close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Петрова Наталья Дмитриевна. Изучение алгебраического материала в курсе математики в 1-6 классах

код для вставки
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………...……………………...…3
Глава 1. Теоретические аспекты изучения алгебраического материала в курсе математики 1-6 классов ...................................…………………………………..6
1.1 Теоретические основы изучения элементов алгебры в курсе математики
1- 6 классов………………………………………………………………….……….. 6
1.2 Требования ФГОС НОО и ФГОС ООО к содержанию алгебраического материала в школьном курсе математики………………………………………..……….25
Выводы по первой главе……………………………………………………………33
Глава 2. Методические основы изучения алгебраического материала...........33
2.1 Анализ алгебраического материала в современных учебно-методических
комплектах основной школы……………………………………………………….33
2.2 Изучение опыта учителей по изучению элементов алгебры в курсе математики в 1-6 классах……………………………………………………………………….45
2.3 Методические рекомендации по изучению алгебраического материала……………………………………………………………………………………….62
Выводы по второй главе…………………………………………………...............71
Заключение…………………………………………………………………………..72
Список литературы……………………………………..…………………………..75
Приложение…………………………………………………………………………..80
3
ВВЕДЕНИЕ
Школьный курс математики (1-6 классов) – курс интегрированный. В нем
объединены арифметический, алгебраический и геометрический материалы. Алгебраический материал изучается, начиная с 1-го класса школы в тесной связи с
арифметическим и геометрическим материалом.
В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом учащиеся уже в начальной школе должны получить первоначальные сведения
о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, ознакомиться с буквенной символикой, с переменной, научиться решать несложные
уравнения и неравенства, приобрести умение решать некоторые простые и составные задачи с помощью уравнений.
Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе,
арифметических действиях, отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению
алгебры в последующих классах.
Алгебраический материал проходит через весь курс математики не только в
начальной школе, но и идет по всему курсу математики 5-6. Именно в этот период
должен быть заложен прочный фундамент знаний, умений, навыков необходимых
для дальнейшего успешного усвоения систематического курса алгебры.
В настоящее время в результате различных проверок достижений учащихся
планируемых результатов обучения вопросов алгебры в начальной школе и в 5-6
классах установлено, что, в основном необходимый минимум знаний в этой области достигается в процессе обучения. Однако, исходя из опыта учителей видно,
что в этом направлении есть ряд недостатков. Поэтому усилия учителей начальных классов и учителей математики в 5-6 классов должны быть направлены на
устранение такого положения дел, так как заложенные основы прочных знаний
алгебраического материала имеет огромное значение для всей дальнейшего обучения школьника, удачного прохождения итоговой аттестации, разрешения различных жизненных ситуаций, успешного овладения современными технологическими инновациями.
4
Все выше вышесказанное свидетельствует об актуальности выбора темы
исследования: «Изучение алгебраического материала в курсе математики (1-6
класс).
Объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе и
в 5- 6 классах.
Предмет исследования: изучение алгебраического материала в школьном
курсе математики (1-6 класс).
Цель исследования: определить педагогические условия изучения алгебраического материала в 1-6 классах.
Цель исследования определила следующие задачи:
- изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме исследования;
- рассмотреть теоретические основы элементов алгебры в курсе математи-
ки в 1- 6 классов;
- выделить требования ФГОС НОО и ФГОС ООО к изучению алгебраического материала в школьном курсе математики;
- проанализировать алгебраический материал в современных учебнометодических комплектах для основной школы;
- изучить и обобщить опыт учителей по организации работы с алгебраическим материалом при изучении математики в 1-6 классах;
- разработать методические рекомендации по изучению алгебраического
материала;
- сформулировать выводы по исследованию.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы
исследования: анализ научной, методической, учебной и дидактической литературы, изучение опыта учителей, анализ программно-методических материалов.
Объём работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения,
двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
5
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
1-6 КЛАССОВ
1.1 Теоретические основы изучения элементов алгебры
в курсе математики 1- 6 классов
Школьный курс математики 1 – 6 классов традиционно содержит алгебраический материал. В качестве основных вопросов в нём рассматриваются числовые
и буквенные выражения, равенства и неравенства, уравнения и функциональная
пропедевтика. Рассмотрим это понятия с точки зрения теоретических основ математики. Начнём с понятия функции.
1. Функции.
Определение 1. Бинарное соответствие f между элементами множеств Х и
Y, которое каждому элементу хХ ставит в соответствие не более одного элемента уY называется функциональным соответствием или функцией.
Видим, что данное определение совпадает с определением отображения из
Х в Y. Но термин «отображение» вводится для элементов любой природы, а термин «функция» обычно употребляется для числовых множеств, поэтому говорят о
числовых функциях.
Определение 2. Числовой функцией называется бинарное соответствие f
между числовым множеством Х и множеством действительных чисел R, которое
каждому элементу хХ ставит в соответствие единственный элемент из множества R.
Исходя из тождественности понятий отображение и функция, можно определение сформулировать иначе.
Определение 3. Числовой функцией f называется отображение числового
множества Х во множество действительных чисел R.
Элементы хХ называются аргументами функции. Множество Х называется областью определения функции и обозначается D.
6
Если f – функция, заданная на множестве Х, то действительное число, соответствующее числу хХ, обозначают f(x) и называют значением функции в
точке х. Множество чисел вида f(x) для всех хХ называется областью значения
функциии обозначают Е.
Из определения функции следует, что задать функцию можно также как и
соответствия.
1. Аналитический способ – при помощи одной или нескольких формул,
указывающих как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. При этом обычно область определения не указывают, так как за нее
принимают область определения выражения f(х). Например, областью определения функции, заданной уравнением у = х будут все неотрицательные числа. Бывают случаи, когда одна и та же функция задается различными формулами, в зависимости от значения аргумента. Например, функция у = |x|, может быть задана
так:
- х, х < 0
х, х  0
Аналитический способ позволяет точно найти значения функции для любых
значений области определения, но не обладает наглядностью.
1. Графический способ – в виде множества точек координатной плоскости с
абсциссой хХ и ординатой f(х). Удобен при различных наблюдениях, обладает
наглядностью, ноне точен.
2. Табличный способ. Например, таблица квадратов двузначных чисел. В
этом случае областью определения функции будут только те числа, для которых
указаны квадраты.
3. Словесный способ. «у – это квадрат двузначного числа х». Некоторые
функции можно задать только таким способом. Например, «у – это количество
простых чисел, не превосходящих числа х».
В начальной школе делаются первые шаги по знакомству с некоторыми видами функций, которые осуществляется в основном через задачи. Основные виды
7
функций, которые лежат в основе многих задач начального курса математики, это
прямая и обратная пропорциональности и линейная функция. [2, с.196 - 201].
1.1. Прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть
задана при помощи формулы у=kx, где k – не равное нулю действительное число,
называемое коэффициентом пропорциональности.
Функция у = kx является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.
Например, путь – s, пройденный пешеходом за t часов со скоростью 4 км/ч
равен s = 4t, то есть путь прямо пропорционален времени при равномерном движении.
Общая стоимость у х открыток по 6 рублей каждая у = 6х, то есть если цена
предметов одинакова, то стоимость покупки прямо пропорциональна их количеству.
Свойства прямой пропорциональности.
1. D = Е = R.
2. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для ее построения достаточно одной точки.
3. При к > 0 функция возрастает, при к < 0 – убывает на всей области определения.
4. Если функция f – прямая пропорциональность и (х1,у1) и (х2,у2) – две пары
соответствующих значений переменных х и у (х20), то
у
х1
= 1.
у2
х2
Действительно, если функция f – прямая пропорциональность, то она может
быть задана формулой у = kx. Тогда у1 =kx1 и у2 =kx2. Так как х20 и k0, то и у2
0и
у1
kх
х
= 1= 1.
у2
kх 2
х2
Это равенство выражает основное свойствопрямой пропорциональности - с
увеличением (уменьшением) переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
8
Это свойство присуще только прямой пропорциональности и им можно
пользоваться при решении задач с прямо пропорциональными величинами.
Задача. За 8 часов токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов ему потребуется, чтобы изготовить в три раза больше деталей, если он будет работать с той
же производительностью?
1. Найдем производительность токаря
16:8 = 2(дет/час).
2. Найдем, сколько деталей надо изготовить
163 = 48 (дет.)
3. Узнаем, сколько часов потребуется
48:2=24 (ч)
При одинаковой производительности время и количество изготовленных
деталей являются прямо пропорциональными величинами. Значит, если деталей
надо в 3 раза больше, то и работать придется в три раза дольше 83 =24 часа.
1.2. Линейная функция.
Линейной называется функция, которая может быть задана при помощи
формулы у = kx + b, где k и bдействительные числа.
Зная две пары соответствующих значений (х1,у1) и (х2,у2) можно выразить
значение коэффициента k по формуле: k =
y 2  y1
x 2  x1
Действительно, если пары соответствующих значений(х1,у1) и (х2,у2), то у1
= kx1 + b и у2 = kx2 + b откуда у2 - у1 = kx2 - kx1 = k(x2 - x1) и k =
y 2  y1
.
x 2  x1
Свойства линейной функции.
1. D = Е = R.
2. Графиком функции является прямая, поэтому для ее построения достаточно двух точек.
3. При к > 0 функция возрастает, при к < 0 – убывает.
Задача.х машин, каждая грузоподъемностью 4 т, привезли в хранилище
картофель. Сколько тонн картофеля у стало в хранилище, если сначала там было
20 т картофеля? у = 4х + 20
1.3. Обратная пропорциональность.
9
Обратной пропорциональностью называется функция, которая может
k
x
быть задана при помощи формулы у = , где k – не равное нулю действительное
число, называемое коэффициентом пропорциональности.
Функция у =
k
является математической моделью многих реальных ситуаx
ций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Например, если пешеход, идущий t часов со скоростью v км/ч, прошел путь 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой vt = 12 или v =
12
, то есть при
t
равномерном движении и постоянном пути скорость обратно пропорциональна
времени. Если купили х открыток поу рублей каждая, а общая стоимость покупки
30 рублей, то 30 = ху или у =
30
, то есть при одинаковой стоимости покупки цена
x
и количество предметов обратно пропорциональны.
Свойства обратной пропорциональности.
1. D = Е = R\ {0}.
2. Графиком функции является гипербола.
3. При k>0 ветви гиперболы расположены в 1 и 3 четвертях, функция у =
k
x
убывает на всей области определения. При k< 0 ветви гиперболы расположены во
2 и 4 четвертях, функция у =
k
возрастает на всей области определения.
x
4. Если функция f – прямая пропорциональность и (х1,у1) и (х2,у2) – две пары
соответствующих значений переменных х и у, то
у
х1
= 2.
у1
х2
Действительно, если функция f – обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у =
k0, то
у2
х
k
k
=
: = 1.
у1
x 2 x1
х2
k
k
k
. Тогда у1 = и у2 = . Так как х10, х20 и
x2
x1
x
10
Это равенство выражает основное свойство обратной пропорциональности
- с увеличением (уменьшением) переменной х в несколько раз соответствующее
значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Это свойство присуще только обратной пропорциональности и им можно
пользоваться при решении задач с обратно пропорциональными величинами.
Задача. За 8 часов токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов ему потребуется, чтобы изготовить эти детали, если его производительность будет в 2 раза
больше?
1. Найдем производительность токаря
16:8 = 2(дет/час).
2. Найдем новую производительность
2  2 = 4 (дет/час)
3. Узнаем, сколько часов потребуется
16 : 4 = 4 (ч)
При одинаковом количестве изготовленных деталей производительность и
время являются обратно пропорциональными величинами. Значит, если производительность в 2 раза больше, то работать придется в два раза меньше 8:2 =4 часа.
2. Выражения.
Изучение таких понятий как «выражение», «уравнение», «неравенство» и
т.д. связано с использованием математического языка, относящегося к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с определенной наукой.
Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит. В него входят:
1. Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых по определенным
правилам записываются числа.
2. Знаки операций +, -, , :
3. Знаки отношений =, >, <, :
4. Строчные буквы латинского алфавита, применяющиеся для обозначения
чисел.
5. Технические знаки – скобки (круглые, фигурные и др.).
Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называемые выражениями, а из слов – предложения – числовые равенства и неравенства, уравнения, неравенства с переменными.
11
Определение 1.Элементарным выражением называется любое число, записанное с помощью цифр, или обозначенное буквой.
Сумма, разность, произведение, частное элементарных выражений называется выражением.
Это определение позволяет отличать выражения от слов математического
языка, которые не являются выражениями. Например, 104, 3, а, с, b+7, 12:х - выражения, записи 45:+ 25, (((х -) - не являются выражениями по определению.
В начальной школе используются только выражения, указанные в данном
определении, которым мы и будем пользоваться. Но в математике понятие «выражение» используется в более широком смысле. (Например,
а 1
– дробное вы6
ражение, sin х – тригонометрическое выражение, lg а – логарифмическое выражение, х5 – степенное выражение, 7у – показательное выражение и т.д.).
С понятием выражения учащиеся знакомятся уже в первом классе (3, 5, 2+1
и т.д.), но самим термином они не пользуются. Во втором классе дается описание
того, что будет называться выражением (5+8, 12 – 6 - математические выражения).
Выражения, которые не содержат букв, называются числовыми выражениями. Из определения следует, что в числовые выражения могут входить лишь
числа, знаки операций, а также скобки, указывающие порядок выполнения действий.
Если выполнить все действия, указанные в числовом выражении, то получается число, которое называется значением числового выражения. Если найти
значение числового выражения невозможно, то говорят, что оно не имеет смысла.
Например, 35 – 10 + 1 и 7:(2-2) – числовые выражения. Значение первого из
них равно 6, второе числовое выражение не имеет смысла. Выражения 17: 8 и 3–7
во множестве натуральных чисел также не имеют смысла (нельзя найти натуральное значение этого выражения).
12
Определение 2 . Два числовых выражения называются равными, если они
имеют одинаковые значения.
Например, числовые выражения 12:3, 3+1, 22 – равные.
Выражения, в записи которых используются буквы – переменные - называются выражениями с переменными. Переменную обычно обозначают строчной
буквой латинского алфавита (иногда с индексами или штрихами). В начальной
школе часто используют  или другие знаки.
Если в такое выражение вместо переменной поставить некоторое значение,
то получается числовое выражение. Множество значений, при которых получается числовое выражение, имеющее смысл, называется областью определениявыражения.
Например, 2х–5 и 8 : - выражения с переменными. Область определения
первого из них любое число, а второго - все числа, кроме нуля.
Значением выражения с переменной при данных значениях переменных
называется значение числового выражения, которое получается при подстановке в
выражение данных значений переменных. (Значение выражения 2х - 5 при х = 3
равно 1)
Найдем значение выражения 6х + 4х при х = 5.
Подставляя вместо х число 5, получим 65 + 45 = 30 + 20 = 50, но можно
выражение было упростить 6х + 4х = 10х, а затем подставить значение 105 = 50.
То есть выражение 6х + 4х мы заменили выражением 10х, которое будет принимать те же значения при любых значениях переменных.
Определение 3. Два выражения с переменными называются тождественно
равными, если они принимают одинаковые значения при одинаковых наборах
конкретных значений, входящих в них переменных.
Замена одного выражения другим, тождественно ему равным, называется
тождественным преобразованием.
Два тождественно равных выражения, соединенные знаком равенства, называются тождество.
13
В основетождественных преобразований лежат определенные правила –
свойства алгебраических операций, определения понятий и др. В приведенном
примере использовался дистрибутивный закон умножения относительно сложения: (а + b) c = ac + bc. Записанное равенство является тождеством, так как оно
выполняется при любых значениях переменных.
Тождества не следует путать с уравнениями, так как равенство выражений в
уравнениях возможно лишь при некоторых значениях переменных.
Например, х2+ 2х + 1 = (х + 1)2 и sin2x + cos2x = 1 – тождества (верны для
любых х),
х2+ 2х + 1 = х + 1 и cosx = 1 – уравнения.
3. Числовые равенства и неравенства.
Определение 1. Числовым равенством называются два числовых выражения, соединенные знаком =.
Отношение равенства рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Возьмем два числовых выражения 7 – 5 и 4 : 2 и соединим их знаком равенства: 7 – 5 = 4 : 2. Данное равенство истинное.
Если записать равенство 3 + 5 = 10 – 3, то оно ложно, значит, с логической
точки зрения числовые равенства представляют собой высказывания.
Верные числовые равенства обладают следующими свойствами:
1. К обеим частям верного числового равенства можно прибавить одно и то
же числовое выражение (или равные числовые выражения), имеющие смысл, в
результате чего получится верное числовое равенство.
Например, 7 – 5 = 4 : 2 и 7 – 5 + 4 = 4 : 2 + 4.
2. Обе части верного числового равенства можно умножить на одно и тоже
числовое выражение (на равные числовые выражения), имеющие смысл, в результате чего получится верное числовое равенство.
Например, 7 – 5 = 4 : 2 и (7 – 5)  5 = 4 : 2 5.
Определение 2. Числовым неравенством называются два числовых выражения, соединенные знаком > или <.
Знаки > и < называют противоположными.
14
Отношения>(<) антирефлексивны, антисимметричны и транзитивны.
Числовые неравенства могут быть верными и неверными. То есть с логической точки зрения представляют собой высказывания (истинные или ложные).
Например, соединив числовые выражения 55 и 15 – 10 знаком > получим
верное числовое неравенство 55 > 15 – 10, а соединив знаком <, ложное числовое
неравенство 55 < 15 – 10.
Свойства верных числовых неравенств:
1. К обеим частям верного числового неравенства можно прибавить одно и
то же числовое выражение (или равные числовые выражения), имеющие смысл, в
результате чего получится верное числовое неравенство.
2. Обе части верного числового неравенства можно умножить на одно и тоже числовое выражение (на равные числовые выражения), имеющие смысл и положительное значение, в результате чего получится верное числовое неравенство.
3. Обе части верного числового неравенства можно умножить на одно и тоже числовое выражение (на равные числовые выражения), имеющие смысл и отрицательное значение, в результате чего получится верное числовое неравенство,
если поменять при этом знак неравенства на противоположный.
4. Уравнения.
Определение 1. Два выражения, из которых хотя бы одно содержит переменные, соединенные знаком равенства, называется уравнением.
По числу переменных, входящих в уравнение, различают уравнения с одной, двумя и т.д. переменными.
Общий вид уравнения с n переменными: f (x1, x2, … , xn) = g (x1, x2, … , xn),
где f(x1,x2, … ,xn) и g(x1,x2, … ,xn) – символические обозначения выражения,
содержащего переменные x1,x2, … ,xn. Эти выражения принято называть соответственно левой и правой частью уравнения.
С точки зрения логики, уравнение с n переменными представляет собой nместный предикат. Аналогично предикатам, область определенияуравнения –
множество значений переменных, при которых оно имеет смысл.
15
Если область определения специально не задается, то предполагается, что
она представляет собой множество, известное учащимся. Например, в начальной
школе – это множество натуральных чисел, в 9-летней – множество рациональных
чисел, в средней – множество действительных чисел. Поэтому для младшего
школьника уравнения х – 5 = 3 или 7 : х = 5 не имеют смысла.
Значения переменных из области определения уравнения, которые обращают его в верное числовое равенство, называются решениями (корнями) уравнения. Если уравнение не обращается в истинное равенство ни при каких значениях
переменных, то говорят, что множество его корней пусто (уравнение не имеет
решений). Например, уравнение 2х + 3 = 2х –3 не имеет решений.
Решить уравнение – значит найти множество его корней. Поэтому принято
писать ответ в уравнении в виде множества (например, {3, 5}).
Решения уравнения зависят от области определения.
Например, множество корней уравнение (х-1)(х+2)(2х-3)(х2 –5) = 0
на области определения N
{1},
на области определения Q
{1, -2, 1,5},
на области определения Z
{1, -2},
на области определения R
{1, -2, 1,5, 5}.
Для того, чтобы решить уравнение, его преобразовывают - заменяют более
простым. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не будут найдены корни
уравнения.
Иногда при преобразовании уравнения могут появиться лишние корни или
потеряться некоторые решения.
Пример.х – 2 = -3 не имеет корней, но, преобразовав х – 2 = 9, получим х =
11 – лишний корень, который можно обнаружить, сделав проверку: 11 – 2 = 3  3.
Пример. х(х-2) = 3х, х - 2 = 3, х = 5. Но корнем этого уравнения является и
х = 0.
16
Чтобы найденные корни были решениями исходного уравнения, надо, чтобы в процессе преобразований получались уравнения, множества решений которых совпадают.
Определение 2. Два уравнения с одной и той же областью определения называются равносильными, если множества их решений равны.
Равносильность уравнений символически обозначается «». Переход от
одного уравнения к другому, ему равносильному, называется равносильным
преобразованием.
Пример. Уравнения (х+1)(х-1)= 0  х-1 = 0 на множестве N, так как множества их решений равны {1}, но на множестве Z эти уравнения равносильными
не будут, так как множества их решений различны ({1} {1, -1}).
Свойства отношения равносильности уравнений.
1. Рефлексивность: любое уравнение равносильно самому себе – истинно,
так как по свойствам равенства множеств А=А, где А – множество решений данного уравнения.
2. Симметричность: если уравнение (1) равносильно уравнению (2), то
уравнение (2) равносильно уравнению (1) – истинно, так как по свойствам равенства множеств если А=В, то В=А, где А и В – множества решений соответственно
уравнений (1) и (2).
3. Транзитивность: если уравнение (1) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) равносильно уравнению (3), то уравнение (1) равносильно уравнению
(3) – истинно, так как по свойствам равенства множеств если А=В и В=С, то А=С,
где А,В и С – множества решений соответственно уравнений (1), (2) и (3).
Теоремы о равносильности уравнений.
Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже выражение, имеющее смысл в области определения данного уравнения, то получиться
уравнение равносильное данному в той же области определения.
Доказательство.
Проведем доказательство для уравнения f(x) = g(x) с одной переменной х,
заданного на некотором множестве Х, в качестве выражения возьмем некоторое
17
выражение h(x), которое имеет смысл на множестве Х. Тогда, по условию теоремы надо показать, что уравнения f(x)= g(x) (1) и f(x) + h(x)= g(x) + h(x) (2)
равносильны.
Пусть А – множество решений уравнения (1), В – множество решений уравнения (2). Тогда (1)  (2) тогда и только тогда, когда А=В ( по определению 28).
Пусть а – произвольное решение уравнения (1), то есть аА. Так как а является решением уравнения (1), то оно обращает (1) в верное числовое равенство
f(а) = g(а). При подстановке а в выражение h(x) получим числовое выражение
h(а). Прибавим к обеим частям верного числового равенства f(а) = g(а) числовое
выражение h(а). По свойству 1 числовых равенств получим верное числовое равенство f(а) + h(а) = g(а) + h(а). Следовательно, а - решение уравнения (2) и аВ.
По определению включения АВ.
Пусть b – произвольное решение уравнения (2), то есть bВ. Так как b является решением уравнения (2), то оно обращает (2) в верное числовое равенство
f(b) + h(b) = g(b) + h(b). Прибавим к обеим частям этого числового равенства числовое выражение - h(b). По свойству 1 числовых равенств получим верное числовое равенство f(b) = g(b). Следовательно, b – решение уравнения (1) и bА. По
определению включения ВА. По второму свойству включения множеств А=В, а
значит, уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема доказана.
Следствия.
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число, то получится уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (выражение) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак слагаемого на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.
18
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить на одно и тоже выражение,
имеющее смысл и не равное нулю в области определения данного уравнения, то
получиться уравнение равносильное данному в той же области определения.
Доказательство.
Проведем доказательство для уравнения f(x) = g(x) с одной переменной х,
заданного на некотором множестве Х, в качестве выражения возьмем некоторое
выражение h(x), которое имеет смысл и не равно нулю на множестве Х.
Тогда, по условию теоремы надо показать, что равносильны уравнения
f(x) = g(x) (1)
и
f(x) h(x)= g(x) h(x) (2).
Пусть А – множество решений уравнения (1), В – множество решений уравнения (2). Тогда (1)  (2) тогда и только тогда, когда А=В (по определению 28).
Пусть а – произвольное решение уравнения (1), то есть аА.
Так как а является решением уравнения (1), то оно обращает (1) в верное
числовое равенство f(а) = g(а).
При подстановке а в выражение h(x) получим числовое выражение h(а), которое имеет смысл и отличное от нуля значение.
Умножим обе части верного числового равенства f(а) = g(а) на отличное от
нуля числовое выражение h(а). По свойству 2 верных числовых равенств получим
верное числовое равенство f(а)  h(а) = g(а)  h(а). Следовательно, а - решение
уравнения (2) и аВ. По определению включения А  В.
Пусть b – произвольное решение уравнения (2), то есть bВ.
Так как b является решением уравнения (2), то оно обращает (2) в верное
числовое равенство f(b)  h(b) = g(b)  h(b). Умножим обе части этого числового
равенства числовое выражение
1
. По свойству 2 числовых равенств получим
h(b)
верное числовое равенство f(b) = g(b). Следовательно, b – решение уравнения (1)
и bА. По определению включения ВА. По второму свойству включения множеств А=В, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема доказана.
19
Следствие. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и
тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнения с одной переменной и его решение.
Общий вид уравнения с одной переменной f(x) = g(x).
Если выражения с переменной f(x) и g(x) содержат переменную х в степени
не большей 1, то уравнение f(x) = g(x) будет линейным. Такие уравнения решаются несколькими способами.
1. Решение линейных уравнений с одной переменной, на основе зависимости между компонентами арифметических действий и их результатами.
2х + 4 = 16
Неизвестное содержится в первом слагаемом.
Чтобы его найти, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
2х = 16 – 4
2х = 12
В этом уравнение неизвестен второй множитель.
Чтобы его найти, надо произведение разделить на известный первый множитель.
х = 12 : 2
х=6
Ответ: {6}.
2. Решение линейных уравнений с одной переменной на основе равносильных преобразований.
6(х + 4) = 4 – х
Раскроим скобки (дистрибутивность умножения относительно сложения)
6х + 24 = 4 – х
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую меняя при этом их знак (следствие 2 из Т1).
6х + х = 4 – 24
Приведем подобные слагаемые (дистрибутивность умножения относительно сложения)
5х = - 20
20
Разделим обе части уравнения на число 5  0 (следствие из Т2)
х = - 20 : 5
х=-4
Ответ: {- 4}.
5. Неравенства с переменными.
Определение 1. Два выражения, из которых хотя бы одно содержит переменные, соединенные знаком «больше» или «меньше», называется неравенством
с переменными.
По числу переменных, входящих в неравенство, различают неравенства с
одной, двумя и т.д. переменными. С точки зрения логики, неравенство с n переменными представляет собой n-местный предикат. В общем виде их записывают в
виде
f(x1, х2, … , xn) <g(x1, х2, … , xn) или f(x1, х2, … , xn) >g(x1, х2, … , xn).
Замечание 1. Нестрогие неравенства
f(x1, х2, … , xn) g(x1, х2, … , xn)
(f (x1, х2, … , xn) g(x1, х2, … , xn))
с точки зрения логики представляют собой дизъюнкцию равенства и строгого неравенства. Символически можно записать:
f(x1,…,xn) g(x1,…,xn) f(x1,…,xn) = g(x1,…, xn) f(x1,…,xn)<g(x1,…,xn)
f(x1,…,xn) g(x1,…,xn) f(x1,…,xn) = g(x1,…, xn) f(x1,…,xn)>g(x1,…,xn)
Замечание 2. Двойные неравенства
f(x1,…,xn) <g(x1,…,xn) <h(x1,…,xn)
с точки зрения логики представляют собой конъюнкцию двух неравенств.
Символически можно записать:

f(x1,…,xn) <g(x1,…,xn) <h(x1,…,xn) 
f(x1,…,xn) <g(x1,…,xn) g(x1,…,xn) <h(x1,…,xn)
Область определения неравенства – это множество значений переменных,
при которых оно имеет смысл. Значения переменных из области определения неравенства, которые обращают его в верное числовое неравенство, называются его
решениями. Решить неравенство – значит найти множество его решений.
Определение 2. Два неравенства с одной и той же областью определения
называются равносильными, если множества их решений равны.
Теоремы о равносильности неравенств.
21
Теорема 3. Если к обеим частям неравенства с переменными прибавить одно и тоже выражение, имеющее смысл в области определения данного неравенства, то получиться неравенство с переменными равносильное данному в той же области определения.
Проведем доказательство для неравенства f(x) >g(x) с одной переменной х,
заданного на некотором множестве Х, в качестве выражения возьмем некоторое
выражение h(x), которое имеет смысл на множестве Х. Тогда, по условию теоремы надо показать, что неравенства f(x) >g(x) (1) и f(x) + h(x) >g(x) + h(x) (2)
равносильны.
Пусть А – множество решений неравенства (1), В – множество решений неравенства (2). Тогда (1)(2) тогда и только тогда, когда А=В (по определению
29).
Пусть а – произвольное решение неравенства (1), то есть аА. Так как а является решением неравенства (1), то оно обращает (1) в верное числовое неравенство f(а) >g(а). При подстановке а в выражение h(x) получим имеющее смысл числовое выражение h(а). Прибавим к обеим частям верного числового неравенства
f(а) > g(а) числовое выражение h(а). По свойству 1 верных числовых неравенств
получим верное числовое неравенство f(а) + h(а) > g(а) + h(а). Следовательно, а решение неравенства (2) и аВ. По определению включения АВ.
Пусть b – произвольное решение неравенства (2), то есть bВ. Так как b является решением неравенства (2), то оно обращает (2) в верное числовое неравенство f(b) + h(b) > g(b) + h(b). Прибавим к обеим частям этого числового неравенства числовое выражение - h(b). По свойству 1 верных числовых неравенств получим верное числовое неравенство f(b) > g(b). Следовательно, b – решение неравенства (1) и bА. По определению включения ВА. По второму свойству включения множеств А=В, а значит, неравенства (1) и (2) равносильны.
Теорема доказана.
Следствия:
22
1. Если к обеим частям неравенства с переменными прибавить одно и тоже
число, то получится неравенство с переменными, равносильное данному в той же
области определения.
2. Если какое-либо слагаемое (выражение) перенести из одной части неравенства с переменными в другую, поменяв при этом знак слагаемого на противоположный, то получится неравенство с переменными, равносильное данному в
той же области определения.
Теорема 4. Если обе части неравенства с переменными умножить на одно и
тоже выражение, имеющее смысл и большее нуля в области определения данного
неравенства, то получиться неравенство с переменными равносильное данному в
той же области определения.
Следствие. Если обе части неравенства с переменными умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится неравенство с переменными, равносильное данному в той же области определения.
Теорема 5. Если обе части неравенства с переменными умножить на одно и
тоже выражение, имеющее смысл и меньшее нуля в области определения данного
неравенства и изменить при этом знак неравенства на противоположный, то получиться неравенство с переменными равносильное данному в той же области определения.
Проведем доказательство для неравенства f(x) <g(x) с одной переменной х,
заданного на некотором множестве Х, в качестве выражения возьмем некоторое
выражение h(x), которое имеет смысл и меньше нуля на множестве Х. Тогда, по
условию теоремы надо показать, что равносильны неравенства
f(x)<g(x) (1)
и
f(x)h(x) >g(x)h(x) (2).
Пусть А – множество решений неравенства (1), В – множество решений неравенства (2). Тогда (1)  (2) тогда и только тогда, когда А=В (по определению
29).
Пусть а – произвольное решение неравенства (1), то есть аА.
Так как а является решением (1), то оно обращает его в верное числовое неравенство f(а) <g(а). При подстановке а в выражение h(x) получим числовое вы-
23
ражение h(а), которое имеет смысл и меньше нуля на множестве А. Умножим обе
части верного числового неравенства f(а) < g(а) на числовое выражение h(а) и изменим знак неравенства на противоположный. По свойству 3 верных числовых
неравенств получим верное числовое неравенство f(а)h(а) > g(а)h(а). Следовательно, а - решение неравенства (2) и аВ. По определению включения АВ.
Пусть b – произвольное решение неравенства (2), то есть bВ. Так как b решение (2), то оно обращает его в верное числовое равенство f(b)h(b) > g(b)h(b).
При подстановке b в выражение
1
1
получим числовое выражение
,
h( x )
h(b)
которое имеет смысл и меньше нуля на множестве В. Умножим обе части последнего числового неравенства на числовое выражение
1
и изменим знак неравенh(b)
ства на противоположный. По свойству 3 верных числовых неравенств получим
верное числовое неравенство f(b) < g(b). Следовательно, b – решение неравенства
(1) и bА. По определению включения ВА. По второму свойству включения
множеств А=В, а значит, неравенства (1) и (2) равносильны.
Теорема доказана.
Следствие. Если обе части неравенства с переменными умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и поменять при этом знак неравенства
на противоположный, то получится неравенство с переменными, равносильное
данному в той же области определения.
Решение неравенств с одной переменной.
Неравенство с одной переменной в общем виде записывается f(x) > (<) g(x)
Линейное неравенство имеет вид: ах + b> 0.
Решаются такие неравенства путем равносильных преобразований.
2х – 4 > 5 (х + 1)
Раскроим скобки (дистрибутивность умножения относительно сложения)
2х – 4 > 5х + 5
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть неравенства, а слагаемые
2х – 5х > 4 + 5
24
без переменной в правую (следствие 2 из Т3)
Приведем подобные (дистрибутивность умножения относительно сложения)
– 3х > 9
Разделим обе части неравенства на –3, меняя при этом знак неравенства
х < -3.
не противоположный (следствие из ТV).
–3
Ответ: х ( - , - 3).
Неравенства с одной переменной, не являющиеся линейными, решаются
обычно методом интервалов. Неравенство приводят к виду F(х) > (<) 0 приравнивают левую часть к нулю и находят критические точки (значения х, при которых
F(х) = 0 или не имеет смысла). Затем отмечают их на числовой прямой и определяют знак неравенства в каждом из полученных промежутков.
( х  1)( х  3)
> 0.
( х  5)( х  7)
Левая часть этого неравенства обращается в нуль при х = 1, -3 и не имеет
смысла при х = 5, -7. Отметим эти точки на координатной прямой и определим
знак неравенства в каком-либо из полученных интервалов: при х = 0(-3,1) (01)(0+3)(0-5)(0+7) > 0, далее знаки чередуются.
–7
-3
1
5
Ответ: х  (-, -7)  (-3,1)  (5,
+)
Таким образом, в этом параграфе мы рассмотрели теоретические основы
изучения основных вопросов алгебры представленных в курсе математик начальной школы и 5 – 6 классов.
25
1.2 Требования ФГОС НОО и ФГОС ООО к содержанию
алгебраического материала в школьном курсе математики
Федеральных государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО) среди предметных результатов освоения образовательной программы начального общего образования с учетом специфики предметной области «Математика и Информатика» выделяет следующие:
1) использование начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;
2) овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчёта, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;
3) приобретение начального опыта применения математических знаний
для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач;
4) умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в
соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами,
графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные;
5) приобретение первоначальных представлений о компьютерной грамотности.
Легко заметить, что в ФГОС НОО упоминается лишь о числовых выражениях.
На основе ФГОС НОО созданы примерные образовательные программы. В
них отражаются основные требования к содержанию курса математики. Среди
этих требований указано, что в разделе «Арифметические действия» младший
школьник обязан вычислять значение числового выражения (содержащего 2-3
арифметических действия, со скобками и без них).
26
Элементы алгебраического материала представлены в разделе «Арифметические действия» следующими вопросами:Числовое выражение. Скобки. Порядок
действий.Нахождение значения числового выражения.
Числовые выражения
Чтение и запись числового выражения. Нахождение значений числовых выражений в одно два действия без скобок.
Чтение и запись числовых выражений.
Свойства арифметических действий: переместительное свойство сложения
и умножения, сочетательное свойство сложения.
Таким образом, по требованию ФГОС НОО алгебраический материал содержится в авторских курсах минимально.
Введение элементов алгебры в начальный курс математики способствует
формированию у младших школьников обобщенных представлений о числе,
арифметических действиях, их свойствах и отношениях, расширяет основу для
восприятия функциональной зависимости между величинами.
В начальных классах учащиеся начинают использовать букву как математический символ, знакомятся с понятием алгебраического выражения, равенства,
неравенства, уравнения, получают первоначальное представление о решении задач с помощью составления уравнений.
Включение в содержание начальной математики алгебраической пропедевтики расширяет объем математических средств, используемых младшими
школьниками, способствует развитию их абстрактного мышления и таких логических приемов, как анализ и синтез, обобщение и конкретизация, индукция и дедукция. И вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в основной школе.
Федеральный государственный стандарт основного общего образования
(ФГОС ООО) утверждает, что изучение предметной области "Математика и информатика" должно обеспечить:
 осознание значения математики и информатики в повседневной жизни
человека;
27
 формирование представлений о социальных, культурных и исторических
факторах становления математической науки;
 понимание роли информационных процессов в современном мире;
 формирование представлений о математике как части общечеловеческой
культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
В результате изучения предметной области "Математика и информатика"
обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают
представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач
и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию; получают представление об основных
информационных процессах в реальных ситуациях.
Предметные результаты изучения предметной области "Математика и информатика" должны отражать:
Математика. Алгебра. Геометрия. Информатика:
1) формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;
2) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои
мысли с применением математической терминологии и символики, проводить
классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;
3) развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до
действительных чисел; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;
4) овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения моделировать реальные ситуации на языке
алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
28
интерпретировать полученный результат;
5) овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей;
6) овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его для
описания предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений;
7) формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах,
представлений о простейших пространственных телах; развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решения геометрических и практических задач;
8) овладение простейшими способами представления и анализа статистических данных; формирование представлений о статистических закономерностях в
реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях; развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, описывать и анализировать массивы числовых
данных с помощью подходящих статистических характеристик, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений;
9) развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для
решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться
оценкой и прикидкой при практических расчетах;
10) формирование информационной и алгоритмической культуры; формирование представления о компьютере как универсальном устройстве обработки информации; развитие основных навыков и умений использования компьютерных
устройств;
11) формирование представления об основных изучаемых понятиях: информация, алгоритм, модель – и их свойствах;
12) развитие алгоритмического мышления, необходимого для профессио-
29
нальной деятельности в современном обществе; развитие умений составить и записать алгоритм для конкретного исполнителя; формирование знаний об алгоритмических конструкциях, логических значениях и операциях; знакомство с одним из языков программирования и основными алгоритмическими структурами линейной, условной и циклической;
13) формирование умений формализации и структурирования информации,
умения выбирать способ представления данных в соответствии с поставленной
задачей - таблицы, схемы, графики, диаграммы, с использованием соответствующих программных средств обработки данных;
14) формирование навыков и умений безопасного и целесообразного поведения при работе с компьютерными программами и в Интернете, умения соблюдать
нормы информационной этики и права.
В примерных образовательных программах по курсу «Математика» для 5=6
классов указано, что курс математики включает следующие основные содержательные линии: арифметика; элементы алгебры; вероятность и статистика; наглядная геометрия. Наряду с этим в содержание включены две дополнительные
методологические темы: множества и математика в историческом развитии, что
связано с реализацией целей общеинтеллектуального и общекультурного развития учащихся. Содержание каждой из этих тем разворачивается в содержательнометодическую линию, пронизывающую все основные содержательные линии.
При этом первая линия — «Множества» — служит цели овладения учащимися
некоторыми элементами универсального математического языка, вторая — «Математика в историческом развитии» — способствует созданию общекультурного,
гуманитарного фона изучения курса.
Содержание линии «Элементы алгебры» систематизирует знания о математическом языке, показывая применение букв для обозначения чисел и записи
свойств арифметических действий, а также для нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.
Предметные результаты обучения математики в 5 классе таковы:
1) умение работать с математическим текстом ( извлечение необходимой ин-
30
формации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи,
применяя математическую терминологию и символику, использовать различные
языки математики (словесный, символический),развивать способности обосновывать суждения, проводить классификации;
2) владеть базовым понятийным аппаратом: иметь представление о числе,
дроби, процентах, об основных геометрических объектах (точка, прямая, ломаная,
луч, угол, многоугольник, многогранник, круг, окружность, шар, сфера), о достоверных, невозможных случайных событиях;
3) овладение практически значимыми математическими умениями и навыками, их применением к решению математических и нематематических задач, предполагающие умение:
- выполнять устные, письменные, инструментальные вычисления;
- выполнять алгебраические преобразования для упрощения простейших буквенных выражений;
- использовать геометрический язык для описания предметов окружающего
мира;
-измерять длины отрезков, величин углов, использовать формулы для нахождения периметров, площадей, объемов геометрических фигур, пользоваться формулами площади, объёмов, пути для вычисления значений неизвестной величины;
-решать простейшие линейные уравнения.
В 6 классе среди предметных результатов обучения выделены:
1) умение работать с математическим текстом (структурирование, извлечение
необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и
письменной речи, применяя математическую терминологию и символику, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический),развивать способности обосновывать суждения, проводить классификации;
2) владеть базовым понятийным аппаратом: иметь представление о числе,
дроби, процентах, об основных геометрических объектах (точка, прямая, ломаная,
луч, угол, многоугольник, многогранник, круг, окружность, шар, сфера, цилиндр,
конус), о достоверных, невозможных случайных событиях;
31
3) овладение практически значимыми математическими умениями и навыками, их применением к решению математических и нематематических задач, предполагающие умение:
- выполнять устные, письменные, инструментальные вычисления;
- выполнять алгебраические преобразования для упрощения простейших буквенных выражений;
- использовать геометрический язык для описания предметов окружающего
мира;
-измерять длины отрезков, величин углов, использовать формулы для нахождения периметров, площадей, объемов геометрических фигур, пользоваться формулами площади, объёмов, пути для вычисления значений неизвестной величины;
-решать простейшие линейные уравнения.
В содержании курса математики представлен следующий материал:
Начальные сведения курса алгебры (13ч) 5 класс
Алгебраические выражения (11 ч). Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Упрощение выражений
(простейшие случаи приведения подобных слагаемых).
Уравнение. Корень уравнения. Решение уравнений методом отыскания неизвестного компонента действия (простейшие случаи)
Координаты (2 ч). Координатный луч. Изображение чисел точками координатного луча.
Начальные сведения курса алгебры(60ч) 6 класс
Алгебраические выражения. Уравнения (48 ч). Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Равенство буквенных выражений. Упрощение выражений, раскрытие скобок (простейшие случаи). Алгоритм решения уравнения переносом слагаемых из одной части уравнения в другую.
Решение текстовых задач алгебраическим методом (выделение трех этапов
математического моделирования).
Отношения. Пропорциональность величин.
32
Координаты (12 ч). Координатная прямая. Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки:
интервал, отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой.
Декартовы координаты на плоскости; координаты точки.
Выводы по первой главе
1. Введение элементов алгебры в курс математики 1-6 классов способствует
формированию у школьников обобщенных представлений о числе, арифметических действиях, их свойствах и отношениях, расширяет основу для восприятия
функциональной зависимости между величинами.
2. Включение в содержание начальной математики алгебраической пропедевтики расширяет объем математических средств, используемых школьниками,
способствует развитию их абстрактного мышления и таких логических приемов,
как анализ и синтез, обобщение и конкретизация, индукция и дедукция. И вместе
с тем готовит детей к изучению алгебры в основной школе.
3. Анализ учебной и учебно-методической литературы показал, что введение и использование алгебраического материала с самого начала обучения детей
математике позволяет вести планомерную работу, направленную на формирование у школьников важнейших математических понятий (выражение, равенство,
неравенство, уравнение).
4. Алгебраические понятия начинают вводить в курс математики в тесной
взаимосвязи с изучением арифметического материала и получают своё развитие в
зависимости от его содержания.
33
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
2.1 Анализ алгебраического материала в современных учебнометодических комплектах основной школы
Изучение элементов алгебры в начальном обучении математике тесно связывается с изучением арифметики. Это выражается, в частности, и в том, что, например, уравнения и неравенства решаются не на основе применения алгебраического аппарата, а на основе использования свойств арифметических действий, на
основе взаимосвязи между компонентами и результатами этих действий. Формирование любого алгебраического понятия не доводится до формальнологического определения.
На сегодняшний день наблюдаются две кардинально противоположные
тенденции в определении объема содержания алгебраического материала начального курса математики.
Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов. В соответствии с ней уже в первом классе дети получают представления о многих алгебраических понятиях.
Отражение такой тенденции мы находим в программах и учебниках системы Л. В. Занкова (И.И. Аргинская), системы В. В. Давыдова (Э. Н. Александрова,
Г. Г. Микулина и др.) системы «Перспектива» ( Л. Г. Петерсон), системы «Начальная школаXXI века» (В. Н. Рудницкая).
Вторая тенденция связана с введением элементов алгебры на завершающем этапе обучения математике в начальной школе – в конце четвертого класса.
Такой подход наблюдается в программе и учебниках Н. Б. Истоминой.
Учебник математики УМК «Школа России» авторов М. И. Моро и др.
можно считать представителем «серединных» взглядов – он содержит достаточно
много алгебраического материала, который практически равномерно распределен,
начиная со второго класса.
Основные алгебраические понятия начального курса математики
34
Формирование понятия о переменной
Понятие переменной – одно из важнейших понятий современной математики. С ее точки зрения – это знак, вместо которого можно подставлять различные значения.
Уже в I классе возникает необходимость введения символа, обозначающего неизвестное число. Вначале – это разнообразные знаки: многоточие, «окошки»,
звёздочки, вопросительный знак и т.п. Например, запиши в окошке числа так,
чтобы сохранился знак >, < или =
>3,  = 2, < 0
На таком подготовительном этапе учащиеся убеждаются, что в окошко
можно поставить несколько чисел, только одно или ни одного, то есть формируется понятие об области значения переменной.
Постепенно происходит переход к общепринятому обозначению неизвестного буквой. (В математике вместо окошек пишут маленькие латинские буквы).
После введения буквенной символики (по Моро 2(1)), учащиеся решают
задания на нахождение значений выражений (найти а + в, если а = 2, в = 3) и на
заполнение таблиц.
В дальнейшем понятие переменной формируется:
- при составлении буквенных выражений к задачам (на первой полке было, а
книг, на второй – b книг. Сколько книг на двух полках?)
- буквы выступают в роли числовой переменной при записи в общем виде свойств
арифметических действий (a ∙ b = b ∙ a, c + d = d + c).
Равенства и неравенства
Задачи изучения равенств и неравенств в начальных классах заключаются в
том, чтобы научить учащихся практически оперировать равенствами и неравенствами: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству.
Понятия равенств и неравенств вводятся путем показа:
3 + 2 = 6, 6 = 6 – это равенства
35
3 > 2, 6 – 5 < 4 – это неравенства.
С первых уроков математики учащиеся сравнивают множества предметов,
которые записываются в виде равенств и неравенств. На предметных моделях дети учатся переходить от неравенства к равенству и наоборот. Пусть 4 < 5, что надо сделать, чтобы стало поровну, даются упражнения и на переход от равенства к
неравенству.
Вводится практическое усвоение свойства симметричности равенства и
несимметричности неравенства. С самого начала обучения необходимо работать с
этими свойствами: если установили, что в аллее больше клёнов, чем лип, то, значит, лип меньше, чем клёнов; если оказалось, что на столе ложек столько, сколько
вилок, то, значит, вилок столько, сколько ложек.
На первых порах отношения равенства (неравенства) значений выражений
происходит путём вычисления и сравнения их числовых значений.
Например, поставь >, < или =
5+1…7–2
4+2 …4+3
Затем, при установлении отношения используют свойства действий:
4 + 2 … 4 + 3 – к 4 прибавили меньше, значит, первая сумма меньше
5 + 1 … 5 – 1 – если прибавить к 5, то значение увеличится, если вычесть – то
уменьшится
Неравенства с переменными в начальной школе решаются только приёмом
подстановки.
Например, дано неравенство: х + 4 < 7. Учащиеся подбирают числа и записывают:
0+4<7
4<7
1+4<7
5<7
2+4<7
6<7
3+4=7
7=7
Следовательно, х может равняться 0, 1 и 2.
Числовые выражения
Примерные образовательные программы по математике предусматривается научить детей читать и записывать математические выражения; ознакомить с
36
правилами порядка выполнения действий и научить пользоваться ими при вычислениях, познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.
При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами, имеет двоякий
смысл: с одной стороны, он обозначает действия, которые надо выполнить над
числами; с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения.
Например, 2 + 4 – сумма двух и четырех. Надо к 2 прибавить 4.
Понятие числовых выражений также вводится без определения, путём показа: 8 + 2 – 3 – это числовое выражение. Если выполнить все действия, получим
число – значение выражения.
Учащиеся должны овладеть навыками чтения (разными способами) и записи различных выражений (вначале в 1 действие, потом в 2):
1) к числу 2 прибавить сумму чисел 6 и 4;
7 – (2 + 3)
2) к разности чисел 10 и 7 прибавить 3;
(3 + 4) – 7
3) из 8 вычесть разность чисел 6 и 2.
(7 – 3) + 6
В процессе разнообразных упражнений учащиеся постепенно овладевают
умениями читать, записывать и находить значения выражений.
Чтобы помочь детям научиться правильно читать выражения можно рекомендовать им выполнять практические действия в такой последовательности:
сначала посмотреть на знак действия в скобках и сказать, что записано – сумма
или разность, потом посмотреть на другой знак действия и сказать, что надо сделать – прибавить или вычесть, затем уже читать запись.
Курс математики 4 класса обобщает и систематизирует математические
знания младших школьников. Начинается он с темы «Числовые выражения»
[М4(1)]. Учащиеся повторяют порядок выполнения арифметических действий в
выражениях, содержащих 3 – 4 действия.
В каждом выражении сначала укажи порядок действий, а затем вычисли его значение:
470 – (500 – 25  3)
(120 – 80) : (100 : 25)
(300 + 160 : 4) : 2
100 – 32  (87 – 84)
37
Поставь скобки так, чтобы значение выражения стало равно числу 2, 50, 180, 474.
53 – 3  9 + 4  6
Укажи порядок действий по схематическим записям выражений.
 - ( - ) +   - ( +  : ) 
 : ( - ) 
Буквенные выражения
Хорошим упражнением для подготовки к введению буквенной символики
являются задачи с пропущенными числами. Например: «На уроке труда ученики
вырезали ... красных флажков и ... зеленых флажков. Сколько всего флажков вырезали дети?» «В мебельный магазин привезли ... столов. Продали ... столов.
Сколько столов осталось в магазине?»
Подбирая числа вместо точек, дети получают арифметические задачи одинакового содержания, решение которых записывают в таблице:
Красных флажков
10
Зеленых флажков
15
Всего флажков
10+15
Первая задача подробно разбирается, и учитель показывает, как записать
ее решение в таблице. При заполнении последней строки таблицы решение задачи
записывается в виде выражений, а ответы называют устно.
Сравнивая затем задачи, а потом и их решение, учащиеся подводятся к выводу, что общее заключается не только в сюжете задачи, но и в том, что все задачи решаются одним действием – сложением. Они заключают, что таких задач
можно составить очень много, а числа брать разные.
При введении буквенных выражений важную роль в системе упражнений
играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к
буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым.
Например, на доску вывешивается плакат с тремя карманами, на которых
написано: «I слагаемое», «II слагаемое», «Сумма». В процессе беседы с ученика-
38
ми учитель заполняет карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями.
Далее выясняется, можно ли еще составить выражения, сколько таких выражений можно составить. Дети составляют другие выражения и находят в них
общее: одинаковое действие — сложение и различное — разные слагаемые. Учитель поясняет, что, вместо того чтобы записывать разные числа, можно обозначить любое число, которое может быть первым слагаемым, какой-нибудь буквой,
например а, а любое число, которое может быть вторым слагаемым, например буквой b, тогда сумму можно обозначить так: а + b(соответствующие карточки
вставляются в карманы плаката):
Учитель поясняет, чтоа + bтакже математическое выражение, только в нем
слагаемые обозначены буквами: каждая из букв обозначает любые числа. Эти
числа называются числовыми значениями букв или просто значениями букв.
Чтобы учащиеся осознали, что буквы, входящие в выражение, могут принимать множество числовых значений, а само буквенное выражение является
обобщенной записью числовых выражений, предусматриваются упражнения на
переход от буквенных выражений к числовым. Учащиеся находят значения выражений при различных значениях букв.
Особое внимание следует уделить выражениям, в которые входят и буквы,
и числа. Это позволяет от таблицы с тремя строками а, b, a+b, переходить к таблице с двумя строками (например, а, а + 10, если b = 10 – постоянно)
Выполняя такие и обратные упражнения на переход от таблицы с двумя
графами к таблице с тремя графами, учащиеся постепенно усваивают смысл постоянной (принимает одинаковые значения) и переменной (принимает разные
значения), уясняя, что буква может принимать не только разные числовые значения, но и одинаковые.
Основные типы упражнений:
1) Заполнение таблиц по выражениям
2) Нахождение значений выражений при различных значениях переменных
39
Особое внимание надо уделять всем возможным значениям переменной.
Например, в k — 3 к не может быть меньше 3, в 5 – а – а не может быть больше 5
и т.д.
Когда учащиеся уяснят смысл буквенной символики, можно использовать
буквы в качестве средства обобщения формируемых у них знаний. Конкретной
базой для использования буквенной символики как средства обобщения служат
знания об арифметических действиях.
Вся система упражнений здесь строится в соответствии с принципом от
конкретного к абстрактному. Буквенная символика будет являться средством
обобщения только тогда, когда учащиеся много раз наблюдали на числовых примерах определенные связи, зависимости, отношения, свойства и т. п., формулировали соответствующие выводы, правила или свойства и пользовались ими
при выполнении различных упражнений.
На этом этапе учащиеся, выполняя специальные упражнения, овладевают
следующими умениями:
1. Записать при помощи букв свойства арифметических действии, связь между компонентами и результатами арифметических действий и т. п.
2. Прочитать записанные с помощью букв свойства арифметических действий, зависимости, отношения и т. п. Например: «Прочитайте выражение (с + 35) — а и
найдите, чему оно равно». Ученики рассуждают следующим образом: «Из суммы
чисел а и 35 вычесть первое слагаемое а, получится второе слагаемое 35. Запишем: (a + 35) —с = 35».
3. Выполнить тождественное преобразование выражения на основе знания свойств
арифметических действий. Например, дается задание закончить запись: (5 + b) - 3
= 5 - 3 + ... Выполняя это задание, учащиеся рассуждают так: «В левой части равенства сумму чисел 5 и b умножим на 3; в правой — первое слагаемое 5 умножим на 3; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо умножить
второе слагаемое на 3 и результаты сложить».
4. Доказать справедливость заданных равенств или неравенств при помощи числовой подстановки.
40
Например, предлагается показать, что при любых значениях буквы с верны
следующие равенства и неравенства: с+5 = 5+с, с+17 >с+15, с – 0 = c, с — 17 < с
— 15. Учащиеся сами придают букве с числовые значения, записывают несколько
числовых равенств и неравенств, вычисляют значения выражений и, сравнивая
их, убеждаются в том, что полученные равенства и неравенства верны. Выполненная работа помогает учащимся обобщить свои наблюдения и воспроизвести
соответствующие формулировки свойств и зависимостей арифметических действий и применить их к заданным равенствам и неравенствам.
Программой 4 класса [27] предусматривается составление буквенных выражений по текстовым задачам.
Например, «В универмаге за два дня продали 100 детских костюмов по
одинаковой цене. В первый день за проданные костюмы получили а р., а во второй – с р. Запиши выражение, которое обозначает цену одного костюма».
Купили 4 радиоприемника по рублей каждый и телевизор. За всю покупку
заплатили k рублей. Объясни, что означают выражения: с  4; k - с  4
Таким образом, использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов,
и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах.
По УМК «Школа России» понятие уравнения вводится в конце 1 полугодия
во втором классе. (М2(1) с. 80)
41
Вначале уравнения решаются подбором:
Замет, при изучении темы проверка сложения и вычитание – через связь
между компонентами и результатами действий.
В 3 классе с помощью формул обобщаются свойства действий:
В этой же теме обобщаются свойства умножения и деления, которые формулируются в виде правил и записываются в виде тождеств [М(3), c.72-75]:
а1=а
a:а=1
а 0 = 0
а:1=а
0:b=0
b:0
Понятие тождества учащимся не дается, но обращается их внимание, то
данные равенства выполняются при любых (натуральных) значениях входящих в
них неизвестных.
В 4 классе по УМК «Школа России» решаются только простейшие уравнения ( х + 60 = 2000 : 8)
Текстовые задачи с помощью уравнений не решаются. Предусмотрены задания типа: «Сумма неизвестного числа и числа 390 равна произведению чисел 70
и 6. Найдите это число».
В учебниках других УМК (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) рассматриваются уравнения, в которых правила взаимосвязи компонентов приходится применять многократно.
Например, решим уравнение
3  х + 12 = 30.
Первое слагаемое выражено произведением 3  х второе
слагаемое 12, сумма 30. Для нахождения неизвестного
3  х = 30 – 12
слагаемого из суммы вычтем известное слагаемое:
3  х = 18
Первый множитель 3 второй множитель неизвестен
х = 18 : 3
произведение равно 18. Для нахождения неизвестного
х=6
42
множителя произведение разделим на известный множитель.
Как показывает практика, решение такого типа уравнений на основе взаимосвязи компонентов является достаточно трудоемким процессом, который требует от учащихся четкого знания всех правил, высокого уровня анализа и умения
воспринимать комплексную структуру переменного, которая меняется на каждом
шагу решения.
Кроме того, указанный путь решения подобных уравнений не оправдан
методически, так как уже начиная с 6 класса учащиеся решают уравнения на основе тождественных преобразований выражений и теорем о равносильности.
3  х + 12 = 30 –
вычтем из обеих частей уравнения число 12
3  х + 12 – 12 = 30 – 12
(следствие к теореме I о равносильности
3  х = 18
уравнений)
3  х : 3 = 18 : 3
разделим обе части уравнения на число 30
х=6
(следствие к теореме II о равносильности
уравнений).
Этот путь решения является универсальным, а решение уравнений на основе зависимости компонентов далее в школьной математике нигде не используется. Поэтому, на наш взгляд, методически оправданно, что такие уравнения отсутствуют во многих УМК.
В учебниках Н. Б. Истоминой УМК «Гармония» понятие уравнения, числовых и буквенных выражений вводится в конце 4 класса. (И4(2)). Понятие
«уравнение» вводится в виде диалога Маши и Миши. Смотри Приложение.
Понятие уравнение формируется путём показа.
43
Далее уравнения составляются по схемам, а так как схемы составляются к
задачам, то это дает возможность решения текстовых задач с помощью уравнений
без введения нового материала.
Затем также путем показа вводятся числовые и буквенные выражения
Далее выполняются упражнения на нахождение значений выражений, сопоставления выражений, заполнения таблиц.
Неравенства в учебниках Н. Б. Истоминой решаются подбором.
44
В учебниках Н.Б. Истоминой предусмотрен алгебраический метод решения
текстовых задач. (И4(2), с.88)
В учебниках Александровой УМК «Классическая начальная школа» буквенная символика вводится параллельно с числами уже в первом классе (А11, с.
53), широко используются формулы.
Проанализируем курс математики 5-6класса по учебникам Н.Я. Виленкина
и др., утверждённый Министерством Образования и Науки.
В 5 классе учащиеся начинают изучать алгебраический материал со страницы 48 учебника «Математика» (Виленкин Н.Я. и др.) Тема «Числовые и буквенные выражения». Далее на странице 54 учащиеся знакомятся с темой «Буквенная запись свойств сложения и вычитания». На странице 58 этого же учебника
представлена тема «Уравнения», где на примере задачи, дети вспоминают, что
такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение и способы ре-
45
шения уравнений. Здесь же школьники знакомятся со способом решения задач
алгебраическим методом.
В 6 классе по данной программе работа над данными понятиями продолжается. Дополнением к уже знакомым детям вопросам алгебры из начальной школы
в курсе математики 5 и 6 классов включены следующие темы: «Шкалы и координаты. Координатный луч. Изображение чисел точками координатного луча» - 5
класс, и в 6 класса – в Теме «Обыкновенные дроби» раздел «Отношения и пропорции», где вводятся эти понятия и рассматриваются вопросы о прямой и обратной пропорциональных зависимостях.
2.2 Изучение опыта учителей по изучению элементов алгебры в курсе
математики в 1-6 классах
Обобщая опыт работы практикующих учителей мы выявили особенности
изучения элементов алгебры в курсе математики начальной школы и в 5-6 классах.
Так учитель Кардаева Надежда Александровна Чемальской средней общеобразовательной школы, работающая по УМК «Школа России» в 1 классе, предлагает познакомить учащихся с понятиями «равенство» и «неравенство» следующим образом:
Тема: Равенства и неравенства.
Прогнозируемые результаты: первоклассники научатся использовать понятия «равенство» и «неравенство», соответствующие знаки; отработают умение
составлять математические записи по схеме; закрепят знания о различных линиях.
Учебные материалы: учебник, рабочая тетрадь, курточки.
Ход урока
1. Мотивация учебной деятельности.
Здравствуйте. Сегодня на уроке нам понадобятся учебник, рабочая тетрадь,
карточки с числами и знаками, фигурами. Откройте учебник на стр. 48 и назовите
тему урока. Чему мы будем учиться? Какие цели поставим?
46
2. Работа по теме урока.
Работа с математическим набором.
- Приготовьте карточки с фигурами, числами и знаками. Положите 4 оранжевых квадрата, добавьте ещё 1 оранжевый квадрат. Сколько всего квадратов
получилось? Составьте запись.
- Положите 5 кругов. Отодвиньте 2 круга. Сколько кругов осталось? Составьте запись.
- Положите 3 синих квадрата., под ними - 3 желтых треугольника. Каких
фигур больше? Составьте запись. Как бы вы назвали все записи со знаком «равно? (Равенства)
- Положите 2 желтых треугольника и 4 круга. Чего меньше? Сделайте запись. К желтым треугольникам добавьте 3 оранжевых треугольника. Чего стало
больше? Как это записать? (2+3>4, 5>4).
Посмотрите, что показывает ваша запись. (Что одно число больше или
меньше другого, т.е. числа не равны).
Как можно назвать такие записи? (Такие записи получили название «неравенства»).
Работа по учебнику.
Откройте учебник на странице 48. Рассмотрите верхние рисунки и обсудите их в парах. Какие записи называются равенствами, а какие - неравенствами?
Кто готов рассказать?
Заслушиваются и обсуждаются ответы детей.
А теперь проверьте себя. В следующих записях назовите сначала равенства,
а потом неравенства. Найдите задание под кружочком со знаками. Обсудите в
паре, какие записи являются равенствами, а какие - неравенствами. Выполните
записи в тетради.
Проводится фронтальная проверка выбора.
Как вы рассуждали? На что смотрели?
Следующее задание: найдите неверные равенства и неравенства.как исправить?
47
Работа по учебнику и в рабочей тетради.
Не закрывая учебника, откройте рабочую тетрадь.
Спишите нижнее задание из учебника. Вставьте пропущенные знаки.
Так как эта работа для учеников новая, учитель показывает порядок работы
над заданием: сначала списываем первую запись, вставляем знак, потом переходим к следующей записи.
Рассмотрите рисунки на странице 49. Какая монета у Миши? Какие монеты
у Коли? У кого больше монет? У кого больше рублей? Как записать?
Запись выполняется учителем на доске.
Предлагаю вам составить и решить следующий математический рассказ.
Учащиеся составляют рассказы и предлагают математические записи для
решения.
Работа по учебнику.
Рассмотрите нижние картинки и записи. Какие математические записи
подходят к картинкам? Докажите.
Работа в тетради №1.
Откройте тетрадь №1 на странице 19. Сколько яблок на правом рисунке?
Сколько яблок на левом рисунке? Какие неравенства можно записать? (5>4,4<5).
Выполняем задание под вторым кружочком. Что нужно сделать? (Дорисовать на каждой нитке столько бусин, сколько показывает число).
Сколько бусин дорисовали? (Поровну, по пять).
Обведите цифры и поставьте знаки сравнения в следующем задании.
3. Рефлексия учебной деятельности.
Что нового вы узнали на уроке?
Что вы расскажите дома?
Какие цели ставили?
Каких достигли?
Выполните для самопроверки последнее задание на странице 4.
Проверьте по эталону.
Покажите пиктограмму самооценки.
48
Во 2 классе учащиеся знакомятся с понятием «Уравнения». Учитель начальных классов Попова Людмила Николаевна из МБОУ СОШ №3 города Усмань Липецкой области предлагает это сделать следующим образом:
Тема урока: Уравнение. Решение уравнений способом подбора
Задачи:
- совершенствовать вычислительные навыки, умение составлять верные равенства, умение решать текстовые задачи;
- развивать внимание и логическое мышление;
- формировать ключевые компетенции.
Цели урока: дать представление об уравнении как о равенстве, содержащем переменную; продолжать работу над задачами; развивать вычислительные
навыки, мышление.
Планируемые образовательные результаты:
Личностные: принимают и осваивают социальную роль обучающегося;
стремятся развивать внимание, память, логическое мышление, навыки сотрудничества со сверстниками и со взрослыми; проявляют самостоятельность, личную
ответственность.
Предметные: знают, что такое уравнение, что значит «решить уравнение»;
различные приемы сложения и вычитания двузначного числа с однозначным и
двузначного числа с двузначным; устную и письменную нумерацию чисел в пределах 100; что такое равенство; умеют: находить корень уравнения подбором;
решать задачи и выражения изученных видов; выявлять закономерности.
Метапредметные :регулятивные: формулируют учебную задачу урока;
планируют свою деятельность, контролируют и корректируют собственную деятельность и деятельность партнеров по образовательному процессу; осознают то,
что уже усвоено, и то, что необходимо усвоить; способны к саморегуляции; познавательные: формулируют познавательную цель; осознанно и произвольно
строят речевое высказывание в устной форме; создают алгоритм деятельности.
Тип урока – формирование новых знаний.
49
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах .
Методы работы: репродуктивный, частично-поисковый.
Формирование компетенций:
- учебно-познавательных: умение анализировать и обобщать;
- информационных: умение работать с учебным материалом;
- коммуникативных: умение работать в группах.
Ход урока
1. Организационный момент.
Начнём урок с хорошего настроения, как у нашего солнышка!! И ещё,
убедительная просьба: ответить хочешь, не шуми, а только руку подними.
Ребята, посмотрите, к нам на урок заехали гости. Это герои мультфильма
«Смешарики». Они ехали на елку, но у паровозика закончилось топливо. А топливо не простое. Паровозик работает от знаний. Давайте с вами поможем нашим
героям вовремя попасть на елочку.
Первая станция «Напиши-ка»
2. Каллиграфическая минутка.
ххххх…
b bbbb…
ааааа…
3. Актуализация знаний. Устный счет.( 2 станция « Сосчитай-ка!»)
1. Продолжите ряд: 4, 7, 11, 16, 22… (29, 37, 46.)
2. Найдите те выражения, значения которых равны 13:
7 + 6 9 + 47 + 510 + 24 + 8 6 + 613 + 09 + 38 + 5
13 – 113 – 014 – 1
3. Задание 3 (с. 81).
Выполняя данное задание, ученики повторяют термины «уменьшаемое»,
«вычитаемое», «разность», а также то, как найти неизвестное уменьшаемое, неизвестное вычитаемое, значение разности.
4. Открытие новых знаний. Сообщение темы и целей.
1) – Послушайте следующий текст:
У Ромы было 3 карандаша. Папа принес ему еще несколько. Когда Рома сосчитал все карандаши, оказалось, что у него их стало 9.
50
– Что сделал Рома с карандашами, когда считал их? (Объединил или сложил.)
– Как при помощи чисел и знаков арифметических действий записать то,
что нам известно? (3 +… = 9.)
– Что следует написать на месте пропуска? (Какую-либо букву латинского
алфавита.)
– Прочитайте равенство, которое у вас получилось. (Например: 3 + а = 9.)
Равенство, в котором есть неизвестное число, называется уравнением.
– Какое число следует поставить вместо а, чтобы равенство было верным?
– Число 6 является решением данного уравнения, или корнем.
Решить уравнение – значит найти такое число, при котором равенство будет верным.
2).- Ребята, посмотрите на записи, которые принес Крош.
16 - 9 = …
… + 5 = 11
Х + 5 = 11
Ребята, какие записи вам знакомы? 16-9 и … + 5=11
- Как они называются? (числовое выражение и пример с окошечком).
- А какую запись вы видите в первый раз?
Х+5=11
- А кто догадался, как называется эта запись?
Давайте повторим хором УРАВНЕНИЕ
Так с чем же мы познакомимся на уроке? (с УРАВНЕНИЕМ)
- Как вы думаете, что мы сегодня будем делать на уроке? (учиться решать
такие уравнения).
Наш паровозик двигается дальше.
Следующая остановка Узнай-ка.
3)- Рассмотрим данную запись. На какую запись похоже уравнение? (На
пример с окошечком)
51
Что вы делали, чтобы решить пример с окошечком? (Мы подбирали такое
число, чтобы равенство стало верным)
А теперь внимательно посмотрите на уравнение.
Х+5=11
- Что нам говорит знак «=»? (это равенство).
- В нем известны все числа? (нет)
- Что неизвестно? (первое число)
- Как оно обозначено? Посмотрите, как называется эта латинская буква.
(буква х)
- Если оно неизвестно, что нужно сделать? (найти это число)
- Попробуйте его найти, чтобы равенство стало верным (это число 6, потому что 6+5=11)
Я записываю х+5=11
Найдите это число (Сколько надо прибавить к 5, чтобы получилось 11?)
(это число 6)
Пишу х=6
Что вы сейчас сделали? (Подобрали значение х)
Проверим, верно ли вы подобрали это число
Подставим вместо х его значение: 6+5=11
Уравниваем правую и левую части.
- А знаете, что мы сейчас сделали? Решили уравнение.
5.Первичное закрепление знаний.( Остановка « Размышляй-ка!»)
1).Устно выполняется задание 1 (с. 80).
2).Самостоятельная работа.
Задание «Проверь себя» (с. 81)
- Взаимопроверка.
МЫ УСТАЛИ, ЗАСИДЕЛИСЬ
Мы устали, засиделись,
Нам размяться захотелось.
Друг на друга посмотрели,
52
И в окошко поглядели.
Вправо, влево поворот,
А потом – наоборот.
(Одна рука вверх, другая вниз,
рывками менять руки.)
(Повороты корпусом.)
Приседанья начинаем,
Ноги до конца сгибаем.
Вверх и вниз, вверх и вниз,
Приседать не торопись!
И в последний раз присели,
А теперь на место сели(Приседания.)
(Дети садятся.)
6. Включение в систему знаний и повторение.
1). Работа над задачами.
Задача 6 (с. 81).
– Поставьте вопрос, соответствующий условию. (Сколько лет папе?)
– Можно ли сразу ответить на поставленный вопрос? (Нет.)
– Почему? (Потому что мы не знаем, сколько лет маме.)
– Можем это узнать? Каким образом?
– Зная, сколько лет маме, можем решить задачу?
– Запишем решение задачи выражением.
Один ученик выполняет работу на доске: 5 + (5 + 19) = 29.
Ответ: папе 29 лет.
Задача7 (с. 81).
– Задайте такой вопрос, чтобы задача была простой, то есть решалась одним действием. (Сколько времени мама едет на автобусе?)
– Измените вопрос так, чтобы задача стала составной. (Сколько времени
мама едет на автобусе и трамвае?)
– Запишите задачу кратко и решите ее.
53
Фронтальная проверка.
2). Составление равенств и неравенств. Групповая работа.
Задание 2 (с. 80) и задание 4 (с. 81).
VII. Рефлексия.
Над какой темой мы сегодня работали?
Ребята, вспомните, какую цель мы ставили с вами вначале урока? (Узнать,
что такое уравнение и как его решать)
Достигли мы этой цели?
Расскажите, что такое уравнение?
Что значит решить уравнение?
Как находили неизвестное число?
Наши герои с вашей помощью наконец добрались до елки. Но посмотрите,
елочка-то не наряженная. Давайте поможем нарядить елочку. У доски лежат шарики.
Если вы научились решать уравнения, повесьте зеленый шарик.
Если вы допустили ошибки при решении уравнений, то жёлтый шарик.
Если кому-то было тяжело, то красный.
СПАСИБО ЗА РАБОТУ!
А теперь сравним, как это же понятие рассматривается учащимися 5 класса
(по учебнику «Математика» Виленкина Н.Я. и др.). Учитель математики МБУ
школы № 40 города Тольяти, Куляпина Светлана Николаевна, предлагает это
сделать так:
Тема «Уравнение»
Тип урока: урок закрепления, первичной проверки и коррекции знаний и
умений.
Цели урока:
Личностные:
создание педагогических условий для формирования у
обучащихся положительной мотивацию к учению, умения преодолевать посиль-
54
ные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу,
умения вести диалог, аккуратности.
Метапредметные: формирование умения ставить цели и задачи, планировать и контролировать деятельность, умения классифицировать объекты, создавать, применять и преобразовывать модели, повышать алгоритмическую культуру обучающихся, развивать логическое мышление, познавательную активность и
навыки научной речи.
Предметные:
формирование умения построения математической мо-
дели, решения уравнений, содержащих одно или более одного арифметического
действия и задач с помощью уравнений.
Методы обучения: наглядный, словесный, практический, частичнопоисковый, репродуктивный.
Основные этапы урока:
- организационный этап;
- этап включения учащихся в активную деятельность;
- актуализация опорных знаний, умений и навыков;
- физкультминутка;
- этап закрепления, первичной проверки и коррекции изученного материала;
- рефлексия
- этап информации о домашнем задании и инструктаж по его выполнению;
- итог урока.
План урока:
1) Организационный момент. Мотивация и постановка цели урока (1 мин).
2) Устная работа. Знания математических терминов (5 мин).
3) Актуализация опорных знаний.
1. Тест.(5мин)
2.Найти ошибки (5мин).
4)Физкультминутка (1 мин).
55
3. Решение двухшаговых уравнений.(7мин)
4.Решение уравнений.( 5 мин).
Гимнастика для глаз.
5. Решение задач.(10 мин)
4)Подведение итогов (2 мин).
5)Домашнее задание (1 мин).
6)Рефлексия (2 мин)
Ход урока
I.Организационный момент.
Мотивация и постановка цели урока .С какой темой вы познакомились на
прошлом уроке ? А как вы думаете, всё ли вы теперь знаете об уравнениях? Конечно, нет. За время обучения в школе вы познакомитесь с различными видами
уравнений. Сегодня мы с вами будем учиться применять свои знания для решения более сложных уравнений. Но делать это мы будем путешествуя в историю
нашего села.всегда сегодня с нами будут рядом УРАВНЕНИЯ. А сейчас повторим наши знания.
II. Устная работа. Работа по группам.
1я группа «Знания математических терминов»
Данное задание включает в себя 10 тестовых заданий: 4 определения (при
выполнении задания нужно выбрать правильный вариант ответа) и 6 формулировок правил (соединить линиями соответствующие части правил).
Село Малиновка было заселено во второй половине18 века выходцами из
калужской губернии. Выполнив тест, вы узнаете дату события произошедшего в
с. Малиновка, после которого о нашем селе узнали далеко за его пределами..
Каждое задание тура оценивается 1 баллом.
Максимальное количество баллов – 10.
: Соединить линиями соответствующие части определений.
Чтобы из суммы вычесть число
можно
56
3.прибавить сначала одно слагаемое, а потом прибавить второе
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо
слагаемое
3.Из суммы вычесть известное
слагаемое
Чтобы из числа вычесть сумму
можно
Чтобы
8.вычесть сначала одно слагае-
найти
неизвестное
уменьшаемое, надо
мое, а потом из полученной разности
вычесть другое слагаемое
0.из
уменьшаемого
вычесть
разность.
Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел можно
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо
1.вычесть сначала из одного
слагаемого это число, а затем к полученной разности прибавить другое
1.к разности прибавить вычитаемое.
слагаемое
Учащиеся 1 группы приступают к выполнению задания.
2 группа. Тест «Уравнение».
1 часть – выбери правильный вариант ответа!
1. Уравнение – это:
а) равенство, содержащее букву, значение которой надо найти;
б) числовое равенство;
в) буквенное выражение.
57
2. Корнем уравнения называется:
а) любое значение буквы;
б) значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое
равенство;
в) значение буквы, при котором из уравнения получается неверное числовое равенство.
3. Решить уравнение, значит:
а) подставить число в уравнение;
б) заменить букву в уравнении любым числом;
в) найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).
4. Сделать проверку уравнения, значит:
а) подставить найденное значение вместо буквы и проверить верность равенства;
б) подставить найденное значение в уравнение;
в) сделать что-то ещё.
2. Проверка выполнения заданий с помощью документкамеры. Анализ
ошибок
1 часть
Ответы: № 1 – а
№2–б
№3–в
№4–а
1833 год октябрь- крестьянский бунт. Крестьяне с. Малиновка отказались
повиноваться новой владелице Денисьевой после смерти бывшего владельца
графа Разумовского. Чтобы подавить этот бунт в наше село приезжал Саратовский губернатор .
III. Актуализация опорных знаний, умений и навыков
1. Есть в нашем селе святыня, которая дорога каждому жителю. Что это за
святыня мы узнаем, решив тесты.
Индивидуальная работа
b + 35 = 67
58
34
32
102
б
х
т
342
72
352
п
р
в
63
67
77
в
а
ж
54
191
47
п
к
м
у – 135 = 207
150 – а = 83
х + 72 = 119
• Уже в начале 19 века жители Малиновки взамен деревянной церкви построили каменную церковь, так как в деревянной прихожане уже не умещались.
В 1838 году она была освящена именем Параскевы Великомученицы.
2. 5 мин Работа в парах.
• Учитель: «При церкви была открыта земская школа. И в ней конечно же
решали уравнения и наверное некоторые из них ошибались.. . Перед вами решённые уравнения, в них есть ошибки, найдите их.
1.У + 135 = 142 3. 99 – Х = 73
У = 142 +(-) 135 Х = 99 + (-)73
У = 277 (7) Х = 172(26)
2. Х – 700 = 1150 4. 28 - (Х + 7) = 16
Х = 1150 – (+)700 Х + 7 = 28 +(-) 16
Х = 450 (1850) Х + 7 = 44(12)
59
Х = 44(12) – 7
Х = 37 (5) ?
К концу 18 века Малиновка стала довольно богатым селом. Здесь было 7
промышленных предприятий – мельница, кузница, выделка кож, гончарная, кирпичный заводи т.д., 26 домов было каменных, 5 лавок .
Физкультминутка
Мы писали, мы писали,
Наши пальчики устали,
А сейчас мы отдохнём,
Сделаем зарядку.
«1» подняться, подтянуться.
«2» согнуться, разогнуться.
«3» в ладоши 3 хлопка, головою 3 кивка.
«4» руки шире.
«5» руками помахать.
«6» тихонько за парту сесть.
• 3. Повторение решения двухшаговых уравнений.
• Рассмотрим уравнение вот такого вида: 2002 – (у + 128) = 24 (слайд 9)
• Давайте разберем это уравнение:
• - Скажите, какое действие будет выполнено последним, если бы вместо
буквы стояло число?
• Как называется выражение в левой части уравнения?
• - Назовите уменьшаемое в этом уравнении?
• - Назовите вычитаемое.
• - Что неизвестно?
• - А, теперь давайте подчеркнем вычитаемое.
• - Как найти вычитаемое?
• 2002 – (у + 128) = 24
• у + 128 = 2002 – 24
• у + 128 = 1978
60
• - Что теперь неизвестно?
• - Как найти слагаемое?
• у = 1978 – 128
• у = 1850
•2002 – (1850 + 128) = 24
Храм святой Параскевы является не только архитектурной ценностью, но и
исторической. Имя Малиновки связано с именем А.К. Толстого, который был
сыном владелицы Малиновки и последний раз посетил её и в 1850 году в 20 летнем возрасте. Зеркало нашей школы из имения графини Толстой. В церковных
книгах найдена запись о крещении Софьи Перовской- 1853, известной в истории
как организатор убийства императора Российского государства Александра II.
4. Работа в тетрадях и у доски
•2048 – (у + 123) = 20;
•(124 – х) + 37 = 121;
Решение уравнений.
1) 2048 – (у + 123) = 20, 2) (124 – х) + 37 = 121,
у + 123 = 2048 – 20, 124 – х = 121 – 37,
у + 123 = 2028, 124 – х = 84,
у = 2028 – 123, х = 124 – 84,
у = 1905. х = 40.
Ответ: у = 1905. Ответ: х = 40.
5. Решение задач.
– Мы устали, сейчас поиграем в математическую игру «Угадай задуманное
число». (Максимальное количество баллов – 5).
Я задумала число. Если к этому числу прибавить 25, а потом от результата
отнять 32, то получится 1923. Какое число я задумала?
Это число является годом, до которого действовала церковь.
Вывод: Отгадать задуманное число очень просто, если знаешь уравнение.
Итак, какие этапы решения задачи с помощью уравнения вам пришлось проделать? (обращение к таблице «Этапы решения задачи с помощью уравнения»):
61
• выбор буквы, которой обозначаем неизвестное;
• составление уравнения, соответствующего условию задачи;
• решение уравнения;
• проверка решения;
• запись ответа задачи.
Гимнастика для глаз
Рисуй глазами треугольник.
Теперь его переверни вершиной вниз.
И вновь глазами ты по периметру веди.
Рисуй восьмерку вертикально.
Ты головою не крути,
А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води.
И на бочок ее клади.
Теперь следи горизонтально, и в центре ты остановись.
Зажмурься крепко, не ленись.
Глаза открываем мы, наконец.
Зарядка окончилась.
Ты – молодец!
6. Решение задач составлением уравнений. Работа в группах.
1задачу решает 1 группа, 2 - решает 2 группа.
Ученик задумал два числа. Одно из них 83, если к разности этих чисел прибавить число 40, то получим 1910. Какое второе число задумал ученик?
Если от года, в котором были возобновлены службы в церкви вернутся на
38 лет назад, то мы узнаем год разрушения купола и креста и 60 лет спустя, мы
получим 2013 год, год реставрации церкви и придания ей того вида, в котором
она была построена. В каком году начала снова действовать церковь.
IV. Подведение итогов урока
V.Домашнее задание п.10, №396, 397(в)
Для желающих:
62
• выполнить задания повышенной сложности (карточка);
• составить кроссворд по теме «Уравнение»;
VI. Рефлексия.
А теперь ребята продолжите предложение:
Сегодня на уроке я научился…
Сегодня на уроке мне понравилось…
Сегодня на уроке я повторил…
Сегодня на уроке я закрепил…
Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
Таким образом, в этом параграфе мы описали опыт работы учителей по
изучению алгебраического материала в 1-6 классах.
2.3 Методические рекомендации
по изучению алгебраического материала
Изучение алгебраического материала в 1-6 классах является пропедевтическим к изучению систематического курса алгебры. Представим методические рекомендации по изучению некоторых основных вопросов этой линии. Начнём с
понятия «Математические выражения». При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами, имеет двоякий смысл; с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами, с другой стороны, знак действия
служит для обозначения выражения.
В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На первом из них формулируется понятие о простейших выражениях, а на втором – о
сложных.
Знакомство с первым выражением происходит в первом классе в теме сложение и вычитание чисел в пределах 10.
Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл действий сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2
63
знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить» и
«вычесть». В дальнейшем понятия об этих действиях углубляются. Учащиеся узнают, что прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая – уменьшаем его на столько же единиц. это также находит отражение в новой форме чтения записей (4 увеличить на 2 равно 6, 7 уменьшить на 2
равно 5). Затем дети усваивают название знаков действий: «плюс», «минус» и читают примеры, называя знаки действий (4+2=6,7-2=5).
Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин «сумма» для обозначения числа, являющегося
результатом сложения.
Опираясь на знания детей о названиях чисел при сложении, учитель поясняет, что в примерах на сложение запись, состоящая из двух чисел, соединённых
знаком «плюс», называется так же, как и число, стоящее по другую сторону от
знака «равно» (9 сумма, 6+3 – тоже сумма).
Чтобы дети усвоили новое значение термина "сумма" как название выражения, даются такие упражнения: "Запишите сумму чисел 7 и 2; вычислите, чему
равна сумма чисел 3 и 4; прочитайте запись (6+3), скажите, чему равна сумма;
замените число суммой чисел (9= ?+?); сравните суммы чисел (6+3 и 6+2), скажите, какая из них больше, запишите со знаком "больше" и прочитайте запись".
В процессе таких упражнений учащиеся постепенно осознают двоякий смысл
термина "сумма": чтобы записать сумму чисел, надо их соединить знаком
"плюс"; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа.
Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями:
разностью, произведением и частным двух чисел. Однако теперь каждый из этих
терминов вводится сразу и как название выражения, и как название результата
действия. Умение читать и записывать выражения, находить их значение с помощью соответствующего действия вырабатывается в процессе многократных
упражнений, аналогичных упражнениям с суммой.
При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различны-
64
ми знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Вычисляя значения этих выражений, дети в выражениях овладевают правилом о порядке выполнения Действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений: например:
7+5=3+5=8. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных
преобразований.
Знакомство первоклассников с выражениями вида: 10 - (6+2), (7-4)+5 и т.п.
готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из
суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более
глубокому усвоению понятия выражения.
Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (7+4)+5 и
т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа
из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более
глубокому усвоению понятия выражения.
Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (5+3) -1
может быть различной. Можно сразу учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и вычислять значения выражений, поясняя последовательность
действий. Возможен и другой путь ознакомления детей с выражениями данного
вида - составление этих выражений учащимися из заданного числа и простейшего выражения.
Умение составлять и находить значение выражений используется учащимися при решении составных задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее
овладение понятием выражения, усваивается конкретный смысл выражений в записях решений задач. Полезно в этом плане упражнение: дается условие задачи,
например, "У мальчика было 24 рубля. Мороженое стоит 12 рублей, а конфета - 6
рублей".
Во втором классе вводятся термины "математическое выражение" и "значение выражения" (без определения). После записи нескольких примеров в одно
действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями.
65
По заданию учителя дети сами составляют различные выражения. Учитель
предлагает вычислить результаты и поясняет, что результаты иначе называют
значениями математических выражений. Затем рассматриваются и более сложные математические выражения.
В дальнейшем при выполнении различных упражнений сначала учитель, а
затем и дети употребляют новые термины (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.п.).
В сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения, также имеют двоякий смысл, что постепенно раскрывается учащимися.
Например, в выражении 20+(34-8) знак "+" обозначает действие, которое надо
выполнить над числом 20 и разностью чисел 34 и 8 (к 20 прибавить разность чисел 34 и 8). Кроме того, знак "плюс" служит для обозначения суммы - это выражение есть сумма, в которой первое слагаемое 20, а второе слагаемое выражено
разностью чисел 34 и 8.
После того как дети ознакомятся во втором классе с порядком выполнения
действий в сложных выражениях, приступают к формированию понятий суммы,
разности, произведения, частного, в которых отдельные элементы заданы выражениями.
В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении, составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения (в 2-3 действия).
Значительно облегчает детям работу схема, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:
установить, какое действие выполняется последним;
вспомнить, как называются числа при выполнении этого действия;
прочитать, чем выражены эти числа.
Упражнения в чтении и записи сложных действий, простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий.
66
В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих
числа и действия над ними.
Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения; вида: 8-а;
30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения (выражения с переменной).
В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три
этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших
выражениях
(сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на
третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия
разных ступеней.
С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе (с термином «произведение» - во 2 классе, с термином «частное» - в
третьем классе).
Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают
конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки
действий осознаются ими как краткое
обозначение
слов «прибавить», «вы-
честь» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем
(уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети
узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус».
В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей
знакомят с поня-
тиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как
названием результата арифметических действий сложения и вычитания.
Умение читать и записывать выражения, находить их значения с помощью соответствующего арифметического действия вырабатывается с помощью
многократных упражнений.
Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).
На доску с помощью воды прикрепить 4 красных и 3 жёлтых круга:
67
- Сколько красных кругов? (Записать число 4.)
- Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)
- Какое действие над записанными числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).
- Скажите, не считая, сколько всего кругов?
- Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+»,
называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.
- А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).
Аналогично про разность.
При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих
выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических
действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9.
Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.
Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной (Описать в тетради фрагмент урока, подготовиться к проведению на практических занятиях).
Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач.
Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6
р., конфета 2 р.», предлагается:
68
а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они
показывают;
б) объяснить, что показывают выражения:
2 кл.
3 кл.
24-6
6+2
6+2•3
24-2
24-(6+2)
24:6
24-6•3
6:2
В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6)-(42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75-50:25+2.
Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16-6:(8-5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.
Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений.
Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения
сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:
1) Установлю, какое действие выполняется последним.
2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.
3) Прочитаю, чем выражены эти числа.
Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются
в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.
Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл. ). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся,
приобретённые ранее, обратить
внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.
69
Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть
различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.
Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих
выражений у
него получились ответы, в правильности которых он уверен (от-
веты закрыты).
31-24+7= 0
12+23-3=32
36:2•6=6 и т.д.
Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить
ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены
ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).
Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи,
с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.
Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же
числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений,
опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них ([1],с.249250).
При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение
выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий
учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные
выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так,
чтобы знак « = » сохранился:
70
76-(20 + 4) =76-20...
(10 + 7) -5= 10-5...
60: (2•10) =60:10...
Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают
сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же,
сколько слева, надо справа еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие
выражения, т. е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение.
Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их.
Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений,
учащиеся I—IV классов выполняют преобразования выражений вида:
72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24
18•30= 18•(3•10) = (18•3) •10=540
Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе
чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком « = », потому что имеют одинаковые значения. Для
этого изредка следует предлагать детям вычислять значения выражений и
cpавнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45,
24•12= (10 + 2) =24•10+24•2 = 288.
Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выражений не только
на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например,
сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6•3, и наоборот: 9•4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8•4 + 8 = 8•5, 7•6-7=7 •5.
На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений
учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные
им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения
без скобок так, чтобы их значения не изменились:
71
(20 + 4) •3
(65 + 30)-20
96 - (16 + 30)
(40 + 24): 4
Так, первое из заданных выражений
дети заменяют выражениями: 65 +
30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполнения действий в них. Таким образом,
учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.
Выводы по второй главе
Таким образом,
введение алгебраического материала в школьный курс
математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики (переменная, уравнение, равенство, неравенство и др.),
способствует обобщению арифметических знаний, формированию у детей
функционального мышления.
Учащиеся 1-6 классов должны получить первоначальные сведения о
математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, научиться
решать уравнения, предусмотренные учебной программой и простые арифметические задачи с помощью составления уравнения (теоретическая основа выбора
арифметического действия в которых связь между компонентами и результатом
соответствующего арифметического действия).
Изучение алгебраического материала ведётся в тесной связи с арифметическим материалом.
72
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При обучении школьников 1- 6 классов учитель решает множество разнообразных задач учебно-воспитательного характера, среди которых важное место
занимает подготовка к дальнейшему изучению алгебры в 7 классе. Известно, что
в этот период должна быть заложена достаточно твёрдая основа, на которой могло бы уверенно строиться дальнейшее математическое образование.
Ежегодные массовые проверки усвоения программного материала учениками показывают, что подавляющее большинство хорошо усваивают основные
вопросы начального курса математики. Однако существуют ещё и недостатки в
подготовке младших школьников, мешающие их успешному продвижению в последующих классах.
В нашей квалификационной работе мы рассмотрели различные методики
изучения и примеры упражнений по изучению основных алгебраических понятий: переменной, равенство и неравенство, выражения и более детально проанализировали изучение понятия уравнения и его использование для решения задач
в курсе начальной школы.
Проведенное нами исследование позволяет сделать следующие выводы:
1. Вводимая в школьном курсе математики буквенная символика и понятие
переменной способствуют: обобщению знаний учащихся о числе, обобщению
знаний школьников о свойствах арифметических действий, более высокому
уровню усвоения знаний учащимися.
2.Изучение алгебраического материала способствует формированию у
учащихся приемов логических операций: анализа, синтеза, обобщения, конкретизации.
3.Алгебраический материал выполняет вспомогательную функцию при
изучении всех основных вопросов в курсе начальной математики и математики 56 классов.
4.Алгебраический материал обеспечивает преемственность между курсом
математики и систематическим курсом алгебры.
73
5.Алгебраический материал повышает уровень обобщений, способствует
развитию абстрактного мышления учащихся.
Вся история развития методики преподавания математики представляет собой историю поисков таких способов работы учителя и учащихся, которые обеспечили бы достижение целей, стоящих перед начальной школой, в общем. Всегда
возникает необходимость переоценки, критического пересмотра разработанных
ранее методов обучения и путей их использования.
Анализируя в квалификационной работе различную литературу по методике преподавания математики, периодические издания, а также исходя из опыта
учителей по изучению приёмов решения уравнений, можно отметить, что в системе упражнений необходимо предусматривать больше разнообразия, больше
внимания уделять решению всех программных видов уравнений, используя при
этом метод сравнительного анализа этих уравнений.
В отношении решения примеров на порядок действий необходимо рекомендовать учителям увеличить разнообразие решаемых в начальных классах
примеров, требовать от учеников предварительного анализа особенностей предложенного примера, умения заранее наметить план решения и только после этого
приступать к вычислениям.
Занимаясь вопросами преемственности в обучении между начальными и
средними классами школы, можно обнаружить, что ученики встречают трудности в дальнейшем развитии понятия «уравнение». Они не могут привыкнуть к
тому, что буква в уравнении может принимать любые значения, им сложно отказаться от привычного хода рассуждения при решении уравнения, трудно усвоить,
что одно и тоже уравнение можно решить различными способами, и они, не задумываясь над тем, какой из них более рациональный, решают уравнение давно
известным способом.
Всё это говорит о необходимости дальнейшего совершенствования работы
над уравнениями в начальных классах с целью подготовки учеников к изучению
систематического курса математики в средней школе.
74
Некоторые приемы такой работы мы указали в нашем квалификационном
исследовании.
Важно в процессе обучения алгебраическому материалу уделять внимание
развитию у детей соответствующих навыков и умений работы с выражениями,
переменными и уравнениями. Необходима специальная, систематическая работа,
направленная на формирование у детей умения наблюдать и сравнивать, выполнять целенаправленный анализ, обобщать и отвлекаться от несущественных признаков. Необходимо также при этом учитывать данные психологии, помогающие
предупредить возможность неправомерного обобщения, так часто оказывающегося причиной ошибок в рассуждениях учеников при рассмотрении и решении
уравнений.
На уроке у детей необходимо формировать умение рассуждать,
обосновывать свой ответ и свои действия.
Для того чтобы рассуждать, учащиеся должны видеть необходимость обоснования своих действий на основе установления взаимосвязи тех знаний, которыми располагают. Поэтому иногда приходится подбирать задания, которые вызывали бы у детей потребность рассуждать. Также, исходя из практики, можно
убедиться в том, что большую роль в развитии познавательной активности учащихся имеют задания, требующие от учащихся выявления различного и сходного
путём сопоставления.
Большое внимание необходимо уделять на уроках математики воспитанию
у учащихся самостоятельности. Очень часто в ходе самостоятельной работы необходимо организовать познавательную поисковую деятельность учащихся.
В своей квалификационной работе мы показали возможные пути ре-шения
этих задач.
75
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамова О.Г. Решение уравнений в 1 классе //Начальная школа. – 1999.
- №9, с. 32-36.
2. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных
классах. /Под ред. М.И.Моро, А.М. Пышкало. – М.: Педагогика, 1997. – 234с.
3. Александрова Э.И. Математика. 1 кл. Ч.1. – М.: Дрофа, 2015. – 143 с.
(УМК «Классическая начальная школа»)
4. Александрова Э.И. Математика. 1 кл. Ч.2. – М.: Дрофа, 2015. – 143 с.
(УМК «Классическая начальная школа»)
5. Альсмик Т. Решение задач с помощью уравнений // Начальная школа. – 1986. - № 1, с.12-17.
6. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в
начальных классах. М.: Просвещение, 1984. - 335с.
7. Бельтюкова Г.В. Понятие математического выражения в начальном курсе математики // Начальная школа. – 1984. - № 5, с.45-48.
8. Белошистая А. В. Методика преподавания математики в начальной школе. Курс лекций. М.:ВЛАДОС, 2005. – 455с.
9. Болтаева И.М. Урок математики во II классе // Начальная школа. – 1999.
- № 7, с.45-49.
10.Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение,
1986. – 304 с.
11.Выготский М.Я. Арифметика и алгебра в древнейшем мире. – Учпедгиз,
1967. – 137с.
12.Глейзер Г.И. История математики в школе (7 – 8 кл). – М., Просвещение,
1982. – 240с.
13.Глейзер Г.И. История математики в школе. / Пособие для учителей. М.:
Просвещение, 1982. – 278 с.
14.Депман И.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение,
1989. – 178 с.
76
15.Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. –
М.:Просвещение, 1989. – 287с.
16.Ивашова О.А. Изменение результатов арифметических действий при изменении их компонентов // Начальная школа. – 2000. - №3. – С.18.
17.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 1 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 1. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 112с.
18.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 1 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 2. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 112с.
19.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 2 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 1. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 116с.
20.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 2 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 2. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 116с.
21.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 3 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 1. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 118с.
22.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 3 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 2. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 118с.
23.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 4 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 1. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 128с.
24.Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 4 класса общеобразовательных
организаций. В двух частях. Часть 2. / Н.Б. Истомина. – 15-е издание. – Смоленск:
Ассоциация ХХI век, 2015. – 128с.
25.Колягин Ю.А. Размышления о некоторых проблемах начального обучения математике // Начальная школа. – 1997. - № 4, с.34-42.
77
26.Колягин Ю. М., Моро М. И., Бантова М. А. и др. Программа «Математика». // Начальная школа. – 2001. - № 8. – С.7-11.
27.Математика. 1 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.1.
(Первое полугодие) / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. – 9-е изд. - М.:
Просвещение, 2015. – 128 с.
28.Математика. 1 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2.
(Второе полугодие) / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. – 9-е изд. - М.:
Просвещение, 2015. – 134 с.
29.Математика. 2 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.1.
(Первое полугодие) / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.]. – 8-е изд.
- М.: Просвещение, 2015. – 196 с.
30.Математика. 2 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.2.
(Второе полугодие) / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.]. – 8-е изд.
- М.: Просвещение, 2015. – 204 с.
31.Математика. 3 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.1.
(Первое полугодие) / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. – 9-е изд. - М.:
Просвещение, 2015. – 128 с.
32.Математика. 3 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2.
(Второе полугодие) / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. – 9-е изд. - М.:
Просвещение, 2015. – 134 с.
33.Математика. 4 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.1.
(Первое полугодие) / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.]. – 8-е изд.
- М.: Просвещение, 2015. – 196 с.
34.Математика. 4 класс. Учеб.для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч.2.
(Второе полугодие) / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.]. – 8-е изд.
- М.: Просвещение, 2015. – 204 с.
35.Методика начального обучения математике /под ред. Л.Н. Скаткина. М.: Просвещение, 1982. – 254 с.
36.Моро М.И. и др. Математика в I классе. Пособие для учителей. - М.:
Просвещение, 1986. – 168 с.
78
37. Планируемые результаты начального общего образования / под ред.
Г.С. Ковалёва, О.Б. Логинова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.- 400 с.
38. Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа. В 2 ч.
Ч. 1. -4-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 400 с.
39. Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа. В 2 ч.
Ч. 2. -4-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 420 с.
40. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа / [ сост. Е.С. Савинов]. – 3-е изд. – М. : Просвещение,
2011. – 204 с.
41.Пышкало А.М., Давыдова В.В., Журова Л.Е. Концепция начального образования // Начальная школа. – 1992. - № 7, с.8-12.
42.Стойлова Л.П. Математика. - Издательский центр «Академия», 1999. 421с.
43.Ульянова Л.И. Конспект урока математики I класса //Начальная школа. 1999. - № 1, с.21-24.
44.Федеральный государственный образовательный стандарт начального
общего образования: текст с изм. и доп. на 2011 г. / М-во образования и науки
Рос. Федерации. – М.: «Просвещение», 2011. – 33 с.
45.Филякина Л. Живые уравнения //Начальная школа. – 1999. - № 2.
46.Царёва С.Е Различные способы решения задач и различные формы записи решения //Начальная школа. - 1982.- № 2., с. 45-47
47.Цирулик Н.А. Некоторые приёмы работы с уравнениями //Начальная
школа. – 1989. - № 4, с.25-29.
48.Чекин А. Л. Математика [Текст]: 1кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 1: 116 с.
49.Чекин А. Л., Математика [Текст]: 1кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 2: 120 с.
50.Чекин А. Л. Математика [Текст]: 2кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 1: 160 с.
79
51.Чекин А. Л., Математика [Текст]: 2кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 2: 160 с.
52.Чекин А. Л. Математика [Текст]: 3кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 1: 128 с.
53.Чекин А. Л., Математика [Текст]: 3 кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 2: 128 с.
54.Чекин А. Л. Математика [Текст]: 4 кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 1: 128 с.
55.Чекин А. Л., Математика [Текст]: 4кл. : Учебник : В 2 ч. / А. Л. Чекин;
под ред. Р. Г. Чураковой. - М.: Академкнига Учебник, 2014. — Ч. 2: 128 с.
56.«Школа России» Сборник рабочих программ 1-4 классы Пособие для
учителей общеобразовательных учреждений. Москва « Просвещение», 2013. – 496
с.
57.Школьная энциклопедия математики. /Под ред. С.М.Никольского. М.:
Дрофа, 1997. – 527с.
58.Шмырёва Г.Г. Понятие
переменной
в начальном курсе математики
//Начальная школа. – 1988. - № 4, с.12-14.
59.Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. /Пор ред. М.Д.Аксенова. –
М.: Аванта+, 2000. – 688с.
80
ПРИЛОЖЕНИЕ
81
Приложение 1
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ,
проведённых во время прохождения педагогической практики
в 3 «А» классе школы № 39 г. Орла
Математика 3 (1- 4) часть 2 (Моро М.И., Бантова М.А.).
Тема: «Решение уравнений»
Цели урока: 1) Познакомить учащихся с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого.
2) Продолжить знакомство с письменными приёмами сложения чисел.
3) Воспитывать любовь к природе, ко всему живому.
ПЛАН
I.
Организационный момент.
II.
Актуализация роли изученного материала.
III.
Устный счёт.
IV.
Тема урока.
V.
Закрепление.
VI.
Итог урока.
VII.
Домашнее задание.
Ход урока:
I.
Организационный момент.
II.
Актуализация ранее изученного материала.
- Какое самое наибольшее трёхзначное число можно составить из цифр 5, 3,
7? (753);
- Что вы можете сказать об этом числе?
(это трёхзначное число, в котором 7 сотен, 5 десятков и 3 единицы);
- Число 753 можно заменить суммой разрядных слагаемых 700, 50 и 3;
- Предыдущее число 752, последующее 754.
- Ребята, это число мы написали сегодня неспроста.
82
Как известно птица дятел – это лесной доктор. Он избавляет деревья от насекомых – короедов. Так вот, один дятел за день съедает 753 пауков-короедов.
Добывая себе корм, он делает в деревьях выемки, их охотно используют для своих гнёзд маленькие птички. Получается взаимосвязь.
- Посмотрите, пожалуйста, на доску.
На доске запись:
Дятел → деревья → маленькие птички
- Эта схема отражает, как связаны растения и птицы между собой.
- А кто знает, какая наука изучает подобные взаимоотношения в природе?
(Природоведение).
III.
Устный счёт.
1) В лапту играли 14 девочек и 12 мальчиков. Они разделились на 2 команды поровну. Сколько человек было в каждой команде? (По 13 детей).
2) Увеличить 3 в 16 раз. (48).
1) Уменьшить 60 в 15 раз. (4).
2) На какие чётные числа делится 6? 12? 16? (2, 4, 6; 2, 4, 6, 12; 2, 4, 8, 16).
3) Сумма длин сторон треугольника 18 см. Длина одной стороны 8 см, другой 4 см. Найди длину третьей стороны. (18 – (8 + 4) = 6).
4) Во сколько раз 25 меньше, чем 100? (4 раза).
5) Сумму чисел 27 и 15 разделить на 6. ((27 + 15) : 6 = 7).
6) К произведению чисел 12 и 6 прибавить 8. (12 ∙ 6 + 8 = 80).
IV.
Тема урока.
-
Сегодня на уроке мы будем решать уравнения.
-
Как называются компоненты при вычитании? (уменьшаемое, вычитаемое, разность)
-
Как найти неизвестное уменьшаемое? (нужно к вычитаемому прибавить
разность)
-
Решаем уравнение с комментированием.
х–3=5
х – 13 = 7
83
-
х=5+3
х = 7 + 13
х=8
х = 20
Проверка:
Проверка:
8–3=5
20 – 13 = 7
5=5
7=7
А теперь, давайте решим задачу: Школьники пошли гулять на поляну.
Ученики 1-го «В» класса сорвали 45 цветков, а 2-го «В» класса – 46
цветков. Сколько бабочек останется без обеда, если 1 бабочка в среднем, чтобы быть сытой, должна попробовать нектар 7 цветков.
На доске запись:
Общая норма
бабочку
1-й «В»
Норма на 1
Количество
бабочек
45 цветков
? цветков 7 цветков
2-й «В»
-
? бабочек
46 цветков
Какие 2 величины необходимо знать, чтобы ответить на главный вопрос
задачи? (Сколько всего школьники двух классов собрали цветков,
сколько цветков должна попробовать бабочка, чтобы быть сытой).
-
Что нам известно? (Известно, что 1 бабочка должна попробовать нектар
7 цветков).
-
А что неизвестно? (Общее число собранных цветков).
-
Какие две величины надо знать, чтобы узнать, сколько всего цветков сорвали школьники? (Число цветков, собранных школьниками 1-го класса
и число цветков, собранных школьниками 2-го класса).
-
Известны ли нам эти величины? (Да, они нам известны).
Закрепление.
V.
Упражнения: № 10 (4 столбец), стр. 21; № 1 (3 столбец), стр. 18. [3]
VI.
-
Итог урока.
Дети, что вы узнали сегодня на уроке?
84
VII.
Домашнее задание.
Упражнение № 10 (2 столбец), стр. 21. [3]
Тема: «Решение уравнений» (продолжение).
Цели урока: 1) Познакомить учащихся с решением уравнений вида
17 + х = 50 - 8.
2) Закреплять знания правила умножения числа на сумму.
3) Совершенствовать умение решения задач, изученных видов.
4) Отрабатывать вычислительные навыки.
5) Воспитывать у учащихся аккуратность.
ПЛАН
I.
Организационный момент.
II.
Устный счёт.
III.
Тема урока.
IV.
Закрепление.
V.
Итог урока.
VI.
Домашнее задание.
Ход урока:
I.
Организационный момент.
II.
Устный счёт.
Математический диктант:
1.
Увеличить в 4 раза 8 единиц. (32)
2.
Увеличить в 4 раза 8 десятков. (320)
3.
Запишите число, предшествующее числу 320. (319)
4.
Множитель 18, второй множитель 3. Найти произведение. (54)
5.
Запишите число, которое при счёте следует за 540. (541)
6.
На сколько 85 больше 20. (на 65)
7.
Запишите число, которое следует за числом 899, какое это число? (900, чётное)
8.
Сумму 6 и 2 увеличить в 18 раз, какое это число? (144, чётное)
9.
Какое число надо разделить на 9, чтобы получить 2? (18)
85
III.
Тема урока:
На доске запись:
17 + х = 50 – 8
- Сегодня мы будем решать уравнение такого вида. Прочитайте, что записано
в левой и правой частях уравнения.
- Читают уравнение так: сумма числа 17 и неизвестного числа равна разности
чисел 50 и 8.
- Можно прочитать по другому: какое число надо прибавить к 17, чтобы получить число, равное разности чисел 50 и 8? (Учащиеся повторяют).
- Для решения уравнения сначала вычислим разность в правой части уравнения. Сколько получится?
- Запишите новое уравнение: 17 + х = 42
- Это уравнение решите самостоятельно.
- Проверка здесь выполняется так: сначала подставим значение х и вычислим
сумму в левой части уравнения (Запись: 17 + 25 = 42); теперь вычислим
разность в правой части (Запись: 50 – 8 = 42). В правой и левой части уравнения получили по 42, значит, правильно решили уравнение.
На доске запись:
17 + 25 = 50 – 8
42 = 42
-
Теперь попробуем решить аналогичные уравнения:
х + 37 = 50 + 50
78 – х = 35 + 2
IV. Закрепление.
-
Самостоятельно решите следующие уравнения, а затем мы проверим,
как это у вас получилось:
х + 28 = 38 – 3
х + 13 = 50 – 30
65 – х = 57 + 3
V. Итог урока:
- С решением, каких уравнений мы сегодня познакомились?
VI. Домашнее задание.
Упражнение № 15, стр. 22. [3]
86
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа