close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Ковальчук Максим Андреевич. Моделирование методом Монте-Карло

код для вставки
2
Оглавление
Введение ................................................................................................................................................ 3
Глава 1. Метод Монте-Карло .................................................................................................. 5
1.1
Рождение метода Монте-Карло ................................................................ 5
1.2
Теоретические основы метода Монте-Карло .......................................... 6
1.3
Сущность метода Монте-Карло ................................................................ 8
1.4
Использования метода Монте-Карло в численном интегрировании .... 9
Глава 2. Моделирование методом Монте-Карло ......................................................14
2.1 Задача о прохождении частиц через вещество ......................................... 14
2.1.1 Взаимодействие нейтронов с веществом ............................................ 14
2.1.2 Простейшая схема моделирования защиты атомного реактора ....... 19
2.2 Применение метода Монте-Карло в задаче о прохождении частиц
через вещества .................................................................................................... 24
2.2.1 Общая схема метода Монте-Карло ...................................................... 24
2.2.2 Прохождения нейтронов сквозь пластину .......................................... 25
2.2.3 Схема моделирования траекторий нейтронов .................................... 27
2.2.4
Пример решения задачи методом Монте-Карло............................. 29
Заключение........................................................................................................................................34
Список литературы......................................................................................................................35
Приложение.......................................................................................................................................36
3
Введение
Актуальность исследования и анализ источников
Появление и развитие метода Монте-Карло стало возможным только
после создания ЭВМ, поскольку моделирование случайных величин вручную
очень сложно. Одной из первых задач, решенных с помощью этого метода
была задача о прохождении частиц через вещество.
Метод
Монте-Карло
довольно прост
по своим принципам и
используется для расчетов в физике и технике (ядерная физика, физика
элементарных частиц и ускорителей, взаимодействие различных излучений с
веществом, геофизика, расчет качества и надежности изделий и т.д.).
В
некоторых случаях методом Монте-Карло решаются задачи, которые могут
решаться другими методами; в иных же случаях метод Монте-Карло является
единственно возможным для решения. Метод хорош там, где не требуется
очень высокой точности получаемых результатов.
В данной работе рассматриваются математические и физические
задачи, метод Монте-Карло успешно применяется так же в теории игр,
теории массового обслуживания, теории передачи сообщений и обнаружения
и т.д.
Степень разработанности проблемы
Теоретические основы научного исследования метода Монте-Карло
были заложены в трудах С.М. Ермакова, И.М. Соболя, Н.П. Жидков, Г.М.
Кобельков и многих др. Существенный вклад в исследование метода был
внесен такими отечественными учеными, как: В.Е. Гмурман, Н.П. Бусленко,
Д.И. Голенко и др. В работе были использованы наработки российских
авторов относительно основ метода Монте-Карло и его практического
применения. При работе над выпускной квалификационной работой были
изучены коллективные труды и отдельные монографии российских ученых,
посвященные численным методам, методам статистических испытаний, а так
же моделированию различных физических явлений на ЭВМ.
4
Предмет исследования
Математическое моделирование процесса прохождения частиц через
вещество.
Объект исследования
Математическая модель процесса прохождения частиц через вещество.
Цель работы.
Математическое моделирование процесса прохождения нейтронов через
вещество методом Монте-Карло.
Основные задачи исследования:
1.
Изучить теоретические основы метода Монте-Карло.
2.
Исследовать процесс прохождения нейтронов через вещество.
Структура работы
Во
введении
обосновывается
актуальность
решаемой
задачи,
анализируются труды по данной тематике, ставится цель и задачи
исследования, а также основные направления исследования.
В первой главе ставится
исследована,
дается
ее
теоретическая
обоснование,
задача, которая будет
разобрана
математическая
составляющая.
Во второй главе проводится исследование конкретной задачи для
различных значений исходных данных.
В заключении делается вывод о полученных результатах исследования и
приводится список литературы.
5
Глава 1. Метод Монте-Карло
1.1 Рождение метода Монте-Карло
Энрико Ферми в 1930х годах, а затем Джон фон Нейман и Станислав
Улам в Лос-Аламосе исследовали связь между случайными процессами и
дифференциальными уравнениями. Они использовали случайный подход для
подсчета многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в
связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде.
Изначально метод Монте – Карло использовался для решения
задач физики где обычные численные методы оказались неэффективными. В
дальнейшем применение метода распространилось на широкий ряд задач
статистической физики, очень разных по содержанию. Метод оказывает
влияние на развитие вычислительной математики и хорошо работает с
другими вычислительными методами. Пока не появилось электронных
вычислительных
машин
методы
Монте
–
Карло
не
могли
стать
универсальными численными методами, так как моделирование случайных
величин довольно сложный процесс. Благодаря развитию ЭВМ методы
Монте – Карло стали еще более удобными в использовании. Стоит отметить,
что алгоритмы Монте – Карло легко программируются и позволяю
производить расчеты в задачах, недоступных классическим численным
методам.
Годом появления метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет
выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название
происходит от названия города в княжестве Монако, широко известного
своими казино, так как именно рулетка является одним из самых широко
известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей
автобиографии, что название было предложено Метрополисом в честь его
дяди, который был азартным игроком[1].
6
1.2 Теоретические основы метода Монте-Карло
Тройка (Ω,S,P(S)) называется вероятностным пространством, где
1. Ω - некоторое заданное множество, являющееся пространством
элементарных исходов;
2. S – непустое множество подмножеств Ω, являющееся
– алгеброй, т.е.
замкнутым относительно операций суммирования счетного числа
своих элементов, счетного пересечения и дополнения множеством;
предполагается, что Ω является элементом S;
3. P(S) – вероятностная мера, т.е. неотрицательная функция множеств из S
такая,
что
P(Ω)
=
1,
и
,
где
-
последовательность попарно непересекающихся множеств из S.
Множества A из S называют событиями, а величины P(A) – их
вероятностями.
Правило трех сигм. Каковы бы ни были
в
или
Вероятность 0,997 настолько близка к 1, что иногда последнюю
формулу
интерпретируют
так:
при
одном
испытании
практически
невозможно получить значение X, отличающееся от M[X] больше чем на
Центральная предельная теорема. Если случайные величины
- независимые и одинаково распределенные, математическое ожидание
= m, и дисперсия
, то
.
7
Выберем
:
где
Таким образом, при достаточно больших значениях N
Данная формула содержит целое семейство оценок, зависящих от
параметра t. Если задать любой коэффициент доверия
корень
уравнения
, то можно найти
. Тогда вероятность неравенства
приблизительно равна .
Чаще других используют коэффициенты доверия
отвечает
сигм»)[2].
; или
которому отвечает
которому
(«правило трех
8
1.3 Сущность метода Монте-Карло
Главный прием организации методов Монте-Карло является сведение
задачи к вычислению математических ожиданий. Допустим, необходимо
получить значение m случайной величины. Выбирается случайная величина
X математическое ожидание которой равно m: M[X] = m.
На практике поступают так: вычисляют N возможных значений
случайной величины X, находят арифметическое среднее
.
Последовательность одинаково распределенных величин, у которых имеются
математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, тогда
есть среднее арифметическое таких величин, которые сходятся по
вероятности к математическому ожиданию. Таким образом, при больших N
величина
.
В методе Монте-Карло результат получается искусственно с помощью
некоторого
генератора
случайных
величин,
вместе
с
функцией
распределения вероятностей для исследуемого процесса. В качестве
генератора может являться таблица, колесо рулетки, подпрограмма ЭВМ или
другой источник равномерно распределенных случайных чисел.
Следовательно, для использования метода Монте-Карло нужно уметь
разыгрывать случайную величину[3].
9
1.4 Использования метода Монте-Карло в численном интегрировании
Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения
математических задач с помощью моделирования случайных величин.
Данные методы позволяют успешно решать математические задачи,
обусловленные
вероятностными
процессами.
Можно
искусственно
придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать
эти задачи.
Рассмотрим вычисление определенного интеграла
При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников
интервал
разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых
вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения
функции в случайных точках, можно получить более конкретный результат
Здесь γi - случайное число, равномерно распределенное на интервале [0, 1].
10
Рисунок 1 – Графическая реализация метода Монте-Карло вычисления
однократного интеграла
Погрешность вычисления интеграла методом Монте-Карло
, что
намного больше, чем у детерминированных методов, таких как метод
Симпсона или метод трапеций.
На рис. 1 представлена графическая реализация метода Монте-Карло
вычисления однократного интеграла со случайными узлами.
Однако при вычислении кратных интегралов детерминированными
методами оценка погрешности перерастает в задачу порой более сложную,
чем вычисление интеграла. В то же время погрешность вычисления кратных
интегралов
методом
Монте-Карло
мало
зависит
от
кратности
и
оно вычисляется в каждом определенном случае и без дополнительных
затрат.
Рассмотрим еще один метод Монте-Карло на примере вычисления
однократного интеграла
11
Рисунок 2 – Графическая реализация вычисления однократного
интеграла методом Монте-Карло
Как видно на (рис. 2), интегральная кривая находится в единичном
квадрате, и если получается найти несколько случайных чисел, равномерно
распределенных на интервале [0, 1], то полученные значения (γ1, γ2) можно
определить как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих
пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
Здесь S – число пар точек, попавших под кривую, а N – общее число пар
чисел.
Численное интегрирование методом Монте-Карло на примере
многократного интеграла.
Пусть необходимо вычислить
12
Область
интегрирования
параллелепипеда
со
G
заключается
сторонами
,
т.е.
внутрь
m-мерного
,
Производится замена переменных
Тогда m-мерный параллелепипед преобразуется в m-мерный куб, т.к.
Область G преобразуется в область g заключенную внутри m-мерного
единичного куба.
С учетом преобразования переменных
где
По теореме о среднем можно положить
где
– объем области интегрирования g, а
– усредненное значение
функции F в области g.
Для нахождения
построить
случайные
и
применяется метод Монте-Карло. Необходимо
числа,
распределенные
равномерному закону. Обозначим через
мерного
пространства,
координаты
в
интервале
[0,1]
по
случайную точку mкоторой
являются
независимыми случайными величинами, распределенными в интервале [0,1]
по равномерному закону. Используя счетчик случайных чисел, сформируем
N случайных точек
,
.
Разобьем это множество точек на два подмножества
13
Пусть подмножество IM содержит n элементов, т.е. n точек
из
общего числа N принадлежит области интегрирования g. Тогда
Следовательно
Окончательное расчетное соотношение метода Монте-Карло для вычисления
определенных интегралов имеет вид
Методом Монте-Карло пользуются в тех случаях, когда достаточен
невысокий порядок точности[4].
14
Глава 2. Моделирование методом Монте-Карло
2.1 Задача о прохождении частиц через вещество
2.1.1 Взаимодействие нейтронов с веществом
Свойства нейтронов. При прохождении через вещество, у нейтронов
появляются различные ядерные реакции и упруго рассеиваются на ядрах.
Частотой этих процессов, определяются все макроскопические свойства
прохождения нейтронов через вещество, такие, как замедление, диффузия,
поглощение и т. д. В силу того, что нейтрон имеет нулевой электрический
заряд, он практически не взаимодействует с электронами атомных оболочек.
Поэтому атомные характеристики среды не оказывают большой роли в
распространении нейтронов в веществе. Нейтроны классифицируют по
энергии.
Медленные: энергия < 1 эВ,
Резонансные: 1 эВ ÷ 10 кэВ,
Промежуточные: 10 кэВ ÷ 1 МэВ,
Быстрые: 1 МэВ ÷ 100 МэВ,
Релятивистские: > 100 МэВ.
Медленные нейтроны обычно подразделяют на тепловые и холодные.
Тепловые нейтроны находятся в тепловом равновесии с атомами
среды. Часто в качестве характерной энергии теплового нейтрона указывают
величину 0.025 эВ, полученную из соотношения
(2.1)
где
k
-
постоянная
соответствующей
энергии
Больцмана,
тепловых
для
абсолютной
нейтронов,
температуры,
получается
значение
Т = 3000, т.е. комнатная температура. Таким образом, энергия Етепл
15
соответствует наиболее вероятной скорости нейтронов, находящихся в
тепловом
равновесии
со
средой
при
комнатной
температуре.
Заметим, что скорость медленных нейтронов весьма относительна.
Даже
нейтрон
с
энергией
0.025
эВ
имеет
скорость
2 км/сек.
Холодными называют нейтроны с энергиями ниже 0.025 эВ:
(2.2)
У холодных нейтронов очень сильно проявляются волновые свойства,
т.к.
длина
волны
холодного
нейтрона
намного
больше
междуатомных расстояний.
Нейтроны с энергиями от ≈ 1 эВ до 10 кэВ называют резонансными, так
как в этой области для средних и тяжёлых ядер полное нейтронное сечение
велико
и
его
зависимость
от
энергии
представляет
собой
густое
скопление резонансов.
Нейтроны с энергиями от 10 кэВ до 1 МэВ называют промежуточными.
Часто в промежуточные включают и резонансные нейтроны. В этой области
энергий отдельные резонансы объединяются (исключением являются лёгкие
ядра)
и
сечения
в
среднем
падают
с
ростом
энергии.
К быстрым относят нейтроны с энергиями от 1 до 100 МэВ.
Так как у нейтронов нет электрического заряда, они взаимодействуют в
основном с ядрами атомов вещества. В отличие от протонов, которые не
могут эффективно взаимодействовать с ядром при малых энергиях из-за
кулоновского барьера, нейтроны даже при низких энергиях способны
подойти к ядру на расстояние порядка радиуса действия ядерных сил.
Явления, происходящие при взаимодействии нейтронов с ядрами, зависят от
кинетической энергии нейтронов.
Для нейтронов с энергиями доли эВ ÷ 10 кэВ наблюдаются максимумы
в сечении взаимодействия при определённых значениях энергий нейтронов,
16
характерных для данного вещества. Основные процессы - рассеяние и
замедление
нейтронов
до
тепловых
скоростей.
Энергии тепловых нейтронов (сотые доли эВ) не превышают энергии связи
атомов в водородосодержащих молекулах. Поэтому в случае, если не
происходит ядерной реакции, тепловые нейтроны могут вызвать лишь
возбуждения колебательных степеней свободы, что приводит к разогреву
вещества.
Главными процессами для тепловых нейтронов являются также
ядерные реакции. Наиболее характерные из них - реакции радиационного
захвата (n,γ). При уменьшении энергии нейтронов сечение упругого
рассеяния (n,n) остается примерно постоянным на уровне нескольких барн, а
сечение (n,γ) растет по закону 1/v, где v - скорость налетающего нейтрона.
Поэтому для очень медленных нейтронов возрастает не только абсолютная,
но и относительная роль реакций радиационного захвата.
Замедление нейтронов. Замедление нейтронов происходит при
упругих столкновениях с ядрами, т.к. если до столкновения ядро находилось
в состоянии покоя, то после столкновения оно приходит в движение, получая
от нейтрона некоторую энергию. Поэтому нейтрон замедляется. Это
замедление нейтронов не может привести к их полной остановке из-за
теплового движения ядер. Энергия теплового движения имеют порядок kT.
Если нейтрон замедлился до этой энергии, то при столкновении с ядром он
может с равной вероятностью как отдать, так и получить энергию. Нейтроны
с энергиями kT находятся в тепловом равновесии со средой. Поглощение и
диффузия нейтронов происходят как во время замедления, так и после
окончания этого процесса.
Практическая важность процесса замедления состоит в том, что по
большей части нейтронных источников (реактор, радон-бериллиевая ампула
и т. д.) нейтроны рождаются главным образом с энергиями от десятков кэВ
17
до нескольких МэВ, в то время, как большинство основных в прикладном
отношении нейтронных реакций, согласно закону "1/v", наиболее быстро
происходит при низких энергиях нейтронов.
Для понимания основных закономерностей процесса замедления
нейтронов,
рассматривают
первоначально
среднюю
потерю
энергии
быстрого нейтрона при взаимодействии с ядром водорода – протоном. Так
как массы нейтрона и протона примерно равны, то баланс энергии при
столкновении имеет вид
где E0, v – начальные энергия и скорость нейтрона, vn, vp – есть скорости
нейтрона и протона после столкновения. Так как в системе центра рассеяние
изотропно, то протон в среднем и нейтрон в лабораторной системе имеют
после столкновения одинаковые энергии (из за равенства их масс):
где E1 – средняя энергия нейтрона после столкновения. Таким образом, в
водороде энергия нейтрона в среднем уменьшается вдвое после каждого
столкновения. Если нейтрон сталкивается не с протоном, а с более тяжёлым
ядром, то средняя потеря энергии при столкновении уменьшается. Когда
происходит рассеяние нейтрона на ядре с массовым числом А, среднюю
потерю энергии можно определить соотношением:
18
Значит, в углероде энергия нейтрона будет уменьшаться вдвое лишь
после трёх столкновений. Замедление идёт тем быстрее, чем легче ядра
замедлителя. Помимо этого, от хорошего замедлителя требуется, чтобы он
слабо поглощал нейтроны, т.е. имел малое сечение поглощения. Малые
величины имеют сечения поглощения нейтронов на дейтерии и кислороде.
Поэтому хорошим замедлителем является тяжёлая вода D2O. Наиболее
приемлемым, но несколько худшим замедлителем является обычная вода
H2O, так как водород поглощает нейтроны заметно быстрее, чем дейтерий.
Средними по скорости замедлителями являются также углерод, бериллий,
двуокись бериллия.
Альбедо нейтронов. Одно из свойств нейтронов является их
способность отражаться от различных веществ. Это отражение не
когерентное, а диффузное. Устройство этого процесса имеет особую
структуру:
нейтрон,
попадая
в
среду,
испытывает
беспорядочные
столкновения с ядрами и после ряда столкновений может вылететь обратно.
Возможность
такого
вылета
носит
название
альбедо
нейтронов.
Следовательно, альбедо тем выше, чем больше сечение рассеяния и чем
меньше сечение поглощения нейтронов ядрами среды. Неплохие отражатели
способствуют отражению до 90% попадающих в них нейтронов, т.е. имеют
альбедо до 0.9. в частности, для обычной воды альбедо равно 0.8.
Соответственно отражатели нейтронов находят применение в ядерных
реакторах и других нейтронных установках. Вероятность отражения
нейтронов объясняется просто. Входящий в отражатель нейтрон при каждом
взаимодействии с ядром может рассеяться в любую сторону. Если нейтрон у
поверхности рассеялся назад, то он вылетает обратно, т.е. отражается. Если
же нейтрон рассеялся в ином направлении, то он способен рассеяться так, что
уйдёт из среды при других столкновениях. Такой же процесс приводит к
тому, что концентрация нейтронов резко понижается возле границы среды, в
19
которой они рождаются, т.к. вероятность для нейтрона уйти наружу
велика[6].
2.1.2 Простейшая схема моделирования защиты атомного реактора
Исследуется задачу расчета защиты атомного реактора. Под защитой
понимается такая внешняя оболочка, которая предназначена для задержки
нейтронов – пропуска безопасного количества замедленных нейтронов.
Предполагается, что защита имеет форму плоской пластины.
Рисунок - 1 – Траектории прохождения нейтронов через пластину
Рассматривается случай, который состоит в том, что в пластину входит
нейтрон. Задача приводится к нахождению вероятности прохождения через
защиту нейтронов и каков будет закон распределения энергий выходных
нейтронов.
20
Состояние определяется несколькими параметрами: координатой x,
величиной скорости v и углом a, который составляет вектор скорости с осью
Ox. Весь процесс состоит в том, что: нейтрон, который попал в пластину
преодолевает некоторый путь и в точке M1 происходит столкновение с
ядерной частицей, затем он получает новую скорость v1 и новое направление
скорости a1 или может исчезнуть.
При следующем движении нейтрон получает следующее столкновение
в точке M2 и изменяет величину и направление скорости, либо поглощается.
Процесс блуждания нейтрона закончится либо его поглощением, либо
выходом из пластины. Искомыми величинами являются шансы нейтрона
пройти
через
пластину и
характеристики
распределения
скоростей,
прошедших пластину нейтронов.
На следующем этапе исследуется моделирование движения нейтронов.
Свойства входящего нейтрона характеризуется величинами x0 = 0, v0, a0.
Изначально определяется точка первого столкновения. Предполагается, что
число столкновений распределено по закону Пуассона. В таком случае,
вероятность того, что нейтрон пройдет путь длины r без столкновения, равно
(2.6)
Координата
первой
точки
столкновения
связанна
с
длиной
пройденного пути соотношением
(2.7)
Следовательно,
выбирается
значение
случайной
величины
r,
распределенной по экспоненциальному закону. Затем, согласно (2.7),
необходимо определить абсциссу точки столкновения.
21
В точке столкновения с вероятностью q может произойти поглощение
нейтрона, а с вероятностью
Следовательно,
поглощение не происходит.
нужно
промоделировать
некоторое
событие,
происходящее с вероятностью q, и в случае его наступления считать, что
нейтрон поглотился. Факт поглощения фиксируется, и начинается заново
моделирование прохождения следующего нейтрона через пластину.
Если нейтрон не поглотиться, то мы определяем новые значения
величины и направления скорости нейтрона v1 и a1.
Если рассеяние нейтрона с ядром рассматривается как неупругое, то
после столкновения получается некоторое распределение вероятностей для
угла
, которое характеризует отклонение нейтрона после столкновения от
его предыдущей траектории.
Если же рассматривается упругое рассеяние, то угол
определяется
изменением энергии нейтрона.
Обозначим через
угол, определяющий положение плоскости,
проходящей через траектории нейтрона до и после рассеяния относительно
траектории нейтрона до рассеяния. В случае, когда не учитываются эффекты
поляризации, угол равномерно распределен в интервале (0,2 π). Угол,
который образует траектории нейтрона после взаимодействия с ядром с
нормалью к пластине, определяется по формуле, известной из сферической
тригонометрии, N соответствует направлению нормали к пластине.
(2.8)
22
На рис. 2 показано сферическое изображение соответствующих углов;
Рисунок 2 – Сферическое изображение углов траектории нейтрона после
столкновения с ядром
После начального столкновения повторно из экспоненциального
распределения определяется абсцисса второй точки столкновения и так же по
предыдущему определяется дальнейшее движение нейтрона.
Процесс моделирования прекращается в случаях когда: 1) происходит
поглощение нейтрона; 2) отражается от передней поверхности пластины; 3)
энергия нейтрона понижается до уровня энергии тепловых нейтронов; 4)
нейтрон проходит пластину насквозь.
Такое моделирование движения нейтронов можно рассматривать как
систему независимых испытаний.
Можно допустить, что существует некоторая случайная величина
,
которая зависит от результата каждого испытания и принимает значение
нуль, если процесс заканчивается одним из трех вариантов, и значение
единица, когда нейтрон проходит через пластину.
В таком случае среднее значение величины
,
где
– вероятность прохождения нейтрона через пластину.
(2.9)
23
Такой
метод
нахождения
величины
состоит
в
том,
что
предполагается
,
(2.10)
где N – число испытаний, а r – число благоприятных испытаний,
окончившихся прохождением нейтрона через пластину.
Нормированная дисперсия величины
равна
В некоторых случаях вероятности прохождения чрезвычайно мало:
Следовательно, число испытаний которые надо совершить для
получения хотя бы десятипроцентной точности, имеет порядок
Для практических применений метода статистических испытаний к
рассматриваемой задаче,
не используют непосредственную модель
физического явления, а применяют искусственные приемы[7].
24
2.2
Применение метода Монте-Карло в задаче о прохождении частиц
через вещества
2.2.1 Общая схема метода Монте-Карло
Предполагается, что необходимо вычислить какую-то неизвестную
величину m. Выбирается случайная величина , чтобы
этом
. Пусть при
.
Рассматривается N независимых случайных величин
распределения которых совпадают с распределением . Если N достаточно
велико, то согласно центральной предельной теореме распределение суммы
будет приблизительно нормальным с параметрами
. По правилу «трех сигм» следует, что
Если поделить выражение, стоящее в фигурной скобке, на N, то как
следствие эквивалентное неравенство, и вероятность останется такой же:
Последнее соотношение можно переписать в несколько ином виде:
Такое соотношение чрезвычайно важное для метода Монте Карло. Оно
дает и метод расчета m, и оценку погрешности.
25
Поэтому, если найти N значений случайной величины , (все равно,
находить ли один раз по одному значению каждой из величин
найти N значений величины
или
так как все эти случайные величины имеют
одно и то же распределение и предполагаются независимыми). Из (2.15)
видно, что среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно
m. С большой вероятностью погрешность такого приближения не
превосходит величины
Очевидно, эта погрешность стремиться к нулю с
ростом N.
2.2.2 Прохождения нейтронов сквозь пластину
Случайные законы взаимодействия каждой элементарной частицы
(нейтрона, фотона, мезона и др.) с веществом известны. В общем случае
необходимо найти характеристики процессов, в которых участвует огромное
количество таких частиц: плотности, потоки и т.п.
Рассматривается простейший вариант задачи о прохождении нейтронов
сквозь пластину. Пусть на однородную бесконечную пластину толщиной h
падает поток нейтронов с энергией
угол падения 90о. При взаимодействии
с атомами вещества, из которого состоит пластина, нейтроны могут упруго
рассеиваться или поглощаться. Предполагается, что энергия нейтрона при
рассеянии не изменяется и любое направление отражения нейтрона от атома
одинаково вероятно. Необходимо вычислить вероятность прохождения
нейтрона сквозь пластину
вероятность отражения нейтрона пластин
вероятность поглощения нейтрона в пластине
Взаимодействие
нейтронов
с
.
веществом
рассматриваемом случае двумя постоянными
определяется
в
которые называются
сечением поглощения и сечением рассеяния. Сумма этих сечений
называется полным сечением.
и
26
Физический смысл сечений следующий: при столкновении нейтрона с
атомом вещества вероятность поглощения равна отношению
а вероятность
рассеяния равна
Длина свободного пробега нейтрона
(т.е. длина пути от столкновения
до столкновения) – это случайная величина. Она может принимать любые
положительные значения с плотностью вероятностей
Следовательно записывается выражение для средней длины свободного
пробега:
а так же формула для розыгрыша
где
– случайная величина на интервале (0,1).
Остается определить, как выбирается случайное направление нейтрона
после рассеяния. Так как задача симметрична относительно оси x, то
направление вполне определяется одним углом
скорости нейтрона и осью Ox.
между направлением
27
2.2.3 Схема моделирования траекторий нейтронов
Предполагается, что нейтрон испытал k-е рассеяние внутри пластины в
точке с абсциссой
и после начал движение в направлении
.
Разыгрывается длина свободного пробега
и вычисляется абсцисса следующего столкновения
Проверим условие прохождения сквозь пластину:
Если условие выполняется, то счет траектории нейтрона заканчивается
и добавляется единица к счетчику прошедших частиц. В противном случае
проверяем условие отражения:
Если условие выполняется, то счет траектории заканчивается и
добавляется единица к счетчику отраженных частиц. Если это условие не
выполняется, значит нейтрон испытал k+1-e столкновение внутри пластины
и требуется разыграть «судьбу» нейтрона при столкновении.
Выбирается очередное значение
и проверяется условие поглощения:
28
Если неравенство (2.23) выполняется, то счет траектории заканчивается
и добавляется единица к счетчику поглощенных частиц. В противном случае
считается, что нейтрон испытал рассеяние в точке с абсциссой
. Тогда
разыгрывается новое направление скорости нейтрона
и затем повторяется весь цикл снова (с другими значениями ).
Все
написаны без индексов, так как имеется в виду, что каждое значение
используется всего один раз. Для расчета одного звена траектории нужны три
значения . Начальные значения для каждой траектории:
После того как подсчитываются N траекторий, окажется, что
нейтронов прошли сквозь пластину,
нейтронов отразились от нее, а
нейтронов были поглощены в ней. Очевидно, искомые вероятности
приближенно равны отношениям:
Метод Монте-Карло так же дает возможность решать более сложные
задачи об элементарных частицах, исследуемая среда может состоять из
различных веществ и иметь любую геометрическую структуру. Можно
учитывать много других ядерных процессов. Можно рассчитать условие
возникновения и поддержания цепной реакции и т.д[8].
29
2.2.4 Пример решения задачи методом Монте-Карло
Постановка
задачи.
На
пластину
некоторой
толщины
перпендикулярно ее поверхности падает пучок нейтронов. Вероятность
свободного пробега нейтрона в веществе до взаимодействия
,
где
В результате взаимодействия с веществом нейтрон поглощается,
рассеивается, либо отражается от пластины. Считать, что задача двумерна и
рассеяние нейтронов происходит изотропно в плоскости рисунка.
Решение.
Процесс
прохождения
нейтронов
через
вещество
рассматривается как последовательность конечного числа элементарных
случайных событий. Такими событиями будут: движение нейтрона без
взаимодействия на проходимом пути, поглощение или рассеяние, а так же
если
нейтрон
не
поглощается,
снова
движение
до
следующего
взаимодействия. Определив вероятность каждого из этих событий, можно
смоделировать траекторию нейтрона в пластине. Повторяя этот процесс для
большого числа нейтронов, определяются необходимые характеристики
процесса прохождения
нейтронов через пластину.
симметричной относительно оси
каждого
нейтрона
начинается
y , считается,
в
Задача является
что движение
точке 0 . В таком случае алгоритм
построения траекторий будет таким:
1. Инициализируется начальное положение нейтрона при входе в
пластину: x = 0 , y = 0 ,
0 (угол
отсчитывается от оси x).
2. Моделируется движение нейтрона без взаимодействия (свободный
пробег).
Плотность
распределения
нейтрона вдоль заданного направления
ой
функцией распределения
длины
свободного
пробега
описывается экспоненциальн
, длина пробега до
30
взаимодействия:
Определяются новые координаты
положения нейтрона:
,
.
.
3. Делается проверка, вышел ли нейтрон за границы пластины. Если
вышел (x > D), то вносится точка с углом
и делается переход к
рассмотрению следующего нейтрона. Если же нейтрон не вышел за
границу пластины (x ≤ D), то переходим к следующему шагу.
4. Проводится
розыгрыш
взаимодействия
нейтрона
с
веществом.
Определяется, какой процесс произошел – поглощения или рассеяние.
Получается случайное число
вероятности поглощения нейтрона
и оно сравнивается со значением
. Если
, значит произошло
рассеяние нейтрона и можно переходить к следующему пункту.
5. Определение параметров рассеяния нейтрона. Считая, рассеяние
нейтрона изотропным, определяется угол рассеяния:
, т.к.
рассеяние во все стороны равновероятное. После определения
направления движения нейтрона, происходит возврат к пункту 2 и
разыграется движение нейтрона до следующего взаимодействия в этом
направлении.
6. Этот процесс повторяется по числу раз, соответствующий числу
нейтронов, упавших на пластину.
7. Исследуется поведение нейтронов при взаимодействии с различными
веществами при изменении толщины пластины. Пусть имеется
некоторый поток нейтронов, при столкновении с пластиной нейроны
поглощаются, отражаются либо проходят сквозь вещество. Влияние
толщины пластины на поведение нейтронов представлено на графиках,
в качестве примера вещества выбраны: кобальт, титан и платина.
Для реализации представленного алгоритма разработана программа на
языке С++. Для конкретного вещества рассматривается прохождение потока
31
нейтронов через пластину различной толщины. Зависимость получаемых
результатов представлена в виде графиков.
1)
Рисунок 3 – Отношение числа прошедших и отраженных нейтронов в
веществе – кобальт
Данный график показывает, что в данном веществе при определенном
количестве нейтронов в потоке, они приблизительно одинаково могут пройти
сквозь пластину либо отразиться от нее, при толщине пластины 0.8м, как
видно из графика, количество прошедших и отраженных нейтронов
одинаково. Поглощенные нейтроны в данном случае отсутствуют, сечение
32
поглощения и сечения рассеяния не имеют такие параметры что нейтроны
могут либо пройти на сквозь либо отразиться от поверхности.
2)
Рисунок 4 – Отношение числа прошедших и отраженных нейтронов в
веществе – платина
При взаимодействии нейтронов с платиной, можно наблюдать высокий
уровень прошедших насквозь нейтронов и лишь небольшую часть
отраженных. Поглощенные нейтроны в данной среде отсутствуют. Очевидно,
что изменение толщины пластины конкретно с этим веществом не оказывает
сильного влияния на поток нейтронов, они проходят пластину почти без
потерь.
33
3)
Рисунок 5 – Отношение числа прошедших и отраженных нейтронов в
веществе – титан
В случае, когда нейтроны проходят через титановую пластину, можно
так же наблюдать не большие значения сечения поглощения и сечения
рассеяния, поэтому число нейтронов прошедших сквозь такую пластину
много больше, чем число отраженных нейтронов, при данном рассмотрении
поглощенные нейтроны отсутствуют, как и в предыдущих случаях, это
связанно с параметрами сечений.
34
Заключение
В данной работе рассматривается моделирование методом МонтеКарло. Данный метод позволяет решать задачи из различных областей: в
математике, теории игр, теории массового обслуживания, теории передачи
сообщений и обнаружения, физике и т.д.
В
работе
выполнено
математическое
моделирование
процесса
прохождения нейтронов через вещество методом Монте-Карло. Для этого
решены следующие задачи:
1. Изучены теоритические основы метода Монте-Карло;
Представлена краткая историческая справка об изучаемом методе:
история появления и развития, приведены сведения из математической
статистики, изучено применение метода Монте-Карло в численном
интегрировании,
на
примере
вычисления
однократного
и
многократного интегралов.
2. Исследован процесс прохождения нейтронов через вещество. Для этого
на языке С++ написана программа, которая позволяет на основе
входных данных: толщины пластины, параметров сечения поглощения
и сечения рассеяния, а так же вводимого потока нейтронов, рассчитать
какое количество нейтронов при взаимодействии с веществом может
пройти насквозь, отразиться либо поглотиться.
Полученные результаты имеют практическое применение при решении
задач ядерной физики.
35
Список литературы
[1]
Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь; - Наука,
1973г. – 86с.
[2]
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В.Е. Гнурман - 3-е издание, Высшая школа,
1979г. – 294с.
[3]
Бахвалов Н.С., Численные методы / Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков; - 2-
е издание, ФМЛ, 2001г. – 232с.
[4]
Будак Б.М. Краткие интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин; -
Наука, 1965г. – 24с.
[5]
Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике /
С.М. Ермаков; - Санкт-Петербург, 2009г. – 65с.
[6]
Бартоломей Г.Г., Бать Г.А., Основы теории и методы расчета ядерных
энергетических реакторов / Г.Г. Бартоломей, Г.А. Бать; - Энергоиздат, 1982.
– 202с.
[7]
Кайран
Д.А., Моделирование
физических
явлений
на
ЭВМ.
Методическое пособие. / И.В. Кандауров, А.А. Краснов; - Новосибирск 2000. – 34с.
[8
]Прохорец И.М., Прохорец С.И., Математические модели прохождения
нейтронов
через
вещество
/
И.М.
Прохорец,
С.И.
Прохорец
-
Радиоэлектроника и информатика 2003, - 78с.
[9]
Бусленко Н.П., Метод статистических испытаний / Н.П. Бусленко, Д.И.
Голенко; под общей редакцией Ю.А. Шрейдера; - Физматгиз, 1962. – 100с.
[10] Козлов В.Ф. Справочник по радиационной безопасности / В.Ф. Козлов;
- Энергоатомиздат, 1987. – 153с.
36
Приложение
Листинг 1. Программа подсчета числа нейтронов проходящих через
вещество.
#include
#include
#include
#include
<cstdlib>
<cmath>
<ctime>
<iostream>
typedef unsigned Ui;
struct Data{
double Lamda,
Sigma_s, Sigma_c,
x = 0,
h,
mu = 1;
};
void MonteCarlo(Data *, Ui *);
void MonteCarlo(Data *source, Ui *size){
double Y;
double N_p = 0, N_m = 0, N_o = 0;
for (Ui i = 0; i<*size; i++){
for (;;){
Y = double(rand() % 1000) / 1000;
while (Y == 0.0)
Y = double(rand() % 1000) / 1000;
source->Lamda = -log(Y) / (source->Sigma_c +
source->Sigma_s);
source->x += source->Lamda*source->mu;
if (source->x > source->h) {
N_p++;
break;
}
if (source->x > 0.0) {
N_m++;
break;
}
if (Y < (source->Sigma_c / (source->Sigma_c +
37
source->Sigma_s))) {
N_o++;
break;
}
source->mu = 2 * Y - 1;
}
}
std::cout << "Прошло насквозь: " << N_p <<
"\tОтразилось: " << N_m << "\tПоглотилось: " << N_o <<
"\n";
ofstream fout;
fout.open("result.txt", ios::app);
fout<< N_p << " \t" << N_m << " \t" << N_o << " \n";
fout.close();
}
int main() {
srand(time(NULL));
Data data;
Ui size;
std::cin >> data.Sigma_c >> data.Sigma_s >> data.h >>
size;
MonteCarlo(&data, &size);
int a;
std::cin >> a;
return 0;
}
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа