close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Захарова Анастасия Николаевна. Программно - методическое обеспечение темы «Алгебра логики» в рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике» для учащихся 10-11 классов

код для вставки
6
Содержание
Введение ................................................................................................................... 8
1. Анализ содержания и методика организации элективных курсов
(предмета) по Информатике и ИКТ в соответствии с ФГОС ........................... 10
1.1 Цели и задачи элективных курсов (предмета) по информатике в
соответствии с ФГОС СОО ............................................................................... 10
1.2 Типизация элективных курсов по информатике в старшей школе ........ 15
1.3
Анализ содержания и результатов выполнения заданий ЕГЭ по
информатике в рамках темы «Алгебра логики» ............................................. 17
2.
Программно-методическое
обеспечение
элективного
предмета
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» для учащихся 10-11х классов .............. 22
2.1 Рабочая программа элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике» ..................................................................................................... 22
2.1.1 Пояснительная записка ......................................................................... 22
2.1.2 Планируемые результаты освоения элективного предмета .............. 23
2.1.3 Учебный план элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике» .................................................................................................. 28
2.1.4 Тематическое планирование элективного предмета «Подготовка к
ЕГЭ по Информатике» для учащихся 10-11 классов .................................. 30
2.2 Содержание уроков по теме «Алгебра логики» в рамках элективного
предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике» ............................................ 38
Урок 1. Тема: Построение таблиц истинности логических выражений. .. 38
Урок 2. Тема: Разбор заданий №2 демонстрационного варианта ЕГЭ по
информатике .................................................................................................... 45
Урок 3. Тема: «Множества. Операции над множествами» ........................ 57
Урок 4. Тема: Разбор заданий №17 демонстрационного варианта ЕГЭ по
информатике .................................................................................................... 63
7
Урок 5. Тема: Преобразование логических выражений ............................. 70
Урок 6. Тема: «Разбор заданий №18 демонстрационного варианта ЕГЭ по
информатике» .................................................................................................. 76
Урок 7. Тема: Разбор заданий № А23 демонстрационного варианта ЕГЭ 82
Заключение ............................................................................................................ 90
В работе представлены решения задач по теме «Основы логики», взятые из
демо-версий ЕГЭ по информатике разных лет. Таким образом, в результате
проделанной работы были достигнута цель и решены поставленные задачи.
Список литературы ............................................................................................... 91
8
Введение
|Актуальность выпускной квалификационной работы «Программнометодическое обеспечение темы «Алгебра логики» в рамках элективного
предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике» для учащихся 10-11 классов
заключается в том, что в настоящее время большое внимание в школах
уделяется профильному обучению, поэтому от учеников требуется осознанное
решение по выбору дальнейшего профиля, который будет им наиболее близок.
Для этого используются элективные курсы. Элективные курсы должны быть
разнообразными, ведь именно элективный курс может повлиять на выбор
учеником профессии, вызвать интерес у ребенка к предмету [9]. Проблема
исследования заключается в востребованности данного курса в учебной
деятельности в рамках школьного образования и недостаточном уровне
проработанности темы «Алгебра логики» в старшем звене.
Сдача экзамена в форме ЕГЭ требует от учащихся обширных знаний по
всему школьному курсу. Все разделы информатики, изучаемой в школе,
занимают определённое место в контрольно ─ измерительных материалах
ЕГЭ. Поэтому необходима целенаправленная, систематическая подготовка
учащихся для того, чтобы эффективно систематизировать и обобщить знания,
вспомнить основные способы и методы решения задач и пополнить свои
знания недостающими сведениями.
Актуальность темы так же заключается в следующем: Элективные
курсы
связаны,
прежде
всего,
с
удовлетворением
индивидуальных
образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника.
Именно они по существу и являются важнейшим средством построения
индивидуальных образовательных траекторий, т.к. в наибольшей степени
связаны с выбором каждым школьником содержания образования в
зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных
планов. Элективные курсы как бы “компенсируют” во многом достаточно
9
ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении
разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.[5]
В данной курсовой работе мы рассматриваем основные виды
элективных курсов, которые могут быть использованы учителем в различных
учебных ситуациях. Примеры элективных курсов, их функции, задачи и
грамотное построение элективного курса для успешного его проведения и для
хороших результатов по его окончанию.
Объектом данной работы является процесс преподавания темы
«Алгебра логики» в рамках элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике».
Предметом работы является программно-методическое обеспечение
элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике» для учащихся 1011х классов.
Цель работы:
Разработать элективный предмет «Подготовка к ЕГЭ по информатике»
для учащихся в рамках профильного обучения информатике.
Для достижения поставленной цели потребовалось решить ряд задач:
1. Проанализировать методическую литературу;
2. Разработать программу элективного курса «Подготовка к ЕГЭ по
информатике» для учащихся 10 – 11 классов;
3. Разработать конспекты уроков по теме «Алгебра логики»;
Методы исследования: анализ, синтез, индукция, аналогия, сравнение,
классификация.
10
1.Анализ содержания и методика организации элективных курсов
(предмета) по Информатике и ИКТ в соответствии с ФГОС
1.1 Цели и задачи элективных курсов (предмета) по информатике в
соответствии с ФГОС СОО
Обновление старшей ступени общего образования призвано сделать его
более индивидуальным, функциональным и эффективным. В решении задач,
поставленных перед школой, с одной стороны, учащимися и их родителями, а
с
другой
стороны,
Правительством
Российской
Федерации,
школа
ориентируется на Концепцию профильного обучения.
Профильное обучение выступает как средство дифференциации и
индивидуализации обучения за счет изменений в структуре, содержании и
организации учебного процесса, позволяющее более полно учитывать
интересы, склонности и способности учащихся. Оно направлено на
реализацию
личностно
–
ориентированного
учебного
процесса,
расширяющего возможности выстраивания каждым учеником индивидуально
образовательной траектории.
В условиях профильного обучения на старшей ступени школы вводятся
элективные курсы, призванные решать специфические задачи — расширять
или углублять материал выбранного профиля либо смежных направлений
научной или профессиональной деятельности.
В большинстве европейских стран профильное обучение начинается в
средней школе, когда каждый ребенок должен определиться в выборе своего
дальнейшего пути.
В процессе выбора элективных курсов ученик не только получает
возможность качественно подготовится к итоговой аттестации и, в том числе,
к экзаменам по выбору, но и возможность уточнить свою готовность и
способность осваивать выбранный предмет на профильном уровне.
Элективные курсы в рамках допрофильной и профильной подготовки
должны знакомить учащихся со способами деятельности, необходимыми для
11
успешного освоения программ того или иного профиля, помогать в
определении своих познавательных интересов, формировать образовательные
потребности, что позволит осуществить более осознанный выбор своей
профессии. Кроме того, элективные курсы могут включать оригинальный
материал, выходящий за рамки школьной программы, который будет
способствовать общекультурному развитию личности и ее социализации.[19]
Внедрение элективных предметов приобретает особое значение для
обучения дисциплин, в частности, информатике. Необходимо отметить, что в
последние годы наметился разрыв между уровнем знаний информатики
выпускников школы и требованиями вузов. По словам профессора МФТИ,
члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, это вызвано:
неумением логически мыслить, отличая истинное рассуждение от
ложного;
неумением вести диалог: понять вопрос преподавателя и ответить на
него;
стереотипностью
восприятия
информации,
снижением
общего
культурного уровня.
Совсем недавно основной целью обучения являлось в основном
освоение
поколений.
готовых
знаний,
Приобретение
обобщение
опыта
результатов
творческой
предшествующих
деятельности,
развитие
креативности личности не рассматривалось в качестве актуальной задачи.
Настоящее время потребовало перехода именно к творческой доминанте, так
как основная цель образования связывается с развитием личности и ее
способности к активной деятельности. Одним из способов внести творчество
в изучение информатики, представить ее не только как предмет, подлежащий
сдаче в режиме ЕГЭ.
Занятия на элективных предметах, направленных на повышение общей
культуры,
могут
оказаться
чисто
формальными
и
привести
к
противоположному результату - к снижению интереса к предмету. Учитель,
предлагающий курсы подобного содержания, должен, подобно артисту, уже
12
на первом занятии увлечь своих учеников. В данном случае не только важна
тема элективных курсов, но и время их проведения. Проведение курсов на 7-8
уроках принесет скорее вред. Представляется целесообразным: во-первых,
проводить элективный курс компактно (например, в течение одной четверти),
во-вторых - после непродолжительного отдыха учащихся.
Введение элективных курсов в программу средней школы, несомненно,
потребует разнообразия методов обучения, ведь это по-другому построенный
учебный процесс.
Выбирая методику проведения элективных курсов, необходимо
вспомнить о богатом наследии древнегреческих философов. Основатель
одной из известнейших школ того времени Сократ ввел в процесс обучения
диалог - систему вопросов и ответов, направленных на то, чтобы приблизить
ученика к истине. Сократическая беседа, получившая впоследствии название
эвристической, заняла достойное место в системе современных методов, хотя
ее потенциал используется современной педагогикой недостаточно.[7]
Важно помнить, что применяемая методика обучения должна
постепенно развивать у учащихся навыки организации умственного труда и
самообразования. Так как программа элективных курсов чаще всего является
авторской, ее усвоение потребует от ученика умения слушать и воспринимать
материал, легко его конспектировать, а также использовать дополнительную
литературу. С другой стороны, элективные курсы должны способствовать
развитию навыков самостоятельной работы, поэтому особое внимание
необходимо уделить организации исследовательской деятельности. С этой
целью в программу должны быть включены различные практикумы.
Например:
групповая работа с научным текстом с последующим коллективным
анализом для определения основных понятий, для выделения проблемы,
постановки целей и задач исследования;
работа в библиотеке: подбор литературы по заданной теме с помощью
каталогов;
13
работа
в
компьютерном
классе,
использование
электронных
энциклопедий и справочников, использование поисковых серверов Интернет
для подбора информации;
публичные выступления по заданной проблеме;
работа с различными заданиями, предложенными на элективном курсе.
Современное общее образование универсально в том смысле, что оно
предназначено для всех. И не важно, чем современный ребенок впоследствии
будет заниматься - торговлей, политикой, военным делом. Именно к тем
ученикам, которые обнаруживают склонность к теоретической деятельности,
имеет смысл обратить некоторые избранные информационные курсы.
Нестрашно, если впоследствии жизнь этих учеников пойдет по-другому - опыт
научного мышления еще никому не мешал. Суть разрабатываемых курсов
состоит в том, чтобы представить в наиболее явной и чистой форме суть науки
как таковой.
В словаре иностранных слов прилагательное «элективный» переводится
с латинского языка как избранный, отобранный. Отсюда следует, что любой
курс, названный в учебном плане «элективным», должен выбираться.
Элективные курсы (предметы) – новый элемент учебного плана,
играющий важную роль в системе профильного обучения.
Элективные курсы (предметы) реализуются за счет школьного
компонента и имеют следующие цели:
 развитие содержания базового курса информатики, изучение которого в
средней школе осуществляется на минимальном общеобразовательном
уровне, что позволяет получать дополнительную подготовку;
 создать условия для будущей дифференциации обучения, выбора
учащимися
разных
категорий
индивидуальных
образовательных
траекторий в соответствии с их способностями, склонностями и
потребностями;
 удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников в
различных сферах человеческой деятельности;
14
 развитие информационного мышления, воспитание мировоззрения и ряда
личностных качеств средствами углублённого изучения информатики.
Элективные курсы должны помочь в решении следующих задач:
1) Создание условий для того, чтобы ученик утвердился или отказался от
сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с
определенным видом профессиональной деятельности.
2) Удовлетворить естественное любопытство ребенка к какой-то области
знаний, которая не представлена в традиционном учебном плане.
3) Ознакомить с дополнительными разделами учебного материала.
4) Дать ученику возможность реализации личных познавательных
интересов в выбранной им образовательной области.
5) Создать условия для качественной подготовки к итоговой аттестации и,
в том числе, к экзаменам по выбору.
6) Формировать у учащихся умения, навыки и способы деятельности для
решения практически важных задач (учебная практика, проектная
технология, исследовательская деятельность).
7) Поддерживать мотивацию ученика, способствуя внутрипрофильной
специализации.
В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные
курсы по информатике могут выполнять различные функции:
повышение уровня изучения предмета;
изучение смежных тем учебных предметов;
реализация межпредметных связей;
подготовка к сдаче экзаменов;
ориентация в выборе профессионального обучения и будущей
профессиональной деятельности;
ориентация
на
совершенствование
навыков
познавательной,
организационной деятельности.
Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они
должны выполняться комплексно.
15
1.2 Типизация элективных курсов по информатике в старшей школе
Существует несколько типологий элективных курсов:
I. По разрешаемым задачам:
Пробные (их можно сравнить с факультативными курсами, программы
которых будут ориентированы на знакомство с видами деятельности,
характерными для человеческой работы в той или иной деятельности; при
подготовке можно использовать научно-популярную литературу, пособия для
профессиональной школы и т.д.).
Ориентационные (например, элективный курс «Компьютерная и
информационная
безопасность»
для
технологического
профиля;
для
подготовки можно использовать научно – популярную литературу, пособия
для
профессиональной
школы,
дополнительные
главы
к
школьным
учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.)[18]
Общекультурные (например, элективный курс «Информатика вокруг
нас», для любого профиля).
Углубляющие (на данных элективных курсах происходит углублённое
изучение дополнительного раздела; для подготовки можно использовать темы
и задания к факультативным курсам, дополнительные главы к школьным
учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.).
II. Следующую типологию можно условно обозначить «по связи с
предметом»:
1. Предметные элективные курсы;
2. Межпредметные элективные курсы;
3. Элективные курсы по предметам, не входящим в учебный план.
Итак, «по связи с предметом» элективные курсы делятся на предметные,
межпредметные и на элективные курсы по предметам, не входящим в базовый
учебный план.
Задача предметных курсов состоит в углублении и расширении знаний
по предметам, входящих в базисный учебный план школы. Примерами таких
16
курсов
из
«Элементы
области
информатики
профессионального
могут
служить:
«Комбинаторика»,
программирования»,
«Элементы
математической логики» и др.
Целью межпредметных элективных курсов является образование в
сознании учащихся межсистемных ассоциаций, которое потом приводит к
серьезным изменениям психологии мышления: мышление становится более
гибким, подвижным, что очень важно для решения задач творческого
характера.
Примерами
таких
курсов
могут
быть:
«Компьютерное
моделирование», «Компьютерная графика и др.
Межпредметные курсы могут проводиться в основной школе, с целью
предпрофильной подготовки – оказание помощи учащимся в выборе профиля
обучения в старших классах.
III. По содержанию:
Элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубленное
изучение информатики;
1. Элективные спецкурсы повышенного уровня, направленные на
углубление отдельных тем основного курса информатики, входящих в
обязательную программу для изучения;
2. Элективные спецкурсы повышенного уровня, направленные на
углубление отдельных тем основного курса информатики, не входящих в
обязательную программу для изучения;
3. Прикладные элективные курсы, направленные на знакомство
учащегося с важными путями и методами применения знаний информатики на
практике;
4. Элективные курсы, посвященные изучению методов решения
различных задач по информатике.
Таким образом, из приведённых типологий элективных курсов ясно, что
существуют элективные курсы, которые помогают глубоко изучить предмет,
входящий в базовый учебный план, другие элективные курсы помогают
показать межпредметные связи изучаемых предметов, а третьи помогают
17
изучить предметы, не входящие в базовый учебный план. Некоторые из этих
курсов направлены на изучение путей и методов применения знаний
информатики на практике, другие посвящены изучению методов решения
задач по информатике, но все приведённые элективные курсы удовлетворяют
потребностям и интересам учащихся.
1.3 Анализ содержания и результатов выполнения заданий
ЕГЭ по информатике в рамках темы «Алгебра логики»
Кодификатор элементов содержания и требований к уровню подготовки
выпускников
образовательных
организаций
для
проведения
единого
государственного экзамена по информатике и ИКТ (далее – кодификатор)
является одним из документов, определяющих структуру и содержание КИМ
ЕГЭ. Он составлен на основе Федерального компонента государственных
стандартов основного общего и среднего (полного) общего образования по
информатике и ИКТ (базовый и профильный уровни) (приказ Минобразования
России от 05.03.2004 № 1089).
Перечень элементов содержания тестирования на ЕГЭ по информатике
и ИКТ сформирован на основе раздела «Обязательный минимум содержания
основных
образовательных
программ»
федерального
компонента
государственного стандарта среднего (полного) общего образования по
информатике и ИКТ (базовый и профильный уровень).
Перечень
элементов
содержания,
проверяемых
на
государственном экзамене по информатике и ИКТ по теме «Логика»:
Код
Код
Элементы содержания,
разконтропроверяемые на ЕГЭ
дела лируемого
элемента
1
1.5
Логика и алгоритмы
1.5.1
Высказывания, логические операции, кванторы,
истинность высказывания
едином
18
1.5.2
Цепочки (конечные последовательности), деревья,
списки, графы, матрицы (массивы), псевдослучайные
последовательности
1.5.3
Индуктивное определение объектов
1.5.4
Вычислимые функции, полнота формализации понятия
вычислимости, универсальная вычислимая функция
1.5.5
Кодирование с исправлением ошибок
1.5.6
Сортировка
Контрольно-измерительные материалы (Ким) экзаменационной работы
охватывают основное содержание курса информатики, его важнейшие темы,
важнейший материал, четко интерпретируемый в большинстве школьных
вариантов, преподаваемых в курсе информатики. Работа содержит как задания
базового
уровня
сложности,
тестирование
знаний
и
навыков,
соответствующих базовому уровню подготовки по предмету, так и задания
повышенного и высокого уровней, проверка знаний и навыков, владение
которыми основано на углубленном изучении предмета. [20]
На экзамене по информатике в 2017 году использовалась та же
экзаменационная модель контрольно-измерительных материалов, что и в
прошлом году.
Рассмотрим результаты экзаменационной работы для групп заданий по
различным тематическим блокам. Ниже приведены результаты выполнения
заданий экзаменационной работы по укрупненным разделам школьного курса
информатики.
Кодирование и измерение количества информации - 54.7%
Информационное моделирование 75.3%
Системы счисления 64,7%
Основы алгебры логики до 43,2%
Алгоритмизация и программирование 46.4%
Основы информационно-коммуникационных технологий 68.2%
19
Как и в предыдущие годы, по теме «Основы алгебры логики» участники
ЕГЭ продемонстрировали самые низкие результаты.
Экзаменуемые испытывают трудности при выполнении заданий,
контролирующих следующие знания и навыки:
 знание основных понятий и законов математической логики;
 способность построения и преобразования логических выражений;
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПОЛНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
ИЛИ ГРУПП ЗАДАНИЙ (ЕГЭ по информатике и ИКТ, 2015-2017 гг.) в
Орловской области
№
Проверяемые
зада умения
ния
Уровень
сложности
задания
Средний
процент
выполне
ния,
2015 г.
Средний
процент
выполне
ния,
2016 г.
Средний
процент
выполне
ния,
2017 г.
81,2%
87.7%
82,8%
62,2
2
Умение
строить
таблицы Базовый
истинности
и
логические
схемы
17
Запросы для поисковых систем Повышенный
с использованием логических
выражений
65,0
52,4
18
Знание основных понятий и Повышенный 14,5%
законов
математической
логики
17,6%
33,5
23
Умение
строить
и Высокий
преобразовывать логические
выражения
7,0%
3,5%
10,3%
26
Умение построить дерево игры Высокий
по заданному алгоритму и
обосновать
выигрышную
стратегию
68,2%
79,0%
47,2%
Наименьший результат (10,3 %) получен в 2017 году по заданию 23 (тема
«Логика и алгоритмы») высокого уровня сложности. В 2016 году наихудшие
20
результаты (менее 20 %) получены по заданиям 23, 18 (тема «Логика и
алгоритмы») высокого и повышенного уровня сложности.
В 2015 году наименьшие средние баллы (менее 20 %) были получены по
заданиям 11, 18, 23 по теме «Логика и алгоритмы» базового, повышенного и
высокого уровней сложности. В 2017 году можно отметить рост средних
результатов.
Темы, вызвавшие затруднения у участников ЕГЭ 2017 года
Средний процент выполнения заданий по отдельным темам в 2013-2017
гг.
№
темы
Наименование темы
2013
г.
2014
г.
2015
г.
2016
г.
2017
г.
1
Информация
и ее кодирование
72,0
%
60,2
%
41,9
%
54,3
%
53,7
%
2
Моделирование
и
компьютерный
эксперимент
75,0
%
70,0
%
78,3
%
50,7
%
61,2
%
3
Системы счисления
82,0
%
49,0
%
47,4
%
57,1
%
57,7
%
4
Логика и алгоритмы
61,0
%
50,1
%
37,9
%
41,3
%
46,5
%
5
Элементы
алгоритмов
65,0
%
40,0
%
33,6
%
47,8
%
44,1
%
6
Программирование
58,0
%
45,7
%
45,4
%
44,6
%
44,9
%
7
Архитектура компьютеров
и компьютерных сетей
66,0
%
52,9
%
93,5
%
85,5
%
86,3
%
8
Обработка
информации
числовой
75,0
%
73,0
%
72,9
%
79,3
%
71,7
%
9
Технологии
поиска
и хранения информации
78,0
%
75,8
%
51,6
%
38,8
%
54,1
%
теории
21
Как видно из таблицы тема «Логика и алгоритмы» имеет низкий процент
выполнения.
По данному разделу в экзаменационной работе содержалось шесть
заданий: два базового уровня, два – повышенного, два – высокого. Средний
процент выполнения заданий составляет 44,1 % (2016 г. – 41,3 %, 2015 г. – 37,9
%, 2014 г. – 50,1 %). По решениям заданий данного раздела наблюдается
некоторый прогресс. В 2017 году самое сложное задание ЕГЭ № 23 решили
10,3 % участников по сравнению с 3,5 % с 2016 годом.[4]
Таким образом, при подготовке учащихся к ЕГЭ следует обратить
особое внимание на усвоение учащимися теоретических основ информатики,
преимущественно раздела «Основы логики» с учетом тесных межпредметных
связей информатики с математикой, а также на развитие метапредметной
способности к логическому мышлению.
22
2. Программно-методическое обеспечение элективного предмета
«Подготовка к ЕГЭ по информатике» для учащихся 10-11х классов
2.1 Рабочая программа элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике»
2.1.1 Пояснительная записка
Программа элективного предмета направлена на расширение знаний и
умений содержания по курсу информатики и ИКТ, а также на тренировку и
отработку навыка решения тестовых заданий в формате ЕГЭ. Это позволит
обучающимся
сформировать
положительное
отношение
к
ЕГЭ
по
информатике, выявить темы для дополнительного повторения, почувствовать
уверенность в своих силах перед сдачей ЕГЭ.
Программа данного элективного курса (курса по выбору учащихся) так
же ориентирована на систематизацию знаний и умений по курсу информатики
и информационно – коммуникационных технологий (ИКТ) для подготовки к
сдаче единого государственного экзамена.
Предмет рекомендован обучающимся 10-11 классов старшей школы,
сдающих ЕГЭ по информатике.
Цель изучения предмета: расширение содержания среднего образования
по курсу информатики для повышения качества результатов ЕГЭ.
Достижение поставленной цели связывается с решением следующих
задач:
1.изучение структуры и содержания контрольных измерительных
материалов по информатике и ИКТ;
2.повторение методов решения тестовых заданий различного типа по
основным тематическим блокам по информатике и ИКТ;
3.формирование
умения
эффективно
выполнение заданий различных типов;
распределять
время
на
23
4. формирование умения оформлять решение заданий с развернутым
ответом в соответствии с требованиями инструкции по проверке.
5.отработка навыка решения заданий ЕГЭ;
Программа направлена на расширение знаний и умений содержания по
курсу информатики и ИКТ, а также на тренировку и отработку навыка
решения тестовых заданий в формате ЕГЭ. Это позволит обучающимся
сформировать положительное отношение к ЕГЭ по информатике, выявить
темы для дополнительного повторения, почувствовать уверенность в своих
силах перед сдачей ЕГЭ.
Курс рассчитан на 68 часов лекционно – практических занятий
и
проводится в течение 2 учебных лет по 1 часу в неделю.
Каждое занятие тематических блоков может быть построено по
следующему алгоритму:
1.Повторение основных методов решения заданий по теме,
2.Совместное решение заданий ЕГЭ,
3.Самостоятельная работа обучающихся по решению тестовых заданий
с хронометражем.
2.1.2 Планируемые результаты освоения элективного предмета
При изучении курса «Подготовка к ЕГЭ по информатике» в
соответствии с требованиями ФГОС формируются следующие личностные
результаты.
1.Сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики.
Каждая учебная дисциплина формирует определенную составляющую
научного мировоззрения. Информатика формирует представления учащихся о
науках, развивающих информационную картину мира, вводит их в область
информационной деятельности людей. Ученики узнают о месте, которое
занимает информатика в современной системе наук, об информационной
картине мира, ее связи с другими научными областями. Ученики получают
24
представление о современном уровне и перспективах развития ИКТ-отрасли,
в реализации которых в будущем они, возможно, смогут принять участие.
2. Сформированность навыков сотрудничества со сверстниками, детьми
младшего возраста, взрослыми в образовательной, общественно полезной,
учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности.
Эффективным методом формирования данных качеств является учебнопроектная деятельность. Работа над проектом требует взаимодействия между
учениками — исполнителями проекта, а также между учениками и учителем,
формулирующим задание для проектирования, контролирующим ход его
выполнения, принимающим результаты работы. В завершение работы
предусматривается процедура защиты проекта перед коллективом класса,
которая также требует наличия коммуникативных навыков у детей.
3. Бережное, ответственное и компетентное отношение к физическому и
психологическому здоровью как собственному, так и других людей, умение
оказывать первую помощь.
Всё большее время у современных детей занимает работа за
компьютером (не только над учебными заданиями). Поэтому для сохранения
здоровья очень важно знакомить учеников с правилами безопасной работы за
компьютером, с компьютерной эргономикой.
4. Готовность
и
способность
к
образованию,
в
том
числе
самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к
непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и
общественной деятельности; осознанный выбор будущей профессии и
возможностей реализации собственных жизненных планов.
Данное
качество
формируется
в
процессе
развития
навыков
самостоятельной учебной и учебно-исследовательской работы учеников.
Выполнение
проектных
заданий
требует
от
ученика
проявления
самостоятельности в изучении нового материала, в поиске информации в
различных источниках. Такая деятельность раскрывает перед учениками
возможные перспективы в изучении предмета, в дальнейшей профориентации
25
в этом направлении. В содержании многих разделов учебников рассказывается
об использовании информатики и ИКТ в различных профессиональных
областях и перспективы их развития.
Достижение этих целей обеспечивается решением следующих задач:

Изучение понятия информации (информация рассматривается как одно из
базовых понятий современной науки, наряду с материей и энергией,
рассмотрение различных подходов к понятию информации в философии,
кибернетике, биологии.).

Изучение понятия система (раскрывается общенаучное значение понятия
системы, компьютерное информационное моделирование). Раскрывается
значение информационного моделирования как базовой методологии
современной науки. В конце каждого параграфа присутствуют вопросы и
задания, многие из которых ориентированы на коллективное обсуждение,
дискуссии, выработку коллективного мнения. В практикуме (в учебниках)
помимо заданий для индивидуального выполнения в ряде разделов
содержатся задания проектного характера.

Изучение раздела «Правила техники безопасности и гигиены при работе
на персональном компьютере»

Выполнение ряда заданий требует осознания недостаточности имеющихся
знаний, самостоятельного изучения нового для учеников теоретического
материала, ориентации в новой предметной (профессиональной) области,
поиска источников информации, приближения учебной работы к формам
производственной деятельности.
При изучении курса «Информатика» в соответствии с требованиями
ФГОС формируются следующие метапредметные результаты.
1.Умение самостоятельно определять цели и составлять планы;
самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать учебную и
внеучебную
(включая
внешкольную)
деятельность;
использовать
все
возможные ресурсы для достижения целей; выбирать успешные стратегии в
различных ситуациях.
26
Данная компетенция формируется при изучении информатики в
нескольких аспектах, таких как:
-учебно-проектная деятельность: планирование целей и процесса
выполнения проекта и самоконтроль за результатами работы;
-изучение
основ
системологии:
способствует
формированию
системного подхода к анализу объекта деятельности;
-алгоритмическая линия курса: алгоритм можно назвать планом
достижения цели исходя из ограниченных ресурсов (исходных данных) и
ограниченных возможностей исполнителя (системы команд исполнителя).
2.Умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе
совместной деятельности, учитывать позиции другого, эффективно разрешать
конфликты.
Формированию данной компетенции способствуют следующие аспекты
методической системы курса:
-формулировка многих вопросов и заданий к теоретическим разделам
курса стимулирует к дискуссионной форме обсуждения и принятия
согласованных решений;
-ряд заданий предусматривает коллективное выполнение, требующее от
учеников умения взаимодействовать;
3.Готовность и способность к самостоятельной информационнопознавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных
источниках
информации,
критически
оценивать
и
интерпретировать
информацию, получаемую из различных источников.
Информационные технологии являются одной из самых динамичных
предметных областей. Поэтому успешная учебная и производственная
деятельность в этой области невозможна без способностей к самообучению, к
активной познавательной деятельности.
Интернет является важнейшим современным источником информации,
ресурсы которого постоянно расширяются. В процессе изучения информатики
27
ученики осваивают эффективные методы получения информации через
Интернет, ее отбора и систематизации.
4.Владение навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и
оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и
средств их достижения.
Формированию
индивидуального,
этой
компетенции
дифференцированного
способствует
подхода
при
методика
распределении
практических заданий, которые разделены на три уровня сложности:
репродуктивный, продуктивный и творческий. Такое разделение станет для
некоторых учеников стимулирующим фактором к переоценке и повышению
уровня своих знаний и умений. Дифференциация происходит и при
распределении между учениками проектных заданий.
Достижение этих целей обеспечивается выполнением проектных
заданий и деление проектных заданий на уровни сложности: 1-й уровень —
репродуктивный; 2-й уровень — продуктивный; 3-й уровень — творческий.
Предметные результаты курса «Подготовка к ЕГЭ по информатике»:
При изучении курса «Подготовка к ЕГЭ по информатике» в
соответствии с требованиями ФГОС формируются следующие предметные
результаты, которые ориентированы на обеспечение, преимущественно,
общеобразовательной и общекультурной подготовки:

владение
навыками
алгоритмического
мышления
и
понимание
необходимости формального описания алгоритмов;

владение умением понимать программы, написанные на выбранном для
изучения универсальном алгоритмическом языке высокого уровня;

владение знанием основных конструкций программирования;

владение умением анализировать алгоритмы с использованием таблиц;

владение стандартными приемами написания на алгоритмическом языке
программы для решения стандартной задачи с использованием основных
конструкций программирования и отладки таких программ;
28

использование
готовых
прикладных
компьютерных
программ
по
выбранной специализации;

сформированность представлений о компьютерно – математических
моделях и необходимости анализа соответствия модели и моделируемого
объекта (процесса);

сформированность представлений о способах хранения и простейшей
обработке данных;

сформированность понятия о базах данных и средствах доступа к ним,
умений работать с ними;

владение компьютерными средствами представления и анализа данных;

владение навыкамипереводить заданное натуральное число из двоичной
записи в восьмеричную и шестнадцатеричную, и обратно; сравнивать
числа, записанные в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
системах счисления;

умение определять информационный объём графических и звуковых
данных при заданных условиях дискретизации

логической выражение по заданной таблице истинности; решать
несложные логические уравнения.

выполнять
эквивалентные
преобразования
логических
выражений,
используя законы алгебры логики, в том числе и при составлении
поисковых запросов.
2.1.3 Учебный план элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по
информатике»
29
№
Тема
1. Правила техники безопасности и санитарно-
Количество Формы работы
лекции практика
часов
1
1
гигиенические нормы при работе на
компьютере.
2. Алгоритмизация и программирование
30
10
20
2 Логика
7
3
4
3 Информация и кодирование
10
3
7
4 Технология обработки числовой информации
7
3
4
и СУБД
5 Компьютерные сети
6
2
4
6 Моделирование, игровые стратегии
7 Резерв
6
1
2
4
1
8 Итого
68
24
44
30
2.1.4 Тематическое планирование элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по Информатике» для учащихся 10-11
классов
№
Наименование раздела
Кол-во часов
Формируемые УУД
Формы
п/п
диагностики
уровня знаний
Раздел Тема
1
2
2.1
2.2
Правила техники
1ч
1
Формирование понимания и использования Устный
безопасности и санитарно –
санитарно – гигиенических норм при работе опрос
гигиенические нормы при
на
работе на компьютере
безопасности.
компьютере
Алгоритмизация и
30
Формирования
программирование
ч
мышления.
Анализ и построение
2
и
правил
техники
алгоритмического Тестирование
Формирование
знаний
об Составление
алгоритмических конструкциях. Исполнять программ для
алгоритмов для
алгоритмы
исполнителей
Определять, для решения какой задачи Решение
Выполнение алгоритмов для
исполнителя Робот
2
для
учебных
предназначен алгоритм.
исполнителей. алгоритмов.
Заданий ЕГЭ
31
2.3
Оператор присваивания и
2
ветвления
Анализировать системы команд и отказов
исполнителей, придумывать аналогичные
учебные
2.4
Анализ программ с циклами
4
исполнители
и
задачи
по
условия
в
управлению ими.
Использовать
логические
2.5
Рекурсивные алгоритмы
2
алгоритмических конструкциях.
2.6
Анализ программы с цикла-
2
Сопоставлять
2.7
решения одной задачи.
операторами
Определять по выбранному методу решения
Анализ программ с циклами
2
Алгоритмы обработки
Обработка массивов и
4
Поиск и исправление
ошибок в программе
алгоритма.
Выбирать разбиение исходной задачи на
2
подзадачи и оформлять решения подзадач в
форме подпрограмм.
матриц
2.10
задачи, какие алгоритмические конструкции
целесообразно использовать при создании
массивов
2.9
алгоритмы
ми и условными
и подпрограммами
2.8
различные
4
Анализировать
процесс
и
результаты
исполнения программы с использованием
32
2.11
Обработка символьных
4
строк
простейших
приёмов
отладки
разветвляющихся и циклических программ,
а
также
программ,
содержащих
подпрограммы
Использовать переменные для обработки и
сохранения информации.
Создавать алгоритмы с использованием
конструкции цикла со счетчиком
Применять
массивы
для
обработки
однородной информации.
Определять по выбранному методу решения
задачи,
какие
структуры
данных
целесообразно
использовать
алгоритмической
обработки
информации.
программирования
заданной
Использовать
для
для
язык
реализации
алгоритмов на компьютере.
3
Логика
7ч
Тест,
33
3.1
3.2
3.3
Построение таблиц истин-
1
истинности,
логических
законах.
Определять
применимость
изучаемых
1
таблицах
демонстрационного
методов для решения логических задач.
варианта ЕГЭ
Применять
Решение логических задач с
1
Разбор заданий №17
1
варианта ЕГЭ
Преобразование логических
1
выражений
3.6
операциях,
логических Решение заданий ЕГЭ
выражений.
Разбор заданий №2
и
о
значениях
демонстрационного
3.5
знаний
ности логических
помощью кругов Эйлера.
3.4
Формирование
Разбор заданий №18
демонстрационного
варианта ЕГЭ
1
законы
логики
преобразования логических переменных
для
34
3.7
Разбор заданий №23
1
демонстрационного
варианта ЕГЭ
4
Информация и кодирование
4.1
Кодирование и декодирова-
10ч
2
ние информации
4.2
4.3
Кодирование и операции
2
над числами в разных
сообщения, используя азбуку Морзе.
системах счисления
Использовать
Кодирование чисел. Систе-
2
Перебор слов и системы
2
4.5
Кодирование звуковой и
2
графической информации
4.6
Проверка закономерностей
2
подходы
к
числовые
параметры
информационных процессов
Представлять
счисления
различные
измерению количества информации.
Оценивать
мы счисления
4.4
кодировать (по таблице) и декодировать Решение заданий ЕГЭ
натуральные
различных системах счисления
числа
в
35
5
5.1
Технология обработки
6ч
Определять
информационный
числовой информации и
графических,
текстовых
СУБД
объектов
Анализ диаграмм и элек-
и
объем
звуковых
2
тронных таблиц
5.2
Поиск и сортировка
2
информации в базах данных
5.3
Уметь
формулировать
потребность,
Запросы для поисковых
2
информационную Тест,
определять
информационного
поиска,
параметры Решение заданий ЕГЭ
осуществлять
систем с использованием
поиск информации в соответствии с этими
логических выражений
параметрами.
Составлять запросы к базам данных.
Анализировать диаграммы ЭТ
6
Компьютерные сети
6ч
Анализировать
6.1
Файловая система
2
операций с файлами и каталогами (папками):
6.2
Определение скорости пе-
2
копирование,
Адресация в компьютерных
сетях
перемещение,
переименование, поиск;
редачи информации
6.3
результат
2
основных
удаление, Тест,
Решение заданий ЕГЭ
36
Уметь
определять
информации.
скорость
Анализировать
передачи
адреса
в
компьютерной сети
7
Моделирование, игровые
6ч
Выделять в исследуемой ситуации: объект,
стратегии
7.1
субъект, модель
Анализ информационных
1
Выделять среди свойств данного объекта
существенные свойства с точки зрения целей
моделей
7.2
Поиск путей в графе
1
моделирования.
7.3
Перебор вариантов, постро-
2
Проводить
Практикум
формализацию
плохо
поставленной (жизненной) задачи.
ение дерева
Анализировать и структурировать данные
7.4
Выигрышная стратегия
8
Резерв.
1
при решении задач.
ВСЕГО
68
Строить информационную модель задачи.
ч
Исследовать с помощью информационных
2
моделей
37
38
2.2 Содержание уроков по теме «Алгебра логики» в рамках
элективного предмета «Подготовка к ЕГЭ по информатике»
Урок 1. Тема: Построение таблиц истинности логических выражений.
Цель: построение таблиц истинности логических выражений.
Задачи:
1.Повторить основные понятия математической логики (конъюнкция,
дизъюнкция, инверсия, и др.)
2.Научить составлять логические выражения из высказываний;
3.Ввести понятие “таблица истинности логического выражения”;
4.Изучить последовательность действий построения таблиц истинности;
5.Научить находить значение логических выражений посредством
построения таблиц истинности;
6.Ввести понятие равносильности логических выражений;
доказывать
7.Научить
равносильность
логических
выражений,
используя таблицы истинности;
8.Закрепить навыки нахождения значений логических выражений
посредством построения таблиц истинности.
Планируемые результаты:
предметные — повторение основный знаний о разделе математики —
алгебре логики, высказывании
высказываниями,
этапы
как ее объекте,
составления
таблиц
об операциях над
истинности
логических
выражений, построение и заполнение таблицы истинности логического
выражения, нахождение
значения
логических
выражений
посредством
построения таблиц истинности
метапредметные — развитие навыков анализа логической структуры
высказываний;
понимание
связи
между логическими
операциями и
логическими связками, умение использовать знаково – символических
средств, умение осуществлять итоговый и пошаговый контроль по результату
выполнения заданий, умение формулировать свои затруднения.
39
личностные — понимание роли фундаментальных знаний как основы
современных информационных технологий.
Ход урока
I. Оргмомент.
Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема
нашего сегодняшнего урока «Составление логических выражений. Таблицы
истинности». Изучив данную тему, вы научитесь, как из высказываний
составляются логические формы, и определять их истинность посредством
составления таблиц истинности.
II. Изложение нового материала.
1.Повторение основных логических операций
Существует три основных логических операции при помощи которых
можно записать любое логическое выражение:
1.Инверсия
2.Конъюнкция
3.Дизъюнкция
Конъюнкция, оно же «Логическое И», оно же «Логическое умножение».
Мы выбираем название «Логическое И» – оно чаще встречается в
программировании.
Допустим, у нас есть два простых выражения – А и В. Эти выражения
могут иметь значения или 1 (истина), или 0 (ложь). При выполнении операции
«Логическое И» мы получим сложное выражение которое примет значение 1
(истина) только в том случае если и А, и В имеют значение 1 (истина), во всех
других
Операция
случаях
«Логическое
результат
будет
И»
обозначения
имеет
0
(ложь).
(в
языках
программирования): И, &, AND.
Дизъюнкция,
оно
же «Логическое
ИЛИ»,
оно
же «Логическое
сложение». Мы выбираем название «Логическое ИЛИ». Кстати, если
логически подумать, то можно и догадаться какие результаты будут при
выполнении этой операции.
40
В «Логическом И» результат равен 1, если и А, и В, равны 1, а в
«Логическом ИЛИ» результат будет равен 1, если или А, или В, равны
единице.
Операция «Логическое ИЛИ» имеет обозначения: ИЛИ, ||, OR, |.
Инверсия, оно же «Логическое НЕ», оно же «Отрицание».
Мы
Операция
выбираем
название
«Логическое
НЕ»
«Логическое
имеет
НЕ».
обозначения: НЕ.
Тут вообще все просто: Если А=1 (истина), то после выполнения операции
«Отрицание» А примет значение 0, то есть становится ложным. И наоборот.
Есть еще одно название этой операции «Инвертор», а применяется оно в
отношении цифровых микросхем.
2. Построение таблиц истинности.
Мы уже знакомы с понятием “таблица истинности”,так как изучали
данную темы в 8 классе.
Опр.1 Таблица
истинности —
это
таблица,
устанавливающая
соответствие между возможными наборами значений логических переменных
и значениями функций.
При
построении
таблиц
истинности
есть
определенная
последовательность действий:
1. Необходимо определить количество строк в таблице истинности:
количество строк равно 2n, где n — количество логических переменных.
2. Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности,
которое равно количеству логических переменных плюс количество
логических операций.
3. Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством
строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с
последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и
приоритетов;
4. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
41
5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя
логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
Пример. Построить таблицу истинности для составного высказывания:
F  ( B & A & В)
1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем
количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2
переменные: А и В.
Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4.
2). Определяем количество столбцов. Это количество логических
переменных плюс количество логических операций.
В нашем случае количество переменных равно двум, а количество
логических операции — четыре, то есть количество столбцов таблицы
истинности равно 6.
3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов,
обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений
исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по
столбцам.
A
B
A
В
B&A
F
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
Теперь мы можем определить значение логической функции для любого
набора значений логических переменных.
2. Равносильные логические выражения.
Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц
истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения
равносильных логических выражений используется знак “ = “.
42
Пример. Докажем,
что
логические
выражения
¬a˄¬b
и ˅ равносильны.
Построим сначала таблицу истинности логического выражения:
1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем
количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2
переменные: А и В.
Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4.
2). Определяем количество столбцов. Это количество логических
переменных плюс количество логических операций.
В нашем случае количество переменных равно двум, а количество
логических операции — трем, то есть количество столбцов таблицы
истинности равно пяти.
3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов,
обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений
исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по
столбцам.
Сначала необходимо выполнить логическое отрицание А, а затем
логическое отрицание В. Последним действием выполним логическое
сложение.


F
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
a
b
0
0
0
Теперь построим таблицу истинности логического выражения:
1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем
количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2
переменные: А и В.
43
Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4.
2). Определяем количество столбцов. В нашем случае количество
переменных равно двум, а количество логических операции — двум, то есть
количество столбцов таблицы истинности равно четырем.
3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов,
обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений
исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по
столбцам.
Сначала необходимо выполнить действие в скобках, а затем логическое
отрицание.
a
b
ab
F
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних
столбцах таблиц истинности, т.к. именно последние столбцы являются
результирующими.
IV. Закрепление изученного материала.
1. Построить таблицу истинности для формулы: A  B & C
1) Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем
количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит
3переменные: А, В и С.
Количество строк в таблице истинности должно быть равно 23=8.
2) Определяем количество столбцов. В нашем случае количество
переменных равно трем, а количество логических операции — пяти, то есть
количество столбцов таблицы истинности равно восьми.
3) Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов,
обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений
44
исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по
столбцам.
Последовательность операций: инверсия, операции в скобках, операция
за скобкой.
C
B &C
A B &C
F
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
A
B
C
0
0
0
0
0
0
2. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность
следующих логических выражений:  →  и ˅.
Построим сначала таблицу истинности логического выражения:
1). Определим количество строк в таблице: 22=4.
2). Определяем количество столбцов: 2+1=3.
3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов.
→
A
B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Построим таблицу истинности логического выражения:
1). Определим количество строк в таблице: 22=4.
2). Определяем количество столбцов: 2+2=4.
.
.
45
3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов.
a
b

F
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
Вывод: данные логические выражения не равносильны.
V. Итог урока. Обобщение пройденного материала, оценка работы
активных учеников.
VI. Домашнее задание.
1. Доказать,
выражения
используя
таблицы
истинности,
что
логические
a&b и ¬a  ¬b равносильны
Построить таблицу истинности для формулы: ( A  B)  B
Урок 2. Тема: Разбор заданий №2 демонстрационного варианта ЕГЭ по
информатике
Планируемые результаты:
Предметные:
формирование
представления
о
свойствах
логических
логической
структуры
выражений и подчинении их законам алгебры логики;
Метапредметные:
высказываний;
развитие
понимание
навыков
связи
анализа
между логическими
операциями и
логическими связками, между логическими операциями и операциями над
множествами;
Личностные: понимание роли фундаментальных знаний как основы
современных информационных технологий
Ход урока
1. Актуализация знаний
46
Учитель: В разных
учебниках используют разные обозначения. К
счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка обозначений (˄,˅,¬),
что еще раз подчеркивает проблему.
2. Повторение основных логических операций
Учитель: Для того чтобы повторить основные логические операции, и
проверить насколько усвоен материал выполним интерактивное задание на
сервисе LearningApps. Режим доступа: https://learningapps.org/view1668102.
(рис. 1,2,3)
рисунок 1
47
Рисунок 2
Рисунок 3
Учитель: Что нужно знать для выполнения заданий:
условные обозначения логических операций
¬ A, не A (отрицание, инверсия)
A ˄ B, A B A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A ˅ B, A  B A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A → B импликация (следование)
A  B эквивалентность (равносильность)
операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A ˅ B или в других обозначениях A → B = A  B
48
иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:
¬ (A ˄ B) = ¬ A ˅ ¬ B ( A  B  A  B )
¬ (A ˅ B) = ¬ A ˄ ¬ B ( A  B  A  B )
если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции
«НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя –
«эквивалентность»
таблица истинности выражения определяет его значения при всех
возможных комбинациях исходных данных
если известна только часть таблицы истинности, соответствующее
логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной
таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не
совпадающих для других вариантов входных данных);
количество
разных
логических
выражений,
удовлетворяющих
k
неполной таблице истинности, равно 2 , где k – число отсутствующих строк;
например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными
содержит 23=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4
разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но
отличающиеся в двух оставшихся)
логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и
только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных
случаях равна 1 (выражение истинно)
логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно)
тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а
в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)
логическое следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только
тогда, когда A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно
эквивалентность АB равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения
одновременно равны 0 или одновременно равны 1
3. Практическая часть(выполнение заданий)
49
Логическая функция F задаётся выражением (x ˅ y) → (y  z). На рисунке
приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F,
содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу
таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
?
?
0
0
?
F
0
0
0
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
1)запишем выражение в более понятной форме: F  ( x  y)  ( y  z)
2)для
решения
этой
задачи
используем
свойство
операции
«импликация»: a  b  0 тогда и только тогда, когда a = 1 и b = 0
3)в обеих строках приведённой части таблицы функция равна 0, поэтому
везде
хотя бы одна из величин, x или y равна 1, что даёт ( x  y)  1;
y и z различны, что даёт ( y  z)  0
4)поскольку значения в первых двух столбцах в первой строке равны 0,
один из этих столбцов – это x
5)предположим, что x – это первый столбец:
x
?
1
0
0
2
0
?
F
0
0
тогда в обеих строках получаем F  (0  y)  ( y  z)  0 , откуда сразу
следует,
что
есть
единственная
пара
остальных
переменных,
удовлетворяющих условию задачи: y = 1, z = 0, и вторая строка олжна быть
копией первой (второй подходящей пары y , z нет!), что противоречит условию
6)это значит, что x – это не первый, а второй столбец:
50
?
x
1
0
0
2
0
?
F
0
0
7)если при этом предположить, что первый столбец – это y, то в первой
строке получаем
F  (0  0)  (0  z)  1 (при любом z!), что противоречит
условию; поэтому первый столбец – это z, а третий – y
8)на всякий случай проверяем первую строку: F  (0  y)  ( y  0)  0
справедливо при y = 1
9)во второй строке условие F  ( x  y)  ( y  0)  0 справедливо при x = 1
и y = 1 (что отличается от варианта в первой строке значением x)
10)Ответ: zxy.
Решение (метод исключения, С.Н. Лукин, г. Москва):
1)всего возможно 6 вариантов решения задачи:
x
y
z
x
z
y
y
x
z
y
z
x
z
x
y
z
y
x
В процессе решения будем вычеркивать лишние варианты, пока не
останется один-единственный. Также будем по возможности заполнять
пустые клетки таблицы (по принципу «Чем меньше неопределенностей, тем
лучше»).
2)используем следующее свойство импликации: выражение ab равно
нулю тогда и только тогда, когда a=1 и b=0. В нашем примере a это левая
скобка, b – правая.
3)теперь рассуждаем от противного. Пусть в пустой клетке первой
строки таблицы истинности стоит ноль:
51
?
?
?
F
0
0
0
0
4)Тогда в любом из 6 вариантов решения получится x = 0 и y = 0, а значит
(x ˅ y)=0, что противоречит упомянутому свойству импликации. Значит, там
стоит единица:
?
?
?
F
0
0
1
0
0
0
5)По той же причине в левых двух столбцах первой строки не могут
находиться одновременно x и y. Это позволяет нам вычеркнуть два из шести
вариантов решения:
x
y
z
y
x
z
x
z
y
y
z
x
z
x
y
z
y
x
Остаются 4 варианта:
6)Идем дальше. По упомянутому свойству импликации вторая скобка
должна равняться 0, а значит y и z не должны совпадать. Это позволяет нам,
погдядев на первую строку таблицы истинности, вычеркнуть еще два варианта
решения:
y
z
x
z
y
x
z
y
Остаются 2 варианта:
x
52
z
x
y
7)Получается, что в правом столбце обязательно стоит y. Начало
положено.
8)Попробуем заполнить пустые клетки во второй строке таблицы
истинности. Способов заполнения четыре: 00, 01, 10, 11. Первый из них мы
рассмотрели выше, он отпадает. Второй отпадает, так как в этом случае две
строки таблицы истинности будут совпадать, что противоречит условию
задачи. Третий и четвертый способы приказывают нам иметь во втором
столбце единицу. Спасибо и на этом:
?
?
y
F
0
0
1
0
0
1
0
9)Теперь рассмотрим первый из двух оставшихся вариантов решения
(xzy), подставив сначала в пустую клетку ноль. Но ноль отпадает, так как x и y
не могут одновременно равняться нулю. А единица отпадает, так как y и z не
должны совпадать. Значит, отпадает и сам вариант решения
xzy.
Следовательно, решением задачи является единственный невычеркнутый
вариант: zxy.
10)Из тех же соображений, что y и z не должны совпадать, в оставшуюся
пустую клетку ставим единицу:
z
x
y
F
0
0
1
0
0
1
1
0
11)А теперь проверьте решение, подставив в выражение (x ˅ y)  (y  z)
значения переменных из каждой строки таблицы.
12)Ответ: zxy.
Решение (метод инверсии, А.Н. Носкин, г. Москва):
1)Известно, что если F = 0, то обратная её функция F =1.
2)Применим закон де Моргана и упростим:
53
 = (˅y) ˅ (yz) = (x˅)˄(y ≠ z)
3)тогда при тех же значениях аргументов функция F истинна
?
?
0
0
?
F
1
0
1
4)анализ формулы  = (x˅)˄(y ≠ z) показывает, что для истинности
функции F необходимо, чтобы значение в каждой скобке были равны 1.
5)Кроме того, этот анализ показывает, что в первой строке таблицы, в ее
последнем столбце, не может быть 0, так как тогда значение функции не будет
равно 1. На основе этого анализа таблица примет вид:
?
?
?
F
0
0
1
1
0
1
6)Анализ первой строки данной таблицы показывает, что в первых двух
ячейках не может быть одновременно ни x, ни y. В этих ячейках рядом может
быть только x и z, значит y находится в последней ячейке.
7)Во второй ячейке, второй строки не может быть 0, так как должны
быть неповторяющиеся строки, а все нули быть не могут (не выполнится
условие F =1). Значит в данной ячейке строго 1.
?
?
y
F
0
0
1
1
0
1
1
8)Значит в оставшейся ячейке может быть только 0 или 1, а именно, во
второй строке возможен набор 010 или 011. Простой анализ с учетом того, что
в последнем столбце y, дает итоговый ответ – набор 011 .
54
9)Ответ: zxy.
Ещё пример задания:
Логическая функция F задаётся выражением ¬x ˅ y ˅ (¬z ˄ w). На
рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все
наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому
столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных
x, y, z, w.
?
?
?
?
F
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
1)запишем выражение в более понятной форме: F  x  y  z  w
2)анализ формулы F  x  y  z  w показывает, что для того, чтобы
функция F была ложна, необходимо, чтобы x всегдабыл равен 1, а y всегдабыл
равен 0; поэтому x – это последний столбец в таблице, а y – первый:
y
?
?
x
F
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
3)остается разобраться с двумя средними столбцами; обратим внимание
на вторую строчку таблицы, в которой одна из оставшихся переменных равна
1, а вторая – 0; так как функция равна 0, то z  w  0 , откуда следует, что z = 1 и
w = 0 (иначе произведение будет равно 1)
4)Ответ: yzwx.
Решение (2 способ, инверсия выражения):
55
1)запишем выражение в более понятной форме: F  x  y  z  w
2)попытаемся свести задачу к уже известной задаче; если при каком-то
наборе аргументов функция F ложна, то обратная её функция, F , истинна
3)построим обратную функцию, используя законы де Моргана:
F  x  y  z  w  x  y  (z  w)
4)тогда при тех же значениях аргументов функция F истинна
?
?
?
?
F
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
5)анализ формулы F  x  y  ( z  w ) показывает, что для истинности
функции F необходимо, чтобы x всегдабыл равен 1, а y всегдабыл равен 0;
поэтому x – это последний столбец в таблице, а y – первый:
y
?
?
x
F
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
6)остается разобраться с двумя средними столбцами; обратим внимание
на вторую строчку таблицы, в которой одна из оставшихся переменных равна
1, а вторая – 0; так как функция равна 1, то z  w  1 , откуда следует, что z = 1
и w = 0 (иначе сумма будет равна 0)
7)Ответ: yzwx.
Возможные ловушки и проблемы:
 серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма
записи
логических
выражений
с
«закорючками»,
поэтому
рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый»
вид;
56
 расчет на то, что ученик перепутает значки ˄ и ˅ в некоторых случаях
заданные выражения-ответы лучше сначала упростить, особенно если
они содержат импликацию или инверсию сложных выражений
57
Урок 3. Тема: «Множества. Операции над множествами»
Цель: овладеть основными понятиями теории множеств.
Планируемые результаты:
Личностные:
жизненных
ориентация
перспектив,
обучающихся
инициативность,
на
реализацию
креативность,
позитивных
готовность
и
способность к личностному самоопределению, способность ставить цели и
строить жизненные планы;
Метапредметные: сопоставлять полученный результат деятельности с
поставленной заранее целью.
Предметные:
●сформировать
представление о свойствах логических операций на
элементах множества;
●сформировать
умение применять основные правила логики в решении
задач на поисковые запросы из ГИА;
●сформировать
навыки работы с логическими высказываниями,
способствовать развитию умений применять логические операции при работе
со множествами в задачах по информатике;
●формировать
●формировать
навыки анализа логической схемы (Круги Эйлера);
навыки представления одной и той же информации в
разных формах (логическое выражение, круги Эйлера);
●формирование
умение
применять
логическое
выражение
для
определения множества и описания множества;
Ход урока
1. Актуализация знаний
Учитель: С начальными представлениями о множествах мы познакомились
еще в младших классах школы, а затем работали с множествами чисел,
функций и геометрических фигур, слов и предложений, растений и животных
и др. Мы использовали отношения и операции над множествами для
обоснования суждений, решения логических задач, выявления аналогии
58
свойств объектов различной природы. Для дальнейшего движения вперед
уточним свои представления о теоретико-множественных понятиях и
познакомимся с новыми.
2. Изучение нового материала
Учитель: Сформулируем основные понятия теории множеств, начиная с
уточнения понятия множества. В современной математике множеством
называют любую совокупность произвольных объектов. Эти объекты
называют элементами множества.
Для обозначения того факта, что объект a является или не является
элементом множества A, мы применяем запись a  A или aA. Например, для
множества натуральных чисел верно: 3  N;
1
2
 N. Такую же запись можно
использовать и для нечисловых множеств. Так, если A – множество
произведений А.С. Пушкина, a – роман «Евгений Онегин», b – роман «Война
и мир», то a  A, b  A. Один или несколько элементов, принадлежащих
множеству, можно рассматривать как еще одно множество, тогда оно будет
подмножеством исходного множества.
Способы задания множества
Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а
можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не
принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а
элементом множества А или не является. Существуют два основных способа
задания множества:
1)перечисление элементов множества;
2)указание характеристического свойства элементов множества, т.е.
такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только
они.
Первым способом особенно часто задаются конечные множества.
Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком.
Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью
фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х2-5х+6=0
59
состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений
неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.
Второй способ задания множества является более универсальным.
Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством
Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают:
множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х).
Например, А={х | х2-5х+6=0}. Решив уравнение х2-5х+6=0, мы можем записать
множество А первым способом: А={2; 3}.
Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х  Z}, т.е. Х есть множество целых
чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.
Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. Fмножество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит
по абсолютной величине числа 1.
Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим
множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А=.
Операции над множествами
Для наглядного представления множеств используют диаграммы
Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости
и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Выбор
формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть
произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.).
Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А
является подмножеством множества В (рисунок 4):
В
А
Рисунок 4
Рисунок 4
60
С помощью нескольких множеств можно строить новые множества или,
как говорят, производить операции над множествами. Мы рассмотрим
следующие операции над множествами: объединение, пересечение, разность
множеств, дополнение множества. Все рассматриваемые операции над
множествами мы будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.
1. Объединение множеств
Определение. Объединением множеств А и В называется новое
множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Объединение множеств A и B обозначают A ∪ B (∪ – знак объединения):
В = {x | x ∈ А или
Согласно определению, можно кратко записать: А
x ∈ В}
Переместительное свойство объединения: А
В=В
А
Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы
Эйлера-Венна (рисунок 5):
Рисунок 5
Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя
множествами.
2. Пересечение множеств
Определение.
Пересечением
множеств
А
и
В
называется
множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые
принадлежат множествам А и В одновременно.
Пересечение множеств A и B обозначают A ∩ B ( ∩ – знак пересечения).
61
Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из
всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.
Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы
Эйлера-Венна:
Рисунок 6
На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.
Примеры пересечений
1)Если A – множество всех прямоугольников, B – множество всех
ромбов,
то A ∩ B – множество всех квадратов.
2)Если A – множество участников олимпиады, а B – множество
призеров,
то A ∩ B – множество участников олимпиады, получивших медали.
3)A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.
3. Разность множеств
Определение. Разностью множеств А и В называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат
множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств A и B обозначают А \ В ( \ – знак разности).
Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех
элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
Рассмотрим данное понятий на диаграммах Эйлера-Вена(рисунок 7):
62
Рисунок 7
Примеры разностей множеств:
1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.
A \ B = {2, 4, 6, 8}.
B \ A = {11, 13, 17, 19}.
1) Пусть А - множество всех четных целых чисел, В - множество всех целых
чисел, делящихся на 3. тогда А\В - множество всех четных целых чисел,
которые не делятся на 3, а В\А –множество всех нечетных целых чисел,
кратных трем.
Практическая часть. Решение задач
Задача 1. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 немецкий. Каждый владеет хотя бы одним языком. Сколько человек знают
все три языка? Укажите множество решений.
Решение:
100 - 85 = 15 (чел.) – не знают английского
100 - 80 = 20 (чел.) – не знают испанского
100 - 75 = 25 (чел.) – не знают немецкого
15 + 20 +25 = 60 (чел.) –могут знать два языка
100 - 60 = 40 (чел.) – знают три языка
(15 + 20 +25) : 2 = 30 (чел.) – могут знать только один язык
100 - 30 = 70 (чел.) – знают три языка (Рисунок 8).
63
Рисунок 8
Ответ: от 40 до 70
человек включительно
Домашнее задание:
Задача 1.
В моем классе 15 учащихся. Из них 9 занимаются в секции лёгкой атлетики, 5
– в секции плавания и 3 – в обеих секциях. Сколько учащихся класса не
посещают секции?
Задача 2: «Футбольная команда»
В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих, 11
полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть
нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6
нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и
полузащитником. Вратари незаменимы. Сколько в команде «Спартак»
вратарей?
Урок 4. Тема: Разбор заданий №17 демонстрационного варианта ЕГЭ по
информатике
Цель занятия: закрепление знаний о способах решения задания №17 ЕГЭ по
информатике
Планируемые результаты:
Личностные: готовность и способность к образованию, в том числе
самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к
непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и
общественной деятельности;
Метапредметные: выбирать путь достижения цели, планировать решение
поставленных задач, оптимизируя затраты;
64
Предметные: определять количество элементов в множествах, полученных из
двух базовых множеств с помощью операций объединения, пересечения и
дополнения;
Ход урока
1. Актуализация знаний
Учитель по пунктам проводит опрос:
 таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ» (см.
презентацию «Логика»)
 если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции
«НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ»
 логическое произведение A∙B∙C∙… равно 1 (выражение истинно)
только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях
равно 0)
 логическая сумма A+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только
тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)
 ввод какого-то слова (скажем, кергуду) в запросе поисковой системы
означает, что пользователь ищет Web-страницы, на которых
встречается это слово
 операция «И» всегда ограничивает поиск, то есть, в ответ на запрос
кергуду И бамбарбия поисковый сервер выдаст меньше страниц,
чем на запрос кергуду, потому что будет искать страницы, на которых
есть оба этих слова одновременно
 операция «ИЛИ» всегда расширяет поиск, то есть, в ответ на запрос
кергуду ИЛИ бамбарбия поисковый сервер выдаст больше страниц,
чем на запрос кергуду, потому что будет искать страницы, на которых
есть хотя бы одно из этих слов (или оба одновременно)
 если в запросе вводится фраза в кавычках, поисковый сервер ищет
страницы, на которых есть в точности эта фраза, а не просто
отдельные слова; взятие словосочетания в кавычки ограничивает
поиск, то есть, в ответ на запрос "кергуду бамбарбия" поисковый
65
сервер выдаст меньше страниц, чем на запрос кергуду бамбарбия,
потому что будет искать только те страницы, на которых эти слова
стоят одно за другим
2. Практическая часть (выполнение практических заданий)
Пример задания. В таблице приведены запросы и количество
найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:
Количество
Запрос
страниц (тыс.)
Ухо
35
Подкова
25
Наковальня
40
Ухо
|
Подкова
|
70
Наковальня
Ухо & Наковальня
10
Ухо & Подкова
0
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Подкова & Наковальня
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно,
так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время
выполнения запросов.
Решение (вариант 1, рассуждения по диаграмме):
1) построим диаграмму Эйлера-Венна
Наковальня
Ух
1
2
3
4
5
Подков
2) количество сайтов, удовлетворяющих запросу в области i, будем
обозначать через Ni
3) здесь 5 областей, причём известны следующие данные:
66
N1  N 2  35
N 4  N 5  25
N 2  N 3  N 4  40
N1  N 2  N 3  N 4  N 5  70
N 2  10
4) нас интересует область 4. Находим ответ прямой подстановкой:
N1  35  N 2  25
N 5  70  N1  ( N 2  N 3  N 4 )  70  25  40  5
N 4  25  N 5  20
5) таким образом, ответ – 20.
Задача №2. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые
нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Количество
Запрос
страниц (тыс.)
пирожное
&
3200
выпечка
пирожное
8700
выпечка
7500
,
Решение (вариант 1, рассуждения по диаграмме):
1) построим диаграмму Эйлера-Венна, обозначив области «пирожное»
(через П) и «выпечка» (В) :
П
В
1
2
3
2) количество сайтов, удовлетворяющих запросу в области i, будем
обозначать через Ni
3) несложно сообразить, что число сайтов в интересующей нас области
равно
N1 + N2 + N3 = (N1 + N2) + (N3 + N2) – N2
4) поскольку нам известно, что по условию
67
N1 + N2 = 8700
N3 + N2 = 7500
N2 = 3200 сразу получаем
N1 + N2 + N3 = 8700 + 7500 - 3200 = 13000
5) таким образом, ответ – 13000.
Решение (вариант 2, общая формула):
A
В
1) сначала выведем формулу, о которой идет речь;
построим
диаграмму
Эйлера-Венна
для
двух
переменных A и B:
2) обозначим через NA, NB, NA&B и NA|B число страниц, которые выдает
поисковый сервер соответственно по запросам A, B, A & B и
A|B
3) понятно, что если области A и B не пересекаются, справедлива
формула NA|B=NA+NB
4) если области пересекаются, в сумму NA+NB область пересечения NA&B
входит дважды, поэтому в общем случае
NA|B = NA + NB - NA&B
5) в данной задаче
NП = 8700, NВ = 7500, NП&В = 3200
6) тогда находим число сайтов в интересующей нас области по формуле
NП|B = NП + NB – NП&B = 8700 + 7500 – 3200 = 13000
7) таким образом, ответ – 13000.
Задача №3. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые
нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос
1
2
3
мезозой
кроманьонец
неандерталец
Найдено
страниц
(тыс.)
50
60
70
68
мезозой | кроманьонец
80
мезозой | неандерталец
100
неандерталец & (мезозой |
20
кроманьонец)
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
4
5
6
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
Решение:
обозначим области «мезозой», «кроманьонец» и «неандерталец» буквами
М, К и Н; пронумеруем подобласти, получившиеся в результате
пересечений кругов (см. рисунок справа)
K & (M |
М
1
4
Н
2
5
К
3
6
7
через Ni обозначим количество сайтов в области с номером i
нас интересует результат запроса
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
то есть N2 + N5 + N6 (зеленая область на рисунке) из первых двух запросов
следует, что
N1 + N2 + N4 + N5 = 50
(мезозой)
N2 + N3 + N5 + N6 = 60
(кроманьонец)
складывая левые и правые части уравнений, получаем
(1) N1 + 2·N2 + N3 + N4 + 2·N5 + N6 = 110
в то же время из запроса 4 получаем
(2) N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 80(мезозой | кроманьонец)
вычитая из уравнения (1) уравнение (2), отдельно левые и правые части,
получаем N2 + N5 = 30 (мезозой & кроманьонец) вспомним, что наша цель –
определить N2 + N5 + N6, поэтому остается найти N6 из запросов 1 и 3 следует,
что
N1 + N2 + N4 + N5 = 50
(мезозой)
69
N4 + N5 + N6 + N7 = 70
(неандерталец)
складывая левые и правые части уравнений, получаем
(3) N1 + N2 + 2·N4 + 2·N5 + N6 + N7 = 120
в то же время из запроса 5 получаем
(4)N1 + N2 + N4 + N5 + N6 + N7 = 100 (мезозой | неандерталец)
вычитая из уравнения (3) уравнение (4), отдельно левые и правые части,
получаем
(5)N4 + N5 = 20 (мезозой & неандерталец)
теперь проанализируем запрос 6:
неандерталец & (мезозой | кроманьонец)
(6) N4 + N5 + N6 = 20
вычитая из уравнения (6) уравнение (5) получаем N6 = 0, поэтому
N2 + N5 + N6 = N2 + N5 = 30
таким образом, ответ – 30.
3. Домашнее задание:
Во всех задачах для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе
используется символ |, а для логической операции «И» – символ &.
1) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) физкультура
Б) физкультура & подтягивания & отжимания
В) физкультура & подтягивания
Г) физкультура | фитнесс
2) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) волейбол | баскетбол | подача
Б) волейбол | баскетбол | подача | блок
В) волейбол | баскетбол
70
Г) волейбол & баскетбол & подача
3) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
A) чемпионы | (бег & плавание)
Б) чемпионы & плавание
В) чемпионы | бег | плавание
Г) чемпионы & Европа & бег & плавание
4) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите
обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) музыка | классика | Моцарт | серенада
Б) музыка | классика
В) музыка | классика | Моцарт
Г) музыка & классика & Моцарт
Урок 5. Тема: Преобразование логических выражений
Цель урока: познакомить учащихся с методом решения логических
задач средствами алгебры логики.
Задачи урока:

знакомство учащихся с понятием решения логических задач средствами
алгебры логики;

развитие логического мышления учащихся, памяти, внимания т.е
интеллектуальных способностей средствами ИКТ, а также интереса к
разделу информатики - алгебре логики;

работа над повышением знаний основных понятий и законов алгебры
логики, достижение сознательного усвоения материала учащимися с
применением полученных знаний на практике.
Тип урока: комбинированный.
Требования к знаниям и умениям учащихся:
71
учащиеся должны знать:

основные понятия и определения алгебры логики;

основные законы алгебры логики;

правила преобразования логических выражений;
учащиеся должны уметь:
1.
упрощать логические выражения;
2.
строить таблицы истинности;

строить логические схемы по логическому выражению и наоборот;

записывать сложные высказывания в виде логических выражений;

решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.
Планируемые результаты:
Личностные: готовность к повышению своего образовательного уровня и
продолжению обучения с использованием средств и ме- тодов информатики и
ИКТ;
Метапредметные:
определять
владение
понятия,
информационно-логическими
создавать
обобщения,
устанавливать
умениями:
аналогии,
классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для
классификации, устанавливать причинно – следственные связи, строить
логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по
аналогии) и делать выводы;
Предметные: умение решать логические задачи путем составления
логических выражений и их преобразования с использованием основных
свойств логических операций;
Ход урока:
Организационная часть
постановка целей урока.
(Все задачи на повторение пройденной темы решаются учениками на
доске с объяснением применяемых правил и законов).
Актуализация знаний
Задание 1
72
Установите соответствие между названиями законов
записью
логики и их
с помощью знаков алгебры логики. (На магнитной доске
представлены
фрагменты
законов,
которые
нужно
поставить
в
соответствие с их названиями.)
Выполнение учащимися различных заданий, задач, упражнении.
1.
Упростите логическое выражение F=(A v B) → (B v C)
Решение (используются законы де Моргана, закон двойного отрицания,
распределительный закон):
F =(A v B) → (B v C) = A v B & (B v C) = (A v B) & (B v C) = B v (A &
C)
(Дальше ученики самостоятельно решают подобную задачу в своих
индивидуальных карточках. Приложение№2 )
Проверить
правильность
упрощения
построение
таблиц
истинности.
Повторение правила построения таблицы истинности.
Учитель.
Для проверки правильности упрощения мы стоим таблицы истинности
для исходного и упрощенного выражения. Если данные в последних столбцах
таблиц истинности совпадают, значит мы правильно упростили логическое
выражение.
( У доски самостоятельно работает 1 ученик, а остальные ученики
стоят таблицу истинности упрощенного логического выражения в Excel)
Таблица истинности для исходного логического выражения
А
В
C
A˅B B˅C
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
˅ → (˅)
F
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
B˅C
73
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
Таблица истинности для упрощенного логического выражения
А
В
C
A&C
B˅А&C
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Из таблиц истинности видно, что упрощение верное.
Дальше ученики самостоятельно решают подобную задачу в своих
индивидуальных карточках.
Учитель. Представим такую ситуацию: по телевизору синоптик
объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:
1.Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
2.Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
3.Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?
Решим эту задачу средствами алгебры логики. Для этого познакомимся
с алгоритмом решения
Алгоритм решения логических задач.
1.Внимательно изучить условие.
2.Выделить простые высказывания и обозначить их латинскими
буквами.
3.Записать условие задачи на языке алгебры логики.
74
4.Составить конечную формулу, для этого объединить логическим
умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведении к
единице.
5.Упростить формулу.
6.Проанализировать полученный результат или составить таблицу
истинности, найти по таблице значения переменных , для которых значения
функции равно 1.
7.Записать ответ.
Решение:
а) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»
B – «Пасмурно»
С – «Дождь»
б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через
введенные переменные:
1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:
A →B˄C
2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
С→B&A
3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
B→C&A
в) Запишем произведение указанных функций:
F=(A→ B &C) & (C→B & A) & (B→ C & A)
г)
Упростим
формулу
(используются
законы
де
переместительный закон, закон противоречия):
 = ( →  &)& ( →  & )& ( →  & ) =
= (˅˄)˄(˅˄)˄(˅˄)
= ˄˅˄˄˅˄˄˅˄˄˄˅(˅˄)
Моргана,
75
д) Приравняем результат единице, т.е. наше выражение должно быть
истинным:
F = ˄˄ = 1
е) Проанализируем результат:
Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.
Поэтому  = 1,  = 1 и  = 1
Значит: A = 0; B = 0; C = 0;
Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.
Самостоятельная работа:
Упростить используя законы преобразования (A v B) → (B v C)˅С
Устно:
1) Определите значение истинности следующих высказываний: «Приставка
есть часть слова, и она пишется раздельно со словом»; «Рыбу, ловя сачком или
крючком, или мухой приманивают, или червяком»; «Две прямые на плоскости
параллельны или пересекаются».
2) Определите значение логического выражения:
 не (X>Z) и не(X=Y), если X=3, Y=5, Z=2;
 не (X>Z) и не(X=Y), если X=0, Y=1, Z=19;
 не (X>Z) и не(X=Y), если X=5, Y=0, Z= -8.
3) Пусть A= «Этот день солнечный», а B= «Этот день жаркий». Выразите
предложенную формулу на обычном языке:
Не A и не B.
Не A и B.
A и не B.
4) Повторить законы логики, приоритет логических операций и правила
преобразования логических выражений.
2.Итоги урока. Проводится анализ самостоятельной работы.
3.Домашнее задание.
76
Повторить
пройденный
теоретический
материал
по
теме
«Логика»,
выполнить задание:
Упростить логическое выражение A˄B˄C˅¬A˄B˄C˅A˄¬B˄C˅¬A˄C˄¬B
Урок 6. Тема: «Разбор заданий №18 демонстрационного варианта ЕГЭ
по информатике»
Цель занятия: выработать умение решения и правильного подбора способа
решения задания №18 ЕГЭ по информатике.
Планируемые результаты:
Личностные: способность и готовность к общению и сотрудничеству со
сверстниками и взрослыми в процессе образовательной деятельности.
Метапредметные: владение умениями самостоятельно планировать пути
достижения целей; соотносить свои действия с планируемыми результатами,
осуществлять контроль своей деятельности, определять способы действий в
рамках предложенных условий, корректировать свои действия в соответствии
с изменяющейся ситуацией; оценивать правильность выполнения учебной
задачи;
Предметные: умение выполнять эквивалентные преобразования логических
выражений, используя законы алгебры логики, в том числе и при составлении
поисковых запросов.
Ход занятия
1.
Актуализация знаний
Учитель проводит устный опрос по основным понятиям темы:
 условные обозначения логических операций
¬ A, A не A (отрицание, инверсия)
A ˄ B, A B A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A ˅ B, A  B A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A → B импликация (следование)
 таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ»,
«импликация» (см. презентацию «Логика»)
77
 операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A ˅ B или в других обозначениях A → B = A  B
 если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции
«НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя –
«импликация»
 иногда полезны формулы де Моргана:
¬ (A ˄ B) = ¬ A ˅ ¬ B ( A  B  A  B )
¬ (A ˅ B) = ¬ A ˄ ¬ B ( A  B  A  B )
 для упрощения выражений можно использовать формулы
A  A  B  A (т.к. A  A  B  A  1  A  B  A  (1  B)  A  1  A )
A  A  B  A  B (т.к. A  A  B  ( A  A )  ( A  B)  1  ( A  B)  A  B )
 некоторые свойства импликации
A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)
A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)
Связь логики и теории множеств:
пересечение множеств соответствует умножению логических величин,
а объединение – логическому сложению;
пустое множество  – это множество, не содержащее ни одного
элемента, оно играет роль нуля в теории множеств;
универсальное множество  – это множество, содержащее все
возможные элементы заданного типа (например, все целые числа), оно играет
роль логической единицы: для любого множества целых чисел X
справедливы равенства X + I = I и X · I = X (для простоты мы используем
знаки сложения и умножения вместо знаков пересечения  и объединения 
множеств)
2. Теоретическая часть
Учитель: Как вычислять выражение с поразрядными операциями
В задачах ЕГЭ до настоящего времени использовалась только
поразрядная логическая операция «И» (она обозначается символом &),
78
которая выполняется между соответствующими битами двоичной записи двух
целых чисел. Не забывайте, что
Результат поразрядной операции между целыми числами – это целое число!.
Например, найдём результат поразрядной операции 29 & 11:
29 = 111012
11 = 010112
9 = 010012
Серым фоном отмечены биты, которые в обоих числах равны 1. Только
они и будут равны 1 в числе-результате. Таким образом, 29 & 11 = 9.
3. Практическая часть
Учитель: Разберем задание. Для какого наибольшего целого числа А
формула ( (x  9)  (xx  A) ) ˄ ( (yy  A)  (y  9) ) тождественно истинна
(то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных
значениях переменных x и y)?
Решение:
1) заметим, что здесь два условия, которые объёдиняются с помощью
логической операции «И»:
(x  9) → (xx  A)
(yy  A) → (y  9)
2) необходимо, чтобы оба условия были выполнены одновременно; к
счастью, первое зависит только от переменной x, а второе – только от
переменной y, поэтому их можно рассматривать отдельно: каждое из них
задает некоторое ограничение на значение A
3) рассмотрим первое условие: (x  9) → (xx  A). Для того чтобы
импликация была истинной, нужно не допустить варианта 1  0, то есть
при истинной левой части правая часть тоже должна быть истинной.
4) это значит, что для всех 0 < x  9 мы должны обеспечить xx  A, то есть
выбрать A  xx для все допустимых значений x. Очевидно, что для этого
79
необходимо и достаточно выбрать A  99 = 81. Таким образом, мы
определили минимальное допустимое значение A = 81.
5) теперь рассмотрим второе условие: (yy  A) → (y  9). Чтобы оно было
истинно, нужно не допустить варианта 1 → 0. Выбором A мы можем
влиять на левую часть, но не на правую. «Угрозу» представляет вариант,
когда правая часть ложна, то есть y > 9. В этом случае нам нужно сделать
левую часть ложной, то есть обеспечить выполнение условия yy > A.
6) для выбора максимального A возьмем минимальное значение y, для
которого y > 9. Это даёт условие 1010 > A, откуда следует A < 100
7) таким образом, максимально допустимое значение A равно 99.
8) Ответ: 99.
Следующее задание. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную
конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами
двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число a, такое что
выражение ( (x ˄ 28 
0)  (x ˄ 45  0))  ((x ˄ 48 = 0)  (x ˄→ a  0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом
натуральном значении переменной x)?
Решение:
1) Введём обозначения:
Z28 = (x & 28 = 0), Z45 = (x & 45 = 0), Z48 = (x & 48 = 0), A = (x & a = 0)
2) перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство
импликации:
(Z 28  Z 45 )  (Z 48  A )  Z 28  Z 45  (Z 48  A )  Z 28  Z 45  Z 48  A
3) перейдем к импликации, используя закон де Моргана:
Z 28  Z 45  Z48  A  Z 48  A  Z 28  Z 45  (Z 48  A)  Z 28  Z 45
4) преобразуем выражение в правой части по формуле
ZK  ZM  ZK
выполнив поразрядную дизъюнкцию (операцию ИЛИ):
28 = 011100
or M
,
80
45 = 101101
28 or 45 = 111101 = 61
получаем (Z48  A)  Z61
5) для того, чтобы выражение (Z 48  A)  Z61 было истинно для всех x,
нужно, чтобы двоичная запись числа 48 or a содержала все единичные
биты числа 61. Таким образом, с помощью числа a нужно добавить те
единичные биты числа 61, которых «не хватает» в числе 48:
48 = 110000
a = **11*1
61 = 111101
биты, обозначенные звездочками, могут быть любыми.
6) поскольку нас интересует минимальное значение a, все биты,
обозначенные звездочкой, можно принять равными нулю.
7) получается A = 23 + 22 + 20 = 13
8) Ответ: 13.
№3 (Р-00). Для какого из указанных значений X истинно высказывание
¬((X > 2)→(X > 3))?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение (вариант 1, прямая подстановка):
1)
определим порядок действий: сначала вычисляются результаты
отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть
«большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения
в больших скобках
2)
выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1
обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем
результаты сравнения в двух внутренних скобках:
81
3)
X
X>2
X>3
1
0
0
2
0
0
3
1
0
4
1
1
(X > 2)→(X > 3)
¬((X > 2)→(X > 3))
по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец
(значение выражения в больших скобках), применив операцию
«импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой
строке):
4)
X
X>2
X>3
(X > 2)→(X > 3)
1
0
0
1
2
0
0
1
3
1
0
0
4
1
1
1
¬((X > 2)→(X > 3))
значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и
наоборот):
5)
X
X>2
X>3
(X > 2)→(X > 3)
¬((X > 2)→(X > 3))
1
0
0
1
0
2
0
0
1
0
3
1
0
0
1
4
1
1
1
0
таким образом, ответ – 3.
Решение (вариант 2, упрощение выражения):
1)обозначим простые высказывания буквами:
A = X > 2, B = X > 3
2)тогда можно записать все выражение в виде
¬(A → B) или A  B
3)выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):
¬(A → B)= ¬(¬A ˅ B) или A  B  A  B
82
4)раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения,
получаем
¬(¬A ˅ B)= A ˄ ¬B или A  B  A  B
5)таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно
(X > 2), а B – ложно (X ≤ 3), то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3
6) из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
7) таким образом, ответ – 3.
5. Домашнее задание:
1. Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
(X & 56  0)  ((X & 48 = 0)  (X & A  0)) тождественно истинно (то есть
принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?
2. Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
(X & 35  0)  ((X & 31 = 0)  (X & A  0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном
значении переменной X)?
3. Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
(X & 76  0)  ((X & 10 = 0)  (X & A  0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном
значении переменной X)?
Урок 7. Тема: Разбор заданий № А23 демонстрационного варианта
ЕГЭ
Цель урока: Формирование умения применять полученные знания
(построение таблиц истинности по заданным формулам, умение решать
текстовые задачи с использованием законов логики) на практике.
Задачи урока:
1.развитие познавательного интереса, логического мышления.
2.повторение основ математической логики, выполнение практических
заданий.
83
3.развитие логического мышления, внимательности.
Тип урока: обобщения и систематизации знаний
Формы учебной деятельности учащихся: индивидуальная, групповая
Планируемые результаты:
Личностные: готовность и способность к образованию, в том числе
самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к
непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и
общественной деятельности; осознанный выбор будущей профессии и
возможностей реализации собственных жизненных планов.
Метапредметные: владение навыками познавательной рефлексии как
осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов
и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и
средств их достижения.
Предметные:
умение выполнять
эквивалентные преобразования
логических выражений, используя законы алгебры логики.
Ход урока
1. Повторение
Что нужно знать:
условные обозначения логических операций
¬ A, A не A (отрицание, инверсия)
A ˄ B, A B A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A ˅ B, A  B A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A → B импликация (следование)
A ↔ B, A  B эквиваленция (эквивалентность, равносильность)
таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ»,
«импликация», «эквиваленция» (см. презентацию «Логика»)
операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A ˅ B или в других обозначениях A → B = A  B
операцию «эквиваленция» также можно выразить через «ИЛИ» и
«НЕ»:
84
A ≡ B = ¬ A ˄ ¬ B ˅ A ˄ B или в других обозначениях A ≡ B = A  B  A  B
если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции
«НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», потом – «импликация», и самая
последняя – «эквиваленция»
логическое произведение A∙B∙C∙… равно 1 (выражение истинно)
только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)
логическая сумма A+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только
тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)
в приведённых задачах операция импликация считается левоассоциативной, то есть операции импликации в цепочке выполняются слева
направо (соблюдая принцип «операции с одинаковым приоритетом
выполняются слева направо»):
A  B  C  D  (( A  B)  C)  D
правила преобразования логических выражений (законы алгебры
логики)
Задача №1
Сколько различных решений имеет система логических уравнений
(x1  (x2 ˅ y2)) ˄ (y1  y2) = 1
(x2  (x3 ˅ y3)) ˄ (y2  y3) = 1
...
(x7  (x8 ˅ y8)) ˄ (y7  y8) = 1
где x1, …, x8, y1, …, y8 – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение:
1)перепишем систему уравнений в более понятном виде:
85
( x1  ( x2  y 2 ))  ( y1  y 2 )  1
( x2  ( x3  y3 ))  ( y 2  y3 )  1

( x7  ( x8  y8 ))  ( y7  y8 )  1
2)будем решать задачу методом битовых цепочек;
3)построим новую эквивалентную систему из двух уравнений, собрав в
первое уравнение первые сомножители, входящие в каждое из исходных
уравнений, а во второе уравнение – вторые сомножители:
( x1  ( x2  y2 ))  ( x2  ( x3  y3 ))  ...  ( x7  ( x8  y8 ))  1
( y1  y2 )  ( y2  y3 )  ...  ( y7  y8 )  1
4)из второго уравнение сразу следует, что в цепочке Y  y1 y2 ...y8
запрещена комбинация 10, то есть все допустимые цепочки Y имеют структуру
«все нули, потом – все единицы»:
00000000 00000001
00000011 00000111
00001111 00011111 00111111 01111111 11111111
5)теперь рассмотрим первое уравнение, состоящее из сомножителей
вида xi  ( xi1  yi1 ) , каждый из которых должен быть равен 1;
6)если yi1  1 , то логическое выражение xi  ( xi1  yi1 )  xi  1  1 , то есть
всегда истинно, при любых значениях xi и xi 1 ; никаких ограничений на
цепочку X  x1 x2 ...x8 это выражение не накладывает
7)если yi1  0 , то получаем условие xi  xi1  1 , то есть в цепочке X
запрещена комбинация 10
8)первому варианту цепочки Y (00000000) соответствует первое
уравнение вида ( x1  x2 )  ( x2  x3 )  ...  ( x7  x8 )  1 , которое даёт 9 подходящих
цепочек X
9)для второго варианта цепочки Y (00000001) значение x8 может быть
любым, а остальные биты цепочки X связаны первым уравнением
( x1  x2 )  ( x2  x3 )  ...  ( x6  x7 )  1 ,
86
которое даёт 8 подходящих неполных цепочек x1 x2 ...x7 ; учитывая, что для
каждой из них x8 может быть любым, всего получаем 8 · 2 = 16 цепочек
10)аналогично рассматриваем все остальные цепочки Y
11)для цепочки Y = 00111111 значения битов 1 и 2 связаны условием
x1  x2  1 , это уравнение имеет 3 решения; а остальные 6 битов цепочки X
могут быть любыми, поэтому получаем 3·26 = 192 решения
12)для последних двух вариантов цепочки Y (01111111 и 11111111)
значения всех битов цепочки X могут быть любыми, поэтому получаем 1·28
решений
13)общее количество решениё получим, суммируя результаты для всех
возможных цепочек Y: 9 · 1 + 8 · 21 + 7 · 22 + 6 · 23 + 5 · 24 + 4 · 25 + 3 · 26 + 28
+ 28 = 1013.
14)Ответ: 1013.
Задача №2
Сколько различных решений имеет система логических уравнений
(x1  x2) ˄ (x1 ˄ x2  x3) ˄ (x1  y1) = 1
(x2 ˅ x3) ˄ (x2 ˄ x3  x4) ˄ (x2 ˅ y2) = 1
(x3 ˅ x4) ˄ (x3 ˄ x4  x5)  (x3 ˅ y3) = 1
(x4 ˅ x5)  (x4  x5  x6)  (x4 ˅ y4) = 1
(x5 ˅ x6)  (x5 ˅ y5) = 1
x6 ˅ y6 = 1
где x1, …, x6, y1, …, y6, – логические переменные? В ответе не нужно
перечислять все различные наборы значений переменных, при которых
выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество
таких наборов.
Решение (вариант 1, битовые цепочки, М.А. Ройтберг):
1) перепишем систему с более понятными обозначениями:
87
( x1  x2 )  ( x1  x2  x3 )  ( x1  y1 )  1
( x 2  x3 )  ( x 2  x3  x 4 )  ( x 2  y 2 )  1
( x 3  x 4 )  ( x 3  x 4  x5 )  ( x 3  y 3 )  1
( x 4  x5 )  ( x 4  x5  x 6 )  ( x 4  y 4 )  1
( x5  x 6 )  ( x5  y 5 )  1
x6  y 6  1
2) решением уравнения будут два набора логических переменных, X и
Y , которые
можно представить в виде битовых цепочек:
X  x1 x2 x3 x4 x5 x6 Y  y1 y2 y3 y4 y5 y6
,
3) первые 4 уравнения однотипны, отличаются только сдвигом номеров
переменных; рассмотрим сначала их
4) сомножитель xi  xi1 должен быть равен 1, поэтому в цепочке X не
должно быть двух идущих подряд нулей (иначе xi  xi 1  0 и все
произведение равно 0)
5) сомножитель
xi  xi1  xi2 должен быть равен 1, поэтому если в
цепочке X появились две единицы подряд, то дальше идут только
единицы (иначе xi  xi1  xi2  1  0  0 и все произведение равно 0)
6) таким образом, если не учитывать (пока) сомножитель xi+yi в каждом
из уравнений, существует всего 7 допустимых цепочек X , каждая из
которых определяется положением последнего нуля (0 – вообще нет
нуля):
X 0  111111 X 4  101011
X 1  011111 X 5  010101
X 2  101111 X 6  101010
X 3  010111
7) теперь рассмотрим сомножители xi  yi , которые тоже должны быть
равны 1; если xi  0 , то сразу получаем yi  1 ; если же xi  1 , то есть два
варианта yi  0, 1
88
8) таким образом, для каждой цепочки X количество соответствующих
цепочек Y равно 2I(X), где через I(X) обозначено число единиц в
цепочке X
9) в цепочке X0 есть 6 единиц, в цепочках X1 и X2 – по пять, в цепочках
X3 и X4 – по четыре, в X5 и X6– по три
10)поэтому общее число решений вычисляется как 26 +2∙(25 + 24 + 23) =
64 + 2∙(32 + 16 + 8) = 176
11)Ответ: 176.
Задача №4
Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 ˄ X2) ˅ (¬X1 ˄ ¬X2) ˅ (X2 ˄ X3) ˅ (¬X2 ˄ ¬X3) = 1
(X2 ˄ X3) ˅ (¬X2 ˄ ¬X3) ˅ (X3 ˄ X4) ˅ (¬X3 ˄ ¬X4) = 1
...
(X8 ˄ X9) ˅ (¬X8 ˄ ¬X9) ˅ (X9 ˄ X10) ˅ (¬X9 ˄ ¬X10) = 1
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все
различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное
равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение (использование дерева для представления решения):
1. так же, как и в предыдущем варианте решения, перейдем к равносильной
системе уравнений
( X1  X 2 )  ( X 2  X 3 )  1
( X2  X3)  ( X3  X4 )  1
...
( X 8  X 9 )  ( X 9  X10 )  1
2. все переменные логические, в принятых обозначениях каждая из них
может быть равна 1 или 0; для X1 получаем два варианта, которые можно
представить в виде
X1
0
1
89
3. при этом X2 может быть любым, то есть, имеем всего 4 варианта
X1
0
X2
0
1
1
0
1
4. теперь рассматриваем переменную X3; если X1 = X2, то уравнение
( X1  X 2 )  ( X 2  X 3 )  1 выполняется при любом X ; если X  X , то это
3
1
2
уравнение сразу дает X3 = X2; дерево получается уже неполным, число
решений первого уравнения – 6:
X1
0
X2
0
X3 0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
5. рассуждая аналогично, находим, что на следующем шаге (подключение
переменной X4 и второго уравнения) получается 10 решений, затем – 16
и т.д.; в результате получается удвоенная последовательность
Фибоначчи (2, 4, 6, 10, 16, 26, …), в которой каждый следующий элемент
равен сумме двух предыдущих:
i
число
решений
3
6
4
10
5
16
6
26
7
42
8
68
9
110
10
178
90
6. в некоторых вариантах такой подход рассматривался совместно с
методом декомпозиции: сначала предполагаем, что X1 = 0 и находим все
решения для этого варианта; затем находим все решения при X1 = 1;
после этого общее количество решений вычисляется как сумма
полученных двух чисел
7. ответ: 178 решений
Домашнее задание:
1)Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(90 < X·X) → (X < (X-1))
2)Сколько различных решений имеет уравнение
(K ˄ L ˄ M) ˅ (¬L ˄ ¬M ˄ N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все
различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное
равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких
наборов.
Заключение
Новые целевые установки в системе образования основываются на
приоритете индивидуализации и дифференциации обучения, что проявляется
в
различных
направлениях
построения
системы
многоуровневого
образования, реализации продуктивных форм обучения, разработку новых
подходов к формированию содержания образования и т.д.
91
Исключительно велика роль изучения информатики в социализации
школьников, подготовке их к труду, профессиональной деятельности, в
профессиональном самоопределении молодежи.
Профильное обучение – средство индивидуализации и дифференциации
обучения, когда за счет изменения в структуре, содержании и организации
образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и
способности
учащихся.
Создаются
условия
для
образования
старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и
намерениями в отношении продолжения образования.
Тема «Логика» – один из разделов, изучаемых в рамках учебной
дисциплины «Информатика и ИКТ» на профильном уровне. Изучение логики
развивает: ясность и четкость мышления; способность предельно уточнять
предмет
мысли;
внимательность,
аккуратность,
обстоятельность,
убедительность в суждениях; умение абстрагироваться от конкретного
содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли. Важна роль задач в
изучении этого раздела. Ученики должны понимать, что логика в силу своей
предельной общности и абстрактности имеет отношение буквально ко всем
конкретным отраслям науки и техники.
В работе представлены решения задач по теме «Основы логики», взятые
из демо – версий ЕГЭ по информатике разных лет. Таким образом, в
результате
проделанной
поставленные задачи.
работы
были
достигнута
цель
и
решены
92
Список литературы
1.Приказ Минобразования РФ от 18.07.2002 N 2783 "Об утверждении
Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования".
[Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://минобнауки.рф / документа
/2365. – Дата доступа: 23.01.2018.
2.Фeдeрaльный Гocудaрcтвeнный oбрaзoвaтeльный cтaндaрт cрeднeгo
(пoлнoгo) oбщeгo oбрaзoвaния. [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://www.consultant.ru/. – Дата доступа: 23.01.2018.
3.Примeрнaя прoгрaммa cрeднeгo (пoлнoгo) oбщeгo oбрaзoвaния пo
инфoрмaтикe и инфoрмaциoнным тeхнoлoгиям прoфильный урoвeнь.
[Электронный
ресурс].
–
Режим
http://window.edu.ru/resource/226/37226/files/09-2-s.pdf
–
доступа:
Дата
доступа:
23.01.2018
4.Статистико
–
аналитический
отчет
о
результатах
единого
государственного экзамена по информатике и ИКТ в Орловской области
в
2017
году.
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа:
http://www.orcoko.ru/ege/ege-uchitelyam/
5.Бочкин А. И. Методика преподавания информатики. – Минск: Высшая
школа, 2007. – 431 с.
6.ЕГЭ 2013. Информатика. Федеральный банк экзаменационных
материалов / Авт.-сост. П. А. Якушкин, С. С. Крылов. — М. : Эксмо, 2013. —
160 с.
7.Информатика : ЕГЭ – 2013 : Самые новые задания/авт.-сост. О.В.
Ярцева, Е.Н. Цикина. — М.: ACT: Астрель, 2013. — 126 с.
8.Информатика и ИКТ: Учебник. Начальный уровень / Под ред. Н. В.
Макаровой. — СПб.: Питер, 2011.
9.Информатика и ИКТ: Учебник. 10 класс. Базовый уровень / Под ред.
Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2011.
10.Информатика и ИКТ: Учебник. 11 класс. Базовый уровень / Под ред.
Н. В. Макаровой — СПб.: Питер, 2011.
93
11.Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Т. 1. / Под
ред. проф. Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2011.
12.Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Т. 2. / Под
ред. проф. Н. В. Макаровой. СПб.: Питер, 2011.
13.Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Т. 3. / Под
ред. проф. Н. В. Макаровой. СПб.: Питер, 2011.
14.Лапчик М. П. и др. Методика преподавания информатики.
– М.:
Академия, 2011. – 624 с.
15.Лыскова В. Ю., Ракитина Е. А. Логика в информатике. – М.: ЛБЗ,
2011. – 160 с.
16.Молодцов В.А. Информатика : тесты, задания, лучшие методики /
Молодцов В.А., Рыжикова Н.Б. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 217 с.
17.Подготовка к ЕГЭ по дисциплине «Информатика и ИКТ» / Под ред.
Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2011.
18.Семакин И. Г., Шеина Т. Ю. Преподавание базового курса
информатики в средней школе. Методическое пособие. – М.: БИНОМ. ЛБЗ,
2012.
19. Софронова Н. В. Теория и методика обучения информатике. – М.:
Высшая школа, 2009. – 223 с.
20. Крылов
С.С.
Методические
рекомендации
для
учителей,
подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017
года по ИНФОРМАТИКЕ и ИКТ. – Москва, 2017 [Электронный ресурс]. Режим
доступа:
http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1503666633/informatika_2017.pdf
- Дата доступа: 02.07.2018
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа