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Propriétés diophantiennes de la fonction zêta de
Riemann aux entiers impairs
Tanguy Rivoal
To cite this version:
Tanguy Rivoal. Propriétés diophantiennes de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs. Mathématiques [math]. Université de Caen, 2001. Français. �tel-00004519�
HAL Id: tel-00004519
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00004519
Submitted on 5 Feb 2004
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publics ou privés.
These de Do torat de l'Univ ersite de Caen
Spe ialite : Mathematiques
presentee par :
M. Tanguy RIVOAL
pour obtenir le grade de
Do teur de l'Universite de Caen
sur le sujet :
Proprietes diophantiennes des valeurs
de la fon tion z^eta de Riemann
aux entiers impairs
Soutenue le 29 juin 2001 devant le jury ompose de :
M. AMOROSO Fran es o
M. COHEN Henri
M. NESTERENKO Yuri
Universite de Caen
Universite de Bordeaux 1
Universite de Mos ou
Dire teur
Examinateur
Rapporteur
M. REYSSAT Eri
Universite de Caen
Examinateur
M. VIOLA Carlo
Universite de Pise
Examinateur
M. WALDSCHMIDT Mi hel
Universite de Paris 6
Rapporteur
2
Table des matieres
1 Introdu tion
5
1.1 D'Euler a Apery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Depuis Apery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 De l'irrationalite a l'independan e lineaire . . . . . . . . . . . 10
2 Independan e lineaire des
valeurs des polylogarithmes
13
2.1 Resultats auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Demonstration du Theoreme 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Independan e lineaire d'une
in nite des nombres (2n + 1)
21
3.1 Resultats auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Demonstrations des Theoremes 3.1 et 3.2 . . . . . . . . . . . . 29
4 Irrationalite d'au moins un des
neuf nombres (5); (7); : : : ; (21)
33
4.1 Resultats auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Demonstration du Theoreme 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Problemes et generalisations
5.1 Une onje ture et quelques onsequen es . . . . . . . . . . . .
5.2 Valeurs de la fon tion aux entiers impairs dans un intervalle
5.3 Liens ave l'approximation de Pade . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
48
49
Referen es bibliographiques
51
3
4
TABLE DES MATIERES
Chapitre 1
Introdu tion
1.1 D'Euler a Apery
Le probleme de Bernoulli
Dans son ouvrage Tra tatus de seriebusPin nitis (1689), Jakob Bernoulli
pose le probleme de l'evaluation de la serie n 1 1=n : il e rit < Si quelqu'un
determine et nous ommunique e qui a jusqu'i i e happe a tous nos e orts,
grande sera notre gratitude >. Il revient a L. Euler de resoudre e probleme
en 1735, de faon tres ingenieuse :
+
2
=1
1
+1
X
n=1
1 = :
n
6
2
2
Euler donne par la suite plusieurs demonstrations de ette identite et parvient
plus geP
neralement a determiner la valeur de la fon tion z^eta de Riemann
(s) = n 1 1=ns aux entiers pairs, en montrant que pour tout entier n 1,
+
=1
2n Bn n
;
(2n)!
ou les nombres rationnels B n sont les nombres de Bernoulli, que l'on peut
de nir par leur serie generatri e exponentielle
2
(2n) = ( 1)n
1
1
2
2
2
ez
z
1
z X
Bn n
+ =
z :
1 2 n (2n)!
+
2
2
=0
En revan he, ni Euler, ni personne apres lui, n'est parvenu a une expression aussi simple pour les nombres (2n + 1) (n entier 1). On peut
1 Voir
[Du, h.3℄ par exemple.
5
6
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
ependant iter une formule essentiellement due a Ramanujan et onsideree
omme l'analogue naturel de la formule d'Euler
2
(
)
n
n
1
X
1
k
(2n + 1) +
2
e
k
n
+
2
k
2
1
X
1
(2n + 1) +
2
k
+
=1
k
e
2
=1
n
2
1
1
k
!
1
!
=
1
+2
n
2
n+1
X
k=0
( 1)k B k B n k
(2k)!(2n + 2 2k)!
2
2
+2
2
n+1 k k
ou et sont tels que = . Malgre son inter^et, la formule de Ramanujan
ne permet pas de de ider si les nombres (2n +1) s'expriment rationnellement
a l'aide de n .
2
2
+1
Rationnels ou irrationnels ?
Un probleme lie au pre edent est la determination de la nature arithmetique des nombres (s) pour les entiers s 2 : s'agit-il de nombres rationnels ou
irrationnels, de nombres algebriques ou trans endants, et plus generalement
existe-t-il ou non des relations de dependan es algebriques entre eux ?
La trans endan e de demontree par Lindemann en 1882 [L℄ et la formule
d'Euler permettent de repondre ompletement a ette question pour le as
pair : pour tout entier n 1, le nombre (2n) est trans endant, et on pourrait
aussi ajouter que es nombres sont algebriquement dependants.
La situation est beau oup plus mysterieuse pour les nombres (2n + 1).
La formule de Ramanujan n'a pas ete exploitee omme la formule d'Euler,
m^eme s'il n'est pas impossible qu'elle le soit un jour. Et e n'est qu'en 1978
que R. Apery [A1℄ est parvenu a montrer l'irrationalite de (3) : bien que
sa methode ait ete a ueillie ave s epti isme et jugee peu orthodoxe , elle
n'en a pas moins ete rapidement validee et aurait sans doute ete appre iee
par Euler.
3
4
2 Voir
[Ber℄ pour une demonstration de ette formule et de bien d'autres.
et [MF℄ de rivent l'expose surrealiste d'Apery aux Journees Arithmetiques de
Luminy en 1978.
4 Peut-^
etre l'aurait-elle ete un peu moins par G. H. Hardy, qui aurait un jour aÆrme
qu'il donnerait sa haire a Cambridge a qui onque parvenait a e resultat.
3 [VdP℄
1.2. DEPUIS APERY
7
1.2 Depuis Apery
La demonstration d'Apery peut ^etre resumee ainsi : il existe une onstante > 0 et des rationnels
5
an =
n 2 X
n+k 2
n
n
k
k=0
(ou dn = pp m(1; 2; : : : ; n)) tels que
2 Z;
p
b n 2 dn
3
Z
0 < jan (3) bn j ( 2 1) n :
4
L'estimation elementaire dn 3n suÆt pour on lure que (3) 62 Q .
Les integrales de Beukers
La methode d'Apery n'a pas pu ^etre a e jour generalisee aux nombres
(5), (7), et . Elle a ependant donne lieu a de nombreux developpements,
inities en partie par les travaux de F. Beukers. Dans [Beu1℄, elui- i donne une
nouvelle demonstration du theoreme d'Apery en onsiderant les polyn^omes
de Legendre
1 dn n
(x (1 x)n )
Pn (x) =
n
n! dx
et l'integrale
Z Z
1
Pn (x)Pn (y )
In =
log(xy )dxdy:
2
1 xy
Beukers evalue In de deux faons di erentes et montre que
1
1
0
1
In = an (3) bn =
2
Z
1
0
0
Z
1
0
Z
1
0
xn (1 x)n y n (1 y )nz n (1 z )n
dxdy dz;
(1 (1 (1 x)y )z )n
+1
les nombres an et bn etant les m^emes que eux d'Apery.
Cette appro he s'est revelee tres importante pour aborder le probleme
de la mesure d'irrationalite de (3). On appelle mesure d'irrationalite d'un
irrationnel tout reel 2 tel que pour tout " > 0, il existe q (") > 0
tel que j
p=q j > 1=q " pour tous les entiers p et q ave q > q ("). Le
minimum ( ) de tels reels est la mesure d'irrationalite de . Dans le as
de (3), Apery a montre que ( (3)) 13; 41782. L'etude de plus en plus ne
0
+
5 Elle
est de rite dans [A2℄, [Coh℄, [Re1℄ et [VdP℄.
0
8
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
d'integrales de type Beukers a permis de majorer ( (3)) su essivement
par 12,74359 [DV℄, 8,8302837 [Hat1℄ et 7,377956 [Hat5℄.
Le re ord a tuel est ( (3)) 5; 513891 par Rhin et Viola [RV2℄. Leur
methode repose sur deux points essentiels : ils s'a ran hissent tout d'abord
des polyn^omes de type Legendre et des integrations par parties su essives de
Hata [Hat1℄, [Hat5℄ en montrant que sous ertaines onditions sur les entiers
h; j; k; l; q; r; s 0 l'integrale
6
Z
Z
Z
xh (1 x)l y k (1 y )sz j (1 z )q
dxdy dz
(1 (1 xy )z )q h r
est egale a a +2b (3) 2 Q +2Z (3). L'autre point important est la determination d'un < bon > denominateur de a : pour ela, ils etudient l'a tion d'un
groupe de transformations birationnelles laissant invariants ertains multiples
rationnels de I (h; j; k; l; q; r; s).
En 1994, D. Vasilyev [Va1℄ a introduit pour tout entier k 2 une
generalisation naturelle Jn (k) de l'integrale de Beukers In . Par exemple pour
k = 5,
I (h; j; k; l; q; r; s) =
1
0
Jn(5) =
1
0
1
+
0
Q5
n
i=1 ui (1
Z
;
[0 1℄
+1
ui )n du du du du du
:
5 (1 (1 (1 (1 (1 u )u )u )u )u )n
1
2
1
3
2
4
3
5
4
5
+1
Il montre que si k est impair, alors J (k) = 2 (k). Dans [Va2℄, il prouve
egalement que, dn Jn (5) = An + Bn (3)+ Cn (5) ou An , Bn et Cn sont entiers
et dn Jn (5) ! 0 : la presen e de (3) rend malheureusement impossible la
demonstration dire te de l'irrationalite de (5). Apres des al uls numeriques
ave Maple, il onje ture que pour tout k 2 , Jn (2k + 1) peut s'exprimer
omme une ombinaison lineaire a oeÆ ients rationnels des nombres 1 et
(2j + 1), ave j 2 f1; : : : ; kg.
0
5
5
Approximants de Pade et (3)
Certains approximants de Hermite-Pade des fon tions polylogarithmes
Lis (z )
+1
X
zn
=
ns
n=1
(z 2 C ; jz j < 1 et s 1):
ont ete expli itement onstruits par E. Nikishin [Ni℄ en 1979 : ayant xe des
entiers a et b tels que 1 b a, il determine, pour jz j > 1, des polyn^omes
6 Des
integrales de type Beukers existent egalement pour log(2), (2) et d'une faon
deguisee pour : on pourra onsulter respe tivement [Ru℄, [RV1℄ et [Hat4℄ pour les
meilleures mesures d'irrationalite onnues de es trois nombres, ainsi que [Vi℄ pour un
expose general.
1.2. DEPUIS APERY
9
Pl;n (z ) de degre n si l = 1; : : : ; b et de degre n 1 si l = 0; b + 1; : : : ; a,
tels que l'ordre en z = 1 de la fon tion
Nn;a;b (z ) = P ;n (z ) +
a
X
0
l=1
Pl;n (z )Lil (1=z )
soit au moins an + b. En parti ulier, il obtient la formule expli ite
Nn;a;b (z ) =
+1
X
k=1
(k 1)(k 2) (k an b + 1) k
z ;
ka (k + 1)a (k + n 1)a (k + n)b
e qui lui permet de montrer que si p et q sont des entiers tels que
q < 0 < p et
jqj > pa(4a)a a ;
(
1)
alors les nombres 1, Li (p=q ); : : : ; Lia (p=q ) sont lineairement independants
sur Q . Cependant, e travail et les raÆnements de Chudnovski [Chu℄ et
de Hata [Hat2℄, [Hat3℄ ne donnent au un renseignement arithmetique sur
Lis (1) = (s) et Lis ( 1) = (1 2 s ) (s) (s 2).
Neanmoins, en 1981, Beukers [Beu3℄ montre omment la demonstration
d'Apery peut ^etre naturellement repla ee dans le adre des approximants
de Pade des fon tions polylogarithmes. Pour ela, il her he a determiner
des polyn^omes An (z ), Bn (z ), Cn (z ) et Dn (z ) de degre au plus n tels que
Bn (1) = 0 et tels que les deux series entieres en 1=z
1
1
Un (z ) = An (z )Li (1=z ) + Bn (z )Li (1=z ) + Cn (z )
2
1
Vn (z ) = 2An(z )Li (1=z ) + Bn (z )Li (1=z ) + Dn (z )
aient un ordre n + 1 en z = 1. Il montre que e probleme admet
une solution unique
(a une onstante multipli ative pres) : en parti ulier
n k k
Pn
n
An (z ) = k k n z , et en posant
3
2
7
2
+
2
=0
Rn (k) =
on a
Un (z ) =
7 Les
+1
X
k=1
(k
Rn (k)z
1)(k 2) (k n)
k(k + 1) (k + n)
k
et Vn(z ) =
+1
X
k=1
2
;
Rn (k)z k :
(1)
series Un (z ) et Vn (z ) avaient deja ete onsiderees par Gutnik [G℄ en 1979 pour
montrer que, pour tout rationnel q , au moins un des deux nombres 3 (3) + q (2) et
(2) + 2q log(2) est irrationnel. Dans [Beu2℄, Beukers donne sans d
emonstration des
generalisations de e resultat, en remarquant qu'elles ne sont malheureusement pas elles
attendues.
10
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Beukers ajoute qu'un al ul immediat montre que l'on retrouve l'approximation d'Apery pour (3).
8
< Dans l'esprit de Fourier >
C'est en 1996 que Yu. Nesterenko [Ne2℄ e e tue le < al ul immediat >
de Beukers : e al ul ne essite de transformer la serie Vn (1) de Beukers en
une integrale omplexe a laquelle s'applique la methode du ol. Nesterenko
ajoute que si l'on pouvait obtenir une estimation elementaire de Vn (1), on
aurait alors une demonstration de l'irrationalite de (3) aussi simple que elle
donnee par Fourier pour e.
Dans un message ele tronique [B℄, K.Ball m'a indique que la serie suivante
pouvait resoudre le probleme de Nesterenko :
Bn = n!
2
+1 X
k=1
k+
n (k
2
1) (k n)(k + n + 1) (k + 2n)
:
k (k + 1) (k + n)
4
4
4
On peut en e et dans e as determiner le omportement asymptotique de
Bn de faon elementaire, gr^a e a la formule de Stirling. A priori,
Bn =
n (4) + n (3) + n (2) + Æn
ou n , n , n et Æn sont rationnels : ependant la forme tres parti uliere de
Bn entra^ne que n = n = 0. On peut montrer que dn n 2 Z et dn Æn 2 Z
mais ela ne permet pas de retrouver l'irrationalite de (3). Toutefois, nous
reviendrons sur e probleme au hapitre 5.
4
1.3 De l'irrationalite a l'independan e lineaire
Il est temps de de rire nos resultats. Les tentatives, par les integrales de
Beukers ou les approximants de Pade, pour generaliser la demonstration de
l'irrationalite de (3) e houent toutes sur le point suivant : au une ne parvient
a isoler un des nombres (2n + 1) (n 2) dans une suite d'approximations
rationnelles qui on ilient arithmetique (denominateur raisonnable) et asymptotique ( onvergen e rapide de la suite vers 0).
8 Trois
autres preuves de l'irrationalite de (3) ont ete obtenues par des te hniques
d'approximation de Pade, par Sorokin [So1℄, [So3℄ (dans deux problemes d'approximation
voisins de elui de [Beu3℄) et par M. Prevost [P℄ (dans un ontexte totalement di erent).
Dans les trois as, omme dans tous eux vus jusqu'a present, il est remarquable que l'on
retrouve systematiquement l'approximation originale d'Apery.
A
L'INDEPENDANCE
1.3. DE L'IRRATIONALITE
LINEAIRE
11
En revan he, en suivant Nikishin, il est plus fa ile de onstruire des approximations simultanees des nombres (s) et ette demar he, qui revient a
abandonner l'irrationalite pour l'independan e lineaire, peut ^etre fru tueuse.
Par exemple, E. Reyssat [Re2℄, en utilisant les approximants de HermitePade de la famille de fon tions (log(1 z )k )k , etablit en parti ulier la
trans endan e de log(a=b) : en fait, il montre impli itement que pour tout
rationnel a=b > 0, une in nite des puissan es log(a=b)k sont lineairement
independantes sur Q , e qui suÆt.
9
0
Les resultats
Notre premiere appro he a ete d'introduire une perturbation de la serie
de Nikishin, en onsiderant
Nn;a;r (z )
= n!a r
+1
X
(k
k=1
1)(k
2) (k rn)
(k + n)a z
ka (k + 1)a
k
ou z 2 C , jz j 1, a et r entiers tels 1 r < a. L'ordre du zero en z =
1 de Nn;a;r (z) n'est plus maximal ( as des approximants de Pade) et est
maintenant parametre par l'entier r que l'on peut her her a optimiser dans
un but arithmetique : Nn;a;r (z ) s'e rit omme une ombinaison lineaire de 1,
Li (1=z ), Li (1=z ); : : : ; Lia (1=z ) et en spe ialisant en z rationnel, le ritere
d'independan e lineaire de Nesterenko [Ne1℄ nous permet de montrer le
1
2
Theoreme 2.1 Soit a un entier 2 et = p=q un nombre rationnel, j j <
1. Notons Æ (a) la dimension du Q espa e ve toriel engendre par 1; Li ( );
Li ( ); : : : ; Lia ( ): Alors pour tout " > 0, il existe un entier A("; p; q ) tel que
si a A("; p; q ),
1 "
Æ (a) log(a):
1 + log(2)
En ne tenant pas ompte de la valeur divergente Li (1), e theoreme est
en ore valable si = 1 : pour tout entier a 2, la dimension de l'espa e
ve toriel engendre sur les rationnels par 1, (2), (3); : : : ; (a) est minoree
par log(a), ou est une onstante e e tive. Cette minoration est triviale
puisque la formule d'Euler et la trans endan e de implique que ette dimension est a priori a=2.
Cependant, si les (2n) < parasites > pouvaient ^etre elimines des ombinaisons lineaires, ela prouverait en parti ulier l'existen e d'une in nite de
valeurs irrationnelles de la fon tion aux entiers impairs. Le resultat de
1
2
1
0
9 Ces
0
approximants avaient deja introduits par Malher [Ma℄ dans le m^eme but.
12
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Vasilyev sur l'integrale Jn (5) montre qu'une telle ombinaison lineaire n'est
pas impossible a onstruire mais l'attaque dire te de sa onje ture semble
onduire a des al uls inextri ables.
Notre deuxieme appro he a alors ete de re onsiderer la serie de Ball Bn
dont une des proprietes remarquables est d'eliminer (2) et (4) et de onserver (3). Au hapitre 3, nous onstruisons une serie Sn;a;r (z ) dont la stru ture
melange la perturbation de la serie de Nikishin et une generalisation de la
propriete de di hotomie de Bn . L'etude de Sn;a;r (z ) permet de prouver les
deux theoremes suivants.
Theoreme 3.1 Soit a un entier impair 3 et notons Æ (a) la dimension du
Q espa e ve toriel engendr
e par 1; (3); (5); : : : ; (a): On a alors
1
Æ (a) log(a):
3
De plus, pour tout " > 0, il existe un entier A(") tel que si a A("),
Æ (a) 1 "
log(a):
1 + log(2)
Theoreme 3.2 Il existe un entier impair j , 5 j 169 tel que 1, (3) et
(j ) sont lineairement independants sur Q .
Au hapitre 4, nous ameliorons la majoration j 169 du Theoreme 3.2
en ne re her hant que l'irrationalite de (j ). Nous introduisons pour ela
une serie qui melange la propriete de di hotomie et le < de alage > produit
par la serie de Beukers-Gutnik-Nesterenko : (3) dispara^t des ombinaisons
lineaires de impairs, e qui permet de montrer le
Theoreme 4.1 Il existe un nombre entier impair j tel que 5 j
(j ) 62 Q .
21 et
En n, au hapitre 5, nous motivons une onje ture dont la demonstration
permettrait de resoudre le probleme pose par la serie Ball et ameliorerait le
Theoreme 4.1, en remplaant 21 par 19. Nous envisageons egalement quelques
extensions possibles des resultats de ette these.
Chapitre 2
Independan e lineaire des
valeurs des polylogarithmes
L'etude diophantienne des valeurs des fon tions polylogarithmes Lis (z ),
de nies pour z 2 C , jz j < 1 et s 1 par
Lis(z )
+1
X
zk
=
;
ks
k=0
en des points rationnels a ete abordee dans [Ni℄, [Chu℄, [Hat2℄, [Hu℄, par
exemple. Nikishin [Ni℄ montre que, pour tout entier a 1, si p 2 N , q 2 Z
et jq j > pa (4a)a a , alors les nombres 1; Li (p=q ); Li (p=q ); : : :, Lia (p=q )
sont Q lineairement independants. Nous abordons e probleme sous un angle
di erent en montrant le
(
1)
1
2
Theoreme 2.1. Soit a un entier 2 et = p=q un nombre rationnel, j j <
1. Notons Æ (a) la dimension du Q espa e ve toriel engendre par 1; Li ( );
Li ( ); : : : ; Lia ( ): Alors pour tout " > 0, il existe un entier A("; p; q ) tel que
si a A("; p; q ),
1 "
log(a):
Æ (a) 1 + log(2)
En parti ulier, pour tout rationnel , j j < 1, l'ensemble fLis ( ); s 1g
ontient une in nite de nombres irrationnels. La restri tion aux nombres rationnels n'est pas essentielle : on peut fa ilement etendre le Theoreme 2.1 aux
nombres algebriques reels. Pour une raison te hnique, le as des algebriques
omplexes est plus deli at. La demonstration repose sur la serie suivante
1
2
Nn;a;r (z )
= n!a r
+1
X
(k
k=1
1)(k
2) (k rn)
(k + n)a z
ka (k + 1)a
13
k
14
CHAPITRE 2. VALEURS DES POLYLOGARITHMES
ou z 2 C , jz j > 1, a et r entiers tels 1 r < a et n 2 N . Pour simpli er
l'expose, nous noterons Nn (z ) ette serie et nous l'e rirons sous la forme
Nn (z ) =
n!a r
+1
X
(k
rn)rn
z
(k)an
k=1
k
+1
ou ( )k est le symbole de Po hhammer :
( ) = 1 et ( )k = ( + 1) ( + k
1) si k = 1; 2; : : :
0
Il est utile de noter que ette serie est une fon tion hypergeometrique generalisee :
(rn + 1) (rn + 2)a
Nn (z ) = z rn n!a r
((r + 1)n + 1)a
rn + 1; rn + 1 : : : ; rn + 1
a Fa (r + 1)n + 2; : : : ; (r + 1)n + 2 z :
Le paragraphe 2 est onsa re a l'etude pre ise de ette serie : le Lemme 2.1
montre que la serie Nn (z ) fournit bien des ombinaisons lineaires a oeÆients polynomiaux des fon tions Lis (1=z ). Le Lemme 2.2 donne une expression integrale similaire a elles de [Beu1℄ et de [DV, x1.3℄, e qui permet
d'estimer Sn (z ) (Lemme 2.3). Nous suivons ensuite Nikishin [Ni℄ pour la
demonstration des Lemmes 2.4 et 2.5, qui on ernent les proprietes asymptotiques et arithmetiques des oeÆ ients des ombinaisons lineaires. Pour
on lure, nous appliquons le ritere d'independan e lineaire de Nesterenko
[Ne1℄.
1
1
+1
2.1 Resultats auxiliaires
Dans toute la suite, on pose D =
1
d
! dt
et
rn)rn
:
(t)an
Pour l 2 f1; : : : ; ag et j 2 f0; : : : ; ng, on note aussi
Rn (t) = n!a
r (t
+1
l;j;n
P ;n (z ) =
a X
n
X
0
l=1 j =1
= Da l (Rn (t)(t + j )a )jt
=
l;j;n
j
X
k=1
1 j
z
kl
k
j
et Pl;n(z ) =
2Q ;
n
X
j =0
(2.1)
l;j;n z
Les Pl;n(z ) sont don des polyn^omes a oeÆ ients rationnels.
j
:
(2.2)
2.1. RESULTATS
AUXILIAIRES
15
Lemme 2.1. Pour tout z 2 C , jz j > 1, on a
a
X
Nn (z ) = P ;n (z ) +
0
l=1
Pl;n (z )Lil (1=z ) :
(2.3)
Demonstration. En de omposant Rn (t) en fra tions partielles, on obtient :
a X
n
X
Rn (t) =
l;j;n
(t + j )l
j =0
l=1
:
D'ou si jz j > 1
Nn (z ) =
=
=
a X
n
X
l=1 j =0
a X
n
X
l=1 j =0
a
X
l=1
l;j;n
l;j;n
Lil (1=z )
+1
X
k=1
zj
n
X
j =0
1 1
z k (k + j )l
+1
X
k=1
l;j;n
1 1
z k kl
zj
j
X
1 1
z k kl
k=1
n
a X
X
!
l;j;n
l=1 j =1
j
X
k=1
1 j
z
kl
k
e qui n'est rien d'autre que (2:3).
Lemme 2.2. Pour tout z 2 C , jz j > 1,
(rn)!
Nn (z ) = r
n!
Qa
r
l=1 xl (1
Z
; a
[0 1℄
(z
xl )
x x x a )r
1
n
2
dx dx dxa
:
z x x xa
1
2
1
(2.4)
2
Demonstration. La serie Nn (z ) est une fon tion hypergeometrique generalisee dont les parametres sont tels qu'elle peut s'exprimer sous la forme
integrale voulue pour jz j > 1 (voir [Sl℄, p.108).
Lemme 2.3. Pour tout z 2 R tel que jz j > 1, la suite jNn (z )j =n admet une
limite que l'on note 'r;a (z ). De plus, on a l'en adrement
1
0 < 'r;a (z ) jzj
1
r ra r
:
Demonstration. La formule de Stirling implique que
(rn)!
lim
n! 1
n!r
+
1=n
= rr :
(2.5)
16
CHAPITRE 2. VALEURS DES POLYLOGARITHMES
Pour z reel, jz j > 1, l'existen e et la valeur de
lim jN (z )j
n! 1 n
=n
=
1
+
rr
maxa
x2[0;1℄
Qa
r
l=1 xl (1
xl )
6 0
=
x x x a )r
(z
1
2
resulte de la formule integrale (2.4). Notons que l'on ne peut pas on lure
aussi fa ilement dans le as z omplexe. Majorons maintenant Nn (z ). Si k 2
f0; : : : ; rng alors Rn (k) = 0. Supposons k rn + 1 ; on a alors
Rn (k)jz j
k
rn)rn k
jzj
(k)an
n a r n
1
=
j
z j rn a
k
k
= n!a
r (k
na
(
+1
(
Don
jNn(z)j et
+1
X
k=rn+1
Rn (k)jz j
k
'r;a (z ) jzj
)
krn
ka n
(
1
r
jzj ra
+1)
n
r
n X
+1
1
r
jzj ra
1
r)n
r
k=rn+1
jzj
rn
1
:
ka
1
ka
:
r ra r
Lemme 2.4. Pour tout l 2 f0; : : : ; ag et tout z 2 C tel que jz j > 1,
lim sup jPl;n(z )j =n rr 2a
1
r
+ +1
n!+1
jzj :
Demonstration. On majore d'abord les oeÆ ients
la formule de Cau hy :
Z
1
l;j;n =
2i jz j j
+
(2.6)
l;j;n . Pour
ela on utilise
Rn (z )(z + j )l dz
1
=
=1 2
ou jz + j j = 1=2 designe le er le de entre j et de rayon 1=2. Sur e er le,
on a
j(z rn)rnj (j + 2)rn
et
j(z)n j 2 (j
3
+1
1)!(n j
1)! :
Don
j l;j;nj (rn + j )!
j a (n j )a (rn + j + 1) a
8
j !a (n j )!a
j+1
rn + j n a (rn)!
(rn + 1)2a :
j n!r
j
n!a r
+1
2.1. RESULTATS
AUXILIAIRES
17
En remarquant que
rn + j
j
on obtient j
l;j;n
j (rr 2a
2rn+j ;
r
+ +1
a
n
j
(rn)!
n!r
2na ;
rrn ;
)n (rn + 1)2a , d'ou
lim sup j
n!+1
Si l 2 f1; : : : ; ag, on a Pl;n(z ) =
l;j;n
j =n rr 2a
1
r
:
+ +1
Pn
j
j =0 l;j;n z
et don
lim sup jPl;n(z )j =n rr 2a
1
r
+ +1
n!+1
jzj :
Il nous reste a majorer P ;n (z ), dont on a determine l'expression (2:2)
0
a X
n
X
P ;n (z ) =
0
Comme
l=1 j =1
j
X
zj l
kl
k=1
on a la aussi
jzj
n
j
X
zj l
l;j;n
kl
k=1
j
X
k=1
1
k
njzjn ;
lim sup jP ;n (z )j =n rr 2a
1
n!+1
r
+ +1
0
:
jzj :
Lemme 2.5. Pour tout l 2 f0; : : : ; ag
dna l Pl;n(z ) 2 Z [z ℄
(2.7)
ou dn = pp m(1; 2; : : : ; n).
Demonstration. L'evaluation du denominateur des oeÆ ients l;j;n repose
sur une ree riture de Rn (t). Fixons les entiers n et j . On de ompose alors le
numerateur de Rn (t) en r produits de n fa teurs onse utifs :
Rn (t)(t + j )a =
r
Y
l=1
Fl (t) H (t)a
r
ou pour l 2 f1; : : : ; rg
Fl (t) =
(t nl)n
n!
(t + j ) ; H (t) =
(t + j ) :
(t)n
(t)n
+1
+1
18
CHAPITRE 2. VALEURS DES POLYLOGARITHMES
De omposons Fl (t) et H (t) en fra tions partielles :
Fl (t) = 1 +
n
X
(j
p=0
p6=j
n
X
p)fp;l
(j p)hp
; H (t) =
t+p
t+p
p
=0
p6=j
ou
fp;l =
( p
n
Y
nl)n
( p + h)
( 1)n ((l 1)n + p + 1)n
= ( 1)n
=
( 1)p p!(n p)!
p
nl + p
n
n
p
h=0
h6=p
et
hp =
n
Y
n!
( p + h)
( 1)p n!
n
=
= ( 1)p
p!(n p)!
p
h=0
h6=p
sont des entiers. On a alors pour tout entier 0 :
(D Fl (t))jt
=
(D H (t))jt
=
j
j
= Æ ; +
0
=
n
X
p=0
p6=j
n
X
p=0
p6=j
( 1)
( 1)
(j p)fp;l
;
(p j )
+1
(j p)hp
(p j )
+1
ave Æ ; = 1 si = 0, Æ ; = 0 si > 0. On a don montre que dn (D Fl )jt j
et dn(D H )jt j sont des entiers pour tout 2 N . Gr^a e a la formule de
Leibniz
0
0
=
=
Da l (R(t)(t + j )a ) =
X
(D1 F ) (Dr Fr )(Dr+1 H ) (Da H )
1
(ou la somme est sur les multi-indi es 2 N a tels que + + a = a l),
on en deduit alors que dna l l;j;n 2 Z et don que dna l Pl;n(z ) 2 Z [z ℄.
1
2.2 Demonstration du Theoreme 2.1
Pour demontrer la Proposition 2.1 i-dessous, nous utiliseront le ritere d'independan e lineaire suivant.
2.2. DEMONSTRATION
DU THEOR
EME
2.1
19
Theoreme 2.2 (Critere de Nesterenko). Soit N reels ; ; : : : ; N et
supposons qu'il existe N suites (pl;n)n tels que :
i) 8i = 1; : : : ; N , pl;n 2 Z ;
1
2
0
ii)
n+o(n)
1
j
N
X
l=1
pl;n l j iii) 8l = 1; : : : ; N , jpl;nj Dans es onditions,
n+o(n)
ave 0 <
2
n+o(n)
1
2
2
< 1;
> 1.
ave
dimQ(Q + Q + + Q N ) 1
log( ) log( )
:
log( ) log( ) + log( )
1
1
2
Proposition 2.1. Soit a un entier 2 et = p=q un nombre rationnel tel
que j j < 1 . Pour tout entier r tel que 1 r < a, on a la minoration
Æ (a) a log(r) + (a + r + 1) log(2) (r + 1) log j j
:
a + (a + r + 1) log(2) + r log(r) + log jq j
(2.8)
Demonstration. D'apres le Theoreme des nombres premiers,
dn = en
o n)
+ (
Fixons
= p=q ave
j j < 1 et de
:
(2.9)
nissons pour tout entier n 0
pl;n = dan pn Pl;n(q=p) pour l 2 f1; : : : ; ag et `n = dan pn Sn (q=p) :
(2.2) montre que pour tout n 0
`n = p ;n +
a
X
0
l=1
pl;n Lil ( ) :
(2.7) montre que pour tout l 2 f0; : : : ; ag et pour tout n 0, pl;n 2 Z .
(2:5) et (2:9) montrent que
log j`nj = n log() + o(n) ave
= ea jpj'r;a (1= ) :
En n, (2:6) et (2:9) impliquent que pour tout l = 0; : : : ; a :
log jpl;nj n log( ) + o(n) ave
= ea jq j2a
r
+ +1
rr :
En appliquant le Theoreme 2.2, on obtient don la minoration
Æ (a) (a + r + 1) log(2) + r log(r) log j j log('r;a (1= ))
:
a + (a + r + 1) log(2) + r log(r) + log jq j
20
CHAPITRE 2. VALEURS DES POLYLOGARITHMES
En utilisant la majoration de 'r;a (1= ) donnee au Lemme 2.3, on en deduit
la minoration (2.8).
Demonstration du Theoreme 2.1. Dans les onditions de la Proposition
2.1, hoisissons r = r(a) omme l'entier < a le plus pro he de a(log(a)) .
On a alors
2
a log(r) + (a + r + 1) log(2) (r + 1) log j j = (1 + o(1))a log(a)
et
a + (a + r + 1) log(2) + r log(r) + log jq j = (1 + log(2))a + o(a) :
D'ou
Æ (a) e qui prouve le Theoreme 2.1.
(1 + o(1)) log(a)
;
1 + log(2) + o(1)
Chapitre 3
Independan e lineaire d'une
in nite des nombres (2n + 1)
Dans e hapitre, nous demontrons qu'une in nite de valeurs de la fon tion aux entiers impairs sont irrationnels. De faon plus pre ise, nous prouvons le
Theoreme 3.1. Soit a un entier impair 3 et notons Æ (a) la dimension du
Q espa e ve toriel engendr
e par 1; (3); (5); : : : ; (a): On a alors
1
Æ (a) log(a) :
3
De plus, pour tout " > 0, il existe un entier A(") tel que si a A("),
Æ (a) 1 "
log(a):
1 + log(2)
Nous montrons egalement le
Theoreme 3.2. Il existe un entier impair j , 5 j 169 tel que 1, (3) et
(j ) sont lineairement independants sur Q .
Pour demontrer es theoremes, nous introduisons la serie
Sn;a;r (z ) = n!a
r
2
+1
X
(k
k=1
rn)rn (k + n + 1)rn
z
(k)an
k
+1
ou n, r et a sont des entiers veri ant n 0, 1 r < a=2 : es onditions
assurent que Sn;a;r (z ) onverge pour tout nombre omplexe z de module 1.
Comme nous l'a fait remarquer l'arbitre de [BR℄, ette serie, que nous
e rirons Sn (z ), est elle aussi une fon tion hypergeometrique generalisee :
21
CHAPITRE 3. INDEPENDANCE
DES
22
Sn(z ) = z
rn
1
n!a
r
2
IMPAIRS
(rn + 1)a ((2r + 1)n + 2)
((r + 1)n + 2)a
?
rn + 1; : : : ; rn + 1; (2r + 1)n + 2?
?z
Fa
(r + 1)n + 2; : : : ; (r + 1)n + 2 ?
+1
+1
a+2
+1
1
:
Les demonstrations sont similaires a elle du Theoreme 2.1 : le Lemme
3.1 montre que la serie Sn (1) fournit des ombinaisons lineaires a oeÆ ients
rationnels en les impairs lorsque n est pair. Apres avoir donne une expression integrale de type Beukers [Beu1℄ (Lemme 3.2), nous en deduisons l'estimation de Sn(1) (Lemme 3.3). Les Lemmes 3.4 et 3.5 on ernent les proprietes
asymptotiques et arithmetiques des oeÆ ients des ombinaisons lineaires.
En n, pour on lure, nous appliquons de nouveau le ritere d'independan e
lineaire de Nesterenko [Ne1℄.
3.1 Resultats auxiliaires
Dans toute la suite, on pose
Rn (t) = n!a
r (t
2
rn)rn (t + n + 1)rn
:
(t)an
+1
Pour l 2 f1; : : : ; ag et j 2 f0; : : : ; ng, on note aussi
l;j;n
P ;n (z ) =
a X
n
X
0
l=1 j =1
= Da l (Rn (t)(t + j )a )jt
=
l;j;n
j
X
k=1
1 j
z
kl
k
j
2Q ;
et Pl;n (z ) =
n
X
j =0
(3.1)
l;j;n z
j
:
(3.2)
Les Pl;n(z ) sont don des polyn^omes a oeÆ ients rationnels.
Lemme 3.1. On a :
Sn (1) = P ;n (1) +
a
X
0
l=2
Pl;n(1) (l) :
(3.3)
De plus,
si (n + 1)a + l est impair, alors Pl;n(1) = 0 :
(3.4)
3.1. RESULTATS
AUXILIAIRES
23
En parti ulier, si n est pair et a impair 3, Pl;n(1) = 0 pour tout l 2
f2; : : : ; ag pair et Sn(1) est alors une ombinaison lineaire uniquement en
les impairs :
aX
1)=2
(
Sn (1) = P ;n(1) +
0
Pl
;n (1) (2l + 1)
2 +1
l=1
:
(3.5)
Demonstration. En de omposant Rn (t) en fra tions partielles, on obtient :
Rn (t) =
a X
n
X
l=1 j =0
l;j;n
(t + j )l
:
Mutatis mutandis, on peut repeter la demonstration du Lemme 2.1 de la
premiere partie et on a pour jz j 1, z 6= 1
Sn (z ) =
a
X
Pl;n(z )Lil (1=z ) + P ;n (z ) :
0
l=1
Comme 2rP< a, le degre total de la fra tion rationnelle Rn (t) est 2, don
P ;n (1) = nj Rest j (Rn (t)) = 0 et
1
=0
=
lim (P ;n (z )Li (1=z )) = 0 :
z !1
jzj>1
1
1
Comme Lis (1) = (s), on en deduit (3:3). Montrons maintenant (3:4) et pour
ela reformulons (3:1) sous la forme
l;j;n
= ( 1)a l Da l (n;j (x))jx
j
=
ou
n;j (x) = Rn ( x)(j
x)a = n!a
x rn)rn ( x + n + 1)rn
(j
( x)an
r(
2
x)a :
+1
On a
n;n j (n x) = n!a
r (x
2
(r + 1)n)rn(x + 1)rn
(x j )a :
a
(x n)n
(3.6)
+1
En appliquant l'identite ( )l = ( 1)l (
Po hhammer de (3:6), on obtient
l + 1)l aux trois symboles de
1)rn ( x + n + 1)rn( 1)rn ( x
( 1) n a ( x)an
=( 1)na n;j (x) :
n;n j(n x)= n!a
r(
2
(
+1)
+1
rn)rn
( 1)a (j
x)a
CHAPITRE 3. INDEPENDANCE
DES
24
IMPAIRS
Don pour tout k 0,
k
k
na k
n;n
j (n x) = ( 1) ( 1) n;j (x) :
( )
( )
En parti ulier ave k = a l et x = j , on a
= ( 1)a l ( 1)an
l;n j;n
l;j;n
;
e qui implique la relation
Pl;n (1) = ( 1) n
(
a l P (1) :
l;n
+1) +
Si (n + 1)a + l est impair, on en deduit que Pl;n (1) = 0.
De nissons maintenant l'integrale
In (z ) =
Z
[0;1℄a+1
(z
!n
Qa+1 r
l=1 xl (1
xl )
x x xa ) r
1
2
+1
dx dx dxa
(z x x xa )
1
2 +1
2
1
+1
2
+1
2
qui est de nie a priori pour tout omplexe z tel que jz j > 1.
Lemme 3.2. La serie Sn (z ) admet la representation integrale, pour jz j 1 :
((2r + 1)n + 1)! r n
z
In (z ) :
(3.7)
n! r
Demonstration. La serie Sn (z ) est une fon tion hypergeometrique generalisee dont les parametres sont tels qu'elle peut s'exprimer sous la forme
integrale voulue pour jz j > 1 (voir par exemple [Sl℄, p. 108). Il s'agit de
montrer que ette representation est en ore valide si jz j = 1. Pour ela posons E = fz 2 C : jz j 1g et de nissons la fon tion
Sn (z ) =
(
F (x; z ) =
( +1)
+1
2 +1
Qa+1 xr
si (x; z ) 2 [0; 1℄a E et (x; z ) 6= (1; 1; : : : ; 1) ;
si (x; z ) = (1; 1; : : : ; 1) .
l=1 l (1 xl )
z x1 xa+1 )2r+1
+1
(
0
La fon tion F (x; z ) est ontinue sur [0; 1℄a E : en e et, pour x 2 [0; 1℄a ,
il est lair que pour tout l = 1; : : : ; a + 1, on a 1 x xa 1 xl , d'ou
+1
+1
1
(1 x
1
xa
+1
Don pour tout (x; z ) 2 [0; 1℄a
+1
)a
+1
+1
a+1
Y
l=1
(1 xl ) :
E tel que (x; z) 6= (1; 1; : : : ; 1),
jF (x; z)j F (x; 1) aY
+1 l=1
xrl (1
a 2r xl ) a+1
:
3.1. RESULTATS
AUXILIAIRES
25
Il en resulte que la fon tion F (x; z ) est ontinue sur [0; 1℄a E , puisque
a > 2r. Par ailleurs, la fon tion G(x; z ) = (z x xa ) est integrable
sur [0; 1℄a , e qui resulte de la ontinuite, pour jtj 1, de la fon tion
+1
2
1
+1
+1
Z
1
Z
1
Z
dudv dw
= t Li (t) :
(1 uvwt)
1
1
0
0
2
2
0
Notons S~n (z ) le membre de droite de (3:7) et u(x; z ) = F (x; z )n G(x; z ).
Alors :
pour tout z 2 E , ju(x; z)j u(x; 1) et u(x; 1) est integrable sur [0; 1℄a ;
pour tout x 2 [0; 1℄a , x 6= (1; : : : ; 1), la fon tion u(x; z) est ontinue
+1
+1
sur E .
Don S~n (z ) est ontinue sur E . Comme Sn(z ) est aussi ontinue sur E et
Sn (z ) = S~n (z ) si jz j > 1, ette derniere egalite est en ore vraie sur E , e qui
termine la demonstration du Lemme 3.2.
Considerons maintenant le polyn^ome
Qr;a (s) = rsa
(r + 1)sa + (r + 1)s r :
+2
+1
On remarque que Qr;a (s) = sa (rs r 1) + ((r + 1)s r) < 0 sur [0; r r ℄.
De plus
Q0r;a (s) = r(a + 2)sa
(r + 1)(a + 1)sa + r + 1
et
Q00r;a (s) = (a + 1)sa (r(a + 2)s (r + 1)a) :
D'ou Q0r;a (0) = r + 1 > 0, Q0r;a (1) = 2r a < 0 et Q00r;a (s) < 0 sur [0; 1℄. On
en deduit que Qr;a a une seule ra ine s dans [0; 1[ et que s 2 ℄ r r ; 1[:
+1
+1
+1
1
0
0
+1
Lemme 3.3. La suite jSn (1)j =n admet une limite notee 'r;a telle que
1
'r;a = ((r + 1)s
r)r (r + 1 rs )r (1 s )a
r
+1
0
0
2
0
:
De plus, on a l'en adrement
2r
:
ra r
Demonstration. En vertu de la formule de Stirling,
0 < 'r;a ((2r + 1)n + 1)!
lim
n! 1
n! r
+
2 +1
+1
(3.8)
2
1=n
= (2r + 1) r
2 +1
:
CHAPITRE 3. INDEPENDANCE
DES
26
IMPAIRS
Compte-tenu de l'expression integrale (3:7), n!
lim1 jSn (1)j =n existe et vaut
1
+
'r;a = (2r + 1)
r
2 +1
Qa+1 r
l=1 xl (1
xl )
(1 x x xa ) r
max
x1 ;:::;xa+1 )2[0;1℄a+1
(
1
Posons
2
+1
2 +1
!
:
Qa+1 r
l=1 xl (1
xl )
(1 x x xa ) r
et f (x) = log(F (x)) : pour tout l 2 f1; : : : ; a + 1g, les extrema de F doivent
veri er
1
xl
x x xa
f
(x) =
r
+ (2r + 1)
=0
xl
xl
1 xl
1 x x xa
Le maximum de F est don atteint sur la diagonale x = x = = xa et
on a
ra
s
(1 s)a
r
'r;a = (2r + 1)
max
:
s2 ;
(1 sa ) r
On veri e que e maximum est atteint pour s = s , ra ine dans ℄0; 1[ du
polyn^ome Qr;a . De la relation rsa
(r + 1)sa + (r + 1)s r = 0, on
deduit que
(r + 1)s r
sa =
r + 1 rs
d'ou
sr a (1 s )a
r
'r;a = (2r + 1)
(1 sa ) r
F (x) = F (x ; : : : ; xa ) =
1
+1
1
2
1
+1
2
1
2 +1
+1
2
+1
1
( +1)
2
+1
+1
2 +1
+1
[0 1℄
2 +1
0
+2
+1
0
0
0
0
+1
0
0
( +1)
0
0
2 +1
+1
+1
2 +1
0
= ((r + 1)s
r)r (r + 1 rs )r (1 s )a
+1
0
0
r+1
r+1
0
r+1
((2r +r +1)1)a r ((2r +r +1)2)a r r2a
+1
r
2
r
+1
2
en utilisant l'en adrement r r < s < 1.
Lemme 3.4. Pour tout l 2 f0; : : : ; ag,
0
+1
lim sup jPl;n(1)j =n 2a
1
n!+1
r (2r + 1)2r+1
2
:
(3.9)
Demonstration. Si l 2Pf1; : : : ; ag, il suÆt de majorer les oeÆ ients l;j;n
puisque l'on a Pl;n(1) = nj l;j;n. Pour ela on utilise la formule de Cau hy :
=0
Z
1
l;j;n =
2i jz j j
+
Rn (z )(z + j )l dz
1
=
=1 2
3.1. RESULTATS
AUXILIAIRES
27
ou jz + j j = 1=2 designe le er le de entre j et de rayon 1=2. Sur e er le,
on a
j(z rn)rnj (j + 2)rn ;
et
j(z + n + 1)rnj (n j + 2)rn
j(z)n j 2 (j
3
+1
1)!(n j
1)! :
Don
j
(rn + j + 1)!
n!
((r + 1)n j + 1)!
l;j;nj (j + 1)!(j !(n j )!)r (n j + 1)!(j !(n j )!)r j !(n j )!
(2r + 1)
r
a 2r
(2n )a
2
n+2 2(a 2r)n (2n2 )a
(2 +1)
en remarquant que les oeÆ ients multin^omiaux
((r + 1)n j + 1)!
(rn + j + 1)!
et
r
(j + 1)!(j !(n j )!)
(n j + 1)!(j !(n j )!)r
sont majores respe tivement par (2r + 1)rn j et (2r + 1) r
don
lim sup jPl;n(1)j =n 2a r (2r + 1) r :
+ +1
1
2
n j +1 .
( +1)
On a
2 +1
n!+1
Il nous reste a majorer P ;n (1) (dont on a determine l'expression (3:1)) :
0
a X
n
X
P ;n (1) =
0
Comme
j
X
k=1
1
kl
l=1 j =1
j
X
k=1
1
k
l;j;n
j
X
k=1
1
:
kl
jn;
on a bien la aussi
lim sup jP ;n (1)j =n 2a
1
n!+1
0
r (2r + 1)2r+1
2
:
Lemme 3.5. Pour tout l 2 f0; : : : ; ag,
dna l Pl;n(z ) 2 Z [z ℄
ou dn = pp m(1; 2; : : : ; n).
(3.10)
CHAPITRE 3. INDEPENDANCE
DES
28
IMPAIRS
Demonstration. De omposons le numerateur de Rn (t) en 2r produits de n
fa teurs onse utifs :
r
Y
Rn (t)(t + j )a =
l=1
!
Fl (t)
r
Y
l=1
!
Gl (t)
H (t)a
r
2
ou pour l 2 f1; : : : ; rg :
Fl (t) =
(t nl)n
(t + j ) ;
(t)n
Gl (t) =
+1
et
(t + nl + 1)n
(t + j )
(t)n
+1
n!
(t + j ) :
(t)n
De omposons Fl (t), Gl (t) et H (t) en fra tions partielles :
H (t) =
+1
Fl (t) = 1+
n
X
(j
p=0
p6=j
n
n
X
X
(j p)gp;l
(j p)hp
p)fp;l
; Gl (t) = 1+
; H (t) =
t+p
t+p
t+p
p
p
=0
=0
p6=j
p6=j
ou
fp;l =
( p nl)n
n
Y
h=0
h6=p
gp;l =
( p + h)
( 1)n ((l 1)n + p + 1)n
=
= ( 1)n
( 1)p p!(n p)!
( p + nl + 1)n
n
Y
( p + h)
p
hp =
( 1)p ((l + 1)n p)!
n(l + 1) p
=
= ( 1)p
n
(nl p)!p!(n p)!
h=0
h6=p
et
nl + p
n
n
Y
n!
( p + h)
( 1)p n!
n
=
= ( 1)p
p
p!(n p)!
h=0
h6=p
sont des entiers. On a alors pour tout entier 0 :
(D Fl (t))jt
=
j = Æ ; +
0
n
X
p=0
p6=j
( 1)
(j p)fp;l
;
(p j )
+1
n
;
p
n
p
3.2. DEMONSTRATIONS
DES THEOR
EMES
3.1 ET 3.2
(D Gl (t))jt
=
= Æ ; +
j
0
(D H (t))jt
=
j=
n
X
p=0
p6=j
n
X
p=0
p6=j
( 1)
( 1)
29
(j p)gp;l
;
(p j )
+1
(j p)hp
(p j )
+1
ave Æ ; = 1 si = 0, Æ ; = 0 si > 0. On a don montre que
0
0
dn(D Fl )jt
=
j
; dn (D Gl )jt
=
j
et dn (D H )jt
=
j
sont des entiers pour tout 2 N . Gr^a e a la formule de Leibniz
Da l (R(t)(t + j )a ) =
X
(D1 F ) (Dr Fr )(Dr+1 G ) (D2r Gr )(D2r+1 H ) (Da H )
1
1
(ou la somme est sur les multi-indi es 2 N a tels que + + a = a l),
on en deduit alors que dna l l;j;n 2 Z et don que dna l Pl;n(z ) 2 Z [z ℄.
1
3.2 Demonstrations des Theoremes 3.1 et 3.2
Le Theoreme 2.2 ( ritere de Nesterenko) permet de montrer la Proposition
3.1 i-dessous, dont les Theoremes 3.1 et 3.2 sont des onsequen es.
Proposition 3.1. Soit a un entier impair
1 r < a=2, on a la minoration
Æ (a) 3. Pour tout entier r tel que
(a 2r) log(2) + (2r + 1) log(2r + 1) log('r;a )
a + (a 2r) log(2) + (2r + 1) log(2r + 1)
(3.11)
ou 'r;a = ((r + 1)s r)r (r + 1 rs )r (1 s )a r et s est l'unique ra ine
dans ℄0; 1[ du polyn^ome Q(s) = rsa
(r +1)sa +(r +1)s r. En parti ulier
0
0
+1
+2
Æ (a) 0
2
0
+1
log(r) + aa r log(2)
:
1 + log(2) + ar log(r + 1)
(3.12)
+1
2 +1
+1
Demonstration. De nissons, pour tout entier n 0, `n = dan S n (1) et
2
p ;n = dan P ; n (1); pl;n = danP l
0
2
0 2
2
; n (1)
2 +1 2
2
pour l 2 f1; : : : ; (a 1)=2g :
CHAPITRE 3. INDEPENDANCE
DES
30
IMPAIRS
(3:5) montre que pour tout n 0, `n est une ombinaison lineaire en les impairs :
aX
1)=2
(
`n = p ;n +
0
l=1
pl;n (2l + 1) :
(3.10) montre que pour tout l 2 f0; : : : ; (a
(2.9) et le lemme 3.3 montrent que
1)=2g et tout n 0, pl;n 2 Z .
log j`nj = 2n log() + o(n) ave
= ea 'r;a :
En n, (2.9) et (3.9) impliquent que pour tout l 2 f0; : : : ; (a 1)=2g :
log jpl;nj 2n log( ) + o(n) ave
= ea 2a
r (2r + 1)2r+1
2
:
En appliquant le Theoreme 2.2 ( ritere de Nesterenko), on en deduit (3.11).
En utilisant la majoration (3.8) et l'en adrement 2r 2r + 1 2(r + 1), on
obtient l'inegalite (3.12).
Demonstration du Theoreme 3.2. On hoisit a = 169 et r = 10 dans
la minoration (3.11) de la Proposition 3.1 : un al ul par ordinateur montre
que
s 0; 90909093 et log(' ; ) 505; 73453
d'ou Æ (169) > 2; 001. Il existe don deux entiers impairs j et k tels que
3 j; k 169 et 1, (j ) et (k) sont lineairement independants sur Q .
L'irrationalite de (3) nous permet de supposer k = 3, e qui prouve le
Theoreme 3.2.
0
10 169
Demonstration du Theoreme 3.1. Supposons a impair. Nous allons distinguer plusieurs as :
3 a 167 < e : le Theoreme d'Apery donne Æ(3) 2, d'ou
Æ (a) 2 log(a).
169 a 8:10 1 < e : le Theoreme 3.2 donne Æ(169) 3 d'ou
Æ (a) 3 log(a).
8:10 + 1 a 10 1 < e : la Proposition 3.1 (ave r = 200) donne
Æ (8:10 + 1) > 3 d'ou Æ (a) 4 log(a).
10 + 1 a 10 1 < e : la Proposition 3.1 (ave r = 600) donne
Æ (10 + 1) > 4 d'ou Æ (a) 5 log(a).
a 10 + 1 : en hoisissant r = [a = + 1℄ < a=2 dans (3.12) de la
Proposition 3.1, on obtient
3
Æ (a) log(a)
5 (a)
6
1
3
3
9
1
3
3
5
12
1
3
5
6
3
15
1
5
6
3
3 5
3.2. DEMONSTRATIONS
DES THEOR
EMES
3.1 ET 3.2
3=5 +3
31
ou (a) = 1+log(2)+ aa
log(a = +1) est de roissante et (10 +1) <
9=5. Don la aussi Æ (a) log(a).
Montrons maintenant la deuxieme partie : on hoisit pour ela r = r(a)
omme l'entier < a=2 le plus pro he de a(log(a)) . On a alors
2
3 5
6
+1
1
3
2
log(r) +
et
D'ou
1 + log(2) +
a r
log(2) = (1 + o(1)) log(a)
a+1
2r + 1
log(r + 1) = 1 + log(2) + o(1) :
a+1
Æ (a) e qui prouve le Theoreme 3.1.
(1 + o(1)) log(a)
;
1 + log(2) + o(1)
32
CHAPITRE 3. INDEPENDANCE
DES
IMPAIRS
Chapitre 4
Irrationalite d'au moins un des
neuf nombres (5); (7); : : : ; (21)
Le Theoreme 3.2 du hapitre pre edent montre qu'il existe un entier impair j tel que 5 j 169 et 1, (3) et (j ) sont lineairement independants
sur Q : e resultat implique l'irrationalite de (j ) mais est bien s^ur plus fort.
Dans ette partie, nous ameliorons la majoration j 169 en ne re her hant
que l'irrationalite de (j ) :
Theoreme 4.1. Il existe un entier impair j tel que 5 j 21 et (j ) 62 Q .
La demonstration de e theoreme repose sur la serie suivante
Sn;a (z ) =
n!a
6
+1
X
1
k=1
d
2 dk
2
2
n (k
k+
2
n)n (k + n + 1)n
z
(k)an
3
3
k
+1
ou z est un nombre omplexe de module 1 et a un entier 6. L'etude
de Sn;a (z ), que nous e rirons desormais Sn (z ), est similaire a elle de la serie
onsideree dans le troisieme hapitre :
Le Lemme 4.1 montre que, si a est pair, la serie Sn(1) s'e rit omme
une ombinaison lineaire (a oeÆ ients rationnels) de 1 et des (j ) pour j
impair, j 2 f4; : : : ; a + 2g.
Le Lemme 4.2 determine un denominateur ommun aux oeÆ ients de
ette ombinaison lineaire.
L'estimation du omportement de jSn(1)j =n est deli ate puisqu'une
expression integrale de type Beukers [Beu1℄ n'est pas onnue pour Sn (1).
Neanmoins, en suivant Nesterenko [N2℄, le Lemme 4.4 montre que Sn (1) peut
s'e rire omme la partie reelle d'une integrale omplexe : le omportement
asymptotique de ette integrale est alors determine au Lemme 4.5 par la
methode du ol (Lemme 4.3).
1
33
34
CHAPITRE 4.
(5); (7); : : : ; (21)
En n, il n'y a pas lieu i i de borner la hauteur des oeÆ ients de la
ombinaison : ela n'est ne essaire que pour l'independan e lineaire.
4.1 Resultats auxiliaires
Posons
Rn (t) = n!a
6
n (t n)n (t + n + 1)n
2
(t)an
: on a alors la de omposition en elements
3
t+
3
+1
et l;j;n = Da l (Rn (t)(t + j )a )jt
simples
=
j
a
n
X X l(l + 1) l;j;n
:
Rn00 (t) =
l
l=1 j =0
(t + j )
(4.1)
+2
De nissons egalement les polyn^omes a oeÆ ients rationnels
P ;n (z ) =
0
j
a X
n X
X
l(l + 1) l;j;n j k
z
2kl+2
l=1 j =1 k=1
et Pl;n(z ) =
n
X
j =0
l;j;n z
j
: (4.2)
ou l 2 f1; : : : ; ag
Lemme 4.1. Pour tout z 2 C , jz j > 1, on a
Sn (z ) = P ;n (z ) +
a
X
l(l + 1)
0
l=1
2
Pl;n (z )Lil (1=z )
+2
et P ;n(1) = 0. De plus, si a est pair, alors pour tout n 0 et pour tout entier
pair l 2 f2; : : : ; ag, on a Pl;n(1) = 0 et don
1
Sn (1) = P ;n (1) +
a=2
X
0
j =2
j (2j
1)P j
2
;n (1) (2j + 1) :
1
4.1. RESULTATS
AUXILIAIRES
35
Demonstration. De la de omposition (4.1) de Rn (t), on deduit que si jz j > 1
a X
n
+1
X
l(l + 1) l;j;n X
Sn (z ) =
l=1 j =0
a X
n
X
=
l=1 j =0
2
k=1
l(l + 1)
2
= P ;n (z ) +
l;j;n j
z
a
X
l(l + 1)
2
0
l=1
z k
(k + j )l
+1
X
k=1
+2
1
z
kl+2
k
j
X
k=1
1
z
kl+2
!
k
Pl;n(z )Lil (1=z ) :
+2
Comme le degre total de la fra tion rationnelle Rn (t) est 2, on a
P ;n(1) =
n
X
1
On peut ree rire
= ( 1)a l Da l (n;j (x))jx
l;j;n
n;j (x) = n!a
j (Rn (t))
Rest
=
j =0
j
=
6
n
x
2
=0:
ou
( x n)n ( x + n + 1)n
(j
( x)an
x)a :
+1
On a
n;n j (n x) = n!a
6
x
n (x 2n)n (x + 1)n
(x j )a :
2
(x n)an
(4.3)
+1
En appliquant l'identite ( )l = ( 1)l (
Po hhammer de (4.3), on obtient
n;n j (n x)
=
= (
n!a
6
n
1)na+1
l + 1)l aux trois symboles de
( 1)n ( x + n + 1)n ( 1)n ( x
2
( 1) n a ( x)an
n;j (x) :
x
(
n)n
+1)
+1
Don pour tout k 0,
k
k
n;n
j (n x) = ( 1)
( )
na+1 (k) (x)
n;j
+
En parti ulier, ave k = a l et x = j , on a
l;n j;n
= ( 1)a n
(
l
+1)+ +1
l;j;n
;
:
( 1)a (j
x)a
36
(5); (7); : : : ; (21)
CHAPITRE 4.
e qui implique la relation
Pl;n (1) = ( 1) n
(
a l
+1) + +1
Pl;n(1) :
Si (n + 1)a + l est pair, on en deduit que Pl;n(1) = 0.
Lemme 4.2. Pour tout l 2 f1; : : : ; ag on a
2dna l Pl;n (z ) 2 Z[z ℄
2dan P ;n (z ) 2 Z[z ℄
et
+2
0
ou dn = pp m(1; 2; : : : ; n).
Demonstration. On e rit Rn (t)(t + j )a = F (t) G(t) H (t)a I (t) ou
I (t) = t + n=2 et
(t n)n
(t + n + 1)n
n!
F (t) =
(t + j ) ; G(t) =
(t + j ) ; H (t) =
(t + j ) :
(t)n
(t)n
(t)n
De omposons F (t), G(t) et H (t) en fra tions partielles :
3
+1
fp =
+1
+1
n
n
X
X
j p
j p
p
fp ; G(t) = 1 +
gp ; H (t) =
hp
t+p
t
+
p
t
+
p
p
p
p=0
p6=j
=0
( p n)n
n
Y
=0
p6=j
( p + h)
p6=j
( 1)n (p + 1)n
=
= ( 1)n
( 1)pp!(n p)!
h=0
h6=p
gp =
et
6
n
X
j
F (t) = 1 +
ou
3
( p + n + 1)n
n
Y
( p + h)
p
n+p
n
( 1)p (2n p)!
2n p
=
= ( 1)p
n
(n p)!p!(n p)!
n
p
h=0
h6=p
hp =
n
Y
n!
( p + h)
( 1)p n!
n
=
= ( 1)p
p
p!(n p)!
2 Z:
h=0
h6=p
On a alors pour tout entier 0 :
(D F (t))jt
=
j = Æ ; +
0
n
X
p=0
p6=j
( 1)
j
p
f ;
(p j ) p
+1
2 Z;
n
p
2Z
4.2. DEMONSTRATION
DU THEOR
EME
4.1
(D G(t))jt
= Æ ; +
j
=
0
(D H (t))jt
=
j=
n
X
p=0
p6=j
( 1)
n
X
p=0
p6=j
( 1)
37
j
p
g ;
(p j ) p
+1
j
p
h
(p j ) p
+1
ave Æ ; = 1 si = 0, Æ ; = 0 si > 0. On a don montre que
0
0
dn(D F )jt
=
j
; dn(D G)jt
=
sont des entiers pour tout formule de Leibniz
Da l (R(t)(t + j )a ) =
X
2
N
j
et dn (D H )jt
j
=
. De plus, 2(D I )jt
j
=
2
Z.
Gr^a e a la
(D1 F )(D2 F )(D3 F )
(D4 G)(D5 G)(D6 G)(D7 H ) (Da H )(Da+1 I )
(ou la somme est sur les multi-indi es 2 N a tels que + +a = a l),
on en deduit alors que 2dna l l;j;n 2 Z . Les expressions (4.2) des polyn^omes
+1
1
+1
P ;n (z ) et Pl;n(z ) permettent de on lure.
0
4.2 Demonstration du Theoreme 4.1
Pour estimer Sn (1), nous suivons la demar he utilisee par [N℄ et [HP℄ qui
onsiste a exprimer Sn (1) a l'aide d'une integrale omplexe a laquelle on peut
appliquer la methode du ol, methode dont nous rappelons tout d'abord le
prin ipe (voir par exemple [C, pp. 91-94℄ ou [D, pp. 279-285℄).
Soit w une fon tion analytique au voisinage d'un point z . On appelle
hemin de des ente de Re(w) en z tout hemin du plan issu de z et le long
duquel Re(w(z )) est stri tement de roissante quand z s'eloigne de z . Les
hemins de plus grande des ente de Re(w) en z sont les hemins tels que
Re(w) a (lo alement) la de roissan e la plus rapide parmi tous les hemins
de des ente : il est en fait equivalent de demander que Im(w) soit onstante
le long de es hemins, 'est a dire que la phase de ew soit stationnaire.
Supposons w telle que w0 (z ) = 0 et w00 (z ) = jw00 (z )jei 0 6= 0. Notons
la dire tion d'une droite passant par z , 'est-a-dire = arg(z z )
ou z 2 . Il existe exa tement deux hemins de plus grande des ente de
0 et
Re(w) en z , dont les dire tions des tangentes en z sont = 0 : es dire tions ritiques sont opposees. Il peut s'averer diÆ ile
=
de determiner exa tement les hemins de plus grande des ente. On peut
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
+
2
2
38
CHAPITRE 4.
(5); (7); : : : ; (21)
s'a ran hir de e probleme en onsiderant n'importe quelle dire tion en z
telle que os( + 2) < 0 : au voisinage de z ,
1
w(z ) = w(z ) + w00 (z )(z z ) + O((z z ) )
2
et sur un hemin L dont les deux dire tions en z veri ent la ondition idessus, on a alors Re( w00 (z )(z z ) ) < 0 et Re(w) admet un maximum
lo al en z le long de L. Convenons de dire qu'un hemin L est admissible en
z si les deux dire tions en z veri ent os( + 2) < 0 et si Re(w(z )) est
le maximum global de Re(w) le long de L.
0
0
0
2
0
0
3
0
0
0
1
0
2
0
2
0
0
0
0
0
Lemme 4.3 (Methode du ol). Soit g et w deux fon tions analytiques dans
un ouvert simplement onnexe D du plan. Supposons qu'il existe z 2 D tel
que w0 (z ) = 0 et w00 (z ) = jw00(z )jei 0 6= 0. Si L est un hemin in lus dans
D et admissible en z , alors
0
0
0
0
0
s
Z
g (z )enw z dz g (z )
( )
L
2
ei 2
00
njw (z )j
(
0
20 ) enw(z0 )
0
(n ! +1)
(4.4)
ou le hoix de depend de l'orientation de L. De plus, ette estimation
est en ore valable si L est un hemin que l'on peut deformer en un hemin
admissible en z .
0
Nous appliquons maintenant ette methode a l'estimation asymptotique
de Sn (1). Considerons l'integrale omplexe
n
Jn (u) =
2i
Z
Rn (nz )
sin(nz )
L
3
enuz dz
ou u est un nombre omplexe tel que Re(u) 0 et jIm(u)j 3 , L est
une droite verti ale orientee de +i1 a i1 et ontenue dans la bande 0 <
Re(z ) < 1, e qui assure que l'integrale Jn (u) onverge.
Lemme 4.4. Dans es onditions, on a
i)
Jn(u) =
( 1)n n a
n!
2Zi 1 (nz )a
z+2
L
2
6
+3
ii)
(n nz + 1) (nz + 2n + 1) nuz
e dz :
(nz + n + 1)a
Sn (1) = Re (Jn (i )) :
3
3
+3
4.2. DEMONSTRATION
DU THEOR
EME
4.1
39
Demonstration. i) Comme ( )n = ( +n)= ( ) et (t n)n = ( 1)n (1 t)n,
on a
3
Rn (t) = ( 1)n n!a
6
3
n (1 t)n (t + n + 1)n
2
(t)an
n (n t + 1) (t + 2n + 1) (t)a
:
t+
2 (1 t) (t + n + 1) (t + n + 1)a
3
t+
3
+1
= ( 1)n n!a
3
6
3
3
De plus, la formule des omplements (t) (1
implique que
3
Rn (t)
= ( 1)n n!a
sin t
3
6
n (t)a
t+
2
+3
t) = = sin(t) (pour t 62 Z)
(n t + 1) (t + 2n + 1)
:
(t + n + 1)a
3
3
+3
On a don
Z
Rn (t)
sin(t)
L0
=(
1)n n!a
3
6
eut dt
Z L0
t+
n (t)a
2
+3
(n t + 1) (t + 2n + 1) ut
e dt
(t + n + 1)a
3
3
+3
ou L0 est une droite verti ale quel onque ontenue dans 0 < Re(t) < n. Le
hangement de variable t = nz et le theoreme de Cau hy justi ent que
Jn (u) =
( 1)n n a
n!
2Zi 1 (nz )a
z+2
L
2
6
+3
(n nz + 1) (nz + 2n + 1) nuz
e dz :
(nz + n + 1)a
3
3
+3
ii) Soit 2℄0; n[ et soit T 2 + Z tel que T > n + 1. Considerons le ontour
re tangulaire RT oriente dans le sens dire t, de sommets iT et T iT : la
fon tion F (t; u) = Rn (t)(= sin(t)) eut est meromorphe dans le demi-plan
Re(t) > 0 et ses p^oles sont les entiers k n + 1. En appliquant le theoreme
des residus, il de oule que
1
2
3
Z
T℄
X
1
F (t; u)dt =
Rest k (F (t; u)) :
2i RT
k n
[
=
=
+1
ou
+u
1
Rest k (F (t; u)) =
Rn (k)( eu )k + uRn0 (k)( eu )k + Rn00 ( eu )k :
2
2
2
=
2
40
CHAPITRE 4.
(5); (7); : : : ; (21)
Sur les trois ^otes [ iT; T iT ℄, [T iT; T + iT ℄ et [T + iT; + iT ℄, on a
Rn (t) = O(T ).
Sur [T iT; T + iT ℄, en posant t = T + iy , on a
2
sin(t) = ( 1)N osh(y )
et don j sin(t)j ejyj . Comme jeut j = e
1
u)T
u)y ,
Re(
Im(
2
Rn (t)
sin(t)
3
eut = O T e
2
on en deduit que
u)y+3jyj) u)T e
Re(
(Im(
=O T
2
puisque Re(u) 0 et jIm(u)j 3 .
iT; T
De faon similaire, sur les deux ^otes [
posant t = x iT ave x > 0, on a
2i sin(t) = eT eix
iT ℄ et [T + iT; + iT ℄, en
eT e
ix
et don j sin(t)j j sinh(T )j eT . Comme jeut j = e
deduit que
Rn (t)
sin(t)
Don
1
Jn (u) =
2i
=
=
Z
+1
X
3
eut = O T e
2
u)x e
Re(
u)x
Re(
u)T +3T ) (Im(
u)T ,
on en
Im(
=O T
2
:
Z
i1
1
F (t; u)dt = T !
lim
F (t; u)dt
1 2i RT
i1
+
+
Rest=k (F (t; u))
k=n+1
2
+1
X
+ u2
Rn (k)(
2
k=n+1
En parti ulier
Jn (i ) =
e u )k
1
+ uRn0 (k)( eu )k + Rn00 (k)( eu )k
2
+1
X
k=n+1
1
iR0 (k) + R00 (k)
n
2
n
et don Sn (1) = Re(Jn (i )).
Nous utilisons maintenant la formule de Stirling sous la forme suivante
r
(z ) =
2 z z
1+O
z e
1
jzj
:
4.2. DEMONSTRATION
DU THEOR
EME
4.1
41
p
ou jz j ! 1, jarg(z )j < et ou les fon tions z et z z = ez z sont de nies
ave la determination prin ipale du logarithme. Sur la droite L, les quantites
jnzj, jn nz +1j, jnz +2n +1j et jnz + n +1j sont equivalentes a des multiples
onstants de n, d'ou
Jn (i ) = i(
a
1)n+1 (2 ) 2
ave
1
n
2
a
2
1
g (z ) = z +
2
et
Z
log(
)
g (z )enw z dz 1 + O n
( )
L
p
p
1 z z+2
pz a pz + 1 a
3
1
(4.5)
3
+3
+3
w(z ) = (a + 3)z log(z ) (a + 3)(z + 1) log(z + 1)
+3(1 z ) log(1 z ) + 3(z + 2) log(z + 2) + iz ;
les di erentes fon tions ra ines et logarithmes de g et w etant de nouveau
de nies a l'aide de la determination prin ipale du logarithme. L'expression
(4.5) de Jn (i ) se pr^ete maintenant a une estimation par la methode du ol.
Dorenavant, nous supposons a = 20. Alors
w0 (z ) = 23 log(z ) 23 log(z + 1) + 3 log(z + 2) 3 log(1 z ) + i
et l'equation w0 (z ) = 0 possede une seule solution z veri ant 0 < Re(z ) < 1 :
0
z = x +iy
0
On a
0
0
0
0; 9922341203 i 0; 01200539829 :
w(z ) 22; 02001640 + i 3; 104408624
0
et
w00 (z ) 216; 7641546 e i :
:
Notons
l'argument de w00 (z ) ; on onstate que = =2 et = =2
veri ent os( + 2) < 0. Montrons que la droite L : Re(z ) = x est
admissible, 'est a dire que Re(w) admet un maximum global en z le long
de L. Posons f (y ) = yw (x + iy ) ; don
0 9471277165
0
0
0
0
0
0
Re(
)
0
f (y ) =
=
Im(w0 )(x + iy )
23 arg(x + iy ) + 23 arg(x + 1 + iy )
3 arg(x + 2 + iy ) + 3 arg(1 x iy ) :
0
0
0
0
0
42
CHAPITRE 4.
On a
lim1 f (y ) = 2 et
y!
Par ailleurs, arg(z ) = ar tan
df
=
dy
z
Re(z )
Im( )
(5); (7); : : : ; (21)
lim f (y ) = 4 :
y!+1
pour Re(z ) > 0, d'ou
23x
23(x + 1)
3(x + 2)
3(1 x )
+
x + y (x + 1) + y (x + 2) + y (1 x ) + y
N (y )
=
;
(x + y )((x + 1) + y )((x + 2) + y )((1 x ) + y )
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
ou l'on a note
N (t) = 14t + 2(7x + 7x + 44)t + 2( 7x 14x
+2( 7x 21x + 16x + 67x 9)x :
3
2
2
0
0
5
4
3
2
0
0
0
0
4
3
0
0
124x
117x + 37)t
2
0
0
0
On veri e que N (t) a une seule ra ine dans [ 0; +1 [. Don f (y ) ne s'annule que pour y = y . La fon tion y ! Re(w(x + iy )) est don stri tement roissante sur ℄ 1; y ℄, puis stri tement de roissante sur [ y ; +1[.
En onsequen e, la droite L : Re(z ) = x est admissible en z pour Re(w).
0
0
0
0
0
0
Lemme 4.5. On a :
Jn (i ) ( 1)n n enw z0
+1
8
(
(n ! +1)
)
0
p
ou
= g (z )(2 ) 2=jw00(z )je
d'entiers '(n) telle que
0
9
0
0
i 0 =2
6=
0. De plus, il existe une suite
lim jS' n (1)j =' n = eRe w z0 :
1
n!+1
(
(
)
(
(
))
)
Demonstration. L'estimation de Jn (i ) resulte de l'estimation generale
(4.4), appliquee a (4.5) et a la droite admissible L : Re(z ) = x . Pour montrer la derniere aÆrmation, notons = r ei et v = Im(w(z )), de sorte
que
0
0
0
0
Sn (1) = Re(Jn (i ))
= r( 1)n n en
+1
8
w(z0 )) (Re(u
Re(
n)
os(nv + ) Im(un) sin(nv + ))
0
0
ou un est une suite de nombres omplexes qui onverge vers 1. Remarquons
que v 3; 104 n'est pas un multiple entier de et don il existe une suite
d'entiers '(n) telle que os('(n)v + ) onverge vers une limite l 6= 0. On
en deduit que
0
0
lim (Re(u' n ) os('(n)v + ) Im(u' n ) sin('(n)v + )) = l 6= 0
n!+1
(
)
0
(
)
0
4.2. DEMONSTRATION
DU THEOR
EME
4.1
et don
lim jS' n (1)j =' n = e
1
n!+1
(
(
)
43
w(z0 ))
Re(
)
:
Demonstration du Theoreme 4.1. Posons p ;n = 2dn P ;n (1) et pl;n =
2l(2l 1)dn P l ;n (1) pour l 2 f2; : : : ; 10g. Le Lemme 4.2 implique que e
sont des entiers. De nissons egalement `n = 2dn Sn (1) : le Lemme 4.1 montre
que
22
0
22
2
0
1
22
`n = p ;n +
10
X
0
l=2
pl;n (2l + 1) :
En n, d'apres le Theoreme des nombres premiers, dn = en
4.5 montre que
lim j` j =' n e ; 2 ℄ 0; 1 [ ;
n! 1 ' n
o n) .
+ (
1
+
(
e qui prouve le Theoreme 4.1.
)
(
)
0 02
Le Lemme
44
CHAPITRE 4.
(5); (7); : : : ; (21)
Chapitre 5
Problemes et generalisations
5.1 Une onje ture et quelques onsequen es
Revenons plus en detail sur la serie de Ball mentionnee dans l'introdu tion
Bn = n!
2
A priori, on a
+1 X
k=1
k+
n (k
2
Bn =
1) (k n)(k + n + 1) (k + 2n)
:
k (k + 1) (k + n)
4
4
4
n (4) + n (3) + n (2) + Æn
ou n , n , n et Æn sont rationnels. Les m^emes arguments que eux developpes
aux hapitres 3 et 4 montrent que n = n = 0 et que dn n et dn Æn sont entiers
pour tout n 0. Ball a remarque (voir aussi la deuxieme preuve du Lemme
3 de [BR℄) que la onvergen e de Bn=n peut ^etre estimee elementairement.
E rivons Rn (k) = k a R~ n (k) ou
4
1
n (k
R~ n (k) = n! k +
2
n)n (k + n + 1)n
:
(k)n
2
4
Puisque R~ n (k) = 0 pour 0 k n, on voit fa ilement qu'il existe > 0 tel
que
max R~ n (k) = max R~n (k) :
k0
Notons Mn e maximum : omme
n+1k n
P
4
kn+1
k
< 1 et R~n (k) 0, on a
1
M Sn (1) Mn :
( n) n
4
45
ERALISATIONS
CHAPITRE 5. PROBLEMES
ET GEN
46
Il suÆt don de montrer que Mn=n onverge et de determiner la valeur de
ette limite. La formule de Stirling montre que pour n k n
1
k k (k + 2n)k nn n
R~ n (k) = n (k)
(k + n) k n (k n)k
5
+2
5( +
2
n
)
ou n (k) =n tend vers 1. Posons
1
x x (x + 2)x
F (x) =
(x + 1) x (x 1)x
5
+2
5( +1)
Alors
:
1
k
= n!
lim1 Mn=n :
x2 ;
n
De plus, on peut hoisir de telle sorte que max F~ (x) = max F~ (x).
x2 ;
x2 ; 1
Don
lim B =n = max F (x) :
n! 1 n
max F (x) = n!
lim1 max F
[1
+
℄
1
nk n
+
[1
1
℄
[1 +
x2[1;+1[
+
[
p
p
Un al ul montre que max F (x) = F (x ) ou x = ( 5 + 4 2 1) est
x2 ; 1
l'unique solution > 1 de l'equation x (x + 2) (x + 1) (x 1) = 0. On en
deduit que
lim B =n = n!
lim1 Mn=n 0; 029437262 :
n! 1 n
1
[1 +
0
[
0
2
5
1
5
1
+
+
La suite dnBn ne tend don pas vers 0 et on ne redemontre pas l'irrationalite
de (3). Pourtant des al uls numeriques montrent
que les nombres n sem n j
Pn
n
blent ^etre les nombres d'Apery an = j j n , e qui est surprenant
au vue de l'expression suivante :
4
2
2
+
=0
n=(
1)n
n 4 X
n + j 2n
n
j
j =0
0
n
1
BX
n+k
k=1
n
n
X
j
k=1
n
j
1
k+j
n
2
j
1
n
X
k=0
k6=j
k
4
j
+
1 C
:
n=2 j A
Le programme Ekhad de Zeilberger montre ependant que Bn veri e la
re urren e d'ordre 2 satisfaite par les nombres d'Apery :
1
(n + 1) un
3
+1
1 Ekhad
(34n + 51n + 27n + 5)un + n un = 0 :
3
2
3
1
est
un
programme
(pour
Maple)
de
re urren e
des
suites
hypergeometriques,
tele hargeable
http ://www.math.temple.edu/~zeilberg/programs.html
al ul
librement
de
a
5.1. CONJECTURE ET CONSEQUENCES
47
Puisque (3) est irrationnel, n veri e aussi ette re urren e. Comme = a
et = a , on a bien l'improbable identite n = an ! De faon similaire, on
prouve que Æn = bn et don que dn Æn 2 Z. S'il etait possible de montrer
ela elementairement et sans supposer l'irrationalite de (3), le probleme de
Nesterenko, rappele dans l'introdu tion, serait resolu.
Ce phenomene de denominateur < plus petit que prevu > semble ^etre
ommun a toute une lasse de series que nous allons de rire. Introduisons
pour ela les notations suivantes
0
1
0
1
3
Rn;a;b;r (t) =
n!a 2br
n (t rn)brn(t + n + 1)brn
t+
2
(t)an
+1
et
Sn;a;b;r;`(z ) =
+1
X
k=1
1 `
R
(k)z
`! n;a;b;r
( )
k
ou n, a, b, r, ` sont des entiers tels que n 0, r 1, a > 2br et ` 2 f0; : : : ; b
1g, e qui assure la onvergen e de la serie Sn;a;b;r;`(z ) pour tout z 2 C , jz j 1.
En reprenant les demonstrations des Lemmes 4.1 et 4.2, on montre qu'il existe
des polyn^omes P ;n;a;b;r;`(z ) et Pl;n;a;b;r (z ) (pour l 2 f1; : : : ; ag) tels que
0
Sn;a;b;r;`(z ) = P ;n;a;b;r;`(z ) +
a
X
0
l=1
(
1)`
`+l 1
Pl;n;a;b;r (z )Lil ` (1=z )
`
+
et tels que pour tout ` 2 f0; : : : ; b 1g et tout l 2 f1; : : : ; ag,
dna ` P ;n;a;b;r;`(z ) 2 Z[z ℄ et dna l Pl;n;a;b;r (z ) 2 Z[z ℄ :
+
0
De plus, P ;n;a;b;r (1) = 0 et en supposant a pair et b impair, pour tout l 2
pair, Pl;n;a;b;r (1) = 0. Par exemple, Bn = Sn; ; ; ; (1) et on retrouve bien
n = n = 0 et dn n , dn Æn 2 Z.
Nous avons vu i-dessus qu'en fait n , dn Æn sont deja des entiers : motives
par e resultat, des al uls ave Maple ont suggere que plus generalement les
denominateurs pouvaient ^etre ameliores pour z = 1.
1
4 1 1 0
4
3
Conje ture. Dans les onditions de la de nition de Sn;a;b;r;`(z ), si a est pair
et b impair, alors
2dan ` P ;n;a;b;r;`(1) 2 Z
et pour tout l impair de f3; : : : ; a 1g,
+
1
0
2dan
l
1
Pl;n;a;b;r (1) 2 Z :
ERALISATIONS
CHAPITRE 5. PROBLEMES
ET GEN
48
La demonstration de ette onje ture, outre une nouvelle preuve de l'irrationalite de (3) ave la serie de Ball, aurait omme onsequen e d'ameliorer le
theoreme 4.1. Ce theoreme a ete demontre a l'aide de la serie Sn; ; ; ; (1) ;
l'utilisation de la serie Sn; ; ; ; (1) prouverait l'irrationalite de l'un des huit
nombres (j ) ave j impair dans f5; : : : ; 19g.
20 3 1 2
18 3 1 2
5.2 Valeurs de la fon tion aux entiers impairs dans un intervalle
Ave les notations du paragraphe 5.1, onsiderons la serie
Sn (z ) = Sn;
;
+2
;r;
2
3
(z )
ou est impair, est pair et 1 2r( 2) < + 4. Pour tout entier n 0
le nombre reel 2dn
Sn (1) peut s'e rire omme une ombinaison lineaire a
oeÆ ients entiers de 1 et des (j ) pour j impair dans f ; : : : ; + g. En
xant , on peut her her le plus petit entier pair = ( ) tel que la suite
Sn(1) tend vers 0 : ela impliquerait alors l'existen e d'un irrationnel
2dn
(j ) ave j impair dans f ; : : : ; + g. Deux problemes se presentent :
+
+
1
1
1) majorer Sn (1) ;
2) montrer la non nullite de Sn (1), au moins pour une in nite d'entiers n.
La majoration de Sn (1) peut se faire elementairement. En e et
Rn;
(
3)
pour k rn et, pour k rn + 1,
jRn;
(
3)
;r (k ) =
;
+2
2
0
j (n; ; ; r)Rn;
;r (k )
;
+2
2
;
+2
;r (k )
;
=n
:
2
ou limn! 1 (n; ; ; r) =n = 1. Don
1
+
lim sup jSn(1)j =n lim sup Sn;
1
n!+1
n!+1
;r;0 (1)
1
;
+2
2
La derniere limite peut se majorer fa ilement, omme dans la demonstration
du Lemme 2.3 :
lim sup Sn;
n!+1
;
+2
;r;0 (1)
=n
1
2
1
r
+2
2(
r
2)
1
2+
r
(
r
2)
:
Des majorations plus nes peuvent ^etre obtenues par la methode utilisee au
paragraphe 5.1 pour estimer la onvergen e de Bn=n .
1
5.3. LIENS AVEC L'APPROXIMATION DE PADE
49
En revan he, m^eme si Sn (1) peut s'exprimer omme une somme d'integrales
omplexes ( f. hapitre 4 et [HP℄), la non nullite de ette serie n'est pas
immediate et reste un probleme ouvert. En l'admettant, on peut montrer
l'existen e d'une onstante expli ite > 1 telle que pour tout 3, l'intervalle [ ; ℄ ontient un entier impair j tel que (j ) 62 Q .
Par exemple, le hoix r = 3 et = 104 est tel que pour tout entier
impair 5,
e
+
1
1
r
+2
r
2(
2)
1
2+
r
(
r
2)
<1
et on peut don hoisir = 104. Un al ul plus n permettrait sans au un
doute d'ameliorer ette onstante.
5.3 Liens ave l'approximation de Pade
Nous avons vu dans l'introdu tion que les series utilisees par Nikishin
et Beukers apparaissent naturellement omme solution unique de problemes
d'approximants de Pade : nos series ont ete introduites en oubliant et aspe t, qui n'etait pas essentiel. Cependant, il est bien sous-ja ent, omme
le montre l'exemple suivant. Cher hons a determiner des polyn^omes An (z ),
Bn (z ), Cn (z ) et Dn (z ) de degre au plus n et deux series entieres en 1=z
Un (z ) = An (z )Li (1=z ) + Bn (z )Li (1=z ) + Cn (z )
2
1
et
Vn (z ) = z n An (1=z )Li (1=z ) z n Bn (1=z )Li (1=z ) + Dn (z )
ayant un ordre n + 1 en z = 1, ave Bn (1) = 0 : en suivant la demar he
de [Beu3℄, on peut montrer qu'a une onstante multipli ative pres
2
Un (z ) =
+1
X
(k
k=0
1
n)n (k + n + 1)n
z
(k)n
2
k
:
+1
On peut enon er des problemes d'approximations similaires a eux i-dessus
pour < motiver > les series introduites aux hapitres 2,3 et 4. Par exemple,
la serie Nn;a;r (z ) du hapitre 2 est solution du probleme suivant : les entiers
a et r tels que 1 r < a etant xes, determiner, pour tout l 2 f1; : : : ; ag,
des polyn^omes Pl;n (z ) de degre au plus n tels que l'ordre en z = 1 de la
fon tion
a
X
P ;n (z ) + Pl;n(z )Lil (1=z )
0
l=1
50
ERALISATIONS
CHAPITRE 5. PROBLEMES
ET GEN
soit au moins rn +1. Mais l'uni ite n'est en rien assuree : pour l'obtenir, il est
probable que des onditions supplementaires sur les polyn^omes des approximations doivent ^etre enon ees, omme dans [So2℄ et [So3℄. Les te hniques
d'Huttner [Hu℄ (en utilisant la monodromie des fon tions polylogarithmes)
pourraient egalement ^etre pertinentes dans e ontexte.
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