close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Лёвушкина Вера Владимировна. Обучение моделированию младших школьников при решении задач на движение

код для вставки
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………….. 4
Глава 1. Теоретические и методические аспекты обучения
моделированию младших школьников при решении
текстовых задач на движение ………………………………….. 7
1.1.
Моделирование в процессе обучения математике младших
школьников …………………………………………………………….. 7
1.2.
Теоретические и общеметодические требования
к задачам на движение в начальном курсе математики ……………. 16
1.2.1. Задачи на движение как особый вид текстовых задач
начального курса математики ………………………………… 16
1.2.2. Задачи на движение как задачи с пропорциональными
величинами ……………………………………………….……. 25
1.2.3. Основные виды задач на движение ………………….……….. 33
1.3. Классификация и анализ моделей задач на движение
начального курса математики ………………………………………… 46
Глава 2. Методика обучения младших школьников построению
моделей и работе с ними при решении задач на движение … 56
2.1. Основные трудности обучения младших школьников решению
задач на движение и возможные пути их устранения ………………… 56
2.2. Использование моделей при подготовке школьников к решению
задач на движение ……………………………………………………….. 60
2.3. Моделирование в процессе формирования у младших школьников
понятия «скорость» и установления связей между скоростью,
временем и расстоянием …………………………………………………66
4
2.4. Методика обучения моделированию младших школьников при
решении задач на разные виды движения ……………………………… 76
2.4.1. Моделирование при решении задач на встречное движение ..….. 76
2.4.2. Моделирование при решении задач на движение
в противоположных направлениях ………………………………... 83
2.4.3. Моделирование при решении задач на движение в одном
направлении ………………………………………………………….88
2.5. Методические рекомендации по обучению моделированию
младших школьников при решении задач на движение …………………98
Заключение ……………………………………………………………….. 107
Список литературы ……………………………………………………….109
Приложения ………………………………………………………………..115
5
ВВЕДЕНИЕ
Текстовые задачи имеют важное значение в общей системе обучения математике. Они необходимы для формирования у учащихся полноценных знаний,
определяемых программой. Практически все основные понятия, отношения,
взаимосвязи, закономерности, рассматриваемые в начальном курсе математики,
раскрываются на системе конкретных текстовых задач.
Задачи на движение являются обязательными для изучения как в начальном
курсе математики, так и в курсе математики средней школы. Задачи, связанные с
движением, решаются также на уроках физики, астрономии, химии. Поэтому все
знания, умения и навыки решения задач на движение, которые учащиеся получают в начальной школе, являются необходимыми для их успешного дальнейшего
обучения.
Решение таких задач предусматривает знакомство младших школьников с
новой величиной – скоростью. На примере простых задач раскрываются связи
между величинами: скорость, время, расстояние. В ходе решения задач на движение, учащиеся приобретают навыки построения чертежей, так как именно чертежи и схемы позволяют правильно представить жизненную ситуацию, отраженную
в задаче.
В программах и учебниках для начальной школы наблюдаются различные
подходы к объему материала и методике обучения детей решению задач на движение.
Например, по УМК «Школа России» рассматриваются только задачи на
движение тел навстречу друг другу и в противоположных направлениях. В учебниках математики Н.Б. Истоминой задачи на движения представлены в большом
объеме, но преобладающими являются задачи на движение в противоположных
направлениях и рассматриваются лишь простейшие случаи движения тел в одном
направлении. В курсе начальной математики УМК «Перспективная начальная
школа», напротив, задач на движение крайне мало и акцент делается на введение
формул и работе с ними. Формулы, отражающие связи между скоростью, време-
6
нем и расстоянием, также вводятся в курсах математики Э. И Александровой,
Л.Г.Петерсон и др. Очень подробно все виды движения рассматриваются в учебниках математики образовательных систем «Планета знаний», «Школа 2100»,
«Перспектива» и др.
Тем не менее, задачи на движение были и остаются одним из самых трудных видов текстовых задач начального курса математики. Это обусловлено прежде всего тем, что такие задачи, как правило, в качестве вспомогательных моделей
используют чертежи, без которых трудно представить ситуацию, а учащиеся не
обладают навыками их построения. Поэтому многие задачи в учебниках математики для начальной школы уже содержат готовые схемы, чертежи, таблицы. Это
облегчает работу учащихся в классе и дома. Но самостоятельное построение
вспомогательных моделей и верное решение задач для многих учащихся затруднительно. Поэтому учитель должен проводить систематическую целенаправленную работу по обучению младших школьников построению различных моделей и
работе с ними. Тем более, что именно метод моделирования лежит в основе общего умения решать задачи
Все выше сказанное свидетельствует об актуальности выбора темы нашего квалификационного исследования «Обучение моделированию младших
школьников при решении задач на движение».
Цель исследования – теоретическое и методическое обоснование эффективности использования моделирования в процессе обучения младших школьников решению задач на движение.
Объект исследования - процесс обучения младших школьников решению
задач на движение.
Предмет исследования – теоретические и методические основы обучения
младших школьников моделированию при решении задач на движение.
Задачи исследования:
1. Изучить теоретическую, методическую и учебную литературу по теме
исследования.
7
2. Определить теоретические основы и методические приемы введения
понятий «скорость», «время», «расстояние» и изучения связей между ними.
3. Рассмотреть задачи на движение и их решение с позиций общих методических требований к текстовым задачам и как частного вида задач с пропорциональными величинами.
4. Выявить основные виды вспомогательных моделей начального курса
математики и проанализировать особенности их построения в курсах математики различных УМК.
5. Указать теоретические основы и методические приѐмы решения задач
на различные виды движения.
6. Проанализировать задачи на движение и особенности их решения в
учебниках начальной математики разных авторов.
7. Теоретически обосновать и показать методику обучения моделированию младших школьников при решении задач на движение.
8. Составить задания по построению моделей и работе с ними, дать методические рекомендации по обучению моделированию младших школьников
при решении задач на движение.
Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения,
списка литературы и приложений.
8
ГЛАВА 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ
МОДЕЛИРОВАНИЮ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ РЕШЕНИИ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ
1.2.
Моделирование в процессе обучения математике младших школьников
В настоящее время проблема моделирования как способа научного позна-
ния существует во всех отраслях науки. Термин «модель» широко используется в
разных сферах деятельности, поэтому он имеет разные трактовки смыслового
значения. Разные учѐные по-разному характеризуют понятие модели и моделирования.
Считается, что в математике впервые термин «модель» применил в 1868 г.
итальянский ученый Е. Бельтрами, создавший главную модель на основе неевклидовой геометрии – геометрии Лобачевского, используя объекты евклидовой
геометрии [4].
В.А. Штофф под моделью понимал такую мысленно представленную или
материально реализованную систему, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что еѐ изучение даѐт нам новую
информацию об этом объекте [73, с.19].
Согласно А. А. Ляпунову [4], моделирование – «опосредованное» теоретическое или практическое изучение предмета, при котором напрямую исследуется
не сам интересующий нас предмет, а определенная дополнительная искусственная или естественная модель, что располагается в некотором объективном согласовании с познаваемым объектом (предметом); может заменять его в конкретных
отношениях и предоставляет информацию о самом моделируемом предмете».
В учебнике Советова Б.Я. и Яковлева С.А. [50, с.6] «модель (от лат. modulus
– мера) – это предмет-заместитель предмета-подлинника, который обеспечивает
исследование отдельных свойств подлинника». Исходя из данного определения,
моделирование – это замена одного предмета иным предметом, с целью получе-
9
ния информации о важных свойствах предмета-оригинала с помощью предметамодели.
По Севостьянову А. Г. [48] «математической моделью называется комплекс
математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих ключевые закономерности, свойственные исследуемому процессу, предмету либо
системе».
Б.В.Бирюков, Ю.А. Гaстеев отмечают, что мoделирование предполагает
oдин из главных методов познaния, является формой отрaжения реальности и
зaключается в раскрытии, либо в воспроизведении тех или иных cвойств
реaльных предметов, объектов и явлений с помoщью иных предметов, действий,
явлений, либо с помощью теоретического описания в варианте рисунков, плана,
карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ [36].
В.В. Давыдов утверждал, что модели – это форма абстракции особого рода,
в которой существенные отношения предметов выражены в наглядно – воспринимаемых и представляемых связях и отношениях знаковых элементов [56, с.128].
Л.М. Фридман моделью называет объект, в каком – то отношении подобный
оригиналу, построенный для одной из следующих целей: создания представления
о реально существующем объекте; для более удобного использования; изучение
исследуемого объекта через его модель; истолкование изучаемого объекта через
созданную модель [56, с.20].
Во всех определениях термина «модель» можно выделить общие признаки:
- модель является средством научного познания;
- выступает заместителем оригинала;
- охватывает его существенные свойства, которые в данный момент выступают объектом исследования;
- между моделью и оригиналом есть определѐнное отношение (модельное
отношение).
- исследование модели даѐт новые знания об объекте-оригинале.
10
Смысл моделирования заключается в возможности получить информацию
об оригинале, путѐм переноса на него определенных знаний, полученных при
изучении соответствующей модели.
Для определения специфики моделирования в обучении выявим отличия
такого (учебного) моделирования от научного.
1) В науке моделирование применяется для познания неизвестных явлений,
объектов, процессов. В обучении оно используется для «открытия» учащимися
известных науке фактов и положений.
2) Моделирование при исследовании конкретного явления выступает толь-
ко как метод познания и не является само по себе объектом изучения. В обучении
моделирование выступает одновременно и как метод получения новых знаний, и
как объект изучения.
3) В науке заранее неизвестно к построению какой модели приведет иссле-
дование. В обучении же учитель, использующий моделирование, знает, какой
объект можно взять в качестве модели данного явления в силу изученности его в
науке.
4)
В построении математической модели в науке участвуют специалисты
различных областей, в частности, представители той науки, для которой строится
математическая модель. В обучении ученик строит математическую модель для
решения задачи прикладного характера, используя свои знания из смежных
предметов и помощь учителя.
5) Идеализация исследуемой проблемы в науке происходит в процессе по-
строения модели. В обучении ученик получает в качестве проблемы исследования уже идеализированную ситуацию.
Из названных отличий моделирования в обучении от научного вытекает ряд
требований к применению моделирования в учебном процессе:
проблемная ситуация, в результате которой строится или выбирается модель,
создается учителем;
свойства объекта, выбираемого в качестве модели для изучения теоретических
фактов, должны быть известны учащимся;
11
необходим набор задач для отработки отдельных умений, свойственных моделированию;
ситуация, взятая из другой дисциплины, требующая построения математической модели, должна быть ясна учащимся.
Таким образом, моделирование в обучении, с одной стороны, выступает содержанием, которое должно быть усвоено в результате обучения. Действительно,
любая наука имеет свои основы, которые составляют содержание соответствующего учебного предмета. Основы науки содержат систему научных моделей, аппарат для их исследования, методики использования на практике результатов исследования моделей. Изучить основы науки – значит не только узнать еѐ факты и
закономерности, но и овладеть еѐ идеями и методами. Одним из основных методов науки является моделирование. Данный метод обладает эвристической силой.
Метод моделирования помогает свести изучение сложного к простому, невидимого к видимому, сделать любой сложный объект доступным для изучения.
Одновременно моделирование в обучении является учебным действием, без
которого невозможно полноценное обучение.
Научиться чему – нибудь можно только в процессе деятельности. В процессе бездействия невозможно усвоить какое-то знание. Согласно теории поэтапного
формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным, построение и работа с моделями изучаемых умственных действий составляют обязательный этап овладения ими [17].
Чтобы лучше увидеть основные черты усеваемого действия, нужно отвлечься от ненужных свойств, а это значит, что необходимо перейти к действию с их
заместителями – моделями. Чтобы учащиеся овладели методом моделирования,
необходимо, чтобы они сами строили модели, изучали какие – либо явления с помощью моделирования.
В процессе обучения моделирование выступает и в роли учебного средства,
с помощью которого достигаются цели обучения. Это происходит в результате
овладения учащимися моделированием как учебным действием, когда учащиеся
сами строят различные модели изучаемых явлений.
12
Моделирование в обучении является и способом познания. Оно помогает
получить сведения об объекте, которые сложно получить действительно, даѐт
возможность прогнозировать дальнейшее развитие объекта, применять полученные знания в других ситуациях, то есть моделирование способствует систематизации и обобщению учебного материала.
В практике школьного обучения метод моделирования можно с успехом использовать для:
1) введения математических понятий
Например, модели геометрических фигур позволяют сформировать у младших школьников соответствующие понятия. Как отмечал В.Г. Болтянский модель
даѐт не только вероятность сформировать наглядный образ объекта, но и возможность сформировать его наиболее значительные свойства, отображенные в модели. Все другие (несущественные) свойства при разработке модели отбрасываются,
поэтому у ребенка формируется общий наглядный образ моделируемого объекта
[57].
2) изучения нового материала
Исследование нового материала с использованием моделирования позволяет увеличить динамичность мыслительной работы учащихся, сформировать любознательность, наблюдательность. При этом у детей формируются такие приѐмы
умственной работы, как классификация, сравнение, анализ и синтез, абстрагирование, обобщение, индуктивные и дедуктивные методы размышлений, что в свою
очередь активизирует интенсивное формирование словесно-логического мышления.
3) При решении текстовых задач
Осознанность и осмысленность действий в работе над задачей зависит от
понимания ситуации, которая описывается в тексте задачи. Чтобы решить задачу,
необходимо уметь переходить от текста к представлению ситуации, от неѐ к записи решения в виде математических символов, то есть построение математической
модели.
13
Математическая модель – описание какого – либо реального процесса на
языке математических понятий, формул, отношений. [52, с.128]
Традиционно выделяют три этапа математического моделирования в процессе решения задачи:
I этап – перевод условий задачи на математический язык
На данном этапе определяют известные и искомые данные. Математическим способом устанавливают связи между ними. Строится математическая модель (выражение, запись по действиям, уравнение, неравенство, их системы).
II этап – внутримодельное решение
На данном этапе находят значение выражения, выполняют действия или
решают уравнение.
III этап – интерпретация
Осуществляется перевод полученного результата, на тот язык, на котором
сформулирована задача.
Покажем основные этапы моделирования на примере задачи [34, с.7] «Теплоход проходит за 4 часа такое же расстояние, как и моторная лодка за 9 часов.
Узнай скорость моторной лодки, если известно, что скорость теплохода 36 км/ч»
I этап
- О чем данная задача? (о движении теплохода и моторной лодки)
- Какими величинами характеризуется любое движение? (скоростью, временем и расстоянием)
- Что нам надо найти? (Скорость моторной лодки)
- Что нам известно о движении моторной лодки? (Известно время движения
9 часов)
- Что ещѐ известно в задаче? (что теплоход и моторная лодка прошли одинаковое расстояние)
- Что нам известно о движении теплохода? (известна его скорость 36 км/ч и
время движения 4 часа)
- Можем ли мы найти расстояние? (Да, так как нам известна скорость и
время движения теплохода)
14
- Каким действием? (Умножением 36 4)
- Сможем ли мы потом найти скорость моторной лодки? (Да)
- Каким действием (Делением (36 4) : 9)
(36 4) : 9 – математическая модель задачи
II этап
Найдем значение составленного выражения:
(36 4) : 9 = 16
III этап
16 км/ч – это скорость моторной лодки.
Самым трудным является первый этап моделирования, поэтому при решении текстовых задач в начальном курсе математики строятся вспомогательные
модели. Тогда процесс решению задачи можно рассматривать как переход от словесной модели к вспомогательной, а от нее – к решающей модели. Виды вспомогательных и решающих моделей начального курса математики мы рассмотрим в
п. 1.4. нашей работы.
Моделирование в процессе решения текстовых задач играет исключительно
важную роль.
Умение решать задачи является основным показателем уровня развития
учащихся, помогает им овладевать новыми знаниями. В соответствии с требованиями ФГОС НОО [55] существенным является не отработка умения решать отдельный тип текстовых задач, а приобретение учащимися умения анализа различных текстовых конструкций задач, умения представлять их в виде моделей.
В соответствии со Стандартом результаты изучения начального курса «Математика» подразделяются на личностные, метапредметные и предметные.
Учитывая требования, которые относятся к задачам и моделированию,
можно сказать, что метапредметные результаты должны отражать:
- владение способностью принимать и сохранять цели и задачи учебной
деятельности;
- освоение способов решения проблем творческого и поискового характера;
15
- использование знаково-символических средств представления информации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебных и практических задач;
- активное использование речевых средств и средств информационных и
коммуникативных технологий для решения коммуникативных и познавательных
задач;
- использование различных способов поиска, сбора, обработки, анализа, организации, передачи и интерпретации информации в соответствии с коммуникативными и познавательными задачами;
- умение работать в математической и информационной среде (в том числе с
учебными моделями).
Предметные результаты курса должны отражать:
- овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения, пересчѐта, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;
- приобретение начального опыта применения математических знаний для
решения учебно-познавательных и учебно-практических задач;
- умение решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, работать с таблицами,
схемами, графиками и диаграммами, представлять, анализировать и интерпретировать данные» [55].
Анализируя содержание ООП НОО [41], можно сказать, что работе с текстовыми задачами отводится значительное место в система начального математического образования. Причем главный акцент делается не на отработку умений
решать отдельный тип текстовых задач, а приобретение учащимися общих умений для решения любых задач, формирования навыков анализа различных текстовых конструкций задач, умения представлять их в виде моделей.
Моделирование является одним из компонентов содержания познавательных универсальных учебных действий. Одним из результатов формирования познавательных учебных действий являются умения:
16
- создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;
- владеть общим приѐмом решения учебных задач;
- использовать знаково – символические средства для решения задач;
- выбирать наиболее рациональные способы решения задач.
Обучение моделированию должно занимать одно из главных мест в формировании умения решать задачи.
Таким образом, достижение планируемых результатов и успех решающего
во многом определяется уровнем овладения моделированием. Развивающие
функции моделирования текстовых задач создают условия для раскрытия и развития возможностей каждого обучающегося.
17
1.2. Теоретические и общеметодические требования
к задачам на движение в начальном курсе математики
1.2.1. Задачи на движение как особый вид текстовых задач
начального курса математики
С термином «задача» люди часто встречаются как на бытовом, так и на
профессиональном уровне.
В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и разрешения человеком.
В обучении математике младших школьников преобладают такие задачи,
которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (поэтому их называют текстовыми); в них
обычно описывается количественная сторона каких-то явлений событий (поэтому
их часто называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой
задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения
некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).
Текстовые задачи чаще других используются в методике обучения математике младших школьников. Их решению в начальном курсе математики уделяется
огромное внимание. Связано это, прежде всего с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и
главное – средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей. «Работа с текстовыми задачами», в соответствии с ООП, является отдельным разделом содержания начального общего образования.
Текстовые задачи представляют собой описание какого – либо явления, ситуации или процесса. С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель
явления (ситуации, процесса). И, так во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом. А лишь некоторые его стороны, главным образом,
его количественные характеристики.
18
В каждой задаче можно выделить:
а) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);
б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
в) требование или вопрос, на который надо найти ответ.
Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для
получения ответа на требование задачи.
Утверждения задачи называют условиями (или условием, как в начальной
школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий.
Они представляют собой количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними.
Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми или неизвестными.
Задачи на движение являются особым видом текстовых задач начального
курса математики, так как наряду с общими положениями, относящимися к текстовым задачам, эти задачи имеют ряд особенностей. К моменту введения задач
на движение, учащиеся должны обладать общими приемами решения текстовых
задач, задач с пропорциональными величинами, поэтому они по всем действующим УМК для начальной школы изучаются в 4 классе. По сути, это последний
вид текстовых задач, которые изучаются в начальном курсе математики.
Рассмотрим задачу: «На автобусе, средняя скорость которого 35 км/ч, из деревни в город можно доехать за 4 часа. Сколько времени дорога из деревни в город займет на машине, скорость которой в 2 раза больше скорости автобуса?»
В задаче описывается движение автобуса и машины. Как и в любой текстовой задаче, в ней можно выделить утверждения-условия:
19
1) Средняя скорость автобуса 35 км/ч.
2) Время движения автобуса 4 часа.
3) Скорость движения машины в 2 раза больше скорости автобуса.
4) Машина и автобус проходят одинаковый путь (из деревни в город).
В данной задаче одно требование: найти время, необходимое машине на
путь из деревни в город.
Решить задачу в широком смысле этого слова – это значит раскрыть связи
между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.); выполнить действия над данными задачи, используя общие
положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность
его выполнения.
Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же разные понятия.
Во-первых, решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи.
Во-вторых, решением задачи называют процесс нахождения этого результата, то есть вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения.
В-третьих, решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для
получения ответа задачи.
Арифметический метод решения текстовой задачи – нахождение ответа на
требование задачи путем выполнения арифметических действий.
Многие задачи можно решить разными арифметическими способами, отличающимися логикой рассуждений.
20
Алгебраический метод решения текстовой задачи – нахождение ответа на
требование задачи путем составления уравнения или системы уравнений.
Для одной и той же задачи можно составить различные уравнения или системы, значит, она может быть решена различными алгебраическими способами.
В начальной школе текстовые задачи решаются преимущественно арифметическим методом. В этом случае решить задачу – значит раскрыть связи между
данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем
выполнить действия и дать ответ на вопрос задачи.
Деятельность по решению задачи состоит из следующих этапов: анализ задачи, поиск плана решения задачи, осуществление плана решения задачи, проверка решения задачи (См. Приложение 1)
Анализ задачи
Основное назначение этого этапа – понять в целом ситуацию, описанную в
задаче, выделить условия и требования, назвать известные и неизвестные объекты
и отношения между ними. Разобраться в условии задачи помогают вопросы следующего типа: о чем данная задача, что требуется найти в задаче, что для этого
известно, что неизвестно и т.д.
Как правило на этапе анализа задачи создается вспомогательная модель
(краткая запись, таблица, чертеж и т.д.). Таблица, чертежи, предметные рисунки
являются вспомогательными моделями задачи, на которой должны быть отражены все объекты и отношения. Такие модели являются фиксацией анализа текстовой задачи и основным средством поиска ее решения.
Задачи на движение являются задачами с пропорциональными величинами.
К моменту введения задач на движение, в соответствии с программой и содержанием начального курса математики, учащиеся знакомы с методами решения других задач с пропорциональными величинами (цена-количество-стоимость, расход
на одно изделие-количество изделий-общий расход, производительность-время
работы-общий объем работы и т.д.). Поэтому знания, умения и навыки решения
таких задач переносятся на новые величины.
21
Для рассматриваемой задачи вспомогательную модель целесообразнее выполнить в виде таблицы:
скорость
время
автобус
35 км/ч
4ч
машина
? в 2 раза больше
?
расстояние
одинаковое
Поиск плана решения задачи
Назначение данного этапа – установить связь между объектами и установить последовательность действий. Поиск плана решения задачи может осуществляться разными методами.
Аналитический метод – метод рассуждения от вопросов задачи к данным.
Он представляет собой цепочку рассуждений вида «Чтобы узнать …, надо знать
… и …». Для рассматриваемой задачи схема аналитического метода рассуждений
будет следующей:
1. Чтобы найти время, необходимое машине на путь из города в деревню, надо знать ее скорость (?) и величину пути (?).
2. Чтобы величину пути от деревни в город, надо знать скорость автобуса (35 км/ч) и время его движения (4 ч).
3. Чтобы найти скорость машины, надо знать скорость автобуса (35
км/ч) и во сколько раз скорость машины больше (в 2 раза)
Синтетический метод – метод рассуждения от данных к вопросу задачи.
Он представляет собой цепочку рассуждений вида «Зная … и … , можно найти
…». Для данной задачи схема синтетического метода рассуждений будет следующей:
1. Зная скорость автобуса (35 км/ч) и то, что скорость машины в 2 раза
больше, можно найти скорость машины.
2. Зная скорость автобуса (35 км/ч) и время его движения (4 ч) можно
найти расстояние от деревни до города.
3. Зная расстояние от деревни до города, и скорость машины можно
найти время, необходимое машине на этот путь.
22
При синтетическом методе рассуждения характерным является описание
того, что и как делается, но не указывается, почему в качестве исходного взято то
или иное утверждение, поэтому такие рассуждения кажутся учащимся искусственными. При использовании аналитического метода, учащиеся знают с чего начать, но этот метод не всегда приводит к правильным выводам. Поэтому при решении задач следует применять оба метода.
Схемы этих методов можно оформить в виде блок-схем:
Пусть V1 – скорость автобуса, t1 – его время, S – расстояние от деревни до
города, V2 – скорость машины, t2 – ее время.
блок-схема аналитического метода
блок-схема синтетического метода
t2
S
V1
V1
:
t1
V2
V1
t1
S
2
V1
:
2
V2
t2
Осуществление плана решения задачи
Этот этап включает в себя выполнение всех действий в соответствии с планом и позволяет найти ответ на требование задачи. Для текстовых задач решение
может быть записано по действиям и выражением.
Решение по действиям может сопровождаться пояснениями или вопросами.
1) 35 2 = 70 (км/ч) – скорость машины.
2) 35 4 = 140 (км) – расстояние о деревни до города.
3) 140 : 70 = 2(ч) – время движения машины.
1. С какой скоростью двигалась машина?
35 2 = 70 (км/ч)
2. Какое расстояние от деревни до города?
35 4 = 140 (км)
3. Сколько времени надо машине на путь
от деревни до города?
140 : 70 = 2(ч)
Запись решения задачи выражением может осуществляться поэтапно, в соответствии с планом решения:
35 2 (км/ч) – скорость машины
23
35 4 (км) – расстояние о деревни до города
(35 4) : (35 2) (ч) – время машины
(35 4) : (35 2) = 2(ч)
Проверка решения задачи
Этот этап позволяет установить правильность или ошибочность полученного решения. Для текстовой задачи это можно установить несколькими способами.
В начальных классах используются следующие четыре способа проверки:
1) Прикидка ответа (установление соответствия искомого числа области
своих значений).
Применение этого способа состоит в том, что до решения задачи устанавливается область значений искомого числа. Если после решения задачи полученный результат не соответствует установленным границам, значит, задача решена
неправильно.
Пусть надо проверить способом прикидки решение следующей задачи: «Из
двух городов, расстояние между которыми 736 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Первый поезд шел со скоростью 47 км в час, а
второй 45 км в час. Сколько километров прошел каждый поезд до встречи?»
До решения задачи выясняется, что каждый поезд прошел расстояние
меньше, чем 736 км, и что первый поезд прошел большее расстояние, чем второй.
Если ученик ошибется и получит в ответе, например, числа 3760 и 3600, то сразу
же заметит, что задача решена неправильно, так как каждое искомое число должно быть меньше, чем 736.
Таким образом, этот способ помогает заметить ошибочность решения, но
он не исключает других способов проверки решения задач.
2) Составление и решение обратной задачи.
В этом случае детям предлагается составить и решить задачу, обратную по
отношению к данной. Если при решении обратной задачи в результате получится
число, которое было известно в данной задаче, то можно считать, что данная задача решена правильно.
24
Этот способ вводится во 2 классе. Он применим к любой задаче, лишь бы
обратная задача была посильна детям, а поэтому им надо указывать, какое число
можно брать искомым в обратной задаче. Применяя этот способ проверки, следует помнить, что он довольно труден и громоздок, а составленная обратная задача
может оказаться труднее данной. Тем не менее, очень полезны сами упражнения
в составлении и решении обратных задач, поскольку они помогают уяснить связи
между величинами, входящими в задачу.
[21, с.58]. На машине за 3 часа проехали 180 км с постоянной скоростью. Чему
равна скорость машины?
К данной задаче можно составить следующие обратные задачи:
1) На машине со скоростью 60 км/ч проехали 180 км. Сколько времени была в
пути машина?
2) На машине ехали 3 часа со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние было пройдено?
Такие задачи позволяют не только проверить правильность решения задачи,
но и глубже усваивать связи между входящими величинами.
3) Установление соответствия между числами, полученными в результате
решения задачи, и данными числами.
При проверке решения задачи этим способом выполняют арифметические
действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если при
этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно.
Этот способ проверки также используется, начиная со II класса. Его целесообразно применять для проверки решения задач такой структуры, в которых
25
можно получить числа, данные в задаче, путем выполнения соответствующих
действий над числами, полученными в ответе (задачи на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям и целый ряд других задач).
Например, [34, c. 18]: «Мотоциклисты проехали за 3 часа 153 км. Они заметили, что в первый и второй часы проехали 102 км, а во второй и третий часы – 99
км. Сколько километров мотоциклисты проезжали каждый час?».
В результате решения этой задачи получится, что в первый час мотоциклисты проехали 54 км, во второй – 48 км, а в третий – 51 км.
Проверим: 54 + 48 + 51 = 153 – проехали за 3 дня.
54 + 48 = 102 км – за первый и второй часы
48 + 51 = 99 км – за второй и третий часы. Решение верно.
4) Решение задачи другим способом.
Если задачу можно решить различными способами, то получение одинаковых результатов подтверждает, что задача решена правильно. Этот способ проверки относится только к составным задачам.
Например, учащимся 4 класса предлагается решить задачу на движение:
«Из двух поселков, расстояние между которыми 13 км, выехали одновременно
навстречу друг другу два мотоциклиста и встретились через 5 мин. Один из них
проезжал в минуту 1 км 200 м. Сколько метров в минуту проезжал другой мотоциклист?»
Решение:
Проверка:
1) 1200 – 5 = 6000 (м)
1) 13000 : 5 = 2600 (м)
2) 13 000 - 6000 = 7000 (м)
2) 2600 - 1200=1400 (м)
3) 7000 : 5 = 1400 (м)
Ответ: 1400 м
26
1.2.2. Задачи на движение как задачи с пропорциональными величинами
Задачи на движение являются видом задач с пропорциональными величинами. Теоретической основой их решения является следующее.
Прямой пропорциональностью называется зависимость между величинами
х и у, которая может быть задана при помощи формулы у=kx, где k – не равное
нулю действительное число, называемое коэффициентом пропорциональности.
Основное свойство прямой пропорциональности - с увеличением (уменьшением) величины х в несколько раз соответствующее значение величины у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Обратной пропорциональностью называется зависимость между величинами х и у, которая может быть задана при помощи формулы у =
k
,
x
где k – не рав-
ное нулю действительное число, называемое коэффициентом пропорциональности.
Основное свойство обратной пропорциональности - с увеличением
(уменьшением) величины х в несколько раз соответствующее значение величины
у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
В задачах на движение начального курса математики присутствует тройка
величин (скорость, время, расстояние), зависимость между которыми выражается
формулой: s = vt.
Если v = k = const, то s = kt, если t = k = const, то s = kv. Следовательно, расстояние прямо пропорционально времени движения (при постоянной скорости) и
скорости движения (при постоянном времени).
Если s = k = const, то k = vt или v =
k
t
иt=
k
v
. Значит, скорость и время
движения при постоянном расстоянии являются обратно пропорциональными величинами.
Свойства прямой и обратной пропорциональностей между величинами
можно использовать при решении задач. Рассматриваемая задача могла быть решена с использованием свойств пропорциональности так.
27
Если скорость машины в 2 раза больше, то времени на путь от деревни до
города ей понадобиться в 2 раза меньше: 4 : 2 = 2 (ч) – скорость и время – обратно
пропорциональные величины при постоянном расстоянии.
Заметим, что в большинстве действующих курсах начальной математики
основные свойства пропорциональностей не используются при решении задач.
Все задачи с пропорциональными величинами решаются только путем нахождения постоянной величины.
Свойства пропорциональных величин лишь фиксируются с опорой на опыт
детей и наблюдаются при решении определенных заданий.
1). Как быстрее добраться до школы – пешком или на мине? Почему? (Скорость машины больше, поэтому времени требуется меньше).
2). Кто дольше окажется от школьного крыльца за одну минуту – мальчик,
едущий на велосипеде, или девочка, идущая пешком? Почему? (У мальчика скорость больше, поэтому он окажется дальше).
3). Рассмотри таблицу движения рейсового автобуса, движущегося со средней скоростью 40 км/ч. Сделай вывод.
время
расстояние от города
1
40
2
80
3
120
4
160
6
240
Чем больше движется автобус, тем дальше он оказывается от города. Причем, если врем увеличивается в 2 (3) раза, расстояние также увеличивается в 2 (3)
раза.
[18, с. 49] Томми и Анника спустились на лодке вниз по реке на 12 км, не
работая веслами. Сколько часов они были в пути, если скорость течения реки 3
км/ч? Какое расстояние они могли пройти за 6 ч? За 8 ч? Сколько времени у них
занял путь 3 км? 6 км? Занеси данные в одну таблицу и сделай выводы.
Анализируя учебники математики образовательной системы «ПЛАНЕТА
ЗНАНИЙ» Башмакова М.И., Нефѐдовой М.Г., можно сделать вывод, что в соответствующих учебниках математики 4 класса, свойства пропорциональностей
вводятся в явном виде и используются при решении задач.
28
[10, с. 27] Автомобиль проехал 147 км за 2 часа. Сколько км он проедет за
6 ч, если будет двигаться с прежней скоростью.
Реши следующие задачи разными способами.
1. Скорый поезд за 6 часов проехал 600 км. Какое расстояние за это время
проедет автобус, средня скорость которого в 2 раза меньше скорости
поезда?
2. Велосипедист проехал 40 км со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние
проедет за это время мотоциклист, если его скорость в 4 раза больше
скорости велосипедиста?
3. Пешеход прошѐл с одной и той же скоростью 4 км. Какой путь может
пройти лыжник, если его скорость в два раза больше, а время движения – в
3 раза больше? [10, с. 29].
Рассмотрим основные типы задач на движение начального курса математики с точки зрения их как задач с пропорциональными величинами.
В задачах на нахождение четвѐртого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две
переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной
величины и одно из соответствующих другой переменной, а второе значение этой
величины является искомым. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составить шесть различных видов задач на нахождение четвѐртого пропорционального [5].
29
Анализируя содержание учебников начальной математики по различным
УМК, можно сделать вывод, что все типы таких задач широко представлены задачами на движение. Как было отмечено ранее, в большинстве случаев. решаются
они путем нахождения постоянной величины.
величины
Тип
задачи
I
скорость
время
расстояние
постоянная
даны два значения
дано одно значение,
другое является искомым
[34, с. 95] (УМК «Школа России») За 1 час машина проходит 60 км. Сколько км
пройдет машина за 10 минут, двигаясь с той же скоростью?
1) 1 час = 60 мин
2) 60 : 60 = 1 (км/мин) – скорость машины
3) 1 10 = 10 (км) - пройдет машина за 10 минут
Ответ: 10 км
величины
Тип
задачи
II
скорость
время
расстояние
постоянная
дано одно значение,
другое является искомым
даны два значения
[34, с. 95] (УМК «Школа 2100») Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, прошел
5 км за 5 минут. За сколько времени он пройдет 15 км? 60 км?
1) 5 : 5 = 1 (км/мин) – скорость поезда
2) 15 : 1 = 15 (км) – пройдет поезд за 15 минут
Ответ: 15 км
величины
Тип
задачи
III
скорость
время
расстояние
даны два значения
одинаковое
дано одно значение,
другое является искомым
[3, с. 45] (УМК «Классическая начальная школа») Скорость одного поезда 75
км/ч, а второго 79 км/ч. Через некоторое время второй поезд прошѐл
расстояние 316 км. Сколько км прошѐл за это время первый поезд?
1) 316 : 79 = 4 (ч) – время движения
2) 75 4 = 300 (км) – прошѐл первый поезд
Ответ: 300 км
30
величины
Тип
задачи
IV
скорость
время
расстояние
дано одно значение,
другое является искомым
одинаковое
даны два значения
[21, c. 88] (УМК «Начальная школа XXI век») Скорый поезд, идущий со скоростью 80 км/ч, прошѐл 320 км. Товарный поезд за это время прошѐл 200
км. С какой скоростью двигался товарный поезд?
1) 320 : 80 = 4 (ч) – время движения
2) 200 : 4 = 50 (км/ч) – скорость товарного поезда
Ответ: 50 км/ч
величины
Тип
задачи
V
скорость
время
расстояние
даны два значения
дано одно значение,
другое является искомым
одинаковое
[26, с. 62] (УМК «Гармония») Из города на дачу автомобилист ехал 2 ч со скоростью 90 км/ч, а обратно – со скоростью 60 км/ч. Сколько времени было
затрачено на путь в город?
1)
90 2 = 180 (км) – расстояние от города до дачи
2)
180 : 60 = 3 (ч) – затрачено на путь в город
Ответ: 3 часа
[22, с. 27] (УМК «Перспектива») Составь задачу по таблице и реши ее.
величины
Тип
задачи
VI
скорость
время
расстояние
дано одно значение,
другое является искомым
даны два значения
одинаковое
31
[18, с. 40] (УМК «Школа 2100») Заполни таблицу и реши задачу.
От борта яхты на берег туристов доставил катер. Расстояние от яхты
до берега он прошел за 2 часа со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью катер возвращался на яхту с берега, если его путь занял 3 часа?
v
t
S
1) 12 2 = 24 (км) – расстояние от яхты до берега
2) 24 : 3 = 8 (км/ч) – скорость катера на обратном
туда
пути
обратно
Ответ: 8 км/ч
[22, с. 50] (УМК «Перспектива») На соревнованиях первый велосипедист преодолел дистанцию со скоростью 20 м/с за 15с. Найти скорость второго велосипедиста на этой дистанции, если на этот участок он потратил 25 с.
1) 20 15 = 300 (м) – длина дистанции
2) 300 : 25 = 12 (м/с) – скорость второго
велосипедиста
Ответ: 12 м/с
Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причѐм даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.
Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной
зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью [11].
Заметим, что УМК «Перспектива», «Гармония» этот тип задач с пропорциональными величинами называется задачами на нахождения неизвестного по
двум суммам.
В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление
только с прямо пропорциональной зависимостью величин (4 типа) [5]. Относи-
32
тельно задач на движение, в начальных курсах математики рассматриваются
только задачи двух типов.
тип
задачи
I
Величины
скорость
время
расстояние
постоянная
даны два или
более значений
дана сумма значений,
соответствующих времени. Найти слагаемые
[22, с. 6] Мотоциклист в первый день был в пути 5ч, а второй день 3ч. За два дня
мотоциклист всего проехал 416 км. Какое расстояние проезжал мотоциклист каждый день, если он двигался с постоянной средней скоростью?
1) 5 + 3 = 8(ч) – потратил мотоциклист на весь путь
2) 416 : 8 = 52 (км/ч) – скорость мотоциклиста
3) 52 5 = 260 (км) – проехал в первый день
4) 52 3 = 156 (км) – проехал во второй день
Ответ: 260 км и 156 км.
тип
задачи
II
Величины
скорость
время
расстояние
постоянная
дана сумма значений,
найти слагаемые.
даны два или более значений
[26, с.47] Туристы в первый день прошли 15 км, а во второй день – 30 км. На весь
путь они затратили 9 часов. Сколько часов туристы прошли в первый
день, если они двигались с постоянной скоростью?
1) 15 + 30 = 45(км) – прошли туристы за два дня
2) 45 : 9 = 5 (км/ч) – скорость туристов
3) 15 : 5 = 3 (ч) – шли в первый день
Ответ 3 часа.
33
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две
переменные и одну или несколько постоянных величин, причѐм даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной,
а сами значения этой переменной являются искомыми [5].
В начальном курсе математики по различным УМК рассматриваются
только задачи, в которых скорость объектов постоянна, задаются два значения
либо времени, либо расстояния и разность советующих значений третьей величины (либо расстояния, либо времени). Например,
[3, с. 83] (УМК «Классическая начальная школа»
Два самолѐта летели с одинаковой скоростью. Один был в воздухе 4ч, а
второй – 6ч и пролетел на 1600 км больше, чем первый. Найти сколько
км пролетел каждый самолет.
1) На сколько времени второй самолѐт был в воздухе дольше? 6 – 4 = 2 (ч)
2) Какова скорость самолѐта? 1600 : 2 = 800 (км/ч)
3) Сколько км пролетел первый самолѐт? 800 4 = 3200 (км)
4) Сколько км пролетел первый самолѐт? 800 6 = 4800 (км)
[44, с. 68] (УМК «Начальная школа XXI век»
Два поезда двигались с одинаковой скоростью, прошли соответственно
550 км и 385 км. Сколько времени был в пути каждый поезд, если один
из них затратил на весь путь на 3 часа больше другого?
1) На сколько км прошел один из поездов больше? 550 – 385 = 165 (км)
2) Какова скорость поездов? 165 : 3 = 55 (км/ч)
3) Сколько времени был в пути первый поезд? 550 : 55 = 10 (ч)
4) Сколько времени был в пути второй поезд? 10 – 3 = 7 (ч)
Ответ: 10 часов и 7 часов
34
1.2.3. Основные виды задач на движение
Несмотря на то, что задачи на движения являются задачами с пропорциональными величинами, они существенно отличаются от других подобных задач.
Во многих задачах на движение важно не только значения скорости, времени и
расстояния, но и КАК двигались объекты.
Рассмотрим задачу: «Из пункта А одновременно вышли два пешехода со
скоростями 3км/ч и 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час?»
По сути данная задача имеет бесконечно много решений:
если пешеходы двигались в противоположных направлениях,
то расстояние составит 7 км;
если они двигались в одном направлении, то 1 км;
если, например, один на север, а второй на восток, то 5 км и т.д.
Таким образом, необходимость учитывать направление является главной
отличительной чертой задач на движение от других видов текстовых задач начального курса математики.
Рассмотрим основные виды задач на движение, связанные с направлением
движущихся объектов. В начальных курсах математики по различных УМК задачи такого вида изучаются преимущественно в 4 классе.
Задачи на встречное движение двух тел
В таких рассматривается процесс движения двух тел, отправившихся одновременно из двух пунктов (точек) навстречу друг другу.
В зависимости от условия задачи требуется определить:
- расстояние между пунктами, если известно время движения до встречи и скорости тел;
- время движения до встречи, если известно расстояние между пункции и скорости движения;
- скорости движения одного тела, если известно расстояние, время движения до
встречи и скорость движения второго тела.
35
По арифметическому содержанию эти задачи могут быть отнесены к задачам на пропорциональное деление, когда требуется разложить число на части
пропорционально заданным числам
Алгебраическая модель этого типа задач на движение:
v 1 t + v2 t = s
где s – расстояние между начальными точками движения,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения.
В данном уравнении имеются 4 обозначения величин, поэтому можно выделить четыре типа задач, в которых одна величин является искомой, а остальные
три – данными.
Расстояние, на которое сближаются движущие объекты за единицу времени,
называется скоростью сближения: vсбл. = v1 + v2, поэтому алгебраическая модель
задач на встречное движение может быть записана так:
или
(v1 + v2 ) t = s
vсбл. t = s
Общей вид схематического чертежа к этому типу задач:
t
v1
v2
s1
s2
s
Рассмотрим 4 основных вида задач на встречное движение объектов, которое начинается одновременно:
1)
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из
двух посѐлков и встретились через 3 часа. Скорость первого из них 12
км/ч, а второго – 14 км/ч. Найти расстояние между посѐлками.
36
2)
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из
двух посѐлков, расстояние между которыми 78 км. Скорость первого из
них 12 км/ч, а второго – 14 км/ч. Через сколько часов велосипедисты
встретились?
3)
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из
двух посѐлков, расстояние между которыми 78 км, и встретились через
3ч. Скорость первого из них 12 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?
4)
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из
двух посѐлков, расстояние между которыми 78 км, и встретились через
3ч. Скорость первого из них 12 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?
Задачи 1,3 и 4 вида решаются двумя основными арифметическими способами.
1-й способ для задачи 1.
Чтобы определить расстояние между посѐлками, надо узнать, сколько километров прошел до встречи каждый лыжник, так как к моменту встречи оба
37
лыжника прошли вместе прошли все расстояние. Чтобы узнать расстояние, пройденное первым лыжником до встречи, надо знать его скорость и время движения.
Для определения расстояния, пройденного вторым лыжником до встречи, надо
также знать его скорость и время движения от выхода до встречи. Эти данные
есть в условии.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 12 3 = 36 (км) – прошел первый лыжник за 3 ч
2) 14 3 = 42 (км) – прошел второй лыжник за 3 ч
3) 36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посѐлками
2-й способ. Чтобы узнать все расстояние между посѐлками, надо знать, через сколько часов встретились лыжники и на сколько километров за 1ч они приближались друг к другу (то есть скорость сближения). Время их движения от момента выхода до встречи дано в условии. Чтобы определить скорость сближения,
надо знать скорость движения каждого из них. Эти данные есть в условии.
Запишем решение по действиям с вопросами
1). Какова скорость сближения?
12 + 14 = 36 (км/ч)
2). Каково расстояние между посѐлками?
36 3 = 78 (км)
Решение задачи вторым способом более рационально.
Ответ: расстояние между посѐлками 78 км
1-й способ для задачи 3.
Чтобы определить скорость второго лыжника, надо знать пройденное им
расстояние и время его движения до встречи. Для нахождения пройденного вторым лыжником расстояния, достаточно знать все расстояние и расстояние, пройденное первым лыжником до встречи. Для нахождения расстояния, пройденного
первым лыжником, надо знать его скорость и время движения до встречи Эти
данные есть в условии.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 12 3 = 36 (км) – прошел первый лыжник за 3 ч
2) 78 - 36 = 42 (км) – прошел второй лыжник за 3 ч
3) 42 : 3 = 14 (км/ч) – скорость второго лыжника
38
2-й способ. Чтобы узнать скорость второго лыжника надо знать скорость
первого лыжника и скорость сближения лыжников. Для нахождения скорости
сближения лыжников, надо знать все расстояние и время движения до встречи.
Эти данные есть в условии.
Запишем решение по действиям с вопросами
1). Какова скорость сближения?
78 : 3 = 36 (км/ч)
2). Какова скорость второго лыжника?
36 – 12 = 14 (км)
Решение задачи вторым способом более рационально.
Ответ: скорость второго лыжника 14 км/ч
Задача 4 решается аналогично.
Для решения задачи 2 возможен только один арифметический способ.
Зная скорости двух лыжников и то, что они движутся навстречу друг
другу, можно найти скорость сближения лыжников: 12 + 14 = 36 (км/ч)
Зная скорость сближения и все пройденное расстояние, можно найти
время движения: 78 : 36 = 3(ч)
Ответ: лыжники встретятся через 3 часа.
Особым видом задач на встречное движение являются задачи, когда
объекты, двигаясь навстречу друг другу, не встречаются.
Алгебраическая модель этого типа задач v1 t + v2 t + sо = s,
где s – расстояние между начальными точками движения,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения, s3 – оставшееся расстояние
Общей вид схематического чертежа к этому типу задач:
v1
v2
s1
sо
s2
s
После нахождения разности s - s3 задача приводится к одному из рассмотренных ранее 4 видов задач.
Если в задачах на встречное движение объекты начинают движение в разные промежутки времени, то достаточно учесть расстояние, пройденное первым
объектом до начала движения второго, и получить задачу рассмотренного вида.
39
Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях
В задачах этого вида объекты движутся в противоположных направлениях
из одного или разных пунктов, причем движение может начаться как одновременно, так и в разное время.
В зависимости от условия задачи требуется определить:
- за какое время тела окажутся на данном расстоянии друг от друга;
- на каком расстоянии от друга окажутся тела через заданное время;
- с какими скоростями должны двигаться тела, чтобы через заданное время
оказаться на требуемом расстоянии друг от друга.
Если тела отправляются одновременно из одного пункта, то алгебраическая
модель задач, аналогична задачам на встречное движение:
v1 t + v2 t = s или (v 1 + v 2)t = s
где s – расстояние между конечными точками,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения.
В данном случае v1 + v2 = vуд. – скорость удаления объектов друг от друга
Общий вид схематического чертежа:
v1
v2
s1
s2
s
[34, c. 33]. Два мотоциклиста одновременно выехали из города в противоположных направлениях со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 4ч?
40км/ч
50км/ч
Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояние, которое
проехали первый и второй мотоциклисты за 4 ч, и полученные результаты сложить.
40
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 40 4 = 160 (км) – проехал первый мотоциклист за 4 ч;
2) 50 4 = 200 (км) – проехал второй мотоциклист за 4 ч;
3) 160 + 200 = 360 (км) – будет между мотоциклистами через 4ч
Задачу можно решить другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:
1) 40 + 50 = 90 (км/ч) – скорость удаления мотоциклистов;
2) 90 4 = 360 (км) – расстояние между мотоциклистами через 4 ч.
Ответ: 360 км.
Если движение объектов начинается из разных пунктов, алгебраическая модель имеет вид:
v 1 t + v 2 t + sо = s
где sо – расстояние между начальными точками движения,
s – расстояние между телами через время t,
v 1 и v 2 – скорости тел, t – время движения.
Общей вид схематического чертежа к этому типу задач:
v1
s1
v2
sо
s2
s
В данном уравнении имеются 5 обозначений величин, поэтому оно дает
возможность решать пять типов задач, в которых из величин является искомой, а
остальные четыре – данными. Если тела отправляются из пунктов не одновременно, то учтя sо – расстояние, пройденное объектом, вышедшим раньше до начала движения второго объекта, получаем задачу предыдущего типа.
Поясним это на примере следующей задачи..
[34, c. 36]. От пристани отправился катер со скоростью 25 км/ч. Через 2ч от этой
же пристани в противоположном направлении отправился другой катер со скоростью 35 км/ч. Через сколько часов после отправлен первого катера расстояние между ними будет 410 км?
41
25 км/ч
35 км/ч
2 часа
410 км
Хотя оба катера выходят из одного пункта, но движение начинается в разное время, поэтому следует учитывать расстояние, которое прошел первый катер
за 2 часа (пока он двигался один). Далее задача сводится на движение в противоположных направлениях их разных точек.
Оформим решение по действиям с вопросами.
1. Сколько километров прошел первый катер за 2ч?
25 2 = 50 (км)
2. Сколько км прошли катера при одновременном движении?
410 – 50 = 360 (км)
3. С какой скоростью удаляются катера?
25 + 35 = 60 (км/ч)
4. Сколько часов был в пути второй катер?
360 : 60 = 6 (ч)
5. Сколько часов был в пути первый катер?
6 + 2 = 8 (ч)
Ответ: первый катер был в пути 8 часов.
Задачи на движение в одном направлении
К задачам этого вида относятся задачи, в которых рассматривается процесс
движения двух тел, которые движутся в одном направлении. Движение может начаться из одной точки или из разных точек, одновременно или в разное время.
Если движение начинается из разных точек, но в одно время, то алгебраическая модель имеет вид:
(v1 – v2) t = sо
где sо – расстояние между начальными точками движения,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения.
Если v1 > v2 , то второй объект «догоняет» первый.
В данном уравнении имеются 4 обозначения величин, поэтому оно дает
возможность решать четыре типа задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные три – данными. По арифметическому содержанию эти задачи
могут быть отнесены к задачам на нахождение неизвестных по двум радостям.
42
Общей вид схематического чертежа к этому типу задач:
v1
v2
sо
s2
s1
Заметим, что аналогичный схематический чертѐж и алгебраическую модель будут иметь задачи на движение в одном направлении из одного пункта, но
в разное время. Тогда sо – это расстояние, которое пройдет объект, вышедший
раньше, к моменту выхода второго объекта.
[65, с. 44] Два пешехода вышли одновременно в одном направлении из двух мест,
находящихся на расстоянии 10 км. Скорость первого 3 км/ч, а второго –
5 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
Чтобы узнать, через сколько часов второй пешеход догонит первого, надо
знать первоначальное расстояние между ними и на сколько километров сокращается это расстояние за 1 ч. Для ответа на второй вопрос надо знать скорости движения обоих пешеходов. Все данные есть в условии.
Оформим решение по действиям с вопросами.
1. На сколько километров за 1ч сокращается расстояние между пешеходами?
5 – 3 = 2 (км/ч)
2. Через сколько часов второй пешеход догонит первого?
10 : 2 = 5 (ч)
Ответ: второй пешеход догонит первого через 5 часов.
Если движение начинается из одной точки в одном направлении одновременно, то объект с большей скоростью удаляется («убегает») от другого.
Алгебраическая модель движения сохраняется:
(v1 – v2) t = sо
где v1 и v2 – скорости тел, t – время движения, но
sо – расстояние между конечными точками движения.
43
Общей вид схематического чертежа к этому типу задач:
v2
s2
sо
v1
s1
[20, с. 15] Из города в одном направлении одновременно выехали автобус со
скоростью 70 км/ч и машина со скоростью 90 км/ч. Какое расстояние
будет между ними через три часа? Реши задачу разными способами.
1 способ
1) Зная скорость автобуса и время его движения, можно найти расстояние от города, на котором он окажется через 3 часа
70 3 = 210 (км)
2) Зная скорость машины и время еѐ движения, можно найти расстояние от города, на котором она окажется через 3 часа 90 3 = 270 (км)
3) Зная расстояния до города от машины и автобуса, можно найти расстояние
между ними: 270 – 210 = 60 (км)
2 способ
1) На сколько км удаляются друг от друга машина и автобус за 1 час?
90 – 70 = 20 (км)
2) Какое расстояние будет между ними через 3 часа? 20 3 = 60 (км)
Ответ: 60 км
Задачи на движение по реке
Задачи на движение по реке являются особым видом задач на движение, так
как в них приходится учитывать направление течения реки.
Если тело движется ПО течению реки, то его скорость относительно берега
(u) слагается скорости тела в стоячей воде (v) и скорости течения реки (w):
u=v+w
44
Если тело движется ПРОТИВ течения реки, то его скорость
u=v–w
В этих задачах считается, что скорость предметов, имеющих нулевую скорость движения в стоячей воде (плот, бревно и т.п.), равна скорости течения реки.
Алгебраическая модель этого типа задач:
движение по течению
s = (v + w)t
движение против течения
s = (v – w)t
где s - расстояние, пройденное за время t.
По арифметическому содержанию некоторые из этих задач могут быть отнесены к задачам на нахождение неизвестных по их сумме и разности.
Рассмотрим задачу: «Расстояние 120 км по течению катер проходит за 4 ч, а против течения – за 5 ч. За сколько времени этот катер пройдет
путь 108 км по озеру?»
Вспомогательную модель в данном случае целесообразно сделать в виде
таблицы:
S
v
t
по течению
120 км/ч
?
4ч
против течения
120 км/ч
?
5ч
по озеру
100 км/ч
?
?
По таблице видна последовательность действий – нахождение скоростей
движения по и против течения, нахождение собственной скорости по формуле,
нахождение времени движения по реке.
1. Зная расстояние (120 км) и время движения (4ч) можно определить скорость
катера по течению.
120: 4 = 30(км/ч)
2. Зная расстояние (120 км) и время движения (5ч) можно определить скорость
катера против течения
120:5 = 24(км/ч)
3. Зная скорости катера по (п.1) и против (п.2) течения можно найти собственную
скорость катера
(30 + 24) : 2 = 27(км/ч)
45
4. Зная собственную скорость катера (п.3) и путь по озеру (108 км) можно определить время пути
108:27 = 4(ч)
Ответ: 4 часа понадобится на путь по озеру.
Заметим, что задачи на движение по реке практически не рассматриваются в
начальных курсах математики.
Подробно задачи на движение разбираются по УМК «Перспектива» в учебниках Дорофеева Г.В., Мираковой Т.Н. в конце 4 класса.
Вначале учащимся предлагается ряд подготовительных заданий, с опорой
на практический опыт [22, с.82].
Катер движется с постоянной скоростью. Как ты думаешь, на каком рисунке он
движется быстрее? Почему?
Из пункта А в пункт В по реке яхта, имеющая постоянную скорость, прошла за
3 ч 20 мин, а вернулась обратно за 2 ч 50 мин. Почему? В каком направлении
течет река?
Может ли плот самостоятельно двигаться против течения реки? Если скорость
течения реки 2 км/ч, с какой скоростью будет двигаться плот?
Скорость лодки 10 км/ч. С какой скоростью она будет двигаться по течению
реки, против течения реки, если скорость течения 1 км/ч?
Рассмотренный материал обобщается в правило:
Скорость судна в стоячей воде называют собственной скоростью этого
судна.
При движении по течению, к собственной скорости судно надо прибавить
скорость течения реки.
При движении против течения реки, надо из собственной скорости вычесть скорость течения реки.
46
Затем правило закрепляется по таблице:
Учащиеся решают простейшие задачи на движение по реке одного объекта.
Например,
1. Собственная скорость теплохода 48 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. Найти
расстояние, которое пройдет теплоход за 3 часа,
- если будет двигаться по течению реки;
- если будет двигаться против течения.
2. Сколько времени надо моторной лодке, собственная скорость которой 15 км/ч,
чтобы добраться до пристани, которая находится на расстоянии 36 км вниз по
течению. Скорость течения реки 3 км/ч.
47
1.3. Классификация и анализ моделей
задач на движение начального курса математики
Существуют различные классификации моделей.
В. А. Штоф [74] предлагал классификацию моделей по способу их построения (форма модели) и качественной специфике (содержание модели), отражая две
ключевые функции моделей: практическую (в качестве орудия и средства научного эксперимента) и теоретическую (в качестве специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, единичного и общего).
Л.М. Фридман выделял два основных класса моделей по виду средств, используемых для их построения: материальные (вещественные) и идеальные.
А.Г. Мордкович [24] отмечает, что в процессе изучения математики «необходимо научиться характеризовать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая модель), графически (графическая модель).
Бывают еще геометрические модели реальных ситуаций - они изучаются в курсе
геометрии. Графические модели также иногда именуют геометрическими, а вместо термина алгебраическая модель применяют термин аналитическая модель.
Все это без исключения – виды математических моделей».
В свое работе мы будем использовать классификацию [52], так как, на наш
взгляд, она наиболее точно отражает модели начального курса математики (см.
Приложение 2).
Все модели начального курса математики можно разбить на две основные
группы СХЕМАТИЗИРОВАННЫЕ и ЗНАКОВЫЕ.
СХЕМАТИЗИРОВАННЫЕ модели, в свою очередь, делятся на предметные и графические.
Предметные модели в основном применяются на начальном этапе обучения математике в 1 - 2 классе. Они строятся из различных предметов, геометрических фигур, палочек и т.д. Такие модели широко используются при решении простых задач, особенно в 1 – 2 классе.
48
Например, «У Тани 3 открытки, а у Оли две. Сколько всего открыток у девочек?» Предметное моделирование к данной задаче может быть следующим:
Учитель выставляет на наборном полотне 3 синих квадрата (условно открытки
Тани) и 2 красных (открытки Оли).
Учащиеся выкладывают аналогично у себя на партах.
К предметным моделям относятся также инсценировка сюжета задачи и
мысленные представления. Эти виды моделирования используют при решении
задач, направленных на усвоение конкретного смысла действий сложения и вычитания в 1 классе, для решения комбинаторных задач.
Например, «Во дворе гуляли три девочки. Потом одна из них ушла домой.
Сколько девочек осталось во дворе?»
«Ваня, Илья и Сергей пошли в кино. Как они могут сесть? Приведи все
возможные варианты».
Для инсценировки сюжета задачи вызываются учащиеся, которые моделируют действия, описанные в задаче. Или детям предлагается представить ситуацию.
Предметное моделирование может с успехом применяться и для решения
задач на движение на начальном этапе знакомства с ними, но предметная наглядность постепенно должна заменяться графическими моделями.
Графические модели задач на движение
Среди графических моделей различают следующие:
1) рисунок;
2) условный рисунок;
3) чертѐж как графическая модель выполняется при помощи чертѐжных инструментов с соблюдением заданных отношений;
4) схематичный чертеж (или просто схема) может выполняться от руки, на нѐм
указываются все данные и искомые [52, с.131]
Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Лида нарисовала 4 домика, а Вова 2 домика. Сколько домиков нарисовали дети?»
49
рисунок
1д
условный рисунок
чертеж
схематический чертѐж
4
2
При решении простых задач часто используют схематические модели
(схемы) как упрощенный вариант графических моделей [11, с.311].
4
2
?
Схематические модели при решении задач на движение используются для
фиксации и запоминания соотношений между величинами, формул для решения
задач.
[10, с.110] (УМК «Планета знаний») Схемы для решения задач:
При решении задач на движение широко используются чертежи, схематические чертежи, рисунки.
Например, следующий рисунок в учебнике математики Рудницкой В.Н.
(УМК «Начальная школа ХХI век») [44, с.16] дает наглядное представление о
скоростях сближения и удаления при различном характере движения объектов:
50
Заметим, что внешний вид чертежей в учебниках начальной математики по
различным УМК отличается.
Рассмотрим чертежи к задачам на встречное движение.
[34, с.95] (УМК «Школа России»)
Направление движения объектов показано стрелками, место их встречи
отмечено флажком. По чертежу видно, время движения каждого составляет 3 часа.
Аналогичные чертежи выполняются в учебниках Г. В. Дорофеева, Т. Н.
Мираковой по УМК «Перспектива» [22, с. 30]. Только, в отличие от предыдущих,
они практически всегда сопровождаются изображением движущихся объектов.
51
В схемаческих чертежах учебников начальной математики Н.Б. Истоминой
(УМК
«Гармония»)
большое
внимание
уделяется
величине
отзков,
изображающих скорость.
Например, для задачи №198 [26, с. 57] : «Из двух городов навстречу друг
другу выехади велосипедисты со скоростями 15 км/ч и 10 км/ч и встретились
через 2 часа» предлагается выбрать схему:
В учебниках Александровой Э. И. (УМК «Классическая начальная школа»)
скорость на чертежах изоражается отрезками, которые выделяются дугами и
имеют направление. Этим подчеркивается, что скорость – это расстояние,
пройденное за единицу времени.
х
Например, [3, с. 38]
70
78
4
4
В большинстве чертежей в учебниках М. И. Башмакова, М. Г. Нефѐдовой
(УМК «Планета знаний») дугами со стрелками указывается полное перемещение
объектов, время движения задается словами.
Например, [10, с. 59]
52
В учебниках математики УМК «Школа 2100» авторов Т. Е. Демидовой и др.
для характеристики движения используются как чертежи (с единичными
отрезками), так и схематические чертежи. Место встречи обозначается крестиком.
Как правило, все чертежи сопровождаются рисунками. Например,
[18, с. 52]
[18, с. 83]
Чертежи, характеризующие движение в учебниках Л. Г. Петерсон,
связаны с координатным лучом. Например,
[38, с.77] Незнайка и Кнопочка вышли из точек 0 и 40 координатного луча
одновременно навстречу друг. Определи по рисунку направление и скорость их
движения. Отметь точки в которых будут Кнопочка и Незнайка через 1 минут (2,
3, 4 минуты) после выхода. Что ты замечаешь?
53
Таким образом, чертежи и схемы в задачах на движение в начальных
курсах математики по различным УМК значительно отличаются.
Анализируя содердание учебников, можно сделать следующие выводы:
- большинство заданий имеют готовый чертѐж (схему), используя которую надо
составить и решить задачу; выполнить ряд заданий;
- преобладающими являются задания типа «рассмотри чертеж (схему) и ответь на
вопросы», «используя чертеж (схему), реши задачу», «составь задачу по чертежу
(схеме) и реши ее»
- заданий, содержащих указание «построй схему..» крайне мало.
Кроме предметных и графических моделей в кусе математики начальной
школы можно выделить ЗНАКОВЫЕ МОДЕЛИ, среди которых выделяют
модели, сформулированные на естественном языке (краткие записи и таблицы) и
математические (решающие) модели.
Для моделирования задач на движение преимущество моделей на
естественном языке имеют таблицы.
Так как задачи на движение являются задачами с пропорциональными
величинами, их табличные модели аналогичны таблицам с другими тройками
величин (цена-количетво-стоимость, производительность-время-объем работы и
т.д.) и практически одинаковы во всех курсах начальной математики по
различным УМК.
№ 477 [34, с. 95] Составь по таблице три задачи и реши их.
Особый вид таблиц следует только выделить в учебниках математики
УМК «Классическая начальная школа». Это объясняется тем, что решающей
моделью учебников Э. И. Александровой должно быть либо выражение, либо
уравнение, поэтому многие таблицы имеют следующий вид [3, с. 34-35]:
54
V
I
a
II
b
t
S
I+c
V
t
p
I
II + 26
?
?
II
60
I = II
S
584
Модели на математическом языке - решающие модели задач на
движение представляют собой запись решения по действиям, числовое
выражение для решения задачи, уравнение.
Заметим, что во многих курсах начальной математикики текстовые задачи
с помощью уравнений не решаются, поэтому задачи на движение решаются
только арифмететически (см. п.1.2). В учебниках содежится много заданий на
понимание смысла математических выражений, сопоставление ситуаций в задаче
(таблицы, схемы) и арифметического выражения. Например,
[20, с.10] С помощью таблицы составили несколько выражений. Объясни, что
означает каждое из них.
[22, с.54] Рассмотри чертѐж и объясни, что означает каждое из выражений.
В УМК «Классическая начальная школа» решающей считается модель в
виде
выражения
или
уравнения,
поэтому
решения
записываются
преимущественно в алгебраическом виде по соответствующим схемам.
Например, [3, с. 38, с.41]
55
В учебниках УМК «Школа 2100» также предусмотрено решение задач
алгебраическим методом, поэтому есть задания на сопоставление задач и их
алгебраических моделей.
Например, [19, с.83] Подбери уравнение к каждой задаче и реши его
Большое внимаение алгебраическим моделям задач на движение уделяется
в учебниках УМК «Перспективная начальная школа»
№ 140 [65, с. 42]. Запиши формулу, в которой пройденный путь s выражается
через скорость v и время t.
- Как изменится произведение, если один из множителей увеличить в 3 раза?
- Как изменится пройденный путь, если время увеличить в 4 раза?
- Как изменится пройденный путь, если скорость уменьшить в 3 раза?
Проверь свой вывод на примере движения с v = 90 км/ч, t = 3 ч
В учебниках Л. Г. Петерсон также виды движения обобщаются в
математические модели в виде формул.
[38, с. 106]
56
[38, с. 117]
Таким образом, все модели начального курса математики можно
представить в виде схемы [Приложение 2].
Выводы:
- При решении задач на движение в различных УМК широко используются
талицы, рисунки, чертежи и схемы.
- Большинство заданий начального курса математики содержат готовые
вспомогательные модели, по которым предлагается составить задачи и решить их
или сопоставить представленные модели.
- Заданий на непостредственное составление моделей крайне мало.
- Практически во всех курсах начальной математики решающими моделями
задач на движение являются арифметические модели.
57
ГЛАВА 2
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПОСТРОЕНИЮ
МОДЕЛЕЙ И РАБОТЕ С НИМИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ
2.1. Основные трудности обучения младших школьников решению задач на
движение и возможные пути их устранения
В рамках реализации Федерального государственного образовательного
стандарта высшего образования по направлению подготовки 44.03.01 и 44.03.05
Педагогическое образование с целью улучшения подготовки будущих учителей
начальных классов было проведено анкетирование учителей. В анкете учителямпрактикам было предложено указать вопросы начального курса математики, которые, по их мнению, вызывают трудности в усвоении младшими школьниками
(см. Приложение 3).
В опросе приняли участие 33 учителя. Третья часть (11 человек) указали задачи на движение, в качестве раздела начального курса математики, который
наиболее трудно усваивается младшими школьниками.
Трудность задач на движение методически обусловлена двумя основными
причинами.
В первую очередь, это содержательная трудность. Скорость - это физическая величина, связывающая две величины, которые ребенок за период предыдущего обучения привык воспринимать каждую «саму по себе»: время и расстояние
(длина). Для осознания каждой из них имеется либо визуальная опора, либо привычный инструменты измерения - линейка, часы. Скорость - это абстракция, которую ребенок не может ни увидеть, ни непосредственно измерить, «оценить» хотя бы, как время.
С точки зрения математической структуры задачи на движение не являются
новым видом – это задачи на пропорциональную зависимость: расстояние (длина)
прямо пропорционально скорости и времени движения; и обратно: скорость движения обратно пропорциональна времени движения при постоянном значении
расстояния. Та же зависимость наблюдается в задачах «на куплю-продажу», «на
58
площадь», «на работу» и т. п. Но, как показывает практика, именно задачи на
движение (при одинаковой решающей модели), оказываются наиболее трудными
для учащихся.
Сравним задачи:
1)
Шапка стоит 60 р., а шарф – 90 р. Во время распродажи шарфы и
шапки продавались комплектами. Сколько было продано комплектов, если общая
их стоимость составила 900 р.
2)
Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, одновременно
навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 90 км/ч.
Через сколько часов машины встретились?
Эти задачи имеют одну решающую модель: 900 : (60 + 90), но первая задача
не вызывает трудностей у учащихся, тогда как вторая требует подробного анализа, понимания скорости сближения.
Ещѐ одной трудностью к восприятию задач на движение можно считать запись единиц скорости (км/ч, м/мин). Она отличается от всех предыдущих наименований величин и не имеет для ребенка никаких аналогий. Даже если курсом математики предусмотрено знакомство учащихся с дробями, черта дроби не рассматривается как знак деления, поэтому способ чтения ничего не дает для понимания смысла понятия «скорость».
При решении задач на движение можно выделить и технологическую трудность. Именно в этих задачах начинают широко использоваться чертежи, поэтому
наряду с новыми понятиями, ребѐнку приходится усваивать новое для него графическое моделирование. Поэтому в большинстве курсов начальной математики
преобладают задания на составление и решение задач по уже готовым чертежам,
о чем мы уже писали в Главе 1 нашей работы.
Это приводит к тому, что учащийся, выполняя задачу без готового чертежа,
допускает ошибки в решении.
Нами были проанализированы домашняя контрольная работа и задачи на
движение в контрольной работе, написанной на уроке, у учащихся 4 «А» класса
лицея № 4 г. Орла (см. Приложение 4).
59
Покажем и проанализируем основные ошибки, допущенные учащимися.
Задача 2. Расстояние между двумя лыжными базами 20 км. С каждой базы
лыжники отправились одновременно в противоположные направления. Первый
лыжник шѐл со скоростью 6 км/ч, а второй лыжник двигался со скоростью, которая на 2 км/ч больше. Какое расстояние будет между лыжниками через 2 часа?
Эта задача оказалась наиболее трудной. Несмотря на то, что контрольная
работа выполнялась детьми дома, из 25 учащихся 9 решили задачу неправильно.
В 4 работах чертеж отсутствует, в трех работах на чертежах не учтено первоначальное расстояние между базами, в одной не указано итоговое расстояние
между лыжниками, поэтому решение задачи одинаковое и неправильное:
В одной работе чертеж сделан абсолютно правильно, тем не менее задача
решена неверно:
Аналогичные ошибки допущены учащимися и в контрольной работе, написанной в классе при решении задачи: «Из двух городов, расстояние между которыми 150 км одновременно в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость одной из них 65 км/ч, а второй – 75 км/ч. Какое расстояние будет
между машинами через 2 часа?»
60
Из выше изложенного можно сделать вывод, что для успешного решения
задач на движение учащиеся должны уметь правильно моделировать ситуацию в
задаче, верно строить ее графическую модель, что позволит верно выбрать путь
решения.
То есть, обучая решению задач на движение, необходимо учить щкольников
моделированию.
С другой стороны, навык моделирования позволяет переностить знания и
умения решать один вид задач на решения задач других видов, то есть
моделирование лежит в основе общих приемов решения текстовых задач.
Далее мы рассмотрим, как, решая задачи на движение, можно обучать
младших школьников моделированию. И как навыки моделирования повышают
эффективность решения задач разных типпов.
61
2.2. Использование моделей при подготовке школьников
к решению задач на движение
Для успешного решения задач на движение у младших школьников должны
быть сформированы представления о таких величинах как расстояние, время и
скорость.
Величина, характеризующая пространственную протяженность - длина –
знакома младшим школьником. Начиная с 1 класса, дети учатся измерять отрезки,
знакомятся с единицами длины, соотношениями между ними. В задачах на движение свойство пространственной протяженности выражается термином «расстояние».
В математике под расстоянием между двумя точками подразумевают длину
отрезка их соединяющего. Таким образом, расстояние между двумя пунктами это длина кратчайшего пути между ними.
В задачах на движение термин «расстояние» используется в значении «длина пути», что с точки зрения математики не очень корректно. Например, если два
села находятся на разных краях пропасти, то расстояние – это длина по прямой,
соединяющей эти села, а кратчайший путь – это дорога, по которой можно попасть из одного села в другое. Правильнее сказать, что расстояние – это длина
кратчайшего пути, но кратчайшего из возможных.
Употребление в начальном курсе математики именно термина «расстояние»
обусловлено рядом причин.
Во-первых, термин «расстояние» короче, чем «длина пути»
Во-вторых, употребление термина «расстояние» обусловлено содержанием
задач на движение. В начальной школе рассматривается лишь простейшая форма
механического движения - равномерное прямолинейное движение, при котором
важна только длина пути, а не его форма и реальное местоположение движущегося тела относительно места. В случае такого движения длина пути и расстояние
между точками начала и конца пути равны.
В-третьих, в русском языке принято использовать слово расстояние в том
случае, когда необходимо знать положение движущегося объекта относительно
62
некоторого места. В толковом словаре С.И. Ожегова расстояние определяется как
«пространство, разделяющее два пункта, промежуток между чем-нибудь». Именно поэтому в обыденной речи мы говорим, именно о расстоянии между городами,
а не о «длине пути между городами».
Тем не менее, при обучении математике следует познакомить учащихся с
разными значениями слов и словосочетаний: длина пути, расстояние, длина кратчайшего пути и т.д., а также, учить детей верно употреблять их.
С проблемой времени человек сталкивается ежедневно, ежеминутно. Вся
жизнь человека тесно связана с временем, с умением измерять, распределять и
ценить время. Время является регулятором всей деятельности человека. Ни одна
деятельность не проходит без восприятия времени. Восприятие времени - это отражения деятельности и последовательности явлений и событий. Наше восприятие времени несовершенно: нам кажется, что время течет то быстрее, то медленнее в зависимости от того, чем заполнен тот или ной промежуток времени
Программой по математике для начальной школы предусмотрено знакомство младших школьников с величиной время, изучение единиц его измерения, определение длительности временных промежутков по часам и календарю.
Таким образом, к 4 классу у учащихся формируются понятия о расстоянии и
времени, единицах их измерения, действий с этими величинами, поэтому складываются все предпосылки для введения понятия скорости и характеристики движения.
Движение есть способ существования мира. Любое физическое тело участвует в нескольких движениях. Автомобиль, движущейся по дороге, меняет свое
положение не только относительно дороги, но и относительно любого другого автомобиля, каждого пешехода, каждого велосипедиста не только на той дороге, на
которой едет данный автомобиль, но и в любом другом месте.
Для обобщения представлений учащихся о движении, целесообразно выполнить ряд заданий.
1. Понаблюдать за движением транспорта
Следует обратить внимание учащихся на то, что одни тела движутся быст-
63
рее, а другие медленнее. В своем движении они могут останавливаться
(например, перед светофором или на остановках), могут двигаться по прямой или кривой и т.д.
Особое внимание учащихся следует обратить на движение двух тел относительно друг друга (они могут сближаться или удаляться, одно тело может догонять другое и т.д.).
Подводя итоги наблюдений, можно выполнить графическое изображение
движения тел на чертеже.
2. Провести ряд практических упражнений на движение. Например, предложить
учащимся двигаться навстречу друг другу (сближаться), в противоположные
стороны (удаляться), в одном направлении и т.д.
3. Выполнение устных упражнений на косвенное сравнение скоростей. Например,
С дачи до дома на машине можно доехать за 30 минут, а на велосипеде за 1
час. Что движется быстрее (медленнее?)
Мальчики соревновались в беге на 100 м. Коля пробежал дистанцию за 16 с,
Боря - за 15 с, а Вова - за 18 с. Кто бежал быстрее всех?
Таня и Лена живут на одной улице. Они одновременно выходят в
школу. Может ли Таня догнать Лену, если
а) Таня идет со скоростью 4 км/ч, а Лена - 5 км/ч?
б) Девочки идут с одинаковой скоростью?
4. Практические упражнения на предметное моделирование. На этом этапе можно использовать машинки, автобусы или их изображения для наблюдения и
фиксации перемещений.
Такие упражнения подготовят детей к тому, что на схеме (чертеже), которые характеризуют движение, важно не только отмечать величину пройденного
пути, но и показывать направление движения объектов.
64
Перед введением понятия скорости, полезными будут упражнения с различными видами моделей.
1). Упражнения на переход от предметных моделей к графическим
На доске чертится прямая линия в начало которой помещается изображение
человека. Ваня за 1 час может пройти 4 км. Пусть 1 клетка изображает расстояние
в 1 км. Где будет находиться Ваня через 1 час? через 2 часа? через 3 часа?
Изобразим движение Вани на чертеже. Выберем начальную точку, укажем
направление движения:
Аналогичную
работу
можно
провести,
например,
с
фигуркой
велосипедиста (лыжника), построить чертеж (в одинаковом масштабе) и сравнить:
- Кто больше прошел за за 1 час, за 2 часа?
- Кто движется быстрее (медленнее)?
- Можно ли сказать, что у пешехода скорость меньше?
- Как вы это понимаете?
2) Упражнения на сравнение и сопоставление графических моделей
От двух остановок, расстояние между которыми 1 км отшли два автобуса.
Один проехал 160 м, а второй – 140 м. Каким стало расстояние между
автобусами?
65
Дополни условие, чтобы чертѐж к задаче был таким:
Дополни условие, чтобы чертѐж к задаче был таким:
Реши обе задачи и сравни их решение
3) Упражнения на переход от готовых графических моделей к решающим
Из двух городов навстречу друг другу движутся два поезда. Известно, что
один из них до встречи прошел 260 км, а другой – 180 км. Рассмотри чертѐж:
- что означают красные стрелки? Флажок?
- как показаны расстояния, пройденные поездами?
С помощью чертежа найди расстояние между городами.
4) Упражнения на построение графических моделей к по тексту
С заправочной станции одновременно выехали автобус, проезжающий за
час 60 км и автомобиль, проезжающий за час 90 км. На каком расстоянии друг от
друга будут автобус и автомобиль через час? Построй чертѐж и реши задачу.
В данном случае возможны две графические модели:
1. Автобус и автомобиль отправились в одну сторону от заправочной
станции:
60 км
?
90 км
Тогда решающая модель задачи: 90 – 60
66
2. Автобус и автомобиль отправились в разные стороны от заправочной
станции:
90 км
60 км
?
Тогда решающая модель задачи: 90 + 60
Упражнения такого типа обобщают понятия детей о движении, подводят их
к мысли, что решение и ответ задачи зависит не только от того КАКОЕ расстояние прошел каждый объект, но и того КАК относительно друг друга эти объекты
двигались. Они приходят к выводу, что характер движения объектов удобно изображать с помощью чертежей.
На подготовительных задачах школьники учатся изображать основные элементы задач: направление движения (стрелками), расстояние (дугами) место
встречи (флажком) и т.д. То есть приобретают навыки построения и работы с
графическими моделями, перехода от одних моделей к другим.
67
2.3.
Моделирование в процессе формирования у младших
школьников понятия «скорость» и установления связей между
скоростью, временем и расстоянием
В начальном курсе математики изучают самые простые случаи движения,
которые характеризуется направлением, «быстротой», равномерностью или неравномерностью. Все указанные характеристики выражаются понятием скорость.
Скорость - это величина, характеризующая изменения во времени. По скорости, как и по другим величинам, можно сравнивать протекающие во времени
процессы.
Например, у идущего человека с течением времени меняется положение относительно того места, с которого он начал движение, изменяется (увеличивается)
длина пройденного пути, поэтому можно говорить о скорости ходьбы. Заметим,
что количественные изменения, произошедшие за некоторый промежуток времени, могут быть оценены по разным основаниям и в разных единицах. Так, изменение положения движущегося относительно земли тела, можно оценить по длине пути в метрах, километрах, в шагах и т.п.
Расстояние и время являются основными величинами, скорость – производная величина. Скорость движения, рассматриваемая в начальном курсе математики, характеризуется изменением пройденного пути (расстояния) и изменением
время, затрачиваемого на его преодоление.
Для необходимости введения такой величины как скорость, можно предложить детям следующую задачу: «Игорь идет до школы 10 минут, а Света - 15. Подумайте, на какой вопрос вы можете ответить, а на какой нет:
- Кто тратит на дорогу времени больше (меньше)?
- Кто идет быстрее, а кто медленнее?»
В процессе обсуждения выясняется, что ответить можно только на первый
вопрос. Для ответа на второй вопрос необходимо знать расстояние, которое проходят Игорь и Света.
Если расстояние одинаковое, то учащиеся дают правильный ответ, который
связан со временем (Игорь тратит времени меньше, значит, он идет быстрее).
68
Если дополнить условие разными расстояниями, то возникает проблемная
ситуация.
Например, «Игорь проходит расстояние 1 км, а Света – 1500 м». В данном
случае, выяснить, кто идет быстрее, а кто медленнее установить не удается. Выясняя смысл данных понятий, учащиеся приходят к выводу, что «быстрее», значит, проходит большее расстояние за единицу времени, а «медленнее» - меньшее
расстояние за ту же единицу времени.
Важно, чтобы дети осознали обобщенную характеристику скорости как расстояния, пройденного за единицу времени, и в процессе решения задач использовали различные единицы скорости.
Учащимся предлагается ряд задач:
1. Машина за 3 часа проехала 180 км. Сколько км она проезжала за 1 час?
2. Илья выбегает из класса на перемену и преодолевает коридор 30м за 3 с.
Сколько метров в секунду пробегает Илья?
3. Улитка переползает садовую дорожку шириной 80 см за 40 минут. Сколько
см за 1 минуту проползает улитка?
- Чем похожи задачи? (в них находится расстояние, пройденное за единицу
времени – за 1 ч, 1 мин, 1 с).
Расстояние, пройденное за единицу времени, называется скоростью. Единицы измерения скорости записываются в виде: км/ч, м/мин, м/с и т.д. На первом
месте записываются единицы длины, на втором – единицы времени.
Возвращаясь к задаче про Игоря и Свету, найдем скорости движения детей.
Скорость Игоря 1000 : 10 = 100 (м/мин), скорость Светы 1500 : 15 = 100 (м/мин).
то есть за 1 минуту и Игорь, и Света проходят одинаковое расстояние - 100 м,
значит, они идут в школу с одинаковой скоростью.
Основными видами моделей на этапе знакомство со скоростью являются
таблицы.
Обусловлено это, прежде всего, тем, что в большинстве начальных курсов
математики к этому времени у учащихся сформирован навык построения таблиц
для задач с пропорциональными величинами и работе с ними.
69
То есть, табличное моделирование – как обобщѐнный метод решения текстовых задач с пропорциональными величинами – переносится на новый вид задач с величинами скорость-время-расстояние.
В поурочных разработках [8, с. 166] к УМК «Школа России» на этом акцентируется особое внимание.
Детям предлагается рассмотреть таблицу [34, с. 92] и проверить, соответствует ли она тем таблицам, с которыми они привыкли работать.
Для этого учащиеся строят чертеж по первой строчке
60 км
- показываем путь, пройденный поездом за 1 час
- Но поезд был в путь 2 часа. Как это изобразить?
(нарисовать два таких отрезка):
60 км
60 км
- Что мы получили? (расстояние, пройденное за 2 часа)
- Чему оно равно? (120 км)
60 км
Теперь проверяем:
60 км
120 км
Первый столбец таблицы должен рассказывать об одной части (проверяем
по схеме – да, 60 км/ч – это одна часть)
Второй столбец – это количество частей В нашем случае – это 2 часа. На
схеме – две одинаковые части.
Третий столбец – это целое. Оно должно быть 120 км, если смотреть по таблице. Также на схеме и получается.
Какой можно сделать вывод?
Таблица с величинами скорость, время, расстояние такая же, как и с другими величинами, с которыми мы работали [8, с. 167].
70
Таким образом, по УМК «Школа России» навыки табличного моделирования, работы с таблицами, как обобщѐнные способы решения задач, переносятся
на новый вид задач на движение.
Навыки работы с таблицами позволяют выделить связи между величинами
скорость, время, расстояние, аналогичные связям в других тройках пропорциональных величин. В этом отношении полезны различные задания на выявление
этих связей по готовым таблицам и задания на заполнение таблиц.
Приведѐм примеры таких заданий:
Пример 1. Заполните таблицу, если известно, что автомобиль двигался с
постоянной скоростью. Сделайте вывод о зависимости времени движения и расстояния и при постоянной скорости движения.
Время, ч
1
Расстояние, км
60
3
120
5
240
Пример 2. Заполните таблицу, если известно, что расстояние между пунктами 60 км. Сделайте вывод о зависимости скорости и времени движения при постоянном расстоянии. Кто мог двигаться между пунктами с такими скоростями?
Скорость, км/ч
60
Время, ч
15
4
2
6
Пример 3. Заполните таблицу, если известно, что время движения 3 часа.
Сделайте вывод о зависимости пройденного расстояния и скорости движения при
постоянном времени. Кто мог двигаться с такими скоростями?
Скорость, км/ч
Расстояние, км
80
30
180
5
45
Такая работа с табличными моделями наглядно показывает зависимость
между величинами и позволяет учащимся неформально и более осознанно их запоминать.
Для того чтобы учащиеся глубже осознали зависимость между скоростью,
временем и расстоянием, целесообразна работа по составлению трех взаимооб-
71
ратных задач. Здесь возможно, как составление таких таблиц по задачам, так и составление задач по таблицам.
Например,
3)
Составь три задачи на движение, если скорость 100 м/мин, время
движения 15 мин, расстояние 1500 м.
4)
№ 477 [34, с.95] Составь по таблице 3 задачи и реши их
Скажи, как можно найти: скорость (зная расстояние и время), расстояние (зная скорость и время), время (зная скорость и расстояние).
Решение подобных упражнений способствует как формированию навыков
построения моделей по задачам на движение, так и неформальному усвоению связей между величинами скорость, время, расстояние.
Заметим, что по УМК «Школа России», «Гармония», «Перспектива» и некоторым другим связь между величинами скорость-время-расстояние в виде формул не вводится.
В курсе начальной математики М.И Башмакова и М.Г. Нефѐдовой вводятся
блок-схемы, соответствующие формулам [10, с. 21]:
В УМК «Школа 2100» [18, с. 39] вводится буквенная символика (v – скорость, t – время, s – расстояние) и соответствующие формулы:
72
В учебниках Э. И. Александровой также вводится буквенная символика, соответствующие формулы и схемы. Так как задачи с пропорциональными величинами по УМК «Классическая начальная школа» изучаются параллельно, то формула скорости обобщается.
[3, с. 81]: «В задачах на движение и совместную работы всегда участвуют
такие величины как скорость, время и пройденный путь (или объѐм сделанной работы) Связь между этими величинами описывается формулой:
S=V t
(где V – скорость, t – время, S – пройденный путь (объем выполненной работы))»
По этой формуле можно получить обратные формулы:
V=S:t и t=S:V
По этим же формулам решаются задачи, связанные с покупками, расходом
материала (Например, V – цена, t – количество, S – стоимость)»
В учебниках УМК «Перспективная начальная школа» схемы, чертежи и
таблицы практически не используются. Задачи на движение решаются преимущественно по формулам. Например,
№144. [65, с. 42] Запиши формулу, в которой скорость v выражается через
пройдѐнный путь s и время t.
Как изменится скорость, если тот же самый путь будет пройден за
время, в 4 раза большее, чем ранее?
Как должна измениться скорость, чтобы тот же самый путь был пройден в 3 раза быстрее, чем первоначально?
Таким образом, можно сделать вывод, что в курсах начальной математики
при решении задач на движение в разной мере используются вспомогательные
модели.
На этапе формирования понятия у младших школьников о скорости и установления связей между скоростью, временем и расстоянием это, преимущественно, таблицы. С их помощью решаются задачи на движение, составляются и решаются задачи, обратные данной. Например,
73
[34, с.98] Составь задачи по таблице и реши их:
[21, с.60] Лыжник прошѐл расстояние 24 км со скоростью 12 км/ч.
Сколько времени затратил лыжник на этот путь?
Заметим, что на табличных моделях можно наглядно проследить единство
методов решения различных по фабуле задач с пропорциональными величинами.
По сути, решающие (математические) модели у этих задач одинаковы. Поэтому
во многих УМК начальной математики содержатся задания на:
- построение и сравнение математических моделей задач с различными пропорциональными величинами;
- составление различных задач по одной математической модели.
Все это способствует формированию у учащихся обобщенных способов решения текстовых задач на основе моделирования.
Например,
[18, с.50] Придумай задачи на умножение или деление по данным таблицам,
которые бы решались одинаково.
74
[19, с.61] Составь по таблицам задачи и запиши выражения.
[3, с. 34-35] Составь задачи по таблицам и реши их.
Чем задачи похожи? Чем они отличаются?
Наряду с таблицами, при знакомстве с понятием скорость и усвоением связей между величинами в задачах на движение, следует использовать графические
модели.
Рассмотрим, например, задачу: «Туристы за день прошли пешком 18 км и
проехали 2 ч на автобусе со скоростью 45 км/ч. Какой путь проделали туристы за
день?». Таблица к данной задаче:
скорость
?
45 км/ч
время
расстояние
?
2ч
18 км
?
75
При разборе задачи эта вспомогательная модель фактически не работает,
поскольку неизвестные скорость и время в первой строке не нужны для решения
задачи, в то время как использование графической модели поможет учащимся
быстро найти решение: 18 + 45 2 = 108 (км)
18 км
45 км
45 км
?
Сопоставление табличных и графических моделей помогает решению задач
с пропорциональными величинами на нахождение неизвестного по двум разностям. Так как именно этот вид задач вызывает у учащихся больше всего затруднений.
Например, рассмотрим задачу: «Два пешехода, двигаясь с одинаковой скоростью, прошли 20 км и 12 км соответственно. Сколько времени был в пути каждый пешеход, если один из них затратил на всю дорогу на 2 часа больше?»
Таблица к данной задаче:
скорость
1
одинаковая
2
время
расстояние
?
20 км
на 2 ч больше
12 км
?
Но схематический чертеж к данной задаче, составленный в соответствии с
таблицей, намного облегчает поиск плана ее решения:
Из схемы сразу видно, что за 2 часа проходится путь
20 – 12 = 8 (км)
Зная время и расстояние можно найти скорость пешеходов 8 : 2 = 4(км/ч)
А найдя скорость, можно ответить на вопрос задачи:
20 : 4 = 5(ч)
12 : 4 = 3(ч)
Ответ: 5 часов и 3 часа
76
При решении некоторых задач на движение полезно сочетание моделей:
часть условия записать в виде таблицы, а затем применить прием графического
моделирования. Например,
Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них может пройти это расстояние за
20 ч, другой – за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?
Скорость
I-?
II - ?
Время
20 ч
30 ч
Расстояние
1200 км
1200 км
Анализ таблицы дает возможность найти скорости поездов:
1).1200 : 20 = 60 (км/час)
2). 1200 : 30 = 40 (км/час)
После этого строится графическая модель, которая дает наглядное представление о движении поездов навстречу друг другу, облегчая поиск дальнейшего
пути решения:
77
2.4. Методика обучения моделированию младших школьников при
решении задач на разные виды движения
2.4.1 Моделирование при решении задач на встречное движение
Задачи на встречное движение входят в программу курса математики по
всем УМК, действующим в начальной школе.
Перед введением задач на встречное движение тел очень важно у учащихся
сформировать правильные представления об одновременном движении.
Учащиеся должны четко представлять, что если два тела вышли одновременно, то:
до встречи они будут находиться в путь одинаковое время;
общее пройденное расстояние будет равно расстоянию между пунктами из которых они вышли.
На подготовительном этапе к введению этого типа задач полезны бывают
задачи-вопросы следующего типа.
Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали две машины и
встретились через два часа. Сколько времени была в пути каждая машина?
Из города в село вышел пешеход. В это же время из села в город выехал велосипедист, который встретил пешехода через 30 минут. Сколько в пути был пешеход?
Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали две машины. Одна из них до встречи проехала 120 км, а вторая – 180 км. Какое расстояние между городами? Какая машина двигалась с большей скоростью?
С двух станций навстречу друг другу выехали два поезда с одинаковыми скоростями. Какой из них пройдет до встречи больший путь?
Заметим, что во всех начальных курсах математики на начальном этапе рассматриваются три основных типа задач на встречное движение:
1) На нахождение расстояния, пройденного двумя объектами (если известны их
скорости и время движения).
2) На нахождение скорости одного из объектов (если известно общее пройденное
расстояние, время движения и скорость второго объекта).
78
3) На нахождение времени, затраченного на путь до встречи объектов (если известно общее пройденное расстояние и скорости).
Теоретические основы решения этих типов задач были рассмотрены нами в
Главе I настоящей работы. Здесь остановимся подробнее на методике их решения
и построении моделей.
В курсе математики для 4 класса по УМК «Школа России» с таким видом
задач учащиеся знакомятся в 4 классе, причем все три указанных типа задач вводятся одновременно.
На наш взгляд, это не обоснованно с точки зрения методики, так как если
задачи на нахождение расстояния, пройденного двумя объектами, или на нахождения скорости одного из них можно решить, используя имеющиеся у учащихся
знания, то решить второй тип задачи (на нахождение времени движения) самостоятельно для учащихся достаточно проблематично, так как либо они должны
свести их к известному типу задач на пропорциональное деление (на нахождение
неизвестного по двум суммам), либо у них должно быть сформировано понятие
общей скорости (скорости сближения).
Рассмотрим задачу [34, с.12]: «Из двух посѐлков, расстояние между которыми 78 км, вышли одновременно два лыжника со скоростями 12 км/ч и 14 км/ч.
Через сколько часов лыжники встретились?
Сведѐм данную задачу к известному типу – задачи на пропорциональное
деление. В этом случае применяется табличное моделирование.
скорость
I
12 км/ч
II
14 км/ч
время
? одинаковое
расстояние
?
?
78 км
Если рассмотреть аналогичную задачу с другими величинами, то решение
очевидно.
Например, рассмотрим задачу: «В подарок победителям конкурсов купили
альбом за 12 рублей и набор карандашей за 14 рублей. Скольких победителей наградили, если на призы было израсходовано 78 р.?»
79
цена
альбом
12 р.
карандаши
14 р.
количество
? одинаковое
стоимость
?
?
78 км
Решение этой задачи не вызывает трудностей:
1) 12 + 14 = 26 (р.) – цена подарка победителю
2) 78 : 26 = 3 (чел) – количество победителей.
Задача на движение по математической модели ничем не отличается от
предыдущей, но если понятие «общая цена подарка победителю» ребѐнку понятна, то почему надо складывать скорости движения – совершенно не понятно.
Если рассмотреть чертѐж, предлагаемый в учебнике [34, с. 12], то решение
задачи также не является «очевидным» - из такой модели не следует, что скорости
надо сложить.
Таким образом, по данным в учебнике или известным учащимся математическим моделям решить представленную задачу на движение могут только «сильные» ученики. Для большинства учащихся нужны модели, которые помогут в понимании данного вида задач, позволят КАЖДОМУ ученику понять и решить ее.
Основная роль в решении данной проблемы, принадлежит моделированию.
Поэтому для моделирования встречного движения мы считаем необходимо
использовать следующие приемы.
1)
Сюжетное моделирование
Учитель: Скорость – это расстояние, пройденное в единицу времени. Пусть
единица времени – это мой хлопок в ладоши.
Пусть Маша движется со скоростью 1 шаг, то есть под каждый мой хлопок
Маша делает один шаг (демонтируется движение Маши под хлопки)
Пусть Вася движется со скоростью 2 шага, то есть по каждому моему хлопку Вася перемещается на два шага (демонстрируется движение Васи)
80
Маша и Вася становятся в разных концах класс. По хлопку учителя они перемещаются навстречу друг другу (Маша на 1 шаг, Вася – на два).
- На сколько шагов сблизились Маша и Вася за единицу времени?
- На сколько они переместятся за две единицы (два хлопка)?
2) Графическое моделирование
- Давайте изобразим движение Маши и Васи на чертеже:
- Как обозначено начало движения каждого ученика?
- Как движутся Маша и Вася? Как это показано на чертеже?
- Обозначьте положения Маши и Васи через единицу времени?
- На сколько шагов они сблизились?
- Обозначьте положения Маши и Васи через 2 единицы времени?
- На сколько шагов они сблизились?
- На сколько шагов сближаются Вася и Маша за единицу времени?
- Можно ли это назвать скоростью сближения (да, так как это расстояние,
пройденное в единицу времени, но двумя объектами, движущимися навстречу
друг другу)
Вывод: если объекты движутся навстречу друг другу, то скорость сближения (расстояние, на которое сближаются объекты в единицу времени) равно сумме скоростей объектов.
Исходя их этого решающей моделью рассматриваемой задачи про будет
выражение: 78 : (12 + 14).
Используя понятие скорости сближения, задачи вида 1 (на нахождения расстояния, пройденного двумя движущимися навстречу объектами) можно решать
вторым, более оптимальным способом, находя вначале скорость сближения.
Особым видом задач на встречное движение тел являются задачи, в которых
тела не встретились, то есть общий пройденный путь меньше расстояния между
81
пунктами. Основным отличием этого типа задач является то, что все три величины (скорость, время и расстояние) являются данными и, в тоже время, расстояние
– искомая величина.
Задачи такого вида предусмотрены в курсах начальной математике по всем
действующим УМК. Например,
№ 91 [34, c. 20] Из двух городов, находящихся на расстоянии 846 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Какое расстояние
будет между поездами через 3 часа, если скорость одного из них
65 км/ч, а второго – 60 км/ч?
[18, с.67]
[22, с.30] Из Санкт-Петербурга и Москвы навстречу друг другу одновременно
вышли два поезда со скоростями 45 км/ч и 35 км/ч. Какое расстояние
будет между ними через 5 часов, если расстояние между СанктПетербургом и Москвой 640 км? Реши задачу разными способами.
82
Как видим, практически все задачи на встречное движение такого типа
снабжены готовыми чертежами, рисунками, поэтому не вызывают трудностей у
учащщихся при работе на уроке и дома. Тем не менее анализ работ показал, что
самостоятельно не все дети могут построить верный чертѐж. Поэтому учителю
следует больше уделять внимания именно построению графических моделей.
Такая модель должна строится по ходу разбора задачи, каждый элемент чертежа
должен быть понятен ученику.
Рассмотрим это на примере работы со следующей задачей:
Из двух городов, расстояние между которыми 846 км, вышли одновременно
навстречу друг другу два поезда. Один шел со средней скоростью 65 км/ч, а второй – 60 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?
- О чем данная задача? (о поездах)
- Откуда они вышли? (из двух городов, расстояние между которыми 846 км)
- Как мы это изобразим на чертеже (отрезком)
846 км
- Как двигались поезда? (навстречу друг другу)
- Как мы это изобразим на чертеже (стрелками)
846 км
- Прошли ли поезда все расстояние? (нет) Почему?
- Из каких расстояний оно складывается? (из того, что прошел первый поезд, того,
что прошел второй поезд и того, что осталось между ними).
- Изобразим это на чертеже
846 км
- Что известно про первый поезд? (его скорость 65 км/ч, время, которое он был в
пути 3ч)
83
- Что известно про второй поезд? (его скорость 60 км/ч, время, которое он был в
пути 3ч)
- Изображаем это на чертеже:
65 км/ч
60 км/ч
?
846 км
После такого разбора решение задачи не вызывает затруднений.
1). Какой путь прошел первый поезд? 65 3 = 195 (км)
2). Какой путь прошел второй поезд? 60 3 = 180 (км)
3). Каков общий пройденный путь? 195 + 180 = 375 (км)
4). Какое расстояние будет между поездами? 846 – 875 = 471 (км)
Ответ: 471 км
Для самостоятельной работы по построению графических моделей на начальном этапе можно предложить подробную инструкцию для решения определенного типа задач (См. Приложение 5) или предлагать учащимся дифференцированные задания на построение (достраивание) чертежей (См. Приложение 7). В
этом случае у каждого школьника появляется возможность работать самостоятельно, в меру сил и возможностей и приобретать навыки построения графических моделей.
84
2.4.2. Моделирование при решении задач на движение
в противоположных направлениях
Задачи на движение в противоположных направлениях вводятся после задач
на встречное движение, поэтому их можно рассматривать по аналогии. Хорошо
сопоставить графические модели и решение видов задач.
Работа по введению этого типа задач может быть организована следующим
образом. Учащиеся читают задачу [34, c.27]: «Из одного посѐлка вышли два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Скорость одного из них 5
км/ч, а второго – 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 часа?»
К доске вызываются два ученика, которые будут изображать пешеходов.
Своѐ движение они изображают графически на доске, остальные учащиеся делают чертеж в тетрадях.
Учитель: вот населенный пункт, покажите стрелками направление движения, укажите скорости.
5км/ч
4 км/ч
Учитель: прошел час, покажите, где вы находитесь и какое расстояние прошли.
5км/ч
4 км/ч
5км
4 км
Учитель: прошел еще час, где вы находитесь теперь.
5км/ч
5 км
5 км
4 км/ч
4 км
4 км
Учитель: прошел третий час, где вы находитесь теперь, какое расстояние
надо найти по условию задачи.
5км/ч
5 км
5 км
5 км
4 км/ч
4 км
4 км
4 км
?
Таким образом происходит работа по переходу от сюжетной модели к графической, причем при такой организации практически каждый ученик понимает
85
сущность построения схемы движения. Неформально построенная графическая
модель не вызывает затруднений перехода к решающей модели.
Учитель: Как можно найти расстояние, пройденное пешеходами за 3 часа?
(Как сумму расстояний, пройденных каждым пешеходом)
Первый ученик находит расстояние, пройденное первым пешеходом:
5 3 = 15 (км)
Второй ученик находит расстояние, пройденное вторым пешеходом:
4 3 = 12 (км)
Расстояние между пешеходами через 3 часа 15 + 12 = 27(км).
Работа по постепенному построению графической модели позволяет получить другую решающую модель задачи – найти второй способ решения задачи.
1) На какое расстояние удалялись пешеходы каждый час?
(скорость, с которой удалялись пешеходы друг от друга)
5 + 4 = 9 (км/ч)
2) На какое расстояние они удалятся друг от друга за 3 часа? 9 3 = 27(км)
Далее учитель изменяет чертеж и предлагает учащимся составить задачу по
новому чертежу:
5км/ч
4 км/ч
27 км
«Из одного посѐлка вышли два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Скорость одного из них 5 км/ч, а второго – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км?»
После разбора учащиеся записывают решение:
1). 5 + 4 = 9 (км) – на такое расстояние удалялись пешеходы за 1 час
2). 27 : 9 = 3(ч) – за столько времени расстояние между ними станет 27 км
Условие задач еще раз изменяется:
? км/ч
4 км/ч
4 км
27 км
4 км
4 км
86
Ученики составляют условие задачи: «Из одного посѐлка вышли два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Через 3 часа расстояние между
ними было 27 км. Скорость второго пешехода 4 км/ч. С какой скоростью шел
первый пешеход?» После разбора задача решается ее разными способами:
1 способ
1). 4 3 = 12 (км) – прошел второй пешеход
2). 27 – 12 = 15(км) – прошел первый пешеход.
3). 15 : 3 = 5 (км/ч) – скорость первого пешехода.
2 способ
1). С какой скоростью удалялись пешеходы друг от друга? 27 : 3 = 9 (км/ч)
2). С какой скоростью шел первый пешеход?
9 – 4 = 5 (км/ч)
При решении этого вида задач полезной будет работа по сопоставлению
графических, табличных и решающих моделей.
Например,
1) составить задачи по чертежам и решить их, составляя выражение.
Чем похожи и чем отличаются задачи?
Решающая модель задач одинаковая: (5 + 4) 3.
2) По выражению 80 4 + 90 4 составить задачу на встречное движение, на
движение в противопенном направлении, с величинами цена количество
стоимость.
3) Составить две задачи по таблице: Чем они похожи, чем отличаются?
скорость
I
12 км/ч
II
? км/ч
время
одинаковое
расстояние
36 км
45 км
87
Особым видом задач на движение в противоположных направлениях являются задачи, в которых движение тел происходит из разных пунктов.
Как показывает анализ работ, приведенный нами в п. 2.1. настоящей работы, несформированность навыка моделирования ведет к большому количеству
ошибок учащихся при решении задач этого вида. Поэтому учителю надо уделять
больше времени по построению графических моделей к данному виду задач, а не
их решению по готовым моделям.
Покажем, как может быть организована такая работа на примере задачи:
«Из двух городов, расстояние между которыми 480 км одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда. Скорость одного из них 60 км/ч, а
второго 80 км/ч. Через сколько часов расстояние между поездами будет 760 км?»
Для раскрытия смысла задачи параллельно с разбором поэтапно строится
чертѐж.
- О чем данная задача? (о поездах)
- Они вышли из одного пункта (нет, расстояние между пунктами 480 км)
- Как мы изобразим это?
480 км
- Как двигались поезда? (в противоположных направлениях)
- Как мы это покажем на чертеже? (стрелками)
60 км/ч
80 км/ч
480 км
- Какое время поезда были в пути? почему? (одинаковое, так как вышли одновременно).
- Покажите на чертеже где, спустя это время оказался каждый поезд
60 км/ч
80 км/ч
480 км
- Какое расстояние стало между поездами? (760 км) Изобразите это на чертеже.
60 км/ч
80 км/ч
480 км
760 км
88
- Можно ли сказать, что 760 км – это общий путь, пройденный поездами, почему?
(нет, так как до начала движения между поездами было расстояние 480 км)
- Покажите на чертеже путь, пройденный первым (вторым) поездом.
- Как можно найти общий путь, пройденный поездами? (760 – 480)
- Что надо ещѐ знать, чтобы найти время движения? (скорость, с которой поезда
удалялись)
- Мы можем ее найти? (Да, 60 + 80).
Решающая модель задачи: (760 – 480) : (60 + 80)
К этому же виду сводятся задачи, в которых тела движутся из одного пункта в противоположных направлениях, но движение начинается в разное время.
Тогда, если найти расстояние, пройденное телом, которое вышло раньше, получаем задачу, рассмотренную выше.
Для отработки навыков построения графических моделей для задач на движение тел в противоположных направлениях можно предложить учащимся Инструкцию (см. Приложение 6), которая позволит учащимся самостоятельно строить
модели, а также использовать дифференцированные задания по построению (достраиванию) чертежей. (См. Приложение 7).
89
2.4.3. Моделирование при решении задач на движение
в одном направлении
Как было отмечено в Главе 1 нашей работы задачи на движение тел в одном
направлении входят не во все курсы начальной математики Тем не менее, учащиеся встречаются с таким видом движения в реальной жизни, поэтому вопросы
и задания следующего вида не вызывают у них затруднения:
- Оля живет ближе к школе, чем Коля. Дети вышли из своих подъездов одновременно.
- Коля догнал Олю. У кого скорость движения была больше?
- Может ли Коля догнать Олю, если его скорость 5 км/ч, а у Оли 4 км/ч?
- Может ли Коля догнать Олю, если его скорость 4 км/ч, а у Оли 5 км/ч?
Во многих курсах начальной математики задачи на движение тел в одном
направлении разбираются достаточно подробно.
Рассмотрим особенности моделей при работе с таким видом задач.
По УМК «Планета знаний» в 4 классе вводятся задачи на движение в одном
направлении. На подготовительном этапе задачи решаются по готовым схемам.
[9, с. 59]
Позже задачи обобщаются и выодятся общие правила решения задач в виде
блок-схем.
90
Составление таких блок-схем позволяет записать общий вид решения
задач на движение в одном направлении
По УМК «Перспектива» задачи на движение в одном направлении рассматриваются достаточно подробно, также на основе готовых схем. Заметим, что чертежи выполняются на основе координатного луча.
[22, с. 47] По готовому схематическому рисунку учащимся предлагается
решить задачу: «Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно в одном
направлении из одного и того же пункта. Скорость велосипедиста 15 км/ч, а мотоциклиста – 60 км/ч»
1)
Какое расстояние будет между ними через 1ч? 2ч? 3ч?
2)
С какой скоростью велосипедист и мотоциклист удаляются друг от друга?
91
3)
Через сколько часов расстояние между ними будет 135 км?
Аналогично по готовым подробным схемам решаются задачи на движение в
одном направлении, когда движение объектов начинается из разных пунктов или
в разное время.
[22, с. 50]. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км одновременно в одном направлении выехали грузовик со скоростью 40 км/ч и повозка со
скоростью 20 км/ч. На сколько сократится между ними расстояние через час? Через 2? Через сколько времени грузовик догонит повозку?
[22, с. 52]. От причала отправился катер со скоростью 28 км/ч. Через 3 часа
вслед за ним вышла моторная лодка со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов
лодка догонит катер?
Обобщая решение различных задач, учащиеся приходят к выводу, что при
движении в одном направлении общая скорость равна разности скоростей объектов. Практически все задачи на движение в одном направлении по учебникам Г.
В. Дорофеева и Т. Н. Мираковой решаются по готовым схемам.
В учебниках начальной математики Н. Б. Истоминой также в 4 классе рассматриваются простейшие задачи на движение в одном направлении, которые
вводятся по готовым схемам в виде диалога между Машей и Мишей.
92
№ 206 [26, с. 60] Из пункта А в одном направлении выехали две грузовые машины со скоростями 60 км/ч и 90 км/ч. На сколько километров
одна машина обгонит другую через 3 часа?
Объясни, как рассуждали Маша и Миша.
Самостоятельное составление чертежей к задачам на движение в одном
направлении достаточно сложно для учащихся начальной школы, поэтому
учитель, должен тщательно продумать методику обучения графическому
моделированию при решении этого вида задач.
Покажем возможный пример организации такой работы на примере
рещения задачи: «Из села в город одновременно отправились пешеход со средней
скоростью 5 км/ч и велосипедист со средней скоростью 15 км/ч. Какое расстояние
будет между ними через 3 часа?»
Учащиеся под руководством учителя строят чертеж: отмечают село и направления движения пешехода и велосипедиста. Затем наносят их положение через час:
5 км/ч
15 км/ч
5 км
15 км
По чертежу учащиеся находят, что через 1 час расстояние между пешеходом и велосипедистом будет 15 – 5 = 10 км.
Затем строится еще один чертеж, под первым, на котором показывается, как
изменится ситуация через 2 часа после начала движения.
5 км/ч
5 км
15 км/ч
5 км
15 км
15 км
93
По чертежу учащиеся находят, что через 2 часа расстояние между пешеходом и велосипедистом будет 15 2 – 5 2 = 20 км.
После этого строится еще один чертеж, на котором показано положение
пешехода и велосипедиста через три часа после начала движения.
5 км/ч
5 км
5 км
15 км/ч
5 км
15 км
15 км
15 км
По чертежу учащиеся находят, что через 3 часа расстояние между пешеходом и велосипедистом будет 15 3 – 5 3 = 30 км.
- Почему каждый час расстояние между пешеходом и велосипедистом
увеличивалось? (потому, что велосипедист ехал быстрее)
- На сколько увеличивалось расстояние между пешеходом и велосипедистом каждый час? Почему? (увеличивалось на 10 км, так как за час велосипедист проезжает на 10 км больше)
- Следовательно, каждый час велосипедист и пешеход удаляются друг от
друга на 10 км, то есть 10 км/ч можно назвать скорость удаления.
- Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (10 3 = 30 км)
Конечно, данную задачу можно было решить другим способом (более понятным учащимся), сделав сразу чертеж:
5 км/ч
15 км/ч
1). 15 3 = 45 (км) – проехал велосипедист
2). 5 3 = 15 (км) – прошел пешеход
3). 45 – 15 = 30 (км) – расстояние между пешеходом и велосипедистом.
Но тогда трудно было бы ввести понятие скорости, с которой удаляются
друг от друга тела, двигаясь в одном направлении. А без этого невозможным становится решение обратных задач. Например,
От станции в южном направлении одновременно отправились пассажирский и скорый поезда. Через 4 часа расстояние между ними стало 80 км. С какой
94
средней скоростью двигался пассажирский поезд, если скорость второго поезда
80 км/ч?
1). С какой скоростью удалялся скорый поезд?
80 : 4 = 20 (км/ч)
2). Какая скорость пассажирского поезда?
80 – 20 = 60(км/ч)
Обобщая решение задач данного типа, можно сделать вывод, что при движении в одном направлении (когда одно тело «убегает» от другого) скорость удаления тел равна разности их скоростей движения.
После этого можно ввести задачи на движение тел в одном направлении,
когда одно из них догоняет другое.
Покажем какие графические модели строятся в данном случае на примере
задачи: «Расстояние между Сашей и Ваней, бегущими в одном направлении, 60 м.
Саша бежит со скоростью 150 м/мин, а Ваня со скоростью 120 м/мин. Догонит ли
Саша Ваню? Через сколько минут?»
Учащиеся под руководством учителя строят чертеж. Заметим, что чертеж
лучше всего строить в масштабе (например, 1 клетка = 1 м)
150 м/мин
120 м/мин
60 м
Затем строится еще один чертеж, под первым, на котором показывается, как
изменится ситуация через 1 минуту.
150 м
60 м
150 м/мин
120 м/мин
120 м
По чертежу учащиеся находят, что через 1 минуту расстояние между мальчиками будет (60 + 120) – 150 = 30 м
Затем строим следующий чертеж, на котором показывается ситуация через
1 минуту.
150 м
60 м
150м
120 м
120 м
95
Из чертежа следует, что через 2 минуты Саша догонит Ваню, то есть расстояние между мальчиками еще уменьшилось на 30 м.
- Почему каждую минуту расстояние уменьшалось ровно на 30 м? (скорость Саши на 30 м/мин больше скорости Вани).
- Следовательно, каждую минуту мальчики будут сближаться на 30 м, то
есть их скорость сближения 30 м/мин.
- На какое расстояние они должны сблизиться? (На то, которое было между ними в начале движения, то есть на 60 м)
- Сколько времени для этого понадобиться? (60 : 30 = 2 минуты)
Обобщая решение данной задачи, можно сделать вывод, что при движении
в одном направлении (когда одно тело догоняет другое) скорость сближения тел
также равна разности их скоростей движения.
Полученные навыки построения графических моделей могут с успехом
быть перенесены на другие задачи на движение в одном направлении (когда движение начинается из разных точек в одно время, из одной точки в разное время
или из разных точек в разное время)
Таким образом, при решении задач на движение учащиеся приобретают навыки моделирования ситуаций таких задач, что способствует успешному их решению.
С другой стороны, навыки моделирования, полученные при решении одного
типа задач на движение, могут быть перенесены на решения задач других видов.
То есть моделирование лежит в основе общего умения решать задачи
96
2.5. Методические рекомендации по обучению моделированию
младших школьников при решении задач на движение
Подводя итог нашего проведенного исследования, определим основные рекомендации по обучению моделированию младших школьников и использованию
моделей в процессе решения задач на движение.
1. На начальном этапе знакомства с задачами на движение целесообразно
использовать вещественные модели. Это может быть воспроизведение
различных видов движения как самими учащимися, так и с помощью предметных моделей.
Наглядные модели позволяют постепенно переходить к графическим моделям, неформально строить чертежи и работать с ними. Методика организации такой работы подробно описана в п.2.2. настоящей работы.
2. При изучении связей между величинами скорость, время, расстояние широко применяется табличное моделирование.
Составление таблиц и работа с ними знакома учащимся по решению задач с
другими пропорциональными величинами, поэтому навыки такого моделирования (общие приемы решения) просто переносятся на новый вид задач. Здесь целесообразно постоянно подчеркивать аналогию различных по фабуле задач, единство их решающих моделей. Мы на этом подробно останавливались в п.2.3. нашей
работы.
3. При решении задач на движение по готовым моделям следует рассматривать различные способы решения этих задач. Этим формируется навык построения различных решающих моделей по заданной графической модели.
Поиск различных способов решения задачи – один из эффективных приемов, позволяющий глубже раскрыть взаимосвязь между величинами, входящими
в задачу, и один из способов проверки решения задачи. Поэтому целесообразно
направить деятельность учащихся на поиск других решающих моделей, их сравнения и выбор рациональной. Все это, несомненно, окажет положительное влияние на развитие мышления учащихся и выработке навыков решения задач на
движение.
97
Умение решать задачи разными способами свидетельствует о достаточно
высоком умственном и математическом развитии. Выработка таких умений и навыков приучает делать предположение, составлять гипотезы и проверять их,
сравнивать математические результаты, делать выводы, то есть учит правильно
мыслить. Необходимость решать задачи различными способами сопровождает
ученика в течение всей его учебы в школе. Кроме того, выработка привычки к поиску другого варианта решения играет большую роль в будущей работе, научной
и творческой деятельности.
Требования к решению задач различными способами имеются в некоторых
заданиях учебников математики по различным УМК. Но, на наш взгляд, подобная
работа должна вестись более глубоко и систематически и если не со всеми учащимися класса, то хотя бы с более способными, развивая и удовлетворяя их любопытство и математические интересы.
Рассмотрим различными способы решения следующей задачи:
От двух пристаней, находящихся на расстоянии 510 км, отплыли одновременно навстречу друг другу катер и моторная лодка. Встреча произошла через 15
часов. Катер шел со скоростью 19 км/ч. С какой скоростью шла моторная лодка?
Графическая модель задачи:
19 км/ч
15 ч
? км/ч
510 км
I способ.
1) 19 15 = 285 (км) – путь, пройденный катером.
2) 510 – 285 = 225 (км) – путь, пройденный моторной лодкой.
3) 225 : 15 = 15 (км/ч) – скорость моторной лодки.
II способ. 1) На сколько км за 1 ч приближались друг к другу катер и лодка?
510 : 15 = 34(км)
2) Чему равна скорость моторной лодки?
34 – 19 = 15(км/ч)
III способ. 1) На сколько километров в 1 ч приближались друг к другу катер и
моторная лодка, если бы их скорости были одинаковыми?
98
19 + 19 = 38 (км)
2). Сколько бы они прошли в этом случае?
38 15 = 570 (км)
3). На сколько км больше они прошли бы?
570 – 510 = 60 (км)
4). На сколько больше катер и лодка проходили за час?
60 : 15 = 4 (км)
5). Чему равна скорость моторной лодки?
19 – 4 = 15(км/ч)
IV способ. 1) 19 15 = 285 (км) – путь, пройденный катером.
2). 510 : 2 = 255(км) – прошел бы катер, если бы скорости лодки и катера были одинаковыми.
3). 285 – 255 = 30(км) – на столько больше прошел катер (меньше
прошла лодка) до середины пути.
4). 255 – 30 = 225 (км) – путь, пройденный моторной лодкой.
5). 225 : 15 = 15 (км/ч) – скорость моторной лодки.
V способ. 1) 19 15 = 285 (км) – путь, пройденный катером.
2). 510 : 2 = 255(км) – прошел бы катер, если бы скорости лодки и катера были одинаковыми.
3). 285 – 255 = 30(км) – на столько больше прошел катер (меньше прошла лодка) до середины пути.
4). 30 2 = 60 (км) – на столько больше прошел катер за 15 ч
5). 60 : 15 = 4 (км) – на столько больше катер проходил за 1 ч
6). 19 – 4 = 15 (км/ч) – скорость моторной лодки.
Ответ: скорость моторной лодки 15 км/ч
В заключении отметим, что применение различных способов решения задачи в учебном процессе настолько важно с общеобразовательной точки зрения, что
должно стать одним из главных методологических принципов обучения математике в начальной школе. Осуществление этого принципа прививает интерес к математике, развивает умственные способности учащихся, приучает их к исследовательской работе.
99
4. При решении задач на движение двух тел в противоположных направлениях, следует уделять больше внимания построению графических моделей, а
не только составлению и решению задач по готовым чертежам.
Анализ учебников математики по различным УМК для начальной школы
показал, что практически во всех преобладающими являются задания по готовым
чертежам: «Рассмотри чертѐж и реши задачу» или «Составь задачу по чертежу и
реши ее». В следствии этого, самостоятельное решение задач учащимися (без готового чертежа) затруднительно и приводит к большому количеству ошибок.
Учитель должен иметь в виду, что овладение умением решать задачи наступает не у всех детей одновременно. Некоторые дети уже на первых уроках могут
понять и смоделировать характер движения объектов, построить графическую
модель, обобщить способ решения задач, а другие даже не могут сами верно построить чертѐж. Для того, чтобы каждый из детей мог работать самостоятельно, в
меру своих сил и способностей, можно дифференцировать работу по решению задач на движение.
Например, можно всем детям предложить прочитать одну и ту же задачу,
затем спросить, кто из них может сам решить эту задачу. Тем ученикам, которые
знают, как решить задачу, предлагается выполнить решение самостоятельно, а остальным записать задачу кратко, сделать рисунок или чертеж; после этого опятьтаки надо спросить, кто теперь знает, как решить задачу. Еще часть детей включается в самостоятельное решение задачи. С остальными учащимися выполнить
разбор коллективно, после чего предложить самостоятельно записать решение.
Ученики, справившиеся с решением раньше других, получают дополнительные
задания (решить задачу другим способом, составить и решить обратную задачу и
т.д.).
Иным вариантом осуществления дифференцированного подхода к обучению моделированию при решении задач на движение, особенное на начальном
этапе обучения, являются инструкции, которые позволят каждому ученику работать по заданному алгоритму, верно построить графическую модель к задаче (см.
Приложения 5,6).
100
5. В соответствии с требованиями ФГОС НОО [55] у учащихся начальной
школы должны быть сформированы навыки перехода от одних моделей к
другим: от графической – к решающей, от решающей к словесной и т.д. Поэтому при работе с текстовыми задачами целесообразно предусматривать задания, связанные не только с решением, но и с составлением различных моделей, на переход от одних моделей к другим.
Приведем примеры таких заданий
Составление задач по выражению
1)
Составить задачу на движение одного объекта по выражению. Составить
таблицу.
60 : 15
10 : 2
140 – 60 2
2)
85 4
4 2+5 3
Составить задачу на движение двух объектов, выполнить чертѐж.
12 3 + 11 3
520 : (60 + 70)
35 2 – 32 2
18 : 2 – 5
Составление задач по вопросу
Составить и решить задачу по вопросу:
Какое расстояние было между городом и селом?
Сколько времени находились в пути лыжники?
С какой скоростью двигался второй катер?
Какое расстояние между поездами будет через 2 часа?
Какое расстояние прошел каждый пешеход?
На сколько км больше проехала машина, чем велосипедист?
Составление задач по аналогии
Реши задачи. Составь задачи на движение, чтобы они решались также.
3) Мама купила 3 кг помидоров по 70 р. и 3 кг огурцов по 60 р. Сколько всего
денег заплатила мама за овощи?
4) В магазин привезли 20 ящиков печенья по 8 кг каждый и 10 ящиков пряников
по 10 кг каждый. Чего привезли больше и на сколько кг?
101
5) Для вспашки 8 га земли два трактора израсходовали 158 л горючего. Первый
трактор вспахал 5 га земли, расходуя 19 л горючего на 1 га. Сколько литров
горючего на 1 га расходовал второй трактор?
Сопоставление задач и их различных моделей
1) Выберите схему к каждому условию:
Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода
Из гаража одновременно в противоположных направлениях выехали две машины
Из гаража одновременно в одном направлении выехали две машины
Из двух пунктов одновременно в одном направлении отправились два пешехода.
2) С помощью таблицы составили некоторые выражения.
Что они означают?
5 2
12 2
(5 + 12) 2
12 2 – 5 2
3) Объясни, что означают выражения для следующей задачи?
70 3
70 3 + 60
(70 3 + 60) : 3
60 : 3
70 + 60 : 3
102
«Из города в село одновременно выехали автобус со скоростью 70 км/ч и
машина. Через 3 часа машина оказалась впереди автобуса на 60 км. С какой скоростью она ехала? Для объяснений используй чертѐж:
Составление задач по их графическим моделям
1) Составь задачу по чертежу
70 км/ч
? км/ч
5км/ч
480 км
15 км/ч
4 км/ч
? км
12 км/ч
3 м/с
? км
t-?
2 м/с
100 м
170 км
5км/ч
4 км/ч
10м/с t - ? 12 м/с
?
2 км 400 м
2) Составь задачу о движении пешеходов по чертежу:
33 км
3) Составь задачу о движении машины и мотоцикла так, чтобы в ней надо
было узнать время, через которое они встретятся.
103
Составление задач и чертежей по таблицам
Составь различные задачи по таблице. Выполни чертѐж к каждой задаче.
скорость
время
3ч
2ч
?
45 км/ч
расстояние
180 км
6. Для более осознанного построения моделей и работы с ними при решении задач
на движения целесообразно задавать дополнительные вопросы по моделям,
предусматривать работу по их изменению и преобразованию. Например, прослеживать изменение модели (вспомогательной и решающей) при изменении
вопроса задачи, элементов условия задачи и т.п.
Покажем пример организации такой работы.
Пусть дана задача: «Из двух городов, находящихся на расстоянии 520 км,
одновременно вышли навстречу друг другу два поезда и встретились через 4 ч.
Один поезд шел со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью шел второй поезд?»
Учащиеся выполняют чертеж и решают задачу:
520 : 4 – 60 = 70 (км/ч)
После решения данной задачи и записи ответа целесообразно обратиться к
чертежу и задать детям следующие вопросы:
- К какому пункту ближе произойдет встреча поездов? Почему?
- Могли бы поезда встретиться в середине пути? В каком случае?
- Какой поезд придет в конечный пункт первым? Почему?
- Какое расстояние будет между поездами через час после встречи?
- Могут ли поезда прибыть в конечный пункт одновременно?
Если дети на последний вопрос дадут ответ: «Не могут, так как скорости у
них разные», то ставится дополнительный вопрос: «При каких условиях поезда
могли бы прийти одновременно?»
104
Мы отмечали, что аналогичная работа проводится на подготовительном
этапе введения понятия скорости, но про нее не следует забывать и при решении
задач в дальнейшем. Дополнительные вопросы помогут глубже осмыслить связи
и зависимости между величинами, верно изобразить их на модели, верно решить
задачу.
Чрезвычайно эффективными для обобщения способа решения задач на
движение и формирования навыка моделирования являются упражнения следующих видов.
Постановка вопроса к условию задачи
(изменение данного вопроса)
Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях между данными и
искомым, так как при этом дети устанавливают, что можно узнать по определенным данным.
Во многих случаях целесообразно вводить некоторые ограничения. Например, предлагается поставить вопрос так, чтобы задача решалась одним действием,
двумя действиями и т. д., или чтобы спрашивалось о скорости, о цене и т. п., или
чтобы задача решалась указанным действием.
После решения некоторых задач полезно предложить детям изменить вопрос задачи. Например, пусть ученики решили задачу: «Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из Москвы и Киева. Московский поезд проходил
68 км в час, а киевский 75 км в час. Через сколько часов поезда встретятся, если
расстояние от Москвы до Киева 858 км?» После решения задачи можно предложить изменить вопрос так, чтобы спрашивалось о расстоянии.
Учащиеся могут поставить такие вопросы:
- На каком расстоянии от Москвы (от Киева) произошла встреча?
- Какое расстояние прошел каждый поезд до встречи?
- Какое расстояние надо пройти каждому поезду после встречи до места назначения?
- На сколько километров больше прошел до встречи киевский поезд?
Какие изменения произойдут на модели задачи?
105
Составление условия задачи по данному вопросу
При выполнении таких упражнений учащиеся устанавливают, какие данные
надо иметь, чтобы найти искомое, а это также приводит к обобщению знания связей между данными и искомым.
Для составления таких задач учащимся необходимо находить информацию
в справочниках, в средствах массовой информации, Интернете и т.д., что также
является обязательной частью изучения математики в соответствии с ФГОС
НОО.
Например, учитель задает вопрос: «На каком расстоянии друг от друга будут вертолѐты через 3 ч?
Рассуждение учащихся: для того, чтобы ответить на вопрос задачи нам необходимо знать скорости двух вертолѐтов. Исходя из вопроса можно предположить, что вертолѐты одновременно поднялись с аэродрома и полетели в противоположных направлениях. Допустим средняя скорость одного вертолѐта 180 км/ч,
а другого – 240 км/ч.
1) 180 + 240 = 420 (км/ч) – общая скорость вертолѐтов.
2) 420 : 3 = 140 (км) – расстояние между ними через 3 часа.
Составление обратных задач
Упражнения в составлении и решении обратных задач помогают усвоению
связей между данными и искомым.
Обратные задачи можно составлять как по отношению к данной простой,
так и к составной задаче, при этом можно составить одну или несколько обратных задач в зависимости от целей этого вида работы. Однако учителю всегда следует проверить, посильна ли детям обратная задача. Составление обратных задач
следует связывать с проверкой решения задач.
Например, для задачи: «Из одного посѐлка вышли одновременно два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Скорость одного пешехода 5
км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через
3 ч?» можно составить следующие обратные задачи.
106
1) Из одного посѐлка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скоростью одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч.
Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км?
2) Из одного посѐлка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 ч расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шѐл со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шѐл второй пешеход?
При составлении обратных задач обязательно надо прослеживать что изменяется на модели, чем похожи (отличаются) модели взаимно обратных задач.
Следуя указанным методическим рекомендациям, в процессе решения задач на движение учащиеся приобретают навык моделирования, который лежит в
основе общего решения задач.
Пусть в ходе решения задач на движение в противоположных направлениях
ученик получил навык построения графической модели. Тогда, выполняя все шаги инструкции (см. Приложение 6), он сможет перенести эти умения в новую ситуацию, на новый тип задач (на движение тел в одном направлении) и сможет
решить задачу: «Из села в город одновременно выехал автобус со скоростью 60
км/ч и автомобиль со скоростью 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?»
Выполняем чертѐж, следуя инструкции:
1. Построй отрезок и покажи точками, где находились объекты в начале движения.
2. Если объекты начинают движение из разных точек, покажи дугой это расстояние и запиши его числовое значение, если оно известно.
3. Покажи направление движения объектов стрелками, укажи известные значения скоростей.
60 км/ч
90 км/ч
107
4. Покажи точками, где будут находится объекты в конце движения.
5. Покажи дугой путь, пройденный каждым объектом и запиши его числовое
значение, если оно известно.
60 км/ч
90 км/ч
6. Покажи черточками время, за которое этот путь был пройден, если оно известно.
60 км/ч
90 км/ч
7. Покажи дугой расстояние между объектами в конце движения. Запиши его
числовое значение, если оно известно.
8. Поставь знак вопроса, соответствующий задаче.
60 км/ч
?
90 км/ч
По чертежу очевидно решение задачи:
1) 60 2 = 120 (км) – расстояние, пройденное автобусом за 2 часа
2) 90 2 = 180 (км) – расстояние, пройденное автомобилем за 2 часа.
3) 180 – 120 = 60 (км) – расстояние между автобусом и автомобилем через
2 часа.
Таким образом, в ходе решения задач на движение у учащихся формируются навыки моделирования, которые лежат в основе общего умения решать текстовые задачи.
108
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итоги нашего квалификационного исследования, можно сделать
вывод, что умение решать задачи является важнейшей целью обучения математике, составляет основу математического образования и важнейшим средством
формирования математической культуры учащихся.
В методической литературе задачи, связанные с движением тел, традиционно выделяются в особый тип, так как они построены на основе функциональной
зависимости между величинами: скорость, время, расстояние.
Методика обучения решению таких задач зачастую связана с использованием чертежа и построена на основе четких представлений о скорости равномерного
движения тел, а также четких представлений двигаться навстречу друг другу,
двигаться в противоположных направлениях, выехали одновременно и встретились, скорость сближения и т.д.
Чтобы подготовить детей к восприятию этих понятий, необходимо правильно организовать работу на предварительном этапе к введению задач на движение. В своем квалификационном исследовании мы приводим один из вариантов
подготовки учащихся к решению задач, связанных с движением тел, с использованием различных моделей. На этом этапе учащиеся должны не только осознать
понятия «скорость движения» и взаимосвязи между величинами, но и получить
навыки работы с чертежами.
В нашей работе подробно рассматривается, как можно ознакомить учащихся с решением задач на движение, построению различных их моделей. Постепенный переход от предметного моделирования к схематическому формирует у учащихся навык моделирования, умения перехода от одних моделей к другим, что
является одним из важнейших планируемых результатов обучения математике в
начальной школе.
С другой стороны, обретая навык моделирования, учащиеся могут переносить его на другие виды задач на движение (и не только), то есть у них формируются общие приемы решения задач.
109
Особое внимание мы уделили организации деятельности младших школьников по построению различных моделей и работе с ними, составили инструкции
и задания, позволяющие сделать эту работу более эффективной.
Таким образом, все задачи нашего квалификационного исследования были
решены, цель работы достигнута.
110
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Александрова Э.И. Как учить решать текстовые задачи? // Начальная школа.
- 2009. - №7. – С.103-115.
2.
Александрова Э. И. Математика. 4 кл. Ч. 1. – М.: Дрофа 2015. – 160с. (УМК
Классическая начальная школа)
3.
Александрова Э. И. Математика. 4 кл. Ч. 2. – М.: Дрофа 2015. – 175с. (УМК
Классическая начальная школа)
4.
Арнольд В.И. Математическое понимание природы. Москва –М.: МЦНМО,
2011.
5.
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 1984. – 335с.
6.
Бантова М.А. Решение текстовых арифметических задач. //Начальная школа.
– 1999. - № 10. - С. 50-55.
7.
Баринова Е.С. Дифференцированное обучение решению математических задач. //Начальная школа. – 1999. - №2. - С. 41-43.
8.
Бахтина С. В. Поурочные разработки по математике (4 класс). – М.: Экзамен,
2016. – 318с.
9.
Башмаков М.И., Нефѐдова М.Г. Математика. 4 класс. Ч.1. – М.: АСТ Астрель, 2013. – 127с. (УМК Планета знаний)
10. Башмаков М.И., Нефѐдова М.Г. Математика. 4 класс. Ч.2. – М.: АСТ Астрель, 2013. – 143с. (УМК Планета знаний)
11.
Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. Курс
лекций. – М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2011. – 455с.
12.
Бешенков С.А. Моделирование и формализация. – М.: БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2002. – 336 с.
13.
Володарская И.И. Моделирование и его роль в решении задач //Математика.
- 2006. - №18 – С. 2-7
14.
Вычужанина З.Г. Решать задачи стало интересно. //Начальная школа. 1999. №3. – С.97.
111
15.
Глушков И.К. Составление задач по выражению. //Начальная школа. – 1995.
- № 12. - С. 50-54
16.
Горстко А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием / А. Б. Горстко. – М.: Знание, 1991. – 160 с.
17.
Давыдов В.В., Варданян А.У. Учебная деятельность и моделирование. - Ереван Луйс, 1981.- 220 с.
18.
Демидова Т.Е, Козлова С.А., Тонких А.П. Математика 4 кл., 1 ч.-М.: Баласс;
Издательство Школьный дом, 2013. - 96 с. (УМК «Школа 2100»)
19.
Демидова Т.Е, Козлова С.А., Тонких А.П. Математика 4 кл., 2 ч.-М.: Баласс;
Издательство Школьный дом, 2013. - 96 с. (УМК «Школа 2100»)
20.
Демидова Т.Е, Козлова С.А., Тонких А.П. Математика 4 кл., 3 ч.-М.: Баласс;
Издательство Школьный дом, 2013. - 96 с. (УМК «Школа 2100»)
21.
Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. Математика 4 класс. Ч. 1. – М.:
Просвещение, 2015. – 126с. (УМК «Перспектива»)
22.
Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. Математика 4 класс. Ч. 2. – М.:
Просвещение, 2015. – 128с. (УМК «Перспектива»)
23.
Дроботенко М.Н. Нестандартный урок математики по теме «Решение задач
разными способами». //Начальная школа. - 2005. - №1. - С. 58 – 61.
24.
Зайцева С.А., Целищева И.И. и др. Методика обучения математике в начальной школе. -М.: Владос, 2008. – 192 с.
25.
Истомина Н.Б. Математика. 4кл. Ч. 1. – Смоленск: Ассоциация XXI век,
2015. – 120с. (УМК Гармония)
26.
Истомина Н.Б. Математика. 4кл. Ч. 2., – Смоленск: Ассоциация XXI век,
2015. – 120с. (УМК Гармония)
27.
Истомина Н.Б., Латохина Л.Г. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах. - М.: Просвещение, 1986. – 120с.
28.
Казько А.Б. Работа над текстом задачи с пропорциональными величинами.
//Начальная школа. - 1998. - №5. - С. 70.
29.
Касярум Е.И., Позднякова И.И. Решение задач различными способами как
средство развития учащихся. //Начальная школа. – 1992. - № 3. - С. 70-76.
112
30.
Колоскова О.П. Формирование регулятивных учебных действий при обучении решению текстовых задач // Начальная школа. – 2012. -№1. -С. 69-74
31.
Лахова Н.В. Решение задач на движение при помощи таблиц и вопросов.
//Математика в школе. – 1998. - № 3. - С. 21-22.
32.
Макрова. Рисунок помогает решать задачи. //Начальная школа. - 1998. - №7.
- С. 69 – 75.
33.
Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Математика. 4 кл. Ч. 1. - М.:
Просвещение, 2015. - 112 с. (Школа России)
34.
Моро М.И. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Математика. 4 кл. Ч. 2. - М.: Просвещение, 2015. - 128 с. (Школа России)
35.
Мустафаева Ф.Ф. Некоторые методические вопросы использования графических изображений при изучении математики // Начальная школа. – 2009. №9. -С. 92-96.
36.
Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей / А.Д. Мышкис. –
М.: КомКнига, 2007. – 192 с.
37.
Петерсон Л.Г. Математика. 4 кл. Ч.1. – М.: Ювента, 2013. – 96 с. (УМК Перспектива, УМК 2000)
38.
Петерсон Л.Г. Математика. 4 кл. Ч.2. – М.: Ювента, 2013. – 128 с. (УМК
Перспектива, УМК 2000)
39.
Петерсон Л.Г. Математика. 4 кл. Ч.3. – М.: Ювента, 2013. – 96 с. (УМК Перспектива, УМК 2000)
40.
Подходова Н.С. Моделирование как универсальное учебное действие при
изучении математики // Начальная школа. – 2011. - №9. – С. 34-41.
41.
Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа Ч.1- М.:
Просвещение, 2010. - 400с. (стандарты второго поколения)
42.
Планируемые результаты начального общего образования /под ред. Г.С. Ковалева, О.Б. Логинова. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2010. (Стандарт второго
поколения)
43. Рудницкая В.Н. Математика 4 кл. Ч. 1 – М.: Ветана-Граф, 2012. – 124с. (УМК
Начальная школа XXI век)
113
44.
Рудницкая В.Н. Математика 4 кл. Ч. 2 – М.: Ветана-Граф, 2012. – 124с.
(УМК Начальная школа XXI век)
45.
Салмина Н.Г. Виды и функции материализации в обучении. - М.: Издательство МГУ, 1981. –134 с.
46.
Сборник рабочих программ «Школа России» - М.: Просвещение, 2011. 528с.
47.
Седакова В.И. Формирование универсальных учебных действий у младших
школьников при решении математических задач //Вестник ЧГПУ - 2012. №9. – С.145-154.
48. Севостьянов А. Г. Моделирование технологических процессов: учебник. –
М., 1994. – 344 с.
49.
Смирнова С.П. Использование чертежа при решении практических задач.
//Начальная школа. - 1998 г. - №5. - С. 53.
50.
Смолеусова Т.В. Вариативность и выбор при решении задач в условиях реализации ФГОС НОО //Начальная школа плюс до и после – 2013.-№2. – С. 1-5.
51. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование систем. - М.: Высш. шк., 2001. 343 с.
52. Стойлова
Л.П. Математика:
учебник
для
студ.
учреждений
высш.
проф.образования. - М.: Академия, 2013. - 464 с. (Сер. Бакалавриат)
53.
Стойлова Л.П. Решение задач на движение. - М.: Академия, 1999.
54. Тихоненко А.В., Русинова М.М. и др. Теоретические и методологические основы изучения математики в начальной школе. - Ростов-на-Дону: Феникс,
2008. - 350 с.
55.
Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования // http://минобрнауки.рф/documents/922
56.
Фридман Л.М. Наглядность и моделирование.- М.: Знание, 1984. - 80 с.
57.
Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике.
Учебное пособие. – М.: Либроком, 2014.
58.
Хабибуллин К. Я. Обучение методам решения задач //Школьные технологии. – 2004. – № 3. – С. 127 – 131.
114
59.
Царѐва С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе: учебник для студентов учреждений высшего образования. – М.: Академия, 2014. –
496 с.
60.
Царева Е.С. Моделирование в процессе обучения решению задач. //Начальная школа. – 2004. - № 12. - С. 32-35.
61.
Царева. Обучение решению задач //Начальная школа. 1998 г. - №1, с. 102–
108.
62.
Царева Е.С. Понятие «скорости» в методической деятельности учителя.
//Начальная школа. – 2002. - №11. - С. 22-31.
63.
Царѐва С.Е Различные способы решения задач и различные формы записи
решения //Начальная школа. - 1982.- № 2.
64.
Чекин А. Л., Захарова О. А., Юдина Е.П. Математика. 4 кл. Учебник в двух
частях. Ч. 1. – М. : Академкнига, 2012. – 128с. (УМК Перспективная начальная школа)
65.
Чекин А. Л., Захарова О. А., Юдина Е.П. Математика. 4 кл. Учебник в двух
частях. Ч. 2. – М. : Академкнига, 2012. – 128с. (УМК Перспективная начальная школа)
66.
Чекренева Т.В. Задачи на движение. //Математика в школе. – 1994. - №3. С.13-14.
67.
Черкасова А. М. Начальное математическое моделирование как средство
развития познавательной самостоятельности младших школьников. Дисс.
канд. пед. наук. – Астрахань, 2014. – 276с.
68.
Шикалова Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением
тел. //Начальная школа. – 2000. - № 5. - С. 30-37, С. 106-108.
69.
Шикалова Р.Н., Бологова Е.И. Работа над задачей. //Начальная школа. –
2003. - № 4. - С. 63-67
70.
Шикалова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении. //Начальная школа. – 2000. - № 12. - С. 48-52.
71.
Шикалова Р.Н. Работа над текстовыми задачами. //Начальная школа. – 1991.
- № 5. - С. 22-27.
115
72.
Шикалова Р.Н., Бологова Е.И. Формирование самоконтроля в процессе обучения
младших
школьников решению текстовых
задач.
//Начальная
школа. – 2000. - № 1. - С. 37-40
73.
Шикалова Р.Н. Предупреждение ошибок учащихся при обучении решению
текстовых задач. //Начальная школа. – 1994. - № 1. - С. 68
74.
Штофф В.А. Моделирование и философия. - М.-Л.: Наука, 1966. - 302с.
75.
Хочеткова Е.И. Решение задач при помощи схем // Математика в школе. –
2009. - №6. - С. 31-32
116
ПРИЛОЖЕНИЯ
117
Приложение 1
Этапы решения задач на движение
и основные приемы их выполнения
название этапа
цель этапа
приѐмы выполнения этапа
Анализ
задачи
Понять задачу (выделить объекты, отношения, величины
и зависимости между ними, числовые
данные.
1) разбиение текста задачи на смысловые
части;
2) постановка специальных вопросов;
3) моделирование сюжета задачи; предметное моделирование;
4) построение табличной и (или) графической модели
Поиск
плана
решения
задачи
«Связать» вопрос и
условие
Выполнение
плана
Выполнить операции в соответствующей математической модели устно
или письменно
Проверка
Убедиться в истинности
выбранного
плана и правильности внутримодельного
решения,
сформулировать ответ задачи
1) Рассуждения:
- от условия к вопросу;
- от вопроса к условию;
- по модели;
- по словесному заданию отношений;
2) составление математической модели (последовательности действий, выражения,
уравнения)
1) Арифметические действия оформляются
без пояснения, с пояснением, с вопросами;
2) Находится значение числового выражения;
3) Решение уравнений;
4) Измерение, счѐт на модели;
До решения:
- прикидка ответа или установление
границ с точки зрения здравого смысла, без математики;
Во время решения:
- по смыслу полученных выражений;
- осмысление хода решения по вопросам
После решения:
- введение полученных данных в условие
задачи;
- решение задачи другим способом или
методом;
- составление и решение обратной задачи.
118
Приложение 2
Классификация моделей начального курса математики
в задачах на движение по видам средств их построения
1. СХЕМАТИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ
ГРАФИЧЕСКИЕ
рисунок
мысленные
представления
предметные
(из реальных
предметов)
блок-схемы
чертеж
условный
рисунок
схематичный
чертеж
инсценировки
сюжета задач
2. ЗНАКОВЫЕ МОДЕЛИ
НА ЕСТЕСТВЕННОМ
ЯЗЫКЕ
краткая
НА МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ЯЗЫКЕ
(РЕШАЮЩИЕ МОДЕЛИ)
таблица
запись решения
по действиям
уравнение
выражение
119
Приложение 3
АНКЕТА ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Уважаемые учителя! В рамках реализации Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки
44.03.01 и 44.03.05 Педагогическое образование, профиль – Начальное образование, квалификация – бакалавр проводится исследование с целью улучшения подготовки будущих учителей начальных классов. Для полноты полученной информации просим Вас указать:
УМК, по которому работаете:_________________________________
___________________________________________________________
Выскажите, пожалуйста, своѐ мнение по следующему вопросу. Заранее благодарим Вас.
Перечислите вопросы начального курса математики, вызывающие наибольшие трудности в усвоении учащимися начальной школы (не менее трѐх).
Например, задачи на движение тел в противоположных направлениях.
_________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
___________________________________________________
Анкета
Уважаемые учителя! В рамках реализации Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки
44.03.01 и 44.03.05 Педагогическое образование, профиль – Начальное образование, квалификация – бакалавр проводится исследование с целью улучшения подготовки будущих учителей начальных классов. Для полноты полученной информации просим Вас указать:
УМК, по которому работаете:_________________________________
___________________________________________________________
Выскажите, пожалуйста, своѐ мнение по следующему вопросу. Заранее благодарим Вас.
Перечислите вопросы начального курса математики, вызывающие наибольшие трудности в усвоении учащимися начальной школы (не менее трѐх).
Например, задачи на движение тел в противоположных направлениях.
120
Приложение 4
ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
для 4 класса по теме: «Задачи на движение» (базовый уровень)
1) Путешественники проплыли на яхте путь 720 км. Одну треть этого пути они
плыли со скоростью 120 км/ч, оставшееся расстояние плыли со скоростью 80
км/ч. Сколько времени были в пути туристы?
2) Расстояние между двумя лыжными базами 20 км. С каждой базы лыжники
отправились одновременно в противоположные направления. Первый лыжник
шѐл со скоростью 6 км/ч, а второй лыжник двигался со скоростью, которая на
2 км/ч больше. Какое расстояние будет между лыжниками через 2 часа?
(Чертѐж)
3) Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу. Первый ехал со
скоростью 75 км/ч, второй со скоростью 65 км/ч. Какое расстояние было
между ними, если они встретились через 3 часа? (Чертѐж)
4) Два мотоциклиста выехали одновременно в противоположных направлениях.
Они были в пути 4 часа и проехали 800 км. Найди скорость второго
мотоциклиста, если первый ехал со скоростью 110 км/ч.(Чертѐж)
5) Школьники проходили маршрут, который состоял из трѐх этапов. Первый этап
они прошли за 10 минут со скоростью 120м/мин, второй этап они пробежали
за 6 минут со скоростью 400м/мин, оставшиеся 500м они проехали на
велосипедах. Найди, какой маршрут они преодолели?
6) Туристы ехали на машине и на поезде. Машина двигалась 3 часа со скоростью
120 км/ч, а поезд столько же времени со скоростью 90 км/ч. Сколько всего
километров проехали туристы?
7) От гнезда одновременно в противоположных направлениях полетели 2
ласточки. Скорость первой 18 м/с, второй – на 2 м/с меньше. Через какое время
расстояние между ними будет 680 м? (Чертѐж)
8) Крейсер «Варяг» 27 января 1904 года вышел из порта Чемульпо навстречу
японской эскадре. Его скорость была 500 м/мин, одновременно навстречу ему
121
двинулись японцы со скоростью 200 м/мин. Через сколько минут корабли
встретились, если расстояние между ними было 21 км? (Чертѐж)
9)
Бабочка – капустница пролетела 47 с со скоростью 4 м/с, а когда подул
попутный ветер, скорость бабочки увеличилась на 6 м/с, и она пролетела ещѐ
некоторое количество метров. Какое расстояние бабочка пролетела при
попутном ветре, если всего она пролетела 688 м?
10) Грузовой автомобиль ГАЗ-63 проезжает расстояние 390 км от посѐлка
Солнечный до города Хабаровск за 6 ч. За какое время проедет этот же путь
грузовик МАЗ-525, если его скорость на 35 км/ч меньше?
11) Посыльный катер преодолел расстояние от Североморска до плавбазы
подлодок за 8 ч со скоростью 30 км/ч. На обратном пути то же расстояние
катер прошѐл за 6 ч. Какова скорость катера на обратном пути?
12) Грузовик в первый день проехал 600 км, а во второй день 200 км. Весь путь
занял 8 часов. Сколько часов в день проезжал грузовик, если он ехал все время
с одинаковой скоростью.
13) За 3 часа катер преодолел расстояние в 210 км. Какое расстояние оно пройдет
за 5 часов, если его скорость увеличится на 5 км/час?
14) Автомобиль проехал 400 километров. Двигаясь со скоростью 60 км/час, он
проехал за 2 часа первую часть пути. С какой скоростью он двигался
остальную часть пути, если он затратил на нее 4 часа?
122
Приложение 5
ИНСТРУКЦИЯ
по построению графической модели
в задачах на встречное одновременное движение
1. Построй отрезок и покажи точками, где находились объекты в начале движения.
2. Отметь это расстояние дугой и, если оно известно, напиши его числовое значение.
3. Покажи направление движения объектов стрелками, укажи известные значения скоростей.
4. Покажи точками, где будут находится объекты в конце движения.
5. Если объекты встретились, отметь место встречи флажком.
6. Если объекты не встретились, отметь оставшееся между ними расстояние дугой и напиши его числовое значение (если оно известно)
7. Покажи дугой путь, пройденный каждым объектом и запиши его числовое
значение, если оно известно.
8. Покажи черточками время, за которое этот путь был пройден, если оно известно.
9. Поставь знак вопроса, соответствующий задаче.
123
Приложение 6
ИНСТРУКЦИЯ
по построению графической модели в задачах на движение
в противоположном направлении
9. Построй отрезок и покажи точками, где находились объекты в начале движения.
10. Если объекты начинают движение из разных точек, покажи дугой это расстояние и запиши его числовое значение, если оно известно
11. Покажи направление движения объектов стрелками, укажи известные значения скоростей.
12. Покажи точками, где будут находится объекты в конце движения.
13. Покажи дугой путь, пройденный каждым объектом и запиши его числовое
значение, если оно известно.
14. Покажи черточками время, за которое этот путь был пройден, если оно известно.
15. Покажи дугой расстояние между объектами в конце движения. Запиши его
числовое значение, если оно известно.
16. Поставь знак вопроса, соответствующий задаче.
124
Приложение 7
КАРТОЧКИ
для дифференцированной работы
по обучению моделированию младших школьников
при решении задач на движение
Задача 1. Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два мотоциклиста. Один из них двигался со средней скоростью 70 км/ч, а второй – 65 км/ч. Мотоциклисты встретились через 2 часа. Найти расстояние между городами.
Карточка №1.
Выполни чертеж и реши задачу разными способами. Составь обратную задачу, в которой надо узнать время движения мотоциклистов.
Карточка №2.
Дополни чертеж и реши задачу
разными способами.
Карточка №3.
60 км/ч
Используя чертеж, реши задачу.
65 км/ч
? км
Подумай, как можно было бы ее решить другим способом.
Карточка №4.
60 км/ч
Используя чертеж, реши задачу.
65 км/ч
? км
1). Найди путь, пройденный первым мотоциклистом.
2). Найди путь, пройденный вторым мотоциклистом.
3). Найди расстояние между городами.
Подумай, как можно было бы решить задачу другим способом.
125
Карточка №5.
60 км/ч
Используя чертеж, реши задачу.
65 км/ч
? км
1). Зная скорость и время движения первого мотоциклиста, найди его пройденный
путь
…
… = … (км)
2). Зная скорость и время движения второго мотоциклиста, найди его пройденный
путь
…
… = … (км)
3). Зная путь, пройденный каждым мотоциклистом, найди расстояние между городами
… + … = … (км)
Подумай, как можно было бы решить задачу другим способом, используя
понятие общей скорости.
Задача 2. Два мальчика одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 100м и встретились через 10 с. Один из
них бежал со скоростью 4 м/с. С какой скоростью бежал второй мальчик?
Карточка №1.
Выполни чертеж и реши задачу разными способами. Составь обратную задачу, в которой надо узнать длину спортивной дорожки.
Карточка №2.
Дополни чертеж и реши задачу
разными способами.
Карточка №3.
Используя чертеж, реши задачу.
4 м/с
? м/с
100 м
Подумай, как можно было бы ее решить другим способом.
126
4 м/с
Карточка №4.
Используя чертеж, реши задачу.
? м/с
100 м
1). Найди расстояние, которое пробежал первый мальчик.
2). Найди расстояние, которое пробежал второй мальчик.
3). Найди скорость второго мальчика.
Подумай, как можно было бы решить задачу другим способом, используя
понятие общей скорости .
4 м/с
Карточка №5.
Используя чертеж, реши задачу.
? м/с
100 м
1). Зная скорость и время движения первого мальчика, найди, какое расстояние он
пробежал
…
… = … (м)
2). Зная, какое расстояние пробежал первый мальчик и все расстояние, найди, какое расстояние пробежал скорость второй мальчик
… - … = … (м)
3). Зная, какое расстояние пробежал второй мальчик и время его движения, найди скорость второго мальчика … : … = … (м/с)
Подумай, как можно было бы решить задачу другим способом, используя понятие общей скорости.
Задача 3. От двух пристаней, расстояние между которыми 120 км одновременно
навстречу друг другу отошли два теплохода. Один из них двигался со
средней скоростью 22 км/ч, а второй – 18 км/ч. Через сколько часов теплоходы встретились?
Карточка №1.
Выполни чертеж и реши задачу. Составь обратную задачу, в которой надо
узнать скорость одного из теплоходов.
127
Карточка №2.
Дополни чертеж и реши задачу.
22 км/ч
Карточка №3.
Используя чертеж, реши задачу.
18 км/ч
120 км
(Используй понятие общей скорости – скорости сближения)
22 км/ч
Карточка №4.
Используя чертеж, реши задачу.
18 км/ч
120 км
1). Найди скорость сближения теплоходов.
2). Найди время движения теплоходов до встречи.
22 км/ч
Карточка №5.
Используя чертеж, реши задачу.
18 км/ч
120 км
1). Зная скорости движения каждого теплохода, найди их скорость сближения
… + … = … (км/ч)
2). Зная, какой путь прошли теплоходы и их скорость сближения, найди
время движения теплоходов до встречи
… : … = … (ч)
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа