close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Погребняк Наталия Алексеевна. Преемственность в формировании вычислительных навыков у школьников при изучении арифметических действий над натуральными числами и десятичными дробями

код для вставки
АННОТАЦИЯ
Выпускная квалификационная работа: «Преемственность в формировании
вычислительных навыков у школьников при изучении арифметических действий
над натуральными числами и десятичными дробями».
Год защиты: 2017.
Магистрант: Погребняк Наталия Алексеевна
Научный руководитель: к.п.н., доц. Шумилина Надежда Геннадьевна
Цель: показать методику формирования вычислительных навыков у
школьников при изучении арифметических действий над натуральными числами и
десятичными дробями на основе принципа преемственности.
Методы исследования: анализ и обобщение психолого-педагогической
литературы
исследований
по
проблеме
и
исследования,
педагогического
обобщение
опыта
учителей,
результатов
анализ
научных
программно-
методического обеспечения.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, выводов
по каждой из глав, заключения, списка литературы, приложений. Объем работы
составляет 97 страниц основного текста без приложений, 11 приложений, 62
источника литературы. В работе имеется 3 таблицы и 5 диаграмм.
Ключевые слова: преемственность, натуральные числа, десятичные дроби,
арифметические действия.
Во введении обоснована актуальность темы.
В первой главе освещаются теоретические и методические основы изучения
арифметических действий над натуральными числами и десятичными дробями,
раскрыто понятие преемственности в педагогической и методической литературе,
проблемы преемственности при обучении математике в начальной и основной
школе, а также рассматривается преемственность в выполнении действий над
натуральными числами и десятичными дробями.
Во второй главе представлена диагностика сформированности навыков
выполнения арифметических действий над натуральными числами у выпускников
начальной школы; выделяются методические рекомендации по преемственности
формирования вычислительных навыков учащихся над натуральными числами в
начальной и основной школе; рассматривается содержание и общеметодические
требования к изучению арифметических действий над десятичными дробями и
преемственность в методике изучения арифметических действий над десятичными
дробями и натуральными числами; подводятся итоги формирования у учащихся 5
класса навыков выполнения арифметических действий над десятичными дробями;
даются методические рекомендации по преемственности обучения учащихся
арифметическим действиям над десятичными дробями и натуральными числами
Результаты
проведенной
опытно-экспериментальной
работы
доказали
эффективность разработанных нами практических и методических материалов,
которые могут быть рекомендованы учителям начальных классов и математики
основной школы.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………..…..4
ГЛАВА
1.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
И
МЕТОДИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ФОРМИРОВАНИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ
ШКОЛЬНИКОВ
1.1.
Понятие
преемственности
в
педагогической
и
методической
литературе………………………………………………………………………
……….7
1.2. Проблемы преемственности при обучении математике в начальной и
основной школе……………………………………………………………...13
1.3. Теоретические и методические основы изучения арифметических
действий над натуральными числами и десятичными дробями…………..22
1.4. Преемственность в выполнении действий над натуральными числами
и десятичными дробями……………………………………………………...41
ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 1……………………………………………………………...45
ГЛАВА
2.
ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ
УЧАЩИХСЯ
В
ВЫПОЛНЕНИИ
В
ФОРМИРОВАНИИ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ
НАВЫКОВ
ДЕЙСТВИЙ
НАД
НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
2.1. Диагностика сформированности навыков выполнения арифметических
действий над натуральными числами у выпускников начальной школы
(Констатирующий эксперимент) …………………………………….…….46
2.2.
Методические
рекомендации
по
преемственности
формирования
вычислительных навыков учащихся над натуральными числами в
начальной
и
основной
школе……………………………………………………….…….57
2.3.
Содержание
и
общеметодические
арифметических
действий
требования
над
к
изучению
десятичными
дробями………………………………...70
2.4. Преемственность в методике изучения арифметических действий над
десятичными
дробями
и
натуральными
числами
(обучающий
эксперимент)……………………………………………………………………
…….72
2.5. Итоги формирования у учащихся 5 класса навыков выполнения
арифметических действий над десятичными дробями (контрольный
эксперимент)……………………………………………………………………
……..79
2.6. Методические рекомендации по преемственности обучения учащихся
арифметическим действиям над десятичными дробями и натуральными
числами……………………………………………………………………….83
ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 2……………………………………………………………...90
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………....92
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………...94
ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………...………………..100
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время необходимость сохранения преемственности и целостности
образовательной сферы в аспекте непрерывного образования относится к числу
основных приоритетов развития образования в современной России.
Новая
парадигма
образования
основана
на
индивидуализации
и
дифференциации образования, вариативности и альтернативности образовательных
систем и учебных заведений, гибкости и динамичности учебных программ,
адаптивности
к
индивидуальным
изменившимся
интересам
и
социально-экономическим
способностям
условиям
воспитанников.
Она
и
требует
инновационных изменений в образовании, основной целью которых является
установление внутренней преемственности и непрерывное развивающее образование.
Достижение цели формирования и развития целостной личности воспитанника
возможно только при условии организации непрерывных процессов обучения и
воспитания. Они характеризуются, прежде всего, соблюдением неделимой линии
развития ребенка, целостностью организации учебно-воспитательного процесса и
учебного материала, преемственностью содержания обучения, преемственностью
применяемых методов и приемов обучения и воспитания.
С
целью
создания
благоприятных
условий
становления
личности
воспитанников, процесс образования необходимо строить с учетом принципа
преемственности
актуальность
знаний
проблемы
и
последовательности
преемственности
развития.
обусловлена,
в
Таким
образом,
первую
очередь,
гуманизацией современного образования в целом.
Проблемы преемственности между начальной и основной школой всегда были
в центре внимания психологов, педагогов и учителей-практиков. Период адаптации
в 5-м классе по праву считается одним из самых трудных периодов. Это
переломный момент в жизни каждого ученика, так как осуществляется переход к
новому образу жизни, к новым условиям образовательной деятельности, к новому
положению в обществе, к новым взаимоотношениям со взрослыми, со сверстниками
и с учителями. Учебная и социальная ситуация пятого класса ставит перед
школьником задачи качественно нового уровня, если сравнивать с начальной
школой. Успешность адаптации на данном этапе влияет на всю дальнейшую
школьную жизнь каждого ученика. Неслучайно, поэтому, изучение почти всех
школьных предметов в 5 классе начинается с повторения изученного в начальной
школе.
Во
многих
систематическому
научных
работах
повторению.
Но
преемственность
повторение
приравнивается
будет
к
способствовать
преемственности только в том случае, если на каждом новом этапе это не будет
повторение тех же самых упражнений, выполняемых теми же самыми способами, а
непременно появится в них что-то новое.
Формирование прочных вычислительных навыков обучаемых всегда было и
остается одной из важнейших задач школьной математики. В ходе изучения
начального курса математики у учащихся должны быть сформированы навыки
выполнения арифметических действий с натуральными числами, без которых
невозможно дальнейшее обучение. Именно с повторения этого материала
начинаются все курсы математики в 5 классе. Но для того, чтобы действительно
осуществлялась преемственность обучения, повторение должно быть включено в
новую тему и по мере развития темы должно соответственным образом меняться, не
сводясь лишь к механическому повторению одних и тех же упражнений [32, с.13]. В
частности, навыки выполнения арифметических действий над натуральными
числами являются необходимой основной для успешного изучения действий с
десятичными дробями.
Выше сказанное подтверждает актуальность выбранной темы нашего
квалификационного
исследования:
«Преемственность
в
формировании
вычислительных навыков у школьников при изучении арифметических
действий над натуральными числами и десятичными дробями».
Объект исследования – процесс формирования вычислительных навыков
младших школьников и учащихся 5-х классов.
Предмет исследования – вопросы преемственности в обучении школьников
выполнению арифметических действий над натуральными числами и десятичными
дробями.
Цель исследования – показать методику формирования вычислительных
навыков у школьников при изучении арифметических действий над натуральными
числами и десятичными дробями на основе принципа преемственности.
Задачи исследования:
- рассмотреть теоретическую и методическую литературу по теме
исследования;
- проанализировать различные подходы к понятию «преемственность»;
- выявить основные проблемы преемственности при обучении математике в
начальной школе и в среднем звене;
-
провести
диагностику
сформированности
навыков
выполнения
арифметических действий над натуральными числами у выпускников начальной
школы;
- показать преемственность в изучение арифметических действий над
натуральными числами в начальной школе и 5 классе;
- проанализировать содержание и определить общеметодические требования
к изучению арифметических действий над десятичными дробями;
- показать преемственность в изучение арифметических действий над
натуральными числами и десятичными дробями в курсе математики 5 класса;
- выявить основные вычислительные ошибки учащихся при выполнении
арифметических действий и разработать задания для их устранения;
-
разработать
методические
рекомендации
по
формированию
вычислительных навыков учащихся при изучении арифметических действий над
натуральными
числами
и
десятичными
дробями
на
основе
принципа
преемственности.
Экспериментальная часть исследования проводилась в МБОУ СОШ №6 г.
Батайска Ростовской области в несколько этапов:
1. Констатирующий эксперимент: май 2015-2016 учебного года в 4 «Б»
классе; сентябрь 2016-2017 учебного года в 5 «Б» классе.
2. Обучающий эксперимент: 2016-2017 учебный год в 5 «Б» классе
3. Контрольный эксперимент: май 2017 учебного года в 5 «Б» классе.
Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка
литературы и приложений.
ГЛАВА 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ФОРМИРОВАНИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
НАВЫКОВ ШКОЛЬНИКОВ
1.1. Понятие преемственности в педагогической и методической литературе
В
психолого-педагогической
и
методической
литературе
существуют
различные подходы к пониманию преемственности.
В широком смысле преемственность трактуется как «связь между различными
этапами и ступенями развития бытия и познания, сущность которой состоит в
сохранении тех или иных элементов целого или отдельных сторон его организации
при изменении целого как системы, то есть при переходе его из одного состояния в
другое» [45, c.41].
То есть, прeeмственность – это такая связь между явлениями в процессе
развития, когда новое, сменяя старое, сохраняет в себе некоторые его черты. В
обществе прeeмственность означает передачу и усвоение социальных и культурных
ценностей от поколения к поколению, от формации к формации [40].
С философской позиции, преемственность - это связь между всевозможными
этапами (ступенями) развития. Сущность этой связи состоит в сохранении каких-
либо элементов целого, некоторых его характеристик при переходе к новому
состоянию.
Суть преемственности в развитии различных явлений раскрывается в законе
диалектического синтеза. Согласно этому закону, ни одна предыдущая стадия
развития не повторяется полностью в последующих стадиях. Таким образом,
преемственность -
это не движение по кругу или по прямой, а стабильное
пробуждение нового, что позволяет в каждом конкретном случае рассматривать
органическую связь нового со старым, постигать то, что новое вырастает из старого,
возникает и развивается только на его базе.
С психологической точки зрения, преемственность – такое соотношение
предшествующей и последующей стадий в процессе изменения некоторого объекта,
в основе которого лежит сохранение тех или иных его частей, свойств и
характеристик.
В
педагогике
преемственность
трактуется,
как
«установление
необходимой связи и правильного соотношения между чacтями учебного предмета
на разных ступенях его изучения» [7, с.213]. С этой точки зрения, преемственность
рассматривается как методологическое убеждение, как важнейшее условие развития
педагогической науки и организации продуктивной педагогической деятельности,
как один из главных принципов обучения, воспитания и развития воспитанников, а
также обеспечения системы непрерывного образования, мастерства и творчества
педагогов.
В некоторых педагогических исследованиях понятие преемственности
трактуется достаточно широко и выделяются следующие ее составляющие:
- динамика изменения всех основных компонентов методической системы
(целей, содержания, форм, методов, средств);
- логическая связь теоретического и практического материала;
- упорядоченность в изучении различных учебных предметов;
- оправданность межпредметных связей.
Но, при таком подходе неясно, как можно практически реализовать такое
понимание преемственности [38].
В других исследованиях преемственность приравнивается к систематическому
повторению. Такого рода понимание преемственности характерно для многих
действующих учебников математики для начальной школы. Именно в них
запоминание рассматривается как функция большого числа повторений. Таким
образом, повторение происходит в результате решения большого количества
однотипных упражнений на протяжении всего обучения.
Нешков К.Н. в своих работах убедительно указал, что повторение будет
способствовать преемственности в том, и только том случае, если на каждом новом
этапе это будет повторение не тех же самых упражнений, выполняемых теми же
самыми способами, а непременно в них появится что-то новое.
То есть, для
реального осуществления прeeмственности, повторение должно быть органически
включено в изучение нового. По мере развития темы повторение должно
соответственным образом меняться, не сводясь лишь к механическому решению
одних и тех же упражнений [32, с.13].
В других исследованиях преемственность трактуется как «дидактический
принцип», который обеспечивает такую систему учебно-воспитательной работы,
при которой в каждом последующем звене продолжается закрепление, расширение
и углубление тех знаний, умений и навыков, которые составляли содержание
учебной деятельности на предшествующем этапе.
При таком подходе преемственность рассматривается как принцип, лежащий в
основе целой системы учебно-воспитательной работы. Но при этом рассматривается
лишь один из компонентов этой системы, а именно, содержание учебной
деятельности. При таком подходе к проблеме, преемственность отождествляется с
использованием полученных ранее знаний при дальнейшем изучении того же
самого предмета. Именно этот аспект мы посчитали целесообразным реализовать в
нашем исследовании.
В
настоящее
время
необходимость
сохранения
преемственности
и
целостности образовательной сферы в аспекте непрерывного образования относится
к числу основных приоритетов развития образования в современной России.
Новая
парадигма
образования
основана
на
индивидуализации
и
дифференциации образования, вариативности и альтернативности образовательных
систем и учебных заведений, гибкости и динамичности учебных программ,
адаптивности
к
индивидуальным
изменившимся
интересам
и
социально-экономическим
способностям
воспитанников.
условиям
Она
и
требует
инновационных изменений в образовании, основной целью которых является
установление
внутренней
преемственности
и
непрерывное
развивающее
образование.
Достижение цели формирования и развития целостной личности воспитанника
возможно только при условии организации непрерывных процессов обучения и
воспитания. Они характеризуются, прежде всего, соблюдением неделимой линии
развития ребенка, целостностью организации учебно-воспитательного процесса и
учебного материала, преемственностью содержания обучения, преемственностью
применяемых методов и приемов обучения и воспитания.
В русле решения проблемы обеспечения непрерывности образования вопрос
его преемственности становится особенно актуальным. Переход от старого к новому
должен
стать
для
объектов
обучения
и
воспитания
непринужденным
и
плодотворным. То есть, быстро переводить их на каждой новой ступени
непрерывного образования из объектов учебно-воспитательного процесса в
сознательных и активных субъектов.
С
целью
создания
благоприятных
условий
становления
личности
воспитанников, процесс образования необходимо строить с учетом принципа
преемственности знаний и последовательности развития. Актуальность проблемы
преемственности обусловлена, в первую очередь, гуманизацией образования в
целом.
Все сказанное выше привлекает особое внимание исследователей к
реализации принципа преемственности в воспитании и обучении.
Категория преемственности применяется в психолого-педагогической и
методической литературе для раскрытия межпредметных и внутрипредметных
связей в учебных предметах, а также для обозначения связей между учебными и
воспитательными учреждениями и для характеристики взаимозависимостей между
компонентами
учебно-воспитательной
деятельности
по
мере
продвижения
обучаемых от поступления до выпуска из учебных заведений разного типа. Р. Дэйв
полагает, что одной из значимых особенностей непрерывного образования является
то, что оно стремится к преемственности и сочлененности в вертикальном
измерении, а также к интеграции в горизонтальном и «глубинном» измерениях [41].
Общеизвестно, что непрерывность и преемственность в образовании
способствуют формированию целостной личности, развитию всех ее сторон,
воспитанию потребности в самообразовании, положительной мотивации учения,
создают ориентацию на продолжение образования.
Преемственность обязана охватывать не только цели и содержание
образования, но и формы его организации, методические приемы. Преемственность
целей и содержания подразумевает их разумное соотношение на различных этапах
обучения. Так, цели обучения на начальном этапе должны соотноситься с
конечными целями образования в целом.
И тут важно отметить разновидности преемственности.
Целевую преемственность обеспечивает комплексный подход к реализации
целей учебно-воспитательного процесса. Так, например, в системе преемственного
образования «детский сад - школа» обучение и воспитание в детском саду и
начальной школе трактуется как начальная ступень этого процесса. Именно поэтому
их цели являются промежуточными. Они обязаны отражать то, что планируется
получить на выходе при условии, что процесс обучения будет длиться в данном
комплексе на протяжении всех лет обучения. Данный вид преемственности
именуют целевым.
Преемственность в управлении подразумевает наличие общего для отдельных
компонентов системы руководства, а также единых требований,
которые
предъявляются к процессам обучения и воспитания, единство педагогических
установок.
Управленческая преемственность обеспечивает возможность прогнозирования
процесса
развития
образовательного
учреждения,
творческий
рост
и
профессиональную культуру, стимулирования и оценки результатов творческого
поиска одного педагога, научное руководство и организаторскую работу по
внедрению науки в практику.
Структурно-организационная преемственность учебных учреждений разного
уровня (от дошкольного воспитания до последипломного и неформального
образования) обозначает «жесткую» структуру образовательных комплексов. Это
означает, что отсутствие какого-либо звена нарушит функционирование комплекса в
целом. При соблюдении структурно-организационной преемственности «выход»
низшей ступени образования естественным образом «стыкуется» со «входом»
последующей ступени.
Психологическая преемственность требует учета возрастных особенностей
детей и их ведущего типа деятельности. В то же время она способствует снятию
психологических трудностей адаптационных «переходных» периодов. С этой точки
зрения преемственность выступает как принцип, где предыдущий период развития
включает
предпосылки
для
возникновения
последующих
психических
новообразований.
Преемственность образования – это, прежде всего, преемственность его
содержания.
Другими
словами,
это
непрерывное
развитие
предметно-
содержательного компонента, включающийся в общую логику развертывания курса
в целом, а именно создание на каждом этапе базы для последующего изучения
учебного предмета на более высоком уровне за счет расширения и углубления
тематики. Также путем обеспечения «сквозных» линий в содержании, повторений,
пропедевтики, а также использование принципа концентричности в организации
содержания учебных программ и межпредметных связей.
В качестве основы реализации преемственности различных ступеней и
уровней непрерывного образования есть необходимость выделить фундаментальное
содержание, которое закладывается в базовых звеньях, начиная со способов
общения, умения читать, считать, писать и заканчивая основными принципами
соответствующих отраслей знаний и сфер деятельности.
Содержательная преемственность обеспечивается также через федеральный
компонент программы.
Технологическая преемственность
находит
свое
выражение
во
взаимодействии применяемых на разных ступенях образовательной лестницы
средств, форм и методов обучения, характеризует требования, предъявляемые к
знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, а также к формам и
приемам объяснения нового материала.
Таким
образом,
в
современном
педагогическом
обществе
проблемы
преемственности начального и среднего образования всегда широко обсуждались и
обсуждаются до сих пор. Мы предполагаем, что эффективность обучения в системе
непрерывного образования, несомненно, зависит только от решения проблем
обеспечения
управленческой,
структурно-организационной,
содержательной,
целевой, технологической и психологической преемственности.
1.2. Проблемы преемственности при обучении математике
в начальной и основной школе
Проблема преемственности в обучении математике приобрела особое
значение после введения нового Федерального государственного образовательного
стандарта, который, в первую очередь направлен на обеспечение преемственности
основных образовательных программ начального общего, среднего (полного)
общего,
профессионального
образования.
В
качестве
главного
результата
образования на любом этапе разбирается не система знаний, умений и навыков, а
набор ключевых компетентностей в интеллектуальной, гражданско-правовой,
коммуникационной и информационной сферах.
Переход из начальной школы в среднее звено по традиции считается одной из
наиболее сложных школьных проблем со стороны педагогики. А период адаптации
в 5-м классе – одним из самых трудных периодов. Это переломный момент в жизни
каждого ученика, так как осуществляется переход к чему-то новому, а именно: к
новому образу жизни, к новым условиям образовательной деятельности, к новому
положению в обществе, к новым взаимоотношениям со взрослыми, со сверстниками
и с учителями.
Причем, переходный период из начальной школы в основную школу
оказывает влияние на всех участников образовательного процесса: учащихся,
педагогах, родителях, администрации школы. Пятый класс – это трудный и
ответственный этап в жизни каждого ребенка. Учебная и социальная ситуация
пятого класса ставит перед школьником задачи качественно нового уровня, если
сравнивать с начальной школой. Успешность адаптации на данном этапе влияет на
всю дальнейшую школьную жизнь каждого ученика.
Анализируя
исследования
педагогов
и
методистов,
можно
выделить
следующие существенные трудности адаптации школьников к обучению в среднем
звене:
•
смена социальной обстановки;
•
изменение роли учащегося;
•
увеличение объемов учебного материала;
•
изменение распорядка дня;
•
новые системы и формы обучения;
•
нестыковка программ начальной и основной школы;
•
различия в требованиях со стороны учителей-предметников;
•
изменение стиля общения учителей с детьми.
На основе анализа методической литературы и личного опыта работы нами
были выделены основные трудности, испытываемые учителями при работе с
пятиклассниками, и возможные пути их преодоления (См. Приложение 1).
Проблемы преемственности в обучении математике в начальной школе и 5
классе можно разделить на три главные группы:
1) организационно-психологические;
2) общеучебные умения и навыки;
3) специальные математические знания, умения и навыки [43].
Рассмотрим подробно каждую группу.
1. Организационно-психологические проблемы
1.1. Недостаточная наполняемость урока материалом, очень медленный темп урока,
отсутствие материалов для «сильных» учеников, перенос основной тяжести
усвоения предмета на домашнюю работу.
Пути разрешения: уменьшить доли фронтальных бесед и других малоэффективных
методов работы на уроке, использовать печатные дидактические материалы и
уменьшить паузы в работе детей.
1.2.
Недостаточно четкое и организованное начало урока, окончание урока,
выделение дополнительного времени на выполнение письменных проверочных
работ. Из-за чего дети не приучаются быстро включаться в работу, быстро и
эффективно работать.
Пути разрешения: приучать начинать работу на уроке по звонку, быстро включаться
в работу, не давать отдельным детям дополнительного времени на выполнение
контрольных и проверочных работ, заканчивать урок со звонком с урока.
1.3. Твердая привычка у детей к постоянной помощи родителей при выполнении
домашних работ, творческих заданий и др.
Пути разрешения: проводить разъяснительные беседы с родителями, включить в
уроки задания, которые контролируют степень самостоятельности при
выполнении домашних заданий.
1.4. Бедность и однообразие используемых материалов обучения, несоответствие
методического багажа учителя реальным учебным возможностям детей.
Пути разрешения: распространить опыт успешного обучения детей в современных
условиях (школьным методическим объединениям учителей начальных классов
и математики полезно знакомиться с лучшим опытом).
1.5. Пассивность большинства школьников в процессе обучения.
Пути разрешения: использовать формы и методы организации занятий, которые
требуют от каждого ученика активного и осознанного участия, в том числе
парной и групповой работы. Важно, чтобы каждый ребенок был включен в
работу на уроке, в зависимости от его способностей.
1.6. Несформированность у учащихся представления об отличном устном ответе,
ответе у доски на уроке математике.
Пути разрешения: учителям-предметникам вместе с учителями начальной школы
необходимо определиться в совместных единых требованиях к ответу ученика
и постепенно разъяснять детям эти требования, учитывать их, оценивая ответы
на уроке.
1.7. Привычка у детей получать отметки за любое, даже самое малое, действие, в
том числе и за краткие или односложные, невразумительные ответы.
Пути разрешения: добиваться от детей развернутых, полных ответов, четкой и
грамотной речи, не допускать выставления необоснованно высоких оценок за
неполные ответы [43].
2. Общеучебные умения и навыки
2.1. Недостаточная техника чтения, значительные проблемы в понимании текста
учащимися из-за маленького лексического запаса у части детей, неумение
делить текст на смысловые части и анализировать его.
Пути разрешения: стабильно предлагать учащимся задания на проверку знания и
понимания смысла математических терминов, вести словарики терминов,
читать вслух и анализировать условия задач, рекомендовать и родителям
проводить такую же работу с детьми при выполнении домашних заданий по
математике.
2.2. Недостаточная скорость письма у значительной части детей.
Пути разрешения: рекомендовать выполнять упражнения для развития мышц кисти
руки, подходящую ручку, продолжать следить за правильностью написания
букв и цифр и за верным положением ручки.
2.3. Неустойчивость внимания, слабо развитая оперативная память у многих детей.
Пути разрешения: на уроках предлагать вычисления «по цепочке», а дома –
специальные упражнения на тренировку памяти и внимания.
2.4. Недостаточная тренированность долговременной механической памяти.
Пути разрешения: ввести в практику письменный опрос правил, предлагать для
запоминания не только стихотворные, но и прозаические тексты.
2.5.
Отсутствие у учащихся умения и привычки обращаться за помощью к
энциклопедиям,
справочникам,
словарям,
научно-популярной
и
дополнительной литературе.
Пути разрешения: рекомендовать иметь в классе справочные издания, предлагать
учащимся задания по работе со справочниками и словарями, а также давать
подобные задания в творческом виде домой [43].
3. Специальные математические знания, умения и навыки
3.1. Недостаточные навыки устных вычислений (все арифметические действия в
пределах до ста учащиеся должны выполнять исключительно устно).
Пути разрешения: непрерывно повторять знания таблиц сложения и умножения,
систематически проводить работу на устный счет.
3.2. Ошибки в письменном выполнении действий с многозначными числами.
Пути разрешения: постоянно повторять все этапы алгоритма выполнения действий,
регулярно включать в устную работу задания на табличное умножение и
деление, сложение и вычитание.
3.3.
Слабое знание правил порядка действий (в том числе и в выражениях со
скобками).
Пути разрешения: после того, как записали вычислительные примеры, необходимо
начинать с выделения отдельных «блоков», из которых он состоит, обращая
внимание на «сильные» и «слабые» знаки арифметических действий, а затем
расставлять номера действий.
3.4. Недостаточное развитие графических умений.
Пути разрешения: систематически выполнять чертежи как на бумаге в клетку, так и
на нелинованной бумаге, строить фигуры по командам.
3.5.
Формальные представления об уравнении, его корне, способах проверки
правильности решения уравнения.
Пути разрешения: большее внимание уделять первым этапам формирования
понятия переменной, верного и неверного равенства, нахождение значения
выражения с переменной.
3.6. Недостаточно грамотная математическая речь учащихся.
Пути разрешения: учителю чаще давать образцы чтения выражений, равенств,
уравнений и неравенств, склонять числительные, тренировать школьников в
верном
чтении
математических
выражений,
использовании
названий
натуральных чисел и дробей в косвенных падежах [43].
Остановимся подробнее на проблеме преемственности в формировании
вычислительных навыков школьников.
Несмотря на обучение в начальной школе и повторение в 5 - 6 классах,
вычислительные трудности многие дети продолжают испытывать на протяжении
всего обучения в школе. Как нам показывают исследования, достаточно
внушительный процент детей к седьмому классу прибегает к калькулятору даже при
выполнении простейших вычислений.
Одной из основных причин такого явления может быть то, что обучение в
начальной школе зачастую построено с опорой на механическую память. Самым
ярким и наглядным примером этому служит таблица умножения. На её заучивание
отводится в младших классах много времени и к повторению постоянно
возвращаются на протяжении всего обучения в начальной школе. В средней же
школе, как только таблица умножения перестаёт быть одним из главных объектов
внимания и осознаваться как нечто значимо необходимое, она быстро забывается.
Известный советский математик А.Я. Хинчин, постоянно интересовавшийся
вопросами преподавания в школе, выписал все виды применяющегося в процессе
обучения повторения. Список получился весьма солидный. После чего он с горечью
добавил: «Кошмар! Вместо бесконечных повторений нельзя ли учить так, чтобы
материал не забывался?» [55, с.69].
Исследованиями педагогов и методистов доказано, что повторение может
быть эффективным и результативным только тогда, когда оно органически
включается в изучение нового материала.
Если при изучении новой темы ребёнок вынужден обращаться к тому, что
ранее было пройдено, то это понимается им как очень нужное и, следовательно, не
подлежащее забыванию.
Если же обучение строится на механической памяти, то есть изо дня в день, из
месяца в месяц решаются однотипные упражнения, то это не способствует
формированию прочных знаний. Как только такие упражнения перестают
выполняться, навык их решения утрачивается. Кроме того, такая работа является
немыслимой тратой времени и приводит ещё к одному серьёзному бедствию.
Так, например, учитель начальной школы тратит много времени и сил, чтобы
дети смогли усвоить правила нахождения неизвестных компонентов действий.
Именно с их помощью решаются уравнения в начальном курсе математики.
Исследования показали, что в пятом классе примерно треть детей очень плохо
помнят эти правила и совсем не умеют решать уравнения. Примерно около
половины пятиклассников в большинстве случаев правильно воспроизводят
правила, но далеко не все видят какое именно нужно применить в данном случае и,
как правило, решают уравнения «методом подбора». Заметим, что такой трудно
усваиваемый материал в шестом классе детям предлагается полностью забыть и
решать уравнения, используя равносильные преобразования (прибавляя к обеим
частям одно и то же число, деля уравнение на одно и то же не равное нулю число и
т. д.)
В психологии отмечается, что овладение «негодным» приёмом опасно не
только потому, что он мало эффективен, но и потому, что он будет серьёзно мешать
овладению рациональными приёмами в дальнейшем. Детей в этом случае
приходится переучивать, а это всегда труднее, чем учить.
Таким образом, наличие таких «тупиковых» тем в курсе математики
начальной школы мешает осуществлению преемственности в обучении, не готовит
к обучению в средних классах и не способствует развитию детей.
Как правило, операции сложения и вычитaния натурaльных чисел учaщиеся в
начальной школе усваивают довольно хорошо. А при изучении десятичных дробей в
шестом классе в примерах на сложение и вычитание самыми распространёнными
являются ошибки при записи действий в столбик.
Такая ситуация объяснима. Дело в том, что при изучении сложения и
вычитания натуральных чисел, учитель, произнося верные слова о необходимости
выполнения сложения и вычитания по разрядам, в действительности обращает
основное внимание на выравнивание записей, на то, не сдвинуты ли в записях
последние цифры каждого из чисел. И естественным образом, выполняя
анализируемые действия, школьники тоже думают, прежде всего, о выравнивании
записей, совершенно забывая о разрядах. В начальной школе это оправдано, так как
последняя цифра любого числа всегда стоит в разряде единиц. Но когда они
"дорастают" до темы «Сложение и вычитание десятичных дробей», то стараются и
здесь выравнивать записи. Если правильно организовать обучение сложению и
вычитанию натуральных чисел в начальной школе, то в шестом классе таких
трудностей не возникнет.
Преемственность в обучении, кроме того, является необходимым условием
реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выступает на
передний план. Появляется противоречие между потребностями общества в
высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при
организации
непрерывного
образования,
в
частности
из-за
того,
что
не
обеспечивается преемственность преподавания в начальной и средней школе. Для
решения отмеченной проблемы необходимо решить ряд частных задач.
Прежде всего, необходимо разобраться, каковы же особенности ныне
действующих учебников математики для начальной школы и методических пособий
и что именно препятствует обеспечению преемственности в обучении.
Отсюда вытекает первая задача исследования: проанализировать действующие
программы и учебники математики для младших классов с целью выявления
потенциальных возможностей повышения эффективности подготовки детей к
дальнейшему обучению и обеспечения преемственности обучения.
Как
отмечалось
ранее,
во
многих
педагогических
и
методических
исследованиях преемственность отождествляется с систематическим повторением.
Такое понимание преемственности характерно и для построения начальных курсов
математики по многим УМК, где запоминание подвергается рассмотрению как
функция большого числа повторений. А уже повторение реализовывается в
результате решения большого количества однотипных упражнений на протяжении
всего обучения.
Как нами уже подчёркивалось, навыки, которые были сформированы в
результате такого повторения, стремительно теряются, как только перестают быть
предметом целенаправленной отработки (например, вычислительные навыки при
переходе в пятый класс). Повторение только в том случае будет способствовать
преемственности, если на каждом новом этапе это не будет повторение тех же
самых упражнений, выполняемых теми же самыми способами. В упражнениях на
повторение непременно должно появляться новое, уходить старое, несущественное
в соответствии с логикой развития изучаемого понятия и с повышением уровня
образования учащихся.
Таким образом, преемственность хотя и требует повторения, но лишь такого,
которое обеспечивает непрерывное развитие системы понятий. Для того, чтобы
преемственность
действительно
осуществлялась,
повторение
должно
быть
органически включено в новую тему и по мере развития темы должно
соответственным образом меняться, не сводясь лишь к механическому повторению
одинаковых упражнений.
В некоторых работах преемственность приравнивается к такому принципу
дидактики как принцип систематичности. Именно этот принцип обязывает учителя
устанавливать между изучаемым учебным материалом определённые дидактические
связи - связи преемственности.
Под связями преемственности понимаются такие связи, когда каждый новый
материал, с одной стороны, логически связывается с ранее изученным и опирается
на него, а с другой стороны - подготавливает почву, составляет логическую основу
для изучения и усвоения последующего материала.
Так, например, прохождение вычислительных алгоритмов с натуральными
числами должно подготавливать почву для изучения действий с десятичными
дробями.
Обеспечение преемственности тесно связано не только с усвоением
содержания учебного материала, но и со способами обучения, с теми действиями,
которые выполняются учащимися в ходе овладения ими учебным материалом.
Например, обучение решению арифметических задач, может в гораздо
большей мере, чем в большинстве ныне действующих курсов готовить школьников
к решению алгебраических задач. Обобщая всё выше сказанное, можно сделать
единственный вывод и дать следующее определение преемственности.
Преемственность в обучении – это установление необходимой связи и
правильного соотношения между частями отдельного учебного предмета на разных
ступенях его изучения. Обучение математике в начальной школе только тогда будет
реализовывать принцип преемственности, если оно будет подготавливать детей к
изучению дальнейших тем внутри начальной школы и обеспечивать пропедевтику
обучения в следующих классах.
Понятие преемственности характеризуется также требованиями к знаниям и
умениям учащихся на каждом этапе обучения, формам, методам и приёмам
объяснения нового учебного материала и ко всей последующей работе по его
усвоению.
Например, если организовать работу с определением умножения с учётом
требований
преемственности,
то
это
позволит
подготовить
детей
к
конструированию и усвоению таблицы умножения, к усвоению определения
деления. Следовательно, обеспечит формирование умения работать с любым
определением как с эквиваленцией, пропедевтику работы с многочленами, а также
будет способствовать формированию умения аргументировано и доказательно
излагать свои мысли.
Не
учитывая
понятие
преемственности,
нельзя
придать
обучению
перспективный характер, при котором отдельные темы рассматриваются не
изолированно друг от друга, а в той взаимосвязи, которая позволяет изучение
каждой текущей темы строить не только с опорой на предыдущую, но и с
ориентировкой на последующие темы.
Таким образом, обучение, если соблюдать преемственность, воспитывает
действенность, активность знаний и умений, способность использовать их при
решении новых практических и теоретических задач. Это является важным
условием преодоления
формализма знаний, который, по
мнению многих
исследователей, является одним из основных недостатков современного школьного
обучения. Кроме того, обучение с соблюдением преемственности во многом
способствует успешности обучения, развитию интереса как к конкретному
учебному предмету, так и к процессу учения вообще.
1.3. Теоретические и методические основы изучения арифметических действий
над натуральными числами и десятичными дробями
1.3.1. Изучение арифметических действий над натуральными числами в
школьном курсе математики
Понятие натурального числа -
это воссоздание общих и существенных
признаков определенных явлений объективной действительности. Объектом
отражения служат количественные отношения действительного мира.
Как известно, натуральные числа возникают при счете предметов и при
измерении величин. Но если при измерении величин возникают числа, которые
отличаются от натуральных чисел, то счет приводит только к числам натуральным.
Чтобы вести счет, нужна последовательность чисел, которая начинается с единицы
и позволяет осуществлять переход от одного числа к другому и столько раз, сколько
это необходимо.
Каждое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с
помощью цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Такая запись основывается на принципе
поместного значения цифры, состоящего в том, что цифра в записи числа может
обозначать различные числа в зависимости от ее места в записи числа.
Например, в числе 3618, что 3 – цифра тысяч, 6 – цифра сотен, 1 – цифра
десятков и 8 – цифра единиц, т.е. 3618 = 31000 + 6100 + 110 + 8.
Рассмотрим основные арифметические действия над натуральными числами.
Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда
является натуральное число. Если m, n- натуральные числа, то
➢ p = m + n тоже натуральное число, m и n– слагаемые, р – сумма;
➢ p = mn тоже натуральное число, m и n–множители, р – произведение.
Для сложения и умножения натуральных чисел осуществляются следующие
свойства:
1)
a + b = b + a (переместительное свойство сложения);
2)
(a + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство сложения);
3)
ab = ba (переместительное свойство умножения);
4)
(ab) с = а (bс) (сочетательное свойство умножения);
5)
а (b + с) = аb + ас (распределительное свойство умножения относительно
сложения).
Сложение и умножение однозначных натуральных чисел сводится к
запоминанию и использованию таблицы сложения и таблицы умножения. Такие
арифметические действия с многозначными числами на практике выполняются в
«столбик».
Рассмотрим теоретическую основу такого подхода.
Найдем сумму 345 + 612. Представим каждое слагаемое в виде десятичной
записи: 345 = 3  102 + 4  10 + 5, 612 = 6  102 + 1  10 + 2, значит,
345 + 612 = (3  102 + 4  10 + 5) + (6  102 + 1  10 + 2) =
используя коммутативность и ассоциативность сложения, получим
= (3  102 + 6  102 ) + (410 + 110) + (5+2) =
используя дистрибутивность умножения относительно сложения:
= ( 3 + 6 )  102 + (4 + 1 )  10 + ( 5 + 2 ) =
таблица сложения однозначных чисел:
= 9  102 + 5  10 + 7 = 957
Таким образом, сложение многозначных чисел свелось к рассмотренному
выше сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих
разрядов. Это позволяет выполнять сложение многозначных чисел «в столбик»,
записывая числа так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
Заметим, что сумма цифр в разряде может превысить 9 (5+7=12) - совершается
переход в следующий разряд. И поэтому сложение многозначных чисел необходимо
начинать с разряда единиц.
Аналогичные теоретические основы имеет умножение многозначных чисел:
1. Способ записи числа в десятичной системе счисления.
2. Дистрибутивность умножения относительно сложения.
3. Ассоциативность и коммутативность сложения и умножения.
4. Таблица умножения однозначных чисел
5. Таблица сложения однозначных чисел [53 с.335].
В результате вычитания или деления натуральных чисел далеко не всегда
получается натуральное число.
Например, 9 – 3 = 6 и 25 : 5 = 5 – натуральные числа, тогда как разность (3 –
6) и частное (5 : 4) – не являются натуральными числами.
Если m, n, k – натуральные числа, иm – n = k, то m – уменьшаемое, n –
вычитаемое, k – разность.
Если m, n, k – натуральные числа, и m : n = k, тоm – делимое, n – делитель, k –
частное. Число m называют также кратным числа n, а число n – делителем числа m.
Если m – кратное числа n, то существует натуральное число k, такое, что m = kn.
Вычитание многозначных чисел на практике выполняется «в столбик».
Рассмотрим теоретические основы такого подхода.
768 – 325 = (7  102 + 6  10 + 8) – (3  102 + 2  10 + 5) =
десятичная запись числа 768
десятичная запись числа 325
= (7  102 + 6  10 + 8) – 3102 – 2  10 – 5 =
правило вычитания суммы из числа.
= (7  102 – 3  102 ) + (6  10 – 2  10) + (8–5) =
правило вычитания числа из суммы
= ( 7 – 3 )  102 + ( 6 – 2 )  10 + ( 8 – 5 ) =
дистрибутивность умножения относительно вычитания
= 4  102 + 4  10 + 3 = 433
вычитание однозначных чисел
Таким образом, вычитание многозначных чисел свелось к вычитанию
однозначного числа из однозначного, изображенных цифрами соответствующих
разрядов, которое выполняется с опорой на таблицу сложения однозначных чисел.
Заметим, что эти же теоретические основы лежат и в том случае вычитания,
когда в каком-либо разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньшее
однозначного числа в соответствующем разряде вычитаемого.
Деление однозначного или двузначного числа, не большего 89, на
однозначное число опирается на таблицу умножения однозначных чисел.
Например, 35 : 7 = 5, так как 7 5 = 35 (поиск такого числа с, что а = bс).
В общем случае, говоря о технике деления имеют в виду деление с остатком –
поиск пары чисел q и r таких, что а = bq + r и 0 r < b.
Например, 33 : 7 = 4 (ост. 5), так как ближайшее число кратное 7 и не
превосходящее 33 – 28, следовательно неполное частное 28:7 = 4 и остаток 33 – 28 =
5.
Деление многозначного числа на однозначное рассмотрим на следующих
примерах:
3603 : 3 = (3000+600+3): 3 = 3000:3+600:3+3:3 = 1000+200+1=1201
956 : 4 = (800+120+36) : 4 = 800:4 + 120:4 +36:4 = 200+30+9 = 239, то есть
делимое представляется в виде суммы «удобных» слагаемых и применяется
свойство деления суммы на число.
Заметим, что в первом случае удобными были разрядные слагаемые, во
втором – выделено наибольшее число единиц каждого разряда, которое делится на
делитель (8 сот., 12дес., 36ед.), но в обоих случаях получились разрядные слагаемые
частного.
Деления вида 120:4, 800:4, 3000:3 сводятся к табличному делению – к делению
числа десятков, сотен, тысяч и т.д. на однозначное число (12дес.:4 = 3дес., 8сот.:4 =
2 сот., 3тыс.:3 = 1тыс.).
Для усвоения приема письменного деления можно дать следующее
алгоритмическое предписание:
1. Прочитай и запиши пример.
2. Выдели первое неполное делимое и установи число цифр в частном.
3. Раздели первое неполное делимое на делитель и найди цифру частного.
4. Умножь цифру частного на делитель и узнай, сколько единиц этого разряда
разделили.
5. Вычти произведение, которое получилось, из неполного делимого и узнай,
сколько единиц этого разряда осталось разделить.
6. Проверь, правильно ли подобрана цифра частного.
7. Образуй следующее неполное делимое и продолжай деление.
Заметим, что деление всегда выполняется с высших разрядов.
Из чисел и с помощью знаков арифметических действий и скобок
составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить
указанные действия, соблюдая нужный порядок, то получится число, которое
называется значением выражения.
Порядок арифметических действий в любом числовом выражении имеет
следующий алгоритм: вначале выполняются действия в скобках; внутри любых
скобок сначала выполняют умножение и деление, а уже потом сложение и
вычитание.
В настоящее время существует много различных УМК для начальной школы.
Первая часть нашей экспериментальной работы проводилась в МБОУ СОШ №6
г.Батайска в 4 «Б» классе, который занимался по учебникам Л. Г. Петерсон (УМК
«Школа 2000…»).
Остановимся подробнее на особенностях построения этого курса начальной
математики.
Одной из специфических особенностей учебников математики Л. Г. Петерсон
является принцип минимакса: образовательный материал предлагается школьнику
по максимуму, а учащийся должен его усвоить по минимуму стандарта. Таким
образом, у каждого ребенка есть возможность взять столько, сколько он может,
предел познаний не ограничивается.
Все учебники программы построены с учетом психологической специфики
возраста, детской мотивации и решают проблему разноуровневого обучения.
Курс математики «Школа 2000...» является непрерывным курсом для
дошкольников, начальной и средней школы, который реализует поэтапную
преемственность между всеми ступенями обучения на уровне методологии,
содержания и методики. Технология урока и система дидактических принципов,
которые разработаны в данной программе, помогают учителю формировать
самостоятельную учебно-познавательную деятельность детей, а управленцам провести экспертную оценку деятельности педагогов в соответствии с целевыми
требованиями Закона РФ «Об образовании».
Выделим теперь основные требования к знаниям, умениям и навыкам
учащихся, которые обеспечивают преемственную связь в формировании навыков
выполнения арифметических действий с курсом математики в пятом классе.
Выпускник начальной школы обязан знать:
 названия и последовательность чисел в натуральном ряду (с какого числа
начинается этот ряд и как образуется каждое следующее число в этом ряду);
 каким образом формируется каждая следующая счетная единица (сколько
единиц в одном десятке, сколько десятков в одной сотне и т.д., сколько
разрядов содержится в каждом классе), названия и последовательность первых
трех классов;
 понимать конкретный смысл каждого арифметического действия;
 знать
названия
и
обозначения
арифметических
действий,
компонентов и результата каждого действия;
 связь между компонентами и результатом каждого действия;
названия
 правила о порядке выполнения действий в числовых выражениях, содержащих
скобки и не содержащих их;
 таблицу сложения и умножения однозначных чисел и соответствующие
случаи вычитания и деления.
Каждый учащийся к концу обучения в начальной школе должен уметь:
 читать, записывать и сравнивать числа в пределах миллиона; записывать
результат сравнения, используя знаки < (меньше), > (больше), = (равно);
 представлять любое число в виде суммы разрядных слагаемых;
 записывать и вычислять значения числовых выражений, содержащих 3-4
действия (со скобками и без них);
 находить числовые значения буквенных выражений вида a + 6; 7р; b : 5;
 a + b; р d;а : n при заданных числовых значениях входящих в них букв;
 выполнять устные вычисления в пределах 100 и с большими числами в
случаях, сводимых к действиям в пределах 100;
 выполнять письменные вычисления (сложение и вычитание многозначных
чисел на однозначное и двузначное число), проверку вычислений;
 решать уравнения вида x + 24 = 320; 25 + x = 750;1950 – x = 1450;
 x 24 = 2400; x : 5 = 120;600 : x = 25 на
основе взаимосвязи между
компонентами и результатами действий;
Содержание
курса
начальной
математики
обеспечивает
достижение
следующих предметных результатов:
1) освоение опыта самостоятельной математической деятельности по получению
нового знания, его преобразованию и применению для решения учебнопознавательных и учебно-практических задач;
2) использование математических знаний, которые были приобретены ранее, для
описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также
оценки их количественных и пространственных отношений;
3) овладение
логического,
устной
и
письменной
эвристического
и
математической
речью,
алгоритмического
основами
мышления,
пространственного воображения, счета и измерения, прикидки и оценки,
наглядного представления данных и процессов (схемы, таблицы, диаграммы,
графики), а также исполнения и построения алгоритмов;
4) умение
выполнять
натуральными
устно
числами
и
письменно
числами,
арифметические
составлять
числовые
действия
и
с
буквенные
выражения, находить их значения. Здесь очень важно решать текстовые
задачи, простейшие
уравнения и неравенства, исполнять и строить
алгоритмы, составлять и исследовать простейшие формулы, распознавать,
изображать и исследовать геометрические фигуры, уметь работать с
таблицами, схемами, диаграммами и графиками, множествами и цепочками,
представлять, анализировать и интерпретировать данные;
5) приобретение начального опыта применения математических знаний для
решения учебно-познавательных и учебно-практических задач;
6) получение первоначальных представлений о компьютерной грамотности;
7) приобретение первоначальных навыков работы на компьютере [30].
Школьники, участвующие в экспериментальной части нашей работы, в 5
классе обучение продолжили по учебнику математики авторского коллектива: А.Г.
Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир [29].
Указанный учебник предназначен для изучения математики в 5 классе
общеобразовательных учреждений. Он входит в систему «Алгоритм успеха» и
соответствует
Федеральному
государственному
образовательному
стандарту
основного общего образования [54]. В учебнике предусмотрена уровневая
дифференциация, которая позволяет формировать у школьников познавательный
интерес к математике.
В соответствии с программой, в результате освоения курса математики 5
класса должны быть достигнуты следующие планируемые результаты.
Личностным результатом изучения предмета является формирование
следующих умений и качеств:
• умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли не только в устной, но и в
письменной
речи,
понимать
смысл
установленной
задачи,
выстраивать
аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;
• критичность
мышления,
умение
распознавать
логически
некорректные
высказывания, отличать гипотезу от факта;
• представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об
этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации;
• креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении
математических задач;
• способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач,
решений, рассуждений [30].
Метапредметным результатом изучения курса является формирование
универсальных учебных действий (УУД).
Регулятивные УУД:
• самостоятельно выявлять и формулировать учебную проблему, определять цель
УД;
• предлагать версии решения проблемы, понимать (и интерпретировать в случае
необходимости) конечный результат, выбирать средства достижения цели из
предложенных, а также искать их самостоятельно;
• составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения
проекта);
• работая по плану, сверять свои действия с целью и при необходимости исправлять
ошибки самостоятельно (в том числе и корректировать план);
• в диалоге с учителем совершенствовать самостоятельно выбранные критерии
оценки [30].
Познавательные УУД:
• проводить наблюдение и эксперимент под руководством учителя;
• выполнять расширенный поиск информации, используя ресурсы библиотек и
Интернете;
• формировать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;
• осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в
зависимости от конкретных условий;
• анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;
• давать определения понятиям [30].
Коммуникативные УУД:
• самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять
общие цели, договариваться друг с другом и т. д.);
• в дискуссии уметь выдвинуть аргументы и контраргументы;
• учиться критично относиться к своему мнению, с достоинством признавать
ошибочность своего мнения и корректировать его;
• осознавая позицию другого, уметь различать в его речи: мнение (точку зрения),
доказательство (аргументы), факты (гипотезы, аксиомы, теории);
• уметь посмотреть на ситуацию с совершенно другой позиции и договариваться с
людьми иных позиций [30].
Предметным результатом изучения курса является сформированность
следующих умений.
1) понимание значения математики для повседневной жизни человека;
2) представление о математической науке как сфере математической деятельности,
об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;
3) формирование
умений
работать
с
учебным
математическим
текстом
(анализировать, извлекать нужную информацию), точно и грамотно выражать
свои мысли с применением математической терминологии и символики,
проводить классификации, логические обоснования;
4) владение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания;
5) практически значимые математические умения и навыки, их применение к
решению математических и нематематических задач, предполагающее умения:
• выполнять вычисления с натуральными числами;
• решать текстовые задачи простыми арифметическими способоми и с
помощью составления и решения уравнений;
• показывать фигуры на плоскости;
• использовать геометрический «язык» для описания предметов окружающего
мира;
• измерять длины отрезков, величины углов, вычислять площади и объёмы
фигур;
• узнавать и изображать равные и симметричные фигуры;
• проводить несложные практические вычисления с процентами, использовать
прикидку и оценку; выполнять необходимые измерения;
• уметь использовать правильно буквенную символику для записи общих
утверждений, формул, выражений, уравнений;
• строить на координатной плоскости точки по заданным координатам,
определять координаты точек;
• читать и использовать информацию, представленную в виде таблицы,
диаграммы (столбчатой или круговой), в графическом виде;
• решать простейшие комбинаторные задачи перебором возможных вариантов
[30].
1.3.2. Изучение арифметических действий над десятичными дробями в
школьном курсе математики
Первое
знакомство
учащихся
с
дробными
числами
предусмотрено
программой начального курса математики. Затем понятие дроби уточняется и
расширяется в основной школе. В среднем звене школьники знакомятся с
десятичными дробями. Но, следует отметить, что прежде, чем приступить к
десятичным дробям, практически во всех курсах математики для 5 - 6 классов,
изучается сначала понятие обыкновенной дроби.
Понятие дроби связано с расширением множества целых неотрицательных
чисел до множества рациональных чисел. Однако в начальной школе практически
этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно
рассматривается, с множеством чисел не связано.
Дробь, с методической точки зрения для младших школьников, - это способ
получения части какого-то объекта. Сведения о дробях ребёнок получает через
практические действия с множествами, предметами, величинами и описываются эти
действия на языке символов (дробей). Для формирования представлений о дробях
необходимо применять достаточное количество наглядных пособий. Лучше всего
для этого подходят геометрические фигуры, вырезанные из бумаги. Дети своими
руками получают половину круга, четверть квадрата и т. д.
У выпускника начальной школы должны быть сформированы представления
о дробях, которые отражаются в умении выполнять следующие операции:
– читать и записывать дробь с опорой на наглядность;
– сравнивать дроби с опорой на объект или рисунок;
– находить «дробь от числа» (делением объекта или множества на равные
части);
– восстанавливать число по известной его дроби (обратная операция) [6, с.
257].
Умения младших школьников в изучении дробей формируются на основе
принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.
Вся работа, проведённая в начальной школе,
является подготовкой к
знакомству с десятичными дробями в 5–6 классах основной школы. Данный подход
к формированию представлений о долях и дробях действует во всех учебниках
математики начальной школы.
Преемственность тесно связана с повторением и пропедевтикой.
Изучение долей и дробей в начальной школе является пропедевтикой к
систематическому изучению десятичных дробей в основной школе.
Несомненно, дробные числа, так же как и натуральные числа, можно
представлять в виде десятичной записи дробного числа. Внешний вид дробного
числа в десятичной записи представляет собой некоторый набор из двух или
большего количества цифр от 0 до 9, записанных в строку, и между двумя из цифр
находится запятая, которую часто называют десятичной запятой. Крайняя цифра
слева в десятичной записи числа отлична от цифры 0, исключение составляют лишь
те случаи, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры 0.
Для иллюстрации приведем несколько примеров дробных чисел в виде
десятичной записи: 12,1, 0,39031064, 7,0201, 12451 593,5.
Отталкиваясь от вышесказанного, можно дать самое простое определение
понятию десятичной дроби. Десятичная дробь – это дробное число, которое
представлено в десятичной записи.
По мнению К. И. Нешкова, «преемственность требует повторения, но такого
повторения, которое обеспечивает непрерывное развитие системы понятий, а не
повторения ради повторения, ради сохранения на достаточно высоком уровне
некоторых навыков учащихся» [32, c.27].
Изучение дробных чисел в 5–6 классах основной школы подразумевает
повторение вопросов, которые были изучены в начальной школе, их углубление и
расширение.
Если в начальной школе изучается получение дробей, их запись и чтение, то в
пятом классе вводят понятие «десятичные дроби» и их изображение на
координатном луче, то есть множество целых неотрицательных чисел расширяется
до множества рациональных чисел.
Умения получать, читать и записывать дроби, полученные в начальной школе,
углубляются при изучение следующих тем 5–6 классов:
– десятичные дроби;
– сравнение десятичных дробей;
– сложение и вычитание десятичных дробей;
– умножение и деление десятичных дробей.
Рассмотрим более подробно каждое из арифметических действий с
десятичными дробями.
Начнем со сложения десятичных дробей. Наиболее удобно сложение
десятичных дробей по правилу, аналогичному сложению столбиком натуральных
чисел. Мы видим прямую связь с умениями и навыками, которые должны были
сложиться у учащихся в начальной школе.
Чтобы выполнить сложение десятичных дробей столбиком, необходимо:
1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
3) выполнить сложение чисел, не обращая снимание на запятые;
4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.
Теоретической основой сложения десятичных дробей «в столбик» являются
следующие положения.
2,54 + 3, 7126 = 2,5400 + 3, 7126 =
свойство десятичных дробей
37126
25400
+
=
10000
10000
62526
= 6,2526.
10000
сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Проиллюстрируем изложенное на примере сложения десятичных дробей:
476,68 и 19,147.
Для начала уравняем количество знаков после запятой, дописав нули там, где
они необходимы. Мы видим, что во втором слагаемом три знака после запятой, а в
первом – два. Значит, дописываем один нуль в первом слагаемом, получаем:
476,680. Теперь записываем столбиком их так, чтобы соответствующие разряды
находились друг под другом:
476,680
19,147
Выполняем сложение по правилам сложения натуральных чисел в столбик:
476,680
19,147
495 827
Поставим запятую в сумме там, где она стояла в слагаемых. После чего
сложение десятичных дробей принимает законченный вид:
476,680
19,147
495,827
Можно результат записать в строчку: 476,68 + 19,147 = 495,827
Сразу тут необходимо также озвучить правило сложения десятичных дробей с
натуральными числами: чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число
нужно данное натуральное число прибавить к целой части десятичной дроби, а
дробную часть оставить прежней.
Разберем пример: надо вычислить сумму десятичной дроби 3,94 и
натурального числа 16.
Решение данного примера заключается в том, что дети должны знать не
только, как правильно складывать натуральные числа, но и уметь отличить целую
часть от дробной части. Целая часть десятичной дроби в нашем примере рана 3,
если к ней прибавить натуральное число 16, то получим число 19. Таким образом,
3,94 + 16 = 19,94
Аналогично происходит вычитание десятичных дробей. Чтобы выполнить
вычитание десятичных дробей столбиком, необходимо:
1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
3) выполнить вычитание чисел, не обращая снимание на запятые;
4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.
Умножение
десятичных
дробей
проводится
аналогично
умножению
столбиком натуральных чисел.
Теоретической основой такого подхода являются следующие положения:
Пусть даны десятичные дроби А, аn-1 … аои В, bk-1 … bо
Их можно записать в виде
Ааn1 ...ao
Bb ...b
и k 1 k o .
n
10
10
По правилу умножения обыкновенных дробей
Ааn1 ...ao Bb k 1 ...bo
Ааn1 ...ao  Bb k 1 ...bo

=
n
k
10
10
10 n k
Для записи результата без знаменателя, достаточно в произведении натуральных
чисел Ааn-1 … ао Вbk-1 … bо отделить запятой n+k чисел.
Таким образом, чтобы умножить две десятичные дроби, надо:
1) не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам
умножения столбиком натуральных чисел;
2) в полученном результате отделить запятой столько цифр справа налево,
сколько знаков после запятой в обоих множителях вместе, при этом если в
произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.
Проиллюстрируем правило на примере умножения дробей 22,74 и 0,18.
Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем
числа, не обращая внимания на запятые, то есть по правилам для натуральных
чисел. Обратим внимание на то, что если учащиеся не смогли усвоить правило
умножения натуральных чисел столбиком, то и это действие с десятичными
дробями так и останется для них пропущенным материалом.
Итак, делаем верную запись столбиком:
22,74
0,18
18192
2274
40932
Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить
4 цифры справа налево, т.к. в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в
дроби 22,74 и два в дроби 0,18). Цифр в произведении хватает, поэтому нулей слева
дописывать не придется. И закончим запись следующим образом:
22,74
0,18
18192
2274
4,0932
В итоге имеем: 22,74  0,18 = 4,0932
Из этого правила умножения следует, что для умножения десятичной дроби на
10s достаточно ее запятую перенести на s знаков вправо.
Пусть дана десятичная дробь А, аn-1 … ао=
Умножим ее на 10s:
Ааn1 ...ao
.
10 n
Ааn1 ...ao
Ааn1 ...ao
10s=
, то есть в натуральном числе Ааn-1
n
10 n s
10
… ао запятой будут отделены не n, а n-s цифр, что соответствует переносу запятой на
s знаков вправо.
Эти частные случаи умножения в школе обобщаются в следующие правила:
- чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., достаточно в данной
десятичной дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т.д. знака;
- чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.достаточно в данной
десятичной дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т.д. знака, при этом если не
хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое
количество нулей.
Рассмотрим принцип умножения десятичных дробей на натуральные числа.
По своей сути он ничем не отличается от умножения десятичной дроби на
десятичную дробь. Точно также десятичную дробь умножать на натуральное число
удобнее всего столбиком и придерживаться правил умножения столбиком
десятичных дробей.
Деление десятичных дробей на практике сводится к делению десятичной
дроби на натуральное число в столбик, которое аналогично делению в столбик
натуральных чисел.
Теоретической основой такого подхода является следующее:
Рассмотрим деление десятичной дроби
m
на натуральное число k:
10 n
m
1
: k = (m :k)  n , то есть для деления десятичной дроби на натуральное
n
10
10
число достаточно выполнить деление натуральных чисел m и n и в частном
отделить запятой n цифр. Например, 45,35 : 5 = (4535 : 5) 
1
1
= 907
= 9,07.
100
100
Это позволяет выполнять деление десятичной дроби на натуральное число
столбиком. Для этого достаточно:
1. Выполнить деление, не обращая внимания на запятую.
2. В частном поставить запятую там, где закончилась целая часть делимого.
Если ученик по какой-то причине в начальной школе не научился делить
числа в столбик, то в 5-6 классах ему предстоит, естественно, двойная работа.
Выполним деление десятичной дроби 15,96 на натуральное число 4 по
указанному правилу.
Выполним деление десятичной дроби на натуральное число столбиком:
15,96 4
12
3
3
На этом деление целой части десятичной дроби закончено. Здесь, в частном
нужно поставить десятичную запятую и продолжить деление:
15,96 4
12
3,99
39
36
36
36
0
Мы пришли к остатку 0, на этом этапе деление столбиком заканчивается, и мы
имеем право записать результат: 15,96 : 4 = 3,99
Деление двух десятичных дробей основано на свойстве деления: если
делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное
не изменится.
С помощью этого свойства деление на десятичную дробь можно свести к
делению на натуральное число. Для этого достаточно перенести запятую в делимом
и делителе на столько цифр, сколько их было после запятой в делителе и выполнить
деление на натуральное число. Например, 18,39:0,3=183,9:3=61,3.
Заметим, то при необходимости в делимом предварительно приписывают
нужное число нулей после запятой. Например, 0,5:0,125 = 0,500:0,125 =500:125=4
В школьном курсе математики для деления десятичных дробей дается
следующее правило: чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь,
нужно:
1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько
их после запятой в делителе, если при этом в делимом не хватает знаков для
переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа;
2) после этого провести деление столбиком десятичной дроби на натуральное
число.
Рассмотрим немного видоизмененный предыдущий пример: 15,96 : 0,4.
В данном случае обращаем внимание на делитель (0,4). Видим, что у нас один
знак после запятой. Следовательно, умножаем делимое и делитель на 10, чтобы
перейти к делению десятичной дроби на натуральное число. Перенесем запятую в
обоих числах на один знак вправо и получим: 159,6 : 4. И выполняем теперь это
действие столбиком.
159,6 4
12
39,9
39
36
36
36
0
Также в теме «Деление десятичных дробей» в курсе математики 5 класса
рассматриваются следующие правила:
- деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д. (чтобы разделить десятичную
дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в исходной дроби перенести запятую влево на 1,
2, 3 и т. д. знака);
- деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. (чтобы разделить десятичную
дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в данной десятичной дроби перенести запятую
вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры).
Изучение дробей в начальном курсе математики и десятичных дробей в
основной
школе
необходимо
рассматривать
как
подготовку
к
изучению
систематических курсов алгебры и геометрии. Работа с рациональными числами и
дробно-рациональными выражениями подразумевает, что ученики уже владеют
знаниями перечисленных нами выше тем.
Таким
образом,
одним
из
основных
направлений
осуществления
преемственности в обучении математике являются внутрипредметные связи в
содержательно-методических линиях курса, а также изучение долей и дробей в
начальной школе является пропедевтикой к изучению обыкновенных дробей в
основной школе.
1.4. Преемственность в выполнении действий над натуральными числами
и десятичными дробями
Формирование у младших школьников вычислительных навыков в процессе
обучения арифметическим действиям с натуральными числами является одной из
основных образовательных задач, которая стоит перед начальной школой.
Практика показывает, что неуспевающих среди младших школьников
практически нет, а средний балл успеваемости достаточно высок. Между тем, как
только ребенок переходит в пятый класс, наблюдается далеко неутешительная
ситуация. Успеваемость значительно падает. Учителя жалуются на плохую
подготовку выпускников начальной школы, на то, что дети за лето забывают многое
из того, чему их научили раньше. Эта проблема была актуальной всегда и до сих
пор остается открытой.
И в сложившейся ситуации можно только придерживаться основных аспектов.
Для более успешной адаптации на первых уроках необходимо познакомить
учащихся и родителей с требованиями, предъявляемые учителем-предметником, а
именно: о правилах ведения рабочих тетрадей, о нормах оценок за устный ответ, за
письменную работу, о подготовке домашнего задания.
Чтобы пятиклассникам было легче адаптироваться к новым условиям, нужно
использовать методические приёмы, которыми пользуются учителя начальных
классов. Реализовывать преемственность форм и методов организации учебной
деятельности. Чередовать виды деятельности на уроке. Применять игровые
моменты. Проводить физкультминутки. Важно, именно заинтересовать детей,
заниматься не однотипной работой на уроке, а давать нестандартные задания,
соответственно, ориентируясь на способности каждого из учащегося.
С целью активизации учащихся использовать формы и методы организации
урока, требующие от каждого ученика активного и осознанного участия.
Организовывать парную, групповую, самостоятельную работу.
Для нормализации учебной нагрузки с учетом возможностей детей
практиковать дифференцированные домашние задания.
Переходя из четвёртого класса в пятый, учащийся попадает в совершенно
новый мир. В средней школе коренным образом меняются условия обучения:
дети переходят от одного основного учителя к системе классный руководитель
– учителя-предметники. Каждый учитель по-своему ведёт урок, оценивает знания и
т. д. И зачастую школьник теряется в этом мире.
Одной из наиболее популярных проблем как раз и является адаптация к
новым учителям, что
сопровождается
чаще всего конфликтами, взаимным
недовольством учителей и учеников друг другом. Чтобы этого избежать,
необходимо учителям-предметникам договориться и выдвинуть в начале учебного
года единые требования к пятикласснику.
Психологами убедительно доказано, что детям младшего школьного возраста
крайне необходимо знать, чему новому они научились. У ребёнка должно быть
ощущение продвижения вперёд. Будет идеально, когда он может каждый день
сказать себе и окружающим, что нового он узнал в школе на уроках. Но
огромнейший минус в том, что в ныне действующую программу по математике для
начальных классов «заложены» месяцы, в течение которых ребёнок не узнаёт
ничего нового. Вот что говорит о пагубности низких темпов обучения Ш.А.
Амонашвили: «Традиционная педагогика учит: не надо спешить…от простого к
сложному, постепенно…Но медленный темп не соответствует психологии детского
возраста. Ребёнок изначально подвижен. Медленный темп обучения приводит к
замедлению умственного развития детей» [3, с.185].
Наличие характерных для начальной школы, а затем и пятого класса, малых
темпов продвижения в овладении новыми знаниями и длительных периодов, в
течение которых дети вообще не имеют возможности сказать себе и другим, чему
именно новому их научили, закладывают, как утверждают исследователи, прочный
фундамент устойчивого нежелания учиться. У школьника возникает отсутствие
интереса к учению, что, конечно же, не может не сказаться негативно в средних и
старших классах. Выход в том, чтобы более эффективно изучать действующий
материал и за счёт этого включать в работу задачи повышенной трудности,
направленные на подготовку к дальнейшему обучению.
Рассмотренные правила действий с десятичными дробями доказательно
показывают, что их теоретические основы практически полностью совпадают с
правилами выполнения действий над натуральными числами. Поэтому успешность
овладения вычислениями в новых числовых множествах в 5-6 классах во многом
определятся сформированностью вычислительных навыков учащихся в период
обучения в начальной школе.
Учитель начальных классов должен сформировать у учащихся твёрдые,
неформальные
знания
правил
выполнения
арифметических
действий
над
натуральными числами, при этом он сам должен чётко представлять теоретические
основы их выполнения. Поясним сказанное на примере.
Как показывает анализ методической литературы и наш собственный опыт
работы, операции сложения и вычитания натуральных чисел учащиеся начальной
школы усваивают достаточно хорошо. Но при изучении десятичных дробей в 5-6
классах в примерах на сложение и вычитание самыми распространёнными
ошибками являются ошибки при записи в столбик.
И этому есть объяснение. Дело в том, когда изучается сложение и вычитание
натуральных чисел, учитель, произнося верные слова о необходимости выполнения
сложения и вычитания по разрядам, в действительности обращает основное
внимание на выравнивание записей, на то, не сдвинуты ли в записях последние
цифры каждого из чисел. Естественно, выполняя рассматриваемые действия, дети
тоже думают, прежде всего, о выравнивании записей, совершенно забывая о
разрядах.
В начальной школе это оправдано, так как последняя цифра любого числа всегда стоит в разряде единиц. Но когда они "дорастают" до сложения и вычитания
десятичных дробей, то пытаются и здесь выравнивать записи.
Похожих примеров можно привести достаточно много. Это и умножение, и
деление на 10, 100, 1000, и алгоритм деления в столбик, и другое.
Таким образом, необходимость перестройки и совершенствования начального
образования является одной из актуальных проблем современной школы.
Преемственность в обучении, кроме того, является нужным условием
реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выдвигается на
передний план. Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд
частных задач.
Прежде
всего,
необходимо
разобраться,
каковы
особенности
ныне
действующих учебников математики для начальной школы и среднего звена, что
именно препятствует обеспечению преемственности в выполнении арифметических
действий
над
натуральными
числами
и
десятичными
дробями,
выделить
рекомендации и определенные задания по предотвращению данной проблемы.
ВЫВОДЫ ГЛАВЫ I
1. Как показывают педагогические исследования, преемственность является
очень значимым условием образовательного процесса. Если это условие не
соблюдать, то в процессе обучения детей возникнет не прогресс, а, наоборот,
регресс, остановится развитие и не произойдет никакого дальнейшего движения
вперед. Следовательно, стремление найти пути максимально эффективного
обучения требует учета преемственности как необходимого условия успешности
обучения и ставит задачу поиска путей ее реализации.
2.
Преемственность
обеспечивает
взаимосвязь
между
важнейшими
компонентами и ступенями обучения, способствует постепенному приращению
знаний и перерастанию совокупных представлений и понятий в целостную систему
обобщенных знаний, умений и навыков.
3. Всё более актуальной становится проблема разработки целостной методики
изучения математики в 1-6 классах школы, сориентированной на развитие
мышления
учащихся
в
процессе
усвоения
вычислительных
навыков
и
обеспечивающей преемственность в изучении математики.
4. Преемственность в содержании обучения трактуется как получение нового
знания на основе имеющегося. Выполнение действий над десятичными дробями
выполняется с опорой на соответствующие алгоритмы для многозначных
натуральных чисел. Недостаточные вычислительные навыки школьников во
множестве натуральных чисел делают практически невозможным усвоение
действий с десятичными дробями.
ГЛАВА 2
ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ФОРМИРОВАНИИ НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ В
ВЫПОЛНЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ
ЧИСЛАМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
2.1. Диагностика сформированности навыков выполнения арифметических
действий над натуральными числами у выпускников начальной школы
(Констатирующий эксперимент)
Констатирующий эксперимент нашей квалификационной работы проходил на
базе МБОУ СОШ №6 г. Батайска Ростовской области в два этапа.
Целью опытно-экспериментальной работы являлось выявление уровня
сформированности вычислительных навыков
арифметических действий
над
натуральными числами у выпускников начальной школы, а также определение
уровня освоения планируемых результатов обучения в соответствии с ФГОС НОО.
Исходя из поставленной цели, нами были поставлены следующие задачи:
1) определить критерии оценки уровня сформированности вычислительных
навыков арифметических действий над натуральными числами;
2)
определить
задания
для
выявления
уровня
сформированности
вычислительных навыков арифметических действий над натуральными числами у
учащихся экспериментальной группы;
3) провести диагностическую контрольную работу;
4) проанализировать полученные результаты.
Первый этап констатирующего эксперимента проводился на базе 4 «Б»
класса МБОУ СОШ №6 г. Батайска Ростовской области в мае 2015-2016 учебного
года. В итоговой диагностической контрольной работе по начальному курсу
математики принял участие 21 человек. Класс занимался в начальной школе по
учебникам математики Л. Г. Петерсон (УМК «Школа 2000…»)
Планируемыми
результатами
начальной школы являлись:
контрольной
работы
для
выпускников
• выполнение письменно действий с многозначными числами (сложение,
вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах
10000) с использованием таблиц сложения и умножения чисел, алгоритмов
письменных арифметических действий;
• вычисление значения числового выражения;
• выделение
неизвестного
компонента
арифметического
действия
и
нахождение его значения.
• выполнение арифметических действий с величинами;
• решение текстовой задачи.
Для достижения планируемых результатов обучения, учащиеся должны
обладать следующими знаниями, умениями и навыками:
 понимать смысл арифметических действий (сложения, вычитания, умножения,
деления);
 знать таблицы сложения и умножения;
 понимать смысл деления с остатком, выделять неполное частное и остаток.
 знать алгоритмы выполнения арифметических действий над многозначными
числами;
 уметь выполнять арифметические действия с использованием алгоритмов
(сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное
числа в пределах 10000);
 уметь выделять и находить неизвестный компонент арифметического
действия;
 уметь выполнять арифметические действия над величинами:
 уметь решать текстовые задачи в 2 действия.
Все задания итоговой контрольной работы были построены на основе системы
знаний, представлений и умений, определенных в содержании предмета и
отраженных в планируемых результатах обучения математике в начальной школе.
Они направлены на проверку освоение выпускниками знаний и умений по
математике, которые необходимы для дальнейшего обучения в основной школе.
Задания разбиты на два блока – базовый уровень и повышенный уровень сложности.
Школьникам предлагались стандартные учебные или практические задания, в
которых очевиден способ решения, изученный в процессе обучения. Общий уровень
сложности итоговой работы средний.
Задания и структура итоговой работы представлены в Приложении 2.
Время выполнения диагностической контрольной работы 45 минут.
Отметим, рекомендации по проверке и оцениванию работы.
В заданиях с выбором ответа из четырех предложенных вариантов ученик
должен выбрать только верный ответ. Если учащийся выбирает более одного ответа,
то задание считается выполненным неверно.
В заданиях с кратким ответом учащийся должен записать требуемый краткий
ответ. Если учащийся, наряду с верным ответом приводит и неверные ответы, то
задание считается выполненным неверно.
Выполнение каждого задания базового уровня сложности оценивается по
дихотомической шкале: 1 балл (верно) – указан только верный ответ, 0 баллов –
указан неверный ответ, ответ отсутствует.
Выполнение каждого задания повышенного уровня сложности оценивается в
соответствии с рекомендациями, предложенными в следующей таблице, по шкале:
2 балла
– приведен полный верный ответ;
1 балл
– приведен частично верный ответ;
0 баллов – приведен неверный ответ или ответ отсутствует.
Правильные ответы и рекомендации по проверке заданий контрольной работы
см. Приложение 3.
Таким образом, верно выполненная работа оценивалась в 27 баллов.
Исходя из этого, приведем следующий перевод баллов в четырехбалльную
шкалу оценивания:
0 – 10 баллов: оценка «2»;
11 – 16 баллов: оценка «3»;
17 – 22 балла: оценка «4»;
23 – 27 баллов: оценка «5».
Придерживаясь темы нашего квалификационного исследования, итоговые
контрольные
работы
нами
были
проанализированы
с
точки
зрения
сформированности у учащихся 4 класса навыков выполнения арифметических
действий над натуральными числами.
Поэтому особое внимание нами было уделено заданиям 2 – 6; 9; 11; 16 и 20.
Задание №2 содержит не только вычислительные знания, но и умение
определять порядок действий в примере.
Задание №3 включает в себя умения с помощью условий задачи составлять
выражения, отвечающие на поставленный вопрос.
Задание №4 основывается частично на логике и вычислительных навыках,
когда ученик должен увидеть последовательность определенных чисел, и он должен
записать как минимум два следующих числа, идущих за данными.
Задания №5 - №6 связаны с навыком деления и деления с остатком.
Задание №9 – текстовая задача, которая решается с помощью различных
арифметических действий.
Задания №11, №16 и № 20 являются более сложными. Эти задания уже
содержат представления, условия, которые приближены к реальным ситуациям
жизни. Так, задачи под номерами 11 и 16 решаются в несколько действий, а в
задании №20 необходимо верно ответить на несколько поставленных вопросов. Как
показывает анализ их выполнения, с ними не справились даже некоторые «сильные»
ученики (см. Приложение 4).
На представленной круговой диаграмме видно, что из 21 человека, меньше
всего учащихся (38% - 8 учащихся) справились с заданием №11.
Самыми простыми для детей оказались задания № 2, 3, 4, 5 и 6. Это очевидно,
так как в них проверяются основные базовые знания, умения, навыки, которыми
должен обладать абсолютно каждый выпускник начальной школы. Тем не менее в
классе были учащиеся (от двух до пяти человек в классе), которые и эти задания
выполнили неверно.
Качественный анализ результатов показал, что большинство вычислительных
ошибок было допущено при выполнении:
- алгоритма вычитания чисел;
- алгоритма деления и умножения чисел;
- порядка выполнения действий;
- решение задач с помощью арифметических действий.
При общем анализе контрольных работ в 4 «Б» классе было выявлено:
Всего учащихся по списку – 21 человек;
Выполняло работы – 21 человек (100%);
Выполнило всю работу без ошибок – 1 человек (4,8%).
Оценка «5» - 3 человека (14%)
Оценка «4» - 13 человек (62%)
Оценка «3» - 5 человек (24%)
Оценка «2» - 0 человек ( 0 %)
На основании полученных результатов, можно сделать следующие выводы:
• уровень обученности и сформированности общеучебных и специальных
умений и навыков соответствует требованиям федеральных программ, а так
же стандартам по математике и составил 100%;
• анализ работы показал, качество знаний учащихся по математике составило
76% .
• учащиеся в целом усвоили материал по разделам программы по математике,
полученные навыки и знания смогли применить на практике.
• однако следует обратить внимание на ошибки допущенные учащимися в
контрольной работе.
Второй этап констатирующего эксперимента проводился с этими же
учениками, но уже учащимися 5 «Б» класса, в сентябре 2016 – 2017 учебного года
как входная контрольная работа.
Вообще, входная контрольная работа является обязательными элементом
обучения при переходе в основную школу. Такие контрольные проводятся в
сентябре в 5-х классах во всех школах и по всем предметам. Они проводятся с
целью определения уровня достижения основных планируемых результатов
обучения, определенных ФГОС НОО.
Входная
работа
по
математике
в
экспериментальном
классе
была
проанализирована нами с точки зрения сформированности у учащихся основных
знаний, умений и навыков выполнения арифметических действий над натуральными
числами к началу обучения в 5 классе в соответствии с требованиями обязательного
минимума
к
содержанию
базового
курса
математики
в
основной
общеобразовательной школе. Контрольная работа была рассчитана на один урок (45
минут).
Ее структура и сами задания значительно отличаются от итоговой работы (см.
Приложение 5).
Текст контрольной работы содержит 3 блока заданий в соответствии с
уровнем сложности их выполнения.
Уровень А: включает в себя 12 заданий, рассчитанных на репродуктивное
воспроизведение ответов (определений, законов), решение текстовых задач в одно
действие, перевод величин из одних в другие, решение простых уравнений,
проведение стандартных вычислительных операций. Учащийся может выбрать из
них для ответа или решения любые 9. Выполнение заданий группы А рассчитано на
15 минут. Варианты ответов заносятся учащимся в бланки (прилагаются) и сдаются
учителю по истечении отведенного времени.
Уровень В: включает в себя 3 задания, рассчитанных на применение известной
информации в новой ситуации, решение текстовых задач в несколько действий,
проведение вычислений и расчетов средней сложности. Учащийся может выбрать из
них для решения любые два.
Уровень С: включает в себя 2 задания повышенной сложности, требующие
вероятностного применения известных закономерностей и умений в нестандартных
условиях, решение сложных примеров в несколько действий. Выполнение этих
заданий рекомендуется после решения заданий группы В. Учащийся может выбрать
из них для решения любое одно.
На
выполнение
с
полными
обоснованиями
заданий
уровней
В
и
С отводится 30 минут учебного времени. Выполнение этих заданий производится на
отдельных листах бумаги. По истечении урока листы с решениями сдаются
учителю. По окончанию контрольной работы бланки ответов и листы с решениями
учащихся сортируются по вариантам и оцениваются в соответствии с шаблоном
ответов.
Для получения отметки «3» учащимся достаточно правильно выполнить
любые 9 заданий из группы А.
Для получения отметки «4» дополнительно к ним необходимо правильно
выполнить любые 2 задания группы В.
Оценка «5» ставится при обязательном выполнении 9 заданий из группы А, 2
заданий группы В, одного задания из группы С.
Рекомендации по оцениваю входной контрольной работы.
За каждое верно выполненное задание базового уровня (часть А) ученик
получает один балл. За выполнение задания среднего уровня (часть В) ученик
может получить 0, 1 или 2 балла. И за правильно выполненные задания части С
учащийся может набрать 0, 1, 2 или 3 балла. Максимальное количество баллов за
выполнение работы 23 балла.
Чтобы выставить оценку, необходимо подсчитать общее количество баллов,
набранных за выполненные задания и посмотреть на критерии оценивания. Исходя
из критериев и градации баллов, можно выделить следующее:
- 0 – 8 баллов – оценка «2»;
- 9 – 13 баллов – оценка «3»;
- 14 –18 баллов – оценка «4»;
- 19 – 23 баллов – оценка «5».
Как было отмечено выше, входную контрольную работу мы анализировали с
точки зрения сформированности навыков выполнения арифметических действий
над натуральными числами у учащихся экспериментального класса к началу
обучения в основной школе. Поэтому особое внимание нами было уделено заданиям
№1 - №6; №9 - №11 (Уровень А); заданиям №1 - №3 (уровень В); заданию №1
(Уровень С).
В работе нами были выделены блоки и умения, проверяемые заданиями
каждого блока:
1) Натуральные числа и арифметические действия над ними (А1 – А5; В1):
- выполнять сложение и вычитание немногозначных и многозначных чисел,
умножение и деление на одно-дву-трехзначное число;
- выполнять проверку правильности вычислений, находить неизвестные
компоненты действий.
2) Числовые выражения (А6, С1):
- устанавливать правильный порядок выполнения арифметических действий
над натуральными числами;
- выполнять верно арифметическое действия над натуральными числами.
3) Текстовые задачи (В2, В3):
- используя взаимосвязь между величинами (ценой, количеством и
стоимостью товара; скоростью, временем и расстоянием и др.) и значения
известных величин, находить неизвестную величину;
- выражать арифметическим действием смысл отношений «больше на (в)»,
«меньше на (в)» между величинами;
- решать текстовые задачи в одно – два – три действия.
Результаты выполнения заданий представлены в Приложении 6.
Из данных таблицы мы видим, что далеко не все справились со всеми
заданиями хорошо. Самые элементарные – это задания части А, с ней должны были
справиться все, но результаты говорят об обратном. Сравнивая результаты итоговой
и входной контрольных работ, можно сделать вывод, что за летние каникулы у
детей образовались серьезные пробелы, которые, как показывает практика, придется
устранять не один месяц обучения в средней школе сразу.
Но также хочется отметить, что некоторые ученики смогли достойно
справиться и с заданиями части С. Таких детей всего 5 человек (24%). Задание №1
третьей части являлось самым сложным из всей работы, за которое можно было
набрать самый максимальный балл. Оно направлено на умения выполнять все
арифметические действия с многозначными числами. Многие из учащихся начали
делать этот пример правильно, но остановились на половине пути.
Анализ выполнения заданий входного
контроля 5 "Б" класса
33%
5%
57% 24%
0
100%
А3
А5
95%
90%
А2
А4
43%
100%
А1
95%
А6
В1
В2
В3
С1
Исходя из диаграммы, мы можем сказать, что не только С1 оказалось самым
сложным для учащихся, но и В1 и В3. По поводу задания В1 хочется отметить, что
оно состояло из двух примеров на умножение и деление, и при составлении
диаграммы мы в основу взяли только тех учеников, которые выполнили оба
примера. Есть много детей, которые выполнили только задание на умножение и
получили свой балл, или, наоборот, только деление. Если бы мы считали и тех, кто
выполнил только половину от всего задания верно, то процент был бы гораздо
больше, а именно 76% вместо наших 33%. Это говорит о том, что не всем учащимся
дано выполнять и деление, и умножение с многозначными числами.
Самыми простыми для учеников 5 «Б» класса оказались задания №1 (на
нахождение суммы чисел) и №5 (решение простого уравнения) первой части. С
этими заданиями справились все учащиеся (100%). Также почти весь класс
справился с заданиями А2 (95%), А3 (95%) и А4 (90%).
При общем анализе контрольных работ в 5 «Б» классе было выявлено:
Всего учащихся по списку – 21 человек;
Выполняло работы – 21 человек (100%);
Выполнило всю работу без ошибок – 0 человек.
Оценка «5» - 5 человека (19%)
Оценка «4» - 8 человек (38%)
Оценка «3» - 4 человека (19%)
Оценка «2» - 5 человек (24%)
Большинство допущенных ошибок было на:
- алгоритм деления и умножения чисел многозначных чисел;
- порядок выполнения действий над многозначными натуральными числами;
- решение текстовых задач с помощью арифметических действий.
На основании подведения итогов, можно сформулировать следующие выводы:
•
уровень обученности и сформированности общеучебных и специальных умений
и навыков
соответствует требованиям федеральных программ, а так же
стандартам по математике и составил 76%;
•
анализ работы показал, качество знаний учащихся по математике составило
57%;
•
не многие, но большинство учащихся усвоили материал по разделам программы
по математике, полученные навыки и знания смогли применить на практике.
•
однако следует обратить внимание на увеличение вычислительных ошибок,
допущенных учащимися 5-го класса во входной контрольной работе в сравнении
с контрольной на выходе из 4-го класса.
Таким образом, мы провели тщательный анализ между двумя важнейшими
для учащихся и учителей контрольными работами (итоговой в начальной школе и
входной в основной школе). Итоговые результаты этих работ представлены в
Приложении 7 и на диаграмме ниже.
Сравнение результатов итоговой и входной
контрольных работ
15
количество 10
учащихся
5
4 класс
5 класс
0
"5"
"4"
"3"
"2"
оценка
На диаграмме наглядно видно, что даже в одном и том же класс одни и те же
ученики лучший результат по математике показали на выходе из начальной школы,
а в начале 5 класса, в основном, идет отрицательная динамика.
Эта ситуация не является неожиданной для учителей. Выделим основные
проблемы, с которыми сталкивается учитель, начинающий работать с учениками 5
класса.
Это, прежде всего, проблемы психологического характера, которые были
подробно рассмотрены нами в Главе 1 настоящей работы.
Вторая группа проблем связана с несоблюдением преемственности в
содержании, формах и методах обучения в начальной и основной школе.
И,
следующая
группа
определяется
недостаточно
сформированными
знаниями, умениями и навыками выполнения арифметических действий над
натуральными числами, которые, к тому же, просто забылись за летние каникулы.
Поэтому учителю, начинающему работать в 5 классах, необходима большая работа
по повторению и коррекции имеющихся знаний и умений учащихся.
2.2. Методические рекомендации по преемственности формирования
вычислительных навыков учащихся над натуральными числами в начальной
и основной школе
2.2.1. Общие методические рекомендации по преемственности обучения
математике между начальной и основной школой
Как отмечалось ранее, одной из значимых образовательных задач, стоящих
перед начальной школой является формирование у детей прочных и осознанных
навыков выполнения арифметическим действий с натуральными числами. Исходя из
наших наблюдений, а также из бесед с учителями и данных, опубликованных в
научных и методических статьях, в целом начальная школа справляется с этой
задачей
успешно.
Неуспевающих
среди
школьников
начальных
классов
практически нет, а средний балл успеваемости достаточно высок.
Но, при переходе в пятый класс, ситуация меняется, успеваемость
пятиклассников
падает.
Это
подтверждается
и
результатами
нашего
констатирующего эксперимента. Причиной этого могут быть и проблемы
психологического характера, связанные с периодом адаптации перехода в основную
школу, и причины методического характера, связанные с несоблюдением
преемственности в содержании, формах и методах обучения в начальной и основной
школе.
Чтобы избежать проблем обучения такого характера, можно дать следующие
методические
рекомендации
учителям
начальных
классов
и
учителям-
предметникам, которые сменят их в 5 классе.
1. Прежде всего, посещение уроков в выпускных классах начальной школы
с целью знакомства со структурой урока, с формами и методами организации
учебной деятельности, стиля взаимоотношений учителя начальных классов с
учащимися, а также их связь между собой.
2. Необходимость посещения уроков в 5-х классах учителями начальной
школы с целью наблюдения за детьми
начальных
классов
обязательно
в
адаптационный период. Учителя
должны
давать
рекомендации учителям-
предметникам по организации индивидуальной дифференцированной работы на
уроке с учетом особенностей учащихся данного класса.
3. Проводить анализ работы по организации адаптационного периода
учащихся 5-х классов и анализировать результаты входных контрольных работ.
4. Во втором полугодии в 4-х классах педагогам начальной и средней
школы следует знакомить учащихся с перечнем предметов, которые они будут
изучать в 5-м классе.
5. Проводить экскурсии по школе, знакомить будущих выпускников
начальной школы с кабинетами и учителями основной школы.
6.
Учителям
начальной
школы
целесообразно
подготовить
на
каждого выпускника развернутую характеристику, в которой нашли бы отражение
личностные и характерологические особенности, интеллектуальные возможности (в
том
числе
темп
деятельности,
интересы, самооценку, уровень
притязаний),
мотивы
а
также
учебной
деятельности
особенности
семейной
ситуации, положение в классе среди других учащихся и т.д. Это значительно
облегчит как работу учителя-предметника, так и снизит проблемы адаптационного
периода для учащихся.
7. На первом этапе обучения в 5-м классе целесообразно оценочную
деятельность строить в авансирующем ключе, подробно объяснять школьникам, за
что они получили ту или иную оценку. Оценочная деятельность на этом этапе
должна носить стимулирующий и поддерживающий характер.
8. Уделять больше внимания формированию учебных умений и навыков,
способам самостоятельной, контрольно-оценочной деятельности, учить работать в
умcтвенном плане действий.
9. Преподавателям учитывать, что в средней школе падают познавательные
мотивы учебной деятельности учащихся, на смену ведущей деятельности ребенка учебе
-
приходит новая ведущая деятельность - общение. Для поддержания
мотивации к учебе в основной школе следует больше использовать возможности
сотрудничества сотрудничества школьников на уроке, поддерживать авторитет в
классе, переходить с репродуктивного на продуктивный уровень
обучения
(развивать умения находить и сопоставлять
решения
несколько
способов
задачи, искать нестандартные способы решения).
Основные приемы и методы, которые следует использовать при изучении
темы «Натуральные числа» в 5 классе:
1) объяснительно-иллюстративный;
2) частично-поисковый;
3) проблемный рассказ;
4) решение познавательных задач.
Самыми
важными
и
основными
средствами
обучения
действий
с
натуральными числами должны являться: применение наглядных пособий,
дидактического материал, технических средств обучения и использование задач,
которые способствуют осуществлению принципов сознательности и прочности
усвоения знаний учащимися. Кроме наглядных пособий необходимо, чтобы были
широко распространены технические средства обучения: диафильмы, видеофильмы,
компьютерные
программы.
Также,
значительное
место
занимает
учет
индивидуальных особенностей учащихся. Для закрепления пройденного материала
необходимо использовать: дополнительные занятия на тренировку внимания,
раздаточный дидактический материал, включающий описание заданий по каждому
этапу урока, самостоятельную работу.
В целом, целесообразно стремиться к достаточно высокому темпу урока, но
без перегрузки и утомления детей, к высокому познавательному уровню
коллективной учебной работы, но с опорой на самостоятельную деятельность
школьников.
2.2.2. Методические рекомендации по преемственности формирования
навыков сложения и вычитания натуральных чисел у учащихся начальной и
основной школы
Как показывает опыт нашей работы, опросы учителей и анализ методических
исследований,
учителя
средней
школы
жалуются
на
плохую
подготовку
выпускников начальной школы, на то, что дети, имеющие, например, четвёрку по
математике в 4 классе, в начале пятого класса отвечают на слабую «тройку». Это, в
частности, подтверждается и результатами нашего констатирующего эксперимента.
Объяснить такое положение можно тем, что учащиеся многое забыли за лето, и тем,
что у них не были сформированы достаточно прочные навыки вычислений, которые
без постоянного повторения и тренировок просто «потерялись»
Поэтому обучение в 5 классе во многих курсах математики начинается
разделом «Повторение». Это очень важный раздел, который дает возможность
повторить, скорректировать знания и умения учащихся, поэтому не стоит жалеть
времени на его изучение. Повторение в начале 5 класса позволяет учителю
добиться действительно осмысленного и уверенного владения школьниками
всеми четырьмя арифметическими действиями над натуральными числами, без
чего невозможно дальнейшее обучение.
Как нами отмечалось ранее, систематическое повторение во многих
исследованиях отождествляется с преемственностью обучения. Такое понимание
преемственности характерно для многих действующих учебников математики
для начальной школы. Запоминание рассматривается как большое число
повторений, а повторение осуществляется в результате решения большого
количества однотипных упражнений на протяжении всего обучения. Навыки,
сформированные в результате такого повторения, с большой скоростью
теряются, как только перестают быть предметом целенаправленной отработки.
Поэтому при переходе в 5 класс и наблюдается потеря вычислительных навыков.
Повторение только в том случае будет способствовать преемственности,
если на каждом новом этапе это не будет повторение одинаковых тех же самых
упражнений, выполняемых теми же самыми способами. В упражнениях на
повторение
непременно
должно
появляться
новое.
Для
того,
чтобы
преемственность действительно осуществлялась, повторение должно быть
органически включено в новую тему и по мере развития темы должно
соответственным образом меняться, не сводясь лишь к механическому
повторению одних и тех же упражнений.
Как показывает опыт нашей работы, отведенного программой 5-го класса
времени
на
повторение
начального
курса
математики
катастрофически
недостаточно.
Входная контрольная работа позволяет лишь определить уровень владения
школьниками вычислительными навыками, но не дает возможности выделить
характер ошибок и пробелов в знаниях и умениях учащихся, а, следовательно,
устранить их в процессе повторения.
Поэтому в экспериментальном 5 «Б» классе в начале сентября нами были
проведены проверочные работы по следующим темам: сложение и вычитание
натуральных чисел; умножение и деление натуральных чисел. Основной целью
таких работ являлась проверка базовых знаний учащихся, выявление пробелов по
заданным темам, определение основного типа ошибок.
Так, проверочная работа на сложение и вычитание натуральных чисел (См.
Приложение 8) состояла из 8 заданий. Каждое из них, кроме проверки
вычислительных навыков, содержало элементы проверки и других знаний
учащихся.
Задание 1 на проверку знаний классов и разрядов, на знание алгоритмов
сложения
и
вычитания,
умения
выполнять
действия
над
натуральными
многозначными числами столбиком.
Задание 2 направлено на понимание смысла сложения и вычитания, умения
решать текстовые задачи арифметическим способом.
Задания 3, 6 и 8 проверяло знание свойств сложения и вычитания и умения их
применять на практике для упрощения вычислений, а Задание 4 – на умения
сравнивать многозначные натуральные числа.
Задание 5 направлено на нахождение результата буквенного выражения при
заданных значениях букв.
Задание 7 проверяло умения выполнять действия с величинами.
Чтобы получить оценку «3», необходимо было правильно решить три этих
задания. Далее упражнения усложняются. Для того, чтобы получить оценку на балл
выше, необходимо выполнить еще одно задание. Но для его выполнения ученику
важно знать свойства вычитания (вычитание суммы из числа и разности из числа) и
правильность сравнения результатов при вычислении.
Количественный анализ контрольной работы дал следующие результаты:
1) оценка «2» - два человека (10%);
2) оценка «3» - семь человек (33%);
3) оценка «4» - десять человек (47%);
4) оценка «5» - два человека (10%).
На основании этого, можно сделать следующие выводы:
• уровень обученности и сформированности общеучебных и специальных умений и
навыков соответствует требованиям федеральных программ, а так же стандартам
по математике и составил 90%;
• анализ работы показал, качество знаний учащихся по математике составило 57% .
• большая часть учащихся усвоили материал по разделу программы по математике,
полученные навыки и знания смогли применить на практике.
Укажем основные типы ошибок, допущенных учащимися, и приведём
примеры упражнений, которые мы использовали в практике своей работы для их
устранения.
1. 17 824+ 128 356 = 136 180 – забыли таблицу сложения;
15 327+ 496 383 = 511 700 – забыли прибавить единицу, которую
запоминали, в разряде десятков. Для устранения - проводили тщательную работу на
устный счет.
Аналогичные ошибки были допущены и в вычитании (забыли, что занимали в
определенном разряде; забыли таблицу вычитания).
2. 17824
+ 128356
306596 - неправильный алгоритм сложения.
Для устранения – проводилась работа на повторение алгоритма сложения и
повторение разрядов чисел (единицы пишутся под единицами, десятки под
десятками и т.д.). Аналогичные ошибки мы увидели и в вычитании.
3. 143 + 17 = 160 (авт.) – не понимание условия задачи.
Для устранения - давались однотипные задачи с разными условиями и
задавались наводящие вопросы, которые привели к верному пониманию смысла
задачи и условия (было…, что на … больше/меньше).
Также к задаче применялись различные схемы и наглядные рисунки.
4. 212 + 497 + 788 + 803 – считали каждое действие по порядку, при этом не
видя, что можно это сделать гораздо проще (или просто не прочитали задание, в
котором указано, что нужно вычислить, выбирая удобный порядок). Для устранения
– повторение устного счета, также давалось большое количество подобных
упражнений, начиная с трех слагаемых и заканчивая шестью и т.д.
5. 1 674 – (736 + 328)
2 000 – (1 835 – 459) – ничего не вычисляя, писали
сразу ответ.
Для устранения – перед такими заданиями всегда необходимо сделать наводку
и пояснить, что обязательно необходимо посчитать то, что слева от знака
неравенства, потом – справа и сравнить результаты. А уже на основании результатов
сделать вывод и написать ответ.
6. (837 + 641) – 537 = 1478 – 537 = 941 – не знают свойств вычитания.
Для устранения – четко проследили, чтобы свойства были выучены. Как
только учащиеся выучили эти свойства, так они сразу поняли, что данное задание
можно вычислить устно.
7. 40 – 7р = 40 – 7*4 = 33*4 – забыли порядок действий.
Для устранения – напомнили порядок действий и проследили, как они
справляются с аналогичными заданиями.
Приведем конкретные примеры упражнений, которые мы использовали в
практике своей работы для устранения вышеперечисленных ошибок:
1) На повторение таблицы сложения, приемов сложения и вычитания
Вычислить устно:
4+9
18 – 6
19 + 10 – 17
19 + 7
97 – 67
60 – 8 + 32
34 + 36
86 – 78
76 + 27 – 16
2) На повторение алгоритмов сложения и вычитания
Вычислить:
127 + 169
1 896 + 177
65 793 + 78
96 123 654 + 15 964
968 – 126
1 743 – 897
39 643 – 4 589
9 647 856 – 4 733
3) На повторение конкретного смысла арифметических действий
Решить следующие задачи, используя схему или рисунок:
- у Маши было 7 конфет, что на 3 меньше, чем у Вани. Сколько конфет у Вани?
- на одной тарелке лежит 19 яблок, что на 5 больше, чем на другой тарелке. Сколько
яблок лежит на второй тарелке?
- на первой грядке было 164 капусты, что на 95 меньше, чем на второй грядке.
Сколько капусты на второй грядке?
4) На повторение свойств сложения и вычитания:
Вычислить, выбирая удобный порядок действий:
36 + 8 + 14
93 + 25 + 57
194 + 691 + 6
745 + 214 + 25 + 236
Верны ли следующие неравенства:
941 – (75 + 193) > (712 + 249) – 237
(7126 + 945) – 2699 < 10000 – (3671 + 1979).
Вычислить:
736 – (124 + 236)
9657 – (1657 + 750)
(999 + 238) – 199
(1263 + 1622) – 263
Найти значение выражения:
5а – 3, если а = 6; 8; 12;
65 – 4с, если с = 1; 3; 10;
6а – 3с, если а = 6, с = 7.
Таким образом, проверочная работа позволила нам выявить основные типы
ошибок учащихся, а правильно организованная работа по построению эффективно
исправить их. Это подтверждается итогами аналогичной проверочной работы,
которая была дана нами после серии уроков по повторению.
Сравнение контрольной работы и аналогичной
проверочной работы по сложению и вычитанию
натуральных чисел
15
10
количество
учащихся
Контрольная
работа
5
Проверочная
работа
0
"5"
"4"
"3"
"2"
оценка
2.2.3.
Методические рекомендации по преемственности формирования
навыков умножения и деления натуральных чисел учащихся начальной и
основной школы
Аналогичная
пятиклассников
работа
по
проводилась
повторению,
нами
в
устранению
экспериментальном
пробелов
классе
знаний
по
теме
«Умножение и деление натуральных чисел». Для выявления основного типа ошибок
нами была проведена проверочная работа (См. Приложение 9).
Задание №1 направлено на знание алгоритмов умножения и деления и
проверку навыков их выполнения.
Задание №2 кроме вычислительных навыков, поверяло знания порядка
выполнения действий.
Для решения Задания №3 учащиеся должны знать связь между компонентами
и результатами арифметических действий и правила их нахождения.
Задание №4 было дано на проверку знаний свойств умножения и их
применения для нахождения значения выражения удобным способом.
В Задании №5 проверяло умение решения текстовой задачи арифметическим
способом и последнее задание №6 (дополнительное) направлено на проверку знания
формул на нахождение пути, скорости и времени.
Как показал анализ результатов, эта проверочная работа оказалась достаточно
трудной для учащихся:
1) оценка «2» - шесть человек (28%);
2) оценка «3» - пять человек (24%);
3) оценка «4» - шесть человека (28%);
4) оценка «5» - четыре человека (19%).
На основании подведения результатов контрольной работы, нами были
получены следующие выводы:
• уровень обученности и сформированности общеучебных и специальных
умений и навыков соответствует требованиям федеральных программ, а так
же стандартам по математике и составил 71%;
• анализ работы показал, качество знаний учащихся по математике составило
48% .
• не малая часть учащихся не до конца усвоили материал по разделу программы
по математике, полученные навыки и знания смогли применить на практике
далеко не все.
Укажем основные типы ошибок, допущенных учащимися, и приведём
примеры упражнений, которые мы использовали в практике своей работы для их
устранения.
1. 36 ∙ 2 418 =87 042; 1 856 : 32 = 56 – в обоих случаях забыли таблицу
умножения.
Для устранения – повторялась таблица умножения и давались простые
примеры на устный счет.
2. 175 ∙ 204 = 2800 – забыли, что при умножении на нуль, нужно число
сместить на один разряд влево.
Для устранения – давались похожие задания, где необходимо сместить
слагаемое влево на один, два и т.д. разрядов.
3. 177 000 : 120 – просто получен неверный ответ/получился остаток, когда его
в данной теме быть не должно.
Для устранения – повторяли таблицу умножения, а также алгоритм деления,
акцентируя внимание на внимательности каждого ученика.
4. (625 ∙ 25 – 8 114) : 37 – получен неправильный ответ в связи с
вышеупомянутыми ошибками, но и многие просто напросто забыли порядок
действий.
Для устранения – напомнили порядок действий и проследили, как они
справляются с аналогичными заданиями.
5.  ∙ 14 = 364
 = 364 ∙ 14
312 :  = 8
 = 8 ∙ 312 – в обоих случаях не знают компоненты
умножения и деления и как они находятся.
Для устранения – четко проследили, чтобы каждый учащийся мог легко
определить любой из компонентов деления или умножения; знал правило
нахождения неизвестного в уравнении.
6. 2 ∙ 83 ∙ 50 = 166 ∙ 50 =…
54 ∙ 73 + 73 ∙ 46 = 3942 + 3358 = 7300
В этих заданиях видно, что дети не знают свойств умножения. Для устранения
- четко проследили, чтобы свойства были выучены. Как только учащиеся выучили
эти свойства, так они сразу поняли, что данное задание можно вычислить намного
проще и быстрее.
7. 1) 7 + 9 = 16 (кг) – не понимание условия задачи.
Для устранения - давались однотипные задачи с разными условиями и
задавались наводящие вопросы, которые привели к верному пониманию смысла
задачи и условия (что именно нужно найти первым действием и объяснить, почему
нельзя было решать так, как решали ученики). Также к задаче обязательно
применялась краткая запись.
Теперь приведем конкретные примеры упражнений, которые мы использовали
в практике своей работы для устранения вышеперечисленных ошибок:
1) На повторение таблицы умножения, приемов умножения и деления
Вычислить устно:
4∙9
18 : 6
1000 : 10 : 5
17 ∙ 6
90 : 3
30 ∙ 20 : 60
5 ∙ 30
24 : 12
46 : 23 ∙ 4
2) На повторение алгоритма умножения
Вычислить:
109 ∙ 22
169 ∙ 403
69 ∙ 6004
907 ∙705
71 ∙ 207
1200 ∙ 48
4001 ∙ 239
1030 ∙ 6500
3) На повторение приемов деления и деления «уголком»
Вычислить:
81 : 9
90 : 9
24 : 12
490 :7
1368 : 2
6510 : 30
12 : 6
100 : 4
153 : 51
360 : 60
3636 : 4
3640 : 70
2352 : 98
115800 : 120
296838 : 478
7007 : 77
125202 : 542
29683800 : 47800
4) На повторение свойств умножения и деления
Вычислить наиболее удобным способом:
25 ∙ 64 ∙ 4
50 ∙ 67123 ∙ 2
5 ∙ 456 ∙ 20
8 ∙ 741 ∙ 125
133 ∙ 58 + 133 ∙ 42
122 ∙ 47 – 22 ∙ 47
62 ∙ 37 + 63 ∙ 62
2130 ∙ 4 – 4 ∙ 1130
Найти значение выражений:
(25 ∙ 85 – 1 114) : 3;
64 : (3956 – 47 ∙ 84) + 992;
(256 ∙ 81 – 369 ∙12) : (3535 – 149 ∙23).
Решить уравнения:
 ∙ 12 = 288
3012 :  = 4
35 ∙  = 1120
 : 36 = 36
6) На повторение конкретного смысла умножения и деления
Решить следующие задачи, используя краткую запись:
- за 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 740 рублей. Сколько стоит 1 кг печенья,
если 1 кг конфет стоит 187 рублей?
- для проведения ремонта электрической проводки купили 32 одинаковых мотков
алюминиевого и 7 одинаковых мотков медного провода. Общая длина купленного
провода составляла 920 м. Сколько метров алюминиевого провода было в мотке,
если медного провода в одном мотке было 40 м?
Таким образом, данная проверочная работа по умножению и делению
натуральных чисел позволила нам выявить основные типы ошибок учащихся, а
правильно организованная работа по повторению эффективно исправить их.
Этому свидетельствуют итоги аналогичной проверочной работы, которая была
дана нами после серии уроков по повторению.
Сравнение контрольной работы и аналогичной
проверочной работы по умножению и делению
натуральных чисел
количество
учащихся
10
8
6
4
2
0
Контрольная
работа
Проверочная
работа
"5"
"4"
"3"
оценка
"2"
2.3. Содержание и общеметодические требования к изучению арифметических
действий над десятичными дробями
По
программе
для
5
класса
в
учебниках
математики
авторов А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонских, М.С.Якир [29] с десятичными дробями
учащиеся знакомятся после изучения натуральных чисел и обыкновенных дробей.
Основная цель изучения десятичных дробей – сформировать умение читать,
записывать, сравнивать и округлять десятичные дроби, производить четыре
арифметических действия над ними.
В учебнике математике предусмотрено изучение следующего материала.
Глава 5. Десятичные дроби
§30. Представление о десятичных дробях.
От шестидесятеричных к десятичным дробям.
§31. Сравнение десятичных дробей.
§32. Округление чисел. Прикидки.
§33. Сложение и вычитание десятичных дробей.
Задание №5 «Проверьте себя» в тестовой форме.
§34. Умножение десятичных дробей.
§35. Деление десятичных дробей. [29, с. 302].
Программой по математике для 5 – 9 классов [30] авторского коллектива М. С.
Якир, А. Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.В. Буцко определены следующие
требования к знаниям и умениям пятиклассников по изучению десятичных дробей:
- понимать смысл десятичной дроби, как форму записи числа, иметь четкое
представление о разряде, десятичные знаки,
- знать правила сравнения, округления десятичных дробей
- производить четыре арифметических действия над десятичными дробями;
- уметь читать, записывать, сравнивать, округлять десятичные дроби;
- уметь применять свои знания на практике и в жизни;
- выполнять сложение, вычитание, умножение, деление десятичных дробей;
- округлять десятичные дроби до заданного разряда.
Любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с
одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или,
как говорят иначе, в виде десятичной дроби.
стотысячные
десятитысячные
тысячные
сотые
десятые
десятки
сотни
единицы
десятки
единиц
сотни
Тысяч
единицы
миллионов
десятки
миллиардов
сотни
Класс
единицы
Класс
десятки
Класс
сотни
Класс
единицы
Для десятичных дробей существует следующая разрядная сетка:
Как видим, большая часть таблицы должна быть усвоена учащимися в курсе
начальной математики. На основе этого, учащиеся знакомятся с десятичными
разрядами дробной части.
Учащиеся должны чётко усвоить, что с помощью десятичных дробей можно
записывать дробные числа. В этом случае слева от запятой стоят цифры целой
части числа, справа – дробной части. Цифры дробной части называются
десятичными знаками. Число 2,375 состоит из трёх десятичных знаков: 3, 7 и 5.
Чтоб прочитать десятичную дробь, надо:
- прочитать целую часть дроби как натуральное число и сказать слово
«целых»;
- прочитать, дробную часть как натуральное число не обращая внимания на
нули в начале дробной части, сказать название последнего разряда дробной части.
Изучение десятичных дробей позволяет закрепить знания учащихся о
натуральных числах, лучше осознать принцип десятичной системы счисления,
поместное значение цифр в числе, закрепить навыки выполнения арифметических
действий, глубже осознать свойства, преобразования и действия с дробями вообще.
Кроме того, это дает возможность обобщить знания учащихся обо всех изученных
числах.
Несомненно, десятичные дроби чаще используются в жизни и имеют большое
практическое применение, чем обыкновенные. С десятичными дробями учащиеся
будут встречаться практически везде.
Последовательность изучения десятичных дробей в большинстве курсов
математики следующая: получение и запись десятичных дробей, преобразование,
сравнение, арифметические действия, запись чисел, полученных при измерении
величин, в виде десятичной дроби и наоборот.
При изучении этой темы необходимо широко использовать различные
наглядные пособия: квадрат, разделенный на 100 равных клеток; отрезки, которые
разделены на 10 частей (метры, разделенные на дециметры, сантиметры и
миллиметры); таблица классов и разрядов десятичных дробей.
2.4. Преемственность в методике изучения арифметических действий над
десятичными дробями и натуральными числами (обучающий эксперимент)
2.4.1. Методика изучения сложения и вычитания десятичных дробей
Как было отмечено ранее, успех усвоения десятичных дробей во многом
зависит от знания учащимися нумерации натуральных чисел, свойств десятичной
системы счисления и десятичного соотношения мер метрической системы (длины,
стоимости, массы). Все эти знания необходимо возобновить в памяти учащихся
перед тем, как переходить к изучению десятичных дробей.
Изучение сложения и вычитания десятичных дробей опирается на знание
соответствующих действий с натуральными числами.
Изучать действия сложения и вычитания целесообразно параллельно, то есть
после каждого случая сложения давать соответствующий по трудности случай
вычитания.
Применение наглядных пособий и дидактического материала при изучении
арифметических действий с десятичными дробями ограничено.
Средством
наглядности служит сама запись арифметических примеров, особенно запись в
столбик.
Итак, прежде чем знакомить учащихся со сложением и вычитанием
десятичных дробей, необходимым условием для соблюдения преемственности
является повторение сложения и вычитания натуральных чисел.
Выделим последовательность изучения этого материала и основные приемы
вычисления:
1) сложение натурального числа с десятичной дробью (например, 6 + 0,4; 2 +
0,29; 27 + 5,096 и др.);
2) вычитание натурального числа из десятичной дроби (например, 9,4 – 4;
4,62 – 2; 16,253 – 10 и др.).
В обоих случаях действия выполняются устно, но только в том случае, если
натуральные числа небольшие. До учащихся надо довести то, что натуральные
целые числа складываются с такими же целыми или из целого числа вычитается
целое, а дробная часть не изменяется. Но также необходимо четко понимать, что
десятичная дробь состоит из целой части (число, стоящее до запятой) и дробной
части (число, которое стоит после запятой). Например, в десятичной дроби 6,25
целой частью является число 6, а 25-это дробная часть числа.
3) сложение и вычитание десятичных дробей с одинаковым числом знаков
после запятой без перехода через разряд (например, 0,6 + 0,1; 1,2 + 2,4; 5,2 – 1,1;
4,44 – 1,33; 7,251 + 1,527; 5,786 – 2,453 и др.).
Учащиеся должны понять, что действия над десятичными дробями
выполняются по аналогии с действиями над натуральными числами, то есть
складываются и вычитаются одноименные разрядные единицы или доли единицы.
Если складываются и вычитаются десятичные дроби, число знаков в которых не
превышало двух, то действие выполняется устно, если число знаков выше двух, то
действие целесообразно записывать в столбик.
Важно
провести
аналогию
между
записью
в
столбик
примеров
с
многозначными натуральными числами и десятичными дробями, показать сходство
и различие в записи и приемах вычислений:
4) сложение и вычитание десятичных дробей с разным числом знаков без
перехода через разряд (например, 4,5 + 0,486; 2,994 – 2,8; 1,3 + 0,293; 6,92 – 4,7; 0,85
+ 4,146; 6,957 – 0,82 и др.).
При решении примеров такого вида часто учащиеся допускают ошибки,
складывая или вычитая доли разных разрядов. Это обусловлено тем, что при
выполнении действий с натуральными числами для совпадения разрядов достаточно
записать числа так, чтобы последние цифры оказались друг под другом.
Естественно, для десятичных дробей такое не выполняется.
Поэтому на первых порах следует постоянно указывать на разряды числа,
называть их вслух, а также приводить компоненты к общему знаменателю,
приписывая нули справа (например, 2,994 – 2,8 записывается так: 2,994 – 2,800).
5) сложение и вычитание с переходом через разряд:
Выполнение этих действий также целесообразно проводить поэтапно:
а) сложение десятичных дробей, когда в результате сложения дробных частей
получается единица (например, 0,7 + 0,3; 0,4 + 0,6; 0,5 + 0,5 и др.);
б) вычитание десятичной дроби из единицы, то есть задания наоборот, и
важно увидеть взаимосвязь с предыдущим пунктом (например, 1 – 0,7; 1 – 0,6; 1 –
0,5 и др.);
в) сложение и вычитание десятичных дробей с переходом через разряд в
одном разряде:
г) сложение и вычитание десятичных дробей с переходом через разряд в двух
и более разрядах (например, 6,255 + 2,96; 6,134 – 0,351 и др.).
От учащихся следует требовать записывать нули так, где нужно, уравнивая
число десятичных долей в компонентах действий сложения и вычитания. Это
позволяет выполнять действия сложения и вычитания аналогично действиям на
натуральными числами с теми же пояснениям, но е единственной разницей –
другими названиями разрядов.
На первых порах для избежание формализма и запоминания разрядов дробной
части, учащиеся должны давать подробные пояснения. Например,
- Сложение начинаем с тысячных долей: 5 тысячных плюс 0 тысячных
получится 5 тысячных, 5 пишем под тысячными долями, к 5 сотым прибавляем 6
сотых, получаем 11 сотых, 1 сотую пишем под сотыми, 1 десятую запоминаем;
складываем десятые доли, 2 десятых и 9 десятых – будет 11 десятых, да еще 1
десятая – будет 12 десятых, 2 десятых пишем под десятыми, 1 целую запоминаем;
складываем целые, 6 целых плюс 2 целых – получаем целых 8 целых, да еще 1 целая
– будет 9 целых. Сумма получилась 9,215.
- От 4 тысячных отнимаем 1 тысячную, будет 3 тысячных, записываем их под
тысячными; из 3 сотых 5 сотых вычесть нельзя, занимаем одну десятую; в одной
десятой содержится 10 сотых, прибавим к ним 3 сотых, будет 13 сотых, из 13 сотых
вычитаем 5 сотых, получаем 8 сотых и записываем под сотыми; вычитаем десятые,
но в уменьшаемом десятых не осталось, поэтому занимаем одну целую, в одной
целой 10 десятых, из 10 десятых вычитаем 3 десятых, будет 7 десятых, подписываем
их под десятыми, вычитаем целые и подписываем их под целыми. Так же как и при
выполнении действий с целыми числами, над разрядом, из которого занимаем
единицу, ставим точку.
Для проверки уровня усвоения различных приемов сложения и вычитания
необходимо регулярно проводить самостоятельные работы по сложению и
вычитанию натуральных чисел и десятичных дробей.
Также необходимо решать с учащимися сложные примеры на сложение и
вычитание
десятичных
дробей,
примеры
со
скобками,
с
неизвестными
компонентами, проводить проверку действий.
При этом, соблюдая преемственность в изучении этого материала, следует
постоянно обращать внимание учащихся, что все законы действий, порядок их
выполнения, правила нахождения неизвестных компонентов и т.д. остаются такими
же, как были для натуральных чисел. Единственное отличие – новое числовое
множество.
2.4.2. Методика изучения умножения и деления десятичных дробей
В Главе 1 мы подробно разобрали все правила выполнения арифметических
действий над десятичными дробями. Методически обусловлена следующая
последовательность изучения умножения и деления десятичных дробей в курсе
математики 5 класса:
1) умножение десятичных дробей натуральное число;
2) умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.;
3) умножение десятичной дроби на десятичную дробь;
4) умножение десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.;
5) деление десятичных дробей на натуральное число;
6) деление десятичных дробей 10, 100, 1000 и т.д.;
7) деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.;
8) деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Заметим, что после изучения и разбора всех правил действий и особых
случаев, умножение и деление рассматриваются параллельно, так как каждому
случаю умножения соответствует определенный случай деления. Это позволяет
сопоставить взаимно обратные действия, выявить сходство и различие, осуществить
проверку одного действия другим и помогает привести учащихся к определенным
выводам и законам.
Отметим типы упражнений, которые мы систематически используем в
практике нашей работы:
- если в числе 2,78 перенести запятую вправо на один знак, то число примет
вид 27,8. Что же произошло с этим числом? Во сколько раз оно увеличилось? Что
тогда произошло с разрядами?
- если в числе перенести запятую вправо на два знака, то что произойдет с
этим числом? Во сколько раз оно увеличится? Во сколько раз увеличится каждый
разряд данного числа?
- если какое-то число увеличить в 1000 раз, то куда надо перенести запятую в
таком случае? И если, например, число 2,6 увеличить в 1000 раз, но в первом
множителе после запятой только один знак, то следует рекомендовать учащимся
поставить три точки после запятой, а затем вместо точек дописать нули, где это
необходимо.
При умножении десятичной дроби на десятичную дробь надо донести до
учащихся то, что это действие совершенно отличается от сложения и запись в
столбик совершенно другая. Этому необходимо уделить много времени, так как
зачастую ученики 5-х классов при умножении в столбик делают неправильную
запись.
Когда ученики усвоили правила умножения и деления десятичных дробей на
10, 100, 1000 и т.д., а также на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., можно вместе с ними прийти к
выводу о том, что умножение на 10, 100, 1000 и т.д. это одно и то же, что и деление
на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. И наоборот, при умножении конкретного числа на 0,1; 0,01;
0,00, мы получим точно такой же результат, если этого же число разделим на 10,
100, 1000 и т.д.
Например, 6,4  100 = 640
97,23  0,1 = 9,723
и
6,4 : 0,01 = 640;
и
97,23 : 10 = 9,723.
Умножение и деление десятичных дробей на целое число тесно связано с
умножением и делением натуральных чисел. Чтобы подвести учащихся к
пониманию того, как производится умножение десятичной дроби на целое число, и
сделать обобщение в виде правила, необходимо начать с рассмотрения простейших
случаев (при этом учитель должен воспользоваться тем, что учащиеся уже имеют
понятие о действии умножения).
Целесообразно,
для
умножения: 2  3 = 2 + 2 + 2
соблюдения
преемственности,
вспомнить
смысл
Например, найдем произведение 1,1  3.
В этом выражении аналогично действие умножения заменяется действием
сложения: 1,1  3 = 1,1 + 1,1 + 1,1 = 3,3, то есть 1,1  3 = 3,3.
Внимание учащихся надо обратить на то, что сначала умножается целое число
на множитель и это произведение целых отделяется запятой, а затем умножаются
десятые доли на множитель. Подобные случаи умножения (без перехода через
разряд ни в одном разряде) выполняются устно.
Случаи умножения с переходом через разряд выполняются в столбик:
3,27
3
9,81
Множители перемножаются как целые числа и в полученном произведении
отделяется запятой справа столько цифр, сколько десятичных знаков в первом
множителе.
Наибольшие трудности для учащихся представляют примеры, в которых в
первом множителе один или несколько десятичных знаков равны нулю, а также
примеры, в которых в произведении получается нуль целых.
Подобные
примеры
надо
чаще
предъявлять
учащимся,
повторив
предварительно правила умножения нуля на целое число и целого числа на нуль.
При делении десятичной дроби на целое число также следует соблюдать
определенную последовательность:
Все разряды делимого делятся на делитель без остатка: 4,68 : 2 = ?.
Делим на 2 сначала целые, отделяем целые в частном запятой, потом делим
десятые доли и, наконец, сотые доли: 4,68 : 2 = 2,34. Такие примеры, как правило,
решаются устно.
Целое или какая-либо из долей делимого не делится нацело на делитель:
4,86:3.
Такие случаи деления выполняются «уголком», причем для этого используется
алгоритм деления для натуральным чисел, с единственным различием, что целая и
дробные части частного должны быть разделены запятой.
Делим 4 целых на 3. В частном получаем единицу, отделяем ее запятой. В
остатке осталась единица. Дробим ее в десятые доли и добавляем еще 8 десятых. 18
десятых делим на 3, получаем 6 десятых. Далее 6 сотых делим на 3, получаем 2
сотых. Частное равно 1,62.
Таким образом, в практике своей работы при изучении действий над
десятичными дробями мы опирались на умения и навыки учащихся, полученные
при изучении арифметических действий над натуральными числами. То есть,
опираясь на имеющиеся знания, учащиеся изучали совершенно новый материал, чем
соблюдалась преемственность обучения.
2.5. Итоги формирования у учащихся 5 класса навыков выполнения
арифметических действий над десятичными дробями (контрольный
эксперимент)
После изучения арифметических действий над десятичными дробями
учащимся 5 класса были предложены контрольные работы.
Итоговая контрольная работа по теме «Сложение и вычитание десятичных
дробей» (См. Приложение 10) состояла из 8 упражнений, 5 из которых являются
обязательными для выполнения, а 3 – на дополнительную оценку.
Задание №1 направлено на сравнение, Задание №2 – на округление
десятичных дробей, Задание №3 – на сложение и вычитание десятичных дробей.
Правильное выполнение данных заданий достаточно для того, чтобы учащийся
получил удовлетворительную оценку.
Задание №4 - задача на скорость течения реки. Если ученик выполняет и это
задание верно, то он получает оценку «четыре». И для того, чтобы иметь оценку
«отлично», необходимо выполнить Задание №5, которое направлено на умения
складывать и вычитать величины в различных единицах измерения.
Задание №6 - сложная задача на нахождение периметра треугольника, если
известна одна сторона и даны еще некие условия. Задание №7 относится к типу
«запишите три числа, каждое из которых больше …, но меньше …». И задание №8
акцентировано на знании свойств сложения и вычитания, как и в предыдущих
контрольных работах.
В итоге мы получили следующие результаты:
- оценка «2» - три человека (14%);
- оценка «3» - пять человек (24%);
- оценка «4» - десять человек (48%);
- оценка «5» - три человека (14%).
Таким образом, делаем следующие выводы:
• уровень обученности и сформированности общеучебных и специальных
умений и навыков соответствует требованиям федеральных программ, а так
же стандартам по математике и составил 86%;
• анализ работы показал, качество знаний учащихся по математике составило
62%;
• большая часть учащихся усвоили материал по разделу программы по
математике, полученные навыки и знания смогли применить на практике.
По итогам контрольного эксперимента мы сравнили результаты контрольной
работы по сложению и вычитанию натуральных чисел и сложению и вычитанию
десятичных дробей в экспериментальном 5 «Б» классе.
Оценка
Натуральные числа, %
Десятичные дроби, %
«2»
10%
14%
«3»
33%
24%
«4»
47%
48%
«5»
10%
14%
Уровень обученности
90%
86%
Качество знаний
57%
62%
Из таблицы видно, что хоть и процент двоечников вырос на незначительный
процент, зато уменьшилось количество троек, а количество пятерок и четверок
возросло. Это неплохой показатель эффективности нашей работы.
Таким образом, можно сделать вывод, что, соблюдая преемственность в
изучении сложения и вычитания десятичных дробей и проводя постоянную
аналогию с натуральными числами, можно добиться положительного обучающего
эффекта.
По итогам изучения действий умножения и деления, учащимся была
предложена контрольная работа на тему «Умножение и деление десятичных
дробей» (См. Приложение 11).
Работа состояла из 5 заданий. Правильное выполнение первых двух заданий
оценивалось «удовлетворительно», на оценку «хорошо» - должно быть три верно
выполненных задания и на «отлично» - четыре правильно выполненных задания.
Задание №1 направлено на проверку навыков учащихся выполнять действия
умножение и деление десятичных дробей.
Задание №2 кроме вычислительных навыков, проверяет знание порядка
выполнения арифметических действий над десятичными дробями.
Задание №3 -
решение сложного уравнения с десятичными дробями, где
задействованы также все арифметические действия.
Задание №4 - решение текстовой задачи на движение арифметическим
способом.
К заданию №5 из 5-го класса приступили лишь несколько учащихся. Оно
показалось очень сложным даже для отличников, задание типа «если в некоторой
десятичной дроби перенести запятую вправо через одну цифру, то она увеличится
на ..., найдите эту дробь».
Проверив контрольные работы учеников, были получены следующие
результаты:
- оценка «2» - шесть человек (28%);
- оценка «3» - шесть человек (28%);
- оценка «4» - шесть человека (28%);
- оценка «5» - три человека (14%).
На основании полученных результатов контрольной работы, сделаем
следующие выводы:
• уровень обученности и сформированности общеучебных и специальных
умений и навыков соответствует требованиям федеральных программ, а так
же стандартам по математике и составил 70%;
• анализ работы показал, качество знаний учащихся по математике составило
45% ;
• не малая часть учащихся не до конца усвоили материал по разделу программы
по математике, полученные навыки и знания смогли применить на практике
далеко не все.
Таким образом, как и для натуральных чисел, тема «Умножение и деление
десятичных дробей» оказалась для учащимся достаточно трудной, по сравнению с
темой «Сложение и вычитание десятичных дробей».
Сравнивая результаты контрольных работ по теме «Умножение и деление
натуральных чисел» и «Умножение и деление десятичных дробей», можно сделать
вывод, что, хотя в целом результаты не стали хуже, положительной динамики также
не наблюдалось.
Оценка
«2»
Натуральные числа, %
28%
Десятичные дроби, %
28%
«3»
24%
28%
«4»
28%
28%
«5»
19%
14%
Уровень обученности
71%
70%
Качество знаний
48%
45%
Недостатки в формировании навыков умножения и деления натуральных
чисел существенно сказались на изучении этих действий над десятичными дробями.
Несмотря на обучение в начальной школе и повторение в 5 - 6 классах
вычислительные трудности многие из учащихся продолжают испытывать всё время
в процессе обучения в школе. Большой процент детей к седьмому классу прибегает
к калькулятору даже при выполнении самых простейших вычислений. Одной из
причин этого является то, что обучение в начальной школе во многом построено с
опорой на механическую память. Мы уже об этом говорили, но отметим еще раз.
Яркий пример тому - таблица умножения, на заучивание которой отводится в
младших классах много времени, и к повторению которой постоянно возвращаются
на протяжении всего обучения в начальной школе. А в средней школе, как только
она перестаёт быть одним из главных объектов внимания и осознаваться как нечто
насущно необходимое, таблица умножения стремительно забывается.
И, соглашаясь с мнением педагогов и методистов, «Умножение и деление»
является одной из трудных тем, как в начальной, так и в основной школе. Для ее
успешного усвоения необходима большая и целенаправленная работа как учителей
начальной школы, так и учителей-математиков основной школы.
2.6. Методические рекомендации по преемственности обучения учащихся
арифметическим действиям над десятичными дробями и натуральными
числами
В практике своей работы мы регулярно давали учащимся задания, которые
позволяли проследить общее и различие в выполнении действий над натуральными
числами и десятичными дробями. Например,
1) найди сумму чисел 65 и 12;
2) найди разность чисел 55 и 14;
3) попробуй решить пример: 6,5 + 1,2;
4) что общего у задания №1 и №3;
5) если в третьем задании у тебя получилось 7,7, то, не решая пример (5,5 –
1,4), догадайся, какой результат мы здесь получим?
Конечно, при выполнении сложения и вычитания можно использовать
правила действий с обыкновенными дробями, которые учащиеся изучали перед
этим.
Сложим, например, дроби 2,374 и 1,725, представив их обыкновенными
дробями с одинаковыми знаменателями:
Но, действия с десятичными дробями удобнее выполнять, проводя аналогию с
натуральными числами.
Для этого мы сравниваем два столбика:
+
2374
1725
4099
+
2, 374
1, 725
4, 099
Выясняем, что в них похожего, в чем различие. Обязательно вспоминаем
алгоритм сложения натуральных чисел, обращая особое внимание на запись чисел
(так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом) После этого
анализируем запись второго столбика. Учащиеся убеждаются, что числа записаны
также – соответствующие разряды записаны друг под другом, также выполняется
сложение, начиная с низшего разряда. Единственное отличие – в сумме необходимо
запятой разделить целую и дробную части. При таком подходе учащиеся смогли
сами сформулировать правило сложения десятичных дробей.
Аналогично, с опорой на алгоритм вычитания натуральных чисел, вводится
вычитание десятичных дробей.
В дальнейшем учащиеся должны понять, что действия над десятичными
дробями выполняются точно также, как и действия над натуральными числами, то
есть складываются и вычитаются одноименные разрядные единицы или доли
единицы. И на разряды десятичных дробей стоит обращать внимание постоянно.
При любом упражнении из учебника, например, на сложение десятичных
дробей, сразу параллельно задаем учащимся вопросы (укажи разряд…; к какому
разряду относится цифра…; укажи цифру, которая относится к разряду…).
Кроме этого, особое внимание необходимо обратить на то, что для приведения
десятичных дробей к общему знаменателю достаточно уравнять количество знаков
после запятой.
Как показывает практика и результаты констатирующего эксперимента,
наибольшую трудность у учащихся вызывают примеры на вычитание, когда в
уменьшаемом отсутствуют единицы в каких-либо разрядах. Поэтому перед
введением соответствующих случаев вычитания десятичных дробей мы решали с
подробными объяснениями примеры следующих типов:
-
4804
2623
2181
-
29 004
17 172
11 822
-
4 000
1 765
3 235
И лишь потом переходим к аналогичным случаям вычитания десятичных
дробей. Такая организация работы позволяет соблюдать преемственность в
изучении арифметических действий, с опорой на имеющиеся навыки давать
учащимся новые знания и не переносить ошибки в новое числовое множество.
По мере усвоения сложения и вычитания и изучения каких-либо необычных
случаев по данной теме, мы регулярно давали задания для самостоятельной работы
с целью проконтролировать усвоение учащимися правил сложения и вычитания
десятичных дробей, выполнения особых случаев, чтобы в ходе выполнения работы
и своевременно внести коррективы при разборе типичных ошибок.
Например,
1) самостоятельная работа №1 (сложение и вычитание десятичной дроби и
натурального числа): 4+3,5; 9,6 – 6; 12,65+10; 3,123 – 2 и др.;
2) самостоятельная работа №2 (сложение и вычитание десятичных дробей с
одинаковым числом разрядных единиц в дробной части) 3,3 + 1,6; 9,7 – 4,3;
69,124 + 10,231; 64,896 – 13,452 и др.
3) самостоятельная работа №3 (сложение и вычитание десятичных дробей с
различным числом разрядных единиц в дробной части без перехода через
разряд): 9,25 + 0,4; 28,37 – 3,1; 633,986 + 10,01; 941,36 – 120,2 и др.
4) самостоятельная работа №4 (сложение и вычитание десятичных дробей, когда
в сумме получается 1) 0,2 + 0,8; 1 - 0,23; 0,75 + 0,25; 1 - 0,1 и т.д.
5) самостоятельная работа №5 (сложение и вычитание десятичных дробей с
переходом через разряд) 17,63+2,28; 35,2 – 7,1; 6,9654+1,0153; 964,3 – 2,14 и
т.д.
6) самостоятельная работа №6 (решение примеров на сложение и вычитание
десятичных дробей) (12,75+3,896) – 10,5; 96,278 – (1,47+87) и др.
7) самостоятельная работа №7 (выполнение заданий с десятичными дробями)
а
6
2,6
12,06
2,006
87,0006
6,54 + а
а – 1,238
3,6 + а – 1,3
8) самостоятельная работа №8 (решение текстовых задач, данные в которых
заданы десятичными дробями): известно, что собственная скорость
теплохода равна 4,3 км/ч, а скорость течения реки 1,1 км/ч, найдите
скорость теплохода по течению реки и против течения реки.
Таким образом, соблюдая преемственность, мы в известный учащимся
материал (правила, уравнения, задачи), мы вносили новые числа – десятичные
дроби. Это способствовало лучшему усвоению сложения и вычитания десятичных
дробей.
Умножение и деление десятичных дробей на целое число тесно связано с
умножением и делением натуральных чисел. Чтобы подвести учащихся к
пониманию того, как производится умножение десятичной дроби на целое число, и
сделать обобщение в виде правила, необходимо начать с рассмотрения простейших
случаев (при этом учитель должен воспользоваться тем, что учащиеся уже имеют
понятие о действии умножения).
Целесообразно,
для
соблюдения
преемственности,
вспомнить
смысл
умножения: 21  3 = 21 + 21 + 21
Например, найдем произведение 2,1  3.
В этом выражении аналогично действие умножения заменяется действием
сложения: 2,1  3 = 2,1 + 2,1 + 2,1 = 6,3, то есть 2,1  3 = 6,3.
Внимание учащихся надо обратить на то, что сначала умножается целое число
на множитель и это произведение целых отделяется запятой, а затем умножаются
десятые доли на множитель. Подобные случаи умножения (без перехода через
разряд ни в одном разряде) выполняются, как правило, устно.
Случаи умножения на натуральное число с переходом через разряд
выполняются в столбик:
3,25
7
22,75
В отличие от сложения и вычитания, запись умножения десятичных дробей в
столбик отличается от записи умножения с в столик для натуральных чисел.
Рассмотрим следующие примеры:
123
1,23
72
+264
861
8874
7,2
+264
861
8,874
Видим, что если для натуральных чисел разряды записаны под разрядами, то
для выполнения умножения десятичных дробей в столбик, записываются друг под
другом последние цифры.
Количество цифр, отделяемом в произведении, можно пояснить на основе
свойств умножения натуральных чисел и изученных ранее правил умножения и
деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Найдем произведение 1, 23  7, 2
Перенесем запятую в первом множителе на 2 знака вправо, а во втором – на
один. Тем самым первый множитель увечится в 100 раз ,а второй – в 10 раз.
Следовательно, по свойствам произведение увеличится в 1000 раз.
Найдем произведение натуральных чисел 123  72 = 8874. Это произведение в
1000 раз больше искомого, значит, его надо уменьшить в 1000 раз, для чего
достаточно перенести запятую влево на 3 знака. Окончательно получим 1, 23  7, 2 =
8, 874.
При таком подходе, с опорой на знания алгоритма умножения натуральных
чисел, учащиеся самостоятельно смогли сформулировать правило умножения
десятичных дробей.
Особо следует обратить внимание учащихся на то, что все законы и правила
выполнения действий, известные учащимся для натуральных чисел, выполняются и
для десятичных дробей. Поэтому мы предлагали учащимся задания, в которых
знание этих правил позволяло упростить вычисления. Например,
Деление десятичных дробей с использованием свойств также сводится к
делению натуральных чисел.
Выполним деление 43,52 : 17.
Увеличим делимое 43,52 в 100 раз, тогда частное также увеличится в 100 раз.
Выполним деление натуральных чисел по известным правилам: 4 352 : 17 = 256. Так
как полученное частное в 100 раз больше нужного, то 43,52 : 17 = 2,56.
Таким образом, деление десятичной дроби на натуральное число выполняется
по ранее известному алгоритму для натуральных чисел с тем различием, что в
частном надо поставить запятую после того, как будет выполнено деление целой
части:
При выполнении деления, следует обратить внимание учащихся на особые
случаи, не характерные для деления натуральных чисел:
1) Если целая часть делимого меньше делителя, то целая часть частного равна
нулю;
2) К дробной части делимого можно приписать справа любое число нулей и
продолжать деление.
Таким образом, для того, чтобы успешно усвоить арифметически действия над
десятичными дробями, нужно соблюдать преемственность, а также опираться на
вычислительные
навыки
учащихся
для
натуральных
чисел.
Непрерывное
повторение, проведение аналогии с натуральными числами позволяет сформировать
у школьников твёрдые вычислительные навыки и с десятичными дробями.
ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 2
1. Как показали итого констатирующего эксперимента, в начале 5-го класса
произошло снижение результатов учащихся. Это связано с проблемами переходного
периода в основную школу, с несоблюдением преемственности в обучении в
начальной и основной школе, с недостаточно выработанными знаниями, умениями
и навыками выполнения арифметических действий над натуральными числами,
которые забылись за летние каникулы. Именно поэтому в начале обучения в 5
классе целесообразно большое количество времени уделять повторению.
2. Контрольные работы по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел»
и «Умножение и деление натуральных чисел» позволили выявить основные ошибки
обучающихся. В связи с этим, мы смогли перестроить уроки таким образом, чтобы
каждый учащийся смог поработать над своими ошибками и в будущем их не
допускать. Это работа показала эффективные результаты, о чем свидетельствуют
итоги других проверочных работ по этим же темам.
3. «Умножение и деление» - одна из непростых тем для учащихся. Для того,
чтобы её благополучно усвоить, нужно провести колоссальную работу учителям
начальной школы и учителям-предметникам средней школы.
4. При изучении арифметических действий над десятичными дробями
необходимо опираться на имеющиеся знания детей, постоянно проводить аналогию
с действиями над натуральными числами. Тем самым соблюдается преемственность
- учащиеся изучают совершенно новый материал, используя свои накопленные
знания. Несомненно, следует постоянно обращать внимание учащихся, что все
законы действий, порядок их выполнения и т.д. остаются такими же, как и для
натуральных чисел. Единственное отличие – новое числовое множество.
5. Для того, чтобы успешно усвоить арифметические действия над
десятичными дробями, нужно придерживаться преемственности, делать акцент на
вычислительные навыки учащихся для натуральных чисел. Только стабильное
повторение, проведение аналогии с натуральными числами разрешит сформировать
у школьников твёрдые вычислительные навыки и с десятичными дробями.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Преемственность в формировании у школьников вычислительных навыков
над натуральными числами и десятичными дробями является важнейшей и
неотъемлемой частью образовательного процесса.
Наше исследование показало и доказало, что соблюдение преемственности –
одна из самых главных и важных задач учителей в педагогической деятельности.
Как показали итоги констатирующего эксперимента, результаты учащихся в
конце обучения в начальной школе гораздо выше, чем результаты в начале обучения
в основной школе. Это связано с проблемами психологического характера, с
несоблюдением
преемственности
в
обучении
математике,
с
недостаточно
выработанными знаниями, умениями и навыками выполнения арифметических
действий над натуральными числам.
Систематические проверочные работы на этапе повторения в 5-м классе
позволили нам выявить основные ошибки учащихся, составить задания и провести
своевременную работу по их исправлению и предотвращению. Результаты
экспериментальной работы показали ее эффективность и действенность.
Переходя к изучению арифметических действий над десятичными дробями,
нужно опираться на уже имеющиеся знания детей. Следует постоянно проводить
аналогию с натуральными числами, обращать внимание учащихся на то, что все
алгоритмы выполнения действий, их законы остаются такими же и в новом
числовом множестве.
Только систематическое повторение старого по мере изучения нового
позволяет соблюдать преемственность и формировать у школьников твёрдые
вычислительные навыки с десятичными дробями.
Нами были разработаны методические рекомендации и практические задания
по формированию вычислительных навыков пятиклассников при изучении
арифметических действий над натуральными числами и десятичными дробями.
Результаты контрольного эксперимента подтвердили их значимость.
Следовательно, проделанная нами практическая экспериментальная работа,
эффективна, действенна и применима на уроках математики в основной школе.
Таким образом, все поставленные задачи нашей квалификационной работы
были решены. Цель работы достигнута.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Алексеева Е.В. Проблема преемственности ФГОС начального и общего
образования / Е.В. Алексеева // Молодой ученый. – 2015. – №10.1.– С. 4 – 6.
2.
Алексеева Л.Л., Анащенкова С.В., Биболетова М.З. Планируемые результаты
начального общего образования / под ред. Г.С. Ковалевой, О.Б. Логиновой. – 3-е
изд. – М.: Просвещение, 2011. – 120 с.
3.
Амонашвили Ш.А. Воспитательная и образовательная функция оценки учения
школьников:
Экспериментально-педагогическое
исследование
/
Ш.А.
Амонашвили. – М.: Педагогика, 1984. – 296 с.
4.
Баракина Т.В Использование тестов на уроках математики в начальной школе /
Т.В. Баракина // Начальная школа. – 2010. – № 11. – С. 1–5.
5.
Баранникова А.В. Об обеспечении успешной адаптации ребенка при переходе
со ступени начального образования на основную / А.В.Баранникова // Начальная
школа. – 2004. – №8. – С.10-20.
6.
Белошистая А. В. Методика обучения математике в начальной школе: курс
лекций для студентов высш. пед. учеб.заведений / А.В. Белошистая. – М.:
Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 455 с.
7.
Бим-Бад Б.М. Педагогический энциклопедический словарь / Б.М. Бим-Бад. – М.:
Большая Российская энциклопедия, 2008. – 528с.
8.
Буряк М.В., Шейкина С.А. Математика. Итоговая аттестация. 4 класс.
Текстовые задачи / М.В. Буряк, С.А. Шейкина. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2016.
– 42с.
9.
Болотова Е.А., Воронцова Т.А. Итоговая аттестация по окончании начальной
школы: интегрированные тесты / Е.А. Болотова, Т.А. Воронцова. – Волгоград:
Учитель, 2014. – 119с.
10. Васильева О. Е. Математика: итоговая аттестация за курс начальной школы:
тестовые тренировочные задания: 1–4 классы / О.Е. Васильева. – М.: Эксмо,
2012. – 64 с.
11. Веденева Ю.Б., Цилинская Т.Н. Взаимодействие учителя начальных классов с
учителем-предметником при переходе учащихся в V класс / Ю.Б. Веденева, Т.Н.
Цилинская // Начальная школа. – 2011. - №1. – С.44-46.
12. Глизерина Н.Д. Формирование коммуникативной компетенции на основе
преемственно перспективных связей / Н.Д. Глизерина // Начальная школа.– 2014.
- №4. – С.47-49.
13. Горина О.П., Проскуряков Н.Н. Тестовые задания в начальном курсе математики
/ О.П. Горина, Н.Н. Проскуряков // Начальная школа. – 2008. – № 10. – С. 49–55.
14. Демидова М.Ю., Иванов С.В. и др. Оценка достижения планируемых
результатов обучения в начальной школе / под ред. Г.С. Ковалевой, О.Б.
Логиновой. –3-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 215 с.
15. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. Математика. 5 класс. Учебник.
(ФГОС) / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2017. –
288с.
16. Ефремова Т.Ф. Современный толковый словарь русского языка / Т.Ф. Ефремова
– М.: АСТ, 2006 – 1168 с.
17. Зайко В.В. Реализация преемственности в изучении натуральных чисел и дробей
на начальной и основной ступенях обучения / В.В. Зайко // Вестник Адыгейского
государственного Университета. Педагогика и психология. – 2008. - №5. – С.
143-150.
18. Игнашева Т.Б. Проблема преемственности обучения в школе /Т.Б. Игнашева //
Завуч начальной школы. – 2001. – №1. – С.40-43.
19. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах / Н.Б.
Истомина. – М.: Академия, 2001. – 288с.
20. Князева Т.Н. К проблеме преемственности обучения в начальной и средней
школе / Т.Н. Князева // Начальная школа. – 2004. - №2. – С.29-31.
21. Квитова Л.Ф. Проблема преемственности – это проблема педагогического
партнерства и сотрудничества / Л.Ф. Квитова // Начальная школа: плюс до и
после. – 2007. - №2. – С.72-77.
22. Концепция развития математического образования в Российской Федерации:
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа:
http://минобрнауки.рф/документы/3894. – Дата доступа: 20.03.2017г.
23. Лавлинская Е.Ю. Методика формирования вычислительного навыка по системе
общего развития Занкова Л.В. / Е.Ю. Лавлинская. – Волгоград: Панорама. –
2006. – 201с.
24. Лазуткина И.А., Шакина Г.В. Начальная школа: переход в среднее звено:
текстовые задания, самостоятельные и контрольные работы / авт.-сост. И.А.
Лазуткина. – Волгоград: Учитель. – 2010. – 201с.
25. Магомеддибирова З.А. Дидактические подходы к эффективному осуществлению
преемственности в обучении математике / З.А. Магомеддибирова // Начальная
школа.– 2004. - №1. – С.85-88.
26. Махрова В.Н., Махров В.Г. Преемственность проведения внеклассной работы по
математике в начальной школе и V–VI классах // Начальная школа.– 2000. - №6.
– С.56-63.
27. Мендыгалиева,
А.
К.
Осуществление
преемственности
математического
образования при реализации ФГОС в начальной и основной школе: монография.
/ А.К. Мендыгалиева – Оренбург: ГБУ РЦРО, 2011. – 187 с.
28. Мерзляк А.Г. Математика: дидактические материалы: 5 класс: пособие для
учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский,
Е.М. Рабинович, М.С. Якир – М.: Вентана-Граф, 2017. – 144с.: ил.
29. Мерзляк А.Г. Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А.Г. Мерзляк, М.С. Якир, В.Б. Полонский – М.: Вентана-Граф,
2013. – 304с.: ил.
30. Мерзляк А.Г., Якир М.С., Полонский В.Б., Буцко Е.В. Рабочая программа по
математике 5 – 9 классы. / А.Г. Мерзляк, М.С. Якир, В.Б. Полонский, Е.В. Буцко.
– М.: Вентана-Граф. – 2015. – 152с.
31. Минаева С.С. Формирование вычислительных умений в основной школе / С.С.
Минаева // Математика в школе.– 2006. - №2. – С.3-6.
32. Нешков К.И., Пышкало А.М., Некоторые вопросы преемственности
при
обучении математике. Преемственность в обучении математике / сост. А.М.
Пышкало. – М.: Просвещение, 1978. – 239с.
33. Нянковская Н.Н., Танько М.А. Все итоговые комплексные работы в начальной
школе. 1-4 классы. / Н.Н. Нянкоская, М.А. Танько. – М: АСТ. – 2014. – 160с.
34. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2015.
– 96с.:ил.
35. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 2. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2015.
– 128с.:ил.
36. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 3. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2015.
– 96с.:ил.
37. Подласый И.П. Педагогика: 100 вопросов - 100 ответов: учеб. пособие для вузов
– 2-е изд. доп. / И.И. Подласый. – М.: ВЛАДОС-пресс, 2009. – 365 с.
38. Понятие натурального числа при изучении математики в младших классах:
[Электронный
ресурс].
-
Режим
доступа:
http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00335328_1.html. - Дата доступа: 24.03.2017
г.
39. Потапов М.К., Шевкин А.В. Математика. Методические рекомендации. 5 класс:
пособие для учителей общеобразоват. учреждений / М. К. Потапов, А. В.
Шевкин. — М.: Просвещение, 2012. — 160 с.
40. Преемственность:
[Электронный
ресурс].
-
Режим
доступа:
www.вокабула.рф/энциклопедии/современный-энциклопедический
словарь/преемственность. - Дата доступа: 15.03.2017г.
41. Преемственность и целостность образовательной сферы: [Электронный ресурс].
– Режим доступа: https://superinf.ru/view_helpstud.php?id=954. – Дата доступа:
17.03.2017г.
42. Примерная основная образовательная программа основного общего образования:
[Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://минобрнауки.рф/проекты/фгос-ипооп. – Дата доступа: 25.03.2017г.
43. Проблемы преемственности по математике между начальной школой и 5
классом: [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://infourok.ru/problemipreemstvennosti-po-matematike-mezhdu-nachalnoy-shkoloy-i-klassom-1113431.html.
- Дата доступа: 30.03.2017г.
44. Пронькина И.В. Преемственность в развитии учебной деятельности между
начальной и средней школой / И.В. Пронькина // Начальная школа. – 2007. - №4.
– С.20-21.
45. Просвиркин В.Н. Преемственность в системе непрерывного образования / В.Н.
Просвиркин // Педагогика. - 2005. - №2. - С.41-46.
46. Ремчукова И.Б. Математика. 5 – 8 классы: игровые технологии на уроках / авт.сост. И. Б. Ремчукова. – Волгоград: Учитель, 2007. – 94 с.
47. Рудницкая В.Н. Контрольные работы по математике 4 класс / В.Н. Рудницкая. –
М.: Экзамен, 2014. – 142с.
48. Санина Л.Д. Личностная ориентация преемственности процесса образования
учащихся начальной и средней школы / Л.Д. Санина // Начальная школа: плюсминус. – 2002. - №1. – С.41-48.
49. Санина Л.Д. Преемственность и перспективность начального образования:
теория и практический опыт / Л.Д. Санина // Начальная школа: плюс-минус.–
2001. - №9. – С.42-47.
50. Ситникова Т.Н., Яценко И.Ф. Математика. Методические рекомендации, 4
класс: пособие для учителей общеобразовательных учреждений / Т.Н.Ситникова,
И.Ф.Яценко, Москва «ВАКО», 2016 – 464с.
51. Сластенин В.А., Исаев И.Ф., Шиянов Е.Н. Педагогика / И.Ф, Исаев, Е.Н. Шиянов
под ред. В.А. Сластенина. – М.: Академия, 2013. – 576 с.
52. Смирнов С. А. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии.
Учебное пособие / С.А. Смирнов. – М.: Академия, 2009. – 228 с.
53. Стойлова Л.П. Математика. Учебник для студ. Учреждений высш. проф.
образования / Л.П. Стойлова. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр
«Академия», 2013. – 464 с.
54. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего
образования:
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа:
http://минобрнауки.рф/проекты/фгос-и-пооп. – Дата доступа: 26.03.2017г.
55. Федотова Л. Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в
школе. - 2014. - №43. - С. 2-5.
56. Филиппов Г. Устный счет - гимнастика ума // Математика. - 2011. - №3. - С. 32.
57. Финаева С. Формирование вычислительных умении в основной школе //
Математика в школе. - 2006. - №2. - С. 3-6.
58. Хинчин А.Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания математики. Борьба
с методическими штампами / А.Я. Хинчин. – 3-е изд. – М.: URSS, 2013. – 208 с.
59. Чуракова Р.Г. Итоговая аттестация выпускников начальной школы. Комплексная
работа. 4 класс. Методические рекомендации / Р.Г. Чуракова, Н.М. Лаврова. – 3е изд., пересмотр. – М.: Академкнига/Учебник, 2016. – 96 с.
60. Шлавлинская Е.Ю. Методика формирования вычислительного навыка по
системе общего развития Занкова Л.В. / Е. Ю. Лавлинская. - В.: Панорама, 2006.с.176.
61. http://mirznanii.com
62. http://nsportal.ru/shkola
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ С УЧАЩИМИСЯ
5 КЛАССА И ВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ ИХ РАЗРЕШЕНИЯ
ПРОБЛЕМА
ВОЗМОЖНОСТИ РАЗРЕШЕНИЯ
Наличие у детей «психологического
Знакомство родителей и детей со своими
барьера» - ожидание трудностей
будущими
обучения в 5 классе
проведение мероприятий, родительских
учителями
в
4
классе,
собраний совместно с учителем 5 класса
Привычка
получать
оценку
за
любое самое малое действие
Необходимость добиваться от ученика
развёрнутых, полных ответов, чёткой и
грамотной
речи;
не
допускать
выставления
необоснованно
высоких
оценок за неполные ответы.
Недостаточная
проблемы
неумение
в
техника
чтения,
Давать задания на проверку знания и
понимании
текста,
понимания математических терминов,
делить
текст
на
чтение вслух и анализ условия задачи
смысловые части и анализировать
его
Неустойчивость
внимания,
слаборазвитая оперативная память
Предлагать
учащимся
вычисления,
упражнения на тренировку внимания и
памяти
Недостаточная
долговременной
тренированность
механической
памяти
Недостаточные
вычислений
Практиковать
письменный
опрос,
проведение математических диктантов
на знание правил
умения
устных
Проведение устного счёта, применение
правил устных вычислений на каждом
уроке
Ошибки в письменном делении и
Регулярное
повторение
алгоритма
умножении многозначных чисел
выполнения действий, проговаривание
вслух каждого шага при выполнении
действий, включение в устную работу
заданий на табличное умножение и
деление
Проблемы в решении текстовых
Представляя ситуацию, о которой идёт
задач
речь в задаче, изобразить её на рисунке
или схеме. Так детям гораздо проще
понять текстовую задачу
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
ИТОГОВОЙ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ 4 КЛАССА
1. Антон Иванович решил выяснить, сколько у него денег. Он выложил их на
стол. Сколько денег у Антона Ивановича?
Обведи номер ответа.
1) 240010 р.
2) 20410 р.
3) 2410 р.
4) 2401 р.
2. Вычисли: 900 – 640 : 2 + 220
Обведи номер ответа.
1) 350;
2) 260;
3) 360;
4) 800.
3. Масса слона 5.800 кг, а льва – 200 кг. Рысь весит в 100 раз меньше, чем слон и
лев вместе. С помощью какого выражения можно узнать массу рыси?
Обведи номер ответа.
1) 5800 + 200 – 100
2) 5800 + 200:100
3) (5800 + 200)100
4) (5800 + 200):100
4. Запиши следующее число последовательности
28, 35, 42, 49, ___.
5. В новогодние подарки раскладывают конфеты. Всего 178 конфет. В каждый
подарок надо положить по 5 конфет. Сколько конфет останется?
Обведи номер ответа.
1) 194
2) 40
3) 39
4) 4
6. Организаторы соревнований по настольному теннису планируют купить
3000 мячей. Мячи продаются упаковками по 25 штук в каждой. Сколько
нужно купить упаковок? Обведи номер ответа.
1)
2)
3)
4)
120
2975
3025
75000
7. На рисунке изображены детали детского конструктора. Какие детали имеют
прямой угол?
Обведи номер ответа.
1
2
3
4
5
1) 1, 3, 5
2) 1, 2, 4
3) 2, 4, 5
4) 1, 2, 4, 5
8. Толя участвовал в соревнованиях по прыжкам в длину с разбега. Какой из
следующих результатов мог показать Толя?
Обведи номер ответа.
1) 20 см
2) 25 см
3) 3 м
4) 85 км
9. За обои и краску для ремонта комнаты заплатили 3968 рублей. За краску
заплатили 1928 рублей. На сколько рублей обои стоят дороже, чем краска?
Ответ: на_____ р.
10. Петя договорился встретиться с другом у школы в 15 часов 20 минут. Путь
от дома до школы занимает у Пети 35 минут. В какое время ему нужно
выйти из дома, чтобы придти точно к назначенному времени?
Ответ: ____ ч____мин
11.Скорость слабого ветра 4 м/с, а скорость ураганного – в 8 раз больше.
Скорость штормового ветра на 14 м/с меньше скорости ураганного ветра.
Какова скорость штормового ветра?
Запиши решение.
Ответ:
12. На рисунке изображены две фигуры. Рядом с каждой фигурой запиши
название какого-нибудь предмета, который имеет такую же форму.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
13. В таблице для некоторых продуктов указано, сколько граммов этих
продуктов содержится в чайной и столовой ложке. Эти данные могут
пригодиться при приготовлении пищи.
Название продукта
Сахар (песок)
Овсяные хлопья
Масло сливочное (растопленное)
Сметана
Масса в граммах
в 1 столовой ложке
в 1 чайной ложке
25
15
20
25
10
5
5
10
Для приготовления одной порции каши требуется 75 г хлопьев. Сколько
столовых ложек овсяных хлопьев нужно взять?
Ответ: ____________ столовых ложек
14. На диаграмме показан рост четырех мальчиков.
На сколько сантиметров Игорь выше Руслана?
Ответ: на ________ см
15. Аня задумала число, увеличила его на 8 и получила 160. Какое число
задумала Аня?
Обведи ответ.
1) 152
2) 20
3) 1280
4) 168
16. Турист осматривает здание музея. Основание здания – квадрат со стороной
90 м. Сколько времени нужно, чтобы обойти здание, если скорость туриста
36 м/мин?
Запиши решение:
Ответ:
17. Ниже изображены две фигуры. Запиши два различия этих фигур.
Фигура А
Фигура Б
Различия: 1) _______________________________________________________
2) _______________________________________________________
18. На футбольный матч продали 5000 билетов. Их номера от 1 до 5000. Во время
матча объявили: «Зрители, у которых номер билета заканчивается на 245,
получат приз». Запиши номера всех выигрышных билетов.
Ответ: _____________________________
19. Петя решил выложить плиткой площадку длиной 1 м 20 см и шириной 40 см.
Сколько квадратных плиток со стороной 20 см ему потребуется?
20 см
40 см
1 м 20 см
Ответ: _______ шт.
20. Бабушка выпекает 8 пончиков за 1 минуту и кладет их на тарелку. За это же
время Боря и Петя съедают по 2 пончика каждый.
а) Сколько пончиков останется на тарелке через 3 минуты после начала
выпечки?
Ответ:____ п.
б) Сколько минут прошло с начала выпечки, если на тарелке осталось
20 пончиков?
Ответ:____ мин
21. В парке есть игра, в которой надо набросить кольцо на крючок. При каждом
попадании дается 2 бесплатных броска. Ира сделала всего 16 бросков, а
заплатила только за 4. Сколько раз она сумела набросить кольцо на крючок?
Обведи номер ответа.
1) 12
2) 8
3) 6
4) 4
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕРКЕ И ОЦЕНКЕ
ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ИТОГОВОЙ РАБОТЫ
В заданиях с выбором ответа из четырех предложенных вариантов ученик
должен выбрать только верный ответ. Если учащийся выбирает более одного ответа,
то задание считается выполненным неверно.
В заданиях с кратким ответом ученик должен записать требуемый краткий
ответ. Если учащийся, наряду с верным ответом приводит и неверные ответы, то
задание считается выполненным неверно.
В двух следующих таблицах к заданиям с выбором ответа приведены номера
верных ответов, к заданиям с кратким ответом приведены верные ответы, к заданию
базового уровня с развернутым ответом приведено решение, к заданиям
повышенного уровня с кратким и развернутым ответом дано описание полных и
частично верных ответов.
1) Рекомендации к оцениванию выполнения заданий базового уровня
сложности (№№ 1-15)
Выполнение каждого задания базового уровня сложности оценивается по
дихотомической шкале: 1 балл (верно) – указан только верный ответ, 0 баллов –
указан неверный ответ, ответ отсутствует.
Правильные ответы и решения заданий базового уровня №№ 1-15
Правильный ответ:
к заданиям 1-3, 5-8, 15 указан номер верного ответа,
Задание
к заданиям 4, 9, 10, 12, 13, 14 указан краткий ответ,
к заданию 11 приведено решение
1
3) 3405 р.
2
2) 100 см
3
4) (6700 + 200):100
4
54
5
4) 4
Максимальный
балл за
выполнение
задания
1
1
1
1
1
6
7
8
9
10
11
1) 12
2) 1, 2, 4
2) 3 м
112
14 ч 55 мин
1) 4  9 = 36 (м/с)
2) 36 – 10 = 26 (м/с)
Ответ: 26 м/с – скорость штормового ветра
Краткая запись текста, запись пояснений и запись
полного ответа не обязательны.
Кубик
Мяч, глобус
Ученик может указать название любого другого
предмета, имеющего заданную форму.
3 столовых ложки
на 20 см
1) 114
12
13
14
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2) Рекомендации к оцениванию выполнения заданий повышенного уровня
сложности (№№ 16-22)
Выполнение каждого задания повышенного уровня сложности оценивается в
соответствии с рекомендациями, предложенными в следующей таблице, по шкале:
2 балла
– приведен полный верный ответ;
1 балл
– приведен частично верный ответ;
0 баллов – приведен неверный ответ или ответ отсутствует.
Правильные ответы и решения заданий повышенного уровня №№ 16-22
Правильный ответ (решение)
Задание
16
2 балла – записано верное решение задачи:
1) 90  4 = 360 (м);
2) 360 : 72=5 (мин).
Ответ: 5 минут.
или 90  4 : 72 = 5 (мин).
Ответ: 5 минут.
Краткая запись текста, запись пояснений, запись полного ответа и
единиц измерения не обязательны.
17
18
19
20
1 балл – записано числовое выражение 904:72, получен неверный ответ
или ответ отсутствует;
0 баллов – получен любой другой ответ или ответ отсутствует.
2 балла – выбран ответ 2) 6 полок;
1 балл – выбран ответ 3) 7 полок;
0 баллов – любой другой ответ или ответ отсутствует.
2 балла – названы два любые верные различия. Например, размер;
форма; углы (все – прямые у квадрата; все – непрямые (острые) у
треугольника); все стороны равны у квадрата и не все стороны равны у
треугольника.
При этом не указаны неверные различия.
1 балл – указано только одно различие и не указаны неверные различия;
0 баллов – любой другой ответ или ответ отсутствует.
2 балла – указаны четыре числа – 234, 1234, 2234, 3234,
при этом не указаны другие числа.
1 балл – указаны одно-три числа из 234, 234, 2234, 3234, при этом не
указаны другие числа;
0 баллов – указан любой другой ответ или ответ отсутствует.
2 балла – указан ответ 12 штук;
Запись единиц измерения не обязательна.
1 балл – указаны ответы 120 или 1200;
0 баллов – указан любой другой ответ или ответ отсутствует.
2 балла – получены верные ответы на два вопроса:
21
22
а) 12 пончиков,
б) 5 минут.
Запись единиц измерения не обязательна.
1 балл – дан верный ответ на один из вопросов
0 баллов – получен любой другой ответ или ответ отсутствует
2 балла – выбран ответ 3) 6
1 балл – выбран ответ 2) 8
0 баллов – любой другой ответ или ответ отсутствует.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЙ ИТОГОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
УЧАЩИХСЯ 4 «Б» КЛАССА
Фамилия/№
задания
Арутюнян Л.
Багнюк С.
2
3
4
5
6
9
11
16
20
1
-
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
2
-
Волков А.
Ворошилов А.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
2
2
2
0
Гаврилов Ю.
Грибачева С.
Забазнова И.
Зубков С.
Ким С.
Козаченко Е.
Косий В.
Кравченко И.
Лукашова К.
Мамедова В.
Манохин Б.
Плотникова К.
Савченко А.
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
-
2
0
2
2
2
2
2
2
-
0
2
0
2
0
0
2
0
2
2
0
2
-
Хадаева Т.
Черновол Ю.
Черномордова А.
Чугайнов В.
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
-
2
2
2
2
2
2
0
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ВХОДНАЯ ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ 5-ГО КЛАССА
1 вариант
Уровень А
А1 Найдите сумму чисел 34 и 5:
а) 30
б) 100
в) 39
г) 15
А2 Найдите разность чисел 46 и 28:
а) 17
б) 18
в) 44
г) 19
А3 Найдите произведение чисел 26 и 6:
а) 44
б) 18
в) 74
г)156
А4 Решите уравнение 8х = 24.
а) 3
б) 192
в) 16
г) 32
А5 Решите уравнение х – 28 = 1.
а) 27
б) 29
в) 0
г) 28
А6 Вычислите: (3+4) * 5 -2
а)39
б) 14
в)21
г)33
А7 Сколько сантиметров в 19 дм?
а) 19 см
б) 190 см
в) 1900 см
г)1000 см
А8 Общая тетрадь стоит 41 р 40 к., а дневник на 60 к. дешевле. Сколько стоит
дневник?
а) 41 р. 80 к.
б) 40 р. 40 к.
в) 41 р. 20 к.
г)40 р. 80 к.
А9 Найдите периметр квадрата со стороной 5 дм.
а) 16 дм
б) 20 дм
в) 12 дм
г) 25 дм
А10 Найти площадь прямоугольника со сторонами 6 дм и 8 дм.
а) 19 дм 2
б) 28 дм 2
в) 48 дм 2
г) 30 дм 2
А11 Скорость автомобиля 80 км/ч. Какое расстояние он проезжает за один час?
а) 25 км/ч
б) 160 км/ч
в) 40 км/ч
г) 80 км/ч
А12 Как изменится произведение двух чисел, если один из множителей увеличится в
два раза?
а) Уменьшится на 2 б) Увеличится на 2 в) Уменьшится в два раза г) Увеличится в
два раза
Уровень В
В1Вычислите и запишите решение а) 30268 : 46; б) 721*102
В2 Запишите решение задачи. За 2 ч мастер изготавливает 336 деталей. Сколь
деталей он изготовит за 3 часа?
В3 При скорости 48 км/ч мотоциклист затрачивает на дорогу на работу 3 ч. С какой
скоростью должен мотоциклист, чтобы затратить на тот же путь на 1 ч больше?
Уровень С
С1 Вычислите и запишите решение примера 79348-64*84+6539:13
С2 а) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 4, 6, 8, если в записи
цифры не будут повторяться?
б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 7, 8, если в записи
цифры не будут повторяться?
2 вариант
Уровень А
А1 Найдите сумму чисел 53 и 8:
а) 70
б) 27
в) 61
г) 8
А2 Найдите разность чисел 64 и 37:
а) 59
б) 28
в) 82
г) 27
А3 Найдите произведение чисел 13 и 4:
а) 7
б) 52
в) 34
г) 82
А4 Решите уравнение 8х = 32.
а) 14
б) 4
в) 30
А5 Решите уравнение 97 - х = 1.
г) 64
а) 96
б) 91
в) 0
г) 18
А6 Вычислите: (4+5) * 5 -2
а)27
б) 0
в) 42
г)43
А7 Сколько копеек в 35 рублях?
а) 350 коп
б) 3500 коп
в) 35000 коп
г)3000 коп
А8 Тетрадь стоит 29 р 60 к., а дневник на 80 к. дороже. Сколько стоит дневник?
а) 39 р. 80 к.
б) 31 р. 40 к.
в) 30 р. 20 к.
г)30 р. 40 к.
А9 Найдите периметр квадрата со стороной 7 дм.
а)29 дм
б) 43 дм
в) 18 дм
г) 28 дм
А10 Найти площадь прямоугольника со сторонами 5 дм и 6 дм.
а) 30 дм 2
б) 21 дм 2
в) 26 дм 2
г) 34 дм 2
А11 Скорость автомобиля 80 км/ч. Какое расстояние он проезжает за один час?
а) 46 км/ч
б) 120 км/ч
в) 80 км/ч
г) 160 км/ч
А12 Как изменится произведение двух чисел, если один из множителей уменьшится
в два раза?
а) Уменьшится на 2 б) Увеличится на 2 в) Уменьшится в два раза г) Увеличится в
два раза
Уровень В
В1 Вычислите и запишите решение а) 19865:29; б) 315*204
В2 Запишите решение задачи. В 13 коробках 169 карандашей. Сколько карандашей в
14 таких же коробках?
В3 При скорости 50 км/ч автомобилист затрачивает на дорогу в город 3 ч. С какой
скоростью
должен ехать мотоциклист, чтобы затратить на тот же путь на 1 ч
меньше?
Уровень С
С1 Вычислите и запишите решение примера 403*804-71370: 234
С2 а) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, если в записи
цифры не будут повторяться?
б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 4, если в записи
цифры не будут повторяться?
Ответы к входной диагностической контрольной работе
№№/в А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 А11 А12 В1 В2 В3 С1
С2
1 вар в
б
г
а
б
г
б
г
Б
в
г
г
658 504 72 74475 6
2 вар в
г
б
б
а
г
б
г
Г
а
в
в
685 182 75 323707 6
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
ИТОГИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
В 5 «Б» КЛАССЕ
Фамилия/№
А1
А2
А3
А4
А5
А6
В1
В2
В3
С1
Арутюнян Л.
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
Багнюк С.
1
1
0
0
1
0
0
2
0
-
Волков А.
1
1
1
1
1
1
2
2
1
3
Ворошилов А.
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
Гаврилов Ю.
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
Грибачева С.
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
Забазнова И.
1
1
1
1
1
1
2
2
-
0
Зубков С.
1
1
1
1
1
0
2
2
0
0
Ким С.
1
1
1
1
1
1
1
2
0
3
Козаченко Е.
1
1
1
1
1
1
1
0
-
0
Косий В.
1
1
1
1
1
0
-
-
-
0
Кравченко И.
1
1
1
1
1
0
2
2
0
3
Лукашова К.
1
0
1
0
1
0
1
-
-
0
Мамедова В.
1
1
1
1
1
0
1
0
-
0
Манохин Б.
1
1
1
1
1
0
-
0
0
0
Плотникова К.
1
1
1
1
1
1
1
0
0
3
Савченко А.
1
1
1
1
1
-
1
0
-
0
Хадаева Т.
1
1
1
1
1
0
2
2
2
3
Черновол Ю.
1
1
1
1
1
0
0
2
0
0
Черномордова А.
1
1
1
1
1
1
2
2
0
0
Чугайнов В.
1
1
1
1
1
1
2
2
0
0
задания
ПРИЛОЖЕНИИ 7
СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИТОГОВОЙ
И ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Фамилия
Арутюнян Л.
4 класс Выполнен
(баллы/ ие работы
оценка) 4 класса
(%)
13/ «3»
48
5 класс
(баллы/
оценка)
12/ «3»
Выполнен
ие работы
5 класса
(%)
52
Сравнение
работ 4 кл. и 5
кл.
(+/-,%)
+4
Багнюк С.
15/ «3»
56
7/ «2»
30
- 26
Волков А.
19/ «4»
70
21/ «5»
91
+21
Ворошилов А.
20/ «4»
74
17/ «4»
74
0
Гаврилов Ю.
21/ «4»
78
14/ «4»
61
-17
Грибачева С.
13/ «3»
48
8/ «2»
35
-13
Забазнова И.
19/ «4»
70
17/ «4»
74
+4
Зубков С.
27/ «5»
100
15/ «4»
65
-35
Ким С.
22/ «4»
81
20/ «5»
87
+6
Козаченко Е.
20/ «4»
74
12/ «3»
52
-22
Косий В.
14/ «3»
52
9/ «2»
39
-13
Кравченко И.
22/ «4»
81
19/ «5»
83
+2
Лукашова К.
18/ «4»
67
8/ «2»
35
-32
Мамедова В.
15/ «3»
56
9/ «2»
39
-17
Манохин Б.
19/ «4»
70
13/ «3»
57
-13
Плотникова К.
18/ «4»
67
15/ «4»
65
-2
Савченко А.
17/ «4»
63
13/ «3»
57
-6
Хадаева Т.
24/ «5»
89
21/ «5»
91
+2
Черновол Ю.
17/ «4»
63
16/ «4»
70
+7
Черномордова А.
23/ «5»
85
18/ «4»
78
-7
Чугайнов В.
18/ «4»
67
18/ «4»
78
+11
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:
«СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»
ДЛЯ 5 КЛАССА
Вариант 1
1. Вычислите: 1) 15 327+ 496 383;
2) 38 020 405 – 9 497 653.
2. На одной стоянке было 143 автомобиля, что на 17 автомобилей больше, чем
на второй. Сколько автомобилей было на обеих стоянках?
3. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (325 + 791) + 675;
2) 428 + 856 + 572 + 244.
4. Проверьте, верно ли неравенство:
1 674 – (736 + 328)
2 000 – (1 835 – 459).
5. Найдите значение  по формуле  = 4 – 16 при  = 8.
6. Упростите выражение 126 +  + 474 и найдите его значение при  = 278.
7. Вычислите:
1) 4 м 73 см + 3 м 47 см;
2) 12 ч 16 мин – 7 ч 32 мин.
8. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (713 + 529) – 413;
2) 624 – (137 + 224).
Вариант 2
1. Вычислите: 1) 17 824+ 128 356;
2) 42 060 503 – 7 456 182.
2. На одной улице 152 дома, что на 18 домов меньше, чем на другой. Сколько
всего домов на обеих улицах?
3. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (624 + 571) + 376;
4. Проверьте, верно ли неравенство:
2) 212 + 497 + 788 + 803.
1 826 – (923 + 249)
3 000 – (2 542 – 207).
5. Найдите значение  по формуле  = 40 – 7 при  = 4.
6. Упростите выражение 235 + y + 465 и найдите его значение при y = 153.
7. Вычислите:
1) 6 м 23 см + 5 м 87 см;
2) 14 ч 17 мин – 5 ч 23 мин.
8. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (837 + 641) – 537;
2) 923 – (215 + 623).
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ
«УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»
ДЛЯ 5 КЛАССА
Вариант 1
1. Вычислите:
1) 36 ∙ 2 418;
3) 1 456 : 28;
2) 175 ∙ 204;
4) 177 000 : 120.
2. Найдите значение выражения: (326 ∙ 48 – 9 587) : 29.
3. Решите уравнение:
1)  ∙ 14 = 364;
2) 324 :  = 9;
3) 19 - 12 = 126.
4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:
1) 25 ∙ 79 ∙ 4;
2) 43 ∙ 89 + 89 ∙ 57.
5. Купили 7 кг конфет и 9 кг печенья, заплатив за всю покупку 1 200 р.
Сколько стоит 1 кг печенья, если 1 кг конфет стоит 120 р?
6. С одной станции одновременно в одном направлении отправились два
поезда. Один из поездов двигался со скоростью 56 км/ч, а второй – 64 км/ч.
Какое расстояние будет между поездами через 6 ч после начала движения?
Вариант 2
1. Вычислите:
1) 24 ∙ 1 246;
3) 1 856 : 32;
2) 235 ∙ 108;
4) 175 700 : 140.
2. Найдите значение выражения: (625 ∙ 25 – 8 114) : 37.
3. Решите уравнение:
1)  ∙ 28 = 336;
2) 312 :  = 8;
3) 16 - 11 = 225.
4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:
1) 2 ∙ 83 ∙ 50;
2) 54 ∙ 73 + 73 ∙ 46.
5. Для проведения ремонта электрической проводки купили 16 одинаковых
мотков алюминиевого и 11 одинаковых мотков медного провода. Общая
длина
купленного
провода
составляла
650
м.
Сколько
метров
алюминиевого провода было в мотке, если медного провода в одном мотке
было 30 м?
6. Из одного города одновременно в одном направлении выехали два
автомобиля. Один из них двигался со скоростью 74 км/ч, а второй – 68 км/ч.
Какое расстояние будет между автомобилями через 4 ч после начала
движения?
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:
«СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ» ДЛЯ 5 КЛАССА
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Сравните: 1) 14,396 и 14,4;
2) 0,657 и 0, 6565.
Округлите: 1) 16,76 до десятых;
2) 0,4864 до тысячных.
Выполните действия: 1) 3,87 + 32,496; 2) 23,7 – 16,48;
3) 20 – 12,345.
Скорость катера по течению реки равна 24,2 км/ч, а собственная скорость
катера – 22,8 км/ч. Найдите скорость катера против течения реки.
Вычислите, записав данные величины в метрах:
1) 3,4 м + 839 см;
2) 2 м 3 см –56 см.
Одна сторона треугольника равна 5,6 см, что на 1,4 см больше второй стороны
и на 0,7 см меньше третьей. Найдите периметр треугольника.
Напишите три числа, каждое из которых больше 5,74 и меньше 5,76.
Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (8,63 + 3,298) – 5,63;
2) 0,927 – (0,327 + 0,429).
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Сравните: 1) 17,497 и 17,5;
2) 0,346 и 0, 3458.
Округлите: 1) 12,88 до десятых;
2) 0,3823 до сотых.
Выполните действия: 1) 5,62 + 43,299;
2) 25,6 – 14,52;
3) 30 – 14,265.
Скорость катера против течения реки равна 18,6 км/ч, а собственная скорость
катера – 19,8 км/ч. Найдите скорость катера по течению реки.
Вычислите, записав данные величины в метрах:
1) 8,3 м + 784 см;
2) 5 м 4 см – 385 см.
Одна сторона треугольника равна 4,5 см, что на 3,3 см меньше второй стороны
и на 0,6 см больше третьей. Найдите периметр треугольника.
Напишите три числа, каждое из которых больше 3,82 и меньше 3,84.
8.
Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:
1)
(5,94 + 2,383) – 3,94;
2) 0,852 – (0,452 + 0,214).
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:
«УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ» ДЛЯ 5 КЛАССА
Вариант 1
1. Вычислите:
1) 0,024 ∙ 4,5;
3) 2,86 : 100;
5) 0,48 : 0,8;
2) 29,41 ∙ 1 000;
4) 4 : 16;
6) 9,1 : 0,07.
2. Найдите значение выражения:
(4 – 2,6) ∙ 4,3 + 1,08 : 1,2.
3. Решите уравнение: 2,4 ( + 0,98) = 4,08.
4. Моторная лодка плыла 1,4 ч по течению реки и 2,2 ч против течения. Какой
путь преодолела лодка за всё время движения, если скорость течения равна 1,7
км/ч, а собственная скорость лодки – 19,8 км/ч?
5. Если в некоторой десятичной дроби перенести запятую вправо через одну
цифру, то она увеличится на 14,31. Найдите эту дробь.
Вариант 2
1. Вычислите:
1) 0,036 ∙ 3,5;
3) 3,68 : 100;
5) 0,56 : 0,7;
2) 37,53 ∙ 1 000;
4) 5 : 25;
6) 5,2 : 0,04.
2. Найдите значение выражения:
(5 – 2,8) ∙ 2,4 + 1,12 : 1,6.
3. Решите уравнение: 0,084 : (6,2 – ) = 1,2.
4. Катер плыл 1,6 ч против течения реки и 2,4 ч по течению. На сколько больше
проплыл катер, двигаясь по течению реки, чем против течения, если скорость
течения реки равна 2,1 км/ч, а собственная скорость катера – 28,2 км/ч?
5. Если в некоторой десятичной дроби перенести запятую влево через одну
цифру, то она уменьшится на 23,76. Найдите эту дробь.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа