‰ŠŒ ‰•ˆc‰ŠŒ›ƒžp’“ž
‚m& ‰Yžp›ƒž|†y‡iœ<žp„‹£º'‰Šž ŽM <wµc‚ šXšp‡w‰Šžp‚ ˆž†yºc‰¾† 6 ’“ŒŒS ‡ ‹iŒ‡w‰ŠšAS ‡iŒ‚ 6 D6 ‡«‰Ššp‡I_ ‚Š„ˆ—©†y‚šp‡ižp†aša’‹F†
‚ „mšaža‡FŒ˜Š‡ižJ†y‚B‰ ˜ ‡Fšp›žp’“œ¿Œ“‡'‹w‰Šžp‡X †aºc‰•†'™6 ‡º‚ S‡ º‚ D6 ‡&˜ ‡Fš#†a‚CS ‡ ’ˆžp†aša„‹&†y’˜Š‡Q‡iˆ‚Š„0 º†y‚
œ¿‚Š†y’ ˜•‰•†y‡,& „mšp†yºm‡išžp†a„—’“‡Fž-
t
t
1# $# 1 *( 3 !#%($ 5
$K AM ($ E# ( '$M E#%F k
¦º‡Ožp›ƒžp†a‡iœ 6™‡#ž|†y„—› º‡išp‡#’žY†yº‡D& ‚ ŒŒ“‚ 6’“ˆJ
5
ŽM
ŽMw”
MŽ Š
MŽ  Ž
‹F‚ œmŒ“‡iœ¿‡iˆ †a‡i—>6’ †yº _‚ „mˆ—c‰Šš|› ‰Šˆm— ’“ˆ’ †y’“‰ŠŒ ‹i‚ ˆm—’†a’“‚ ˆž 6º’“‹£º+6’Œ“ŒF_‡_‚Š†aº œ‰Š—‡
šp‡i‹F’“ža‡=S‡iŒ“‚ 6 À †t’ž‚5m†£‰•’“ˆ‡F— & šp‚ œ ŽM ›$œ ‰•¢ƒ’ˆ0Q†yº‡'& ‚ŠŒ“Œ“‚ 6’ˆ0Q‰Šžpža„œ¿m†y’‚ ˆžO
±' 7‡W‹i‚Šˆža’—‡išD‰'žaºm‡w‰Šš81c‚ 6 ’“ˆ$Ž•­ u = u (x)e žp‡i‡Jµ ’ „šp‡fŽM ¦º‡,& „ˆm‹&¹
†a’“‚ ˆ u ’žzº‡Fˆ‹i‡ & ‚ šp†aºQ—‡iˆ‚•†y‡i— › u ŠªD‚ ˆžp‡- „‡Fˆ †aŒ› †yº‡Y—m’˜ ‡Fš" ‡Fˆ‹i‡2& ša‡i‡D‹i‚ ˆ—m’†y’‚ ˆ
ŽM – ™’“žD‰Š„m†a‚ œ ‰¾†y’“‹i‰ŠŒ“Œ ›+& „Œ)(cŒ“Œ‡i— ¨Wˆm‚Š†yº‡Fšžp†aša’“¢ ’ˆ0 ‹i‚Šˆža‡ƒ„m‡iˆ‹F‡'‚&†aº’“ž ‡i‚ œ¿‡F†aša’¶¹
‹i‰ŠŒ‰Šžpža„œ¿m†y’‚ ˆ$’“žY†aºc‰•††aº‡#¼W‰w˜ƒ’“‡išY†a‡išpœ u.∇u ’“ˆ ŽM D‰•ˆ—B†aº‡©†yša‰Šˆžp_‚ š|††y‡Fšaœ
’“ˆ †yºm‡®žp†a‚‹£º‰Šžp†a’“‹B‡- „c‰•†a’“‚ ˆž S‚Š†yº ˜Š‰•ˆ’“žpº rÀ!ˆ§‡- „c‰¾†y’“‚Šˆ Ž  ” τ —‡iˆ‚•†y‡iž
u.∇
†aº‡ (x, y) ‹i‚ŠœS‚ ˆ‡Fˆ †ažO‚&D†aº‡žp†yšp‡ižpž'†y‡Fˆža‚Šš τ À!ˆ -‡ „c‰¾†y’“‚Šˆž MŽ   ©‰Šˆm— MŽ  Ž ša‡ižp ‰Ššp‡#†aº‡'† 6™‚‹i‚ŠœS‚ ˆ‡Fˆ †ažf‚ & †yº‡'‡iˆ—ƒ¹ †y‚¾¹!‡iˆm—I˜ ‡F‹&¹
(P
†a‚ š (t),Q(t)Q(t,špx))
‡ižp _†aº‡Q¯D(Všp‚ 6, ˆmW’ ‰Š)ˆIœ‚Š†a’“‚ ˆ W SÀ!ˆ-‡ „c‰•†a’“‚ ˆ MŽ < f —‡Fˆ‚Š†y‡FžJ‰Šˆ
‡k´ƒ†y‡išpˆc‰ŠAŒ & ‚ šp‹i‡ ±©Ž ¦º‡ & ‚ šp‹i‡
’“ˆ MŽ ’“žz‹£ºm‚ ža‡Fˆ†a'‚ S‡Y‰©ža’œmŒ“‡rŒ“’ˆ‡w‰Šš & ‚ šp‹i‡
6’ †yº H †yº‡‹F‚H‡ @F‹F(Q)
’“‡Fˆ †«‚ &S†yºm‡f±t‚‚Š¢Š‡w‰•ˆžpša’0ˆ D6º’“‹£º¿œ‚ƒ—‡FŒ“žz†aº‡_‚ FŒ ›ƒ(Q)
œ‡Fš =Œ‡FHQ
†r„ž
’ˆ‹i’—‡iˆ †y‰ŠŒ“Œ ›œ‡Fˆ †a’“‚ ˆ†yºc‰•†Dža„‹£ºB%‰ & ‚Šša‹i‡Wºc‰ŠžYˆ‚•†yº’0ˆ '†a‚Q—>‚ 6’†aº †yºm‡©œ‚ƒ—‡FŒ“’“Jˆ '‚ &
’ˆ †yšy‰ ¹!œ¿‚ Œ“‡F‹i„Œ“‰Š8š & ‚Šša‹i‡Fžf’ˆža’—‡©†yºm‡#S‚ Œ ›œ¿‡išD‹£ºc‰Š’“ˆ c’ †’“ž‚ ˆŒ ›‡Fˆ †aša‚ m’“‹O’“ˆ$ˆc‰¾†y„šp‡ ‰•ˆ— œ¿‚—‡FŒ“ž†yº‡™ža’œŒ‡™mša‚ S‡iš|†!›'ž|†£‰•†a’“0ˆ t†yºc‰¾† 6º‡Fˆ †yº‡™_‚ Œ ›ƒœ‡Fš ‹£ºc‰•’“ˆž|†yšp‡F†y‹£ºm‡i-ž †aº‡ ˜Š‚ Œ“„œ¿‡ ‚ &†yº‡ša-‡ Š’“‚ ˆv‚ &Y†yº‡ ‹i‚ Jˆ (0 „šy‰¾†y’“‚Šˆžžpc‰Š‹i‡˜’ža’ †y‡i— › †yºm‡_‚ŠŒ›ƒœ‡Fš
Š‡F†yžOžpœ ‰ŠŒŒ“‡Fš S¨>‹i‚Šˆža‡ ƒ„m‡iˆ‹F‡ ‚ &r†yºm’“.ž 9|±t‚‚Š¢Š‡w‰•ˆ —m„+œ 0S‡iŒ)Œ ;‰Šžažp„œ¿m†y’‚ ˆ’“ž©†aºc‰•†
†aº‡Qœ¿‚—‡FŒ MŽ f’“žW’“ˆ—‡F‡i—‡ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ † ‰•†©Œ“‡w‰•žp,† & ‚Ššaœ‰ŠŒ“Œ 5› „m†Jœ¿‚ šp‡ ‹w‰Šˆ S‡ ža‰Š’“—
†aºc‰ŠˆQ†yº‰•† †y‚O‰©„šp‡iŒ › œ‰Š‹išp‚ ža‹F‚ ’“‹™œ‚ƒ—‡FŒm‚ &c†aº‡Y†!›ƒ_‡ MŽ  Šˆ‰Šœ‡FŒ›O†yºm‡ & ‰Šœ‚Š„ž
·©Œ—ša‚ ›ƒ—®¯Uœ¿‚—m‡i$Œ 6šp’†a†a‡iˆ º‡Fša‡#’“ˆ ’†ažY—’ _‡išp‡iˆ †y’“‰Š$Œ & ‚ špœ
MŽ 
δτ
τ +λ
= nk T λ(∇u + ∇u),
δt
6’ †yº$†yºm‡#„m_‡Fš‹i‚ ˆ ˜ ‡F‹F†a‡i— —‡Fša’ ˜Š‰¾†y’˜Š‡ —m‡ (cˆ‡F— ›
∂u
2
(t, x) − ∂x,x
u(t, x) = ∂x τ (t, x) + fext (t, x),
∂t
τ (t, x) = E(P (t)Q(t, x)),
P (t)
dt + dVt ,
dP (t) = −
2
Q(t, x)
dt + dWt ,
dQ(t, x) =
∂x u(t, x)P (t) −
2
2
y
y
y
t
t
t
ext
t
B
δ
δt
6ºm‡iša‡
δτ
∂τ
=
+ u.∇τ − τ t ∇u − ∇uτ ,
δt
∂t
λ=
ζ
4H
’ž‰‹£º‰Ššy‰Š‹&†y‡Fša’“ž|†y’‹O†a’“œ¿‡À!ˆI‚ „mšža’“œ¿Œ‡©‹w‰Šžp‡ Ž  ™ša‡F—„‹i‡Fžf†a‚B
MŽ i–
∂τ
+ τ = ∂ u.
∂t
x
$7
*
=1 /)'# ( $2 # $#%6$($.# *%# x
MŽ  »r‡FŒ“‚ƒ‹i’†!› ša‚(cŒ“‡J’ˆ ‰¿žpº‡w‰ŠšB1c‚ 6 ‚& ‰Q—’Œ“„m†a‡Jža‚ Œ„m†y’‚ ˆ$‚& _‚ŠŒ›ƒœ‡Fšaž
¤‡F†I‰ŠŒža‚ qˆ‚Š†a’“‹F‡ †yºc‰•† 6™‡ ºc‰w˜ ‡ ‹£º‚ ža‡Fˆ „ˆm’†yž$‚&'†a’“œ¿‡‰Šˆ—0Œ“‡Fˆ0Š†yº žp„‹£º †aºc‰•† λ = 1
‰Šˆm— d =
³I‚ šp‡i‚ ˜ ‡Fš- 6™‡º‰ ˜Š‡Q†£‰Š¢•‡iˆ †yº‡º ›ƒža’‹w‰ŠŒ c‰•šy‰Šœ¿‡F†a‡išažJ’ˆ‚ ša—m‡iš©†y‚
=1
žp’“œ¿Œ“’)& ›Q†yº‡J‡ ƒ„‰•†y’‚ ˆž-m¨WŒ“Œ †yºm‡Jša‡ižp„Œ†až 6D‡DŠ’˜ ‡©‰Šša‡J‚&‹F‚ „špža‡#‰ŠŒ“žp‚˜•‰ŠŒ“’— 6’†aº$—’ _‡išp‡iˆ †
‹F‚ ˆ ˜ ‡iˆ †a’“‚ ˆž ¦º‡¿œ ‰Š’ˆ † 6D‚Bša‡Fža„Œ †yžO‚ &™‚ „Dš 6™‚ ša¢ A6º’“‹£º7‰Ššp‡¿šp‡ižp_‡F‹F†y’ ˜ ‡FŒ› žp†y‰•†y‡F—7’ˆ ¦º‡i‚ šp‡iœ 
‰Šˆm—I¦º‡F‚ ša‡Fœ Q’“ˆB‰ ˜ ‡iš|› ša‡F‹i’žaD‡ 6Y‰w› žpº‚ 6>
‰ †yºc‰•††aº‡išp‡O‡&´’“ž|†yžt‰ ža‚ Œ„m†y’‚ ˆ (u, Q ) †y‚ †aº‡Ožp›ƒžp†a‡iœ’ˆ†yº‡Jˆc‰¾†y„ša‰ŠŒX‡iˆm‡i"š •›$žac‰•‹i‡iž
( ) ‰•žaža‚ƒ‹i’“‰•†y‡F—B†a‚Q†yº‡Ošp5‚ Œ“‡F
œ †yºc‰•†B†yºm‡ & „ŒŒ›§—’“žp‹iša‡&†y’ i‡i—0ža‚ŠŒ“„m†a’“‚ ˆ (u , P P Q ) †yº‡ ˜ ‡FŒ“‚ƒ‹i’†!› S‡i’0ˆ ( ) —m’“ža‹Fša‡&†y’ F‡i— ‚ ˜ ‡iš  (cˆ’†a‡Q‡iŒ‡iœ¿‡iˆ †yžO’“ˆžpc‰Š‹F‡ L‰Šˆ— › (cˆ’ †y‡Q—’ ~‡Fša‡iˆm‹i‡ižO’ˆ †a’“œ¿‡
¡
6ºm’“Œ“‡¿†yº‡B­©¥ S‡i’0ˆ —’ža‹išp‡F†a’ i‡F— › ‰Šˆ ¥ „Œ‡iš žp‹£º‡iœ¿‡$’“ˆR†a’“œ¿‡‰Šˆm—v†yº‡ž|†yšp‡ižaž
†a†a‡i‡iˆ‹£ºžp‚ˆmš$’“‹w‰•‰ŠŒDmœ¿ša‚‚w´—’“)’ œ(c‹w‰•‰¾†y†y‡F’“— ‚Šˆ ›§6º³I’“‹£‚ º ˆ †y’‡žªYŒ’“ˆ‰Š¢•šaŒ‡i‚R—vša†y‡i‚I‰ŠŒ“†y’ w‰º•‡†a’“ž|‚ †£ˆm‰ ž m‹’“Œ“’i†!‚Š› ˆ ˜Š‚ ‡i&Lš †y ºm‡i‡ž$m„­© ¥†y‚v‰Šˆ‰7—vžaŒ“†a’ ºc º‰•††
6’Œ“Œ S‡ œ ‰•—‡'mša‡i‹F’“žp‡ ’“ˆ žp0„ žp‡i‹F†a’“‚ ˆ Ž 0– Š0– Jc†y‚†yº‡ ‹F‚ ˆ †y’ˆƒ„m‚ „ž©žp‚ Œ“„m†a’“‚ ˆI‰•†f†yº‡
‚Šša—‡Fš O h + δt + *6º‡Fša‡ h ’“žY†aº‡#žac‰Š‹F‡'ž|†y‡F δt ’“žY†aº‡#†a’“œ¿‡©žp†a‡i®‰Šˆ— M
’žJ†yº‡¿ˆ „+œ S‡išO‚ &Yšp‡w‰ŠŒ’ i‰•†y’‚ ˆž©‚ &™†yº‡m­W¥rž ?’ ‡ X†yº‡ˆ „+œ S‡iš#‚ &™—„+œ 0S‡iŒŒ“žOS‡iš
‹F‡iŒŒ ¦º‡ža‡ ƒ„m‡iŒ ‚ & †yº’ž c‰ŠS‡iš ’ž —‡F˜Š‚Š†y‡F—¿†a‚O†aº‡šp‚‚ &S‚ &S†yºm‡iža‡† 6™‚‰•žaža‡Fšp†a’“‚ ˆž ±f‚ 6™‡F˜Š‡i-š S‡ & ‚ šp‡ 6D‡ ‡F†O†a‚B†aº‡º‡w‰Šš|†#‚ &™†aº‡œ ‰¾†a†y‡F-š Œ‡F†O„žO‡iœ¿ºc‰•ža’ F‡‚ „š ‚ ‰Š?Œ X‰Šˆm—R‰ŠŒža‚ ’ ˜ ‡
žp‚ œ‡O‹F‚ œœ¿‡iˆ †ažY†yºc‰•#† 6™‡ _‡FŒ“’“‡&˜ ‡Jžp„‹£º®šp‡iža„mŒ†yž—‡Fža‡Fšp˜ ‡ ¦º‡ šp‚‚ & ‚ & †aº‡‡k´m’žp†a‡iˆ‹F‡ ‰Šˆ—®’“ˆ & ‰•‹F†©„mˆ’ „‡Fˆ‡ižpžJ‰Šˆ— šp-‡ „mŒ ‰Ššp’†!› ‚& †yº‡‹i‚ ˆ †y’¶¹
ˆ—„‚ƒ‚‡ižO„mž ˆ‚•†#ša‚ ‰ŠŒ“S‡Fœ2
‡w‰ŠšO’“ž#‰ŠšažO‡Fžp„ša‹£‚ƒºR—„’ˆ‹F‡i—v†yºº‡‡FŒ“ša’ ‡†y‡Fœšy‰•‰Š†a„’ˆšaŒ‡ › ~’& †©‚ šJ‹i‚ †y„ºŒ‡— žy_‰Š¢•‡Q‡ —‚‡Fša&Y’ ˜‹i‡i‚ —ˆžp’“’“ˆž|†y‡i‰$ˆmšy‹F‰¾5› †y º¨W‡FšJŒ †yºžp†y‚ šaJ„ ‰Š ’ Šº7º †|’ †¹
& ‚ Hš 6Y‰•ša— 6D‰ › & ša‚Šœ†aº‡5‚ mža‡iš|˜•‰•†y’‚ ˆR†yº‰•† ‚ „mšœ¿‚—‡FŒ™’-ž ‰Šžœ¿‡iˆ †a’“‚ ˆ‡F— ‰ S‚ ˜ ‡ ’“ˆ & ‰•‹F†
‡ ƒ„m’˜•‰ŠŒ“‡Fˆ ††y‚ ‰Šˆ ·©Œ“—šp‚ ›ƒ— ¯†!›S‡œ¿‚—m‡[email protected]Œ ¦º‡ ‚ ˆŒ› žaŒ“’ º † Jˆ‚ ˜ ‡FŒ†!›7’“ž'†aºc‰•-† 6’ †yº ‰
˜ƒ’“‡ 6 †y‚O†£‰•‹£¢ƒŒ‡fˆm‡&´ƒ†™†aº,‡ !#‰ŠŒ‡išp¢ƒ’ˆ¿‰Ššp‚ ´’œ ‰•†a’“‚ $ˆ 6™‡f—‡FŒ“’ _‡Fšy‰•†a‡iŒ%› 6D‚Šša¢Q’“ˆ†yºm‡fˆc‰¾†y„ša‰ŠŒ
‡Fˆ‡iLš Š› 5‚ S‚ Œ“‡&˜ Ožac‰•‹i‡iž r·©ˆv†yº‡‹i‚ ˆ †ašy‰Šš|5› ž|†y„—’‡iž žp„‹£º ‰Šž ¬ ‡ &  m «†£‰Š¢•‡$‰®œ „‹£º
œ¿‚ ša‡®ša-‡ Š„Œ ‰Šš ža‡F†p†y’0ˆ ‰Šˆ— †aº‡žp†a„—m› ¬ ‡ &  ” ©‹F‚ ˆža’—‡išpž ‰Šˆ‚Š†aº‡iš†!›ƒS‡‚ &#‹i‚ ˆ ˜Š‡i‹&¹
†a’˜ ‡—‡Fša’ ˜Š‰¾†y’˜Š‡ & ‚Šš©—‡F†y‰Š’“ŒžJ‰ S‚ „m†O‹F‚ ˆ ˜ ‡i‹&†y’ ˜ ‡¿—‡išp’˜•‰•†y’ ˜ ‡FžO‰Šˆ— & šy‰Šœ¿‡ ’ˆ—’ _‡išp‡iˆ‹F‡ Xžp‡i‡
& ‚ š‡k´‰•œŒ‡ ¬ ‡ &  «·©ˆ †aº‡ ‚Š†yºm‡išºc‰Šˆ$— r†aº‡ 95ˆ „œ¿‡išp’“‹w‰•Œ‰Šˆc‰ŠŒ ›ƒža’“ž ;$c‰•šp†‚ &W‚ „š
6™‚ ša¢ ža‡F‡iœ¿ž ‹F‚ œmŒ“‡F†a‡iŒ › ˆ‡ 6 7‡ ‰Ššp‡®‰ 6D‰Šša‡B†yºc‰•†¿†yºm‡®‹w‰•ža‡ 6™‡®—m‡w‰Š#Œ 6’†aº rša‡F‹i’“žp‡iŒ ›
S‡i‹i‰Š„ža‡t‚ &_’†až ža’œŒ’“‹F’†!›'‰Šˆ—’†až & ‚ špœ ‰ŠŒ-‡ „’ ˜Š‰•Œ“‡iˆm‹i‡ 6’†aº¿‰Om„ša‡FŒ› œ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’‹Yœ¿‚—‡FŒ
kB T
H
t
n 1
h M
M
j=1
j
n
j
h,n
√1
M
2
1# $# 1 *( 3 !#%($ º ›ƒS‚Š†yºm‡iža‡Fž ±# J‰Šˆ— ±WŽ ©‹w‰•ˆˆ‚Š†=S‡¿‹F‚ ˆžp’“—‡Fša‡i—R‰Šž'‰Bšp‚Š†y‚•†!›S‡ ’ˆ †a‡išaœ¿žO‚&«†yº‡
œ‰•†yºm‡iœ‰•†y’‹w‰ŠŒ_—’ @¿‹i„mŒ†!› D‚&z‰ŠŒ“ŒXœ¿‚ƒ—‡iŒžY‚&L†!›S‡ ŽM <c±f‚ 6™‡F˜ ‡Fš-
‰ †yº‡ža’œmŒ“‡ œ¿‚—m‡iŒ MŽ !¹ MŽ  Ž f‡F+œ S‚—’‡ižJœ‰Šˆ ›5X’)&«ˆ‚Š†#‰ŠŒŒ@S—’ @¿‹i„mŒ†y’‡ižJ‚&«œ¿‚—m‡iŒ
( ) ‚ &«†!›ƒS‡ Ž #S†aº‡Q‹i‚ „mŒ“’0
ˆ S‡F† 6™‡i‡Fˆ †aº‡ žp†a‚‹£º‰Šžp†a’“‹ c‰•šp†J‰•ˆ— †yº‡Qœ‰Š‹Fša‚ žp‹i‚ ’‹
1‚ 6 c‰•šp† «†yºC‡ & ‰Š‹F††yºc‰¾† ‰•†$‰•ˆ › (m´‡i—Uˆ „>œ _‡Fš‚ &O—„>œ 0_‡FŒ“Œž¿†aº‡ ‰•c‰Ššp‡iˆ †yŒ ›
—m‡F†y‡Fšaœ¿’“ˆ’ˆ’“ž|†y’‹ 1c‚ 6 ˜Š‡iŒ‚‹F’†!›’žO‰Š‹F†a„c‰ŠŒ“Œ ›‰ žp†a‚‹£ºc‰•žp†y’‹¿˜•‰Ššp’ ‰ mŒ“‡ _À †#’“žJ†yº‡Fša‡ & ‚ ša‡
‡k´_‡F‹F†y‡F— †yºc‰¾†f†aº‡œ‰•†yºm‡iœ‰•†y’‹w‰ŠŒ~†a‚‚ŠŒ S‚ ´„ža‡F— & ‚ š’†ažfž|†y„—m› 6’Œ“AŒ S‡'„žp‡ & „Œz‰Šˆ—
’ˆžp†aša„‹&†y’ ˜ ‡ & ‚ š†yº‡™‰Šˆc‰ŠŒ ›ƒža’“ž‚ &m†yºm‡™‚Š†aº‡iš‹i‰Šža‡F-ž ¾¨Y†zŒ‡w‰Šž|† ’ †’“žL‰ša‡FŒ“’“œ¿’“ˆ‰Ššp›fœ ‰¾†a†y‡Fš
& ‚ŠšY†yº‡Fœ †yº‡tža’œŒ‡Yœ¿‚—‡FŒ Ž ¹ MŽ  Ž ’“žr’ˆ—‡i‡F—„mža‡i—’“ˆQ†yºm‡tˆ „œ¿‡išp’“‹i‰ŠŒcšy‰•‹F†y’‹i‡ ‰Šˆ—¿‹i‚•¹
( ) —m‡i—‰•ž™žp„‹£º «’ˆ‚ ša—‡Fš«†a‚'žp‡iš|˜ ‡©‰•žD‰J†y‡Fžp†™‹w‰Šžp
‡ & ‚ š«‰Š—˜Š‰•ˆ‹i‡F— ˆ „œ¿‡iša’‹w‰ŠŒ†a‡i‹£ºˆm’ „‡iž
†aºc‰•'† 6’Œ“Œ S‡†yº‡Fˆ‡&´ƒ†y‡Fˆ—‡F— †a‚œ‚Šša‡žp‚ º’žp†a’“‹w‰¾†y‡i—®‹w‰Šžp‡i-ž ~¦º’“ž«‘p„mžp†y)’ (c‡iž †y ‚ ‚ „š
‚Š’“ˆ’‚ ˆ ‰•†Œ‡w‰Šž|† ™†yºm‡#ˆm‡i‡i—C& ‚ šY†yºm‡#ˆ „œ¿‡išp’“‹i‰ŠŒ‰Šˆc‰•Œ›ƒža’ž‚& †aº’“žœ¿‚ƒ—‡iŒ G , D D H G B E DFDH GIG G
B
F (Q)
*,
F (Q) =
HQ
,
1 − |Q|2 /b
HQ
,
1 − E(|Q|2 )/b
$ " HHGG $GIG $ HG $HG " B E DFDHGI G B
GIG " G <D G D B HG % > B G !> HGHG HG EbDFD H GIG G
B G % B D B QB G B |Q| ≤ √b B G B %
G
@ @ G B
B B G 8D % B ( ) 8D ( ) u.∇Q G A D G ( ) B B B ( ) @
B
B
τ
P
B B G B G B G E D A G B G G >D G &HG G HGI G > B B # > B G G HG HG 3 > A B A % BD " A B
A
F (Q) =
*,
t
t
$7
*
=1 /)'# ( $2 # $#%6$($.# *%# I G G B %G B G @ G % A A G > 0B B u D % @ B G B B G % B G B Q u G ∇uQ
H G B A " G @ % G
G
HG IG B HG B
HG HG G % B HG % A HG G B &G BG G @ > GIG B G GB B G G H G B D HG IG B G HG D B B D 1
*,
¤‡F†Q„žQ‡Fˆ— †yº’žžp‡i‹F†a’“‚ ˆ ža‰ ›ƒ’ˆ0 †yºc‰¾†>6™‡Bºm‚ _‡†y‚‹i‚ŠœŒ‡iœ¿‡iˆ ††aº‡šp‡iža„mŒ†yžQ‚&†yº‡
šp‡ižp‡iˆ †,6™‚ ša¢‰•†Œ“‡i‰Šžp†’ˆ † 6™‚¿—’“šp‡i‹F†a’“‚ ˆmžJ
‰ ‡F˜•‰ŠŒ“„‰•†y‡™‚ ˆ †yº‡Džy‰Šœ¿‡™†a‚ › ¹ œ‚ƒ—‡iŒ S‚Š†yº+ ›ˆƒ„mœ‡Fša’“‹i‰ŠŒ‰Šˆc‰ŠŒ ›žp’“žz‰Šˆ—Q‹i‚Šœ„†£‰•†a’“‚ ˆc‰•Œ
( ) ‡k´_‡Fša’“œ¿‡iˆ †až†aº‡©˜•‰ŠŒ“’—’†!›¿‚& 6™‡iŒŒX¢ ˆ‚ 6ˆ®‰Šˆm—B‹F‚ œ¿œ‚ ˆmŒ›¿„ža‡F—B†a‡i‹£ºˆm’ „‡ižt‚&†yºm’“ž
(‡iŒ“—B‚ & ‹i‚ œ¿„m†y‰•†y’‚ ˆc‰ŠŒ_šaº‡F‚ Œ“‚ Š› žp„‹£º ‰•ž˜•‰Ššp’ ‰Šˆm‹i‡Jša‡F—„‹&†y’“‚ŠˆBœ¿‡F†aº‚ƒ—-ž ( ) —‚#†aº‡žy‰•œ‡‰Šˆ‰ŠŒ›ƒža’žr‰Šž †yº‰•†r‚ &S†yº‡šp‡iža‡Fˆ †Dc‰•_‡Fš & ‚ š ža‚ œ¿‡‚ &S†yº‡œ¿‚ šp‡—’ @¿‹i„mŒ†
‹i‰Šža‡Fžfœ¿‡iˆ †a’“‚ ˆ‡F— ’“ˆ$†yº‡#‰ S‚ ˜ ‡Oša‡Fœ ‰•ša¢ -ž 7‡Oša‡ & ‡Fš†yº‡Oša‡i‰Š—‡Fš†a‚ ¬ ‡ & -ž A& ‚ š ‰ Y‰Šˆ—$†y‚ ¬ ‡ & -ž $& ‚ š <
2
M E LK M E [email protected] ! #" 5
5
# ,6
% œ œ
4:2;/ <.= 4 4;,?>@)BAC)B>D4
>D/1Y14;>DR.45[ O#Q >TR]>TR.4 Q , Q > Q * = 6b*->T*^
œ
3 )&! !& &'& & $
()+*-,.,./10.,3254567* /9814
Z /10.,.6.*\[BA]2;/1,.6 Q > Q /1,.)^
œ
%
")0
FEHG JI KEHGMLNE PO#Q >DRS>TR.4VUW/ =X= / O#Q ,3Y
_FEHGXL9`1a
u(t, 0) = f0 (t),
u(t, 1) = f1 (t),

 u(0, x) = u0 (x),
Q(0, x) = Q0 ,

P (0)
= P0 .
_FEHGXLdcea
œ
.6 4;,./\>T4> O / Q ,.6.4 < 4;,.6.45,e>g,./1[ * =
f 4;>g0.)g* = )D/ \* h\4 < [D452 Q )B4>DR.4,./\>T*-> Q /1,.)i^ *\,.6
[D*\,.6./ 8-\* [ Q * Z = 4;) _ Z 4525*\0.)B4 O 4)D0 <3< /1)B4j>TRb*-P>k0>DR.4 < / Q= A 0 54 [D)l*-[D4 Q , Q > Q * =m= A *->l4;n?0 Qm=XQ Z [ Q 0 a o
œ
œ
œ
#
# 3 1 /) #- ( * (+,$ $# * = )D/ Q ,.6.4 < ;4 ,.6.4;,?> /\U *\,.6
O R Q 2 RV6.4;,./\>D4> O /@)B> *-,.6b*\[B6 Q ,.634 < 45,.6.4;,e> [B/ O , Q *\,
V
W
t
t
G
o
/\> Q /1,.) \/ > Q 254 >DRb*-> -* ) UW0.,32;> Q /1,/\U >DR.4 ) < *\2;4 8-*\[ Q * Z = 4 o
Q ) 2;/1,.) > *\,e> G ,>TR.4
x
(V
,
W
)
t
t
G
UW/ =X= / O#Q ,3Y o O 4 Rb*d814
O#Q >DR
œ
(t, x) ∈ (0, T ) × O
O = (0, 1)
R.4 UW/ =X= / O#Q ,3Y[B45Y10 = *\[ Q >JA]UW/1[g>TR.44C>T4;[D,b* = UW/1[D2;45)*-,[email protected]>TR34 Q , Q > Q * = 814 = /C2 Q >[email protected]*-[D4 )B0 <HI
< /1)D4;6 ^
>
œ

1,1
 fext ∈ L1t (Hx1 ) ∩ Wt (L2x ),
f (0, x) ∈ L2x ,
 ext
u0 ∈ H 2 .
_FEHGXL1a
Q )]>T/ Z 4 [B4 *\[Dh-456 >TRb*-> * = >TR./\0.Y1R >TR.4 [B45Y10 = *\[ Q > Q 45) _KECGXL \a Rb*d814 Z 454;, 2 R./\)D45, UW/1[
) Q <.=mQ 2 Q >JA*-,.6 Z 4;2d*\0.)B4 >TR.4 A*\[B4 ,.452;45)B)T*\[ A UW/1[ /10.[[D45)B0 = > /\U 25/1,e814;[DY14;,.254 _ R345/1[B4 a o
)B/ 4 < *\[ >T)/\U >TR34P*\[BY10 45,e>T) Z 4 = / O *dA Z 46./1,.4 0.,.6.4;[ = 45)D)[D4;Y10 = *-[[B45n?0 Q [D4 45,e>D) G
f 4;>g0.)g* = )D/,./\> Q 2;4i>TRb*->g* =m= >DR.4[D45)B0 = >D) O 4Y Q 814*\[D4* = )D/ 8-* =XQ 6 O#Q >TR/\>TR345[g*\)D)B0 < > Q /1,.)
G
/\U[D4;Y10 = *-[ Q >JA /1,
f
ext
4
D
[
;
4
B
)
T
>
[
2
>
1
/
.
0
B
[
D
)
4
Q
= 814;) >T/g>TR.4 25*\)D4 /\U R./ /1Y14;,.45/103) Z /10.,.6b*-[BA25/1,36 Q > Q /1,.) _
a o >DR.4 /C6 Q 2d*-> Q /1,.) >T/#6.45* =\O#Q >DR>TR.4j/\>DR.45[l25*\)D4;) Z 4 Q ,.Y /1, = A* >T4;2 R., Q 2d* = *->B>Tf450[ =
G ,f1>TR.=4
0UW/ =X= / O#Q ,3Y o
*\,.6 6345,./\>D4i[D4;) < 452 > Q 8\4 = A >DR.48-*\[ Q * Z = 4 Q ,> Q 4 o ) < *\2;4*\,.6 < [D/ Z * Z Qm=XQ >JA G
/1[ 4 .* <.t,= 4 xo Qt ∈ωL∞t (L2x(L2ω )) 4d*-,.) >TRb*->#)B0 < 45)D) t∈(0,T ){R E(Q2t ) dx} < ∞ G
4*\[B4,./ OSQ , < /1) Q > Q /1,P>T/6.4 ,.4>TR.4,./-> Q /\,]/\U)B/ = 0H> Q /\, OO 4)DRb* =m= 6.45* ='O#Q >DR G
4:)D*dA >TR.*-> (u, Q) Q )+* O 4d*\hS)B/ = 0H> Q /\,S/\U>TR.4:R3/ /\Y145,.4;/10.) < [D/ Z = 4 Q U u ∈
o
*\,.6
)T*-> Q ) U A>TR.*->#UW/1[#* =m=
1
2
2
2
2
∞
∞
1
“œ
œ
œ
œ
>œ
œ
œ
œ
Lt (Lx ) ∩ Lt (H0,x )
UW/1[#* G 4 G
Z
d
dt
œ
œ
Qt ∈ Lt (Lx (Lω ))
uv +
Z
œ
œ
œ
∂x u∂x v = −
Z
Z
v ∈ H0 (O)
E(Pt Qt (x))∂x v + fext (t, x)v,
O
O
O
O
Z t
Z t
o
o
s−t
s−t
− 2t
2
(x, ω) ∀t ∈ (0, T ) Qt (x) = e Q0 + e dWs + e 2 ∂x uPs ds,
0
O#Q >TR
Pt = e
− 2t
P0 +
Z
t
e
s−t
2
“œ
_FEHGMLea
_FEHGMLea
0
dVs .
“œ
n?0b*-> Q /1, _KECGXL1a .R / = 6.) Q ,P>TR.4)B45,.)B4/-U 6 Q )B>D[ Q Z 03> Q /1,.) Q ,> Q 4 G () 0.)B0b* = o /1,.4
G
8-* = 45,e> = AP0.)B4> Q 4i.6 4 < 45,36.45,e>g>T45) >#UW0.,.2;> Q /1,3)
1
2
2
∞
"
œ
œ
0
œ
_FEHG E!ea
*dA4;nC0 QMI
v ∈ Lt (Lx ) ∩ Lt (H0,x )
# %$ # &('*),+.-0/21436587:9,587<;>[email protected]?AB+.-?;>=
G R345)D445)B> QMI
4 ,./ O 45) > * Z =XQ )BR UW/1[ œ * =DCFEHGIKJLGI 45) > Qœ *->D45)/1, >DR.4)B/ = 03> Q /1,
œ *->T 4;) O#Qm=m= Z 4 œ *\6.4[ Q Y1/1[B/10.) * > >TR.46 Q )D25[B4;>D4 = 4;814 =kQ ,P>DR.4,.4C> )D0 Z )B(u,452 > Q)Q /\, G M 0 = > Qm<3= A Q ,.Y _KECGNea Z A u o ,34C> Q ,e>T4;Y1[T* > Q ,3Y /9814;[ >TR.4i63/ œ * Q ,P*-,.6 Q ,> Q“œ 4 o O 4/ Z > * Q ,
1
2
Z
1
u(t, x) −
2
O
2
Z
2
u0 (x) +
O
Z tZ
0
2
O
(∂x u) = −
Z tZ
0
E(Ps Qs (x))∂x u(s, x)
Z tZ
+
fext (s, x)u(s, x).
O
0
O
OPO
( #$#%$(
1 /)'# œ
4 C>
.# *%# œ
O 425/ < 03>D4 2 Z A > ! ) WU /1[ 0 = * 03) Q ,3Y _FEHGMLNE1a o > *\h-44 < 4;2;> * > Q /\,.)g*\,.6 Q ,e>T4;Y1[T* >T4
*\Y1* Q ,/1,
*\3, 6 Q ,]Q> tQ 4 >D// Z > * Q ,
1
2
O
Z
“œ
E(Q2t )
1
− =
2
Z tZ
1
E(Ps Qs (x))∂x u(s, x) −
2
O
" 0 œœQ ,.Y 0 < >DR.45)B4> O / 4;n?0b* =mQ > Q 45) o O 4/ Z >T* Q ,
O
1
||u||2L2x (t) +
2
Z
0
t
0
||∂x u||2L2x
1
+
2
Z
O
E(Q2t )
G(' #)&+*& G-,. I *& >0/ C1 I # .
O R Q 2 R A Q 4 = 6.)$# %&
1
+
2
^
Z tZ
0
1
E(Q2s ) + t.
2
O
Z tZ
1
E(Q2s ) ds = ||u0 ||2L2x
2
0
O
Z tZ
1
+ (1 + t) +
fext u,
2
0
O
2
||u||2L∞
2 + ||u||L2 (H 1
t (Lx )
t
+ ||Qt ||2L∞
+ ||Qt ||2L2 (L2x (L2ω ))
2
2
t (Lx (Lω ))
t
≤ C 1 + ||u0 ||2L2x + T + ||fext ||2L1t (L2x ) ,
0,x )
œ
_FEHG ECLNa
_FEHG E\E1a
* 25/1,.) > *\,e> Q ,.634 < 45,.6.4;,e> /-U >DR.46b*-> */\U>TR.4 < [B/ Z = 4 G
( > C >DR Q ) )B> *-Y14 o Q > Q ) >D/ Z [email protected][D4 *-[Dh\4;6 >TRb* >P0.) Q ,.Y >DR.4 )D* [email protected]*\[DY\0 4;,e>T)P*-) Q , >TR.4
o /1,.4 2d*\,:)BR./ O
6.4;[ Q 8\* > Q /\, /\U _FEHG ECLNa /\[ _KECG E1E\a O#Q >DR
*\,.6
>DR.4i0., Q n?0.45,.4;)D) /\U')D/ = 03> Q /1, G R Q ) < / Q ,eu> =)BR./1u0 1= 6− Z u42 ,./-> )D03Q[ < =[ Q ) QQ,.1Y−UW/\[ Q>T2R34[D45*\6.4;[ *\) >TR.4
) AH) >T4 _KEHG ea I _KECGXLNE\a _ /1,.254 O [ Q >B>T4;, Q ,>D45[ ) /-U /\, = A o 0.) Q ,.Y 45n?0b*-> Q /1, _FEHGML!ea /\, *\,.6
4;nC0.*-> Q /1, _KECGXLNE\aDa /1,
Q ) Q ,36.454;6]* =XQ ,.45*\[)BAC)B>D4 u O#Q >TR [D4;) < 452;> >T/>DR.4 8-*\[ Q * Z = 4 τG R Q )
Q
t
Q )g/ Z 8 Q /10.) = A]* 25/\,.)D4;nC0345,.2;4 /\U /10.[ ) Q <3=mQ U A Q ,.Y *\)B)D0 < > Q /1,.) _32LNa *\,36 _32iE1a G u
4 0.)B>* = )D/],3/\> Q 254 >DRb*->i>DR Q )i4;,.45[BY\A+4;)B> Q * >T4 )BR./ O )>TRb*->>TR.4 [B45Y10 = *\[ Q >JA!/\U>TR.4
G R Q ) )DR./ O ) Q , U *\2 >@>DRb*->
*\,.6 ∂u
)B/ = 03> Q /1, Q ) *-> = 4d*\) > ^
2
−1
u ∈ L2t (Hx1 )
∈
L
(H
)
t
x
_ )B455
G 6M0L 8?:` 97; R.* < >T4;[ B: o
4 4g4 U 7
O R Q 2 R * =m= / O )]03)>D/ ∂t6.4 ,34
2
u
∈
C([0,
T
],
L
(O))
u(0)
\
L
G
1
E
a
G
*
f 4
f 4;> 0.) ,./ O >D0.[D, >T/>TR.4 )D452;/1,.6P4;,.45[BY\A Q ,.4;n?0b* =mQ >JA G R Q ) > Q 4 o O 4 0 = > QX<.= A _KECNG ea Z A
*\,.6 Q ,?>D45Y1[D*->T4/98\45[#>TR.46./ * Q ,P>T// Z >T* Q ,
2
O#Q >TR
œ
œ
œ
œ
œ¿œ
œ
œ
œ
d
dt
Z
2
(∂x u) +
Z
2
(∂x,x
u)2
œ
œ
œ
“œ
œ
−∂x,x u
œ
=−
Z
2
∂x E(Pt Qt )∂x,x
u
œ
−
œ
Z
2
fext ∂x,x
u.
œ
4 ,.454;6 >D/]25/1O,e>D[D/ = >TR.4 [BO)B>>D45[ Q ,@>DR.4 O[ Q Y1Re> I Rb*\,.6 ) Q 6.4 G<; / O< 03> Q ,.Y
UW[D/
_FEHGXL\LNa *\,.6 _FEHGMLNE1a *\,.6> *\h Q ,.Y4 < 4;2;> * > Q /\,.) o O 4Y14 > >DR.4#UW/ =m= / O#Q ,.Y45n?0b* > Q /\d(P
, _ 45tn?Q0 tQ )8-* = 45,e>
>D/ _FEHGXL08?aDa ^
_FEHG E=ea
∂
E(Pt Qt ) = −E(Pt Qt ) + ∂x u E(Pt2 ).
A!* ) > *\,.6.*\[D6 * <.<.=XQ 25*-> Q ∂t
/1,P/\?U >[B/1, O * =m-= ) = 4
* o >TR Q ) A Q 4 = 6.) >TR34UW/ =m= / O#Q ,.Y Z /10.,.6
œ¿œ
O R Q 2 R O 4]0.)B4]>T/
I *&HG / C1 I # . ^
O!I
,.* =m= A
||∂x E(Pt Qt )||2L2x
≤
Z
t
2
||∂x,x
u||2L2x ,
/ Z > * Q , _ 03) Q ,3Y *\Ye* Q ,@>[B/1, O * =m=- ) = 4
0
œ¿œ
* a # %& ' &BA J D* CE&+*& FG ,.
||u||L∞
1 )∩L2 (H 2 ) ≤ C ||u0 ||H 1 + ||fext ||L1 (H 1 ) ,
(H
x
x
x
x
t
t
t
_FEHG E:8?a
!#" O R.4;[D4 /1, = AP6.4 < 4;,.6.)g/1, G
f Q h\C4 O#Q )B4 o O 4 0 = > Qm<3= A TK_ EHG ea Z A ∂u *-U >D45[6.45[ Q 8-*-> Q ,.Y Q > Q , > Q 4 _ * =X= >TR Q ) Q )6./1,.4
UW/1[ * =m= A O 4[B4525* =m= a o -* ,.6 O 4 Q ,e>T4;Y1[T* >T4∂t/9814;[ >T// Z > * Q ,
œ
œ
“œ
O
2
2
∂∂x u
+
∂t
L∞ (L2x )
∂u
∂t
≤C
L2t (L2x )
2
2
∂fext
+
∂t
L2 (L2x )
∂
E(Pt Qt )
∂t
∂u
∂t
+
L1t (L2x )
> [B/1, O * =m='Q ,.45n?0b* =XQ >JA a
$ ) Q ,3Y*\Y1* Q ,]4;nC0.*-> Q /1, _KEHG E=ea o O 4/ Z > * Q , _ Z A t
2
∂
E(Pt Qt )
∂t
≤C 1+
t
||u0 ||2L2x
+
*\,36 O 4>DR.45,!6.4;[ Q 8\4*\,./\>DR.45[ G & , / 1 C8GI # .FI * # I&% &^
∂u
∂t
O R.4;[D4
/1, = AP6.4 < 4;,.6.)g/1,
M
243 & 57698 :
T
<;
< [D/ Z = 4
46>= [email protected] D3FEHG <BIJ
œ
I *DC
C *DC
A J / DE 1 & U(u ∈(t,(Lx), Q(R))(x)) NJP%Q& G &
m
∞
t
m
d
dt
Z
um v i
O
Qm
t
*\,.6
O#Q >TR m
( Ye* Q , lo Q_K0EHG E =1a Q.R 0*\) >T/
>
4 GY G *
U.V 9 8
_FEHG E\`1a
œ
4 )B4;>
_KEHGMLea I _KECGXL1a G
' / AB%E# % C &# NO JLG C 1 1
m
t
G
Vm = Vect{v1 , ..., vm }
C I
N7# %&
2
2
∈ L∞
t (Lx (L
Pω )) m
N ' # '<Q & 'S1R ≤ i ≤ m
m
u (t, x) = i Ui (t)vi (x)
Z
Z
Z
_FEHG E-cea
m
m
= −
∂x u ∂x vi −
E(Pt Qt (x))∂x vi +
fext vi ,
O
O
O
Z t
Z t
_FEHG E 1a
s−t
s−t
t
= e − 2 Q0 +
e 2 dWs +
e 2 ∂x um Ps ds,
m
m
t
.
G
/\U 1 G
f 4;>0.) 634 ,.4 * 4 Q 45)LK Z *\) Q )
R.4)D4 Q I 6 Q )D2;[D4;> Q K;456 < [B/ Z = 4 Q ) {v>DR.i }4i=1..∞
UW/ =m= / O#Q ,.Y H^ 0 (O)
œ
L2x
!
t
#(' $ ' $ )+* A =?;,.- ;/'
425*\, ,3/ O )DR./ O >TR.44 Q )B>T4;,.254/\U*)B/ = 0H> Q /\,]/\U
10
t=0
≤ C 1 + ||u0 ||H 2 + ||fext ||W 1,1 (L2x ) + ||fext (0, x)||L2x ,
2
2
1
L∞
t (Lx )∩Lt (Hx )
C
L2t (L2x )
||fext ||2L1 (L2x )
t
2
0
œ u*-h\(t4)D=4;,.0))D4UW=/1[#Π* G 4 (uG (x,) ω)
m
m
IW: [email protected] X
8043 & 57698 :
0
<;
H G1
t ∈ (0, T )
46Y8ZB!G1E 1BI/
3, 6 * D) / = 30 > Q /1, >T/@>DR.46 Q )D2;[D4 > Q ;K 456 < D[ / Z = 4
Q )) > *\,.6.*\[D6 >D/ H456 IJ< / Q ,e>g*\[BY10 45,e>#/1,>TR.4iUW0.,32;> Q /1,
œ
0
O R.4;[D4
Q )>DR.4
o UW/1[#Π* =mm=


 X −→
U (t)
F :
7 →
−


Qt (x)
œ
IJ< [B/DTB452 > Q /1, /1,
Vm
_FEHG E-cea I _KEHG E 1 a 0.) Q ,.Y
X
!
R
U0 − A−1
BU (s) − O E(Ps Qs )∂x V + Fext
,
R
R
s−t
s−t P
t
t
t
e− 2 Q0 + 0 e 2 dWs + 0 e 2
i U i ∂ x v i Ps
R
t
0
O\[
G
O R.4;[D4
#
!
œ
*\,.*\2 R ) < *\254UW/1[>TR.4,./1[
Z
o
o
o Q )*
||(U, Qt )||X = ||U ||L + ||Qt ||L (L (L )) Ai,j =
vi vj Bi,j =
∂x vi ∂x vj V
4 = 6!/\U 25/ < /\,.45,e>T) vj *\,.6 Fext Q )#* 81452 >T/1[#/\U 25/ O< /1,.4;,?>D) R fextvOj G
R.4 < / Q ,e> Q )>TR.4 UW/ =m= / O#Q ,.Y[B45)D0 = >)B>T*-> Q ,.Yi>TR34 [D45Y\0 = *\[ Q >JA/\U O>TR34 6 Q )B25[D4 > Q K5456)B/ = 03> Q /1, G
m
∞
2
2
X = {(U, Qt ) ∈ (L∞
t (R)) × Lt (Lx (Lω ))}
Z
œ
∞
t
43 3EA0
C *DC
fext ∈
∞
t
2
x
œ
2
ω
EWG3!: [email protected] < 8 : 576 1 8 :
NP &$% & R
2
<;
C
L1t (Lx )
Q )*
I * ,
'B' /
6 8 BG9E <B!I
%
u0 ∈ L2x
m 2
||um ||2L∞
2 + ||u ||L2 (H 1
t (Lx )
t
2
2
+ ||Qm
+ ||Qm
2
2
t ||L∞
t ||L2t (L2x (L2ω ))
t (Lx (Lω ))
≤ C 1 + ||u0 ||2L2x + T + ||fext ||2L1 (L2x ) ,
_FEHG Eea
0,x )
I#%
P
I *DC & E &+*DC &+*# J O7# %&C C # C J O7# %& EHG J01 & %
'B' / %I * , u ∈ H C *DC f ∈ W (L ) NJP & % C &
C
2
x
0
∂um
∂t
2
2
1
L∞
t (Lx )∩Lt (Hx )
2 m
∂ u
∂t2
2
x
R
≤ C ||u0 ||H 2 + ||fext ||W 1,1 (L2x ) + ||fext (0, x)||L2x ,
t
≤ C ||u0 ||H 2 + ||fext ||W 1,1 (L2x ) + ||fext (0, x)||L2x ,
_FEHG Eea
_FEHG =8!ea
t
−1
L2t (H∗,x
)
G & C J * 1 . C & E &+*DC ' J *
P%&
1,1
t
ext
t
T
. C & Q * I # IKJ *N
œ
−1 = sup
||g||H∗,x
w∈V m
8
R
gw ||∂x w||L2x
O
[email protected] /P/ Z >T* Q , T> R.4 [D)B>> O /]4;)B> Q * >T45) _KEHG E ea \* ,.6 _FEHG E ea Q )*2 = *\)B) Q 25* = 4 H45[B2 Q )B4]^
/1,34 BT 0.)B> ,3454563)>D/ [D4 < [D/C6.0.2;4 Q ,:* /1[B4[ Q Y1/1[B/10.) O d* AV>TR34
54 ) > Q *-D> 45) _FEHG E\E1a
œ
œ
C EHGIKJLGI “œ
\* ,36 _KECG E1`\a /\U >DR.4 WU /1[ 54 [j)B0 Z )D4;2;> Q /1, G .R 4 = *-)B> [D4;)D0 = > _FEHG = !ea Q )j/ Z > * Q ,.456 Z A O [ Q > Q ,3Yi>TR.4
6.4;[ Q 8\* > Q 8\4 Q ,> Q 4 -/ U _FEHG E-cea *\., 6/ Z )B45[B8 Q ., Yg>DRb*-> ∂
m
m
2
E(Pt Qm
t ) = −E(Pt Qt )+∂x u E(Pt )
∂t
G
O R Q 2 [email protected];,.)D0.[B45) ∂
m
2
2
œ
∂t
4i*\)D)B0
œ
E(Pt Qt ) ∈ Lt (Lx )
BID 4IW:
4
*\,.6
B =!D6H8 X
:BI 1IEWBEW8 8 BG9E <B!I/
œ
œ¿œ
œ
œ
Pt
o /1,.4i25*\,]6.4 ,.4* UW0.,.2;> Q /1,
$ ) Q ,.Y >DR.4i45) > Q *->D4i/1, m
∞
2
(u
)*\m∈
)
D
.
0
2
V
R
D
>
b
R
*
>
;
2
1
/
e
,
1
8
5
4
B
[
1
Y
5
4
)
D
>
/
B
[
.
6
)
O
O 4d*\h = A Q , 2 1 *\,.6 WU /\u[∈>TR3L4 t O (L4d*\xh )I!∩
1
2
m
Lt (H0,x )
a G LR t Q(H
>D/ < / = /1Y\AP/\U ∞ 2 u_ *-,.6!>DR.45[B4;UW/1[B4 Q , 0 u
)#UWx0.),.2;> Q /1, D) *-> Q ) 4;)g>DR.4
u
[B)B> 45,.4;[DY\A LQ ,.t4;nC(L0.* x=m)Q >JA _FEHG E\E1a_ >T*\h Q ,.Y >TR3D4 ((0,
Q ,3UW45T[ Q )/1[ ×=mQ O)Q > a G
Rt
Rt
# & E#"%$ ,34 2d*-,>TR345, 6.4 ,.4
ZA
Q̃
Q̃ = e− Q0 + 0 e dWs + 0 e ∂x u(s, x)Ps ds
G
*\,36 2 R.4;2 h]>TRb*->
∞
2
2
# & E
œ
œ
œ
G ( 252;/1[D6 Q ,.Y T> />TR.4iUW/1[ 4;[ = 4
* o O 4Rb*d814
< 4;,.6.45,e> /\U G R.4 25/\,?8\45[BY145,.2;4
UW[D/ >DR Q ) 45) m> Q *->D4 _ ,./\> Q 2;4g>DRb*->
Q /\,.) _FEHG E-cea *\,.6 _FEHG E81a o ) Q ,.2;4
u0 ∈ L2x
fext ∈ L1t (L2x )O#Q >TR
Q ,.6.4
m
m
||u ||L∞
C
2 )∩L2 (H 1 ) +||Q ||L∞ (L2 (L2 )) ≤ C
(L
x
ω
t
x
x
t
t
/\U >TR.4 )D45n?0.4;,.254 m m
>DR.45,P2 = *\)B) Q 2d* =X= A 6345[ Q 814;)
>DR.45[B4*\[D4g/1, = A =mQ (u
,.4d*\[j, Q
>D45[ )m∈
) Q , n *\,36 n Q ,>TR3445n?0b* >
Q ) *-03>T/1,3/ /\0.) a o UW/ =X= / O#Q ,.Y>TR.4u,.4 H>g>TR3Q[D454) >T4 < )^
œ
t
2
I'&
Q̃ ∈ Lt (Lx (Lω ))
s−t
2
s−t
2
!#" # & E > [D4 œ * Q ,.)g>D/2 R.4;2 h >DR.4 2;/1,e8145[BY145,3254 /\U>TR.4>T45[ œ ) /\U >DR.44;n?0b*-> Q /1, _FEHG E-cea
)D*-> Q ) 4;6 Z A
o
um
G
œ
R.4P/1, = A ,./1, I >T[ Q 8 Q * = >D45[
Q)
R
E(Pt Qm
t (x))∂x vi
O
G
4P0.)D4 >TRb*->UW/1[
w ∈ L2x (O)
Z Z t
Z
Z Z t
s−t
s−t
m
m
2
E(Pt Qt (x))w = E Pt e ∂x u Ps ds w =
∂x um e 2 E(Ps Pt )w ds dx,
œ
O
O
O 0
0
R
_ Z 4525*\0.)D4
*\,36>DR Q ) = *\) > >T4;[ Y\/H4;) >T/
E(P
P
)w
ds
dx
=
E(P
Q̃
(x))w
∂
u
e
s
t
t
t
x
O
aG
2;/1,e8145[BY145) O 45*\h = A]>D/ O *\O[B6.0)
Q,
∂ x um
∂x u L2t (L2x )
4R.*98\4i>TR.4;[D4 UW/1[D4/ Z > * Q ,.456* )B/ = 03> Q /1,/\Ul>TR.4 < [B/ Z = 4 _KEHGMLea I _KECGXL1a G f 4;>#0.) )BR./ O
,./ O >TR34 2;/1,e8145[BY145,3254+/\U m >T/ O *-[D6.)
*-) O 4 =m= *\)>TR.4 )B>D[D/1,.Y 25/1,e814;[DY14;,.254+/-U m
Q
Q̃
u
t
t
G
>D/ O *\[B6.)
R Rt
s−t
2
œ
'B' / % & u ∈ H 2 C *DC f ∈ W 1,1(L2 ) &+# (u, Q ) # %& 'J:1 / # IKJ * J O# %&
EHG J
" 0 &+# Vxm C ' / +ext' E C AB& J Ot H 1 xC *DC (um, Qmt) # %& 'J:1 / # IKJ * J O# %&
' & %I C I ' A G &+# I &HC EHG J01 & % " " " " P I # % C * 0I * I # I%C1 & 1 J A I # t. um %&+*N P & % C &
0
O JLG C1 1
N
t ∈ [0, T ]
u
43 3EE 01 & %
" ||u(t) − u
P
m
(t)||2L2x
Z
t
||∂x (u − u
)||2L2x
2
Qm
t ||L2x (L2ω )
1
+
2
Z
t
2
||Qs − Qm
+ ||Qt −
s ||L2x (L2ω )
0
0
m 2
2
≤ ||u0 − u0 ||L2x + infm 3||∂x (u − w)||L2 (L2x ) + C||u − w||L2t (L2x ) ,
+
m
I # % C A J * ' # C *# C P % I AB% C & E &+*DC ' J * # %&C C # C J O7# %& EHG J01 & %
w∈V
t
R
N
u0 fext
C *DC
T
G $ ,.42d*\,P45*\) QX= A/ Z >T* Q , o 03) Q ,3Y >TR.4 =mQ ,.4d*\[ Q >JA/\U >TR.4
Z 4*UW0.,.2 > Q /\, Q ,
[email protected] f 4 >
8-*\[ Q *-> Q /1,b* = WU /1w[ 0 = *-> Q /1,.) o *\,.6 Q ,eV>D45mY1[D*-> Q ,.Y Q ,]> Q 4 ^
œ
Z
1
2
(u − u ) (t) +
|∂x (u − u )| =
(u0 − um
0 )
2
0
O
ZO t Z
Z tZ O
m
−
E(Ps (Qs − Qm
E(Ps (Qs − Qm
s ))∂x (u − u ) +
s ))∂x (u − w)
0
O
0
O
Z tZ
Z tZ
∂
m
(u − u )(u − w) +
∂x (u − um )∂x (u − w).
+
0
O
0
O ∂t
1
2
Z
œ
Z tZ
m 2
$ ) Q ,3Y>DR.445n?0b*-> Q /1,.) /\,
1
2
Z
E(Qt −
2
Qm
t )
=
m
*-,.6
Qt
Z tZ
Qm
t
0
O
_FEHG =3LNa
o /1,.42d*-, )BR./ O >TR.*->^
E(Ps (Qs −
Qm
s ))∂x (u
" 0 œœQ ,.Y 0 < _FEHG =HLNa *\,.6 _KECG =eE\a o O 4R.*98\4^
O
2
1
−u )−
2
m
Z tZ
0
O
2
E(Qs − Qm
s ) .
Z
Z tZ
Z
Z Z
1
1
1 t
m 2
2
m 2
m 2
|∂x (u − u )| +
E(Qs − Qm
(u − u ) (t)+
E(Qt − Qt ) +
s )
2 O
2 O
2 0 O
0 O
Z
Z tZ
1
m 2
=
(u0 − u0 ) +
E(Ps (Qs − Qm
s ))∂x (u − w)
2 O
0
O
Z tZ
Z tZ
∂
m
(u − u )(u − w) +
∂x (u − um )∂x (u − w).
+
∂t
0
O
0
O
_FEHG =1E1a
_FEHG = =ea
I
0
Z tZ
0
1
∂x (u − u )∂x (u − w) ≤
2
O
m
*\,36 _ 0.) Q ,.Y
Z tZ
!
; *\032 R?A I " 2 R O *\[ K Q ,345n?0b* =XQ > Q 45) o O 4R.*98\4
$ ) Q ,3Y
0
#
E(Ps2 ) = 1
Qm
s ))∂x (u
E(Ps (Qs −
“œ
O
a
Z tZ
0
1
− w) ≤
4
1
|∂x (u − u )| +
2
O
m
Z tZ
0
E(Qs −
œ¿œ
O
2
2
Qm
s )
Z tZ
+
0
O
Z tZ
0
|∂x (u − w)|2 ,
O
|∂x (u − w)|2 .
R.445)B> Q -* > Q /1,]/\U ∂u
Y Q 814;, Z A f 4
* L * = )B/R./ = 63)#UW/\[#>DR.425/1,e> Q ,?0./10.)
∂t
L
(L
)
_ > *\h Q ,.Y >TR.4 Q ,3UW4;[ Q /\[ X= Q Q > a G R Q ) A Q 4 = 6.) >TR34 ,b* = 45)B> Q *->T4 ^
B) / = 03> Q /1,
u
RtR ∂
G
(u − um )(u − w) ≤ C||u − w||L (L )
0 O ∂t
, >TR.4 UW/\[ 45[ < [D/C/\U o O 4 ,./\> Q 2;4 >TRb* > O 4 25*\, *\)B)D0 4 >TR.*-> w * = )D/P634 < 45,.6.)/\, >TR.4
_ O 4[D4;2d* =X= >DRb*->
> Q 4 8-*\[ Q * Z = 4 G ; R3/H/1) Q ,.Y
Q )>TR34 / < 4;[T*->D/1[/\U>TR34 1 I
w
=
Π
(u)
Π
m
m
a o /1,.42d*\,!>TR.4;[D4 UW/1[D4)DR./ O >TR.4)B>D[D/1,.Y 25/1,e8\45[DY\45,.2;4 /\U m >T/ O *-[D6.H)
< [BD/ TB452 > Q /1, /1,
V
m
*\,36!>DR.4)B>T[B/1,.Y25/1,e8\45[DY\45,.2;4 /\U m >D/ O *\[B6.)
Q, ∞ 2
Q , u ∞ 2 2 uG
2
1
L
(L
)
∩
L
(H
)
Q
Q
Lt (Lx (Lω ))
t
t
4Rbt *d814x>TR.4;[D4;UWt/\[D4 x< [D/98\456 >DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y [B45)B0 = >^
m
2
t
2
x
“œ
œ
“œ
2
t
“œ
œ
2
x
:BI 1IE BEH8 8 BG1E<<BI &+# / ' :C 'B' / % & u ∈ L C *DC
%
&
H
E
G J01 & % " " C C %I # ' C / * I G / & 'J:1 / # IKJ *
f
∈
L (L )
C *DC Q ∈ L (L (L )) u %∈& C([0,
∩ L O
(H
)&
#
%
&
'J:1 / # TIKJ ],* L(u(O))
J
'
%I C I ' A G &+# I &HC EHG J01 & % " " " " I ' / * I G / & '
,Q )
B 0 U.V<18 4IH: [email protected]
3
1
t
2
x
ext
2
x
2
t
0
1
0,x
∞
t
t
2
x
2
x
2
ω
' / %I * , u ∈ H 2 C *DC f ∈ W 1,1(L2 ) N (um, Qm) A J * & GF, & ' # J P C8G C ' (u, Q ) I * # %&
O J:1 1 J P I * , 0' &+* ' & xR um −→extu ' # G J * t,1 .I * x L∞(L2 ) ∩t L2 (H 1) C *DC Qm −→ Q ' # Gt J * ,1 .I *
2
2
L∞
t (Lx (Lω ))
m
m
t
t
x
t
t
t
x
/ # / I ' A 1 & C8G # % C #&N / / *DC & G # %&7% . E J # %& 'I ' u0 ∈ H 2 C *DC fext ∈ W 1,1(L2 ) N / # %&
/
xP% I AB% ' C # I '<Q & ' t# %& I x
A J *# I * J 7' 'J:1 # IKJ * I ' C O *A+# IKJ * J O
*&HG C
1
x )C *DC
* 2x' )u∩ L∈2t (H
N
P
& AC*
1 I # . " " JLG & J & uG N / *DC & G # %& C:'B' / % LE ∞t# IK(L
J
1
N/Px% )C #/P I 1 1 &
C/1 'J<EHG J &# % C/ # # %& 'J:1 / # IKJ * ' C # I '<Q & ' # %& ' &BA J *DC 0&+/ *& GF,H. x1& ' # / I&% C f# ext& ∈" / " L1t (H
' &HC I *5# %& ' &BA+# IKJ * " HJ EHG J &# % I ' G & ' 1 #&N J *& ' & ' # %& * I G / &+*& 'B'FJ O# %&
'J:1 / # IKJ * C *DC# %& O C A+## % C # J *& A C * A J * ' # G / A+# C' &HG / &+*AB& J O [email protected] J I&% C # IKJ * '4J O # %&
'J:1 / # IKJ * P% I AB% ' C # I <' Q & ' " " 0. C C1 & GLI * % &+# % J C J * C' E &BA I%C1 C:' & F' # C 01 &.O JLG
# %& 1 CED1 C A I%C * *& A C *# %&+* C1 'J J # C8I * " " O JLG # %& 'J:1 / # IKJ *N # CLI * , # %& I * O & GIKJLG
1 I&%I # 43ED?
!#"%$'&)(&+*-,.0/21354" 167(8#"&98:/!1#" 1;
,:>TR Q ) D) 452 > Q /1, o O 4 O *\,e>>T/ )BR./ O >TR34]25/1,e814;[DY14;,.254 /\U *+)B> *-,.6b*\[B6 6 Q )D2;[D4 > Q K5*-> Q /1,
o
/\U>DR.4 < [B/ Z = 4 _KEHG ea I _KECGXLNE\a G ()]* Z /9814 o O 4 O#Qm=X= )D0 <.< /1)B4
2
1
1
u
∈
H
fa ext ∈ L
0
x
tG (H
x )^
o
o
F
_
H
E
G
:
E
?
8
K
_
H
E
1
E
1
`
a
*\,36 ∂f
R
2
V
R
A
4
.
6
)
.
0
)
.
,
Y
T
>
.
R
4
5
4
B
)
>
*
T
>
;
4
)
*
.
,
6
O
Q
Q
=
Q
C
H
E
G
K
I
L
J
G
I
Q
∈ L1t (L2x )
∂t
G
*\,.6 ∂u
2
1
2
∞
2
2
1
(H
)
)
∩
L
u ∈ L/1∞
∈
L
(L
)
∩
L
(H
)
t
x
t[ (H
x
t
x
t
x
>DR.4i)D*\h\4i/-Ul) Q <.=XQ 2 Q >JA ∂to O 4* = )D/ *-)D)D0 4iR345[D4R./ /1Y145,345/10.)=< Q [ Q 2 R = 4;> Z /\0.,.6b*\[ A
2;/1,.6 Q > Q /\,.) G " >T*\,.6b*\[B6 /H6 Q 2d* > Q /\,.)k/\Ub/103[ *\[BY10 45,e>T)lA Q 4 = 6>DR.4 )D* 4 25/1,32 = 03) Q /\,.) O#Q >TR
,./\,R./ /1Y\45,.4;/10.0) < Q [ Q 2 R = 4;> Z /10.,36b*\[BAi25/1,.6 Q > Q /1,.) _ )D454 4 G Y G 4#4 *\[Dh c3G EHG E Q , 4#4;U G 6MLNE8:9KG a
œ
ext
œ
I
“œ
œ
œ
œ
œ
“œ
œ
œ
! œ
H œ
R.4 /1[ Q Y Q ,b* ='< [D/ Z = 4 Q )g6 Q )D25[B4;> Q K54;6 Q ,!>TR.[B454)B>T4 < ) ^ Q , ) < *\2;4 _ Z [email protected]* >* = 4;[Dh Q , 4 I
a
>DR./H6 o Q , > Q 4 _ Z A*\, " 0 = 45[)D4 Q IJQ <.=XQ 2 Q >)D2 R.4 4 a *\,36 ,b* =m= A 0.) Q ,.Y>TR.4 M /1,e>T4 ; *\[ = /
4;>DR./H6 G 4 2 R3/H/1)B4 * L 6 Q )B25[B4;> Q Kd*-> Q /1, Q ,!) < *\254/\U >TR34814 = /C2 Q >JA ^ >DR.48\4 = /H2 Q >JA) < *\254
UW0.,32;> Q /1,.)
Q ) >DR.4!) < *\2;4 /-U >DR.4 <3Q 452;4 O#Q )D4 < / = AC,./ Q * = ) /\U 6.4;Y1[D4;4 L /1, * 45)BR
O R.4;[D4 Q ) V>ThR.4) < *\2546 Q )D2;[D4;> Q K5*-> Q /1,])B>D4 < G R.4> Q 4 Q ,e>D45[B8-* =
Q ) 6 Q )D25[B4;> Q K54;6 O#Q T> R h
h
(0,
T
)
G
*]25/\,.)B>T*\,e>)B>T4 < G 4 2;/1,.) Q 6.4;[
[B4d* =XQ K5*-> Q /1,.)g/\U>TR.4 6.0 Z.Z 4 =m=< [B/H2;45)D)B45)
δt
M
(P
,
Q
)
t
t
R.4)D2 R.4 4 O 4P03)D4 O#QX=m= Z 4 *\6.4 < [B452 Q )D4 Q , >DR.4)B0 Z )B452;> Q /1, EHG 83G =83G = _ )B454P4;nC0.*-> Q /1,.)
_FEHG 8 ea I _KEHG 8` !eaBa G
R.4 * Q /\U>DR Q ))D4;2;> Q /1, Q ) >T/ )BR./ O R.45/1[B4 = O R Q 2 R )B>T*->T4;)>DRb*->>TR34 /1[B6.45[/\U
G
2;/1,e8145[BY145,3254 /\U>TR Q ) )D2 R34 4 Q )
√1
œ
œ
œ
#('
œ “œ
œ
œ
“œ
œ
œ
“œ
œ
œ
œ
O h + δt +
M
'/, 6; ) 6;,.- ; ' % ? ; = <-/- ; A =4- ),; ?A ; ),' / ; + '
4 25/1,.) Q 6.4;[jR.45[B4 >TR.4 ) < *\2;4 I 6 Q )B25[D4 > Q K5456 < [B/ Z = 4 O R Q 2 R Q ) _KEHG E\cea I _FEHG E81a O#Q >TR V =
_ O 4 0.)B4* >* = 4;[Dh Q , 4 >TR./C6 a G /\> Q 2;4>TR.*->) Q ,.254>TR.4 8\4 = /H2 Q >JA
Q )i* <.Q 452;4 I
V
_ *\,.6 >DR.45[B4;UW/1[B4 >DR.4) >T[D4;)D) u
a
4 =XH
O#Q )D⊂
Q ,.45*\[UW0.,.2 > Q /\, _ L9a o >TR.4 < [D/C254;)D)
E(P
* = [BQ
4d*\6H)A
Q )#*6 Q )D2;/1,e> Q ,C03/10.) <.Q 45254 O#Q )B42;/1,.) > *\,e>#UW0.Q,.2 > Q /\, _ 6 Q )D25/\,?> Q ,?0./103) 1! a G τ4Rb=*d814
)BR./ O , Q , )D0 Z )D4;2;> Q /1, EHG =3G =3G E=3G = >TRb*-> >TR Q ) < [B/ Z = 4 *\6 Q >D)*03, Q n?0.4 )B/ = 0H> Q /\, G M /1[D4;/ I
8\45[ o f 4
* EHo >T/\Y14;>DR.45[ O#Q >TR]>TR.4) > *\,.6.*\[D6 , Q >T44 = 4 45,e>D) * <.< [D/ Q *-> Q /1, Q ,.45n?0b* =mQ >JA
A Q 4 = 6.)^
||u − Π (u)|| + h ||∂ (u − Π (u))|| ≤ Ch ||u||
43 3E % BID 4IW: [email protected] 80 \: 57698 : <; 46 B HG343 &+# / ' :C 'B' / % &
N
# %& ':J 1 / # IKJ * J O # %& EHG J
C *DC
&+#
u01 & % ∈ H
f
∈
L
(H
)
(u,
Q
)
∈
L
(L
)
" " &+# / ' :C 'B' / % & C ' E C AB&C I ' A G &+# I C # IKJ * O JLG # %& & 1 J A I # . &+#
# %& & 1 J A I # .$' E C AB& O / *A+# IKJ * ' C *DC (u , Q ) # %& ':J 1 / # IKJ * J O # %& ' & %I C I ' A G &+# I &HC EHG J 01 & V%
" " " " P I # % C * I * I # I%C 1 & 1 J A I # . u = Π (u ) ∈ V %&+* P & % C & R
'
1
x
h
m
h
h
2
L2x
h
2
x
2
1
t
ext
x
2
L2x
h
∂fext
∂t
1
x
4
1
t
h
0
h
2
Hx2
2
x
t
h
h
h
h,0
0
h
2
2
||u(t) − uh (t)||2L∞
≤ Ch2 ,
2 + ||∂x (u − uh )||L2 (L2 ) + ||Qt − Qh,t ||L∞ (L2 (L2 ))
x
ω
t
t (Lx )
x
C A J * ' # C *#/P% I AB% C & E &+*DC ' J * # %&C C # C J O7# %& EHG J01 & % R u N f C *DC T C
# ' 'K#
(
' , 6; ) 6;,.- ; ' % ? ; ?A +.; (A =4- ) ; ?A ; ) ' </ ; + '
/
4>T03[D, ,./ O >D/ >DR.4 )B4 QMI 6 Q )B25[D4 > Q K5456 < [B/ Z = 4 Q , > Q 4*\,.6 Q , ) < *\2;4 G 4!Rb*d814
P
I#%
h
t
0
!
"
ext
* = [D45*\63A25/# < *\[B456>TR.4 25/1,e> Q ,?0./10.) )B/ = 0H> Q /\,
O#Q >DR>TR34) < *\254 I 6 Q )D25[B4;> Q K54;6P)D/ = 03> Q /1,
*\,36 O 4 O *\,e>>T/!45)B> Q *->T4 >DR.445[B[D/1(u,
[ Q ,eQ)
>D[D/C6.0.254;6 Z A 6 Q )D2;[D4;> Q K Q ,.Y
ZA
(u
(uh , Qh )
*\, h ," Q0 =h4;)[ )D2 R.4" 4 Q ,]> Q 4 G
M /1[B4 < [D452 Q )B4 = A o O 42;/1,.) Q 6.45[ >DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y < [B/ Z = 4 ^
& I * , ,8I &+* (un, Q , P ) N P & A JD% E / # &
GI # % % R un+1 I '$h' / AB%h,n# % C #n ∀v ∈ V N
Z
h
h
0.
# %& O J:1 1 J P I * , C 1 ,
Z
Z
1
n+1
n
n+1
(u
− uh )v +
∂ x uh ∂ x v = −
E(Pn Qh,n (x))∂x v +
fext (tn )v.
δt O h
O
O
O
*DC P
&# %&+*5A D% / # &HC 0. R
Qh,n+1
n+1
1
n+1
Qh,n+1 − Qh,n =
∂x uh Pn − Qh,n δt + Wtn+1 − Wtn ,
2
1
Pn+1 − Pn = − Pn δt + Vtn+1 − Vtn .
2
C
C8G
Z
(un+1
h , Qh,n+1 , Pn+1 )
J E
J
_FEHG =8?a
_FEHG =1`1a
_FEHG =\cea
I
#
!
o *-,.6
G
R Q ) < B[ / Z = 4" Q ) 25/# .< = 4" 4;,e>T456 O#Q >TR]>TR.4 Q , Q > Q * = 6b*->T*
u
P
Q
h,0
0
0
4 #O QX=m= [D)B>g)BR./ O T> R.4) > * Z QX=mQ >JA /-U >DR.4)D2 R."4 4 *\,.6>TR.4;,!>DR.425/1,e8\45[DY\45,.2;4 G
43 3E
9 G3
C *DC u
∈ L∞ (L2 )
fext
2
t
< 8 : 5 13E5 698 : : <; 46 B HG 3 & C:'B' / % & # % C #
NP & % C & R O JLG C1 1
N
*DC & G # %& C:'B' / % E # IKJ *
∈ L2
δt < 1
n≤ T
[email protected]
x
0
x
||unh ||2L2x + ||Qh,n||2L2x (L2ω ) +
δt
2
2
n Z
X
δt
|∂x ukh |2 ≤ 1 + ||uh,0 ||2L2x + T 1 + C||fext ||2L∞
,
2
t (Lx )
G & C I ' C A J * ' # C *# I *DC & E &+*DC &+*# J O7# %&C C # C J O # %& EHG J01 & %
*-,.6
[email protected] , /1[B6.45[i>D/ =XQ Y1Re>D45, >TR34,3/\> *-> Q /1,3) o O 4)D4;>
u =u
G U
o /1,.42 = 4d*-[ = A Rb*\)
* = )D/)D4 >
||f ||
= sup
f ∈L
||f ||
P%&
n
h
O fv
v∈Vh ||∂x v|| 2
L
Q , _FEHG =8?a o O Rb*-> A Q 4 = 6.)
H∗−1
42 R./H/\)D4
k=1
O
n
2
x
G
Qh,n = Qn
G
H∗−1 ≤ C||f ||L2
4
v = un+1
Z
Z
Z
Z
1
1
2
2
u
+ (∂x un+1 ) =
un un+1 +
fext (tn )un+1 −
E(Pn Qn )∂x un+1
δt O n+1
δt O
O
O
O
Z
Z
Z
Z
1
1
2
2
2
2
≤
un +
un+1 +
(∂x un+1 ) + C||fext (tn )||H∗−1 −
E(Pn Qn )∂x un+1 .
2δt
10 O
O
O
O
Z
$
,.4
0 = > QX<.=mQ 45) ,34C> _KEHG =e`1a O#Q >TR
E(Qn+1 Qn ) −
*-,.6!>T*\h\4;) >TR.44 < 452 > *-> Q /1,8-* = 0.4 ^
Qn
E(Q2n )
=
1
2
E(∂x un+1 Pn Qn ) − E(Qn ) δt,
2
1
1
1
E(Q2n+1 ) − E(Q2n ) + E(Q2n )δt = ∂x un+1 E(Pn Qn )δt + E((Qn+1 − Qn )2 ).
2
2
2
" 0 Q ,.Y>TR Q ) 4;)B> Q *->T4
4 Y\4;>^
O 1
2δt
Z
u2n+1
O
>[B4
−
Z
1
+
2
u2n
O
Z
0 = > Qm<3=mQ 4;6 Z A
1
+
2δt
E(Q2n )
O
≤
Z
1
δt
*-,.6 Q ,e>D45Y1[D*->T4;6 Q , ) < *\2;4 o *\,.6>DR.4/1,34/1,
E(Q2n+1 )
O
−
C||fext (tn )||2H∗−1
Z
E(Q2n )
O
1
+
2δt
Z
Z
9
+
(∂x un+1 )2
10 O
E((Qn+1 − Qn )2 ).
un
_FEHG = 1 a
* Q ,3)g>D/45) > Q *->D4>DR.4 = *\)B>g>T4;[ Q , >DR.4 [ Q Y1Re> I Rb*\,[email protected]) Q 6.4 G R Q ) Q )g6./1,.4 Z A!> *-h Q ,.Y
>DR.4)Dn?0b*\[B4/\U _KECG =e`\a *\,.6>TR.4;,!>DR.44 < ;4 2;>T*-> Q /1,]8\* = 0.4 ^
E((Qn+1 − Qn )2 ) = E
>
Q ) 4d*\) A >T/ )BR./ O
2
E(Pn+1
)= 1−
I
δt 2
2
>DRb*->
O
1
∂x un+1 Pn − Qn
2
2 !
δt2 + δt
1
≤ 2(∂x un+1 )2 E(Pn2 )δt2 + E(Q2n )δt2 + δt.
2
E(Pn2 )
E(Pn2 ) + δt
aG
Q ) Z \/ 0.,.6.4;6 Z A
4/ Z >T* Q P
, >DR.45, ^
4
4−δt
_ Z A Q ,.630.2;> Q /1, o 0.) Q ,.Y
8δt2
1
+ E(Q2n )δt2 + δt.
E((Qn+1 − Qn ) ) ≤ (∂x un+1 )
4 − δt 2
2
2
_FEHG = e a
o
! H $ ) Q ,3Y _FEHG = 1a *\,.6 _KECG = 1a o /1,34>DR.[D4 UW/1[D4/ Z > * Q ,.)^
Z
Z
Z Z
Z
1
9
1
2
2
2
2
un+1 − un +
E(Qn+1 ) − E(Qn ) +
(∂x un+1 )2
2δt
2δt
10
O
O
O
O
O
Z
Z
Z
_FEHG = ea
1
4δt
δt
1
+
E(Q2n ) ≤ C||fext (tn )||2H∗−1 +
(∂x un+1 )2 +
E(Q2n ) + .
2 O
4 − δt O
4 O
2
R
R
R
o /1,.4Rb*\) R 2
$ ,.6.45[#>TR34*-)D)D0 < > Q /1,
δt < 21
u − O u2n + O E(Q2n+1 ) − O E(Q2n ) +
O n+1
R
_ O#Q >TR
a G 425/1,.2 = 0.634 Z A
46
≥ 12
Aδt O (∂x un+1 )2 ≤ δt 2C||fext (tn )||2H −1 + 1
A = 70
∗
)B0 *-> Q /1,]/9814;[ G
n
8
4 *\[D4 ,./ O Y\/ Q ,.Y!>T/ )BR./ O >DR.4P2;/1,e8145[BY145,3254/\U >TR Q ) )B2 R.44 G 4 O#QX=m=* [B)B> )BR./ O
P
>DR.4P25/\,?8\45[BY145,.2;4]/\U
>D/ O *\[B6.)
*\,36 >TR.4;, o [D4 < [D/C6.0.2 Q ,.Y >DR.4 < [B/H/-U /\U >DR.44;,.45[BY\A
4;)B> Q * >T4 _KECG E1E\a *->>TPR.n4 6 Q )D25[B4;>D4 P= t4;8\4 = o O 4 O#Qm=X= )DR./ O >DR.4 25/1,e8\45[DY\45,.2;4 /\U n
(uh , Qh,n )
G
>D/ O *\[B6.)
(u
(t
),
Q
(t
))
_ O 4[B452d* =m= >DRb*->
>T/ O *-[D6.)
*-,.6
f 4;>g0.) Z h 4;Y nQ , O#hQ >TR]n>TR.42;/1,e8145[BY145,3254 /-U
P
P
P
n
t
n
a
G
*\[B4#6.4 ,3456 Q ,.6.4 < 4;,.6.45,e> = A/\U *\,eA) < *-254#6 Q )B25[B4;> Q Kd*-> Q /1, "HQ ,.254 >DR.4g6 Q 0.) Q /1, 25/C42 Q P45,et >
Q , >TR.4 " < " )T* > Q ) 456 Z A Q ) 2;/1,.)B>T*\,e> o >DR.4 " 0 = 4;[j)D2 R."4 4 Q ) Q , U *-2;>* M QX= )BR?>D4 Q , )D2 R.4" 4
_ )B454 R.45/1[B4 L !HG =3G ` Q , 4#4;U <G 6 89 a ^
/1, G R.42;/1,e814;[DY14;,.254 PQ t) >TR345[D4 UW/1[D4 Q ,
n
n
Pt
43 3E%
C
BID 4IW:
I AB% C & E &+*DC ' J * 1 . J *
P%
δt
U#EHG 5 !DE \3E 8 :<43E
' / AB% # % C #
[email protected]
T
n
%& G &)& I ' # ' C A J * ' # C *#
E (Pn − Ptn )2 ≤ C(δt)2 .
& A J / 1 C % C & / ' &HC C ' AB%& % & & C A+# I * 1 C PYO JLG P &% C & BA % J ' &+* C
/
A 1 C:'B'I A C1 1 & G ' AB%& % & &BA C / ' & # % I ' I ' # %& ' AB%& % & / ' &HC I * % JLtG & A JD% ED1 I A C # H& C A C:' & '
F' &B& & % C8G ' C D* C " N/P%&+* P C1 'J C & E &+*DC ' J * x 43ED?
t
42d*\,!,./ O )BR./ O >TR.4UW/ =X= / O#Q ,3Y 25/1,e8\45[DY\45,.2;4>TR345/1[B4 ^
B C *DC
H2
x
P
I#%
fext
C
< 13E5 618 : 1; 46 B HG343 &+# / ' :C 'B' / % &
* C & G # %& C:'B' / % E # IKJ * δt < 1 N J * & % C:' R
D
∈ W 1,1 (L2 )
B
3
fext
BID
t
IW:
[email protected]
x
2
||unh − uh (tn )||2L2x + ||Qh,n − Qh (tn )||2L2x (L2ω ) ≤ C(δt)2 ,
C*DC
I *DC & E &+*DC &+*# J O h C *DC
T
u0 ∈
n≤
T
δt
N / # C & E &+*DC 'FJ *5# %& C C # C2J O # %&
45[ < [D/C/\U o O 4/# Q > R.4;[D4i>TR34i)D0 Z )D25[ Qm< >
[email protected] ( ) Q , >TR.4UW/\[ ^
EHG J01 & %
R
u0
o
N
o
n
G 4 Q ,e>T[B/H630.254>DR.4 < [B/H2;45)B)D45) 6.4 ,3456 Z hA uh = un1 Qh,n = Qn
*-,.6
u = uh
Q=Q
dP̃t = − 2 P̃τt dt + dVt
t o hO R.4;[D4
_ O#Q >TR
a *\,36
634 ,.4;6
Q )g>TR.4 Q ,e>T4;Y145[ < *\[B>P̃/\U o *\,.6
τt = δt δt
bxc x
P̃0 = P0
Q̃
*\,.6
_ O#Q >TR
a G $ ,.42d*\,
ZA
dQ̃t = ∂x un(t)+1 P̃τt − 12 Q̃τt dt + dWt
n(t) = δtt
Q̃0 = Q0
G M /1[B45/9814;[ o O 4)B4;>
G
2 R.4;2 h4d*\) Qm= A >TRb* >
*\,.6
Q , n) *\,36 a o
R.4)B> * Z Qm=XQ >JA = P4n =* P̃8t )DR3/ O )gQ>TnRb=* > Q̃R t E(Q2n) Q )g03, Q UW/1[ = A eZ n/1=0.,3u6.n456− _ u(t
R.4;,.254 R
)#* = )D/ 0., Q UW/1[ = A Z /10.,36.O456 Q , G 4Rb*d814* = )D/* 0., Q UW/1[ Z /1h0.,.6 Q , n
2 Q
s
n
E(Q̃s )
O *\,.6!
G
/1,
*0., Q UW/\[ Z /103,.6 Q , /1,
2
2
n
E(Pn )
n
s
E(P̃s )
I
G / C # IKJ * J *
!
R
)D0 Z >T[T*-2;> Q /1, /-Ui>TR.4 25/1,e> Q ,?0./10.) WU /1[ 0 = *-> Q /1, Q , > Q 4!*->> Q 4
$ ,[email protected]/ Z > * Q ,.)
F_ EHG E-cea_ O 4[D4;2d* =X= >DRb*->
a *\,36 >TR34 6 Q )D25[B4;> Q K54;6 UW/1[ 0 = *-> Q /1, _KEHG =8?a tn^
2
u
∈
C([0,
T
],
L
(O))
x
o
UW/1[#* =m=
Z uZ A
#
v ∈ Vh
Z
Z
un+1 − un ∂u
−
(tn ) v + (∂x un+1 − ∂x u(tn ))∂x v = − E(Pn Qn − Ptn Qtn )∂x v.
δt
∂t
O
O
Q >TR) Q Qm= *\[ 25/# < 03>T*-> Q /1,.)l*\)k>TR3/1)D4 0.)D4;6 Q ,>DR.4 < [D/C/\UH/\U f 4"
O 4/ Z > * Q ,+^
O
/1[
* 8.o 2 R./C/1) Q ,.Y
Z
Z
1 2
2
2
||en+1 ||L2x − ||en ||L2x +
|∂x en+1 | ≤ −
E(Pn Qn − Ptn Qtn )∂x en+1
2δt
O
O
Z
Z 2
Z tn+1 Z
_KEHG 8
1 tn+1
∂ u
∂∂x u
∂x en+1 −
(s)e
dx
ds.
(tn+1 − s)
−
n+1
2
δt tn
O ∂t
tn
O ∂t
@!ea
D> R.4 = *\) > > O />T4;[ ) o 0.) Q ,.Y ; *\0.2 ReA I " 2 R O *\[ K *\,.6>TR.4 Q ,.45n?0b* =XQ >JA
O 4R.*98\4
,>TR.4)D*
Z
o
v = en+1
Z
tn
4 O *dA+^
tn+1
tn
Z
tn+1
(tn+1 − s)
Z
∂∂x u
∂x en+1 ≤ δt
∂t
O
O
Z
tn+1
tn
∂2u
(s)en+1 dx ds ≤ C(δt)2
∂t2
R.4;[D4 UW/1[D4 o O 4/ Z > * Q ,
,b* =m= A
^
∂∂x u
∂t
Z
tn+1
tn
2
+
L2x
ab ≤ δta2 +
o
1 2
b
4δt
1
||∂x en+1 ||2L2x .
4
∂2u
(s)
∂t2
2
+
−1
H∗,x
δt
||∂x en+1 ||2L2x .
4
Z
δt Z
1
2
2
2
||en+1 ||L2x − ||en ||L2x +
|∂x en+1 | ≤ −δt
E(Pn Qn − Ptn Qtn )∂x en+1
2
2 O
O
Z tn+1
Z tn+1
2
2
_FEHG 8.LNa
∂∂x u
∂2u
2
2
+(δt)
(s)
(s)
ds + C(δt)
ds.
∂t
∂t2
−1
tn
tn
L2x
H∗,x
G / C # IKJ * J *
R
,/1[B6.45[>T/45) > Q *->D4 >TR.4 [D) > >D45[ /\,>DR.4 [ Q Y1Re> I Rb*\,36 ) Q 6.4g/\U _FEHG 8.LNa o O 4[B4 < [B/H630.254
>DR.4 < [D/C/\U#/\U#>DR.4]45,.4;[DY\A Q ,.4;n?0b* =mQ >JA _KEHG E1E1a *-> T> R34]6 Q )B25[D4 >T4 = 4;814 = G 4 O [ Q >D4>TR.4 " < "
)D*-> Q ) 4;6 Z A
^
2
Q
(Qt − Q̃t )
1
1
2
d((Qt − Q̃t ) ) = (Qt − Q̃t )(∂x uPt − ∂x un(t)+1 P̃τt ) − (Qt − Q̃t )(Qt − Q̃τt ) dt.
2
2
4 )D4 > Q ,>TR34iUW/ =m= / O#Q ,.Y
O 4R.*98\4 ^
I
f n = Q tn − Q n
G, ,e>T4;Y1[T* > Q ,3Y >TR.4 = *\)B> 45n?0b*-> Q /1,]/9814;[
(tn , tn+1 )
Z
Z tn+1
1 2
1 tn+1
2
(f
− fn ) = −
(Qs − Q̃s )(Qs − Qn ) + (Ps ∂x u(s) − Pn ∂x un+1 )(Qs − Q̃s )
2 n+1
2 tn
t
Z
Z tn+1 n
1
1 tn+1
(Qs − Q̃s )2 +
(Qs − Q̃s )(Qn − Q̃s )
=−
2 tn
2 tn
Z tn+1
(Ps ∂x u(s) − Pn ∂x un+1 )(Qs − Q̃s ).
+
tn
o
! H 4 Q ,e>T[B/H6.03254 Q , T> R.4 4 < 452 > *-> Q /1, /\U>DR.4 = *\) >4 < [B45)B) Q /\, D> R.4 T> 4;[ /-U _FEHG 8.LNa O 4 O *\,e>
G 4/ Z > * Q , ^
D> / 4 =mQ Q ,.*->T4 o ,.* 4 = A R
δt
1
1
2
E(fn+1
− fn2 ) +
2
2
O#Q >TR
Z
O
E(Pn Qn − Ptn Qtn )∂x en+1
tn+1
tn
_FEHG 8?E1a
E(Qs − Q̃s )2 = δtE(Pn Qn − Ptn Qtn )∂x en+1 + A,
Z
Z tn+1 1 tn+1 A=
E (Qs − Q̃s )(Qn − Q̃s ) +
E (Ps ∂x u(s) − Pn ∂x un+1 )(Qs − Q̃s )
2 tn
tn
−δtE(Pn Qn − Ptn Qtn )∂x en+1 .
4 O#Qm=m= )DR./ O >DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y 4;)B> Q *->T4/1,
BDB8
<BI
0
^
Z
Z
Z
2
1 tn+1 2
1 tn+1 ∂∂x u
1 tn+1 2
|∂x u| +
E(Qs )
|A| ≤ Cδt 1 + |∂x un+1 | +
+
δt tn
∂t
δt tn
δt tn
Z
Z tn+1 1 tn+1
2
2
+E(Qn ) +
E(Q̃s ) + E (Qs − Q̃s )2 + δt|∂x en+1 |2 ,
δt tn
tn
2
3
P
A
I # % C8G I # GBC8GI 1 . ' % C 1 1(C *DC C A J * ' # C *# P % I AB% I '4I *DC & E &+*DC &+*# J O
C & E &+*DC ' J * C *DC J * # %&C C # C CJ O$# %& EHG J01 & % R u N f C *DC T n
C *DC
δt
/#
N f ;4 > 0.) < /\)B> < /1,.4 >TR.4 < [D/C/\Ul/\U [D/ < /1) Q > Q /1, L -* U >T4;[ T> R.445,.6]/\Ul>DR.4 < [B/H/\Ul/-U R.45/1[B4 HE G
" 0 Q ., Y0 < _FEHG 8.LNa *\., 6 _FEHG 8?E1a_ Q ,e>D45Y1[D*->T4;6 Q , ) < *-52 4 a o 0.) Q ,.Y>TR.445) > Q *-> Q /1,/\U [B/ <HI
) Q > Q /1, L1o O 4Rb*d814^
0
ext
Z
Z tn+1
Z
2
2
2
+ E(fn+1−fn ) + (1−2α)
E(Qs − Q̃s ) + (1−2β) δt |∂x en+1 |2
O
t
O
Z
Z tn+1 n
Z tn+1Z
1
1
||∂x u||2L2x +
E(Q2s ) +
E(Q2n )
≤ Cδt3 1 + ||∂x un+1 ||2L2x +
δt tn
δt tn
O
O
!
Z tn+1Z
Z tn+1
Z tn+1
2
2
1
∂∂x u
∂2u
1
1
2
E(Q̃s ) +
+
(s)
(s)
ds ,
ds +
δt tn
δt tn
∂t
δt tn
∂t2
−1
O
L2x
H∗,x
||en+1 ||2L2x−||en ||2L2x
*\[[email protected]*-[ Z Q >T[T*-[ Qm= A ) * =m= < /1) Q > Q 8\425/1,.) > *\,e>D) G " 0 Q ,.Y 0 < /9814;[
O .R 4;[D4 *\,36
0.) Q ,.Y>TαR34[B45Y10 β= *\[ Q > Q 45) < [D/9814;6 Q , f 4" \* ) L *\,.6 8.o >DR Q ) 2;/1,.2 = 0.6.4;)#>DR.4 < D[ /C/\U G
4,./ O Rb*d814>T/ < [B/N8\4 [B/ < /1) Q > Q /\, L1G 4 O#QX=m= ,345456>TR34,34C> > O / = 4 \* ) G
43 3E
&HG / C 1 I # I & '
E
R
Z
&+#
R(t, x)
*\,.6
CEHG J AB& 'B'E J 'B'I 01 . C &+# & G %I * I ' # I A & % C &7# %&O J:1 1 J P I * , I *
tn+1
R(s, x)(∂x en+1 ) ds
tn
n
1
≤
4
Z
tn+1
tn
(E(R(s, x)))2 ds + δt|∂x en+1 |2 ,
I
O
Z
E
C
E
R(s, x)(Qs − Q̃s ) ds
1
≤
4
Z
tn
tn+1
(S(s, x) − S(tn , x))(∂x en+1 ) ds
I # % C8G I # GBC8GI 1 . '% C1 1 [email protected] R.45)B4 [B45)D0 = >T)*-[D4]4d*-)BAV>D/
P
Z
>DRb*->
tn
E R(s, x)
2
ds + Z
tn+1 E (Qs − Q̃s )2 ds.
E
Z
n
O
tn+1
(E(a(x, s)))2 ds + δt|∂x en+1 |2 ,
tn
C &7# %&/O J:1 1 J P I * , #1P J I *&HG / C1 I # I & '
&$%
tn+1
2
(Qs − Q̃s )(Q̃s − Q̃tn ) ds ≤Cδt
Z
+
tn
I # % C8G I # GBC8GI 1 . '% C1 1 E
Z
1
≤ δt2
4
n
/ Z > * Q , Z A ; *\0.2 ReA I " 2 R O *\[ K Q ,.4;n?0b* =mQ >JA o ,./\> Q 2 Q ,.Y
G
Q ) 6.4 >T4;[ Q , Q )B> Q 2*\,.60.) Q ,.Y>TR34 Q ., 45n?0b* =mQ >JA
1 2
2
∂x en+1
43 3E
P
tn+1
!
t
t
&
*
EHG J AB& 'B' ' / B
#
A
%
#
%
#
P I#%
C
C
/ C1tI +# .+c(x,
*DS(t,
C c 'x)G / C8G & I *# & ,8GBC 01 & I * t & C1 'J dS% Ct =&7a(x,
# %&/O t)J:1 1dtJ P +I * b(x,
, I *t)&HG dV
R t) dWt
&+#
b
tn+1
#
Z
tn+1
α(Qs − Q̃s )(P̃s − P̃tn ) ds
tn
δt +
|ab| ≤
R
δtE(Q2n )
4
a + b
Z
+ δt|∂x un+1 | +
tn+1 tn+1
2
tn
E(Q2s )
tn
E (Qs − Q̃s )2 ds,
2
≤ Cδt
Z
+
2
δt + δtα +
Z
tn+1
tn
|∂x u|
2
E (Qs − Q̃s )2 ds,
tn+1 I # % C A J * ' # C *#<N C8G I # GBC8GI 1 . '% C1 1C *DC C A J * ' # C *# I *DC & E &+*DC &+*# J O %&
A J * ' # Cα*# C I ' I *DC & E &+*DC &+*# J O n C *DC δt N / # CC & E &+*DC '4J * C *DC J * # %& C C # C αJ O # %&
EHG J 01 & % R u N f C *DC T Q Q 2;) >DRb*->g/\U>TR.4)D4;25/1,[email protected]/1,.4 G R.45[B4;UW/1[B4 o
[email protected] R34 < [B/H/-U/\U>TR34 [D)B> Q ,345n?0b* =XQ >JA
o /1,[email protected]*\, O [ Q >D4
O 4+/1, = A < [D/9814 >TR.4 )B452;/1,.6 Q ,345n?0b* =XQ >JA G /1[ * =m=
t
∈
(t
,
t
)
dP̃ =
G 4R.*98\4>DR.45[B4;UW/1[B4^
− P dt + dV
P
0
tn
ext
n
1
2
n
E
Z
=
n+1
t
t
tn+1
α(P̃ (s, x) − P̃ (tn , x))(Qs − Q̃s ) ds
t
Z ntn+1 α
E −(s − tn ) Pn (Qs − Q̃s ) ds + E
2
/1[>DR.4 [B)B>P>D45[
Z
tn+1
α(Vs − Vtn )(Qs − Q̃s ) ds .
_FEHG 8 =ea
\/ U>DR.4 [ Q Y1Re> I Rb*\,.6 ) Q [email protected]/\U _KEHG 8 =ea o O 4 * <.<3= A >TR.4 )B452;/1,.6 Q ,.4;n?0b* I
a Q , /1[D6345[P>T/:/ Z > * Q , * Z /103,.6 Q ,
=XQ >JA /\U f 4" * c _ O#Q >TR
R(s, x)= −(s − tn ) α2 Pn
Rt
G R.4 * Q /\U >TR.4 [D4"* Q ,.6.4;[/-U>TR34 < [B/H/\U Q ) >T/
E (Qs − Q̃s )2 ds
Cδt3 α2 + t
)BR./ O >TR.4UW/ =X= / O#Q ,3Y 45) > Q *-> Q /1,P/\,!>DR.4)D452;/1,.6>T4;[ /\U>TR34[ Q Y1Re> I Rb*\,36!) Q 6.4/\U _KECG 8 =1a ^
tn
tn
n+1
n
E
II
Z
tn+1
tn
α(Vs − Vtn )(Qs − Q̃s ) ds
≤ Cδt
2
2
δt + δtα +
Z
tn+1
tn
|∂x u|
2
.
_FEHG 88?a
! ,!/1[D6345[
>T/)DR3/ O _KEHG 8 8?a o O 40.)B4>DR.4 "
Qs − Q̃s
H ^
Z
Z s
1 s
= Q tn − Q n −
(Qv − Qn ) dv +
(∂x uPv − ∂x un+1 Pn ) dv
2 tn
tn
Z s
s − tn
∂x uPtn dv
(Qtn − Qn ) − (s − tn )∂x un+1 Pn +
=
1−
2
tn
Z
Z s
_FEHG 8?`1a
1 s
−
(Qv − Qtn ) dv +
∂x u(Pv − Ptn ) dv.
2 tn
tn
Qs − Q̃s
T> R.4P>D45[ Q , Z [D*\2 h\4 >T) G
f 4;>03)6345,./\>D4
o O R Q 2 BR Q 3< =mQ 4;)^
(Vs − Vtn )
E
)D*-> Q ) 4;6 Z A
< "
Z
R34![D*\,.6./
tn+1
α(Vs − Vtn )B ds
tn
8-*\[ Q * Z = 4
Q ) Q ,.634 < 45,.6.4;,e> /-U
B
= 0.
4P)B> Qm=X= Rb*d814>D/@45) > Q *->D4>DR.42;/1,e>T[ Q Z 03> Q /1,3)/\U >TR.4 = *\) >> O /@>T4;[ ) /\U _KEHG 8?`1a G
2;/1,e>T[ Q Z 03> Q /1,.) O#QX=m= Z 46.4;,./\>T4;[email protected][B45) < 452 > Q 814 = A Z A
*\,.6 G
T2
O R Q 2 R Q )^ T1
f 4;>g0.) [B)B>#>T03[D,>T/ >TR.4>D45[ R345)D4
T1
T1 = E
>
α
=
2
Q ) 2 = 45*\[ >TRb* >^
Z
Z
tn
tn+1
tn
1
|T1 | ≤ δt α + 3
δt
3
2
$ ) Q ,3Y>TR.44 < [B45)D) Q /1,+/-U
/ Z > * Q ,.)^
tn+1
Z
Z
α
(Vs − Vtn )
2
s
tn
tn+1
tn
Z
s
tn
(Qv − Qtn ) dv ds
E ((Vs − Vtn )(Qv − Qtn )) dv ds.
Z
s
tn
Qv − Qtn = − 21
E ((Vs − Vtn )(Qv − Qtn )) dv ds
Rv
tn
Qw dw +
Rv
tn
2
.
∂x uPw dw + Wv − Wtn
Z v
1
E (Vs − Vtn )
(−Qw ) dw
E ((Vs − Vtn )(Qv − Qtn )) =
2
tn
Z v
+E (Vs − Vtn )
∂x uPw dw
tn
+E ((Vs − Vtn )(Wv − Wtn )) .
o /1,.4
_FEHG 8ecea
R.4 >TR Q [D6 >D45[ /\U _KECG 8ec1a Q ) K;45[D/ G 1/ [>TR.4!)D4;25/1,36 >T45[ /\U _KECG 8ec1a o O 4 O [ Q >T4 _ 0.) Q ,.Y
; *\032 R?A I " 2 R O *\[ K a ^
1
δt3
Z
≤
tn+1
t
Z ntn+1
tn
Z sZ
t
Z ns
tn
v
t
Z nv
tn
∂x uE ((Vs − Vtn )Pw ) dw dv ds
2
2
2
|∂x u| (E((Vs − Vtn )Pw )) dw dv ds ≤ Cδt
3
Z
tn+1
tn
|∂x u|2 .
I[
1
δt3
Z
tn+1
Z sZ
*\,.,.4;[^
E ((Vs − Vtn )Qw ) dw dv ds
Z v
Z
(E ((Vs − Vtn )Qw ))2 dw dv ds
≤
tn tn
tn
Z tn+1
Z sZ v
Z
2
3
≤
(s − tn )E(Qw ) dw dv ds ≤ δt
tn
tn tn
tn+1 Z s
tn
tn
f 4;>g0.)#,./ O >D0.[D,]>D/>DR.445) > Q *-> Q /1,]/\U>TR34>D45[ T2 = E
= α
Q ) 2 = 45*\[ >TRb* >^
Z
Z
2
$ ) Q ,3Y>DR.44 < [D4;)D) Q /1,!/\U
tn+1
tn
tn+1
tn
1
|T2 | ≤ δt α + 3
δt
3
Z
Z
tn+1
tn
Z
s
^
tn
Z
tn
s
tn
∂x u(Pv − Ptn ) dv ds
∂x uE ((Vs − Vtn )(Pv − Ptn )) dv ds
Rv
tn
Pw dw + Vv − Vtn
∂x u(v − tn ) dv ds
2
1
≤
δt
≤ δt2
Z
tn+1
t
Z ntn+1
Z
1
δt3
Z
$
['&
tn
s
Z
.
o O 4/ Z >T* Q , ^
v
tn
2
s
tn
|∂x u|2 (v − tn )2 dv ds
|∂x u|2 .
>DR.4 D[ ) >g>D45[ /\U _KEHG 81a o O 4/ Z >T* Q , Q ,]>TR.4)T* 4 O *dA ^
Z
2
_FEHG [email protected]
/1[
tn+1
E (−(Vs − Vtn )Pw ) dw + E ((Vs − Vtn )(Vv − Vtn )) .
s
tn
tn
E(Q2s ).
s
v
tn
tn+1
∂x uE ((Vs − Vtn )(Pv − Ptn )) dv ds.
tn
tn+1
Z
Z
T2
\/ U _KEHG 81a o O 4R.*98\4>DR.45[B4;UW/1[B4^
>DR.4)D452;/1,.6!>T45[ 1
δt3
Z
α(Vs − Vtn )
Pv − Ptn = − 21
1
E ((Vs − Vtn )(Pv − Ptn )) =
2
/1[
!
2
v
tn
>DR.4 D[ ) >g>D45[ /\U _KEHG 8ecea o O 4 O [ Q >T4 Q ,>DR.4)T* 4
/1[
>
#
∂x u
E ((Vs − Vtn )Pw ) dw dv ds
tn
Z
Z
Z sZ v
Z tn+1
1 tn+1 s
2
2
3
≤
|∂x u|
(E ((Vs − Vtn )Pw )) ds ≤ δt
|∂x u|2 .
δt tn
tn
tn tn
tn
tn
R Q )#45,.6.)#>TR34 < [D/C/\U G
,.42d*-, ,./ O < D[ /9814 [D/ < /1) Q > Q /1, L1G
! |A| ≤ Cδt
2
O#Q >TR
A
R.4 B[ )B> Q ,345n?0b* =XQ >JA /\U f 4"
[email protected]
0
Z
δt + δt|∂x un+1 | +
2
=
Z
tn+1
tn
*
+
δtE(Q2n )
tn+1
tn
E(Q2s )
H )BR./ O )g>DRb*->^
Z
+
E (Qs − Q̃s )2 + |A0 |,
tn+1 tn
E (Ps ∂x u(s) − Pn ∂x un+1 )(Qs − Q̃s ) ds
−δtE(Pn Qn − Ptn Qtn )∂x (un+1 − u(tn+1 ))
Z tn+1 =
E (Ps ∂x u(s) − Pn ∂x un+1 )(Qs − Q̃s )
tn
−(Pn Qn − Ptn Qtn )(∂x un+1 − ∂x u(tn+1 )) ds.
$ ) Q ,3Y f 4 *\) c *\,.6 Ho O 4 O#QX=m= < [D/9814>TR34UW/ =m= / O#Q ,.Y 45) > Q *->D4i/1,
A0
^
Z
Z
Z
2
1 tn+1 2
1 tn+1 2
1 tn+1 ∂∂x u
+
|∂x u| +
E(Qs )
|A | ≤ Cδt 1 + |∂x un+1 | +
δt tn
∂t
δt tn
δt tn
Z tn+1 Z
1 tn+1 2
2
E (Qs − Q̃s )2 + δt|∂x en+1 |2 ,
E(Q̃s ) + +E(Qn ) +
δt tn
tn
0
3
2
*\[ Z Q >D[T*\[ Qm= A) * =m= G
.R 4 D> R Q [B6 Q ,.45n?0b* =XQ >JA/\U f 4" * c * <.<.=XQ 4;6 )B0.252;45)D) Q 8\4 = A T> /
*\,.6
*\,.6>TR.4
P
Q
P̃
Q̃
s
s
s
s
a B) R./ O >DRb*-> 0 Q ) Z /103,.6.456
)B4525/\,.6 Q ,.54 n?0b* =mQ >JA/\U f "4 * ]_ * <..< =XQ 456 O#Q >TR
α = ∂x un+1
|A |
ZA ^
O#Q >TR
Z
tn+1
E (Ps ∂x u(s) − P̃s ∂x un+1 )(Qs − Q̃s ) − (P̃s Q̃s − Ps Qs )(∂x un+1 − ∂x u(tn+1 ))
Z tn+1
Z
Z
1 tn+1 2
1 tn+1 2
2
2
1
3
2
+Cδt 1 + |∂x un+1 | + δt
|∂x u| +
E(Qs ) + E(Qn ) +
E(Q̃s )
δt
δt
t
t
t
n
n
n
Z tn+1 2
+
E (Qs − Q̃s ) + δt|∂x en+1 |2 .
tn
tn
.R 4;, o 0.) Q ,.Y >TR34j)D452;/1,.6 Q ,.4;n?0b* =mQ >JAg/\U f "4 O 4/ Z > * Q ,P>TR.4UW/ =X= / O#Q ,3Y Z /\0.,.6!/1, 0 ^
Z
|A |
* c_ O#Q >TR
R(s, x) = Ps (∂x u(s)−∂x u(tn+1 ))
tn+1 E (Ps ∂x u(tn+1 ) − P̃s ∂x un+1 )(Qs − Q̃s ) − (P̃s Q̃s − Ps Qs )(∂x un+1 − ∂x u(tn+1 ))
Z tn+1
Z
Z
2
1 tn+1 ∂∂x u
1 tn+1 2
2
1
3
2
|∂x u| +
E(Qs ) + E(Q2n )
+Cδt 1 + |∂x un+1 | + δt
+
δt tn
∂t
δt tn
Z tn+1tn Z tn+1
E (Qs − Q̃s )2 + δt|∂x en+1 |2 .
+ δt1
E(Q̃2s ) + tn
tn
tn
[ 0
ao
!
R.4;, o 6.4;8\4 = / <.Q ,3Y>DR.44 < [B45)D) Q /1, 0.,.6.4;[ >TR.4 Q ,e>D45Y1[D* = o O 4/ Z >T* Q ,P>DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y >D45[ ^
Z
tn+1 Z
tn+1 E ∂x un+1 Qs (Ps − P̃s )
E ∂x u(tn+1 )Q̃s (Ps − P̃s ) +
tn Z
Ztntn+1 tn+1 =
E ∂x un+1 (Ps − P̃s )(Qs − Q̃s ) +
E Q̃s (Ps − P̃s ) (∂x un+1 − ∂x u(tn+1 )) .
−
tn
#
tn
., 4g2d*\,,./ O 2;/1,.2 = 0.6.4#0.) Q ,.Y>TR.4 Q ,.45n?0b* =XQ >JA *-,.6P* <3<.= A Q ,3Yi>TR.4
E (Ps − P̃s )2 < Cδt2
[B)B>g> O / Q ,345n?0b* =XQ > Q 45) /\U f 4" * c D> / Z /\>DR]>T45[ )#/\U>TR34* Z /98144 < [D45)B) Q /1, G
$
#(' ' $
4
'/, 6; ) 6;,.- ; ' % ? ; '/, ?;
-*) / ' (A = -H),; ?A ; (),' </ ; +
/\Ul6 Q )B25[B4;> Q Kd*-> Q /1, ^C>DR.4 M /\,?>D4 ; *\[ = / 4;>DR./C6 G ,
,./ O >T0.[B,P>T/ >DR.4 = *-)B> = 4;8\4 =
< [B452;456 Q ,.YP)D0 Z )D4;2;> Q /1,.) o O 4 Rb*d814)DR./ O , >TR.*->
25/1,e814;[DY14;) >T/ O *-[D6.) >DR.425/\,?> Q ,?0./103)
(u
nh4 ,,.Q/ h,nOS)O *\,e>>D/4;)B> Q * >T4>TR.445[B[D/1[ Q ,36.0.254;6
*\, 4 <.Q [ Q 2d* = 45*\, G ( =X= >TR.4 [D45)B0 = >D)/\U>TR Q )
G
*\,36
2
∞
2
u0 ∈ L x
n
fext ∈ Lt (Lx )
46.4 ., 4>TR34UW0 =m= A6 Q )B25[B4;> Q K54;6 < [D/ Z = 4 ^
h,n
I#%
P
'
>TR.4
>DR.4 ) < *\2;4 *\,.6!> Q 46 Q )B25[B4;> Q K54;6 < [D/ Z = 4"
G
)D/ = 03> Q /1,P* > > Q 4
^
/\U (u(tn ), Qt Z )A
Z A>TR.4* <.< [D/ Q t*-n> Q =/1,nδt
)B0 Z )D4;2;> Q /1, R3/ = 6 0.,.6.4;[>TR3E(P
[email protected]*\)Bn)DQ
0 h,n< )> Q /1,
& I * , ,8I &+* C # # I&% & t = nδt N # %& & 1 J A I # . un C D* C# %&
n
h
/ AB% # % C #
N
'
j N J *& Q *DC '
n+1
Q
u
∈V
∀v ∈ V
!
h
h
1
δt
Z
S h,n =
O
(un+1
h
1
M
j
PM
j
j=1
j
(
Z
O
∂x un+1
h ∂x v
= −
%&+*N J *& A JD% E / # & '
Z
S h,n ∂x v +
O
N
j
Z
fext (tn )v.
O
C *DC
j
j
Pn+1
P n+1
Qh,n+1
1 j
n+1 j
=
∂x uh P h,n − Qh,n δt + Wtjn+1 − Wtjn ,
2
j
Pn+1
− Pnj = − 21 Pnj δt + (Vtjn+1 − Vtjn ),
j
j
= sup(−A, inf(A, Pn+1
)).
P n+1
j
C *DC
_FEHG [email protected]
/ 'I * ,
R
_FEHG 8 ea
_FEHG `!ea
R.4 < [D/C254;)D)B45) 1
*\,.6
*\[B4j)B>T*\,.6b*\[B6 Q ,.6.4 < 4;,.6.4;,?> M I 6 Q 45,3) Q /\,b* =
N
1
N
_ O#Q >TR
B[ / O , Q *\, /\> Q (V
/1,.t) ,G. ., .Q >, Q V* t= 25)/1,.6 Q > (W
>TR.4 , Q >T44 = 4" 4;,e>T)
Q /1,.t) ,*\. [D.4 . , Wt )
uh,0 = Πh (u0 )
Πh
Q ,?>D45[ < / = *-> Q /1,!/ < 4;[T*->D/1[ a o j *\,.6 j o O R Q 2 R *\[B4 Q ,.6.4 < 45,36.45,e>,./\[ * = 8\*-[ Q * Z = 4;) o Q ,.634 I
0 /\> Q /1, Q0 *\,.6
< 45,.6345,e>/-U >DR.4 [D/ O , Q *\,P
j
jG
4t)B> *-,.6b*\[B6 " 0 = 45[)D2 R.4" 4/1,
$ ,.42d*\, )D4;4>DRb*-> O 4Rb*d814/HV6 tQ 456+>DR.W
Z A Q ,e>T[B/ I
G ,@U *\2;> o O 4 O#Qm=X= )DR./ O > O />JA < 4;)/\U[D4;)D0 P= >Tt )^ [B45)B0 = >D)
6.032 Q ,3YP* 2;03> I / 25/\,.)B>T*\,e>
a *-,.6]A[D4;>
a G ,P>TR34 [D) > 2d*-)D4 o O 4 O#QX=m=
)D0 = 0>T) O#Q >TR./10H> 250H> I / _
O#Q >TR]250H> I / _
A <q∞
A=∞
_ *\,36 >TR.4;,03)D4g*i25/1,3)B> *-,?>
a G R.4
[B45n?0 Q [B4
)B0.2 R >TRb*->
3
0 < A < 5δt
γ>0
A > −γ ln(δt)
2 R./ Q 254/-U>DR.40 <.< 45[ Z /10.,36 O#Qm=m= Z 4 TB0.)B> Q 4;6 Q ,P>TR34 < [D/C/\Ul/\U f 4 * L !3G ,]>DR.4)D4;25/1,.6
a o O 4 Rb*d814 j
25*\)D4 _
*\,.6 O 4 O#Qm=X= )B>T*->T4>TR.4[D4;)D0 = >T)/1,V*)D0 Z )D4 > /\U >TR.4
j
[
j
+
P n Qh,n
Qh,n+1 − Qh,n
N
Pnj P n
h
unh )v
−
G:C *DC JD% L C8GI%C 01 & '
A=∞
P n = Pn
! H < B[ / Z * Z Qm=mQ >JA ) < *\254 G R Q ) )D0 Z )D4;> O#Qm=m= >D45,.6>D/ >TR3445,e> Q [D4 < [D/ Z * Z QX=mQ >JA ) < *\2;4 O R.4;,
G R.4;)D4 6 Q 250 = > Q 45)g*\[D4 =mQ ,.h\4;6 O#Q >[email protected])D0b* = ) > * Z QX=mQ >JA < [D/ Z = 4" )#45,325/10.δt,e>D45→[D4;6 0
/1[
>DR.4→6 Q )D∞
2;[D4;> Q K5*-> Q /1, /\U " < " ) _ )B454 4#4;U G 6 LNE\c:9 a G M /1[D4 < D[ 4;2 Q )D4 = A o = 4;>0.) Q ,e>T[D/C6.0.2;4 >TR.4
Q, M
)B0 Z )D4 >
634 ,.4;6 UW/1[#* =m=
T Z A+^
An
n≤
An =
(
δt
M
1 X j 2 13 1
∀k ≤ n,
(P ) <
M j=1 k
20 δt
)
.
R.4 8\* = 0.4!/\Ui>[email protected] <3< 4;[ Z /10.,.6 13 1 O#Qm=X= Z 4 TB0.)B> Q 4;6 Q , >TR.4 < [D/C/\U/-Ui>TR.4!)B>T* Z QX=mQ >JA
= 4* 3G /1[ >DR.4P)D*\h\4/\U#2;/1,.2 Q ) 20Q /1, δto >DR.4P[B45)D0 = >T)* > > Q 4
O#Qm=m= Z 4])B>T*->T4;6:/1,V>TR.4
nδt
q a /\U#>TR.4
a *\) O 4 =X= *\) Q ,V>TR.4 < [B45)B45,.2;4 _
4 8145,e>
Q ,V>TR.4* Z )D45,3254 _
3
An
A = ∞
A <
2;03> I / o Z 03> Q > Q ) Q < /\[B> *-,?> >T/ ,./\> Q 254>DRb*-> Q ,>TR34 = *->B>T4;[ 2d*-)D4 o >TR.4 < [D/ Z * Z Qm=XQ >J5δtA/\U
Q)
An
4;nC0.* = >T/ G
1
' C:'B' / % & A = ∞ I * P % I AB%5A C:' & P j = P j I BD 48 [email protected] A &+# / F
n
%& ' H& G / &+*AB& J O ' &+# ' (An) I ' C &BA G & C:'I * , JLG & J & G N!P & A C * & ' # I&% C # & # %& EHGnJ C I 1 nI # .
J O7# %& & &+*# A RC:'B' / %I * n∈, δt < 13 N
43 3E
n
P
I#%
C *DC
40
13
1
M
13
,
P(An ) ≥ 1 − exp −
− 1 − ln
δt
2 40δt
40δt
#9P
J A J * ' # C *# ' I *DC & E &+*DC &+*# J O n * E C8G # I A / 1 C8G NWO JLG C * . t ∈ [0, T ] N
JLG P%&+* M −→ ∞ P I # % δt < < [B/ < 4;[B>JA Q )2 = 4d*-[ G /1[>TR.4)D4;25/1,.6:/\,.4 o ,./\> Q 2;4 [B)B>>TRb* > *) Q <.= 4
C1 C2 P%&+*
N
P Ab t c −→ 1
δt −→ 0
13
40
[email protected] R.4 [D)B>
G
2
o
G
G
G
5
4
3
,
5
2
4
U
.
6
;
4
.
,
\
/
T
>
;
4
)
P
*
D
)
;
4
C
n
3
0
5
4
.
,
;
2
4
\
/
U
6
.
,
1
/
[ * =
52 * = 2;0 = *-> Q /1,!A Q 4 = 6.)
Q
Q
Q
2
E(P
)
<
2
(G
)
j
j≥1
n
P
[D*\,.6./# 8\*-[ Q * Z = 4;) o 1 PM j 2
A ; .R 45[B,./
M
C
2
P M j=1 (Pn ) > C ≤ P M1
(G
)
>
.
j
j=1
2
Q ,.45n?0b* =XQ >JA o
δt
P
M
1 X
(Gj )2 > C
M j=1
!
≤ exp(−M (λC − Λ(λ))),
G
UW/1[i*\,eA
O .R 45[B4 6.45,3/\>T4;)i>TR.4 f 4;Y145,.63[D4 >T[D*\,.) UW/1[ ^
2
425/1,.2 λ= 0.>634 0Z A Q , Q Λ Q K Q ,.Y>DR.4[ Q Y1Re> I R.*\,.6]) Q 6.4/98145[ 0.) Q ,.Λ(λ)
Y^ = ln(E(exp(λG1 )))
λ
sup(λx − Λ(λ)) =
λ>0
0
1
(x
−
1
− ln x)
2
QU
QU
x ≤ 1,
x > 1.
,
D> R.4UW/ =m= / O#Q ,.Y o O 4 / Q > >TR.4)D0 Z )D25[ Qm< > Q ,!/1[B6.45[#>T/ m= Q Y1Re>T45,>TR34,./-> *-> Q /1,.) G, > Q )
Q < /1[B>T*\,e>i>T/!* = [D45*\63A+,./-> Q 2;4 >TRb* >UW/1[* =m= o h>TR342;/10 <.= 45) j j *\[B44H2 Rb*\,.Y145* Z = 4 o
n
(P , Q )
[D4 * Q ,.n)g>DR.n4 )D* 4UW/1[i*\,eA < 4;[ I
Q G 4 G >TR34 = * O /\Uj>DR.4 M I 0 <.= 4 >
1
1
M
M
((P n , Qn ), ..., (P n , Qn ))
G R Q )* =X= / O ) /1,.4>T/ O [ Q >T
0H> *-> Q /1,/1,!>TR.4 Q ,.6 Q 254;)
4 4 G Y G 1 PM j (1, ..., M )
E
M
j=1
Qn =
[ #
!
1
G f 4;>0.) Q ,e>T[D/C6.0.2;4 -* ,./\>TR345[
/1[ 1 PM j 2 2 E M j=1 (P n ) ∂x un+1 = E (P n )2 ∂x u2n+1
,./-> *-> Q /1, o /\, = A+03)D456 Q , >TR.4 < [B/H/\UW) G 46.4 ,.4>TR.4UW0.,.2 > Q /\, n Z A ^lUW/\[*-,?A [D\* ,.6./ E q
G /\> Q 254>TRb*-> Q , >TR.4 2d*\)B4
_ O#Q >TR 2503> I / a o
8-*\[ Q * Z = 4 o n
3
X E (X) = E(X1A )
A < 5δt
G
/1,34R.*\) n
4) E> *\[ > =O#EQ >TR]>DR.4)B> * Z Qm=XQ >JA /\U >DR.4)D2 R.4" 4 G
1
E Qn
n
3 [ 2 43 E
& & /N P & :'B' / %
G J G C
1 I # . R ∀n ≤
Z
I#%
P
T
δt
N
9G3 [email protected] < @CEHG1G Y618 : 1; 46 B G 43 & C:'B' / % & δt < 2 & & I # %& G δtA2 ≤ 13 N JLG A = ∞ & % C & # %&+* # %&O J:1 1 J P I * , I *&HG / C
20
n−1
δt X
E(u2n 1An ) +
2
O
k=0
Z
!
M
X
1
j
E
E (∂x uk+1 )2 1Ak +
(Qn )2 1An
M
O
O
j=1
2
2) ,
≤ 1 + ||u0 ||L2x + T 1 + C||fext ||L∞
(L
x
t
Z
C A J * ' # C *# I *DC & E &+*DC &+*# J O7# %&C C # C J O7# %& EHG J01 & %
*\) * >T45) > UW03,.2;> Q /1, Q , _KEHG [email protected] a o O
[email protected] ; R./C/1) Q ,.Y
v=u
C
4 / Z >T* Q , _ Q ,>TR.4)T* 4
O *dA!*\) Q ,]>TR.4 < [B452;456 Q ,.Y ) > * Z n+1
Qm=mQ >JA < [D/C/\UW) a ^
1
2δt
Z
O
u2n+1
−
Z
O
u2n
9
+
10
Z
O
0 = > QX<.= A Q ,.Y >TR344;n?0b*-> Q /1, _KEHG [email protected] O#Q >TR
M
"0
∂x u2n+1
j
Qn
*\,.6
≤ −
1 An
Z
O
S n ∂x un+1 + C||fext (tn )||2L2x .
o O 4/ Z > * Q ,+^
1
1 n
j
j
j
E ((Qn+1 )2 ) − En ((Qn )2 ) + En ((Qn )2 )
2δt
2
1
j
j
j
j
En ((Qn+1 − Qn )2 ).
= En (∂x un+1 P n Qn ) +
2δt
Q ,.Y 0 < >DR.45)B4> O / [B4 = *-> Q /1,.) *\,36 0.) Q ,.Y432 R.*\,.Y145* Z Qm=XQ >JA o /1,.4/ Z >T* Q ,3)i^
Z
Z
Z
1
Z
1 1
1
n 2
n 2
n
2
n
E (un+1 ) − E (un ) +
E (Qn+1 ) − E (Qn )2
2δt
2δt
O
O
O
O
Z
Z
1
1 n
9
1 2
1
1 2
n
2
n
E (∂x un+1 ) +
E (Qn ) ≤
E (Qn+1 − Qn ) + C||fext (tn )||2L2x .
+
10 O
2 O
2δt
[
4Rb*d814,./ O >T/45) > Q *->D4>TR34>D45[ /1,>TR.4[ Q Y1Re> I Rb*\,.6]) Q 6.4 G
40.)B4*-Ye* Q ,+^
1 1
1
1
1
En ((Qn+1 − Qn )2 ) = δt2 En ((∂x un+1 P n − Qn )2 ) + δt
2
1
1
1
≤ 2δt2 En ((∂x un+1 P n )2 ) + δt2 En ((Qn )2 ) + δt.
2
J
! H R Q ) A Q 4 = 6.)^
1
2δt
Z
!
!
M
9
1 X j 2
2
E
−
E
+
E
(P ) ∂x un+1
− δt
10
M j=1 n
O
O
O
Z
Z Z
1
δt
1
1
1 2
1
n
2
n
+
E ((Qn+1 ) ) −
1−
En ((Qn )2 )
E ((Qn ) ) +
2δt
2 O
2
O
O
1
≤ + C||fext (tn )||2L2x .
2
n
Z
(u2n+1 )
n
(u2n )
Z
n
$ ) Q ,3Y>DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y>DR.[D4;4 < [D/ < 45[ > Q 4;)^
j 2
2
u
(P
)
∂
x n+1 1An ≥
n
j=1
PM
6.4 ., 4;) >TR340 <.< 4;[ Z /103,.6 Q ,]>TR.46.4 , Q > Q /\,!/-U
9
10
− δt M1
Z
Z
1
∂ u2 1
4 x n+1 An
An
Z
ao
_ >DR Q ) Q )>TR.4 Q ,.4;nC0.* m= Q >JA O R Q 2 R
o O 41Y 4;>^
*\,36
1An ≥ 1An+1
δt < 2
1
−
E
+
E
En ∂x u2n+1
4 O
O
O
Z
Z
1
1
1
1 2
2
n
n+1
E ((Qn ) ) ≤ + C||fext (tn )||2L2x .
+
E ((Qn+1 ) ) −
2δt
2
O
O
1
2δt
n+1
(u2n+1 )
n
(u2n )
R Q ) A Q 4 = 6.) >TR.4) > * Z QX=mQ >JA o Z A)B0 Q ,3Y
f 4;>0.),./ O >T0.[B,>D/g>DR.4 2;/1,e814;[DY14;,.254
>D/ O *\[B6.)g>DR.4)D/ = 03> Q /1,]/\U>TR.4 < [B/ Z = 4 6
4,.454;6>D/ Q ,e>T[B/H630.254>DR.4i[D*\,.6./#
Qjh,n+1
−
Qjh,n
=
0 < /N8\45[ G
n
/-U3>TR34 )B/ = 03> Q /1,/\UH>TR.4jUW0 =X= A6 Q )B25[D4 > Q K5456 < D[ / Z = 4"
Q )D2;[D4 > Q K;456 Q ,) < *\254*\,.6> Q 4 G
8-*\[ Q * Z = 45) j _ 6.45,./->T456 j Q ,>TR.4iUW/ =m= / O#Q ,.Y a ^
Qh,n
j
∂x un+1
h Pn
Qn
1 j
− Qh,n δt + Wtjn+1 − Wtjn .
2
R.4#2;/10 <.= 45) j j *-[D4 Q ,.6.4 < 45,36.45,e>[D45* =mQ Kd*-> Q /1,3) /\U D> R.4 25/10 <.= 4;)
, Q[D*\n,.) 6./ 8-*\[ Q * Z = 45) G
*\[B44H2 Rb*\,.Y\4d(P
* Z n= 4
R.4* Q /\U>TR Q ) )D452 > Q /1, Q ) >T/ < [B/N8\4>DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y = 4 * G
(Pn , Qn )
_FEHG `CLNa
G .R 4 A* = )D/
G<BX3E WB6 & C:'B' / % & δt < 1 JLG & J & G N P & C & & I # %& G 0 < A < q 3 A J * & GF, &+*AB& P I # % A / # :J N JLG A = ∞2
A J * & GF, &+*AB&#P I # % J / # A / # :J &$% C &$# %5δt&+*# %& O J:1 1 J P I * ,FI *&HG / C1 I # . R ∀n ≤ T N
43 3EA0 & BID
:'B' / %
4IH:
[email protected]
<
BI
δt
Z
2
O
E((un − un ) 1An ) +
%& A J * ' # C *#
Z
E
O
M
1 X j
j
(Q − Qn )2 1An
M j=1 n
!
≤C
1
2
+ δt .
M
I ' I *DC & E &+*DC &+*# J O n N h C *DC δt N / # C & E &+*DC ' J *# %& C C # C J O # %& HE G J
01 & % R N
C *DC T * # %&A :C ' & 0 < A < q N C C1 'J C & E &+*DC ' J * γ > 0 ' / AB% # % C #
u f
# %& & ' # I&% C # IKJ * I ' I * O C A+# J O JLG C & G * # %& A :C ' &
A > −γ ln(δt)
A=∞
,!>DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y o O 4 O#QX=m= ,.454;6 *\,45) > Q *->D4/\U>TR.48-*\[ Q *\,.2;4/\U P Q G
0
C
3
5δt
ext
C
M
n
h,n
[
43 3EA00 !!: IW:
& :C 'B' / % &
48 13E
Z
N
C *DC T R.4 < [B/H/\U
δt < 1
!
%&+*N
E (Pn Qh,n − E(Pn Qh,n ))2 < C.
%&7A J * ' # C *# C I '(I *DC & E &+*DC &+*# J O h C *DC
O
#
δt
N N
∃ C ∀n ≤
/ # C & E &+*DC ' J * # %&$C C # CFJ O # %&
T
δt
N
EHG J01 & %
R
Q ) Z *\)D4;6 /1, *\, 4 <.=mQ 2 Q >2d* = 250 = *-> Q /1, /\U >TR.4 8-*\[ Q *\,.2;4 G 4#452d* =m= >DRb*->
O 4/ Q > >TR.4)B0 Z )D2;[ QX< > G
, >DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y o O h4)D4 > Wt − Wt = √δtGn *\,.6 Vt − Vt = √δtG0 G R.4
[D*\,.6./# 8-*\[ Q * Z = 45)
*\[B4 Q ,.6.4 < 4;,.6.45,e> ,3/1[ * = [T*\,36./# 8-*\[ Q * Z = 4;) o Q ,.6.4 < 45,36.n45,e> /\U
0
G
,
G
n
n
G
*\,36
P0 4[BQ452d0 * =m= >DRb*->
*\,.6
*\[B46.4 ,.456 Z A ^
u0 fext
[email protected]
n
n+1
Pk+1 =
Pn
Qn
√
δt
1−
Pk + δtG0k
2
*\,36
n+1
Qk+1 =
A Q ,.6.0.2 > Q /1, o Q > Q ) 45*\)BAP>D/)DR./ O >DRb*->
Qn =
4)D4;>
δt
1−
2
n
Q0 +
n X
k=1
δt
1−
2
n−k
√
δt
1−
2
δtGk−1 +
n
Qk + δt∂x uk+1 Pk +
n X
δt
1−
2
n−k
√
δtGk .
∂x uk Pk−1 δt.
F_ EHG `\E1a
4Rb*d8\4>DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y 4;nC0.* =mQ > Q 4;)i^
k=1
−k
G
1 − δt2
∂x uk Pk−1 Pn
!
n
−k
n X
√
δt
δt
Pn Q 0 +
1−
Pn Q n = 1 −
δtPn Gk−1 + Xn ,
2
2
k=1
Xn = δt
Pn
k=1
!
n
−k
n X
δt √
δt
Pn Q 0 +
1−
δtPn Gk−1 + Xn − E(Xn ) .
Pn Qn − E(Pn Qn )= 1 −
2
2
k=1
$ ) Q ,3Y Q ,.6.4 < 45,36.45,.2;4 < [D/ < 45[ > Q 4;) o O 4
,.6
^
E (Pn Qn − E(Pn Qn ))2
!
2n
−2k
n X
δt
δt
δtE(Pn2 ) + E (Xn − E(Xn ))2 .
= 1−
E(Pn2 ) +
1−
2
2
k=1
( ) Q <.= 425* = 2;0 = * > Q /\,!A Q 4 = 6.)
D> / ;4 )B> Q * >T4
δt 2n
G > [D4"* Q ,.)g,./ O
*\,[email protected]>TR.4;[D4 UW/1[D4
E(Pn2 ) < 2
G $ ,.425*\, )BR.E(P
/ O >DnRbP*-m> ) < 2
2
1− 2
E ((Xn − E(Xn )) )
2n
2(n−k)
n X
δt
δt
2
2
1−
(Xn −E(Xn )) ≤ δt n
1−
|∂x uk |2 (Pk−1 Pn −E(Pk−1 Pn ))2 .
2
2
k=1
$ ,.425*\,2 R.452 hP>DRb*->
Q )g63456.0.2;456!UW[D/#
[
O#Q >TR
Q ,36.4 < 45,.6345,e>g/\U
2
E ((Pk−1a P
C
G n −4E(P
/ Z > * k−1
Q ,PP>TR.n4;)), )^ < C
4
E(Pk ) < C
2n
n
X
δt
2
E (Xn − E(Xn )) ≤ CT δt
|∂x uk |2 .
1−
2
k=1
δt
_ >DR Q )
! .R 4)B> * Z Qm=XQ >JA = 4" * 8 Rb*\) )DR./ O ,V>TR.*->
[B45)D0 = > G
, /1[D6.4;[ >T/ < [D/9814 f 4* L! Q ,!>DR.42d*\)B4
* = )D/0.)B4>DR.4UW/ =m= / O#Q ,.Y 4;)B> Q *->T4;)^
43 3EA0
' / AB% # % C #
& :C 'B' / % &
Pn
k=1
δt||∂x uk ||2L2x < C
A<∞
H o O R Q 2 R = 4d*\63)>T/!>TR.4
_ 25/\,?8\45[BY145,.2;4 O#Q >DR2503> I / a o O 4 O#Qm=X=
JLG & J & G N P & C:'B' / % & # % C # # %& A / # :J A J * ' # C *# I '
LJ G J E J I I J C *# γ & % C &7# %&+* R
δt <NO 21 ' D% &
' # & A *'#
−γ ln(δt) < A < ∞
1 2
1
E (Pn − P n ) < Cδt4 ,
Z
E
Q1n (Pn1
−
2
1
P n)
< Cδt4 ,
C A J * ' # C *# C & E &+*DC I * , J * γ C *DC J * # %&C C # C J O$# %& EHG J01 & % R u N f C *DC T C
√
*\,.6
[email protected] ,!>TR.4UW/ =X= / O#Q ,.Y o *\) Q ,>TR34UW/1[ 4;[ < [D/C/\U o O 4)B4;>
W
− W = δtG
√
G R.4 [B)B> 45)B> Q *->T4 Q ) 6.45630.254;6PUW[D/ *\, 45)B> Q *-> Q /1,/1,P,./1[ * =
V
− V = δt(G )
*-[D4+,./1[ * =
[D*\,.6./ 8-*\[ Q * Z = 4;) G 4+h?,./ O >TRb* >PUW/1[]* =X= o >TR34+[T*\,.63/ 8-*\[ Q * Z = 45)
n
P
P
I#%
O
0
j
tn+1#
j
tn
j 0
n
#
j
tn+1
j
tn
#
j
n
8-*\[ Q * Z = 45) /\U8-*\[ Q *\,.2;4 = 45)B) >TRb*\, EHG $ ., 425*\,>TR.4;[D4;UW/\[D4 O [ Q >T4^3UW/1[#* =X= o
E
(Pn1
( ) Q <3= 4i25* = 2;0 = *-> Q /1, A Q 4 = 6.)
1
√
π
Z
∞
−
1
P n )2
2
2 − x4
(x − A) e
1
<√
π
Z
∞
A
(x − A)2 e−
dx < C exp −C
0A
2
8
x2
4
1
n
n
ext
dx.
< Cα exp(α ln(δt)),
G -* h Q ,.Y
o O UW/1[ *\,eA!4 < 1/ ,.45,e>
4 / Z > * Q ,>TR.4 [D) >4;)B> Q * >T4 G $ ,.42d*\,@)DR./ O
Q ,P>TR.4i)D* 4 O *dAP>DαR.4>UW/ 0=X= / O#Q ,3Y 45) > αQ =*->D44 O R Q 2 R #
O Qm=X= Z 40.)D4;6!*-> >TR34i45,.6/\Ul>DR Q ) < [D/C/\U ^
A
1
E (Pn1 − P n )4 < Cδt8 .
/1[
D> R.4)D4;25/1,.6 45) > Q *->D4 o O 40.)D4>DR.4UW/1[ 45[ 2;/# < 03> * > Q /\, _KEHG `1E1a /-U
O [ Q >T4^
Z
E
O
Q1n (Pn1
−
2
1
P n)
_FEHG `=ea
Q1n
G
42d*-,>DR.45,
2 !
n
Z
δt
1
1
1
Q0 (Pn − P n )
≤ 3 E
1−
2
O

!2 
Z
n
n−k
X
√
δt
1
+3 E 
1−
δtG1k−1 (Pn1 − P n ) 
2
O
k=1

!2 
n−k
Z
n X
δt
1
1
+3 E 
∂x uk Pk−1
(Pn1 − P n )δt  .
1−
2
O
k=1
[
O
#
!
>TR34 B[ )B>*\,.6!)D4;25/1,.6 T> 45[ ) o O 4 ,./\> Q 2;4>DRb*->g>TR.4[D*\,.6./# 8-*\[ Q * Z = 45)
*\,36 1 *\[D4 Q ,.6.4 < 4;,.6.45,e> o O R Q 2 RA Q 4 = 6.)^
/1[
o
Gn
Z
E
O

!2 
n
n−k
2 ! Z
n X
√
δt
δt
1
1
Q10 (Pn1 − P n )
1−
1−
δtG1k−1 (Pn1 − P n ) 
+ E
2
2
O
k=1
(Q10 )2
≤E
/1[
1
Q10 (Pn1 − P n )
n
X
1
1
1 2
1 2
1
2
δt E (Gk−1 ) E (Pn − P n )
E (Pn − P n ) +
≤ (1 + T )E (Pn1 −
1
P n )2
>DR.4>TR Q [D6]>T4;[ o O 4 O [ Q >T4 ^
Z
O

n X
E
k=1
1−
δt
2
n−k
k=1
≤ Cδt4 .
!2 
1
1
∂x uk Pk−1
(Pn1 − P n )δt 
v
v
2 
u n
u n
Z
uX
1
 uX

1
≤
E t
∂x u2k t (Pk−1
)2 (Pn1 − P n )δt 
O
k=1
≤ δt2
Z X
n
O k=1
∂x u2k E
n
X
k=1
!
4
(Pk1 )
1
(Pk−1
)2 (Pn1 −
0.) Q ,.Y>TR34U *-2;> >TR.*->
1
P n )2
E
n
X
k=1
4 bR *d814 )BR./ O , Q ,@>TR.4 ) > * Z Qm=mQ >JA = 4"
[B4 * Q ,.)^
E
1
(Pk−1
)2 (Pn1 −
* 8 >DRb*->
δt
Pn
k=1
R
O
I
Z
O
2
gn+1
−
Z
O
1
P n )2
!
.
∂x u2k < C
G
$
,.4 = *\)B> >T4;[ r n q
C
X
1
1
E (Pk−1
)4 E (Pn1 − P n )4 ≤ δt4 .
≤
δt
k=1
≤C
*\,.6 _KECG `=1a G
42d*\,!,./ OS< [B/9814 f 4" * L !3G
PM
o
*\,36
[email protected] 4g)D4 >
1
j j
S
=
g
=
u
−
u
P
Q
n
n
n
n
n
n
j=1
M
o
D) * 4*\[BY10 45,e>T)#*-) Q ,]>TR.4UW/1[ 4;[ < [D/C/\UW) O 4/ Z >T* Q ,
1
2δt
[
k=1
gn2
+
Z
O
2
∂x gn+1
≤−
Z
O
j
Rnj = Qjn − Qn
G $ ) Q ,.Y>TR.4
(E(Pn Qn ) − S n )∂x gn+1 ,
1
1
j
j
En ((Rn+1
)2 ) − En ((Rnj )2 ) + En ((Rnj )2 )=En (∂x un+1 Pnj − ∂x un+1 P n )Rnj
2δt
2
1 n
j
+
E ((Rn+1
− Rnj )2 ).
2δt
! "0
H Q ,.Y 0 < >DR.45)B4> O / 4 < [D4;)D) Q /1,.) o /\,.4 ., 6.)^
Z
Z
Z
1
n 2
n 2
2
E (gn+1 ) −
E (gn ) +
En (∂x gn+1
)
2δt OZ
O
O
Z
Z
1
1
1
+
En (Rn+1
)2 −
En (Rn1 )2 +
En (Rn1 )2
2δt Z O
2 O
OZ
Z
1
1
1 2
n
n
≤
E (Rn+1 − Rn ) + E ((Sn − E(Pn Qn ))∂x gn+1 ) + En In1 .
2δt O
O
O
O#Q >TR
1
1
1
In1 = (∂x un+1 Pn1 − ∂x un+1 P n )Rn1 − (Pn1 Q1n − P n Qn )∂x gn+1
1
/1[
Z
1
1
= ∂x un+1 Qn (P n − Pn1 ) + ∂x un+1 Q1n (Pn1 − P n ).
>DR.4)D452;/1,.6!>T45[ /1,]>TR34[ Q Y1Re> I Rb*\,36!) Q 6.4/-U _KECG `8ea o O 40.)D4 f 4* L1L ^
1
E ((Sn − E(Pn Qn ))∂x gn+1 ) ≤
10
O
n
Z
E
n
(∂x gn+1 )
2
+ 10
Z
E (Sn − E(Pn Qn ))2 .
.R 4 [B)B>#>T4;[ Q ) 2;/1,e>T[D/ =m= 4;6]/1,P>TR34 = 4;U > I Rb*\,36P) Q 6.4/\U _KEHG `8?a o O R QX= 4>DR.4)D4;25/1,.6>T4;[ Q )
_ )D4;4 f 4" * L1LNa ^
4;)B> Q * >T4560.) Q ,.Y>TR34i8\*-[ Q *-,.254/\U
/1[
O
Pn Q n

Z
Z
E (Sn − E(Pn Qn )2 =
E
O
O
1
M
M
X
j=1
O
(Pnj Qjn − E(Pnj Qjn ))
>DR.4 D[ ) >g>D45[ /1,>TR.4[ Q Y1Re> I Rb*\,.6]) Q 6.4/\U _KEHG `8?a o O 4 O [ Q >D4 ^
1
(Rn+1
−
Rn1 )2
=
=
,>TR.425*\)D4
A=∞
o 03) Q ,3Y
(∂x un+1 Pn1
∂x un+1 (Pn1
j
Pnj = P n
−
−
1
∂x un+1 P n )
1
P n)
+
1
− Rn1
2
1
(∂x gn+1 P n )
o /1,.4,./\> Q 2;45) >TRb* > UW/1[T* =X=
2
!2 
≤ C.
M
δt2
1
− Rn1
2
j, Inj = 0
2
δt2 .
*\,.6]>TRb* >
1 j 2 2
j 2
j
(Rn+1
− Rnj )2 ≤ 2 ∂x gn+1 P n δt2 +
R δt .
2 n
o >TR.4 )B4525/\,.6+>T45[ Q )i25/1,e>D[D/ =X= 456+/\, >TR.4 = 4;U > I Rb*\,.6+) Q 6.4
< > Q /1, 1
δt
<
1
\/ U _KEHG `8?a G >#UW/ X= = / O ) >TR.*-2>^
$ ) Q ,3Y>DR.4*\)B)D0
1
2δt
Z
!
!
M
X
9
1
j
2
2
En (gn+1
)−
En (gn2 ) +
En
− δt
(P n )2 ∂x gn+1
10
M j=1
O
O
O
Z
Z
C
1
n
1
2
n
1 2
.
E (Rn+1 ) −
E (Rn )
≤
+
2δt
M
O
O
Z
Z
[[
$ ) Q ,3Y>DR.4 < [D/ < 45[ > Q 45) /\U
1
2δt
Z
E
n+1
O
Z
2
(gn+1
)−
An
E
O
n
#
!
o O 44d*\) Qm= A6.4;[ Q 814
(gn2 )
1
+
2δt
Z
E
O
n+1
1
(Rn+1
)2
" 0 Q ,.Y 0 < _KEHG `8?a 1/ , n o O 4 / Z > * Q , *\, 4;)B> Q * > Q /\, Q ,
*\,36 3G
,!>DR.42d*\)B4
o O 4.R *98\4 _ ., /\> Q 254i>DRb*-> 1
1
Z
C
n
1 2
− E (Rn )
≤ .
M
O
o 0.) Q ,.Y>DR.4 )B>T* Z QX=mQ >JA = 4*-) 8
C
M
A<∞
1
(Rn+1
− Rn1 )2
a ^
Pn 6= P n
2
3 1 2 2
1
1 2
≤ 3 ∂x un+1 (Pn1 − P n ) δt2 + 3 ∂x gn+1 P n δt2 +
R δt .
4 n
_ >TR Q ) Q )>TR.4 Q ,.45n?0b* =mQ >JA O R Q 2 R:6.4 ,.45) >TR34P0 <.< 45[
< > Q /1, 3 2
9
A δt <a 10
2
o >TR34 = *\) >> O /]>T45[ )*\[D4 25/1,e>T[B/ =m= 456 /\,
*\,.6 3
Z /10.,.6+/-U Q ,@>DR.4 2d*-)D4
δt
<
1
A
A
<
∞
4
/1,>TR34 [B)B> >T4;[ 0.) Q ,.Y
>DR.4 = 4;U > I Rb*\,36 ) Q 6.4#/\U _KEHG `8?a G 4g/ Z >T* Q ,* Z /10.,36 /\U /1[D6345[
2
Cδt
_ )D454 f "4 * 8?a *\,36
_ )D4;4 f 4" * LNE\a G
P R
1
δt n O ∂x u2n+1 < C
E (Pn1 − P n )2 < Cδt
/1[i>DR.4 >TR Q [D6+>T4;[ /1, >TR34[ Q Y1Re> I Rb*\,36+) Q 634/-U _FEHG `:8?a _ O R Q 2 R Q ) E(In1)a o O 40.)B4> O#Q 254
f 4 * L9EH,G ,.6.4;456 o UW/1[ >DR.4 [D) >#>T45[ /\U 1 o O 4 O [ Q >T4 ^
$ ) Q ,3Y >TR.4]*-)D)D0
In
Z
E
O
sZ
s
!
Z
1
1
(∂x un+1 )2 E
(Qn )2 (P n − Pn1 )
− Pn1 ) ≤
1
1
∂x un+1 Qn (P n
O R Q 2 RA Q 4 = 6.) *-U >D45[ )D0
/\U 1 o O 4 O [ Q >T4 ^
O
O
O
O
s Z
sZ
r 1
1
(Qn )2
E (P n − Pn1 )2 ,
(∂x un+1 )2 E
≤
* > Q /\,/98\45[
n
*\, 45) > Q *->D4g/-Uk/1[D6345[
Cδt2
G 1/ [j>TR.4g)D4;25/1,.6 >T45[ In
Z
E
1
∂x un+1 Q1n (P n
−
Pn1 )
≤
sZ
E (∂x un+1 )
2
sZ
E
1
Q1n (P n
− Pn1 )
2 ,
G 42d*\, *\Ye* Q , 2;/1,.2 = 0.6.4
O R Q 2 R * = )B/ A Q 4 = 6.) -* U >D45[g)D0 * > Q /\, /9814;[ * Z /\0.,.6 Q ,
2 )B0 Q 3, Y 0 < 9/ 8\45[ \* ,.6!0.) Q ,.Y T> R.4)B>T* Z QX=mnQ >JA = 4" *\) 8 \* Cδt
,36 3G
O
43ED?
A+# &C /
O
O
n
*&A C / *& ' # I&% C # & N I * # %&A C:' & A < ∞ N?# %& HE G J C I 1 I # . # % C # # %&A / # :J I '
GI * ,FC'I&% 1 C # IKJ * *DC &B&HCDN # %& EHG J C I 1 I # . # % C # J * & J O # %& |P | P I # % n ≤ C I
R
& G O , J & ' & [email protected] *DC A I ' G J / , % 1 . J / *DC &HC 0. 1 −
=
1−
e
P I#%
C * / [email protected] & G J / *DC J * # %& LC8GI%C *AB& J O # %& P BJ *& A C * # C & σ = C *DC
σ
& G O (x) = R e dt % JJ 'I * , M = P% I AB% I ' A J * 'I ' # &+*# P I # % # %& JLG C & G J O
A J * & FG , &+*AB& O h + δt + C *DC A = q N# % I ' EHG J C I 1 I # . I ' J / *DC &HC 0.
&
O q
P%&+*
G
% I ' / [email protected] & G J / *DC I ' & G . A 1 J ' &# J
I ' '% C1 1
1−
0
δt
I # I ' &HG / C 1 # J 10 O JLG δt = 0.01
M
δt
√2
π
x
0
j
n
−t2
1
δt2
√1
M
3(4−δt)
40δt
−8
0 & &
2
A − x2
2σ
0
√2
σ 2π
2
1
δt3
T
δt
j
n
3
5δt
M
δt
A
√
σ 2
2
4
4−δt
! #('
'/,.- / (=A '/,
</ ; + '
'
' 6; ) 6;,.- ; ' % ? (;
- J,
H / / (A =4- ) ; ?A ;
%
),'
4,./ O )B> * >T4/10.[
* Q ,][B45)B0 = > G
B 3 B BID IW: [email protected] < @ EWG9G Y698 : <; 46 DB HG343 & C:'B' / % & C
C I ' A G &+# IC # IKJ * J O# %& & 1 J A I # . I * ' E C AB& & C1 'J % C & # %& O J:1 1 J P I * ,G & , / 1 C8GI # .
% . E J # %& ' I ' R u ∈ H 2 N f ∈ L1 (H 1) C *DC ∂fext ∈ L1 (L2 ) & C:'B' / % & & I # %& G A = ∞
0
ext
t
x
x
t
x
/
/
P I # % J # A # :J N JLG 0 < A < q 3 P I # % A ∂t/ # :J N I *P% I AB% A C:' & 1A = 1 'B' / %I * ,
5δt
NJP & % C & R
N
δt < 1
∀n ≤ T
n
2
u(tn ) −
δt
unh 1An
M
1 X j j
+ E(Ptn Qtn ) −
P Q 1A
M j=1 n h,n n
L2x (L2ω )
1
≤ C h + δt + √
M
L1x (L1ω )
,
G & C I 'DI *DC & E &+*DC &+*# J O h C *DC δtN / #C & E &+*DC '<J * # %& C C # C J O # %& EHG J01 & % R u N f
C *DC T * # %& A :C ' & 0 < A < q N C C1 'J C & E &+*DC ' J * γ > 0 ' / AB%# % C # A > −γ ln(δt) [email protected] /1[ >DR.445)B> Q *-> Q /1,:/1, o O 4 O [ Q >T4+^
u
G u(t40.))D−
4 f u4 1 * == (u(t
UW/\[>TR3) 4 − u[D) > (t>T4;))[ +o
(u (t ) − u ) + u (1 − 1 ) + (u − u ) 1
R.4;/1[D4 E UW/1[ >DR.4)D4;25/1,36>D45[ *\,.6 f 4 * L! UW/1[ >TR.4 = *\)B> >D45[ G ,2d*\)B4 A < q o
o O 4#0 <.< 45[ Z /10.,.6 >DR Q )>T45[ >DRb*\,.h?) >T/ f 4
>DR.4 >TR Q [D6 >D45[ Q ),C0 = G8 , 25*\)D4
*\) A
=
∞
*\,36 8.G
/1[ >TR.44;)B> Q * > Q /\,:/1, E(P Q ) o O 4 O [ Q >T4 ^ E(P Q ) − P P Q 1 =
P%&
0
ext
3
5δt
h
n
"
n
h
n
h
An
n
h
n
h
n
n
"h A
n
An
n
h
t
n
t
tn
tn
"
M
j=1
1
M
j
n
3
5δt
j
h,n An
(E(P
Qh,tn )) + (E(P
+ E(Pn Qh,n ) (1 −1An )
tn Qtn ) − E(Ptn P
tn Qh,tn ) − E(Pn Q
h,n ))
PM
j
M
j
1
1
j j
j
+ E(Pn Qh,n ) − M j=1 Pn Qh,n 1An
+
j=1 Pn (Qh,n − Qh,n ) 1An
M
P
G 4!0.)D4!>TR.4;, f 4* = UW/1[ >TR.4 [B)B>>T45[ o R.4;/ I
j
j
M
j
Q
P
(P
−
)
1 An
+ M1
n
n
j=1 h,n
[B4 E UW/\[>DR.4)B452;/1,.6 >D45[ o f 4* L1L UW/1[>TR.4UW/10.[ >TR >T4;[ *\,.6 f 4" * L! UW/1[>TR.4
U >DR >D45[ G R.4#>TR Q [D6 >T4;[ Q ) ,?0 =bO R.4;, A < q 3 *\,.6 Q )45) > Q *->D456 Z A f 4*\) *\,.6
8 Q ,>TR.42d*\)B4 A = ∞ G R.4 = \* )B>#>D45[ Q ) K545[B/ Q ,!5δt>DR.4 25*\)D4 A = ∞ *\,.6 Q )#45) > Q *->D456 Z A
G
f 4 * L9E Q ,P>TR.425*\)D4
43ED?
M
N
P%&
0.
G&
O
&%
(Ptj , Qjt )
(Vtj , Wtj )
A<∞
C & C A+# / C1 1 .' % J P *# %& O :J 1 1 J P I * , A J * & GF, &+*AB& G & ' / 1 # J *
Qjtn
−
j
Qh,n
1
≤ C h + δt + √
M
,
C8G &# %& EHG J AB& 'B' & ' C & Q *&HC 0 . " " FC *DC " P I # %
L2x (L2ω )
Qt
(Vt , Wt )
R
∀j ≤
G & ED1 C AB&HC
I *# %& ' E C AB& C I ' A G &+# I &HC EHG J01 & % J O J / G % J C & 1 N # %& j th C / % & 1 1 I * & C AB%
AB& 1 1 I ' C GI &+* 0. # %& ' C % & G J P * I%C * % J # IKJ * (V j , W j ) J P & & G N # %& Q6G(' # M
, G J P * I%C * % J # IKJ * 'FI *DC & E &+D* C &+*#WO G JD%
M ' ' I&% / 1 C # IKJ * ' P & G & % C C & P I # % C GI I * 43ED?
0 & 0
#
!
J *& BA & 1 1 # J2C * J # %& G JLG & , &+*& GBC1 1 . N J *& A J / 1 CAB% JJ ' & / C * . A JLGG & 1 C # IKJ * I * ' E C AB&(O JLG
# %& ' & G J P * I%C * % J # IKJ * ' *O C A+#<N)# %& A J * & GF, &+*AB& G & ' 1 # ' # C # &HC I * %& JLG & % % J:1 C '
P% C # & & G # %&7AB% JLI AB& J O # %&7A JLGG & 1 C # IKJ * I * ' E C AB& # %&$A J * ' # C *# I *O G J *# J O # %& GBC # & J O
A J * & FG , &+*AB& C h + δt + N C J & ' * J # C & E &+*DC J * # %& A JLGG C& 1 C # IKJ * * G &+# / G *N # %&
A J * & FG , &+*AB& J * Q ' # C # &HC I *# %& EHG & IKJ / 'G & % C8G * J 1 J * , & G#% C & ' ' &+* ' & √1
M
j
h,n
# A C * &* J # I AB/&HC # % C # P & J # C8I * C A J * / & GF, &+*AB& J O# %& L∞(L2 ) * JLG % J O
# # %& ' E &B&HC E # J # %& L2 * JLG % J OA J G(' & ' P &#P JLGt P I #x% P1 Q * I # &
#
C
J
u& 1 nh& % &+*
u(t
ω
# ' N n)# %& A J * & G-, &+*hAB& J O un # J u(t
I ' & E &BA+# &HC / C #$# %& ' E &B&HC h I * # %& L2t (Hx1)
)
n
h
* JLG % P% I AB%XP & I *DC &B&HC J # C8I * I * & % % C C J & # C1 'J2C # # %& ' E &B&HC h2 I *@# %&
* JLG % * J / G A J *# & #<N?# % I ' h2 A J * & GF, &+*AB& I '<I *DC &B&HC A J * Q6G % &HC 0. * / % & GI A C1
∞
2
L
(L
)
& tE & GI&x% &+*# ' # I ' I *DC &B&HC E J 'B'I 01 & # JDEHG J & I # / 'I * , 'I&%I 1 C8G # &BAB% * I G / & ' C:' # % J ' & J O # %&
' # C *DC C8G CA C:' & N / <# N C:' J / G & % E % C:'I ' %& G & I '<J * # %& ' # J AB% C:' # I A 'I C & F' &B& ' &BA+# IKJ * " J O
<& O " C *DC AB% CE # & G 4J O &<O NJP & C J * J # P C *# # J &+*# & G$' / AB% # &BAB% * I A C1 I # I & '
%& G & 43ED? [
4
16 (8=-" 6 1 &94!" .0&=
R Q
Q 'o O R 9O [ Q [ ! " Z # R [ !$% U'& Q [ Q K )(
^ R *! + [BY , U R M - ; [ R &. / QjQ & ! & R 0!12 1DQ! ' o
& R & ! O 1 Q3BQ $'4 Y\R 5! $ 6 7 8
,R E(P
Qh,n+1
(un+1
h&
:
_
9
=
?
8
*
a
.
.
$ # U <n+1
>=#
Q Y ))(
1
;
!
Z 5Q YY Q + n+1 n
& [ Q + &@UW[ _9 . =e`\a u h & _:9 . =\cea_ = R Q R Q T $'XQ ;Q ?! 2(u
hQ , E(P
U n Qh,n ))
E(P
Q
)
& Q [ Q K Q U R ? n Q + n+1
[ <<$.Q & ! U [
R 3 [ ! [ a ^
h,n+1
Q
(
E(Pn+1 Qh,n+1 ) =
2
E(Pn+1
)
=
1−
1−
δt 2
2
δt 2
2
E(Pn Qh,n ) + 1 −
E(Pn2 ) + δt.
δt
2
2
∂x un+1
h E(Pn )δt,
R Q @ Z ! A $' [ [ Q 8 R & [ Q Q Q + [ Q Z ! n
(uh , E(Pn Qh,n ))a
_ = R Q R o = [ o [ B $#$ [ Q Q Q $CD!E & Q 5 U
(u(t
n ), E(Pt Qt ))
=#Q R R M - ; [ % $#$ [ Q Q n 1 PM j j .F R ! R + Z !
u ,
P Q
o
& [email protected] R R U <>[email protected] Y + ! U [ R Bh$ R M8HG j=1
*$C [ n h,n
[ ^
λ
=
1
. I R U <[email protected] Y o & R Z [ U $' !K $' o nk
& B T !=
R &
20
T
=
1
I
N
Z [ U G % !$# &
& ! R Z [ U M - ; [ [ ! G K G _ G . .
R H Z [ "U & Z.Z !LG M! R ! a .
n
0 &
n
I=100 N=20
1
u_det
1
u_det
1.5
0
0
0
Z I=100 N=8
1.5
9 . 9
<
1
[
x
G G G,
0
$ # G
1
U + !H!G 8 $ [ 8C G , + < + ! .
x
& ' # ' J * # %& ' # C I 1 I # .
o =C + ,
G [ 5o Z K
8 & [ G G [email protected] 8HG! & G Y n
#! h & C
[ 9 n. 9\Qa h,n
. ))'G [ G Z [ !2 &
='
G 6 L [DY o ' # G <1!G2 ! _ 1! (u
G hY , E(P
' δt Z G G 87 8.o = 'GB ! C Z G G 8'< & U [
Y .
& ' # ' J * # %& A / # :J
C +
'
U [
'
sup
[& [ ?G [ #L ! U 'L # ( 4 ' U & h ! [ ' $'$ [ Z ' & U Z GG 8 Y G + δt
,'<1
' ' & [ G G GL $ # G
δt
B ' U <>[email protected] Y $' [ [ ^ !HoP & M
! 1G 2 G _ [email protected] # (/ & [email protected] ' 6 # ( a
8 K & #3 [D[ [ _ + !6G 8 & [ ! a ^
T
0≤n≤ δt
||unh
−
unh ||L2x
&
sup
T
0≤n≤ δt
δt
8 & G [ G K & $ [ Z o G f 8 . $ [ G o =
Z Y G 3<G . C + !8! . C + $ [ U [ &
GG [ ' . C + M
1 X j j
E(Pn Qh,n ) −
P Q
M j=1 n h,n
.
_:9 . `:8?a
'K [D[ [ 3 [ AG U [ !2 G + 4 [B[ [ 31G n &
[ 4 U [& [ . [
u
E(P
Q
)
n
h,n
h
6
C
o
+
'%1G G [email protected] ( # U C Z #< <$ G 8,G [& [ U [D[ [ . / G Y1[ [ C ' '! [ G! Z G I # Z %H [ G! & G [ G Z # G A
q
$#$ [ Z ' &
C = ! & G [ ! + [BY [ _ ' [ =ea .
3
5δt
' + G! & C L ', [D[ [ @ [ ,! [ 8 [ & ! & G #?G 2 G [email protected] ; 6 (
^?U [ ' 1 U $' [ [ Y G + Z + o6 ' [B[ [ # + H!G 8 Y 6 UW[ [email protected] ' 6 # ( [email protected] 6 ( & ' ! [B[ [ E '
−1
−2
1.68
[ o 'A $'G [ G! "$ [ Z Z GG 8 U [ 'A [B[ [ [ ×Y 10
6 UW[ ! . ! . = . M 7.56
[ ×+ 10
' + H!G 8 Z [ ' ! . ! Y H! UW[ <9 [email protected] ' 6 6 ( [ C
[email protected] 5 # (/ .
G Y [ 9 . =3o = Y G + ; K 6 U 'G Y\[ [ $ [ G Y ' $'G [ G! & G(
[ G Z # G U #; [D[ [ ' + H!G 8 ^
. $ '; U Y [ o
n
n
sup0≤n≤ T ||uh − uh ||L2x
L1x
δt
0 & 0.001
0.0009
0.0009
0.0008
0.0008
0.0007
0.0007
0.0006
0.0006
0.0005
0.0005
0.0004
0.0004
0.0003
0.0003
0.0002
0.0002
0.0001
0.0001
0
0
0
9 .=
1 G G
a.
!
I=10 N=8 M=100 NbTest=1000000
0.001
distribution
distribution
I=10 N=8 M=100 NbTest=1000000
#
<
1
2
3
4
||error(u)||_L^infty_t(L^2_x)
5
0
1
2
3
4
5
||error(u)||_L^infty_t(L^2_x)
G [ G Z # G U 'E B[ [ [ + !6G 8 _ K 6 a ^ #E U ( ' & 1G & o
[email protected] ' # 6 ( & ' [ G Y ( C & G & o 1G G [email protected] ; # (/ _
A=
2.3
' Z [ ' U [[ G Y - G 3 'AG G U [ ='G '7 [D[ [ G Y1[ [
C 8 . e` . $ 3! ! [ 8 % G Y [ 9 . =4 C * ' U '3 # ( [ & ! '
$'G [ G $ [ Z Z GG 8 U [ ' [B[ [ Z % [DY . 'G Z [ 2 & ' U 0 C
G ; ' ! 1G U #3 Z GG 8 f .
[email protected] ' 6 # (/ o
P(An ) < 1
& ' # ' J * # %& ' E C AB& ' # & E N # %&* / % & G J O G & C1 IC # IKJ * ' C *DC # %&# I&% & ' # & E C + A #! h & C ' _ $ # & [email protected] ' # # ( G Y ! ! ! ! !
! U [ 1G 2 G a U ' [B[ [ _9 . `8ea ' + H!G 85 & #% [ & & $ & #K1$C !K !$ _ ! = ' '7 # G & H! <1!G2 o G . . ='
G, Y U [ f 8 '< & a o = 'G G,G Y1[ - [email protected]
' [ ! U
δt
G
f ! .6F G M - ; [ ' & oH '? [D[ [ ! G h √1 o =' [ M
' Z [ Uj[ ! G K G o = 'G [ f !+_ 1! G Y [ 9 . M8?a . G 8 o =
_ 1! G Y [ 9 . 8ea . $ @! Z [ + '>= ' & !$ & !* U 'L [D[ [ [email protected] [ !$ ! δt
*
'
C ' [ 3 G 0 Z & = #G '3 [B[ [#[ DG @! -do = 'G B
Z >= δt
Z [ ! & ' [ ! U f ! .
Acknowledgments
' # ' [ = & G h Y ';C Y G Y $ [ =! M G [ !G < 8 o 2 G 2 G Y & G Y G
0 &
C h 4 <2 & ' G Y U [ G - [ & G Y ' U = 8<! [ Z U ' [ G DG G U $ < 8 [ G C>[email protected] & < G 28 [
; [ G G2 1 G Y [ o M [ ! G! 17 !
Y4& G1 1G .
I=10 N=50
Z I=10 M=1000
1
0.1
error u
error tau
error u
error tau
error
error
0.1
0.01
0.01
0.001
9 . 8
M
"
0.001
1
10
100
1000
10000
100000
20
40
M
[B[ [ ∞ 2 2 & ∞ 1 1 ))
_ a u & 5Lt' (Lx (L
Zω [ - ; [ [ L tG K (L
xG (L ω ))
M
60
80
100
N
& $ & G Y A # G , !$# _ a .
τ
Z [
N
0 &
0 &
#
!
! " #!$
&%('
)%(' '
%
+
*
,
*
%
%
%
.- /%0' 1,
%
'
C1 &@& 2* 3%(%1 %* %,2 + G 1 $ 0% ' ' & ; $5464 (
f ! ?$ - ! & !AC $#G 14 - G T & ' ! G '$ & JD% E / # & G(' C *DC M 1 / I C ' . $ $' ,! ! * ' $'G 9 & (
%1G +" "!-"87 # . ! G G
J E # I&%
0 &
O
"! Z Z (U 2W2 ! B ::
13EG DB
8+935 @CB <
1 I X8 935 G : 80
"!$#&%'(
)*,+.-/!1020-/'+3/4+(65879;:<>[email protected]!A+(-B=DC;!1EF'(4GHC=6EF'(DC;<:<&?4I9JK"C;&'(!$ELNM/!1:/0 O
PQSRN'T0U+V0.M/C;C=4'(!"W 0CX2C=Y+(-/&C=4+.!1E&=4'.>0M/"+(07ZS-N=[%3\<+(=6!"N :]0XI^=6'V6
+(-/!$0_C;:/&`=4N:a+.-N&bIc<EFMK0V6=deM/>0U+(!"=4\86M<+_+.-/J<+.!$C=4$!A+Uf4I`+(-/&'('(6'
>0U+(!"C=Y+(2Ic6'+(-/EFM/J/$ :RN/!"+.S&$&C; +3gihbe+.kjZ=4'(";:<!10.E&'.&+.!$W =4+.!$6O
l em n .)67* !o 4!8 .9(%*;
% + <7 #& GG % & % & G.%1 '!!'1 8 & %G 3&%1 <! & G K % ' &', %1 !C4G3 + %G 1& %L% ' + %( # = G ' [email protected] G & G & e& 'p 3%1 <' <$'!'G r q $' %0 %- '-G (
G! s I + !6G 8B1%?$)% %t [email protected] 'G,! $'G `v G D8B$ 3% % &
% `v t 'G
4w#$ %!1G ' %1!1 1%xs ='G D$'$ !% G ' 40 + G3% ( " h ! eq G 7
' G ' G3%1<<$'G + %G2 ,' .
y E% #3% G - %! & G & G # B1< # G $ <8 3%1 . " G & ! G CDG 0 $ <8 3%1ep $#$ <1 & 8 G - 3% G `v p C + < + [email protected] 'G 7< + .Zz 1%*
v 3% G - %1 & G '!1 8H$ !* & !e6p = % % 6 J9 p = p =|{ p >98} 9 . 7 G $'
& !p #7$ < 8 3%?G & & ,-8 = , & G h & ,-8 $)%1G `v s 1! z G v % = . t .
u '0 + < # G 'G G3% % %@ $ <G - x G % & ,-87 6CD G & G 3% - G2D
q G & !$ & G `v ' + !H!G 8 # G & & G v % & G - $ <G - .Su '
% %,G066w $)%1 & D? 4#w $ ! G E+ , G %1
' 1%1G G x '
$ <8 3% .`u '[email protected]#w $ %!1G G ' G % & G ; ' 40 + G3% ( " h !*eq G .
y
1
u=1
X
0
~i€‚„ƒb†c>‡H4ˆ‰„ƒbŠ`‹†ŒKŽ[‘“’€•”–—„ƒY”˜†’€6™’c—Ž‹K”š[††cY”•›NŒ‚–Bœ.”|šŽa›š›?[††1ž Ÿ‰.¡‹
›?4–”š—¡†’€š¢/Y”B›NŒ,–—„Šš„’€š£¤8¥2ƒ¦/Y§[F‹ X ’c—_§4–e††cY”B„ƒk[€”8¨UF‹e¨[€”B¦/Y§[F‹4¤|~i€B„ƒ„’£<ƒN4ˆK„ƒY—F
”|šŽ›š›`[††c—k’€|©[€§Y„ƒ;¦/[†c‹K§[’.Œ‘ŠšF‹eª†cD’€ –]—„ƒ4–eS©‹6D¤
7 6"«|:¬ 9 Jp = C + L %" & G & ' DL % ( $4 #% 'J=­s ! z G <v %1 = .¯® t .
u ' 6 0G0 5 '! $'G `v , =! E '‘° HC G < G % G2 _±Sq G s(° < ±kt
& ' % G < G 3%1 - G 2±Sq G s < ±it . y ' + 4 & G & '4! 4 G !%
1$)%G `v 1%1!²s 2 H h ! < ,), !Ht G 6A«š:¬ 9 p ='3%1 G G #J=
C '0! $# & 18H & G 3 # G“q 7< # G & C ' ³ G 7 ' & ! $' & [email protected] µ´B - ; %1 ! + 3% v ! .;z 1% #5 h 5 0! G 88p =B %1G K '% 7G 6w
u=0
= . 0 &DI
|z 1%
b³ 6w
F / !"
%
,
,
-='G
A
«
«
9
%ep &% 3% p .
1! G . 8HG" ' 1 ( G ! & '
G G 'GG 8K ' $ 8 #= 6 8
,
* 1
[email protected]
.9(8=-" 6 1 &042" .0& * .0/2138 *;4 !"1Do &)$'&
#.0/[email protected]
%%
h G - , ! '-
% % )% , p
f 4 4$ !G1!8IG - & ! ' # G 18H = & ! [email protected] . < 1G '$ ! 18E ?$ ' ' + H!G 8
G ;! 2 8 & !$ u(t,
y)
E
+
G & ' ( & G G 1$C ! 1G2 #
1)
& + T! ) $ & ( Dt ( ∈ (0,
8 & $ & AGy ∈ O
= (0,
X
=
(X
,
Y
)
y
t
t
t
86 1 & v
%
1%
%
)%% ?, v ³)%

∂t u(t, y) − ∂yy u(t, y) = ∂y τ (t, y) + fext (t, y),



τ (t, y) = E (X(t, y)Y (t)) ,
dX(t,
y) = − 12 X(t, y) + ∂y u(t, y)Y (t) dt + dVt ,



dY (t) = − 21 Y (t) dt + dWt ,
,
)% 1% p
p
`v
p &
- .|u
& G
'
'
'
s = .^® t
, 3% s %
!
,
% 1% %
& G % $' & -8 G G G2 & G G
& 1 ' & 18
& G G &
=u(0,
#G y)==
4!u 0 (y)
$'$ K !
6 :9 . ' u(t,
HC0) =G f$ 01(t)
6! u(t, 1) [email protected] (t) & & 'G & G 1G D 1J= G2 G
='G ' G G G J! & G G (Vt , W t ) 8
& > 1 G & !$ & - & X
X
t
0
+ 1G2 '! . 0 G C 3! ! $ # G & !$ Y0& - 8; Y
(u, X) Yt = Y0 e−t/2 +
R t s−t
.
e 2 dWs
0 f G h 0G 6
9 (u, X) G G & , 1< 6 G = . G u ∈ L∞(L2 ) ∩ L2 (H 1 )
t
y
t
0,y
&
1? . .
2
2
X ∈ L∞
(L
(L
))
t
y
ω
G
0
A«š¬ t ‰u
% , 4
u
A«š¬ p « p
%
% p , %
p
,
is ^® t
∂t u(t, y) − ∂yy u(t, y) = ∂y E (X(t, y)Y (t)) + fext (t, y),
Z t
Z t
L
s−t
s−t
− 2t
Xt (y) = e X0 + e 2 dVs + e 2 ∂y u(s, y)Ys ds,
p
1%
%
. .
D ([0, T ) × O)
p
p
(y, ω) ∀t ∈ (0, T )
.
0
0
' C= B 3 G<B G 51I5!"13 V#18$ W
I : IW6 EHI&%E I 8 (
8 ' I *) ,++.- %0/2143
N
7
698 / +;:=<?> A
C
1 C
@CB%
0/ 6 +
%
1 C C / 6 / > 1 uN0628 ∈B
- 1D/ G - B +E> @ - 6 / > 1
2
1
2
L
f
∈
L
(L
)
(u,
X)
ext
5
5
5
O > [email protected]@ >5 P /2143FB + 6 /&% t 6 B y8 > @ C + R
5
2
2
2
||u||2L∞
2 + ||u||L2 (H 1 ) + ||Xt ||L∞ (L2 (L2 )) + ||Xt ||L2 (L2 (L2 ))
y
ω
t (Ly )
t
y
ω
t
t
0,y
≤ C 1 + ||u0 ||2L2y + T + ||fext ||2L1 (L2y ) .
%
' $' & < ±"(&° < ± 18H s = .¯® t C , ! $ % <$ < & ,8
`v % A{ 7 @% G $', 18pCG % & ?³ & u ∈ V ' p
F& G G K G
G LG JI LKNM .
t
O
HG
n
h
h
.; .
p
 1R
R
R n
n+1
n+1
n
u
−
u
v
+
u
∂
v
=
−
τ ∂ v + Fext ∀vh ∈ Vh ,
∂

h
y
h
y
h
h
h
δt O
O h y h


PM j,n j,nO

1
n

,
 τ h = M j=1 X h Y
j,n+1
j,n
j,n
j
j
n+1 j,n
1
−
V
δt
+
V
X
X
X
u
Y
,
=
+
−
+
∂

y
t
t
h
h
h
h
n
n+1


2 j,n 
j,n+1
j,n

 Y
= Y + − 21 Y
δt + Wtjn+1 − Wtjn .
s = .9 t
0 &[
(
2E !
"! Z %
% , s % % , 3% %
³
Z 8p
1%
tu y
p
=' G ' ! - G G ! - $C G #$' ! $
' G ! !$
V
P1
h
δt
h
&
'
* 1 G K G . 0 G! C * 8
G0 & n
+ 1G2 M
. C + h3>$ 10 + uh G ∈ VI hNM ' - 18 ' ! G + ! H!G 8
B
3
BI
N
IW:
4
[email protected]
1
fext ∈ L1t (Hy1 ) ∂t fext ∈ L1t (L2y )
P
/ 628
An = ∀k ≤ n,
%
,
)
,
% % %
u
C
δt <
9: G 8 :
N
1
2
NJP
B
1
M
%
4w
PM
j 2
j=1 (Y k )
³ ˜s
1%
0
v
δt
B
5
<
13 1
20 δt
o
2.9( -"%( . $ ( &
%3% %
3
'
>N<
I
Vh = P1
L1y (L1ω )
' # G
AG
v v
³
v
M
%
A«š¬
,++.- %0/2143
*)
R
∀n <
u0 ∈ Hy2
T
δt
N
1
≤ C h + δt + √
M
.
G & 'AG & G 'A + & ! 8 & G
G 8 An! 8 1 h & C #0 + G 1GD8
A
n
!G ' ='
H ! L='
H!
1
O
8
M
1 X j
j
X h,n Y n 1An
+ E(Xtn Ytn )−
M j=1
L2y (L2ω )
u(tn )−unh 1An
n
5
IEW3
#
)% p
s = .= t
,
)% %ep ,
)% , , v
, C G E 'A$ 1! - & ! '
& !'G I NM . G0>= + HG G ' G ! *G $ C 'GG 8 H ! G 8 .
"« t
,
8=1
, % 1`% v , ´ 7 p
%
³
v
p Qq %
3% 3% v 4w
1% , % 1% )% 4
³%
A«š¬ ,
?v
% , )%
5%
u %
3
%
® s
% ‰u { A«š' ¬ ® y % % 3%
% 3%
`v % `v
% % u )% % , ¬ A«š¬ p
v
%
% )% , eq
š³ u ∈ V E(X Y ) ∈ ∂ V
s t
. G 1 ' 7 C 4 ' ! G = . =
= D -8
<$ G @G 1$C ' + !H!G 8 . & & G & &
G P1
+
& G G K G 6
& G ! G
G 6$ & ' 2 5. 1GD
h
#$ 1G - 7!
C A ' 2 ! -+ GAG & ! & ' + L & G $ G . $ $ $ <' ?G 4! $' -h' L I NM 8 '>[email protected]
C 5! -+ ! D8 0$ 1 + A ' & '= C + *! G & 1 &. 'G 1! = ' ' ! &
<. 9
G h I NM . # F%. G & F. G I 9 KNM 1! G
& %. ' ! I M .
> G ; 'K$ H '! G I NM A ! C G G G E$ + ' % ' 1 G ( & G G K & $ ' G 1$C T >8H 2 ! -+ ! . '
h
1 G ( & G G K & $ ' G G + &
&
C
G
4w
$ A - G
3% % %
)%
t t
1%
R
R
R
∂
uv
+
∂
u∂
v
=
−
E(XRt Yt )∂y v
t
y
y
O
O
RO
R
∂
E(Y
X
)σ
+
E(X
Y
)σ
= O ∂y uσ
t t
t t
O t
O
z 1% 4w
8p 1% ³
%
1
,
p
q
`³
p
3% %
3% v
®|® t
2u
p
y
. # $# &
G ,! - # ,'H<
V - G K$ ' P1 h !
V = P1.
& v ∈ V . σ ∈ ∂#yB
&
1
∂
V
=
P0
V
=
H
∂
V
= L2
y
* G! y C L ' 18H GL G + -L F &
0C
4
1%
z 1%
1% %
Z
∂t uv +
O
Z
O
∂y u∂y v = −
Z Z
O
u∈V
p
t
es−t ∂y u(s) ds∂y v,
0
³
y
. f & &
'
G < # G . vG∈
B V# < >σ[email protected] ∈ 4∂yCV * ' 1 < 6 G uh' -P1G H $ ' G* C $'$ < 4
. * 8
&
C= & ' 1 $ 1 T ! G 2
1
2
1
u0 ∈ H y
00 &
`v
∂t u ∈ Lt (Hy )
z 1%
v ∈ H0
p
% 1,
Πh (v)
H0
)%
N
" " ,
³
`v
p
R
& & -8(
.
-
&
Vh
Πh (v) ∈ Vh - ∀vh ∈ Vh O ∂y (v − Πh (v))∂y vh = 0
' <[email protected] & &
G ?! ! G &
2
v
% ³
s
1% V
h
= P1
||v − Πh (v)||L2y ≤ Ch2 ||v||Hy2 .
y
%
v∈H
t
z 1% ³)%
p
y
C + s= . t
%3% p
. # * J= = -* 7! G u
−
u
=
(u
−
Π
(u))
+
(Π
(u)
−
u
)
h
h
h
h
+
=
= C T & ' 2 G . 1 '
=# 2
C
& $ & 0
. ' ! & ||u − Π'h (u)||
& h
CLD2y≤ Ch
||u0 ||Hy2
Z
;
O
||∂t u||L1t (Hy2 )
% p
Z
∂t (uh − Πh (u))wh +
∂y (uh − Πh (u))∂y wh
O
Z
Z
Z
Z
=
∂ t uh w h +
∂ y uh ∂ y w h −
∂t Πh (u)wh −
∂y Πh (u)∂y wh
O
O
O
O
Z
Z
Z
Z Z t
s−t
e ∂y (u − uh )(s) ds∂y wh −
∂t Πh (u)wh
=
∂t uwh +
∂y u∂y wh +
O
O
O
O 0
Z
−
∂y u∂y wh
O
Z
Z Z t
=
∂t (u − Πh (u))wh +
es−t ∂y (u − uh )(s) ds∂y wh
O 0
ZO
Z t
Z
s−t
e
= (∂t u − Πh (∂t u))wh +
∂y (u − Πh (u))(s)∂y wh ds
0
O
O
Z Z t
+
es−t ∂y (Πh (u) − uh ) ds∂y wh
O 0
Z
Z Z t
= (∂t u − Πh (∂t u))wh +
es−t ∂y (Πh (u) − uh ) ds∂y wh .
'H<1G
`v
2
O
wh = (uh − Πh (u))(t)
Ch ||∂t u||Hy2 ||uh − Πh (u)||L2y +
1
rs t
z 1%
C
p#
Z
O
1,
t
0
0
G H
1
∂t ||uh − Πh (u)||2L2y + ||∂y (uh − Πh (u))||2L2y ≤
2
es−t ||∂y (uh − Πh (u))||L2y (s) ds||∂y (uh − Πh (u))||L2y (t)
∂t ||uh − Πh (u)||2L2y + ||∂y (uh − Πh (u))||2L2y ≤ Ch2 ||∂t u||Hy2 ||uh − Πh (u)||L2y
Z t
+C
e2(s−t) ||∂y (uh − Πh (u))||2L2y (s) ds
0
000
2E !
"! Z Z &
||uh −
Z
+
t
Z
t
0
||∂y (uh − Πh (u))||2L2y (s) ds ≤ ||uh − Πh (u)||2L2y (0)
+Ch2
||∂t u||Hy2 (s)||uh − Πh (u)||L2y (s) ds
0
Z tZ s
+C
e2(r−s) ||∂y (uh − Πh (u))||2L2y (r) dr ds
0
0
Z t
4
2
≤ Ch + Ch
||∂t u||Hy2 (s)||uh − Πh (u)||L2y (s) ds
0
Z Z
t s
e2(r−s) ||∂y (uh − Πh (u))||2L2y (r) dr ds.
+C
%
0 0
.
* $#$ <1 C '*G G G H! & G G 10 C
||uh − Πh (u)||L2y (0) ≤ Ch2
.
$ G C ! + 'H<
' G
'uh&(0)G &:= . Π$ h (u(0))
C H
f * & s7
$
Πh (u)||2L2y (t)
)% 8p
&% v
G(t)
0
t
2
G (t) = Ch ||∂t u||Hy2 (t)||uh − Πh (u)||L2y (t) + C
p
≤ C h2 ||∂t u||Hy2 (t) G(t) + G(t) .
f 3 & H(t) ≤ Ch2
t ∈ [0, T ]
;
<! G
='G B
B
8
5
O
B
3%
=' 1
?v s = . t
C
#1
s = . ¬ t6p#=,
)%
>N<
628
B <
Vh = P1
% ?vv
B
C 0
e2(s−t) ||∂y (uh − Πh (u))||2L2y (s) ds,
0
2
p C
#3% 1%Kp 1%K s = .¬ t
H (t) ≤ C h ||∂t u||Hy2 (t) + H(t)
||u0 ||Hy2
&
||∂t u||L1t (Hy2 )
&
R
G
||u − uh ||L2y (t) ≤ Ch2 ,
++.5
%
∀n <
u(tn ) −
:
T
δt
6 / > 1
N
unh 1An
O
>
L2y (L2ω )
%
8 B >N< B
1
5
C
/
O %
>N< B >
1
≤ C h + δt + √
M
y C h ´ . G! 1='
´ 7 z 98}8}-9 ! % ! .
t
||uh − Πh (u)||L2y (t) ≤ Ch2 .
&
F h > [email protected] & - G 1$C & G A ' F
004
& !$ & ;
C
$# ! ' $ H 3
P
p
. $
H(t) = G(t)
Z
2
B <
s= . t
.
% G & #Gkq !
∂t u ∈ L1t (Hy2 )
G
<$ G G 8
N
$ # %0' O
)%(' '
%
v *
7
3
*
% * ' % )% , .- .' .'
#
'- 1%0-2* 1, * 6w ), * , % z ± 4a'±p %G& G ' f ! ! $ - ! & %!KC $'G 1 - G T & ' G!7$' & G & '
! & 6G ! M - 1 6 / > 1 @ 1 @ + / + . 0
$'?5 $ G $ , $ 5 ' 5 ! $# 4 + A & ! & & ! ! & & ' !! G G .
>N-4< 1
@
>
00
2E D
U V#98. H
I : B @ Z8 B!G1E "[email protected]
[email protected] BG 3 N1:#E16 7
­
7
G & G
2=<
1%
! " 3 9: \B 5 3 : BX3XB6 G
(U U 3 B 6 G%$
#
b
PQS=4N=6"<0.¡&Z=i&/( 6'<=6GHCX$!"/!$* >=4)6'M/C;'(!$:NE&=4'.6!$G“C5<=EFe'(aC;&$:/!$#&&%|'.4I?5KJKj9$"=6MNC;:<&S'(!$E_+ LN&ZM/'(!1:/!$0 0Z!$+(-/SE&=60.
6I3=Q0-/>=4'XLNY7SO‰hb'.fJ/'( EF!10.&$65?79bEFN0.!$:< 'k+(-/ ,.-/- :<MNCk\/\8&[email protected];:/&“5
[email protected]/!1ET-,C;<:< $03J86$eC; '(0¡\b/6/$!$/ =6'30.J/'(!"1 0e0&5|=6E EFM/e+.!$1 0Ic6'3+(-/kRK/!A+(;3 2G
+(&N0.!"\N!"$!A+Uk4I/+(-/JK"C;&'‰ET-N=6!"O[PQJ/'.Y% +(-/3 2<!$0+. NEFZ4I8=_M/N!$deM/@0.6$M<+.!$6
+(;+.-/0+.<ET-N=0U+(!$E2:<5! 48 '. e+.!1=4š [email protected]/!1ET-f'(M/$ 0Z+(-/&%6$M<+.!$6a4I‰=;'. J/'(FG
0.&e+(=4+.!$%6J86$eC; ' !";+(-/LNY7 =4N:X/% 2+9:< :/MNEFV=2$<E&=4"GH!"<G“+.!$C;3 2<!$0+. NEFV=6N:
M/N!$deM/ / 0(0'( 0.M/"+6+.-/0<0+. CE&6M/J/$!$1 0V+(-/90+.<ET-N=0U+(!$E :/6! 4|&'(&e+.!1=4e deMN=4+.!$6
=6N:a+.-/2C;6C;&e+(M/C >dMK=Y+.!$6f6a+.-N2LNM/!1:šO ' & p z ± 4a± & ,), !(p>
P 98 R $ 8 %G G & ;p : $5464 z2z ±k°`° 7 u
% - G2 q G p : -8B$ %1,' .
B
>N< N+
6' (
n .)67* o!4!8 .9(%*; -‚o *#.9(?> #.9(%*;
y ! - G ' %? % & + 1%p'G G G & G "«|¬ p
3%%
v%
3%
%
%$ # ' G 1D( & !
L$ < 8 1G G & C>[email protected]* # G 8A ' & # & .
' & G (
f 1G 8 C ' & !3 G !G 1 + - G
8 & G ! 1? G '?$ 1 D ! $'G, + ! .
'?D? = G2 G & $ 8 G G & - G G h '@ !1 1 ' + H!G 8 C & 68 C$C G2 & G - G2 G G - 2 G .
& G & G D( & H H! & J= ; ' G <1!<$'G01 &
h 1, h G G
' 18 % G # G & ! # + < 6 G '
! # G & # ' ! < G ',$ < 8 CDG . G <
' ! & I NM I NM 1 ! $' G - 1 & G % 'G 8H$ @ & !" &
9 NM @4 $ # 1G + 3 + 85 ' $ -8HG! C h 1 ' & . : 8
I 9 = =
'L$ ! 8 <1!<$'GL $'$ - 4=' ' G 1<<$'G & 1 & & G + 1<<$'G%!
G 6 G + % G ' G E1 G $'G 8HG D (
$ G < , $ G = '<?G $' # ! G & G + ',)( D & G D( D 3 $#$ -D ! G G h !$'G 6$'G!G h K! .
' GD #G G 1D( 1? $'$ - G - 33 $' & G(
! , 8H ' >[email protected] =? 1G & ' 1 '?1G $' ! '?1D( ! &
& ! & ! = ' 'A$ 8 ?G & ! & -8 = & 3G h & 8 $ G
1! G < '. ,
I
1% % eq
%
`v p |p %
)%
7 1% 3% ,
% 1% % 1,
% % % 3% % "«|¬ 1% "{|} 1% p 3% 1%
® p ® p |{ p ® 8} 1%
%%
%
%
3% s %
q
ep
Yt
%
3
%
)
%
7
% ep `v 1% 3% s
,),
.p %
%
z v % ^® t
NM
.%
%
3
%
ep
q
%
eq
1%
(p v
1%
³v %
%% % 3%
,
`v
)%
5%
`v 4w
3% %% 3% %
, ,
¡³ ?v
³
 ∂u



ρ
+ u.∇u = −∇p + η∆u + div τ ,


∂t



 div u =
Z 0,
s '.^® t
7&
(X ⊗ F (X))ψ(t, x, X) dX − nk T ,
τ =n






∂ψ


+ u.∇@ ψ = −div

∂t
%1%ep
=' G
1 u(t,
& x)
00
A
7 % `v 1%
% v% %
3%
y 6% 3%
v%
%
3?v % % %
Kp
% ,
, % ?v p
B
2
σ2
∇@ u X − F (X) ψ + 2 ∆A ψ,
ζ
ζ
)% 1, , p
% % 8p
%
' + H!G 8 # G &
' $ !1 1
' & ! ' $ ' 'Gp(t,
& G 8 ' G τ (t,'x) & ( )( &
G 8 x)
ψ(t, x, X)
$ $10( D
X
%
s
<t
,
)
,
,
! = , ! & %
, )% `v ‰u
1% X
+ ! 1%
.8u '@ ' % 18 , < %L$ -8HG '@$ <8 3"
%
G & $ G G
X
t
x
$C % 3%
G '* %1<$'G 1%1!*&%!$ %!1 G + $ <8 3% CDG 6w6$ %G !ep
F
(X)
& %1!$ ! G + ! 8A1% ' & G 8A & # + G<G 84 '* ,'G2 - G & p & !
ρ' & η G 8 ?$ 8 % p 'B!H !G G & ³ & ,-8
[email protected] n
'
σ
σ
=
2k
T
ζ
$ % %A &
' %G G 6 !G - ' , & ,[email protected] 'G ' G &. 7 G T !, & ' @ ' z ζh?h % ( h q G '< & @ D3% ! $'G?$ <G - .
ψ
f L ! G & G C p 1% $ -8HG $ <G - + G=p ' & ,), ! x & !.p
1% ='G '*! ³ v< % G 1$C 0G R s C Gp X ∈ R t6p-G 6 % & 3! $' !8
& % G., # + < # G '$ < 8 % CDG . #" 'G & !13% + ! !G - $)1% 1', % % 1<$ 'G G & & G `v % v G! . 7 % & % , 11% % ! G G8p
' ?G & ! & 5 1G & % & ! ='3%1 '4$ <8 3% G T & & ,-8EG & ( D( & + % , # -, 8 C G , ! & & 1$)% G `v p ='G & K18H ' 1% s '.^® t4p , # [email protected] z h?h 3% ( 2 h eq G G B ³ v< % G $C & G G 2% v 3% ' = [email protected] #G #G v ' 8E $#G! 3 & G % H %G! 1 h '
z h?h % ( h eq G ψ s '31% 04w6G '>= + 3% - G + ! & G % ! h ep
1! ® = & # 1% % !! #3% G t .
u ' G % & G 'B! ' G 8 5%1!!%#3% $ % 1% G `vI 3%1G! @G (
G ! $'6w '[email protected] ' % 1% % $'2D! ' z h?h 3% ( 2 h eq G
-, 8 ' ' & 3% 8HG `v 6CD G & G 3% - G2D eq G % G ?v '5 + # G % & + %1G2,'!L='<1 & G 8BG . ° -8 , %G & % v 8 G^w6G `v 6' G &E& % (
G G G? 1$ 0! , 3 & + ψ - v ! 8 & G & % ! & 8;G ' G `v ' G $'
& ,), ! & ! . 7 ';1G $' 15 ' & ,), ! & (p G G & ! & 1G AG
% G `v s '.^® tG ' <>[email protected] `v ' GD 86 ¯® u
'7$ < 8 G & D ' & G G & ! & 8 & G L! & ' & ( D( & + .
G h & 8;A1$ G . ' + ! '.
2
B
3
3
I
M
 ∂u


ρ
+ u.∇u = −∇p + η∆u + div (τ ),


∂t


 div (u) = 0,
&
τ
=
nE(X
⊗
F
(X))
−
nk
T
,

B

√


2σ
2


 dX + u.∇Xdt = ∇uX − F (X) dt +
dW t ,
ζ
ζ
s '. 9 t
7
3% %
,), )B% s z % v)% % ¯® `vt u
)% 1%
=' G 7
H C G $ 16!1 $ - G
'3 & ( D(/ & + ! 0
x) 8 & & &
8 X(t,
! ! G < '. . 'E HC GB
$ H!
,
'%$ D (
G Wt
00
2E % s
& &
D
%
*t
G & G G 1>=
! " G2
&
G
E
4w
& ! ' #$ ! G .
y
1
u=1
0
u=0
)% K³
'. 9
%
7 ' C >= & G # ?< # G
H!G 8 $ C?G
$ 8
%
.
7 %s $)% %+?GG - %G=!% h t s A«š %¬ Gt6 p>= C 8H+ 1 [email protected] & 'G' ]s G & !$#=<#t D#$'$'G & GK -4 G 8H$'1G
C>= s ! z G v< %1 '. 9 t & =' 1G & %G ?v G % 1%4G E # & ,), !
s
0H h ! & ,), ! F (X) = HX p [email protected] H - !H !G - t²s 13% ' %34w# $#A L ' G! 8HG L + G62 G C>= G
v % 8`t . 7 @ ' %1 & !! ' 18H & #
: & ! I K N9 M
'G I
NM
G

∂t u − ∂yy u = ∂y τ + fext ,


y



E(Xyt Yt ),
 τ (t, y) =
'. =
Xt
y
+
∂
uY
dt
+
dV
,
dX
=
−
y
t
t
t

2



Y

 dYt = − t dt + dWt ,
2
& # G $# ! 18 ' $ ' &
u G = ux (y)
+ & G
. τ ='. = τ,xy (y)&
='G 'A1$C ! + G ' + 1G3
R
y
O
=
(0,
1)
& !
=4= 1G AD '4 G ?G & G G &
fext
&
. ' HC G + G '
#
!
$
%
'
y
(X
G + G2 '
G - 1 & ! & 1 . Ct +, Y t$ ) + & G I NM '0=! ( $ <1 & -8 $ 'X
t -87 #[email protected] C (/G ( G 6G !? & ' G ! ! .
s t
% % 3%1s % p % p v eq
6w % 1% _u
% , % 1, , %
3% sU³ p %
%
Yt
6w
%
, ¯(q p % p &%, 3% 3% %
% % , % 1,
,`v % v 1% , , y
v
3
%
8p ³
)% ,), , 1%
3%% 1% %
% t
%
6w
=' 1 ' 1
' ! H C '*:
$
# ' ' & =' + , #J= ; ' -+ ! # G $'$ 6G G
'L1< 6 G
G & G [email protected] G G L - G 1$C H & B - *: 1
P1
1 G K G ' # < # G .
< !1$'G G G - ! $ ' 8 ' G * & 1G! ! G ! ' + G0H h ! & ! & G =C G G & 1G ?G ! G
= 1G 1 3' & ' '0$ 1! 8 <1!<$#G & ! 8 # $, & >8 & ( & !
C = ' 1G G & G 1 - G [email protected]
00
3%
3%
τ +λ
δτ
= nkB T λ(∇u +t ∇u),
δt
' $'$ @ -+ ! &E& 1G + G + δ
δt
6³
& ,
& -8
δτ
∂τ
=
+ u.∇τ − τ t ∇u − ∇uτ ,
δt
∂t
7 s t
1%
A«š¬
%
3% 8p ´ % w %
3%
(p
%
“q
s '. t
$ $10( D
%7 1λ% & =3% [email protected]&'A& %C!1 % 13%%1 G v G 3%G . G G ep#= ' % = 0 %1 @ #! G % D( % & H='G4 # , =%G 4' & 3% ' 1% %<1!<$#G & !.p
& '3%1 1%14G v G !8 G3%1D( 3%1 .CF G !4 'G & !;s: D , '
, '! % 8 % h z >±[email protected] ±& v Kp 1!& A«| 1{ % z G G 'GrL±3 w , T ! G ,'[email protected] 40' G )( D%± &‚ z ± G4f. ± 7 I 'G& != '& !%. p
' 1%%[email protected] 'G B ' 1$)%G `v C ' <>[email protected] ?v 4w#$ %!1G
A
F (X) =
A
s & , !G ?v =*! 6 !G - Yt .<u 'G & !DG 1% %1 G G % L$ -8HG! $ H<G - b + G = C E ' & " 0H h ! & , , "1G 4G D!! '- 1% '‘³ G 4w 1G.', GG 84 ' % D $ < 8 3% .šz 1% 6w# $'Kp 'G & !C4w 'G.,'G #%( #G ' G `v 1%
-8H 3% G , C + G?
%
G ! `v G '[email protected]! - % % 8 #7G !% & ! *6 h & ,), !epC & D!!% & G `v 8 A4w#$ 3%1G - .
% G ' eq '? G `v "A1G $': 1 C>= .
f G h ?G "«š¬ p#=3 8 ! G & [email protected]
u ' z ± f4 ± & ! ' 1% & pCG ( & G G %
=' ζ
4H
I
M
1−||
G
H
||2 /(bkB T /H)
G
JI
"M



y


 dXt =


y


 dYt =
s '. ¬ t
∂t u − ∂yy u = ∂y τ + fext ,
!
Xty Yty
τ =E
,
(X y )2 +(Y y )2
1− t b t
s '. t
!
Xty
1
y
+ ∂y u Yt dt + dVt ,
−
y
y
2 1 − (Xt )2 +(Yt )2
b
!
1
Yty
dt + dWt .
−
y
y
2 1 − (Xt )2 +(Yt )2
% %
%
%
%
³ 4w .,
|
}
}
8
}
v ® t u
® s ®
)
%
%
%
u %
% , %
% , % ³
9u %
³ % )% 1, ,
%
Sz 1%
%
8p , %
%
v
u
% , % 3% % , %
`v
7 s 1t˜% s
% , % % % s ¬ t s t , ?v
³ `t
4s 4w z ± 4a± 4w )%
% t4p
`v 1%
`v
%
,
8p
`v %
u % 3% s t
%
°
% ,,
1% %
?u
%
)
%
,
,
%
3
%
y
% ,
u
% % v 8p 3% `v s % 1¬ ,t s t •s 3%¬ t , s t
šu
% ® ® 3%
s ^® t
%
s '. t
K
D 1!
=' ' ( & G G *$C b
'
G G #GG 8 b
>
0
I
9
M
'A$ < 8 ? & G?G $ D G!4 #7 & ? 1!
$C 9 K . 'A$' !
+ 1G2 ' + G!G
. ' & + G '! & & &
t ∈ . [0, T
C & $ y1 C #GG 85O
$C = (0, 1)
' ] & $ H!!1
G ( =D(
, P)
& G G >= G2 (Ω,
G F. , F tA
1G $'G!G 8 ' ' & 18 (Vt , W& tG )G 7 (F
t ) h . ' G G G2 + !6G 8 G
' u(t,
y
=
0)
=
u(t,
y
=
1)
=
0
u(t = 0, .) = u0
&
[email protected]
( ! ' & + 1G2 # .
(XG3
Y 0 ) F$ 0CDG K G
0 ,=
# & G 1 [email protected] !1$ ' G*6 h & !
& !
'. = '. K -8 1 G
= 'G ! 8 ! + & '.
b
G
G 8 ,
* 6$'G!G 6$ G #0 G ' G ' + !H!G 84G h >=
& & G
'
<1 &
! $ y & y #3 ' G 4+ & !G '?$ 8 ' G & !$ & #X3t 1$C Y+ t 1G2 #
# & 1G G #. K G G ! L & 1G < 2 .
& G !! h ' ' G! 8H1G & !G '
C '
& G*6 h & ! . '$ $ < ' $ 1!1 - G! G 7! & 8HG . '<$ ? ' ! ' G D8HG 5%18H G 7 '
# .
'. K ' + 8 K & )(
' h >[email protected] & 8H '.
#. K G & .
' G 8 . '? 8 1! G %$ ' !< #.
& 8AG I = M = ' 10 86 '. "G 8 K & & $ + & 3 & G 36! (/G ( G v
,),
%
1%
´
00
p
2E D
% vs % t
$)% % `v 1%
°
1% p
, u 1%
, Qs ³ %
_u
! " 1< # G G $C ! < 2 ' G . # $'$#G ' ! K * C>= $ <8 1G G + G!G & G &
"G 3 [email protected] 4$ 1G 1! 1G 8 6$'<1G + C
η
=
0
R
'
1! .
' G!7G G K & <>[email protected] .
H! G '. 9 = & [email protected]
# 6' G
& G G2 - G '. K 1! 1 I M 1 $' D8HG 'G 6' G
& G G2 H G . '>= ' 6G !L 1< 6 G ='
& #
1G 5 '?G + ' = G & ;=! h < # G '. K ='u = 0' + H!G 8
G3 'G 8 G + . 1G & )( ' = '>= ' '. K
u
& G ' G A 1< 6 G . ' DG & G 8EG $ + G 5 'A 6G ! #
1< G '@ 6 CD G & G 1 - G ' G ! ! #*1G 2 @ '
& 1G . @ ' '>= + 1! C =* A h 'G 1G 2 1 3 DG
' & '? 6 ' G,$ 16!1! =#G & H! 6G G 'HG*6 h :=< / >N< /
! 5 & ' ,G + - & 8 8 8 > # (/ ! G C I NM . 5 '. K ,
& #J= :=< / >N< / ! G G
! G & #K $' & 18H '.
6 G '. = . 1 'L! G ! G 6! G '. ?$ 1 + @ 5 G & G
' K
! 8576! (/G ( G * 6G !% & ' G ! '3< # G
'. K
'%! $# & 18H '.
G K' & H & C
y
y
y
y G,
(u,
t , Y<t )# G
Xt ,Y t #) G G 3 ' $ ' 'GG 8 ' 18 '. K & G 1 <(X
G+ G
'. < + 18
= ' 1 1 = 'G G * u6 & 2 1G 8K '
. ' ' ! 8; 1 ' ' & F
'G G G & G G
' & 18 ! & G G & 'G #G B 8 'G 18 f ext G 5 & G ? 1 < %2 1 & . ' G D8HG% * & G1 G K G ' &
'@G 2 G H C G & G G2 # G 8H$ #. K "G - 8 ' & & 8 .
v
3
%
1% 4w
z ± f4 ± 1%
u %
%% eqq % tv s y it³s % "« 167 % w
p
`v
u 1% p ,
.
%
µs t
%(, % % “q v % `v `v u y
p 6w
s t
?v 6w
)
%
`v % %
3
%
q
`v % % 1,
% y ,
3%
)
%
6w
%
1
%
,
.
%
,
“q ep A«š¬ t y
4w
3
%
s ¬t s t
°
°
)%“q % % % s
y
u 1% t6p
6w
s ¬ t s t6p , `v %
v %
%v `v`v s ¬ t s
)
%
1
,
,
1
%
?t Vs t
6
%
v
v
% %
s % q .%
% % % ,
p , %
p t y
1
%
4w
% 1%v % 4w ¡% u
3% % %(, % e% q % v 8p 3Q1% % s t 6w %0%
3%
'(& .91 !8=1 -* ,+ &)* "4 .9(* .9* .0/!1 & .9*58:/! & .9(8 o!( 1
671 .9(#" 1 4! 9. (* 2
7
1%% `)vp %
3%
3%
q
v
p
% s t
7 'G 1! G <=*! G & '* 6' G & G 1 - G ' G '. K @
= G G+ + !H!G 8 . B 1 $ 1!G8 H=
G
= ! !G ! C &
g(t) = ∂y u(y, t)
= $'$ <u ' #L 'GL1! G y 'O
'.
g ∈ L2t .
G - ! & G + G ' <[email protected] H C G & G 1 - G G ´
%
y
%
p
8p f³?w
`v
1% t ≥ 0
3%
`v

g

X
g
g
1

 dXt = − 2 (Xtg )2t+(Ytg )2 + g(t) Yt dt + dVt ,
b
1−

Ytg
g
1

 dYt = − 2 (X g )2 +(Y g )2 dt + dWt ,
u
)% 7 `v
t
t
3%
3%
q
s «t
s '. { t
%
. 1 'b # 'G$C $ = @
[email protected] G G G2 ' & G G
= GC $'$ < C
(X
,
Y
)
0
0
+ G!(X
.
G3 C
'G
1
!
G
=
7
!
G & C
G 0 , Y#0 )
2
2
t
. P (X0 + Y0 ≥ b) = 0
=' 1−
p
R+
&'&#(
"!#$% ,
, v G + G `v 4$)%1!!G
f * v G -8
'
G! G
`v s '. { t .
$ 2"
<?> 1D/ 1
+
65
628
5
5
5
∀t ≥ 0 1 $
& ! = 6 >
;@ 6 B < B 8 :=<?> /[email protected] / 6 + : B
8 / B.1 +
(Ω,
F
,
F
,
P)
(F
)
t
t
5
5
5
B +.-4< @CB < 1 84> < / @CB
> 6 / > 1
8
B + 8 @[email protected]
0 ,#&Y
5
B.1$
% 0>N)< B
8 (V: t6 ,B W
8:=t )<?> 5 B ++ 5 F0g g 5 / + 5 +E> @ - 5 6 / > 1 6 > 5 5 8 (X
!
"
(Ft ) 5 5
(Xt , Yt )
P
ω
5
5
B
> 1 + /
8
B <
5 1
 Z t
/ 698 628 B > 1' B.1 6 / > 1
1
1



ds
<
∞
= +∞
g 2
g 2

x2 +y 2
(Xs ) +(Ys )


1
−
0
1
−

b
!

Zb t

g
1
X
s
−
Xtg = X0 +
+ g(s)Ysg ds + Vt ,
(Xsg )2 +(Ysg )2

2

1−

b
Z 0t



1
Ysg
g


−
ds + Wt .
g
g
 Yt = Y 0 +
2 1 − (Xs )2 +(Ys )2
0
b
% %
( L$ 1$ <1G
'[email protected]! G
G A '>=
/
%
x2 + y 2 = b,
s '.¯® } t
8 B < BB76 / + 6 +
1 81 - 1D/8 - B
0/,++.- B 628 6
8 : 6B8
≥2 5
(F
3
2
"
5
4
t)
5 + /2b
5
5 > %;
5 : B
2
6
8
6
6
9
6
8
@
/
1
2
/
1
B
.
B
1
B
/
@
B
1
E
+
>
>
9
>
+
+
g
g
!" g
∞[,
R2 ) 698 6
6 / > 1
;1D/ 6 / > 1=(X
< t ,1 Yt )8;8 / 6 / > 1 5 628 / + +E> @ - C([0,
/ +F+.- 8
g 2
2
P
(∃t
≥
0,
(X
)
+
(Y
)
=
b)
=
?
>
5
1 8
/ +
1 8
8 : 6 B 85
>N< B > B <
+t+.- 0/2143 t
?
@
0 5
(Xtg , Y!tg )
σ (X0 , Y0 , (Vs , Ws )s≤t ) 5 5
b > 4 5
5
p
B 8 B 698 BA% > @[email protected] > /2143 B76 :=< B ++ / > 1 > % 628 B
/ + /21 6 B 3 <
@CBA% >N< +E> B
1
p > 1
5
5
X +Y
1−
/21D% - 1 6 / > 1
%
+ 6 < B ++; b
> % 628 B +E> @ - 6 / > 1
N
>
<
E I#H J D HLKNM
#AE GF (Xtg , Ytg )
g=0
#BC"
) * + -, 2".
:=<?> B ++
2
0
2
0
(Xt , Yt )
Xtg Ytg
E
1−
8 B < B
E
Z
E
•
(Xtg )2 +(Ytg )2
b
g(s)Ys dVs
0
Z
•
!
=E
698
/ +
! Z
E
X 2 +Y 2
•
Xt Y t
B
76
B
1−
t
t
b
:D> 1B.1 6 /
O
< 6 /2143
@
5
5
g(s)Ys dVs
0
t
P#
@CB
5
= exp
Z
t
1
g(s)Ys dVs −
2
Z
t
2
Q
R
t
0
(g(s)Ys ) ds .
,
v G ,-8 $ % + G `v3 ' ' G“q !1ep 6w '>= '06w6G !
'G % & !$5 '>= ' 6w6G ! 1%@ v 3%D G 8HG `v s '. « t .
g
y
s '.¯®8® t
,
t
g(s)Ys dVs
0
!
0
='
g=0
& G
TSVUXW YW !!
\
Z [1[ & 0
: B.; 1D/ 6 / > 1]<
_^
B 6
<?>
8
B 6
% g
g
, Y g) 5
(/ X̃
, Ỹ g ) 6
!"
E(X
/ 8 B 8
+H+.- 8698
g
g
(X g , Y g )
P
(∃t
≥
0,
(X
,
Y
)
≥
b) = 0 t
t
5
P ∀t ≥ 0, (Xtg , Ytg ) = (X̃tg , Ỹtg ) = 1.
1
>J+E> @ - 6 / > 1 +
>
/21
628 B
+ B.1 + B
628 B.1
>
&'&`
%
/ > 1
@
5
2E ) * O F $
f ‚
% D
! " !"" v $#%
τn = inf t, max
(Xtg )2
(Ytg )2 , (X̃tg )2
+
(Ỹtg )2
+
1
≥ b 1−
n
.
&' F (x, y) = −
( F (x, y) = −
) u +*,-$ ( % f $"/.
'0$123 4576$8' ( 3 K 9 , (5: : B = (x, y), x + y ≤ b 1 − )
; <6=' % P = X − X̃ ( Q = Y − Ỹ ) y>? ([email protected]
f
1
x
2 1− x2 +y 2
b
x
Z
Pt =
Z
Qt =
n
g
t
g
t
t
y
1
2 1− x2 +y 2
b
y
g
t
t
Fx (Xsg , Ysg )
−
1
n
2
g
t
t
0
2
n
Fx (X̃sg , Ỹsg ) ds
+
t
Z
t
g(s)Qs ds,
0
Fy (Xsg , Ysg ) − Fy (X̃sg , Ỹsg ) ds.
y>? ( 8 % -*, % 6 % B p *, % ( 3C
0
t ∈ (0, τn )
Z
|Pt | + |Qt | ≤
t
(2 Kn + |g(s)|) (|Ps| + |Qs |) ds.
E( ( F%* ( ( g ∈ L p 6G%H ( p (5: #%5'& % : C p
*, % ( 3C t ∈ (0, τ ) p P = 0 ( Q = 0 ) (X , Y ) ( (X̃ , Ỹ ) D
( ' q p τ = inf t, (X ) + (Y ) ≥ b 1 − ( , C
(0, lim
τ ) )JI
( '#%"/ 5E# ( 5 (X , Y ) p lim τ = +∞ )
&% 36 ( : : ; #D#
v
n
[
t
ML &4N
*
8
B
:=<?>E>
/21
5
O
%P
8
<
g
g
t
t
g 2
t
t
g
t
4
+ + 6 B
> %
>N<98
5 > 6 / > 1
1
t
G
n→∞ n
K
0
P
/
n
g
t
6 / 5
g
t
g
t
1
n
n→∞ n
B +
B 5 < B.1
g 2
t
./
< -
8
@,B
5
@
-L+ B
-
56 / > 1 +
5
>
%
628 B
628
B
% 6 698 6 + 5 / : @CB 5
8;8 / 6 !/ " >
5
8
> [email protected]
1
>
%
5
/
P
B <?+
<?>
% <> 1D/
1
5
RQ
SHT! JW VUNWXWZYXW g = 0
u E % #D# 6 0[6 , \[ ZE q ! +\ w !\5*
s ' % v t : ( $:\: s ( ) { t 6 g: : = 0 ) y> % ( : : ( ]:$V' ( : \6 : : , ^5 (
$8 *, : : <6 v , C (X , Y ) )
Q
& /
t
628 B.1
698 B < B
B76 / + 6 +
8
- 1D/8 - B
+E> @ - 6 / > 1
8 / +
628
6
%: g B.;=1D/ 06 / > 1 <
/ +
+E> @ - 6 / 5 > 1
+.- 8
(Xt , Yt )
!"
1 4
5
6
1
/ 6 / > 1
%
/%
/ + +.- 8J698
;
8
8
>N<
> 5
P (∃t ≥ 0, (Xt )2 + (Yt )2 = b) = 0 p ≥!1 b
b>
5
5
p
628 B
1 8
/%
1 4
/ +
/21 6 B 3 <
<
8 > < / @CB
@CB 698 B.1
1
2(p + 1) 5
5
5
5
5
X +Y
Z [1[
6 >
t 7−→ E
& N
++.-
t
1
1−
628
B
/21
Xt2 +Yt2
b
!p
6
695 8
/ +
B
b+ ≥
2
B.1 + B
@ >
.>N- 1 8 B 8
@[email protected]
5
1
5 >
1−
2
0
2
0
b
1 $ $
! !
dt + dVt ,
= yFD % +*, : : <6 v ( "" % w # ( 5* D'/0 ( '$% % 3 ( :
{
q ( $ s ) t6p 6B g = 0
) * O F $




dXtn =


− 21


n


 dYt =
( E?'5"" v #D
− 12
max
Xtn
(Xtn )2 +(Ytn )2 1
,n
1−
b
Ytn
max 1−
(Xtn )2 +(Ytn )2 1
,n
b
!
s ) ® t
dt + dWt ,
1
n 2
n 2
τn = inf t, (Xt ) + (Yt ) ≥ b 1 −
.
n
v * 9 ( s ) ® t ( ( q ' % v : (X , Y ) [0, τ ) ( p 5 , , C 3 4 5& */ " 6$
' v (X , Y( ) = (X
' : ( ' % v : ,Y$) s [τ) { t 6, τB ) g = 0 ( [0, lim τ )( ) ' v 7 * *, % # : ( p
³ ( R = (X ) +(Y ) ( $ ³ J*, :$: <6 v '/0 ( ' J % 3 (5: q ( [0, lim τ )
t
n
t
t
t
n
t
n
t
t
n−1
2
t
n
t
n
n
n→∞ n
2
n→∞ n
Rt
−
+2
1 − Rbt
dRt =
!
dt + 2 (Xt dVt + Yt dWt ) .
% ( @ u % # (X , Y ) p 5 # ( C w 0 ( ( F% $'8% -*$,8 % P(∃t
P(∃t ∈ u [0, τ *,),
(X
) q + (Y
) # =C 0)4=
0, ?6
%
%
%
#
8
*, : : <∈6 [0,
v lim
*, % # τ ), R =
(
(
0) = 0 )
v
n 2
t
n
n
t
n 2
t
n→∞
n
−
dRt =
n
t
Rt
+2
1 − Rbt
!
p
dt + 2 Rt dBt ,
t
s )® = t
6 % B ( % <6 ( 9#% 5 , C ( : ; ' @ C90 ( % ( - % 1 ( $ ) ; 7<6 5$ %
( (5: ,* $ s : (0, b) −→ R 0E ( t
x
−
1−
x
b
+ 2 s0 (x) + 2 x s00 (x) = 0
6$0 : ( x)
x .
u
y>G0 ' ( " % #D$ @ *, s s(x) =³ C(b
5− (0,
$ *, % ( v ( p
'0 ( lim s(x) = +∞ p " % @ b ≥ 2 ) b)$) v 7 * *, % #^ : s( p [0, lim
τ )
6 2 (<@
Z
p
s )® t
s (R ) R dB .
s(R ) = s(R ) + 2
; G'"" ³ % ' ( s(R ) 3 v % ( , : p '^ ( s(R ) (: (5: # ( % v (5: ) ; , ( 5/. v ( @ $3 v % ) y>?<6X$4 % ?'""$ v $#%
k
6$9?5 @ 3$ inf{∅} = +∞.
1
σ = inf t < lim τ , R ≤
,
0
−b/2 −1
x→b
n→∞ n
t
t
0
0
s
s
s
0
0
k
n→∞
n
t
t
k
& &
2E ‚
D
! " u % ( # " % / s(R ) ( # ( % $ v (5: ) u 4 6G] ([email protected] *, % ( 3C t ( D*, % ( 3C
p
n
E(s(R
)) = E(s(R ))
6$0 : ( s $ v * ( -7 ( s 7$ % ( ' v t t∧τn ∧σk
t∧τn ∧σk
0
1
1
s b 1−
P(τn ≤ t ∧ σk ) + s
(1 − P(τn ≤ t ∧ σk )) ≤ E(s(R0 )).
n
k
u ( 4 v ³ % '? : #D$ n → ∞ p 6 + , ( P(lim τ ≤ t ∧ σ ) = 0 ) u ( 4$ v : #D$ k → ∞ p 6 , ( P(lim τ ≤ t ∧ lim σ ) = 0 ) y> 4< 6 ( p 6 0> #D" : $ P(lim τ > lim σ ) = 0
P(∃t
( ³ ∈ (5[0,: : C lim τ ), R = 0) = 0
n→∞ n
n→∞ n
n→∞ n
P
k
k→∞
t
k
n→∞ n
k→∞
k
lim τn ≤ t ≤ P lim τn ≤ t ∧ lim σk + P lim τn > lim σk = 0.
y> A( @ '<6 ( P(lim τ = ∞) = 1 p ( 6G (<@ ^ % -*, % , : ( ' % v
' Y ) s ) { t 6$ g = 0 R ) 7 * s(R ) $G5 3 v % ( , : p V ( G v #%4 ( , -*, % 7 { < X + Y < b − } 6 % > 0 s , C^#^ : " : C v
%
:] ( #D (X,
(
®
s ) t ,C 1
t ( 85 : , C : '$ v v + 0 )
7 * ' % ( 5 % ' : (X̃, Ỹ ) * s ) { t 6$ g = 0 &''75*V ³ B.
® p ' v ; #D# ( ® = p : $ '02 ( P ∀t ≥ 0, (X , Y ) = (X̃ , Ỹ ) = 1 )
u $<6 ( s ) { t ( #D$ ( q ?' % v ' : )
!
; V<6 % H 3 v % ( , : B C95*
1
( : %f³ % '
n→∞
n→∞
n→∞
k→∞
k→∞
n→∞ n
+
2
0
0
2
0
<X02 +Y02 <b−
t
t
t
t
p
( p #%$ v
p=1 (
1
E
1−
Rt∧τn
b
!
1
1 − Rb0
E
1
1 − Rb0
=E
!
I '#D v b > 4 p $&$& : ( % ( & ( 8\ , ( $
u $7C/$ : p *, % ( 3C
1
E
1−
t>0
p
&
E
Rt∧τn
b
!
1
1 − Rbt
!
<∞
Xt2 +Yt2
b
) $ v 7 * *, % #^ : ( p $ ( !C2 % @
1−
!
(4 − b)Rs /b2
+E
2 +
3 ds .
0
1 − Rbs
1 − Rbs
2/b
(4−b)x/b2
M = supx∈(0,b)
<∞
2 +
3
(1− xb )
(1− xb )
Z
≤E
!
t∧τn
1
1 − Rb0
≤E
2/b
!
1
1 − Rb0
+ M E(t ∧ τn ).
!
+ M t.
( z % ( % w " 53
" % @ $
K
< \
5
8
> 6 B
B.1
6 /
@
+ 6 >
B
B
628
76
> 1B
B
#".
/
b
− 2b ln 1 −
+∞
(
]%
8 - 6 / >
@B
5
B 6&6 /2143
>N< B
6 /
B < B.1
x2 +y 2
b
1
5
1
Xt2 +Yt2
b
$7 3 v % ( , : )
b > 2(p + 1)
1−
$
%
/
= B
++.5
6
5
628
+
5
6 +
698
B
/[email protected] / 6
:=<?>
5
B
+.-4< B
5
8
/ 628
s )® t
B.1 + / 6
]
'
B
/21
8
P
< /
6 / 6
1
1B
8
1
8
/21
8
BB
:=<?>
628 / +O:=<>: B < 6
B
B
#
W
= (V , W ) B % t > @[email protected] > /2t143% t>N<
s )® t
b/2
exp(−Π(x, y))
b+2
x2 + y 2
1x2 +y2 <b
p0 (x, y) = R
=
1−
2πb
b
2 exp(−Π(x, y)) dx dy
6 >
5
s )® ¬ t
8
1
X t =
(Xt , Yt ) 8
/ 628
g=0
!"
/21
+
b ≥ 2
5
x2 + y 2 < b,
698 B < / + B
,
>
3 v % ( , : p
!p
628
B
1
dX t = − ∇Π(X t ) dt + dW t .
2
B
:
P
B
8
+ 6 /
5
B.1
%
>
85
5
! !p
X02 +Y02
1−
', , [
B 6
:D> 6 B.1
5 628
6
698
1
#
Π(x, y) =
+ BB
( 8 ( b > 2(p + 1)
*
p ] ( #% ( % v #D3 6[ ( p>1
ML &'&
[
\ B;
1 $ $
> / +
< B.%
:
K
< < /BCN" B 8
< /2143
+ 6 /
+
8 5/
5/
8J628
B
BB
< B
B 5 < B.1
O
+
;
\
5
[
8
6 - < 1 +
<
8
- 51D/
>
%
>N- 6
698
B
6 >
B.1B ++> 5
-
- 5 6 / > 1 +
:=<?5 >:
8
628 B
B < B
%
B < 6 / B +>
698
:D> 6 B.1
6 <
B
6 /
@
1 + / 6 / > 15
8 ΠB.1
+ / 6 / B5 +
- @25 @
3 /
8
698
5
+
%
5
1
2
0
2
0
1−
"& 2 ML & ('
*
2
B56 <
b > 2(p
B;
< − 1)BB
5
K
B
< B 3 - @
B.1
<
t ≥ 0 (Xt , Yt )
+
@
8 % >N< / 628
+ 6 >
T< !
/2/ 1 8 @ /21B" : < < 8 > @ 8 5 8 B 8 > / B > % 628 / + /21' < / 1 6 :=<?> /[email protected] / 6 B
" % 5 >N< 628 B /21D/ 6 / @ B < " 1 84> 4 < / @CB
625 8 B
@ / +
1 5 6 -45 <
@-% <?> 5
+.-4< B
+
: 8 + / 5 @
(X
,
Y
)
0 + 8 B <$#5 > 5 # 628 B # - 5 / 8 / + 698 B 5
:D> /21 6 5 > %PE/ B 5 + /21B B > 1 + / 5 8 B < 5 8 B < B 628 B 5 + 6 5 < 6 -":
> 0%
5
5
6 < B + 6
628
6 % >N<
698 / 5 +
B
/21D/ 6 / @[email protected]
/21D/ 6 / @ 8 / + 6 < / A- 6 / > 1
< B.% >N< B
+ BB @ +E> T<%!
> 6 / B
"
5
5
5
5
5
!
8
B
1
8;8 / 6 / > 1 % >N< 628 / + /21D/ 6 / @ 8 / + 6 < / A- 6 / > 1 % >N< 1 X0 Y 0
τ |t=0 = E
= 0 A> 5
5
5
5
X +Y
8
8
B
8
b
%
1
B.1 + / 6
> 6
>N<
p0
> [email protected]
E
[
8
- 1
8
>N< B
*)
8
1
5
B <
B 6
.%
628
B < B
628 B
/[email protected] +
5
M F
1
>N< B
+ 6 <?> 1434B <
1−
++.-
Xt2 +Yt2
5
', +, [
6 >:=< B B.1
!p
b: 6 / > 1
/ +
2
5
P
/25 1
@CB
8
B
++.8 2
/ 5 143
!"
8
5
+
+E>E> 1
8
B/21
5
b > 2(p + 1)
$
#"
6 B 3 <
/21
b %≥<?> 2 6 >N4 - 6
B 1B B ++ < > 1 8 / 6 / > 1
(Xt , Yt )
5
5
√
@[email protected]
1 8 628 B < B.% >N< B 6 >
2
2
B
=
B(0,
b)
=
{(x,
y),
x
+
y
<
b}
5
628 B +E> @ - 6 / > 1
6 >
698 B + 6 > 8
6 / > 1
B < B.1 6 / @ B 8 + 6 / 8 /
#
5 > 34B <?+
1
5
698
:
B
B
:
8 B.1 5
6 / > 1
.>N- 1 b ≥
698 / + B
8 B < B g/ +=8 B 0
%;: B.;1D/ 6 / > 1I< 8 B % - 1
1
2
Π
:
R
→]
−
∞,
+∞]
Π
P
4
6 + +.-&(8 / P B < B.1 6 / @
;1B 8 %< / + > 1 6 /21 -D>N-+ > 1' B76 % - 1 26 / > 1 / 698 84> /21
" 5
>
B
5
5
/21
628
B
+ B.1 + B
>
65/ > 1
5
5
&
2E 5
8
5 @ - B 5
5
+ 6 >
6 / [email protected] /+
1
Π
2
B
- @ 6 /
∂628
5 8
> 1
> 6 > 1B
>: B <
8
+ 6 /
5
D
/
P
5
dX t + ∂
8
8
628
/
P
/ 628
8
> 1
6 / >
-
/ >N<98
2
R
1
"
+ B
6 > 5
1
Π (X t ) dt 3 dW t
2
698
! " " B
F ( -M
b > 0
5
8
8
- 1D/
+
O
6 >
/2143
W t = (Vt , Wt ) 5
X 0 = (X0 , Y0 ) 5 5
698 B
1 8 % > @[email protected] > /2143
8
@ - 6 / > 1
[email protected] > 143 + 6 >
:L:=<?>
C(R + ,1 B) 8 5 B 698 6
5
1 8
/5 +
> 1B
B < B.1 B 6 / 5 @ B 8 - 236" / > 1 5 8 B.1
X
= (X , Y )
5
/21 t 698 B + B.t1 + B t > % : 5
g
=
0
!
"
628 B > 1B 3 / B.1
/ ++E> @ - 6 5 / > 1J/ + 5 B 8 @ 6 >
/21
\ B; < 1 8
+E>
8 1
B < B
6 >N<
@5 B
6 /
B < B.1
% 5 >N< B76 5 :
>
.
%
-
B
" \ B; ;+ 4 + 6 <?> 143
+
+E> @ - 6 / > 1
1<
+E> @ - 6 / > 1
BB
>
%
628 B
+ 6 /
5
b ≥ 2
2
2
P
(∃t
≥
0,
X
+
Y
=
b) =
t
@ >E+ / > 1 +I + BB
: t34B +
B ;1D/ 6 / > 1
>
+ 6 > 5 8
8 / +
1
+ B
5
< 2 B 5 8 B O 628 2 6
2
5
R
=
||X
||
t
t
5
628 / +
1
+ B -L+ /2143 3 5 /21 < B +.- @ 6 + " > 1B < 1D/2143 - @ 6 5 /
2
2
P
(∃t
≥
0,
X
+
Y
=
b)
=
1
>
@ - B 80+ 6 > 8 t + 6 / t8 / P B < B.1 6 / @ B 8 - 6 / > 1 + > 5 1B 1 A- /[email protected] 5 8 5 +E> @ - 6 / > 1 6 > < >N- 6 + / 8 B > % 628 5 B 5 / 698 /21D/ 6 / @ > 1 5 8 / 6 / > 1 5 > 1 698 B .>N- 1 5 8 < 1 8 5 / 628
@[email protected]
# 698 / + " 1 B -L+ B 8
B628 6 - 1D/8 - B.15 B ++ /21 @ 0 84> 1 > 5 6 8 > @ 8 % >N<
5 / + B - 1D/8 g- =
6 >
628 B < B.% >N< B 5 :
628
1 8
B.1B ++
+ 8 5> 5
< / @[email protected] 5 628 B + B < B +.- @ 6 + < B 8 5 B 6 /25 @CB 8 /21 "
2 5
5
0 X>
1
5
0+<
b < < 26 /21453
B
B0/ @ N/2143
:L:
[email protected]@CB <
@CB
6 B + 6
+
8 /
8
6 / +
+
B +
HS T! JW VUNW /YXW W YW $ U !W
F?<6 'E+?" 5* 5* '" B 5 $H (5: ( g 6= 0 )
; #D# ® " 6$ 6 2' ?G'/0 ' G 3 4 ) 6 ( g ∈ [email protected] C ' ( ( @"( ! : '# )$# % : &( & ?( D: : ( $
³ E; #D# ( ® 92"& ( : $ C%" ( (Ω, F , F , P) ) ?" ' .
(X , Y$ C)
( : P ³ C
Q
Q
2
t
t
t
g
t
dPg
dP
=E
Z
•
g(s)Ys dVs
,
^" ' / (V , W ) = (V − R g(s)Y ds, W ) ( '<6 ( \#% 5 ( '-*,
6 9' / 595* ?'/0 '$? '3 4 5 (X , YC , V,!W
*', P )% ($%6 ( ( : : $[ ( H$H" ( ( H$ C([0, T(5],: B) % ( 6' B)()-)=
√
( 9 5'7 %6G 4<6 + B.
B(0,
4']b)= : {(x,
G*,. y),x0E+ y: < b} ) H (5:$: CH; ( #D# ( ® = -) ! '( *,'.%(-, C ( (5# : ( ( .
( ( ( ! '#/% 6 E (<@ 9910$' E * ( !*5 : $ (X , Y ) )()
6B8$7" ( $ C([0, T ], B) ) ( # ( ( 2. ( ( ( ! .# ( : 35 @ 4'
$ : ( 6 *,? : $H ) -)
° "" 'H6G 'H<4
6 5 5^' / 5 5* $ E5* V ³ $$
® ) C #D" ( ' H( ' : /@ 5 ( 9 ( @ : +'+&\' :() ) (X , Y ) ( ( "" : C/$ ( ( D; #D# ( ® = %56 ( $ ( J J' : / 5 4 (5: 76 ] (<@ : ) ! (5: E<6 ( ( 3C : $ (X̃ , Ỹ ) 5* ) ) $ ''H5* ] ³ B$ ® ?0
( P ∃t ≥ 0, (X̃ ) + (Ỹ ) = b = 0 )
!
; 7<6 "" ' ( b > 4 ( $4 ( : ]*, '#D p > 1 )
1
> 6 ( 3+ 6 ?4 ( : $ C ) ®|® ) >&1−8?*, : : <6$ ; #D# (
t
t
g
t
g
t
g
t
g
g
t
t
2
Ft
0
t
t
0
s
t
2
g
t
g
t
g
g 2
t
g
t
g
g 2
t
p
&
X02 +Y02
b
g
t
J $ $
Z [1[
& > %
8 B8
628
:=<?> E/
/ +
/21
5
6
5
6 B 3 <
g ∈ L2t 1
@CB
1
5
X02 +Y02
b1
>N<
1−
8 %
B < B
Cq,r
) * O F $
6 2 (<@
8
!p
B.1
B
6 B 3 <
/21
5
8
1 6
5
B.1
%
8
1
>N<
5
@CB %
p
p−r
∨
r !1/r
B :
1 ≤ r < ∞
>N<+E>
<q<∞
≤ Cq,r exp
/2143
> [email protected]
#
q−1
b
2r
q r b
> 1
%
p > r
B
1
5
" /
%
t
@[email protected]
>N<
5
Z
b > 2(r + 1) Xtg Ytg
1−
t
2
0
1
5
8
r
(Xtg )2 +(Ytg )2
b
|g(s)| ds ,

8
( 1
E
1−
rq 
! q−1

2
X02 +Y0
b
' : ' 4 (5: $ C ( J"&" ! 5*4J10/" 3 (5: # ( '$ (5: .%
G
r
Xtg Ytg
E
1−
(Xtg )2 +(Ytg )2
b

≤ E
Xt Y t
q0 r
X 2 +Y 2
r
Xt Y t
=E
1− tb t
Z
r
≤ (Cq,r ) E E q
6B
/ +
b−2
b−2(1+r)
> 1 + 6
5
8
5
(Xtg )2 +(Ytg )2
b
> 6 B +
4 B
Xtg Ytg
1−
8
B.1
5
E
628
1−
1/q0

E
Xt2 +Yt2
b
Z
E E
•
Z
•
t
g(s)Ys dVs
0
g(s)Ys dVs
0
!
q 1/q
t
1/q
Z
q2 − q t
2
g(s)Ys dVs exp
(g(s)Ys) ds
2
0
0
t
Z •
1/q
Z t
q−1
2
r
b
|g(s)| ds E E q
g(s)Ys dVs
≤ (Cq,r ) exp
2
0
0
t
Z t
q−1
≤ (Cq,r )r exp
b
|g(s)|2 ds
2
0
0 !1/(q0 r)
•
C8; #D# ( )
( C = sup E
q =
<∞
' D$V; #D# ( 6$ r = 1 ( ( q 0 ( q > ∨ % ( '<6
( X Y
3 ( : ( E'*,'& ( &4 ( : $ C ) : ) ! : 1−?" 5* 5* '" 5$ )
qr
0
q
q−1
q,r
t∈[0,T ]
Xt Yt
1−
Xt2 +Yt2
b
b−2
b−4
g g
t t
(Xtg )2 +(Ytg )2
b
p
p−1
"!# $&%' ( ) *,+.-0/ 12-3/54!687 (4!9 ;:4
< %=$4) 6! >'!647
F?<6=' '?" E'C !# 5* 4 @? @? '# <6=%6G
'"" 8 ( t @ ( ' $ ( : 3 @ (5: [0,( T ] ) ! E)BA'D" C ( )[email protected])G( 'F ( : y @5( ?5 ( 5 L (L ) ( .'*, L ([0, T ], L (O)) %*, 7 0 ( #D" : )
O = (0, 1) ) !
&IHJ
2
t
2
y
2
2
RQ
Q
! " "!$TU% ! ?5 85* : $H6 &' (5:$: ( : 6$8$8?' : ?*, : : <6$ )
()$ *+, % *.-0/1,2(3- 4% 56% 8
H \!#" $&% '
u ∈ H f ∈ L (L ) "7/- (Ω, F , F , P) (X , Y ) - F )-8",)- 459:,;-&'8( -&,<%=- 459>-&'8 (V , W ) - (F )
( 8&% '"%?(8'1-&5 ,2( '+%=-&' (8=%?(8' :
"3*-&5 [email protected]"4- A*-& (u(t, y), X , Y ) %9"0-B" (856C%?(8'
0
t
(8'D *+C% E% '+, -&5
0
0
[0, Θ)
1
y
Z
t
%%
y
t
1
u ∈ L∞ ([0, Θ], H0,y
) ∩ L2 ([0, Θ], Hy2 )
1
1−
0
b
-&G59)-8"
D 0 ([0, Θ) × O)
(Xsy )2 +(Ysy )2
Xty Yty
Xty = X0 +
Yty = Y0 +
Z
-&'8 % (8,- !
Ysy
(Xsy )2 +(Ysy )2
b
t
t
(y, ω) ∀t ∈ (0, Θ) 1
x2 +y 2
b
1
−
21−
t
"4-&C%9" 3" #
y
t
+ fext (t, y),
= +∞
%%
x2 + y 2 = b,
b
1
Xsy
−
+ ∂y u Ysy
y
y
2 1 − (Xs )2 +(Ys )2
0
0
(Xty )2 +(Yty )2
b
1−
t
t
"
1−
% A*H *+ (8' '+=%?(8'
ds < ∞,
Z
2
y
0
∂t u(t, y) − ∂yy u(t, y) = ∂y E
% 'D *+E" '" F( %
2
t
ext
!
ds + Vt ,
ds + Wt .
[ ML & @' -&'>'@(8C% I *-& J,2 8 K% ,2I *+I" (856C%?(8' 7(F *+L/-&,=%=-&58&% P ,2'+C%=-&5
8 -&C%?(8'L " %9E" "=,2(8'$ 4 *%9"%9"8&+M(B *+ % - G *-&J(8,Mu7 *'+% 8 +0( % /1,2( ( % ,2 8 % ,33"
-&'N3"=% -&O(8' ∂ u % 'P'@(8, H 1 % 'Q(8,98,R( (8'+=,2(85+A*+S"=,23"3" τ C" 3 =%?(8' " " "
y
y
K [ ML & % ' % (8,E- y ∈ O ∂y u(., y) %9"T% ' L2([0, Θ]) I" 3E *-& (X y , Y y ) =
t
t
*+,3 ∂ u ∂ u 8'@(83"B *+B" (856=%?(8'U7(9 < % A*
∂ u
∂ u
(X
g = ∂y u(., y)
"
C " 3t ^ ,,2Y(3t/+( ")% C %?(8' " " (Xt , Yt )
K
y
Q
y
y
y
VXWLY&Z)[\Y&ZDW ! %] JW !
RQ
% %36 5 5#% F ^ [ )L-I/1,<%?(8,<% !$# J6$0%6 ]'H$ '4# : +" ' @ ?? 0/$'@ &5* ( : $H &" (: E" : # ) :$: $ $H $&
!
_ A ,` a M ,` [ b
Ic ' -d/1,<%?(8,<% !$# ( 0/" '7] @ ( $ 5* V 5CD'H D
e < 6 ( 8 9?# : : )
,`: a M ,` [ K *$\i
Z [1[ &Kf <g ). K *) h2 h; [
y
y G-J" (
56C%?(8'j( % "lk " (8' [0, T ) % 'D *+" '" ( % : '+% C%?(8' " /O(u(t,
"3" y),
X(8t,3,3Y( t ), b > 6 &IH^f
J 1 4 -&'
1
X +Y
3"=% -&1 −# b
2
0
2
0
!p
% '+7?$&,;- 459 % (8," ( -
@ *+' *- FA*+ % (85 59( % '$ % (8, -&5
p > 2 54
Z
Z
d
y
y
u +
E(Π(Xt , Yt )) + (∂y u)2
dt
O
O
 O



Z
Z
Z
y 2
y 2
1
1


 (Xt ) + (Yt ) 
+
E 
E 
2  −
2 = fext u
2 O
(X y )2 +(Y y )2
(X y )2 +(Y y )2
O
O
1− t b t
1− t b t
1d
2 dt
Z
2
@? ) % 8( ,"!3# '@$
&% <%
',! *+O-((&% C%?(
5 59( " % '' $ % (8, -&5 3"=% -& %
*
9
%
)
"
l
%
?
%
*
5
8
J
"
+
*
8
(
u0 ∈ L2y *+,2 %9"! *+ /+(87'+C%=-&5 % (8,! *+
'1-&51-8"3" Π/1C%?(8'" f ∈ L1 (L2 ) -&'
(8'D *+E" (856K=%?(8' # ext t y
@? ) )
y
y
y
y
2 + ||∂y u||L2 (L2 ) + ||Π(X , Y )||L∞ (L1 (L1 )) + ||Υ(X , Y )||L2 (L2 (L2 )) ≤ C,
||u||L∞
y
ω
t (Ly )
t
y
y
ω
t
t
*+,2
-&'
Υ(x, y) =
√
x2 +y 2
2
2
1− x +y
b
-&'
C
%9"0-+!3(8'"?-&'+,7/+'&% '$Q(8'
T ||u0 ||L2y ||fext ||L1t (L2y )
E(Π(X0 , Y0 )) : " : C ?4 ( @ ? ) A. C u ( 8 3 ( $ @ O %? ( $0/
Z
Z
Z Z
Z Z
Z Z
@? 2) 13)
1
1
u(t, y) −
u (y) +
(∂ u) = −
τ ∂ u+
f u.
2
2
45$ ( 7$7 G? : C%*, '# ( : " ( $H ( 6 :$:
! c E " ' : # $' 1/ *, :$: <6 &^5* ?" '/5* 7#D" : -: ( : C' ., )
' #D" : ( : : <6 ( 1
( I
(x, y)1
∇Π =
1−
'
-*
,
%
$
65 *,
2
!
)
# #^ : ( % 6G& ([email protected] 7/
∆Π = 1
) *O F".-
t
2
O
2
0
y
O
0
t
2
t
y
O
0
ext
O
0
O
x2 +y 2 <b
x2 +y 2
b
1−
x2 +y 2
b
2
2
2 x +y <b
1
Xty Yty
d(Π(Xty , Yty )) = − Υ(Xty , Yty )2 dt + ∂y u
dt + (X y )2 +(Yty )2
2
1− t
b
Xty
(Xty )2 +(Yty )2
b
dVt +
Yty
(Xty )2 +(Yty )2
b
1
(Xty )2 +(Yty )2
b
1−
dWt .
2 dt +
$% %$ ' c C 8* D D 5# " , Y ) D5
! 0 (5: : ,( 'C5* B ( " '$$( 1-)$# 3( ' ( & 5>(X
> #D ( '" ( ( E ( 4 &10/" ( 5 @ (5: .%/6G?'-*,? ( 8/
1−
Z
E(Π(Xty , Yty ))
O
=
Z
1−
y
t
1
E(Π(X0 , Y0 )) −
2
O
Z tZ
0
∂y u τ +
O
Z tZ
0
O
Z tZ
y
t
E(Υ(Xsy , Ysy )2 ) ds +
0

O

E 
1
1−
(Xsy )2 +(Ysy )
b
@? )91 
 ds.
2 2
&IH:
7- @
( J 0/" - ( ! 5* : / 5( : # ( ' ( : ( 4 :$: $76 ] ([email protected] ( '#D
3' ( : *, 5#% p > 2 % ( % CE; #%# ( A %*, ( ) )
1
b>6(
45$7
p
 1−
Z T

y∈O E
X02 +Y02
b

( ( c B @ (5: ) C8#%#D @? 9) 1 3) ( @? )21 %5? ( 1−?'+5C8' (5: B C ? ) -)
J'$# ( ? ) 7 ( $ C8$ D?'+5C8'4 (5: B C ) # % '#


Z
" '$ @ ( H5V ( H5 ] ( V# E  1

Π(X , Y )

%
1
(Xsy )2 +(Ysy )2
b
0
y
t
(
!2
ds
y
t
9* 5# ( @ C '#
1 (Xty )2 + (Yty )2
2 − 2
(Xty )2 +(Yty )2
1−
1−
b
=
≥
1
2
(Xty )2
1−
1
b
(Yty )2
1−
b−2>
−
2 2
)

1−
(Xty )2 +(Yty )2
b

y
y
 (X )2 + (Yt )2 
E  t y
2 
(X )2 +(Y y )2
O
1− t b t
(Xty )2 +(Yty )2
(Xty )2 +(Yty )
b
(Xty )2 +
2(2 + )
6B '0\ ( +
1
2
Z
O
2
C%6 B &
/
2
1(Xty )2 +(Yty )2 >2+
1(Xty )2 +(Yty )2 <2+
−
2
2
(Xty )2 +(Yty )2
(Xty )2 +(Yty )2
1−
1−
b
b
(Yty )2
2 −
y 2
2
(Xty ) +(Yt )
b
b2
(b − (2 + ))2
H H E _H a M ,` [ K
V<6['5%' # ( %M6 7 ([email protected] 7 ( 10"&'$+5* 7!* τ
#
6$0 6 : : @ ' : ( '$ C& 7" ( @ ( ' ( : y ) # '" B 5 1 % 6 7 ([email protected] 7'<6
!
( V!*' τ ( &*, : : <6 + /0 " ' ' 5 ( '#D b > 4 ( 1
1−
$$3. ( : V*,7 '#% p > 1 % @? ) + /
p
X02 +Y02
b
τ (t, y) = E
= E
Xty Yty
1−
(Xty )2 +(Yty )2
b
!
,
! Z
E
X 2 +Y 2
•
Xt Y t
∂y u(y)Ys dVs
!
.
@? )21 1
$ ? 6$"" V ]H ! ' $ C8 *
D? 5(* ∂ τ % 69) 1 10E " @ 76$9y ( *, : : : 6$ : / (5: @ . /. #D7!$# : ( ( )
&I'H (
V y
1−
t
t
b
0
t
u
J 1 4 Z [1[ 6& : Z E ) h3 h; [
-
@ a M J, [ * ' ', *+ -8"3" /1=%?(8'" b >
!p
&
'
0
1
/
2
,
(
%
$
P
*
&
%9"0% '+7?$&,)- 459 % (8,M" ( 1
6 fext ∈ L2t (L2y ) u0 ∈ Hy1
X +Y
M*- M *+ % (85 59( % '$ % (8, -&5L3"=% -&7:(8' 1 − 0b % * 0
7/+'&% '$
p > 2
[0, T ] !Tp !∈ (0, T )
#
(8' ||∂ u || (8' ||f || (8' b -&' (8' E
1
,4 E AH
2
0
y 0 L2y
1−
X02 +Y02
b
||u||L∞([0,T 0 ],Hy1 ) + ||u||L2 ([0,T 0 ],Hy2 ) ≤ C.
*%9"-&5 " ( 8% %?5*8"T *+ % (85 59( % '$ % (8, -&5 3"=% -&0(8'
4
>
ext L2t (L2y )
2
0
' (8 * )! -8" 3" 1−
%9"O-!3(8'"?-&'+ 7/+'&% '$(8'
C
!p !
X02 +Y02
b
) *O F".-
(8'
[0, T 0 ]
#
||∂t u||L2 ([0,T 0 ],L2y ) ≤ C.
1
E
∂t u (8'
||∂y u0 ||L2y ||fext ||L2 ([0,T 0 ],L2y ) b
-&':(8'
: $" : C $ @? ) A. C
( E$3. ( @ ' %5? ( 0/
−∂yy u
O
Z
Z
Z tZ
Z tZ
Z tZ
1
1
2
2
2
(∂y u(t, y)) −
(∂y u0 ) +
(∂yy u) = −
∂y τ ∂yy u −
fext ∂yy u.
2 O
2 O
0
O
0
O
0
O
! $7C/$ : Z
2
(∂y u(t, y)) +
Z tZ
2
(∂yy u) ≤ A + 2
Z tZ
|∂y τ ||∂yy u|,
6B A = ||∂ u || + R R |f | ) 4] 2 ( V V ( *,.# (5: " ' ( \ ( ] 6 $: :
: ]( ' 7 ? , 2) 1 !1. %c6 E?( E '?" @ 7/ : # ''$1 )
0
O
2
y 0 L2y
∂y τ = E
Xt Y t
T
0
ext
O
! Z
O
0
O
2
t
∂yy uYs dVs −
Z
t
Z
2
(∂yy u)(∂y u)Ys ds E
•
∂y uYs dVs
!
@?
! $ ( G 6 $2 6 '"'% CTc ! ' @ ( 6$ " - y %<*, (5: #%! @ 2) '1')C ! Z
%ω ( # @5( ( :
XY
( F CF"& @ E
∂ u(y)Y dV
$*, '# $3. ( : B C $ ω1 −5F$' @5( @ ) ! " !*,# c '' !"% ( $7 ( # @ ( ( : ζ `c C+/
1−
Xt2 +Yt2
b
0
t t
Xt2 +Yt2
b
0
0
•
y
s
s
0
t
t,h
ζt,h
 Rt
Rt

∂y u(y + h)Ys dVs − 0 ∂y u(y)Ys dVs

0

h
Z t
=


∂y,y u(y)Ys dVs

0
$*
$ *
h 6= 0
h=0
&IH `
t
.
7- @
(5*[ " ' @ \ &( ζ ' +\53 4$ 5 *, C# ] :6 #DC.% '' @ ! B'4# '! $ #C 1/) "/ )A " ( E $) %! 6 : : (5, : ' c ( ]" (5 : : #( '-$1 ) 45$ ( : ( *, :$: <u6 ? 5*
?" 5* 7<6X#D" : - : C ' ' ) F5" '$ >c ''D( ' # % : 7E (4[ (5 : $ (C%$ % CZ%*, $ ( 3C 8*( 0E+ ( ( Y / '
1
ω
q>
t
E
! Z
Xt Y t
t
q
Z
∂yy uYs dVs E
∨
2p
p−2
!
•
∂y uYs dVs
≤
X 2 +Y 2
0
0
1− tb t
t
Z t
2 !1/2
Z t
q−1
2
b (∂y u) ds ≤
Cq E
∂yy uYs dVs
exp
2
0
0
1/2
Z t
Z t
√
q−1
2
2
exp
|∂yy u| ds
b (∂y u) ds .
Cq b
2
0
0
F ?E'# % ( ' #D : ( ( #D3 6
E
2(b−2)
b−6
Xt Y t
1−
Xt2 +Yt2
b
! Z
Cq0 b
t
0
Z
/
Z
2
(∂yy u)(∂y u)Ys ds E
t
0
|∂yy u||∂y u| ds exp
•
∂y uYs dVs
0
q−1
b
2
Z
!
t
t
2
≤
(∂y u) ds .
0
> 4 ([email protected] ' % G6 ( ' 8 #D 59.% ∂ u(r, y) ≤ ||∂ u(r, .)|| y
Z tZ
y
Hy1
/
|∂y τ ||∂yy u| ds
Z s
Z tZ
q−1
2
b
(∂y u) dr
≤
exp
2
0
0
O
1/2
Z s
!
√ Z s
∗ Cq b
|∂yy u|2 dr + Cq0 b
|∂yy u||∂y u| dr
|∂yy u|(s) ds
0
O
0
0
!
Z Z s
1/2
Z s
√ Z t
q−1
|∂yy u|(s) ds
b
||∂y u||2Hy1 dr
|∂yy u|2 (r) dr
exp
≤ Cq b
2
0
O
0
0
Z s
Z t
Z s
Z
q−1
0
2
+Cq b
exp
b
||∂y u||Hy1 dr
||∂y u||Hy1 (r)
|∂yy u|(r)|∂yy u|(s) dr ds.
2
0
0
0
O
6 2 ( $ CH ( " " : $ ( %5* ( 03C 036 ( '1& 4 (5: $ C " ( ( : 3-.
&N
J 1 4 -
@ (5: 59'#%0/
Z Z
t
0
O
|∂y τ ||∂yy u| ds
1/2
Z s
Z s
√ Z t
q−1
2
2
||∂yy u||L2y (s) ds
||∂yy u||L2y (r) dr
||∂y u||Hy1 (r) dr
b
≤ Cq b
exp
2
0
0
0
Z s
Z t
Z s
q−1
0
2
+Cq b
exp
b
||∂y u||Hy1 (r) dr
||∂y u||Hy1 (r)||∂yy u||L2y (r) dr ||∂yy u||L2y (s) ds
2
0
0
0
Z
1 t
||∂yy u||2L2y (s) ds
≤
4 0
Z s
Z s
Z t
2
2
||∂yy u||L2y (r) dr ds
||∂y u||Hy1 (r) dr
exp (q − 1)b
+C(q, b)
0
0
0
Z s
2
Z t
Z s
0
2
+C (q, b)
exp (q − 1)b
||∂y u||Hy1 (r) dr
||∂y u||Hy1 (r)||∂yy u||L2y (r) dr ds.
> 4 ([email protected] &<6\ *, : : <6 2 ' (5: B C+/
0
||∂y u||2L2y (t)
; 1
+
2
Z
0
0
t
||∂yy u||2L2y (s) ds ≤
Z s
Z s
Z0 t
2
2
||∂yy u||L2y (r) dr ds
||∂y u||Hy1 (r) dr
exp (q − 1)b
A + 2C(q, b)
0
0
0
2
Z s
Z s
Z t
2
0
||∂y u||Hy1 (r)||∂yy u||L2y (r) dr ds.
||∂y u||Hy1 (r) dr
exp (q − 1)b
+2C (q, b)
0
f1 (t) = ||∂y u||2L2y
(t) (
0
F? ([email protected] 7/
(s) ds )
0
Rt
f2 (t) = 0 ||∂yy u||2L2y
Z s
Z t
1
f1 (t) + f2 (t) ≤ A + 2C(q, b)
exp α
f1 (r) dr + f2 (s)
f2 (s) ds
2
0
0
Z s
Z s
Z t
0
+2C (q, b)
exp α
f1 (r) dr + f2 (s)
f1 (r) dr + f2 (s) f2 (s) ds,
6B α = (q − 1)b ) ; E6 $ /
0
& ' 3] ( \ 5* ?*,#D4 ( ) > ( R(t) 0
0
Z t
Z t
0
R (t) = 2 exp α
f1 (r) dr + f2 (t)
C(q, b) + C (q, b)
f1 (r) dr + f2 (t)
f2 (t)
0
0
Z t
Z t
0
≤ 4 exp α
R(r) dr + 2R(t)
C(q, b) + C (q, b)
R(r) dr + 2R(t)
R(t).
0
C8$3. ( ^$9 #D.% $ : ( 7
0
0
Z s
R(t) ≤ A + 4
exp α
R(r) dr + 2R(s)
0
0
Z s
0
∗ C(q, b) + C (q, b)
R(r) dr + 2R(s)
R(s) ds.
Z
t
0
&&
7- @
R $ ( E ' ( &^*, %6G& ([email protected] 7/
Z
t
R(t) ≤ A + 4
exp (α (T + 2) R(s)) (C(q, b) + C 0 (q, b) (T + 2) R(s)) R(s) ds
Z t0
≤ A+
exp (βR(s)) (c + c0 R(s)) R(s) ds,
6B β = α (T + 2) % c = 4C(q, b) ( c = 4 (T + 2) C (q, b) )3F '# $V ( -.
! !
J ( 'J 0/$' γ > 0 ( C > 0 % " &5 q % b % E
1
1−
( T 0\ ( /
0
0
0
p
X02 +Y02
b
R(t) ≤ A + C
Z
t
exp(γR(s)) ds.
; H(t) 5V 54 ( 9 )&# G ( 'C% ' @ V* '# $ '4 (5: B C *, :$: <6 &^! # ( / ∀t ∈ 0, exp(−γA) %
0
1
γC
1
R(t) ≤ H(t) ≤ ln
γ
# * 6G&-
T0 =
1
γC
1
exp(−γA) − γCt
(exp(−γA) − exp(−2γA))
.
%6G& ([email protected] /*, 5( :$: t ∈ (0, T ) %
0
R(t) ≤ H(t) ≤ 2A.
! $ : ( 7 ,* $: : <6 &!$# ( /*, 5( :$: t ∈ (0, T ) %
0
||∂y u||2L2y (t)
1
+
2
Z
? )91 ? t
||∂yy u||2L2y (s) ds ≤ 2A.
8 '+ %?!$# %/6 & ' ? > # ([email protected] ( : ( C ( <6 ( '( # ( $[∂ u5* ∂ u $ @ L ([0,( T∂],uL=) ∂u'# +) f- '+ ∂@ 'τ%)
' 9 ( #D ( #D3 ( *,'.%6 + ( ( : C'<6 ( % *, ( 3C *,$ v ∈
0
t
%
L ([0, T ], L )
2
0
2
y
Z tZ
0
yy
O
&H
0
∂y τ v ≤ C||v||L2 ([0,T 0 ],L2y ) ,
6' C ( ! ( 3 " $ q % b % A % E
?' # ( 5 ∂ u )
t
2
1
1−
X02 +Y02
b
t
2
y
!p !
yy
( ext
T0
y
) ! $ C : 5&!64 < 4 "( !# 8$ %'8 ;:4 < %=$84) !6>5!647
! ( # 5* $7-$\$+" ' @ & ,* : : <6 /
G^ [
1 1 - @ i , , : -8"3" DA*-& b >
Z E *) h2 h; [ Hi,` _E N _H
:
!p
&- '
%9"% '+?$&,;- 459 % (8," ( p > 2 4 *+'
1
6 fext ∈ L2t (L2y ) u0 ∈ Hy1
X +Y
*+,2 6 %9"A" T 0 ∈ (0, T ) 7/+'&% '1$ −(8' b*+ #-&?- " " !3* *-&EA*+" %"7 "lk "
-( % "S-OK'+% 8 +L" (856K=%?(8' (u(t, y), X y, Y y ) (8' [0, T 0] % '0 *+L" '" $&% '0% ' : '+% C%?(8' " t
t
K [ ML &I > % (8'@ !3*+( ( " 3"d" ( % '+% C%=-&[email protected],)-&'( -&,<%=- 4593" (X0, Y0) &%9"=,<%4K7$ % A*
*+% ' -&,<%=-&'+ '"% % p '@$ &%] < " *+' 4 *+3(8,2 *+(85*8"K',A*+ )-MO#,
-8"3" /1C%?(8' b > 2 C" 3 0 -&, O < < -&' \i ; - < " : ,2!)-&5 5 *-&'@(8'@N( % *+3" -8"3" /1C%?(8'"(8' b %9",23"=,<% !C% T% '/1,;- !=% !3d"% ' !3 b %9"S/+* % "% !)-&5 5 %P( % A*+0(8, ,( %P<) 2
0
2
0
1
# ^*, : : <6$ %6 ( '#% b > 6 % f ∈ L (L ) % u ∈ H ( 1−
$$3. ( : V*,7'#% p > 2 )
9 G^<6 V 0/ !?5* ( ' : % 5" : 9'C '#/%6 3*'/
#
*, : : 6$ @ ( ' ( ( : *,'#^ : ( $H5* ? B) A /
% '
" !3*HA*-& % (8,-&5 5
2
t
ext
2
y
0
1
y
X02 +Y02
b
1
2
2
1
u ∈ L∞
v ∈ H0,y
t (H0,y ) ∩ Lt (Hy )
Z
Z
Z
Z
d
uv = −
∂y u ∂y v −
τ ∂y v + fext v,
dt O
O
O
O
@? )21 A
7()$A*+, % *
Xty Yty
τ = E
Xty
1−
Z
= X0 +
Yty = Y0 +
Z
(Xty )2 +(Yty )2
b
t
0
t
0
!
@? )21)
,
Xsy
1
+ ∂y u Ysy
−
y
y
2 1 − (Xs )2 +(Ys )2
b
1
−
21−
!p
Ysy
!
ds + Vt ,
@? )21 ds + Wt .
(Xsy )2 +(Ysy )2
b
@? )21 E
!! 0\' + ( ! CZ'3 '3'4 (5 : $4( @5? ? )[email protected]? A. $D '^ \ D'' ' ' / >D$ ([0,
!
)
T
))
+''%5*
(
(5: (
(
Vc B 5 ! 8" ' : # H6 :$: )21 ED`cC )91 % 5" '$ '*' ' : \ @) ? )21 EDC @? )91 -) - ' @ '%#) # R τ ∂ v ( ( #% ( $1 [email protected] $^;( #%# (
: 8 @ ( ( $ (5: " ' : # ( : $
<6 ( $V$
A @? ) A.DC @? ) E. τ9&'L'2(L* V) ) cI B 5 1 )
Q.Q W W ! $TU /YXW !/U W W \ $TW
J$3* (!&( : 4 ( ""& /0 # ( $V5* @5( ( 5 (5: " : # ? )21A.GC ? )91 )
F
; (v )
0% ( {v } ( ( $ 5* H (O) ( D0 ( ∈ C (O) ∩ H (O)
5
8 ) ) 9 @ D5* V $0 : - : ( " : ( ( ∂ v ∈>
Vect{v
, 1 ≤ j ≤ i} (
2
'
2" : # 6G&5$ ( 72$' O -)
V = Vect{v , 1 ≤ j ≤ m} ) !
0
∞
t
∞
i 1≤i≤∞
yy i
∞
y
1
0
O
i
y
1
0
j
m
j
&
: %@ ' : ( /
U ∈L
d
dt
m
∞
m
t (R )
Z
um v i =
O
τm =
Xty,m =
Yty,m =
7- @
" 3! * *-& *+ % ' ! C%?(8'
P
"4-&=%9" 3" #
um (t, y) = i Uim (t)vi (y)
Z
Z
Z
% (8,
m
m
−
∂y u ∂y vi −
τ ∂y vi + fext vi ,
1 ≤ i ≤ m 91
O
O
O
!
Xty,m Yty,m
E
,
(X y,m )2 +(Yty,m )2
1− t
b
!
Z t
Xsy,m
1
X0 +
+ ∂y um Ysy,m ds + Vt , −
(Xsy,m )2 +(Ysy,m )2
2
1−
0
b
Z t
Ysy,m
1
−
Y0 +
ds + Wt .
y,m
y,m
2 1 − (Xs )2 +(Ys )2
0
b
? ) .)
@? ) 3)
@? ) @? ) 1
!' 'BC& (5: '3B 5 u4 (t = 0) ? $ Π (u ) 6''Π! $/ $ H . "& , $75!V 0 ) ! ' '( 4 (5: 4 ( (5: @? ) ( DC @? ) ()91.1) ( '7 '' %$+D([0,
T))]) 5! * ]`c B$( )
> 6 * # '" B 5 1 ( &!*' ( 6 B\$H *, :$: <6 &*,# /
m
m
m
0
! Z
E
X 2 +Y 2
1−
t
m
0
•
Xt Y t
τm = E
1
t
∂y um Ys dVs
0
!
.
! ( ?*,.# (5: -/1,<%?(8,<% '$# ( 7 *J; #D# (' ( E<6 ?' @ ' ' : CH58? '' $1\" ' : # $?? ( E ( 5 v = u ( ( !*, $ ? 1.) ( '<6 ( ?$* u ( ' : / 5 5* " : # ? )91.) C ? ) (1. [0, T ] %
6 M
)9||u
$ 6$0 #D ( ( ||U (t)||
||
≤M
" ] m- ) 4] (5: ' ( B* u $ ( : $95* ?" : # ? )21.DC @? ) 1 6BF ( #D "" % 6B
% 6G \
[0,Θ]
≤ M
M Θ"<T ( 3] * Θ- ) ( : ([email protected] ||U (t)||
# E *, : : <6 4% #D' m Sc&/0 ( 86 &5#%B?'" '' $" m )
<6 6 3 2'<6 J 'C '# ? @? #D$ ' : )
F
3*' /J(J# ( + A( = R v v: % B( = R ∂ v )2∂1.vDC A% ) 1c ( : Ξ = (v( , ...,
>
v )
( F @ F 6BF#D" 3 Z f v ) >
( ' 5 8 \!*' ( c&/0 " 3 5* *, <6 & # "" & 6 0 '/ J ( 3C *,-$ Φ ∈ C([0, T ], R )
*,U F (Φ):$: ∈ C([0, T( ], R ) c ( C / (
4]5 dc
b
t
m
m
m
m
L∞ ([0,T ],L2y )
L∞ [0,T ]
m
m
i,j
i j
O
L∞ [0,Θ]
i,j
ext
O
y i y j
1
m
ext j
O
m
m
F (Φ)(t) = U0 −A−1
6'
& Z
t
0
BΦ(s) −
Z(Φ)s = E
Z
Z
E
0
1−
O
•
Xs Y s
X
i
Xs2 +Ys2
b
!
Z(Φ)s ∂y Ξ + Fext (s)
Φi (r)∂y vi Yr dVr
!
s
.
!
!
ds ,
1 1 -
@ ! & $ (5: $$ U $ @ 6$8#%" 3 (Π (u )) )
% ,2" "7/ #
F ! % 6 ( $ '<6 C J ( c&0/ " 3 '# ( 8*, ( ( 4 Mc 0 " 36"'!*$ C([0, α], B(U , 1)) <6G 6$E
F
$*,' # 5 @ " : C% *,. #D α ∈ (0, T ) 6 :$: 0' ( ? : C " &5
% max ||v || % m % b ( T 7 '4 (5: B$ @? ) ? ( ? ) A : <6 -)
||F ||
?c C B(U , 1) = {K ∈ R , ||K − U || < 1} ) 45$c !
,1)
! ( 6G(5?: : B(U
.%
,
*
([email protected]
( 3C Φ ∈ C([0, α], B(U , 1)) ( 8*,. ( 3C t ∈ [0, α] /
m
0
0
j
0
ext L∞
t
i Wy1,∞
1≤i≤m
0
m
0
0
0

E (Z(Φ)t )2 = E  E


= E exp 
Z
t
0
Z
X
5 : C " 2
i
! !2 

Φi (r)∂y vi Yr dVr
i
≤ exp Cαb ||Φ||2L∞ [0,α]
C
C([0, α], B(U0 , 1))
0
X
Φi (r)∂y vi Yr
≤ exp Cαb ||Φ||2L∞ [0,α]
6'
•
E E
2
Z
dr  E
•
0
,
X
2
Z
•
0
X
i
!
Φi (r)∂y vi Yr dVr 
Φi (r)∂y vi Yr dVr
i
max1≤i≤m ||vi ||Wy1,∞
/
t

!2
t
) ! $2#D ( $
2
||Z(Φ)t ||L∞ ([0,α],L∞
≤ exp CT b 1 + ||U0 ||2
y (Lω ))
&\ ?! # F; #%# ? % ,* 3C
*, :$: <6 &^! # ( ( ( Φ = F (Φ)( / (
α<T
.
Φ ∈ C([0, α], B(U0 , 1))
0
t
!!
( Φ∈
@? ) )
% 6GD ([email protected] D
2
||Φ0 (t) − U0 ||L∞ [0,α] ≤ |||A−1 ||| |||B||| α(1 + ||U0 ||) + Cα||Z(Φ)||L∞ ([0,α],L∞
y (Lω ))
+α||Fext ||L∞
t
≤ Cα(1 + ||U0 ||) exp(C||U0 ||2 ),
6' C $ ( ' ( 4G" 2 : C+ ||F || % max ||v || % m % b ( E5
4'%
$* G6 &0 α], B(U , 1))) ⊂ C([0, α], B(U , 1))
'#( (5:$: 8||U+||-) ! '& ( F (C([0,
/
ext L∞
t
0
0
T
α
i Wy1,∞
1≤i≤m
0
@? ) ? Cα(1 + ||U0 ||) exp(C||U0 ||2 ) ≤ 1.
>\ 0 D<6 ( +9*,$ F '*' - C([0, α], B(U , 1)) 6$ α '# (5:$:
$D3* ( ) ; - Φ = F (Φ ) % Z = Z(Φ ) ( Φ = F (Φ ) % Z =
6' Φ ∈ B(U , 1) ( Φ ∈ B(U , 1) ) "" #%. @ 9 ( @? ) ? Z(Φ )
0
10
2
t
1
0
1
2
1
t
1
0
t
20
2
2
t
&
: ) F? ([email protected]
10
20
7- @
||Φ (t) − Φ (t)||L∞ [0,α] ≤ |||A ||| |||B||| α||Φ1(t) − Φ2 (t)||L∞ [0,α]
2
+Cα||Zt1 − Zt2 ||L∞ ([0,α],L∞
y (Lω ))
0
1
2
1
2
∞
∞
∞
2
≤ C α ||Φ (t) − Φ (t)||L [0,α] + ||Zt − Zt ||L ([0,α],Ly (Lω )) .
> <6>6 ( 3 !$# ( k = 1 2 /
Zt1 − Zt2 =
=
Z
t
0
Z tX
X
i
−1
(Zt1 −Zt2 )
) >J * ( - ( Z
Φ1i (r)∂y vi Zr1 −
X
E
i

≤ 2E 
Zt1 − Zt
i
Z tX
0

Z
t
+2E 
≤ 2
Z
t
0
+2
0

Z
E
0
t

E
Φ1i (r)∂y vi
i
Φ1i (r)∂y vi
i
X
i
0
Φki (r)∂y vi Yr Zrk dVr
i
!
Zr1 − Zr2 Yr dVr .
!2 
Φ1i (r) − Φ2i (r) ∂y vi Zr2 Yr dVr 
X
t
0
X
i
Z
Z tX
Φ2i (r)∂y vi Zr2 Yr dVr
Φ1i (r) − Φ2i (r) ∂y vi Zr2 Yr dVr +
2 2
=1+
!
F 5# ( ? ) %6 2& ( % ∀t ∈ [0, α] %
0
k
t
!
!2 
Zr1 − Zr2 Yr dVr  ,
!2 
Φ1i (r) − Φ2i (r) ∂y vi Zr2 Yr  dr
X
Φ1i (r)∂y vi
i
!
2
Zr1 − Zr
!2 
Yr  dr,
≤ 2bC 0 α exp CT b 1 + ||U0 ||2 ||Φ1 − Φ2 ||2L∞ [0,α]
Z t 0
1 2
1
2 2
+2bC ||Φ ||L∞ [0,α]
E Zr − Z r
dr.
& 36 (5: : ; #D# ( %/$C/$ : ( 8! # ( 0
6' C
>Tc
T)
Zt1 − Zt2
0
≤ C 0 α exp(C 0 ||U0 ||2 )||Φ1 − Φ2 ||L∞ [0,α] ,
( 5' ( 3 " 9 5 : CE ||F || %
(5: : C <( @ ( E$4 ( : $ C 5 * *, :$: <6 2 C/"
2
L∞ ([0,α],L∞
y (Lω ))
ext L∞
t
0
&f
/
0
% % ( max1≤i≤m ||vi ||Wy1,∞ m b
/
||Φ1 (t) − Φ2 (t)||L∞ [0,α] ≤ C 0 α exp(C 0 ||U0 ||2 )||Φ1 (t) − Φ2 (t)||L∞ [0,α] ,
'D ( 1 1 -
@ 73* ( +$* 6 2 (<@ /
F
@? ) A
C 0 α exp(C 0 ||U0 ||2 ) < 1.
I ! ( %56 (<@ E]'<%6D ' '( D"*,. ' ( 3:C^# $ (5: ( #D$+ 3 'U @ % (5: ' 0/% !6 B( : $
U
[0, α ]
α >0
'0∈\C([0,
( α ? ) ], ? R ( ) ? ) A : ) 0
m
0
0
0
!3(8'"77/L !3(8'+C% '+-&=%?(8' #
> ( D<6 ' ( ' ( ( ^" '*' D5* ( : $^ ? )21.DC @? ) 1 * 5# Rc (5:
" 3 U (α ) ( Z = Z(U ) = exp R P U (r)∂ v Y dV − R (P U (r)∂ v Y )
' 2 ( #D ( #D3 ( *,' ) 4]5 ] ( CD -d/1,<%?(8,<% ! # ( ]5* ; #%# (
% 6 H ([email protected] 9>H5H ( U (α ) ≤ M ( 5 F 5'^ ( ||Z ||
≤
@
?
$
%
6
$
H
C
"
/
.
:
)
)
+
C ' exp(Cα
b(1 + M )) ≤ exp(CT
b(1
+
M))
=
M
$ 5 max
>
6
'
'
]
#
"
"
$
6
$
0
(
(
(
)
||v ||
F
( 3C9*,$ Φ ∈ C([α , T ], R ) *,-$ F (Φ) ∈ C([α , T ], R ) c C8/
!
!
0
α0
α0
0
α0
i
i
y i r
α0
0
1
2
r
0
2
i Wy1,∞
1≤i≤m
Z
F α0 (Φ)(t) = U (α0 )−A−1
0
m
0
BΦ(s) −
α0
Z
dr
m
0
Xs Y s
E
O
2
α0
α0
t
y i r
2
α0 L ∞
y (Lω )
0
2
i
i
1−
!
Xs2 +Ys2
b
Z α0 (Φ)s ∂y Ξ + Fext (s)
!
ds ,
6' Z (Φ) = Z E Z X Φ (r)∂ v Y dV ) ! + ( #% ( #D3 ( *,.
'<6 ( ]6G^ ( Nc ( $#%?$4 @5( : [α , α + α] 6B α ∈ (0, T − α ) E6 0
( ( c&0/8" 5 3 %6 ( 7 G #D" ! ( 3 , ' ( ! G F
*, 710 ( #%" : ?6 ( C8)# ? ( \'$# ( Z (Φ) %*,. ( 3C t ∈ [αZ, α ∈+Lα](L/ ) )
α0
•
s
α0
i
α0
y i r
r
i
s
0
α0
0
α0

E (Z α0 (Φ)t )2 = E  Z(α0 ) E




Z
= E Zα2 0 E  E
= E Zα2 0 E E
2
Z
•
α0
•
α0
X
0
t
α0
i
2
ω
0
t
Φi (r)∂y vi Yr dVr
! !2
t
Φi (r)∂y vi Yr dVr
i
!
t
α0 )b||Φ||2L∞ [α0 ,α0 +α]
E
Zα2 0

|Fα0 

exp 
≤ exp C(α − α0 )b||Φ||2L∞ [α0 ,α0 +α] E Zα2 0 E E
≤ exp C(α −
0
! !2 
Z •X

Φi (r)∂y vi Yr dVr
i
X
∞
y
α0
2
Z
X
t
α0
Z
Φi (r)∂y vi Yr
i
•
α0
.
X
!2
Φi (r)∂y vi Yr dVr
i

dr  |Fα0 
!
t
|Fα0
&V ' ^ ( #% ( +#%4 ( *,..% 7 ( ^4J'<6 ( F %M6 !.
+ -? C([α , α +α], B(U (α ), 1)) '0? ( F (C([α , α + α], B(U (α ), 1))) ⊂
( 3* ( &%M"& @ ^ ( α ( $;c ( ^ '4 (5: B C
C([α
5* , α C " +α],
7/ B(U (α ), 1))
0
0
0
0
0
α0
α0
0
0
0
0
CαM 0 (1 + M ) exp(CM 2 ) ≤ 1

&
:
!!
6' C ( ' ( 35 : C\" E
>& ( E0/5
T)
%
||Fext ||L∞
max1≤i≤m
t
7- @
% m % b ( ||v ||
i Wy1,∞
1
.
CM 0 (1 + M ) exp(CM 2 )
α0 + α1 ], Rm )
Oc U ∈ C([0,
U (α0 + α1 )
Z(U )α0 +α1
0
2
||Z(U )α0 +α1 ||L∞
≤
M
y (Lω )
[α0 + α1 , α0 + 2α1 ]
21
1
α = α1 =
>V ([email protected] ]4 : ( : $
?] ''" ' : # +
$4 @5( : [0, α + α ] ) ! ( : " 3
( ( ' ( 6G (& D% 09C ( $
%
#
!
( (
( ||U (α + α )|| ≤ M (
( #% ( + #D3% 10/ ' : / 5 #D) 3 @ (5:
% C ( 3 4 ( 5 ( #D3 % 6 H ( : ( ' : ? ) .DC @? ) >D( #D
$ 4 @5( : [0, T ] )
K [ ML &f 4 *%9"T/1,2( 3" *-&T-&' % '+% 59 '+E-/#/1,2( 6 % -&=%?(8' ( % A*+ -&,<%=-&C%?(8'1-&5
/1,2(459 " ":k " 23" *-8"M-:" (856K=%?(8' (8'.-B=% % '+7, -&5 [0, T ] % (8,M-&' % T > 0
K [ ML & : '@)!)-&'H)-8"% 5 %G/1,2( R *+R'+% 8 +'@3"3"I( % -E" (856C%?(8'B(dA*+ /1,2(459 " "
k " 23" (8' [0, T ] % (8, 6 - /159 &% -(#-/1=% '$ *+/1,2( ( % ( % \i ; - < 2 7( *+ '+% 7
0
0
&% 1
1
'"%?(8'1-&5!)-8" WVUNW /YXW !/U W W \ $TW
F?<6 '8 ?5 5* &' / 595* ? ''$1\" ' # *,'# ( : -T/1,<%?(8,<% '$# ( 5* @ ; #D# (' E ( ?: ' @ / 5 : C 8& : '-) ! 1
!9*, [ @? \
!C/!# 7% \ 5
'" ( : ) # ( $ (v ) 6 ( (<@ ( 05v = % (−∂ uE ( /0 " ( ' ? )91 ) 5*]E)21 )' @ ( @ 85*
6$ '" 8 y 9#%" : : C ' ' H' ∀t ∈ [0, T ] % u (t, .) ∈ C (O) )
τ '-*, ! B*, # % ' ; 5#% # ( $E 3% 6G #4<6 ( G'V10$' T > 0 '0H ( G 'V /0 $' (
L ([0, T ], H ) ∩ L ([0, T ], H ) (
∂u
. # L ([0, T ], L ) ) u
]" 0 + ( - 5 5* ( ' '4.%96 X ( "" 'X ( 'X /0 !
'0\ ( /
u ∈ L ([0, T ], H ) ∩ L ([0, T ], H )
C u * u 6G ( 6 : C8( $ : C9L ([0, T ], H ) ( E% 6 ( : C4. 2 L ([0, T ], H ) %
C ∂ u * ∂'*u' : C9 L ([0, T ], L )
C
)
F u →u 5 @ L.%([0, 6T ], H ) ! ( ( * ( ( $ 5, #%" $( {v
) ! ) v∈' #L ([0,
3A ),) F ∂ v ∈( L(5([0,
]T"]," L')},→
( Lu ([0,−→T ],u H*,. (5): #%! @ ''C
A/) T" )],A F H ^6 ∩H
:
3&8<6 5 @ H5* ( 05* #D 5* (t,
*, :$: y)<6∈ &^ (0,4T ( )× O ) *,. ( c ( 0 i /
W
Q.Q m
y,y
i
m
m
2
0
∞
0
1
y
2
y
0
1
y
m
t
m
∞
m
2
0
2
0
2
y
0
2
t
2
2
2
y
0
2
y
0
1
0,y
1
y
2
0
∞
2
y
t
∞
0
1
y
2
0
1
0,y
2
y
2
t
0
0
2
y
m
m
0
d
dt
Z
m
u vi +
Z
m
∂y u ∂y vi =
Z
! Z
E
X 2 +Y 2
•
Xt Y t
E
m
∂y u Ys dVs
!
Z
∂y vi + fext vi ,
@? ) )
6' 6 ([email protected] VH*, : : 6$ &' ( ( 'H" 5" '' C%5* V 0/" 4 5( : # ( '$ (5: 0/
*, ( 4 C y c&0/\ O % ∂ u(t, y) ∈ L (0, T ) %6 2 ([email protected] ∀t ∈ (0, T ),
O
O
1−
O
2
y
τ (t, y) = E
&(
t
t
b
0
! Z
E
X 2 +Y 2
t
t
b
T0
0
•
Xt Y t
1−
0
0
∂y u(y)Ys dVs
!
T0
.
O
/
]' ( @ 5 @ '% 6
! Z
Z Z
T0
Xt Y t
E
0
1−
O
E
Xt2 +Yt2
b
; GG`c ]*, 1 1 -
@ ( : CE" ( : #D!$$ (5:$: #D 5* @? ) )
%36' w ∈ C (0, T ) )
∂ v w
∂ u Y dV
•
y
0
m
s
∞
0
y i
s
T0
! Z
E
X 2 +Y 2
•
Xt Y t
m
f (t, y, ω) =
1−
t
t
m
∂y u Ys dVs
0
0
∂y vi w
# $ ( 'C ( % Z ∂ u Y dV @ '+ L (L ) Z ∂ uY dV ( ^ ( Z
Z
'
+
> ( \-*, 04.
1
1
@
(∂ uY ) ds )
(∂ u Y ) ds
L (L )
+2 ( - & ( '4 "" 57 ( f [email protected] '+ *,. (5: #D! @ !C (t, y, ω) <6 ( ! Z
XY
- ' @ '%6 ? ( >c ( .
∂ v w)
∂ uY dV
f (t, y, ω) =
E
*, '# E81 −? '# L ([0, T ], L (L )) * f $ ? ( #% 0 4 ( ; #D# '( A-) ! 7'<6 ( 7?* ( #% : C (f ) 7$*, '# : CD 3' ( : ( E'-.
*, ' ( Z Z E(f ) −→ Z Z E(f ) )
F (5: : C (% E 7( " ' : @ C ' ( 10 $( '' (&" ( #D' 35 * ! .#) ) ? A " ( 5 1 3) ( E)
u(0) = u
T0
y
m
s
b
s
0
T0
m
y
s
2
y
2
ω
y
s
y
1
y
0
1
ω
s
2
0
m
t t
Xt2 +Yt2
b
s
)
0
T
2
T0
T0
•
y
s
y i
s
0
2
T0
0
2
y
2
ω
m
m
m≥1
T0
T0
m
0
0
O
O
0
Q.Q
Q
R
TSVUXWYW
!! /YXWK $TU &( i , , F ,3 ) 4 *+ " %"7 l" k " -( % "G-I'+% 8 +
" (856C%?(8' (8' [0, T ] % 'D *+d" '" I$&% 'N% ' : '+% C%?8( ' "
Z [1[ 0
( + ( : C ( $
) *O F" ; &&5$ 6 ,* : : 6$ ^'$# ( w = u: − ũ %*,(u,( 4X,C 0Y <) ( t < T(ũ,/ X̃, Ỹ ) )
0
1
2
Z
2
w (t) +
O
Z tZ
0
O
|∂y w|
2
= −
0
1
≤
2
Z tZ
Xt Y t
!
6'
τ − τ̃ = E
Z tZ
1−
0
Xt2 +Yt2
b
O
(τ − τ̃ )∂y w
1
|∂y w| +
2
O
2
Z tZ
0
O
|τ − τ̃ |2 ,
!
(Z(u) − Z(ũ)) ,
`
6B
Z(u)t = E
Z
•
∂y u(y)Ys dVs
0
|τ − τ̃ |2 = E
Z(u)t − Z(ũ)t =
! $7C/$ : 0/
Z
t

7- @
) F? ([email protected]
Xt Y t
≤ E
F 4 <6 ( 1−
Xt2 +Yt2
b
Xt Y t
1−
Xt2 +Yt2
b
!
(Z(u) − Z(ũ))
!2 
!2
 E (Z(u) − Z(ũ))2 .
t
(∂y u(y)Z(u)r − ∂y ũ(y)Z(ũ)r ) Yr dVr
Z t
Z t
(Z(u)r − Z(ũ)r ) ∂y ũ(y)Yr dVr .
(∂y u(y) − ∂y ũ(y)) Z(u)r Yr dVr +
=
0
0
0
E (Z(u)t − Z(ũ)t )
2
≤ 2b
Z
t
0
+2b
Z
|∂y w(y)|2 E(Z(u)2r ) dr
t
0
|∂y ũ(y)|2 E (Z(u)r − Z(ũ)r )2 dr.
& ' 36 ( : : ; #%# F
( ( [* ( % ( C : ( 8'$# ( /
E (Z(u)t − Z(ũ)t )
2
≤ C exp C
Z
E(Z(u)2t )
T0
0
|∂y ũ(y)|2 + |∂y u(y)|2
>? ([email protected] Tc (5:$: C%$ ?!$# ( 75* ; #D# '( E
Z tZ
|∂y w|
2
R 0
T
2
≤ exp b 0 |∂y u| ds
≤ C
/
Z tZ sZ
!Z
% t
0
|∂y w(y)|2.
|∂y w|2 .
6$0'<6 ( w = 0 C 36 (5: : ; #%# ( )
. '+ E " '/ *V5*V; #D#
% Z'-*,E5* '# J% B
'# # ( ] (5:$: * 5: # " '$$ 1 ( D( ! 0 ( ( ! 3 ( : !4 ( 5 E ? B) E
( #%B ( &!*' + : $ )
0
O
0
0
O
> ( 4<6 : &2!$#^ : ( &^ ''$76$ - ) !C% ) ! (5: ( C ( - ) J ( )
Acknowledgments
N
!""
# $ % $ & (' $ ) *
+
"
.
,
0/.-21 :436573 -98 2/.-2,.: 3 /;-< 5 :=-?>.,@>BA 5 8DC 3 2, EF: 3 * 5 C 3+: 5GE , , 3 < 5H1=:8 0EI>.,;,.<=C4: J8 5 01
<>BA 5 :=8=-(C K 0,2,[(F>.L3E]-M\?L4% 568 %9"=% !O, N ,_8 *+2/.(&>.8/;"I<=% ,.'Q: P ,.56K%:@8<=" E]K:=: ,2( !3: 3$&<D% ,.'- $8"E0/;(S-0R!1 A*+ -aUT-21 -& '" 5G)/- b1 "&) Cd"WEF:@V <D(8C4ef,6X /"30*+,;(3: / CdY , Z,,
-/ 3 EI/p5 >B/.A >53 2- C 3 C-ab<1=, :=5 - -2:4^;-03,_EI>.> C4: /.<, 05 ,[1g< \h5G1=EI:q< /;^3 >.: ,iE]1 <=,;,.-j\?<=,.1=: \ 5 >.3 C4 - , : C : - /.F %Il\ k :`3BC4 -O57Y 3 -0+mE]:,;- 0//;: -01 :`,;3B\h575c3 ,;3 - : b1=o Cn-21=C4oF,.,.-O: 33 8 E]E]:1: : 3
1=A=3 :9EF\h/;>.E E] 1 3 ::=,.,;\?-a5,., : 3s,rF: t ZAb5 1=8D, :C >.EF2, : b1=8f., E]%)&12/ a]:<D1 ,.: Cd-(', u<=/, 3 3 c C 0D-O5 / -0: 1 : >(* Y >;:D,pE 5 8 3B5E]\?C4: \?3Y,.: 3 55: ,j: > 5 -v<D3 ,.-v55/.:d>;5 E] 1 : : ,.\?,.: 3 ^ 3 : 5 3 E
365 :
3
Mw
i )Gi )bJ`8 `"!#L$ A ) % \8b ia &j '\h( ')! ) )Cia*J+ ), l -.% !/
0 13254657892;:=<?>'@BA'6?892DCE<[email protected]
Q16?2R65JKFGS31TPU'[email protected] <[email protected]<5Z[6X,TP<\BUR6?XT 8]\A89^[email protected] 8]65J=1N`O>R6aTP89<=2Ibdc'[email protected] 8]X8K2'k
8K2+T UR1i7<A13JK8K2'k<5Z'V[<[email protected]\ lW>'8KARX3m(n;<[email protected]'@P1N\38KX 13JKF?CYp1Zq<\r>RX<?2sTPU'1X <5t\36?J9JK1NA
ujfvgfwbduj892'89T 1foxOTP132RX 8Ky'J91vg<?2'[email protected] foJ]6?XT 8]\Nh7<A13JzC(Zq<[email protected] pU'8]\BU{TPU'[email protected]|Z}T T [email protected] 7
8K2~T U'1ce/f€8]XX8K2'k?>[email protected]
 O ‚
ƒ3 „
) % < >B,.A :=5 -2:=OAE_Cd=†>;-,‡Y E †0OAA==,;ADE , , : E[>Bo]ˆ[A , ‰ 55EI: :E5>.,.*sC : :=‰Qˆ],E]c : Cd, .- :=< 3 ,-EP6 Cd: c3 E]:=E_:=< †2C <=5 5 ,O: † ˆ]e EI1=E€EIC4<Š<=†0,;-_†08 , Cd†0-: EI57<=53 Cd1=E]o]>;: ,=, †N:‰ Cd:jA=: ‹I,C4o]C4:Œ , ˆ%:,.‰QA 6(c oIC , 3 C4:A=E_<WC4† : E E5*Z3 * AD\?, ADE ,e <D1=e,OC4†01=< : Cd< 3 e A=1DC4, : Cd< - -03 E]†2\h\?,.-0, ,-.
3> : 5 -2-0Cd> 55 3 : -2C3 3 1 573 C4E]: :=-‡3 -0A=, 5 †: e E<6Ž, : E]: ˆ 3 573 C4E]: 55: e E<6‘ 3 5 :=< 3 EQ5 -0Cd\ 1 : 573 , 3 C 3 Cd: -2E]\?, \hE[†0,
>;E]E]: \h8A=:,??, ’6(A=> 5E -2,[,.- A=Y CdOA- =E_Cd†3-‰ †2,E5:d* 573 A=C4E],p:oF\ , E5 ‰>;C Œf‰P,ic >.,E]\?< Y 8 -: C4> 57:D3 ‰,.<-28=Cd8 :=†0>;E , 3 >BA=A=,_,.- - 3 >.†2E],.:D-0-I-0Cd-ˆ],;:=C4: ,O† <D55:,O: †0‰hC`oI<DCd:,.8 ˆ ,.:=AD<=Cd-3 : *,†2E]\: 3 A=, 3 \hC4O> †2E]-03 >;E]8=Cd>[:- 3 †01D3 > 3 j1 †0, : 5E * 3 A=5 , e 1=5 Cd< Y “ :q5 -0E]\?, > 5 -0,;-O3 ŽnC 3 Cd-a8fE]-2-0CdŒ : ,3 3 E
†2, : 5c3 CdEFE
<=E dC †0,;>A=3 ,: ‰ \ 5732>=3B5†0E]a> ‹-2>.3E]A=8=, C4>•* 1 ”b: 1: 3- ‰I: - 3C ,;Cd\ ,.-w>.E]-21D1=8 >B:A C4: ˆ - 3 ADo],,OEI,;o]>.EC : ‰J1 3 E[CdE]† : 8 5E †2,.* -03 -2AD1 ,.†0-0,G,( \?/ Cd>=A=†0E]Cd- -2>.CdE]- 8=C4A=>Z,- 3 -2†0E 1D. > > 3 1j†0,.,.< 3\?Cd=> 3 †0E . \ 5 5 => †0E 5 8=8 †0E 5 >BA Y 5 3 3
5 : 3
3 3 55: :
– , 5 †2,hA==, †0,hCd: 3 =, †0,.- 3 ,;< Cd: 3 A=,?\?E <=, : C4: ˆ 5E *j8 E : ‰I\?O, †2Cd> e 1=C4<=- Y - [E †0,gj8 †0,.>;Cd-2, : ‰[Ž 6Z,
>;8=E]C4>O:=-0- C4<=†0,O1=†s> <=1 C †2: 1,.-3 r,(l-2<DE Ep: 1 :D3 CdE E]:DCd- : E =, *"† 8fE> : ‰I6(\hC ,=A?†0-=, ŽM-0>BE Ag3 AE 57A=3 =, 3 † A=_Y , “ :?>BA _E 5 †0Cd<D:DO, -s† E5*E[8f<=E ,;: -0‰I=> \h†0zC Œ,=†0, -‘ A=3 ,(A=, \?Cd\h=> †0C4E]>O-2†0>.EFE]-08=>.EMC4> .
- 3A=†0, 1D;†> 3 3 j1 †0\h,a3 ,=5E †0* -m3 \hA=CdEI- <=e , 1=nCd—< E_ŽF3 †mE]\?:=3,OE_†0> ,l55 -0:hC43 \h\?8 E 3<D‰™, Œ˜:=‰p5 5 -08 EFE \h: ‰I3,{\?Œ O, , †s<=Œ˜‰- 5 C4: >B‹FA ,;5 <Cd3:9Œ˜‰[5E *i-08jŒf†0, Cd5 :j<=ˆ]- -5  3 -0:=,;‡< , †0EICd<=ˆ]I-1 †0 ,3 A=C4Yd-vš Cd - Y
3–J, >;E]:=5 -2Cd<==, †OA=O, †2, 3 : A=,[-0Cd\?8 : ,.- 3 \hEI: <=, : >.E]:=-2Cd- 3 Cdj: ˆ?5 C4: : 3 6Z›E Œf, 5 <=- : C4: ‹F,;"< Œ˜‰ E]F :D,_-08 †2CdA : ˆ /
3  6(A=CdA=- Cd>BCd-Aw3 2A=E],Cd:D<D- 1=3 œ\ AD, Œ Œ3 6Z, :$E": \?Œf, EI5 <=<=, -(: igY Cd“ - : <=3 ,;A=-0C4>=- †0Cz\?Œ ,.E <ž<D, Œ˜: ‰ Ž 3 5 A=,g t , o] E Y : 1 –J3 C4,E]: †0,-5E * ,O* † 3 A=3 A=,, ,;Cd:=: /< 3 .,=3 †0E ,;. - ,.3 :=,;<ž< †0oF, ,.5 > <=3 _E,O††
3 žE t Ÿa -, Cd* - - 5 > š 3 r 1 Ž 5 š: : ‰ Ž _¡>.EFŽ1=š 8 r : 3,;< * 3 [E E † 3 3 A=A=,a, k ˆ]5 ,.oI:=C4=, O, † †!55. : 3 8=[E ˜A ‹F‰I,.-0-lCd>=, 55”I:1 57Œ 3 5 C4a>E]‹D: ˆ_3 †0A E]†21DE]:=1 < ˆ]A 5E * 3 AD3 ,OA=,;?, -0’ ,Q8 †0\?,;-0E -2<DCdE], :h: - Y 5E *OA3 DA=Cd,- 3 †0,;OA-0- =3,?,.:D-08 -0E_†2Cd† : 5ˆ8- * 5_E :@†0>;,h,?’ > 8 ,.): > 3BŒ 57,3 CdE]C4:Q:=, o 55†›: 1D ,; Œ=EI1=_E C‹F:`,3 *,: †0EF<D\ 1=œ\ 3 A=Œ ,[Œ ,;, :=</\h. 3 E EI. <=,;, :=<Qi_Eo]†[,;> ?, 3 ’ E[8† Y E]-0C`o]&,  C4:=C ,
5 : \ 5 Œ Œ , : : \hEI5 <=, :  Y :$: :
:
F 3
.’ 3 ,;:=-0dC Œ : ,pk EF: : C4:=, 5 † :d5 - 3 Cd>_<=1Dœ
“ : 3 A=,?* E : : E 6(C4: ˆ Ž46Z,p>.EF:=-0C4<=,O† 3 AD, - 3B5 † 3 . 1D8 E5* 5 ZE]1=, 323 , e E<6 E5* 5 8 E : ‰ \?,O†2Cd> e 1=Cd<
 -0,., F zC ˆ]j1 †0, A Y r  / 3 AD, e 1=C4<qC4- C4:=C 3 C 55 :$: ‰ 573 †2,.- 3 Ž 5 :=
< * _E † Ž A=, 1=8=8 O, †i8 , \?E o],.6(C 3 A 5 >;E]:=- 3B5 : 3 o], : EI>.C 3 ‰ Y F [E † 5 >;E]\?8 : , 3 , 5 : 55 : ‰I-2Cd-  ?, ’ C4- 3 ,;t:=>>.W, 0Ž]1=:=3 dC ”b1=,.:=,;-0=- Ž]>.E]: 57:M3 oFO, †YˆF,.:=>;,
E5A=* , 5 ac E :=_E C 3 ‹7,?, , :: ,.\?<=1=,.:œ\ 3 Œ \hŒ , , 3 A=> EI< -2[, >;Ž E]6Z1=8 ¢, : ,.†0<>-, * O, 6(† C 3 A £E 5 Ÿ(,- * Y E]: 3 , Y OA5 † D: [email protected]›- \h†0, , * 3 =, A=†0,;EI:=<o>._, E5* 3-0A=EWCd-p>.EF\?: E <=Cd,:D: - Cd:
3\?_E †0,9<=, 3B5 C 5 : ,;< Cd: 3 †2E <=1D:$> : 3 C4E]5 : 3 E 3 AD,.-0, 3 ‰I8f3 ,;- E *Z\?E <DA , : - 5 :=< 3 A=, 6 5 ‰ 3 E 5 : <=C4-0=> †0, 3 36C 51;, 3 A=5,
>;E_†Y†2– ,.-0,O8 E]AD:=O, †0<D,(Cd: >;ˆ?E]\h-N‰I8 - 3 ,.,.\?\,.: E5* >.A=EF,(1=8 \ : ,;<&A=¤ ,;\t . Cd > t Y : ‰I-0Cd-u5E * A=, lk W\hEI<=, 8 †0,;-0,;: ,.<hCd:
: 3 3 573 5c3 55 :I5 55 :
3
:
3
Ÿ(, * Y Œ˜‰ * EI>.1=-2Cd: ˆ E]: 3 A=, t \?E <D, : C4: ˆ 3 A=,_, o]E : 1 3 C4E]:5E F * 3 AD, >.E]/: * _E †0\ 573 C4E]:gE * 3 A=,
8\?E Cd:=> ‰I†0\?E . ,O\ †2-a=> C4:†0Ep3 N- A=‰I, - F ,.l\ k 1D!:=zC > ”b5 1=-0, , Y‰“ 35, ’ C4Cd-a- 8j-j†0E 1=o]:=,;<D: O, †OCd:": Ÿ(,1 * † Y -2-03 1=A \?573 8 5 C4E]-2:=E -: 1 Y 3 ¥ CdE]1 : †j3 >;E E]:=3 >.A==, , †0: >;E]Cd1=: 8 : A=,.< ,
5 3
:
3
573 5 :5 3
3
Mw3H
A Ydš C =A Cd,=† 5 †2>BAD‰?E5*\hEI<=, : - /4*,†2E]\ ;† 5 \?,O†2-s>BA 5 Cd:Š 3 EF8o 3 E <=1D\œŒ Œ , : : ,ŒfE 303 EF\w Y
8>;E †2,.,-2h,.:>;Cd3 ,;:8 5 8f,=†l-0Cd,;- ,?C4:?* E[†08 \ 5 † 1 3 Cd>.-1 :  5 † Y 3 E[Cd:M:=o]<,;-  3 CzY9ˆ 57 3 ,Œ , 3 A=E , 6‘†2ZE C4: :,O8 A=: 5 ,[‰],;,5<›’DC4Œ˜- ‰ ,.:=3 A=>;,,Rc :D:=<@C 3 ,O1D,?:=’ Cz”b3 ,.1=:=,;-2:=Cz,.Œ=-2C - : C 3E5‰ *
-2E : 1 3 CdE]:QE 3 * b3 AD, t C 3 -0:d, 5 : *rŽ 3 A A=,r e 5 1=C4< oF,A : E >;C 3 ‰€: Œ ,.C4: ˆ9>.E]3 :=-2Cd<==, †0,;3 ¢< ‹b:=E<6(5 : Y
y
1
u=1
0
A Y r C , : EI>.C 3 ‰g8 †0Elc : ,_C4: 5 -2A=, 5 † e E<6 E5* 5 <=C : 1 3 ,_-0E : 1 3 C4E]:QE5* 8fE : ‰I\h,=†0- Y
+", 1=-m:=E<6 C4: 3 †0EI<=1=>;, 3 A=,l,O”b1 573 CdE]:D- 6s, <=, 55: 6(C 3 A Y OA=,=‰†2, 5 <—Ž C4: 5 :=EF:/. <=C4\h,;:=-0C4E]: 55 :
* E_†2\ / 3
u=0



y


 dXt =


y


 dYt =
A Yš 
∂t u − ∂yy u = ∂y τ + fext ,
!
Xty Yty
τ =E
,
(X y )2 +(Y y )2
1− t b t
 A Yr 
!
Xty
1
+ ∂y u Yty dt + dVt ,
−
y
y
2 1 − (Xt )2 +(Yt )2
b
!
1
Yty
dt + dWt .
−
y
y
2 1 − (Xt )2 +(Yt )2
 A 9Y 
-o28 5†2C >., Œ o 3,.5 A=- †2,QC 5 †28Œ,v5: <=, † ,`5 yc=\?:=o , ,.5 3 < †0,OC4† E],.:- b C4>: c O0,==†0\h,;<p, (0,5 8j-0†01 1)E_†2Œ ,.- 5 Œ=:=3 C < ADC ,Pt‰ c o -0:=5 8 C†03 C4,Q>;,.,- ,?C4’ : 3 ,;3 :=AD-0,^CdŒ=6(C : A=C 3 E ‰W: , YE5OAE5* * D3 RA=,,Q† Y8 :=OAE <=: EF=‰ \,\?† ,O8 5 † †0:=Y EI<=OA>.EF,;=\-0,5 5 : 5
5 :43
5 : 3 5 (Ω, F , F , P) 5
Mw 6(A=,=†0,
b
+
t
C
4
. 3 6sE . <=Cd\?,.:=-2CdE]: 55: †2E<6(:=C 5 : \?E 3 C4E]: Y – , 365 ‹F, t Cd†0C4>BA : , 3 ŒfEF1=:=< 5 †3‰
5
(F
)
>;E]:=. \?<=C ,3 CdEF-2:=1 - † EFŒ : ,3 A=† , :=o]<=, E]: E \>;C 3o ‰ Y †2COADŒ , , CdY :=– C 3 C,+55: 6(o]C , : EI-0>.1=C 8D3 ‰ 8fE]C4--2, u(tA = 0, .) = u CdŽ-[5 ,.:=C < A=,=(X† -21=, Y>BA ) C4A - 5
5 5 : 5  ,;> 5 3 C4E]5 : : Y r iE_† -21=:$:>BA 3 A 573 3 573 (X , Y ) 3  ,.> 3 CdEF:=- 3 57Y9 3
F
A
A
P:D(X
P (X + Y ≥ b) = 0
5 < – A F,Y +? cYY’ >C4: b) =Ž-00, 3
5 :=< -21=8=8 E]-0, 3 Aj†0E]1 ˆFA=E]1 3 3 A=Cd-i8 5 8 ,O† 3 A 573 6Z,
A 5 oF, 573 : , 5 y- 3O3 A=O, * E :$: E<6(g(t)
Cd: ˆ †0=,=ˆ]∂1 : 5u(y,
†0C 3 ‰gt)E]: g /
 A Y? 
g ∈ LJ9<\ (R )
6(A==, †0,
6(A=C4>BAqRC4- 5 =†2, [0,
6 †2C +∞)
C3 4: ˆ 5EY *–J3 ,A=, 5 †0 , t 3 A=,.:gA Cd9Y : Z3 =, 5E †0* ,.- 3 3 A=,;,[<C4Cd:=:hC 3 -0C E55 :: o >.C4EF: 1=ˆ28 * : [E ,;† < t3- ≥‰I- 30,;\3 A=], / * E : : <E 6(C4: ˆ t Ž
(Vt , Wt )
t
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
0
0
y
1
+
+

g
X

g
g
1
t

 dXt = − 2 (Xtg )2 +(Ytg )2 + g(t) Yt dt + dVt ,
b
1−
g

Y
g
1

 dYt = − 2 (X g )2t +(Y g )2 dt + dWt ,
 A YA 
>;,OE]ˆ]:=C4:£<=C 3Œ˜C4‰E]: †2,.(X> ,Cd:Yˆ8)*,Y †0E]\ (Ÿ ,* Y A=,h8 †0,;>.Cd-2,\ A=,;\ Cd> \?, :DCd: ˆE6Z,
"
+
,
D
1
Œ
3
55: :
3
573 5c3 55: 5
ˆ]C`o], 3 E¢ A Y A  Y
s X = (X , Y ) -&' W = (V , W ) V >"3*-&5 5G"4- %.A*-&F- (F ) -(#-/17$/1,2( !33"3" X = (X , Y ) %9"M-:" (856C%?(8' 7( T *+'IRb(8, P - = ω ∀t ≥ 0 6(C 3 [email protected]:=C 3 C 5 :
0
0
g
t








T







%*
t
1−
g
t
b
t
0
0
g
t
Z
0
t
t
t
t
t
1
R
ds < ∞,
| gs |2
1
−
b
A*+ !3(8' &'+=%?(8' , ∀x = (x, y)
%
∈ R2 , 1| |2 = +∞ |x|2 = b,
Z t
Z t1− b
g
1
Xs
X gt = X 0 −
(g(s)Ysg , 0) ds + W t
g 2 ds +
|
|
s
2 0 1−
0
b
0
$ !)-&#" >(SR:A*+ !3(8'&'+=%?(8'
" (856C%?(8' ( %9"M" !3* *-&R *+"DL" I(SR R
,2( .L3")$&^!)-8"K,2
1
+
%R
iT $& 3! BA*-&d*-8" P - "
{0 ≤ u < ∞, |X | = b}
= +∞
| |2
1− b
 A Y 
|x|2 = b
g 2
u
1=:DCz”bOA1==,.,g:D,.8 -05 - 8fE5,=* † 3 C4A=- ,[E_-0†NE ˆ : 5 1 :=3 CdC$E]1.,.: < 3 E&5 -? A * E Y : : E 6(6(C-73 A / Cdo : 55: 1=,.,.> -(3 C4Cd:E]: BA ŽY r6(Ž A=6s,=†0,g, 8j†0E o], 3 A=,g,5’ Cd- 3 ,.:=>;, 5 :=<
√
B = B(0, b) = (x, y), x2 + y 2 < b .
OA -0=,.,,O,5Ÿa’ ,-Cd*- -3 ,.:=>;,OŽ E5*U-0 1DY >B–JA , 5 -0EA=:,;1 :>3 C4* E]EI: >.1=C4-u-[<=E],=: †0C4oFA=,.<^,?*,8 †2†2E]E_\ Œ †0Œ=,.-2C 1 C :43‰\- * >.E_EF† :=>.A=,=†0Cd-[:=C4-0: E ˆ 1 \ Cd1 E]:`: 3 C`o E¢5 : 1=†2, ,;< >BA t lA=,r r
3
3
5 :3 3 : 3 3 5 3
Œ E]1=:=< 5 †N‰9E5* A B E  -0 ,;, ,;> 3 C4E]: A YK  Y – A=,;: b < 2 5 :=< P(|X | < b) = 1 Ž 3 A=Cd-l8 †2E_Œ 5 Œ=C : C 3 ‰
C4- ,O”b1 55:sY 3 YE E]:=Y , Y OA=C4- ,.: 5 Œ : ,;- 1=- 3 E >.E]:=- 3 †21=> 3  * E_† g = 0 5 -0E : 1 3 CdE]: 3 E  A Y  3 A 573
: ,£
E3 5 o] A,;- Y 5]6(- C 3BADE]1 a3[,.:=3 A=>;,[, Žu5 CB<D* <=bC 3 <CdE]: 25 Ž : 1=†0:=,=”bCd”I1=1DCz†2,.,.:=\?,;-0,.- : 3[E5*O3 E -2E 3B: 15 ‹73 Cd,?EF:=o -55: <D1=E,.-[,;- C4: :=E B3 Y A=– E : A=<>,.*: E_†pb -0≥E : 1 23 C45 E]:D:=< MwUw
0
2
H Ž 3 A=,[8 †0[E Œ 5 Œ=C : C 3 ‰ 3 E›†0, 5 >BA 3 A=, ŒfE]1D:=< 5 †3‰QCd-(,O”b1 5 :3 ED1.,O†2E 5 :D<
53 † ˆ 5 5 2Cd,;: > 3 P(|X
|
<
b)
=
1
E[†0C 1=:DCz”b1=,.:D,.-0-[A=E <=- Y –J, ,?’ A=CdŒ=C A=, 1=:=Cz”b1=, Cd:Mo †0C : 8 †2E_Œ ŒDC C ‰Q\?, -21 †0,
5E * 3 A=, t 5 :  A Y V6(C 3 A g =: 0  -0,;, ,;> 3 C4E]3 : 3 A Y ?  Y :$: 3 A=,;-0,•5 †0,.5 -21 3 :43 - EF: 5 3 AD: , 3 t 5 A 5 oF,
5 * :qE_†]Cd\?6(8 A=5 C4>B> A3 EF6s: ,3 †0A=,-,* ,O†5 : 3 5E€: ‰IŸ(-0,C4- * Y 5 :D < 3 YADOA, =1=,=:=‰ <D,O-0†0A=- E<3B65 :D3<=A Cd: 57ˆh3i3 E5A=* , 3 A=5 ,-0-0>;1DE]\h1=88 3: ,.CdE]< : t .r¤ t 5 <= EF8 -N‰I3 ,;- <3 ,.\Cd:
Ÿ(, * Y 3 EQj8 †0E o], 5, ’DC4- 3 ,.:=>;, 5 := < 1=:=dC ”I1D,.:=,;-0-[E5*l-0E : 1 3 CdE]: 3 E 3 AD, >.E]1=8b : ≥,.< 2-3‰I- 3 ,;\Cd-iCd:
-2E]\h,[-2,.:=-2, E]8 3 C4\ 5 : Y
0
2
&! 4 < 4 ( ) %
 %4 4
C5 4\ “ : C4- 3 3 A=E9Cd-(8 †0-0E,;>oF3 , CdE]3 :—A=Ž, 6s* E , : : -2E 1=6(8=C48 : E]ˆ -0,/ 3 A 573 (X , Y ) Cd-(-01=>BA 3 A 573 P (X + Y > b) = 0 Y ¥ 1 †
',J-8"3" O/1=%?(8' bR (8,!-&' % b > 0 -&'lRb(8,J-&' %E% '+% =%=-&5!3(8'&% C%?(8'
'1+b ,
'
" !3*HA*-& P (X + Y > b) = 0 A*+,20 %9" "-B'+%4^E" (856C%?(8'D7( T % *
(X , Y )
8-&56+3"% ' B
,3 A=.:=,&>;– * I, E F, cE<†2c -6(†03 - C46(:3 ˆ A=8 Ž ,.†2:E A=o]g,[, ∈8 3 A=E]LCd, : 1=:DCd - zC ”b,.1=Eh> ,.3 :D:DCdEF,.E : -0-C4A>.,- Y r3657Y rA 3 ,;\h5 :=,;<A=: ,[3 c -0: C4 55: ,.:$ˆ]:> ‰^1 3 C46(E]:† A=,;A ,O: Y †0r \gdY š ∈5Cd:Ž L3 ADJK<A=,.\ ,[:  < 3 †21,.C$*>†23: Cd<=EF3 ,=: E †0C`A 3o]YA=,.r ,9-9Y *,?,  †0’ ˜Y EFC4“ \ !- : .
35 >.E]:MoF: ?,: ’@8 E 3 ,;: 3 3 C 55 : 3 3 3 3 573(/ 3
:d5 3
3 3
Π : R →] − ∞, +∞]
BC *
(
 A YE 
x + y < b,
− ln 1 −
.
Π(x, y) =
E
=
A
=
,
'
†
(
6
4
C
0
,
3
+∞
.
,
* 1D:=> 3 CdE]: Π Cd- 5 >.E]: 3 C4:b1=E]1=–J, A 5 oF, / ∀x ∈ B Ž ∇Π(x) =
- [E †0,.E oFO, †OŽ 3 A=E
.
>;E]:Mo]?, ’E* 1=:D> 3 C4E]9: 6(C 3 [email protected]<DE]\ 5 Cd: B Y 0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
2
0
∞
t
1
2
x2 +y 2
b
b
4
1
2 1− |
"!$#&% ( ') *,+.-
2
2
|2
b
*/0-1#2#
3') 4',+*- * ' 65 (7 8 ,+*-1# B
+", 3 1=- Œf,=ˆ]Cd:H6(C 3 A 3 =A ,[1=:DCz”b1=,.:D,.-0- Y
:9 <;+>[email protected]?A=,CB DFEHGJI IFGAKJKMLNIND DPORQ DPE LSINLUTVG4EXWYLUZRI
Q[Z X̃ E\L Q[Z IFG ! O
X
T
T
[email protected][E P ] Q I X = X̃ _^ OMDFZ`[email protected] T LSINLUTVG(EWYLUZRIaQ[[email protected] WIFEWdc[G(WI3ORQ L [email protected] R EgOMD
K<bhL ! D3I3IND3IiTDjQ D3I B )k ZlQ ( [email protected] W R P(∃t ≥ 0|X | = b) = 0 [email protected] X Q[Z X̃ Q[b3D
[email protected] WIFEWdc[G(WI3ORQ L TD
9 —o +m, 3 1=- >.E]:=-2Cd<==, †
:=< Z =
τ = inf{t ≥ 0, (|X̃ | ∨ |X | ) > b} 5
Y ‰ “ 5G7
h3 m - * _E †0\ 1 : 5 Ž 6Z,pA 5 o], /
X − X̃
g
0
g
t
6(A=,=†0,
g 2
t
g
t
g 2
t
g
t
d|Z|2t = 2Z t .dZ t ,
g
t
g
t
g
0
g
g 2
t
g
t
t
= −2(∇Π(X gt ) − ∇Π(X̃ t )).Z t dt + 2g(t)(Xtg − X̃tg )(Ytg − Ỹtg )dt,
x.y
<=,;:=E 3 ,.- 3 A=,[-0> 55: 5 †O8 †0EI<=1=> 3 E5* x 5 :=<
y ∈ R2
Y
Mw
R;[email protected]? 9
-2Cd:Ž/ˆ6Z3,pA=E_, Œ * 5 > Cd3":—3 Ž A * 57E_3 † Ž.-0C4:˜:=‰ >., Π C4->./ EF:boF,?’iŽ<* E_† 5 :˜‰ x 5 :D<
365 5 t ≥ 0
x̃) ≥ 0
|Z t∧τ |
Z
2
Ž
x̃ ∈ B (∇Π(x)−∇Π(x̃)).(x−
t∧τ
Ysg − Ỹsg ds,
≤ 2
|g(s)| Xsg − X̃sg
Z t0
≤
|g(s)||Z s∧τ |2 ds.
a-0Cd:jˆ †0EF:46 55:$: +",.\?\ 5Q5 :D< 3 A=,^* 5 > 3_3 A 573 g ∈ LJK<\ (R ) Ž 6Z,9A 5 o], 3 AI1D- -2A=E<6(: 3 A 573
Ž ∀t ≥ 0 Ž X = X̃ Y OA=,=†0,* E[†0,[ŽUE]: {τ < ∞} Ž |X | = b Y –J,p<D,.<=1=>;, 3 A 573 Cd:
P
> 5 . -05 , Y -=P(∃t
Ž
. Y - Y"Y
≥ 0, |X | = b) = 0 τ = ∞ P 5
0
1
+
g
t∧τ
g
t∧τ
g 2
t
g 2
τ
( #1% # (71# %f(#
“ : 3 A=Cd-O-2,.> 3 CdEF:—Ž 6Z,[-21=8=8 E]-0,
g ∈ L∞
t
 Y 
<DC4ef,O†0,;:/.
C38=C455: : ˆ “ ,O: ”b, 1_E †257<=3 CdO, E]†Y : 3 OY E “ :8 †23 E A=o]Cd, -n-05 ,.: > 3,5C4’DE]C4:—- 3 Ž,.6s:=,l>;, 1=-0†0,,;-03 1 A=:`,+3 ŽA†06s,;-0, 1 6(:`3 C-": :E51=*-2 , Y5 \ /.8 1 5:`3 HC`r o 5 : 1=5 :=,;<_<- 3 EIY>BA /.5 8 - 5(3 C45 > :=< t Y +m/ .
Co 4:=1=>.,.,: <@3 A= \ r,V * ’D1DC4:=\ > 3 CdE]\?: E]Π:=E Cd-sE]>.:=E],_:Mo]E],58 ’ ,O† E]: E[3 †jA=,E]: E]8 ,.:Q6(-2, C 3 [email protected]<DŽ E]C \ 3 -s-0Cd1: Œ <=C4ef ,O†2,.: 3 C 55: ∂Π Cd- 5 -0Cd\?8 : ,-.
55 :
5 5: 3
573 R 3 5 B
$C * x ∈ B,
{∇Π(x)}
BC * x ∈/ B.
∂Π(x) =
∅
+"C4,o 3 1=1D- ,.< :=<E 6 !>.E]:D -0Cd<DO, † 3 A=, 3 6ZE . <=Cd\?,.:D-0CdEF: 55 : 8 †2E >;,.-2- X -0E : 1 3 C4E]: 5E * 3 A=?, * E : : E 6(C4: ˆ \ 1 : .
3 55 : t
 9Y ¡ 
dX + ∂Π(X ) dt 3 (g(t)Y , 0) dt + dW ,
X = X = (X , Y ),
– #, "†2- 3 †0,;> 55 :$:n3 AD,pj8 †0,.>;Cd-2,p\?, 5 :=Cd: ˆ E * 5 -0E : 1 3 CdE]: 3 Š
E $ KY ¡  Y
% s"[email protected]?A= B V DI3ORQ[[email protected] I Q'&EgORQ[EeQ)([email protected] LUGJI (F ) ] Q+*JQFK<E*D,*K<bhL-(3D3I3I X = (X , Y )
T [email protected]@O Q[TVG D3I [email protected] B WI Q INLUTVG(EWYLUZCE\L +.0/ WW IR Q3Q[Z1(3LU* [email protected] & LUWGJR IXK<b3L-(3=D3I3I [email protected]@O5Q[4,Z1ZM* [email protected]*EgD OMD Q[K<b WbhQ[L-EX(3WYD3LUI3Z I
K = W + (g(s)Y , 0) ds−(X −X )
IFG6(3O`[email protected][E MR LUb:Q[Z6& ([email protected] (F ) ] Q+*JQFK<E\D,*1K<b3L-(3D3I3I α T [email protected]@O Q[TVGMT [email protected] R R LUb P ] Q . D .
ω ∀ 0 ≤ s ≤ t < ∞
Z
Z
Z
$ dY š87 
Π(X ) du ≤
Π(α ) du +
(X − α ).dK .
9 9 B;: (3LUZ1*[[email protected] G(W Q[TDFZME2E*L +.0<>= WI.EgOMD R [email protected] T [email protected] nR LUbQ[Z6&?([email protected]$I
Q+*JQFK<E*D,*SK<bhL-(3D3I3I α T [email protected]@O Q[TVGMD3I:[email protected] B [email protected] DjQUIFG(bhD LUZ R (F ) ]
g ∈ L∞ (R+ ) .
2
t
g
0
g
t
g
t
0
g
t
0
t
0
t
g
t
t
t
0
g
t
g
s
g
0
t
t
s
t
WI
@MwBA
P]
s
s
g
u
t
Q . I . ZfLUZMZfDYcJQ[EW D .
2
t
u
u
+
(X gu − αu ) . (dK gu − ∇Π(αu ) du)
g
t
0
t
t
g
u
g
t
g
0
g
u
g
t
B B C
d
D
:
.
>
,
 Y O,.:=-21 †0,;- 3 A 5c3 x = (x, y) 7→ (g(t)y, 0) C4-œ 1=:=CB* E_†0\ : ‰gCd: 3 Cd\?,O+"Cd8D-0>BA=C 3 1
5 :D<E6(C 3 A : C4:=, 5 † ˆ_†0E<6 3 AŽ 5 >.>;E_†0<=C4: ˆ 3 E Y1 /.8 5 Hr Ž6Z,[A 5 o],
:9 <;+>[email protected]?A=, Z1*[email protected]`QUI3IFG K<EWYLUZ +.! R LUb Q[Z6&
EgOMD G4TVEXW Q[TVGMD,*#"%$'&
b > 0
+.0/ ORQUI Q G(ZMW GMDaIFEXbhLUZ4c INLUTVG4EXWYLUZ .
8DY-†2, ,.>;– Cd-0:=,, < : ‰[5 DYŽ†0,_)6Z( Z:=, <E Cd*:6 E :$_E :ˆFE<†2E]<=6 CdO, : † 3ˆ AD3 ,E9‡E \hC4†0<=,;,,.>.3: E A=o]BCEI*=, <‰ † E55 A=* -2,[E 8: Y 1 †03EICd>./.E],;8 : [email protected] 3 ¢E 5 :=< Y )Y ( t  Y *,+m†2E]/;\ 8=Cd:j3 A=ˆ :,_, -0E r : 1 I3 Cd E]-2:,.,9E *+",.$\?YK¡\  5Y+- * DYE_9†0, Ž
5
3 3 3
– ,[> 5 : 3 Ab1=-(-0A=<E 6 3 A 573 * _E † 55 :$: 0 < t < ∞K
Ž6s,pA 5 o]
,
Z
6(C [email protected]>;E]:Mo],;: 3 CdE]: |∂Π(x)| = +∞ BC * x ∈/ B.
E
|∂Π(X )| du < ∞, 3
- 5 >.EF:=-0=, ”I1D,.:=>;[, Ž * _E † 5 ˜: ‰ 0 < t < ∞ Ž P. 5 Y - Y Ž
Z
Y
6(C [email protected]>;E]:Mo],;: 3 CdE]:
$ Y š_š 
1
du < ∞ 3
= +∞
| |
1−
* [E †0,.E oFO, †OŽ A=,O8 †0EI>.,;-0Cd- . 5 Y - Y 5 Œ=A -2E - : 1 3A=, , : ‰ * E >;E]E<: 6(3 C4Cd:I: 1Dˆ&E]*1=E_-v†0\E]: {0 ≤ u < ∞, X ∈ B} Ž
6(C 3 [email protected]<=,.:=-2C 3 3 ‰ ∇Π(X ) K-0E 3 A 57P3 dK
5 3 :$:
$ dY š r 
dK = ∇Π(X ) du + dG ,
6(A==, †0, G Cd- 5 >.E]: 3 C4:b1=E]1=- Œ E]1=:=< 5 †N‰Q8 †2E >;,.-2- 6(C 3 %A " :=C 3 ,_o 5 †0C 573 C4E]: |G | Z
Z
$ dY šG 
G =
1
dK =
dG .
1
* [E † 55 : : t ≥ 0 Ž
.uC4: 55 :$: ‰_ŽIE]:=,[> 5 : C4<=,.: 3 $C *‰ 3 A=Cd-Oj8 †0EI>.,.-2G
g
t
t
g
u
0
t
1
1− bb
g 2
u
0
b
g
t
g
u
g
u
g
u
g
u
g
u
g
u
g
g
t
g
t
t
0
{
g
u
g
u ∈∂B}
0
g
u ∈∂B}
{
g
u
g
t
Ggt
=
Z
t
1{
g
n(X gu )d|Gg |u
u ∈∂B}
=
Z
t
X gu
√ d|Gg |u ,
b
Yx / ,;:=>., A=,p8 x†2E ∈>;,.∂B-0- Ž n(x)Cd-(-2=E 1 CdE]Cd:Q- E3 A=* ,iAD1=,&:=*C 36E 5 †NE<‰?6(E]Cd:j1 ˆ3 6 5 †2< [:=6(E_C†0\ [email protected]:=: E_3 †0E \ B 57†23j,21 3 AD,5’ , CdE]8f: EFCd: 3
0
573
3 A=,ŒfE]1D:=< 35 †3‰QE5* B X : 3 3 :$: t 3 55:
6(A=,=†0,WŽ* E_† 5 :D‰
0
0
√
b
g
t
dX gt = −∇Π(X gt ) dt + (g(t)Ytg , 0) dt + dW t − 1{
n(X gt )d|Gg |t .
ka$ E Y3(3 “ C4Z3>.,A=2E1=C4:- <D3 8-†05 * ,;E[† \ 3 † Cd>;5 1 A=Cd:=: ,[5 - † -03E 3 E A 1 57-03A=CdE]E<Œ˜: 6 ‰ž$3 A Y 57š_E 3 š * ?|GŽ A=3 ,[AD|,_\ 8 1=†0E]8C40o ,OŽ † *3 1=E[‰g,.† <E u* C4≥: 3 ,O0ˆ[Žv† 5 CdY9:Œ=¡ C  : E_YC 3†0‰ <D,OE5† * 33 EžA=,i†0,;< >.†0E CB* o]3Z,=3†Š,=†0$\ Y)( Cd : Y
:
3 :3
3 :43 55: t
4
g
£9 @
g
t ∈∂B}
u
X gt
|Gg | = 0.
@Mw5
R;[email protected]? 9
–J, * E $: : E<6A=,O†2, 5 ˆ 5 C4:
+",.\?\ 5 DY 8 Y ,˜  3 E 8 †2E oF, 3 A
“ 3jm -7* E_†2\ 1 :d5 Ž
:9 —o 3573 AD, Cd<=, 5 - E5Y * +" , 3Y1=- /.8 >;5 E]:=5 -2:DCd<=< ,=† t Y +"/.8=C4: ˆ : , r' "Y  -2,.‰ ,
|G | = 0
R = b − |X |
g
t
g
g 2
t
dRtg = −2X gt .dX gt − 2 dt,
|X g |2
= 2∇Π(X gt ).X gt dt − 2g(t)Xtg Ytg dt − 2 dt − 2X gt .dW t + 2 √t d|Gg |t ,
b
2
√
$ dš ,
b
g g
g
g
=
g dt − 2g(t)Xt Yt dt − (2 + b) dt − 2X t .dW t + 2 b d|G |t ,
Rt
Y
Y
3>.A=E],: * C45 :b> 1=3OE]31=A - 57-23 ,.d|G
d|G |
| =1 3 Y -2Cd: ˆ&\?5 Cd\ : 5 5 ‹ † 53 Cd -&: ˆ * 55E_:†0, \ 6(1 C: 35 Aq o-0,;55,€: 1DŸ(,.- ,* C4Y: [0,š, b] Y OA– =,;,E_6†0,;5 \ : 3_šF3 Y Er
dR
Z
$ dY š _
1
R = (R ) = (R ) +
1
dR + L ,
6(A=,=†0,WŽ* E[† 5 :˜‰ a ∈ [0, b] Ž L <=,.:DE 3 ,;- 3 A=, : EI> 55 :(3 C4\h, C4: a2 5E * R Y -2Cd: ˆ :=<E 6 3 A=,
EI$ >.Yd>;š[1=š 8 Y57 3 CdAE]: Ž3 C4* \hE[† ,;-8:˜* ‰E[†0"j\ ’ 1 ,.:d< 5  -2,.£, Ÿ( , * Y š, [E †0E :$: 5 †3‰ š])Y ( 8 Y r 7_¡ 5Ž6Z, ‹I:DE 6  1=-2Cd: ˆ
3 573 5
3–JA=,,:‹b5 :=- E<3 6 ,O”b1 A 55: C 3 ‰1D-0CdCd- :jˆ
8 †2E o], 3 A 573 3 dR573 R= 1 5
8 Y r 7 ?Ž
g
g
t
g
t
Rgt >0
g
t
t
g
g
t ∈∂B}
{
t
g
t
g +
t
t
g +
0
0
g
s
Rgs >0
0
t
a
t
Z
b

g
t>0
Z t
Z t
1
1
1 a
g
Lt da =
g d < R >s ≤ 4
|
a
0 Rs
0 1−
g 2
s|
ds < ∞.
C4- Y - Y > 5 < :dY5 ˆ¢-0 C4-2: ,.ˆ , ŸaA=,-4C *-(Y Cd:š, Ydš OA[=?Ž,.E[6s†0, ,.\ E[Œ Fš Y C4: 8 Y r 7_¡ ?Ž6s, <=,;<=1=>;, 3 A 75 3 * E_†
a 7→Ž L. Y - Y Ž 5
5 t>0 P 5 L =0 3
3B5
:˜C4:=‰ >.,
a
t
0
b
0
t
dRtg = 1Rgt >0 dRtg .
-0Cd:jˆ 3 A=Cd-O,=”I1 55: C 3 ‰Cd:$ Ydš , ?Ž6s,[A 5 o], ∀t ≥ 0 Ž
Z
t
0
1Rgs =0 d|Gg |s =
2
Z t
b
1
g
g
g
√
1Rgs =0 − g ds + 2g(s)Xs Ys ds + (2 + b) ds + 2X s .dW s .
Rs
2 b 0
4A=C :=,>.†0,WCzŽ ˆFA5 >.>;A E_†0<=:=C4<@: ˆ-0Cd<D3 E¢,pC4-O dY :bš_1 š ?Y Ž –JP. ,[5 Y>.- E]Y Ž:D{0> 1D≤<=,tŒD<‰1=∞,-0C4: Rˆ = 0} A 5 -1;,O†2Eg+",OŒ ,.-Nˆ]Y 1=,p\h, 5 -01j†0,[Ž
3 3 5
:
:
d|G | = 1
d|G |
–J,[A 5 o], 3 Ab1=-a-0A=E<6(: 3 A=, * E : : E<6(Cd: ˆ 8 †0E]8 ,O† 3 C4,.-(E]: 3 A=,[8 †2E >;,.-2- X Z
Ž
1
* [E † 5 ˜: ‰ 0 < t < ∞ Ž P. 5 Y - Y Ž
du < ∞
| |
1−
Y
+
(g(t)Y , 0) dt + dWE E]1 †[Cd:DC C 8 †2_E Œ ,.\ $ 3Y ( [C4:J> -0,
–J,g A 5 dX
oF, 3 Ab=1=Y - −∇Π(X
Œ=1=C :43 5 -2)E dt
1
d
C
F
E
:
: Cd-a3 :=E X-01 ?=>;Cd,.(X: C4,: Y E]1 ) † 3 >.E]: ,?’ -03 C4:=55 >.: , A=, : ,.:=,=†Yˆ[‰ ,.- Cd\ 5 ,.OA
=
4
C
™
0
†
;
,
0
1
`
:
3
gE]: ∈ ADL,p>;(R
3 E]1=8 ): ,.<@N- ‰I- 3 ,.\ $ dY š . 9Y 3 ‰ICd, : <=- : ,.3 -2I- †2O, ˆ]1 : 5 †2C 3 ‰h3 E]: 3 g  -2,., 3 Ÿ(, * Y  Y 3 573
@Mw g
t
g 2
u
0
∞
g
t
+
g
t
g
t
t
Rgt =0
g
t
t
g
t
g
b
g
t
g
t
t
g
t
B B #1% # 71# %f #
g ∈ L1 (R+)
– , :=E<6=6 : EwŒD1=C < -0E 1 C4E]: Ež Y3( O1=-2Cd: ˆ A=, \ 1 C4o 1=,.< $ YK¡ ?ŽŒ=1
6(C 3 A 5 6s, 5 7‹ ,O† 5 5 3 -0-23 1=\?8 3 C4: E]: 5 E]: : g Žu3 : 5 \h3 , : ‰  Y),  Y.“ : 3 3 A=Cd- > 5 -0:4,W3 Ž 3 55AD: ,wˆ],;:=,Ot † 55: 0† ,;-01 :`3 - E 3 *
,5’DC4- OA3 ,.=:=,O>;†2, ,* E]E_: 2† ,[\ MŽ 6Z1 ,s:`3 >.C`o E]5 :=: -21=Cd<=,;< ,=† t A=,* E<DEhE<:=6(E Cd3a:jˆa5 8=-2,O8 ”b: ‰Q1=,;Cd:=\?>.\h,(E5,;<=* C 5c8=38 : ‰ †0Y EG’ Cd\ CdE]:=-mE5* A=C4- 8 2† E_Œ ,.\ 3 :$:
5
573 3
:
$ dY š ( 
n
n
n
dX gt + ∂Π(X gt ) dt 3 (g n (t)Ytg , 0) dt + dW t ,
n
X g0 = X 0 ,
:=< g (t) = (−n) ∨ (n ∧ g(t)) Y Cd:D>., g Cd- ŒfE]1D:=<=,.<Ž 3 AD,w†0,;-01 :`3 - E5*
5
3 A=,[ 8 †0, o Y š C4E]( 1= Y-(* -0,;_E > †23 ,.CdE]E :o],=5 †O8=Ž 8 A=: ‰ ,;-05 ,p:=8 <9†0EI6Z>.,[,;-0E_-2Œ ,.36- 5 Cd: 5 1=:D†2,[Cz”b-01=1=,[>BA-0E : 1A 3 C4E]: X E5* 3 A=,_\ 1 :43 C`o 55: 1=,;<
t
3
3 573
X 5
Z
Ž
1
* E[† 5 ˜: ‰ 0 < t < ∞ Ž P. 5 Y - Y Ž
du < ∞
6(A=,=†0,
n ∈ N∗
n
n
gn
t
gn
t
t
0
n
X gt
= X0 −
Z
t
1−
gn 2
u
|
|
b
n
∇Π(X gs ) ds
+
Z
t
$ Ydš 
n
(g n (s)Ysg , 0) ds + W t .
,9:=E<6 6 5 : 3[3 E : , 3 n ˆ]E 3 E ∞ Cd: t , " :=C 3 C4E]: r  :=E 3 Cd>., 3 A 573 Œ˜‰ $ dY š ?Ž dK =
 Yi“ : 3 A=,2* E : : E<6(C4: ˆ Ž6s, >BA=EIE]-0, T > 0 5 :=<6s,6ZE[†Y‹@E]: 3 A=, 3 C4\h,pCd: 3 ,=†2o 55:
∇Π(X ) dt
Y – , ‹b:=E<6 3 A 573 * E_† 55: : n Ž sup X ≤ b Y . E_† 5 :˜‰ n ≥ m Ž6Z,pA 5 o],WŽoŒD‰ “ 3jm [0, T ]
* _E †2\ 1 :d5 Ž
–
0
gn
t
gn
t
n
X gt
−
2
m
X gt
= −
2
gn
t
t≥0
d
0
n
g
gm
−
. Xt − Xt
dt
n
m
m
− g m (t)Y g (t) Xtg − Xtg
dt.
n
∇Π(X gt )
n
+ g n (t)Ytg
m
∇Π(X gt )
-0Cd:jˆ 3 Ž=A 6s,, * 5 _E > Œ 3l3 A C4: 5c3 ŽM-0C4:=>., Π Cd-lŽ>.EF:boF,?’iŽ4* E_† 5 :˜‰ x 5 :D<
3B5 ∀t ∈ [0, T ]
y) ≥ 0
-2E 3 A 75 3
n
X gt
−
n
X gt
−
m
X gt
∀t ∈ [0, T ]
m
X gt
2
≤
≤
2
≤
Ž
Z
Z
t
t
0
n
m
g n (s)Y g (s) − g m (s)Y g (s)
n
g n (s)Ysg − g m (s)Ysg
0
t
n
|g n (s)| Ysg − Ysg
0
1
≤
2
Z
Z
t
0
Ž
y ∈ B (∇Π(x) − ∇Π(y)).(x −
n
m
|g|(s) X gs − X gs
m
m
n
Xsg − Xsg
m
n
Xsg − Xsg
m
ds
ds
m
n
|g n (s) − g m (s)| Xsg − Xsg ds
Z t
ds + 2b
|g n (s) − g m (s)| ds.
+ Ysg
2
m
0
@Mw
R;[email protected]? 9
-2Cd: ˆ;†0E]:36 55: : +",;\h\ 5 Ž/6s, 3 A=,;: _E Œ B3 5 C4:
n
X gt
sup
t∈[0,T ]
−
m
X gt
Z T
1
|g(u)| du |g n (s) − g m (s)| ds
exp
≤ 2b
2
s
0
Z T
1
≤ 2b exp
||g||L1t ([0,T ])
|g n (s) − g m (s)| ds.
2
0
Z
2
T
0EF\ 3 A=C4-OCd:=,=”b1 55: C 3 ‰ 5 :D< 3 A=, * 5 > 3(3 A 573 g ∈ L ([0, T ]) Ž6s,p<=,.<=1D>., 3 A 573(3 A=,O†2,p,5’ Cd- 3 - 5
>;E]: 3¥ Cd:b:=1=,[EFA 1=- - 5 < A=5 , 8 3 * ,.E <[E<8 6(†2E Cd:j>;ˆ,.-0,.- - XC4\ 6(C ,_3 A E]o: 55: 1=A=,., -"C4E : B -0o 1=>B†0AC 3 ACdEF5c:3 XE5* → X Cd: L E]: (L ([0, T ])) Y
5 3 :$:
3 573 3 3 3B55: 5 5c3 ∇Π(X ) du [0, T ]
√ Z
Z
$ Y š- 
1
b
∇Π(X ) dt ≤
ds.
2
1−
‰ “ j3 m - * _E †0\ 1 : 5 Ž 6Z, ‹b:=<E 6 3 A 573 ∀t ∈ [0, T ] Ž
.†
1
t
g
t
T
2
= |X 0 | −
Z
0
n
t
|X gs |2
6(A=C4>BA¢‰ICd, : <=-# ∀t ∈ [0, T ] Ž
Z
t
0
1
|
1−
gn 2
s |
b
0
1−
1
ds =
b
|
gn 2
s |
ds + 2
b
n
−|X gt |2
Z
+2
t
g
t
gn
u
∞
ω
∞
t
T
gn
t
0
n
|X gt |2
gn
t
n
Z
t
g
n
0
n
(s) Xsg
|
gn 2
s |
b
n
Ysg
ds + 2t + 2
2
+ |X 0 | + (2 + b)t + 2
Z
t
0
Z
t
0
n
X gs .dW s ,
n
n
g n (s) Xsg Ysg ds
$ dY šG¡ 
X gs .dW s .
“ 3 Cd- E[ŒboIC4E]1=- 3 A 573 X g .dW → R t X .dW C4: L2 (L∞([0, T ])). :=E_†2\ Y 8 3 E 3 A=,
5, ’ 3 † 5 > 3 C4E]: E5* 5 -21 Œ=-2,O0”b1=,.s:D>.,[Ž 6Zs,[> 5 : -001=8=8 sE]-2, 3 A s 573j3 A=Cdω-O>;E]t:Mo],O†Nˆ],.:D>.,pA=E : <D-* E_† 55: \?E]- 3
, o],O†3‰ ω Y -0Cd:jˆ 3 A=C4- 8 †0EF8f,=† 3 ‰ 3 E_ˆ], 3 A=,=†^6(C 3 A $ Y š-  5 :=<  Y š¡ 5Ž 6s,Q<=,.<=1D>., 3 A 5c3 * E_†
5 Y , Y ω Ž 3 A=, \h, 5 -01 †2, ∇Π(X gt ) dt E]: [0, T ] Cd-a-01D>BA 3 A 573 R0T ∇Π(X gt ) dt < C(T, ω)
6(A=,=0† , C(T, ω) C4- 5 >;E]:=- 365 : 3 E]: : ‰ <=,.8 ,.:D<=Cd: ˆqE]: T 5 :=< ω Y/¥ :=,> 5 : 3 Ab1=- ,?’ 3 † 5 > 395
6s, 5 ‹ : 9‰ >.E]:Mo],=†Y]ˆ C4: [ˆ -01 ŒD-0,O”b1=,;:=>.,iE5* ∇Π(X g ) dt Y˜¥ : 3 A=,(E 3 A=,=†vA 5 :=<Ž 3B5 ‹bCd:jˆ 3 A=,
C: d\?C 3 - n Cd→-!*‰ ∞C4: ˆ%Cd: $ Ydš ?Ž 6Z,[Ž -0,;, 3 A 573 R0t ∇Π(Xt gu ) dun≥11=:=CB* E_†0\ : ‰?>.EF:boF,O†Nˆ],.-aE]: [0, T ] 3 E
K g 573
∀t ∈ [0, T ]
Rt
0
n
n
n
n
n
t
K gt
=
Z
t
(g(u)Yug , 0) du + W t − (X gt − X 0 ).
4C <=,.: 3 C " > 573 C4E]:E5* 3 A=, : Cd\?C 3 Ž46s,pA 5 oF, ∇Π(X ) dt * dK 6Z, 5 ‹ : ‰ Y
8 †2E >;,.‰ -2- t α, "=:=6(C 3C 3 CdE]AQ: o r 55Ž: 1=3 A=,.-(,jCd8 : †2E R>;,.Ž-2-0* E_,.-† XP. 5 Y , 5 Y †0ω,sŽ -01=∀>B0A ≤3 A s573 ≤* E[t† <5 :˜∞‰p>.Ž E]: 3 Cd:b1=E]1=- (F ). 5 < 5 8 3 ,.<
Z
Z
Z
$ Y r 7 
Π(X ) du ≤
Π(α ) du +
(X − α ).∇Π(X ) du.
‰
0
gn
t
gn
t
@ s
gn
u
t
t
2
t
t
t
u
s
g
t
s
gn
u
u
gn
u
.
' 1 :8 E]Cd,: > 6(5 C4: -0, 8 Cd5 : -0- 3 E :=3 < AD, A : C4\hC 3 n → ∞C4- Cd: 1=:=CB * E_Y r †07 \ 5Ž ‰ 1D-0C4:Cd:jˆ,Oˆ_3 † AD,Œ * , 5 Y> “3a:D3 <=A ,.57,;3 <—ŽΠ(X
=
) → Π(X )
*
_
E
†
˜
:
‰ A ≥ ŽC$*
3
5u 3 573 Π(X
:
3
5
:
5
)
!
6s, -2, 3 M = 1 − Ž6s,pA 5 oF,w -0C4:=>., x 7→
Cd-(<=,;>O†0, 5 -0C4: ˆ9E]: [e, +∞) ¥
gn
u
gn
gn 2
u
u
−1
ln(x)
x
b
Z
T
1|Π(
0
gn
u )
b
4
u
g
u
Z
b
=
4
gn
|≥A Π(X u ) du
T
1Mu ≥exp(4A/b)
0
ln (Mu )
Mu du
Mu
A
C(T, ω),
exp(4A/b)
≤
-2E 3 A 573 Z 1| | Π(X ) du → 0 1=:DC$* E_†2\ : ‰hC4: n 6(A=,;: A → ∞ Y –J,[A 5 o], 3 Ab1=E_Œ 3B5 C4:=,.< 5 >;E]: 3 Cd:bR1=EF1=-g8 †2E >;,.-2- X E]: [0, T ] 5 :=< 5 >.E]: 3 Cd:b1=E]1=-h8 †0EI>.,;-0-D6(C 3 A " :=C 3 ,
o 5 †2C 573 CdE]: K = (g(u)Y , 0) du + W − (X − X ) E]: [0, T ] -01D>BA 3 A 573 * E_† 5 :˜‰
>;E]: 3 Cd:b1=EF1=- (F ). 5 < 5 8 3 ,;<h8j†0EI>.,.-2- α 6(C 3 A9o 55: 1D,.- Cd: R Ž* E[† P. 5 Y , Y ω Ž ∀ 0 ≤ s ≤ t < T Ž
T
gn
u )
Π(
0
gn
u
≥A
g
t
t
0
g
t
g
u
g
t
t
t
0
2
t
Z
t
Π(X gu ) du
≤
Z
t
Π(αu ) du +
Z
t
(X gu − αu ).dK gu .
OAC4: =,OC4- † o -2A=E<6(- 3 A Y 573 C4:=6s>., , A 5 oFCd,- Œ=†Y1DŒ=C C:43O† 5 †N-2‰[E Ž : 1=1 -23 CdCd:E]:ˆ‡¤+3 E †2E]3 8fA=EF,[-0\C Cd1 E]:`: 3 C4o 55Ž/: 6s1=,.,_< A o]t , Œ=1= C 9Y ¡ ZE]-0: E 31 AD,C4E]3:Cd\?E]: ,
3 Y . 5E :: : [0,E<6(CdT: ]ˆ 5 ˆ 5 Cd: T3 A=, 5 5 †YˆF1=3\h5,;: 3 -OE5* 3 A=, :d5 - 3 -2,.> 3 3 CdE]:@r C 3 Cd-O, 5 5 -N‰ 3 E9-2A=:43ZE<65 3 A : 5c3 3 R
Z
Y
Y
*
E
[
†
:
˜
‰
Ž
.
Ž
Ž
1
5
5
0<t<∞ P
du < ∞
| |
1−
Y 8 , ,.- A=,_8 †0EIE5*mE5*/¤+†0EF8fE]-2C CdE]: š]Y
) dt
+1 (g(t)Y
, 0)
dt
+
dW
3
Y
(
OA=C4 -O-0dX
A=<E 6(- =3 A −∇Π(X
4
C
0
E
d
C
]
E
:
"
E


=
:
Q
<
.
>
F
E
h
\
573 X 5 : 3 3 5
:3 3
3
s
s
+
t
g 2
u
0
g
t
 s
g
t
g
t
b
g
t
„
t
„
"!
=
A
d
C
p
0
;
,
>
4
C
]
E
—: Ž 6s%
,
6 5 : 3 3 E <=, 3 ,O†2\hC4:=, 6(A=, 3 A=,O† E[† :=E 3p3 A=,g8j†0EI>.,.-2- X 6s,gA 5 o],
3
3
<=Œ=A=,;1DCd<=C -(:41=3 -0>;C4,;,: > 3 3 CdA A=E]57, —: 3 8Ž/1=6Z†0:=, ,podC ”IC4-0E]1D1=1=,.8D:=- 8f,;-0E]-0,;-u-2> , 3 <DC4EE]A ,;: - †0:D, E5 A=3>BA=,[A=,.ECd- :=: <?3C A=*C ,E[†Œf>;EFE]1=:=Y):=( <=?< C Ž 5 57Cd†3EF3 ‰[:Q: E5, Cd*5 -O-B3-01DY Cd: >BA A=3 A=E]1,lA : > < 5 3-2A=, , g E =>;> 05 Y-2CdOAE]: †05 EF†21 Cdˆ]-0,WA=ŽAE]Y 6Z1 ,3
3 3
3 573O3 3 5 : 3
3 573 P(|X | < b) = 1
“:
g
t
0
$#
%
#&% #
)'& )(
-)* % #
%f'
+(
2
'
E3 h8 “ †2: E o]3 ,A=Cd-(-2,.> 3 CdE]:Ž 6s,?6 5 : 3 3 E 5 : 55: ‰/1;, 3 A=,p,;oF,.: 3 {∃t > 0, |X | = b} Y – , 5 †0,ˆ]EFCd: ˆ
:9 <;+>[email protected]?A=, w : I3IFG D
$ Y r š 
g ∈ L (R ),
Q[Z1* [email protected][E P(|X | < b) = 1 . DFE2GJI (3LUZRIFW *4DFb EgOMDaK<bhL-(3D3I3I X INLUTVG4EWYLUZ6E*L +.qL [email protected]
Q L L D . V DaORQ D g 2
t
2
0
2
+
g
t
@ @
R;[email protected]? 9
RW R b ≥ 2 [email protected] P (∃t > 0, |X | = b) = 0,
b < 2
P (∃t > 0, |X | = b) = 1.
“ : oICd,6 5E *.¤{†2E]8 E]-0C 3 CdEF: r Ž6s, <=,;<=1=>;, C4\h\?,.<=C 573: ‰ 9 9 @ k R b ≥ 2 Q[Z1* P(|X | < b) = 1 EgOMDFZ EbQ>D (FE*LUb WQ[TPG4ZMW G DFZfD3I3IOMLUT *UI
R LUb +.'.
A3 =,[ 8 †09 EI—>.o,; -0 - .uXzC †2- 3 6ZŽG,[Œ˜‰ A [C5 o]d, †0- Œ=5 1=:=CE :4o_3 +"C4: ,.\?: 5 \ - 3 5 -0Ž;,.EF> :=3 C4,lE]> : 5 Y :[ -0:D1D<=8=,O8f† EF3-0AD, ,pg 8j=†0E_0Œ YG5 “ Œ=:=C <D: C,.3 ,.‰ <PŽ : , 3 <=1=, " -":=>;,.E]<¢:=-2Œ˜Cd<=‰ ,=†
W
g 2
t
g 2
t
0
2
g
t
g
Z ∞
Z
dPg
1 ∞
g
g 2
g(s)Ys dVs −
= exp −
(g(s)Ys ) ds ,
dP
2 0
0
Rt
j†
†
=† _†
g
(Vtg , Wtg ) = (Vt + 0 g(s)Y
ds,
W
t)
s
‹
$ _
(Xtg , Ytg , Vtg , Wtg , Pg )t∈ +
g=0
Ž
‹
$ K¡ ?Ž
B
Ž _†
z”
Ž
† O”
g
g=0
P
F
, P
† =†
I¤+†
,
†
g ∈ L2 (R+ )
,
† O†
s¤+†
g=0
“
ˆjŽ
Š 9¡ 
Ž
g
=
0
Œ˜‰ X = (X , Y ) – 3"j’ x ∈ B
O† =† x
O†
t
Š$t 9¡ t
g=0
X0 = x
#"†
O†
†
|x|
>
0
Rt = b − |X t |2
– ‹
4
C
2
<6(:=C 5 :@\?E 3 C4E]: 5 :=< 3 A=, 0,-* E 0,
E
3 A=, 8 0EI>.,.-25
Cd- 5 6s, 5 @-2E : 1 3 CdEF:@E * 3 AD, t Y G6(C 3 A Y Cd:=>;, 3 A=Cd-6(2E C : 1 A 3 CdE]:hCd- 6(* C E 3 A?6(o 55A=: C41=>BA,;-Z1DC4:=: C b1=I,;C:=3 ,.Cd-2- -i5 Cd:: -0E 5 6 6sA=, E 5 ?<=- -0Y E : 1 C4:=3 Cd>.E], :?E5* 3 AD:=,< \ 1 :`30,[C4o 55, b: 1=1=,.C`<o ,.t : E]: Y
5 : * 23 E]\ 3 A=,
6s,Q3 > 5 : 3 A=,;: <=,.<=1D>., 3 AD,8 0EF8f, 3 C4,.- E5:d5 * 0E]8 : E]-0C 3 C4E]: Cd: 5 > 5 -0, 5
8 2E]8 : , 3 ADCd,;2, -a* E E * <E 6(0EFCd:8fE]/-2C 6s3 Cd, E]: * E >;1=Cd:-iEF> :5 -0, AD, -0E 1 Y CdE]: E Y 6(C A
3 :$: Y J,
35 :=< 3 A=: ,p3 -01=8 , 23 -0> 0Cd8 3 \?3 , 5 :=- 3 A 573 6(6sAD, Cd>B>;AE]6s:=-0, C4<=<=, ,;:=3E AD3 ,,
-2E : 1 +"3 Cd, E]: 1=3 - E 2- Y -21=6(8=C 8 3 AE]-0, A -01D>BA 3 A 57Y3 +", 1=-_>;E]Y :=-0C4<=, A=, 8 2E >;,.-0Y
3 573
3
3
J, I:D3 E 6 3 A 573 3
$ Y rFr 
b
dR =
dt − (2 + b) dt − 2X .dW .
+", 3 1=-(C4: 3 †0EI<=1=>;, 3 A=,[- 3 E]8=8=C4: ˆ R3 Cd \?,
2
t
t
t
t
1
τn = inf t ≥ 0, |X t | ≥ b 1 −
n
2
.
"<=+ ,, " 3 :="jC ’ CdEFt:@>E *0Y Ž ‰ _Cz†2- 5 :DE [email protected]+",;\h\ 5 Ž ]E :=, -0A=E<6(- 3 A 75 3 P. 5 Y - Y Ž X 3 τ
:=< t < τ ).
P(|X | = 0) = P(|X | = 0 5
+", 3 P Œ ,[<=, "=:=,.¢< ŒD‰ 6= 0
t∧τn
n
t∧τn
n
dPn
= exp
dP
Z
t
t
Y“ :D<=,.,;<—ŽŒ˜‰
n
1
∇Π(X s ∧τn ) .dW s −
2
Z
t
∇Π(X s ∧τn )
2
ds
5 :D< E <=,.:DE 3 , R 3 A=, >.E_†N†0,;-08 E]:=<=C4: ˆ C4- ,55’D8 ,.> .3B573 †2CdE E]6(: :DY C 5 : ‰ \?E 3 [CC4E]d†0:q- 5 - :=3B5 E † o 3 C4: ˆHOA=*,†0,.E]E[\ †0,.\"ŽY
B = x + W − ∇Π(X ) du
P
x
C4:=>.,[E]: t ≤ τ Ž X = B Ž
:=< t < τ ) ≤ P(|B | = 0)
P(|X | = 0 5
n
s
s
n
0
s
0
u∧τn
t
s≤t
0
n
t
t
n
t
= En 1| = 0.
@ B
t
|=0
dP
dPn
$
Yr

.
¥
:=,[> 5 : 3 =A ,O†2,* E_†2,p-2A=E<6 3 A 75 3 |X | > 0 E]:
t
' [0, T )
1 Ž6(A=,O†2,
T = lim τn = inf t ≥ 0, |X t |2 = b = inf {t ≥ 0, Rt = 0} .
OAb1=-=ŽfE]:D,_> 5 :86 †0C 3 ,[Ž* E[† t ∈ [0, T ) n→∞
dRt =
p
b2
dt − (2 + b) dt + 2 b − Rt dβt ,
Rt
+", 3 β1=-(C4- :=5E<6 FC4:. 5 3 <†0EI5 <=8 1=3 ,.>;< , 3 š A=. =< [, Cd\?- 3 E],.:=8=-28=CdC4E]: : ˆ 553: C4\h†2, E<6(:=C 5 : ?\ E 3 C4E]: Y
6(A=,=†0,
t
$
Yr , 
t
S = inf {t ≥ 0, Rt ∈
/ (0, b)} .
–J,gA 5 oF,[Ž P. 5 Y - Y Ž S ≤ T Y – ,›†0,-* ,O†pA=,O†2, 3 E B“ Y 5 † 5c3 1 5
,;> 3– CdE],[:)C4: Y †0EI8 <=Yo1=,>;, r . -2 > š  Y, * 1=:=> CdE]: -21=>BA A 3 5 55: 3 p 3 573
6(A=C4>BA : , 5 <=-
- 5 :D< Y Y jA †0,;oF,
~ -2,.,
b2
− (2 + b) p0 (r) + 2(b − r)p00 (r) = 0,
r
3E p (r) = C(b − r) r
,
6(A=,=†0, C > 0 Y – ,lA 5 o], 3 AD,O†0,-* E_†0, p(b−) = +∞ 5 :=< (b < 2 ⇐⇒ p(0+) > −∞) Y -2Cd: ˆ
3E]A=:DCd,p-[> 8 5 †2:@E]8f>.,=E]† :=3 >‰ : 1=E <D* , 3 A=3 A ,957-03 > 5 : ,^* 1=:=> 3 C4E]: 5 :=< 3 A=,†2,.-01 :43 -[E5* “BY 5 † 5c3 1 5 - 5 :=< Y Y Aj†0,;oF,[Ž
BC * b ≥ 2 Ž 3 A=,.: P (S = +∞) = P (T = +∞) = 1,
 Y r _
BC * b < 2 Ž 3 A=,.: P lim |X | = b = 1.
“ : > 5 -2, b < 2 Ž6Z, > 5 :@<=,.<D1=>.&, *,†0E]\ 3 A=,p-0,.>;E]:=< C 3 ,;\ 3 A 573 S = T Y –J, :DE 6 6 5 : 3a3 E
‹b:=<E 6X6(A=, 3 A==, † S = +∞ _E †O:=E 3 C4: 3 A=C4-O> 5 -2, Y +", 3 1D-aC4: 3 †0EI<=1= >;, 3 A=,[-28f,;,.<@\h, 5 -0j1 †0, m
E]: <=, "=:=,.<¢ ŒD‰
0
−1 −b/2
t
t→S
2
(0, b)
m(dr) =
2 dr
r b/2 dr
=
,
4(b − r)p0 (r)
2C
5 :D< 3 A=, * =1 :=> 3 CdE]: v 0- 1=>BA 3 A 573 Ž* E_† 5 :˜‰
v(r) =
Z
r ∈ (0, b)
r
(p(r) − p(s))m(ds) =
Ž
Z
r
sb/2
(p(r) − p(s))
ds.
2C
Yj“ : > 5 -0, < 2 Ž=Y C 3 Y Cd-OA , †05 , -No]‰ ,WŽ 3 E96Z>B,QA=> ,;>a‹:
5 o], p(b−) =Y+∞
5 :D< 3 A=,O†2,* E_†2, -01 :43 - E5=* +∞
-0C4: ˆ 5 ˆ 5 Cd: 3 A=,w†2,.v(b−)
B
“
5 † 573 1 5 - 5 b:=<
Y
A3<=,;57<=3 1=>;v(0+)
5
,2*,†0EF\ <3 AD∞Cd- 3 A 573 Cd: > 5 -0, b < 2 Ž6Z,[A 5 o],
 Y r ( 
P(S < ∞) = P(T < ∞) = 1.
–J,_A
a
a
@
R;[email protected]? 9
0
,
Ž A=,* E_†2\h,=††2,.-21 :43 -~$ Y r _ 5 :=<& Y r (  - 3 C :$: A=E : < Y˜“ :=<=,;,.<—Ž : , 3 1=- -01=8/.
|x| = 0 3
8¥ E]ŒM-0oI, Cd-03 EFA 1 573 ‰[ŽxE]=:=,[0A 5 -:=< : , 3 1=-(Cd: 3 †0EI<=1=>., 3 A=,[- 3 E]8=8=C4: ˆ 3 Cd\?, τ = inf t ≥ 0, |X | ≥ Y
:
5
:=< τ < ∞ .
P ∃t > 0, |X | = b = P ∃t > 0, |X | = b 5
“ : > 5 -2, b ≥ 2 Ž=1=-2Cd: ˆ 3 A=,_- 3 †0E]j: ˆ * 5 †Y‹7E o8 †0E]8 O, † 3 ‰Q5E * X  -2,., Y /.8 5 Hr n8 6Y ( 5Ž
E]:D,pA 5 - :=< τ < ∞ ,
P ∃t > 0, |X | = b = P ∃t > 0, |X | = b 5
“ :g> 5
b
2
0 2
t
0 2
t
0 2
t
0
t
0 2
t
0 2
t
= E 1τ <∞ P ∃t > 0, |X t |2 = b |
= 0.
=
τ
,
2
,
Ž56s,(1=-0, 3 A=,7* 5 > 3v3 A 573 ŽF<=1=, 3 E 3 A=,(8 †0EIE5* E5*s Y r 5Ž P(|X | = 0) = 0 Y
b
<
2
‰ 3 A=, - 3 †2E]: ˆ * 5 †N‹FE o!8j†0E]8 ,O† 3 ‰ 5 :=< -2Cd:=>;, P. 5 Y - Y Ž sup
Ž 6Z, A 5 oF,
|X | < b
Y Ž 6Z, > : <=,;<=1=>.,
| EF:==<=C b)CdE]| : ) C =A 1 6
P ∃t
>
0,
|X
“ : >> 5 0,-2, |X5E * 5 | :==E]/: b. <==, 3 O, E†2\h(PC4:=(∃t
d
C
d
C
p
>
d
C
D
:
C
C
.
>
(
6
3 A=,[8 †0E]8 O, † 3 C4,.-(5E *.¤{†2E]8 E]-0C 3 CdEF: , 3 *,†2E]\ 33 A=55, : * 5 > 3O3 A3 573 XŒ˜‰Q1D:=Cz3”b1=,;: :=5 ,.-2-iµE5* 3 A=,[-25 E : 1 3 CdE]: “ :9> 5
0 2
t
t∈[0,1∧τ ]
0 2
t
t
2
=
1∧τ
0
2
P ∃t > 0, |X t | = b =
9 9 W
W
k Z j( QUIND
RR b ≥ 2 [email protected]
b<2
'
%
A-
vT
Z
ORQ[E
0
1∧τ
0
P ∃t > 0, |X t |2 = b dµ0 (x).
TD
(jQ[Z (3LUZ (FTVG *4DSWI:[email protected] R UL [email protected] T [email protected] g ∈ L2 (R+ )
P (∃t > 0, |X gt |2 = b) = 0,
P (∃t > 0, |X gt |2 = b) > 0.
/0-2#1#
%f #
b<2
Y –J, †0,.- 3 †2Cd> 3 E]1 † 5c303 ,;: 3 CdEF:
=3 A C4- -0,;> 3 CdE]:—ŽM6Z,O-21=8=8 E]-0, b < 2 5 :D< P(|X
| < b) = 1
3 $E Y3(3 A= , 5 :=> <5 -0-0, 1Dg>BA =3 A 057Y 3 –J, 5 †2,œˆ]E]C4: ˆ 3 E>.E]:D- 3 †21=Y > “ 3p: 5 E :=3 E A=3 ,OA=†G,O6s† E_8j†2†0<=EI-O>.Ž,.6s-2- , X̃6(C : : 6ZŒ=, 1=5 C ‹ : < -2E5 : 1-2E 3 Cd: E]1 :3 CdEF3 :E
, -0XE 1 >ŽC4ˆ]E]0,EI:=,.-X̃-aY E]1 ∈/3 B)E * 3 =A=, 1 Œ 55:$: B Y OADCd-6(C : : -2A=E<6 3 A 5c3 $ Y3(  5 <D\hC 3 357Ež3: , 5 )Y (- 3OG3 6(6ZA=E?C4>B<=—A C4Žnef1=O, †2: ,.: :zC ‹73P(∃t
+A ", 3 . 1DY -i- Y >.Ž EF:=A=-0,QC4<=8 O, †2† E 3 >;A=,.,-0- -0: E 3: 1 3 C4†0E], : >BXA=,.- 3 ŠE AD,€ Œf)Y ( E]71D6Z:=<, A †35‰ o],œE5* Œ=1DC :43Cd: Cd: "=:=C ,.> , 3 C4E]C4:\h,Š Y r  -0Y ,;– ,", ¤{†2‹bE]:=8 E<E 6 .
3-2C 3 57C4E]3 : P, 5  Y +", 33 1=-pCd: 3 †2E <=1DX>., 3 A=,h5 - 3 EF8=8=3 Cdj: ˆ 3 Cd\?, 5 B 3 3 Y “ :J8fE :d5 †
√ ≥ 0, |X√| ≥ b} Ž 6(ADO, †0,
>;E _E †2<=Cd: 573 W, Ž <=6s,;, :=E 6 †2,;C - 3 , ADX, 8 E =† (√: b,ˆ θ, Y )– , (X:=E<6=, Y6 T): ==inf{t
Eg( >;E]b:=cos(θ
- 3 †01D> 3_),5 -0bE sin(θ
3
3
:5 5 :
5
3
3
: 1 3 C4E]: ))3 E*$ Y)( ?Ž
θ ∈ [0, 2π)
6(A=C4>BA 3B5 ‹7,.- (X , Y ) 5 - Cd:=C 3 C 55 : o 55 : 1D[, Ž 5 :=< : C`o],.- E]1 3 -0Cd<D, 5E * 3 ADœ, Œ 55 :$: B Y +", 3 1D- Cd: 3 †2E .
<=1=1D-2, >., 5 8fE 3 6sE †+. †2<D,.Cd8\?†2,.,.:=-0,;-2:CdE]: 5 Cd: E]- : 365 :=√< 5 †2< E5†2<E* 6(A=:=,aC 5 8 : †0EI\?>.,;E -03 - C4E]6Z: ,(β6 ,: γ ) E C4:=Œ=<=1=,;C8f<,;:=Y <=–J,.:,a3 >.E]5E :=* -2WCd<=,=† Y – A=,,
5 33 :
3
-2E : 1 53 CdE]: : r5 3 E 3 A=, * E 3B: :57E 3 6(C4: ˆ ( \ r1 :4,3 θC`o )55 : 1=,;3 < t √
$ Y 'r 
dr + ∂f (r ) dt 3 (2 + b) dt + 2 r dβ ,
r = b,
@ w
“:
0
2
t
t
t
t
t
t
T
0
T
T
0
2
0
0
T
T
t
t
t
t
t
t
t
0
t
t
t
.
6(A=,=†0,
' 1 Cd- 3 A=,[>.E]:Mo],5’E* 1=:=> 3 CdE]: =< , " :=,;<&Œ˜‰ $C * r > b,
$ Y r 
−b ln(r − b)
E
=
A
=
,
'
†
(
6
4
C
0
,
f (r) =
3
+∞
.
-2E 3 A 5c3 ∂f Cd- 5 -0C4\h8 : ,-. o 55: 1=,;<Q\ 5 ’DC4\ 5 : \hEF:=E 3 EF:=,[E]8f=, † 573 _E †6(C 3 [email protected]<=E]\ 5 C4: I = (b, ∞)
 * E_†
Ž
 Y ‰ Y /;8 9
5 Hr Ž 3 A=,=†0,?,?’ Cd- 3 - 5 1=:=Cz”b1=,
Y r C4 -( Y-0(r)}
8-2A=†2E<E 6 >;,.55-2: -: A rr >-2E A=b: C41 -a3 ∂f8jCdE]†0:EI(r)>.3 ,.E¢-2=-  {∇f
. E :$: E<=6(Cd{: ˆ ,?’ }5 > 3 : ‰ 3 A=, 5 †Nˆ]1=\?,.: 3 -OE *u+",;\h\ 5 š ŽDEF:=,[> 5 :
1=>BA Z3 A 5c3 3 5c3O3
r
Ž6(C 3 A >.E]:MoF,.: 3 C4E]:
Ž
1
* E[† 5 ˜: ‰ 0 < t < ∞ Ž P. 5 Y - Y Ž
= +∞
du < ∞
r −b
dr = − dt + (2 + b) dt + 2√r dβ Y
+", 3 1=-(:=<E 6 >;E]:=-2Cd<==, † 3 A=,[8 †2E >;,.-0- θ <D, " :=,;&< Œ˜‰ Z
$ Y r ¡ 
1
θ =θ +
√ dγ ,
r
5 :D< 3 A=, † 5 :=<DE]\ 8 †2E >;,.-0- X̄ C4: R <=, "=:=,.¢< ŒD‰?
√
√
X̄ = ( r cos(θ ), r sin(θ )) .
‰ “ 3jm - * _E †0\ 1 : 5 Ž 6Z,pA 5 o]
,
f : R →] − ∞, +∞]
2
b2
b−r
t
t
t
u
0
b2
b−rt
t
1
b−b
t
t
t
t
t
0
s
t
t
2
t
t
t
dX̄ t = −
s
0
t
1 X̄ t
dt + (− sin(θt ), cos(θt ))dγt + (cos(θt ), sin(θt ))dβt .
2 1 − | ¯ t |2
2- Cd: ˆ ¤ 5 1 : +"/ o$‰>BA 5 † 5 > 6(3 A=,O†0,=C4†0- , 573 CdE]:ŽsC4- E]:D, 6s> E 5 . : <=Cd-2\?A=,.E<:=6 -2CdE]3 A: 573 (−†2E<sin(θ
6(:=C 5 : ),\?cos(θ
E
4
C
]
E
—))dγ
:
Ž Cd:=<D+,-.
Q
5
3
5
5
:
3
(cos(θ
),
sin(θ
))dβ
=
dB
B
8 ,.:=<D,.: 3 E * W Y
+", 3 1D-j:=<E 6 >;E]:=-2Cd<==, † X̃ <=, " :D,.< Œ˜‰ X̃ = 1 X + 1 X̄ 5 :=< 3 AD, 8 †0EI>.,;-0Y—“ Cd- E[ŒboIC4E]1=-‡ * E_† ,?’ \?8 ,œŒ˜‰*¤ 1 +"/;oD‰
<=, " :=,.< Œ˜‰
W̃
>BA 5 † 5 > 3 O, †2Cd- 573 C4E]o: W̃ 3 A 57=3 W̃W C4- +5 1 †2E 6(B:DC 5 : \?3 E 3 C4E]: Y“ : 5 <=<DC 3 C4E]:—Ž 5 3 A=,9: 8 †0EI>.,;-0- 5 X̃: Cd- 5
8-2E †2:_E 1 Œ 3 : Cd,.E]\ : 3 $&E 3Y ($  )Y ( 6( C 3 6(A C 3 gA =g 0=<=0EIŽ ,.-2-(1=:=>BAE 3a3 5A <D57\h3 P(∃t
C 3(5 1=>:=Cz0,”b1DX̃,p-2E ∈/: 1 B)3 CdEF: =Y 1 Y OA=C4-(-0A=E<6(- 3 A 573O3 A=,
9 9 w k Z (jQUIND g ∈ L (R ) [email protected] INLUTVG(EWYLUZ (r , θ ) L R EgOMD G(TVEW Q[TVG D,*'"%$'& b
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t∧T
t>T
0≤t≤T
t
t>T
t−T
t−T
t
t
t
(r0 , θ0 ) = (b, θ0 )
Q[Z1*
∞
+
t
t
d(rt , θt ) + ∂h(rt , θt ) dt 3
√
(2 + b) + rt sin(θt )g(t), − sin2 (θt )g(t) dt + (2 rt , √1rt )d(βt , γt ),
R [email protected] ZLUOMb DFTdQ bhDG4TdhQR LUbS:[email protected]→]IN LU TVG(LU−ZfEWYD3LU∞,ZR(jISQ[Z +∞]
LE\L &i+.EgOMWID2'. [email protected] D)(3D:LUQ[Z bX c[D G R DFG4ZMZ Eg(FI0EXWYK<LUbhZ L *4D D 4,EgORZfQ[D,E,* [email protected] DF& b3Dah(r,WIaZfθ)LUZ =] G4ZMfW (r) G DFZfIND3D3I3DI
T
-:d5 3O– 3 6s,9EhA -25 ,.oF> ,h3 Cd-2EF1=:=\h- Y \ 5 †2C 1.,;< Cd:ž 5 Œ : , Ydš -0EF\h,9E5* 3 A=,‡†2,.-01 :43 - 6s,hA 5 oF,9E_Œ 3B5 Cd:=,;<JC4: 3 A=,
2
@
R;[email protected]? 9
Y
Y
b≥2
.’ Cd- 3 ,;:=>., Y
.’ Cd- 3 ,;:=>., Y
Y
Y
Y
P(|X | = b) = 0
P (∃t ≥ 0, |X | = b) = 1
P (∃t ≥ 0, |X | = b) = 0
:=Cd”I1D,.:=,;-0- Y
k E]:/. 1=:=Cd”I1D,.:=,;-0- Y
.’ Cd- 3 ,;:=>., Y
.’ Cd- 3 ,;:=>., Y
Y
Y
k
]
E
:
/
.
=
1
=
:
C
d
I
”
D
1
.
,
=
:
;
,
0
k
F
E
:/. 1=:DCz”b1=,.:D,.-0P(|X | = b) > 0
Y –J, -21=8=8 E]-0, P(|X | ≤
Y š ¤{†2E]8 ,O† 3 Cd,;-hE5* -0E : 1 3 C4E]:=- 3 E  )Y ( 6(A=,;:
g = 0
g
Y
“
:
˜
:
‰
>
0
W
,
Ž
=
1
D
:
z
C
b
”
=
1
.
,
D
:
.
,
0
D
A
E
=
<
?
*
E
_
†
0
E
1
4
C
]
E
=
:
(
6
C
A
o
5
5
:
: 3
3
5: 1=,;- C4: B 5 >.>.E[†0<=C4: ˆ 3 E
5
b) = 1
¤+†0EF8fE]-2C 3 CdE]: r Y OA=, 3 ,O†2\hC4:=E : E[ˆ[‰ 1D:=Cz”b1=,;:=,.-2- 5 :=<:DE]:g1=:DCz”b1=,.:D,.-0- †0, :d573 ,;- 3 E 5 -0E : 1 3 C4E]:
3 A 573 Cd-O:=E 3 ,.:* E_†2>.,;< 3 E 365 ‹F,_o 55 : 1D,.-(Cd: B Y
b<2
0
0
2
t
2
t
2
2
0
 ƒ „8 i €„
„
g=0
2
b≥2
“ : 3 A=C4-_-0,.> 3 C4E]: 6Z, 5 †2, Cd: 3 ,=†0,.- 3 ,;<JC4: Cd:Mo 5 †0C 5 : 3 8 †0E[Œ 5 Œ=C : C 3 ‰@\?, 5 -21 †0,;- * E_† 3 AD, t $ Y3(  (6 C 3 A g = 0 Cd: > 5 -0, b ≥ 2 Y
C48 -O2† E_Cd:=ŒOAC 3 =DŒC ,5 C : \?:C ‰ ‰ E 573 3* C`E_o 0† † 5c,;3 - Cd3 A=EFŽ :\, C 3 * E_Cd-O† : 3 A=573Cd-i 1 Y3† -( 553 ?1D: 6(<j*,†2‰ CE]\ ACd- 53 6Z8=E5A˜* ‰IE -0: < C4> Y 55- .u: Cz8 †26 E]- 3 Cd:Ž * 3E_-0C4† E :=* >.,^oICd6s,-Y 6 ,9,.>.3 >;E9E]E]:D>B:=-0A=<—Cd<DE Žv,OEFC4†-0: , 5 5 1A=: ,1=CdC4:M< o : 56(†0A=C ‰I5 Cd-2>B: CdA 3E5* 3 A=5 , >.: EF3 1=8 : ,;< 3 -NI‰ - 3 ,.\ t $ Y š . Y9 5Ž 3 6s, g5 =†2, 0Cd: 35 ,=†0,;: 5- 3 ,;< Cd: X3 A=0,Š†0,=ˆ]1 :d5 †0C 3 ‰ E 3 * 3 A=5 , -553 : †2,.-06(A=C4>BA—ŽjŒ˜‰ [Cd†0- 5 :=E oiŽI> 5 : 55: -2EœŒf,]6 †0C 323 ,;:Cd: 3 A=,V* E :$: E<6(Cd:jˆ
X Y
τ (t, y) = E
1−
* E_2† \ y y
t t
y 2
y
(Xt ) +(Yt )2
b
Xt Y t
E
6(A=,=†0, X
$ Y3( ?6(C 3 A
1−
Xt2 +Yt2
b
exp
Z
t
1
∂y u(s, y)Ys dVs −
2
Z
t
2
(∂y u(s, y)Ys) ds
!
,
<
=
.
,
D
:
E
;
,
 5 - Cd: : 5 - 3 -2,.> 3 CdEF:o 3 A=,g-2E : 1 3 CdE]: 6(C 3 AJo 55: 1=,.- Cd: B 3 E
3
-0<D,;,, O(Cd:D,*,OY ”b1 ( C  ‰jY  OA=* CdE_- † ,?’ 8 \h†2,.EF-0- -2CdE]: E * 3 :=A=< ,h- Ž 3 †0,.-2-‰ICd, : <=- 3 A=,%* E : : E 6(C4: ˆ
:
55: 3
55: 3(55:$: y 5 t
0
0
= (X/ t , Y
t )wŸ

g j=ˆ 0
O†
,;- 3 C4\ 5c3 ›,  1D-0Cd:
t
!
|τ (y, t)| ≤ E
Xt Y t
Xt2 +Yt2
b
!p !1/p
exp
q−1
b
2
Z
t
2
(∂y u(s, y)) ds ,
Y
“ 3 C4- 3 AI1D-vCd\?8fE_† 3B5 : 3m3 E ,.- 3 Cd\ 573 , 3 A=,”b1 5 : 3 C 3 C4,.- E ŽM6(A=C4>BA Cd- -0C4\h8 : ,
CB* 6Z,iCd<=,;: 3 C$*‰ 5 :D<- 365 † 3 1=:=<=,=† 5 :hCd:Mo 5 †0C 5 : 3 8j†0E_Œ 5 Œ=C : C 3 ‰ \?, 5 -21 †0,œ -2,.,V* E_†2\ 1 :d5 $ YKš Y Y
OA=,[<=,.:D-0C 3 ‰ p <=, " :=,;<&Œ˜‰ $ KY '7 
exp(−2Π(x))
b+2
|x|
p (x) = R
=
1−
1
6(A=,=†0,
p=
1−
0
q
q−1
p
Xt Yt
1−
Xt2 +Yt2
b
0
2
0
@ A
exp(−2Π(x)) dx
2πb
b
b/2
| |2 <b
w
ž ! g=0
1
b≥2
E_< ŒMoI, CdEF1=E‡- : Œ ‰Q,p-0C4E :M: o]o ,;-†0C div: Y OA=−(∇
=
:
@
<
d
C
D
A
O†0,-* E_†0, 5 : 573 1 † 5 : > 5 :=<DCB.
,
5
3
Π)p
+
p
)
=
0
(∇
5c3 3
5 5 3 C4-(Cd-O Cd:D<=,.,;< 3 A=,[> 5 -2, 5 -a-2A=E<6(:&Œ˜‰ :9 <;+>[email protected]?A=,
RB [email protected] "%$'& +.P LUb bT ≥[email protected]@O 2g p=(x)0 . dx WI:EgOMD G4ZMW G D [email protected] Q[b WQ[ZMEK<bhL L Q L [email protected]@E & DjQUIFG4bhD LUZ
OA=C4-(8 †0E]8 E]-2C 3 C4E]:QCd- 5 >;E]:=-0,=”b1=,.:=>;, E5* 3 A=, * E :$: E<6(Cd:jˆ : ,;\h\ 5 .fP LUb Q[Z6& ∈ B t > 0 [email protected] X L R [email protected] "%$'& +. T [email protected]
4 £9 B DFE
b ≥ 2ORQUIQ *[email protected]
[
Q
1
Z
*
E & p(t, x, y) T [email protected]@O bhD3I\KMD (FE_E\L.EgOM D D L D3Ijc[G D DjQUIFG4bhD LUZ
g=
&k 0Z Q+*+*[[email protected] = x
.
∀t ≥ 0 B
1
2
0
0
0
t
0
W
Q .D .
( [email protected])W dx dy ]
exp(−2Π(x))p(t,
. = exp(−2Π(y))p(t, y, x)
Q . D . p(t, x, y) >x,0y)
( ) ∀x ∈ B dy ]
8”b“ :=1=†2<DE_,;Œ,.:=,.5,.<ŒD-2-Ž+C : ŒDC  3 -2‰ ‰?,., \h C ¤+?, Žm†05 E]E]-081:=E]†2,Q,_-0C, Cd5-jC4E]-0,=C: :”b‰W1=(DC4Y>Bo š]A=55YK,.¡ : >a,.‹b8: -3OYš833 EA 573 3 A=E5,[* p*J+"(x),OY Œ ,.dx-Y1 ˆF1 1=E Cd,[- \h,C4:M7 , o5  5 -0Y †01 C †25 ,_: 3 E]Y : B‰ 6( CdA=C5C4Ž>BA 5 :˜C4‰\h8 C4:b: Cdo ,;5 -s†21=C 5 :D: CB3.
– C3 AŽ A=,.¤+8: †0EF6s8f, E]-2A C 3 CdoFE], 3: 3 Ž C 3 C4- 3 A=,.: - 3 † 5 CzˆFA 3 * E_†'6 t 5 †2< 3 E 8 †2E o], 3 A 573 ŽcCB* X A 5 - 3 AD,s<=,;:=-0C 3 ‰
5
p (x) 3
!!
$ KY š 
XY
E
< ∞ ⇐⇒ b > 2(p − 1).
1−
+", 3-2E 1=-uA :DE 6 j8 A=†0,E o]†0,;,O-0+"1 ,;\h-_\ E5*s5a+ r Y Y i Y 9 Y—Ÿ(o E_ ˆ],O“ :†2- _E †0šG<DO, † 3 Ei-0,;j8 , †0E 8 o]Ys, š  (jC 5š ŽA 6Z, 8=†28 O, ˆ]‰ 1 Y : +m5 ,†2C 1., 3 A=,ZŒ ,8 E <=3 , ,;" : :=3 C,;5 < :
3 573 3 :`3
5 : 3Π
Π
Œ˜‰?
$ KY r 
Π (x) = π (|x| ),
(
r $C *
b $ KY [ 
− ln 1 −
r ≤b 1− ,
π (r) =
b
√4
C
$
*
r + ln(n)
r≥b,
5†2C4:Do < 573 πC`o],;-?C4-iE Cd* :DO> "†0†2, - 5 3 -0C4_E : †0ˆ <==, 5 † :=Y < +"C, 3 (R , R 5 ):=Žf< -0E 3 A 573 ∇ΠY >;Cd‘->._E Œf†2E]<=1DCd: :=ˆ <=,.3 \< EJ6(+ C Y 3 iAqY >.E]Y : Ÿ(3 C4_E :bˆ]1==, E]†01==- -Ž 3 <DA=-, , .
-2E : 1 3 CdE]: X E5* 3 A=, t t > 0 x ∈ R Z
$ KY , 
X =x−
∇Π (X ) ds + W ,
A" ,;5 -- 5 <=,;:=.-0C 3 Y ‰ , Y Žp (t, x, y) 6(C 3 žA †2,.-08 ,.> 3 3 E 3 A=,h+m=, Œf,;Y- ˆ]1D,h\?, 5 -21 †0,9E]: Y R.UE[†6(A=C4>BA - 5cŽ 3 Cd, - .
dx dy 5
exp(−2Π (x))p (t, x,Y y) = exp(−2Π (y))p (t, y, x)
x∈B : 3
4
C
=
:
.
>
,
Ž
>;>._E †2<=Cd: ˆ
τE ¤+=†0EFinf
t Cd≥
0,, Ž |X | ≥ b 1 −
P (X 6= X ) ≤ P(τ < t) 5
f
8
]
E
2
C
]
E
:
3
3
$ Y9 _
lim P (X 6= X ) = 0.
–J,j<=,;<=1=>., 3 A 573 * _E † 5 "’D,;< x ∈ B Ž p (t, x, y) >.E]:Mo]=, †Yˆ],;-vCd: L (R ) 3 E p(t, x, y) ŽM6(A=C4>BA
C4- 3 A=,[- <=,.A=:D, -0:=C 3 E]‰/: E5. :=* O, Xˆ YC`o],(8fE ,.: C >;E]:Mo]O, †Nˆ],.-Z8fE]C4: 6(Cd-0, E Cd: Ž36Z, <=,.<D1=>., A
573 >.E]3 :MoF3 O, †Y55 ˆF: ,.Π- 3 E
3 3 Π C4: B 3 5 :D57< 3
3
exp(−2Π (x))p (t, x, y)
exp(−2Π(x))p(t, x, y)
L (B × B)
>;E]:=> : 1=<=, 3 A 573  C  A=E : <D- Y
0
0
0
p
t t
Xt2 +Yt2
b
n
n
2
n
1
n
n
b
4
2
n
+
+
2
n
n,
t
n,
t
n
0
n,
s
t
2
n
n
n
t
2
n
n,
t
1
n
n,
t
n→∞
n
n
n
t
n
t
1
2
t
n
n
n
1
,
@
5
R;[email protected]? 9
,
†0, :=E<6 ˆFE]Cd: ˆ 3 E >BA=,.>a‹  CdC7* E_† 5 "j’ ,.< x ∈ B 5 :D< t > 0 Y +m, 3 A Œ , 5 E[†0, :
5
-21 Œ=-0, 3 E5* B -21=>BA 3 A 573 R 1 dx > 0 Y – ,?q>BA=EIE]-0, n ∈ N -01=>BA 3 A 573 |x| < b 1 − 5 :D< <DR, " 1:=,;&< dxŒ˜‰?> 0 6(A=,O†2, A = A ∩ B 0, b 1 − Y ‰ _Cz†2- 5 :=E o‡OA=,;E_†0,;\¢Žb1=:D<=,O†
P
–
∗
A
1
n
1
n
n
An
2
n
dPn
= exp
dP
6(A=,=†0,
Z
t
1
∇Π(X s ∧τn ) .dW s −
2
Z
t
∇Π(X s ∧τn )
2
ds ,
dC - 5 - 5 Œ E o],[Ž (X ) C4- 5 †0E<6(:=C 5 :?\hE 3 CdE]: - 3B5 † 3 C4: ˆ&*,†2E]\ x 5 :=<g- 3 E]8=8 ,.<
573g3 A=,*Œ E]1=:=< 5 †N‰ E5* B 0, qb 1 − -0E 3 A 573 P X ∈ A > 0 Y OA=,O†2,* E_†2,[Ž
Ž 6(A=C4>BA >.EF:=> : 1=<=,.- 3 A=,
X P (X ∈ A) ≥ P X ∈ A = E 1
>0
8 †2E E * Y
τn
s∧τn s≤t
t
@ 0
n
t∧τn
"
1
n
n
0
n
An
t∧τn
t∧τn
d
d
n
n
OA=Cd-6sE_†N‹QA 5 -(8 5 † 3: ‰ fŒ ,;,.:@\hE 3 C4o 573 ,.<€Œ˜‰Q-2E]\h,†2,.\ 5 †Y‹b-OE5* : 5 1D<=,p+m, 2† Cd- Y
' %$ & '!
!" # +
"
.
,
†2/.-21 :436573 - 8 †0/;-0,.: 3 /.- < 5 :D- >.,h>BA 5 8=C 3 †2,gE]: 3)( 5 C 3&: E_Œ$2, 3 < 1=: 5 † 3 C4> : ,?8 5 †01J< 5 :=<=\?* ,;LU/O- G4†2bFCz†2”bZ</.1=-2Q[1,.T_-=:4L36ŽjR,57, 3 + -pLUE_:=Z ŒE ] 3 + ,.:b\hD 1=T \?-pE*LU,.8 ZM: 5 W†Q[Z <=: 5 , P \?TVG(/ W 3* \ ADEN <=:=D ,C (3OR†2 , Q[¥ ZM<=Wk EF(3I:k Y . ka. ,qE] 1=\?- E]5 “ 1D: oF55,.: <=‰I\?/.-0,.8E]: :=,.:=-[<J>;E]†2<=\hE0,./(-p\?:D8 ,.Cd5,.: :†3&5 :\ <D5 /.^;8o 3 5,.†2,.†2:=C-[< 5 :D:b<=1.>.,, 3 3B5 3 : 5 5 ^ 38:
3
: ,;-08 5 >;, Y
@ R;[email protected]? 9 A ?
‡ 9 = g 9 !g%/[?A=, ? /"=% B 9 = 9 a9 9 >=ž% R?A=,/ e;+ , $9 = -.%H=!/
0132a46?7 8K2™:?<=>'@PAR658K2DC iJK6?>RA1{[email protected]'E$<[email protected]
E—U'17 8]\[email protected]<5t 7 6?\[email protected] <X8K7>RJK65T 8K<?2RX—<?ZjV[<?JKFG7 [email protected] 8]\.lR>'8]A'X/\r<?>RV'J91sTPU'1{7 6?XPX6?2RA~7 <?t
7132OTP>'7 \r<=2RX [email protected](65T 8K<?2 1Y`O>R6aTP89<=2RXi65TiTPU'1s7 6?\[email protected]<=XP\r<=V'8]\J91NM?1NJdCGp89T U‘6 XT <\BUR6?XT 8]\
A89^[email protected] 8]65JD1Y`O>R6aTP89<=2~pUR8K\BU™7<A13J]X—T UR1+13M?<=J9>'T 8K<?2™<5ZjT U'1VW<[email protected]\3<?2 Rk=>'@B6at
TP89<=2RX$65TDT U'1i78K\[email protected] <OX \3<?V'8]\ J91NM?1NJWb [email protected]<ap2'8]652+AFG2R6578]\3XX8K7>'J]6aTP89<=2Wh m \3\3<[email protected]?JKF?C
TPU'1+XFXT 137 8KX—A8]X \[email protected] 13T 8KS31YA yGFI6 R2'89T 1s13JK137132OT71rTPU'<A‘\3<?>'V'JK1NAIp8|TPU~6n;<=2OT 1
[email protected] JK<I71rTPU'<A˜m JKJjT U'1 A8]XP\[email protected] 1 [email protected]?y'J91YX/[email protected] 1 @P6?2RA<=7~C_652WA;T UR16=\3\3>'@P6=\rF~<5Z
TPU'[email protected] >'J9TU'8Kk?U'JKFsA13V[132RARX$<=2sT U'1iM([email protected] 8]652W\r1o<?ZOTPU'1NX [email protected]<?7&[email protected]?y'J91YX3m3Q 1ik?8KM?1
U'[email protected] 1 X <?71 1NJ91N7132OTPX+<?Z2O>R7 [email protected] 8]\36?J652W65JKFGX 8]Xs<?2T U'1~\[email protected]>R\r8]65J8]XPX>'1I<5Z—M([email protected] 8]652W\r1
@P1NA>W\ T 8K<?2œ8K2œ<[email protected]@.T <;k=1rT{@P1NX >'J9TPXs<[email protected] `O>R6?J989T,F;Zq<[email protected]{6™k?8KM?132œ\r<=7V'>TP65t
TP89<=2R65J_\r<OX,TYm=E—U'1/V'@ 1YX1N2OT652W65JKF=TP8K\N65J[X,TP>RAF<?2'JKF A1N6?JKXp8|TPU‘6+<=2'1/A'897132WX8K<?2R6?J
\N6?X 1?CRyR>[email protected]'13JK1NXPXk=89M=1NX6 T @B6?\ ‘Zq<[email protected]\r<?7V'>'TP6aTP89<=2R65JjX,[email protected] 1Nk?8K1NXTPUR6aT.7 6(F
6?V'V'JKF T <TPU'1+7<[email protected] 8K\N65JKJ9F @P13JK13Ma6?2=T—T,p< 652RAIT U'@P131+A8K7132RX 8K<?2R6?JD\36?X 1NXNm
D & T LUb U* I 1 ¥ kik . . “ ;Ž t 1=\Œ fŒ , : : -O+Ž . l k Ž 5 0† C 5 :=>.,;2† ,.<=1=> 3 C4E]:
$#
ƒ „
$#
%
'
,%< ' ' 1
( #&+
'
(
+*- #
',+*- '
“ : 3 A=Cd-[8 5 8f,=†OŽ&/Z, ( EI>.1=-pE]:W-0E]\?,9\hC4>O†0E - \ 5 >O†2E\hEI<=, : -[E ( <=C : 1 3 ,9-0E : 1 3 CdE]:=-_E ( 8 E ‰: \?,O†2- Y +m, 3 1=- C4: 3 †0EI<=1=>;,wŒ †2Cd,21j‰ 3 A=,.-2,Q\hEI<=, : -)/(ADCd>BA :=E / ˆ]C4oF,w†0C4-0, 3 E 5: C`o], : ‰ 5 :=<
,5†2,’D8 ,O5† :=<=ADC4,‘: †2ˆ, "=<=, :,=<@† E E ( >.š E]\?Ž š8=1 Ž 36[¡573 Ž C4,E](: Ž55š : -07 C4\ 1E_:†l5c-03 E]CdEF\?: ,(( E_>.E]†O\?:=E]8 :†0,;-SkA=,., :D/ -03C4oFE],i:DC -25 1 : †2oF1 ,=1=‰IC4-j< E <j‰I: A=5 ,a\?8=CdA˜>.‰I- -0Cd > /Z,
( 3 5 3 r
r (
(f3
55:
Œ 5 >a‹$ˆ[0† E]1=:D<o Y . E_† 3 A=, \ 5 >O†0EF-0>.EF8=Cd>!?8 5 † 3 Ž 3 A=,Q,;oFE : 1 3 CdE]: E (O3 A=,ho], : E >;C 3 ‰ u 5 :D< 3 A=,
8 2† ,.-2-01 2† , p Cd-O<D,.-0>=†0CdŒf,;<&Œ˜‰ 3 AD,p\?E]\?,.: 3 1D\ 5 :=<@\ 5 -0-O>;E]:=-0,=†2o 573 CdE]:@,O”b1 573 CdE]:D-#
∂u
+ u · ∇u
= ηs ∆u − ∇p + div (τ p )
∂t
Ž
div (u) = 0
Ž
 (DY š 
 ( Yr 
/(E A=,=<=†0,O, †2C4τo], p C4A=- ,5 :,5’D,?8j’ †03,.†-25-0C4- E]- 3: †2,.E -0- 3 A=,.C4:=- -2E_,?’†OŽv† <=1D- - , †23 ,.E -2- 3 A=,.,Q:D>;-0E]E_:†=Ž3 †0E]CdŒ=:=1,3 >CdE]: : E 1=( -2,€8 E ‹I: C4‰I:=\?, ,OCd>†0- Y.\?“ EI: <=,E_†0- <D,OE †
38 E : ‰I\?,O†2- Y 3 – , <=, 5 : AD,O†0,)/(C (O3 A 3 3 AD," <=3 1=5\œŒ 3 Œ , :$: 3 \hEI<=, :  5 8 5 † 53 C4>.1 :d5 †O> 5 -2, 3 E (u3 A=, aŸ EF: 1=-0, (
\?(DY šE  <DY , OA: v=Cd,9: ,?/(’ A=8 Cd†2>B,.A -0-25 CdE]8 :WE :E ‰I\?AD,O† ,?Cd,;-s: <=,.†0EF-2>O8=†0CdCd> Œf,;E_< †2>.ŒD, ‰ 3 /sCdE›: Œ ,A=5 , <=-0- 8 : †2C4:Cd: ‹Fˆj,;Ž<wCd:Œ˜‰ ,O5 †0\-28 †0E C4: ˆ A= , -0,.-2, E -. > Cz]ˆ 1 ,.2† < ,
,;A=:=,<.- ,;3 efE - ,.,;> :=<- o],;‹F> ,;3 :E[† C4X: E Ž(l> 5 >.3 : >;E]A 1=5 : o],93  \?,?’ E_> †0,1=( <=E[,;† < : ,;oF-0FE -_1D>.EF\h\h3 ,Q8 , : Cden> ,;57> 3 ,;-=< Ž ,?" ’ :=8 C †2,Q,.3 -0,?-2’CdE]:,;:="Ž ( -0<=Cd3 ,.=Œ 8 C ,.C :=J‰ <DCdE : 55ˆ : : E]A=: ,
38 E : ‰I\?,O†=Ž 3 Y`Y4Y  36Y 5 –J,q<=, 355: A=5 ,O†2, /(3C 3 A 3 /s: E 3 ‰I8f,;-:E ( ( E_†2>.,;-*3 ŒD1 3 E]1j3 g† \?, 3 3 ADE < Cd:- 3 : Cz7‹ , (a: ‰ 3 3 E
 \?E (X)
= >.HX
<"=5 8D,:D:8C : E,i‰ ( ,?3 ’ E / ,;EEI:=3 E_-0A=‹FCd,=Œ=, †pC5 :C> 5 ‰?<D-0,;E1=- \œE Œ AD( Œ , ( , E_8f:$†2: E >.-#r,;‰Ih-a\h E_,=† †;585  <=: Cd:=,.:=-2E], >O:.5 0† - † Cd: fŒ C4( :=,;E_,<€†25 >.Œ˜†, ‰ ( E_F(X)
†0>;, /(A==C4>BA FHOOK
‹
F
;
,
4
C
:
E
;
>
]
E
=
1
:
A= , 6
3
5
3
5
3
3
D
A
,
=
:
]
E
.
:
=
<
d
C
?
\
.
,
D
:
0
d
C
F
E
:
8
†
h
\
,
=
,
†
3 3 : 3 ("3 :
3
55: 5 5 3 b
ρ
@>A A A @ B
E ( . lk <=1=\œŒjŒf, : : - 3 Y OA=, \hC4>O†0EF-0>.E 8=A C4> †0(8E]1jˆ]5 A † 3 E (f- 3 EIA=>B,aA \h- EICd<=>_, 8: Cd- † 3 C AD, <=<=C4,;ef-0>=,O†0†2Cd,.8 : 3 CdC EF:h,=E ”b(f1 3 A=,aC4E],;:oFE  : 1 3†2CdE EF/(:?:=E C (n:Q3 AD<, ‰ ,;: :=<.\h- 3 C4E>.-O- ,;-2:=Cd\<91o],.> 3 C4E_E]† :oX 3
5 3 5 3 5 3 55:
3 55: 573
5 5
:d573
√
 (D9Y 
2σ
2
dW ,
dX + u · ∇Xdt =
∇uX − F (X) dt +
ζ
ζ
/(- A=,=:=†0< , †0ζ< C4-  \ 5 1 ( †0C4C >- <=3 C4CdE]\?:W,.:D>.EI-0Cd, EF?: >.C4,. : 3 Ž†2E σ/(:==C : 2k\hE T ζCdEF:  TY OACd=- ,p3 A=,?’, 8 3 †2,;,.\h-0-28 CdE]O, :q† 57E3 1 †2, AD Cd-(5 ,?:=’ < † W- - †2C4-,.-05 3B5 5 :`3
55:
5 3
(3 35 3
F(X) = FF EN E (X) = H
|| ||2
1− bk T /H
B
 \?E <=, :
t
2
B
t
X
( Ydš
C: d: ‹7,.<žŒ˜‰ 5 OA-08=†2,Cd: 8 ˆ E Y : ‰IOA\?=Y O,, † o],;C4> : 3 E[< † 5 X-2A=,.</(A=: CdCd:=>BAžG,  ˆ]CdEI- ,.\?- (EI†2<=E],\ : ,.<)E]:DŒ˜,‰ Œf5 , 5 < <=1=3 \œE Œ 3 ADŒ ,?, :$:E 3 A= ,=3 †_/sCdEŠ- >Œf55, : 5 : ,.<=< 3 A=,[,.:=<.- 3 E - ,.:=< o],;> 3 E_†
38 ,.E :=: ‰I-2_E \?† ,Oτ†2-  Cd3- AD3 CdA=-O,;Cd:&- 3 ˆ]A=C`o], ,;:¢† Œ˜5 ‰ \?5 ,O:†2-O,?,?’ ’ 8f8 ,;†0> ,;36-057-23CdE]C4E]:o: #E (v5 ( 1=:=> 3 CdE]:@E ( 3 A=,p>.E]: "ˆ]1 † 573 C4E]:=-OE ( 3 A=,
“<
 (D-Y , 
τ = nE(X ⊗ F(X)) − nk T ,
/(A==, “ †0, Cdn- <=E ,.:=ŒfE , 3 ,.:=- E 3 AD,.,p< >;E]A :=>;,.: 3 A=† , 573 C4/E]: E _E E ‹7( , 8 E: : ‰ <=\?1=œ\O, †2Œj- Y Œf, g\?E <=, <=,;-0O> †2zC Œ ,.< ŒD‰ =, ”I1 C4E]:=3 3
3 3 5c3?3
5
::
:
573
 (DYdš ?Ž (DY r ?Ž— (DY9  5 :=< (DY-, 5Ž./(C 3 A F = F
4
C
j
O”b1=C`o 5 : ,.: 3s3 E 3 AD, ( 5 \?E]1=- ¥ : <j†0E‰I<.,
\ -0,.h, EIš<=, n: Ž 8 /(ADˆ]Cd, >BApCd-" jY 1=¥ -21 : 55 : : AD‰ ,i/ E †2C A=303O, ,.†s:[A Cd: :=5 —< ŽI8=:=1 E†2, >: ‰_E]\ -2,.5 <O> †0<DEFC4ef-0>.O, EF†08=,;:Cd> C <DC4ef[E O, †s†0,;C4:: 3 CO, 5 ˆ_: † _E †"CdO, : ”b3 1 O, ˆ_† Cd55 E]: :D( -Z_E †2E]\ :
5 Fr
3
3
5
: \?E_†0,I†0, C4- Cd3 > 5 . : lk 3 \?E <=55 , : Y ,;57Cd:3 ˆ \hE[†0,
A
F
o
™
,
f
Œ
;
,
.
,
:
]
E
D
1
=
:
<
E
f
Œ
,
O
,
b
”
=
1
`
C
o
.
,
:
E
=
A
,
( AD, 8=1 †23 , : ‰g\ 5 O> †0EF-05>.EF: 8=Cd3s> 3 5 8=83 †2E 5 >B—A Ž 3 A=,_55 \?: Cd=> 3 †0E - \ 5 => †0E 5 8=8 †2E : 5 >BAQ-2,.,.\?- 55 :$:
τˆ],;:=O, †5
A
:
5
5
n
:
3
5
3
3 A=,[¥ \h:=_E >.†2, ,_3 8 AD†0,pEF\h-3‰IC4- -03 Cd,;j: \ ˆ Y  (DY š  -? ( Y),  Cd-(:=E]:.- <=Cd\?,.:D-0CdEF: 55: C4-0,;<—ŽbC 3 A 5 - 3 A=, ( E : : E0/(C4: ˆ ( E[†0\ Ž
 (DY _
∂u
+ u · ∇u
= (1 − )∆u − ∇p + div (τ )
Re
∂t
Ž
 ( 3Y ( 
div (u) = 0
“< Ž
 (DY 
(µE(X ⊗ F (X)) − )
τ =
We
 (DY 
1
1
F (X) dt + √
dX + u · ∇Xdt =
∇uX −
dW ,
p
p
B
HOOK
p
p
p
2We
We µ
t
@>A @
R;[email protected]? 9 A ?
/(C 3 A 3 =A , ( E :$: E /(Cd: ˆ :=E]:.- <=Cd\?,.:D-0CdEF: 55: :b1=\Œf,=†0-
ρU L
η
Ž
λU
L
5 :D< 3 =A , ( E : : E0/(C4: ˆ :=EF:.- <=C4\h,;:=-0C4E]: 55: ( E_†2>.,.Re =
We =
F HOOK (X) = X
Ž
Ž
=
ηp
η
F F EN E (X) =
Ž
µ=
X
 (DY9¡ 
Ž
L2 H
kb T
Y
 (DYdš87 
OA†2, =, ’ :b1=Cd\EF: Œf,=†0C4\h- , UE 5 :=A=< , L8 E <D‰,.:=\?E ,O3 †2, -a 3 AD, :=< >BA 5 † 5  > A=3 ,O, †0C4oI- Cd3 -2Cd>.> E]-2oFC , 1:‰ E −>;C -03 -2‰ E >;5 C :=< ,.< : ,.: E ˆ 3 A—A=Ž , /(8 A=E C : ‰I, \?λ,O†0-(5 
3 5 573 3 3 :
: 5 5c3 3
(l3 : 5 3
†5 2,l<=, " :D,.< ŒD‰ λ = 5 :=< η = nk T ληY OA=, 3 E 3B55: oIC4-0>.EF-0C 3 ‰ η C4-<=, "=:=,.< ŒD‰ η = η +η Y
>;-2>BE]A=1=,.8OA\?: =Cd:,.Cd-"-aˆ 8jCd5 : †0E_" Œ Cd:=\?: C,.3 \ , , , > E_: 5 †,;:\h (DŒ ,;Y,v: [3 <= Cd\?-2:=>O, †2<3 , A=3  EIC ( .,< Y; < 3 5E9Ž Œ˜‰ <=:=Cd3 -2< A=>O,v†2, -03 *E C -.,>EF_5 : ,=: : ”I, ,;1 < 57 3 C4†¥ E]:=E ki- \hk  .,( Y. _A= EI-?<  (DY3“ (E J\?ŽDh8=- 3B8j, 5 3†0:DA=EG’< EICd5<›\ †0< -2,.v,, 1 ¡: A=,O ,† ?Ž
- 3A=†0, ,;-0. - _E τ‹D‹F=, †C4:- 3 ¤  (D:=Y a> ( ‹ Y O, ”bE]1 \?8 Cd5 EF5 †0: ,;<'-2/(-0EIC 3 >.A C 55 ,.< <=, 3 5 E£,O†2 \h(DYC4 :=?3 Cd-Ž 3 C4A=> 5,g5 :8=>;E]8j:M†0o]E ,O5 3†N>Bˆ]A,.:D/(>.A=,Q3 C4>BE A 5 -2A=E :CdoF-p,.- -9E <=57>BCdA3†0,.> - 3 3: Cd‰ >
3/5 8D8 †0E 5 >BAg-0> 55 : :d,;5 -Z, h>;Cd,;: 5c3 :3 ‰ /(C 3 5 ›A †0,.-28f5c,;3 > 3s3 3 E 3 A=,a:b1=\œ3 Œ ,O† E ( -28 †0C4: ˆ]- Cd: 3 (jA=3,‘ŸaEF1=3 -0,a>BA 5 5 3C4: Y
EA=0, /s* ,;oFE],O: †=Ž , 3 AD, † : , E 5 <=\?C4:, ˆ9A=,OEI†N—< †0ŽE_†(:=Cd<: <=3 A=,;8fCd- ,;:=‹bCd<=:=- <@E]:E ( <=A=Cd, -2>Oo †0, †03 C C :=57>.3 ,sCdE]E : Cd- AD,s5 o - 36†057C 3 C4Œ- 3 C4,.> - 55WY : ¥ ,O1 †Y†2† E_†(Cd\ <=1=A=, =, 3†0E,
3C4- 3 E9- 3 1=j<3 ‰ 3 A=5 ,[: <=,.8 ,.3 :=<D,.:=?> 5‰ E ( 3 A=,.-2,_o 5 †0C 5 :=3 >.,;-OCd5 : 3 5 =, †0\?-OE(=( 3 3 A=,_5 :b1=5\?O, : †2Cd> 5 : 8 5 † 5 5 \h, 3 =, †0E ( 3 *A=,[_E <=†2,_C4-08>=†0†0, ,;3 >.C Cd-257, 3 ‰_C4E]Ž : \ Y ˜: ‰ 1 A=_E †2-  -0,;, / Cd—: Ž +"Cd, ,.:==- Ž ,.1=:DCd: ˆ]- :=<@+m=, ˆ C4: , "_E †
E/(FA=:bC4>BoIA C4: <=5 EI:=,[email protected])< :=¤vE Cd> 5 : <=-0-0,;E 8f,;Cd5 ::=< š EF5:  3 -2A 8 5 oF>.,g,WŽ _E Œ=† -2O, †A=o]55,O,.†: < 3A A 57: 3 : 1=-2>.Cd: E ˆ ,;5 > CdE]†2: E /(E :=5 C 5 :J†0E \h/(E:=3 C 57CdEF3 : : \hCd: E  Cd(DEFY := -
1=8 :D†2_E >.Œ _E †N,.†0\ , :d573 E,;< ( †2†23 E],.\<=1D> E]:DC4E], :+ E5 ˆ[† 5 AD: , ˆF5 C o 5 : †0C 3 †57:=5 3 >;2,@,;> E 3 [E 3 †N‰ AD5 ,@3 E oF5 , 5 :DEIE>.:C3 : A=‰ =, †O3 Ž : Œ=, 51 <=( -9E]-2: E 3 A=E , 5 <D: Cd-0Cd=> :=†0=>, †033 ,C ;,.-0< ,
EE (p3 A=AD: ,, o 5 †03 E†0C/(5 :=:=5 C>., : E \?([E3 3 A=C4, E]: - 3 Cd†2:(i,.-23 - ,.τ> CdYE]5 : 5 ((D3 Y ,=† Ž /s5 (i, <=3 Cd-2: >.1=-2‰ -0;,Cd: EFg: Cd: 3 5 ŒfE],.u1> 3C4E]3 : 3gA=, (D55 9Y: -28 5 A=>.3 ,Cd-p- <=5 8 ,;†28f_E ,;Œ :=<=,;\,;:=5 >=Cd‰:
A3 =A=(O,,.3 :> 5†0,.-2<D, 1=E >.(p, 5 E 5 8=1 †2-2, > -03 A=, †[5 A=†, 1 E / ,OY”b3 1 OAD,CdEF: \hr E] -0\?,., ,.: +35 1=” \Y55 :  (D5 Y :=š <, ™\ Œf,5 -0E -3/‘>; E]Y :=–J/-0=, , †2o 573 A=3 ,;CdE]: : >.EF=, \h”I1 8 : 573, C4E], :=‰ 35 : 55 : ‰ ., 3 A=, > 3 5 -2, 5 E (u553 A=:d5 , : E]: 57ˆ 3 3 C4\h, 5cŒ3 ,.A 5 oICd[E †iE ( 3 A=, o 5 †2C 5 :D>.:,.- ( _E † EI_E 3 ‹F, 5 : <=1Dœ\ Œ : Œ 3 , : : : 53 E :D< 8 †0†0EF,;8f>.E]E o]-2, =, †w5 Œ˜- ‰3 † E]5cj13 ,O† ˆW‰5 : 3 55 EŠ: ‰I†0-0,;C4-<=1=3 >.A=, ,q3 [E A=Œ=,g-0=, o †25 o †257C 53 C4:DE]>.:=,?-?E]\h: ,;3 : AD3 ,CdEF-:=3 ,.†0< ,.-2-5 ŒfCdE: oF3, A=Y ,–J-2,A=, 5 5 †0† , 1 55 E : / -2E > 5 5 Œ -2:,[, Ž
573 †2E 5 /(ˆ]:=C`C o]5 ,;:Q: \?>.EFE \h3 CdE]8=: 1 DY 3B“57: 3 CdE]: ,;>5 3 : CdE]>.:E]- (D3 Žg-Y , ŒDŽ ‰W/Z>B,_A=:bEI1=E]\?-2Cd:O, †2ˆ Cd> 5 5 : : : ‰ Q+3* ,.- OM3 L-E]( 1 >;†Z_E †Y- †23 ,† 57: 5c3 3 =, Cdˆ[EF‰ :W( C4_E : † -2/ 8 EI5 _E >.‹F, , (5 _E : † 5 3 :=A=< ,
<=<=. C4,;l\h8fk ,;,;:=:=<=-0C4-0,;E]8j:=:=†0=> -Cd‰ :jr ˆ]E -j5 :=Cd: < A=,3 DYA=_o ,_¥ E]†03 C:=A=,O, :=- †.>.<=†0,;C4,-\h:d57Cd,;: 3 :=,;-0< C4O, E]†2Cd: -2\h-0551=-: ,;> E - 5 5-0,W†0A=,Ž œ, : 5 , : Œ5 -0oIE]E C41=:5 :=ˆ<=< < ( †2E_†N,.† ‰q-03-2>.A=,.E]<?, :=Cd( <D:1 C 3 3 1 C4A=E]†0Cd:=, -uœ- 8:b1=5 -08\?,;O, ›, ,O†O†2Ž7ŸaCd-0> ,;1=55\ >B:fA 3 ,.†N5 -‹ - 3 -(3š_A=šCd: , 
5E (:D< †0, 3 55 A=: C,(57-083 Cd5 E]>;:=, ™- (l-  3 3 -2,;,.8Š,  -05 ,.,.>, 3 5 C4E],;: > 3 ( C4E]Y _:  Y(D3 Y _?Ž]E[† 3 ( A=3,(<=,;8f,;:=<=,.:D5 >=‰?E ( 3 A=, 3 Œ=C 5 -v1=8 E]: 3 A=,(:b5 1=\œŒ ,O†
9 9 DFEG$I:ZfLUE\D:EgORQ[E T D*4LiZfLUE (3LUZRIFW *[email protected] [email protected] [email protected] Q[b WQ[Z (3DSbhD,*[G ( ]
EWYLUZ DFEgOML *UI TVW X D (3LUZMEb3LUT Q[b WQ[E\D3I`LUb W KMLUb EYQ[Z (3D I Q K<[email protected] IND3D < <+< < = Q L LUG4E
[email protected] IFG L >D ([email protected] . G4b Q[W WI :=E 3 E\L (3L KRQ[b3D:[email protected] Q[bFWQ[Z (3D:bhD,*[G6(FEXWYLUZ6L L EYQ[[email protected],* L & [email protected]
QFKJK<bhL3K<b WQ[E*D *4D\KMDFZ1*4DFZ ( & LUZ I\KRQ>(3DL R EgOMD Pb3L T ZMWQ[Z LUEXWYLUZRI T [email protected]@O [email protected] Q[bFWQ[Z (3D b3D ]
*[G6(FEXWYLUZ E\D (3O4ZMW G D3I L G4E1bQ[[email protected]\L b Wdc4LUb3LUGJIFT2& Q[Z<Q[T2&NIND [email protected] Q IFW K<TD%(jQUIND [email protected] G DFZ (3D
L [email protected] *4D\KMDFZ1*4DFZ ( & LUZ I\KRQ>(3D.L [email protected] bhL )ZMWQ[Z LUEWYLUZRILUZ EgOMDiZMG DFb W(jQ[T8bhD3IFG4TVEgI.Q[Z1*
µ||
b
||2
p
ζ
4H
p
B
s
p
p
p
KRQ[b EW(FG(TdQ[b T2&LUZ [email protected] [Q b WQ[Z (3D3I .
@>A B
A A B )
B „ ` !#"%$† Œ 'Œ &: Ž )( (!*+$ † ,/ )- Œ$ #.# ( (/10 † #)# / †Y: ‹ ‹ 2)(!1"!#03” #!"!#!. ‰
(-!† 04 @5Ž "!(/A3 †607$2.#8& & $ / 039$ 2 ): )(!(! B/ "! !: $:ˆ &+ / 03 W Ž t;=(7< $C#2 -!( (!>+ -/$+? )† (! . $ : )-/D6)- : $ ) ! $!"*(/+$)(!+$.E$ & 03 ;
$#
71#
' 2
( #&+ GFIH # 5%J' – † .E$ : : ) (7$K(/L"! † &$ (  (  ( † ‹ /#.M(!# †N‰œ† ” -! † #K)(7$N)(! † / (Œ (! 8"!-/ : ; Œ Œ : ‰ : : O !†Y"/† 04: !"!#2† / ( (! † / !9$ Ž
/! $ +) 5, / Œ E†™
$",
(!.P( $.#)Q R(/(! E$" . 0 S -!!.# $C"
!9$R+ T 5607$.#
/6†Y‹ ; ˆ ; 'š U'7  ; / (/"! : ˆ 6#0V)(! † ( † O0!-!)(/ ( † / $ † "*)(!?-!!.# †Y† : $C" ( † $+ ;W L(! #& #XY)(7$N)(! N6 0 : Z0!X)#)$ +N$ : [) : Z\/K. )X)]& #X)69$ : / 6 : (_^
$YK/ +$E`$ : ))#ba -!)c7$-/X$ : )(7, $Y) Ld , !k " ( . X6X) : $ 8/ 607$.e\4# +(!
X6 !9$ !O$0!04E$X)+fg6 07$h i j
!"/" ^ )(! X) ! $:+) 56#
/
(/ /
/ / / / /
(
( (
;ml
\`$?07$Xn . : Z. & #.#)"1 8 /c)X$'o6#.#) X6`2 )(! 1 N) (!$K. X6X) : $)" ^ $C : E$6
$p$*)->q+.# # : `56B$ : : 6.E$ : ^ )r$!" (/X X6 /9$.: ( 5U)k #s\`:$*07$X6. : (! .P(
:$: ?$1X)$'o6.S Xn` . : )D1)(! X)nO ! fg6 h -!X) ; ;ut (// 5 )X$'o6#.
) X6`v"!#03#!"!# X) ! $r) ^ (7$ : : )X)"!-!.#p$!"T"!S& : 0 : $)XL v(/ 6.#) ^ Y)(-/ : d : `p\3eX) : S&$ ;>l +(! : : !h ^ : : !w"!).#-!) -/X6(/XK(!
>"/ : !h$!"R0/( `6 .E$ : $603#.#)Q )(!2.# X)X6 : $C VT607$.p )(! X6 !9$r+ !
-!6" ;7x OX$)(!X .-!c *(/ -!X6 .$ : .-!X607$Xne )(!6p.# X)X6 : $ ! ;
( /
/
(
(
/ / (
71# 0-y # %f,+H # 5%J ' /
- (
(
/ (
-
6X) .$ : : ` ^ )(! ( " X) nk v ( k (!R z.-!X6X)# L } : `{$"!. 0/. ) "|$0!0/X)$.P(/ XB)(!5 -!
X6 .E$ : )D- : $ s f ; f ; 7$+ : ` (!
+S(!" ^ ++.Pd",(!
W
W
~
l
t
>"/ : !h8&> 04 ;3t (!Q#(/>"R.# -!0 : e" (!D+$.#X) ).E$ : ) 2- : $) ")(T(/ < $
h X)$!h $*$0/0!X)$.P( 1 Xw(/Q+.X6 k 6.E$ : ; t (! X66c)D- : $ !Gfg04X X)" X66L1(!
nP$Xn -/0R $)(!$X 0!X6 \ : # $.#. k X6"! /h : `v+$"!-!)p .# +0 : #) : `v-!!.X)X)U  : $)"
)0!$. X) !9$ 
!rfg6 j ;Kx (!€(!r6P( $CT
(!T$X6 #1
)
k
k
:
^
:
:
D- $) !Dfg6 j
$ < $h X$!h 9$R. 0!-/$ R f ;
$O7$C-!X)$ `T$"! 0/)" ;ml )(! X)$ X)d ^ )(!8$-/)(! X)-!)#", / X) ! $5 R04X)X$'o6#.#X6` ^ $ : : (!#
\4!h‚ /"!04!"/ X)ƒ !5$/(!#X ;Yt (!X6 X6 ^ R+$E`%(!!dz $,.# : : .S €
-!/. X6X) : $#" X) !9$V) ! : $\4 :$: "B\ ` < $hX$!h9$1)X$'o6#.#X) # ;
t (!" O)#. !"T$0!" 0!: X6$.P(V L (/U k - : X69$* / ;7l e. /) n#"T *X)"!-!.# !h)(! O!: . h -!X)$ "!1f„)#
(!8/" ) #!" &.S X X t O)#%$p$ - X) $
&$X69$\ : Z)(7$K S>0 : .# : `"!04!"/YD(!L607$.L&$X69$\" : x ; a -7$) rf ( ; k B$E`(!#+\4
6 : &"BL
} $ - . : . X6 9$6#)) !h ^ (! .P(h X)$ : `)+0 : )(!c-/+#X) .$ : +0 : P$C (/
WGW
l~t : #(/>"†k fg/‡"/-!D\!\4 :$: X)$.P^d !h ^ !z0!X) \ : "!-!D\!\4 :$:
:
:
:
"! S { X1"!-/D\!\4 X) .E$) ;Kl {(!*$0!0!X6$.P( 1B .# -!X)65E$6 #XB‚$d
X6 !9$: !Q/O"!04/"! !hv :607$. ;ˆW S& Xn(! : #) ^ !.$ +$h /)Vd#0
)(! X6 !9$| !* (! < $h X$/h 9$‰$0!k 0!X) $.P(Šf‹$z. : : #.#) ‰ -!!.X)X) : $)"
X6 !9$) ! ( : $k \3 : : #"p\`
k (!ZX$]o6.#) X) ^ XS/$" 0 : w\`D-!6" !hQ$.P(7$X)$.#)X)6) .
,
:
#)(!>") & Df ; fg6
;l $.# ^ (!G-!)G .# : h -/X$) : "!K h S(!#X [(
X6 !9$) !Œ!"!04!"/ !h? 607$.#L(7$X6#& $ #"D?\4L$G&X6`D#q.N#(/>"
/ (
- ( / ( /
( /
/ (
(
-
-
/
(
/
- -
/
/ /
/
(
(
( /
/
(
((
((
/
(
(
(
-
(
(
(
(
/
/
@>A
R;[email protected]? 9 A2 ((
u
?
( (
)1X)#"!-!.D&$X69$/. (!& : .~` u ;3l 560!)2 )(! $.S)(7$)(!2"! : !h 6)-!p !Z6#6 : #" ^ (!c-!6G $ X) ! $+) /Y"!04!"/ !h )07$.#G)(!G"/ ).#X)S "
n`>n# .$ \4 )# $r$z0!-!X): -!X6 .E$ : X).Pd ^ (7$ : E$"!v‡$zX)#"!-!.#) ( (!k ^
^
&$X69$!.# (!& : .[~` u ;ml -![[& : ` ^ )(! $.#?+
/ $E: `R\4-!!"!#X)6)>" 6 !.# ‡f ;
$*"!#X)&$)& )(5X)#)04.#O) x )(!6)X)6O Q & &" ; -/?)(!)[-7$) r Q/O)
. : E$X, [(!#X ;'x (7$N /"!#". -! )X)-![&Ofg6 $ : ^ < k : ! ^ -/! !h$!" < #h$
07$h i j X & :$!" " .E$))v 0!$h j e(! $.#)(7$ ^ . )X$Xn`
) (!$e(7$0!04! XZ(!?& : .[~` : " ^ )(!?&$X) $!. *(!O6)X)#) τ p !.X6E$6 (!
 /Dh X6 -!!.X)X) : $)" X6 !9$T+) /e)*$ X6 /9$5!Q"!#03#!"! /h* x ;
: $8(!# X)S.E$ : -!!"!#X)nP$!"/ !h+ (/ 0/(!!+#! ^ S>04XnQ (!
" #: )"z0![)#2 )(! ):$$.Pd*
h X6* ‚)(!* -!X).E$ : )D- : $C !p‚(!*-!6v X) ! $%+ !
!Q"!#03#!"! /h1 R607$. ^ +$ : `*\4.$-!)2 : E$"!G) : #)G! n`VX)6- : )R)07$. ^ $!"
\4.$-!)8[Qh X6E$ : `rX)"/-!.#O)(!2&$X69$!.#D R)(!D& : .~` ;ut (! nP$)D (/8$X6? (!
-!X6 .E$ : 6 D- : $) !)#+OV
6U $E` k )>"!$]`: )(! O04 -!)+$ X6 !9$ U
^
;
!G"/04!"!!h v)07$.#1f„)#
( /
/
(
(
/
(
( /
/
( /
(/
/
( U X)$'o6.S X6 # T"!-!2\!\3 : : ^ #!"! /hr: T"/A3X)#p.# :$: ; t
"
"!-/D\!\4
/
(
(
(
(
(
/
::
)# (!O$+?! ) ^ $L LX60!X66#"R v(! h -!X6
(
(
"!E$.P(
71# y 71#ˆy %f,+DH # 5%J' /
/
/ (
/
(
-
< #G-!! )-!X)T)B+$(/+$. ;7l G c+\3pB$"!p0/X).# 6D$G !.#p(!$[e e!
nX$ h ( X $X)"*8h [& O$)#!)O)(! - : #X)9$*6`6) f ( ; k f ( ; k $L(/?. -! -!
: #& : [(,$ X6 !9$ :"!04!"/ !hr s" 607$. ; t (/X)B$X)8(/X) $]`R$E& "
)(!X)$? )(! Q"/ : .E$)Da -!n ( ;mk t (! X66Ov6$E`5$?)(!. ) -! -! : #& :
$/"V)-!X)*)(! < $h X$!h 9$ X) f ;
[( X) ! $v+ !w"!#03#!"!!h8 *(!
)X$'o6#.#X6` ;t (!e)#. !"B Kh 2$CZ)(!G"/ )( .#X) Sk ( : # &k : !.#\4 /hp"!).#X)#) "B+607$.# ^
[L M$6`Bh [& O$D0!X6 03#XL+$!!h2 f ; f ; ^ $!"*0 : $E` [(11 (/?"!04!"/!.#
1)07$.Q )(! X6 !9$B+) ; (!X)" $E`1Z)2X6E$Z(!G)(!$X .E$6 ;7< SM-!
"!SP$^ : OMMD )(!([email protected])(!G X)LU#GJpI:$T0!D0![DFX)T $.P(! ;
( k
< #e-!c X6>"/-!.Q)(! < $h X$/h 9$ X) f ; ^ 7$+ : `
/
(
dX̃ t (x) =
@>A
(
(
/
/( (
/
/
/
/
1
1
F (X̃ t (x)) dt + √
∇u(c(0, x, t))X̃ t (x) −
dW̃t ,
2We
We µ
f ( ; k
A A B )
/ (!#X)
B X̃ t (x) = X t (c(0, x, t)) $!"
d
c(s, x, t) = u(t, c(s, x, t)),
dt
c(s, x, s) = x.
f( ; U k
" (!
6-!0!04 ),(!X6 ) (7$V(!:& : ." ~` " : " u(t,
x) v)(|!-!h ( )€"/ !
x s
(
k
.P(7$X$.SX6 n .# ;Yt (!T
nX6) τ˜p "! !" \ ` f ; ^ 8(!#{ \/$ /"‡\ `z)(! :$: /h
:
X6D- $
( /
(
τ˜p (t, x) =
f( ; i k
µE X̃ t (c(t, x, 0)) ⊗ F (X̃ t (c(t, x, 0))) − l " .
We
( k
W " .p)(7$e(!p6)>.P(7$6: .2"![Au#X)# )9$ : #a-!( $ k !f ; !"! >"5\` x $X)X) h X) -/ : `
"! !#"R$!"r$X6/c. -/0 #"r*)07$.#p\` f ; i ;
( k ( k
< #1-/1! . !6 "!#X1$s6+)() : -/) (u, τ p ) f ; f : ; ^ \/$ !#" [( $
X6 !9$r+ (/ .P(R"!G!G"!04/"R r)(!)07$.#2&$X) $\ $/"R$6 h !c+E$.P(
)X$'o6#.#X6`5( \>P$k)k!":\`5) 1 : & !h f ( ; U k $ X6 /9$: ; !.#(! : $ X̃ fg6
: -/ v f ; e/e -/!.#"R\`*(/ $E`*(! X) ! $V+) /L"!04( !"r k v( (!k )X$'o6#.#X6` ^ (7$E& τ˜p = τ p ;>t (/X) X) ^ (u, τ p ) :$: X6+$ +$26 : -/) 1f ; f ; ^
(7$C#&X8(!*"/04!"!#!.#`z )(! X) ! $% !D ‚)(!*X)$'o6.S Xn`‚ ;l z(/X
X)"/ ^ O(7$E&0/X)]& #"V)(7$L(/?. -! -!c) : -/) (u, τ p) "!>#c!L"!#03#!"V *(!
)(! $]`(/ X6 /9$1) !K"!#03#!"* B)(!G)X$'o6#.#) X6` ^ 0!X6]&>"!"+(7$Z(!G) : -/ (!^ OOMD3
0!X6*[ W\ I-(F: bh DFE*DaLTD-![!DFT a-/p$!"v)>)(v! -/h ( ;
} !.(!p6`6)ƒf ( k f ( k e"! 6.X6# #"T r)07$.vf„$E` ^ \`R$ " !)p : #+# +
;
;
)(!>" ^ " 1(/Q "!$ k ^ [M wE$n`Bh& Q$D0!X) 04Xw+$! /hpVf ( ; k )(*$ X6 /9$
*"!#03#!"! /hr607$.O\4!h8-!!"!#X)6)>"*(7$C $.Sc"!E$ : (V$ X6 /9$
(!.P(‡"/04k !"!04 : `! 9$ : `: %(/*)07$.#*&$X)9$\ : Rfg ; ; $:
"/ ).#X)S )07$.
X6 !9$T+) ;!t (!# ^ !.p !D$0!0!X) $.P(!G(!pS>03k #.#$ %f ( ; k \`T$T#+0!X)
.$ : E$ ^ (!GX)6- : )?fg$!"1+07$X6.- : $XN(!# XK&$X) $!.# B$E`"!#03#!"1 B)(! $E`8(!
X6 !9$V 1"!#03#!"!e V)X$'o6#.#) X) ;
l !D.# !6 "!#X)Q(!$)(!D^ ).P(/. & #X)h #O r)(! : : +[c (/D)07$.Dn" 0 h^ $!"
)(!r) *6#0 δt h * X6 $!"€)(!V-/D\3#X+ X)$ $) !2h >#)s ![~` a -!#6 !*(/|$X))
$E`)(! : +[8"! 04!"| {)(!5"!04/"!!.S`‰ {607$.# (!
X6 !9$,+ !?-!)#" x (7$p ?(! \4n2"/04!"!#!.#` $ $X$O(!8&$X) $!.8
)(!OX)6- : )c L.!.#X)!#" "
t (!\46G -!Xcd1 / : "!h ^ ^ (! X)na -!: #6) Rc 03^ # ! ) Xe!6$!.#: )(7$
.# X$X6`%5)(!v)(!$X .E$6 z$:h #!X)$ h +SX6` (/ "! 6.X6# 6)X)$ !#
)(!) : & #G+$E`1\4? 1 -!U ! .#"r\ `BU (!Ok "!#03#!"!/.#`v v607$.O (/ X) !9$V) ;
607 $. $^  .#04 0 #: S"2 : ->`O-!! 0! ( `).Ef„$ 07: $.h X6X) : j$)^ \ !`Œ-! p6 !(!h MX)X)$ !"!! $2X).#)N $!Nˆ"/!A3X)"!##03#04! "!)[!hQ ! $X6O X6>"!-/." ;!t (!c.X)-/.9$ : 03 - : "v!#" -/X6(/Xc & #6) h$) / ;
!.#X)/ !hT)(!B6.# !"za -!n %$\4 -/2)(!+&$X69$/.B (!BX)6- : ) ^ B(7$E& *$ :
X6E$"/`B03 #"* -/M)(7$L-!6 !h8$ X) !9$*+) +!L"/04!"!!h *607$. : E$"/w8$
X6"!-!.S 8 (!L&$X) $!.#M " (!M& : >.#~` u ^ \!->Y$8 !.#X)E$) /h? (7$K τ p ; t ( -!N(!
7$C-!X)$ : a-/6) +$X6 )#Y) [email protected]#!4,"+ZfD)(!G\4nw.# X)X6 : $ )07$. ^ XN)(!G"/ ) .#LUX)EgSO )07$.
:$: : $"
:
:
X6 ^ OM!D9$(jQU^ IN)D (7$L S
[email protected] Da
u $!" τ p ;
I3OMDjQ[b eL O(! $6Y&$X) $!.c)(!GX66- X
//
/
/
/
(
( /
/ /
(
/
//
/
( /
/
-
/ /
/
(
/
/
(
(
/
//
(
/
/
(
/ (
(
(
/
(
(
(
(
(( (
(
/
-
-
//
- - /
/
( (
//
(
/
/
-
(
/
/
-
- -
@>A
R;[email protected]? 9 A2 u
/
?
/
/
/
/
/ (
(
1
)(! X$ X6dr
< #?-!?/ .!.: # )X$)8 R(!6: (!E$X .$) ^ . (! .P( ( : : \42
)(!GX6nZ (/ K$Xn . ; l )(! K603#.9$ h #)X6`Vf„)( #k h -!X6 ; i\4 : k ^ (!L)X$!603X6
&$! 6(!c v(/ : c(7$/"T" )"!O f ; ;7t (/X) X) ^ (!6)X)E$ : !#c$X)
")>X)# " ^ u$·/∇X
" !V.E$(!( #
X6 h X6 -! : `%"! ! ^ $(/T. ) -! -/ : #& : ^ (/T6)>.P(!$6) .
k
:
"![Au#X)# )9$ a -7$) |f ; X X) !9$%+) /2 /"!S>"z\`‚)(!1)0!$.*&$X) $\ : y ;
6)>.P(!$6) .R"![Au#X)# )9$ : #a-!$ ( $k BB$.#X),03 y "!1/1 )X)$.# (
$/h(!& ##{
X1 ! ^ $C104 y 0 6= y ^ 6 !.#zf ; B$s03 )VS>04.SP$) ;Zt (!X6 X6 ^
)(!2.# -!-!G6 : -> (u, τ p ) "!e!G"!04 /"R v k(! $E`v(! X6 / /9$V+ !
"!#03} #!"TV)(!O)07$.#?&$X)9$\ : y fg6
e#B$X)d ; 1
^
!.w)(!Mn`>n#I "! 6. X)S " p(!M.$)w $Q)(!$X L$} !" .X . dE$"!-/D\
$
:
:
^
\4 *(7$E& *)(/ z )(7$p(!1.# & #X)h #!.V (/
WW
l~t ).P(!#+
) $X6"!2(/B-!!a -!1. ) -! -/2) : -/) (u, τ p ) (/ : "! ^ (7$S& #X2(!B. X6X) : $ 607$.} (!O"!).#X)#) )( 07$.# X) ! $v+) /M ;
!*$ #.# ; iR. 5. )X)\!-/+R(/1-!!"!#X)nP$!"/ !h5 $ :$: )(!*$\4]& \/)Xn&$ !Q$!"RX)1 #B$X)d ; Xc(!G0!-/X)04 ) ^ 2.!)"!X$+)+0 : O.E$6 ^ 7$ : `B(!
nP$Xn -/0% )(! $X U 0!k X)\ : #
(!.P(%(7$D\4#z. !6 "!#X)#"z$$T#6.$)*‚+$`
07$03#X)2fg)# ^ j >^ ;/l r(/ c)+0 : Qh # +SXn` ^ (/ < $h X)$!h $v$!"v(/ - : X) $
X6D- : $ !Y$X)c(/$+ ;>t (!G. : $)6 .E$ : $0!0!X) $.P(!M$ "! 0/)"1+)(! : )X$C-!X6e)(!X6
X6Q$ -!Z (!w.E$)G)2(/ :$: !h$ : #X)7$)& (! X) ! $1 !K +E} $.P(
.# : : Z (!G)07$.#"!).#X)#) $ B$X)#)(!XK(!$GXZ.# +0 : #) : `8-!!.X)X) : $)" ; !
.# - : "r +$h !-!62)(!Xe. X6X)( : $) !Lr607$.#2 (! X) ! $V+) / ^ $/"r(/ : : \4 & #6) h$)" #.#) ; i ;ml - : ":S& ,\3804 )6 \ : Dv )X)"!-!..# X)X6 : $
) !G R607$.#"!A3X6 X6 !p) n#0T*$!(/X ^ \!-/ (7$E&!Q.# !6 "!#X)"
)(! c04 )6 \! : ~`v)(! : : !h ;
(
(
/ /
/
(
- (
((
- /
$#
-/ /
(
/
( /
(
/
(
/-
(
-
(
/
-
/
-
/
y J +*# y ' 1( #&+ 72# J -e # 71#&) '5
(
/
/
(
/
/
(( /
(
/
( /
(
/
(
/
/
-
l D:$ : X6"!XŒQ6 0 : : `(/w0!X6 \ : # $!1 "D#7$\ : wS>0: : .#Œ. 0!-/$1 ! ^ M. .# !)"!(X k ) (! /hG$e)+0 Kh #)X6`O (! 7$ `?$G0!-!X6w6(!E$X fg6 h -!X6 ; i ;
-/ )z)(! B)04. $ : h # +SXn` ^ )(!R& : .~`\3#. V$% ! "!+#!) 7$ : &$X) $\ : ( /
(
/
y
u=0
inflow
outflow
1
0
( ;i
@>A A
u=1
: .~`B0!X)
" : ?v$6(!E$X 1 / ( $ "! : -/)?) : -/ * ( 30 : `+#X) ;
A A
u(t, x) = (u(t, y), 0) ^
"!#X)[&$C& u.∇ X) ;
/} )(‡)(!V!P$C / 09 2 (
x = (x, y) ^
$ !"‡(!#X) X)v(!r. &.#)&
!K/ .E$?( -!ˆ6(! (7$C=(!N+$)ˆ$!"O+ )-! .# !" )#X6&$) #a-!$ !KX)#"!-!.L)p$Q6.E$ : $XN(!$Ka -7$) ; l $"!"![ 2?(/c$\3]&e6 0 : .E$C p
)(!h # #Xn` ^ .!)"!X d$1"!-!2\!\3 : : ;l +)(! : : !h ^ + X6"!XKp)+0 : ` )(!,/P$) ^ .P(! ):(/ : : !h‚&$ : -!# X1(! !( k "!(+#k !) 7$ : -/D\3#X)
Re = 1/2 ^ We = 1 ^ = 1/2 ^ µ = 1 ; t (-/ ^ )(!2n`6# f ; f ; .E$R\3 X)[))R
)(! : : !h X6
( / (
//
( /
( /-
(
((
/
∂2u
∂ E(Yt Xt (y)) ^
∂u
(t, y) =
(t, y) +
2
∂t
∂y
∂y
∂u(t, y)
Xt (y)
dXt (y) =
dt + dWt (y)
Yt −
∂y
2
Yt
dYt = − dt + dVt ^
2
f( ; , k
f( ; k
f ( ; (k
^
/ (!#X) / D(7$E& $"!0/#"R(! ( : : / !h+/P$) ( X)(!D.+04 !# )Q ( X $/ !" W (€(!
X =/ (X, Y ) $!" W = (W , V ) ;wt (/56` 6) ( #a -7$ !+ 16-!0!0 : "
( :$: /hD\3-!!"7$Xn`v$!"V / $ : . !"/ !
t
t
/ (!#X)
t
t
u(0, y) = 0, X0 ∼ N (0, 1), Y0 ∼ N (0, 1), f X0
$!"
Y0
!"/04!"!# k ,
u(t, 0) = v(t) = v min(1, 10 t/T ) ^ u(t, 1) = 0,
(
"/!)?(/ " 7$ : ) 2 (/) 2- : $) T$!" v ?$*.# !6$O"!/!h1(!
& : .[~`* *(/\4 -!/"7$X6` ^ $ #Xc$8)X$/))( U B03#X) "v *+ : !h( T /10 ;
W )T(!$ ^ $1^ /0 : $!" .S: ; ^ 5+$E` : #B)(! X6 !9$( +U k ) Wt
"!#03#!"‚ ,)07$. $/"s X)80!X6.) `‡f„)+"! 6.-!6) ‚$\4]& .S ; X)$
o6#.#X6` ;7l v(/?.E$6O)(7$ p.# !6 "!#X ^ 7$+ : `*$6(!E$X 1 ^ !O.E$v)+0 : ` : $\4 : (!
+ !\`‡)(!V)07$.#r&$X69$\ : y ;Nt (!ra -!#6) € 8(!#X) X)V(! ,"!
" /X62$!0!9$X6€
>.#) (Wt (y))t≥0,y∈(0,1) ;/x O 03)Q(/ : : !hD.!6)X$ )c *(!0!X).#)
(Wt (y))
t≥0,y∈(0,1)
$ k k t . (!0!X)" .#) (t, y) → Wt (y) c$ $-/)) $v0!X).#) ^
\ k XL$ /#" y ∈ (0, 1) ^ t → Wt (y) e$ X) !9$V) ^
. t (!:.]&$X) $!.#5 )0!$. E(Wt (x)Wt (y)) "!v!1"!04!"| (/:) r&$
:
/6X6X)9$$ \ \ tk ; 7$)-!X$ : Z 03)Z$ k $/"D. k 2X)"!#X ) 0 : `?$!"D!$\ : ZS>0 : .[
;]x
.# +0/-/P$) / ;!t (!#)2$)6-!+0> !c. : $X : `1X66)X).#L(/ " : "v $ : : 04 6) \ : Wt (y) \!-/k M!S& Xn(! : #)N\4 : #&Z(/#`p$X)Zh /X$ : #! -!h ( ;W Y(7$ \4.E$-!)M $)6-!0/ D$ ^
)(!O0!X).#) Wt (y) L.+0 : #) : `B"!#)X6+!"v\`v)L.]&$X) $!. -/!.#) ;
x (7$E& B".P(! )#‚!( ( k : Sp)(! X) !9$s Vt "!: 04!"%s)0!/ $.+) /.8(!
0!X6>.#6 Yt "! !"v\`:f ( ; U , k6.k $*\3. 0!-/)"v !"/04!"!# `+" (/Q(/XL-!!d ! !
)1(! > dE$:.$)
u $!" X fg6 X6" D- : $Tf ; . ;3t (! Q04 Q Q .# ( -!X),+67k )04.# .D
k
:
:
:
$/" \4O+"! "*v)(!
\4 ;
W .$)+f„) a ; f ;
T
/
/
/
/
(
/
/
( /
/
(
(
/
( /
/
(
-
( ( (
(
(
/
/
-
/
71# ( % R# # ( J1R' +*#ˆy
} . . +
L
( , k ( (k
t (!
WGW : :
~l t S (!",$0!0 : "5)^ r"!j).#X)#) +n`>n# f ; ^ " f ; .$s\4
X6))V 1)(! !h E$ ` $)6-! !h unh Xh,n $!" Ynj $X6?d ! ! " un+1
∈ Vh
h
( / /
/
-
@>A5
R;[email protected]? 9 A2 (
6-!.P(r)(7$ ^ Xc$
1
δt
Z
y
::
(un+1
h
u
v ∈ Vh ^
−
unh )v
= −
Z
?
y
∂v
∂un+1
h
−
∂y ∂y
R
X
Z
τh,n
y
f ( ; - k
∂v
,
∂y
f ( ; k
1
j
Xh,n
Ynj ,
R j=1
n+1
1 j
∂uh
j
j
j
δt + Wh,tn+1 − Wh,tn ,
Y − X
=
∂y n 2 h,n
1
= − Ynj δt + Vtjn+1 − Vtjn .
2
τh,n =
f( ; j k
j
f ( ; U 7k
Yn+1
− Ynj
!"T)(!DX)$ : $) V /"!S k t (!!"!. n $!" j X6)04.S[& : `T"/!)2(/2+ !"/SR$
Q /"!#"1. /) "/X R )X$'o6#.#) X)Y (!GX$!"! I&$X69$\ : Xh,n $/" Yn f 1 ≤ j ≤ R ;
t (! +5 )Xn&$ : (0, T ) V"/& "!#" N Xn&$ : ^ δt = T /N $!" tn : = n δt ;
t (!)-/\!).#X) 0> : h !"!.E$)Q(!$ +$X):8.#1 !)"!k X6 !hv607$."!).X6#) #" &$X69$\ ;mt (! :
X)$!"! &$X69$\ τh,n fg Xˆ X)N0/X).# 6 ` 2 τh,n $X6Y$0!0!X6]>B$) /" m )(!YA "!9$h 7$
.# +04 !#c (!?nX6) τ p ;>t (!?)07$.O "!).X6#) $C Vh L$ ![Q : L607$.# ;
l ‰(! :$: /h ^ :.!)"!:$X : Vh = P1 ^ (/ : 607$.# .# -!-!*0! #. ) $q!
-!/.# ! z$R6(% I .# D )(!* )X6&$ (0,1) (y0 = 0, y1 , ..., yI = 1) ;t (!
j ^
j
j
X)$!"! &$X)9$\ : # Xh,n
\3 : !h1)(!X6 X687$-/X$ :$: `v
τh,n $/" Wh,t
− Wh,t
j,n
)(!w607$. ∂y Vh fgp -/X.E$) ^ ∂y P1 = P0 ^ 6 . h -/X) ( ; ,k ;]x Z.E$(!#X) X)w$)6>.#9$)Y)
j
j
j
)(!Q0!. 6Q. /6P$ M B607$.# -!!.#) / Xh,n
$!" Wh,t
D&.#) X)
− Wh,t
j,n
(!)1.# +04 !#D$X)+)(!+&$ : -!p )(!61X$/"! &$X) $\ : #O s$.P(%. : : (yi−1, yi )
j
(/6( Xi,n
$!" Wi,tj − Wi,tj
;m< SO-!OB$d0!X6.)(!$ X
1≤i≤I
1≤i≤I
j
j
1 ≤ j ≤ R ^ (/+0!X6>.#6) W1,t
, ..., WI,t
, Vtj 0≤t≤T $X)8!"!04/"!$!"s"!.E$ :$: `
"!6)X) \/-/#" $-!6)9$r0!X6>.#6) (! 62.+" 04 !# )e$X). 6$!"7$X6" X) !9$r ! ^
)(! : $6Q !8\3#( !hv, k !"!( 04(/k "! X) )(! X)n I !# ; L
XO} $*B. $C. (! #B$) .$ : $7$ : `6 (!6`n f ; f , ; ^ $!7 "v
(/.# & #X)h #!.D )(!
WGW
l~t +S(!"V )(! c.E$) ^ X) #XL ^ ^ U ;
$5 )X)"!-!.#1) *!$ ,)5B$d*0!X6.)1)(!1"!#03#!"!/.#`z x B!
j
607$. (!8)0!$. "!).X6#) #" X) !9$, Wh,t
;mt (!X)-!h (! ->)(! O6.#) ^ j
: : N)(!c)-!04X6).#X) 0> j (!.P(+"/!)Y(!eX)$ : $) D!"! ^ 6 !.#c)(! : $ Wh,t
"!c!G"/04!"V j ;
/. .P(/> 6?$p.# X)X6 : $ +B607$. (! .P(1"/>#w!w"!04/"* +) ^ (!G07" $X)$
#)X : : . !6 "!#Xc 1(/ : : !h2M(!O.X)X) : $) BB$)X) Bv)07$.# K "! !#"
\`
1
f ( ;U k
Kl,m = E(Wl,t Wm,t ),
t
(!#X) 1 ≤ l ≤ I $!" 1 ≤ m ≤ I "!!B 5. : : !"!.# ;ˆx (s$T : h (2$\!-!61 !P$) ^ "!!D\` Wt (/ I "!+#!) 7$ : 0!X6>.#) (/ ).# +04 !#?$X6 Wi,t
Wt = (W1,t , ..., WI,t ) ^ $!" )( -! ^ K = 1t Cov(Wt ) = 1t E(Wt ⊗ Wt ) ^ (!#X) ⊗ "!!
)(!#!)X)9$ : 0/X)"!-!.#?f XY p& .Sk X6 a $!" b Rd ^ a ⊗ b Y)(! d × d +$X6[ (! 6
.# +04 !#e$X) (ai bj )1≤i≤d, 1≤j≤d ;
@>A j
j
Xh,n+1
− Xh,n
/
/
( /( / (
(
/
/
// / ( (
/ //
/
/
-
(
n
(
n
(
( /
-
(
/
(
/
(
/
-
/
n
n+1
n+1
/
( /
(
(
n+1
(
(
(
(
(
/
/
(
/ (
/
/
/
/
/
-
/
(
A A
09 2 UI = 0
yI = 1
u : P1
Xt : P0
τh,n =
δy
( ;,
(
PR
j,n j,n
)
j=1 (Xh Y
u
τ
y0 = 0
1
R
U0 = v
 ).#X)S $ *
(
( u $/"
τ;
(/
( (
/
-
l (/.+04 !# )w Wt $X)e !"!#03#!"!# ^ )(!k ^ K = l "1$!"B^ (/G.# +04 !#w
Wt $X6p(/p)$+1f Wt G!"!#03#!"!!h1 r)07$.# )(! K = J (!#X) J (!#!. X6)(
"!#!)c(!O+$X6[ (V$ :$: .+04 !# )ca -7$ : ) 1 ;
l 0!X$.#. ^ X)"!#XB%\!-/ : "€(! X) !9$ +) Wt = (W1,t , ..., WI,t ) ^ .# !)"!XM$ I "!+#!) 7$ : X6 !9$k ++ W t f (/ )Q.# 03 /L$X)!"!#03#!"!
"! /) 7$ : X) ! $v+) / $!"r.# 0!-/ W $c$vB$hQ\`v$ : !E$XM$0!0 : .E$
) r W Wt = Nk W t f N $ I × I +$X6[v6-!.P(5(7$C$.P( : !p(!$Q$ -/. : "!E$
!X) #a-!$ : v ! ;=t (!#X) X) ^ K = N (t N ) ;=t V. /6X6-!.#p$ X6 /9$: 5!
"!#03#!"!!hO )07$. ^ !L
.E$$d N 6-!.P(8(7$ Ni,j = δ1,j $!"( -! K = J f δ "!!
k
)(! X) /.Pd#X -!!.S ; t D\!-! : "B-/!. X6X) : $)" X6 !9$B+) /ZB)0!$. ^ !.E$
.# !)"!X N = l "r$!"v( -! K = l " ;
l -!X*6 0 : V: .E$6 ^ !5.E$‰.# !)^ "!X+(7$B(!5.# X)X6 : $C  607 $.#5B $) kX) K
Zo6-!6p$1 -!X).E$ 07$X$+SX ;ml !"!#" 8(7$E& )(! fg6 e#B$X)d )(7$
:
^
:
(7$C#&XK(!c.# X)X6 $C D 607$.c )(!L).P(!#+e. &k X6h K $X)"!Y$?-!!a -!L) -/ #XG -!
(u(t, y), E(Yt Xt (y)) ;7t (!#X) X) ^ )(!2+$X6[ K fg X N .E$T\4p6:$$/(!√
:
^
X6 .E$ 07$X$#)X )(7$M.$1\4-!6"*pX)#"!-!.G(!Q0/X) $.#Xw (!GX6X) X O(1/ R) "!-!
))(! * $X : 8"! 6.X6# $) 5f R "/!)c(/ -!2\3#( Xe, k X6E$ : $C ! k ;
W )?(7$: eV-!: Xc-/+#X) .$ : )D- : $ !?f„)#: #.#): ; ^ )(!O)07$)9$ : .# X)X6 : $ )(!M!)9$ &$X69$\ ˆ (/w$+w$(/w)0!$ $ . X6X) $ (! X) ! $2 ! ;
t (! L6 0 : G0!X)\ : # 0!X6)#c(!O\4(7$E& Xc$ : X): $"/`+!) .#"v * X)Q.# 0 : .E$)" k
h # #Xn`
(!: /Dh X6 K = l "‡f„-!!.# X)X6 $C" X) !9$5+) /GR)07$.
) K = J fg$ X) !9$) !K"!04!"/ !h 8)07$. k ^ (!L&$X69$!.#L ( (!, L& : .[~`
nX)#) τh,n !.X6E$6Bfg)# .#) ; $!":(!
unh "!#.X)$)#2\!->)(!8k &$X)9$!. :(/+
.#-!X6& : $\4 : : " x 'f ` $!" x 7 . h -!X) ( ; (k ;
-
(
/
-
/
/ /
/
/
/
(
(
/
(
(
/
/
/
/
(
(
/
/
(
(
-
/
ZfDeW 1KMLUb EYQ[ZME8bhD Q[b :WIeEgORQ[EHEgOMD(3LUG4ZME*DFb [email protected]([email protected] [D2b3D,*[G6(FEWYLUZ L UQ[b WQ[Z (3D
LUZ [email protected] 8OMDFZ LUZfD EYQJD3IPb3L)ZMWQ[ZLUEXWYLUZRI (3L1K<TDFE\DFT2& G(Z (3LUb bhDFTdQ[E*D,* [email protected]\I KRQ>(3D
9 A
@>A R;[email protected]? 9 A2 u
?
[email protected] Q[E*DFT2& *[G D.E\L [email protected] (3LUGAK<[email protected] [email protected]<bhL Q [email protected]( INDFZRIND DFE [email protected] UQ[bFWQ TD3I u
Q[Z1*
[email protected] [email protected]\DFb I E\L [email protected]@ZfDjQ[b [email protected] & L [email protected]<bhL TD .,k `LUZfD:KMDFb >LUb IEgOMD
I Q D XIF W G(TdQ[EWYLUZ G(E1G$IND3IQ K<bhD ] (3L1K<G4E*D,*?*4DFE\DFb [email protected]( [DFTL-([email protected] & u [email protected] .0< EgOMDFZ
[email protected] UQ[b WQ[Z (3DLUZ WI
bhD,*[G (3D,* 8O4W(3O QUI [email protected]1*4D3D,* UZ _LUZ XIND3D / . DFEeG$I QJD
K<bhD (FWIND [email protected]@ZMτE . [email protected]!b3IFE L INDFb [D EgORQ[E LUZfD9(jQ[Z;(3L1K<G4E*D DK<TVW([email protected]&[email protected] DKMD (FEYQ[EXWYLUZRI
[email protected] 1K<TD (jQUIND L _Q I3OMDjQ[b eL Q[Z1* [email protected] *4DFE*DFb [email protected]( (3L1K<G4EYQ[EXWYLUZRI
E(X
E\L.L h,n
EYQ[[email protected] n )Q *4DFE*DFb [email protected] ( [DFT-L ([email protected]$E & un . ZfD(j Q[Z [email protected]`[email protected]*4DFE\DFb [email protected]( [DFTL-([email protected] &[email protected]
[email protected]
D (3L 1K<G4EYQ[EXWYLUZ L eEgOMD IFEbhD3I3I )[email protected]@O
Q h LUZME\
D ,Q[b TL [email protected] * [email protected]
Z .0< . = Q[Z1* (3OMD (
[email protected][E 8ORQ[E*D [DFb:[email protected] (3LUb bhDFTdQ[EXWYLUZ [email protected] I\KR>Q (3DWI [email protected] UQ[b WQ[Z (3DiL E Q[[email protected],D * LUZ ] τ >LUbTLUZ4c EXW D
WI.Q LUG4E 0.058 8O4W (3O WI 8ORQ[E _DL EYQ[[email protected],D * [email protected] EgOMD _LUbhIFE (jQUIND >LUb EgOMD (3LUGAK<T,D * I &AIFE\D
XIND3D:[email protected] (FG(b [DSTdQ [email protected],D *`E MLUZ Wdc[G4b3
D . .
9 5 k Z EgOMD Q[[email protected] ORQ [D K<bhL3KMLNIN,D * [email protected] >[email protected] )[email protected] D K<TdQ[Z<Q[EWYLUZ >LUb EgOMD
G4ZfD KMD (FE*,D * D3ORQ NWYLUb.L [email protected] UQ[b WQ[Z (3D LUZ [email protected] IFEXbhD3I3
I )[email protected] bhL )ZMWQ[Z LUEWYLUZRI ZfLUE *4D
KMDFZ1*[[email protected]\KRQ>(3D*Q[Z1*iQ>( (3LUb,*[[email protected][T2&:[email protected]@EWQ[T<bQ[Z1*4L UQ[b WQ TD3IeZfLUE *4D\KMDFZ1*[[email protected] LUZ I\KRQ>(3D ] [email protected] [email protected]@EWQ[T !D G([email protected] b [email protected] *[WIFEXb W G4EXWYLUZ 'Q &ZfLUE D (3LUb bhD (FE2T &:I Q 1K<T,D * . D ORQ [D,KMDFb >LUb D,*
[email protected]%
D (3L 1K<G(EYQ[EWYLUZ )[email protected] [email protected]@EXWQ[T)bQ[1Z *4L UQ[b WQ TD3I G(Z (3LUb bhDFTdQ[E*,D * [email protected] I\KR>Q (3D Q[1Z * bhL )ZMWQ[Z
LUEWYLUZRIaZfLUE *4D\KMDF1Z *[[email protected]\KR>Q (3DSQ[1Z * L INDFb [,D * [email protected] Q D1TdQ[bXc4D UQ[b WQ[Z (3D LUZ [email protected] 8O4
W (3O`IND3D I E*[email protected] *[W (jQ[E\D Q[[email protected] [email protected] IFW 1K<TD (jQUIND (3LUZRIFW *4DFbh,D * OMDFbhD [email protected][[email protected] Q >LUb
bhLUTDeWI)K<Td'Q &J,D * & [email protected]\KR>Q (3 D (3LUb bhDFTdQ[EXWYLUZ L [email protected] bhL )ZMWQ[Z LUEWYLUZRI2Q[1Z *Zf LUE & [email protected]@[email protected][T
UQ[TVGMD L SEgOMDabjQ[1Z *4L UQ[bFWQ TD3I .
"
#mJ#)(1#1% & ' 71#†HH) 1% # # !y ' 72# % ')R #&+* '
J ,%f#
A @ $# &; %-? (?A'= #)(*# ? 9 = +(-, /.
0/-/e(!e&$X)9$!.#w )(!G& : >.#~`+$!"
l B(/ :$: : !h ^ $M)2 /0 ( : .#, k : `( .# +
(
k
)(!nX)#)M6 -> !Z (!G6`6) f " ;
f ; ;l 1X)"!#XY)2!$\ : GS>0 : .[Y. 0!-/$
^
:
:
:
) ! O+$d?)(! !h26 0 .E$C !
>.#-!c *(! : !h ) \4(7$E& XL )(!O6`6) f ( ; , k f ( ; (k ^
$..X)"!!h : `+(/0/X)#& -!e$)6-!0/ ^ ?P$d ∂u = 0 f ( ; , k ^
.# !6 "!#Xw : `D(/)0!$.$!" * $X : "!).X6#∂t) #"Bn`>n# f„!2"!).#X)#) $
) vv) k ^
. !6 "!#Xc : `B !O"!-!2\!\3 : : f„ ; ; !?X)$ : $) R = 1 k ;
"
x/ +(!$]&B.P(!#.Pd#"z$ : : : )(!8. /. : -/) ! +"!X$ )(! O)+0 : "5.E$): \ `:^ -!X6 .$ :
/04X6 *. { (! !h v\3#(7$E& X1 )( (!R
X1\4(
, \4 +: "!k #03#!"!# 10!X) \ $
:
:
> dE$r$!"
!
"
!
D
!
\
4
\
„
f
)
#
#
.
)
W
;
;
( ,k ( (k
"
t $: d: !h* )r$..-!?(!#)) 0 : .$ ! ^ 8. !6 "!#X ^ !6)E$": f ; f ; ^
)(! !hDn`>n# #a-!$ !
∂ 2 u(t, y)
∂ E(Yt Xt (y))
f ( ; UU k
−
=
,
2
∂y
∂y
∂u(t, y)
Xt (y)
f ( ;U i k
dXt (y) =
dt + dWt (y),
Yt −
∂y
2
Z t
f ( ; U , k
Yt = e − Y0 +
e dVs .
/
// (
( /
/ /
(( /
/
( /
-
-
/
-
(
(
(
t
2
@5
/
/
/
s−t
2
0
-
(
-
-/
(
(
-
A A
(
09 2 "!k 6.X6#
h X6.# ." / X6"! !( h I: `1 ) #X6&#$ .#: )Q f (!( e; i )07; U $^ ./ Qpn. 0B! 6 "!δy#Xe=$ P1
/.
1/I
/
\4 :$: ^ 2 \/P$ r)(!
X6
$) vr607$. r$+-!/ ( X6 /
k .# / !6 "!#Xw : `8 !e"!-!D\
;
(
U
U
k
(
U
,
/
( :$: /h"/ ).#X)S $ T ( f ; f ; ^ X)[))RR$:$ : h \/X$.
f ( ;U k
f ( ; U (k
−M U (t) = Yt BXt + b01 ,
Xt
0
dXt =
Yt CU (t) + Yt b2 −
dt + dWt ,
2
/ [(1&$ : -!Q R "! " !/ "rk\ `5f ( ; U, k ^ U L/ $D& #.#Xe- ( 6 (I − 1)
f„\3#.E$-!6 u(y = 0) $/" u(y = 1) $X6*d ! $!" X ! $ R &$ : -/"z0!X).#)k f (! i − th .+04 !# / )8 (!v&$ :/ -/V ( (/V"/ ).#X)S $ z ( X z. :$: (y , y ) ;
X6.#).04 X6.S"![!& h : : `:` ^ W( 6 Q !(I −$11)0!X)×.(I#) − 1)[^(T(I&$ −: -!D1) ×RI $;3!t " (!DI +×$(IX6 −.#1)M} ^ !B8$.E!$",CE$6$ X): ` ;
.P(!#.Pd*(7$ ^ )(!- : "*(/hX) "*\4O-!! ( X) XL! f ( ;U k
/
BC = M.
X) ^ / O-!62$-!! ( X) h X)"* v)0!$.p$!" / p \>P$1(! " ![O"![Au#X)/.c+$X6 .# / (!#X)
L$0!X6>.#6
Y
I
t
t
I
t

−2 1
 1 −2
1 

;;;
M = 2  ;;;
δy 
 0 ...
0 ...

0
0 

; ; ; ;;; 
,

−2 1 
1 −2

0
1

...
...
;;;
1
0
−1 1

1  0 −1
B=

;;;
δy  ;;;
0 ...
1
0 ... 0
 −1 1 . . . 0
1 
 ;
; ; ; ; ; ; ;;;
C = −t B =
 ;
δy  ;
 0 . . . −1 1
0 . . . 0 −1
(
i−1
0
1
;;;
0

i

... 0
... 0 

,
; ; ; ;;; 

−1 1



.


t (!+& .S X6 b01 $ !" 0 b02 ^ X)#2)04.#)&*)^ 0 (I − 1) $!" I ^ "!#03#!"% s)(!B\4 -!!"!$X6`
.# !"![ !L u b1 = (v/δy , 0, . . . , 0) b2 = (−v/δy, 0, . . . , 0) ;
x ?)(!X6 X6(!$]&
f ( ; U k
U (t) = −Yt M −1 BXt + b1 ,
Xt
2
−1
f ( ;U j k
dXt =
−(Yt ) CM BXt + Yt b2 −
dt + dWt ,
(
/ (!#X)
2
/
b = −M b $!" b = −CM b + b $X6 r&.S X6D"!04/"! !hr :(!
\4 -!!"!$X6`*.# !"![ !L u ;/x (7$e.$r\4OE$6 : `B.P(!#.Pd#"5 M(!$ Bb = 0 ;
t (!:$ (: )(!5X)#B$ !: !hs k ( )(! 16.S B)z$k 7$ : ` ( R(!T.](&$X) $!.T ( (!
X)$!"! &$X) $\ # U f (!M
& (>.#U ~` k $!" " Y X f (!LnX6) -!!.S (!L.#'&$X69$/.
(
:
)
7
0
$
.
g
f
)
#
a ; ; ;ux X66X)#B$ X)dr)(7$?)(!8.]&$X) $!.8 ( U .$,\4
K
W
/0/X)6)#"5 ( -!!.S * ( )(!O.]&$X) $!.? ( Y X
1
−1 0
1
2
0
2
−1 0
1
2
t
t
t
t
t
Cov(U (t)) = E(U (t) ⊗ U (t)) − E(U (t)) ⊗ E(U (t)),
= (M −1 B) Cov(Yt Xt ) t (M −1 B).
f ( ; i 7k
@[email protected]
R;[email protected]? 9 A2 / /
u
?
E(Yt Xt ⊗ Yt Xt ) − E(Y t Xt ) ⊗
< #?-!. S>0 : ^ $ R(! ( U k .^ $5.+0!-> Cov(Yt Xt ) =
:
:
)
X
n
6
X
f
j
!
O
E
.
$
V
.
+
!
0
>
Q
/
(
!hDS>0!X66) T X
E(Yt Xt ) ;
;
(
( /
Z
/ (!#X)
t
Z
Z
t
Xt = exp
A(s) ds X0 +
exp
0
0
Z t
Z t
A(u) du dWs ,
exp
+
(
t
A(u) du b2 Ys ds
s
f ( ;i k
s
0
1
l" .
2
(! .P(1 (Y0 , (Vs )s≤t ) E$6k -!X$\ ;t (/ $nKX6
(Y0 , V ) f‹$/"V)(!X6 X6 Y c !"!#03#!"!# X)
A(s) = −CM −1 B(Ys )2 −
/
-
:
:
wk $pX$!"/ bB$CX) ^
W e(7$ A(t)
(
r#a-!$ ‚f ; i +$d#G6!6p6 !.#
W;
:$:
:
: $: t (! /h + $ < #++$Q(7$ \4G-!6"1+)(!G6a -! .+0!->c(!c&$X) $!.#ZN(!
/
( /
Q[EXb W @ ^ OMD
4
8OMDFbhD k *WI [email protected]:W *[email protected] &
(
(jQ[Z D *4D (3L1KMLNIND,*QUI >[email protected] 8I$
k*
CM −1 B = − P,
Q[Eb W L aIFW D I × I Q[Z1* P WI:EgOMD Q[EbFW L Q K<bhL >D (FEWYLUZ LUZ
CM −1 B
.
Ker(B)
# #o !( p0!X) ( /- )G(! ( $ .#e(!$
t
6(! / G(!$ BC = M
fg)#*f ( ; U )k k ;
6 0 : ?
.# +0/-/P$) " − CM −1 B) = (l " − CM −1 B),
$/" ( -! P = l " − CM −1 B v$‡0/X)Co6#.#X ; 6 "!# ^ vV. : $ X*(7$ Ker(B) ⊂
x B)-!.P(|(7$
{x, P (x) = x} ;Mt (!:. &X)6s!. : -!) *$ : )%$6` )%0!X)]&
P (x) = x ^ )(! CM −1 Bx = 0 $!"5(!#X) X) ^ \`RD- : 0 : `!h+R(! : Q\` B ^ !
\>P$! Bx = 0 ;7l T$-!/ X6 V)07$.+#)(T6#6 /h ^ ! \/$ ! P = δyJ (!#X) J
c)(! I × I B$CX) (r$ :$: .+04 !# )ca -7$ : ) 1 ;
6 !h
A(s) = (Ys )2 P − 21 + (Ys )2 l "R$!"r)(! $.SG)(7$ ^ \` < B$ ^ P n = P ^
R
/\/P$!M(/ : : !hDS>0!X66) T exp st A(u) du (l
"
(
− CM −1 B)(l
/ (
( /
/ (!#X)
$/"
@ 5 exp
( (
/
(
(
(
Z
t
A(u) du
s
t−s
a(s, t) = exp −
2
t−s
b(s, t) = exp −
2
= a(s, t)l
"
+ b(s, t)P,
Z t
2
exp − (Yu ) du ,
s
Z t
2
1 − exp − (Yu ) du
.
s
f ( ; i U k
A A
( /
( Y X fg-!6 !h)(! ( $.#L)(7$ P b = b k
t (! : E $"!L(! :$: /h2S>0!X66) T
t
t
2
+ b(0, t)P X0 + Yt
Yt Xt = Yt a(0, t)l "
Z t
a(s, t)l
+Yt
"
09 2 Z
t
0
+ b(s, t)P dWs .
2
a(s, t) + b(s, t) Ys ds b2
f ( ; ii k
, (-,( ;'.(: (5 4 '(*../$>(. 04 1 ! =2"#1$3% 2& '34(5 64*$57 1* 8( &) ( 9*: 9$2 & +
* G0(, '( $, *= H> $I>K(H .=K1< *=$< 1* K * =0?JJ(1 *@A, B % * -*( ,* &C &(!DE4$ >(4. $ $F . (:KP K 7FK 7Q:3R$> ( K21 3*6 (4 4 ( L ( .4 SM %(,5JN&8O O 1H< ( * T1*! D5
. , 4U, * & X H- K [email protected] R b(s, t)P dW
?H*$(: 1V*Y%P.=$>δyJ(7A*1 1*6 *(D 44* :,= (# C 1G (:Wi 1* $X 1*3 NZ24" J1 * , Var P G < Var P G . < 1 *, * 6 (:L ( +
$%2 &6 \; (L,1 *'[email protected], * 1 *2 X3J1* 45,4 [ $8>( 1A,@ (MP LdW M=1δyJdW
:+4*[email protected]
[
P
\
Y -J1 * , .
/
x 2^ ! )-!X)R)B^(// D. 0!-/$ V ( Cov(Y X ) ; 6/ !hB)(!D!"!/ 04/"!!.# ( X ^
$!" (W )
O.P(!#.Pdv)(7$c(/.#]&$X)9$!.?\4# #5$`1 +"![Au#X)# c)X)
(Y )
( (!eX)h ( - (7$ !" - )"!M ( f ( ; i i k Y - :$: ; t (/X) ( X) ^ / e \/$ (/ ( : : / !h?S>0!X6)6 ( Cov(Y X )
0
t
t
I
i=1
i
i
1
s
t
s s≤t
s
0
I
i=1
s
t
0
s s≤t
t
t
Cov(Yt Xt ) = E(a(0, t)2 Yt2 ) E(X0 ⊗ X0 ) + E(b(0, t)2 Yt2 )P E(X0 ⊗ X0 )t P
+E(a(0, t)b(0, t)Yt2 ) P E(X0 ⊗ X0 ) + E(X0 ⊗ X0 )t P
Z t
2
t−s
exp −
+E
(Ys Yt − E (Ys Yt )) ds b2 ⊗ b2
2
0
Z t
Z t
2 2
+
E(a(s, t) Yt ) ds K +
E(b(s, t)2 Yt2 ) ds P K t P
0
Z0 t
f(
+
E(a(s, t)b(s, t)Yt2 ) ds (P K + K t P ).
;i
, k
/ / $ c)8$dO(/ : t −→ ∞ *E$.P(T ( (!?)X)L ( f ( ; i , k ;
x O !
6 !h(! ( $.#e(7$C a(0, t) ≤ exp
− $!" b(0, t) ≤ exp − ^ !2.$R)#p)(7$
/
)(!07$X6Z ( (/G.#'&$X69$/.e ( Y X (! .P(B"!04!"/M +)(!e ![9$ : . /"!) X h K
X)} *)(! : t → ∞ ;
k
!O.E$VS/$.S : `B. 0!-/)+fg-!6 !/ h(/ ( $.#L(!$ E(Y ) = 1 $!" E(Y Y ) = e
)(!O07$X6e ( (/.#]&$X)9$!.? ( Y X (!.P(r"!#03#!"!e b ;/x O \/P$ 0
t
2
t
t
Z
t
t
0
2
t
2
s t
2
t−s
E
exp −
(Ys Yt − E (Ys Yt )) ds
2
0
= 4 exp(−2t) (− exp(t)(1 + t) + 4 exp(2t) − 4 exp(−3t/2) + 1)
t
t
2
−
|s−t|
2
f ( ;i k
@
5 A2 u
/ (!}.P(r)!"!L) ( / / (/ t h M ∞ ;
!L.E$$ : )?6(! / )(7$N(/L(!#X#X)N D(/LS>0!X)#)6 Tf ( ; i , k ( (!L.#'&$X69( $/., k
/ ( Y X (7$E&2$ : +[ (/ t → ∞;!l !"!#" ^ )(!O)-! ( )(!?(!X6 : $nM#X)c ( f ; i
t
X6#
t
/ (!#X)
It (K + P K t P − P K − K t P ) + Jt (P K + K t P − 2P K t P ) + (1 − exp(−t))P K t P
It =
$/"
Z
Jt =
: E$X : ` ^ I $ /"
t
t
exp(−t + s)E exp −2
0
Z
t
Z
t
2
(Yu ) du
s
Yt2
ds
Z t
2
(Yu ) du Yt2 ds.
exp(−t + s)E exp −/
J $X)K6B$ :$: #Xu(7$ 1−exp(−t) ; #" !. ^ [ˆ ˆ!-!h (Oe.P(!.PdO(7$CŒ)(!6
)X)c$X6? !.#X)E$) /h28.!. : -!"!Q(!$M(/#`*(7$E& !) : +[Y$ t → ∞ ^ X6603#.#[& : `
"!#!)"T\` α $/" β ;
/
t 0!X6'&e)(7$ I( N!.X6E: $6 !h ^ !c.E$+.# +0/( -/L(/ ( ^ : : !hQS>0!X66)^ B ( I fg\`
-!6 !hD)(!Q.P(7$!h Q &$X69$\ r =/ tk − s $!"1(/ $.#Z(7$C \ `B6$ 7$X6~` (Y )
$/" (Y )
(!$]&)(!O$ : $
0
s
t
t
t
u t−r≤u≤t
u 0≤u≤r
t
Z
Yu2
Yt2
/
0
(
0
(
Rr
ψ(r) = E exp −2 0 (Yu )2 du Yr2 *$s04 )[& -!!.S ;
-! ^ \/$ X Jt
Z r
Z t
2
Jt =
exp(−r)E exp −
(Yu ) du Yr2 .
$X6h
0
)!h‚(/R$
0
(!#)pS>0!X)#/ )6 !e. : E$X : `B"! !nX$CQ(!$ I $!" J $X6!.X6E$6 !h ;
X ) = 16 b ⊗ b + α K + α (K P +
t (! Y)(/ Z(7$ ^ +)(! : t → ∞ ^ Cov(Y
k
t
P K) + α3 P K P ^ $!"*( -!2fg)!.
t
/ (!# X)
t
P = P
^
t
t
2
2
1
lim Cov(Yt Xt ) = 16 b2 ⊗ b2 + α1 K + α2 (KP + P K) + α3 P KP,
t→∞
= 1 − 2β + α $X)?)(!X)/#04 6[& ? .# !6$ ;
( $.S$c!"(7α$ BP
= 0 S Bb = 0 ^ \/$ α1 =( α ^7 kα2 = β − α
6 !hrf ; i
$!"*(!
2
t
f ( ; i ( k
3
2
lim Cov(U (t)) = α1 M −1 B K t (M −1 B).
f ( ;i k
= α i1=* 1, 2, 3 . K.% (
7 K1* α ' 0.26?1(:* β '( 0.39;$. 8. ( 4 37, (: α*2&R ',0.26
*W'$ α' . 0.13 α ' 0.48
α + 2α + α = 1 t→∞
5
i
@
t
du
ds
exp(−t + s)E exp −2
s
Z t
Z t
2
=
exp(−r)E exp −2
Yu du Yt2 dr
0
t−r
Z t
=
exp(−r)ψ(r) dr
It =
/ (!#X)
Z
1
2
3
1
2
3
A A
! k
Cov(Yt Xt ) fg6)X)#)
16b2 ⊗ b2 + J
16b2 ⊗ b2 + α1 l " + (1 − α1 )δyJ
t −→ ∞
Wt
Wt (y)
09 2 :
k
Cov(U (t)) f„& .[~`
0
−α1 M −1
/
(
(
/
(
(
/ (
@ : 91 (; HM K+*WI M ( 5 (:I *?
34=) F4$> (3. (?+,( 9$>( + $$ . < P,5( ' K < * 3166&
@ @ ? (:S?(MN , (4O -( &) M?N (,* &
$ . H < /PP M W ; 1 (:0* 1 &? ( ,1 (*b 5() Xv (O -( ( $U& . M$ K>( K8?N(#1 %8(: ( , *7,5M& 1 * v ( H*K 1 9 Dv 48K v?→ 9∞ . , Y (X;T1 * K&-!H/( ( 1 X6* :`5R ‚(6 07$.# N - ( &4 * K 7v .
((
( ;
$X69$!.# u $/" τ f X : !he+ k X$ )X ! $+ 2!"!04!"/ !h
)07$.f Wt k $!" X X) !9$ !*-!/. X6X) : $ #" 607$.#k {f Wt (y) k ;LW .
)(7$D)(!1.]&$X69$!.#1+$k X6 .#p )(!1nX)#)Vf„X)60 ; )!( B& : .[~` $X61 ) I × I
f„X)60 ; (I − 1) × (I − 1) (!#X) I = 1/δy ;
2
t
2 A
( . . # , . .
//
(
K=
t
+(
(
K=J
} ‰)(!:\7$6 * (!:+$ € ‡X)#)- : v (!50!X6#& -!v).S †fg7$ : `f ( i (k
;
$/"‰f ( ; i k6k ^ 1.E$sS>0 : $ (! $E`:(/+&$X) $!.# U $!" Y X &$Xn` k (!‚!
h X6 . 0 : S : `-!!.# X)X6 : $C" X) !9$*k +) /Z*)07$.#f K = l " )8$ X)
! $v+ *!c"!#03#!"! /h+ v607$.Bf K = J ;
l *(!?.$)? $D.# +0 : #) : `B-!/. X6X) : $#" X) ! $* ^ O(7$E& K = l "V$!"
? \/$ Cov(Yt Xt ) = 16b2 ⊗ b2 + α1 l " + (2α2 + α3 )δyJ = 16b2 ⊗ b2 + α1 l " + (1 −
α1 )δyJ $!" Cov(U (t)) = −α1 M −1 ;
l 2(/w.E$)M $ X) ! $2 !"/04!"!!hQ 2)07$.# ^ M(!$]& K = J $/" \>P$ Cov(Yt X
t ) = 16b2 ⊗ b2 + (α1 + 2α2 + α3 )J = 16b2 ⊗ b2 + J $!" Cov(U (t)) = 0
f„) /. BJ( = 0 k ;
t $\ : ; )-!B$X) ˆ: (!wX)6- : ) L(7$E& M\/P$!" ;t (!#)LX6)- : . X6X) \4 X $C K^ , (! \4(7$E& X )(!w -!X6 .$ S>03#X)+# )$/"2(!Z \!6X6&$) / )(!M$-/(!X) 1 ;
l D0!$X6) .- : $X ^ /Z.# !)"!X6(/Z&$X) $!.#Z Y X $CN$G04 O(/w "!" : K (/ ^
/Q \/$ ! k C(b2 ) + 1 [( x L$!" C(b2 ) + α1 + (1 − α1 )δy ' C(b2 )k + 0.26 + 0.74δy
[( x ]f„` f (!X6 C(b2 ) "/!)$V. /6P$ (! .P(s"!04!"/D b2 )(!+&$X69$/.
X6"!-!.# )(v$ k X) ! $ (!.P(V"/04!"!c *607$.#fg)!. δy < 1 k ;!W ?$ : )vf„)#A
"! $h !$ : #X) (!G6X6 !hp. X6X) : $ (! .P(B K X6>"/-!.#"1\3S #1)(!e&$X69$\ : ^ $
"![Au#X)# M03 M B)07$.# ^ (/v !Q-/)e$ X) !9$*+) !M"!04!"/ !h *607$.# ;
/
(
(
/
(
A
/
/
/-
/
/
( (
/
/
/
/ /
/
/
/
/
/
/
(
/
/
(
/
/
(
-
/
( . . # # , # # ( ', /.
K
/
/
( Kx ;Bx !(7 $CM Y$ ( X6( -!nXnM(! K#X(/ G& X)#$6). #hw$)B( (!(/#1)Q"!.#'04&$/X6"!9$!/.S.`z+ ( $)X)(! +.#&G$fgX)X69$!!.X)#+D$ ‚: )"X)\` @
5 A2 u
(
/
( / (! : Q&$X69$\ : Q*)07$.#
)(!O-/D\3#Xc .# :$: k ^ (!.P(rE$6-!X)#e)(!?&$X) $!.? )(!
/ (!#X)
δy tr(Cov(Yt Xt )) = α1 + 16δy ||b2 ||2 + (2α2 + α3 )δy ||P N ||2 ,
= α1 + 16δy ||b2 ||2 + (1 − α1 )δy ||P N ||2 ,
δy tr(Cov(U (t))) = α1 δy ||M −1 BN ||2 ,
. 6X \3#! -/eX -/. : "!E$r!X) $!"
N M(!O+$X6[*6-!.P(r)(7$
( ; i ; U N c$ I × I +$)X)[B)-/.P(r(!$LE$.P( : !Q(!$e$8/ X)
#a-!$ : )2 ! ; x e(7$E& \/P$ !#"+(/)S>0!X)#)6 !w-!)!h26 . +e)+0 : c0!X)03#X6 : d
Xc$`v+$X6 .# $!" ^ X 2
X6 )(!6p /0/X)6) !
||.|| "!!c(/
K = N (t N ) k fg6 #.#
(
/ (
/
(
(
(
/ / (
(
(
(
/
/
?
(
/
(
(
/ (
, - / . Y% P? X 3 4/ 5FF/ $ /
/ //
( /
( /
(
/ /
/
/
(
(
(
/
(
(
(
/
(
(
(
/
/
/
(
(
(
- - (
/
/
( /
(
/
(
? /
@ ? (; *)5Y #X1# , * ( S , (MC* 5 K ?,*
&( YX 3 4A (, '@,*(>$>(4 %* [email protected]*R 4' W'Y
E
F
P = P;
)(!?&$X)9$!.# ^ p.$v"!"!-/.O(! :$: !h t (/+! D-/ (/2&$X) $!.p U X6v$!"R \>P$!"R $!"R : `V (!
X) !9$5+) r"!Q!?"!04/" R)07$. ;ul !"!#" ^ ||M −1 BN || = 0 0 : BN = 0 ^ (!.P(r+0 : #Z)(7$cE$.P( : !? N M)(!O$ ;
t (/?+! D-/I (/&$X) $!.G Yt Xt α1 + 16δy ||b2 ||2 ;>l MM$6P$!"1 $!"
: `? P kN = 0 f‹$!"p)(! ˆ (/Z.$) (p$ X) ! $2 ?! "!#03#!"! /h
)07$.# ; t (! a -!&$ : )(! $.# (7$ (!w)-!† (!w. 03! (/ $.P(T.# : -/+* (/+$)X)[ N X6 ;
< #8-!! X6`,5"!S#X) !^ *$+ /h:$ : : .]: &$X) $!.#B$CX).# K 6-!.P(z(7$2(!
&$X69$!.#5 Yt Xt B+! D-/ (/ !R(7$C E$"!1z$‚&$X) $!.#5 U (t) (!$v !D-! ; ( ,* (
2&
>( .
"
l 1$ X)nwn0 ^ 6 : &G(/ Ka ^ -!n 1 8(!e.E$) (/ -!6 : `8 ! : X6 /9$
B1)0!$.Q)D. /6X6-!.# K 1X)"!#XZd#0v)(!Q)$+. 0!-/$ 7$ .6c$w )(!.$)Q $ X6 !9$++ /M"!#03#!"!!h2 B)07$.# ;l 1)(!X X6"! ^ Q.E$+ : ` .P(! 6 +Wt X −Wt 8E$.P(8.# : : )(!L)( ;x L.$8(!#nP$)M(! :$: /hX)#)" - : .$) I N#& ^ -!6 !hO : `p ! X) ! $8 607$. ^ (!L.#'&$X69$/.L+$X6[ K "! !#"
\` Ki,j = (−1)i+j K)-!.P(+(7$ ^ $+!h$ : : K 03 6)\ : c)-/.P(1(7$K)(!e&$X69$/.c Xt !D-! ^ (!Q&$X69$!.#? U (t) L+! D-/ ;t 80!X)]& O(/ MX6)- : ^ !?(7$L)!.
)(7$ Q\/P$B$ : : (/$"/ +))"\ : L.#]&$X)9$!.eB$CX).# K = N (t N ) )(+)(!+$X6 .#
)(! X)nK. : -!a -7$ : ) = (1 , ..., I ) $/" X)O : ) (!X6 ^
N (/ : : !h X6
PI
^
[( i = ±1 $!"
(!&$X) $!.# U Q)(! +! +$ : $!": : `R
i=1 i = 0 ;mt
)(!Q! X6Š M −1 B w / +" $ : ; -/w)(! K& #.#) X ν = M −1 B .$*$ : )2\4X60!X)S#" $G(!D6 : -> T P1 (! !)2 :  "! 6.X)S $) r (! : : !h80!X) \ : ∂ r
∂ ^
(/X) y ∈ (0, 1) ^ )( #X) X6 .P( : #Y\3-!!"7$Xn`. !"/ ! r(0) = r(1) = 0 ;
= ∂y
∂y
"
!.D)(! /2 : #+#?) : -/ TQa -7$ : B)(!! "!).X6#) #"5) : -/ ^ G)(!
\& -!(7$C(!L / D-! )(!L! X6 k ν = M −1 B  \>P$!. " ^ X( !$( +0 : ^ (
$s ).# : : $X6` f = (1, −1, 1, −1,( ...), ;ˆ( x (Bk (!$]&10 : ))"s h-!X) ; (/BX)#)- : \>P$!"€ ‡)(!V ![9$ : 0!X6 \ : # f ; ; ‡)(! 8
.E$)T $€ ).# : : $X6` 607$.
k
X6 !9$V :fg6O(!O.#-!X6& : $\4 :$: "
x^ ;
:
!
(
w
)
X
6
M
M
)
6
X
6
)
!
h
6
!
#
.
Q
w
)
!
(
L
!
(
$
(/O$ Š YX6"!-!.#?(!&$X69$/.
t
Yt Xt ^ !c.E$ -!Xn(!#XNX)#"!-!.c(/c&$X69$/.N U (t) $!" Yt Xt ^ .# +0!$X)#" [(
)(!G.$)G k $+-!/. . X6X) : $( #(" k X6 !9$ Vfg.# +0!$X)L(/G.#-!X6& : $\3 : : "
x ^
:
$/" x 'f ` 7 h -/X) ; $!"v(!L-!)!h8 `
X) ! $v+) *v)07$.# ;
tr(EF ) = tr(F E)
2
2
@5A
A A
3
9 3 9( HN45 *69((4 2&SN J L1;*' . K .01*/ 37 HN1 ,.*((N ,M 1( 5Y2 &P4? 2* 3 ?34 * . (/ $> ( . , ( Y X (:C 4 - ,* (,* " Y
@ P , *6 ( 5 , (A" Y= -( '$ & 2 3 4I
$ L> (0'5L1 *@K #,* 60(*1*, 5(( . 4 * ( ' (:2& ,*K [email protected] , (- , * ( ./ YP/ J,2 & K6 & 2 3 4 . /
l 5$B6.!"56( )0 ^ : 2$ : : ( Xe)(!2-/)D ( $R$: X6\!)X/ $Xn`v-/D\3#X ( X) ( :$!: 9$/ T )* ! ;!x ?.$VX) X)D- $G(!O !+ $) 0!X)\ # p.# !)"!Xc1 (! !h
! tr(M BK( B)( M )) $ !hD(/+$)X) .# K )-!.P(V(7$C
K c$6`+SX6 .?+$X6[B ( 6 I × I ^
K L04 )[[& ^
∀i ^ K = 1 ^
tr(KP ) = 0 f / ?X)#.E$ :$: )(7$ P Z)(!Q Xn(! h 7$ : 0!X)'o6.#) XM +(!&.S XM ( 6 k
I (1, ..., 1) ;
/
t (!*0!X): \ : # (!$*$‚) : -/) ^ : )!. 5 !: + / v$ : !$( X ( -/!.#) : {: $‚\3 -/( !"!" .# & Sr. 6"v)S ;!x ?(7$E& * ) & }O"v
: $\Rfg$ : 62$E&$ : $\ : M 8(/ < l~t } <(/: M\!0!X$X6Xn` \ ( X * $C[ (*: $\ (/k ;t -!(!!.# )7 ( -! k ! .#) 6+ &$dX #w-!6G. (
)X6 XŒ03 #)(!>"/$!"(!$04 : `! 9$ : . 0 : >~`+fg6 / ;Ct (!w) ZX6a -!X)"
)r.# +0/-/
(/+$)X)[ K : #)?(7$, /6.# !" ( X I ( = 10k - ^ ( U'(!7 .Pk (, ?!#h : h E$\ : /
.# +0!$X)#" [(R(/X66 : -/) 5 ( )(!80!(`>6 .$ : 0!X)\ :/ #ƒf ; f ; ; x (!$]&+-/)" )(!8.]&$X) $!.2B$)X) T\/P$!- "R)*. /6X6-!.#p$ X6 ( !, 9$k - :( (k R$!":03#X ( X6 $*)
D- : . $) , ( s( (/1/ ![ $ : / + "!#03#!"!20!X) \ : f ; f ; ;Œt (/1X)#)- : D0 : / ))"
h -!X) ; 6(! (7$C (7$E& !"/" ( -!Xn(!#XLX)"/-!.#"r(/O&$X69$/.? U (t) ^ (
:
−1
t
t
−1
i,i
$V 0/) +$ &$X69$/.? $#
Y t Xt ;
(Qy
(
- (
(!X621 0!X66?)/ +p) 0 : -!X6 .$ : S>03#X)+# )04X X) "r r( )(!k .E$6( DU' 7 k)k $
x p
0!-/X)Q6(!E$X [( >dE$1"!-!D\/\3 : : Z *$2-/! X6b+#)(:f„)# a ; f ; f ;
;
:
t (!^ 5 -!X6 .$ 0!$X$: #)X6*$X)Z^ )(!R -!D\4X1 . :$: I ^ (!T-/D\3#X1 ) rn0
N )(!D -!D\4XQ X)E$ $ ! R $!"T)(!D -!D\4XQ !"!#03#!"!# n N bT est (7$E&B04X X)": : X6"!X?v#6B$CD(/8&$X69$/. ;=t (!k 0!(`>6 .$ : 07" $X)$+S#X)O $ :$:
)(!*)D- : $Ck !$X) v = 1 f„& : >.#~` ‚(/1\3-!!"7$X6` ^ T = 5 f 7$ : ) B )(!
6 D- : $ ^ = 0.9 ^ Re = 0.1 ^ We = 0.5 ;
$ X) !9$r 1!G"/04!"!!h y fg6?(!
x O: .$r: : \!)#X6& (7$C ^ . X60 : $.( !h
.#-!X6& $\3 " x ˆ h-!X) ; (k \` k X) . ! $:+( ( k !?. 0 : # : `T-!!.X)X) : $)"
V607$.#1f„)?)(!O.-!Xn& : $\4 :$: #" x ]f„` 7 k h -!X6 ; X)#)- : c $D !.#X)$)Z )(!Z&$X69$!.#Z u f„& : .[~` f (!Y&$X)9$!.Y ŒD- : 0 : #"?\`2$ $.#) X
250 X)(/ X6Q) $!" 106 X : !h u $.# ^ R.E$6 $ X6 /9$
) !w"!04!"/ !hD1)07$. ^ Q(!$]&Q \!6Xn& "v " B -!k Xw6 0 : e.E$))(7$Y(!
&$X69$/.? u 6L#!"r) X6B$ t h L8 ![~` ^
/ /
(
(
(
((
(
(
( (
/
(
(
(
/ /
(
(
/
/(
@
55
A2 u
(
(
(
$ "!#.X6E$6 )(!Q&$X) $!. τ f„6k )X)6 k f„)(!?&$X) $!. M"![& "!#"V\`1$\3-/ 5 X
6(! Xne) c$/" 2 X : !hD) ;
x : s(!#X) \!6X6& ^ | -!XV) :0 : 51 h #)X6` ^ >^(! , $k \3#(7: $E&> -!Xr$V(!#XT$-/(!X):$ :
$ X)$"/`1/."v*+ X6Q.+0 S 2f„)#
(! .P( #h ) +$#w$D)(!X) -/h ( n-!"/`v )(!  .$) ;
( (
.
x (!$]&$ : 6*0 : 6#" ^ h -!X6 ; (!8X6)- : ?\/P$!" [( $: 6. :$: $) X6` 607$. X6 /9$v $!" [(*(/0/+ "B.]&$X) $!.O+$X6[ ;
(
(
/
/
/
/
/
%
.
l V)(!
- -
-
.$) ^ (!O#a-!$ !pf ( ; , k f ( ; ( k 4\ .# + W
Qy (
(
∂u
∂2u
∂
Xt (y)Yt (y)
^
(t, y) =
(t, y) +
E
∂t
∂y 2
∂y
1 − (Xt (y)2 + Yt (y)2 )/b
∂u(t, y)
1
Xt (y)
Yt (y) −
dXt (y) =
dt + dWt (y)
∂y
2 1 − (Xt (y)2 + Yt (y)2 )/b
1
Yt (y)
dt + dVt (y) ^
dYt (y) = −
2 1 − (Xt (y)2 + Yt (y)2 )/b
/
/
/
/
f ( ;i k
^f ( ;i j k
f ( ; ,+7k
} !5.$ !) .r(7$ 5+$E`/ : SB)(! X) ! ${ Vt (! .P(‰$.#* Yt
^
$
:
:
"!#03#!"!G v)07$.# )!. Yt 7$-/X$ `+"!04!"/G V)0!$. ;
( i j k
:
:
.
$
!
6
s
!
(
!
!
$
1
X
!
"
6
X
V
)
!
(
,
n
P
.
7
(
$
n
.
!
"
[
u
A
#
)
X
)
9
$
#
a
7
$
!
s
f
;
/
f ( ; ,7k ^ / Q$X6G!M$\ : c2.# !"!-/.#w)(!G$X)h -/+# )w .S ( ; i ^ #& XK(/ K)+0 : h # #Xn` ; #&X ^ G(!$]&G)6)"+ -!X. (/X) e+$ .# X)X6 : $C !. N 8)0!$( .ek & #6) h$)"
B(! d$1"!-!2\!\3 : : .E$6 ^ B)(!
X)$+ X)drfg6 h -!X) ; X6 /9$
W
^
:
!Z"!04!"/ !hDB)0!$. -!!.# X)X6 $#" X6 /9$1) !K+607$. ^ $/"1 ).# :
: $ Xn` X6/ /9$+ 8)07$.# ;l B -/XY6 D- : $) ! ^ (/G07$X$#)X b Ka -7$ : ) 20 ;
< #G-!c+$dO0!X6.)O(!O 6:$.: : : $C ^ Xn` X6 !9$v: p.# : !)"!X !)+\4O. !6 n
[((! >dE$"/-!D\!\4 .E$) L(7$E& L$d#B$ #X)7$)& ` (Wt , Vt ) $/" (−Wt , Vt )
X6 !w.# :$: )Q$/(!#X ;W )Z)(7$$..# X)"!!hG) -!X6 .E$ : >03#X) ) ^ P$d /hQ$ : X
7$C& : ` (Wt , Vt ) $/" (−Wt , −Vt ) "!/X6"!-/.Z)(!K&$X)9$!.Y )(!Y6X66. 07$* X66( "
[(2)(!M.E$)w X) ! $D !ˆ!"!04!"/ !hQD)07$. ;l 6)(7$
)(! X6 /9$* !Y"!X)[& !h Xt $/" Yt (7$Z\4?$ : )X67$!h21)0!$.Q)DX)#"!-!.
)(!?. &$X)9$!.? (!?n. X6) ; ( k
XS/$0 : Ofg6 h -!X) ; ^ !L-!6Y$8 6. :$: $) X6` X) !9$+) 2 )0!$.k !6)E$"‚ $ X) ! $s) !2"!04!"/ !hR‚)07$. ^ X26(! Xn2+Tf t = 0.12 ^
)(!Q&$X) $!.G( 1(/& : .~`+ Z : `+2- : ) 0 : "\`*i2\/-/M(/Q&$X)9$!.G 1(!6X66L "![& "!#"R\` ^ $!"5GS& / \4#))Xe(7$ X-!!.# X)X6 : $#" X) ! $R !e R607$.# ^
(!.P.(V `#e
.X)X)#)04 !"!c$ X)Q.# 6 : `*6 D- : $) ; t 87$\ : ?.+.07 $X) 6 !L/ \4# #
)(!
.E$)8$!"R)(! > dE$5"/-!D\!\4 :$: .$) ^ !) .#p(!$ X
"!-!D\!\4 :$: ^
W:
W
)(!r&$ -!r (!r6)X)6*$ t = 5 +$\4 -/ −0.73 ^ . 07$X6"€) −0.9 X > dE$
"!-/D\!\4 : : ;
>-!)k !hD : `B! X6 /9$1) + x .E$1)(!*"!X)$ )(! " :$: /hp.# !. : -!) 607$.+fg$!"1(/X) X)Q$c$ >#"r.# +0/-/P$) !$ : . n ^ !Q.$vX)#"!-!.Q)(!&$X69$!.#Q X6 /9$v 1!c"/04!"!!h v)07$.# ^ \`*-!6 !h$
τ .+07$X)"*)8)(!O.E$6p $
:
:
6. $C Xn` X6 !9$v 1V607$.# ;
@ 5
/
/
(
(
/
/
/
(
/
/
(
(
/
/
/ ( /
(
( /
(
/
(
(
(
( /
/
/
/ -
(
(
/
( //
(
-
(
8 /
/
(
/
(
/
-
A A
3
9 I=10 N=500 R=100 NbTest=10000
0.016
Wt
Wt(y)
+/- Wt
Wt optim
0.014
Variance of u(x=0.5)
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
0
1
2
3
4
5
t
I=10 N=500 R=100 NbTest=10000
0.06
Wt
Wt(y)
+/- Wt
Wt optim
Variance of tau(x=0.5)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
( ;(
0
( u $!"
1
2
(
3
4
t
-
5
f & X6)-!Œ+ k Xˆ"!A3X6Œ. X6X) : $ !=607$.# ') : k "
: ! x Œ$ X) ! $s :!"!#03#!"! /hT ,)07$.# : !h "7$6(!" : ! x ]f„` .# +0 : #) : `-!!.# X)X6 : $C" X) ! $+) /N )07$.# )(! Xn "7$)(/" : /
x $
:
:
:
:
6. $C Xn` X) ! $+ 2 607$.# "!6" ! x 0/) X)#)- N \>P$!" [(
$V 0/) "*.X)X) : $) BB$)X) ;
$X) $!.#ˆ
/
/
/
τ
-
-
-
-
-
- /
@5
A2 u
I=10 N=500 R=100 NbTest=10000
0.018
Wt
Wt(y)
+/- Wt
0.016
0.014
Variance of u(x=0.5)
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
0
1
2
3
4
5
t
I=10 N=500 R=100 NbTest=10000
0.06
Wt
Wt(y)
+/- Wt
Variance of tau(x=0.5)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
( ;
0
(
1
2
3
/ (
4
5
(
l ,)(!B.$)+ . W "/-!D\!\4 :$: Œ&$X69$/. u $!" τ & X6)-!p X
"![Au#X)# .# X)X6 : $C !Q 5607$.# u ) k : " : / x ˆ$ X6 !9$5) 5!O"!04!"/ !h
)0!$. : !h "7$6(!" : ! x ' f ` =.+0 : #) : `r-!!.# X)X6 : $#" X) !9$ ) ! 607$. 6(! Xn "!$)(!#" : !
x $v 6. : : $C Xn` X) !9$r 1V607$.# ;
@
- - - -
-
-
t
/
/
A A
t −→ ∞
Wt
Wt (y)
(
δy ;
fgnX)#) k
(

; #03#!"!#!.#`: )(!2&$X69$!.#Q
$#
δy tr(Cov(Yt Xt ))
O(1)
O(1)
"
δy tr(Cov(U (t)))
0
O(δy)
( u $/" τ f ( X
f & : > .#~` k
: /h++ k
/ [(RX6)04.S?
mJ)(
mJ
&
/
H
( /
J
J ( (
(
δy
(
(/"/04!"!#!.#`V (/O&$X69$/.c Yt Xt $!" U (t) X : !h
l t $ \ : ; ^ : Oh [& ?
) eB -/XZ6 0 L.$) ;>t D"!#X)&e)(! YX)#)- : ^ (7$E&-!6"1(/ $.SZ)(7$ b2 = O(1)
:
$/"
:
M −1 = O(δy) ; t (!6 $6MX)6- )L.E$v\4Q
b2 = (−1, −1, ..., −1) $!" (M −1 )i,i = − i(I−i)
I3 ;
-!X).E$ :$: ` .P(!#.Pd"T\ `B \!6X6&!h(7$
: '$ X 3 4UL$ HN U 1
<
4 $ L LC1L L δy → 0 : 7 KF&'?
( ;72 !:% ' 1 -&' 5Y- # ;# 08% @YJ NT$* Y X δy → 0 @
$ % F "Yy # ˆy
/
t
-
t
--
*
t:$: !( e0!X) \ : : e. /) "/XY K! : : !E$X (! . ^ E$: )#!) ^ )!.e$ :$: (/G"!: -/: D\
\4 v$X6 .# -!0 " (/X) -!h(|)(!5& >.#~` ;Mt (!X6 X6 (/ $ E$.P( "!-!2\!\3 "/
04!"/p :(/)P$ : -/D\3#XO "!-/D\!\4 : : R m)rnX6)O(/ O"!04/"!!.S` ^ "!#!
P
R
j,R j,R
(Xtj,R , Ytj,R ) (/Y#!" !"?& #.#) Xˆ )(!uo )("/-!D\!\4 :$: $!" XY t = R1 R
j=1 Xt Yt
)(!‚nB$)" nX6) ;Ql h #!X)$ : ^ (/ T#6) +$#" 6)X)#)5 r\!9$)" ; ; E(XY Rt ) =
( ,k f ( (k . X6 $B -!X)
E(Xtj,R Ytj,R ) 6= E(Xt Yt ) ^ (!#X) (Xt , Yt ) G) : -/ V f ; ; ;
.$ : 04 w & ^ !B$E`. 0!-/)(/Q0! X6 .$ : +$1 )(!Q#6B$C"B6X66L'&X
PNbTest
R,k
1
NbTest !"!#03#!"!# MS>03#X)+# ) NbTest
XY t ^ )(+(/Q$e-/D\3#X R k=1
"!-/D\!\4 : : ;
t (!OX6X) Xc /"!-!.#"rv)(!O6)X)6G.$V\3O"!#. 03)"r$ :$: - -
( /
/
(
( -
/ (
(
/
( (/
( /
-
NbTest
X
1
R,k
R
= E(Xt Yt ) − E XY t
E(Xt Yt ) −
XY t
NbTest k=1
R
+ E XY t −
NbTest
X
1
R,k
XY t
NbTest k=1
!
.
)#. / " )X) )(!86P$C n.E$ : X)X6 X? /"!-!.#":\ `5)(! * )&M$X : *
#)(!" ;mt (!
't X6!( 6 #X) O$v"/##X) !6) .D#X)X)X ^ . $ : : "R(/\/9$ ^ (! .P( . X6 ) (! $.#?)(7$
/
(
(
( (
(
2 u I=10 N=50 NbTest=10000000
|E(Xt Yt (0.5)) −
0.003
0.002
++
♦♦+
♦+
-0.001
-0.003
Xtj Ytj (0.5)|
R=10
R=20
R=40
♦
+
♦
-0.004
♦
♦♦
-0.005
j=1
+
+ ♦
♦++
+
♦
-0.002
-0.006
PR
♦♦♦♦
♦+
++ ♦
♦+ ++
♦
+
♦+
+
+
♦
+
♦
+
♦
+
+
♦+
+♦
++++
++
♦+
++
♦♦
+++
+++ ++++++
♦+
♦
+♦
♦+
♦
♦♦
♦
+
♦
♦♦♦♦
♦ ♦
♦♦♦♦♦♦♦♦
+♦
0.001
0
1
R
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/
;j
0.5
t
X)X)X\4# 5)(!2#6B$C Xc
> dE$V"!-!2\!\3 : : .$) ;
0.6
0.7
0.8
0.9
1
( τ $!"R[eS/$.#&$ : -! ^ $C y = 0.5 ^ r(/
)(!:X$!"/ &$X69$\ : Xtj,R # Ytj,R $X65. -!0 : "†f (!X6 -!h ( (/:& : >.#~` k ;wx 5(7$E& -!X6 .E$ : : `s
k \!6X6&"‰$:\!9$ (/ .P( O R1 fg6v(!v&$ : -/ \/P$ !#" X t = 0.1
h-!X) ; j ^ (! .P( )#)r\4+-/)-7$ : XQ)(! Od /", . -/0 : !h ;ml , X)"!#X?V-!
"!#X : !*(/ "!04!"/!k.S` ^ T(!$]&T04X X)"€$ ( -!hT -!D\4X !"!#03#!"!+nk
f NbTest = 10 000 000 5"!6!h -!)(,\3S #z(!1\/9$1f (!.P(% 2~`0!.E$ :$: ` O R1
$/"‡)(!*6$6.E$ : X6X) XVf (! .P(‡ D~`0!.E$ :$: ` O √1R X!*)!h : +n k ;x V$ : )
\/)Xn& (7$ X : !hD) ^ )(!O\!9$M&$! 6(! ;
/
(
/
/
( /(
/
(
(
/
(
/
/
(
(
(
-
) (! ˆ -!X).E$ : \/)Xn&$ ^ !Z.E$ph &w$D$! XŒe(! : : !hL. : $)6 .$ :
a -!#6 C 2X)"!#XŒ)QX)#"!-!k .Z(!Y&$X)9$!.Y 2)(!wX6)- : ^ Œ k 0!X6 X)$\ : ZG !.#X)$)Y(!
-!D\4XL "/-!D\!\4 :$: Of R Xw)(!? -!D\4XL #6)2f NbTest >!.)(!?\! $M O R1
^ ["/>#!B$d26!62B.P(!>) NbTest
1
$/"T(!26P$C n.E$ : #X)X)X O √R NbTest
6-!.P( )(7$ NbTest >> R ;uW )2(!$Q(/ .# !. : -!6 5$ : )B(! : "/ (!: /2P$dO )
$.#. -/ p(!.+0!->P$) 7$ : . n XO[p : /E$X?,\4( R $/" NbTest ^ 6 !.#)(!X6
$X6O!8. 0 : * )X)$.#) !L\4# #T(/"/-!D\!\4 :$: ;
7X) (
(
(
/(
/
>
(
/ /
t (! $.SM(7$CM(!6P$C n.E$ : X6X) XM"/ +: 7$)Z)(!Q\! $L$ : ) D6(! L(!Q+04 XnP$!.#
!- !"!#X)nP$!"/ !h(/O&$X69$/.? (!OX6)- ;
(
(
/
/
- (
/ (
/-
(
l B(/ w0!$03#X ^ (7$E: & Q /0 : $!" (!$Md /"1 "!#03#!"!/.#: `11)0!$.:Q (! wX) ^
! $s) : 7$)-!X$ )R$"/ 0/p :(!++.X) +$.X6*+"! !h* 03 `+#X). !-! "!
7$+ : `) ZX) !9$1+ !Z"/04!"!#GB607$.Q)(!X)-!h (B)(! < $h X)$!h $+)X$'o6#.
) X)c (!
7 ;
X 7 X? !8)!h : d$ "!-!D\!\4 :$:
x 8: (7$E&)(! : . /) "/X)#" )(!80!-!X66(!E$:
v)(! /h8) +[M$!" (7$E& \3#r$\ Q80!X)]&p *)(! c)+0 : .$)O(!$ $ t (/B&$X) $!.+ s)(!+& : .[~` u p / D-! (!% /B.!)"!X6
$ wX6 /9$
) (!.P(rL. /6P$ eV607$.# ^
\ t (!G-!) -!!.# X)X6 : $#
" wX6 /9$++) /YB607$.G Y!Z(!G\3#6M.# X)X6 : $ R)0!$.2)1.!)"!X ^ ! $Q)1X)#"!-!.#2(!p&$X)9$!.p T(/26)X)#) τ (!
-/)M $D ).# :$: $) X6` 607$.#
wX) ! $D Π0/B$ : $ $X$ )(!Z&$X69$/.
^
V)(!O6X66GL. !.#X6!"
. l 8D04 )6 \ : B:X)#"!-!.#v)(!1&$X) $!.#1 τ ^ .# 07$X)#"%:
$ wX6 /9$z ^
L.!6$V607$.# $!"v(/ )(*(!O$+O.+0!->P$) 7$ : .# 6 ;
} +(/(/ .PQ(V) +
0 : c.E$6 $p)(!$X7 k [( > dE$B"!-!D\!\4 :$: ^ Q(!$]&Q.P(!#.Pd"V\`
:
-!X6 .E$ S>04X6 )(7$03 8fg. $\4]& D(! : "!' QT(!p k "!04/"! ? 0!X6 \ : ^
(!.P(r&$ : "7$)M-!Xc$0!0!X6$.P( ;!x O(7$E& p$ : 6D& #X) "T04 Ofg. v)(! W .$) ;
t (!: $!$ : `)?(7$O)(/ : (! 04 X6$!. ^ XQ)(!8&$X)9$!. (/+X6)- : ^ (!
)X60 $E`5\4# #s(!.X)X) $) 5+$)X)[R :)0!$.+ )(!
wX) ! $,) !Q$O(!
.#X) 6. 0!. : S& : $!"*(!O+$X6 .#L (!O"!).X6#) $C * )(!O"!A3X6 $ : 04X)$X)
$c)(!OB$.#X) 6. 0/ . : #& : ;
c\`0!X)"!-!.Se -!Xc$7$ : `) ^ p(7$E&p6(! r(!$ ‚ -!X)+0 : +.$)B$!"‚,)(! : !hv : ^ )(!B\4 -!!"!$X6` .!"!) "!
/ 7-/!.#8)(!&$X) $!.8 5)(!& : >.#~`5\/-/ 7-/!.#O(!&$X) $!.# 5(!
nX6) ^ 1(!O)$+O+$!!#Xc$e$ :$: 04 c (/"/ B$ ^
 -!X86 0 : *.$)T$!"%(! : /h ) : ^ (/{ /r-!6+-!!.X)X) : $)"
ZX) !9$+ !N+607$. ^ (!c&$X) $!.c 8(/e& : .[~`h N #X) (!(!
607$.# n#0 δy h L X) ^
6 !.# D(7$E& 2-/+#X) .$ : : `* \!6Xn& "R)(7$G(!p\!9$e O 1 $!"T(/26$6) .E$ :
R
^ (!X6 R "!!c(/p -!D\4Xc "!-!D\/\3 : : LvE$.P(r. : :
1
#X)X6 Xc O √R NbTest
$!" NbTest )(!? -!D\4Xc !"/04!"!#G)6)c03#X X6+#" [( R "!-!D\!\4 :$: ^ "/>#e/eB$d?)#!)8.P(! ) NbTest )-/.P(r (!$ NbTest
>> R ;
x O(7$E& )-!B$X) "*(/)O.# !. : -!) !c t $\ : ; $!" ; ;
//
(
/
/
(
/
/
/
(
(
(
(
( (
/
(
//
/
/
/
/ / /
/
/
-/
/(
(
/
/
( /
(
(
\`B$pa -!n *$6d"v\`e : $!" -!!!h
t !( X)d(7$Z \3#1!)0/ X) #"B
"!-/X) /hO)(!$&
& )-/+XN6.P(!> : ()(!c. X6 \!-> :
l ?Q$B: 0 E$)-!X62 $X6 : : `V)(7$!dv(/).# : : E$h-! XG)(!X(! : 05$
.#X)) .$ X)$"!!h $0!X6 7$Xn`8& X6) r )(!OB$ -!6.X6 0/ ;
Acknowledgments
(
/
-
/
/
/
- (/
(
(
/
(
(
/
(
(/
^ $ !"1 / $#"
"!: : X6 $# < Xe#`h (!-/# X ;
(
(
2 u / W -!X6 .E$ : : `
.P(!.Pd"
eh X)-! : B
` 0!X6]& "
/
(
t (!"!04/"!!.S`V 607$.O )(! wX) ! $
+ *"!>#c!
!-!!.#?(!
. ) -! -!c6 : -/) ;
}
t !( & WGW l~t
#)(!"*. & #X)h #G)
$-!!a-/.# -/ -!
) : -/ (7$)#&Xc(!
"!04!"/!.S`rv)07$.# ;
/
!wXG6 "// 04/9$!V"!+!h8 ) 0!$.X)#"!-!.#e)(!
&$X)9$!.? u ^ \!-/
!.X6E$6c(!?&$X) $!.#
τ;
} / .$VX)"/-!.O(!
&$X) $!.#? τ [(
wX) ! $
;
?0 Y /
/
>(!$X 7 / / )( : :
dE$V"!-!D\/\3 Xc$`! / / )(
X)#h - : $XL) : -/ !L$!"
X)$'o6.S X69$ :
$`*`v)0/h X) /+h ^ S X6` ^
"!#03#!"!#!.#` ;
/
/
>
!
(
$
X
7
d$r"/-!D\!\4) ( :$: ;
/ (
! X : !h
) ?$!" dE$
"!-/D\!\4 : :‹^ R = 1 ;
>(!E$X
>(!E$X ! / ( X : !h
) ?$!" dE$
"!-/D\!\4 : :‹^ R = 1 ;
; > -/++$X6`+ (
(
"!: [6#X#$"*)-! X)* (!
/
(!E$X
7 X
) . )X$.S X o6-!X)7$ :
\3$X)!h ^
^ ^ j ;
(!E$X
/
7 X
) . )X$.S [( d$
$!" W "!-/D\!\4 : : ^
>^ ;
/
>(! E$X ! / / )(
d E$r $!"
W ::
"!-/D\!\4 ;
(!?0!X6 !.# 0 : Q
X)#)- : 707$Xn ;
60!X)` !7h ^ / \!^ ->$$ `
a !- n ;
;
t (/p\4 -!!"!$X6`
. ! "/ !M7-!#!.
)(!?&$X) $!.? τ \!->
!c u ;
/
t (!?&$X) $!.? u O(δy) (
-!!.# X)X6 : $C"
wX6 /9$v ! ;
/
t (!O\!9$L eh X)-! : B
` 0!X6]& "
W -!X6 .E$ : : `
.P(!.Pd"
>(!E$X ! / ( X : !h
>(! E$X ! / / )(
d E$r $!"
W ::
) ?$!" dE$
"!-/D\!\4 : :‹^ R = 1 ;
/ (
! X : !h
) ?$!" dE$
"!-/D\!\4 : :‹^ R = 1 ;
>(!E$X
O(1/R) ;
; > -/++$X6`+ (
>
/ "!: [6#X#$"*)-! X)* (!
"!-/D\!\4 ;
>(! E$X ! / / )(
d E$r $!"
W ::
"!-/D\!\4 ;
>(!E$X
/ /
!
)(
dE$
"!-/D\!\4 : : ;
(!?0!X6 !.# 0 : Q
X)#)- : 707$Xn ;
(
2 u (
/ $ ! !"# $ % & % ')(
&w21KH.P (7$ 0!:[X)N# 66; Œ5 l -!: ! N} $&h KX)6"/ e+0/*#X)) -/!&"/-!X K: $?" .-/2 &$XnX6h . : !.#)Q -!"! : $,.0!0/- X)$E>+ $0 /HD07$Xn.- : $ !X6
"!-,+"43 : W
; s 7*X)#)6B .#8, : 9*#a -7$ :"!A:*X6 :$: 6)>.P(!$6) a -!"7$!
:
-! * .# - e(! h3/ ;
:;
(
;
#)( -( , # . # , . , , # '#)(
# . /. . ( . # # !"$# # %&')(+*),-.'!/1032465*3-.'87:903'<;>=?&@A-.BDC4E&
FG&$*34H&I-A'JH&4E&DK+JH&L5M-.'NJHO&>PQSRTQVU WX,-AY4H03UZ,I*1Y[4E0\,0:5:&[email protected]]_^`[email protected];<,&4E-AYab2-A58c
9_O-dKe,0:5:&@Y[032f^@.&LKe*\'03'@A-A'&D*34KgJE0<Y6Ob*3K+JH-dYh5:-.ij&4E&'JH-d*)@&Lk2f*lJE-.01'[email protected]'n\JEO&
&[email protected]:JE-.01'o0)]8JEO&p^[email protected];<,&46K*)JSJEO&q,-dY[4E01KEY[01^[email protected]&DC3&[email protected]`*3'f5o*h^f*)4HJH-d*)@j5:-.i`&D4H&D'1JE-A*[email protected]
&Lk12b*lJH-A03'!^f4H&LKHY4H-Ar-A'nJHO&h&[email protected]:JH-A03's0)]VJEO&tC1&@A0:Y[-.Jg;$*)'b5!^4E&DKEK+24E&*lJTJHO&h,*)U
Y4H0KHY03^[email protected]&C1&@Zc`uv'mJHOf-AK^f*3^b&D4D7jw&xKH2^^`01KH&hJHOf*)JpJEO&C3&[email protected]:Y[-.Jg;syf&[email protected]<'0lw{'
*3'f5ew&S*)'f*[email protected];:KH&VJHOf&S'01'@.-A'&L*)4K+JH0:Y6Of*1KgJE-AYS5:-|ij&4E&'JE-A*[email protected]&Lk12b*lJH-A03'?cFG&^4E0lC3&V&}:-AK+U
JE&'fY&>*)'f5MY03'<C3&D4Hn1&'fY&t0)]~*!K+JH0:Y6Of*1KgJE-AYx^f*[email protected]&o*3^^4E0}<-A,I*lJE-.01'm*)'b5G5&D5:2fY&
JEO&Y[01'C1&4En3&D'fY[&q0)]JHO&*3^^4E0}<-A,I*lJE&T,I*3Y4H0KHY03^-dYqK+JH4E&DKEKJH&D'fK+014Dc
€ b ‚ „ƒ†?‡‰ˆ EŠV‹VŒ`Ž‘ ˆ Œ`‹‹‰  ƒ ŒbŽ j’‰“ Š ’‰j’ ‘ ’‰ˆ Œ` “ Ž l”VŒ “ Ž‘ ‡ –• ˆ
ˆ ’ ŽZŒ ˆ—8˜ ŒbŽL j’ Š‰‹‰ ‹VŒ`™ŒbŽL j’šb› l”VŒ j“œ
5
H 5:
 ž
Ÿ
5:
¡£¢£¤
:
:
:
:
5
:
:
5
jƒ¡ˆ!ƒ†?‡‰ˆ “I`› ‹ ‘¥ ƒ†ˆ L‘ ˜  ‡‰“ Œ` ˆ!¦ Œ “Lˆ‡§j’ Ž” ˆ  `˜ ‹ Z ’ ™ `› Œ “ Ž l”VŒ “ ŽZ ‡ –• ˆ
ˆ ’ Ž ZŒ ˆ—8˜ ŒbŽL j’†¨  t©{ª ”Zl”  ˜ ˆ“ Ž” ˆˆ3«j ˜ Ž j’¬`› Œ «`ˆ 1Ž T ˆ ‹ ˆ“Dˆ’ Ž ’ ™$ŽL” ˆ ‹ ‘¥ ƒ†ˆ 
 ’ ŽL” ˆ ª­¨ Œ ƒ ‘ j“  ‹‰Z!‹‰Œ`Œ ƒ¡ˆ Ž ˆ  © ŠŒ ’‰‡ ŒN‹VŒ`DŽL Œ ‡ ‘• ˆ  ˆ’ ŽZŒ ˆ—8˜ ŒfŽ `’®¨ Ž¯¥‹Z<Œ ‘¥
‚ Œ «  ˆ  Ž `°`ˆ“¬ˆ1—?˜ ŒbŽ j’ª ‘Ž”XŒ ’ Œ ‡‡ ‘ŽL j’ Œ TŽ ˆ  ƒ±‡‰ˆ ‹ ˆ’‡  ’ ™ j’ ŽL” ˆNƒ ‘ `“  ‹‰Zm‹VŒ
LŒ ƒ†ˆ Ž ˆ  ©Mƒ†?‡‰ˆ Z ’ ™²ŽL” ˆ§ˆ3«j ˜ Ž j’³`›sƒ Œ`1 j“  ‹‰‘ —8˜ Œ ’ Ž–Ž ˆ1“  ’ Ž” ˆ ˜  ‡´¨v«jˆ ‘Ž¯¥`Š
‹‰ ˆ“D“L˜  ˆ:©µ¨g“Lˆ1ˆ :¶Šb· ©3œ¸¯’ Ž” ˆ1“Lˆ “L <Œ ˆ1‡¹ƒ ‘ ¯ƒ Œ` µƒ¡‡‰ˆ “ ŠxŽ” ˆ ƒ Z1 j“  ‹‰‘
—8˜ Œ ’ ŽL‘Ž ˆ“  ’ ˜‰ˆ1’  ˆ Ž” ˆ!ƒ Œ` j“  ‹‰‘ j’ˆ“ Ž” j˜ ™`”ºŽ” ˆs“ Ž ˆ“L“ Ž ˆ’‰“D ŠŒ ’‰‡ ŽL” ˆsƒ Œ`
“  ‹‰‘ —8˜ Œ ’ Ž–Ž ˆ1“  ’ Ž ˆ  «jˆ’ˆ  ’ Ž” ˆºˆ1«` ˜ ŽL j’µ`› Ž” ˆºƒ Z1 j“  ‹Z ˜’‰°8’‰:ªo’‰“ Ž”‰ j˜ ™j”
ŽLŒ ’‰“ ‹ DŽ$Œ ’‰‡š› L‘1ŽL j’_œ
ˆ ˆ1“Lˆ’ ’
ˆ
ƒ†ˆ e ’ Ž” ˆ :ª ŒfŽtŽL” ˆ>ƒ ‘ `“  ‹‰Z ˆ1«`ˆ ™j «`ˆ“
» ” ˆo«jˆ 3Ž 
X ’‰ ‡ ‹‰ ˆ ˆŽL’  ™ Ž” `› ‹ ˆ ‘¥
š
ˆ
ˆ
’
`’
ŽL”
L ŽlŒfŽ
Œ
ŽL”
™`ŽL”
Ž” ‹ ‘¥ ƒ†ˆ  ¨g“Lˆˆ Z™ ˜  ˆ œ · ©!ª ”‰Zl”¼ “Mƒ†?‡‰ˆ ˆ1‡
¦ ¥Ž ªh§¦Sˆ Œ ‡“ ‘ ’‰°bˆ‡ ¦ ¥XŒ “ ‹‰L ’ ™ œ{» ”‰ ˆˆ½›g D ˆ“ Œ`3Ž j’¾ˆ Œ`l” ¦Sˆ Œ ‡ Œ ‡ LŒ`™ ›g L ˆ Š~Œ ’
ˆ1’ ŽL ‹Z ›g L ˆ§ƒ¡‡ˆ ˆ‡³¦ ¥¼Ž” ˆ"“ ‹L ’ ™‰ŠŒ ’‰‡ Œ
 ªo’  Œ ’³›g L ˆ§‡˜‰ˆ Ž ŽL” ˆ Ž” ˆ  ƒ Œ
Œ`™`‘ŽlŒfŽ `’º`› Ž” ˆ¬ƒ¡ ˆ  ˜ ˆ“I`› Ž” ˆ¬“D «`ˆ’ Ž œ
¿ D‘ŽL ’ ™ ‡ªo’ Ž” ˆhÀ Œ ’ ™ ˆ1«  ’¬ˆ1—?˜ ŒbŽ j’¬j’¬ˆ Œ`l” ¦ˆ Œ ‡  ’ ŒI™j «`ˆ’!«jˆ ‘Ž¯¥ ' ˆ ‡
Š
j’ˆ$j¦ ŽlŒ` ’‰“e¦ ¥ ‡ ‘• ˆ  ˆ’  ˆ ŽL” ˆo›g ª  ’ ™ “ Ž l”VŒ “ ŽLZo‹VŒ`ŽZŒ ‡ –• ˆ  ˆ’ ŽL Œ ˆ1—8˜ ŒbŽ j’Nu(t,
j’ Žx)
” ˆ
«`ˆ 1Ž 
¨+“Lˆ1ˆ –·:¶Šl· ©
5
::
:
X t (x)
:
:
:
5
:
::
: :
:
:
::
dX t (x)+u(t, x).∇X t (x) dt =
:
::
:
:
5:
5
:
5:
:
:
:
5:
::
τ p (t, x) =
(
5
¸¯‡
ε
(E (X t (x) ⊗ F (X t (x))) − )
We
::
:
5:
dt+ √
ª ” ˆˆ
‡‰ˆ1’‰ Ž ˆ“ Ž” ˆ½“ ‹VŒ` ˆ¡« Œ`D Œ ¦ ˆ Š
ŽL” ˆ½¿µˆ  “L“Dˆ’8¦Sˆ L™ ’8˜‰ƒM¦Sˆ 1Š W Œ
x
We
ƒ¡ Ž j’"’‰ Ž ‡‰ˆ ‹ ˆ’‰‡  ’ ™ j’
Œ ’‡ F ŽL” ˆ ˆ’ Ž ‹‰Z ›g D ˆG¦Sˆ Ž ªhˆˆ1’ Ž” ˆ Ž ªhº¦ˆ Œ
’Œ ‡  ’ Ž” ˆG›g :ª  ’ ™‰Š ªhˆMª xL–Ž ˆ Œ ~
Ž” ˆMˆ1—8˜ ŒbŽ j’‰“  ’ Œ ’‰j’ ¯‡  ƒ†ˆ1’‰“  j’ Œ ›g  ƒ
“D˜ ‹‰‹ j“Lˆ ŽL”VŒbŽ
ª
œS» ˆ `’ ¦‰˜ j’
`› ŽL” ˆ ‹
X
∈ R“ N ˆ‘’ŽL” N = 2  N = 3 ”  ŽLL Ž
τp
¬
ˆ
“
ˆ
D
“
“
ˆ
‰
’
D
“
Ž ŽL”
Ž
Ž
o Ž”
::
5
: :
1
F (X t (x))
∇u(t, x)X t (x) −
2We
:
:: 5
5:
5:
1
dW t
We ¨ œ ©
·
 :ªo’  Œ ’
‡‰“1œ >ˆ  ˆ
Œ ’‡Áªxˆ
–¥ ƒ¡ˆ  “
:
¨ œ ©
; ; (l
X
ƒ ˆ  ¨  ’½‡ Œ “ ” 1ˆ ‡ :‘ ’‰ˆ<©  “ƒ†?‡‰ˆ : : ˆ1‡G¦ ¥MŽ ªh¬¦ˆ Œ ‰
‡ “ :Z ’‰°`ˆ1‡½¦ ¥½Œ “ ‹L ’ ™‰Š
œ · » ” ˆ ‹ ‘: ¥ ¡
:
5
:
5 5
5: :
Œ ’‡ Ž ” ˆ ˆ’ ™bŽ”Œ ’‡Á L ˆ’ ŽlŒfŽ `’²`› ŽL” ˆ ‹ ‘¥ ƒ¡ˆ > “ ™j «`ˆ’¦ ¥§ŽL” ˆM“D Œ ˆ‡²ˆ1’‰‡ Ž 6ˆ’‰‡
«`ˆ 1Ž 
œ
X
:
:
ª ” ˆ  ˆ ‡‰ˆ’ Ž ˆ1“ ŽL” ˆ LŒbŽ !`› ŽL” ˆo«  “  j“ –Ž¯¥ ‡‰˜‰ˆ Ž Ž” ˆ ‹ ‘¥ ƒ¡ˆ  :«jˆ tŽL” ˆ Ž ŽlŒ «  “  j“ –Ž¯¥
`› Ž” ˆ 呏 —8˜  ‡œ
¸¯’ Ž” ˆs›g :ª  ’ ™‰Š ªxˆ  j’‰“  ‡‰ˆ ŽL”VŒbŽIŽL” ˆs«jˆ ‘Ž¯¥ ' ˆ ‡
 “  ˆ ™ ˜ Œ` ˆ’‰j˜ ™j” +¨ “ <Œ ¥ C 1 ©
u
“D ŽL”VŒbŽ j’‰ˆ Œ ’§˜“Lˆ Ž” ˆ l”VŒbŒ`3Ž ˆ D “ ŽZ ƒ¡ˆ ŽL” ?‡µ¨g¦ ¥š ’ Ž ˆ ™jŒfŽ ’ ™MŽ” ˆs«`ˆ 1Ž  ' ˆ ‡ © Ž
u
 ˆ1ª L–Ž ˆ¬ˆ—8˜ ŒfŽ `’µ¨ œ · ©  ’ Ž” ˆ¬›g :ª  ’ ™ ›g  ƒ Š ›g  ˆ Œ`l”§l”VŒ`LŒ`1Ž ˆ L “ ŽLZ :
:$:
:
::
dX t =
:
1
F (X t )
G(t)X t −
2We
:$:
:
dt + √
:
¨ œ¶ ©
1
dW t
We
ª ” ˆˆ
œV¸¯’ Ž ” !
ˆ ›g :ª  ’ ™Š ªhˆ L“ ˜ ‰
‹ ‹ j“Dˆ LŽ ”VŒbŽ
G : R+ → RN ×N
“
¨ œ ©
<Œ ‘¥ ¦Sj˜‰’‰‡‰ˆ1‡"›g`’ 1ŽL j’£`› Ž ƒ†ˆs`’ R œ
G Œ
+
‚> Ž‘ ˆ Ž”VŒbŽŽL” ˆ ‹‰  ˆ“D“
 ’²¨ œ ¶ ©  “ ZŒ ¦ˆ ˆ‡½¦ ¥NŽ” ˆ l”VŒ`LŒ`1Ž ˆ L “ ŽLZ ¨+“Lˆ1ˆ ¶ ©3œ¸¯’ Ž” ˆ
›g :ª  ’ ™‰Š ªhˆ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ  X
j’‰t“  ‡‰ˆ  j’‰ˆ ‹‰  ˆ“L“
Š j’ Œ ' ˆ1‡ l”VŒ`LŒ`1Ž ˆ D “ ŽLZbŠ ›g tŒ ' ˆ‡
X
t
«`ˆ –Ž¯¥ ' ˆ ‡¾¨+“Dˆˆ Œ “D >ˆ1ƒ Œ` ° · ©3œ
Ž¯¥?‹‰‘<Œ ˆ Œ ƒ ‹ ˆ>›g Ž” ˆ\ˆ’ ŽL ‹‰‘ ›g L ˆ  “ Œ ‘ ’‰ˆ Œ` ›g L ˆ Š F (X) = X Ž”‰ “ ˆ Œ ‡‰“
Ž ŽL” ˆ Ž” ˆ"“D Œ ˆ‡ >`°`ˆ Œ ’ ‡˜‰ƒM¦‰¦Sˆ ƒ†?‡‰ˆ œ
½Œ ’ Œ ’ Œ –¥ “  “G`› Ž” ˆ  `˜ ‹ Z ’ ™ `›
ˆ
’
“
D
“
ˆ
ª
„
j’
ˆ
`
«
ˆ
`›
ŽL”
 Ž”‰ <Œ
–Ž”§Œ
Ž”
–Ž¯¥
Ž” ˆ ˜  ‡ u Š ªxˆ  ˆ3›gˆ IŽ œV¸¯’
 ‡‰ˆ hŽ ŽŒ °`ˆ  ’ Ž Œ` j˜‰’ ŽŽ” ˆ ' ’ –Ž ˆ$ˆ Ž ˆ1’‰“  ¦  ‘‘Ž¯¥ `› ŽL” ˆ ‹ –¥ ƒ¡ˆ 1Š ¿ Œ` ’‰ˆ  ¨+“Dˆˆ · ©
’ ŽL ?‡‰˜  ˆ‡ ŽL” ˆ  ’ ‘Ž ˆ Ž ˆ’‰“  ¦ ˆs‚$`’ Z ’‰ˆ Œ` Œ “ Ž‘ ¨ ‚ t©ƒ†?‡‰ˆ ª ”‰‘l”º `’‰“  “ Ž “  ’
l” ?j“  ’ ™NŽ” ˆ!›g :ª  ’ ™ ›g D ˆ Œ ª  ’ Ž” ˆ¬‡‰˜ƒM¦‰¦Sˆ : 5:$:
:$:
:
:
5:
5
5: :
5: : $: :
:
:
::
:$:
:
:
F (X) =
:
:
:
:
:
2:
: :: X
.
1 − ||X||2 /b
:
5:
:
:
:
¨ œ ©
:
5:
5 5
» ‰
”  “Iƒ†?‡‰ˆ _™j «`ˆ“I¦Sˆ ŽDŽ ˆ I ˆ “D˜ ‘Ž “ Ž”VŒ ’ ŽL” ˆ $?j°`ˆ Œ ’"ƒ†?‡‰ˆ  jƒ V
‹ Œ` ˆ‡ Ž ¡ˆ ‹ ˆ L ƒ¡ˆ’ ŽŒ
ˆ “L˜ ‘Ž “1œV¸¯’ ŽL” ˆ <Œ “Lˆ `› Ž ” ˆ ‚ ƒ†?‡‰ˆ HŠ?ŽL” ˆ
›g Ž” ˆ¬ˆ ’‡ Ž ¯ˆ1’‰‡š«jˆ 3Ž 
b› Œ
Xt
‡‰˜ƒM¦‰¦Sˆ { “ Ž” ˆ1’
:
::
dX t =
:
Xt
1
G(t)X t −
2We 1 − ||X t ||2 /b
dt + √
1
dW t
We
¨ œ ©
(
;
5:
ª ” ˆ  ˆ √ ‡‰ˆ1’‰ Ž ˆ“ Ž” ˆ¬ƒ Œ  ƒ Œ ˆ Ž ˆ’‰“
Š ªhˆ b 1ˆ ›gˆ oŽ œ
» ” ˆ  j’ LŽ L ¦˜ Ž j’
`› Ž ” ˆ ‹ –¥ ¡
ƒ ˆ
τ
:
p
$:
:
“ Ž
5:
 ¦  Z–Ž¯¥ `› Ž” ˆ ‹ ‘¥ ƒ¡ˆ  œ
oŒ ’ Œ ’ Œ –¥ “  “I`› Ž” “
Ž” ˆ “ Ž ˆ“L“ Ž ˆ1’‰“L > “ Ž” ˆ1’
¸¯‡
¨ œ ©
Xt ⊗ Xt
ε
E
−
.
τp =
2
We
1 − ||X t || /b
»qš‡ bŒ Ž ˆ Š_‘Ž! “s¦Sˆ Z 1ˆ «`ˆ‡ ¨+“Dˆˆ –·<¶ ‹ œ © ŽL”VŒbŽ!–Ž! “s’ Ž¬‹ `“L“  ¦ ˆ Ž £j¦ Ž Œ` ’ Œ£ j“Dˆ‡
:
:
:
:
 j’‰“ – Ž ˜ ŽL «`ˆsˆ—8˜ ŒbŽL j’º›g hŽ” ˆ ‚ ³ƒ†?‡‰ˆ œ8¸¯’š Ž” ˆ  ªh  ‡“ Š j’ˆ <Œ ’’‰ Ž ' ’‰‡ ŒG‹VŒ`Ž Œ
‡ –• ˆ  ˆ1’ ŽL Œ ˆ1—8˜ ŒbŽ j’ ¨
t©¬`’
œ{» “ “
j¦ ˆƒ ª ” ˆ’µ`’‰ˆ¡ª Œ ’ Ž “ Ž  `ƒ ‹VŒb ˆ
τ p “D“ ”‰ ƒ  Œ"‹j“
ˆ
D
“
M
ˆ
ƒ
¯
ƒ
½ƒ
†
?‡
‰
ˆ
“
ª
ŽL”
‘
Œ`
‘ŽL”² Œ ZŒ
Œ`  ‹‰Z ƒ¡‡‰ˆ “ ¨v›g  ˆ Œ ƒ ‹ ˆ ‡  ¥ ‡
I
»
»
ˆ
D
“
ˆ
8
°
‰
˜
“
¡
ƒ
‡
ˆ
“
L
“
ˆ
ˆ
©
ª
³ª L–ŽLŽ ˆ1’ºj’
Š
¬
Š
· ”Zl”šŒ` ˆs˜‰“D˜ Œ –¥ ¦ Œ “Dˆ‡£j’ Œ
o
ˆ
“
ˆ
D
“
“
ˆ
‰
’
D
“
œ
jƒ
?
’
˜
†
ƒ
ˆ
’
b›
«
3
ˆ
ª
1
ˆ
L
“
>
ˆ
ƒ
`“
¡
ƒ
‡
ˆ “ Œ` ˆ Œ “L
ŽL”
Ž
Ž
 
Œ
LZŒ ‰‹  Ž
 Š`Ž”
Œb  ‹‰Z
 ’ Ž ˆ  ˆ“ ŽL ’ ™ “  ’  ˆ Ž” ˆ  jƒ ‹ ˜ ŽŒbŽ j’ Œ t j“ ŽMŽ “  ƒM˜ ŒbŽ ˆ Ž” ˆƒ  “ ˆ1“L“ ŽL”VŒ ’®›g  ƒ†?‡‰ˆ “
¦ Œ “Lˆ‡`’²ƒ Z j“  ‹‰‘ ˆ1—8˜ ŒbŽ j’‰“1œ
:ª  ’ ™MŽL” ˆ  ‡‰ˆ Œ “$`› ˆ Ž ˆ  Z ’®¨+“Dˆˆ · ¶ © Š ‘ ‡§ˆ Ž
{
œ
g
¨
L
“
ˆ
ˆ
©
ˆ
£
’
L
“
˜
ˆ
“
ˆ
‡
j’
‰
“
‰
‡
Œ
· Ž”
™`™ Ž
Ž 
 ˆ oŒ ›g L ˆ Œ ª¹ª ‘Ž”ºŽL” ˆ!“L—8˜ Œb ˆ!`› Ž” ˆ ˆ’ ™`Ž” `›
ŽL” ˆ ‹ –¥ ƒ†ˆ I ’ Ž” ˆ!‡ˆ’‰jƒ  ’ ŒbŽ  `›I¨ œ ©  ˆ ‹ Œ` ˆ‡"¦ ¥£‘Ž “Iˆ ‹ ˆ 1ŽlŒfŽ `’ 5:
5:
:
: 5:
:
5:
5:
:$:
5
:
F (X t ) =
:
:
:
':
:
:
::
:
:
5:
:
:
¨ œ ©
Xt
,
1 − E(||X t ||2 )/b
ª ” ˆˆ
“
ˆ ˆ1›g  ˆ “D ˜ Ž `’š`› ŽL” ˆ!›g :ª  ’ ™
X t  LŽ ” 
¨ œ ©
1
1
Xt
dX t = G(t)X t −
dt + √
dW t .
2
2We 1 − E (||X t || ) /b
We
» ”‰ “  “ Ž ” \
ˆ “L <Œ ˆ‡ ‚ ƒ¡‡‰ˆ ¨g“Lˆ1ˆ –· Š ¶Š ©3œ?‚$ ŽZ ˆ Ž”‰ŒbŽxŽL”‰ “
 “x’‰`’ Z
5
:
:
:
5: :
5:$: 65 :
:
:
5
’‰ˆ `Œ p ’ ŽL” ˆ“Lˆ1’‰“Lˆx`›  ˆ Œ ’M¦Sˆ <Œ ˜‰“Lˆb› Ž” ˆ ‰
ˆ ˆ ‹ ˆ 1ŽŒbŽ j’M`› ŽL” ˆ“D—?˜ `Œ  ˆ
‹  ˆ1“Lˆ1’  ˆI`› Ž” h
`› LŽ ” ˆ½“L ˜ Ž j’²’  ƒ  ’ ŽL” ˆ½‡‰ˆ’jƒ  ’ ŒbŽ  b› LŽ ” ˆM‡ D › Ž! ˆ   ˆ1’ Ž œ¸¯’ ˆ 1ŽL j’ œ Š x
ª ˆ
:«
j
ˆ
ˆ
“
ˆ
’
ˆ
`›
p
D
“
˜
`’
²¨
œ
3
©
œ
‹ 
‰
 Ž 
Ž
Ž
¿ ‘ŽL”µŽ”‰ “  j“D˜  ˆ Œ`‹‰‹‰  ƒ ŒbŽL j’ Š j’‰ˆ Œ ’ Ž ” ˜‰“½“ ” :ª Ž”VbŒ ŽmŽ” ˆ “ Ž ˆ“D“ Ž ˆ’“L 
τp
j¦ ŽlŒ` ’‰ˆ‡£¦ ¥šŽ” ˆ!›g :ª  ’ ™ ›g  ƒG˜ Œ
:
:
:$:
:
:
ε
τp =
We
5: :
¸¯‡
E (X t ⊗ X t )
−
2
1 − E (||X t || ) /b
:
:
:
¨ œ· ©
:
¦ ˆšj¦ Ž Œ` ’ˆ‡¼ˆ—8˜  « Œ 1ˆ ’ Ž ‘¥ ¦ ¥ “L «  ’ ™Œ ‰
’ `’ Z ’‰ˆ Œ`
œe¸¯’‰‡‰ˆˆ1‡ Š j’‰ˆ Œ ’ ˆ Œ “  ‘¥
I
Œ ’ S
“ ” :ª ¨ ŒbŽ ˆ Œ “ Ž ›g  ƒ Œ ‘¥ © ŽL”VbŒ Ž
“I“L ˜ Ž j’š`›
A(t) = E(X t ⊗ X t ) 
:
5:$:
¨ œ ·`· ©
dA(t)
A(t)
1
1 ¸¯‡
= G(t)A(t) + A(t)G(t)T −
+
dt
We 1 − tr(A(t))/b We
¸¯‡ œ
A
Œ ’‡ ŽL” ˆ’  ˆ  :«jˆ  τ = ε
−
p
We 1 − tr(A)/b
(
"! $#&%('*)
,+.- /
0 1 2!43 %54/
AKJ :[email protected][email protected] B 9JNAOHJNB 8P;OAI79QSRTJ4=U79AJ*VWR8QS8 6 BX8 RY
6 "7 98:;"79:<8>[email protected]?ACB4?4DE8 4?:F= AG79:HAI
Z †
J [8QQ[:\?A ;?]OHJ BMJ^8:HAK?_A`OH
J J AG798Qa=b?&1LA`OHJN8IDEBM?9J 0J :HA`=0?&1LA`OHJ 0? J Q [email protected] [email protected]?#ed-f)79!
: ^A`OHJ hgXikj 0? J Qalh?B#&%5 mn)79!
: NAOHJ ohgGp ! /^0? J Q /
N
K
5
X
?
*
$
1
4 W:*[email protected] 5 2Y K YY @ [email protected] 4 (
Hq
-
tŽL”
”VŒ «`ˆ  jƒ
›g :$: :ª  ’ ™
›g ˆ
· ·

dX i,M
t
ˆ  jƒ
‹‰Œ` ˆ1‡
“ ¥ “ Ž ˆƒ
Œ ƒ ‹
:
5
:
5
ƒ¡‡‰ˆ EŠ “L`ƒ†ˆ Œ ˜ Ž ”  ¬
“ ¨g“Lˆ1ˆ\›g
‹ ˜ lŽ ŒbŽL j’†`› Ž” ˆ ‚ Ž” ˆ Œ`‹‹‰ Œbl” Œ ’‰‡ Ž” ˆ §`’ Ž ˆ & Œ`
Œ`‰
‹ ‹‰ Œ`l”
b›
“G¨g“Lˆ1ˆ ‡ˆ ŽlŒb “ Œ S
¦ j˜ ŽŽL” ˆ !‚\‚
¯¸ » ƒ¡ˆ
&
ˆ:© Š
:
:
∀1 ≤ i ≤ M
G(t)X i,M
t
=
; ; (l
1
−
2We 1 −
:$:
1
M
X i,M
t
PM
i,M 2
i=1 ||X t || /b
!
dt + √
: `’ˆ  ˆ Œ ƒ ‹
¦ Œ “Lˆ1‡
ŽL” ?‡  ’
1
dW it
We
Ž” ˆ
©
Š Š
¨ œ· ©
ª ” ˆˆ
‡‰ˆ’‰ Ž ˆ“ ²
Œ  ˆ 1Ž j’µb› M  ’‰‡‰ˆ ‹ 1ˆ ’‰‡‰ˆ1’ Ž  :ªo’  Œ ’®ƒ† Ž `’‰“œ~» ” ˆ
i
1≤i≤M
“ Ž ˆ1L“ “ Ž (W
ˆ’“L )o
“
ˆ
’
‡ ¦ ¥ºŽL” ˆ¬ˆƒ ‹‰ZDZŒ ¡
ƒ ˆ Œ ’   ŽL”
Œ`‹‰‹  ƒ bŒ Ž ˆ1"
PM 
i,M
i,M
X
⊗
X
t
t
i=1
¯
¸
‡
ε 
=
− .
PM
i,M 2
We
||X
||
/b
1 − M1
t
i=1

τM
p
5:
1
M
:
¨ œ <· ¶ ©
› Ž ˆ  “ Ž ˜‰‡ ¥? ’ ™ ¨ œ · ©  ’ ˆ 1 Ž j’ œ ¶Š ªhˆ ‰
‹  :«jˆ j˜  ƒ Œ` ’  ˆ “L˜ ‘Žo ’ ˆ 1ŽL j’ œ I=4= RY 8:; !43 m9/ 9
7 :! RY:!J B2= RY8 AG7 6 Q>J OX DH?AOHJ4= 8>=<? :
79:! AOHJ 8 :H8Ac8C79Q
b
79:!
c
!
@
=
4
J
^
J
4
!
3
'
N
/
9
7
!
:
4
!
3
'
+
/
4
@
/
l

I
J
F
O
7
9
9
4
J
l
l
4?:!98AC8G?:F=
i
1
X0
 OHJ BMJ
τM
p
X0
8>= J:\J 6
∀t ≥ 0
¨ œ· ©
lim E τ M
p (t) − τ p (t) = 0,
M →∞
!43 %('/N79:!
τp
8>= J:\J 6 _
!43 %54/
( [email protected]:!=U?&1,0J*79: g J Q 8:HAKJ B*7 AC8G?:F=L8: AOHJ 1XBf790J3 ?B ?&1hRY8!_0J g
" OF79:H8 " =o? "#" RYB :\?A ?:HQ%$ 8:UAOHJ " [email protected]?&1 " Q>[email protected]= RYBMJ 7 D DEB4?(8^79AC8G?:F=4l 6 RYA " 79:][email protected]? 6 J BMJ Q>J 79:HA
1XBM? A`OHJ DHO&[email protected]= 8 " 79Q\DH?8:HA?&1^@8GJ3 l 1n?B]Jf.79IDEQ>J^8: A`OHJ " [email protected]]?&1^QS8CVWRY8! " B'[email protected]= Ae79Q DH?Q%$0J BM=
! " )1 (#&%9dF5&)$D*( % %Wm 79:+ d&9d g d&,l$?B " OF7 DEAKJ BN%52?&1#K'.-f)e/-( Z J^8:HA&J :+ AK?U;J :\J Bf79QS8PJLA`OHJ
BMJ4= RQSA`=L? 6 AG798:\J. OHJ BMJ1n?B A`OHJ hg 0?/J Q [email protected]? 1n?B A`[email protected]?/J Qa=/(
/
/ /
-
/
10 q
8: " J1n?BAOHJ ohg 0?/J Qal AOHJ = AcBMJ4=4= A&J :[email protected]?B " 79: 6 J " ?IDERYAKJ.I1XB4?
AOHJ 32 8A [email protected]?QS9J4=4lA`OHJ hg DF79BXAC8 " Q>J07 D DEBM?(8^79Ac8G?: ?&1^AOHJ = AcBMJ4=4=NAKJ :[email protected]?B " 79: 6 J
R [email protected] 7= 7 " ?:HACBM?Q$79BX8C79A&J 1n?B2AOHJ " ?IDERAe79AC8G?: ?&12AOHJ2= ACB4J4=4=2A&J :[email protected]?B28: AOHJ 0/? J Q4(65\1 " [email protected]?:\J$A`OHJ : Ae77 J4=$A`[email protected]:;
BM?f[:H8C79:b0?Ac8G?:F=k1n?B$AOHJ 79+
: UAOHJ hg
2 [email protected]#&%,f)[1n?BAOHJ R [email protected]?&1 " ?:HAcBM?Q 79BX8C79A&J4=8: i 5 o :9 = 8 RQP79Ac8G?:F=K/ (
/ -
--
10 (<;.= &>[email protected]&EFB7G 1
l A&?*;J AOHJ BN[8A`O 7LDEBMJ4=4= RYBMJ
9 R 79AC8Gx)
=!6[κ(t)x
l [email protected]?QS9J AOHJ,?BX8P;98:E79Q [email protected] B g A&?H J4=J*VWu(t,
?:F=^
8AOH?RYAAOHJ A&J BX
/@lA`OHJ :
p(t, x)
div
(τ
)
p
[email protected]=0:\?A8JKDHJ :+ ?:<=KDF7 " J/(I OHJ BMJ`1n?BMJ4l !43(% / BMJ.9R " J4=UAK? !43( '/²[8AO
∇u(t, x) = κ(t)
79:+ AOHJ_A&J :[email protected]?B
[email protected]= :\?AJKDHJ :+ ?: =KDF7 " J/( $=
lAOHJ
G(t)
0?0J =
:HACRYκ(t)
J*VWRF79Ac8G?:U?:
BMJ.9R τ" J4p= AK?IA`OHJ ?BX8P;98:E79Q [email protected] B g AK?H J4= J*VWR div
79AC8G?(τ
:F=/p(D) =
OHJ B40J`1n?BMJ4l
[email protected]?QS9J4= AOHJ 8 " uBM? g ^7 " [email protected]= AKJ [email protected] 1n?BX RQP7N!&%,( +/ 8:,#K+f)e/-( :b?A`OHJ BI ?BK=4l
9
(u,
p,
X
)
8:_A`OHJoOH?t 0?*;J :\J4?R.= ?f [email protected] A`OHJ BMJ 8>=?:HQ%$L7]?:\J g 7-$ ?R DEQS8:;ML AOHJ 9J Q>? 8A!$NJ Q4L8>=
-
"
:\?A8:O RHJ : " J. 6 $^A`OHJ 8 " [email protected]= " ?4DE8 " 79B 8C7 6 Q>J4=/(
"
-
1
"
P QP
;
` M † ½
"!#¡¢ m¢%$'&()*(+&-,%/.0(1 0&#!#0(32547698;:

1
< >=> ? +> g,
7 7 DEA&J.DEBM? " 4J =4=
>8 =7$;9Q>? 6 [email protected]?QSRYAC8G?:0AK?^!43(- /$8 1Ml
l
(Ft )
(X t )t≥0
∀t ≥ 0

79:+l g ,
7 (P=/(
2
P
,
sup
E
||X
||
<
b,

s


0≤s≤t


 Z t
||X s ||
¨ œ ·[email protected] ©
ds < ∞,
2 ) /b
1
−
E
(||X
||
s

Z t
 0

Xs
1
1


 Xt = X0 +
ds + √
G(s)X s −
W t.
2
2We 1 − E (||X s || ) /b
We
0
5: :
::
:
¿µˆ¬“ ”VŒ ‹‰ :«jˆ Ž” ˆ¬›g :ª  ’ ™G ˆ“L˜ ‘Ž 1
B +B ? +> I=4= RY0J0!43(am9/079:+
AOHJ : !43(- /07,9 8A`=,7UR:H8CVWRTJ [email protected]?QSR g
2
AC8G?:28:2A`OHJ [email protected] :[email protected] ?&12,J:H8AC8G?:2'( E(||X 0 || ) < b
/
100DC ?8:; AOBM?R(;O2A`[email protected]?&1^?&1,AO8>= [email protected]= 8Ac8G?:Flo?:\J " 9
7 : :\?AC8 " J AOF79A RY:H8 g
WV RHJ :\[email protected]?QSRYAC8G?:F=0= R " O AOF79A
9
7
a
Q
@
=
?
H
O
?
4
Q
=
º

H
O
J
:
MB JKDEQP7 " 8:;"AOHJBM= A
2
E(||X
BMJ*VWR8B4J 0J :HA ?:
8: !43(%, / 6 $^
A`OHJ  0 ||
J*77) J <
B BMbJ*VWR8B4J 0J :HA L
(X t )
sup E ||X s ||2 < ∞.
0≤s≤t
»q ‹‰ :«jˆ e ‹ j“ –Ž j’ ¶Š ªxˆ ‹‰  ˆˆ‡  ’ Ž ªh>“ Ž ˆ
j’ ŽL” ˆ½ˆ—8˜ ŒbŽL j’«`ˆ LGF ˆ‡X¦ ¥
œ» ˆ’
E(X t ⊗ X t ) ”
`›p“L ˜ Ž j’‰“ Ž §¨ œ ©3œ
À{ˆ Ž ˜‰“  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ Ž” ˆs›g :ª  ’ ™  ‡  ’ Œ`D¥ ‡ ‘• ˆ
‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡‰ˆ1’ Ž
ƒ
N × N ŒbŽD A(t)
:
::
:
‹ “ œ?E Z  “ Ž ªhˆ ‹  :«jˆ Œ ’¬ˆ  “ Ž ˆ1’  ˆ  ˆ“L˜ ‘Ž
ªxˆ ‹‰ :«jˆNˆ  “ Ž ˆ1’  ˆ Œ ’‰‡ ‰
˜ ’  8— ˜‰ˆ’ˆ“L“
5:
 ˆ ’ Ž ZŒ
ˆ1—8˜ ŒbŽ j’ Š ‰
‡ ˆ F ’ˆ‡£›g IŒMŽ ƒ†ˆ
5

1
A(t)
1 ¸¯‡
 dA(t)
¨ œ ·IH ©
,
= G(t)A(t) + A(t)G(t)T −
+
dt
We 1 − tr(A(t))/b We

A(0) = E(X 0 ⊗ X 0 ).
6 Jb= R " O AOF79A
< >=> ? +>KJ p J A
(
" ?:HAc8:HRH?R = (RN ×N ) g 79QSRTJ.
2
X
E(||X
||
)
<
b
0
0
1XR: " Ac8G?:
8>= 7^[email protected]?QSRAc8G?: AK?_!43 (M
% L4/U?:
8 1Ml
l
(A(t))
[0, T )
∀0 ≤ t < T

sup tr(A(s)) < b,

 0≤s≤t
Z t
A(s)
t
1

9 .
 A(t) = E(X 0 ⊗ X 0 ) +
ds +
G(s)A(s) + A(s)G(s)T −
We 1 − tr(A(s))/b ¨ œ We
0
©
1
1
·
B +B ? +>NJ I=4= RY0J !43(am9/ 79:+
( OHJ BMJ Jf(8>= A`= 7 ;9Q>? 6 79Q g 8: g Ac80J
2
E(||X
||
)
<
b
0
[email protected]?QSRAc8G?:
A&? !43(%ML4/_= R " O AOF79Al
l
8>=b7 =J$ 0J ACB 8 " :\?: g :\JG; 79AC89J
^79ACBX8 (PO (A(t))
?BMJ4?9t≥0
J B4l 79:
$ ?AOHJ [email protected]?QSRAc8G?:]?:0∀t
7 AC8≥
0J08:HA(t)
AKJ BX79Q
?:
" ?8: " 8!J4=x[8AO
( 9 : 7,,98Ac8G?:Fl
8>= A`OHJ R:[email protected]?QSRYAC8G?: ?&1 AOHJ[1n?[0,
QQ>?fT[)8:;0?BK98:E79BJ$F98 Q$A(t)
J BMJ :HAC8C79Q
[0,
A(t)
J*VWRFT79)Ac8G?: L
A(0) = A(0) ;
P 0
A(t)
1
dA(t)
1
9 .
= G(t)A(t) + A(t)G(t)T −
+
dt
We 1 − tr(A(t))/b We ¨ œ ©
·O
; ; 0
5 5:
B {
À ˆŽ ‰
˜ “  j’“  ‡ˆ ¬Ž” †
ˆ  ‡  ’ Œ`¥ ‡ ‘• ˆ  ˆ ’ Ž ZŒ
LŽ ” ˆ“  “m¨œ8© ŠV‘ŽI “  ˆ Œ`Ž”‰bŒ ŽIŽ” ˆ `Œ ‹‹ Z‘< ŒbŽL j’
:
:
(t, A) 7→ G(t)A + AG(t)T −
: Œ5: :–¥
5
ˆ—8˜ ŒbŽL j’ ¨ œ ·AH ©3œ$“  ’ §
™ ”8¥?‹
A
1
1 ¸¯‡
+
We 1 − tr(A)/b We
œ» ” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š
À ‘ ‹ “ l”‰–Ž ¬
ª œ  œ Ž œ j’
N ×N
N ×N
A
R
\
{M
∈
R
,
tr(M
)
=
b}
+× R
¦ ¥ LŽ ” ˆ Œ ˜ l”¥ Ž” ˆ1  1ˆ ƒ ŠtŽ” ˆ  ˆˆ  “ Ž “ Œ ˜‰’  —8˜‰ˆ²“L ˜ Ž j’ Ž ¨œ ·AH ©  ’ ŽL” ˆ“Lˆ1’‰“Lˆ`›
ˆ F ’ –Ž `’¡j’ Œ ƒ Œ  ƒM˜‰ƒ Ž ƒ†ˆ  ’ Ž ˆ  « Œ
“L˜
[0, T ∗ ) l”"Ž”VŒfŽ
“
:
:
¨ œ · ©
 › T ∗ < ∞ ŠŽ” ˆ’ lim ∗ tr(A(t)) = b.
t→T
¥XŽ” ˆš˜‰’  —8˜‰ˆ’ˆ“L“  ˆ“L˜ ‘Ž `› ŽL” ˆ Œ ˜ l”¥®ŽL” ˆ  ˆƒ Šp–ŽM “  ˆ Œ`GŽL”VŒbŽMŽL”‰ “m“L ˜ Ž j’
“ s“ ¥ ƒ¡ƒ†ˆ ŽL‘ ¨
©>“ ’ ˆ ›
“s“L ˜ j’²b›$¨œ ·AH © Š
“s“L ˜ Ž j’²b› Ž” ˆ
AT ˆ¬“  ƒ† ˆ  ’ A(t) `’ ‰‡ j’Ž œ
A(t)T 
“ Œ ƒ†ˆ¬ˆ1—?˜ ŒbŽ j’ A
ªŠ =
–Ž”šŽ”
Œ
 ‘ŽL Œ 
‘ŽL
¿µˆ¬“ ”VŒ ’‰:ª ‹‰ «`ˆ ŽL”VŒbŽIŽL” ˆ¬“L ˜ Ž j’
Ž §¨ œ ·IH ©  “I’‰ˆ  ˆ1“L“ ŒbL –¥ ’‰j’"’‰ˆ ™ŒbŽ «jˆbœ
“L˜ l” A(t)
À{ˆ Ž ˜‰“  ’ Ž ?‡‰˜  ˆ Ž” ˆ ‹‰  ˆ1“L“
ŽL”VŒbŽ Y = X Œ ’‰‡ Y  “\“L ˜ Ž j’ Ž Ž” ˆ
Yt
0
0
t
›g :ª  ’ "
™ ! :
5: :
:$:
:
dY t =
:
:
5:
:
:
1
Yt
G(t)Y t −
2We 1 − tr(A(t))/b
:
dt + √
:
:
:
¨ œ$#&%©
1
dW t .
We
5:
¸ Žo “  ˆ Œ`tŽ”VŒbŽxŽ” ˆ  ˆ!ˆ  “ Ž “ Œ “D ˜ Ž `’ Ž "¨ œ$#&%©tj’ LŽ ” ˆ Ž  ƒ†ˆ  ’ Ž ˆ  « Œ
∗ Œ ’‰‡ ŽL”VŒbŽ
[0,
T
)
¦ j˜‰’‰‡ˆ‡"j’
S
j’

<
Œ
‘
¥
‹
‹
Z
Z


b
Œ

Ž

2  “
∗ “  ’  ˆ Ž” ˆ Œ`‰
t 7→ E(||Y t || )
[0, T )
: ::
1
Y
2We 1 − tr(A(t))/b
(t, Y ) 7→ G(t)Y −
:
:
: 5: :
 “!À Z‹ “ l”‰‘Ž'½Œ ’‰‡ª ‘ŽL” Z ’‰ˆ Œb\™j ª ŽL” ª¬œ  œ Ž œ Y Œ –¥£ ’ ŽL ƒ¡ˆGj’
 j’‰“  ‡‰ˆ  A(t) = E(Y ⊗ Y ) œ !’ˆ <Œ ’µˆ Œ “  ‘¥ l” ˆ  °®¦ ¥ ¸ Ž(*) “ Œ
“D ˜ ŽL j’ `›I¨ œ ·H ©t`’ t ∗ œ t “ Ž” ˆ DZ™j”Ž ”VŒ ’‰‡ “  ‡ˆ!`›x¨œ ·H ©  “ Œ
[0, T ) ’
 ˆ 1 ˆ1’ Ž “G¦Sj˜‰’‰‡ˆ‡
Œ –¥" Ž ƒ¡ˆ½j’ [0, T ∗ ) Š ˜‰’  —8˜‰ˆ’ˆ“L“m`›“D
‰
‡
“
‰
’
‡
˜
“
Œ
ŽL”
[0, T ∗ ) ”
:
: 5: :
:
Œ ’‡ LŽ ” ˆ  ˆ1›g  ˆ A(t)  “ Œ
¿µˆm“ ”VŒ ’‰:ª ‹ :«jˆ
 j’ ŽŒ ‡ Z3Ž `’_œ¿¾ˆ ’ Ž‘
5
:
œ_À{ˆ Ž ˜“!’‰:ª
˜
‰
˜
“
Z
Ž”VŒfŽ A(t)  “
¡’‰ˆsª¬œ  œ Ž œ Š ª –Ž”
˜ Ž `’ Ž µ¨Aœ ·H ©sj’
5: :
:
[0, T ∗ )
A(t) = E(Y t ⊗ Y t )
“¥ †
ƒ ƒ¡ˆ ŽLL‘!Œ ’‰‡"’‰j’"’‰ˆ ™jŒbŽ «jˆ!ƒ ŒbŽD j’
œ
[0, T ∗ ) ’‰‡²j¦
œ
{
À
ˆ
˜
\
“
L
“
˜
`“
L
ˆ
ŽL”VŒbŽ T ∗ = +∞
Ž
‹‰‹
Ž”‰ŒbŽ T ∗ < ∞ Œ
lŽ Œb ’ Œ
ˆ Ž”‰ŒbŽ » 
“I“L ˜ Ž j’š`› Ž” ˆ!›g :ª  ’ ™ (t) = tr(A(t)) 
»
» 
d  (t)
1
(t)
N
¨ œ$# · ©
T
» 
= tr (G(t) + G(t) )A(t) −
+
.
dt
We 1 − (t)/b We
s’‰ˆ < Œ ’ l” ˆ  ° ŽL”VŒbŽ!Ž” ˆ  ˆ½ˆ  “ Ž “
“D˜
›g
’ “ ƒ†ƒ¡ˆ ŽLL‘ ’‰j’ ’‰ˆ ™ŒbŽ «jˆ
C > 0 l”XŽL”VŒbŽŠ ¬Œ ¥ ¥
ƒ ŒbŽD
AŠ
::
:
tr (G(t) + G(t)T )A ≤ C||G(t)||tr(A).
:$:
» ”‰ “ <Œ ’³¦Sˆ ‹‰ :«`ˆ‡ ˜‰“  ’ ™Ž” ˆº› Œ`3ŽMŽ”‰ŒbŽ<Š ›g ½Œ “ ¥ ƒ†ƒ¡ˆ ŽLL‘ ’‰j’³’‰ˆ ™ŒbŽL «jˆšƒ ŒbŽLL
p
œV» ˆ ˆ1›g  ˆ Š ªxˆ ”VŒ «jˆM
tr(A2 ) ≤ tr(A) ” 
»
» 
» 
1
d  (t)
(t)
N
≤ C||G(t)|| (t) −
+
.
» 
dt
We 1 − (t)/b We
AŠ
¨ œ$#+#j©
P -,
;
` M #† ½
¥ ¨ œ · © Š ªxˆ ”VŒ «jˆ
»
’‰‡
»
“L Ž”VŒfŽ<Š
∀t ∈ [0, T ∗ ),  (t) ∈ [0, b) Œ
limt→T ∗  (t) = b
» 
N
(t)
» 
+
= −∞,
t→T
We 1 − (t)/b We
»
Œ ’‡ Ž” ˆ  ˆ1›g  ˆ ŽL” ˆ  ˆMˆ  “ Ž “ > 0 “D˜ l”Ž”VŒfŽ ∀t ∈ (T ∗ − , T ∗ ), d  (t) < 0 œS» ‰
”  “  “ Ž” ˆ
dt
‡‰ˆ1“ ‘ ˆ‡  j’ ŽLŒ ‡ ‘1ŽL j’ Œ ’‡"“ ” :ªo“ ŽL”VŒbŽ ∗
œ
=`›∞
s’‰ˆ <Œ ’ F ’ Œ ‘¥ ˆ Œ “  –¥ “ ” :ª ˜‰’  —?˜ˆ’‰Tˆ1“L“t
“D ˜ Ž `’ Ž †¨œ ·AH ©p`’ Œ ’ ¥M ’ Ž ˆ  « Œ
[0, T )
¦ ¥šŽ” ˆ ˜’  —8˜‰ˆ1’‰ˆ“D“  ˆ“L˜ ‘Ž `› Ž” ˆ Œ ˜ l”¥šŽL” ˆ  ˆƒ"œ
»
1
lim∗ C||G(t)||  (t) −
::
:
:
:
5:
:
5
» ” ˆ ‰
‹  b›I`› e ‹ j“ ‘ŽL j’ ¶§ “m’‰:ª “ ŽLŒ`‘™j”Ž ›g  ª Œ` ‡_œ !’ˆ  `’‰“  ‡‰ˆ  “ Ž” ˆ†“L ˜ Ž j’
Ž ¨ œ ·IH ©§ªxˆ ”VŒ «jˆ ¦‰˜  ‘Ž  ’ e ‹ `“ ‘ŽL j’ œ!¸ Ž¾ “ Ž” ˆ1’ ˆ Œ “ ¥ Ž F ’‡ Œ “L ˜
A(t)
j’
¨?œ$#+%j© ‡‰ˆ F ’‰ˆ‡³j’
œ ¥ ˜‰’  —8˜‰ˆ’ˆ“L“N`›>“D ˜ ŽL j’“ Ž ¼¨œ ·H © Š ªhˆšj¦ ŽlŒb ’
ŽL
Yt Ž
œ~» ”‰ “G“ ” ªRo+“ Ž”VŒfŽ
 “¬“L ˜ ŽL j’X`› ¨ œ ©  ’ ŽL” ˆ “Dˆ’‰“Dˆº`› ˆ F
A(t)
=
E(Y
⊗
Y
)
Y
t
t
t
’ –Ž j’ ¶ œ $’  —8˜‰ˆ’‰ˆ1“L“ Œ ’ Ž” ˆ1’¼¦ˆ ‡‰ˆ‡‰˜  ˆ‡¼›  jƒ ŽL” ˆ › Œ`3ŽGŽL”VŒbŽM ›
“G“D ˜ ŽL j’ Ž
Xt 
¨ œ ©  ’ Ž” ˆ†“Lˆ’“Lˆš`› ˆ F ’ –Ž `’ ¶Š~Ž” ˆ1’ Š ¦ ¥ ¸ Ž(*) “ Œ Z ˜ ˜‰“ Š
 “ “L ˜ Ž j’
E(X
X
t ⊗
t )j’
¡¨
œ
)
©
b
œ
»
ˆ
3
ˆ
g
›
ˆ
ª
ˆ
ˆ
“
I
ˆ
‰
˜
’
8
—
‰
˜
ˆ
L
“
˜
Ž
·AH
” 
 Š
” 
 ŽL”

ŽL Ž N¨ œ ·AH ©3œ
)=
œ A(t)
›g :ªo“T›  jƒ ˜‰’  —8˜‰ˆ1’‰ˆ“D“`›“D ˜ Ž `’‰“
>’  —8˜‰ˆ1’‰ˆ“D“h`› Ž” ˆI“L E(X
˜ Ž j’ t ⊗XŽ t¡¨
© ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆoA(t)
Xt
Ž Á¨ $œ #&%©3œ
:

$:
5: :
::
8
:
:
! $~¤ 4 ("(1&()*(+&-,%/.0(
:
:$:
:$:
::
:
5:
:
5
: :
:
$ "(
254/"!¤ &#(
$
¿µˆ ‹‰ :«`ˆ²ˆ  “ Ž ˆ1’  ˆ²`›!“L ˜ ŽL j’‰“ Ž ¨?œ · #`© Œ ’‡„“ Ž ˜‰‡ ¥
“D ˜ ŽL j’“ Š ª ”Zl” ª  ¦Sˆš˜‰“Lˆ3›g˜ ›g MŽL” ˆ ‹‰ ?`›o`›$» ” ˆ1  ˆ1ƒ
›g Ž”_Š
‡‰ˆ’‰ Ž ˆ Œº ˆ 1ŽL j’Áb›  ’‰‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡‰ˆ’ Ž  :ªo’
i
’Œ  ’‰‡‰(W
ˆ ‹ ˆ’t )‡‰i≥1
ˆ’ Ž  ˆ 1Ž j’Á`›  ’ ‘ŽZŒ ~Œ ’‡‰jƒ±« Œ`D Œ ¦ ˆ“1œ_‚>
  ’ 1 ‡‰ˆ1“Iª ‘Ž”šŽL” ˆ E ‚ ƒ¡‡ˆ EŠ “ Ž ˜‰‡  ˆ1‡  ’ Š H œ
:
:
:
:
5
“Ljƒ¡ˆ ‹‰ ‹ ˆ Ž ˆ“ b› Ž” ˆ1“Lˆ
Á ’ ! ˆ 1ŽL j’ œ‰œ >ˆ’  ˆ
 Œ ’ƒ¡ ŽL j’‰“ ŠŒ ’‰‡ (X i )
Ž‘ ˆ ŽL”VŒbŽ!Ž” ˆ <Œ “Dˆ M 0=i≥11
!#"$&%('%()*%(#+%-,./1032
¿µˆ  `’‰“  ‡‰ˆ ¬Ž” ˆN“ ¥ “ Ž ˆ1ƒ
“D ˜ LŽ  j’œ
:
54
`› !
“š¨ œ · #j© Œ ’‰‡ ‹‰ :«`ˆ ˆ  “ Ž ˆ1’  ˆ Œ ’‰‡¾˜‰’  —8˜‰ˆ1’‰ˆ“D“G`›
< >=> ? +>
Z J,=4OF79QQ =Wg 7, 7 DEAKJ. DEBM? " J4=4=
7 $bAOF79A A`OHJ
!6[8A`O 79QSRTJ
(Ft ) l
(X i,M
t )1≤i≤M
^
/
>
8
I
=
@
=
?
S
Q
Y
R
C
A
G
8
?
2
:
&
A
_
?
4
!
3
(
9
%
W
d
/
8
M
1
l
l
RN ×M
P − a.s. ∀t ≥ 0
8:
 Z










PM
i,M
79:+l
i=1 ||X s ||
∀1 ≤ i ≤ M ,
ds < ∞
P
M
i,M 2
1
0 1− M
i=1 ||X t || /b
!
Z t
i,M
X
1
1
i,M
s
X t = X i0 +
G(s)X i,M
ds + √
−
W it .
PM
s
i,M
1
2
2We 1 − M i=1 ||X s || /b
We
0
t
64 1
B +B ? +>
Jf(8>= A= 7
P J
I=4= RY0J_!43(am9/@l
79:+ A`OF79AlI7,(P=/(Pl 1 PM
(I OHJ B4J
i 2
Mb ≥ 2
i=1 ||X 0 || < b
M
R:[email protected]?QSRAc8G?:
A&? !43(%9dW/ 8: A`[email protected] :[email protected] ?&1 2,J:H8AC8G?: ,( :
9
(X i,M
t )1≤i≤M
; ; ,
# †# - 7,,98AC8G?:FlAO8>= [email protected]?QSRYAC8G?:28>=$= R " O A`OF79A
M
1 X
2
||X i,M
P ∃t ≥ 0,
t || = b
M i=1
O ?BMJ4?9J B4lT1n?B79:$
r>1
79:+
b > 2(r + 1)
= 0.
l8 1
supM ≥1 E
AOHJ :
!
t 7→ supM ≥1 E
1
1− M
1
1− M
1
M
i=1 || 1
M
i=1
|| i 2
0 || /b
i,M 2
|| /b
t
p
<∞
[email protected]?0J
p>r
¨œ # ¶ ©
l
r 8>=Q>? 79QQ%$ 6 ?R:+J.,(
"
¨ œ$# 8©
, 9 1I0?BMJ4?9J B$A`OHJ 8:H8Ac8C79Q " ? :+98Ac8G?:F=
79B4J$8!(>8!( ,(Pl[AOHJ : AOHJ DF79BXAc8 " Q>J4=
(X i0 )i≥1
79BMJ Jf " OF79:;J*7 6 Q>J 79:+l
l
(X i,M
∀t ≥ 0
t )1≤i≤M
10
E(||X 1,M
||2 ) = E
t
M
1 X
2
||X i,M
t ||
M i=1
:
!
¨ œ # @ ©
≤ b.
B ~
À ˆ Ž ˜‰“  ’ Ž  ‡‰˜  ˆ Ž ” ˆ ‹  ˆ“D“
“D ˜ Ž `’š`›
(X i,M,n
)1≤i≤M
t
X i,M,n
= X i0 +
t
Z
t
0

G(s)X i,M,n
−
s
1
2We max 1 −

X i,M,n
s

PM
i,M,n 2
1
1
|| /b, n
i=1 ||X t
M
1
ds+ √
W it ,
We
5
n
o
Œ ’‡ Ž ” ˆ½“ Ž ‹‰‹ ’ ™ ŽL ƒ¡ˆ τ = inf t, 1 PM ||X i,M,n||2 ≥ b(1 − 1/n) œ ¥§ j’ Ž  ’8˜ Œ
n
t
i=1
M
ŽL j’ `› LŽ ” ˆt“L ˜ Ž j’‰“ (X i,M,n)
 `’‰“  ‡‰ˆ  ˆ‡Mj’ [0, τ ) Š j’‰ˆtˆ Œ “  ‘¥ j¦ ŽŒ` ’‰“ Œ “L ˜ Ž  j’
1≤i≤M
n
t
œ
Ž §¨?œ · #`©xj’ [0, lim
(X i,M
)
τ
)
n→∞ n
tÀ{ˆ 1≤i≤M
Ž ˜‰“o’‰:ª  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ
:
:
RtM
:
¨ œ$# H ©
M
1 X
2
=
||X i,M
t || .
M i=1
¥ ¸ Ž(*) “ <Œ5:‘ ˜ : ‰˜ “ Š j’‰ˆej¦ ŽlŒ` ’‰“ Ž”‰ŒbŽ M  “{“D : ˜ LŽ  j’\`› Ž” ˆ›g :$: :ª  ’ ™ !
j’ [0, limn→∞ τn) Rt
RtM = R0M +
+√
Z
t
0
2
We M
M
2 X i,M
1
RsM
N
X s . G(s)X i,M
−
+
s
M
M i=1
We 1 − Rs /b We
Z tp
RsM dBs ,
!
ds
¨ œ$#+j©
0
ª –Ž”
ªo’  Œ ’£ƒ¡ Ž j’š‡‰ˆ F ’‰ˆ‡§¦ ¥
(Bt ) Œ 
Bt =
Z
t
0
1{ M ||
qPi=1
M
i=1
i,M 2
|| >0}
s
2
||X i,M
s ||
M
X
i=1
i
X i,M
s dW s
+
Z
t
0
1{ M
i=1
|| i,M 2
|| =0}
s
dW 1s .
P
4
;
` M :$:
#† ½
¿¾ˆµª  ˜‰“Lˆ ŽL” ˆµ› Œ`3Ž²ŽL”VŒbŽ
C
2 Š ª ‘ ŽL”
∀X,
|X.
(G(t)X)|
≤
C > 0 Œ
||G(t)||||X||
2
j’
‰
“
’
‰
’
£
‡
h
ª
ˆ
‡
ˆ
‰
’
ˆ
’
!
ˆ
g
›
:ª
’
œ

ŽŒ <Ž ŠSŒ
Ž  Ž”
 ™
= C||G(t)||
À{ˆ Ž ‰
˜ “o’‰:ª  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ M Œ “ Ž l”‰Œ “ ŽLZ¬g(t)
‹‰  ˆ1“L“>“L ˜ Ž j’š`› Ž” ˆ!›g :ª  ’ "
™ ! ρt
ρM
t
=
:$:
R0M
+
Z t
0
g(s)ρM
s
$:
:
N
ρM
1
s
+
ds −
We 1 − ρM
We
s /b
:
:$:
2
ds + √
We M
Y
i,M
t
= X i0 +
Z
:$:
t
g(s)Y i,M
s
1
−
2We 1 −
1
M
Z tp
ρM
s dBs .
¨ œ$# ©
¨œ # o
© ¦ ¥Á `’‰“  ‡‰ˆ D ’ ¡
™ Ž” ˆ
‚ Ž ‘ ˆ ŽL”VŒbŽ `’‰ˆ <Œ ’Á¦‰˜  ‡ Œ ‹  ˆ“D“ M h
>
ª ˆ Œ §
° “L ˜ Ž  j’ Ž
ρt
“D ˜ LŽ  j’
`› Ž” !
ˆ ›g :ª  ’ ™ “ ¥ “ Ž ˆƒ `› !
“ (Y i,M
t )1≤i≤M
:
Y i,M
s
PM
i,M 2
i=1 ||Y t || /b
!
0
ds + √
1
W it ,
We
¨ œ$# ©
Œ ’‡ ŽL” ˆ’  j’‰“  ‡‰ˆ L ’ ™ ρM = 1 PM ||Y i,M ||2 œ ¥ ˜‰“  ’ ™šŽ” ˆN› Œb1Ž¬Ž”VŒfŽ M b ≥ 2 Œ ’‡
ŽL”VŒbŽ g  “ Œ –¥ “L—8˜ Œ` ˆ t ’ Ž ˆ ™jLMŒ ¦ ˆ i=1
Œ ’‰‡§¦ ¥ t g› :ª  ’ ™ ˆ Œ`3Ž –¥ºŽ” ˆ Z ’‰ˆ“Ib› Ž” ˆ ‹ ?`›pb›
m
ˆ
ˆ
“
ˆ
’
G
ˆ
`›
D
“
˜
`’
º
g
›
ˆ
LŽ ”
 Ž 
Œ
Ž
IŽ” E ‚ ƒ¡?‡‰ˆ ¨g“Lˆˆ ! ˆ 1Ž j’ #  ’ H © ŠV–Žo “oˆ Œ “ ¥šŽ
“ ” :ª Ž”VŒfŽ ¨œ # © Œ ‡ƒ –Ž “ Œ “L ˜ Ž j’
‡‰ˆ F ’‰ˆ‡§j’
’‰‡§“D˜ l”§ŽL”VŒbŽ
(Y i,M
R+ ŠVŒ
t )1≤i≤M
: 5: :
0
:
:
:$:
:
:
:
:
/
M
P(∃t ≥ 0, ρM
t = b) = P(∃t ≥ 0, ρt = 0) = 0.
::
§  ˆ:«`ˆ Š ˜‰“  ’ ™ ¨?œ$# ¶ © Œ ’‰‡š›g :ª  ’ ™GŽL” ˆ ‹‰ ?`›  ’ ! ˆ 1ŽL j’ #M`› H HŠ ªhˆ ”‰Œ «`ˆ
: Œ5: :–¥ ¦Sj˜‰’‡‰ˆ‡ Š ˜’  ›g  ƒ :–¥¡ ’ M œ
 “ Ž ˆ’  ˆt`› Œ “ Ž j’ ™ “L : ˜ Ž j’ Ž G¨ œ # ©S›g :$: :ªo“ ŽL” ˆ’¬›  `ƒ Œ ƒ Œ ‡ Œ 56¿ ŒbŽlŒ ’ Œ ¦ˆ Ž” ˆ1  ˆ1ƒ
œ
“  ’  ˆ ‹‰ŒbŽ” ª  “Dˆm˜’  —8˜‰ˆ1’‰ˆ“D“ ” : ‡‰“›g  “D : ˜ Ž `’‰“ª ‘ŽL”"‹‰ŒbŽ” “  ’
C(R
,
(0,
b))
À{ˆ Ž ˜‰“ ‹‰ :«jˆ ŽL”‰ “ : Œ “ Ž‹  ’ Ž œÀ{ˆ Ž ˜‰“  `’‰“  ‡‰ˆ xŽ ªh½“L : ˜ ŽL j’‰“
’‰‡
"¨ œ$# ©
)Œ
(ρ̃ ) Ž
ª –Ž” “ Œ ƒ¡ˆ  ’ ‘ŽL Œ5:  `’‰‡ ‘ŽL j’ Œ ’‰‡¬“ Œ ƒ¡ˆ  ªo’  Œ ’!ƒ¡ Ž j’ Š1Œ ’‰‡!ª ‘ŽL(ρ
”!‹VŒbŽL” “  ’ C(R , (0, b)) œ
¥ x  : :ZŒ`D¥º¶ œ ‹VŒb™ ˆ ¶ H %  ’ ·:¶ EŠ ªhˆG°8’‰:ª Ž”‰ŒbŽ
œ» ” ˆ  ˆ3›g  ˆ Š ¦ ¥ » Œ 5
’ Œ ° Œ ) “I›g  ƒM˜ : Œ ¨g“Lˆ1ˆm» ” ˆ1  ˆ1ƒ · œ # ‹ œ#+%  ’ ·:¶ © L (ρ − ρ̃) = 0
t 7→ E
1
1−ρM
t /b
r “

+
t
t
+
0
(ρt − ρ̃t )
+
=
≤
Z
Z
t
1ρs ≥ρ̃s d(ρ − ρ̃)s
0
t
2
g(s)(ρs − ρ̃s ) ds + √
We M
+
0
Z
t
0
p
√
1ρs ≥ρ̃s ( ρs − ρ̃s ) dBs
ª ” ˆ  ˆ!ªhˆ ”VŒ «jˆ!˜‰“Dˆ‡ Ž” ˆ$› Œ`1ŽŽL”VŒbŽ
r
 “  ’  ˆ Œ “  ’ ™ `’ (0, b) œ¿¾ˆs°8’‰:ª ŽL”VŒbŽ
r 7→
1 − r/b
Œ ’‰‡
Œb ˆ!¦Sj˜‰’‰‡‰ˆ1‡²“D ŽL”VŒbŽ ρ
ρ̃
+
E(ρt − ρ̃t ) ≤
Z
t
0
g(s)E(ρs − ρ̃s )+ ds.
P
>“  ’ ™ ! j’ª Œ5: : À{ˆƒ¡ƒ Œ Œ ’‰‡ ŽL” >
ˆ › bŒ 1ŽŽ”VŒfŽ  “ : <Œ5:$:‘¥  ’ Ž ˆ ™jLŒ ¦ : ˆ Š ªxˆ Ž ” ˆ  ˆ3›g  ˆ>j¦ ŽŒ` ’
g
œ
¸
“
ˆ
ˆ
’
ŽL”VŒbŽ ρ ≤ ρ̃ Žq : Œ`~Ž”
ŽL”VŒbŽ ªxˆ Œ5: “L ”VŒ «jˆ ρ̃ ≤ ρ Œ ’‰‡ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ V
‹ ŒfŽ” ª  “Dˆx˜‰’  —8˜‰ˆ’‰ˆ1“L“
‰
‡
I
“
g
›
¨
$
œ
#
3
©
œ
” :

; ; ,
# †# - $“  ’ ™ ˆ Œ`1Ž:‘¥NŽ” s
ˆ “ Œ ƒ¡ˆ ‹‰ ?`› Œ “ Œ ¦S«`ˆsj’
ª ‘ŽL” M Œ ’‰‡ M  ˆ ‹ :ZŒ
[0,
lim
τ
)
R
ρ
n→∞
n
1 ’ ™
Œ ’‰‡ ŠV‘ŽI “Iˆ Œ “ ¥šŽ N“ ” ª Ž”VŒbŽ
ρ
∀t ∈ [0, limn→∞ τn ),
ρ̃
¨ œ ¶ %©
RtM ≤ ρM
t .
! ’  ˆ Œ œ|“œ ρM ∈ C(R , (0, b)) Š ªhˆm‡‰ˆ1‡‰˜  ˆ ›  jƒ
+
5
¨ œ ¶ %© Ž”VŒfŽ>Œ œ.“1œQ
lim τn = ∞.
n→∞
5:
» ”‰ “ Œ D“ ¡“ ” :ªo“M¨ œ #&8©3œ
»q  j’  ˜‰‡‰ˆ Ž” ˆ ‹‰ ?`› Š `’‰ˆ³’‰ˆˆ1‡‰“
"¨
Ž œ · #j© Š ¦‰˜ I
Ž ŽL”‰ “ <Œ ’£¦Sˆ!ˆ Œ “  –¥ ‡j’‰ˆ!˜‰“
:
0
Ž ¹“ ” :ª V
‹ ŒbŽ” ª  L“ ˆ³˜‰’
’ ™MŽL” ˆs“ Œ †
ƒ ˆ ‹ ?`› Œ “
:
% !
%(' %()*%3 + %-,. 032
:
::
:
 —?˜ˆ’‰ˆ1“L“X`› D“ ˜ Ž `’‰“
 ’£À{ˆ1ƒ†ƒ Œ · `› H œ
À{ˆ Ž ˜‰“o’‰:ª  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ ∞ “L ˜ ŽL j’š`› Ž” ˆ¬›g :ª  ’ ™ ρt
ρ∞
t
=
E(||X 10 ||2 )
+
Z t
0
g(s)ρ∞
s
1
N
ρ∞
s
ds −
+
We 1 − ρ∞
We
s /b
¨ œ ¶ · ©
ds.
: 5: :
¿¾ˆº“L˜ ‰
“  ’ ™²Ž” ¡
ˆ › Œ`1Ž Ž”‰ŒbŽ
“ Œ –¥ ¦Sj˜‰’‰‡ˆ‡
‹ ‹ `“Lˆ ŽL”VŒbŽ E(||X 1 ||2 ) < b œ >
t 7→ g(t) 
0
ρ
N
Œ ’‡ Ž” ˆ¡› Œ`1ŽmŽ”VŒbŽŠ ∀t ≥ 0 Š ˜‰’  ›g  ƒ ‘¥ ’ s ∈ [0, t] Š ρ 7→ g(s)ρ − 1
+
We 1 − ρ/b We
™ ?ˆ“ Ž −∞ ª ” ˆ1’ ρ Ž ˆ’‰‡“ Ž b− ŠŒ ’‰‡ Ž N > 0 ª ” ˆ’ ρ Ž ˆ’‰‡“ Ž 0+ Š_–Žs “!ˆ Œ “ ¥§Ž
We
’‰‡§ª ‘Ž” « Œ ˜‰ˆ1“  ’
œ
“ ” :ª ŽL”VŒbŽ ¨ œ ¶· © Œ ‡‰ƒ ‘Ž “ Œ ˜’  —8˜‰ˆm“L ˜ Ž j’§
‡ˆ F ’‰ˆ1‡ j’
R+ Œ
(0, b)
¿¾ˆ!ª  ˜‰“Lˆ Ž” ˆ¬›g :ª  ’ ™ ˆ1ƒ†ƒ Œ P
p J A R = = [email protected] [email protected][email protected]!43a( m9/@l
l
l
79:+UA`OF79A
b ≥ 2 E(||X 10 ||2 ) < b E(||X 10 ||4 ) < ∞
AOHJ8:H8Ac8C79Q " ?:+98AC8G?:F=
79BMJ 8!>( 8!( ,( ( Z J OF799J4l
l
Xi
∀t > 0
:
::
::
:
:
^:
0
E
 OHJ BMJ
C(t)
JKDHJ :+= ?:
: :
sup((RsM
s≤t
−
+ 2
ρ∞
s ) )
≤
C(t)
,
M
¨ œ ¶ #j©
l
79:+
(
b Var(||X 10 ||2 )
||G||
B ¥ ¸ Ž( ) “ <Œ Z ˜ ˜‰“ Š j’‰ˆ¬j¦ ŽŒ` ’“ (ρM
t
−
2
ρ∞
t )
M
1 X
=
||X i0 ||2 − E(||X 10 ||2 )
M i=1
Z t
4
+
ρM ds
We M 0 s
!2
+2
Z
0
t
∞
M
(ρM
− ρ ∞ )s
s − ρs ) d(ρ
!2
Z t
M
1 X
i 2
1 2
∞ 2
g(s)(ρM
||X 0 || − E(||X 0 || ) + 2
≤
s − ρs ) ds
M i=1
0
Z t
Z t
p
4
4
M
∞
√
+
ρM
ds
+
(ρ
−
ρ
)
ρM
s
s
s dBs .
We M 0 s
We M 0
P
:;
;
E
!
Ž”VŒfŽ (ρM
s
sup
0≤s≤t
` M −
2
ρ∞
s )
sup
0≤s≤t
5
5:
Œ «  “ ˜’‰‡ ¥š ’‰ˆ—8˜ Œ ‘‘Ž¯¥`Š ªhˆ ”VŒ «`ˆF
Z
s
0
p
∞
M
(ρM
r − ρr ) ρr dBr
s

Z t
∞ 2 M

≤ CE 
(ρM
r − ρr ) ρr dr
0
s
√ Z t
∞ 2
ds
E sup (ρM
≤ C b
r − ρr )
0≤r≤s
0
√
1
√ +
M
≤ C b
√
M
4
“D ŽL”VŒbŽ<Š
E
∞ 2
sup (ρM
s − ρs )
0≤s≤t
>“  ’ ™¡ŽL” ˆ!› Œ`1ŽIŽL”VŒbŽ  “
g
Z
t
E
0
∞ 2
sup (ρM
r − ρr )
0≤r≤s
ds
!
√ ! C b
M
∞ 2
≤
2g(s) + √
E sup (ρr − ρr ) ds
0≤r≤s
We
0
!
√
4C b
4b
1
t+ √
+ Var(||X 10 ||2 ) .
+
M We
We
Z
t
: <Œ5:$:‘¥¡ ’ Ž ˆ ™jLŒ ¦ : ˆ Š ªhˆ
E
¸ Ž> “ ŽL” ˆ’"ˆ Œ “ š
¥ Ž
½
Z t
Var(||X 10 ||2 )
4b
M
∞ 2
≤
+2
t
g(s)E sup (ρr − ρr ) ds +
M
We M
0≤r≤s
0
Z s
p
4
M
∞
M
(ρr − ρr ) ρr dBr .
E sup
+√
0≤s≤t 0
We M
: ‡ˆ  5 $“  ’ ™ x˜  ° ”
E
#† sup(ρM
s
s≤t
−
5: :
ŽL” ˆ’"j¦ ŽŒ` ’ Š ¦ ¥ ! j’ª Œ
2
ρ∞
s )
‹‰ :«jˆ ¨œ ¶ #j©x˜‰“  ’ ™ ¨ œ ¶ %©
≤
À{ˆ1ƒ†ƒ ŒŠ
¨ œ `¶ ¶ ©
C(t)
.
M
+
M
M +
M
∞ +
M
∞ +
(RsM − ρ∞
s ) ≤ (Rs − ρs ) + (ρs − ρs ) ≤ (ρs − ρs ) .
5:
:
À{ˆ Ž ˜‰“o’‰:ª ™ ˆ1’‰ˆ LŒ Z ˆ¡¨ œ$# @ © Œ ’‰‡  `’ ŽL _ŽL” ˆ¬ƒ†`ƒ†ˆ1’ Ž “I`›
X 1,M
t
0 q
l
∀t ≥ 0
p J A[R = 7=4= RY0J !43(am9/-( p J A
 OHJ BMJ
JKDHJ :+=,?:
P Cp (t)
p≥1
79:+ = [email protected] [email protected][email protected]`OF79A
sup sup E ||X 1,M
||2p ≤ Cp (t).
s
M ≥1 s≤t
||G||
79:+
b
(
E(||X 10 ||2p ) < b
( OHJ :
¨ œ ¶ 8©
; ; J
: :
b? τM
p
/ τp
B ¥ ¸ Ž( ) “ < Œ Z ˜ ‰
˜ “ Š ªxˆ ”VŒ «jˆM
||X 1,M
||2p
t
2p
||X 1,M
0 ||
=
+
Z
t
2p||X 1,M
||2p−2 X 1,M
.G(s)X 1,M
ds
s
s
s
0
Z t
1
p(2p + N − 2)||X 1,M
||2p−2 ds
+
s
We 0
Z t
Z t
1
||X 1,M
||2p
p
s
ds + √
−
2p||X 1,M
||2p−2 X 1,M
.dW s
s
s
M
We 0 1 − Rs /b
We 0
5:$:
¿¾ˆ Ž” ˆ1’ `¦ ŽlŒ` ’\›g  ƒ Œ ‘¥ ¨g˜‰“  ’ ™IŽ” ˆ› Œ`3Ž_Ž”‰ŒbŽ
1,M 2p ©D
2p−2
E(||X 1,M
||
)
≤
C
1
+
E(||X
||
)
s
s
E(||X 1,M
||2p )
t
≤
2p
E(||X 1,M
0 || )
Z
1
+
We
+
t
Z
t
0
2p||G(s)||E(||X 1,M
||2p ) ds
s
p(2p + N − 2)E(||X 1,M
||2p−2 ) ds
s
0
Z t
1,M 2p
≤ E(||X 0 || ) +
C(s)E(||X 1,M
||2p ) ds + Ct
s
0
:
ª ” ˆ  ˆ Ž” ˆ  j’“ lŽ Œ ’ Ž “m‡ˆ ‹ ˆ’‰‡¾j’
¦‰˜ ’
j’
œ s’‰ˆ < Œ ’ LŽ ” ˆ’  j’  ‰
˜ ‡ˆ†¦ ¥
||G|| Š j’p Ž ˜‰ƒ¡Ž ˆ ’
M jƒ
j’
ª
{
À
ˆ
¡
ƒ
ƒ
œ
s
‰
’
x
ˆ
‰
˜
D
“
ˆ
“
ˆ
ˆ
ˆ
?
`›

!
Œ
Œ
Œ <Œ ‘ ŒbŽ `Œ D™
Ž Ž 
q
‹ Ž Ž ” ‰
‹ 
DZ™  j˜‰“ ‘¥ œ
5: :

: 5:
) (4
(3£¤ (
:
τM
p
2 4%$
:
τp
» ”‰ “G“Lˆ 3Ž j’  “m‡‰ˆ1«` Ž ˆ1‡ Ž Ž” ˆ ‹‰ ?`›I`›>» ” ˆ1  ˆ1ƒ œ E  jƒ ’‰:ª j’ Š ªxˆº“D˜ ‰
‹ ‹ j“Lˆ
¨
œ
8
©
Z
‰
‡
“
’
‡
ŽL”VŒbŽ
”
Œ
ŽL”VŒbŽ
» ” ˆ  ’ –ŽZŒ V« ŒbL Œ ¦Zˆ
 “I“L˜ l”§Ž”‰ŒbŽ
X
0
p
œ.“1œ
’‰‡
›g “L`ƒ†ˆ
œ
PŒ
||X 0 ||2 < b Œ
E 1−|| 10 ||2 /b < ∞ 
p>2
§  ˆ:«jˆ Š ’ –ŽZŒ  j’‰‡ –Ž j’‰“
ˆ ’‰‡ˆ ‹ ˆ’‰‡‰ˆ1’ Ž ª –Ž”šŽ” ˆ¬“ Œ ƒ†ˆ!‡  “ LŽ L ¦‰˜ Ž j’ Œ “
œ
X i0 Œb 
¨ œ ¶[email protected] © 0
¿¾ˆ  j’‰“  ‡‰ˆ ½Ž” ˆ£“LZ˜ ŽL j’‰“
¨ œ · #j© Š M ‡‰ˆ F ’‰ˆ‡ ¦ ¥ ¨ œ # H ©m›g 
œp¿µˆ
i,M Ž
M ≥
1ˆ1“L˜ “
t ˜‰’‡‰ˆ
ª  Œ Z“LG˜‰“Lˆ ∞ ‡‰ˆ F ’‰ˆ‡"¦ ¥ X
¨ tœ ¶· ©)œ‰‚> Ž‘ ˆ ŽL”VR
ˆ
D
“
ˆ
L
“
L
“
˜
ƒ
j’
“
ˆ
ŒbŽ
ŽL”
Œ
‹ŽL
ŠŽL” 
Ž
“ ŽlŒbŽ ˆ‡  ’GÀ{ˆƒ¡ρƒ t Œ · Œ ’‰‡  ’mÀ{ˆƒ¡ƒ Œ #+%m¨g›g TŒ ’ ¥ © ” ‘‡_œ:¸¯’ ‹VŒbDŽ‘ ˜ Œ`Š ªhˆ ”‰Œ «`ˆ
p
∀p ≥ 1 Š
Š
∀t ≥ 0
¨ œ ¶H ©
sup sup E ||X 1,M ||2p ≤ C (t).
5
M ≥1 s≤t
s
‚> Ž‘ ˆ Ž”‰ŒbŽ ›g ºŽ” ˆˆ ‹ j’ˆ’ Ž
‡‰ˆ
p
p ’‰‡`ˆ’‰“Dˆ’ ’‰ˆ1—?˜ Œ

Œ –Ž¯¥jŠ ªhˆ
1
1−x/b
sup E
M ≥1
1
1−
1
M
PM
i=1
||X i0 ||2 /b
p
’ ˆ1‡  ’ ¨ œ ¶>@ © Š ¦ ¥„ j’«jˆ ‘Ž¯¥ `›
F ‰
x ∈ (0, b) 7→
Œ Z“D ”VŒ j« ˆM
!p
p !
M 1
1 X
≤ sup E
M i=1 1 − ||X i0 ||2 /b
M ≥1
p
¨ œ ¶ j©
1
≤ E
< ∞.
2
1 − ||X 0 || /b
P
;
` M #† ½
§  ˆ :«`ˆ Š ªhˆ D“ ˜ ‰
‹ ‹ j“Lˆ  ’ LŽ ” ˆ!›g‘ª  ’ m
™ ŽL”VŒbŽ b > 6.
¨ œ ¶ ©
» ” ˆ  ˆ3›g  ˆ Š ¦ ¥ ¨œ ¶ j© Œ ’‰‡¨œ ¶ © Š ‰
˜ “  ’ ™ ¨ œ$# 8©  ’ e ‹ `“ ‘ŽL j’ @Š ªhˆ\°8’‰:ª Ž”VŒfŽ
∃r > 2 Š
r “ ‘ ¦j˜’‰‡‰ˆ‡œ
¨ œ ¶ ©

Œ ¥
1
t 7→ supM ≥1 E
1
1− M
M
i=1
|| 10 J OHJDF79Bf790J AKJ B 8>= 8:DEBf7 "
OHJ &O $4DH?A`OHJ4= 8>=L4! 3( ' +/L8>= AOHJ B4bJ`1n?BMJ:\?Ah7
i,M 2
|| /b
t
[email protected][#&%9d ) [email protected];J Ac8 " $
J ?&1A`OHJ$?BKJ B$?&1% d % 3f/-(
?" :F= ACB*798:HAT1XBM? AOHJ H
D O&$ = 8 " 79QYDH?8:HA?&1 @G8 J33(
À{ˆ Ž ˜‰“  j’‰“  ‡‰ˆ pŽ” ˆI“DZ˜ Ž `’
Ž ¡¨ œ · #j© Œ ’‰‡ τ M ‡‰ˆ F ’‰ˆ‡¡¦ ¥ ¨?œ ·:¶ ©3œ¿µˆ
(X i,M
t )1≤i≤M
p
ª Œ ’ ŽhŽ m“ ” :ª Ž”‰ŒbŽ<Š ’ ŽL” ˆ  ƒ ‘Ž
 j’«jˆ L™ ˆ1“ Ž ª Œ` ‡‰“ τ ‡‰ˆ F ’‰ˆ‡º¦ ¥ ¨ œ · %©
M → ∞Š τ M
p
p
ª –Ž”
“L‘˜ Ž j’ Ž §¨ œ ©3œ
X
t
¿µˆ  ’ Ž ‡‰˜  ˆ ŽL” ˆ LŒ ’‰‡‰jƒ « Œ`LZŒ ¦ ‘ˆ
ª ‘ŽL” « Œ Z˜‰ˆ1“  ’
‡‰ˆ ’ˆ‡£¦ ¥ µ
P(C(R , RN )) F
M
+
M
1 X
δ
M i=1 Ž” ˆ Œ ª `›
µM =
i,M
¨ œ %©
.
œ
¿¾ˆ¬‡‰ˆ’‰ Ž ˆ
ΠM ∈ P P(C(R+ , RN ))
µM
¿µˆ$ª  ‹‰ «`ˆ Ž” ˆ  j’«jˆ L™ ˆ1’  ˆ `› M Ž :ª Œ` ‡“
¨ ˆ j’œ‰œ ¶ ©h¦ ¥º‹‰ :«  ’ ™ FV “ Ž
τp
τ p ! 3Ž
ˆ
`’
8
`
«
ˆ
ˆ
’
ˆ
¨
’
`¦
¦
©
`›
:ª
‰
‡
“
ˆ
¼
ª
ŽL” 
D™   ‹‰ Œ  ‘Ž¯¥
Ž Œ` Ž” Œ `› X Š “DZ˜ Ž `’ Ž N¨œ ©  ’ Ž” ˆ
M»T
“Dˆ’‰“DˆM`› ˆ F ’ –Ž j’ ¶ ¨ ! ˆ 3Ž `’ œ‰œ #jµ©3œV
‹ ˆ  ›g  ƒ Ž” ˆ ‹‰ ?`› Š tªhˆG’ˆˆ‡ Ž l”VŒ`LŒ`1Ž ˆ L ˆ
ŽL” ˆ Œ ª´`› X Œ “ ŽL” ˆ¬“L‘˜ Ž j’š`› Œ ƒ Œ`Ž ’ ™Œ Zˆ ‹‰ `¦Zˆ1ƒ ¨ ! ˆ 1ŽL j’ œ‰œ · ©3œ
¸¯’ Ž” ˆM›gZt:ª  ’ ™‰Š ªhˆ½‡‰ˆ’‰ Ž ˆ
ˆ
’‰j’ ‘<Œ ‹‰  ˆ1“L“¬j’
’‰‡
(Y t )t≥0 œŽL” <Œ
C(R+ , RN ) Œ
Q
ˆ
‰
’
`’
«
¦
‘
s
ˆ
j’
ŽL” <Œ
ZŒ Œ`LZŒ
P(C(R , RN ))
¸¯’£  ‡‰ˆ I
 Ž
j¦
‹  ‘ˆƒ"œ
‰
< >=> ? +>
P(RN )
%3 ) +
() % #)
‹‰ :«`ˆ ŽL” ˆ  j’«`ˆ L™ ˆ ’  ˆG`› Π Š ªxˆ  ’ LŽ  ?‡‰˜  ˆ LŽ ” ˆ!›g‘:ª  ’ ™ ƒ Œ`Ž ’ ™Œ Zˆ
M
Q0
∀t > 0, sup
8>=AOHJ QP7`
0≤s≤t
Z
?&1
2
1
+
∆φ(Y s ) ds
g ^79BXAc82We
:; 79Q>J
Q
,
0
X 0,
||Y s || Q(dY )

∀φ ∈ C02 (RN ),

Z t




 Mtφ = φ(Y t ) − φ(Y 0 ) −
G(s)Y s −





 8>=7
/
Z JU=W7-$2A`OF79A
79Bc;98:E79Qa=
J:\J."8:
N l¬[8AO ^
Q
∈
P(C(R
,
R
))
(Q
)
+
t
t≥0
l8>[email protected]?QSRYAC8G?: ?&1 AOHJ^79BXAc8:; 79Q>JDEBM? 6 Q>J ! O
/^8 1 L
¨ œ · ©
¨ œ #j©
< b,
1
Ys
R
2We 1 − ||Y s ||2 Q(dY )/b
.∇φ(Y s )
¨ œ ¶ ©
 H
O J BMJ 2 N J :\[email protected] A ?&1LA+[8 " J " ?:HAC8:HRT?R = Q%$ 98 Q$J BMJ :HAC8C7 6 Q>J1XR: " Ac8G?:F= [email protected]:;
C (R )
" ?IDF7 " A0 = [email protected] DH?B A (
0 qTq
; ; J
4
b? τM
p
/ τp
/
10
Z XB 8Ac8:;"A`OHJ " ?:F= Ae79: " $ ?&1UAOHJ JfDHJ " AG79Ac8G?: ?&10AOHJ]^79BXAC8:; 9
7 Q>J
φ l ?:\J
? 6 AG798:F= AOF79Ak8 1
J BX8 J4= !43(amT'/@l A`OHJ :
9
8>=o7m J*[email protected]?QSRAC8G?:_?&1 AOHJ ?HH J M
B g thQP79: " t 7→ Qt
J*VWRF79Ac8G?: [email protected]? " Q
8C79AK.J NAK?_!43(- /FL
∂t ψ(t, ξ) = −div
1
ξ
R
G(t)ξ −
2
2We 1 − ||ξ|| ψ(t, ξ) dξ/b
¿¾ˆ ”VŒ «jˆ Ž” ˆ!›g Z:ª  ’ ™G‹‰ ‹ j“ ‘Ž j’ ψ(t, ξ) +
1
∆ ψ(t, ξ).
2We
/
B +
B ? +> OHJ^^79BXAc8:; 79Q>J DEBM? 6 Q>J ! O / 7,9 8 A=U72R:H8CVWRHJ^[email protected]?QSRAC8G?:Fl\ O8 " O 8>=
AOHJQP7` &? 1 AOHJ DEB4? " J4=4=
[email protected]?QSRAc8G?: A&?_!43(- /L8 :2AOHJ [email protected] :[email protected]= J,?&12 J:H8Ac8G?:2'(
X
t
B » ” ˆ£› Œ`1Ž½ŽL”VŒbŽNŽ” ˆ Œ ª `› Ž” ˆ"“LZ˜ ŽL j’
Ž ¨ œ ©M“L–«jˆ“ ŽL” ˆ§ƒ Œ`Ž ’ ™Œ Zˆ
X
t
©  “ Œ ’†ˆ Œ “ ¥† j’‰“Dˆ—8˜‰ˆ’  ˆ!`›{¸ Ž'(*) “h›g  ƒM˜ Œ œ`¿µˆ  ˆ3›gˆ tŽ  ‹ j“ –Ž `’ ¶ ›g 
‹‰ j¦‘ˆƒ ¨
ˆ  “ Ž ˆ’  ˆG`› Ž” ˆ ‹‰  ˆ“D“
œ
À{ˆ Ž ˜“’‰:ª  j’“  ‡ˆ  ˜X’  t—8˜‰ˆ1’‰ˆ“D“I`›~“L‘˜ Ž j’‰“ Ž º¨
©3œ?¿µˆ FV “ Ž ’‰ ŽLZ ˆ ŽL”VŒbŽ ›
“
Q
“DZ˜ ŽL j’ Ž £¨
© ŠŽL” ˆ’ ŠŒ`  ‡  ’ ™GŽ pŒ ˜ _À « ¥) “ l”VŒbŒ`3Ž ˆ D ŒbŽ j’ Š8Ž” ˆ ‹  ˆ“D“
(B t )
‡‰ˆ F ’‰ˆ1‡²¦ ¥ Bt =
√
We
Yt−Y0−
Z t
0
*
Ys
1
R
G(s)Y s −
2We 1 − ||Y s ||2 Q(dY )/b
ds
 “ Œ  ªo’  Œ ’®ƒ¡ ŽL j’X˜‰’‰‡‰ˆ  Q œp» ”‰ “ <Œ ’®¦ˆ ‹‰ :«jˆ1‡³¦ ¥¾l” ?j“  ’ ™ φ(Y ) = Y Œ ’‰‡
 ’ ¨œ ¶ © Œ ’‰‡ Œ ‘ Œ  <ŒbŽL j’ ŒbL™ ˜‰ƒ¡ˆ’ Ž ¨+“Dˆˆh›g  ˆ Œ ƒ ‹ Zˆ  ‹ j“ –Ž `’i œ H
φ(Y
)
=
Y
Y
i
j
‹ œ ¶·[email protected] ’ ©)œ‰» ” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š ((Y ) , (B ) , Q)  “ Œ ªhˆ Œ °º“DZ˜ Ž `’ Ž ²¨œ ©3œ
t t≥0
R
À{ˆ Ž ˜“\’‰:ª  `’‰“  ‡‰ˆ >Ž ªxº“DtZ˜ t≥0
© Œ ’‰‡²“Lˆ Ž 1
Ž `’‰“ Q1 Œ ’‡ Q2 Ž ¨
A (t) = Y t ⊗
R
’‰‡
œ¿¾ˆN°?’ª ›  jƒ ¨œ #j© ŽL”VŒbŽ!Ž” ˆ“Lˆ Ž ªh
Y t Q1 (dY ) Œ
A2 (t) = Y ⊗ Y Q2 (dY )
—8˜ Œ ’ ŽL‘Ž ˆ“ Œb ˆªhˆ ‡‰ˆ F ’‰ˆ‡_œ " t ˆ1«`ˆ 1t Š‘Ž “ˆ Œ “ ¥GŽ l” ˆ  ° Ž”VŒbŽ 1 Œ ’‰‡
2 Œ` ˆ“L‘˜ Ž j’
A
A
ˆ ¨ œ ·AH ©)œ ¥ e ‹ `“ ‘ŽL j’ Š ªxˆ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ `¦ ŽlŒ` ’ Š
Ž ŽL” ∀t ≥ 0 Š
A1 (t) = A2 (t).
E  `ƒ
Ž” “Iªxˆ¬‡‰ˆ1‡‰˜  ˆ LŽ ”VŒbŽ
“D Ž ”VŒfŽ<Š ¦
ƒ ˆ<©{À
 ’ Ž †
ƒ ˆ:©
 ’ Ž ¡
Z
‰
‡
I
“
›g 
”
5
Z
2
1
||Y t || Q (dY ) =
Z
||Y t ||2 Q2 (dY ),
¥ ¨ œ · ?œ #`© Š Q1 Œ ’‰‡ Q2 Œ` ˆt“L‘˜ Ž j’‰“~`› Œ ƒ Œ`DŽL ’ ™Œ Zˆ ‹‰ j¦‘ˆƒ´ª ‘ŽL” ¨ Z < Œ ¥
‘‹ “ l”‘Ž ˆ 1 ˆ1’ Ž “ Œ ’‰‡ Ž” ˆ  ˆ3›g  ˆ Œ` ˆªxˆ Œ °¬“L‘˜ Ž j’‰“~`› Œ ! ª ‘ŽL” ¨ Z <Œ ¥
À Z‹ “ l”‰‘Ž'š ?ˆ  ˆ’ Ž “1œ ¥ Œ ƒ Œ ‡ Œ 6¿ ŒbŽlŒ ’ Œ ¦ˆ Ž” ˆ  ˆƒ Š ˜‰’  —?˜ˆ’‰ˆ1“L“  ’ Œ ª
“D˜ l” !
“ ’‰‡ ŽL” ˜“>ªhˆ ”VŒ «jˆM
Œ
5
Q1 = Q 2 .
0 q?P
0
;
` M #† ½
" %(( (!#" &%(' " () *%(
[email protected]*VWRHJ : " J
?:H9J GB ;J4=[8:,A`OHJ DEBM? 6 7 6 8QS8A!$ [email protected] :[email protected] ?:
(µM )M ≥1 "
P P(C(R+ , RN ))
AK?f
 79BK= A`OHJ " ?:F= Ae79:HA
 H
O J BMJ
8>=$A`OHJ RH
: [email protected]?QSRAc8G?: ?&1I`A OHJ$^79B g
N
P
AC8:; 79Q>J DEBM? 6 Q>J ! O
/-P( ∈ P(C(R+ , R ))
/
¿µˆ ‰
‹  :«jˆ Ž”‰ “ Ž” ˆ1  ˆ1ƒ  ’ Ž” ˆˆ¬“ Ž ˆ ‹ “ P
E Z “ Ž ªxˆ ‹‰ «`ˆ Ž” ˆ ŽLZ™j”Ž ’ˆ“L“~`› ŽL” ˆe“Lˆ1—?˜ˆ’  ˆ
`’
(ΠM )M ≥1
P P(C(R+ , RN ))
“D ŽL”VŒbŽ ¨+˜ ‹ Ž Ž” ˆtˆ ŽLŒ`3Ž `’m`› Œ “D˜‰¦‰“Dˆ—8˜‰ˆ’  ˆ:©
¨  ’ ŽL” ˆeªxˆ Œ °
“Dˆ’‰“Dˆ:©m¨+“Lˆ1ˆ ! ˆ 3Ž `’ œ‰œ #œ ·¬Œ ’‰‡§À~ˆ1ƒ†ƒ Œ # · © Š limM →∞ ΠM = Π∞
0
» ” ˆ’"ªxˆ ‹‰ :«`ˆ ŽL”VŒbŽ
Œ œ|“œ Š Q «jˆ L F ˆ“ ŽL” ˆ ‹‰ ‹ ˆ Ž ˆ“m¨œ · © Œ ’‡
¨ œ #j©x`› Ž” ˆ¬ƒ Œ`DŽL ’ ™jŒ Zˆ ‹‰ j¦ ΠZˆ∞ƒ (dQ)
¨
©¬¨+“Dˆˆ ! ˆ 3Ž j’ œ œ$#œ # Œ ’‰‡§À{ˆƒ¡ƒ Œ # #`©3œ
,
E  ’ Œ ¥jŠ ªhˆ“ ” ª ŽL”VŒbŽ
Œ œ|“œ Š  “q“L‘˜ Ž j’mb› Ž” ˆhƒ Œ`Ž ’ ™Œ ‘ˆ ‹‰
¦ Zˆƒ ¨
©t¦ ¥ “ ” :ª  ’ ™mŽL”VŒbŽ Π∞ (dQ)Œ œ|“œ Š Q«`ˆ LGF ˆ“s¨œ ¶ ©o¨g“Lˆˆ ! ˆ 3Ž j’ œ‰œ #œ ¶
Π∞ (dQ)
Q
Œ ’‰‡²À{ˆ1ƒ†ƒ Œ # ¶ ©)œ
› Ž ˆ $Ž” ˆ1“Lˆ Ž” ˆˆ½“ Ž ˆ ‹ “ Š ªhˆ ”VŒ «jˆ ŽL”VŒbŽ
œ|“œ
“\“DZ˜ `’²`› ˆ½ƒ ŒbDŽ ’ ™Œ ‘ˆ
Π∞ (dQ)ˆ¬Œ ƒ Š Q’  Zˆ Ž`¦ Zˆ1ƒ ŽL¨ ”
j¦
‘
ˆ
ƒ
¨
3
©
œ
E
jƒ
“
‰
’
‡
¬
ˆ
›
© Œ ‡ƒ –Ž “ Œ
‹‰

Ž” Œ
Ž”
Œb1ŽIŽ”‰ŒbŽIŽ”
Œ`DŽL ™jŒ ‹‰
¨+“Dˆˆ e ‹ `“ ‘ŽL j’ H © Š ªhˆm‡‰ˆ1‡‰˜  ˆ Ž”‰ŒbŽ
’Œ ‡ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ ŽL”VŒbŽ
˜‰’  —8˜‰ˆ “L‘˜ Ž j’
P
Π =δ
ŽL” ˆ  `’8«`ˆ D™ ˆ’  ˆ lim
” Z‡‰“  ’ ‹‰ j¦ Œ ¦  ‘Ž¯¥ œS» ∞” “  j’P  Z˜‰‡‰ˆ1“ Ž” ˆ ‹‰ ?`›eb›
µ
=
P
M →∞ M
» ” ˆ1  ˆ1ƒ œ
5
5
5
5
5
» ” ˆ¬’‰ˆ Ž>Ž”‰ ˆˆ¬“Lˆ 1ŽL j’‰“ ™j «jˆ Ž” ˆ ‹‰ ?`›q`›pˆ Œ`l” “ Ž ˆ ‹ “œ
; J 0 !P
P
8>= AC8P;OA ( OHJ BMJ`1n?BMJ4l AOHJ 4B J
0 P OHJ [email protected]*VWRTJ : " J
?:
N
(Π
P
P(C(R
M )M ≥1
+ , R ))
Jf(8>= A= 7<= R 6 [email protected]*WV RTJ : " J ?&1
lLAOF79A† J = Ac8QQ J \
: ?AKJ
1n?B2A`OHJ2=W77 J &? 1
(ΠM )M ≥1
(ΠM )M ≥1
" QP79BX8A!$ lt O8 " O " ?:H9J Bc;J4= 8: `A OHJ  J*77,[email protected] :[email protected] A&?f79BK= Π ∈ P P(C(R , RN )) (
∞
+
B À{ˆ Ž ˜‰“ FV “ Ž ’ Ž‘ ˆ Ž”VŒfŽ<Š “  ’  ˆ ŽL” ˆ  ’ ‘ŽL Œ  `’‰‡ ‘ŽL j’“
ˆ œ œ|‡_œ
ˆ
’‰‡‰`ƒ
X i0 Œ`   ŠqŽL” LŒ
« `Œ D Œ ¦‘ˆ“
j’
I
ˆ
ˆ
’
ˆ
¦
‘
I
ˆ
L
“
:«
j
ˆ
ˆ
l”VŒ ™ Œ
ŽL”VŒbŽŽ ‹‰
ŽL” Ž‘™j”Ž ’‰ˆ1“L“
(X i,M
)1≤i≤M
C(R+ , RN ) Œ`
t
`› ŽL” ˆs“Lˆ1—8˜‰ˆ’  ˆ
j’
“L˜F  ˆ“ Ž ‹ :«jˆ ŽL” ˆ Ž‘™j”Ž ’‰ˆ1“L“`›
(ΠM )M ≥1
P P(C(R+ , RN )) Š‘Ž
˜‰“  ’ ™
ŽL” ˆ “Lˆ—8˜‰ˆ1’  ˆX`› Œ ªo“š`› (X 1,M )
’
N œ» ”‰ “ Œ ’¹¦ˆ ‹ :«jˆ1‡
))œÀ{ˆ ˜‰“$“Lˆ
+ , R ©)
Zƒ¡ ™  :« D‘Ž ˆ L j’®¨g“Lˆ1ˆ e tj¦‘ˆMƒ ≥1‰œ ·j·GP(C(R
œ
’
‹ H  Ž
Ž 0 < β < r/2 − 1 Š
0 q 0
; ; J
b? τM
p
/ τp
ª ” ˆ  ˆ  “I‡ˆ F ’‰ˆ1‡  ’µ¨ œ ¶ © ‰
Š Œ ’‰‡ 0 ≤ u < v ≤ t œ¿¾ˆ ”‰Œ «`ˆF
r
2(1+β)
E ||X 1,M
− X 1,M
v
u ||
2(1+β)
Z v
1,M
(1+2β)
||G(s)|| ||X s || ds
≤ 3
E
u
Z v
2(1+β)
3
3(1+2β)
||X 1,M
||
s
+
+
E
ds
E||W v − W u ||2(1+β) ,
M /b
(1+β)
(2We )2(1+β)
1
−
R
We
u
s
Z v
≤ C
||G(s)||2(1+β) E ||X 1,M
||2(1+β) ds(v − u)1+2β
s
u
!
2(1+β)
Z v ||X 1,M
||
s
ds (v − u)1+2β + (v − u)(1+β) ,
+
E
1 − RsM /b
u
2(1+β)
≤ C ||G||L∞ (0,t) C(1+β) (t)(v − u)2(1+β)
r 1/p
1/q
1
+ sup E
sup E||X 1,M
||2q(1+β)
(v − u)2(1+β) +(v − u)(1+β) ,
s
M
1 − Rs /b
s≤t
s≤t
(1+2β)
≤ C(t)(v − u)(1+β) ,
ª ” ˆˆ
‡ ˆ ‹ ˆ’‰‡  ’ ™ `’ Š Š
¦‰˜ ’‰ Ž j’
Š q = p Š C(t)  “ Œ  j’“ ŽlŒ ’ Ž ‰
r
p = 2(1+β)
b r G Ž
MŠ
1−p
’Œ ‡"ª ” ˆ  ˆ¬ªxˆ ”VŒ «`ˆm˜‰“Dˆ‡®¨œ ¶H © Œ ’‡µ¨ œ ¶ ©3œ
¿µˆm’‰:ª ª Œ ’ Ž$Ž  ‡‰ˆ1’ ŽL › ¥
“
ª ˆ ˆ
“
ˆG‰
˜ ’  —8˜‰ˆG“DZ˜ ŽL j’"`› ŽL” ˆ ƒ Œ`
Π∞ Œ δP Š ”  P  Ž”
’
Z
ˆ
j¦
‘
ˆ
ƒ
¨
3
©
œ
ŽL ™Œ ‹‰
; J 0 0
5
0
“ Ž ” ˆ  ’ ‘ŽL Œ « Œ`LZŒ ¦‘ˆ“ `Œ  ˆ  œ  œ|‡_œ Œb  ‡  ’ ™½Ž
Š `’‰ˆ¬ˆ Œ
À{ˆ Ž ˜ “\’‰:ª  j’“  ‡ˆ $ŽL” ˆGD“ ˆ  j’‰‡ ‹  ’ Ž ¨œ #j©I`›P$0 ¨
©Š ’
R
‰
˜
‰
’
‰
‡
ˆ
‰
œ
¾
¿
ˆ
:«
`
ˆ
!
ˆ
g
›
‘
:ª
’
‘
ˆ
¡
ƒ
ƒ
 Π
‹ 
‰
ŽL”
 ™
ŒŠ
||Y ||2 Q(dY )
t
0+0
B ∞
Π∞ (dQ)
EΠ ∞
=
=
≤
g 7,(P=/(Pl
Z
∀t ≥ 0
l R
lim EΠ∞
n→∞
n→∞ M →∞
lim E
RtM
+ !
(||Y t ||2 ∧ n)Q(dY ) − ρ∞
t
lim lim EΠM
M →∞
||Y t ||2 Q(dY ) ≤ ρ∞
t .
||Y t ||2 Q(dY ) − ρ∞
t
Z
−
“  ¥ j¦ ŽŒ` ’‰“ ¨ œ · ©3œ
Œ ƒ†ˆ ¥šŽL” ˆMˆ“ Ž ƒ ŒbŽL j’£`›
ª ”‰‘l”§ ƒ ‹  ˆ1“!¨?œ #`© Z
+ !
(||Y t ||2 ∧ n)Q(dY ) − ρ∞
t
+
ρ∞
t
≤ lim
M →∞
r
C(t)
= 0.
M
¨ œ +8©
+ !
¨ œ @ ©
¨ œ H ©
0 q,
;
` M #† ½
 j’«jˆ L™ ˆ1’  ˆ Ž” ˆ1  ˆ1ƒ ›g  ¨œ 8© Á
Š Ž” ˆ › Œ`1Ž ŽL”VŒbŽ
R
+  “  `’ ŽL ’8˜‰j˜“ Œ ’‰‡§¦Sj˜‰’‡‰ˆ‡£›g  ¨ ?œ @ © V
Š Œ ’‡"ˆ1“ ŽL
Q 7→ (||Y t ||2 ∧ n)Q(dY ) − ρ∞
t
ƒ ŒbŽ j’X¨?œ ¶ #`©h›g  ¨œ H ©)œ‰» ”‰ “I“ ” :ªo“ Ž”VŒbŽ
œ.“1œ
∀t ≥ 0 Š Π (dQ) Œ Š
¿¾ˆ
”‰Œ «`ˆ
˜‰“Dˆ‡
ŽL” ˆ
ƒ†`’‰ Ž `’‰ˆ
Z
5
∞
5
5
||Y t ||2 Q(dY ) ≤ ρ∞
t .
R
» ” ˆ Z :ªhˆ  “Lˆƒ   j’ LŽ  ’8˜ ‘Ž¯¥ `›
¨gª ” ‘l” ›g‘:ªo“_›  jƒ E ŒbŽ j˜mÀ~ˆ1ƒ†ƒ Œ ©
2
) ?‰
t ||‘ ˜‰Q(dY
’Œ ‡ ŽL” ˆ  j’ Ž ’8˜ ‘Ž¯¥ b› ∞ ˆ’ Œ t¦7→
Z ˆ Ž ||Y
j’
‰
‡
ˆ
ˆ
 
Ž” ‹ `›[œ
ρ
; J 0 ,
,
¿µˆ¬’‰:ª ª Œ ’ ŽoŽ ¡“ ” ª Ž” ˆ Œ “ Žo‹  ’ Ž ¨ œ ¶ ©h`›¨
0
B ,
Π∞ (Q)
g 7,(P=/(Pl
© Š ’ Œ ƒ†ˆ ¥¡Ž”VŒfŽ g ^79BXAc8:; 79Q>J/(
l
8>= 7
∀φ ∈ C02 (RN ) Mtφ
Q
À{ˆ Ž
’‰‡
œÀ{ˆ Ž ˜‰“  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ
p ∈ NŠ p ≥ 1 Œ
0 ≤ s1 ≤ ... ≤ sp ≤ s ≤ t
’
‰
‡
‰
‡
ˆ
’
‰
1
ˆ
²
‡
¦
¥
g ∈ Cb (Rp×N , R) Œ
Fn : P(C(R+ , RN )) → R F
!
Yr
1
R
G(r)Y r −
Fn (Q) =
φ(Y t ) − φ(Y s ) −
2We max 1 − (||Y r ||2 ∧ n)Q(dY )/b, n1
s
¨?œ ` ©
1
.∇φ(Y r ) +
∆φ(Y r ) dr g(Y s1 , ..., Y sp )Q(dY ).
2We
‚> Ž‘ ˆ Ž”VŒfŽ
“ j’ ’8˜‰j˜‰“ Œ ’‡ ¦Sj˜‰’‰‡ˆ‡_œ¿¾ˆ Œ Z “DX‡ˆ F ’‰ˆ
Fn : P(C(R+¦ , RN
)) → R   ŽL
F∞ : P(C(R+ , RN )) → R ¥
Z Z t
1
Yr
R
.∇φ(Y r )
F∞ (Q) =
φ(Y t ) − φ(Y s ) −
G(r)Y r −
2We 1 − ||Y r ||2 Q(dY )/b
s
¨ œ ©
1
∆φ(Y r ) dr g(Y s1 , ..., Y sp )Q(dY ).
+
2We
Z
Z
t
¿¾ˆ!ª Œ ’ Ž>Ž N“ ” ª Ž”VŒbŽ ¨œ ©
‚> Ž‘ ˆ Ž”VŒbŽ ª ” ˆ1’ ¨œ ©\ª  e¦ˆ ‹‰ «`ˆ‡ ŠTŽ” ˆ ‹‰ ?`›x`›oÀ{ˆƒ¡ƒ Œ # ¶ ª  e¦ˆ  jƒ ‹ ‘ˆ Ž ˆ Š
‰˜ “  ’ ™NŒM j˜’ ŽŒ ¦‘ˆs‡‰ˆ’“Lˆ
“  ’  ˆsªxˆ <Œ ’  ’ Ž ˆ  «jˆ DŽ
2
N Œ ’‡
“D˜‰¦‰“Lˆ Ž `› 2 N œ‰¿¾ˆ <∀φ
’Œ Œ∈‘“LC0 (R
’ Ž ˆ  )«`ˆ Ž Π∞(dQ) − a.s.
C0 (R ) ¦ ˜‰“ ’
∀p
∈’‰N,
p“D˜‰≥
1ˆ Š ∀0
≤ sœ 1 ≤ ... ≤ sp ≤ s ≤ t
’Œ ‡
j˜
‰
’
¦
Z
!
ˆ
‡
ˆ
D
“
m
ˆ
‰
¦
L
“
b›
¥
 ™¡ŒN
ŽŒ
Ž
(dQ)
R+
À{ˆ Ў ∞˜‰“o
’‰:ª − j’a.s.
‰“  ‡‰ˆ  ¨ œ ©3œ¿¾ˆ ”VŒ «jˆM
EΠ∞ |F∞ (Q)| = 0.
EΠ∞ |F∞ (Q)| ≤ EΠ∞ |F∞ (Q) − Fn (Q)| + EΠ∞ |Fn (Q)|,
≤ EΠ∞ |F∞ (Q) − Fn (Q)| + lim EΠM |Fn (Q)|,
≤ E
0 q J
Π∞
M →∞
|F∞ (Q) − Fn (Q)| + lim sup EΠM |Fn (Q) − F∞ (Q)| + lim sup EΠM |F∞ (Q)|.
M →∞
M →∞
; ; J
» ” ˆ Œ “ ŽIŽ ˆ  ƒ
E
ΠM
b? τM
p
/ τp
 “I’8˜Hœ¸¯’‰‡‰ˆ1ˆ‡ Š
Z t
M X
1
1
X i,M
i,M
r
i,M
i,M
|F∞ (Q)| =
φ(X t ) − φ(X s ) −
E
G(r)X r −
M
2We 1 − RrM /b
s
i=1
1
i,M
i,M
i,M
∆φ(X r ) dr g(X i,M
.∇φ(X r ) +
s1 , ..., X sp ) ,
2We
M Z t
X
1
C
i,M
i
i,M
∇φ(X r ).dW r g(X i,M
=
E
.
s1 , ..., X sp ) ≤ √
We M
M
s
i=1
¿¾ˆ ”VŒ «jˆ Ž” ˆ  ˆ1›g  ˆ EΠ∞ |F∞ (Q)| ≤ lim sup EΠ∞ |F∞ (Q) − Fn (Q)| + lim sup lim sup EΠM |Fn (Q) − F∞ (Q)|.
¨ œ @ %©
¿ ˆ FV “ q
µ
’
L
“
ˆ
ˆ
ˆ
ƒ
œ
’
ˆ
{
“
S
¦
j˜
‰
‰
’
‰
‡
1
ˆ
‡
’
‡
{
“
S
¦
j˜
‰
’‰‡‰ˆ1‡
Ž Œ Œ ¥ Ž ” Ž  |F (Q)−F (Q)| !  g 
Œ
∇φ 
∞’ n
ª –Ž”" jƒ ‹V`Œ 3Ž “L˜ ‰
h
ª
ˆ
`¦
‹ ‹  Ž<Š
lŽ Œ`
n→∞
|F∞ (Q) − Fn (Q)|
Z Z t
1
≤
2We
s
n→∞
M →∞
1
1
R
R
−
1
2
1 − ||Y r ||2 Q(dY )/b
max 1 − (||Y r || ∧ n)Q(dY )/b, n
!
X r .∇φ(X r ) dr |g|(X s1 , ..., X sp )Q(dX)
≤ C
Z
t
s
1−
R
¨ œ ©
1
1
R
dr, @?·
−
1
2
2
||Y r || Q(dY )/b max 1 − (||Y r || ∧ n)Q(dY )/b, n
ª ” ˆˆ
œ‚> Ž‘ ˆ ŽL”VŒbŽ>Ž” ˆ Ž ˆ  ƒ
 “ Œ† j’‰“ ŽŒ ’ Ž ‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡  ’ ™ j’ ŽL” ˆM‡ ŒfŽlŒ “$¦‰˜ Ž ’ Ž `’
¦Sˆ Ž ªhˆˆ1C
’ Ž” ˆ Œ ¦‰“L‘˜ Ž ˆm« Œ Z˜‰ˆ½“ Z™ ’‰“  ’ ¨œ @· ©  “N¨ Œ œ.“1œd©s’‰`’X’ˆ ™QŒbŽL `« ˆ½˜‰’‰‡‰ˆ 
Π∞ (dQ) 
“  ’  ˆ  ’ Ž”‰ “ <Œ “Dˆ Š R
œ
Š
2
ΠM À{
(dQ)
|| Q(dY ) < b
ˆ Ž ˜‰“¬’‰:ª  j’‰“  ‡‰ˆ !ŽL” ˆ FV||Y
 “ Ž rŽ ˆ  ƒ  ’ Ž” ˆ  œ ” œ.“1œ{`›!¨ œ @ %©3œ $“  ’ ™ À{ˆƒ¡ƒ Œ # # Š ªxˆ
°8’‰:ª ŽL”VŒbŽ
œ|“œ
∃ > 0 Š ∀s ≤ r ≤ t Š Π (dQ) Œ Š
E  `ƒ
Z
∞
5
||Y r ||2 Q(dY ) ≤ b(1 − ).
5
Ž” “ Š `’‰ˆ <Œ ’£‡‰ˆ1‡‰˜  ˆ Ž ”‰ŒbŽ ∃n Š ∀n ≥ n Š ∀s ≤ r ≤ t Š Π (dQ) Œ |œ “œ Š
0
0
∞
Z
||Y r ||2 Q(dY ) ≤ b(1 − 1/n).
5
» ” ˆ  ˆ3›g  ˆ Š ªhˆ ”VŒ «jˆM
.œ “1œ
∀n ≥ n0 Š Π∞ (dQ) Œ Š
|F∞ (Q) − Fn (Q)| ≤ C
Z t
s
1
1
R
R
−
2
2
1 − ||Y r || Q(dY )/b 1 − (||Y r || ∧ n)Q(dY )/b
0 q
4
dr.
;
` M #† ½
5
§  ˆ :«`ˆ Š ¦ ¥ºŽ” ˆ ƒ¡j’‰ Ž j’‰ˆ  j’«jˆ L™ 1ˆ ’  ˆ Ž” 1ˆ  ˆ1ƒ Š
|œ “œ
Π∞ (dQ) Œ Š ∀r Š
lim
n→∞
Z
2
(||Y r || ∧ n)Q(dY ) =
5
! ’  ˆ!ªhˆ Œ Z“L ”‰Œ «`ˆm¦ ¥ À{ˆƒ¡ƒ Œ # # Š Π (dQ) Œ œ.“1œ Š
∞
1−
Z
||Y r ||2 Q(dY ).
1
1
R
−
2
2
||Y r || Q(dY )/b 1 − (||Y r || ∧ n)Q(dY )/b
R
¦ ¥šŽ” ˆmÀ{ˆ1¦ˆ1“ ™ ˜‰ˆ ) “ Ž” ˆ  ˆƒ Š ªxˆ¬j¦ ŽŒ` ’ lim sup EΠ∞
n→∞
Z
t
s
≤
1
1 − ρ∞
r /b
1
1
R
R
−
1 − ||Y r ||2 Q(dY )/b max 1 − (||Y r ||2 ∧ n)Q(dY )/b, n1
!
dr = 0.
¨ œ @ #j©
—8˜ bŒ ŽL j’µ¨œ @ j# ©t“ ” :ªo“ ŽL”VŒbŽIŽL” ˆ FV “ Ž>Ž ˆ  ƒ  ’ Ž” ˆ  œ ” œ.“1œV`›I¨ œ @ %©  “ ˆ  ‰œ
À{ˆ Ž ˜‰“T’‰:ª  j’“  ‡ˆ {Ž” ˆt“Lˆ  j’‡ Ž ˆ  ƒ  ’ ŽL” ˆ  œ ” œ.1“ œ`›~¨ œ @ %©3œ >“  ’ ™>ŽL” ˆ¦j˜’‰‡š¨ œ @?· ©
j’
’‰‡"ˆ l”VŒ ’ ™ ˆ Œ ¦  ‘Ž¯¥ `› Ž” ˆ LŒ ’‰‡‰jƒ « ŒbL Œ ¦Zˆ1“
Š ªxˆ
|F
(Q) − F∞ (Q)| Œ
(X i,M
n
t )1≤i≤M
`
«
F
ˆ
”VŒ
EΠM |Fn (Q) − F∞ (Q)|


Z t
1
1
 dr
E
≤ C
−
PM
P
i,M 2
1
M
i,M 2
1
1 − M i=1 ||X r || /b max 1 − 1
s
i=1 (||X r || ∧ n)/b, n
M
!
Z t
1
¨ œ @`¶ ©
1
dr
≤ C
E
−
1
M
M
1 − Rr /b max 1 − Rr /b, n
s


Z t
¨ œ 8©
1
1
−
 dr. @
+C
E
P
1
M
M
max 1 − Rr /b, n
s
max 1 − 1
(||X i,M ||2 ∧ n)/b, 1
M
EV Ž” ˆ F‰ “ Ž>Ž ˆ  ƒ
i=1
r
n
¨œ @`¶ © Š ªxˆ ”VŒ j« ˆ Š ‰
˜ “  ’ ™ ¨œ ¶ ©
!
1
1
E
−
1 − RrM /b max 1 − RrM /b, n1
2 !
1
1
≤ E
max 1 − RrM /b,
− 1 − RrM /b
1 − RrM /b
n
2
C(t)
1
1
≤
≤
E
n
1 − RrM /b
n
ª ” ˆˆ
‡‰?ˆ“o’‰ Ž ‰
‡ ˆ ‹ ˆ1’‰‡²`’
’‰‡ œ‰» ” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š ªhˆm`¦ ŽlŒ` ’ C(t)
M Œ
r
lim sup lim sup
0 q
n→∞
M →∞
Z
t
E
s
1
1
−
M
1 − Rr /b max 1 − RrM /b, n1
!
= 0.
¨ œ @ @ ©
; ; J
EV ŽL” ˆ¬“Lˆ  j’‰‡ Ž ˆ  ƒ
τM
p
/ τp
¨?œ @ © Š ªhˆ ”VŒ «jˆM
1
PM
b? −
1
i,M 2
i,M 2
1
1
1
||X
||
/b,
(||X
||
∧
n)/b,
max 1 − M1
max
1
−
r
r
i=1
i=1
n
M
n
2
1
≤
1 − RrM /b
!
!!
M
M
X
1
1
1
1 X
2
2
(||X i,M
− max 1 −
||X i,M
∗ max 1 −
r || ∧ n)/b,
r || /b,
M i=1
n
M i=1
n
2
M
1
1 X
i,M 2
2
≤
||X i,M
r || − (||X r || ∧ n) .
M
1 − Rr /b M b i=1
PM
¿¾ˆ ”VŒ «jˆ Ž” ˆ  ˆ1›g  ˆ 
1
PM

1

i,M 2
i,M 2
1
1
1
||X
||
/b,
(||X
||
∧
n)/b,
max 1 − M1
max
1
−
r
r
i=1
i=1
n
M
n
!
2
M
1 X
1
i,M 2
i,M 2
||X
||
−
(||X
||
∧
n)
≤ E
r
r
1 − RrM /b
M b i=1
!
2
1
1
1,M 2
1,M 2
E
≤
||X r || − (||X r || ∧ n)
b
1 − RrM /b
r 1/p
q 1/q
1
1
1,M 2
1,M 2
E
||X
||
−
(||X
||
∧
n)
≤
E
r
r
b
1 − RrM /b
r 1/p 1/q
1
1
1,M 2q
≤
E
E ||X r || 1|| 1,M
||2 ≥n
r
b
1 − RrM /b
r 1/p 1/q
1
||X 1,M
||2(q+1)
1
r
E
E
≤
b
1 − RrM /b
n
r 1/p
1
1
1,M 2(q+1) 1/q
E
E
||X
||
,
≤
r
b n1/q
1 − RrM /b
ª ” ˆˆ
’‰‡
p œ-$“  ’ ™ ¨?œ ¶ © Œ ’‰‡µ¨œ ¶H © Š ªhˆ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ `¦ ŽlŒ` ’ p = r/2 Œ
q = p−1


Z t
1
1
−
 = 0.
E
lim sup lim sup
P
1
M
M
i,M 2
1
1
max 1 − Rr /b, n
n→∞
M →∞
s
max 1 −
(||X || ∧ n)/b,
E
−
PM
M
i=1
r
¥ ¨ œ @ @ © Œ ’‰‡¾¨?œ @ H © Š ªhˆ ”‰Œ «`ˆF
lim sup lim sup EΠM |Fn (Q) − F∞ (Q)| = 0.
n→∞
¨ œ @ nH ©
¨œ @ j©
M →∞
$“  ’ ™ ¨ ?œ @ # Š œ @ j © Š ªhˆm`¦ ŽlŒ` ’X¨œ © Œ ’‰‡ ŽL”‰ “Iˆ1’‰‡‰“ Ž” ˆ ‹ ?`›pb›À{ˆƒ¡ƒ Œ # ¶ œ
0 q
;
;
` M #† ½
%(( (!#"$&%(' # ! + ! %
¿µˆ Œ ’§’ª ‹‰ :«`ˆm» ” 1ˆ  ˆ1ƒ
E 
ªhˆ  j’‰“  ‡‰ˆ 
œ V
t ≥ 0Š
M
Π
E τM
|T ∞ (Q)| ,
p (t) − τ p (t) = E
ª ” ˆˆ
“I‡‰ˆ F ’ˆ‡²¦ ¥ T ∞ : P(C(R+ , RN )) → RN ×N 
ε
T ∞ (Q) =
We
R
(Y t ⊗ Y t ) P (dY )
(Y t ⊗ Y t ) Q(dY )
R
R
.
−
1 − ||Y t ||2 Q(dY )/b 1 − ||Y t ||2 P (dY )/b
R
¨ œ @ ©
À{ˆ Ž ˜‰“ Œ ‘“L  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ Š g› 
‡ ˆ ’‰ˆ‡§¦ ¥ ‰
n ∈ N Š n ≥ 1 Š T n : P(C(R+ , RN )) → RN ×N F


R
|| t ||2 ∧n
(Y
⊗
Y
)
∗
Q(dY
)
t
t
(Y t ⊗ Y t ) P (dY ) 
ε 
|| t ||2
R
R
T n (Q) =
.
1 −
2
We max(1 − (||Y t || ∧ n) Q(dY )/b, n ) 1 − ||Y t ||2 P (dY )/b
¨ œ @ ©
R
“ ¦Sj˜‰’‰‡‰ˆ1‡ Œ ’‰‡  j’ Ž ’?˜j˜‰“I›g˜‰’ 3Ž `’_œ¿¾ˆ¬ª Œ ’ ŽoŽ ¡“ ” :ª Ž”VŒbŽ
‚> Ž‘ ˆ Ž”VŒfŽ
Tn  Œ
¨œ H %©
M
lim EΠ |T ∞ (Q)| = 0.
M →∞
>“  ’ ¡
™ ŽL”VŒbŽ EΠ∞ |T (Q)| = 0 Š ªhˆ ”VŒ «`ˆF
∞
M
M
M
lim sup EΠ |T ∞ (Q)| ≤ lim sup EΠ |T ∞ (Q) − T n (Q)| + lim sup EΠ |T n (Q)| ,
M →∞
M →∞
≤ lim sup E
M →∞
ΠM
M →∞
∞
|T ∞ (Q) − T n (Q)| + EΠ |T n (Q)| ,
∞
M
≤ lim sup EΠ |T ∞ (Q) − T n (Q)| + EΠ |T n (Q) − T ∞ (Q)| .
M →∞
» ” ˆ  ˆ3›g  ˆ Š ªhˆ j¦ ŽlŒb ’ M
lim sup EΠ |T ∞ (Q)|
M →∞
¨ œ H · ©
∞
M
≤ lim sup lim sup EΠ |T ∞ (Q) − T n (Q)| + lim sup EΠ |T n (Q) − T ∞ (Q)| . n→∞
0 q
M →∞
n→∞
; ; J
À{ˆ Ž ˜‰“ Œ ’ Œ ¥ “Lˆ ŽL” ˆ Ž ˆ  ƒ
|T n (Q) − T ∞ (Q)|
b? τM
p
/ τp
R
2
R
(Y t ⊗ Y t ) ∗ || || t ||t ||∧n
2 Q(dY )
(Y t ⊗ Y t ) Q(dY )
ε
R
R
−
|T ∞ (Q) − T n (Q)| =
We 1 − ||Y t ||2 Q(dY )/b max(1 − (||Y t ||2 ∧ n) Q(dY )/b, n1 )
R
|| t ||2 ∧n
(Y t ⊗ Y t ) 1 − || t ||2 Q(dY )
ε
R
≤
We
1 − ||Y t ||2 Q(dY )/b
Z
||Y t ||2 ∧ n
ε
Q(dY )
(Y t ⊗ Y t ) ∗
+
We
||Y t ||2
1
1
R
R
∗
−
1 − ||Y t ||2 Q(dY )/b max(1 − (||Y t ||2 ∧ n) Q(dY )/b, n1 )
R
(||Y t ||2 − (||Y t ||2 ∧ n)) Q(dY )
¨ œ H #j©
R
≤C
2
1 − ||Y t || Q(dY )/b
Z
+C ||Y t ||2 Q(dY )
¨ œ H`¶ ©
1
1
R
.
−
1
2
2
1 − ||Y t || Q(dY )/b max(1 − (||Y t || ∧ n) Q(dY )/b, n )
‚$ ŽLZ ˆ ŽL”VŒbŽ¡Ž” ˆ Ž ˆ  ƒ ¦ˆ Ž ªxˆ1ˆ’ Ž” ˆ Œ ¦‰“DZ˜ Ž ˆ"« Œ ‘˜‰ˆ"“ Z™ ’‰“  ’ ¨?œ Hj¶ ©  “Á¨ Œ œ.“1œd©N’‰j’
’‰ˆ ™ŒbŽL «jˆ¬˜‰’‡‰ˆ 
 Π (dQ) Š “  ’  ˆ  ’ Ž” “ <Œ “Lˆ Š R ||Y ||2 Q(dY ) < b œ
Π
(dQ)
∞
¿µˆm’‰:ª ‡ « ‡‰ˆ
ˆ ˆ“ `› M ˆ
?`› ’ ªhº“ ˆ “VªxˆM“ r ¦
« ’
ˆ
R
∗
  Ž”  Ž
Ž” ‰
‹ 
 Ž
Ž ‹
ŽlŒ`Ž "
¥ ‹‰  †
™ ŽL”VŒbŽ>Ž”
’ ¨?œ H· ©  “ ˆ  ‰œ
 ’¾¨œ H· ©  “ ˆ  ŠŒ ’‡ ŽL” ˆ ’ ‰
‹  :«`ˆ LŽ ”VŒbŽoŽ” ˆ F‰ “ ŽoŽ ˆ  ƒ  X
“Dˆ  `’‰‡ Ž ˆ  ƒ
; J , !P
R
P
5
À{ˆ Ž ‰
˜ “  j’“  ‡ˆ IŽ” ˆ!“Dˆ  j’‰‡ Ž ˆ  ƒ  ’¾¨?œ H· 3© œ
¿µˆ FV “ >
À ˆ1ƒ†ƒ Œ # # Š ªhˆ ”VŒ j« ˆ Š
œ.“1œ Ž  `’‰“  ‡‰ˆ IŽ” ˆ Ž ˆ  ƒ ¨ œ H #j©)œ*>“  ’ ™ {
Π∞ (dQ) Œ
(||Y t ||2 − (||Y t ||2 ∧ n)) Q(dY )
1
R
≤
2
1 − ρ∞
1 − ||Y t || Q(dY )/b
t /b
Z
||Y t ||2 − (||Y t ||2 ∧ n) Q(dY )
5
§  ˆ :«`ˆ Š ¦ ¥ºŽ” ˆ ƒ¡j’‰ Ž j’‰ˆ  j’«jˆ L™ 1ˆ ’  ˆ Ž” 1ˆ  ˆ1ƒ Š
|œ “œ
Π∞ (dQ) Œ Š
lim
n→∞
¿¾ˆ Ž” ˆ  ˆ1›g  ˆ¬j¦ ŽŒ` ’ Z
lim sup E
2
(||Y t || ∧ n)Q(dY ) =
Π∞
n→∞
5
R
∞
Z
||Y t ||2 Q(dY ).
(||Y t ||2 − (||Y t ||2 ∧ n)) Q(dY )
R
= 0.
1 − ||Y t ||2 Q(dY )/b
À{ˆ Ž ˜‰“¬’‰:ª  j’‰“  ‡‰ˆ s
 Ž” ˆN“Dˆ  `’‰‡ Ž ˆ  ƒ
|œ “œ
∀n ≥ n Š Π (dQ) Œ Š
0
Z
¨œ Hj¶ ©)œ $“  ’ ™ À{ˆƒ¡ƒ Œ # # Š ªhˆN°?’ª
¨ œ H 8©
Ž”VŒbŽ ∃n Š
0
||Y t ||2 Q(dY ) ≤ b(1 − 1/n),
0 q
;
` M #† ½
Œ ’‡ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ
max 1 −
Z
1
(||Y t || ∧ n)Q(dY )/b,
n
2
= 1−
Z
1−
R
(||Y t ||2 ∧ n)Q(dY )/b.
>“  ’ ™ Œ`™jŒ` ’ ŽL” ˆ¬ƒ†j’ Ž j’ˆ  j’«`ˆ L™ ˆ ’  ˆ Ž” ˆ  ˆƒ Š ªxˆ ”VŒ «jˆM
lim sup E
Π∞
n→∞
−
Z
max(1 −
||Y t ||2 Q(dY )
R
1
(||Y t ||2 ∧ n) Q(dY )/b,
¨?œ H © Œ ’‰‡µ¨œ H>@ © Š ªxˆ¬‡‰ˆ1‡‰˜  ˆF
E  `ƒ
1
||Y t ||2 Q(dY )/b
!
¨ œ >H @ ©
= 0.
1
)
n
¨œ HH ©
∞
; J , 0
lim sup EΠ |T n (Q) − T ∞ (Q)| = 0.
n→∞
0
À ˆŽ ‰
{
˜ “G’‰:ª  j’‰“  ‡‰ˆ mŽ” ˆ F‰ “ G
Ž Ž ˆ  ƒ  ’¹¨?œ H· ©3œ >“  ’ ²
™ Ž” ˆº¦`˜‰’‰‡ ¨?œ H # Š œ Hj¶ © Œ ’‰‡
ˆ l”‰Œ ’ ™ ˆ Œ ¦  ‘Ž¯¥ b› LŽ ” ˆ Œ ’‰‡jƒ « `Œ D Œ ¦‘ ˆ“
ª ˆ ”VŒ «jˆM
Š x
(X i,M )
t
1≤i≤M
ΠM
|T ∞ (Q) − T n (Q)|
1
1,M 2
1,M 2
≤ CE
||X t || − (||X t || ∧ n)
1 − RtM /b



1
1

−
+CE ||X 1,M
||2 
t
P
M
M
i,M 2
1
1 − Rt /b max 1 − 1
||X
||
∧
n
/b,
t
i=1
M
n
¨ œ H j©
1
≤ CE
||X 1,M
||2 − (||X 1,M
||2 ∧ n)
t
t
M
1 − Rt /b
!!
¨ œ H- ©
1
1
1,M 2
+CE ||X t ||
−
M
1
M
1 − Rt /b max 1 − Rt /b, n



¨
œ 
1
1
H ©

+CE ||X 1,M
||2 
−
t
P
M
max 1 − RtM /b, n1
||X i,M ||2 ∧ n /b, 1
max 1 − 1
E
¿µˆ FV “ Ž> `’‰“  ‡‰ˆ IŽ” ˆ Ž ˆ  ƒ
0 P.q
M
i=1
t
¨œ H j©)œ*>“  ’ ™ ¨ œ ¶ © Œ ’‰‡µ¨?œ ¶H © Š ªhˆ ”VŒ «jˆM
1
E
−
∧ n)
1 − RtM /b
s r 2
2
1
1,M 2
1,M 2
≤
E ||X t || − (||X t || ∧ n)
E
1 − RtM /b
r r C
C
1,M 4
6 ≤ √ ,
E ||X 1,M
||
≤ C E ||X t || 1|| 1,M ||2 ≥n ≤ √
t
t
n
n
||X 1,M
||2
t
(||X 1,M
||2
t
n
; ; J
b? τM
p
/ τp
ª ” ˆˆ
‡‰?ˆ“o’‰ Ž ‰
‡ ˆ ‹ ˆ1’‰‡²`’
œ» ˆ ˆ1›g  ˆ Š ªhˆmj¦ ŽlŒ` ’ C
M ” 
lim sup lim sup E
n→∞
M →∞
||X 1,M
||2
t
À{ˆ Ž ˜‰“o’‰:ª  j’‰“  ‡‰ˆ Ž” ˆ Ž ˆ  ƒ
−
(||X 1,M
||2
t
1
∧ n)
1 − RtM /b
= 0.
¨ œ +%©
¨ œ H ©3œ¿µˆ ”VŒ «jˆ Š ˜‰“  ’ ™ ¨œ ¶H ©
!!
1
1
−
M
1 − Rt /b max 1 − RtM /b, n1

!r/2 1/q
1/p
1
1

E
≤ E||X 1,M
||2p
−
t
M
1 − Rt /b max 1 − RtM /b, n1

!r/2 1/q
1
1

−
≤ Cp (t)1/p E
M
1 − Rt /b max 1 − RtM /b, n1
E ||X 1,M
||2
t
ª – Ž”
’‰‡
ª ˆ ˆ
“¬‡‰ˆ F ’‰ˆ‡  ’ ¨œ ¶ ©)œ
q = r/2 Œ
p= q Š ”  r 
`›I¨œ @@ © Š h
ª ˆmˆ Œ “  ¥ j¦ lŽ Œbq−1
’ E
1
1
−
M
1 − Rt /b max 1 − RtM /b, n1
!r/2
D™ ˜  ’ ™  °bˆ  ’ Ž” ˆ ‹‰ ?`›
≤
C
,
nr/2
ª ” ˆˆ
‡‰?ˆ“o’‰ Ž ‰
‡ ˆ ‹ ˆ1’‰‡²`’
œ» ˆ ˆ1›g  ˆ Š ªhˆmj¦ ŽlŒ` ’ C
M ” 
lim sup lim sup E
n→∞
M →∞
||X 1,M
||2
t
À{ˆ Ž ˜‰“o’‰:ª  j’‰“  ‡‰ˆ Ž” ˆ Ž ˆ  ƒ

1
1
−
M
1 − Rt /b max 1 − RtM /b, n1
!!
= 0.
¨ œ · ©
¨ œ H ©3œ¿µˆ ”VŒ j« ˆ Š ‰
˜ “  ’ ™ ¨œ ¶H ©


1
1
−

P
1
M
M
i,M 2
1
1
max 1 − Rt /b, n
max 1 − M i=1 ||X t || ∧ n /b, n
 
q 1/q
1
1
−
 
≤ Cp (t)1/p E 
P
1
M
M
i,M 2
1
1
max 1 − Rt /b, n
max 1 −
||X || ∧ n /b,
E ||X 1,M
||2 
t
M
i=1
t
n
0 PP
;
` M ª –Ž”
’‰‡
1 < q < r/2 Œ
p=

q
q−1
#† ½
Š ª ” ˆ  ˆ r  “I‡‰ˆ F ’‰ˆ1‡  ’¾¨ œ ¶ ©3œ $“  ’ ™ ¨œ ¶ © Š ªhˆ ”VŒ «`ˆF
q
1
1
−

P
1
M
M
i,M 2
1
max 1 − Rt /b, n
||X
||
∧
n
/b,
max 1 − M1
t
i=1
n
!
!
2q
M
q
1 X
1
i,M 2
i,M 2
≤ E
||X t || − ||X t || ∧ n
1 − RtM /b
M b i=1

!qq0 1/q0
r 1/p0
M
1 X
1
i,M 2
2
E

≤
E
||X i,M
t || − ||X t || ∧ n
M
1 − Rt /b
M b i=1

!qq0 1/q0
M X
1
i,M 2
2

≤ C E
||X i,M
t || − ||X t || ∧ n
M b i=1
E
ª –Ž” 0
’‰‡
“ Œ  `’‰“ Ž Œ ’ Ž ‰
’ Ž ‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡  ’ ™ j’
œ>E ’ ªhˆoj¦‰“Lˆ  «`ˆ
0
p = 2qr Š q 0 = p0p−1 ŠŒ
C !
M  Œ ¥jŠ
˜
“
’
¨
œ
©
’
‰
‡
˜
’
“
’
ˆ
?
`›
p
b›
I
¨
$
œ
&
%
©
LŽ ”VŒbŽ<Š  ™
¶H Œ
Œ`D™  ™¡Œ  Ž” ‹ 
!qq0
M X
1
i,M 2
2
||X i,M
E
t || − ||X t || ∧ n
M b i=1
qq0 X
M
qq0
1
0
i,M 2
i,M 2
M qq −1
E ||X t || − ||X t || ∧ n
≤
Mb
i=1
qq0 qq0
1
1,M 2
1,M 2
≤
E ||X t || − ||X t || ∧ n
b
qq0 qq0
1
2
1,M
≤
E ||X 1,M
||
1
t
|| t ||2 ≥n
b
qq0 1 qq0
1
1,M 4qq 0
≤
E ||X t ||
≤
C2qq0 (t).
bn
bn
» ” ˆ  ˆ3›g  ˆ¬ªxˆ j¦ ŽŒ` ’ 

E ||X 1,M
||2 
t
1
−
max 1 − RtM /b, n1
max 1 −
ª ” ˆˆ
‡‰?ˆ“o’‰ Ž ‰
‡ ˆ ‹ ˆ1’‰‡²`’
œ
C
M
’‰‡ Ž” ‰
˜ “Š
lim sup lim sup E ||X 1,M
||2
t

0 P 0

n→∞
M →∞
1
−
max 1 − RtM /b, n1
max 1 −
1
M
1
M

1
C
 ≤ ,
PM i,M 2
1
n
i=1 ||X t || ∧ n /b, n
!
1

PM i,M 2
1
i=1 ||X t || ∧ n /b, n
¨ œ #j©
= 0.
; ; 4
¥ ¨ œ +%© Š ¨œ · © Œ ’‰‡®¨ œ j# © Š ªxˆ ”VŒ «jˆM
¨œ ¶ ©
M
lim sup lim sup EΠ |T ∞ (Q) − T n (Q)| = 0.
; J , ,
n→∞
M →∞
> ¥ ¨ œ HH © Œ ’‰‡ ¨ œ$ ¶ © Š h
ª ˆ V
” Œ «jˆ§¨?œ H j% ©$ª ”‰Zl”  “!ˆ1—8˜  « Œ ‘ˆ’ Ž!Ž ¾¨?œ · ©3œ_‚> Ž‘ ˆ ŽL”VŒbŽ
ˆ
j’
j
«
ˆ
1
ˆ
’
ˆ
š
’
»
1
ˆ
1
ˆ
ƒ
“ ˜‰’  ›g  ƒ  ’
œ
LŽ ” 
L™  
” 
N I
t ∈ [0, T ]

£¤ &¢%$ ! 5
¿µˆ ”VŒ «`ˆ Œ ’ Œ ¥ ˆ‡ Ž” ˆ !
“ ’ ’
ˆ E ‚
ƒ¡‡ˆ ‰`› ƒ¡ˆ
˜ ‡‰“œb¿µˆ
Œ` L’‰ ˆ  ™! Ž”
ˆ `’ ’8˜‰j˜“ ‘ˆ1‹ «jˆ ¥ ’‰‡ L‘ ˆ 
`
«
º
ˆ
“
:ª
o
’
¦
†
ˆ
‰
’
j’
”VŒ
”
ŽL”VŒbŽ
Ž” Ž”
 Œ` ! ŒbŽ¬Ž”  ŽL
Œ
ŽL” ‹‰Œ`DŽLZ ‘ˆ
“ ¥ “ Ž ˆ1ƒ ŒbŽ~ŽL” ˆh‡  “ 1 ˆ Ž ˆ Zˆ1«`ˆ Œ ‡‰ƒ ‘ŽTŒ “LZ˜ ŽL j’ Š<Œ ’‰‡ ŽL”VŒbŽ~Ž” ˆh“ Ž ˆ1“L“ Ž ˆ’“L  j¦ ŽŒ` ’‰ˆ1‡ ª –Ž”
ŽL” ˆ ‹VŒ`ŽZ Zˆ$“ ¥ “ Ž ˆƒ  j’«jˆ D™ ˆ“ Ž ª Œ` ‡‰“ Ž” ˆ!“ Ž ˆ“L“ Ž ˆ’‰“D  j¦ ŽŒ` ’ˆ‡ºª ‘ŽL”ºŽ” ˆ\’‰j’  ’‰ˆ Œ`
! Š ’ Ž” ˆ  ƒ –Ž `› Œ ’  ’ F ’ ‘Ž ˆ$’8˜‰ƒM¦Sˆ  b› ‹VŒ`DŽLZ Zˆ“1œ» ” “ ŽL” ˆ  ˆ ŽLZ<Œ  ˆ1“L˜ ŽI `’ FV ƒ¡“
’8˜‰ƒ¡
ˆ DZ<Œ _ˆ ‹ ˆ L ƒ†ˆ1’ Ž “ ‹ ˆ  ›g  ƒ†ˆ1‡  ’ œ
E  jƒ Œ ƒ ŒbŽ” ˆƒ ŒbŽ‘<Œ ‹  ’ Ž `›«  ˆ1ª Š ªxˆ Œ ’“L˜ƒ†ƒ Œ`L ˆ Ž” ˆ  ˆ“D˜ Ž “sj¦ ŽŒ` ’‰ˆ1‡Á¦ ¥
ˆ
ƒ¡‡‰ˆ {¦ˆ ”VŒ «jˆ  °bˆ $?j°`ˆ Œ ’²‡‰˜ƒM¦‰¦Sˆ ‘“
ŽL” ›gZ:ª  ’ ™ Ž” ˆ “L‘˜ Ž j’‰“ Ž ŽL” ˆ E ‚ ¨g“Lˆˆ >@ ©ª ‘ŽL”MŒoŽ ƒ¡ˆ E« Œ`LZŒ ¦Zˆq“ ‹‰D ’ ™$ j’“ ŽlŒ ’ ŽpŒbŽTŽ” ˆ  j’ ŽL ’8˜‰j˜‰“ Zˆ3«jˆ _¨ Ž” ˆ ¥mŒ ’  ˆ Œ`l”
 ’ F ’ –Ž ˆ!ˆ Ž ˆ’‰“  ¦  ‘Ž¯¥ © Š‰Œ ’‰‡ ŒfŽ” ˆ   °bˆ5E ‚ ‡˜‰ƒM¦‰¦Sˆ Z“ ¨+“Dˆˆ Š H © ŒbŽIŽL” ˆ¬‡  “  ˆ Ž ˆ
‘ˆ1«jˆ Š j’  ˆ Ž” ˆ ‹‰ `¦Zˆ1ƒ  “\‡  “ 1 ˆ ŽL ˆ‡  ’ Œ ‹VŒbDŽ‘ ‘ˆm“ ¥ “ Ž ˆ1ƒ ¨+“  ’  ˆ ŽL” ˆ ¥§<Œ ’’‰ Žs ˆ Œ`l”
 ’ F ’ –Ž ˆ!ˆ Ž ˆ’‰“  ¦  ‘Ž¯¥ ©)œ
.
5
5
0 P ,
0 P J
;
` M #† ½
# DŽ ˆƒ¡ˆ’ Ž ˆ1’ Ž ˆƒ ‹ “ ‘j’ ™ ‡‰˜
*
*
*
“ ¥ “ Ž ƒ†ˆhƒ ‘ 5¯ƒ Œ` ‰œ Œ ’‰“  ˆ l”VŒ`‹‰–Ž ˆ Š j’ ’‰ˆh“Dˆ  ˆ“ Ž ˆ  ’ Žq‹VŒ “ Œ ˜ <Œ “T‡ ) ˜‰’  j˜‘ˆƒ¡ˆ’ Ž
3
*
1 “ Œb * œ1‚$j˜“{ƒ†j’ ŽL j’‰“ˆ’ ‹VŒ`DŽLZ ˜  ˆ  —?˜ˆ ) * ’‰ˆ D™j ˆ  ¦  ˆpˆ1“ Ž ˜‰’ˆt—8˜ Œ ’ ŽL‘Ž * ¦  ˆ1’ Œ ‡ Œ`‹Ž * ˆ
, ) * Ž ˜‰‡‰ˆ!‡‰˜"“ ¥ “ Ž 3 ƒ¡ˆ  j˜ ‹ * œ
s’ ‹‰ “Lˆ’ Ž ˆ ‘  ‡ˆ“  “L˜ ŽlŒbŽ “ ‹‰  ƒ  ’ Œ`Z ˆ“~“L˜  ‘ˆ  `ƒ ‹
0 P
4
b5` > &B ?C &B > A> ?C : [email protected]?
B/ #M ? B & [email protected] B
%&'l(+*3,x-A's/30124E5f*)-A'[email protected]*32f5:&=8&e%4E-AKD79?01'<;>=8&[email protected]<4E&
ž
Ÿ
4 £¢£¤ "! 5
¿µˆ Œ` ˆ  ’ Ž ˆ  ˆ“ Ž ˆ‡  ’ Ž” ˆ Zj’ ™bŽ ƒ¡ˆN¦ˆ ”VŒ «   b› Œ ƒ ‘ ¯ƒ Œ` §ƒ¡‡ˆ ›g  ‡  Z˜ Ž ˆ
D“ Z˜ ŽL j’“š`› ‹ ¥ ƒ¡ˆ  “œx¿¾ˆ ‹‰ ˆ1“Lˆ1’ Ž “L`ƒ†ˆ 1n?BX^79Q  jƒ ‹ ˜ ŽŒbŽ j’‰“ ªhˆ “L˜ ‹‰‹ j“Dˆ ŽL”VŒbŽ
ŽL” ˆ  ˆ²ˆ  “ Ž “ ™ ‘j¦ Œ  ’ Ž ƒ†ˆN“DZ˜ ŽL j’“ Ž ŽL” ˆ ‹‰ j¦ Zˆƒ¡“Mªhˆ  `’‰“  ‡‰ˆ 1ŠhŒ ’‰‡ ŽL”VŒbŽ¡Ž” ˆ1“Lˆ
“DZ˜ ŽL j’“ Œ` ˆ  ˆ ™ ˜ Œ` ˆ’‰`˜ ™j” “L Ž”VŒbŽNŽL” ˆš›g  ƒ Œ  jƒ ‹ ˜ ŽlŒbŽL j’“ Œ` ˆ D˜‰“ ŽGF ˆ‡_œ¿ –Ž”
ŽL”‰ “  ƒ –ŽlŒbŽL j’  ’¾ƒ  ’‡ Š j˜ mŒ` ƒ  “ Ž ‹ :«jˆ Ž” ˆ  j’«jˆ L™ ˆ1’  ˆ Ž Œ “ ŽŒbŽ j’ Œ`¥ “ ŽŒbŽ ˆ
˜‰’‡‰ˆ $Œ ‡‰ˆ1—?˜ ŒbŽ ˆ Œ “D“L˜‰ƒ ‹Ž j’‰“1œ
¿µˆ  j’‰“  ‡‰ˆ IŽL” ˆ!›g‘ª  ’ ™ “ ¥ “ Ž ˆ1ƒ `›I¨g’‰j’ 6‡  ƒ¡ˆ’“  `’ Œ v©
“ 5 5
5

∂u


(t, x) + u(t, x).∇u(t, x) = (1 − )∆u(t, x) − ∇p(t, x) + div τ (t, x),
Re


∂t





div (u(t, x)) = 0,


Z


¸¯‡

τ (t, x) =
(X ⊗ ∇Π(X))ψ(t, x, X) dX −
,
We
d



∂ψ


(t, x, X) + u(t, x).∇ ψ(t, x, X)



∂t



1
1



∇Π(X))ψ(t, x, X) +
∆ ψ(t, x, X),
= −div (∇ u(t, x)X −
2We
2We M
ª ” ˆ  ˆ Ž” ˆ oˆ ¥ ’‰‘‡‰“’?˜ƒM¦ˆ 
Š`Ž” ˆo¿¾ˆ  “L“Dˆ’8¦ˆ L™ ’8˜‰ƒM¦Sˆ  We > 0 Š ∈ (0, 1)
Re
>
0
’?˜ƒM¦ˆ  “  ’ ŽL” ˆN“ ¥ “ Ž ˆƒ"œ_¿µˆN“D˜ ‹‰‹ j“Lˆ Ž”‰ŒbŽ!Ž” ˆ
Œ ’‡ M > 0 Œ` ˆ ŽL” ˆN’‰j’ 6‡  ƒ¡ˆ’“  `’ Œ T
“ ‹VŒ` ˆ¬
« Œ`LZŒ ¦‘ ˆ
 ˆ1“  ’ 7 6 ?R+
b› d œTs
’ ŽL” ˆ¬ Ž” ˆ I”VŒ ’‰‡ Š‰Ž” ˆ5EVj°8°`ˆ 
: J. ?^798:
Œ ’  ° ˆ—8˜ ŒbŽL j’x  “ “Lˆ Ž j’ Ž” ˆ¡ª ” Zˆ¡“ ‹‰Œ` ˆ D d œTR
» ”‰ “ “ ¥ “ Ž ˆƒ  “  `ƒ ‹ ‘ ˆƒ¡ˆ’ Ž ˆ1‡Xª –Ž”
R
 ’ ‘ŽL Œ  j’‰‡ ‘Ž j’‰“{j’ ŽL” ˆt«`ˆ ‘ 1‘Ž¯¥ u Œ ’‡mj’ Ž” ˆh‡  “ ŽLL ¦˜ Ž j’ ψ ŠŒ ’‰‡ Œ Z “Doª –Ž” ¦Sj˜‰’‰‡ ŒbD¥
 j’‰‡ –Ž `’‰“Ij’ Ž” ˆ!«`ˆ Z –Ž¯¥ u œ
» ” ˆ ‹ Ž ˆ’ ŽL Œ `› ˆ ˆ1’ Ž ‹‰Z ›g D ˆ!ª ‘ŽL”‰ ’ ŽL” ˆ¬‡‰˜‰ƒM¦¦ˆ Z “ Œ ’"¦ˆ Π¦‰¦Sˆ Ž”D
>
`°
`
ˆ
§
’
‰
‡
˜
M
ƒ
Œ
5
5
Π(X) =
E ‚ ‡‰˜‰ƒG¦‰¦ˆ 0 P
||X||2
,
2
¨ œ· ©
¨ œ #j©
bM
||X||2
Π(X) = −
,
ln 1 −
2
bM
ƒ¡  ˆ ™ ˆ1’‰ˆ L Œ ¥jŠŒ ’ ¥§‹ Ž ˆ’ ŽL Œ _
ª ”‰‘l”Á “ Œ
`’
8
`
«
ˆ ›g˜‰’ 3Ž j’ Œ ’ ‡²ª ”‰Zl”²<Œ ’ÁS
¦ ˆ

ˆ ‹‰ ˆ1“L“Lˆ1‡ Œ “ Œ ›g˜‰’ 1ŽL j’£`› Ž” ˆ ’  ƒ `› α
X
5
Π(X) = π(||X||).
¨ œ¶ ©
Pl A 10
5:\J " 79:,=4OH?f AOF79A AOHJ g " ?:H9Jf(8A $ &? 1
8>=oJ*VWR879Q>J H
: A\AK?IA`OHJ g " ? :H9Jf(8A!$
α
Π
?&1
AK?*;J AOHJ B>[8AO 0
( [email protected]?4DHJ B AC8GJ4= ?:
79: 6 J J*7= 8Q%$ " OHJ " J.1nα?B A OHJ " [email protected]
"
π (0)
π
≥
?&1π[email protected]? J*79:"79:+ 9RY 0 [email protected] J QQ4(
5
$ˆ1’  ˆ3›g DŽL”_Š_ ’  ‡‰ˆ sŽ £“  ƒ ‹  › ¥ ’‰ ŽlŒbŽL j’‰“ Š ªhˆ lŽ Œ °bˆ Ž ” ˆM›g Z:ª  ’ ™ « Œ Z˜ˆ“\›g $
 Ž” ˆ
’‰`’ ¯‡  ƒ†ˆ1’‰“  j’ Œ ‹VŒbŒ ƒ¡ˆ Ž ˆ  “F
‰
’
‡
œ
T
¾
¿
ˆ
ˆ
Š
Œ` Ž ” ˜‰“
1Š
1 Œ
M = 1
’ Ž ˆ  ˆ“ Ž ˆ ‡  ’ Ž” ˆ!›g Z:ª  ’ ™ “ ¥ “ Ž ˆRe
ƒ = 2 We = 1 = 2














¨ œ 8©
¨ œ@ ©
∂u
(t, x) + u(t, x).∇u(t, x) = ∆u(t, x) − ∇p(t, x) + div τ (t, x),
∂t
div (u(t, x)) = 0,
Z
τ (t, x) =
(X ⊗ ∇Π(X))ψ(t, x, X) dX,
¨ œH ©
d


∂ψ



(t, x, X) + u(t, x).∇ ψ(t, x, X)


∂t




¨ œ$j©
1
1


= −div (∇ u(t, x)X − ∇Π(X))ψ(t, x, X) + ∆ ψ(t, x, X). 2
2
¿µˆ  ˆ  Œ Ž ”VŒbŽ ªhˆ < Œ ’ Œ Ž ˆ  ’ ŒbŽL «`ˆ ¥  j’‰“  ‡‰ˆ £Œ¼ j˜ ‹ ‘ˆ‡
ˆ ‹ `Œ  ’ ™ ¨ œ H © ¨ œ j©h¦ ¥ 5 ! 
τ (t, x) = E (X t (x) ⊗ ∇Π(X t (x))) ,


 dX (x) + u(t, x).∇ X (x) dt
t
t

1


= ∇ u(t, x)X t (x) − ∇Π(X t (x)) dt + dW t ,
2
“ ¥ “ Ž ˆƒ
¦ ¥
¨ œ ©
¨ œ ©
5
ª ” ˆˆ
‡‰ˆ’ Ž ˆ1“ Œ ¯‡  ƒ†ˆ1’‰“  j’ Œ s“ ŽlŒ ’‡ Œ` ‡  :ªo’ ZŒ ’ ƒ† ŽL j’œx¿ ” ˆ’ Ž” ˆ  ƒ –Ž
W
dˆ ƒ
t
ˆ  “ Ž “ Š ªxˆ¬‰
‡ ˆ1’‰ Ž ˆ
 ‘Ž `› Ž” ˆ!«`ˆ Z –Ž¯¥ F ˆ Z‡ u ª ” ˆ’ t → ∞ œ
u∞ ŽL”
¸¯’ Ž” ˆ›gZ:ª  ’ ™‰Š ªxˆ  ˆ1›gˆ pŽ ŽL” ˆI“ ‹ ˆ 1 Œ “ ŽlŒfŽ `’ Œ`D¥ “ ŽŒbŽ ˆ  D ˆ“ ‹ `’‰‡  ’ ™sŽ
=0
“Œ ŽL” ˆ J*VWRY8QS8 6 BX8R “ ŽlŒbŽ ˆ`œ ! ˜ l”µŒ “ ŽŒbŽ ˆ Œ ’ `›  j˜  “LˆNj’ ¥ ¦Sˆ  ˆ Œbl” ˆ‡  ’ Ž” ˆ u∞
Œ “LˆN`›
” `ƒ† ™ ˆ’‰ˆ1j˜‰“N¨g  « Œ ’  “ ”‰ ’ ™ ©I¦`˜‰’‰‡ Œ`¥" j’‰‡ ‘Ž j’‰“>j’ Ž” ˆm«jˆ Z –Ž¯¥ œS¸¯’ <Œ “DˆM`›ˆ—8˜  
¦ D ˜‰ƒ ŠŽL” ˆ¬“ ŽlŒfŽ `’ Œ`D¥ “LZ˜ ŽL j’š`› Ž” ˆ EVj°8°`ˆ  Œ ’  °ºˆ1—8˜ ŒbŽ j’  “
‡‰ˆ F ’‰ˆ‡§¦ ¥ ψ
5
5
‚> Ž‘ ˆ
¨ œ$`©
“
ˆ™ 1jƒ¡ˆ
ª ” ˆˆ
ψ∞ (X) = R
exp(−Π(X))
.
d exp(−Π(X))
Ž”VŒfŽ (u , ψ )  “ ŽL” ˆ’ Œ “ ŽŒbŽ j’ Œ`¥ “LZ˜ ŽL j’ Ž
∞
∞
Œ “  ƒ ‹ ‘ˆ  ‹‰ j¦
’ ˆ“ ”
Ž ¥ b› $
Œ ‹ Œ ’‰‡
x = (0, y) Œ
∞
ŽL” ˆ¬“ ¥ “ Ž ˆƒ
¨ œ · %©
¨ œ 8© ¨ œ @ © ¨ œ H © Zˆƒ Š x
ª ˆ ª  Œ ‘“L  j’‰“  ‡‰ˆ mŽ” ˆ  j˜ ‹ ‘ˆ‡¼“ ¥ “ Ž ˆ1ƒ  ’ Ž” ˆº“ ‹ ˆ ZŒ ˆ Œ` :ª  ’M‡  ƒ¡ˆ’‰“  j’
œ`¸¯’
“ Œ “Lˆ Š
2’‡Áj’ ŽL”‰ œ¿µ
y), 0) Š
Œ ŽL” ˆ¬« ŒbL  Œ ¦Zˆ1“Ij’ ¥ ‡‰dˆ =
ˆ
ˆ “L˜ u(t,
j“x)
Dˆ ŽL=”VŒb(u(t,
‹
‹
‹
Ž
y
y∈D=
0 P
;
(0, 1)
œ‰¸¯’ Ž”‰ “ <Œ D“ ˆ V
Š Ž” ˆ “ ¥ “ Ž ˆ1ƒ

























b5` ¨ œ 8© ¨ œ @ © ¨ œ H © ¨ œ j©¦ˆ  jƒ¡ˆ“8
∂u
(t, y) = ∂y,y u(t, y) + ∂y τ (t, y),
∂t
Z
(X∂Y Π(X))ψ(t, y, X) dX,
τ (t, y) =
2
1
∂ψ
(t, y, X) = −∂X (∂y u(t, y)Y − ∂X Π(X))ψ(t, y, X)
∂t
2
1
1
−∂Y − ∂Y Π(X)ψ(t, y, X) + ∆ ψ(t, y, X),
2
2
¨ œ j· · ©
¨ œ · #`©
¨ œ :· ¶ ©
ª ” ˆˆ
’ ‡
‡‰ˆ1’‰ Ž ˆ “ Ž” ˆ
Œ ‰
 jƒ ‹ `’‰ˆ’ Ž `› ŽL” ˆs“ Ž ˆ1“L“ Ž ˆ’‰“D  τ œ» ” ˆ
X
=
(X,
Y
)
τ
(X,
Y
)
! «jˆ  “  j’§b›I¨ œ · #j© ¨ œ ·:¶ ©  “ ¨ œ · 8©

τ (t, y) = E (Xt (y)∂Y Π(Xt (y), Yt (y))) ,




¨ œ ·[email protected] ©
1
dXt (y) = (∂y u(t, y)Yt (y) − ∂X Π(Xt (y), Yt (y))) dt + dVt ,
2


¨ œ ·IH ©
1

 dY (y) = − ∂ Π(X (y), Y (y)) dt + dW ,
Y
t
t
t
t
2
’‰‡
œ
ª ” ˆˆ
X t (x) = (Xt (y), Yt (y)) Œ
W t = (Vt , Wt )
1
0
79+
:
J :\?A&J B4J4=KDHJ " AC89J %Q $bA`OHJ 79B 8C7 6 Q>J,8: AC80J4l
9 : A`OHJ 1n?QQ>f? [8:;l l
ω
=KDF7 " J 79+
: DEBM? 6 7 6 8QS8!A $ ( ?B Jf.79IDEtQ>J4l x
0J*79:F=[A`OF79A R R
X t (x) ∈ L2t (L2 (L2ω ))
E(||X t (x)||2 ) dx dt <
(
+ D
∞
;
%25&
$ ! $
$/.0(32 4 /.0(
(32 "¢
(+&#&
0(+&
!#
2
›>jƒj°¸¯b’ ˆ Œ Ž”’¼ “G‡˜‰“DˆƒM3¦‰Ž ¦S`’ˆ ŠZ“ ªh¨ ˆ œ  · ’j’©3‡ ‰œT“ ¸¯ ’ ‡‰ˆˆ ŽLm”‰ˆ Ž “ ” “ ˆ <j’Œ  “Dj˜ˆ Šq‹ ŽLZ” ˆˆ ‡µ`˜‹‰“ ¥ “ Ž ˆˆ’ ƒ“D“ ¦Y¨ ˆ (y)œ ªx·j· ˆ1© ˆ ’ “G¨ ‡‰œ ˆ· F 8’‰© ˆ¨‡ œ  ’·?’‰@‡ ‡‰© ˆ ‹ ¨ ˆ1’‰œ ·A‡‰H ˆœ_©>’ ¿µŽ›g ¥ ˆ

Ž”  
¥XŒ§ ‹  ™
Ž
(u(t, y)), X (y)) ŠTŒ
u(t, y) Œ
X (y)
 j’‰“  ‡‰ˆ hŒ ’ ¥½ ’ ‘ŽLt Œ  j’‡ ‘ŽL j’‰“ u(0, y) = u (y) Œ ’‰‡ (X (y), Y (y)) Š ª ” ˆ  ˆ Xt (y) Œ ’‰‡
0 ƒ¡
ˆ ’
’‰‡ Œ` ˆ  ’‰‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡‰ˆ1’ ŽmŒ 0’‡  ’‰‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡‰0 ˆ1’ Ž `› 0 ŽL” ˆ"  :ªo’ ZŒ ’
Ž j’
Y0 (y)   L2y (L2ω ) Œ
œ8¿¾ˆ Œ Z “D  jƒ ‹ Z ˆƒ¡ˆ’ ŽŽ” ““ ¥ “ Ž ˆƒ ª ‘ŽL” ‘L‘l” Zˆ Ž ¦j˜’‰‡ Œ`¥N j’‰‡ ‘Ž j’‰“j’
(Vt , Wt )
u
’Œ ‰‡
œ‰¿¾ˆ¬“L˜ ‹‹ j“Dˆ ŽL”VŒbŽ
u(t, 0) = f0 (t)
u(t, 1) = f1 (t)
t
lim f0 (t) = a0
lim f1 (t) = a1 ,
t→∞
t→∞
D“ ŽL”VŒbŽoŽ” ˆ¬ˆ ‹ ˆ 3 Ž ˆ1‡ Œ “ ¥ ƒ ‹Ž Ž‘ “ ŽlŒfŽ ˆ!›g Ž” ˆs«jˆ ‘ 1‘Ž¯¥š “
u∞ (y) = a0 + y(a1 − a0 ).
 ƒ ‘Žs‹‰  ˆ1“L“Lˆ1“
1  ‡  ’ ™ j¥ Š ªhˆ  ’ LŽ  ?‡‰˜  ˆ Ž ” ˆ†ˆ ‹ ˆ 1Ž ˆ‡
LŽ ” ˆ!›g‘ª  ’ "
™ ! 0 P
¨ œ · j©
“G“DZ˜ Ž `’¾`›
(Xt∞ , Yt∞ ) Œ

1

 dXt∞ = ((a1 − a0 )Yt∞ − Xt∞ ) dt + dVt
2
1

 dY ∞ = − Y ∞ dt + dWt
t
2 t
0 m - 8
ª – Ž”  ’ – Ž Œ  j’‰‡ –Ž `’ L“ ˜ l ” ŽL”VŒbŽ
¬Œ ˜‰“D“ ZŒ ’ ‹‰  ˆ1“L“"’‰ Ž
∞
∞  “ Œ “ ŽlŒbŽL j’ Œ`D¥
(X
,
Y
)
t
t
‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡  ’ ™ `’
y
(X0∞ , Y0∞ )
∼N
0
0
1 + 2(a1 − a0 )2 (a1 − a0 )
,
.
(a1 − a0 )
1
§  ˆ :«`ˆ Š ªhˆ D“ ˜ ‰
‹ ‹ j“Lˆ Ž”‰ŒbŽ (Y (y), Y ∞ ) `Œ  ˆ¬“L˜ l”"Ž”VŒbŽŠ
0
0
?
‡ ˆ ‹ ˆ1’‰‡²j’ œÁ¨ œ ·H ©
“
‰
’
‰
‡
ˆ
1
ˆ
‰
’
‰
‡
ˆ
’
›
‹
Ž  jƒ Y ∞ Y (y) ‡‰ˆ1“o’‰ Ž ‰
∀y Š Y0 (y)  
y
0
0
» ” ˆ ŽDZ‹ ‘ˆ
“I“L‘˜ Ž j’š`› Ž” ˆ!›g Z:ª  ’ ™ “ ¥ “ Ž ˆƒ (u , X ∞ , Y ∞ ) 
∞













0 = ∂y,y u∞ (y) + ∂y τ∞ ,
τ∞ = E (Xt∞ Yt∞ ) ,
1
dXt∞ = (∂y u∞ (y)Yt∞ − Xt∞ dt + dVt ,
2
1 ∞
∞
dYt
= − Yt dt + dWt ,
2
ª ” ˆˆ
‡‰?ˆ“q’‰ Ž ‡‰ˆ ‹ ˆ’‰‡½`’ Ž ƒ†ˆ Œ
’‰ Ž ‡‰ˆ τ‹ ∞ˆ1’‰‡  ’ ™ j’¾“ ‹VŒ` ˆ`œq¸¯’ Ž”‰ “m“ ‹
ŽL” ˆ¬“ ŽlŒfŽ `’ Œ`D¥ “ ŽŒbŽ ˆ (u , X ∞ , Y ∞)
0 J
∞
’‡M“ ‹VŒb ˆ Š “  ’  ˆ
∞
∞  “ Œ “ ŽŒbŽ j’ Œ`¥¬‹‰  ˆ1“L“
ˆ  ZŒ <Œ “Dˆ Š x
ª ˆ Œb(X
ˆ Œ ¦ , YZˆ Ž ) ‹‰ :«`ˆ  `’8«`ˆ D™ ˆ’  ˆ Ž
Z J 7=4= RY0J^!K+(% 3f/ H!K+(%(+/@l AOF79A
1,1
f0 , f1 ∈ Wloc
(R+ )
79:+
lim f˙0 (t) = lim f˙1 (t) = 0,
¨ œ· ©
t→∞
t→∞
 H
O J BMJ ˙ J :\?A&J4=AOHJ J BX879AC89JL?&1
[8AO_BMJ4=KDHJ " A AK?UAC80J/( OHJ F: lAOHJ AcBX8aDEQ>J
fJ4= AK?f79BK=
f=
(u, X, Y )
?" :H9J Bc;
7
8:2AOHJ1n?QQ>?f[8:; @= J :[email protected] L
(u∞ , X ∞ , Y ∞ )
t −→ ∞
lim ||u(t, y) − u∞ (y)||L2y = 0,
t→∞
lim ||Xt (y) − Xt∞ ||L2y (L2ω ) = 0,
t→∞
lim ||Yt (y) − Yt∞ ||L2y (L2ω ) = 0.
9 :2( DF79BXAC8 " RYQP79BMlAOHJL= AcBMJ4=4= E(Xt (y)Yt(y)) " ?:H9J Bc;J4=LAK?f79BK= E(Xt∞ Yt∞ ) = a1 − a0 8 :
L1y
B ¸¯’ ŽL”‰ “ ‹ ?`› Š
‡ˆ’‰ ˆ“
˜‰’ «jˆ “ j“ «jˆ  j’‰“ ŽŒ ’ Ž<Š ª ”‰‘l” ƒ Œ<¥Ál”‰Œ ’ ™ ˆ
C’‰ ˆ Žœ¿¾ˆ Œ ’  ‡‰ ˜ Œ ˆ ‹ ‘Ž
› jƒ j’‰ˆ¬ ˜ ˆ1’ ˆ
t→∞

 

Ž
Œ
 Ž

ũ(t, y) = f0 (t) + y(f1 (t) − f0 (t))
‡ ˆ F ’ˆ‡²¦ ¥ Œ ’‡ X̃ ‰
t
X̃t =
Ž” 
X0∞
+
Z t
0
(f1 (s) −
f0 (s))Ys∞
1
− X̃s
2
ds + Vt .
0 P
b5` ¥ ˜ “  ’ ™NŽL” ˆ Œ ’ Œ ¥8ŽZŒ ˆ ‹‰ ˆ1“L“  j’‰“>`›
’‰‡
j’‰ˆ Œ ’ F‰ “ Ž>l” ˆ  ° Ž”VŒfŽ
Yt (y) Œ
Yt∞ Š
||Yt (y) − Yt∞ ||L2y (L2ω ) = ||Y0 (y) − Y0∞ ||L2y (L2ω ) e−t/2 .
§  ˆ:«`ˆ Š ªhˆ Œ Z“L ”VŒ «`ˆF
||ũ − u∞ ||L2y ≤ C (|f0 (t) − a0 | + |f1 (t) − a1 |) .
¨ œ$#&%©
¨ $œ # · ©
§  ˆ :«`ˆ ŠS‘Ž “Iˆ Œ “ š
¥ Ž N“ ” :ª Ž”VŒfŽ d
∞ 2
∞
∞ 2
||X̃ − X ||L2ω ≤ C (|f0 (t) − a0 | + |f1 (t) − a1 |)||X̃ − X ||L2ω − ||X̃ − X ||L2ω ,
dt
“D ŽL”VŒbŽ<Š
Œ ’‡
d
∞
∞
||X̃ − X ||L2ω ≤ C (|f0 (t) − a0 | + |f1 (t) − a1 |) − ||X̃ − X ||L2ω ,
dt
∞
||X̃ − X ||L2ω ≤ C
5
Z
t
0
(|f0 (s) − a0 | + |f1 (s) − a1 |) exp(−C(t − s)) ds.
¨ œ$#+#j©
¥ À{ˆ1ƒ†ƒ Œ # @ )¨ Z  © Š ªhˆ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ `¦ ŽlŒ` ’ lim ||X̃ − X ∞ ||L2ω = 0.
¨ œ# ¶ ©
t→∞









¸\
Ž  ˆƒ `Œ  ’‰“$’ª Ž  jƒ ‰
‹ Œ` ˆ X ª ‘ŽL” X̃ Œ ’‰‡ u ª – Ž” ũ œS‚> Ž‘ ˆ Ž”VŒbŽŠ “  ’  ˆ X̃ Œ ’‰‡ Y ∞
‡‰¡’‰ Ž ‡ ˆ ‹ ˆ’‰‡§j’£“ ‹VŒ` ˆ Š
’‡
ˆ “L‘˜ Ž j’š`› !
(u − ũ) Œ
(X − X̃) Œ`
∂(u − ũ)
(t, y) = ∂y,y (u − ũ)(t, y) + ∂y (τ − τ̃ )(t, y) − (f˙0 (t) + y(f˙1 (t) − f˙0 (t))),
∂t
τ (t, y) = E (Xt (y)Yt (y)) ,
∞
τ̃ (t) = E X̃t Yt ,







 ∂(Xt (y) − X̃t ) = (∂ u(t, y)Y (y) − ∂ ũ(t)Y ∞ ) − 1 (X (y) − X̃ ).
y
t
y
t
t
t
∂t
2
’‡ Ž” ˆ$ˆ—8˜ ŒbŽL j’ j’
¥ ƒM˜ ŽZ‹ ¥? ’ ™!ŽL” ˆ\ˆ1?— ˜ ŒbŽ j’ºj’
¦
(u − ũ) ¥ (u − ũ) Œ
(X − X̃)
˜‰“  ’ ™šŽ” ˆ½› Œ`3Ž!Ž”VŒfŽ
“ ˆ  £›g 
’‡
’‰‡ Ž” ˆN› Œb1Ž
¦ ¥
Š

Œ
Œ
(X − X̃)
(u − ũ)
y=0
y=1
ŽL”VŒbŽ f Œ ’‰‡ f Œ` ˆ ¦Sj˜‰’‡‰ˆ‡£›g˜‰’ 3Ž `’‰“ Š j’ˆ Œ ’ l” ˆ  ° ŽL”VŒbŽ 0
1
1d ||u − ũ||2L2y + ||Xt − X̃t ||2L2y (L2ω )
2 dt
Z
1
2
2
= −||∂y (u − ũ)||L2y − ||Xt − X̃t ||L2y (L2ω ) − (f˙0 (t) + y(f˙1 (t) − f˙0 (t)))(u − ũ)
2
Z Z ∞
− E Xt (y)Yt (y) − X̃t Yt ∂y (u − ũ) + E (∂y u(t, y)Yt(y) − ∂y ũ(t)Yt∞ )(Xt (y) − X̃t )
≤ C −||u − ũ||2L2y − ||Xt − X̃t ||2L2y (L2ω ) + (|f˙0 | + |f˙1 |)||u − ũ||L2y
Z Z ∞
+ E (Xt (y) − X̃t )(Yt (y) − Yt ) ∂y ũ(t) + E X̃t (Yt (y) − Yt∞ ) ∂y (ũ − u)(t, y)
≤ C −||u − ũ||2L2y − ||Xt − X̃t ||2L2y (L2ω ) + (|f˙0 | + |f˙1 |)||u − ũ||L2y + e−t/2 ||Xt − X̃t ||L2y (L2ω ) ,
00 q
0 m - 8
ª ” ˆ  ˆ ªxˆ ”VŒ «jˆ ‰
˜ “Lˆ1‡ Ž” ˆ¬› Œb1ŽoŽ”VŒfŽ<Š ¦ ¥ ¨ œ ·H © Œ ’‰‡²˜‰“  ’ ™½ŽL” ˆ Œ ’ Œ ¥8ŽLZ<Œ ˆ ‰
‹  ˆ“D“  `’‰“\`›
‡‰?ˆ“o’‰ ‡ˆ ˆ’‰‡§j’
’‰‡
’ ‡ ŽL” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š
‰
Ž
‹
Yt Š Yt∞ Œ
X̃t Š E X̃t (Yt (y) − Yt∞ )
yŒ
Z
» ” ˆ  ˆ3›g  ˆ Š
E X̃t (Yt (y) − Yt∞ ) ∂y (ũ − u)(t, y) = 0.
d ||u − ũ||2L2y + ||Xt − X̃t ||2L2y (L2ω )
dt
≤ C − ||u − ũ||2L2y − ||Xt − X̃t ||2L2y (L2ω )
+(|f˙0 | + |f˙1 | + e−t/2 )(||u − ũ||L2y + ||Xt − X̃t ||L2y (L2ω ) )
≤ C − ||u − ũ||2L2y − ||Xt − X̃t ||2L2y (L2ω )
q
√
+ 2(|f˙0 | + |f˙1 | + e−t/2 ) ||u − ũ||2L2y + ||Xt − X̃t ||2L2y (L2ω ) .
¿¾ˆ Ž” ˆ1’²j¦ ŽŒ` ’ ŽL”VŒbŽ Z t
q
¨ œ$# 8©
2
2
||u − ũ||L2y + ||Xt − X̃t ||L2y (L2ω ) ≤ C
(|f˙0 |+|f˙1 |+e−s/2 ) exp(−C(t−s)) ds. ¥ À{ˆ1ƒ†ƒ Œ # @Š ªhˆ Ž” ˆ  ˆ3›g  ˆ¬j¦ ŽŒ` ’ 0
¨ œ# @ ©
lim ||u − ũ||L2y + ||Xt − X̃t ||L2y (L2ω ) = 0.
t→∞
0
6 $ L
4
p J A
k ∈ L1loc (R+ )
6 J 7 [email protected]= 8AC89J 1XRY: " AC8G?:Fl
l 79:+
7[1XRY: " AC8G?: J:\J.
α>0
h
h(t) =
Z
0
p
t
exp(−α(t − s))k(s) ds.
9 1  JU7=4= R0J0AOF79A k ∈ L (R+ ) l\[8A`O 1 ≤ p < ∞ lIAOHJ : h ∈ W 1,p (R+ ) 79:+
AOHJ MB J`1n?B4J
t→∞
!e88a/ !
1  J 7=4lim
= RY0
J A`OFh(t)
79A = 0.
lA`OHJ :
9
lim
!e888a/ ¾
1  J = [email protected] [email protected][email protected] AOF79lim
A t→∞ k(t) = 0
l [t→∞
8A`O h(t) = 0.79:+
lNAOHJ :
9
0 ≤ k(t) ≤ Ce−βt
β > 0
α =
6 β
C
h(t) ≤
e−α∧β t .
|α − β|
!e8a/
B »T ‹ :«jˆ ŽL” ˆ FV “ Ž>Œ “L“Dˆ Ž `’ Š j’‰ˆ <Œ ’ l” ˆ  °X¨+¦ ¥ ˜‰“  ’ ™ Z‡ˆ  ’‰ˆ—8˜ Œ ‘Ž¯¥ Œ ’‰‡
EV˜‰¦  ’ {Ž” ˆ1  ˆ1ƒº© ŽL”VŒbŽ$ ›
œS» ” ˆ  ˆ3›g  ˆ Š
ŠŽL” ˆ’
p
p
ḣ(t) = −αh(t)
“  ’ p
œ» ” ˆh› Œ`1kŽT∈Ž”VLŒfŽ (R+ ) 1,p h ∈ŽL” Lˆ’ (R ƒ + )‹  ˆ1“ Ž”VŒfŽ
œ EV +
L
(R
)
h
∈
W
(R
)
lim
h(t)
=
0
k(t)
+
+
t→∞
ŽL” ˆ!“Lˆ  j’‰‡ Œ “D“Lˆ DŽ j’ Š Zˆ Ž ˜‰“  ’ Ž ‡˜  ˆ Œ > 0 œ» ” ˆ  ˆ!ˆ  “ Ž “ T > 0 “D˜ l”šŽ”VŒfŽ ∀t > T Š
œ s’‰ˆ <Œ ’ ŽL” ˆ’  j’  Z˜‰‡‰ˆ$¦ ¥  j’‰“  ‡‰ˆ D ’ ™mŽ” ˆ  ’ Ž ˆ ™jŒ Sj’
H
Œ ’‰‡ (T, t)
0’≤‡§k(t)
≤
(0,
T
)
¦ ¥ Zˆ ŽLŽL ’ ™
œ» ˆ Œ “ Ž>Œ “L“Dˆ DŽL j’  “I`¦ ŽlŒ` ’‰ˆ‡£¦ ¥£Œ “  ƒ ‹ Zˆ  jƒ ‹ ˜ ŽlŒbŽL j’œ
Œ
t→∞ ”
¥ ˜‰“  ’ ™ À{ˆƒ¡ƒ Œ # @½Œ ’‰‡ Ž” ˆ¬ˆ“ Ž ƒ ŒbŽ ˆ“ ¨ œ$#&%© ¨ œ # · © ¨ œ # #j© ¨ œ #&8© Š j’‰ˆ <Œ ’ Œ ‘“L
j’
‰
“

 ‡‰ˆ IŽL” ˆ!›g‘ª  ’ ™M”¥?‹ Ž” ˆ1“  “  ’£À{ˆ1ƒ†ƒ Œ #& Œ Ž ˆ  ’ ŒbŽ «jˆ ¥†Ž §¨ œ · j© ¨ œ · © 00 P
b5`  Œ 1 ≤ p < ∞ ŠŽ” ˆ’
 › (f0 (t) − a0 ) ∈ W 1,p(R+ ) Œ ’‰‡ (f1 (t) − a1 ) ∈ W 1,p(R+ ) Š g› h
ŽL” ˆ  1ˆ “L˜ Ž “o`›pÀ~ˆ1ƒ†ƒ Œ #&N“ ŽL ” ‘‡ Š
1,1
Œ ’‰‡ (f (t)−a ) Š (f (t)−a ) Š f˙ (t) Œ ’‰‡ f˙ (t)  j’«`ˆ L™ ˆ
 › ŠŽ”VŒbŽ f0 , f1 ∈ Wloc
(R
)
+
ˆ ‹ j’ˆ’ ŽZŒ ¥ › Œ “ Ž½Ž
’ À~ˆ1ƒ†ƒ Œ 1 &# Œ` ˆ Œ ‘“L
ŠqŽL” ˆ’ Ž” ˆ0  j’«`ˆ 0L™ ˆ’  1ˆ“ “ ŽlŒbŽ1ˆ‡  0³
ˆ ‹ j’ˆ’ Ž j’ Œ Hœ
¿µˆ Œ` ˆ†’‰ ŽGŒ ¦‘ˆ Ž §ˆ
Œ “Lˆsª ” ˆ1’ Ž” ˆ$›g L ˆ  “h’‰
 “>’ Ž$Œ “ ” ˆ Œb :ª¬œ¸¯’ Ž”
 ˆ—8˜ Z ˆ“ Ž  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ ŽL” ˆ
) (4
0
Ž 1ˆ ’‰‡
Ž  ’‰ˆ
ˆ¬’‰ˆ
‹‰ `¦
(3£¤ (
Ž” ˆ Œ ¦S:«jˆ Œ`D™ ˜‰ƒ¡ˆ’ Ž “ Œ “G“D˜
Œ` ¨g›g  E ‚ ‡‰˜‰ƒM¦¦ˆ ›g  ˆ
Ž “Lˆ 1ŽL j’ Š ªhˆ ‹‰ ˆ1“Lˆ’ ŽsŒ ƒ¡  ˆ
b›
Œ ¦  ‘Ž¯¥ ‡‰ˆ1’‰“ –Ž¯¥ ›g˜‰’ 3Ž `’
(†¢0!&#! 0
4!1¢
/. ¸¯’ Ž”‰ “_“Lˆ 1Ž j’ Š ªhˆ Œ` ˆ  ’ Ž ˆ  ˆ“ Ž ˆ‡  ’  j’«jˆ L™ ˆ1’
©  ’ Œ ƒ¡  ˆ ™ ˆ’‰ˆ Œ !“Dˆ ŽLŽL ’ ™¼ŽL”VŒ ’
exp(−Π(X))
 j’‰“  ‡‰ˆ ¬Ž” ˆ ‹‰ j¦‘ˆƒ ¨ œ 8© ¨ œ @ © ¨ œ H © ¨ œ$j©oj’
‡ ZŒ  j’«jˆ ‹ Ž ˆ’ ŽL Œ ¨ œ ¶ © Š ¦˜ Ž ªhˆ  ˆ“ ŽL‘
j’
œ
?" :+98α
AC8G?:F=,?:2AOHJ 9J Q>? " 8A Π
$ u=0
∂D
5
»
“
L
ˆ
Œ
:ªo“
5
5! ! l”¼ ’¾  ‡ˆ mŽ ²“Dˆ ŽLŽ Zˆ Ž” ˆ
Œ ƒ ‹ ‘ˆ:© hŽL” ˆ ™ ˆ1jƒ†ˆ Ž¥
™ ˆ’‰ˆ Œ Œ`‹‹‰ Œbl”_Š ª ”‰Zl”
œ
ŽL” ˆ ‹‰  ˆ1“L“
ψ
(X, Y )
/.%(
 ˆ Ž J*VWR8QS8 6
 ’ ! ˆ 1Ž j’
Œ£™ ˆ1’‰ˆ LŒ j˜  “Lˆ ‘«jˆ1“ Ž
4 (3
(
¨
u = 0 Š ψ “Lˆ (X)
¥jŠ ªh∝
ˆ
œ #œ § ∞ ˆ ‹‰ ˆ  ∞
™ ˆjƒ¡ˆ ŽLD¥ D Š ›g  Œ ’ ¥¾LŒ
OH?0?*;J :\J4?R = 6 ?RY:+ 79B'$
BX8RY
5
5
ˆ ªxˆ ”VŒ j« ˆ\˜“Lˆ‡ Ž m“ Ž ˜‡ ¥NŽ” ˆ  j˜ ‹ Z ˆ1‡
“ ¥ “ Ž ˆ1ƒ  ’ Ž” ˆ
” ˆ>ˆ’‰ˆ L™`¥ ˆ“ Ž ƒ ŒbŽ I
!
`›qj’‰ˆ 6‡  ƒ¡ˆ’“  `’ Œ “ ” ˆ Œb ª­¨+“Dˆˆ >@?Š H © <Œ ’"S
¦ ˆ ˆ1“ Ž Œ ¦ “ ” 1ˆ ‡š›g  ƒ Œ ¥ g› o
 Œ ’ ¥
 ’ Œ ’ ¥š™ ˆ1jƒ¡ˆ Ž¥ œ "˜ ŽLZ‹ ¥ ’ ™ ¨ œ ©x¦ ¥ u Š
Z
Z
Z
1d
2
2
|u| = − |∇u| −
E(X t ⊗ ∇Π(X t )) : ∇u,
2 dt D
D
D
ª ‰
˜ ‘˜‰“ Š
”  Z ˆ Š ¦ ¥ ¸ Ž(*) “ <Œ  ¨ œ# H ©
1
1
d
E(Π(X t )) = E(∇Π(X t ).∇uX t ) − E(||∇Π(X t )||2 ) + E(∆Π(X t )),
dt
2
2
ªhˆm`¦ ŽlŒ` ’ Ž” ˆ!›g Z :ª  ’ ™ ˆ’‰ˆ L™`¥ ˆ1“ ŽL ƒ ŒbŽ ˆ\›g Ž” ˆ¬“ ¥ “ Ž ˆƒ ¨ œ # j©
1d
2 dt
Z
d
|u| +
dt
D
2
Z
Z
1
E(Π(X t ))+ |∇u| +
2
D
D
2
Z
1
E(||∇Π(X t )|| ) =
2
D
2
Z
E(∆Π(X t )).
D
¨ œ$# ©
‚> Ž‘ ˆ Ž”VŒbŽ ªhˆ ”VŒ «jˆm“L˜ ‹‰‹ j“Dˆ‡ Ž”‰ŒbŽ
’ ‡ Ž”VŒbŽ ªhˆ
Š R t E(||∇Π(X )||2) ds < ∞ Œ ‰
∀t
≥
0
s
0
”VŒ «`ˆm˜‰“Dˆ‡ Ž” ˆ!›g Z :ª  ’ ™ ˆ—8˜ Œ ‘Ž¯¥ ¨ œ$# ©
E(X t ⊗ ∇Π(X t )) : ∇u = E (∇Π(X).∇uX)
ª ”‰‘l”³” Z‡“M“  ’  ˆ
œq» ˆ ŒbŽDŽ ˆ G ˆ ŒbŽL j’  “  ˆ ŒbŽ ˆ1‡ Ž
X
⊗ ˆ∇Π(X)
=
∇Π(X)
⊗
X ¨vª ”
$
ˆ
›
ˆ
\
“
1
ˆ
L
“
“
’
L
“
M
ƒ
‰
˜
“
S
¦
$
ˆ
“
†
ƒ
¡
ƒ
ˆ
ŽL” Œ`3ŽŽ”VŒbŽŽL”
Ž
Ž

Ž
¥
ŽLLZ
”‰Zl”† “ Œ ‹”8¥ “ Z<Œ  ˆ8— ˜ ‘ ˆƒ¡ˆ’ Ž © Š
ª ”‰‘l”²” Z‡‰“›g oŒ½LŒ ‡  Œ ‹ Ž ˆ1’ ŽL Œ Š “  ’  ˆ  ’ ŽL”‰ “ Œ “Lˆ Š
X œ
Π
∇Π(X) = π 0 (||X||)
||X||
000
` I
,
` ¿µˆ ”VŒ «`ˆ l” ˆ  °`ˆ1‡ Ž”VŒfŽ!Ž” ˆ1“LˆN›g  ƒ Œ  jƒ ‹ ˜ ŽlŒfŽ `’‰“ <Œ ’¾¦Sˆ
ŽL” ˆ Œ “Lˆ$`›_“ ” ˆ Œ` :ª ›g  $?j°bˆ Œ ’º‡˜‰ƒM¦‰¦Sˆ Z“>¨+“Dˆˆ ! ˆ 3Ž `’ ¶ œ #
‡‰˜ƒM¦‰¦Sˆ ‘“ ¨+“DˆˆmÀ~ˆ1ƒ†ƒ Œ  ’ H ©3œ
» ” ˆGƒ Œ` ’§‡   ˜ Ž¯¥£ ’ Ž” ˆ 7,DEBX8G?BX8 ˆ1“ Ž ƒ ŒfŽ ˆ ¨ œ # ©  “>‡‰˜‰ˆ
Z
’‰`’®’‰ˆ ™jŒbŽ «jˆ Ž ˆ  ƒ 1
j’ Ž” ˆ DZ™j”Žm”VŒ ’‰‡¾“  ‡ˆ
? LZ™  j˜“ ¥ D˜‰“ Ž  F ˆ ‡  ’
 ’ >@ © Œ ’‰‡†›g  E ‚ Ž Ž” ˆ ‹‰ ˆ1“Lˆ’  ˆM`› Ž” ˆ
Ž”‰ “ Ž ˆ  ƒ Š “ Ž ˆƒ¡ƒ  ’ ™
›  jƒ ¸ Ž( ) “ <Œ  ˜‘˜‰“ 2Œ ’‰‡ D ’‰j’ ’‰ˆ ™ŒbŽ «jˆ"¦ ¥¼Ž” ˆ  `’8«`ˆ ‘Ž¯¥ `› Š ¦ L ’ ™ “½ˆ’ˆ L™b¥  ’ Ž
Π
ŽL” ˆ†“ ¥ “ Ž ˆ1ƒ Š “L Ž”VŒfŽm–Ž  “¬’‰ Ž  ‘ˆ Œ`¬” :ª Ž §˜“Lˆ ŽL”‰ “¬ˆ1“ Ž ƒ ŒfŽ ˆ Ž "“ Ž ˜‰‡ ¥Ž” ˆ ‘j’ ™`ŽL ƒ¡ˆ
¦Sˆ ”VŒ «  `˜  œ» ” ˆ Œ` ƒ `› Ž”‰ “º’‰ Ž ˆ  “ Ž ¼“ ” :ª Ž”VŒfŽšŽ” ˆ˜‰“Dˆ`› Œ ’ ˆ’ ŽL ‹¥ ˆ1—?˜ Œ –Ž¯¥
¨g“Lˆˆ†¨ œ ¶ 8©h¦Sˆ Z:ª$©  ’  ˆ˜š`›x¨ œ$# `© Œ Z:ªo“ Ž ½“ Ž ˜‰‡ ¥ºŽ” ˆ  j’«jˆ L™ ˆ1’  ˆ `› Ž” ˆ!“ ¥ “ Ž ˆ1ƒ Ž
ˆ1—?˜   ¦ L ˜‰ƒ"œ $:ªhˆ1«jˆ Š j’ ŽLŒ`D¥ Ž Ž” ˆ†ˆ’‰ˆ L™`¥X ’ˆ—8˜ Œ ‘Ž¯¥Ž”‰ŒbŽGŒ ’®¦Sˆ “ ŽlŒbŽ ˆ‡®ˆ ‘Ž” ˆ 
 ’ Ž” ˆm“ Ž l”VŒ “ ŽLZ ›g  ƒ ¨+“Lˆ1ˆš¨ œ$#+j©L© Š  ˜“  ’ ™¡ŽL” ˆ ‹‰ j¦ Œ ¦  –Ž¯¥ ‡ˆ’‰“ ‘Ž¯¥ ›g˜‰’ 3Ž `’ ψ ŠVŽ” ˆ
ˆ1’ ŽL ‹¥½ ’‰ˆ—8˜ Œ ‘Ž¯¥ “Lˆ1ˆƒ¡“ Ž !¦Sˆ  ˆ1“ ŽDZ3Ž ˆ‡ Ž Ž” ˆ Œ ’ Œ ¥ “  “`› Ž” ˆI“ ¥ “ Ž ˆƒ  ’ ŽL” ˆ+EVj°8°`ˆ 
Œ ’  °M›g  ƒ ¨ œ8© ¨ œ @ © ¨ œ H © ¨ œ j©T“  ’  ˆ>ªhˆ  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ Œ ’ ˆ’ ŽL ‹¥ `› ŽL” ˆ ‹‰ j¦ Œ ¦  ‘Ž¯¥
‡‰ˆ1’‰“ –Ž¯¥ ›g˜‰’ 3Ž j’
ª
’’‰ Ž ¦SˆX“  ƒ ‹ ¥ ˆ ‹ ˆ“D“Lˆ1‡  ’ Ž ˆ  ƒ `› Ž” ˆ “ Ž l”‰Œ “ ŽLZ
ψ Š ”Zl”¹<Œ
ˆ
D
“
“
œ
‹‰ 
E(∆Π(X t ))
!
5
Xt
0 % ( " %(( (!#" % /* ) *
À{ˆ Ž ˜‰“ FV “ Ž> ’ Ž ‡‰˜  ˆ Ž ” ˆ °  ’‰ˆ ŽLZ ˆ’ˆ L™b¥
E
1
E(t) =
2
Z
D
|u|2 .
¨ œ ¶ %©
“>ªhˆ ”VŒ «jˆ Œ  ˆ Œ ‡ ¥ ƒ†ˆ1’ Ž `’‰ˆ‡ Š ªxˆ ”VŒ «jˆ ¨+“Dˆˆ†¨ œ # H ©D©
dE
=−
dt
Z
2
D
|∇u| −
Z Z
D
d
(X ⊗ ∇Π(X)) : ∇u ψ(t, x, X).
¿¾ˆ†’ª  ’ Ž  ‡‰˜  ˆ Ž ” ˆNˆ1’ ŽL ‹¥ `› Ž” ˆ¡“ ¥ “ Ž ˆƒ
’ Œ ƒ†ˆ ¥ ¨  ’› Œ`1Ž¬ŽL” ˆNˆ’ Ž ‹¥¾ ˆ bŒ Ž «jˆ Ž
¨ œ ¶· ©
©
ψ∞ Š
¨ œ ¶ #j©
ψ(t, x, X)
H(t) =
ψ(t, x, X) ln
ψ∞ (X)
d
Z Z
ZD Z
=
Π(X)ψ(t, x, X) +
ψ(t, x, X) ln(ψ(t, x, X)) + C
Z Z
D
ª –Ž”
d
D
ψ∞ (X) = R
5
d
exp(−Π(X))
,
d exp(−Π(X))
¨ œ ¶`¶ ©
R
’ ‡
œp‚> Ž ˆ Ž”VŒbŽ
Œ  “ Ž” ˆš“ ŽlŒbŽL j’ ŒbD¥ “L‘˜ Ž j’ Ž Ž” ˆ
C
=
ln(
EVj°8°`ˆ  Œ ’  °¡ˆd—8exp(−Π(X)))|D|
˜ ŒbŽL j’Á¨ œ j©›g 
œψEV∞
˜‰’ 3Ž `’
“ ˆ ˆ «jˆ>ˆ’
b›
u«j∞
=’ 0ˆ
H  Ž”  ›g ŒbŽ Ž ‹œ ¥
ª –Ž”£ ˆ1“ ‹ ˆ 1Ž>Ž
œV¸ Žo “o’‰j’£’‰uˆ ™=
¬
ˆ
“
ŒbŽ
 
ψ
0 oŒ x ≥ 0
› Ž ˆ  “Djƒ¡ˆ  `ƒ ψ‹ ∞˜ ŽlŒbŽL j’‰“$¨vª ”‰Zl” ª  V¦Sˆ\‡‰j’xˆ\ln(x)
ª ‘ŽL” −ƒ¡x  +
ˆ>‡‰1ˆ ≥
ŽŒ` ‘“h¦Sˆ ‘:ª  ’ Œ ƒ†  ˆ
™ ˆ1’‰ˆ LŒ <Œ “Lˆ Š “Dˆˆ ! ˆ 3Ž `’ œ ‰œ · © Š ªxˆ j¦ ŽŒ` ’ dH
1
=−
dt
2
Z Z
D
d
ψ ∇ ln
ψ
ψ∞
2
+
Z Z
D
d
¨ œ 8©
(X ⊗ ∇Π(X)) : ∇u ψ(t, x, X). ¶
00 ,
b5` » ” ˆ  ˆ1›g  ˆ _
Š  ›ªhˆ  j’‰“  ‡‰ˆ $ŽL” ˆG›  ˆ1ˆMˆ’ˆ L™b¥ `› ŽL” ˆM“ ¥ “ Ž ˆƒ
” Œ `« ˆF
V
dF
+
dt
Z
1
|∇u| +
2
D
2
Z Z
D
ψ
ψ ∇ ln
ψ∞
d
» ” ˆ  `ƒ ‹VŒbL “Dj’º`›x¨ œ ¶@ ©ª –Ž” ¨ œ$# ©  ˆ ˆ 3Ž “ Ž” ˆ ‹‰”¥
 ’ ŽLL “ ZŒ ¥ `›_ˆ’ Ž ‹‰Z ’ ŒbŽ ˜  ˆ ŠŒ ’‡ Ž” ˆ  ˆ3›g  ˆ Ž”VŒbŽhŽ” ˆ$ˆ’‰ˆ
ƒ Z —8˜ Œ ’ ŽL‘Ž¯¥ºŽ  j’‰“  ‡‰ˆ  œ
s’ Ž” ˆ†¦ Œ “  “¬`› Ž” ˆN›  ˆ1ˆ†ˆ1’‰ˆ D™`¥ ˆ“ ŽL ƒ ŒbŽ ˆ"¨ œ ¶ 8© Š ªhˆ
ªhˆ Œb ˆ Œ ¦‘ˆ Ž  ‡‰ˆ1’ Ž › ¥†Ž” ˆ¬“ ŽlŒbŽL j’ ŒbD¥ “ ŽlŒfŽ ˆ F (t) = E(t) + H(t) Š
2
= 0.
ªhˆ
¨ œ ¶>@ ©
5
“ ZŒ _› Œ`1ŽxŽ”VŒbŽxŽ” ˆ!ƒ¡‡ˆ  “
L™`¥† “t’‰ ŽtŽ” ˆ Ž” ˆ  ƒ¡‡ ¥ ’ Œ
Œ ’ ‹  ˆˆ1‡µ›g˜ Ž” ˆ  œ/E Z “ ŽŠ
;
B +B ? +>
OHJ R :H8CVWRTJ = AG79AC8G?:[email protected]?QSRYAC8G?: &? 1 AOHJ " ?R DEQ>J. DEBM? 6 Q>J 1n?B$OH?0?*;J g
:\J4?R = 2 8 BX8 " OQ>J A 6 ?RY:+ 9
7 B'$ " ?:+98Ac8G?:F= ?:2A`OHJ 9J Q>? " 8 A!$^8>=IL
79:+
exp(−Π(X)) (
d exp(−Π(X))
¸ Ž “pˆ Œ “ ¥mŽ l” ˆ  ° Ž”VŒfŽ
“ Œ “ ŽlŒbŽL j’ ŒbD¥ “L‘˜ Ž j’ Ž Ž ” ˆ  j˜ ‹ ‘ ˆ‡ ‹‰
(u j˜‰, ’ψ‡ ∞ ) j’‰‡ j’‰“œ» ˆ
I” jƒ† ™ ˆ’‰ˆ1j˜‰“ ‘LZl” Zˆ Ž ¦S∞
Œ`D¥£
–Ž
” ‹ ?`›  “ Ž ” ˆ1’ Œ “ Ž LŒ`Z™`”8Ž
`’
º
`›
¨
œ
©
¡
ƒ
ˆ
‰
’
‰
‡
ˆ
1
ˆ
‰
’
‰
‡
1
ˆ
’
ˆ
Z
‡
“
œ
Œ`‹‰‹ Z<ŒfŽ
¶>@ Ž ŽL

‹
Ž+F
u = u∞ = 0
ψ = ψ∞ = R
55
›g
Œb ‡
‡‰‡ –Ž j’ Š ªhˆ ƒ <Œ ¥º‹ :«jˆ Ž” ˆ  j’«jˆ D™ ˆ’  ˆ Ž Nˆ—8˜   ¦ D ˜‰ƒ +B ? +>
1N? :\J " ?:F= 8!J BM=N7 BMJG;9RYQP79B;9Q>? 6 [email protected]?QSRAC8G?: ?&1 A`OHJ " [email protected]>[email protected]= &A J 8:
9
AOHJ " [email protected] ?&1 OH?0?*;J :\J4?R =N2 8BX8 " OQ>J A 6 ?RY:+ 79B'$ " ?:+98Ac8G?:F= ?:]AOHJo9J Q>? " 8A [email protected]`OHJ :š J OF799J
8 :
A OHJ 1n?QQ>?f[
 8:; " ?:H9J Bc;J : " J4= L
" ?:H9J Bc;J4=0JfDH?:\J :HAC8C79QQ%$$17= A A&?f79BK=
2
B ¦‘ˆƒ
›g  ª
¸¯’ Œ
B 5
79:+
:\?BX
:\?BXM(
u
u∞ = 0
L
exp(−Π(X)) 8: 2 1
?" :H9J Bc;J4=oJfDH?:\J H
: AC8C79QQ%$17= A A&?f79BK=
ψ
ψ∞ = R
L (L )
d exp(−Π(X))
B À{ˆ Ž ˜“>“  ƒ ‹
 ’µ¨ œ ¶ 8©
 ’ <Œ`  ’‰ˆ—8˜
*
¥†™j «jˆ Œ ’"j˜ Ž  ’‰ˆ\`› ŽL” ˆ ‹‰ ?`›[œ>“  ’ ¡
™ ŽL” ˆ!›g‘:ª  ’ M
™  ’‰ˆ—8˜ Œ ‘ ŽL ˆ1“
Œ ‘Ž¯¥ Z
Z
|∇u|2 ,
D
D
! j¦Zˆ1« ‘ ™Œ`D‘Ž” ƒ ‘e ’‰ˆ1—?˜ Œ –Ž¯¥ g›  ψ∞ Š ª ”‰‘l”½” ‘‡‰“q›g  ˆ Œ ƒ ‹ Z ˆ  › ŽL” ˆ ‹
“
j’«jˆ +¨ “Dˆˆ ·jŠ # © Џ α
2
Z
Z
ψ
ψ
ψ ln
ψ ∇ ln
≤C
,
ψ∞
ψ∞
d
d
5
2
|u| ≤ C
Ž ˆ1’ Ž Œ ªhˆNj¦ ŽlŒb ’ Œ ’  ’‰ˆ1—?˜ Œ –Ž¯¥ b› LŽ ” ˆ Ž¯¥?‹ ˆ dF
’‰‡ Ž ” ˆ  ˆ3›g  ˆMˆ ‹ j’ˆ’ ŽZŒ  `’8«`ˆ 
≤ −CF Œ
j’‰ˆ1’ Ž Œ  j’«`ˆ L™ ˆ’  ˆG`›
œ
™ ˆ1’  ˆ `› F Ž 0 œV» ”‰ “  ƒ ‹  ˆ“ Ž” ˆ¬ˆ ‹ dt
uŽ 0
s’‰ˆ F ’ Œ ¥ ˜‰“Lˆ1“ ŽL” ˆ x“  “ <`
Œ  ˜ Z¦ Œ` °  ’‰ˆ1—8˜ Œ –Ž¯¥ 5
Z
d
|ψ − ψ∞ |
2
≤4
Z
ψ ln
d
ψ
ψ∞
5
Ž †j¦ ŽlŒ` ’šˆ ‹ `’‰ˆ’ ŽZŒ  `’8«`ˆ D™ ˆ ’  ˆG`› ψ Ž :ª `Œ  ‡“ ψ  ’ L2 (L1 )6’‰  ƒ§œ
∞
00 J
5
¨ œ¶ H ©
J .0( ¤2 $ ( 9? h . "! %$
b A
(30( ¢%$
1
¢ £%2 4
+ ¤ £%!
» ” ˆtˆ’ Ž ‹¥ ƒ¡ˆ ŽL” ?‡mªhˆ ”VŒ «`ˆx˜‰“Dˆ‡  ’ ! ˆ 1ŽL j’ œ ¶o “{ªhˆ ?“D˜ ‘Ž ˆ‡ ›g {Ž” ˆ  j’«`ˆ L™ ˆ’  ˆ
\ˆ
Ž —8˜   ¦ L ˜‰ƒ ¨ u = 0 © Š: œ|ˆ`œ<ª ” ˆ1’mªhˆ  j’‰“  ‡‰ˆ ~” `ƒ† ™ ˆ’‰ˆ1j˜‰“T¦j˜’‰‡ Œ`¥! j’‡ ‘ŽL j’‰“~j’
ŽL” ˆI«jˆ ‘ 1‘Ž¯¥ u œ(!’ ∞ŽL” ˆI Ž” ˆ e”VŒ ’‡ Š`Ž” ˆ ™ ˆ’‰ˆ Œ  ŒbŽ j’ Ž !’‰j’ ” jƒ¡ ™ ˆ1’‰ˆj˜“¦`˜‰’‰‡ Œ`¥
 j’‰‡ –Ž `’‰“ ŠŒ ’‡ Ž” ˆ  ˆ3›g  ˆ Ž X’‰j’ ˆ  µ“ ŽlŒbŽL j’ ŒbD¥ “ ŽlŒbŽ ˆ Št “N˜‰’  Zˆ Œb¡Ž ¾‡ ŒfŽ ˆ`œ¸¯’ Ž” ˆ
›g Z:ª  ’ ™‰Š ªhˆm“D˜ ‹‰‹ j“Lˆ Ž”VŒbŽ
j’
œ " ˆ
ˆ “Lˆ ªhˆ “D“L˜‰ƒ¡ˆ
ŒbŽ u = g j’
u
6=
0‡²j’ ∂D ’‡  :\?‹‰A  JKDHJ :+¥j98Š :;b?Œ : AC80J ŽL”V
ª
ˆ
ˆ
“
g
›
˜
’
j’
š
‰
‡
ˆ
‰
’
1
ˆ
œ
1ŽL
F
∂D Š ”  g  Œ
∂D Œ
t
()"$*#)*# (! () (!% !?ŽlŒfŽ `’ Œ`D¥ “L‘˜ Ž j’‰“ Œ` ˆ¡‡ˆ F ’‰ˆ1‡  ’ Ž” “ <Œ “Dˆ Œ “m“Djƒ†ˆN“DZ˜ ŽL j’“ b› Ž” ˆ¡›g Z:ª  ’ ™
ˆ1—?˜ ŒbŽ j’‰“8























ª –Ž”
u∞ (x).∇u∞ (x) = ∆u∞ (x) − ∇p∞ (x) + div τ ∞ (x),
div (u∞ ) = 0,
Z
τ ∞ (x) =
(X ⊗ ∇Π(X))ψ∞ (x, X) dX,
d
1
(∇ u∞ (x).X − ∇Π(X))ψ∞ (x, X)
u∞ (x).∇ ψ∞ (x, X) = −div 2
1
+ ∆ ψ∞ (x, X),
2
j’
œTs
’‰ˆ <Œ ’  ˆ1ª D‘Ž ˆ Ž” ˆsˆ—8˜ ŒbŽL j’š`’
’
ˆ\›g Z :ª  ’ ™ ƒ Œ ’‰’‰ˆ  u∞ = g
∂D
ψ∞  ŽL”
2u∞ (x).∇ (ln ψ∞ (x, X)) + 2∇ u∞ (x)X.∇ ln(ψ∞ (x, X))
= ∆ Π(X) + ∇ Π(X).∇ (ln ψ∞ (x, X)) + ∆ (ln ψ∞ (x, X))
¨ œ ¶ j©
+|∇ (ln ψ∞ (x, X))|2 .
’‡
¸¯’ ŽL” ˆI›g‘ :ª  ’ ™‰Š ªxˆ>“Lˆ Ž
u(t, x) = u(t, x) − u∞ (x) Œ
ψ(t, x, X) = ψ(t, x, X) −
œ
ψ∞ (x,
X)
¿µˆ Œ ‘ “L  ’ ŽL ?‡‰˜  ˆ ŽL” ˆ!›g‘ :ª  ’ ™ —8˜ Œ ’ ŽL‘ŽL ˆ“ E(t)
H(t)
F (t)
EV Ž” ˆs«`ˆ ‘ 1‘Ž¯¥jŠ ªhˆ¬ˆ Œ
dE
= −
dt
−
Z
Z
1
=
|u|2 (x, t)
2
Z ZD
ψ(t, x, X)
ψ(t, x, X) ln
=
ψ∞ (x, X)
d
D
= E(t) + H(t)
“  ¥ j¦ ŽŒ` ’ 2
ZD
D
|∇u| −
Z Z
u.∇u∞ u.
D
d
(X ⊗ ∇Π(X)) : ∇u(x, t)ψ(t, x, X)
¨ œ¶ ©
¨ œ¶ ©
¨ œ %j©
¨ œ · ©
00
4
b5` 5
xjƒ ‹VŒ` ˆ1‡ Ž
Ž” ˆ < Œ “Dˆ¡b› ” jƒ† ™ ˆ’‰ˆ1j˜‰“!¦Sj˜‰’‰‡ Œ`D¥² j’‰‡ ‘ Ž j’ ŠSŽ” ˆ½“D˜ ‰
‹ ‹ ‘ ˆƒ¡ˆ’ ŽlŒ`¥
’ j’  ’ˆ Œ`D‘Ž¯¥ `› ŽL” ˆ Œ ‡«jˆ 1ŽL j’ Ž ˆ  ƒ  ’ LŽ ” ˆm‚ Œ «  ˆ  ?! Ž j°`ˆ1“$ˆ1—8˜ Œ
Ž ˆ  ƒ  jƒ¡ˆ“I›  jƒ Ž” ˆ ‰
j’
‰
1
“
œ
$
“
’
’
ˆ
ŽL
 ™¡Œ`™Œb Ž” ˆ1—8˜ Œ –Ž¯¥ ¨ œ$# © Š ªhˆ ”VŒ «jˆM
5
Z Z
Z Z
ψ
1
|∇ψ|2
ψ ln
∇(ln ψ∞ ).∇uXψ
−
=−
ψ∞
2 D d ψ
d
d
D
D
Z Z
Z Z
1
+
(∆Π + ∇(ln ψ∞ ).∇Π − ∆(ln ψ∞ )) ψ −
u.∇ (ln ψ∞ )ψ,
d 2
d
D
D
Z Z
Z Z
1
2
|∇ ln ψ| ψ −
∇(ln ψ∞ )∇uXψ
= −
2 D d
d
D
Z Z Z Z
1
2
+
− |∇(ln ψ∞ )| − ∆(ln ψ∞ ) ψ −
u.∇ (ln ψ∞ )ψ,
2
d
d
D
D
2 Z Z
Z Z
Z Z
ψ
1
ψ ∇ ln
∇(ln ψ∞ )∇uXψ −
= −
−
u.∇ (ln ψ∞ )ψ.
2 D d
ψ∞
d
d
D
D
Z Z
d
dt
» ” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š ªhˆm`¦ ŽlŒ` ’ Ž” ˆ!›g Z:ª  ’ ™ ˆ—8˜ Œ ‘ Ž¯¥ j’ ŽL” !
ˆ ›  ˆ1ˆ ˆ1’‰ˆ D™`¥
F
dF
dt
2 Z
Z Z
Z Z
1
ψ
ψ ∇ ln
= − |∇u| −
u.∇u∞ u −
u.∇ (ln ψ∞ )ψ
−
2 D d
ψ∞
d
d
D
D
Z Z
Z Z
−
∇ (ln ψ∞ ).∇uXψ −
∇u(x, t)X.∇Π(X)ψ
d
d
D
D
2 Z
Z
Z Z
Z Z
1
ψ
2
= − |∇u| −
u.∇u∞ u −
u.∇ (ln ψ∞ )ψ
ψ ∇ ln
−
2 D d
ψ∞
d
D
D
D
Z Z
Z Z
(∇ (ln ψ∞ ) + ∇Π(X)) .∇uXψ +
∇Π(X).∇u(x, t)Xψ∞
−
Z
¿µˆ ŽL”
’‰ˆ1‡  ’X¨ Ž ªh
2
D
d
D
˜“>`¦ ŽlŒ` ’º›gj˜  “D˜ ‹‰‹ ‘ ˆƒ¡ˆ’ lŽ Œ`¥ºŽ ˆ  ƒ¡“  jƒ ‹VŒ` ˆ‡ Ž
œ ¶>@ ©
Ž ˆ  ƒ†“  jƒ  ’ ™ ›  `ƒ Ž ” ˆ Œ ‡ «jˆ 1Ž j’ −
Z
u.∇u∞ u −
`’‰ˆ Ž ˆ  ƒ  ’«`‘«  ’ ™ ln(ψ∞ ) Œ ’‰‡ Π −
Z Z
Z Z
Z Z
ŽL” ˆ <Œ “Dˆ u = 0  j’ ŽlŒb
∞
Z Z
∇
ln
Z
τ ∞ : ∇u.
∇Π(X).∇u(x, t)Xψ∞ =
5
¨ œ #j©
u.∇ (ln ψ∞ )ψ,
(∇ (ln ψ∞ ) + ∇Π(X)) .∇uXψ = −
Œ ’‰‡§`’‰ˆ Ž ˆ  ƒ  ’«`‘«  ’ ™ τ ∞ 00
d
ψ∞
exp(−Π)
.∇uXψ,
¨ œ ¶ ©
¨ œ +8©
J 9? h b A
+ 10
1 ?:\J " ?:F= !8 J BM= AOHJ 1n?QQ>?f[8:;1XBMJ4J$J :\J Bc;-$ L
o
l{ OHJ BMJ
9
F (t) = E(t) + λH(t)
lAOHJA&J BX K! +(amT'/ 6 J " ?0J4=8L
λ>0
ln
∇
(ψ∞ )λ
.∇uXψ,
C exp(−Π)
 OHJ MB J
79:+
79B4JA+ ? " ?:F= AG79:HA`=¬ O8 " O " 79: 6 J 79B 6 8AcBf79BX8Q%$ " [email protected][email protected] +
: (
λ
C
Z Z
‚$ ŽLZ ˆ Ž”‰ŒbŽº ›
©
ˆ’
‡‰?ˆ“ ‰
’ Ž
 “ Œ®” jƒ¡ ™ ˆ1’‰ˆ`˜‰“ :ª ¨
κxˆ ƒŠtŽL” ¨ œ +8ψ©h∞« ’ “ œ
‡‰ˆ ‹ 1ˆ ’‰‡²`’§“ ‹VŒ` ˆ Š “Lu∞Ž”VŒfŽIŽ” ˆ¬“Lˆ  j’‡ Ž ˆ  ƒ  ’¾¨ œ u#j∞© (x)
’Œ ‡ =
ˆ
ŽL” Ž 
Œ  ”
¿µˆ ”VŒ «`ˆ¡’ Ž ¦ˆ1ˆ’ Œ ¦Zˆ Ž "˜‰“Lˆ Ž” ˆ“Lˆ¡ˆ“ Ž ƒ ŒbŽ ˆ“ Ž "‡ˆ L «jˆ Ž” ˆ  j’«jˆ L™ ˆ1’  ˆ†`› Ž” ˆ
“DZ˜ ŽL j’ Ž Ž” ˆ$“ ŽlŒfŽ `’ Œ`D¥ “ ŽlŒbŽ ˆ`œ §  ˆ:«jˆ ŠŽL” ˆ$› Œb1ŽtŽ”VŒbŽhŽ” ˆ  ˆ$ˆ  “ Ž “ Œ ! j¦SZˆ3« Z ™Œ
D‘Ž” ƒ ‘s ’‰ˆ1—8˜ Œ –Ž¯¥ ›g  ψ  ’ Ž”‰ “ <Œ “Dˆ ‡ˆ1“>’ Ž “Lˆˆ1ƒ “ ŽLŒ`‘™j”Ž ›g  ª Œ` ‡_œ
5
0
∞
# " 3 %(' # %
¿µˆsªhj˜‘‡  °bˆ Ž ‹ ˆ  ›g  ƒ Ž” ˆ!“ Œ ƒ¡ˆ  jƒ ‹ ˜ ŽŒbŽ j’  ’ ŽL” ˆ!“ ‹ ˆ 1  Œ <Œ “Dˆ b› ŽL” ˆ!“ ” ˆ Œ`
:ª
o
Š Œ ’‡¹›g  Ž ” ˆ“ ‹ ˆ ZŒ s¦Sj˜‰’‰‡ ŒbD¥„ j’‰‡ –Ž j’‰“ u(t, 0) = 0 Š u(t, 1) = V ¨vª ”‰Zl”
ˆ
 L “ ‹ j’‰‡“ Ž a (t) = 0 Œ ’‰‡ a (t) = V  ’®“Lˆ 1Ž j’ œ j©3œT» ” ˆ ’ ŒbŽ ˜  Œ “ ŽbŒ Ž j’ Œ`¥
0
1
“ ŽlŒbŽ ˆ  “ Ž” ˆ1’
u∞ (y) = V y
’ ‡ LŽ ” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š ªxˆ!ˆ ‹ ˆ 3Ž
’ Ž Ž ½‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡£j’ œ?» ” ˆs›g˜’ 1ŽL j’
‰
“‡‰ˆ F ’‰ˆ‡ Œ “ Ž” ˆ
Œ ψ∞ x
y
ψ∞ 
“DZ˜ ŽL j’šb›N
−∂X (V Y ψ∞ ) − div
X,Y
1
1
− ψ∞ ∇Π + ∆X,Y ψ∞ = 0
2
2
¨ œ @ ©
‚> Ž ‘ ˆ Ž”VŒbŽŽL” ˆ  j˜ ‹ ‘ˆ
 “ LŽ ” ˆ’ Œ D“ Z˜ ŽL j’¡`› Ž” ˆ  j˜ ‹ Zˆ1‡ ‹‰ j¦Zˆ1ƒ Š “  ’  ˆ Ž ” ˆ
∞ ,`’ψ
“ Ž  ˆ1L“ “
‡‰?ˆ“o’‰ Ž ‡‰ˆ ‹ ˆ1(u
’‰‡§
§∞“ )‹VŒ` ˆbœ
EVτ‘∞
ª  ’ ™mŽL” ˆ  jƒ ‹ ˜ ŽŒbŽ j’‰“I`› Ž” ˆ Œ “ ŽV
‹ Œ`Œb™jŒ`‹”_Š ªxˆ¬j¦ Žl`Œ  ’ 2
Z Z
1
ψ
ψ ∇ ln
= −
|∂y u| −
2 D 2
ψ∞
ZD Z
(∂X (ln(ψ∞ )) + ∂X Π(X, Y )) (∂y u) Y ψ.
−
Z
dF
dt
2
2
D
˜‰ˆ Ž Ž” ˆ ‹VŒ`DŽLZ ˜ Œ`½™ ˆjƒ¡ˆ ŽLD¥jŠ ¦S ŽL” Ž ˆ  ƒ¡“  ’´¨ œ j©G« Œ ’  “ ”„Œ
ˆŽ  ƒ ¨ œ 8©p“  ’  ˆ
‡‰?ˆ“t’‰ Ž ‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡ j’ œj» ” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š j’ ¥GŽL” ˆ Ž ˆ  ƒ
τ∞
ª ”‰‘l”½<Œ ’m¦ˆs¨+¦ ¥ml”VŒ ’ ™j ’ ™$ŽL” ˆh›  ˆˆhˆ’‰ˆ L™`¥ yŽ
© ˆ3ª L‘ŽDŽ ˆ1’
E(t)+λH(t) 
›g  ƒ ¨+“Dˆˆ oˆƒ Œ` ° ©
Z Z
D
2
∂X ln
(ψ∞ )λ
C exp(−Π)
ª ” ˆˆ
’‰‡
ˆ ªx Œ` ¦ –ŽLŒ`L ¥N `’‰“ Ž Œ ’ Ž “œ
λŒ
C Œ` Ž
’‡ L“ ¾‡‰?ˆ“ Ž” ˆ
¨ œ ¶ ©  ˆƒ Œ` ’‰“ Š
 ’ Ž” ˆh›g‘ª  ’ ™
∂y uY ψ,
00
%5 1
0
:0A`OHJ " [email protected]$?&1 [email protected]?H J*79: 9R [email protected] J [email protected] J " AC8G?:]+(>dW/@l AOHJ JfDEQS8 " 8A[JfDEBMJ4= g
9
= 8G?: ?&1
L
ψ∞
1
2
2
2
ψ∞ (X, Y ) ∝ exp −
(1 + 2V )Y − 2V XY + X
2(1 + V 2 )
" 79: 6 JR [email protected] l O8 " [email protected]!8 J4=79:U79QSAKJ BX:E79Ac89J [email protected]?&1?&1 " ?:H9J Bc;J : " JA&?$A`OF79A ?&1 J " AC8G?:N+(>d&(
?Ac8 " JAOF79Al " ?:HAcBf79'B $NAK?^AOHJ " [email protected],?&1$OH?0?*;J :\J4?R = 6 ?R:+ 79B'$ " ?:+98AC8G?:F=4l
[email protected]= :\?A
ψ∞
=W79AC8>=`'1 $NAOHI
J J AG798Q>.J 6 79QP79: " J 8: AOHJ [email protected] :[email protected] AOF79A
8>= [email protected]?QSRYAC8G?: ?&1 L
ψ∞
1
1
−div (∇ u∞ (x).X − ∇Π(X))ψ∞ (x, X) − ∇ ψ∞ (x, X) = 0
2
2
6 RA :\?A ?&1 L
1
1
(∇ u∞ (x).X − ∇Π(X))ψ∞ (x, X) − ∇ ψ∞ (x, X) = 0.
2
2
+# ! % ' * #" %(#
s’‰ˆ Œ ’ Œ Z“L ™ ˆ1’‰ˆ LŒ  ˆ Ž” ˆ1“Lˆ  jƒ ‹ ˜ ŽŒbŽ j’‰“!ª ‘ŽL”
ŽL” ˆ  ˆ’ ŽL ‹ ¥ ›g˜‰’ 3Ž `’‰“ ŽL”VŒ ’
œ §  ˆ ‹‰ ˆ  “Dˆ j¥ Š ‘ ˆ Ž
¦
ˆ
g
›
‰
˜
’
j’
©3œ
ΠC2
1ŽL Š L“ ˜ l ”¡ŽL”VŒbŽ h(1) = 0 ¨g“Lˆˆ
∗
x
ln(x)
h
:
R
→
R
+
» ” ˆ1“Lˆ Œ` ˆ Ž¯¥?‹‰‘<Œ {ˆ Œ ƒ ‹ ‘ˆ“I`›pˆ’ Ž ‹¥ ›g˜‰’ 3Ž j’‰“8
h(x) = x ln(x) − (x − 1)
h(x) = xp − 1 − p(x − 1) ª –Ž” 1 < p ≤ 2
¿µˆ ” ˆ  ˆ  j’‰“  ‡‰ˆ >ŽL” ˆm“ Œ ƒ¡ˆm“ ‘Ž ˜ ŒbŽ j’ Œ “  ’ ŽL” ˆ ‹  1ˆ «  j˜‰“ ‹‰Œ`Œ`™`Œ`‹‰” ¨ Œ “ ” ˆ Œ` :ª
ª –Ž”
© ¦˜ ŽoŽ” ˆ!›g Z:ª  ’ ™G jƒ ‹ ˜ ŽŒbŽ j’‰“ Œ ’§¦Sˆ ™ ˆ’ˆ Œ  ˆ Ž Œ ’ ¥š™ ˆ1jƒ¡ˆ Ž¥ œ
u 6= 0 Š
¿µˆ¬∞“Dˆ Ž ª ” ˆˆ
ψ
”VŒ «`ˆF ∞
Z
1
E(t) =
|u|2 (y, t) dy
2 D
Z Z
ψ(t, y, X)
h
ψ∞ (X) dy dX
H(t) =
ψ∞ (X)
2
D
F (t) = E(t) + H(t)
 “  ’‰‡‰ˆ ‹ ˆ1’‰‡ Œ ’ Ž `› y Œ ’‰‡  “s‡ˆ F ’‰ˆ1‡ Œ “ Œ “DZ˜ Ž `’Á`›s¨ œ @ )© œ
Z
Z Z
dE
2
Y (∂X Π) ψ (∂y u)
=−
|∂y u| −
dt
2
D
D
¨ œ H ©
¨ œ j©
¨ œ ©
“ Œ ¦:«jˆ Š ªxˆ
¨ œ ©
>“  ’ ™> ’ Ž ˆ ™`ŒbŽL j’‰“¦ ¥!‹VŒ`Ž<Š1ŽL” ˆeˆ—8˜ ŒfŽ `’ ¨ œ ¶ j© Œ ’‡ ŽL” ˆ› Œ`3Ž_Ž”VŒfŽ
∂X ψ = ψ∞ ∂X ψψ∞ +
Š ªxˆ¬j¦ ŽŒ` ’ Œ › Ž ˆ  “Djƒ†ˆ Ž ˆ‡  j˜‰“  `ƒ ‹ ˜ ŽlŒbŽL j’‰“
ψ∂X (ln ψ∞ )
dH
dt
00
2 Z Z
1
ψ
ψ
00
= −
h
∇
ψ∞
2 D 2
ψ∞
ψ∞
Z Z
ψ
ψ ψ∞
0
Y ∂X (ln ψ∞ )ψ∂y u h
−
−h
.
ψ∞
ψ∞
ψ
2
D
¨ œ @ %©
4
A "& " A » ” ˆ  ˆ1›g  ˆ Š ªhˆ ”‰Œ «`ˆF
2 Z Z
ψ
ψ
1
00
= −
|∂y u| −
h
∇
ψ∞
2 D 2
ψ∞
ψ∞
D
Z Z
ψ
ψ
ψ∞ ¨ œ @?· ©
0
−
−h
.
Y ψ∂y u ∂X Π + ∂X (ln ψ∞ ) h
ψ∞
ψ∞ ψ
2
D
,Hq
=KDHJ " 8C79Q " [email protected]?&1 OH?0?*;J :\J4?R.= 6 ?R:+ 79B'$ " ?:+98Ac8G?:F=0!
79:+
9 :"AOHJ/@
l [email protected]`OF79A7 = R " 8GJ :HA " ?+
: 98Ac8G?:bAK?N? 6 AG798:_AOHJJ :\J uBG∞
;-$^=J*VW0R 79QS8A!$
∂8>=L
ψ∞
X A(ln
OF79A
L ) 0= −∂X Π
l O8 " O $8GJ 4Q =
( OHJ BMJ`1n?BMJ4l [email protected] = AOF79A
h
(x)
−
h(x)/x
=
1
h(x)
=
x
ln(x)
AOHJC7, 7 DEAK.J $J :HAcBM?4+
D $I1XR: " Ac8G?:,1n?BAOHJ " [email protected]>.J ^=J$ = AKJ 8>=8+
: J4.J
( ?AC8 " JA`OF79A
?:\J " 79: ?:bA`OHJ " ?:HACB*79'B $,R [email protected]^79
: $^?AOHJ BM=J :HACBM?4+
D $h1XR: " Ac8G?:F=oAK? = AcR x-$ln(x)
,AOHJ " ?:H9J Bc;J : " J
AK?bJ*VWRY8QS8 6 BX8R ?&1 AOHJ H? H J B g QP79: " 0J*VWRF79Ac8G?:279Q>?:\J^[email protected]#edM)e/ (
Z
dF
dt
»
2
"! @·$#&% '( )*,+-./00122 435**6/) 7835* −
Z Z
D
ψ
ψ
ψ∞
0
Y ψ∂y u ∂X Π + ∂X (ln ψ∞ ) h
−h
ψ∞
ψ
ψ
2
∞
Z Z
ψ
0
.
=
Y ψ∂y u −∂X Π + ∂X h
ψ∞
2
D
29 &1:%$ ! 2 2;
(4$
(9 "!) (3$
<=>")&0 *[email protected]@-1CD/EFBHG?JI 10G?IK*?L 7$DEBX8G?B 8 1M0*[email protected] I>1 7NO1)O'1
* 0P I"NQ" *? 7)L+RBHGS)*?P ,*3F % *?P @1IT0NS01 )"7UT VO % *XW=O % 0*
L*DI" ) 7U*[email protected]*NSL1 % P )I ! ¿Z[BHG?\0 *6/]B'KP")K)^ [[email protected] % ) % _*3
`*D*?a'H8I P b+ +- )c)8d0 H *6/.CX &efPB'f=N4*J+- % * I 101Ib 1I8*F %% *?P"fg35*?
>1M0*[email protected] ! (*?01*6G?1CS/&F 6G % % aIVB'h IB'@"I>1M*[email protected] % )*? *
P I"N8 % *?P @ 1I,0NS1i)g @"fNS0 % "1M*[email protected] ! ¿]jb")kM*@fN
35P % *?lCH/EE 6G&+-1b+ *`@ *6GE35*?0> N` @-*? h(x)
f = % x*?Mln(x)
G?7? % &*defP )+ 0)P 2 % 0m*'3k *O*?71 *?P % )+-*?P "IB0N % *?"I )*? *2 4G? )* % =N !
&P" % *[email protected] P"'*? OI 4)K )@B'@R )HHG8 )*'*3geSP"10)*?"dP "* juG?1I <=[ % b*'3n *?L*?7? 1*?P" )0 % `+-*?P IB'0N % *? I"*? `*?o 8G? )* % j=N u C
"*$/p*[email protected]*?0q % *[email protected] P"'*? P 0) 7r m* % B % @ 0* % 10
s IV *
bI j=N235P % )*? # t <[email protected]*?0+ ).*[email protected]*?0u 10 % *[email protected] PDv'X
)*?t `*?V I") % w 1IV0NS01 t ψ
<=L % `*3R *?L*?7?1"1*?P % )wx+R*?P" IBN % *?"I )*? n* u Cf"1` w/
107N]1>'12P 035P F*^*?+Dvy7 )*?+B jW=DWz)LK ) % UP j t `*$/{*
0 *6/] % *?MG?7? % 4*'3l d010& *1Cf35*?|" % *fG107?1 % 4*3l JI j=N
t
ψ
`
6
*
/}*L7?1"1 ) F % *[email protected] PDv')*? OI F/jV *?L*?7? 1*?P" ) % )w+R*P DW
I 0N % *? I j*? *?K".G * % =N>*O"*?2 *?L*?7?1"1*?P +-*?P I 0N % *? I j*? t
00
0 ,Hq
%5 !"# $% !& ' $( 0 ,QP
'
! "
" & % [email protected] j0[@ *SI P jKP y0 % )[email protected]]IB' 7 ! < [email protected]
'* vLOMkI [email protected] f1 % *?M!D& I P fI @ *+">')efP cj1 IB % 0
@B'0.)"lefP )#w *SI 1fP $10)efP 1P")1 !
%-,-,
& "! $#&%
(' # #)& *+ #& % , - %) .0/ 1243657(3 98 2:<;1= / 3 /?> 643 ; 8 [email protected]=(1A / ; / 3
/?> (12;:B234;: C3 / 31423"D$D / E
[email protected] HJI&G+KLNMPOQLSRTUVWG+X"LSY[Z]\N^[email protected]` G+XLba)MPZdc
e [email protected] M2hig_jh4k+Lb_T+lmLSM4ZdnNRYoc2Z]lpTYdRqhPZ[g _rgsthPkLWZ[_+`T+c=hPM4ZdRYof+M4g ` T+nuh4Z]g_vgsDRY]T H
lwZ]_Z[T+lvGVikLAlwgh4Z]g_xgsh4k+LAh=y&gz_g_xlwZdc4nNZ[OY]LpnNg_+` [email protected]{h4Z]_|w}+T+Z]`cZ]clwg-`LNY]LS`
hPkM4g T|kvhPkLAZ]_+nug lmf+M4L~c4c4Z[O+Y[LAR€^Z]LNM4H=h4g ‚LSc&L~ƒ [email protected]][email protected] TfY]LS`vy„Z hPk†h4kLv‡ˆf+RH
M‰ROQgY]Z]n~Šm‹ŒRq y&LNY]Y„LSƒT+RqhPZ[g _+cSG(-hPRO+Z[Y]Z[ŽSLS`$+_Z[h4LxLSY[LSlwLN_hPcmhPLSn‰k_ZdƒTLSczR_+`R_
‘ M4OZ[h4M‰RMP’“XtR|M‰R_+|ZdR_•”?T+Y[LSM4ZdR_–sˆgMPlpT+Y]Rh4Z]g_—‡ˆsˆgMzhPkLxlwghPZ[g _–gshPkLxZ]_ hPLNM4H
s˜R [email protected]‰Rqh4Z]_|†hPkL™h=y&gxsˆTZd`c‰ŠARMPL™T+c4LS`šZ]_›hPkLr_-TlwLNMPZdnNRY&c2Z]lpT+Y]Rh4Z]g_"GVikL
Z]_+` T+c2h4MPZdRYf+M4g OY[LSlœR_+`vh4k+Lplwg ` LNY]Z[_+|rc=hPMPRh4LS|’jRM4Lbf+M4L~c2LS_ hPLS`†Z]_` LNhPRZ]YdcNG ‘ _
g T h4Y]Z[_+LzgshPkLz_-TlwLNMPZ]nSRY([email protected]]’-c4ZdcgshPkLzfMPgOY]LNl†Uoy„Z[h4k›R†c2fQLSnNZ]RY(LNlwfk+R c2Zdc
g _wnNg_+c4LNMP^qRqhPZ[g _ž[email protected]`mc2hPROZ]Y[Z[h=’pfMPgfQLNM4h4Z]LScDZdcDfMPgq^-Z]` L~`oGq”(RlwfY]LSc?gs_T+lmLSM4ZdnNRY
c4Z[lžTYdRqh4Z][email protected]]_+` T+c2h4MPZ]RY"nNR c2LbRMPLWLN^ LN_h4T+RY[Y]’zfMPLSc4LN_h4L~`oG
Ÿ &š/ 8 I P )&@"*?+1¢¡ P O )P" @ *SI P % *?x¡ O7? w*?MNSI *SI"NSBL % ¡
3501V)M03s % W¡ =/&*XW P I *6/£h
¡ 0P 03s % K *?xx¡ 7?1*?L %% *?"1G''*? )H/¤¡¥†¦6§
35*?0bP)'*? !
¨~VikZdcRM4h4ZdnuY]LAk+R c6OQLNLS_ŒfMPLSc4LN_h4L~`†O’jh4k+LAh4k+Z[M‰`xRT hPkgMm‡ &XtaiŠRc6R™fY[LS_+RMP’vY[L~n{h4T+M4LpRh6h4k+L ‘ ‹Œ©=I
nug _ sˆLNMPLN_+nNLU ‘ fM4Z]Ytª«« ªU X"Zdc2OQg_"G
%?¬D­
£ #i% ' L;2:29
,[email protected]*?0. ,*?Z )*? 7XWzu/&*a[*?\"LL*SI ) 7K' I_ ,fP L1 % !k)8PDW
)'*? *3JQ % *"jNS) % #AP 01IQ35*?b K I P [email protected] *SI P % )* *3F$)P L) P ! 0B!%'&[email protected] fO % B!#) 7?)"7U0P 1LI +MN [email protected]"*?+(1 !*) SHCx/&V)0*"'
0*?OLL*DI +% ) 7I"#, % P(j11Cl/" % 0O*'3A7? 1!x)M1 ! L"*$/ "*$/i/&O*"jG?1I
*? % % P 8G?M1I^ ! <=^*? 2f1 % CE*?P [email protected] @ 0*M % % ^+RVP LO#1- 1IT,35*" W
*$//g
. /E % *? I"P % LoI"[email protected]'"1O' % !h
B$ NS8*3 KO*SI +) 1C 1 /E35* % P b*?
*?( ) 1j)k*?r @ *+() (C IL)8P( 'E 1 % *? 01efP % &*?r"`+-1 6GS*?P *3& L0NS01VC 1+MN % *[email protected]( 1L1M 70) H.'@ @ *? % 1YBX8'LO*?0 % *?LO*( N
I wG?+) *[email protected]()K 1 'P !
B2 *?>"_a'Z*3Y+ 0GS=NCA/&\0B!%d
*27?* "1\f* \I wv#) "1 1>*? O'"1O' % ! ! NS&*3 JL*SI 1Cf *?E*? dfP O % !R B!j NS)h*3 FL"*DI !
ZZ0B!#4
*?( N 7?G y*?P"3) _*38 \ % " )efP (/E BHG? I *[email protected] *?2I G *[email protected]
"I @ 1M,0)7? 4& % 'fmbP() '*? 4/&>[email protected]*L1I ! B2 *?mL*?0>I wv#) 1C /Ew351
(M1011IT1I ,*\* ,@ P +( % X)* b*3dP 0.6587"D9 C:<?; C+:!7 >= 7$? ! <[email protected] % P( C
% *[email protected] )*('0 % 5 = ;? @ 01Md, *?*P 7?V %1% *?P M`*3 .fP L1 % !l B!j ND0) !
!
@6ACBDACB
FEHGJILKHMONHPRQTS(ILUWVYXOS(Z*[\VLG]
^ > I P [email protected]"*SI P % )*?U*3$)P L) P )Y(@ 0*?+(1 *3A*?P"v"I ) 7VI 4, % P(=N !
CRj03 % *?L) 7L35*? ^ ,$)P L) P [email protected] 0*DI"P % I[35*? \!P L) P q* SNSI ›¥H
BXGd35*?0(Cf+B'P D ! <=>@ 1 % F*3aA
` '+-*?lCM J!)P"O )P 2 _ * 3DNSI v¥H
)h1I"P % I
f*[email protected] P"! P L) P ! ^ 10O*SI"NSBL % !%j N?Cw A01I P % *? % b*?bN.* %1% P"2_ 30*?P Ic;ed"d"d
I 7?1&
` ) 0)P [email protected]'P E' / % ¥O) P L) P y) f)efP I ! ¦ gP c+ 0)+g"N.) I % '
B'4O % >' % @ % P 08*3n m35P" % )*? 7L*3"b % *"j NS) % +% )dd35*!%)*6/m
5ihR:j? # S. +) % 0 %% P"M*3l J*?0I 1E*3 5 ¥p0P h 0*?P 7?L=/&*b"*?#1- *?Mv$k) HN?10&*3
% *? I P % 78 % *[email protected] 010)+( lBg P I 1CMB'O+ Nr10.+B'O*'3 "J! P L) P * SNSI J+R*6GCS I
m) HN?1Y*3' )efP IZ$) P L) P +- *6/.Cc/" % Y >$) P L) P @"*SI P % Ion 0*(3sL(
p k2 7?P 01h ! ; #w! ^ .* SNSI *?I P % )*(0H % )*[email protected]( % .+R*V' 4M13s % .+-=/E1
4=/&*YBg P )I"
h ! ; #
"IK'h `P 3s % d*3c"*DI CM/ % @"*6GS)I d+B'O/O q`A0+R*> 1I I35*?n 0H % )*o.
7M'
h ! #
3 O 2− + 3/2 C −→ 3/2 C02 ( ) + 6 e− .
^ Y7"*?+B!R+B!' % 40HI Al2 O3 + 6 e− −→ 2 Al3+ + 3 O 2− + 6 e− −→ 2 Al + 3 O 2−
h ! 7 #
^ dI #rR101 % d*'3l % % @R*'1M!B 1I I>35*?n"d* SNSI *?I P % )*>)x0>!#c '*?P "I>
35w/tsx*"j # +"P"x )M1 0=Nb*'3R % P 01ME)n0*u)7AB'n % % @R*6/[email protected])
% #B)nfP 7? ! ^"d0H0*?L/MN,"`M1"=Nb*3 ) % %% P 01ME)nva'1O*u07?
F*3 % *P 08BXJ"befPBMj=No*3h$)P L) P @ 0*DI"P % I_)o % +% )[email protected] *[email protected]*?)*B! *
.)M j=N\ %1% *I 7"N,* h ! ; #0#w! 2 *K)M1 0=N0P % [' 5 ¥8CD [email protected] 0*DI P % *?
`[email protected] % !#NK*3nL35/ *? d*3x!P O )P" @-1 % # [email protected] ! ¥10 [email protected] Md*[email protected] 0*DI P % *?
*3k!P O )P" % *? 0))K*?"Ls*?OMN # ))"Ms # *3 C HN?C ":!d % #) % *? % IoK10) !
2 Al2 O3 + 3 C −→ 4 Al + 3 CO2
%?¬wv
$
"! $#&%
(' # #) *+ #&
% ,j- %)
^ J) % % @-*$/E1& 1I 1I35*?h `/ *"[email protected]()[email protected] % !#Nr*3 J*I &*3 O7?"P"I *[email protected] *SI P % 1IV+fN2* 4P j*3 % *[email protected]*NfP % [email protected]()M !
rJGS)/Q*41I"P % 7F &@R*6/E1/&0C AI 0v' % +-=/E1L % '+-*?, *SI ]
*% $G10) 7 "o*[email protected] *'3Y % %J
I _P 3s % _*'34 \! P L) P HN1\s @R035 % jN
*% ? I P % 7ug P )I,I % j N % *? % IO*. % ' *SI 'n"`+-*0*? *3- % +% # )*Y+-
a'[email protected]"k O!#? @-*?0)+( ! <="I 1IlC$ nM1"=NF 1I *+Rna'[email protected]"k) 7? @R*+() 'C
I O )0 )"7 [email protected]*6/E1nL*?P M *JI O )0 ) 7A &I"#Rr 1 % E*[email protected]*M$ ! ^ l) '1C
/ % ),+-*?P I"1I^350*? +- *$/q+MNT [email protected]*1M)!
1I I 35*?r V* SNDI"*?I P % )*?T*
* %1% P 1Cx),$) *\I P"V*\ [email protected]*1M)!A
I 0*[email protected]) Z5+BI(j N % *?"I P % ) 7 # P @ @-1 Bg P )IQ*3
% # ! ^ U7?*M$F
) 1035*?0U*Ta'[email protected] _ % af o*'3m ZP"@ @R Bg P )I HN1V
0>!#&
'[email protected]*?0+() ! ^ b % af 10L % $%) I " 7 7
7 / % )r[0 3
"@b BX*?No ! x
^ [email protected] % !%j N?CR r*?0I 14*3hO7? jP I"8*3x", *SIDW=L!g
I")0 % r)
*3F\35w/ % M)L10LG10 % !%j N?Ck/ % ^L\G10NQ)MN I 0v' % K/^[email protected] % L*\ *%- *?Mv!R #1- 1*'3 % %- / % V0F*3c"4*?I A*3 OMN>L1C"6N b+MNF; m
d * &
OI H' ! <= 'I I )*?[*V )[email protected]$) %- ) 72'@- % mX)*"C ,O)\I 4, % P(j =N_)_NS) 7
*rI )L) L 4' *DISW=Lv$R I 0 % H) )A)O J3s % AB'HCDI P F*b [email protected]"101 % m*'3 +) % 0 %J% P 01MHCS % *?"I P % ) 7 Bg P )I"E "@-10) % F0*? 7›¦ *?01M J
- 35* % 4 d) I P % 1I
O7? w % B& I,)n*3 "`*I n*3d ! db;'^ # ' IL 1035*?0O*6G8 [email protected] % !<Bg *6/ G?+) * % j=N
o % #g \d ! O ' #! ^ ") % P 014L*$G1L1M4*3n bf13s % 'C-/ % [email protected] =/E* Bg P I ! ^ &L*$G1L1MAOHNY) H'IL*b) v+"%) j1 ! ^ 4"*DIDWzOwv!B I"v' % ` *P() I
+->0>!#
*(1I"P % > % *?0i¡g *6/EG11C mI")0 % >"*?P() IZ+ROPb, % )1M3 No 07?r*
HG?*)I_"*?0W % % P R. )J*[email protected]"O#H- ')*?2F_ "@-10)L1Mv$ % B!#) 7? ! ¦ 4P"F) I"11I
[email protected] #1- OB'83A >f13s % O+Rw=/&1 L=/&* g P )I mG18*?P % 8 *SIlC % *? efP 1 % 1[OHN +-_I '>' % C&2H0%j N P "I 100v' IB+( _/ 1 *?0W % ) % P j
* %1% P d'P % (fP [email protected]*$/E10 ! ^ Y)wG?1V [email protected]*?0)+ #) j=NO*'3kI 0*6NS) 7r"Y010)1*3
% % ! ^ % B$%) 7?`)&!% FL*?`I #, % P( &E Ff1 0=NLP 01IK)L % # +R % *?L1
) 7? I ) 711Cf/ % VA)"I 1I2 % 'F/ 4 I( 101a>35*? B& % )! @"*!& !
¥dF)`*3 ( % Y35*?d I P 0!c @ 0* % 101CR"8O D)bP [email protected]*!U
r B'd)`I 0HL1I
*3g/%# +-Y*+"v 1IK+MNVI"*[email protected]" 7raMNKX17)1CB*?K .+-*?I"13 ) 4*'3k 0+ % )1 !
" !
!
!
anods
cathod
wh ! ;
@6ACBDA
bath
free interface
aluminium
¥do!P L) P % +%*."G10 % ! % P" !
KOGGM Z*S KlN\] GSbI"!UWVYPTIC] NHVLUQbILZWKHP
^ 8
v78)` *6/ w ! <zJdP "I 100v' IB+(mB' % ?* M0*"%) 7L I(*[email protected]")L%-1 7rP %
T)"I P 0)!&@ 0* % 10Lr *LTH'0N a ! ¥JT % !* NS % +%AraS IQ*3J_/ % aI
%?¬$#
£ #i% ' fGS*? L1M1Ck/ [email protected] % )[email protected]!A*+ 0G''*? r'KI 4, % P(m*_Oa ! §G?
L*? j*?0) 7Y [email protected] "1 *?L1 [email protected](HN>) 0)I ` % % ) % B$%) 7? ." )[email protected]'P 'C
% *?0*?jG?bL1I P VC !j!!j! `&*?M0*"%) 7O I[*@"O#-1)"7LJ*?"[email protected][35P ! <=_P % UO35XW
L/E*?a CMfP L10 % $ "bP()'*? % 'L, % )M N % *[email protected](1L1M"[email protected]! X17'N?C
"IoIDG'f7?*?P 3 jN % *[email protected] 'F35*A/EH'aS"101 !
\f1 Iy*TI I"10o]35P"0"1V10H % Z*@">! % *?M"* [email protected] 0*?(+ )(C&HN .
*6/ *[v+"% )# -1r"@R*)*?Z*3")M03s % t ] % @ L1m *?bP )I +->P 01I t
[email protected]*?0(+ )b[@ % % t <=\P % U I P 0! @ *(+ )OC J *(P )I_ I 1I_+Rr+-*?0_)
L) IUBX8">@ % % $ % *? ')M8O*31"*?L*?P m)[email protected] % Y
. *?L % P ! % *?M0"* @B'L1A` F"1)7f&*3 *SI CD"F)M j=N?Cf [email protected]*3 % *? I P % 7b/)01
+ 0) 7) 7. % P 0f&*b' I>35* % # ! ^ [email protected]'L1 % ' *&+R`P I)O1! )L ! ^ Eh.351'P 0B'hbP"0h+Rd %% *?P M1IO35*1CM*? /&6N,*E' *"11C?/"[email protected]*? 7
.*[email protected]"O# -H')*[email protected] *(+ ) !
&P"L35*?r 2OK+-1 7 [email protected]" )L)B'0N I " % 0N^[email protected] +-35*(' % af) 7
*[email protected]")L% -1'*[email protected] *(+ )(C I ! )0*ob([email protected] / % Bm8*6/ )M101Cg/E>BHG?
% *? % MX1I *?P K r *?K*? _I )0 % 2)8(P ')*?^@ *(+ ) ! <zK/A'V! [email protected] % I B'
K(P jb*3 % w35(P AfP L1 % ! hb(P )'*? % *?(P I 7?GK(G'! PB(+ >)")7f8)M*( P "I 100v' I )"7 *3F [email protected] "1 *?L1 ) 0)I 2" % + % Cx I 1035*?0o)L(@ % j jNZ")@T*
*[email protected])L% -. ! <zJ)`) I"11I( % 0 ! &P"d+Rw35*?Y/&mI 1 % +RY mO*SI + ))"7L'7N2/&
BHGmO(@ *6N?1I C =/&* % *?LL1M`04)2*?I"1 !
2k)001C Y3s % `BXd! [email protected])L1M! c*?+ 0G'')*? d08I 4 , % (P 1C IV 35*8'"1
% *?L(@ 'C-* HHCRB. *' % *?"1efP % LB'[B'F*3h7?GS)"7>35(P %cG'! )P"8*
F0'17NO*3cfP L10 % $ R0)b(P )'*? ! <zA! )0*[email protected] % jN>01 I"1E A0'17NOI # , % (P 1C
+- % P 8*3k ) % aK*3 % *?L(@ )w.+ ))(+ )JO1P 01L1M ! ¥dd*( NVr35/ LH'P 01F'
HG'% )(+ CH"&efP 1*?b) )"I 1Ib *6/ *F*+"vmI"+ &B j % *? % )P 0)*?"+-*?P" hG'! )I =N
*3 JfP L10 % ! )8(P ')*?" ! <=*?0I 1x*8*$G1 % *?LCDE3s'[email protected]*?0(+ )'Cf )hI 4 , % (P =NC
/E.BHG? % *?01V+R*'U # *bG'! )IB'J*?P"! )7*?j Lx*?V % I"1L % [email protected] *?b+ )1L1C" I
5+ # *`Nb"Ib % *6G?n)1
n=1! 4ph0)b(P )'*? @ "1 *?L1 J/&+ %SaS"*$/,m"A1 7) 1 7
/E*?3 IlCA*?> % )@-1/E #Jaf *6/ +MN 7? 1K*3."m&B I ! ^ [email protected]"*6G?y* +R\
0H0*?B(+ .0'7NKV0P % [ % *?M S1C-0*L3s' !
% *? IlC j4)JP w35(
P *2L1M*?\'4")[email protected]*?)MF ,@R*(+ )8SP"O % ! [email protected]"@ *M % 1
35*?b )[email protected]"*?(+ 1 ! [email protected] )3 NS 7[0P [email protected]")*? r 6GK*\+R2I * CnI P"2*[ 2*6G?0/ + jW
L) 7ZfP b+-1*[email protected]"fNS0 % $ [email protected] *?L1BZ)MG?"* jG?I ) o35P % *? )"7Z*34 % % CxBXW
L jN[5 # >7 *?MNDI"*SI"NSBL % J # Ccs # O*6GS)"7b)M03s % C s) # 35*>7 )
2O'$ h K+R*P IB0),OI K*'3db3510*?O7? w %6# C&sjG # % * % 1L)N
% *? % 1M'*?>*'3 " % O % ! [email protected] % )&h"*&"*?O*7?1 *?P x 0*?P 7?"*?P"x d+B'lC
/ % B'Y0*[email protected] % .*?\"L!7 )*?+B$ +RBHGS)*?P 4*'3&" % # # Cn5G # [email protected] B0Y
gB*6/
5+ P + (+ 1d*3 % '+-*?o* SNSI 14Xd 80P 03s % 8*3 *SI r5K h ! #0# CB0"* )I # & % '*[email protected] * % ' m+-*?P "IB1 # C 5GS # [email protected] 0Y r % b / % ()b gBP"1 % 1 .G'! )P 4*'3k"[email protected]"fNMW
0 % $ [email protected]) @B'0 % (P ) #! PB$ %NCk % *?MSP"P ([email protected] P + o
N gBP IlCkI % )@D)* )
*
1
z
<
O
J
s
j
G
R
C
5
G
_
I
S
G
`
7
"
)
l
I
S
C
?
*
x
R
@
?
*
@
?
*
>
I
Y
*
@- % # & % ! %jNrI 1I" % X1I
%
!
# #
#
%
P I 1Cn 5) # )r %% *?P"f1IQ35*?b 1v(+ )0 ) 7( K+-*?P I 0N % *? I"*? 35*?m O7? w % &B+ )I ! ¥[email protected] 0E35*?|"[email protected] 01M/&*?0a CD"F D) [email protected]"@ *M % 1'J01M)! %jN
+B'1I(P @-*?K .P 0Y*'3kL % B' % ! '@"fNS0 % $ 7P OMA*,7?P"1` % @R35*0v'+ % =N?C
@-*?0)(+ jN8*?7? 1n/jLY'7Nr*3RfP O % ! 0)bbP ')*?b+ IOP @-*?Oq
))"H0% -HX)*
@ 0* % 1I P"[email protected] [email protected] ))I>*b 41efPBX)* 'A JGS % ) j=NL*3c FefP % )+ 0)P |v'C"35"* #)*6/E1I
+MNrO
))"Hc0+ # )=NY'B! NS0) ! <= v % 1n*'3 P % r/E*?afn0q
5i7b;?C 7":DC 7 = C ;"; 9SC ;"; DC ; 7 DC ; Rdj? !
%?¬
$
O; "! $#&%
q
(' # #) *+ #&
% ,j- %)
P 40'17N_ .+R1\*VI *[email protected] )"L"*?() H'[email protected] @ 0*M % lCl/"1L *0) H$W
0 %-HX_ )*^X!#A),OI ', % *?MSP"*?P Y)G #w! ¥J,vP"7?MO*ZP L+MN^B!jND0),*?
10mjPBX)* ,swG? )\I % !%jNVI #rR101M % *?M!S # C V *() HJ0v'+ %=N(B!jNS)C
h `*? ` 1I IK 10`*80P I"N,"J0+ #)=N8*3 JM13s % `+-=/E11 =/&*g P )I C
% ^*( N % *?LK*?P",35*? I )0 % OfP L10 % !AbP()'*? ! ^ L ,+R1 *P r+R*'*
) ! 3 % *?P 0C-/&8*?( NVBHGbP %% 1I IUo*?P"[email protected] 0*?7?'u'J [email protected] 0 % 8*3nI"*?) 7O*"1
0)L(@ )_ j3 ND 7r0P [email protected]")*? C *?"Y*'3g 10 )'I2*, *?( ) 1j=N>P"1 !
^ 1035*?0Cx/&(00L/^"(G?0N % *O(@ VNS0 % *? 0)0) 7Z*3J ( S/&+ %
eSP '*? % *?P (@ 1I>*m JbbP 4 gBP I ) 6GS1W *a1E1efPB')*?"1CD I> 1>0N,*mI P % % *?L(@ D=NL+MN % w35(P %[email protected]*?0) 7YO(@ 3 NS)"7m'P"[email protected]")*?"&/&4 6GF*! % *?M0"* P @-*? ! ^"mND/&Y00350*? 1035*?0Y0HI"
I G
h ! #
∂t ρ +
(ρu) = 0,

I G
I jG
1 ;+1

h ! : #
∂t (ρu) +
(ρu ⊗ u) −
(2η(u)) + ∇p = ρf +
B×B
µ
I
j
G





u =0
∂t B +
;+1 E
= 0
B = 0
;
+1
B


= j
 −∂t (εE) +
µ
j = σ(E + u × B),
I jG
h ! = #
h !9 #
/ h*? x % *?7 %-1E5350*? h ! # *mh ! 9 ## x>' % *?"1G''*?.1efPB')*?lCH x) % *?rW
@ 010)+b)=/&*'W gBP I ) HGS)1 W *?aEefPB'*? Cf oS/E% eSP '*? E I " WH/ !
Zb)M*SI P % *>I 1 *'m bI j=NV*3n ugBP I r5d)[email protected] ) % w/) % *? _ vMF35P" % W
)*? # C .G?+ρ)* % =N & )I C Y>'7? % &B+)IlC Y % % & )I C " % P 01MHC
Yu+-*DI"NK35* % >s7HGS=N # CB [email protected] 010P u&BIlC-E I
mI 35*O'j*?K7?'I )f
f
p
(u)
! ^ L) % % ! % * I P % GSj=N σ ' IU rGS) % *?j=N η 0L0P OIZ*
T
(∇u
+-.aS"+*$/∇u
V35P )/2
% )* *3 !
ρ
<z4P 0 4*?P"JB'1C 40P % lC 0NS1 h ! # W h ! : # W h ! = # Ww h ! 9 #A% *F+RrP I 1I\OXW
1O' % ! #NCnI P (* "[email protected]+-"* ) % BXP 0o*34 o D/E #defPB'*? CA I )L *
% v(+ (fP L10 % ! %jN 1j ! ¥J>ZO'1,*3F3s % HCn")L0NS01 )Y
))a' jN *Z+R( *
% '0NK35*?A 4jPB')*?'B"I ! Z4) I 1I2+- )GC"B'b0)L(@ )&0NS1VCB+-*
/E #[email protected]*?01I,>X >' % ! %jNY I, % v'(+ )fP L10 % $ %NC'0bP , % E* % *?0 % 3 [email protected] 0*DI"P % r+RBHGS)*?P 4*'3h % + % ! <z.J*?+")"1I[35*{"835(P %g0NS01 h ! # W h ! : # W h ! = # Ww h ! 9 #
+MN["1"7 % ) 7O 10 )*6/ 35eSP"1 % [email protected]* 10) # C I C )[email protected]*?vMHC +MN
0) 7
^! ∂)xt (εE)
! #)*6/*?"*. )OB'h P af *6/ CM"IL*Y*+"v,40NS01
E
/j2 µ.*?=( jµN0 P "aS"*$/" C C C !
u
p
ρ
B
^ &7*$G10 ) 7J1efPB')*? /&EB$%SP &hfP g E)LwWzI [email protected] I"1M % *[email protected] 010)(+ ) 6GS1W *a181efPB')*? m35*?Y=/E*[GS) % *?P m)LO % )(+ gBP )I"K h ! # Ww h ! : #4% *?P (@ 1I /j
o S/&+ %c1efPBX)* )"1)@ +-"* % 35*?0 q5 ?l35* "L(@ ) # .
∂t B +
%?¬
;[email protected] (
1
µ0 σ ;+1 B)
I G
=
;+1 (u × B),
B = 0.
h ! #
h ! h #
% #& !J q ^ m1efPB')*? `0.d*?( & D1Io+-*?P " I 1I(I ?* O)
*3 d /
*? # C "I
Ω
R
d
=
2
3
% *[email protected]) 1L1M1I2/K .>7 % +-*?P I 0N % *? I j*? (B · n)|∂Ω =
7?G1
,
(
;+1 B × n)|
∂Ω
=
7?jG?
,
h ! d #
"IV35*?A .MNDI"*SI"NSBL % +-*?P IB'0N % *? I j*? 1C"@ P . ))@K*2 .I F/A$%)' I2 *'W
' I
))@4+ )0/ ! ^"h ! % *? I j)* l1I.
ρ|t=0 = ρ0 , u|t=0 = u0
B|t=0 =
0 C / 10
0 '8I"G?7? % Y35mG? % *?H&B+)I ! ^"bI 1"=NV*3H % mg P )I()
0 I
B
0P L1I[*u+- % *?"0Bv'f4'
CR>@ 0*[email protected]=NV/ % _)[email protected]"*[email protected]'7M'I[)VOY+MN h ! # C
4G?"* P O4*'3k1 % gBP")I2+R)t =
7r0 [email protected] 0G?I !
¦ FP"[email protected] B0% -b7M')(B'J *KI I"*?B! 0)L(@ )4 & % X)*2/# % +-bOI Y*?[ eSP '*? E I,B'h/Ed0B!% 1035*?0dI"H! B/L!% d"*?( ) H')k*3R h0*? "7 jN
% *?P (@ 1I_0NS1 *3 †§n ! ^ bO' 1O' % ! ! NSJ*3n )J0NS01VClJ/E #d 35*?P" IB')*? *3`jr*? K+ r*3d_/"*")")1 % MN *'[email protected]*?0)b+ )L*DI" )Ck, )0P B'A ! H'I"N,+R1KI 1! E/>)8)&*[email protected]"GS*?P E/E*?0aSq
.S D0 % 4*'3 "* P"*?
* h ! # Ww h ! : # Ww h ! # W h ! h # t
58: !? C 7?(P '=N[*3A"YgB*6/ "I *3E O)M03s % Ot
5i7R9j? C
*? 7'W )LA+-1BHGS)*P E*'3 "dMNSI *SI"NSBL % h=/E
* gBP")IL0NS01 ) 5 : = ? Cf7?(P )j=Nb*3R 5 :"9 ? !
) 6GS1W *a1`1efPBX)*Vo
<=^@ 0 % bP Ck,b*\[email protected]"B# -1ITB', 2ND /&VB$%1L(@ *$N % " *
+->0)L(@ )4 &B1I\35P 0 1mBjG? jN?C 35*?Y) v % >+MN % *?")I"1 7(B'Y O % *?O7?" %
@ "1 *?L1 >0Y0*>L*[email protected] I2BV .MNSI *SI"NSBL % *? `B'"N % V+- % *? 0jW
I I .0'*?BNQ5/" % .) I [email protected]" 7V0P [email protected]"*? #w! <zm/E*?(P I HI^swG?
> J*? wW gBP I % 0C 01F FI wv# )h)F
58:":DC :!h$? # *bK% #[email protected]*?01IL>' 1O' % $ B0NS01
% *? 0) 7V*3 % *P (@ ) 72+Rw=/&1 rOrI @R I f ) HGS) *?amefPB'*? m I
mv')*? 0N ( S/&+ %c1efPB')*?"1CB ! ! Y0vX % 35*?0q*3 h ! #! `&*? efP 1M jN?C-3k*? /&MF*P b 8v')*? 0N o S/E #k1efPBX)*lCR 1_*?"8 1I .! *>* % * I 1` v')*?B'0N ) HGS)1 W *?ab1efPBX)* 1Cg ! ! v' % G10)* *38 h ! # W h ! : #! 2B0*? 1*?0 % $ GS/@-*?)MHCMP IDND 78O' 1O' % ! #N4 )[email protected] P 0 Nb0vX % ND 01efP )01x*
"0/E1n &*[email protected]>X >' % ! MefP 1)* . % 'r*? [email protected] 0*6G? D) % *3-F0"* )PD)*m*d H'I"NMW=0'r=/E*'W g P )I ) HGS)1 W *?a41efPB')*?" t <[email protected] b*3x b3s % JB'F r DW
1 % Y*'3g0"* )PD)*)K*@RVefP 0)*?lCD/&. ! %R G10 10`0N*?P % *[email protected] P"vX)* *[1 % ">)< &B L)L ))LF*3Y h ! # Ww h ! : # Ww h ! = # W h ! 9 # "I fP 8 >1I"NU0'
G10)*?U*3h*?P F)LbI @R I 1Mm1efPB')*?" ! <z. I 1I\)4*[email protected] 0)O0N()M04*2I wW
L) ` J01I"N>[email protected] % % ! ¦ AP [email protected] B0% -d" % 0P % )! L107?
.S % *? % *3d0NS1 h ! # W h ! : # Ww h ! # Ww h ! h # bP @"@R*?IT+MNQ[0)7?**?P 8>' 1O' % $ E'B! NS0)
5) /
)L.*3 % *?P 0*3 % @B+"% )j1.*3A % P"Mr>X >' % ! % )efP 1C
01 5 : $? #!
2B*? 2fP L10 % $ EGS)w/@R*?MHCk Kb(P X)* *3`0NS1 h ! # W h ! : # W h ! # Ww h ! h #
01efP )01*,P I"1v"I(".35!* %)*6/ 7b)0P "*$/p* % *?MG1 1M jN2I ) % w# -1F" % *?P (
@ ) 7"C
/ '[email protected]*a
3 & 4 )OM *(P )I2+-YP"1I C
"*$/ *I H$
g/o"bO*')*(*3n 8M13s % 'Cl"Io* P"CR/ 1\ % 10N?C
.O*')*K*3g .OlC
"*$/Z*1"P 0h % *? 01GX)*Y*'3S x>' *3DH % 1gBP IY I. n 107N40+ # )=N
K 4OJI [email protected] I"1MF0)b(P )'*? !
¦ ,P"L+") g N HN KBXr/&KP 0V ¥J+"HB
N ¦c7? 7?) §n(P 1) 35*?0b(P X)*
*VL*6G?8 r)M103s % , I[ rL1 C BXF/&ba % b*'3E 6GS 7VI ) % wr 107N
1efPB! =N( I[ % *?"1G''*?[*3xOdP 7K>I") % w% -1'*?o % 1Lb 'F P 01.
%?¬ $ "! $#&% (' # #) + #& % j- %)
7?*?L0 %K% *? 0G'')*? H/ ! ¥[email protected]*? V+-*6G?2)0P 1Cn/&2BHGo!*_! 'O 1I
5) 5 = +? # (fP L10 % !A0'17N *\@ *[email protected] NQ %1% *P MO35*?b VP 3s % K *?Q10
/ >0P % 4 xI I IL*. 7?M0W= I,I *3n h ! # C? 135*[email protected]"fNS0 % $-0H0*? *?.'mKfP L10 % $ n03s % ! 2B*?d ,'aL*3&+"GSj=N?Cl/EL"*$/EG1 )HHGb 4eSP"10)*?
0)I . !
% *? % MX>U ,> I 4*3& )Y % )r*?\"OfP L10 % $ 0'17?1./&
P 01Ir*J /&*J A+-*6G?AefP 0)*? C'*?7? 1 /rJ'@ )Im [email protected]*)*?m*3B"&(P j
/Em*+"v 1I !
2B*? % *[email protected]"P"v')*? ! [email protected] P [email protected]*[email protected] *6G? % *?MG1 1MO'3 bo0/j 7[*3 @ 0wW
% 11I") 7reSP '*? A *?DWzI )L1")*B! B35*?{ 35*?E/ % /&4035&* 5 = ? # Cf*r+ )OB'
m+-*SI"N35*? % .)2*? q
gBP")IlCB2 [email protected] j*3g YOw *SI2I 1 % +RIo 5 = d$? ! ^ % a
7?0H'3 NV)[email protected] 0*$G1` m*?+ P"0"14*'3 8SP"O % ! % *[email protected] P"'*? ! ¥dd3sJd 8"*?DW
I O *?B! SP"b+Rg % * % Il$C cP *?( jN4L1M*?4B'c NY0E0G1b*3D .
NS "* I &fP b+-10
)O*?P A'@ (@ ) % ')*? # C?"JOXW
ρi U L s*3 J*I A*3
Rei =
105
ηi
7?" % `wNS "* )I"AfP b+-1
)K*?"\
gBP )I C −5 4*' A*? # C
Rmi = µ0 σi LU 10−1
10
2
% *P (@ ) [email protected]'L1
5*3B &*?I *3 # CX '
2B*P I &fP 8+R
B
U2 C
S=
µ0 ρ 1 U 2
FI j=NX)*
ρ2 ! ^ J)8P(')*?"x/E4 !%[email protected]
M=
*3h *DW=I O *?B!cfP bρ1+-10J '.08*? 8*?J=/E*K*?I
F =
gL
f % *? h ! bOaJP F*'3EO7?"P"I m0>$%)`B
Z0H!=N ! <= @B % P()1C- `wNS *")I"YfP 8+RY/#%+-rva'1 ed"d2)L1.YO!#n
o0H!`*? 'Cx/" % % [email protected] w1I >U*?L/ '>G'7?P"V/&HNT* %% *?P"fO35*?
P + Pb)1 % Jr % ! <zE)h % *? % 10*3lP"E*[email protected]*?0 % *[email protected] P"'*? /jO `@ MND0 % ! %jN
0)wG'Md"*?DW=I")L1 0)*?B$RfP b+-10`/j 2L"HA35P"P !
^g*,+-17?K/ CD/E % *? % MXCB P + 0 % )*? h ! 7 ! ?C *?K"4I # , % bP 1 .fPDW
L10 % $ bP(X)*8*3- % *?P @(1I ]@ *(+ )i)r % 0`*'3 *?"`0) !7 ) gBP")[email protected]*?0W
@-*? 7b [email protected] % #& % I"#, % P(j1AI P".*b [email protected] 0101 % m*3 =/EY
* gBP")I A* P + 0 % )*? h ! 7 ! D!
^ oSP"O % ! % *[email protected] P"'*? ,*3L h ! # W h ! : # W h ! # Ww h ! h # /&o *6/u) % *? h ! '
*?+Dv 1I2+MNV % *?b+")B')*?K*'3! #R 4 % " )efP d*3 % *? h ! 7 !
@6A fACB
:
la19
1
u
EHGJZWKHG\NHILM
G NHUQ<ICZWKOP
[OGS)w/ *>35* % "P )"7*?( % *?P"@() 7 CB/& % *?L8+B % aoJ *P % I[*
]
.*? wW gBP I % 'C- I2 35* % *?" )I"1A"YNS0

I


ρ∂
u+ρu
·
∇u
−
t









%D­











∂t B +
jG
(2η(u))+∇p = ρf +
I jG
;+1 (
1
µ0 σ 1
µ0 ;[email protected] B × B
u=0
;+1 B) = ;+1 (u × B)
I G
B =0
¬ % * '"! q / )F % *? vM4 *?P"7? *?P"J rI *> ! ^ r0NS01 FP"@ @()1I[/j 7 +-*?P I ρ0N> IK ! % *? I j)* ! <z&07?M35*?/A'I>*b *6/] 'HCDI P J*r % ' % +jW
)'*?K*3 10OK .7?M0WzB I2I CD .*!)P")*?K' &B .1 7N2efPB!)j=N
1d
2 dt
Z Ω
|B|2
ρ|u| +
µ0
2
+
Z Ω
1|
σ
;+1 B|2
µ20
+ η|∇u|
2
=
Z
Ω
ρf · u
h ! #
^ r3s % F '4 F1>'8*3E1"17'N[)d*[email protected]"*SI P % I XF rI") % w)wG?+k/%#
+-K[7?P I O35*8*?P 8I ) % w#H- ')*?Z0'7N ! B2 *?m Ka'K*[email protected]) % =NC)8P bI wv#
*6/y/&4j'J)")I"d" % *?P"@() 7m1LA> % 0F*3c J0vX)*B0N,G10)*?K*'3 +-*6G?Y1efPB')*?"1C /j12)2 *?SW=I O *?B! 35*? .


 − 1 4 u + u · ∇u + ∇p = S ;+1 B × B + 1 f
F
Re
6
;
+1
;
+1
6
;
+1
1


(
B) =
(u × B)
Rm A0 % $%NCD* % (''&B00 a*3kr7?7M'Io$)7?*?0 *'3g 435*"%*$/ [email protected]
−
;[email protected] B n × B n + 1 f
1
4 un+1 + un .∇un+1 + ∇pn+1 = S
F
Re
6
;
+1
1 ;6+1 ;+1 n+1
n+1
(
B )=
(un+1 × B )
Rm h ! ?#
<zE>HN,[email protected]"*6G?>BXh d
+R*6GF!7?*?j 1I &m7?*S*DILL*?P Mh*3 [email protected] ) 7"CM IO)
*?b N % *?"I )*?B$ %N>0(+ ) ! o b* 1dB IlC >L*?Y+, % 1M4X17'Nod*>I 10)7?
r35(P %jN % *?P (@ 1I(! )7*?j ) _ K 435*"%*$/ 7m/&HN


 un · ∇un+1 − 1 4 un+1 + ∇pn+1 + S B n × ;6+1 B n+1 = 1 f
F
Re
6
;
@1
1 ;6+1 ;6+1 n+1

n
n+1

(
B )−
(u
× B ) = 0,
Rm h ! e7 #
&*80NS01Lh ! ?# "I2h ! 7 # 0 % *[email protected])1L1M1I8+MNY EI G107?1 % &35 % *? ')M
I jG n+1 C'I G n+1 # C'/ k *P()Ir+-A *1Ir '"[email protected] % !DI ) % w#-H')*?
*3 u % *?P =(@ 0) 7Y1B
0O&!%=*6/0 E*?"J*m % *6G?1'K1 7NO1)O'd*3 J35*?0{h ! # '
4I ) % 0q
G ! <=VI I j)*lCS .+-*6G?.!7?*?j |AP % *? I j*?B!#Nrv+([email protected] 0*6GD W
I I(B'" % *?MSP"*?P "* P"*?K)P" )efP #w!
] 1U)L(@ 1L1M 7! 7?*?0" h ! 7 # \c
&B r [email protected],L *DI C @- % jW
& % 351'P 0,@ @-H01C B'4/E, *6/i/)0_*KP I"13 ) ! §G?Zj3h rO7? w % 1efPB')*?
5 % *? 0
I ) `*3E h ! 7 #0# &I 4 r P")*>I *?L) 'IlCfE)A % P ! %jN, % 10N>*bP 048v+ W
% -HX)*8 % )efP 35*?nj ! ¥]v+ # )# -H')*?mOw *SIr35*?k"35bP %N % *P (@ )I ]1efPB')*?
B'fP d+-1(I"G?+ )*[email protected] s01Y
5 :$7$? #!
¦ P `! *r+ 0)+ g"NL1M*?BXAG'*?P L"*DI E35*?"* jGS) 7b 4>'7? % efPBXW
)*?T5 % *? o
I ) 8*3J h ! e7 ## BHG?,+R1_01IU) 58: ?3C : $? ! Zr! )0*Kw351F* X
/E*?aL35*?E 4I % 0)@")*?>*3c*?LFfP L10 % $ RL *DI"E*[email protected]*?0` 4+R*P IBN % *? I W
)*? Y h ! d #w!
^ % *? 0)I ')*?T*3 % ' % ! +-1 % >'af>*3d )j1'P"KP % , d0>"
gB*6/ % n O7? w % G10)*?T p&*'3- AMNSI *SI"NSBL % g*?P % #)W
gB*6/ # Bx! #)*6/E1I
%D­
$ "! $#&% (' # #) + #& % j- %)
P g *JG'!)IB'n '+R*6G?EfP O % !S0'17NCq5 = ? ! <= % )I Mv!#N?C gP L1M*?mB'
0P % (fP L10 % [email protected])L1M!)0*b)"I % '`B'EP 0+ P(1 % 4+rR % [email protected] % #& % )
|35L/E*?a2/ % % *?MGD % IZP"F*KI +))+-1'+N235*?07?F 1VC o",+ % *3MNKI [email protected] I 0 I 7L*3gP +"(P ) % .35*?P % gB*6/ !
<=[I"I )*?lC"L0)L(@ )4* wW gBP )IVL*DI + 35*?"m0H! + ) % 0"* NS % # B`+R1(I 10jW
7?"1IK"I> `)< gBP 1 % F*3 `B'@Rd*3l"d/)01& IO JI")0+ P"*?,*3l J! D10B! % P 01MAP @-*?L d+RBHGD*?P x*3l `fNSI 0*DIDND O % g *$/ ) 0)I " % + %BB'&+-11O)MG?W
)7M'1I ! ¥J7MlCR )4 .+R1_35*?P I\*2+-r)\7?*S*DI_efPB$ )'jG?87?1L1M./\/E #
af *6/o+-1 6GS*?P !
EHG QoZ \NHILMOP
@6A fA
G lNHUQ<ILZWKHP
` *6/ % *?O`+B % ar*Y `=/E*'W gBP )I @ *?+b)1 ! ]j>[email protected] % &*Y `@ wGD*?P 0 % )*? Cc LS *? ). *6/ *(0)bPb'b LO*')*U*'3&"L3501L)M03s % O+-=/E1
d=/E* gBP")I ! ¥d& *.*@R*"*?7? % ! % 7?`*3l dM13s % `)x!"@- % IUshh0H0*?B+b)
*^'P"O_ '2201O) O \[email protected] ]*38 35P" % )*? # C IyV 7?0H'V %% P % N )
1I IO8"I 1L) '*?8*[email protected]*?0*?Ksk *SIDW=L!fI )v % ) % 1M!
P".B'"HHGS% NO)< gBP 1 % 1 4+RBHGS)*?P &*3c % % C &[email protected](') I('+R*6G? # C"/E4BHG?
¥J0+ N
% *1 * [email protected]( % j jN % aT oM13s % o I 1035*?0[BHG?[[email protected]"1I]
¦c7? 7?)
§n(P 1)[35*?0b(P X)*(* [email protected] 01M % *?M! DY*3E g *$/ ! ^"›¥†¦6§
35*?0b(P )'*?(35*? gBP I\/j\35rP 3s % r .+R1\P IZ+MN_0G1$ xP""*?C 35*?
! 'O(@ c 58:DC C 9"9DC 9!hDC C ?C ? ! <=o % 0b*3=/Ec* gBP I 1C-835*?` "L(@ ) 5 $? C
"I(2 435L/E*?0a>*3 mC-01 5 d$? !
¥J&35*& % *[email protected] P"'*?>*3c FI *?OOG?+ )* % j=N &B+ )I w CS/&4BHG % "*?([email protected] % )! 35*?0 35*?x1CMBL N n
C?'&1 % O)[email protected] CS"I>I &B Jjhx `"* P"*?
w = (0, 0, w)
tn
*3

*? n
−4 w = 0
Ωi , i = 1, 2,




*? n
un · n
h ! #
w =
Σ ,
n
z


*?
∂w


∂Ω.
= 0
^ @- % ! SI w10OB')*?8! ∂n
%*$/ P k*F1"P 0A h35"* %*$/ 7 .*?Ow0 % `&*? 0G'')*?
¦cH/ sL @ jx**3 589!d"C d"7DC h$? L 35L/E*?0ab*3 6 &B G?"* P OL *SIlwC 5 $?
> d35L/E*?a,*3 &B J+ )1L1M&Ow *SI 1CD I 5 d+?-35*
gBP I0P % P 0F)M1 % *?
@ 0*?(+ 1L # .
Z
ψ(x) dx −
Ωn+1
i
Z
ψ ◦ An,n+1 (y) dy = δt
Ωn
i
= δt
Z
Z
ψ ◦ An,n+1 (y)
Ωn
i
ψ(x)
Ωn+1
i
I jG
xw
n
I jG
yw
n
dy
◦ A−1
n,n+1 (x) dx
h ! : #
35*?EMN I +& 1IK*? n+1 CM/ )x"dI % %-1'*?OL)L*3l `35P" % )*?
ψ
Ω
A
n,n+1
i
B'`>'@ A .035101 % mI"*?>')K*?M*r % P 01Md*? !
`+')*?_h ! : # A .I % 0m'B!)*7?P 4*3 % *?M)fP *P 35*?bPb
%D­ %
d
dt
Z
ψ(x, t) dx =
Ω(t)
Z
Ω(t)
∂ψ
∂t
x̂
dx +
Z
ψ(x, t)
Ω(t)
I jG
w dx.
­ % , - '+"! % ! ^ )d+R) 7>I *? ' CR/E,m)[@-*?j*?V*K1 0P m=/&*2awN[@ 0*[email protected])d35*?d*?P J7!)*?+B$
!7?*?0" ."B& 001Cf % *?"1G''*?O*'3 "`O0h*'3lH % gBP IlCf IL % *?"IlCM 0+ #)=N
4 107NK *?0 ! &*2*3c [email protected] 0*[email protected])1'F10N*b35P(#&(%-*?2& D1IVOlC"+ P"
BHGd011L1I,*.P x *'n*.0GS!f *. P 0db z¥v¦6§ w 7 ! ^ "d'+R*6G? uw
` ¦(n*? 7?I )Mr*_1"P 0(+-* [email protected]"*[email protected]) ! V*?K "@b) % NC /"1 5 # 2 *?0>$
!
% *[email protected] P"I]*^* BHG 51
G % *?('K _ *SI 12*3."[351\f13s % Σ(t)
Z
Z
Z
!*/5 ? #
I jG
Cl5) # % *? I j)*
I G
*!)I C""I
uh dx
uh dx = 0
uh · nh dσ =
5)) # u`w¦o)nΣ' &BIlC?"1OΩ/E % &[email protected] *6G? 'n OΩx*3RH % gBP I,) % * 0G?I
Z
Z
'O oI ) % w G ! % *? I C&I * 7 +MN n
ρ|un |2
|B n |2
E =
dy +
dy
*v! S1"17'N8*3" ANS0(CX/&&>HNY *6/.C7Mm+- % P Ω*'3 2 &+-*$G&Ω"12µ
&@ 0*[email protected]
5 # Ws # Ws) # C ' YI ) % 0mB$ )*?7?P"4*3 h ! # "* )I"8 35*? % *fG1 1MF0)[email protected]()4I 'v # C
B'O+ N\5/
5 = ? #
1
1
n
E n+1 − E n
+
δt
Z
2η|(u
n+1
2
)| dx +
Z
n
1
|
µ0 σ ;6+1 B n+1|2 dx ≤ 0.
¥Jh/AE % d35*?h FP"1A! 'O 1IO)O [email protected] 0GS)*P &0P + % )*?lCS/&F!)0*8BHG?
101I '+R*6G?LfP L1 % !xL *DI"*")*?7'N[*? % )0 % $n+R % Oaf ! <= I"I )*?lCR/&
BHG % " % aI 'F"[email protected] *[email protected] # Ws) # Ws) # r[*Or01 0L*@">! )o*?I F*
*?+Dv8 % *? 010G'')*?8*3 AO0*3 H % g P )I ! 2B*?k 0 % 'C'10 % nBHG?0 *6/
B'/ 12"YI")[email protected] % 1L1M'
&B IV35*A .L1
0P L1I2*,+R4 .*"P"*?K*3
w

*? n
Ωi , i = 1, 2,

 −4 w = 0
*? n
h ! = #
w = u
Σ ,
*?
∂w


Ωn+1
= 0
∂n
Ωn+1
∂Ω,
0HI(*3 h ! # CB0*LB'" u`w¦ @ 0*[email protected]=N2I *S1 *'d"*")I(MNSO*?0C 1V YO
&I 0*IK&)LG?*!G?1CB' IK8L*DI"#& % '*?,*3l"F>'&E I 1IK*?+ 01G?1I C"fP % *? I j)*2s) # n " % 0NRp ! ¦caw/)'C'/EBHG?0 *6/, *P 7?b0 % 1CB' % *? I W
)*? s # d$ )*, 0P L1Mv$ *.B % 'o+-Y P"1IoP 7OI") % *?MSP"*?P 6&B .)OM
35*?x"JI % 0% -HX)*O*3 [email protected] P"L535*E! 'O(@ `/jL dO "I>+ )1L1M # C
*?`P 0) 7 % *?M)fP *?P 6
&B j. 1L1M/ # )4)[email protected]*? 7b/o“¦c7?' 7?.b(P j)[email protected] ))EB'
Z
2SP"O % ! gBP
"*?P 7Q 2)M03s % G' )0 1V5 5>9j? #w! ^"1lC
unh · nh dσ
% *?"1G''*?K*3 >Σ'A !* )I ! <zB'+R12 [email protected]! #N % % a'1IVB'AAI"*D *
!* )I2*"10/.)K % *?M! SJ*3 % *f)fP *?P"6
& 4 )OM35*?A"[email protected]"10P 0 !
n
@6AOACB
:
la19
: 1
EHGJPRQ<GUDM PRQ<U*Q<GJZ
QbEOG
!
GVLV
4 [email protected]*?0OI % *[email protected] P"'*? &*V0H!) %`% +%1C""*$/EG1`*[email protected](#&BI>7?*'W
L0N^s+"P"[email protected] % m')* # CR/jZ2GS) % *?0=N_=/E*(*I Y*3AO7? jP I",107?
K _1! F*? ^ 35*?+-* 0)1MV"Iy1I"NMW=v' % ! % P(X)* # I]+R*P IBN
%D­)¬
$ "! $#&% (' # #) + #& % j- %)
% ?* I j)* 2*?y U>7 % &B+)IyI GS)I"1Iy+fN edp 35*?K' 1M % ! % P()'*? #! ^ +-*?P I 0N % *? I j*? n*?r"`O7?" % &B+)I h0aO 1350*?i!"@-10)L1Mv$BO1XW
0P r*?m350*? ) I @R I fbSP"O % !h)8P(')*?"Y*'3A >>7 % &BI % 0H'1I +MN
% * I P % *?04*P Io % +% ! ^"b *'3n*?P d)8P(')*?"``* % *6G?4*?Lm/E#
af *6/[email protected] *?L1 !* )*?7? % ! @B'Ow10r5 ! 7 ! mSP"b+Rd*'3G?*? % 1 . u5 :$7$? # IV*
BHG4> 7?Mh)M*Y*?L`@B'Ow10hB'&`I 4 , % (P x*8LH0P 8s ! 7 ! [email protected]*3
.)M03s % Y+-=/E1o"Y+ 'V I2"YL! #!
<= ,0 % Cc/&[email protected] 0101M> 2k)7P h ! K(P j,*3F % *[email protected] P"vX)* *?T % #
/j\[email protected] )# & 1I 5 G1 + )10. G'M #`% ) % P jF*3 % *? I P % *?0 ! ^"r ) % %8% P 01M
> % #R'
h"d8"a ¥ "I FI")L1 0)*? E*3 " % + %l'4+-*?P"
! 2B*? &)*
"I 6G' % *[email protected] PDv')*? s7?jGD 7J +R*P IBN % *? I j*? *?b3 ×9O×7?1.5
w % &B I # C'/&
P 0F1j ) 1x*[email protected]$ %)+ )@ )@-1I %A% * I P % *?0 ! ^ )E)M03s % dB'&+-11>*?+"v') I>+MN
*% [email protected]"P" 7L 80"* )PD)*V*'3 .OW=I @R I fd0NS1{'3 1d )* 7L)L ! 2g)7?P 0
h ! 7"C /&8 *6/ m(P jF*3xO01I"N(0' % ! % (P )'*?V35*[email protected] % ! % + %E5 _ [email protected]*?j*?
*3 K)M03s % )b0P OI *_+-KaS"*$/ 350*? [@"GS*?P % *[email protected] PDv')*? #! ^"35*?P /)3 J0 *6/Z'8 r % G?+ N(*?+ 010G1I\)(1! )j=No' Io"b>'7? P I .*3n 8G?+ )* % j)
`'"1 % *?4*, . [email protected]! #NOO1P 01IV*? !
[email protected] E h3s % /&EBHG?A'04 & % )!
%jNJI" % 0H01I8 NS !* )I fP b+-1&535*?c 1M
"I^H'I"NMW=0' % ! % (P ')*?" # ' I KO7? w % &B IQ*? K+-*?P I 0Ny 1M
% ! % (P ')*?" # CM*P E010(P hP *P"E*8+-d>7?*S*SIOefPB! '[email protected]*3R f13s % 'C'fP b+-1g*3B/)3 # ImG?,eSP M'jG?E7?011L1MAsO7? jP I"1 *3 G?+ )* % j=N
2 .0HI"NMWz0vX % ! % (P )'*? # /jK"Y! [email protected])L1M! l*?+ 01GX)* !
D’
C’
D
B’
C
A’
B
A
Z
Z
Y
Y
X
X
! _ T V7?MHC"([email protected](*3J V)M03s % oX )7)L ! ^" % % P ,*3
% ?* I P % *[email protected] 1M1I[*?2"u3 !
h
@6AOA
EHG SbZDVLVLILK X\EOGKHZD] GKHZWK
m*'3k"[email protected] "1 *?L1 L/ % o)*?+"1G?I[)V) "I P 0$ % +%)`"I(/ % oB`+-11
*?_ *P 7?(jN,)MG?07M'1IO/j>YGS)w/ *mP I 0 I 7bjHC?35*?0 % '0 7Y& IHG*?)I 7
jHC& 7 7 ! <z)K * % #%)'*?Q*3. % 0 N?*!) !P L) P )M103s % %D­?­
­ % , - '+"! % ! 'h ! 7 ¦ w3 F.EG)* % [email protected] *!&()o " % +%`) @b (jPB'1I : % "
P I 1O f13s % ! sx+)* % =N2d+-=/E1 % ! −1 ' IFh % ! −1 ! )7?M . >7 % &B Io*?V +-*?P I 0NK'* 3g % # !
/j [email protected])*SI 7? 7Z350*? & G[ % *? I"KP @ *ZO*2B *? oL)fP" 5 58h":j? #!
^ ,@ MNS % !k*?7?)(*3x [email protected] "1 *?L1"*?_)4Yn % *?"00P % GprM1 % )*?o+Rw=/&1\ G10 % ! % *[email protected]*?"1M
*3F V>7 % &BI "I [email protected]*?0)+b)2 *?0%-1*[email protected] +-1I
B
z
+ ) % 0 %% P 0f1CM/ % O10(P x)[email protected]*?0)+bNb 0+(*' 7.O*)*?r*'3R dM13s % !
<z4 [email protected]*?01I_*?[B'd bL! % _wG?1\7?w4*?P"J*3n" % +%k[*O % 01
(*0`0P I )1CB2 FG?)V*3 587
C 7"h$? CB04+B01IVP @R*(
) 1# -H')*[email protected] * % I P 4B'
HI A*,rI + &B" % j)*K*? 4v+"% )j=NL*?AP v+"% )j=N>*'3kb7G? % # CDI [email protected] I") 7
*?y7?*[email protected]'L1C !j!j! <= 5i7? C& UP""*?2002BXV % TN ))"I % ! % #
+- % *?O> 0(+ )K/BXG1> (G1 % ! '&B I
! ]j \GS)/q*Z1>")L00*? 7
01bP *'3B) v+"% )j=N?C1/E& 6GAI wG? *[email protected] @-1Ir`fP OB z% ! fb(P )'*?Os\
5 = ?C = 7$? # B'gB
0 *6/,B'x % P ! %jN4 A0PB'*?8 *g0(P NmI 1 % 0)+-1Ir+MN8 l
) H'% -1Im0NS01 ! 2B*?
)7?
CS*?P &)LdI @R I f0)bbP ')*? x0 *6/}>)M03s % JBXA)E) I"11IKP" 0(+ )'C
%1% B*zIB % _* " % *? % )P 0)*? K*'3m F
) H0% -1I 0P I"N ! &P"HCA 10\ D)2*?L
CkO! %h1 *P 7?T IQ *b)I" % bP )*?P NUO! # C 35*?8/ % KO)L>I @R I f
B
z (
0)b
P )'*?2 *6/JO0(+ mL**?2*3k Y)M03s % ! 3 % *?P"'CR* % *?(P I[07?P .B'1C
35*?)L1l
)7?AB'2 *?0Y0H % "1Io2*?P fP L1 % ! _ )8(P ')*?"1CD .O*')**3 f13s % b I 1I_+- % *OJP vb+ )C [email protected] 01I % 1I_+MN( ) 1# -H')*?20P I"N ! &P"J/&
/ 1U*oOa'O"L35"* #)*6/)"[email protected]*?M ! 2B*? [email protected] % % ! nGS)w/@R*)MHCl >7?*?! n).*
P "I 100v' I/B'&[email protected] @-1 E/ 1 J *OB! 35P % *? )"7m*3 % #REP""35*?0P B' jN
@-1P 0+RIr+fN8b! S10)*?gG1Mds6N8 % B' 7?A*3-' *DI8)m % % C$*?km" % + %S H0+MN?C
*? !j!! # CH/" % 871 ! #NF @ @-1 *6G?1gI + &B"n)L/) I *6/ ! ^fP [email protected] + '*?.)
P I!* rV'3 1E./"%) ! ^ )h)h " % jNr % *?"I )*? n/Ed 6GF)[email protected]*?I,35*E*?P"x)L
I @R I f8b(P X)* ! ^"[email protected])"1M.)0P L)F 1\*2af *6/ / w Y )H
n +-*?P "I 1I
OO [email protected] 0+B'*?,/% %"I P '+ % jNrP v+ # )# -1A"df13s % 'CS*Ej3R J 0+ % =NY/% #
G' o'3 dr/ # ) ! ^[email protected] % ! #N?C )[email protected]*3g 1Md SB! % *? I j)* `.*?P"`*3
0H % Q*3 ) H0% -1'*?\0P"I )1Ck/ % Q>O*?0>+ BN?C ) 0*?O>1"Cn+"P",! *
L*[email protected] 01I % G?.2 .)b & F)L\
)L ! ^ [email protected](') /MNK .)0*D*? 35*?+-*
@"@ *M % 1 !
3 % *?P 0C6I"+ &B j % *? % P *? c+-*?P" ) % *[email protected])*4+Rw=/&1m =/E*[email protected]"@ *M % 1
_
%D­v
$ "! $#&% (' # #) + #& % j- %)
0mNF*>+-8*?+")"1IlC + P"d `1 % 08I O* 0'1d % @B+"%)j=NK*3n*P J *() W
[email protected] @ 0*M % ,*.b(P )' % *[email protected]()! @ *?L1B ! <=L @B01C? `@ *?L1B
/E10rB! jTN -11IV/oL*DI + )+B'1Io*[email protected](#& % '*? A*'3 Y*?0)7?B!leSP '*? @ 0*6GDI )"7O! % #)1MdefPB! )jv'G410(P 1C-O*0`*3k .)L ! EP"d Y)bgBP"1 % 1J*'3P %
0)L(@ )4 & % ')*?"d 1I\)\'fN % 0r*K+-b1IZ' I\>HN(+R % *?Lr *4"17")7?+()./ 1
@ 0 % )O(P jb'LI 10)I ! LBHG?I"1L*? 0'1IUB'Y/E % [email protected] *SI P % >efPB! v$W
G?+ N( b010(P [email protected] I % 1I\+MN[0)L(@ )4 &B1IoO*SI 1C-+ P"4B'F/E,,$ )*(+ )m*K7?jG?
* )PD)*_*3x rND ! ^ % @ + % =N
7 7 F"35*?O')*? `*?[ r' 1M4G"
0 *?(P I>[email protected] % % ! [email protected] ) % '*? g), `0P I"N,*3R `) v+"% )j1*3 ) I"P 0$ % + %) !
„3 t/ 1= 65?:73) 8
Q¦ f2 -¥
%%
) ¦
)%*%*+ ,-. /
¥O0 %/21010%/
( 3 j` !
DsA4#%1"B$5
?6 C6'1 0&#D5
6 E1" %4)(%5F &4($E;1"( 36 G /2)1H&# `I6 J
s &LK &$' M10L$4).10%
&#N).1"/O(01"%;10L4&10&%)9PK&$Q(%7 $&)46$C8R+$%&%4#O /S(8$ ).HT(%" *N&%#
&#K1"$N& C6 7$.$PK1042U G4R%
` "#0 B$&Y#%
%1"K&$.)1"V&5E?&$.%)$0$/XWI&# 96[¦A6i¦E1" %)OU 7
2<%$FW6<?6 96 7 [Z.810)J8/Y"N(%&%&4#\ 71"%1"1]10%=(%=*%.[Z.$^102(%=$&3 h"h"&d )46
3$(%1"%
4&5
%D­
#
76 8
(%!6"$#%&'(%
94(%10% 5!7:;1")(
;(<&=/>&:*<&,1"$ 0& =?6 7 [email protected]#
­ % , - '+"! % ! Dh6 ^^(%
*%(%4% /2$%&
&:(%O1"H$, &$Y&%#
^
0P $Hg%%10#
(
&T ]1"VW 6 ^(%10)-10)->$&)';1"(
§*
0).4K104
$1"$%4&6
$
"#01"%
%*%*+$Hg%%10#
&G/24 8*<&#
Bz
U(%
]&.
&6 ;$*%.10L4#
(
1"
+% 6as=10).<!"1%-F[10&
4104 ]O$
1")I%=4*%4)4H$#
&/
5 = ? 5<;1(
G(%Y)&&
*+$./>1")).10 \&/
%D­
$ "! $#&% (' # #) + #& % j- %)
%D­
* " % ` !+$p &
+ 7C(%&*%1"
.
"10% 6
,.- 0/ 4*%#%%1
%
*%.4$4#%10%
6
_
*<&.
#<%)
!"#%$'&)(
21
#0N$&)
*% 4)4HX4C# &1
4).'#%
n
$
/24 T*<&#
%D­ * "! # t!J!J
. o (1m
/ 141p43 8 214 = 8
<
F L~R_ H IM S` NMPZ][email protected]~RT"UVtg_-’rXLNY]Z[\S^-M4L U )Y]RT+` LbX"Lba&M4ZdcSU6ZdnugYdRc„XZ[| g_L~c4n‰k+L
eL6fMPLSc4LN_h?c2g lwL„_T+lmLSM4ZdnNRYMPLSc4TY h‰cDgO h‰RZ]_LS`my„Z[h4k™RbnNg-`L6` LN^ LNY]gfQLS`mZ[_zg MP`LNM
hPg OQLuh4h4LNMmh‰R‚LjZ[_hPg RnSnug T_hph4k+LvnNgTfY]Z]_|OQLuh=y&LNLS_•h4k+LjlzR| _LuhPZ]n™+LNYd`“R_+`
hPkLž^ LNY]g nuZ[h=’jZ]_ŒlzR| _LuhPgk-’ ` M4g ` ’-_+RlwZ]nWfk+LN_g [email protected] Lwnug lwf+RMPLbgTMWc4Z[lžT H
YdRqhPZ[g _+cWy„Z hPkc4glwLwMPLSc4TY h‰cgO h‰RZ]_LS` g_Y[Z]_L~RMPZ[ŽSLS`ŒL~ƒT+RqhPZ[g _+cNGeL™c2k+gqyh4k+Rh
hPkLw_g_Y]Z]_LSRMRffMPg Rn‰klwR€’†T+c4LusˆT+Y[Y]’nug lwfY[LSlwLN_hhPkLwY[Z][email protected]`ŒLN^ LN_
nNgMPM4L~n{hiZ h‰c6nug _+nuY]T+c4Z[g _+c&Z[_xc4glwLbc2Z[h4T+Rh4Z]g_+cSG
/+
k aD+ ^^(%Y/>& 4&(H#%.#%&/>1">U
g<10#%)'U$.&"[email protected]%# !0%/21010%/XWQ10
#%4$# 59(%(L#%.#</>1"\&%#
¦
-
W
M .$L I&$OU
1 !
@W;*(%$%&/>4<2;(%1"(
!%
G
b
#0)^=
4 "
$
1
#% /210%=(%Y/2&1" %)^&
+
(
4/> "4 /2* 01"F$# 6 V
(
(
/>& 41"X %1" %)O#%4$* 4 %* "$# 53(%. % (C(%
U
W6T^
^ (%1")7$&%*(01"%
+10Lu×
B)
+%0)45;(10(.$J)b="7σ(E
. /
4&1" >R+4V $4\(%
&%# (% ).(<&*+'9(% />! R<(\10L4. &4&6
&#10%#%$4#$%.4H)
( F = J × B
%
K&0$1V\*%.!& 05('/>& 41"H&<+0#
1")74)*+ %).10R "G J10%),&R1 011"$):102(%G$
^9
FK 1"#
%
(%$).X10).R%1 "1"1"$)G10)' %2&7(%>/2 ),
V%#%4$#
.$)$&(D6
# 6
(%
(
5310/2*+ .&L
#%10).* ]&4$/2$L)'&
1"/>*+ ,&L'&1"/>)@&7) /22$%.$L
,
(%>10L4. &4>.$#%%4>(%> 2$104%4
&
$
%
_
Q(
*%($% /2$%2;(%1"(
"&APK
&D(%GR<( '/24!
-/210H&6$^
^ (%-&10/
1"HK&$),10 4#
4
10); R)$,K 4#
(G*<).A4
&F&.)
10
$ $+%0)-&# ;(%1"(
!%01"%%6 71") >
10%#%).1]
!
10L4. &4-;1(X*+$.10#>&% 1"%
/
!
(
&K
=).$$&%#%)8%*2
& /> ),:&+(%8(%$&410$ <&%#2&** 01"$#N).%#%1"$)A& ;N).K ^^(%10)X*%(%$
\(%
/>4% ),),4/>)- 7(% (
&L
*%*% &(X1")A
(
).10/2* 011"%
/2&1" 5Q(%
1"%#%%4$#
/>&10
!
(<&)\R+$4
!
V
K1")4 )1V 5:(%
/
(
!
&<+0#%)
b
\4) !
&
&#
(%
(%
!
&< H10$ -).#%104)\ &
(
10L
&4$ %L2(%
10L4. &4&5T(%
)%, &$N4%)1" 6
10%),&R1 01V
&G(%
$
"
2$&
;1"( R<&H . %%#
$%.$L)$5A(%
)1"%\(%N;(% "N).).$/
+%")$5D(<@
&7410.$ 0&=$
1"%#%%4$#
( #&
1"<!"1"VN&
)1"/>* "1 <4#
"10%$&1#-$4#).).$/2)$6 ^^(% .10
$!w&
7 #2 $ /24.&5
*%&.10$ ]&45Q7
#% />1" +%")T(<&)
6
!
(% (
$ /> .-(<&
) K ;(%;101"10 *(H).10F + H<1" %)A102
&).)%/2*10 %)46
/X&&%410
(
* 0&$#
%
* .4K10&%)-&<!10$!D),%#%1"$)YU ).$Y587 %
?W
R&1"%$#
# h"h
&**%L(%$)-%L1 />410$ D * 410/2$L)-&
"
#%
).$1 ][10&
5ihR:j?%&%#N(-.44$$$)
R+$42'%#%$.).&%# 5 .$$&).J&#>FK& 10#N(10):*%(%4% /2$%& 6 4
(%$.$10
(<&)-R+$$
1")J(%G/24 <*<&#2
5M7
$ /2*<&.O
(<FK ) /2
6
6 6 % &@(% *b] &<[10&
&=(% /24!G*%&#
!%01"%
10)2(% *$).$%4
&'CK&$.10$!
&<+0# _ 6 ^^(' &/2 %) 0 );41"$.10 \1")^*<&.-&3(10)8($ , U ).$ 5 7!h$?W 6(^@6 +0 (<&);R+$$
(%Y&%).' *%PK10#%2\*%(L)1"F!A$&)&C&J(2.&[10& RH (% 10L4&1" &J(%
K&$.10$!M/X %410f&<"# ;1( (% .1%-4 L! * 4.R+$# $%.4H)$6 [email protected]$$L3" 5 IPK1"#%) %wv % * '"!' t ' ¬
¦
&#
M10%#)F
"F&#%)
1"
5i7?]W:(<FK
U ).$
H<&L1"[1"K&
(
/2 .-&$%4
).),$/
T^
6 ^(%$1"
!
< ").10)
( & (% 10%),&R1%01V O).&%#%1"% &%# FK&%"10% 7FK 4)
(
%")$6^^(4 !") )%& $),X /2$(<%10$!^&<$0 X;(%10(
#\*%(L)1"F!E1"%)1" (L^10LN(% *%(%$ />4% 6
.$&%& ]&
*%.PK1"#%$)GN
!w01"%F1%-4$#
I#$1K 4#
% ' #&
%#
$). ")
$10.$ 0&O4
^^(%\*%(L)1"F!8*(%$%&/>4% 10)Y *(]10%4# 2Q10&% d6 6¥G 10%11]$T1%1"% U N
U
10)
8FK +0 4%&(
#%1").R<&$PWO4F[$)>
* 4.R+$#
4%.$LYg<P
j = J−J J
(% %%*+$.%R+$# V 7R<&H &%%#
$4L=&#
(%@&! $4LG1"\(% $+%]0WJ;(%010(
1")q]&. K&$,10$!T1" (%N4. !0 1"N&%#
(%&1%4
- L!J910 (% !0/>1"%10%/ 6 ^
^ (% 10L$41" &Q(%1")-4%.$LI;1( (%'K 4.1"F!E/>& %1"\<
& " # .$)b" )G10 2( 1#$- L$6¦E&$L3- .$
510>(%=#%1"441" X*+$.* 4%#%1"$(0 &J
6 <
& <!#" 1"%#%%4$)^Y.&[10Y/2&1" "
1
%
1
F
= j × B,
&9(% 1"H$z
1
j
&$6
t=0
B
t=T/4
B
z
F=j
z
B
F=j
B
j
j
&<+0#
V
.$*+ .$#
V
(%4/X[[email protected]$*%.$).$L10 ) /2X$&)4)$5Q(%10)
1")-
/
ed
6
]&.
*%(%4% /2$% (
&5<(%O&/2* "1"#%
!
(<;). />@/24
l
$&
"F&#
%#
&T(Y ).$1 ]10 />F\4K&$
0
u
"%"10%O*(%$%&/>4%
&3(%
4)$&* @. /
&
.
%
.E;(%4
1"%).&R%1 "1"V
/>F
PS;1"(
#
('4
10
1"/>6
6
!
(%XK&$.10$
=(<)IR+$$
)&/>@$&)4)
c Y7&L=XR%1"+%
g *%.$)[email protected](% *%1"%$1"*<!MF%4)=&:(%Y4#% 7
+
).10/O(0Y!0/>1"%10%/
+044."").10)=4%")$5D&%#
(%N/24!Q*%&#
"#010
* &.10$b]&46<C'.44; 5 : ?E&%#
%
5 = ? ^/2 @#41%0)46
(10)I).$10& 5+
(<FK&>#%K 0 *+$#
1"
%wv
* "! # t!J!J
EOGJGlNOU*Q<ILZWKHP Z
B6A 6ACB
^^(%'H<10
%)^
"
). "K&'&
&4)G H<1" %)45%(%
#%4#%%$4#
#3H<1"
&/
! ']F 6
u.%(% )
(%.$'*%(L)10$ E H<10 )
%);&#
(%
_
(/ )
21
FK104

;6+1 B × B
ζ
∂u
ζ


+ ζ(u.∇)u + ∇p − div
∇u
=
g+S
 ζ
∂t
Re
Fr
;
+1
6
;
+1
6
;
@1
∂B
1


+
(B)
=
(u × B)

∂t
Rm div (u) = div (B) = 0
_
^^(%=%!;)G
U:Y)F$]& %%H%P;%)^10 # 5 9')F$]& %%H%P;%);10 7# W6
(u,
B,
p)
%=4# !0). 1"K&$)I(%N*+ )).10R%1#01"V\\&#%#
).%. $O4%)1" 4/ 62< I).[10&<&.
4 />*10 D5 7:Z.%).7)4
&%#
10
(=&R+PK - H<10 )$6 VX*%&410$5(%$).
0
g(%=
0
∂;t .1=
".$C10
2V7 "1 H%1"#%) .34.&"01>&%#
$0%/210%1"%/
V#%1"/>4%)1" <! H%/OR+$)-&. .
(% -%"0#)-H%/YR 4u.
ρU L
Re =
(% /X %410 ;4%"" #%)^H%/OR+$1.η
Rm = µσLU
(% $ *(0 1"%N*<&&/>4q.
B2
1
%1" %)O2)$*%& %&
S=
u2<
(%
u.
%#'H%/YR 4
2
^
6 ^(%
µU 2
U
gL
&G4)*+$41"K&"2(I(<&&4$.10).10-K "41"V&5<"$%&(\&%#
Fr =
^^(%=H%/OR+$.) 5 &#
/>& %1"<
& +0 # 6$^
^ (%U^#%L$)1"VYB&<(lg<%10#Y10)T#%4%&$# RL 5[(%7K1")$&)1"VY10)9#%$%$# RL 5
&#>(G4 %#%%1K1VN10)A#%4%&$#XRL
6R^
^ (%-*<&&/244 ρ 10)A % #%10/2$)10&<!%#%4%)1Vη
σ
ζ
10>(%@!"%/210%1"%/
&#
U
ρcryo 1">(%I4. !0 1"PW 6<^^(%GK&$0%4)7&M(%I*<&/24$
ζ=1
ζ=
5 &J(;4%!0 #%) H%/OR+$
&%# ρalu
&J(%N/>& %1" -%"0 #)'H%/YR 4
#%4* 4%#
ζ (1%
Re
Rm
g %10# 6
1
^^(%
+
m.
u.n = 0
V) 0 10*XR %#<&,\$
R &%%#<&,\$&%#%1"10 )^ \(%@K 0$1V
$ +
-4$.2K&0$1V
^^(%
U 1
R &%%#<&,\$&%#%1"10 )^ \(%
! E .
$&
u
&% 4L1] DK 0$1"V
R .
f.
#%1"10 W
Og< u =F0
/>& %10
41"(%$^% $L1]
 1 ;+1
1

(B) − u × B × n =
Rm Rm 
B.n = B0 .n
&- />!.
B × n = B0 × n
div (B) =
0
B
R+
.
;6+1 (B ) − u × B × n
0
0
ZdcohPkLLSY[L~n{hPM4ZdnD+LSY]`oG~© _bfM‰Rnuh4ZdnuLUSy)LT+c2L?h4kZdc"h=’-fQL?gsOQgT+_+`RMP’
¨ 6gh4ZdnuL(hPk+Rqh
(B)
−
u
×
B
nug _+` Z[h4Z]g_xy„kLSM4LARw_gHJc4Y]Z[f†OQgT_+`+RMP’rnug _+` Z[h4Z]g_xkg Y]`c6g_ u [email protected]+M‰c=hnNg_+`Z hPZ[g _vZdc„hPkLNMPLusˆg M4LWMPLS` [email protected]`
h4g
G
Vi k LAnu(B)
g _+` ×Z[h4Z]ng_ =div(B)(B=)0×` nLSM4Z]^L~c&Z[_vs˜RnuhisˆM4g l h4k+Lb^€RM4ZdRqhPZ[g _+RYQsˆg M4lžTY]Rh4Z]g_"G
1
Rm
0
%wv %
% * '"!' t ' ¬
^^(%6&<+0#
l&<"#N;(%10(>F&2$
1")J
B0
* .4K10&%)G/>&
%
&1"K 4>/>& 41"
4&).[[email protected] /2*%[10& 6 V
(
/28&/
*%&1"$&5%
% ' #&
) /2^/2F&).%4)
Y(%PK&
&R%)4.K 4#
T. /
!
(%;&%&$L10
R+ %%#%&.\4 %#%11" %)^ 1K @R+4$;4) )46
^^(%$).CH<1"
%)
&.
%*L;1"%#%10HWJYRH*<))^(%I10
^^(%2*
¦
).1"10 E& &% 10&
(
N(%
(% )4
!
V
(%10)-)441" 5<
!
%
*^^(
)1"%$
/2$).(
4).2&-(%
(
(%
10L4. &4
£¥
&
I.R%1"&,
!" %
% N(%\1"L$, &$\1")O/2!K&$#
/2$)(
1")O(%4
Y01"%
5 :$7$?W 6
/24(#%)XU ),.F&/
'F(1"/>N),$*D59%).10%
$(%1 H%&6
^^(%
#%1"4_ 4 Y*%.$)4L=(%'/>&10
/ ;142365 /?> :7D53o
#-
%A#%10).$1 F10 /2PK $#
&.R%1"&.1 "&6
#%$)>%&X$%4 %L4R%10C/>10&%)
%
"
(
^^(%'/X&1"
#%F;R<&
x¦
!
Y%).PW6 C
1 8 (3
10)I(%
&R+ O$
"
% %
(%4
(%
(
(u,
B, p)
*%&R(04/
#$$&%* [email protected](%
#
&%#
$&%#%1"10 $#
u¦
.
O"10%$&:).).$/
R+$4 /2$)I),14Q
r 5<(10)-10)
(
%%H%P;%)$6
6"F&#)- 0&
!
@),).4/>)-2R ') "K 4# 6
%
U(<&)8Y(@).R%1 "10)[10&
/24(#%)
U
1
r§
W^&%#
(%'10%4 /
(
W 6 V(I1"/> V#%4* 4%#%$L^* R "$/
5L(%
1
(
0&).=10/2O).$*C&%# 2&R&1" (%N#$)1"4# *$410).10 %)$6^^(%\*10$10*%!W010/21"1" 10) <
& <!#" ($ )..%410 ^(%
1"/>I).4* 5+&%#\('*%* 4;R %#
¬ .
^^(%<¥†¦6§
/ / 3 /?> 623) " > ^^(% `w¦
1
).(%$/2
D4$#%&/
)10>1$1K 4) @&J(%
1"$1"
/>.1 -F&(
&9(%1")G( 104'1")^(<G1"
&4 1")10 X&)8*%.$4 %#%110&%$=U
1"%1"1] 3 %4))
t1 /
3
)(%4/>4)-;(%1"(
). "K&'(%$/
%
[(%J&).)4.1" %)M&(10)M)4410 '&.:#%4&1 "$#
(%4Y%!;)$6
)4 4L$#
#-
&#K&L $)-&: G(%&10$4)I&Q#%10).$.41 F10 D6
4K&$45 (%$)[email protected]).).$/2)-&=).*<&.)
/24(%#
[\U ! 'P Z c
ZWNOS P b
! EHG] G
+¥H%
$&%* 04):(%-#%$&$4)
) K Y&1"K '%)I(%
/2 @. R%%),;(<&
1"
W
%* #%4#
1"$$)E(<FK&7 ");84C#%P;R%&H)$6
¬ (
"
N\] GSbI ! W
U V UDPTPTG QbP UWKOM MfS(U
^^(%4)J(%
1"
5 = ? 6
* "4
#
7)X). /2X).&R%1 010)1" 1"F +(<& $)46
B6A 6A
-!
2¥v¦6§
U
H<#%1#]$$O&<%1 + 0$/2$L)$6'^^(%
%)1"%
)%*4 %#%11" &#\) K @&#K $1" \*%&R 04/>)=U )4
1"H$, &$6
(%1")>/24(%#
!
* 0
1
(%210L4. &4>1")
: "$10&
(%\K "41"V
(<FK&
§
&
%-
#%1")$.41 $4#
Y&<"#%)$59&%#
(%4%%H%P;%)N
(%4
7
&
(%10)810/2=).$* 6
0&X&Y&#K&L&&$)$6z¥G*<&,\ / #
$ )$,K1" m0 P
U u
`w¦9W 6
;(10(4%)$)'(%2$&%)4.K1" 7(>/>&)) &7F&(
0 1 H%1"#
(<FK +
(%&)$
(<&)
&
4%$. 410Y* *+$,104)OU)4OR 0PGW5 1I)1") <4)G(Y 4 />.10
. /
10)'
*%. *+$.V
%@10/2 V),4*N(%
%
!
% F6
¬ ¬ 2:7 8 o o / 3 (33 8 214 ;%).=&210/2*("10$1W §:("$:1"/>^#10)41%-$1" 6$^^(%G/>&1">#K&L& ;& (%1")A)(%4/>
1")G(%I1I4%)$)@4%$. 410 $ %).$,K&[10&
. (%Y&(" &##%1"10 <$M$%4 10'4/ ;(%10(
+
),$/2)^ /
1"/>G#%10).$.41#F
- 10 U &%#;(%1"( $&%%^R FK& 10#%4# W710);O$L1"K&=$./ &
6^
^ (10)=/2F&)I(<[F5MI7 .).$5D7" )O& $%4& &J)1%4- 1" (%N),).4/ 6 V
.#%$
δt
δt
*<.1"$(0 &$5 (%I4%$. 410G$ /2* 4%)[10&XR+4V $$\(%†¦E&*(0 &$; .$-10>(%I/2 /2$L/
%wv?¬
* "! # t!J!J
%1" &%#
%-
#%1")441 4$#
!
+! +
&Q1"%#%%4$#
b
$4L)-10\(%@ H<1" /O ]10 6
^^(%10)G*%&*
!
#%$ 01"%
$
(%=$/
4.V
10)-#%+<
& 1"+" ( \.H(%I10%),&R%1#01VNF&(%$.4
&:4%$. 410Y4 %).$.K10 %
;1(),&R1 01V
4) )
B
10)8*%.$).$.K&$#
1"/>*+ .&L-10
1"(%
4 /2*%[10&%)
.=%&7).$/
. /
(
YH%/2$1
6
/ l
q
+ 1
\*$).$L>10 (10)N)4410 4)( &I4 /2*%[10&
(
# )R%/>1$#\2 %%1"&/ K $,1"F!&<+0# 6
&
%%).&R "\).).$/
.:
4104 ]^$
B6A fACB
EHZWI ! J
G Z
V 5i7? 5D1"G10)G)(%P;
Q<EHG QbGPRQ ! UDPTG
R+4V $4
(%O#%14D
r 44HI FK1"1" <!
( ."%"10% 8FK&$)$6 V *%&.10$b]&45 (%N&(% .)=&).)[email protected](%@
10);&*%*b0104# 6
4104(]^$# R+$$&/>4)-%).&R([email protected];(%4%4K&$INK&$,10$!&<+0#
Bz
Y(<FK O(%&)$ 4*%#%%4Y(%1")I).10/2*(0 ' *+$1"/>4L=&JX410.$(0&G4# 6w^^(%O"
"!;1"% &)).%/>*10&%)'&2/X#% 10 587 +? 1"C&#%4' #%41K (%1") .$)b" XU &<$%" &5 (%4)
&).)%/2*10 %)-&[email protected]/X#%@10 .#%$^ R&1" & <!"H10F$%" )."" K&Rb0 q0 1"%F8).).$/XW\.
) >R%&H %# /2&10 5;(%10( 10/2*(" 10$)7N%%1"&/ K&$,10$!M/>& %10O<
& " # 6
) >1"%#%%4$# $%.4H)$6
) >).%. [email protected]%)1" 6
^
^ ( %#%10),%.R 4# ).%. &4 10)8&$ R+1<g F6
^
^ (u<g 10# 10)^1"HK1")$1"# 6
(<!%" P 8[$X&*%*%. 1"/X[10&%) U;(%1"( 0 $&#%)2CK&$,10$!
10
(% 4.&"0 1\
/2#$)I;(%1"(
(<=1=1")G(Y10L$41" F&)$)@1"%).&R "
1
j
1"%).&%4PW6
^^(%O#K&L&
%
b
+%E10)-!")2(<-( />& %1"1&%0# -(%'R &%%#<&,
FK&. ] FGW6^
^ (\10#%$ 10)O H%/2$.10$!% $),N(%
1"bg<%4%$ & ) /2N*<&&/244)=;(%1"(
& %4"0444#
10 (10)q01"%[email protected]&*%*%.L&( 62!")
7&L^N(%4\1"E1"%#%%4$#\$4L);(<FK O),&R%1#0 1#$
- 10 Dr 44F5%&)^1"710)7$\.$*+ .$# 1"Y(%01$&6 ^^(l01"%F&.1%-4$# &*%*%.L&(N/>[email protected] #
.$*%.#%$ H<$01"1K +" =(%7/24!
*<#"#01"%%5&R8). />-& (%G&)).%/>*10&%)7/>F R H%$),10&<&R(" I&)J & &) H<H1"1K .$)b" )-&. $ %4$.%$# 6
'&A2$1"$ ]&;$
1")NF&).1 "C$&/>*%$#
URH
710
&%#
^^(%;$),7$&)-$+%<1") $1"4(]&Q$#<& &#%1"%)AH<!< G&%#2(%$1" (L H<!< 6R^^(%
!
N$, ""1"@10)^)1<[$# ^(% /2F ($10&(H$6 V &#%4; $$ &
1"%1"1]! #10).%R%&%$5<7 (<FK Y( )4 2)301" (L 1#"^( 4% 5 &%# (%4 *%I1";),10 (L
& &10 &%# &**(" >(% $4L
&%#\(%@K $,1"F!&<+0#
6
1"H$, &$' "%/>1"%10/
J
B6A fA
!
%wvD­
ZD] G SbGP<NOV Q<P
>(<FK 1"%#%4$# R)$,K 4# (%X/24!A*<&#C"#010 &(%1")'$),OF)&6 >)(%P &
(
2 10 ed6 6$^^(%^*(H).10F$ *(0&<10 Y&<(%7*%(%$ />4% FNR 8($&4#
Q
4 /2*%1"% (%#%1").%R+$#
4%.$L)N1"(%X$.&"0 16 V
2 1" %. d6875E7\).(%P (%
Q
%/>* "810
RL
Bz
­
%
#%1").%R<%$J&(%A$4L)Q4$4#
(%10)E#%1").R<&$&5F
B0
! (
F "$ 04#;1"(
(%
d
6
^^(%=*%(%4%
^
#-
$
;( 1 $ L
&/
;+1 (B)
!
(%A10%110 4%.$L
10L4. &4&6
!
"#010
/2$%&\&E/> +*<&#X
10L4. &4&6 ^(%1")-1");NF&).';1(
[email protected](A1 108&(%A10L$. $&6 V' .#%$M-$&/>*%
J(<FK J)%R&4#
g
% , - '+"! % ! Bz > 0
&%#
%
(
5F;1(
0
+% 6>sI10).<!01#-F10
1"O$1"4 ]&J$
%
;+1 (B )
&
10%),&R1 011"$)$6
%wvwv
* "! # t!J!J
d 87 ¦M *):&D4%.$L)A1"N$.&"017;(1%0^/24!*%&# "#010%6 ^).(%P (%4;) /2
),$&/Y010$) &J(% &<"#
U(>*+$,%R+$#C$%.$LW6^^(%2* 4.R 4#$4LO $)@&/
j
(% 10&(H V(<%# )10#XU;(%[email protected](% " 4K10 \1")8(% (%1" (%$), W7N(%104 V(<%#\)1"#%&6
6
V
21
21
(
$ R)$,K 4# (< )/>!#T#%10),%.R<&%4$) &7(%X1"%1"1]!
l0$&#>O10).R%1%"1"V U &/>*b0I1">(%=F)=&2Q10 d6 W6VX(=)&/2
7F 5T )/>!#:
* ).1"1"K #%4) &Y1"%#%%4>1"%).&R%1#01"V&6^^(%1") 1")'1"C4 L&#%101" ;1(
Bz %*%.L&( ;(%10(>]10/ (%-10%),&R%1#01VY& (%-$+% 6¥8 "F&),J %
(%G.$).(") & (%f0 1"%FA&*
.$)b")@).(%P
(<=1"A10).R%1%" 1"V\$4%)45D1"G;1%#9$4%= ( &$. ))@c0&&'10/2 />5
&#
(%4 /XF
%>R+ ." 4K&L /
*%&1"F!8K10;* &10LF6W^
^ (% $).(" 2&= %
4 />*10 X10%#%4$#\).(%P;)8(< (% />*(" 1"%#%;&E(%I"#0 10'#4)^%&8&P
#%%1"% :
*+$1"#)$6
E4 %.)&5#%+%
&
%1"=$ 0 )10&%)8&R+ J(10)74 /2*<&1") >R V74$\(IV7
=
_
).10/O 01" 5+72(<FK \ 0)
),=#%O%
!
&**%L(%$)G&@&4;2R @#44/210%4# 6
/
^^(%10)
4).
+ F&).X#%4/>&%).$)
!%
#
!%
(%>&R%1 01"V
$#%2
&G%)%
(%@ 1" 10%
%)46 ^(%@10/2*<&8&E(%$).').10/2* 01 <F[10&%)
! H<1"
( ^
%wv$#
( *
4*%#%%4$#
(
!
( ( #&
&(%@.$)b" ;10)7$$,&1"("
).10/O 0N4 /2* 0
$7/>&L2)1"/>* "1 <$1" %):&
(^
( 4&
$%M(%YF$Q*%(L)1"F!9*<&/>$.)@&%# H<10 %)I10L\$$&%LF5
@2*$#104;/2 .
('1"%).&R%1#0 1"V2&910#%%).10! $+%")$6
!
%@%$ 010&10R "&6 9&H10%\
/>410$
&^&%
*%($% /2$%5;(%1"(
+ + v ^^(%10)GF&).Y).(%P;)I(<[=1"-1")I*+
$/
%#
(<[O(%1")O&**%L(
(
!
)).10R "'X#%$ 3;1(
(
(%
$
!
21
1" 10< M10%11] D*%(L)1"F 9).)
c01"%FY %&%# (%+0*%)Y
"
#0)$6
$ /2* 04/>4L)Y(%
H<!"1"1K %# H<H1"1K >(%
$
)'+! %
%%#$),&#
R 4(<FK10 ;&9 "$4 )10)^4
%wv
* "! # t!J!J
%wv
%
'
¦
+ /, ! " +#"%$&0, +#'( 1 , *) $ +) f_ -, 32
(
M$)Y $). ")
.1 H%$);GH%/
u *% 4)$L $)N#<&)Y$>(<&*%1.X L' &1"
6
$.1 H%4)G*% $).$L 4)I#<&)
RZ.Y# %
0, 4,
(
.,
a"$)G
# 4/> LO=$&/>* "B4Y1041
"$)^#%4
(<&*1".$);*% $ 4#%$L)$6
-, 1
.1" "2*%&C#<&%)
(
$). ")-( 4
5wv76
w "! #%$'& ($ )&*$ %+ $
,-/.10324457638957:<;>[email protected]?BA5 8
C.5 D E6DFGE6HI:J %8
*K L MONPL'QRTSEUVRTWYX[Z\]L*^IR`_badcTefSgR]W(h*i 3L^[RjPSgabk
lRmSgR`nVoYSEp3oqhrpgsRmhHXtuRTSEawv`WY_kEadtmX_wWxpEaboYhyo(zW{p4|oYM~}*X*abitWY€YhR`pEoYsH i Sgo i Hh*WxM
tuawv`k]nSgoYU_bR`t‚WYSEawkEadh€<adh9pEs*Rƒabh*i X'k4pgSEawW(_„nSgo i X*v pEaboYhyoYzPWY_dXtuabhabXt†L[\‡sRutƒoYM
pgadoqhyo(z7pEsRmp4|o<hoYh9tuabkgv abU_bRˆ}*X*abikawktƒo i RT_dR‰ipgsSEoqX€YsrpEsRƒadh'v oYtunSgRTkgkEadU_bR
Š3W‹efabR`SEM4ŒfpEoqYRTk7RTŽfX*W(pEaboYh*kPv oqXn_bRTi|-adpEs<pEsR]rW(H|PR`_b_VRTŽfX*Wxpgadoqh*kTLHŒfpJW(Uab_bad‘TRTi’*M
hadpER‡RT_dRTtƒRThfpgk%pER‰vJshawŽqX*RTk“W(h*imW(hƒ”DSgUa•pgSgWYSE–^%W(€YSJW(h*€YawW(h]—X_bR`SgabWYhz˜oqSEtmX_bW(pEaboYh
™ z˜oYS–pgsRtuo(pEaboYho(zPpEs*RadhfpERTS/zšWqv RkER`n*WYSgW(pEabh€›pgsRup4|Po<z˜X*abikJœ]W(SgRuX*kERTiadhpgsR
hHXtuR`Sgawv`W(_Vk/abtˆX*_bW(pEaboYh[Lqla•pgs<W–eHabR`|pEož4X*k/pEadz˜fabh€moYXSPk4pgSgW(pER`€qYZfi R pJW(ab_bk7oYhpgsR
hHXtuR`Sgawv`W(_VW(h*WY_d kEabk7o(z)pgsRnSgoYU*_dRTtŸZq|-a•pgs<WkEnVRTv awW(_VR`tuns'WYkEabk7oYh›v`oYh*kER`SgexWxpEaboYh
WYh*ik4pJW(Uab_ba•p4mnSEoqn'RTS/pgadR‰kW(h'iuoYhƒpEsRk/X*S/zšWqv R‡pERTh*kEadoqhuiabkgv SgR pgad‘‰WxpEaboYhIZYWYk„|PR`_b_'Wqk
SgRTkEX_dpgk–oqh9pgRTk/pgkmv`WYkERTk–WYSERunSgoxeHabiRTi)L[— WYtun_dR‰k–o(z‡hHXtuR`SgabvTW(_7kEabtˆX_wWxpgadoqh*k]o(z
pgsR–adh'i X*k/pESgabWY_[v`WYkER–W(SgR]R`eYRThfpEX*WY_d_bnSgRTkER`hfpER‰i)L
¢¡ '£ T¤ )9¥
¦
]¦ #1 g lg §¦
¦
0 §¦„¨Ÿ©ª
b
/>& % (L#%#<&/210
).10 < 4 /24.10=4 %).$.K10 u9«+
^^(%
!
0P
4
10L4. &4
%V7
<%1"#%)
<P
)%, &[email protected]
/O ]10 6
1
k aD+ !
(
(
/>410$ 8).10/O 01" &^ 0%/21010%/
10)
* R "$/
).(%$/>1">*104%2&
0$.10A$%.4H9&(%J #$E&
)
¨
105
) ¡x¡
4,
#8
(
&
©
#%1 >4 "V&6
¨
@6 6
%)3(%&% (
( g<%1"#%)$5D<&/2" R<(
"1 H%10#!0%/21010%/ R+"P U ¡x¡2Q10 1"%$ /2*%.$)).10R "
!
"$ ")1")N$
+%A10)'&) "%"P;)2U
(%2$
+
&-(%
&7 ).%#%10
T
1(
6
3©
2
YK10
!
10#%%).10 8*%.#%41" g
R%.10 %
" +#'
10%#10F[N(<[O
¬¡ š­D58h":j?W .3&
!"]F&$)3&$ %#%410%
#%2&R PK&&5E&%#
c0P&[email protected]&
6
2
#-
E&$&/2$
V7G(% 1 $ L
!0%/21010%/
&
&6!W 6
N(%
EY)
N4#%%$1"%O(@$%4&X$ ),F5
*N& (%^$+%%
%#O(%7)%, &$^&
g<%1"##%1"$ >4 %%44$#\O(%=F[(%#%
'(>R+& /
& (%2$+%W=1") R+>$*O&)')/>!%A
&)'*+ )).10R("&6 GP 4K&$$59#%%2 (%
*%.$).$%4& (
+044.10 4%.$LF5^(%
$ #%%410%
g 10#%) *+$.10$$ ). %®©M .$L <
.$4)7&#2(%$.4 .-/2PK 6T^^(10)AF&)$)A(-1"L$, &$;).$*<&1"%@(%;V u<
g 10#%): !")
/2PK &59;(%10(
/>F
"F&# 10).R%1%" 1"1"$)46DªA)%.10%
4 /2*% /210).>R+4V $4
(%$).V7
4 L#%10 ,C$$#)Y (%PK&\ )./X$%J
&%#% V!0/>1"%10%/ #%1").%$>10&#%4 4#%%$
(%74 ).$5%#Of]&. :$%&% (O 1" .#%$E-*%.4K 4L:)(%&. $1"$1")E1")3(% * 410/2$L!
(<$%04% 6)¨^#%#%1"10 %!EU ).%R%),&L10!WQ#1#2
, $( 1"$)-U(<A;1%# % R+;#%F$"A;1"(2($$4W
4 />' /
(%'*%4)$$N&A2L&)-*%(<&).\UF&.R #%4)W 5D /
4. /X %[email protected]
r 44)
C(%>R %#<&,
&8(X$+% 59%#C. /
)"" 10#%14<
& F[10& *$$).)4)Y&H1"% *(0 &$2 (%
4#% $)-&3(% 4% 6
^ (%OH%/2$.10F$Q)1"/O(0 1" F& >
^
, 4104H3" $ /2*(" $/2$LI(%O *+$.10/2$L)=1" 1K1"%
). /> 1"%)1" (L;10LN(' H1"%>9(% 4# 6b^
^ ($ 10)^1"%#%$4# ] @R+#\&a0 1"$%.
#%K &$#
)%(
H%/2$.10$!8)1"/O(0 1" %) U ¡x¡ 36d¨ 6 =FK1"#%)&
&%#
6 6©M10#%)F 5i7 ? 5
?6 I$)." §¡
š­ 5i7R: 57 = ? '6 &FG¡ š­ 5 9 5 j? 5 C6 4L I- &%#0I` 6 I. ). 5 7 $? 5
¨ 6 Y6 %4# %#¯¨Y6(
&% 5 Rd$]? W6 9$ )5<10\K10 &3(u0 &&=H%/OR+$^&9*%(L)10$!
*%($% /2$%
1"L$&410%C;1"(
$&( _ &($$58
#%10.$4$ /2*(0 )10/Y(] 10 & ( $#
(%^#%10),&$8R+4V
!
(%@ "%/>1"%10/
]F
$4>(8F&.R &
4
U
&%#%8$PK&$1"%@(%
* 4.$ X4 %#%%1"%
2
1
2
5
32 " +#'
$#
" +#' )
1
2
2
& Anods
Cryolite
1m
I
I
Aluminium
10 m
Cathod
4m
($/>1"@$*$).$L1" 6 D¨
$&%%&'R+2&(%10K 4# 6
8
e
),10 <.
!
) ¡x¡
1(
!
(
;K10
# (
(
-#%P;1"%=;$&/>*<10). @;1"('(%
H%/2$. %)
'"10%$&1#-F10 &<(%8 PK&$10%@%1" %):9(% K1"$1"%1"V'&+
b5i7 ]? W5P 8(<FK #%$410#%4#[email protected]#% *Q-(#"@ (01"%F3),4&
%* &Y(%
) 010 XU
E6 6
Y010F&.1%-F[10&X10)^/>&#%6
;(%4'%
#
$
*%&.1] 9)10/Y ]10 )=&.>FK&1 ]&R "&6 10/2* "1"10%
*$).$LF5E "
&).)%/2*10 %)3/O%),3R J/X#%&6
),[$&10$)QR<&)4#
b
!"%/210%1"%/
&T
21
1
1
^^(%N PK 4%1"%\H<[10&%)=7N).(<!#Q#%1")$.41%-$O&Y(%O1"/> V#%4* 4%#%4H=10%4 />*$)
).10R("
) FK104 $) %1" %) V7 K10).$ ) 10/2/>1")410R(" g<%10#) $ *(04# (%. % (
(%/ )*0 F
;1(O(% %H<10 %):1"Y($10Q*<&R ""10J /
U ).$^H<[10&%)-U &6!W
_ U 6 : W=R +0 PGW6-©M ) 4/>*%(%&)1#$- N(<[ #%#%1"10 %!Q).10/2*(0 14<& F10 ;1%%9
R />&#% (%$).XH<[10&%)'&%#
(<
X).(<!%9
(%44&2#%F!T;1(C!%9
(%2% (" 10%$&11"$)I7(10)
),&%"" 4 %*(" $#2).).$/
&
†ª:)46<^
^ (%G/X[(%4/X10$!%&%!")1")A&D(%10)A).),$/ 5&)J #
&) ( &%%#<10 & 1" &
(% R<&)1") &8\;(%"" N(%104&.(L
&8*+ )).10R(" N/>#%+0 )$5 10)'&
1"))(<Y(<&)N$0$&#
R+$$
#F!Y;1"(
RLV &;%)O1"
).$1"$)O;*%K1" %)Y .)
U ¡x¡q58: 5L
: b: = 5 : $?]W6 Q
2 1"<!#" 5>" 4;%)-!")N/2$L1" (<[;10\(% R%)4%$'&Q 4 LK 4%104H
%R%b0 $$\/2#%+ '(% g P;)$5Q \*%.4$O $ $$L\ %ODr ,)O& (%
<
U ] &/210<W ) FK1"$ &4)-H<1" %)46
2 / (%NH%/2$.10$!9K10;* &10LF5+(%O).10/Ob] 10 &J)%(C).).$/ .H%10.$)=\%
<
#%4),&%# (%@"#0 P;10O10).)%4)
;(%;V*+'&a%
& %1"@0 4/>4L);)(%&(0 # R+')$#D5
(!C;$)%.J(%A$ %).$,K&[10&'(%A/X))M&F&(1<
g %1"#'&%# (%:4%$.&@).&R%1#0 1"V
1"\(%@1"/>I#%$*+$%#$L=).10/O(0 1" 5
(! #%F$9;1"( (O/>10& &:(%Y1"L$, &$5 &# 4%)&5 ;(%$ %4$$).)&, 5
)
V
2
1
1
(%
1
/>10&\&9(%
(!
/>4)( 5
3
!#T#%4&1%9(%P
2&$4 %L-*%&* 4 "> 8(').%. [email protected]%)1" + 5
(%N). H%
2).(<
(<FK 2&%),74$#
r
D44)-;(%4
(%$).
$$#$# 6
H%4).1"
[email protected]%)
%)45MR%
5
$#
"! #%$'& ($ )&*$ %+ $
¨
g
R%.10 %X)FX1">(10)71"L#%%1" >(<7
01"
=%)[email protected]&
GR%1P
©
E& &% 10&
ª
1
b
A 0$.1]&2 /Y
#%10).$1#F
- 10 )(%4/>X)%( (<
]F (%""#%)$6C & F7& &-( 4N(% ) /2\&-(%4)
1"% 4#%104L)G& %P
$ /2/>&("X%)4# 10 (%1&<%1'04/>4LI4 />/Y%%1"V&6 ) K $,(%+04))$5
@R +01"4K G(<8 %=&M(%= .10 1"<!"1"1"$)T3(%=*%.$).$L^7&/"104)710>(%=$&(D4 /OR%1
<[10&\&M(%&)=4(%%1 $);10(%=&/24 .>& S10).%( Y7FX(<8(%@$.%$10!
*%. *+$.104)-Q4 %)4.K10 &Q/X&).);&%# &9$%4& ),&R%1#0 1VX1")^$%).%4# ^(% #%10).$
"4K + 6 &$PK&$$5E >(<FK&>(%4&4# (%NK!01"#%1"V & %'&*%*L&( ) /2 % .1"K1]!
R+$%(/X&.4).)45%;(%10( &[email protected]%4S1"(%q<
& 1"@+0 4/>4H;&/>7& 5N(% R 4).-&9 %
H%P604#% 6
^ (%\&,1"0 1") .L&%1#$- 4# &)Y!%0 P;)46 $10&
^
*%.$).$L)O(% PK 4%1"% %1" %)
$1" 1"
(%$1"'#10/2$%).10 <$A&%#
% N#%10/2$%).10 %!Q ./ 6 V
7 5 X&1"K #%&1#0 ) (%¨Ÿ©ª
&/O(0 1" %).&6 $1" 210)-#%4K&&4# (Y*%.$)4L10 &Q(% !0 R<$
H%/2$.10F$ !" 1(%/ 6R^
^ (%@4 %)4.K10 &#\).R%1%" 1"V *%. * 4.10$)7&E(%=#10)41%$- 1" 441" (<FK (%&)$
&. 10LK&$).10L[$#
1"
: 6ˆ¨ )*+$41]!I$L1" 1")X*<&1"# C(%
#%1")441%$
- 1" C8(%>)%, &$24%)1" 4/ 1" 441" = 6Q
2 1"<!#" 5 $1" 9 *$).$L)
H%/2$.10F$D4).)- &F#%$/[email protected]); #E
&)^10#%%).10! )1<[10&%)$6
©M4J%)A/>4L10& (< &>&R%.10#% 4#NK $.)1" >D(10):*<&*+$:$%).10% 2/2 ^*%&410$!
&).* 44)I&** $&);10o5 7$? 6
=
/2PK >(%X1"L$, &$X&%#(%X/2$).( 59&%#
4 />.104 %)4.K10 1
1
2
!#"$#%&')(
¨
8/ 21 9*7* +* 1 +,** .Ω- R d =) 2¡x¡;: 3=< 62 0/ 1>* < 32 3? 4- [email protected]/61*7B*
2 ,* FC/ : G*
D* - 9* u 1* E/ 1* B
ρ
H
/
1
*
I
2
1
p
σ
J
2
K
L
*
*
η
ρ
M/ Ω N
u9«
I):%% %$$#210
(%81"L#%%1" 5!7^4 %)1"#%$AG).).$/
1"%$ /2*%.$)).10R "I%& V/210).$10R 0
1"
$#
(%@)
F
R %#%$#
(%/>& %10
K10).$ ).1"V
&.
&
#% />&10
04#10%4 /2*%4))1"R 0
\ &/>* 0PW 6
C
< 0#
#%$%
&#
&.N&).)%/2$#
)10) %$#
<%1"#%)810>(%=*$).$%4
U;1"(
RL
(%
#%4%)1V
(%*%.$)).%
XR Y!;
@K10)4 %)
<%1"#%)
%%10#%)45
(
76 ?6 J %
K& "41"V
^(%X 04410$ A$ #%%41"K1"V
6 ^(%$D5D(%
% 0#D5
&#(%
"!;1"%X H<1" %)
10
ρδtu + ρu · ∇u −
#%1"K
#%1"K
(2η(u)) + ∇p = ρ f +
µσ (u) = (∇u + ∇uT )/2
6<
6 < 8(%
#%1"K
)&
0D*2 B × n)|
0D*2 B × B,
=
0D*2 (u × B)
+*
Q).10/2* 01"$1"V&5
∂Ω
&1"K 4
=
=O
QP
SR
W
U 6 LW
U 6
(<
=T
SU
W
U 6 LW
,
1"K&$
'&)).%/2
U 6
U 6 HW
B = 0,
(B · n)|∂Ω =
(
1
µ
u = 0,
0*2 ( 1 0D*2 B)
U 6PW
(ρu) = 0,
#%1K
δtB +
5V75
6 76 -% (%4);&%#
&'(%
% 0#D6
< "# 6 ^(%
W6 ^(%' PK 4%1"%> H<1" %)G&
%%1" %)I
δtρ +
;(%4
&
d
S %1" %)'U
4 %)1").10%@&<V
&3Y/>& %10
.
U 6
W
<
< ;(%
5 $ ¢! $7 y +*
I2
9** 2
*L*
N
41"R+ %%#<.
/2 N.F "10),10
$ #%1"10 %)46
F&).$)
;(%$
¨
G)@ @(%
(%\)1"#%8
0)Y&%#
) "10*
;(%4
u0
+*
0
ρ1"/>
(x)
= ρi
* "104)7(<[
:
)(<
B0
5T;(%$.
&
x
M#%$&@(8Z./>*
x
A/ 1* 2
&%#
K&$4
1"
^(%
i = 1, 2
<%1"#
i
;1"(
(%
9*
(%\1"%1"1]
4
i
U 6 LW
#%$)1"V
Y$&(
RL(%
<%1"#
<%1"#
G\(<[> H<1"
6
^10/2
%
;1 TR+>))/>4# B|t=0 = B 0 ,
< "#%)$6
-
(%
&9#%$)1"VX(%. % (
9*
* L*7*
$(%104)Y
%.)&5M1"
$&%#%1"10 )T&.8% 10)710\(%@# /X10$4%*%104#
$&%).&LF5:
0F[$#
I74
4$.%6
C\$ /2* "$/2$LY(%10)O),).4/
$
1
#1
4$.X/>
RL).%#<&.#
&N 4 %#%110&%)$5 *%2) "10*
10)
(%4
U 6 !W
U &6 LW
t (i = 1, 2).
1"H$, &[email protected]
-
δρ = ρ2 − ρ1 .
&#(%> "$41"F J$ #%%41"K1"V
N
4 %).&L
*
1*
^(%>K1")4 )1V
N
t 1=
0
K $
10)
ρi
R > 4%#%4#
u|t=0 = u0
#%1K 4 4%$
ρ(x, t) = ρi
2
:
&
[email protected]$ ).HG
9*7*
C
0);(%$.&6
9* 9*
"!;1"%O($ .41"F 3&% ")1")
∂Ω
W5!(%7/X&&
%4107R+ %#<&.
R+ %%#<.
ρ|t=0 = ρ0 ,
&%#
&).)%/2$#
(%'
6
1 * G*
%
5
∂Ω
B$·n|
10&
(L#%#<&/210
4 %#%110&%)
10
^(4) )O$&
H%/2$.10F *+$.10/2$L);U)4
4$6
K*L* 2
+0D* *2
SU B × n|
!: +*
)&Y&T)10/2* "10$1V 57N))/>
&;$&(
9*
<10#
&. ")
&)).%/>4#
R+
+*
>@SRB @SR P9SB T 1 SU 2
9*K*
' % ')(3%' "" !$# %& "' (' # %*)+,)J-%.%&/),%&'
<
#1
1 9* 9*
G
*
8
@QT0B G*
L*L*
f
2*
*1
f = ∇Φ.
2
9*
/ 1* B * G* U /
* L
K
2
J2 436587
1
9*
T = L/U P = ρ U
+
*
7
L
*
*
K* x/L t/T 1
9* x N t ũ = u/U B̃ = B/B p̃ = p/P
:9
K*
ρ UL
, i = 1, 2,
Re =
,
η
;9
K*
Rm = µσ LU, i = 1, 2,
+*
B
S =
,
µρ U
<
U
,
Fr =
&%#
η(ρi ) = ηi
1 SR
σ(ρi ) = σi
;.4$:(%^10L44).4#X.F&#%4:
(%
).).$/
U 6 !W
>1"/>*+ )G(%
U 6
W 5&#
R+ %%#<.\4 %#%110&%)
U 6 LW
(i = 1, 2).
% A&2 1").4%$-4) A&[email protected]
FN) "1" O
D
(%@#%4)410*10&\&3) /[email protected]%/>41"F
U 6
W U 6
/>(%#%)
W6
< Q4 />*10 % H*%%*+ ).$)$5&1"T*PK 4)J4 LK 4%104HA=;1"7(^*%4$$4#%10' H<
10 %)@1"
% ).*%10.1">&I(%
#%10/2$)10&< E /
/24(%#
FK1V 6 ^(H%)4531
&%#
#%$).$.10R+$#
10)@). 2$104L
010/210%
1"
6
V
(%NR+#
.$N1"
*%&1"$&5:(%
.$),1"4' %4) "7\(%
R+#
F)
%
4
;(%$
(%
<%1"# 5D1"
(%
;1 ^R+
(%
R+#
4
10)
*+&4L1]
(<&&4$1").10K "%$)
"$%&(
2(%
/>& %10
&.^10L.#%$$#D6 ^10/2^&%#
5
K&.1]&R "$)
1"HK& "K&$)-)K $
1
5
% 2 6 ^(
< "#
5I&
(%
K 0$1V
%#S&
(%
*%.$).)%.-(%&&410),1"8K& 0%4):&8(%$2#% <%$#2RL
),).4/
U).1 L#%4%&$#ORL
&%#
.4;1$
1"
4/2)I&T(%O%& V#%1"/>4%)1" <
WE&%#
5
5%#
#%10/2$)10&< DH%/YR 4)
U ;4% "#%);H%/OR+$)W
i
i
i
i
i
1
2
gL
ρ2
M =
,
ρ1
U />& %1"
2
-% 0#)-H%/YR 4)W 5
U$ * 01"%N*<&&/>4W5
2
U < %#'H%/YR 4W5
U#%$)1"V
1"HW
.
5V=<
5
"! #%$'& ($ )&*$
2
9*
9*/ G*
1
9*
^(%'% V#%1"/>4%)1" < +* $L1]
1");(%
FK1"1" <
< 0#
&9(%
„¨
$
/
R #> [email protected])^#% <%$#
).$&( 6 V$ .$4#
P̃ = p̃ −
*%.$).)%.
RL
P̃
1")^10L.#%$$#
0P;)>
"10/210<\(%
(<% >&L(%10
H%/2$.10F
V
@(%
%%10#
>U "!
A- 1"
&$
"4K $
<10# 5
%%10#
δtB̃ + #%1"K
0*2
2
(ũ)
Re1
- $ /¡ 9*
U %** 4
%%10# 5
<10#
6
$ (% (
(10)>1"
10/2*%.!K&$)=(%
#%$)X%&
R%).$))
&J(%
H<10 )^F#
1−M
∇Φ̃ + S Fr
=
=
0D*2 (ũ × B̃),
0D*2 B̃ × B̃,
%4. 01"PW 5
0*2
0D*2 B̃ 1
Rm1
δtB̃ + 9«
10
5M1
"%/>1"%10/W 5H(%
M δtũ + M ũ.∇ũ + ∇P̃ −
g
$ /2*%1" %)46
δtũ + ũ.∇ũ + ∇P̃ −
&#
R+#
$ L10H% %)
;($
M
Φ̃.
Fr
2 9*7* 1*
E- * m¨)*
*
G
*
*
>* .- $ /¡ 9*
^(%1")\
N
Φ̃ = Φ/(gL)
#%1"K
!"
M
(ũ)
Re2
1
Rm2
0D*2 B̃ = S
=
0*2 B̃ × B̃,
0D'2 (ũ × B̃).
, > $#
&%
At
^
Ω2
^
x
Ω 2,t
x
^Σ
Σt
^
Ω1
Ω 1,t
2
')(+*-,.//0 1
-24357698;:=<>:?<>@/[email protected]:[email protected]<>A
- . +*
'+ #: +# 9#* $0+# ,* '¡ $0I+#¨) * /¨†+* ©Dª
1
+
*
1
8
2 +* 9 * ƒ/ ¡" +#' @QT R B 9* 9*
2
+9* * N ¦ G* K* +*
5V
3H:?69IKJ L3M:=273N578;@/O L3"F
\
^]
_]
a`
572em_U=<>I[6 n<LAe:?3"8;B 69I"390
@PB:RQ)@
E0ny
0
#1 *L* K* *L* /4$ "% +#
+* F/ 2
) ¡x¡
TS7<>D7U!U=<>FVS 6W:?<[email protected]<Y:?2Z:[email protected] RI[6
L3"D
cbd6957578;@e69IK2f0 gS78cI @/FX57S4:?6P:?<>@/AT6 7h98=<LDi:?243 [email protected]/[email protected]
>@^QUl:?273
Y:[email protected]/S4h/[email protected]:=273 8)Fo3:[email protected]_D7U)2T6[p/3gOq3 3"A!<LAep/3"U;:?<>he6P:=3 D!69A4Dr2T6[p/[email protected]^p/3"A
:[email protected] XI <>3 Ae:c<LAV:=2735T69U;:s:[email protected]=<LFtS 6P:=3):RQ)@
[email protected]/8k3 469FX5 >3
9*
Ω
>@^Q<LA7U;J_<
Y
7S7<LD
[email protected]^QU uv<>Aw5T698;:=<LI"S [email protected]/A
¨Ÿ©Dª
bu7:[email protected]/<>I [email protected]:=273
3 DXh/8=<>D7U`
z6957578;@e69IK2M<>[email protected]:=<>pP6P:=3 D
273"8=3{Oem:RQ)@|698=h/S4Fo3"Av:=U
T8;U;:[uU;:?8;@/A7hH:[email protected]/[email protected] [email protected]/h/<>I[6 dIK2T6PA7h/3 [email protected]:=273!<LAe:?3"8;B 69I"3!698;[email protected]:
3 45q3 I:?3"D}<>[email protected]/S78)[email protected] L3"F
vU=3"I @/A7D~u76t27<>h/2G548=3 I"<LU;<[email protected]/[email protected]:[email protected]=<>:=<[email protected]/[email protected]:=273€<>Av:=3 8B 69I 3<LU
@9B)Fo6ƒ‚;@/8€<>Ae:?3 8;3 U:„<>A
7†
6 LS4Fo<>A7<LS7F
1*
3 L3"I":?8;@ >m_U;<LUgU;<LFVS L6P:?<>@/A7U69A7DNQ)3XOq3 ><L3p/3t:=2T6P:EU=S4IK26
< *$ P )+* *
¢¨Ÿ©ª
§C¢! 1*
2 : 5 7¨ d¨ ¨
+* b© 2 >[email protected]=U9TB ¨Ÿ©Dª
+/ 9*
P¡)¡x¡ 2 +* ¨ ,* ¡" +#' [email protected] P P B 3 [email protected] B f¨ 5
)
:
-© @=U B /9 •¨ 2
¡" +#' @SR P9B -© : /5 @=UKU B -¨Ÿ©ª ) ¡x¡ 2 +* 5 -9 7 +>* ¡" +#' [email protected] B +* - 2 3657
L*L* : bª @ B L*7*[email protected] B /
:
!< t2 > 0
9*
i
Ω
i = 1, 2
K2
Ω2
9* : Σ Ω/
Ω
Ω
Ω
Σ
Ω
n
n =n
n = −n
,Ω/
Ω̂ = Ω̂ ∪ Ω̂ Ω̂
Ω
2
Â7*L*
x̂ ∈ Ω̂
x ∈ Ω,*
Â
x̂
,*
I<
G/
t
ψ(·, t)
Ω
G
/
Ω̂
x = Â (x̂)
ψ̂(·, t)
ψ̂(x̂, t) = ψ(x, t)
1* 9*
7*L*
¨†©Dª
|
N
∂ψ
∂ ψ̂
(x̂, t),
(x, t)