close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

1226185

код для вставки
Inégalités de Sobolev logarithmiques et
hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P.
Ivan Gentil
To cite this version:
Ivan Gentil. Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en
E.D.P.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2001. Français. �tel-00001145�
HAL Id: tel-00001145
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001145
Submitted on 26 Feb 2002
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
!#"%$&'("%) )*%+,
-/.02135476 -83 9;:<47=7>@?)3568AB>C1D EGFH489 ABF)I2F1J>K356
L 'MN'( ('M2OQP7+RSTU+RV'(WX
Y ZN'M+[M'\HOZ]^ "%$_+[$ '(('<
`Racb >@degfihjQklnmpo
qrKsutwv aGxuyzb|{~}~py rK€ xu{‚„ƒ†u‡‰ˆXŠŒ‹ jQŽ^‘
,’ “;”–•˜—š™œ›œž”wŸ¡;¢ £¤¦¥¤¨§ª©š« ™œ¬‚•˜—^­ ›®¯5° › ±³²;¢wŸ´¢B
¶µ· ¢B­_¸¹¬º“‘X­_—‚¸Qž›®»Œ›®ž”„¢w“ ° ”w¸B—‚“;› ±³²;¢¼Ÿ½—^ž› Ÿ½ž›~±²;¢
¢B¾¢w“ À¿ÂÁ ¿†Ã)¿
q&rKs p{ €s { v {‘ÄÅ³ÆªÇ } {~ÈGÉub!{GÊ@Ë@ËÌĚxu{~Íca €  v {QÎ s bÐÏ;} r È` rKt Ç^xÌ{
Ñ { t!t yÒ{ s b tªv { twÓ b [email protected]Ô { t!t { s b tºÕ
Æà–ár Èy € yÒÖ s { ×nØ Ù ÚÛ
Ü €€ yÝÍK{ b tt yÝpÇ Ó a sÌÓ vq [email protected]ÉRè‰ac|é|yÒé {~b
Þ_ßÌ[email protected]ȳy €€ acp{ ss b
תë â_ã ä\åæRØXç
Ü € yÝÍK{ b t yÝpǚxu{ Ó [email protected]!y tBè‰é|é
Þ_ï ßÌ[email protected]ȳr y acps { b
ê bpa yz€ { b!} b!y tÏ
â
^
ì
[
æ
ž
í
î
Ü
Ý
y
K
Í
{
b
Ý
y
p

š
Ç
u
x
{
@
a
!
b
y
[email protected]`Ì` bÐs p{ b
ð æ[ãâ_çžñ
€Ü yÝÍK{ b t yÝpÇ Ó a sÌvq [email protected]ÉRac|yÒ{~b
Ñ yz} á { v
ƉyÒb!{ }~|{ € b s
€ yÝÍK{ b t yÝpÇ Ó a sÌvq [email protected]ÉRac|yÒ{~b
ò a s b!{ €  óôä\õXö&â
Ü
Þ_ßÌ[email protected]ȳy € acp{ s b
÷ { a €&ø Ñ yÒ} á { v¾ù â_ú_çæ[û â_üuüÌÚæ Ü € yÝÍK{ b t yÝpÇ Ó a sÌvq [email protected]ÉRac|yÒ{~b
Þ_ßÌ[email protected]ȳy acp{ b
ý Ç~xub|yz}
þ‘ä\ööØåä
ÿ } rKv { r b|Èa v { q&s `,Ç b!yÒ{ s b|{šxu{ ò Ï rK€ ï [email protected]`Ì` r bÐp{ s b
!" #$%&'()
*,+.-0/21-43#5#5#67*,89;: )< ;(,=>$'[email protected]%$ )A7BC$'$DEEE
FAGIHJLK MNPOOQRSKM>TVUWFYXIZ[ ε \ M]_^a`cbVdVO%dVK>[[email protected]]RSK^@gINPK [_h_hci_j
’ À
÷ {w|yÒ{ €ut  rKs g`Racb!pyz} suv y~b|{ ȳ{ €  šb|{~È{~b|}~yÒ{ b Ñ yÒ} á { vXð æ[ã â çžñx aÍ r yzb [email protected]} }~{ `Ì|ljxu{wȳ{
xuyÒb!Ô<ryK{~b^`%{ € xRa € º} { t a €u€ Ç { t xu{  á t {³{~ºx aÍ r yÒbš} [email protected]€ut [email protected]}~b|dzÉ%{ a s } rKs `ôxÌ{³|{ ȳ` t ¦È³{
÷ {Gb!Èb|{~{~Èb{~b| } yz{˜È³{ t [email protected]`u` r bÐp{ s b t ê bpa € }~y t‚ë â ì^æ[ížîG{œ ý Ç xub!yÒ}GþGä\ö&öØåä x aÍ r yÒb‰x { Ô ø
Ô { }~ s Ç^} {œ||{ vÒrKs b|xu{‰@} á {uÞ € `[email protected]ÐpyÒ} suv yz{ b v { tB€Ìr ÈGÉub!{ sut { t {~By €ut pb s }~pyÝÍK{ t xuy t } sut!t y rK€ut
aÍ@{ } ý Ç xu€ub!yÒt }wÈr rK€ v  É,{ta s } rKs€ `v [email protected]ÒxÌǖx s̀ {ªs `[email protected]!gxRa €Ìtgv a^€utw} r v ȳ`ub|Ç á { €ÌrKt y€ [email protected]€ {œ v a^b|Ç t|€rKsÌvzs t py rK€
xu{šò } { bÐ [email protected] `urKb € É ~È{ x a á a t Ï {^€ {~nt x a pb!{š`Rt‘[email protected]!wxua aGt b!Ç €ÌxRt‘[email protected] }œpy xu{š} à–{šá Ȍa } b!yz
aJb!Ç xRac}~py xu{;}~{~!p{  { { { b|[email protected]˜`Ra aÈ~È{ a [email protected]Òxu{xu{ yz{ b!b!Ï ×ªâ
ã ä\åæ[r ؽç ÓÖ s yž`[email protected]Òb v sus € t{ v { }~ t s b|vzs {špbq t ac||{ € pyÝÍK{‚xu{šÈ [email protected]€ý Èa v €ù sut }~b|yÝ È a³arKsus t!t yžÉ,s {a s } rKrKvzsv ` ø
[email protected]`u` b!|Ç acbªacy { b Î!{ a { { bK{ y_תâ ٞâ !U{œ Ï&b!y â æ[Ú&ížâ ` b–xu{ ߦ} a
É r ÷b|acpy rK€ut |b" t asÌ@bt||t Çacv É tv { t s t
{gb!€ { ȳ{ b!} s yÒ{ga t y rKs { a t|b|{ r ȳv{ ÈGÉÌb|t { t x s Î s ò bÐÏ s Õ Æ €r ȳy € yzÖ s {¹×nØ[email protected]Ù_s ÚÛ¦t Ö s rKy€ È a t|rKrKs € ÍK{ € t
[email protected]ÒxuÇná { t |b|{ a €$p#Rb!€ { ÷ ` €&bQø Ñ xu{ á `ubvªù É È³{ xu{ Γ a b|{ r wóôä\õXö&â ` b a˜} } {~`Ìpy xÌrK{ €
Ȍac {~‘{ {a yÒ} { â ú_çæ[û~â_üuüuڞæHx aÍ yÒb‘ac} } {~`ÌpÇ5xu{;`[email protected]!|yÒ} yz`%{~b%JÈ
Î s b!÷ Ï
{nb!{ ȳs { rKb!}€ yÒ{ v { €t ȳs { ÈGÉut b!{ €ut € x s³t v acÉ r b|ac r v yÒb|t {Q{~g` vzsut `[email protected]!|yÒ} suv y& b|{~È{ €  v a^ÉRa € xu{ (')"*+
, )- €.;#RÖ € y nrb|{ # x }~{ v r a tÇ~{ rK€ aKbrK!Çs [email protected]É { € á r
t t
Ô vzv
sÖ Þyȳ{ t|s Î!`u{š` `ur b b!p{ p€ {šªxuxÌ{ { ` s y }~t }Ȍa [email protected] y € p{ ` € a € b–wb|Ö { s {xuv b!Ö { s { t Èa €uȀ aÇ K{{ t/ ‘ȳ{ [email protected]ȳy {~0 Ȍa [email protected]ȳy {
2
À’2’
à ’ Ã
i
')&9' ()
ÿ ~} b|yÝ{ € } rKvÒv [email protected]É r bpac|y rK€ aÍK{ } ý Ïb|y v‰ù â ÷ æ[ê suÚ힀 ⠀ v ' 5* 8: 9 , ) ,, "€u!$r # ,% ,&' ,)ø (
, ) '*'+,# ) # + ) #-./,01 ,23/4.' ' , }œ 5 a 76 Ê@ËKËÌÄ2; _Ä ` =<<
Å.> € rKvÒv r rK€ q
ÿ }~b|yÝ–{ } [email protected]É bpac|y aÍK{~} { b"@{ y×n â ÷ ÙžÑ â !Há {~ ÓZÑ s yÒ} á { vð v æ[ ã 5â_8MçXñ 9 @?A%½B€u r ) # C +
!$-2!$D% ) ,?E.'*! ' ) # G+ F C )- !HJI)KL.D! ) #$, a  =5‰`Ì` y ÊcËKËÌÄN; O ` <<P ø <P<$
' )8Q9 (49< 8
' )
SR DC # CD!$-.
C;:a - ) KT#"U , ) #WVšØì^ä\ö ížâ_å XØXõXâ %ä , ) ' KTD! ) #$,)Y
ÿ ~} b|C yÝ Ó { € } rKvÒv [email protected]É r bpac|y rK€ êaÍKvÒr{~} € ý Ç }~y v {[ZGå\ –q ý Ç~ÉRa v[t |ù yÒ{ € תöؽõ=]_^[ڞæ ÆZr Î|a v y všë ]žØ
ü~Ø=` Òy { b!b|{ba_â_çcd^[ڞæ,î b!{ ¹ó2Øö&ڞä\æ[ç Ïb|y â Ó%æ,€uÚrížâJ{~fe^t b|{ q b!€ Ï3á g,õ=t ]æ[ü üuq æ[Ñ Ú 4 ê @KC ' ,h!$ #ji * ' !$ i ,UCkg,â t %â_ö&æ ! ')"* .l!$$0C'*!DI)[email protected] , a b|[email protected]Ȍa {œ Ï  {^ÄË
Ê@ËKË@Ë ßÍy$mšÊ&ÄNOG`[email protected]{ Á¶ ’
- A )8 9' #<1$ A<D 898)' ' ED8 <9 8 P
6 C >' #L 9 # )9 8 HÄ
ÄzÄ é€ pb r x s }œpy rKt € á r Ô< r t v € s v HÄ
Ä Ê V‚æ[öüuüuæ[Ú È³{~€  s x v b t `%{~€ }~pb|a [email protected] `5y {rKÖ €ut a yzÂÏ UÄNO
Ä .VšØ€ ڞã%ÛUv ÂÏt|`,tw{º[email protected]Ô { Ö a t|s yz|yÒ{ t a x¨[email protected]`u` yÒ} acpy Ê
Ä >$L 5 { } a È{ a b!{ JÊ@Å
ED8( %' ;($ ' ; $ Â
é
€
r
s
K
r
€
Ê.zÄ é€ pb x v }œpy vz r á s t! s ! Ê. Ê ý ÇKa yÝpt Ç xusu*{ v g,âø â_öæ €u! t rK€ [email protected] b!yz ÈyzÖ { b R <
Ê. . é€ b|yÝ b!v { È py xuyzÈ{ y vzr { á s q t t t €u t >CË
Ê. >$ ÇKa yÝpÇ xu*{ g,â â_öæ ! [email protected]!yz ÈyzÖ { Ï ~È{ xu{ `uy >CÅ
6 " =A 8 ;:;# " ' 8%$'& #& ) 8$ . (
Â
é
€
r
s
K
r
€
$zÄ pb x }œpy
$ Ê * )‰[email protected]ȳy v  rK€ø ÷ [email protected]} r Éuy,{ Ö s ac|y rK€ut a € x vzr [email protected]!yz á Èyz} qr É [email protected] {~͌y € {~Ö s a v yÝpyz{ t .$(
@Å
t
t
s
€
€
u
€
t
r
K
r
€
€
s
v
t
$ .* )ª{~b|É  [email protected] ȳ{ na x5pb|a ` bÐ ac|y y { Ö a yz|yÒ{ < $ >$ q { ȳ[email protected] rKs `  r&[email protected]Òt a € +
x
)-, é y € { Ö s a v yzpyz{ t [
<KÅ
u
€
t
r
K
r
€
K
r
t
<
Ô
r
K
r
€
€
v
!
t
s
à
á
$. b|a ` bÐ ac|y }  bB {^{œß&` { |y a ȳ{a b|{ O >
$ <.* /¹b s̀u€&ø Ñ y €u1t [email protected] 2t 0 yy € {~Ö s a v yÝpyÒ{ t a € x á Ï`%{~b|} rK€ pbpac}~pyÝÍyzÂÏ O.P
3 * '; 8 :;( )!() 89!54687:9; <=8> [email protected] $.HCÅ zÄ éÂà–€ á pb r x s }œpy rKt € ÅC
> Ê { R } a { ÅKÅ
> . Ñ aVÎ r b|acpy rK€;su€ xÌ{ bªÞ s } v yzxu{a €&ø ÂÏ`,{,g,â â ö&æ ! y € {~Ö s a v yÝÂÏ $ WP > >$ Ñ aVÎ r b|acpy rK€;su€ xÌ{ b r  á {~bAg,â %â_ö&æ ! y € { Ö s a v yzÂÏ PKÅ
3 ED8( %' ;() $ >89 VÄCË .zÄ é€ pb r x s }œpy rK€ VÄCË . Ê RÆ‰Ç #u€ yz|y rK€ut {œn`ub r `Ìb|yÒǜpÇ t Ç v Ç~È{ € [email protected]Òb!{ t VÄË <
. . ý a t xu{ v a‘ȳ{ t|s b|{šxu{Gתæ[ڞåâ_çöö&ä VÄKÄKÄ
. >$L 5‰`u` v yÒ} acpy rK€ut v aG} rK€ }~{ € pb|acpy rK€ xu{ v aGȳ{ t|s b|{ ÄKÄ >
.. RƉy %Ç b!{ € p{ t b!{ `ub!Ç t { €  ac|y rK€Ìt xu{ t y € Ç Ca v yÝpÇ t xu{^pb|a €ut ` r bÐ VÄKÄ . <.L 5‰`u` v yÒ} acpy rK€ a su€ È r x v { xu{šÈ³Ç }a € yÒÖ s { t  ac|y t |yÒÖ s { ÄVÊKÊ
. O ò yÒ{ €Ìt aÍ@{ }‚xuy %Ç b!{ € p{ t y € ÇKa v yÝpÇ t xu*
{ g,â â ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s { @ÄVÊ ý
t
v
u
€
t
K
r
€
$
€
u
#
€
. Å. a xu{ a‘xuyzÈ{ y y
yÒ{ VÄ KË
9' #<1$ Ä P
>
n
’
Á
’ Æv t € a €ut }~v {~!pt {J á t { €ÌrKsut €u [email protected] y € |Ç b|{ t|t! rK€ut ôxu{ t vzy r€ Ç Ca v yzápÇ t³Ô<[email protected] € }~ |y rK€u€ vÒ{ v vÒv t{ t } r ȳv ȳ{t
{ y Ç Ca yÝpÇ xÌ{Bâ_ä\åõ½ØÚ \ g,â â_öæ ! g,â â ö&æ ! [email protected]!yz ÈyzÖ { {œ–} { { ac`u`%{ Ç~{
y €€ Ç Ca v yÝpt Ç t ò xu{‚|bpa €Ìt ` r b!r [Ɖ{ t|Ô sa rKv € KÇs € Ç bpa v { v[v {š|bpv aÍcr [email protected] vt [email protected]{‚€ b|Ç `[email protected] b!|yÒ{ t á { r vÒrK€ t xu{ s ß}~{ € pb!€{ t
y pÇ~b"~ v {t `u€ b|{~Èyzv { bºt` bÐpv { t b rK€ Ç~ t|s xu{ v {~ r [email protected]È³Ç á y bp€ua t py rK€ xu{ t ȳÇ~ € xut { v `%€u{~t b|ȳ{~t|pa € 
x € ǜ [email protected]É yÒbvÒv } {t†ø y ÇCa yz|Ç {~ { { } x b aw} ȳ`ub!Ç { y xu{ xuy%Ç b!{  yÒ{ {œß&y  a 
{ pb!{º}~{ rK{ €ut } y ƀurK‰sut Ç }~b|yzÍ rKs Éub|t y&~Í@{ ȳv # { €  Rv t!{ s t xÌy%Ç b|ò{ € p€ { t y € v ÇCa vv yz|Ç t vÒsÌÖ t s { €[email protected] sut a € vÒvzrK€ut s ǜ s €uxurKyzsÌ{ tb Ó s v a [email protected]@€u€utt
yz} y ` b yzÈ` y { b b y Ç Ca yÝpÇ a³` yÒȳ` b!pa p{šÖ { Ç~ xuy
{ t  }~t { vzv {Œt!Ô xÌ[{ g,â sÌ%€ â_ö&æ € ! vzr v [email protected]!yz Rá ÈyzÖ s { € xuvÒr yÝGÖ s suá € {5ȳs { t|ts b|{v xu{Œt `ub r suÉu€ [email protected]Éuy v yzrK|€uÇ t µ €t!s b
y rKÇ s Ca yÝ[email protected]pÇs xÌ{ Ô<rKg[€ â â_rK€ öæ ! Cacb|yz ȳ€Ìt yÒÖ { t!t y {œß&y psu{ v {5Ìv } € pa v p{
R acpy [email protected]Ý(vÒv s {5
p

{
{
Ö
{
α(µ)
t|s yÝÍ@a € >|{š0{ t  t acpy t!Ô [email protected]Ýp` { Õ bB p{ }~py f xu{ R xRa R a { šb!Ç y~b|{ y Ç Ca yÝpÇ
n
n
n
Entµ f
2
=
2
Z Z
Z
f log
Z
f2
R
dµ 6 α(µ) |∇f |2 dµ.
f 2 dµ
ý ~{ ||{ y € Ç Ca v yÝpǺ{ t ‚y € |b r x s yÝp{˜`[email protected] ‘Ú%â_îVî³{ € Ä2PO Œ{~šÇœ [email protected]É v yÒ{G` rKs b v aŒÈ³{ t|s b|{(Ca sut†ø
t yÒ{ u€ € {‚aÍK{~} su€ {º} rK€ut pa € p{ r `Ì|yÒÈa v { α(µ) ÇKa v {/³Ê e^b r O ܀ € v{¨a s |b|{¦y rK€ sŒÇ Cat v yÝpÇ |b"v t yÒȳ€ ` r b! at|s € |{;} rK€Ìt yÒr xÌÇ b|Ç~{v yz} y–{ t t  }~{ t!vÒÔ v {5xu{suB€ â_ä\å€ õ½ØÚv \ 9 rKs
y Ç Ca yÝpÇwxu{‰t |b v `,t{ }~|bpsua € ; &Ü rK€Ì{‰t Ȁ{ b!{‰xu{ `Ìb ÉRacÉuyvzv yzpÇ sµ acprKy s [email protected]Ý rKs Ô<{ rK€ y ÇKarK€ yÝpÇwxu{
–â ä\åõ½ØÚ \ y y {®ßÌy |{ { }  a |{ β(µ) > 0 p{ {GÖ { ` b‰ |{ }~|y f xu{
€ut R a t|t { ºb!Ç sÌv y~b|{ urK€ a v y € ÇKa v yÝpÇ t|s yÝÍ@a € |{
R xRa
n
Varµ f
2
=
f−
f dµ
2
dµ 6 β(µ)
Z
|∇f |2 dµ.
ý ~{ ||{Œy € ÇCa v yz|Ç ` vÒsut a € }~yÒ{ €Ì€ {ŒÖ s { v y € Ç Ca v yÝpÇGxÌ{ g,â %â_öæ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s { { t GyzÈ ø
` v yzÖ s Ç {‘`[email protected]^}~{~!p{ xu{ b € y~b|{ € a { €2rKs pb|{ v a b|{ v ac|y rK€Jt!s yzÍca € |{³{ € pb|{ v { t xuy Ç~b|{ € |{ t
ò a ȳ{ t!s b|{ Ka sut|t yÒ{ €u€ { t ac|y tÐÔ [email protected] v y € Ç Ca v yÝpÇgxu{ Bâ_ä\åõ½Ø Ú \
} rK€ut  sua €€ |{ t rK2β(µ)
6
α(µ)
aÍ@{ } € {‚} t|s €Ìt  a € |9 { €urrK`̀2pyz€ Ȍa v t!{ t β(µ) ÇKa€ v {/ 1 r v
Ü {È{ b!{ µ€ut rK€ t Ç }~{ v [email protected]|t { ȳ{ s‘xÌ{rK`u€ub t ÉR€[email protected]ÉÌy t yÝpÇ ;ªÍKÇ b!y # { su€ {³y € Ç Ca v yzpǑvÒxÌv { t g,sâ â_öæ ! xu{‚xuyzÈ{ y yy {œß&y p{‚xu{ ß}  a p{
{~
p{ { Ö {
` rKs bw rKs |{ Ô<rK€ }~|y rK€ f nt|s t [email protected]ȳÈ{ € ªb!Ç sÌv y~b|{ [email protected]€ a a(µ) > 0 b(µ) > 0
9 Ë$ÝNÄ ;
kf k
6 a(µ)k∇f k + b(µ)kf k .
ý {~||{‰y € ÇCa v yz|Ç Ö s a € xŒ}~{ vÒv { ø } yR{ t ¹Í@Ç b|y # Ç {ª` [email protected] b su€ {‰È³{ t!s b|{nxu{n`ub r É[email protected]Éuy v yz|Ç yzÈ` v yÒÖ s {
v y € Ç Ca v yÝpÇ^xu{ g,â %â_ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {^{œ xu{ –â ä\åõ½ØÚ \ ò aȳ{ t!s b|{ºxu{ ð æ æ[îNcZçæ
t|s t py t!Ô [email protected]Ý v y € ÇCa v yz|ljxu{ g,â â ö&æ ! aÍ@{ } a(µ) > 0 {œ b(µ) = 0 9 v a‘} [email protected]€ut pa € p{
r `Ìb pyzRȌa v { aca(µ)
` rKs b v aŒÈ³{ t!s b|{GxÌ{ ð æ %æ,Nî cZçæ t!s b R € { t š`ua t  [email protected] Î rKs b t Ç~ÍyÒxu{ € p{(
{œß&`ub|yzÈÔ {~b rK; € vzv v t r t € v t r € t #R€ t|t|[email protected]€utwv t € v t
Ɖ{ a `[email protected] { G}~{ pb y y Ç Ca yÝpÇ yÒȳ` b!pa p{ xuÇ y { y ÇKa yÝpÇ xu{
prKbpa s €ut `t r b! t|s –ä\åt îVÙ_æ[Úr È rK€ |b|v { txua €ut Ó y € < > v y € ÇCa v yz|Ç Ô<rK€ }~py rK€u€ { vÒv { t|s yÝÍ@a € |{ ` [email protected] b
 |{ ȳ{ b|{ xu{š`ub É[email protected]Éuy yÝpÇ µ {œ ν
s
9 Ë$ Ê ;
dν
kν − µk 6 2Ent
.
dµ
Ó [email protected]Ð a €  xÌ{º}~{~||{˜`ub!{ ȳy~b|{šy € Ç Ca v yzplj{ € pb!{ su€ {ºxuy t  a € } { t|s b v { t `[email protected]} {ºxu{ t ȳ{ t|s b|{ t xu{
`ub r€ É[email protected]Éuv y v t yz|ǖ{~ t v { € pb r `u€uyÒ{wt xur { v a^rKxu€ Ç~b|yÝÍKÇ {ª€xu{ r ù Øs ã â_tå ‚r ä\ٞâ_ãä\ì x a s |b|{ t v y € v ÇCa€ v yz|Ç v t ` vzsut
KÇ €uÇ~t bpa r { xuyz|{ t|s xu{º|bpa s ` €urKb!sut  #Rǜ€ pǘt|t!y rKp€ub t x yÝp€ { € } € Èȳ{š€ `[email protected]{œt|ß&s { ȳ` { y r ÇCa yzv |Ç xu{
pbpa # ` sub!€  T € b v R Ö { €ut r xÌÇ y s €[email protected]Èt [email protected] p{ vÒv a rK €Ì&t Ü { &Èt { v b!{^t xu{ sÌ`u€ b É[email protected]€uÉÌt y yÝp€Ç µ
ÍKÇ b!y { {ªy vÒv Ç Ca s yÝpǖxurK{ns pb|a rKs ` bÐÔ< rK€ Ö { [email protected]€ [email protected]`̀u`%t { {~b Tr y v {®ß&y |{ {‰} r pa pv {
p{ {˜Ö {‘` b  |{ }œpy F xu{ yz|Ǒxu{‘`ub É[email protected]Éuy yz|ǘ`Racb [email protected]`Ì` bÐ/ a
τ (µ)
È{ t|s b!>{ µ0 RrK€ a
dµ) 6 τ (µ)Ent (F ) ,
r T (F dµ, dµ) { t  v {^}acb|b|ǚTxu(F{ v dµ,
aGxuy t  a € }~{šxu{ ØîVîVæ,ڞîížæ[ä\å xuÇ #R€ yÒ{š`[email protected]
(Z
)
9 Ë$ ;
|x − y|
T (F dµ, dµ) = inf
dπ(x, y) ,
2
r v y €$# È s È´{ t š`ub|y t‰t!s b v { €ut { ÈGÉ v {˜xÌ{ t ȳ{ t|s b|{ t xÌ{G`ub r É[email protected]Éuy v yz|Ç π aÏKa €  F dµ {~ µ
}v r ȳ€È{–t È[email protected]{t t [email protected] s ý¹rKrK€s pbpt acyÒb|{~È# { €  €urKv sÌy t‰€ Çt Ca v rKyz|€uÇ t 9 Ë. Ê ;_xu{ Bä\åv îVÙ_æ[s Ú v } {œ||{ªt!xus {~b € y& b!su{ªt|ty € ǀuCa€ ø
yz|Ç { ^`Ra  Î b ÍKÇ~b|y Ç {
aÍ `[email protected]ª{œß&{ ȳ` {˜Ö { a³È³{ b|{%Ka yÒ{ {
ÍKÇ b!y # {y € Ç Ca rKv €yzpǑx̀ {pb|a €u€utt ` r bÐè T av ÍK{ } su€ {Œ} rK€uv t  € a € p€ { r `Ìpv yzȌ€ a v {Gv Ç Ca v { 2 €u˜t íXr ížâ8{~
þ‘ä\öv ö€ Øåä‰v È pb!{ xRa vÒr ËKË á {5`ub!{ s ȳyÒ{~éÂbvÒt yÒ{ rKs { |€ b|{ € y ÇCa s yz|Ç xu {¦s pbpa v t` b!rK € T
{~€  y v ÇCa yz|Ç^rKxu€u+{ t g,⠀ â_öæ ! [email protected]|v yÝ s ȳyÒv Ö { `ub ÍK{ š{ |b|{‘[email protected]€ua t pb!{€ Ö { a { } xu{
y Ç Ca yÝpǪxu{š}  a |{ β(µ) yÒȳ` yzÖ { aG`ub|{~Èy& b|{^xÌ{‚È ȳ{^} pa p{ β(µ) 2
2n/(n−2)
2
2
2
2
n
n
µ
VT
2
n
2
2
2
µ
2
2
2
2
Æ a u€ t5v { t zv r } á [email protected]`uyÝá pb|{ t s Ä2{œ¨rKsÊ €urKsut t Ç~r [email protected]É vv y t|t t!rK€ut5v { t y€ € Ç Cas v yzt pÇ t xut { Bs â_ä\åò õ½Ø Ú \8t|s {~¦xu{
g,â â ö&æ ! [email protected]!yz ÈyzÖ {–` b¹xu{ È x { xu{ È³Ç } a yÒÖ {  a py pyzÖ { aºÈ{ b!{ xu{
b|Ç Ô Ç~t|b|s { € } {nÍKsuÇ t!b!t y # a €u€ €  v { t y € Ç Ca € v yzpÇ t xu{ vzsuBt â_ä\å€ õ½Ø Ú v \ surK€ s xu{Eg,t!â s %â_öæ ! vzrr [email protected]!yz v á ÈyzÖ s t|{¹s { t  v a È{ b!{%Ca yz{ { ux {GÈa y& b!{˜` KÇ Ç b|a { t|t {‘ȳ{ b|é{GxÌ9 {G`ub É[email protected] Éuy yz|Ç # µ v t b Rs
xu€ { v a vÔ<r b|ȳt { ò dµ(X) =v exp(−U (X))dX
atÍ@{ }-v )n{ t (Us ) >v rKC€5€ux r C > 0; Í@sÌÇ € b!y Ô<r { { xu{ € ß
ø
|
t
|
t
Ì
s
t
yt Ç Ca yÝpÇ € {œrKß&€ { ȳ` {šxu Ç~} b!yzt n} suy € xu{ t {  su{šv }a Ö s {
ȳÈ{~bpa y b!ÈÇ~È{ 
 prKb!yÒsu}œt p{ ȳt|t { ‰rK€u} t ÍK{®ß&{ [email protected]}€ {  v } a t `R€ acb!pyz} su€ yÒ{~bn€ x } b!v yz~b|{ Γ xu{×wØ Ù_ÚCvÒrÛ{œ á ì^æ[ÚsÛ rKs xu{ { –â aÏ ä\åõ½ØyÒÚ } \ôy&xu` {wrKÈ s bº}~|{ b|b!{~pb [email protected] € {œ{Œß&y ȳp{ { t|s } b|{–{ x t!s b {wRy ÇaCaÍK{ } yz|ǹsu€ xu{ {Ag[} rK⠀ut â_pa ö€ æ p! { € {Œ[email protected]|Ç~yÝ`%{ ȳ€ xRyÒÖa € {
`Ra t xu{ v a^xuyzÈ{ €ut y rK€ n ò { t ȳ{ t!s b|{ t ǜ s xÌyÒÇ { t yz} y t!rK€ gxu{ t ȳ{ t|s b|{ tgt|s b R xu{ v a Ô<r b|ȳ{
dµ(X) = exp(−U (X))dX aÍ@{ }
n
2
n
n
∀ X = (x1 , ..., xn ), Φ(X) =
X
ψ(xi ) +
X
V (xi − xj ).
v
t³v t su€ Ô<r
€
ò Ô<rK€ rK€ t
t pa b!yÒ}œp{ ȳ}œp{ y € ¦} Φ[email protected]€ { Í@{œß&{[email protected]`uxu`,Ç~{ } Çb!yz¦01.} '*y ø xu! ' { t|) t|#sÌ! tw# vÒr {~b t Ö ψs { ψ01 ,2ÍKÇ~Zb|y Æ # { [email protected]`Ìψb" >{5C} a aÍ@{ } y Cb|ȳ>Ç È³0{ {~
t|t
Kv ȳ{ t!s b|{ µ t ac|y t!Ô acyz su€ {ny € Ç Ca v yzpÇQxu{kg,â â ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {
kV k a { n`%{œpyÝ ašsu
{~s xu{ Bt â_ä\åõ½Ø Ú \G€ aÍK{~} € {¹[email protected]€ } [email protected]€ut pa €s p{¹t y € xuv Ç~`%Ô<rK{ €€ xRa €rKp€ {Qxu{ n Ɖ{ €Ìr ÈGÉub!{ sut { t {œ_ b!Ç } { € p{ €  Ç~ xu{ `,{ b|ȳ{~!p{v t  xu{‘t|sÌÈ v tG|b|t!{~s b Ö t t { € y a € r }œpy rKψsÌt = ϕ +vzv g arKÍK€u{~t } ϕ >tc (c > 0)
{~ kgk < rK∞s á { rb!Ç á t  a  9 ý É òy |{ ³€ { } b|v { € [email protected]`u`,{ t { b s } {;á }a t ) #t -./T
- ) l#ji
Ï`  { /h; {;`Ìb|y } yÒ`ua y |Ç b~‘xu{5}~{ xu{ ß } [email protected]`Ìyzpb!{ {  xu{
`ub rKt s ÍKá { b t v {®t ßÌy t |€ { € }~{–xu# { t € y € ÇCa tnv yz|v Ç á t xu{ r Bá â_tä\åõ½9 Øý Ú \ {œZxu{Ag,â â_öæ ! vÒr Cacb|yz á ȳyÒÖ s { ` [email protected] b
xu{ ò ` a á { ϕ {^ÍKÇ b!y a s n`Ra € [email protected]ÏvÒv `  r { rK€ /h; ý ù
{ } [email protected]`Ìyzpb!{ Ä rK{ su%t { }~ Ç t { € rK}€ut acÉ b|r acpy s̀ xu{ á r â %æ,Ús ížâ |[email protected]Ýp{ xu{ v y € ý Ç CavÒv v yÝø pÇ
xu{ Bâ_ä\åõ½rKØ s Ú \ rK€ `ub|Ç v {  t € x [email protected]É b|v x € {Jv ȳÇ~ xu{¨x { W V‚æ[[email protected]ös üuüuæ[v Ú t r { { v }~t y
`%{~b|ȳ{~ € ` s bšxut Ç~È t |b|{ s b {®ßÌy |{ t }~{Œ€ xu{ y v Çt Ca vyzpǺsuvÒxut^{ t!s –â ä\åt õ½ØÚ \2t|s ` t b € { È €ux$t rK{ €
xu{ ÈrKÇ~su}ta yzÖ { rK €Ìa pt y pvzyzrÖ t;{ v xut { b!€ { |b|{~v y xut b!{ { } a } s bš€uxurK{ sut ȳ{ rK€ b|{ s t { € xuyzÈ{ Ô y rK€
Ä
xuvÇ~} € b|yÝÍ v a b { y Ç Ca yÝpÇ € xuW{ Vš€uØt ÚrKã%€ Û¾Ö ý y t á} r x t y { JxÌ{ tZ€Ìa rKsut
{t|r }[email protected]}~{ t vÒr y t ÇCa€ yz|njt!s xu{ Bâ_ä\årKõ½€ Ø Ú \ v { xut yÒȳ€ { y v Ā { v Èǜ xu{ xÌÇ } b!yz|{ rKs v t
rÈ È³x È v { { t axu{–bÈÇ~{ }a €È³yÒÖ{ s { b|t{– xÌac|{–y t È |yÒÖ s |{ b|{ t!b r b!p{œa ß&€ y Zpx { s } } {wa tZxu{su€ y y Ô<r Çb|CaÈ³Ç yzȳ|ÇQ{ €xu{ t Bpb!â_yÒ}œä\åp{ õ½È³Ø{ Ú € \‘Z`} rK€ ÍKb {®ßÌ{ {
xut Ç }~b|yzv˜} suy €ø xu{ t|rKt|€ sÌt rK€ ò y € v|Ç b"œGv xu{[email protected]} €u{œ|t p{€ Èǜ á r v xu{³€ { t Gv x su€ { `[email protected]!ºx aÍ r yÒb‚rKx s su€v { t Èra € y& v b!{t
yÒrKȳ€ut` { tÉ } s pb {Qxu{ aª} á pa p{Bxu€u{ rKs y Ç Cas yÝpÇZr xu{ –v â t ä\åõ½ØÚ \˜€` s b {t È t x$ s {
} yÒxuÇ~b|Ç {œZx a pb!{–`[email protected]Ð_x {œß yzÉ%{~bZxu{ ÍK{a ß È x { xu{BÈ³Ç } a yzÖ { pacpy pyzÖ {
ÍKÇ b!y # a €  v y € ÇKa v yÝpǚxu{ B€ â_ä\åõ½Ø Ú \ r ý {‘} ï á [email protected]`uyz|b|{‘a ǜpǑ` s É v yzǘxRa €Ìt^v aŒb!{~Í s { F ) KTl#" '
) KC€u#jt^ v ! ) #"á ' #" ' % , !,¹€[email protected]{ sut Ê@ËKË&s Ä [email protected]Í €uyÒt b e rKs ËÌv Ä t t r v t
Æ s a s {˜} €[email protected]`Ìvyzpb!{ á Ê Ç~ xuy € ,` v € b { v È È³{ È x { vzxur {‘È³Ç }á a € yÒÖ s s { t ý  ac|y t†ø
pyÒÖ {^Ö {šxRa { } ac`uyz|b|{^`ub!Ç } Ç~xu{  y ÇKa yÝpÇnxu,{ g,â %â_ö&æ ! [email protected]!yz ÈyzÖ { {~!p{
i
i∼j
00
00
∞
00
∞
y € Ç Ca v yÝrKpsÌǚt { t ^`ub v r t|} t!á rK{˜€utxu{ v €uy € t ÇCa v yzá|ǂxÌ{ Bâ_ä\s åõ½v Ø Ú \Ȍá [email protected] y t { vÒv {˜{ t ^` vzsuø t xÌt|y t|sÌ} t y v { rKŒs `ubv [email protected]&€&øø
ÍK{ b v Ç~[email protected]É y xR€ a t } {Gvzsu} t [email protected]`uyz|v b|{‘Ö v { aŒs ÈvžÇœ€ xu{ºt xuÇ }~b|yz|v á{‘} s y xusu{ t `€ b t y
ÇCa áyz|r ǂxÌ{ Bâ_s ä\åõ½v Ø € Ú \ {  vzv ` ac`u` yz}[email protected]É { Ö t y € {œß&y pø {ºÈŒt|t|a sÌt { b|rK{ s {~v Ȁ { ª`Rv a xu{
Èǜ xu{ Ç vzrÖ yÝÍca á{ |{ s¨} { rK{ suxut { V‚æ[rKö&t|[email protected]ǜuüut æ[Ú)vzr `Ìb|tQÇ v { t pÇ~{;} y xu€ { t ` suv b t y ǀ Ca rK€ yz|ÇGxu{t
g,â â ö&æ ! [email protected]!yz ÈyzÖ {
r` Ks bº[email protected]`Ì|{ bš} {œ|p{³È³Ç~ á r xu{ v{œß&y € ` Ç Ca v yzpǺa xu{ b g,â { â xuö&y%æ Ç ! b!{ vÒr pKa{ @b|xuyÝ y á ȳ} yÒÖ s|Ç {b!5ª{ y €u} t y ½pv b|r Ç~É{ ø
p{ € |y rKv € xuv { v y € Ç á Car v yÝpǖxut {,g[â â_€ öæ ! v t vzr Caý @b!yz á ÈyzÖ s á {nr ` rKs bQ} { t È r [email protected] t v { t `[email protected] b!|vyÒ} suv yz{ b t Ô [email protected]Ý
Ô<[email protected] `uy `,t { xua a €utGa‚suȀ ǜ} a t xuxu{ny t xu} { b!{~‘ÈŒ`[email protected]Ðbpy ð Caç7{~{  nØX{~|ç7|{ xRȳa €uÇ~t  ò xu{0P º ǜ pý Ǫ{ {œvÒß&v { ` ø } ygÇ { {‰t  ` b!{ `ub b!y ašt { `ub!xR{ a ȳ€uyt‘ b!v {{
}a t } rK€ py €s {˜xRa €ut € xuy Ç~s b|{ € |{ t ` € s É v yÒ}a py [email protected] €ut `[email protected]^rK€Ìתt â_ã ä\årKæR€ ØXç rKVš€ æ[ö&üuüÌs æ,suÚ € â_îN]ä\ã½ØHrK{~€ 
t{ @æ  c_` Ø rKڞt!töyzä\É åv îV{Ù_ôä &xuÜ { t {‰} Ç~a  t xu` {^vzsuact !pKÇ{ € |Ç~yzÍKbpa {‰s xuß{ xuaº{¨xuÈ Ç~È r x v { pt b| ac py rKsutÈ r É t p{ b!b!{‰Í rKÖ €ut Ö s {^acxRv [email protected]@`Ìyzpxuac{5py xu{
v y € Ç Ca v yÝpÇxu{ g,â â ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {{ € xuyÒȳ{ €ut y rK€ Ä €urKsÌt ` rKs Í rK€ut r ÉÌ|{ € yzb³xÌ{ t
 á Ç r b"~È{ t ` rKs b v { t È r x v { t xu{^s È³Ç } a € yҀ Ö s { t t  ac|€ y t pyÒÖ v s { t [email protected] Ç~ s xuy [email protected]&€u€Ìt rKsua vÒt r b tBv {ª á Ç rcø
b"rKȳ€ { xuv {‚תv â ٞrK€uâ t!H{~€  í æ Ö y`[email protected]!pvza r –xu{ á y ÇKas yÝpÇ €Ìxutº{ v V^Ø Úžt ã%Û v `,{ €ub|ȳt rK{~€¹xu{
}ý pb {~b á a¦r } €ÌrK asut p{xu{ g[â â_örKæ € ! [email protected]!€ yz Èv yzÖ {GxRa {} a vÒxur { a5xuá yzÈ{ s y [email protected] Ä
{~||{–Èǜ xu{ `,{ b!È{œZxu{BÈ pb!{ b y ÇCa yz|Ç xu{ g,â %â_öæ ! Cacb|yz ȳyÒÖ { ` b
xu€ { t È r x v { t xu{wv á ȳs Ç } a su€ t yÒÖ s { € t pacpy t t|yÒÖ s rK{–€ xuy Ç~b|{ €  t€ x s }v a t€ } v a t|v t yÒÖ s { Ó [email protected]} rK€ |b|{w} { vÒv { r ø }~ø y
{ `%{~b|ȳ{~šÈa { b|{ {~È{ º`ua } pbpacyÒb|{~È{  y ÇKa yÝpǂxu{ –â ä\åõ½ØÚ \ x É
p{ rK€ s yÒb vsu€ } r rK€ pbv v { t yÒȳ` v {˜€ xu{ s v aŒt } [email protected]€ut t pa € s p{‘xurK{ €uv t y € ÇKa v yÝpǚxu+{ g,â â_öæ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {
` ò b t˜{^t È xø {rKs xu{štÈ³Ç } a yÒÖ {  ac|y t!rKp€yÒÖ {^} t yÒxuÇ~r b|Ç € t €utºv s t € v t
{ { ȳy @b vzr `,{ á xu{5ó2s Ø Úž ٞâ ! ˜|b" yÒȳ` b! a  xRa € Ç~ xu{³xu{ t y ÇKa yÝps Ç
xus3{ g,â â_öæ ! €uCat @b!yz r ÈyzÖ { rK€ xu{ Bâ_s ä\åsuõ½€¨Ø t Ú \¨{œø ‰xÌ[email protected]{ s g,â â_öæ ! su,t Þ rK€ { %t {~ªá } {  `[email protected]€ bn{ ß ø
Ö Ô‚{ t GÚâ_tîVîºsuxuv a € e^bt O t žÈ t|s pb!{‚Ö € €{ ȳyt Kb tÐÔ `%{‰xu{šsuxu€ y € y v{  Ï`,{ b|} pb|[email protected]}
pvÒr y y {~á  { s { ȳ{  v y aHÈ{ b!€ {y Í[email protected]Òb|t–yÒat!rK€ acsu|y t|t [email protected] s r s {y ÇCa yz|Çxu{ g,â vÒâ_r öæ !
Cacb|yz ȳyÒÖ {&Ɖ{ a‘È ȳr {‚Èa y& b!{^y 0 ªa ya } { bwxu{ºv }~b|t–yÝs b!{ v t Γ xusuǜt!ÍKt { `u`,€uÇt
`Rv [email protected]‰s ×nØÙ_s5ÚÛ v {~€ € ì^æ[ÚÛv € Í yzb v /BÞ CÅ X{œ /¹a P.> uþ¹v sÌØv Úâ ,â[email protected]€ çöâ_î { py s5y t{ a ø y½rKxus a
Ç~ v xu{^á x v s yz{ { r |b|{ è y ÇCa yz|ÇnxÌè { g[â â_öæ €u! t³{~v  t á pb|[email protected]} |t [email protected]|}œs pyÝÍ&y݀pÇnt x €urKsu{~t Èy Kbs [email protected]`,€u{t
xu{ t aJ} a {€ b t Í € yzb v [email protected]|t .Å >w{œ v [email protected]|CÅ t Æ su€ a s { } t [email protected]`uyÝø pb|{ rKs yÝ Í@a vÒ s
Ç~ xuy
}t|rK{ vzs xuy rK€uÇ~t b|{ |t { y s ÇCa rK€uyz|t Ç `[email protected] {ŒÉuy [email protected] x a |b|{ s { €uȳrKy [email protected] #R`,€ { t|t!} rK{ €ut y¹xuÇ }~€ b|yzG€ `[email protected]€ b v {q t
py xu{ Ç Ö ac|y xu{ V^Ø ì^ä\ö~ížâ_å XؽõXâ äÖ { xÌÇ y È[email protected] |{ a  y
{f t  su€ { Ô<rK€ }œpy rK€5v yÒ` t } á yÝ ~yÒ{ €Ì€ { É r b € Ç~{ xuÇ #R€ y t|t|[email protected]€ut ` rKs bB [email protected]  t > 0 {œ x ∈ R 9 Ë$ >4;
1
Q f (x) = inf f (y) + |x − y| ,
2t
{~ Q f (x)ð = f (x) v ` rKs s bª rKrKs €  x ∈ R ý {~!p{ Ô [email protected]ȳy vzv {šx r `%Ç~# bpac|{ vzs r b tt [email protected]`Ì`%v { v Ç Ô<{rK€ t|rKvzs rKp€ y rK€
xu{ Všâ [ü Øñ8xu{ Ç Ö ac|y xu{ VšØì^ä\ö ížâ_å XØXõXâ %ä Í@Ç b!y { b Ö { a }~|y f
2
n
2
t
0
y∈Rn
n
{ t ‰a t!t { šb!Ç suv y~b|{ Ìv Ç Ö s ac|y rK€ xuy Ç~b|{ € |yÒ{ vÒv {‰xu{,VšØì^ä\ö ížâ_å lXØXõXâ ä |t s Ýy Íca € p{
(
∂Qt f
1
+ |∇Qt f |2 = 0 in Rn × (0, ∞),
∂t
2
Qt f = f on Rn × {t = 0}.
ò a Ô acÈy vÒv {;x r `,Ç b|acp{ s b t (Q ) t { bpa ǜp{ € x s { su€ {JÍ@acb|yÒǜpǨb|yÒ{~Ȍa €u€ yÒ{ €u€ { Qr )v a
€ur b|ȳ{^{ s } v yzxuyÒ{ €u€ { t { bpa b|{~È` v [email protected]}~Ç {^`[email protected] v aGxuy t  a € }~{šb|yÒ{~Ȍa €u€ yÒ{ €u€ {
€ut‚v á
X€urKsut s rK€ut‚v v € € v t ø rKs
# €
v Ç ÖÆ s a ac|y rK€ {‘xu} y acÇ~`ub|yz{ |€ b|{|yÒ{ vÒv {‰xu{,VšÇœØ ì^xuä\öy ížâ_å l{ XØXyÒ{ õXâ { äX|{~b| { v {y € Ç{~CaÈv y yz|KbǪxÌ{,`,g,{ â (Qâ ö&)æ ! vÒÍ@r Ç Kab|@y b|yÝa  á  ø
ÈyzÖ s {Ñ ò { ð t |bpaÍca s ßxuò { }~t {‰} á [email protected]ø `ÌyzrKpb!s { rK€ ¹Ç~pǪ{ %{ }œ s Ç t { € } rKvÒv [email protected]É t r bpacsu|€y rK€ Ô<xur { q [×nsâ v ٞâ !
{~v ‚€ xu{ v æ,ãâ_çX€uñ t r { {~È y € Kb v `,{ (Q9 ) Õ[su`,€ { b!È{œºt|s x {®ßÌ` { rb { v b|ȳ{‘t x t!a Ô {‘xu{
su€y {wÇ yCa€ Ç CayÝpÇ v yzxÌpÇg{‚xu|bp{Ba |bpa ` €ut b!`  r Tb! Ty t Ç yÌCa{~ yzt p{ Ç suv Ë${~È ;{ €  t y {‚` ÈrKs { b  b!rK{ºs pxu{ {‚Ô<`urKb€ }œÉRpy [email protected]Éu€ y fyÝpÇ v yz`µt } áac|yÝ y ~yÒac{ €Ìyz€ {
É r b € Ç { rK€ a
Z
Z
t t>0
t t>0
t t>0
2
2
1
τ (µ)
1
Q1 g dµ 6 exp
τ (µ)
exp
gdµ .
ý { t ‘}~{~||{ Ô<r b!È{³x s a v {³Ö s y €[email protected] `,{ b!È{œ˜xu{³pb rKs ÍK{~b su€ `ub|{~Èyz{ b v yÒ{ € { € pb|{ v { t y €ø
ÇCa v yz|Ç sut v xu{‘ |bpsa €usut € ` r b!š{~t! s v y € ÇKa v yÝpr ǂxu{ g,v â â ö&æ ! # vÒr [email protected]|€ yÝ á ȳ€ yÒÖ s v{ rKsut `ub rKs Í rK€ut vÒ{ r € ø
`[email protected]!|yÒá} yz{ b s Ö t {;t ȳsuv{ b|{;€ xu{Œt `uv b Éut [email protected]Éuy ø yz|Ç [email protected]µs Í@Ç b!y { { y Ç #Ca yzsup€Ç³xu{[rKg[€ â â_rKö€ æ ! á ø
[email protected]|yÝ [email protected]€ ȳyÒÖ { y¹{~ {rKsut {~È{  rK€uy t { € { ȳy KbvÒv v `%{ (Q t|)suv ÍKÇ~b|y { vzs{} xuyz|y x Ïs
`%{~rKb|€ } |[email protected]€ }œpyÝÍ&t!yÝpsuÇv t ȳv {~| rKs { su€`[email protected] b|a ø {Œ[email protected]} {¦s b|Ç  ac€ aÍK{~}¨r }~{ y–xu{t|s ‘Ú%â_îVî¨Ö rcø y
È |b|{ b!Ç pac yzÈy [email protected]|{^` b { ȳy Kb `%{ºaÏCa  } Èȳ{‚È{ b!{‘xu{G`ub
ÉRvÒ[email protected] Éuy t v yz|Çwy € Í[email protected]€ b|yÒa € p{ Í Ô r yÒb rK€ e^b t|r t O t ò {ªv á Çv r b" á ȳr {‰{®ß&` rKt Ç^xRa €ut µ} { } á [email protected]`uyz|b|{ €urKsut `,v { t|b!t Ȁ {œ
a b xu{¹È |b|{ b xu{ a a { yÒȳ` { {g Ç b"~È{BxÌ{ ºíXížâ{~ZþGä\ö&öØ åäÌÇ~[email protected]É y a 
Öò s s su€ v {nt y € ÇrKKa€ v yÝpÇgxuE{ g,t!â suv â ö&æ €u! rKsuvzr t [email protected]!€ yz á s ÈyzÖ ssÌ{Qt|t yzÈ` suv yҀ Ö s { su€ {–t y € € ÇCa v [email protected]|€ ÇQxÌ{w|v bpa € €Ìt ` r v b! T |y y ac|y xu{ª}~{ªb!Ç pac } x yzQa y {nb|{ `Ìb|Ç {  a py xu{ y Ç Ca yzpÇQxu{
–â ä\åõ½ØÚ \`[email protected] su€ { Ô acÈy vÒv {‰x y € ÇKa v yÝpÇ t xÌ{ºpb|a €ut ` r bÐ ` rKs b su€ } r ‰a s pb!{˜Ö s {ºÖ s a ø
xubpacv |yÒր s {½v Ü € {Gp{ vzv {ºb|{ `Ìb|Ç t { €  a €¦py [email protected]€ € { Ô t  vzȳv {~!pb|€ {˜{ € v `[email protected] b|a vÒv v {‚aÍK{~} v aŒb!vÒ{ r `ub!Ç t { ဠ ac|y rKs €
xu{ r y # Ç Ca r yzpÇnxu€{s Bâ_ä\åõ½Ø Ú \;{ { ð [email protected]ȳy {wx y €uÇ Cat yzpò Ç xu,{ ýg[â â_á öæ ! [email protected]|yÝ ȳs yÒÖ v {
È €uxutwy v Ç { É&s p{ { `Racb˜×ªâ ٞâ !){~ æ[ã â çžñ xRa / P O { } [email protected] `uyÝpb!{ a ò Ç~pÇ ` É yzÇ
xRa €ua‘tb!v {~Í á { F ) KCl#" €Ì' rKUCsu t , s . 0rKi€Ì' tv .D!Dt I)[email protected] , ø [email protected] *, ' !DI)Ki#u € , Í yzb v /Ô<er ËÌsuÄ v 9
t|rKsuÆ ta v a–} [email protected]{Z€ } |[email protected]`u€ yzp|{ b|{ xu> {gxuy %Ç b!Ç~{ € pxu{ t y y € ÇCa{ v yz{ |È³Ç ty Ô<rKKb€ }~py `%rK{ €u€(Q{ vÒv { )t q&rKxu€ Ç Çœ sy`RxÌ{[email protected] t!rKa sutv b!awÈ } rK€ { pb|Ë[email protected] >4€;ø
p€u{‘rKsuxut { v € y € ÇKat|t!v yÝrKp€uǚt xu+{ g,â s â_ö[email protected]æ€ ! vÒvr [email protected]|s8yÝ á t ȳyÒÖ øs {‚rKa s Ç~|ÇGxuÇ~€u} b|t;yÝpv {Gxua €ut¦t^r v 7{º} v á [email protected] `uyÝpb!{ €Ìt|rKs sut
y sÌ|€ Ç b|{ € v yÒ}~y^a } |b {x {~€uÈt y v Kb t‘`,r{JHxRva {Jt|s }a # { sÌ`R€ ac} {€ ȳ{ v b|Ç
#
ÍKÇ b!y { {5y Ç Ca yÝpdzxu{ s g,â v %â_ö€uæ € ! _9 Ɖvzr a t s { } a aJÈ{ €ut b!v { ÍKÇs b!y { rK€ 9 {;y Ç Ca€urKyzsupÇt
xu{ rK€ g,â rK€uâ_t öæ s ! suxu€ {¦ÂÏ&`,{Jr { } [email protected]Òxu€ yz{ { b suv Ö { rKb(µ)
Ë$ÝNÄ ;J; t
= 0 xua s t Ç~Ö ø acrKps y
€
È |b Ö {³ÈaVÎ bpa py xu{GÂÏ`%{ pb|[email protected]} |[email protected]}œpyzÍ@{‘x {~Èy Kb `,{ (Q ) { 
t t>0
2
t t>0
t t>0
Ç Ö s yzÍcvÒva v v { € p{ v v {®ßÌy át |{ r € }~{¦xÌ{ v y € ÇKa v yÝpdzxu{ g,â â r ö&æ ! ý € {5b|v Ç t!€ suv pac‘v { t È{œ|pb!{;{ €
`[email protected] v {¦r aÍK{~}r {5 ǀ b"su~Èv {¨xurK{J€ þQØ Ú%â Ô [â_s;çt öâ_î ø } rKȳs `[email protected]|a  v y á ÇvCa s yz|Ç; xurK{sut g,⠀ â_örKæ €u! t
a€uÍ@{t!s} {ª} v ȳt ` b!|r { ȳ{ rK €ut pb|[email protected]€u} t^v |[email protected]}œpy x vzsut {~Èy € Kb v `,{‰xu€ { a˜v } at { b ǜp{ ½x€ÌrKsut
{r €uyz|rK{ €ut { € ÈaVÎ b|s acpy su€³xRv a € € {G}[email protected]Ìv b|t {‘€` v KÇ t Ç b|a x y Ç Ca yzpÇ xu{ g[⠀ â_t öæ € ! v t
ÉÌp{ €Ìt r { pb!{‰ý a pá b!{ yz{ t { € |b|{ rKs { y ÇCa yz|Ç xurK{k€ g,â rK%s â_ö&suæ€ ! t!{~rKQs } {~b!pt|[email protected] y rK€ { y r ÇKaá y݀pÇ
xu{nò |bpa á ` b! {n} t [email protected]`̀ yzpb!{ª{ rKQt { s } rKs bйxÌ{ªt b!Ç € [email protected]}œpv y t ` b €u{ t r ȳy y €ut–su`u€ b } acy {
{^t } ¹€[email protected]`urKsÌyz|t b|{ ˜#R{ €  t!t|rK€Ìt;{®ßÌv ` t Ǻ€ a  v bBt xu{ y ÇKa€ut yÝpr Ç xu{ vÒsu|bpt a ` € b! uv Æ t a s v €`ub!{ ȳv yÒ{~b
p{ ȳ` €Ìt r xuÇ y rK€u€[email protected]{ €ut y s Ç Cav syzpÇ t xu{t|sÌpv b|a t ` bЀ Œ` s vKÇ t Ç~bprKa € { € Ö € { y Ç €uCat‚suyÝp€ Ç
txu{ {³} rK|€bpa x |{` ȳb!`  t¹T€[email protected]{œt ‚x x [email protected]€u€urK€ut xuÖ y %Ç{ b!Ö { € { t } b!b!Ç yz~b| { a t  ` rKKÇs bgÇÈ bparK€ |ß b|{ b{ v }{œß&y t }~p{ { b € } a {ªx  y € Æ Ç a Ca v yÝpÇ t
xu{¦€u|bpt a €Ìr t ` r b!t  ý { t # } b|yÝ~rKb|{s t €[email protected] `,€u{t b!È{œr ||{ v € t a vÒr b t xu{¦€ È rKs € |b|t { b‘Ö ts su€ s {¨y € Ç €$Ca#R€ôv yzp€ÌÇrKxusu{t
pbpa € ` rK€Ìb!tŒ‚v { t šÍKÇ~t!b|suy v Ç {³t³` r b‚€}~{subÐt  [email protected] €ut³È v x á { xu{ È³Ç } a sÌyҀ Ö {  ac|y [email protected]|s yÒÖ {Xt Þ € v t
Ç~p{ x { b!vzÇr pacá ÉÌs|{ t r xua # t {¦} [email protected]`uyÝs pb|+{ x {€u`Rtnacvb!³` t bxÌv { y ÇKa€ut yÝprKÇ €
xu€$3{ #Rg,€ â â_öæ ! [email protected]!yz ÈyzÖ { È xÌy Ç~{ {~ªx a pb!{º`[email protected]!ªxRa {‚}a xu{ a xuyzÈ{ y
y à rKyÒs { sJvzrK€
ša
xu{˜} {~!p{˜ á s t {v €urKsu€ut t Ô acv y t|[email protected]@€uvÒt v b!Ç Ô Ç rKb!€ { € Ó }~{ €ua r sv yÝÍb|t { @KTq '€ , á !$#jt i * ' !$v i , qUCrcø
g,â â ö&æ ! ')"* .l!$$0C'*!DI)[email protected] , ` É yÒǖxua
a^} {~}~|y a b|[email protected]Ȍa {~ Ï  {‰xu{ a
} yÒǜpÇ ý Ñ ac vá Ç Èac|yÒÖus q {–xu{ t ê bpa € € }~{ 9 Í r yÒb 5 / ý ËKv Ë v½$; ë } { vÒs y ø } yӚǜpÇnÇ }~b|yz { € } rKvÒv [email protected]É ê r bpvÒrac|y rK€ €
aÍ@{ } Ç~} y %{ ý Z˜_å \ v_ù Ç ÉRa pyz{ ×nöØX=õ ]^[r ڞæ Æ Î|a y ]žØ üœØ ` t r yÒ{~b|b|r k{ a_€ â_t_ç cds^[ڞò æ[î r b!r { 
ó2Ø q öڞä\æ,t ç s Ïb|y Ó â r æ[Ú&ížâ v {~A t ešb!{à rKbÐsuÏ vzrKg[su=õ t ]æ[ò üuüut æ[ڀur xu{ x sÌt }~ t bpa Ô  €x t³acÔ É b|act  yÒs b|{
xu{  ac€ |y t pyÒÖ á {;{œ t b ÉRacÉuy v yzpÇ xu€u{ rKsut { [email protected]{ €ut ÈGvzÉÌv b|{ { v t b!Ç Ç b!{ rK€u}~{t [email protected]@|{ €ut a ß t
xuá y %rÇ b!{  t } [email protected] `uyÝpb|t { xÌ{Œ} { yÝÍ&b!{ `%{~b|ȳ{~!pb x a Ç K{ b { xuÇ È pbpa py xÌ{
 Ç ò b"t ~È{ t!suvǜ xÌt³yÒÇ r yz} y € sut €ut
á t t!rK€ t € t t|rKsÌtÔ<r
á t
t{ |t { {€ pyz{ b!vzÇ v { ȳp{ ac€  ‚y € ÉÌxu|Ç { `,{ € xuaxu€ a  t˜v {}~tš{~!sup{¨€ut  xu { t { a s pb|Œ{ t `u b!ý Ç { { bÐ [email protected]pÇy €ut aÏCa €  b!Ô [email protected]Èyz {5v xur {¦ÉÎ!} {~‚[email protected]`ux yÝpsub!€ { {
` s É v yÒ}a v pyt [email protected]€;9 á rKs xÌ{ t!t rKs ȳ y t|t y rK€ urK€ ‰Çœpǂb|Ç~xuyKÇ t { € a € v acy t {œ t!rK€ ªy €ut Ç~b|Ç tªt!rKsutªÔ<r b|ȳ{
x acb!pyz} { } [email protected]`uyz|b|{ Ä ³{œH >4; 2
+
ŒÃ à ’
à ¶
à ’ ¼ à à é Íca € ‘æ[åžížä\öŒa € x ý Ïb|y vù â æ[Úížâ
6D6* E8 a$ 8
–à á {` s b|` rKt { [email protected]Ô  á y t r b 0 y t  r { t  [email protected]É v y t á t!r ȳ{³`,{ bÐ s b!ÉRac|y rK€ b|{ t|suv  t^Ô<r b t `,{ }œpb|a v
Ca€ @` t  r `[email protected] € r x s t|}~t!r{ t!r È{n{œßÌ[email protected]ȳ€u`rK€&v { ø t [email protected]€ ÔXsu€ É rKsuá € xÌt { t;x tt `uy €t!Ô t Ï t€ |{ È t t wyz á € {v [email protected]!{ t  € € { y& ás É [email protected] s b
ysu€ p{~Ô<bpr [email protected]}œpy v € a #R€ }~y ac|t!{s xt  t–rcÔ á } v ÍK{®ß8` a € { rKsuacp€ y Ïy HarK€ `,{ rK}œ€upbpt a à–Caá @`)t y { Ö a yzv ÂÏ t
á suy tGb|t È á r ϑy  á acºyÝp {á {b|É { }~{~{ € ‘b!{ t| sÌv{  t acÉ!pÏ yÒ}~{‰â_a îNx]ä\É ã½Ø 9 txR{~ac{ b!Ï} [email protected] PxÌPyz p; y V‚æ[ ö&üÌüu{ æ[Ú {^{œßÌ)ª[email protected]{ ȳv P` [email protected] { ת€ â_ã s ä\åv æRØXç t l Všæ[€ ö&üuüÌæ,s Ú vzv /8)á P.rKPKv a Ô<r /8)Ô PPcÉ v [email protected]€tBrct Ô`,{ }œá pbpta v t Cacá ` t a € r x vÒr [email protected]|€ yz á ȳá yÒ}sug,t!â s v â_ö[email protected]æ €&! ø
y {~Ö a yÝpyÒ{ }a [email protected]}~ a Ï x b [email protected]ȳy yz{ ` a {  a 0 É,{~Ï x¨ { a }
ÍK{œß&à yÝr ÂϦ€ acwr y €$#us € yzÂÏr á t!suv [email protected]Ô á t Ìv sut # t t &Ô<[email protected]ÒvÒr € v y pb x }~{ª  {‰b|{   y `[email protected]`,{ b {œ b –xu{ } b!yÒÉ,{ wy )ª{ [email protected]  á á { t `uy € t Ï t |t { È tÔ<su¹€ { [email protected]€ y vÒv yt|€ t!ÍKr { t py&Cacp{r ý¹#RrK€Ì€ t yÒxÌ{ t|bs  át {ȳ{a € t|s b!{J9{œÔ<ß&r ` (−Φ (X))dX
€ r
œ
}
p

y
a
~
}
y
c
a
|

{
x

a
z
y
p

{
É
~
{

b
{ b!{ Φ y a
Λy Z
d ∈ N ;ªa x¨
t|r ȳ{ ω ∈ R á yÒ} á xÌ{ #R€ { t  á {‘É rKsu€ [email protected]!Ϩ} rK€ xuyz|y rK€ut à–á { Ô<su€ }œpy rK€ Φ á a t  á {
Ô<r b|È ÌÔ<r b X = X ∈ R 9 á { b!{ |Λ| y t  á {š}acb|xuy € a v½[email protected]Ô Λ; Õ
d
Λ,ω
Zd
Λ,ω
Λ
|Λ|
ΦΛ,ω (X) =
á { b!{
Λ,ω
∗
X
i∈Λ
ψ(xi ) + J
X
V (zi − zj )
{i,j}∩Λ6=∅, i∼j
Ô
x yÔ i∈Λ
X = (x )
z =
y Ô<sui€ ∈/ ΛrK€ut . t
ω
€
Ý
v
ø
Ò
v
s
{~€x t }~t py b|t|{ t|s `,{ }~|yzÍ@á { v Ϩ}a vÒt v {~x t!Ô 01 ,2ªa € x[ ) #D!D ' ) ψ a x V [email protected]!{Gb|{ a Íca
$0 !$#&CD! ) #$,BÉ,{~ Q{ { yzp{ ,2{ºa
È{^ ac V ac|y Ï
9 ÄÝÄN;
kV k < ∞.
u
€
t
€
€
á
á É rKs b t y € Z 
a

a
x
@
a
|
b
{
~
{
y
i ∼ j ȳ{a
j
i
J y t a‘` rKt yÝpyÝÍK{^b|{ a v `[email protected]|[email protected]ȳ{~p{~b 9  á {š} rKs ` v y € ‘} rK€ut  a € ; 5 t|t!s ȳ{n á acZ á { b|{n{œß&y t  t J > 0 t|s } á  á ac Ô<r b a € Ï J y € [0, J ] a € Ï #R€ yz|{ t|s É t {~ Λ
[email protected]Ô Z a € x ω y € R  á {‚y € p{@bpa v½rcÔ {œß&` (−Φ ) rK€ R y t #R€ yÝp{ é€  á y t }a t { xu{ #R€ {
 á {š`ub r É[email protected]Éuy v yÝÂόȳ{a t!s b|{ µ a t~Õ
9 Ä Ê ;
1 {ϧ&`
dµ
(X) =
(−Φ (X))dX,
Z
R {ϧ&`
á { b!{ Z
=
t
r
v
t
€ (X))dX
à–á y È xu{ y xu{ t } b|(−Φ
z
y
%
É
~
{
‘
x
y
/8)bPPKa 9 t { {wa vzt|r )ª{ v PPKa ; à–á {¹`[email protected]!|yÒ} suv [email protected]}a t { á {~b|{
€
t rK€ut
9
ÉCÏ v ‘â_rKNî €u]tŒä\ã½[email protected]ÔØ 9 á t { { Ô rKt v PP [email protected]; Ô ψ(x) = ax
−
bxt a, b >t 0 ;Za x v V (x)t =€ x y } t¨yÒ[email protected]{~Ô b|{ x
z
v
v
€
r
r`ub ,ôÉu{[email protected]Éuwy v yyzÂÏ y ȳÍ@{{ a t!|s yCab|{ pt { µ `,{ }œpsub|a € y Ô<rCab|@È ` v Ï a r Í@x7{ b xuΛ{~}aa Ï € x ω } Ñ b!b|r { b|ac{ |y`ub!{ }~y t { v Ï  Q{ { [email protected]¹Èa y € Ï ‘ r
#R€ xJ r } rK€ut  a €  t C a € x C t!s } á  á a  %Ô<r b a € Ï Λ #R€ yÝp{ t|s É t {~ [email protected]Ô Z ω ∈ Z a € x
a € Ï t È r&r  á Ô<su€ }œpy [email protected]€ut f a € x F, G Q{ á aÍ@{ Õ
i i∈Λ
i
i
i
00
∞
d
0
Zd
d
0
Λ
Λ,ω
ΦΛ,ω
ΦΛ,ω
ΦΛ,ω
Λ,ω
ΦΛ,ω
Λ,ω
4
2
2
ΦΛ,ω
0
Ä
9 ;
EµΦΛ,ω f
2
K Lj
d
2
− EµΦΛ,ω (f ) 6 C
EµΦΛ,ω (F, G) = EµΦΛ,ω
Z
d
k∇f k2 dµΦΛ,ω ,
F − EµΦΛ,ω (F ) G − EµΦΛ,ω (G)
Z
Z
x
k∇F k dµ
k∇Gk dµ
6 C exp(− (S , S ))
,
R
S y t  á { t!s `u` r b! [email protected]Ô F y € Z
á { b!{ k∇f k = P (∂ f ) E
(f ) = f dµ
a € x¦x¨y t  á {šxuy t  a € } {^É,{~ Q{ { €Jt|s É t {~ t‰[email protected]Ô  á { v ac||yÒ}~{ Z é  á a t É%{~{ €t á r € y € )ª{ v [email protected] /8)[email protected] a € x rKt PP  á ac á { € {œÍK{~b  á {G` á a t { ψ
y t } [email protected]€ Í@{œß a šy €$#R€ yzÂÏa € x J y t‰t Èa vÒv { €[email protected] á  á { €  á {‘ȳ{a t|s b!{ t µ t ac|y t!Ô Ï
t|s } á a su€ y Ô<r b!È t `%{~}~pb|a v [email protected]`¦a € x5xu{~}aÏ [email protected]Ô } r b!b|{ v ac|y rK€ut 9 y € { Ö s a v yzÂÏ 9 Ä ;J; 5 t a €u€[email protected]€ } {~x  á {[email protected]È [email protected]Ô  á y t `[email protected]`,{ b y t  r `ub|{ t { € Q{œßÌ[email protected]ȳ` v { t [email protected]Ô%€urK€&ø } rK€ ÍK{®ß³` á a t { t
t|s } á  á acš á { su€ y Ô<r b|È t `,{ }~|bpa v [email protected]` t |y vzv á rKv x à–á {Ȍ[email protected] €  [email protected]Ô  á {Œ} rK€ut pb s }~py rK€
y t  á {³È{œ á r x xu{~Í@{ vÒr `%{~x ÉCÏ Všæ,öüuüuæ[Ú á yz} á y t `ub!{ t { € p{~xHy €  á { € {œß t { }œpy [email protected]€ é 
0
F
2
i∈Λ
G
i
1/2
2
2
1/2
2
ΦΛ,ω
µΦΛ,ω
ΦΛ,ω
ΦΛ,ω
d
F
d
o
ΦΛ,ω Λ,ω
wy vÒv b|€u{~t x srK€}~{GrK € r  á á { t  s xÌÏ € rcÔQtt!r ȳ{ su€ y Ô<r b|È t €u`,t { }œrcpÔ b|a v Cac``ubt r `,{ bÐÂÏ [email protected]€Ô  Ô<ár {‘` á a t { ψ y €
xu€ yÒȳ{ s v y t € {G ac €uQt {‘rK€;y rKÍK€{ py&Caà–cá |{Gt ÉCÏt Èá { a t|s Vš[email protected]ØÔ_ڞq ã%Û rK} € b!yzp{~b|y bBâ_ä\åõ½ØÚ\
y {~éÂÖ € a á yÝpyÒv { t y t xuyzÈrK{ € y r { rKs y y  € { t!suÉv Î!{ Õ }œ {~}~py $
 { a  { }œpy Q{º`Ìb ÍK{ b–È[email protected] b!{ 
"
! # ϕ - ,Dl! ' % KC#! ) ' ' %Q ) #-./ lKT#jD! ) #%$G!DYD)Y ) ' '
x ∈ R & ϕ (x) > a > 0'& ' g - - ) RKT#"UCJUElKT#jD! ) #($ kgk < ∞'& .#"U ' h - 3
DKC - .D! ) # lKT#jD! ) # ), . !, l% !$# * S = (e − 1) < ∞ Y*) 0# & 03'+J ,KCB µ
UC,+ #jJU3!$# 9 Ä Ê ;.-d!$$0 ψ = ϕ + g + h ), .D!,, + , & KC#! ) ' ' % !$# Λ .#"U ω & , D ' * !$#jJI)KL ' !$D% .#"U+ UCJ.% ) , ) lB ' .D! ) #$d
, ) -.l% J , ' ' ' # ) K * 01Y
à–á { t yÒȳ` v {w} b!yz|{ b|y rK€ rK€ h wy vÒv { a t y v Ï `ub r x s } {n{œßÌ[email protected]ȳ` v { tQÔ<r b á yz} á ψ y tg€ur g} rK€ Í@{œß
acBvÒy v €$#R€ yÝt Âá Ï r a € x €ur ¹á {~Í@{ € € É [email protected]@suÔ € áxu{~x5t [email protected]É r [email protected]Í@€ {^a € x;É,{ vzr 8ÉCϳ r ` r ¹{~b¹ÂÏ`%{ Ô<s̀ }~|y rK€ut a t
wy É%{
wÈ¡ac– {š{ x
 { { }œpy >$
00
∞
|h|
ΦΛ,ω
R
6 4 / */ 1032P
$ # )C >' 1 8)$%' ;
ò {œ sÌt0# b t  b!{ } a vÒv  á {˜xu{ #R€ yz|y rK€¦[email protected]Ô  á { t `%{~}~|bpa v [email protected]` r b Bâ_ä\åõ½ØÚ\y € { Ö s a v yzÂÏ Ô<r b
a³È³{a t!s b|{ [email protected]€ R a € x Ô<r bB á { t {~ [email protected]Ô È³{a t!s b|{ t µ
4 6587"9;:<9=7> @?BA C >'B#L 8)>' ; DC E
ò {~‚a t!t|s ȳ{‘ á acš á {‘È{ a t|s b|{
!
t a`ub r É[email protected]Éuy v yÝÂÏJȳ{a t!s b|{ rK€ R á { b!{ ψ y t a¨b|{ a vÝø Íca vÒs {~x
y
dµ
Ô<su€ }~|=y rK€ {®ßÌ`à–(−ψ(X))dX
|
t
s
á {QÈ{ a b|{ µ t acpy t# { t a t `,{ }~|bpa v [email protected]`ºy € {~Ö s a v yÝÂÏ^y Ô  á {~b|{Q{œß&y t  t aª` rKt yÝpyzÍ@{
} rK€ut  a €  C t|s } á  á a  Ô<r bwa € Ï t È rr  á { €ÌrKs á Ô<su€ }œpy [email protected]€ f : R → R Z
9 Ä >4;
Var (f ) = E f − E (f ) 6 C
k∇f k dµ
á { b!{ k∇f k = P (∂ f ) a € x E (f ) = R f dµ à–á {} rK€ut  a €  C y t  á { t `,{ }œpb|a v [email protected]` } rK€ut  a € ˜a t|t!r }~y ac|{ x  r { yÝ á {~bš á { È{ a t|s b|{
r á Ô<s̀ }~|y rK€ ψ µ bB {
,ô{ t aÏJ á acš á { t {~ [email protected]Ô È{ a t|s b|{ t µ xu{ #u€ { x2ÉÏ 9 Ä Ê ; t a py t # { t a su€ y Ô<r b|È
, ' * !$#jJI)K1 ' !$D% y Ô {ac} á ȳ{a t!s b|{ µ t acpy t# { t a t `,{ }~|bpa v [email protected]`5y € {~Ö s a v yÝÂÏ wyÝ á
a³} rK€ut pa €  C = C y € xu{~`%{ € xu{ €  [email protected]Ô Λ y € Z a € x ω y € R V‚æ[ö&üÌüuæ[Ú8`ub r ÍK{ xUb|{~} { €  v Ï t `,{ }~|bpa v [email protected]`Hy € { Ö s a v yzpyz{ tšÔ<r bº á {;`ub!{ } {~xuy € t `uy €Ht Ï tÐø
p{ È tgr sut y á € ˜at ‚}á b!yzp{~b|y rK€ rKs €  tá { rŒt|rä íXížæ[suå € ò Ô<[email protected] ` v [email protected]} tyÒa € )n{ vv P.PKa Ô<à–r á {ªá Ȍ[email protected] €‘á Ô t {ac s b|{ á [email protected]Ô  á {
[email protected]`u`ub [email protected]} y  ac y݉b!{ x }~{  È{ y b|È `,{ }œpbpa Cac` bw {G` a { ψ  ac Q{
n
ΦΛ,ω Λ,ω
n
ψ
ψ
n
ψ
µψ
2
n
i=1
µψ
i
2
2
2
µψ
µψ
2
ψ
ψ
ψ
ψ
ΦΛ,ω Λ,ω
ΦΛ,ω
d
ΦΛ,ω
Zd
ψ
y€ € ÍKt!{ tt py&Cac|{Gy t € €  á { á € t{®ß t { }œprKy rK€ € á ÉCÏ VšØڞá ã%r Û t y € {~Ö s Ô<r a v yÝpyÒsu{ v t ê r bª á á { t a 0 { [email protected]Ô } r È` v {~ ø
{ r Q{‰`Ìr b|{ 9 t{ B y } b!yz|{ b|y 0  acB€ Q{ ò Q{~Í@{ b–b|{ á b|È r act |{BÍy a^v  t {š×nØ Ù [email protected] ÚÛ rrKì^vÒæ[t ÚÛ
{ xLPCÊ wyz È b!{ yzÈ` { {~Èy&Kb `  ; Γ `,{ b|ac b {~{ /BÞ ÅC /Ba P.>Xa x
@[email protected]? "!
#, , ,KT'+ 01. dµ (X) = / (−ψ(X))dX !, " )- - ! ' !$ %
'+J , KTB ) # R & - 0B ψ !,E C BJ ' + - ' [email protected] lKC#j ! ) #"Y3# L = ∆ − (∇ψ.∇) UC# ) 0!$# + #!$& , !$' ' U.! K ,! ) # * #j. ) -d!$$0[!$#- .l!D.#f'+J ,KTB µ Y ) 0# $0/, '
* !$#jJI)KL ' !$D% !*, JI)KT!$- ' # ) 0 !$#jJI)K1 ' !$ %.(
Z
Z
9 Ä ;
(−f )Lf dµ 6 C
(Lf ) dµ ,
0 ) ' U.!$# * ) .#% , ' ) ) $0ElKC#j ! ) # f Y
,ô{šÉub!yÒ{ ÌÏ;b|{~}a vzv  á {š`ub r&rcÔ t|t|s È{‘ á ac^ á { ȳ{a t!s b|{ µ t acpy t# { t 9 Ä ; Ɖ{ €ur |{ÉCÏ (P )  á { t {~Èy&Kb [email protected] `
J á5
wyz K{ € {~bpac r b L ê r bQa € Ï t È r&r  á Ô<su€ }~py rK€ f Q{ á aÍ@{ P f = f a € x P = R f dµ t|r  á ac
2
n
ψ
2
ψ
ψ
2
ψ
ψ
ψ
t t>0
∞
0
ò {œ
ZZ
Z ∞Z
∞
Ptf LPtf dtdµψ = −2
Varµψ (f ) = −2
0
0
R
F (t) = − Ptf LPtf dµψ t > 0
Z
0
F (t) = −2 (LPtf )2 dµψ .
Ptf LPtf dµψ dt.
Âé € p { Kbpa py [email protected]€ ÉCÏ5`Racb! twt á r t  á ac
à–á { € ÉCÏ 9 Ä ..; F (t) 6 −(2/C )F (t) t!r  á ca 
)ª{ € } { 0
ψ
ψ
Varµψ (f ) 6 Cψ
Z
F (t) 6 e
− C2 t
ψ
F (0)
Ô<r b {œÍK{~b!Ï
t>0
k∇f k2 dµψ .
€  á { r  á {~b á a € x ÉCÏ5y € Í[email protected]!y a € } {^a € x¦ á { ë ؽçõ=]½Û lg,õ=] ØÚ ˜y € {~Ö s a v yÝÂÏ Z
−f Lf dµψ
Z
= (f − Eµψ (f ))(−Lf )dµψ
6 Varµψ (f )
1/2
Z
2
(Lf ) dµψ
1/2
.
à–á { b!{ Ô<r b!{y € { Ö s a v yzÂÏ 9 Ä; Ô<[email protected]ÒvÒr t‰Ô b r È  á { t `,{ }œpbpa v [email protected]` y € { Ö s a v yzÂÏ+wyz á  á { t [email protected]ȳ{
} rK€ut  a €  C à–á {š`ub r&rcÔ [email protected]Ô  á {š á { r b|{ Ⱦy t } r È` v {~|{ I
ψ
v Ïy € à–á { r b!{ È Ä Ê Ê t á r t  á a –a t `%{~}~pb|a v [email protected]`;y € {~Ö s a v yÝÂÏ Ô<r bQ á { t {~ [email protected]Ô È³{a ø
‰
u
`
`
t|s t
rKsu€ t r t v t á:9 su€ Ô<r v € € r XÔ<r
€
t È b!r&{ r  (µá Ô<su€ }~)|y [email protected]€È f y € p{  Kbpac{ |y [email protected]@€ É Éy Ï `[email protected]Äb! t ; a vÒvzr y t–b!ÈsÌt Ï r y wΛb|yz|{a  x á a ω b‚a KyzÍ@{
!
Z
Z
X
X
9 Ä < ;
(∂ f ) +
∂ f (∂ Φ ) ∂ f dµ
(Lf ) dµ
=
5
ΦΛ,ω
2
i,j
ΦΛ,ω
2
i
i,j∈Λ
>
Z X
i∈Λ
á { b!{

(∂i,i f )2 + (∂i f )2 {ψ 00 (xi ) +
+
Z
X
X
j∈N (i)
JV 00 (xi − zj )} dµΦΛ,ω
ê r b–a € Ï i y € Λ |N (i)| = 2d ut!r
∂i f ∂j f 6 2d
X
(∂i f )2 .
i∈Λ
00
00
i
j
i
j
00
i,j∈Λ,i∼j
i∈Λ
ΦΛ,ω
−JV 00 (xi − xj )∂i f ∂j f dµΦΛ,ω ,
i,j∈Λ,i∼j
(Lf )2 dµΦΛ,ω >
j
i,j∈Λ,i∼j
N (i) = {j ∈ Zd ; j ∼ i}
X
XZ
Λ,ω

à–á {º} rK€ xuyÝpy rK€ 9 ÄÝÄN; rK€ V { a t y v Ï t á r t  á ac
X
9 Ä O;
−JV (x − x )∂ f ∂ f > −2dkV
à–á { b!{ Ô<r b!{ 9 Ä < ; á [email protected] x t a twt!r&rK€ a t
Z
i,j
i,j∈Λ

(∂i,i f )2 + (∂i f )2 (ψ 00 (xi ) +
k∞ J
X
X
(∂i f )2 .
i∈Λ
j∈N (i)
JV 00 (xi − zj )) dµΦΛ,ω
Ä Å
+
−2dJkV k
(∂ f ) dµ
.
ê r b˜{ac} á i y €  á { t ~{  Λ xu{ €ur p{ŒÉÏ µ  á { } [email protected]€ xuyz|y rK€ a v È{ a t|s b!{ rK€
à–á {~b|{ Ô<r b|{ µ y t a‘È{ a t|s b|{ rK€  á {šb!{a vXv y € {^a € x
{(x ), j ∈ Λ, j 6= i} {œß&` (−ψ(x ) − P JV (x − z ))
9 ;
X
00
i∈Λ
i
2
ΦΛ,ω
(i)
ΦΛ,ω
µΦΛ,ω
KyzÍ@{ €
(i)
ΦΛ,ω
j
i
(i)
µΦΛ,ω (dxi ) =
∞
Z

á { b!{ Z = R {œß&` (−ψ(x )−P
[email protected]Ô  á {^Í[email protected]|yÒ[email protected]É v { t (x ) a € x ω ∈ Z (i)
ΦΛ,ω
i
j j6=i
j∈N (i)
d
j∈N (i)
(i)
ZΦΛ,ω
JV (xi −zj ))dxi
i
j
dxi ,
à–á {¹È³{a t!s b|{
(i)
µΦΛ,ω
xu{~`%{ € x t
q&s `u` rKt { €ur ) á ac¹a vzv  á {‰È³{a t|s b!{ t µ i ∈ Λ &t acpy t!Ô Ïa t `%{~}~|bpa v [email protected]` y € { Ö s a v yzÂÏ
9 Ü q eUa tXsu€ y Ô<r b|È t `,{ }œpbpa v [email protected]`@;%y € xu{~`%{ € xu{ €  Ô b r È  á {_Í@acb|y acÉ v { t
wyz á aB} rK€ut pa €  C
€ Ôr á t
(ω, (x )
) a x b È  { yz|{ i à–á {š{ Ö s yzÍca v { € }~{š`ub r ÍyÒxu{~x¨ÉCÏ à–á { r b|{~馀 Ê. ÊG á { € y € xuyÒ} acp{ t  á ac Ô<r b–{œÍK{~b!Ï i ∈ Λ (i)
ΦΛ,ω
U SG
j j∈Λ,j6=i
Z

(∂i,i f )2 + (∂i f )2 (ψ 00 (xi ) +
5
Ô p{~bwy € p{ Kbpac|y rK€ a Òv v  á {
Z X
i∈Λ
Ä
9 P ;
X
j∈N (i)

Z
1
>

(∂i,i f )2 + (∂i f )2 (ψ 00 (xi ) +
X
j∈N (i)

JV 00 (xi − zj )) dµΦΛ,ω
>
1
CU SG
Z X
é n á { €5Ô<rKvzvÒr ¹t Ô b r È 9 Ä Å ;Ba € x 9 Ä P ;Q á a  9 Ä < ;¹É,{ }acÈ{
Z
2
(Lf ) dµΦΛ,ω >
t 2a } rK€ut { Ö s { € } { #R€ { x ÉÏ Ä Ê.ÝÄ+wyÝ á a
(i)
(∂i f )2 dµΦΛ,ω .
€a x |t s ³È Èacpy rK€;rKC€ i ∈ Λ ¹{ R# € x Õ
U SG
(xj )j6=i
(i)
JV 00 (xi − zj )) dµΦΛ,ω
1
00
− 2dJkV k∞
Z
(∂i f )2 dµΦΛ,ω .
i∈Λ
k∇f k2 dµΦΛ,ω .
 á {JÈ{ a t|s b|{ µ t ac|y t# { t  á { t `%{~}~pb|a v [email protected]`y € { Ö s a v yzÂÏ xu{ ø
} rK€Ìt  a € t– t!yr&€ [email protected]̀ { `,{t € xRa €  [email protected]Ô Λ ⊂ Z a € x ω ∈ R {~Ö s a v  r
a 1 − C 2dJkV k > 0 C
/(1 − C
2dJkV k ) a
à–á {‘ÈŒacy € ` r y € ‰y €  á y t [email protected] s ȳ{ € ^y t  á { su€ y Ô<r b|ȳyzÂÏ [email protected]Ô  á { t `,{ }~|bpa v [email protected]`y € { Ö s a v#ø
yzpyz{#Rtw€ Ô<r bªrK€  á {˜È³{a t|s b!{ t µ [email protected]€ R ,ô{˜{ ȳ` á a t y {‚ á y t `Ìb r `,{ bÐÂÏ wyÝ á  á { Ô<rKvzvÒr wy €
xu{ yzpy 5
U SG
U SG
CU SG
ΦΛ,ω
Zd
d
00
∞
U SG
00
∞
(i)
ΦΛ,ω
4
6587"9;:<9=7> @?
A
*,89 #
)C >' #L 8$)>'
A
* C C
ò {œ³xu{ #R€ { θ = (θ ) a € x N (0) = {j ∈ Z ; j ∼ 0} Ɖ{ €ur p{5ÉCÏ
`ub r É[email protected]Éuy v yzÂÏÈ{ a t|s b|{ rK€ R xu{ #R€ { x¨ÉCÏ
9 ÄÝÄË ;
1 {ϧ&`
dµ (x) =
(−ψ (x)) dx,
d
i i∈N (0)
ψθ
Zψθ
θ
µ ψθ
á {
á { b!{ ψ (x) = ψ(x) + P JV (x − θ ) a € x Z = R {®ß&` (−ψ (x)) dx +,ô{ t aÏ
 á acªt  á {‚t # ` á t a t { t ψ t a py t v# { t a su€ € y Ô<r s b|È v t `,{ }~|bpá a v [email protected]@`€uyt € {~ր s a v yÝÂÏ 9 Ü € q e ;–y Ô €  á {º€ È[email protected]{ Ô a t|s b|€ {
ac|y { a `,{ }~|bpa [email protected]`ôy {~Ö a yÝÂÏwyz a} pa  C y xÌ{ `,{ xu{  θ y
µ
R
5Bº á { v y á  [email protected]Ô  á y t xu{ #R€ yzpy rK€ Ä Ê.¦a € x  á {³`ub!{ } {~xuy € [email protected] s ȳ{ €  Q{ŒÈaÏ t  a p{
V‚æ[ö&üÌüuæ[Ú t b|{ t|suv ªy €  á { Ô<rKvzvÒr wy € BaÏ 9 t { { ò {~xRËKË@É $; @?E "!
# ψ - J ' + - ' KJUlKT#jD! ) # ) # R ,[email protected] 01. ψ ,). !,,+ ,A 0
) #"U.!$ ! ) # $ R ' ) *$0+UC,+ #!$ ! ) # YCY4Y ) 0# $0B /!, , J ,K0 01. ) -.l%
), . !,, + , , ' * !$#jJI)K1 ' !$ % -d!$$0
J ∈ [0, J ] & 0 2, ) E'+J , KC , (µ
)
θ
i
i∈N (0)
θ
θ
ψθ
|N (0)|
U SG
0
0
ΦΛ,ω Λ,ω
CΦΛ,ω 6
*
CU SG
.
1 − CU SG 2dJkV 00 k∞
(, ) A 0 !$#jJI)K1 ' !$ %+U ) ,k# ) UC #"U ) Λ ⊂ Z & .#"U ω ∈ R Y
,8yz á  á { t [email protected]ȳ{ È{œ á r x Q{Œa vzt|r K{œ‚ á { } r b!b|{ t ` rK€ xuy € ¨xÌ{ }aÏ [email protected]Ô } r b|b|{ v ac|y rK€Ìt a t
y € )n{ v PPKa @?E "
! # ψ - J ' + - ' KJUlKT#jD! ) # ) # R ,[email protected] 01. ψ ,). !,,+ ,A 0
) #"U.!$ ! ) #*$ R ' ) 0 UC,+ #!$D! ) # YCY4Y ) 0# $0 /!, , J .#"U ) #$, .# C
, [email protected] $01." ) ,-.l% J ∈ [0, J ] & 0 ,2 ) E'+J ,KCB , (µ ) ,).D!,,+ ,)(
0kl! 0C 01.#"U !DUC
)
Zd
d
0
0
0
EµΦΛ,ω (F, G) 6 C exp(−d(SF , SG ))
)
, ))
0
ΦΛ,ω Λ,ω
Z
2
k∇F k dµΦΛ,ω
1/2 Z
2
k∇Gk dµΦΛ,ω
1/2
,
) $,
) 0 ) #$, .# C ) # ' %UC #"U , ) # C
, J, d
é€ á
suv t á
9
€
@?E
€y p{~b|È [email protected]Ô a t y € "v! { rK€ { ø  xuyz{ È`R{ [email protected]€ubÐt py yzrK} € a [email protected] b%`R} [email protected] b|[email protected]{È {œp{~{~b b|{ θV a (x)€ x =9 Ü xq e ;_Ä[email protected]ÝÈ ÄË [email protected];%su} € a  t É% r {Zb!a { su`R€acbpy Ô<[email protected] ȳb|È {~|b|y ~{ x
t `,{ }~|bpa v Cac` Ô<r bB á { t {œ [email protected]Ô È³{a t|s b!{ t (µ ) xu{ #R€ {~xÉCÏ
9 ÄÝÄKÄN;
1 {®ß&`
dµ (x) =
(−ψ (x))dx.
Z
á { b!{ ψ (x) = ψ(x) + θx 5 € ac s b|a v Ö s { t py rK€ y t  á sut  r a 1t 0 á { €  á {³} rK€ xuyÝpy rK€ 9 Ü q e ;‰y tšt ac|y t# { x q yzÈ ø
` t v {[email protected]" s È{ €  t˜t á r Àá  á a  9 Ü q e ; á Ô<rKr v x t t!r á { € ψ y tºt pb!€yÒ}~ v Ï } rK€ ÍK{œß acºy €$9 t #u€ yzÂÏ rK t á ac
y € ψ = ϕý + g wà–yz á t ϕ t (x)á >v at!t b v á È{ t a >á 0 rKa s x €kgkt < ∞ € {~{á P.€ P
a rK€ x 5 /s [email protected]€uËKtªË [email protected]; €J t y y v  {;} €a yÒvz} r a ` áa {;É%{ q&r aÍ&rKy v b‘€y Í@{ s pyv Kacp{~t–xHÔ<r y su € { rKsÌb|{~€ } { 
} pb!yÒÉ py
`,{ }œpbpa [email protected]`Ja x [email protected]!yz Èyz} É {œÍ5y {~Ö a yÝpyz{ b É xu{ x
. #% '
$0dlKT#jD! # F, G & Λ .#"U ω Y
.#"U kV 00 k Y
∞
0
U SG
2
ψθ
ψθ
θ
ψθ
θ
a
+
00
a
∞
t `uy €t Ï t |{ È t ÉCÏ æ"c_Øڞö&ä\åîVÙ_ä { P< ‘â_îN]ä\ã½Ø rKt PP V‚æ[öüuüuæ[Ú )n{ v PPKa Za € x
תâ_à–ã á ä\åæR9ØXç q lVšæ[ö&Ô<r üuüÌæ,Ú /8€ )bPá PKa t /8)PPcÉ s t
c
a

Ü
e ; b a KyzÍ@{ ` a { ψ ȌaςÉ,{BÖ yz|{Bb|{ pb!yÒ}œpyzÍ@{¹y t_t á r € ÉCϺ á {B{®ßuacÈ` v {
[email protected]Ô ψ(x) = |x| wyz á t|r È{ s y € [1, 2[  á ac_y t0€ur €  r^t acpy t!Ô Ï˜a t `,{ }œpbpa v Cac`‘y € {~Ö s a v yÝÂÏ
9 t {~{ 5 / ý Ë@Ë $;ZÉ s g á ac¹x r { tQ€ur  t acpy t!Ô Ï³a s̀ y Ô<r b!È t `,{ }œpb|a v [email protected]`Œy €  á { t { €ut { [email protected]Ô  á {
`ub|{~} { xÌy € ³xu{ #u€ yz|y rK€ a t–t á r € ÉCÏ; á { € {®ßª`Ìb r ` rKt yÝpy rK€ 9;:<9=7%@?E D
! # ψ - +J ' + - ' KJU lKC#j ! ) # ) # R ,K0 $01.
s
+
ψ 0 (R) = R and
lim ψ 00 (x) = 0.
)
) ' , , )
,
' ) )
, '*
, ) , ) , ,
t t# t á á r á t t‚[email protected]Ô¹Ó r rKt ø
à–á Ô<su€ rK€
@?E
rpy @€ Ä Ê OJa € x Ô<"r !b‘a € Ï { θ  á { }~b!|{;y y t aψ(x)
t `,{ }œ=pb||x|
va [email protected]`Hacpyy € { {Ö s a  v yz{ÂÏ Ï)` r  ¹{œ{ ÍK{{ b³ÉCÏô áb { ` v a t y 
`ub r ` rK€ t yzpyá rK€ yÝQx r { t t¹€ur  t acp€ y t!Ô Ï‘ áv {‰} [email protected]€ xuyz|y rK€ 9 Ü q e ; à–á y t } a t {ªy t pb|{ acp{~xŒÉCÏ V‚æ[ö&ü üuæ[Ú2y  {‚Þ_ß&{~b|} y { <$ $ > y )ª{ PPcÉ t|t|s È{³ á ac‚ á {ŒÈ³{a t!s b|{ µ t ac|y t# { t  á {Œ} rK€ xuyÝpy rK€ 9 Ü q e ; /QÏ à–á { r b|{~È
J ,2 { á a
t t rK€ut €
t!s á á ,Ô<r €
€ € t rr á
Ô<Äsu ʀ }~Ê |y rK € {~fb|{Gw{®yzß& áy  } r aŒÈ³`R} [email protected]}~  t!a s `u ` Cr bÐ Q>{ á 0aÍ@{ Õ}  ac b a Ï θ ∈ R a x a Ï È 
)
|x|→∞
0# $0b01 2 ψ (x) = ψ(x) + θx & CU ,+ #j # $ Y '& K U ).D! l% ,.#% θ $! # R
!$#jJI)θ1K !$ % KC $0h01 2 ψ U k# ). ! l% 0* #"U.!$D! #B$ R ' Y
s
ψθ
U SG
Z
02
f dµψθ 6 CU SG
Z 2
2
f 00 + f 0 ψ 00 dµψθ .
à–á { á Ï ` r  á { t { tŒrK€ ψ y €ut|s b!{¦ á {¦{œß&y t p{ € } { rcÔ α t|s } á  á ac ψ (α ) + θ = 0 a € x
à–á { ¦€ Ô<r nb a € Ï y ÉÏ QØÛZöâ_Ú tQÔ<r b|È sÌv a rK€ R  á { b!{º{®ßÌy t  t u ∈
lim t!s á |α á | = ∞ ]0, 1[ }  ac
θ
|θ|→∞
θ
QÏ5a‘} á a € @{ @r Ô cÍ [email protected]|yÒ[email protected]É v { t
/
2
y2
f 0 (y) e− 2 ψ
00 (α
y 2 00
ψ (αθ + uy,θ y).
2
θ +uy,θ y)
6 CU SG
dy
Z y2 00
2
2 00
00
0
f (y) + f (y) ψ (y + αθ ) e− 2 ψ (αθ +uy,θ y) dy.
QÏ  á ‚{ x r Èy € ac|{ x5} rK€ Í@{ b"@{ € }~{º á { r b!{ È´a t
/
θ
y,θ
ψ(y + αθ ) + θy = ψ(αθ ) +
Z
0
θ→∞
"
Z
02
Z
2
f 00 dx.
r á tš€ur¨t v € s v Ô<r á ð
t|s rK€
à–á ) { b!{ ¹Ô<r {œb!ÍK{‚{~b  á  {š` { b!á {³a t y { ψ x r `%{ {~tn}~€Ì|bpr a  t [email protected]|`y tÐÔ y Ï {  Öá {ša } rKyz€ Ï xuyÝpy b^[email protected]€  9 { Ü q æe ; æ[ îNIcZçæ2ȳ{a b!{ R Ó b r ` rKt yÝpy [email protected]€ Ä Ê OBxu{ a vÒt y € `Racb!pyz} suv [email protected] wyÝ á  á { }a t { |x| Ô<r b 1 < s < 2 €  á { r  á { b
á a € x rK€ {G} a € {a t y v Ï t { {G á ac ψ (x) = |x| + θx t acpy t# { t a t `,{ }œpbpa v [email protected]`y € { Ö s a v yzÂÏ
wyz á } [email protected]€ut pa € ªy € xu{~`%{ € xRa €  [email protected]Ô θ 9 a € x t|r a su€ y Ô<r b|È t `%{~}~|bpa v [email protected]`; à r } r È` v {~|{  á y t
t {~!py € RrKs b € {®ßªb!{ t!suv nxu{ a vÒt wyz á  á {‚É%{ á aÍy rKs b rcÔ  á { t `%{~}~pa v [email protected]`5} rK€Ìt  a €  [email protected]Ô ψ
€ x s > 2 Ñ r b|{G`ub!{ }~y t|v Ï Q{ á aÍ@{ 9 Q{ r ÈyÝw á {
9 xu{ #R€ {‘y € ÄzÄ@NÄ ;-wyÝ á
a
ψ(x)
=
|x|
`ub [email protected]Ô ; Õ
9;:<9=7%@?E D
! # ψ - +J ' + - ' KJU lKC#j ! ) # ) # R , K0 $01.
f dx 6 CU SG
s
2
θ
θ
s
lim ψ 00 (x) = ∞.
,
|x|→∞
) 0# $0*'+J KCB µ UC,+ j
# JU !$# $ Y ψ
.#"U+ 0, # .# C θ). ! l.% (
) $,
ψθ
, ,
'
,). !, l% ) ,.#%
θ , 1C ' * '
!$#jJI)K1 !$D%
lim Cψθ = 0.
|θ|→∞
à–á { r b!{ È Ä Ê. >2b|{~x s } { t  á {¨Ö s { t py [email protected]€[email protected]Ԛt `,{ }œpb|a v [email protected]` Ô<r b Ô [email protected]ȳy v yz{ t (µ )  r  á {
9 Ü q e ;º`Ìb r `,{ bÐÂÏ [email protected]Ô ab!{a v#ø Íca vzs { x2` á a t { ,2{ €ur y € ÍK{ t py&Cac|{Œ á y t } rK€ xuyÝpy [email protected]€ ÉCÏ
È{ a €[email protected]Ô V^Ø Úžã%Û ÂÏ`%{‚y € {~Ö s a v yÝpyz{ t ψ
Λ,ω
6 6 4 6
0
= 8)>' ; )2>8$ 1_9' D 89
à–á y tQt { }œpy rK€ y € |b r x s } { t  á { €ur py [email protected]€[email protected]Ô VšØڞã%ÛôÂÏ`,{ y € {~Ö s a v yÝpyz{ t á yz} á wy vzv É,{ [email protected] b
ÉRa òt yz}^ rrKv €  r `ub r ÍK{ rKs r bwÈr [email protected] € b!{ v t|sÌv  9(à–á t!{s r b!{t‰È rK€ Ä > ÝĂÉ,{ vzr bt|; t| s
r É t|[email protected]Òs |{ v Ï
r} K€ p{œy €suµrKsua t x wνyÝ á É%{^b|{  t `%{~}~`u b  r¨É[email protected]ð Éuæ y yÝÂæ[όîNcZȳç{æa t b|ȳ{ {a t!s b|R{ rK € ,2R{ºa a € xJÈyz{  t ν xÌ { €utÉ,yz{‚ÂÏ [email protected]ν/dx
r

É%{ t |b|yÒ}œ v Ï ` rK9 tt yz|yzÍK{à r é€ Ä P OK Ê óôçõXÙ æ,å9 t ]â_ç à Rí v K{ € {~bp€ a v y ~{ x b|{ t!suv  tºrK€2rcÔ t|rV^Ø Úžã%t Û/a € # x
Ô<‚âsu€ }~ì |Øy rKîV€ æ[a ö&v öy ä € { Ö { s { a v yzpyz{ 3È t g<€ÌP r ; ¾QØ}a vzö&v {~æ[x:åžížVšä ØÚ{~ã%{ Û ÂÏa `%<{5P y ;š€ {a Ö s x a vZ˜yz|Ú&yÒ{ ížt â_ öà–Ø á {œÏ Q{ȳb!{{ € `,[email protected]{ È} y{ v Ï }
y € p{~b|{ t p{~xy € } rK€ pb [email protected]Òv y € ˜ á {^É%{ t ª} rK€Ìt  a €  A t|s } á  á ac
+
9
+
ÄÝÄVÊ;
Z
∞
0
Z
x
f (t) dt
0
2
dµ(x) 6 A
Z
∞
f 2 (x) dν(x)
0
Ô<r ba vzv } [email protected]€ |y €surKsÌtJÔ<su€ }~|y rK€ÌtÔ<r b á yz} á  á {H`ub!{ }~{ xuy € 8y € p{ Kbpa vzt [email protected]!{ Q{ vÒv#ø xu{ #R€ {~x VšØÚã%Û CaÍK{ºa³b!{ t!suv  Ô<r b– á y t y € {~Ö s a v yÝÂÏ wyz á dµ(x) = x dx a € x dν(x) = x dx ‚â ì Ø îVæ[ö&öä QØöæ,垀 ížäša € x ZGÚ&ížâ öØ `ub r ÍK{ x €  á [email protected]{ Ô y € {~Ö s a v yÝÂÏ Ô<r b K{ €t { b|a v € È{ a t|t|sus v b|{t
a x € á =€ V (x)dx
{ óôçõXÙ_æ[å]â ç Rí È[email protected] b|{ 
dµ(x)
Ñ s 2} OKÊ =Xy Ut–t|s(x)dx
ȳÈ[email protected]|y { x5dν(x)
y  { {œß t pacp{~È{ €  "
! ) 0* ) #$, G.# A UC,+ #jJU - % 9 ÄÝÄVÊ;E!, + #!$& ! k.#"U ) # ' % ! 2b
2
2b+2
2
B = sup
, ,
x>0
.#"U+!$# 0C! *J 2
Z
∞
dµ(x)
x
Z
x
0
dν
dx
−1
dx < ∞ ,
&
B 6 A 6 4B .
é€ Ñ t v tá t v € 0
€ á
€ s v t €
á { t `,{ }œyÒp} b|P.a Pv [email protected]óô`5ä\yõX€ ö{~â Ö s { a v  yÝ[email protected]É { t y , { á ay v { y á { BÉ%a{œt ¹} {~rK{ € } {~ b € { {~x VšØwڞyz ã%á Û á ÂÏ{š`%}{˜a t y { {[email protected]Ö Ô `Ìa b r yÝpÉRyÒ{acÉuy a v yzÂxÏ
È{ ò a t|s b!sÌ{ t tn# rK€ t Z ¹{‚Éu0 b|yz{uá ό`ub|Ô { t { €  á { b!{^R á {š} r b|b|{ t ` € rK€ xuy € b|{ t|9 suvá  twrK€  á {švzb!v_{at|s vXv y € rK{t Ô b r È {œ €Ìr b; b  á˜{ b|€ { È á [email protected]{šb `ub| {œÍa y ˜rKsuy t Fy € (x)
s{ Ö a =v yzÂÏ 9 fÄ(t)ÝÄVÊdt;QÉ,{a } r x ȵ{ t = ν  ac ¹{ wy `Ì` {
x
0
Z
∞
2
(F (x) − F (0)) dµ(x) 6 A
Z
∞
2
F 0 (x) dµ(x) .
à–á y tgv ac!p{~bgy € { Ö s a v yzÂϘy t bpac á { b } vÒrKt {n r a t `,{ }~|bpa v Cac`Œy € { Ö s a v yzÂÏ Ô<r bg á {ª`Ìb r ÉRacÉuy v yzÂÏ
È{ a t|s b!{ µ Ñ r b!{‚`Ìb|{ }~y t { v Ï yz–y t ¹{ vÒv 0€ur €  á ac Ô<r b–{œÍK{~b!Ï m ∈ R 0
Varµ (F ) 6
Z
0
(F (x) − F (m))2 dµ(x) .
Âé € r b|xÌ{ bš r ac`u` v Ï à–á { r b!{ È Ä.zÄ Q{ € {~{ x  r } s ‚ á {Œb|{ a v v y € { y €  r  r `[email protected]! t 9  r
b|{ x s v } { R  r R ; ,2{˜xu{ €ur |{GÉCÏ A a € x A  á {˜É,{ t  } rK€ut  a €  t t ac|y tÐÔ Ï&y € Œb!{ t `%{~} ø
pyzÍ@{ Ï
Z
Z
+
R
+
m
−
m
∞
a€x
m
Z
∞
m
2
(F (x) − F (m)) dµ(x) 6
A−
m
2
F 0 (x) dµ(x)
(F (x) − F (m))2 dµ(x) 6 A+
m
m
Z
m
2
F 0 (x) dµ(x) ,
Ô<r bwa vÒv C Ô<su€ }~|y rK€Ìt F B/QÏ5a t yÒȳ` v { } á a € K{ [email protected]Ô Í[email protected]|yÒ[email protected]É v { t  á {~Ï;[email protected]|{š} [email protected]€ |b rKvzv {~x;ÉÏ
a € x B 6 A 6 4B ,
B 6 A 6 4B
1
−∞
+
m
+
m
+
m
−
m
−∞
−
m
−
m
"
á { b!{
9 ÄÝÄ ;
K Pj
−1
dµ
= sup
dµ(t)
dt
dt
x>m x
m
Z m −1
Z x
KPj
dµ
−
dµ(t)
dt .
Bm = sup
dt
x6m −∞
x
+
Bm
Z
∞
Z
x
a€x
,ô{šÈaÏ t|s ȳȌacb|y ~{‰ á { t { r É t { bÐÍcacpy rK€ut y €  á { Ô<[email protected]ÒvÒr wy € ˜`ub r ` rKt yÝpy [email protected]€ 9;:<9=7% @? D
! ) -.l% m ∈ R& $0 - , ) #$, .# C !$# $0 , D ' * !$#jJI)KL ' !$D% ) µ !, , [email protected] $01.
+
−
C 6 4(Bm
∨ Bm
).
á y v {‚ á { v a |p{~bªÉ rKsu€ x á rKv x tªÔ<r bª{~Í@{ b!Ï m ∈ R ¹{ K{~ aŒÈ r b|{‚`ub|{~} y t {G} [email protected]€ |b rKv y Ô
t
È { xuyÒa €;Ô<r b µ m y a‘³
9;:<9=7% D
! # m - + '+JU.!D.# ) µ Y ) 0# µ ,).D!,,+ ,+, ' * !$#jJI)KL ' !$D% ! .#"U ) # ' %*! B ∨ B !, + #!$& & .#"U !$# $0C!,,J ,2 & $0 - , ) #$, .# C !$#
0 , D ' * !$#jJI)KL ' !$D%H ) µ !, ,K0 01.
,
+
m
−
m
1 +
−
+
−
(Bm ∨ Bm
) 6 C 6 4(Bm
∨ Bm
).
2
2{ € {~{ x Kr €uv Ï ê `ur b r ÍK{š€  á { vzr Q { bwÉ rKsu€€ x #R € 5 t!t|s t|ȳs {šá  á acá  B
–b a Ï > 0 Q{š}a x f }  a 
J ,
+
−
+
Bm
∨ Bm
= Bm
Z ∞ Z
x
f (t) dt
2
dµ(x) >
(A+
m
− )
Z
+
m
−
∨ Bm
y t #R€ yÝp{‚a € x5 á ac
∞
f 2 (x) dµ(x) .
,8yz á rKs  vÒ[email protected]|t–[email protected]Ô K{ € { bpa v yzÂÏ Q{º} a € a |t t!s È {š á ac f y –t €[email protected]€¨€ { Cac|yzÍK{ r xu{ #u€ {
Ô x6m,
y
0R
F (x) =
yÔ x>m.
f (t) dt
5 t m y t aȳ{ xuyÒa €[email protected]Ô µ µ(F = 0) > µ(x 6 m) > ê b r È  á { ë ؽçõ=]½Û lg,õ=] ØÚ
y € {~Ö s a v yÝÂÏ Q{/K{~w á { b|{ Ô<r b|{^ á ac
m
m
m
x
m
1
2
1
µ(F )2 6 µ(F 2 )µ(F > 0) 6 µ(F 2 ) .
2
ª{ € } {
)
1
µ(F 2 )
2
Z ∞
1 +
2
(Am − )
>
F 0 (x) dµ(x)
2
Zm∞
1 +
2
>
(Bm − )
F 0 (x) dµ(x)
2
−∞
1
1 +
(Bm − ) Varµ (F ) ,
>
2
C
>0
Varµ (F ) = µ(F 2 ) − µ(F )2 >
Ô b r È á Òy } á  á {šb|{ t|suv  Ô<rKvÒvzr tBt y € } {
r a |t t!s ³
á ac B = ∞ ê rKvzvÒr wy €
È
{

t|s } á  á ac
f
y t t @a b!Éuyz|[email protected] bÐÏ á
|{ `¦ÉÏ p{~`¦ {^`ub!{~Íy rKsÌt [email protected]" s È { €  wyÝ á
+
m
n
Z
∞
Z
x
fn (t) dt
2
dµ(x) > n
Z
∞
fn2 (x) dµ(x)
Ô<r b n v [email protected]"@{Q{ €urKs á ¹{–} rK€ } vÒs xu{ t yzÈy v [email protected] v ω á ac C = ∞ à–á {B`ub r&[email protected]Ô[rcÔ  á {B`Ìb r ` rKt yzpy rK€
y t } r È` v {~|{ I
m
m
m
Âé €  á { Ô<rKvÒvzr wy € Q{ xu{ t }~b|yÒÉ,{ wyÝ á  á {ª`ub|{~} { xÌy € ‘b!{ t|sÌv  tQt|r ȳ{n`%{~b! s b|ÉRac|y rK€ `ub r ` ø
{ b!|yÒ{ t|t s ý¹rK€ut yÒxu{~b¹a Ô<su€ }œpy rK€ h : R → R e^t yzÍ@{ € aš` á a t { ϕ Q{nÈ r xuy Ô Ïº á {ª`ub r É[email protected]Éuy v yzÂÏ
È{ a b!{ dµ (x) = Z exp (−ϕ(x))dx a
9 ÄÝÄ >4;
exp (−ϕ(x) − h(x))dx .
dµ (x) = Z
t #R€
€ rK€ut
t
s rK€;Ô<su€ rK€
,ô{‚a t!t|s ȳ{^ á ac Z
à–á { Ô<rKvzvÒr wy € ^b!{ t!suv  y KyzÍ@{ t yz|} {rK € hxuyÝ}pya rK€utgÉ%{šrK€ } ϕ a yz€ xux { b!h{ x¨t|r a  á a‘ac`% {~µb! b|ÉRt aca |py y t # { t a }~t p`,y { }œp b|a v
[email protected]`¦y € {~Ö s a v yÝÂÏ é na vzt|r KyÝÍK{ t a €5s `Ì`%{~bnÉ rKsu€ x rK€  á { t `,{ }~|bpa v Cac`¦} rK€ut  a €  "!
, ,KC'+H$01._$0BA/!, m ∈ R .#"U* ) #$, .# K !$#"UC #"UC#
) x , [email protected] $01." ) ' ' x > m&
Z
Z
9 ÄÝÄ ;
.
"
#
U
e
dt 6 Ke
e dt 6 Ke
,
.#"U $0 ) lB , ) #"U.!$# * !$#jJI)KL ' !$D! H
, ) x 6 m Y , , KT'+ lKC$0l' ) B 01. ϕ !, !$# +
J , !$# * ) # [m, ∞) .#"U UCBJ , !$# * ) # (−∞, m] Y , , KC'+ ' , ) $01.
Z
9 ÄÝ2Ä < ;
S =
(e − 1) < ∞ .
−1
ϕ
ϕ
−1
ϕ+h
ϕ+h
ϕ+h
ϕ+h
∞
x
−ϕ(t)
−ϕ(x)
ϕ(t)
x
m
|h|
R
ϕ(x)
"
)- - '
' )
, ) ) ' -
,
- ÄÝÄ , , , %, ' *
*
, '*
0 # & 0" ! $! D% +
' J KC µ
UC,+ #jJU % 9 >4; ).D! ,+ *$0 DJ W!$#
ϕ+h
JI)KL !$D%Y KCl 0l' B & $ 0 7 # G.# C
J.l!$# $! # 0 !$#jJI)KL
ϕ+h
!$ %3! , # JU %
)
- , ) $,
+
'+
Cϕ+h 6 4(K 2 + 2KS + S 2 ) .
ê r Ó r rKt rK€ t á
t ÏÈȳb {~|È b!Ï ¹b {š` Èayz|Ï y b|{ x Äs } ${š Ê  r ¹ { á {‚{ } {³rK€  pb a rK [email protected]Ô
J
r
KyzÍ@{ €  á a 
Z
+
Bm
(ϕ
ϕ(t)+h(t)
m
+ h) = sup
Z
Z
x>m
QÏ
+
−
6 4(Bm
(ϕ + h) ∨ Bm
(ϕ + h)) /
x
x > m Q{‚ÈaÏ:wb|yÝp{
x
e
K Lj
ϕ+h
e
ϕ(t)+h(t)
dt
m
Z
∞
e−ϕ(t)−h(t) dt .
x
∞
e−ϕ(t)−h(t) dt 6
dt
x
Z
Z
Z x
x
ϕ
ϕ h
e +
e e −1
∞
e
−ϕ
+
Z
∞
e
−ϕ
e
−h
−1
ô{šxu{œÍK{ vzr `5 á {šb|y& á  á a € x t yzxu{ us t y € 9 Ä ÝÄ;Ba € x¦È Kr €ur  rK€ yz} yÝÂÏ @r Ô ϕ  r K{~
m
,
Z
x
ϕ(t)+h(t)
m
Keϕ(x)
r
e
e−ϕ(x)
R€ur |{š á ac
m
Z
x
x
.
∞
e−ϕ(t)−h(t) dt 6 Keϕ(x) Ke−ϕ(x) +
x
Z x
h(t)
−h(t)
ϕ(x)
e − 1 dt
e
− 1 dt + e
Ke−ϕ(x)
x
m
Z ∞
Z x
−h(t)
h(t)
−ϕ(x)
ϕ(x)
e
− 1 dt .
e − 1 dt
e
+ e
dt
Z ∞
é Ô<[email protected]ÒvÒr t  á ac <Ô r wb a vzv x > m
− 1 
x
m
|eh − 1| 6 e|h|
Z
Z x
ϕ(t)+h(t)
e
dt
∞
e−ϕ(t)−h(t) dt 6 K 2 + 2KS + S 2 .
à r @{~ á { bwyz á  á w{ } r b!b|{ t ` [email protected]€ xuy € ºb!{ t|sÌv  Ô<r b B (ϕ + h)  á y t } r ȳ` v {œp{ t  á {w`ub [email protected]Ô I
à s b € y € ˜ÉRac} 0  á {ª`Ìb [email protected]Ô [email protected]É r ÍK{ Q{ }a € b|{~` v [email protected]}~{ K y €  á { s `u`,{ b
"
!
É Ô rKs̀ x t [email protected]Ô C €¦ÉÏ[email protected]Ô B (ϕ)0 ∨ B€ (ϕ)vÒv á 9  á yá t Ö sr a á € ptyÝÂÏôt^[email protected] t Ô #Rà–€ á yÝpr{ÉÏ 9 ÄÝÄ; ; € Ñ r b!{ vr ÍK{~€ b yÓ mr rKy t a³[email protected]Ȁ {~xuy a µ { { á `Ìy ;a  { Ï&`  { {
{ b!{ ÈiÄ $ >Œa xact|`ur ` áÏy
b ` yÝpy Ä . ¹{ K{~– ac B (ϕ) ∨ B (ϕ) 6 2C 6 8B (ϕ) ∨ B (ϕ)  ac
m
x
−
m
2
ϕ+h
+
m
ϕ
−
m
+
m
−
m
ϕ
Cϕ+h 6 8Cϕ + 4(2KS + S 2 ) .
+
m
−
m
à–á y t y € {~Ö s a v yÝÂÏ^} v {[email protected] v Ï^xu{ t }~b|yÒÉ,{ t  á {g} rK€ |b|yÒÉ s py rK€˜[email protected]Ô  á {Q`%{~b! s b|ÉRa py [email protected]€ y €  á { t `,{ }œpb|a v
[email protected]`¦} rK€ut  a € 
6 3 8
'% A> )
$ D &) )C >' 1 8)$%' ;
t a v |b { [email protected]ÌÏ È³{ € py rK€ { x2y € q { }œpy [email protected]€ 1 a € x 2  á { 0 {~Ï t  rK€ { [email protected]Ô Všæ,öüuüuæ[Ú t ȳ{~ á r x
y t r  á v { 9 Ü rKq €5e su;‘€ } [email protected]@€ suxu€ yz|y rK€ t 9 t { €5{t Ɖt { #u€ yz|t y rKr€ Ä t Ê.; v é Œra vÒvzvr t³rKs̀ t  á r b|{~x s v}~v {¨€  á {¨y € yz|y a vÒvv
`ub É { È
É xu{~x `Ìy Ï |{ È  a yÒȳ` {ª`ub É {~È  {‚b!{a y {,2{ wy
 á { 退 É,á {‚tª[email protected]É t v {  r [email protected]€ [email protected] `u` v Ï # à–t á { r b|{~È t € Ä. €> t v t á á € t!suv [email protected]Ô á t
 y { }œpy Q{ b ‰`ub|{ { ^a xJ{  acÉ y  {ºÈŒ[email protected] b!{   y `[email protected]`,{ b -,2{
suá t|{s € v xuy vt } t|sutwt|t [email protected]Ô á á Ï;t á t { € rK#{ € /} v a t|[email protected]€$Ô #u` € á a t { t ψ = ϕ + g + h y t–t |b|yÒ}œ v Ï Éuy&K{ bB á a €  á {
a } a ` a { } ÍK{®ßacwy yzÂÏ
"
! # ϕ - , Dl! ' % KC#! ) ' ' %Q ) #-./ lKT#jD! ) #%$G!DYD)Y ) ' '
x ∈ R & ϕ (x) > a > 0'& ' g - - ) RKT#"UCJUElKT#jD! ) #($ kgk < ∞'& .#"U ' h - 3
DKC - .D! ) #3lKC#jD! ) # ), .D!, l% !$# * S = (e − 1) < ∞ Y ) 0# & $0B+/!, , J , [email protected]
01. ) ' ' J ∈ [0, J ] & 0 2, ) f'+J , KTB , (µ ) UC,+ #jJUA!$# 9 Ä Ê ; -d!$$0 ψ = ϕ+g+h
), . !,, + , , D ' * !$#jJI)K1 ' !$ % KC#! ) ' ' % !$# Λ .#"U ω & -d!$$0
5
00
∞
|h|
0
R
0
ΦΛ,ω
CΦΛ,ω 6
CU SG e4kgk∞
,
1 − CU SG 2dJkV 00 k∞
0 C
#"U K 6 1 + 4/a Y
2
2 .
U SG 6 4(K + 2KS + S )
) 0C! 2 '+J KCB ).D! ,+ A
UCJ.% k lB . ! # & CK #! ' % !$# Λ . #"U ω &
-d!$ 0 # G.# C 0 UC #"U.!$#
# % # C & J & d & kV 00 k ."# U kgk & $01. d! & E
.#%
U SG
∞
∞
'
0ElKC#jD! # F & G &
-
, ))
,, )
) $,
) $,
, ,, , , ' , )
* ) ' )
0
EµΦΛ,ω (F, G) 6 C exp(−d(SF , SG ))
) ) ' ) $,
Z
2
k∇F k dµΦΛ,ω
1/2 Z
) '
, )
2
k∇Gk dµΦΛ,ω
1/2
–à á {‘`ub [email protected]Ô[email protected]Ô  á y t  á { r b!{ È b|{ Ö s yzb|{ t  r p{~} á € yÒ} a v_v { ȳȌacpa$ r p{G á ac Ô b r È
á Ï` r  á { t y t‰rK€ ϕ yzwy tªr ÉCÍy [email protected]  á ac ϕ á a t a su€ yÒÖ s {‚Èy € yÒÈ s È m ∈ R a € x¦ á ac
y € }~b|{a t y € [email protected]€ [m, ∞) a € x¦xÌ{ } b!{a t y € rK€ (−∞, m] ( @? D
! # ϕ - ,kUC,+ #jJU !$# ) 0 ) ' Y "Y Y ) 0# 0B /!, ,E
, G.# K 6 1 + 2/a , K0 $01. ) ' ' x > m &
Z
x
eϕ(t) dt 6 Keϕ(x) .
m
.
 á {t
ϕy
) +
#
QÏ } Kr € KÍ {®ß&yzÂÏ RÔ<r bwa vÒv x > m + 1 J /
ÄÝÄ
ϕ (x) = ϕ (x) − ϕ (m) > a(x − m) > a .
ê r b x > m + 1 y € p{ Kbpac|y rK€ ÉCÏ;`[email protected]! t Ïyz{ v x t  á ac
9 NO;
0
Z
x
e
ϕ(t)
m+1
q&r ÉCÏ 9 Ä ÝÄNO; 0
0
Z x
eϕ(x)
ϕ00 (t) ϕ(t)
eϕ(m+1)
dt =
e dt
−
+
02
ϕ0 (x) ϕ0 (m + 1)
m+1 ϕ
Z x
eϕ(x)
ϕ00 (t)
ϕ(x)
6
dt ,
+
e
02
ϕ0 (x)
m+1 ϕ
1
eϕ(x)
+
eϕ(x) .
6
ϕ0 (x) ϕ0 (m + 1)
Z
x
2
eϕ(t) dt 6 eϕ(x) .
a
m+1
ê y € a vÒv Ï Ô<r bwa vÒv x > m + 1 Q{ á aÍK{
Z
x
e
ϕ(t)
dt =
m
Z
m+1
e
ϕ(t)
dt +
m
2
6 eϕ(x) + eϕ(x)
a
2 ϕ(x)
6
1+
e
,
a
€ [email protected]ȳ{ v Ï  á {B{œß&`,{ }œp{ x b!{ |t sÌv _ y €  á y t } a t { wyz á
wb|yz|{
Z
Z
x
eϕ(t) dt
m+1
K = 1+2/a
r @ Ô<r b m 6 x 6 m+1 x
eϕ(t) dt 6 eϕ(x) 6 Keϕ(x) ,
Ô b r È á Òy } á  á {š`ub r&[email protected]ԞÔ<rKvzvÒr t I
é€ a t yzÈ y v [email protected]¹aÏ ¹{‚}a € `ub r ÍK{š á { Ô<rKvzvÒr wy € v { ȳÈa 9 Q{ r Èyݹ á {‚`Ìb [email protected]Ô ; ( D
! # ϕ - ,kUC,+ #jJU !$# ) 0 ) ' Y "Y Y ) 0# 0B /!, ,E ) # +
, G.# K 6 1 + 1/a , K0 $01. ) ' ' x > m &
m
Z
∞
e−ϕ(t) dt 6 Ke−ϕ(x) .
x
r |{š á acwyÝ–{œß&y t  t  r } r b|b|{ t ` rK€ xuy € v {~ÈÈac a Ô<r b x 6 m ,ô{ €ur /`Ìb r ÍK{ à–á { r b|{ È Ä > ÝÄ
t €u€ÌrKsu€ }~{ x Q{ sut {  á {gb|{~x s }œpy [email protected]€  r  á { 9 Ü q e ;½`ub r `%{~b!ÂϚ`ub r Íyzxu{ xºÉÏ à–á { r b!{ È
J 5 a
Äv Ê sÌ> t ,8#Ryz € á  á { €ur pacpy rK€³[email protected]Ô  á { # b t g r˜t { }œpy rK€ut a € xŒy € `Racb!pyz} suv [email protected]Ɖ{ #u€ yz|y rK€ Ä Ê. {~ xÌ{ {
X
ϕθ (x) = ϕ(x) +
JV (x − θi ) .
ê r bªa vÒv x ∈ R a € x J t Ȍa vzv { €ÌrKs á ϕ (x) > a − 2dJkV k > a/2 é  Ô<rKvÒvzr t–Ô b r È
v { ȳÈac a‘Ä > ʂa € xJÄ > ^ á acQ á { á Ï` r  á { t y t 9 ÄzÄ.; á [email protected] x tZÔ<r b ϕ wyz á K 6 1 + 4/a ,ô{š}a €  á sÌt [email protected]`Ì` v Ï à–á { r b!{ È Ä $ >‘ r ϕ a € x h  r K{œ
i∈N (0)
00
00
θ
∞
θ
θ
€ [email protected]€ut € t € € €  [email protected]Ô θ = (θ ) , t|r  á ac 9 Ü q e ;–y twt a py t†ø
à–á
# { x {˜é€ `ub! { á }~y { t xu¹y aÏ} Q{ŒÈpa aÏ  [email protected] `u`y v Ïxu{ à–`,{á { xÌr b|{ {~Ȅ
t!s b|{ t (µ ) wy vÒv
Ä
.
Ê
>$ à–á { t {œ cr Ô ³
È
{
a
t ac|y t!Ô Ï;a t `%{~}~|bpa v Cac`¨y € { Ö s a v yzÂÏ wyz á a‘} rK€ut pa € ‰{~Ö s a v  r
CU SG 6 4(K 2 + 2KS + S 2 ) .
i i∈N (0)
ΦΛ,ω
CU SG
.
1 − CU SG 2dJkV 00 k∞
ê y € a vÒv Ï yÝ^y t ¹{ vÒv0€ur €  á ac‚acxuxuy € 5a É rKs̀ xu{ x Ô<su€ }~py rK€ g KyzÍ@{ t^€ur È r b|{˜ á a €
€ á rK€ [email protected]Ô á } [email protected]€ut pa €  9 t {~{ 5 / ý ËKË ; e € y á  r {‚á } á pb €  {š
v € à–á r
€ut [email protected]Ô à–á r
t á
tb|{ ! suv   rK€ {  á  {šxu{~b { } aa Ï rcx Ô } [email protected] `ub|` b!{ Ïv a y py [email protected]€ut { à–b!á { { Èr b!{ ÄÈ Ê..>³ÝĚy y t p{{ act x [email protected]É v y t á { {x b|{ IÈÄ Ê. > KyzÍ@{  {
,ô{ €ur `Ìb|{ t { € ^{®ßuacÈ` v { tª[email protected]Ô_Ô<su€ }œpy rK€ut ψ = ϕ + g + h xu{ #R€ { xy € à–á { r b|{ ÈÄ > ÝÄ
t á ac[email protected] b!{ €Ìr s³} rK€ ÍKrK{®€;ß)Ô<a su€ y €$#RrK€ € yÝÂÏ r à r 9 x r á t|r ¹{t KyzÍ@t {¨€ a € à–á {®ßur acÈ` v { á { b!{ é€ Q{[email protected]Ì[xv a
`,{ } yÒa K P`,j { b! b|Éuacpy }~|y h  ϕ { b|{ ϕ y a y { b!{ È Ä > ÝÄN; xu{~{ x {~
P
á { b|{ h : R → R 9 i ∈ Z ;˜y t a `ÌyÒ{ }~{ wy t { v y € {acbG} rK€ |y €surKsut
h(x)
=
h
(x)
Ô<su€ }~|y rK€ xu{ #R€ {~x Ô b r Ⱦyz t xu{ b!yzÍcac|yzÍK{^ÉCÏ

y ÔÔ x ∈/ [u , u + α ] ,
 0
−β y Ô x = u + ,
h (x) =

y x=u + ,
β
á { b!{ (β ) y t a t { Ö s { € } { [email protected]Ô&€urK€š€ { CacpyÝÍK{ €s ÈGÉ,{ b t a € x (u ) a € x (α ) acb|{_ rªt { Ö s { € } { t
[email protected]Ô b|{a vu€s ÈGÉ,{ b t t!s } á  á ac u < u + α < u Ñ r b!{ r ÍK{~b Q{na t|t!s ȳ{B á ac [u , u + α ]
y t  á { t!s `u` r b! [email protected]Ô h € {š}a €¦t {~{ h a t a Q{ vÒvXrcÔ xu{~`Ì á α β /4 a € x rcÔ wyzxÌ á α +
4kgk∞
∞
−∞
i
i
0
i
i
i
i
i
i
i
i
αi
4
3αi
4
i
i
i
i
i
i
i
i
i+1
i
i i
i
i
i
à r ,É { rKs  t yÒxu{‘ á {‘} v a t|t yÒ}a v } v a t|t^[email protected]Ô } [email protected]€ Í@{œß2acšy €$#R€ yÝÂÏ Ô<s̀ }~|y rK€ut yz^y t { €[email protected] á  r
t á r  á ca  á {xu{ `Ì á [email protected]Ô  á { ¹{ vÒv y € }~b|{a t { tÔ a t |{ bŒ á a € ϕ ,2b|yÝp{ L = kh k −
,2{ á aÍK{ª á { Ô<rKvÒvzr wy € r ÉCÍy rKsutgt|s }~yÒ{ € Q} [email protected]€ xuyz|y rK€ 9 Q{ r ÈyÝ
(ϕ(u
+
α
/2)
−
ϕ(u
))
 á {š`ub r&[email protected]Ô ; 9;:<9=7% D
! # ϕ - , !$# ) 0 ) B' Y "Y +.#"U h , - ) -.)Y ) 0# & ! i
i
i
i ∞
i
lim Li = ∞ ,
, ) )
é ªy t–€ur /{ a t Ï  r } á r&rKt {^ á { t {~Ö s { € }~{ t
i→∞
0# ϕ + h ! # #-./ . !$# + # !$D%Y
a € x¨ac– á { t [email protected]È{ |yÒȳ{ (αi )i∈Z
a€x
(βi )i∈Z
t|s } á  á a 
lim Li = ∞
i→∞
Z
e|h| − 1 6
X
αi ekhi k∞ < ∞ ,
t y € } { Q{^[email protected]!{ Ô b!{ {ª r } á rrKt { α a t Q{ ¹a €  ê r bg{œßÌ[email protected]ȳ` v { &[email protected]€ {‰} a € } á rKt { ϕ(x) = x /2
a0€€Ìxr h€ a t á acÉ r ÍK{ {~ÍK{ € wyz á u = i βt = t4i# et a t€ x α =v e /i€ Ô<r bZs a vvÒv i ∈ Ná é rK€ut t Q{ € vzv
 ac dµ (x) = Z e
act |Ôy r { a €³`,r { }~|bprKa sut [email protected]`v y suvÒ{~sÌÖ t a á yÝÂÏ wyz }  a 
dx
€
r
€
<
Ô
K
r
z
v
Ò
v
r
á
á
á
b È a ÉCÍy } a }  ac
C€ = 2 P {  { b Ó a r x rKyzt  rK€ #R€ yzÂÏ
aÑ r x Sr 6 2 á á 1/ir á t t‰b [email protected]` Ô à–yzá |y r Ä >$ > á rKv x t a €t x t|tr # ϕ+h y t_€Ìr Z} [email protected]€ LÍ@{œß³=a i_−y €.o(1/i)
b|{ ÍK{ bw { Ï`  { {
{ b|{ È Ä > ÝĂ[email protected]|{ acpy {~x ,ô{¨ÈŒaÏ €ur |{ á a  à–á { r b|{~È Ä > ÝÄy t Ö s yz|{ K{ € { b|a v‰t y € }~{¨ á {J} [email protected]€ xuyz|y rK€UrK€  á {
`%{~b!t  s b|ÉRrKac€ |y rKrK€ € h (R (e [email protected]€ − 1)rK€Ì<t 9 ∞)
y t bp€ ac á t { b ¹ø { a 0rKs/Ü € |y vwá €ur r t  á á {¨b|{ t|t suv  t QsÌ{ b!t {
<
Ô
K
r
z
v
Ò
v
r
ÉR€ a {~x € } Í@v {œß&yzÂÏ[email protected]€ } xurKyz|€Ìy t á
wy
{ ȳy Kb `)È{œ x ; {~b|{ a Q{;Î 
{ {~é€xy á |tn{Kb€u|r [email protected]Éuy yzÂϳ} r xuyz|y { b!{s rK€ á r 9<à–á r

y
p

{
Q{˜`Ìb ÍK{~x a`,{ b! b|Éuacpy  { b|{ È
{
!
b
{
i
È
Ä
$ >4; Ô<r b Bâ_ä\åõ½Ø
€y {~Ö s a v yÝpyÒ{ tžsut y € VšØڞã%Û t } b!yz|{ b|y rK€ € {¹ÈaÏ^pbÐς r‰r É& [email protected] €  á { t [email protected]È{ 0 y € x [email protected]Ô b|{ t|suÚ v \ 
Ô<r b vÒr Cacb|yz á ȳyÒf} g[â â_öæ !¨y € { Ö s a v yz|yÒ{ t½sut y € w á {g} r b!b|{ t ` rK€ xuy € ‰}~b|yz|{ b!y rK€ ÉCϳ×nâ ٞâ !
a € x í æ € 9 t {~s { v /he tnP.P Ô<r ; sué€ € a rK€Jsu€ r  á { b‰t xÌyҀb|{~}~t |y t rK€ [rKt € {G}a á € € pb!Ï5 t r `u€ b r Í@{ á vÒr r [email protected]|€ yÝ á ȳyÒ}ø
g,â â ö&æ !)y { Ö a yzpyz{
b É xu{~x `uy Ï p{~È wyÝ {acb|{  { y& É b y p{[email protected]}
py [email protected]€ á a r t|t|r } t^yÒac€upr {~x‘ r rš€urK€ } rK€ v Í@{œß³` á sÌa tt { t y á € |b r x t s } €u{~r xy € t|su á v y tZv €u0 r |{à– á / r s  á { b|{ V‚æ[9ö&q üÌüuæ[Ú á t
Ȁ {œ á xy r È Ô<r b!{‘aÍ@acyÒÉ {Gv É%{~ò }a {‘ {~b|{‘ý y b|{ é  t y €¨{ r €{ b|{~Èr v Ä Ê. Ê r(#R{ € {G {t
€a {œßa ªvzr } s [email protected]{ `ÌÔ<|r { b b vzr b [email protected]!bwyz {œá ßÌÈ[email protected]ȳ} ` g,{â â_{ öxRæ ËK! ËcÉ y € 5{ Ö / s a v yz|Ë@yÒË{ t$; n€ y {Èa aÏ `,a { vzt|r `upb bÐÏJÉ  {~r¦È¾sut {a5È x¦r yzb! {
} áv a t|t t yz}a v ac`urK`u€ b r [email protected]} á { Í&yÒa  á 9 t {³xu{ } aÏ v [email protected]Ô } rï b|b!{ v a py0 [email protected]€ut 9 t { { { P0< t á rKt PsuP € / )Pá PKa $; é€
 y xÌyÒb|{~}~|y Všæ[ö&üuüÌæ,Ú {~{ )ª{ PPcÉ {~Ȍacb Å$ . Ê ; b|{~Ȍacb  ac xÌ{ b  {wxu{~}aÏ
R
i
i
−1 −x2 /2
ϕ
ϕ
i
i∈Z
2
3 i
i
−i
∗
2
i
2
i∈N∗
|h|
R
+
[email protected]Ô } r b|b|{ v ac|y rK€Ìt 9 t {~{ à–á { r b|{~ÈiÄ Ê .;–a € xJa € á Ï&` r  á { t y t b!{ v acpyÝÍK{^ r  á {‚{œß&y t p{ € } { Ô<r b
{[email protected]}€ á n [email protected]€uÔ t a su€ € y Ô<r b!È € vÒr Ka€ @b|yÝá  á ȳÔ<sÌyÒ}€ g,â rK€uâ t ö&æ !U} rKá €ut t| s a €  r C 9 € su€ y Ô<vr b|È € rK€ vzs  á {‚t É rK€ s̀ [email protected] bÐÏ
}[email protected]ÔZt xÌyzpy %rKy€ J € a xUr y  á { vzr }~|y á f wyÝ `u` €b! s { [email protected] Ï Ô<r y su} € xurK{ su€ y a t É ß€
t Ï t |y { È { t n ; 5–}~ {ºs a } vÒa v Ï `upab 0 Í@y €{º5É R{ [email protected]} 0 Ca @á b!{yz `uÈb r&[email protected]}Ô g,Kyâ ÝÍK%{ â_€ öÉCæ Ï !UV‚y æ[{ öÖ üuüua æ[yzÂÚ Ï ¹{b }a €2É t { {‘xÌ { á x a  `ÌQy {
rK€uv Ï € {~{ x  á {–{®ßÌy t |{ € }~{ rcÔ  á { su€ y Ô<r b!È vzr [email protected]!yz á Èyz}Hg[â â_öæ !J} [email protected]€ut pa €  y € xuyzÈ{ €ut y rK€
rK€ {
,ô{ wy vzv˜t { {Uy €  á { € {œßô} á [email protected]`Ìp{~b á { xu{œ [email protected] vÒtÔ<r bJ á { }a t { rcÔ  á { vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒ}
g,â â ö&æ ! y € {~Ö s a v yÝÂÏ
# ) - ' JU * '+# ! à–á {a s  á r b t ¹[email protected]!È v Ï[email protected]} 0€ur v {~x K{ Ñ ð æ,ãâ_çXñ Ô<r b á y t á y €  t
a € x Ô<r b t {œÍK{ b|a v y € p{~b|{ t py € ³a € x¦y €ut pb s }~|y € ‘xuy t } sut|t y rK€ut n
à ’
Á Á ’ ô’ ¶
¶
Á £ ´’ ’ à à 2’ ’ Á¶ à ’ D6* E8 a$ 8
ý {} á [email protected]`uyÝpb|{ a ` rKs b r ÉÎ!{~ v y € ÇCa v yz|Ç5xu{ g,â %â_ö&æ ! vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s {¦Çœ s xÌyÒÇ {xua €ut
xuys%Ç b!{ t^€ €up{ [email protected] su}t rK€ xuyÝp€ y rK€[email protected] €u{œt  xuyv%Ç € b!{ €  tv È r x$ v { t_t|s b v { t `[email protected] } { R á 9 n ∈s N ; [email protected] s ý { t xut y Ç~rb|{ € |v { tt
Ç~ xu{ € s [email protected]È t { t b s y ÇKa yÝpÇ^xu{ g,â â ö&æ ! [email protected]!yz ÈyzÖ {^` b‰xu{ È x$ {
xu{šÈÇ~#R}€ a t|t!yzrKÖ €ut{ rK as py pyzÖ r { v € v
Æ‰Ç r y v  q Qxv [email protected]É b|x y rK€uÇKat yÝpÇBxu{kg,â t %â_öæ vÒs ! vÒr [email protected]|yÝ á nȳ€ÌyÒr Ö s rK{¹€Ìt ` rKs b su€ € {‰È³€ { t|s s b|{
xu{2t `Ìb ÉRac€uÉut y rKyz€upÇt y s { € }[email protected]!{ } r yÒxu€Ç~s b|Ç t yÒ}~y^€u{ t‘¨su€ } { y^xÌ{ R s rKs  vzsu}~t { `,{ € xua v J Ö r {
xu€u{r {œß|{ € y `,0 { ÍK{ €ut ~|b|s{ vÉÌ|{ á { xua
}acxuý b|{;É,{a } ` ` KÇ Ç b|a Í yzb
 acÈȳ{  /Ba P.>žacy y½Ö { {^} [email protected]`uyÝpb!{ xu{ 5 / ËKË 4 587"9;:<9=7 ?EBA ED8(#>' ;( '#%< C
q&r yz µ su€ {ȳ{ t!s b|{ xu{³`ub r É[email protected]Éuy v yz|Ç t!s b R ò a;ȳ{ t!s b|{ µ t acpy t!Ô [email protected]Ý/ su€ {³y € Ç Ca v yzpÇ
vzr á s t v t su€ rK€ut €
vzv s rKs rKs
Ô<xurK{ € }~g,|â y rK%€ â_fö&æ a ! t!t { ‚Cab|@Ç b!yz suv yÈ b!yz{^Ö xu{ { Ry {œxRß&a y €upt { R {;}  a |{ C > 0 p{ {Ö {;` b˜ p{
Z
9 Ê.ÝNÄ ;
Ent f = E f log f − E f log E f 6 C k∇f k dµ,
r k∇f k = X (∂ f ) {~ E (f ) = Z f dµ rKsutt|s `Ì` rKt { b rK€ut yz} yÖ s su€ { Ô<rK€ }œpy [email protected]€ a t!t { ¹b|Ç suv y& b|{ { t Z`Racb{®ßÌ{~È` v { s̀ { Ô<rK€ }œpy rK€
xur {J} €v a t|t sÌ{ € C v t|t t|s `u`vzsur t bÐ;} € r ȳ`Rv [email protected]}œ rKsÌt b|{ € Í r Ï rK€ut /Ba 0 P.> rKs 5 / ý ËKË ª` [email protected] b
ÉÌp{ r yÒrKb €ut {šs } a v {š` t!s KÇ v Ç bpa € {
# € v € v
vÒr á s
t{  γ %v aÖ È³{{ t!s aªb|ȳ{ {Ca sub|t!{–t yÒÇ { €uÇ €È³{ { t  pa [email protected]€ yÒb!xR{[email protected]Í@b|Ç xb|y { € a xu yzÈy { €uÇt Cay rK€ yz|nÇZ xuò { ag,â } rK€uâ_t ö a æ € ! |{ r Ka`Ì@|b|yÒyÝÈ a ȳv {^yÒÖ { t {
n
∗
n
+
n
n
µ
2
2
µ
2
µ
2
µ
2
2
2
n
2
2
i
2
µ
i=1
∞
n
+
a rvÒr brKt vÒv Ç Ca v { ;Ê{œ^b|{~Ȍ[email protected]ý b!Ö surK€ut Ö s {˜} { vzv { ø } y € {GxÌÇ `,{ € x `Ra t xu{ v a³xuyÒȳ{ €Ìt y [email protected]€ 9 Í r yÒb v {
} b ý [email protected]Òb!{˜€ Ä. v xÌ{ Ô<rK5 € / rK€uËK€ Ë vÒ; v t vÒsut‰Ô<r s v € v
~
{
|

|

G
{
y
Ç
Ca
z
y
|

Ç
~
}
p

y
{
‚
{
{
^

`
!
b
p

º
{
Ö
{
y
Ç
Ca
z
y
p

^
Ç
Ì
x
{
Bâ_ä\åõ½ØÚ \JxRa €ut v {
t €Ìt s t su€ t|s
r v t|s
# su€ € v
vÒr { Cacb|yzÖ  á { ȳyÒÖ y s {¹xÌ{¨{nÈ} rK{ €ut  b!a {€ pxu{ {¨C`ub a vzÉRr [email protected] t Éuy{ vÒyzv |{ Ç t ac|yb tÐÔ [email protected] a Í@suÇ b|t|yt y { su€ {{ny y € ÇÇKaCa v yÝyzp|ǹÇ;xÌxu{ { Bg,â_â ä\åõ½â_ØöæÚ! \
xuv { t } [email protected]€ut rKp€ a € p{ C/2 ý { v ý yz{ € Ô<rK€ xRò acȀ { € pt a v { t € pÔb!{ s } { t vxu{ s ß t y € ÇCa t v yz|Ç t t|s { t –t xuÇ~È [email protected]€ r |b|ǪxRa v €ut
a s {~}~|y # € Ä Ê.v < € xu{ 5 v / ËKË y ÍK{~b {ª{  t a ß twv y € {®ßÌy |v {–xu{ ȳ{ b|{ xu{–`Ìb ÉRacÉuy yzpÇ
Ö òyžÍ@ǀ b!y {  y € ÇCa yzv |ǪxÌ{ Bâ_á ä\åõ½ØÚ \¦ Ȍr [email protected] `Ra rKs y Çv Ca yz|ǪxÌ{ € g[â â_rKs öæ ! v € v
y |Ç b"œ‚ `ub|t y } yz`Ra rKxus {³} {³sÌ} € [email protected]`uy݀ pb!{ v } ȳȳ{‘` b { `uvÒb|r Ç~} Ç xÌ{ á ‘` s b rKy s Ç Ca yzt pǺxur { ø
–â ä\åõ½ØÚ \ { nxu{š`ub ÍK{~b {šy Ç Ca yÝpÇ xÌ{ g[â â_öæ ! Cacb|yz ȳyÒÖ {n` b–xu{ È
x v { t r xu{‰È³v Ç } a r € yÒÖ vs { t  ac|y t |yÒÖ € s { st yzÈt y v [email protected]|{ t t ‚s }~{ s ßs ǜs s xuvQyz€uÇ trKsu`utºb|Ç~€u} rKÇ~xusu{t ȳ€ È{ €  t!&t|ƉrK€ÌÇ t #R€ ò y t|t!rKÔ €utø
x acvÒÉ v b!x {³È t|s x t {³s xu{Œ€uȳrKsuÇ t } a s yzÖ { rKp€uact py |yÒÖ t {sua € Ö t { sÌv y v pÇ~b|Ô { vÒv s a a
Èy €ut^{–vxÌ{ Èá { b!{ Ö { € ǜ rKsxÌyÒ{ vb € yÒ} vy,{  } a `[email protected]!|yÒ} 9yÒ{~€ub rKsÌxut{ a rK€Ì[email protected] ȳy [email protected]{B€uÇ~t  xuyzÇ v {
xRa t {˜} [email protected]`Ìyzpb!{˜`ub!Ç }~Ç xu{ ‚` b y Ç Ca yÝpǚxu{ Bâ_ä\åõ½ØÚ \
} yÒxÌÇ b yÒ}~y {
}a ý¹VrK€u(x)t =rKx€utª; v t|s
yzxuÇ b a È{ b!{˜{œß&` (−Φ (X))dX Rr Φ { t  s̀ { Ô<rK€ }~py rK€ a t|t!r }~yÒÇ {˜a s
t|rKsut†ø { €ut {~ÈGÉ v { #R€ y Λ xu{ Z 9 ` [email protected] b d ∈ N ;Z{œ¹` rKs b ω ∈ R Ö s y[xuÇ #R€ yz v { t } [email protected]€ xuyz|y rK€Ìt
a s É r b|x ò a Ô<[email protected]€ }~|y rK€ Φ { t wÇ Ca v { ` rKs b X = X ∈ R 9 r |Λ| { t  v { } [email protected]|xuy € a v xu{
Λ; +
n
+
2
Λ,ω
Λ,ω
Zd
∗
d
ΦΛ,ω (X) =
r
|Λ|
Λ
Λ,ω
X
ψ(xi ) + J
i∈Λ
X
(zi − zj )2 ,
{i,j}∩Λ6=∅, i∼j
t y i∈Λ
t y i ∈/ Λ ,
t
u
s
€
<
Ô
@
r
€ }~|y rK€ b|Ç~{ vzv {^[email protected]`Ì`%{ v Ç {A01 ,2 {
ψ{ 
i ∼ j t y i {~ j t|rK€ nxu{ t Í r y t y €ut xu{ Z a s¦t { €ut xÌ{ v a €ur b!È{ l J > 0 { t  su€ `[email protected]Ȝpb|{^b!Ç { v [email protected]`u`,{ v Ç1..' DB UC* ) KN ' * s v t
v s rKs [email protected] xRa €ut [0, J ] rKsutt|s rKt rK€ut €utv t!s
r` Ks bB rKs  `Ìt!rK` sut†ø { { b €Ìt { ȘxRÉ a v { #R€a y Λyz|xu{Q{ Ö Z y {~{œ ß&ωy pxR{ a J€Ìt >R 0 pu{ v y Ö € pÇ{¹@b` pa v {‰bžxu {^{® ßÌJ` (−Φ
)t!rK`u€[email protected]
r
v
|
t
s
ð
!
t
s
|
t
r
R
#
€
u
€
t
t
,
Ì
€
K
r
u
s
t
R
#
€
|
t
bpv [email protected]`u` t|bÐs  a‘ȳ{ r b|{˜xÌv { æ æ[Nî cZçæ b R yÝ yÒ{,Æ a } {º}a
xuÇ y
a‘È{ b!{šxu{š`ub É[email protected]Éuy yz|Ç µ `[email protected]
9 Ê. Ê ;
1 {ϧ&`
dµ
(X) =
(−Φ (X))dX,
Z
r Z = R {œß&` (−Φ (X))dX d 5‰y €ut y €urKsÌt `Racb v {~b rK€Ìt xu{ v a Ô [email protected]ȳy vÒv {Œxu{¨È{ t|s b!{ t
ý r v t
€ut /8)bPPKa /8)ªËKË 9 Í r yÒba sut|t y )ª{ v PPKa $; Ó [email protected]
(µ ) { È x { { JxuÇ }~b|yzxRa
zi =
xi
ωi
d
1
0
d
Zd
Λ
ΦΛ,ω
ΦΛ,ω
ΦΛ,ω
Λ,ω Λ,ω
Λ,ω
Λ,ω
ΦΛ,ω
0
Λ,ω
œ{ ß&{ ȳ` v { Qv {¨} a t `u€[email protected] b!|yÒ} rKsÌt v yÒ{~b r rKt v rK € a rKt ψ(x) = ax − bx 9 a, b > 0; { t Œ} rK€Ìt yÒxÌÇ b|Ç
`[email protected] € â_rKîN€u]t ä\ã½Ø xR€ a
P.P
ËKË ËÌÄ Þ v su} rK€ut yzxuÇ b|a € ^€} {‘€ È r x v { ,€urKsut aÍ [email protected]€ut Ô [email protected]‰Ö s { v Ö s { t } á r y#ßJ`Racb!pyz} suv yÒ{~b t Ö s { €ÌrKsut
{œß&` yzÓ Ö È[email protected] y p{ s a á  [email protected]|[email protected]`u` b!–a } [email protected]`uyÝpb!{GÄ €urKsÌt } rK€ut yÒxuÇ~b rK€ÌtBv { } a tBr V (x) = x ý {~||{ t yzÈ` v y ø
# }ac|y rK€ `ub r Íyz{ € ¹xÌ{ª`ub r É v ȳ{ t p{~} á € yÒÖ s { t { vÒv {–`%{~b|ȳ{~Qxu{nb|{ `Ìb|{ € xub|{ªxu{ t }a v } suvzt
xuý¹{Gr תâ_ã ä\åæR€uØXtºçôv {~nxuá ,{ Všæ,öüuüuæ[€uÚ rKsÌ t [email protected]€ut rK€ut˜s̀ €
rK€ s vzsut r á t
rÍ y Èt y €Ìȳt {³ éÂxRv a ȳ{ t {³{~ÈG} É [email protected] `u{yÝp` b|[email protected]{¨t|t Ä yzÉ v { x Ç~} |{ € xÌyzb|xu{ Ç b v { t b|Ç t!su{ v pacy  |t { bpxuac{}~p} y { t xua { s ßô` } á [email protected]`u`Ìyzb |b|} { t { su€ È r x v { rKsv [email protected]€ a su€ {˜y € |{ bpac}~py rK€ { € pb|{º rKsutªv { tªt yzp{ t {œ Ö s {G}~{ vÒv { ø } yžxuÇ }~b r 
aÍ@€.{ #R} € v a‘xur y t  a € } { €ut¹v á
€urKsut rK€Ìt [email protected]€utQs̀
rKs v
Þ
r` Kt yz|y Ô } ý ȳ{œ|Èp{ {–t xuyzÈa ` v y # {w} }ac[email protected]`u€ yÝp{ b|t {š Ä Ô acyzp{ Î su} t p{ª` yÒxÌrKÇ s b bQb!Ç x s yzb|{`[email protected] {b|[email protected]È } a ~v p} b!su{wvÒt xu{ªv { } t b|Ç ` t|suav K{ ac Jt
t á t
t|rK€ € r v v rKs
ò y € ÇxuCa{ v yz} |Ç[email protected]`ub{ yÝpg[b!â { â_Ěö{~æ ‰! Ê vÒr Cacnb|yz{  á } ȳyÒb|Ö {šs Íc{_a ` acrKÉ s bž{ª} ` {gÈ br x |J| v {Z`,{ {~t |_yzǜ s xÌyÒÇ xu{ ` s y t Ȍacy € p{ € a € 
Ö s { v Ö s { t a €Ìt|rK€ € Ç { t v t–ò {t|st b|Ç t!€ suv tšpacÕ  t r É&p{ €sut `[email protected] @æ c_ØÚöä\åî Ù ä â_Nî ]ä\ã½Ø תâ ã ä\åæ[ؽç{~
V‚æ[ö&üÌüuæ[Ú
q&s `u` rKt|[email protected]€ut Ö s { { v a Ô<yÝrKÍc€a }œp y rK€ ψ `%{ s  ø ~|b|{˜xÌÇ } r È` rKt Ç~{G{ €v a t!r ȳÈ{ºx s̀ { Ô<rK€ }œpy rK€
su€ y Ô<r b|È³Ç È³{ € g} rK€ ÍK{®ß&{^` vÒsutgsu€ { Ô<rK€ }œpy [email protected]€ É r b € Ç { } { t  ø ø xuyzb|{nÖ s y v {œß&y t p{‰xÌ{ s ß Ô<rK€ } ø
py [email protected]€ut ϕ {œ g Í@Ç b!y # a € 
9 ý /h;
ϕ >c>0
a
K
Í
~
{
}
ψ =ϕ+g
kgk < ∞.
t s v Ô<rK€ rK€
# v
vzr t v t
rKsut rK€ut €ut
su€ {} [email protected]€uyÒb t pa € p{xRa C |} { {^vÒv }{Ja Ö s Ö {{ ` rKa s bŒ rK}~s |y  t!rKψsutÐÍ@ø {Ç €ub|y t { { ÈGÉ a v { ) #R#"€ U.yª!$ !xu) { # Z$ Λ' C 5 {œ5b ` [email protected] s bŒ{œß& y [email protected] p{
v a¨È³{ t!s b|{ µ t acpy t!Ô [email protected]Ý% su€ {;y € ÇCa v yz|dzxÌ[{ g,â %â_ö&æ ! vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s {‘xu{
ωrK€u∈t R€
}  a |{ t C wÜ € { xu { t rKsÌxÌt y vÒ} vzsurK€uv pt Ç t Ç~€u a t € ¦xu{ á `ub rKs ÍK{~b rK€Ìv € su€ y Ô<r b|ȳ€[email protected]psǨ`RvÒ[email protected] b;t b|Ô<[email protected]`u€ ` r [email protected]¦€ua t s ß
`[email protected]Ȝpb|{ {~ a xRa } { } [email protected]`Ìyzpb!{Gx { bšxu{ ÍK{ { }œpy ψ
p{ vzò v {^ր s {š} v {šΛb!Ç t|sÌv  ωa  t|s É t y t pvz{r á s t vzsut r v
y ÇCa yz|ÇQxub{ g,â [email protected]€ â ö&æ ! € [email protected]!yz rKȀ yzÖ {g{ t  ` t!suv } Èt ` rK{œs ß&{ v ǜ sr xÌyÒ{ v b Ö s { t v y €Ì€ tÇ @Ca€ÌrKv yÝsupÇt
xuvÒ{ vzrKB€uâ_t ä\årKõ½s ØÚ \G{~Zr x } rK€uaÍc€ a Zxu{¹€utšÈ v tš|b|t { bxurK{ €utšb!Ç t|s pac€  ` t‚v b t {¹È x {Qt xu{ r `uy t
a t  ‚x [email protected]É b|€ x x v {~bšxRa { { }œpy yÝÍca p{ { `ub|{~Èy& b|{ `ub `ub|yzÇ~pÇ {~
} b|yÝ ~rKb|su{ t xuvÒ{švzrK}~€u{~t ||{ºr y ÇKa €utyÝpv Ç t rK€ v t v €Ìt [email protected]€ ý t t € t!t €
a t Í yÒbxRa a { }œpy t Ê. Ê {Qv} a t€uxurK{ s awxusyÒȳ{ y t!Äs t {¹} a # { € y v pÇ~€ b|{ av 
K
v
Ì
€
K
r
u
s
}[email protected] `%{~b|ȳvÒr {~xu{gá xuÇCas K{ bòxu{ t {œß&{~t!suÈv ` { t Í@{a ߘt xÌ{Qȳ[email protected]{€ t b|{ rK€ Í@Ç b|s y a v t  t y rKÇ sCa vyÝpÇt
xut { t g,â â ö&æ ! t €uKat @b|yÝ ȳyÒÖ { { b!Ç pac xu{ } {œ||{ { }œpy { b  |y y Ç ` b {
Ï " ȳ{ºxu{ `uy 4
2
2
00
∞
d
Zd
ΦΛ,ω
Æv € a €ut‚v v a t { }~|y rK€ Ê. €ÌrKvÒr sut Ç~ s á xuy [email protected]€utšs v { t xu€uy tªÇ~v b|{ €  t t }~b|suyÝv b!ø { t `,{ b|€ ȳ{~rK!€u € a € v ‚ xu{ rKsuÈ t rK€ pb|v {~bø
y Ç Ca yÝpÇ xÌ{3g,â %â_öæ ! [email protected]|yÝ ȳyÒÖ {‰xRa {š}a È py xuyÒȳ{ |y { {®ß&` y
ÖvÒr sÌrK€ut¹vá a‚ȳÇ~s  á r [email protected]{ªs xÌ{n|{ t €ut!r b|t|y ts ac|y t rK€ `%r {~b|s ȳ{~t ! a € €uQt|sx r ÉÌp€u{ rK€ suyÒbt su€ {ªv y € ÇsÌCarK€uv t yzpǹv xu{ g,â á r â_öæ !
Cacb|yz ȳyÒÖ {š` b‰xu{ ȳ{ b|{ `ub x yÝ %Þ yzp{ {®ß&` yzÖ aȳÇ~ xu{ºxu{
`%{~b!á  s b|ÉRsac|y rK€ rKs `%{~b|ȳt{~|pa € t! s Ö s t a € /rK€ { v vÒv {ºxÌ{˜€ut È rK€ pb|t {~b su€ {Gs y € Ç Ca v yzpǚxusu{3€ g,â Ô<rK€ â ö&æ rK! € vzr rKCa€ ø
b|v yz vzr ȳyÒÖ {Œá ` bºt xu{ r ȳ€ { b|{ €$#Rx € €u rKsua¨t xu{ rKyÝt!prKÇ €u{tšv t `,{ b! b|É,ǀ {Œt `[email protected] { t }~|y x 
{ [email protected]!yz È{‚s { t|ºrKɀ b Ç {s XÞ vÒv € v t {®ßÌ` t;v { t xuvÒysu%t Ç b!{  r }~b|yz"€ b!t{ t Γ xu{v ×ns ؀ Ù_ÚÛ
{~v  € ì^æ[v ÚÛ Ö y ¦[email protected]}œ vÒr { { ȳá{  {s } b!yz~b|{ { ` yzÈ` b!pa  [email protected]`u` yÒÖ a 
y Ç €.Ca#R€ yÝpǪxu€u*{ t^g,v â t â ö&æ rK! € [email protected]|€uyÝrK suȳt yÒÖ [email protected]€u{€u rK€ut €urKs s t
vt á tt
vp{ zÞ v { t Ö s { xRa v aȳa{ t!s { b|}œ{ºpy xuÇ #R€ Ê.yÒ {˜> `[email protected] v Ç~x Ö s acpy rK€ xÌ9 Ê.{ Ê ; t acÍ@p{y at!Ô [email protected]ßyÝ xu { su€{œß&{G{~y Ȁ Ç` Ka{ v yÝpxuÇ^{‘xu` { g,a â { âψ
ö&æ ! vÒrKr sÌCat cb|yz s á ȳrKyÒրus t {–aÍKs {~} su€ {‰á } r [email protected]€ut t pa € ò p{‰y € xuÇ~`%{ € xRa s € pv {ªt xu{ vt xuy Ç~b|{ €  t `Rø [email protected]€ b|[email protected]È ~p b!{ t vÒΛv ø {~
ǜ v á xÌy s suxut { ß € ȳÇ~ su€ xu{ a5t!`ut b|{~Èò y& b!t { rKp€ y y { t {‘} b|vzyÝsu~t b|{ Γv y pÇ @b|Çvzv } s { { v t }~y
ω [email protected]
[email protected]{ É t ÈpǜyÝ^ á Ȍr xua { t { xÌÇ~b|ÍK{ { vÒr {~`ÌÈ`%{ Ç~{  t `[email protected]{³×nâ_yÒȳã `Rä\åa æRØX{ç aV‚æ[{ ö} üuüuæ[xuÚ8{³{{œ ˜` â î ]xuä\ã½Ç Ø yÒ} ac p{ rKsÌ{ t [email protected]{ b|b!yzpÍ y [email protected] €u{t
a vÒr b t r É&p{ € yÒvÒb‰r xÌ{ €urKá s Í@{a s s ßJÈ r x v { t xu{‘È³Ç }a € yÒÖ s { t  ac|y t pyÒÖ s {‚ÍKÇ~b|y # a €  v y € Ç Ca v yÝpÇ
xu*{ g,⠀ut â ö&æ ! á [email protected]|yÝ €urKȳsÌyÒt Ö { vzrK€ut s [email protected]
t|sÌv t € € € € rK€Ì€sÌt
Ñ rKÆ € a [email protected]`u`}~{^r b!} Œ[email protected]{ `ut 5yÝpb!xR{ a €ut;su€ [email protected]`Ì`ub|`,{ {ȳyÒ{~b|É%{ { ȳa ` } t;v a `;b|xuÇ { r b"b!CaÇ € y t aa py [email protected]Ȁ [email protected] { t|{ xÌay %Ç ¹b|Éu{ € yÒ{  t } }~b|yz" b!{ t È suv |s y ø xuyÒȳ{ € €upy rKrKs €u€ { vÒsv { t ~Æ r a s |v b|{¹t `[email protected]! v {œßp€ { €uts y rK€ t xÌ{ t t y € ÇKas v yÝpÓÇ [email protected] s xuH{ g,â v %â_öæ ! vÒr [email protected]|s yÝ á ø
ÈyzÖ €urK{%s Œxus{ Í@{a v ßJt È x { t!s xu{Gtnȳt!s Ç } a yztÖ { tÐÔ pact py € |yÒÖ v{ € bv } { ašÎ [email protected] pb Í@{ b
xu{ Í@{a ߦ{®ß&{ ȳ` { xu{šÈ³{ b|{ b R ac|y [email protected] a  y Ç Ca yÝpÇ
2
2
E8( #>';( 5 ' ;
$ sÿZ xuy rK€ut ¨`ub!Ç t { €  v y € ÇCa v yz|ǘxu{ g,â %â_öæ ! vzr [email protected]!yzR á ÈyzÖ s {˜` rKs bšxu{ t È{ t|s b!{ t xu{
`urKb r€ É[email protected]ÉurKy v €Hyz|Ç € t|s b t!t R ò y € pt!Ç s b~³tŒxu€ {¨}~{` v [email protected]} {~b t!s b R { t ŒÖ s { €urKrKsÌs t ` rKs s Í [email protected]€ €utŒs |y t|v s y t {~b v a
} r xÌyzpy v Ç~} { [email protected] yzb|{5t!{~Ô  sÌa € |{¨€ xu{×nv â ٞâ !{~ í ævzr U` á bGÖ s {¦r È{ b!{;xu{
`urKsb vÉ[email protected]Éuá y yz|ǂxÌ{ R acpy [email protected]Ýý  {G y rKsuÇCat yz|ǂrKx̀u{+t g,â %€Ìt^â_ö&v æ ! t [email protected]€ b!yz Èv yzÖ s { v t Í yÒb [email protected]€ /e PP {G} [email protected]`uyz|b|*{ < xÌ{ 5 / ËKË ÍK{~b|b xRa a { }~|y Ê > |y y a py xÌ{‘} {
b|Ç t!sut v pac€u^t ` rKs bªxuÇ È rK€ pb!{ b v y € ÇCa v yz|ǚxu{+g,â %â_öæ ! vÒr Cacb|yz á ȳyÒÖ s {š` [email protected] b‰xu{ t^t Ï t " ȳ{ t
xu{ ï `uy vÒrK€ut
at|s @`Ì`%{ v vÒÉuv b|y&~sÍK{~È{ €  v {˜ á t|Ç r r b" ȳ€ {Gxu{Œ×nv â ٞâ !){~ r í v æ q&t|r s yz ψ su€ ð { Ô<rK€ }œpy rK€
Èt|s { b|[email protected]É { #R€ p{ t|t!{BrK€uÖ tn{v exp(−ψ)
yÝ y pÇ [email protected]É {B`[email protected]`u` bÐ a È{ b!{wxu{ æ %æ,îNcZçæ
b R [Æ‰Ç y aGȳ{ t!s b|{šxu{‚`ub r É[email protected]Éuy v yz|Ç µ xu{ v a Ô a [email protected]€¦t!s yzÍca € |{ Õ
9 Ê. ;
1 {®ß&`
dµ (x) =
(−ψ(x))dx,
+
ψ
ψ
Zψ
r
R
œ{ ß&` (−ψ(x))dx q&r yz m su€ {˜È³Ç xÌy a € {šxu{ v a‘ȳ{ t!s b|{‚xu{˜`Ìb r ÉRacÉuy v yzpÇ µ ,Æ‰Ç #R€ y t|t|[email protected]€ut b!{ t ,` { }œpyÝÍK{ ȳ{ € 
t|s b ]∞, m] {~ t!s b [m, ∞[ v { tBÔ<[email protected]€ }~|y rK€ut D {~ D `[email protected]
Zψ =
Z
D− (x) =
D+ (x) =
ψ
Z
Z
x
e−ψ(t) dt
−∞
Z
+∞
e−ψ(t) dt
−
+
eψ(t) dt
m
x
Z
x
eψ(t) dt
Zψ
e−ψ(t) dt
−∞
!
Zψ
!
log R x
log R +∞
,
.
Æ ac`ub" t תâ %ÙvÒr â !/{œ á í s æ t v a¨È³t {sut!v s b|{ µ€ t xÌÇ v #RtB€ yzÔ<{ŒrK€ `Racb [email protected]€u9 Ê.t ; t acpy t!Ô [email protected]Ý t|rK€ v y € Ç r Ca€ v yÝpÇt
t|xus {*b g,v â{ s b â t ö&y €æ p! { bÐÍca CavÒ@v {b|yÝt  xuȳ{˜yÒxÌÖ Ç #R{ € yÝpyXy {~rK €ut { ÓZvÒ{~sÌÈt { `ub! Ç } yy t Ç~{ È{ € ‰}œy pv y {œß&y t pD{ºxu{ {~s  ßJD} rK€ut pa n€ pÉ { t b suÇ~€ { y ø
ÍK{ b t # { vÒv { v t €A {œ v B pt!{ s vÒv { t ր s { v aº} rK€ut  a € p{ C xÌ{ v y € ÇCa v yz|ǖxu{ g,â â_öæ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {
ÍKÇ b!y { y ÇCa yz|Ç yzÍca p{
k , kD k }.
ý {Œ} b!yz" b|{ A€urKsup{kD
sÌt `,{ b|ȳ{~kºxu, {kDxuÇCakK{}b‚6xu{Ct 6`ub|B{~Èsup{kD
t
yz{ b {®ßÌ{~È` v { t xu{ŒÈ³{ t!s b|{ t Í@Ç b|y # a € 
v y € Ç Ca v yÝpǪxu*{ g,â â ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {
9;:<9=7 [email protected]?E D
! @K2 ) , ) #$, I)K KC#j ) #j9 D! ) # ψ -.i! + ' M ) #"U.!$D! ) # (CB) Y
') , ' +'+ , KCBUC" )- - ! ' !$&i µ UCi,+ #! 1. Ê ; ), .D!, .!$+KC#j !$#ji * ' !$&i UC g,â â_öæ ! ')"* .l!$$0C'*!DI)[email protected])Y
ò a¨xuÇ È rK€ut pbpa py [email protected]€ { t ‘Ç v Ç È³{ €  [email protected]|{ € t {;[email protected]È € {Œa s } a t‘r ψ > c > 0 {~ rK€
[email protected]`u` v yÒÖ s { v aGb!{ È[email protected]|Ö s { <$ > > xu{ 5 / ý ËKË r  [email protected]€ut Ö s { v {gb|Ç t|suv  ac{œß&` rKt ÇQxRa €utv aw`ub r ` rKt yzpy rK€ `ub|Ç~} Ç~xu{ € p{
D [email protected][email protected]? D
!
€ { t ˜`Ra t |b" t `,{ bÐpy € { €  Þ € { %{~º} { vÒs y ø }~y Ô [email protected]‚`[email protected]ÐpyZx su€ }~b|yÝ b!{É,{a s } rKs ` KÇ € Ç b|a v
Ö s r y t á [email protected]`̀ ` v yzÖt s { rK€ xu{ t È{ t|vzsus tb!{ v t xu{ºrK€u`Ìt b r ÉR€ acÉuy v r yzpÇ t|€s s b R ý {ºb!Ç t|sÌv  a ‰á r{ t ª{œß&t ` [email protected]Òt r ǘ€ xua €ut‰v a
`ur b } [email protected] v { {~}~|y Ɖ{‘` a}  a |{ ÉÌp{ {‘`[email protected] }~{~!p{GȳÇ~ xÌ{G{  y x ~|b|{
`ÌpyzȌa {
ò {‘}~b|yÝ b!{‘xu{Œ×ªâ %ٞâ !8{œ í æ`%{~b|ȳ{~^xÌ{³xÌÇ[email protected]{ b su€ {œß&{~È` v {G`[email protected]Ðpyz} suv yÒ{ bªxu{
Èù { t|s b!{¦Í@Ç b|y # a €  su€ {5y € ÇCa v yz|Ç xu{ g,â %â_ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s { } {~{œß&{~È` v {;{ t Œx â æ[ÚížâH{œ^ó2Ø öڞä\æ,ç [email protected]?E " ! Æ ac`ub" t v a t {~}~|y rK€ <. > >nxu{ 5 / ý ËKË v anȳ{ t!s b|{Qx s `Ìb r ÉRacÉuy v yzpÇ
#R€ € 9 ut tÐÔ su€ € v
µ
vÒr Cacxub|yzÇ  á ȳyÒ{^yÒÖ { s { Ê. ; aÍ@{ } ψ(x) = x + x sin x ac|y [email protected] {^y ÇCa yz|Ǫxu,{ g[â â_öæ !
x
m
x
ψ
e−ψ(t) dt
−
− ∞
+ ∞
+
− ∞
+ ∞
ψ
00
+
n
+
ψ
2
Âé v { t  Ô [email protected]}~y v {_xu{ È [email protected]€ |b|{~bXÖ s { v a Ô<rK€ }~|y rK€ ψ € { Í@Ç b!y # { `Ra tžv aB} rK€ xÌyzpy rK€ (CB) ò y € pÇ b~
xu{w} {~ {®#ß&{ ȳsu` € v {–{ € t gx rKv € }Î sÌt p{wxu{ Ô<[email protected] b € yzb vÒr su€ { Ô<rKá € }~py rKs € ψ {®ßÌ` v yÒ}~yz|{¹s p{ €vÒv {QÖ s { #v a ȳ{ t|tŒs b|v {
{¦y Ç Ca yÝpÇ;xu{ g,â %â_ö&æ ! [email protected]|yÝ ȳyÒÖ {;aÍ@{ } ψ Ö y {¦Í@Ç b!y {¨`Ra a
µrK€ Í@Ç b!y rK€ {
} Ñ xÌyzpv y (CB)
aá r @b|Ç v a˜b|v {~Ȍs [email protected]!Ö s {‚€uÊ.t– Ê.v Ê t Ìv {‰} rKb|€ yÝ~b|{ºs תâ á ٞâ !H{~ í æ€ 5`,{ rKb!s È{œv  € { € b|{v `Ìb|{ € a €  rKv s a
Èt ǜ xuv {^ {œß&` yÒÖ Ç~{^xRsÌa € €ÌarKs {~}~vÒpv y v > t!tx } [email protected]`uyÝt!ps b|{‰`ut b|t|Ç~s } Ç xÌ{ t ‰` tÐÔ b t € y Ç Casu€ yÝpÇn€ xu{ pbv
`,{ }~|bpa xu{¹xuÇ vÒCar K{~b á { s ÍKò { {Q} t|a suv {¹xÌ{Qt ȳ{ b|rK{ t b €ÌRtnv ac|y á [email protected] y a  t!s {Qy € Ç Ca yzpÇ
xu*{ g,â â ö&æ ! [email protected]|yÝ ȳyÒÖ { {šb|Ç  acw{ ª{œß&` ǚxRa {  Ç b"~È{ yzÍca  ψ
B [email protected]? "! ) !$
' ,* ) #"U.!$ ! ) #$,0,KT!$- .# ,
)




Ê.
9 >4;
) , ) $, ' ,
' ) )
)
,
)
*
ψ = ϕ + h & h KC#j #jD! # #ji .D!$-. ϕ -.il! +
ϕ00 (x)
=0
x→∞ ϕ0 (x)2
ϕ00 (x)


 lim 0 2 = 0.
x→−∞ ϕ (x)
lim
''
'
@KN # I)K ! /! p ∈]1, ∞[ & I)K I)K1.# !$ i S = R e|h| − 1 p
I)[email protected] b #jD! # ϕ -.il! + UCh K AC0 % 0 2 KT!$- .# p
',',



 lim sup
Ê.
9 ;
ϕ(x)
0
1+1/q
x→∞ ϕ (x)
ϕ(x)


 lim sup 0 1+1/q
x→−∞ ϕ (x)
,
#! ,
<∞
< ∞,
') , ' '+ ,KCB3UC" )- - ! ' !$ i
,â â ö&æ ! '") * .!$$0C'*!DI)K)Y
.-. 1/p + 1/q = 1 Y
KT#j !$#ji !$ i UC3g
* '
) , ,,
, ) !$+
, ,
µψ UCi,+ #! # $ CY ' ). ! .!$
"! q&r ò aŒxuÇ~suÈ € rK€Ìt pb|acpy €rK€ xu{˜} {Gb!Ç t|sÌrKsuv  t a  vzt vÒ[email protected]€Ì`ut ` s yÒ{ t!r s b v {˜v } tšb!yzÔ<"[email protected] € b|{˜xurK{€ut תâ %ٞâ ! {~
t|s b í v {æs b t x r yz È[email protected] € { t { xuÈ{¦Ç~xuxuÇ y #ua € {‘yz|y xurK{ € µý { tÔ<[email protected]€ }~|a y rK€ut‘t!ȌrK€ aŒÎ } b|rK{~€ b py €{ s { tg€}~|suy vÒv { t D{ € {~Ç~b r D{~
` rKt yz|yzÍK{ t Þ vÒv { tºt!rK€ G`Racb t|s yzp{³ÈaVÎ r b|Ç~{ t xuÇ t Ö s { vzv { t˜t|[email protected]€ ˜É r b € Ç~{ t a s Í r y t y € aK{³xu{
BKC-.
ψ
−
+
v y €$#R€ y ò a <Ô rK€ œ} py rK€ h Ç~pa €  € ÇCa pyzÍ@{ Rv y € ÇCa v yz|ǪxÌ{*V _öã æ[Ú2{ € |bpa € {^Ö s { Õ
R
D+ (x) =
6
6
Z
Z
+∞
e−ϕ(t)−h(t) dt
x
+∞
e
−ϕ(t)−h(t)
dt
x
Z
+∞
e
−qϕ(t)
dt
x
log R +∞
Z
Z
1/q
Zψ
!
x
eϕ(t)+h(t) dt
m
x
e
ϕ(t)
dt
m
Sp1/p
+
Z
log R +∞
x
log R +∞
x
+∞
e
−ϕ(t)
dt
Zψ
x
e
éÂv {œß&y t p{‚a vÒr b t–su€ {š} rK€ut pa € p{
{~
Z
e
1/p
D+ (x) 6 K
dt ∼∞
ϕ(t)
dt ∼∞
p{ vzv {^Ö s {
Sp
1
+ 0
0
1/q
ϕ (x)
ϕ (x)
ϕ(t)
5 /
!
dt ×
ý ËKË [a t|t|s b|{ € 
+
e−ϕ(x)
ϕ0 (x)
x
K>0
e
.
−ϕ(t)
m
x
m
x
∞
x
e−ϕ(t)−h(t) dt
!
e−ϕ(t) dt
! Z
ò á Ï ` r  á t { 9 .Ê >4; Ô [email protected]Ýp{ !t s b v a <Ô [email protected]€ ~} |y rK€ ϕ {~ v {B} r b rKvÒv [email protected]Òb!{ $< >$ ʉxu{
Ö s { v rK€ a
Z
e−ϕ(t) dt
Zψ
eϕ(x)
.
ϕ0 (x)
!
1
(ϕ(x) + ϕ0 (x)) ,
} { t  ø ø xuyÒb!{^{ € } r b|{ Õ
9 Ê. < ;
ϕ(x)
D (x) 6 K̃S
,
ϕ
r K̃ { t  s̀ { €urKs Í@{ vÒv {^} rK€Ìt  a € |{
vÒr t r € v € v 9
ò á r á t 9 Ô t|s v Ô<rK€ rK€
t|s b [m,Ï` ∞[ ò aw{ ÈÊ.~.È.; { ȳ[email protected]Ç~| { á r xub { { a t  s p}~y vpy y t Ç {Zϕ` rK`,s {bžb!É Èr {œb ª€ {~a b v ab Ô<[email protected]€ {š}~É|y rKb € D{~b t|y s Çb Kav y € yÝp|Ç{ bÐÍ@Ê.a vÒ< v {;
] − ∞, m] suv
s € t
ò rK€ rK€ 9 t su€ rK€ rK€
D [email protected]?E D
t`Ra |b" t } [email protected]€ |[email protected]& € a € ! |{` a˜rKs } b v xua yÝpÔ<rKy € }œpy Ê[email protected] € >4;gϕ{  r  rK{ €Ì} t { €xuyz|b|y {~Íca € xu} { á b|{ŒÇ Ö s { [email protected]|x yÝpsuÇ {n€ {ŒÖ `Ry [email protected]Ð { v a 
} rK€ xÌyzpy rK€ t 9 Ê.su € ; { t  rK€ su€ {w} rKrK€ € xuyz|€ y rK€ xu{w} rKb r € y t!t [email protected] s€ } {0v Ô<v rKy € €$#R€ rKỳ {~gx ý a s pvÒv b!{ªø `[email protected]!t  v aš} rK# € xuyÝpy rK€ t
` b a }œpy h { { } y½{ wÍKÇ~b|y Ç {‚xuÇ
Ss < ∞t {  t|rKs {š} € xu€yzsÌ|y vÒv x y |ÇKb|acpy
Ö { h {  ÍK{  { +
1/p
p
ϕ0 (x)
0 1+1/q
−
p
è r yÒ}~y v {`Ìb|y € } yÒ`ua v {œß&{ ȳ` v { à rKs ˜` [email protected] Ï € Kȳ{xÌ{ v a Ô<r b!È{ |x| ½t !t Ô v t s á r á t t 9 Ê. >4;ª{~ 9 Ê...;ª` [email protected] b q = α − 1 q y h { t  su€ {
9
α > 2 ; ca py [email protected]Ý { xu{ ß Ï`  R {
Ô<rK€ }~|y Kr € € Ç Cac|yzÍK{5ÍKÇ~b|y # a €  S = e − 1 < ∞ aÍ@{ } p = (α − 1)/(α − 2) {~
# €
a vzr b t˜v {Œ á Ç r b ȳ{;`ub|Ç~} Ç~xu{ € a t|t!s b|{5Ö s {5` rKs b ψ = |x| +
g Í@Ç b|y v a  kgk
<
∞
t|s t tÐÔ v € v
vÒr á s ï
[email protected]€ut
h + g€ a‘€ È { s b!{ v µ a á py r [email protected] [email protected] t ÇCa yz|€ Ç xu{ g,â %â_ö&æ v ! á s [email protected]|tyÝ ȳyҀ Ö { t { È[email protected]|€ Ö vÒs
}vÒr { `,t { s xRa  Ö { a ȳÇ~  s xÌ{–{œß&` t € Ç {wyz}v y {–`,t|s{ b!È{œ suȌt!ta €u{ € b|{ {~È{  `ua xu{–} } b|{
b Ö { ϕ(x) = x /2 Ö yžb!{ `ub!Ç { p{ aGÈ{ b!{/Ca yÒ{ {
ò {œß&{ ȳ` v {H`ub|Ç~} Ç xÌ{ € ô{ t  y € |Ç b|{ t|t a € 2} [email protected] } rK€ pb|[email protected]Òb!{ ȳ{ €  D [email protected]?E D
!
v {œß&{ ȳ` v {ŒÊ. Ê. y vZ€urKsut `%{~b|ȳ{~ºxu{ x rK€Ì€ { b su€ {Œ} v a t!t { xÌ{ŒÈ³{ t|s b|{ t xu{ v a Ô<r b!È{ µ € { %{~ t y α > 1 {œ ψ =
xuÇ #R€ yÒ{¹{ € 9 Ê rK € ; |{ s vzv { Ö rKs s { ψ € su{¹€ Í@Ç Ô<b|rKy #€ {¹`urKa € t v an€ } rK€ xuyÝpy [email protected]€ (CB)
Þ
`,{  pb Í@{ b { # }œpy € h Ç CacpyÝÍK{gÍKÇ b!y # a vÒv€  Ss = R€ e −# 1 <t‰∞v
|x| +h+g
arKÍ@€{ } p rK=€ (α − 1)/(α
{œ s p{ á {˜Ö { ψ {˜ÍKÇ~b|y {G`Ra a
− rK2)s {~ gv Í@v Ç b!y #R€ a  kgk
<rK∞
è
r
v
t
€
} xÌyzpy (CB) yÒb¹` b–} { a a xu{ a {~}~|y > x } [email protected]`uyz|b|{‘Ä
[email protected]?E "!
α
|h|
p
p
α
∞
ψ
2
ψ
α
p
|h|
p
∞
6 /"<; <)
$' $I9 )89D 8 '
Æt|s ³ta €u€ tv {5}sua t|tt xu{ r t ȳ{ r t|s b|{ ts t|s b Rvzv [email protected]€ € {¦} rK€Ì€ a ³`Ra t xu{¦} rKrK€ s xuyz|v y rKr € € Ç~€ } { rKt!€t [email protected]|{¨su€ {~
€y Ç Ca a v yÝp|Ǧ{Œxua { g,ây_} â_ȳöæÈ ! xuvÒ{ºr KaÖ @b|{yÝ á } ȳ{ yÒ{GÖ s xÌ{{Œ ת â Ç a € ÙžÈ â r!)y €u{~t  y v {œß&í y æt p{J` ` vÒsub t yÒ{ s b ÉÌt |{ `ub!py y € }~yÒ`,x { t {~{
} b|yÝ~b|{ t rKsut a vÒvzrK€ut xRa €utsu€ {Q`ub|{~Èy& b|{g`[email protected]Ðpyz{Q{®ßÌ` v yÒÖ s {~b v {Q`Ìb|y € } yÒ`,{gxu{Q|{ €ut!r b|y t ac|y rK€ 6 D6* B )8$D# D 8 ';2L8( #>';( $ ' #%<; @$ ò {¹`Ìb|y €ø
} yÒ`,{Jxu{¨p{ €Ìt|r b!y t a py [email protected]€ { t ;Ç v Ç vÒȳr { €  [email protected]á b|{¨ÈŒs [email protected] t ý |b" vzts yÒø ȳ` r t bÐ a v € ` [email protected] €b v { t y € ÇvzCav v yz|Ç €ut tºxuv {
–â ä\åõ½ØÚ \ô{~‚xu{ g[â â_öæ ! Cacb|yz ȳyÒÖ { { y } yZ{  [email protected]"@{ ȳ{ ‚xuÇ~[email protected] ÇGxRa {
}vÒr á [email protected]`uyÝpb|á +{ xus { 5 r / ý ËKË r y v xRac|{;xu{ v y € ÍK{ € py [email protected]€ È È³{;xu{ v y € ÇCa v yz|Çxu{ g,â â_öæ !
Cacb|yz ȳyÒÖ { Í yÒb ešb O B ?E "
! ) !$ µ $GB , jY µ ' KT#j+'+ , KTB UCk" )- - ! ' !$ i , KT R $GB , jY
, I)[email protected] µ $G , jY µ '& ), . !, .!$ KC#j*!$#ji * ' !$ i UC g,â â_öæ ! ')"* .l!$ 0 +
R ' [email protected] ) , ) #$*
'*!DI)[email protected] ) #$, .#& C $G , jY C ' Y ') , ' '+ , KCBkUC " )- - ! ' !$&i µ ⊗ µ , KT R
), . !, .!$ 3KC#j !$#ji * ' !$&i UC3g,â %â_öæ ! ')"* .l!$ 0C'*!DI)K UC, ) #$, .# max {C , C } Y
ý á r t € v t rKs su€ €ur #R€
t!s t r v €
r` Ks b|{ bpa  `Ç [email protected]"s ~b Èv {aGxu{ Ç~È KÇrK€ÌÇ t bppab|acy py { rK€ ` } rKb €ut!suv |{ b ÈGv { Éu b|á { Ç r b" yBȳxu{ {;$ȳ Ê.{ ÊG{œb| { v {^xu} {;r b`urKb vÒv É[email protected]Ò[email protected]!Éu{ y .yÝp Ê.Ç ‘ xu{
5 / ý ËKË è r Ï rK€ut Ȍacy € p{ € a €  v a‘`ub r `ub!yÒÇ~|Ç^xu{š`%{~b! s b|ÉRa py [email protected]€ n
+
1
m
1
1
n
2
2
2
1
n+m
2
1
+
2
è r Ï rK€ut
xRrKa €u€ut tnv { €  á Ç r b € ȳ{ t|v s yÝÍ@a €  [v aG`ub r `ub|yzÇ~vÒ|r ǂxÌ{º`,á { bÐ s b!s ÉRacvzpr y rKt€ s `,{ vb!È{œ|p€Ìa t € ªxÌ{‚t } ÔrK€ pbv v {~b € v a
} s  a |{^xuý {‰y ÇCat|suv yz|Çwxu{t g,â s %â_öæ ! [email protected]|yÝ ȳyÒÖ { b Ö { r a‚xu{ q yz|Ç {  [email protected]É {~È{ 
`%{~b! b|É,Ç { {šb|Ç  acw{ nx { +V‚â_ööæuÛU{œ gRížÚâ_â_õXÙ Í yÒb ) Å O B ?E @? "!
) !$ µ KC#j '+ ,KTB+UCA" )- - ! ' !$ i%,KT R ,).D!, .!), .# [KT#j
!$#ji * ' !$&i UC g,â %â_öæ ! ')"* .l!$$0C'*!DI)[email protected] UC ) #$,G.# C Y ) !$ U KC#j ) #jD! ) #:UC R
U .#$, R - ) l#ji)Y i,+ #!, , ) #$, ' 3'+ ,KCBUC" )- - ! ' !$&i µ̃ 1.
6 =A <$ 84';2P 8(#>' ;(,5 ' #%<;
@$ n
n
dµ̃ =
)
R
eU dµ Y
eU
dµ,
Z
' ) , ' '+ ,KTB µ̃ ,). !, .!$ bKC#j !$#ji * ' !$&ifUCbg,â %â_öæ ! ')"* .l!$ 0C'*!DI)KfUC ) #$, .# C̃ = C exp (2osc(U)) & ) osc(U) = sup(U) − inf(U) Y
Ɖý{2È È³{ –[email protected]€ ` rKs b|b|a ` rKs b v aHxuÇ È rK€ut pb|acpy rK€ } [email protected]€ut|suv p{~b v {  á Ç r b" ȳ{5$ >$ xu{
5 /
ò { t b|ËKÇ Ë t! su v pac t xu{ v a t { }œpy rK€ Ê ÊJ} r ÈGÉuy € Ç t aÍK{~}¨}~{ s ßUxu{;|{ €ut!r b|y t ac|y rK€ {œxÌ{¦`,{ b ø
v s € b!ÉRacpy v rK€ `,{ b!È{œ|p{ € šxudžvÒÎ"r xu{˜xuá ÇCaK{s b s̀ { Kbpa € xu{G} v a t!t {Gxu{‘ȳ{ t!s b|{ t^t ac|y tÐÔ [email protected] t a €  y éÂ€Ç Ca r yÝpsǪxut|rK*{ €ug,t â ⠀utwö&æ v ! t [email protected]|y݀¦ t|ȳs yÒÖ € {
|b x y xRa a {~}~|y yÝÍca p{š} {~b! acy €ut }~b|yz" b!{ t xu{G×nØÙ_ÚÛU{~ ì^æ[ÚÛ rKsut a vzvÒrK€Ìt yz} y,y € pb r x s yÒb|{nxuy Ç~b|{ €  tBr ÉÎ!{œ t ` rKs bBxÌÇ #R€ yzb
6 6 ; v { t }~ b|yz " b!{ t Γ Γ q&r yz ψ su€ { Ô<rK€ }~py rK€ xu{‘} v a t!t { C p{ vÒv {˜Ö s { exp(−ψ) t|r yÝ^y € |ÇKb|[email protected]É v {˜`[email protected] b|[email protected]`u` r b!
v t|s ð
t|s
#R€ t!t|rK€ÌtGv t|s
r v
v
Ô a a5rK€¦È³t|{ s yzÍcb|a {Œ€ pxÌ{ { Õ æ æ[Nî cZçæ b R Æ‰Ç y a5È{ b!{Œxu{`ub É[email protected]Éuy yz|Ç µ xu{ a
9 Ê. O;
1 {®ßÌ`
dµ (X) =
(−ψ(X))dX,
Z
r Z = Z {œß&` (−ψ(X))dX q&r yz L = ∆−(∇ψ·∇) v { KÇ € Ç b|acp{ s b y €$#R€ yÝpÇ t yÒÈa v xÌ{¹xuy sut y rK€ xu{QÈ{ t|s b!{¹b|ǜÍK{~b t yzÉ v {
ÓrKt|[email protected]€ut { €$#R€ ` rKs bB rKs p{ Ô<[email protected]€ }~|y rK€ f xu{š} v a t|t { C xÌ{ R xRa €Ìt R µ Γ(f ) = k∇f k
t|t
t!t
Γ (f ) = (∇f ) · )ª{ (ψ) · ∇f + k)n{ f k ,
r
∂ f
)k n{ t!t f k = X
.
Z=
+
2
2
2
n
ψ
ψ
ψ
ψ
2
ψ
2
n
2
2
>
2
2
n
2
i,j=1
∂xi ∂xj
2
2
2
Kr sut³€urKsÌt É r b €[email protected]€ut yz} y Ô acyÒb|{5b!Ç Ô Ç b!{ € }~{ /BÞ ÅC /Ba 0 P.>n{~ v {5} á [email protected]`Ìyzpb!{ xu{
5 / ý ËKËX` rKs b–xÌ{‚` vÒsut [email protected]ȳ` v { t xuÇ~[email protected] vzt } [email protected]€ } {~b € a € ª} { tnr `%Ç~bpac|{ s b t rKsutwt!r Èȳ{ t È[email protected] € |{ € a € w{ € ȳ{ t!s b|{šxu{š`ub!Ç t { € p{~b v {^} b|yÝ~b|{ Γ
B ?E "
! ) !$ ψ KC#j7 ) #jD! ) # UC ' , ,2 C Y @K2 ) , ) #$,AI)K ! ' /!,&AKT#j
) #$, G.# C > 0 & ' ' I)K
9 Ê. Å ;
Γ(f ) 6 CΓ (f ),
) KTk ) KT ) #j ! ) # UC R U .#$, R UC, ' , 2, C Y
') , ' '+ , KC UC" )- - ! ' !$ i µ UCi,+ #! [# 9 Ê. O.; & ,).D!, .!$ KC#j !$#ji * ' !$ i UC
g,â â ö&æ ! ')"* .!$$0C'*!DI)K UC, ) #$, .#& 2C Y
rKsut xuyÒb rK€ut a vzr b t Ö s s̀ {‘È{ t|s b!{‘xu{G`ub r É[email protected]ÉÌy v yÝpÇ t ac|y tÐÔ [email protected]‰a s l!$ B t y v {œß&y t p{
su€ {‚} rK€ut  a € |{ C > 0 |{ vÒv {^Ö s { v y € ÇKa v yÝpÇ 9 Ê. Å ; t|r yÝ t ac|y tÐÔ [email protected]|{ ` [email protected] b– rKs |Γ{ Ô<rK€ }~|y rK€ f
a t|t { ‚b|€ Ç suv y& b|{rK €u€ s v s t v [email protected]€ut
t|suv t € rK€Ìt³v
ø
€y p5Ç KbÍc|a Ç  xu{ x {~b‘Ö { Ö { [email protected]`u` yÒ}a py xÌ{;} {;b|Ç  ac `ub!Ç {  { } b!yz" b|{ Γ
B ?E "
! ) !$ ψ KC#j ) #j ! ) # UC ' , 2, C f# ) ) #$, µ ' '+ , KTBUC
" )- - ! ' !$ i UCi,+ #! 1. ' iJI)K1.D! ) # 9 Ê. O.; [email protected] ) , ) #$, I)K ! ' /!, &EKT#j* ) #$, .#& C > 0
& ' ' I)K
Z
Z
9 Ê. P ;
e Γ(f )dµ 6 C e Γ (f )dµ ,
) KT3 ) KC&b ) #jD! ) # f UC R U .#$, R UC ' , 2, C & ' ' I)K ' 3
, l'+ , UC ' !$#ji * +
' !$&i[.! #kKC# 2, #$), Y ') , ' '+ , KC UC*" )- - ! ' !$ i µ ), .D!, .!$ KT#j !$#ji * ' !$ i UC
g,â â ö&æ ! ')"* .!$$0C'*!DI)K UC, ) #$, .#& 2C Y
rKsut xuyzb rK€Ìt a vÒr b t Ö s su€ { È{ t|s b!{ xu{ `ub r É[email protected]Éuy v yz|Ç xuÇ #u€ yÒ{ { € 9 Ê O; Bt acpy t!Ô [email protected]Ý5a s
} b|rKyÝs~b|{ rKΓs + !$#Ô<rKi € * i rKt € y v {œß&y t!t t p{ su€ { su} v [email protected]€ut pa € p{ C p{ vÒv {˜Ö s { v y € ÇCa v yz|Ç 9 Ê. P ; t|r yÝ^ÍKÇ~b|y # Ç {
` bwrKsu t |{ rKs }~|rKy €utŒsÌf€ a { ºb!rKǀut y~b|{[email protected] € vÒv
á Ç r b ȳ{5xRa €ut v a`ub r ` rKt y ø
|

b
@
Í
{
b
5
{
u
x
Ç
È
p

p
b
a
p

y
Ì
x
~
Ç

c
a
y
Ç
{
Ì
x
¨
{
~
}
¦
{

py s [email protected]€ á . > O Ìx s u} t á [email protected]`Ìyzps b!{ ˜€ xu{ t!s 5 /v ýtwt ËKË ø } { rKvÒv s { ø }~y%t { t  t yÒȳy v acyÒb|{ G}~{ vzv {‰x s  á Ç r b" ȳ{šÊ. Ê
x ò } [email protected]`u€yz|b|{ € Ä ac`ut ` ÏKs a  b { t t { ȳy @b € `,t { Õt xu{Gsu€ ó2Ø ÚžÙžt!s â ! r v #R€
{ 9 yz{ t{ pb|tÐ{‰Ô } { xÌs { ߌ} b!yz~b|{ vÒv { t –Ç~Ít!yÒÔ xÌ{  vzr t½y Ô<r { ȳ{ € b|{‰s xu{ `ub É[email protected]Éuø y € yÝpÇ xuÇ yÒ{
v`R{ [email protected] b ÈÊ.~ÈO; { t }acrK|y€Ìt [email protected] yzž€ |a { t }~b| yz"€ b!`,{ { Γs  { t {–{ xu{~acȌpy a € [email protected]Ýž{ b a t y b v {¹} b!b!yz} "Ç~ Èb|{ { Γø y a € |Ç}~Kbb|!yz"ÇB { b!t{  Γsu€ y {–|} ÇrKKb€ !xuÇ yÝapÍ@y rK{ € }
€ Ç }~{ t|t [email protected]Òb!{ô` rKs b v y € ÇCa v yz|ÇxuW{ g,â â_öæ ! vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s { ò aUb!Ç ` rK€ut {2{ t  €urK€ ò a
} rK€ xÌyzpy rK€ x vÒr rK€u€ Ç~{˜á xRa €ut s }~{‚r á Ç r b ȳv { € rK{ € t  `Ra v tª€ Ç~} { t|vt acyÒt!b|s {˜` rK€ s bnÍ@Ç b|y # { b v y € ÇCa v yz|Ç xu{
g,â â ö&æ !
[email protected]|yÝ ȳyÒÖ {n} ȳȳ{ {^È pb|{ {®ß&{ ȳ` { yzÍca wx + V‚æ[ö&üÌüuæ[Ú +
2
2
2
n
2
ψ
2
2
2
f
ψ
n
f
ψ
ψ
2
2
ψ
2
+
2
2
2
r
q&r yz
?
"!
α > 0,
{œ
ý¹rK€ut yÒxuÇ~b rK€Ìtªv aGÈ{ t|s b!{‚xÌ{‚`Ìb r ÉRacÉuy v yzpÇ
a, b ∈ R
1 −ψ(x)
e
dx
µψ (dx) =
Zψ
t  v a } [email protected]€ut pa € p{nxu{ €ur b|Èa v y t a py [email protected]€ {~ r
{
€¦vÒs yXa t|t!r }~yÒ{ € a  s b!{ vÒv { ȳ{ €  v r `,Ç b|acp{ s b
Zψ
ψ
{ t QxÌÇ #R€ yz{w`[email protected] ψ(x) = α(x − bx ) 4
2
rKs rKs Ô<rK€ [email protected]€ v t|t ò t|s
# su€ € v
Òv` r Cacb b|yz  á ȳ|{yÒÖ s { }œx py [email protected]`ubxutw{‘v }aGa `Ìb r { ` CrKt yÝ py rKa;€ ÈÊ. {Ê.ÝÄub!{ Þ µ€ { %ÍK{~Ç~ b|y y v{ { t  { Ô [email protected] }~y Çv {‰Ca xu{^yz|ÈǺ[email protected]€{ |g,b|{~â b–Ö â_s ö{ æ v ! a
Ô<rK€ }~|y rK€ ψ(x) = α(x − bx ) ÍKÇ b!y # { v aG} rK€ xuyÝpy rK€ (CB) Ñ rK€ pb rK€ut Ö s { ct y f (x) = αax a vzr b tv {Z|{ b|ȳ{ R e Γ (f )dµ { t  t |b|yz}~p{~È{ €  € Ç Cac|y Ô
` v rKs b–} { bЀ [email protected] € { t t Íca € v { s b Ô t sxu{ t Ó `[email protected]È #u~€|b|{ t rK €5ò {^rK€ } b!yz~Õ b|{^x s  á Ç r b ȳ{^`ub|Ç~} Ç xÌ{ €  t { b|a³acy €ut y
} acyÒb|{~È{ –Èy { xuÇ a  [email protected]–xuÇ yz|y a
Lf = f 00 − α(4x3 − 2bx)f 0 ,
2
4
ψ
2
2
Z
(2αa)2
e Γ2 (f )dµψ =
Zψ
f
Ö s y{ t nx s¦t y& € {^xu{
f
Z
R
ψ
2
[1 + α(12x4 − 2bx2 )]e−α(x
4 −(a+b)x2 )
dx,
Z x4
12x4
2
2
1+
− 2bx e− α +(a+b)x dx.
α
R
q&rKsut v aJ} rK€ xuyÝpy rK€ a + b < 0 _v a v yÒȳyz|{x s ȳ{ ÈGÉÌb|{ xu{5xub r yz|{ Ö s a € x α p{ € xHÍK{ b t
v y €$#R€ y { t nx s¦t y& € {^xu{
Z
2
(1 − 2bx )e
(a+b)x2
dx =
Z b
2
1+
e(a+b)x dx.
a+b
‰y €Ìt y ` rKs b_ rKs  a {~ brKsÍKÇ~b|y # a €t!t  t yÒÈ suv € pa € [email protected]Ç € ȳ{ € R a + b < 0 {~ a + 2bò >€ 0 9 `Rv [email protected] {®9 ßÌ{~È` € v {
{~ ;g{~–` b a { @bpa x a
a=
€ w rK<s Î 0rKs b t y ` rKÇtCayzpy yzÔ | Ç Ê. P; {
`%{ s n−3x rK€ }šb`Ra=t 2œpb|{ t acpy t!Ô [email protected]αyÝp{ &t|rK€ p{~b|ȳ{šxu{/Ca s e} á Γ{š(fǜ a )dµ
rKsut ` [email protected] Í rK€Ìt a vzr b t b|Ç t|s ȳ{ b v { t xÌy%Ç b|{ €  t˜v yÒ{ €ut { € pb!{ t }~{ t }~b|yÝ b!{ t {~ v y € Ç Ca v yÝpÇ
xu*{ g,â â ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {n`Ra twv { t } á Ç Èa t|s yÝÍ@a €  Õ
ý
€
é€ v
vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s { ).
(} b!yz" b|{ Γ ) ⇒ ( b|yÝ~b|{ Γ−y pÇ Kb|Ç ) ⇒ ( ÇCa yz|Ç xu{*g,â %â_öæ !
ò { t } á { t Ç~ a € šxÌ{ t } [email protected]€ xuyz|y rK€Ìt‰€ Ç~} { t!t [email protected]|{ t È[email protected] t x [email protected]`ub t } {‘Ö s y_`Ìb|Ç } xu{ €[email protected]€t|s ‘ø
t a € p{ t Æá r rK€u€[email protected]€ut t È[email protected] € |{ € € a t € ¦Ö s { v Ös s { t {œß&{ ȳ` v { t rK`,€u{ € b!È{œ|v  ta € ¦x su€ v {2t;`RÔ<[email protected]Ѐ x y vzvÒsu€ t pb!s { b v { t
 Ç t|s b"~Èt { `u#b!Ç }~€ Ç xu{v €  {œ¨v x a pb|{ `[email protected]Ð5xu{ vÒr x {~á b { s {®ßÌ{~È` { [email protected]ȳ{  a ß8xu{
È{ b!{ ÍKÇ b!y a  y ÇCa yz|ǪxÌ{ g[â â_öæ ! Cacb|yz ȳyÒÖ {
5
R
R
f
2
2
2
ψ
q&r yz ψ xu{^} v a t!t { C {œ t|r yÝ µ v a˜È{ t|s b!{^xu{^`ub r É[email protected]Éuy v yÝpÇnxuÇ #R€ yÒ{
`[email protected]éÂb v v a t Ô<r Ô b!È suv v { 9 Ê. O; s s t
{  [email protected]}~y { xu{šb|{~Ȍ[email protected]!Ö { bwÖ { y
9 Ê.ÝÄË ;
)ª{ t!t (ψ) > C é x ,
r C > 0 &v a˜È³{ t!s b|{ µ t ac|y t!Ô acyz–a s } b|yÝ~b|{ Γ xu{^} rK€ut pa € p{ C uÆ a €Ìt } {š}a t x [email protected]`ub t
v {ª á Ç r b" ȳ{^Ê $ µ t ac|y t!Ô acyz v y € ÇCa v yz|ǖxu{ g,â â_öæ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s { ý { t  v {ª} a t
xu{ v a‘ÈvÒ{ sut|ts Zb!{/v Ca á sut!r t yÒ{ €u€ {
Ɖá {¨` s 9 {r  v Ç bá ȳr {¦xÌ{¨`,{ bÐ s b! ÉRacpy rK€ É r b € Ç~{¦rK€ xÌ{ v y € Çs Ca tv yz|ÇxÌ{ g,# â v â_öæ rK! € vzr CarK€ ø
b|yz ȳyÒÖ vzr { tnÍ v yzb { t|s Ç b ȳt {‚Ê.t! $Ô .Ê ; `,€ { b!r È{œwxuv {^€ È v pb|{~b–Ö { y ψ Í@Ç b|y vzr { aG} á xuyÝpy s b|{ y Ç Ca yÝpǚxu€Ì{ tng,v â â t ö&æ ! v [email protected]!yz €uÈt rKyzÖ € { (CB)
v aG} [email protected]€ut a pa € b p{^a³Ç~pÈa € {  Î sub!{ t |µ{^`%{~b!ac ps y b|É,[email protected]Ç yÝn{^{ `Rac} b exp
uÆ a {‰} a xu{ aGxÌyÒȳ{ y Ä
€urKsut b!{~pb rKs Í rK€utwv a˜`Ìb r ` rKt yÝpy rK€ Ê. Ê.ÝÄ^Ȍacy t¹v (4kgk
{ t |yÒȳlj)xu{ v a˜} rK€Ìt  a € |{š{ t wȳ{ y vÒv { s b t yz} y Ñ È³{ t y v Ç~Ö s yzÍca v { € }~{‚{ € pb|{ v {š} b!yz" b|{ Γ ø y € pÇ Kb|ǚ{~ v y € Ç Ca v yzpǪxu3{ g[â â_öæ ! vzr Ca ø
b|yz á ȳs yÒÖ €s { { t  Ô# a sut!t { t€uv [email protected]€ sut ` vrKs Í rK9 €ut `[email protected]‚} {Œ}~t b|yÝ vÒb!v { t r ÉÌps { € yÒv b su€ {t|s} v a t|t {Œxu{ Ô<#RrK€ € }œpy [email protected]€ut
ψ
v Ç Ö Ö s acy |y rK€{¦ÍK9 Ê.Ç~b| O.y ;‚{JÍKÇ~`Rb|a y # { yv { Ç } Cab!yz"yÝ pb|Ç { ΓÊ.zø Äy €Ë ;|ÇKbÈ!Ç[email protected] y ò aJp{ `u{b r ` Ö rKt {yÝpy [email protected] € Èt|s { yÝÍca b!€ { p{;µ `ub!xuÇ tÇ { € pyÒ{ {su`u€ [email protected]{b
[email protected]Ȁ Ç v y r bprKac€ |y rK€ xu{ v a;rK`usÌb tnr ` €ÌrKrKtsuyzt |y rK€v <$rK <$€uÝt ÄxÌ{ t!s )ª{ v PPcÉ ÈŒacy t Èa v á { s b!{ sut { ȳ{ € ˜`ua t xu{ v a
} xÌyzpy (CB) ` a yz} y b R 9;:<9=7 ? D
! ) !$ ψ KT#j ) #jD! ) # Bi ' ' bUCA ' , 2, C & , K2 ) 2, i ) #-./T ' !$# + #! & , + + U.!$B I)K ! ' /!, &UCK /[ ) #$, G.# , A B , l! '+# ) , !$D!$-. , & ' ' ,
I)[email protected]
9 Ê.ÝÄKNÄ ;
ψ (x) > B & ∀x ∈ [−A, A] .
) K , , KN ) 2, ) #$, UC+ ' K , I)K ! ' /!, KT#j ) #$, G.# U > 0 ' ' I)K ' , UCK./
) #"U.!$ ! ) #$, , KC!$- .# , , ) ! # , !$'*K ' .#ji'+#d-.i! +i ,
(
ρ(U ) = inf {ψ (x)} > 0,
9 Ê.ÝÄVÊ ;
1 − 12U kψ k
> 0.
') , ' '+ , KTB µ ), . !, .!$f.K l!$ B Γ + !$# i * Bi & ' !$#ji * ' !$&i $ CY ' Y
rK€ut [email protected]€
r [email protected] rK€ t á € s tºt!rK€
t t v
ò
éÂvZt a¨aKyxuz Ç ½È t|s b v pbp{ a €upt y {~ÈGÉ xuv {‘{ }}~r{~|ȳ|{`[email protected]`u}~b  `[−A,yz|y A] { x Gs ppy {~v y} t { b yÒÖsu€ {;{ Èy € [email protected]Ç Cay v yzpǘxuyÒxu{‘Ç~p{ b [email protected]{ s2 t `%yz{~È}~p` b|a {v } r ȳ`[email protected]}œp{[Þ_ t|s b v {^} r ȳ` v Ç È³{ €  [email protected]|{ªx s py v y t { b v su€ y Ô<r b!È{ª} rK€ ÍK{®ß&yzpǂxu{ ψ q&r yÝ U > 0 {œ t|r yÝ ξ su€ { Ô<rK€ }~py rK€ xu{^} v a t|t { C ÍKÇ b!y # a €  v { t } [email protected]€ xuyz|y rK€Ìt
BKC-. "
!
t|s yÝÍ@a € |{ t
?
"!
2
ψ
ψ
2
ψ
ψ
∞
2
ψ
2
2
00
c
0
0
ψ
00
|x|>U0
2
0 2
0
[−2U0 ,2U0 ]
2
∞
U
0 6 ξU (x) 6 1,
ξU (x) = 1 ∀x ∈ [−U, U ]
ξU (x) = 0 ∀x ∈ [−2U, 2U ]c .
Ó rKt!rK€ut a vÒr b t ζ = p1 − ξ ò {^} rKs ` v { xÌ{ Ô<rK€ }œpy [email protected]€ut (ξ , ζ ) b!Ça v y t {ªx rK€ } su€ {^`[email protected]Ðpy ø
py [email protected]&€ s xÌ{ rKv t|sÌ[email protected]€ €uyzt |Ç xus {š} v a t|t { C t|r su€ Ô<rK€ rK€ v t|t rKsut vÒvÒ[email protected]€ut [email protected]
a ` b
r`ub Ks ÍK`u{ ` b v {  á Ç Ö r b" { ȳZ{ È=aVÎ 1r b!{œ{  b v a‘yÝÖ s fa € pyz|{ Ç }~|y xÌ{;} a { C 2
U
2
U
∞
U
2
U
2
ψ
`[email protected] v aGÖ s a € |yzpÇ
r
Z
Z 02
00
dλ =
Z
dλ =
Z 0 2 f −ψ
f e
f ψ +f
00 2
e
f −ψ
2
f 0 ef dµψ
2
f 0 ψ 00 + f 00
2
ef dµψ ,
t  v a ȳ{ t!s b|{šxu{ ð æ æ[îNcZçæ t|s b R {
éÂvXt|s nx rK€ }šx [email protected]`ub tnv aGxuÇ #R€ yÝpy [email protected]€ xu{ twÔ<rK€ }œpy [email protected]€ut ξ {~ ζ xu{šÈaVÎ r b|{~b
λ
Z
2
f 0 ξU2 ef −ψ dλ +
Z
2
U
2
U
2
f 0 ζU2 ef −ψ dλ.
q&r yz K = R v ξ dλ ,r v = f e € a { €Js |y v y t a €  v y € ÇCa v yz|Ç xu{ B â_ä\åõ½ØÚ\
` rKs bnxÌ{ t–Ô<rK€ }œpy [email protected]€ut t|s `u` r bЪxua €utwv y € p{~b!Íca vzv { [−2U, 2U ] Õ
2 2
U
0 f /2−ψ/2
K 6 16U
2
Z
2
v 0 ξU2 dλ
+
Z
2
02
v ξU dλ .
¹ý rK€ } { € pb [email protected]€utÐø €urKsutºt|s b v a;Ö s a € pyÝpÇ L = R v ξ dλ Xv {‘xu{ s ß&y~È{ p{~b|ȳ{‘xu{xÌb r yÝp{‘xu{
v y € Ç Ca v yÝpÇ € {Œ` rKt a € º`Ra t xu{Œ`Ìb r É v ȳ{=5ª`ub" t˜v {³xuǜÍK{ vzr `u`,{ ȳ{ € GxÌ{ v xu{ s ß2y € pÇ ø
Kbpac|y rK€Ìt `[email protected]–`[email protected]Ðpyz{ t {~nÖ s { v Ö s { tnv y& € { t xu{š}a v } suvztB€urKsutnr ÉÌ|{ €[email protected]€ut a vÒr b t
L =
+
+
02 2
U
02
Z
Z
Z
2
1
1
2 2
0 f −ψ
0 4 2 f −ψ
03
−
f ξU e dλ −
f ξU ξU e dλ −
f 0 ψ 0 ξC2 ef −ψ dλ
12
3
4
Z
Z
Z
1
3
2
2
f 0 ψ 0 ξU2 ef −ψ dλ + f 0 ψ 0 ξU ξU 0 ef −ψ dλ + f 00 ξU2 ef −ψ dλ
3
Z
1
2
f 0 ψ 00 ξU2 ef −ψ dλ.
2
L
Z
Z
Z
1
2
1
2 2
0 f −ψ
0 4 2 f −ψ
03
−
f ξU e dλ −
f ξU ξU e dλ −
f 0 ψ 0 ξU2 ef −ψ dλ
12
3
4
Z
Z
1
2
3
f 0 ψ 0 ξU2 ef −ψ dλ + f 0 ψ 0 ξU ξU 0 ef −ψ dλ.
3
ò { t xÌ{ s 5ß xÌ{ b € yÒ{ b t p{ b!È{ t xu{ € { |t rK€ n `Ra t } Kr € p bpacy € a €  t ` rKt|[email protected]€ut a Òv r b t
M =
+
ò y € Ç Ca v yz|ljxu{ ë ØXçõ=]XÛ lg,õ=] ‰Ø Ú G} [email protected]€ x s yÝ Õ
sZ
Z
Z
1
2
2
4
0 4 2 f −ψ
2
M 6 −
f ξU e dλ +
f 0 ξU ef −ψ dλ f 0 2 ξU 0 ef −ψ dλ
12
3
sZ
Z
Z
1
1
2 0 2 2 f −ψ
0 2 0 2 2 f −ψ
0
−
f ψ ξU e dλ +
f ψ ξU e dλ f 0 4 ξU2 ef −ψ dλ
4
3
sZ
Z
2
2 0 2 2 f −ψ
0
+
f ψ ξU e dλ f 0 2 ξU 0 ef −ψ dλ.
q&r yz v aGÖ s [email protected]!yÒÖ s { |t s Ýy Íca € p{ Õ
Q(a, b, c) = −
1
1
1 2 2
a + ab − c2 + ca + bc − αb2 .
12
3
4
3
vÒv s
s s
éÂv t Ô v rK€ s vK€ t t rK€ut €
t|r {yÝ  € Ç[email protected]}~cy |{_yzÍ@xu{³{Z}È { t %pb|¦{~bXxuÖyzb|{‘y Ö s { {œß&v a y pt {gy& `R€ a ac s xub|{ {‘} xu{ v pa;a Ö ps { [email protected]αxÌb|>yÒÖ s0{³p{ { t {_ Ö (0,{ 3)} {~ !pý { {~Ö } y [email protected]È [email protected]!yҀ Ö |b|{{
Ö rKs €u{ t v rK€ € `,{ t s BȌa v á { € s b|{ sÌrKt t { ȳ{ € –Ó `ua t ÈrK€aVÎ r b|{~v b Ms `[email protected] αs R f ξ e dλ r α { t  su€ {
}  a |{ pb|yz}~|{ ȳ{ n` yz|yzÍK{ [email protected]} pb!{ aGÖ [email protected]!yÒÖ {
02
U
0 2 f −ψ
Q0 (a, b, c) = Q(a, b, c) − γc2
a ` rKr s b t yrK€ € act! s s b|{ € (0, 3) xuÇ t Ö s {
ȌaVÎ bpac|y yzÍca |{
M65
r
rKsut aÍ @r €ut x us € º{ `Racb!
Z
|x|>U
02
1
dλ 6
ρ(U )
Z
f 0 ψ 00 ξU 0 ef −ψ dλ,
02
0 2 f −ψ
{~nx a s p b!{š`[email protected]!
02
2 f −ψ
f ψ ξU e
`Racbª{®ßÌ{~È` v { €r ÉÌpyz{ €  a vÒr b tnv a
f 0 ψ 0 ξU2 ef −ψ dλ.
0 2 f −ψ
f ξU e
α=5
Z
f ξU e
02
{œ
3
dλ +
4
Z
ρ(U ) = inf {ψ 00 (x)}
Z
γ = 3/4
dλ 6
2
2
2
2
2
kψ 0 k[−2U,2U ]
Z
2
f 0 ξU 2 ef −ψ dλ.
ê yÝß rK€ut a vÒr b t U = U ò { t á Ï` r  á t { t xu{ v Ç Ö s ac|y rK€ 9 .Ê zÄÊ;Ba t|t!s bpa € nÖ s { Õ ρ(U ) > 0
rK€ s t € €ut
{~ 1 − 12U kψ k
> 0 } x y { ª[email protected] y 2
0
0
0 2
[−2U0 ,2U0 ]
0
2
12U02 kψ 0 k[−2U0 ,2U0 ]
Z
02
2 f −ψ
Z
2
dλ +
f 00 ef −ψ dλ
Z
Z
6
2
2
2 f −ψ
2
0 2 00
2
f 0 ψ 00 ξU0 0 ef −ψ dλ.
+ 8U0 f ψ ξU0 e dλ + 8U0
ρ(U0 )
K 6
16U02
f ξ U0 e
€¦r ÉÌ|yÒ{ € w`[email protected] |t s Ýy p{
16U02
K 6
1 − 12U 2 kψ 0 k2[−2U0 ,2U0 ]
8U02
+
1 − 12U02 kψ 0 k2[−2U0 ,2U0 ]
8U02 ∗ 6
+
ρ(U0 ) 1 −
Z
Z
2
f 00 ef −ψ dλ
2
f 0 ψ 00 ξU0 2 ef −ψ dλ
12U02 kψ 0 k2[−2U0 ,2U0 ]
Z
2
2
f 0 ψ 00 ξU0 0 ef −ψ dλ.
ý {~||{ºxÌ{ b € y b!{šÈŒaVÎ r bpac|y rK€ yzÈ` v yÒÖ s { v {œß&y t p{ € } {šxu{š} [email protected]€ut pa € p{ t A {~ C |{ vzv { t Ö s {
Z
0 2 f −ψ
f e
Z
2
f 0 ζU2 0 ef −ψ dλ
Z
1
2
6K +
f 0 ψ 00 ζU2 0 ef −ψ dλ
ρ(U0 )
Z
Z
1
2
02
0 2 00
00 2 f −ψ
2
6 A f e dλ + f ψ AξU0 + AξU0 +
ζU0 ef −ψ dλ
ρ(U0 )
Z 2
2
6C
f 00 + ψ 00 f 0 ef −ψ dλ,
dλ = K +
} {šÖ s yXp{ b!Èy € { v a Ìx Ç È rK€ut |bpac|y rK€ ? " ! ï {~`ub|{ €urK€ut^v {®ßÌ{~È` v {˜xÌ{+V‚æ[ö&üÌüuæ[Ú q&r yÝ ψ(x) = x − ax %r
€ b|[email protected]`uyÒxÌ{˜}a v } sÌv `,{ b|ȳ{~‰xu{‘xuÇ~x s yÒb!{Gxu{ v aŒ`ub r ` [email protected] yz|y rK€ `ub|Ç~} Ç~xu{ € p{ Ö s {‘` rKs b
a >t|t 0 Ü
`%{œpyz€  _v aȳ# { t!s b|{ twµv xus Ç #R€ rKyҀ {59`[email protected] v Ç Ö s ac|y rK€ 9 Ê. O.;GÍ@Ç b!y # { v {;}~b|yz" b!{ 9 Ê. P;˜{~
a rKa s { ¨
€
` b! a  ψ {šÍ@Ç b!y {š`Ra Ç~Ö acpy Ê.ÝÄË ; 4
ψ
2
3 E8( #>';( 5 ' ;
$ )!$ )9 8$
è r rK€ut € € € v rK€ut rK€ v € v
vÒr á s
r` Ks bBÏ xu{ t–t Ï Èt [email protected]~y È|{{ t a xu{  t `Ìa¦y €uxut Ç È Ö s y½{ pt b| acsupy€ {‰y € xÌÇ { Ca vy yÝpÇÇ Casu€ yzy pÔ<Ǒr b|xÌȳ{ {ªg,b|â [email protected]`u%` â_r öb!æ B! a s ß Ka`[email protected]@b|yÝbp acÈȳœyÒpÖ b|{ {t
rKs b v a Ô [email protected]ȳy vÒv {ªxÌ{‚ȳ{ t!s b|{ µ
Λ {œ ω `
ò y € |Ç b"œžx r ÉÌp{ € yÒb s̀ { y € Ç Ca v yÝpÇxu{g,â %â_ö&æ ! vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s { su€ y Ô<r b|ȳ{ `[email protected]@`Ì` r bÐ
rKΛs {~rK €ut ω `,{ Ôb|ȳrK{~€5xut {JÈ v rKt € pb| {~bŒt|Ö s s { v Ö s {v t t b!Ç t!t|susÌv v pac t twxur {Jȳ€Ç s }a t € yÒÖ s { t  ac|y t pyÒÖ s { rKsut
` Í ò r xu€{ arK € vyÒȳ€ ` y pv { b!Ç È{~b { b!Ç vÒr  a  á ÉÌ|{ s { rK€ v t†ø
€p{ }ÉÌ{‚|{ {~ py v su€ xuyz} { yz|ljy xuÇ { Cav aGyzpȳÇZ{ xÌt!{ s b|g,{šâ xu%{ â_ö&Gäæ ! %îGCaa ct|b|t!yzr }~yÒÈ³Ç {yÒÖ {Z`,{ b|ȳ{~xu{BÈ pb!{ b {œß&y
q&rK€7r ÉÌp{ € py [email protected]€ `,{ b!È{œ5xu{ È rK€ |b|{ b5Ö s { v aHxÌÏ € acÈyzÖ s { xÌ{ GöØXç %æ[Ú a t|t!r }~yÒÇ } [email protected]€ €uÍKt {~b"K{s ;{®ß&r ` rK€ t { € pyz{ vÒv { ȳ{ € ‚Í&yÝp{³ÍK{ b tGv Ç Ö s y v yzÉub|{ y € xuÇ~`%{ € xu{~Èȳ{ € GxÌ{ t } rK€ xuy ø
py vÒsÌa tKß5v É € b!x r € v € v
y
|

Ç
b
~
Z

x
Ì
É
|

{
z
y
b
y
Ç
Ca
z
y
|

g
Ç
Ì
x
{
A
g,â â ö&æ ! vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s {Q{ t  ȳÇ~ á r x r ø
Ɖ{–`
vÒr s t|rK€5r € rK€
s
t vt r vt vt € v t
ý¹r ÈKyȳzÖ {¦{ xRa €utv {¦É&p} {á [email protected]|`uy yÝpb|{¨`,{`ub!b|ÈÇ~} {œÇ~–xuxu{ € {^ ȳ Ç~yÒ{  s ßxuy ȌrK€Ìa tŒpvb!a y {~Ô [email protected]ȳ{ y vÒv È { xux {J ȳ{ { t!{œs  b|{ { t y µÇ Ca yzpÇ xuÇ #R€ yÒ{šxRa €utwv y € |b r x s }œpy [email protected]€ `[email protected] v y € |{ b|È³Ç xÌy [email protected]|{nx s }~b|yÝ b!{ Γ ø y € |ÇKb!Ç
$:$% ': < $Y8(# ( ò aJ`ub!{ ȳy~b|{ yzxuÇ {;` rKs bGǜ s xÌyÒ{ b v a
3 D6*
Ô [email protected]Èy vÒv {ºxu{ ȳ{ t!s b|{ t µ xuÇ Γ#R€ yz{³xua €utšv y € pb r x s }~|y rK€ { t ‚xu{ b|{~`ub r x s yzb|{ v a;ÈÇ ø
v á r xus {5xu{ V‚€ æ[ö&üÌüuæ[Ú7s xuá ǜÍK{ vzr `u`,Ǩxua [email protected]€u€ t³v {;} sá [email protected]`Ìv yzpb!{5s `ub|Ç~v } ǀ xÌ{ €  € Ñ a v v á { s b!{ sut { ȳ{ø € €  su€ {
{ }œv € b!{‘ac!v p{ |yzÍK{‘x } [email protected]`uyÝpvzb|r {ŒÄGÈ á |b|{Gs Ö {t ǀ Ö t yzÍca €u{ t }~{Gv { |rKb|s { {Gs } b!yz~b|{ Γ y |á Çr Kb!Ç
{~ [email protected] y Çt|Cat yz|ǖxu{ g[â â_öæ ! [email protected]!yz ÈyzÖ {n{ ¹y xuy `,{ [email protected]É {‰` b¹Ö {‰} {~!p{ ȳÇ~ xu{
[email protected]É py € {r €ut t v ár
€ut v á
€ € t vzsut
vÍ@a [email protected]ÉÇa v { È €urKsuy t ` rKÈs Í~È[email protected]€u{ t y`[email protected]|a ȳvÒv Ç~v { ȳ{ x̀ {; xu Ç } }~{‚b|yz|Ö {5s yxR{ a t  Ô [email protected]{;yzB} xRa [email protected]€u`utnyz|v b|{^{5 `uá b!Ç Ç r } bÇ~ xuȳ{ {˜ Ê >³{ x s }` á a ø
`uyzrK|s b|{–Äv x Ô [email protected]€u€ vÒ{ v b su€ }~b|yz"t! s b!{ sÌt € y Ô<r b!È{ { € pb|a ý € a t €  v v r y € ÇKa v yÝps Çxuá h{ rg,â â ö&t|æ s ! vÒr € [email protected]|Õ yÝ á ȳyÒÖ s {
` b a [email protected]ȳy {ªxÌ{‚ȳ{ b|{ µ
{  ÉÎ!{œwx  Ç b" ȳ{ yÝÍca 
B ?E "
! ) !$ ψ KC#jd ) #jD! ) # Bi ' ' * , ) !$ ' 3'+ , KCB µ UCi,+ #! 1.
ΦΛ,ω Λ,ω
ΦΛ,ω Λ,ω
2
2
ΦΛ,ω Λ,ω
2
ΦΛ,ω Λ,ω
ψθ
1
exp(−ψθ (x)),
Zψθ
R
# *I)K ! /! &
ψθ (x) = ψ(x) + θx (θ ∈ R) Zψθ = exp(−ψθ (x))dx [email protected] KT#j* # .#& C
& I)[email protected] KT θ & 3'+ KCB µ ). ! .!$ *l!$ B $ CY ' (
U LS
ψ
Z
Z
00
00 2
f
02
f 02
dµψθ ,
e f dµψθ 6 CU LS e f ψθ + f
)
dµψθ =
) $,
''
)
'
,
, ,
'
) , ) $,
' ,
)
)
)
)
* '
,,
) $,
)
',
,
''
) )
* ' ,â %â_ö&æ ! ')"*
' * '
TK CK k #j ! # f Bi K ! B* CK [I)K '+ [UC !$#ji !$ i .! # KT#
2# )Y
! /! &KT#j # .#& J > 0 I)K KC KT J ∈ [0, J ] E .'*! ,UC
0
0
'+ KTB (µ ) ).D! . !$ kKT#j!$#ji !$&iHCU kg
.l!$ 0C'*!DI)KhUC # .#&
, $,
') , ' ,
, ,
ΦΛ,ω Λ,ω
, ,
'
) $,
''
CU LS
.
1 − CU LS 2dJ
rK€ut [email protected]€
v
€ v ár
ò
á r
r` Ks baºvxuyÇ € È ÇCa v yzp|bpǑa pxuy { Bxuâ_{ªä\å} {‰õ½Ø  Ú Ç \ bxu Ç~ȳ} b|{‰yÝpb!{{ œxRÍKa { €utG{®ßÌv [email protected] }~|t {{ ȳ}~|{y rK€ wxuʨ{ x saºÈ³} á Ç~ac `uyz|xÌb|{{‰xuÄ { [email protected]šxuæ[[email protected]ö&`ÌüupÇ~üÌ{ æ,Ú v y € Ç Ca v yÝpǪxu{*g,â â ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {
ò {œß&{~È` v { v {n` vzsutQ€ ac s b!{ vzv { { t  v {n}a tQr Œv a Ô<[email protected]€ }~|y rK€ ψ { t  su€ y Ô<r b|È³Ç È³{ €  t |b|yz}~p{ ø
€ rK€ 9
r v
v
Ìv t á r á t t s á r
t|ÈrK{€ wwa } vzr b t ÍK{®} ßÌv [email protected]{ yÒb!{ ψȳ{ >€  aÍKÇ~>b|y #0Ç { Í t yÒbý {~B{®ßÌ{œ{~ß&È{ ȳ` ` {šv { Ê.€ ${ < t ; B`R{ a t |Ïb" ` t `%{~ b!|{y € { x € ¹} [email protected]Ç xRba €uȳt {‚} {Ê. }> a zÄt
rK€ `,{ s È rK€ pb|{~b v {®ß&y t |{ € }~{QxÌ{ v y € ÇCa v yz|Ç xu{Hg,â %â_ö&æ ! vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒÖ s {_` rKs b v a Ô [email protected]ȳy vzv {
xu{º€ ȳ{Ìt!€us [email protected]|su{ tt–€xu{º`ÌrKb €ur ÉR€ acÉut|y t!v rKyzp€uÇ t (µ v á ) s { su€¨t s py v €y t a € –t xuyzb|{ }œÔ<prK{~€ È{ € [email protected] € v {^Ì} €ub|yÝrK€;~b|{s̀ ΓÔ<Lr 5–}œ s { vÒv € { ø
Èt {  € {[email protected]€ } [email protected] y # Ȁ a v t { b!rK{ € { ȳrK{ €ut –`Rs a á xu{ r }œpy ψ € y b!ÈÇ~È{ 
pb!yÒ}œp{ ȳ{ n} Í@{œß&{ ÍKÇ~b|y a  { } xuyÝpy x  Ç b"~È{^`Ìb|Ç }~Ç xu{  ò {³b|Ç t|suv  acºxu{ v a¦`Ìb r ` rKt yÝpy rK€ Ê. . O X€ { t ‘Èa v á { s b!{ sut { ȳ{ € 
D ? @? D
!
`Ra t {œß&` vÒr yz acÉ v r{–xRa €us tQv r `ÌpyzÖ s {nx s  ò á Ç r [email protected] €uȳt { Ê € > ÝÄ } r [email protected] y vu€Ô sa s xÌ[email protected]Ý € r ÉÌp{ € yÒb su€ { su€ y Ô<r b ø
ÈyÝpÇn`[email protected]|s [email protected]`u€ ` b!B€ a t `[email protected]|[email protected]Ètwsu~p€ b!{ Ô<r θ a˜} € pa r p€ { C ÉÌ|{ {^r xuÇ~`%{ s x5xu{ kψ k
{~n} {œ|p{šÖ a |yzpÇ { ‰`ua y b|È³Ç È³{ –É b Ç~{š`[email protected]–bpac`u` b!na `[email protected]|[email protected]È ~pb!{ θ ý
$ 9% ' (a 2$) % [email protected] %')
ár € t t
3 Ô [email protected] } y v { ȳ{~!pb|{º{ €Jr { s Í&b!{˜} [email protected]ªy v [email protected]`u`[email protected]|a w|b" t [email protected]`ÌyÒxu{~È { € ªxu{ {~t !p}{^a v ȳ} suÇ~vz t a t|xut { {˜} { r ÈB`R` va y ø
Ö t s Ç t vzsuÓ t–[email protected]} [email protected]€ v |b|{ aÍca €  x [email protected]`u` r bÐp{ b v {šb!Ç t|sÌv  a  [€urKsut x rK€u€ÌrK€ut‰t!rK€ yzxuÇ { KÇ € Ç b|a v {‚Ö s y
{ ªq&`r yzsuȀ ` { t!s
r v t!s
t €urK€ut
v t|s rK€ ø
rpy @€u€ yzÇ  {µ`[email protected]‚{³[email protected]ȳ`Ì`{ r bÐb|G{ a xus {³ß `ukb `uÉ[email protected]{ Éuȳy yyÝ pb!Ç { t Í@b acb|Ry acÉ žv Ɖ{ t Ç q&y r yÝ f su`R€ [email protected]{b µÔ<[email protected]€ }~a |y rKȀ { t|s b!³t{ µ[email protected]È} ȳ{ xu€ y 
b|Ç suv y& b|{ xu{ R xRa €ut R ` rKs bÖ s {g} {gÖ s y t|s yÝ acyz su€ºt { €Ìt € ana vÒr b tžv ÇCa v yz|Ç t|s yÝÍca € p{ Õ
X
9 Ê.ÝÄ ;
Ent f =
E Ent
f
,
r f ` rKs b k ∈ {1, · · · , n} { t  v { t `%Ç~bpa € } {5} rK€ xuyz|y rK€u€ { vÒv {Œxu{ f `[email protected]‘bpac`u` r b! a s ß
Í@acb|y acÉ v v { t suxrK€Ì, ·t · · , x t!rKsu€ twv a‘ȳ{ v t|s b|{ µt!s {~n`[email protected]–{®ß&Ó|{ rK€us t y rK€ v f rK=€ E (f€ # ) {~ f = f 5‰`u` yÒÖ
}~rK{~t ||{˜yzxu{ v pyÝpÇ t! s a³È³{ b|rK{ € µ rK €u€ b‰} { a r yzxu{ ps y { R R t aÍ@{ } ø
K
r
€
œ
{

`
{ rKµ€ aªvÒȳr { t_v b|€{ µ v } xuyÝpy Ç~{Q`Racvzb r bpac`u` á b! a s ß k rK`us b!{ ȳv y~b|{ t|s Íca
n = v |Λ|
t
Ó
K
r
s
b|y acÉ { b xuÇ~È |b|{ b a b y Ç Ca yzpÇgxuA{ g,â â_öæ ! [email protected]!yz ÈyzÖ { ` b a ȳ{ b|{
00
Λ,ω Λ,ω
2
0 2
[−2U0 ,2U0 ]
n
k
n
n
µ
2
µk−1
µ
2
k
k=1
2
k
2
1
2
0
k
Λ,ω
k
Λ,ω
Λ,ω
µ
2
Λ
2
n
2
n
y v t|s šx [email protected]`Ìb" tšv Ç~Ö s acpy rK€ 9 Ê.ÝÄ ; x s |y v y t {~b v y € ÇCa v yz|Ǻxu{ g[â â_öæ ! vÒr [email protected]|yÝ á ø
ÈyzÖ s {Q` rKs b v awÈ{ t|s b!{ µ [email protected]`u` v yÒÖ s Ç { v a Ô<rK€ }œpy rK€ f éÂv { t  yÒȳ` r bÐ a € xu{Qb|{ È[email protected]!Ö s { b
Öv s { f t|rKsÌt µ € vÒr {˜xuÇ~`%{ á € xÖ s s {˜x rKsus € { v t t { suv {‚t!Í@s acb|y act É v {^{œ x rK€€Ìt} ,[email protected]€ € [email protected]`uý ` v yÒÖ s { sÌt v y € # ÇCav ø
yz|rÇ xurK{ t g,ârK€ â_öæ ! éÂv_CaÔ @b|s yÝ ȳvzr yÒÖ t {˜t ` b { ȳ{ b|{ xu{ xuyÒȳt|{rK€ y v suÄv_Ô { }~yXÎ py { a
`ub t ` yzpy t Ê.vÒsÌ > t > a v t ºa rKb € { pv yzÈ{~b E |∇f | {œ }a } acyz‚[email protected]`u`[email protected] pb!{
xu{ è rp{~b|rKȳ€ut { ` € xu€ y € } y v{ ³á } r pb {~bs v rK€5r €
Ï ÈŒacy p{ a  {  Ç b" ȳ{šÖ { ÉÌpyz{  B ?E "!
) !$ g KT#j ) #jD! ) # - ) l#ji & h KC#j ) #j ! ) # #ji * .D!$-.A ϕ KT#j
) #j ! ) # UC ' , 2, C ), . !, .!), .# ' 0C% ) 0 2, UC i * K ' .l!$&i $ CY ' Y ) , ) #$, ') ,
ψ = ϕ + h + gY
@KN ) , ) #$, I)K ! ' /!, &+KC#:Bi ' p > 1 ' I)K ' , I)KL.#D!$&i , S = R e − 1 R
, UC ' K E, I)K ' ) #jD! ) # ϕ -.il! +d ) KTb ) KC
S = e − 1 , ) ! # + #! ), [email protected] ) , ) #$
'
)
)
,
*
"
#
.
U
$
!
D
!
$
#
,
,
C
K
$
!
.
#
&
,
(
x∈R

)
 ϕ(x) = O (ϕ (x)
9 Ê.ÝÄ >4;
ϕ(x) = O (ϕ (x)
)
µΛ,ω
k−1
Λ,ω
k
k−1
Λ,ω
k
µω
Λ,J
k
2
2
p
1
|h|
p
|h|
∞

00
−∞
0
1+1/q
0
1+1/q
ϕ (x) > a,
.-. 1/p + 1/q = 1 a > 0 Y
h! /! & J > 0 & I)Kd KC KC J ∈ [0, J ] & .'*! bUC +
' KCB (µ )
0
0
Λ,ω
). ! 2 +KC#j !$#ji !$ i UC3g
.!$$0C'*!DI)K & . -.kKC#j* # G.# k!$#"CU i Λ,ω
#
U .#&UC + .! UC Λ hUC , #"U.!$D! # #
U ω Y
') , ' ,
' ) )
' ''
, ,
* ' ,â â ö&æ ! ')"*
) $,
+
, , , ,
' '' ' - )
, ) ) $, , ) - )
rKsut ` rKs Í rK€ut b!{ È[email protected]|Ö s {~bGxRa €ut )ª{ v PPcÉ BÖ s { v axuÇ È rK€ut pb|acpy rK€ xu{ v y € ÇKa v yÝpÇ xu{
g,â â ö&æ ! vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s {;b|{~` rKt { t|s bŒpb r y t ` r y €  t¨ÕQv y € ÇCa v yz|Ç;xu{¨|b rKs t `,{ }~|bpa v Qv a
r t|t € t r v rK€ut v v
v
tªv t á r á t t
Ô[email protected]Ç yz}~|b{ t–y t|s a b v } { {št–xuÔ<rK{ € }œ} py rKb|b!€uÇ t acϕpy h {~ {œ g u{ rK€¦{ ȳt [email protected]ÈyÝ–{‰x Å[email protected] Ê `uzbĚ tnxu{ v { )ª á { Ç Pr [email protected]É È³ u{ Æ >$aczĚ`ub"x s } { á [email protected]`uÏyÝp` b!{‘ ĺ Ö s { {
v a Ô [email protected]Èy vÒv {‰xu{‚È{ t|s b!{ t (µ ) t ac|y t!Ô acyz su€ {‚y € Ç Ca v yÝpÇ xÌ{‚|b rKs¦t `,{ }œpbpa v {œ s̀ {˜xuÇ ø
} b vÒrsuy t t|t a € }~{nt xÌ{ t }€ r b!b|Ç v s ac|y rKrK€u€ut [email protected]ƪ{ns ` € vÒsutZt v a‰sŒxuÇ v È rK€ut pb|acpy rK€ `uò b r ` rKt Ç {wxRa €Ìt t )n{ s v [email protected] É Ô s py v y vzt v {
` `ut!b!sÇ } y t Ç~È{ ¹xu{ ߌt } t!Ô Ç Ö { su} € { x € {~Èv ȳ{nÅ$ Ê.zÄ a‚`ub|{~vÒÈr y& b!{n{ á ¹Ö s { a [email protected]ȳsuy € {
xurK{º€uȳt { € b|{ € (µ €) € acpy [email protected]Ý {ºy Ç[email protected] yz|Ç t xuÔ<{ rK€ g,â %[email protected]â_€uö&t æ ! s € [email protected]|yÝ ȳ€ yÒÖ € {‰aÍ@s { } su€ {
t} { sÌv_ t a `uy €|{‰ yò a xuÇ t `,{ } { rK€ xuxua {‘p} {nrKxu€u{t Ç~ΛÖ s {œ{ Q€ xÌ}~{{ ωx s` v { ȳb ȳxu{ {º{ t ^}œÖ ps y {‘} á Ö acÖ ys {‘{ªÈxu{ Ç~t|`%s { b!{ xuµ{ ¹Ö t ac{ªpy x t!Ô [email protected]Ý
rKsu€ € { y rK€ €uÇt Ka v yÝt|[email protected]Ǒ€ xu[{ r g[â â_öæ ! vzr [email protected]!yz á ÈyzÖ s { aÍ@{ } s̀ { } [email protected]€ut pa € p{ y € xuÇ `,{ € xRa € p{ xÌ{ t
} ò xÌyzt py s r ÉrKt b|x rKω€utš t!s € t v t!t € t s r € t s v
{ xu{ ß2`ub ` yz|y yzÍca p{ ǜ [email protected]É y { º} { xu{ ßô` y  x {~Èȳ{ Å$ Ê.zÄxu{
)n{ v [email protected]É ` [email protected] b €ur pb!{ Ô acÈy vÒv { xu{Qȳ{ t!s b|{ t p{~b|ȳy € a € [email protected] €ut y v an`ub!{ s Í@{Bx s  á Ç r b"~È{¹Ê. > .
Λ,ω Λ,ω
Λ,ω Λ,ω
Λ,ω
) ,', ) , ,
' ) )
, ' * '
)
' ,
) ) )
) $, +
,,
K H0C%l $ 0 2 U.K+$0i '+ CY"Y & ! /! AUCK./+ #
G.# C > 0 J > 0 I)Kh KTk TK J ∈ [0, J ] = KC KC& #jD! # f & 2
i K ! BA KC+I)K 0 l'+ 3UC !$#ji !$ i . !$HKC# 0 2# + #j3UCi #"U .# I)[email protected] U KT#j
- .!D & # .!$
9;:<9=7
* '
,
-' )
)
?
)
D!
',
, $,
)
EntµΛ,ω f 2 6 CEµΛ,ω (f 0 )2 ,
)
KTk TK Λ ⊂ Zd ω ∈ RZd Y
BKC-. "!
r rKt rK€5t s t|s v á r
qr
ò r € rK€
€ {šxuÇ `,{ € xua € ‰Ö ÉÌs p{‚{ x |y su€ {^xuÍc{º[email protected]|} yÒ{[email protected]!É p{‚v { `uxb ` €yz|y a³a vÒr b [email protected] `u` yÒ{ b {^ Ç b ȳ{ºÊ. Ê > yz
EµΛ,ω (f ) =
Z
f (xi0 )
Z
i0

exp −
X
ψ(xi ) − J
X
(zi − zj )2 
{ € b|{ `Ìb|{ € a €  v { t–€ur pacpy rK€ut xu{ v y € |b r x s }œpy [email protected]€ € a‘`[email protected] |t s zy p{
i∈Λ
EµΛ,ω (f ) =
r
{œ
Z
{i,j}∩Λ6=∅, i∼j
f (xi0 )
i∈Λ\{i0 }
{i,j}∩Λ6=∅, i∼j
k 00 (xi0 ) = −J 2 VarµΛ\{i
JEµΛ\{i
i
0 },ω 0
i
0 },ω 0


1
ZΦΛ,ω
⊗i∈Λ dxi ,
e−ψi0 (xi0 )
dxi0 ,
Z ψi0
ψi0 (xi0 ) = ψ(xi0 ) − k(xi0 )



Z
X
X
k(xi0 ) = − log  exp −
ψ(xi ) − J
(zi − zj )2 
ò a <Ô rK€ ~} py rK€ k { t nxu{ s ß <Ô r y t xuÇ b!yzÍ[email protected]É v { Õ

f


X
j∈N ({i0 })
X

1
ZΦΛ,ω

⊗i∈Λ\i0 dxi  .

2(xi0 − zj ) +
2 ,
r ω = ω ` rKs b i 6= i {œ ω = x €¨r ÉÌpyz{ € ªa vÒr b t { €¨s py v y t a € wxu{ v y € Ç Ca v yzpǪxu{
pv b [email protected]Œt `,r { }œpb|a rKv[€Œr t|ÉÌs p{ €s € {‰xRa Õ €utQv {– á Ç r b"~È{ > ÝĪx s } á [email protected]`uyÝpb!{‚Ī` [email protected] b v a^È{ t|s b!{ µ
a‘ÈŒaÎ bpac|y yÝÍ@a |{
€5‰y Ìt y Ìv aGxuÇ~} r ȳ` [email protected] yz|y rK€ |k (x )| 6 CJ 2d2 + J2d2.
i0
i
i
0
i0
i0
i0
j∈N ({i0 })
Λ\{i0 },ω i0
00
i0
2
ψi0 = ϕ − k + h + g,
{~ v { t v á Ïs ` r  v á t {á tr Ô [email protected]Ýp{ t‘t!s b v { tGÔ<rK€ r }~|y rK€ €Ìt ϕv {œ#R € h ` v rKs b J rKa €ut!tt {¨`,{~rK|€ yz `%{~b|ȳ{~||{ € rcø
x rKact `u` rKzy € Ö { b {š Ç b"~È{GÊ. Ê. >{~ªx ÉÌp{ yÒb a xÌ{ a³xuÇ È pb|acpy xÌ{˜} {œ||{˜`ub
` yz|y éÂv b!{ t p{ ` rKs b–p{~b|ȳy € {~b v a‘xuÇ È rK€ut pb|acpy rK€ x s  á Ç r b ȳ{GÊ > xuÇ È rK€ pb!{ b v a‘`ub rcø
` rKt yz|y rK€;t!s yzÍca € p{
9;:<9=7 ? D
! ' /!, J > 0 & ' I)Kh ) KC ) KC Λ & , ) K , + #$,2' -' + #! UC
)
)
,). !, .!$ KT#j !$#ji * ' !$ i
C
K
*
T
K
Z &
J ∈ [0, J ] & ' '+ ,KTB UC" )- - ! ' !$&i µ
UC g,â %â_ö&æ ! ')"* .l!$$0C'*!DI)[email protected]*.-. KT#j ) #$, .#& !$#"UCi #"U .# *UC , ) #"U.!$D! ) #$, , ) #
- ) JU ω Y
rK€Ìt acpy rK€ xÌ{‰} {œ||{ `ub r ` rKt yz|y rK€³t { Ô [email protected]Q`[email protected]|Ç } s b|b!{ € }~{ t|s b v {n}[email protected] ø
ò
BKC-. "
t  su€ }a t `[email protected]!|yÒ} suv yz{ bwxu{ v a³`Ìb r ` rKt yÝpy rK€ `Ìb|Ç }~Ç xu{ € p{ ò a
€xuy a v xÌ{ ! Λ ò a˜{ºxu} aÇ~Èt Λ =pb|{i}
{
b|Ç } s b|b!{ v € }~{ t r É&pyҀ8{ € s { v€ t b!{€ `ub!{v € a € r {œßÌ[email protected]}œp{~rKȀ { €  v axuÇ~vzÈv [email protected]€ut |bprKac€|y rK€ xuv { v a t t {€ }œpy [email protected]€ suÅ$€ >
xurK{ €ut )n{ € [email protected]É ‰ {~5€ { € |y y € a  a2t `urKb € ` yzrKp€uy t s Ê. > r > BÞ {vzv xÌÇ È s v pb|{ t!{®s ß&y |{ }~{r x { ø
}v  a |{ t C tÐÔy t|xut Ç~`%{ suxR€ a |€{^xu{ v } xuyÝpy a É vÒb!r x |{ á {nÖ { s aºÈ³{ b|{^xÌ{ `ub É[email protected]Éuy
yz|Ç µ a py a { {‚y ÇKa yÝpljxÌ{ g[â â_öæ ! Cacb|yz ȳyÒÖ {
qr yzXÈ[email protected] € |{ € a €  su€ { Ô<rK€ }œpy rK€ ϕ ÍKÇ b!y # a €  v { t } rK€ xuyÝpy [email protected]€ut 9 Ê.z)Ä >4;
D ? D
!
` srKs b t su€ Ô } {~b![email protected] € b!#RÇ € { v q >v 1t rKrKsu€ t ` rKs s Í rK€uá t xu{ Ô a rK €‘tr yÒȳ`v v { 9 xÌ{BȌa s € y~b|{Qa € a vzrrK€Ìst { s‰} {
Ösu€ y½{ Ô<rK € [email protected]rK€ a € xu{ a { vÒ}~v |y s >‘x } [email protected]€ `uyz|b|{‘Ä # Í yzb twv a˜b|{[email protected]Ȍ€ [email protected]!Ö rK{‚€ Ê. Ê. O.;Q} pb yÒb!{
{ }~|y h ÇCa pyzÍ@{ p{ {^Ö { ϕ + h {^ÍKÇ~b|y {‚`ua aG} xuyz|y (CB) 0
d
0
Λ,ω
Λ,ω
Ã
’"
à ’
’ ’
À’ ’ „
q "e */ r É [email protected] Í Jé "eš{ € py v a € x Ñ ò {~x rKs ß
R #!$-. , !$D% ) !$##j , ) .#"U R #!$-.,!$ % ) ) ) K ') K ,2
6 D6* E8 a$ 8
€
à–á Ô<su€ € v r 0 ò rKt|t r s Ô<r
á s v€
vÒr Cacb|yz{  á ȳyÒxR} [email protected]ȳr É { [email protected]v {~a ͚y € { b Ö s ÉCa vÏ yz|yÒ{ Tt eša €b x á Ïe^`,{ b b|} O rK € ,p` b|[email protected]}~ |yzÍb yzÂBÏ [email protected]@b!xÔ   á {Q{‰a {~t|Ö t!r }~yzÍcy aca |{{ x } á {n{É,ac{~  t Q{~{È{ y ø
Kbt rKs t!`Ô € ò {~ á sut vÒ} r rK€ut yÒxu{~á b Ô<r bgq&{®ßÌr [email protected]ÈrKv ` v {na‚€ `Ìb s r ÉRv acÉuy v yzÂÏGȳ{a t|s b!{ µ rK€  á { / r b!{ v[t {œ t¹rcÔ R
ac|y Ïy ‘ { [email protected]|yÝ ȳyÒ} É {~Í y { Ö a yzÂÏ
Z
9 $ÝNÄ ;
ρ Ent f 6 2 |∇f | dµ
Ô<r b t|r ȳ{ ρ > 0 a € x¨a vÒvt È r&r  á { €[email protected] á Ô<su€ }~|y rK€Ìt f rK€ R á { b|{
n
µ
2
2
n
Entµ f
2
=
Z
2
2
f log f dµ −
Z
2
f dµ log
Z
f 2 dµ
a € v x á sÌ{~t|b|t { €|∇f | y t!t s  á {Þ s á } v yÒxu{€ua t €v { € @ á [email protected]Ô  á { Kb|[email protected]{ €á  ∇ft [email protected]Ô fr áà–á {Jò } a €ut rK€ s y ø
}a e‚t|s a rKyҀ a ȳ{t a á b|{ wt yÝ xu{ yÝÂvÏ (2π)
wyz b!{ `%{~}~‘  { { É,{
{
e
@
r
Ô
|
t
s
t
!
t
Ô
€
9
á
È{ ê a r b!t { v R y  t|t|{šs ÉRa Ô<yÒs}^{®ßuá acÈ` r { á È{ a á b!{ t µ t acpy Ïv y rKt $ÝÄN; wt yz r&rρ =á 1 €ut
á yÒ} á b ȌyzÈa`Ï8yÒÉ,}~yz!{ ÂÏ wab!yz!p{ Ȁ { e bÐ Ô<r {~b b|È t|r ȳb|{ª{  t Èac r&µr  á a Ô<sua € }~p|b|y rKyz}~€  ÏU ` rK€ yz|RyzÍK{ È Æ‰{ €u r |{ôxu{ ÉCÏ yÝÂLÏ
−n/2 −|x|2 /2
n
−U
n
é€á { t { } rK€ rKx € r !b xu{ b‚xuy tB Ô<sur t y rK€ r t `,{ b|t ac r b L = ∆ − h∇U, ∇i wyÝ á y € @Í acb|y a € ‚ȳ{a t!s b|{ µ |{Kb|acpy ÉC5Ï `[email protected]! b L y xÌ{ }~b|yzÉ%{~xÉCÏ
Z
Z
f (−Lg)dµ =
h∇f, ∇gidµ
<Ô r b {~ÍK{~b!Ï t È r&r  á Ô<su€ }œpy [email protected]€ut f, g Ü € xu{~bȳy v x Kb r – á } rK€ xuyz|y rK€ut rK€ U 9  á ac wy vzv
a v ¹aÏ t É,{ t t acpv y t# 9 {~x á y € act `u` v yz}ac|r y rK€Ìt t á b rKs á[email protected]   á y t r b 0 ; á QrK€ € {5Ȍar ÏH} rK€ut yÒxu{~b €  á {
p9 yÒȳ€ {‘á b|{œÍK{~r b yzÉ €˜{ [email protected]Ô wyÝ b|{ `,{ }~‚ µ; {~Èy&Kb t ` á (PÔ<su)€ wyz€ @{vÌt|rK{~vzs bpac rK€‘b [email protected]Ô á ešyÝÍK€ { fv
y vÒs  {wx r Èv [email protected] 9<á L; u s = u(x,
[email protected]ȳ{  a py  {–y yz|y a
t) =á P tf (x) y r  {
K
r
€
Í@a {^`ub É { È {acw{~Ö acpy wyz b!{ `,{ }œw L;
(
∂u
− Lu = 0 in R × (0, ∞)
t t>0
t
n
∂t
u = f on Rn × {t = 0}.
€ { rcÔ  á {Ȍacy € b|{ t|suv  [email protected]Ô  á {} rK€ pb!yÒÉ s |y rK€ ešb r O ^ÉCÏ ò ešb rKt|t y t  á ac; á {
vÒr Cacb|yz á ȳyÒ} q&r É rKv {~ͨy € {~Ö s a v yÝÂÏ 9 $ÝÄN; Ô<r b µ á rKv x t y Ô a € x rK€uv Ïy Ô  á { a t|t!r }~y ac|{ x á { ac
t { ȳ[email protected] rKs ` (P ) y t á Ï`,{ b!} rK€ pb|[email protected]}~|yzÍ@{ y €  á { t { €ut {  á a  Ô<r b˜{~Í@{ bÐÏ 9 r b t!r È{ ; 1 <
€
9 €
p < q < ∞ a x5{~ÍK{~b!Ï f y L ;
9 $ Ê ;
kP f k 6 kf k
Ô<r b–{~Í@{ b!Ï t > 0 v acb"K{^{ €urKs á t|r  á ac
9 $ ;
q−1
e >
.
p−1
é€ 9 $ .Ê ;  á { L ø€ur b|È t [email protected]|{ su€ xu{ b t  rr x wyÝ á b|{ t `,{ }~  r  á {;È{ a t|s b|{ µ à–á { 0 {œÏ
yÒxu{0 a [email protected]á Ô  á {G`ub r&[email protected]Ô y t € r } [email protected]€ut [email protected]Ô { b‰a Ô<su€ }œpy [email protected]€ q(t)9 Ô<[email protected] Ô t >€urK0€&t|ø s€ } á  á ac t q(0)r&r =á pÔ<sua € € x¨rK €r
 a rK{‰€  {ªxu{ b!q yzÍc€ ac|yzÍK{ªá y pyÒȳ{ F (t)[email protected]Ô = kP
bQa t r {€ Kacpr yÝÍK{ È s  r á }~á py
fk
ø
u
€
r
t
t
;
y
}
˜
{

‘
{
u
x
{
!
b
z
y
c
Í
c
a
|

z
y
K
Í
{
|
b
È
Ky
Ý
K
Í
{
b|€ y {G t { á pb `Ï x {G  { { ac
f s RrK€
L rK€
€
€
t
R
@
r
{ Ö ac|y P f = LP f a x5y |{Kb|acpy ÉCÏ;`[email protected]Ð {/K{~  ac
t t>0
p
t
q
p
2ρt
p
t
n
p
∂
∂t
t
t
q(t)2 F (t)q(t)−1 F 0 (t)
0
q(t)
+ q(t)
2
Z
(Pt f )q(t)−1 LPt f dµ
Z
q(t)2
0
q(t)
= q (t) Entµ (Pt f )
− 2 q(t) − 1
|∇Pt f |2 (Pt f )q(t)−2 dµ.
2
= q (t) Entµ (Pt f )
q(t)
$
Ô<rKvzvÒr t á
/QÏ  á { vzr [email protected]!yz á Èyz} qr É [email protected] {~͉y € {~Ö s a v yÝÂÏ^[email protected]`Ì` v yz{ x  r (P f )
ta t|rrK€ a t q (t) = 2ρ(q(t) − 1)  á ac‰y t q(t) = 1 + (p − 1) eyz t > 0 acá yzF} á (t)ÏyÒ{ 6v x 0t
9 >4;
0
t
q(t)/2
2ρt
0
 9 á {‘} v [email protected] yzÈvÒt|r é  y ts } v a v t!t € yÒ} a v r a € x{a t ÏJ r t {~{  á ac  á { t [email protected]È{[email protected]" s È{ € ^a vÒt!r t á r t  á ac
$ÝNÄ ;¹y a
{~Ö yzÍca { –
9 $ ;
Ô<r bž{~ÍK{~b!Ï t > 0 a € x f 9 } Ô /BÞ ÅCk e; ê kr b Ô<s 6bÐ á k{~ebž} kr ȳ`[email protected]!y t|[email protected]€ Vr É t {~b!Í@{¹ á a ÉCÏ v y € { [email protected]|yÝÂÏ
ke k
6 (resp. >) k e k
r
€
t
t
9
[email protected]} } b|á xuy € ³a a > 0 b|{ ` a 6 0; t t!Ô 9 á vzr á q&r rKv € s v t
t yÒȳ, y v [email protected]{ v Ï {œÍK{ {~Ö b s yÝ−∞
vÍ@a { € <– qr < á p{ t|<rcø 1}a vzacv {~px¦y b!Ï {~Í@{ $b t { ; á Ï`,{ { b|} rKCa€ @pb!b|[email protected] }~|ÈyzÍyz}yzÂÏ É {œÍy { Ö a yzÂϦy
9 $ < ;
Ô<r b–{~Í@{ b!Ï f  a 0 y € €urK€&ø € {KacpyÝÍK{ kPÍca vzsf{ kt > kf k
à–á € t!suv [email protected]Ô á t r 0 t r t v t á t v v rK€ut á Ô<r á t!rKvÒs rK€Ìt
[email protected]Ô )‰ac{BÈÈy v [email protected] [email protected] €&ø b|÷ { [email protected]} r  Éuyg`R [email protected]Ðy py a v xub y %y { b! { € p{ yÒa  v acÉ { Ö y s a pa y [email protected]€uyÒȳt y [email protected]ý¹bXrKb|€Ì{ t acyÒxÌ|{y b  á {yÒ` )‰[email protected]ȳ y v { rK€ø ÷ [email protected]|}y r Éuy
y € yÝpy a v Íca vzs {^`ub r É v {~È
(
∂v 1
9 $ O;
+ |∇v| = 0 in R × (0, ∞),
∂t 2
q&rKvÒs py [email protected]€[email protected]Ô 9 $ O.;½[email protected]|{_xÌ{ t }~b|yzÉ%{~xºÉCvω =á B{ f) r on` Ô ø Rò a ߉×b|{ {t`Ìb|={ t { 0}.€  a py [email protected]€šÔ<r b|È suv aBa t y €$# È s È ø
} €$rK# € Í [email protected] vÒs |ø y rKrK€u€ t rK vÒs [email protected]ȳrK{ €Œv Ï [email protected] Ô KyÝÍK{ € a á 9Mò á yÒ` t } s á yÝ š} rK€ |y [email protected]€tsurKsutt ; Ô<su€ }~|y rK€ f rK€ R xu{ #u€ {‚ á {
y È È } Í |y f wyÝ  {šÖ [email protected]Ìbpac|yÒ}^} ªa
h
i
9 $ Å ;
1
Q f (x) = inf f (y) + |x − y| , t > 0, x ∈ R .
à–á { Ô [email protected]Èy v Ï (Q ) xu{ #R€ { t a t {~Èy&Kb 2trKs (` wyz á y €$#R€ yÝp{ t yÒÈa v 9 €urK€øÂv y € {acb ; @{ € {~bpac r b
à–á a ;y t v = v(x, t) = Q f (x) y t a t|rKvzs py rK€[email protected]Ô  á !{ )‰acÈy v  [email protected]€&ø ÷ [email protected]} r Éuy
−€ |∇f
|
y t yÝpy rKa sÌv € Íca vÒs {‚ `Ìá b r É v { r È Ô ø9 ò$ O; Ô<9 r ac v { sua v t ‰a v È rKtt –{~á Í@{ bÐÏ á {€ b|{ € ; 5–}~ s á a vÒv Ï y Ô y € [email protected]ÌvÒxus yz|yrKrK€ € [email protected]Ô
y 9 É á xu{ x t  :{ t–sÌ) € ` s a ß t rKb!t È t!a rKvÒQs frK€ y 9  Ô {`%{~b!py { ºÈŒ a  {~Ȍa pyÒ} a |y
$ O;  acny yz
yÒÖ {^Íy } yzÂÏ |y } Z{ /[email protected] P.> Þ_Íca PKÅ $; € } {  á y t á a t É,{ { € b|{ } r € y {~x yzBy tB€ur wxuy } sÌv ¹ r pb!Ï rGÔ<rKvzvÒr e^b rKt!t t yÒxu{ a Ô<r b
t|ár { )‰Ô<acsuȀ y v  [email protected]€&€ ø ÷ [email protected]} r Éuy{ Öá s ac|y rK€ [email protected]ȳ{ v Ï X v {œá||y € € €ÌvÒr r s F (t)[email protected]Ô 9 = k e kt t t > 0 ½Ô<r b
ȳ{ }~|y λ(t) wyÝ λ(0) = a a ∈ R  {ºa a { $ >4;¹b!{[email protected] a
Z
9 $ P ;
λ(t)
λ(t) F (t)
F (t) = λ (t) Ent e
∇Q f e
dµ.
−
2
t^t!r&rK€
/QÏJ á { vÒr Cacb|yz á ȳyÒ} q&r É rKv {œÍJy € { Ö s a v yzÂÏ 9 $ÝNÄ ;‰ac`u` v yz{ xJ r e
ta λ (t) = ρ t > 0 h 5 t ab|{ t|suv  9 a € x¨y € } r ȳ` v {œp{ºa € a vzr @Ï:wyÝ á 9 F$ (t); Ô<r 6bw{œ0ßÌ[email protected] ȳ` v { ; Pt f
Pt f
f
e2ρt
1
f
ae2ρt
a
t
q
p
2
n
n
n
2
t
1
2
n
y∈Rn
t t>0
2
t
t
Qt f
2
λ(t)−1
0
0
µ
λ(t)Qt f
2
2 λ(t)Qt f
t
λ(t)Qt f
0
λ(t)
0
 á € { vzr [email protected]!yz á9 t Èyz} q&[email protected] suÉ € rKv {œÍy €Ô<su{ € Ö s a vrKyz€ÂÏ 9 .zÄN; t á r t  á ac Ô<r b {~Í@{ b!Ï t > 0 {œÍK{ bÐÏ a ∈ R
a x¦{~ÍK{~b!Ï aÏ5É xu{[email protected]; }~|y f
9 $ÝÄË ;
ý¹rK€ ÍK{ b t { v Ï y Ô 9 $ÝÄË ; á [email protected] x t^Ô<r kbše{~Í@{ bÐkÏ t >60ka e€ x k t|.r ȳ{ a 6= 0  á { €  á { vzr [email protected]!yz á Èyz}
q&r É rKv {œÍ)y € {~Ö s a v yÝÂÏ 9 .zÄN; á [email protected] x t ,8yz á b!{ t `%{~}~ r } v a t!t yz}a v á Ï`%{~b|} rK€ pbpac}~pyÝÍyzÂÏ yÝ
y t r bÐ s á vzv á y v { á €ur py € rK5€ á ac Q y t [email protected]Ô { #R€ { x v y rK€ €&xuø { ÷ `,{ € r xu{ € t| rKv vzÏ s [email protected]ÔrK€u át { su€ xÌ{ vÒb t|v r Ïy € ¦Èt á r { a t|€ s b|r{
µ
Ô<rK7 vÒvz5–r }~ Ô b a r È Ï á {~Ïpa`%{~0 b|{ } b € { pv bpáacÏ}~p`%yÝ{~Íb|yzÂ} Ï rK€ pbpac)ª}[email protected]pÈyÝÍyzy ÂϘ á b [email protected] } Éuá y  á { t|prcy ø }a vzv È{ xºaÍ@ϳa a € y t á y É,€ { ªÍ&y t } rKt yÝÂÏ
9 wyÝ á y € yz|y a v
È{œvÒs á r x [email protected]È { áv Ï € y Ô u y t˜t!rKvÒs py [email protected]€ô[email protected]Ô  á { r á { áac‘t { Ö st a py [email protected]€ á = εLu
r
Ô
ø
t|rKvzs py rK€
ò
Í@9 a { eà €utÐ; Ô  € { á v = −2ε
@
a
u
`
u
`
b
@
a
}
{
a

{
) `
a
ß
log
u
ε
→
0
$ Å ; b|a
{ s b|b!y € Ï`,{ t!b!su} vrK€ péÂb|€ [email protected]}~|á yzÍt yzÂò Ï [email protected]Ô v  á { ø è á { ac t!á rKvҀs pv y [email protected]€ u  r v rKÏ&€ yz{ v xt t a €Ìr r  á {~b r
º
r
@
r
á
[email protected]á `u`ub t [email protected]} rK€  r b Ȍ[email protected] b|{ €   y [email protected]` [email protected]}~{ acbpt [email protected] á a v [email protected]{€ –xu{~ÍyÒacpy á a Ïȳ`Ìt  |yÒt }
 r { á { } x sut|t b!xu€!{ b 0 p{~€b|È v y € L á = ∆s − h∇U, ∇irKt y €  9 { {[email protected] xÌy € p€{~b|Ȅ a t| t rKKy€ÝÍK{ Ô<r b|y {
 €  +{ € e‚a € [email protected] a Ô {~b € { á a sutwx [email protected] Ô {³Ö [email protected] pyÒ}‘} ºy $ Å ; a x2a {œß&`ub|{ y b Q
y xu{~s`%{ xur { á á Ur a r x5€  rµ; Æ 9 {  { È @{ {~yzÂÏ € `ub s `%{~b!ÂvÏ € Qv (sft ) = sQ f s, t > 0 a € x t {œ|py € Q Ô<r b
Q $zÄË ;QÈaÏ É%{^b!{ wb|yÝ||{ { Ö yzÍca {  Ï;a
9 $ÝÄKNÄ ;
Ô<r b r ∈ R é Ô 9 $zÄ@ÄN; á rKv x tšÔ<r b‚k{~eyz á { kb‚{~Í@{ 6b!Ï kre >k 0 9 r b rK€uv Ï v [email protected]{ { €[email protected] á ; r bš{~Í@{ b!Ï
9 r [email protected]€uv Ï v [email protected]"K{š{ €urKs á ;  á { €  á { vÒr Cacb|yz á ȳyÒ} q&r É rKv {~Í5y € { Ö s a v yzÂÏ 9 $ÝNÄ ; á rKv x t rà–á < 0 vzs b
{‚áÍca € { r = 0€ y t 9 á r ¹{œ&ÍKr{~b‰} b!yz|yÒ}a v € 9 á t r € s v t s vÒv rKs̀
r ,  á {š{ y €$# aÈ =s È 0 ø y } rK€ $Í zrKÄvzË s ; py rK€ b ry € ={ Ö 0s a y v yzÂÏ $ÝÄKNÄ ;  { {š y {~Ö a yÝpyz{ ac}~ a όacÈ 
Z
9 $ÝÄVÊ ;
e dµ 6 e
á rKv xÌy € Ô<r bš{~Í@{ bÐÏ2É rKsu€ xu{ x 9 r bšy € |{Kb|[email protected]É v { ; Ô<su€ }œpy [email protected]€ f é€ {~Ö s a v yÝÂÏ 9 .zÄV.Ê ;^y t 0€ur €
 € r É,s{G v á { Ñ 9 t [email protected]€ K{ ø a €  r b € r ÍyÝp} á vÒr øÂïns ÉÌy €ut p{ y € x s a v ÍK{~b t y rK€ [email protected]Ô  á {G|bpa €Ìt ` r b!pacpy rK€ } [email protected] 
y {~Ö a yÝÂÏ { { /he P.Pža x¦É,{ b;
9 $ÝÄ ;
dν
ρ W (µ, ν) 6 H(ν | µ) = Ent
á rKv xÌy € Ô<r bga vÒv `Ìb r ÉRacÉuy v yzÂÏGȳ{a t|s b!{ t ν [email protected]É t!rKvÒs p{ v Ï } rK€ |ydµ€surKsut wyz á b!{ t `,{ }œB r µ wyÝ á
ï [email protected] rK€&ø y 0cr xÌÏÈ xÌ{ b|yÝÍcacpyÝÍK{ )n{ b!{ W y t  á { ,ôa t|t { b t p{~y € xuy t  a € }~{ wyz á Ö s [email protected]|acpyz}
} rKt 
ZZ
Qt f
f
a+ρt
a
t
∂uε
∂t
ε
−f /2ε
ε
ε
ε
ε
ε
t
t
st
1
Qf
f
r+ρ
R
ρ f dµ
ρQf
2
2
dν
dµ
W2 (µ, ν)2 = inf
r
µ
2
1
|x − y|2 dπ(x, y)
2
á { b!{¦ á {¨y €$# È s ȼy t b su€u€ y € r Í@{ ba vÒv `ub r É[email protected]Éuy v yzÂÏ2È{ a t|s b|{ t π rK€ R × R wyÝ á
b|{ t `%{~}~|yz€ ÍK{‚nÈ[email protected]@Ô b"Ky € a vzt á µ a € t x ν a € r x H(ν9(|à–µ)á y t €$ # á {šsb|{ v ac|yz€ ÍK{‰{ € pb t(r `C#RÏ € [r b–y €&tŒÔ<r t|b|rÈrKac€ py rKt € a v
xu€yzÍ@{ b"@{ á }~{ #u€ ν wt yz [email protected]€ b!{ `,{~r }~  € µ á á {Jyt á È vzv Ȅ
y t Wt|t!s y yÝpà–{Já a á a €Ìtеø
v
a x aÍK{ yz|{ { } xJÈ È{ - yÒ} Q{ a a ¹aÏ a ȳ{ ; acª {º|bpa
` 9 r bÐ acν|y rK€t } t rKt 5v y € t á {~Ö s a v yÝÂÏ € 9 $v ÝÄ ; êÔ<rKvÒvzr tr Ô b € r È ý  á è { vzvzrv Ca€ @b!yz á è Èyz} q&r € É rKv {œÍ r y € { Ö s a v yzá ÂÏ
$ÝNÄ ;¹a { [email protected]É y {~x;b|{~} {  ÏÉÏ ‰| a x y a y ËKËa x;È |yzÍcacp{~x³ {
`u9 Ô<b|s { t { á €  €Ìr t b 0 , á y v {g€  á {[email protected] s ȳ{ €  t € xu{~Í@{ vÒr `%{~x³yrK€ €Ìt è t Ë@Ëux r y € € Í rKv ÍK{ Ó Æ Þ á t ȳ{~ ár r x á t
bÐ {~b y `uyzb|{ xºÉCÏ yz} { K{ ȳ{~|b|yz}gy p{ b!`ub|{œ ac|y xu{ }~b|yÒÉ,{ x‘y ‰| ;  {¹[email protected]`u`ub [email protected]}
`ub|s { t v { €Ô<r |{ x suá v { b!{ rKrK€ €uv 9 Ϻb|{ v yz{ t [email protected]Ô[email protected]€ á  á {BÉua €ut t yz} r )‰[email protected]ȳy rKv  € rK€ø rK÷ t [email protected]} r € ÉuyC{ s Ö s v a py [email protected] € 9  r K{~ á € { bwyÝ át  € á {t
x a v b|È acrcpÔy á $ÝrKÄV€ÌÊ €;  [email protected]€ {‘pbpa ` €b!vzpr acpy á } šy q&r { Ö rKv a yzÂÏ € $sÝÄ v ;;‰a t x € `ub!{ { €u t†ø
a r } { [email protected]¹rK̀ yÒ#{ rKt  € {^} s v { }œt py € É%{œ Ô ¹{~{ s [email protected]@ÔBb!rKyz s Èyz} r É á {œÍŒt y á { Ö t a t yz|yÒ{ a x;su|bpt a [email protected]Ô
` bÐ ac|y } ˜y {~Ö a yÝpyÒ{ { { ac b|{ b˜[email protected]`Ì`ub ac} y  { Ï p{~Ȍac|yÒ} {
 €$á # { Ñ s rK€ ø@{ rKø € a rK€ vÒs r b rKr €Íyz|} á á x s a v á ÍK{~€ b t y rK€º[email protected] Ô  tá { p€ bpa €ut t ` r €b!pacpt y rK€ } [email protected] y € {~Ö s a v yÝÂÏ y € Í rKv Íy €
y é È t È €G} r Í € |r y v bpac 9 { v b–á  rKs a á , a r {~b v |{ y xuá y €  a } { €ut r 0€ur á á
_y a `,{ `ub É { È a 
`ub É[email protected]É Ï wyÝ {Ca pyzÍ@{–a ¹{~b ; {~ { b
 á {Bá }~€ b|yÝpyÒá } a v }r a t { € 9 $Ýv ÄVÊ ;žy t t a rKvҀ t|r { Ö s yÝÍ@a v { t€ _t á  r r  € á { € vÒr [email protected]è b|yÝ á ȳáyÒ} q&r Éá rKv {~͂€uy € t { Ö r s a v yzÂÏ rK€ 9 $Ý[email protected]Ä t ;  ¹a y ËKË C acX {Zpbpa ` b!pacpy } 
, {  { ` p{ |y a U y } ÍK{œß yÝ%
y€€ s {~Ö s a v yÝÂÏ v 9 [email protected]€uÝÄ t ;€ yzÈ` 9 v áyÒ{ t } rK€ ÍK{~t b t t { v ÏG á { vҀ r [email protected]@b|Ô yÝ á ȳè yÒ} qr t É t|[email protected] v {~ͺy € á { Ö s a v yzr ÂÏ 9 $ÝNÄ € ; s `Gv  r € a
È{~b|yÒ} a } pa   {w`ub!{ } y { pacp{~È{  Ë@Ë [y È#{ acgÈ b|{ K{ { b|a a x
a € vÒvzr rK v t¹€ t Èa ávÒv%€urK€ €&ø } r rK€ ÍK{®ß ¹{ á vÒvzt–[email protected]Ô Ut!t ; t à–á {‚€ `Ìb rt [email protected]Ô € b|{ v yÒ{ t–rK€ € a(@{ á € {~bpê a v t á)-, é €ÌyÔ<€ r { Ö s a v yzrK€Ï
y Í á Íy á  {º{ pb t `CÏ v Ht á  { sut , € a {~á b |{ y € xuy  ø aÑ } ý { W€Ì€ a xt!t  { €uty r {~bªy [email protected]€ b!Ȍac|y á
{ /¹è b|{ yÒ{~b ý } a €ÈŒa á |bpa Ô ` b!€  a pt y á ÉCÏ € {
I yÒ} € È[email protected]Ô Ï³É,{ rK{ €  [email protected]É Ô<y su€ { x rK€ y 9 ˜
t
Kbà–pá [email protected]ÌyÒá {  [email protected] € } Í@{œß rrK}~vz|t y vÒ{ r { € ËKË á Þ ËKt Ë@ɀ ªa xU {¨rJb|{ €ur {~b|{ t } {  r {~b|{~y [email protected]; Ô á { v {` y € Ï`%`u{~b b|r } Í&yzxu|y bp€ [email protected]}œpyÝÍK€ { a  v p{~b € acxu|{œ{5ÍK{ xu{ t `,} { b|xHyz`Ìpy y rK€U [email protected]{ŒÔ `u b!á { y t { }  rK€ `RÍ[email protected]{ `,b t{ {b˜xt  ac|{ ȳ { € {  {~ È)  r QÉ,{~{ÍK{~b ¹{º`ub|{ t { € ‰y €q { }œpy [email protected]€ $ >Œa t {~Èy&Kb [email protected] `¨`Ìb [email protected]Ô[email protected]Ô  á { t {ºb|{ t!suv  t b!{ v Ï&y € rK€  á { /Ba 0 b!Ï ø
Þ È³{ bÐϳrKv È{œ á r sÌxŒv a € x ,ô[email protected] € € t t )‰[email protected] € [email protected]} 0 y € {~Ö s € a v y݀ pyz{ t r , a € € P O ,ÉCÏt|ȳt {at €utQ€ rcÔ a t t á r € bÐQ|yÒȳé€ {
`[email protected]É suv yÒ} b!{á t [email protected]!y a pr y á { € |yÒÈacprK{;v É,{~t Q{ { { € |b á `CÏ a x é , € a s {~b v p{ y [email protected]Ô xuy pè a } { €
`[email protected]!|yÒ} [email protected]  y [email protected]`Ì`ub ac} y |{ b!` acp{ É,{~ Q{ {  { )-, y { Ö a yzÂÏ ËKË ga x
t|sá { t vÒr Cas @b|€yÝ á ȳr yÒ} q&r É € rKv {~€ÌÍGr y € { Ö s è a v yzÂÏ suê € xÌ{ b {œr ß&` rK€ € { € ý |y a è v y vz€ v |{€ Kb|Ô<[email protected] Éuy v á yzÂÏ [email protected]Ô , € a € tnP O rK € à–á á {t
É { Ö {  } ȳÈ{  p{ žÉCÏ ‰! a x y a y bÐ {~bª{®ß&`Ra x  y
 á {~éÂȀH{q rK€ [email protected]Ô á t r 0 ~
{
~
}
p

y
. Ê

y
b Q{ @yzÍK{a5xu{~[email protected] v { x `ub [email protected]ÔBrcÔ  á {ŒÈ[email protected] € b|{ t|suv  9 $ÝÄË ; v
€
v
€
, á y {Q á { K{ {~bpa `ub|y } yz` v { rKs  v y € { x‘[email protected]É r ÍK{By t_t |[email protected]& á  Ô<r b Bacb|x Kt!r ȳ{Bb|{ suv acb|yzÂÏ‚Ö s { tÐø
py [email protected] €urKt t á aÍ@{ ár € É,{Œs acxuxuá b|{ t|t t { á x r t,ô{Ô<ra vzt|r xuv y t } sut!t  á {Œs [email protected]`Ìv`ub € r ac} á [email protected]Ô  á á b rKs á rK€  á { Íca € y t á y Ô<€ r
Í&á y } á yÝÂϑp{ } s yÒÖ rK€ {w € a  Ô<r á a b|Èv a rKxu€øyÒb!÷ { }~gr {~Ö yzÍcsa { rK} €{ à–á Ï&`,{ b!} € |[email protected] }œ[email protected]ÍÔ yÝÂÏ [email protected] Ô
 { € {act ‘r5{~Ö ï acpy €Ìa€ x € bº€ Ô<{ rKv )‰t [email protected]ȳ9 y  á á [email protected]} ï Éuy_{~Ö €uac€ py € { `Ìb|t y } yÒ` €Ìt { r `ub rK€
{œßp{ x  yÒ{~Ȍa y a Ȍa y x wyÝ  { yz{ Èa yÒa ȳ{~|b|yz}Ga |bpa ` b!pacpy
n
2
2
n
} rKrKtt l; € é€ s  á v{ € {œt ß t {~}~|á y rK€ € ¹{^vÒr `ub!s { t { rc€ Ô ªa á € a v |{ b € t acp{ xÌ{ s x s }œp€ y rK€;à [email protected]Ô  á á { t |bpa €Ìt20t ` r b!pac#py rKt €
} GvÒv y { á Ö sÌa t|yzs pyz{ v Íy a5t {a s a € { €  { á )ª€ {~b|É ‘[email protected] ȳr { €$# s  rKy €  rKa vÒs rKQ€Ì{t b 
b|€ { } a r s { á t a t )n{ b|rKÉ € ‰[email protected]" á ÈÑ{ [email protected] € a ø x¨ € { r [email protected] [email protected]`&‰á yÝ–s  v y t È È }rK€Í[email protected]Ô |y €ut r ,2{ ø
y pb x } {G y { }~|y ÉCϨ { K{ a  b ÍyÝp} x a xu{ } b!yÒ`Ì|y |bpa ` b! a
py [email protected]@€€ } rKrKtt ‰y €€ {~Ö ss a vv yÝpyÒ{ tt é€tq {~}[email protected]p€ y rK€ . á> € Q{ á # b t ªv ȳ{ € pÓy rKr € €  á acªÖ € s [email protected] b|acv pyz}‚|t bpa €ut ` r b!á  a € ø
p€ y t } ªy {~á Ö r a yÝrpyz{ [email protected]!á { pb é K{ € bw vÒr a  {ºá b!{ acpq{~r x [email protected] y } €[email protected]|ǚs y { v Ö a twyzÔ<pr yz{ Ô ,2{‚v  t–{ [email protected]Ô
yvÒr ÍKø{ rKpy&€ Cac|{ t!s b!{tš[email protected]Ô<} [email protected]ÒvÒ)-r , € a á x [email protected] b|yÝ ø ȳyÒ} É t {~ͦy rKs{ Ö a yz|yÒá { r b é€ [email protected]Èá y yz{ #ÌÔ á
t { }œp}y rK€ }aQÍK{ { t ȳá r {a á b|r {  á { w)ny { b!ŒÉ t ‚ȳ{ {~/¹ a á r b!x Ï Ô<ÞZr b‰È³y { €$b!# Ï È s{ È³È yKb} rK€ Í `rKvzȳs p{~y rK €ut x rc Ԗq {~}~ |y rK{ € $ Ȍà aÏ v É,{ Ô<sur t { x á  r b!{ } [email protected] € Í@{ € b t yÒȳv y v [email protected] v Ït!s  á {5Ô pr bpa €ut ` á r b!pvzacr py rK€ yá € {~Ö s a q&v ryÝÂÏ [email protected]Ô Ñ € à sa v av Kbpa € [email protected] Ô
a ò P.< 9 € b  { r {œß&` € { pvÒyÒva Ô<ȳr {a b|{ t!s b t È t  tÐ{ Ô € [email protected]!yz Ór Ȁ yz} É € {~Í s y v {~Ö a éÂy݀ ÂÏ á
#R/ € a vP O `R [email protected]!a  xJ¹{;È `Ìb|b|{{ t K{{ €  { Ô<bps a b! Ï á { bGbª[email protected]`uȳ` {v a yÒ}a pb|y { [email protected]€ut a a py€ xHÏyxuy Œat } sÌt|t ` y [email protected]}t|tacyzb|É Ç˜v {y {œ{ ßÖ p{ a €ut yzyÂrK1Ï €u; t‘ [email protected]Ô  á {{
ÉRa tsuyz€Ì} €&`uø Ñb|y € €} [email protected]` r v { 1t 0 é€ € `[email protected]ÐspyÒ} v suv acb t Q{Œy € Í@v { t |yCa pr { Xá Ô<rKvzvÒr €$w# y € s Ñ ø a rKs € PÌÄ [email protected]Òs a € rKx € / € ò ËKË s v á r t
/¹b
y yQy {~Ö a yÝpyz{ [email protected]!{b!{ acp{~x   {y È È ø } €uÍ t r |y rKy € { Ö rKt a yz|€yÒ{
9 $ÝÄVÊ ; Ô<r b t |b|yÒ}œ v ϑ} rK€ Í@{œßŒ` r |{ € pyÒa v ,ô{ªa vzt|r xÌy t } sut|t  á {
tyz b!{ v acpy rK€  r t|r È{ 9 vÒr Cacb|yz á ȳyÒ2} ;Zy t!r `,{ b|yzÈ{œpb!yÒ}‰y € { Ö s a v yzL|yÒ{ t p b|a ` bÐ ac|y } Ba x
1
6 :" ' 8%$2&@ #9 ) 89 >8$ '#%<;
@# ': 8)$%' ; à–á tt rK€ t r r á € t|suv [email protected]Ô á t r 0 # t t € á
r`ub [email protected]Ô y a tG{ rK}œps y  v y € y { xôxu{~y € Í  pá {~{;xGy € pb r {¹x s È}[email protected]|y y rK€ b| { a € x   á  { € y  á {5b a v |{ ,2b € { acp{³b Í@Za `̀ b|y { t á { y € _¨Í &{By t }xurKyzb|t { yÝÂ}œÏ 
È{œ á r x ,2{‚ÉÌb|yÒ{ uÏ;xuy t } sut|t {œß|{ €ut y rK€  r a ï yz{ Èa €u€ yÒa € t {œ||y € 6 D6*:" ) 8 :; " '; 8%$'& #& D ' a 8$ é€  á y t t {~} ø
pá y [email protected]€ ¹rK{€ `ub!{ t { €  rKs [email protected] ԚÈt|[email protected]@vÒsy € rKb|{€ut|[email protected];Ô } [email protected]€u€ { }œv [email protected] € €&ø ÷ vÒr Kar @b|yÝ á ȳs yÒ} rKq&€ur tÉ rKv {~ÍUá y € v {~Ö s á a v yÝpt!yzs { t t  r ø
Ïs `,€ { b!} ps b|[email protected]}~|€yzÍyzt ÂÏ € r |y ï €u)‰€ acȀ y  € Ô<[email protected] } t Éu y–{~Ö á r acpy , t €y {5uÔ<r { v É { Ö { ª[email protected]" È{  {œß|{ x; yÒ{~Ȍa y a Èa y x ¹{ Q{~Í@{ bw`ub|{ {  bB} [email protected]!yzÂÏ
t á {ºa v € a v v Ï t € y t y á €  ï á {ºÈ r b!€u{^€ } v a€ t|tt yz}a v € Þ s 9 } q v yzxu{a rK€ € }a t { à–á { K{ € { b|a v `ub|y € } yz` v { wy vÒv ac`u` v Ï
yÒȳò y [email protected] Ï y  { yÒá{~Ȍat y a rKs {œ|[email protected] Ôr {~}~|yr t $ Ê. ; {œ (Q ) É%{  { { ȳ[email protected] ` `,{ b|ac b
i
h
9 $ÝÄ >4;
1
Q f (x) = inf f (y) + |x − y| , t > 0, x ∈ R ,
€a x Q f (x) = f (x) à–á { t { r `,{ b|ac r 2tb t ȌaÏ É,{¦[email protected]`u` v yÒ{~x  r [email protected]|ÉuyÝpb|[email protected]!Ï Ô<su€ }~|y rK€Ìt³[email protected]€
t y t ¹{ vÒv#ø 0€ur € 9 t { {¦{ /¹[email protected] P.> Þ_Íca PKÅ $; QÔ<r b
á vÒs t €
R€ wyÝ € Í@a { y [−∞,
+∞] t 5
‰
t
s
a Ï f a x t > 0 Q f y `Ì`%{~b {~Èyz} rK€ |y €surKsut é Ô f y t É rKsu€ xu{ x 9 b|{ t ` ò yÒ` t } á yÝ 2; t t>0
2
t
n
y∈Rn
0
t
n
y t É rKsu€ xu{~x8t a € x ò yÒ` t Ô } á € yÝ [email protected] €ub|{v t ` Ô ò yÒt–` t vÒr} á yÝ 2; t e^yzÍKrK{€ € €aôsurKÉ surKt su€ xu{~x Ô<su€ }~|y rK€ f à–á {ªy €$# È s È }a rK€ tÍ →rKvÒs 0|y rKy € a Qx y t0€uόr y €f a y t  á Q{ { ) b r `{~ÈÔ ø ò yz} a ß |t|y rKvzs py rK€ [email protected] Ô x á { )ª[email protected]ȳy v  rK€&ø
÷ [email protected]} r ÉÌyX{ Ö s ac|y rK€
9 $ÝÄ ;
1
∂
Q f (x) = − ∇Q f (x)
∂t
2
€
v
z
v
s
r
t
v
Ô
€ ò t á [email protected]€ €surKsÌt á
á
Ñ
9
wyz y yÝpyÒa Íca { f r) ` Ô ø ò a ß Ô<t|rKvzs py rK€ y t ò yÒb!` {ªt } `Ìá b|yz{~ } ºy } { rKÏ € py } €su [email protected]Þ_t Ícaa PK€ Åx ; t|[email protected] ÍKÝÍK{ { t 9 $fzÄ yz;n` a } v È yz rKnt w} {œÍK|{ y bÐÏ á { b!{‘ y € {
q pa € [email protected]!xŒt Í[email protected]|yÒa €  t € [email protected]Ô  á v {‰} v a t!t yz}a v  á { r bÐÏ Ô<rÔ<s b! áv { b rKtt á r 8 á a ¹y Ô f y t t € aÏ
RrKsÌ׀ (0, ∞)
É 9 xu{ á x [email protected] t t → sQ f9 (x) y xÌy %{ vb|{ rKpt y acÉ {šacn{œá ÍK{ bÐÏ t€ > 0 bªa È –{œÍK{~b!Ï x ∈ R a x
$ÝÄ ;
ò {œ µ É,x { a¨|b `ub{ r Éua [email protected] Éuty v >yzÂÏ0ȳa {a È t|s b!–{ {~rKÍ@€ { b! Ï á :{ / {~b|r {ºb|{ y vgt x{œ; t‘ [email protected]Ô R ,2{ xu{ €ur p{ŒÉ%{ vÒr ÉCÏ
á ø €ur b!È t 9 Ô<su€ }~|y rK€ a vÒt á { € p < 1;wyz á b!{ t `%{~}~g r µ 5 t y tZsut|s a v k·k p∈R  { L
t ø€
v à–á € t!suv rcÔ
á €
¹{š[email protected]|{ {ª á ac kf k = e
á y t r b 0 y t  á { Ô<rKvÒvzr wy € ˜ á { r b! { È{ {œÍK{ b log |f | y µ y p{@[email protected]É { {^Ȍacy b!{ 
@?E "
! , , KC'+ 01. µ !, - , ) ' KC& ' %A ) #D!$#K ) K , -d!$$0 , @ ) # - , * [email protected]
'+J , KTB.#"U3$01." ) , ) '+ ρ > 0 .#"U ' ' , ' ) ) $0 # ) K * 0AlKT#jD! ) #$, f ) # R &
Z
9 $Ý2Ä < ;
ρ Ent f 6 2 |∇f | dµ.
) 0# & ) {œÍK{~b!Ï - ) KC#"UCJUE'+J , KC -' "lKT#jD! ) # f ) # R & -.l% t > 0 .#"U,-.l% a ∈ R &
9 $ÝNÄ O;
ke k
6 ke k .
) #-. 2, ' % & ! $ 4Y ' 0 ) ' U k, ) ' ' t > 0 .#"U t|r ȳ{ a 6= 0& $0#M 0 ')"* .l!$$0C'*! )- ) ' -,!$#jJI)KL ' !$D% $ 4Y ' 0 ) ' U ), Y
é€ à–á { r b|{~È $ Ê.ÝÄ y € {~Ö s a v yÝpyÒ{ t 9 $ÝNÄ O;[email protected]!{ t  ac|{ x Ô<r bÉ rKsu€ xu{~x Ô<su€ }œpy rK€utžÔ<r b t yÒȳ` v yz} ø
yzÂrKÏ € Õ  á {~rKÏ €utb!{[email protected] v Ϙ{œßp{ € x rºv [email protected]"K{~bZ} v a t|t { [email protected]Ô%Ô<s̀ }~|y rK€ut su€ xu{ b  á {w`ub r `,{ b y € p{ KbpacÉuy v yzÂÏ
} xÌyzpy #u€ t v v á t|s s ø [email protected]€ rKvÒs [email protected]€;t rKs
,ô{šÈaόxu{ { yÒȳy [email protected] ϑ { `ub|{~È È } Í
py { ȳ[email protected] ` (Qe ) ÉCÏ
Qt f
Qt f (x) → f (x)
t
2
t
t
n
n
t
n
p
p
0
R
log |f |dµ
n
µ
2
2
n
Qt f
f
a+ρt
a
t t>0
h
i
e t f (x) = sup f (y) − 1 |x − y|2 ,
Q
2t
y∈Rn
t > 0, x ∈ Rn
–à á { r `,{ bpa  r b t Q a € x Qe [email protected]!{b!{ v acp{~x2ÉCÏ  á {³`ub r `%{~b!ÂÏ  á ac Ô<r b
a € ¨Ï  r;Ô<su€ }~|y rK€Ìt a € x g g > Qe f y Ô a € x rK€Ìv Ϧy Ô f 6 Q g t!r  á ac Qe Q f 6 f 6
9 e
Q0 f (x) = f (x) ;
f
t
t
t
t
t
t
2{ºa vÒt|r á aÍ@{^ á ac Qe (−f ) = −Q f é€ `[email protected]!|yÒ} sÌv [email protected]  á {^} rK€ } vÒsÌt y [email protected]€ 9 $ÝÄNO; [email protected]Ô
à–á { r b!{ È $ Ê.ÝĚȌaÏ É,{šb|{ Ô<r b|È sÌv ac|{ x;{ Ö s yÝÍca v { €  v Ï rK€ (Qe ) ÉCÏ
9 $ÝÄÅ ;
ke k
6 ke k .
r |{‰ á a ¹ á { Ô [email protected]ȳy v yÒ{ tZrcÔ y € {~Ö s a v yÝpyÒ{ t 9 $ÝÄNO; a € x 9 $zÄÅ ;gacb|{ t  [email protected]É v { s̀ xu{ bQ á { b!{ t `%{~} ø
pyzÍ@é { Ô t { ȳt [email protected]€ur rKs ` t t!rKvÒs v rK€ €surKsut € t rK€ rKvzs rK€ s € v t r 9
y ^[email protected]É p{ Ϧ} py
a {a ÏJ} Í py [email protected] ȳ{  {[email protected]  $zÄ2O;
acá  v { vzarµt  Ô<r b–á a vzv É q&rKsur € rKxuv{ x;} rK€ € py s €suv [email protected] Ô<á sur € }œpt y [email protected]€uá t Ô [email protected]È{ v t Ï á  á { t psÌ[email protected]Éut|t y v yz€ ϳÉCÏ`ut!b s r x s rK}œ€  t–[email protected]Ô
 { á Car @b!yz Ȁ yz} É u{œÔ<ͳr y {~Ö a yÝt ÂÏ r&r á Ô<su € ac–[email protected] € γ rKy €  E{ e‚a yÒa ȳ{a b|{ R
wyz } Í[email protected]!y a } { σ Id b–{œÍK{ bÐÏ È
 }œpy f˜ R × R
e t f ,
Qt Q
t
t
t t>0
etf
Q
f
a+ρt
a
n
σ
2
‰`u` v yÒ{~x  r
K{~
5
n
|∇f˜|2 dµ ⊗ γσ .
Z
|∇f |2 dµ ∗ γσ .
min(ρ, σ −1 ) Entµ⊗γσ f˜2 6 2
f˜(x, y) = f (x + y) x, y ∈ Rn
−1
n
Z
XÔ<r b |t r ³È { t È &r r  á <Ô su€ œ} py [email protected]€ f rK€
2
Q{
Rn à–á { r b!{ È $ Ê.Ýĺ á { € ac`u` v yz{ t  r µ ∗ γ ò {œ||y € σ → 0 ÏyÒ{ v x t 9 $ÝÄNO; Ô<r bna vzv É rKs̀ xu{ x
} rK€ py €surKsut–Ô<su€ }œpy rK€ut ) ) ) ) 0 ) B' 4YCY ! é€  á { # b t ^`[email protected]Ð [email protected]Ô  á {‘[email protected] s ȳ{ €  ¹{ a t!t|s ȳ{˜ á ac‰ á {
vÒr Cacb|yz á ȳyÒ} q&r É rKv {œÍ˜y € { Ö s a v yzÂÏ 9 $ÝÄ2< ; á rKv x t a € x t á r  á ac 9 $zÄ2O; y tZt acpy t# {~x Ô<r b a € Ï
Éq&rrKsÌrK€ vxu{ x f€ a s € xJv a € Ï 9 t > 0 á arKv ∈t³RÔ<r-/gÏvzv a 9 t vÒryzÈ` vÒvv {šxu{ ò €Ìt yzt ÂϨá [email protected] s Ô<suȳ€ { €  rK €Ì tá { vzò r [email protected]!yzá á suÈt yz}
É {œÍ y {~Ö a yÝÂÏ $Ý2Ä < ; x bŒa }a Ï1; yz` } yÝ }~|y {~Œ
É%r {5aJÉ rKsuv € xÌt!{s x Ô<sur € }œpy [email protected]€HrKá € RrKs̀ 9 /QÏ b!{ sÌv [email protected]!y t¹a [email protected] Ô [email protected]€ € yÝGr ÈaÏôt ÕÉ%{á r a t|t!s È{~ xU t á ac t f á yft
#R} € ȳa vZ`Rt [email protected]p}œ{  ` Ï b!{ `usu` v [email protected]!b||yÝÂ{ Ïx x wr yÝ{ t‚€ÌÉ r šÈŒxua { 0 xŒ{ xuv { y Ôb!{˜yzÍc{aca ptyÝÍKyÒ{~{ b á { b!a { ;Ï ò b!{~xu { bF (t) =Q{~kÍ@{eb É%k{ yÒxÌ{ w yÝ á {
t > 0 ê r b‘a vÒv t > 0 a € x a v È rKt ˜{~ÍK{~b!Ï x  á {;`[email protected]Ðpy a v xu{~b|yzÍcac|yzÍ@{ t
λ(t) = a + ρt
t à–á sut t
€ v
r€
á
êr
t|s Q} á f` (x)r y €  {œtß& y ¹ { K{~w á acF y xuy %{ b!{ pyÒ[email protected]É {ºac‰{~ÍK{~b!Ï` y  t > 0 { b!{ λ(t) 6= 0 b
Z
9 $Ý2Ä P ;
∂
dµ.
λ (t) F (t)
F (t) = ρ Ent e
+ λ (t) Q f e
∂t
q y € }~{
∂
1
Q f (x) = − ∇Q f (x)
a v È rKt B{~ÍK{~b!Ï á {~b|{Gy € x a € x∂tt y € } { µ y t [email protected]É t!2rKvÒs p{ v Ï } rK€ py €[email protected]
min(ρ, σ ) Entµ∗γσ f
σ
62
n
Qt f
∂
∂t
λ(t)
t
2
λ(t)−1
0
µ
λ(t)Qt f
2
t
λ(t)Qt f
2
t
t
2
λ (t) F (t)
λ(t)−1
0
F (t) = ρ Entµ e
λ(t)Qt f
−
Z
λ(t)2
2
∇Qt f eλ(t)Qt f dµ.
2
r
[ t y € } { Q f (x) y t ò yÒ` t } á yz šy € x Ô<r bw{~Í@{ bÐÏ t > 0 Q{˜ÈaÏ;[email protected]`u` v Ï  á { vzr [email protected]!yz á Èyz}
q&r É rKv {œÍy € { Ö s a v yzÂÏ 9 .zÄ2<;n r e  r xu{ x s } {‘ á a  F (t) 6 0 Ô<r b^a vzv t > 0 {œß&} {~`Ì
`ý¹rKrKt!€ t yzÉ €v sÏ rK€ {Brc`Ô r y €  9 y € }a t { a < 0á ; r q y € } { F y s t } rK€t py €[email protected]Òtr yÝ È t sut  É%{rK€ €urK€€&suø y rK€ su}~t b|{a t y € á py yÝÂÏ
ac
Q{~ÍK{~bºb!{ Ö yzb|{
É%{ ¹{~b {~Èyz} py ac  {
` r r y €  x f 5ª`u` r v όQrK fဠ{(x)€vÒs  á {štb|9 { =t!v su0v w€  r  á {šv Ȍ a tß&yzȌa € v,vÒrrKfQ€ { b t {~Èyz} rKrKsu€ t!|v y € surKsut–Ô<su€ }~py rKsu€ v Ȍa ø
Î b|y r { t x‚ÉCÏ f  á } € } xÌt|{t!s 5 p{~b rKacsÌ|€yzÍ@{ Ï a € Èò{ |yt á { x‚`uÔ<b|r {œÍ&y Ï v Q{QÈà–aá Ï^b|# { t acb|y ~{
a v t ȳá { f É xu{ xJa x yz` } yÝ bw{œßÌ[email protected]ȳ` { ; { b  `Racb!
[email protected]Ô  á [email protected]á b! r wyz a t x
t
à  s {^b €  y € { b| {~r È´ á y {¦{ } rK ac€ É ÍK{~y b t { {~–x v {œ f É%{¦a É rKs̀ xu{ x C Ô<su€ }~|y rK€Ut a py tÐÔ Ïy € 9 .zÄNO.; Ô<r b
{~ÍK{~t b!Ï t > 0€ a € x v t|r È{ a 6= 0 ªÜ € xu{ b 9 $ÝNÄ O; € yݪ á sÌt È sut ‰É,{º á ac F (0) 6 0 q y € } {
f y xuy %{ b!{ pyÒ[email protected]É { lim
Q f (x) = f (x) a x
t
0
λ(t)Qt f
t
1
0
t→0
∂
Qt f (x)
∂t
t
1
1
Qt f (x) − f (x) = − ∇f (x)
t→0 t
2
= lim
acw{~Í@{ b!Ϧ` r y €  x |t r  á a  9 $ÝÄ2P ;Ba t
t=0
ρ Entµ e
t→0
af
2
ÏyÒ{ v x t
1
6
2
Z
|a∇f |2 eaf dµ.
q y € }~{ a 6= 0  á y t [email protected]È [email protected]€  t  r 9 $ÝÄ2< ;žÉÏ t {œ|py € g = e à–á {–`ub [email protected]Ô[[email protected]Ô à–á { r b!{ È . Ê.ÝÄ
y t } r È` v {~|{
@[email protected]? "!
5 t y €  á {³} v a t!t yz}a v } a t {  á { `ub [email protected]Ô[email protected]Ô à–á { r b!{ È $ Ê.ÝÄ t yÒȳy v [email protected] v Ï
t á r t  á acªa‘xu{ Ô { }~|yzÍ@{ vzr [email protected]!yz á Èyz} qr É [email protected] {~͌y € {~Ö s a v yÝÂÏ [email protected]Ô  á {šÂÏ`,{
Ô<r b |t r ³È {
ρ Entµ f
C>0
2
62
Z
2
2
af
|∇f | dµ + C
Z
f 2 dµ
y t { Ö s zy Íca v { € – r  á { á Ï`,{ b|} rK€ pb|[email protected]}~|yzÍK{‚É rKsu€ x t
9
t > 0 a ∈ R;
k eQt f ka+ρt 6 eM (t) k ef ka
á { b!{
M (t) =
Ct
.
a(a + ρt)
€ a v p { b € ac|{Q`ub r&rcÔ[email protected]Ô
à–á { r b!{ È $ Ê.ÝĖȌaϘÉ%{–`ub r Í&yzxu{ x³ÉCÏG á {B rrKvÌ[email protected]Ô Íca € y t á y € Íy t } rKt yÝÂÏ 9 } Ô Þ_Í@a.PKÅ ; ,2{
rK€uv Ï ÉÌb|yÒ{ uÏ rKs  v y € {G á {`ub|y € } yz` v {G á acºb|{~Ö s yÒb|{ t˜t!r È{ Ô<s bÐ á {~b‚|{ } á € yz}a v [email protected] s ȳ{ €  t à–á {ªyzxu{a^y t  r [email protected]³a t Èa vÒv&€ur y t {B r  á { )ª[email protected]ȳy v  rK€&ø ÷ [email protected]} r ÉÌy&{~Ö s acpy rK€  r  s b € yÝ a Ô |{ bga €
{œß&` [email protected]€ { € pyÒa v } á a € K{ [email protected]Ô Ô<su€ }œpy rK€ut y €  r  á { á {ac { Ö s ac|y rK€ e^yzÍK{ € a t È r&r  á Ô<su€ }~py rK€
6 :"
) 8 :;
>8$:%>8$ 98 !: 5
a € x ε > 0 xu{ €Ìr p{ € [email protected]ȳ{ v ÏGÉCÏ
xuy%{ b!{ € pyÒa v { Ö s a py [email protected]€
 á { !t rKvÒs p y [email protected]€‘[email protected]Ô  á {wy € yÝpy a v Íca vzs {–`[email protected]Ðpy a v
∂v ε 1
+ |∇v ε |2 − εLv ε = 0 in Rn × (0, ∞),
∂t
2
v ε = f on Rn × {t = 0}.
yz‚y t {œß&`,{ }œp{ x2 á ac v [email protected]`u`ub r [email protected]} á { t y € a5b|{ a t|[email protected]€ [email protected]É v { t { €ut { á { t!rKvÒs py [email protected]€ v
[email protected]Ô $ O; é ‘y t {a t Ïô r } á { } 0  á ac u = e y t a t|rKvzs py rK€ôrcÔ  á { á {ac‘{~Ö s acpy rK€
v vzs
9 á €
; à–á {~b|{ Ô<r b|{ = εLu wyz y yÝpy a Íca { e
5
t
v ε = v ε (x, t)
f
(
∂uε
ε
9ε → 0
−v ε /2ε
ε
−f /2ε
ε
∂t
uε = Pεt e−f /2ε .
é ¹È sÌt gÉ%{n{ ȳ` á a t y ~{ x  á a g á {n`%{~b! s b|ÉRac|y rK€ [email protected] s ȳ{ € gÉϳa t Èa vzvu€ur y t { á a t a‚} v { [email protected]
`[email protected]ÔyÒ}œ s b!{³y €  á { `ub r É[email protected]ÉÌy v y t |yÒ} v a € s aK{ [email protected]ÔQv acb"K{GxÌ{~Íy ac|y rK€Ìt [email protected]È{ v Ï  á { a t ÏÈ`Ì r pyz}
v = −2ε log P e
a €$t # ε →s 0 rKy t € a [email protected]Òò s [email protected]` rKv [email protected]€J} rc{ øÔ è [email protected]|[email protected] á á a € á a t Ïs È`Ì r pyz} wv yz á bpac|{xÌ{ t rK}~€ b|yzÉ%{~xô`uÔ<sub!{€ } y t { rKv €Ï Ô<ÉCr Ï  áá {
yá È t È¡} [email protected]Í s 9 |yÔ f wyz  {˜é€ Ö á [email protected]žbpv a pyÒ} [email protected]ábK{˜t xÌ{~rK̀ y ac|ry bpacò |{ v }œpyr bnr  {t
{ac {~Èy&Kb ` } { /[email protected] P.> ;  y yzÈyÝ  { { } t!r x á b|xu{~b á [email protected] ` [email protected]} { € `,{ t|b|[email protected]Òs  brKy €
 á { v {ac€ xuy € ^|á { b|ÈÀ€$# y € s á {‰ø xÌrK{ #R€ € rKyÝpvÒys rK€rKrc€ Ô L = ∆t −€ h∇, ∇U
|á y sut
i [email protected]Ô  á ac  r { € yzÈyÝpv y
€
€
€
u
[email protected]Ô KyµÝÍK { é€ ÉCÏG`R [email protected]Ð{wpyÒ}y suv acÈ b È  á y } t a Ít Ïȳ`Ì|y  r |yÒQ};y ft y {œß&y ` v xuyz} {~yÝ`% { rK€ xu{  á  {5ÉRa t yÒ{–} ` pb {€ut |py{ a y €&øUÜ áa v { x € É% {~} 0
{œßÌ[email protected]ȳ` vv { €ur v t|t v á rK€
5‰`u` Ï
} a yÒ}a Ï&`,{ b!} |[email protected]}œpyzÍyÝÂϘ r u Ñ r b!{–`ub|{~} y t { v Ï KÔ<r b b > a > 0 # ß&{ x [email protected]`u` v Ï2 € á {Œb!{~ÍK{~b t { á Ï`,{ b|} rK€ pb|[email protected]}~|yzÍyzÂÏôy € {~Ö s a v yÝÂÏ 9 $ < ; wyÝ á 0 > p = −2εa > q =
−2εb a x
1 + 2εb
e
=
.
1 + 2εa
é  Ô<[email protected]ÒvÒr t  á ac
ke k 6 ke k .
º
t
!
t
s
r at
á
á
y
}

ac b =á a + ρt t ,2€ { t!á t sÌt b|{~} r r ÍK{~r bGy ဠ[email protected] á s y t á ¹aÏ  á t {
εr → 0 t > 0 r
€
r
–
à
á
á
Ȍá [email protected] rK€ { b|{~È $ Ê.zrcÄÔ á pá { tQ{~Í@{ b rK s acGryz ¹a á {~á } { [email protected]@€ bÐÏHvzsu t rK€  b b|{œÍK{ b {
Ï`,{ b!} pb|[email protected]}~|yzÍyzÂÏ  { {ac { ȳyKb `; b!{[email protected]}  {š} } y 6 6 8$ 8 - %898$%8 >89 '9 5 t a €Ì€urKsu€ }~{ x à–á { r b|{ È $ Ê.zÄ
a€ € x¦€ yz t `̀ b rÔ<[email protected]@v Ô {®t ßp€ { € x¨€. # r  s á { ø t {~rK!€py € rKvzs [email protected]Ô_rKvz€ur Cat @b!yz áá Èá yz} ïqr É [email protected] {~€uÍ € y € {~€ Ö s a v yÝpyÒ{ t¹rKt €¨€ ï yÒ{ è Èa €&ø
y a Èa y rKs x v a € x˜€ y á È tQt!È s } ø t Í rK€ py á wr yz t  rK{ € yÒ{~€ Ȍa t|suy av Èò {œpb|yz}ga y t r&ËKr Ë á ,ô{ªÉub|yz{ uÏ
 y {wy  y É { }œpy  {ª} b|b!{ ` xuy ºb|{  {~ É,{‰a È 
} r ȳ`r v {œp{ ïv yÒ{ Èa €u€ t!y s a € Èa t|€ rKy Ô<[email protected] x v [email protected]Ô [email protected]Ҁ ȳ{ €€usut rKy rKs̀ t n a € á x ï t yz{ Èa €u€ r yÒa € á Èt {œMpb!€ yÒ} d ò {[email protected] vÒµs É%{
a `ub É[email protected]Éuy yzÂÏ5ȳ{a b|{ acÉ p{ Ϧ} |y wyz b!{ `%{~}~^  { pa xRacb|xJÍ È³{
ε
−f /2ε
εt
t
ε
2ερt
vε
f
b
a
1 { áv {~ÈvÒ{r €  rK€ á M t acq&pr y t!Ô rKÏvy €
 { [email protected]|yÝ ȳyÒ} É {~Í
Ô<r b t!r È{ ρ > 0 a € x5a vÒvRt È r r  á { €urKs á <Ô su€ œ} py rK€ut f rK€ M y € { Ö s a v yzÂÏ
ρ Entµ f
2
62
Z
|∇f |2 dµ.
ª{ b!{ |∇f | €ur t  a € x t‘Ô<r bG á { ï yÒ{~Ȍa €u€ y a € v { € @ á [email protected]Ô  á { [email protected]ÌyÒ{ €  [email protected]Ô f ò {œ Ô<r b
t>0 x∈M
)
i
1
2
Qt f (x) = inf f (y) + d(x, y) .
y∈M
2t
(Qt )t>0
i
h1
1
1
d(x, z)2 + d(z, y)2 =
d(x, y)2
inf
z∈M t
s
s+t
s, t > 0
v = v(x, t) = Qt f (x)
)
M
(
∂v 1
+ |∇v|2 = 0 in M × (0, ∞),
∂t 2
v = f on M × {t = 0}.
h
é –ÈŒaϳÉ,{ r É t { b!Í@{ x5 á a 
Ô<r b|È t a t { ȳyKb rKs ` t y € }~{ <Ô r Qb  á { K{ r Ìx { t yz}‰xuy t pa € } { Ô<r b˜a vÒv x, y ∈ M a € x
ê rKvÒvzr € á s € € á v t|t v
t}a { 9 } Ô è y v ËKË$; ÌrK€ { t á r twt yz Èy v [email protected] v ÏGw y á ac  {Œ[email protected] ȳ{ ‚y  ³{ } y t a a CayÒ@}ay €
[email protected]Ô  á {šy € yÝpyÒa vÝø Í@a vÒs { ‰acÈy v  [email protected]€&ø ÷ [email protected]} r Éuy[`ub r É v {~È rK€ Þ s t|}Kr v vzyzs xu{arK€€
a p y
à–á { r b!{ È $ Ê.zČa € x yÝ t `ub [email protected]Ô  á sut b!{[email protected] v Ï{®ßp{ € x  r  á y t }a t { é Gȳy á ‚É,{Œ{a t yÒ{~b
 rá xÌ{~ÍKr { vÒr `³ á {n{œt ß|{ # €ut t y rK€ ï rcÔ )‰suacv Èy v  €[email protected]€&ø ÷ [email protected]} € r Éur y&{ Ö s r ac|y rK€ut  v rGït|s yÒ{ Èr a €u€ y a € Ô<suȀ a € rKy Ô<€ rKv x t t y €€
 á {‘} r&È[email protected]`uÔ[email protected]@}~Ô ^à–} áa {r b  { vÒ[email protected] b!y ~tBy sut fr y  s a5} r ȳ`Rá [email protected]}~t  Ï t `uÔ` € b!p{~t!x t }~|y a y
 {š`ub
{ b|{ È . Ê.ÝĂa  b|{~x } {^  y } a {šy {~} { [email protected]ÐÏ
6 6 :
" A<9 P2 % 8
%89 >8$)# 8 8$)>' )
€Ìr á
Ô r vzr á q&r rKv € s v t r €$# s ø
à–á t
K} r € Í [email protected]{ vÒb!s {H|y rKy € yÏ@€ {~{  Ö s a a v yz| yÒ{ {~t b  á ¹a a Ï r {b t È  á b rKs [email protected]á b!yz á {Èt|yzr } ø }a vÒÉv {~x {œ)ªÍ {~b|y É t { Ö Èa {œ yz|á yÒr { x 9 } Ô y ò { È xPP È $; à r y € pb r x s } { yz ¹{ # b t  t|s ȳÈ[email protected]|y {˜ á { Ñ rK€ K{ ø a €  r b r Í&yÝp} á x s a v ÍK{ b t y rK€ut‚[email protected]Ô  á {
pbpa €uv t ` r b!p€acpy rKá € } €[email protected]# t ny s € {~Ö ø s rKa €v yÝpyzrK{ vzt s ,ôrK€ {^ [email protected]á € { € b|{~}a vzv  á {š} v a t!t yÒ} a v )n{ b!É t ‰[email protected]" s È{ € na € x
[email protected]`u` Ï yzwy  {šy È È } Í py } |{œß 6 6 D6* +. 8 # $ >8# :aN 9>' ò {œ sut–t [email protected]! wyz á  á { ,ôa t|t { bÐp{ y € xuy t†ø
 a € }~{ wyz á v y € {acb¹} [email protected] nÉ%{œ ¹{~{ €  r `ub r É[email protected]Éuy v yzÂÏÈ{ a t|s b|{ twrK€ R xu{ #u€ { x¨ÉÏ
n
W1 (µ, ν) = inf
ZZ
|x − y|dπ(x, y)
á { b!{‚ á {^y €$# È s Ⱦy t b s̀u€ y € r Í@{ bna vÒv `ub r É[email protected]Éuy v yzÂϳȳ{a t!s b|{ t π [email protected]€ R × R wyÝ á b|{ ø
t `,{ }~|yzÍ@{gÈ[email protected] € a vÒt µ a € x ν 9(á aÍy € ªa #u€ yz|{ # b t žÈ r ȳ{ € ; /QÏ á { Ñ rK€ K{ ø a €  r b r Í&yÝp} á
x s a v } á [email protected]}œp{ b!y acpy rK€ 9 } Ô ï [email protected]} PÌÄ Æ s xuÅP$; Z
Z
9 $ Ê@Ë ;
W (µ, ν) = sup
gdν − f dµ
á { b!{5 á { t|s `Ìb|{ È s È y t b su€u€ y € r ÍK{~b³a vÒv É rKs̀ xu{ xUȳ{a t!s [email protected]É v { Ô<su€ }~py rK€ut f a € x g
t|s } á  á ac
+ |x − y|
Ô<r b–{~Í@{ b!Ï x, y ∈ R Ó {~b á ac` t È g(x)
r b!{^} 6v a t|ft (y)
yz}a v Ï ¹{ á aÍK{‚{ Ö s yÝÍ@a v { €  v ό á ac
Z
Z
9 $ Ê&NÄ ;
W (µ, ν) = sup
gdµ − gdν
á { b!{‚ á { t|s `ub!{ È s È´y t b s̀u€ y € r Í@{ bna vÒv ò yz` t } á yz Ô<s̀ }~|y rK€ut g wyz á kgk 6 1 à–á € v[Ô<r [email protected]Ô á s v Ñ rK€ ø € r r á t € rK€ [email protected]Ô½t|r ȳ{ªÈ³{~|b|yz}
t `[email protected]}~{ { (E,K{ d){ b|a Ô<r b–{œb|ßÌÈ [email protected]ȳ` v {^{ªy € x xuyz}a ac|{ t  á K{ac 9 } a Ô  ï b [email protected]Í} yzP&|Ä } $; b|{~`ub|{ { pacpy
Z
ZZ
Z
9 $ ÊKÊ ;
inf
T (x, y)dπ(x, y) = sup
gdν − f dµ
á { b!{n á {ªy €$# È s È y t b su€u€ y € r Í@{ bQa vÒv `ub r É[email protected]Éuy v yzÂϺÈ{ a t|s b|{ t π wyz á È[email protected]"Ky € a vzt µ a € x
t|s á á t €
v yÝ á b!{ t `%{~}~  r π a € x á { b!{G á { t|s `Ìb|{ È s È y t‰r ÍK{~b^a vzv
ν t }  ac [email protected]Ô y rKys̀ p{@[email protected]É { w
t!s v Ô<su€ rK€ut 9 r t
v € ø€
v
t|`Rs [email protected]} yÒbá  (g,á ac f Ô<)r bwa ÉvÒv x, yxu { x ȳ{a [email protected]É { }~py b^b|{ `,{ }~|yzÍ@{ Ï ν a x µ y |{Kb|[email protected]É { ;
g(x) 6 f (y) + T (x, y).
)ª{ b!{ T y tžs `u`,{ b t {~Èyz} rK€ py €surKsut π ø y € p{ KbpacÉ v {Za € x t!s } á  á ac T (x, y) 6 a(x)+b(y) Ô<r b
t|r ȳ{šÈ{ a t|s b|[email protected]É v { Ô<s̀ }~|y rK€ut a a € x b € R  á { t|s `ub|{~È s È rK€  á {šb|y& á  ø á a € x t yzxu{
[email protected]Ô 9 $ ÊKÊ ;–ÈaϦÉ,{˜ a 0 { €r Í@{ b t Ȍa vzv {~bn} v a t!t { t [email protected]Ô t È rr  á Ô<su€ }~|y rK€Ìtt!s } á a t É rKsu€ xu{ x
ò yz` t } á yz r b t|r rK€ 9<à–á y t `ub r Í&yzxu{ t a € a v p{~b € ac|{ b|{ suv [email protected]|y ac|y rK€ `Ìb r } { x s b|{ Ô<r b˜ á {
[email protected]" ê s r È{ ဠ t xus {~Í@{ vÒr `%{~x¨rKy € t  á € { € {œß t su{~v }~py rK€ut ; á sut á á
bB {šÖ [email protected]|acpyz}^} ny `[email protected]ÐpyÒ} acb ¹{š aÍK{š ac
Z
Z
9 $ Ê ;
W (µ, ν) = sup
gdν − f dµ
á { b!{‚ á { t|s `ub!{ È s È´y t b s̀u€ y € r Í@{ bna vÒv É rKs̀ xu{ x Ô<su€ }œpy rK€ut f a € x g t!s } á  á ac
n
n
1
n
1
Lip
n
2
2
g(x) 6 f (y) +
1
|x − y|2
2
Ô<r b–{~Í@{ b!Ï
x, y ∈ Rn
1 Âé €  á {šy €.# È s È ø } rK€ Í rKvzs py rK€ u€ r p acpy rK€ h
i
1
2
g(x) = infn f (y) + |x − y| = Qf (x)
y∈R
2
[email protected]} á yÒ{œÍK{ t  á { r `ÌpyzȌa v } á r yz} {
6 6 8A%4 >8$)# 8 é€  á y tŒt { }œpy [email protected]€ Q{Jb!{ }a vÒv  á {)n{ b|É t 
[email protected]á b" s vÒÈr { € Za á € x yz tq&r y € prK{~v b|`ub!{~€pacpy s rK€ v a t a‰|bpa €ut ` r b! a py [email protected]€ b|{ t|suv wyz á v y € { [email protected] } rKt 75 t!t|s ȳ{
 { [email protected]|yÝ ȳyÒ} É {~Í y { Ö a yzÂÏ
Z
9 $ Ê >4;
ρ Ent f 6 2 |∇f | dµ
á rKv x t Ô<r b t!r ȳ{ ρ > 0 a € x a vÒv–t È rr  á { €ÌrKs á 9 vÒr }a vÒv Ï ò yÒ` t } á yz 2; Ô<su€ }œpy rK€ut f rK€
ê r b t yzÈ` v yÒ}~yzÂÏ a t!t|s ȳ{ É%{ vÒr  á ac µ y t [email protected]É t!rKvÒs |{ v Ï} rK€ py €[email protected] wyz á b!{ t `,{ }œš r
R
ò {~É%{ t s {ºÈ³{a t!s b|{
r Zv {œ É,{ a 9 É rKs̀ xu{ x ; ò yÒ` t } á yz Ô<su€ }œpy rK€ rK€
á ò yz` t } á yz } r { } yz{ € 
g
R wyz
ò sut  á { € [email protected]`u` v Ï 9 $ Ê >4;– r f = e
á { b!{ λ ∈ R q {~ G(λ) =
kgk {~
R
q€
v rKt
Ôr 9 á á Ô<r b–e {~Í@{ b!Ï λ ∈ Rdµ y }~{ |∇g| 6 kgk a È {~ÍK{~b!Ï {~b|{ Q{ K{~ b È $ Ê >4;X ac
µ
2
2
n
n
2
Lip
λg−λ2 kgk2Lip /2ρ
Z h
λg−λ2 kgk2Lip /2ρ
Lip
i
2
1 2
1 2
2
2
λ kgkLip eλg−λ kgkLip /2ρ dµ − G(λ) log G(λ) 6
λ kgk2Lip G(λ).
λg −
2ρ
2ρ
逨r  á { b r b|x t
9 $ Ê ;
v Ïy € logp{ KbG(λ),
r λÏ∈yz{ v R.x Xt y € } { G (0) = R gdµ  á ac
à–á y t xuy {~b|{ € |y a v y € {~Ö s aλGv yÝÂÏ(λ)y t 6{a tG(λ)
y
p
a
p

{
x

Ô<r b–{~Í@{ b!Ï ò yÒ` t } á yÝ 9 y € p{@[email protected]É v {2; Ô<s̀ }~|y rK€ g [email protected]€ R Z
9 $ .Ê < ;
e dµ 6 e
.
/QÏ ý á { ÉCÏ} á {~Í t y € { Ö s a v yzÂÏ  á y t y € { Ö s a v yzÂÏxu{ t }~b|yÒÉ,{ t  á {³} rK€ } { € |bpac|y rK€ `Ìb r `,{ bÐpyÒ{ t
[email protected]Ô a ȳ{a t!s b|{ µ t ac|y tÐÔ Ï&y € a vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒ} q&r É rKv {œÍ y € { Ö s a v yzÂÏ 9 } Ô ò { xP.P$; é€ { Ö s a v yzÂÏ 9 $ Ê < ; á a t É,{ { € b|{~} r € y ~{ xôy € /hekPP Qa t a¦|bpa €ut ` r b! a py [email protected]€ y € { Ö s a v yzÂÏ
Ô<r bB á { W ,ôa t!t { b t |{ y € xuy t  a € } {šy €  á { Ô<r b|È rcÔ
9 $ Ê O;
dν
ρ W (µ, ν) 6 2 H(ν | µ) = 2 Ent
á rKv xÌy € Ô<r bga vÒv `Ìb r ÉRacÉuy v yzÂÏGȳ{a t|s b!{ t ν [email protected]É t!rKvÒs p{ v Ï } rK€ |y €dµsurKsut wyz á b!{ t `,{ }œB r µ wyÝ á
ï [email protected] rK€&ø y 0cr xÌÏÈ xu{ b!yzÍcacpyÝÍK{ [email protected]ȳ{ v ÏÉCÏ 9 $ ÊO;‰a € x 9 $ Ê@Ë ; 9 rK€ {‘} [email protected] x sut {³} r È ø
` v {œp{ v Ï t yÒȳy v acb v Ï 9 $ Ê&NÄ ;J; KÔ<r bZ{~Í@{ bÐÏ É rKs̀ xu{ xÈ{ a t|s [email protected]É v { Ô<su€ }œpy [email protected]€ut f a € x g t!s } á  á ac
0
0
n
g
R
gdµ+kgk2Lip /2ρ
1
2
1
µ
dν
dµ
g(x) 6 f (y) + |x − y|
Ô<r bwa vÒv x, y ∈ R n
Z
r b {~Ö s yzÍca v { €  v Ï &Ô<r b–{œÍK{~b!Ï
q {~
gdν −
Z
f dµ 6
s
2
dν
Entµ
,
ρ
dµ
λ>0
Z
Z
λ
1
dν
gdν − f dµ 6
.
+ Entµ
2ρ λ
dµ
ϕ=
dν
dµ
–à á ‚{ `ub!{ } {~xuy € y € xuyÒ} acp{ t  á a 
Z
ψϕdµ 6 Entµ (ϕ)
á { b!{ ψ = λg − λ /2ρ − λ R f dµ q y € }~{‚ á y t y € {~Ö s a v yÝÂÏ á rKv x t–Ô<r bw{~Í@{ b!Ϩ} á r yz} { [email protected]Ô ϕ
R
vt R
逦r  á { b8 r b|x t
9 y { ; [email protected]`u` v Ïy € ‘yÝ– r
ν
ϕ = e / e dµ Ï&yz{ x log e dµ 6 0 2
ψ
Z
ψ
á { € f y t ò yz` t } á yÝ wyÝ á kf k
{œßÌ[email protected]}~ v Ï5acÈ rKs̀  t  r 9 $ Ê.< ; q y € } {
,
ψ
eλg dµ 6 eλ
Lip
6 1
R
f dµ+λ2 /2ρ
rK€ {;ÈaÏô} á rrKt {
Entµ (ϕ) = sup
.
Z
t!r  á ac˜ á { v ac||{ b
g = f
ϕψdµ
á { b!{³ á { t|s `Ìb|{ È s ȶy t b su€u€ y € r ÍK{ b‚a vzv ψ t^t!s } á
[email protected]"t s v È{ € ª}€ v {[email protected] v rÏ;y € xuyz}ac|{ t  á ac 9 .t Ê.<;–y tt ac}~ s a vÒv Ï
{a y ό{œßp{ x  [email protected]|ÉÌyzpb|acÂÏÈ{œpb|yz} `Rac} {  á s ac Rv e€ dµr 69 1  á {‘à–`uá b!{t } {~xut|y su€ v
{ Ö yÝÍca { n $ ÊO; y b|{ 
ψ
[email protected]Ô á t‘t rK€ t r ø
6 6 6
>< >89 8 à–á
t } b!yÒÉ, { á r ´ á {`Ìb|{ }~{ xuy € ()n{ b!É t  [email protected]" s È{ €  ÈaÏ É,{¨{¨[email protected]@yÒ`uÈ ` v yÒ{ xU } r y È` { v }~{~||y { v Ï yt yÒȳ y v [email protected] {v Ï
à–r á y €$r # È s È ø } rK€ Í rKvzs á py rK€ut é€ v `[email protected]Ðs pyÒ} suv acb ¹{ b!{ } r Í@{ bGy €  á y t }a t {Œ á {} rK€ } vÒsÌt y [email protected]€ô[email protected]Ô
{ b!{ È $ Ê.ÝĂac– {š}~b|yz|yÒ} a Íca { a = 0 ešyÝÍK{ € a 9 É rKsu€ xÌ{ x ò yz` t } á yz ; Ô<su€ }~|y rK€ g rK€ R ac`u` v Ï €ur ô á { vzr [email protected]!yz á Èyz} qr É [email protected] {~Í
y € {~Ö s a v yÝÂÏ 9 $ Ê >4;‰ t r fÔ r = e á 9 á v { rKb|€&{ ø ¹÷ {r b|{~}a vzv s  á ac rK€ Q á= Q ; v [email protected] ty € }~{ Q(λg)á =
Q{ { { b È¡ { )ª[email protected]Èy 
ac} Éuyž{~Ö acpy  a  a È  {œÍK{~b!Ï { b!{
λQ
y €5t `Rgac} λ{ > 0
n
2
ρQ(λg)
1
λ
Q(λg) = λ
∂
1
2
Q(λg) + ∇Q(λg) .
∂λ
2
1 ô{  á €sÌt yzÈv ȳ€ { xÌs y ac|v { v Ï xÌ9 { x s }~{ rKÔ € b r È á { vzr [email protected]!yz á Èyz} qr É [email protected] {~€ Í2y € { Ö s a v yzÂÏ 9 $R Ê >4;‚ á {
Ô<xurKy vÒ%vzr{ b!{ t¹pt yÒyÒaȳy v y [email protected] {~v Ö Ï‘ a á yÝa Â Ï $ Ê; G(λ) = e dµ y } { G (0) = ρ gdµ yÝ
Z
9 $ Ê@Å ;
e dµ 6 e
,
€uá rKacsu € y t  á {Q€ y €$á # È s € È ør } [email protected] € Í rKrKvÒs € p y [email protected]€ y €á { Ö s a v€uyzÂt Ï r 9 $ÝÄVÊ; [email protected] € é€ rK{~tÖ s a € v yÝÂÏ s 9 $v Ê@Å ;žÔ<r [email protected]È [email protected]á su€  s t a t a €&ø
}~{ x³y  {–y pb x }~py   {B|bpa ` b! a py }  y {~Ö a yÝÂÏ b_ {–Ö [email protected]|acpyz}
} rKt 
9 $ .Ê P ;
dν
ρ W (µ, ν) 6 H(ν | µ) = Ent
Ô<r b¹{œÍK{ bÐÏ ν [email protected]É t|rKvzs p{ v ϳ} rK€ |y €surKsÌt wyz á b|{ t `,{ }~– r µ ZÞ dµßÌ[email protected]}œ v όa t¹Ô<r bQ á {‰{ Ö s yÝÍca v { € } {
É%{œ ¹{~{ € 9 $ Ê < ;Ba € x 9 . Ê O.; ÉCÏ; á {^x s a v xu{ t }~b|yÒ`&py [email protected]€¦rcÔ W ,
0
ρQ(λg)
R
ρ gdµ
ρQg
2
2
µ
2
Z
gdν −
Z
f dµ 6
Ô<r bwa vÒv É rKs̀ xu{ x <Ô su€ œ} py rK€ut f a € x g !t s } á  á ca 
Ô<r b–{~Í@{ b!Ï x, y ∈ R q y € } {
`ub|{~} { xÌy € [email protected]È rKsu€  t  r
n
g(x) 6 f (y) +
1
dν
Entµ
ρ
dµ
1
|x − y|2
2
ac} á yÒ{œÍK{ t  á { r `ÌpyzȌa v } á r yz} { Rt {~!py €
g = Qf
Z
ϕ=
dν
dµ
ψϕdµ 6 Entµ (ϕ)
á {
á { b!{ ψ = Qf − R f dµ q y € }~{¨ á {y € { Ö s a v yzÂÏ á [email protected] x t³Ô<r b{œÍK{~b!Ï} á r yÒ}~{ [email protected]Ô ϕ yzy t
{ Ö s yztÍca v { € rKw€u t r t saÏ €  á ac rcÔ R e á 6 à–1 á  á r acwy t {®ßuac}~ v r Ï 9 .á Ê@Å; € t á
Ô<rKvÒ5 vzr wyaJ€ G}} r b {~rKÖ vzv [email protected]{ bÐÏ }~{# b t n{{ tyz  ac{É b v y t á {~{x¦yb!€ { È $è ÊËKËzÄ b‚ {;`Ìb|{ }~{ xuy Q{;ȌaÏ pacp{Œ {
D
! , ,KT'+ $01. µ !,[ - , ) ' KT ' % ) #D!$#K ) K ,[.#"U $01.f ) , ) '+
ρ > 0 .#"U ' ' , ' ) ) $0 # ) K * 0ElKT#jD! ) #$, f ) # R &
ρψ
)
n
)
0# & ,-.%A"
ρ Entµ f
)- - ! ' !$D%3'+J ,KCB
2
ν 62
Z
|∇f |2 dµ.
- , ) ' KC& ' % ) #D!$#K ) K ,
ρ W2 (µ, ν)2 6 H(ν | µ).
-d!$
,
)
0 µ &
ï {~` v @a }~y € |x − y| ÉCό á { ï yz{ Èa €u€ yÒa € xuy t  a € }~{ d(x, y) ÏyÒ{ v x t  á { t [email protected]È{ª} rK€ } vÒsÌt y [email protected]€
rK€ a t È r r  á Èa € y Ô<rKv x M é ªÈ³y á BÉ%{ r b! á á y v {‚ȳ{ € |y rK€ y € ˜ á ac- á { € {~ÍK{~b g y t ò yÒ` t } á yz Qg > g −
1
kgk2Lip .
2
&q r } v { [email protected] v Ï 9 . Ê@Å;b|{~`ub|{ t { €  t a € zy È`Ìb r ÍK{~È{ €  s ` [email protected]€ 9 $ Ê.< ; 9 b|{ ` v [email protected]}~y € g ÉCÏ
5–}~ s a vÒv Ï à–á { r b|{~È $ Ê.zÄ 9 } Ô 9 .zÄKÄ2;J;Q á { € y € xuyz}ac|{ t  á ac Ô<r b–{œÍK{ bÐÏ r ∈ R a³È s } á t pb [email protected]€ K{ b–`Ìb r `,{ bÐÂÏ
6 3 @
g/ρ ;
2
k eg kρ+r 6 k eg kr ekgkLip /2
4 ' >89 "
E 8$)>' )
é€  á y tšt { }œpy rK€ Q{Œ{®ßuacÈy € { t!r ȳ{} rK€ ÍK{ b t {;b!{ t|sÌv  tšÔ b r ȶpbpa €ut ` r b!pacpy rK€ } rKt Gy €ø
{ Ö s €ua t v yzpr yz{ t  r rK€ vzr [email protected]@t b!yz á € Èyzs} q&v r É rKt v {~Í y €v {~Ö t s a v yÝpyÒ{ tv € ,2s{ # v b t t xu{ à–t á}~b|yҀ É,R{ suဠr Ö s [email protected]|acpyz} ø
pbpa vzr ` ø b!prKac€ py } wt|y t|s { Ö a rKyzp€Ìyz{tGrKyҀȳ` á Ï su`,€ { }œpb|a v y€ {~Ö a yÝt|ps yz{ { xu{~bªá ac`u`ub 0 `ub|y ø
acp{ } } aÍrK€yÝÂÏô€ a s È`Ì|€ y vÒv v  á { xu{~éb π y Ès v { a t b|[email protected]{ Ô Q{5è b|{œÍ&yz{ €  á {:/Ba t|sub!v Ï t
[email protected]Þ Ô È³,ô{ bÐόa € }~P b|O yÝp { b!y a x ` –y `[email protected]|a {  { ) , y {~Ö a yÝpyz{ Ë@˽a xŒ { b|{ 
6 3 D6* B >8$)# 8 8)>' ; ) >8$.)C >' #L Ü t y € [email protected] €
 € á {¨sx s v a v Ñ 9 rK€ @{ ø a € t‚r €Ìb r r Íyz|} á xusÌ{ v t } b!yÒr5`Ì|t y rK€ 9á $ÝÄVÊ 9 ; [email protected]Ô  á {Ö v s [email protected] xub|acá pyz}¦t |bpa €Ìt ` v r b!pacpžy rKr €
yÓr {~Ö € a yÝÂÏ € .zsÄ ; v yzš&Ô<y r ‚ xu€ y á } t ^€Ì t { á { Ô<acr  .vÒvzÄVt .Ê ;‰ryÒrȳ`á yzÔ<{ s̀  { rK€ut`,{ }~|rKbp€ a Cac ` b
y }[email protected]!ǚy {~Ö a yÝÂÏ b µ y  { { {º ac bwa È  }~|y f R
Z
9 $ KË ;
ρ Var (f ) 6 |∇f | dµ
á { b!{ Var (f ) = R f dµ − R f dµ é€ xu{~{ x á r È r @{ € {~yzÂÏ y € 9 $ÝÄVÊ ;gÏyz{ v x t
n
2
µ
µ
5
t
2
2
Z
eρtQt f dµ 6 eρt
t|r  á ca 
R
f dµ
.
t → 0 Qt f ∼ f − 2t |∇f |2
Z
2
Z
Z
Z
Z
ρt2
ρ 2 t2
ρ 2 t2
2
2
1 + ρt f dµ −
|∇f | dµ +
f dµ 6 1 + ρt f dµ +
f dµ + o(t2 )
2
2
2
9 ; d5 a € x5 á sut $ KË xuy %{ b!{ € wxu{ b!yzÍcac|y rK€;[email protected]Ô  á y t b|{ |t suv w y t KyÝÍK{ € y € è ËKË é  y t Q{ vÒv#ø 0€ur € a € xJ} v a t|t yÒ}a v  á ac [email protected]`u` v Ïy € ³ á { vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒ} qr É [email protected] {~ͦy € { Ö s a v yzÂÏ
€ v €
vÒt|r ÏyÒ{ v x t 9 .KË; ê s bÐ á {~b|È r b|{ É r  á  á { vzr [email protected]!yz á ø
9 $ÝÄN;  r
1v + tf€ a s x v {œ|py 9 t →€ 0 a á
&
q
r
K
r
Ȁ yz} v É [email protected]€ {œÍ‰€ y { Ö rKa € yzÂÏ r .zÄN;½a t x^ é€ {_|bpa €ut ` sur v b! a pvzy r [email protected]€ } rKt á y € {~Ö qs r a v yÝ[email protected]ÂÏv 9 $zĀ Ê; s 9 r b v 9 $ÝÄ € ;;
{  [email protected] } } { |bpac|y `Ìb `,{ bÐpyÒ{ `[email protected]!|yÒ} [email protected] [email protected]!yz Èyz} É {~ͨy { Ö a yzÂÏa x
 áá {|Ô<bpr a €Ìt ` v r b!pacpry rK€ y € { €uÖ ts arKv €JyzÂÏÔ Ô<r [email protected] € á {€ Ö s [email protected]|rKac€ pyz}€ } rKt s  v [email protected]|{ t t  9 acÉ Ô v {¨Ñ ÉÏ `ub r x s }~à  t v a € x  {~b|{ b| { ò { [email protected] xuyÒȳ{ y b!{ { } } { |bpac|y y { Ö a yz|yÒ{ } [email protected]<@É a P.< /hekPP { x PP & ; 6 3 B $
A <;A 8 /¹{ Ô<r b|{  s b € y € ¦ r¨[email protected] bºÈ[email protected] € Ö s { t |y rK€
y €  rKá € { € {œß t|s É ø t {~0}~py rK€ ò yz³y t _r b!Ô<r á vÒrá y v {5 r á Éub!yÒ{ ÌqÏr b|[email protected]{~v Íyz{ €  á s { /¹v a 0 b!t‚Ï suø ÞZ€ ȳ{ b!Ï t }~b|y ø
pvÒr { b!yø rK€ /BÞ CÅ rcÔ /Báa P.> t|s { Lx PP b [email protected]|yÝ ȳyÒ} É {~Í2y { Ö a yzpyz{ xu{~b |b|yÒ}œ
ò }{œw }á asuÍt yzÂdµÏ = e {šÈdx{ a É,{˜b!a‘{ `ub r É[email protected]Éuy v yÝÂÏ È³{a t!s b|{ rK€  á { / r b|{ vžt {~ [email protected]Ô R á {~b|{ U
y t a t È r&r  á ` r p{ € |y a v "
! , , KC'+ 01.j ) , ) '+ c > 0& Hess (U )(x) > c Id !$# 0/2, #$2, ) , % '*'+Dl! ' . l! , KC#! ) l' ' % !$# x ∈ R Y ) 0# µ ), .D!,, + , $0 ')"* .!$$0C'*! )- ) ' -,!$#jJI)KL ' !$D%
−U
n
n
Entµ f
)
2
2
6
c
Z
|∇f |2 dµ
, ) ) 0AlKT#jD! ) # f ) # R Y
à–á {‘`ub r [email protected]Ô ÉCÏÆ %/Ba 0 bÐÏa € x Ñ ½ÞZÈ{~b!Ï [email protected]Ô  á y t b|{ t|suv  b!{ v yz{ t [email protected]€  á {G} r È³È s  a py [email protected]€
`ub r `,{ bÐpyz{ tŒ rcÔ  á v { Kb|á [email protected]Ò{ rK€ €  wyÝ [email protected]á €  á { t { ȳyKb rKs ` (P )su€ Ô<wr yz á v K{ € € { b|ac r b LÔ<r = t|∆r −
} t xuyÝpyv Hess
y s b|È v Ï € y rJx t ∈ R€ á b ȳÔ<r {
(U )(x)
>s c Id
h∇U, ∇i9 €u rK€ [email protected]€ ȳ{ Ï t|t  {G
v
K
r
t
t
z
v
v
} { [email protected]|y Ï pb!yÒ}œ Ï ` yzpyÝÍK{ ;šy [email protected]}œ a Ï {~Ö yzÍca { º aÏy ¨ ac b
c ∈ Rt rr á { Ô<su
{~ÍK{~b!Ï È  € }~py rK€ f 9 $ ÌNÄ ;
|∇P f | 6 e P |∇f |
9 } Ô /Ba 0 P.> ò { xRË@ËKa ; à–á { € KyzÍ@{ € a t È r&r  á t |b|yÝ v ϳ` rKt yÝpyÝÍK{ É rKsu€ xÌ{ x Ô<su€ }~|y rK€ f
¹{‚ÈŒaÏ wb|yz|{
*-.l% '
n
t t>0
−ct
t
á { b!{
Entµ (f ) = −
Z
∞
0
d
dt
Z
t
Pt f log Pt f dµdt =
I(Pt f ) =
Z
n
|∇Pt f |2
dµ
Pt f
Z
∞
I(Pt f )dt
0
y t  á { ê y t á { b–y €&Ô<r b|Èacpy rK€ [email protected]Ô P f /QÏ 9 .ÌÄ2;¹a € x5 á { ý a s } á Ï ø†q } á Bacb Gy € { Ö s a v yzÂÏ t
|∇Pt f |2 6 e−2ct Pt
t|r  á ca  ÉCÏ5y € Í[email protected]|yÒa € }~{ [email protected]Ô P 9 $ CÊ ;
vzvÒr ft ) 6á ace
á, { € c > 0 yzwyÒȳȳ{ xuyÒacp{ v Ï Ô<rKI(P
t
t
|∇f |2 f
−2ct
Entµ (f ) 6
Pt f,
I(f ).
1
I(f )
2c
f
á yÒ} á [email protected]È Kr su€  t  r à–á { r b|{~È $ > zĚÉCÏ;} á a € Ky € y €  r f 6 3 6 :"
E 8$)>') ,2{{œßÌ[email protected]ȳy € { á {~b|{ á ac á ac`u`%{ €ut  r  á {!/Ba 0 b!Ï ø
Þ È³á { v bÐς[email protected]á b" s È{ s €  € á { € v  á { v vÒr ¹{~bžÉ 0rKt s̀ xr c€ [email protected] €  á { )n{ t!t y a €˜[email protected]€ Ô Uv y tž€ur  r t pb!yÒ}~v  v ω` € rKt yz|yzÍK{
, y {³ {;[email protected] ȳ{ ˜} { [email protected] Ï Éub|{ a
x yzºÈŒaÏ { }~yÒ{  Ï2É%{} ȳ` { ȳ{ p{~x ÉCÏ
pbpa è €ut ` r b!pê acpr y rK€ t } rKt v ;y € { Ö s a v yz|yÒ{ t € ,2r {J0 b|{ [email protected]€ } á á y €  s á y tv BaÏ €  á {!t ) , vÒv é á y € { Ö s t|a sÌv vyz|tyÒ{ t³€ [email protected]Ô
ËKË b yzÈ` yÒ}~yzÂÏ Q{;[email protected] b y  { Þ } yÒxÌ{a } a { a  {Œb!{  a x
È{œ  á r x t v á r Ô<¹r {œÍK{~b0€ r y € ‘ á b rKs á y € a t ï yÒvÒ{~v Ȍa €u€ v y a € á t {œ|py € 0 ø
[email protected]ȳ{ à–Ï á bŒta Ô<Ï r T € > t 0 r&Qr {á ÈarKÏ t py [email protected]€ `Ì` Ï rKsu € { /Ba Ô<sub!€ Ï Þ[email protected]ȳ€ { bÐÏ rK}~€ b|yÝp{ b!y t|rKs € á s `Uá  r
pyÒȳ{ T a wy b–a Ï È  ` yÝpyzÍ@{^a x;É xu{ x }œpy f R }  ac
R
f dµ = 1 Q{ºÈaÏ wb!yzp{
2
n
|t t!s ȳy € ‘ á ac
9 $ ;
á { b!{
5
Entµ (f ) =
Hess (U ) > c Id
Z
T
I(Pt f )dt + Entµ (PT f ) .
Ô<r b !t r È {
0
c∈R
a € x us t y € 9 $ CÊ; t á r t  á ac
Entµ (f ) 6 α(T )I(f ) + Entµ (PT f )
1 − e−2cT
(= T if c = 0.)
2c
Entµ (PT f ) T > 0 0
t|r
€ut r rK€ rKsu€
–à á {ºyzxu{a‘y t–€ur  r } rK€ pb [email protected]
vwy Òv `ub r Í@{  á { Ô<rKvÒvzr wy € v { ȳÈa‚ á acBxu{ t }~b|yÒÉ,{ t a ÉCÏ y € x È[email protected]Ô{^b|p{œb|ÍKa {~b t ` {^|bÐbp a ac€u|yt ` r b!É  a py [email protected] € } ,ô[email protected] {
y € á {~Ö t!s s a v yÝt ÂÏ Ô<s r b € P fr y €  á € { Ô<€ur rb|È [email protected]Ô a è t á rê bÐgpyÒȳr {w`R€ [email protected]|[email protected]ýÉ [email protected] èyÒ}¹b|vzv { € suv [email protected]!y € acpyrKrK€ € { á t pyÒÈò ac|{ é€
 { vÒÉ r {~Ö { ‚} ȳs ȳvzv {  t á|{ r € rŒÔ<rK vzv҉r | Ô r a x á y ra [email protected]ÔZyžrcÈ³Ô { à–pá y r  ac {~suÈt Ȁ a
> ʳÉ%{ ȌaϨ[email protected]}œ a Ï;É,{
á { /¹b!{ € yz{ b ø Ñ } ý a €u€ pb|a €ut!Ô {~b|{ € } {š`  v a €  á { r b|{~b ÈÈ´ à– á {~{~yÒÏ;bn{`ut b  acÉ v y t á y € {  á b!{ { È t acÈ> { ¹aÏ5y a
t pb rK€ K{~bQb!{ sÌv [email protected]!y a py [email protected]€ { t pyÒÈac|{ t á r wy € š á ac¹É r  á { € |b r `Cϳa € x ê y t á {~bgy €ÌÔ<r b!Ȍac|y rK€
É%{~} r ȳ{ #u€ yz|{³y € acb|ÉuyÝpbpacb|y v Ï t á r bк|yÒȳ{ 9 v y 0 { O(t ) a € x O(t ) b!{ t `%{~}~pyÝÍK{ v Ï1;ºa t a
α(T ) =
T
−1
−2
Í@acr b|€ y a €  [email protected]Ô 0 a € r { t | yÒÈacp{ t Ô<r b/Kb|[email protected]Ò { à–€ á r r tº[email protected]Ô a5} [email protected]€ Í@{œß Ô<su€ }œpy [email protected]€2rK€ a )ny v É%{~b! t `Rac} {
y ‘É[email protected]}  ) /¹b|Ç y /¹b|Ç O { b|{~È $ O Hess (U ) > c Id c ∈ R (P ) @? D
!
! #"%$& ( )
(
32.
#4 '5 (
$ <
'
(* L = ∆ − h∇U, ∇i +-, R
f dµ = 1 +768 :9; T > 0
Entµ (PT f ) 6
dν = f dµ +
f
.
Rn
/10'
t t>0
(
1
− c W2 (µ, ν)2
2α(T )
€ 9
r á á ò
r € á Ô<rKv#ø
€ €
vÒr w^y €`&bpyÒȳ|{ y t|~suy v ª¦y á ac TxÌ{>t }~0b|yzÉ%y { t  $á { t|;‚r ø }a K{vÒ~v {~x { )-b , wyzé  y € {~Ö {~Ès a Èv yÝpa yÒ{ $t > } rK Ê €Ì€ Q{ }œ{ py € ÉÌ[email protected]{ y € pb  r `C{ Ï H , a t!t {~b!p{~y € xuy t  a € } { W a € x ê y t á {~b–y €ÌÔ<r b!Ȍa py [email protected]€ I "
! # dµ = e dx .#"U , ,KC'++$01. Hess (U ) R> c Id ) (, ) '+
)
Y
)
0
#
-.l%(, ' ) ) $0 # ) # + #j * .D!$-.7lKC#j ! ) # f ,[email protected] $01. f dµ = 1 &
&
c∈R
2
−U
H(ν | µ) = Entµ (f ) 6
p
2I(f ) W2 (µ, ν) − c W2 (µ, ν)2
' ' 01. dν = f dµ' Y
à–á { r b!{ È $ >$ á a t É,{ { €Hr ÉÌ acy € {~x ÉCÏ ê ‰| r a € x ý è y vzv a € y è ËKË sut y €  á {
/¹b|{ € yÒ{~b ø Ñ } ý a €u€ Ȍa t|t pb|a €ut ` r bÐ /¹b!{ PÌÄ Ñ } ý PCZ r K{~ á { b wyÝ á Ô<s b! á { b Ó Æ Þ[email protected] ø
s € t t v [email protected]Ô v € rK€ á t r&rKv t € v €
ý¹r ȳb|xu{ {~b  rcø ÞZbp5a sut Ö yzÈs y ` € {ý `uÞ b ËKË@É b|{ à–Ïáy { r b!{ È  $ {>[email protected]@Èxu{ȳ yz t  á ¹{ a Ô<rKvzvÒb|r { w}~{ y €  Ï } r Kyb zrKÍ@vz{ v [email protected]ÐÏ ÉCÏ7 á Æ ac } r ȳ` v {~È{ €  t à–á { r b|{~È $ >$zÄ
D
! # dµ = e dx .#"U , , KC'+*$01. Hess (U ) > c Id ) %, ) '+
Y
,
,
T
K
+
'
k
$
1
0
. ) , ) '+ ρ > 0 .#"U -.l% ν &
c60
$-
08- J
−U
ρW2 (µ, ν)2 6 H(ν | µ).
)
, , ,
0# & " -2!DUCJU3 01. 1 + c > 0 & µ ). ! ,+ k$0
ρ
)
0
)
, ) ) 0
*-.l% '
ρ Entµ f
f -d!$$0
2
62
Z
')"* .l!$ 0C'*! A )- ) ' -,!$#jJI)KL ' !$D%
|∇f |2 dµ
ρ
c 2
ρ =
1+
.
4
ρ
0
à r } r È` v {~|{ rKs bŒ`ub [email protected]Ԃ[email protected]Ô à–á { r b|{ È $ > Q{ á aÍK{ r { t [email protected]É v y t á8ò { ȳÈa($ > Ê à r  á y t  a t10 ¹{¦ÈŒa 0 { sut { [email protected]Ô a)‰acb € [email protected]} 0 ÂÏ`,{¨b!{ t!suv  [email protected]Ô ê ø ,ôa € y € , a € P O suá € ac[email protected]}œ s a rKvÒv € ϘÉu€ b|yzx v K{ € t  á {wb|{ t!v suv  [email protected]@Ô Ô è ËK€ Ë wyÝ9  t á  á {vÒt!rvzr [email protected]!yz á Èyz} ò q&r É rKv {~͑y € { Ö s a v yz|yÒ{ t
xu{~bª{®ßÌ` { py a y p{ KbpacÉuy yzÂÏ ,ôa P O {~{‚a 5‰yzxPKÅ { xPP $; ) ) ) # '*' 4Y "Y ! ï {#wb|yz|{ # b t  Ent (P f ) ÉCÏ |yÒȳ{ b|{œÍK{ b t yzÉuy v yzÂÏ;a t
Entµ (PT f ) =
Z
µ
T
f PT (log PT f )dµ.
ô{¦É [email protected]€ x P (log P f ) ò ÉÏH Ô<á s {5Èá {œ á r x [email protected]Ô ,ôa € P O ê yÝß x, y t y € R Ô< s̀ ò {~ rKx(t)
€¦t|s } =á
~
{

!
b

{
b
,
É
˜
{
a
%
`
~
{
{
x
~
}
|

y
x
+
y
0
6
t
6
T
h
:
[0,
T
]
→
[0,
T
]
C
 á ac h(0) = 0 a € x h(T ) = T q {œ γ(t) = x ◦ h(t) a € x
,
T
t
T
1−t
T
n
T
1
Ψ t, γ(t) = Pt (log P2T −t f ) γ(t) ,
ô, { á aÍK{
dΨ
dt
2
h0 (t)
2T −t f |
h∇Pt (log P2T −t f ), y − xi
γ(t)
+
(P2T −t f )2
T
|∇P
2
|h0 (t)|
2T −t f |
γ(t)
+
−Pt
|x − y| ∇Pt (log P2T −t f )
(P2T −t f )2
T
= −Pt
6
Ü t y € 9 $ ÌÄN; |∇P
∇Pt (log P2T −t f ) 6 e−ct Pt
ª{ € } { wyÝ á
)
¹{ á aÍK{š á a 
a € x5 á sut
é  Ô<[email protected]ÒvÒr t  á ac
0 6 t 6 T.
X=
|∇P2T −t f |2
(P2T −t f )2
and Y =
|∇P
2T −t f |
(P2T −t f )
.
|h0 (t)|
|x − y| e−ct ,
2T
dΨ
6 Pt (−X 2 + 2XY )
dt
dΨ
|h0 (t)|2
6 Pt (Y 2 ) =
|x − y|2 e−2ct .
dt
4T 2
|x − y|2
PT (log PT f )(x) − log P2T f (y) 6
4T 2
ê r bB á { r `Ì|yÒÈa v } á r yÒ}~{ @r Ô  á { t `,{ {~x h  á a wy t
h(t) = T (e2cT − 1)−1 (e2ct − 1),
Z
T
2
h0 (t) e−2ct dt.
0
0 6 t 6 T,
.
 á y t–v {acx t  r
9 $ .>4;
á { b!{
PT (log PT f )(x) 6 log P2T f (y) +
1
|x − y|2
2S
1
1
=
− c.
S
2α(T )
é€ { Ö s a v yzÂÏ 9 $ .>4;%y t  á { a € a vzr s { [email protected]@`Ì|{ x^ rwrKs b½` s b!` rKt { t @[email protected]Ô  á {)‰[email protected] € [email protected]} 0 y € { Ö s a v yzÂÏ
[email protected]Ô ,ôa € P O ê r b x # ßÌ{~x  a 0 {^ á { €  á {šy €$# È s Ⱦy € y y € 9 ..> ;g r K{~
á { b!{
P (log P f )(x) 6 Q ϕ(x)
q
€
÷ €ut € t y € {~Ö s a v yzÂÏ
f y } {šÉCÏ { {
T
ϕ = log P2T
Z
ϕdµ =
¹{º[email protected]}~ s a vzv Ï á aÍK{š á ac
S
log P2T f dµ 6 log
Z
PT (log PT f ) 6 QS ϕ −
à–á { b!{ Ô<r b!{ Entµ (PT f ) =
Z
T
Z
Z
f PT (log PT f )dµ 6 sup
P2T f dµ
= 0,
ϕdµ.
Z
QS ϕdν −
Z
ϕdµ
t!s v Ô<su€ rK€Ìt
á á t|s s t³r vÒv rKsu€
á s v
Ñ rK{ € b!K{{ø  { a €  r `Ìb rb|{ÍÈ yzp} á È xu{y t } b!Í@yÒ`Ì{ |b;y rKa € 9 É$ Ê ; [email protected]{~Ô xWȳ{ a r K{~bp [email protected]á É { b{ wyz á }~|áy { t }a ϕv y € ‚`/QuÏ b r  `%{~{¨b!Âx Ï [email protected] Ô
y €$# È s È ø } rK€ Í rKvÒs |y rK€Ìt  á { v {~ÈÈa˜y t { t [email protected]É v y t á {~x 5 t È{ € |y rK€ { xôÉ,{ Ô<r b|{ à–á { r b|{~È . > a € xôyÝ t `ub [email protected]Ô y € `[email protected]ÐpyÒ} suv acb ò {~ÈÈa $ > Ê á rKv x t yÒȳy v acb v Ï y € a ï yÒ{~Ȍa €u€ y a € } rK€ |{œß r t
€ á vÒr á q&r rKv
ò
€y {~Ö s a v yÝpyÒ{ tªrcÔ à–" á ! { r b!{ È{ ȳ$Ȍ > a $ su> € ʹxu`u{~bb  Íá yÒxÌ{º{ Ö s a–[email protected]Éuxub|bpyza x pK{yÒ}º_É,pbp{~a  €uQt { ` { r b!pacp{ y rK€ [email protected]} b|rKyÝt   ȳa € yÒxJ}  á É {Gb|{~{ Íø
t|suv  [email protected]Ô ê ø ,ôa € ,ôa € P O su€ xu{~bB{œß&` rK€ { € |y a v y € p{ KbpacÉuy v yzÂÏ [email protected]Ô  á { t Ö s [email protected]|{^xuy t pa € } { yÒȳs È{~v xuy ac|9 {} rK€ut { € Ö s { € } { [email protected]Ôwáv y € {[email protected]áb‚p€ b|a €ur t ` r 0bÐ ac|áy rK€ €$} # rKt s é€ xu€ { {~x y Ô Q{;y € á p{ Kbpac|{ y €ø
{ Ö a yzÂÏ $ .>4;¹y dµ(y) bpac { bB a   a {š {^y È È y y ¹{ K{œ– ac
2
Entµ (PT f ) =
Z
ZZ
PT f log PT f dµ 6
f (x) log P2T f (y)dµ(x)dµ(y)+
ZZ
ZZ
|x − y|2
|x − y|2
f (x)
dµ(x)dµ(y)
6
f
(x)
dµ(x)dµ(y)
4α(T )e2cT
2S
á { b!{ Q{ us t { x ÷ { €ut { € t y € { Ö s a v yzÂÏ g/ Ï rKsu€ t y € {~Ö s a v yÝÂÏ
b∈R
ZZ
1
|x − y|2
dµ(x)dµ(y) 6 Entµ (f ) +
f (x)
2S
2
ZZ
ab 6 a log a + eb a > 0
e
|x−y|2
S
dµ(x)dµ(y).
à r @{~ á { b wyz á 9 $ ; ¹{š á sut K{œ
ZZ
9 $ ;
Ent (f ) 6 2α(T )I(f ) + 2
e
dµ(x)dµ(y).
5 t|t!s ȳ{ €ur  á ac Ô<r b t|r ȳ{ ε > 0 ZZ
9 $ < ;
e
dµ(x)dµ(y) < ∞
á { b!{ c̃ = min(c, 0) ,ô{;ÈaÏô á { € } á rrKt { T > 0 t|r  á a G á {;y € p{@bpa v y € 9 .C.;
yv t/#R€ yz|{: ,2{ á sÌt } [email protected]€ } vzs xu{ á ac Ô<r b t|r ȳ{ C > 0 9 xu{~`%{ € xuy € rK€  á {³Íca vÒs { [email protected]Ô  á {
ac!p{ Bb ;
Ent (f ) 6 C I(f ) + 1).
r
r
€
Ì
<
Ô
r
t
á
/QÏ
È K{ { yÝÂÏ b–{~ÍK{~b!Ï È rr  á { €urKs á f rK€ R Z
Z
9 $ O;
Ent f 6 C
|∇f | dµ + f dµ .
à–á y t y t a5xu{ Ô { }~|yzÍ@{ vzr [email protected]!yz á Èyz} qr É [email protected] {~Íy € {~Ö s a v yÝÂÏ € { } v a t|t yÒ} a v ¹aÏ r5t wyz|} á yÝ
yӀ r  r € aºpb s { € vzr Cas @b!vyz á ÈÔ<yzr } q&r É surK€ v {œÍ y € {~á Ö s t a v yÝÂÏ 9 } rKÔ €_{ rK€ /B9a 0 P.> ;gy tà– á r t { t  [email protected]€ É v y t á # b á t ¹ á {
t yÒȳy y v }[email protected]@b b!v ÏÇ rKy € {~ Ö á {Ba ÉuyÝaÂÏ t y t  b á { µ)‰[email protected] xu€ {[email protected]‚} 0  ÂÏ{ `%{[email protected]ȳy € { { Ö } s a v xÌyzÂyzÏ py [email protected]Ô ,ô$a € < P ; O 9 } Ô y 5‰}ayzx PKÅÉ, { acò } { x yÒ{œP.ÍKP{$; x 9 ,8yz á b|{ t `,{ }œB rGý¹r b rKvzv [email protected]ÐÏ $ > > yÝ t á rKsuv x É,{‰{ ȳ` á a t y ~{ x Ô<r [email protected]`u` v yÒ} acpy rK€ut  á ac¹ á {
} rK€ut  €ua t € rK€ y € v 9 $ € O; á  á r a ‘á xu{ á `,{ € € x t rKtB€ Ó r á € {Í@a vÒs { € rcÔ vzr á {;y € á|{Kb|a v q&ry € rK9 v . <€; y t s á v y á v tÏ xuyÒȳ{ y a  {  {~b a x a y } [email protected]|lja x [email protected]!yz Èyz} É {œÍ³y {~Ö a yÝpyÒ{
 á {^pb|a €ut ` r bÐ ac|y rK€ } rKt ny € { Ö s a v yzÂÏ 9 $ .Ê P ;Qy twt  acÉ v {^ÉCÏ;`ub r x s }~ t à a v P< ;
|x−y|2
S
µ
(−c̃+ε)|x−y|2
µ
n
µ
2
2
6 3 BC<%89)# 8: # $ 8)8 >'
2
A>D$ Âé €  á y t t {~}~|y rK€ Q{[email protected]`u` v ÏG á {wȳ{~ á r x [email protected]Ô½q { }œpy rK€ .  r y € Í@{ t |yCa p{B á {n|bpa €ut ` r b! a ø
py [email protected] € 0 } rKt š€ y € {~Ö s ar v yÝÂÏ r Ô<0 r bª á á {‘€u{®ßÌ[email protected]`€&ørK€ s { € py a v È{ a t|s b|{ v # [email protected]€&t ø š÷ {œß&r ` vzr b|{~x s y € rKà €Ìat v P< à r  á y t
 a Q{ { {~x¨ b wyz Ö [email protected]Ìbpac|yÒ} )‰acÈy  [email protected]} Éuy,{ Ö ac|y à–á { @{ € {~bpa v `ub|y € } y ø
` á v {³€ ÉRa t á { x t rK€ s )‰[email protected]ȳÔ<suy v € rK€&ø [email protected]÷ € [email protected]} r Éuò y_{ Ö s € a py [email protected]€uv t } a € É,{Œt {®ß&|r{ r € xÌá { x €  r¨r rKá € { b˜} rKrKt € Ô<su€ }œpy [email protected]€uá t
 a  { Ö acb|{ }œpy ê r {œ t [email protected]ȳr&r{ Ï á:H9Mò É,t { á È  a Ô<sux€ } [email protected]€Í@{œß á R9 su€ wyÝs
lim
t!rKvÒs |y rK€ =u =+∞u(x, t) bš[email protected]Ô a  á È {šÈy  € yÒȳy yÒac` py } rK€ yz `u b {r É v { ; È 9 } Ô }œ py /BacBb fP.>  { ÞZÍ[email protected]ÅyzÖ ; {
Í&y t } rKt yÝÂÏL; H(x)/|x|
(
∂u
9 $ KÅ ;
+ H(∇u) = 0 in R × (0, ∞),
∂t
u = f on R × {t = 0},
y t KyÝÍK{ € ÉCÏ  á { ) r ` Ô ø ò aVß Ô<r b!È suv a
(
i
h
9 $ P ;
Q f (x) = inf
, t > 0, x ∈ R ,
f (y) + tL
u(x, t) =
f (x),
t = 0, x ∈ R ,
á { b!{ L y t  á {š} rK€ ÍK{œß¨} rK€ Î s Ca p{ [email protected]Ô H xu{ #R€ { xÉCÏ
6 3 D 6* 1 8%[email protected]$> D " ' 8%$2&@ #9!) 98 n
|x|→∞
n
n
L
t
x−y
t
y∈Rn
n
n
L(y) = sup hx, yi − H(x) .
ê r [email protected]|ÉuyÝpb|[email protected]!Ï} rKt  Q f y t–€Ìr n} rK€ py €surKsut y € K{ € { b|a v ac t = 0 {œÍK{ €¨Ô<r b t È &r r  á f ê [email protected]ÒvÒr € á [email protected]Ô[email protected]Ô à–á { r b|{~È $ Ê zÄ  á {‘xu{~b|yÝÍ@a pyzÍ@{ [email protected]Ô F (t) = k e k  á { €
v {acx t  r wy  {‘`ub
Z
x∈Rn
L
t
QL
t f
L
λ2 (t) F (t)λ(t)−1 F 0 (t) = ρ Entµ eλ(t)Qt f − λ2 (t)
L
λ(t)
H(∇QLt f ) eλ(t)Qt f dµ.
Ü t r { Ô<suv ac`utw` [email protected] yzÔ }ac|y rK€Ìt‘[email protected]Ô  á y t `ub|y € } yz` v { á r Q{~Í@{ b t {~{ È  r b|{ Ö s yzb|{ t|r ȳ{ á r È r K{ € { yzÂÏ
`ub `,{ # bÐpt yz{ t [email protected]Ô v rK€ut tnr €
5 b  {~
[email protected]`urK` € yÒ} acpy q y € ÉÌ[email protected]€ y { xv ÉCϨb|{~` v [email protected]}~y €  á {‘Þ s } v yÒxu{ a € €uá r b|€ È¡gÉCt π acb|Éuy ø
u
€
r
t
pbp€ acb!Ï b|È t vÝkÔ ø · sk v R {~!py [email protected]ȳ{ Ï L(y)
y Ô }~{ H
= kyk y ∈ R  {
t
s
ž
v
u
€
r
@
r
á
á
{~b|{
y  {‚x a b!È k · k vÒr [email protected]|=yÝ á ȳkxk
à–a á x { b!L{ Ô<r acb!b|{ { [su{ € xux{~b–a  á { H(x)
yÒ} q&r É xrKv∈{~Í Ry € { Ö s a v yzÂÏ k · k
Z
9 $ >CË ;
ρ Ent f 6 2 k∇f k dµ
á rKv xÌy € Ô<r b t|r È{ ρ > 0 a € x a vÒvut È rr  á { €urKs á Ô<su€ }œpy [email protected]€ut f rK€ R Q{‰Èaϑ} [email protected]€ } vzs xu{
a t y € à–á { r b|{ È . Ê.ÝÄ^ r  á { á Ï`,{ b|} rK€ pb|[email protected]}~|yzÍK{‚{ t pyzȌac|{ t
1
2
n
1
2
2
∗
n
∗
2
µ
n
2
2
∗
n
Ô<r b–{~Í@{ b!Ï %t aÏ;É [email protected]€ xu{~x f t > 0 a € x
L
Âé € R` [email protected]ÐpyÒ} suv acb k eQt f ka+ρt 6 k ef ka
Z
a∈R
L
eρQ f dµ 6 eρ
R
f dµ
a € x y € yÝ t ~{ Ö s yzÍca v { € –pbpa €ut ` r b!pacpy rK€ } @r t  <Ô r |b È ρ WL2 (µ, ν) 6 H(ν | µ).
ª{ b!{
ZZ
1
W (µ, ν) = inf
kx − yk dπ(x, y)
á { b!{‰ á {ªy €$# È s ÈÀy t b su€u€ y € r ÍK{~b–a vzv `ub r É[email protected]Éuy v yzÂϘÈ{ a t|s b!{ t π rK€  á {‰`Ìb r x s }~ t `Rac} {
wyz á È[email protected] € a vÒt µ a € x ν € {^ÈaÏ a vÒt!r } rK€Ìt yÒxÌ{ b–È r b|{ @{ € {~bpa vzv Ï pø } rK€ ÍK{œß R ×R
r
€ vzt 9 } Ô / ò ËKË $; p > 2 ` p{ |y a
6 3 +.a$ 9) ' #%<; [email protected] ': 8)$%' ; 5 €ur  á { bžyÒȳ` r b! a € {œß ø
[email protected]È` [email protected] € {˜y€ €  á v { t {~!pt!y s € [email protected]ÔQòq {~}~py rK€ á $ .ÝđvÒv¹y t v  á { vÒr [email protected]|yÝá á t ȳyÒ} q€ r É [email protected] v {~ ͨry € { áÖ s a v yzÂÏ €ut Ô<r bªr  á { ø
{œß&[email protected]` € rK{ t pyÒa € ȳs {a v b|{ [email protected]Ô / Ñ P O à B v ac w€ y à {[email protected] x ÍÔ<yÒr a á y `ub|y rK} € yz` € {  v  {;t!s |bpa `ï b! a vzv
pÔ y r } ò˜y {~Ö á a yÝÂÏ á € a aKbt pa á x a t!Ps < rK€bš á {³{œß&` vgv { € |y a ȳá {a €ut b|{ {~}a
b È á / t P O  r acò  t{ s {œÍK{ b µ t|y s  X{Ô<r ȳ{a b|{ ò t  á {b|{Ô<a s̀ y { rK€ wyÝ rK€ xÌ{ yzt!Âs Ï á eá
wyz b!{ `,{ }ϼ
{~É%{ {³È³á {a b!{ b^{~Í@{ bÐÏ yz` } yz }~|y f R }  ac
v
K
r
t
a
È
–{~Í@{ bÐÏ { b|{
|f | 6 c < 1
Z
9 $ >uNÄ ;
2
f e dµ.
Ent e 6
1−c
ê yÝß Ô<r b t yzÈ` v yÒ}~yzÂÏ c = q {œ €Ìr )
2
L
n
2
n
1
2
−|x|
0
1
2
H(x) =
é  t x s a v½Ô<s̀ }~|y rK€ y t @yzÍK{ € ÉCÏ
02 f
f
µ
4x2
+∞
 2

 y
16
L(y) =

 |y| − 1
2
€ {‚ÈaÏ b!{ wb|yÝp{ 9 . >uÄ2;¹a t
if |x| 6 1/2 ,
if |x| > 1/2 .
if |y| 6 4 ,
if |y| > 4 .
Z
$ Ê
Ent e 6 H(f ) e dµ.
r |{š á ac
á €
v5  á rKs H(λx)
r  {®ßuac }~ v {Ï {~# ÍK³{~ba vÒ|λ|
v  á 6{ 1á Ï` r  á { t { t³[email protected]Ô  á {;} v a t!t yÒ} a v )ª[email protected]ȳy v  rK€&ø
á H x r 6{ t‘λ€uH(x)
÷ [email protected]} r ÉÌy  á { r b!Ï rK€ { ÈaÏ á r ¹{œÍK{~bG} á { } 0  á ac (Q f ) y t 9 a v È rKt š{œÍK{ bÐÏ á { b!{2;ºy €  á {
x r È[email protected] € á rcr Ô H 9 y Ô<{r |x| 6á ; ,ô{^ÈarKπ  á á { € rKs [email protected]á s t!{šr a t y 0 €¦€ q {~}[email protected]pÔ y rKá € $ Ê. rKq € y € } { Q{^}a €Ì9 €us r 
{œrß&`%{~á }~ v Q0{[email protected]Í@Ô { b á r b r a‰} € [email protected]|[email protected]}~|[email protected]{ b|Ô y ac|y  t b s vÒv ȳ{ r y x t v Ï&`,{ r b!} |[email protected]}œpá yzÍyÝÂÏ x t {
  { [email protected]}
È K{ { yÝÂÏ H ; yz^y [email protected]}~ a ÏÈ b!{ yÒȳ` {˜ [email protected]`Ì^ { )n{ b|É 
9 > ;
µ
f
0
f
2
1
2
L
t
0
[email protected]á b"r s Èt { €á  [email protected]Ôq {~}~|y t rK€ $. € [email protected]ȳ{ v v Ï € KyÝÍK{ € aºÉ € rKsu€ xuv {~x rKt 9Mò yz` t } á yÝ ; Ô<su€ }~py € rK€ fá &[email protected]€ { # b t 
 ac Q f y xuy%{ b!{ pyÒ[email protected]É {^y t > 0 a x¨a È
B{~ÍK{~b!Ï x ∈ R a x; ac
L
t
q {~
F (t) =
R
n
L
etQt f dµ ∂ L
Qt f + H (QLt f )0 = 0.
∂t
t > 0 /
á yz} á y t ux y %{ b!{ € pyÒ[email protected]É v { y €
QÏ 9 $ >Ê; á, y v { Q f y tn€ur ª} rK€ |y €surKsut ac Rt = 0 y݉y t { a t Ï50 r <} tá 6{~} 0 1.á r Q{~ÍK{~b‰ á ac tQ f → 0
a € t t s →v 0 t à–ဠ{ b!á { Ô<r b!{ F rK(0)sutwt 6 rKf€ dµRrK € a € x)rK€ y € vÒ|s {Kb|t acpy á € ô á {J`ub!{ } {~xuy € UxÌy%{ b|{ € py a v
y {~Ö a yÝÂÏ;a y  {š`ub|{œÍy { }~|y {š} } xu{  ac
Z
9 $ >C ;
e dµ 6 e
á { b!{ Q = Q à–á { v ac||{ b y € { Ö s a v yzÂÏ 9 . >C;‰[email protected]}~ s a vzv Ϧ} r b!b|{ t ` rK€ x t {œßÌ[email protected]}œ v Ï r  á {
p bpa €ut ` v r b! pacpy rKဠ} rKt s ‰yv € Ñ { Ö rKs € a v yzÂø Ï Ô<r € bwr  á r {‚{œß&` á [email protected]€ { € € pyÒa v v È{ 9 a Ô t|s b|{˜ï ` s  Ô<r b1 ¹9 [email protected]|x¨y € t à a v s P.< ø va [email protected]{ €È³‘{  Ï rtÉCaÏJÏy  € {³x á aca  ZÔ<r b‘{œK{ÍK{~b!ÏHa `ub r bÉ[email protected]ÍÉÌyzy|v } yÝÂÏ `uÈb|y { a } t|yz` s b!{ { ν} rK€  [email protected]á }){5PÌÄb!{ ; a vBv $y € > {Œ ;‰[email protected]É y t!rK{~vÒÖs |{ yzÍv Ï
} rK€ py €surKsut wyz á b!{ t `%{~}~w r µ
9 $ >.>4;
W (µ, ν) 6 H(ν | µ)
á
wyz
ZZ
tF 0 (t) 6 F (t) log F (t),
L
t
L
t
0
QL f
L
R
f dµ
L
1
L
WL (µ, ν) = inf
L(x − y)dπ(x, y)
t!s t rK€
á á €$# s t s̀u€ € r vÒv r v
á t
€y |{ {b!Kb{¹| [email protected]É {Qv { y ;½ÈŒÈ [email protected]Ȁ y a vÒtb µ a € y x ν ÍKé {~ bZy a t  á `Ì{ b € ÉR{aca Éut Ϛy yz Âr Ï^} ȳá {{}a 0  b|á { acž á {QR×R
r} Kt  LwyÝy  t { b|Ö { s yÝ`%Íc{~a }~v |{ yz€ ÍK { s `¦ r €s È{~b|yÒ} a v } rK€ut pa €  t  r  á {š} [email protected]  sut {~xy € à a v P< à–á {–`ub|{~} {~xuy € š{®ß&|{ € x t  r `ub r x s }œ [email protected]Ô  á {B{œß&` rK€ { € |y a v xuy t pb|yzÉ s |y rK€ ÉϘ} rK€Ìt yÒxÌ{ b|y €
€ x P L(x ) Ô<r bZanÍK{ }œ r b (x , . . . , x ) ∈
 á { Ô<às̀r }~|á y rKt €ut rK2t € 0 KRrK€ KyÝÍK{ € ÉCÏ áP H(x
a
)
€ut|r á vÒr á qr [email protected] € s v 9
R
r bn á {špbpa €uy t p` a r b!pacpy rK{B€ Ȍy € a{~Ï‚Ö {s yÝa  v yÝÂ{~Ï b p9 { $ >>4b|; y~{¹5  t y { € à [email protected]|PyÝ < ȳ yÒá } {‚ÈŒÉ acy € {~͂xuy y { } Ö sÌv Âa Ï5yzÂ[email protected]Ï b!y t ${ t >ÌÄNy € ;
xuyÒȳ{ €ut y rK€;[email protected]€ {
6 3 6 = 8_ % ( 8$)>') >89 = 8$)8 >' >8$)# 8 5 t
a9 Ȍ[email protected]Ҁs b!{v t|sÌv rK € rcÔ €suá [email protected]{ sutw t r b 0 t / ò t!P Ô O € yÝ ¹á a t Ó[email protected]}œ€  s a vÒv Ï € t á r s € v  á ac {~ÍK{~b!Ï È{ a t|s b!{ µ
[email protected]É p{ Ï } py
a1Ï ; acpy Ïy G { y }acb|ǚy {~Ö a yÝÂÏ
Z
9 $ >;
λ Var (f ) 6 |∇f | dµ
9
n
n
n
i=1
µ
i
n
i=1
2
i
1
n
Ô<r b t!r ȳ{ λ > 0 a € x a vÒv[t È rr  á Ô<su€ }œpy [email protected]€ut f [email protected]}~ s a vzv Ï t acpy t# { t aºÈ r xÌy # {~x vzr [email protected]!yz á Èyz}
q&r É rKv {œÍ y € { Ö s a v yzÂÏ t!s } á a t 9 $ >uÄN;
Z
9 $ > < ;
Ent e 6 K(c) |∇f | e dµ
Ô<r b^{~Í@{ b!Ï É rKsu€ xu{ x ò yÒ` t } á yz Ô<su€ }~|y rK€ f t!s } á  á ac |∇f | 6 c < 2√λ a v È rKt ‰{~Í@{ b!Ï ø
á { b!{ á { b!{ K(c) > 0 rK€uv Ï xu{~`%{ € x tnrK€ c a € x λ q {œ||y €
µ
f
2 f
H(x) = Hc (x) =
K(c) |x|2
+∞
if |x| 6 c ,
if |x| > c ,
wyz á x s a v½Ô<su€ }œpy [email protected]€

 |y|
9 $ >4O;
if |y| 6 2cK(c) ,
L(y) = L (y) =
4K(c)

c|y| − c K(c)
if |y| > 2cK(c) ,
€a x¨[email protected]" s y € ‘{®ßuac}~ v Ï5a t É,{ Ô<r b!{ Q{ºÈaÏ t  ac|{š á { Ô<rKvÒvzr wy € G} r b [email protected]Òv acb!Ï
1 D
! # µ - [ '+J , KTB ) #M$0 ) B ' ,2 , ) R ,).D!, l% !$# *
) !$#jJ.Bik!$#jJI)K1 ' !$D%
Z
2
c
2
n
λ Varµ (f ) 6
|∇f |2 dµ
0
) , ) '+ λ > 0 .#"U+ ' ' ,' ) ) 0klKC#jD! ) #$, f Y ) 0# & ) *-.l% c < 2√λ& µ ,).D!, l%
Z
9 $ >CÅ ;
e dµ 6 e
) -.% - ) KC#"UCJU3'+J ,KCJ -' f $ - 0B - .-dl!$& Q ) Q ' 01. ) lB , ) #"U ,E ) 0
!$D! J ' - ' K a = 0 !$#() 0 ) B' 4YCY Y I)KC!$- ' # ' % &
Z
9 $ > P ;
e dµ 6 e
$ - 0 - -dl!$& Q
e ) Q
e ' Y ) 0 ,2[!$#jJI)K1 ' !$D! , J.# J ,! ' % - /&#"UCJU+l ) ' 0
' , , ) * ' ' - ) KC#"UCJU '+J , KC -' lKC#jD! ) #$*
, ) $0+ ' , , ) * ' ' µ + !$#& * -' lKC#j ! ) #$,
'
)
'
'
' flKC#jD! ) #$, f !$# $ 4Y ' -d!$$0 µ + !$#& * -' $
!
#
$
4
Y
.
"
#
+
U
$
0
3
,
,
,
+
'
J
,
C
K
'
f
, KN + ) #- ) ' KC ! ) #"Y
à–á { r `,{ b|ac r b Q b!{ `ub!{ t { €  t aGÉuy Î!{ }~|y rK€³Ô b r ÈÀ á { } v a t|t¹[email protected]Ô a vÒv } rK€ }aÍ@{ Ô<su€ }~|y rK€ÌtBrK€
rK€ r t vÝÔ ï t
v e y t ašÉuy Î!{~}~|y rK€‘rK€  á {ª} v a t!t
á vÒs t €
R wyÝ Íca { y [−∞, +∞)  yz { { `%{~}~pyÝÍK{ Ï Q
ρQf
R
ρ f dµ
1
ρf
R
e dµ
ρ Qf
1
t
n
t
@r Ô a vÒv } rK€ ÍK{®ß Ô<su€ }œpy rK€ut‰[email protected]€ R wyÝ á Íca vzs { t y €
wyz á a á r È r K{ € { rKsÌt } rK€ ÍK{®ß Ô<su€ }~|y rK€
n
(−∞, +∞]
Âé € u` [email protected]!|yÒ} sÌv [email protected] y Ô Q { t [email protected]!
x ∈ R n , T ⊂ Rn ,
f (x) = sup hθ, xi,
á {€
θ∈T
i
h
e −1 f (x) = sup hθ, xi − 1 |θ|2 .
Q
2
θ∈T
à–á { t|s `ub|{~È s È ø } [email protected]€ Í rKvÒs py [email protected]€ y € { Ö s a v yzÂÏ 9 . > P;^ á { € ÏyÒ{ v x t 9 a Ô | { bºa t yzÈ` v {³[email protected]`u`ub r ßÌy ø
Ȍac|y rK€ acb" s ȳ{ € ;
Z
eρ supθ [hθ,xi−|θ|
2 /2]
dµ 6 eρ
R
supθ hθ,xidµ
.
ê r b‚ á {Œ} a €urK€ yz}a v eša sut!t y a € ȳ{a t!s b|{ rK€ R  á y t y € { Ö s a v yzÂÏ ¹a t xuy t } r Í@{ b!{ xHÉCÏ(/0
q à t v t!rK€ à t € [email protected]€u€ rK€ á sut|t €
[email protected]Òs t é€ á € v
t {~ !py € yzb|{ [email protected]Ô vzr [email protected]!yz y á CÅ ÈByz} y q&r } É rKv {œ{ ͌}œpy y€ { Ö s wa yzv  yz|yÒ{ ešt a a € x y €ua rK€&Èø á y#r ßÌÈ {~xôr K{Í € { rKȳsÌ{t } rK€ ÍK{®ß Ô<{ suK{€ }œpy { [email protected]|€ua t
yzwÈaόÉ%{ Ô<r b!È suv acp{~x;y €  á { Ô<rKvzvÒr wy € ¹aÏ
[email protected]? D
! R #"UC $0 ')"* .l!$$0C'*! d )- ) ' -!$#jJI)K1 ' !$ % $ 4Y ' ) 8) 0 ) B' 4YCY &
) .#% ) #-./ µ + !$#& * -' dlKC#j ! ) # f ) # R &
n
n
Z
1
2
eρ(f − 2 |∇f | ) dµ 6 eρ
R
f dµ
.
ê r b  á {n`ub [email protected]Ô t y € } { f y t xÌy%{ b|{ € py acÉ v {wa v È [email protected]  {~Í@{ bÐÏ á { b|{ uÔ<r bg{~ÍK{~b!ϳ` r y €  x ∈ R
ac á yz} á f y t xÌy%{ b|{ € py acÉ v { a € x‘a vzv z ∈ R f (x+z) > f (x)+h∇f (x), zi à–á { b!{ Ô<r b!{ n
n
i
h
1
1
2
Qf (x) > infn f (x) + h∇f (x), zi − |z|2 = f (x) − ∇f (x) .
z∈R
2
2
6 % <$898%$I+ 8$ 8 @$>'; )2%89 ) 8 :;
su€Ì€&ø Ñ € [email protected] 1t 0 € s v t
sÌt r r á á rK€
€ø
s{ Ö /¹a b v yzpyz{ [email protected]Ô y à–á { r b!{ yšÈ y ${ ÖÊ zÄ a Ô<yzr |b yÒ{ t|r ȳȌ{‰aÏ } v a É%t!{ t { t–[email protected]{ Ô x8È { a t|`us b b!{ ÍKt {w yÝ {á vzr ÏK}`,{ [email protected]|€ } }aÍKp{‰b|[email protected]}~{ |€uyzÍKt {yz|yÒy{ t 5 t|t!s ȳ{Œ á a  dµ = e dx á {~b|{ U : R → R y t‚t È r&r  á a € x t|s } á  á a  Ô<r b t|r ȳ{
Rs̀ y Ô<r b!È v ϳy € x ∈ R c>0
−U
n
n
y € [email protected]€ á { t { €ut { [email protected] ÔÔ t ÏȳÈ0 {œpb!yÒ } Èò acpb!yÒ}~{ t su € à–á y t } [email protected]á € xuá yz|y rKá € yzv tr  á sut á  á { /¹q&a r 0 b!rKÏ vø ÞZȳ€{ b!Ï s } b|vyÝp{ ø
b|y /BÞ ÅC } /¹a P.> { xP.P$; xu{~b yÒ}  { [email protected]!yz Èyz} É {~Í5y { Ö a yzÂÏ
Hess (U )(x) > c Id
Ô<r b µ á rKv x t wyz á ρ = c a t Q{ á aÍK{ t { { € y € à–á { r b|{~È $ > ÝÄ à–á {;} v a t|t yz}a v /¹b su€u€&ø
Ñ y € 0cr t20 yXy € {~Ö s a v yÝÂÏ y € yÝ tQÔ<s̀ }~|y rK€ a v,Ô<r b!È 9 t {~{ ÆEešÅKË Ô<r bQ á { á y t  r b|yÒ} a v xu{~Í@{ vzr ` ø
Èt { €  [email protected]Ô t  á [email protected]Ô t à–b|{ á t|sur v l; ȌaÏGÉ,{ 9 sut { xá  r `ub r Í&yzxu{w€ a t yzáÈsu` t^v {¹rcÔ `Ìb rá [email protected]Ô,[email protected] Ô  á { á á Ï`%{~b|q&} rrK€ prKbpv ac}~pyÝÍK€&{ ø
{ |yÒÈacp{
{ b|{~È $ Ê.ÝÄ wyÝ
; a xJ
 { [email protected]!yz Èyz} É {œÍy
{ € Ö s a v yzÂÏt ï á { }a vÒv á  á € ac y € yz t–Ô<su€ }~p y rKa€ a =v%Ô<1r b|È sÌ v ac€|y rK€  á { /¹b su€u€&€uø rKÑ €&ø y €€[email protected] t20 yž á { r t|b|s{~È ø
y xuv yz}Ô<acsÌ|€{  rKac€u tw rK€ { {œÍKt|{~s b α,á βá > 0Ô<r α +vÒv β = 1 a x u v w [email protected]!{
{KacpyÝÍK{‰È³{a b
[email protected]É { }~|y
}

c
a

w
b
a
R
x, y ∈ R
9 $ @Ë ;
w αx + βy) > u(x) v(y) ,
á { €
Z
Z
Z
9 $ &NÄ ;
wdx >
udx
vdx .
ešyÝÍK{ € a 9 É rKsu€ xÌ{ @x ; Ô<su€ }œpy rK€ f rK€ R [email protected]`u` v ό á { € 9 $ &NÄ ;g r  á { Ô<su€ }œpy [email protected]€ut
n
n
α
β
α
β
n
Æ s {º r  á ‚{ } rK€ ÍK{®ß&yzÂϦ} rK€ xuyz|y rK€ Hess (U ) > c Id RÔ<r bw{œÍK{ bÐÏ α, β > 0 α + β = 1 a € x
x, y ∈ R
9 $ KÊ ;
cαβ
αU (x) + βU (y) − U (αx + βy) >
|x − y|
2
t|r  á ac} rK€ xÌyzpy rK€ 9 $ @Ë ; wy vzv É,{ t ac|y t# { xÉCÏU á {¦ÍK{ bÐÏ xÌ{ #R€ yÝpy rK€ [email protected]Ô  á {¨y €$# È s È ø
} rK€ Í [email protected]Òs |y rK€ Q f à–á {~b|{ Ô<r b|{ 1
u(x) = e α Qβ/cα f (x)−U (x) ,
v(y) = e−U (y) ,
w(z) = ef (z)−U (z) .
n
2
β/cα
Z
f
e dµ >
Z
e
1
Q
f
α β/cα
dµ
α
.
q {~!py € = 1 + ct t > 0 yÒȳÈ{~xuy a p{ v ÏÏyÒ{ v x t 9 $ÝÄNO; wyz á ρ = c a € x a = 1 é€
`[email protected]!s|yÒ} suv € [email protected]št  á á rK{ v vÒt r [email protected]á b|yÝ € á ȳrKyҀu} t qr É [email protected]€ v {~Í € y € { Ö s a v yzÂÏ Ô<€ur r b µ á € rKv 9 x t wyÝ á r ρ =v c á à–vÒá r { t acÈá { ø
[email protected]" Èqr { [email protected] v € x s v{ } yÒxu{~áb|y sut ^a r [email protected]!Éuyz|[email protected]ÐÏá á b|È y $v [email protected]ʀ&;ø ÷ Ïr yÒ{ x˜ { r [email protected]á b|yÝ á
Èyz} 0 ø É {~ÍJy {~t|Ö sÌv a yÝ9<Âà–Ïá ,2r {  b!{ } Í@t { b wvÒv yÝ t¹t| r { )‰[email protected]Ô Èyá  [email protected]€ } Éut!y [email protected] `utB`[email protected] Ô [email protected]} ò  {
éÂ/B€ a `[email protected]Ï bÐpÞZyz} ȳsuv{ [email protected]Ðbό b!} { rK€ Í@ {œß&yzÂÏ { 9 $b|{ KÈ Ê; $w > yÝz Ä2á ;Qa a € ¹[email protected]{ b!Éuyza |[email protected]ÐÏ È€u{ r b!Ȅ y {‰€ut Ȍp{ [email protected]@y x [email protected]{ Ô  á  {¨Þ s } / v yÒxuËK{ aË € rK€ {^ÏyÒ{ v x t Íy a á Ï&`,{ b!} rK€ |[email protected]}œpyzÍyÝÂÏ [email protected]Ô )‰[email protected]ȳy v  rK€ø ÷ [email protected]} r Éuy t|rKvzs py rK€ut  r  á { vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒ}
q&r É rKv {œÍ y € { Ö s a v yzpyz{ t 9 $ >CË ; a } rK€ } vÒsut y rK€5rKs  rcÔ b!{[email protected]} á [email protected]Ô  á { á {a  t { ȳ[email protected] rKs `; r&rKvzt é  Ba twt á r €t yzÈy v [email protected] v ϑy € /e PP ža € x / ò ËKË á r /¹b su€Ì€&ø Ñ y € [email protected] t10 yžy € { Ö s a v yz|yÒ{ t
Ȍq aÏ;É,vÒt|{ r sut {~vÒrx¦ r Ô<xur {~x Ô<s s }~{ºá xuyzb|{~}~t! suv όv  t á {^à–pá bpa €ut ` r € b!pacï py rK€ } [email protected]€ut € ªy €€ {~Ö s at v rKyÝp€GyÒ{ [email protected]¹Ô [email protected]Ô_á q {~Ô<}~sÌp€ y rK€ rK$€ .v
{ {–a / P.P b b! { bb|{  {¹b|{~} {  yz{ Èa yÒa ÍK{ b y  { }~|y a
/¹b su€Ì€&ø Ñ y € [email protected] t10 yžy € { Ö s a v yzÂÏ [email protected]Ô ý Þ Ñ q ËKË XÈaόÉ,{ sut {~x¦ r {œßp{ € x5 á {^`ub!{ }~{ xuy € ‘ r
a ï yÒ{~Ȍa €Ì€ y a €‘t {~!py € ˜a € x³ r b!{ } r Í@{ b¹y €  á y t ¹aϑ á { vÒr [email protected]|yÝ á ȳyÒ} q&r É rKv {~͑y € { Ö s a v yzÂÏ
1
α
[email protected]Ô Æ /Ba 0 b!ÏGa € x Ñ CÞZȳ{ bÐÏ /BÞ ÅC uy € Ȍa € y Ô<rKv x t wyz á a t pb|yz}~ v Ϻ` rKt yz|yzÍK{ vÒr ¹{~b_É rKsu€ x
rK€  á { ï yz} }~y½} s bÐÍcac s b!{
é ªÈ³y á wÉ,{ r b! á á y v {šÈ³{ € py rK€ y € G á acw á {˜a v p{~b € a p{^} á r yz} { 9 sut { x¨y € `[email protected]ÐpyÒ} suv acb
y € Ñ a s PÌÄ /he P.P / ò ËKË $;By €  á { Ô<su€ }œpy rK€ a v /Qb su€u€ø Ñ y € [email protected] t20 yy € {~Ö s a v yÝÂÏ rcÔ
, v(y) = e
, w(z) = e
,
v {acx t  r u(x) = e
Z
Z
9 $ ;
6 1.
e
dµ
e dµ
5 t β → 0 9 $. ; rK€uv ÏÏ&yz{ v x t 9 $ÝNÄ O; wyz á a = 0  á a ˜y t  á {³y €$# È s ȶ} [email protected]€ Í rKvÒs py [email protected]€
y € {~€ Ö s a v yÝÂÏ 9 $ >CÅ ; 9 wyÝ á á ρv =r c; éÂá €  á á { vҀur r pacpy rKá € 9 $Ýq&ÄKr ÄN; rKv 9 $ € ; } s r b|b!v { t ` rK€ t x vÝt Ô  r rKsuá v {
bpa s @{ −1vzv 6 r9 € 6 0 8 , yv {^ b|€u{acrK}s á  { t [email protected] b|yÝ ȳyÒ} € É t {œÍ5€ y {~r Ö ra €yÝÂÏ;rKyzs { á á x
b|{ Ö yzb|{ša { Cac|yzÍK{ ; acb"K{ {
yz¹y a b|{ [email protected]ÌÏy p{~b|{ py G ` y  B acB {
Í@á a vÒs { á rrKv = €0r 9  á {Œv y €$# È s È ø } rK€ Í9 rKá vzs py € rK€ s y € {~v Ö s a t v yÝ9 ÂÏ 9 . >CÅ à;J;^r y t [email protected] }~ s a á vÒv Ït { v Ö s yÝÍ@ a v { € ‚ r
 9 { t {Qy p{~b!Íca −1 6 r 6 0  {By {~Ö a yÝpyz{ $ ;; `Ìb ÍK{¹ y } [email protected]ÒÈ b!{ wb!yzp{
$ ;Ba
Z
Z
9 .. > ;
1
1
log e
dµ + log e dµ 6 0
α
Ô<r b–{~Í@{ b!Ï α, β > 0 α + β = 1 r β
−βf (x)−U (x)
1/α
1/β
−βf
αQ1/c f
−βf
αQ1/c f
log
Z
−U (z)
αQ1/c f (y)−U (y)
g
e dµ = sup
Z
ghdµ − Entµ (h)
á { b!{šR  á { t!s `ub|{~È s È y t b su€u€ y € r ÍK{ bwa vÒv É rKsu€ xu{ x5ȳ{a t!s [email protected]É v { <Ô s̀ ~} |y rK€ut
 á ac hdµ = 1 à–á sut ¹{‚ÈaÏ Ô<s b! á { bwb!{ wb|yÝp{ 9 $. >4;Ba t
Z
Q1/c f h1 dµ −
Z
f h2 dµ 6
1
1
Entµ (h1 ) + Entµ (h2 ) ,
α
β
 á ac t á [email protected] x  á {~b|{ Ô<r b|{ á rKv x Ô<r bša vÒv
^`&pyÒȳy ~y € r ÍK{ b a € x Q{ K{~
h>0
wyz á
α,
β =1
h 1 , h2 > 0 R β > 0 α+
h2 dµ = 1 α
β q
2
Z
Z
q
Q1/c f h1 dµ − f h2 dµ 6
Entµ (h1 ) + Entµ (h2 ) ,
R
t|s } á
h1 dµ =
 á acny t
Z
Z
p
p
9 $ ;
Q f dν − f dν 6
H(ν | µ) + H(ν | µ)
á { b!{ dν = h dµ dν = h dµ [email protected]!{[email protected]|ÉuyÝpb|[email protected]!ϑ`Ìb r ÉRacÉuy v yzÂÏGȳ{a t|s b!{ tgrK€ R @a É t|[email protected]Òs |{ v Ï
} rK€ py €surKsut wyz á b|{ t `,{ }œ‰ r µ à–á { t {ºÈ{ a t|s b|{ t ÈaϦa vÒt|r É,{˜a t|t|s È{~x r á a ÍK{ #R€ yz|{
2
1
1/c
1
1
2
2
2
1
2
n
t { } rK€ xÈ r ȳ{ €  r  á { t|s `ub|{~È s È r ÍK{ b a vÒv f t‰[email protected]€  á { v { Ô  ø á a € x t yÒxÌ{ [email protected]Ô 9 $ ;–y t
{ Ö s a v  r W (ν , ν ) t!r  á ac 9 .. .;¹É%{~} r ȳ{ t
p
p
√
9 $ .< ;
c W (ν , ν ) 6 H(ν | µ) + H(ν | µ) .
,ô{; á sut b!{ x s }~{ x 9 $ ;‚ r 9 $.< ; / s  €ur  á { v a |p{~b Ô<rKvzvÒr t˜Ô b r È 9 . Ê.<; 9 wyÝ á
á € v {ªy € {~Ö s a v yÝÂÏ Ô<r bB á {šÈ{œpb!yÒ} W à–á y t `ub r Í@{ t  á {š} v [email protected]È
ρ = c ;¹ÉCÏ; {^|b|y a
6 %D6* #%<; [email protected] é€  á y tGv a t  `[email protected]Ð ¹{; s b € t|r ȳ{  r ø
ÍK{ r b t y rKv%€ut tš[email protected]Ô[email protected]Ô s b á Ï`,{ b|} t rK€ pb|[email protected]}~|yzÍyzÂÏb|€ { t!suv  t|t t! s ò {œ µt É%{Gt a5# `Ìt b r á ÉRacÉu9 yvÒvr yzÂÏ5ȳá{a t!s b|{ t!rKr € L á { ø
/ b|{ {~
a‚È{œpb|yz} `[email protected]}~{ (E, d) a xŒa È{ªyz ac|y {  { [email protected]|yÝ ȳyÒ} ;y `,{ b|y
È{œpb|yz}^y € {~Ö s a v yÝÂÏ
9 $ O;
1
µ (A) > c 1 − µ(A) log
Ô<r bw{~ÍK{~b!+Ï / r b|{ vXt {~ A y € E a € x t|r È{ c > 0 ï {~}1a vz−v  µ(A)
á acwy € K{ € {~bpa v  á { µø `,{ b!yÒȳ{~|{ b
t #R€ { xÉCÏ
[email protected]Ô r vXt
µ (A) a / b|{ {~ A ⊂ E y xu{
c
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
+
+
1
µ(At ) − µ(A)
t
µ+ (A) = lim inf
á { b!{ A t > 0 y t  á { r `,{ € tø€ {~y á É r b á rr x [email protected]Ô A y €  á {šÈ³{~|b|yÒ} d rK€ E € s v 9 t rK€u€
@r Ô á
à–á t|r
á á rK€
r} K€ Í [email protected]{vÒs y |y rK`,€5{ b!r yÒ`,ȳ{ {~b|ac|b| yÒr }ºb t y {~Ö a yÝÂÏ $O;‰y } {~}~p{~x5wyÝ Ï&`,{ b!} |[email protected]}œpyzÍyÝÂÏ  {
t→0
t
Qt f (x) =
inf
f (y),
t > 0, x ∈ E.
t ¹{ wy vzvt { {‚y € xu{~{ x 9 $O; á rKv x t y Ô a € x rK€Ìv Ï y Ô
9 [email protected]Å ;
kQ f k 6 kf k
Ô<r b {œÍK{ bÐÏ €[email protected]€&ø€ { Cac|yzÍK{gȳ{a t!s [email protected]É v { Ô<s̀ }~|y rK€ f a € xGa vÒv 0 < p < q < ∞ a € x t > 0 t|s } á
 9 á ac e s >€ut à€ r r á y €   á y t } rK€u€ { }~|y rK€ [email protected]`u` v Ï 9 [email protected]Å ;X r f = 1 q y € } { Q f = 1 $ @Å ;Q b y 
9 $ .P ;
log 1 − µ(A ) 6 e log 1 − µ(A) .
5 t t → 0  á y t [email protected]È rKsu€  t  r 9 $ O; é  t á rKsuv x É,{ €ur p{~xU á ac³y € b!{ sÌv [email protected] t yz s ac|y rK€ut‘[email protected]€ { á a t µ (A) = µ (M \ A) à–á y t y t } { bÐ [email protected] €uv Ϩ á {‘} a t { Ô<r b µ [email protected]É t|rKvzs p{ v ÏJ} rK€ py €sÌrKsut^rK€ E = R a t Q{ vÒv a t y € a
È r b!{ K{ € { b|a vQï yz{ Èa €u€ yÒa € Ȍa € y Ô<rKv x t {~!py € é€  á { v ac||{ bš}a t { t yÝ ¹a tºt á r € ÉCÏ
y∈E;d(x,y)<t
5
t
ct
q
p
q
p
t
E\A
t
E\At
ct
+
+
n
vÒr ïwr  á á a sut q&rïwr rK v Å w € á a ³s  vá {y t|r `,{ b!yÒȳ{~|b|yÒ}Œy € {~Ö s a v yÝÂÏ 9 $O;Gy t {~Ö s yzÍca v { €  r  á {
Cacb|yz ȳyÒ} É {œÍ y { Ö a yzÂÏ
Z
9 $ <KË ;
c Ent (f ) 6 |∇f |dµ
á yÒ} á t á rKsuv x á rKv x‘y €  á {–} v a [email protected]Ô a vzv&€[email protected]€&ø€ { Cac|yzÍK{ vÒr }a vzv Ï ò yÒ` t } á yz Ô<su€ }œpy rK€ f rK€ R
9 r b rK€ aÈa € y Ô<rKv x; ê s b! á { b!È r b|{  á { t pa € xRacb|x á { r bÐÏ t á r t  á ac 9 KyzÍ@{ € a vÒr }a vzv Ï
ò yz` t } á yz ; Ô<su€ }~|y rK€ f rK€ R  á { Ô<s̀ }~|y rK€ v = v(x, t) = Q f (x) `ub r Í&yzxu{ t a t|rKvzs py rK€
[email protected]Ô  á {šy € yÝpyÒa vÝø Í@a vÒs {w`[email protected]ÐpyÒa v xuy {~b|{ € |y a v { Ö s ac|y rK€
(
∂v
9 $ <ÌNÄ ;
+ |∇v| = 0 in R × (0, ∞),
∂t
à–á {š{ Ö s yzÍca v { € }~{ É,{~ Q{ { € 9 $ O;ga € vx =9 .. [email protected]Å ;gonÈaRϳ ×á { {t€ É%={^0}.
`Ì[email protected] ԉÍKrc{~ԉx rKrKs €  á {^ÉR€ a t y tBt|rcsuÔ v  á € {
v
€
v
s
K
r
€
s
€
t
€
9
á
`Rq [email protected]!|y [email protected] € xuy %{ b!à–{ á pyÒa {~Ö acsupv y t $s <ÌNÄ s ;[email protected]Ô y á a y t  {¦`Ì0 b t á r b‘ÈŒ[email protected] r b|{ €  y v
á { a}œp€ y {~Ö s $ac Ê.py rK€ 9 {‰$ `R<&[email protected]Ä b!;Q|ayÒ} € x [email protected] b á { pbb!{ t!}~su v Bb|{ [email protected]}~ s  a vÒv{ Ï Lá rKv}x a t { y € È a á { { t {~yz! py € [email protected]{~ÔÍ@{ [email protected]–É tÈ pb|[email protected]|}~{ –K{ȳ{~{ |b|b|a yz}
t `[email protected]}~{ t wyÝ á a‘` s b|{ v Ï È{œpb!yÒ} `ub [email protected]Ô "
! # - 3 " )- - ! ' !$ % '+J , KCB ) # $0 ) B ' 2, , ) * '+ l! , 1C (E, d) Y ) 0 " )- - ! 'µ!$ % '+J , KTB µ ), . !,, + k, $0 !, ) l!$'+ l! A!$#jJI)KL ' !$D%
µ
n
n
t
n
n
1
+
) , ) '+
) µ (A) > c 1 − µ(A) log
' , , ) ' ' ) B ' ,2 ,
c > 0 !$#[ 0* -.l%[# ) # + #j * .D!$-.
t > 0 , [email protected] $01.
A !$# E ! .#"U
'+J ,KC -' HlKT#jD! ) # f ) #
kQt f kq 6 kf kp
ect >
1
1 − µ(A)
E .#"U ) # ' %3! ' ' 0 < p < q < ∞ .#"U
q
.
p
)t €u) rK"s ! á ,2r { rK€Ìvv Ï € { á {~x8á  rHt á t r  á { t! s € } yz{ € á }œsuÏt `[email protected]Ð q y € } { (Qà–á f ) t|r = Q f yÝ
y € { s v  9 xu{a w€ yÝ  {Œ} a { p€ = 1 at|r x r  v q 9 = e Ô<>r 1 {r y v `%{~b|yÒȳ{~|b|yz€ }
y {~Ö a t|s yÝÂÏ $v ..Ô<OsÌ;€ }a rK€É,{–yz|{ b|acp{~rKx‘€ y t >€ 0  Ï,yz{t x $.P ; b {~ÍK{~b!Ï / b|{ #RA€ deš[email protected]݀¨ÍK{ [email protected]Ô
aŒÈu{Ô<r a [email protected]É { }~| y f > 0 E a x λ > 0 {œ A = {f < λ} /gÏxu{ yÝpy
b–{œÍK{~b!Ï t > 0
Q
Qf <λ =A,
t|r  á acwÉCÏ 9 $ <@Ë ; Q{/K{~
ct
t
t
t
µ(Qt f > λ) 6 µ(f > λ)q .
t
p
t
p
ª{ € } {
Z
Z
µ(f > λ) dλ .
µ(Q f > λ)dλ 6
kQ f k =
r yÝZy t0€ur  á ac  á {–b|y á  ø á a € x t yzxu{ [email protected]Ô  á { v a |p{~b_y € { Ö s a v yzÂÏGxÌ{ #R€ { t  á {
ò r € €Ìr rcÔ € á
9 Ô q
à–á t
kf
r} K€ k} vÒsut y rK€ b|{ yzÈ ` v yÒ{ t b|È á {‚b!{ ft!suv a x  ac kf k 6 kf k } , OÄ $; y
5 x s a v½t  ac|{ ȳ{ € w r à–á { r b|{ È . <$ÝĚ}a € É,{ Ô<r b|È suv acp{~x:wyz á
)
t
q
q
∞
∞
1,q
/
q
t|r ø }a vÒv {~x
t |b rK€ @{ b
0
0
1,q
et f (x) =
Q
q
q
t
sup
1
f (y),
t > 0, x ∈ E.
r  á y € { Ö s a v yz|yÒ{ t 9 $O;Ba € x 9 [email protected]Å ;¹yÒȳ` v Ï á { Òv r Cacb|yz á ȳyÒ} &q r É rKv {œÍ y € { Ö s a v yzÂÏ
y∈E;d(x,y)<t
ρ Entµ f
2
62
Z
|∇f |2 dµ
Ô<r b t|r ȳ{ ρ = ρ(c) > 0 9 } Ô ïwr pÅC ; é  ¹a t^t á r € y € / r ÉPKÅ á ac {œÍK{ bÐÏ vÒr ø } rK€ }aÍ@{˜È³{a t!s b|{ µ rK€ R t!s `u` r b!|{ x ÉCÏ
t# é€ t
aJÉRa vÒ[email protected] Ô bp [email protected]Ìá y sut sur€ Ô<t r ac|y t # { t t  á {;s y t!r rK`%€ {~b|rKyz€ È{œpb|[email protected]}€ y € { Ö s ar v yzÂÏ 9 $..Or ; wyz á c = 1/2r
t
`R9 [email protected]!|yÒ} [email protected] á  t|r { y b|ȶxÌé y |b|yzrKÉ suv py [email protected]Ô a5€ } Í@t {œßôr } ȳt `[email protected]}œ‚É á xÌÏ t KrK€u⊂t R€ €Jac|t|y r {
t `,${ } OyÒa; v‰wt yzyz  s acpy ȳrK€u{ t c >ê r 0bŒ {œßÌ [email protected] ȳ` v { xJ É% { á { € y Kp{~yb|t {   á  { su{ € pyz yÒÈÉRaca |vÒ{ºv   á y {J} {œßpb! { a Èa^v‰y t {~ t ȳy € {
 á {¦y t!r `%{~b|yzÈ{œp€ b|yz} `ub r É v {~vzt|È r [email protected]|€u{ t 0€ur € á M5 t€ur  [email protected]á Ô { b³á yÒȳt ` ár bÐ a € ‘} a t {¨y t  á { su€ yz³} s É,{
} yzxu{ b– {š}a {  { ` {~b|{
K = [0, 1] {^ȌaÏ5a
8 ')@ )8 ,ô{ t y € }~{ b|{ v Ï á a € 0)ý è y vÒv a € y Ô<r b;{œß&` v acy € y € ô r sut á y t
b|{ r t!su0 v  t wyÝ áºvÒêt|r ‰á | €r 0 a € ê x Ô<r b €r s ȳ€ { b rKý sut è á { vÒvv ` Ô<€ suv Ô<}r r Èá ȳ{ € t  t a € x˜v b|{~r Ȍacb 0tžrK€  rKá € {g`ub|è{ t { € r 
b ,2{ a  a ‰| a x y a y b  {~yÒ{ pyzb Q{ } ȳ{ [email protected]Ìxuyz|y ,
 á y t `[email protected]`,{ b
n
n
n
i
à ’
’ ¶
Á ’ Á ’ Á¶
3 D6* E8 a$ 8
à–á
!"$# Ô !|á Ô #%&#
+# !pá # # Ô !pá !pá-# á &. á /È ( . ! zÍ - Ï !pá0!pá0# ' È& )(# Ôá ( Ï1( * ". # ! " . ! zÍ1 ! É Ï "# , Ô GÚ â_îVî !pá*!pá- # È È
!# 3Ô /à–á . 2Ï!á Ý( 1Í Ô ! Ï. # # Ô ! 3þ¹Ø. ! Úz! Í1â ,â! Ï ç# # Ôö0 â_תîâ %ò7ò Ù-!8â ! #%‘æ," [- åž.ížÒä\É# ö ,ð æ[!pãá0-â_! "çX Ô #ñ4 -"06!, 3 !p !|áá5>!| á # È & # Ô 6! -"! . # ø
&#" ?/" !|#%á *È 0&,9.[@7ò g,È Aâ !B â_ öæ # @! ÉCÖ Ï Ô # T ! e: /, e;á 1Ï O ( #<".( # ! 3/! . =! ÝÍ1 , ! Ï " # Ô !|Ö á # zÍ/ "!p"á0# .. & !3#É , á" A !3 !
# Ô *È R ! ( Ô 1Ï & !|á:. &# ?&/, " !| á *È &.>0ßC @# *ÈÉ #%( & Í *& ( Ö É @É ! Ï ÏŒÈ µ / Z
9 > ÝNÄ ;
ρ Ent f 6 2 |∇f | dµ
Ô # "# È ρ > 0 ,D &E È #2#!|á # á Ô . ! # f # R 0á n
µ
2
2
n
Entµ f
2
=
Z
2
2
f log f dµ −
Z
2
f dµ log
Z
f 2 dµ
F!pá Þ . , !pá# Ô !pá0 %3/, ! ∇f # Ô f à–á .G # &. ø
, 0" á |∇f
| "
eH
&
5
È
' !|á , ! Ï (2π)
' !pá - ( . !'!"#$!|á‚ò7 É È e
" êJI# # R =!|! á É9 " . ß[email protected]Ô È*!|( á&; # Ô # È !pá ! µ á ! Ô Ï1& ! 9 !3>$zÄN; '#% !p! á ρ= 1#1 #!pá ø
!pá ! Ï" á # &z .Èá ( ÈL# &.- Ï Ï É '"È !!3# # e !Ô !3È# # # È * È µ#1#!|á Ô . ! " &# . !pÏKUá ( # RzÍ ž!Æ È #!3 ÉC, Ï L
é !" %". ! # , 5ÉCÏ+, (9H ,!" Ô # ( , " .-"zÉ L,=ÉCÏ ∆ − h∇U, ∇i ' CÍ/"M/ È µ −n/2 −|x|2 /2
n
−U
L
Z
f (−Lg)dµ =
n
Z
h∇f, ∇gidµ
Ô # Í !Ï È #1#!|á Ô . ! # f, g CÜ8, È* ,%% # !|á . # , ! # # U # ÈLÏ5. # ø
,e: ÝÍ !p á+ ! Ô z È 0. ! # Í Ò9 É & & !pá9 ' ,!|á # È &( # . Ô!*!3#; µ; " È* #% ( (P ) ' !p !páá Ô ,9 "@ È !3# ! L "#%0! # # Ô !pá &0 f! & Í & ( # É È 9<áL ! u Ö = u(x,
! # t)'= !|á P f (x)( . !8!3# L;
(
∂u
− Lu = 0 in R × (0, ∞)
∂t
u = f on R × {t = 0}.
; # Ô !pá È&5 !" # Ô !pá . # ! "zÉ 0! # e; # O RÉCÏ ò 4e; #% !|á ! !|á &# %" !pá ø
È . C # É #%ª á HÍ 1Ï (& "Ö . # ! "! Ï . ! 9 z> Í Ý NÄ ; Ô # !p0á µFá "#% , " Ô!|á ! , [#Ô # FÏ Í Ô !p!Ï0á 9 # " "# # .-È M !"; , á ! " È &% # ( (P ) 1<p<q<∞
, Í !Ï f 9 L ; 9 > Ê ;
Ô # Í !Ï t > 0 /" ; #% á "# !|kPá ! f k 6 kf k
9 > ;
q−1
e >
.
p−1
é 9 > Ê ; !|á L ø # |È 8 , !3#1# , ' !pá ( . !=!"#I!|á È " µ à–á 0 Ï &, # Ô !|á ( #2# Ô !3F# !3! # 0 . :# !pá , $ Ô ! . ! # ! q(t)># =Ô 1 + (p − 1) e # 9 ÔÔ # t > 0# "ø . á !|! á !
q(0) = p ,
È êJ#2##&!|&#á Ô . ! # f # R ,; !| á" ÝÍ zÍ & z!È # Ô F (t)ò = kP'!"#f k-! |'á $ ? zÍ ø
!!pá# |á ( 'Ô #! 3 # !pá‘Úø ÷ %"â_#%#îV0î ! & , # 7! # Ô )>cÈ &È !3# # ø ÷ . # É /(9/he ! M ËÌÄ , ! & [email protected]É Ö ! # Ò *È ý # &, )>c
È . É <& & Í ( É È
(
∂v 1
9 > >4;
+ |∇v| = 0 in R × (0, ∞),
∂t 2
## C %#&2&0! ! # # E # Ô 9 > > ; , .-"zÉ 9(,ºò ÉCvÏ !|=áá f! ) # on#( Ô ø ! Rò >ß ×#% 0 {t (0 =Ô 0}. ! ! #! # Ô ## |È = # # IÈ !|á È ø
.& # CÈÍ È ø . # CÍ #%&[email protected]!È # Ï # Ô %ÝÍ ' !p á Ö (,. " ! H.;.. #% ! & ; . f R , f
9 > ;
1
Q f (x) = inf f (y) + |x − y| , t > 0, x ∈ R .
à–á Ô @*È Ï (Q ) , # - " *È #% 2t(' !|á & # 0 !3- zLÈ 9 # ø B;/ 3 !"# à–á ! "#%á 0! # # Ô !3 !pá& )>cÔ È !3# ø ÷! # . # É − ! |∇f | & # & v 9 = v(x,
t)& =! Q f#%(x)
9
!
!
& É M# /Í , , !p(á É ) # È ( Ô ø ò > >4ß ; Ô # |È È B!páÍ !( Ï ! & ; ! = È5 . !|á È Ï ! &.G&)"/#,&,0! # # fÔ
9 > >4; !pá ! !3 ÒÖ 1Í . #% ! Ï #%&Q
0! f# 9 . Ô $ /=/BP.> Þ_Í .PKÅ ; t t>0
t
n
n
t t>0
p
t
q
p
2ρt
p
2ρt
t
n
2
q(t)
n
n
n
t
1
2
2
2
y∈Rn
t t>0
t
t
n
#
|á =Ï !3# ! # , . I|! á VšØì^ä\ö ížâ_å XØXõXâ %ä "#%0! # 8!3#F!pá0 Í/ ø
!
>
|á Í1 !p á. #% !"Ï# ò7A!!" L # !3-" ÒÈ ,#% # 3 !"#1# # !p á Ô0 F!|á! ‘# ò ( .& , (P )
, #/!!3 # [email protected]È Ï5ÉC.-MÏ v ,¦=ó2vØڞ(x,ٞâ t)! !pá5È&%#%&2! ( # Ce:# ÝÔ Í !|á &0È ! & Í/ &0. (9 ! & f ,0/ , ε >! M0
Ö 5
t t>0
ε
(
ε
∂v ε 1
+ |∇v ε |2 − εLv ε = 0 in Rn × (0, ∞),
∂t
2
v ε = f on Rn × {t = 0}.
# Ô 9 ε → 0é ! ! : ß0( !3 # . !3 á, !pá0 !p! á v ! ((0 # . á0 D " #"&# 09! @# É *# Ô !|á5!|áá !$#% &2 ! # ! # v
> >4; 9 ' !| á Ï & ! M . Í/ . u ; =à–áe Ô # Ö = εLu
e
5
ε
ε
∂uε
−v ε /2ε
−f /2ε
ε
∂t
uε = Pεt e−f /2ε .
é ! È 0! É 8 È*( á , !pá ! !|á ( !3 |É9 ! # È ! ÉÏ* È # "wá H. & (&. 3! !|á (0 # É9cÉ ! &. '# Ô " , Í1M ! # cÈ - Ï !|á ÏÈ*( !3#! &. # Ô
9 > < ;
v = −2ε log P e
& # εÈ → È 0. # CÍ #&ò 0! ( # . # øÔ è "', !pá áD!p á Ö Ï È( ,!"3# ! ! &. . ' !pá 3, !"Í1 M , ! # .-D"z3É !", (Ô .. ! " -# Ï Ô ÉC# Ï !p!páá
á !8 *È % #% ( 9 / fBP.> # /he ò ËÌÄ $; à–á È &$ "0!3 & /e ò ËÌÄ !|á ! Ô !pá8&# %" !pá È*&.g[â â_öæ ! Ö ! Ï 9 > ÝÄN;
á#% , !pá0 Ô # . á t > 0 a ∈ R , . á 9 Ï5É #% , ,; Ô . ! # f 9 > O;
6 e .
e
ý # CÍ "- Ï Ô 9 > O; á #% , Ô # Í ÐÏ t > 0 , # È a 6= 0 !pá !pá# ? !|á È.
g,â â ö&æ K
! # !p! á á Ö & # !! Ï 9 > !|z2Ä á ; !á #%Q, ý , # *È# (9 , ,, -( ( ., ! !3#!" Ï . # Ô !p&á0. ,á 01Ï , ( .1Ï # & ºÈ! ". ! zÍ1" ! Ï µ ò A! #
.G 1!|á þQØ Ú%â [â_çö&â_î !|á# È. 5È " µ ! # !|á g,â â_öæ !
& Ö ! Ï &,0ÒÈ # n Ô
9 > Å ;
kf k
6 ak∇f k + bkf k ,
Ô # 'CÏ Ô . ! # f ' !pá . # *È (9/. !'" (( # ! à– á 3 !"È # &I,H #!!" # (PÔ þ¹)ØÚâ !p,âá0 ç Ï&öȳâ_È=î - ! !pá&._ È Ô #%&#0 '# 1Í M 7ò" -È ! L&% #F (H& # "0 # !3.--M zLÈ!" , ,0C (( # # " 0á k·k 8!|á !pá ø ! # µ Ô # Í Òò É A! Ô # !pá Ià–# á ( 3 !|!"á # L 0, − R f Lgdµ
= k∇f k !
9
=
µ n > 3 g,â %â_öæ ! Ö Ï > Å ; Ö ÝÍ & ! !"#5!pá L |È
ε
−f /2ε
εt
f
Qt f
a
a+ρt
t
2
2n/(n−2
t t>0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ß2 !3š 0á . ;# Ô 5. # ! ! k > 0 . á!pá ! Ô # . á t ∈]0, 1] 0, . á+ È #1#!pá Ô . ! # Í
f k
.
kP f k 6 kf k
t
à–á p! á0# È , Í &# ( , & è pÅ > è /pÅC # è JPÌÄ 5 !8!|áH á !=# Ô !|áH!|á -;!pá-# È H!" ,ÌÏ 0 /he ò ËÌÄ Ô # !|á:&# %" !pá È*&.
g,â â ö&æ !) Ö ! Ï |! á z È( &. ! # # Ô g,â â ö&æ !) Ö ! Ï 9 > Å ; !3#>!|á=" È&% # (
(Qà–)á ! ! #
ß # . # , ! '|! 6!áLp! á0 # R! .G ! *-, ! |! á !3ð æ Ô #æ[îN!|ácZ*çæ;" È #% , ( # Í !
p
0
á
ÉÏ5é È ! , 8( z ÈL8 !|á 3/. !á ". z Í #% ! Ò È9 ! 9 È* ( !pá(Q
&
)
Í/ & ^Í1 . Ï & Ö Ï >$ < ;; , תÚ%çåå R L(9/ . óôä\é åîVp!ٞáâ D5"îV Ù_! ä # & Ö ! Ï # Dp! á ! #
#Þ . , Ô |!/á ø ! Ï1Ô. #%( & # Q g,â > % â_ö# æ ! ! (#& #Í Ö Ô p! á0 ! Ï 92 Èá #% b = µ0 & !| áá#% ÈL/ Ô Ö Ô# #% , !MÏ á 9 >$ Å ! ; ;H # -Ô # , Ï) 0, Ô # '/ 'Ï & È .#2#|! á Ô . ! # È* % ( (Q ) , . β > α > 0
t>0
f
t
t t>0
∞
1 n/2
n
t t>0
n
t t>0
9> P ;
e Qt f
6 ef
kα(β − α)
tβ
n2 β−α
βα
.
á β = ∞ , α = 1 !|á & Ö ! Ï 9 >$ P ;¹É . # È 9 > ÝÄË ;
k
6 e
e
,
t
Ô # Í !Ï È #1#!pá f 0, t > 0 È # C "H. ! !p á# Q ! > ! > # # 9 M Ï g[ â ! â_!"öæ ! . &á Ö . # ! ! Ï #%' Ô !|# á ! . !|!p# áá )H ! " È*!" %a#%#% >( (Q0 /) , b >! á 0Ô ,!|!|áá
(& Ö Í ! Ï 9 > ÝÄ, Ë ; Ô # Í !3Ï g,â %â_öæ !9 Ö ; , Ï á !pá0 ÈÈ&% Ô #%( ,(Q ). # È*(9. ! Ï # È á . á "# zÈ( Ï
"& # !3È ;! !3/ ( # !Ö ! # ! Ö L t # ∈]0,
É ! ! - A] Ô # , AÔ # > # !|0áL ! È*% #% "( (Q
)
( 9É @É ÏÈ β
α
,
n
2
f
Qt f
∞
1
t t>0
t t>0
t t>0
n %D
3 B $
R
+ 3 D6* .
#
- !! &"$ ; & # !3# *R# . #-!+( .G, !" , . ! "0- "- ! 0 !#% ( ! '(Q ! 5) ! & R ( # Jf! #% 0, ,
n -/.
Rn
0
4687:9; <=8> [email protected]
"! 21
t t>0
/ # %$'&()&* c,+ &
76
n 354
.
( . ! 0 . ! # # 9 > - ;
Rn , :! 0 . ! # Q f ! %# &# '& ! # 0
Rn
t
6
%
1
1
|x − y|2 , t > 0, x ∈ Rn ,
y∈R
2t
0
0 $
Q0 f#(x)
= f (x) - Qt
!#" %$ '&''(( )
5 1. # ! #%# 0! # Qt f (x) = infn f (y) +
"#%, 0! # # ! *,+ - -.
∂Qt f
1
(x) = − |∇Qt f (x)|2 ,
∂t
2
! ! M / &. # f &, " ! R
-
n
# ! 1
" 1 , =! 0 #&&#0 ! 0# $'&()&* / + & @?E - !
1
-
#2143 f 5 176984:<;0;=3 >@?BACED43,FG;=CH;=C Rn 6ICKJMLN143 α 6ICKJ β 5 1O3QPR;
D%;=CS843T6ICU3 884AD%>@3V>S6I3 0 < α 6 β W 3 >U14CXPR1Y>S6IZI13 >U1[?\;=L LN;=P]F C^_F CE1a`Ab6ILcF 3,d
n β−α n α+β
*,+ -0e.
β − α 2 βα α 2 αβ
Qt f
f
e
6 e α
,
β
2πt
β
?\;=fg6ICUd t > 0 hji >U1CE;=fB: k·k FN83 >U1 Lp k CE;=fB:l;m?3 >U1 $'&()&* / + & :<1a6=84Afn1 h
p
ogp0qrq\s
5
0
#'
1
6r7t u &*
wv x#yz
4
J
{}| \~€I
{ƒ‚ I„~ +  # Q f
b„
t
*,+ - + .
λ > 0, t > 0, Qt (λf ) = λQλt f,
† % 0
)
*,+ -0e. /
t = 1- .
α
β 6
0
0 < α 6 β
F (t) = eQt f
q(t) = αβ/((α − β)t + β) -[
! 0, #%&# & I( #1#
' !3# ! ( # ( !
0! F!3# ( # F! . ! # F ' *, #2#, ! ,
H0"B! 0 A! # , , # ( ,
#
& !
:# ! 6
q(t)
! ,
&
-! , I " . )! !
Z
0
*,+ - ‡.
1
2 q(t)Qt f
0
1−q(t) q
q(t)Qt f
F (t) = F (t)
Entdx e
|∇q(t)Qt f | e
dx .
− 0
q2
2q (t)
‚
$'&( &*=/ + & 0
0
) =ˆ
„ 0 1
Rn
!
R
Z
2 g
*,+ -0‰.
|∇g|
e
dx
n
1
R
Entdx (eg ) 6
eg dx log
,
2
2eπn
eg dx
)
‹ŠAUD4LcF,J1a6ICŒLN;a^6IfBF 3V> k
g
Rn -Š
'
E
(
b
&
u
)
# :FGDŽ
6
6
1
*
“
{
’
(E &bu
‘
! Ž '
a~ 
Rn
’ +
ƒ
{
•
”
–
‚
’
#
+ €€— . €
! &, - # ! ! ! * # ! 9- ! %# &# & & 1 # *#2#/! . ! # ! # ;# ! & 1 ! # " .G & , F# ! ;&# !
! # L! ,+. " M " ,+ # . # . ( & %" # & .
( !" # #
!"#$&% '( #)"+*-,
/. 10 ,1032 "
;
#
7
!
#
!
#
! .
.
.
01 ! # 7! B# ? !
.
.
& !'!3# ! #%&# ‚
# 1
g
# .
n q 0 (t)
F (t) 6 F (t) 2 log
2 q (t)
0 1
Z
1
0
n q 0 (t)
log
2 q 2 (t)
! ! #% &#(0 2& #%F ! !-# 1 0
q (t) .
2πe2
! #%&# ' # K !" %" ! # # + -“- - I 1
*,+ -ED.
e
6
Qt f
∞
6 e
f
1
P>FGD%> FN8
Qt f (x) 6 log e
-76
1
2πt
n
+ log
1
2
f
n2
)
*
V
+
- 0e.
-
2
! & ! β=∞
8# ! /&
6
,
1
2πt
,
1
!
&
*,+ 0‰. ;# ( ! * "- { ”Y‚ ’
" :! ! ! !
&"# # ( ! 0 
! 0 < a < 1/2
 f (x) = −ax
F!GIH>;Up7JK=L?/@"?NM -OB
α+β !
β − α α β−α
.
αβ
β
, β .G/ . #%" ! 3 0 6
, # ! . !
C 143 f 5 1 684:<;0;=3 >?BACED43QFG;=C h i >U14Cg?\;=f6ICUd t > 0 PR1Y>S6IZI13 >U1
?\;=L LN;=P]F C^_F CE1a`Ab6ILcF ,3 d W
?\;=fg6ICUd x ∈ Rn h
t ∈ [0, 1]
1 0
nβ −α
q (t) dt =
log
2
2πe
2 βα
α
-
8 qbp0q9:9(;p7<>=3?/@A?/@ --B
/=ˆ
! 1 , ,
0
4
, & &
#
! !
*,+ - 0‰.
Z
Z
1
n
n
2 g
x
eg dx,
Entdx (e ) 6
|∇g| e dx + log
2
2x
2
2πe n
,
*
+
*,+ -54. 1
- ‡.
x > 0 -U I„ 1 x(t) = nq 0 (t)
*,+ -54.
1
*V+ - \e. 6

-'6
+ €€—
t =1
β = α/(1 − 2a)
.G * 3! # *; +.G . / ) ! -
.
0, .G
E #
%
#
(
(
& #%) 1 ! -! :# ! # !' " %# . ( # , 0 & ! D# ( ! ! „ 0 , " &
A! , , ,+, #!3 ! % ( !'" #% ( # ! / ! # , , g∈L
Pg
R
g
6
.
# + -“- -
*,+ -0e. # 0
1
-.
p
6
-
t
*,+ - ~ .
Pt g(x) =
Rn
Z
1
21
g(y)
kx−yk2
2t
6
1 #
n
e−
0
6
dy,
# x ∈ R .G/ #0 ! %# &# 5 ! n -6
*,+ -“- € .
(2πt)n/2
1
kPt gk∞ 6 kgk1
n
1 2
,
2πt
V* + - D."-U #%&#. 0!3 ! H{}‚ + # #% { , # ! & # ! ! 6! 0 )# ! !3 !*# B ! #% !", &
.
.G# . ! ! " & % #% (I„~  ! ,U €! €#.) . & 3/. , # " . $( # 1 ! q6p<0 t>0
*#2#! . ! # g (P )
/
!
/
*,+ -“- .
#
6
1
.
1
6
,
n2 p−q
pq
p−q
4πt
n
1 n 1− 1 − 1
(1 − q) 2 (1− q ) p 2 ( p q )
,
1
n
(1 − p) 2 (1− p ) q
# , h > 0
0, , ! ;0!, - ! (( ! : 0 # ! & ! εt/2
R p 1/p khkp =
h
p<0
.
0 < α 6 β
ε > 0
q = −εβ g = exp(−f /ε)
−ε
−f /ε −ε
f −ε
e α 6 Pεt/2 e
/
t t>0
kgkp 6 kPt gkq
A!
-
*V+ -“- . 6
-6
#
p = −εα
β
β−α
4πt
1
nε
nε 1+ 1 + 1
(1 + βε) 2 (1+ βε ) α 2 ( αε βε )
.
1
nε
(1 + αε) 2 (1+ αε ) β
nε2 βε−αε
2
αβε
2 . #% ! ! * ( #0 ! −1/ε
/, -!"! & !" , !"# - # F# ! ! /, 0 #1#& !
*,+ }‰. . ! & )1 ε ! *V+ \e. # . A! !$ # f #0 ! ! #1# 8# 8! ! # +β > α > "0 t #> 0! y "2"
x# (0 ! & , (0( #1# & !3 -! . - "Y9 B, B# ! v , ˆ
" x
! # *V+ . # (Q ) 0r, ! # A! # R
! # *-! # R , ! K % #% ( (Q ) ' A! ( .#0 4!&H!' b! „ # - ! # 1 I„
-
-
.
-
-
#
t t>0
# #
#
1
"$#$%'&)(*(,+.-0/1(32547689254)/
1
n
#
21
#
1 6
-
! *
*
1
- -
1 6
6
+
1
0
n-
:
"!
6
t t>0
- .
6
#
/. 10 ,1032 !"#$&% '( #)"+*-,
{ƒ|  €= # F 2 ) # {}‚ €€  !"# ! !
"
!
#
/
,
& A! ! ! :&# ?" ! &./Ž , E# bu ! ! # D ? ! . ! # # ” " *
R
! ! #a,'b> 0x,ay+∈bR= 0 0 u v w
*,+ “--.
w(ax + by) > u(x) v(y) .
!
%
#
&#
0
)
1
!
& F& # , " " "* x ! * x#
v y + S„
1
.
n
&
(
D
-
a
Z
A! A!' #0 (0 #D:! ! ! 0# . .
n-
b
1
*,+ -“-Ie.
.
%
1
-
.
w(x)dx >
Z
# !" ! u(x)dx
+ -“- -
a Z
1
v(x)dx
b
& ! .
v y + "2" " * x ! *=x
-
0 < α < β -6

u(x) = exp(βQ


1 f (x))


(β − α)β 2

|x|
v(x) = exp −
2α


β


x ,
 w(x) = exp αf
α
6
6
-r $# a
=
α/β
b
=
(β
−
α)/β
x, y, z ∈ Rn
*,+ “- - + .
α 2 (β − α)2 2
a
b
u(x) v(y) 6 exp αf (x − z) + |z| −
|y|
2
2α
β−α
β α
x−
y
6 exp αf
α β
β
= w(ax + by),
*,+ - --I.
/
)
0
,
*,+ -“- + . Bˆ
z = −(β−α)y/α - 4
0
y + "" " * x! * x#
v
a
b
) u, v *,+ -“-Iwe.
*,+ -0e."α, β ∈ R
# ', # F 9 &- !"#F# ! & ! !
1
!
!
!
7
!
9
#
!
(
,
.
! # 1 ! 0, # , ! . # ! ! !3 , #!3 & ! !
& . &0.&, & )11 U p !! *,#+ 0!e. #!8 " / "(b„ -! " „ * v #0y "2! " !! *V" + . =x, x#:# )?1 ! & .!;! 4Ž!3#+ E! ,#$ ! b&#u )
&? " ! &@. Ž E# bu & ) ! # !  " M 0"‰ . . * /. /.G # ! & , ˆ
{ƒ‚ €€— ! -# #
r ! #/! # ( & { ”Y‚ ’ €€— . ‚ &, - #
y
"
"
"
x
#
x
J
!
#
!
E
b
u
!
#
!
0

0
"
v #" #B#%!&#0' ! ! 0 &S „ ( A ! - ! ? .] ! Ž *,+ 0e. & ,<v y "2 " " x =x& F!GIH>; 7JK=L?/@"?= O
- B
$'&()&* + &
(
&
1
! 6
*
!
*
+
6
-
6
+
1 -6
1
-
1
-
+
! *
*
'(
&
-
.
+
&
(
6
*
6
#
! *
032A0 . '( K " K "7"'&
&% 7 A
!
„ ! ! ! (0 #1# E0" ! Y # # 5 ! *V+ .
! :#! (0 #1# ":! 0 )!#" %$ &' E , ! & E)1 ! # #%&#0 & " . ! # ( !3'"# !"=# *# 3 (9/. ! 1& . , /ˆ ! 1( Ž E# bu & ) ! #
%
1
.
"
#
$
'(
-
&
1
6'6 "!
21
.
t t>0
6
#
21
$#
- 4
'
#
0
*,+ -“-‡.
1
6
1
-
t t>0
1
2
Qt f (x) = inf f (y) + d(x, y) ,
y∈M
2t

Q0 f (x) = f (x), x ∈ M.
1
# t
*,+ -“-I‰.
'(
0
- .
#
1
A !B. &,  !ˆ ! 1, ( Ž , E! , * ( # &( n . ! ! . '! ˆ
1
J#&&#0 ! / * ! & #%!&2! # . # !.G v# =! v(x,
t) =#%Q f (x) / , M
%
#
t t>0


! L . ! ! # ! ( #-"3 ! !# #% # ! 0F " -" % 6!# . ( # . ! " A ! #% ( (Q ) *#2# #/ ! '# -0!"M 0 #% , (Q#% ) #
" 0 M #%M ( *-! " . d , f . , ( * #2! #/8! #% &#0. ! && # # M! # * , # (Q )
4
&bu
1
-
/
-
#
'(
0
!
.
#
t > 0, x ∈ M,
!. &, K. " # ! #" #0' '&' E / # ! & !
& M ˆT/
B$
(
(
∂v
1
(x, t) + |∇v(x, t)|2 = 0
∂t
2
v(x, 0) = f (x),
#
'(
6 " |∇v| #%! 0, # & & ! ! ' 0M2 & "#%0! # # ! 0# –%", !!## " v '# &'! E </ M ! &# x
#C * , -! .G(* .G #% , , #%0!• )!#" % $ &' E ! # B$ {}‚ n~ + I ~ 
/
5
21
&' G qbpEG H
6 1 #
$
#6
1
#
'(
=L?NM?)( -OB
#
'(
#6
D -
C 143 (M, d) 5 1‘6 84:<;0;=3V>+* FG14:‘6ICUCUF,6IC :‘6ICUF ?\;=LJ 6ICKJOLN143 µ 5 16
:<1a6=84Afn1 ;=C M 6 5 80;=LcA3 14Lcd D%;=CU3QF CUAU;=A8P]F 3V>Xf%1%8),U1%D43–3 ;O3 >U1843T6ICKJ6If J ZI;=LcA:<1_14LN14:<14CU3
;=C M h
A ,0,U;0801_3V>S6I3 µ 86I3,FN821 1%8_3V>U1j?\;=L LN;=P]F C^7‹ŠAD4LcF,J1a6IC k 3,d3,U1wŽ '((# &bu F C k
C 143 n > 3 h.- /
1a`Ab6ILcF 3,d†?\;=f 6OD%;=S
C 843G6ICU3 a > 0 W
*,+ -“- 4.
kf k22n 6 ak∇f k22 ,
n−2
-
-
!"#$&% '( #)"+*-,
/. 10 ,1032 ?\;=f6ICUdj?BACED43,FG;=C f P]F 3 >9D%;=: ,S6D43[84A/,0,U;=fB3 hYi >U14CX3 >U14f%1‘1FN843 867D%;=CS843G6ICU3 k > 0 84AUD%>
3V>S6I3 3V>U1:<1a6=84Afn1 µ 8 6I3,FN821 1%83 >U1[?\;=L LN;=P]F C^‘F CE1a`AS6ILcF 3Qd
n β−α
*,+ -“I- D.
kα(β − α) 2 βα
Qt f
f
e
6 e α
,
β
tβ
?\;=fg6ICUd84:<;0;=3 >?BACED43,FG;=C f W t > 0 W α > 0 6ICKJ β ∈ [α, +∞[ ∪{+∞} h
*,+ -“-ID.
;=CUZI14f%8014Lcd LN143
k > 0 6ICKJ α > 0 h ?3 >U1:<1a6=84Af%1 µ 86I3QFN28 1 1%83 >U1F CE1a`Ab6ILcF 3,d
W
?\;=f<6ICUd 84:<;0;=3 >?BACED43QFG;=C f W β > α 6ICKJ t > 0 3 >U14C 3 >U14f%[email protected] FN843 8 a > 0 84AD%>X3V>S6I3 µ
((# &bu F CE1a`Ab6ILcF 3,d *,+ -“- 4.
86I3QFN28 1 1%8 6ICw‹ŠAUD4LcF,J1a6IC k 3Qd ,U1‘Ž '
h
{
((#
&Uu
6U~~—
#6
ˆ Ž '
-\ —„ 1
.
,
*
+
)
0
1
-I
- D.
β=∞
α=1
8 qbp0
q 9:9(;7p <>=3?NM"?/@ --B
CKJ14f•D%;=CKJIF 3QFG;=CS8†;m? i >U1%;=fn14:
h rh=W ?\;=f•14ZI14f4d]?BACED43QFG;=C f 6ICKJ
R
P
1
[
1
K
C
J
t > 0W
A! !"# ! # !" ! #%0! . !, #%&! #1( # #& #% ! 1
, & & 5. / ,
*,+ -“- ~ .
e Qt f
k
6 ef
A
!
„ ! !7! 6! ". # ! 3. ! # , # ! & ! *V+ - ~ . ! * !yE 8 ! 3 . # ! "-. # ! #% 0, # # ! ! # ! !'! = %! #% ( ! : 6! ! *,# + “! - € . ! ” & #%! 0 Š # !! E ! #bu" B$ ' &' E<! "#%, 0 ! # „1 ! *V + “- ~ . ) /3/. ! "!"#H. ! . , , ˆ
2( Ž
& + “- "
!
*
!
#
#
5
,
,
(
,
r_t u
# ( # ! ! N„ # !"$<, # v b „ # x#yrAz ! & - {ƒ| \ !-S~ I ! €—Ž9' 0E , # {ƒ‚ bI u „~ & + ) 1& - ! #% ! 1) & 0! , 0! # #! # ! r( &I#9#ˆ E! !I"Y 0 ! #! ! "# 0' , &'! ! !"E . , / .
-!8. , :! !!3 & ) 1B $ ! ! # 0, ! : ! # ( rˆ I+ ! aq
-! Φ# : R →! R9 ! !&. # !" D&.- . # 0.G! \ # . ! ! # # *
#
!
0
! 0 #& &#0 µ F ! , #%M, # ' /* #1# ! + ( #%ˆ —5&. ! # . .
*
+
6
KG -
(
-
"-
1
Entµ f
1
# 0
0
6
2
- .
+
6
Z
R
6
=3?NM"?NM -OB
.
5
R
1
&
1
*,+ -}e € .
- -
Φ
-
-
/
21
&
6
.
6
/
1 tn/2
'(
'(
∞
-
0
2
f dµ Φ
R
R
|∇f |2 dµ
R
f 2 dµ
&*
-
# 1 !
'(
1
6
6
1
f3
,
& 1. #1#%! & 3 ! , # # ; 5! ( # # ? ! ! *. Ž ( # 9b u ! & )=1, - ! ! # ! & ) 1 ! .G/ Φ(x)#% =, ax& {ƒ‚ I„~ µ+ ”Y‚–’ €€ ‚–’ ~ 
*,+ - .
Entµ (f 2 ) =
)
1
f 2 log f 2 dµ −
6 %
1
f 2 dµ log
# +
f 2 dµ 1
'(
6 #6
.
4 -
- %
&
-
032A0 . '( K " K "7"'&
A! -0! #0 .( #& b*u ( # ! / ! ! !"#2#
&S„ 9 Ž
& L,
.
'(
6
&
&% 7 # ! ! # #%&#0 & — !1! "0!3 ! !3- ! (rˆ I+ /
1
1 -
!
-
ogp0qq aq =L?NM?= --B C 143
: 6ICUF ?\;=LJ‘6ICKJLN143 µ 5 1
(M, d) 5 1684:<;0;=3V>$* FG14:‘6ICUCUF,6IC ‘
6<:<1a6=84Afn1g;=C M h C 143 n > 3 h 1Y84A,0,U;08013V>S6I3 3V>U1:<1a6=84Afn1 µ 8I6 3QFN821 1%83V>U1]?\;=L LN;=P]F C^
(E &bu F CE1a`Ab6ILcF 3,d P]F 3 > D%;=CS843G6ICU3V8
Ž '
W
a 6ICKJ b W
kf k22n/(n−2) 6 akf k22 + bk∇f k22 ,
?\;=fY6ICUdR?BACED43,FG;=C f P]F 3 > D%;=: ,S6D43284A/,0,U;=fB3 hRi >U14C 3 >U1•:<1a6=84Afn1 µ 86I3QFN821 1%8†3 >U1 14CU3,fn; ,Kd k
14CE14fG^Id‘F CE1a`AS6ILcF [email protected];m?#?BACED43QFG;=C
n
log(ax + b).
2
;=CUZI14f%8014Lcd F ?‘3 >U1<:<1a6=84Afn1
µ 86I3,FN821 1%8‘3V>U1 14CU3,f%; ,Kd k 14CE14fQ^Id7F CE1a`AS6ILcF 3,d9;m?–?BACED43QFG;=C
W
3
U
>
4
1
C
3V>U14fn11FN843 8 λ > 1 84AUD%>73V>S6I3 3 >U1 :<1a6=84Afn1 µ 86I3,FN821 1%8
Φ(x) =
(n/2)
log(ax + b)
'
E
(
b
&
u
3V>U1<Ž
F CE1a`Ab6ILcF 3,d‘P]F 3V>XD%;=CS843G6ICU3V8 λa 6ICKJ λb h
Φ(x) =
{ƒ‚ I„~ +  # !3#F! ! # + + }e # { ”Y‚ ’ €€— # I( #1#
A
!
#
&
'
3
!
#
(
# ! "10! ! ! # # ! ')1 & -! ! ' ! # )1
(ˆ I*& =ˆ
! , ! 0 . # ! #%7# ! :%" % # ( (Q / ) .
.
# "!
!
&' G qbpEG H
#
1
1
6
t t>0
#
- -
+
#
1
-
=L?NM? -OB
C 143 µ 5 16CE;=C CE1G^6I3QF ZI1†:<1a6=84Afn1;=CO3 >U1j:‘6ICUF ?\;=LJ M h - A/,0,U;0801
3V>S6I3 µ 86I3QFN821 1%86IC914CU3,fn; ,Kd k 14CE14fQ^IdF CE1a`AS6ILcF 3Qd<;m??BACED43,FG;=C Φ h C 143 c > 0 6ICKJLN143 q J1 k
c
CE;=3m1 3 >U1–843,f4FGD4LcdF CED4fn1a6=84F C^CE;=C k CE1G^6I3,F ZI1(?BACED43,FG;=C_86I3,FN8V?Bd—F C^ 3 >U1'?\;=L LN;=P]F C^ JIF Y14f%14CU3,F,6IL
1a`Ab6I3,FG;=C;=C [0, t ] (t > 0) W
0
0
*,+ -}eS .
2
= Φ0 (cqc2 ).
qc0
i >U14C W ?\;=fY6ICUd c > 0 W 3 >U12?\;=L LN;=P]F C^gF CE1a`Ab6ILcF 3,dgFN8 86I3,FN821 a1 JŠ?\;=fY6ICUd84:<;0;=3V> B? ACED43QFG;=C f W
Z qc (t)
*,+ -}e-.
ψ(cy 2 )
Qt f
f
A(t) P]F 3V>
e
6
e
e
A(t)
=
dy,
qc (t)
qc (0)
y2
qc (0)
P>U14f%1 ψ(x) = Φ(x) − xΦ0 (x) 6ICKJ t ∈ [0, t ] h
;=CUZI14f%8014Lcd F ?<F CE1a`AS6ILcF 3Qd *,+ -}e-. FN8_86I3QFN028 1 1aJ?\;=f 6ICUd
c > 0 W 3 >U14C 3 >[email protected]:<1a6=84Afn1 µ
W
86I3QFN821 1%83 >U114CU3,f%; ,Kd k 14CE14fQ^Id_F CE1a`AS6ILcF 3,[email protected];m?]?BACED43,FG;=C Φ h
ogp0qrq\s
J
0
ˆ #$ 1I # µ ! "$#%& '
(
#) *&#
!"#$&% '( #)"+*-, . 0 , 1032
- . g 6 6 &
Φ
# #) &# &# M $# # x > 0 ) &#)
'
#) *&# Φ $ Z
Z
*,+ -}ee.
2
2
0
Entµ g 6 Φ (x) |∇g| dµ + ψ(x) g 2 dµ,
/
$ ψ(x) = Φ(x) − xΦ0 (x) . f 6 #) &# &# M # ' ,* + - -‡I. - |
/
*#
$# F (t) = eQt f q(t)
„
1 0
0U
#
*# t
2/q ∈ ImΦ
0
F (t) = F (t)
1−q(t)
q 0 (t)
q 2 (t)
Entµ e
q(t)Qt f
0
ˆ
) &
# Qt f # 6r q * # #)$ *# 1 #) *&# * # 1
1
F # 1
− 0
2q (t)
Z
2 q(t)Qt f
|∇q(t)Qt f | e
dµ .
*,+ -}ee. '
g = exp (qQt f /2) # #) &# x(t) * *# 1
1/q 0 (t) = Φ0 (x(t))/2 1 $ F 0 (t)
q 0 (t)
6 2 ψ(x(t)).
F (t)
q (t)
4 # 1 # 1 $ t ' $
*,+ -}e + .
/
e Qt f
6 ef
eA(t) ,
$
4 # '
q(t)
*,+ -}e‡.
A(t) =
c
*,+ -}e‰.
t
0
2
q 0 (s)
0 −1
ds.
ψ Φ
q 2 (s)
q 0 (s)
!
0
qc * $ # ˆ
c > 0 -[ $ t0 > 0 )
'
ˆ
6
. # ) [0, t ] -' # ) # 1 *# 1 $
*
#
0
*,+ -}e-. &#
!
) &# -. x 6 &( # „ c = x - $ *, + * t0 > 0
'
' -}eS . # *&# qc * *&# # &#
0
' 6
)$&#*&# qc (0) = 1 -' $# *V+ *# (
' ' 1
Qt f
“
e
.
F (t) = e
#
F (t) 6
#$*#
qc (t)
*
/ 6
.
∀t ∈ [0, t0 ]
*) ) #
$#
$ &# *# $
. # )$&#*,
+ -}eS ' *V+ + *&#
}- e . * ' *#
. )
#)
/ ) [0, t0 ]
) ’
0
0
q (0) = 2/Φ (x)
F (0)eA(t)
Z
q(0)
#
)
'
)$
'*
F 0 (0)
6 A0 (0),
F (0)
&#
Entµ e
f
Φ0 (x)
6
4
Z
2 f
|∇f | e dµ + ψ(x)
Z
ef dµ.
032A0 . '( K " K "7"'&
„ # 1 rˆ $#
$#%&
*,+
-“e‰.
g = exp (f /2) *#
'
1I
#
#) *&# Φ - I
$& + -}e-“‡ 1 #$ ' *&#
'
µ
*
6 6 *#
= (2/ρ)x
# ψ = 0 ” Φ(x)
'
„ 6
# ) # #
&
# 1 &% 7 '
x > 0 * - - {ƒ‚  . €  - 6 $ # $ '
((# &bu
'
' ,* + - .
1
1 ) Ž
* #
( & + -“- - 6r *,+ -“e-I.
*#
q(t)
− β)t
+ β) # c = n(β −
α)/(4αβ)
‚ = αβ/((α
/
'
'
ˆ $#$ 1— *#
$
$ # $#%&
(
'
#&
& $ (exp Q ) - * )$&#% $ $#
*#
'' 6
'*' t
1
*#
*# #
1 # ψ . #
$
$
%
#
&
+ “- e - ‡ ogp0qrq\sqs &' G qSp5GIH =3?NM?)(
0
+ + µ * $
J 0
-}e0 -[ $# 6r
µ &*&#
#) *&#
$) *&#
+ “- e-“‡ - 4
1
$&
*,#+ - 0 e."- #
'
# * + “- e - ‡ 1
'
) &#%
'' ˆ
&# Φ # / *) *# $#) + -“e-
# 1
&*&#
' *,+ -“- 4 .
* #
1 #% ˆ $ # I
+ -}e- + # ˆ
# a >
$) ' &#
*#
(
n
log(ax).
2
. c = a(β − 1)/2 -b #) *&# q (t) = β/((1 − β)t + β) * 0 $ c ”
*,+ -}eS .
'
+ -}e-“‡
*&#
# ) [0, ∞[ - # 1 $&
( ' ' '
'*'
# )$# #% c ) )$ # 1 #
n β−1 n β+1
k(β − 1) 2 β 1 2 β
Qt f
f
e
6 e 1
,
β
t
β
”
/
„
$ k = nae/4 # & #
#) *&# f - β > 1 #
Φ(x) =
”
' 1 k = nae/4
& (Qt )t>0 *,+ -}e 4.
* *#
β > 1
'
# &' #) &# Φ
β+1
β−1
1
1
6 .
β
β
' 0
' V* + - -7D. (
# * #
(
) &# #%
&
# α = 1 *# 1 &
1 Qt (λf ) = λQλt f,
' *V+ - -7D.
6 & λ > 0 # f *#
*' ' ' *,+ -“- ~ . * *# ' & $ *,β+ “- -ID#. - α ) β>α>0 #
*)
") !"#$&% '( #)"+*-, . 0 ,* + ) &# $ - . k > 0 # ‚ α >*,+ 0 - &
'
-}e 4. # ) β ∈]α, +∞[ ∪{+∞} - -ID. t > 0 - α = 1/
. f 6 #) *# # „ F (t) = eQt f
β *
β
' *,+ - -ID. '
4
0
) β(0) = 1 β (0) > 0 # β > 1 #
$"
. #
*,+ -}e D.
/
”
/
, 1032
&
$ #
#) *&# t
F 0 (0)
6 g 0 (0),
F (0)
$
nβ−1
tβ
g(t) = −
.
log
2 β
k(β − 1)
g 0 0) = (n/2)β 0 (0)
log (β 0 (0)k) „ * # 1 x!#> 0 ' # ) &*# 1 #' ) *&*,+ # β )
*
-}e D. β 0 (0) = 4x/n β(t) = 1 + 4xt/n & . # #
Z
Z
k4x
n
n
2 f
2
ef dµ.
Entµ f 6
|∇f | e dµ + log
8x
2
n
'
' **# 1 $ x *$ $#%& rˆ $# 1I #
& Φ(x) = (n/2) log
+ e ax
-+ $ a = k4e/n -0 # ) * # 1 ) &# $
&*&# -“
I 0
# &
&
!#
'
'
*#
& !#
'
/
” $
' „
# # Rn ) )
!#
'
+%
# * -
- - $ ) *#
*) + * #
)
“
*&#
1
) ) # 6 $&
/
$#% ) ' '
* #
(
q pEG H =L?=3)? ( -OB
&' G b
6 6 !
$'&()&* / + & - - -6 ) # # { '
'((# &bu
# ˆ Ž
#+ # 17 *)$& &
}- e- -
+
,
$ µ &
# # '
/
' ( )
$
$ b > 0 # *#
# Rn -I *
6U~~= ' *#
' #
)$&# ˆ
*' '
1 *#
$&
* '
0
Ž (E#&bu
* $
,* + - M
D . C 143 M 5 176 %D ;=: ,KLN143 1$*–FG14:‘6ICUCUF,6IC :‘6ICUF ?\;=LJ;m? JIF :<14CS84FG;=C n
6ICKJ * FG14:‘6ICUCUF,6IC :<143,fBFGD d h C 143 µ 5 @
1 69:<1a6=84Afn17;=C M 6 5 80;=LcA3m14Lcd9D%;=CU3QF CUAU;=Ar8 P]F 3V>
f%1%8),U1%D43 3m;M3 >[email protected] JZI;=LcA:<1X14LN14:<14CU3;=C M h C 143 n > 3 h 1 84A/,0,U;0801O3 >S6I3g3 >U1
( #b
& u F CE1a`AS6ILcF 3,d
:<1a6=84Afn1
86I3,FN821 1%83 >U1[?\;=L LN;=P]F C^XŽ 'E
*,+ -}e ~ .
µ
kf k22n 6 ak∇f k22 + bkf k22 ,
n−2
P>U14f%1 a 6ICKJ b 6Ifn13,PR; D%;=CS843G6ICU3V8g6ICKJ k·k FN83 >U1 Lα k CE;=fB:
α
?\;=f3 >U1:<1a6=84Afn1 µ h
'( ' 032A0 . " &% 7 > 14CO3 >U14fn11FN843 %D ;=CS843G6ICU3V8 k > 0 6ICKJ A > 0 84AUD%>_3V>S6I3#3 >U1•:<1a6=84Afn1 µ 86I3QFN821 1%8j3 >U1
i U
?\;=L LN;=P]F C^_F CE1a`Ab6ILcF 3,d W
*,+ - + € .
k
e Qt f ∞ 6 e f 1 n .
t2
?\;=fg6ICUd t ∈]0, A] [email protected]84:<;0;=3 >?BACED43,FG;=C f h
* $& ) &# $#)$ '*' # 1 &*&# ogp0q q a
q =L?=3?/@ --B C 143
µ 5 1X6 :<1a6=84Afn1M;=C M h 8%84A:<1 3 >S6I33V>U1w:<1a6=84Af%1 µ
86I3QFN28 1 1%8[3 >U1–14CU3,f%; ,Kd k 14CE14fQ^IdjF CE1a`AS6ILcF 3,djP]F 3 >]?BACED43QFG;=C Φ(x) = (n/2) log(ax+b) W (a, b >
0) h C 143 m ∈ N 6ICKJ K ∈ [mπ, mπ + π/2] h
i >U14C W ?\;[email protected]?BACED43,FG;=C f W (Qt )t>0 86I3QFN28 1 1%8 3V>U1?\;=L LN;=P]F C^ F CE1a`Ab6ILcF 3,[email protected]?\;=f14ZI14fBd
t, u > 0 84AD%>@3V>S6I3 tu + K ∈ [mπ, mπ + π/2] W
*,+ - + .
eQt f 4b tan (tu+K) 6 ef 4b tan K exp (A(t)),
una
una
P>U14f%1
2
2 

cos (tu+K)
cos K
log
2 2
2
log
*,+ - + -.
b
b
n au 
 + n u a.
A(t) =
−
8b
tan (tu + K)
tan K
8b
*,+ - + 0. 6ICKJ *V+ - + -. >U;=LJ
;=CUZI14f%8014Lcd F ?3 >[email protected]
m ∈ N 84AD%>93 >S6I3jF CE1a`AS6ILcF 3,FG1%8
W
?\;=f6ICUd K ∈ [mπ, mπ + π/2] 6ICKJ t, u 84AUD%>@3 >S6I3 tu + K ∈ [mπ, mπ + π/2] W 3 >U14C 3V>U1
:<1a6=84Afn1 µ 86I3,FN28 1 1%8 6IC14CU3,fn; ,Kd k 14CE14fQ^IdF CE1a`Ab6ILcF 3,d‘P]F 3V>?BACED43,FG;=C ϕ h
* & &(&# ' ") &# $#)$ $ + -}e- ‡ / # Φ(x) =
/ '
+ - + -n/2
log
(ax
+
b)
*) $# 6 $&
ogp0qrq\sqs &' G qS5p GIH =3?=3?)(
+ -“e - +
&bu
' *,+ -“e ~ ". 1 Ž (E#
* #
*#
(
&*&#
J . µ 6 0
ˆ $#$ 1— *# ' ( $# µ * $ $#%&
(
#) &#
'
- . #
Φ(x) = n/2 log(ax
+
b)
*& & &*&# & t = 1 #
''
' K = π/2 − u -b *# 1 *#
( $#
$
/
|
*,+
e Q1 f
∞
6 ef
4b/(una tan u)
$
eA(1) ,
n2 au
sin2 u
n 2 u2 a
A(1) = −
tan u log
+
.
8b
b
8b
*,+ - + . '*'
' '
& $ *# 1 *#
(
& # t > 0 # #) *&# f
+- e.
e Qt f
6 ef eϕ(t) ,
∞
1
!"#$&% '( #)"+*-, . 0 , 1032
/
$
2
1
n
n2 V (t)2 a
sin (V (t))
ϕ(t) =
− log
+
,
t
2
b
8b
0
''
' # #) &# V # 6r *# 1 &
& $ t > 0
4b
t.
na
V (t) tan V (t) =
0
# 1 #&# V
& $ t ∈]0, A] !
A > 0 # C > 0 )
√
1√
t > V (t) 6 C t.
C
* *# ' ' $ $ ! C 0 > 0 ) & $ t ∈]0, A]
*,+ - ++ .
n
ϕ(t) 6 − log t + C 0 .
2
*
V
+
+
V
*
+
I
+
+
'
'
4 #
- e. #
- . $& + - + -- I
*$
F!GIH>;U7
p JK=L?=3?NM -OB . „
' # *&*V+ + ) *&#
&# „ #
$) &# ˆ
'
'
E
(
#
&
b
u
ˆ
- € . * ) *, + 6 &# 1 $# 6 #
$#% Ž
*#
' -}e ~ . . #
'
(
(
#
&
b
u
'
Ž
*#
( - '
'
# µ 6 6 6 '(E b
& u
' #
#
„ #
!#
' {ƒ‚ „~ + ”•‚–’ + €€= ."
”
! '
# # $ Sn ' ' 0
µ Ž
6
kf k22n/(n−2) 6
(
”•‚–*’ #+
€€—
4 # * )$ *' ) ' '
' /
$) ) $# b = 1
'
# M * )$ 0
µ * )$&# # b = 1 *#
) &
6 ˆ
$#*# n *# Rn+1 - . n > 2 -r ''
'
'
E
(
#
b
&
u
'
1
Ž
*# #
##
6
6 6
kf k22n/(n−2) 6
## #
- 4 & 4
k∇f k22 + kf k22 .
n(n − 2)
& 1 #$ '*' ' ) &# # &'&'
'
)$ 6 &# 6 '(E &bu
' '
Ž
‚ „ ~ +
)$ 6
# * '
) # )
#
# )$&#
' (
'
M #&# n > 2 - 4
*' '
# ρ > 0 # { # 1
' ' D e
4 4(n − 1)
k∇f k22 + kf k22 .
n(n − 2)ρ
*# 1 & &&# ) # 6 -
'( ogp0qq aq =L?=3?= --B
&bu F CE1a`Ab6ILcF 3,d
' 032A0 . " '(E - A/,0,U;0801 3V>S6I3R3V>U1g:<1a6=84Afn1 µ 86I3QFN821 1%8 3 >U1R?\;=L LN;=P]F C^ Ž
kf k22n/(n−2) 6 ak∇f k22 + kf k22 .
i >U14C PR1; 5 3T6IF Cw3V>U1[?\;=L LN;=P]F C^ 1%843QF :‘6I3 1
Z
*,+ - + ‡.
π 2 n2 a
,
Qt f (x) 6 f dµ +
16t
?\;=fg6ICUd x ∈ M h
ogp0qrq\s
+ +
*V+ -
'
J & & (&# - -“- ' * *V+ + * b = 1 - *# 1 & - ‡. & t = 1 -. „ t = 1 K = 0
*,+ + #
R
' ' - . - $# *#
(
&# ef
= exp f dµ #
0
"
## #
'
6 6 # 0 # u =
*
#
π/2
' V* + - + ‡. I
T2 (µ, ν) = inf
*#
+ .
, ) . (M, d) 6 # * ˆ
' -.
'*' 0
$)
#*&# #)$ T2 -. µ # ν $ &
# M -6 $#
*,+ - + ‰ .
/
$ { € —€  #
*&# #
' *#
(
&' G qbpEG H
&% 7 1
{ƒ‚ # µ
 . € ' - 4
#
* #
. „
#
'
ν .
' 1 #
''
)
(
*) Ž
" d(x, y)2
dπ(x, y) ,
2
π &# M × M )
6 !'!  r"2 &
'
((#
&Uu ' '
'
#
$
*# !
'*'
' 6 *# # 1 $ 6 & Ž
Z
* π
$
#& ˆ
(E#
&bu
=L?=3? -OB
C 143 µ 5 1R6 ,Kf%; 5 6 5 F LcF 3,d†:<1a6=84Afn1–;=C M W P>FGD%>FN8 6 5 80;=LcA3 14LcdD%;=CU3QF k
CUA;=A8P]F 3V>Ofn1%8),U1%D43 3m;‘3 >U1843G6ICKJ6IfaJ‘ZI;=LcA:<114LN14:<14CU3 ;=C M h C 143 n > 3 h - A,0,U;08013V>S6I3
( # b
& u F CE1a`Ab6ILcF 3,d
86I3QFN821 1%83V>U1[?\;=L LN;=P]F C^ Ž '(
µ
kf k22n 6 ak∇f k22 + kf k22 .
n−2
C 143 V 5 13 >U1[?BACED43QFG;=C9J121[CE1aJ–?\;=f x > 0 W 5 d
2
q
*,+ - + 4.
n2 a
2x
V (x) =
arctan e n − 1 .
8
> 14C 3V>U1:<1a6=84Afn1 µ 86I3,FN28 1 1%83 >U1[?\;=L LN;=P]F C^‘3,fa6ICS)8 ,U;=fB3G6I3QFG;=CXF E
C 1a`AS6ILcF 3,d
i U
*,+ - + D.
T (gdµ, dµ) 6 V (Ent (g)),
2
µ
?\;=fg6ICUd84:<;0;=3 >?BACED43,FG;=C g W J14CS84F 3,d ;m? ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3,dP]F 3V>Ofn1%8),U1%D43[3 ;‘3V>U1:<1a6=84Afn1 µ h
!"#$&% '( #)"+*-, . 0 , 1032
. „ V * *#)$ # 1 #
6
# 6 n2 aπ 2 /32 ogp0qrq\s
+ - + -“- -.
'
$ "* 6 &
#
&*&#
)$#$ m = 0 K = 0 # t = 1 J * "
$# '' *# 1 * # ' ( ' & # 0 < u < π
Z
Qf
e
6 exp
f dµ exp (A),
4
tan (u)
una
/
$ Q = Q1
#
n2 au log |cos (u/2)| n2 au2
+
.
4
tan (u/2)
8
p
'*'
1 . x>0 # u = arctan exp (2x/n) − 1 -0 # "
A=
&
|
*#
' '
1 ˆ
4
1
tan (u) = 0 .
una
V (x)
1
#*# 1 Λ(x) = V (x) − xV 0 (x) # *#
0
r
2x
x
exp e n − 1 = − ,
n
'
'
*
'
'
'
6 *#
$ ) ) *# 1 #
R
Z
f dµ
Qf
Λ(x)
exp
dµ 6 exp
,
+
V 0 (x)
V 0 (x) V 0 (x)
”
'
& # x > 0 - . g 6 $# 6 6 ( ( $) µ - log cos arctan
)
#
(
Z
Z
exp
R
f dµ
Λ(x)
Qf
− 0
− 0
dµ 6 1,
V 0 (x)
V (x)
V (x)
gQf dµ −
Z
f dµ 6 V 0 (x)Entµ (g) + Λ(x),
. *) ( #) &# f - * *# 1 '*' . ) #) *&# f # $ ' *V+ - + D. ˆ
# # *# #* x>
0 g "6 ! #y(
{ƒ”• –
‚ ’ + €€  ."- $) &# #)$ 'u & + (( "*0!& "
I
$
&
#
4 # ) ' ) ' ) # & &# *#
{
! #
'
~ ‰ ~ ‰ 6S
$ & & 0
''
#
# * # 1 $
$
' ( 1 { ”Y)$‚–’ #)$ # *&# * #
D
+ €I€— - 4
)
$
# * ) '
'( 8 b
q p0q9:9(;p7<>=3?=L? --B
Ž '(E &bu F CE1a`Ab6ILcF 3,d
" ' 032A0 . /
&% 7 - A/,0,U;0801†3V>S6I3#3 >U1,Kfn; 5 6 5 F LcF 3Qd:<1a6=84Afn1 µ 86I3,FN821 1%8†3V>U12?\;=L LN;=P]F C^
W ?\;=f n > 3 W
kf k22n(n−2) 6 ak∇f k22 + kf k22 .
> 1†:‘6ICUF ?\;=LJ M hRi >U14C7;=CE1
C 143#J121[CE1 ∆ = sup {d(x, y) / x, y ∈ M }, 3 >U1•JIF,6I:<143m14fY;m? 3 U
>S6=8
r
*,+ - + ~ .
n2 a
π.
∆6
4
ogp0qrq\s
' *V+ - + D. ' J # *#
(
r
q
p
∆2
6 sup
V (ϕA ) + V (ϕAcr ) ,
2
r>0
/
' $ A ⊂ M Acr )$ #% r ˆ #$ *,1 + + 6 & A ϕA =
0
'
- 4I". -6 6 *# 1IA /µ(A) # V #) &# # 6 *&#
q
*,+ -“‡ € .
∆ 6 8kV k∞ ,
*V+ - + ~ . ' I
$ $ $)$ 0 6 4 # ' *,+ - + ~ . #& p
ƒ{ ‚ „~ +  v
'
# $ &#
∆ 6 π n/(n − 2) π - 4 #
p
' / ) $#%& rˆ $# 1I #
∆ 6 π n/(n − 1)
' - 4
#
xyrz
) )$
:
& #)$ ' # „ - $'& + „
 - Ž & & b
K
&
y
# # # &"*#% $ # 1 *)$&#
' *#
(
)
0
#
& 6
&
'
# 1
' '
) ˆ
(
E
#
b
&
u
Ž
!
" $#
#
+*
%
%
%
%
%
"/,&
547DS
#
*
'&
$%
%
{
'
' '
D .
*
&# 
6
)$&#)$ ) $ #
6 '
'
I
'
! # 6 $) # ) *#
# #& )
)$ ' ' ' '
'
'
$ & ) &# & & 6 ’ ) #% !
'*
'
'
& )$ # )$ # &# #
- 6
'* !
'*
"!#yE u &
**&Ky*0!&& " # $* 4 ' 0 #*$#% *# & # ) H # #)$ T $#% $ ! 6 &#
’
'
'*
'
'
' H
' 1 ˆ
$ $#% # 6 6 *) &# TH
*
'
'
'
1
# #
{ &# + &{ )$ { ")$&# { $ "& $ '& &bu
* & & " #y # # ) D  # ) ~  # #†~ D  # #†~ D 6 '
&" $#%&# *&# # ) )
(
&#) *&# TH H $ # &#) ˆ
0
'
'
*# & # # & ˆ # 6 $ 6 6 ( Rn 3
! '
µ ν &#% $
$ 6 6 %
%
)( %
*
)(%
%
% 0/ %
)1
TH (µ, ν) = inf
0 *#
$ 1
$ µ { ν )$ +

‰
&
*#
&#% %
'
Z
H(x − y)dπ(x, y),
%
6 '
6 6 '
n
n $
#
$
$
$
π
R
×
R
| "* x'&y #%
'
'
# # ) )$ *$ & H(·) = δ0 (·)
'
'
*# 1 ( %
# %
%
%
s
2Entµ
%
%
% %
32
dν
,
dµ
*
'
'
& & $ 6 6 µ, ν ) # 1 '
)
# $) &# . - &
#
&
# $)
( ) $#%
*"
& y
'
(
(
#
&
b
u
'
& Ž
1 &#% #
*&#
2
%%
)1 %
%
kν − µkV T = 2TH (µ, ν) 6
54
-
.*
%
)( ,& %
!
%
& ' $ '
#
%
'*
#
ˆ
1 '
#)$& %
&# " "# '
%
&
%
% 2
|
'
'
' '
" * 1
1 '
$#%&* #$ * - # *#* #% *#
( x'&y
'
0
' # 1 ( # & TH $ $#% #* '
'*
#" & x &(# z# '
#)$ TH # &#) *&# $#%& . 6 ) )$) $ # ##$ ' "& $ ' ) *&#
'
'
'
' 1
# $ $ *# 1 #& TH # ' '
!
1 '
)
( e #
&#% #% $# &( * #% $#% # *#
( # & TH
'
'
(
(
#
U
&
u
'
0
p
1
Ž
1
| H(·) = k·kp /p $ *#
( $ '*
'
0
' #
$)$# #& &### #(*# $"& $#% * !
'
'
*
'
'
$ &
1 # ) &#) $# #% $ *# 1 # & TH - &#
'
' &Ky"2 +  $# $# $) *&# ‡ “- e ) v
$ ) '
'
'
(
(
#
&
b
u
'
'
*# 1 ( Ž
1 (
& $ # # 1 # T1
' '
'
'*'
'
&
1 $## -'.
*) *
)$ '
'
'
(
(
#
&
b
u
'
'
&| &#% *# 1 Ž
1 &
$ 1 *$## '
'
# #
$) *&# #&##&# & ) &#)$ #% *# !
'
'
# 1 ( # - . $ $#%$ & * #) #& T
# $#% # # )$# ’ $) *# &##$ $#% ) $ H
'
' '
&#%$ # # 1 #& ) $ &#%
#
) &#
$'
1 '
# &
&#%$ # *#
# & TH
#
) # '
'
- * $#%
)$ { €€—)  . ! 6 ' '
!'!
" *

'
'
*
&#% * #
$#%
*# 1 '
(
E
&
b
u
'
'
'
*
'
!
6
Ž
) &#
1 (
*# 1 # T2 - . 6 '
' 1
' '
1 '
$ # # $# $#%) $ *#$!#
( # TH '
'E
( b
& u ' 1 0
' '
' $ # 1 ( Ž
$ 1 # * #% # !'!
r"
!
)$
)
( ) #% 0
'*
'*
0
'
'
# #
# $) &# $ )$&# )$ #&# # # # 1 # '
$#%
# *# 1 # &"
# & T2 $ $# ) &# #% #
' & " K
& y ” ' '
)$& )$ )
#& #&
# $#$ & $ )$#)$ # #% ’ '
'
0
*# 1 ( # & TH & H
)$ *# $ $) # $ - $
' '
'*'
'
'*
&#%
| # ) H *)$ * & #% $ $#% '
p
# $ $ # #
&#) *&# #)$ k·kp - )$&# & # $
'
#
'
' '
1
) # #& $#
# &
)$ *) &# *# *
'
0
)$$ #$ $) &# # $ #(*# -
%
)1
% %
%
%
%
%
%
%
%
%
% &
%
&%
%
%
-
%
%
%
*
%
%
%&
%
&
%
%
%
%
*
%
%
% )(
%
%
%%
% * *
%
%
%
%
%
% %
%
%
%
%% %%
%
%&
%
%
%
% *
%%
%%
&
%%
%
%
%
%
% %
%
%
&
% %
" %
%
%
%
%
%
%
%
% %
%
%
%
% &
&
&%
%
%
%
% )1
% %
%
%
%
%
*
%
% *
0
'
1 . 6 $) $) *# $ # $ ) $ # #
'*
# &
# * #% * # & )$
# * #) # & ) %
#
)(
"# '
' '&# 'I #
*
'
'
'
)$$ # )$ # & H - & #& &# )$" Rn
$
' ' 6 '
6 ' - 1
&#%
# $ $$ )$ $ $
&#
'
'
0
)$ #
$) *&# ‡ - D # 1 # * &#
# $ )$ $#*# *# #* ' 6 '
'
6 '
& H # ) *&# Rn # R
! & - | &# P0 $#
'
'
'
0
'
6 6
6
6
$
$ ( Rn
# $ & * # #*&# '
6 '
'
'
ˆ
$#
PH P0 )$&#%$# #% $ R 6 6 ( µ $#%
*
'
'
- . #
$#% & H - - & & y ∈ Rn
H(x
−
y)dµ(x)
<
∞
'
&#) *&# H $ D%;3RJIA73,f 6ICS8),U;=fB3 -
%
% %
*%
% %
%
%
%
%
%
-1B
?/@A?)( µ ν '
6 '
6 6 '
P (µ, ν) $#
$ ( Rn ×Rn
1 $ µ ν ) $ ˆ ˆ * π ∈ P (µ, ν) " &#) *&#
6
&# &#
aq
%
% 0 #
# %
*
' Z
(f (x) + g(y))dπ(x, y) =
' ) *&# TH PH × PH TH (µ, ν) = inf
Z
Z
f dµ +
Z
%
% ' % # P0
%
# )$ '
f g $ 6 $ gdν.
H(x − y)dπ(x, y) π ∈ P (µ, ν) .
%
'*
'
0
&# &#) &# TH & H $ 6 &( $ 6 * # #* 3 #%
'
'
'
&## $ $ $ µ ν # PH $# 6 P (µ, ν) $ #&# ) *
' '
)$&#%$#%
( µ ⊗ ν - &# #&
&# $) # )&
' 0 0
'
) #)$ #(&# * #)$ R
#& $# # *#
'
'
)$&# $&# 1 # Tc (µ, ν)
= inf
c(x, y)dπ(x,
y)' π ∈ P' (µ,
ν) ,
6 ' - ’
'*' 1
c #!
&#) &# & $
)" $ $ $ # ˆ
'*
'
' 6 ' 1
& *
&#%
# *
. ) # & H ' ' ' &#% ' $$ &#) &# #)$ - ’ $
'
'
'*'
'
' )$ )$ *$ &# & $ $ )$ )$ ) '
'
#& * &# )$ ˆ )$ $ # &# #% 3
%
)1 %
)(
)(
%
%
* ‡ - .
)1 p $ 


% %
% %
%
%
%
#
%
%
n
TH

 T
H
1
1X
= Tp H(x) = kxkpp =
|xi |p
p
p i=1
= T0 H(·) = δ0 (·),
& % '
| *) # &
" x = (xi )16i6n '
y
'
&
'
t
$# 0
#
# & )$&
# # $
'
p > 1 & p = 0 $ $ ) %
# $#% % ( p
&#) *&# k·kp %
%
&
%
%
%
'*
δ0 # ' '
$#% $ ) '
'
)$&#)
( % )1
%
&# " "# '
'
'
0
'
'
# &#!*)$
#*&# #& #
*# # #&
'
'
'
*$&# #
&*&# #% - µ $ # 1 # ) &
# '
# $ )$ $ (E, F ) &# &
&
%
* ‡ -“-.
)1 ' &*) *#%
' ' *)$ )
ogp0q
q a q kµkV T = sup
Z
f dµ ,
%
'
'
6 '
$ 6 &
# $ * $# 6 &#) &# f $ '
' # #% $ #% $
# & #
# &# *&# TH ?/@"?/@ --B
%% %%
%
k C 1%8 6 ,0,KLcFGDa6I3QFG;=CS8 T 143 Tp1/p p > 1 80;=CU3_J1%8 JIFN843T6ICED%1%8O84AfXLN14Afn8 %1 8),S6D%1%8XJ1
0
J21[CUF 3QFG;=CS8 h
, ;084F 3,F I
Z 1 k - ;=F 3 H ACE1?\;=CED43QFG;=CO:<1%84Afa6 5 LN1U
h ;=AfY3 ;=A3 1%8:<1%84Afn1%8J1,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 µ 143
J
I
6
S
C
8
=
;
C
6
ν
P W
H
TH (µ, ν) = inf {E (H(X − Y ))} ,
;@L F C1[:A: 1%843,KfBFN8•84AfYL 14CS8014: 5 LN1YJ1%8Z=6IfBF,6 5 LN1%86IL a6I3 ;=F fn1%8 X 41 3 Y
Rn 6JI:<143Q3G6ICU3–D%;=::<1LN;=FN8fn1%8),U1%D43QF ZI1%8 µ 143 ν h
1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 W ;=CX6
k - ;=F 3 µ 143 ν J14A :<1%84Afn1%8 J.
Z=6ILN14Afn8J6ICS8
1
T0 (µ, ν) = inf{P(X 6= Y )} = kµ − νkV T ,
2
; L F C1[:A: 1%843G^6ILN14:<14CU3,KfBFN884Af‘L 14CS8014: 5 LN1<J1%8_Z=6IfBF,6 5 LN1%8<6IL a6I3m;=F fn1%8 X 143 Y
Z=6ILN14Afn8†J6ICS8 Rn 6JI:<143,3G6ICU3D%;=::<1 LN;=FN8 fn1%8),U1%D43QF ZI1%8 µ 143 ν W 143 k·k J%84F^ICE1RL6CE;=fB:<1
VT
14CXZ=6If4F,6I3,FG;=C 3 ;=3T6ILN1gJ2 1[CUFG1g14C * ‡“-. h
& '' &# &## *#% # #% # & ' ' &#) &# T ’ #& '*' '
g"!#yE u & H"0! "
# *&# TH $ &##
#&
'*'
'
' &# )$* *#%$# #% & *$ ) #&
# $&*# # '
'*
'
)$&#% *#%"
&#) *# H &# &#) &# H H %
%
% &
%
'
# * # &#) &# f R # $
%
# R ! )$&#
"!
% #
%
#%$! * * #%
&
&
0
) &#(*#

 f (0) = 0
*
sup{f (2t)/f (t) ! t > 0} < ∞
H0 .

H(x − y) = f (d(x, y)),
’ '
* d $| # * #) Rn $ ) &#) *# Tp p > 1 #$ #
'
g"!#y('u & " ! "
‡#% .&
# ) ) & #%
#&
’
'
'
'*'
&## # #&#
$#% &#) *# TH
#& #(&# #&
'
'
$ '$# $ *# )( # )1
&
%
%
% &
%
%
( *
%
%
&' qbp
H
G
( 6% 6 !)/ ,+ $&.'/ (*2 / ( B
?/@A?NM
E
' '&# 'I #
"# '
- ;=F 3 H Z"4fBF 1Š6ICU3_L >d3,U; k
3V>%801 H 143[80;=F 3 µ 143 ν J14A 4L 4:<14CU3 8 J1 P h [email protected];=f%8
0
H
Z
Z
TH (µ, ν) = sup
f dµ − gdν ,
LN1†84A/,Kfn14:A: 4 3G6ICU3",KfBFN8–84AfjL 14CS8014: 5 LN1†J1%8?\;=CED43,FG;=CS8 f 143 g W LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1%8 5 ;=fBC%1%8 W
`AF]Z"4fBF 1 14CU3 f (x) − g(y) 6 H(x − y) ,U;=Af3 ;=A3 x, y ∈ Rn h 1:‘6ICUF4fn1 a`AF Z=6ILN14CU3m1 W
Z
Z
* ‡}e.
H
TH (µ, ν) = sup
Q gdµ − gdν ,
; LN1784A,Kfn14:A: 1%843 ,KfBFN8784AfXL 14CS8014: 5 LN1 J1%8?\;=CED43,FG;=CS8 g LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1%8 5 ;=fBC%1%8 W
6IZI1%D ,U;=AfO3m;=A3 x ∈ Rn W QH g(x) = inf {g(y) + H(x − y)} h ;=Af7L6<?\;=CED43,FG;=C T W
1
y∈Rn
L 1 ,Kf%1%8%84FG;=C ,Kf %D aJ14CU3m1Y80184F : ,KLcF 1 1 14C
Z
Z
f dµ − f dν ,
T1 (µ, ν) = sup
; LN1 84A/,Kfn14:A:
kf kLip 6 1 h
% % &
&
&
'
&# &# ‡ -“e $) * $# { # #%)! $
'
)!
) ) Rn $ # $ ) # * & # {ƒ‚) ~ %  .& ) # &
'
'
'
~I€— . ( # ' &# '*
#)$
$# ( *&# *#
&
{ ' €€0 '*'
'
 " #& ) *&# &# *&# #
& $ *#% # #% $# #* ! $# & ( # ' !%# *# ( ' '
# & # # )( # & $ # ) *# # &#) &# TH
'
'
#" x2 (z] ' $) #
#) *&# $#%&* $#%$
'
*
'
'
'
'
'
'
)$ *&# & $ ) $ ˆ )$
* #% &#
#) *&# H a q ?/@A?= OB
&# '* $ ' ' ( µ Rn ˆ
ACE1F CG^6ILcF 3 J13,f 6ICS8),U;=fB3 T J1]?\;=CED43,FG;=C Φ # #%
PH * H
%
1%843 ,KfBFN884Af L 14CS8014: 5 LN1gJ1%8R?\;=CED43,FG;=CS8 f W LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1%8 W 3m14L LN1%8`A1
%
)1
%
%
*
%
%
% %
%
%
*
%
%
%
TH (f dµ, µ) 6 Φ(Entµ (f )),
'* '*' & µ f dµ ∈ PH %
%
*
% %
%
& & $# f | '
'*'
'
#
| #&
#!) &# $ ) * # *) $ ! &#) *# H '
'
'
*' '
&#) &# Φ # ) # & Tp $ *# )( #&
# )$# $
&
'
' '
* #% &#
p '
'
& p > 2 & &#
# $ µ '
( (
# # )( '
# & Tp )$# #% C &#
&
* ‡ + .
%
%
Tp (f dµ, µ) 6 CEntµ (f ) ,
%
%
*
%
%
%
%
&# " "# '
*
% )1
| ' '
p ∈ [1, 2] ! #&
& & #( f &
$ µ # ) '
'
(
*&#
#
$ µ ' ( * # * #
# & Tp '
)$&# #% C &#
* ‡“‡.
*
%
%
Tp2/p (f dµ, µ) 6 CEntµ (f ) ,
%
*
'* & & $# f & µ '
# &# $ #*&#"&#% )$ $#% '
'
$&# #
‡“‡“- & )$ &#% $ &##
'
) &# $ & # )$ # & )(
k·kpp /p '
'
''
* # # )( ( # & T0 ! )$ ˆ )$
(
'
'
"
x
y
'
'
) *# ( # *
%
&' qbp
)% ( %
% % 2
%
% *
%
%
'
%)1
p = 2 &
'
# )( ( # & #
%
)
% &
% %
& &
#
&
#%
'
?/@A? / (*254.% 1
B - ;=F 3 µ AC 4L 4:<14CU32J1 P0 h [email protected] W ,U;=Af–3 ;=A3 1jJ14C k
, 6Iff 6 ,0U
, ;=fB3
L6_:<1%84Afn1 µ
48 F 3gJ1.,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 f S
H
G
kf dµ − dµkV T
q
6 2Entµ (f ),
; k·k
J%84F^ICE1L6_CE;=fB:<114CXZ=6IfBF,6I3QFG;=C 3 ;=3G6ILN1gJ21[CUFG114C * ‡ “-. h
VT
]
1
)
?
—;=Ca`AF Z=6ILN14CU3m1 80;=F 3
6
4
1
3
J
4
1
A
4 L 4:<14CU3 8 J1
=
;
9
C
6 W
µ ν
P0
W
s
1
dν
T0 (µ, ν) 6
.
Entµ
2
dµ
% &
%
&
& &#!# { ”Y ‚– ’
D “- 4 & *## )$ )
'
)$$ #$ # )( '
*# &#) *&# H #
'
) $ ˆ ˆ * # *
*
H1 .
%
%
% & # " =' x K%y &{ # + &#
‰ 
% % & 2 ' ! #&*# * &#
'
&# &# )$ &
'
'
+ €I€=
! ( # #'* '* & (
&# $# #%
& '*
# &
)$
#&
#
'
H # )$&#*&#
'' &#) *&# h R # R H(x) =
n
X
i=1
%
$&*# '*' #
) &# ˆ
ˆ
0
8
Y
1
3 14CS80;=fBFN801 !
H1 )$ ) h(xi ) ! x = (xi )16i6n ∈ Rn .
ogp0qq aq ?/@"? -B
C 84A,0,U;0801`A1 H Z"4fBF 1 1•LN1%8Y>d3,U;=3 >%801%8 H 143 H h - ;=F 3 µ
0
1
143 ν J14A :<1%84Afn1%8J1,Kf%; 5 6 5 F LcF 3 84Af Rn h [email protected] A/,0,U;0801`A1 µ fn1%8), h ν 86I3,FN8V?)6IF 3 ACE1
F CG^6ILcF 3 J13,f 6ICS8),U;=fB3 T J1]?\;=CED43,FG;=C C J fn1%)8 , h C 0 J Ih
H
LN;=f%8 L6 :<1%84Af%1 ,Kfn;JIAF 3 µ⊗ν 86I3QFN8V?)6IF 3 ACE1 F CG ^6ILcF 3 †J1 3,f 6ICS8),U;=fB3 T J1'?\;=CED43,FG;=C
H
C̃ J W ; C̃ = max{C, C 0 } h
5 # " I
| &
&# "+2
%
*
-0 .&. % %
%
'
# )$ & &(*# ! H1 # # ! #& $## &#
'' ' &# ˆ
# #) *&# H Rn # R # #) *&# Rn ×Rn # R ' '
( *# ) &
‚–
# ’ #%| "# ) $#% $
# Š'/]y'" * &{ &# ' ~ ‰ ' * # { ”Y
'
'
'*
+ €I€— . &
&
! ( &#) &# H
'
'
H0 * #& $ *$ #+ + {ƒ”•
‚– ’ &# *&# '
'*
+ €€= . ‡“-“e
&
) D %
&
% &
%
%
*
&
%
%%
% %
%
F!GIH>;Up-G ?/@"? -B
' *"! ' &*&# ) # "! $ ' $ ˆ
# #&*$ $ *# ( ' ( # & *# )( ' Ž #bu ' ( ˆ
*
'
#{ ”Y
‚ ’ $#&* ! * # *
'
'
'
'
'
#
b
u
'
+ €€— .&
#% *# )( Ž ( ( ) ( e '
'
'
'
# )( ( # & # ) # * $#)$ # &* '
'
'
( ( # ( # &# v ! y #
*
#
&
$
*
#
{}‚ ' ~~  .
' '
'
' *$#%# ' *# *# ( ' ' # T2" & *y ' ˆ
)$ )$ & & )$ '
$#
) &#)$ # # *# )( b
u
'
Ž
(
( %
%
%
%
&
" "
%
%
%
%
,&
%
# %7(*6 & /
%
%
%
%
%
%
%
%
% &
54
2
'
'
'
'* $#%&# # $# # $ # )( # # ) $
K
y
2
"

'
' v
#% )$ $) *# # #% # $ '
' '
' # )! ) ) $ ˆ ) &#% #%$# #% ) $ ! # ( # $ $
'
'
#
"
& y
$ # # $ $ ) &# #%
$ *# )( #bu ' ( ' '
'
Ž
(
(
&
* ## # )! *#
(
'* '
# & T1 &
( * ## $ & #
''
' '*'
'
)$ * # $ $#% $ $ $ & $ $ ' '
'
) | )$ $ * #)$$ # # *) $ '
' y"  # ) ) !# * *&# *
$ v
' ( #
'
'
'
‡“‡. . #*# ( ( #& *# ( * ( #&* + T1 &* *# )( '
'
'
'
T2'' & *# ( ‡' .a.& & ' $ &# {ƒ”•
‚–
’ # '
'
+ €€ 
)$ & & # *$") ( &# $ # *# ( (
' '
'
# T1 &
$ ( * ## $# #% *# )( # & T1
'* 2
y
2
"

&
v
' v y2"2  r ' )$
& r ∈ [0, 1] # βr
'
{0,
1}
&*&# #% # &## # $&# # ) * #) Tp
' # # ) %
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
*
*
%
%
% %
%
%
% %
&
2*
%
54
%
%
%
*
*
%
%
&# " "# '
ogp0qq aq ?NM?)( -B
;=Af•3 ;=A3 1?\;=CED43QFG;=C f W J14CS84F 3 YJ1,Kf%; 5 6 5 F LcF 3 ,S6Ifjf 6 ,0,U;=fB3
L6<:<1%84Afn1 β W ;=C 6 W ,U;=Af p > 1 W
r
* ‡}‰.
T0 (f dβr , dβr ) = p Tp (f dβr , dβr ) = r(1 − r)|f (0) − f (1)|.
'
' ˆ
B
fn14AZI' 1 O
&#% )$ &*&# ! &# $ *# )$ $#%
#
(
$
$$ π # )$ * βr f dβr
#
# *!$#(
'
' ( '
‡}‰. )$ $# & " #*
(
* ‡“‰.
)( '
' ˆ
(
#& $ '
$ $ '* #& # & &' # ) &#* $ '
'
'
‡}‰. $# $#
* *# )( # & $!
$ * #)$ p # # )( (
' !# )( ' " # ##$ ( #$)! )$ # $ # ' ") p = 1 & 0 | '* '
'
'
'
&#%&# $ βr # # )( ( # & T1 ! *! *# ( (
' (
' #% | # & T2 !
# *&#
# Tp
$) p > 1 #%
'
'
'
"
x y # ) )$ *$ ! T1 = T0 ! & ‡“-| ‡ '
'
)
(
# *#
! #
' '
* )$ # #) &*& # T1 #)$#& #'' . ! #% &#%1/2
' &# &
) )$ !
&#
r
* ‡ 4.
s−r
T0 (f dβr , dβr ) 6
Entβr (f ),
log s − log r
'
& & &#) *# f ! $# ' "' ' & βr )$&# #%"'
$# ! & ' 1/2 & r = s = 1/2 ' (s − r)/(log s − log r) ) ! ' &#%&# *#% # #%
’# # )( ( #& T2 ! $# * #%
'
' '
) &# #% $ # #
&# &# & )$
&#) &’ # (fn )n∈N
#* fn (0) = 1 − 1/n fn (1) = (1 −
(1
−
1/n)r)/s
! s'* = 1 − r ' %
'
β $ # ( #( ' &
&#
(f
)
r! n n∈N
' '
! # ) )$ *$) $!
%
%
%
%
%
%
%
( *
%
%
%
%
%
)% %
% %
%
&
%
%
%
%
%
%
%
% &
%
2
%
%
%
%
)1 *
%
%
)1
*
%
%
%
r/2n
T22 (fn dβr , dβr )
=
Entβr (fn )
r(1 − 1/n) log(1 − 1/n) + (s + r/n) log(1 + r/ns)
rn
=
−→ ∞
K + O(1/n) n→∞
'*' '
'
' '
K $# )$# #% #&# #
’
$# #)$ *# ( #' & T2
' y
"

'
'
v
) )$ $ ˆ # &# &
$ #
'
'
# $# )
(
# & # #
# Tp
$) p > 1
& &# ' *) ' v x u ! '* $ ( * ##
{}‚  ~~ 
'
'
’ # # )( ' ' #' T1 ! &# & ' ! )$ $! ) &# $
&
{ƒ”•‚–
+ €€— &
&# * #& )$ # ) #&* &#
$#
* ) )$ &# *&# )$ {ƒ”•&‚– ’ &+(€€—* # $ '*' ' '
'
%
“
‡
“
$)
&# &# &
%
)1
*
%
%
,&
%
%
&
%
*
%
% &
%
%
%
*
%
%
%
% % *
*
&# "+2
5 # " I
-0 .&. ogp0qq aq ?NM?/@ B - ;=F 3 γ [email protected]:<1%84Afn1Y^6IAr8%84FG14CUCE1Y843G6ICKJ6If J J1JIF :<14CS84FG;=C 1 h C 6
:<1%84Afn1 γ 8 6I3,FN8V?)6IF 3
L F CG^6ILcF 3 J 13,f 6ICS8),U;=fB3[84AF Z=6ICU3m1
q
T1 (f dγ, dγ) 6 2Entγ (f ),
,U;=Af 3m;=A3m1Š?\;=CED43,FG;=C f W J 1BCS84F 3gJ1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 ,S6Iff 6 ,0,U;=f43
J
1
L
F
C
G
^
I
6
c
L
F
3
%
1
4
8
–
3
;
,
K
Q
3
F
‘
:
I6 LN1 h
2
%
γ h 1 ,KLcA8gL67D%;=CS843G6ICU3m1
'
fn14AZI1 OB
&# *# & &(*# ' ' y"2 '
v
)$$#% &( β̃
$ ! )$ # "! '
$# ' ( & β̃ &' ) # ( $&# ' '*' ˆ
& ) )$&& ) $#% " #
& ! )
*
%
'* β̃
%
% %
%
*
&
'
% &
' ' & (
$) {−1, 1} &( f !
$ v y" 
' '
' )$ ) $#% %%
%
q
T1 (f dβ̃, dβ̃) 6 2Entβ̃ (f ),
"! & λ > 0 !
1
.
2λ
( '
' '
#
$#% $#&* *# !&# &#% $ ' '
'
'
( β̃ ⊗n = ⊗ni=1 β̃ $ )$ {0, 1}n *# )( #% &
λ > 0 !
* ‡ D.
n
T1 (F dβ̃ ⊗n , dβ̃ ⊗n ) 6 λEntβ̃ ⊗n (F ) + ,
2λ
'
'* & & n ∈ N & #) *&# F $# " $
⊗n &#)"! & * &# !
β̃
q
⊗n
⊗n
T1 (F dβ̃ , dβ̃ ) 6 2nEntβ̃ ⊗n (f ).
”
'
' ' & f #* ( ' &
$ ( $## γ &#
'
'
‡ D. F = f ◦ T /a
)"! & x = (xi )16i6n !
*# ( (
n
n
n
T1 (f dβ̃, dβ̃) 6 λEntβ̃ (f ) +
%
%
%
%
%
&
%
% *
%
*
%
*
%
n
1 X
Tn (x) = √
xi ,
n i=1
%
'' '
'
an # ) &# %
# &#) *&# Fn & # #( ' ”
' ' ' '
& $ β̃ ⊗n * # !
# & '$#&# # ) )
*
T1 (f dβ̃T⊗n
, dβ̃T⊗n
)6
n
n
&
q
2Entβ̃ ⊗n (f ),
Tn
%
)' 1 &# " "# '
' (
'
") $#% #&
'
&
' $#&#
&
β̃T⊗n
$ n
' % &
*
%
q
T1 (f dγ, dγ) 6 2Entγ (f ).
%
' )( '
$ $ #
( ) &# $
'
''
' # $ ! ) * "
'* &
( * ##
*
&
&
| ' ' '
*' ) *&# Tn β̃⊗n | ' ' $) ' * an → 1 &# β̃T⊗n
−→
γ
n
' n→∞
' $# #%
(
,&
%
( $ #% # &$ ' ' | ' ' * # ( ' (
' # # )( ' )$&
' #
)
$
%
#
&
#
&
+
'*
& &&# ‡ #% .&
%
%
%
'
' '!
'* y"2 &
& &# ) $ ) )$
$)
v
βr ! #&'*
'
'
'
(
(
' #&#
# *#
( # T1 &
*$## '
'
)$&# #% '
$# # $ & '
Š /]y" ' )( '
* &
( ˆ
*# * { # & T2
' ~ ‰ 
'
* ## !
* & ) ( e.&
* ) $# # $ '$#
'
'
'
'
' # ) *)$ ) # ) # )( # T1 !
# '
' y"  v
(
*#
( # & T2 &
$
%
%
%
%
" %
%
&
%%% %
%
%
%
%
&
&
' '
'*
'*
# ) *&# $ # )( # & $
)$#)$ # *&# '
'
'
'
*$# # $ # )( #& # # )$&#) $#% &#
{ D‰
'
'
My!#"
~ ‰ $ # )! )$ # * *
#
!
!
~ ‰  v x u
!
'*'
'
'
' &#%$! $)! &#%
$#) # ˆ
'
' ( #$ # # )( #& T1 &#) *# C *
'
r'& {}‚ # & &# ( *$## {ƒ”•‚–
’ # & # &
'
 ~~ 
'
'
'ˆ
+ €€  )$&# $
& & D }e - )$ !#& &# # My!" '
'
'
) &#) $#% &# ( # * )$ $#% # )( ( '
#
# & TH
&# ) #
&*&# # %
%
%
%
%
(
%
&
*%
%
%
%%
%
%
% %
% %
%
%
%
%
ogp0qq aq ?=3?)( - %'6:( AB
- A,0,U;080;=CS8`A F L1FN843 1ACE1[?\;=CED43,FG;=C f W D4f%;=FN8 k
86ICU3m1 W 3 14L LN1`AU1•L ;=Cw6IF 3 H(x − y) = f (d(x, y)) ; d 1%843ACE1YJIFN843G6ICED%1–84Af Rn h- A,0,U; k
80;=CS8•`A1†L6g:<1%84Afn1jJ1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 µ 84Af Rn W 86I3,FN8V?)6IF 3 ACE1†F CG^6ILcF 3 jJ1†3Qf 6ICS8),U;=fB3 T
H
J1?\;=CED43,FG;=C C J h LN;=f%8jL6:<1%84Af%1 µ 86I3,FN8V?)6IF 3 L F CG^6ILcF 3 •J1 D%;=CED%14CU3,f 6I3QFG;=C<84AF Z=6ICU3m1 W
,U;=Af3 ;=A3 A 80;=A8 k 14CS8014: 5 LN1:<1%84Afa6 5 LN1J1 Rn
* ‡ ~ .
1
1
c
µ((Ar ) ) 6 exp −
f (r) − C log
,
C
µ(A)
&# ' &# '( # "&#
7 &# " "# '
6
; Ac 1%843 LN1_D%;=: ,KL 4:<14CU3T6IF fn1JIA r k ZI;=FN84F K
C 60^1 ,U;=AfL67JIFN843T6ICED%1 d J1L 14CS8014: 5 LN1 A h
r
A3,fn14:<14CU3–JIF 3 W ,U;=Af3 ;=A3 A 80;=A8 k 14S
C 8014: 5 NL 1:<1%84Afa6 5 LN1gJ1 Rn 3m14L2`AU1 µ(A) > 1/2 ;=C
1
µ((Ar ) ) 6 2 exp − f (r) .
C
'
'
'
'
fn14A ZI1 OB
&( A, B ⊂ Rn $ # &# #
#
! # )( ) & #)$ f
* ‡#% € .
c
%
%
# (
'
TH (µA , µB ) 6 TH (µA , µ) + TH (µB , µ),
µB (·) = µ(·|B) &( ϕA = 1IA /µ(A) ϕB = 1IB /µ(B) µ (·)
= µ(·|A)
)A
'
(
* #
#& TH &#) *# C )1 %
%
* ‡#%'% .
’
TH (µA , µB ) 6 CEntµ (ϕA ) + CEntµ (ϕB )
1
1
+ C log
.
6 C log
µ(A)
µ(B)
' µ(A) 6= 0 B = (Ar )c =
'*
'
µ(B)
=
6
0
#&# (Ar )c ! $ & * #% r π $ # Rn × Rn '
'
'
'
µ(Ar )Rc & &# $ "#) # $# '
f (d(x, y))dπ(x, y) > f (r) # ' * #% & &
&**&# | A %
{x ∈ Rn |d(x, A) > r} )
$ $ µA µ(Ar )c &#%
)$ ’ ( $ µA ' A × (A )c $) % #(*#
r
'*
* #)$ TH
%
TH (µA , µ(Ar )c ) > f (r).
* ‡%'%0.
'
* #%
&
1
1
r 6 C log
+ C log
.
µ(A)
µ((Ac )r )
%
'
* # )( & f (r) > C log
1
!&#
µ(A)
$# % &#)
1
1
µ((Ar ) ) 6 exp −
f (r) − C log
.
C
µ(A)
)( ' ‡#% €
'
0
'
'
* #
'$#%
& $# & #% log(1/µ(A)) log 2 # * # ( ( ) $#% c
%
%
%%
" '"
%
%
&
$#%# # # $" # # & TH #) *&# C !$) #
$#%
%
% #(*& # % ' $#%
% ‡“-“e
'
*#
%
% ( ' ( %
&# " "# '
ogp0qq aq ? ?)( #$6'476 !7+
1B
L >d3,U; k
- A/,0,U;080;=CS8_`AU1 H 86I3QFN8V?)6IF 3
3V
> %801 H h C [email protected]:<1%84Af%1J1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 µ 84Af Rn 86I3QFN8V?)6IF 3
ACE1gF CG^6ILcF 3J13,f 6ICS8),U;=fB3
0
J
1
\
?
=
;
E
C
4
D
Q
3
G
F
=
;
C
‘
J
4
8
F
4
1
[
3
0
8
4
1

A
N
L
4
1
<
:
4
1
U
C
]
3
4
8
F
=
;
C
6
U
,
=
;
A
f
3
=
;
A
m
3
1
6
0
,
,KLcFGDa6I3,FG;=C g LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1
TH
C
5 ;=f4C%1
Z
Z
* ‡#% -.
1 H
1
exp
gdµ ,
Q g dµ 6 exp
C
C
; QH g(x) = inf {g(y) + H(x − y)} h
y∈Rn
B
fn14AZI1 O
'
* ‡#%0e.
Z
'
&&#
'
*)( $##
#
&
%
exp
& & # ( '
'
$#%&* %
# "!
% ( ' %
*#
'
1 H
1
Q g−
C
C
%
' '
# * # * #
* ‡#% + .
%
%
'
* # )( &#” ) * &# g # '
) ( $##
Z
& Z
f Q gdµ −
% &
gdµ dµ 6 1.
*
µ! f hdµ ! h * ‡#%0e.
!
H
Z
Z
&
Z
'
'
& *' '
&## h
e dµ 6 1 ,
gdµ 6 CEntµ (f ) .
'
'*
# & TH &
#) *# C ! '
* %
# $ # & #% #
&
' '
$# #% & ‡“-}e *
'
' '
'
'
‡ #% + .
$#*
) * ! &# * # ( # &#) &# g * ˆ
R
%
*
%
&
)
'
%
*
%
1
QH g − C1
C
R
1
QH g − C1
C
exp
f=R
exp
%
gdµ
.
gdµ dµ
* ‡#%0e.&
'
'
#$ # )( %
%
'
# & ’
'*
'
'
'
& &(*# &* '$#%&# *# ( ( # & ' '*
'
'
'
)( '
( ' Ž b) u ' *)$( #% * $# $'*#% $ # ‡ 4I.&( '*' #( ' *#
( &*
$) &#
$ #% )! #* # ' ! ' & ‡“-“‰ #&* &# *# ( ' ( # & &#
+ +
{ ”Y‚–’ + €I€— . '
'* ' & ) &# & )$
D '' ' ' '
'
# #
# )&" $ *# ( # Tp #&
'
*
'
&# #* #
) *&# ‡“- !)$ #
# # )
'
% ( ' ( %
( f Entµ (f ) = sup
&#
* ‡#% -.
&( ( & &#) &# g
& *
%
% &
&
%
*
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
*
F!GIH>;Up-G
7 &# " "# '
&# ' &# '( # "&#
%
%
%
'
'*
# )( ( # & T1 * T2 ! & ) $ !
' '
&#% #%
$ $ ( * ##
* # $#%
& & ˆ
'
'
‡
}
e
“
&
.
‡
“
*#
&
# &#) )
&
$) #
$) *&#
$#") $ $ # )( ( '
/ {1, 2} # & & p ∈
* +
' )( '
' '*'
( #& Tp # &# ‡ . $ p > 2 ! #
'*'
'*'
' '
#bu
*$# )$ ) &# $ !) $+ # q ˆ *# ( Ž *
' ( '
'
'
'
ˆ
4 * & ‡ $) *# ‡ 4. ! # #
'*
' )$$ # ) $ &#%# $# #)
# * $
'
' )( '
#%
' µ # #
? ?/@ -B
% %
*
%
%
%
%
%
% &
% %
% %
*%
%
Tp (f dµ, µ) 6 Entµ (f ) ,
%
%
*
%
%
%
%
%
% %
'
*' & & ˆ
& p ∈ [1, 2[ f # ( ' & $ µ '
'
'
*# ‡ ‡# % $#% # $# $#)$ $) # )( )
Z
%
(p)
exp Q g dµ 6 exp
Z
%
%
gdµ ,
)
p
kx
−
yk
'
'
p
Q(p) g(x) = inf g(y) +
g *) * ## # $&# g tg
n
y∈R
p
*
' )( '
'
'
.
t > 0 ! #' *#
) $#% !
# & # $#
'
t & &
# ) &#% *) &# # ) p ∈ [1, 2[ '
'
'
)
(
p ∈ [1, 2] !
& * *#
# & Tp
)$# $ $ $#
''
' '
'
‡
‡
.
)
(
)$ #* *&#
! ) ' !)$' !#
&#%
# ! * $
'
"
K
"
( * ## ! &#% ! ( ) # )( $
!
) & #%$
$#
'
' 0
.
0
! 1 6 p 6 p 6 2 ! & Tp Tp
# &# '*' )$ & ' # )( ' ( # & T ' & p > 2 !
'
'
'
'
' p
& p ∈ [1, 2] # ’ #*&#
$#% # )( # &
'
'
'*' ˆ
' T
&*&# ‡“‡#%' )$ # & & 'p
&*&# ‡ ‡#%'
)1
*%
%
)1
(
% %%
%
*
% &
%
% )1
* % % % %
% %
%
%
%
%
%
*
%
%
% %
%
%
%
&
%
'
'
'
'
#
& #% '$#’ $ # )( #& $ *$ "/ & "" &
$# &# '$# #
#(&#
' ' ) ( ' *
'
'
'
'
'
$#% *#
# & TH ) ! #&
&# *$ ˆ
"2/ & "2" '
' # ) )$&# ) *&# )$ & '
*
'
'*
# ) $ # $ $ $#% * &#) *&# H # ( '
'
&#) *&# H # H2 H $ & #%$
(
H : Rn 7→ R+ $ *) $#% )$# # "!
*
%&
%
H2 .
%
%
%
&
%
&
%
%
lim H(x)/|x| = +∞.
|x|→∞
%
%%
%
&
%
&# " "# '
”
% &
'
"2/ & "2"
# # & &
%
H ˆ ) &#) &( ϕ # &
# ) &# Rn # R ! )(
& x # Rn !
%
% #&#
' &
'
&&#
&
#) *#
'
& ϕH (y) = inf {H(x − y) − ϕ(x)}.
x∈R
'*
%
D
=
;
E
C
Da6IZI1 ' # * # &#) &# ψ '*' ϕ = ψ H k
# &#) &# ϕ $ H
*
'
'
' 2
H(x) = kxk2 /2 !
#*&# ) $#% #
$&# #% '
'
2
ˆ
&#) *&# kxk2 /2 − ϕ
# #) *&# * ϕ $ #")$) {“’ H )$&#) { #% €€ 

~

‰ .&
$ )$# # &
)$ &
*
{
~ ‰ . ! ' ˆ
H * " ) # $
*
)$ "2/ & ""
'*
## # $# )$&#)$ #)$ TH &
'
'
'
'
'
# &# )$ # ) *
* # &' qbp H G ? ?NM (
6'+ - (*( AB
- ;=F 3 H ACE1?\;=CED43QFG;=CO:<1%84Afa6 5 LN1,U; k
84F 3QF ZI1gZ"4fBF 1Š6ICU3RL >d ,U;=3V
> %801 H h - ;=F 3 ψ ACE16 ,0,KLcFGDa6I3,FG;=CMJ1 Rn J6ICS8 R 3 14L LN1`A1 e−ψ
2
80;=F 3]F CU3G^If 6 5 LN1 ,S6If•fa6 ,0,U;=fB3 L6‘:<1%84Af%1J1 =/ h C 84A ,0,U;0801`A1YL6‘:<1%84Afn1 µ
J2 1[CUFG1 ,S6If
1
µ(dx) = e−ψ(x) dx
Z
; Z = R e−ψ dx 1%843 AC 4L 4:<14CU3RJ1 P h - ;=F 3RL6•?\;=CED43,FG;=C f ACE1J14CS84F 3 J.
1 ,Kf%; 5 6 k
H
,S6Iff 6 ,0,U;=fB3 L6‘:<1%84Afn1 µ W 3 14L LN1g`AU1 f dµ 80;=F 3ŠJ6ICS8 P h
5 F LcF 3.
H
LN;=f%8OF L†1 FN843m1OACE1?\;=CED43QFG;=
C k D%;=CEDa6IZI1 ϕ W ACUF,`AU1 µ k ,Kfn1%8`A1 ,S6If43 ;=A3 W 3 14L LN1w`A1 W
J ACE1 ,S6If43 W L6:<1%84Af%1RF :‘60^1–J1 L6:<1%84Afn1 f dµ ,S6IfRL6[?\;=CED43,FG;=C S = J −(∇H)−1 ◦∇ϕ
80;=F 3ŠL6<:<1%84Afn1 dµ W D%1g`AF8 %D4fBF 3 W
Z
Z
* ‡#% ‡.
F ◦S f dµ = F dµ,
&
%
*
%%
&
%%
% %
*
*
%
,U;=Af3 ;=A3m1R?\;=CED43QFG;=C F :<1%84Afa6 5 LN1 5 ;=fBC%1 W 41 3–J 6IA3,fn1 ,S6IfB3 W L 6?\;=CED43,FG;=C ∇ϕ f a6ILcFN801LN1
3Qf 6ICS8)U
, ;=fB3 T 14CU3,fn1LN1%8gJ14A <:<1%84Afn1%8 f dµ 143 dµ D 1%843 k k JIF fn1 W
H
* ‡#%0‰.
TH (f dµ, dµ) =
F!GIH>;Up-G ? ?= -B
'
# ) '
$ ) &#(&# & '*'
&#) *&# ) &# # ϕ µ # '$#% % &
% &
%%
H (∇H)−1 ◦∇ϕ f dµ.
'
'
# & T2 y
2
"
K
y
&
"
"
v
” '
2
$) H(·) = k·k2 /2
'*) $#%
'
#) *&# S = ∇ϕ #
'
)
Z
T2 (f dµ, dµ) =
Z
kx − ∇ϕ(x)k22
f (x)dµ(x).
2
| # )$ ) #&
$&# #& #
'
# * # # $ f dµ $# ' '*
&
'
#
)
&
#
|
'
'
'
'
) C 1 ) # ( * ‡#%54.
7 &# " "# '
&# ' &# '( # "&#
{
~ 
~ ‰  $
% '
b
yK ! {}’ ~
*) $ '
'
#% $ *) "! ) $
{ƒ‚
%
*
*
%
r" ' '
'
!
& * ‡##%54 . '
!
# $ #)$& &#% # ) '
'*
# " & &$# #
( ) '
'
'
&
)$#*&# ψ ) C 1 ! ) # ( $#% * ‡#E% D.
e−ψ = f (S)e−ψ◦S det ∇S,
'
% &
% &
'
)$ “{ ’ #% )$ & ~ ‰  '
‰  ! ψ ˆ ˆ *
e−ψ = f (S)e−ψ◦S det ∇S,
$) S = Id − ∇ϕ %
%
)1
'
'
)$
'
$
) # ( # # & '
) ) !
'
*)$( !
(
$) S = Id − (∇H) ∇ϕ "2/ & "2"
'*
& '
$ '$## &
&# '
'
*
# & TH ! H # H2 &
' #&# * #
& &
(*#
# −1
&
%
ogp0qq aq ? ? B - ;=F 3 µ ACE1:<1%84Afn1J1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3†84Af Rn h C 84A,0,U;0801`A F L
1 FN843m1ACE1]?\;=CED43,FG;=C
ψ J1D4L6=8%801 C 1 3 14L LN1g`A1
1
exp(−ψ(x))dx,
Z
; Z = R exp(−ψ(x))dx h C 84A/,0,U;0801w`AU1wL6_?\;=CED43,FG;=C H Z"4fBF 1 1OL >d ,U;=3V>%801 H h
2
ACE1_F CG^6ILcF 3 _J1‘3,fa6ICS)8 ,U;=fB3 T J1 ?\;=CED43,FG;=C C JO84F•143
LN;=f%8‘L6 :<1%84Afn1 µ 86I3QFN8V?)6IF 3
H
8014ALN14:<14CU3#84F]L ;=C 6
Z
Z
* ‡#% ~ .
−1
H (∇H) ◦ ∇ϕ dµ 6 C {ψ x − (∇H)−1 ◦ ∇ϕ(x) − ψ(x)
− log det In − ∇ (∇H)−1 ◦ ∇ϕ(x) }dµ(x),
,U;=Af3 ;=A3 16 ,0,KLcFGDa6I3QFG;=C ϕ H k D%;=CEDa6IZI1 h
dµ(x) =
14AZI1 OB
nf "2"
* * #%
’
& &&# $
&( f # &#) &#
| )
' &
$* µ |
' &# ‡%0‡. '
#%
*
* %
%
#)$&#
#)$
'*
1
C ) '
& '
'
)! &
% &&
% &
& #% & !
‡ ‡}e ! ' # *
&&#
e−ψ = f (S)e−ψ◦S det ∇S.
%
"2/
$# '
# &#) *&#
'
! &#
) # (
& '
%
S ˆ
#%
&# " "# '
%
&
%
)(
{
'
) &
# # ( )$ H # #
& det ∇S ! *' '
*' '
#&
# # #& &
&# #%*
* ‡“- € .
Entµ (f ) =
Z
~ ‰  ” * #
(f ◦ S − f − log det(∇S))dµ.
% & & ‡ ‡}e ' # #)$ '* # &#) *# ϕ H ˆ )$&#) '*' * ' &# ' S = − (∇H)
◦∇ϕ
! )' & ' & #) &# ϕ * H ˆ )$&#) * % )&** ' '
'
$# % f $ %
&# ‡“- € . ‡#%0‰. &
) % &# *# %
'
'
'
* !# %)( ' % % #$ ( * ˆ $#%&
% )$ # # ’
'
'
'
# ) ) &#) *# C ! "# # &# #
'*'
'*
' % ( ' %
'
#& &# *#
( #& T #& $ & & $
&
'
'
%
# ) ( ) ( #
& &(&# #%
−1
H
ogp0qq aq ? ? -B
- ;=F 3 µ ACE1†:<1%84Af%1†J1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 84Af Rn 143 80;=F 3 H Z"4fBF 1Š6ICU3
L >3d ,U;=3 > %801 H h C 84A/,0,U;0801 `A F L–1FN843 1<ACE1j?\;=CED43QFG;=C ψ J1 D4L6=8%801 C 1 84Af Rn 3m14L LN1
2
`A1 dµ(x) = exp(−ψ(x))dx W ; dx 1%843[L6‘:<1%84Afn1J1 / 84Af Rn h - A/,0,U;080;=CS8
`A F L1 FN843 1 C > 0 3m14L2`AU1 µ 86I3QFN8V?)6IF 3
L F CG^6ILcF 3j84AF Z=6ICU3 1
Z
Z
* ‡ -% .
H (β) dµ 6 C {ψ(x + β(x)) − ψ(x) − β(x) · ∇ψ(x)} dµ(x),
,U;=Af3 ;=A3 16 ,0,KLcFGDa6I3QFG;=C β J1 Rn J6ICS8 Rn h
LN;=f%8L6<:<1%84Afn1 µ 86I3,FN8V?)6IF 3
' '
fn14AZI1 OB ”
ACE1F CG^6ILcF 3 J13,f 6ICS8),U;=fB3 T J1[?\;=CED43,FG;=C C J h
H
%%
' '
& &
&# ) # "! #
* %
# # ˆ
'
'
'
*#)! &&# β = ∇H −1 ◦ ∇ϕ β = (βi )16i6n #
* # ( ( # &
&#
%
log det (In − ∇β) 6 −
%
n
X
%
∂ i βi ,
i=1
%
'*'
'*' A # )$ n × n #% ˆ % !&# log det (I + A) 6 (A) & ) &#) ' '* *$$
n
'
'
'
'
'
$ *# ( ) # # # )( ‡% ~ $)
'
'
*# $ & '$# *# ( )$) ’
'
)$ $ # # $ * * #%
# & TH GIH O9NG ? ? OB
2
H(x) = kxk2 !%&# & &#
# '
'
*
'
µ #* #
ψ 00 > λ > 0 ! &
& &(*# ‡ ‡}‰
)
*
%
&
%
% %%
%
%
%
%
%
%
%
'
%
&#
n
*
'
%
&$
'
*&
# !
*#% ( ˆ
%
'
# )( %
%
% ' *ψ# %) ( ' # %
&# ' &# '( # "&#
# &
ƒ{ ‚ T2 ) &# #%
' ~I~= v ! y !
| '* '
# !& #
'
'
µ # )( ' ' # ψ $#% *# ( ( %
%
%
%
%
&
%
C = 2/λ !) %
7 &# " "# '
*
&#%
#& &
%
'
' ( *
'
'* ! p > 2 ! &
$ H(x) = ψ(x) = p1 kxkpp %
'
# $! $ &#) &
# H
& Tp )$&# #% C = 1
#%
*
H(y) 6 ψ(x + y) − ψ(x) − y · ∇ψ 0 (y),
'
'
'* & x, y ∈ Rn &")$&#) "! #% )( $" " &
$ µ '
'
'
'
'
‡
‡
“
‰
*$
& &(*#
# $ ’ )$& $ # $ ) $#%
'
'
p
2
$# & # H(x) = ψ(x) = p1 kxkp + kxk2 ) $ * #
) #
$) &# %
%
%%
&
| '
'*
'
'
'
# # *) &#% ) # * # "! ) ( v xyrz – yz # # )! ' ' # )( ' ( Ž #Uu ' ( ˆ
| '
'
'
'
'
# * $) &{}#‚ # "! &# & ) "! *# )( # & T2 ' '
x'u
| #
) v
&&' €I€— . *'
'
# )$ # $ ! #& # ) $ logˆ )$#) & ' ( '
'
'*
.
‡
4
“
‰
$# $ ) &#) &
#& $&# #
' '*'
'
'
$) &# ‡ 4 &
# && #
&*&# #% ) ( '
' '
'
' &*&# ‡ ‡}‰ $$ $#%
$ logˆ ) &#) ( %
%
%
%
%
%
%
% &
%
&
ogp0qq aq ? ? -B
- ;=F 3 µ ACE1:<1%84Af%1J1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 84Af R h C 84A,0,U;0801`A F L
1 FN843m1•ACE1?\;=CED43QFG;=C
ψ J1D4L6=8%801 C 1 3 14L LN1`AU1 dµ(x) = exp(−ψ(x))dx h [email protected]/,0,U;0801J1
,KLcAr8g`AU1L6†?\;=CED43,FG;=C H Z"4fBF 1 1L >d ,U;=3V>%801 H h
2
L F CG^6ILcF 3 h & J1 D%;=CS843T6ICU3 1 C W 6ILN;=fn8L6?\;=CED43QFG;=C ψ
- FRL67:<1%84Afn1 µ 86I3,FN8V?)6IF 3
1%843 D%;=CUZI1 1 h
'*
'
2
# ' $ & '*' *&# ' ( ' &#) * ‡*“&-# % . ψ ) C
&#
# * #) &# #% C *#
&( '
'*'
' '
&$ &#) *&# β ! * # #%$ I *#% $ #&# ψ 00
'
'*'
$ ) #% # )( #
&)! β = α1IJ ! & ) α ∈ R+ J # # $ '
!
fn14AZI1 OB
%
%
Z
’
%
{ψ(x + β(x)) − ψ(x) − β(x) · ∇ψ(x)} dµ(x) =
&
%
Z Z
J
%
% %
α
0
(α − y)ψ 00 (y + x)dydµ(x)
& %
' *' &**&#"$# # $ α ’ J α + J ⊂ I &* # %
' )( '
'*
ˆ
)
(
‡
“
%
.
)$ $ & *) # #
$ )$ )$&
#%
#
) & '
%
%
%
&
’
&# " "# '
&
&
%
%
' '*
'
$# &*&# # $
)$#$ )$ & " #* # *# ( '
'
'
# TH # *#% ) ) *#
$ $ *# ( '
'
'
$
'
# & ( *$ & $ $ ) # * '
& '' &# # ' $) *&# ‡}‰ & &$ !
)$ )$ ! # * #)$ #
'
$
'
*# ( ( # & & # + ) # * # $&# #
'
'
'
& # & - ) ( % # )( ( # & % & %
%
%
" *
%
H3 .
&
% &
&# ' # *# )( # &#
H3 %
%
#%$#
'
&
%
#%#
# &
'*
%
%
&%
%
&
*
&
&
%
%
&
' '
) *&# )$ &*&# ‡“‡}‰ & '
$#
'
'*'
& #
) # * # $) (
&#) *# H '
'
&#) *&# H #
H1 &
*
% %
' %
%
%
& %
&
h(x) > αx2 ! ∀x ∈ R.
' $'
'
# #&# ) &&#
#& &
)$ # $ ) $ % - # '
'
d
) V (x) = x2 & d > 1 ! Λ # & ˆ # #' Zd ! ω ∈ RZ ' ψ
$ ' # #) *&# R # R & & J ∈ R ! &&# µΛ,ω
#* %
)1
%
∃ α > 0 * ‡“--.
)1
dµΛ,ω (X) =
ΦΛ,ω (X) =
X
ψ(xi ) + J
i∈Λ
%
exp(−ΦΛ,ω (X))
dX
ZΛ,ω
X
{i;j}∈Λ ki−jk1 =1
Z
X
xi xj +
xi ω j ,
i∈Λ,j ∈Λ
/ ki−jk1 =1
exp(−ΦΛ,ω (X))dX & X = (xi )i∈Λ ∈ R|Λ| ZΛ,ω =
& &# ' $ $ $ $#%" " & ' )$*# $#) $
'
'*
% ) % ' # $) *&# ) ( -
&
#
&
$
)
#
)
&
#
| '
# $ *$ ) ($)!#& &# &#% )$ *# )$&#&# '
'
#
2
"
&
y
b
u
'
'*
Ž &#) &# ψ ! # )( ( * + ( ( & +
'*'
'
'
$ (µΛ,ω )Λ,ω && $ & #% ) ( % & - }e
&#% # # )( ' # & & '*
) -I.& & ) ) &# *) '*'
$ (µΛ,ω )Λ,ω & J ) ! $) # ) &# #% *# $# #%
'
'
d
’ Λ ! ˆ $# # Zd ω ∈ RZ ! # #% $ )$&#*&#
& '
$)$ #
#
&
&
# &
%
%
2 % 5& 4
*
% &
%
& %
%
%
%
%%
% &
%
'& ('( &' qbp
H
G
?)( OB
?
`A1
K 'I
&(% # '(#(% - ;=F 3 f ACE1E?\;=CED43,FG;[email protected] R J6ICS8 R+ W 843,f4FGD43 14:<14CU3D%;=CUZI11 W 3m14L LN1

 f (0) = 0
sup {f (2x)/f (x), x > 0} < ∞

∃ α > 0 3m14L2`AU1 f (x) > αx2 W ∀x ∈ R.
21[CUFN8%80;=CS8L6j?\;=CED43,FG;=C H J21[CUFG1 ,S6If
H(X − Y ) =
n
X
i=1
f (|xi − yi |).
- ;=F 3 ψ ACE1‘6 ,0,KLcFGDa6I3,FG;=CJ1 R J6ICS8 R J1<D4L6=8%801 C 1 h C ,U;0801‘6ILN;=fn8 W ,U;=Af θ ∈ R W µθ W
L6<:<1%84Afn1Y84Af R J2[
1 CUFG1 S
, 6If
dµθ (dx) =
exp(−ψ(x) − θx)
dx,
Zθ
; Z = R exp(−ψ(x) − θx)dx 143 dx 1%843L6:<1%84Afn1J1 / 84Af R h - A/,0,U;080;=CS8
θ
`A F L1FN843m1•ACE1 D%;=CS843T6ICU3 1 C W F CKJ),U14CKJ6ICU3m1J1 θ W 3 14L LN1`AU1L6:<1%84Af%1 µ Z"4fBF 1 1,U;=Af
θ
3m;=A3 θ ∈ R L F CG^6ILcF 3 •84AF Z=6ICU3m1
Z
h (β) dµθ 6 C
Z
{ψ(x − β(x)) − ψ(x) − β(x)ψ 0 (x)}dµθ (x),
,U;=Af3 ;=A3 1 ?\;=CED43QFG;=C β J1 R J6ICS8 R h
LN;=f%8†J %8j`A1†L6g`Ab6ICU3,F 3–84AF Z=6ICU3 1 C̃ = (αC)/(α − 2d|J|C) 1%843 ,U;084F 3QF ZI1 W L6 :<1%84Afn1
*
ACE1 F CG^6ILcF 3 J13Qf 6ICS8),U;=fB3 T J1D%;=CS843G6ICU3m1 C̃ W C̃
µΛ,ω J2 1[CUFG114C ‡“--. W 86I3QFN8V?)6IF 3
H
43T6ICU3 F CKJ) ,U14CKJ6ICU3m1JIA 80;=A8 k 14CS8014: 5 LN1 1[CUF J1 Zd W Λ W 143 J1%8D%;=CKJIF 3,FG;=CS86IA 5 ;=f J ω h
&
fn14AZI1 O+ B
- )
$ '* &#)
% '%
''
&#)
Z
%
&
%
% &
# *# )$ + $ &
( % & - #% )
' )( '
&# H ! *#
#& &
'
‡
“
‡
}
‰
&*&#
( &#% '
'
&# (! & & Λ & ˆ $# # Λ *&# R|Λ| # R|Λ| !
H(β)dµΛ,ω
%
%
&
&
*
&%
'
'*'
ˆ
| )$ '
-
$ $
'* ' $ µΛ,ω '* # '
*$#) # ) &# #% C̃
d
d
Z ! ω ∈ RZ β = (βi )16i6|Λ| !
*
Z
6 C̃ {ΦΛ,ω (X + β(X)) − ΦΛ,ω (X) − β(X) · ∇ΦΛ,ω (X)}dµΛ,ω (X).
&# " "# '
&#
%
'
J > 0 ! ) & &
%
&#% &
'* # #
&
X = (xi )16i6|Λ|
ΦΛ,ω (X + β(X)) − ΦΛ,ω (X) − β(X) · ∇ΦΛ,ω (X)
X
X
=
ϕ(xi + βi (X)) + J
(xi + βi (X))(xj + βj (X))
i∈Λ
+J
i∼j i,j∈Λ
X
(xi + βi (X))ωj −
i∼j i∈Λ j ∈Λ
/
−
)1
X
i∈Λ
X
βi (X)ϕ0 (xi ) − J
X
i∈Λ
βi (X)
i∈Λ
&
ϕ(xi ) − J
X
X
i∼j i,j∈Λ
j∈N (i)
xi − J
”
'
N (i) = j ∈ Zd ! i ∼ j ) *&# $ #& '
$##
xi xj − J
X
xi ω j
i∼j i∈Λ j ∈Λ
/
βi (X)
i∈Λ
% #%$ X
j∈N (i)
$ ωj ,
%
%
' )( '
!
ΦΛ,ω (X + β(X)) − ΦΛ,ω (X) − β(X) · ∇ΦΛ,ω (X) =
X
X
{ϕ(xi + βi (X)) − ϕ(xi ) − βi (X)ϕ0 (xi )} +
βi βj .
i∈Λ
X
*
i,j∈Λ i∼j
& i ! |N (i)| = 2d #
X
i,j∈Λ,i∼j
βi βj > −2d
X
(βi )2 ,
i∈Λ
&( &#)
Z
{ΦΛ,ω (X + β(X)) − ΦΛ,ω (X) − β · ∇ΦΛ,ω (X)}dµΛ,ω (X) >
XZ
XZ
0
{ϕ(xi + βi (X)) − ϕ(xi ) − βi (X)ϕ (xi )}dµΛ,ω (X) − 2dJ
(βi )2 dµΛ,ω .
i∈Λ
# %)'( #%
*
i∈Λ
'
'
' '
&
&$ $
$ # ! * # $ µ !&# "$#% & i ∈ Λ !
θ
Z
1
{ϕ(xi + βi (X)) − ϕ(xi ) − βi (X)ϕ (xi )}dµΛ,ω (X) >
C
0
Z
& h(βi )dµΛ,ω .
7 '# 7&
'' # 7 # "+ 032A0 . I (% & &#)
Z
{ΦΛ,ω (X + β(X)) − ΦΛ,ω (X) − β(X) · ∇ΦΛ,ω (X)}dµΛ,ω (X) >
Z
Z
1 X
2
h(βi )dµΛ,ω − 2dJC (βi ) dµΛ,ω .
C i∈Λ
'
H3 H & Z
{ΦΛ,ω (X + β(X)) − ΦΛ,ω (X) − β(X) · ∇ΦΛ,ω (X)}dµΛ,ω (X) >
Z
α − 2dJC
H(β)dµΛ,ω ,
αC
'
&
% &
%
&
% &
& %
&#% &
' (
'
'
'
## *) $ $ ) & # &#% &
'
'
'
)$) $ $ # "! & &&# ‡ ‡ D ! *#) * $#% '
*
'
'
' # )! $#% )$ ˆ &)! $#% # *#% $ #% ) GIH O9NG ? ?/@ OB
'
* # )$&$#
) H(X)
= kXk2 ' #
'
'
'
'
& &
& ) ) '$# ! $#%
# ) - ! x#yrz
yrz v
)$( p
2
p
# $# # H(X) = kXk + kXk ψ(x) = |x| + x2 ! #& $ #
'
' '
''
$ )$#*&# *) &# p > 2 # ' * #%
& # #& & '
'
$
'
*# ( ( # + ) # * &)! '
' '
$' * &# | & &(*# ‡ #% ! # ) &#) $#% &# $
'
*
'
'
)$&# * ##&#{ # ) &#)$ #% *#
# $#
P&# "$#%
%
*
'
€
€

.
# )$ ) &*
&
& ) ! ) &# &# & Λ ! SΛ =
f (xi ) !
'
'
'
'* i∈Λ
& ##
f $ #' &#) *&# ) C ∞ % ˆ ' ) ( ' *$##' &&# & m Λ,ω
$ µ # '
SΛ &
* # & *# ( )$&#)$$#% *&# #%
Λ,ω
)$
% %
&
%
%*
% &&
%
%%
)1
)1
%
%
%
%
%
%
p
SΛ
− mΛ,ω > r
|Λ|
6 2 exp −
&
r |Λ|
,
C̃
'*
'
) &# #% &## # &
) # C̃ $
µΛ,ω
%
% & %%
)1
" 6 6 ! | '
' * $ *# %)( ' ˆ
# ) $) &# !#& % $#&# % $) &#% ) %
#
b
u
'
'
'
'
'
% Ž ( ( % # % $)! ) % #% *# ) ( e &
&# " "# '
%
%
' )!#" ˆ
) &#% ) (
$ ( & $ $ '&' ' ( # ) $ ) &# # ' ") ( e ! $ #% ) ) $
'
*# ( ( # & Tp '
'
'
p
H (
# ) ’ "! *) ! # ) H1 h(·) = |·| /p !
'
'
& p > 2 ) )$ *$ &#) *&# h H0 ' '
'
'
&# $#%
) ( e & -% ! # # *#
'
'
#
U
u
'
'
'
Ž ˆ
*# ( ( ( $)$&#% ) ( & ( & )!#" %$ &' '
'
#
Uu '
(Qt )t>0 *#&# ) # *# )( ' Ž # bu ' ˆ
( ( # #*&#)! & q > 1 !# q ˆ *# ( Ž ( ˆ
)% %
%
' #&#
*
%
%
%
%%
)1
%
%
%
*
% &
%
%
%
& )1
%
%
%
*
%
aq
&
%
%
%
? ?)( O
'
'
B
# $ ' µ Rn * # q ˆ * # ( ( #
b
u
'
Ž ( Lq ! & q > 1 ! ) &# #% C & #) *&#
'
( &# ! &#
Entµ (eg ) 6 CEµ k∇gkqq eg ,
%
)1
%
k∇gkqq =
i=1
|∂i g|q *
&
*
'
q = 2 &# & &"!
# ) # ( $#% &#) &# f 2 = eg . ! *# ˆ
)( ' Ž #Uu ' ( ) ' # ' $ ) $ ) # | ' '
x u
{ƒ‚ €€— ' ) v
!
& q > 2 !& # )$$ #
'
'
'* '* )$&#&# pˆ )$&# # $
$ µ ! # )( {ƒ‚ Lq '
€€=
'*'
'
!
&)! !
# q ˆ *# ( (
µ )$dµ(x)
=
exp(−V
(x))dx
bu ' ( '
'
'
Ž ( Lq ! & V
*# ( #%
%
| n
X
%
% &
#
'
)
%
&
%
&%
%
%
%
%
%
% %
% %%
%
tV (x) + sV (y) − V (tx + sy) > C 0 (s + o(s))kx − ykpp ,
%
& & t, s > #
# #&# '' $ '&' #& '
* ' '
*)
* ‡“-Ie.
%
# t+s=1 %
& x, y ∈ Rn '
'
'
' )!#" #(*# &# &# '
*$&#)$ q > 1 ! & f # &#) &#
)( '
'
'
'
'
'
$## . ! &
&# &# $#% #%
%
%
%

q
 ∂u k∇ukq
+
= 0 sur Rn ×]0, ∞[,
∂t
p

u = f sur Rn × {t = 0},
%
% &
7 '# 7&
%
$ &##
'*
'' # 7 # "+ 032A0 . '
& 


#%
I (% )
p
x
−
y
t
* ‡“- + .
, t > 0, x ∈ Rn ,
Qt (p) f (x) = infn f (y) +
u(x, t) =
y∈R
p
t
p


f (x), t = 0, x ∈ Rn ,
'
1/p + 1/q = 1 *&# )$( )$ ˆ # ) *) $ ) ) (
$# $) &# ‡% ) ( e
'
' '
'
Ž #bu ' ( ( ( '
& #% ) * # #%
'
'
' !#*" # B$ '&' Lq &# &# &' qbp H G ? ?/@ OB
- ;=F 3 µ ACE1‘:<1%84Afn1<J1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 84Af Rn h - A,0,U;080;=CS8`A1‘L6
:<1%84Afn1 µ 86I3,FN8V?)6IF 3 ACE1 q k F CG^6ILcF 3 J1Ž bu LN;a^6IfBF 3 >:F,`A1 L W J1D%;=CS843T6ICU3 1 C
q
,U;=Af q > 1 h
LN;=f%8 W ,U;=Af 3 ;=A3 1•?\;=CED43,FG;=C 5 ;=f4C%1 J1 Rn J6ICS8 R W ,U;=Af_3m;=A3 t > 0 143 ,U;=Af<3 ;=A3
a > 0 W ;=C96
)1
% &
%
%
* ‡“-‡.
(
%
%
e Qt
(p)
%
f
1
t q−1
(a+ q−1
Cq )
%
%
6 ef
1
a q−1
,
6IZI1%D 1/p + 1/q = 1 h
CUZI14fn8014:<14CU3 W 84FKL F CG^6ILcF 3 h 1%843EZ"4fBF 1 %1 U
, ;=AfŠ3 =
; A3 t > 0 41 3 ,U;=Af ACE1 D%;=CS843G6ICU3m1
bu NL ;a^6IfBF 3V>:F,`AU1 * ‡ 4#% .
J1Ž a > 0 W 6ILN;=fn8–L6:<1%84Afn1 µ 86I3QFN8V?)6IF 3 L 6 q k F CG^6ILcF 3–
J1D%;=CS843T6ICU3 1 C h
fn14AZI1 OB
% & & % &
%
-% '
t > 0 # ' * #% &
λ(t)
λ2−q (t) Z
λ2 (t)
λ(t)−1 0
λ(t)Qt (p) f
F (t)
F (t) = Entµ e
−
∇λ(t)Qt (p) f
0
0
λ (t)
qλ (t)
'*
' '*'
*
&#) *&# λ *# $#% %
# %
*
%
'*
&#%$ ) #& &&# ! )$ #
&# &#
1
q−1
q−1
Qt (p) f
e
) ! F (t) = e
! $) λ(t) = a + Cq t
!
%
%
q
q
eλ(t)Qt
(p)
f
dµ.
λ2−q = Cqλ0 ,
*
'* ˆ
'
#bu ' ( '
&#) ( )$
( ‡ 4% . )$# #% C
q *# ( Ž '*
&#) *&# F )$* #% ! ) &#%
* & *
*
'
# )$* $#%$!%& a > 0 f &# ) C 1 '*' ' *# )( ' ‡ -I‡ .
’
'
'
'
'
&( & & t > 0 *# ( & &#) &# F F 0 (0) > 0 ) ˆ ˆ *
Z
af
Entµ e
6 C k∇af kqq eaf dµ.
%
% %
*
%
%
%
%
%
%
%
&
%
% &
%
%
&# " "# '
%
%
*
' ˆ )( '
q #
a 6= 0 ! # ) # ( $#% &#) *# af = g . ! &# &
(
bu ' ( Ž
( )$&# # C
| F!GIH>U
; p-G ? ?NM -B
'
'
'
'
ˆ
# & ) $#%)!
$ *) &# q $ q > 1 * &# $ &#%$ &#
)$# $’ '
' ˆ )( '
#bu ' ( $#% '
Ž
q *# ( & q > 2 '
#
'
& #
&#) *#% $ $#% & q ∈]1, 2] # ) ) !&#
p > 2
|
'
# ) *&# e “e ) ( e ! ) # )( $)$&#% ) (
'
'
#* $ *# ( #& &' qbp H G ? ?= OB
- ;=F 3 µ ACE1:<1%84Afn1gJ1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 Y84Af Rn h C784A,0,U;0801`A1L6
*
&
%
% &
%
% &
% %
%
%
% %
%
%
%
%
%
ACE1 q k F CG^6ILcF 3 <
J1XŽ #bu LN;a^6IfBF 3 >:F,`A1 L W J1 D%;=CS843G6ICU3m1
:<1%84Afn1 µ 86I3QFN8V?)6IF 3
q
ACE1 F CG^6ILcF 3 J1 3,f 6ICS8),U;=fB3 T W J1
C W ,U;=Af q ∈]1; 2] h LN;=fn8 L6X:<1%84Afn1 µ 86I3QFN8V?)6IF 3
p
D%;=CS843T6ICU3 1 C 0 = (qC/(q − 1))1/(q−1) W 6IZI%1 D 1/p + 1/q = 1 h
fn14AZI1 OB
| &
'
Z
'
&*&# ‡ ‡#% ! %
' &#%$
Z
*# #%
1
1 (p)
Q1 g dµ 6 exp
gdµ ,
C
C
”
'
' '
& & &#) *&# g *)( $## #% &
) $#% $) a = 0
t = 1 !&# '
* # !
!
1
1 Z
q−1
q−1
Z
q−1
q−1
(p)
exp
Q1 g dµ 6 exp
gdµ ,
Cq
Cq
'
'
1/(q−1) )$ &#%
*# ( # & Tp ) &# #% C 0 = (qC/(q − 1))
%
F!GIH>;Up-G
%
exp
% &
% %
% &
%
'*
) &
&
$) *# e“e ) ( e !&&# '
' ' ( Ky ! &#%$ & ) $#% $# #%
#% &#
*
'
'
'
'
$#% &# '*$#%
$ # $ $#% * $#) &
'
)$&#) ’ '
'
'
Ž bu ' ( ( ) ' "! '*
# ) *# ( logˆ )$#) & ! # *# ( ' ( # & T ' # q ˆ *# ( ' p
Ž bu ' ( ( &' qbp H G ? ? OB
- ;=F 3 µ ACE1<:<1%84Afn1 J1 ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3 84Af Rn h C 84A/,0,U;0801 `A F L
1 FN843m1gACE1Š?\;=CED43,FG;=C ψ D%;=CUZI1
1J1‘D4L6=8%801
C 2 3 14L LN1`AU1 dµ(x) = exp(−ψ(x))dx h - FŠL6
:<1%84Afn1–J1 K
, fn; 5 6 5 F LcF 3 µ 86I3QFN8V?)6IF 3 ACE1–F CG^6ILcF 3 J1R3,fa6ICS8),U;=fB3 T p > 2 J1jD%;=CS843G6ICU3 1
%
%
? ? -B
%%
%
%
%
%
%
%
%
p
%
7 '# 7&
'' # 7 # "+ 032A0 . I (% #bu LN;a^6IfBF 3V>:F,`AU1
C W 6ILN;=f%814L LN1†86I3QFN8V?)6IF 3 ACE1 q k F CG^6ILcF 3YJ1Ž Lq J1D%;=CS843G6ICU3m1
q−1
6IZI1%D 1/p + 1/q = 1 h
qC
C 0 = q−1
'
'
y" y
OB
"
Mfn'14A& ZI1 ! ' & # * & #y v yE
"2" &#%( $ ) ' &
y' &# &# !
#
#
#
*
*
#
{“’ €€ 
+
{ƒ”•‚–’ + €€— .&
" *
'
&' &
& &# &# & D “‡ '
'
*
'
*&# & µ # )( ( #%"! &
'
'
'
'
& #) *&# g ) C 1 exp(g) # $# " & µ!
Z
1q
1
* ‡“-I‰.
1
q g
g
g
p
p
Entµ (e ) 6 p (Tp (e dµ, dµ))
k∇gkq e dµ ,
%
% %
%
*
)1
%
% &
% &
%
%
% &
% %
4
%
%
% &
”
' '
y"2 y
& "" 1/p + 1/q = 1 '
&# & v
& ϕ
'
‡ “‡}e $$ exp(g)dµ dµ #
&#) *&# &## & '
& ‡“‡}e !
Z n
p
1 X
g
Tp (e dµ, dµ) =
(∂i ϕ) p−1 eg dµ.
p
i=1
*
'
'
' *
& &&# !
#&
*) ! & ) # ( $#% ‡%
'
'
'
'
$ )$( # $ &#) ) & ) # ( $#% $" # 1
1
eg(x) e−ψ(x) = exp −ψ x − (∇ϕ) p−1 (x) det In − ∇(∇ϕ) p−1 (x) ,
&
%
% &
%&
*
)1
*
$ * # ) & ) &#% * $ '$#%
'
%
* ‡“- 4.
$ #
$#
#%
'
n
D.
' ( !&#
1
1
g(x) = ψ(x) − ψ x − (∇ϕ) p−1 (x) + log det In − ∇(∇ϕ) p−1 (x)
1
6 ψ(x) − ψ x − (∇ϕ) p−1 (x) −
'*
2−p
1 X
∂i,i ϕ(x)(∂i ϕ(x)) p−1 .
p − 1 i=1
'*
' '
) &# &# ( &#) *# ψ "
! & & x ∈ Rn
* ‡“-ID.
1
1
ψ(x) − ψ x − (∇ϕ) p−1 (x) 6 (∇ϕ) p−1 (x) · ∇ψ(x).
”
'
' "
) *&# exp(g) # *#% )( &# $ &)
$ '
"!# ' * #%
!
Z X
n
1
Entµ (eg ) 6
∂i g(∂i ϕ) p−1 eg dµ.
%
&
%
i=1
!
'
%
'
*# )* ( %
‡“-I‰.
% ( ' ( % # '
#%
%
'
*#
%
y
&# " "# '
&
'
& $ p & )$#) ' ' &# &# '
'
# & Tp * * '
'
'
‡“-I‰.
&# # $#% *# ( (
'
!
!

r"2 * # *&# &&
%
%
% &
%
% &
'
q $ ' & "! 1/p + 1/q
=
1
'
${ ( #% €€— .&
%
%
'
'
$#* # )( ˆ
'
' & " #* $#
ˆ
&#
# & ˆ )$
Ž bu ' ( & &&#
( #
+ '
'
# ! & ‡ 4“‰ ‡ 4 ! & p = q = 2 !&# & '
'
# ) e # $ ( *# * #)$& &* !
'
'
'
# ) &# #% )! #)$ $#% # q ˆ *# )( '
Lq # *# ( ( # Tp $) 1/p + 1/q = 1 ' '
#% )$&# $ # $ $ & $ ) $#%
'
$
# &
$ )$# #%$ ! )$ # ) )$&# # " %
# '
$ ) # $
%
&
%
%
%
% &
%
%%
%
"y
'
* # *# ˆ
+
$ ) ’ $$ &#) *# )$&#%*# $ (
%)( ' % Ž #' Uu ' (' ( Ž # bu '*' ' ˆ ) $! # ' ' "! % & #%$ $ ( $## $#&* *# # )% ( % {}’
( &
'
*
'
'
&
~ 4  &
# & #
# )$# &# &#%$ #)$ $# '
)
!
#
"
'
&
*
'
"
Ky
%$
$) &#
ˆ ( & ) %
'* "Ky * # *# % ( ' %
$ $) &#% ) ! ( $ (
# & '
'
'
!#" B$ '&' '*'
ˆ
ˆ
% $#% ( & ' ' #&
&# %
*
'
y
"

#
"
%
#* $ ) &##
'
'
! " %$ '&'! &# & ) &# # $
%
*) $ &# $# $"#y *&# *##* ' )$&#%
' '
'
' &# | * *# # ") )$ *$ # " )$## '
'
'
% #*&# # # * ' $ ' #& &# % ' ' * )! & $#%
$ $) *# % ) % #%$ $#*# # # $) ) &#% % #% % '
'
'* "y
&
$ R & # *&# ! * & #% *
'
"
y
% # ' $ - yE#" MRy ! "
&# H $ ) ! % # n
o
'
H = f : [0, 1] → R $#% )$&#%*# "! % # #% f (0) = 0 ! f˙ ∈ L ,
$ n
2
E# " IK '# %
kf kH =
% #*&#' ' % %
yE#" My! " ) "! #* & &#) &#
'
) &# &#
#& f [0, 1] # R ! |



s
Z


1
0
2
f˙s ds f ∈ H
∞ f ∈
/ H.
'
'
'*
h·iH #& k·kH !!)$
)
* H * # y! '
#% H # ) &# )!
&
( )
W0 = {f : [0, 1] )$&#%*# "! f (0) = 0} ,
'
& # ˆ $ )$ W0 & & #) *&# f W0 ! #&# # ˆ
H
' '*
$#%
#) *&# H * ‡“- ~ .
1
H(f ) = kf k2H .
2
’
'
''
&#) *&# H $ #% ) # & #&
&# &
'
&# )!)$#
" %$ &' ˆ
(
*#%$# #%"$#
$ #* & #& * &#
& F # &#) &# W0 # R ! &# & t > 0 & & &#) *&# h ∈ W0 !
* ‡}e € .
Q F (h) = inf {F (h − ωt) + tH(ω)} = inf {F (h − ωt) + tH(ω)} .
%
%
%
t
”
%
ω∈H
'
# ' #* $ #& &&#
&#
' *&# '
%
%
%
* ‡}e % .
*% %
ω∈W0
' '
$)$&#% ) & * ˆ ( & (Qt )t>0 !
'
' ' (
' * # & # *&# - -. ) e
'
#% $ ˆ ( & (Qt )t>0 & & ˆ
'
&# { *# & *)$!&#% *#
* #&# #
~ D 
#
*# )$ Ru"
ogp0q
q a
q ??)( B
J
j
6
\
?
=
;
E
C
4
D
,
3
G
F
=
;
C
kC
H W 21[CUFG1 ,S6IfL a`Ab6I3,FG;=C
%
%
)( %
%%
%
%
* ‡“- ~ . Z"4fBF 1 1 ,U;=Af3 ;=A3 1[?\;=CED43,FG;=C
W
h ∈ HW
sup {hh, ωiH − H(ω)} = H(h).
ω∈H
1 ?\;=CED43QFG;=C F ∈ W ;=C 6 Q F = F h
k =; Af3m;=A3 [
0
0
k =; Af3m;=A3 0 > t > s W ;=C 6‘84AfL 1%8),S6D%1 W W
0
&
# fn14AZI1 OB
'
Qt = Qs ◦ Qt−s .
%
% &
%
'*
$ $ *#% & &&# #%
$#% ! &
#%&#
'
&#
& &# s > 0 & h ∈ W0 ! &#
# ) # ( $#%
%
'
' #
& f ∈ W0 '*
&# " "# '
* ‡“e € .
!
*&#
h−ω
Qt F (h) = inf F (ω) + tH
.
ω∈W0
t
)$&# # %
h−ω
tH
t
'*
#) *&# H $#%
h−f
6 (t − s)H
t−s
#
f −ω
+ sH
.
s
# '* # &#)"! & &$ &#) *&# ω, f ∈ W0 !
$#
* ‡}e-.
% )$*
#
'
# *# f −ω
+ F (ω) + sH
.
s
'
'
$ # ω ∈ W0 !* # f ∈ W0 !&# '
* #% *# ( (
h−f
Qt F (h) 6 (t − s)H
t−s
%
# + F (ω).
# & %
# f = (s/t)h + (1 − s/t)ω ! &# $ ) &#(
*
h−f
f −ω
h−f
+ Qs F (h) 6 (t − s)H
+ sH
+ F (ω).
(t − s)H
t−s
t−s
s
’
'
'
$# *# ( ( $#
h−ω
h−f
(t − s)H
+ Qs F (h) 6 tH
+ F (ω).
t−s
t
&
%
& $! &#) &# ω ∈ W0 f ∈ W0 !
f −ω
Qs F (f ) 6 sH
s
Qt F (h) 6 Qs (Qt−s (F )(h)).
$#%$!&#
%
%
& &#)"! & & #) *&# ω ∈ W0 !
&
*
( *
'
h−ω
Qs (Qt−s (F )(h)) 6 tH
t
*# %
%
&
'
%
+ F (ω),
'
ω # ' * #%
Qs (Qt−s (F )(h)) 6 Qt F (h),
* ‡}e-.
'
'
)$
# )( ( # & &(&# '
'
&*&# #% #&#) & )(
ˆ ( & & &# '* #) *&# F W0 # R H k LcF ,U80D%>F 3FG41 CUCE1 (Qt )t>0
' )( '
)$&# #% α > 0 &#
#
( # ' '
%
%
%
%%
%
|F (ω + h) − F (ω)| 6 αkhkH ,
%
E# " IK '# & & h ∈ H ω ∈ W0 ogp0qq aq ??/@ -B
- ;=F 3 F ACE1•?\;=CED43QFG;=C
J1 W J6ICS8 R W H k LcF ,U80D%>F 3 [email protected]
0
D%;=CS843T6ICU3 1 α h
LN;=f%8 J ACE1 ,S6If43 W ,U;=AfM3m;=A3 t > 0 W L6w?\;=CED43,FG;=C Q F J1 W J6ICS8 R 1%843 H k
t
0
LcF ,U80D%>F 3 FG14CUCE1J1D%;=CS843T6ICU3 1 α W 143RJ 6IA3Qfn1.,S6IfB3 W ;=C96 W ,U;=Af3 ;=A3 1 ?\;=CED43QFG;=C f ∈ W W
0
2
* ‡}ee.
α
|Qt F (f ) − F (f )| 6
t,
2
,U;=Af3 ;=A3 t > 0 h
'
' B
fn14AZI1 O
&$#% f ∈ W h ∈ H & & ε > 0 ! # * ω ∈ H 0
Qt F (f + h) > F (h − ωε t) + tH(ωε ) − ε,
%
Qt F (f ) − Qt F (f + h) 6 F (f − ωε t) − F (f + h − ωε t) + ε,
'
&#) *# F #% Hˆ *)( $ ## )$&# #% α !&# ' $#%
'
* ‡}e + .
'
* & ' %
'
*# % ( ( %
'
# #%
*# %
'
%
%
&
%
Qt F (f ) > F (f ) − t sup {αkωkH − H(ω)} .
* ‡}e + . )$
%
Qt F (f ) − Qt F (f + h) 6 αkhkH + ε.
'
'
0 ! ' * # ) # ( #% $ f f + h ! & # & #%
ˆ *) * ## ) &# #% α H
* ‡}ee. | ' )( '
'
'
#
#&# Qt F #
ˆ
'
*)( $##"
! &# '
* # # '* #% $# ε &$
&#) *&# Qt F &#%&# *#% # #%
'
#% ( F $ Hˆ
ε
ω∈H
# αkωkH = sup {hh, ωiH } ,
khkH 6α
Qt F (f ) > F (f ) − t sup
'
# %)( ( %
%
%
khkH 6α
* ‡}e % . ' ( '
! * #
sup {hh, ωiH − H(ω)} .
ω∈H
* ‡“e + .
'
'
$#
&
Qt F (f ) > F (f ) − t sup H(h).
khkH 6α
# '* # &#)
*
'
&#
Qt F (f ) − F (f ) > −
& & Qt F (f ) > F (f ) !
'
α2
t.
2
& &(*# $ %
%
&#% &# " "# '
'
'
'*'*
& '
$#&# )$&
* %
# 8 qbp0q9:9(; pEG ?"?NM B - =; F 3 F ACE1[?\;=CED43QFG;=C J 1 W0 J6ICS8 R W H k LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1 W 6ILN;=f%8
L6j?\;=CED43QFG;=C J1 R+ J6ICS8 R W J2[
1 CUFG1 S
, 6If
t 7→ Qt F (f ),
1%843 6IA8%84F]LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1 h
-
' "Ky
'
&# µ
$ $ $) W0 & & &# *#% # #%
' *
'
'
'
#&#)$$
*# $#% # ˆ ( (Qt )t>0 &' qbp H G ?"?= O
B - ;=F 3 F ACE1[?\;=CED43,FG;=CXJ1 W0 J 6ICS8 R W H k LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1 h NL ;=f%8
,
K
n
f
%
1
8
`
A
1
#
8
n
f
4
1
<
:
4
1
U
C
3–;=CX6 ,U;=Af3 ;=A3 t > 0 W
k
µ
%
%
%
% %
* ‡}e‡.
d
Qt F (f ) = −H(DQt F (f )),
dt
; D fn1),Kf %8014CU3m1L ; , 4 f I6 3 14Afj^If 6JIFG14CU3Š6IA 8014CS8JIA Da6ILND4ALJ1 M u " h
% &
%
' '
'$#%&# )$ &
# )$ # GIH H G ? ? O
B - =; F 3 F ACE1 ?\;=CED43,FG;=C<J1 W0 JI6 CS8 R 143'80;=F 3'ACE1 ?\;=CED43,FG;=C f ∈ W0
3m14L LN1w`AU1 F 6JI:<143Q3 1OAC ; , 4f 6I3 14Af_^If 6JIFG14CU314C f h C 6+,Kfn; ,KfBF 43<84AF Z=6ICU3 1 1%84g
3 6ILN;=f%8
Z"4f4F 1 %1
Qt F (f ) − F (f )
= −H(DF (f )).
t→0
t
'
B
hrh 1
#&# & ( $#%$! &#
&) $#%
lim
fn14AZI1gJIA7LN14::<1
DF (f ) ∈ H !&( &#)
%
%
%
Qt F (f ) 6 F (f − tDF (f )) + tH(DF (f )),
Qt F (f ) − F (f )
F (f − tDF (f )) − F (f )
6
+ H(DF (f )).
t
t
' ' # $# #%
* &# '* # %
)1
Qt F (f ) − F (f )
6 −DDF (f ) F (f ) + H(DF (f )),
t→0
t
'
'*
#%
*$) *# DF (f ) * DDF (f ) F (f ) $ $#%
&# "$#%
lim
'
*#
% ( ' %
%
% %
DDF (f ) F (f ) = kDF (f )k2H = 2H(DF (f )),
Qt F (f ) − F (f )
6 −H(DF (f )).
t→0
t
lim
E# " IK '# '
&#%&# #%$# #% * #
% ( ' %
*# & #
Qt F (f ) = inf {F (f − tω) + tH(ω)}.
ω∈H
| ' ˆ'
) &# %
# #
&# ) $#%"! &# $)! F $ H *)( $## '
'
α !| $#' *# & $ &#) &# ω # kωkH 6 2α
& & ω ∈ H !
! F #% # & ( *$#% # f !&#
%
)1
% %
ε(h) → 0
%
F (f − tω) = F (f ) − thω, DF (f )iH + tε(tω),
'
# khkH → 0 # $ & )$*
Qt F (f ) >
%
%
inf
{F (f ) − thω, DF (f )iH + tH(ω)} − t sup |ε(th)|,
ω∈H kωkH 62α
khkH 62α
*#
Qt F (f ) − F (f )
> − sup {hω, DF (f )iH − H(ω)} + t sup |ε(th)|.
t
ω∈H
khkH 62α
*
% '
'
* # $# t $ € #%
&# ‡“e %0. &# '$#%
%
Qt F (f ) − F (f )
> −H(DF (f )),
t
t→0
'*
'
$) ) & lim
&
% &
%
& $ # $# # # $ # ' & ‡ D + JIA73 > %;=f 4:<1 hrh 1B | ' ) & '' ‡ D }e !* ' ' *) &# F
fn14AZI1g
| '
' ' '
$ Hˆ ) * ##"
!
) *&# f * 7→ Qs{ F (f ) $ Hˆ *) * ## ' '
–"2& Uu
!y(##&'x
~ e .
' *) Ž
!
&*
) *) &# µ $ ˆ
' '
M ru " ' $#% #% $#
& ( * #%
) $#% # # &#)
&
%
(% %
%
&
Qt+s F (f ) − Qs F (f )
−→ −H(DQs F (f )),
n→∞
t
ˆ
'
µ $ $#%$! )$ &#% & ” '
' '
ˆ
#% #&#)
&# # & $ ( & (Qt )t>0 !
' '
' #& &&# *
#%$# #% ) &#% ) &' qbp H G ?"? O
B C 18014:F k ^Ifn;=A ,U1 (Qt )t>0 86I3QFN8V?)6IF 3 W ,U;=Af‘3 ;=A3m1 \? ;=CED43,FG;=C F H k
LcF ,U80D%>F 3FG14CUCE1 143 ,U;=Af3m;=A3 a, t > 0 W
L F CG^6ILcF 3 Y84AF Z=6ICU3m1
* ‡}e‰.
eQt F t+a 6 eQt F a ,
"y
L6<CE;=f4:<1 43T6ICU3 ,KfBFN801 ,S6Iffa6 ,0,U;=fB3
L6<:<1%84Af%1J1
µh
%
(
%
%
%%
% &
%
%
%
-
%
&# " "# '
%
%
'
'
'
B
fn14A ZI1 O
( G &
$# #%
*# ( $#% D #
& *# ( bu ' ( '* "y
Ž ( %
# "! &
!
1
Entµ eG 6 E kDGkH eG ,
2
'
G
G
G
= E e G − E e log E eG ! $ #) #% * & Entµ e
'
' $ µ &( a > 0 ! &&#
& & & t > 0 ! f (t) = eQt F a+t | '*
'
'
'
)$ ) ! &#) &# F $ Hˆ *)( $##"! & f ) '
'
'
'
'*
C 1 # ) )$ # ( )$ & -#% ) e ! $ ) & &# *# ’
'
" & $) &#% ) ˆ ( & (Q
'
'
"y | t )t>0 $ ' )
(
# *#
# & &
$ #& # ' * #) # & #& )$&# &# )$ &( ν # $ " # '
'
$ )$ W0 &#
&
-
)* 1
&
%
%
%
%& *
% &
%
%
% &
%
%
%
-
% %
%
%
T(ν, µ) = inf {H(f − g)dπ(f, g)},
)1
'
$* ' $# ' # * #)$ #& T # $ #* '' H ! # $ ) ) ˆ )$ # &( h ∈ H ! ' &#%$ $&#
$#% )1
%%
'
$' π #% )$ ( $ ν '
&) $#% #* ! * &#) *# H #
'
'
*
'
µ &##
# )( ( &
' '
& ν = µh
$ µ # h ' )( '
#
( # %
%
%
%
T(µh , µ) 6 H(h).
'
&&# TS(ν, µ) = sup
)1
%
µ
) #
Z
QF dν −
Z
F dµ ,
)1
'
'
'
* $ # $ &#) &# F Hˆ * ) $## '
'
$ * $ & & $ #
' ν ! &
Q
=
Q
1
'
'
*# ( ( # '
%
%
%
% %
0%
&
% &
-
'
% &&
TS(ν, µ) 6 T(ν, µ).
' # $)$ )$#) ! # #%
"0! " '
TS(ν, µ) = T(ν, µ) ) $
$
#
&*# ! # &#
'' . '
g"2!#y( u# &
## ! & ) &"& &&# &#) ' ' $ '* "y # (
* #) T #
%
%
"!#yE u & ‡ “-}e
& ' $
*$ # #  "
*&# )$ #*) *#
"
0
!
"
'
# #
'
*
*% %
% &
'
) $#% & &
#%$ &
'
'*
# # )( # & &
%
%
E# " IK '# &' qbp
H
G
?"? OB
C 6<:<1%84Af%1J1
-
"y
µ Z"4fBF 1 1L F CG^6ILcF 3 •84AF Z=6ICU3m1
*
‡ }e 4.
T(F dµ, dµ) 6 Entµ (F ) ,
,U;=Af3 ;=A3 1 ?\;=CED43QFG;=C F W J14CS84F 3 ,S6Iff 6 ,0,U;=f43
L6<:<1%84Afn1 µ h
B % * #% $# a $ € # ' *&# * ‡}e‰. ! & # '* # ' *# ( ' fn14A ZI1 O
# Z
Z
Q1 F
e
dµ 6 exp
F dµ ,
| '
'
'
'*'
' ˆ
& & #) *&# F Hˆ *) $## & *&## #
* &#
Z
Z
QF Gdµ − F dµ 6 Entµ (G) .
'
'
'
'
'
# # #% # $#% $ &#) *&# F Hˆ *) * ## *# ˆ
'
'
'
g
"
!
#
(
y
'
u
&
"
0
!
"
)( ) #% # #% & $#
'
'
"
$#*&# # #"!# "$#% #&#)
F!GIH>;U
p -G ?? -B | '
'
'
'
$ )# $ $#&* *# & '
' ' )( '
'*
&#%$ & ) #% $# #%
#
( # T2 &
( * ## # &# ' )! ' *#) * ' # )$ ) &# $# ' ' '
'
$ # )( ( # &
# $ #&# *# #* %
%
&
%
% %%
%
%
% &
%
%
%%
&
%
% &
% %
* %
%
%
%
%
5 {ƒ”•‚–’
" 4 Ž v '&y t My y! + €€—
/y "! 2
& y - Af LN1%8 F CG^6ILcF 3 %87J1
Ž
&
'
ˆ
#% )! & % € ! )$ % %
2
)
- ; 5 ;=LN14Z NL ;a^6IfBF 3 >:F,`A1%8 !
#& % € € #)$ !
*)! - €
%
{ƒ”
~ D 
{}‚ „~ + 
'
'
' # " & # ( * '! '
* #
(* )!
( !Sh ACED43 h CKI6 L h
% ~~ D. !# % # ) ! % I‡ - %ED‡
Ž
t
(
% ~I~
v x#yrz! & $ ! $)
%ˆ !'
% ~I~ + &% %'% + !
'
#
*
$ &# ' & $) '
! $) #
! & $) &#% ) $
v xyrz# t
t
v x#yrz
'
{}‚  ~~—
%
%%
&# # * $
'
' ‚ % ‡I
D % ! *# ( $)! $ '
ˆ
%
( '
*# !
%
"& y U!
'
'
„ $ #
' ( '
'
&# * #$ ( + * ) * ' ' *#
$ ! ‹ - nf ; 5 6 05 h - 3T6 k
3,FN843 h
% ~~ 4. ! e ~ % € 4 $) &#*) . t
{}‚ D‡ 
%
'
"
;=LcA3,FG;=CS8J1Z0FN80D%;084F 3J1%8 a`AS6I3QFG;=CS8J1 v y "
6I:F Lc3 ;=C k 6D%; 5 F !
+
'
ˆ $ ( !
~~ *# ( $
* ! %
{}‚ ~ + 
{}‚–’ ~ 4 
v ( % )!)(
'
'&
%
|
Kyz + *# ‚ )$# ) &$ ! *# *
'
( ! % ~ De+*ID ! *# ( $)! $ * #! % ~ D‡ ! %54I4 - € ‰
,
! '
'
&#$#%
* #% ( # # ˆ
*' ' '
'
ACED43 h
& &# ) * & ( )
' #
*$ !-Sh#
"
CK6IL h
% ~ ~I~ . ! # % ! % I- D Ž
x
u
E
{}‚  € % 
"2! Sh&
&# !
6I3 > h A h
v
y !Sh ACED43 h
$)$&#% ) ,0,KLcF h * - €€ % . ! # $
4 !
yIu# t
v y $ $ $ 6ICKJ CE143,PR;=f =; P8 ! $) &# ! # 6
*#)
Ž v x u Ž Ky
'
&
&
Ž

6 ::F C^
C F CE1a6If ,Kfn;a^If I
# #) ! & „ ! % ~~€ % *# ' ' (* '* ( # # + * *&# ! nf ; 5 6 50h
) &#)$ #% *# $# #&#* & # &# # % ~~ 4I.
* 14L6I3 1aJ
GF 14LJ=8 i >U1%;=fBd †
!# e ! e DIe €€ ‚
x u
%
Ž
v
' ## ˆ *# „ „ ‚ ˆ
' ( '
1%;=: h ACED43 h
)
* * # ) '
#
*$ ! CK6IL h
- €I€€ . ! # K‡ ! % € -ID % € ‡-
! y
'
ˆ
v
* ( # & $ *) *#
( # #
, 1a6If % ~~~ .&
*&# ! [email protected] ,0U
Ž v x u
& $ *) # # ' *) *# ' $ & ' ( ˆ
'
% ~~ D ) &#) '
( $ !$*#%$
!
{}‚ €€=
{}‚ ' ~~—
" ~ D 
%
54
v y r , 4f 6I3 14Afn8H:‘6 F :‘6IA :<;=CE;=3m;=CE1%8 143 08 14:F k ^Ifn;=A,U1%8 J 1
’
*
'
'
'
D%;=CU3,f 64D 3QFG;=CS8J6ICS8YLN1%8 1%8),S6D%1%8J1 YF L 5 14fB3 ! ˆ #
* *# ( !
” '
'
~
ˆ
$ ! % 4Ie ! & #
)$ $ ! ‡ *‡ € . *)

E4Ie
~ % 
#u x
‰I‰ ~ ‰ ~ ‰ v "
~€—
{}‚ ~ 4 
{}‚
'
{}‚ €€—
{}‚
' ' ( ˆ
'
'
* ' *#
# ˆ
CK6IL h
% ~~~ . &# # ! # % ! %0‰ D %54ID ’
'
' ( ˆ
'
! & *#)! $) ( #
' *#
(* &
6I3V> h >d h *,‚ * ˆ
# &# # + ! F Y14fn14CU3,F,6IL‹ `AS6I3QFG;=CS8 6ICKJ
*# ( % ~~~ . ! K- 4
- ! # $# &# ' $ % ~I~~ ’
'
' ( '
'
'
! *&#)!" ) | # ( ˆ '
#
*$ &
'
'
# &#*,‚ *# ” !
$” #%
*&#
# )
)$
* # ( !
! % ~I~~ . ! ) ! #)$ ! # !
- €I€€ ! K‡% ‰‰ {}‚ ~ ~ 
{}‚
v
&# ˆ
)$' {}‚ ~~ 
{}‚
Ž
7 v yK"2 y ' $ ) & $ &# # & #&# # ( # *
+
$) & ˆ + ' #) * # ! ;=:: h Af%1 ,0,KL h & 6I3 > h % ~ ~ % . ! # !
% 4
E
e 4‡
' 7 '
{“’ ~ ‰ 
$#%
{“’ ~ ‰ 
{}|  D €—
{}|
D ~—
{
~ e 
{
~ D 
& ( ~~
ˆ
‰ !
y2"
'
%
t
$
€I€—‘t
$
{“’ € € 
{}| ~€—
ˆ
% *# &# # ' ( ( ˆ
'
C 6IL h * % ~I~ % . ! # % ! % ~ + *) ' #
- %'%'
*$ +
! bh ACED43 h K
|
$ y y –y !
" # ( ' ( ( ! ) ˆ
I
€
€
€
$! -
{“’ €€ 
{“’ ~ 4 
”
! *
'
&* # ! ’ &# *#
„
'!
{“’ ~ % 
‚
*' &# ( *
( + + ) &# &#
;m? & I6 3V> h ) % ~~ ‰ . ! # Ue ! I‡ e ~ ‰ ” $ $ # ( $ " # ( '
' '
$#%
*&# *# # ”
! % ~~ -. ! $ ) ! $#)$"! # ! %
CUC h
!
‰e
K‡ {“’ y (
”
y y
y
* €
€
€
.
* !
!
# # #
y y
y
"
# # # #%$
*- €I€€ .&
*) !
'
"
'
2 ! "
'
&
*&#
'
'
&#
# (
‹ LN1%D43Qfn;=C h =; :: h nf ; 5 6
)$ ! Š
v &
% % %
*#
""
'
( '
*) *# #& *
Ž & '
&
'*'
&'x "=&'/ y
! ) #
# ( ' $$$# ˆ
'
'
( * * )
' # * ' *$ &# % ~~ 4.
4 % D % $) &#*) .&
05 h
! 8),U1%D43,f 6ILK3 >U1%;=fBd ! ’ ( # &$( t u 1a6I3 14fBCE14L“86ICKJ
’ !
( "! % ~~€ Ž t U! ‚ ## ˆ *# „ „ # ' # $ ! S
h
* % ~ D € .

A
c
L
,
3
F
=
Z
I
6
B
f
,
F
I
6
m
3
1
K
C
I
6
L
~
e
K
‰
e
E
%
D
&
h
!#
! t Sz * 1a6ILE6ICK6ILcd084FN8Y6ICKJ ,Kfn; 5 6 5 F LcF 3,d ! 6 "& ‚ „ *
’ ' ”
‚
"! )$#)  "! ’R” ! % ~ D ~ #)$
„ & x Ž !y '
# ) $ & & 6 $# '
*% I
~ ~ e . ! # % ! K
-‡ Ie e #) &# ! CUC h fn; 5 6 50h
Ru " 6IfB3,F,6ILRJIF Y14fn14CU3,F,6ILŠ1a`AS6I3QFG;=CS8 ! ” ) # ) '
)$ "! $#)$"! # ! % ~~ D "2&bu
t
-
' 7 {%
{
&
~ ‰ 
{  #j€ % 
{
2 ' - / y & ) &#% ) %CUC *) &# $ # !
h
€I€—
4I‡ 
{
) ~~=
{
'~ ~ 
I
{
'~ ~ 
I
{
D 4 
* - €I€€ .
+
! # K‡ ! ‰ 4
"2/ $ &
D43T6 & I6 3 > h * %
&# !
K"! Ky! '
#+ # ˆ ) &# &# # D 3,FN843 h "
-
* % ~ 4 ‡y . +
{
{
~ - 
~~—
‰ D ~ ""
CS843 h
' ( $ & #& ˆ
~~ ‰ . ! # - ! %'%0e
!Sh
'
' ( $## ” ˆ
h ;=F CEDa6If nf ; 5 6 50h- 3T6 k
%0‰ %'
' ( & *# ACED43 h CK6IL h * - €€ % . ! # % ! 
‰‰
$) *#
'
:<14f h S
h
$ !
&
6I3 > h
!#
Sz ;=CULcF CE1a6IfŠ6ICK6ILcd 84FN8 ;=Cg:‘6ICUF ?\;=LJ=8) - ; 5 ;=LN14ZŠ8),S6D%1%8Š6ICKJ†F CE1a`Ab6 k
’
'
LcF 3,FG1%8 ! & „
# & & #% # *)
) * #)$ )!
~ ~~ & „ ! % v K y # „ &# $) )$& ' *&# # 6 ( # ' ˆ
”
' ' '
'
) # *) *# ( * ) " + # +
* ! CUC h CS843 h
"
h ;=F CEDa6If fn; 5 6 50h - 3G6I3QFN843 h
% ~~I~ . !# ! De ‡ € D Ky v )
*) ' ) ' # ' * # * ) ' $) #*) !
;=3m1%8 * % ~~~ . "
) + %'% ~ { ' De 
( )
! % € ‰% % € ID e % % *
&
bz
*) ( '
'
) * ' *#
( $
'
G
3
I
6
Q
3
N
F
4
8
3
>
d
8
~
ˆ
(
%
D
4
.
K
‡
‰
#
!Sh h
h
! #
! %'%
t
Ž !y
&'x
%
n $
#
‡ ~
%
’
'
'
'
'
'
&# # $ # * ) &
$ # )( '
"
* ~ * ##*$## $ ) ) $ ! CUC h SC 843 h =; Af4FG14f nf 14CE; 5 NL 1 "
% D e. !# U- ! % ‡% %0‰‡
Ž
%%
'
# # #% ( ' ) $*&#$ & )$# ) ( * ˆ
% ~I~ -. !
*&# +( +I&
+ # # #) *&# ! Sh ACED43 h CK6IL h
+
- ! ‰‡
# K
’ &#) $#% &# # ' ( ) ' ' *# ˆ
'
'
(* ‚ &
! ' *# ' )! ($($( ! $) #
!
~
I
~
~
€
(
%
0
%
\
%
‰
*# $ ! $ *#!
!
%
"
%
7 {
€€ 
{
€€ 
{
€€ ) 
{
~ e
{
*
{
{
'
Ž
" (% ~~
y
C\?\;=f4: h
' ( '
$ ) # (
 '
& „ #
# )$ !
e !# ! e ~ ~ ee ” ' ' *# ( ˆ ' > %;=f4d " % ~ D‰ !# Ue ! ‡ ‰ i ‚
” ! ) *# ! %;=:
ySz
v % ~ ~ % !# !
~ % 
’ ~ ‡ 
(
$$
)
~~=
# D % 
{
) 4

#
ACED h
CK6IL h
E% D D % ~ 4
*# ˆ
6I3V> h >d 8 h
h&
! ‹ ‹[‹
% ~~ ‰*# ! #
*&#
'
' ( *)
=
; ::
i f 6ICS8 h
'
*# & &#
& ( #)$
CUC h fn; 5 6 50h % ~~ ‰ ! # ! ID ‡I4
)$&#)$$#% *&#
h
#
'
'
( & )$&#% ) *# (
Ue ! K‡I‡I‰ ‡ 4%'
*$ !
% ;=: h
ACED h
„
CK6IL h ˆ
* $#)$ # # $# &
#&# 6 > h Sh
! A
% ~~ ‡ !# ! e €I~ e Ie
! 6If ; =Z
”
& '
' ) *&# *)$ #
% ~~~ e % ~ e e € fn;0D %8%8 6ICKJ * 4L6 aJ F 4LJ=8
! " # $ % &' & 4:<;=F f(Š84Af L6) > %;=f4F%–J %8–J 5 L6IFN8*'J %8 (f 4: 5 L6IFN8 ! &*
' ) % $ ) * #)$ )! %547D %'
x # ' " ( % !- Q ASJIF,6 & 6V> h
'
v '*'
'
'
+ % ~ 4
! e % e D !) $ ) *&# ) #&# ( ) *&# ”
#
# &#, ( # ‡ € ) * # ) ) ( '! *$ !
{
! ~ ‰ 
)
%
&## ( dˆ * #) )$&#)$$#% *&# !
D ‰I‰ {
%
~ ‰ 
{
( „ &# ( #$ & ! CUC h
* - € €€ .
h - D4F h†i =; ALN;=A801
! # K- ! e € ‡ e‰‰
'
'
! ( ) ' # *$ & # &# # *# ' ' )! $) $ *#
* !
*#
! *# ( )! - €I€€ ( $ „ *&# ( $#$ & ! CUC h
* - €€€ .
'
6D h - D4F hgi ;=ALN;=Ar801 & 6I3V> h
! # - ! 2e € ‡ eI‰‰ ! ' $& 6D
D ‰ 
{
' &
#
#
"
' ˆ
7 {
{ {
{
! 
€€—
'
(
eI‰ %
,0,KL h ! * * €I€ " bu ' Ž
Z=6 k
ˆ
'
&# ( ˆ
# & *) ' &
# # $
*&# # ) *) ]
! i %;=f h 4fn;=d6 ,CE0; 8 h F f4F : 4C 4C h
# )
% ~ D !# ! ‰ ‡
‰‡Ie ! bu f%; 5 6 5 F LcF,d‘:QfBFGD%8 6ICKJ >8T6 5 F LcF,[email protected];m?•8m;0D%>S6=8,FGD:<; k
’
J 4L“8 ! # 6 ' & &# ! *)$$ ! % ~~ %'
' ( Ž ' ” # ' )"' # ' *$ A!CED& $ CK6I L *) *# % ~ D‡' $ *# )
" *#
(* ! Sh
h
h
!"#
!
~
‰
e
\
%
e
Ž !bu / y & 6=8%8 Qf 6ICS8),U;=f T6,FG;=C ,Kfn; 5 L 4:g8 h
Ž
;=L h&!
# ( $ ˆ
' ( ! „ ! % ~~ D !
! & =6 ” 8%8 ,fa' 6ICS 8),U;=f G6 QFG;=C ,Kfn; 5 L 4:g8 h
& „ ! % ~~ D ! *) &# -
$ ;=L h !
# ( $ ˆ
' ( ! $ C ,fn;JIAD ,FG;=C ; ;=AfBF 4f6ICK6ILcd084FN8g;=C Š
Ž % ‹ AD4LcF k
% ~ 4%
J a6IC 8),S6D %8 ! #)$ &#
# $ ! #)$ &#!
!
! #)$ ˆ
'
&#
*)
$$ ! e { ' ‰ ~—
{ ' ~ ‰ 
(
h Af %8
"&
&#
' '
'* ( '
#$ *&# # #
# ! # # „ ( '
'
A CED h K
C 6IL h "
€ €€ ! ( *) '
*#
( ! bh 
# !
{ # #j~ D 
4% 
h ‹ `Ab6 h ! Sh& 6 >
x y \C ?\;=fB:‘6 QFG;=CX6ICKJ_F C\?\;=fB:‘6 QFG;=C78 G6 F LcF ,d ;m?f I6 CKJ;=:
5 ’ '
fBF,6 5 L %8•6ICKJ ,Kfn;0D %8%8 %8 ! ' # ˆ | #) ! # % ~
# )$)$ !
" ! % ‰ !
” '%
*# $# 
D‡
{ # #j~ D 
&# ! 6If QF,6IL F

! Ž 2 
*# ‰
{# ~ % 
)
{ 6
( $ * & &
' *&# ! 
{# D 
)
{#
' " -
%
$ &# & # ) '* * ( ( ' # ! *#4CKJ h
4: h& 6 h FN8 h& F L6ICE; " % ~ ‰ ~ ! %54% %ED‡
' y # & &# )$&  # # $ ) CK6IL h % ~~ ‰ !# e ! K‡ID 4 ‰ €€ ! %;=: h ACED h
7 {
_‰ ~—
{
D‡ 
{ D 
{ D‡ 
{
{
{
& ~~—
& €€—
& € % 
{
# ~ 4 
,
( ~ ‰ 
”
'
)
*#
'
$ !
;=L L h
& 6 h T6IL h
C h
”
y
)% %
% &
ˆ ' " $& & ( & !Sh
"
ACED h CK6IL h
€ I‰ € % ~ D ‡ ! # ! ” '
y # * # ( &# ( & ! fn;0D aJIF C^=8
;m? V> C 4fBCK6 QFG;=CK6IL ;=C^If %8%8 ;m? & 6 > 4:‘6 ,FGD4F,6ICS8 W
;=L h nW d; m; W
„ & !
) # ! % ~I~ % ! ~ ‡% ~ ‡I4
$ (
&*) *# - ' ( ( *)
' € €—
I
{6 ( $ ) ) ' „ ' 'U ' ; f h
k
*# # * # # ˆ $#*&#
# ) *&# !]i %=
"
fn;=dI6 QCE;08 h F f4F : 4C 4C h
% ~ D‡ !# ! 4 4 4 4 ~ ' y ˆ
' # ( # | *&# ' '
'
ˆ
*
a
D
6
J
D
4
F
' & $ ) $ ) !
h h
h - h
I
6
B
f
N
F
8
4
f
6
V
>
~
%
D
%
‰
‡
%
‰
‡
h &
h
!#
!
% ~ ‰ ~ ! ‰ ‰e %"
v Ž y & { ~ % 
{
' ## #
%54
""
( ; %8 €€€ # & ! C %D ,Af %8
'
'
' * #
( * "&# #&#)$ ) # * ˆ
'
; f h * 4L6 h F 4LJ=8 #" % ~~ 4 ! # e !
! nf ; 5 6 50hgi > %=
* - %
'
'
'
( ˆ ' *#
( " „ )$&
'
* 4L6 h F%4LJ=8 % ~I~~ !# % ! % ! nf ; 5 6 50h†i >%;=f h #
”
' '
'
'
! ) *&# ( ˆ ' # '* )
*) # &# *# &# *)$ !bh ACED h
€€€ ! # % ! 4 % € '
'
'
'
! $#) " ( ˆ ' '*# #
CUC
) &#(*# & # &# *# &# *) !
" €€ % =
;
F
E
C
a
D
I
6
f
n
f
;
6
T
6
,
N
F
8
Ie e 5 50h h
! # ! v ' y x # ( ) ' * & '
#
)$ # &# # &#
)$ ! ;=:: h &
% ~~ ‰ !# ! € % e "
"
'
'*
*) € *) # ˆ
CK6IL "
h
" *# (
S
C
8
h h h
)
*)
6 > h >d 8 h
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа