close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Аринцына ксения Игоревна. Эволюция границы загрязнения жидкости в кусочно-однородном грунте

код для вставки
2
Оглавление
Введение…………………………………………………………………….….....4
§1.Общая
постановка
задачи
эволюции
границы
раздела
«разноцветных» жидкостей и ее решение
1.1.Основные понятия теории фильтрации…………………………….…..6
1.2.Постановка задачи…………………………..……………………….…10
1.3.Интегрирование уравнений, определяющих продвижение границы
раздела «разноцветных» жидкостей……………………………………..……..12
1.4.Численный алгоритм решения задачи………………………...……....15
§2.Исследование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей
для прямолинейной границы сопряжения слоев
2.1Формулировка задачи…..………………………………………..……..17
2.2.Эволюция заданной прямолинейной границы раздела жидкостей
(эксплуатационная скважина)…………………………………………………18
2.3.Эволюция
заданной
круговой
границы
раздела
жидкостей
(эксплуатационная скважина)..............................................................................20
2.4.
Эволюция
заданной
круговой
границы
раздела
жидкостей
(нагнетательная скважина)………………………………………………….…22
§3. Исследование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей
для круговой границы сопряжения слоев
3.1.Формулировка задачи ………………………………………………....23
3.2.Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(эксплуатационная скважина расположена вне круговой границы раздела
сред)……………………………………………………………………..………..26
3.3.Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(эксплуатационная скважина расположена внутри круговой границы раздела
сред)………………………………………………………………….…………...28
3
3.2.Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(нагнетательная скважина расположена вне круговой границы раздела сред)
………………………………………………………………...………….…30
Заключение……………………………………………………………..……….31
Список литературы…………………………………………………………….32
Приложения………………………………………………………………….….33
4
Введение
Задачи совместной фильтрации двух и более жидкостей в пористых
грунтах
привлекают
внимание
многих
исследователей:
нефтяников,
гидромехаников и математиков [1]. Объясняется это тем, что к таким задачам
приводит эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, работа
водозаборов, подземное захоронение жидких промышленных отходов, а
также исследование других процессов, в которых одна жидкость вытесняет
другую.
С точки зрения практических приложений интересны задачи, связанные
с совместной фильтрацией двух и более жидкостей в однородной и
неоднородной средах. Эти задачи являются одними из наиболее сложных в
математическом
отношении.
Поэтому
был
построен
ряд
моделей,
позволяющий исследовать этот процесс.
В данной работе исследуется наиболее простая модель «разноцветных»
жидкостей, в которой полагают, что физические и механические свойства
жидкостей
(вязкость,
плотность)
одинаковы.
Эта
модель
широко
используется, так как позволяет получить в конечном виде решения ряда
задач о движении границы раздела жидкостей в канонических областях
фильтрации.
В общем случае параметрические уравнения движения границы раздела
«разноцветных» жидкостей в однородном и кусочно-однородном слоях
получены О.В.Голубевой [1].
В кусочно-однородном грунте, состоящем из двух зон различной
проницаемости, движение границы «разноцветных» жидкостей рассмотрено
в работе Ю.С.Федяева [7].
Исследованию
продвижения
границы
раздела
«разноцветных»
жидкостей в неоднородных слоях посвящены работы В.Ф.Пивня [5] и
Д.Н.Никольского [3].
5
Цель работы – математическое моделирование движения границы
раздела «разноцветных» жидкостей в однородной и кусочно-однородной
пористой среде.
Задачи:
 Сформулировать основные понятия и законы теории фильтрации;

Поставить задачу эволюции границы раздела «разноцветных»
жидкостей;
 Исследовать аналитические решения конкретных задач эволюции
границы раздела жидкостей;
 Численно решить конкретные задачи эволюции границы раздела
жидкостей.
6
§1. Постановка задачи о движении границы раздела «разноцветных»
жидкостей
1.1. Основные понятия теории фильтрации
Рассмотрим малый объем грунта V, окружающий точку М. Пусть в этом
объеме поры занимают объем V1. Тогда величина, равная отношению
V1V=σ,
(1)
называется объемной пористостью [1], или просто пористостью грунта. Из
соотношения (1) следует, что пористость меняется в пределах:
0≤σ≤1.
При движении жидкости в сложном лабиринте узких пор от одной точки
жидкости к другой происходит чрезвычайно резкое изменение направления и
величины
скорости.
практический
Однако
интерес
только
доступны
средние
измерению
скорости
и
представляют
частиц
жидкости,
протекающей в грунте, занимающем объем V.
Средняя физическая скорость, отнесенная к площадке ∆S
vф.ср=∆QM∆Sn0.
Средняя скорость фильтрационного потока, отнесенная к площадке
vср=∆QM∆Snn0,
где ∆QM-максимальный расход через площадку ∆Sn, n0-единичный вектор
нормали к ∆Sn.
Среднее по объему значение vф.ср будет скоростью физического потока
vф; среднее по объему значение vср будет скоростью фильтрационного потока
v.
Связь между физической скоростью и скоростью соответствующего
фильтрационного потока
v=σvф.
Уравнение неразрывности фильтрационного потока имеет вид[1]:
(2)
7
∂ρσ∂t+div ρv=0,
(3)
где ρ — плотность жидкости, протекающей по порам.
Уравнение
(3)
представляет
собой
закон
сохранения
массы
фильтрующейся жидкости.
Экспериментально установлено, что градиент давления и скорость
фильтрации связаны между собой законом Дарси [1]:
v=-k1ρggrad p*,
(4)
где p*=p+ρgz-приведенное давление, g- ускорение свободного падения, pдавление жидкости, z- координата на оси, направленной вертикально вверх.
Коэффициент
k1
имеет
размерность
скорости
и
носит
название
коэффициента фильтрации. Он зависит от свойств грунта, величины и формы
зерен, образующих грунт. Коэффициент фильтрации также зависит от
свойств фильтрующейся жидкости, именно зависит от вязкости жидкости μ,
которая, в свою очередь, зависит от давления в жидкости p и температуры
жидкости Тж. Таким образом, коэффициент фильтрации характеризует и
грунт, и жидкость, которая в нем фильтруется. Если рассматривать в одном и
том же грунте фильтрацию различных жидкостей, например, воды, нефти,
газа, то последнее обстоятельство весьма неудобно. Вследствие этого,
рассматривая фильтрацию различных жидкостей, целесообразно придать
закону Дарси другой вид, а именно ввести в этот закон в явном виде
коэффициент вязкости жидкости μ:
v=-kμgrad p*,
где k носит название коэффициента проницаемости грунта. Коэффициент
фильтрации связан с проницаемостью грунта формулой [1]:
k1=kgρμ.
Рассмотрим уравнения плоскопараллельной линейной фильтрации,
предполагая, что на жидкость действуют силы тяжести. Оси х, у декартовой
системы
координат
расположим
в
плоскости,
параллельно
которой
8
происходит фильтрация. Тогда, обращаясь к закону Дарси, составляющие
скорости по оси x,y запишем в виде:
vx=-kμ∂p*∂x,vy=-kμ∂p*∂y.
(5)
Уравнение неразрывности в рассматриваемом случае будет вида
∂ρσ∂t+∂ρvx∂x+∂ρvy∂y=0.
(6)
Предположим, что жидкость баротропна, т. е.
ρ=fp.
(7)
Система уравнений (5) - (7) описывает двумерную фильтрацию
баротропной жидкости.
Рассмотрим частный случай плоскопараллельной фильтрации:
Пусть жидкость несжимаема (ρ = const), обладает постоянной вязкостью
(μ=const) и фильтрация происходит в однородном грунте. Ограничимся
рассмотрением течения в плоскости z=0. Тогда составляющие скорости по
осям х, у запишем в виде
vx=∂∂x-kpμ, vy=∂∂y-kpμ,
∂vx∂x+∂vy∂y=0.
Введем потенциал скорости φ:
φ=-kpμ.
При стационарных течениях φ
является функцией х, у при
нестационарных течениях — функцией х, у и времени t.
Из уравнений для составляющих скорости следует, что имеет место
функция тока ψ, связанная с составляющими скорости соотношениями:
vx=∂ψ∂y, vy=-∂ψ∂x.
Таким образом,
vx=∂φ∂x=∂ψ∂y, vy=∂φ∂y=-∂ψ∂x,
(8)
9
где φ,ψ в общем случае есть функции х, у и t. Итак, при постоянных ρ, μ, k
плоские фильтрационные течения описываются соотношениями Коши —
Римана (8).
1.2. Постановка задачи
Рассмотрим
плоскопараллельное
фильтрационное
установившееся
течение в грунте постоянной проницаемости несжимаемых «разноцветных»
жидкостей, граница раздела которых представляется параметрическим
уравнением (r- радиус-вектор, s- параметр)
Γt:r=rt,s,
(9)
либо в декартовых координатах
x=xt,s, y=yt,s.
В начальный момент времени граница задана уравнением
Γ0:r=r0,s,
(10)
либо в декартовых координатах
x0=x0,s, y0=y0,s.
Возможны два случая расположения скважины: внутри границы Γ0 (Рис.1.I)
и вне границы (Рис.1.II).
Такое
течение
определенным
во
описывается
всей
одним
области,
комплексным
заполненной
потенциалом,
фильтрующимися
«разноцветными» жидкостями. Пусть этот комплексный потенциал задан:
w=φ+iψ,
где
10
φ=φx,y; ψ=ψx,y.
Найдем комплексную скорость
dwdz=vx-ivy.
Таким образом, задано поле скоростей фильтрующейся жидкости.
Отсюда, чтобы определить продвижение границы раздела жидкостей, нужно
знать продвижение частиц, расположенных на этой границе. Следовательно,
по заданному полю скоростей нужно определить движение отдельных частиц
жидкости. Эта задача представляет собой переход от переменных Эйлера к
переменным Лагранжа.
С этой точки зрения, развитой Эйлером, различные векторные и
скалярные элементы движения рассматриваются как функции координат
точки x, у и времени t.
С помощью переменных Лагранжа изучается движение сплошной среды,
представляющей непрерывную совокупность точек, т. е. движение отдельных
точек среды.
Применим переход к плоскопараллельным фильтрационным течениям.
Составляющие представляют собой проекции фильтрационной скорости на
оси координат. Проекции на оси координат физической скорости можно
записать в виде
vф.x =dxdt; vф.y=dydt.
Учитывая связь между физической скоростью и скоростью фильтрации (2),
имеем
dxdt=1σvxx,y; dydt=1σvyx,y.
(11)
Соотношения (11) представляют собой параметрические уравнения
границы раздела «разноцветных» жидкостей, которая изменяется с течением
времени.
Для численного решения задачи введем безразмерные величины:
r'=rL0; v'=vv0; t'=tT0,
11
где L0- характерный линейный размер, v0-характерная скорость, T0характерное время. Эти параметры выбираются в зависимости от конкретно
поставленной задачи.
12
1.3. Интегрирование уравнений, определяющих продвижение границы
раздела «разноцветных» жидкостей
Определение подвижной границы раздела «разноцветных» жидкостей
связано с интегрированием уравнений (11). Однако эта задача может быть
несколько упрощена, если известен первый интеграл этих уравнений, то есть
известны траектории, по которым движутся частицы жидкости. Это будет
семейство линий тока:
ψx,y=ψx0,y0=ψ0.
(12)
Для всех x и у, удовлетворяющих этому соотношению, будут
справедливы уравнения (11) Следовательно, (12) будет первым интегралом
уравнений (11).
Найдем из соотношения (12) х и у:
x=xψ0,y;y=y(ψ0,x)
и, подставив последние равенства в (11), запишем
dxdt=1σvxx,yψ0,x=vxx,ψ0σ;
dydt=1σvyxψ0,y,y=vyy,ψ0σ.
Эти уравнения допускают разделение переменных:
σdxvxx,ψ0=t+C1;
σdyvyy,ψ0=t+C2.
Так как при t=0 имеем x=x0, y=y0 и σ постоянно, то последние
равенства запишем в виде
σx0xdxvxx,ψ0=t; y0ydyvyy,ψ0=t.
(13)
Вычисляя интегралы, входящие в равенства (13), получим соотношения
вида
F1x,x0,ψ0=t; F2y,y0,ψ0=t.
Так как ψ0=ψx0,y0, то найдем
13
F1*x,s=t; F2*y,s=t.
(14)
Равенства (14) определяют параметрические уравнения границы раздела
«разноцветных» жидкостей, изменяющейся с течением времени.
Если известен первый интеграл системы дифференциальных уравнений
первого порядка, то число уравнений, которые подлежат интегрированию,
уменьшается. В соответствии со сказанным покажем, что для решения
рассматриваемой задачи нет необходимости вычислять оба интеграла. Пусть
из формулы (12) определено только у (или только х):
y=yψ0,x=yψx0,y0,x=y1s,x.
(15)
Тогда, вычислив первый или второй из интегралов (13), найдем
F1x1,s=t.
(16)
Уравнения (15)-(16) являются уравнениями продвижения границы
раздела «разноцветных» жидкостей в параметрической форме в неявном
виде. Если из этих уравнений исключить параметр s, то получим уравнение
этой границы в виде
Fx,y,t=0.
Рассмотрим частный случай плоскопараллельного установившегося
фильтрационного течения в грунте постоянной проницаемости (Рис.2). В
области фильтрации присутствует граница раздела «разноцветных»
жидкостей Γ0, положение которой в начальный момент времени t=0
задано параметрическим уравнением (16).
Считаем, что течение жидкости создаёт совершенная эксплуатационная
скважина постоянного дебита q. Её работу моделируем точечным стоком
мощности -q (q – модуль мощности). В полярной системе координат (r,θ) с
центром в точке расположения стока для потенциала и функции тока
фильтрационного течения имеем
φ=-q2πlnr, ψ=-q2πθ.
(17)
14
Для поля скоростей получим:
vr=∂φ∂r=-q2πr, vθ=1r∂φ∂θ=0.
(18)
Рассмотрим движение частицы жидкости, которая в начальный момент
времени t=0 находится в точке M ϵ Γ0 с координатами r0,θ0. Эта точка будет
двигаться вдоль линии тока θ=θ0, т. е. её полярная координата θ остаётся
неизменной. Учитывая связь физической скорости и скорости фильтрации,
запишем дифференциальное уравнение движения точек границы раздела
жидкостей
drdt=vr.
(19)
Подставляя в (19) значение vr из (18) получим
drdt=-q2πr..
(20)
Интегрируя уравнение (20) с учётом начального условия (10) имеем:
r0rrdr=-q2π0tdt.
Отсюда находим полярный радиус точки M в момент времени t
r=r02-qπt.
(21)
1.4. Численный алгоритм решения задачи
Рассмотрим
плоскопараллельное
фильтрационное
установившееся
течение в грунте постоянной проницаемости несжимаемых «разноцветных»
жидкостей. Граница раздела жидкостей в начальный момент времени задана
параметрическим уравнением (10).
15
Считаем, что течение жидкости вызвано работой совершенных
нагнетательных и эксплуатационных скважин. Их работа моделируется
работой в области фильтрации D источников и стоков и описывается
потенциалом течения .
Используя известный потенциал течения, по формулам (8) находим поле
скоростей. Далее решается система дифференциальных уравнений (11) с
начальным условием (10). В результате находим положение границы Γt при
t>0.
Для численного решения исследуемой задачи разобьем начальное
положение границы раздела «разноцветных» жидкостей Γ0 по параметру τ,
(например, по длине) на n частей. В результате граница раздела жидкостей в
начальный момент времени t0 будет задана множеством точек
Γ0:{xi0,yi0, i=0,1,…,n}.
(22)
Для замкнутой границы
x00=xn0, y00=yn0.
Используя метод Эйлера, систему дифференциальных уравнений (11)
для каждой точки разбиения границы раздела жидкостей (22) представим в
виде:
xip+1-xip∆tp+1=vxxip,yip, yip+1-yip∆tp+1=vyxip,yip, i=0,1,…,n
(23)
Здесь граница раздела жидкостей Γt в момент времени tp задаётся
множеством точек
EΓt.p:xip,yip, i=0,1,…,n, ∆tp+1=tp+1-tp, p=0,1,…
Из уравнений (23) получаем:
xip+1=xip+vxxip,yip∆tp+1, yip+1=yip+vyxip,yip∆tp+1,
(24)
i=0,1,…,n, p=0,1,2,…
Последовательно решая уравнения (24) при начальном условии (22),
находим положение границы Γt в моменты времени tp, p=1,2,… В
16
простейшем случае шаг по времени ∆tp=const. Для увеличения точности
расчётов шаг по времени можно выбирать в зависимости от скорости
движения точек границы.
§2.Исследование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей
для прямолинейной границы сопряжения слоев
2.1. Формулировка задачи
Изучим работу нагнетательной скважины постоянного дебита q в
кусочно-однородном слое постоянной толщины (Рис.3). Считаем, что
скважина находится на характерном расстоянии d от границы Г. В
рассматриваемом случае наличие границы сопряжения слоев можно учесть
аналитически, если воспользоваться фильтрационной теоремой о прямой.
Свяжем ось Oy декартовой системы координат с границей Γ, а ось Ox
проведем через точку расположения скважины. Потенциал течения в этом
случае примет вид[1]:
k1φ1=q2πlnx2+(y+d)2+λq2πlnx2+y-d2, x,yϵ D1;
k2φ2=1-λq2πlnx2+y+d2, x,yϵ D2.
Из формул (8) получим выражения для поля скоростей:
v1x=k1∂φ1∂x=q2πxx2+(y+d)2+λxx2+(y-d)2,
v1y=k1∂φ1∂y=q2πy+dx2+(y+d)2+λy-dx2+(y-d)2, x,yϵ D1;
(25)
v2x=k2∂φ2∂x=1-λq2πxx2+y+d2,
v2y=k2∂φ2∂y=1-λq2πy+dx2+(y+d)2, x,yϵ D2,
λ=k1-k2k1+k2,
где λ- параметр, характеризующий неоднородность среды.
2.2. Эволюция заданной прямолинейной границы раздела жидкостей
(эксплуатационная скважина)
17
Рассмотрим случай однородного грунта, когда k1=k2. Пусть начальное
положение границы раздела двух «разноцветных» жидкостей – прямая, dнаименьшее расстояние от стока до прямой (Рис.4). Пусть дебит скважины
постоянен, т.е. qt=q=const. Исследуем, как с течением времени будет
изменяться первоначально горизонтальная граница раздела жидкостей.
Расположим оси декартовой и полярной систем координат, как указано на
рисунке. Тогда
r0=dsinθ0, 0≤θ0≤π.
Уравнение границы, изменяющееся с течением времени найдем из формулы
(21)
r2=d2sin2θ0-qπσT.
Время заводнения скважины будет определяться равенством при r= Rc:
T=πσd2q1sin2θ0-Rc2d2,
где Rc – радиус скважины.
Быстрее всего подойдет к скважине самая близкая точка границы θ0=π2.
При Rc2≪d время определится соотношением
T=πσd2q.
Таким образом, время тем больше, чем больше расстояние от скважины
до границы, и тем меньше, чем больше дебит скважины. В случае d=1, σ=1,
q=π время достижения границей контура скважины T=1. На рисунке (П.1)
показано
движение
границы
раздела
«разноцветных»
жидкостей
в
однородной среде, когда первоначальное положение границы – прямая,
находящаяся на расстоянии d от стока.
Рассмотрим случай, когда k1≠k2. Пусть первоначальная граница Γ0
представляет собой прямую, совпадающую с границей сопряжения слоев Γ.
Эти две границы совпадают с осью Ox. Пусть сток находится на расстоянии
d от начала координат. Первой скважины достигнет ближайшая к ней точка
первоначального контура Г0. В случае модели «разноцветных» жидкостей
найдем время T достижения границы сопряжения слоев. Так как стока первой
достигнет точка на оси Oy, то для времени имеем
T=y1y2dyv1y(0,y).
(26)
18
Здесь y1=0, y2=d, v1y(0,y) – скорость течения на оси Oy. Подставляя
выражения для скорости (25) в интеграл (26), при Rс≪d получим
T≈πd21+λ3q1-2λ-3λ2+8λln21-λ.
Формула для времени не применима для λ=-1
и λ=1. В случае λ=-1
область D2 моделирует бассейн со свободной жидкостью и течение в этой
области не рассматривается. При λ=1 проницаемость в области D2 равна
нулю.
На рисунке (П.2) показана зависимость времени достижения границей
скважины от параметра λ.
Выберем в качестве характерного расстояния d0 расстояние d=1 до
границы Γ. В качестве характерного времени T0 выберем время, за которое
граница Γ достигнет скважины. На рисунках (П.3) – (П.4) показана динамика
движения границы при различных параметрах λ.
2.3. Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(эксплуатационная скважина)
Пусть начальное положение границы раздела двух жидкостей будет
окружностью радиуса R0, концентрической к скважине радиуса Rc (Рис.5).
(R0≫Rc). Пусть дебит скважины постоянен, т.е. q=const. Тогда из формулы
(21) имеем
r2=R02-qπσΤ.
Из последнего равенства следует, что граница раздела двух жидкостей
всё время остается окружностью, концентрической к границе скважины.
Радиус этой границы уменьшается с течением времени. Так как радиус
19
скважины Rc, то из формулы (25) время заводнения скважины определяется
при r=Rc в виде
Τ=πσqR02-Rc2.
В случае R0≫ Rc, R0=1, σ=1, q=π время достижения границей контура
скважины T=1.
Рассмотрим случай, когда первоначальная граница Γ0 представляет собой
окружность радиуса R, которая касается прямолинейной границы
сопряжения Γ, совпадающей с осью абсцисс. Скважина находится на оси Oy
на расстоянии d от начала координат (d<R) (Рис.6), и первой границы Γ
достигнет точка на оси Oy.
В качестве характерного расстояния выберем расстояние d0=1 до
границы Γ. В качестве характерного времени T0 выберем время, за которое
граница достигнет скважины. На рисунках (П.5) – (П.7) показана динамика
движения границы Γ при различных параметрах
λ. Время достижения
скважины будет совпадать со временем при первоначальной прямолинейной
границы.
20
2.4. Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(нагнетательная скважина)
y
D1k1
D2k2
x
0
Γ
Пусть q=const>0 – дебит нагнетательной скважины, имеющей координаты
-x0;y0 и находится на расстоянии d от границы сопряжения слоев Γ,
представляющую собой прямую линию (Рис.7). Слева от границы Γ
находится область D1 с коэффициентом фильтрации k1, справа - D2, с
коэффициентом фильтрации k2. Используя фильтрационную теорему о
прямой и метод изображения особых точек, учтем наличие границы Γ.
Пусть скважина находится на оси Ox и имеет координаты d;0, граница Γ
Рис.7.Круговая граница раздела
совпадает с осью Oy. Тогда поле скоростей
жидкостей (нагнетательная скважина)
примет вид (25).
На рисунках (П.8) – (П.11) показана эволюция границы раздела
жидкостей при различных значениях λ. В данном случае характерное время –
время достижения границей раздела границы Γ, мощность скважины q=2π. В
момент времени t=0 граница раздела представляет собой окружность радиуса
R0=Rc. Граница изображена в различные моменты времени. В качестве
характерного выбрано время достижения границей раздела жидкости
границы сопряжения в случае однородного слоя.
21
Из рисунков видно, что при λ>0 скорость движения границы в области
D2 уменьшается, при λ<0 – увеличивается. На границе Γ происходит
скачкообразное
изменение
скорости
и
координаты
границы
раздела
жидкостей. Графики зависимости времени от координаты и параметра λ для
нагнетательной скважины будут совпадать с соответствующими зеркально
отраженными относительно оси Ox
графиками для эксплуатационной
скважины.
§3. Исследование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей
для круговой границы сопряжения слоев
3.1. Формулировка задачи
Рассмотрим случай, когда граница Γ представляет собой окружность радиуса
R (Рис.8). Вне окружности коэффициент фильтрации k1 внутри окружности
- k2. Свяжем центр декартовой системы координат с центром границы Γ. Ось
Ox проведем через точку расположения скважины. Пусть скважина
находится на расстоянии d>R от начала координат. В рассматриваемом
случае учтем наличие границы Γ используя фильтрационную теорему об
окружности. Тогда для потенциала получим формулы [1]:
k1φ1=q2πlnx-d2+y2+λlnx-x*2+y2+λlnd2-lnx2+y2, x,y ϵ D1;
k2φ2=1-λq2πlnx-d2+y2,x,y ϵ D2,
где d
– абсцисса точки расположения источника, x*=R2d
– абсцисса
инверсной точки.
Из формулы (8) для поля скоростей получим:
v1x=q2πx-dx-d2+y2+λx-x*x-x*2+y2-xx2+y2,
v1y=q2πyx-d2+y2+λyx-x*2+y2-yx2+y2,x,y ϵ D1;
v2x=1-λq2πx-dx-d2+y2,
v2y=1-λq2πyx-d2+y2,x,y ϵ D2.
Τ=
Rddxv1x(x,0)=q2πRddx1x-
d+λ(1x-x*-1x).
(28)
(27)
22
Эти формулы определяют поле скоростей при фильтрации «разноцветных»
жидкостей. Первой стока достигнет ближайшая к нему точка. Эта точка
находится на оси Ox. Из формул для скорости следует, что на оси Ox
скорость фильтрации v=vx. Найдем время достижения этой точкой скважины
по формуле
Рассмотрим случай, когда скважина находится внутри окружности на оси
абсцисс на расстоянии d<R от начала координат (Рис.9). Используя
фильтрационную теорему об окружности, запишем формулы для потенциала
[5]:
k1φ1=q2π(1+λ)lnx-d2+y2-λ lnx2+y2, x,y∈D1;
k2φ2=q2πlnx-d2+y2-λlnx-x*2+y2-λlnR21+λ,x,y∈D2.
Получим поле скоростей при фильтрации «разноцветных»
жидкостей из формулы (8):
v1x=q2π1+λx-dx-d2+y2-λxx2+y2,
v1y=q2π1+λyx-d2+y2-λyx2+y2,x,y ϵ D1;
(29)
v2x=q2πx-dx-d2+y2-λx-x*x-x*2+y2,
v2y=q2πyx-d2+y2-λyx-x*2+y2,x,y ϵ D2.
Первой скважины достигнет точка окружности, находящаяся на оси Ox.
На этой оси скорость фильтрации
v=vx. Поэтому время достижения
скважины будет вычисляться при подставлении (29) в интегралы
T1= dd+bdxv2xx,0; T2= dd-bdxv2x(x,0),
(30)
23
где b- радиус границы сопряжения слоев. Так как пределы интегрирования
зависят от знака λ. Поэтому
положительных λ.
T=T1 для отрицательных λ, T=T2 для
24
3.2. Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(эксплуатационная скважина расположена вне круговой границы
раздела сред)
Пусть в первоначальный момент времени граница раздела разноцветных
жидкостей представляет собой окружность с центром в начале координат.
Скважина находится на оси Ox на некотором расстоянии от окружности
Рассмотрим случай при λ=0 (k1=k2), то есть однородный грунт. Пусть Rрадиус окружности, d- расстояние от окружности до стока. Rc- радиус
скважины. Так как Rc≪d, то радиусом скважины можно пренебречь.
Пусть радиус окружности R=1, дебит скважины q=π. Подставляя (27) в
(28) имеем, что ближайшая к стоку точка достигнет его за время
TΓ=d2,
где d
– расстояние от окружности до стока. Эта формула совпадает с
формулой для времени при прямолинейной границе раздела жидкости (dрасстояние от прямой до скважины).
Выберем в качестве характерного расстояния – d=d0. Положим d0=1. В
этом случае время достижения границей скважины T=1. Выберем в качестве
характерного времени T0=T. На рисунке (П.6) показана эволюция границы
«разноцветных» жидкостей в однородном грунте при первоначальной
круговой границе раздела в четырех различных моментах времени:
T04,T02,3T04,T0.
Пусть
λ≠0
(k1≠k2).
Граница
сопряжения
слоев
совпадает
с
первоначальной границей раздела. Вне окружности коэффициент фильтрации
–
k1, внутри окружности - k2. Скважина находится на расстоянии d от
окружности. Пусть R=1. Выберем в качестве характерного расстояния – d0.
Положим d0=1 и q=π.
Подставляя (27) в интеграл (28) найдем
зависимость времени заводнения скважины от параметра λ и изобразим эту
зависимость на графике (П.12). Анализ графика показывает, что при
увеличении параметра λ увеличивается время достижения границей
25
скважины. Причем при λ<0.6 эта зависимость близка к линейной, а при
λ>0.6 при небольшом увеличении λ очень быстро возрастает время
достижения границей скважины.
Сравним график (П.12) с графиком зависимости времени от параметра λ
для прямолинейной границы сопряжения слоев (П.2). Из рисунков видно, что
при λ<0 граница Γ быстрее достигает границы в виде прямой, а при λ>0
быстрее достигает границы в виде окружности.
На графике (П.13) показана зависимость времени заводнения скважины
от расстояния d при фиксированных значениях параметра λ. Из графика
следует, что при увеличении расстояния возрастает время достижения
границей скважины.
На рисунках (П.14 – П.16) показана эволюция раздела «разноцветных»
жидкостей в кусочно-однородной среде при различных значениях параметра
λ в четырех различных моментах времени: T04,T02,3T04,T0, где T0=Tхарактерное время. Из рисунков видно, что при увеличении параметра λ
граница раздела имеет более вытянутую форму.
26
3.3.Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(эксплуатационная скважина расположена внутри круговой
границы раздела сред)
Рассмотрим случай, когда первоначальная граница раздела «разноцветных»
жидкостей представляет собой окружность радиуса b с центром в точке
расположения источника. Пусть радиус границы сопряжения слоев меньше
радиуса границы раздела (R>b). Окружность Γ0 находится полностью внутри
границы Γ (Рис.10).
Положим дебит скважины q=π. В случае однородного грунта k1=k2
(λ=0) при условии, что Rc≪b (Rc- радиус скважины), время достижения
границей скважины будет вычисляться при подстановке (29) в интеграл (30).
Тогда формула для времени заводнения скважины примет вид:
T=b2.
Таким образом время достижения границей скважины представляет
собой квадратичную зависимость только от радиуса окружности границы
раздела и не зависит от других параметров.
Граница в этом случае будет всё время оставаться окружностью,
концентрической к границе скважины, ее радиус будет уменьшаться с
течением времени. Таким образом в случае однородного грунта движение
границы раздела «разноцветных» жидкостей будет радиальным.
Пусть k1≠k2 и в начальный момент времени (T=0) граница сопряжения
слоев представляет собой окружность радиуса a с центром в начале
координат. Вне окружности коэффициент фильтрации k1 внутри окружности
- k2. Скважина находится на оси Ox на расстоянии d от начала координат.
Граница раздела «разноцветных» жидкостей представляет собой окружность
с центром в точке расположения скважины.
Выберем в качестве характерного расстояния радиус окружности b=1.
Тогда время, за которое скважины достигнет ближайшая к ней точка границы
будет T=1. Выберем в качестве характерного времени T0=T. На рисунках
(П.17 – П.21) показана эволюция раздела «разноцветных» жидкостей в
27
кусочно-однородной среде при различных значениях параметра λ в четырех
различных моментах времени: T04,T02,3T04,T0.
Из рисунков видно, что в зависимости от знака параметра λ прорыв
происходит с различных сторон. При λ<0 прорыв происходит слева, при λ>0
– справа.
Найдем время заводнения скважины подставив формулы (29) в интеграл
(30). На рисунке (П.22) показана зависимость времени достижения скважины
от параметра λ при фиксированном значении расстояния d. При λ<0 эта
зависимость представляет собой возрастающую нелинейную функцию. При
λ>0- функция убывает. Максимум находится в точке λ=0. При параметрах λ,
незначительно отличающихся от нуля просматривается небольшая симметрия
функции относительно оси ординат, однако при возрастании параметра
симметрия нарушается. И в общем случае зависимость T(λ) не является
симметричной.
Рассмотрим зависимость времени достижения границей скважины от
расстояния от центра координат до скважины при фиксированных значениях
параметра λ. График этой зависимости изображен на рисунке (П.23). При λ=0
график представляет собой прямую линию T=1. При значениях λ отличных
от нуля графики зависимостей T(d) представляют собой убывающие
функции, пересекающиеся в точке d=0.
Анализ графика показывает, что при значениях d слабо отличающихся от
нуля совпадают графики функций при одинаковой абсолютной величине, но
различных знаках параметра λ. При увеличение параметра λ
графики
перестают совпадать.
3.3.Эволюция заданной круговой границы раздела жидкостей
(нагнетательная скважина расположена вне круговой границы
раздела сред)
28
y
D1(k1)
Γ
D2k2
x
0
Рассмотрим случай, когда граница Γ представляет собой окружность
радиуса R. Вне окружности коэффициент фильтрации k1 внутри окружности
- k2. Свяжем центр декартовой системы координат с центром границы Γ. Ось
Ox проведем через точку расположения скважины. Пусть скважина
находится на расстоянии d от границы Γ. В рассматриваемом случае учтем
наличие границы Γ используя фильтрационную теорему об окружности.
Тогда для поля скоростей получим формулы (27). Положение границы
раздела в различные моменты времени при различных значениях параметра λ
показаны на рисунках (П.24 – П.27). Дебит скважины q=2π, время
Рис.11.Круговая граница раздела
жидкостей (нагнетательная скважина)
достижения границей раздела жидкостей
границы
раздела
кусочно-однородного
грунта примем за характерное.
При
λ=1
происходит
обтекание
непроницаемой
границы,
при
уменьшении параметра λ уменьшается скорость жидкости внутри границы и
29
увеличивается время полного обтекания границей раздела жидкостей
границы раздела кусочно-однородного грунта.
Зависимость времени от координаты расположение нагнетательной
скважины, а также от различных параметров λ будут симметричны
относительно оси Ox графикам для эксплуатационной скважины.
Заключение
Результаты работы состоят в следующем:
1.Проведен обзор литературы по теме работы;
2.Построены
математические
модели
эволюции
границы
раздела
границы
раздела
«разноцветных» жидкостей в однородном грунте;
3.Построены
математические
модели
движения
«разноцветных» жидкостей в кусочно-однородном грунте с прямолинейной и
круговой границей сопряжения слоев;
4.Построен численный алгоритм решения задачи эволюции границы раздела
жидкостей;
5.Получено аналитическое решение задачи при движении границы раздела
«разноцветных жидкостей» в однородном грунте;
6.Численно исследована задача эволюции границы раздела «разноцветных»
жидкостей в кусочно-однородном грунте;
7.Найдены зависимости времени достижения границей раздела жидкостей
скважины от параметра λ, характеризующего неоднородность среды;
Результаты, полученные в работе, представляют практический интерес и
могут быть использованы как модели при исследовании более сложных
случаев эволюции границы раздела жидкостей.
30
Список литературы
1.Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972. 368
с.
2.Голубева О.В., Мамбетов А.М. Расчет движения границы раздела двух
сред // Задачи гидродинамики при усложненных моделях среды. МОИП. М.:
Наука, 1985. С. 3-7.
3.Никольский Д.Н. Математическое моделирование работы системы скважин
в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела
жидкостей различной вязкости. Дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Орел,
2001. 191с.
4. Пивень В.Ф. Постановка основных граничных задач фильтрации в
анизотропной пористой среде // Труды XIII Международного симпозиума
«МДОЗМФ».- Харьков-Херсон. 2007.
5.Пивень
В.Ф.
Теория
и
приложения
математических
моделей
фильтрационных течений жидкости.- Орёл. Изд-во ГОУ ВПО «Орловский
госуниверситет». 2006. 508 с
6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики.
М: Науч.мир, 2000. 315 с.
7.Федяев
Ю.С.
Математическое
моделирование
эволюции
двумерной
границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и
кусочно-неоднородных слоях грунта. Дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18.
Орел, 2005. 191с.
8.Федяев Ю.С. Математическое и компьютерное моделирование эволюции
границы раздела жидкостей в пористой среде: Учеб. пособие. Орел: ОГУ,
2010. 50 с.
9. Федяев Ю.С. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей к
скважине в степенном слое // Тр. Х Междунар. симп. «МДОЗМФ-2000».
Орел, 2000. С. 445-448.
31
Приложения
Рис.П.1 Стягивание прямолинейной (при t=0) границы Γ0 к скважине в однородном
грунте
Рис.П.2 Зависимость времени достижения скважины от параметра λ
32
Рис.П.3 Эволюция прямолинейной (при t=0) границы Γ0 (λ=1/2, Т=1.42)
Рис.П.4 Эволюция прямолинейной (при t=0) границы Γ0 (λ=-1/2, Т=0.79)
33
Рис.П.5 Стягивание круговой (при t=0) границы Γ0 к скважине в однородном грунте
Рис.П.6 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-1/2, Т=0.79)
34
Рис.П.7 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=1/2, Т=1.42)
Рис.П.8 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=1, Т=4)
35
Рис.П.9 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=1/2, Т=4)
Рис.П.10 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-1/2, Т=4)
36
Рис.П.11 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-1, Т=4)
37
Рис. П. 12 Зависимость времени достижения скважины от параметра λ
Рис. П. 13 Зависимость времени достижения скважины от расстояния от окружности до
скважины (1.λ=1/2 ,2.λ=0, 3.λ=-1/2, 4.λ =-1)
38
Рис. П. 14 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=0, T=1)
39
Рис. П.15 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-1/2, T=0.85)
Рис.П.16 Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=1/2 , T=1.3)
40
Рис.П.17.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=0,T=1)
Рис.П.18.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-0.9,T=0.86)
41
Рис.П.19.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-1/2,T=0.91)
Рис.П.20.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=1/2,T=0.87)
42
Рис.П.21.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=0.9,T=0.80)
Рис. П. 19 Зависимость времени достижения скважины от параметра λ
43
Рис. П. 20 Зависимость
времени достижения скважины от координаты расположения скважины (1.λ=0.9 ,2.λ=1/2,
3.λ=0, 4.λ =-1/2, 5. λ=-0.9)
Рис.П.21.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=1,T=0, 4, 8,12, 16)
44
Рис.П.22.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=1/2,T=0, 4, 8,12, 16)
Рис.П.23.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-1/2,T=0, 4, 8,12, 16,40)
45
Рис.П.24.Эволюция круговой (при t=0) границы Γ0 (λ=-1,T=0, 4, 8,12, 16, 44)
46
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа