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Equations aux dérivées partielles elliptiques du
quatrième ordre avec exposants critiques de Sobolev sur
les variétés riemanniennes avec et sans bord
Daniela Caraffa Bernard
To cite this version:
Daniela Caraffa Bernard. Equations aux dérivées partielles elliptiques du quatrième ordre avec exposants critiques de Sobolev sur les variétés riemanniennes avec et sans bord. Mathématiques [math].
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. Français. �tel-00003179�
HAL Id: tel-00003179
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003179
Submitted on 26 Jul 2003
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Table des matières
Introduction
Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Enoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Équations elliptiques du quatrième ordre avec exposants critiques sur
les variétés riemanniennes compactes (cas f(x)=Const.)
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Inégalités de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Étude de l’équation (E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Enoncé et démonstration du théorème 2. . . . . . . . . . .
1.4 Sur la positivité de la solution du théorème 2. . . . . . . . . . . .
1.5 Applications du théorème2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Régularité et positivité des solutions de l’équation (E) sur les variétés
riemanniennes compactes avec f(x) fonction positive.
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Existence, régularité et positivité des solutions de l’équation (E) .
2.2.1 Sur les inégalités de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Existence d’une solution ψ non triviale de l’équation (E):
enoncé et démonstration du théorème 1 . . . . . . . . . .
2.2.3 Sur la positivité de ψ, la solution trouvée de l’équation (E)
2.3 Applications du théorème 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Application aux variétés riemanniennes compactes de dimension n>6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Application aux variétés riemanniennes compactes de dimension n=6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
3
3
5
10
10
11
16
17
23
24
33
33
34
35
36
42
43
43
45
3
Existence et non-existence d’une solution u pour le problème (P) sur
(Wn ,g), variété riemannienne compacte à bord .
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Sur la meilleure constante dans les inégalités de Sobolev pour les
espaces H1p (W ) et H2q (W ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Enoncé du problème (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Preuve de l’existence d’une solution u du problème (P). . . . . .
Bibliographie
46
46
46
48
48
55
2
Introduction
Motivations
L’étude des équations aux derivées partielles elliptiques est un des sujets de
recherche de grande importance dans l’analyse sur les variétés developpé ces dernières années dans de nombreux travaux.
Différentes techniques sont employées pour la résolution d’équations aux dérivées partielles elliptiques comme par exemple "la méthode variationnelle " utilisée
par Yamabe pour résoudre le problème de la courbure scalaire prescrite.
L’estimation des meilleures constantes pour les inclusions de Sobolev nécessite
la résolution de certaines équations aux derivées partielles.
Enoncé du problème
Soit (V,g) une variété riemannienne compacte C ∞ de dimension n>4 et de
métrique g.
On désigne pour H2q (V ) l’espace de Sobolev standard qui est le complètement
de
Ckq (V ) = {ϕ ∈ C ∞ (V ) , k ϕ kk,q ≤ ∞} ,
par rapport à la norme k ϕ kk,q = kl=0 k ∇l ϕ kq .
On note H2 , l’espace H22 muni de la norme équivalente
P
k ϕ kH2 = k ∆ϕ k22 + k ∇ϕ k22 + k ϕ k22
1
2
.
Le problème que nous nous sommes proposé de résoudre peut être énoncé de la
façon suivante:
Existe-il une fonction u ∈ H2 (V ) et une constante λ solutions de l’équation
(E)
∆2 u + ∇i [a(x)∇i u] + h(x)u = λf (x)u|u|N −2
3
où a, h et f sont des fonctions C ∞ (V ) et N =
2n
n−4
l’exposant critique?
En 1979 Michel Vaugon[15] prouve l’existence d’un réel λ et d’une fonction de
classe C 4 (V ) non identiquement nulle vérifiant une équation du type (E) avec un
second membre de la forme λf (t,x) où f (t,x) est une fonction impaire croissante
n+4
en t et vérifiant l’inégalité: |f (t,x)| < a + b|t| n−4 .
Depuis 1990 des résultats ont été établis pour des fonctions f, a et h bien précises.
D.E.Edminds, D.Fortunato E.Jannelli[8] ont montré que les seules solutions
dans IRn de l’équation
n+4
∆2 u = u n−4
sont les fonctions positives, symétriques, radiales et décroissantes :
u (x) =
n(n − 4)(n2 − 4)2
(r2 + )
n−4
2
n−4
8
.
Ce résultat a permis de déterminer la valeur de la meilleure constante K2 (n,2) pour
l’inclusion de Sobolev H2 ,→ LN .
De plus lorsque n ≥ 8, ils prouvent que si λ ∈ (0,λ1 ) (λ1 étant la première
valeur propre pour la boule (B(0,r),E) de ∆2 avec des conditions de Dirichlet
nulles au bord), le problème:
(
(I)
8
∆2 u − λu = u|u| n−4 dans B ouvert de IRn ,
∂u
u = ∂n
= 0 sur BΩ,
a une solution non triviale.
Si par contre 5 ≤ n ≤ 7, le problème a une solution non triviale si λ ∈ (λ,λ1 ),
où λ > 0 dépend de n et de la fonction propre correspondante à λ1 .
En 1995, R.Van der Vorst [14] obtient les mêmes résultats que D.E.Edminds,
D.Fortunato et E.Jannelli [8], appliqués au problème:
(
(II)
8
∆2 u − λu = u|u| n−4 dans Ω ouvert borné de IRn ,
u = ∆u = 0 sur ∂Ω,
mais il prouve en plus que la solution trouvée est aussi positive.
En 1996, F.Bernis, J.Gargia-Azorero et I.Peral[5] montrent l’existence d’au
moins deux solutions positives du problème :
(III)
(
8
∆2 u − λu|u|q−2 = u|u| n−4 dans Ω domaine borné de IRn ,
u = ∆u = 0 sur ∂Ω,
4
avec 1 < q < 2 pour n > 4 et en prenant λ > 0 dans un certain intervalle.
Dans notre premier travail [7] nous étudions cette équation avec f (x) ≡ Const.
Nous prouvons dans une première partie un théorème d’existence d’une solution non triviale C 5,α de l’équation (E).
De plus si a(x) et h(x) sont des fonctions constantes bien précises, on peut
prouver que la solution de l’équation (E) est strictement positive et C ∞ .
Dans une deuxième partie on donne des applications géométriques (théorèmes
3 et 4) du théorème d’existence.
Le contenu de cet article est presenté en détails dans le Chapitre 1 de cette
thèse.
A la suite de ces premiers résultats, différentes questions se posent:
1) Est-ce que la condition pour l’existence de la solution du théorème 4 est
encore la même si n = 6 et f(x)=Const?
2) Est-ce qu’on aurait des résultats équivalents si la fonction f(x) dans l’équation (E) n’était plus constante mais seulement partout positive?
3) Si on considère (W n ,g), une variété riemannienne compacte à bord C ∞ ,
existe-il une solution non triviale du problème
(P )

2
i
N −2

 ∆ u + ∇ [a(x)∇i u] + h(x)u = λf (x)u|u|


∆u|∂Wn = γ|∂Wn
sur Wn ,
u|∂Wn = η|∂Wn ,
où γ et η sont deux fonctions C ∞ sur (W ), λ est un réel à déterminer, f(x) une
fonction partout positive et a(x), h(x) comme précédemment?
Dans les deux derniers chapitres de cette thèse nous apportons une réponse
complète à toutes ces questions.
Présentation des résultats
Chapitre 1: Dans ce premier chapitre, sur une variété riemannienne compacte
(Vn ,g) de dimension n > 4 et de métrique g, nous étudions l’équation (E) avec exposant critique de Sobolev dans le cas où la fonction f(x) est une fonction constante.
Tout d’abord on établit le théorème suivant sur les inégalités de Sobolev :
Théorème 1. Soient (Vn ,g) une variété riemannienne compacte et q un réel
1 ≤ q < n2 . La meilleure constante K2 dans l’inégalité de Sobolev correspondant à
5
l’inclusion H2q ⊂ Lp avec p1 = 1q − n2 ne dépend que de n et de q (K2 = K2 (n,q))).
Ainsi, pour tout > 0, il existe une constante A() telle que pour tout ϕ ∈ H2q :
k ϕ kp ≤ K2 (n,q)(1 + ) k ϕ kH2q +A() k ϕ kq .
Il n’existe pas de constante A avec C < K2 (n,q) telle que pour tout ϕ ∈ H2q :
k ϕ kp ≤ C k ϕ kH2q +A k ϕ kq .
Pour prouver que la solution de l’équation (E) est non identiquement nulle on
utilise le théorème 1, plus exactement son Corollaire dont l’énoncé est le suivant:
Corollaire 1.
Sur une variété riemannienne compacte de dimension n > 4, pour tout > 0
il existe une constante a() telle que ∀f ∈ H2 (V )
k f k2N ≤ (1 + )K22
Z
V
|∆f |2 dV + a()
Z
V
|f |2 dV
n Γ( n ) o
2n
2
avec N = n−4
et K2−2 = K2−2 (n,2) = π 2 n(n − 4)(n2 − 4) Γ(n)
. K2 (n,2) est
obtenue en utilisant les fonctions uλ extrémales du problème sur IRn
uλ (r) = Cn
λ
1 + λ2 r 2
(n−4)
2
où Cn est une constante qui ne dépend que de n.
Le théorème principal démontré dans ce premier chapitre est le théorème d’existence d’une solution non identiquement nulle pour l’équation (E) dans le cas où
f (x) = Const.
Pour la démonstration on utilise la méthode variationnelle. On considère sur
H2 la fonctionnelle :
I(ϕ) =
Z
V
|∆ϕ|2 dV −
Z
a(x)∇i ϕ∇i ϕdV +
V
Z
h(x)ϕ2 dV
V
et on définit le problème variationnel suivant :
(∗)
inf I(ϕ) pour tout ϕ ∈ A = {u ∈ H2 , k u kN = 1} .
Notons µ cet inf .
L’énoncé du théorème est le suivant:
6
Théorème 2. Etant donné µ, l’inf défini ci-dessus et K2 = K2 (n,2), on a
toujours K22 µ ≤ 1. Si K22 µ < 1, l’équation (E) avec f (x) constante admet une
solution ψ 6≡ 0 dans H2 qui minimise le problème variationnel (∗).
ψ a la régularité maximale autorisée pour l’équation (E), c’est à dire ψ ∈
C 5,α pour un certain α ∈ (0,1) dans le cas général mais par exemple pour les
dimensions 5, 6, 8, ψ ∈ C ∞ .
L’approche que nous adoptons pour démontrer ce théorème est comparable à
celle developpée par Yamabe.
Enfin les théorèmes 3 et 4 sont une application de ce théorème. En effet on
trouve quelle condition géométrique la variété doit satisfaire pour que l’équation
(E) ait une solution.
Par exemple d’après le théorème 3 si la fonction h(x) satisfait l’inégalité:
Z
V
h(x)dV ≤ K2−2 V
(n−4)
n+4
l’équation (E) admet une solution quelle que soit a(x).
Dans le théorème 4 on prouve que s’il existe un point P ∈ V tel que la courbure
scalaire satisfait l’inégalite suivante:
R(P ) > −C(n)a(P )
avec C(n) une constante explicite, alors il existe une solution de l’équation (E).
De plus si a(x) et h(x) sont des fonctions constantes, on prouve (proposition 1)
que la solution est positive et C ∞ (V ).
Chapitre 2: Dans ce chapitre on répond aux questions 1) et 2) posées précédemment.
Avec une fonction f (x) partout positive, on peut démontrer un théorème d’existence d’une solution de l’équation (E).
La méthode utilisée pour la démonstration est toujours la méthode variationnelle.
On considère sur H2 la fonctionnelle :
J(ϕ) =
R
V
|∆ϕ|2 dV −
R
R
[
V
V
a(x)|∇ϕ|2 dV +
R
V h(x)ϕ
2/N
f (x)|ϕ|N (x)dV ]
2 (x)dV
et le problème variationnel:
(∗∗)
Inf J(ϕ),
ϕ ∈ A = {ϕ ∈ H2 (V ),ϕ 6≡ 0} .
Notons ν cet inf.
7
.
L’énoncé du théorème est le suivant :
Théorème 1. ν vérifie ν ≤ K2−2 [supf ]−2/N . Si ν < K2−2 [supf ]−2/N , l’équation (E) a une solution ψ ∈ H2 , ψ 6≡ 0 qui minimise le problème variationnel
(∗∗).
Avec une technique équivalente à celle utilisée pour la proposition 1 du chapitre
1, on prouve que si les fonctions a(x) et h(x) sont constantes, alors la solution est
positive et C ∞ (V ), sinon la solution est au moins de classe C 5,α (V ).
Dans la dernière partie on donne des applications de ce théorème.
On trouve une condition pour l’existence de la solution lorsque n > 6 comme
suit : si en un point P ∈ V où f admet un maximum, on a
a(P )C(n) + R(P ) + C̃(n)
∆f
>0
f (P )
alors (E) a une solution ψ ∈ H2 .
Pour le cas n = 6 on trouve la même condition que pour f(x) constante car
C̃(6) = 0.
Chapitre 3: Dans ce chapitre, après avoir déterminé une majoration de K̃2 (n,q),
meilleure constante dans l’inclusion de Sobolev Hq2 (W ) ,→ Lp (W ), on cherche à
répondre à la question 3).
Nous établissons, pour (W n ,g), une variété riemannienne C ∞ compacte à bord
∂Wn , des théorèmes d’existence et de non-existence de solutions u ∈ C 5,α (W )
(ou dans certains cas C ∞ (W )) du problème elliptique du quatrième ordre avec
données au bord:
(P )
(
∆2 u + ∇i [a(x)∇i u] + h(x)u = λf (x)u|u|N −2
∆u|∂Wn = δ|∂Wn u|∂W = γ,
sur Wn ,
où δ et γ sont des fonctions données C ∞ sur W .
Pour démontrer l’existence d’une solution du problème (P) on considère un
autre problème :
(PN )

2
i
N −2 + g(x) sur W ,

n
 ∆ v + ∇ [a(x)∇i v] + h(x)v = λf (x)(v + ϕ)|v + ϕ|


∆v|∂W = 0 v|∂Wn = 0
où g et ϕ sont des fonctions C ∞ (W ) , telles que g(x) + λf (x)ϕ(x)|ϕ(x)|N −2 6≡ 0
pour tout λ.
En utilisant la méthode variationnelle, on montre (théorème 8) l’existence d’un
λ > 0 et d’une solution v ∈ H2 (W ) avec v 6≡ 0 de ce problème.
8
Mais le théorème principal est le suivant:
Théorème 9. Le problème (P) est équivalent au problème (PN ) avec u = v+ϕ,
où ϕ ∈ C ∞ est la solution de l’équation du deuxième ordre:
(Q)


 ∆ϕ(x) = γ(x)
sur Wn ,

 ϕ(x)|
∂Wn = η(x)|∂Wn .
v est alors la solution du problème (PN ).
Plus exactement, sous l’hypothèse g(x)+λf (x)ϕ(x)|ϕ(x)|N −2 6≡ 0 on a montré que v 6≡ 0 et donc que la fonction u = v + ϕ est solution du problème (P).
Si g(x) + λf (x)ϕ(x)|ϕ(x)|N −2 ≡ 0 alors u = ϕ est la solution cherchée.
9
Chapitre 1
Équations elliptiques du
quatrième ordre avec exposants
critiques sur les variétés
riemanniennes compactes (cas
f(x)=Const.)
1.1
Introduction
Dans ce premier chapitre nous étudions, sur une variété riemannienne (Vn ,g)
compacte C ∞ , des équations du type :
(1.1)
∆2 u + ∇i [a(x)∇i u] + h(x)u = f (x)u|u|N −2
(E)
où a, h et f sont des fonctions C ∞ (V ) et f(x) fonction constante.
La dimension de la variété n est supposée
supérieure
à 4 et N dans l’équation
2n
(E), correspondra à l’exposant critique N = n−4 . Pour cela il est nécessaire de
prouver quelques résultats précis sur les meilleures constantes dans les inégalités
de Sobolev.
Pour les notations, se reporter à Aubin[2]. Notamment rappelons que la norme
de l’espace H2q est
(1.2)
k ϕ kH2q =k ∇2 ϕ kq + k ∇ϕ kq + k ϕ kq .
Nous notons H2 l’espace de Hilbert que nous utiliserons dans la deuxième partie.
10
Sa norme est la suivante
k ϕ kH2 = k ∆ϕ k22 + k ∇ϕ k22 + k ϕ k22
1
2
qui est équivalente à la norme H22 comme nous le verrons.
1.2
Inégalités de Sobolev
Le théorème de Sobolev pour les espaces Lp avec p1 = 1q − n2 et H2q (1 ≤
q < n2 ) s’énonce ainsi :
l’inclusion H2q ⊂ Lp est continue.
On sait que le théorème de Kondrakov dans ce cas n’est pas valide: l’inclusion
q
H2 ⊂ Lp n’est pas compacte. Par contre l’inclusion H2q ⊂ Lr avec 1 ≤ r < p est
compacte.
Ici nous supposons que la variété est compacte. Mais dans le cas où elle est
seulement complète le théorème de Sobolev est encore vrai si la variété a un rayon
d’injectivité positif et une courbure de Ricci bornée inférieurement (par −β une
constante).
D’après ce qui précède nous avons:
nq
−l’inclusion H2q ⊂ Lp continue mais non compacte avec p = n−2q
,
q
−l’inclusion H2 ⊂ Lq compacte.
qn
En effet p = n−2q
> q.
Dans cette situation s’applique le théorème d’Aubin [4]. Il existe des constantes
A et C telles que pour tout ϕ ∈ H2q
k ϕ kp ≤ C k ϕ kH2q +A k ϕ kq .
(1.3)
La meilleure constante K2 = inf C telle que A(C) existe est strictement positive.
Cette constante devrait dépendre des trois Banach H2q , Lp et Lq , en fait on
montre qu’elle ne dépend que de n et de q, K2 = K2 (n,q).
Théorème 1.
Soient une variété riemannienne compacte (Vn ,g) et q un réel 1 ≤ q < n2 . La
meilleure constante K2 introduite plus haut ne dépend que de n et de q (K2 = K2 (n,q)).
Ainsi pour tout > 0, il existe une constante A() telle que tout ϕ ∈ H2q vérifie
(1.4)
k ϕ kp ≤ K2 (n,q)(1 + ) k ϕ kH2q +A() k ϕ kq .
Il n’existe pas de constante A avec C < K2 (n,q) telle que (1.3) soit vérifiée pout
tout ϕ ∈ H2q .
Démonstration:
11
Nous voulons démontrer que la meilleure constante pour l’inclusion : H2q ⊂ Lp
ne dépend de la variété que par sa dimension. Partons de la meilleure constante pour
IRn muni de la métrique euclidienne .
On sait d’après le lemme de Sobolev que tout ψ ∈ H1q̃ (IRn ) vérifie une inégalité
du type
k ψ kp̃ ≤ C k ∇ψ kq̃
(1.5)
avec p̃1 = 1q̃ − n1 .
Nous avons H2q ⊂ H1r ⊂ Lp avec
1
r
=
1
q
− n1 . D’où tout ϕ ∈ H2q vérifie
k ∇ϕ kr ≤ C1 k ∇|∇ϕ| kq
(1.6)
k ϕ kp ≤ C2 k ∇ϕ kr
et
En effet comme
|∇|∇ϕ|| ≤ |∇2 ϕ| ,
voir Aubin[4], si ϕ ∈ H2q , alors |∇ϕ| ∈ H1r et on peut appliquer (1.5) avec ψ =
|∇ϕ|.
On obtient en combinant les inégalités (1.6)
k ϕ kp ≤ C k ∇2 ϕ kq .
(1.7)
Posons K2 (n,q)=inf C dans (1.7), K2 (n,q) est donc la meilleure constante pour
l’inclusion H2q (IRn ) ⊂ Lp (IRn ) et tout ψ ∈ H2q (IRn ) vérifie
k ψ kp ≤ K2 (n,q) k ∇2 ψ kq
(1.8)
Retournons à la variété compacte Vn . Considérons un recouvrement de Vn par
m boules Bi (1 ≤ i ≤ m) de rayon δ > 0 petit, un atlas associé {Bi ,ϕi }(1≤i≤m) et
une partition de l’unité {ai }1≤i≤m subordonnée à ce recouvrement.
Soit f ∈ C ∞ (V ),
(1.9)
kf
kqp =k
q
f k =k
p
q
m
X
q
ai f k ≤
i=1
p
q
m
X
q
k ai f k =
i=1
p
q
m
X
i=1
Ici les normes sont sur (Vn ,g).
1
q
Appliquons l’inégalité (1.7) à ψi = ai f
Z
Ωi
p
|ψi | dE
1
p
≤ K2 (n,q)
12
◦ ϕ−1
i . On trouve
Z
Ωi
|∇2E ψi |q
1
q
1
k aiq f kqp .
avec Ωi = ϕi (Bi ), dE est l’élément de volume euclidien et ∇2E ψi signifie que ∇2
est pris au sens de la métrique euclidienne.
Notre problème est d’obtenir une inégalité analogue mais avec la métrique g.
Sur Ωi , noté Ω pour simplifier, exprimons les dérivées de ψi , noté ψ en métrique g (noté pour (ϕi )∗ g ), en fonction des dérivées euclidiennes.
D’après le
ijkl
lemme (1.3) de Aubin [2] si le tenseur de courbure est borné R Rijkl ≤ M 2
et si ∇m Rijkl ∇m Rijkl ≤ M 2 (ce qui est le cas ici puisque la variété est compacte)
il existe des constantes δ et c qui ne dépendent que de M telles que
|∂k ∂ρ gij | ≤ c pour
ρ < δ,
le systeme de coordonnées étant normal en P, l’image par ϕi du centre de la
boule Bi pour la métrique g. En conséquence pour Q ∈ Ω avec d(P,Q) = ρ,
|∂k gij (Q)| ≤ cρ.
Il s’en suit que Γkij (Q) = O(ρ) et gij (Q) = δij + O(ρ2 ). Par suite en Q ∈ Ω
g ik g jl ∇kl ψ∇ij ψ ≤ [1 + O(δ 2 )]|∇2E ψ| + O(δ)|∇2E ψ||∇ψ| + O(δ 2 )|∇ψ|2 .
Utilisons l’inégalité (a,b,η sont des constantes positives) :
ab < ηa2 +
(1.10)
b2
4η
pour majorer le terme rectangle. Nous trouvons que quel que soit > 0 il existe
δ() et C() tels que sur Ω
|∇2g ψ|2 ≤ (1 + )|∇2E ψ|2 + C()|∇E ψ|2 .
D’une manière analogue on établit que
|∇2E ψ|2 ≤ (1+)|∇2g ψ|2 +C()|∇g ψ|2 .
(1.11)
Notons Ki = supp ai . Il existe deux réels positifs λ et µ tels que pour tout x ∈
S
{1≤i≤m} Ki
0 < λ ≤ gjj (x) ≤ µ
n
D‘où λ 2 ≤
(1.12)
n
p
|g(x)| ≤ µ 2 et en utilisant (1.8) on trouve
Z
V
p
|ψ| dV ≤ µ
n
2
Z
p
V
|ψ| dE ≤ µ
n
2
K2p (n,q)
D’autre part, (1.11) entraîne
(1.13)
k ∇2E ψ k2q =k |∇2E ψ|2 k q ≤
2
13
Z
V
|∇2E ψ|q dE
p
q
.
≤ (1 + )
Z
|∇2g ψ|q dE
V
≤λ
−n
q
h
2
q
+ C()
Z
q
V
|∇g ψ| dE
2
q
≤
i
(1 + ) k ∇2g ψ k2q +C() k ∇g ψ k2q .
Et en utilisant (1.12) et (1.13) :
Z
(1.14)
p
V
n
≤ µ p K22 (n,q)λ
−n
q
h
|ψ| dV
2
p
≤
(1 + ) k ∇2g ψ k2q +C() k ∇g ψ k2q
i
où si l’on préfère en utilisant (1.10) ( différent mais toujours petit)
nq
n
h
i
k ψ kqp ≤ µ 2p K2q (n,q)λ− 2 (1 + ) k ∇2g ψ kqq +C() k ∇g ψ kqq .
(1.15)
Nous avons pour un réel positif k indépendant de i:
1
|∇g ψ| = |∇g (aiq f )| ≤ k|f | + |∇g f |
et
1
|∇ij ψ| ≤ aiq |∇ij f | + k (|f | + |∇g f |) .
Cette dernière inégalité entraîne moyennant (1.10)
|∇ij ψ|q ≤ (1+η)|∇ij f |q ai +k̃(η) (|f |q + |∇g f |q )
(1.16)
quel que soit η > 0, k̃ dépendant de η.
En intégrant on trouve
Z
V
|∇lj ψ|q dV ≤ (1 + η)
Z
V
ai |∇lj f |q dV + k̃
Z
V
(|f |q + |∇g f |q ) dV
Avec (1.9) et (1.15) on obtient
k f kqp ≤
(1.17)
m
X
1
k (aiq f ) kqp ≤
i=1
≤µ
nq
nq
2p
n
K2q (n,q)λ− 2
n
"
(1 + )
m Z
X
i=1 V
≤ µ 2p K2q (n,q)λ− 2 (1 + )(1 + η)
Z
V
|∇2g ψ|q dV
+ C()
|∇2 f |q dV + C̃
14
m Z
X
i=1 V
Z
V
q
|∇g ψ| dV
#
(|f |q + |∇g f |q ) dV .
D’après une inégalité d’interpolation (Aubin[4] p93) et (1.10), pour tout η > 0 il
existe une constante C(η) telle que pour tout f ∈ C ∞
Z
(1.18)
V
q
|∇f | dV ≤ η
Z
2
V
q
|∇ f | dV +C(η)
Z
V
|f |q dV.
Nous pouvons par conséquent retirer du membre de droite V |∇f |q dV. Enfin
comme on peut choisir le rayon δ des boules aussi petit qu’on veut, on peut faire
en sorte que λ et µ soient très voisins de 1. En faisant ainsi, ayant une autre
valeur que précédemment mais étant toujours aussi petit qu’on veut, il existe une
constante B() telle que ∀f ∈ H2q (V ) vérifie
R
k f kqp ≤ (1+)K2q (n,q) k ∇2 f kqq +B() k f kqq
(1.19)
puisque C ∞ est dense dans H2q (V ). Cette inégalité (1.19) est équivalente à (1.4).
A ce stade nous avons montré que K2 , la meilleure constante dans l’inégalité
(1.3) (pour (Vn ,g)) vérifie K2 ≤ K2 (n,q). Mais comme nous pouvons mener la
même démonstration en intervertissant les rôles de (Rn ,E) et (Vn ,g) nous établissons que K2 (n,q) ≤ K2 . Par exemple au lieu de (1.12) nous pouvons écrire
λ
n
2
Z
Ω
p
|ψ| dE ≤
Z
B
h
|ψ̃|p dV ≤ (1 + )K2q k ∇2 ψ̃ kqq +B() k ψ̃ kqq
ip
q
où ψ̃ = ψ ◦ ϕ. En conséquence K2 = K2 (n,q) et le théorème 1 est démontré.
Corollaire 1.
Sur une variété riemannienne compacte de dimension n > 4, pour tout > 0
il existe une constante a() telle que ∀f ∈ H2 (V ) vérifie
k f k2N ≤ (1+)K22
(1.20)
Z
V
|∆f |2 dV +a()
Z
V
|f |2 dV
n Γ( n ) o
2n
2
avec N = n−4
et K2−2 = K2−2 (n,2) = π 2 n(n − 4)(n2 − 4) Γ(n)
. K2 (n,2) est
n
obtenu en utilisant les fonctions uλ extrémales du problème sur IR
(1.21)
uλ (r) = Cn
λ
1 + λ2 r 2
(n−4)
2
où Cn est une constante qui ne dépend que de n.
Preuve:
Sur les variétés compactes d’après une égalité bien connue (pag 115 [4]):
(1.22)
Z
V
|∇2 f |2 dV =
Z
V
Z
(∆f )2 dV −
15
V
Rij ∇i f ∇j f dV ≤
≤
Z
(∆f )2 dV + β
V
Z
V
|∇f |2 dV .
D’où (1.4) et (1.18) entraînent (1.20).
Sur IRn considérons la fonctionnelle
J(ϕ) =k ϕ k−2
N
Z
V
|∆ϕ|2 dV.
Soit µ̃ l’inf de J(ϕ) pour ∀ϕ ∈ H2 (IRn ). Nous avons K2−2 = µ̃. En effet d’après
la définition même de K2 , K2−2 ≤ µ̃ puisque (1.8) donne
k ϕ k2N ≤ K22 (n,2) k ∇2 ϕ k22 = K22 (n,2)
Z
|∆ϕ|2 dx
V
en utilisant (1.22) valide pour ∀ f ∈ D(IRn ) avec la courbure de Ricci nulle. Rappelons que D(IRn ) est dense dans H2 (IRn ).
D’autre part on ne peut pas avoir K2−2 < µ̃ puisqu’il existe des fonctions
ϕ̃ ∈ D(IRn ) vérifiant
h
i
k ϕ̃ k2N = K22 (n,2) − η k ∇2 ϕ̃ k22
avec η > 0 aussi petit qu’on veut.
1
aussi près de K2−2 qu’on veut.
Nous avons J(ϕ̃) = K 2 (n,2)−η
2
On vérifie que les fonctions uλ (r) sont solutions de ∆2 u = uN −1 sur IRn
l’équation d’Euler du problème variationnel associé à J [8].
1.3
Étude de l’équation (E).
Pour résoudre (E) nous allons utiliser la méthode variationnelle. Considérons
la fonctionnelle sur H2 :
(1.23)
I(ϕ) =
Z
2
V
Z
|∆ϕ| dV −
Z
i
h(x)ϕ2 dV
a(x)∇ ϕ∇i ϕdV +
V
V
Sa différentielle est formellement
1
DIϕ (ψ) =
2
=
Z
∆ϕ∆ψdV −
V
Z
i
a(x)∇i ϕ∇ ψdV +
V
Z
V
Z n
o
∆2 ϕ + ∇i [a(x)∇i ϕ] + h(x)ϕ ψdV.
16
h(x)ϕψdV
Par conséquent l’équation d’Euler du problème variationnel suivant :
inf I(ϕ) pour tout ϕ ∈ A = {u ∈ H2 , k u kN = 1}
est l’équation (E) avec f (x) une constante. Notons µ cet inf.
M.Vaugon[15] a etudié l’équation (E) et plus généralement des équations elliptiques d’ordre 2m. Dans son article se trouve un résultat analogue à celui qui suit.
1.3.1
Enoncé et démonstration du théorème 2.
Théorème 2.
µ étant l’inf défini juste au dessus et K2 = K2 (n,2), on a toujours K22 µ ≤ 1.
Si K22 µ < 1, l’équation (E) avec f (x) constante admet une solution ψ 6≡ 0 dans
H2 qui minimise le problème variationnel.ψ a la régularité maximum autorisée
par l’équation (E) c’est à dire ψ ∈ C 5,α pour un certain α ∈ (0,1) dans le cas
général mais par exemple pour les dimensions 5, 6, 8, ψ ∈ C ∞ .
Démonstration:
Lorsque Yamabe (voir Aubin[4]) a voulu résoudre son équation, il a été amené,
car l’exposant dans le membre de droite est critique, à considérer une famille
d’équations approchées. Nous devons faire ici de même. Considérons la famille
d’équations
∆2 u + ∇ν [a(x)∇ν u] + h(x)u = f (x)u|u|q−2
(Eq )
avec 2 < q < N et f(x) pour l’instant une constante. (Eq ) est l’équation d’Euler
du problème variationnel
inf I(ϕ) pour tout ϕ ∈ Aq = {u ∈ H2 , k u kq = 1} .
Pour commencer il faut montrer que µq = inf I(ϕ) pour tout ϕ ∈ Aq est fini. Bien
sûr µq < +∞ puisque Aq n’est pas vide.
Montrons que la fonctionnelle I(ϕ) est minorée sur Aq
(1.24) I(ϕ) ≥
Z
V
|∆ϕ|2 dV − sup[a(x),0]
Z
V
|∇ϕ|2 dV + inf [h(x),0]
Z
ϕ2 dV
V
Tout d’abord
(1.25)
Z
V
Chaque Ci
ϕ2 dV ≤k ϕ k2q V
1− 2q
i ∈ IN est une constante.
17
2
≤k ϕ k2q sup(1,V )1− N ≤ C1 .
De plus (1.18) sur H2 donne, puisque C ∞ (V ) est dense dans H2 ,
Z
V
2
|∇f | dV ≤ η
Z
V
2
2
|∇ f | dV + C(η)
Z
V
|f |2 dV .
Combiné avec (1.22) on trouve
Z
|∆f | dV + η β
Z
puis on choisit η de sorte que 2η sup[a(x),0] ≤
1
2
2
V
|∇f | dV ≤ η
Z
Z
V
2
2
V
|∇f | dv ≤ 2η
Z
V
V
|∇f |2 dV + C(η)C1
et ηβ ≤ 12 . L’inégalité devient
|∆f |2 dV + C2
et (1.24) donne
1
I(f ) ≥
2
(1.26)
Z
V
|∆f |2 dV + C3 ,
où C3 ne dépend pas de f ∈ Aq , ni de q.
Maintenant nous pouvons considérer une suite {ϕi } minimisante de laquelle
on pourra extraire une sous-suite convergente.
Soit {ϕi } ⊂ Aq telle que I(ϕi ) −→ µq .
On peut supposer que I(ϕi ) < 1 + µq i ∈ IN. De (1.26) nous tirons
Z
V
|∆ϕi |2 dV ≤ 2(1 + µq ) + 2|C3 |.
Mais avec la fonction constante k ∈ Aq et en utilisant (1.25), nous obtenons
µq ≤ I(k) ≤ sup(0,h(x)) k k k22 ≤ C1 sup(0,h(x)) = C4 .
D’où
(1.27)
Z
V
|∆ϕi |2 dV ≤ C5
et
k ϕi k2 ≤
p
C1
d’après (1.25), et {ϕi } est bornée dans H2 d’après la formule d’interpolation.
Les théorèmes de Banach et de Kondrakov (l’inclusion H2 ⊂ Lq est compacte)
nous permettent de trouver une fonction ϕq et une sous-suite {ϕj } ⊂ {ϕi }) telles
que ϕj −→ ϕq faiblement dans H2 et fortement dans Lq .
On en déduit que ϕq ∈ Aq et par conséquent I(ϕq ) ≥ µq . De plus la convergence faible dans H2 entraîne I(ϕq ) ≤ limj−→∞ I(ϕj ) = µq .
18
Donc I(ϕq ) = µq , ϕj −→ ϕq fortement dans H2 , ϕq réalise le minimum,
k ϕq kq = 1 et ϕq vérifie faiblement dans H2 l’équation
∆2 ϕq +∇ν (a(x)∇ν ϕq )+h(x)ϕq = µq ϕq |ϕq |q−2 .
(1.28)
En utilisant la méthode de bootstrap employée par Yamabe on montre que ϕq
est bornée. Puis d’après les théorèmes de régularité classiques et la même méthode,
il s’en suit que ϕq ∈ C 5,α pour un certain α ∈ (0,1). Concernant la régularité de la
solution ψ de l’équation (E), on montre que ψ est bornée par une méthode imaginée
par M.Vaugon[15] puis que ψ ∈ C 5,α par la méthode de bootstrap, enfin suivant la
8
régularité de la fonction γ : x −→ |x| n−4 , ψ ∈ C ∞ pour n= 5, 6, 8 (γ ∈ C ∞ ) ou
si ψ > 0(γ ∈ C ∞ pourx > 0).
Montrons que la méthode de bootstrap est applicable.
Lemme 2.
ϕq ∈ L∞ , ∀ q avec 2 < q < N .
Preuve:
D’après la définition de la fonction de Green on sait que pour ∀ P ∈ V et
∀ ψ ∈ C4
Z
∆ψ(P ) =
G(P,Q)∆2 ψ(Q)dV (Q)
V
d’où
ψ(P ) =
Z
V
ψ(Q)
dV (Q) +
V
Z
G(P,Q)
Z
V
G(Q,R)∆2 ψ(R)dV (R) dV (Q).
V
En utilisant la fonction G2 définie par
G2 (P,R) =
Z
G(Q,R)G(P,Q)dV (Q)
V
on peut écrire
ψ(P ) = V −1
Z
ψ(Q)dV (Q) +
V
Z
G2 (P,Q)∆2 ψ(Q)dV (Q) .
V
Chaque ϕq satisfait l’équation
∆2 ϕq (x) + ∇µ [a(x)∇µ ϕq (x)] + h(x)ϕq (x) = µq ϕq |ϕq |q−1
et l’égalité précédente avec ψ = ϕq . En plus si q est voisin de N ,
∆2 ϕq ∈ L N car ∆ϕq ∈ L2 et |∇ϕq | ∈ L2 .
(q−1)
19
N
(q−1)
(Eq )
< 2 d’où
Maintenant appliquons la proposition de Giraud (Aubin[4] p108) : Il existe k ∈
IR tel que
k
|G2 (P,Q)| ≤ n−4
r
car
G2 (P,Q) = G(P,Q) ∗ G(Q,R) ,
|G(P,Q)| ≤
k
et n > 4.
rn−2
Maintenant, appliquons à la fonction ϕq le corollaire du lemme de Sobolev (Aubin[4]). Comme ∆2 ϕq ∈ L N ,
(q−1)
ϕq ∈ Lr1
avec
1
n − 4 (q − 1)
=
+
− 1 si
r1
n
N
r1 > 0.
Par récurrence si ∆2 ϕq ∈ L rk−1
(q−1)
ϕq ∈ Lrk
avec
1
n − 4 (q − 1)
=
+
− 1 si
rk
n
rk−1
rk > 0.
Après des calculs simples il vient
1
1
4
4
= (q − 1)k
−
+
.
rk
N
n(q − 2)
n(q − 2)
2n
Dans cette expression, comme q < n−4
= N , le second membre sera négatif pour
k grand : k > k̃. Ce qui signifie qu’au niveau k̃, on peut appliquer le théorème de
Hölder. En effet comme nous avons
n−4 q−1
+
−1<0
n
rk̃
il existe r 1 < r <
n
n−4
tel que
0=
1 (q − 1)
+
−1.
r
rk̃
Il s’en suit que ϕq ∈ L∞ et le lemme est donc démontré.
Prenons une suite q −→ N avec ϕq solution de (Eq ). Comme la suite {ϕq } est
bornée dans H2 (1.27), le théorème de Banach nous dit qu’il existe une fonction
ψ ∈ H2 et une sous-suite qi −→ N telles que ϕqi −→ ψ faiblement dans H2 .
De plus on peut faire en sorte que, en appliquant le théorème de Kondrakov,
ϕqi −→ ψ fortement dans H1 et p.p..
20
Alors pour ∀f ∈ H2
Z
(1.29)
V
−→
Z
V
Z
∆f ∆ϕqi dV −
∆f ∆ψdV −
Z
V
Z
a(x)∇ν f ∇ν ϕqi dv+
V
a(x)∇ν f ∇ν ψdv +
Z
V
h(x)f ϕqi dV
h(x)f ψdV.
V
De plus
Z
(1.30)
qi −2
V
f ϕqi |ϕqi |
dV −→
Z
f ψ|ψ|N −2 dV
V
car nous avons convergence faible dans L N d’après un théorème bien connu
N −1
(Aubin[4] p79).
En effet ϕqi |ϕqi |qi −2 −→ ψ|ψ|N −2 p.p. et
k ϕqi |ϕqi |qi −2 k
N
N −1
=k ϕqi kq(qi −1
≤ C6 k ϕqi kqNi −1 ≤ C7
i −1)N
N −1
d’après le théorème de Sobolev puisque k ϕqi kqi = 1 et k ϕqi kH2 ≤ C8 .
D’après (1.28), (1.29) et (1.30) ψ vérifie faiblement dans H2 l’équation
(1.31)
∆2 ψ + ∇ν (a(x)∇ν ψ) + h(x)ψ = µψ|ψ|N −2
µ étant la limite d’une sous-suite de µqi . Rappelons que l’ensemble des µq est
borné
Z
2
C3 ≤ µq ≤ I(kq ) = kq
h(x)dV ≤ C9
V
kq étant la fonction constante appartenant à Aq
kq = V
− 1q
≤ sup(1,V −1 ) .
Avant toute chose il ne faut pas que ψ soit la solution triviale ψ ≡ 0.
Examinons tout d’abord le cas où un µq = 0. Cela signifie que I(ϕ) ≥ 0 pour
ϕ ∈ H2 et que I(ϕq ) = 0. Il s’en suit que tous les µq sont nuls, en conséquence
µ = 0 et ψ est proportionnelle à ϕq qui est non nulle puisque k ϕq kq = 1.
Dans le cas où un µq est négatif ils le sont tous car µp ≤ I(αϕq ) = α2 I(ϕq ) =
α2 µq < 0 avec αϕq ∈ Ap et nous avons aussi µp < 0 .
Dans le troisième cas les µq sont tous positifs.
Pour la suite nous avons besoin du lemme suivant.
Lemme 3.
Pour tout η > 0 il existe une constante C̃(η) telle que tout f ∈ C ∞ vérifie:
(1.32)
Z
V
|∇f |2 dV ≤ η
Z
V
|∆f |2 dV + C̃(η)
21
Z
V
f 2 dV
Preuve:
Portons (1.18) avec q = 2 dans (1.22), il vient
Z
V
|∇2 f |2 dV ≤
Z
|∆f |2 dV + βη
V
Z
V
|∇2 f |2 dV + βC(η)
Z
f 2 dV
V
ce qui s’écrit
(1 − βη)
Z
Z
|∇2 f |2 dV ≤
V
Z
|∆f |2 dV + βC(η)
V
f 2 dV.
V
Ceci donne dans (1.18), évidemment on prend βη << 1,
Z
V
η
|∇f | dV ≤
1 − βη
2
Z
βC(η)η
|∆f | dV +
+ C(η)
1 − βη
2
V
Z
f 2 dV
V
qui s’écrit comme dans le lemme.
Montrons maintenant en appliquant l’inégalité (1.20) que ψ 6≡ 0, sous l’hypothèse du théorème 2. Nous avons
1=
Z
V
en prenant β =
2
q
ϕqq dV
β
"Z
≤
V
ϕN
q dV
q
N
V
q
1− N
et en utilisant (1.20) nous trouvons
2
Z
|∆ϕq | dV +a()
= (1 + )K22 (1 + η̃) µq +
Z
a(x)∇i ϕq ∇i ϕq dV −
(1.33)
V
#β
2
N
− 2q
≤ (1 + )K
−η̃
Z
V
2
V
V
|∆ϕq |2 dV
+ a()
Z
V
Z
|ϕq |2 dV =
V
Z
V
h(x)ϕ2q
|ϕq |2 dV
avec η̃ petit, choisi ultérieurement. Majorons le terme en gradient.
Z
V
a(x)∇i ϕq ∇i ϕq dV ≤ sup(a(x),0)
Z
≤ sup(a(x),0) η
V
2
Z
V
|∆ϕq | dV + C̃(η)
|∇ϕq |2 dV ≤
Z
ϕ2q dV
.
On prend η̃ = sup(a(x),0)η et (1.33) devient
(1.34)
V
2
N
− 2q
− (1 + )K22 (1 + η̃)µq ≤ C10 (,η̃)
22
Z
V
ϕ2q dV
2
−2
Quand q −→ N , V N q −→ 1. Comme et η peuvent être choisis aussi petits
qu’on veut, si K22 µ < 1 à partir d’un certain q0 < N pour q > q0 , et η bien
choisis, le membre de gauche
de (1.34) est strictement positif supérieure à ξ >
R
−1
0. Ainsi nous obtenons V ϕ2q dV ≥ ξC10
= C11 > 0 et, comme ϕqi −→ ψ
fortement dans L2 ,
Z
ψ 2 dV > 0 et donc
V
1.4
ψ 6≡ 0 .
Sur la positivité de la solution du théorème 2.
Proposition 1.
Si a(x) ≡ a = −2α et h(x) ≡ b = α2 le minimiseur ψ de la fonctionnelle
I(ϕ) sur Aq (resp (A)) est strictement positif et C ∞ .
Même résultat si les racines de l’équation x2 + ax + b = 0 sont positives.
Démonstration:
Soient α > 0 une constante et ϕ ∈ Aq . Comme l’opérateur ∆+α est inversible
pour des espaces bien choisis, il existe une fonction φ vérifiant l’équation
(1.35)
∆φ+αφ = |∆ϕ+αϕ|.
Si ∆ϕ + αϕ ≥ 0 (resp ≤ 0) nous avons évidemment φ = ϕ (resp φ = −ϕ), si
non, nous allons démontrer que φ > |ϕ|.
Ajoutons −∆ϕ − αϕ aux deux membres de l’équation (1.35), on obtient:
(1.36)
−∆(ϕ−φ)−α(ϕ−φ) = |∆ϕ+αϕ|−∆ϕ−αϕ.
On applique le principe de maximum (Aubin[4]). Comme le membre de droite de
l’équation est non négatif, nous obtenons :
−∆(ϕ − φ) − α(ϕ − φ) ≥ 0.
D’où, si la fonction (ϕ−φ) atteint un maximum M ≥ 0, c’est la fonction constante
M . Ceci est exclu car −αM ≥ 0 entraîne M = 0 et nous n’avons pas ϕ = φ par
hypothèse. Donc
(1.37)
ϕ−φ < 0 d’où
φ>ϕ
sur V.
Maintenant ajoutons aux deux membres de l’équation (1.35) ∆ϕ + αϕ il vient:
(1.38)
−∆(−ϕ−φ)−α(−ϕ−φ) = |∆ϕ+αϕ|+∆ϕ+αϕ.
23
Comme dans (1.38) le membre de droite est positif, par le principe de maximum,
comme au-dessus, nous trouvons
− ϕ − φ < 0 d’où
(1.39)
φ > −ϕ
V
sur
En conclusion (1.37) et (1.39) donnent
φ > |ϕ| ≥ 0.
(1.40)
Il s’en suit que
φ kq >k ϕ kq
(1.41)
et
Z
I(ϕ) =
V
|∆ϕ + αϕ|2 dV =
Z
(∆φ + αφ)2 dV = I(φ).
V
Si la solution de notre problème variationnel ϕq ≥ 0 le principe du maximum
entraîne ϕq > 0.
Si non on pose ϕ = ϕq . D’après (1.40), il existe une constante k < 1 telle que
kφ ∈ Aq . Ce qui entraîne I(kφ) < I(ϕq ) = µq . D’où ϕq > 0 pour tout q. La
fonction ψ qui est limite p.p. d’une suite ϕqi est en conséquence ≥ 0.
Mais le raisonnement ci-dessus peut être appliqué à ψ. D’où ψ > 0. En effet si
on pose ϕ = ψ la solution φ de (1.35) est telle que ∆φ ∈ L2 donc φ ∈ H2 . Ce qui
complète la démonstration de la proposition.
1.5
Applications du théorème2.
Considérons la fonctionnelle homogène
J(ϕ) =
avec
I(ϕ) =
Z
V
|∆ϕ|2 dV −
Z
I(ϕ)
k ϕ k2N
a(x)∇i ϕ∇i ϕdV +
V
Z
h(x)ϕ2 dV
V
et appliquons le cas d’existence d’une solution du théorème 2.
Pour commencer la fonction la plus simple à considérer est ϕ ≡ 1.
Théorème 3. R
4−n
Si J(1) = V n V h(x)dV ≤ K2−2 , alors il existe une solution.
R
n−4
Ainsi si V h(x)dV ≤ K2−2 V n , alors quel que soit a(x) l’équation (E) avec
f (x) = Const. a une solution.
24
Démonstration:
Si µ < J(1) ≤ K2−2 le théorème 2 s’applique. Si µ = J(1), c’est à dire que 1
est solution de l’équation.
Théorème 4.
Lorsque n > 6, si en un point P ∈ V , R(P ) > −C(n)a(P ) avec C(n) =
2n(n−1)
alors (E), avec f (x) = Const., a une solution ψ ∈ H2 . Si k ψ kN = 1,
n2 −2n−4
f (x) = µ.
Démonstration:
Considérons un système de coordonnées normales (y 1 ,y 2 ,y 3 ,...,y n ) géodésiques centré en P. Soit S(r) l’ensemble des points situés à la distance r de P
(r < d le rayon d’injectivité) et dΩ l’élément d’aire sur Sn−1 (1) la sphère de
rayon 1 à (n − 1) dimensions.
Posons :
Z
q
1
|g|dΩ,
G(r) =
ωn−1 S(r)
ωn−1 étant l’aire de Sn−1 (1) et |g| le déterminant de la métrique. Un développement limité de G(r) au voisinage de r = 0 (voir T.Aubin [4]) donne :
(1.42)
G(r) = 1−
R 2
r +O(r4 ).
6n
avec R égal à la courbure scalaire en P.
Soient P un point de Vn (n > 6) et BP () une boule centrée en P de rayon (0 < 2 < d le rayon d’injectivité ). Lorsque n>6, faisons un développement limité
de J(λϕk ) pour k −→ 0, avec la suite
λϕk = λ(r)(r2 + k 2 )−
(n−4)
2
,
ici λ(r) est une fonction C ∞ égale à 1 sur Bp () et 0 sur V \ Bp (2).
Pour les calculs qui suivent nous utilisons le résultat suivant ( voir Aubin[4]) :
p et q étant deux réels positifs, posons pour p − q > 1
Ipq
=
Z
∞
(1 + t)−p tq dt
0
alors:
(1.43)
q
Ip+1
=
p−q−1 q
Ip
p
q+1
et Ip+1
=
Calculons les différents termes de la fonctionnelle
Jk = J(λϕk )|Bp () :
25
q+1 q
I .
p − q − 1 p+1
k ϕ k kN
N = ωn−1
= ωn−1
Z
0
=
ωn−1
= n
k
ωn−1
kn
k
(Z
0
Z
0
rn−1
G(r)dr =
(r2 + k 2 )n
0
rn−1
R 2
1−
r + O(r4 ) dr =
(r2 + k 2 )n
6n
un−1
R 2 2
1−
k u + O(k 4 ) du =
2
n
(1 + u )
6n
un−1
R
du − k 2
2
n
(1 + u )
6n

Z ( k )2
ωn−1
=
2k n 
k
Z
0
n−2
t 2
R
dt − k 2
n
(1 + t)
6n
k
Z
0
)
un+1
du + O(k 4 )
(1 + u2 )n
Z ( )2
k
0
pour k −→ 0 nous avons
ωn−1
=
2k n
n
−1
2
In

n

t2
4
dt
+
O(k
)

(1 + t)n
R 2 n2
−
k In + O(k 4 ) ,
6n
car l’intégrale
Z
(1.44)
=
∞
−p q
t dt ∼
(1+t)
2
( k )
tq−p+1
q−p+1
!∞
2
k
( )
Z
∞
2
( k )
tq−p dt =
 2(p−q−1) 
k

∼

2(p−q−1)
).
 = O(k
p−q−1
Ici pour la première intégrale 2(p−q−1) = n > 6 et pour la seconde 2(p−q−1) =
n − 2 > 4. D’après (1.43),
n
n
n
−1
In2 =
In2
n−2
donc
ωn−1 n2 −1
R
N
2
4
k ϕk kN =
In
1−k
+ O(k ) ,
2k n
6(n − 2)
k
ϕk k2N =
(ωn−1 )
2
n−4
n
n−4
n
k n−4
n
−1
2
In
n−4 n−4
R
1−k
+ O(k 4 )
6(n − 2)
n
2
n
et
(1.45)
k ϕk k−2
N = 2
n−4
n
n
−1
2
In
k (n−4)
ωn−1
n−4
n
26
1 + k2
R n−4
+ O(k 4 ) .
6 n(n − 2)
Poursuivons par le calcul des intégrales du numérateur réduites à BP ().
La fonction ϕk est continue sur Vn et à l’intérieur de Bp (),
∂ϕk
r
= |∇ϕk | = (n−4)
n−2
∂r
(k 2 + r2 ) 2
0
(1.46)
ϕk (r) =
et
−∆ϕk =
(1.47)
= (4 − n)
("
1
r
∂ r
n−1 r
0
n−1
#
nk 2 + 2r2
n
(k 2 + r2 ) 2
ϕk
q
0
+∂r Log |g|ϕk =
q
+ ∂r Log |g|
"
#)
r
n−2
2
(k 2 + r2 )
.
Calculons le second terme de la fonctionnelle Jk . Posons
B=−
Z
0
Z
|∇ϕk |2
où
S(r)
=
a(x) (|g|)dΩ rn−1 dr
S(r)
Z
q
a(x) |g|dΩ =
1
a(P ) + ∇ij a(x)y i y j
2
Z
S(r)
= ωn−1 a(P ) −
!
q
1
1 − Rij y i y j dΩ + O(r4 )
6
∆a a(P )R 2
+
r + O(r4 )
2n
6n
Donc
B = −(n − 4)2 ωn−1 ×
Z
0
rn+1
a(P ) −
(k 2 + r2 )n−2
∆a a(P )R 2
−
+
k
2n
6n
(
(n − 4)2 ωn−1
=−
k n−6
∆a a(P )R 2
+
r + O(r4 ) dr =
2n
6n
a(P )
Z
0
Z
k
0
k
un+1
du
(1 + u2 )n−2
)
un+3
du + O(k 4 )
(1 + u2 )n−2
=

n
Z ( )2
k
(n − 4)2 ωn−1 
t2
=−
a(P )
dt

2k n−6
(1 + t)n−2
0
−
∆a a(P )R 2
+
k
2n
6n
Z ( )2
k
0
27
n+2
2


t
dt + O(k 4 ) =

(1 + t)n−2
(n − 4)2 ωn−1
=−
2k n−6
n
2
a(P )In−2 + O(k) ,
car ici 2(p − q − 1) = n − 6 ≥ 1. Avec (1.43), on obtient
(1.48)
B=−
=−
(n − 4)2 ωn−1 n2 −1 4n(n − 1)
In
{a(P ) + O(k)} =
2k n−6
(n − 4)(n − 6)
o
(n − 4)2 ωn−1 n2 −1 4n(n − 1) n
2
3
I
a(P
)k
+
O(k
)
n
2k n−4
(n − 4)(n − 6)
car
n
4n(n − 1)
−1
In2 .
(n − 4)(n − 6)
n
2
=
In−2
Maintenant calculons le troisième terme de la fonctionnelle Jk .
(1.49)
C=
Z
0
=
Z
0
= ωn−1
Z
0
Z
ϕ2k
S(r)
rn−1
(k 2 + r2 )n−4
q
h(x) |g| rn−1 dr =
Z
S(r)
rn−1
h(P ) −
(k 2 + r2 )n−4
=
1
!
!
q
h(x) |g|dΩ dr =
∆h h(P )R 2
+
r + O(r4 ) dr
2n
6n
× O(k 4 ).
k n−4
Enfin reste à calculer le terme
A = ωn−1
Z
Bp ()
2
= ωn−1 (n − 4)
Z
("
0
|∆ϕk |2 G(r)rn−1 dr =
nk 2 + 2r2
n
(k 2 + r2 ) 2
#
q
+ ∂r Log |g|
"
r
(k 2 + r2 )
n−2
2
#)2
R 2
× 1−
r + O(r4 ) rn−1 dr =
6n
2
= ωn−1 (n − 4)
Z
0
"
rn−1 (nk 2 + 2r2 )2 rn+1 (∂r Log |g|)2
+
+
(k 2 + r2 )n
(k 2 + r2 )n−2
p
rn (nk 2 + 2r2 )∂r Log |g|
+2
(k 2 + r2 )n−1
p
28
#
R 2
1−
r + O(r4 ) dr
6n
×
où
(1.50)
rn−1 (nk 2 + 2r2 )2
R 2
1−
r + O(r4 ) dr =
2
2
n
(k + r )
6n
Z
0
1
=
=
k n−4
k n−4
un−1 (n + 2u2 )2
R 2 2
1−
u k + O(k 4 ) du =
(1 + u2 )n
6n
0
k
(Z
1
k
Z
un−1 (n + 2u2 )2 du
R 2
−
k
2
n
(1 + u )
6n
0
k
Z
0
un+1 (n + 2u2 )2 du
+
(1 + u2 )n
o
+O(k 4 ) =
=

Z 2 n
Z ( k )2 t n−2
2 (n + 2t)2 dt
R 2 ( k ) t 2 (n + 2t)2 dt
−
k
+
 0
(1 + t)n
6n
(1 + t)n
0
1
2k n−4
o
+O(k 4 ) =
n
n2 In2
−1
n
n
+ 4nIn2 + 4In2
=
1
2k
+1
−
n
−1
2
I
n−4 n
1
2k n−4
×
n
n
R 2 2 n2
+1
+2
k n In + 4nIn2 + 4In2
+ O(k 3 ) =
6n
(
n2 +
4n2
4n(n + 2)
+
n − 2 (n − 2)(n − 4)
"
#
)
R
n3
4n2 (n + 2)
4n(n + 4)(n + 2)
− k2
+
+
+ O(k 3 )
6n
n − 2 (n − 2)(n − 4) (n − 6)(n − 4)(n − 2)
=
n
1
n
−1
2
2k n−4
In
(
=
)
n(n + 2)(n − 2) R (n2 + 4) 2
−
k + O(k 3 ) .
(n − 4)
6 (n − 6)
n
+1
+2
Pour In2 nous avons ici 2(p − q − 1) = n − 4 ≥ 3 et pour In2 , 2(p − q − 1) =
n − 6 ≥ 1, d’où le terme en O(k 3 ).
p
R
La troisième intégrale de A (rappelons que ∂r Log |g| = − 3n
r + O(r2 ))
s’écrit
Z
(1.51)
0
=
=
2rn (nk 2 + 2r2 )∂r Log |g|
R 2
1−
r + O(r4 ) dr =
2
2
n−1
(k + r )
6n
p
−2R
3n
1
k n−6
Z
0
−2R
3n
rn+1 (nk 2 + 2r2 ) 2
1
+
O(r
)
dr =
(k 2 + r2 )n−1
(Z
0
k
)
un+1 (n + 2u2 )
du + O(k 2 )
(1 + u2 )n−1
29
=
=
1
2k n−6
1
=

2k n−6
−2R
3n
=
n
n
+1
2
2
nIn−1
+ 2In−1
+ O(k) =
1
=
(

Z 2 n

−2R  ( k ) t 2 (n + 2t)
2
dt
+
O(k
)
=

3n  0
(1 + t)n−1
2k n−6
n
−2R
−1
In2 ×
3n
)
2n2 (n − 1)
4n(n − 1)(n + 2)
+
+ O(k)
(n − 4)(n − 2) (n − 2)(n − 4)(n − 6)
1
2k n−4
n
−2R
2n(n − 1)(n − 2)
−1
In2
k2
+ O(k 3 ) .
3n
(n − 4)(n − 6)
n
+1
2
Ici nous avons pour In−1
, 2(p − q − 1) = n − 6 ≥ 1.
La dernière intégrale
Z
(1.52)
p
rn+1 (∂r Log |g|)2 2
1
+
O(r
)
dr =
(k 2 + r2 )n−2
0
=
=
=
−R
3n
1
k n−8
1
2k n−8
=
2 Z
rn+3
2
1
+
O(r
)
dr =
(k 2 + r2 )n−2
0
R2
9n2
!Z
k
R2
9n2
!Z
( k )
0
2
0
R2
9n2
1
2k n−8
=
En conclusion
A=
(
un+3
2
1
+
O(k
)
du =
(1 + u2 )n−2
n+2
t 2
2
1
+
O(k
)
dt =
(1 + t)n−2
!
n
+1
2
2
In−2 + O(k ) =
1
k n−4
O(k 4 ).
ωn−1 (n − 4)2 n2 −1
In ×
2k n−4
"
#
)
n(n + 2)(n − 2)
(n2 + 4) 4(n − 1)(n − 2)
− k2 R
+
+ O(k 3 ) .
(n − 4)
6(n − 6) 3(n − 4)(n − 6)
Regroupons les différents termes, pour n > 6, lorsque k −→ 0 nous trouvons que
Jk = J(λϕk )|BP ()
30
R
=
BP ()
|∆ϕk (x)|2 − a(x)|∇ϕk (x)|2 + h(x)ϕ2k (x) dx
k ϕk k2N
tend vers
ωn−1 (n − 4)2 n2 −1
In
2k n−4
(1.53)
−k
2
"
#
n−4
n
n
−1
2
In
k (n−4)
ωn−1
n
n
In2
= (n − 4)2 
1−k
2
"
)
R
n−4
1 + k2
+ O(k 4 ) =
6 n(n − 2)
n−4

(
n(n − 2)(n + 2)
n−4
4n(n − 1)a(P ) R(n2 + 4n − 20)n
+
+ O(k 3 ) ×
(n − 4)(n − 6)
6(n − 4)(n − 6)
2
4
−1
ωn−1 
2
n
n(n + 2)(n − 2)
×
n−4
#
)
4(n − 1)a(P )
R(n2 + 4n − 20)
+
+ O(k 3 )
(n + 2)(n − 2)(n − 6) 6(n + 2)(n − 2)(n − 6)
n−4
× 1+k
+ O(k 4 )
6 n(n − 2)
2R
n
o
= K2−2 1 − k 2 [a(P )C1 (n) + RC2 (n)] + O(k 3 )
avec
C1 (n) =
C2 (n) =
4(n − 1)
> 0,
(n + 2)(n − 6)(n − 2)
n2 + 4n − 20
n−4
−
=
6(n + 2)(n − 2)(n − 6) 6n(n − 2)
=
2(n2 − 2n − 4)
> 0.
n(n − 2)(n + 2)(n − 6)
Nos calculs montrent que
J(ϕk )|BP () −→ K2−2 .
Et comme sur Bp (2) \ Bp (), toutes les intégrales sont du type:
Z ( 2 )2
k
2
( k )
g(t)
tq
dt ,
(1 + t)p
31
et elles se majorent par
C̃
p−q−1
2(p−q−1)
k
qui, comme nous l’avons vu (voir (1.44)), ne perturbent pas nos développements
limités. En conséquence
J(λϕk ) −→ K2−2
et µ ≤ K2−2
avec
(1.54)
K2−2
= n(n + 2)(n − 2)(n − 4)
=
n

n
I2
 n
−1
4
n
ωn−1 
=
2
n(n + 2)(n − 2)(n − 4) n4
ωn
24
−1
car ωn = 2n−1 ωn−1 In2 .
Et nous avons µ < K2−2 s’il existe un point P tel que a(P )C1 (n) + RC2 (n) > 0.
C’est à dire si
R(P ) > −C(n)a(P )
avec
C(n) =
C1 (n)
2n(n − 1)
= 2
>0
C2 (n)
n − 2n − 4
puisque n>6. En conséquence, d’après le théorème 2, il existe une solution de
l’équation (E).
32
Chapitre 2
Régularité et positivité des
solutions de l’équation (E) sur les
variétés riemanniennes
compactes avec f(x) fonction
positive.
2.1
Introduction
L’objectif dans ce deuxième chapitre est de résoudre, dans une première section, le problème suivant: sur une variété riemanienne compacte (Vn ,g) sans bord
de dimension n > 4 on veut trouver une solution ψ ∈ H2 , positive et C ∞ dans
certains cas, de l’équation
(2.1)
∆2 u+∇i [a(x)∇i u]+h(x)u = λf (x)u|u|N −2
(E)
∞
où
a, h et f sont des fonctions C sur Vn , f (x) étant partout positive, λ ∈ IR et
2n
N = n−4
.
Nous montrerons des théorèmes d’existence de solutions non triviales de l’équation (E) avec f(x) partout positive et n ≥ 6.
Dans un précédent article D.Caraffa[7] nous avons prouvé en détails des théorèmes d’existence de solutions de l’équation (E) avec f (x) = Const.. Le théorème
principal était le théorème 1, qui entraîne les théorèmes 3 et 4. Dans la démonstration du théorème 4, en particulier, nous avons montré que (E) admet une solution
33
ψ ∈ H2 lorsque n > 6 s’il existe un point P ∈ V où
R(P ) > −C(n)a(P )
avec C(n) = n2n(n−1)
2 −2n−4 .
Dans le cas f (x) = Const et n = 6, alors que les calculs sont différents, on
trouvera que cette condition est encore la même : si
R(P ) > −C(6)a(P )
en un point P ∈ V .
Concernant l’équation (E) avec f(x) une fonction positive, on montrera que
pour n > 6 si, en un point P ∈ V de maximum pour f(x)
R(P ) + a(P )C + C̃
∆f
>0
f (P )
alors (E) admet une solution.
2.2
Existence, régularité et positivité des solutions de l’équation (E)
Sur (Vn ,g), variété riemannienne compacte, C ∞ , de dimension n > 4 et de
métrique g, considérons l’équation differentielle :
∆2 ϕ + ∇[a(x)∇ϕ] + h(x)ϕ = λf (x)ϕ|ϕ|N −2
(2.2)
(E)
où a(x), h(x), f(x) sont des fonctions C ∞ sur V , f(x) étant partout positive. Ici
2n
N = n−4
et ∆ϕ = −∇i ∇i ϕ.
Il s’agit de montrer l’existence d’un réel λ et d’une fonction ψ ∈ C 5,α (V )
(éventuellement C ∞ (V ) et partout positive) vérifiant (E).
Ce type d’équation constitue un type limite à cause de l’exposant de |ϕ| au
deuxième membre.
Pour résoudre (E), nous allons utiliser la méthode variationnelle. Considérons
la fonctionnelle sur H2 :
(2.3)
J(ϕ) =
R
V
|∆ϕ|2 dV −
R
R
[
V
V
a(x)|∇ϕ|2 dV +
R
V h(x)ϕ
2/N
f (x)|ϕ|N (x)dV ]
2 (x)dV
où ϕ ∈ H2 et ϕ 6≡ 0.
Le dénominateur de cette expression a un sens car, d’après le théorème de
Sobolev, H2 est inclus dans LN .
34
Rappelons que H2 est l’espace de Sobolev de norme:
k ϕ k2H2 =k ∆ϕ k22 + k ∇ϕ k22 + k ϕ k22
On vérifie aisément que l’équation d’Euler du problème variationnel suivant:
(∗)
Inf J(ϕ),
ϕ ∈ A = {ϕ ∈ H2 (V ),ϕ 6≡ 0}
est l’équation (E). Notons ν cet inf.
2.2.1
Sur les inégalités de Sobolev
On note K2 (n,q) la meilleure constante dans l’inégalité de Sobolev H2q ⊂ Lp ,
avec p1 = 1q − n2 .
On sait (Caraffa[7]) que pour tout > 0 il existe une constante A() telle que
toute fonction ϕ ∈ H2q vérifie
k ϕ kp ≤ K2 (n,q)(1 + ) k ϕ kH2q +A() k ϕ kq ,
et que la meilleure constante K2 (n,q) ne dépend de la variété que par sa dimension.
En général on ne connait pas la valeur exacte de la constante, mais pour q = 2, sa
valeur est connue :
K2−2 = K2−2 (n,2) =
n(n2 − 4)(n − 4) n4
ωn .
16
Cependant, pour q 6= 2 on peut mettre en évidence un majorant de K2 (n,q).
Proposition 1. La meilleure constante pour l’inclusion H2q ⊂ Lp : K2 (n,q),
satisfait l’inégalité suivante :
(2.4)
K2 (n,q) ≤ K1 (n,r)K1 (n,q)
avec 1r = 1q − n1 , K1 = K1 (n,r) la meilleure constante pour l’inclusion de Sobolev
H1r ⊂ Lp avec p1 = 1r − n1 , sa valeur est connue, voir Aubin[1].
Démonstration: D’après le théorème 2.21 de T.Aubin[4], toute fonction ψ ∈
H1r (IRn ) avec p1 = 1r − n1 vérifie :
k ψ kp ≤ K1 (n,r) k ∇ψ kr .
Si ϕ ∈ H2q , ψ = |∇ϕ| ∈ H1q (IRn ) avec
1
r
=
1
q
−
1
n
et en conséquence :
k ψ kr ≤ K1 (n,q) k ∇ψ kq .
35
Ainsi, pour toute fonction ϕ ∈ H2q (IRn ) :
k ϕ kp ≤ K1 (n,q)K1 (n,r) k ∇|∇ϕ| kq
≤ K1 (n,q)K1 (n,r) k ∇2 ϕ kq
car ∇|∇r ϕ| ≤ |∇r+1 ϕ| (Aubin[4]). Mais comme K2 (n,q) est la meilleure constante,
K2 (n,q) ≤ K1 (n,q)K1 (n,r).
2.2.2
Existence d’une solution ψ non triviale de l’équation (E): enoncé
et démonstration du théorème 1
Le théorème d’existence que nous allons démontrer est le suivant :
Théorème 1. ν vérifie ν ≤ K2−2 [supf ]−2/N . Si ν < K2−2 [supf ]−2/N , l’équation (E) a une solution ψ ∈ H2 , ψ 6≡ 0, qui minimise le problème variationnel
(*).
Démonstration: Il n’est pas possible de prouver directement que ν est atteint.
C’est pour cette raison que, comme Yamabe[16], nous considérons les équations
approchées suivantes avec 2 < q < N :
∆2 ϕ + ∇ [a(x)∇ϕ] + h(x)ϕ = λf (x)ϕ|ϕ|q−2
(Eq )
et la fonctionnelle
Jq (ϕ) =
R
V
|∆ϕ|2 dV −
R
V
R
[
V
a(x)|∇ϕ|2 dV +
R
V
2/q
f (x)|ϕ|q (x)dV ]
h(x)ϕ2 (x)dV
On sait d’après les inclusions de Sobolev que : H2 ⊂ LN ⊂ Lq . On définit
λq = Inf Jq (ϕ), pour ϕ ∈ H2 (Vn ) , ϕ 6≡ 0
et on prouve le :
Théorème 2. Pour 2 < q < N , il existe une fonction ϕq ∈ H2 non triviale
vérifiant l’équation (Eq ) avec λ = λq = Jq (ϕq ). De plus ϕq ∈ C 5,α .
Démonstration du théorème 2. :
36
i) Pour 2 < q ≤ N, λq est fini. En effet d’après le lemme 3 de Caraffa[7] :
pour chaque η > 0 il existe C(η) > 0 telle que toute fonction ψ ∈ H2 (V ) vérifie
l’inégalité :
Z
Z
Z
|∇ψ|2 dV ≤ η
V
|∆ψ|2 dV + C(η)
ψ 2 dV
V
qui, appliquée au terme en gradient dans la fonctionnelle Jq , donne (on choisit η
de sorte que sup (0,a(x)) η ≤ 12 ):
1R
2 V
(2.5) Jq (ϕ) ≥
|∆ϕ|2 dV + [inf (0,h(x)) − sup (0,a(x)) C(η)]
R
[
V
f (x)|ϕ|q (x)dV ]2/q
R
V
ϕ2 (x)dV
≥ [infx∈Vn (0,h(x)) − supx∈Vn (0,a(x)) C(η)] [infx∈Vn f (x)]−2/q k ϕ k22 k ϕ k−2
q ≥ C̃
car, V étant le volume de la variété,
1−2/q
k ϕ k22 k ϕ k−2
≤ sup(1,V )1−2/N = Const.
q ≤V
Dans l’autre sens
λq ≤ Jq (1) =
≤
Z
Z
h(x)dV
Z
V
V
"
f (x)dV
−2/q
h(x)dV sup 1,
Z
f (x)dV
−1 #
≤
= C1 .
V
ii) Soit {ϕi } ⊂ H2 une suite minimisante telle que
Z
V
f (x)|ϕi |q dV = 1 et limi−→∞ Jq (ϕi ) = λq .
Nous montrons maintenant que {ϕi } est bornée dans H2 . D’abord
(2.6)
k ϕi k22 ≤ V 1−2/q k ϕi k2q ≤ sup(1,V )1−2/q inf [f (x)]−2/q ≤ C2
et d’après (2.5):
Jq (ϕi ) ≥
Z
V
2
|∆ϕi | dV − sup[0,a(x)]
Z
V
2
|∇ϕi | dV + inf [h(x),0]
1
|∆ϕi |2 dV + C.
2 V
En conséquence, pour les termes de la suite tels que Jq (ϕi ) ≤ 1 + λq :
≥
Z
V
Z
|∆ϕi |2 dV ≤ 2(1 + λq ) + 2|C|.
37
Z
V
ϕ2 dV
avec λq borné,
C ≤ λq ≤ C1 .
(2.7)
Ainsi, nous avons montré que
Z
(2.8)
V
|∆ϕi |2 dV ≤ C3
k ϕ i k2 ≤
et que
p
C2 .
D’où la suite {ϕi }i est bornée dans H2 par interpolation.
iii) Si 2 < q < N , il existe une fonction ϕq ∈ H2 , ϕq 6≡ 0 qui vérifie
Z
Jq (ϕq ) = λq et
V
f (x)|ϕq |q dV = 1.
En effet, les inclusions H2 ⊂ H1 et H2 ⊂ Lq (pour 2<q<N) sont compactes, ( théorème de Kondrakov ), et comme les ensembles fermés, bornés dans H2 sont faiblement compacts (Théorème de Banach), il existe une sous-suite {ϕj } de {ϕi }et une
fonction ϕq ∈ H2 telles que :
(α) ϕj −→ ϕq dansLq et dans H1 ,
(β) ϕj −→ ϕq faiblement dans H2
(γ) ϕj −→ ϕq p.p.
R
R
R
D’après
α nous avons
: V a(x)|∇ϕj |2 dV −→ V a(x)|∇ϕq |2 dV , V h(x)ϕ2j dV
R
R
−→ V h(x)ϕ2q dV et V f (x)|ϕq |q dV = 1 d’où ϕq 6≡ 0. De plus β entraîne
k ∆ϕq k2 ≤ lim infj−→∞ k ∆ϕj k2 ,
k ϕq kH2 ≤ lim infj−→∞ k ϕj kH2 .
Par conséquent J(ϕq ) ≤ limj−→∞ J(ϕj ) = λq . Mais comme ϕq ∈ H2 , λq ≤
J(ϕq ) d’après la définition de λq .
Ainsi λq = J(ϕq ) et k ∆ϕq k2 = limj−→∞ k ∆ϕj k2 .
En conséquence ϕj −→ ϕq fortement dans H2 , ϕq réalise le minimum de Jq
R
et V f (x)|ϕq |q dV = 1.
iv) Pour q ∈ (2,N ), ϕq satisfait l’équation (Eq ) faiblement dans H2 . Calculons
l’équation d’Euler.
Soit ϕ̃ = ϕq + µψ avec ψ ∈ H2 . Faisons un développement limité (µ est petit):
Jq (ϕ̃) = J(ϕq ) 1 + µq
Z
V
+2µ
Z
V
∆ϕq ∆ψdV −
Z
V
q−2
f (x)|ϕq |
i
a(x)∇ ϕq ∇i ψdV +
38
Z
ϕq ψdV
V
−2/q
h(x)ϕq ψdV + O(µ2 )
Donc pour tout ψ ∈ H2 :
Z
V
Z
∆ϕq ∆ψdV −
Z
a(x)∇i ϕq ∇i ψdV +
V
h(x)ϕq ψdV = λq
V
Z
f (x)|ϕq |q−2 ϕq ψdV
ϕq vérifie
∆2 ϕq +∇ [a(x)∇ϕq ]+h(x)ϕq = λq f (x)|ϕq |q−2 ϕq
(2.9)
faiblement dans H2 .
v) En utilisant la méthode "bootstrap" employée par Yamabe, on a montré dans
notre précédent article [7], que ϕq ∈ L∞ . Le fait que f soit constante ne change
rien.
La démonstration est la même que celle du lemme 2. de D.Caraffa [7]).
Le fait que pour q ∈ (2,N ), ϕq ∈ L∞ , implique que A(ϕq ) = ∆2 ϕq +
∇[a(x)∇ϕq ] + h(x)ϕq ∈ L∞ . Comme A est un opérateur elliptique d’ordre 4,
d’après un théorème de régularité bien connu, la solution ϕq ∈ C 3,β pour β ∈
(0,1). D’où A(ϕq ) = ∆2 ϕq + ∇[a(x)∇ϕq ] + h(x)ϕq ∈ C 1,α pour un α ∈ (0,1).
En conséquence ϕq ∈ C 5,α .
Démonstration du théorème 1. :
Prenons une suite q −→ N avec ϕq solution de (2.9). Comme la suite {ϕq } est
bornée dans H2 , le théorème de Banach nous dit qu’il existe une fonction ψ ∈ H2
et une sous-suite {ϕqi } (qi −→ N ) telles que ϕqi −→ ψ faiblement dans H2 , fortement dans H1 et L2 (théorème Kondrakov) et p.p.. Alors d’après la convergence
faible pour tout g ∈ H2
Z
(2.10)
V
−→
Z
V
Z
∆g∆ϕqi dV −
∆g∆ψdV −
Z
Z
ν
a(x)∇ g∇ν ϕqi dV +
V
a(x)∇ν g∇ν ψdV +
V
Z
V
h(x)gϕqi dV
h(x)gψdV.
V
De plus
Z
(2.11)
V
qi −2
f gϕqi |ϕqi |
dV −→
Z
f gψ|ψ|N −2 dV
V
car nous avons convergence faible de ϕqi |ϕqi |qi −2 vers ψ|ψ|N −2 dans L N d’après
N −1
un théorème bien connu (Aubin[4] p79). En effet, puisque ϕqi −→ ψ p.p et que la
suite {ϕqi } est bornée dans H2 , nous avons ϕqi |ϕqi |qi −2 −→ ψ|ψ|N −2 p.p. et
k ϕqi |ϕqi |qi −2 k
N
N −1
=k ϕqi kq(qi −1
≤k ϕqi kqNi −1 ≤ C6 k ϕqi kqHi −1
≤ C7 .
i −1)N
2
N −1
39
Ainsi g ∈ H2 ⊂ LN =
fg ∈
L
N
N −1
∗
L
N
N −1
∗
entraîne f g ∈ H2 car f (x) ∈ C ∞ et
d’où (2.10). D’après (2.9), (2.10) et (2.11), ψ vérifie faiblement
dans H2 l’équation
∆2 ψ+∇ [a(x)∇ψ]+h(x)ψ = λN f (x)ψ|ψ|N −2
(2.12)
avec λN limite d’une sous-suite convergente extraite de {λqi } qui est bornée
(2.7).
Proposition 3. Les λq sont soit tous positifs, soit tous négatifs, soit tous nuls.
La fonction q −→ |λq | est décroissante et continue. De plus λN = limqi −→N λqi
est égal à ν = Inf J(ϕ) pour ϕ ∈ H2 , ϕ 6≡ 0 dans le cas positif.
Démonstration:
Examinons tout d’abord le cas où un λq = 0. Cela signifie que Jq (ϕ) ≥ 0 pour
ϕ ∈ H2 et que Jq (ϕq ) = 0. Il s’en suit que tous les λq sont nuls,
en conséquence
R
λ = 0 et ψ est proportionnelle à ϕq qui est non nulle puisque V f (x)|ϕq |q dv = 1.
Dans le cas où un λq est négatif ils le sont tous car
(2.13)
{
R
2
f (x)|ϕq |p } q
V
R
{
2
V
f (x)|ϕq |q } q
λp ≤ Jp (ϕq ) = Jq (ϕq ) R
2 = λq R
2 < 0
{ V f (x)|ϕq |p } p
{ V f (x)|ϕq |p } p
et nous avons aussi λp < 0.
Dans le troisième cas les λq sont tous positifs. En effet si λq > 0 alors
(2.14)
R
{
2
V
f (x)|ϕp |p } p
R
{
2
V
f (x)|ϕp |p } p
λp = Jp (ϕp ) = Jq (ϕp ) R
2 ≥ λq R
2 > 0.
{ V f (x)|ϕp |q } q
{ V f (x)|ϕp |q } q
R
On suppose V f (x)dV = 1 pour la démonstration (on peut toujours s’y ramener
car l’équation est non-linéaire ).
1
R
Pour ϕ ∈ C ∞ , la fonction q −→ ( V f (x)|ϕ|q dV ) q est croissante: en effet
soit q ≤ p, écrivons l’inégalité de Hölder avec f (x)dV comme élément de volume
Z
V
f (x)|ϕq |q dV
≤
Z
f (x)dV
V
1− q Z
p
V
f (x)|ϕq |p dV
q
p
.
Donc |Jp (ϕ)| ≤ |Jq (ϕ)| ce qui implique |λp | ≤ |λq | car les fonctions C ∞ sont
denses dans H2 . Montrons maintenant la continuité.
40
Les inégalités (2.13), (2.14) sont valables si on permute p et q. D’où q −→ λq
continue sur ]2,N [. Reste la continuité en q = N . Pour ∀ > 0 il existe une fonction
ϕ ∈ C ∞ telle que JN (ϕ) < ν + .
Dans le cas positif, d’après (2.14) ν ≤ λN .
On ne peut pas avoir ν < λN car en prenant ≤ δ avec δ = λN − ν on aurait
JN (ϕ) < λN et donc, pour q voisin de N Jq (ϕ) < λq , ce qui est absurde. D’où la
continuité sur ]2,N ] dans le cas positif.
Montrons que sous l’hypothèse du théorème 1., ψ, la solution de (E) que nous
venons de trouver, n’est pas triviale.
La démonstration est analogue à celle faite dans Caraffa[7] lorsque f (x) ≡
Const. En effet chaque ϕqi satisfait:
1=
Z
q
f (x)|ϕqi | dV
V
2
q
2
N
2
≤ sup[f (x)] q k ϕqi k2N V
− 2q
et
k ϕqi k2N ≤ (1 + )K22 k ∆ϕqi k22 +A() k ϕqi k22
qui ensemble donnent
− 2q
(2.15)
sup[f (x)]
≤ (1 +
)K22
V
2
2
−N
q
≤ (1+)K22 k ∆ϕqi k22 +A() k ϕqi k22
(1 + η̃) λqi +
Z
−η̃
V
Z
V
|∆ϕqi |2 dV
µ
a(x)∇ ϕqi ∇µ ϕqi dV −
+ A()
Z
V
Z
h(x)ϕ2qi
V
|ϕqi |2 dV
avec η̃ assez petit.
D’après le lemme 3 de Caraffa[7], pour chaque η > 0, il existe un C(η) tel que
Z
µ
V
a(x)∇ ϕqi ∇µ ϕqi dV ≤ sup[a(x),0]
Z
≤ sup[a(x),0] η
V
2
Z
V
|∆ϕqi | dV + C(η)
|∇ϕqi |2 dV ≤
Z
ϕ2qi dV
.
On prend η̃ = sup[a(x),0]η dans l’inégalité (2.15). Elle devient
V
2
2
−N
q
− 2q
sup[f (x)]
Lorsque q −→ N , V
2
2
−N
q
− (1 +
)K22 (1
+ η̃)λqi ≤ C10 (,η̃)
2
2
−→ 1, sup[f (x)] q −→ sup[f (x)] N .
41
Z
V
ϕ2qi dV.
Les constantes et η peuvent être choisies aussi petites qu’on veut, de sorte
2
que si sup[f (x)] N K22 ν < 1 à partir d’un certain q0 < N pour q > q0 , avec un
bon choix de et η, le Rmembre de gauche est strictement positif supérieur à ξ > 0.
−1
Donc, nous obtenons V ϕ2qi dV ≥ ξC10
= C11 > 0 et comme la suite {ϕqi }
converge fortement vers ψ dans L2 ,
Z
ψ 2 dV > 0,
V
d’où ψ 6≡ 0.
En utilisant la méthode de Vaugon[14], on démontre que la suite {ϕqi }qi est
uniformément bornée dans Lρ avec ρ > N et que ψ ∈ L∞ .
En conséquence ψ ∈ C 5,α (V ) par la méthode de "bootstrap". Enfin suivant la
8
régularité de la fonction δ : t −→ |t| n−4 , ψ ∈ C ∞ pour n=5, 6, 8 ou si ψ > 0.
2.2.3
Sur la positivité de ψ, la solution trouvée de l’équation (E)
Nous avons montré qu’il existe une solution ψ de l’équation (E ), maintenant
nous démontrerons qu’elle est positive et C ∞ , si les fonctions a(x) et h(x) vérifient
certaines propriétes. Soit ψ ∈ H2 ,ψ 6≡ 0 la solution de l’équation (E).
Si a et h sont des fonctions constantes on peut montrer :
Proposition 3. Si a(x) ≡ a = −2α et h(x) ≡ b = α2 , le minimiseur ψ de la
fonctionnelle I(ϕ) sur H2 est strictement positif et C ∞ .
Même résultat si les racines de l’équation x2 + ax + b = 0 sont positives.
Démonstration:
Soient α > 0 une constante et ϕ ∈ H2 ,ψ 6≡ 0. Comme l’opérateur ∆ + α est
inversible pour des espaces bien choisis, il existe une fonction φ vérifiant l’équation
∆φ + αφ = |∆ϕ + αϕ|
Si ∆ϕ + αϕ ≥ 0 (resp ≤ 0) nous avons φ = ϕ (resp φ = −ϕ), sinon on démontre
que φ > |ϕ|, (voir Caraffa[7]).
Il s’en suit que
Z
q
f (x)|ϕ| dV
2
q
<
Z
q
f (x)|φ| dV
2
q
et
I(ϕ) =
Z
V
|∆ϕ|2 dV −
Z
a(x)|∇ϕ|2 dV +
V
Z
V
42
h(x)ϕ2 (x)dV = I(φ).
En conséquence il existe k < 1 avec kφ ∈ H2 , kφ 6≡ 0, tel que
J(kφ) < J(ϕ).
Donc la solution ϕq de notre problème est non négative (resp non positive, dans ce
cas on raisonne sur −ϕq ). D’après le principe du maximum ceci entraîne ϕq > 0.
D’où on peut prouver que ϕq > 0 pour tout q. Par conséquent la fonction ψ limite
p.p d’une suite de fonctions ≥ 0 est en conséquence ≥ 0 et enfin d’après le principe
de maximum on conclut que ψ > 0.
2.3
Applications du théorème 1.
2.3.1
Application aux variétés riemanniennes compactes de dimension n>6.
Théorème 3. Lorsque n>6, si en un point P où f admet un maximum, a(P )C(n)+
R(P ) + C̃(n) f∆f
(P ) > 0 alors (E) a une solution ψ ∈ H2 .
Démonstration:
Considérons un système de coordonnées normales (y 1 ,y 2 ,y 3 ,...,y n ) géodésiques centré en P ∈ V un point où f est maximum. Lorsque n>6 faisons un
développement limité de J(λϕk ) pour k −→ 0, avec la suite
λϕk = λ(r)(r2 +k 2 )−
(2.16)
(n−4)
2
,
ici λ(r) est une fonction C ∞ égale à 1 sur Bp () (0 < 2 < d le rayon d’injectivité
de V ) et 0 sur V \ Bp (2).
Nous réprenons les calculs qui ont été faits dans Caraffa[7].
Pour le dénominateur de Jk = J(λϕk )|B (P ) :
n
Z
N
B
f (x)(λϕk )
ωn−1 In2
=
2k n
−1
(
k2
∆f
f (P )R
× f (P ) −
+
n−2 2
6
)
et donc
Z
(2.17)
B

n
ωn−1 In2
=
2k n
−1
N
f (x)(λϕk )
− n−4
n
f (P )
− n−4
× 1 + k2
43
n
=
n−4
∆f
R
+
n(n − 2) 2f (P )
6
.
Quand au numérateur nous avons montré que :
n
−1
ωn−1 In2
2k n−4
(
1 − k2
"
n(n − 2)(n + 2)(n − 4)×
#
)
4(n − 1)a(P )
R(n2 + 4n − 20)
+
+ O(k 3 )
(n − 6)(n − 2)(n + 2) 6(n − 6)(n − 2)(n + 2)
Il s’en suit que
Jk =
2
n(n + 2)(n − 2)(n − 4) n4
ωn f (P )− N × 1 − k 2
4
2
R(n2 + 4n − 20)
6(n − 6)(n − 2)(n + 2)
=
2
K2−2 f (P )− N ×
1−k
2
!
n−4
−
n(n − 2)
4(n − 1)a(P )
+
(n − 6)(n − 2)(n + 2)
∆f
R
+
2f (P )
6
#
3
)
+ O(k )
=
∆f
a(P )C1 (n) + R(P )C2 (n) + C3 (P )
+ O(k 3 )
f (P )
avec
C1 (n)
2n(n − 1)
= 2
> 0,
C2 (n)
n − 2n − 4
n−4
C3 = −
<0
2n(n − 2)
C(n) =
et

K2−2 = n(n + 2)(n − 2)(n − 4) 
=
n
n
−1
2
In
4
n
ωn−1 
=
2
n(n + 2)(n − 2)(n − 4) n4
ωn
24
−1
car ωn = 2n−1 ωn−1 In2 .
Nos calculs montrent que:
2
Jk −→ K2−2 f (P )− N
et que les intégrales sur B2 \B ne perturbent pas les développements limités,
2
comme précisé dans Caraffa[7]. On conclut que J(λϕk ) −→ K2−2 f (P )− N .
2
2
D’où ν ≤ K2−2 f (P )− N . L’inégalié du théorème 1: ν < K2−2 f (P )− N est
vérifiée s’il existe un point P où f est maximum tel que
R(P ) + a(P )C(n) + C̃(n)
∆f
> 0,
f (P )
avec C̃ < 0. En conséquence, d’après le théorème 1, il existe une solution non
triviale de l’équation (E).
44
2.3.2
Application aux variétés riemanniennes compactes de dimension n=6.
Théorème 4. Lorsque n = 6, s’il existe un point P ∈ V où R(P ) > −3a(P )
alors (E) a une solution ψ ∈ H2 , quelle que soit la fonction f(x) partout positive.
Démonstration: Lorsque n=6, un développement limité de J(λϕk ) pour k −→
0 avec la suite définie en (2.16) montre que l’expression du dénominateur pour
n = 6 reste le même que pour n > 6 et donc :
n

ω
I2
 n−1 n
2k n
− n−4
−1
n
f (P )
n−4
∆f
R
1+k
+
n(n − 2) 2f (P )
6
2
car
n
Z
N
V
f (x)(λϕk )
ωn−1 In2
=
2k n
−1
(
k2
∆f
f (P )R
× f (P ) −
+
n−2 2
6
)
.
Par contre l’expression du numérateur de Jk lorsque n = 6 est:
ωn−1
(n − 4)2 ×
2k n−4
n(n − 2)(n + 2) n2 −1
1
2R
2
In
− k 2 Log
a(P
)
+
+
O(k
)
(n − 4)
k2
n
avec Ipq = 0∞ tq (1 − t)−p dt
Il s’en suit que
R
ωn−1
Jk = n−4 (n − 4)2 ×
2k
−k 2 Log
1
k2
a(P ) +
n(n − 2)(n + 2) n2 −1
In
(n − 4)
n
−1
2

2R
ωn−1 In
+ O(k 2 ) × 
n
2k n
ωn−1
1
=
2
k
2
En conséquence lorsque k −→ 0
1
K2−2 f (P )− 3 −4k 2 Log
3 4
n
−1
2
f (P )In
n
f (P )
− 1 3
− n−4
a(P ) +
R
+O(k 2 ).
3
1
J(λϕk ) −→ K2−2 f (P )− 3 ,
1
d’où nous avons ν < K2−2 f (P )− 3 s’il existe un point P tel que
R(P ) > −3a(P ).
D’après le théorème 1 il existe alors une solution non triviale de l’équation (E).
45
Chapitre 3
Existence et non-existence d’une
solution u pour le problème (P)
sur (Wn,g), variété riemannienne
compacte à bord .
3.1
Introduction
Dans ce dernier chapitre nous établissons pour (W n ,g), une variété riemannienne compacte, C ∞ à bord ∂W , des théorèmes d’existence et de non-existence
de solutions u ∈ C 5,α (W ) (ou C ∞ (W )) du problème elliptique du quatrième
ordre avec données au bord:
(P )
(
∆2 u + ∇i [a(x)∇i u] + h(x)u = λf (x)u|u|N −2
∆u|∂W = γ|∂W u|∂W = η,
γ et η sont deux fonctions C ∞ sur (W ,g), N =
a(x), h(x) et f(x) comme précédemment.
3.2
2n
n−4 ,
sur Wn ,
λ est un réel à déterminer,
Sur la meilleure constante dans les inégalités de Sobolev pour les espaces H1p (W ) et H2q (W ).
Nous montrons ci-dessus des résultats sur les meilleures constantes dans les
inégalités de Sobolev pour les espaces H1p (W ) et H2q (W ). Le théorème qui suit
46
donne une majoration de K̃2 (n,q) la meilleure constante dans l’inclusion de Sobolev (H2q (W ) ⊂ Lp (W )).
Proposition 3. Notons K1 = K1 (n,r) la meilleure constante pour l’inclusion de Sobolev pour IRn H1r ⊂ Lp . Alors la meilleure constante pour l’inclusion
H2q (W ) ⊂ (Lp W ): K̃2 (n,q) satisfait l’inégalité suivante :
2
K̃2 (n,q) ≤ 2 n K1 (n,r)K1 (n,q)
(3.1)
avec
1
r
=
1
q
−
1
n
et
1
p
1
q
=
− n2 .
Démonstration: D’après le théorème 2.21 de T.Aubin[4], lorsque ϕ ∈ H1r (IRn ):
k ϕ kp ≤ K1 (n,r) k ∇ϕ kr
(3.2)
et lorsque ϕ ∈ H1q (IRn )
k ϕ kr ≤ K1 (n,q) k ∇ϕ kq
(3.3)
avec p1 = 1r − n1 .
Soit ψ ∈ H2q (E) avec E = {(x1 ,x2 ,...xn ) ∈ IRn | x1 < 0}. On peut supposer
ψ ∈ D((E)), ces fonctions étant denses dans H1q (E). On considère ψ̂ définie sur
IRn par ψ̂(x) = ψ(x) si x ∈ E et ψ̂(x̂) = ψ(x) quand x̂ = (−x1 ,x2 ,...,xn ) ∈ E,
où (x1 ,x2 ,...,xn ) sont les coordonnées de x.
Mais
1
1
k ψ kp =
Z
E
|ψ|p dx
et
k ∇ψ kr =
Z
E
r
|∇ψ| dx
p
1
r
− p1
=2
Z
|ψ̂|p dx
n
Z
r
IR
− r1
=2
IR
n
p
1
|∇ψ̂i | dx
r
.
D’après (3.2) appliqué à la fonction ψ̂ ∈ H1r (IRn ), on trouve que : pour toute
ψ ∈ H1r (E):
1
1
2 p k ψ kp ≤ 2 r K1 (n,r) k ∇ψ kr .
Si ψ ∈ H2q (E), ϕ = |∇ψ| ∈ H1q (E) et donc pour
1
1
p
=
1
r
−
1
n
=
1
q
−
2
n
1
2 r k ϕ kr ≤ 2 q K1 (n,q) k ∇ϕ kq .
En conséquence, pour tout ψ ∈ H2q (E)
2
2
k ψ kp ≤ 2 n K1 (n,q)K1 (n,r) k ∇|∇ψ| kq ≤ 2 n K1 (n,q)K1 (n,r) k ∇2 ψ kq .
47
Puisque la meilleure constante de Sobolev dans l’inclusion H2q (W ) ⊂ Lp (W ) ne
dépend pas de la variété mais seulement de n et de q, on obtient
2
K̃2 (n,q) ≤ 2 n K1 (n,q)K1 (n,r).
(3.4)
3.3
Enoncé du problème (P)
Sur (W ,g), une variété riemannienne C ∞ compacte à bord ∂W de dimension
n > 4, on cherche une fonction u et une constante λ solutions du problème elliptique du quatrième ordre :
(P )

2
i
N −2

 ∆ u + ∇ [a(x)∇i u] + h(x)u = λf (x)u|u|


∆u|∂W = γ|∂W
sur Wn ,
u|∂W = η|∂W ,
2n
où γ et η sont deux fonctions C ∞ sur (W ,g), N = n−4
, λ est un réel à déterminer,
a(x), h(x) et f(x) comme précédemment.
Sous certaines hypothèses nous pourrons prouver l’existence d’une solution
non triviale de (P). Mais comme l’exposant au deuxième membre de l’équation
est critique nous devrons considérer (suivant la méthode de Yamabe) des équations
approchées.
3.4
Preuve de l’existence d’une solution u du problème
(P).
On considère pour 2 < q < N le problème suivant:
(Pq )

2
i
q−2 + g(x) sur W ,

n
 ∆ v + ∇ [a(x)∇i v] + h(x)v = λf (x)(v + ϕ)|v + ϕ|


∆v|∂W = 0 v|∂W = 0,
où g et ϕ sont des fonctions C ∞ (W ) , ϕ 6≡ Const et g(x)+λf (x)ϕ(x)|ϕ(x)|N −2 6≡
0 pour tout λ. Soit
(3.5) Jq (v) =
Z
W
Z
|∆v|2 dW −
Z
a(x)|∇v|2 dW +
W
W
h(x)v 2 dW −2
la fonctionnelle associée qui est bien définie puisque H2 ⊂ LN ⊂ Lq .
48
Z
W
g(x)vdW
On définit A = H̊1 ∩ H2 et
λq = Inf Jq (v) pour tout v ∈ Aq = w ∈ A :
Z
q
f (x)|w + ϕ| dW = µ,µ > 0 .
W
Remarques La Jq du problème Pq n’est pas homogène.
Lemme 1. Pour toute ϕ ∈ C(W ) ∩ H̊1 (W ), alors ϕ|∂W = 0.
Démonstration:
R
Si on montre que pour toute fonction g ∈ C(W ) ∂W ϕgdW
= 0, alors
R
ϕ|∂W = 0. Soit {ϕi }i ∈ D(W ) telle que ϕi −→ ϕ dans H1 . ∂W ϕi gdW = 0
évidemment, prenons g = ∂ν f où f ∈ C 2 (W ). D’après le théorème de Stokes on
a que :
0=
Z
ϕi ∂ν f dW =
∂W
Z
W
−→
Z
W
∇µ [ϕi ∇µ f ] dW =
∇µ ϕ∇µ f dW +
Z
W
Z
W
Z
∇µ ϕi ∇µ f dW +
ϕ∇µ ∇µ f dW =
Z
W
ϕi ∇µ ∇µ f dW
ϕ∂ν f dW
∂W
pour la convergenceRforte dans H1 .
Par conséquent ∂W ϕgdW = 0 pour tout g ∈ C(W ), d’où ϕ|∂W = 0.
Théorème 7. Pour 2 < q < N , il existe un réel λ = λq et une fonction vq ∈ Aq
solution du problème Pq avec Jq (vq ) = λq .
Démonstration:
i) λq est fini.
D’après le lemme 3 de Caraffa[7] pour tout η, il existe une constante C(η) telle
que pour η[sup(0,a(x))] ≤ 12 on a:
Jq (v) ≥
(3.6)
1
k ∆v k22 + [inf (0,h(x)) − sup (0,a(x)) C(η)] k v k22
2
−2sup(|g(x)|)
Z
W
|v|dW ≥
1
h
i
≥ inf (0,h(x)) − sup (0,a(x)) C(η) − 2sup(|g(x)|)V ol(W ) 2 k v k22 =
= −C1 k v k22 .
Pour prouver que λq 6= ∞, il fautR montrer que Aq n’est pas vide.
Si la contrainte µ est égale à W f (x)|ϕ|q dV , 0 ∈ Aq alors λq ≤ Jq (0).
Si nous considérons une famille de fonctions ψk,m ∈ D(W), (k,m) ∈ IR × IN
de sorte que ψk,m converge dans Lq vers la fonction k − ϕ lorsque m −→ ∞.
49
Posons βm (k) = W f (x)|ψk,m + ϕ|q dW pour tout k ∈ IR. On a βm (0) =
µ
q
W f (x)|ψ0,m + ϕ| dW −→ 0, d’où pour un m que l’on choisit, βm (0) < 2 .
Maintenant lorsque k −→ +∞, βm (k) −→ +∞. Donc la fonction βm (k) va de µ2
à l’∞. En conséquence, il existe un k̃ tel que βm (k̃) = µ.
R
R
ii) Soit {vi } ∈ Aq une suite minimisante :
limi−→∞ Jq (vi ) = λq .
Nous voulons montrer que la suite {vi } est bornée dans H2 (W ).On a
(3.7)
1− 2q
k vi k22 ≤k vi k2q V ol(W )
− 1q
n
[inf f (x)]
1− 2q
≤ (k vi + ϕ kq + k ϕ kq )2 V ol(W )
1
µ q + k ϕ kq
o2
2
sup[1,V ol(W )]1− N ≤ C2
car
1
q
[inf f (x)] k vi + ϕ kq ≤
Z
≤
q
f (x)|vi (x) + ϕ|
1
q
1
dV = µ q
V
et l’application q −→k ϕ kq est continue pour 2 ≤ q ≤ N donc bornée.
D’après (3.6) et (3.7):
Jq (vi ) ≥
1
2
Z
|∆vi |2 − C1 C2
les constantes C1 et C2 ne dépendent ni de vi ni de q.
Pour les termes de la suite tels que J(vi ) ≤ 1 + λq , ceci donne
(3.8)
Z
V
|∆vi |2 dV ≤ 2(1+λq )+2C1 C2 .
De plus
λq ≤ J(ψk̃,m ).
Ainsi nous avons montré que
(3.9)
Z
V
|∆vi |2 dV ≤ C5 et k vi k2 ≤
p
C2 ,
d’où la suite {vi } est bornée dans H2 par interpolation.
iii) Les théorèmes de Banach et Kondrakov (l’inclusion H2 (W ) ⊂ Lq (W ) est
compacte) entraînent l’existence d’une fonction vq et d’une sous -suite {vj } ⊂
{vi } telles que vj −→ vq faiblement dans H2 et fortement dans H1 et Lq .
De la convergence faible dans H2 on deduit que J(ϕq ) ≤ limi−→∞ J(vj ) =
λq .
50
Par la convergence forte dans Lq : V f (x)|vq + ϕ|q dW = µ d’où vq ∈ Aq
et en conséquence, λq ≤ J(vq ). Ainsi vq réalise le minimum de la fonctionnelle:
λq = J(vq ) et k ∆vq k2 = limi−→∞ k ∆vi k2 , en conséquence, vj −→ vq
fortement dans H2 .
R
iv) vq satisfait l’équation d’Euler du problème variationnel considéré. Calculons les différentielles de J et de la contrainte. Soit ψ ∈ A,
(3.10)
1
Dv J(ψ) =
2 q
−
Z
Z
W
Z
∆vq ∆ψdW −
Z
g(x)ψdW = βq
W
W
i
Z
a(x)∇i vq ∇ ψdW +
h(x)vq ψdW
W
f (x)|vq + ϕ|q−2 (vq + ϕ)ψdW,
W
βq étant le multiplicateur de Lagrange.
En intégrant par partie on a, avec ψ|∂W = 0,
Z
W
n
o
∆2 vq + ∇[a(x)∇vq ] + h(x)vq − g(x) − βq f (x)|vq + ϕ|q−2 (vq + ϕ) ψdW
=
Z
∆vq ∂n ψdW.
∂W
vq vérifie au sens de distribution, sur W
(3.11)
∆2 vq + ∇i [a(x)∇i vq ] + h(x)vq = βq f (x)(vq + ϕ)|vq + ϕ|q−2 + g(x),
et sur ∂W :∆vq = 0.
Pour ψ = vq on a
λq = βq
Z
W
f (x)|vq + ϕ|q−2 (vq + ϕ)vq dW −
Z
gvq dW.
W
Donc en général λq 6≡ βq .
En plus il existe un q0 < N tel que pour tout q > q0 vq 6≡ 0 car vq ≡ 0 n’est
pas solution faible dans A de l’équation
(3.11).
R
Si non on aurait g(x) = −βq W f (x)|ϕ|q−2 ϕdW , ce qui est contraire à l’hypothèse pour q voisin de N.
v) La suite {βq } est bornée.
R
En effet si on additionne W f (x)|vq + ϕ|q−2 (vq + ϕ)ϕdW aux membres de
(3.10) pour ψ = vq on obtient :
λq +
Z
W
g(x)vq dV +
Z
f (x)|vq + ϕ|q−2 (vq + ϕ)ϕdW = βq µ
W
51
et en conséquence
(3.12)
−1
|βq | ≤ µ
(
|λq | + sup |g(x)| k vq k1 +
×
Z
f (x)|ϕ|q dW
Z
1 )
q−1
q
f (x)|vq + ϕ| dW
W
q
q−1
q
×
≤
W
≤ µ−1 |λq | + sup |g(x)| k vq k1 +µ
q
Z
f (x)|ϕ|q dW
W
≤C
car la suite {λq } est uniformément bornée,k vq kH2 ≤ Const et ϕ est une fonction
C ∞ (W ) fixée, ce qui implique que la suite {βq } est bornée.
vi) Régularité pour vq .
Comme vq vérifie (3.11), vq ∈ C 5,α (W ) pour un certain α ∈ (01).
On considère maintenant le problème
(PN )

2
i
N −2 + g(x) sur W ,

n
 ∆ v + ∇ [a(x)∇i v] + h(x)v = λf (x)(v + ϕ)|v + ϕ|


∆v|∂Wn = 0 v|∂Wn = 0,
et la fonctionnelle associée:
(3.14) J(v) =
Z
2
W
Z
|∆v| dV −
2
Z
a(x)|∇v| dV +
W
W
2
h(x)v dV −2
Z
g(x)vdV
W
où g et ϕ sont des fonctions C ∞ (W ), ϕ 6≡ Const et g(x)+λf (x)ϕ(x)|ϕ(x)|N −2 6≡
0 pour tout λ. On définit ν = inf J(v) pour v ∈ AN où
AN = w ∈ A :
Z
N
f (x)|w + ϕ| dV = µ ,
W
A = H̊1 ∩ H2 .
Théorème 8. Il existe une fonction dans AN solution non triviale du problème
(PN ).
Démonstration: Prenons une suite q −→ N avec vq solution de (Pq ). Comme
la suite {vq } est bornée dans H2 , le théorème de Banach nous dit qu’il existe une
fonction v ∈ H2 et une sous-suite {vqi } (qi −→ N ) telles que vqi −→ v faiblement
dans H2 , fortement dans H1 et donc dans L2 (théorème de Kondrakov). et p.p.
52
D’après la convergence faible pour tout ψ ∈ A
Z
W
∆ψ∆vqi dW −
−→
Z
W
Z
ν
W
∆ψ∆vdW −
a(x)∇ ψ∇ν vqi dW +
Z
Z
V
a(x)∇ν ψ∇ν vdW +
W
Z
h(x)ψvqi dW − 2
Z
h(x)ψvdW − 2
Z
V
g(x)ψdW
W
g(x)vdW.
W
De plus
Z
W
qi −2
f (x)(vqi + ϕ)|vqi + ϕ|
ψdW −→
Z
f (x)(v + ϕ)|v + ϕ|N −2 ψdW
W
car nous avons convergence faible de (vqi +ϕ)|vqi +ϕ|qi −2 vers (v +ϕ)|v +ϕ|N −2
dans L N d’après un théorème bien connu (Aubin[4] p79).
N −1
En effet comme la suite vqi −→ v p.p et {vqi } est bornée dans L
k vqi |vqi |qi −2 k
N
N −1
N
N −1
:
−1
−1
=k vqi kq(qi −1
≤ 1+ k vqi kN
≤ C6 k vqi kN
N
H2 +1 ≤ C7 ,
i −1)N
N −1
(vqi )|vqi |qi −2 −→ (v)|v|N −2 p.p.
k (vqi + ϕ)|vqi + ϕ|qi −2 k
N
N −1
≤k |vqi + ϕ| kqNi −1 ≤ (k vqi kN + k ϕ kN )qi −1 ≤
≤ C8 (k vqi kH2 + k ϕ kH2 )qi −1 ≤ C9 .
Nous
avonsmontré que la suite {vqi + ϕ} est bornée dans H2 . Ainsi ψ ∈ H2 ⊂
∗
LN = L
Z
W
N
N −1
. f ψ ∈ H2 puisque f (x) ∈ C ∞ d’où
f ψ(vqi + ϕ)|vqi + ϕ|qi −2 dW −→
Z
f ψ(v + ϕ)|v + ϕ|N −2 dW.
W
La fonction v vérifie au sens faible dans A le problème (P) avec, λ = limqi −→N βqi
(où d’une sous-suite) puisque la suite {βqi }2<qi <N est uniformément bornée d’après
(3.12).
Théorème 9. Le problème (P) est équivalent au problème (PN ) avec u = v+ϕ,
où ϕ ∈ C ∞ est la solution de l’équation du deuxième ordre:
(Q)


 ∆ϕ(x) = γ(x)


dans
W,
ϕ(x)|∂Wn = η(x)|∂Wn .
v est alors la solution du problème (PN ).
53
Démonstration: En effet si on pose u = v + ϕ le problème (P) devient :
(P )

2
i
N −2 + g(x) sur W ,

n
 ∆ v + ∇ [a(x)∇i v] + h(x)v = λf (x)(v + ϕ)|v + ϕ|


∆v|∂W = v|∂Wn = 0,
où la fonction −g(x) = ∆2 ϕ + ∇i [a(x)∇i ϕ] + h(x)ϕ.
Sous l’hypothèse g(x) + λf (x)ϕ(x)|ϕ(x)|N −2 6≡ 0 on a montré que v 6≡ 0 et
donc la fonction u = v + ϕ solution du problème (P).
Si g(x) + λf (x)ϕ(x)|ϕ(x)|N −2 ≡ 0 alors u = ϕ est la solution cherchée.
54
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