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Etude du comportement de composites stratifiés sous
chargement statique et de fatigue
Juliette Payan
To cite this version:
Juliette Payan. Etude du comportement de composites stratifiés sous chargement statique et de
fatigue. Mécanique [physics.med-ph]. Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2004. Français.
�tel-00005514�
HAL Id: tel-00005514
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00005514
Submitted on 13 Apr 2004
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publics ou privés.
UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE
AIX-MARSEILLE II
LABORATOIRE DE MECANIQUE ET D’ACOUSTIQUE
THESE
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE AIX-MARSEILLE II
Discipline : MECANIQUE
Option : MECANIQUE DU SOLIDE
ETUDE DU COMPORTEMENT DE COMPOSITES
STRATIFIES SOUS CHARGEMENT STATIQUE ET
DE FATIGUE
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Introduction: ............................................................................................................... 3
Chapitre 1.................................................................................................................. 10
1.1] Les composites................................................................................................. 12
1.1.1) Facteurs de complexité d’appréhension des composites ............................. 12
1.1.2) Approche ingénieur : Théorie des stratifiés................................................ 15
1.1.3) Critère de rupture ...................................................................................... 16
1.2] Les phénomènes physiques de dégradation ...................................................... 17
1.2.1) Inventaire des défauts................................................................................ 17
1.2.2) La sollicitation de fatigue .......................................................................... 19
1.2.3) Notion d’endommagement ........................................................................ 20
1.2.4) Notions de durabilité et de résistance résiduelle......................................... 21
1.2.5) Dégradation des plis orientés ou non dans l’axe de charge......................... 23
1.3] Les différentes modélisations de la fatigue des composites ............................... 28
1.3.1) Approche critère de fatigue ....................................................................... 29
1.3.2) Approche phénoménologique : résistance ou rigidité résiduelle ................. 30
1.3.3) Modèles de fatigue basés sur l’accumulation du dommage ........................ 31
1.4] Modélisation jusqu’à rupture du premier pli.................................................... 35
Conclusion du chapitre 1 ........................................................................................ 37
Chapitre 2.................................................................................................................. 38
2.1] Fondements de l'
étude...................................................................................... 40
2.1.1) Domaine de validité .................................................................................. 40
2.1.2) Définition des variables d'
endommagement............................................... 42
2.1.3) Loi d’évolution thermodynamique............................................................. 44
2.1.4) Loi d’évolution de l’endommagement en statique...................................... 45
2.1.5) Modèle de plasticité à écrouissage isotrope................................................ 47
2.2] Identification du modèle et apport sur la loi d'
écrouissage............................... 49
2.2.1) Notion d’essai matériau ou d’essai structure .............................................. 49
2.2.2) Présentation des essais statiques ................................................................ 52
2.2.3) Identification du comportement en traction sens fibres .............................. 53
2.2.4) Identification du comportement en traction transverse ............................... 55
2.2.5) Identification du comportement en cisaillement......................................... 63
2.2.6) Observations du comportement lors d’essais alternés................................. 66
6
2.2.7) Discussion sur le modèle bi-dimensionnel ................................................. 73
Conclusion du chapitre 2 ........................................................................................ 74
Chapitre 3.................................................................................................................. 75
3.1] Domaine d'
étude et fondements........................................................................ 77
3.1.1) Hypothèses précédentes............................................................................. 77
3.1.2) Nouvelles hypothèses ................................................................................ 77
3. 2] Etablissement de la loi générale...................................................................... 78
3.2.1) Présentation de la loi d'
évolution de l'
endommagement en fatigue ............. 79
3.2.2) Influence de la déformation maximale et de l'
amplitude de déformation .... 80
3.3] Comportement de fatigue en traction sens fibres .............................................. 84
3.4] Caractérisation du comportement en fatigue en traction transverse ................. 86
3.5] Comportement en cisaillement ......................................................................... 87
3.5.1) Phénomènes liés à la viscosité ................................................................... 87
3.5.2) Caractérisation de l’endommagement en fatigue en cisaillement :.............. 90
premiers essais .................................................................................................... 90
3.4.3) Caractérisation du comportement en fatigue en cisaillement : seconds essais
............................................................................................................................ 92
3.5.4) Etude des déformations anélastiques en cisaillement ............................... 100
3.6] Perspectives................................................................................................... 105
Conclusion............................................................................................................... 109
Références ............................................................................................................... 111
Annexes……………………………………………………………………………….119
7
Liste des figures & tableaux
Figure 1: Images AFM ................................................................................................................................................. 13
Figure 2 : Modes de chargement de membrane et de flexion ....................................................................................... 15
Figure 3: Modes d'
endommagement et de rupture ....................................................................................................... 18
Figure 4: Rupture sous chargement de fatigue ............................................................................................................. 19
Figure 5 : Faciès de rupture en fatigue [PLU] .............................................................................................................. 20
Figure 6 : Evolution de l’endommagement au cours des cycles................................................................................... 21
Figure 7 : Courbe de Wölher et résistance résiduelle ................................................................................................... 22
Figure 8 : Courbes de survie à déformation imposée ................................................................................................... 23
Figure 9 : Fissuration transverse [THI3] ...................................................................................................................... 25
Figure 10 : scénario d’évolution des défauts ................................................................................................................ 26
Figure 11 : Inventaire des défauts sur plaque quasi-isotrope trouée proche de la rupture ............................................ 27
Figure 12 Représentation des fissures [THI3].............................................................................................................. 33
Figure 13: Schéma d'
évolution des défauts .................................................................................................................. 35
Figure 14: schéma de tube composite .......................................................................................................................... 36
Figure 15: Arbre de transmission de voiture en composite .......................................................................................... 36
Figure 16: Evolution statique des variables d'
endommagement................................................................................... 46
Figure 17: Comparaison des courbes sigma epsilon pour les stratifiés A et B ............................................................. 50
Figure 18: Comparaison d'
une éprouvette non sollicitée et d'
une éprouvette sollicitée à 4% de déformation totale.... 50
Figure 19: Eprouvettes A et B rompues ....................................................................................................................... 51
Figure 20: Eprouvette sandwich en flexion 4 points .................................................................................................... 52
Figure 21: Dispositif expérimental de fatigue en flexion 4points................................................................................. 53
Figure 22: Comportement en traction sens fibres......................................................................................................... 54
Figure 23: Géométrie de l'
éprouvette ........................................................................................................................... 54
Figure 24: Contrainte/déformation issu d'
un essai hors-axe [45]n ............................................................................... 55
Figure 25: Comportement en traction transverse sur stratifié [90]4 .............................................................................. 56
Figure 26: Evolution de l'
endommagement en traction transverse............................................................................... 56
Figure 27: Schéma de l'
éprouvette hybride verre/carbone ........................................................................................... 57
Figure 28: Photographie de l'
éprouvette hybride UD verre/ UD carbone rompue [FAT] ............................................ 57
Figure 29: comportement en traction transverse du G947/M18 ................................................................................... 58
Figure 30: Evolution de l'
endommagement en traction transverse sur essai hybride carbone/PEI............................... 58
Figure 31: courbe sigma/epsilon sur hybride tissé verre/ UD carbone. ........................................................................ 59
Figure 32: Comportement en traction sens chaîne d'
un pli tissé verre ......................................................................... 59
Figure 33: Identification du comportement transverse ................................................................................................. 60
Figure 34: Relation contrainte/déformation sur stratifié pour différents essais hors-axe [KAW2] ............................. 61
Figure 35: Modes de rupture par instabilité ou seuil de rupture fragile en fonction de l'
orientation des fibres ............ 62
Figure 36: Influence du type de liaison lors d'
un essai hors-axe [MAR]...................................................................... 62
Figure 37: Schéma d'
une éprouvette d'
essai Iosipescu [ODE] ..................................................................................... 63
Figure 38: Contrainte/déformation sur stratifié [10]n [CAI] (à g. repère stratifié à dr. repère du pli).......................... 63
Figure 39: Endommagement en fonction de la contrainte (modèle sans plasticité) [CAI] .......................................... 64
Figure 40: Comportement en traction d'
un stratifié [+/- 45]s ...................................................................................... 64
Figure 41: Identification de la loi d'
évolution de l'
endommagement en fonction de la force associée ......................... 65
Figure 42: Identification de la loi d'
écrouissage isotrope ............................................................................................. 65
Figure 43: Comparaison modèle expérience pour le cisaillement monotone ............................................................... 66
Figure 44: Courbe expérimentale de traction compression sur stratifié [+/-45]ns........................................................ 67
Figure 45: Identification avec écrouissage isotrope ..................................................................................................... 68
Figure 46: Contrainte effective/déformation effective sous écrouissage isotrope ........................................................ 68
Figure 47: Identification avec écrouissage cinématique linéaire.................................................................................. 69
Figure 48: Contrainte effective déformation effective sous écrouissage cinématique.................................................. 69
Figure 49: Comparaison de l’expérience et des simulations isotrope et cinématique................................................... 70
Figure 50: Analogie rhéo-mécanique pour le comportement en cisaillement .............................................................. 71
Figure 51: Comparaison expérience/modèle rhéo-mécanique...................................................................................... 71
Figure 52: Comparaison des relations contrainte/déformation sur stratifié[+/-45]s en compression (à g.)et en traction
(à dr.) ................................................................................................................................................................. 72
Figure 53: Courbe de Wölher sur matériau HTA/6376 [+/-45]ns ................................................................................ 79
Figure 54: Influence de la déformation maximale sur le paramètre k .......................................................................... 81
Figure 55 : Existence d’un seuil sur le niveau maximal de déformation ..................................................................... 82
Figure 56: Existence d'
un seuil d'
amplitude de déformation ........................................................................................ 82
Figure 57: Courbe sigma/epsilon à 80% de la charge ultime statique avant et après 1,3 millions de cycles................ 84
8
Figure 58: Photographie de l'
éprouvette [0°] après chargement de fatigue .................................................................. 85
Figure 59: Evolution des contraintes et déformations à déplacement imposé .............................................................. 88
Figure 60: Evolution de la contrainte sur [+/-45]3s à 3% de déformation................................................................... 88
Figure 61: Cyclage à niveaux de déformation imposés: entre 1,5 et 3%...................................................................... 89
Figure 62: Cyclage sur [+/-45]3s à contrainte imposée (entre 90 et 180 MPa) ............................................................ 90
Figure 63: Evolution de l'
endommagement de cisaillement en fonction de N ............................................................. 91
Figure 64: Courbe SN à R=0,5..................................................................................................................................... 91
Figure 65: Machine d'
essais MTS et son extensomètre................................................................................................ 92
Figure 66: Comparaison des courbe sigma/epsilon en statique et en dynamique......................................................... 93
Figure 67: Courbes sigma/epsilon à différents nombres de cycles pour chargement entre 0 et 110 MPa .................... 94
Figure 68: Evolution de l'
endommagement pour l'
essai 10-120 MPa .......................................................................... 96
Figure 69: Evolution de l'
endommagement en fonction de la force associée ............................................................... 97
Figure 70 : Evolution de l'
endommagement de cisaillement pour trois chargements de fatigue .................................. 98
Figure 71: Evolution de l'
endommagement de cisaillement en fatigue à ∆σ=cst ......................................................... 98
Figure 72: Courbe log-log des durées de vie simulées fonction des durées expérimentales ........................................ 99
Figure 73: Corrélation entre endommagement et déformation anélastique pour les essais réalisés ........................... 100
Figure 74: Evolution de sigma/epsilon pour le chargement 10-120 MPa................................................................... 101
Figure 75: Fatigue à deux niveaux 0-120 puis 20-120 MPa....................................................................................... 103
Figure 76: Schéma de la plaque trouée ...................................................................................................................... 105
Figure 77: Comparaison expérience/simulation de la carte des déformations εxx ...................................................... 106
Figure 78: Comparaison simulation/expérience des courbes effort/déformation pour trois mesures ......................... 106
Figure 79: Eprouvette tubulaire avec embouts métalliques........................................................................................ 107
Figure 80: Machine de flexion rotative ...................................................................................................................... 107
Figure 81: Allure de la courbe de Wölher sur tissé à R=-1 ........................................................................................ 108
Tableau 1: Liste des échelles caractéristiques pour les métaux.................................................................................... 12
Tableau 2: Liste des échelles caractéristiques pour les composites stratifiés ............................................................... 13
Tableau 3: inventaire des lois développées au chapitre 1............................................................................................. 37
Tableau 4: Récapitulatif des phénomènes pris ou non en compte ............................................................................... 41
Tableau 5: Récapitulatif des essais sur le comportement transverse ........................................................................... 60
Tableau 6: Liste des coefficients du modèle sous chargement statique........................................................................ 74
Tableau 7: Bilan des essais en traction transverse à déformation imposée................................................................... 86
Tableau 8: Mesures de rigidité en statique ou en continu............................................................................................. 94
Tableau 9: Comparaison des durées de vie expérimentales et simulées....................................................................... 99
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- ORRD
??
(
5
119
(
Y
+,
1!
120
Annexe 1 : Illustration de l’approche découplée matériau/ structure .........................122
Annexe 2 : Fabrication et découpe des éprouvettes .....................................................123
Annexe 3 : Liste des essais et des résultats sur machine MTS......................................126
1) Liste des essais et des résultats ...................................................................................126
2) Evolution de l’endommagement.................................................................................128
3) Evolution des déformations anélastiques ...................................................................129
Annexe 4 : Identification de G12 à partir d'un essai sur [+45/-45]3s ............................131
1) Relations Déformations stratifié/déformations pli .....................................................131
2) Relations Contraintes stratifié/contraintes homogénéisées ........................................131
3) Relations contraintes / déformations au sein d'
un pli .................................................131
4) Relations déformations / contraintes au sein du stratifié [+/-45]ns .............................132
5) Loi d'
endommagement du stratifié [+/-45°]ks .............................................................133
6) Instabilité sous chargement statique et de fatigue ......................................................133
Annexe 5 : Fabrication de tubes composites en laboratoire .........................................136
!
# !& '
!
# !
.
1
Figure 1: Plaque stratifiée conditionnée pour la cuisson en autoclave.......................................................................123
Figure 2 : Résistance thermique sous la plaque de cuisson ........................................................................................124
Figure 3: Cycle de cuisson des plaques en G947-M18...............................................................................................125
Figure 4: Liste des conditions d'
essais sur stratifiés [+/-45]3s .....................................................................................126
Figure 5: Evolution de l'
endommagement de fatigue en fonction du nombre de cycles.............................................128
Figure 6: Variation d'
endommagement après le 1er cycle fonction de la durée de vie relative ..................................128
Figure 7: Evolution de la déformation plastique en fonction de N .............................................................................129
Figure 8: Trois essais à même niveau de contrainte maximale...................................................................................129
Figure 9: Trois essais à même niveau de contrainte moyenne....................................................................................130
Figure 10: Evolution de la déformation plastique en fonction de la durée de vie relative .........................................130
Figure 11: Schéma d'
évolution de d en fonction de la force associée........................................................................135
Tableau 1: Résultats des 12 essais............................................................................................................ 127
121
Annexe 1 : Illustration de l’approche découplée matériau/
structure
122
Annexe 2 : Fabrication et découpe des éprouvettes
/
(
55 (
F
! "
! " 6
M
/(
3
(
/
F
(
(5
5 9
6
5
2
/
/
/
3
+
(
(
(
5
!
9
(
F
(
(
5
7
9 5
9
/
/
9'
7
(
(
7
9
3
5
5
(
(
(
F
3
(
/
+
5
+
9
5
9
7
(
,
(
55
,
5
F /
#,
6
F
F
9
#
(
7(
6
F
,
(
9
#,
#
F
(
5 +
F
(
#
F
F
55
N
3 F
9
5
3 F
6(
6
OR[[P9
Figure A82: Plaque stratifiée conditionnée pour la cuisson en autoclave
5
( /9
F
/
(
5
(
5
(
6
(
(
(
(
5
(#
5 9
/
+
55
(
123
/(
(#
3 F
+
S) 9
/
F
3
+(
5
5
6
/
F +
6 ( /
F
CDg
5
5 9
/
/
5
F
F
(#
5
(
(
5 (
+
(#
6
(#
9
/
(# 3 / 6
(
7
(
5 (
9
/
<#
#
(# 55
(,(
(
(
5
9
3
(# 55
5 6
(
5 9
7 / 5(
(
(
9"
7
9
/
9
/
(
(
5
F
(
( /
F
Figure A83 : Résistance thermique sous la plaque de cuisson
(,(
5
/
F 55 (
(
F +
3 O[DQ"
F
(
/
(
#
5 ( $UTU
* 6
7 3
+&9
3 [DQ"
5(
+#
9
(
5
9
(
(
6
%
* &
(
55
124
5
,
(
(
7
5
3
(
(
6
%(
'
conditions de cuisson en autoclave
régulation
consigne
tetha3
tetha2
tetha1
pression
200
180
palier de 180°C
durée: 2 heures
température en degrés C
160
140
120
100
palier de 80°C
durée: 1 heure
80
4 bars
60
40
20
0
0
50
100
150
200
250
temps en minutes
Figure A84: Cycle de cuisson des plaques en G947-M18
125
300
350
Annexe 3 : Liste des essais et des résultats sur machine MTS
1) Liste des essais et des résultats
(
(
F
F
(
(
(
(
&9
9
%
F
F +
F +
:( (
UD
7
(
/
7( K +
min
+
S#
/
% 5
5
9
30
20
15
25
5
10
15
20
0
10
5
0
max
&
%
5
+
120
120
120
130
110
120
125
130
120
130
125
130
delta
(
,
3 <g&
90
100
105
105
105
110
110
110
120
120
120
130
moy
3
5
7 3 /
75
70
67,5
77,5
57,5
65
70
75
60
70
65
65
Figure A85: Liste des conditions d'essais sur stratifiés [+/-45]3s
126
(
0-120
N
1,00
736,00
3407,00
4302,00
4858,00
5260,00
15-120
N
94,27
91,46
83,74
75,09
68,53
10-120
N
1,00
13980,00
25030,00
26179,00
26778,00
26981,00
0,29
0,76
1,50
2,26
3,17
96,93
89,82
75,33
68,03
64,31
0,26
0,76
1,51
2,49
3,40
moy
eps plas
E
98,04
89,29
73,39
66,04
60,00
0,23
0,75
1,48
2,38
3,20
moy
eps plas
E
98,13
94,02
67,40
59,91
54,08
0,13
0,38
1,29
2,27
3,20
92,18
92,73
78,08
70,38
63,13
0-130
N
0,00
0,45
0,85
0,94
0,99
1,00
0,00
0,43
0,78
0,87
0,93
1,00
1188,00
12205,00
14087,00
15445,00
17912,00
0,00
0,74
0,94
0,98
1,00
Einit=13888
E
1,00
440,00
8098,00
10192,00
11531,00
14162,00
57,50 delta=105
N/Nr
0,21
0,00
0,25
0,52
0,46
0,93
0,52
0,97
0,57
0,99
5-125
N
Einit=13346
E
Tableau A6: Résultats des 12 essais
91,6422287
90,0576369
82,6173166
75,5743652
69,4444444
d
moy
eps plas
0,38
0,69
1,53
2,41
3,34
0,365
0,731
1,685
2,493
3,59
0,00
0,08
0,61
0,74
0,85
65,00 delta=
N/Nr
0,00
0,03
0,23
0,56
0,77
77,50 delta
N/Nr
0,31
0,31
0,40
0,46
0,48
d
moy
eps plas
70,00 dleta
N/Nr
0,27
0,35
0,33
0,36
0,40
0,46
0,75
1,49
2,32
3,32
92,39
89,28
79,60
72,26
68,20
1
475
2861
3914
4637
5411
127
0,41
0,70
1,83
2,73
3,72
92,20
92,99
81,10
72,42
69,85
0,00
0,30
0,74
0,84
0,91
0,25
0,29
0,37
0,43
0,50
d
moy
eps plas
E
20-130
N
0,37
0,67
1,54
2,38
3,34
97,67
86,90
89,04
86,09
79,71
70,00 delta=110
N/Nr
0,30
0,30
0,41
0,47
0,52
d
moy
eps plas
E
130-25
N
0,33
0,72
1,57
2,35
3,35
95,24
90,40
80,55
72,34
63,32
1,00
99,00
826,00
1995,00
2732,00
3543,00
d
moy=
eps plas
E
1,00
469,00
3511,00
4272,00
4854,00
5736,00
70,00 delta=100
N/Nr
0,29
0,36
0,47
0,52
0,57
d
10-130
N
0,00
0,77
0,91
0,95
0,99
moy
eps plas
E
1,00
3487,00
8645,00
9763,00
10554,00
11605,00
65,00 delta
N/Nr
0,27
0,33
0,44
0,49
0,52
d
0,00
0,14
0,65
0,82
0,92
75,00 delta=90
N/Nr
0,29
0,36
0,47
0,54
0,56
d
15-125
N
67,50 delta=105
N/Nr
0,26
0,36
0,46
0,50
0,55
d
moy
eps plas
E
1,00
27177,00
34551,00
36055,00
36872,00
36872,00
110-05
N
0,09
0,72
1,51
2,46
3,32
99,76
91,03
74,79
64,79
62,21
60,00 delta=120
N/Nr
0,30
0,32
0,38
0,44
0,49
d
moy
eps plas
E
1,00
6501,00
11921,00
13194,00
14117,00
15222,00
120-20
N
0,32
0,83
1,73
2,56
3,54
103,00
89,49
76,24
70,01
63,03
1,00
48434,00
92283,00
102133,00
107126,00
108363,00
d
moy
eps plas
E
1,00
22995,00
26968,00
28328,00
29404,00
29751,00
30-120
N
moy
eps plas
E
0,00
0,07
0,68
0,79
0,86
75,00 delta
N/Nr
0,27
0,35
0,33
0,36
0,40
d
0,00
0,03
0,23
0,56
0,77
65 delta
N/Nr
0,31333562
0,32520878
0,38095822
0,43373022
0,47966099
0,00018481
0,08778414
0,52873776
0,72334134
0,85695805
2) Evolution de l’endommagement
Endommagement en fonction de N/Nr
0-120MPa
15-120 MPa
30-120 MPa
20-120 MPa
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
Figure A7: Evolution de l'endommagement de fatigue en fonction du nombre de cycles
d-d(1er cycle) en fonction de N/Nr
0-120MPa
15-120 MPa
30-120 MPa
25-130 MPa
5-110 MPa
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
-0,05
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
Figure A8: Variation d'endommagement après le 1er cycle fonction de la durée de vie relative
128
3) Evolution des déformations anélastiques
plasticité en fonction de N
0-120MPa
15-120 MPa
20-120 MPa
30-120 MPa
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0,00
20000,00
40000,00
60000,00
80000,00
100000,00
Figure A86: Evolution de la déformation plastique en fonction de N
eps plas en fonction de N à delta sigma=110 MPa
moy=65
moy=70
6000
8000
moy=75
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0
2000
4000
10000
12000
14000
Figure A87: Trois essais à même niveau de contrainte maximale
129
16000
eps plas en fonction de N à sigma moy= 70 MPa
delta=120
delta=110
delta=100
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
Figure A88: Trois essais à même niveau de contrainte moyenne
plasticité en fonction de N/Nr
0-120MPa
15-120 MPa
20-120 MPa
30-120 MPa
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
Figure A89: Evolution de la déformation plastique en fonction de la durée de vie relative
130
Annexe 4 : Identification de G12 à partir d'un essai sur [+45/-45]3s
% 5
#
e
5
1
&
εOO
OY U OY U OY U
ε UU = OY U OY U −OY U
UεOU
−O
O
D
ε LT = 0 (
5
,
3
ε
ε
D
(#
,
O
εOO = ε UU = % ε + ε &
U
O
εOU = % −ε + ε &
U
σ xx
1/ 2 1/ 2 1 σL
σ yy = 1 / 2 1 / 2 − 1 0
σ xy
− 1/ 2 1/ 2 0
0
(#
(
4
σ xx = σ yy =
σ xy = −
E 11
1 − ν 12ν 21
σ 11
ν 21 E 11
σ 22 =
1 − ν 12ν 21
σ 12
0
σL
2
σL
2
ν 12 E 22
1 − ν 12ν 21
E 22
1 − ν 12ν 21
0
0
0
G 12
ε 11
ε 22
2ε 12
!"
131
2(1 )
E
1 2(1 )
4
E
LL
TT
LT
1
G
1
G
2(1 )
E
2(1 )
E
0
1
G
1
G
0
LL
0
0
0
4(1 )
E
0
/( 4
E11
E11
21
(E11
E
G
"
#,
E 22
E11
E 22
E 22
E 22 )² ( 21E11
2(E11 E 22 )(1
E 22 )²
21 )
12
12
G12
( 55 (
$ F
12
(
(
#7
4
G12
E11
1
( 55 (
#
1
2
12
G
1
21
2
)
E11
2
5
E LL
LL
LL
/(
(
ND6RDP
4
E11 (1
2
G12
E
E 22
E11
21
/
F
5 NV Y S<P
4
2(1 )
E
1
G
E LL
/
LL
(
9
(
4G12
LL
/
(
/
Y
O<g9
'F
6F
(
[g9 "
F
(
(
(
/(
(
(
(
9'
5 NV Y S<P
132
(
(
(
9
F /
:
G
/ H6
!#
!
$
"
%
e
22
0
e
12
12
0
2G12
(1 d)
2
12
Yd
0
2G12
(1 d)²
Yd ' 0
(
/
+
(
6
4
σ12
0
2G12 (1 − d )
2
σ12
Yd =
0
2G12
(1 − d )²
e
ε12
=
Y=
Y
e
12
0
2G12
1 L4
d
12
1
2G
5
#
Y
(
,
&'
0
12
(
3
3 9
(
)
(
5
5 NV Y S<P
σ = S= D %O − &ε
(
55
(
4
F
F (
σ = S= D %O − &ε + S= D % − &ε
4 σ =D
133
ε ≠D
4
(
/
"
F
"
%
(
. " !
4
-
O−
4
ε
ε
=
−
=
(
(
D
−
+
(
= O−
ε
ε
55
(
D
°
=
"
3
Y
−
5
Y0
D
6(
/
55
9
'F L 4
= O−
= O−
°
"
"
(
(
5
(#
/
(
5
(
5
6
(
D
F
(
$ F
+
−
NV Y S<P
9
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ETUDE DU COMPORTEMENT DE COMPOSITES STRATIFIES
SOUS CHARGEMENT STATIQUE ET DE FATIGUE
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