close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Пимошенко Евгения Сергеевна. Организация математического образования в средней общеобразовательной школе Республики Беларусь

код для вставки
Аннотация
магистерской диссертации «Организация математического образования в средней
общеобразовательной школе Республики Беларусь», выполненной Пимошенко
Евгенией Сергеевной на кафедре геометрии и методики преподавания математики. Объём диссертации – 172 стр. Список использованной литературы –
40 источников.
Ключевые слова: система математического образования, методика преподавания математики, централизованное тестирование, учебники, Республика Беларусь
Краткая характеристика работы
Тема магистерской диссертации «Организация математического образования в средней общеобразовательной школе Республики Беларусь».
Цель исследования состоит в научном анализе содержания и методов обучения математике в массовой белорусской школе и обосновании возможности их
применения в отечественной школе.
Объект исследования: математическое образование в массовой средней
школе Республики Беларусь. Предмет исследования: содержание, методы, организация обучения математике в белорусской средней школе.
Методы исследования: изучение психолого-педагогической литературы по
теме исследования; анализ программ и учебников по математике для средней
школы Республики Беларусь; анализ программ и учебников по математике для
средней школы Республики Беларусь; изучение образовательных стандартов для
белорусской и отечественной школы; педагогический эксперимент (анкетирование учителей математики; тестирование учащихся; экспериментальные занятия).
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что осуществлен научно-методический анализ содержания и методов обучения математике в
современной белорусской средней школе; выявлены традиции и основные особенности развития среднего математического образования в учреждениях образования Республики Беларусь, которым дана педагогическая оценка; установлены
дидактические возможности применения положительного белорусского опыта в
отечественной школе.
Практическая ценность результатов исследования состоит в возможности
использования методистами позитивного опыта белорусских учреждениях образования в процессе совершенствования программ и учебников математики отечественной средней школы, при подготовке к сдаче ЕГЭ. Выявленные традиции и
особенности школьного математического образования в Белоруссии могут быть
непосредственно использованы на занятиях по методике математики в педагогических вузах.
СОДЕРЖАНИЕ:
Введение
Глава I. Система школьного математического образования
в школах Республики Беларусь
1.1. Система общего среднего образования в Республике Беларусь
1.2. Концепция учебного предмета «Математики», разработанная Министерством образования Республики Беларусь
…4
…7
…7
…16
1.3. Оценка результатов учебной деятельности учащихся по учебному предмету «Математика»
…25
1.4. Организация образовательного процесса при изучении
математики и проведении факультативных занятий по математике в учреждениях общего среднего образования
Республики Беларусь
Глава II. Содержание школьного математического образования в школах Республики Беларусь
2.1. Содержание образовательного стандарта учебного предмета «Математика» (I-XI классы)
…36
…45
…45
2.2. Анализ учебников «Алгебра», рекомендованных к использованию в школах Республики Беларусь
2.3. Организация и проведение централизованного тестирования по математике в Республике Беларусь
2.4. Различные формы организации занятий по математике,
применяемые в школах г.Гомеля. Организация опытноэкспериментальной работы ………………………………………
…126
Заключение
…129
Список литературы
Введение
В последнее десятилетие наша отечественная средняя школа претерпела
существенные изменения. Уделяется большое внимание вопросам реформирования системы математического образования на различных этапах школьного обучения, содержанию и структурированию экзаменационных испытаний ОГЭ и
ЕГЭ. Отечественная система образования всегда считалась одной из лучших в
мире. Вместе с тем, важно и полезно изучение опыта работы методистовматематиков, учёных, педагогов в других странах, например, в Республике Беларусь.
Актуальность данного исследования обусловлена противоречием между
существующей на сегодняшний день системой школьного математического образования в России и необходимостью совершенствования процесса обучения математике. Одним из путей разрешения этого противоречия является изучение
опыта работы школ других стран, в частности, белорусской школы и последующее его использование для совершенствования отечественной системы школьного
математического образования.
Проблема исследования состоит в выявлении возможностей использования позитивного опыта работы белорусской школы при обучении математике в
отечественной школе. Цель исследования состоит в научном анализе содержания и методов обучения математике в массовой белорусской школе и обосновании возможности их применения в отечественной школе.
Объект исследования: математическое образование в массовой средней
школе Республики Беларусь.
Предмет исследования: содержание, методы, организация обучения математике в белорусской средней школе.
Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи исследования:
1.Провести научный анализ современного развития белорусской школы.
2. Проследить основные традиции, особенности и тенденции в обучении
математике в белорусской школе.
3. Выявить положительный и отрицательный опыт белорусской школы в
обучении математике.
4. Изучить содержание тестов по математике Централизованного тестирования и рассмотреть возможности применения этого опыта в обучении математике в отечественной средней школе.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы
педагогического исследования: изучение психолого-педагогической литературы
по теме исследования; анализ программ и учебников по математике для средней
школы Республики Беларусь; анализ программ и учебников по математике для
средней школы Республики Беларусь; изучение образовательных стандартов для
белорусской и отечественной школы; педагогический эксперимент (анкетирование учителей математики; тестирование учащихся; экспериментальные занятия).
Достоверность результатов исследования обеспечена достижениями белорусской и отечественной педагогики, теории и методики обучения математике;
опытом отечественной школы в области математического образования; обсуждением предлагаемых рекомендаций с методистами и учителями; проведенными
экспериментальными занятиями, результатами тестов.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что осуществлен научно-методический анализ содержания и методов обучения математике
в современной белорусской средней школе; выявлены традиции и основные особенности развития среднего математического образования в школе Республики
Беларусь, которым дана педагогическая оценка; установлены дидактические возможности применения положительного белорусского опыта в отечественной
школе.
Практическая ценность результатов исследования состоит в возможности
использования методистами позитивного опыта белорусской школы в процессе
совершенствования программ и учебников математики отечественной средней
школы, при подготовке к сдаче ЕГЭ. Выявленные традиции и особенности
школьного математического образования в Белоруссии могут быть непосредственно использованы на занятиях по методике математики в педагогических вузах.
Глава I. Система школьного математического образования в школах
Республики Беларусь
1.1.
Система общего среднего образования в Республике Беларусь
Национальное образование Республики Беларусь пропагандируется министерством образования как высшая ценность белорусского народа [26]. Руководством страны выбран курс на создание социального государства. Это позволило
определить стратегию функционирования и развития системы образования. На
сегодняшний день, уровень грамотности взрослого населения составляет 99,7%,
охват базовым, общим средним и профессиональным образованием занятого населения составляет 98%. По показателям поступления детей в начальную и среднюю школу, количеству студентов высших учебных заведений Беларусь находится на уровне развитых стран Европы и мира. Министерство образования Республики Беларуусь констатирует тот факт, что каждый третий житель республики
учится.
Государственная политика в сфере образования нацелена на укреплении ведущих принципов развития белорусской школы, а именно:
- государственно-общественный характер управления;
- обеспечение принципа справедливости, равного доступа к образованию;
- повышение качества образования для каждого.
Главной целью развития образования является удовлетворение потребностей населения в гармоничном развитии личности, творческих способностей, повышение интеллектуального и культурного потенциала страны.
В соответствии с Кодексом Республики Беларусь [17] об образовании образование – обучение и воспитание в интересах личности, общества и государства,
направленные на усвоение знаний, умений, навыков, формирование гармоничной,
разносторонне развитой личности обучающегося.
Система образования включает в себя систему дошкольного образования,
систему общего среднего образования, систему профессионально-технического
образования, систему среднего специального образования, систему высшего образования, систему послевузовского образования, систему дополнительного образования детей и молодежи, систему дополнительного образования взрослых, систему специального образования.
Законодательство об образовании представляет собой систему нормативных
правовых актов, регулирующих общественные отношения в сфере образования,
которая включает в себя Конституцию Республики Беларусь, Кодекс Республики
Беларусь об образовании и иные акты законодательства. Целями законодательства
об образовании являются обеспечение реализации конституционного права граждан на образование и регулирование общественных отношений в сфере образования.
Законодательство об образовании основывается на следующих принципах:
- соответствие Конституции Республики Беларусь;
- соответствие общепризнанным принципам международного права;
- обеспечение реализации права граждан на образование;
- обеспечение доступности образования;
- обеспечение качества образования;
- установление ответственности за несоблюдение законодательства об образовании.
Развитие общего среднего образования в Республике Беларусь осуществляется в соответствии со стратегией социально-экономических преобразований в
стране и направлено на дальнейшее повышение уровня качества образования, интеллектуального, культурного и духовно-нравственного потенциала общества.
Общее среднее образование является определяющим в становлении интеллектуального, культурного и духовно-нравственного потенциала нации, формировании у подрастающего поколения гуманистических идеалов, ценностных ориентаций, взглядов и убеждений, основанных на идеологии белорусского общества и
государства. Его развитие на современном этапе характеризуется нацеленностью
на позитивные преобразования, обусловленные приоритетами государственной
образовательной политики.
Целевые, содержательные и процессуальные характеристики современного
общего среднего образования разрабатываются в соответствии с личностно ориентированным и культурологическим подходами, что обусловлено признанием
абсолютной ценности человека, приоритета его прав на свободное развитие и
полноценную реализацию способностей и интересов.
Обучение детей в школе начинается с 6-летнего возраста. Дети шестилетнего возраста составляют 83 процента общего количества первоклассников. Созданы необходимые условия для учебы и отдыха первоклассников: 52 процента учащихся первых классов обучаются на базе учреждений дошкольного образования.
Все дети пятилетнего возраста охвачены различными формами подготовки к
школе.
Система общего среднего образования включает следующие ступени: начальную (4 года обучения), школу 2-й ступени (5-9-й классы) и школу 3-й ступени (10-11-й классы), которые могут существовать как отдельно, так и в составе
базовой (9-лет-ней) или средней (11-летней) школы.
В начальной школе главными задачами являются: развитие физических и
интеллектуальных способностей учащихся, нравственных и духовных качеств
личности; формирование у детей устойчивого интереса к учебной деятельности,
базовых умений и навыков письма, чтения, счета; овладение первоначальными
знаниями о природе, обществе и человеке, основами личной гигиены и здорового
образа жизни.
Школа 2-й ступени является базовой, обязательной для всех детей и призвана обеспечить систематические знания, умения и навыки, необходимые для продолжения общего и начала профессионального образования, включения личности
в жизнь общества, а также развитие ее творческих качеств, воспитание национального самосознания и общечеловеческой морали.
Школа 3-й ступени обеспечивает завершение общеобразовательной подготовки учащихся на основе такого уровня знаний, умений и навыков, которые сви-
детельствуют о формировании полноправного и ответственного гражданина, способного к самообразованию, самовоспитанию и гармоничным отношениям с окружающей природной средой.
Обучение в школах 2-й и 3-й ступеней завершается выпускными экзаменами, по результатам которых выпускники базовых школ получают свидетельство, а
средних - аттестат. Осуществлен переход на 5-дневную учебную неделю, что позволило в значительной мере снизить перегрузку учащихся, расширить возможности для организации воспитательной работы, проведения физкультурнооздоровительных мероприятий.
В целях обеспечения объективности оценки учебных достижений учащихся,
стимулирования их учебно-познавательной самостоятельности, учета индивидуальных особенностей и возможностей введена 10-балльная система оценки результатов учебной деятельности.
Для организации обучения учащихся с учетом их индивидуальных возможностей, способностей, образовательных запросов и профессиональных намерений
открыты 165 гимназий, 36 лицеев, 6 учебно-педагогических комплексов (гимназия-колледж).
Проделана определенная работа по созданию комплексной системы оценки
качества общего среднего образования. Разработаны и утверждены критерии и
показатели качества обучения и воспитания, позволяющие на научной основе определять эффективность функционирования общеобразовательных учреждений,
выявлять проблемы, требующие оперативного решения. С 2003 года системно
осуществляется комплексный мониторинг качества общего среднего образования.
Внедрены личностно ориентированные модели организации образовательного процесса. В образовательной практике используются современные педагогические технологии, в том числе информационные.
Обозначилась тенденция функционирования общеобразовательных учреждений в режиме инновационной и экспериментальной деятельности. На республиканских экспериментальных и инновационных площадках осуществляются апробация и внедрение новой нормативной правовой документации, учебно-
методических комплексов, моделей организации образовательного процесса, технологий обучения и воспитания учащихся.
В целях обеспечения доступности, придания практической и личностной
направленности, сохранения фундаментальности, усиления ориентации на освоение ценностей национальной и мировой культуры обновлено содержание общего
среднего образования.
Созданы концепции учебных предметов, разработан образовательный стандарт общего среднего образования. Содержание образования дифференцировано
на учебные предметы и факультативные занятия.
Принятые типовые учебные планы для общеобразовательных учреждений
позволили оптимизировать состав и структуру содержания образования, обязательную и максимальную учебную нагрузку, увеличить по объему учебного времени часы на проведение факультативных занятий.
Осуществлена системная разработка программ факультативных занятий для
выявления и развития способностей, познавательных интересов учащихся. Общеобразовательные учреждения обеспечены национальными учебниками, а по от-
дельным учебным предметам – учебно-методическими комплексами. Совершенствуется воспитательная и идеологическая работа, нацеленная на создание целостной воспитывающей среды. Приоритетным становится формирование социально активной, граждански зрелой личности, способной противостоять негативным
тенденциям и проявлениям.
Реализуются государственные программы поддержки одаренных учащихся
и талантливой молодежи.
Успешно решается задача интеграции общего среднего и специального образования. В общеобразовательных учреждениях обучается более 50 процентов
детей (от их общего количества) с особенностями психофизического развития.
В настоящее время в стране работают свыше 8 тыс. учреждений образования, представляющих все его уровни, в которых обучение и воспитание более 3
млн. детей, учащихся, студентов и слушателей обеспечивают около 430 тыс. работников системы образования.
В последние годы изменился качественный состав педагогических работников общеобразовательных учреждений: 86,3 процента педагогов имеют высшее
педагогическое образование, введены штатные единицы педагогов-психологов,
педагогов социальных. Эффективно функционирует система дополнительного
образования педагогических работников. Ежегодно более 50 тыс. педагогических
работников осваивают содержание образовательных программ повышения квалификации руководящих работников и специалистов. Состав педагогических работников ежегодно обновляется более чем на 3 тыс. молодых специалистов [2].
В условиях демографического спада произошли существенные изменения в
сети общеобразовательных учреждений. За последние 10 лет построено и введено
в эксплуатацию 136 школ, количество начальных школ сократилось на 448, базовых – на 314, организовано 607 учебно-педагогических комплексов.
Совершенствуется нормативная правовая база общего среднего образования. В связи с принятием Кодекса Республики Беларусь «Об образовании» приведены в соответствие акты законодательства. Ведется работа по обеспечению оптимизированного взаимодействия норм законодательства по вопросам общего
среднего образования с нормами законодательства других отраслей права Республики Беларусь, сокращению количества нормативных правовых актов, действующих в сфере общего среднего образования.
Дальнейшее эффективное функционирование и развитие общего среднего
образования связано с решением следующих первоочередных проблем.
Необходимо целенаправленное развитие научно-методического обеспечения системы общего среднего образования, что связано с повышением эффективности фундаментальных и прикладных научных исследований и внедрением полученных результатов в образовательную деятельность.
По приоритетным направлениям развития общего среднего образования
предусматривается разработка действенных механизмов внедрения полученных
результатов в образовательную деятельность.
Особое внимание необходимо сосредоточить на научно-методическом
обеспечении общего базового и общего среднего образования – разработке и внедрении учебно-методических комплексов нового поколения, включающих электронные учебные издания, обеспечивающих идеологическую, культурологическую и здоровьеформирующую направленность образовательного процесса.
При создании учебно-методического обеспечения, разработке новых режимов организации учебных занятий, использовании образовательных технологий и
методик обучения основополагающим должен стать здоровьесберегающий фактор.
Надо отметить, что требует дальнейшего решения проблема обеспечения
преемственности в содержании, методах, формах и средствах обучения и воспитания на уровне общего среднего образования с другими уровнями национальной
системы образования. Принципиально значимым при этом является усиление
воспитательной функции в содержании образования, создание и применение технологий обучения и воспитания, обеспечивающих формирование у учащихся
идейно-нравственных, гражданских, патриотических ценностей и убеждений, основанных на идеологии белорусского общества и государства.
Достижения научно-технического прогресса, активное развитие наукоемких
производств и информационных ресурсов обуславливают реализацию новых подходов к формированию образовательной среды, повышению ее технологичности.
Придание общеобразовательным учреждениям статуса юридического лица обусловливают необходимость разработки и внедрения новых моделей управления
их функционирования и развития.
Реформирование образования постепенно приводит к его демократизации,
понимаемой как переход к более полному учету индивидуальных интересов и потребностей обучаемых и отход от авторитарной модели взаимоотношений между
преподавателем и обучаемым [22].
В рамках реализации принципа «связи образования с жизнью» провозглашается смещение акцентов в целях обучения с приобретения знаний в сторону
выработки умений и навыков («компетенций») их самостоятельного приобретения и творческого применения.
Итак, общее среднее образование – «уровень основного образования, направленный на духовно-нравственное и физическое развитие личности учащегося, подготовку его к полноценной жизни в обществе, овладение учащимся основами наук, государственными языками Республики Беларусь, навыками умственного и физического труда, формирование нравственных убеждений, культуры поведения, эстетического вкуса и здорового образа жизни, готовности к самостоятельному жизненному выбору, началу трудовой деятельности и продолжению образования» [26].
Общее среднее образование включает три ступени:
I ступень - начальное образование (I - IV классы);
II ступень - базовое образование (V - IX классы);
III ступень - среднее образование (X - XI классы).
I и II ступени общего среднего образования составляют общее базовое образование. I, II и III ступени общего среднего образования составляют общее
среднее образование.
Образовательный процесс в общеобразовательных учреждениях организованы в виде 6-ти дневной школьной недели, включающей 5-ти дневную учебную
неделю, а один день для проведения с учащимися спортивно-массовых, физкультурно-оздоровительных, иных воспитательных мероприятий, организации трудового обучения. В этот день могут проводиться и учебные занятий на учебнопроизводственных объектах.
Государственными признаны два языка - белорусский и русский. Они являются обязательными для изучения в общеобразовательных учреждениях. Изучается также один из иностранных языков - английский, немецкий, французский,
испанский или китайский.
Национальные меньшинства изучают родной язык, культуру и традиции
своего народа. В учебном плане общеобразовательных учреждений предусмотрены помимо обязательных предметов факультативные занятия. Они проводятся по
желанию учащихся в группах по 3-5 человек и финансируются из госбюджета.
Основные задачи совершенствования системы общего среднего образования в 2016/17 учебном году:
- дальнейшее обновление содержания общего среднего образования с учетом относительной завершенности II ступени общего среднего образования и
профильного обучения на III ступени общего среднего образования, допрофильной подготовки учащихся;
- оснащение учреждений общего среднего образования современным оборудованием
и
средствами
обучения,
современными
информационно-
образовательными ресурсами и их активное использование в образовательном
процессе;
- развитие информационной образовательной среды учреждений общего
среднего образования в рамках концепции «электронная школа»;
- подготовка учебников (учебных пособий) нового поколения в соответствии с концепцией базового учебника [2].
1.2. Концепция учебного предмета «Математики», разработанная Министерством образования Республики Беларусь
В Республики Беларусь действует утвержденная в 2009 году Министерством образования Концепция учебного предмета «Математика» [26]. В ней детально сформулирована значимость математики в системе образования, указано, что
она является важным средством интеллектуального развития, формирования общей культуры, решения общеобразовательных и воспитательных задач. В Концепции особо отмечено, что «математические знания необходимы для изучения
явлений природы, без них невозможно достижение успехов в развитии производства и науки. Знания о количественных отношениях и пространственные представления необходимы практически во всех сферах деятельности человека» [26].
Авторы Концепции отмечают, что учитывая условия Республики Беларусь - ограниченности природных ресурсов – «приоритетным становится расширение наукоёмких производств, основой которых является, с одной стороны, развитие специальных разделов математики, с другой — достаточно высокая общематематическая культура работников, занятых на этих производствах» [2]. Роль математики
определяется тем, что она является опорным учебным предметом, обеспечивающим качественное изучение дисциплин естественно-научного цикла, позволяет
развивать логическое и образное мышление учащихся. Это является одной из
первостепенных задач гуманизации образования.
Министерство образования Республики Беларусь констатирует тот факт,
что уровень современного математического образования в страны в целом приемлем. Однако отмечает, что как недостаток преобладание теоретичности, формализма, недостаточной практической направленности, неполное соответствие запросам и возможностям учащихся.
Действующая Концепция математического образования направлена на:

«развитие общеинтеллектуальных и общеучебных умений учащихся;

определение системы математических знаний, умений и навыков, не-
обходимых в повседневной жизни, для продолжения образования, а также в будущей профессиональной деятельности;

обеспечение внутрипредметной и межпредметной интеграции, ис-
пользование методов математики в разных областях научной и практической деятельности;

обеспечение педагогическим работникам общеобразовательных учре-
ждений права на выбор методов и форм обучения и воспитания (образовательной
технологии), учебников и учебных пособий, средств обучения, обеспечивающих
необходимое качество образовательного процесса;

обеспечение систематического объективного контроля результатов
учебной деятельности учащихся в целях определения их соответствия требованиям образовательного стандарта и учебной программы» [27].
Рассмотрим методологические посылки и принципы построения содержания учебного предмета «Математика», установленные в белорусских школах.
Авторы Концепции призывают при определении содержания учебного
предмета «Математика» обязательно руководствоваться «требованием разумной
достаточности: понятия, факты, методы должны быть базовыми в математике как
науке и востребованными в дальнейшем при продолжении образования и практической деятельности» [27].
Базовыми являются понятия числа, фигуры, величины, переменной, соответствия, операции. При отборе содержания математического образования приоритет отдаётся его развивающей функции в большей мере, чем информационной.
Акцент сделан на овладение обобщёнными универсальными способами деятельности, и умениями применять их для анализа и исследования фактов [31, 32, 33,
34].
В основе процесса обучения математики лежит личностно ориентированная
парадигма обучения. Важно чтобы учащиеся были способны результативно решать проблемы, возникающие в повседневной жизни, быть применимыми в различных жизненных ситуациях.
Реализация дифференцированного обучения осуществляется за счёт проведения факультативных занятий.
По замыслу авторов Концепции «содержание математического образования
должно сформировать у учащихся понимание того, что математика является важнейшим элементом общечеловеческой культуры, значимым для устойчивого развития современного общества. Организация обучения математике должна способствовать освоению учащимся достижений математической культуры, которое позволит ему ориентироваться в информационных потоках, находить и использовать нужные знания» [27].
При отборе и структурировании содержания математического образования
во всех национальных учебниках учтены принципы: единство содержательной и
процессуальной сторон обучения, структурного единства содержания обучения на
разных этапах, научности, практической направленности, доступности, оптимизации, дифференциации и интеграции, гуманизации и преемственности обучения,
наглядности, сознательности и активности учащегося, прочности знаний.
Каждый этап изучения математики должен быть построен таким образом,
чтобы выполнялась достаточная завершённость содержания математического образования и его преемственность на каждой из трёх ступеней общего среднего
образования.
Цели математики как учебного предмета
Формирование у учащегося системы математических знаний, умений и навыков, необходимых в повседневной жизни осуществляется в первую очередь для
возможности продолжить образование, дать возможность учащимся приобрести
профессию. Важно создать условия для развития общих интеллектуальных умений (сравнение, обобщение, классификация, анализ, синтез, систематизация, абстрагирование, конкретизация), познавательных и общих учебных умений (поставить вопрос, сформулировать проблему, высказать и проверить гипотезу, сделать
вывод, выделить главное, точно и лаконично выразить свои мысли) [31, 32,33,34].
Особый акцент сделан на развитие математических способностей, определяемых гибкостью мышления, логикой рассуждения, степенью абстрагирования и
др.
Важно чтобы в процессе обучения математике происходило формирование
таких качеств личности, как самостоятельность, критичность, настойчивость,
принципиальность, любознательность, целеустремлённость, умение преодолевать
трудности, делать ответственный выбор.
В
Концепции
сформулированы
дидактические
основы
построения
содержания математического образования. В ней сказано, что «при разработке
содержания математического образования учитываются общие принципы единства содержательной, структурной и организационной сторон обучения на разных
его этапах, а также дидактические принципы» [27].
Обязательным является осуществление внешней дифференциации при обучении учащихся математике. Это реализуется благодаря проведению факультативных занятий, увеличению количества учебных часов на изучение математики в
VII–IX классах гимназий (гимназий-колледжей), созданию классов физикоматематического направления на III ступени общего среднего образования в гимназиях (гимназиях-колледжах) и лицеях. Осуществление внутренней дифференциации выполняется благодаря использованию вариативности уровня изложения
программного материала, уровню сложности математических задач.
Центральный призыв Концепции состоит в стремлении сохранить национальные традиции обучения при построении содержания учебного предмета.
Приоритетными национальными традициями обучения являются следующие:

систематический характер изложения программного материала;

рассмотрение задач как главного средства обучения;

формирование навыков обоснований и вычислений.
Усиление практической направленности при построении содержания математического образования осуществляется посредством:

увеличения роли и значения моделирования;

использования графиков, диаграмм, таблиц для наглядного представ-
ления количественной и статистической информации;

комплексного сочетания арифметического, алгебраического и геомет-
рического материала как средства математического развития учащихся.
Общая характеристика и особенности построения содержания учебного
предмета «Математика»
Содержание математического образования является традиционным, и полностью поддерживает логику изложения, принятую в советской школе.
Содержание математического образования группируется вокруг следующих
основных содержательных линий:

чисел и вычислений;

выражений и их преобразований;

уравнений и неравенств;

координат и функций;

геометрических фигур и их свойств;

геометрических величин;

геометрических построений.
Министерством образования Республики Беларусь выделены следующие
этапы изучения учебного предмета «Математика»: первый этап I-IV классы;
второй этап V-VI классы; третий этап VII-IX классы и четвёртый этап X-XI классы.
Содержание математического образования на каждом этапе изучения
учебного предмета строится в тесной взаимосвязи содержания арифметического,
алгебраического и геометрического разделов. В I-IV и V-VI классах содержание
алгебраического и геометрического компонентов предъявляется на пропедевтическом (подготовительном) уровне. В VII-IX и X-XI классах выделяются алгебраический и геометрический компоненты. [31,32,33,34]
В начальных классах содержание и основные цели обучения математике
направлены, в первую очередь, на усвоение учащимися понятия натурального
числа, отношений равенства и неравенства, овладение арифметическими дейст-
виями над натуральными числами. В этот период осуществляется знакомство с
основными величинами (длина, площадь, масса, время), единицами их измерения,
с простейшими геометрическими фигурами, решаются простые и составные
арифметические задачи. Геометрический материал выступает в качестве пропедевтического, т.е. является подготовительным к изучению систематического курса геометрии.
В V-VI классах продолжается развитие содержательных линий начальных
классов. Основная цель - усвоение десятичной системы счисления, развитие навыков действий над числами, знакомство с геометрическими фигурами и их свойствами. Первостепенное внимание обращено на изучение обыкновенных и десятичных дробей, выполнение действиям над ними, процентам и пропорциям. Значительная часть учебного времени отведена решению текстовых задач. Это сделано с целью повышения развивающего потенциала учебного предмета в V-VI
классах. На пропедевтическом уровне продолжается изучение геометрического
материала, который позволяет развивать логическое мышление, пространственное
воображение, готовит их к доказательным рассуждениям.
Алгебраическая составляющая курса математики VII-IX классов ориентирована на дальнейшее развитие понятия числа, преобразование алгебраических
выражений, решение уравнений, неравенств и их систем, изучение основных элементарных функций и их свойств. Усиление практической направленности предмета происходит благодаря решению текстовых задач, заданий с межпредметным
содержанием.
В геометрической составляющей курса математики приоритет отдается систематическому изучению свойств геометрических фигур на плоскости, обучение
направлено на развитие пространственных представлений учащихся. Изложение
материала становится боле дедуктивным. Основной акцент сделан на формирование умений проводить доказательные рассуждения.
В соответствии с традициями советской школы, содержание алгебраического компонента в X-XI классах предусматривает изучение тригонометрических,
степенных, показательных, логарифмических выражений, уравнений, неравенств,
функций; знакомство с понятием производной. Аналогичная тенденция присутствует и в российской школе. Содержание геометрического компонента в этих классах также исторически традиционно, а именно: взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве, основные геометрические тела. При этом логическая
строгость изложения программного материала сочетается с довольно высокой
степенью наглядности и доступности.
Состав и структура учебно-методического комплекса по учебному
предмету «Математика»
В соответствиями с традициями советской школы, в учебно-методический
комплекс в качестве основных средств обучения входят учебники (учебные пособия), сборники задач, дидактические материалы, книги для учителя. Помимо это в
УМК могут входить таблицы, рабочие тетради, электронные учебные пособия,
компьютерные программные продукты и др. Полный комплект УМК, бесспорно,
содействует повышению эффективности обучения учащихся математике.
При разработке теоретического содержания учебников (учебных пособий)
по математике основной акцент сделан на обеспечение доступности излагаемого
учебного материала в сочетании с его научностью. Каждый этап изучения материала обязательно содержит новые научные понятия. Все они вводят в последовательности в соответствии с возрастными и познавательными возможностями
учащихся. В реализуемых в учебном процессе учебниках (учебных пособиях) успешно сочетаются исторический и логический подходы изложения учебного материала. [11, 12, 13, 14]
Разработанная авторами учебников система дидактических материалов
включает разноуровневые самостоятельные и контрольные работы, тестовые задания и системы тестов с целью повышения эффективности индивидуальной работы, объективности и оперативности текущего и тематического контроля результатов учебной деятельности учащихся.
На уроках, факультативных занятиях, во внеклассной работе наряду с традиционными средствами обучения активно используются разнообразные электронные средства, к которым относятся мультимедийные устройства, интерак-
тивные компьютерные модели, электронные энциклопедии и справочники, электронные тренажёры и др. Цель их применения - повышение степени наглядности,
конкретизация изучаемых понятий, углубление интереса и создание положительного эмоционального отношения к учебной информации.
Процесс обучения математике в школе Республики Беларусь организован
таким образом, что обеспечивает возможности изучения математики на повышенном уровне в системе основного и дополнительного образования.
Учащиеся имеют возможность изучать математику в системе основного и дополнительного образования. Бесспорно, что основное образование
учащиеся общеобразовательных учреждений получают на уроках, а дополнительное – на факультативных занятиях, во внеклассной и внешкольной деятельности. В Республике Беларусь активно действует система учреждений внешкольного воспитания и обучения.
Первостепенная задача процесса организации обучения – это установление
полного согласования образовательного стандарта, типовых учебных планов для
каждого типа общеобразовательных учреждений и учебных программ по математике. Реализация дополнительного образование может осуществляться на всех
ступенях общего среднего образования посредством постоянных и непостоянных
форм внеурочной и внешкольной работы по математике и других видов деятельности.
Повышенный уровень изучения математики обеспечивается в гимназиях
(гимназиях-колледжах) и лицеях на уроках, а в других типах общеобразовательных учреждений - на факультативных занятиях. Увеличение количества учебных
часов на изучение математики в VII-IX классах гимназий (гимназий-колледжей),
X-XI
классах
физико-математического
направления
гимназий
(гимназий-
колледжей) и лицеев позволяет учащимся не только овладеть обязательным минимумом умений, но и расширять его посредством решения задач.
Главная цель проведения факультативных занятий по математике - углубление содержания в соответствии с основной учебной программой, развитие интереса к предмету, привитие навыка самостоятельной работы, воспитание и раз-
витие их инициативы и творчества. Проведение факультативных занятий по математике осуществляется по утверждённым в установленном порядке учебным
программам.
Регулярно проводятся внеурочные занятия в рамках дополнительного образования по математике. К ним относятся математический кружок, интеллектуальный клуб, заочная математическая школа, групповая и индивидуальная работа с
одарёнными учащимися и другие формы. Математический кружок в отличие от
факультативных занятий может не иметь регламентирующей программы. Программа работы кружка утверждается непосредственно в самом учреждении образования и может быть ориентирована в условиях общеобразовательных учреждений, расположенных в сельских населённых пунктах, на учащихся из разных
классов. Интеллектуальный клуб, заочная математическая школа могут объединять учащихся общеобразовательных учреждений определённого региона. При
этом занятия могут проводиться как при непосредственном участии учащихся, так
и дистанционно.
Нерегулярные формы работы по математике могут проводиться как в самих
общеобразовательных учреждениях, так и в учреждениях внешкольного воспитания и обучения, высших учебных заведениях и других организациях. Такие формы ориентированы на участие в предметных олимпиадах и конференциях, подготовку и проведение математических вечеров и конкурсов, выполнение ученических научных работ и др.
1.3. Оценка результатов учебной деятельности учащихся по учебному
предмету «Математика»
Нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся по учебным
предметам, принятые в Республике Беларусь, разработаны в соответствии с национальным законом от 5 июля 2006 года «Об общем среднем образовании». Эти
нормы разработаны в целях регулирования контрольно-оценочной деятельности
педагогических работников общеобразовательных учреждений при проведении
текущей, промежуточной и итоговой аттестации учащихся.
Нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся по учебным
предметам базируются на планируемых результатах обучения в предметнодеятельностной форме, определённых образовательными стандартами и учебными программами, и направлены на осуществление единых подходов при организации проверки и оценки учебных достижений учащихся.
В I и II классах образовательный процесс осуществляется в условиях безотметочного обучения.
В III и IV классах на содержательно-оценочной основе осуществляется обучение по учебным предметам «Музыка», «Изобразительное искусство», «Трудовое обучение», «Физическая культура и здоровье». Обучение по всем остальным
учебным предметам в III и IV классах осуществляется с выставлением отметки в
баллах.
Безотметочное обучение – это обучение, в котором система контроля и
оценки строится на содержательно-оценочной основе без выставления отметок.
В соответствии с инструктивно-методическим письмом Министерства образования Республики Беларусь «Об организации работы учреждений общего среднего образования по осуществлению контроля и оценки результатов учебной деятельности учащихся в период безотметочного обучения на I ступени общего
среднего образования», «на учебных занятиях по учебным предметам «Математика», «Литературное чтение», «Иностранный язык», «Русский язык», «Белорусский
язык», «Человек и мир» для обеспечения плавного перехода от безотметочного
обучения к 10-балльной системе оценки результатов учебной деятельности педагог может использовать в работе баллы для оценки отдельных заданий». Например, для каждого задания в зависимости от уровня сложности определяется его
«цена» в баллах. Например, за правильное решение простой задачи можно получить до 5 баллов, сложной задачи – до 15, за решение математических выражений
от 1 до 20 баллов и т.д. В этом инструктивно-методическом письме сказано, что
«Принципиально важно не привязывать «цену» задания к 10-балльной системе.
На данном этапе важен механизм применения баллов и понимание учащимися
принципов использования баллов для оценки результатов учебной деятельности».
В течение первого года обучения задания по обучению грамоте, математике, учебному предмету «Человек и мир» выполняются в тетрадях на печатной основе.
Все письменные работы проверяются учителем после каждого учебного занятия. Ошибки исправляются, отметки в баллах не выставляются. Контрольные
работы в I классе выполняются в тетрадях на печатной основе или на отдельных
листах. Во II классе в тетрадях для контрольных работ выполняются все виды
контрольных работ. Эти тетради на протяжении года хранятся в учреждении общего образования и выдаются учащимся для выполнения контрольных работ и
работ над ошибками.
Оценка результатов учебной деятельности учащихся осуществляется по десятибалльной системе («1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8», «9» и «10» баллов),
основными функциями которой являются:
- образовательная, ориентирующая педагога на использование разнообразных форм, методов и средств контроля результатов обучения, содействующих
продвижению учащихся к достижению более высоких уровней усвоения учебного
материала;
- стимулирующая, заключающаяся в установлении динамики достижений
учащихся в усвоении знаний, характера познавательной деятельности и развитии
индивидуальных качеств и свойств личности на всех этапах учебной деятельности;
- диагностическая, обеспечивающая анализ, оперативно-функциональное
регулирование и коррекцию образовательного процесса и учебной деятельности;
- контролирующая, выражающаяся в определении уровня усвоения учебного материала в процессе контроля и аттестации учащихся;
- социальная, проявляющаяся в дифференцированном подходе к осуществлению проверки и оценке результатов учебной деятельности учащихся с учётом
их индивидуальных возможностей и потребностей в соответствии с социальным
заказом общества и государства.
При отсутствии результатов учебной деятельности учащимся выставляется
«0» баллов.
На первой ступени общего среднего образования, в первом и втором классах, система контроля и оценки строится на содержательно-оценочной основе без
использования отметки как формы количественного выражения результатов оценочной деятельности [22].
Далее будем использовать следующие понятия:
уровень усвоения учебного материала - характеристика учебных достижений учащихся, соотнесённых с основными функциями образовательного процесса - распознавания, описания, объяснения и преобразования объектов изучения;
контроль - процедура проверки и оценки учебных достижений учащихся,
направленная на установление степени соответствия реально достигнутых результатов учебной деятельности каждым учащимся планируемым результатам обучения в предметно-деятельностной форме, определённых образовательными стандартами и учебными программами;
отметка - результат процесса оценивания учебно-познавательной деятельности учащихся, его условно-формальное количественное выражение в баллах.
Представленные нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся по учебным предметам распространяются на общеобразовательные учреждения независимо от их подчинения и форм собственности и определяют:
- уровни усвоения учебного материала;
- основные виды и формы контроля учебно-познавательной деятельности
учащихся;
- общие требования к выставлению отметок за четверть, годовых и экзаменационных отметок;
- нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся по каждому
учебному предмету;
- классификацию существенных и несущественных ошибок, погрешностей,
которые учитываются при осуществлении контрольно-оценочной деятельности по
каждому учебному предмету [22].
Для оценки результатов учебной деятельности учащихся при осуществлении контрольно-оценочной деятельности выделяются следующие пять уровней
усвоения учебного материала:
первый уровень (низкий) - действия на узнавание, распознавание и различение понятий (объектов изучения), которые оцениваются от 1 до 2 баллов;
второй уровень (удовлетворительный) - действия по воспроизведению
учебного материала (объектов изучения) на уровне памяти, которые оцениваются
от 3 до 4 баллов;
третий уровень (средний) - действия по воспроизведению учебного материала (объектов изучения) на уровне понимания; описание и анализ действий с
объектами изучения, которые оцениваются от 5 до 6 баллов;
четвёртый уровень (достаточный) - действия по применению знаний в
знакомой ситуации по образцу; объяснение сущности объектов изучения; выполнение действий с чётко обозначенными правилами; применение знаний на основе
обобщённого алгоритма для решения новой учебной задачи, которые оцениваются от 7 до 8 баллов;
пятый уровень (высокий) - действия по применению знаний в незнакомых, нестандартных ситуациях для решения качественно новых задач; самостоятельные действия по описанию, объяснению и преобразованию объектов изучения, которые оцениваются от 9 до 10 баллов.
Основными показателями соответствия результатов учебной деятельности
учащихся уровням усвоения учебного материала выступают мыслительные, словесно-логические, знаковые и предметные действия и операции по распознаванию, описанию, объяснению и преобразованию объектов изучения.
При этом распознавание, воспроизведение учебного материала, владение и
оперирование им в знакомой и незнакомой ситуациях характеризуются полнотой,
осознанностью, системностью, прочностью, мобильностью знаний, а также степенью познавательной самостоятельности учащихся в выполнении учебных задач.
Для проведения текущей и промежуточной аттестации учащихся устанавливаются следующие виды контроля: поурочный и тематический.
Поурочный контроль проводится с целью проверки и оценки усвоения
учащимися учебного материала в процессе изучения темы и носит стимулирующий, корректирующий и воспитательный характер.
При осуществлении поурочного контроля оценивается процесс учебной
деятельности учащихся, познавательные и общеучебные умения, использование
рациональных способов выполнения заданий с учётом проявления интереса к
учению, стремления к достижению поставленной цели и других индивидуальных
и личностных качеств. Педагог наряду с заданными требованиями учитывает и
предыдущие достижения учащихся.
Периодичность оценивания результатов учебной деятельности каждого
учащегося при поурочном контроле определяется педагогом в зависимости от
специфики учебного предмета и изучаемого учебного материала, методов, форм и
технологий обучения, возрастных и индивидуальных особенностей учащихся.
Тематический контроль проводится с целью проверки и оценки усвоения
учащимися учебного материала определённой темы (тем). При осуществлении
тематического контроля оцениваются достижения учащихся не по отдельным
элементам (как при поурочном контроле), а в логической системе, соответствующей структуре учебной темы (тем).
Основные виды контроля осуществляются в устной, письменной, практической формах и в их сочетании.
Выбор формы контроля зависит от содержания и специфики учебного
предмета, количества учебных часов, выделяемых на его изучение, этапа обучения и планируемых результатов обучения, возрастных и индивидуальных особенностей учащихся.
Для осуществления контроля используются методы и средства, с помощью которых устная, письменная, практическая формы контроля или их сочетание позволяют получить наиболее объективную информацию о качестве образовательного процесса и результатах учебной деятельности учащихся.
К ним относятся: индивидуальный, групповой и фронтальный опрос с использованием контрольных вопросов и заданий, содержащихся в учебниках,
учебных, учебно-методических пособиях и дидактических материалах, собеседования, дидактические тесты, диктанты, изложения, сочинения, самостоятельные и
контрольные работы, наблюдения, лабораторные и практические работы, лабораторные опыты, экспериментальные исследования, рефераты и другие методы и
средства контроля.
Выбор используемых методов и средств для осуществления контроля результатов учебной деятельности учащихся осуществляется педагогом.
Количество контрольных работ, которые проводятся в письменной форме
по отдельным учебным предметам на протяжении учебного года, определяется
Инструкцией о порядке формирования культуры устной и письменной речи в
общеобразовательных учреждениях, утверждаемой Министерством образования
Республики Беларусь [26].
Выставление
отметки
за
четверть
осуществляется
как
среднее
арифметическое отметок на основе результатов тематического контроля с учетом
преобладающего или наивысшего (по усмотрению педагога) поурочного балла.
Годовая отметка выставляется как среднее арифметическое отметок по
четвертям с учётом динамики индивидуальных учебных достижений учащихся на
конец учебного года.
Оценка результатов учебной деятельности учащихся по учебному
предмету “Математика”
Планируемые результаты обучения в предметно-деятельностной форме определены
учебными
программами
в
соответствии
с
требованиями
Образовательного стандарта общего среднего образования учебного предмета
“Математика” к уровню подготовки учащихся.
Поурочный контроль осуществляется в устной и письменной формах или в
их сочетании посредством проведения опроса (индивидуального, группового,
фронтального) с использованием контрольных вопросов и заданий, содержащихся
в учебниках, учебных, учебно-методических пособиях и дидактических материалах, математических диктантов, собеседования, самостоятельных работ и других
методов и средств контроля, которые определяются педагогом с учётом возрастных особенностей учащихся в целях получения объективной информации о качестве учебно-познавательной деятельности учащихся и их учебных достижениях.
Тематический
контроль
осуществляется
посредством
проведения
самостоятельных и контрольных работ, других методов и средств контроля, которые определяются педагогом с учётом возрастных особенностей учащихся в целях получения объективной информации о качестве учебно-познавательной деятельности учащихся и их учебных достижениях.
Устанавливаются следующие показатели оценки результатов учебной
деятельности
учащихся
десятибалльной шкалы:
при
осуществлении
контроля
с
использованием
Баллы
1
(один)
Показатели оценки
Узнавание отдельных объектов изучения программного
учебного материала, предъявленных в готовом виде (узнавание
математических
объектов,
их
свойств,
признаков,
математических формул, действий, правил, утверждений,
моделей, составленных по условию задачи, других элементов
математического знания, а также узнавание отдельных
математических объектов в окружающей действительности)
2
Различение объектов изучения программного учебного
(два)
материала, предъявленных в готовом виде, и осуществление
соответствующих
практических
действий
(различение
математических
объектов,
их
свойств,
признаков,
математических формул, действий, правил, утверждений,
моделей, составленных по условию задачи, других элементов
математического знания и выделение заданных объектов
изучения
среди
предъявленных
и
в
окружающей
действительности)
3
Воспроизведение части программного учебного материала по
(три)
памяти (описание математических объектов, перечисление их
свойств и признаков; использование инструментов для
измерения геометрических величин; выполнение заданий по
образцу в одно-два действия)
4
Воспроизведение большей части учебного материала по
(четыре) памяти (формулирование в устной или письменной форме
свойств и признаков математических объектов, правил,
утверждений, выделение при сравнении математических
объектов общих и отличительных признаков без их
объяснения; использование инструментов для проведения
основных геометрических построений; выполнение заданий по
образцу)
5
Осознанное
воспроизведение
значительной
части
(пять) программного учебного материала (описание математических
объектов и связей между ними без их обоснования или
доказательства,
иллюстрация
примерами
окружающей
действительности; решение типовых задач по заданному
образцу)
6
Осознанное воспроизведение в полном объёме программного
(шесть) учебного материала (описание математических объектов и
связей между ними с элементами обоснования или
доказательства; решение типовых задач по известному
алгоритму, проверка результатов решения задач с
использованием изученных методов)
7
Владение программным учебным материалом в знакомой
(семь)
ситуации (обоснование и доказательство математических
утверждений при описании математических объектов с учётом
внутрипредметных связей; решение типовых задач с
использованием нескольких алгоритмов)
8
Владение и оперирование программным учебным материалом
(восемь) в знакомой ситуации (развёрнутое описание математических
объектов, раскрытие сущности математических понятий,
правил,
утверждений,
доказательство
математических
утверждений, формулирование выводов, подтверждение
примерами использования учебного материала в практической
деятельности человека; самостоятельное решение типовых
задач с полным их обоснованием)
9
Оперирование программным учебным материалом в частично
(девять) изменённой ситуации (уверенное владение и оперирование
учебным материалом для выполнения учебных заданий с
использованием различных способов, приёмов, методов и
учётом внутрипредметных и межпредметных связей)
10
Свободное оперирование программным учебным материалом,
(десять) применение знаний и умений в незнакомой ситуации
(владение
приёмами
математического
моделирования;
самостоятельные действия по описанию, объяснению и
преобразованию математических объектов; нахождение
рациональных способов решения задач, решение творческих
задач)
При оценке результатов учебной деятельности учащихся учитывается
характер допущенных ошибок: существенных и несущественных.
К категории существенных относятся ошибки, свидетельствующие о том,
что учащийся не знает формул, не усвоил математические понятия, правила,
утверждения, не умеет оперировать ими и применять к выполнению заданий и
решению задач.
К
категории
вычислительного
несущественных
характера,
относятся
погрешности
в
отдельные
формулировке
ошибки
вопросов,
определений, математических утверждений, небрежное выполнение записей,
рисунков, графиков, схем, диаграмм, таблиц, а также грамматические ошибки в
написании математических терминов [27].
Контрольная работа, самостоятельная работа, которые проводятся в рамках
тематического контроля, должны включать по одному или по два задания в
соответствии с показателями оценки результатов учебной деятельности учащихся
при
осуществлении
контроля
с
использованием
десятибалльной
шкалы,
установленными настоящими Нормами оценки результатов учебной деятельности.
Отметка за выполнение самостоятельных работ, которые проводятся в
рамках тематического контроля, контрольных работ выставляется с применением
следующих шкал: шкалы, определяющей максимальное количество баллов за
каждое задание (шкалы 1, 3) и шкалы перевода суммарного количества баллов,
полученных учащимся за выполнение соответствующей работы (шкалы 2, 4), в
отметки по десятибалльной системе.
Шкала 1
Шкала, определяющая
максимальное количество
баллов за каждое задание,
если самостоятельная или
контрольная работа
содержит 5 заданий
Номер
задания
Максимальное
количество баллов за выполнение задания
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
Суммарный максимальный балл за
выполнение всех
заданий: 30
Шкала 2
Шкала перевода суммарного
количества баллов, полученных
учащимся за выполнение
самостоятельной или контрольной
работы, которая содержит 5 заданий
Количество
Отметка по десятибаллов, по- балльной шкале оценлученных
ки результатов учебучащимся
ной деятельности
учащихся
1
2
3—5
6—8
9—11
12—14
15—18
19—23
24—28
29—30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Шкала 3
Шкала 4
Шкала, определяющая
макимальное количество
баллов за каждое задание,
если самостоятельная или
контрольная работа содержит
10 заданий
Номер
задания
Максимальное
количество баллов за выполнение задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Шкала перевода суммарного
количества баллов, полученных
учащимся за выполнение
самостоятельной или контрольной
работы, которая содержит 10 заданий
Количество
Отметка по десятибаллов, полу- балльной шкале оценки
ченных учарезультатов учебной
щимся
деятельности учащихся
1
2—4
5—7
8—12
13—18
19—25
26—33
34—42
43—52
53—55
Суммарный максимальный балл за
выполнение всех
заданий: 55
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Задание считается невыполненным, если в нём допущена существенная
ошибка. Количество баллов за выполнение задания снижается не менее чем на 10
процентов, если в нём допущена несущественная ошибка.
Структура и механизм оценивания самостоятельных работ, которые
проводятся
в
рамках
поурочного
контроля,
определяются
педагогом
в
соответствии с показателями оценки результатов учебной деятельности учащихся
при
осуществлении
установленными
контроля
настоящими
с
использованием
Нормами
оценки
десятибалльной
шкалы,
результатов
учебной
деятельности. Отметка за выполнение экзаменационных работ за период обучения
на уровнях общего базового и общего среднего образования выставляется с
применением шкал 2 и 4.
1.4. Организация образовательного процесса при изучении математики
и проведении факультативных занятий по математике в учреждениях общего среднего образования Республики Беларусь
В инструктивно-методическом письме министерства образования Республики Беларусь «Об организации образовательного процесса при изучении учебных предметов и проведении факультативных занятий в учреждениях общего
среднего образования в 2016/2017 учебном году» сказано, что к новому учебному
году утвержден новый типовой учебный план общего среднего образования;
скорректированы учебные программы по учебным предметам для учащихся I и V
классов; разработаны учебные программы по учебным предметам для X класса с
учетом двух уровней изучения – базового и повышенного.
Вопросы организации профильного обучения изложены в письме Министерства образования Республики Беларусь, размещенном на сайте министерства
www.edu.gov.by [27]. В ХI классах средних школ в 2016/2017 учебном году продолжается изучение отдельных учебных предметов на повышенном уровне в соответствии с Методическими рекомендациями по организации изучения отдельных учебных предметов на повышенном уровне в средней школе, утвержденными
Министром образования Республики Беларусь 9.03.2013 № И-06-19/28 [27].
Комплексную поддержку всем участникам образовательного процесса на
уровнях дошкольного, общего среднего, специального образования обеспечивает
Национальный образовательный портал www.adu.by [22].
В помощь учителям рекомендуются следующие разделы портала:
 «Нормативные правовые документы» (Кодекс Республики Беларусь об
образовании, постановления Министерства образования Республики Беларусь и
др.);
 «Образовательный процесс. 2016/2017 учебный год» (учебные программы по учебным предметам, Типовой учебный план общего среднего образования
на 2016/2017 учебный год, инструктивно-методические письма Министерства образования Республики Беларусь к началу 2016/2017 учебного года, календарнотематическое планирование по учебным предметам, учебные издания для учреждений образования и др.). Раздел структурирован для удобства пользования по названиям учебных предметов;
 «Учебно-методическое обеспечение дошкольного, общего среднего и
специального образования» (концепции и стандарты учебных предметов, учебные
программы факультативных занятий, нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся; каталог учебно-методических пособий и новинок учебного
книгоиздания и др.);
 «Современные средства обучения и ИКТ в образовании» (звуковые приложения и тексты для восприятия и понимания речи на слух к учебным пособиям
по иностранным языкам);
 «Профильное обучение» (актуальные материалы по проблемам допрофильной подготовки и профильного обучения);
 «Мероприятия» (информация о мероприятиях Научно-методического
учреждения «Национальный институт образования» Министерства образования
Республики Беларусь и государственного учреждения образования «Академия последипломного образования»: научно-практических конференциях, тематических
семинарах, олимпиадах, конкурсах, турнирах для учащихся и др.);
 «Педмастерская» (виртуальная площадка для общения и профессионального взаимодействия педагогов, которые хотели бы не только регулярно знакомиться с опытом работы своих коллег, но и делиться собственными разработками,
наблюдениями, инициативами);
 «Электронное обучение» http://e-vedy.adu.by (электронные образовательные ресурсы (ЭОР) для дошкольного, общего среднего, специального образования и системы воспитания; «Дистанционный всеобуч учителю»; интернет-ресурс
по сопровождению интернет-олимпиад, турниров и конкурсов по учебным предметам);
 «Электронные версии учебников» http://e-padruchnik.adu.by (электронные
версии учебников и учебных пособий для учреждений общего среднего образования);
 «Инфолиния» и «Форум» (обсуждение актуальных проблем обучения и
воспитания,
можно
задать
вопросы
специалистам
Научно-методического
учреждения «Национальный институт образования» Министерства образования
Республики Беларусь и др.).
Типовые учебные планы всех видов учреждений общего среднего образования утверждены постановлением Министерства образования Республики Беларусь «Аб тыпавым вучэбным плане агульнай сярэдняй адукацыі на 2016/2017 навучальны год» (www.edu.gov.by / Система образования / Управление общего среднего образования / Типовые учебные планы; www. adu.by / Образовательный процесс. 2016/2017 учебный год / Учебный предмет http://adu.by/?p=6676).
Учебные программы по соответствующим учебным предметам для каждого
класса
размещены
на
Национальном
образовательном
портале
(http://www.adu.by/ Образовательный процесс. 2016/2017 учебный год / Учебный
предмет http://adu.by/?p=6676 )
В 2016/2017 учебном году для учреждений общего среднего образования с
белорусским и (или) русским языками обучения рекомендованы учебники и учебные пособия, перечень которых размещен на Национальном образовательном
портале (www.adu.by/ Образовательный процесс. 2016/2017 учебный год), а также
опубликован в бюллетене Министерства образования Республики Беларусь
«Зборнік нарматыўных дакументаў» (2016 г., № 6).
В помощь учителям разработано примерное календарно-тематическое планирование по всем учебным предметам, которое размещено на портале
(http://www.adu.by/ Образовательный процесс. 2015/2016 учебный год / Учебный
предмет http://adu.by/?p=6676), а также издано в виде отдельных книг.
В календарно-тематическом планировании предлагается примерное распределение учебных часов по темам. Учитель может использовать предлагаемое планирование без изменений (в этом случае календарно-тематическое планирование
не нужно переписывать). В то же время учитель имеет право в пределах учебных
часов, отведенных на изучение учебного предмета, вносить в календарнотематическое планирование изменения с учетом особенностей класса и познавательных возможностей учащихся, а также разрабатывать собственное календарнотематическое планирование, которое в таком случае утверждается руководителем
учреждения образования.
Учебно-методические комплексы для факультативных занятий. Для
проведения факультативных занятий предлагается руководствоваться учебными
программами и учебно-методическими комплексами для учителя и учащегося,
рекомендованными Научно-методическим учреждением «Национальный институт образования» Министерства образования Республики Беларусь (www.adu.by /
Учителю / Учебно-методическое обеспечение дошкольного, общего среднего и
специального образования http://adu.by/?p=7575/ Учебные программы факультативных занятий / Учебный предмет).
Данными комплексами в обязательном порядке должны быть обеспечены
библиотеки учреждений общего среднего образования.
Особенности организации образовательного процесса при изучении
учебного предмета «Математика»
Обучение математике в учреждениях общего среднего образования ставит
следующие задачи:

овладение системой математических знаний, которые необходимы
для применения в практической деятельности, для изучения других учебных
предметов и продолжения образования;

интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышле-
ния, характерных для деятельности не только в области математической науки, но
и необходимых для полноценной жизни в обществе;

формирование представлений о возможностях математики как науки в
описании и познании действительности;

формирование представлений о математике как части общечеловече-
ской культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса;

воспитание таких качеств личности, как целенаправленность, настой-
чивость в преодолении трудностей, самостоятельность, ответственность, самоконтроль, критичность и вариативность мышления.
В 2016/2017 учебном году используются следующие учебные программы:
для VI, VII, VIII, IX и XI классов:
Вучэбная праграма для ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай
мовай навучання. Матэматыка. V–XI класы. – Мінск : Нацыянальны інстытут
адукацыі, 2012;
Учебная программа для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения. Математика. V–XI классы. – Минск: Национальный институт образования, 2012;
для V класса:
Вучэбная праграма па вучэбным прадмеце «Матэматыка» для V клаcа
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання //
Зборнік «Вучэбныя праграмы па вучэбных прадметах для ўстаноў агульнай
сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання. V клас». – Мінск :
Нацыянальны інстытут адукацыі, 2015;
Учебная программа по учебному предмету «Математика» для V класcа
учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и
воспитания // Сборник «Учебные программы по учебным предметам для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и воспитания.
V класс». – Минск : Национальный институт образования, 2015;
для X класса:
Вучэбная праграма па вучэбным прадмеце «Матэматыка» для Х клаcа
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання
(базавы ўзровень) // Зборнік «Вучэбныя праграмы па вучэбных прадметах для
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання. Х
клас (базавы ўзровень)». – Мінск : Нацыянальны інстытут адукацыі, 2015;
Учебная программа по учебному предмету «Математика» для Х класcа
учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и
воспитания (базовый уровень) // Сборник «Учебные программы по учебным
предметам для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и воспитания. Х класс (базовый уровень)». – Минск: Национальный институт образования, 2015;
Вучэбная праграма па вучэбным прадмеце «Матэматыка» для Х клаcа
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання
(павышаны ўзровень) // Зборнік «Вучэбныя праграмы па вучэбных прадметах для
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання. Х
клас (павышаны ўзровень)». – Мінск : Нацыянальны інстытут адукацыі, 2015;
Учебная программа по учебному предмету «Математика» для Х класcа
учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и
воспитания (повышенный уровень) // Сборник «Учебные программы по учебным
предметам для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и воспитания. Х класс (повышенный уровень)». – Минск : Национальный
институт образования, 2015.
В 2015 году были внесены изменения в содержании учебных программ для
Х класса:
Базовый уровень
Исключена тема «Производная».
Повышенный уровень
Исключена тема «Производная»
(перенесена в ХI класс).
Структурирован материал темы
«Функция».
Структурирован материал темы
«Функция».
Перенесена из 11 класса тема Включены вопросы: сложная функ«Степень с рациональным показа- ция, обратная функция, обратные
телем. Степенная функция. Ирра- тригонометрические функции.
циональные уравнения».
Перенесена из 11 класса тема
Исключены некоторые вопросы:
«Степень с рациональным показаиз темы «Тригонометрия» (фор- телем. Степенная функция. Иррамулы половинного угла; формулы циональные уравнения. Иррациопреобразования произведения в нальные неравенства»
сумму (разность);
Включена тема «Элементы комбииз темы «Перпендикулярность в наторики»
пространстве» расстояние между
скрещивающимися прямыми.
В процессуальной части учебной программы базового уровня увеличен объем учебного материала, предъявляемого на уровне представления, снижен уровень сложности практической составляющей содержания учебной программы.
В процессуальной части учебной программы повышенного уровня увеличен
объем учебного материала, предъявляемого на уровне понимания, усилены требования к обоснованию решения задач.
В связи с последовательным введением в содержание образования принципов, реализующих относительную завершенность на II ступени общего среднего
образования в контексте компетентностного подхода, внесены соответствующие
изменения в учебную программу и примерное календарно-тематическое планирование в V классе.
В 2015 году внесены изменения в содержании учебной программы для V
класса: внесены изменения в пропедевтический геометрический материал. Так, в
частности, темы «Смежные и вертикальные углы», «Хорда и диаметр круга» перенесены в 6 класс; в каждый раздел программы «Основные требования к результатам учебной деятельности учащихся» внесено обязательное условие «решать
задачи с практическим содержанием». Практикоориентированные задачи постепенно занимают соответствующее место на уроках математики.
Для организации процесса обучения и подготовки к учебным занятиям
учителю рекомендуется использовать дополнительные материалы, размещенные на Национальном образовательном портале (www.adu.by / Образовательный процесс. 2016/2017 учебный год http://adu.by/?p=6676 / Математика).
При изучении учебного предмета «Математика» на повышенном уровне в
XI классах средних школ рекомендуем использовать календарно-тематическое
планирование для XI классов гимназии, гимназии-интерната, суворовского училища, специализированного лицея, лицея (физико-математическое направление).
При изучении учебного предмета «Математика» в V–VI классах можно использовать календарно-тематическое планирование, разработанное в рамках инновационного проекта «Внедрение структурно-динамической модели обучения
математике
на основе принципа системной дифференциации» (автор
–
В.Д. Герасимов) (www.adu.by / Образовательный процесс. 2015/2016 учебный год
http://adu.by/?p=6676 / Математика).
Для проведения учебных занятий можно руководствоваться следующими
пособиями для учащихся, рекомендованными Научно-методическим учреждением «Национальный институт образования» Министерства образования Республики Беларусь: «Моя математика. 5 класс» (автор – В.Д. Герасимов); «Моя математика. 6 класс» (автор – В.Д. Герасимов).
В соответствии с пунктом 54 Положения об учреждении общего среднего
образования при проведении практикумов по решению задач осуществляется деление класса на 2 группы. Деление класса на 2 группы при меньшей
наполняемости классов при проведении практикумов по решению задач
осуществляется в соответствии с пунктом 57 Положения об учреждении общего
среднего образования.
На заседаниях методических формирований учителей математики (методическое объединение, школа молодого учителя, школа совершенствования педагогического мастерства, творческие группы и др.) министерство рекомендует рассмотреть актуальные вопросы теории и методики преподавания математики с
учетом имеющегося эффективного педагогического опыта педагогов региона:

совершенствование профессиональной компетентности учителя мате-
матики, организующего изучение предмета на повышенном уровне;

эффективная образовательная практика реализации предметного со-
держания на учебных занятиях по математике на базовом и повышенном уровнях
изучения в соответствии с обновленными учебными программами для V и X
классов;

особенности организации факультативных занятий по математике для
учащихся IX класса при допрофильной подготовке;

мотивация профессионального самоопределения учащихся средства-
ми учебного предмета «Математика»;

реализация проблемно-поискового подхода при осуществлении ис-
следовательской деятельности в предметной области «Математика»;

практикоориентированный подход к обучению математике как фактор
развития творческих способностей учащихся;

контрольно-оценочная деятельность учителя и учащихся в условиях
профильного обучения;

использование электронных образовательных ресурсов по математике
для повышения качества образования учащихся;

обобщение опыта педагогической деятельности учителя математики в
использовании эффективных образовательных практик по реализации допрофильной
подготовки
и
профильного
образования
учащихся.
Глава II. Содержание школьного математического образования в школах Республики Беларусь
2.1. Содержание образовательного стандарта учебного предмета «Математика» (I-XI классы)
В школах Республики Беларусь действует образовательный стандарт учебного предмета «Математика» (I-XI классы), утвержденный Постановлением Министерства образования Республики Беларусь от 29.05.2009 № 32. Рассмотрим содержание указанного стандарта, перевод которого на русский язык выполнен нами самостоятельно [11,12,13, 31,32,33,34].
1. Цели изучения учебного предмета
Обучение математики направлено на освоение не только знаний и способов
деятельности, необходимых для повседневных нужд человека, но и на интеллектуальное и информационное развитие учеников. Изучение учебного предмета
«Математика» предусматривает реализацию следующих основных целей:
• сформировать у учащихся систему математических знаний, умений и навыков, необходимых в повседневной жизни, будущей профессиональной деятельности и для продолжения образования;
• развить общие интеллектуальные умения (сравнения, обобщения, классификации, анализа, синтеза, систематизации, абстрагирования, формализации, конкретизации, структурирования, моделирования), познавательные и общие учебные умения (ставить вопрос, формулировать проблему, высказывать и проверять
гипотезу, делать вывод, выделять главное, планировать, ставить цели; строго, ясно, точно выражать свои мысли);
• развить специальные математические умения, интуицию, пространственные представления, основы доказательственной деятельности и умения использовать их для решения задач математики, задач других учебных предметов, практических задач;
• развить у учащихся интерес к математике, сформировать представления о
ее место в системе наук, о ней методологическое значение и роль в формировании
общей культуры, осознание того, что средствами математики описываются и исследуются явления и процессы реальности;
• формировать в процессе обучения математике такие качества личности,
как самостоятельность, критичность, настойчивость, честность, принципиальность, любознательность, целеустремленность, умение преодолевать трудности,
делать ответственный выбор.
2. Задачи изучения учебного предмета
На I ступени общего среднего образования:
• формирование у учащихся знаний и умений, необходимых для овладения
школьным курсом математики в целом, имеющих социокультурное значение и
позволяют реализовывать в обучении межпредметные связи;
• содействие формированию у учащихся обобщенных интеллектуальных
умений: анализировать и делать выводы, устанавливать связи данного объекта с
другими, выделять существенные признаки объекта, сравнивать математические
объекты, переносить известные способы деятельности в новые условия;
• формирование оценочных и контролирующих действий, воспитание умения рассуждать, критичности мышления;
• развитие у учащихся устойчивого интереса к знал, желание учиться, работать;
• выяснение математических склонностей учеников и обеспечение их развития с учетом способностей и возможностей;
• создание благоприятных условий для гармоничного развития учащихся,
развития их индивидуальностей.
На II ступени общего среднего образования:
• развитие представлений о числе и роли вычислений в повседневной жизни
и профессиональной деятельности, формирование практических навыков вычислений и вычислительной культуры;
• формирование алгебраических умений, выработка умений использования
математических формализма при решении математических задач, задач из других
предметных областей и прикладных задач;
• освоение свойств и графиков основных элементарных функций, приобретение умений применять функционально-графические представления для описания и анализа реальных явлений;
• освоение основных фактов и методов планиметрии, приобретение умений
использовать их при решении задач;
• выработка умений строить с помощью математики модели при решении
задач с предметным содержанием и несложных реальных процессов;
• развитие логического мышления и умения точно выражать свои мысли.
На III ступени общего среднего образования:
• расширение и систематизация знаний о функциях, изучение новых классов
функций;
• приобретение первичных умений использования производной при исследовании функций и проведении вычислений;
• расширение и совершенствование техники проведения вычислений, тождественных преобразований выражений, решения уравнений и неравенств;
• освоение свойств трехмерного пространства и основных геометрических
тел;
• расширение и углубление представлений о математике как элемент общечеловеческой культуры, о ее роли в общественном прогрессе;
• совершенствование интеллектуальных и коммуникативных умений на основе развития логического мышления и речевых умений.
3. Содержание образования по учебному предмету «Математика»
На I ступени общего среднего образования:
Числа и вычисления. Натуральное число как результат счёта и измерения.
Принцип строения естественного серого чисел. Позиционная десятичная система
счета. Принципы образования названий натуральных чисел. Сравнение чисел.
Арифметические действия над натуральными числами: сложение, вычитание, ум-
ножение и деление. Основные свойства арифметических действий, их применение
при устных и письменных вычислениях. Связи между арифметическими действиями и их применение для проверки результатов вычислений. Деление с остатком. Проверка результатов деления с остатком. Доля числа. Нахождение доли
числа. Текстовые задачи. Условие задачи, требование (вопрос) задачи, решение
задачи. Простые задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением и делением. Оформление решения задачи. Составные задачи в два и три действия. Запись решения задачи по действиям и с помощью выражения. Общие приемы работы над простыми и составными задачами. Проверка правильности решения задачи. Моделирование условия задачи с помощью графических средств. Составление задачи по выражению. Геометрический материал. Геометрические фигуры:
точка, линия, отрезок, луч, угол, треугольник, четырехугольник, квадрат, прямоугольник, многоугольник, круг, окружность. Элементы геометрических фигур:
вершина, угол, сторона многоугольника; центр, радиус окружности, круга. Треугольник. Равносторонним треугольник. Прямоугольный треугольник. Тупоугольный треугольник. Остроугольные треугольник. Построение отрезков. Построение прямоугольников, квадратов по длине их сторон.
Алгебраический материал. Названия компонентов арифметических действий. Переменная. Выражение с переменной. Значения выражений с одной переменной при данных значениях переменных. Сравнение числовых выражений. Числовые равенства и неравенства. Изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения их компонентов. Простейшие уравнения. Проверка правильности решения уравнения. Простейшие неравенства с одной переменной. Величины и их измерение. Измерение величин: длина, площадь, время.
Измерительная линейка, клина, календарь, часы. Представление о скорости, цене.
Единицы измерения длины, площади, времени, массы. Связи международными
единицами. Переход от одной единицы измерения к другой. Сравнение однородных величин. Арифметические действия над величинами.
Определение длины отрезка, ломаной, периметра прямоугольника, квадрата. Вычисление площади прямоугольника и квадрата по длине их сторон.
На II ступени общего среднего образования:
Числа и вычисления. Натуральные числа и действия над ними. Натуральная
степень числа. Деление с остатком. Делители и кратные числа. Разложение числа
на множители. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9. Простые и составные числа.
Разложение числа на простые множители. Общий делитель. Общее кратное.
Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Приведение
дроби к новому знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей. Основные задачи на дроби. Среднее арифметическое нескольких чисел. Текстовая задача и ее компоненты. Проверка решения задачи. Арифметические способы решения задач. Десятичную дробь. Сравнение десятичных дробей. Округление десятичных дробей. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную и
обыкновенной в десятичную. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Задачи на пропорциональное деление. Масштаб. Проценты.
Основные задачи на проценты. Положительные и отрицательные числа. Модуль
числе и его геометрический смысл. Противоположные числа. Сложение, вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Целые числа.
Рациональные числа. Сравнение чисел. Стандартный вид числа. Корень n-й степени из числа. Иррациональное число. Действительное число. Сравнение действительных чисел. Числовые промежутки. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла
от 0° до 180°. Радиан. Число π. Выражения и их преобразования. Числовое выражение и его значение. Порядок выполнения арифметических действий. Выражение с переменными. Значение выражения с переменными при данных значениях
переменных. Вычисление значения числового выражения с обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами. Нахождение
значения выражения с переменными при данных значениях переменных. Степень
с натуральным показателем. Степень с целым показателем. Умножение и деление
степеней с целыми показателями. Возведение степени в степень. Формула. Тождество. Тождественно равные выражения. Тождественное преобразование выра-
жения. Одночлен. Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов,
деление многочлена на одночлен. Формулы сокращенного умножения: квадрат
суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений.
Тождественное преобразование многочлена. Приведение подобных слагаемых.
Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за
скобки, группировки; использование формул сокращенного умножения. Рациональная дробь. Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Приведение дроби к
новому знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей. Разложение квадратного
трехчлена на линейные множители. Арифметический квадратный корень и его
свойства. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Формулы приведения для углов
,
( - острый угол).
Преобразование градусной меры угла в радианную и радианную в градусную.
Уравнения и неравенства. Уравнение. Корень уравнения. Линейное уравнение. Числовые неравенства, их геометрическая интерпретация. Свойства числовых неравенств. Линейная неравенство. Системы линейных неравенств с одной
переменной. Простейшие неравенства с одной переменной под знаком модуля.
Двойные неравенства. Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Уравнения прямой и окружности. Система уравнений с
двумя переменными. Решение системы. Геометрическая интерпретация системы
двух уравнений с двумя переменными. Рациональное уравнение. Квадратное неравенство. Рациональное неравенство. Система неравенств с одной переменной.
Координаты и функции. Линейные и столбчатые диаграммы. Координатный луч.
Координата пункта. Координатная прямая и координатная плоскость. Определение координат точки на координатной прямой и на координатной плоскости. Построение точки по ее координатам. График прямой пропорциональности. График
обратной пропорциональности. График линейной зависимости. Линейная функция и ее график. Квадратичная функция и ее график. Функция. Область определения и область (множество) значений функции. Способы задания функции. График
функции. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения
функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Функция
, её свойства и график.
Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.
Геометрические фигуры и их свойства. Хорда и диаметр круга. Развернутый
угол. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые. Прямоугольный параллелепипед. Биссектриса угла. Центральная и осевая симметрии. Равносторонний треугольник. Свойство углов равностороннего треугольника. Плоские
и пространственные фигуры. Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника. Свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции. Свойства средней линии треугольника и трапеции. Теорема Фалеса. Подобные треугольники. Коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников. Взаимное расположение точек и прямых на плоскости. Свойства смежных и вертикальных углов.
Перпендикуляр и наклонная. Медиана, биссектриса, высота треугольника. Равные
треугольники. Примеры равенства треугольников. Свойства и признаки равностороннего треугольника. Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных
прямых. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника. Неравенство
треугольника. Взаимное расположение прямой и окружности. Центральные и
вписанные углы. Замечательные точки треугольника. Окружность, описанная
около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Вписанные и описанные четырехугольники. Теорема синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников. Правильные многоугольники. Геометрические величины. Объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Градусная мера угла. Единицы измерения
площади, объема. Переход от одних единиц измерения величин к другим. Формулы длины окружности и площади круга. Расстояние между двумя точками. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Площадь фигуры. Площадь треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции. Изме-
рение центральных и вписанных углов. Длина окружности и ее дуги. Площадь
круга и его сектора. Геометрические построения. Построение с помощью угольника прямого угла. Построение угла с данной градусной мерой с помощью транспортира. Круговые диаграммы. Построение с помощью циркуля и линейки: построение перпендикуляра к отрезку; угла, равного данному; биссектриса угла. Деление отрезка на равные части. Построение правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника.
На III ступени общего среднего образования:
Числа и вычисления. Синус числа, косинус числа, тангенс числа, котангенс
числа. Арксинус числа, арккосинуса числа, арктангенс числа, арккотангенс числа.
Степень с рациональным показателем. Степень с действительным показателем.
Логарифм числа по данному основанию. Десятичный логарифм числа. Выражения и их преобразования. Выражения sin
sin
, cos
ctg
. Тождества cos (- ) = cos
= -ctg
, tg
, ctg
, cos
, tg
, ctg
. Знаки выражений
. Соотношения между выражениями sin
, cos
, sin (- ) = -sin ( ); tg (- ) = -tg
, tg
,
, ctg(- )=
. Формулы сложения. Формулы приведения. Формулы для cos 2, sin 2, tg
2. Формулы cos
± cos
, sin
± sin
, tg
± tg
. Тождественные преобра-
зования тригонометрических выражений.
Уравнения и неравенства. Простейшие тригонометрические уравнения
sin x=a, cos x=a, tg x=a. Решение тригонометрических уравнений. Иррациональные уравнения и неравенства. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Координаты и функции. Четность и нечетность функции. Периодичность функции. Максимумы и минимумы функции. Производная. Механический
и геометрический смыслы производной. Правила преобразования производных.
Связи между знаком производной функции и ее нарастанием или убыванием.
Применение производной к исследованию функций. Уравнение касательной к
графику функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на
промежутке. Функции y = sin x, y = cos x, y=tgx, их свойства и графики.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Степенная функция с действительным показателем. Примеры исследования
степенных функций с различными рациональными показателями. Показательная
функция. Примеры исследования показательных функций с различными основаниями. Логарифмическая функция. Примеры исследования логарифмических
функций с различными основаниями.
Геометрические фигуры и их свойства. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые.
Примеры скрещивающихся прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Примеры перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к
плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Двугранный угол. Линейный угол
двугранного угла. Перпендикулярность плоскостей. Примеры перпендикулярности плоскостей. Свойства перпендикулярных прямых и плоскостей.
Многогранники. Призма. Прямая призма. Правильная призма. Пирамида.
Правильная пирамида. Свойства правильной призмы и правильной пирамиды.
Усеченная пирамида. Правильные многогранники. Сфера. Шар. Сечения шара и
сферы плоскостью. Касающаяся плоскость к сфере. Цилиндр. Конус. Усеченный
конус. Комбинации многогранников и тел вращения.
Геометрические величины. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние
между параллельными прямыми. Расстояние между параллельными прямой и
плоскостью. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Расстояние
между скрещивающимися прямыми. Угол между прямыми, между прямой и
плоскостью, между плоскостями. Мера двугранного угла. Площади боковой и
полной поверхностей призмы. Объем призмы. Площади боковой и полной поверхностей пирамиды. Объем пирамиды. Площади боковой и полной поверхно-
стей цилиндра. Объем цилиндра. Площади боковой и полной поверхностей конуса. Объем конуса. Площадь сферы. Объем шара.
Геометрические построения. Сечения многогранников плоскостями.
4. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ
Требования к уровню подготовки учащихся за период обучения на уровне
общего базового образования.
ученик должен знать:
• термины и правильно использовать понятия: натуральное число; натуральный ряд; класс разряд; числитель дроби; знаменатель дроби; обычный дробь;
десятичную дробь; процент; целое число; положительное число; отрицательное
число; противоположные числа; рациональные числа; взаимно обратные числа;
модуль числа; среднее арифметическое нескольких чисел; число a равно числу b;
число а больше числа b; число а меньше числа b, число а больше или равно числу
b; число а меньше или равно числу b; стандартный вид числа;
• термины и правильно использовать понятия: процент; пропорция; прямая
пропорциональность; обратная пропорциональность; задача, условие задачи; требование (вопрос) задачи; решение задачи; ответ; обратная задача;
• термины и правильно использовать понятия: выражение; числовое выражение; значение числового выражения; переменная; выражение с переменными;
степень; основание степени; показатель степени; степень с натуральным показателем; степень с целым показателем;
• правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, возведения степени в степень.
• термины и правильно использовать понятия: натуральное число; целое
число; рациональное число; иррациональное число; Действительное число; числовой промежуток; конечный десятичную дробь; бесконечная периодическая десятичная дробь; бесконечный непериодических десятичную дробь; десятичное
приближение действительного числа; корень n-й степени из числа; показатель
корня; квадратный корень из числа; арифметический квадратный корень из числа;
среднее геометрическое двух чисел; синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0
° до 180 °;
• термины и правильно использовать понятия: одночлен; многочлен, целое
выражение; рациональное выражение; падкарэнны выражение; тождество; тождественное преобразование выражения; область определения выражения;
• формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности,
разность квадратов;
• формулы корней квадратного уравнения;
• термины и правильно использовать понятия: формула, равенство; неравенство; уравнение; корень уравнения;
• термины и правильно использовать понятия: численное неравенство; неравенство с переменной; решение неравенства; система уравнений; система неравенств; решение системы; равнозначные уравнения; равнозначны неравенства;
равнозначны системы;
• что значит решить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств;
• теорему Виета;
термины и правильно использовать понятия: функция; аргумент функции;
значение функции; график функции; область определения функции; множество
(область) значений функции; наибольшее и наименьшее значения функции; нули
функции; нарастание функции; убывание функции; промежуток нарастания
функции; промежуток убывания функции; промежуток знакопостоянства; линейная функция; угловой коэффициент прямой; прямая пропорциональность; обратная пропорциональность; гипербола; квадратная функция; Парабола; вершина параболы; арифметическая прогрессия; разность арифметической прогрессии; геометрическая прогрессия; знаменатель геометрической прогрессии;
• термины и правильно использовать понятия: круг; хорда; диаметр; ломаная; многоугольник; четырехугольник; прямоугольный параллелепипед; центральная симметрия; осевая симметрия; центрально-симметричная фигура; осесимметричные фигуры; перпендикулярные прямые; смежные углы; вертикальные
углы; развернутый угол; основа равностороннюю треугольника; боковая сторона
равностороннюю треугольника;
• виды треугольников: равностороннюю, равносторонним, рознастаронни,
остроугольные, прямоугольные, Тупоугольный;
• термины и правильно использовать понятия: плоскость; параллельные
прямые; пересекающиеся прямые; соответствующие углы, внутренние накрест
легли углы, внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей; перпендикуляр к прямой; серединный перпендикуляр к отрезку; наклонена к
прямой; проекция точки на прямую; проекция отрезка на прямую;
• термины и правильно использовать понятия: вершина ломаной; звено ломаной; внутренний угол многоугольника; внешний угол многоугольника; вершина многоугольника; диагональ многоугольника; выпуклый многоугольник; невыпуклый многоугольник; правильный многоугольник;
• термины и правильно использовать понятия: прямоугольный треугольник;
гипотенуза; катетов; высота треугольника; биссектриса треугольника; медиана
треугольника; средняя линия треугольника;
• термины и правильно использовать понятия: дуга окружности; сектор;
сегмент; касающаяся окружности; секущихся окружности; полный угол; центральный угол; вписанный угол; описанная около треугольника окружность; вписанной в треугольник окружность;
• термины и правильно использовать понятия: параллелограмм; ромб; трапеция; основа трапеции; боковая сторона трапеции; высота трапеции; средняя линия трапеции; равностороннюю трапеция; прямоугольная трапеция;
• термины и правильно использовать понятия: равные фигуры; подобные
фигуры; коэффициент подобия;
• термины и правильно использовать понятия: параллелепипед; призма;
вершина призмы; кант призмы; грань призмы; основание призмы; пирамида; вершина пирамиды; основание пирамиды; цилиндр; основание цилиндра; конус; основа конуса; высота конуса; шар; центр шара; радиус шара; диаметр шара; сфера;
• свойства смежных углов; свойства вертикальных углов; свойства углов,
образуемых при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой;
• свойство посредственные перпендикуляра к отрезку; свойство биссектрисы угла;
• свойство углов треугольника; свойство углов равностороннюю треугольника; свойство внешнего угла треугольника; свойство треугольника; свойство
биссектрисы треугольника; свойство биссектрисы треугольника; свойство точки
пересечения медиан треугольника; свойство точки пересечения посредственные
перпендикуляров к сторонам треугольника; свойство средней линии треугольника; теорему косинусов; теорему синусов;
• свойство медианы, биссектрисы, высоты, проведенных к основе равностороннюю треугольника;
• теорему Пифагора;
• свойство углов многоугольника;
• свойство углов трапеции, прилежащих к боковой стороны; свойство средней линии трапеции;
• свойство углов параллелограмма; свойство параллелограмма; свойство
точки пересечения диагоналей параллелограмма;
• свойство диагоналей прямоугольника;
• свойство диагоналей ромба;
свойство вписанного в окружность угла; свойство касательной окружности;
• признаки параллельности прямых;
• признаки равенства треугольников; признаки равенства прямоугольных
треугольников;
• признаки подобия треугольников;
• признаки равностороннюю треугольника;
• признаки параллелограмма; прямоугольника, ромба, квадрата; трапеции;
• свойство диаметра, перпендикулярного хорде; свойство отрезков хорд, на
которые они делятся точкой пересечения; свойство секущей и касательной ок-
ружности, проведенных из одной точки; свойство угла между касательной и хордой;
• свойство точки пересечения медиан треугольника; свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника; свойство высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника;
• свойство катета прямоугольного треугольника, лежащий против угла в
30°;
• свойство четырехугольника, описанного около окружности; свойство углов четырехугольника, вписанного (вписанного) в окружность;
• свойства периметров и площадей подобных фигур;
• признаки: касательной окружности; четырехугольника, описанного около
окружности; четырехугольника, вписанного (вписанного) в окружность;
• термины и правильно использовать понятия: длина ломаной; периметр
многоугольника; длина окружности; площадь круга; объем куба; объем прямоугольного параллелепипеда; градусная мера угла;
• единицы измерения длины, площади, объема и уметь переходить от одной
единицы измерения определенной величины к другой.
• термины и правильно использовать понятия: расстояние между точками;
расстояние от точки до прямой; расстояние между параллельными прямыми;
площадь фигуры; площадь многоугольника; радианная мера угла; угол между
прямыми;
• формулы: площади треугольника по стороне и проведенной к ней высоте,
по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам; площади четырехугольника по диагоналям и углу между ними; площади трапеции по основаниям и высоте; площади параллелограмма по стороне и проведенной к ней высоте, по двум
сторонам и углу между ними;
• связь между площадью треугольника, его сторонами и радиусом описанной окружности; между площадью треугольника, его периметром и радиусом
вписанной окружности;
• термины и правильно использовать понятия: задача на построение; коэффициент подобия;
• знать, какие элементарные построения можно выполнить линейкой, какие
- циркулем;
уметь:
• переходить от одной формы записи числа к другой: заменять обыкновенную дробь равным ему обыкновенной дробью с другим знаменателем; заменять
десятичную дробь равным ему обыкновенной дробью; заменять обыкновенную
дробь в тех случаях, когда это возможно, конечной десятичной дробью; понимать,
что не каждый обычный дробь можно конечной десятичной дроби; заменять десятичную дробь процентом; заменять процент десятичной дробью; выявлять число
в стандартном виде;
• сравнивать два числа;
• проводить вычисления в ситуациях, обеспечивающих практические потребности: складывать, вычитать, умножать, делить рациональные числа; находить значение степени числа с целым показателем; выполнять действия над числами, записанными в стандартном виде;
• округлять натуральное число и десятичную дробь;
• контролировать вычисления подходящим способом: оценкой результата на
правдоподобность, прикидкой, повторным вычислением, решением одной из обратных задач;
• выполнять арифметические действия над однородными величинами: складывать две величины; отнимать от одной величины другую; умножать величину
на число; делить величину на число; делить одну величину на другую;
• решать текстовые задачи на непосредственное использование смысла
арифметических действий, основные задачи на дроби, проценты, пропорциональное деление;
• решать арифметическими способами несложные текстовые задачи, в которых связи между объектами заданы суммой и разностью, суммой и отношением,
разностью и отношением;
• решать арифметическими способами несложные текстовые задачи, для
решения которых применяется замена одной величины на другую;
• составлять несложные выражения и формулы по их описаниям;
• использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, разность квадратов;
• выделять из квадратного трехчлена квадрат двухчлена;
• использовать формулы корней квадратного уравнения при решении квадратных уравнений и несложных уравнений, сводящихся к ним;
• выполнять тождественные преобразования рациональных выражений, используя приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок; вынесение общего
множителя за скобки, формулы сокращенного умножения; разложение квадратного трехчлена на линейные множители;
• находить область определения выражения с переменными;
• выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений;
выполнять с использованием свойств квадратных корней тождественные
преобразования несложных иррациональных выражений, включая вынесение
множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня;
• определять порядок выполнения действий в численном выражении и находить его значение; находить значение выражения с переменными при данных
значениях переменных; использовать законы арифметических действий для рационализации вычислений и преобразований выражений;
• решать линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним;
• решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним;
• решать линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним;
• решать квадратные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним;
• применять теорему Виета;
• решать системы линейных неравенств с одной переменной;
• решать системы линейных уравнений с двумя переменными;
• решать системы, состоящие из уравнения первой степени и уравнения второй степени с двумя переменными;
• решать системы неравенств не выше второй сте- пени с одной переменной;
• использовать уравнения, неравенства и их системы для решения текстовых
задач;
• находить точку на координатной плоскости по ее координатам; уметь определять координаты точки координатной плоскости;
• строить графики прямо пропорциональной, обратно пропорциональной и
линейной зависимостей;
• решать задачи с практическим содержанием;
• определять по графику функции ее свойства;
•
строить
графики
функций
находить n-ный член и
сумму n первых членов арифметической и геометрической прогрессий;
• применять при решении задач основные свойства и признаки геометрических фигур;
• распознавать на чертеже отдельные элементы фигур: угла - вершина, сторона, биссектриса; многоугольника - вершина, сторона, угол; круга - центр, хорда,
диаметр, дуга;
• находить длину ломаной и окружности; периметр многоугольника; площадь круга;
• находить объем прямоугольного параллелепипеда и куба;
• находить длину дуги окружности; площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба, сектора;
• строить отрезок данной длины и отрезок, равный данному отрезку; угол
данной величины и угол, равный углу;
• строить с помощью циркуля и линейки: серединный перпендикуляр отрезка; биссектрисы угла;
• делить данный отрезок на равные части, на части в данной отношению;
владеть:
• некоторые понятия теории делимости натуральных чисел: четное число;
нечетное число; простое число, составной число; делитель; кратное; общий делитель; общее кратное; разложение числа на множители; разложение числа на простые множители; признаки делимости на 2, 3; 5; 9; 10;
• пониманием смысла арифметических действий и тем, как он проявляется в
формулировках задач;
• основными умениями работы с приближенными числами: округлять число; находить приближение по недостатку и избытку с данной точностью;
• умениями в несложных случаях построить модель по условию задачи с
помощью системы отрезков;
• названиями и обозначениями основных числовых множеств, обозначениями числовых промежутков, уметь пользоваться этими обозначениями при решении задач;
• основными приемами равнозначных преобразований уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств;
• умениями в несложных случаях построить модель условия задачи с использованием уравнения или системы уравнений;
• умениями изображать число точкой координатной прямой; определять координату точки координатной прямой;
• пониманием, как отношении "меньше" и "больше" между числами проявляются на координатной прямой и как отношения "левее" и "правее" между точками координатной прямой выражаются отношениями между числами;
• умением выявлять числовую информацию в виде диаграмм, использовать
масштаб;
• навыками измерения величины угла с помощью транспортира;
• умением делать проверку результата решения задачи оценкой его на правдоподобность, прикидкой, сопоставлением с условием задачи, составлением и
решением обратной задачи;
• умением использовать геометрические величины при решении задач;
• умением строить угол с помощью транспортира по его градусной мере и
перпендикулярные прямые с помощью угольника;
• умением строить линейные, столбчатые и круговые диаграммы.
Требования к уровню подготовки учащихся за период обучения на
уровне общего среднего образования.
ученик должен
знать:
• термины и правильно использовать понятия: рациональная степень числа;
иррациональная степень числа; Действительные степень числа; логарифм числа
по данному основанию; основа логарифму; синус, косинус, тангенс и котангенс
произвольного угла; арксинус, арккосинуса, арктангенс и арккатангенс числа;
• формулы, выражающие свойства степеней, корней n-й степени, логарифмов;
• формулы, выражающие связи между тригонометрическими выражениями:
соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла;
формулы сложения; формулы приведения; формулы двойного и половинного углов; формулы преобразования суммы (разности) в произведение; формулы преобразования произведения в сумму (разность);
• термины и правильно использовать понятия: результат уравнения; результат неравенства;
• термины и правильно использовать понятия: максимум функции; минимум
функции; наибольшее значение функции на промежутке; наименьшее значение
функции на промежутке; четная функция; нечетная функция; периодическая
функция; период функции; производная функции;
• особенности графиков четной, нечетной, периодической функций;
• определения степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций;
• связь между возрастанием (убыванием) функции и знаком ее производной;
• правила нахождения производной суммы, разности, произведения, частного функций;
• свойства показательной, логарифмической и тригонометрических функций;
• термины и правильно использовать понятия: параллельные прямые; скрыжавальныя прямые; параллельные прямая и плоскость; параллельные плоскости;
Двугранный угол; линейный угол двугранного угла; перпендикулярные прямые,
перпендикулярные прямая и плоскость, перпендикулярны плоскости; перпендикуляр к плоскости; наклонена к плоскости;
• термины и правильно использовать понятия: многогранник; вершина многогранника; кант многогранника; грань многогранника; призма; прямая призма;
правильная призма; высота призмы; пирамида; высота пирамиды; правильная пирамида; апофема правильной пирамиды;
• термины и правильно использовать понятия: цилиндр; основание цилиндра; образующая цилиндра; высота цилиндра; вот цилиндра; конус; основа конуса;
образующая конуса; вот конуса; высота конуса; шар; сфера; центр шара; диаметр
шара; радиус шара; причастна к сфере плоскость;
• термины и правильно использовать понятия: усеченная пирамида; усеченный конус;
• термины и правильно использовать понятия: вписанный в призму шар;
описанный около призмы шар; вписанный в пирамиду шар; описанный около пирамиды шар; вписанный в цилиндр шар; описанный около цилиндра шар; вписанный в конус шар; описанный около конуса шар;
• признаки: параллельности прямых, скрещивающихся прямых, параллельности прямой и плоскости; параллельности плоскостей;
• свойства: параллельных прямых, параллельных прямой и плоскости, параллельных плоскостей;
• признаки: перпендикулярности прямых, перпендикулярности прямой и
плоскости, перпендикулярности плоскостей;
• свойства: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикулярных плоскостей;
• признак и свойство плоскости, касательной к сфере;
• свойства: параллелепипеда; прямоугольного параллелепипеда; прямой
призмы; правильной призмы; правильной пирамиды;
• свойства фигур, полученных при пересечении: сферы плоскостью; цилиндра и конуса плоскостью, параллельной основаниям;
• термины и правильно использовать понятия: расстояние между параллельными прямыми; расстояние между параллельными прямой и плоскостью;
расстояние между параллельными плоскостями; расстояние между скрыжавальными прямыми; угол между двумя прямыми; угол между прямой и плоскостью;
угол между двумя плоскостями;
• формулы площади боковой и полной поверхностей призмы, пирамиды,
цилиндра, конуса и уметь применять их;
• формулы объема призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и уметь применять
их;
• формулы площади сферы и объема шара и уметь применять их;
уметь:
• сравнивать значения двух выражений вида sиn
и tg , ctg
и sиn , сos
и cos , tg
и ctg ;
• выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений и выражений, содержащих корни, степени и логарифмы;
• решать простейшие тригонометрические уравнения и несложные уравнения, сводящиеся к ним;
• решать простейшие иррациональные, показательные, логарифмические
уравнения и несложные уравнения, сводящиеся к ним;
• решать простейшие показательные и логарифмические системы уравнений;
• решать простейшие иррациональные, показательные, логарифмические
неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к ним;
• решать несложные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции на промежутке;
• исследовать функции с использованием производной;
• находить расстояние между: двумя параллельными прямыми; параллельными прямой и плоскостью; параллельными плоскостями;
• находить угол между: двумя прямыми; прямой и плоскостью; двумя плоскостями;
владеть:
• умением строить графики показательной, логарифмической и тригонометрических функций;
• умением решать несложные геометрические задачи на доказательство и
вычисление;
• умением выявлять на рисунке призму, пирамиду, усеченную пирамиду,
цилиндр, конус, усеченный конус, шар;
• умением строить линейный угол двугранного угла;
• умением строить сечения многогранников плоскостью.
2.2. Анализ учебников «Алгебра», рекомендованных к использованию в
школах Республики Беларусь
Курс Алгебры 9-11классы
Учебник «Алгебра» для 9 класса автора
Е.П. Кузнецовой и др. под ред. Л.Б. Шнепермана [6]
содержит изучение следующих четырех важных тем.
В первой главе «Функции» продолжается
изучение понятия функции, начатое в 7-ом и 8-ом
классах.
Определение
вводится
с
опорой
на
конкретные примеры. Продемонстрированы способы
задания функции, понятие графика функции, нули
функции
и
промежутки
знакопостоянства,
возрастание и убывание функции на промежутке.
Затем определение свойств функции по ее графику, изучаются функции у =
= х, y =
(k ≠0). Проводится построение графиков функций сдвигами.
Приводятся интересные исторические сведения.
, у
Подробно объясняется, что не каждая кривая является графиком функции.
Во второй главе «Квадратные неравенства» основной акцент сделан на изучение неравенств с одной переменной, квадратных неравенств с отрицательным
дискриминантом, квадратных неравенств с дискриминантом, равным нулю, квадратных неравенств с положительным дискриминантом. В российских учебниках
решение этих видов уравнений не выделяются в отдельные параграфы.
Подробно изучается решение неравенств методом интервалов.
Первые примеры неравенств разбираются более чем подробно. На наш
взгляд, это полезно, поскольку объясняет детально последовательность применения метода интервалов. Приведем фрагмент учебника на странице, где идёт объяснение нового материала.
Далее идет подробное изучение способов решения систем неравенств с одной переменной, затем рациональных уравнений и неравенства.
Третья глава посвящена изучению способов решения систем уравнений с
двумя переменными. Учащимся предлагаются способы решения, которые также
являются традиционными и для российской школы: способ сложения и способ
подстановки.
Выполняется построение графиков уравнений с двумя переменными, уравнение прямой, дается геометрическая интерпретация систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Рассматривается формула нахождения расстояния
между двумя точками, уравнение окружности, системы, состоящие из уравнения
первой и уравнения первой и уравнения второй степени с двумя переменными.
Подробно изучается системы уравнений при решении текстовых задач.
В учебнике есть текстовые задачи, заслуживающие внимания. Есть задания,
текстовая фабула задачи содержит и краеведческие сведения, и сведения из окружающей жизни учащихся, довольно современного содержания, соответствующего
действительности. Например.
107. 1) Сумма квадратов цифр двузначного числа серий нового бразильского телесериала на 19 меньше самого числа. Найдите число серий, если в этом числе десятков на 2 больше, чем единиц.
2) Число фотографий студентки Даши, которые хранит бабушка Лидия Андреевна, двузначное. В этом числе десятков на 5 меньше, чем единиц. Если к числу прибавить сумму квадратов его цифр, то получится 80. Сколько Дашиных фотографий у бабушки Лидии Андреевны?
109. 1) Спонсоры выделили деньги школе на покупку компьютеров. Цены
на компьютеры снизились на 10%. На сколько процентов больше компьютеров
может купить школа на выделенные деньги?
2) На пути от станции Дадаяны до деревни Арсеново Саша увеличил скорость движения на велосипеде на 20%. Сколько процентов времени сэкономил
Саша на прохождение этого пути?
114. Введение новой железнодорожной ветки уменьшило путь между станциями Суворово и Таранки на 12% и позволило увеличить скорость движения поездов на 10%. Сколько процентов составила экономия времени на этом участке
пути?
2) Введение в эксплуатацию моста через реку Амелька сократило путь между селами Иваничи и Федосово на 22%, а ремонт покрытия дороги позволил уве-
личить скорость движения автомобилей на 7%. Сколько процентов составила
экономия времени при движении автомобиля между селами Иваничи и Федосово?
119. 1) Ко дну химического сосуда прикреплены две отводящие трубки с
зажимами. Если со второй трубки снять зажим спустя 16 мин после того как сняли зажим с первой трубки, то весь раствор вытечет из сосуда за 21 мин после освобождения первой трубки. За какое время вытечет раствор, если обе трубки освободить от зажимов одновременно?
2) В дне большого аквариума имеются два отверстия для спуска воды. Если
второе отверстие открыть через 6 мин после того, как открыли первое, то вся вода
из аквариума вытечет через 6 мин после открытия второго отверстия. Если открыть второе отверстие спустя 9 мин после открытия первого, то вся вода вытечет
через 4 мин после открытия второго отверстия. За какое время вытечет вся вода
из аквариума, если оба отверстия открыть одновременно?
120. 1) Между поселками Бурыгино и Стулово курсируют два автобуса. Оба
автобуса выехали из поселков одновременно и встретились через 1,5 ч после выезда. Если после встречи автобус, выехавший из Стулово, увеличит скорость на
25
, а автобус, выехавший из Бурыгино, увеличит скорость на 15
, то автобу-
сы придут в пункты назначения одновременно. Найдите скорости, с которыми
выезжали автобусы, если расстояние между поселками 120 км.
2) Со станции Грицкевичи и Надежино, расстояние между которыми 190
км, одновременно выехали навстречу друг другу Вася на автомобиле и Валера на
мотоцикле. Они встретились через 2 ч. После встречи Валера увеличил скорость
на 5
, а Вася – на 10
. Вася прибыл в Надежино на полчаса раньше, чем Вале-
ра в Грицкевичи. Найдите первоначальные скорости движения мотоцикла и автомобиля.
122. 1) От станции Филимоново к станции Витьки с интервалом в 3 ч вышли
пассажирский и скорый поезда. Скорый поезд догнал пассажирский, пройдя 560
км, и через 2 ч после обгона прибыл в Витьки, а пассажирскому поезд в момент
прибытия скорого оставалось ехать еще 48 км. Найдите скорости движения поездов и расстояние от Филимоново до Витьков.
2) Нина вышла из деревни Кондратьево в поселок Нелино. Когда она прошла 1 км, вслед за ней вышел Слава, который догнал Нину за 1 ч в 3 км от Нелино. Слава пришел в Нелино на 6 мин раньше Нины. Найдите скорости пешеходов
и расстояние, которое они прошли.
131. 1) Из Глубокого в Плещеницы, расстояние между которыми 100 км, велосипедист Игорь выехал на час раньше Валеры. Который ехал на автомобиле.
Когда Валера приехал в Плещеницы, Игорю осталось ехать до Плещениц 4 км.
Найдите скорости велосипедиста Игоря и автомобиля.
2) Из деревни Бобково в поселок Мазаники, расстояние между которыми 24
км, вышел турист Володя, а спустя 2 ч выехал на велосипеде Сергей. Когда Сергей приехал в Мазаники, Володя прошел 20 км. После 30-минутного отдыха Сергей поехал в Бобково и приехал через 1 ч 10 мин после того. Как Володя пришел в
Мазаники. Найдите скорости движения Володи и Сергея. [6; c.252-258]
В четвертой главе «Арифметическая и геометрическая прогрессии» изучение, как и традиционно, начинается с числовой последовательности. Затем идет
изучение арифметической прогрессии, нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия, нахождение суммы n первых
членов геометрической прогрессии. В большом объёме решаются задачи на
арифметическую и геометрическую прогрессию.
Приведём
пример.
Приводятся исторические задачи, заслуживающие внимания и изучения
учащимися.
Учебник «Алгебра» для 10 класса автора
Е.П. Кузнецовой и др. под ред. Л.Б. Шнепермана [4]
содержит изучение следующих тем.
В первой главе «Производная и ее применение»
изучаются: понятие функции, уравнение прямой с
данным
функции.
угловым
коэффициентом,
Учащиеся
производной.
Дается
знакомятся
следующее
приращение
с
понятием
определение
производной:
На конкретных примерах объясняется механический и геометрический
смысл производной, вводится уравнение касательной к графику функции. На доступном для учащихся уровне сформулированы теоремы о вычислении производных, изучаются свойства функции: возрастание и убывание. Особое внимание
уделяется максимумам и минимумам функции, применению производной к исследованию функций, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и
на произвольном промежутке.
В учебнике приводятся исторические сведения. Например,
Во второй главе «Тригонометрические выражения» вводится понятие градусной меры углов и дуг, даны соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, понятие угла, радианной меры углов и дуг. Синус и косинус произвольного угла вводятся следующим образом:
Затем изучаются свойства выражений sin а и cos а, понятие арксинуса и
арккосинуса, тангенс и котангенс произвольного угла, понятие арктангенса и арккотангенса, соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом
одного и того же угла.
В учебнике есть большое количество иллюстраций, позволяющих лучше
усвоить излагаемый материал.
Далее последовательность изложения материала соответствует традиционной системе представления материала, которая сложилась еще в советских учебниках. А именно: формулы приведения, формулы сложения, формулы двойного и
половинного углов, преобразование произведения в сумму (разность), преобразование суммы (разности) в произведение, выражение синуса, косинуса и тангенса
угла через тангенс половинного угла, преобразование некоторых тригонометрических выражений.
Изучение фактически каждого параграфа заканчивается историческими сведениями и вопросами для проверки полученных знаний. Например.
В третьей главе «Тригонометрические функции» уже в первом параграфе
даны следующие определения:
Подробно и последовательно изучаются функции у=sinx, у=cos х, у=tgx,
у=ctgx. Затем решение уравнений вида sinx = a, cosx = а, tgx = а, ctgx = а . Триго-
нометрические уравнения более сложных видов, системы тригонометрических
уравнений.
Например.
Учебник «Алгебра» для 11 класса автора
Е.П. Кузнецовой и др. под ред. Л.Б. Шнепермана [5]
содержит изучение следующих тем.
В первой главе «Степень с рациональным
показателем. Степенная функция» учащиеся изучают
степень с целым показателем, корень n-й степени,
тождества с корнями, содержащие одну переменную,
действия с корнями нечетной степени, действия с
корнями четной степени. При этом уровень заданий
достаточно высокий. Приведем пример [5; С.17]
В этом учебнике отдельно предусмотрено изучение действий с корнями нечётной степени [5; С.24]. Выделение этой темы в особый пункт учебника, позволяет учителю сделать особый акцент на выполнение действий с нечетными степенями, поскольку именно действия с ними вызывают наибольшие затруднения у
учащихся.
Изучают бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Знакомятся
с понятием периодическая дробь.
Изучают степень с рациональным показателем, действия со степенями с рациональными показателями. Учатся производить сравнение степеней с рацио-
нальными показателями. Изучают степенную функцию с положительным и отрицательным показателями.
Особое внимание уделено решению иррациональных уравнений. Отдельно
выделяется тема направленная на решение иррациональных уравнений с использованием свойств функций. Эта тема является крайне значимой для выполнения
заданий, предлагаемых на Централизованном тестировании.
Во второй главе «Показательная и логарифмическая функция» последовательно изучаются: степень с действительным показателем, показательная функция, показательные уравнения, логарифмы, основные свойства логарифмов, логарифмическая функция, логарифмические уравнения и неравенства.
С целью повышения мотивации изучения, авторы предлагают интересный
исторический материал. Например,
Итак, в 11 классе учащиеся снова встречаются с иррациональными числами,
учатся преобразовывать выражения с корнями n- й степени, обобщают знания о
степенях с разными показателями и о степенных функциях, знакомятся с показательной и логарифмической функциями , их свойствами, продолжают совершенствовать
навыки
решения
уравнений
и
неравенств,
их
систем.
2.3. Организация и проведение централизованного тестирования по математике в Республике Беларусь
Централизованное
тестирование
(ЦТ)
в
Беларуси в 2017 году прошли 92 тысячи человек.
Около 40 % абитуриентов зарегистрировались на
ЦТ по четырем предметам.
МЕТОДИКА ПОДСЧЕТА ТЕСТОВЫХ
БАЛЛОВ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1. Методика подсчета тестовых баллов
централизованного
методика),
тестирования
предназначена
для
(далее
–
обеспечения
объективного измерения и соотнесения уровней подготовки абитуриентов на основании выполнения ими педагогических (нормативно-ориентированных) тестов
в стандартных условиях. Методика не распространяется на иные формы тестирования, используемые в учреждениях образования Республики Беларусь.
2. В основу данной методики положена стобалльная шкала модифицированных первичных баллов, которая позволяет принять во внимание не только количество верно выполненных заданий теста, но также учесть сложность каждого
выполненного или невыполненного задания, произвести корректировку тестового
балла в зависимости от сложности выполненного варианта теста.
3. Методика включает в себя подсчет тестового балла для заданий с единственно верным ответом и для заданий, предполагающих несколько верных ответов.
ПОДСЧЕТ ТЕСТОВОГО БАЛЛА ДЛЯ ЗАДАНИЙ
С ЕДИНСТВЕННО ВЕРНЫМ ОТВЕТОМ
4. Результат выполнения каждого задания теста оценивается по дихотомному (бинарному) принципу: ставится единица, если задание выполнено верно, и
ноль, если задание выполнено неверно. Множество таких нулей и единиц образует некоторую матрицу ответов A  (a ij ) .
5. Количество абитуриентов, принявших участие в централизованном тестировании по предмету – n : i  1, 2, , n . Абитуриенты выполняют вариант педагогического теста, состоящий из k заданий различной сложности: j  1, 2, , k .
6. Исходной информацией для статистической обработки результатов тестирования служат, как правило, матрицы AL ,размером n L  k , где L  1, 2, ..., m –
номер варианта теста, m – количество вариантов теста, n L – количество абитуриентов, выполнявших L -ый вариант теста.
k
7. Сумма элементов матрицы AL по каждой строке
bi   (aij )L является
j 1
суммой верно выполненных заданий i -м абитуриентом и называется первичным
баллом i -го абитуриента. Сумма элементов матрицы ответов по каждому столбnL
цу (c j )L   (aij ) L будет равна числу абитуриентов, верно выполнивших j -е задаi1
ние, и эта величина называется первичным баллом j -го задания.
8. Отношение первичного балла абитуриента к числу заданий в тесте, выраженное в процентах, есть процентная шкала распределения первичных баллов.
Тестовый балл участника при этом выражается следующим соотношением:
k
b
Bi  i  100 
k
a
j 1
k
ij
 100
9. При подсчете итогового тестового балла принимается во внимание относительная сложность выполненных данным абитуриентом тестовых заданий. Для
этого вводятся весовые коэффициенты ( s j ) L  1 
(c j ) L
nL
, которые характеризуют сте-
пень сложности каждого задания теста.
10. Умножая соответствующие элементы матрицы ответов AL на данные весовые коэффициенты ( s j ) L , получаем элементы матрицы (aij s j ) L ,значения которых
(при верном выполнении j -го задания i -м абитуриентом) зависят от количества
участников, не справившихся с данным тестовым заданием. Сумма элементов такой модифицированной матрицы ответов по строке есть модифицированный перk
вичный балл i -го абитуриента: biм   (aij s j ) L
j 1
11. Выполняя L -ый вариант теста, абитуриент имеет возможность наk
брать M
L


( s j ) L модифицированных первичных баллов, при этом для ка-
j 1
ждого отдельного варианта это значение – некоторая своя величина, отражающая
относительную сложность данного варианта.
12. Для ограничения достаточно больших различий в сложности отдельных заданий, число решивших которые незначительно по отношению ко всему числу абитуриентов, используется ограничение, задаваемое априорно по сле0,9, если s j  0,9,

дующей схеме: s j  s j , если 0,1  s j  0,9,

0,1, если s j  0,1.
13. Формула для подсчета итогового тестового балла i -го абитуриента имеет
k
biм
вид: B 
100 
ML
И
i
 (a s )
ij j L
j 1
k
100
 (s )
j L
j 1
14. Округление итогового тестового балла до целого числа производится по
правилам математического округления.
ПОДСЧЕТ ТЕСТОВОГО БАЛЛА ДЛЯ ЗАДАНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ
ВЕРНЫМИ ОТВЕТАМИ
15. Подсчет первичного балла j -го задания, предполагающего несколько
верных ответов, производится следующим образом:
1, если задание выполнено верно,

(c j ) L   (aij ) L , где a ij = 0,2, если допущена одна ошибка,
i 1
0, если допущено более одной ошибки.

nL
16. Подсчет модифицированного первичного балла i -го абитуриента в данном случае производится следующим образом:
1, если задание выполнено верно,

biм   (aij s j ) L , где a ij = 0,2, если допущена одна ошибка,
j 1
0, если допущено более одной ошибки.

k
17. Во всех случаях ошибкой считается: указание неверного ответа; неуказанный верный ответ.
18. В случае, если дано более одного неверного ответа, не указано более одного верного ответа, а также дан хотя бы один неверный и одновременно не указан хотя бы один верный ответ, – задание признается выполненным неверно, и
соответствующему элементу матрицы ответов присваивается значение, равное
нулю. Далее подсчет итогового тестового балла осуществляется аналогично случаю с единственно верным ответом.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
19. Оценка выполнения теста в ходе централизованного тестирования в резервный день ведется согласно изложенной методике, при этом используются усредненные весовые коэффициенты, полученные при подсчете результатов основного этапа централизованного тестирования.
Приведём пример варианта по математике, опубликованном в сборнике тестовых заданий по математике, предложенный абитуриентам при проведении централизованного тестирования в 2016 году [35]
Для организации подготовки к Централизованному тестированию по математике в Республике Беларусь выпускается большое количество методикоматематической литературы.
Приведем в качестве примера одно из них, которое, на наш взгляд, содержит большое количество
разнообразных по степени сложности заданий как с
готовым решением, так и предназначенных для самостоятельного изучения. Пособие, выпущенное под редакцией В.В. Беняш-Кривца [25] окажет помощь учителям при организации работы по подготовке учащихся к выпускному экзамену по математике в письменной форме за период обучения и воспитания на II ступени общего среднего образования.
Сборник состоит из трех разделов. В первом разделе представлены требования учебной программы к уровню подготовки учащихся по соответствующим основным содержательным линиям. Второй раздел включает теоретический материал, в котором приведены основные определения, свойства и формулы. В третьем
разделе представлены задания, указания по их выполнению, а также краткие или
полные решения заданий.
Авторы пособия предлагают свои методы и подходы, которые можно использовать при выполнении заданий.
Продуманная последовательная работа учителя и самостоятельная работа
учащихся позволят грамотно систематизировать, обобщить изученный материал и
подготовиться к успешной сдаче выпускного экзамена по математике.
Нами были выбраны наиболее интересные и важные задания, использование которых при подготовке к Централизованному тестированию является важным и необходимым. Нами были выбраны задания, решение которые авторы
предлагали выполнить учащимся самостоятельно, что нами и было сделано.
Тема: « Числа и вычисления»
712  37 2  108  32
равно:
87 2  212
Пример 1. Значение арифметического выражения
1) 5;
2) 4;
3) 3;
4) 2;
5) 1.
Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов и вынесем общий
множитель за скобки.
712  372  108 32 (71 37)(71 37)  108 32 34 108  108 32 108(34  32)



 1.
872  212
(87  21)(87  21)
66 108
66 108
Ответ: 5.
Пример 2. Результат вычисления 2009 1992  2008 1993 равен:
1)  16 ;
2)  12 ;
3) 0;
4) 12;
5) 16.
Решение.
2009 1992  2008 1993  (2008  1) 1992  2008  (1992  1) 
 2008  1992  1992  2008 1992  2008  1992  2008  16.
Ответ: 1.
4 6  9 6  69 1080
Пример 3. Значение выражения
равно:
85  312  612
1) 1 ;
2
Решение.
2) 2 ;
4) 3 ;
3) 1;
3
5) 4 .
4
3
46  96  69 1080 212  312  29  39  33  23  5 212  312 (1  5) 6 2

 12 12
  .
85  312  612
215  312  212  312
2  3 (8  1) 9 3
Ответ: 2.
2
Пример 4. Результат вычисления ( 24) 2   72  равен:
 5 
1) 24 ;
5
2) 48 ;
3) 72 ;
5
5
4) 96 ;
5
5) 124 .
5
2
Решение. ( 24) 2   72   24 2 1  9   24 2  25  9  24  4  96 .
 5 

25 
25
5
5
Ответ: 4.
Пример 5. Значение суммы дробей 1  1  1  1 
37
7 11 11  15
15 19
1
19  23
равно:
1)
195
;
3  7  11 15 19  23
2)
5
;
3  23
3)
3
;
7 19
4
;
11 15
4)
5)
6
.
3 11  23
Решение. Разложив каждую дробь в виде разности двух дробей, имеем:
1
11 1 1
11 1 
1
1  1 11 
   
   ,
   ,
3  7 4  3 7  7  11 4  7 11  11  15 4  11 15 
1
1 1
1
1
1 1
1 
   ,
   .
15  19 4  15 19  19  23 4  19 23 
Складывая левые и правые части этих равенств, получим:
1
1
1
1
1
5





.
3  7 7  11 11  15 15  19 19  23 3  23
Ответ: 2.
1
4
Пример 6. Результат упрощения выражения
1
1) 512 ;
2) 5

1
12

1
1
1
3 3 ;

3) 5 12  3 3 ;
1
3
Решение. Так как 3  3 ,
3
3
5 3 3
равен:
3
225
2
3
2
3
1

2
4) 5 12  3 3 ;
1
4
2
3
5) 1.
1 2
1 2
5
1




5 3 3
225  15  3  5 , то 3
 5 4 3  3 3 3  5 12  3 3 .
225
Ответ: 2.
4
Пример 7. Результат вычисления
1) 1;
2)
2;
4
68  48 2  2
17  12 2  2
3) 2;
равен:
4)  2 ;
5)  2 .
Решение. Представим подкоренные выражения в виде четвертой степени
разности двух чисел.

  6  4 2   4  4 2  2  2  2  .
8   3  2 2   2  2 2  1   2  1 .
68  48 2  36  12 32  32  6  32

68  48 2  2
Тогда 4

17  12 2  2
2
2
14  12 2  9  6 8  8  3 
4
2
4
4
2
2  2  
 2 1 
4
4
2
2
2
2
2 2  2


2 1  2
4
4
2 2  2 2

 2.
2 1  2  1
Ответ: 5.
Пример 8. Во всех числах вида 64X5Y , делящихся на 36, произведение цифр
XY равно:
1) 16 или 4;
2) 18 или 6;
3) 36 или 2;
4) 30 или 8;
5) 24 или 6.
Решение. Число 36 можно представить как произведение двух взаимно простых чисел 4 и 9, следовательно, число 64X5Y должно делиться на 4 и на 9. Сначала применим признак делимости на 4 (мы сможем найти Y). Число 5Y должно делиться на 4, значит, Y либо 2, либо 6. Теперь воспользуемся признаком делимости
на 9: число 6  4  X  5  Y  15  X  Y должно делиться на 9. Если Y  2 , то 17  x делится на 9, когда X  1 . Если Y  6 , то 21  x делится на 9, когда X  6 . Следовательно, в первом случае XY  2 , во втором 36.
Ответ: 3.
Пример 9. Произведение двузначного числа и числа, записанного теми же
цифрами, но в обратном порядке, равно 2430. Сумма этих чисел равна:
1) 99;
2) 77;
3) 143;
4) 121;
5) 115.
Решение. Число 2430 делится на 5, значит, либо искомое число, либо число,
записанное в обратном порядке, делится на 5. Пусть искомое число делится на 5,
тогда оно заканчивается либо на 0, либо на 5. Однако если число заканчивается на
0, то число, записанное в обратном порядке, должно начинаться с нуля, но тогда
произведение не может быть равно 2430. Следовательно, искомое число оканчивается на 5, тогда число, записанное в обратном порядке, должно заканчиваться
либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8. Таким образом, искомыми парами могут быть 52 и 25; 54 и 45; 56 и 65; 58 и 85. Непосредственно убеждаемся, что подходит пара 54 и 45. Следовательно, их сумма равна 99.
Ответ: 1.
Пример 10. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если это двузначное число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Сумма квадратов цифр
этого числа равна:
1) 10;
2) 13;
3) 25;
4) 41;
5) 43.
Решение. Пусть х – число десятков, у – число единиц, тогда искомое число
имеет вид 10x  y , и для него справедливы соотношения:
10 x  y  4(x  y)  3,

10 x  y  3xy  5.
Выразив y  2 x  1 из первого уравнения и подставив во второе, найдем
y  3,
x  2, т.е. число 23. Откуда сумма квадратов цифр 4  9  13 .
Ответ: 2.
Пример 11. Число 19202122...8 X (выписываются подряд все двузначные числа от 19 до 8Х) делится на 396, если Х равно:
1) 8;
2) 6;
3) 0;
4) 2;
5) 4.
Решение. Заметим, что 396  4  9  11 . Значит, нужно выбрать Х, чтобы число
А делилось на 4, 9 и 11. Число 8 X делится на 4, если X  8, X  4 или X  0 . Таким образом, варианты 2 и 5 не удовлетворяют условию задачи. Сумма цифр А
равна 558  X , это число делится на 9, если X  0 . Следовательно, варианты 1 и 4
также не подходят. Сумма цифр числа А, стоящих на четных местах, равна сумме
цифр, стоящих на нечетных местах, и равна 279. Следовательно, разность этих
сумм равна 0, значит, число делится на 11. Таким образом, условию задачи удовлетворяет вариант 3.
Ответ: 3.
Пример 12. Известно, что натуральное число a при делении на 5 дает остаток 2, а при делении на 3 – остаток 1. Остаток от деления числа a на 15 равен:
1) 5;
2) 3;
Решение.
a  5k  2,
Для
3) 7;
числа
a
справедливы
4) 10;
следующие
5) 11.
представления:
a  3l  1 . Умножим первое равенство на 3, а второе на 5, получим
a  15k  6, 5a  15l  5 . В обоих равенствах есть делитель 15. Для получения дели-
мого, равного a , первое равенство умножим на 2, второе – на  1 и сложим левые
и правые части обоих равенств. Получим
a  2 15k  12  15l  5  15(2 k  l )  7 .
Отсюда следует, что остаток при делении числа a на 15 равен 7.
Ответ: 3.
Пример 13. Остаток при делении числа 351724  937544  474515  345823 на 3 равен:
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4)  1 ;
5)  2 .
Решение. Воспользуемся утверждением, что сумма и произведение двух
любых натуральных чисел и соответственно сумма и произведение их остатков
имеют одинаковые остатки при делении на 3. Заменим каждое из чисел на его остаток при делении на 3. Получим выражение 1  2  2 1  4 .
Это число при делении на 3 дает остаток 1. Следовательно, искомый остаток равен 1.
Ответ: 2.
Пример 14. Известно, что натуральные числа n и 6 взаимно простые. Число
n 2 при делении на 24 дает в остатке:
1) 5;
2) 6;
3) 4;
4) 1;
5) 0.
Решение. Число n можно представить в виде n  6k  l , где k – натуральное
число либо 0, а l – целое число от 0 до 5. Если l  0, l  2, l  3, l  4 , то числа n и
6 не будут взаимно простыми. Следовательно, l  1 либо l  5 . Пусть l  1 , тогда
n  6k  1
и n 2  36k 2  12k  1  12(k  1)  1 . Если k  2m , то k (3k  1)  2m (6m  1) делится на
2; если k  2 m  1 , то k (3k  1)  ( 2m  1)(6m  4) делится на 2. Следовательно, 12k (3k  1)
при делении на 24 дает в остатке 1. Пусть
l 5,
тогда
n  6k  5
и
n 2  36k 2  60k  25  12k (3k  1)  48k  24  1 , значит, остаток от деления на 24 равен 1.
В обоих случаях остаток при делении n 2 на 24 равен 1.
Ответ: 4.
Пример 15. Пусть m и n – взаимно простые натуральные числа (n  m) . Известно, что отличный от единицы наибольший общий делитель чисел 3n  m и
5n  2m
существует. Тогда он равен:
1) 7;
2) 11;
3) 13;
4) 3;
5) 9.
Решение. Обозначим наибольший общий делитель чисел 3n  m и 5 n  2 m через х. Тогда 3n  m  xl , 5n  2 m  xk , где x  1 , x , k , l  N . Рассмотрев эти равенства
как систему двух уравнений относительно двух неизвестных n и m , решив ее, получим n  x(2l  k ) , m  x(3k  5l ) . Числа m, n  N , следовательно, либо х делится на 11,
11
11
либо 2l  k и 3k  5l делятся на 11. Но если х не делится на 11, то у чисел n и m
есть общий делитель х, что противоречит условию задачи. Следовательно, x  11t ,
причем если t  1, t  N , то у чисел n и m будет общий делитель t , что противоречит условию задачи. Таким образом, наибольший общий делитель чисел 3n  m и
5n  2m
равен 11.
Ответ: 2.
Пример 16. Сумма двух натуральных чисел равна 463, а разность их квадратов – простое число. Большее из чисел принадлежит отрезку:
1) 181;189 ;
2) 190;200 ;
4) 221;235 ;
5) 236;245 .
3) 201;220 ;
Решение. Обозначим искомые числа x и y . Тогда x  y  463, x 2  y 2  n ( n –
простое число). Но
x 2  y 2  ( x  y )( x  y )  ( x  y )  463  n .
Так как число n – простое, значит x  y  1 . Решая систему уравнений
 x  y  463,
получим x  232 , y  231 . Следовательно, большее число принадлежит

 x  y  1,
отрезку 221;235 .
Ответ: 4.
Пример 17. Сумма всех простых чисел p , для которых число 2 p 2  1 также
является простым, равна:
1) 5;
2) 7;
3) 3;
4) 6;
5) 4.
Решение. Проанализируем ответы. Числа 6 и 4 не являются простыми и их
нельзя представить в виде суммы простых чисел, значит, ответы 4 и 5 не являются
правильными. Число 5 – простое, но 2 p 2  1  51 – не простое, далее 5  2  3 , где 2 и
3 – простые числа, но в обоих случаях 2 p 2  1 – не простое. Число 7 – простое, но
2 p 2  1  99 – не простое. Кроме того, 7  2  5 , где 2 и 5 – простые числа, но в обоих
случаях 2 p 2  1 – также не простое. Число 3 – простое, 2 p 2  1  19 – также простое.
Следовательно, правильным является ответ 3.
Ответ: 3.
Пример 18. Наибольший общий делитель чисел 3599 и 4819 равен:
1) 19;
2) 31;
3) 61;
4) 29;
5) 17.
Решение. Можно найти ответ перебором, проверяя ответы, исключая посторонние. Поступим по-другому. Заметим, что
3599  3600  1  60 2  12  59  61
и 4819  4900  81  70 2  9 2  61  79 , где числа 59, 61, 79 – простые. Следовательно, НОД 3599;4819   61 .
Ответ: 3.
Пример 19. Результат сокращения дроби 11377 равен:
18087
1) 2 ; 2) 7 ; 3) 71 ;
5
13
87
4) 31 ;
39
5) дробь несократима.
Решение. Воспользуемся алгоритмом Евклида для нахождения общего делителя числителя и знаменателя:
18087  11377 1  6710; 11377  6710 1  4667;
6710  4667 1  2043;
4667  2043  2  581; 2043  581  3  300; 581  300  1  281;
300  281 1  19; 281  19 14  15; 19  15  1  4;
15  4  3  3; 4  3 1  1.
Следовательно, НОД 11377;18087   1 , а дробь несократима.
Ответ: 5.
Пример 20. Сумма цифр натурального числа x , произведение цифр которого равно x 2  12x  2 , равна:
1) 7;
2) 8;
3) 3;
4) 13;
5) 9.
Решение. Сначала покажем, что искомое число является двузначным. Для
любого однозначного числа х будет справедливо неравенство x 2  12 x  2  0 , а по
условию задачи x 2  12x  2 – произведение цифр. Для трехзначного, четырехзначного и т.д. выражение
x 2  12 x  2  ( x  6) 2  34
Будет больше, чем 9 3 ; 9 4 и т.д. (максимальное произведение цифр соответствующего числа). Таким образом, х – двузначное натуральное число. Так как квадратный трехчлен x 2  12x  2 не раскладывается на рациональные множители, одна
из цифр искомого числа х равна 1. Далее можно поступить следующим образом.
Вторая цифра числа х равна либо x  10 , либо x  1 .
10
Следовательно, для нахождения числа х получили два уравнения:
x 2  12 x  2  x  10 и x 2  12 x  2 
x 1
.
10
Из первого найдем x  12 , x  11 , а второе в на-
туральных числах решения не имеет. Искомое число x  12 , и сумма его цифр равна 3.
Ответ: 3.
Пример 21. Для любых иррациональных чисел  и  и рационального
числа r иррациональным будет число:
1)

;

2) r ;
3)    ;
4)   r ;
5)    .
Решение. Приведем примеры для вариантов 1, 2, 3, 4, 5, когда эти числа могут быть рациональными.
Если   2 2,   2 , то

 2 ; если r  9 , то

r  9 ; если   2  2,   2  2 ,
то     4 ; если   6,   6 , то     6 . Таким образом, правильный ответ 4.
Ответ: 4.
Пример 22. Сумма квадратов всех целочисленных корней уравнения
3x 2  4 xy  7 y 2  13 равна:
1) 25;
2) 10;
3) 4;
4) 26;
5) 15.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители
3 x 2  4 xy  7 y 2   x  y 3 x  7 y  .
Имеем уравнение x  y 3 x  7 y   13 . Поскольку 13 можно представить в виде
произведения
двух
целых
чисел
четырьмя
способами
13  113  13 1   1 13   13 1 , получим четыре системы:
 x  y  1,

3x  7 y  13,
 x  y  13,

3x  7 y  1,
 x  y  1,

3x  7 y  13,
 x  y  13,

3 x  7 y  1.
Целочисленные решения 2;1 и  2;1 имеют соответственно лишь первая и
третья системы.
Ответ: 2.
Пример 23. Известно, что  1  a  0,5 и  3  b  2,5 . Тогда значение выражения a  3b можно оценить следующим образом:
1)  10  a  3b  7 ;
2)  4  a  3b  2 ;
4)  8,5  a  3b  8,5 ;
5)  5  a  3b  4,5 .
3)  3,5  a  3b  2,5 ;
Решение. Воспользовавшись свойствами числовых неравенств, имеем
 7,5  3b  9 , тогда  8,5  a  3b  8,5 .
Ответ: 4.
Пример 24. Модуль числа 1990  1992  2 1991 равен:
1) 1990  1992  2 1991 ;
3) 0;
4) 1;
2) 2 1991  1990  1992 ;
5)  1 .
Решение. Сравним числа
1992  1991 и
1990  1992 и 2 1991 . Для этого сравним числа
1991  1990 или числа
1992  1991  1991  1990 ,
1992 1991
и
1992  1991
значит,
19911990
. Так как
1991  1990
0  1992  1991  1991  1990
и
1992  1990  2 1991 . Таким образом,
1990  1992  2 1991  2 1991  1990  1992 .
Ответ: 2.
Тема: «Уравнения и неравенства»
Пример
5x
2

2

1.
Сумма
действительных
корней
уравнения

 4  6 5 x 2  4  7  0 равна:
1)  1 ;
2) 0;
Решение. Пусть
3) 2;
y  5x 2  4 .
4) 4;
5) другой ответ.
Тогда исходной уравнение примет вид
y 2  6 y  7  0 . Решая его, найдем, что y1  7,
y 2  1. Поэтому 5 x 2  4  7 или
5x 2  4  1 .
Уравнение 5 x 2  4  7 , или 5 x 2  3 , не имеет корней.
Уравнение 5x 2  4  1 , или 5x 2  5 , имеет два корня: x1  1, x2  1.
Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня:
x1  1 и x2  1 . Их сумма равна 0.
Ответ: 2.
Пример 2. Квадратное уравнение, корнями которого являются 4  3 и
4  3 , имеет вид:
1) x 2  8 x  13  0 ;
2) x 2  8 x  13  0 ;
4) x 2  8 x  13  0 ;
5) другой ответ.
3) x 2  8 x  13  0 ;
Решение. Так как x1  4  3 , x2  4  3 – корни уравнения x 2  px  q  0 , то
по теореме, обратной теореме Виета, найдем:


p   x1  x2    4  3  4  3  8 ;
q  x1  x2  (4  3)(4  3)  16  3  13.
Поэтому искомое уравнение имеет вид x 2  8 x  13  0 .
Ответ: 3.
Пример 3. График функции, заданной формулой y  x  x  2 x на рисунке
имеет вид:
y
2)
y
1)
3) y
1
1
2
-2 -1 0
x
1
x
1
2
x
0
4)-1
y
5) другой ответ.
-1 0 1
-2
1 2
x
-1
Решение. Воспользуемся определением модуля и рассмотрим два случая:
 x  0,
а) 
2
 y  x  2 x;
 x  0,
б) 
2
 y   x  2 x.
В первом случае корнями функции являются x1  0, x2  2 , а ветви параболы
направлены вверх.
Во втором случае корнями функции являются x1  0, x2  2 , а ветви параболы направлены вниз.
Построив графики функции отдельно для случаев а) и б) ( x  0 и x  0) , получим окончательный вид графика функции y  x  x  2 x .
Ответ: 4.
Пример 4. Произведение корней уравнения 1  3  2 x  3  x  3 равно:
5 x
1)  20 ;
2)  18 ;
3) 6;
3 x
4) 12;
x 1
5) другой ответ.
Решение. Прежде всего отметим, что области допустимых значений переменной x не принадлежат точки  1, 3, 5.
Приведем левую и правую части исходного уравнения к общему знаменателю:
5  x  3  2 x 3x  1   x  33  x 

,
3  x x  1
5 x
2  x x 2  3x  6

.
5  x 3  x  x  1
Преобразуя последнее выражение по правилу пропорции, получим:
2  x 3  x x  1  5  x x 2  3x  6.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, придем к уравнению
x 2  7 x  18  0 , которое имеет два корня: x1  2, x2  9.
Произведение указанных корней равно  18 .
Ответ: 2.
Пример 5. Решением неравенства  3 x 2  10 x  3  0 является промежуток:
1
1)   ;  ;
2) 3;  ;
1
3)   ;   3;  ;
1
4)   ;   3; ;


3
3

3
5) другой ответ.
Решение. Рассмотрим функцию y  3x 2  10 x  3 . Графиком этой функции
является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a  3  0 .
Корнями уравнения  3 x 2  10 x  3  0 являются x1  1 и x2  3 . Поэтому y  0
3
1
на каждом из промежутков   ;   3;  .

3
Ответ: 3.
Пример 6. Количество целых отрицательных решений неравенства
x 2  5 x  7  0 равно:
1) 0;
2) 1;
3) 4;
4) бесконечно много;
5) другой ответ.
Решение. Рассмотрим вначале соответствующее квадратное уравнение
x 2  5 x  7  0 . Его дискриминант
D  5 2  4  7  25  28  3  0 . Следовательно, это
квадратное уравнение решений не имеет. График квадратного трехчлена целиком
расположен выше оси абсцисс. Поэтому исходное неравенство решений не имеет.
Ответ: 1.
Пример 7. Множество значений параметра a , при каждом из которых уравнение ax 2  13x  1  0 имеет два различных решения, представляет собой промежуток:
169 
;
 4 
2)  ;0   0;
1)  ;0 ;
169 169 
;
4)  
;

4
4 
169
3)  0;  ;

4 
5) другой ответ.
Решение. Квадратный трехчлен ax 2  13 x  1 имеет два различных корня, если его дискриминант больше нуля. Это требование приводит к неравенству
D  13 2  4  a 1  0 . Отсюда следует, что a 
169
.
4
Однако полученное множество зна-
чений a содержит значение a  0 , при котором исходное квадратное уравнение
вырождается в линейное уравнение, имеющее один корень. Поэтому случай a  0
169 
.
 4 

следует исключить из рассмотрения a   ;0    0;
Ответ: 2.
Пример 8. Значение параметра a , при которых корни квадратного уравнения x 2  (a  1) x  3  0 лежат по разные стороны от числа 2, представляют собой
промежуток:
1)  ;  4,5 ;
2)  ; 0 ;
4)  1; 1 ;
5) другой ответ.
3) 0;   ;
Решение. Рассмотрим функцию f ( x )  x 2  (a  1) x  3  0 . Так как старший коэффициент квадратного трехчлена равен 1, то ветви параболы направлены вверх.
Для того чтобы корни лежали по разные стороны от числа 2, достаточно, чтобы
значение функции f (x ) в этой точке было отрицательным.
f ( x)  2 2  (a  1)2  3  4  2a  2  3  9  2a  0  2a  9  a  4,5 .
Ответ: 1.
Пример 9. Значение параметра a , при которых корни квадратного уравнения (2  a ) x 2  3ax  2a  0 больше 1 , представляют собой промежуток:
2
1) 0; 1 ;
1
2)  ; 2  ;
4)  ; 2 ;
5) другой ответ.
2

3) 1;2  2;  ;
Решение. Рассмотрим функцию f ( x)  (2  a) x 2  3ax  2a . Поскольку старший
коэффициент квадратного трехчлена зависит от a , придется рассмотреть два случая.
Пусть ветви параболы направлены вверх, т.е. 2  a  0, a  2 . Оба корня будут
располагаться правее точки 1 , если вершина параболы тоже будет правее и зна2
чение функции в точке 1 будет положительным:
2
 (3a) 1

 x 0  2( 2  a )  2 ,


 f  1   (2  a)  1  3a  1  2a  0.
  2 
4
2
Преобразуя уравнения системы, получим:
1
  3a
 3a
1
3a  2  a,

 2( 2  a )  2 ,
 2  a  1,
4a  2, a  ,
1


 a

2 a .

1 
2
a   2
 1  a  3a  2a  0  1  a  0  4   2
a  2
 2 4
 2 4 2
С учетом сделанного ране допущения a  2 придем в первом случае к неравенству 1  a  2 .
2
Пусть теперь ветви параболы направлены вниз, т.е. 2  a  0, a  2 . Требование
задачи будет выполняться при условии:
 3a
1

 x0  2(2  a)  2 ,


 f  1   (2  a ) 1  3a  1  2a  0.
  2 
4
2
Преобразуя эту систему, придем к соотношениям:
3a  2  a,
4a  2,


 a  2.
a 1
a  2
 4  2  0
Однако этот результат противоречит допущению.
1
2


Таким образом, решением задачи является промежуток  ; 2  .

Ответ: 2.
Пример 10. Решением неравенства ax 2  x  b  0 при a  b   1 и b  9a  3 яв4
ляется промежуток:


1
4
1
 4
1)   ;   ;


2)   ;    ;
4)  ;    ;
5) другой ответ.
Решение.
Найдем

дискриминант
 1 1
3)   ;  ;
 4 4
неравенства
ax 2  x  b  0 :
D  1  4  a  ( b)  1  4 ab .
Так как по условию a  b   1 , то D  0 . Поэтому график квадратного трех4
члена не пересекает ось Ox и целиком лежит либо выше, либо ниже этой оси.
Исследуем
знак
функции
f ( x )  ax 2  x  b
в
точке
x  3 : f (3)  a  32  3  b  9a  3  b .
Так как по условию b  9a  3 , то 9 a  3  b  0 , т.е. f (3)  0 . Поэтому весь график целиком лежит выше оси Ox , а решением исходного неравенства является
вся числовая ось.
Ответ: 4.
Тема: «Различные способы решения уравнений»
Пример 1. Уравнение a 2  1x  a  1 имеет бесчисленное множество решений, если параметр a равен:
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4) 3;
5) 4.
Решение. Рассмотрим три случая:
а) если a  1 , то 0 x  0  x  R ;
b) если a  1 , то 0 x  2  x  Ø;
с) если a  1 , то ( a 2  1) x  a  1  x  1 ;
a 1
Ответ: 2.
Пример 2. Если сумма квадратов корней уравнения x 2  4 x  a  0 равна
10, то произведение параметра a и суммы корней равно:
1) 3;
2) 12;
3) –12;
4) –3;
5) 4.
x x  a,
Решение. Так как  1 2
значит, x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  16  2a . Следо x1  x 2  4,
вательно, 16  2a  10, a  3 . Таким образом, a( x1  x2 )  12 .
Ответ: 3.
Пример 3. Корни уравнения
1)  2; 2;
2)  3; 3 ;
x
1
2

 2
x  1 x 1 x 1
3)  4; 4;
не принадлежат отрезку:
4)  5; 5;
5)
5; 6  .
Решение. Выполнив приведение дробей к общему знаменателю, получим
x2  2x  3
равносильное данному уравнение
 0 . Последнее равносильно системе
x 2 1
 x 2  2 x  3  0,
уравнений  2
Квадратное уравнение имеет корни x  3 и x  1 , второй
 x  1  0.
из них – посторонний.
Ответ: 1.
Пример 4. Произведение корней уравнения ( x 2  6 x) 2  2( x  3) 2  81 равно:
1) 27;
2) 9;
3) –24;
4) –33;
5) 18.
Решение. Имеем ( x 2  6 x ) 2  2( x 2  6 x  9)  81  0. Введем новую неизвестную
t  x 2  6 x. Получим t 2  2t  99  0, t  9 или t  11 . Следовательно, x 2  6 x  9 или
x 2  6 x  11 . Таким образом, x  3 или x  3  2 5 .
Ответ: 4.
Пример 5. Произведение корней уравнения 4 x 4  8 x 3  3x 2  8 x  4  0 равно:
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 6.
Решение. Исходное уравнение является симметричным уравнением четвертой степени. Поскольку по условию задачи x  0 , разделим левую и правую части

на x 2 . Полученное после этого уравнение 4 x 2 

1 
1
 8 x    3  0 можно решить
2 
x
x  
введением новой неизвестной: t  x  1 , x 2  12  t 2  2 . В итоге приходим к квадратx
x
ному уравнению 4(t 2  2)  8t  3  0 .
Рассмотрим второй способ решения, основанный на подборе корня из множества  1,  2,  4,  1 ,  1 и понижении степени уравнения. Подставим в исходное
2
4
уравнение значение x  2 : 4 16  8  8  3  4  8  2  4  0 . Следовательно, x  2 – корень.
Поэтому 4 x 4  8 x 3  3x 2  8 x  4  ( x  2)(4 x 3  3x  2) . Второй множитель получается делением «уголком»:
4 x 4  8 x 3  3x 2  8 x  4
4 x 4  8x3
3x 2  8 x
3x 2  6 x
 2x  4
 2x  4
0
Рассмотрим
1
1
 1,  2,  4,  , 
2
4
x2
4 x 3  3x  2
уравнение
Подбором
из
множества
находим его корень x  1 . Разделим многочлен в левой части на
2
2x 1:
4 x 3  3x  2
4x2  2x 2
4 x 3  3x  2  0 .
2x 1
2x2  x  2
2 x 2  3x  2
2x2  x
4x  2
4x  2
0
Уравнение 2 x 2  x  2  0 решений не имеет. Следовательно, корнями исход-
ного уравнения являются x  2 и x  1 .
2
Ответ: 1.
Пример 6. Большой корень уравнения
1) 1;
2) 2;
Представим
Решение.
x
2

 3  4x x2  3  4x
x
2
9
3) 3;

2
 0.
x
x
2
2
  16 x
 9
9  x 
3
4) 4;
2
2
2
2 2
равен:
5) 5.
уравнение
в
виде
разности
квадратов
Это уравнение равносильно совокупности уравнений
 x 2  4 x  3  0,
 2
 x  4 x  3  0, x  3.
Решениями этих уравнений являются x1  1 , x2  3 , x3  1 , x4  3 . Так как
x  3 ,
то x  1 или x  1 . Больший корень равен 1.
Ответ: 1.
Пример 7. Сумма корней уравнения x 4  4 x  1  0 равна:
1) –1;
2) 2;
3)  2 ;
4)
2;
5) 2 2 .
Решение. Подбор корней или введение новой неизвестной здесь неприменимы. Воспользуемся разложением на множители. Имеем:


2
2



x 4  4 x  1  x 4  2 x 2  2 x 2  4 x  1  x 2  2  2 x  1  x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  1  2 .
Следовательно, x 2  2 x  1  2  0 или x 2  2 x  1  2  0 .
Второе уравнение корней не имеет. Корни первого уравнения равны
x1, 2 
1 2 2 1
2
.
Ответ: 3.
Тема: «Различные способы решения неравенств»
Пример 1. Наибольшее натуральное решение неравенства x  4  x  7  3
7
4
равно:
1) 0;
2) 6;
3) 12;
4) 16;
5) 5.
Решение. Имеем 4 x  16  7 x  49  84  0  3 x  51  3 x  51  x  17 .
28
Ответ: 3.
Пример 2. Решение неравенства x 2  (m  2) x  2m  0 принадлежит промежутку (2;  m) для следующих значений m :
1) m  2 ;
2) m  2 ;
3) m  2 ;
4) m  2 ;
m  4.
Решение. Имеем
D  (m  2) 2  8m  (m  2) 2  0 .
x1 
m2m2
  m,
2
x2 
m2m2
 2.
2
Следовательно, исходное неравенство можно записать: ( x  m )( x  2)  0.
Если  m  2 , т.е. m  2 , то x  (  m;  2) (рис.1);
если  m  2 , т.е. m  2 , то x  ( 2;  m ) (рис.2);
если  m  2 , то ( x  2) 2  0  x  Ø (рис.2);
+
+
-m
–
х
-2
Рис. 1
+
+
-2
–
Рис. 2
Ответ: 2.
-m
х
5)
3
4
Пример 3. Наименьшее целое решение неравенства  x  1  x  2   x 2 5  0
2 x  1x  4
равно:
1)  2 ;
2) 0;
3) 1;
4) 5;
5) 3.
Решение. Решаем неравенство методом интервалов (рис.3).
-2
–
-1/2
+
1
4
–
5
–
–
+
x
Рис. 3
1
Следовательно, x    ; 1  5;     2 .
 2 
Ответ: 1.
Пример 4. Сумма натуральных решений неравенства
x 6  3x 4  x 2  3
 0 рав64  x 3
на:
1) 2;
2) 4;
Решение. Имеем:
3) 6;
x
4) 8;


5) 5.
x 1x  1  0
 3 x 4 1
0
. Тогда, используя метод
2
4  x  16  4 x  x
4 x
2


интервалов (рис.4), получим x   ;  1  1; 4 .
+
+
-1
–
1
4
–
x
Рис. 4
Ответ: 3.
 x 4  5 x 2  4  0,
Пример 5. Сумма целых решений системы неравенств  x 2  1
рав
0
 3
  x  x 2  2x
на:
1) –2;
2) 2;
Решение. Имеем:
3) –1;
4) 1;
5) 5.
( x 2  1)( x 2  4)  0, ( x  1)( x  1)( x  2)( x  2)  0,



.
1

x2 1

0
.

0
 x ( x 2  x  2)
 x x  1 x  2 


Решаем полученную систему методом интервалов (рис.5). Следовательно,
x   2; 1  1; 2 .
+
+
-2
–
+
-1
1
–
+
–
2
x
+
-1
0
–
2
x
Рис. 5
Ответ: 3.
Пример 6. Области определения функций f  x  
6  2x 4 4
 x  3x 3  2 x 2 9  x 2
x3


принадлежит промежуток:
1)  1; 2 ;
2) 1; 2 ;
3) 3; 4  ;
4) 2,5; 3;
5)  3; 4 .
Решение. Имеем:
 2(3  x)
x 3
 0,
 0,


.
 x 3
 x3
2
2
2
2
 x ( x  3x  2)(9  x )  0  x ( x  1)( x  2)(3  x)(3  x)  0.


Используем метод интервалов (рис. 6).
+
+
-4
-1
–
3

4
–
+
1 –

2
1
x
1
2
+
2–
3
1x
2

+
–
-3
+
x
–
x
3
–
+
+
-3
0
–
+
1
2
3
Рис. 6
Следовательно, x   3; 1  2; 3.
Ответ: 4.
Пример 7. Если неравенство
xR ,
x 2  2x  4
 0 выполняется для всех
ax 2  2(a  1) x  9a  4
то наибольшее целое значение a равно:
1) –2;
2) –1;
Решение.
Так
3) 0;
4) 1;
x 2  2 x  4  0 при
как
5) 2.
любых
значениях
ax 2  2(a  1) x  9a  4  0
для
 a  0,

2
 D  4( a  1)  4 a (9 a  4)  0.
Решением системы является a   1 .
всех
xR .
Это
x,
значит,
возможно,
если
2
Ответ: 2.
Пример 8. Наименьшее целое число неравенства
x3
x4
1
 2

x  x  6 x  3x  4 x
2
равно:
1) –2;
2) –1;
3) 1;
4) 2;
5) 3.
Решение. Имеем

x2  2
1
1
 1
 0,

  0, 
x 3
x4
1


  0   x  2 x 1 x
  x ( x  1)( x  2)
( x  3)( x  2) ( x  4)( x  1) x
 x  3, x  4
 x  3, x  4.


 

Используя метод интервалов (рис. 7), получим x   2; 0  1; 2  2;  .
 2
–
+
0
1
–
+
22
–
Рис. 7
+
x
Наименьшее целое значение x равно  1 .
Ответ: 2.
Пример 9. Количество целых значений x , не удовлетворяющих неравенству ( x 2  3x  2)( x 2  3x  4)  48 , равно:
1) 4;
2) 6;
3) 2;
4) 1;
5) 0.
Решение. Введем новую неизвестную t  x 2  3x  2 . Получим
t (t  2)  48  (t  8)(t  6)  0 . Последнее неравенство равносильно совокупности
t  8,
t  6. (рис.8).

+
+
-8
–
6
t
Рис. 8
 x 2  3 x  2  6,
Следовательно,  2
 x  3 x  2  8.
Второе неравенство решений не имеет. Следовательно, решением совокупности является решение неравенства x 2  3 x  4  0 (рис.9).
+
+
-4
–
1
x
Рис. 9
Ответ: 1.
Пример 10. Наибольшее целое решение неравенства
x2
 12 x 2  7 x  6
2
1  2x
равно:
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4) 3;
5) 4.
x 2  7 x(2 x 2  1)  6(2 x 2  1)(2 x 2  1)
Решение. Приведем неравенство к виду:
0.
1  2x 2
Разложим однородное выражение в числителе на множители:
2
 x 
 x 
 x
 x

 1 2
 6 
 2   7 2   6   2
 2x 1 
 2x 1 
 2 x  1  2 x  1 
2 x 2  x  1 12 x 2  x  6 ( x  1)(2 x  1)(4 x  3)(3x  2)


.
2x 2 1
2x 2 1
(2 x 2  1) 2
Неравенство сводится к виду:
( x  1)(2 x  1)(4 x  3)(3x  2)
0
( 2 x 1)( 2 x  1)
Решение неравенства получим по методу интервалов (рис.10):
-1
–
3

4
+
1 –

2
1
2
+
2–
3
1x
2
Рис. 10
3  1 1 2 1 

x   1;     ;    ;
.
4  2 2 3 2 

Ответ: 1.
Тема: «Решение уравнений и неравенств с модулем»
Пример 1. Произведение корней уравнения x 2  x  3   x равно:
1) 9;
2)  3 3 ;
3) 3 3 ;
4) 1;
5) 2.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности систем:
  x  0,

 x  0,


  x  0,


 x  0,


     x  1, или   x   3 ,   x  3, x   3 .
или

2
 x2  x  3  x

 

x  x  3  x 


   x  3

x

3






Ответ: 3.
Пример 2. Произведение количества корней на их сумму для уравнения
x  1  1  1  1  2 равно:
1) 0;
2) 2;
3) 6;
4) 8;
5) 3.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности x 1  1 1 1  2 или
x 1  1 1  1  2 . Второе уравнение решений не имеет. Для первого уравнения
получим:


x  1  1  1  1  x  1  1  1  1, x  1  1  1  1.
Последнее уравнение корней не имеет. Для первого уравнения x  1  1  2
получим: x  1  1  2 или x  1  1  2 . Уравнение x  1  1 имеет корни x1  0 или
x2  2 .
Ответ: 2.
Пример 3. Сумма целых корней уравнения x 2  9   x  3  6 равна:
1) –1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 0.
Решение. Найдем интервалы знакопостоянства функций y  x 2  9 и y  x  3 .
Они приведены на рисунке 11.
+
–
-3
–
–
3
+
+
x
Рис.11
Верхний знак относится к значениям функции y  x 2  9 , нижний – y  x  3 .
Данное уравнение равносильно совокупности систем а), б), в).
 x  3,
 x  3,

 x   3.
 x  3, x  4
x  9  x  3  6
а) 
2
 3 x  x  3,
 3 x  x  3,

 x  3, x  2.
 x   3, x  2 
 x  9  x  3  6
б) 
2
 x  3,
 x  3,
 x  3,
 1  73

в)  2
 2

.
 1  73  x 
2
x

9

x

3

6
x

x

18

0
x





2
Корни уравнения x  3, x  2, x 
Ответ: 1.
 1  73
.
2
Пример 4. Сумма корней уравнения x  1  2 x  1 равна:
1) 0;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 1.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению:
x  0,
 x  2.
x  12  2 x  12  x  1  2 x  1x  1  2 x  1  0  
Ответ: 2.
Пример 5. Сумма отрицательных корней уравнения x 2  6 x  4  1 равна:
1) –4;
2) –6;
3) –12;
4) –15;
5) –10.
Решение. Пусть x  t , t  0. Имеем:
t 2  6t  4  1,
t  1, t  5,

2
t  6t  4  1  t  3  6 , t  3  6 .

С
учетом

обозначения
получим
отрицательные
корни
уравнения
x  1, x  5, x  3  6, x  3  6.
Ответ: 3.
Пример 6. Наименьшая сумма
x y
решений системы уравнений
 2 x  3 y  1,
равна:

 2 x  3 y  5
1) –4;
2) –2;
3)  13 ;
4) 0;
6
5) –3.
Решение. Данная система равносильна совокупности систем:
2 x  3 y  1, 2 x  3 y  1, 2 x  3 y  1,



2 x  3 y  5, 2 x  3 y  5, 2 x  3 y  5,
2 x  3 y  1,

2 x  3 y  5.
3 2
3 2
Решениями являются  ; ,   ; ,  1;1, 1; 1 .
2 3  2
3
Ответ: 3.
Пример 7. Произведение целых решений неравенства 2 x  1  5  2 равно:
1) 4;
2) 0;
3) –8;
4) –6;
5) –4.
Решение.
 7  2 x  1  7
 4  x  3
 2 x  1  5  2,
 2 x  1  7, 


  2 x  1  3,
  x  1,
 x   4;2  1; 3.

 2 x  1  5  2  2 x  1  3
 2 x  1  3
 x  2


Ответ: 4.
Пример 8. Сумма целых решений неравенства x 2  x  2  x  2 равна:
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 5.
Решение. Возводя обе части неравенства в квадрат, получим равносильное
данному неравенство:
x
2

2

 




 x  2  x  2  0  x 2  x  2  x  2  x 2  x  2  x  2  0  x 2  4 x 2  2 x  0 
2
 xx  2 x  2  0  x  0; 2   2.
2
Ответ: 1.
Пример 9. Сумма наибольшего и наименьшего решений неравенства
x 2  2 x  1 x 1

 12  0 равна:
x2  4x  4 x  2
1) 2;
2) 0;
3) 4;
4) 17 ;
5) 3.
4
2
2
2
Решение. Так как x2  2 x  1   x  1   x  1 , введем новую неизвестную
x  4x  4
 x2
x2
x 1
t 2  t  12  0,
 t  0. Имеем 
 t  3 . Следовательно:
x2
t  0
 x 1
x2  3
x 1
7   5
3 
 x   ; 2    2; .
x2
4   2
 x  1  3
 x  2
Ответ: 4.
2
Пример 10. Число целых решений неравенства x  1  1 равно:
x5
1) 1;
2) 6;
3) 5;
4) 2;
5) 4.
Решение. Для x  5 по свойствам модулей имеем:
x2 1
x 5


2
2




2
 1  x 2  1  x  5  x 2  1   x  5  x 2  1  0 




 x 2 1 x  5 x 2 1  x  5  0  x 2  x  4 x2  x  6  0 
 x 2  x  6  0  x   3; 2.
Ответ: 5.
Пример 11. Длина промежутка решений неравенства x 3  x  1  x 3  x  1  2
равна:
1) 2;
2) 4;
3) 3;
4) 5;
5) 1.
Решение. Рассматриваемое неравенство равносильно системе


 
 


 x 3  x  1  x 3  x  1  2, 2 x 3  2,
 x  1,
 x   1; 1,





 x  0; 1.
 3
3
2 x  1  2  x  1  1  x  0; 2
 x  x  1  x  x  1  2
Ответ: 5.
Тема: «Решение уравнений»
Пример 1. Произведение корней уравнения 4  2 x  x 2  x  2 равно:
1) 0;
2) 3;
3) 7;
4) 6;
5) 5.
Решение. Рассмотрим систему, равносильную данному уравнению:
 x  2  0,

2
2
 4  2 x  x  ( x  2) .
Значение x  0 не удовлетворяет условию x  2.
Решением является x  3.
Ответ: 2.
Пример 2. Сумма корней уравнения 3  5  x  x равна:
1) 4;
2) 5;
3) 0;
4) 1;
5) 1; 4.
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
3  5  x  x,
 5  x  x  3,
5  x  ( x  3) 2 ,





 x  3.
x  0
x  0
Ответ: 1.
Пример 3. Сумма корней уравнения ( x  1) x 2  x  2  2 x  2 равна:
1) –2;
2) –1;
3) 0;
4) 2;
5) 5.


Решение. Перепишем уравнение в виде x  1 x 2  x  2  2  0. Данное уравнение равносильно системе
 x  1  0,
 2
 x  x  2  2,
 2
 x  x  2  0.
Значение
x  1
не удовлетворяет неравенству
x 2  x  2  0.
Значения
x  3, x  2 являются решениями.
Ответ: 2.
Пример 4. Корни уравнения
5 x  7  2 x  3  3 x  4 принадлежат проме-
жутку:
1)  1; 1 ;
2)  2;  1,5 ;
3) 0; 1 ;
4)  1,5; 0  ;
5)
3; 4 .
Решение. Данное уравнение перепишем в следующем виде:
5 x  7  3x  4  2 x  3 .
Возведем обе части уравнения в квадрат и перейдем к равносильной данному уравнению системе:

3
2 2 x  33 x  4   0,
 x   2 ,
2 2 x  3 3 x  4  0,


5 x  7  0,


4
  x   ,


4

3
2 x  3  0,
x  

3

3 x  4  0;

4

x   .
3

Ответ: 4.
Пример 5. Сумма корней уравнения 2 x 2  3x  5  2 x 2  3x  5  3x равна:
1) 4;
2) 0;
3) 6;
4) 8;
5) 5.
Решение. Так как левая часть уравнения положительна, x  0 . Домножим
левую и правую части уравнения на разность корней. Получим уравнение – следствие исходного:
 2x
2
  2x
2
 3x  5 

2
  3x 2 x
 3 x  5   6 x.
2
 3x  5
 3 x 2 x 2  3x  5  2 x 2

2
 3x  5  2 x 2  3x  5 
Так как x  0 не является решением, получим
2 x 2  3x  5  2 x 2  3x  5  2.
Складывая
полученное
уравнение
с
исходным,
получим
2 2 x 2  3x  5  3x  2. Так как 3 x  2  0 при x  0 , значит,


2
4 2x2  3x  5  3x  2  x 2 16  0. Значение x   4 не удовлетворяет условию
x0,
значение x  4 является решением.
Ответ: 1.
Пример 6. Корни уравнения
1) 0; 2 ;
2) 2; 4  ;
4
x  8  4 x  8  2 принадлежат промежутку:
3) 4; 6 ;
4) 6; 9  ;
5) 9; 10  .
Решение. Введем новые неизвестные:
4
x  8  u,
x  8  u4,
4
x  8  v,
x  8  v4.
u  v  2,
u  2  v ,


4
4
2
2
u  v  16
u  v  u  v  8.
Получим систему 

чим vv 2  3v  4  0  v  0, откуда
4

После подстановки полу-
x  8  0  x  8.
Ответ: 4.
Пример 7. Сумма корней уравнения
1) –4;
2) –2;
3) 4;
3
x  1  3 x  2  3 x  3  0 равна:
4) 6;
5) –3.
Решение. Перенесем последний корень в правую часть и возведем в куб

3
 

3
3
x 1  3 x  2   3 x  3 .


Получим x  1 1  2  33 x  13 x  2 3 x  1  3 x  2   x  3.
Подставляя
3

вместо

суммы
x  2 3 x  1  3 x  3  x  2, откуда x   2 .
Ответ: 2.
корней
значение
 3 x  3,
получим
Пример 8. Если значение параметра a   0,2;  0,1 , то сумма корней уравнения a  a  x  x равна:
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 5.
Решение. Запишем уравнение в виде f  f x   x , где f  x  a  x . Одним из
решений такого уравнения является решение f  x   x . Так как f x  является возрастающей на области определения, значит, это решение единственное. Рассмотa  x  x 2 ,
 x  0.
рим уравнение a  x  x , которое равносильно системе 
Дискриминант уравнения x 2  x  a  0 D  1  4 a. Если a   1 , то x1 
4
x1 
1  1  4a
,
2
1  1  4a
1
. Уравнение имеет два неотрицательных корня, если   a  0 . В
2
4
этом случае x1  x2  1 .
Ответ: 1.
Пример 9. Утроенная сумма x  y всех решений системы уравнений
3 x  2 y  3 x  y  2  3,
равна:

2 x  y  7
1) 6;
2) 8;
3) 14;
4) 23;
5) 5.
Решение. Введем новые неизвестные:
3
3
x  2 y  u, x  2 y  u 3 ,
x  y  2  v, x  y  2  v 3 .
u  v  3,
u  v  3,

 2
3
3
2
u  v  9
u  uv  v  3.
Получим 
u  1,
u  2,
Решив эту систему, находим  1
и  2
v1  2
 v 2  1.
13 5
Возвращаясь к неизвестным x и y , получим решение  ;  , 2; 3 .
3
Ответ: 4.
3
Пример 10. Сумма x  y отрицательных решений системы уравнений
23 x  23 y  36 xy ,
равна:

 x  y  63
1) –17;
2) –19;
3) –65;
4) –37;
5) 0.
Решение. Из вида системы следует, что xy  0; значение y  0 не является
решением системы. Поскольку первое из уравнений является однородным, разделим обе его части на
3
y.
Если y  0 , то получим 23 x  36 x  2  0 , откуда приходим к системе
y
y
x
 x  64,
  64,

y
 x  y  63  y  1.

Если y  0 , то получим 23 x  36 x  2  0 , откуда приходим к системе
y
y
x 1
 x  1,
  ,
 y 64  
 x  y  63  y  64.

Ответ: 3.
Пример 12. Сумма корней уравнения log x19 ( 2 x 2  36 x  1)  log 4 8  cos 2 117
4
равна:
1) 2;
2) 20;
3) 4;
4) 6;
5) 5.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
2 x 2  36x  1  ( x  19) 2 ,
3 1

log x 19 ( 2 x 2  36 x  1)     x  19  0,
2 2
 x  19  1.

Решения первого уравнения x  20 и x  18 . Второй корень не удовлетворяет требованию x  19  1 .
Ответ: 2.
Пример 13. Уравнение 2 lg x 2  lg 2 ( x )  4 имеет:
1) один натуральный корень;
2) один целый корень;
3) два действительных корня;
4) один рациональный корень;
5) другой ответ.
Решение. Имеем 4 lg x  lg 2 ( x)  4 . Так как по условию x  0 , значит, x   x .
При t  lg(  x ) получим 4t  t 2  4  t  2 . Следовательно, lg( x )  2, x  100 .
Ответ: 2.
Пример 14. Уравнение 5 x  x 8 x 1  500 имеет:
1) один корень;
2) два корня;
3) три корня;
4) нет корней;
5) другой ответ.
Решение. Имеем 5 x  8
x 1
x
 500 . По условию x  N, x  1. Прологарифмируем
уравнение по основанию 5. Получим x  3 x  1 log 5 2  3  2 log 5 2 . Корни этого уравx
нения x  3 и x   log 5 2 . Второй корень не удовлетворяет условию x  N, x  1.
Ответ: 1.
Пример 15. Произведение корней уравнения lg 2 (100 x)  lg 2 (10 x)  14 lg x  15
равно:
1) 10
Решение.
2) 100;
3) 1000;
4) 10 000;
(lg100  lg x) 2  (lg10  lg x) 2  14 lg x  15 .
Имеем
5) 1.
Получим
lg 2 x  4 lg x  5  0 . Используя замену переменных lg x  t , получим lg x  1 или
lg x  5 . Следовательно, x  0,1 или x  100 000 .
Ответ: 4.
Пример 16. Сумма корней уравнения 2  lg x  x равна:
10
1) 1
2) 4;
3) 6;
4) 10;
5) 5.
Решение. Подбором находим один корень x  10 . Так как y  2  lg x – убывающая функция, а y  x – возрастающая функция, значит, этот корень единст10
венный.
Ответ: 4.
Пример 17. Уравнение log 2 (3  cos x )  2    x имеет:
1) целый корень;
2) натуральный корень;
3) два корня;
4) нет корней;
5) другой ответ.
Решение. Так как 3  cos x  2 , следовательно, log 2 (3  cos x )  1 . Поскольку
2
  x
log 2 (3  cos x )  1,
 1 , то данное уравнение равносильно системе 
 x .
   x  0
Ответ: 5.
2  log 2 y  log 2 ( x  3 y ),
Пример 18. Система уравнений 
2
 y  x  2 a  4  2( x  a )
имеет два решения,
если значение параметра a принадлежит промежутку:
1) (–1;1);
2) (0;1);
3) (1;2);
4) (2;3);
5) (3;4).
Решение. Из первого уравнения имеем log 2 4 y  log 2 ( x  3 y ) . Подставляя решение этого уравнения y  x, x  0 во второе уравнение, получим ( x  a ) 2  2  a –
это уравнение имеет два корня x1  a  2  a , x2  a  2  a , если a  2 . Из условия
x0
получим 1  a  2 .
Ответ: 3.
2.4. Различные формы организации занятий по математике, применяемые в школах г.Гомеля. Организация опытно-экспериментальной работы
Математика занимает одно из центральных мест в системе образования
как важное средство интеллектуального развития, формирования общей
культуры, решения общеобразовательных и воспитательных задач. Обучение математике должно приводить учащихся к пониманию роли, которую
математика играет в современной научной картине мира. Математические
знания необходимы для изучения явлений природы, без них невозможно
достижение успехов в развитии производства и науки. Знания о количественных отношениях и пространственные представления необходимы практически во всех сферах деятельности человека. Математическое образование
на уровне общего среднего образования базируется на теоретической основе
трех подходов: знаниевого, личностно-ориентированного, компетентностного. Образовательный процесс должен осуществляться с учѐтом возрастных
особенностей учащихся, специфики учебного предмета, его места и роли в
общем среднем образовании.
В связи с этим при изучении всех дисциплин, в том числе и математики, учителя стараются применять разнообразные формы организации занятий по математике.
В качестве примера приведем опыт личного преподавания и опыт коллег,
работающих с школах г.Гомеля Республики Беларусь.
В начале отметим, что в учебном процессе довольно часто применяются задачи краеведческого содержания, позволяющие знакомить учащихся с историей
Республики. Например.
№1. В нашей республике
территории занимают низины и равнины, а ос-
тальную территорию – возвышенности. Какую площадь занимают возвышенности, если территория Белоруссии составляет 208 тыс. км²?
№2. С
территории Белоруссии вода собирается в Черное море, а с ос-
тальной – в Балтийское море. С какой площади вода собирается в Балтийское море, если территория Белоруссии составляет 208 тыс. км²?
№3. Площадь Полоцкой низменности на
больше площади Нёманской
низменности. Какова площадь Полоцкой низменности, если площадь Нёманской
низменности 8
км²?
Открытый урок «Квадратичная функция: преобразование графиков»
Тип урока: Закрепление.
Цели урока:

Обобщение знаний, умений и навыков по разделу.

Формирование и воспитание умений работать коллективно, в группах
и индивидуально.

Развитие графической культуры и математической речи.
ЗАДАЧИ:
> повторить понятия, связанные с функцией;
> проверить и откорректировать умения решения типовых заданий по
свойствам квадратичной функции;
> закрепить навыки построения графиков функций путем преобразования;
> применить новых знаний в творческих заданиях.
Формы организации учебной деятельности: коллективная, групповая,
индивидуальная,.
Техническое обеспечение урока: компьютер, мультимедийный проектор с
экраном, доска.
Структура и содержание урока:
1. Организационный момент: цели и задачи урока. (11.00 – 11.03)
В конце демонстрируется слайд с тестом приклдного характера (1
балл)
2. Актуализация опорных знаний (11.04 – 11.07)
1.
Что вы подразумеваете под математическим термином "функция"?
2.
Назовите известные вам функции.
3.
Что в математике означает термин аргумент?
4.
Что означают числа в скобках (-2; 3)
5.
Как называется график квадратичной функции ?
С записью в тетради
1.
Формула прямой пропорциональности
2.
Формула обратной пропорциональности с записью в тетради
3.
Формула линейной зависимости с записью в тетради.
4.
Запишите общий вид квадратичной функции.
После выполнения ученики делают самооценку своей готовности (с учетом
1 балла)
4. Анализ домашнего задания № 6.43 0 (1), 6.61 (3),6.62 (3 ), 6.37 *(1) с комментариями учащихся и демонстрацией правильного оформления на экране.
(11.08 -11.11)
3. Проверка и коррекция опорных навыков и умений (11.12 – 11.25)
1.
Посчитайте число парабол и определите координаты вершин парабол.
2.
Запишите (на доске тоже !) слово, полученное в ответе (Мир). После
ответов учащихся демонстрируется слайд с изображением Мирского замка и
задается вопрос о культурной столице 2011г..
3.
Работа с учебником: Найти значения функции (эстафета среди трех
команд – по рядам):
- Команда 1 по № 6.59(1) у = 3(х - 4) 2 -2.
- Команда 2 по № 6.59(2) у = -2(х + 3) 2 +6.
- Команда 3 по № 6.59(4) у = 4(х - 3) 2 +5.
Работа с учебником по парам:
Нечетные пары
Четные пары
4. № 6.64 0 (с. 253) Принадлежит ли графику функции
2) В (0; 3)
2
y  x - 1  4
точка
3) С (1; 16) ?
5. № 6.15 (с. 234) Найдите значение а , если известно, что парабола
y  ах 2
проходит через точку
5) (-2; 1)
6. № 6.30 (с. 240)
4) (3; 1) ?
Имеет ли парабола
y  6х2  1
общие точки с прямой
4) у = -1
6) у = -3 ?
Если да, то найдите их координаты.
После выполнения самооценка решений на экране с пометками в тетради)
5. Проверка навыков устного анализа свойств параболы (игра – гимнастика) (11.26 – 11.29)
- если ветви направлены вверх – встать, руки вверх,
- если ветви направлены вниз – руки опустить вниз,
- если сдвинута вдоль оси ОХ - повернуть голову в соответственную сторону.
- если сдвинута вдоль оси ОУ - поднять (опустить) голову в соответственную сторону.
6. Преобразования графиков квадратичной функции: углубление знаний
(11.30 - 11.35)
1)
симметрия относительно оси ОХ (у = ах 2
у = - ах 2)
если может – на доске!
2)
сдвиг вдоль оси ОХ (у = ах 2
у = а(х - s) 2);
3)
сдвиг вдоль оси ОУ (у = ах 2
у = ах 2 + t);
4)
сжатие и растяжение вдоль оси ОУ (у = х 2
у = ах 2) ;
5)
комбинация нескольких видов преобразований
Ученик,
Анализ преобразований графиков демонстрируется на экране, что копируется учащимися.
7. Проверка индивидуальных умений преобразования графиков (11.36–
11.42).
Вариант 1
1) № 6.51 (1), стр. 251.
2) № 6.53 (1, 3), стр. 252.
Вариант 2
1) № 6.51 (2), стр. 251.
2) № 6.53 (1, 3), стр. 252.
* Нули функции у = (х – 3,14) 2 +5(х –
3,14)+6
* Нули функции у = (х – √13) 2 -(х – √13)
– 6.
2
* Уравнение (х-123) -5(х-123)+6=0;
* Уравнение (х+212) 2-5(х+212)+6=0.
5. Подведение итогов: достижение целей и задач урока, рефлексия (как в игре),
сдача тетрадей, домашнее задание: п. 5.2, 6.6, № 6.71 (1), 6.72(2), 6.83* (4)
(11.42-11.45)
плоскостью основания угол 45°. Найдите
произведение V ∙ √3, где V — объем призмы, если ее боковое ребро равно 2.
1.
(ЦТ-2009) В2. Основанием прямой
2.
(ЦТ-2008) В6 В правильной 4призмы является прямоугольный треугольной призме Sосн=180, длина боковоугольник, острый угол которого равен 30°.
го ребра 3 5 . Найти расстояние между
Диагональ боковой грани, содержащей
меньшую сторону основания, образует с.
Вариант 1
стороной основания и диагональю призмы, основания, образует с. плоскостью основане пересекающейся с ней.
ния угол 45°. Найдите произведение V ∙ √3,
3.
(ЦТ-2007) В2 Боковое ребро пирагде V — объем призмы, если ее боковое
миды, основанием которой является квадребро равно 2.
рат со стороной 5, перпендикулярно осно- 2. (ЦТ-2008) В6 В правильной 4-угольной
ванию. Площадь сечения, проходящего
призме Sосн=180, длина бокового ребра
через диагональ основания и ребро, пер3 5 . Найти расстояние между стороной
пендикулярное основанию 3 2 . Найти
основания и диагональю призмы, не переобъем пирамиды.
секающейся с ней.
3. (ЦТ-2007) В2 Боковое ребро пирамиды,
Задания ЦТ: «Многогранники и их объемы»
основанием которой является квадрат со
стороной 5, перпендикулярно основанию.
1. (ЦТ-2009) В2. Основанием прямой призмы Площадь сечения, проходящего через диаявляется прямоугольный треугольник, остгональ основания и ребро, перпендикуляррый угол которого равен 30°. Диагональ бо- ное основанию 3 2 . Найти объем пирамиковой грани, содержащей меньшую сторону ды.
Задания ЦТ: «Многогранники и их объемы» Задания ЦТ: «Многогранники и их объемы»
1. (ЦТ-2009) В2. Основанием прямой призмы 1. (ЦТ-2009) В2. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник,
является прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 30°. Диагональ бо- острый угол которого равен 30°. Диагональ
ковой грани, содержащей меньшую сторону боковой грани, содержащей меньшую сторону основания, образует с. плоскостью ососнования, образует с. плоскостью основанования угол 45°. Найдите произведение V ∙
ния угол 45°. Найдите произведение V ∙ √3,
√3, где V — объем призмы, если ее боковое
где V — объем призмы, если ее боковое
ребро равно 2.
ребро равно 2.
2. (ЦТ-2008) В6 В правильной 4-угольной
2. (ЦТ-2008) В6 В правильной 4-угольной
призме Sосн=180, длина бокового ребра
призме Sосн=180, длина бокового ребра
3 5 . Найти расстояние между стороной
3 5 . Найти расстояние между стороной
основания и диагональю призмы, не переоснования и диагональю призмы, не пересекающейся с ней.
секающейся с ней.
3. (ЦТ-2007) В2 Боковое ребро пирамиды,
3. (ЦТ-2007) В2 Боковое ребро пирамиды,
основанием которой является квадрат со
основанием которой является квадрат со
стороной 5, перпендикулярно основанию.
стороной 5, перпендикулярно основанию.
Площадь сечения, проходящего через диаПлощадь сечения, проходящего через диагональ основания и ребро, перпендикуляргональ основания и ребро, перпендикулярное основанию 3 2 . Найти объем пираминое основанию 3 2 . Найти объем пирамиды.
ды.
где V — объем призмы, если ее боковое
ребро равно 2.
1. (ЦТ-2009) В2. Основанием прямой призмы 2. (ЦТ-2008) В6 В правильной 4-угольной
призме Sосн=180, длина бокового ребра
является прямоугольный треугольник, ост3 5 . Найти расстояние между стороной
рый угол которого равен 30°. Диагональ боковой грани, содержащей меньшую сторону основания и диагональю призмы, не переоснования, образует с. плоскостью основасекающейся с ней.
ния угол 45°. Найдите произведение V ∙ √3,
Задания ЦТ: «Многогранники и их объемы»
3. (ЦТ-2007) В2 Боковое ребро пирамиды,
основанием которой является квадрат со
стороной 5, перпендикулярно основанию.
Площадь сечения, проходящего через диагональ основания и ребро, перпендикулярное основанию 3 2 . Найти объем пирамиды.
Задания ЦТ: «Многогранники и их объемы»
1. (ЦТ-2009) В2. Основанием прямой призмы
является прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 30°. Диагональ боковой грани, содержащей меньшую сторону
основания, образует с. плоскостью основания угол 45°. Найдите произведение V ∙ √3,
где V — объем призмы, если ее боковое
ребро равно 2.
2. (ЦТ-2008) В6 В правильной 4-угольной
призме Sосн=180, длина бокового ребра
3 5 . Найти расстояние между стороной
основания и диагональю призмы, не пересекающейся с ней.
3. (ЦТ-2007) В2 Боковое ребро пирамиды,
основанием которой является квадрат со
стороной 5, перпендикулярно основанию.
Площадь сечения, проходящего через диагональ основания и ребро, перпендикулярное основанию 3 2 . Найти объем пирамиды.
Урок в 10 «А» классе по теме
«Решение тригонометрических уравнений. Повторение»
Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений. Повторение».
Тип урока: урок повторения и закрепления знаний.
Цели урока:

повторить теоретический материал по теме «Тригонометрические
функции», часто употребляемые формулы тригонометрии, решение уравнений;

помочь учащимся проверить свои знания по данной теме;

содействовать развитию логического мышления, памяти;

содействовать воспитанию самостоятельности и ответственности за
результат своего труда, умения преодолевать трудности.
Оборудование: мультимедийное оборудование, раздаточный материал.
Ход урока.
I. Организационный момент
Учитель. В центре нашего внимания на уроке будет «Рабочая карта урока».
Она есть у каждого из вас. Сюда вы будете вносить свою оценку за каждый этап
урока. Одну из оценок вам поставит сосед по парте, а одну – я, если сочту необходимым (самым активным на уроке).
В конце урока вы подведёте итог своей работы и выставите средний балл за
урок, то есть за усвоение темы «Тригонометрические функции».
Рабочая карта урока
(с/о – самооценка, о/т – оценка товарища)
Д/з.
Решение
уравнений
Диктант.
Теория по
теме
с/о
с/о
Формулы. Проверка
знания формул
с/о
о/т
Тест.
Решение
уравнений
Кроссворд
с/о
с/о
Отметка
учителя
Итог
Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучить,
наблюдая, как это делает сосед.
Поэтому будем сегодня работать самостоятельно.
137
II. Проверка домашнего задания
Учитель. На экране вы видите уравнение из домашнего задания, решённое
двумя способами. Найдите ошибку в решении. Каждая найденная вами ошибка
даёт дополнительный балл в вашу карту.
1) sin 2 x  2 cos x  sin x  1  0
2 sin x cos x  2 cos x  sin x  1  0
2 cos x sin x  1  sin x  1  0
1 способ.
sin x  12 cos x  1  0
sin x  1  0,
или
2 cos x  1,
sin x  1,
x
2 cos x  1  0,
3
 n, n  
2
cos x 
x
2 способ.
1
,
2

 2 ,   
3
2 cos xsin x  1  sin x  1  0,
2 cos x  1  0,
1
cos x  ,
2

x     ,   
3
Верный ответ: 

3
 2 ,    ;
 2n, n  
3
2
Проверяем решение следующего уравнения.
2)
cos 2 x  3 cos 2
x 5
 ,
2 2
1  cos x 5
 ,
2
2
2
2 cos x  3 cos x  2  0,
cos 2 x  3 
138
cos x  2,
cos x 
или
x   arccos 2  2n, n  
x
1
,
2

 2m, m  
6
x    arccos 2  2n, n  
Верный ответ: 

 2m, m  
3
Какую формулу применили при решении данного уравнения? (Формулу половинного аргумента или, говорят, «формулу понижения степени»).
И последнее уравнение. Проверьте ответ и объясните ход решения.
sin 2 x  cos 2 x  1,5  sin 2 x ,




sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1,5 sin 2 x  cos 2 x  2 sin x cos x,
sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1,5 sin 2 x  1,5 cos 2 x  2 sin x cos x  0,
0,5 sin 2 x  2,5 cos 2 x  2 sin x cos x  0,
sin 2 x  5 cos 2 x  4 sin x cos x  0,
tg 2 x  4tgx  5  0,
Пусть tgx  t , t  R, тогда t 2  4t  5  0, D=16+20=36>0, 2 корня,
t1=-5, t2=1.
tgx  5
tgx  1,
или
x  arctg5   ,   
Ответ:  arctg 5   ,    ;
x

 n, n  
4

 n, n  
4
Вот мы и повторили решение уравнений. Те, кто выполнил домашнее задание самостоятельно, во всём разобрался, поставьте себе «9», те, у кого появились
трудности или из трёх уравнений решено 2 – поставьте «7», если решено одно
уравнение или есть в каждом уравнении грубые ошибки – поставьте «4», если работа не выполнена – «2».
139
III. Диктант
Учитель. Следующий этап нашего урока – диктант. Думать придётся много,
писать мало. При ответе на любой вопрос будете писать одно из слов: «да» или
«нет».
1.
Является ли убывающей функция y=cosx?
(нет)
2.
Является ли чётной функция y=sinx?
(нет)
3.
Верно ли, что cos2 x  sin 2 x  1 ?
(нет)
4.

 1
Верно ли, что arcsin      ?
6
 2
(да)
5.
Абсцисса точки, лежащей на единичной окружности, называется си(нет)
нусом?
(да)
6.
Верно ли, что косинус 6,5 радиан больше нуля?
7.
Верно ли, что область значения функции тангенс есть отрезок
[-1;1] ?
(нет)
8. Синус 600 равен ½?
(нет)
9. Отношение синуса к косинусу – это тангенс?
(нет)
(Ребята проверяют диктант вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе отметку в рабочую карту урока).
IV. Из истории тригонометрии
Учитель. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик
восемнадцатого столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие
годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук.
Он ввёл известные определения тригонометрических функций, сформулировал и
доказал известные вам формулы приведения, выделил классы чётных и нечётных
функций. Жизнь Л.Эйлера очень интересна. С ней можно познакомиться по книге
Яковлева «Леонард Эйлер».
V. Решение тригонометрических уравнений
Учитель. Альберт Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время
между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее.
140
Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
Вот и мы займёмся уравнениями.
(Ребята повторяют устно формулы корней простейших тригонометрических уравнений и частные случаи. Проверка ответов ведётся с помощью экрана
мультимедиа).
Для решения более сложных уравнений требуется знание формул тригонометрии. Следующий этап нашего урока – взаимопроверка. Проверьте друг друга
на знание формул.
(На столе у ребят листочки с незаконченными записями формул. Они дописывают формулы и передают работы для проверки товарищу по парте. Выставляют отметки за знание формул сами себе, ставят её и отметку товарища
в рабочую карту).
Карточки
1 вариант
2 вариант
cos2 x  sin2 x  ...
sin 2 x  ...
1
 ...
cos 2 x
1
 ...
sin 2 x
sin 2 x  cos 2 x  ...
tgx  ctgx  ...
cos  x  y   ...
sin x  y   ...
cos x  cos y  ...
sin x  sin y  ...
VI. Решение тригонометрических уравнений. Тестовые задания
Учитель. Герберт Спенсер, английский философ, говорил: «Дороги не те
знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».
Сейчас мы попробуем применить «вызубренные» формулы к решению
уравнений. На доске записаны уравнения, решаемые разными методами.
141
1) Решите уравнение разложением на множители.
2 sin x  cos x 1  cos x   sin 2 x ;
2 sin x  cos x1  cos x   1  cos x 1  cos x ;
2 sin x  cos x1  cos x   1  cos x1  cos x   0;
1  cos x2 sin x  cos x  1  cos x   0;
1  cos x2 sin x  1  0;
1  cos x  0
2 sin x  1  0
или
1
2
cos x  1
sin x 
x    2n, n  
x   1

Ответ:   2n, n   ;

  ,   
6
 1    ,   .
6
2) Решите однородное уравнение.
5 sin 2 x  sin x cos x  3 cos 2 x  2  sin 2 x ;
5 sin 2 x  sin x cos x  3 cos 2 x  2 sin 2 x  2 cos 2 x  2 sin x cos x  0;
3 sin 2 x  3 sin x cos x  5 cos 2 x  0;
3tg 2 x  3tgx  5  0;
tgx 
3
Ответ: x  arctg
69
; x  arctg
 3  69
 n, n  
6
 3  69
 n, n  
6
Вам предлагается тест, состоящий из четырёх уравнений с ответами, из которых нужно выбрать верный.
Тест
2
1) cos x  3sin x  3
а) -

 n, n   ;
2
б)   n, n   ;
142
в)

 2n, n   ;
2
г)   2n, n   ;
2)
sin 2 x  3 sin x  0
а) n, n   ;
б) 2n, n   ;
в)   n, n   ;
г)    n, n   ;
3) cos 2 x  3 cos x  1
а)

 2n, n   ;
2
б)

 n, n   ;
2
в)   2n, n   ;
г)    n, n   ;
4) tg 2 x  1
а)

 n, n   ;
4
б)
 n

,n   ;
8
2
в)

 2n, n   ;
2
г)

 2n, n   .
8
(Тест проверяется с помощью экрана мультимедиа).
За решение теста выставьте себе отметку в рабочую карту.
VII. Учитель. Анатоль Франс когда-то сказал: «Учиться надо весело…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».
Для проверки знаний по всей теме вам предлагается небольшой кроссворд.
143
1. Раздел математики, изучающий свойства синуса, тангенса…
2. Абсцисса точки на единичной окружности.
3. Отношение косинуса к синусу.
4. Синус – это … точки на единичной окружности.
5. Число из отрезка [-1;1], синус которого равен а, называется…
Учитель. Давайте проверим, что у вас получилось. Выставьте себе отметку
за кроссворд в рабочую карту.
.Т
.К
.О
.К
.А
VIII. Итог урока
Учитель выставляет отметки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – это средний балл за работу на уроке.
Ребята передают рабочую карту учителю, а так же кроссворд и тест с решением.
IX. Домашнее задание
144
Учитель. Ребята, к следующему уроку повторите теоретический материал
пунктов 3.10-3.13. Решите уравнения:
а) sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x  sin 2 4 x  0 (формулы понижения степени)
2
2
б) sin x  cos x  cos
x
(преобразование суммы тригонометрических функ2
ций в произведение);
в) 3 cos x  3 sin x  sin 3 x  cos 3 x  0 (формулы тройного аргумента).
X. Учитель. Ребята, понравился ли вам урок? Как вы оцениваете работу
класса на уроке?
Спасибо за урок.
Вариант 1
Вариант2
cos2 x  sin 2 x  ...
sin 2 x  ...
1
 ...
cos 2 x
1
 ...
2
sin x
sin 2 x  cos2 x  ...
tgx  ctgx  ...
cos  x  y   ...
sin  x  y   ...
cos x  cos y  ...
sin x  sin y  ...
Вариант 1
Вариант2
cos2 x  sin 2 x  ...
sin 2 x  ...
1
 ...
cos 2 x
1
 ...
sin 2 x
sin 2 x  cos2 x  ...
tgx  ctgx  ...
cos  x  y   ...
sin  x  y   ...
cos x  cos y  ...
sin x  sin y  ...
145
Вариант 1
Вариант2
cos2 x  sin 2 x  ...
sin 2 x  ...
1
 ...
cos 2 x
1
 ...
sin 2 x
sin 2 x  cos2 x  ...
tgx  ctgx  ...
cos  x  y   ...
sin  x  y   ...
cos x  cos y  ...
sin x  sin y  ...
Сценарий интеллектуальной игры для учащихся 9 – 11 классов
Чтобы спорилось нужное дело,
Чтобы в жизни не знать неудач,
Мы в поход отправляемся смело –
В мир загадок и сложных задач.
Не беда, что идти далеко,
Не боимся, что путь будет труден.
Достижения крупные людям
Никогда не давались легко.
Внимание! Внимание! Всем! Всем!
Приветствуем всех в этом зале!
Сегодня здесь собрались только самые–самые…
Те, кто любит математику и физику,
Те, кто учит географию и химию,
Те, кто еще не знает, что может
Любить биологию и историю!
Перед вами три сборные команды: «КРАСНЫЕ», «ЖЕЛТЫЕ», «ЗЕЛЕНЫЕ». Это самые смелые, самые умные, самые «продвинутые» учащиеся нашей
гимназии. Давайте поприветствуем их!
Мой юный друг,
Сегодня ты пришел сюда,
146
Чтоб посидеть, подумать, отдохнуть,
Умом своим блеснуть!
Перед тобой открыты все дороги
И в жизни будут разные пути.
Предметов в школе очень много –
Любой из них ты изучи…
Представление жюри.
1.
Конкурс – разминка «ДАЛЬШЕ… ДАЛЬШЕ… ДАЛЬШЕ…» (15 бал-
лов)
Вопросы для 1 команды
1.
Как называется результат сложения?
2.
Произведение 7 и 8 ?
3.
Назовите самую большую хорду в круге.
4.
Какое число в квадрате равно 100?
5.
Сколько концов у 3,5 палок?
6.
Как называется верхняя часть дроби?
7.
Что такое отрезок?
8.
Назовите наименьшее натуральное число.
9.
Что является графиком квадратичной функции?
10. Чему равно 3 в 4 степени?
11. Назовите число, которое разделяет положительные и отрицательные
числа
12. Что такое 1/100 часть числа?
13. Формула периметра квадрата.
14. Знак вычитания.
15. Как называется независимая переменная в функции?
Вопросы для 2 команды
1.
Как называется результат вычитания?
2.
63:7=?
147
3.
Сколько минут в 1 часе?
4.
Найдите модуль числа -6.
5.
Петух на одной ноге весит 3кг. Сколько он весит на двух ногах?
6.
Что такое многочлен?
7.
Как называется утверждение, не требующее доказательства?
8.
Назовите наибольшее отрицательное число.
9.
Что является графиком линейной функции?
10.
Чему равно 2 в 5 степени?
11.
Как называется прибор для измерения углов?
12.
Формула пути.
13.
Одна сотая метра.
14.
Знак сложения.
15.
Как называется зависимая переменная в функции?
Вопросы для 3 команды
1.
Как называется результат деления?
2.
72/9=?
3.
Сколько метров в 1км?
4.
Чему равно 345 в 0 степени?
5.
Первый месяц зимы.
6.
Как называется треугольник, у которого 2 стороны равны?
7.
Что такое окружность?
8.
Назовите наименьшее двузначное число.
9.
Чему равна сумма смежных углов?
10.
Как называется дробь, у которой числитель больше знаменателя?
11.
Чему равна площадь прямоугольника?
12.
Что является графиком обратной пропорциональности?
13.
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
14.
Знак умножения.
15.
Чему равен cos0 ?
148
2.
Конкурс исторический «ЦВЕТИК - СЕМИЦВЕТИК».
(10 баллов)
Вопросы на лепестках:
1.
О каком событии идет речь? «Сильный отряд осадил их убежище и
занял единственную тропинку, шедшую со скалы вниз. Осажденные сплели из
виноградных лоз длинные лестницы и ночью спустились с крутого обрыва».
2. В каких городах существуют соборы, построенные в честь святой Софии?
3.
Какой закон физики объясняет пословицу «Как аукнется, так и от-
кликнется»?
4.
Какие арифметические операции выполнял арифмометр Лейбница?
5.
Кто из математиков древности погиб от меча римского солдата, гордо
воскликнув перед смертью: «Отойди, не трогай моих чертежей!»
6.
Эта смесь газов при движении способна сотворить энергию, в не-
сколько раз большую, чем общее количество всех имеющихся энергетических запасов. (О чем идет речь?)
7.
О каком строительном вяжущем материале идет речь, если известно,
что его открыли жители селения, которое расположено у подножия вулкана Везувий?
3. Конкурс знатоков информатики «ВЕРЮ - НЕ ВЕРЮ»(10 баллов).
1.
Первая ЭВМ создана в 1946 году в целях развития науки и техники(-).
2.
Телеграфный аппарат создал и внедрил Сэмюэл Морзе (+).
3.
Фирму Microsoft возглавил Билл Гейтс, когда ему не было 20 лет(+).
4.
Первый компьютер создал Джон фон Нейман(-).
5.
В Минске проводятся Интернет-вечеринки(+).
6.
Первым языком программирования был Паскаль(-).
7.
Говорят между хакерами устраивают соревнования(+).
8.
Фирма IBM построила работоспособную машину по чертежам Леонар-
до да Винчи(+).
9.
Язык программирования Бейсик является одним из самых популярных
языков в мире(+).
149
10. В непозиционной системе счисления удобно производить арифметические вычисления(-).
4. Конкурс загадок (за правильный ответ – 1 балл).
1.
Как Солнце горит, быстрее ветра летит, дорога в воздухе лежит, по
силе себе равных не имеет (молния).
2.
Без крыльев, без тела за тысячу верст прилетела (Радиоволна).
3.
Нахожусь, друзья, везде:
В минералах и в воде,
Без меня вы как без рук:
Нет меня – огонь потух (кислород).
4.
На дворе переполох –
С неба сыплется горох.
Съела 6 горошин Нина –
У нее теперь ангина (град).
5.
Темным облаком летала,
Опустилась птицей белой,
Превратилась в человечка,
Постояла у крылечка,
Покатилась кувырком
И запела ручейком (вода).
6.
Сговорились две ноги
Делать дуги и круги (циркуль).
5. Конкурс «ЧЕРНЫЙ ЯЩИК»(10 баллов).
Интегрированное факультативное занятие: "Функции вокруг нас"
Цели:

Обучающая цель: показать полезность всех изучаемых в школьном
курсе функций; научить видеть знакомое в незнакомом.
150

Воспитательная цель: формировать целостную систему знаний и на-
учного мировоззрения, указать на красоту и изящество математических рассуждений, воспитание ответственности и чувства долга, формирование профессионального самоопределения учащихся.

Развивающая цель: развитие интереса учащихся к математике через
взаимосвязь математических и биологических терминов, явлений и процессов;
развитие творческого, критического интегративного мышления, развитие самостоятельности.
Форма занятия: смотр-конкурс.
Пояснение к занятию: в конкурсе участвуют 4 команды, которые представляют функции: логарифмическую; показательную; степенную; тригонометрическую. В каждой команде присутствуют люди разных профессий. Задача команд
в течение 10-15 мин доказать, что выбранная ими функция – самая важная и интересная.
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Вводное слово учителя
Функция – одно из основных математических общенаучных понятий, зависимость между переменными величинами. Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает различные законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи. Например, в соотношении у = х2 геодезист или геометр
увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор
или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы у сопротивления
воздуха или воды от скорости х движения. Математика же изучает эту зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение х в 2
раза приведет к увеличению у в 4 раза, и это заключение может применяться в
любой конкретной ситуации. В школьном курсе изучается немало функций. Постарайтесь доказать, что выбранная вами функция самая важная и интересная.
II. Представление логарифмической функции.
Первый ученик (будущий биолог). Самая интересная, полезная и лирическая – это функция логарифмическая. Спросите вы: “А чем интересна?”. А тем,
151
что обратная она показательной и относительно прямой у = х, как известно, симметричны их графики обязательно. (Рисунок 1)
Рис. 1
Проходит график через точку (1,0) и в том еще у графика соль, что в правой
полуплоскости
он
“стелется”,
а
в
левую
попасть
и
не
надеется.
(Рисунок 2)
Рис. 2
Но если аргументы поменяем, тогда по правилам кривую мы сдвигаем, растягиваем, если надо, иль сжимаем. И относительно осей отображаем. Сама же
функция порою убывает, порою по команде возрастает.
А командиром служит ей значение а, и подчиняется она ему всегда. (Рисунок 3, рисунок 4)
152
Рис. 4
Рис. 3
Теперь полезность мы вам четко обоснуем и яркую картину нарисуем.
Вот вы когда-нибудь слыхали о логарифмической спирали? (Рисунок 5)
Рис. 5
Закручены по ней рога козлов и не найдете вы на них нигде узлов. Моллюсков многих и улиток ракушки тоже все завиты. И как сказал поэт великий Гете:
“Вы совершеннее строенья не найдете!” И эту спираль мы повсюду встречаем: к
примеру, ножи в механизме вращая. В изгибе трубы мы ее обнаружим – турбины
тогда максимально послужат! В подсолнухе семечки тоже закручены, и паука все
плетенья заучены. Наверняка, и о том вы не знали, галактики тоже кружат по
спирали!
Логарифмы – это все! Музыка и звуки! И без них никак нельзя обойтись
науке!
Второй ученик (будущий астроном). Задумывался кто-нибудь над вопросом, сколько звезд на небе? Одним из первых, кто попытался точно ответить на
этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии
153
Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны. Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил
их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппрах назвал звездами
первой величины, заметно менее яркие – второй, ещё столь же (величина постоянная) менее яркие – третьей и т.д. до звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.
В наше время существуют чувствительные приборы для световых измерении, – это дает возможность точно определить блеск звезд. Покажем на графике.
(Рисунок 6)
,
Рис. 6
насколько соответствует данным этих измерение распределение звезд по
видимому блеску, произведенному на глаз. От каждой из шести групп, на которые
распределял звезды Гиппарх, возьмем по одному типичному представителю. По
вертикальной оси будем откладывать блеск звезд в единицах Гиппарха, по горизонтальной – показания приборов. Сразу же бросается в глаза, что объективные
(прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг
другу. С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а примерно в 2,5 раза. Итак, зависимость выражается логарифмической функцией. (Рисунок 7).
154
Рис. 7
Третий ученик (будущий психолог). Психофизическими опытами установлено, что величина ощущений изменяется медленнее, чем сила раздражителя.
Интенсивность ощущений Е выражается логарифмической зависимостью (закон
Вебера – Фехнера) Е = К• lgJ +С, где J – интенсивность раздражителя; K и С – некоторые константы, определяемые данной сенсорной системой.
III. Представление степенной функции.
Первый ученик (будущий математик). Мы уже знакомились с функциями
y = x, y = x2, y = х3, у = 1/х и т.д. Все эти функции являются частными случаями
степенной функции, то есть функции y = xp , где p – заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и
p имеет смысл степень xp.
Рассмотрим, какие виды графиков (рисунки 8 – 13) может иметь степенная
функция:
155
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
156
Рис. 13
Рис. 12
Третий ученик (будущий животновод). Посредством степенной функции
f(x) = Ax
описывается зависимость интенсивности основного обмена от веса
животного. Здесь х – вес животного; f(x) – количество кислорода, поглощаемого
животным в единицу времени; А и
– параметры, постоянные для данного класса
живых существ. Для млекопитающих и птиц, например,
= 0,74, А = 70, для рыб
= 0,8, А = 0,3.
Четвертый ученик (будущий инженер по водоснабжению). Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике. Известно также,
что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости. Например, скорость воды в реке на разных глубинах разная: у дна и у поверхности
наименьшая, где-то внутри потока она наибольшая. По данным некоторых исследователей можно считать, что если от оси OY отложить горизонтальные отрезки,
равные по длине скорости воды на соответствующей глубине, то получится парабола с горизонтальной осью, вершина которой находится на 1/3 глубины потока.
(Рисунок 14)
157
Рис. 14
Рис. 16
Рис. 17
Рис.15
Рис. 18
Пятый ученик (будущий физик). Представим себе, что очень узкая зеркальная полоска изогнута в форме дуги параболы. (Рисунок 15) Если мы параллельно оси параболы направим пучок лучей, то они, отразившись от зеркала, соберутся в некоторой точке F, расположенной на оси и называемой фокусом параболы (фокус переводе на русский язык означает очаг). И обратно, если мы поместим источник света (лампочку, вольтову дугу и т.п.) в фокусе параболы, то всякий
его луч, отраженный от зеркала, направится параллельно оси параболы.
Вращая параболу вокруг её оси, мы получим поверхность, называемую параболоидом вращения. Параболические зеркала и другие аналогичные им приспособ-
158
ления, использующие описанное свойство параболы, изготовляются в форме параболоида.
Вот несколько примеров:
а) отражательный телескоп – рефлектор;
б) прожектор (Рисунок 16) или фара автомобиля;
в) рефлектор солнечной электростанции;
г) медицинский рефлектор;
д) увеличительное туалетное (или медицинское) зеркало.
Если требуется для решения той или иной практической задачи направить
параллельный пучок радиоволн или принять их, то употребляют металлические
антенны, основанные на том же принципе, что и параболические зеркала. Это
сходство неслучайно, ибо свет и радиоволны имеют одинаковую физическую
природу. Подобные антенны находят широкое применение в таких областях науки и техники, как радиолокация и радиоастрономия. (Рисунок 17) Радиолокация
позволяет определить местонахождение самолета или корабля на значительном
расстоянии (что особенно важно в военном деле), обнаруживать в море при любой видимости опасные для плавания айсберги и т.п. Радиоастрономия является
молодой наукой, которая изучает далекие миры, подвергая анализу радиоволны,
идущие из глубин мирового пространства.
Шестой ученик (будущий химик). Если цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, привести во вращательное движение вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w, то вогнутая поверхность вращающейся жидкости примет форму параболоида. (Рисунок18)
Положение вершины параболы (имеется в виде осевое сечение) при данных
размерах сосуда зависит только от его угловой скорости. Этим обстоятельством
воспользовался Браун, сконструировав оригинальный прибор, позволяющий измерять скорость вращения вала.
IV. Представление тригонометрической функции
Первый ученик (будущий историк). Еще в четвертом веке у индийцев, в
астрономических трудах, Встречалось синуса понятье пока в одной – не разных
159
четвертях. Они назвали “дживой” хорду, что означает “тетива”, и эту хорду, после
половинку, за синус принимали все сперва. Потом арабы слово исказили, назвали
хорду они словом “джайб”, А переводом “пазуха”, “карман” ей были иль “выпуклость” – то знал тогда и раб. Затем названье на латинском дали и это был двенадцатый уж век, тогда–то джайб и “синусом” назвали, и слово взял в работу человек. Символику английский математик в семнадцатом столетье предложил. Фамилия – Норвурд, он много лет потратил и много сил в тот важный труд вложил!
Был синус с треугольниками связан, предложено обозначенье: S. Но больше Эйлеру научный мир обязан: он ввел символику, какая есть сейчас. Французский математик Жиль Пирсон впервые синусоиду построил. С циклоидой тогда возился
он, а заодно и графиком всех удостоил. Затем явился сам Декарт, а с ним и “Геометрия” – его известный всем трактат –
И взлет тригонометрии!
Джон Валлис график вскоре начертил и сделал полных два при этом оборота, в труде “Механика” он твердо заявил, что бесконечно надо повторить работу.
“Вот так, в различных странах и веках, понятье синуса с трудом рождалось. И,
умолчать не можем мы никак, Какое знанье нам в наследие досталось. График
функции – вот такая кривая! (Рисунок 19)
Рис. 19
Посмотрите, красивая какая! “Синусоидой” она называется. И с нуля в свой
поход отправляется. Значения функции не всякие бывают, И “ограниченным” все
синус называют. (| sinx | < 1) Есть максимальное значенье – единица. И много раз
к ней “синус икс” стремится! Аналогично, минимумы есть и тоже их у функции
не счесть!
Третий ученик (будущий астроном). Различные колебания окружают нас
на каждом шагу. Механические колебания применяются для скорейшей укладки
бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на вибро-
160
ситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложных процессах, происходящих
внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках, о таких диковинных вещах, как
пульсары (нейтронные звезды), черные дыры и т. д. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно
закрытой облаками Венеры.
Четвертый ученик (будущий врач). Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, восприятие ультрафиолета, (используемые многими биологическими видами), передачу возбуждения по нервной ткани,
работу сердца и мозга. Записывая работу сердца или мозга, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы. Как говорил создатель учения о биосфере
академик Вернадский: “Кругом нас, в нас самих, всюду и везде, без перерыва,
вечно сменяясь, совпадая и сталкиваясь, идут излучения разной длины – от волн,
длина которых измеряется десятимиллионными долями миллиметра, до длинных,
измеряемых километрами”.
Пятый ученик (будущий инженер). Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка действует на резец и обрабатываемую деталь и может привести к
браку; вибрация жидкости в топливных баках ракеты угрожает их целостности, а
вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к
катастрофе. Даже хорошо затянутая гайка под влиянием вибрации ослабевает и
станок разбалтывается. А самое страшное – под действием вибрации меняется
внутренняя структура металлов, что приводит к так называемой “усталости” и последующему неожиданному разрушению конструкции. Колебаниями объясняются случай падения моста, по которому шло в ногу воинское подразделение, а также разрушение мостов во время ураганов, катастрофы в кузнечных цехах, где несколько механических молотов начинали работать в такт. Таким образом, отметим, что колебания, контролируемые человеком, весьма полезны. Однако они мо-
161
гут превратиться в опасного врага. Поэтому надо уметь изучать колебания, знать
их свойства. А здесь без математических расчетов не обойтись.
Шестой ученик (будущий географ). Почему летом теплее, чем зимой?
Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом. Но это совершенно неверно!
Ведь орбита Земли – это почти круг, в центре которого находится Солнце. Расстояние нашей планеты от светила меняется слишком незначительно от месяца к
месяцу, чтобы это было причиной смены времен года. Все дело в наклоне земной
оси по отношению к плоскости земной орбиты.
Рис. 20
Взгляните на рисунок (Рисунок 20): зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в
моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к зениту, его
лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше
всего ее приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их
приходится на тот же участок. Именно эту зависимость применяет (быть может,
не думая об этом) курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.
162
Рис. 21
Определим: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый
участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом? Проследив эволюцию жирно очерченного прямоугольного треугольника на приведенных чертежах (Рисунок 21).
Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи,– всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на нее лучи,– меняется по длине, уменьшаясь вместе с углом, который образуют с гипотенузой падающие на нее лучи. Очевидно,
интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению указанного катета к
гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число, определенное таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла. (Рисунок 22). Это есть синусоида. Если что-то и кажется здесь непривычным, так это неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс, волна за волной.
Рис. 22
163
Имени треугольника – “тригонон” – произошло собирательное название
“тригонометрические функции”. К ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще косеканс, секанс и котангенс, соответственно получаемые из перечисленных по правилу обратной пропорциональности.
V. Представление показательной функции.
Первый ученик (будущий археолог). Слушайте, слушайте, слушайте внимательно! И тогда признаете обязательно: самая важная – функция показательная!
На рисунке представлены графики этой функции (Рисунок 23. Рисунок 24). Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40
веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и
каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер
17000 составляет. Мы объяснили факт немножко, священна почему в Египте кошка.
Рис. 23
Рис. 24
Второй ученик (будущий изобретатель). О том еще известна нам легенда,
что как-то у арабского царя. Изобретатель шахматной доски, наверно потребовал
за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил
изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно
бы кушать.
Третий ученик (будущий продавец). Все знают, что такое ростовщик. Тот
человек проценты брать привык. Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую
часть “лихвы” взимали в среднем! Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих
164
деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет. Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной”
введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел. Итак, показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.
Четвертый ученик (будущий биолог). Показательная функция, подобно
линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических
и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться
по закону, имеющему вид: y = y0ax.
1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле,
если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных
врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение Австралии
кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей,
как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений
на 1 м2 суши.
3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в
одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до
Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу
земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается
динамическое равновесие в природе.
Пятый ученик (будущий банковский работник). 4. В природе, технике и
экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение ве-
165
личины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции.
Эти процессы называются процессами органического роста или органического
затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N0ekt. По этому же закону изменяется
количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального
ведения лесного хозяйства.
5. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (согласно формуле Т = Т0 +
(100 – Т0)е-kt. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и
выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом.
В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в
крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.
6. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М0 e-kt , где:
М0 – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент. Пользуясь этой
формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.
Шестой ученик (будущий атомщик). 7. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом
развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессов в мирных целях? На
этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции. 8. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону:
, где h – высота точки над уровнем моря (в м). Эту
формулу используют геодезисты для барометрического инвелирования, то есть
166
для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности.
9. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле:
I = I0e-ks, где: s – толщина слоя, k – некоторый коэффициент, характеризующий мутную среду.
Подобный же закон будет характеризовать процесс поглощения газа соответствующей средой, изменение скорости ветра и т.п.
10. Закон охлаждения. Пусть Т1 – температура тела, Т0 – температура окружающей среды, где Т1>Т0 , Тогда температура тела Т будет меняться по закону: Т
= Т0 + (Т1 – Т0)е-kt, где k – некоторый коэффициент, зависящий от природы охлаждающего тела.
Пример, на рис изображен график, показывающий процесс остывания расплавленного парафина. Если коэффициент будет не известен, то необходимо
опытным путем узнать температуру Т2 в какой-нибудь момент времени t2. Тогда:
Т2 = Т0 + (Т1 – Т0)е-kt, Откуда найдем:
Следовательно:
Седьмой ученик (будущий поэт). Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского
поэта Элмера Брила на написание “Оды экспоненте”, отрывок из которой гласит:
“…Ею порождено многое из того, что “достойно упоминания”, Как говорили наши англосаксонские предки. Могущество её порождений Заранее обусловлено её
собственной красотой и силой, Ибо они суть физическое воплощение Абстрактной идеи е. Английские моряки любят и знают её Под именем “Гунтер”. Две шкалы Гунтера – вот чудо изобретательности. Экспонентой порождена логарифмическая линейка: у инженера и астронома не было Инструмента полезнее, чем она.
167
Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть набор
неперовых логарифмов? И таким образом нечто абстрактно красивое стало предком одного из величайших человеческих достижений”
VI. Итог занятия. Рефлексия.
Подводится итог, чья команда лучше представила свою функцию.
Задача команд была выполнена. Всем удалось доказать, что выбранная ими
функция – самая важная и интересная. А так же команды показали, что во многих
профессиях используются математические знания.
168
Список литературы:
1.
Азаров А.И. Математика. 100 баллов успеха. - Минск: Аверсэв, 2014.
2.
Академия
последипломного
образования.
Методическая
работа
[Электронный ресурс].- Режим доступа: http:// www.academy.edu.by/
3.
Алгебра: вучэбны дапаможнік для 10 класа ўстаноў агул. сярэд.
адукацыі з беларускай мовай навучання / А.П. Кузняцова [і інш.] ; пад рэд. праф.
Л.Б. Шнэпермана ; пер. з рус. мовы Н.М. Алганавай. — 3-е выд., перагледж. і
выпр. — Мінск: Народная асвета, 2013.
4.
Алгебра:
учеб.
пособие
для
10-го
кл.
учреждений
общ.
сред.образования с рус.яз. обучения /Е.П.Кузнецова под ред. Л.Б. Шнепермана. –
Минск: Нар.асвета, 2013.
5.
Алгебра:
учеб.
пособие
для
11-го
кл.
учреждений
общ.
сред.образования с рус.яз. обучения /Е.П.Кузнецова под ред. Л.Б. Шнепермана. –
Минск: Нар.асвета, 2015.
6.
Алгебра:
учеб.
пособие
для
9-го
кл.
учреждений
общ.
сред.образования с рус.яз. обучения /Е.П.Кузнецова под ред. Л.Б. Шнепермана. –
Минск: Нар.асвета, 2014. – 287 с.
7.
Алгебра: учебное пособие для 7 класса учреждений общего среднего
образования с русским языком обучения / Е.П. Кузнецова [и др.]; под ред. проф.
Л.Б. Шнепермана. - 4-е изд., испр. - Минск: Народная асвета, 2014.
8.
Алгебра: учебное пособие для 8 класса учреждений общего среднего
образования с русским языком обучения / Е.П. Кузнецова [и др.]; под ред. проф.
Л.Б. Шнепермана. - 4-е изд., испр. и доп. — Минск : Народная асвета, 2015.
9.
Алгебра: школьный курс: в 2 ч. : пособие для учащихся / Е.П. Кузне-
цова [и др.]. - Минск: Народная асвета, 2011. - Ч. 1: 7- 9 классы.
10.
Богачева И.В., Фёдоров И.В., Сурикова О.В. Общение и представле-
ние опыта педагогической деятельности. Общение и представление опыта педагогической деятельности. Государственное учреждение образования «Академия последипломного образования». - Минск, 2012.
169
11.
Вучэбная праграма для ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з
беларускай мовай навучання. Матэматыка. V–XI класы. – Мінск: Нацыянальны
інстытут адукацыі, 2014.
12.
Вучэбная праграма па вучэбным прадмеце «Матэматыка» для V клаcа
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання //
Зборнік «Вучэбныя праграмы па вучэбных прадметах для ўстаноў агульнай
сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання. V клас». – Мінск :
Нацыянальны інстытут адукацыі, 2016.
13.
Вучэбная праграма па вучэбным прадмеце «Матэматыка» для Х клаcа
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання
(базавы ўзровень) // Зборнік «Вучэбныя праграмы па вучэбных прадметах для
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання. Х
клас (базавы ўзровень)». – Мінск : Нацыянальны інстытут адукацыі, 2016.
14.
Вучэбная праграма па вучэбным прадмеце «Матэматыка» для Х клаcа
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання
(павышаны ўзровень) // Зборнік «Вучэбныя праграмы па вучэбных прадметах для
ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання і выхавання. Х
клас (павышаны ўзровень)». – Мінск: Нацыянальны інстытут адукацыі, 2016.
15.
Запрудский Н.И. Современные школьные технологии – 2. – Минск:
«Сэр-Вит», 2010.
16.
Зборнік заданняў для выпускнога экзамену па вучэбным прадмеце
“Матэматыка” за перыяд навучання і выхавання на II ступені агульнай сярэдняй
адукацыі / Т.А. Адамовіч [і інш.]; пер. з рус. мовы Н.М. Алганавай. - Мінск: Народная асвета, 2013.
17.
Кодекс Республики Беларусь об образовании: с изм. и доп., внесен-
ными Законом Республики Беларусь от 4 янв. 2014 г. – Минск: Нац.центр правовой информ. Респ. Беларусь, 2014.
18.
Латотин Л.А. Математика : учебное пособие для 8 класса учреждений
общего среднего образования с русским языком обучения / Л.А. Латотин, Б.Д.
Чеботаревский ; пер. с белорус. Е.В. Масальской. — 4-е изд., испр. и доп. —
170
Минск: Народная асвета, 2015.
19.
Латотин Л.А. Математика: учебное пособие для 11 класса учреждений
общего среднего образования с русским языком обучения / Л.А. Латотин, Б.Д.
Чеботаревский ; пер. с белорус. яз. И.П. Ефременко. — 2-е изд., пересмотр. —
Минск: Народная асвета, 2013.
20.
Луговский С.А., Цыбуля Е.П., Якиманская И.С. Формирование позна-
вательной активности школьников при изучении математики // Матэматыка:
праблемы выкладання. – 2009. – № 4.
21.
Математика: пособие для подготовки к централизованному тестиро-
ванию /А.И.Азаров. – 14-е изд. – Минск: Аверсэв, 2016.
22.
Образовательный процесс 2016/2017 учебный год. –[Электронный
ресурс].- Режим доступа: http://adu.by/?p=6676 / Математика.
23.
Пирютко О.Н. Интеграция различных разделов школьного курса ма-
тематики // Народная асвета. – 2009. – №9.
24.
Пирютко О.Н. Сложные темы в школьном курсе математики: преодо-
ление трудностей // Народная асвета. – 2010. – №8.
25.
Сборник заданий для подготовки к экзамену по учебному предмету
«Математика» за период обучения и воспитания на II ступени общего среднего
образования:
пособие
для
учителей
учреждений
общ.
сред.образования
/В.В.Беняш-Кривенц; под ред. В.В. Беняш-Кривца. – Минск: НИО Аверсэв, 2016.
26.
Система образования /Управление общего среднего образования /
Профильное обучение [Электронный ресурс].- Режим доступа: http: //www.
adu.by/ Профильное обучение http://adu.by/?p=5150/
27.
Система общего среднего образования в Республике Беларусь
[Электронный ресурс].- Режим доступа: http: //edu.gov.by/page-14421
28.
Солтан Г.Н. Геометрия для самоподготовки: 7 класс: пособие для
учащихся / Г.Н. Солтан, А.Е. Солтан. - Минск: Вышэйшая школа, 2014.
29.
Солтан Г.Н. Геометрия для самоподготовки: 8 класс: пособие для
учащихся / Г.Н. Солтан, А.Е. Солтан. - Минск: Вышэйшая школа, 2014.
30.
Солтан Г.Н. Геометрия для самоподготовки: 9 класс: пособие для
171
учащихся / Г.Н. Солтан, А.Е. Солтан. - Минск: Вышэйшая школа, 2014.
31.
Учебная программа для учреждений общего среднего образования с
русским языком обучения. Математика. V–XI классы. – Минск: Национальный
институт образования, 2014.
32.
Учебная программа по учебному предмету «Математика» для V
класcа учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и
воспитания // Сборник «Учебные программы по учебным предметам для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и воспитания.
V класс». – Минск: Национальный институт образования, 2016.
33.
Учебная программа по учебному предмету «Математика» для Х
класcа учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и
воспитания (базовый уровень) // Сборник «Учебные программы по учебным
предметам для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и воспитания. Х класс (базовый уровень)». – Минск: Национальный институт образования, 2016.
34.
Учебная программа по учебному предмету «Математика» для Х
класcа учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и
воспитания (повышенный уровень) // Сборник «Учебные программы по учебным
предметам для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения и воспитания. Х класс (повышенный уровень)». – Минск: Национальный
институт образования, 2016.
35.
Централизованное тестирование. Математика: сборник тестов /Респ.
ин-т контроля знаний М-ва образования Респ.Беларусь.- Минск: Аверсэв, 2016.
36.
Шлыкаў У.У. Геаметрыя : вучэбны дапаможнік для 8-га класа агуль-
наадукацыйных устаноў з беларускай мовай навучання / пер. з рус. мовы Н.Г.
Ляўчук. — 3-е выд., перапрац. - Мінск : Народная асвета, 2011.
37.
Шлыкаў У.У. Геаметрыя: вучэбны дапаможнік для 9 класа устаноў
агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання / пер. з рус. мовы Н.А.
Алганавай. - 3-е выд., выпр. - Мінск: Народная асвета, 2012.
38.
Шлыков В.В. Геометрия: учеб. пособие для 10-го кл. учреждений, обе
172
обеспечивающих получение общего среднего образования, с русским языком
обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни). - 2-е
изд. - Минск: изд-во "Народная асвета", 2007.
39.
Шлыков В.В. Геометрия: учеб. пособие для 10-го кл. учреждений,
общ. сред. образования с рус.яз. обучения. - Минск: изд-во "Народная асвета",
2013.
40.
Шлыков В.В. Геометрия: учеб. пособие для 11-го кл. учреждений,
общ. сред. Образования с рус.яз. обучения. - Минск: изд-во "Народная асвета",
2013.
173
174
175
176
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа