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Diagnostic des systèmes non linéaires - Contribution aux
méthodes de découplage
Cédric Join
To cite this version:
Cédric Join. Diagnostic des systèmes non linéaires - Contribution aux méthodes de découplage. Automatique / Robotique. Université Henri Poincaré - Nancy I, 2002. Français. �tel-00003393�
HAL Id: tel-00003393
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003393
Submitted on 18 Sep 2003
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fi (x(t))(ui (t) + wai (t)) + De (x(t))d(t)
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ẋ(t) = f0 (x(t)) +
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i=1
k=1
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ẋ(t) = f0 (x(t)) +
fi (x(t))ui (t) +
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y (t) = h(x(t))
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i=1
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S
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
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + D d(t)
x
ΣL :
yx (t) = Cx(t)
T A' B ' C
Dx
'
Dx
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x̃˙ (t) = A x̃ (t) + A x̃ (t) + B u(t) + D d(t)
1
11 1
12 2
1
x1
x̃˙ 2 (t) = A21 x̃1 (t) + A22 x̃2 (t) + B2 u(t)
x̃(t) = (x̃T1 (t) x̃T2 (t))T = Hx(t)
H
6 6
I)II(
)
! 2 )F)5) C
. x̃1 (t)
. 
y (t) = C x̃ (t) + C x̃ (t)
x1
11 1
12 2
yx2(t) = C2 x̃2 (t)
)
I)I (
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
x̃˙ (t) = (A − A C −1 C )x̃ (t) + B u(t) + A C −1 y (t)
2
22
21 11
12 2
2
21 11 x1
ΣLinsensible :
yx2 (t) = C2 x̃2 (t)
' 2
9 S (d(t)) <
(yx (t))
3 .2 I)I$(
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1
'
S (
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(d(t))
. 6 d(t)
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(x̃2 (t)) = n − s)
3
6
x̃2 (t)(
3 1 2 . ' S 2 6
. . 6 x̃1 (t) / . x̃2 (t) yx1(t)) 2
. I)I$( . 3
x̃˙ 2 (t) = A22 x̃2 (t) + B2 u(t) + A21 L(x̃T2 (t) yxT (t))T
0 ( )
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S .2
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d(t)'
6
yx1 (t)( ' 1 1 x̃1 (t)
−1
x̃1 (t) = L(x̃T2 (t) yxT (t))T = C11
(yx1 (t) − C12 x̃2 (t)))
6 L 0 I)IL(
( .
6)
0
6 1 . 6
' 2 6
6 I) ) )L( QMJR()
)))
,# ΣN L
2
)
- 3

ẋ(t) = f (x(t), u(t)) + D (x(t), u(t))d(t)
x
:
yx (t) = h(x(t))
I)IJ(
(d(t)) = s)
=
6
I)IJ( 3
6 ) / I)II(

x̃˙ (t) = f˜ (x̃ (t), x̃ (t), u(t)) + D̃ (x̃ (t), x̃ (t), u(t))d(t)
1
1 1
2
x1 1
2
x̃˙ 2 (t) = f˜2 (x̃1 (t), x̃2 (t), u(t))
x̃(t) = Φd (x(t), u(t)))
Φd (x(t), u(t)) I)IM(
1
. 7 . 3
∂Φd (x(t), u(t))
Dx (x(t), u(t)) = 0
∂x(t)
∀(x(t), u(t)))
.6 1 I)I#( 2
/ 2
/ .2
I)I#(
< + 2 )I()
. 0 x̃1 (t) Ψ(x̃2 (t), •) T •
. /
x̃˙ 2 (t))
' . 1 N ( .6 / L(x̃T
2 (t)
yxT (t))T ' . . )
' 0 . 7
d(t)
) 4 .6 x̃1 (t)
x̃2 (t)
1 / 2 2
. . 0 ) 2 )))
' /
/ . . 0 )
' . . / .
I)IJ( T d(t)
∈R
s
6
)
QMR) , . Q$#R' QJMR QM$R( . 1 /
m'
) "#$% &
,) - &)") +E
Q R' 7 Q$R .
x̃1 (t) /
.
1 / . ) 5 s ( {Dx }) = s, ∀(x(t), u(t)))
! i ' ($ ) ) * ρi i = {1, · · · , p} ! ρi = min k ∈ N | ∃j ∈ {1, · · · , m} : Lfj Lkf0 hi (x(t)) = 0, ∀x(t) ∈ V
!" # ) ) ρi → +∞ Lfj Lkf0 hi ≡ 0 j = 1, · · · , m k ≥ 0 + L
& , ! ,#
5.
' : 6 . , 1 / 7 I)L' 7 ρi
i
)
7 ! dj
) * ρmi i = 1, · · · , p ! (k)
∂y (t)
dj
= 0, ∀x(t) ∈ V
ρmi = min k ∈ N | ∃ xi
∂dj (t)
(k)
) yxi (t) ) k i dj
ρmi
(.
5 =
. → +∞ 6
dj (t)
(k)
∂yxi (t)
∂dj (t)
d
j
ρmi
7 ∀k ∈ {1, · · · , s}
' i
) & d
ρmj
dj
I)IK(
I)IJ(
d(t) = (d1 (t) · · · dk (t) · · · ds (t))T
/ ' )))
6
5 &
/
/
i (ρmi )
/ . .= / . s
. = d(t))
' )
3
dk1(t) dj
k1 = minj (ρm ) < +∞() < k1 yxdk1 (t) yx (t))
7 (dk (t)) = 1)
6 d(t)' . / . . ) 6 ) ! 7 3
ρdmj =
dj (t) )
≡ 0 k ≥ 0
. )
) &
I)IJ( 3
ΣN L

ẋ(t) = f (x(t), u(t)) + D (x(t), u(t))d (t) + D (x(t), u(t))d (t)
xdk1
k1
xdk1
k1
:
yx (t) = h(x(t))
I)I (
dk1(t) = d1 (t) · · · dk1−1 (t) dk1+1 (t) · · · ds (t)
T
Dxdk1 (x(t), u(t))
)
1 φdk1 (x(t), u(t))
5. Q$#R' 0 7 

3

yxdk1 (t)

 
))

∂ 
)
 = n, ∀(x(t), u(t))


i( 6  ∂x 
dk1

(ρm −1)
  yxdk1
(t) 
φdk1 (x(t), u(t))
ii( dt φdk1 (x(t), u(t)) d
ρdmk1
7 I)IK( T
4 



x̃1 (t) = Φdk1 (x(t), u(t)) = 



=
ρdmk1
yxdk1 (t)
ΣN
L


x̃1 (t) = Φdk1 (x(t), u(t))
x̃1p1 (t)
 
))
 
)
 
dk1


1
(ρ
−1)
=  x̃ dk1 (t)
yxdmk1
(t) 
pρm
 


−
−
−−−
−−−−−  
x̃1φd (t)
φdk1 (x(t), u(t))
k1
))
)
1
2 7 ) () .
3

 


x̃1p (t)

 

= −−−−− 


x̃1φd (t)

k1
I) (
< +∞)
& 7 ' 1
j = k1()
7 1

(x̃1p (t))
dk1 (t)
. . 2 D D)M( 3



x̃˙ 1p1 (t) = x̃1p2 (t)






x̃˙ 1p2 (t) = x̃1p3 (t)



))



)





(t) = x̃1 dk1 (t)
x̃˙ 1 d


pρm
 pρmk1 −1
d
dk1
ρmk1
1
˙
: x̃ dk1 (t) = Lf h(x(t)) + LDxd Lfρm −1 h(x(t))dk1 (t) + O(dk1(t))
k1

pρ

 m


− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−






x̃˙ 1 (t) = dtd φdk1 (x(t), u(t))

 φdk1








yx (t) = h ◦ Φ−1 (x̃1 (t), u(t))
I) I(
!" # T
O(dk1 (t))
1 .6 . 1 ' . ' .
/ 1
dk1(t))
N Lréduit
x(t)' u(t) d(t))
1
x̃ (t)' u(t)' u̇(t) dk1 (t))
I) I( / x̃1p (t)
V / dt φdk1 (x(t), u(t))' d
/ . I)II() ,
dk1(t))
' . 1W ' / ' . Σ1
.2 I) I( /
. 3

x̃˙ 1 (t) = f (x̃1 (t), x̃1 (t), u(t), u̇(t)) + D (x̃1 (t), x̃1 (t), u(t))d (t)
dk1
xdk1
k1
p
p
φdk1
φdk1
φdk1
:
yxd (t) = hd (x̃1 , u(t))
k1
k1
I)
yxdk1 (t)
. yxdk1 (t)
3
yxdk1 (t) = yx1 (t) · · · yxdk1 −1 (t) yxdk1 +1 (t) · · · yxp (t)
x̃1p (t)
(
T
I) $(
yxdk1 (t) ρdmk1 − 1 )
7 2 1 fdk1 (•) Dxdk1 (•) / 2 1 f˜dk1 (x̃1φd (t), u(t), u̇(t)) D̃xdk1 (x̃1φd (t), u(t)) . 7 7 k1
k1
/ . . 0 ' . / 3
fdk1 (x̃1p (t), x̃φdk1 (t), u(t), u̇(t)) =f˜dk1 (x̃1φd (t), u(t), u̇(t))
k1
dk1
(ρ
+ Ψ̃fdk1 (yxdk1 (t), · · · , yxdmk1
−1)
(t), x̃1φd (t), u(t), u̇(t))
k1
⇓
I) L(
Ψ̃fdk1 (•) = fdk1 (•) − f˜dk1 (•)
Dxdk1 (x̃1p (t), x̃φdk1 (t), u(t)) =D̃xdk1 (x̃1φd (t), u(t))
k1
dk1
(ρ
+ Ψ̃Dxdk1 (yxdk1 (t), · · · , yxdmk1
−1)
(t), x̃1φd (t), u(t))
k1
⇓
I) J(
Ψ̃Dxdk1 (•) = Dxdk1 (•) − D̃xdk1 (•)
& ' 2 6 . Σ1
N Lréduit


x̃˙ 1φd (t) =


1




















y
. I) L( I) J() ' 3
:
0 7
I)
( 0 f˜dk1 (x̃1φd (t), u(t), u̇(t))
k1
d
(ρ k1 −1)
, yxdmk1
(t), x̃φdk1 (t), u(t), u̇(t))
+ Ψ̃fdk1 (yxdk1 (t), · · ·
+ D̃xdk1 (x̃1φd (t), u(t))dk1(t)
k1
dk1
(ρ
+Ψ̃Dxdk1 (yxdk1 (t), · · · , yxdmk1
xdk1 (t)
= hdk1 (x̃1 (t), u(t))
−1)
(t), x̃1φd (t), u(t))dk1(t)
k1
I) M(
4 :
1 . . . I)I$() , ' 6 .
6 ( 6 I) ) )I) 6
. .) V ' ,7' .2
. )
/ 6P 2 O
. 0 ()
i
3
(i − 1)
Σi−1
N Lréduit
d(t)
./ ' s − i + 1 ) &
dj
7 ki = minj (ρm ) < +∞( / yxdki (t))
. ' .
6 



i
x̃ (t) = Φdki (x(t), u(t)) = 



(i − 1)
.2 I) (' 
3
4 I) #(
dki−1
6) i
. 3

i−1

x̃˙ i−1 (t) = fdki−1 (x̃i−1

p (t), x̃φdki−1 (t), u(t), u̇(t))

 φdki−1
i−1
:
+Dxdki−1 (x̃i−1
p (t), x̃φdki−1 (t), u(t))dki−1 (t)



y
(t) = h
(x̃i−1 (t), u(t))
xdki−1
6 . . ' . 7
))
)
dki
−1)
yxdmki
(t)
−−−−−
φdki (x(t), u(t))
. 1

yxdki (t)
(ρ
dki−1 (t)








I) K(
/ I) #( 3
Σi
N Lréduit



x̃˙ i (t) = fdki (x̃ip (t), x̃iφd (t), u(t), u̇(t))

 φdki
ki
:
+Dxdki (x̃ip (t), x̃iφd (t), u(t))dki(t)

ki


yxd (t) = hd (x̃i (t), u(t))
ki
. = . 7 I)
(
ki
. / . . 0 ' I) L( I) J((' 2
()
I)
x̃ip (t) !" # & ) 5
(
6 T ΣN Linsensible
d(t)
2 ' {Dx }) 3
(
' {Dx })
= s(
1 s s
n−
ρdmki ≥
i=1
/
d(t)

x̃˙ φ (t) = f˜d (x̃φ (t), U(t)) + Ψ̃f (Yx (t), x̃φ (t), U(t))
s
ds
ds
ds
ds
:
y (t) = h (x̃(t))
xds
Yx (t) U(t) (ρdmi − 1) 1, · · · , s( u(t))
(d(t)) = 1 . 0 / 3
T
(ρd −1)
Ψ̃• (yxd(t), · · · , yxdm
.0 I)$(
ds
. . 0 ) yxdi (t) i ∈
(t), x̃φd (t), u(t))
I)$I(
2 )
7 )
6 1 6) & ' . 6
)))
. ' . 6
.
d(t)( M' . . 2 7 6
/ d(t))
ΣN L :
)
) 4 Q$KR( )
) 4 2 6 / .2 . 0 ) 5.
/ .2 . 1 1 2 2 %) %
' ) 1 0 1 QI$R' QILR' QI#R( 5 ' / 2 ) 5 &
6
)
. 6 . / 1
2 QMJR QJIR
1
6' Q$$R' Q$LR Q$JR()
3

m


ẋ(t) = f0 (x(t)) +
fi (x(t))ui (t) + Dx (x(t))d(t)


yx (t) = h(x(t))
i=1
I)$ (
x(t) ∈ Rn ' u(t) ∈ Rm ' d(t)
( {Dx }) = s < p, ∀x(t))
∈ Rs
.6 . / . .
h(x(t))
. .(
) ' / . {Dx }
m
k=0
)M('
2 7 S
I)$$(
Dx
[fk , S i ∩ E{dh}]
2 3
2 D(' 0 . Dx
Dx

=
S
S

i +
i+1

[ , ] . 
Dx


 S0 =
T
∈ Rp
∀i ∈ {0, · · · , m}'
fi ( {Dx }) 4
' yx (t)
S )I( dh 0 2 )I()
! .= / 3
Dx
Si
. . 6 Dx
Dx
= Si+1
⇒ S∗Dx = S i
(
{Si
Dx
}) = n('
) . .
I)$L(
. S∗Dx
. .
.)
1' ' 1
' . ()

Dx


{dh}
 Q0 = Θ ∩ m
Dx

Lfk Qi +

 Qi+1 = Θ ∩
3
I)$J(
{dh}
k=0
& 5
' . QILR)
' I)$$() . S∗Dx ' , ' 6 ) 5 &
Ψ(x(t), u(t), yx (t)))
Dx
Si
?
∩ E{dh})
/ .2
. 0 )
) 4 0 9' . 0 @ ? yx (t)@' . !" # .2 .
(S∗Dx )⊥
. 6 / S∗Dx
, ' '
(S∗Dx )⊥
Φ(x(t))'
. = {0}'
.= / = {0})
6 / 1 6 ' = .
$()
' I)$ ( 1
6
x̃(t) =
3

m


˜
˙

x̃
(t)
=
f
(x̃
(t),
x̃
(t))
+
f˜i,1 (x̃1 (t), x̃2 (t))ui (t) + D̃x (x̃1 (t), x̃2 (t))d(t)
1
0,1 1
2




i=1


m 


˜
 x̃˙ 2 (t) = f˜0,2 (x̃1 (t), x̃2 (t)) − Ψ̃0 (x̃2 (t), yx (t)) +
fi,2 (x̃1 (t), x̃2 (t)) − Ψ̃i (x̃2 (t), yx (t)) ui (t)













+ Ψ̃0 (x̃2 (t), yx (t)) +
m
i=1
Ψ̃i (x̃2 (t), yx (t))ui(t)
i=1
yx (t) =h̃(x̃1 (t), x̃2 (t))
T
Ψ̃0 (x̃2 (t), yx (t))+
m
I)$M(
Ψ̃i (x̃2 (t), yx (t))ui(t) = Ψ̃((x̃2 (t), u(t), yx (t))) . 0 i=1
' 2
D D)M() > . = . 0 1 .6 3
f˜i,2 (x̃1 (t), x̃2 (t)) − Ψ̃i (x̃2 (t), yx (t)) = f˘i,2 (x̃2 (t)), ∀i ∈ {0, · · · , m}
. / ./ . . 0 ' 2
7 . ' I)$#(
. . / 2
2
x̃˙ 2 (t)
x̃1 (t))
I)$M( 3

m


˜
˙

x̃1 (t) =f0,1 (x̃1 (t), x̃2 (t)) +
f˜i,1 (x̃1 (t), x̃2 (t))ui (t) + D̃x (x̃1 (t), x̃2 (t))d(t)




i=1

m
m
˘
˘
˙

Ψ̃i (x̃2 (t), yx (t))ui (t)
fi,2 (x̃2 (t))ui (t) + Ψ̃0 (x̃2 (t), yx (t)) +
x̃2 (t) =f0,2 (x̃2 (t)) +



i=1
i=1



 y (t) =h̃(x̃ (t), x̃ (t))
x
1
2
I)$K(
0
' . 0 6
/ x̃(t) = Φ(x(t)) (S∗Dx )⊥ ) 0 2 . 7 ) , '
∂φ(x(t))
∂x(t) 7
Φ(x(t))
. 
2 7 ) ( 3
∂φ(x(t))
∂x(t)

∂Φ(x(t)) 

=  −−−−− 
∂x(t)
D ⊥ T
(S∗ x )
T
x̃2 (t)
(S∗Dx )⊥ )
. 1 / I)$ (
2
6 6
' . )
)))
d(t)
$ .2 . 7 . . I / . ) . / ) / 6 , /
2
)
! . 0 6 . (0)
(ρd −1)
Ψ̃(x̃2 (t), u(t), u̇(t), yxd (t), · · · , yxdm
6
.
n − ρdm ≤ (
3
(t))
I)L(
3
. / d(t)) ≤ n − 1
I)LI(
, / -! 6 . . . / . .
0 1
3
Ψ̃(x̃2 (t), u(t), yx(t))
0≤
I)L (
. / 3
((S∗Dx )⊥ ) = (
. / d(t)) ≤ n − 1
I)L$(
T 1 . 6 1
. E{dh})
'
/
0
. / . . d(t)
0 I)L( I)L (( !" # ) , ' 6
.
. / ()
) 5
/ : 6 I)LI( I)L$( )$)
)$)$(' . / )
. 0 / . . . / / 6 )
! 6
4 0 1 )
' 6 ' . . 1 )
4 2 S 2 6 ) & ' 3
7
QKR' 7 X
/ . / 2 QJ$R' QM#R'
Q R' QMIR' QMMR) 6 / . . . . . )
S 7 Q M' #R' Q$$' $JR' QILR' Q$IR' QLJR QLR' / . 6
( S QL#R'
. )
1 6 . .)
S Q KR' QM R) 4
.6 . 7 6 6
. 6 )
! 2
. . ) .2
7 (
' . 7 ' / I)LL(' z̃2 (t)
(S∗Dx )⊥ 7 I)$ ()
ΣF N L :
z(t)



ż(t) =







f0 (z(t)) +
m
fi (z(t))ui (t)
i=1
+ {Ψ0 (z̃2 (t), yz (t)) − Ψ0 (z̃2 (t), yx (t))}
m
{Ψi (z̃2 (t), yz (t)) − Ψi (z̃2 (t), yx (t))} ui(t)
+
I)LL(







i=1



yz (t) = h(z(t))
. ' . 6 1 6 yz (t)( yx (t)( 3
r(t) = χ ◦ h(yx (t)) − χ ◦ h(yz (t))
5 1 ' (r(t)) ≥
(w(t))(
I)LJ(
1 ) & / 6 ' < 2
i( 6
ii( 3
i(
1 : 3 1
= 2 / 2'
ii( 1
: =
3 1 )
1 .0 2 2 )
7 6 ' 2 / 6 3
S . 7' 6 . 2 S 7
2 1 ( '
' 7
2 1 ) >
. '
7 Q
R 6 QI R( I)$) )
6 ) . . . 7 . 7 =
. 1 ()
! & 1 '
6 7 2
1
. . ' / . .
( 6 - ' +)&))-) 6 () 6 QLKR() , ' .2 Q$JR QI#R() +
&
' 1 .0 Q#R' QL$R' QMLR( 2 2
r(t)
1 QJ R !$ XX
XXX
" XX
XXX
XXX
/ X
1
w1 (t)
w2 (t)
···
wq (t)
r1 (t)
···
r2 (t)
···
))
)
))
)
))
)
))
)
))
))
)
rq (t)
···
I)I3 > 6 
r1 (t)
 )
 ))


r(t) =  ri (t)
 )
 ))

rq (t)
q=
1

⇐=




⇐=




⇐=
)
6 +)&))-)
3
1
w1 (t)
1
wi (t)
1
wq (t)
I)LM(
(w(t)))
.2 . 7
. 0/ I)LM( < .
$'
) &
) I)I 6 >
' 6 ) +)&))-) I)LM()
1 7 = .2
' QMR()
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7 . 2 1 ' QI$R() , ' 6 ?1 @
5 1 ) ' ' )))
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/ 7 ) ' 7
. 7 )
" QJKR QJ R(' ' 6 . . ) $
. 6 ) 6 6 6 7 ( () ,
.
. 7
3
S 7 3
ΣF L

ż(t) = Az(t) + Bu(t) + L(y (t) − y (t))
z
x
:
yz (t) = Cz(t)
I)L#(
S 7 3
ΣF N L :
T
L(•)
5



ż(t) =


















f0 (z(t)) +
fi (z(t))ui (t)
i=1
+ {Ψ0 (z(t), yz (t)) − Ψ0 (z(t), yx (t))}
m
{Ψi (z(t), yz (t)) − Ψi (z(t), yx (t))} ui (t)
+
yz (t) = h(z(t))
' 0 )
/ . 1 ' 6 . . ' 6
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7
. )))
/
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0# 6
)
3 5 9 3 7 7 ) , ' 1 ' 1 . i
/ 1 ρw
m
' ( ) Q$R' QMJR Q #R' Q$KR) & I)LK(
i=1
Ψi (•) i = {0, · · · , m}(
6
m
5)9) )' 76 I) ()
. 1 ' 6 . / 1
3 . 1 ) . )
1 )
. ./ 1 !$ 1
u(t)
w(t)
1
/ w1 (t)
7
7
I)
0
'
3
∀(λ, i)
r1 (t)
rq (t)
3 1
:
A − λI
=n
Ci
I)L (
T
C = C1T · · · CiT · · · CpT )
)))
< / 1 3
yx (t)
. q
/ wq (t)
3
0# 7 9 1
u(t)
)9) )' 76 I)$()
w(t)
7
I)$3
/
. yx (t)
r(t)
7
3 ) 4 / .=
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3
1
2 0# i
:
3 - Y 9 u(t)
1
3 A − λI
=n
Ci
-)9) )' 76 I)L()
w(t)
1
/
7
3
q
yx (t)
r1 (t)
rq (t)
w1 (t)
q
/
I)L3
I)J(
7
/
3
∀(λ)
2 )
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1 / 7
. wq (t)
. 6 ' .2 / 1)
&-! 3
1 :' . / 1 . .
. / 1)
0
'
1 / 7 ∀(λ, i)
1
:
3 2 2 3
A − λI
=n
C̄i
I)JI(
!% &
T
T
T
Ci+1
· · · CpT )
C̄i = C1T · · · Ci−1
5 ' 2 1 6 . . 2 5 ' / . 6 6 )
2 O
6 / )
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1 6 )
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)
2 / 2)
2 / ,) - ' ) 5 &
7
0 = 2
)
) 4 ' ) 7 1 . ' .2
+- 5 2
3


ẋ1 (t) = −x1 (t) + u1(t) + d(t)





ẋ2 (t) = x1 (t) − x2 (t)




ẋ (t) = x (t) − x (t) + x (t) + u (t)
3
2
3
4
2
ΣL :


ẋ4 (t) = −x3 (t)





yx1(t) = x3 (t)





yx2(t) = x4 (t)
T
Dx = 1 0 0 0
I)J (
T
)
7 . 1
1 2 6 / )
)F)5)
" 3
D 1 0 0 0
I)II((' C11
/ . Dx1 =
I)I ( ) 4 . )
. / / . 6 / L)
0
5 d(t)
T
2
6 I) ) )$ 6
" CDx = 0)
6 I) ) )L()
3
2 I)IK(() ' ρdm = ρdm1 = 3 7
I) ( / . 3
 

(0)
x3 (t)
yx1 (t)

 y (1) (t)  
x2 (t) − x3 (t) + x4 (t) + u2(t)
 


x1
=
x̃(t) = Φd (x(t), u(t)) = 
 

(2)
(1)


 yx1
(t)
x1 (t) − 2x2 (t) − x4 (t) − u2 (t) + u2 (t)
φ(x(t), u(t))
x4 (t)

I)J$(
!% &
5 I)J ( . 3


x̃˙ 1 (t) = x̃2 (t)





x̃˙ 2 (t) = x̃3 (t)




x̃˙ (t) = −3x̃ (t) − 4x̃ (t) − 3x̃ (t) + x̃ (t) + u (t) + u (t) + 2u(1) (t) + u(2) (t) + d(t)
3
1
2
3
4
1
2
2
2
ΣL :


x̃˙ 4 (t) = −x̃1 (t)





yx1 (t) = x̃1 (t)





yx2 (t) = x̃4 (t)
I)JL(
Σ
FL
7 3


z̃˙1 (t) = z̃2 (t)






z̃˙2 (t) = z̃3 (t)




z̃˙ (t) = −3z̃ (t) − 4z̃ (t) − 3z̃ (t) + z̃ (t) + u (t) + u (t) + 2u(1) (t) + u(2) (t)
3
1
2
3
4
1
2
2
2
:

z̃˙4 (t) = −yx1 (t)





yz1 (t) = z̃1 (t)





yz2 (t) = z̃4 (t)
I)JJ(
. 0 (0)
(1)
(2)
Ψ̃(x̃4 (t), u(t), u(1) (t), yx1 (t), yx1 (t), yx1 (t)) = 0 0 0 −yx1 (t)
. z̃4 (t) / d(t))
T
I)L(() . / 6 / I . 6 / $)
" 6
3
' .
/ 1 S∗Dx I)$L(( 7 3
S∗Dx
     
1 
−1
1





0  1  −2
     
=   ,   ,  

0  0   1 






0
0
0
/ 7 ' 6
I)JM(
I)$ ( 1 3

1
0 0

∂Φ(x(t)) −1 1 0
=
∂x(t)
 1 −2 1
0
0 0

0
0


0
1
I)J#(
5 I)J ( . 3


x̃˙ 1 (t) = −x̃1 (t) + u1 (t) + d(t)






x̃˙ 2 (t) = x̃1 (t) − x̃2 (t) − u1 (t)




x̃˙ (t) = −x̃ (t) + x̃ (t) − x̃ (t) + x̃ (t) + u (t) + u (t)
3
1
2
3
4
1
2
ΣL :


x̃˙ 4 (t) = −x̃1 (t) − 2x̃2 (t) − x̃3 (t)





yx1 (t) = x̃1 (t) + 2x̃2 (t) + x̃3 (t)





yx2 (t) = x̃4 (t)
. . 0 Ψ̃(x̃4 (t), u(t), yx(t)) =
0 0 0 −yx1 (t)
T
I)L (('
7 3
Σ
FL


z̃˙1 (t) = −z̃1 (t) + u1 (t)






z̃˙2 (t) = z̃1 (t) − z̃2 (t) − u1 (t)




z̃˙ (t) = −z̃ (t) + z̃ (t) − z̃ (t) + z̃ (t) + u (t) + u (t)
3
1
2
3
4
1
2
:

z̃˙4 (t) = −yz1 (t)





yz1 (t) = z̃1 (t) + 2z̃2 (t) + z̃3 (t)





yz2 (t) = z̃4 (t)
' . I)JK(
z̃4 (t)
I)J (
/ )
. / 6 / I . 6 / $)
0
. 6
9' / . . ' 6
(
/ )
7 )
& 3
3
(2)
(1)
(1)
x1 (t) = y1 (t) + 2y1 (t) + 2y1 (t) − y2 (t) − u2 (t) − u2 (t)
I)M(
!% &
7 ΣF L :
T
3
2
3
4
2


ż4 (t) = −z3 (t)





yz1 (t) = z3 (t)





yz2 (t) = z4 (t)
(2)
(1)
(1)
y1 (t) + 2y1 (t) + 2y1 (t) − y2 (t) − u2 (t) − u2 (t)
7 .6 .
z3 (t)
I)L ( 3


ż1 (t) = −z1 (t) + u1(t)




(2)
(1)
(1)


ż2 (t) = y1 (t) + 2y1 (t) + 2y1 (t) − y2 (t) − u2 (t) − u2 (t) − z2 (t)




ż (t) = z (t) − z (t) + z (t) + u (t)
I)MI(
. 0 )
x2 (t)' x3 (t) x4 (t) z2 (t)'
2 z4 (t))
. / 6 / $ . 6 / I)
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1
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∀(x(t), t))
' 5 =
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. 2 < )
. ,
. 6 ) 4 ' )
' '
7 I)L) '
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z(t)
2
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1 2) 6 .)
1' 1 . . 1 /
' 6
2
( ) 7' ' .
.
< 1
2' ) ,7' )
!
5 ' 1 6 )I( / . . 7 ) (()
ΣN L :

m


ẋ(t) = f0 (x(t)) +
fi (x(t))ui (t) + Dx (x(t))d(t)


yx (t) = h(x(t))
i=1
)I(
" '
T
x(t) ∈ Rn ' u(t) ∈ Rm ' d(t) ∈ Rs yx (t) ∈ Rp )

m


ż(t) = f0 (z(t) +
fi (z(t))ui (t) + Ψ(•x (t), •z (t), •u (t))
ΣF N L :
i=1


yz (t) = h(z(t))
z(t) . ) / . x(t) Ψ(•x (t), •z (t), •u (t)) . 0 •x (t)' •z (t) •u (t) ' . 7 2 yx (t)('
) (
)
('
()
2 . 0 1 .0 1
/ 7 / =
. ) 1
' . 6 ' 7 )
. = . 0 7 7 . z̃2 (t)( z̃(t) = Φ(z(t))(
/ d(t) 3
0 1 
m


˜
˙
 z̃1 (t) =f0,1 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
f˜i,1 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui (t) + Ψ̃1 (•x (t), •z (t), •u (t))




i=1

m
Σ
:
F N L  z̃˙ (t) =f˜ (z̃ (t), z̃ (t)) +
f˜i,2 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui (t) + Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t))
2
0,2 1
2



i=1



 y (t) =h̃(z̃ (t), z̃ (t))
z
1
2
)$(
3
f˜0,2 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
m
f˜i,2 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui (t) + Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t)) = x̃˙ 2 (t), ∀(d(t), u(t), t)
i=1
)L(
T
x̃2 (t)
. , . 2
' . 0 Ψ(•x (t), •z (t), •u (t))
. . . ) 2
. 6
6 . . = z̃1 (t)
' 1 /
z̃2 (t)
I)$$( 2
6 . .) > < . 6 ) ) / / . . 6
)
d(t)
(
. z̃1 (t) z̃2 (t) = . {0})
"!" ( ! ) " #
1
) 5 &
6
' ) 4 QI$R' QILR' QIMR QI#R / )
& % '
. . 0 3
Ψ̃1 (•x (t), •z (t), •u (t)) = 0
)J(
Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yx(t)) − Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yz (t))
5 ' . 
Dx


 S0 =
7 I)$$(( 3
{Dx }
Dx
Dx


 Si+1 = S i +
m
)M(
Dx
[fk , S i ∩ E{dh}]
k=0
.= 3
Dx
Si
52 Dx
Dx
= Si+1
⇒ S∗Dx = S i
7 )#(
S∗Dx )
7 . / d(t)'
2 . 0 7 )J()
.2 (S∗Dx )⊥ . z̃2 (t)
/ . )$(
' {0})
' . 6
& '
(S∗Dx )⊥
6
. / )
/ . . 2
. / )
/
" '
() '
ΣN L
T
Q JR( 3



 

x
0
0
(t)x
(t)
1
4






 

x (t)(1 − x (t)) 0



0  u1 (t) + d1 (t)
4
 3

 


ẋ(t) = 


+






0

 0 x1 (t) u2 (t) + d2 (t)
:

1
0
0








x (t)


 1 

y
(t)
=
x


x2 (t)
x(t) ∈ R4 ' u(t) ∈ R2 ' yx (t) ∈ R2
d(t) ∈ R2
)K(
' '
)
6 . . / 3
(Dx1
d1 (t)


0
0
0
0 


Dx2 ) d(t) = 
 d(t)
0 x1 (t)
1
0
'
S∗Dx1
7 ) (
3
1 S0Dx1
&
.  
0 




0

 
= {Dx1 } =  

 

 0 



1
I 0
' )I(
S̄0Dx1 = S0Dx1 )
S̄0Dx1 ∩ E{dh} = S̄0Dx1
   
0
0 




0 0

   
E{dh} =   ,  

1 0






0
1
)II(
"!" ( ! ) 
S1Dx1
  
       
x1 (t)x4 (t)
0
0
0
0
0
x (t)(1 − x (t)) 0 0 0  0  0
 3
  
       
4
= S̄0Dx1 + 
 ,  
 ,   +   ,   + 













0
0
0
0
x1 (t) 0
0
1
0
1
1
1

 
 

−x1 (t) 
0 
0 












 x (t) 
0
0



 3
 
 

Dx1
= S̄0 + 
 +   +  



 0 
0
0


















0
0
0
  

−x
0
(t)


1




0  x (t) 
   3

=   , 


0  0 






1
0
)I (
  

−x1 (t)
0
0  x (t) 
   3

  , 
 =
0  0 
1
0
 
0 





0
 
 

0






0
)I$(
S̄1Dx1 = S1Dx1 )
2 S̄1Dx1 ∩ E{dh} = S̄0Dx1
&
)IL(
' 3
S2Dx1 = S1Dx1 ⇒ S∗Dx1 = S2Dx1
S∗Dx1
5.
'
S∗Dx2
S∗Dx2
  

0
−x1 (t) 





0  x (t) 
   3

=   , 


0  0 






1
0
)IJ(
7 3

 

0
0





 0  −x (t)(1 − x (t))


  1

4
= 
,


x1 (t) 

x1 (t)x4 (t)






0
0
. )IJ( )IM(( )I#( . ' 0
)IK((
)IM(
6
" '
' / d1 (t)
d2 (t)()
  

x3 (t) 
0





0 x (t)
   1 
(S∗Dx1 )⊥ =   , 


1  0 






0
0
)I#(
   
1
0 





0 0
   
Dx2 ⊥
(S∗ ) =   ,  
0 0






0
1
, )I#( . z̃2 (t) )$() T
(x̃T1 (t) x̃T2 (t))T = ΦT1 (x(t)) ΦT2 (x(t)) = T
Dx1 ⊥
{dΦ1 } = S∗Dx1 {dΦT
) ) 5
2 } = (S∗
d1 (t) = 0' {dΦ1 } = S∗Dx2 z̃2 (t)
.2 . 7 < )IK(
)IK((' 2 7
.
z̃2 (t) = ' . x̃2 (t) =
{dΦ2 } = (S∗Dx2 )⊥ )
7 x̃2 (t) d2 (t) = 0'
)$( 6 ) , ' . 0 )M( {Dx })
5 ' 6 / 0 ) 2 7 < .2 . 7 )
#
5 ' 2
6 . . / . . ) . 6 I) ) )J 1 1
) 5 1
6
/ 6
. / . 0 ) 7 / . . )
5 0≤
. 0 ' . 6 7 I)L$(( 3
((S∗Dx )⊥ ) = (
. / d(t)) ≤ n − 1
)I (
"!$ ) ( 7 .6
/ ' 5 . / . . ) , ' 1 )
' 1 6
) . 6 )
, 6 . ' 2
7 .
7 .0 1 6'
. / . . 0 )
7 2 ' : . . . ) 1 . 7 . 6 .= C∗Dx
) (
[fk , C̄iDx ]
k=1
E{dh}) 2 ) 3
Dx
Dx
Dx
= Ci+1
⇒ C∗Dx = C i
6 .
. )
ΣN
L
m
. 0 7
Ci
)L() 7'
3
6 )M( . .
/ 1
{Dx }
Dx
Dx


Ci+1 = C̄i +
. 2 ) 5 '
. 6 
Dx


 C0 =
d(t))
.' 6 (C∗Dx )⊥ / 6
)I( ) I(
x̃N (t)
= Φ(x(t))('
3

m


˜
˙
x̃N 1 (t) = f0,1 (x̃N 1 (t), x̃N 2 (t)) +
f˜i,1 (x̃N 1 (t), x̃N 2 (t))ui (t) + D̃x (x̃N 1 (t), x̃N 2 (t))d(t)




i=1

m
: ˙
x̃N 2 (t) = f˜0,2 (x̃N 2 (t)) +
f˜i,2 (x̃N 2 (t))ui(t)




i=1



yx (t) = h̃(x̃N (t))
)
5 '
x̃N 2 (t)
. / . (C∗Dx )⊥
) 5 = {0}()
(
0 '
" '
. . 1 0 O' .
)L) ('
! 1 ' . U ) , 7 D)I( . 1 ' 6)
7 γobs ' 2 D
)I(' 3
γobs (C∗P )⊥
T
P (x(t))
D ) $(
1 )
. 6 1' .
' . ) 5 )
$ '
. 0 Ψ(•x (t), •z (t), •u (t))
d(t) . . 72
) . )))
(
{Dx })
= 1, ∀x(t))
. 7 7 6 ) '
. 2 . T . ' ' . ' T )
, # #
. / )
5 &
n−1
) (' . )I ( . )M() , ' S0Dx =
{Dx }
/ / . {Dx })
' . .2 0
/ 2
/ . 0 / 6 / . . . 0 )
.
) . .
/ 2
"!$ ) ( & ' 7 / .2
' ' 1
1
)
. ) ' / ' / 2
γobs (C∗Dx )⊥ ' / .) , ' / . 0 ' ' 2 yi (t)
d(t)
/ . ' =
. . . 7
)
ρdmi < ∞
/
3
∃i ∈ {1, · · · , p}/ρdmi < ∞ ⇔ γobs (C∗Dx )⊥
' 7
2 2 ) L(
QLM'
QLIR
$R 3
) - d(t) Π ζ Π ! d(t) = ζ(Π)
5
=
)$)L()
. 0 ) 62 / ' 0 ' < 1 / '
) '
τ (x(t)) Π ∂
ζ(Π)
ζ Π ! τ (x(t)) = ∂x(t)
6 . . ∆
' . T
. 62
∆
7
. )
) ,
x(t)'
62 ( . 6 ) )I
6) . / 6 6 .
' 1 7 . )
7 6) 9 . ' 7 )
- d(t) ζ
∆ ! d(t) = ζ(∆) + ∆ ) " '
6 ' ∆
62 3
$
%
∆ = Yx (t), u(t), · · · , u(max−1) (t), ξ1(Yx (t), Yx1(t)), · · · , ξl (Yx (t), Yxl (t)), x̃N 2 (t)
&
'
(ρd −1)
(ρd −1)
(0)
(0)
Yx (t) = yx1 (t), · · · , yx1m1 (t), · · · , yxp (t), · · · , yxpmp (t)
62 ξ1 (•), · · · , ξl (•) 1 max . 2
.2
' 7
. ) J(
Yx1(t), · · · , Yxl (t) 2
ρdmi − 1)
1 . 62 . ∆)
3
) γy y ∂
Θ(y(t))
τ (x(t)) γy ) Θ ! τ (x(t)) = ∂x(t)
7 0 O < . 5 $ .
)
6 6
∆
) J()
7
' < . . . / < . . )
/
1 1 {0}) Ψ(•x (t), •z (t), •u (t))'
. ) .
0 2 d(t)
= d(t) d(t) ∆ 3 ! ∆ d(t)
⇒ d(t) d(t) 4 - ∆ ! 5 ⇐ 0 ) ! d(t) ∆ ζ ! ζ(∆) = d(t) , d(t) "!$ ) ( 5 76' 2 6 0 3
Ψ(•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ(∆) = d(t)
. 7 3
ΣF N L :
. .
. 
m


ż(t) = f0 (z(t)) +
fi (z(t))ui (t) + Dx (z(t))Ψ(∆)


yz (t) = h(z(t))
z(t)
6 / . (
. / .6
d(t)
. 5 ' : 1 . 0 7 Dx (x(t))
/
1 ∆
d(t)) = n
d(t))
,
1 ) K(
. / n−1
)I ()
. Dx (x(t))d(t)) 1 .) , .2
. ) #(
i=1
' 3
<
) M(
T
Dx (x(t))
1 ' < :)
) &5 d(t) Dx (x(t))d(t)
∆ 3 ! ∆ d(t)
& ) / ! ) 5 Dx (x(t))d(t)
3
Ψ(•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ(∆) = Dx (x(t))d(t)
. 7 ΣF N L :
)
(
3

m


ż(t) = f0 (z(t)) +
fi (z(t))ui (t) + Ψ(∆)


yz (t) = h(z(t))
i=1
)$(
" '
5
=
. 7 ) #(' . / . (
6 7 x(t)
d(t)) = n
)$I(
. / 7 )I (()
. 7 z(t)
3
. / .6
d(t)
d(t)
.
z(t)
2 / . )$( 7 ) #( )$((' . ∀(d(t), t))
.
. ) #(' < 6 . . / ( 3
5 ∆ 1 ) ⇒ Dx (x(t))d(t) ∆ - Dx (x(t))d(t) , #67
& z(t) ∀d(t) ⇐ ∀d(t) 1 ! ! 5 ) d(t) ∆ 5 . , ) & 3 )
)
! ) Dx (x(t))d(t) ∆ 8
d(t) {0} 8
d(t) - n
⇒ Dx (x(t))d(t) ∆ / #6 9 ! {0}
"!$ ) ( ⇒ 0 ) : 5 ! n
/- n
- n ⇒ / #6 ! ∆
5 Dx (x(t))d(t)
/ . 6 )I ( (iii)
)I U .6
. / . 0 6
∆
d(t) 6P
Ψ(•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ(∆))
' . / 7 = 1 ' 6 . = . . / . / ∆) '
< = )
/ . 62 2 )
$ , %I' . 62 7 3
&
'
d
(ρd −1)
(ρd −1)
(0)
(0)
∆t = yx1 (t), · · · , yx1m1 (t), · · · , yxp
(t), · · · , yxpmp (t), u(t), · · · , u(maxi (ρmi )−1) (t), x̃N 2 (t)
)$ (
T
x̃N 2 (t)
. (C∗Dx )⊥ . ∆t
7 1 7 =
∆
) V Dx 62 ξi (•), i
d(t)
d(t)
) 3 (()
) J( 7 1 . 7
)
= {1, · · · , l}
)
. ρdmi ()
'
3
) d(t) V Dx
 Dx   (ρdm1 ) 
yx1 (t)
V1

  

= =


d
(ρmp )
Dx
Vp
yxp (t)
)$$(
" '
i
) (ρd )
($ ρdmi → ∞ yxpmi (t) = 0
. % ' 2 0
∈ {1, · · · , p}(
/ 3
(ρ )
ViDx (x(t), U(t), d(t)) = yximi (x(t), U(t), d(t)) = f¯0,i (x(t))+f¯1,i (x(t), U(t))+D̄x,i (x(t), U(t))d(t)
d
(0)
(ρdmi −1)
U = [u (t), · · · , u
i )
(t)]' f¯0,i ' f¯1,i
)$L(
D̄x,i
1 < (
< d(t))
& ' 2 ) 1 . .( T
6
d(t)
yxi (t)( .
d(t)(
ki ≥ ρdmi
3
(k1)
(kp)
λ(yx1 (t), · · · , yx1 (t), · · · , yxp (t), · · · , yxp
(t)) = λ0 (x(t)) + λ1 (x(t), U(t)) + λ2 (x(t), U(t))d(t)
T
λ' λ0 ' λ1
1 λ2
< . %I %
/ . )
2 /
)L)
ViDx (x(t), U(t), d(t) = 0),
∆t 1 )$ ( )$L(' ) ∂ViDx (x(t),U (t),d(t))
∂d(t)
0 / d(t) 0 // ;( ;# - ! ' ∂V Dx (x(t),U (t),d(t))
⇒ ViDx (x(t), U(t), d(t) = 0), i ∂d(t)
∆t ζ1 ζ2 ! ViDx (x(t), U(t), d(t)) = ζ1 (∆t ) + ζ2 (∆t )d(t) )
(ρd )
ViDx (x(t), U(t), d(t)) = yi mi (t) , d(t) =
ViDx (x(t),U (t),d(t))−ζ1 (∆t )
3 ! - < ζ2 (∆t )
) ζ2 (∆t )
5 =
' . . . )
"!$ ) ( ) 5
Dx (x(t))d(t) ∆t 5
1 & ) ! / ## 0 - ! ' ∆ ∆t . . .
/ ∆t
62 )$ ( / . {0})
(
< )$J(
. / .6
d(t)
/ . Dx (x(t))d(t) ) d(t) . =
62 7 =
. 0 < 0 )I'
) '
. / )$J() ) 5 &
Ψ(∆t ) ∆t
∆()
. . n
6 Ψ(∆)( )I ( /
d(t)) = n
/ 6 . ' Ψ(∆t )
⇓
, . ' 6 '
3
' d(t)
)J 1 6
/ n−1
) ()
( . 0 . )L . =
.6
' / . . / )
)))
.
, # . )I =
(
#
T . ) ( 3
. / ) 5 &
)$M(
d(t)) < n
' / 0 ) &
. 0 6 6 62
.
" '
' 6
. /
)I ()
& . /
/ . .) ΣN
L
. )I( d(t)' 6 0/ Dx
'
S̄m,k
3

m

k
k
k
k
k

˜
˙
x̃1 (t) = f0,1 (x̃1 (t), x̃2 (t)) +
(x̃k1 (t), x̃k2 (t))ui(t) + D̃xk (x̃k1 (t), x̃k2 (t))d(t)
f˜i,1




i=1

m
: ˙k
k
k
k
k
˜
f˜i,2
(t)
=
f
(x̃
(t),
x̃
(t))
+
(x̃k1 (t), x̃k2 (t))ui(t)
x̃

2
0,2 1
2



i=1



k
k
yx (t) = h̃(x̃1 (t), x̃2 (t))
)$#(
/ . 6
∂Φk (x(t))
∂x(t)
Dx
= S̄m,k
x̃ (t) = Φk (x(t))'
T
Dx ⊥
S̄m,k
)
k
.0 1 ' . . ' . / 2
.2
62 )
7 62 x̃N 2 (t) / ,
. x̃˙ k2 (t))
x̃k1 (t) ∆
k
. . ' / . . 0 1 T
7' . ) J(( d(t) ∆t
∆
6P / )$ (('
1 )
. )$#(
x̃k2 (t) / 1 k
x̃˙ k2 (t)
62 U
3
$
%
∆k = Y, Umax1 (t), ξ1 (Y (t), Y1 (t)), · · · , ξl (Y (t), Yl (t)), x̃k2 (t)
)$K(
&
'
(ρd −1)
(ρd −1)
(0)
(0)
Y(t) = y1 (t), · · · , y1 m1 (t), · · · , yp (t), · · · , yp mp (t) ,
$
%
Umax1 (t) = u(t), · · · , u(max−1) (t) ' Y1 (t), · · · , Yl (t) 62 . 2 ρdmi − 1) 1 ξ1 (•), · · · , ξl (•) 1 max . 2 . 62 ∆k )
k = 0' x̃k2 (t) = x̃N 2 (t))
' Dx
S̄m,k
2 6 3
D
Dx
∆k . S S x k 3 S̄m,k
m∆
x̃˙ k2 (t)'
Dx
Dx
k T
k
S Sm∆
k 3 Sm∆k ⊆ {(dx1 ) } ∆ '
"!$ ) ( 3
Dx
Dx
Dx
S̄m,k
= Sm∆
k ⊕ S
k
)$ (
m∆
. ∆k S
Dx
( m∆k
{0}' / 6 . .) , . . . 6 {(dxk1 )T } / .
/ 2
/ . . 0 ) x̃˙ k2 (t)
k+1
{(dxk2 )T } ⊆ {(dx2 )T }, ∀k )
x̃k1 (t)
. 6 / . . =
Dx
Sm,k+1
Dx
S̄m,k
m &
'
+
f˜ik (x̃k1 (t), x̃k2 (t)), S Dx k
3
)L(
m∆
i=0
1 3 {Dx }
Dx
Dx
Dx
⊆ S̄m,1
⊆ · · · ⊆ S̄m,k
⊆ · · · ⊆ Sm∗
. ' 6 6 (
{dx
T
})
7 Dx
Sm∗
Dx
(Sm∗ ) ≤
( {dxT }) =
T
n()
' 2 k1 ∈ N
3
Dx
Dx
Dx
Dx
S̄m,k
= Sm,k
⇒ Sm∗
= S̄m,k
1
1 +1
1
6 )LI(' k
(x̃k2 (t)) +
x̃˙ k2 (t) = f˘0,2
)LI(
.2 . 0 m
k
f˘i,2
(x̃k2 (t))ui (t) + Ψ̃k1 (∆x ) +
i=1
f˘i•1 = f˜i•1 + Ψ̃1i (∆1z )
, T
. . 6 )I (' 6
' ) . = .
1' Ψ(∆)'
1 . 2 ) 5 &
1
6 . . 0 1 =
) , ' . 0 . )I ( .
) 4 ) . 6 {(d∆
{dh
}⊆
{(d∆
) }, ∀k )
k T
.
. 6 / /
) }
k T
T
. {dhT } 6 1 . 6' 1 ) , ' / E{dh}) )L (
i = {0, · · · , m})
1
6
Ψ̃ki (∆x )ui(t)
i=1
0/ ' .
m
3
1 1 " '
7 7 .' . / . ΣN
L
Dx ⊥
Dx ⊥
(Sm∗
) = (S̄m,k
) = {0}' 1
d(t)) )$#( 3
7 3
x̃k∗1 (t) =
)L$(
T k1 T
x̃k11 (t)
x̃2 (t)
T
. / 5
. / . 
T
)LL(
. ) 5 ' )))
= Φk1 (x(t))
 T
Dx
∂Φk1 (x(t))  S̄m,k1
=
Dx ⊥
∂x(t)
S̄m,k1
, ' 0
/
x̃k1
2 (t)
.6 . 0 6
)
$ ' / 6
/ 0 7 6 . Ψ(∆)'
. .
) 0 62
/ 1 62) . )$J( ' 
m

k1
k1
k1
k1
k1

˜
˙
x̃1 (t) = f0,1 (x̃1 (t), x̃2 (t)) +
f˜i,1
(x̃k11 (t), x̃k21 (t))ui (t) + D̃xk1 (x̃k11 (t), x̃k21 (t))d(t)




i=1

m
: ˙ k1
k
k
k
k1
1
1
1
˜
(x̃k11 (t), x̃k21 (t))ui (t)
x̃2 (t) = f0,2 (x̃1 (t), x̃2 (t)) +
f˜i,2




i=1



k1
k1
yx (t) = h̃(x̃1 (t), x̃2 (t))
T 1
. 2 =
' / . . 0 . / 3
0≤
(S∗Dx ) ≤ Dx
(Sm∗
)=
(
. / d(t)) ≤ n
)LJ(
T . S∗Dx Dx
Sm∗
7
)L( I)$$()
, . 6 )I ( 6 ) 6
2 ' . . )
$ 5
' 0 1 . (d(t)) = s
(
{Dx (x(t))})
) = s, ∀x(t)
"!$ ) ( ' 6 2 )
, 2 )
. 6 / . . / . 2
)
)))
, # 52 dj (t)
3
(dj (t) = 1( dj (t) d(t) dj (t) =
# dj (t) j
. d1 (t) · · · dj−1 (t) dj+1(t) · · · ds (t)
2
T
) 
Dx (x(t))d(t) = Dx1 (x(t)) · · · Dxs (x(t)) 
d1 (t)
))
)

 Dxj (x(t))dj (t)
=
s
ds (t)
. 0 ) &
/ .
'
< ) 5 2 ' )LM(
j=1
/ . W 6 . 0 . 62 3

, < / . .
2 / . 6 )I ()
$ / . .
. 7 ) J() , ' dj (t)( ' ∆
T ) (
62 1 dj (t)() . . )I( ) ' 1 7 . (
62
3
$
%
∆ = Yx (t), u(t), · · · , u(max−1) (t), ξ1 (Yx (t), Yx1 (t)), · · · , ξl (Yx (t), Yxl (t)), x̃N 2 (t)
)L#(
(
)
dj
dj
(minj (ρm1
)−1)
(minj (ρmp
)−1)
(0)
(0)
Yx (t) = yx1 (t), · · · , yx1
(t), · · · , yxp (t), · · · , yxp
(t) ' Yx1 (t), · · · , Yxl (t)
62 ξ1 (•), · · · , ξl (•) 1 ) max . . 1 2
2
d
j
(minj (ρmi
) − 1))
. " '
62 ∆)
. '
' 0 7 ∆
. O' 2 . d(t) . ) , ' / . 62
@
dj (t)
) 2
' . dj
2 . (minj (ρmi ) − 1) 1 ? d
(min (ρ j )−1+k)
yi j mi
(t),
∀k > 0
N )
.2
: ∆) , =
. ? @)
, 7 2 1 )I ) ( ∆
)L#(( 7 )
)% & ) d(t) ) d(t) ∆ 3 ! ∆ d(t)
) d(t) Dx (x(t))d(t) ∆ 3 ! ∆ d(t)
1 )( &5
, 1 / ) J' )I' , ) & 3 )
3
! ) Dx (x(t))d(t) ∆ Dx
Sm∗
= {0}
Dx ⊥
{(Sm∗
) } =n
/ 1 . & )M )M .
)# )# )$) ()
6 )
6 )
5 6 ' ∆)
"!$ ) ( $ , Dx
M
/ )$$(' 7
)
dj (t) )
)% 3 j = {1, · · · , s} M Dx  d1
(ρ )
yx1m1 (t)

M Dx = 

d1
(ρ )
yxpmp (t)
) 
(ρds )
· · · yx1m1 (t)

 = V Dx1 · · · V Dxs

s )
(ρdmp
· · · yxp (t)
dj
(ρ
d
! 7 )LK(
)
j
($ ρmi
→ ∞ yxpmi (t) = 0
∆
3
(
d
dj
(min (ρ j )−1)
(0)
(0)
(minj (ρmp
)−1)
∆t = yx1 (t), · · · , yx1 j m1
(t), · · · , yxp
(t), · · · , yxp
(t),
u(t), · · · , u
. 62 5
/
Dx
} MsDx = {Ms(i,j)
Dx
7 ' Ms(i,j) =
*
(i)
d
)
' / . . )LK(' Dx
3 Ms(i,j)
=1
= 0),
(i)
2 0)
Dx
M(i,j)
(x(t), U, d̄j (t), dj (t)
(t), x̃N 2 (t)
)L (
'
2 7 .' 7
d
j
(maxi (minj ρmi
)−1)
Dx
∂M(i,j)
(x(t),U,d¯j (t),dj (t))
(ii)
+
∂dj (t)
∆t '
d
(ii) ρi j = minj (ρi j ))
(i)'
< (ii)
U .
1
(' 6 )L) 2 =
)
. MsDx
. [email protected] [email protected]( 1 MsDx d(t) 1 ) 0 / )
- ∀(x(t), u(t)) ) ) d(t) :
" '
d
// 5 )
∆ ∆t (ρ j )
yi mi (t)
i ∈ {1, · · · , s} dj (t) : - ! * ' +
Dx
∂M(i,j)
(x(t),U,d¯j (t),dj (t))
Dx
⇒ M(i,j) (x(t), U, d¯j (t), dj (t) = 0),
∆t ∂dj (t)
Dx
(x(t), U, d¯j (t), dj (t)) = ζ1 (∆t ) +
ζ1 ζ2 ∆t ! M(i,j)
dj
(ρ )
Dx
ζ2 (∆t )d(t) ) M(i,j)
(x(t), U, d¯j (t), dj (t)) = yi mi (t) 0 - ) 0
' ) 0/
dj (t) 9 ! ) ) dj (t) ∆t :
) ! dj (t) j = {1, · · · , s} Dx
- Ms - s
(yx (t)) ≥
. (d(t))
7
6)
, 1 )J' 2
∆t . Dx (x(t))d(t))
Dx (x(t))d(t) ∆t 5
1 )2 5
& ) ! / #$
& ' 6 6 . . < . . /
0 ()
, '
) 1 3
Ψ(∆)
. . )M' )#' )K
6 '
Ψ(∆t )
⇓
.
(
)J(
. / ' 6 . / )
d(t)) = n
/ "!$ ) ( )))
, # d(t))
)$)
# 6 . . / () Dx
Sm∗
6 = {0}()
' )#( ' . . 6 / {Dx } ' = . 3
(
. / ≤n−
'
Dx
Sm∆
0
( / . . d(t))
)
62
∆
7 )L#( ∆0
<n
)JI(
3
Dx
Dx
S̄m,1
= S̄m∆
0
)J (
7 3
Dx
Sm,k+1
=
Dx
S̄m,k
m &
'
+
f˜ik (x̃k1 (t), x̃k2 (t)), S Dx k
)J$(
m∆
i=0
S Dx k
m∆
) . 2 .2
' ∆
k
∆
. 0 O
62 x̃k2 (t)
∆k / . . 3
$
%
∆k = Yx (t), u(t), · · · , u(max−1) (t), ξ1 (Yx (t), Yx1 (t)), · · · , ξl (Yx (t), Yxl (t)), x̃k2 (t)
)JL(
(
)
dj
dj
(minj (ρm1
)−1)
(minj (ρmp
)−1)
(0)
(0)
Yx (t) = yx1 (t), · · · , yx1
(t), · · · , yxp (t), · · · , yxp
(t) ' Yx1 (t), · · · , Yxl (t)
62 . 2
d
j
(minj (ρmi
) − 1))
ξ1 (•), · · · , ξl (•) 1 ) max . 2 . 62 ∆k )
x̃k2 (t) . {(dx̃k2 )T } =
Dx ⊥
) )
(Sm,k
1 )))
$ 5 ' / 6
.
Dx
Sm∗
0 ) . )J( . . / " '
3
Ψ(∆)
⇓
0≤
(S∗Dx ) ≤ Dx
(Sm∗
)=
(
. / d(t)) ≤ n
)JJ(
T
Dx
Sm∗
, . . 0 . 6 )I ( .
Ψ(∆))
2 6 )
# $ % '
. ' ) 9' . 6 < ) 5
. ' ' . 7 .
)
, mj ' / j ('
.
./ . 62 )
.
1
6 06' ' . 1
' 6 1 ' 7 2
' . 6() ' 6
1 ) , '
6 . / 7 / . . 7 . ∆
k
)
. / '
3
&
'
(0)
(m1 )
(0)
(mp )
(max−1)
k
∆ = yx1 (t), · · · , yx1 (t), · · · , yxp (t), · · · , yxp (t), u(t), · · · , u
(t), x̃2 (t)
k
.6 ' ) 5 &
7 mj ≤
dj
(minj (ρm1
) − 1),
∀j )
) 4 0
) 4 ' ' 1 6 )JM(
' mj = 0, ∀j )
)
"!$ ) ( * () '
)))
+- 3


ẋ1 (t) = x2 (t)x3 (t) + d(t)





2


ẋ2 (t) = −x1 (t)x2 (t) + x3 (t)u(t)
ẋ3 (t) = x2 (t) − x3 (t)




yx1 (t) = x2 (t)





yx2 (t) = x3 (t)
Dx (x(t)) = 1 0 0
T
)
4 1 7 )J#(
3
(2)
1
yx1 (t)
(1)
2
d(t) = − yx1 (t) − 2yx2(t)yx2 (t)u(t) − yx2
(t)u(1) (t)
(1)
yx1 (t)
+
1 ) 5
/ ) &
d(t)'
∆
6
d(t)
)JK( 1 : 62 (C∗Dx ) = (x(t))'
.)
.
d(t)
∆0 D
{Dx }' S̄ x 0 =
m∆
' . . ∆0
/ 3
)J (
. . 6 / ∆0 = [yx1(t), yx2 (t), u(t)]
T )
C∗Dx ) (
)JK(
(1)
yx1 (t)
− yx1 (t)yx2(t)
2
yx1
(t)
' = ) , )$' −
2
yx2
(t)u(t)
. 6 / , ' .2
1 4 d(t))
, ' , . 2 2
x̃N 2 (t))
I' {Dx } 1 / . )J (()
. 1 0 3


x2 (t)x3 (t)
0




f0 (x(t)) =  −x1 (t)x2 (t)  f1 (x(t)) = x23 (t)
x2 (t) − x3 (t)
0


)M(
" '

0
x3 (t) x2 (t)


= −x2 (t) −x1 (t)
0 
0
1
−1

∂f0 (x(t))
∂x(t)
/ Dx
Sm,1
' Dx
Sm,1
' 

0 0
0


∂f1 (x(t))
= 0 0 2x3 (t)
∂x(t)
0 0
0
  



0
 1

  

= 0 , x2 (t) )




0
0
Dx
Dx
= Sm,1
)
S̄m,1
)MI(
4 1 ! 7 62
. )JL(( 3
∆1 = [yx1(t), yx2 (t), u(t), x3 (t)]
7 .
/ )M (
/ ' 0 ' 1
3


1 0 0


x̃1 (t) = Φ1 (x(t)) = 0 1 0
0 0 1
x2 (t) = 0'
   

0 
 1

   
Dx
0 , 1
= S̄m,1




0
0
)M$(
 

 0 

 
Dx ⊥
= (S̄m,1
0
)




1
)ML(
3

 




x2 (t)x3 (t) + d(t)
ẋ1 (t)


=


x̃˙ 11 (t) = 


2

ẋ2 (t)
−x1 (t)x2 (t) + x3 (t)u(t)


x̃˙ 12 (t) = ẋ3 (t) = x2 (t) − x3 (t)



y (t) = x (t)

x1
2




yx2 (t) = x3 (t)
. .
x̃12 (t)) ' 6 1
∆
x2 (t)
)MJ(
. 6
' .
Dx
Sm∗
=
Dx
Sm,1
0 )
, 2
' :
/ d(t)
. 6 . 0 . ( $() , ' "!$ ) ( . d(t)
' . / ' 1 ' / I) 4 '
2
62 6 . 0 0 O .
1
6)
)))
+- 5 2
'
' 3


ẋ1 (t) = −x21 (t) + u1 (t) + d1 (t)






ẋ2 (t) = −x2 (t) + x3 (t)u2 (t)




ẋ (t) = x (t) − x (t)x (t)2 d (t) + u (t)
3
2
3
2
2
3


ẋ4 (t) = −x3 (t)x4 (t)





yx1 (t) = x1 (t)




y (t) = x (t)
x2
4
)MM(


1
0
0

0


Dx1 (x(t)) Dx2 (x(t)) = 
)
2
0 −x3 (t)x2 (t)
0
0

0
1


0
0
d2 (t)

(1)
2
d1 (t) = yx1 (t) + yx1
(t) − u1 (t)
7
Dx2
Sm,1
=
, .
6
Dx1
Sm∗
= {0}) , ' x2 (t)) ' 0 0 −x3 (t)x22 (t) 0
T
3
) 5
=
x̃1 (t) = Φ1 (x(t)) =
0 1 0
0 0 0

A
1 0 0
0 0 1
x3 (t)x22 (t) = 0
 
0 




0

 
Dx2
 
= S̄m,1




1 





0
     
1
0
0 




0 1 0

     
Dx2 ⊥
  ,   ,  
)
= (S̄m,1








0
0
0






0
0
1
)M#(
" '
3



x̃˙ 11 (t) = ẋ3 (t) = x2 (t) − x3 (t)x2 (t)2 d2 (t) + u3 (t)



 




2



ẋ1 (t) −x1 (t) + u1 (t) + d1 (t)


 

x̃˙ 1 (t) = 
ẋ2 (t) =  −x2 (t) + x3 (t)u2 (t) 
2

 



ẋ
−x
(t)
(t)x
(t)
4
3
4






y (t) = x1 (t)

 x1


yx2 (t) = x4 (t)
. .
x̃˙ 12 (t)
x3 (t)
/ . 6= x3 (t)
∆1 d2 (t) *
+ 6
x3 (t) =
)MK(
(1)
−yx2 (t)
yx2 (t)
) 5 1 ' . , / = 0 /
{(dx̃11 )T }
2
0 0 1 0
5 =
/
5
' d1 (t)
Dx
Sm∗
= {0}() 4
d1 (t) n
' /
x3 (t)
d2 (t))
4 . 0 )$)$)
.
7 1 1
2
d2 (t)
. ' .
6 / Dx2 ⊥
{(Sm,1
) } = 3'
)
& ' 0
I)$$('
/ 2 2) , ' . / d1 (t)
/ )J$( 5
Dx2
Dx2
Dx2
Sm∗
= S̄m,1
= Sm,1
)
∆)
2 .
) , . 1 / 62
T
d2 (t)
1
2
0(
. . .
1(
. )
6 ' . . 7 / 1
6 1
)
5 76 )
$ 5 ' .
/ . 1
) 5
< ' .2 . +)&))-) ) &
6
7 . . "!% 1 ) . . ,7 . 6
6
/ . .2
1 /
. )
)
# + , !
4 . ' 66' . ) . . 6
.
7 . 1 ' . . 6 ' ) 9 . 6 7
= . γy 7 1
1
1 ) &
)L()
6)
U2 .
T 7 6
. 6
)
. 1
+)&))-)( QI$' IJR QIL' IM' I#R ) 5 &
. 0 1
Ψ(yx (t), u(t), x̃2 (t)) . 2 / 1
wj (t) j = {1, · · · , q}('
) 4 )
. < 1
)
)
6 .
1 χPj (•)
3
(i)
P
Q∗ j
∩
{dh}
=
(ii)
{d(χ
Pj
=
d(χ
⊥
∩
◦ h(x(t)))
{Pj }
{P1 , · · ·
/ . 1 .2 1
S = W
w(t)
w(t)
)M (
)#(
) (ii)
6 7
. 3
) 1
U = {0}
P
, Pj−1 , Pj+1, · · · , Pq } Q∗ j 7 I)$J( {Pj })
, . ' (i) 1 . {Pj }
◦ h(x(t)))}
Pj
χPj (•) A
1 . 1)
S =
1) . 9 6 P
Q∗ j
' QI$R QILR( P
(S∗ j )⊥
3
" '
P
P
P
P
Q∗ j = o.c.a.((S∗ j )⊥ ) ⊆ (S∗ j )⊥ ) Q∗ j
/ 1 1 / wj (t))
0 1 .
. & 2 ' . 2 ( .2 . 1 ) . . 1 )
. 1 = /
/ . 2) =
. 1 )
# !
&
2' P
Sm∗j
)LI( )J$(( / . ) ! / . 7 . I)$L(( / 1 . . . 2 S
P
C∗ j
6
.
P
Sm∗j P
S∗ j
QLIR)
P
C∗ j 3
1
. 0 '
S
P
Sm∗j
.
1 0 )
! 1
. . 0 6
.) .0 wj (t)'
.' 1
62 ) 4 : = .
= , ' P
Sm∗j ()
6
) P
C∗ j (
, 1 . ) $(' / 7 1 )
$ 0 - < P
C∗ j
wj (t))
'
0 7 )))
= / . 6 ( . 0 '
7 . . . 0 ) ' . . 1
P
Sm∗j
0 ΞP
" 7 3
ΞP = γobs − (C∗P )⊥
)#I(
"!% ! 1 U 1 1 ' ' ' ΞPj
6 ΞP = {0}) ' = {0} 7 j )
'
ΞP = {0} ! ) γobs (C∗P )⊥ , ∀j ' w(t) ∈ R
w(t) ∈ Rq ) q > 1
)3 &
& / ) w(t) ∈ R w(t) , ' ! =
) ! (C∗P )⊥ , ) ! (C∗P )⊥ & w(t) ∈ Rq ) q > 1 ΞP = {0} ) q ) P
w(t) Ξ = {0} : 5 ! ) ) ' :
) / 9 ! , (
' {γobs })
= n' γinobs = {0}('
1
'
P
C∗ j = {0}'
∀j )
, 1
. 6' 1 ) 5 )))
wj (t) ∀j ∈ {1, · · · , q}(
1 1 6
/ . =
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6)
) ,
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1 wj (t) 1 ' 1 2 *&) *)*) - Q$IR " ) ' . 1 ' / ' 2 $ 4 0
' ' 1 ) 5
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6 . / 1 2
' / . 6 wi (t))
.
/ ' .0 1 1 ) 7' ' ' . 2 1
P
C∗ j )
. (' ' 0 1
1 ' / . . +)&))-) 5
/ 6' 6 %
6 QII' $IR(
1
) 5 ' .6
2
.
/ 1 = 6 . 1 ) & Pi
Sm∗
6
/
1)
5
6' P
C∗ j
0 . 1' < . 1 )
1
P
(C∗ j )⊥ ' 1
wj (t))
τ (x(t))
wj (t)
P
τ (x(t)) ⊆ (C∗ j )⊥
. 0 ' ) , '
τ (x(t)) = / . )
7 . A
Pj

A
T
()ki
Pj
1
(APj )11
(APj )12
wj (t)
.' (APj )21
(APj )22
···
···
A Pj
(APj )q1
(APj )q2





 ∈ R(2q−1 −1)×q
=
))
))
))
))


)
)
)
)


Pj 1
Pj 2
Pj q
(A )2q−1 −1 (A )2q−1 −1 · · · (A )2q−1 −1
.
i
6 k
2q−1 − 1
. (APj )ki ∈ {0, 1}' ∀(i, j, k))
k
6 C' ) 5
)
q Pk ⊥
(Sm∗
) k =
j ) )# (
) i( . / . ? [email protected] ? [email protected] 1
D 3
. ) (' . 0/
)
7 2 2 2
)
A Pj '
"!% +- ?
A P2
1
1 @ ) 3
w2 (t) P2 ) 5 22 − 1 = 3 6 . 3
/ . ' w1 (t) w2 (t) w3 (t)

P1 ⊥
0/1
1
1 ⇐= (Sm∗
) ∩ γy


P
3
= 
1
1
0/1 ⇐=
 (Sm∗ )⊥ ∩ γy
P1 ⊥
P3 ⊥
1
0/1 ⇐= (Sm∗
) ∩ (Sm∗
) ∩ γy
0/1

A P2
T ? 0/[email protected] 6 / ? [email protected]
. 1 ? [email protected]
1 . 1
w2 (t)) . AP2 ? [email protected])
/
2
5 ' . 6 7
1 ' y (A )i (
Pj
0
) )#$(
1
)
)# ( P2 ⊥
(C∗ )

⊆
(C∗P2 )⊥
.0 1 6 6 w2 (t)



. = 0 3 = . 2 . γy
7 )L()
+- ? 1 @ ) w3 (t) P3 ) 5
23 − 1 = 7 6 . 1
4
A P3
 w1 (t)
0/1


1


1


=  0/1

 0/1


1

0/1
w2 (t) w3 (t)
1
1
0/1
1
1
1
1
0/1
1
1
1
0/1
0/1
1
w4 (t)
1 ⇐=


1 ⇐=


0/1 ⇐=


1 ⇐=



0/1 ⇐=


0/1 ⇐=

0/1 ⇐=
/ . ' )# ( A P3
3
P1 ⊥
) ∩ γy
(Sm∗
P2 ⊥
(Sm∗ ) ∩ γy
P4 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy
P1 ⊥
P2 ⊥
(Sm∗ ) ∩ (Sm∗
) ∩ γy
P1 ⊥
P4 ⊥
(Sm∗ ) ∩ (Sm∗ ) ∩ γy
P2 ⊥
P4 ⊥
(Sm∗
) ∩ (Sm∗
) ∩ γy
P1 ⊥
P2 ⊥
P4 ⊥
(Sm∗ ) ∩ (Sm∗ ) ∩ (Sm∗
) ∩ γy













0
P3 ⊥
(C∗ )

⊆



1








)#L(
" '
7' 6 62 / [email protected]) ! 1
/
βj
wj (t)
A
Pj
)# ( ' 6 / 2
.
. 1 )
3
βj =
i
q
(APj )ki
)#J(
k=1
B Pj
7 3
B Pj
T (B )i
Pj


(BPj )1
 Pj 
 (B )2 
 ∈ RPj ×q
=
))


)


Pj
(B )Pj
/ 6 A
Pj
)#M(
q
(BPj )ki = βj )
k=1
7 q
B
Pj
. . . =
A
1 ' 6
1W 3


B P1
 P2 
B 
( qj=1 Pj ))×q

A=
 ))  ∈ R
 ) 
B Pq
j = {1, · · · , q}
j
q
. j
1
wj (t))
B Pj
)
/ 7 1 A
)##(
)##(' 3
) - A 6(A) < (w(t)) = q P
3 ! C∗ j 0 < wj (t) < 0 ! Pj
Pj
Pj
P
P
P
) Sm∗ ⊆ S∗ ⊆ C∗ ! ) (C∗ j )⊥ ⊆ (S∗ j )⊥ ⊆ (Sm∗j )⊥ P
(C∗ j )⊥ wj (t)
& A /
/ /
wj (t) -
j = {1, · · · , q}
"!% / ! wj (t) Pj ⊥
(C∗ ) ! 3 > ! wj (t)
Pj ⊥
-
! (C∗ ) P
0
(C∗ j )⊥ < - - A q − 1 < 4 - A ) ?
- 5 , q − 1 - 5 ) 9 6 7 6 = )
, 1 . 6 ' Pj
Sm∗ ) , ' wj (t)
3
" . / 1
τ (x(t))
P
τ (x(t)) (Sm∗j )⊥
. 0 )
P
Sm∗j '
Pj
1 Sm∗ = {0}() 6 2 P
Amj 2 . 1 wj (t) 3
)
. 0 )
$ 5 4 0
1
< / . 6 / 1'
2 )))
/ 1 ) 6
P
Sm∗j = {0}
wj (t) Pj
. ' 2 6 ) Am 7 Pj
Pj
/ A Pj
Sm∗ / (C∗ )⊥ ) 5 j
Pj
Am . [email protected]
O [email protected]' D . . 0 2 . . . /
( 6 2 5.
Pj
3 Sm∗
1
wj (t))
1 )
= {0}
6 /
P
APj ' Amj
7 P
(Sm∗j )⊥
/ P
(C∗ j )⊥ )
" '
,
=
' U2 3


P1
Bm
 P2 
-q
Bm 
 ∈ R( j=1 Pj )×q
Am = 
)
 ) 
 ) 
P
Bmq
)#K(
3
) - Am - 6(Am ) = (w(t)) = q 1 P
Amj '
- Am - q q 5 - 0 / #(( / Am Pj
Sm∗ j = {1, · · · , q} 4 ) -
wj (t) 1 ! Pj ⊥
(Sm∗ ) -
wj (t)
, ) ! < 5
wj (t) @ -
3 ! ! ' /
6 / ' . 1 Pj
Am . 6 Am '
. wj (t)
1
= 0 ) , ' ' / Am
[email protected]) . . 1 / 1) 5
j
1 Z . . 1
wj (t)
/ P
Amj
. . . 1) & ' 0 6 P
x
S̄m1
=
{Px } )J$((' {Px }
6 [email protected]) 5 ' Px
⊆ Sm∗
⊆ S∗Px
0 7' . )M ( )#()
4 . . 1 . 1 ' 6
)$)$)I()
.
< 6 /
"!% / .
/ )))
)II )I ' . 1 .0 . )
. . 6
6 ' 5 . .
' ' 6 . )
. 1 6 ) & ' ' 1
7
I( ( 2 ' / . . / 3
wj (t) $( / 7 1 ) . /
γobs
P
(C∗ j )⊥ , ∀j ()
/ . 1 ) . )II)
7 7 )
. 1
< / . 1 ) . /
)I )
= 6 . y ( 3
r(t) = χ(yx (t)) − χ(yz (t)) = χ ◦ h(x(t)) − χ ◦ h(z(t))
' >
Am
. )I . . 76 . , '
1 () 4 ( ) . / 6 .<
$( ' ( . 6
. 1
)
I( ( . 7
) ,
1
' / . ) 0
.
. ( . $( .=) 2
. 2 2
)
P
P
Sm∗j C∗ j )
7 2 $
" '
```
` `````
w1
···
w2
P 1
w2 (Am1 )1
=0
wq
r1
w2
p
(Am1 )1
w1
p1
=0
P
(Am2 )1
1 = 0
P
(Am2 )1
w1
q
P
(Am1 )q
wq
P1
P
=0
q
(Am2 )1 = 0
r2
w1
wq
P
(Am1 )1 = 0
···
w1
wq
P2
···
w2
=0
wq
P
(Am2 )q
Pq
(Am )1
1 = 0
w2
P2
=0
Pq
(Am )2
1 = 0
···
rq
Pq 1
w1 (Am )
Pq
=0
Pq 2
w2 (Am )
Pq
wq
=0
)I3 > 6
# () '
)))
+- < Q JR( 3
ΣN L1
T



 

x
0
0
(t)x
(t)
1
4






 


 u (t) + w (t)

 0

0
(t)(1
−
x
(t))
x
4
1
 3
 1

 


ẋ(t) = 


+



 0 x1 (t) u2 (t) + w2 (t)
0


 
:

1
0
0








x (t)


 1 

y
(t)
=
x


x3 (t)
x(t) ∈ R4 ' u(t) ∈ R2 ' yx (t) ∈ R2
1 w(t) ∈ R2
' )
7 3
)# (
'
"!% C∗P1
  
 

 
0
0
−x1 (t)
0






  0  x (t)   x (t)  x (t) + x (t) 

  1   1
   3
2
=   , 
 ,

 ,










(t)
(t)
0
x
x
0
1
1






0
0
0
1
(C∗P1 )⊥ = {0}
S∗P1
(C∗P2 )⊥
  

−x1 (t) 

 0


  0  x (t)  

   3

=   , 

  0  0  






0
1
S∗P2
P1
= {0}
Sm∗
(S∗P1 )⊥
        
0
0
0 

 1


  0  1  0  0 

       
=   ,   ,   ,  

 0  0  1  0 






0
0
0
1
. ' 

0





 0 



= 


 x1 (t) 






0
(S∗P2 )⊥
P2 ⊥
(Sm∗
)
S∗P1 S∗P2 1 w1 (t) w2 (t) /
    
0 


 1


  0  0 
   
=   ,  





0 
0






1
0
P2
Sm∗
= {0}
  

x3 (t) 


 0


  0  x (t) 
   1 
=   , 


 1  0  






0
0
P1 ⊥
(Sm∗
)
C∗P2

 

0
0






  0   −x (t)(1 − x (t)) 
  1


4
= 
,







(t)
(t)x
(t)
x
x
1
1
4






0
0
7
1 w1 (t) =
yx1(t)u2 (t))/yx1 (t))
$ 6      
0 
0


 1


  0  1  0 
     
=   ,   ,  

 0  0  0 






1
0
0
        
0
0
0 

 1


  0  1  0  0 

       
=   ,   ,   ,  

 0  0  1  0 






0
0
0
1
. (2)
(1)
yx1 (t)yx1 (t)−(yx1 (t))2
2 (t)
yx1
5 P
P
Sm∗j ⊆ S∗ j '
<
− u1 (t)
(1)
)7
⇒ A=
1 0
0 1
3
⇒ A=
1 0
0 1
⇒
6(A)
=2
)K(
⇒
6(A)
=2
)KI(
Pj
Sm∗ () 4 )I
w2 (t) = (yx2 (t) −
/ . 1
7 ' 0 6 P2
Sm∗
3
P2 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy (C∗P1 )⊥
P1 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy (C∗P2 )⊥
, ' ) ,
, ' 7 (S∗P2 )⊥ ∩ γy (C∗P1 )⊥
(S∗P1 )⊥ ∩ γy (C∗P2 )⊥
P1
Sm∗
6
. . 1 )
P
S∗ j (
1
" '
$ 5 6 )7
3
(S∗P2 )⊥ ∩ γy (S∗P1 )⊥
(S∗P1 )⊥ ∩ γy (S∗P2 )⊥
⇒ Am =
'
P2 ⊥
P1
(Sm∗
) ∩ γy Sm∗
P1 ⊥
P2
(Sm∗
) ∩ γy Sm∗
&
P1
P2
Sm∗
= {0} Sm∗
= {0}' )L) )$ . . 2 ⇒ Am =
)I
P1
Sm∗
= {0}
P2 ⊥
P1 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy (Sm∗
)
P1 ⊥
P2 ⊥
(Sm∗ ) ∩ γy ⊆ (Sm∗ )
⇒ Am =
⇒
6(Am )
0 =2
)K (
⇒
3
, ' 0 0
0 0
6(Am )
1 0
0 1
=0
)K$(
6
1 ) , P2
Sm∗
= {0}'
1 0
1 1
⇒
6(Am )
2 1
=2
w1 (t)
< )KL(
w2 (t)
/ . 1 7 )
, ' . 0 7 ) 6 ' 6 [email protected] 6 )KL() 1
w1 (t)
w2 (t)
. . . ) , 6 . . 0 )
)))
+- T
Am
< )
ΣN L2
(' =
3


 


x
0
0
(t)x
(t)
1
4





 








0  u1 (t) + w1 (t)
x3 (t)(1 − x4 (t)) 0



ẋ(t) = 

+




 0 x1 (t) u2 (t) + w2 (t)
0

 

:

0
1
0








x (t)


 1 


yx (t) =
x2 (t)
x(t) ∈ R4 ' u(t) ∈ R2 ' yx (t) ∈ R2
1 w(t) ∈ R2
< ' )KJ()
)KJ(
'
"!% 2
C∗P1
6
. U . γy
  
 
 

−x1 (t)
0
0


 0


  0  x (t)   x (t)  x (t) + x (t) 

   3
  1   1
2

=   , 
 ,
 ,











0
0
x1 (t)
x1 (t)






1
0
0
0
C∗P2
(C∗P1 )⊥ = {0}
S∗P1
P1
Sm∗
P1 ⊥
(Sm∗
)
, P2
Sm∗
  

x3 (t) 
0





  0  x (t) 
   1 
=   , 







1
0






0
0
P2 ⊥
(Sm∗
)
' P1
P2
Sm∗
Sm∗
) P2
Sm∗
. /
$ 6 (S∗P2 )⊥ ∩ γy (C∗P1 )⊥
(S∗P1 )⊥ ∩ γy (C∗P2 )⊥
5 '
      
0 
0


 1


  0  1  0 
     
=   ,   ,  







0 
0
0






1
0
0
2 P1
Sm∗
S∗P2 )
)7
⇒ A=
1 0
0 1
P2 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy (C∗P1 )⊥
P1 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy (C∗P2 )⊥
   
0 
1





  0  0 
   
=   ,  






0
0






1
0
. . Am )
    
0 

 1


  0  0 

   
=   ,  

 0  0 






0
1
. S∗P1


0






 0  


= 



  x1 (t) 




0
(S∗P2 )⊥
     
0 
0


 1


  0  1  0 
     
=   ,   ,  







1 
0
0






0
0
0
A

 

0
0










 0   −x1 (t)(1 − x4 (t))
= 
 ,

  x1 (t) 

x1 (t)x4 (t)






0
0
S∗P2
 
0 





  0 
 
=  


  0 




1
)# ()

 

0
0





  0   −x (t)(1 − x (t)) 


4
  1

= 
,







x1 (t)
x1 (t)x4 (t)






0
0
(C∗P2 )⊥
  

0
−x1 (t) 



  



 0  x3 (t) 
=   , 

  0  0  






1
0
(S∗P1 )⊥
⇒ A=
/ . . 0 0 6(A)
=2
)KM(
=2
)K#(
7 '
1 0
0 1
1
⇒
⇒
6(A)
7
62 y(t)
∆()
" '
$ 5 6 )7
(S∗P2 )⊥ ∩ γy ⊆ (S∗P1 )⊥
(S∗P1 )⊥ ∩ γy (S∗P2 )⊥
⇒ Am =
P2 ⊥
P1 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy ⊆ (Sm∗
)
P1 ⊥
P2 ⊥
(Sm∗
) ∩ γy (Sm∗
)
⇒ Am =
6 ? [email protected] .2 P1 ⊥
γy ⊆ (Sm∗
)
y P2 ⊥
P1 ⊥
(Sm∗
) (Sm∗
) ()
< / . 1
. 0 1 1
0 1
1 1
0 1
⇒
6(Am )
=2
)KK(
⇒
6(Am )
=2
)K (
Am ) 1 . P2 ⊥
/ w2 (t) / w1 (t) (Sm∗
) ∩
=
1 <
, 1 2 ) 5 &
) 4 ' 1
) )
% / 1)
4 1 7 . 0 62 W / 2 2)
7 6 ) . ) 2 1'
) 6
/ .6
. / 1 ) 5 '
6 / 1)
' 7 / . 1 . < . ) +)&))-) 0 1 = T ) , ' . 6 6 )
,7' / . .2
2 )
7 . & 6 1
5 ' . 0 )
' . ' .
6 / 2 . 0 7 )
5
/ . ' 76 . . 6 . ) 5 2 6 7
)
!
ΣN L :
, 3

m


ẋ(t) = f0 (x(t)) +
fi (x(t))ui (t) + P (x(t))w(t)


yx (t) = h(x(t))
. . . 1
7
$)I(
i=1
w(t)
/ .
x(t)'
3
 


Φ1 (x(t))
x̃1 (t)
 


x̃(t) = Φ(x(t)) =  − − −  = − − −
Φ2 (x(t))
x̃2 (t)
$) (
$ * T {dx̃T
1}
=
(dx̃2 )⊥
T )
/ . 1
ΣN
L :
$)I( . 3

m


˜
˙
x̃1 (t) = f0,1 (x̃1 (t), x̃2 (t)) +
f˜i,1 (x̃1 (t), x̃2 (t))ui (t) + P̃11 (x̃1 (t), x̃2 (t))w1 (t)



i=1





+P̃12 (x̃1 (t), x̃2 (t))w2 (t)


− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−


m



˜
˙

f˜i,2 (x̃1 (t), x̃2 (t))ui (t) + P̃2 (x̃1 (t), x̃2 (t))w2 (t)
x̃2 (t) = f0,2 (x̃1 (t), x̃2 (t)) +




i=1


y (t) = h̃(x̃ (t), x̃ (t))
x
1
2
$)$(
T
w1 (t)
1
w(t)
/ w2 (t)
. $)$( . U . 6
/
.2
x̃1 (t)'
1
.
6
w(t))
O . 6
1 : w1 (t) .( ) , '
. . x̃2 (t)) & . .
x̃1 (t)
x̃2 (t))
1 . . ' .
x̃2 (t)
6
. w1 (t))
. . 0 0 1 .2
x̃2 (t))
' / . $)$( x̃1 (t)
7 3

m


˜
˙
z̃1 (t) = f0,1 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +

f˜i,1 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui(t) + Ψ̃1 (•x (t), •z (t), •u (t))



i=1



− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
Σ
:
m
F NL 

˜
˙

f˜i,2 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui(t) + Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t))
z̃2 (t) = f0,2 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +




i=1



yz (t) = h̃(z̃1 (t), z̃2 (t))
$)L(
T
Ψ̃(•x (t), •z (t), •u (t))
. 0 .2
) ()
0 f˜0,2 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
m
1 .6 3
f˜i,2 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui (t) + Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t)) = x̃˙ 2 (t), ∀(w(t), u(t), t)
i=1
$)J(
.2
1
'
. 0 1 '
7 6
6 ) . . 0 . 6
7
6)
)
$!" ( + #& 5 6' . 0 . Ψ̃(z̃2 (t), ∆) T ∆ 62 ) , ' .
) 5 &
62 . 0 ) 5
.2
. ) 4 ' '
2 ( . 0 1)
$ , . 7 $)L(' .
6
3
Ψ̃1 (•x (t), •z (t), •u (t)) = 0
$)M(
Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yx(t)) − Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yz (t))
.0 . 7 / . 1 ) . 6 ' 2 . 0 . 6 7 7) 6
T 7 / . . 1 T 7 .0 1 . 1 ) 5 6' . 7 )M ( )#( 1 )
' 1
. 1 6 /
7' q
)))
$
. I)LM(() 5 7 ' . 2 . .
1 6
&
q
' 1) . / / 1 )
08 . P
S∗ j 9 1 ' .
j = {1, · · · , q}'
7
q
3
  j

 j
Φ1 (x(t))
x̃1 (t)
 


x̃j (t) = Φj (x(t)) =  − − −  = − − −
Φj2 (x(t))
x̃j2 (t)

P
S∗ j
T
∂Φj (x(t)) 

= −−−

∂x(t)
P
(S∗ j )⊥




T
$)#(
$ * ΣF
N Lj



z̃˙1j (t)







 j
˙
: z̃2 (t)










yz (t)
T . 7 . 7 3
j
= f˜0,1
(z̃1j (t), z̃2j (t)) +
m
j
(z̃1j (t), z̃2j (t))ui (t)
f˜i,1
i=1
j
= f˜0,2
(z̃1j (t), z̃2j (t)) +
m
j
(z̃1j (t), z̃2j (t))ui (t)
f˜i,2
$)K(
i=1
+Ψ̃j (z̃2j (t), u(t), yx (t)) − Ψ̃j (z̃2j (t), u(t), yz (t))
= h̃j (z̃1j (t), z̃2j (t))
/ z̃1 (t) . j
(w1 (t) · · · wj−1(t) wj+1(t) · · · wq (t))T . 0 $)M(() '
j
. / z̃2 (t) 6 . 1
wj (t)) ' . 0 Ψ̃j (•x (t), •z (t), •u (t)) 7 / 1 1
.6 3
z̃˙2j (t) = x̃˙ 2 (t), ∀wi (t)
.2
j
(z̃ j (t)) +
f˜0,2
m
i = {1, · · · , j − 1, j + 1, · · · , q}
$) (
. 0 3
j
j
(z̃ j (t))ui (t) = f˘0,2
(z̃2j (t)) +
f˜i,2
i=1
m
j
(z̃2j (t))ui (t) + Ψ̃j (z̃2j (t), u(t), yz (t))(t)
f˘i,2
i=1
j
Ψ̃j (z̃2j (t), u(t), yz (t))(t) = f˜0,2
(z̃ j (t)) +
m
⇓
j
(z̃ j (t))ui −
f˜i,2
j
f˘0,2
(z̃2j (t)) +
i=1
m
j
(z̃2j (t))ui (t)
f˘i,2
i=1
j = {1, · · · , q}
$)I(
> 7 . . $)II( 3
ΣF
N Lj

m

j
j
j
j
j

˜
˙
z̃
(t)
=
f
(z̃
(t),
z̃
(t))
+
(z̃1j (t), z̃2j (t))ui (t)
f˜i,1
 1
0,1 1
2



i=1

m
: ˙j
j
j
f˘i,2
(z̃2j (t)) +
(z̃2j (t))ui (t) + Ψ̃j (z̃2j (t), u(t), yx(t))
z̃2 (t) = f˘0,2




i=1



yz (t) = h̃j (z̃1j (t), z̃2j (t))
& ' $)I(' . 3
.
7 . )$)J)I)
j
f˜i,1
j
f˘i,2
τ (x(t)) ⊂
2 D() $)II(
. 0 1 {dz̃1T } / /
, τ (x(t)) ⊆
{dz̃1
T
}, ∀i ∈ {0, · · · , m}
. 0 ' .2
$)I (
6
$!" ( + +- ΣN L :
&
)J#(( 3


ẋ1 (t) = x2 (t)x3 (t) + w(t)





2


ẋ2 (t) = −x1 (t)x2 (t) + x3 (t)u(t)
ẋ (t) = x2 (t) − x3 (t)
 3



yx1 (t) = x2 (t)





yx2 (t) = x3 (t)
1 ' / .
6' 1
w(t)
. 7)
. . / 7 1
ΣF N L :
$)I$(
0 /
x3 (t))
$)K( 3


ż1 (t) = z2 (t)z3 (t) + Ψ1 (z(t), yx (t)) − Ψ1 (z(t), yz (t))





2


ż2 (t) = −z1 (t)z2 (t) + z3 (t)u(t) + Ψ2 (z(t), yx (t)) − Ψ2 (z(t), yz (t))
ż3 (t) = z2 (t) − z3 (t) + Ψ3 (z(t), yx (t)) − Ψ3 (z(t), yz (t))




yz1(t) = z2 (t)





yz2(t) = z3 (t)
, 0 . 6 )M$(' 1
$)IL(
7 . 3


 



(t)
(t)z
(t)
ż
z

1
2
3

=


z̃˙1 (t) = 


2

ż2 (t)
−z1 (t)z2 (t) + z3 (t)u(t)


Σ
: ˙
F N L z̃2 (t) = ż3 (t) = z2 (t) − z3 (t) + Ψ̃(z̃(t), yx (t)) − Ψ̃(z̃(t), yz (t))




yz1 (t) = z2 (t)




yz2 (t) = z3 (t)
6
z̃2 (t) . 0 1)
.0 1 .2
) &
z2 (t)
/ 6 $)K((' . z̃˙2 (t)
$)IJ(
/ z̃1 (t)
1 / . . 0 1 Ψ̃(z̃(t), yz (t)) = z2 (t) = yz1 (t)
$ * .T 7 3





z2 (t)z3 (t)




z̃˙1 (t) = 


2

−z1 (t)z2 (t) + z3 (t)u(t)


Σ
: ˙
F N L z̃2 (t) = −z3 (t) + Ψ̃(z̃(t), yx (t))




yz1 (t) = z2 (t)




yz2 (t) = z3 (t)
$)IM(
Ψ̃(z̃(t), yx (t)) = x2 (t) = yx1(t))
/ 7 ' .6 < 6 x3 (t) z3 (t)) '
. ) , ' 6 )
5. 2 )M ( )#(' rj (t) y ' . / . 2 rj (t)
3
rj (t) = χPj ◦ h(x(t)) − χPj ◦ h(z(t))
$)I#(
= χPj ◦ h(x̃2 (t)) − χPj ◦ h(z̃2 (t))
wj (t)(' q 7
q
1
$)I#(' . . 1
w(t))
7 ' ' / 6 / . . 1
2
) . ' . 7 / 1
)))
$
08 7
Pj
S∗ φPi,··· ,Pj
P
· · · ' S∗ j )
/ . 1 ) φPi ,··· ,Pj
S∗Pi '
) ' Pj
. S∗ 7 7 P
(i) φ
⊆ S∗Pi ∩ · · · ∩ S∗ j = {0} (ii) φPi,··· ,Pj ∩ S∗Pk = {0} k = {i, · · ·
Pi ,··· ,Pj
6
j = {1, · · · , q}( ) 1 / . . 7' 1 / 1 9 1 ' 6 QLR() , ' . w(t))
. 3
i = j '
, j}'
$!" ( + φPi ,··· ,Pj . 7 / Pj
{0}() & 7 φPj . S∗ S∗Pk T k = {1, · · · , j −1, j +1, · · · , q}) / 7 ' Pj
. S∗ 3
S∗ j = φPj ⊕ φPj ,Pi ⊕ · · · ⊕ φ··· ,Pj ,···
P
/
{0} φPj
$)IK(
/ 7 )
) w(t) 0 1 , #AB #C7 / ! wj (t)
j = {1, · · · , q} φPj
! wj (t)
1 ) 0 #AB #C7 :
P
5 {Pj } ⊆ (S∗ j )⊥ ! P
P
S∗ j ) {Pj } ⊆ S∗ j P
S∗Pi ⊆ S∗ j ) i = {1, · · · , j −1, j + 1, · · · , q} 3 - q! 0
) ) , ,(
S∗Pi ⊆
P
S∗ j 0 ! )
{Pj }
⊆
P
S∗ j
⊥
i=1,i=j
q
⊥
0
⊆
S∗Pi
i=1,i=j
1 {Pj } = {0}
! φPj = {0}
4 . / . . / 76 $)I T 7 1 ) 7 ' 1 76 ) 6
S∗P1 & ' {Pj }) 9 . 3
q
S∗P2 '
P
S∗ j
2 S∗P3 S∗P4 $)I {Pj } 7
{0} .
/ 3 {P1 }
⊆
S∗P1 )
( 6 /
φPj )
x̃(t) = Φ(x(t))(
∂Φ(x(t))
= φP1 · · · φPq φPk1 ,Pk2 · · · φPk3 ,··· ,Pk4 γ
∂x(t)
T
$)I (
$ * X
{P1 }
S∗P1
S∗P1
S∗P4
S∗P2
S∗P3
$)I3
. . $!" ( + T γ
/ . 6 γ ⊂ (φ• )⊥ ' ∀•() φ P
S∗ j j = {1, · · · , q} k1, k2, k3, · · · , k4 ∈ {1, · · · , q})
2 & ∂Φ(x(t))
6
∂x(t)
•
T
x̃(t) = x̃1 (t) · · · x̃q (t) x̃k1,k2 (t) · · · x̃k3,··· ,k4 (t) x̃γ (t)
5 x̃• (t)'
.2
0 5 =
φPi
2 φ
Pi
φPi ,Pj '
/ . .
1
wi(t))
6 / k = i)
φ
Pi ,Pj
, =
.
x̃i,j (t)
. φ
··· ,Pk ,···
wi (t) wj (t)'
k = i, j )
j = {1, · · · , q}
j = {1, · · · , q}()
3
S∗ j = φPj ⊕ φPj ,Pi ⊕ · · · ⊕ φ··· ,Pj ,···
P
T . ,7 Pj
. S∗ 6 ' . .2 1
= 6 / & x̃i (t)
1W' 6 = 1 )
2 / .
. φ··· ,Pk ,···
' 7 .
= Φ(x(t)))
φ•
$) (
6 )
{dxT
γ } 1
w(t)
0 )
' 2 . 0 . 7 2 6 +
. )
/ 1 . .
$) (' )
5 ' T . . < . $ 1) 5 2 1 )
' 1 $ * 2 S∗P1
3
   
0
0 




0 1

   
=   ,  

0 1






1
0
φP1 = S∗P1 ' φP2 = S∗P2
φP1 ,P2
S∗P2
   
1
0 




0 1

   
=   ,  

0 0






0
0
. 7 S∗P1 ∩ S∗P2 = {0})
$) I(
. $) ( / 3
S∗P1 = φP1
φP1
1 ) ' 7 Φ(x(t))
φP2
. 6 /
=
S∗P2 = φP2
$)
. . 6 2 .)
' 6 6
φ
P1
φ
P2
$) $((' 7 3

0
0
0
1
φP1



  − − − − −

− − − − − 
1 0 0 0 
P T 
∂Φ(x(t)) 




= φ 2
 =  − − − − −
∂x(t)


 

− − − − − 
0 1 0 0 
T
γ
0 0 1 0
 (
γ ⊆ (φP1 )⊥
9 T


γ ⊆ (φP2 )⊥ )
. = ) , '
1
w(t)
(S∗P1 )⊥
(S∗P2 )⊥ )
' . 6 . . . 1
6 γ
. γ( 0 1 0 0
, 2 1
. S∗P2 ) ) . / $) $(
w1 (t)
6 T
w2 (t))
1 w2 (t)
= .
0 0 1 0
= 0 6 w1 (t) w2 (t) . . . 7)
$ 2 S∗P1
3
   
0
0 




0 1

   
=   ,  

0 0






1
0
S∗P2
   
1
0 




0 1

   
=   ,  

0 0






0
0
$) L(
T
$!" ( + ,
φ
P1
φ
P2
' 5 ' . S∗P1 = φP1 ⊕ φP1 ,P2
S∗P2 = φP2 ⊕ φP1 ,P2
φ
P1 ,P2
=
0 1 0 0
T
)
1 3
φP1 ⊆ (φP2 )⊥
φP2 ⊆ (φP1 )⊥
φP1 ⊆ (φP1 ,P2 )⊥
φP2 ⊆ (φP1 ,P2 )⊥
$) J(
$)I ( . 3

T  
0 0 0 1
φP1

 

− − − − −  − − − − − 

 T  
 1 0 0 0 
 φP2




∂Φ(x(t)) 

 
= − − − − − =  − − − − − 

 ∂x(t)
 
 φP1 ,P2 T  0 1 0 0 

 


 

− − − − −  − − − − − 
(γ)T
0 0 1 0
 . 0 $) M(
. )
. / . 1
ΣN
L :
$) (
$)I ( . 1 ' 6 $)I(
3

m


P
−1
1
1
˜
˙
x̃1 (t) = (φ .ẋ(t)) ◦ (Φ) (x̃(t)) = f0 (x̃(t)) +
f˜i1 (x̃(t))ui (t) + P̃ 1 (x̃(t))w1 (t)




i=0


))


)



m



q
Pq
−1

˜
˙

f˜iq (x̃(t))ui (t) + P̃ q (x̃(t))wq (t)
x̃q (t) = (φ .ẋ(t)) ◦ (Φ) (x̃(t)) = f0 (x̃(t)) +



i=0


m



x̃˙ k1,k2 (t) = (φPk1 ,Pk2 .ẋ(t)) ◦ (Φ)−1 (x̃(t)) = f˜0k1,k2(x̃(t)) +
f˜ik1,k2(x̃(t))ui (t)
i=0

))



)



m


k3,··· ,k4

Pk3 ,··· ,Pk4
−1
˜
˙

.ẋ(t)) ◦ (Φ) (x̃(t)) = f0
(x̃(t)) +
f˜ik3,··· ,k4(x̃(t))ui(t)
x̃k3,··· ,k4(t) = (φ




i=0

m


˙

x̃γ (t) = (γ.ẋ(t)) ◦ (Φ)−1 (x̃(t)) = f˜0γ (x̃(t)) +
f˜iγ (x̃(t))ui (t)




i=0



y (t) = h ◦ (Φ)−1 (x̃(t)) = h̃(x̃(t))
x
$) #(
T
x̃(t) = x̃1 (t) · · · x̃q (t) x̃k1,k2 (t) · · · x̃k3,··· ,k4 (t) x̃γ (t) = Φ(x(t)) (x̃• (t)) =
(φ• ))
wj (t) : . 6 j . x̃j (t) j = {1, · · · , q}) $ * $)I)
' . 0 7 7 3

m


1
˜
˙

z̃
(t)
=
f
(z̃(t))
+
f˜i1 (z̃(t))ui (t) + Ψ̃1 (z̃(t), u(t), yx (t)) − Ψ̃1 (z̃(t), u(t), yz (t))

1
0



i=0


))



)



m


q

˜
˙

f˜iq (z̃(t))ui (t) + Ψ̃q (z̃(t), u(t), yx(t)) − Ψ̃q (z̃(t), u(t), yz (t))
(t)
=
f
(z̃(t))
+
z̃
q

0



i=0

m



k1,k2

˜
˙
z̃k1,k2 (t) = f0 (z̃(t)) +
f˜ik1,k2(z̃(t))ui (t)




i=0


k1,k2
(z̃(t),
u(t),
yx (t)) − Ψ̃k1,k2(z̃(t), u(t), yz (t))
+
Ψ̃
ΣF
:
NL 
))



)



m


k3,··· ,k4

˜
˙

f˜ik3,··· ,k4 (z̃(t))ui(t)
(t)
=
f
(z̃(t))
+
z̃
k3,··· ,k4

0



i=0



k3,··· ,k4

+Ψ̃
(z̃(t), u(t), yx(t)) − Ψ̃k3,··· ,k4(z̃(t), u(t), yz (t))



m

γ



˙γ (t) = f˜0γ (z̃(t)) +
f˜i (z̃(t))ui (t) + Ψ̃γ (z̃(t), u(t), yx (t)) − Ψ̃γ (z̃(t), u(t), yz (t))
z̃




i=0



yz (t) = h̃(z̃(t))
$) K(
. ) 5 &
) 4 )M ( )#((
. . $) (' 7 Σ
:
F NL
3

m


1 1
˘
˙

z̃1 (t) = f0 (z̆∗ (t)) +
f˘i1 (z̆∗1 (t))ui (t) + Ψ̃1 (z̆∗1 (t), u(t), yx (t))




i=0


))


)




m


q q

˘
˙

f˘iq (z̆∗q (t))ui (t) + Ψ̃q (z̆∗q (t), u(t), yx(t))
z̃q (t) = f0 (z̆∗ (t)) +




i=0

m



k1,k2 k1,k2
˘

˙
z̃
f˘ik1,k2(z̆∗k1,k2 (t))ui (t) + Ψ̃k1,k2 (z̆∗k1,k2 (t), u(t), yx(t))
(t)
=
f
(z̆
(t))
+

0
∗

 k1,k2
))

)
i=0


m


k3,··· ,k4 k3,··· ,k4

˘
˙

(t)
=
f
(z̆
(t))
+
f˘ik3,··· ,k4(z̆∗k3,··· ,k4(t))ui (t)
z̃
k3,··· ,k4

0
∗



i=0



k3,··· ,k4 k3,··· ,k4

(z̆∗
(t), u(t), yx(t))
+Ψ̃



m


˙

f˘iγ (z̆∗γ (t))ui (t) + Ψ̃γ (z̆∗γ (t), u(t), yx (t))
z̃γ (t) = f˘0γ (z̆∗γ (t)) +




i=0



yz (t) = h̃(z̃(t))
$)
(
$!" ( + z̆∗1 (t) · · · z̆∗q (t) z̆∗k1,k2 (t) · · · z̆ k3,··· ,k4 (t) z̆∗γ (t) =
&
'
&
' &
'
z̃1 (t), z̃γ (t) · · · z̃q (t), z̃γ (t)
z̃k1 (t), z̃k2 (t), z̃k1,k2(t), z̃γ (t)
&
' &
'
· · · z̃k3 (t), · · · , z̃k4 (t), z̃k3,··· ,k4 (t), z̃γ (t)
z̃γ (t)
$)$(
. 0 0 1 .2
. 6 f˘0• (z̆∗• (t)) +
7 $)$() , ' 3
m
m
f˘i• (z̆∗• (t))ui (t) + Ψ̃• (z̆∗• (t), u(t), yz (t)) = f˜0• (z̃(t)) +
i=0
f˜i• (z̃(t))ui (t)
i=0
Ψ̃• (z̆∗• (t), u(t), yz (t)) = f˜0• (z̃(t)) +
m
⇓
f˜i• (z̃(t))ui (t) −
f˘0• (z̆∗• (t)) +
m
i=0
f˘i• (z̆∗• (t))ui(t)
i=0
$)$I(
• = {[1], · · · , [q], [k1, k2], · · · , [k3, · · · , k4], [γ]})
. $)$I( 7
2 1
. y . 0 . rj (t)
∃rj (t)
T
x̆j∗
/
φPj ' j = {1, · · · , q}
.
6
.2 . /
/ 1
/ w(t))
. )M (' wj (t)
q
)
3
χPj ◦ h̃(x̃(t)) = χPj (x̆j∗ )
$)$ (
z̆∗j )
. 7 7 $)
. 1 ) 7
( $)$ ( . 1
6 +)&))-)()
' 1
. . 1
/ 6 ) 5 6 . 0 / )
)))
! 6
. .
=
1 0 0
. 1
)I ) +)&))-) QLIR ) 5 ' $ * 7 )
. / '
1 0 7 '
)
. / . $) ( 3
S∗ j = φPj ⊕ φPj ,Pi ⊕ · · · ⊕ φ··· ,Pj ,···
P
, ' ) 5 &
$)$$(
$)I . . ) 4 ) , ' φPj ' j = {1, · · · , q} / = )
/ 1
ΣN
L :
x̃(t) = Φ(x(t))'
$)I( . 3

m


k1
˜
˙

x̃
(t)
=
f
(x̃(t))
+
f˜ik1(x̃(t))ui(t) + P̃ k1(x̃(t))wk1 (t)
 k1
0



i=0


))



)



m



k2
˜
˙

f˜ik2(x̃(t))ui(t) + P̃ k2(x̃(t))wk2 (t)
(t)
=
f
(x̃(t))
+
x̃
k2

0



i=0

m



k3,k4

˜
˙
x̃k3,k4 (t) = f0 (x̃(t)) +
P̃lk3,k4(x̃(t))wl (t)
f˜ik3,k4(x̃(t))ui (t) +
i=0
l={k3,k4}

))



)



m


k5,··· ,k6

˜k5,··· ,k6 (x̃(t))ui (t) +
˜
˙

f
(x̃(t))
+
x̃
P̃lk5,··· ,k6 (x̃(t))wl (t)
k5,··· ,k6 (t) = f0

i



i=0
l={k5,··· ,k6}


m




f˜iγ (x̃(t))ui (t)
x̃˙ γ (t) = f˜0γ (x̃(t)) +




i=0



yx (t) = (h) ◦ (Φ)−1 (x̃(t)) = h̃(x̃(t))
$)$L(
'
x̃(t) = x̃k1 (t) · · · x̃k2 (t) x̃k3,k4 (t) · · · x̃k5,··· ,k6(t) x̃γ (t)
∂Φ(x(t))
∂x(t)
&
= φPk1 · · · φPk2 φPk3 ,Pk4 · · · φPk5 ,...,Pk6 γ
{Pj } . . / {P1 }'
, )
φ
k1, · · · , k6 ∈ {1, · · · , q})
wj (t)
wj (t) ' 1
) 76 $)
) , 76 $)I $)
: 6
. S∗P3 )
2 . 0 ' / . Pj
Pj
. S∗ ) '
x̃j (t) x̃j,i(t) · · · x̃··· ,j,···(t)
S∗P2
T
T
/ 2
)
. 0 $!" ( + X
{P1 }
S∗P1
S∗P4
S∗P2
S∗P3
$)
3
. . $ * +- ΣN L :
3


ẋ1 (t) = x1 (t) + u1 (t) + w1 (t)





2


ẋ2 (t) = x3 (t)x4 (t) + x1 (t)u2 (t) + w2 (t)
ẋ3 (t) = x2 (t)x3 (t) + x4 (t)



2


ẋ4 (t) = x4 (t) + u3 (t) + w3 (t)



yx (t) = [x21 (t) x2 (t)x3 (t) x3 (t)]T
x(t) ∈ R4 ' u(t) ∈ R3 ' yx (t) ∈ R3
' 1 ' x1 (t)' x2 (t)
x3 (t)
P1
w(t) ∈ R3
$)$J(
< )


1 0 0 0
T


P2 P3 = 0 1 0 0) 0 0 0 1
,
T
E{dh} = )
0 0 0 1
'
5. 3
P
C∗ 1 =
P
S∗ 1 =
 

 1

  0
 
 

 0



0
=
P
 
0



  1
 
 

 0



0
P
C∗ 2 =
S∗ 2 =
. 
0


 0 



,

 x3 (t) 



0
 
0
 
 0
, 
 1
0
 
0 

 

 0
, 
 0 



1
=
Am
P
C∗ 3 =
P
S∗ 3 =
 
1



  0
 
 

 0



0
 

 0

  0
 
 

 0



1

 
0 




  1 

 
 
  0 






0
P
(S∗ 2 )⊥

0


 0 



,

 x3 (t) 



0
 

 0

  1
 
 

 0



0

 
1 




  0 

 
 
  0 






0
P
(S∗ 1 )⊥
 
0
 1
 
, 
 0
0
 
0
 
 0
, 
 1
0
 
0 

 

 0
, 
 0 



1
 
0



  0
 
 
  0



1
P
(S∗ 3 )⊥
=


0



 2x (t)x (t) 


4
, 3



1



2x4 (t)


0



 2x (t)x (t) 


4
, 3



1



2x4 (t)

0
 2x (t)


, 3


0 
2

0
 2x (t)


, 3


0 
2


 
1 




  0 

 
 




0






0
7 . )#K(( . 3


1 0 0


Am = 0 1 1
0 0 1
6 ' =φ
p1
=
S∗p2
=φ
p2 ,p3
)I
T
1 0 0 0
,
= 0 1 0 0
φp 3 =
j = {1, 2, 3}
6
1 3
S∗p3 = φp3 ⊕ φp2 ,p3
$)$M(
7) Pj
S∗ ,
S∗p1
1
T
,
0 0 1 0
T
, 0 0 0 1
T
$)$#(
$!" ( + 7
3
x̃(t) = Φ(x(t))
5 2
φp2 ,p3
7
γ
∂Φ(x(t))
= φp1 φp3 φp2 ,p3
∂x(t)
. 7 . . . T
$)$K(
φp 1 ' φp 3
)
5 ' 7 . 3



z̃˙1 (t) = z̃1 (t) + u1 (t) + Ψ1 (z̆∗1 (t), u(t), yx (t)) − Ψ1 (z̆∗1 (t), u(t), yz (t))


 





3 3
˙


z̃˙3 (t) = z̃31 (t) = z̃2,3 (t)z̃31 (t) + z̃32 (t) +Ψ (z̆∗ (t), u(t), yx (t))
2
Σ
:
(t) + u3 (t)
z̃˙32 (t)
z̃32
−Ψ3 (z̆∗3 (t), u(t), yz (t))
F NL 


2


(t) + z̃1 (t)u2 (t) + Ψ2,3 (z̆∗2,3 (t), u(t), yx (t)) − Ψ2,3 (z̆∗2,3 (t), u(t), yz (t))
z̃˙2,3 (t) = z̃31 (t)z̃32




yz (t) = [z̃ 2 (t) z̃2,3 (t)z̃31 (t) z̃31 (t)]T
1
$)$ (
(z̃3 (t)) =
(φ ) = 2
$)$( 7 z̆∗1 (t)
p3
T 1 . 3
z̆∗3 (t)
z̆∗2,3 (t)
=
&
z̃1 (t)
' &
z̃3 (t)
' &
z̃3 (t), z̃2,3 (t)
'
$)L(
z̆∗1 (t) = z̃1 (t)
; z̆∗3 (t) =
3
z̆∗1
(t)
3
z̆∗2 (t)
=
z̃31 (t)
z̃32 (t)

 2,3  
z̆∗1 (t)
z̃31 (t)

 2,3  
; z̆∗2,3 (t) = z̆∗2
(t) =  z̃32 (t) 
2,3
(t)
z̆∗3
z̃2,3 (t)
$)LI(
. 0 7 7 1 2 . ) 6 7 $)$I( = 1 3



z̆ 1 (t) + u1 (t) + Ψ1 (z̆∗1 (t), u(t), yz (t)) = z̃1 (t) + u1 (t)


∗






3
(t)
(t)z̃
(t)
+
z̃
(t)
z̆∗2
z̃
31
32

 + Ψ3 (z̆∗3 (t), u(t), yz (t)) =  2,3

3 2
2


(z̆∗2 ) (t) + u3 (t)
z̃32 (t) + u3 (t)




z̆ 2,3 (t)(z̆ 2,3 )2 (t) + Ψ2,3 (z̆ 2,3 (t), u(t), yz (t)) = z̃31 (t)z̃ 2 (t) + z̃1 (t)u2 (t)
∗1
∗2
3
∗
$)L (
32



Ψ1 (z̆∗1 (t), u(t), yz (t)) = 0







yz2 (t)

Ψ3 (z̆∗3 (t), u(t), yz (t)) = 


0



1

Ψ2,3 (z̆ 2,3 (t), u(t), yz (t)) = yz1 (t)u2 (t)
∗
$)L$(
$ * 7 . ΣF N L
/ 

z˙1 (t) = z1 (t) + u1 (t)



1


2

z
˙
yx1 (t)u2 (t)
2 (t) = z3 (t)z4 (t) +


:
z˙3 (t) = yx2 (t) + z4 (t)




z˙4 (t) = z42 (t) + u3 (t)





yz (t) = (z12 (t) z2 (t)z3 (t) z3 (t))T
' x1 (t) ∀w2 (t)'
w3 (t)
6 /
S . (z3 (t) z4 (t))
! 1
x2 (t) ∀w1 (t)
3
' S . . z2 (t)
$)LL(
/ z1 (t) / 1 S . . 6 /
. 6 3
/
z2 (t)
'
7' .
=
w2 (t)
w3 (t) = 0)
/ 1 w1 (t)) z1 (t)
w1 (t) = 0)
w2 (t) = 0
. / (z3 (t) z4 (t)) / 6 / (x3 (t) x4 (t)) ∀w1 (t)' w2 (t) ' ' '
1 '
w3 (t))
w3 (t))
w3 (t) = 0)
6 7 7 .)
. (
2 . 1
w(t)' y ) D rj (t) 7 {drjT } . {drjT } ⊆
φPj ' P
φ j ⊕ φPj ,Pi ⊕ · · · ⊕ φ··· ,Pj ,··· ) , ' . 6 )I ' 2 q . 1 .
2 / 1 )
$ , 4 0 6 7 ) 1 / . . 0 7 . =
6 ) , ' q
. ' 7 )
. 7 . 0/
6 / . 7
6 ) , ' 1 ) , ' ' . 62 . 2 1 ) . 7 )
. )I
. . 6 . 1) . Am
$!" ( + P
Sm∗j
. 1
wj (t) / U2 )
/ 7 / )
Pj
' . 6 Sm∗ '
P
P
Pk
Sm∗j {Pj } ⊆ Sm∗j () , ' Sm∗
P
j ⊥
Pk ⊥
k = {1, · · · , q} k = j ? @ (' . (Sm∗ ) (Sm∗ ) ) . . 6 . Pk
Sm∗
)
= 6 1 1
' wj (t)
1
' 1
3
T Pj wj (t))
. )#M( 
(BPj )1
 Pj 
 (B )2 
 ∈ RPj ×q
=
))


)


Pj
(B )Pj
$)LJ(
)#J()
.
6
Pj ' 
B Pj
D 1 . 6
6 )
' wj (t))
ΛPj
7 ( 1
. 3
Pk1 ⊥
Pk2 ⊥
Pk3 ⊥
Pk4 ⊥
ΛPj ⊆ (Sm∗
) ∩ · · · ∩ (Sm∗
) ∩ (Sm∗
) ∩ · · · ∩ (Sm∗
) (Sm∗j )⊥
P
5
k1, · · · , k2, k3, · · · , k4 ∈ {1, · · · , q})
.
6
1
5
=
7 wk1 (t) · · · wk2 (t)
wk3 (t) · · · wk4 (t) {k3, · · · , k4} / . , .2
1 .0 . 6 1
$)LM(
) φ
) . / 1
.
Pi
Sm∗
··· ,Pk3 ,···
. 7 6 ' Pk3
wk3(t)' Sm∗
= {0}'
6 $) )I) ()
P
{j}' {i, j}
{· · · , j, · · · }
7 / . Pk2
· · · ' Sm∗
1 . $)L#(
{k1, · · · , k2})
1 wj (t)' i=
3
Sm∗j = φPj ⊕ φPj ,Pi ⊕ · · · ⊕ φ··· ,Pj ,···
T
)
6 1
. ' ) , Pk1
Sm∗
'
' = 62 7 ) 2 Pj
' S∗ ,
1 )
j = {1, · · · , q}( $ * / 7 ' 6
. 0 3
∂Φ(x(t))
∂ x̃(t)
=
= φPk5 · · · φPk6 φPk7 ,Pk8 · · · φPk9 ,··· ,Pk10 ΛPj γ
∂x(t)
∂x(t)
φ• k5, · · · , k10 ∈ {k1, · · · , k2}) γ T
Λ
Pj
' .
ΛPj ⊆ (φ• )⊥ )
. 0 {k3, · · · , k4}
6 (
)
6 wk1(t) · · · wk2 (t) wk3(t) · · · wk4(t)
/ . $)LK(
Pk1
Pk2
Sm∗
' · · · ' Sm∗
. 6 Φ(x(t)) $)LM(' 0 O .2
6 ' 2
. 2 1
T
/ 6 / 7
4 1 /
wi (t)' i = {k3, · · · , k4})
1 wi (t))
1
{k1, · · · , k2}
6 1
6 '
,
(
. 0 ) , '
S . 6 ' . 0 1
3
Ψ(•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψdt (∆x )
$)L (
$
%
∆x = Yx (t), u(t), · · · , u(max−1) (t), ξ1 (Yx (t), Yx1(t)), · · · , ξl (Yx (t), Yxl (t)), z̃N 2 (t)
S . 6 3
Ψ(•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψdc (∆x ) − Ψdc (∆z )
∆x
7 $)JI(
$
%
∆z = Yz (t), u(t), · · · , u(max−1) (t), ξ1 (Yz (t), Yz1(t)), · · · , ξl (Yz (t), Yzl (t)), z̃N 2 (t)
(
Y• (t) =
(0)
y•1 (t), · · ·
Y•1 (t), · · · , Y•l (t) w
(minj (ρmij ) − 1)) $)J(
w
(min (ρ j )−1)
, y•1 j m1
(t), · · ·
(0)
, y•p (t), · · ·
w
(min (ρ j )−1)
, y•p j mp
(t)
62 1 1 ξ1 (•), · · · , ξl (•) 1 max . ' ' .2
6 $)J (
)
. • = x(t) y(t)'
2
2
)
0 1 () 5 $!" ( + $)LK(' 7 j = {1, · · · , q}( 3

m


k5 k5
˜
˙

z̃k5 (t) = f0 (z̃∗ (t)) +
f˜ik5(z̃∗k5 (t))ui (t) + Ψ̃k5 (•x (t), •z (t), •u (t))




i=0


))



)



m



k6 k6
˜
˙

f˜ik6(z̃∗k6 (t))ui (t) + Ψ̃k6 (•x (t), •z (t), •u (t))
z̃k6 (t) = f0 (z̃∗ (t)) +




i=0

m




˙k7,k8 (t) = f˜0k7,k8(z̃∗k7,k8(t)) +

f˜ik7,k8(z̃∗k7,k8 (t))ui (t) + Ψ̃k7,k8(•x (t), •z (t), •u (t))
z̃



i=0



)))
7 ΣF
:
N Lj
m


k9,··· ,k10 k9,··· ,k10
˘
˙

(t)
=
f
(z̆
(t))
+
f˘ik9,··· ,k10 (z̃∗k9,··· ,k10(t))ui (t)
z̃

k9,··· ,k10
0
∗



i=0



k9,··· ,k10

(•x (t), •z (t), •u (t))
+Ψ̃



m


Pj
Pj
Pj


˙ Pj (t) = f˜0ΛPj (z̆∗ΛPj (t)) +

f˜iΛ (z̆∗Λ (t))ui (t) + Ψ̃Λ (•x (t), •z (t), •u (t))
z̃

Λ


i=0


m




z̃˙γ (t) = f˜0γ (z̆∗γ (t)) +
f˜iγ (z̃∗γ (t))ui (t) + Ψ̃γ (•x (t), •z (t), •u (t))




i=0



yz (t) = h̃(z̃(t))
$)J$(
3
P
j
z̆∗k5 (t) · · · z̆∗k6 (t) z̆∗k7,k8 (t) · · · z̆ k9,··· ,k10 (t) z̆∗Λ (t) z̆∗γ (t) =
&
'
&
'
z̃k5 (t), z̃ΛPj (t), z̃γ (t) · · · z̃k6 (t), z̃ΛPj (t), z̃γ (t)
'
&
'
&
z̃k7 (t), z̃k8 (t), z̃k7,k8(t), z̃ΛPj (t), z̃γ (t) · · · z̃k9 (t), · · · , z̃k10 (t), z̃k9,··· ,k10 (t), z̃ΛPj (t), z̃γ (t)
' &
'
&
z̃ΛPj (t), z̃γ (t)
z̃ΛPj (t), z̃γ (t)
$)JL(
, 1
. 0 6 6 3
Ψ̃• (•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ̃•dt (•x (t), •z (t), •u (t)) + Ψ̃•dc (•x (t), •z (t), •u (t))
= Ψ̃•dt (∆x ) + Ψ̃•dc (∆x ) − Ψ̃•dc (∆z )
. 7
. 0 $)JJ(
6
1 .6 3
f˘0• (z̆∗• (t)) +
m
f˘i• (z̆∗• (t))ui (t) + Ψ̃•dc (∆z ) = f˜0• (z̃(t)) +
i=0
Ψ̃•dc (∆z ) = f˜0• (z̃(t)) +
m
f˜i• (z̃(t))ui (t)
i=0
m
i=0
⇓
f˜i• (z̃(t))ui (t) −
f˘0• (z̆∗• (t)) +
m
i=0
f˘i• (z̆∗• (t))ui(t)
$)JM(
$ * • = {[k5], · · · , [k6], [k7, k8], · · · , [k9, · · · , k10], [ΛPj ], [γ]})
$)JM(' Ψ̃•dc (∆x ) )
5
. 0 Ψ•dt (∆x ) =
6 ' Pi wi (t)'
2
2 / . 1
wi (t))
i=k3,··· ,k4
+- 7 / . 6
5 ' 6 . 1 . 0 6 2
. 7 . )$)J)I)
2 / . '
() . . 1
wj (t))
7 )MM( 3


ẋ1 (t) = −x21 (t) + u1 (t) + w1 (t)





ẋ2 (t) = −x2 (t) + x3 (t)u2 (t)




ẋ (t) = x (t) − x (t)x (t)2 w (t) + u (t)
3
2
3
2
2
3
ΣN L


ẋ4 (t) = −x3 (t)x4 (t)





y (t) = x1 (t)


 x1


yx2(t) = x4 (t)
,
T
P1
P2
Sm∗ = {0} Sm∗ =
)
0 0 1 0
$)J#(
6 3
S . {k1, · · · , k2}
/
{2}
. 1 {k3, · · · , k4}
/
{1}
. 1 S . 1
w1 (t)
)
) P2
Sm∗
1 = 2
P2
Sm∗
= φP2
P2 ⊥
(Sm∗
)
,
Λ
Pj
$)JK(
2 1
3
=
7 6
1 0 0 0
T
w1 (t)
w2 (t))
$)J (

 T 
0
P2
φ

 T   1
x̃(t) = Φ(x(t)) =  ΛPj  = 
0
(γ)T
0
3
0
0
1
0
. 1
0
0
0

0
0


0
1
3
$)M(
$!" ( + 5 ' 7
7 3


z̃˙1 (t) = z̃γ1 (t) + u3 (t) + Ψ̃1 (•x (t), •z (t), •u (t))






z̃˙ΛPj (t) = −z̃Λ2 Pj (t) + u1 (t) + Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t))


 





˙z̃γ1 (t)
−z̃ P (t) + z̃1 (t)u2 (t)
= Λ j
 + Ψ̃3 (•x (t), •z (t), •u (t))
z̃˙ (t) = 
ΣF
NL  γ
˙

z̃γ2 (t)
−z̃1 (t)z̃γ2 (t)




yz1 (t) = z̃ Pj (t)


Λ



yz2 (t) = z̃γ2 (t)
$)MI(
0 . 0 / . Ψdt (∆x ) . 0 0 1 6
Ψdc (∆x ))
(1)
2
w1 (t) ∆x w1 (t) = yx1 (t) + yx1
(t) − u1 (t)( . 1
. 1
, 1
2 7 . ' . 0 3
Ψ̃1 (•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ̃1dc (∆x ) − Ψ̃1dc (∆z )
Ψ̃2 (•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ̃2dt (∆x ) + Ψ̃2dc (∆x ) − Ψ̃2dc (∆z )
$)M (
(1)
2
= yx1 (t) + yx1
(t) − u1 (t) + Ψ̃2dc (∆x ) − Ψ̃2dc (∆z )
Ψ̃3 (•x (t), •z (t), •u (t)) = Ψ̃3dc (∆x ) − Ψ̃3dc (∆z )
1
P
j
z̆∗1 (t) z̆∗Λ (t) z̆∗γ (t) =
, &
z̃1 (t), z̃ΛPj (t), z̃γ (t)
3
' &
z̃ΛPj (t), z̃γ (t)
2 ' &
z̃ΛPj (t), z̃γ (t)
$)M$(
0 ' 3



z̃γ1 (t) + u3 (t) + Ψ̃1dc (∆z ) = z̃γ1 (t) + u3 (t)




 −z̃ 2 P (t) + u1 (t) + Ψ̃2 (∆z ) = −z̃ 2 P (t) + u1 (t)
dc
Λ j
Λj





−z̃ P (t)
−z̃ P (t) + z̃1 (t)u2 (t)

 Λ j  + Ψ̃3dc (∆z ) =  Λ j





0
−z̃1 (t)z̃γ2 (t)
3
'



Ψ̃1dc (∆z ) = 0




 Ψ̃2 (∆z ) = 0
dc

 (1)
−yz2 (t)


u2 (t)

3
z2 (t)

 y(1)

(∆
)
=
Ψ̃

z
dc

yz2 (t)

z̃
(t)
yz2 (t) γ2
$)ML(
$)MJ(
$ * 5 . 6 ' 7 . ΣN L
3

(1)
2

ż1 (t) = −z12 (t) + u1 (t) + yx1 (t) + yx1
(t) − u1 (t)



(1)

−y (t)


ż2 (t) = −z2 (t) + ( yx2x2(t) )u2 (t)




ż (t) = z (t) + u (t)
3
2
3


)z4 (t)
ż4 (t) = (





yz1 (t) = z1 (t)





yz2 (t) = z4 (t)
/ ' 3
S . . / 1 ! 1
x(t) ∀w1 (t)
w2 (t)) z(t)
w2 (t) = 0)
. . / (z1 (t) z2 (t) z4 (t)) / 1) (z1 (t) z2 (t) z4 (t))
6 / (x1 (t) x2 (t) x4 (t))' ∀w1 (t) w2 (t))
6 /
S
$)MM(
(1)
yx2 (t)
yx2 (t)
' '
7 ' .
=
6 7 7 .)
, 1, · · · , q (
3
)I
7' 2 0 {drjT }
S 1 drj ∀j =
Pk1 ⊥
Pk2 ⊥
⊆ ΛPj = (Sm∗
) ∩ · · · ∩ (Sm∗
) ∩
P
S
Pk3 ⊥
Pk4 ⊥
) ∩ · · · ∩ (Sm∗
) (Sm∗j )⊥
(Sm∗
drj y 1
wj (t)) . rj (t) j
1
7 = {1, · · · , q}(
j
7 . 1
5 6' 6 rj (t))
. / q
7 )
wj (t))
0 . . 2 1 )
5
1
' 6
)
: x(t = 0) = z(t = 0)) .6 x(t) = z(t)' ∀t , ' x(t) → z(t)
' x(t
' . t → +∞)
. .
1 ()
= 0) = z(t = 0)('
6 ' 6 1 .0 6
$!$ ( + & #& . .
' 6 0 O
. 7 ) r(t) = yx (t) − yz (t) . 1
6
7 3 ∀ε > 0' ∃t r(t) < ε)
6 Y .
D . = .
/ ' < ' 6 6) & ' 6 . . )
- . % . 6 ' 6 6
2 .
6
. < / 2
2
.
) 5 / / QL R(' . 6 0 ' . ) , ' 1
. 1 . ) . . QL ' LLR(
1 0 E 6' ' 7 ()
5
' . 6 [) . 1
**)
) 5
QL R(' 3
ẋ(t) = f (x(t), t)
, f (x(t), t)
C
' . $)M#( 7 3
δ ẋ =
δx
7 , 2 0 ∂f (x(t), t)
δx
∂x(t)
δxT δx
$)MK(
7 / )
7 . / 76 $)$ $)M#(
ẋ(t) = f (x(t), t)'
)
= 7 3
d
∂f (x(t), t)
(δxT δx) = 2δxT δ ẋ = 2δxT
δx
dt
∂x(t)
$)M (
$ * 0 1
t1
δx
0 2
t
t1
$)$3 >0 δ ẋ
3
d
d T T
(δxT δx) =
δx δx = 2δxT
dt
dt
*
∂f (x(t), t)
∂x(t)
+T
$)#(
δx
λmax (x, t) 6 0 ∂f (x(t), t)/∂x(t) 0.5((∂f (x(t), t)/∂x(t)) + (∂f (x(t), t)/∂x(t))T )( λmax (x(t), t) 1 6 6 7 δx 6
2 =
Y) 2 0
: ) , ' 6 0 )
' 7 . 6 QL R( 3
) :
! ẋ(t) = f (x(t), t) - - < ∂f (x(t), t)/∂x(t) - )
- &
∂f (x(t), t)/∂x(t)
7 1
1
∃β > 0, ∀x, ∀t ≥ 0,
2
T
I
*
6 1' 3
∂f (x(t), t) ∂f T (x(t), t)
+
∂x(t)
∂x(t)
+
≤ −βI < 0.
) ' . 0 2 6
3
δz = Θ(x(t), t)δx
T
Θ(x(t), t)
. $)#I(
$)# (
)
δz
= 3
d
δz = Θ̇δx + Θδ̇x
dt
*
+
∂f (x(t), t)
= Θ̇ + Θ
Θ−1 δz = F δz
∂x(t)
$)#$(
$!$ ( + & T .
0 6 F 3
+
*
∂f (x(t), t)
Θ−1
F = Θ̇ + Θ
∂x(t)
$)#L(
/ . 3
d
(δz T δz) = 2δz T F δz
dt
5.
Y / δz
$)#J(
δx( ' 6 2
6 T
F
7 1
6 ) , 3
δz T δz = δxT Mδx
T
M(x(t), t) = ΘT Θ
. $)#$( $)#M(
C
d T
δx Mδx = δxT
dt
*
δx
)
3
∂f T (x(t), t)
∂f (x(t), t)
M + Ṁ + M
∂x(t)
∂x(t)
! 7 6
= +
δx
$)##(
QL R( 3
) !
ẋ(t) = f (x(t), t) - - )
! M(x, t) ) ∂f T (x(t),t)
(x(t),t)
F ! 6C. M + Ṁ + M ∂f∂x(t)
- )
∂x(t)
- D 7 .
' ' . 62 . ( [) )))
:, ) / *)*) ,)
QL R)
=
3
ẋ1 (t) = f1 (x1 (t), t)
$)#K(
ẋ2 (t) = f2 (x2 (t), t)
7 3
δ ż1 = F1 δz
$)# (
δ ż2 = F2 δz
2 7 1
=
∃α > 0, ∀t ≥ 0, αi(t) ≥ α)
.
6 3
α1 (t)δ ż1 + α2 (t)δ ż2
T
6 2
# ;
2 $)K(
$ * )))
:<
5.
# = # ;
' 7
2
3
ẋ1 (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), t)
$)KI(
ẋ2 (t) = f2 (x1 (t), x2 (t), t)
[email protected] 3
d
dt
6
δz1
δz2
=
) F1
G
−GT F2
' F1
F2
δz1
δz2
' $)K (
7 1
6
)
)))
:> # ;
d
dt
T F21
δz1
δz2
7 F11 0
δz1
=
δz2
F21 F22
0 ) $)K$(
'
/ 6 2 3
δz1
Y
F11
1
7 6 )
F21 δz1 ) &
F21 0' 6 2 δz1 Y 6 ) '
F22 1 7 6 δz2 6 2 Y)
6 2 6 =
0 )
. 6 0 O ) 4 .6 . 6 . ) , ' 6 . 1 2 Y 1 1 () 5 6 ' .
6 )
( & .0 1 6 .2 6
1 ) 5. . $)M#(' $!$ ( + & 7 =
3
ż(t) = f (z(t), t)
/ 6 2 e(t) = z(t) − x(t)
e(t)
e(t) = 0, ∀t)
) , . ' /
x(t)
. =
0 )
. ∂f (x(t),t)
0 0 6 ( ∂x(t)
6 2 z(t)
e(t)
' $)M#( $)KL() 2 '
, ' ' . ' . 7 ( / 7 1
) , 6 2 $)M#( $)KL('
5
Y) ' / . ' / Y . . ) . . 1 $)KL(
) 5
=
0 '
x(t) z(t)
e(t) Y)
5 ' T 6 = . 0 / . ' .0 7)
. 3

ẋ(t) = f (x(t), t)
$)KJ(
yx (t) = h(x(t))
7
0
0 ( 3

ż(t) = f (z(t), t) + Ψa (z(t), u(t), y (t), y (t))
x
z
yz (t) = h(z(t))
$)KM(
7 . 1 / ) , ' . 0 7 7 3
2
2
f (z(t), t) + Ψ (z(t), u(t), yx (t), yz (t))2
a
z(t)=x(t)
! = f (x(t), t)
/ 7 6 .
Ψa (z(t), u(t), yx (t), yz (t)) = Ψa (z(t), u(t), yx (t)) − Ψa (z(t), u(t), yz (t))
$)K#(
3
$)KK(
$ * 3
2
2
Ψ (z(t), u(t), yx (t))2
a
z(t)=x(t)
0 2
2
=Ψ (z(t), u(t), yz (t))2
a
0 7)
7 7 . , . 0 .0 . ' ∂
f (z(t), t)
∂z(t)
S +
=
6
S
. '
)
) , ' 6P / 0 7 '
'
/ 7 . $)KK(' )
./ . . 0 3
S
(f (z(t), t) + Ψa (z(t), u(t), yx (t), yz (t)))'
' / .' .0 1 ∂
Ψa (z(t), u(t), yx (t), yz (t)) 3
∂z(t)
72 S 2 0 ∂
0 7 ∂z(t)
$)K (
z(t)=x(t)
/ 1
' [email protected] ('
.
6
0 6 1
7 6 )
6 . . . = 6 . . Y)
0 1 6 1 )
/ % .0 1 6 .2
. 6
1 )
.6
. 0 6 / 1 $) )I( Q$ R() .2 7
/ 6 2 / 6)
. . 3
ΣN
L

m


˜
˙
x̃1 (t) = f0,1 (x̃1 (t), x̃2 (t)) +
f˜i,1 (x̃1 (t), x̃2 (t))ui(t) + P̃x (x̃1 (t), x̃2 (t))w(t)




i=1

m
: ˙
˜
x̃
f˜i,2 (x̃1 (t), x̃2 (t))ui(t)
(t)
=
f
(x̃
(t),
x̃
(t))
+

2
0,2 1
2



i=1



yx (t) = h̃(x̃1 (t), x̃2 (t))
$) (
$!$ ( + & 1
/ ' 7 / . . 0 6 $) )I)I 3



z̃˙1 (t)








˙
Σ
: z̃2 (t)
F NL 









yz (t)
, . 0 . = f˜0,1 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
m
f˜i,1 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui(t)
i=1
= f˜0,2 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
m
f˜i,2 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui(t)
+Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yx(t)) − Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yz (t))
= h̃(z̃1 (t), z̃2 (t))
.2
' z̃1 (t) / Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yz (t)) 7 .6 3
/
' . 0 $) I(
i=1
)
$)
(
f˜i,2 (z̃1 (t), z̃2 (t)) − Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yz (t)) = f˘i,2 (z̃2 (t))
i = {0, · · · , m}
5. 7 ' 7 $) I( . 3

m


˜
˙
z̃1 (t) = f0,1 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
f˜i,1 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui (t)




i=1

m
Σ
:
F N L z̃˙2 (t)
= f˘0,2 (z̃2 (t)) +
f˘i,2 (z̃2 (t))ui (t) + Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yx(t))



i=1



yz (t) = h̃(z̃1 (t), z̃2 (t))
1
7 


z̃˙1 (t)








z̃˙2 (t)
Σ
:
F NL 









yz (t)
. 0 6
$) $(
$)KM( Ψa (z(t), yx (t), yz (t))(' 3
= f˜0,1 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
= f˘0,2 (z̃2 (t)) +
m
m
f˜i,1 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui (t) + Ψ̃a1 (z(t), u(t), yx (t), yz (t))
i=1
f˘i,2 (z̃2 (t))ui (t)
i=1
+Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yx (t)) + Ψ̃a2 (z(t), u(t), yx (t), yz (t))
= h̃(z̃1 (t), z̃2 (t))
$) L(
$ * . 6'
. 3
Σ
:
F NL




z̃˙1 (t)









z̃˙2 (t)
m
= f˜0,1 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +
= f˘0,2 (z̃2 (t)) +
m
f˜i,1 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui(t) + Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t))
i=1
f˘i,2 (z̃2 (t))ui(t)
i=1



+Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yx(t)) + Ψ̃a2 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t))





yz1 (t) = h̆1 (z̃1 (t), z̃2 (t))




y (t) = h̆ (z̃ (t))
z2
2 2
$) J(
.6 1 , ' w(t))
' 6
1 0 yz2(t)
0/
yx2 (t) . yz1 (t) − yx1 (t) 1
1 $)KK( / 7 ) 5
6 1' / . 6 . . )
6
/ . 0 3
Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t)) = Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yx1(t), yx2(t), yz1 , yz2(t))
Ψ̃a2 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t)) = Ψ̃a1 (z̃2 (t), u(t), yx2(t), yz2(t))
, 2 . 2 6(' . 0 6
$) M(
0 ' . 3
Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yx (t), yz (t)) = Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yx1(t), yx2 (t)) − Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yz1(t), yz2 (t))
Ψ̃a2 (z̃(t), u(t), yx (t), yz (t)) = Ψ̃a2 (z̃2 (t), u(t), yx2(t)) − Ψ̃a2 (z̃2 (t), u(t), yz2(t))
$) #(
0 7' / 6 ' . 3
˙
F D = ∂ z̃(t) = α1 + β1 α2 + β2
Jac
∂ z̃(t)
0
α3 + β3


m
a
f˜i,1 (z̃1 (t), z̃2 (t))ui (t) + Ψ̃1 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t))
f˜0,1 (z̃1 (t), z̃2 (t)) +

∂ 


i=1
=


m
∂ z̃(t)  ˘

a
˜
f0,2 (z̃2 (t)) +
fi,2 (z̃2 (t))ui(t) + Ψ̃(z̃2 (t), u(t), yx (t)) + Ψ̃2 (z̃(t), u(t), yx (t), yz (t))
i=1
$) K(
6 '
βj ' j = {1, 2, 3}
7
3
β1 =
∂
∂ z̃1 (t)
Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t))
β2 =
∂
∂ z̃2 (t)
Ψ̃a1 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t))
β3 =
∂
∂ z̃2 (t)
Ψ̃a2 (z̃2 (t), u(t), yx2(t), yz2(t))
$)
(
$!$ ( + & =
. . 0 O , x(t)'
6
' F D
Jac
βj
1
. ' ' 6 7 0 ' 6 2 1 . 1 ' z2 (t) {dhT }
6 . )
./ . =
/ 6 7) < / ' 7 6 ) "
=
w(t)
= 0()
z(t)
, '
6 1()
, ' 1 . 0 7 .6 $) #(() 5 . 6 1
. . 7 6 $) )I)
/ 0 / 2
(' 3
Ψ̃a (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t)) = Ψ̃a (z̃(t), u(t), yx (t)) − Ψ̃a (z̃(t), u(t), yz (t))
, ' . Σ
:
F NL
$)
(
6
1
/
1 ) . 0 6
$)I(
3

m

1 1

˘
˙
z̃1 (t) = f0 (z̆∗ (t)) +
f˘i1 (z̆∗1 (t))ui (t) + Ψ̃1 (z̆∗1 (t), u(t), yx (t))




i=0




1

(z̃(t),
u(t),
yx (t), yz (t))
+
Ψ̃

a


))



)



m


q q

˘
˙

(t)
=
f
(z̆
(t))
+
f˘iq (z̆∗q (t))ui (t) + Ψ̃q (z̆∗q (t), u(t), yx(t))
z̃
q

0 ∗



i=0



q

+Ψ̃a (z̃(t), u(t), yx (t), yz (t))



m



k1,k2 k1,k2
˘

˙
f˘ik1,k2 (z̆∗k1,k2 (t))ui(t) + Ψ̃k1,k2(z̆∗k1,k2 (t), u(t), yx(t))
z̃k1,k2(t) = f0 (z̆∗ (t)) +



i=0

+Ψ̃k1,k2
(z̃(t), u(t), yx (t), yz (t))
a



))



)



m


k3,··· ,k4 k3,··· ,k4

˘
˙

(t)
=
f
(z̆
(t))
+
f˘ik3,··· ,k4(z̆∗k3,··· ,k4(t))ui (t)
z̃
k3,··· ,k4

0
∗



i=0



k3,··· ,k4 k3,··· ,k4

(z̆∗
(t), u(t), yx(t)) + Ψ̃ak3,··· ,k4 (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t))
+Ψ̃



m

γ


˙γ (t) = f˘0γ (z̆∗γ (t)) +

f˘i (z̆∗γ (t))ui (t) + Ψ̃γ (z̆∗γ (t), u(t), yx (t))
z̃




i=0



γ

+Ψ̃a (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t))





yz (t) = h̃(z̃(t))
$)II(
$ * z̆∗1 (t) · · · z̆∗q (t) z̆∗k1,k2 (t) · · · z̆ k3,··· ,k4 (t) z̆∗γ (t) =
'
&
' &
'
&
z̃k1 (t), z̃2 (t), z̃k2,k3(t), z̃γ (t)
z̃1 (t), z̃γ (t) · · · z̃q (t), z̃γ (t)
&
' &
'
· · · z̃k3 (t), · · · , z̃k4 (t), z̃k3,··· ,k4 (t), z̃γ (t)
z̃γ (t)
, $)I (
3
yz1(t) · · · yzq (t) yzk1,k2(t) · · · yzk3,··· ,k4(t) yzγ (t)
T
=
h̆1 (z̆∗1 (t)) · · · h̆q (z̆∗q (t)) h̆k1,k2(z̆∗k1,k2 (t)) · · · h̆k3,··· ,k4(z̆∗k3,··· ,k4 (t)) h̆γ (z̆∗γ (t))
T
$)I$(
6 3
Ψ̃•a (z̃(t), u(t), yx(t), yz (t)) = Ψ̃•a (z̆∗• (t), u(t), yx• (t)) − Ψ̃•a (z̆∗• (t), u(t), yz•(t))
&
'
• = [1] · · · [q] [k1, k2] · · · [k3, · · · , k4] [γ]
1 .6 $)IL(
1 . 0 )
& ' 1 / . . . 7 6)
. 1 ' ' ' / 7 6 7 / N () ' 0 )
. ' ) ' .
1 . 2 . 0 . 7 ) . 1 / . . . . =
6 )
=
/ )
/ 6
. 7 ) . = .
/ . 1 /
. ' 6 /
7) . ' 7' 7 ' / . . 0 62 2 . 1 ) 7
'
$!% 7' 6
2 ' ) 2 / 7
6 5 '
=
6 1 ' )
)
!
5 ' . . 76 L)I() / . .
1
. ) QL R QMR()
q1
2
q2
1
3
S
2
S
L1
L3
q13
S
L2
q32
(Sp , µ1 )
q20
(Sp , µ3 )
(Sp , µ2 )
q20
1 L)I3
1 $ 1 E 2 2 µ1 = µ3 ) Sp
Sp
µ2 )
I S)
< < / 52 ' q1 (t)
q2 (t)) % &
! , ΣN L
qij (t)
' 3
i
L)I(
j i, j = 1, 2, 3 ∀i = j (
3
6(Li (t) − Lj (t)).
2g|Li(t) − Lj (t)|
L) (
' 3
1
q20 (t) = µ2 .Sp . 2gL2 (t)
' 6 3
> 3
qij (t) = µi .Sp .
q20 (t)

dL1 (t)



S dt = q1 (t) − q13 (t)
: S dLdt2 (t) = q2 (t) + q32 (t) − q20 (t)



S dL3 (t) = q13 (t) − q32 (t)
dt
= 2
L2 (t)
L3 (t)()
' T
L1 (t)'
$ L)$(
L1 (t) > L3 (t) > L2 (t)) , . '
qij (t)() ' 1 / . 2 7 < 7 I)J( 3
ΣN L :

1

ẋ1 (t) = −2C1 x1 (t) − x3 (t) + u1 (t)/S



1
1



ẋ
(t)
=
2C
x
(t)
−
x
(t)
−
2C
x2 (t) + u2 (t)/S
2
3
3
2
2



1
1

ẋ (t) = 2C x (t) − x (t) − 2C x (t) − x (t)
3
1


yx1(t) = x1 (t)





yx2(t) = x2 (t)




y (t) = x (t)
x3
3
1
3
3
3
2
L)L(
√
xi (t) i Ci = (1/2).(1/S).µi.Sp . 2g ) 2 62
u1 (t)' u2 (t) 2 . q1 (t) q2 (t)) 5 '
$ 2 ' (γobs )⊥ (γy )⊥ / . {0})
%!$ 1 : 1
3
ΣN L :

1

ẋ
(t)
=
−2C
x1 (t) − x3 (t) + (u1 (t) + wa1 (t))/S

1
1


1
1


ẋ2 (t) = 2C3 x3 (t) − x2 (t) − 2C2 x2 (t) + (u2 (t) + wa2 (t))/S




ẋ (t) = 2C 1x (t) − x (t) − 2C 1x (t) − x (t)
3
1
wai (t) 1 j j = {1, 2, 3}()
5
3
/ . 2 #
1
3
3
2


yx1(t) = x1 (t) + wc1 (t)





yx2(t) = x2 (t) + wc2 (t)





yx3(t) = x3 (t) + wc3 (t)
i i = {1, 2}( wcj (t) 1 L)J(
1 )
! '
P2 wa2 (t) = (0 1/S 0)T wa2 (t)
1
P1 wa1 (t) = (1/S 0 0)T wa1 (t) wc1 (t) = wc2 (t) = wc3 (t) = 0, ∀t() 7 3
C∗P1 =
$
(C∗P1 )⊥ =
S∗P1 =
P1
=
Sm∗
)
wa2 (t)(
  

 1 

 
0




0
$
S∗P2 =
    

0 
 0

   
1 , 0




0
1
$
      

0
0 
 1

     
0 , 1 , 0




0
0
1
P1
Sm∗
/ . )
P2
Sm∗
(
      

0
0 
 1

     
0 , 1 , 0




0
0
1
${0}
$
(S∗P2 )⊥ =
P2
Sm∗
=
$
(C∗P2 )⊥ =
${0}
P1 ⊥
) =
(Sm∗
C∗P2 =
${0}
$
(S∗P1 )⊥ =
      

0
0 
 1

     
0 , 1 , 0




0
0
1
  

 0 

 
1




0
$
${0}
P2 ⊥
(Sm∗
) =
$
L)M(
    

0 
 1

   
0 , 0




0
1
     

0
0 
 1

     
0 , 1 , 0




0
0
1
.2
62 ) , '
1
wa1 (t)
% &
1
wa1 (t) = S ẏx1 (t) + 2C1 yx1 (t) − yx3 (t) − u1 (t)/S
1
1
wa2 (t) = S ẏx2 (t) − 2C3 yx3(t) − yx2 (t) + 2C2 yx2(t) − u2 (t)/S )
)
/ ' . 0/ 0
2 1
3
S 1
(C∗P1 )⊥ = {0}
/ . )
wa1 (t) ) wa2 (t)(
(C∗P2 )⊥ = {0}('
S . )
' γobs (C∗P1 )⊥
)
5 ' )))
7 q
7
4 0 q = 2()
2 . 1 7 ( ) & . 0 )
1 . )
5 ' 2
0 ) $(()
7' γobs (C∗P2 )⊥
7 . . 1 ) 6 Pj
S∗ 2
P
Sm∗j )
Pj
" S∗
7 7
. 1 ' )
&
(S∗P2 )⊥ (S∗P1 )⊥ '
w2 (t)) 5
2 ' 2 (1
0 0)T
/
2
(0 1 0)
/ = (0 1)) y )
' Am
)I
7
1 0
0 1
1 ) 5 ' . 2 +)&))-)
3
7 (S∗P2 )⊥ ∩γy (S∗P1 )⊥ APm1 = (1 0))
w2 (t)) (S∗P1 )⊥ ∩ γy (S∗P2 )⊥ ' 2
Am =
/
(' 1
3
2
AP
m
T
.2
y w1 (t)
7 . L)#(
Am
6 6 7
%!$ S 7
1
ΣF N
:
Lwa1
&

˙


z̃1 (t)







z̃˙2 (t)











wa2 (t)
3
1
= −2C1 z̃1 (t) − z̃22 (t) + u1 (t)/S


˙z̃21 (t)

=
˙z̃22 (t)


1
1
2C3 z̃22 (t) − z̃21 (t) − 2C2 z̃21 (t) + u2 (t)/S

=
1
1
2C1 z̃1 (t) − z̃22 (t) − 2C3 z̃22 (t) − z̃21 (t)











yz1(t)





yz2(t)





yz3(t)
+Ψ̃(z̃2 (t), yx (t)) − Ψ̃(z̃2 (t), yz (t))
= z̃1 (t)
= z̃21 (t)
= z̃22 (t)
. z̃1 (t) 0 0 2C1
1
y•1 (t) − z22 (t)
7 x2 (t)
' Ψ̃(z̃2 (t), y• (t)) =
/ . 3
1
x1 (t)
x1
3
3
3
2


yz1 (t) = z1 (t)





yz2 (t) = z2 (t)




y (t) = z (t)
z3
3
ΣF N Lwa2 :
' z̃2 (t)'

1

ż
(t)
=
−2C
z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S

1
1


1
1



ż
(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S
2
3
3
2
2



1
1

ż (t) = 2C y (t) − z (t) − 2C z (t) − z (t)
x3 (t)
1
) , T
' 1
S 7
. 6
. 6 3
ΣF N Lwa1 :
L)K(
1 wa2 (t)'
x2 (t)
wa1 (t)
.
3
. z2 (t)
z3 (t) ∀wa1 (t))
/ z2 (t))
7 3
1
= −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S
1
1
= 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S
1
1
= 2C1 z1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − yx2 (t)


yz1 (t) = z1 (t)





yz2 (t) = z2 (t)





yz3 (t) = z3 (t)
x3 (t)
' 1
, 3
' 

ż1 (t)






ż2 (t)




ż (t)
L) (
1 wa1 (t)'
x1 (t)
.
. z1 (t)
z3 (t) ∀wa2 (t))
/ z1 (t))
L)I(
, % &
4 . 1
S yz1(t) − yx1 (t)
yz2(t) − yx2 (t)
5 ' S . 7 L)I( 7 L) ( Am
3
wa1 (t)'
wa2 (t))
. 1
. 1
6' 1
=
.
)
Pj
" Sm∗
wj (t)' . . 1 6
Pj
( = Sm∗ ) ' Pj
Pj
1 0 7 . S∗ Sm∗ ) Pj
Sm∗ = {0} j = {1, 2}' . . 1 ) , '
P1
P1
P2
P2
. . 1 Sm∗ = S∗ Sm∗ = S∗ .T )
1
& ' 2 S S∗P1
P2
6
Sm∗
wa2 (t)'
P1
S∗P2 Sm∗
1
/ 3
wa1 (t))
2 6
.
1
S 1
wa2 (t)
=
)
. )I ( 1 (S∗P1 )⊥ )
P1 ⊥
(Sm∗
) (S∗P2 )⊥
1
wa1 (t) = S ẏx1 (t) + 2C1 yx1 (t) − yx3(t) − u1 (t)/S
1
1
wa2 (t) = S ẏx2 (t) − 2C3 yx3(t) − yx2 (t) + 2C2 yx2(t) − u2 (t)/S
P2 ⊥
(Sm∗
) 5. . )
. 0 Ψdt (∆x ) = S ẏx1 (t) + 2C1
)
1
1 yx1 (t) − yx3(t) − u1 (t)/S
1
1
Ψdt (∆x ) = S ẏx2 (t) − 2C3 yx3(t) − yx2 (t) + 2C2 yx2 (t) − u2 (t)/S
7
. S . 1
ΣF N Lwa1
'
1
)
3
wa2 (t)


ż1 (t)













ż2 (t)
: ż3 (t)




yz1 (t)






yz2 (t)




y (t)
z3
3
= −2C1
1
z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S
1
+S(ẏx1 (t) − u1(t)/S + C1 yx1 (t) − yx3(t))
1
1
= 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S
1
1
= 2C1 z1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − z2 (t)
= z1 (t)
= z2 (t)
= z3 (t)
L)II(
%!$ ' x1 (t)' x2 (t)
∀wa1 (t)) , '
x3 (t)
1 1
wa2 (t)' . x2 (t) .
z1 (t)' z2 (t)
z3 (t)
/ z2 (t))
wa1 (t) 3
1
= −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1(t)/S
1
1
= 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S
1
1
+S ẏx2 (t) − 2C3 yx3 (t) − yx2 (t) + 2C2 yx2 (t) − u2 (t)/S
1
1
= 2C1 z1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − z2 (t)
S . 1
ΣF N Lwa2
' 

ż1 (t)






ż2 (t)








: ż3 (t)





yz1 (t)





yz2 (t)





yz3 (t)
= z1 (t)
= z2 (t)
= z3 (t)
x1 (t)' x2 (t)
∀wa2 (t)) , '
L)I (
x3 (t)
1 1
wa1 (t)' . x1 (t) .
2 z1 (t)' z2 (t)
z3 (t)
/ z1 (t))
. ' 6 7 3
S )
wa2 (t)(
1 S 2 P
S∗ j (' . /
wa1 (t)
2 7 L) ( ) L)I(('
1 P
Sm∗j ('
7 L)II( ) L)I (()
, =
=
. 6
' ' / 4 0 . =
. 7 6 $) )I) () )
0 )
1 / . . )))
' 2 1 $) ( / .
7) S∗P1 = φP1 . . '
φP1 ,P2 = {0}( S∗P2 = φP2 ' 1 )
. ' 3
T
γ
∂Φ(x(t))
= φP1 φP2 γ
∂x(t)
6 /
γ= 0 0 1
7
T
)
φP1
φP2 '
x̃(t) = Φ(x(t))
1
T
L)I$(
6) % &
5 ' 7 . ΣF
N Lwa


z̃˙1 (t)












z̃˙2 (t)








: z̃˙γ (t)











yz1(t)




yz2(t)




y (t)
z3
z̃γ (t)
= −2C1
1
z̃1 (t) − z̃γ (t) + u1 (t)/S
+Ψ̃1 (z̃(t), yx (t)) − Ψ̃1 (z̃(t), yz (t))
1
1
= 2C3 z̃γ (t) − z̃2 (t) − 2C2 z̃2 (t) + u2 (t)/S
+Ψ̃2 (z̃(t), yx (t)) − Ψ̃2 (z̃(t), yz (t))
1
1
= 2C1 z̃1 (t) − z̃γ (t) − 2C3 z̃γ (t) − z̃2 (t)
L)IL(
+Ψ̃γ (z̃γ (t), yx (t)) − Ψ̃γ (z̃γ (t), yz (t))
= z̃1 (t)
= z̃2 (t)
= z̃γ (t)
z̃1 (t) z̃2 (t) 2 3
. z̃˙γ (t)) /
. / 1 ) . . 0 z̃1 (t) z̃2 (t) 2
1
1
1 wa1 (t) wa2 (t)) & Ψ̃ (zγ (t), y• (t)) = 2C1 y•1 (t) − z̃γ (t) − 2C3 z̃γ (t) − ỹ•2 (t)
Ψ̃1 (z̃(t), y• (t)) = Ψ̃2 (z̃(t), y• (t)) = 0 7 . 3
' / 2
γ
ΣF N Lwa :
.6 

ż1 (t)






ż2 (t)




ż (t)
3
1
= −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S
1
1
= 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S
1
1
= 2C1 yx1(t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − yx2 (t)


yz1 (t) = z1 (t)





yz2 (t) = z2 (t)





yz3 (t) = z3 (t)
z̃1 (t) z̃2 (t) z̃γ (t)
. ./ T
= z1 (t) z2 (t) z3 (t)
T
)
yz1(t) − yx1 (t) yz2 (t) − yx2(t)
1) L)IJ(
T
' / . .
7)
5 ' 1 )
2 1 ' . %!$ #
! ! 6
. . 1 1 3
ΣN L

1

ẋ
(t)
=
−2C
x1 (t) − x3 (t) + u1 (t)/S

1
1


1
1



ẋ2 (t) = 2C3 x3 (t) − x2 (t) − 2C2 x2 (t) + u2 (t)/S



1
1



(t)
=
2C
x
(t)
−
x
(t)
−
2C
x3 (t) − x2 (t)
ẋ

3
1
1
3
3






ẋ4 (t) = −Γ1 (x4 (t) − wc1 (t))
: ẋ5 (t) = −Γ2 (x5 (t) − wc2 (t))




ẋ6 (t) = −Γ3 (x6 (t) − wc3 (t))






yx1(t) = x1 (t) + x4 (t)






yx2(t) = x2 (t) + x5 (t)




y (t) = x (t) + x (t)
3
x3
,
1
xi+3 (t) =
Γi
w (t) s+Γi ci
= (' . ) ' P1 wc1(t) = (0 0 0 − Γ1 0 0) wc1 (t)' P2 wc2 (t) =
P3 wc3 (t) = (0 0 0 0 0 − Γ3 )T wc3 (t))
7 (0 0 0 0 − Γ2 0) wc2 (t)
T
6
2 1
L)IM(
T
/ 7 2 3
C∗P1 =
$
  

 0 


 



0






0

 
1


 


 




0






0
C∗P2 =
$
 

 0 


 



0






0

 
0


 


 




1






0
C∗P3 =
$
  

 0 


 



0






0

 
0


 


 




0






1
S∗P1 = C∗P1
S∗P2 = C∗P2
S∗P3 = C∗P3
(S∗P1 )⊥ = (C∗P1 )⊥
(S∗P2 )⊥ = (C∗P2 )⊥
(S∗P3 )⊥ = (C∗P3 )⊥
P1
Sm∗
= C∗P1
P2
Sm∗
= C∗P2
P3
Sm∗
= C∗P3
P1 ⊥
(Sm∗
) = (C∗P1 )⊥
P2 ⊥
(Sm∗
) = (C∗P2 )⊥
P3 ⊥
(Sm∗
) = (C∗P3 )⊥
6 . 1 . / ' 1 '
6 .2 ) , ' 1 P
(C∗ j )
= 1)
1
V 6 6 / . % &
1 ' . ∂yx1 (t)
∂x(t)
T
∂yx2 (t)
∂x(t)
T
∂yx3 (t)
∂x(t)
T
3
T
= 1 0 0 1 0 0
T
= 0 1 0 0 1 0
T
= 0 0 1 0 0 1
⊆ (S∗P2 )⊥ ∩ (S∗P3 )⊥ (S∗P1 )⊥
⊆ (S∗P1 )⊥ ∩ (S∗P3 )⊥ (S∗P2 )⊥
L)I#(
⊆ (S∗P1 )⊥ ∩ (S∗P2 )⊥ (S∗P3 )⊥
/ ' 7 3
ΣF N Lwci

1

ż
(t)
=
−2C
z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S

1
1


1
1



ż2 (t) = 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S



1
1



(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z3 (t) − z2 (t)
ż

3
1
1
3
3






ż4 (t) = −Γ1 z4 (t)
: ż5 (t) = −Γ2 z5 (t)




ż6 (t) = −Γ3 z6 (t)






yz1 (t) = z1 (t) + z4 (t)






yz2 (t) = z2 (t) + z5 (t)




y (t) = z (t) + z (t)
3
z3
T
i = {1, 2, 3}
7 = 7 . . 6
z4 (t)' z5 (t)
0 . L)IK(
z6 (t)
)
. . 1 ) '
7
1
1 )
, ' 0 7 . 6
)
$ . $)$(' 6 / ) & ' $)$)$( . = .6
0 . 0 )
6 2 1 ('
6 . )
& 1
7
. 6 '
L)II(' L)I (' L)IL( L)IK((' 0 6
)
. 7
%!% & ## ( & ! 2 $)$)$ / 7 . 0 6
) 1 $) #(( . 2 0 .
2 6 )
. Pj
" S∗
7 6 . 1
6
wa1 (t)
. 0 . 3
ΣF N Lwa1

1

ż1 (t) = −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S + Ψa1 (z(t), yx (t), yz (t))



1
1



(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S + Ψa2 (z(t), yx (t), yz (t))
ż
2
3
3
2
2




ż (t) = 2C 1y (t) − z (t) − 2C 1z (t) − z (t) + Ψa (z(t), y (t), y (t))
3
1
x1
3
3
3
2
x
z
3
:


yz1 (t) = z1 (t)





yz2 (t) = z2 (t)




y (t) = z (t)
z3
3
L)I (
6 / . 0 6
' = 7 3
Ψa• (z(t), yx (t), yz (t)) = Ψa• (z(t), yx (t)) − Ψa• (z(t), yz (t)),
Ψa• (z(t), yx (t), yz (t)) = Ψa• (z1 (t), yx1 (t), yz1(t)),
T • = {1, 2, 3}
v• (t)' v• (t) = [v1 (t), · · · , v•−1 (t), v•+1 (t), · · · , vn (t)])
6
0 7 . L) (
• = {2, 3}
3


0 + β2
α1 + β3
−α1 + β1


Jac = 
0
−(α2 + α3 ) + β4
α3 + β5

0
α3 + β6
−(α1 + α3 ) + β7
5
0 β=
∂
(Ψa1
∂x(t)
1
Ψa2 Ψa3 )T
' 3
Jac =
B1
B2
B3
. 
−α1

= 0
0
β6 = −α3
0
−(α2 + α3 )
0
. 
α1

α3

−(α1 + α3 )
L) I(
βj )
. . βi = 0, i = {1, · · · , 5, 7}) 5 1 1
αi = Cte/ li (t), ∀i T Cte > 0 li (t) .
'
αi > 0, ∀i
L)
(
% &
2 2) 1
0 < li (t) < ∞, ∀i' B2
7
6 1
0 < αi < ∞)
0 ) 5 ' 2 .6 62 ' B1
B3
6 1 )
/ ' 3
Ψa1 (z(t), yx (t), yz (t)) = 0
Ψa2 (z1 (t), yx1(t), yz1 (t)) = 0
Ψa3 (z1 (t), yx1(t), yz1 (t)) = Ψa3 (z3 (t), yx2 (t)) − Ψa3 (z3 (t), yz2(t))
1
1
= 2C3 z3 (t) − yz2 (t) − 2C3 z3 (t) − yx2 (t)
L) $(
7 3
ΣF N Lwa1 :
7 
1

ż
(t)
=
−2C
z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S

1
1


1
1



ż
(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S
2
3
3
2
2



1
1

ż (t) = 2C y (t) − z (t) − 2C z (t) − y (t)
3
1
x1
3
3
3
x2


yz1 (t) = z1 (t)





yz2 (t) = z2 (t)




y (t) = z (t)
z3
3
6 2 L) L(
. . z(t) −→ x(t) wa1 (t) =
wa2 (t) = 0 z(t = 0) (z2 (t), z3 (t)) −→ (x2 (t), x3 (t)) ∀wa1 (t)' wa2 (t) = 0 z(t = 0) 2 1 . 6)
6 & ) , .
7
/ . 1
7
3
ΣF N Lwa2
' 7 '
wa1 (t)'
. 0 6
. 
1

ż1 (t) = −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S



1
1



(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S
ż
2
3
3
2
2



1
1

ż (t) = 2C y (t) − z (t) − 2C z (t) − y (t)
3
1
x1
3
3
3
x2
:


yz1 (t) = z1 (t)





yz2 (t) = z2 (t)




y (t) = z (t)
z3
3
.
6 2 z(t) −→ x(t) wa1 (t) = wa2 (t) = 0 (z2 (t), z3 (t)) −→ (x2 (t), x3 (t)) ∀wa1 (t)' wa2 (t) = 0 z(t = 0))
'
, ' 0
I
7 2
/ L) J(
6 z(t = 0)
' O
) , ' $ 0 O )
%!% & . Pj
" Sm∗
5 6 L)$)I)I' wa1 (t)
L)I ()
' 6 ΣF N Lwa1


ż1 (t)












ż2 (t)
: ż3 (t)




yz1 (t)






yz2 (t)




y (t)
z3
= −2C1
7 1
1
. 0 6
7 3
1
z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S
1
+S(ẏx1 (t) − u1 (t)/S + 2C1 yx1 (t) − yx3 (t)) + Ψ1a (z(t), yx (t), yz (t))
1
1
= 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S + Ψ2a (z(t), yx (t), yz (t))
1
1
= 2C1 z1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − z2 (t) + Ψ3a (z(t), yx (t), yz (t))
= z1 (t)
= z2 (t)
= z3 (t)
L) M(
0 / 7 . 3


0 + β2
α1 + β3
−α1 + β1


−(α2 + α3 ) + β5
α3 + β6
 0 + β4

α1 + β7
α3 + β8
−(α1 + α3 ) + β9
& 7 ' 0 L)
6
L) #(
(( 3
Ψa1 (z(t), yx (t), yz (t)) = 0
Ψa2 (z(t), yx (t), yz (t)) = 0
Ψa3 (z(t), yx (t), yz (t)) = Ψa3 (z3 (t), yx1(t)) − Ψa3 (z3 (t), yz1 (t)) + Ψa3 (z3 (t), yx2(t)) − Ψa3 (z3 (t), yz2 (t))
1
1
= 2C1 yx1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − yx2 (t)
1
1
− 2C1 yz1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − yz2 (t)
L) K(
7 ΣF N Lwa1
3

1
1

ż1 (t) = −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 /S + S(ẏx1(t) − u1 (t)/S + 2C1 yx1(t) − yx3 (t))



1
1



ż
(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S
2
3
3
2
2



1
1

ż (t) = 2C y (t) − z (t) − 2C z (t) − y (t)
3
1
x1
3
3
3
x2
:


yz1(t) = z1 (t)





yz2(t) = z2 (t)




y (t) = z (t)
z3
3
L)
7 6 2 6 (
. . 7' . / z(t) −→ x(t) ∀wa1 (t)'
% &
wa2 (t) = 0
z(t = 0))
! 6 ' / . . 0 0 ' 6 7 L)II()
## ( & ! 0
. 7 . 1 L)IJ( . 6 3
ΣF N Lwa


ż1 (t)





ż2 (t)




ż (t)
3
:


yz1 (t)





y (t)


 z2


yz3 (t)
9 7 .6
7 =
1
= −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S
1
1
= 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S
1
1
= 2C1 yx1(t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − yx2 (t)
= z2 (t)
= z3 (t)
0 7 L)
) , .
z1 (t) −→ x1 (t) ∀wa2 (t) wa1 (t) = 0'
z2 (t) −→ x2 (t) ∀wa1 (t)' wa2 (t) = 0 z(t = 0))
3
0 6
. ' 7 / . 6 1 ) 5 () 4 . . 0 6 7)
6 2 6 L)$(
= z1 (t)
7
. z(t = 0)'
=
/ . ' 2
2 6 7 2 1 )
## ( & ! 1
7 / ) ' 7'
. 0 %!% & 6
' . ΣF N Lwc1 :
3

1

ż1 (t) = −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S + Ψa1 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t))



1
1



(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S + Ψa2 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t))
ż

2
3
3
2
2


1
1



ż3 (t) = 2C1 z1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − z2 (t) + Ψa3 (z4 (t), yx1(t), yz1 (t))





a


ż4 (t) = −Γ1 z4 (t) + Ψ4 (z(t), yx (t), yz (t))
ż5 (t) = −Γ2 z5 (t) + Ψa5 (z4 (t), yx1(t), yz1 (t))




ż6 (t) = −Γ3 z6 (t) + Ψa6 (z4 (t), yx1(t), yz1 (t))






yz1 (t) = z1 (t) + z4 (t)






yz2 (t) = z2 (t) + z5 (t)




y (t) = z (t) + z (t)
z3
3
6
L)$I(
0 6
yz1(t))
62 ) z4 (t), yx1 (t), yz1 (t)( .2
1 . 1 . . wc1(t)
/ 7
0 3


β2
α1 + β3
0
β4
β5
−α1 + β1


β6
−(α2 + α3 ) + β7
α3 + β8
0
β9
β10




 α1 + β11

α
+
β
−(α
+
α
)
+
β
0
β
β
3
12
1
3
13
14
15


 β

β18
β19
−Γ1 + β20
β21
β22
17




 β23

β24
β25
0
−Γ2 + β26
β27
β28
β29
β30
0
β31
−Γ3 + β32
L)$ (
& 6' 3
1
1
Ψa1 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t)) = −2C1 z1 (t) − yx3 (t) + 2C1 z1 (t) − yz3 (t)
1
1
Ψa2 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t)) = 2C3 yx3 (t) − z2 (t) − 2C3 yz3(t) − z2 (t)
Ψa3 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t)) = 0
Ψa4 (z(t), yx (t), yz (t)) = 0
Ψa5 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t)) = 0
Ψa6 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t)) = 0
L)$$(
% &
7
1 I . 3
ΣF N Lwc1

1

ż1 (t) = −2C1 z1 (t) − yx3 (t) + u1 (t)/S



1
1



ż
(t)
=
2C
y
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S

2
3
x3
2
2


1
1



ż3 (t) = 2C1 z1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − z2 (t)







ż4 (t) = −Γ1 z4 (t)
: ż5 (t) = −Γ2 z5 (t)




ż6 (t) = −Γ3 z6 (t)






yz1(t) = z1 (t) + z4 (t)






yz2(t) = z2 (t) + z5 (t)




y (t) = z (t) + z (t)
z3
3
6
6 2 6 L)$L(
. 7) , . . ' 7 z4 (t) −→ x4 (t) ∀wc2 (t)' wc3(t) wc1 (t) = 0' z(t = 0)' z1 (t) z2 (t) z3 (t) z5 (t) z6 (t) −→ x1 (t) x2 (t) x3 (t) x5 (t) x6 (t) ∀wc1 (t)'
wc2 (t) = wc3 (t) = 0 z(t = 0))
3
. .
' 2 7
=
2 1 )
7 . 1 ΣF N Lwc2
. 3

1

ż1 (t) = −2C1 z1 (t) − yx3 (t) + u1 (t)/S



1
1



ż2 (t) = 2C3 yx3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S



1
1



ż
(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z3 (t) − z2 (t)

3
1
1
3
3






ż4 (t) = −Γ1 z4 (t)
: ż5 (t) = −Γ2 z5 (t)




ż6 (t) = −Γ3 z6 (t)






yz1(t) = z1 (t) + z4 (t)






yz2(t) = z2 (t) + z5 (t)




y (t) = z (t) + z (t)
z3
3
6
L)$J(
%!% & 7 1 $ 3
ΣF N Lwc3

1

ż
(t)
=
−2C
z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S

1
1


1
1



ż
(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z2 (t) + u2 (t)/S

2
3
3
2
2


1
1


ż3 (t) = 2C1 yx1 (t) − z3 (t) − 2C3 z3 (t) − yx2 (t)







ż4 (t) = −Γ1 z4 (t)
: ż5 (t) = −Γ2 z5 (t)




ż6 (t) = −Γ3 z6 (t)






yz1(t) = z1 (t) + z4 (t)






yz2(t) = z2 (t) + z5 (t)




y (t) = z (t) + z (t)
3
z3
, ' 0
/ 1 L)$M(
6
$ 7
. . . -)9) ) 7 6 I)$) )$()
. ' . . 1
7 L)IK(
1 ) 5 ' 6
. 7)
### ( & ! 0
7 L)IK(
. 0 6
ΣF N Lwc
. 3

1

ż1 (t) = −2C1 z1 (t) − z3 (t) + u1 (t)/S



1
1



ż2 (t) = 2C3 z3 (t) − z2 (t) − 2C2 z2 (t) + u2 (t)/S



1
1



ż
(t)
=
2C
z
(t)
−
z
(t)
−
2C
z3 (t) − z2 (t)

3
1
1
3
3




a


ż4 (t) = −Γ1 (z4 (t)) + Ψ1 (z4 (t), yx1 (t), yz1(t))
: ż5 (t) = −Γ2 (z5 (t)) + Ψa2 (z5 (t), yx2 (t), yz2(t))




ż6 (t) = −Γ3 (z6 (t)) + Ψa3 (z6 (t), yx3(t), yz3(t))






yz1 (t) = z1 (t) + z4 (t)






yz2 (t) = z2 (t) + z5 (t)




y (t) = z (t) + z (t)
z3
3
6
L)$#(
% &
0 / 7 1
3


0
+α1
0
0
0
−α1


α3
0
0
0
 0 −(α2 + α3 )



 α1

α
−(α
+
α
)
0
0
0
3
1
3


 0

0
0
0
0
−Γ1 + β1




 0

0
0
0
−Γ2 + β2
0
0
0
0
0
0
−Γ3 + β3
4 0 . 1
0 ! / 6
6
) 7 6 ) 6 = )
/ / 66 L)$K(
=
1 /
7
. . 0 . 6
7 / I)$) ()
5
' / . )
)
% 76 L)
(a) L) (b) . 62 −4
3
x 10
2.5
0.3
2
0.25
1.5
0.2
1
0.15
0.5
0.1
0
0
100
200
300
400
76 L)
(a) 500
600
3
800
900
1000
0
100
6 >1 ' 6P / 300
L)
400
500
600
700
1000
2 2
. 1 900
1
(b) 1 : 800
$ $0$ 4
2 '
200
62 ( 700
y1
y2
y3
$
L)
0.35
u1
u2
' ) )
%!, u1 (t) u2 (t) 1W / 1 B 1 7 y1 (t) y2 (t) 2 2 1 3

0 ≤ t < 50 L (t) = 0.2m
1ref
I
t ≥ 50 L1ref (t) = 0.3m

0 ≤ t < 50 L (t) = 0.1m
2ref
t ≥ 150 L2ref (t) = 0.15m
L)$ (
(b)'
5. 76 L)
0 . ' 7 3
T
x(t = 0) − z(t = 0) = 0.1.10−6 0.2.10−6 0.3.10−6
1 )
, ' 7 . . U .
0
)
1 ) ( 6 / I\ ) ()
#*
! / 76 L)$ . 1 wa1 (t)
0.45
)
y1
y2
y3
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
L)$3
! "
100
wa2 (t)
wa1 (t)
700
800
7
900
1000
. .6 . 1 6
1
wa1 (t)
L1
' 1 U' $)
' )
L)II( L) M(
2 76
L)L(a) wa1 (t))
'
/ 6
76 L)L(b) 600
' 2 . 500
. 1 76 L)L(a) U . 400
I' L)L(b) 1
300
2 / ) &
1 200
. z1 (t)()
0
. 1
Y
. ' Y) , ' .
6 . 1 . = . 6) V / 76 L)L(c)' % &
−7
0
−7
x 10
0
r1
r2
r3
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2
−2
−2.5
−2.5
−3
−3
−3.5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
−3.5
1000
$ # x 10
r1
r2
r3
0
wa1 (t)
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
$ # w (t) ' 5 $ ,2
a1
−3
3
x 10
r1
r2
r3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
100
200
300
400
500
600
700
$ # ' 5 $ , L)L3 , . 800
900
wa2 (t)
. . 2
1 0 1 ) "
. 1 . wa1 (t)
/ . ' 100
1 2 () 1 )
wa2 (t)
.
/ . 6 1
0 L)J(b)) , ' / . 7 L)J(a) .
7 . L)J(b))
. . wa2 (t))
7 1 L)$(' / 76 L)J wa1 (t)
7 1 26 7 1 &
1000
200)
1
. %!, 0.45
0.03
y1
y2
y3
0.4
r1
r2
r3
0.025
0.35
0.02
0.3
0.015
0.25
0.01
0.2
0.005
0.15
0
0.1
0.05
0
100
200
300
400
500
700
800
$ $0$ 4
L)J3
#*
600
900
1000
-0.005
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
$ 6 $ . 2 1 1
! 7
. 1 7 . L)$L(() 76 L)M
1' ' . 6) 2 7
wc1 (t)
. 1 )
-7
−7
x 10
0
0
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r2
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S
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76 L)K(b) wc2 (t))
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1
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d
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k
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ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + P (t)w(t)
)>)4) U 3
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T

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + P w(t)
:
y(t) = Cx(t)
x(t) ∈ Rn ' u(t) ∈ Rm ' y(t) ∈ Rp
w(t) ∈ Rq
R[d/dt]
F
)>)4) 1 . 2 6 x̄, ū, w̄ N ) > n=
aα x̄(α) +
aβ ū(β) +
aγ w̄ (γ)
f inie
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7 J)L(
' . A' B ' C
J)$(
y(t) = C(t)x(t)
N
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6 )>)4)'
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n
N
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3
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 
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7
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Λ
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6 0 ( Λ)
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2 , -& & . / ' / E
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2
7 .
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 
 
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η1
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

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 ))  = F  ))  +
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dt
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ηn
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R[d/dt] (w)) , . J)L( w
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0 R[d/dt] (unom ) = 0, ∀t()
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S
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−−−→ 0
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R[d/dt] (w))
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Λnom = Λ/
7 . J)L( R[d/dt] (w) ) & $. ' )
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6
.
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


)
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


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nom
. . x̃i (t) = 0( 3 2
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5 7 R[d/dt] (u) ∩ R[d/dt] (w)
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+
1
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6
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R[d/dt] (u) . ' 1 1 ()
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6
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(w) ≥ 1 Γu,w,y / R[d/dt] (u) ) Γu,w,y / R[d/dt] (u) Γu,w,y / R[d/dt] (u) {0} 4 w
{0} Γu,w,y / R[d/dt] (u, w) < , i ! Γu,w,y / R[d/dt] (u, wi) $$ - ! wi
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(y) ≥ ∀i = {1, · · · , q}
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' 0
Vi =
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= 6 )))
p
Λ
q
1 p
≥ q ()
1
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wi
J) (
R[d/dt] (wi )
∩
R[d/dt] (y, u)
= {0}, ∀i
. . J)I(
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. 7 2
1 . .6 7 ()
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:
wi ! Vi = R[d/dt] (wi ) ∩
R[d/dt] (y, u) = {0} ! R[d/dt] (y, u, wi)/ R[d/dt] (u)
) ! R[d/dt] (y, u, w)/ R[d/dt] (u, wi ) ! wi = w1 · · · wi−1 wi+1 · · · wq
7 6 ' 1 ) q
- q
3
⇔ ⇐ - ! ! q ≤ p )
/ - T̃yw

c̃1 (s)

 0

  
= U(s) 
 0

 0
   0
+ s & 0 ! 
0




0 

· · · 0 c̃q (s)


··· ···
0 



0 ···
··· ···
J)II(
0
)






a
(s)y
=
b
(s)u
+
c
(s)w
+
·
·
·
+
d
(s)w
ā1 (s)y − b̄1 (s)u = c̄1 (s)w1
1
1
1
1
1
1
q


















 ā (s)y − b̄ (s)u = c̄ (s)w
 a (s)y = b (s)u + c (s)w + · · · + d (s)w
q
q
q
q
1
q
q
q
q
q
q
⇐⇒


āq+1 (s)y − b̄q+1 (s)u = 0

 aq+1 (s)yq+1 = bq+1 (s)u + cq+1 (s)w1 + · · · + dq+1 (s)wq


















 āp (s)y − b̄p (s)u = 0
 ap (s)yp = bp (s)u + cp (s)w1 + · · · + dp (s)wq
J)I (
Vi = R[d/dt] (wi )∩ R[d/dt] (y, u) = {0} i = {1, · · · , q} , -& & . / ' ⇒ {0} q̄1 (s)ȳ1 = s̄1 (s)u − (p̄1 (s)w1 + · · · + q̄1 (s)wq )




q̄q (s)ȳq = s̄q (s)u − (p̄q (s)w1 + · · · + q̄q (s)wq )
rq (s)wq = qq (s)y1 + · · · + rq (s)yp + sq (s)u





" # Vi = R[d/dt] (wi ) ∩ R[d/dt] (y, u) =
p1 (s)w1 = q1 (s)y1 + · · · + r1 (s)yp + s1 (s)u




!





ȳ = H(s)y
H(s)
!
q
5
T 1
. . R[d/dt] (wi )
∩
' R[d/dt] (y, u, wj ) . . 6 1 ) & 2
R[d/dt] (w3 ) ∩ R[d/dt] (y, u, w1)
= {0}
+
)))
= {0}
w2
w3
J)IJ(
. .
)
1 )
9 " (y) = p = q = 2' . / 3





ẋ = Ax + Bu + P w
ẋ = Ax + Bu + P1 w1 + P2 w2
ΣL :
⇐⇒ ΣL : y1 = C1 x
y = Cx



y2 = C2 x
= {0}
R[d/dt] (w2 ) ∩ R[d/dt] (y, u, w1)
' 1
6
i = j )
'
R[d/dt] (w1 ) ∩ R[d/dt] (y, u)
2
(w) = 5. 7 ' 0 . J)IM(
3
a1 (s)y1 = b1 (s)u + c1 (s)w1 + d1 (s)w2
J)I#(
a2 (s)y2 = b2 (s)u + c2 (s)w1 + d2 (s)w2
J)IK(
,!% / '
ai (s), bi (s), ci (s), di (s)'
R[d/dt]()
7' 7
O
s
c1 (s)
)
d1 (s)(
c2 (s)
2 Y .
)
d2 (s)(
Tyw )
) 3
c1 (s) d1 (s)
=
c2 (s) d2 (s)
J)I (
0 . 1 (
O
1 1
Tyw
. ' . / . & .' 2 3
S T
Tyw
1
1
'
S T 2 ) =
(
Tyw
Y =
6 ) 6()
& T 4 1 ?, .
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O
/ )
3
' ' . . 1 . 2 [email protected]
/ O
p1 (s)(c1 (s)w1 + d1 (s)w2 )) = p2 (s)(c2 (s)w1 + d2 (s)w2 ))' O (p1 (s), p2 (s)) = (0, 0)) 5 6 (' 2 −1
1 2 p1 (s)p2 (s)(' =' . / )
. . 6 ' 2 J)I#( J)IK(( . 3
c2 (s)a1 (s)y1 = c2 (s)b1 (s)u + c2 (s)c1 (s)w1 + c2 (s)d1 (s)w2
J) (
c1 (s)a2 (s)y2 = c1 (s)b2 (s)u + c1 (s)c2 (s)w1 + c1 (s)d2 (s)w2
3
c2 (s)a1 (s)y1 − c1 (s)a2 (s)y2 − (c2 (s)b1 (s) − c1 (s)b2 (s))u = (c2 (s)d1 (s) − c1 (s)d2 (s))w2
J) I(
4 2 w2
)
w1 (
2
/ . ) 5 ' ' 3
(c2 (s)d1 (s) − c1 (s)d2 (s))−1 c2 (s)a1 (s)y1
− (c2 (s)d1 (s) − c1 (s)d2 (s))−1 c1 (s)a2 (s)y2
− (c2 (s)d1 (s) − c1 (s)d2 (s))−1 (c2 (s)b1 (s) − c1 (s)b2 (s))u = w2
J)
(
, -& & . / ' 4
.2
1
3
w1
a1 (s)y1 =
d1 (s)(c2 (s)d1 (s) − c1 (s)d2 (s))−1 c2 (s)a1 (s)y1
− d1 (s)(c2 (s)d1 (s) − c1 (s)d2 (s))−1 c1 (s)a2 (s)y2
J) $(
− d1 (s)(c2 (s)d1 (s) − c1 (s)d2 (s))−1 (c2 (s)b1 (s) − c1 (s)b2 (s))u
+ b1 (s)u + c1 (s)w1
, ' . 1
w2
)
)
w2 (
. J) $( ) J)
. 1 (( w1 ()
. 2 ' ' . . =
. )
p
= q = 2('
) . / . . ' 1 1 R(d/dt)
1 1 Λ
R[d/dt])
7 R(d/dt)
R(d/dt) ⊗R[d/dt] •
J) L(
2 () 4 1 . 7) ' 7 ' U 1' U , Λ
/
Λtorsion = {0} . . Λnom = Λ/ R[d/dt] (w))
' .6 / )
3
1 . Λ̂ = R(d/dt) ⊗R[d/dt] Λ
T
0 . . 1 1
5
w1
) {0}
Λtorsion )
' & 3
V1 =
R[d/dt] (w1 ) ∩ R[d/dt] (y1 , y2 , u)
J) J(
V2 =
R[d/dt] (w2 ) ∩ R[d/dt] (y1 , y2 , u)
J) M(
7 '
w
26 R[d/dt] (u)
∩
R[d/dt] (w)
= {0}) ' .2 / {0}( V1 ) V2 ( .2 . J) $( ) J) (( . / p1 (s)y1 + p2 (s)y2 + p3 (s)u = p4 (s)w1 ) p1 (s)y1 + p2 (s)y2 + p3 (s)u = p4 (s)w2 () R(s) y1 y2 )
, ' 1
' ' ,!, 0 . * / 1 Vi
= {0}, ∀i()
7 . 1 6
() 4 / / 7 7 6 )
*# " , 62
∆
62 u
y'
/
R[d/dt] (u, y) . )
7 6 3
)( Λ u y R[d/dt] (w) ⊆ R[d/dt] (u, y)
7 0 7
0 w
1 ()
6 7
Λ R[d/dt] (u, y) B )
%% + , 5
6' .
- . . 7 1
7
)
** () ΣL :
1 ) . 2
.




ẋ1 = −x1 + w1
ẋ2 = −x2 + w2



y = x1
J) #(
. 7 J)J' R[d/dt] (y, u, w)/ R[d/dt] (u, w2 ) R[d/dt] (y, u, w)/ R[d/dt] (u, w1 ) / 7 . .6 )
(i−1)
ẏ = ẋ1 = −x1 + w1 ' y (i) = (−1)i x1 + w1
R[d/dt] (y, u, w)/ R[d/dt] (u, w2 ) . 9 (i−2)
− w1
· · · (−1)i−1 w1 '
w1 )
, -& & . / ' , ' R[d/dt] (y, u, w)/ R[d/dt] (u, w1 ) y = 0' 2 P (s) = 0 P (s)y = 0' 2
O R(s) ) 1 w2 .
5 .
1
3
P (s) = (s + 1)
)
w2 ' .
= )
** () ΣL :


ẋ1 = −x1 + w1





ẋ2 = −x2 + w2


ẋ3 = −x1 + x2 − x3




y1 = x1 + x2





y2 = x3
ẏ1 = −x1 − x2 + w1 + w2 '
J) K(
1
w1
w2
)
7 . . 1 ' 1 / 7 J)M) . / .
R[d/dt] (w1 )∩ R[d/dt] (y, u) R[d/dt] (w2 )∩
R[d/dt] (y, u) / . )
9' ' 3
(s + 1)y1 = w1 + w2
J)
(s2 + 2s + 1)y2 = −w1 + w2
(
J)$(
2 ∗ w1 = (s + 1)y1 − (s2 + 2s + 1)y2 2 ∗ w2 = (s + 1)y1 + (s2 + 2s + 1)y2
. V1 = R[d/dt] (w1 ) ∩ R[d/dt] (y, u) = {0} V2 = R[d/dt] (w2 ) ∩ R[d/dt] (y, u) = {0}) & V1 V2 / . 2 1 w1 w2 )
' 5
7
=
' 1 / 3
ΣF D1


ż1 = −z1 + Ψ1







ż2 = −z2
: ż3 = z1 + z2 + z3




yz1 = z1 + z2




yz2 = z3
ΣF D2
$) )


ż1 = −z1







ż2 = −z2 + Ψ2
: ż3 = z1 + z2 + z3




yz1 = z1 + z2




yz2 = z3
J)$I(
,!1 6 Ψ1
3
1/2 ((s + 1)y1 − (s2 + 2s + 1)y2 )
=
2
Ψ2 = 1/2 ((s + 1)y1 + (s + 2s + 1)y2 )) , ' 1 Ψ• ⊂ R[d/dt] (y)'
1 .
6' ΨT • ⊂ Λ̂ Ψ• = ΨT • (y u))
. r1 = yx − yz ) r2 = yx − yz ( 1 w2 )
w1 ( . / r1 = 0, ∀w1 ) r2 = 0, ∀w2 ( r1 = 0, w2 = 0 ) r2 = 0, w1 = 0()
** () ΣL :
4 1
. . .


ẋ1 = −x1 + w1







ẋ2 = −x1 − x2 + w2
ẋ3 = −x2 − x3





y1 = x2



y2 = x3
J)$ (
)
/ .2
' R[d/dt] (w1 )∩ R[d/dt] (y, u) R[d/dt] (w2 )∩ R[d/dt] (y, u)
/ . )
9' .
3
(s2 + 2s + 1)y1 = −w1 + (s + 1)w2
J)$$(
(s3 + 3s2 + 3s + 1)y2 = w1 − (s + 1)w2
J)$L(
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···
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 ))
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
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∂x(t)
 )
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···
∂x1 (t)
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∂hi (x(t))
∂xi (t)
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)
∂hp (x(t))
∂xi (t)
h(x(t))
···
6 / 3
∂h1 (x(t))
∂xn (t)
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


· · · ∂h∂xi (x(t))

n (t) 
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∂hp (x(t))
· · · ∂xn (t)
))
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5 τ (x(t))
6 f (x(t))
3
∂τ (x(t))
f (x(t))
∂x(t)
) (
∂Lf τ (x(t))
g(x(t))
∂x(t)
)$(
∂Lfk−1 τ (x(t))
f (x(t))
∂x(t)
)L(
Lf τ (x(t)) =
3
Lg Lf τ (x(t)) =
Lkf τ (x(t)) =
5 ω(x(t))
6 *
Lf ω(x(t)) =
f (x(t))
∂ω T (x(t))
f (x(t))
∂x(t)
3
+T
+ ω(x(t))
∂f (x(t))
∂x(t)
)J(
[f (x(t)), g(x(t))] = Lf g(x(t)) − Lg f (x(t)) =
∂f (x(t))
∂g(x(t))
f (x(t)) −
g(x(t))
∂x(t)
∂x(t)
)M(
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{τ1 , · · ·
) ) ∀i, j ∈ n
[τi , τj ] =
, τn } ) M m
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k∈n
+ fijk (x) 1 C ∞ )
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- Rn + Φ(x(t)) ) 
 

Φ1 (x1 (t), · · · , xn (t))
Φ1 (x(t))

 

 Φ2 (x(t))   Φ2 (x1 (t), · · · , xn (t)) 
=

Φ(x(t)) = 
)K(

 


 

Φn (x(t))
Φn (x1 (t), · · · , xn (t))
) ) Φ(x(t)) ) ! Φ−1 (z(t)) ! Φ−1 (Φ(x(t))) = x(t)
Φ(x(t)) Φ−1 (z(t)) ! / - , - ) % &
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ΣL :
S ∆
ΣN L :
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

ẋ(t) = f0 (x(t)) +
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

y(t) = h(x(t))
2
' D)I(
y(t) = Cx(t)
D) ('
D) (
2)

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
< D)I(
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'
A∆ ⊆ ∆)
A )
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2
2
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, ∂ ,···
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X
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A
Y
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( x + 0 = 0 + x = x T . 0 . . ( x + (−x) = (−x) + x = 0
( M
2 (a, x) −→ a.x
( (a b).x = a.(b.x) 2(
( 1.x = x T . 1 . $( 2 . . ' ( (a b).x = a.x + b.x
( a.(x + y) = a.x + a.y
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u
u
u
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→ M1 −−−
→ M2 −−−
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M −→ M −→ 0 2
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6 7
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