close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Жукова Юлия Викторовна. Плоские граничные задачи о дебите скважин в пласте грунта

код для вставки
Оглавление
Введение………………………………………………………………………….4
Глава 1. Уравнения и граничные условия фильтрационных течений………6
§1. Основные понятия фильтрационных движений…………………………..6
1.1.Понятие фильтрационных движений……………………………………..6
1.2. Пористость…………………………………………………………………7
1.3.Скорость фильтрации…………………………………………………..……8
1.4.Уравнение неразрывности…………………………………………………10
1.5.Закон Дарси…………………………………………………………………12
1.6.Уравнение плоскопараллельной фильтрации…………………………….14
§2.Граничные условия…………………………………………………………15
§3.Постановка задач……………………………………………………………16
3.1.Первая внутренняя (внешняя) краевая задача (задача Дирихле)………..17
3.2.Вторая внутренняя (внешняя) краевая задача (задача Неймана)………..17
Глава 2. Плоскопараллельная напорная фильтрация к скважине…………...18
§1.Исследование течений…………………………………………………….18
1.1. Источник (сток)……………………………………………………………18
1.2.Теорема об окружности……………………………………….…………18
1.3. Теорема о прямой……………………………………..…………………20
§2.Совершенные скважины и напорная фильтрация к ним…………………22
Глава 3. Исследование зависимости дебита скважины от формы контуров
питания………………………………………………………………….……..26
§1. Постановка и решение задачи о дебите скважины с круговой областью
питания в случае центральной скважины…………………………………….26
§2.Постановка и решение задачи о дебите скважины с круговой областью
питания в случае эксцентричной скважины………………………………….28
§3.Постановка и решение задачи о дебите скважины с прямолинейной
областью питания………………………………………………………………31
Заключение……………………………………………………………………35
2
Литература……………………………………………………………………..36
Введение
Общеизвестным является факт, что природные жидкости – нефть, газ,
подземные воды – находятся в недрах Земли, точнее, в подземных пустотахпорах и трещинах горных пород. Эти природные жидкости принято
называть флюидами. Флюиды, вследствие естественных процессов или в
3
результате деятельности человека, находятся в постоянном движении.
Движение флюидов через твёрдые тела, содержащие связанные между
собой поры или трещины, называется фильтрацией.
Горные породы, которые могут служить вместилищами флюидов и
через которые они могут двигаться, называются пластами или пластамиколлекторами.
Наука о движении жидкостей, газов и их смесей – флюидов – в
пористых и трещиноватых средах называется подземной гидромеханикой.
Поскольку эта наука изучает разновидность механического движения, то её
часто считают разделом механики сплошных сред.
Теория
фильтрации
–
теоретическая
основа
подземной
гидромеханики, описывающая движение флюидов с позиции механики
сплошной среды.
Подземная гидромеханика получила развитие в связи с потребностями
таких областей жизнедеятельности человека как: использование грунтовых
вод, разработка нефтяных и газовых месторождений, проектирование и
эксплуатация гидротехнических сооружений, мелиорация и т.д.
При плоскопараллельном потоке векторы скоростей параллельны друг
другу, поэтому фильтрация происходит только вдоль одной оси, которую
можно принять за ось x. В любом поперечном сечения плоскопараллельного
потока давление, скорость и её направление одинаковы, но в разных
поперечных сечениях они разные и являются функцией координаты этой
оси px, ux.
Целью работы является изучение плоских граничных задач о дебите
скважины в пласте грунта при различных контурах питания. Для этого
необходимо решить следующие задачи:

изучить основные понятия теории фильтрации;

выписать основные уравнения и граничные условия для плоскопараллельных течений;

исследовать простейшие течения;
4

изучить фильтрационные теоремы о прямой и об окружности;

изучить основные понятия о скважине;

поставить и решить задачи о нахождении дебита скважин с различными контурами
питания;

исследовать зависимость дебита скважины от контура питания
Глава 1. Уравнения фильтрационных течений
§1. Основные понятия фильтрационных движений
1.1.Понятие фильтрационных движений
Все реальные грунты представляют собой нагромождение твёрдых
частиц разнообразной формы, между которыми имеются свободные
промежутки, называемые порами. Таковы каменистые и песчаные грунты.
Порами в глинистых грунтах служит сложная система трещин. Свободное
перемещение воды, нефти, газа между порами грунта под действием
массовых сил и сил гидродинамического давления носит название
фильтрационных движений, или просто фильтрации.
5
Изучение этих движений весьма существенно в таких задачах, как
учёт просачивания воды под плотинами, приток жидкости к дренажным
щелям, фильтрация нефти и газа к буровым скважинам и так далее.
Благодаря значительному развитию теории фильтрации в настоящее время
последнюю можно рассматривать как одну из частей механики сплошных
сред. Так же, как и в любом разделе механики сплошных сред, общие
дифференциальные уравнения, описывающие движение сплошных сред,
при изучении фильтрационных движений замыкаются экспериментальным
законом,
характеризующим
фильтрацию
и
выделяющим
её
в
самостоятельный раздел.
При выводе основных уравнений фильтрации широко используются
уравнения гидродинамики идеальной жидкости. В связи с этим уравнением
гидродинамики и
фильтрации родственны, родственны и методы их
решения.
Таким
образом,
теория
фильтрации
близко
примыкает
к
гидродинамике и в известной мере рассматривается как её ветвь.
1.2. Пористость
Рассмотрим малый объём грунта V, окружающий точку M. Пусть
объём пор в объёме V будет V1. Тогда величина, равная отношению [1]
V1V=σ,
(1.2.1)
называется объёмной пористостью, или просто пористостью грунта. Из
определения σ следует , что пористость меняется в пределах
0≤σ≤1
(1.2.2)
При σ=0 поры в объеме V отсутствуют (грунт без пор); при σ=1 поры
занимают весь объём V, то есть жидкость занимает весь объём V. В
реальных грунтах σ меняется в пределах от 0.25 до 0.9.
6
В однородных грунтах пористость σ будет постоянной величиной; в
неоднородных – будет меняться от одной точки грунта к другой. Таким
образом, для неоднородных грунтов σ будет функцией координат точек,
например, в декартовой системе координат– функцией x,y,z.
Пористость грунта может меняться с течением времени t , например,
в
результате
закупорки
пор
частицами
грунта,
переносимыми
фильтрационным потоком. Такой грунт можно назвать нестационарным.
Увеличение давления протекающей по порам жидкости может повлечь за
собой увеличение просветов между частицами грунта, в которых протекает
жидкость. Таким образом, σ может зависеть от давления p в жидкости.
Наконец, пористость σ может меняться в результате изменения
температуры грунта, которую назовём Tп и температуры фильтрующейся
жидкости Tж. Изменение указанных температур может происходить,
например, при изменении атмосферной температуры, при закачке газа и
пара в нефтяной пласт и так далее. Таким образом, в самом общем случае
пористость будет выражаться функциональной зависимостью вида
σ=σx,y,z,p,t,Tп,Tж.
(1.2.3)
Пористая среда считается в целом недеформируемой, поэтому
функциональная зависимость (1.2.3) будет заданной.
1.3. Скорость фильтрации
При движении жидкости в сложном лабиринте узких пор от одной
точки жидкости к другой происходит чрезвычайно резкое изменение
направления и величины скорости. Однако доступны измерению и
представляют практический интерес только средние скорости частиц
жидкости, протекающей в грунте, занимающем объём V.
Введём понятие средней скорости по объёму пор V1, которая
называется физической скоростью и обозначается Vф, и понятие средней
7
скорости по объёму C, которая называется скоростью фильтрации и
обозначается V. Пусть точка M расположена в порах грунта. Проведём
через неё площадку ∆S и обозначим расход жидкости, протекающий в
единицу времени через эту площадку, ∆Q. Ориентируя площадку,
проходящую через точку M, различным образом, можно добиться того, что
∆Q будет максимальным. Введём обозначения: максимальный расход
∆Qмакс, соответствующая площадка ∆Sn и единичный вектор нормали к
∆Sn, направленный в сторону вытекающей жидкости, n0. Пусть площадь
пор, пересекающих v, будет ∆S1n. Тогда средняя физическая скорость,
отнесённая к площадке, будет [4]
vф ср=∆Qм∆S1nn0
(1.3.1)
Наряду
с
vф
ср
можно
ввести
понятие
средней
скорости
фильтрационного потока Vср, отнесённой к площадке, которая определяется
формулой
v ср=∆Qм∆Snn0
(1.3.2)
Фильтрационный поток можно рассматривать как некоторую модель
осреднённого по площади физического потока. Из равенств (1.3.1) и (1.3.2)
имеем
v∆S1n=Vср∆Sn
(1.3.3)
Рассмотрим малый объём V, окружающий точку M. Представим V как
набор площадок ∆Sn, n0 которых являются касательными к некоторой дуге.
Тогда можно представить в виде
V=0s∆Snsds,
(1.3.4)
dV=∆Snsds
(1.3.4')
8
Аналогично, обозначив через V1 объём пор, расположенных в объёме
V, имеем
V1=0s∆S1nds
(1.3.5)
dV1=∆S1nds.
(1.3.5')
Применяя равенство (1.3.3) к различным площадкам объёма V,
получаем, что vф ср и vср, ∆s1n и ∆snбудут функциями s. Умножив (1.3.3)
на ds и проинтегрировав в пределах от 0 до s, имеем
0svф ср ∆s1nds=0svср∆snds,
или, используя (1.3.4') и (1.3.5'), запишем
V1vф срdV1=VvсрdV,
где V1- объём пор в объёме V.
Среднее по объёму значение будет скоростью физического потока;
среднее по объёму значение будет скоростью фильтрационного потока .
Используя теорему о среднем значении интеграла, из последнего
соотношения имеем
vф=V1vVdV,
или
vфV1=vV.
Используя равенство 1.3.1, имеем
v=σvф
(1.3.6)
Из формулы (1.3.6) следует, что физическая скорость vфвсегда
больше, чем скорость соответствующего фильтрационного потока v. В
самом общем случае физическая скорость, а, следовательно, и скорость
фильтрации будут функциями координат и времени.
Понятие фильтрационной скорости не отражает реального потока и
является фиктивной величиной, определённым образом связанной со
9
средней по объёму реальной скоростью. Введение этого понятия удобно при
составлении уравнений движения фильтрационных потоков.
1.4. Уравнения неразрывности
Используя
понятие
скорости
фильтрации
запишем
уравнение
неразрывности
фильтрационного потока. Выберем в пористой среде некоторый объем V, ограниченный
замкнутой поверхностью S. Масса жидкости, вытекающей через эту поверхность в
единицу времени в результате фильтрации, будет [1]:
S ρυndS=V div ρvdV,
(1.4.1)
где υn- нормальная составляющая скорости фильтрации v в точках
поверхности S, ρ – плотность реальной жидкости, протекающей по порам.
Во всем объеме V уменьшение массы жидкости в единицу времени
выражается интегралом
-V ∂ρσ∂tdV.
Следовательно, используя равенство (1.4.1), имеем
V div ρvdV=-V ∂ρσ∂tdV.
Отсюда в результате произвольности объема V имеем следующее
уравнение непрерывности фильтрационного потока:
∂ρσ∂t+div ρv=0.
(1.4.2)
Если перейти в последнем уравнении от скорости фильтрации к
физической скорости νф , то придем к уравнению вида
∂ρσ∂t+div ρνф=0 .
(1.4.2')
Уравнение непрерывности (1.4.1) или (1.4.2’) представляет собой
закон сохранение массы фильтрующей жидкости, записанный при условии,
что объем, занимаемый жидкостью, остается неизменным. В общем случае
ν и νф будут функциями координат и времени, ρ определяется из уравнения
10
состояния фильтрующейся жидкости, согласно которому ρ представляет
собой функцию давления p и температуры жидкости Тж, причем Тж связана
с температурой грунта Тг и последняя предлагается заданной.
1.5.Закон Дарси
Рассмотрим
линейную
зависимость
скорости
фильтрации
и
градиента
пьезометрического напора [2]
ν=-k1grad(pρg+g),
(*)
которая означает наиболее распространенным условиям фильтрации и
природных
грунтах.
Фильтрационные
Эта
течения,
зависимость
называется
подчиняющиеся
законом
закону
Дарси,
Дарси.
называют
линейной фильтрацией. Закон (*) описывает линейную стационарную
фильтрацию несжимаемой жидкости, находящейся под действием сил
тяжести в однородном грунте. В теоретических исследованиях закону Дарси
обычно придают следующую форму [2–4]:
ν=-k1ρg gradp*=-k1γ gradp* ,
1.5.1
где p*=p+ρgz=p+γz называется приведенным давлением.
Можно указать верхний предел применимости закона Дарси (1.5.1).
Он справедлив при следующих числах Рейнольдса [4]:
R=vdy≤3÷10,
где v – скорость фильтрационного потока, обычно выражаемая в см/сек; d –
средний линейный размер частиц грунта (в см); y-кинематический
коэффициент
вязкости
(в
см2/сек).
Для
воды
y=0,018
см2/сек,
следовательно, vd≤0.07÷0.18. таким образом, закон Дарси применим для
мелкозернистых грунтов и малых скоростей фильтрующейся жидкости.
Существует и нижний предел применимости этого закона. Тонкая
структура грунта и малые скорости движения жидкости приводят к тому, что
начинают играть существенную роль силы молекулярного сцепления,
11
нарушающие свободный проток жидкости между порами. Это приводит к
тому, что не выполняются условия, определяющие фильтрацию жидкости.
Коэффициент k1 в равенстве (1.5.1) имеет размерность скорости и
носит название коэффициента фильтрации. Он зависит от свойств грунта,
величины и формы зерен, образующих грунт. Эксперименты показывают,
что при просачивании воды коэффициент фильтрации для различных
грунтов колеблется . Предельным случаем будет абсолютно проницаемый
грунт, для которого k1=0. Но в природе таких грунтов нет и под
непроницаемым понимают грунт, проницаемость которого очень мала по
сравнению с проницаемостью грунта соседнего слоя. Другим предельным
случаем будет в грунте область свободной жидкости, не стесненная порами.
Она характеризуется k1=∞.
Коэффициент фильтрации k1 зависит не только от свойств грунта, но
и от свойств фильтрующейся жидкости, именно зависит от вязкости
жидкости μ, которая в свою очередь, зависит от давления в жидкости p и
температуры жидкости Tж. Таким образом, коэффициент фильтрации
характеризует и грунт, и жидкость, которая в нем фильтруется. Если
рассматривать в одном и том же грунте фильтрацию различных жидкостей,
например, воды, нефти, газа, то последнее обстоятельство весьма неудобно.
Вследствие
этого,
рассматривая
фильтрацию
различных
жидкостей,
целесообразно придать закону Дарси другой вид, а именно ввести в этот
закон в явном виде коэффициент вязкости жидкости μ:
v=-kμgrad p*,
(1.5.2)
где k носит название коэффициента проницаемости грунта.
Из равенств (1.5.1) и (1.5.2) следует, что
k1=kgpμ=kgν
(1.5.3)
12
Коэффициент проницаемости k связан с пористостью грунта σ. Эта
зависимость дается достаточно сложными экспериментальными формулами.
В качестве примера зависимости k от σможно указать формулу Козени вида
k=8,4(1,275-1,5σ)2d2σ3(1-σ)2,
где d-диаметр (эффективный) зерен, составляющих грунт.
Коэффициент
вязкости в случае постоянной температуры и
значительных перепадов давлений в жидкости зависит от давления линейно:
μ=np+α,
(1.5.4)
где n и α- некоторые постоянные, определяемые экспериментально. Но
если перепады давления не слишком велики, то μ от p не зависит.
1.6.Уравнения плоскопараллельной фильтрации
Рассмотрим уравнения плоскопараллельной фильтрации, предполагая,
что на жидкость действует сила тяжести. Оси x,y декартовой системы
координат расположим в плоскости, параллельно которой происходит
фильтрация. В плоском случае для несжимаемой жидкости имеем систему
уравнений Коши-Римана
vx=∂φ∂x=∂ψ∂y, vy=∂φ∂y=-∂ψ∂x
(1.6.1)
Тогда, обращаясь к закону Дарси (*), составляющие скорости по осям
запишем в виде [2]
vx=-kμ∂φ∂x,vy=-kμ∂φ∂y,
(1.6.2)
Уравнение неразрывности в рассматриваемом случае будет вида:
∂ρσ∂t+∂ρvx∂x+∂ρvy∂y=0
(1.6.3)
Система уравнений (1.6.1)-(1.6.3) описывает двумерную фильтрации
баротропной жидкости.
13
§2. Граничные условия
Уравнение
линейной
фильтрации
представляет
собой
дифференциальное уравнение в частных производных, поэтому следует
указать типы граничных условий, при которых оно должно интегрироваться.
Перечислим простейшие из этих условий.
1.Границей области фильтрации является непроницаемая поверхность.
Вдоль этой поверхности нормальная составляющая скорость должна
равняться нулю [6]
(vn)L=0.
(2.1)
2.Области фильтрации жидкости могут граничить с областями
свободной жидкости. Вдоль таких границ жидкость, уже не стесненная
порами, вытекает свободно нормально к поверхности. Следовательно, на
границах L области фильтрации со свободной жидкостью касательные
составляющие скорости равны нулю:
(vs)L=0 .
(2.2)
3.Предположим, что водный бассейн, с которым граничит область
фильтрации, столь велик, что всасывание или выбрасывание жидкости в
результате фильтрации на L пренебрежимо мало. Тогда можно считать, что в
бассейне давление подчиняется гидростатическому закону.
φ|L=C
(2.3)
где C-произвольная константа.
§3. Постановка задач
При решении конкретных задач практики, связанных с исследованием
стационарных и нестационарных фильтрационных течений в пористых
14
средах (грунтах) возникает необходимость в постановке граничных задач.
Для решения задач воспользуемся решением уравнения Лапласа
∆φ=0
3.1
В частном случае имеем
KM=1
3.2
Постановка задачи определяется видом границы и условиями на них, а
в нестационарном случае также начальными условиями.
Сформулируем основные задачи, имеющие место при разработке
нефтеносных (водоносных) пластов грунта. К ним относятся первая и
вторая краевые задачи на границах σ1 и σ2, задачи сопряжения на границе Г
раздела неоднородных пористых сред и подвижной границе Гt раздела
жидкостей различных вязкостей и плотностей. Эти задачи поставим для
трехмерных
течений
в
неоднородных
средах
проницаемости
KM,
описываемых уравнениями (3.1) и (3.2). Эти же задачи формулируются
совершенно аналогично для двумерных течений.
Первую, вторую краевые задачи и задачу сопряжения на границе Г
раздела
пористых
сред
поставим
для
стационарных
течений.
В
нестационарном случае они формулируются аналогично.
Если поверхность (кривая) σ1 и σ2 замкнута, то она одновременно
ограничивает внутреннюю и внешнюю области, в одной из которых следует
рассматривать течение. В этом случае различают внутренние и внешние
граничные задачи для течения. При формулировке внешних задач (область
D течения содержит бесконечно удалённую точку) помимо условий на
границе σ1 и σ2, Г и Гt необходимо также учитывать для квазипотенциала и
скорости течения условия в бесконечности:
φM=O1rMM0,
φM=O1rMM02при rMM0→∞,
(3.2)
15
3.1.Первая внутренняя (внешняя) краевая задача (задача Дирихле)
Эта задача состоит в следующем. Найти квазипотенциал φM,
удовлетворяющий в области D уравнению (3.1), а на её границе σ1 условию
первого рода
φ+M=fM, M∈σ1,
(3.1.1)
где fM – заданная на σ1функция.
В частности, при fM=const условия (3.1.) и (3..2) принимают вид:
φ+M=const, M∈σ1
(3.1.2)
Отметим, что в условии (3.2) f1M можно задавать произвольно, независимо
от функции f(M).
3.2.Вторая внутренняя (внешняя) краевая задача (задача Неймана)
Задача
состоит
в
следующем.
Найти
квазипотенциал
φM,
удовлетворяющий в области D уравнению (3.1), на её границе σ2 условию
второго рода:
(∂φM∂nM)+=gM ,M∈σ2,
(3.2.1)
где gM- заданная на σ2 функция ( а также условию (3.1.1) для внешней
задачи).
В частном случае gM=0.
Глава 2. Плоскопараллельная напорная фильтрация к скважине
§1.Исследование течений
1.1. Источник (сток)
Предположим, что в некоторую точку пористого пласта, находящуюся
вдали от границ пласта, пробурена скважина, через конец которой
16
закачивается (или выкачивается) несжимаемая жидкость с объёмным
расходом Q. На расстояниях, много больших толщины скважины,
возникающее течение можно рассматривать как сферически симметричное
течение от точечного источника. Запишем уравнение в полярных
координатах
vr=∂φ∂r=1r∂Ψ∂θ, vθ=1r∂φ∂θ=-∂ψ∂r
(2.1.1)
Значение Q>0 соответствует источнику (закачивание жидкости в
пласт), значение Q<0 - стоку (выкачиванию жидкости из пласта). При
приближении к источнику (при r→0) скорость фильтрации стремится к
бесконечности, поэтому при практическом применении эту формулу нужно
использовать, начиная с расстояний, соизмеримых с реальным размером
источника (например, толщиной скважины).
Найдём комплексный потенциал добывающей скважины (стока) и
запишем его в цилиндрической системе координат
w=φ+iψ=Q2πlnz
(2.1.2)
1.2.Теорема об окружности
Пусть невозмущенный плоскопараллельный поток в грунте с
проницаемостью k1 определяется функцией f(z) , особые точки которой
лежат вне окружности z=a. Если заполнить эту окружность грунтом,
проницаемость которого k2, то возмущённое течение вне окружности
определится
комплексным
потенциалом
w1
и
внутри
окружности
комплексным потенциалом w2 ,которые имеют вид [5]
w1=fz+k1-k2k1+k2fa2z, w2=2k2k1+k2fz.
(1.2.1)
Формулам (4.2.1)можно придать другой вид:
17
w1=fz+k1-k2k1+k2f(a2z), w2=2k2k1+k2fz
(1.2.1')
Для доказательства идентичности формул (4.2.1) и (4.2.1’) достаточно
доказать, что
fa2z= fa2z.
Так как функция f(z) не имеет особых точек внутри окружности z=a, то она
разлагается в степенной ряд:
fz=k=0∞(αk+iβk)rkekθi
где r,θ-полярные координаты, αk,βk-постоянные.
На основании последней формулы можем записать:
fa2z=k=0∞a2(αk+iβk)1rke-kθi
fa2z=k=0∞a2(αk-iβk)1rke-kθi.
Далее,
fa2z=k=0∞(αk-iβk)a2rkekθi
и
f(a2z)=k=0∞a2rkαkcoskθ+βksinkθ-ik=0∞a2rkαksinkθ+βkcoskθ=
=k=0∞(αk-iβk)a2rke-kθi=fa2z.
Таким образом, справедливость формулы доказана и, следовательно,
доказана идентичность (1.2.1) и (1.2.1’).
1.3. Теорема о прямой
Предположим, что задано плоскопараллельное течение в грунте,
проницаемость которого k1, и особые точки этого течения располагаются в
верхней полуплоскости. Пусть комплексный потенциал этого течения будет
f(z). Предположим, что проницаемость нижней полуплоскости изменена и
характеризуется k2. Тогда течение в верхней и нижней полуплоскостях уже
не
будет
определяться
f(z),
а
комплексные
потенциалы
полуплоскости w1 и нижней полуплоскости w2 будут вида [5]
18
верхней
w 1=fz+k1-k2k1+k2fz=fz+k1-k2k1+k2f(z);
(1.3.1)
w2=2k2k1+k2fz,
где функция f(z) определена в нижней полуплоскости.
Также, так и в случае фильтрационной теоремы об окружности,
заполнение нижней полуплоскости грунтом с проницаемостью k2 не
должно сопровождаться появлением дополнительных особых точек течений
в верхней и нижней полуплоскостях. Сказанное выполняется, ибо f(z)
представляет собой преобразование верхней полуплоскости в нижнюю, и,
таким образом, комплексный потенциал w1 , определяющий течение в
верхней
полуплоскости,
не
имеет
дополнительных
особых
точек.
Комплексный потенциал, определяющий течение в нижней полуплоскости,
не имеет особых точек в этой области. Для доказательства справедливости
равенств (1.3.1) надо также проверить выполнение граничных условий,
которые в рассматриваемом случае будут иметь вид:
(∂φ1∂y)y=0=(∂φ2∂y)y=0;(φ1k1)y=0=(φ2k2)y=0 .
(1.3.2)
Так как
fz=φx,y+iψx,y,
то, обращаясь к формулам (4.3.1), имеем:
φ1=φx,y+k1-k2k1+k2φx,-y; φ2=2k2k1+k2φx,y
(1.3.3)
и
∂φ1∂y=∂φ(x,y)∂y-k1-k2k1+k2∂φ(x,-y)∂y;
∂φ2∂y=2k2k1+k2∂φx,y∂y.
(1.3.4)
Из последних равенств следует, что выполняются граничные условия (1.3.2).
Таким образом, справедливость равенств (1.3.1) доказана. Эти
равенства
можно
рассматривать
как
математическую
формулировку
фильтрационной теоремы о прямой. Последнюю можно рассматривать как
19
предельный случай фильтрационной теоремы об окружности, когда
последняя вырождается в прямую. Из соотношений (1.3.3) и (1.3.4) следует,
что на границе раздела зон однородности y=0 составляющие скорости будут
определяться равенствами:
(v1x)y=0=2k1k1+k2∂φx,0∂x; (v2x)y=0=2k2k1+k2∂φx,0∂x ;
(v1y)y=0=(v2y)y=0=2k2k1+k2∂φx,0∂y.
(1.3.5)
§2.Совершенные скважины и напорная фильтрация к ним
Основная проблема разработки нефтеводогазоносных пластов – расчет
притока к одной или группе совершенных скважин. Точные решения, как
правило, оказываются весьма сложными и громоздкими. При разработке
проектов в настоящее время используют численные методы, связанные с
довольно большими затратами как финансовыми, так и временными. Для
оценочных целей и получения выражений для определения дебитов можно
применять более простые приближенные, но вместе с тем достаточно
точные методы расчета. Это методы, использующие аппарат функции
комплексного переменного и свойства уравнения Лапласа. При разработке
нефтяных и газовых месторождений (НГМ) возникает два вида задач.
1. Задаётся дебит скважин и требуется определить необходимое для
этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любой точке
пласта. В данном случае величина дебита определяется значением
предельной для имеющихся коллекторов депрессией, при которой ещё не
наступает
их
разрушение,
или
прочностными
характеристиками
скважинного оборудования, или физическим смыслом. Это означает,
например, невозможность установления нулевого или отрицательного
забойного давления.
20
2. Задаётся забойное давление и требуется определить дебит.
Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработки
НГМ. Величина забойного давления определяется условиями эксплуатации.
Например, давление должно быть больше давления насыщения для
предотвращения дегазации нефти в пласте или выпадения конденсата при
разработке газоконденсатных месторождений, что снижает продуктивные
свойства скважин. Наконец, если возможен вынос песка из пласта на забой
скважины, то скорость фильтрации на стенке скважины должна быть
меньше некоторой предельной величины. Следует отметить, что при
эксплуатации группы скважин в одинаковых условиях, т.е. с одинаковым
забойным давлением, дебит всего месторождения растёт медленнее
увеличения числа новых скважин с теми же забойными условиями.
Увеличение дебита при этом требует понижения забойного давления.
При решении этих задач нужно учитывать, что при работе нескольких
скважин наблюдается их взаимное влияние друг на друга – интерференция
скважин. Это влияние приводит к тому, что при вводе в эксплуатацию новых
скважин суммарная добыча на месторождении растет медленнее, чем
увеличивается
число
скважин.
Для
решения
поставленных
задач
необходимо решить задачу плоской интерференции (наложения) скважин.
Поэтому, усложняя задачи с целью более адекватного описания процессов,
происходящих на месторождениях углеводородного сырья, необходимо
рассмотреть постановки и решения задач, когда одновременно работают не
одна, а группы скважин. Наиболее простые постановки задач получаются в
том случае, когда пласт предполагается плоским, а скважины считаются
точеными источниками или стоками. При решении подобных задач не
только в подземной гидромеханике, но и в других разделах гидромеханики
широко используется предположение о потенциальности течения и метод
суперпозиции (потенциала). Предположим, что пласт – неограниченный,
горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемые подошву и
21
кровлю. Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен
однородной жидкостью или газом. Движение жидкости – установившееся,
подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение означает,
что течение происходит в плоскостях, параллельных между собой, и картина
движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение
в одной из этих плоскостей – в основной плоскости течения.
Колодцы, дренажные щели и скважины, которые сооружаются в
природных грунтах, обычно служат для откачки жидкости и газа,
заключенных
в
грунте.
Скважины
такого
типа
называются
эксплуатационными. Скважины сооружаются и в целях использования их
для нагнетания в грунт жидкостей и газов, чтобы создать для них
искусственные
подземные
хранилища
или
стимулировать
работу
эксплуатационных скважин. Такие скважины называются нагнетательными.
Скважины бурятся также и для того, чтобы определить основные
характеристики грунтов, насыщенных жидкостью. В частности, так как
жидкость обычно находится в пластах, то выясняется вопрос их толщин,
которые называются мощностью пластов. Если скважина пронизывает всю
толщу пласта, то она называется совершенной. Фильтрация жидкости к
совершенным скважинам представляет собой двумерные течения.
Приток жидкости к скважинам вызывается разностью давлений на
границе скважины и на границе так называемой области питания.
Фильтрация такого типа называется напорной. Границей области питания
может быть поверхность, вдоль которой пласт соприкасается со свободной
жидкостью. Например, границей области питания может быть область
соприкосновения грунта с рекой (или озером), воды которой поступают в
грунт. Границей области питания может служить и какая-либо поверхность
в грунте, вдоль которой сохраняется постоянное значение давления.
Количество жидкости, протекающее к совершенной скважине в
единицу времени, отнесенное к мощности пласта, называется ее дебитом.
22
Теоретическое изучение распределения давления в пласте и определение
дебитов совершенных скважин существенно при проектировании и
разработке нефтяных и газовых месторождений и при эксплуатации их.
Глава 3. Исследование зависимости дебита скважины от формы
контуров питания
23
§1. Постановка и решение задачи о дебите скважины с круговым
контуром питания в случае центральной скважины
Рис.1. Центральная скважина при круговом контуре питания
Для нахождения дебита скважины с круговой областью питания
необходимо решить задачу о потенциале скорости в данной области. Для
этого воспользуемся решением уравнением Лапласа, запишем решение для
потенциала скорости
φ =-Q02πlnr+C
(1.1)
где Q0- дебит скважины, C-произвольная постоянная.
Удовлетворим потенциал (1.1) граничными условиями
φ|r=rс=φс
φ|r=rп=φп
(1.2)
24
Получим
φс=-Q02πlnrc+cφп=-Q02πln rп+с.
(1.3)
Решая систему уравнений (1.3) находим
φс-φп=Q02πlnrпrс
(1.4)
При заданных значениях потенциалов на контуре питания и контуре
скважины и радиусов контура питания и радиуса скважины, получим
выражение для нахождения дебита скважины с круговой границей
Q0=2π(φс-φп)lnrпrс
(1.5)
Формула (1.5)- формула Дюпюи для дебита центральной скважины с
круговым контуром питания.
§2.Постановка и решение задачи о дебите скважины с круговым
контуром питания в случае эксцентричной скважины
25
Рис.2. Эксцентричная скважина при круговом контуре питания
Для нахождения дебита скважины с круговой областью питания в
случае эксцентричной скважины необходимо решить задачу о потенциале
скорости в данной области. Для этого воспользуемся решением уравнением
Лапласа, запишем решение для потенциала скорости в общем виде
φ=-Q12πlnr+C
(2.1)
где Q1- дебит скважины, C-произвольная постоянная.
Возьмем произвольную точку M на контуре питания. Расстояние от
точки M до стока, находящегося в центре скважины обозначим r, а
расстояние от точки M до источника r*. С учетом наших обозначений
запишем решение уравнения Лапласа
φ=-Q12πlnr+Q12πlnr*+C
(2.2)
где Q1- дебит скважины, а C=-Q12πlnrпrс+C0,C0- произвольная константа.
26
Опустим точку M на контур скважины. Расстояние от центра
скважины до точки M обозначим rс, а расстояние от M* до точки M
обозначим rп2h, где h- расстояние от центра скважины до центра области
питания.
Удовлетворим потенциал (2.2) граничными условиями
φ|r=rс=φс
φ|r=rп=φп
(2.3)
Получим
φс= Q12πlnrпrс+Q12πln(1-h2rп2)+C0φп=C0
(2.4)
Решая систему уравнений (2.4) находим
φс-φп=Q12πln(rпrс(1-h2rп2))
(2.5)
При заданных значениях потенциалов на контуре питания и контуре
скважины и радиусов контура питания и радиуса скважины, получим
выражение для нахождения дебита скважины с круговой границей в случае
эксцентричной скважины
Q1=2π (φс-φп)ln[rпrс(1h2rп2)]
(2.6)
Нам необходимо выяснить, скважина, с каким контуром питания
обладает большим дебитом, для этого найдем отношение (2.6) и (1.5)
Q1Q0= lnrпrсln[rпrс(1-h2rп2)]
(2.7)
Для наглядности графика зависимости дебита скважины от радиуса
скважины, учтем, что отношение радиуса контура питания к радиусу
скважины должно быть порядка 103. Для удобства введём новые величины
α=rпrс ,
(2.8)
27
β=hrп
С учётом (2.8) перепишем (2.7) в виде
Q1Q0=lnαln[α1-β2]
(2.9)
Рис.3. Зависимость отношения дебитов скважин с круговым контуром
питания в случае центральной и эксцентричной скважины.
Из данного графика видно, насколько отличается дебит скважин при
круговой границе питания в случае центральной и эксцентричной скважин.
Очевидно, что дебит скважин имеет различие при значениях расстояния от
центра скважины близких к радиусу питания. Отсюда можно сделать вывод,
что дебит эксцентричной скважины является наиболее выгодным по
отношению к центральной скважине.
§3. Постановка и решение задачи о дебите скважины с
прямолинейным контуром питания
28
Рис.4.Скважина с прямолинейным контуром питания
Для нахождения дебита скважины с прямолинейной областью питания
необходимо решить задачу о потенциале скорости в данной области. Для
этого воспользуемся решением уравнением Лапласа, запишем решение для
потенциала скорости в общем виде
φ=-Q22πlnr+C
(3.1)
где Q2- дебит скважины, C-произвольная постоянная.
Возьмём точку M на плоскости. Расстояние от точки M до центра
стока обозначим r, а расстояние от точки M до источника r*. Воспользуемся
теоремой о прямой (4.3.1), запишем
φ=-Q22πlnr-lnr*+C
(3.2)
где Q2- дебит скважины, C-произвольная постоянная.
Определим r и r*из формулы (3.2)
r=(x-h)2+y2
r*=(x+h)2+y2,
29
(3.3)
где h– расстояние от центра скважины со стоком до границы питания.
Опустим точку M на контур скважины. Обозначим эту точку M0. Расстояние
от центра скважины то точки M0 будет равен радиусу скважины rс , а
расстояние от точки M0 до точки M* 2h.
Удовлетворим потенциал (3.2) граничными условиями
φ|r=rс=φс
φ|r=rп=φп
(3.4)
Получим
φс=-Q22π(lnr-lnr*|r*=2h)φп=С
(3.5) Перепишем (3.5) в виде
φс=Q22πln2hrсφп=С
(3.6)
Решая систему уравнений (3.6) находим
φс-φп= Q22πln2hrс
(3.7)
Отсюда найдём дебит скважины
Q2=2π(φс-φп) ln2hrс
(3.8)
Нам необходимо выяснить, скважина, с каким контуром питания
обладает большим дебитом, для этого найдем отношение (3.8) и (1.5)
Q2Q0=lnrпrсln2hrс
(3.9)
Для наглядности графика зависимости дебита скважины от радиуса
скважины, учтем, что отношение радиуса контура питания к радиусу
скважины должно быть порядка 103. Для удобства введём новые величины
α=rпrс ,
γ=hrс
С учётом (3.10) перепишем (3.9) в виде
30
(3.10)
Q2Q0=lnαln2γ
(3.11)
Рис.5. Зависимость отношения дебитов скважин с прямолинейным и
круговым контурами питания
Проанализировав выше приведённый график, можно судить о
значительном
отличии
дебитов
скважин
в
случае
скважины
с
прямолинейной и круговой границами. Отчётливо видно, что дебит
скважины с прямолинейной границей больше дебита скважины с круговой
границей, это говорит о том, что такую скважину лучше использовать при
добыче какого-либо рода жидкости.
31
Заключение
Следуя [1–6] рассмотрены некоторые вопросы теория фильтрации,
являющейся теоретической основой подземной гидромеханики.
1.Изучены простейшие модели движение флюидов с позиции
механики сплошной среды.
2.Рассмотрены основные законы и отвечающие им уравнения, а также
постановки краевых задач.
3.Изучены простейшие течения – источник (сток), которые являются
важными моделями фильтрации жидкости в пористом пласте.
4.Изучены фильтрационные теоремы о прямой и об окружности.
5.Поставлены и решены задачи о дебите скважины при различных
формах контуров питания.
6.Исследовано влияние формы контура питания скважины на её дебит.
32
Список литературы:
1. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая
школа,1972. 368 с.
2. Пивень В.Ф. Теория и приложения математических моделей
фильтрационных течений жидкости. – Орёл: Издательство ГОУ ВПО
«Орловский государственный университет», Полиграфическая фирма
«Картуш», 2006. – 508 с.
3. Пивень В.Ф. Математические модели фильтрации жидкости. –
Орёл: Издательство ФГБОУ ВПО «Орловский государственный
университет», ПФ «Картуш», 2015. 408 с.
4. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная
гидромеханика: Учебник для вузов. – М.: Недра, 1993. 416 с.
5. Чарный И.А.
Подземная гидрогазодинамика. – М.: Изд–во
нефтяной и горно-топливной лит-ры, 1963. – 396с.
6. Леонтьев Н.Е. Основы теории фильтрации: Учебное пособие. – М.:
Изд–во Центра прикладных исследований при механико–математическом
факультете МГУ, 2009. –88 с.
33
34
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа