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Concentration de genre et laminarité
Henry de Thélin
To cite this version:
Henry de Thélin. Concentration de genre et laminarité. Mathématiques [math]. Université Paul
Sabatier - Toulouse III, 2003. Français. �tel-00005171�
HAL Id: tel-00005171
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00005171
Submitted on 1 Mar 2004
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Thèse
présentée en vue de l'obtention du
do
torat de l'université Paul Sabatier
Spé ialité : Mathématiques Pures
par
Henry de Thélin
Con entration de genre et
laminarité
Soutenue le 11 dé embre 2003, devant le jury
F. Berteloot
D. Cerveau
J. Duval
N. Sibony
J-C. Sikorav
omposé de :
professeur, université Toulouse III
professeur, université Rennes I
professeur, université Toulouse III
professeur, université Paris Sud
professeur, ENS Lyon
examinateur
rapporteur
dire teur
examinateur
rapporteur
Laboratoire Emile Pi ard, UMR 5580, UFR MIG, université Paul Sabatier,
118 route de Narbonne, 31062 Toulouse
édex 4, Fran e.
Remer iements
Je tiens tout d'abord à exprimer ma vive gratitude à Julien Duval pour
son aide, sa disponibilité et sa gentillesse tout au long de
ette thèse. Ce fut
un réel plaisir de travailler sous sa dire tion.
Je suis très re onnaissant à François Berteloot et Nessim Sibony de m'avoir
fait l'honneur d'être membres du jury et je remer ie plus parti ulièrement Dominique Cerveau et Jean-Claude Sikorav qui ont a
de
epté d'être rapporteurs
e travail.
Je remer ie
haleureusement Yveline Panabière et Agnès Requis dont le
travail rend plus fa ile la vie à l'Université.
Je remer ie aussi mes
et Olivier,
ar ils ont
ollègues do torants, et surtout Camille, Laurent
réé dans notre bureau une atmosphère sympathique
et propi e au travail.
Enn, je remer ie ma famille et mes amis, et j'adresse toute mon ae tion
à Mathilde qui m'a soutenu tout au long de
i
es trois années.
ii
Introdu tion
Dans
ette thèse, on s'intéresse à deux problèmes.
Le premier est de savoir si une limite de suite de
un
ourbes analytiques
ara tère analytique.
Le se ond
on erne la dynamique holomorphe dans
si le genre de
P2(C )
ourbes du type
holomorphe de
et
Cn = f
n (L)
L une droite proje
(où
P2 (C )
f
. On
onserve
her he à voir
est un endomorphisme
tive générique) se
on entre dans
des zones dynamiquement intéressantes.
Cn une suite de ourbes analytiques de la boule unité B de
l'aire des Cn reste bornée alors, quitte à extraire, Cn onverge vers une
Soit
C2
. Si
ourbe
analytique. C'est le théorème de Bishop (voir [4℄).
Quand l'aire n'est plus uniformément majorée, on espère
omme limite des
analytique à
Cn. Cependant, un ex
ès de genre peut ter tout
ara tère
ette limite : dans l'exemple de Wermer (voir [10℄), une suite de
ourbes dont le genre augmente plus vite que l'aire
ne
réer une lamination
onverge vers un
ompa t
ontenant au un disque holomorphe.
Notre lamination limite sera
omprise dans un sens faible,
elui de
ourant
laminaire introduit par E. Bedford, M. Lyubi h et J. Smillie dans [2℄. Un
(1; 1)-
de
ourant positif est laminaire s'il s'é rit lo alement
omme une intégrale
ourants d'intégration sur une famille de disques, hors d'un ensemble
négligeable (voir le paragraphe 1.1.1 pour plus de détails).
L'objet du premier
hapitre est alors de démontrer :
Théorème 1. Soit Cn une suite de ourbes analytiques lisses de la boule
unité B de 2 (s'étendant un peu au-delà de B ).
On note An l'aire de Cn, Gn le genre de Cn et on suppose que Tn = [ACnn℄
onverge vers un (1; 1)- ourant positif fermé T de B (toujours possible quitte
à extraire).
Alors, si Gn = O(An), T est laminaire.
C
P2(C )
Cet énon é est une version lo ale de résultats pré édents, de nature globale dans
de
P2 (C )
: dans [3℄, Bedford et Smillie montrent que, pour toute suite
ourbes rationnelles
Cn
de
à singularité unique et irrédu tible, les
iii
iv
INTRODUCTION
limites de
[Cn ℄
An
Dujardin aux
sont laminaires. Dans [8℄, leur résultat a été étendu par R.
ourbes algébriques de
raisonnables.
P2(C )
de genre en
O(An ) à singularités
L'ingrédient prin ipal, dans leur situation, est la formule de Riemann-Hurwitz.
Dans notre
dire tions
as, on ne peut pas l'utiliser faute de revêtements au-dessus des
omplexes. Cependant, en modiant un peu les
Cn ,
ourbes
on
obtiendra une inégalité de Riemann-Hurwitz appro hée qui permettra de
on lure.
Une inégalité de
e type existe déjà dans la théorie d'Ahlfors. On verra (voir
l'appendi e B), que la méthode utilisée dans la preuve du théorème pré édent
permet de la retrouver.
Signalons l'intérêt du théorème 1 pour l'étude de
Cn est une ourbe algébrique lisse de
f est un endomorphisme holomorphe
P C )2
P (C )
2(
(par exemple
de
générique). En eet, malgré un genre total en
ouvert où le genre se
on entre peu (en
ourants limites dans
Cn = f
[Cn ℄
An
n (L)
où
où
et L une droite proje tive
O(A2n), si on sait trouver un
O(An)), on en déduit la laminarité des
elui- i. Cela nous
hapitre de la thèse : la
ourants limites de
onduit naturellement au deuxième
on entration du genre des
ourbes lisses pré édentes,
issues de la dynamique.
f , de degré d 2, J.E. Fornæss
et N. Sibony ont déni le ourant de Green, T , asso ié à f (voir [12℄ et [13℄),
dont le support est l'ensemble de Julia de f . Ce ourant possède un potentiel
ontinu : on peut don dénir son auto-interse tion T ^ T (voir [12℄). D'autre
A partir d'un endomorphisme holomorphe,
part, en généralisant un résultat de Fornæss et Sibony (voir [14℄), C. Favre
et M. Jonsson (voir [11℄) ont montré que
e
ourant est naturel d'un point
de vue dynamique : il équirépartit les préimages de droites génériques. En
[Cn ℄
[Cn ℄
n
eet, si
ave
une droite générique, alors
n
An
dn onverge
vers
. Autrement dit, dans notre situation, la laminarité de
se ramène à
T
C = f (L)
l'étude du genre de
L
=
T
f n(L).
D'autres appro hes ont été utilisées pour montrer la laminarité de
T
dans
ertaines situations.
En eet, Fornæss et Sibony (voir [15℄) ont montré que pour des endomorphismes hyperboliques (dans un sens fort), le
dehors du support de la mesure
Dans [1℄, Bedford et Jonsson
T ^ T.
ourant
T
est laminaire en
onsidèrent des endomorphismes qui laissent
une droite totalement invariante. Dans
ette situation, ils montrent que le
ourant de Green est laminaire dans le bassin d'attra tion de
Dans
ette droite.
e qui pré ède, on voit que l'auto-interse tion joue un rle fondamen-
tal dans la laminarité. Cela est essentiellement dû
à potentiel
ontinu qui s'é rit lo alement
au fait qu'un
omme une intégrale de
ourant
ourants
v
INTRODUCTION
d'intégration sur une famille de disques disjoints est d'auto-interse tion nulle.
Quand f est un endomorphisme ritiquement ni, on verra que le genre
f n (L) hors d'un petit voisinage du support de T ^ T est en O(dn) (pour
des droites L génériques). Autrement dit, dans e as, le ourant de Green
est laminaire en dehors du support de T ^ T .
Pour un endomorphisme quel onque, f , on ne sait pas si on a le même
n (L) hors d'un peontrle. Cependant, si f est générique, le genre de f
n
(1+
)
tit voisinage du support de T ^ T est en O (d
). Plus pré isément, on a
de
le :
Théorème 2. Pour f générique parmi les endomorphismes de degré d, on
a:
1
lim sup log max Genre(f n (L) U ) log d;
L2(P )
n!1 n
où U est un petit voisinage du support de T ^ T .
2
La démonstration de
e théorème se fera essentiellement en deux étapes.
En eet, si on admet un instant que les anses de
petites, on
omporte
onstate qu'une anse de
omme
f
(n 1) (x)
(où
x
f
f n(x)
sont inniment
P C)
tirée en arrière par
est un point de
la première étape de la démonstration
points de
1 (L),
f n (L)
onsistera à
2(
fn
1,
se
). Autrement dit,
ontrler le nombre de
hors d'un petit voisinage du support de
T
^ T . Celle- i
s'énon e :
Proposition 1. Pour f générique parmi les endomorphismes de degré d, on
a:
1
lim sup log max Cardinal(f n (x) U ) log d;
x2P
n!1 n
où U est un petit voisinage du support de T ^ T .
2
La se onde étape
onsistera alors à dominer la taille des anses. Pour
on utilisera des modules d'anneaux et des
omparaisons aire-longueur.
ela,
vi
INTRODUCTION
Sommaire
1 Courants laminaires
1.1
Courants laminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Cas modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Simpli ation géométrique des ourbes Cn . . . .
1.3.2
Comment se rappro her du as modèle . . . . . .
1.3.3
Majoration du nombre de sommets et minoration du nombre d'arêtes . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
7
10
10
10
11
2 Con entration du genre
15
2.1
Préliminaires de dynamique holomorphe . . . . . . . . . 15
2.1.1
Dénition du ourant de Green . . . . . . . . . . . 15
2.1.2
Mesure de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2
Un exemple : le as ritiquement ni . . . . . . . . . . . 17
2.3
Contrle des préimages des points . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1
Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2
Majoration du ardinal d'ensembles (n; Æ )-séparés 24
2.3.3
Constru tion d'ensembles (n; Æ )-séparés . . . . . . 25
2.3.4
Fin de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4
Contrle du genre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1
Un peu de géométrie hyperbolique . . . . . . . . 28
2.4.2
Constru tion de la partition dynamique de f n (L) 30
2.4.3
Majoration du genre des préimages de droites . 31
2.4.4
Contrle des longueurs des arêtes de la partition 32
A Généri ité
35
B Théorie d'Ahlfors
B.1 Cas modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Comment se rappro her du as modèle
vii
39
. . . . . .
40
. . . . . .
41
. . . . . .
41
viii
SOMMAIRE
B.2.2
Bibliographie
Majoration du nombre de sommets et minoration du nombre d'arêtes . . . . . . . . . . . . . . .
43
47
Chapitre 1
Courants laminaires
Dans
de
e
hapitre, on va donner un
ourbes analytiques de la boule unité de
sens faible).
Voi i le plan de
des
C2
ritère pour que la limite d'une suite
soit une lamination (en un
e texte. Dans un premier paragraphe, on dénira la
ourants laminaires. Dans le se ond, on démontrera dans un
lasse
as modèle le
ritère qui donne la laminarité des valeurs d'adhéren e d'une suite de
ourbes.
L'obje tif du dernier paragraphe sera alors de s'y ramener.
1.1 Courants laminaires
Notre référen e pour la laminarité est l'arti le de Bedford, Lyubi h et
Smillie (voir [2℄).
DénitionR1.1.1. Un ourant T est laminé dans un bidisque, si dans eluii il s'é rit [t ℄d(t) ; i i les t sont des graphes, deux à deux disjoints, de
fon tions holomorphes au-dessus d'une des dire tions du bidisque, et une
mesure positive portée par une transversale aux graphes.
A partir de
ette dénition, on voit qu'un
ourant laminé est né essaire-
ment fermé.
D'autre part, les
ourants laminés ont de bonnes propriétés de
ompa ité,
par le théorème de Montel :
Proposition 1.1.1. Soit Tn une suite de ourants laminés dans un bidisque.
Si la masse des mesures transverses n reste bornée, alors, quitte à extraire,
Tn onverge vers un ourant T qui est laminé dans le bidisque.
Preuve.
La démonstration de
ette proposition va se faire en deux étapes.
Dans la première, on va passer à la limite sur
1
ertains graphes qui
omposent
2
Tn
CHAPITRE 1.
de façon à obtenir un
COURANTS LAMINAIRES
ourant T laminé dans le bidisque
onde, on montrera que quitte à extraire une sous-suite,
ourant
T.
Dans toute la suite, on prendra
Tn
B . Dans la seonverge vers
e
B = D(0; 1)2.
Constru tion d'un ourant T laminé dans B
On prend omme transversale = f0g D (0; 1). Les ourants Tn s'é rivent
R
alors
[n (t)℄dn (t). Modulo l'extra tion d'une sous-suite, on peut supposer
que n onverge vers une mesure .
C'est ette onvergen e que l'on veut étendre aux graphes n (t).
Si n est une suite de graphes d'appli ations holomorphes fn : D (0; 1) !
D(0; 1), on peut en extraire une sous-suite qui onverge. Pour faire onverger
les n (t), il s'agit alors de faire des extra tions su essives : 'est e pro édé
N
que l'on va dé rire maintenant.
k dans et on dé oupe le arré entré en 0 et de longueur 2 (in lus
2 arrés égaux. Quitte à bouger un peu le quadrillage, on supdans ) en k
posera que ne harge pas son bord (pour tout k ).
Soit C un arré de e quadrillage hargé par et t un point de C \ support().
La onvergen e de n vers implique l'existen e d'une suite tnj 2 support(nj )
ave tnj qui tend vers t. On peut don
onstruire une sous-suite de nj de sorte
que nj (tnj ) onverge vers un graphe qui passe par t.
Par un pro essus d'extra tions su essives, on onstruit une sous-suite k (n)
On xe
de façon que la même propriété soit vraie pour les autres
arrés du quadrillage
.
k
Les graphes, (t), ainsi obtenus sont disjoints. En eet, si deux d'entre eux
se ren ontrent, alors les graphes de Tk (n) qui les approximent se roisent
en ore. Autrement dit, on a onstruit un ourant laminé Sk déni par :
hargés par
Sk =
Z
[k (t)℄dk (t);
P
(i.e. k = ki=1 (Ci)Æti où C1 ; :::; Ck sont
les arrés du quadrillage et les ti les points de Ci \ support() onsidérés
pré édemment). Le ourant Sk sera appelé dis rétisation de T .
Maintenant, on peut faire la même hose au ran k + 1 : on onstruit une
sous-suite k +1 (n) k (n) qui vérie les propriétés i-dessus à l'étape k + 1.
où
En
k
est une dis rétisation de
2
2
ontinuant le pro édé, on obtient une famille de graphes sur un ensemble
dénombrable et dense du support de
dans
k (n) implique que tous
. D'autre part, l'in
lusion de
es graphes sont disjoints dans
B.
k+1 (n)
Cette famille peut alors être fermée par passage à la limite de sorte que tous
les points
t du support de aient un graphe (t). Les graphes ainsi
ontruits
1.1.
COURANTS LAMINAIRES
3
sont en ore disjoints. Autrement dit, on a fabriqué un
B
déni par :
T=
Z
ourant
T
laminé dans
[(t)℄d(t);
Extra tion d'une sous-suite de Tn qui onverge vers T
Pour omparer les ourants T et Tn , on va utiliser le lemme suivant :
Lemme 1.1.1. Pour tout > 0, il existe Æ > 0 tel que tout ouple de
graphes disjoints de fon tions holomorphes au-dessus de D(0; 1), (1 ; 2 ),
ave d(1 \ ; 2 \ ) Æ vérie dC (1r ; r2 ) . I i ri est la partie du
graphe i au-dessus de D(0; r) (ave 0 < r < 1).
1
Preuve.
Grâ e à l'inégalité de Cau hy, il sut de montrer
au lieu de
dC 1 (r1 ; r2 )
Supposons que
(ave r < < 1).
ela soit faux : on peut don
dC (1 ; 2 ) 0
onstruire deux suites de disques
d(1;n \ ; 2;n \ ) ! 0 et dC (1;n ; 2;n ) .
Quitte à extraire des sous-suites, i;n onverge vers i (i = 1; 2 au-dessus de
D(0; )). Alors, par onstru tion, 1 ren ontre 2 sur et dC (1 ; 2 ) .
Autrement dit, juste avant la limite, on a 1;n qui oupe 2;n : e qui est
disjoints
1;n
et
2;n
ave
0
0
impossible.
Une première
onséquen e de
e lemme est que le
ourant
T
est aussi
Sk (si k est grand).
D'autre part, en remplaçant les points t du support de k par leurs approximations dans le support de k (n) et les graphes de Sk par les graphes de
Tk (n) orrespondants, on obtient un ourant qui est aussi pro he que l'on
veut de Sk (don de T ).
Enn, e ourant est pro he de la dis rétisation de Tk (n) don de Tk (n) .
pro he que l'on veut de son dis rétisé
La
de
ombinaison de
Tn qui
es remarques
onverge vers
T.
onduit à la
On pourrait imaginer dénir les
ourants laminaires
lo alement laminés. Dans notre situation,
il n'y a pas de
eet, un tel
ourants de
onstru tion d'une sous-suite
omme les
e type-là à potentiel
T ). Tout
e i nous
R P (C ).
ontinu dans
ourant est d'auto-interse tion nulle. D'autre part
(quitte à normaliser
ourants
ette dénition serait trop forte :
2
T
En
^T = 1
onduit à une notion plus souple (dite
laminarité faible dans [2℄) :
Dénition
1.1.2. Un ourant T est laminaire, s'il s'é rit omme une somme
P
Tj ave Tj laminé dans Uj , et une ompatibilité entre les Tj : quand deux
graphes se ren ontrent, leur interse tion est un disque.
4
COURANTS LAMINAIRES
CHAPITRE 1.
On va donner deux exemples de
on
C2
onstruira un
dans
ourant
ourants laminaires : dans le premier,
T , d'auto-interse
tion non nulle, qui est laminaire
. Le se ond mettra en lumière l'obsta le que joue l'auto-interse tion
pour la laminarité : on donnera un exemple de
T
ourant
qui sera laminaire
seulement en dehors du support de son auto-interse tion.
Exemple 1. Voir [9℄.
On
onsidère, dans
C2
omme une somme de
Z
S1
où
[f
ei
ourants laminés :
f(z; w) 2 C
Z
S1
D f
ei
[
T
est don
2; z
g℄d() +
D
Z
S1
S 1 , est le disque
= ei w; jz j > 1g.
est la mesure de Lebesgue de
ourant
Dans
T = dd max(log+ jz j; log +jwj).
ourant
g D ℄d() +
désigne l'ensemble
Le
, le
laminaire dans
C2
et exemple, l'auto-interse tion de
Il s'é rit
[V ℄d();
unité de
C
, et
V
.
T
est la mesure de Lebesgue du tore
unité.
C
Exemple 2. On onsidère, dans 2 , le ourant T = dd log+ kz k. Par dé2
B , T s'é rit
Rnition T est nul dans la boule unité B . D'autre part, sur
[La ℄d (a) où est la mesure de Lebesgue sur la droite à l'inni et La
P (C )
est la droite qui joint l'origine au point a.
Autrement dit, T est laminaire en dehors de la sphère unité.
Maintenant, on peut voir que d'une part l'auto-interse tion du ourant T est
une mesure portée par la sphère et que d'autre part T harge elle- i.
Enn, si le ourant T était laminaire sur la sphère unité, elle- i ontiendrait
C
1
né essairement des disques holomorphes,
Soit
An .
Cn
une suite de
La laminarité d'un
e qui est impossible.
ourbes analytiques de la boule unité de
C2
, d'aire
ourant est liée à la présen e dans son support de graphes
de fon tions holomorphes au-dessus d'une dire tion omplexe.
[Cn ℄
Pour montrer qu'une limite de n
An est laminaire, la méthode sera don
de onstruire de tels graphes dans les ourbes
n , puis de passer à la limite.
T =
Pour dé rire
C
ette méthode et en montrer les limites, on va traiter deux
exemples.
Le premier est
elui de Wermer (voir [10℄) : on verra qu'un ex ès de genre
Cn entraîne la non-laminarité de la limite.
Dans le se ond, on traitera le as opposé où Cn est une suite de disques dans
2
un bi arré C (0; 1) ave le bord de Cn in lus dans C (0; 1) C (0; 1) : ette
pour les
ourbes
COURANTS LAMINAIRES
1.1.
5
Tn sera laminaire.
fois- i la limite de
Exemple 3. L'exemple de Wermer.
On va
Soit
C2
ommen er par dé rire la
et exemple est
.
D le disque unité de
C
et
Le point de départ est la
onstru tion des
ourbes
an une suite dense de D.
C0 , graphe au-dessus
Cn .
Le
adre de
D, dénie par
ourbe C1 en dou-
ourbe
de
f0 (z; w) = w = 0. A partir de elle- i, on rée une
blant C0 au-dessus de a1 . Plus pré isément, C1 est dénie par l'équation
f1 (z; w) = f0 (z; w)2 1 (z a1 ) = 0 (où n est une suite que l'on pré isera).
En itérant le pro édé, on obtient une suite de ourbes Cn de genre environ
22n .
[Cn ℄
On arme que T , valeur d'adhéren e de la suite
An (i i An vaut essentiellen
ment 2 ) n'est pas laminaire. En eet, si Kn désigne un Æn -voisinage fermé de
Cn , on peut hoisir les suites n et Æn de sorte que Kn+1 Kn . Si le ourant T
était laminaire, on aurait don un disque holomorphe dans K = \n1 Kn .
Quitte à réduire
d'un voisinage de
e disque, on peut supposer qu'il est un graphe au-dessus
an
(pour des
dit, on aurait une se tion
entourant
an
ritique pour
:
n
aussi grands que l'on veut). Autrement
ar, par
jCn .
On peut raner
jKn
ontinue de
e qui est impossible
(où
(z; w) = z ) sur un er le
an est une valeur
onstru tion,
haque étape, on peut
[Cn ℄
An ne
G
n
soient pas laminaires et telles que le rapport
An tende vers l'inni aussi lentement que l'on veut.
onstruire des
et exemple : si on ne ramie pas à
ourbes
Cn
de sorte que les valeurs d'adhéren es de
Exemple 4. Cas de genre nul ave
Dans
une proje tion propre.
e paragraphe, la méthode utilisée est
[3℄).
C (0; 1) le
C
elle de Bedford et Smillie (voir
0 dont les tés sont de longueur 1.
Cn qui ont leur bord dans C (0; 1)R C (0; 1).
ation (z; w ) = z est alors un revêtement de degré dn =
Cn ! où
On notera
arré de
entré en
Considèrons une suite de disques
L'appli
! est la forme kählérienne standard de
Quitte à extraire une sous-suite,
Pour montrer que
ations pour
T
[Cn ℄
An
C
.
onverge vers un
ourant
T.
est laminaire, on va montrer que le nombre de rami-
est de l'ordre de
dn
:
ela
réera de grands espa es où l'on
pourra mettre des graphes de fon tions holomorphes. An d'obtenir tout le
ourant
T , on insèrera des graphes de plus en plus petits qui seront
au-dessus d'un quadrillage de plus en plus n.
onstruits
6
COURANTS LAMINAIRES
CHAPITRE 1.
Constru tion de graphes
On
Si
C (0; 1) en k2 arrés égaux.
onnexe de Cn au-dessus d'un des arrés, on a deux
ommen e par quadriller
est une
omposante
possibilités :
à est un homéomorphisme (dans
soit la restri tion de
e
as
est appelée
bonne île) ;
soit
e n'est pas le
as et on parlera de mauvaise
omposante.
Par passage à la limite sur les bonnes îles, on obtiendra un
Cependant, si on veut que
mauvaises
T,
elui- i soit égal à
omposantes ( omptées ave
ourant laminaire.
il faut que le nombre de
multipli ité par rapport à
)
soit
faible devant le nombre de bonnes îles.
Pour évaluer le nombre de mauvaises omposantes, on va utiliser la formule de
m() la multipli ité de la omposante
(qui est un disque par le prin ipe du maximum), le nombre de rami ations
de j est égal à m()
1. Alors, par la formule de Riemann-Hurwitz, on
Riemann-Hurwitz. En eet, si on note
a :
(Cn ) +
D'autre part, si
En
X
(m() 1) = dn (C (0; 1)) = dn :
m() 2 on a m() 2(m() 1).
ombinant les deux relations
tion du nombre des mauvaises
2(dn
1).
i-dessus, on obtient don
omposantes ( omptées ave
Autrement dit, il y a au moins
k
bonnes îles au-dessus du quadrillage (
0 quand k tend vers l'inni).
Grâ e à
k2 dn
2(dn
multipli ité) par
1) k2 dn (1
désigne une suite qui
ette minoration, on va montrer que
Laminarité de T dans le bi arré
Soit Tk;n le ourant déni par Tk;n =
T
une majora-
k )
onverge vers
est laminaire.
X
1
An
[ ℄ (Tk;n
est laminé
bonnes îles
au-dessus de
haque
arré du quadrillage).
[Cn ℄
Rappelons que n
An .
La minoration du paragraphe pré édent nous
T =
Z
Tk;n ^ ! (1 k )
d'où, en remarquant que
onverge vers un
onduit à :
Tn ^ !;
dn est majoré par An ,
Z
(Tn
Tk;n ) ^ ! k :
En utilisant maintenant la proposition de
Tk;n
Z
ourant
Tk
ompa ité du paragraphe 1.1.1,
laminé au-dessus des
arrés du quadrillage
1.2.
CAS MODÈLE
7
(quitte à extraire une sous-suite), et on a toujours l'estimée :
Z
ave
Tk 0 par
T
Tk ) ^ ! k ;
(T
onstru tion.
k augmente), Tk roît vers
Tk à Tk0 ave k0 > k revient
Si on rane de plus en plus le quadrillage (i.e. si
un
ourant
T1
R
qui est laminaire (passer de
à rajouter des
T1 T
et
(T
Maintenant, on
ourants laminés qui sont
T1 ) ^ ! 0.
onsidère un point
ompatibles entre eux). De plus,
p du bi
arré. Si on tourne le bi arré ini-
tial, qu'on le diminue dans une dire tion et qu'on l'agrandit dans l'autre, on
C1 C2 qui ontient p, tel que Cn \ C1 C2 ait
C1 C2 . Par le prin ipe du maximum, l'interse tion de Cn
obtient un autre bi arré
son bord dans
ave
C1 C2
est toujours
omposée de disques. Alors, en refaisant le même
[Cn C1 C2 ℄
[Cn ℄
raisonnement que pré édemment ave
au lieu de
on obtient
A
n
0
0
0
0 An
un ourant
laminaire ave
(où
est la proje tion
R
T1
C1 ).
D'autre part, si C1 C2
(T
orthogonale sur
\ T1 ) ^ ! = 0
est générique pour
bien laminaire dans
T1, on a T10
T1 sur l'inter-
T = T1 au voisinage de p. Le
C (0; 1) C (0; 1).
se tion des bi arrés. Autrement dit
est don
0
On va maintenant passer à la situation générale : le
ourant
T
as non propre.
L'obje tif sera de démontrer le théorème suivant :
Théorème 1.1.1. Soit Cn une suite de ourbes analytiques lisses de la boule
unité B de 2 (s'étendant un peu au-delà de B ).
On note An l'aire de Cn, Gn le genre de Cn et on suppose que Tn = [ACnn℄
onverge vers un (1; 1)- ourant positif fermé T de B (toujours possible quitte
à extraire).
Alors, si Gn = O(An), T est laminaire.
C
Dans un premier paragraphe, on va démontrer
e théorème dans un
modèle. Dans le se ond, on verra que, quitte à modier un peu les
Cn , la situation réelle n'est pas très éloignée du
as
ourbes
as modèle. Cette proximité
démontrera alors le théorème.
1.2 Cas modèle
Dans
sur les
e paragraphe, on va montrer
ourbes
Cn dans un
as modèle.
omment
onstruire de bons disques
8
CHAPITRE 1.
On
ommen e par supposer les
Ln + Gn + Bn = O(An), où :
ourbes
COURANTS LAMINAIRES
Cn à géométrie bornée par An :
Ln = longueur du bord de Cn ;
Gn = genre de Cn;
Bn = nombre de omposantes de bord de Cn :
Puis, on se xe une dire tion D (qui vérie T =
6 0, où est la proje tion
orthogonale asso iée à D ), et on quadrille le arré C D , entré en 0, de
2 arrés égaux. Un tel quadrillage peut être dé omposé en quatre
té 2, en 4k
2 arrés deux à deux disjoints.
familles de k
On va partir de la famille Q la moins re ouverte. Elle vérie en parti ulier :
Z
Z
1
1
!
! Sn =
Sn (Q) =
aire de Q Cn \ (Q)
aire de C Cn
1
où
! est la forme kählérienne standard de
Le but est de démontrer que les
joritairement des
de
Q).
C
.
omposantes
onnexes de
1 (Q) sont ma-
îles (disques dont le bord se projette sur le bord des
arrés
Le nombre d'îles au-dessus de Q est lié à la ara téristique d'Euler de Cn
1 (Q). En eet, si I désigne l'ensemble des îles de 1 (Q), on a (Cn
1 (Q)) (Cn ) #I (enlever une île fait huter la ara téristique d'Euler
de 1). En utilisant alors l'hypothèse sur le genre et le nombre de omposantes
de bord, on obtient une minoration du nombre d'îles par
(Cn 1 (Q))
O(An).
On va majorer (Cn
1 (Q)) pour obtenir une bonne minoration du ardinal de I . Pour ela, on pave C
Q en roix (voir gure 1.1).
Fig.
1.1 Pavage en
pavent essentiellement
A partir de là, on
omposante
roix. Les
C
Q.
arrés font partie de la famille
onstruit un graphe où
onnexe au-dessus d'une
Q. Les
roix
haque sommet représente une
roix, et où l'on met une arête entre
1.2.
CAS MODÈLE
deux sommets si les
9
omposantes en question sont adja entes. Dans toute la
suite, on identiera sommets et
On obtient alors :
1 (Q)) (Cn
omposantes
X
onnexes
()
orrespondantes.
nombre d'arêtes
sommets
s a
où
s est le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.
La
ombinaison de
ette relation ave
noration du nombre d'îles par
la pré édente, nous
onduit à une mi-
a s O(An ). Il nous reste don
à majorer le
nombre de sommets et à minorer le nombre d'arêtes.
On va ajouter une hypothèse supplémentaire dans
poserons que les
au-dessus de
omposantes
elles- i.
Le nombre de sommets est alors égal à
Sn (C
e paragraphe : nous sup-
onnexes au-dessus des
k2 Sn (C
Z
1
Q) =
aire de C
Q
roix sont des graphes
Q) où
Cn \ (C Q)
1
!:
Pour minorer le nombre d'arêtes, on utilise la remarque suivante : si
sommet et
() sa valen
on a :
Ln X
sommets
'est-à-dire :
est un
e (i.e. le nombre d'arêtes qui partent du sommet),
X
1
(4 ()) ;
k
() 4k2 Sn (C
Q) kO(An );
sommets
e qui implique :
a 2k2 Sn (C Q) kO(An ):
Le nombre d'îles au-dessus de Q est alors minoré par :
k2 Sn
ar la dire tion
Les
D est bien
kO(An ) = k2 Sn (1 );
T =
6 0).
hoisie (
omposantes au-dessus de
Q sont don
bien majoritairement des îles.
Dans la réalité, on n'aura pas vraiment des graphes au-dessus des
Cependant, quitte à modier un peu les
ette situation.
ourbes
roix.
Cn , on ne sera pas loin de
10
CHAPITRE 1.
COURANTS LAMINAIRES
1.3 Cas général
1.3.1 Simpli ation géométrique des ourbes Cn
Voi i
omment on se ramène à des
An , quitte à rétré
ourbes
Cn
à géométrie bornée par
ir un peu la boule de départ :
Considérons les trois boules
on entriques
B , 0 B et B (où 0 est stri
tement
et 1). Notons Cfn la ourbe obtenue en ollant les omposantes
0
onnexes de Cn \ ( B
B ) qui tou hent B , à Cn \ (B ). Par le prin ipe
0
f
fn
du maximum, Cn a son bord in lus dans B . Nous allons voir que C
a un nombre de omposantes de bord en O (An ). En eet, si on oupe Cn
suivant es N omposantes de bord, grâ e au ontrle du genre on obtient au
moins N
O(An ) omposantes onnexes dans l'une ou l'autre des alottes
sphériques B
0 B , 0 B B . Par onstru tion le bord de doit ren ontrer
ompris entre
les deux sphères bordant la
alotte dans laquelle elle se trouve. Un argument
d'aire s'appuyant sur le théorème de Lelong (voir [18℄) montre alors que
N O(An) est un O(An), don N aussi. De plus, quitte à bouger un peu
0 B et à extraire une sous-suite, on a Lfn = O(An) via la formule de oaire
(voir [19℄).
On s'est don
qui
ramené à une
oïn ide ave
Cn sur B .
ourbe
fn + Bfn = O(An) et
Cfn qui vérie Lfn + G
Dans la suite, tous les tildes seront oubliés.
1.3.2 Comment se rappro her du as modèle
Reprenons la démonstration du paragraphe 1.2 :
T 6= 0, où iée à D ). On quadrille le arré C D ,
On part d'une dire tion
thogonale asso
en
4k2
D
(qui vérie
est la proje tion orentré en
0, de
2
k2
té
arrés égaux (asso ié à un tel quadrillage, il y a quatre familles de
Q la moins re ouverte (en
parti ulier le nombre moyen de feuillets Sn (Q) au-dessus de Q est inférieur
au nombre moyen de feuillets Sn au-dessus du quadrillage initial). Puis on
pave C
Q en roix omme dans le paragraphe pré édent (voir gure 1.1).
arrés deux à deux disjoints). On part de la famille
Dans le paragraphe 1.2, on s'était pla é dans un modèle où les
santes au-dessus des
roix étaient des graphes. I i
va voir que l'on peut se ramener au
se projettent sur presque toute la
e n'est plus vrai, mais on
as où la majorité de
roix
ompo-
orrespondante.
es
omposantes
est une omposante au-dessus d'une roix, on peut dé omposer () en
1 est la partie de () re ouverte au moins une fois,..., elle
re ouverte fois (où est la multipli ité maximale de ). On note j la
j
partie de (Cn ) qui borde .
Si
strates :
1.3.
CAS GÉNÉRAL
11
k une suite qui tend lentement vers 0 (dans e texte toute suite tendant
vers 0 sera notée k ).
Alors, si l ( j ) désigne la longueur de j , on peut avoir :
- l'existen e d'un j dans f1; :::; g ave lequel l ( j ) k (on dira que la strate
k
Soit
en question a un bord long),
ou :
- pour tout
j
dans
f1; :::; g, l( j ) kk
(on parlera de bord
ourt).
En utilisant l'inégalité isopérimétrique, on remarque que dans le dernier
as,
on a soit :
aire de
j (1 k )aire de la
Soit :
ontexte,
e sont les
omposantes du dernier type qui sont les
j 2 f1; :::; g:
hangée
les enlever.
ourbe Cn d'une aire (pour
l
(
)
.
En
les enlevant toutes, l'aire
j
j =1
on modie la
P omposantes,
1 P
2
En tant une de es
est don
j 2 f1; :::; g:
, pour tout
plus éloignées de la situation propre : on veut don
j =1 l( j ) k
1
d'au plus Ln qui
k
! ) au plus égale à
ertain
j l ( j )2
aire de
Dans notre
roix , pour un
est négligeable. D'autre part, en utili-
sant l'inégalité triangulaire, on voit que la longueur de la proje tion par
du bord de la
ourbe obtenue en enlevant
2Ln = O(An ). Enn,
ette nouvelle
Notons
I
l'ensemble des îles au-dessus de
a vu, via la
posante
Cn .
onstru tion du graphe où
onnexe au-dessus d'une
ardinal de
le nombre de sommets et
es
Gn + Bn = O(An).
omposantes, que l'on no-
Dans le paragraphe 1.2 on
haque sommet représente une
om-
roix, et où l'on met autant d'arêtes entre
deux sommets qu'il y a d'ar s en
orrespondantes, que le
Q.
omposantes est majorée par
ourbe vérie toujours
Cn privée de
Dans la suite, on travaillera ave
tera toujours
es
ommun dans le bord des
omposantes
I est minoré par a s O(An ) (où s est
a le nombre d'arêtes) .
Il nous reste à majorer le nombre de sommets et à minorer le nombre d'arêtes.
1.3.3 Majoration du nombre de sommets et minoration
du nombre d'arêtes
Grâ e à notre simpli ation ee tuée au paragraphe pré édent, on sait
qu'un sommet possède une strate qui a soit un bord long, soit une aire supé3(1 k )
rieure à
.
k aire de la roix
2
(1 )
=
k
D'après l'hypothèse sur la longueur du bord, il y a au plus
k
k O (An )
sommets
12
CHAPITRE 1.
qui possèdent une strate ave
COURANTS LAMINAIRES
un bord long.
Pour les sommets qui possèdent une strate d'aire supérieure à
2
Q) (1 k k ) ,
3(1 k )
k2 ,
on voit
où Sn (C
Q) est le nombre
Sn (C
moyen de feuillets au-dessus de C
Q. On obtient alors une majoration de
s par :
k
Sn (C Q)k2 (1 + k ) + O(An):
k
fa ilement qu'il y en a au plus
Passons maintenant à la minoration du nombre d'arêtes.
On se xe un sommet
au-dessus d'une
Q seront notés
sont pas dans le bord de
La
2
,
3
d'autres ave
()
espè e se divisent en deux
4.
roix qui ne
l( ) elles pour qui
k
atégories :
elles qui ont une aire inférieure à
3(1 k )
ette aire est supérieure à
. Si
désigne le
2
() est la valen
m()
k
nombre de strates de la dernière sorte, on a :
où
tés de la
et
k et
ontient des strates pour lesquelles on a
j
k
ette longueur plus petite que k . Les strates de la deuxième
omposante
l( j )2 et
roix. Les
1,
() 4m();
e du sommet (i.e. le nombre d'arêtes qui en partent).
i
En eet, on peut tout d'abord supposer que l'union des segments
ontre pas les valeurs
ritiques de
. Ensuite, soit
hoisi de sorte qu'un de ses petits voisinages dans la
m()
strates ( 'est possible
ne ren-
un sous-segment de
i
roix soit in lus dans les
ar elles s'emboîtent les unes dans les autres) ;
m() arêtes dans .
P
m() entraîne don elle du nombrePd'arêtes a = 21 ().
Pour l'obtenir, on va minorer l'aire re ouverte par les
m() strates.
alors
P
se relève en au moins
La minoration de
j
Les strates pour lesquelles la longueur de
nombre
rieure à
kO(An )
au plus égal à
k .
kO(An ) 3
O(An )
k k2 = kk .
L'union de
est supérieure à
es éléments est don
k
k
sont en
d'aire infé-
De même, l'ensemble des strates qui ont un petit bord et une aire majorée
k O(An )
2
.
par
j a une aire majorée par
l( )
En
à
ombinant
k
es deux majorations et le fait que l'aire de
3, on obtient que l'aire re
une aire minorée par
3(1 k )
k2
ouverte par les strates qui ont un petit bord et
Q)
O(An)
:
kk
Autrement dit, on a :
a2
sommets
Q est égale
est supérieure à :
3Sn (C
X
C
m() 2
1
aire de la
roix
3Sn (C
Q)
O(An )
;
kk
CAS GÉNÉRAL
1.3.
13
qui est plus grand que
2k2 Sn (C
Cela nous
k
O(An ):
k
Q)
onduit à une minoration du nombre d'îles au-dessus de
Q par :
k2 Sn (1 k )
par e que la dire tion
T =
6 0) et que Sn(C
D est bien
hoisie (
Q) Sn .
Q était quand même bien re ouverte. En
parti ulier, si
est une famille de arrés, on a Sn (C
Q0 ) (1 k )Sn .
2
On en déduit la présen e d'au moins (1
k )k Sn îles au-dessus de Q0 , soit
4(1 k )k2 Sn îles au-dessus du quadrillage initial.
L'estimée pré édente implique que
Q0
De plus, un argument d'aire montre que très peu d'entre elles sont ramiées.
4(1 k )k2 Sn bonnes îles (graphes au-dessus des
du quadrillage) dans les ourbes Cn .
On a don
au moins
Montrons que
Soit
Tk;n
le
ela donne la laminarité de
ourant déni par
Tk;n =
1
An
T dans
X B.
[ ℄ (Tk;n
arrés
est laminé au-
bonnes îles
arré du quadrillage).
[Cn ℄
Rappelons que n
An .
La minoration du paragraphe pré édent nous onduit à :
dessus de
haque
T =
Z
^ ! (1
Tk;n
Z
d'où,
k )
onverge vers un
ourant
Tk
Tn ^ !;
Tk;n ) ^ ! k :
(Tn
En utilisant maintenant la proposition de
Tk;n
Z
ompa ité du paragraphe 1.1.1,
laminé au-dessus des
arrés du quadrillage
(quitte à extraire une sous-suite), et on a toujours l'estimée :
Z
ave
T
Tk 0 par
(T
Tk ) ^ ! k ;
onstru tion.
k augmente), Tk roît vers
Tk à Tk0 ave k0 > k revient
Si on rane de plus en plus le quadrillage (i.e. si
un
ourant
T1
à rajouter des
qui est laminaire (passer de
ourants laminés qui sont
ompatibles entre eux). De plus,
14
CHAPITRE 1.
T1 T
et
R
(T
COURANTS LAMINAIRES
T1 ) ^ ! 0.
Maintenant, si on prend une autre dire tion
T1
et telle que
0 T =
6 0
un
Ronstruit 0 de même
0
(T
Alors
D0
générique par rapport à
00 désigne la proje tion asso iée à D0 ), on
ourant T1 T qui est supérieur à T1 et qui vérie
(où
T1) ^ ! = 0.
T = T10 , 'est-à-dire que T
est laminaire dans
B.
Chapitre 2
Con entration du genre
On
P C)
onsidère i i des
holomorphe de
2(
et
f n(L) où f
ourbes du type
est un endomorphisme
L une droite proje tive. Cette suite onverge (dans
ourant T appelé ourant de Green asso ié
un sens que l'on pré isera) vers un
à
f.
L'obje tif de
e
de
on entre sur le support de la mesure
f n (L) se
hapitre sera de montrer que la plus grande partie du genre
Voi i le plan de
T ^ T.
e texte : dans un premier paragraphe, on fera quelques
rappels de dynamique holomorphe. Dans le se ond, on démontrera le résultat
dans un as parti ulier :
sera
onsa rée au
points se
elui des endomorphismes ritiquement nis. La suite
as général : dans un premier temps, on montrera que les
on entrent sur le support de
longueur-aire, on en déduira la
T ^ T . Ensuite, via un argument de
on entration du genre.
2.1 Préliminaires de dynamique holomorphe
Dans
e paragraphe, on va rappeler la dénition du
P2(C )
ourant et de la
mesure de Green asso iés à un endomorphisme holomorphe de
on détaillera quelques-unes de leurs propriétés.
, puis
2.1.1 Dénition du ourant de Green
Soit
f
un endomorphisme holomorphe de
P2 (C )
de degré
d 2.
ritique de f . On sait que Cf est une ourbe algé3d 3 et que le degré topologique de f vaut d2 .
On va maintenant onstruire le ourant de Green asso ié à f (voir [12℄).
2 ( ).
Soit ! la forme de Fubini-Study de
On notera
Cf
l'ensemble
brique de degré
PC
15
16
CHAPITRE 2.
La forme
où
f ! est
u est une fon
En itérant
Gn =
ave
CONCENTRATION DU GENRE
d! , on a don
f !
= ! + dd u;
d
2 ( ).
tion lisse de
ohomologue à
:
PC
ette relation, on obtient que :
f n !
= ! + dd Gn ;
dn
Pn
1 uÆf i
i=0 di .
maxP (C ) jGn+k Gn j est majorée par dCn (où C est
une onstante indépendante de k et n) entraine que la suite Gn onverge
P1 uÆf i
uniformément vers une fon tion ontinue G =
i=0 di . Autrement dit, la
n !
f
suite Tn =
dn onverge vers un ourant T = ! + dd G.
Le fait que la diéren e
Par
2
onstru tion, on a :
f T = dT
Z
et
Le
kT k = T ^ ! = 1:
omplémentaire du support de
le plus grand ouvert où la famille
D'autre part, le
ourant
T
T
oïn ide ave
l'ensemble de Fatou (i.e.
ff ngn0 est lo alement normale).
est naturel d'un point de vue dynamique : il
équirépartit les préimages de droites génériques. En eet, un
as parti ulier
P2(C )
d'un résultat de Favre et Jonsson (voir [11℄) généralisant Fornæss et Sibony
(voir [14℄) montre que la limite des préimages de droites génériques de
fn
T . Plus pré isément :
Théorème 2.1.1. [11℄
L'ensemble des droites de 2 ( ) telles que :
1 n
f [L℄ T
dn
est un sous-ensemble algébrique propre du dual de
par
onverge vers
PC
9
P2 (C ).
2.1.2 Mesure de Green
T , la fon tion G est
= T ^ T . Cette mesure
Dans la dénition de
l'auto-interse tion
f = d2 (voir [12℄).
ontinue : on peut don
dénir
est une probabilité qui vérie
D'autre part, J.-Y. Briend et J. Duval, en généralisant un résultat de Fornæss
et Sibony (voir [12℄), ont montré qu'elle est naturelle d'un point de vue
dynamique :
2.2.
UN EXEMPLE : LE CAS CRITIQUEMENT FINI
17
Théorème 2.1.2. [5℄
L'ensemble des points de
P2(C ) tels que :
f n Æa 9 est un sous-ensemble algébrique propre de P2 (C ).
Enn,
omme
onséquen e de l'inégalité de Chern-Levine-Nirenberg (voir
[12℄), on utilisera le fait que
ne
harge pas les ensembles pluripolaires.
2.2 Un exemple : le as ritiquement ni
Un endomorphisme holomorphe
ritique,
C = [n0
f n (C
f ),
est une
Exemple 5. f = [z d : wd : td ℄.
0) [ (t = 0):
Dans
f
est
ritiquement ni si son lieu post-
ourbe algébrique (voir [13℄).
Dans
e
as, on a :
C
= (z = 0) [ (w =
e paragraphe, on va montrer que le genre des
f n (L) (où L est une droite proje
de = T ^ T . Plus pré isément :
tive générique) se
ourbes du type
on entre sur le support
Proposition 2.2.1. Pour un endomorphisme holomorphe ritiquement ni,
le genre de l'image ré iproque par f n d'une droite proje tive générique L,
f n (L), est dominé par O(dn) en dehors d'un voisinage du support de la
mesure .
Corollaire 2.2.1. Pour un endomorphisme holomorphe ritiquement ni, le
ourant de Green T est laminaire en dehors du support de la mesure .
Preuve. En utilisant le théorème 2.1.1, on voit que l'on peut prendre une
droite L qui vérie les hypothèses de la proposition pré édente ainsi que :
1 n
f [L℄ ! T:
dn
Le
orollaire dé oule alors du théorème 1.1.1 du
Remarque 1.
dont le
hapitre pré édent.
Il existe des exemples d'endomorphismes
P2 (C )
ritiquement nis
ourant de Green est laminaire seulement en dehors du support de
Il sut de prendre la suspension à
version dynamique de l'exemple 2 du
.
d'un exemple de Lattès. C'est une
hapitre 1.
18
CONCENTRATION DU GENRE
CHAPITRE 2.
Démontrons la proposition 2.2.1.
Pour
al uler le genre de
f n(L),
dé omposition en des disques). Pour
de
ara téristique d'Euler sur
f n(L)
f
onstruire une triangulation de L
f n(L) (par triangulation, on entend
on va
qui se relèvera en une triangulation de
on lure, il restera alors à faire un
n (L).
al ul
L générique).
L qui passe par un point a appartenant au support de privé de C telle que Cardinal(L\C ) = degré de C =
( 'est possible ar ne harge pas C ). Le as d'une droite générique se fait
On va supposer que
D'autre part, on va traiter le
est lisse ( e qui est vrai pour
as d'une droite
d'une manière pro he.
Dans la suite, on supposera que
a est le ple nord de L.
Quitte à bouger un peu la droite, on peut supposer que l'interse tion des
méridiens qui passent par
C \ L ave
l'équateur est
onstituée de
a1 ; :::; a . On les ordonne via une orientation de l'équateur.
En
points :
onsidérant alors les méridiens qui passent par le milieu des segments
[ai ; ai+1 ℄ (i = 1; :::; 1)
et
[a ; a1 ℄
(où les segments
sur l'équateur), on obtient une triangulation de
L
ave
onsidérés sont situés
fa es,
arêtes et
deux sommets.
f n en une triangulation de f n (L). En eet,
n
un disque qui ren ontre C en au plus un point se relève en un disque par f .
n (L) hors d'un -voisinage du supOn va maintenant al uler le genre de f
port de la mesure , U .
Cette triangulation se relève par
Soit
la réunion des arêtes et des sommets de la triangulation qui sont
U ;
g (f n(L) U ) g (f n(L)
nus dans
alors
D'autre part, une
omposante
).
onnexe de
f n(L)
onte-
peut être de deux
types :
- soit elle ne
(don
ontient au moins une.
Q désigne les
q leur nombre, on obtient :
(Q)
:
2
omposantes du deuxième type et
g (f n(L) U ) q
Ainsi :
ar
'est un disque
de genre nul),
- soit elle en
Si
ontient pas d'arête de la triangulation et alors
2g (f n(L) U )
Nombre d'arêtes qui sortent de U ;
3
(Q) est majoré par le nombre d'arêtes qui sortent de U .
Il reste don
à majorer
e dernier terme.
2.2.
UN EXEMPLE : LE CAS CRITIQUEMENT FINI
, on en déduit que le genre de
Les arêtes étant atta hées au support de
n (L)
f
hors de
U
est majoré (à une
onstante près) par le nombre d'arêtes
de la triangulation de diamètre supérieur à
terme par
O(dn).
19
. Il sut don
de majorer
e
C'est l'objet du lemme :
Lemme 2.2.1. Les préimages par f n des arêtes de la triangulation de L sont
de diamètre inférieur à (sauf O(dn) d'entre elles).
Preuve.
La démonstration de e lemme repose sur la omparaison aire-diamètre
qui suit (voir [5℄).
Fait :
P C)
Il existe
2(
où
C > 0 tel que, pour toute paire de disques holomorphes D D~ dans
, on ait
(Diam(D))2 C
A désigne l'anneau D~
D.
On peut mettre une arête
disjoint de
C,
(D~ )
;
min(1; Mod(A))
Aire
de la triangulation de
de sorte que le module de l'anneau
D
L dans
un disque
m inférieure à 1 et qui ne dépend que de C \ L.
n les bran hes inverses de f n sur D . Les anneaux f n (D
On note fi
i
le même module que elui de D
.
onstante
En utilisant le fait pré édent, on obtient don
mètre de
fi n( ) par
n
C
m Aire(fi (D )).
D
soit égal à une
) ont
une majoration du arré du dia-
Autrement dit, le nombre de bran hes
f n( )
inverses pour lesquelles le diamètre de i
est supérieur à
est majoré
n
C
Cd
n
par
e que l'on voulait démontrer.
2 Aire
2 . C'est
(f (L)) =
m
Dans le
m
point et que l'on remonte
f 1 (L).
de
L ave des
V = f (Cf ) qu'en un seul
par f , on en obtient une de
as d'un endomorphisme quel onque, si on dé oupe
disques qui ne ren ontrent les valeurs
ritiques
ette triangulation
Cependant les éléments de
ette triangulation n'ont au une raison
ontinuer à rester des disques quand on les relèvera de nouveau par
( ertains d'entre eux peuvent tou her
une triangulation, il faudra don
Lors de
en plusieurs points). Pour
ette opération, on pourra garder le
dn(1+)
ontrle des longueurs des pré-
arêtes de longueur supérieure à
ompensera alors la perte de l'atta he par le
nombre de points de
f n(x)
onserver
faire un redé oupage.
images des arêtes (on aura au plus
). On
V
f
hors de
U
2
ontrle en
, pour tout point
x
de
dn(1+) du
2( ) ( e
PC
20
CHAPITRE 2.
CONCENTRATION DU GENRE
ontrle sera vrai pour des endomorphismes
majorer le genre
ar les arêtes qui sortent de
de longueur supérieure à
hors de
U
2
f
génériques). Cela sura pour
U
sont
, auxquelles on ajoute
omposées des arêtes
elles qui ont un sommet
.
Autrement dit, on obtiendra le :
Théorème 2.2.1. Pour f générique parmi les endomorphismes de degré d,
on a :
1
lim sup log max Genre(f n (L) U ) log d:
L2(P )
n!1 n
2
Le plan sera don
l'on peut
dn(1+) .
n (L)
tivement de majorer le genre de f
ontrler le nombre de points de
Puis, on verra que
hors de
le suivant : dans un premier temps on montrera que
U
par
ela permet ee
dn(1+) .
f n (x)
hors de
U
2
par
2.3 Contrle des préimages des points
Le
ontrle du nombre d'anté édents d'un point
s'inspire du
de degré
d.
x de
P2 (C )
hors de
U
al ul de l'entropie topologique d'un endomorphisme holomorphe
Après quelques rappels sur l'entropie topologique qui in luront les diérentes
étapes de
e
al ul, on passera au
ontrle des préimages de points.
2.3.1 Entropie topologique
Comme référen e générale pour
e paragraphe, on pourra prendre le livre
d'A. Katok et B. Hasselblatt (voir [17℄).
htop (f ) est dénie par :
1
htop (f ) = sup lim sup log(maxfCard(F ); F (n; Æ )-séparég)
Æ>0 n!1 n
2
où un ensemble est dit (n; Æ )-séparé si pour tout ouple (x; y ) 2 F
q
q
dn (x; y ) := max0qn 1 d(f (x); f (y )) Æ .
L'entropie topologique
C'est don
on a
une quantité qui dé rit le nombre d'orbites que l'on peut dis erner
à une erreur
Æ près après un temps n.
f holomorphe de 2 ( ) est d'entropie topologique 2 log d.
Un endomorphisme
L'obtention de
ette valeur est la
PC
ombinaison d'une majoration obtenue par
M. Gromov (voir [16℄) et d'une minoration due à M. Misiurewi z et F. Przyty ki (voir [17℄).
2.3.
CONTRÔLE DES PRÉIMAGES DES POINTS
La majoration repose de manière
21
ru iale sur le théorème de Lelong (voir
[18℄) :
Théorème 2.3.1. (Lelong)
Pour toute boule B (x; r) de n et toute surfa e analytique dans B (x; r)
passant par x, on a :
Vol( \ B (x; r)) Cr4 ;
où C est une onstante indépendante de n.
n 1 (x)); x 2 2 ( )g le multigraphe de f
Si on note
n = f(x; f (x); :::; f
d'ordre n, on voit qu'un ensemble F (n; Æ )-séparé donne un ensemble G Æ séparé dans
n pour la distan e produit dn . En désignant par !n la forme
2 ( ))n induite par la forme de Fubini-Study ! sur haque
kählérienne sur (
C
PC
P C
fa teur, on a :
Z
n
où
Bn (y; 2Æ )
!n2 = vol( n ) est la boule
par
y2G
Æ
2
n)
dn .
Le
n
C (Card(G)) (où C est une
y
Æ
(Bn (y; ) \
2
vol
onduit alors à une minoration du volume de
entrée en
théorème de Lelong nous
X
de rayon
pour la métrique
onstante indépendante de
n). Autrement dit,
l'entropie topologique est majorée par la quantité :
1
1
lov (f ) := lim sup log(vol( n )) = lim sup log
n!1 n
n!1 n
qui est égale à
1
lim sup log
n!1 n
ar
f i ! est
ohomologue à
Z
n 1
X
(C ) i;j =0
P2
les préimages
f
de points
trop souvent de l'ensemble
Elle s'ins rit dans un
n
!n2
f i ! ^ f j ! = 2 log d;
di ! .
La minoration repose sur la
n (x)
Z
onstru tion d'ensembles
x
(n; Æ )-séparés dans
dont les anté édents ne s'appro hent pas
ritique.
adre plus général,
elui des appli ations de
Théorème 2.3.2. (Misiurewi z-Przyty ki)
Si M est une variété lisse, ompa te et orientable et f : M
ation de lasse C 1 , on a :
htop (f ) log jdegtop (f )j:
!M
lasse
C1 :
une appli-
22
CONCENTRATION DU GENRE
CHAPITRE 2.
Preuve.
(Voir [17℄).
2℄0; 1[.
f ! = Jf ! .
L'appli ation f est lo alement inje tive sur le ompa t B = fx 2 M=jJf (x)j g. Il existe don Æ > 0 tel que pour x et y dans B ave d(x; y ) Æ on ait
f (x) 6= f (y ).
Maintenant, on onsidère l'ensemble A des points de M dont l'orbite visite
peu B , i.e. :
On se xe une forme volume
Le ja obien de
f
! sur M
et
est déni par la relation
A = fx 2 M= Card(B \ fx; f (x); :::; f n 1(x)g) (1
Si
x est un point de A, on a :
jJf n(x)j =
si
)ng:
Y
n 1
j =0
jJf (x)j)(1
jJf (f j (x))j < n (max
x2M
est assez petit.
f n (A)
)n
< 1;
elui de M .
x, valeur régulière
n
de f , qui se trouve dans M
f n (A). En parti ulier, les points de f n(x) ne
sont pas dans A : leurs orbites visitent don souvent l'ensemble B .
Autrement dit, le volume de
est stri tement inférieur à
Par le théorème de Sard, on peut don
trouver un point
La suite de la démonstration va se faire en deux étapes. Dans la première,
on va
onstruire un ensemble
se onde, on
Qn (n; Æ )-séparé
on lura en minorant le
degré topologique de
Dans un premier temps, on part de
y en a au moins
Si
N
ardinal de
f ).
N ).
d'entre eux sont dans
x et on
e n'est pas le
Qn par
as, on prend pour
Q1
N (1
f n (x).
)n
(où
onsidère les points de
B , on note Q1 l'ensemble
(on parlera de bonne transition).
Si
in lus dans
l'ensemble
onstitué par
Dans la
N
est le
f 1 (x) (il
es points
onstitué par une seule
x hors de B (on parlera de mauvaise transition).
1 (x) est onstitué de valeurs régulières pour f .
as Q1 f
En remplaçant maintenant x par les point de Q1 dans le raisonnement pré1 (Q ) f 2 (x). Puis, en itérant
édent, on onstruit un ensemble Q2 f
1
1 (Q
n
le pro édé, on arrive à un ensemble Qn f
n 1 ) ::: f (x).
L'ensemble Qn obtenu est (n; Æ )-séparé.
k
k
En eet, si y1 ; y2 2 Qn et d(f (y1 ); f (y2 )) Æ pour k = 0; :::; n
1 alors
n
1
n
1
f (y1 ) = f (y2 ) ar de deux hoses l'une :
n 1 (y ) et f n 1 (y ) sont dans B et l'égalité provient de la dénition de
soit f
1
2
préimage de
Dans tous les
2.3.
Æ;
soit
CONTRÔLE DES PRÉIMAGES DES POINTS
f n 1 (y1 ) ou f n 1 (y2 ) est dans B
et alors l'égalité dé oule du fait que
est réduit à un point.
A partir de là, on montre de même que
jusqu'à
y 1 = y2 .
La minoration du
Qn
ardinal de
23
Q1
f n 2 (y1 ) = f n 2 (y2) et ainsi de suite
repose sur la domination du nombre de
x par n.
maximal, k ,
mauvaises transitions dans une bran he inverse de
En eet, si on fait une ré urren e sur le nombre
x et un point y de f
N n k.
transitions entre
est minoré par
On a don
N (1
)n .
n (x),
on obtient que le
de mauvaises
ardinal de
Qn
(n; Æ )-séparé dont le ardinal est minoré par
htop (f ) (1
) log N , pour tout 2℄0; 1[.
onstruit un ensemble
Autrement dit, on a
Le théorème est don
démontré.
On va maintenant passer au
ontrle des préimages des points de
P2(C )
.
Il sera valable pour les endomorphismes qui ne possèdent pas de points triples
dans l'orbite positive de l'ensemble
La généri ité de
ritique.
ette hypothèse sera montrée dans l'annexe A.
Alors le résultat sur le
ontrle des préimages de points s'énon e :
Proposition 2.3.1. Pour f générique parmi les endomorphismes de degré
d, on a :
1
lim sup log max Cardinal(f n (x) U ) log d:
x2P
n!1 n
I i U désigne toujours le -voisinage du support de la mesure T ^ T .
2
La démonstration de
ette proposition ressemble à
pie topologique d'un endomorphisme holomorphe de
eet, en voi i le plan :
Dans un premier temps, on va majorer le
hors de
U
par
dn(1+) .
R
Il s'agit don
P C)
elle du
2(
al ul de l'entrode degré
d.
En
(n; Æ )-séparé
omplémentaire de U
ardinal d'un ensemble
de lo aliser au
l'argument de Gromov. Autrement dit, on sera essentiellement ramené à ma-
(
jorer vol
n
jU ) =
n
jU !n
pour tout endomorphisme de
^ !n par dn(1+). Ce raisonnement est valable
P2 (C )
.
La se onde étape onsiste à onstruire un ensemble
n (x), de
(n; Æ )-séparé
un ensemble
Pn de points de f
C'est dans
ette étape que l'on utilise la généri ité de
ontenu dans
(Pn)d
ardinal minoré par Cardinal
f.
2 n.
Enn, la démonstration de la proposition dé oulera immédiatement des deux
étapes pré édentes.
24
CHAPITRE 2.
CONCENTRATION DU GENRE
2.3.2 Majoration du ardinal d'ensembles (n; Æ)-séparés
Dans
e paragraphe, on va démontrer le lemme suivant :
Lemme 2.3.1. Pour f un endomorphisme holomorphe quel onque, le ardinal d'un ensemble (n; Æ )-séparé hors de U (ave Æ petit) est majoré par
Cndn (où C est une onstante qui ne dépend que de Æ et ).
Preuve. Dans la démonstration, on notera toujours C toute onstante qui ne
dépend que de Æ et .
Soit F un ensemble (n; Æ )-séparé hors de U . Il induit un ensemble G Æ -séparé
dans n j(U ) .
On a alors,
(
vol
n
jU ) 2
X
y2G
Æ
(Bn (y; ) \
2
n)
vol
C Card(F );
par le théorème de Lelong.
On obtient don
par
C
(F ) (ave Æ
Card
Pour dominer le
par
une minoration du volume du multigraphe restreint à
petit).
F
ardinal de
par
(
à majorer vol
ette même quantité.
Tout d'abord, on a :
(
vol
n
jU
2
)=
(
La majoration de vol
n
Z
jU
n
2
jU
!n ^ !n =
2
C ( d1i + d1j ).
On notera Ti =
par
f i ! .
di
C1
une fon tion
et qui vaut
1 sur U
Z
2
U
. Alors :
Ti ^ Tj =
di
2
Z
U
(Ti
jU
2
)
de
elle de
dj
ompa t dans
T i ^ Tj U
Z
3
,
omprise entre
Ti ^ Tj :
2
Mais la dernière intégrale est égale à :
Z
U i;j =0
2
n
2
f i ! ^ f j !:
Z f i! f j!
^
à support
2
Z X
n 1
) par Cndn se déduit don
U
Soit
Cndn, il reste don
U
T ) ^ Tj +
Z
T ^ (Tj
T)
0 et 1
CONTRÔLE DES PRÉIMAGES DES POINTS
2.3.
R
T ^ T (U ) qui vaut 0.
R
Autrement dit, si on sait majorer
(Ti T ) ^ S (où S désigne
C
ourant positif fermé de masse 1) par i , on pourra on lure.
d
Cependant, en reprenant la onstru tion de T , on a :
ar
T ^T
25
est dominée par
Z
T) ^ S =
(Ti
Z
'est-à-dire,
(Ti
qui est bien majoré par
3
Z
G)dd
^ S;
GjP (C ) j
jC ;
(Gi
T ) ^ S jGi
2
un
(1; 1)-
2
C
di .
Remarque 2. En terme d'entropie topologique, on obtient que htop (f jU )
est majorée par log d.
I i, htop (f jU ) désigne l'entropie topologique de f lo alisée à U . Elle est
dénie par :
1
htop (f jU ) = sup lim sup log(maxfCard(F ); F (n; Æ ) séparé; F
Æ>0 n!1 n
U g):
2.3.3 Constru tion d'ensembles (n; Æ)-séparés
f
On
onsidère un -voisinage,
C , de l'ensemble
prend
Æ stri
f . L'appli
ation
C . Il existe don Æ > 0
d(x; y ) Æ on ait f (x) 6= f (y ). Enn, on
tement plus petit que .
est lo alement inje tive sur le
tel que pour
ritique de
x et y dans (C)
L'obje tif de
omplémentaire de
ave
e paragraphe est alors de démontrer :
Lemme 2.3.2. On peut onstruire un ensemble (n; Æ )-séparé ontenu dans
un ensemble Pn de points de f n(x), de ardinal minoré par Card(Pn )d 2m ,
où m est le nombre maximal de passages de l'orbite d'ordre n d'un point de
Pn dans C2 .
Preuve.
La démonstration de
première, on va
Pn . Dans la se
On note
Pn
k
e lemme va se faire en deux étapes. Dans la
onstruire un ensemble
onde, on minorera le
l'ensemble
f k (Pn).
(n; Æ )-séparé
ardinal de
Dans un premier temps, on part de
x
Parmi eux, il y a
(C2 )
f
1 (x).
eux qui sont dans
et on
et
ontenu dans l'ensemble
et ensemble.
onsidère les points de
P1
eux qui n'y sont pas. On va
26
CHAPITRE 2.
CONCENTRATION DU GENRE
garder tous les points qui sont dans la première
atégorie. Ensuite, parmi
C2 , on ne garde que elui qui a le plus d'anté édents
Pn . On note Q1 l'ensemble onstitué par e point et par les points de
P1 \ (C2 ) . D'autre part, on dira que l'on a eu une mauvaise transition au
point de (C2 ) que l'on a onservé.
En remplaçant maintenant x par les points de Q1 dans le raisonnement préédent, on onstruit un ensemble Q2 P2 . Puis, en itérant le pro édé, on
n (x).
arrive à un ensemble Qn Pn f
L'ensemble Qn obtenu est (n; Æ )-séparé.
k
k
En eet, si y1 ; y2 2 Qn et d(f (y1 ); f (y2 )) Æ pour k = 0; :::; n
1 alors
n
1
n
1
f (y1 ) = f (y2 ) ar de deux hoses l'une :
n 1 (y ) et f n 1 (y ) sont dans (C ) et l'égalité provient de la dénition
soit f
1
2
de Æ ;
n 1 (y ) ou f n 1 (y ) est dans C et alors es deux éléments sont dans
soit f
1
2
C2 ( ar Æ est inférieur à ) et l'égalité dé oule de la dénition de Q1 .
n 2 (y ) = f n 2 (y ) et ainsi de suite
A partir de là, on montre de même que f
1
2
jusqu'à y1 = y2 .
On a don
onstruit un ensemble (n; Æ )-séparé, Qn , in lus dans Pn . Il reste à
2m .
minorer le ardinal de et ensemble par Card(Pn )d
eux qui sont dans
dans
k
On va faire une ré urren e sur le nombre maximal
tions entre
x
y de Pn ( e nombre varie entre 0
2k .
ardinal de Qn est minoré par Card(Pn )d
et un point
montrer que le
de mauvaises transiet
m).
Elle va
k = 0, le résultat est lair ar on n'enlève au un point de Pn.
On va traiter le as k = 1 pour mieux omprendre le pro édé.
Si on part d'un point y dans Pn , on a deux possibilités :
l
- Soit il existe l dans f1; :::; ng tel que f (y ) soit une mauvaise transition.
Dans e as, on note S (y ) l'ensemble des préimages dans Pn des points de
f 1 (f (l+1) (y )) \ Pn l \ C2. Comme on ne garde que la bran he qui donne le
plus de points dans Pn , on en déduit que parmi les points de S (y ), il y en a
2 qui sont dans Q .
au moins Card(S (y ))d
n
- Soit e l n'existe pas et alors y est dans Qn . Dans e as, on note S (y ) = y .
Maintenant, on peut re ommen er ave z 2 Pn
S (y ) et ainsi de suite. On
Pour
obtient don
:
Card
(Qn ) Card(Pn )d 2 :
On suppose la propriété vraie jusqu'au rang
k + 1.
Quand on enlève les points de
Pn
(Pn )d
minoré par Card
k premières mauvaises
ontient Qn ) de ardinal
orrespondant aux
transitions, on obtient un sous-ensemble de
2k .
k et on veut la montrer au rang
Pn (qui
CONTRÔLE DES PRÉIMAGES DES POINTS
2.3.
Dans
haque bran he de
27
e sous-ensemble il reste au plus une mauvaise
dans le as k = 1 ave
e sous-ensemble
Pn . Autrement dit, on trouve bien une minoration de Qn par
d 2 (Card(Pn )d 2k ) = Card(Pn )d 2(k+1) . La ré urren e est don démontrée.
transition. On se retrouve don
à la pla e de
Dans notre situation, on sait que le nombre de mauvaises transitions est majoré par
m.
On obtient don
par Card
(Pn )d
une minoration du
2m .
ardinal de l'ensemble
Qn , (n; Æ )-séparé,
On va maintenant nir la démonstration de la proposition sur le
ompor-
tement des préimages des points.
2.3.4 Fin de la démonstration
On xe
> 0 et dans toute la suite n sera supposé grand.
\ f i(Cf ) \ f j (Cf ) = ; dès que i; j 2 N On rappelle que l'on
Cela signie que
généri ité de
Soit
onsidère des endomorphismes holomorphes génériques.
Cf
ette
k tel que k3 <
et
i=
6 j.
La
ondition est démontrée dans l'annexe A.
.
est assez petit, on a C2 \ f i (C2 ) \ f j (C2) = ; si
i; j 2 f1; :::; kg et i 6= j .
Ensuite, l'appli ation f est lo alement inje tive sur le omplémentaire de C .
Il existe don Æ = Æ ( ; f ) > 0 tel que pour x et y dans (C ) ave d(x; y ) Æ
on ait f (x) 6= f (y ). Enn, on prend Æ petit devant et .
Tout d'abord, si
P C)
Maintenant, en utilisant le paragraphe pré édent, si on xe un point
2(
fn
x
de
Pn l'ensemble de ses préimages par qui se trouvent
hors de U , on peut onstruire un ensemble (n; Æ )-séparé in lus dans Pn de
2m (où m est le nombre maximal de passages
ardinal minoré par Card(Pn )d
de l'orbite d'ordre n d'un point de Pn dans C2 ).
et que l'on note
D'autre part, en utilisant la majoration obtenue dans le lemme 2.3.1, le
dinal de
et ensemble est majoré par
dépend que de
Æ et
Cndn
(où
C
est une
ar-
onstante qui ne
).
Autrement dit, on a :
(Pn ) Cnd2m dn :
Card
Maintenant, si on montre que pour tout point
passages de l'orbite d'ordre
n
grand), on aura :
Card
de
y
dans
C2
(Pn) Cndn(2
y
de
P2(C )
, le nombre de
est majoré par
+1) ;
n
(pour
n
28
CHAPITRE 2.
CONCENTRATION DU GENRE
et la proposition sera démontrée.
Soit don
A
l'ensemble des points de
P2 (C )
dont l'orbite visite souvent un
2-voisinage de l'ensemble ritique, i.e. :
A = fx 2 2 ( )= Card(C2 \ fx; f (x); :::; f n 1(x)g) ng:
Alors A est bien vide :
en eet, soit y 2 A. Si on prend m 2
ave m + k n, on a :
i
Card(i 2 fm; :::; m + k g, f (y ) 2 C2 ) 2
par dénition de . D'où
n
2 2
i
Card(i 2 f1; :::; ng, f (y ) 2 C2 ) 2([ ℄ + 1) n( +
) < n:
k
k n
PC
N
2.4 Contrle du genre
Dans
Dans
e paragraphe, on va passer à la démonstration du théorème 2.2.1.
elle- i, il sut de traiter le
n (L)
L est générique. En eet, une ma(1+ )n
des droites génériques par Cd
as où
f
U pour
C indépendante de L) onduit à la même majoration du genre de
f n (L) U pour toutes les droites par passage à la limite. Dans toute la
n (L) est lisse et que L est transverse à l'ensuite on supposera don que f
joration du genre de
(ave
semble post ritique.
f n(L) U , on va onstruire une partition en
n (L) et faire un al ul de ara téristique d'Euler.
Pour majorer le genre de
disques et anneaux de
f
Cependant, lors de la démonstration du
l'on devait
as
ritiquement ni, on a vu que
ontrler la longueur des arêtes de la triangulation. Dans
on va utiliser i i un peu de géométrie hyperbolique. En eet, si on
e but,
onsidère
une petite arête dans la partie épaisse d'une surfa e hyperbolique, on peut
l'insérer dans un disque de sorte à
On est don
Voi i don
ontrler le module de l'anneau ainsi
en mesure d'utiliser un argument longueur-aire.
le plan de
e paragraphe : dans un premier temps, on va faire
quelques rappels de géométrie hyperbolique, puis on
tion de
f
réé.
n (L).
onstruira la triangula-
Enn les deux dernières parties seront
à la majoration du genre et d'autre part au
onsa rées d'une part
ontrle des longueurs des arêtes
de la triangulation.
2.4.1 Un peu de géométrie hyperbolique
Une référen e pour
Soit
S une surfa
e paragraphe est le livre de P. Buser (voir [6℄).
e de Riemann. Si le revêtement universel de
S est le disque
CONTRÔLE DU GENRE
2.4.
unité
D, on dit que S
29
est hyperbolique.
Dans la suite, on suppose que
Le revêtement universel
:D
S
est une surfa e de Riemann hyperbolique.
! S permet de dénir une métrique
omplète
1 sur S à partir de la métrique de Poin aré de D. On l'appelle
métrique de Poin aré de S . C'est l'unique métrique omplète de ourbure
1
dans la lasse onforme des métriques dénissant la stru ture omplexe de S .
de
ourbure
S , , on peut dénir le rayon d'inje tivité en un point p : 'est le plus grand r tel que jD (q; r ) soit un plongement
(où q est un anté édent de p).
Grâ e à lui, on peut dé omposer S en deux parties : l'une min e (où le rayon
d'inje tivité est inférieur à Argsh(1)) et l'autre épaisse.
A partir de la métrique de Poin aré de
La topologie de la partie min e est assez simple :
Théorème 2.4.1. Voir [6℄.
La partie min e de S est onstituée de usps et d'anneaux disjoints.
Un usp est isométrique au ylindre inni ℄ 1; log 2℄ S 1 muni de la
métrique ds2 = d2 + e2 dt2 .
Un anneau de la partie min e est un voisinage d'une géodésique de la
forme :
C ( ) = fp 2 S; d (p; ) Argsh( sh( 1 l1 ( )) )g:
2 Il est isométrique au ylindre
1
1
[ Argsh( 1
); Argsh( 1
)℄ S 1
sh( 2 l ( ))
sh( 2 l ( ))
muni de la métrique ds2 = d2 + l2 ( ) h2 dt2 .
Pour montrer la
liser
on entration du genre près du support de
e théorème pour fabriquer une partition de
f
n (L).
, on va uti-
Dans
e pro édé,
il y a une étape statique que l'on va expli iter maintenant : on va produire
une partition en disques et anneaux d'une surfa e de Riemann hyperbolique
S
quel onque d'aire nie.
La partition sera
omposée de la partie min e et d'un re ouvrement régulier
de la partie épaisse par des disques.
F un ensemble -séparé maximal dans la partie épaisse (ave <
(1)). L'aire pour une métrique de ourbure 1 d'un disque D(x; 2 ) ave
x dans la partie épaisse est une onstante qui ne dépend que de . Le ardinal de F est don majoré par C aire(S ) (on note C toute onstante qui ne
dépend que de ). On re ouvre la partie épaisse ave la réunion des disques
D(x; ) (où x dé rit F ). On en déduit une partition de la partie épaisse par
On note
Argsh
30
CHAPITRE 2.
CONCENTRATION DU GENRE
des disques qui sont les interse tions des disques pré édents, d'où une partition de
Si
x
S
partition
C'est
par des disques et des anneaux.
F,
est un élément de
i-dessus
D(x; 2). La
un nombre d'arêtes dominé par C aire(S ).
il y a au plus
ontient don
C
points de
ette partition que l'on utilisera pour
mique de
f n (L).
S
Remarquons enn que l'aire de
F
dans
onstruire une partition dyna-
est bornée par sa topologie (grâ e à la
formule de Gauss-Bonnet). Autrement dit, le nombre d'arêtes de la partition
pré édente est majoré par
C(S ).
2.4.2 Constru tion de la partition dynamique de f
On part d'une droite
ritiques de
f.
La première étape
L
proje tive et on note
V
n (L)
l'ensemble des valeurs
onsiste à fabriquer une bonne partition de
L
omposée
de disques et d'anneaux.
L, S = L L \ V est une surfa e de Riemann hyperbolique ( ar V est de degré 3d(d
1) 3). En utilisant le paragraphe
pré édent, on peut don
onstruire une partition de S , don de L, en des
disques et des anneaux. Elle ontient au plus C Card(L \ V ) arêtes.
Quitte à bouger un peu
C'est la bonne partition que l'on
Par
her hait.
L se reation f est
onstru tion, les disques (resp. les anneaux) de la partition de
lèvent sous forme de disques (resp. d'anneaux). En eet, l'appli
f 1 (L) f 1 (V ) sur L V . Ainsi, en tirant en arrière par
f la partition de L, on en obtient une de f 1 (L).
1 (L) où on veut onstruire une bonne
On va maintenant raisonner dans f
un revêtement de
partition. Quitte à bouger un peu les partitions, on supposera dans la suite
que les arêtes que l'on
V.
f 1 (L) qui ren ontrent V en au plus un
ontrent pas V ) se relèvent par f sous forme de disques
onstruit ne tou hent jamais un itéré de
Les disques (resp. les anneaux) de
point (resp. qui ne ren
(resp. d'anneaux). On ne va don
pas les modier. Par
ouper les disques et anneaux qui n'entrent pas dans les
On va traiter le
ontre, on va redéatégories
i-dessus.
as du disque ( elui de l'anneau est identique).
D un disque de f 1 (L) qui tou he V en au moins deux points. En
doublant D et en enlevant les points de V \ D ainsi que leurs symétriques,
0
on obtient une surfa e de Riemann S hyperbolique.
0
Comme dans l'étape pré édente, on produit une partition de S en utilisant
On note
les anneaux de la partie min e auxquels on ajoute un re ouvrement de la
partie épaisse par des disques
D(x; ).
S 0 est une géodésique. La
une partition de D
D \ V , don de D, en
Pour des raisons de symétrie, le bord de
partition pré édente induit don
D
dans
CONTRÔLE DU GENRE
2.4.
disques et anneaux qui
En re ommençant
ontient
31
C Card(D \ V ) arêtes.
e que l'on vient de faire ave
les autres disques et an-
f 1 (L).
neaux qui ren ontrent
V,
on relève
et que l'on itère le pro édé, on aboutit à une partition
elle- i par
dynamique de
f
n (L)
f
on
onstruit une bonne partition de
en disques et anneaux.
Dans le paragraphe suivant, on va montrer qu'un
arêtes de la partition induit la majoration
U
en
Si
ontrle des longueurs des
her hée du genre de
dn(1+ ) .
f n (L) hors
2.4.3 Majoration du genre des préimages de droites
On va pro éder i i
Soit
sont
ontenus dans
U
Alors :
et
'est
Une
ne
omme dans le
ritiquement ni.
.
g (f n(L) U ) g (f n(L)
);
e dernier terme que l'on va majorer.
omposante
onnexe de
f n (L)
peut être de deux types. Soit elle
ontient pas d'arête de la triangulation et alors
disque ou un anneau (don
Si
as
la réunion des arêtes et des sommets de la partition ainsi obtenue qui
C désigne les
'est né essairement un
de genre nul). Soit elle en
omposantes du deuxième type et
ontient au moins une.
leur nombre, on obtient :
(C )
;
2
g (f n(L) U ) Ainsi :
2g (f n(L) U )
3
Il reste don
à majorer
Nombre d'arêtes qui sortent de U :
e dernier terme.
a est une arête qui sort de U , elle entre dans un des deux
er
as : a possède un sommet hors de U .
1
Si
La majoration du nombre de
2
es arêtes dé oule alors du
as suivants :
ontrle des pré-
images des sommets.
On xe
Il existe
> 0.
n0 à partir duquel on a :
max Card(f n(x) \ U ) dn(1+ ) :
x2P2
Etant donné que le nombre d'arêtes
2
réées au rang
k
est de l'ordre de
on obtient alors une majoration du nombre d'arêtes de
f n(L)
Cdk ,
qui ont un
32
CONCENTRATION DU GENRE
CHAPITRE 2.
sommet hors de
U
par :
2
X
n n0
k=0
Cdk d(n k)(1+ )
+
Le nombre d'arêtes de la partition de
est don
2
ème
dn(1+2
majoré par
(pour
Cdk d2(n
k=n n0 +1
f n(L) qui
n grand).
a sont dans U
Cas : Les deux sommets de
a est supérieure à
de
)
n
X
).
Une majoration du nombre des arêtes de
2
k) :
entrent dans le premier
as
(en parti ulier la longueur
e type par
dn(1+
)
démontrerait le
résultat.
C'est
e
ontrle qui va être l'objet du paragraphe suivant.
2.4.4 Contrle des longueurs des arêtes de la partition
On va voir que le
n (L)
f
ontrle des longueurs des arêtes de la partition de
est possible quitte à la bouger un peu. Soit
qui tou he
V
en au moins deux points (le
Rappelons que l'on note
et
S 0 la surfa
sa métrique de Poin
D
un disque de
f k (L)
as de l'anneau est identique).
e de Riemann hyperbolique asso iée à
D
aré.
D, on a des disques D(x; ) \ D.
On va voir que quitte à bouger un peu D (x; ), on peut ontrler les lonn k de D (x; ) f1 pointg.
gueurs des préimages par f
Traitons l'exemple d'un disque D (x; ) \ D où x est à distan e au moins 2
de D .
Sur le disque , onstitué de l'anneau D (x; 2)
D(x; ) auquel on a en2(n k)
levé une géodésique
qui joint D (x; 2) à D (x; ), on peut dénir d
n
+
k
n k.
bran hes inverses fj
de f
2
n (L), (f n+k ) ds2
D'autre part, si on note ds la métrique ambiante restreinte à f
j
Parmi les éléments qui partitionnent
est
=
onforme à la métrique hyperbolique (é rite en
dr2 + sh2 (r)d2
. Cela se traduit par :
(fj n+k ) ds2 = 2j (dr2 + sh2 (r)d2 ):
sur
Voi i l'argument longueur-aire donnant le
(f
aire
n+k ())
Il existe don
=
oordonnées polaires)
Z 2 Z
0
Xk
2 d2(n
)
j =1
ontrle voulu :
2j sh(r)drd aire(f
0 dans l'intervalle [; 2℄ qui vérie :
Xk Z
d2(n
j =1
2
)
0
2j (0 ; :)d Ca:
n+k D (x; 2))
= a:
2.4.
Don
CONTRÔLE DU GENRE
:
(fj
Long
n+k (D (x; 0)
sauf un nombre d'indi es
Pour la partition de
Les disques de taille
)) =
j
33
Z
2
0
2
0
2j d
Ca.
e alors D (x; ) par D (x; 0 ).
un nombre ni borné à priori de fois.
réées au rang
k,
mais non in luses dans les pré-
images des arêtes des étapes pré édentes, ont leurs préimages dans
longueur inférieure à
1
2
majoré par
D, on rempla
2 se re ouvrent
Autrement dit, les arêtes
j sh(0 )d C
Z
(sauf
Cdn d'entre elles). Ainsi, en
f n(L) de
onsidérant mainte-
k et en remarquant que redé ouper une arête réée au
k dans une étape postérieure ne hange rien aux estimées, on en déduit
n (L) de longueur supérieure à est dominé par
que le nombre d'arêtes de f
Cndn .
nant toutes les étapes
rang
34
CHAPITRE 2.
CONCENTRATION DU GENRE
Annexe A
Généri ité
Dans
ette annexe, on va démontrer la :
Proposition A.0.1. Pour f générique l'ensemble Cf \ f n (Cf ) \ f m (Cf ) est
vide pour tous entiers n et m non nuls et distin ts.
I i
f
générique signie que
f
appartient au
omplémentaire d'une union
dénombrable d'ensembles analytiques propres dans l'ensemble des endomorphismes holomorphes de degré
La démonstration de
d.
ette proposition reprend
(voir [13℄).
Vn l'ensemble analytique f(y; f ) 2
ave n 6= m.
Soient n; m 2
On note
N
elle de Fornæss et Sibony
P2(C ) Hd; y 2 f n(Cf )g
.
En utilisant le théorème de Remmert, on voit que l'ensemble
Hdn;m = ff 2 Hd pour lesquels Cf \ f n(Cf ) \ f m(Cf ) 6= ;g
est analytique dans Hd . En eet, d'une part 'est la proje tion sur Hd de
l'ensemble analytique V0 \ Vn \ Vm . D'autre part, ette proje tion est propre.
L'ensemble Hd étant une variété omplexe, on a alors deux possibilités :
n;m
- Soit Hd
= Hd .
n;m
- Soit Hd Hd
est un ouvert de Zariski de Hd (dans le sens : omplémentaire
d'un ensemble analytique de dimension inférieure).
Si on se trouve dans le deuxième
n 6= m, on pose :
as pour tout doublet
N
(n; m) de ( )2 ave
H0 = \(n;m)2(N ) ;n6=m(Hd Hdn;m):
2
H0 est dense dans Hd et tout élément f de H0 vérie :
Cf \ f n (Cf ) \ f m (Cf ) = ; pour tout ouple (n; m) 2 (N )2 ave m 6= n.
Cet ensemble
35
36
ANNEXE A
Hdn;m 6= Hd, e qui ren
m
vient à trouver un endomorphisme f tel que Cf \ f (Cf ) \ f (Cf ) = ;.
Pour montrer la proposition il reste don
à voir que
Constru tion de et endomorphisme :
C
L'endomorphisme que l'on
[z d
wd
td ℄.
fA = A(g )
Gl3 ( ) et g = : :
Une telle appli ation vérie CfA = C0 [ C1 [ C2 ave C0 = (z = 0), C1 =
(w = 0) et C2 = (t = 0). Il sut don de trouver A 2 Gl3 ( ) telle que pour
3
tout triplet (m0 ; m1 ; m2 ) 2 f0; 1; 2g , on ait :
où
A est une matri
her he va être pris sous la forme
e de
Cm
0
C
\ fAn(Cm ) \ fAm (Cm ) = ;:
1
C
2
En utilisant le même raisonnement que pré édemment ave
A(m ;m ;m ) = fA 2 Gl3 ( ); Cm \ fAn (Cm ) \ fAm (Cm ) 6= ;g au lieu de Hdn;m
et Gl3 ( ) à la pla e de Hd , on obtient deux possibilités :
- soit il existe un triplet (m0 ; m1 ; m2 ) ave A(m ;m ;m ) = Gl3 ( ) ;
n
m
- soit fA 2 Gl3 ( ); Cm \ fA (Cm ) \ fA (Cm ) = ;g est un ouvert de Zariski
dans Gl3 ( ) et la proposition est démontrée.
0
C
1
2
C
C
0
1
2
0
0
1
La proposition se ramène don
à démontrer le lemme :
N
C
A(m ;m ;m ) = fA 2 Gl3 ( ); Cm
1
Preuve.
On va
2
0
2 f0; 1; 2g3
1
2
m0 = 0 (i.e. C0
m = (z = 0)
1).
1 Æ
A;
es A de la forme 0 1
0 0 1
0
fA = f;Æ; = [z d + wd + Ætd : wd + td : td ℄:
1
er
as :
Alors si
m0 6= m1 6= m2 .
f = f0;0;0 , on a :
Cm
0
d'où le résultat.
et un doublet
\ fAn(Cm ) \ fAm (Cm ) 6= ;g 6= Gl3 (C ):
On peut supposer que
onsidérer des matri
C
2
2
Lemme A.0.1. On xe un triplet (m0 ; m1 ; m2 )
(n; m) de ( )2 ave n 6= m.
Alors :
0
1
\ fAn(Cm ) \ fAm (Cm ) = ;;
1
2
'est-à-dire,
37
ANNEXE A
2
ème
Dans
as :
m0 = m1 6= m2 , ave
ette situation, on
par exemple
m2 = 1 (i.e. Cm = (w = 0)).
2
hoisit :
f = f0;Æ;0 = [z d + Ætd : wd : td ℄:
D'une part, on a :
f n ((z = 0)) = f[hn (0) : w : 1℄g [ [0 : 1 : 0℄;
h(z ) = z d + Æ et h0 (0) = 0.
où
D'autre part,
f n ((w = 0)) = f[z : 0 : 1℄g [ [1 : 0 : 0℄ = (w = 0):
Comme
hn (0) est diérent de 0 dès que n l'est, on obtient bien :
Cm
0
Cm
3
1
m0 =
6 m1 = m2 , ave
= (w = 0)).
ème
2
\ fAn(Cm ) \ fAm (Cm ) = ;:
C'est un
as :
2
par exemple,
as tout à fait semblable au
prend est :
m1 = m2 = 1 (i.e. Cm =
1
as pré édent. La fon tion que l'on
f = f0;0; = [z d : wd + td : td ℄:
D'une part, on a :
f n ((w = 0)) = f[z : hn (0) : 1℄g [ [1 : 0 : 0℄;
où
h(z ) = z d +
.
D'autre part,
(z = 0) = f[0 : w : 1℄g [ [0 : 1 : 0℄:
n
m
Comme h (0) est diérent de h (0) si n est diérent de m, on a bien :
Cm
0
4
ème
Dans
as :
\ fAn(Cm ) \ fAm (Cm ) = ;:
1
2
m0 = m1 = m2 (i.e. Cm = Cm = Cm = (z = 0)).
0
1
2
ette situation, on va prendre :
f = f;Æ;0 = [z d + wd + Ætd : wd : td ℄:
38
ANNEXE A
Cm \ fAn (Cm ) \ fAm (Cm ) est vide, on va d'abord le voir
sur la droite (t = 0), puis dans l'ouvert t 6= 0.
La droite (t = 0) est totalement invariante, on a don :
Pour montrer que
0
1
2
f n ((z = 0)) \ (t = 0) = f n ((z = 0) \ (t = 0)) = [hn (0) : 1 : 0℄;
h(z ) = z d + .
n
Autrement dit, f ((z = 0)) ne ren
ave
f m ((z = 0)) sur la droite (t = 0).
e dans l'ouvert t 6= 0.
Dans la suite, on se pla
Un raisonnement par ré urren e
ontre pas
onduit à :
f n ((z = 0)) \ (t 6= 0) = f[hn (0)wd + Æ + O(Æ 2) + ÆPn(w) : wd : 1℄g;
n
n
Pn (0) = 0 et h(z ) = z d + .
n
Les points de f ((z = 0)) \ (z = 0) vérient alors l'équation :
ave
hn (0)wd + Æ + O(Æ 2 ) + ÆPn (w) = 0;
n
(A.1)
e qui implique :
wd =
n
De même, les points de
0
f m ((z = 0)) \ (z = 0) vérient :
wd =
m
Æ
(1 + O(Æ ) + Pn (w)):
hn (0)
Æ
(1 + O(Æ ) + Pm (w
hm (0)
Maintenant, s'il existe un point
0
)):
p de (z = 0) \ f n ((z = 0)) \ f m ((z = 0)), on
a :
hm (0) 1 + O(Æ ) + Pm (w0 )
(A.2)
1 6= n =
h (0) 1 + O(Æ ) + Pn (w)
Il faut remarquer i i que w est une fon tion, w (Æ ), ontinue en Æ . Par ailleurs,
on a w (0) = 0 ar l'équation (A.1) s'é rit en Æ = 0 :
hn (0)wd = 0:
n
Pn(w)
tend vers 0 ( ar Pn (0) = Pm (0) = 0).
On déduit de
ette remarque que
Pour obtenir une
l'équation (A.2).
et
Pm (w)
tendent vers
ontradi tion, il sut alors de faire
onverger
0
quand
Æ
Æ vers 0 dans
Annexe B
Théorie d'Ahlfors
Dans
ette annexe, on va présenter quelques résultats de la théorie d'Ahl-
fors, en parti ulier l'inégalité de Riemann-Hurwitz appro hée. La démonstration qu'on en donne i i utilise les mêmes te hniques que
partie de la thèse et permet ainsi de ra
elles de la première
our ir l'argument initial d'Ahlfors
(voir par exemple [20℄).
Soit
f :
! 0 une appli ation holomorphe entre surfa es de Riemann
onnexes non
f
onstante.
d, la formule de Riemann-Hurwitz donne la
téristique d'Euler de en fon tion de elle de 0 . Plus pré isément :
Si
est propre, de degré
() + nombre de rami
don
ations de
f = d(0 )
() d(0 ).
Le théorème d'Ahlfors permet d'étendre en quelque sorte
S
as non propre. Plus pré isément, si
au-dessus de
0 , i.e. :
S=
et
ara -
aire de
f ()
ette inégalité au
désigne le nombre de feuillets moyen
omptée ave
aire de
0
multipli ité
;
L, la longueur du bord relatif de (i.e. la longueur de f ( ) 0 ) :
Théorème B.0.2. On a l'inégalité :
min((); 0) S(0 ) + hL;
où h est une onstante qui ne dépend que de 0 .
Remarque 3. Ce théorème n'a d'intérêt que si (0 ) est négatif (
l'on supposera dans la suite).
39
hose que
40
ANNEXE B
Pré isons le
adre du théorème. On
onsidère i i des métriques admis-
sibles : elles vérient une inégalité isopérimétrique linéaire et rendent le bord
de
0
régulier dans un sens que l'on pré isera ultérieurement. D'autre part,
on suppose que le bord de
0
est
onstitué uniquement de
fermées et de points.
On va tout d'abord se pla er dans le
as où
0
est
ourbes simples
ontenu dans
P1 (C )
.
0 est bordée par p ourbes fermées (ou points) ave p supérieur à
3. Entre elles- i, on tra e p segments 1 ; :::; p de façon à obtenir 2 disques :
D1 et D2 . On peut supposer que les deux disques ont la même aire A.
La surfa e
Dans un premier paragraphe, on va démontrer le théorème dans un
dèle. Dans le suivant, on verra que, quitte à nettoyer un peu
réelle n'est pas très éloignée du
as mo-
, la situation
as modèle. Cette proximité démontrera alors
le théorème.
B.1 Cas modèle
Dans
santes
e paragraphe, on supposera que la restri tion de
au-dessus des disques Di
onnexes de
La topologie de
des disques
aux
est propre et de degré
va être lue par un graphe que l'on
suivante : haque sommet représente une
f
ompo-
1.
onstruit de la façon
omposante
onnexe au-dessus d'un
omposantes
orrespondantes. Dans
Di (i = 1; 2) et on met autant d'arêtes entre deux sommets qu'il
y a d'ar s en
ommun dans le bord des
toute la suite, on identiera sommets et
omposantes
onnexes
orrespon-
dantes.
On obtient alors :
X
() =
()
nombre d'arêtes
sommets
s a
où
s est le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.
implique que le nombre
L'hypothèse que l'on a mise sur
égal à :
aire de
f ()
omptée ave
A
multipli ité
de sommets est
= 2S:
Pour minorer le nombre d'arêtes, on utilise la remarque suivante : si
sommet et
on a :
() sa valen
L
est un
e (i.e. le nombre d'arêtes qui partent du sommet),
X
sommets
longueur( i );
(p ()) i=1
min
;:::;p:
CAS GÉNÉRAL
B.2.
41
X
'est-à-dire :
où
h
() 2pS
sommets
est une
toujours
onstante qui ne dépend que de
h une telle
hL;
0 .
Dans la suite, on notera
onstante.
Grâ e à l'inégalité pré édente, on obtient la minoration du nombre d'arêtes :
a pS
La
ara téristique d'Euler de
hL:
est don
majorée par :
(2 p)S + hL = (0 )S + hL:
f aux omposantes onnexes au-dessus des
Di ne sera pas propre ni de degré 1. Cependant, quitte à enlever les
sommets de les plus éloignés du as modèle, on ne sera pas loin de ette
Dans la réalité, la restri tion de
disques
situation.
B.2 Cas général
B.2.1 Comment se rappro her du as modèle
Avant de passer à la des ription des mauvais sommets de
et démontrer un lemme qui y
, on va énon
er
ontribue.
Lemme B.2.1. Il existe une onstante h qui ne dépend que de Di , telle que
pour toute ourbe qui tou he le bord de Di en deux points, on a :
0
min(; ) hl( );
où et 0 sont les longueurs des deux omposantes de Di
Preuve.
On
sphère. Sur
ommen e par
elle- i, on
admissible sur
Di .
oller deux
opies de
Di
.
de façon à obtenir une
onsidère la métrique obtenue en prenant la métrique
Di était supposé régulier. Cela veut dire qu'il
h et l0 telles que : pour tout point p du bord de Di on
a long(Di \ B (p; l )) hl si l l0 .
Rappelons que le bord de
existe des
onstantes
Maintenant, si on note
une
ourbe qui possède deux points sur le bord de
Di , on a deux possibilités :
er
1
as : l ( ) l0 où l ( ) désigne la longueur de
0
min(; ) l(Di ) . Alors :
l(Di )
l( );
l0
42
ANNEXE B
et le lemme est démontré.
2
ème
Soit
as : l ( ) l0 .
p un point de
Di est in
de
luse dans
\ Di . Si on montre qu'une des deux parties du bord de
B (p; l( )), on obtient le résultat en utilisant la régularité
elui- i.
~ sépare deux disques 1 et 2 de la sphère.
Par ailleurs, on a
B (p; l( )) et ~ B (p; l(~)) = B (p; l( )). De là :
[ ~ B (p; l( )) e qui implique que 1 ou 2 est in lus dans ette boule.
Alors, la partie du bord de Di qui est dans le disque en question est in luse
dans B (p; l ( )).
L'union de
ave
sa
opie
On peut maintenant dé rire l'élimination des mauvaises
Si
est une
strates :
1
omposante au-dessus de
est la partie de
f () re
Di ,
omposantes.
f () en
elle
fois,..., on peut dé omposer
ouverte au moins une
fois (où est la multipli ité maximale de ). On note j la
f ( ) qui borde j .
On xe > 0 petit. Alors, si l ( j ) désigne la longueur de j , on peut avoir :
- l'existen e d'un j dans f1; :::; g ave l ( j ) (on dira que la strate en
re ouverte
partie de
question a un bord long)
ou :
- pour tout
j
dans
f1; :::; g, l( j ) (on parlera de bord
ourt).
En utilisant l'inégalité isopérimétrique et le lemme pré édent, on remarque
que dans le dernier
aire de
as, on a soit :
j aire de Di
Soit :
aire de
Dans notre
ontexte,
hl( j ) , pour un
ertain
j hl( j ) , pour tout j 2 f1; :::; g:
e sont les
omposantes du dernier type qui sont les
plus éloignées de la situation propre : on veut don
En tant
es
j 2 f1; :::; g:
omposantes, on modie l'aire de
part, la longueur relative de la
les enlever.
f () d'au plus hL. D'autre
ourbe obtenue en enlevant
es
omposantes
hL. Enn, si on onsidère le graphe asso ié (voir le para~
graphe B.1) à := es omposantes, on a essentiellement :
~ :
() (graphe())
En eet, si C désigne une omposante onnexe du graphe de privé du
~ , on a :
graphe de - Soit (C ) 1 (don (C ) = 1). Dans e as C est un arbre égal au graphe
de tout entier, et don :
S hL;
est majorée par
CAS GÉNÉRAL
B.2.
par dénition des
ette situation et
- Soit
43
omposantes de
e
C . Le théorème d'Ahlfors est trivial dans
as sera dénitivement ex lu.
(C ) 0 et alors (graphe()) (graphe() C ).
Autrement dit on a :
~ :
() (graphe()) (graphe())
En
ombinant tout
~ (0 ) + hL~ (ave
S
e qui pré ède, on voit que majorer
~
(graphe())
par
des notations évidentes) démontre le théorème. On peut
ne possède plus de mauvaises omposantes.
(graphe()) par S(0 ) + hL. Par ailleurs,
(graphe()) = s a, où s est le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes
du graphe. La majoration de (graphe()) se ramène don à majorer s et à
minorer a.
don
supposer dans la suite que
L'obje tif sera alors de majorer
B.2.2 Majoration du nombre de sommets et minoration
du nombre d'arêtes
Grâ e à notre simpli ation ee tuée au paragraphe pré édent, on sait
qu'un sommet possède une strate qui a soit un bord long, soit une aire supé-
(Di ) hl( j ) = A hl( j ).
rieure à aire
Il y a au plus
L
sommets qui possèdent une strate ave
un bord long.
A hl( j ), on
2S + hL. On obtient alors une majoration
Pour les sommets qui possèdent une strate d'aire supérieure à
voit fa ilement qu'il y en a au plus
s par :
de
2S + hL
Passons maintenant à la minoration du nombre d'arêtes.
On se xe un sommet
La
omposante
d'autres ave
()
au-dessus de Di .
ontient des strates pour lesquelles on a
et
. Les strates de la deuxième eshl( j )
ette aire est supérieure à A
hl( j ). Si m() désigne le
ette longueur plus petite que
pè e se divisent en deux
et
l( j )
elles pour qui
atégories :
elles qui ont une aire inférieure à
nombre de strates de la dernière sorte, on a :
où
()
désigne la valen e
() pm();
du sommet (i.e.
le nombre d'arêtes qui en
partent). En eet, on peut tout d'abord supposer que l'union des segments
f . Ensuite, soit un sous-segment
de l hoisi de sorte qu'un de ses petits voisinages dans Di soit in lus dans
les m() strates ( 'est possible ar elles s'emboîtent les unes dans les autres
l
ne ren ontre pas les valeurs
ritiques de
44
ANNEXE B
et que
h
relève en au moins
P
La minoration de
1
2
().
l) ;
peut être supposé petit devant les longueurs des
m
P() arêtes dans .
m() entraîne don
Pour l'obtenir, on va minorer l'aire re ouverte par les
Les strates pour lesquelles la longueur de
nombre au plus égal à
L aire(D ) =
i
hL.
L.
L'union de
j
est supérieure à
es éléments est don
se
P a =
elle du nombre d'arêtes
strates.
à
alors
m()
sont en
d'aire inférieure
De même, l'ensemble des strates qui ont un petit bord et une aire majorée
par
hl( j ) a une aire majorée par hL.
En
ombinant
es deux majorations, on obtient que l'aire re ouverte par les
plaques qui ont un petit bord et une aire minorée par
à :
2AS
A hl( j ) est supérieure
hL:
Autrement dit, on a :
a
p
2
X
m() sommets
p1
(2AS
2A
2hL) pS
hL:
(graphe()) par :
qui donne une majoration de
(2 p)S + hL = (0 )S + hL:
On va passer au
as où
0
est une surfa e de Riemann de genre
omposantes de bord (qui sont des points ou des
lisses).
Pour se ramener à la situation pré édente, on dé oupe
fermées simples et lisses de sorte que
omportant
2g + b trous.
Le dé oupage n'a pas
note
1 :::; N
les
a :
où
S (i ) est le re
hangé la
omposantes
0
privée de
(i ) (0 )S (i ) + hL(i ), alors :
N
X
i=1
g
ourbes
0 .
Alors, si on
e dé oupage induit sur
min((i ); 0) (0 )S (i ) + hL(i );
i
ouvrement moyen de au-dessus de 0
() ave
elles- i soit une sphère
gueur de son bord relatif.
Si jamais on avait
0
ara téristique d'Euler de
onnexes que
g ave b
ourbes simples fermées et
(i ) (0 )S + hL;
et
,
on
L(i ) la lon-
B.2.
CAS GÉNÉRAL
45
et le théorème serait démontré.
P1 (C ) i
Cependant, en reprenant la démonstration pré édente (i.e. dans le
est
ontenu dans
pas né essairement
), on
onstate qu'il n'y a qu'un seul
( ) (0 )S (i ) + hL(i ) : quand i
as où
0
as où l'on n'a
est un disque
omposé uniquement de mauvais sommets (i.e. qui ont un petit bord et une
petite aire).
On note
(i )i2I
l'ensemble de
es mauvais disques.
Maintenant, on a deux possibilités :
soit
= [i2I i , et alors :
S hL
par dénition des mauvais sommets (dans
soit
6= [i2I i
e
as le théorème est démontré),
et alors :
() (
[i2I
i )
N
X
i=1;i=2I
(i ) (0 )S ([i=2I i ) + hL:
La première inégalité résulte du fait que les disques
sont pas des îles dans
D'autre part, on a
Alors, en
.
S ([i=2I i ) + S ([i2I i ) = S
ombinant
et
i
(ave
i
I)
dans
ne
S ([i2I i ) hL.
es deux relations, on obtient bien :
() (0 )S + hL:
Pour terminer ette annexe, on va donner un orollaire de la théorie d'Ahlfors : le théorème de Pi ard.
Soit
f
une appli ation holomorphe non
Alors on a une
onstante de
C
à valeur dans
P1(C )
.
omparaison aire-longueur donnée par le lemme d'Ahlfors :
Lemme B.2.2. Il existe une suite Rn qui tend vers l'inni telle que :
Long(f (D(0; Rn )))
! 0:
Aire(f (D(0; Rn)))
PC
! la métrique de Fubini-Study de 1 ( ).
La métrique f ! est onforme à la métrique standard de
2 jdz j2 .
Preuve.
Soit
Maintenant, on note
L(R) = Long(f (D(0; R))) =
Z
0
2
C
, on a don
(Rei )Rd;
f ! =
46
ANNEXE B
et
A(R) = Aire(f (D(0; R))) =
Remarquons que :
0
A (R) =
Z
2
0
Z 2 Z
0
R
0
2 rdrd:
2 Rd:
Alors, en utilisant l'inégalité de Cau hy-S hwarz, on a :
0
L(R)2 2RA (R);
qui implique
L(R)2 1
A(R)2 R
Autrement dit, on a :
Z
A0 (R)
2 A(R)2 :
1 L(R)2 dR
A(R)2
1
2
< 1;
R A(1)
Rn qui tend vers l'inni ave
L(Rn )
! 0:
A(Rn )
qui donne bien l'existen e d'une suite
Corollaire B.2.1. Théorème de Pi ard
Une appli ation holomorphe f de à valeur dans
est onstante.
C
Preuve.
P C)
On raisonne par l'absurde : soit
à valeur dans
1(
f
P1 (C ) privé de trois points
onstante.
En utilisant le lemme pré édent, on obtient une suite
'est-à-dire :
et
0
onduit à :
min((D(0; Rn)); 0) = 0 C
Rn qui vérie :
L(Rn )
! 0:
A(Rn )
d'Ahlfors ave = D (0; Rn )
privé des trois points, nous
une appli ation holomorphe de
privé de trois points, non
D'autre part, le théorème
:
égal à
P1(C )
A(Rn )
+ hL(Rn );
Aire(0 )
( )
;
1 h L(RnA)Aire
(Rn )
e qui est absurde.
0
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