close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Кулумбегов Олег Робертович. Методика изучения темы «Модуль числа» в классах физико-математического профиля средней школы

код для вставки
2
3
4
5
6
Аннотация
выпускной квалификационной работы «Методика изучения темы «Модуль
числа» в классах физико-математического профиля
средней школы», Кулумбеговым Олегом Робертовичем на кафедре
геометрии и методики преподавания математики.
Объём диссертации – 131 стр.
Список использованной литературы – 27 источников.
Ключевые слова: поиск решения задачи, различные способы решения
задачи, рациональные способы решения.
Краткая характеристика работы
Представленная к защите магистерская диссертация посвящена
проблеме преподавания темы «Модуль числа» в классах физикоматематического профиля средней школы.
Данное исследование тесно связано с вопросами как общей, так и
частной методики преподавания математики.
В работе проведен анализ учебно-методической литературы по
проблеме исследования, определены цели и задачи исследования.
Первая глава ВКР посвящена теоретическим основам темы «Модуль
числа» в школьном курсе математики.
Здесь рассмотрены определения, свойства, решение простейших
уравнений и неравенств с модулем, а также рассмотрены графики функций,
уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Вторая глава нашего исследования посвящена методике обучения теме
«модуль числа» в классах с углубленным изучением математики.
Педагогический эксперимент, проведенный в ходе данного
исследования, наглядно подтверждает эффективность разработанной
методики и возможность ее использования на самых разных этапах процесса
обучения в различных классах.
Новизна работы. Систематизированы различные методы и способы
решения уравнений и неравенств с модулем в курсе алгебры средней школы.
Разработаны элективные курсы по теме «Модуль числа».
Практическая значимость. Данная работа может быть использована для
работы учителя математики средней школы: при подготовке уроков и
подготовке учеников к экзаменам.
7
Содержание
Глава I. Теоретические основы изучения темы «Модуль числа» в школьном
курсе математики ....................................................................................................... 10
1.1. Определение и простейшие свойства модуля ......................................... 10
1.2. Уравнения и неравенства с модулем. ...................................................... 12
1.3. Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля ........ 17
Глава II. Методика изучения темы «Модуль числа» в классах с
профилирующим изучением математики ............................................................... 21
2.1. Содержание темы «Модуль числа» в программе по математике для
классов с профилирующим (углубленным) изучением математики............ 21
2.2. Основные виды и методы решения уравнений и неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля ............................................... 19
2.3. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с
параметром, содержащие переменную под знаком модуля ......................... 29
2.4. Элективный курс по математике для 9 класса «Уравнения и
неравенства с модулем» .................................................................................. 37
2.5. Элективный курс по математике для 10 класса «Уравнения и
неравенства с модулем» .................................................................................. 78
2.6. Педагогический эксперимент по теме исследования .......................... 118
Заключение ............................................................................................................... 125
Список литературы .................................................................................................. 126
8
Введение
Очень важной характеристикой числа, как в действительной, так и в
комплексной области, является понятие его модуля. Осмысленное владение
модулем позволяет учащимся воспринимать алгебру и геометрию как единое
целое. Понятие «расстояния между точками» позволяет с помощью метода
координат геометрический материал изложить без единого чертежа,
используя только числа и алгебраические операции. Поэтому тема «Модуль
числа» важна для изучения, так как имеет выход в область высшей
математики.
В практике преподавания математики в средней школе и других
средних учебных заведениях понятие абсолютной величины числа (модуля
числа) встречается неоднократно. Но полного, насыщенного материала не
предлагает ни один из школьных учебников. Более подробное рассмотрение
данной темы можно встретить в учебниках с углубленным изучением
математики или на факультативных занятиях. При этом задачи с модулем
регулярно встречаются на основном государственном экзамене в 9 классе.
Именно поэтому данная тема очень актуальна в настоящее время.
Анализируя учебно-методическую литературу, можно заметить, что
приводимый в них материал по теме «Модуль числа» не носит целостного,
комплексного характера. В недостаточной степени присутствуют в литературе
методические рекомендации и дидактические материалы по изучению данной
темы в классах с углубленным изучением математики.
Объект исследования – методика изучения темы «Модуль числа» в
курсе алгебры и начал анализа в классах физико-математического профиля
средней школы.
Предмет исследования – тема «Модуль числа» в курсе школьной
математики в классах физико-математического профиля средней школы.
Отмеченная выше проблема определила цель и задачи выпускной
квалификационной работы.
9
Цель исследования – разработать методические рекомендации по
изучению темы «Модуль числа» в курсе алгебры основной школы.
Задачи исследования:

изучить научную и учебно-методическую литературу;

проанализировать содержание темы «Модуль числа» в учебниках
для общеобразовательных классов, а также для классов с углубленным
изучением математики;

систематизировать различные методы и способы решения
уравнений и неравенств с модулем в курсе алгебры средней школы;

рассмотреть задачи повышенной трудности, содержащие модуль
числа, в частности, уравнения и неравенства с параметром.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы
исследования: теоретический анализ специальной психолого-педагогической
и методико-математической литературы, изучение и применение опыта
учителей
и
методистов,
опубликованного
на
страницах
журналов
«Математика в школе» и «Математика».
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка
литературы.
10
Глава I. Теоретические основы изучения темы «Модуль числа»
в школьном курсе математики
1.1. Определение и простейшие свойства модуля
Знакомство с понятием «модуль числа» делается, согласно программе,
в 6-м классе. Большинство авторов вводят понятие модуля, используя его
геометрический смысл, т.е. как расстояние на координатной прямой от точки
с абсциссой a до начала отсчета.
а
а
а
a
х
Модуль числа а обозначается символом а . Вертикальные черточки
, между которыми записано число, являются знаком модуля этого числа. Такое
обозначение впервые было введено Карлом Вейерштрассом, знаменитым
немецким ученым.
Определение. Модулем неотрицательного действительного числа а
называют само это число: a  a , а модулем отрицательного действительного
числа  а называют противоположное число:
 a  a . Обычно это
 a, если a  0,
определение записывают так: a  

 a, если а  0.
Из определения следует, что противоположные числа имеют равные
модули: а   а . Более того, а  0 тогда и только тогда, когда а  0 . Еще
важно заметить, что а 2  а и
2
а2  а .
Свойства модуля числа.
1)
Модуль числа не меньше самого числа: а  a .
2)
Из первого свойства следует, что  |a|  a  |a | .
3)
Модули равны либо у равных,
| а || b |, если a  b или a  b .
либо у противоположных чисел:
11
4)
Модуль суммы чисел меньше или равен суммы модулей этих чисел:
ab  a  b ,
5)
Модуль разности чисел больше или равен разности модулей этих чисел:
a b  a  b
6)
Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:
ab  a  b
7)
Модуль частного чисел равен частному модулей этих чисел:
a a
 .
b b
Все эти свойства можно доказать, раскрывая модули по определению.
Свойства 3, 6 и 7 можно доказать также с помощью возведения обеих частей
неравенств (равенств) в квадрат [28].
Рассмотрим примеры задач на применение определения и свойств
модуля.
Пример 1. Запишите выражение 5 x  10 без знака модуля.
5 x  10, если 5 x  10  0, x  2,
10  5 x, если 5 x  10  0, x  2.
Решение. 5 x  10  
Пример 2. Вычислите
(2 2  3)2 + (2 2  3) 2 .
Решение. По определению данное выражение будет равно
2 2  3  2 2  3 . Раскрывая модули, получим  2 2  3  2 2  3  6 .
3x 2  4 х  1
Пример 3. Сократите дробь
.
| 2x 1 | x
Решение. Раскроем модуль по определению (2 случая):
1
3x 2  4 х  1 3x 2  4 x  1 (3x  1)( x  1)
если x  , то


 3x  1.
2
| 2x 1 |  x
2x 1  x
x 1
если x 
1
3x 2  4 х  1 3x 2  4 x  1 (3x  1)( x  1)
, то


 1  x.
2
| 2x 1 | x  2x  1  x
 3x  1
12
1.2. Уравнения и неравенства с модулем.
Уравнения и неравенства решают обычно аналитически, используя при
этом различные приемы: раскрытие модуля по определению, применение
свойств модуля, разбиение на промежутки. Кроме того, в некоторых случаях
эффективным может оказаться графический метод. Однако следует помнить,
что в отличие от аналитических способов графический метод дает
приближенный результат.
Приведем основные правила (равносильные переходы) для решения
уравнений и неравенств с модулем.
1.
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x);
2.
 g ( x)  0,

f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x);

3.
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f 2 ( x)  g 2 ( x) .
 f ( x)   g ( x);
4.
f ( x)  f ( x)  f ( x)  0 .
5.
f ( x)   f ( x)  f ( x)  0 .
6.
 f ( x)  0,
| f ( x) |  | g ( x) | f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
7.
 f ( x)  0,
| f ( x) |  | g ( x) | f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
8.
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x).
9.
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x).
10. f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x) .
11. f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x) .
13
Решение таких уравнений основано на определении модуля. Пусть
дано уравнение f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x) , где f i ( x) (i  1, 2, 3,, n) функции любого характера. Для каждой из функций необходимо найти
область определения, нули и точки разрыва, разбивающие общую область
определения функций f i ( x) (i  1, 2, 3,, n) на промежутки, в каждом из
которых каждая функция f i (x ) сохраняет свой знак. Далее, используя
определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение,
которое необходимо решить на рассматриваемом промежутке. То есть решить
 F1 ( x)  0,
   x  x1 ,
равносильную уравнению совокупность смешанных систем вида: 
F ( x)  g ( x),
 F2 ( x)  0,
… или  n
где ( x1 , x2 ,, x m ) - нули функций,
x

x


,
x

x

x
,
m
1
2


или 
разбивающие область определения на промежутки. Решая полученную
совокупность систем, находим корни уравнения.
12.
f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x)
f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x)
Для решения неравенств такого вида используется тот же прием, что и
при решении уравнений, содержащих сумму модулей нескольких функций.
Такие неравенства удобно решать методом интервалов:
1)
Находим
область
определения,
нули
и
точки
разрыва
подмодульных функций;
2)
Находим промежутки, в каждом из которых каждая из функций
f i ( x) (i  1, 2,, n) сохраняет свой знак;
3)
Используя определение модуля, для каждой из найденных
областей получим неравенство, каждое из которых решаем и получаем
искомый ответ [7].
Рассмотрим основные примеры.
Пример 1.
Решить уравнение x  7  3 .
 x  7  3,
 x  4,
Решение. x  7  3  

 x  7  3  x  10.
14
Ответ: -10; -4.
Пример 2. Решить уравнение 2  5 x  1 .
Решение. Данное уравнение не будет иметь решений, так как из определения
следует, что a  0 .
Пример 3. Решить уравнение x  3  5 .
 x  3  5,
Решение: x  3  5  

 x  3  5,
 x  8,


 x  2,
  x  8,
 
  x  8,
нет решения.
Ответ:  8 .
Пример 4. Решить уравнение 2 x  1  5  x .
Решение: (2 x  1) 2  (5  x) 2  4 x 2  4 x  1  25  10 x  x 2  3x 2  6 x  24  0
Решаем полученное уравнение x1  2, x2  4 .
Ответ:  4; 2. .
Пример 5. Решить уравнение x  1  x 2  x  7 .
  x  1,
  x1  4,

x  1  0,
 

2
  x 2  2,
x  1  x  x  7,

Решение: x  1  x 2  x  7   
 x  1,
x  1  0,



 x  1  x 2  x  7,
 x3  6 ,

 x   6 .
 4
Согласно ограничениям, решением уравнения будут корни x1  4 и x4   6 .
Ответ: 4;  6 .
Пример 6. Решить уравнение x 2  3x  6  2 x .
 x  0,
 x1  6,
2 x  0,


 x  6,

Решение: x 2  3x  6  2 x   x 2  3x  6  2 x,   x 2  1,   1
 x 2  3.
 x 2  3 x  6  2 x,
 x3  3,


 x 4  2,
Ответ: 3; 6.
15
Пример 7. Решить уравнение x  2  x  5  1 .
Решение: Найдем нули выражений, стоящих под знаками модуля, и разобьем
на промежутки числовую прямую. Получим три системы:
x  5,


2  x  x  5  1,
  5  x  2,
2  x  x  5  1,
или 
x  2,
 x  2  x  5  1,

или 
решая которые
определяем, что первая и третья система не будут иметь решений, а вторая
система будет иметь решение x  2 .
Ответ:  2 .
Пример 8. Решить уравнение 2 x  1  2 x  1 .
Решение: 2 x  1  2 x  1  2 x  1  0  x  
1  x   0,5;  .
2
Ответ: x   0,5;    .
Пример 9. Решить уравнение x  4  x  2  2 .
Решение: Заметим, что x  4  x  2  2  x  4  x  2  ( x  4)  ( x  2).
 x  4  0,
 x  4,

 x  [2; 4].
 x  2,
 x  2  0,
Равенство выполнимо, когда 
Пример 10. Решить неравенство x  1  2 .
 x  1  2,
 x  1,

 x   3; 1 .
x

1


2
,
x


3
,


Решение: x  1  2  
Ответ:  3; 1.
Пример 11. Решить неравенство 2 x  5  3 .
 2 x  5  3,
 x  4,

 x   ; 1  4;    .
2 x  5  3,
 x  1,
Решение: 2 x  5  3  
Ответ:  ; 1  4;   .
Пример 12. Решить неравенство 3  x  2 x .
 3  x  2 x,
 x  1,

 x   ; 1 .
3  x  2 x,
 x  3,
Решение: 3  x  2 x  
Ответ:  ; 1 .
Пример 13. Решить неравенство x 2  2 x  x .
16
Решение:
x  0; 3,
 x 2  2 x  x,
 x 2  3x  0,

x 2  2x  x   2
 2

 x  1; 3.




x



;
0

1
;


,
x

2
x


x
,
x

x

0
,



Ответ: 1; 3.
Пример 14. Решить неравенство 10  5x  x .
5
Решение: 10  5 x  x  (10  5 x) 2  x 2  6 x 2  25 x  25  0  x   ;
3
5
.
2
5 5
Ответ:  ;  .
3 2
Пример 15. Решить неравенство 2 x  x  1  4 .
Решение: Найдем нули подмодульных выражений, разобьем на промежутки
числовую прямую, получим три системы:
x  1,
x  0,

 0  x  1,

или 
или 
решая которые получаем в

 2 x  x  1  4,
2 x  x  1  4,
2 x  x  1  4,
 5
первой системе x   1; 0 , во второй x  0; 1 и в третьей x  1;  .
 3
5

Объединяя решения, получим x    1;  .
3



5
3
Ответ:   1;  .
 x  | x | y 2  4,
Пример 16. Решить систему уравнений 
2 x  3 у.
Решение: Раскроем модуль в первом уравнении и получим совокупность двух
систем, решение которой будет решением данной системы:
 x  x  y 2  4,
  x  6,
если
x

0



 x  | x | y 2  4,
2 x  3 y,


  y  4,



  x  x  y 2  4,
 x  3,
2 x  3 у ,
если x  0

 y  2.
2
x

3
y
,
 

Ответ: (6; 4), (-3; -2).
17
1.3. Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля
1.
Графики функций вида y  f (x) .
Чтобы построить график функции данного вида, необходимо:
1)
Построить график функции y  f (x) ;
2)
Отобразить симметрично относительно оси Ox часть графика,
которая расположена ниже оси, оставив часть графика, находящуюся выше и
на самой оси Ox без изменений.
2.
Графики функций вида f ( x)  k1 x  b1  k 2 x  b2  ...  k n x  bn .
Чтобы построить график функции данного вида, необходимо:
1)
Найти нули выражений, стоящих под знаками модуля;
2)
Рассмотреть функцию f (x) на каждом из промежутков, на
которые нули выражений, стоящих под знаками модуля, разбивают числовую
прямую;
3)
Построить график.
3.
Графики функций вида y  f ( x ) .
Функция y  f ( x ) четная, поскольку f (  x )  f ( x ) , поэтому для
того, чтобы построить график данной функции необходимо:
1)
Построить график функции y  f (x) при x  0 ;
2)
Построить вторую часть графика, отобразив построенную часть
симметрично относительно оси Oy .
4.
Графики функций вида y  f ( x ) .
Чтобы построить график функции данного вида, необходимо:
1)
Построить график функции y  f (x) при x  0 ;
2)
Построить вторую часть графика, отобразив построенную часть
симметрично относительно оси Oy ;
3)
На полученном графике часть, расположенную ниже оси Ox ,
отображаем симметрично относительно оси Ox , оставив часть графика,
расположенную выше и на самой оси Ox , без изменения.
18
5.
Графики функций вида y  f (x) .
Из определения модуля следует, что f ( x)  0 , и если y  0 , y  f (x) , а
если y  0 , то y   f (x) . Отсюда следует, что график симметричен
относительно оси Ox . Чтобы построить график уравнения, необходимо:
1)
Построить график функции y  f (x) для случая y  0 ;
2)
Построить вторую часть графика, отобразив построенную часть
относительно оси Ox .
6.
Графики функций вида y  f (x) .
 y  f ( x),
Исходное уравнение равносильно совокупности: 
 y   f ( x).
Чтобы построить график уравнения данного вида, необходимо:
1)
Построить график функции y  f (x) ;
2)
Построить график функции, симметричный относительно Ox .
Пример 1. Постройте график уравнения y  x  a , где a  0 .
Решение. Из данного равенства видно, что x  a и y  a , то есть данное
равенство выполнимо, если  a  x  a и  a  y  a .
Так как y   y , x   x , то график данного уравнения симметричен
относительно осей координат. Поэтому строим график в 1-й четверти, а затем
достроим его во 2-й, 3-й и 4-й четвертях.
При x  0 , y  0 получаем x  y  a : график – прямая.
Графиком исходного уравнения является квадрат.
19
Пример
Постройте
2.
координатной
на
плоскости Oxy фигуру
заданную условием: 4  x2  y 2  2 x  2 y .
 x 2  y 2  4,
Решение.  2

2
x

y

2
x

y
.

 x 2  y 2  4,


2
2
 x  1  y  1  2.

 

Первое неравенство системы задаёт внешнюю часть круга с центром в
точке (0;0) и радиусом 2.
Так как второе неравенство системы не меняется при замене x на  x
и y на  y , то данная фигура симметрична относительно осей координат. Для
её построения достаточно рассмотреть только I четверть:
x  12  y  12  2 .
Это неравенство задаёт на координатной плоскости круг
с центром в точке (1;1) и радиусом
2.
Оставив часть круга, расположенную в I
четверти, и дополнив её с учетом симметрии
фигуры, получим искомое множество точек.
Пересечение двух этих фигур дает
искомую фигуру.
Пример 3. Постройте ГМТ, заданных
неравенством x  y  2 .
20
Решение. По свойству модуля
имеем:
2 x y  2 ,
откуда
x2 y  x2.
Таким
образом,
графиком
данного неравенства является часть
плоскости, ограниченная прямыми
у=х-2 и у=х+2, включая границы.
21
Глава II. Методика изучения темы «Модуль числа» в классах с
профилирующим изучением математики
2.1. Содержание темы «Модуль числа» в программе по математике для
классов с профилирующим (углубленным) изучением математики
В школьной программе математики первое ознакомление с модулем
числа происходит уже в 6-м классе. В пояснительной записке к программе
отмечается важность этой темы в дальнейшем при изучении сравнения
отрицательных чисел и действий с положительными и отрицательными
числами, хотя не ставиться цель изучения модуля и его свойств [25].
Вместе с определением модуля числа в большинстве учебников
рассматривается и его геометрическая интерпретация.
Например, в учебнике математики для 6 класса Н.Я. Виленкина
определение модуля вводиться с помощью координатной прямой на
конкретных числах и примерах, которые далее организуются в определение:
Расстояние точки М (-6) от начала отсчёта 0 равно 6 единичным
отрезкам. Число 6 называется модулем числа -6.
Пишут  6  6 .
Определение:
Модулем числа a называют расстояние (в единичных отрезках) от
начала координат до точки A(a).
Рассматриваются следующие свойства:
1)
0  0 , так как координата 0 совпадает с началом отсчёта, то есть
удалена от неё на 0 единичных отрезков.
2)
 a  a , т.е. противоположные числа имеют равные модули.
Для закрепления пройденной темы предлагаются задания типа:
1)
Найти модуль данного числа;
2)
Из двух чисел выбрать то, у которого модуль больше и т.п.
22
В другом учебнике для 6 класса под редакцией С.М. Никольского.
Здесь
данная
тема
отдельно
не
изучается,
она
входит
в
тему
«Противоположные числа» в главе «Целые числа».
Сначала рассматривается понятие противоположные числа. Только
затем вводится понятие модуля числа (или абсолютной величины).
При этом следует заметить, что упражнения на закрепление понятия
«Модуль числа» более разнообразные, чем в учебнике Н.Я. Виленкина.
В 7-м классе задания с модулем появляются крайне редко. Отдельных
разделов, связанных с модулем, авторы учебников не вводят.
В 8-м классе Ю.Н. Макарычев в главе «Действительные числа»
рассматривает темы «Абсолютная и относительная погрешности», где
возвращается к понятию модуля, так как оно необходимо для ввода
определений погрешностей [22].
В главе «Неравенства» автор в теории понятие модуля не затрагивает,
но предлагает для решения не сложные задания. А главе «Функции и графики»
разбирается пример графика функции y  x .
В учебнике С.М. Никольского «Алгебра 8» для классов с углубленным
изучением математики предлагается рассмотреть тему «Функция y  x и её
график». На основе определения модуля автор предлагает эту функцию
 x, если x  0,
После этого приводится ее график и
 x, если x  0.
записать так: y  
перечисляются (с опорой на график) некоторые ее свойства. В разделе
«Дополнительные главы» автор рассматривает тему «Построение графиков
функций, содержащих модули». Здесь рассматриваются более сложные
примеры графиков [5].
В учебнике «Алгебра 8» Н.Я. Виленкина рассматриваются такие темы,
как «Уравнения, содержащие знак модуля» и «Решение неравенств,
содержащих знак модуля». Но сначала в теме «Арифметические операции над
действительными числами» даются определение модуля действительного
числа, из которого вытекает ряд свойств модуля:
1)
ab  a  b;
2)
ab  a  b ;
3)
1 1
 , a 0;
a a
4)
ab  a  b .
Далее в параграфе, посвященном уравнениям, содержащим знак
модуля, рассматривается свойство модуля, если a  b , то либо a  b , либо
a  b . После чего приводятся примеры решений основных видов уравнений
с модулем методом разбиения на промежутки знакопостоянства. В конце
параграфа предлагаются упражнения, не только на решение уравнений, но и
на построение графиков и решение уравнений графическим методом [1].
В учебнике для 9-го класса Ю.Н. Макарычев в главе «Свойства и
графики функций» рассматривает графики функций y  f (x) и y  f ( x ) ,
обосновывая правило построения каждого графика. Далее в параграфе
«Уравнения
и
неравенства
с
переменной
под
знаком
модуля»,
рассматриваются отдельные приёмы решения уравнений и неравенств. В
разделе «Задачи повышенной сложности» приводится ряд упражнений,
связанных с модулем: уравнения, неравенства, графики [23].
В учебнике для 9-го класса Н.Я. Виленкина рассматривается тема
«Функция x ». Уравнения и неравенства с модулем встречаются в главе
«Уравнения, неравенства и их системы», а также в некоторых других темах [2].
В школьных программах для классов с углубленным изучением
математики выделяют мало часов на изучение темы «Модуль числа», авторы не
выделяют данную тему на отдельное изучение, а включают ее в другие темы.
Исходя из проведенного анализа учебников, делаем вывод, что тема
«Модуль числа» частично дается в учебниках для общеобразовательных
классов и более детально в классах с углубленным изучением математики. Но
материал присутствует в разных параграфах частично, что не дает полного
объема знаний по данной теме. Поэтому процесс обучения будет гораздо
18
эффективнее, если изучение темы «Модуль числа» в математических классах
проводить отдельным блоком, где больше возможностей изучить свойства, а
также привести основные виды и методы решения уравнений и неравенств.
19
2.2. Основные виды и методы решения уравнений и неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля
Как было отмечено ранее, для решения уравнений (неравенств) с
модулем используют следующие приемы:
1)
Раскрытие модуля по определению;
2)
Раскрытие модуля по свойству;
3)
Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
4)
Метод разбиения на промежутки;
5)
Геометрическая интерпретация;
6)
Графический метод;
Не всегда одно и то же уравнение (неравенство) можно решить любым
из представленных способов, поэтому при решении уравнений желательно
выбирать более рациональный. При изучении данной темы необходимо
научить школьников не только правильно применять каждый из этих методов,
но и сравнивать их достоинства и недостатки. В связи с этим представляется
целесообразным рассмотреть решение одной задачи (уравнения или
неравенства) несколькими способами [9, 24].
Рассмотрим основные виды уравнений и неравенств с модулем и их
решение разными способами.
Пример 1. Решите уравнение x  3  2 .
Решение.
1 способ (по определению модуля).
 x  3,

 x  3  2,
 x  5,

x3  2  

 x  1.
 x  3,
 x  3  2,


2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x3  2  

 x  3  2,
 x  1.
20
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим x  3 и отложим вправо и влево по 2:
Получим, x1  1, x2  5 .
4 способ (возведение в квадрат).
x  3  2  ( x  3) 2  2 2  x 2  6 x  5  0  x1  1, x2  5
5способ (графический).
Построим графики функций y  x  3 и y  2 в одной системе координат
По графику находим точки пересечения и записываем их абсциссы
x1  1, x2  5 .
Пример 2. Решите уравнение x  2  2 x  1.
Решение.
1 способ (по определению модуля).
 
 x  2,
x  2,
 

x  2  2 x  1,
x  1,


x  2  2x  1 
 
 x  1.
x  2,

  x  2,
 x  2  2 x  1,
  x  1,


2 способ (по свойству модуля).
21
1

x ,
 2 x  1  0,



2
x  2  2 x  1   x  2  2 x  1,   x  1,  x  1.

 x  2  2 x  1,


 x  1,
3 способ (возведение в квадрат).
x  2  2 x  1  ( x  2) 2  (2 x  1) 2  3x 2  3  0  x1  1, x2  1.
Проверка показывает, что корнем будет только x2  1 .
4 способ (графический).
Построим графики функций y  x  2 и y  2 x  1 в одной системе
координат:
По графику находим точки пересечения и записываем их абсциссы: x  1 .
Пример 3. Решите уравнение x  3  2 x  1.
Решение.
1 способ (раскрытие внутреннего модуля).
При x  0
x  3  2x  1.
2
Полученное уравнение решается аналогично примеру (2): x  .
3
При x  0
 x  3  2x  1 .
Полученное уравнение решается аналогично примеру (2): решений нет.
22
2 способ (раскрытие внешнего модуля).
1

 x  2,

 x  0,

4
1

x


,


x


,
 2 x  1  0,


3
2
2
 x  3  2 x  1,

x  3  2x  1  
  x  2 x  4,   x  2,  x 2  . .
3
 x  3  2 x  1,



 x  2 x  2,
  x  0,
 
2
  x  ,
3
 
  x  4,
 
3 способ (графический).
Построим графики функций y  x  2
и y  2 x  1 в одной системе
координат
По графику находим точки пересечения и записываем их абсциссы: x  0,7 .
Пример 4. Решите уравнение x  1  x  3  4 .
Решение.
1 способ (неравенство треугольника).
Заметим x  1  x  3  ( x  1)  ( x  3) , тогда уравнение равносильно системе
 x  1  0,
 x  1,

 x   1; 3 .
 x  3  0,
 x  3,
неравенств 
2 способ (метод интервалов).
Найдем нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля,
и разобьем на промежутки числовую прямую. Далее рассмотрим три случая:
23
x  1,


 x  1  x  3  4,
 1  x  3,
 x  1  x  3  4,

или 
x  3,
 x  1  x  3  4,

или 
решая которые
получим, в первой системе x  1 , во второй системе x   1; 3 , а третья
система не имеет решений. Таким образом, решением исходного уравнения
будет отрезок x   1; 3 .
3 способ (возведение в квадрат).
x  1  x  3  4  ( x  1  x  3 ) 2  4 2  x  1  2 x 2  2 x  3  x  3  16 
2
2
 x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  3  x 2  6 x  9  16  2 x 2  4 x  6  2 x 2  2 x  3 
 ( x 2  2 x  3)  x 2  2 x  3  x 2  2 x  3  0  x   1; 3 .
4 способ (графический).
Построим графики функций y  x  1  x  3 и y  4 в одной системе
координат:
Общие точки двух графиков представляют собой отрезок, поэтому x   1; 3 .
5 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим точки (-1) и (3). Необходимо найти такие точки
(х) на числовой прямой, что сумма расстояний до точек с координатами (-1) и
(3) равнялась бы 4: a  b  4 (рис.)
Из рисунка видим, что условие выполняется при любых x   1; 3 .
Пример 5. Решить неравенство x  3  2 .
Решение.
24
1 способ (по определению модуля).
  x  3,

 x  3; 5,
x  3  2,
x3  2   

 x  (1; 5).
 x  3,
 x  (1; 3),
 x  3  2,

2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x 3  2  

 x  (1; 5).
 x  3  2,
 x  1,
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
Отметим на числовой прямой точку 3 и отложим в право и влево по 2.
Из рисунка видно, что решением будет x  (1, 5) .
4 способ (возведение в квадрат).
x  3  2  ( x  3) 2  2 2  x 2  6 x  9  4  x 2  6 x  5  0  x  (1; 5) .
5 способ (графический).
Построим графики функций y  x  3 и y  2 в одной системе координат:
Решением неравенства будут все значения х, при которых график функции
y  x  3 будет расположен ниже прямой y  2 : x  (1; 5) .
Пример 6. Решить неравенство x  3  2 .
Решение.
1 способ (по определению модуля).
25
  x  3,
 
 x  5,
x  3  2,
x3  2   

 x  (; 1]  [5;  ) .
 x  3,
 x  1,
 x  3  2,

2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x3  2  

 x  (; 1]  [5;  ) .
 x  3  2,
 x  1,
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
Отметим на числовой прямой точку 3 и отложим в право и влево по 2.
Из рисунка видно, что решением будет x  (; 1]  [5;  ) .
4 способ (графический).
Построим графики функций y  x  3 и y  2 в одной системе координат:
Решением неравенства будут все значения х, при которых график функции
y  x  3 будет расположен не выше прямой y  2 : x  (; 1]  [5;  ) .
Пример 7. Решить неравенство x  2  2 x  1 .
Решение.
1 способ (по определению модуля).
 
x  2,
 
 x  2,
x  2  2 x  1,
x  2  2x  1   

 x  (1;  )
x  2,

 x  (1; 2),
 x  2  2 x  1,

26
2 способ (по свойству модуля).
 x  2  2 x  1,
 x  1,
x  2  2x  1  

 x  (1;  )
 x  2  2 x  1,
 x  1,
3 способ (возведение в квадрат).
x  2  2 x  1  ( x  2) 2  (2 x  1) 2  x 2  4 x  4  4 x 2  4 x  1 
 x 2  1  0  x  (1;  )
4 способ (графический метод).
Построим графики функций y  x  2 и y  2 x  1 в одной системе координат:
Так как в неравенстве знак строго меньше, то решением будет x  (1;  ) .
Пример 8. Решить неравенство x  1  x  3  4 .
Решение.
1 способ (метод интервалов).
Найдем нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля, и
разобьем на промежутки числовую прямую, получим три системы:
x  1,


 x  1  x  3  4,
 1  x  3,
 x  1  x  3  4,

или 
x  3,
 x  1  x  3  4,

или 
решая которые
получим, в первой системе x  1 , во второй системе x   1; 3 , а третья
система не имеет решений. Таким образом, решением исходного уравнения
будет отрезок x   1; 3 .
2 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
27
На числовой прямой отметим точки -1 и 3, а также произвольную точку (x):
Необходимо чтобы a  b  4 . Из рисунка видим, что условие выполняется при
любых x   1; 3 .
3 способ (неравенство треугольника).
Заметим, что 4 = (х+1) – (х-3). Тогда
 x  1  0,
 x  1,
x  1  x  3  4  x  1  x  3  ( x  1)  ( x  3)  


 x  3  0,
 x  3,
 x   1; 3 .
4 способ (графический метод).
Построим графики функций y  x  1 и y  4  x  3 в одной системе
координат:
Общими точками графиков является отрезок, поэтому x   1; 3 .
Пример 9. Решить неравенство
x3 2
0.
2x  1  3
Решение.
1 способ (метод интервалов).
Найдем нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля,
разобьем на промежутки числовую прямую и получим три системы:
28
1

 x  3,
3 x  2,
или
  x  5  0, или  x  1
  2 x  2

 0,
  2x  2
1

 x  2,
решая которые находим, в первой
 x 1

 0,
 2x  4
1

системе x [5;  3] , во второй системе x  (3;  1)    1;  , в третьей
2

1 
системе x   ; 2  . Таким образом, решением исходного неравенства будет
2 
объединение промежутков: x [5;  1)  (1; 2) .
2 способ (разложение на две системы).
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
 x  3  2  0,
 x  3  2,


2 x  1  3  0,
2 x  1  3,
x3 2


0
 
 x  3  2  0,
 x  3  2,
2x  1  3


 2 x  1  3  0,
 2 x  1  3.
Неравенства в системах решаются аналогично примерам (5) и (6).
3 способ (метод замены множителей).
Очевидно, что разность неотрицательных чисел будет по знаку такой же,
как и разность квадратов этих чисел.
Заменим разность модуля и числа разностью их квадратов: x  3  2 и
2 x  1  3 на ( x  3) 2  22 и (2 x  1) 2  32 соответственно, тогда
( x  3) 2  2 2
( x  1)( x  5)

0

 0.
(2 x  1) 2  32
(2 x  4)(2 x  2)
Таким образом, получили неравенство без модулей, которое решаем
методом интервалов и получаем ответ: x [5;  1)  (1; 2) .
29
2.3. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с
параметром, содержащие переменную под знаком модуля
Для решения задач с параметром используется аналитический и
графический методы. Аналитический метод обычно применяется, когда перед
учеником стоит задача найти все решения уравнения, неравенства или
системы с параметром [10]. Рассмотрим аналитический метод на примерах.
Пример 1. Решить уравнение x  a  a  7 .
Решение.
При a  7  0 , т.е. при a  7 , уравнение корней не имеет.
При a  7 уравнение имеет корень x  7 .
При
a  7 уравнение распадается на два:
xa  a7
или
x  a  a  7 , откуда x  2a  7 или x  7 .
Ответ: при a  7 корней нет; при a  7 x  7 ; при a  7 x  7 и
x  2a  7 .
Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение a x 1  x  2 имеет ровно один корень. Укажите этот корень для
каждого такого значения а.
Решение. Для того чтобы перейти от данного уравнения к уравнению, не
содержащему модуль, нужно рассмотреть два случая: х  1 и х<1. После
раскрытия модуля исходное уравнение примет вид линейного. Однако нужно
помнить, что значение х, найденное, например, в первом случае, должно
удовлетворять условию х  1. В противном случае корень будет посторонним.
Аналогично для второго случая. Таким образом, получим:
1 случай. Если х  1, то данное уравнение примет вид а(х – 1) = х + 2.
После преобразований получим (а – 1)х = а + 2. При а = 1 корней нет.
При а  1 x 
a2
. Найденное значение х является корнем исходного
a 1
уравнения при выполнении условия х  1. Решим неравенство
a2
 1.
a 1
30
После преобразований получим равносильное ему неравенство
3
0 ,
a 1
решением которого будут все a  (1;  ) . Таким образом, только при
a  (1;  ) x 
a2
является корнем исходного уравнения.
a 1
2 случай. Если x < 1, то данное уравнение примет вид а(1 – х) = х + 2.
После преобразований получим (а + 1)х = а – 2. При а = – 1 корней нет.
При а  – 1 x 
a2
. Найденное значение х является корнем исходного
a 1
уравнения при выполнении условия х < 1. Решим неравенство
a2
 1.
a 1
После преобразований получим равносильное ему неравенство
3
0 ,
a 1
решением которого будут все a  (1;  ) . Таким образом, только при
a  (1;  ) x 
a2
является корнем исходного уравнения.
a 1
Отметим на числовой оси значения параметра а, при которых исходное
уравнение имеет найденные корни.
Видим, что при a  (1; 1] (на рисунке одна штриховка) уравнение имеет
ровно один корень. Этот корень x 
Ответ: a  (1; 1] ; x 
a2
.
a 1
a2
.
a 1
Пример 3. Решить неравенство x  2a 
1
.
x
Решение. При x  0 неравенство решений не имеет, поэтому далее
считаем, что x  0 , но тогда исходное неравенство равносильно неравенству
x 2  2ax  1 . после возведения в квадрат обеих частей последнего неравенства
31
получаем ему равносильное неравенство ( x 2  2ax  1)( x 2  2ax  1)  0 . Пусть
f ( x)  ( x 2  2ax  1)( x 2  2ax  1)
и
f : x  a  a 2  1, x  a  a 2  1
.
D ( f )  R
Корень
.
Нули
x  a  a 2  1
не
удовлетворяет условию x  0 . Очевидно, что x  a  a 2  1 при всех a  R .
Корни  a  a 2  1 удовлетворяют условию x  0 только при a  1 .
Рассмотрим случай a  1. В этом случае нули функции f : x  1  2 и x  1
.


Итак, при a  1 x  0;1  2 .
При a  1 имеем ситуацию, представленную на рисунке:
a a2 1
Ясно, что при a  1
 a a2 1
 a  a 2 1
0  x  a  a a 2  1 ;
 a  a 2  1  x  a  a 2  1 . Далее случай a  1. Оба корня
x  a  a 2  1 не удовлетворяют условию x  0 .
При a  1 : 0  x  a  a 2  1 .
 a  a 2 1
Ответ: при a  1 0  x  a  a 2  1;  a  a 2  1  x  a  a 2  1 ;
при a  1 0  x  1  2 ; при a  1 0  x  a  a 2  1 .
Графический метод чаще применяется в том случае, когда сами
решения уравнения или неравенства находить не нужно, а требуется выяснить,
при
каких
значениях
требованию [10].
параметра
решения
удовлетворяют
какому-то
32
Использование графиков функций и уравнений значительно упрощает
решение уравнений и неравенств с параметрами. Здесь важно помнить, что
графический метод является приближенным, а для нахождения точного ответа
необходимо информацию, полученную с картинки, подкреплять какими-либо
расчетами.
Пример 4. Для каждого значения а определите, сколько корней имеет
уравнение
2 x  x2  a .
Решение. Функция f ( x)  2 x  x 2 четная. D( f ) : [2; 2] . Строим
график функции f ( x)  2 x  x 2 при x  0 и отображаем его симметрично
относительно оси Oy .
y  2 x  x2
Прямая y  a параллельна оси Ox . Из рисунка видно, что при a  0 и
a  1 уравнение корней не имеет; при a  0 уравнение имеет три корня; при
0  a  1 уравнение имеет четыре корня; при a  1 уравнение имеет два корня.
Пример 5. Решить неравенство 2 x  a  x  2 .
Решение. По определению модуля неравенство равносильно двойному
неравенству:  x  2  2 x  a  x  2;  3x  2  a  2  x . Построим в одной
системе координат прямые y  3x  2 и y  2  x . Они пересекутся в точке
(2; 4) .
33
По рисунку видно, что
при a  4 неравенство решений
не имеет. При a  4 x  2 .
При a  4 x1  x  x2 , где x1 корень уравнения  3x  2  a :
x   a  2 ; x 2 - корень
3
уравнения 2  x  a : x 2  2  a .
Ответ: при a  4 решений нет; при a  4 x  2 ;
 a2

при a  4 x  
; 2  a .
3


Пример 6. Для каждого значения a найдите число решений системы
 x  y  1,
 2
2
2
x  y  a .
Решение. Первое уравнение системы на координатной плоскости Oxy
задает квадрат, а второе – семейство концентрических окружностей с центром
в начале координат и радиусом r  a .
Из прямоугольного треугольника ОРА находим OP 
2
.
2
34
Очевидно, что система не имеет решений, если r 
или r  1 - четыре решения; при
2
2
или r  1 ; при r 
2
2
2
 r  1 - восемь решений.
2
С учетом того, что r  a , получим: система не имеет решений, если


2 2
2
  (1;  ) ; четыре решения, если a   1; 
a  (;  1)   
;
;

2
2
2





2  2 


восемь решений, если a    1; 
  2 ;1 .
2

 


2 2
  (1;  ) решений нет;
;
Ответ: при a  (;  1)   

2
2



2
при a   1; 
 четыре решения;
2



2  2 


при a    1; 
  2 ;1 восемь решений.
2

 

Пример 7. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
3  x 2  x  a имеет хотя бы одно отрицательное решение.
Решение. Переформулируем задачу на графическом языке: нужно найти
все значения параметра
а, при которых существует хотя бы одна точка
графика функции y  3  x 2 с отрицательной абсциссой, лежащая выше точки
графика функции y  x  a с той же абсциссой.
Из графических соображений ясно, что искомые значения a  (a1 ; a 2 ) .
Значение a 2 соответствует тому, что левый луч уголка проходит через точку
(0; 3). Подставляя координаты этой точки в уравнение y  а2  х , получим a 2
= 3. Значение a1 соответствует тому, что правый луч уголка касается
параболы,
т.е.
уравнение
3  x 2  x  a1
имеет
ровно
один
корень.
35
Дискриминант этого уравнения равен 13  4a1 и обращается в нуль при
a1   13 . Таким образом, a    13 ; 3  .
4
 4 
Ответ: a    13 ; 3  .
 4 
Пример 8. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее
значение функции f ( x)  x 2  4 | x | ax  a на отрезке [-1; 3] не меньше, чем -5.
Решение. Так как наименьшее значение функции на отрезке [-1; 3], не
меньше, чем -5, то значения функции во всех точках отрезка также не меньше,
чем -5. Следовательно, неравенство x2  4 | x | ax  a  5 должно выполняться
для любого х  [1; 3] . Последнее неравенство перепишем в следующем виде
x2  4 | x | a( x  1)  5 .
Выясним, при каких значениях параметра а прямая у  a( x  1)  5
будет
располагаться не выше графика функции у  x2  4 | x | , построенного на отрезке
[-1; 3].
Заметим, что прямая у  a( x  1)  5 проходит через точку (1; -5). При
изменении параметра а будет меняться угловой коэффициент (а значит, и угол
наклона) этой прямой.
36
Условию задачи удовлетворяют все прямые, расположенные внутри
закрашенной пары вертикальных углов, включая границы. Найдем значения а,
соответствующие этим границам.
1) Значение а находим из условия, что прямая у  a( x  1)  5 проходит
через точку (-1; -3): – 3 = – 2а – 5, а = – 1.
2) Значение а находим из условия, что прямая у  a( x  1)  5 касается
параболы у  x 2  4 x . То есть уравнение x2  4 x  a( x  1)  5 должно иметь ровно
один корень. Приведя уравнение к виду x2  (4  а) x  а  5  0 , потребуем, чтобы
его дискриминант равнялся нулю.
D  (4  а)2  4a  20  a 2  4a  4 . Решая уравнение a 2  4a  4  0 , находим
a  2  2 2 или a  2  2 2 . Легко понять, что нашему случаю удовлетворяет
лишь одно значение a  2  2 2 .
Таким образом, искомые значения a  [1;  2  2 2 ] .
Ответ: [1;  2  2 2 ] .
37
2.4. Элективный курс по математике для 9 класса «Уравнения и
неравенства с модулем»
Пояснительная записка
Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулем» разработан для
учащихся 9-х классов с углублённым изучением математики и рассчитан на 20
часов. Он направлен, в первую очередь, на учащихся, желающих успешно
сдать ОГЭ и планирующих продолжить обучение в 10-11 классах с
дальнейшим поступлением в технические ВУЗы. Кроме того, предлагаемый
материал может быть полезен для организации и проведения занятий по ПРЗМ
в 10-11 классах.
Тема «Модуль числа» в учебниках алгебры 7-9 классов встречается
эпизодически при изучении отдельных тем. Программа школьного курса
математики не предусматривает обобщение и систематизацию знаний по
данной теме. Вместе с тем задачи, связанные с модулем числа (уравнения,
неравенства, системы, графики), часто встречаются на математических
олимпиадах, ОГЭ, ЕГЭ, вступительных испытаниях в ВУЗы.
Данный курс позволит учащимся систематизировать, расширить и
закрепить знания, связанные с модулем, исследованием и построением
графиков
функций,
подготовиться
для
дальнейшего
изучения
тем,
использующих эти понятия, научиться решать задачи различного уровня
сложности.
В процессе изучения этого курса предполагается использовать
различные методы активизации познавательной деятельности и привлечение
учащихся к самостоятельной работе. Итогом элективного курса будет
заключительная контрольная работа.
Цели курса:
- обобщение и систематизация знаний по темам модуль, уравнения и
неравенства, системы уравнений и неравенств, построение графиков
38
функций, решение задач с параметром, содержащих переменную под
знаком модуля;
- повышение уровня математической подготовки учащихся;
- подготовка к сдаче ОГЭ.
Задачи курса:
- сформировать познавательный интерес к математике;
- подготовить учащихся к ОГЭ и начать подготовку к ЕГЭ;
- развить навык самостоятельной работы;
- научить решать уравнения, неравенства и системы уравнений и
неравенств на более высоком уровне, чем требуется по школьной
программе.
Используемые педагогические технологии:
- Технология проблемного обучения (такая организация занятий, которая
заставляет учеников самостоятельно решать поставленную проблему
под руководством учителя).
- Технология коллективного способа обучения (такая организация
занятий,
при которой
учащиеся
решают
поставленную задачу
коллективно, таким образом обучая друг друга).
- Технология индивидуального обучения (такая организация занятий, при
которой происходит как взаимодействие учителя с каждым учащимся,
так и взаимодействие каждого учащегося с источниками информации).
- Технология поэтапного формирования умственных действий (такая
организация занятий, при которой познание нового происходит за
несколько этапов).
- Технология уровневой дифференциации (такая организация занятий, при
которой происходит обучение каждого учащегося на уровне его
возможностей и способностей).
Формы контроля:
- Проверка домашних работ и индивидуальных заданий;
- Итоговая контрольная работа.
39
Учебно-тематический план
№
п/п
Название темы курса
Кол-во
часов
1
Модуль числа и его свойства
1
2
Уравнения с модулем
4
3
Неравенства с модулем
3
4
Графики функций, уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля
4
5
Уравнения и неравенства с
переменную под знаком модуля
4
6
Задачи, содержащие модуль числа в вариантах ОГЭ
2
7
Итоговая контрольная работа по теме «Модуль числа»
2
параметром,
содержащие
Содержание учебного курса.
1) Модуль числа и его свойства.
Определение абсолютной величины числа. Геометрическая интерпретация
понятия «модуль числа a». Свойства модуля. Задачи на упрощение
выражений, содержащих модуль.
2) Уравнения с модулем.
Основные методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком
модуля: раскрытие модуля по определению, раскрытие модуля по свойству,
возведение в квадрат обеих частей уравнения, геометрическая интерпретация,
метод разбиения на промежутки.
3) Неравенства с модулем.
Основные методы решения неравенств (такие же, как для уравнений).
40
4) Графики
функций,
уравнений
и
неравенств,
содержащих
переменную под знаком модуля.
Графики функций, уравнений и неравенств. Преобразования графиков.
Решение уравнений и неравенств графическим способом.
5) Уравнения и неравенства с параметром, содержащие переменную
под знаком модуля.
Уравнения, неравенства (системы уравнений и неравенств). Аналитический и
графический способы решения задач с параметром.
6) Задачи, содержащие модуль числа в вариантах ОГЭ.
Задания из вариантов ОГЭ прошлых лет, диагностических и тренировочных
работ по подготовке к итоговой аттестации за курс неполной школы.
7) Итоговая контрольная работа по теме «Модуль числа».
Задачи, разбитые на два варианта, для итоговой проверки знаний.
Тема 1. Модуль числа и его свойства (1 час).
Цель: вспомнить, обобщить и систематизировать полученные ранее знания о
модуле числа.
Ход урока.
I. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и систематизация знаний.
Определение. Модулем неотрицательного действительного числа а
называют само это число: a  a , а модулем отрицательного действительного
41
числа  а называют противоположное число:  a  a . Это определение

 a, если a  0
.


a
,
если
а

0

принято записывать следующим образом: a  
Из определения следует, что противоположные числа имеют равные
модули: а   а . Более того, а  0 тогда и только тогда, когда а  0 .
2
Важно заметить, что а  а и
2
а2  а .
Свойства модуля числа.
1)
Модуль числа не меньше самого числа: а  a .
2)
Из первого свойства следует, что  |a|  a  |a | .
3)
Модули равны либо у равных, либо у противоположных чисел:
| а |  | b |, если a  b или a  b .
4)
Модуль суммы чисел меньше или равен суммы модулей этих чисел:
ab  a  b ,
5)
Модуль разности чисел больше или равен разности модулей этих чисел:
a b  a  b
6)
Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:
ab  a  b
7)
Модуль частного чисел равен частному модулей этих чисел:
a a

b b
8)
На координатной прямой a есть расстояние от начала отсчёта до точки
с абсциссой a .
9)
На координатной прямой
a  b есть расстояние от начала точки с
абсциссой b до точки с абсциссой a .
Приведённые свойства модуля числа целесообразно проверить на
конкретных числовых примерах, а некоторые из них можно доказать.
42
III. Примеры.
Следующие примеры обсуждаются и записываются учителем на доске,
а учащимися – в тетради.
Пример 1. Запишите выражение 5 x  10 без знака модуля.
Решение.
5 x  10, если 5 x  10  0, x  2
5 x  10  
10  5 x, если 5 x  10  0, x  2
5 x  10, если x  2
| 5 x  10 | 
10  5 x, если x  2
Пример 2. Вычислите
(2 2  3) 2 + 17  12 2 .
Решение.
У второго слагаемого под знаком корня выделим полный квадрат:
17  12 2 
8  22 2 3 9 
арифметического квадратного корня
(2 2  3) 2 .
По
определению
данное выражение будет равно
2 2  3  2 2  3 . Раскрывая модули, получим:  (2 2  3)  (2 2  3)  6 .
3x 2  4 х  1
Пример 3. Сократите дробь
.
| 2x 1 | x
Решение. Раскроем модуль по определению (2 случая):
1
3x 2  4 х  1 3x 2  4 x  1 (3x  1)( x  1)
если x  , то


 3x  1.
2
| 2x  1 | x
2x  1  x
x 1
1
3x 2  4 х  1 3x 2  4 x  1 (3x  1)( x  1)
если x  , то


 1  x.
2
| 2x 1|  x
 2x 1  x
 3x  1
Для решения следующих задач желательно вызывать кого-то из
учащихся к доске. №3 можно предложить выполнить самостоятельно по
вариантам с последующей взаимной проверкой.
43
1) Запишите выражения без знака модуля:
А) 7 x  14 ;
Б) x 2  4 x  12 ;
В) x  10  2x  1 ;
2
Г) 25  x  2 x  4 .
х 2  2 3х  3  х 2  2 3х  3
при х=1,999.
3
2) Найдите значение выражения
3) Вычислите: а) 11  2 30  11  2 30 ; б) 17  2 30  17  2 30 .
4) Сократите дробь
3 | 2 х  1 |
.
x2  х  2
5) Найдите наибольшее значение выражения
12
.
4 x  y
Домашнее задание
№1. Запишите выражения без знака модуля: А) 9  x ; Б) x  x 2  36  1 .
№2. Найдите значение выражения
№3. Вычислите
№4. Вычислите
(3  2 3 ) 2 – (3  2 3 ) 2 .
х2  2 2х  2  х2  2 2х  2
при х=1,111.
94 5  94 5
№5. Сократите дробь
| 3 õ  1 | 2
.
3x 2  2 õ  1
Тема 2. Уравнения с модулем. (4 часа)
Цель: обобщить и систематизировать знания о решении уравнений с модулем,
закрепить навыки решения уравнений с модулем.
Ход урока.
I.
Сообщение темы и цели урока.
II. Классификация уравнений с модулем и обобщение способов их
решения.
44
Основные правила для решения уравнений с модулем
1.
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x);
2.
 g ( x)  0,

f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x);

3.
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f 2 ( x)  g 2 ( x) .
f
(
x
)


g
(
x
);

4.
f ( x)  f ( x)  f ( x)  0 .
5.
f ( x)   f ( x)  f ( x)  0 .
6.
 f ( x)  0,
| f ( x) |  | g ( x) | f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
 f ( x)  0,
| f ( x) |  | g ( x) | f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
f 1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x) .
8.
7.
Решение таких уравнений основано на определении модуля. Пусть
дано уравнение f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x) , где f i ( x) (i  1, 2, 3, , n) функции любого характера. Для каждой из функций необходимо найти
область определения, нули и точки разрыва, разбивающие общую область
определения функций f i ( x) (i  1, 2, 3, , n) на промежутки, в каждом из
которых каждая функция f i (x ) сохраняет свой знак. Далее, используя
определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение,
которое необходимо решить на рассматриваемом промежутке. То есть решить
F1 ( x)  0,
равносильную уравнению совокупность смешанных систем вида: 
,
 x  x1 ,
Fn ( x)  g ( x),
 F2 ( x)  0,
, … или 
где ( x1  x2    x m ) – нули функций,
 x1  x  x2 ,
 x  xm ,
или 
45
разбивающие область определения на промежутки. Решая полученную
совокупность систем, находим корни исходного уравнения.
III.
Примеры.
Данные примеры решаются под руководством учителя при активном
участии школьников, которые должны в своих тетрадях записать все
способы решения каждого из уравнений.
Пример 1. Решите уравнение x  3  2 .
Решение:
1 способ (по определению модуля).
 x  3,

 x  3  2,


x3  2  

x  3,


 x  3  2,


x  5
x 1

2 способ (по свойству модуля).
 x3  2
x  5
x3  2  

 x  3  2
x 1
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим точку с абсциссой x  3 и отложим вправо и
влево по 2 единичных отрезка:
Получим, x1  1, x2  5 .
4 способ (возведение обеих частей уравнения в квадрат).
Так как левая и правая части уравнения неотрицательны, то
x  3  2  ( x  3) 2  2 2  x 2  6 x  5  0  x1  1, x2  5 .
Пример 2. Решите уравнение x  2  2 x  1.
Решение.
46
1 способ (по определению модуля).

 x  2,
x  2,


x  2  2 x  1;
x  1;


x  2  2x  1 
 
 x  1.
x  2,

  x  2,
  x  2  2 x  1   x  1


2 способ (по свойству модуля).
1

x ;
 2 x  1  0;



2
x  2  2 x  1   x  2  2 x  1,   x  1,  x  1.

 x  2  2 x  1 

 x  1
3 способ (возведение в квадрат).
x  2  2 x  1  ( x  2) 2  (2 x  1) 2  3x 2  3  0  x1  1, x2  1.
Проверка показывает, что корнем исходного уравнения будет только x2  1 .
Пример 3. Решите уравнение x  3  2 x  1.
Решение.
1 способ (раскрытие внутреннего модуля).
При x  0
x  3  2x  1.
Полученное уравнение решается аналогично примеру (2): x 
При x  0
2
.
3
 x  3  2x  1.
Полученное уравнение решается аналогично примеру (2): решений нет.
2 способ (раскрытие внешнего модуля).
1

 x  2,

 x  0,

4
1

 x   ,
x ,
 2 x  1  0,

3
2
2


 
x  3  2 x  1   x  3  2 x  1,   x  2 x  4,   x  2,  x 2  .

3
 x  3  2 x  1,



x

0
,

x


2
x

2
,



 
2
  x  ,
3
 
  x  4,
 
47
Пример 4. Решите уравнение x  1  x  3  4 .
Решение.
1 способ (неравенство треугольника).
Заметим, что x  1  x  3  ( x  1)  ( x  3) , тогда исходное уравнение
 x  1  0,  x  1,

 x   1; 3.
 x  3  0,  x  3,
равносильно системе неравенств 
2 способ (метод интервалов).
Найдём нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля,
и разобьем на промежутки числовую прямую. В итоге получим три системы:
x  3,

x  1,

  1  x  3,
или 
или 

 x  1  x  3  4.
 x  1  x  3  4,
 x  1  x  3  4,
Решая их, получим: в первой системе x  1, во второй системе x  1; 3
, а третья система не имеет решений. Таким образом, решением исходного
уравнения будет отрезок x   1; 3 .
3 способ (возведение в квадрат).
x  1  x  3  4  ( x  1  x  3 ) 2  4 2  x  1  2 x 2  2 x  3  x  3  16 
2
2
 x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  3  x 2  6 x  9  16  2 x 2  4 x  6  2 x 2  2 x  3 
 ( x 2  2 x  3)  x 2  2 x  3  x 2  2 x  3  0  x   1; 3 .
4 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим точки (-1) и (3). Необходимо найти такие
точки (х) на числовой прямой, что сумма расстояний до точек с координатами
(-1) и (3) равнялась бы 4: a  b  4 (рис.)
По рисунку видим, что условие выполняется при любых x   1; 3 .
2-й урок (практикум)
48
1) Решите уравнение 1  x  3. Ответ :  2; 4.
2) Решите уравнение x   3x  5 . Ответ :  2,5; - 1,25.
3) Решите уравнение 2  x  3  3. Ответ :  8; 2.
2
4) Решите уравнение x  3  4x  x  3. Ответ : 2; 3.
2
5) Решите уравнение x  3x  6  x  6. Ответ :  2; 0; 2; 6.
Домашнее задание
№1. Решите уравнение x  7  2. Ответ : 5; 9.
№2. Решите уравнение x  1  2  1. Ответ : нет корней.
№3. Решите уравнение 3x  5  5  2 x . Ответ : 0 ; 2.
№4. Решите уравнение 3x  2  x  11. Ответ :  4,5; 3,25.
3-й урок (практикум)
2
1) Решите уравнение ( x  1)  x  1  2  0. Ответ :  2; 0.
2) Решите уравнение x  1  x  3  8. Ответ :  2.
3) Решите уравнение 2x  3  3  2x. Ответ : (; 1,5].
4) Решите уравнение 7 x  12  7 x  11  1. Ответ :  ; 11 / 7.
5) Решите уравнение x  2 x  1  3 x  2  0. Ответ :  2.
6) Решите уравнение x  3  x  2  x  4  3. Ответ :  6 ; 2.
7) Решите уравнение
4
 x  1. Ответ :  2  5 ; 5.
x 1  2
Домашнее задание
2
№1. Решите уравнение ( x  1)  x  1  2  0. Ответ : 0; 2.
№2. Решите уравнение x  1  x  2  x  3  2. Ответ : 2.
49
№3. Решите уравнение x  x  2  2. Ответ : 2;  .
№4. Решите уравнение 4  5x  5x  4 . Ответ:  ; 0,8.
№5. Решите уравнение 5x  13  6  5x  7.
Ответ:  ; 1,2.
4-й урок (практикум)
2 x  y  7,
Ответ : (3; 1), (5 / 3; 11 / 3).
1) Решите систему уравнений 
x

y

2
.

 y  x  1  0,
Îòâåò : (0; 1).
y

x

1

0
,

2) Решите систему уравнений 
 x 2  | x | y  0,
3) Решите систему уравнений  2
Ответ: (0; 2), (-1; 1), (1; 1).
 x  у  2.
4) Решите систему уравнений
 x  1  y  1  5,
Ответ : (5; 2), (3; 2), (17 / 3; 8 / 3), (23 / 3; 8 / 3).

x

1

4
y

4
.

5) Решите систему уравнений
 x  2 y  3,
Ответ : (11 / 19; 23 / 19), (1;  1).

5
y

7
x

2
.

Домашнее задание
№1. Решите систему уравнений
 3 x  y  1,
Ответ : (0;  1), (0,8; 1,4).

x

2
y

2
.

 y  2 x  3  0,
Ответ : (2; 1), (0;  3), (6; 9).
y

x

3

0
.

№2. Решите систему 
 x  | x | y 2  4,
№3. Решите систему уравнений 
Ответ: (6; 4), (-3; -2).
2
x

3
у
.

50
2
№4. Решите уравнение ( x  2)  2 x  2  3. Ответ :  5; 1.
2
№5. Решите уравнение x  9  x  2  5. Ответ :  3; 2;
 1  65
.
2
Тема 3. Неравенства с модулем (3 часа).
Цель: обобщить и систематизировать знания о решении неравенств с модулем.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока.
II. Классификация неравенств с модулем и обобщение способов их
решения.
f ( x)  g ( x),
1) f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x).
f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x).
2) f ( x)  g ( x)  
3) f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x) .
4) f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x)
f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x)
Для решения неравенств такого вида используется тот же прием, что и
при решении уравнений, содержащих сумму модулей нескольких функций.
Такие неравенства удобно решать методом интервалов:
4)
Находим
область
определения,
нули
и
точки
разрыва
подмодульных функций;
5)
Находим промежутки, в каждом из которых каждая из функций
f i ( x) (i  1, 2, , n) сохраняет свой знак;
6)
Используя определение модуля, для каждой из найденных
областей получим неравенство, каждое из которых решаем и получаем
искомый ответ.
III.
Примеры.
51
Как и в случае с уравнениями, данные примеры решаются под
руководством учителя при активном участии школьников, которые должны
в своих тетрадях записать все способы решения каждого из неравенств.
Пример 1. Решите неравенство x  3  2 .
Решение.
1 способ (по определению модуля).
  x  3,

 x  3; 5,
x  3  2,
x3  2   

 x  (1; 5) .
 x  3,
 x  (1; 3),
 x  3  2,

2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x 3  2  

 x  (1; 5) .
 x  3  2,
 x  1,
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
Отметим на числовой прямой точку с абсциссой х=3 и отложим вправо и влево
по 2 единичных отрезка.
Из рисунка видно, что решением будет
x  (1, 5) .
4 способ (возведение в квадрат).
x  3  2  ( x  3) 2  2 2  x 2  6 x  9  4  x 2  6 x  5  0  x  (1; 5) .
Пример 2. Решите неравенство x  3  2 .
Решение.
1 способ (по определению модуля).
  x  3,

 x  5,
x  3  2,
x3  2   

 x  (; 1]  [5;  ).
 x  3,
 x  1,
 x  3  2,

2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x3  2  

 x  (; 1]  [5;  ) .
x

3


2
,
x

1
,


52
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
Отметим на числовой прямой точку 3 и отложим в право и влево по 2.
Из рисунка видно, что решением будет
x  (; 1]  [5;  ) .
Пример 3. Решите неравенство x  2  2 x  1 .
Решение.
1 способ (по определению модуля).

x  2,

 x  2,
x  2  2 x  1,
x  2  2x  1   

 x  (1;  ) .
x  2,

 x  (1; 2),
 x  2  2 x  1,

2 способ (по свойству модуля).
 x  2  2 x  1,
 x  1,
x  2  2x  1  

 x  (1;  ) .
 x  2  2 x  1,  x  1,
3 способ (возведение в квадрат).
( x  2) 2  (2 x  1) 2 ,
 x 2  4 x  4  4 x 2  4 x  1,
x  2  2x  1  


x

0
,
5
x

0
,
5


 x 2  1  0,

 x  (1;  )
x

0
,
5

Пример 4. Решите неравенство x  1  x  3  4 .
Решение.
1 способ (метод интервалов).
Найдем нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля,
и разобьем на промежутки числовую прямую. Получим три системы:
x  1,
x  3,

  1  x  3,

или 
или 

 x  1  x  3  4,
 x  1  x  3  4,
 x  1  x  3  4.
53
Решая их, находим: в первой системе x  1 , во второй системе
x   1; 3 , а третья система не имеет решений. Таким образом, решением
исходного неравенства будет отрезок x   1; 3 .
2 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим точки -1 и 3, а также произвольную точку (x):
Необходимо, чтобы a  b  4 . Из рисунка видим, что условие
выполняется при любых x   1; 3 .
3 способ (неравенство треугольника).
Заметим, что 4 = (х+1) – (х-3). Тогда
x 1  0
x  1  x  3  4  x  1  x  3  ( x  1)  ( x  3)  
 x   1; 3 .
x  3  0
Пример 5. Решите неравенство
x3 2
0.
2x  1  3
Решение.
1 способ (метод интервалов).
Найдем нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля,
разобьем на промежутки числовую прямую и получим три системы:
1

3 x  ,
x  3,



2 или
  x  5  0, или  x  1


 0,
  2x  2
  2x  2
1

 x 2,
решая которые, находим:
 x 1

 0,
 2x  4
в первой системе x [5;  3] , во второй системе x  (3;  1)    1; 1  , в

2
1
третьей системе x   ; 2  . Таким образом, решением исходного неравенства
2 
будет объединение промежутков: [5;  1)  (1; 2) .
2 способ (разложение на две системы).
54
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
 x  3  2  0,
 x  3  2,


2 x  1  3  0,
2 x  1  3,
x3 2


0
 
 x  3  2  0,
 x  3  2,
2x  1  3


 2 x  1  3  0,
 2 x  1  3.
Неравенства в системах решаются аналогично примерам (5) и (6).
В итоге приходим к такому же ответу, как и в 1-м способе
x  [5;  1)  (1; 2) .
3 способ (метод замены множителей).
Очевидно, что разность неотрицательных чисел будет по знаку такой же,
как и разность квадратов этих чисел.
Заменим разность модуля и числа разностью их квадратов:
x  3  2 и 2 x  1  3 на ( x  3) 2  22 и (2 x  1) 2  32 соответственно,
( x  3) 2  2 2
( x  1)( x  5)
Тогда

0

 0.
(2 x  1) 2  32
(2 x  4)(2 x  2)
Таким образом, получили неравенство без модулей, которое решаем
методом интервалов и получаем ответ: x [5;  1)  (1; 2) .
2-й урок (практикум)
1) Решите неравенство x  3  1. Ответ :  ;  .
2) Решите неравенство 5  8x  11. Ответ : (0,75; 2).
2
3) Решите неравенство x  2 x  x. Ответ : (1; 3).
2
4) Решите неравенство x  6  x  5x  9. Ответ : 1; 3.
5) Решите неравенство 2 x  1  x  3 . Ответ : (2 / 3; 4).
Домашнее задание
№1. Решите неравенство 2 x  1  5. Ответ : (;  3)  (2;  ).
№2. Решите неравенство
55
x 2  3  2 x  1  0. Ответ : (;  1  3 ]  [1  5 ;  ).
№3. Решите неравенство

 

| x  3 | 3x 2  9 x  2. Ответ :   ; 4  19    4  19 ;   

 

3

 
3

№4. Решите неравенство x 2  5 x  6  0. Ответ : [3;  2]  [2; 3].
2
№5. Решите неравенство x  3  x  3 . Ответ : (3; 0)  (1; 2).
3-й урок (практикум)
1) Решите неравенство
2x 1
 4. Ответ :  ;  9 / 2   7 / 6;   .
x2
2) Решите неравенство x 1  x  2x  3  2x  4. Ответ : (;  3 / 2).
3) Решите неравенство
4) Решите неравенство
x2
x  x2
2
 1. Ответ :  ;  2  {0}  (1;  ).
1
2

. Ответ : (;  5)  (1; 1)  (1;  ).
x  2 x 1
 x  x,
Ответ : (2;  ).
2 x  1  3.
5) Решите систему неравенств 
Домашнее задание
№1. Решите неравенство
x 2  2x  1
 1. Ответ : (;  1)  (2; 3)  (3;  ).
x 3
№2. Решите неравенство x  1  x 2  x 2  3x  4 . Ответ :  ; 1,5.
№3. Решите неравенство (1  x) 2  1  x 2 . Ответ :  ; 0.
№4. Решите неравенство
x 1  2
x 1  4
 0 . Ответ : (;  5)  [1; 3)  (3;  ).
 x   x,
Ответ : (;  3)   1; 0.
x

2

1
.

№5. Решите систему неравенств 
56
Тема 4. Графики функций, уравнений и неравенств,
содержащих модуль. (4 часа)
Цель: обобщить и систематизировать знания о построении и преобразовании
графиков функций, уравнений и неравенств содержащих переменную под
знаком модуля.
Ход урока
I.
Сообщение темы и цели урока.
II.
Классификация графиков, содержащих переменную под знаком
модуля и алгоритм их построения.
1. Графики функций вида y  f (x) .
Чтобы построить график функции данного вида, необходимо:
1) Построить график функции y  f (x) ;
2) Отобразить симметрично относительно оси Ox часть графика, которая
расположена ниже оси, оставив часть графика, находящуюся выше и на
самой оси Ox без изменений.
Пример. Построить график функции y  x  2 . (Рис 1.)
Строим график функции y  x  2 и отображаем ту часть графика,
которая расположена ниже оси Ox , симметрично относительно оси.
Рис 1.
Замечание.
57
График функции y  x  2 получается из графика функции y  x
путем параллельного переноса вдоль оси Ox на две единицы вправо.
7.
Графики функций вида f ( x)  k1 x  b1  k 2 x  b2  ...  k n x  bn .
Чтобы построить график функции данного вида, необходимо:
4)
Найти нули выражений, содержащих переменную под знаком
модуля;
5)
Рассмотреть функцию f (x) на каждом из промежутков, на
которые нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля,
разбивают числовую прямую;
6)
Построить график.
Пример. Построить график функции y  x  1  x  2 . (Рис. 2)
Нули выражений, содержащих переменную под знаком модуля: x  1
и x  2 .
x  2,
 y   x  1  x  2  2 x  1;
а) 
 2  x  1,
 y   x  1  x  2  3;
б) 
в)
 x  1,

 y  2 x  1.
Рис. 2
8.
Графики функций вида y  f ( x ) .
Функция y  f ( x ) четная, поскольку f (  x )  f ( x ) , поэтому для
того, чтобы построить график данной функции необходимо:
3)
Построить график функции y  f (x) при x  0 ;
4)
Построить вторую часть графика, отобразив построенную часть
симметрично относительно оси Oy .
58
Как и для любой чётной функции, график будет симметричен
относительно оси ординат.
Пример. Построить график функции y  x 2  4 x (Рис. 3).
Рис. 3
9.
Графики функций вида y  f ( x ) .
Чтобы построить график функции данного вида, необходимо:
4)
Построить график функции y  f (x) при x  0 ;
5)
Построить вторую часть графика, отобразив построенную часть
симметрично относительно оси Oy ;
6)
На полученном графике часть, расположенную ниже оси Ox ,
отображаем симметрично относительно оси Ox , оставив часть графика,
расположенную выше и на самой оси Ox , без изменения.
Пример. Построить график функции y  x 2  6 x  8 . (Рис. 4).
Рис. 4
59
10. Графики уравнений вида y  f (x) .
Из определения модуля следует, что f ( x)  0 , и если y  0 , y  f (x) , а
если y  0 , то y   f (x) . Отсюда следует, что график симметричен
относительно оси Ox . Чтобы построить график уравнения, необходимо:
3)
Построить график функции y  f (x) для случая y  0 ;
4)
Построить вторую часть графика, отобразив построенную часть
относительно оси Ox .
Пример. Построить график уравнения y  1  x  1.
Данное равенство возможно только при условии x  1 0 .
Если y  1, то y  1  x  1 ; y  x  2 . Если y  1 , то y  1   x  1, y   x .
Заметим, что график симметричен относительно прямой y  1. (Рис. 5).
Рис. 5
11. Графики уравнений вида y  f (x) .
 y  f ( x)
Исходное уравнение равносильно совокупности: 
.
y


f
(
x
)

Чтобы построить график уравнения данного вида, необходимо:
3)
Построить график функции y  f (x) ;
4)
Построить график функции, симметричный относительно Ox .
Пример. Построить график уравнения y  x  1 . (Рис. 6).
Строим график функции y  x  1 , а затем добавляем к нему еще один
график, симметричный первому относительно оси Ox .
60
Рис. 6
Пример. Построить график уравнения y  1  x 2  2 .
Строим графики функций y  1  x 2  2 и y  1  2  x 2 , т.е. графики
функций y  x 2  1 и y  3  x 2 . Заметим, что осью симметрии будут прямые
х=0 и y  1 . (Рис. 7).
Рис. 7
3) Примеры решения задач.
Пример 1. Изобразите на координатной плоскости геометрическое
место точек, заданных уравнением x  3  | y  1 | 2
Решение. Раскрывая по определению модули
(4 случая), получим квадрат с вершинами в точках (3;
1), (3; -3), (5; -1) и (1; -1).
Пример 2. Решите графическим способом уравнение x  1  x  3  4 .
Решение. Построим графики функций y  x  1  x  3 и y  4 в одной
системе координат:
61
Общие точки двух графиков представляют собой отрезок, поэтому x   1; 3 .
Пример 3. Решить графическим способом неравенство x  1  2 .
Решение. Построим графики функций y  x  1 и y  2 в одной системе
координат:
Решением неравенства будут все значения х, при которых график функции
y  x  1 будет расположен выше прямой y  2 : x  (; 1]  [3;  ) .
Пример 4. Решить графическим способом неравенство x  1  x  3  4 .
Решение. Исходное неравенство перепишем в следующем виде:
x 1  4  x  3 .
Построим графики функций y  x  1 и y  4  x  3 в одной системе
координат:
62
Необходимо найти абсциссы точек, при которых второй график
расположен выше первого или совпадает с ним. Видим, что таковыми точками
является отрезок, для которого x   1; 3 .
Пример 5. Изобразите на координатной плоскости геометрическое
2
2
место точек, заданных уравнением x  y 2  2 y  2 x .
Решение. По свойству модуля данное уравнение равносильно
следующей системе
 x 2  y 2 2  2 y  2 x,
 2
 x  y 2 2  2 x  2 y;

2 y  2 x  0
( x  1) 2  ( y  1) 2  4,

2
2
откуда ( x  1)  ( y  1)  4;

 y  x.
Таким образом, искомое
ГМТ
представляет
собой
«луночку» в виде дуг двух окружностей.
2-й урок (практикум)
1)
Постройте график функции y  x  3.
2)
Постройте график функции y  2x  1.
3)
Постройте график функции y  x  1  x  2 .
63
x 1
4)
Постройте график функции y 
5)
Постройте график функции y  x 2  8 x  12 .
6)
Постройте график функции y  x 3  8 .
7)
Постройте график функции y  x 2  6 x  8.
8)
Постройте график функции
x 1
.
y  2  1 x .
Домашнее задание
№1. Постройте график функции y  3x  2 .
№2. Постройте график функции y | x  3 | 2
№3. Постройте график функции y 
6
 3.
x
№4. Постройте график функции y  x 2  8 | x | 12.
№5. Постройте график функции
y  x  3  x  2.
3-й урок (практикум)
1)
Постройте график функции
y  x 2  4x  6 .
2)
Постройте график функции
y  2x  1  3.
3)
Постройте график функции y  x  x  1  x  1.
4)
Постройте график уравнения x  y  1.
5)
Постройте график уравнения x  2  y  1.
6)
Постройте график функции y  x 2  2 x  5  x  1.
7)
Постройте график неравенства | y  2 x | 3.
8)
Постройте график уравнения x 2  2 x  y 2  2 | y | 0.
Домашнее задание
№1. Постройте график функции y  x 2  6 x  8 .
№2. Постройте график функции y  x  2  x  4  2x  1  x  x  5 .
№3. Постройте график уравнения 3 x  4 y  12.
64
№4. Постройте график неравенства 3x  y  1  2.
№5. Постройте график уравнения ( x  | x |) 2  ( y  | y |) 2  9 .
4-й урок (практикум)
1) Решите уравнение графическим способом x 2  3x  x  3  0. Ответ :  3;  1.
2) Решите уравнение графическим способом 2x  3  3  2x. Ответ :  ; 1,5.
3) Решите неравенство графическим способом 5  8x  11. Ответ : (0,75; 2).
4) Решите уравнение графическим способом x  2 x  1  3 x  2  0. Ответ :  2.
5) Решите неравенство графическим способом
x  1  x  2x  3  2x  4. Ответ : (;  1,5).
| x |  | y | 4,
6) Решите графическим способом систему уравнений  2
2
 x  y  10.
Ответ: (-1; -3), (-1; 3), (1; -3), (1; 3), (-3; -1), (-3; 1), (3; -1), (3; 1).
Домашнее задание
№1. Решите уравнение графическим способом ( x  1) 2  x  1  2  0. Ответ : 0; 2.
№2. Решите неравенство графическим способом x 2  3  2 x  1  0.
Проверьте свой ответ, решив данное неравенство аналитическим способом.
Ответ : (;  1  3 ]  [1  5 ;  ).
№3. Решите неравенство графическим способом
x  1  x  2  x  1  x  2  x  3. Ответ : (3;  1)  (1; 1)  (1; 3).
| x || y |,
№4. Решите графическим способом систему уравнений 
2 | x | 3 | y | 6.
Ответ: (-1,2; -1,2), (-1,2; 1,2), (1,2; -1,2), (1,2; 1,2).
65
№5. На координатной плоскости Оху изобразите фигуру, заданную условием
4  x 2  y 2  2 | x | 2 | y | и найдите её площадь. Ответ: 8.
Тема 5. Задачи с параметром, содержащие переменную
под знаком модуля. (4 часа)
Цель: формировать умения решать уравнения, неравенства, системы
уравнений и неравенств с параметром, содержащие переменную под знаком
модуля.
Ход урока
I.
Сообщение темы и цели урока.
II. Разбор основных типов уравнений и неравенств с параметром,
содержащих переменную под знаком модуля. Поиск и обсуждение
различных способов их решения.
Пример 1. Решить уравнение x  a  a .
Решение:
При a  0 уравнение корней не имеет.
При a  0 уравнение имеет корень x  0 .
При a  0 уравнение распадается на два: x  a  a или x  a  a ,
откуда x  2a или x  0 .
Ответ: при a  0 корней нет; при a  0 x  0 ;
при a  0 x  0 или x  2a .
Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение a x 1  x  2
имеет ровно два корня. Укажите эти корни для
каждого такого значения а.
Решение:
66
Для того чтобы перейти от данного уравнения к уравнению, не
содержащему модуль, нужно рассмотреть два случая: х  1 и х<1. После
раскрытия модуля исходное уравнение примет вид линейного. Однако нужно
помнить, что значение х, найденное, например, в первом случае, должно
удовлетворять условию х  1. В противном случае корень будет посторонним.
Аналогично для второго случая. Таким образом, получим:
1 случай. Если х  1, то данное уравнение примет вид а(х – 1) = х + 2.
После преобразований получим (а – 1)х = а + 2. При а = 1 корней нет.
При а  1 x 
a2
. Найденное значение х является корнем исходного
a 1
уравнения при выполнении условия х  1. Решим неравенство
a2
 1.
a 1
После преобразований получим равносильное ему неравенство
3
0 ,
a 1
решением которого будут все a  (1;  ) . Таким образом, только при
a  (1;  ) x 
a2
является корнем исходного уравнения.
a 1
2 случай. Если x < 1, то данное уравнение примет вид а(1 – х) = х + 2.
После преобразований получим (а + 1)х = а – 2. При а = – 1 корней нет.
При а  – 1 x 
a2
. Найденное значение х является корнем исходного
a 1
уравнения при выполнении условия х < 1. Решим неравенство
a2
 1.
a 1
После преобразований получим равносильное ему неравенство
3
 0,
a 1
решением которого будут все a  (1;  ) .
Таким образом, только при a  (1;  )
x
a2
является корнем
a 1
исходного уравнения.
Отметим на числовой оси значения параметра а, при которых исходное
уравнение имеет найденные корни.
67
Видим, что при a  1 (на рисунке две штриховки) уравнение имеет два
различных корня. Это x1 
Ответ: при a  (1;) :
a2 и x  a  2 .
2
a 1
a 1
a2 a2
;
.
a 1 a 1
Пример 3. Решите неравенство 2 x  a  x  2 .
Решение:
По
определению
модуля
неравенство
равносильно
системе:
 x  2  2 x  a  x  2;  3x  2  a  2  x . Построим в одной системе
координат прямые y  3x  2 и y  2  x . Они пересекутся в точке (2; 4) .
Из рисунка видно, что при a  4 неравенство решений не имеет.
При a  4 x  2 . При a  4 x1  x  x2 , где x1 – корень уравнения
 3x  2  a : x  
a2
; x 2 – корень уравнения 2  x  a : x 2  2  a .
3
Ответ: при a  4 решений нет;
при a  4 x  2 ;
 a2

; 2  a .
при a  4 x  
3


68
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
 õ  ó  1,
система уравнений 
имеет ровно 4 решения.
 õ2  ó2  à 2
Решение:
Первое
координатной
уравнение системы на
плоскости
Оху
задает
квадрат, а второе уравнение – семейство
концентрических
окружностей
с
центром в начале координат и радиусом
r = |а|.
Из
прямоугольного
равнобедренного
треугольника ОРА находим OР =
2
.
2
Очевидно, что система имеет четыре решения при
r=
2
2
или r = 1.


С учетом того, что r = а , получим: a   1;  2  .
2 



Ответ: a   1;  2  .
2 

Пример 5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
x 2  6 x  5  ax  1 имеет ровно 4 корня.
Решение:
Переформулируем задачу на графическом языке: нужно найти все
значения параметра а, при которых прямая у=ах+1 (проходящая через точку
(0; 1)) имеет четыре общих точки с графиком функции у  x 2  6 x  5 .
69
По графику видим, что условию задачи удовлетворяют все прямые,
расположенные внутри заштрихованной области. Найдем граничные значения
параметра, соответствующие прямым (1) и (2).
1) Прямая у=ах+1 проходит через точку (5; 0): 0=5а+1, а=-0,2.
2) Прямая у=ах+1 касается параболы у  ( x 2  6 x  5) . Следовательно,
уравнение
 x 2  6 x  5  ах  1
должно
иметь
ровно
один
корень.
x 2  (а  6) x  6  0 . D  (а  6) 2  24 . Решая уравнение (а  6) 2  24  0 , находим
a  6  2 6 . Очевидно, что прямой (2) соответствует угловой коэффициент
a 62 6 .
Ответ:  0,2  a  6  2 6 .
Заметим, что значение a  6  2 6 получено не случайно. Оно также
соответствует касанию прямой у=ах+1 и параболы у   x 2  6 x  5 . Точка
касания будет находиться в III четверти.
Пример 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
6
 3  ax  2 на промежутке (0;) имеет ровно три корня.
х
Решение:
Найдем все значения параметра а, при которых прямая y  аx  2 имеет
ровно три общие точки с той частью графика функции у 
6
 3 , которая
х
70
расположена в правой полуплоскости (х>0). Последний график представляет
собой правую ветку гиперболы у 
6
, которую:
х
а) сместили на 3 единицы вниз,
б) ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох зеркально
отразили относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость.
Заметим также, что прямая y  аx  2 проходит через точку (0; -2) при
любом значении параметра а, который является угловым коэффициентом.
Видим, что условию задачи отвечают все прямые, расположенные
внутри заштрихованной области.
Значение параметра, соответствующее границе (1), находим из
уравнения 0  2а  2 , а=1.
Значение параметра, соответствующее границе (2), находим из условия
6

касания прямой y  аx  2 и графика функции у    3  (отраженной
х

части гиперболы). В этом случае уравнение 
6
 3  ах  2 должно иметь
х
ровно один корень. После преобразований получаем квадратное уравнение
аx2  5х  6  0 (очевидно, что а > 0), дискриминант которого приравниваем к
 25 
нулю: 25 – 24а = 0, а  25 . Условию удовлетворяют все а  1;
.
24
 24 
Ответ: 1  a 
25
.
24
71
2-й урок (практикум)
1)
Найти число корней уравнения
x 2  2 x  3  a в зависимости от
значений параметра а.
Ответ : при a  0 нет решений; при a  0 и a  4 два решения;
при 0  a  4 четыре решения; при a  4 три решения.
2)
Найти все значения параметра а, при которых уравнение x 2  4 x  3  a
имеет четыре корня. Ответ :  1  a  3.
3)
Для каждого значения параметра а решите уравнение x  3  a x  1  4 .
Ответ : при а  1 х  1; при а  1  3  x  1;
7a
при  1  a  1 x 
, x  1; при a  1 и a  1 x  1.
a 1
4)
Для каждого значения параметра а решите уравнение a x  3  2 x  4  2.
Ответ : при a  2  4  x  3; при a  2 x  3;
3a  10
при  2  a  2 x  3, x  
; при a  2 a  2 x  3.
2a
5)
Найти
все
значения
параметра
а,
при
которых
уравнение
1  ax  1  (1  2a) x  ax 2 имеет ровно один корень. Ответ : а  0 или а  1.
Домашнее задание
№1. Найти число корней уравнения x 2  3  a  2 в зависимости от значений
параметра а.
Ответ : при a  2 нет решений; при a  2 и a  1 два решения;
при a  1 три решения; при  2  a  1 четыре решения.
№2. Для каждого значения а решите уравнение x  2  a x  3  5.
Ответ : при a  1 x  3; при a  1  3  x  2; при  1  a  1 x  3, x 
7  3a
;
a 1
при a  1 a  1 x  3.
№3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
x 2  6 x  5  a( x  1) имеет ровно четыре корня. Ответ : 0  a  8  4 3.
72
3-й урок (практикум)
Для каждого значения а решите неравенство 1  x  ax.
1)
1 

 1

Ответ : при а  1 x    ;
; при a  1 x  
;   ;

a  1

a 1

1 
 1
при  1  a  0 x  
;
; при a  0 x  1; при 0  a  1 нет решений.
 a  1 a  1
Для каждого значения а решите неравенство x  a  x.
2)
a

Ответ : при a  0 x  (;  ); при a  0 x    ; .
2

Для
3)
каждого
значения
а
решите
неравенство
x  a  a  1.
Ответ : при a  1 x  1;
при a  1 нет решений; при a  1  1  x  2a  1.
Найти
4)
все
значения
параметра
а,
при
которых
неравенство
x 2  2 x  a  5 не имеет решений на отрезке  1; 2. Ответ :  4; 2.
Домашнее задание
№1.
Для
каждого
значения
а
решите
неравенство
x  1  ax.
1   1
 1


Ответ : при а  1 x  
;   ; при 0  a  1   ;

;   ;

1  a  1  a
a 1



1 

при  1  a  0 x  (;  ); при a  1 x    ;
.
1  a 

№2.
Для
каждого
значения
а
решите
Ответ : при а  1 ; при  1  a  1 x    ;

неравенство
1  x  a  x.
а 1
 а 1

;   .
; при a  1 x  
2 
 2

4-й урок (практикум)
1)
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
2 x  3 y  6,
имеет ровно шесть решений. Ответ : 4.
 2
2
x

y

a

73
Найти все положительные значения параметра а, при которых система
2)
( x  4) 2  ( y  3) 2  4,
имеет ровно одно решение. Ответ : 3 или 2  41.

2
2
2
(
x

1
)

(
y

1
)

a

 x 2  y 2  9,
 y  x a
Найдите все значения параметра а, при которых система 
3)
имеет ровно два решения. Ответ : a  3 2 или  3  a  3.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
4)
 y 3  yx 2  9 y
 0,

имеет ровно одно решение. Ответ :  3 2 ;  3; 0; 3.

x

y  x a

( y  a  2) 2  ( x  a) 2  3a  5,
Найдите все а, при которых система 
y x

5)
имеет единственное решение. Ответ :  1,5.
Домашнее задание
№1. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
4 x  1  5 y  20,
имеет ровно 2 решения. Ответ : a  5.

2
2
 ( x  1)  y  a
 y 2  x 2  2ax  4ay  5a 2  5 ,
№2. Найдите все а, при которых система 
y x

имеет ровно одно решение. Ответ : a  1 или а   10 .
Тема 6. Задачи, содержащие модуль, в вариантах ОГЭ. (2 часа)
Цель: формировать навыки решения задач с модулем, встречающихся в
вариантах ОГЭ, подготовка к сдаче экзамена.
Ход урока
I.
Сообщение темы и цели урока.
II.
Решение задач из вариантов ОГЭ.
74
7
1) Решите систему неравенств  8 

2) Найдите
наименьшее
3( x  1) x  2

, Ответ :  4; 5,25.
4
4
x  5  5.
значение
выражения
3x  4 y  2  x  5 y  3
и
определите, при каких x и y оно достигается. Ответ : 0; x  2, y  1.
3) При каких с уравнение 3x x  x 2  8x  c имеет ровно два корня?
Ответ :  4; 8.
4) При каком значении параметра а уравнение x  4  x  4  a имеет
бесконечно много решений? Ответ : 64.
5) При каких значениях p уравнение x 2  4 x  2  p имеет ровно три
решения? Ответ : 2.
6) При каких значениях параметра а число корней уравнения x 2  2 x  7  a
в четыре раза больше а? Ответ : 1.
7) При каких значениях параметра а уравнение 3x  3  2  ax имеет ровно
два решения? Ответ : (2; 3).
8) При каких значениях параметра а уравнение x  1  x 2  2 x  3a 2  2a  0
имеет решение? Ответ :  1; 1 / 3.
Домашнее задание
x 4  4x 2  3
 0. Ответ :  3;  1.
№1. Решите уравнение
x 1
№2. Найдите наименьшее значение выражения 6 x  5 y  7  2 x  3 y  1 и
определите, при каких значениях x и y оно достигается.
Ответ : 0; x  2, y  1.
№3. При каких c уравнение 2 x x  x 2  6 x  c имеет более двух корней?
Ответ : (3; 9).
2 урок (практикум)
75
1)
Постройте график функции y  x  1  x  3  x  4 и определите, при
каких значениях а прямая y=a имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ : 1; 5.
2)
Постройте график функции y  2 x  4 x  x 2 и определите, при каких
значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ : 0; 1.
3)
Постройте график функции y  x 2  4 x  1  1 и определите, при каких
значениях m прямая y=m имеет с графиком наибольшее число общих точек.
Ответ : (1; 0).
4)
Постройте график функции y 
(0,25 x 2  x) x
x4
и определите, при каких
значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Ответ : 4.
5)
Постройте график функции y 
2 x 1
x  2x 2
и определите, при каких
значениях k прямая y=kx не имеет с графиком ни одной общей точки.
Ответ :  4; 0; 4.
6)
Постройте график функции y 
x2
и определите, при каких значениях
x
а прямая y=ax имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ : 0,125.
7)
Постройте график функции y  x  2  4  2 и определите, при каких
значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ : 2.
8)
Постройте график функции y  x x  x  6 x и определите, при каких
значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ : (;  6,25)  (12,25;  ).
Домашнее задание
76
№1. Постройте график функции y  x  3  x  3 и найдите, все значения k, при
которых прямая y=kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую
точку. Ответ : 1; 5.
№2. Постройте график функции y  x 2  3x  4 x  2  2 и определите, при
каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ :  2,25; 0.
№3. Постройте график функции y  x 2  4 x  5 и определите, при каких
значениях а прямая y=a имеет с графиком три общие точки. Ответ : 9.
Тема 7. Итоговая контрольная работа
по теме «Модуль числа». (2 часа)
Вариант 1
1)
Решите уравнение: а) 3x  5  5  2 x , б) x 2  4 x  3  0.
2)
Решите неравенство:
3)
 x 2  4 x  5,
Решите систему неравенств: 
 x  1  2.
4)
При каких значениях т уравнение x 2  6 x  m  8 имеет четыре корня?
5)
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
x3  x
x2
 1.
2
2

( х  3)  (| y | 7)  9,
имеет ровно одно решение.

2
2
2

( х  9)  ( y  2)  а
Вариант 2
1)
Решите уравнения: а) x  2  3 3  x , б) x 2  6 x  x  4  8  0.
2)
Решите неравенство:
x2 x
x
 2.
77
3)
 x 2  5 x  6,
Решите систему неравенств: 
 x  1  2.
4)
При каких значениях т уравнение x 2  4 x  5  m имеет три корня?
5) Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
2
2

( х  4)  (| y | 6)  16,
имеет ровно одно решение.

2
2
2

( х  8)  ( y  1)  а
В
заключение
отметим,
что
разработанный
элективный
курс
разрабатывался, обсуждался и успешно прошел апробацию в МБОУ СОШ №4
г. Ливны (учитель математики Беляев А.А.) в 2014-2016 учебных годах
78
2.5. Элективный курс по математике для 10 класса «Уравнения и
неравенства с модулем»
Пояснительная записка
Данная программа элективного курса «Решение задач с модулем» разработана
для учащихся 10 классов общеобразовательных учебных заведений и
рассчитана на 17 часов. Она направлена на учащихся, желающих успешно
сдать ЕГЭ для дальнейшего поступления в технические ВУЗы.
Тема «Модуль числа» в учебниках встречается эпизодически при изучении
той или иной темы. Программа школьного курса математики не
предусматривает обобщение и систематизацию знаний о модулях и их
свойствах, приобретённых учащимися за время обучения. Несмотря на это,
задачи, связанные с модулями и построением графиков функций, содержащих
знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, ОГЭ, ЕГЭ,
вступительных экзаменах в ВУЗы.
Данный курс позволит учащимся систематизировать, расширить и укрепить
знания, связанные с модулем, исследованием и построением графиков
функций, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих эти
понятия, научиться решать задачи различной сложности.
В процессе изучения этого курса будут использованы различные методы
активизации познавательной деятельности и привлечение к самостоятельной
работе. Итогом данного курса будет заключительная контрольная работа.
Цели курса:
- обобщение и систематизация знаний по темам модуль, уравнения и
неравенства, системы уравнений и неравенств, построение графиков
функций, решение задач с параметром, содержащих знак модуля;
- повышение уровня математической подготовки учащихся;
- подготовка к сдаче ЕГЭ.
Задачи курса:
-
научить решать задачи более высокой сложности;
сформировать познавательный интерес к математике;
подготовить учащихся к ЕГЭ;
развить навык самостоятельной работы;
научить решать уравнения, неравенства и системы уравнений и
неравенств на более высоком уровне, чем требуется по школьной
программе.
79
Используемые педагогические технологии:
- Технология проблемного обучения (такая организация занятий, которая
заставляет учеников самостоятельно решать поставленную проблему
под руководством учителя).
- Технология коллективного способа обучения (такая организация
занятий, при которой учащиеся решают поставленную задачу
коллективно, таким образом обучая друг друга).
- Технология индивидуального обучения (такая организация занятий, при
которой происходит как взаимодействие учителя с каждым учащимся,
так и взаимодействие каждого учащегося с источниками информации).
- Технология поэтапного формирования умственных действий (такая
организация занятий, при которой познание нового происходит за
несколько этапов).
- Технология уровневой дифференциации (такая организация занятий, при
которой происходит обучение каждого учащегося на уровне его
возможностей и способностей).
Формы контроля:
- Проверка домашних работ;
- Итоговая контрольная работа.
Учебно-тематический план
№
п/п
Название темы курса
Количество
часов, ч
1
Модуль числа и его свойства. Повторение.
1
2
Уравнения и неравенства с модулем
2
3
Логарифмические и показательные уравнения и
неравенства, содержащие переменную под знаком
модуля
3
4
Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем
3
5
Задачи с параметром, содержащие переменную под
знаком модуля
3
6
Задачи, содержащие модуль в вариантах ЕГЭ
3
7
Итоговая контрольная работа по теме «Модуль числа»
2
80
Содержание учебного курса.
8) Модуль числа и его свойства. Повторение.
Определение абсолютной величины числа. Геометрическая интерпретация
понятия «модуль числа a». Свойства модуля. Задачи на упрощение
выражений, содержащих модуль.
9) Уравнения и неравенства с модулем.
Основные методы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль:
раскрытие модуля по определению, по свойству, возведение в квадрат обеих
частей уравнения, геометрическая интерпретация, метод разбиения на
промежутки. Решение уравнений и систем уравнений различными способами.
10)
Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем.
Решение тригонометрических уравнений, неравенств и систем, содержащих
переменную под знаком модуля.
11)
Логарифмические и показательные уравнения и неравенства
с модулем.
Решение логарифмических и показательных уравнений, неравенств и систем,
содержащих переменную под знаком модуля.
12)
Задачи с параметром, содержащие переменную под знаком
модуля.
Уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств. Аналитический и
графический способы.
13)
Задачи, содержащие модуль в вариантах ЕГЭ.
Задания из вариантов ЕГЭ.
14)
Итоговая контрольная работа по теме «Модуль числа».
Задачи, разбитые на два варианта, для итоговой проверки знаний.
81
Тема1. Модуль числа и его свойства. Повторение (1 час).
Цель: вспомнить, обобщить и систематизировать знания о модуле числа,
полученные ранее и приобретенные.
Ход урока:
I. Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение.
Определение. Модулем неотрицательного действительного числа а
называют само это число: a  a , а модулем отрицательного действительного
числа  а называют противоположное число:
 a  a . Или короче
 a, если a  0
.
 a, если а  0
записывают так: a  
Из определения следует, что противоположные числа имеют равные
модули: а   а . Более того, а  0 тогда и только тогда, когда а  0 . Еще
важно заметить, что а 2  а и
2
а2  а .
Свойства модуля числа.
8)
Модуль числа не меньше самого числа: а  a .
9)
Из первого свойства следует, что  |a|  a  |a | .
10) Модули равны либо у равных,
либо у противоположных чисел:
| а || b |, если a  b или a  b .
11) Модуль суммы чисел меньше или равен суммы модулей этих чисел:
ab  a  b ,
12) Модуль разности чисел больше или равен разности модулей этих чисел:
a b  a  b
13) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:
ab  a  b
14) Модуль частного чисел равен частному модулей этих чисел:
a a
 .
b b
82
III. Примеры.
Пример 1. Запишите выражение 5 x  10 без знака модуля.
5 x  10, если 5 x  10  0, x  2,
10  5 x, если 5 x  10  0, x  2.
Решение. 5 x  10  
Пример 2. Вычислите
(2 2  3) 2
+ (2 2  3) 2 .
Решение. По определению данное выражение будет равно
2 2  3  2 2  3 . Раскрывая модули, получим  2 2  3  2 2  3  6 .
Пример 3. Сократите дробь
3x 2  4 х  1
.
| 2x 1 | x
Решение. Раскроем модуль по определению (2 случая):
если x 
1
3x 2  4 х  1 3x 2  4 x  1 (3x  1)( x  1)
, то


 3x  1.
2
| 2x 1 | x
2x 1  x
x 1
если x 
1
3x 2  4 х  1 3x 2  4 x  1 (3x  1)( x  1)
, то


 1  x.
2
| 2x  1 |  x
 2x  1  x
 3x  1
IV. Задачи для рассмотрения в классе.
Запишите выражения без знака модуль:
1)
2)
7 x  14
9 x
;
;
x  4 x  12
2
3)
4)
;
x  10  2x  1
x  x  36  1
;
2
5)
;
3 2x  6x  4  6x
2
6)
25  x  2 x  4
2
7)
.
;
83
Тема 2. Уравнения и неравенства с модулем. (3 часа).
Цель: обобщить и систематизировать знания о решении уравнений и
неравенств с модулем.
Ход урока:
I.
II.
Сообщение темы и цели урока.
Новая тема.
Уравнения.
Основные правила (равносильные переходы) для решения уравнений с
модулем.
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x),
12. f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x);
 g ( x)  0,

13. f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x);

 f ( x)  g ( x),

2
2
14. f ( x)  g ( x) 
 f ( x)   g ( x);  f ( x)  g ( x) .
15.
f ( x)  f ( x)  f ( x)  0 .
16.
f ( x)   f ( x)  f ( x)  0 .
 f ( x)  0,
 g ( x)  0.
17. | f ( x) |  | g ( x) | f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0,
| f ( x) |  | g ( x) | f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0.
f ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x)
19. 1
.
18.
Решение таких уравнений основано на определении модуля. Пусть
дано уравнение f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x) , где f i ( x) (i  1, 2, 3,, n) функции любого характера. Для каждой из функций необходимо найти
область определения, нули и точки разрыва, разбивающие общую область
определения функций f i ( x) (i  1, 2, 3,, n) на промежутки, в каждом из
84
которых каждая функция f i (x ) сохраняет свой знак. Далее, используя
определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение,
которое необходимо решить на рассматриваемом промежутке. То есть решить
 F1 ( x)  0,
   x  x1 ,
равносильную уравнению совокупность смешанных систем вида: 
F ( x)  g ( x),
 F2 ( x)  0,
… или  n
где
 x1  x  x 2 ,
 x m  x  ,
или 
( x1 , x2 ,, x m ) - нули функций,
разбивающие область определения на промежутки. Решая полученную
совокупность систем, находим решения уравнения.
IV.
Примеры.
Пример 1. Решить уравнение x  3  2 .
Решение:
1 способ (по определению модуля).
 x  3,

 x  3  2,
x  5

x3  2  

x 1
 x  3,
 x  3  2,


2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x3  2  

 x  3  2,
 x  1.
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим x  3 и отложим вправо и влево по 2:
Получим, x1  1, x2  5 .
4 способ (возведение в квадрат).
x  3  2  ( x  3) 2  2 2  x 2  6 x  5  0  x1  1, x2  5
Пример 2. Решить уравнение x  2  2 x  1.
85
Решение.
1 способ (по определению модуля).

 x  2,
x  2,


x

2

2
x

1
,
x  1,

x  2  2x  1  
 
 x  1.
x  2,

  x  2,
 x  2  2 x  1,
  x  1,


2 способ (по свойству модуля).
1

x ,
 2 x  1  0,



2
x  2  2 x  1   x  2  2 x  1,   x  1,  x  1 .

 x  2  2 x  1,


 x  1,
3 способ (возведение в квадрат).
x  2  2 x  1  ( x  2) 2  (2 x  1) 2  3x 2  3  0  x1  1, x2  1
Проверка показывает, что корнем будет только x2  1 .
Пример 3. Решить уравнение x  3  2 x  1.
Решение:
1 способ (раскрытие внутреннего модуля).
При x  0
x  3  2x  1.
Полученное уравнение решается аналогично примеру (2): x 
При x  0
2
.
3
 x  3  2x  1.
Полученное уравнение решается аналогично примеру (2): решений нет.
2 способ (раскрытие внешнего модуля).
1

 x  2,

 x  0,

4
1

x ,


x


,
 2 x  1  0,


3
2
2


x  3  2 x  1   x  3  2 x  1,   x  2 x  4,   x  2,  x 2  .
3
 x  3  2 x  1,



x

0
,

x


2
x

2
,



 
2
  x  ,
3
 

  x  4,
 
86
Пример 4. x  1  x  3  4
1 способ (неравенство треугольника).
Заметим x  1  x  3  ( x  1)  ( x  3) , тогда уравнение равносильно системе
 x  1  0,
 x  1,

 x   1; 3.
 x  3  0,  x  3,
неравенств 
2 способ (метод интервалов).
Найдем нули выражений, стоящих под знаками модуля, и разобьем на
промежутки числовую прямую, получим три системы
x  1,


 x  1  x  3  4,
  1  x  3,
 x  1  x  3  4,
или 
x  3,
 x  1  x  3  4,

или 
решая которые
получим, в первой системе x  1 , во второй системе x   1; 3 , а третья
система не имеет решений. Таким образом, решением исходного уравнения
будет отрезок x   1; 3 .
3 способ (возведение в квадрат).
x  1  x  3  4  ( x  1  x  3 ) 2  4 2  x  1  2 x 2  2 x  3  x  3  16 
2
2
 x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  3  x 2  6 x  9  16  2 x 2  4 x  6  2 x 2  2 x  3 
 ( x 2  2 x  3)  x 2  2 x  3  x 2  2 x  3  0  x   1; 3 .
5 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим точки (-1) и (3). Необходимо найти такие точки
(х) на числовой прямой, что сумма расстояний до точек с координатами (-1) и
(3) равнялась бы 4: a  b  4 (рис.)
Из рисунка видим, что условие выполняется при любых x   1; 3 .
Неравенства.
5) f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x).
87
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x).
6)
f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x)
7)
.
f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x)
8) f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)  g ( x)
Для решения неравенств такого вида используется тот же прием, что и
при решении уравнений, содержащих сумму модулей нескольких функций.
Такие неравенства удобно решать методом интервалов:
7)
Находим область определения, нули и точки разрыва функций под
знаком модуль;
8)
Находим промежутки, в каждом из которых каждая из функций
f i ( x) (i  1, 2,, n) сохраняет свой знак;
9)
Используя определение модуля, для каждой из найденных
областей получим неравенство, каждое из которых решаем и получаем
искомый ответ.
IV. Примеры.
Пример 1. Решить неравенство x  3  2 .
1 способ (по определению модуля).
  x  3,

 x  3; 5,
x  3  2,
x3  2   

 x  (1; 5) .
 x  3,
 x  (1; 3),
 x  3  2,

2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x 3  2  

 x  (1; 5) .
 x  3  2,
 x  1,
3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
Отметим на числовой прямой точку 3 и отложим в право и влево по 2.
Из рисунка видно, что решением будет
4 способ (возведение в квадрат).
x  (1, 5) .
88
x  3  2  ( x  3) 2  2 2  x 2  6 x  9  4  x 2  6 x  5  0  x  (1; 5) .
Пример 2. Решить неравенство x  3  2 .
1 способ (по определению модуля).
  x  3,

 x  5,
x  3  2,
x3  2   

 x  (; 1]  [5;  ) .
 x  3,
 x  1,
 x  3  2,

2 способ (по свойству модуля).
 x  3  2,
 x  5,
x3  2  

 x  (; 1]  [5;  ) .
x

3


2
,
x

1
,


3 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
Отметим на числовой прямой точку 3 и отложим в право и влево по 2.
Из рисунка видно, что решением будет
x  (; 1]  [5;  ) .
Пример 3. Решить неравенство x  2  2 x  1.
1 способ (по определению модуля).

x  2,

 x  2,
x  2  2 x  1,
x  2  2x  1   

 x  (1;  ) .
x  2,

 x  (1; 2),
 x  2  2 x  1,

2 способ (по свойству модуля).
 x  2  2 x  1,
 x  1,
x  2  2x  1  

 x  (1;  ) .
x

2


2
x

1
,
x

1
,


3 способ (возведение в квадрат).
x  2  2 x  1  ( x  2) 2  (2 x  1) 2  x 2  4 x  4  4 x 2  4 x  1 
 x 2  1  0  x  (1;  )
Пример 4. Решить неравенство x  1  x  3  4
1 способ (метод интервалов).
89
Найдем нули выражений, стоящих под знаками модуля и разобьем на
промежутки числовую прямую, получим три системы:
x  1,


 x  1  x  3  4,
  1  x  3,
 x  1  x  3  4,
или 
x  3,
 x  1  x  3  4,

или 
решая которые
получим, в первой системе x  1 , во второй системе x   1; 3 , а третья
система не имеет решений. Таким образом, решением исходного уравнения
будет отрезок x   1; 3 .
2 способ (геометрическая интерпретация на числовой прямой).
На числовой прямой отметим точки -1 и 3, а также произвольную точку (x):
Необходимо чтобы a  b  4 . Из рисунка видим, что условие выполняется при
любых x   1; 3 .
3 способ (неравенство треугольника).
Заметим, что 4 = (х+1) – (х-3). Тогда
 x  1  0,
 x  1,
x  1  x  3  4  x  1  x  3  ( x  1)  ( x  3)  


 x  3  0,  x  3,
 x   1; 3 .
Пример 5. Решить неравенство
x3 2
0.
2x  1  3
1 способ (метод интервалов).
Найдем нули выражений, стоящих под знаками модуля, разобьем на
промежутки числовую прямую и получим три системы:
1


3

x

,
x  3,



2
или
  x  5  0, или  x  1



0
,
  2x  2
  2x  2
системе
1

x

,

2
решая которые находим, в первой
 x 1

 0,
 2x  4
x [5;  3] , во второй системе
1

x  (3;  1)    1;  , в третьей
2

90
системе x   1 ; 2  . Таким образом, решением исходного неравенства будет
2

объединение промежутков:
x [5;  1)  (1; 2) .
2 способ (разложение на две системы).
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
 x  3  2  0,

x3 2
2 x  1  3  0,
 0  


 x  3  2  0,
2x  1  3

 2 x  1  3  0,
 x  3  2,

 2 x  1  3,
 x  3  2,

 2 x  1  3.
Неравенства в системах решаются аналогично примерам (5) и (6).
3 способ (метод замены множителей).
Очевидно, что разность неотрицательных чисел будет по знаку такой же,
как и разность квадратов этих чисел.
Заменим разность модуля и числа разностью их квадратов: x  3  2 и
2 x  1  3 на ( x  3) 2  22 и (2 x  1) 2  32 соответственно, тогда
( x  3) 2  2 2
( x  1)( x  5)
0
 0.
2
2
(2 x  1)  3
(2 x  4)(2 x  2)
Таким образом, получили неравенство без модулей, которое решаем
методом интервалов и получаем ответ:
V.
1)
x [5;  1)  (1; 2) .
Задачи для решения в классе.
x 1
 1, Ответ : 1;
x3
2) 0,6  x  0,3  x 2  0,27, Ответ : 0,3;

3) x  2 x  3  1 

1 
  0, Ответ : 2;
2
4) 2x  5  x  2, Ответ : 7;  1;
5) x  2 x  1  3 x  2  0, Ответ :  2;
6) x 2  4x  x  3  3  0, Ответ : 2 и 3.
Задание на дом:
91
1) x  1  2 x  2  3 x  3  4, Ответ :5; 2;
2) 3  x  x  1  x  6, Ответ :  2; 4;
3) x  1  2  1, Ответ : нет корней ;
2 урок.
1) x 2  2 x  4  4, Ответ :  ;  4   2; 0  2;  ;
2) x 2  8 x  15  x  3, Ответ : 4; 6;
3) x  1  2  x  3, Ответ : ;0  3; ;
1
1
4) x 2  1  x 2  x  1, Ответ :  2;     ; 2 ;

2
2

5) x  3  12  x  0, Ответ : {12}   3;12;

2
6) 3x  x  3  9 x  2, Ответ :   ;


4  19   4  19

;
;



3   3

Задание на дом:
1) x 2  6x  24  16, Ответ :[2; 9];
2)
x2  x  2
x2  x  6
 0, Ответ :  ;  2   1;1  2; ;
3) x 2  2 x  3  2  x  2  5, Ответ :  2 ; 2 3 .
92
Тема 3. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства,
содержащие переменную под знаком модуля. (3 часа)
Цель: обобщить и систематизировать знания о логарифмических и
показательных уравнениях и неравенствах с модулем.
Ход урока:
I. Сообщение темы и цели урока.
II. Новая тема.
Основные свойства степеней:
1) a n  a m  a nm ,
2) a n : a m  a nm ,
3) a n   a nm ,
m
4) a  b n  a n  b n ,
n
an
a

.
5)  
bn
b
Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в
показателе степени.
Уравнение
вида:
a x  b,
где
a  0, a  1
показательным уравнением.
Показательные неравенства:
a f ( x )  a g ( x ) , где a  0, a  1
При a  1, a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x).
При 0  a  1, a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x).
Свойства логарифмов:

log a bc  log a b  log a c, a  0, b  0, с  0, a  1;

log a
b
 log a b  log a c, a  0, b  0, c  0, a  1;
c
называется
простейшим
93

log a b r  r log a b, a  0, b  0, a  1;

log a r b 

a loga b  b, a  0, b  0, a  1;

log a b 
log c b
, a  0, b  0, a  1, c  1;
log с a

log a b 
1
, a  0, b  0, a  1, b  1;
log b a

log a b 
1
, a  0, b  0, a  1, b  1;
log b a

log a b  log ar b r , a  0, b  0, a  1, r  1;
1
log a b, a  0, b  0, a  1, r  0;
r
Простейшее логарифмическое уравнение – это уравнение вида log a x  b , где a  0, a  1, b  R.
Логарифмическими
log a f ( x)  log a g ( x) , где
уравнениями называют уравнения вида
a  0, a  1 , и уравнения, сводящиеся к виду f ( x)  g ( x) .
Простейшее логарифмическое неравенство – это неравенство вида log a x  b
(вместо знака > может стоять <, ≤, ≥), где a  0, a  1, b  R .
Логарифмическими
неравенствами
называют
неравенства
вид
log a f ( x)  log a g ( x) ,где а — положительное число, отличное от 1, и
неравенства, сводящиеся к этому виду.
Теорема. Если f ( x)  0 и g ( x)  0 , то:
При
a  1 логарифмическое
неравенство
log a f ( x)  log a g ( x)
равносильно неравенству того же смысла: f ( x)  g ( x) ;
при 0  a  1 логарифмическое неравенство log a f ( x)  log a g ( x)
равносильно неравенству противоположного смысла: f ( x)  g ( x) .
Методы
решения
неравенств
логарифмических уравнений.
III Задачи для решения в классе
совпадают
с
методами
решения
94
1) 5
2) 2
3) 3
4 x 6
 253 x4 , Ответ : 1,4;
 2
2 x  3
x 1

x 2
 9 2 x1 , Ответ : 0,8;
1
4)  
5
x2
, Ответ : 0,25;
x
 1 
2 
   , Ответ :  ;  2   ;  ;
 25 
3 
5) 6 x  2  4  7

1
9
, Ответ : log 42 ; log 7 ;
63
7
6

x 1
13
6)
2,5
 0,4
 x 12
4 x 4
 25  4
   , Ответ : (;  8]  [4; ).
 4
Задание на дом:
1) 81  16
x
x

13
1
x
 36 , Ответ :  ;
6
2
2) 25 x 1  10  32
3) 2 x  2
x
x 1 1
 11  log 2 5 log 2 5  1 
, Ответ : 
;
;
 2 log 2 5  5 5  2 log 2 5 

 2 2 , Ответ :  ; log 2


1 
2  1   ;  .
2 
2 урок.
5 14
4
1)
log 5 3  log 3 x  5 log x x  2 log x 25, Ответ : 5 ; 25; 5
2)
1 3 2
3 log x x 4  7 log 7 2  log 2 x 2   log x 49, Ответ : ;
;
7
7
3)
4
2
1
 64 
 x2 
log 2 x  log 2    5  log 2  ; Ответ :  8  4 5 ;
 64 
 x 




4) log 0,5 6 x  3  log 0,5 4  x 2 , Ответ :  2;  1  1; 2;


2
5) log 5 x  log 5 x  6, Ответ :  0;
6)
1
 25;  ;
25 
lg x  2  4 lg x , Ответ : 4.
Задание на дом:
;
95
1)
2  log 1 x  3  1  log 5 x , Ответ :25;  ;
5
2)
lg x  1  1, Ответ : 1;100;
 7
x 2  7,5 x  14  log 2 x  3  0, Ответ :2; 3   3;   4.
 2
3)
3 урок.
1) lg
x 1
 0, целое решение, Ответ :  1;
2x  4
2) log 21 x  log 1 x  2, наименьшее целое решение, Ответ :10;  ;
3
3
x 2  4x  3
3) log 3
x2  x  5

4)
5)
23 
4
x 1
 0, наибольшее решение, Ответ : 2;
11 5
 , суммацелых решений, Ответ : 35;
2
2
5 4x 3
 
 , сумма целых решений, Ответ :3;
4
8 4
6) 81  16
x
x

13
1
x
 36 , Ответ : x   .
6
2
Задания на дом:
1)
3x 
11 7
 , сумма целых решений, Ответ : 9;
2
2
2) log 21 x  log 1 x  2, наименьшее целое решение, Ответ : 4;
3
3) log
 x 1 


 x2 
3
2
5x  1
x 1 3
1
 log 5 x 1
 , Ответ :  ; 3.
x2
x2 2
3
x2
96
Тема 4. Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем. (3 часа)
Цель: обобщить и систематизировать знания о тригонометрических
уравнениях и неравенствах с модулем.
Ход урока:
Сообщение темы и цели урока.
Новая тема.
I.
II.
Тригонометрические функции
sin x, cos x
tg 
sin 

,    n, n  
cos 
2
ctg 
cos 
, a    n, n
sin 
Основные тригонометрические тождества
sin 2   cos 2   1
tg  ctg  1
1  tg 2 
1
cos 2 
1  ctg 2 
1
sin 2 
Тригонометрические функции суммы и разности углов
sin      sin   cos   cos   sin 
sin      sin   cos   cos   sin 
cos     cos   cos   sin   sin 
cos     cos   cos   sin   sin 
tg     
tg  tg
1  tg  tg
97
tg     
tg  tg
1  tg  tg
ctg     
ctg  ctg  1
ctg  ctg
ctg     
ctg  ctg  1
ctg  ctg
Тригонометрические функции двойного угла
sin 2  2 sin   cos
cos 2  cos 2   sin 2 
tg 2 
2tg
1  tg 2
ctg 2 
ctg 2  1
2ctg
Формулы тройного угла
sin 3  3 sin   4 sin 3 
cos 3  4 cos 3   3 cos 
3tg  tg 3
tg3 
1  3tg 2
ctg3 
3ctg  ctg 3
1  3ctg 2
Формулы понижения степени
sin 2  
1  cos 2
2
cos 2  
1  cos 2
2
sin 3  
3 sin   sin 3
4
98
cos 3  
3 cos   cos 3
4
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в
произведение
sin   sin   2 sin
sin   sin   2 sin
 
2
 
cos   cos   2 cos
2
 cos
 cos
 
cos   cos   2 sin
2
tg  tg 
sin    
cos   cos 
tg  tg 
sin    
cos   cos 
ctg  ctg 
sin    
sin   sin 
ctg  ctg 
sin    
sin   sin 
2
 
 cos
 
2
 
 sin
2
 
2
 
2
Формулы преобразования произведений функции
sin   sin  
1
 cos     cos   
2
sin   cos  
1
 sin      sin    
2
cos   cos  
1
 cos     cos   
2
Универсальная тригонометрическая подстановка
99
 
2tg 
2
sin  
 
1  tg 2  
2
 
1  tg 2  
2
cos  
 
1  tg 2  
2
 
2tg 
2
tg 
 
1  tg 2  
2
 
1  tg 2  
2
ctg 
 
2tg 
2
Общий вид уравнений
sin x  a, x   1 arcsin a  n, n  Z
n
cos x  a, x   arccos a  2n, n  Z
tgx  a, x  arctga  n, n  Z
ctgx  a, x  arcctga  n, n  Z
III. Задачи для решения в классе
1)
sin 2 x 
1
k
k 
, Ответ :   1

, k  Z;
2
12
2

2) cos x  cos x, Ответ : x    2k , k  Z ; ;
2

 
3) sin x  cos x  1  sin 2 x, Ответ : x   k , k  Z ; x     n, n  Z ;
4
4 4

4) sin x  cos x, Ответ :   2n, n  Z ;
4
5)
cos x  cos x   x  1,5 , Ответ : x 
2

2
 2n, n  ; x  0,5
Задание на дом:
100
1
3
   2n, n  ; x 
 2n, n  
3
4
1)
3 sin x  cos x  2 cos x, Ответ : arctg
2)
2 cos 2 x  1  2 sin x  1, Ответ : x  n, n  ; x   1
k

6
 n, n  
2 урок
3


1) sin x  cos x , Ответ : x    n;  n , n  
4
4

n   n


2) sin x  cos x  1, Ответ : x    ;    ; , n  
2  2


1

 

3) cos x  , Ответ : x     n;  n , n  
2
3
 3

4)
sin x  cos x
 

 1, Ответ : x   k ;  k , k  
sin x  cos x
2



 x  y 
2
 x  y  2  0
 sin
5) 
, Ответ :  2;4 ,  1;3
2

2x  3  2

Задание на дом:
1)
2)
1
1
  1

3tgx  31tgx  2, Ответ : x    k ;  k     n; n , k , n  
2
4
  2

sin x  ctgx, при 0  x  2


5 1  
5 1
Ответ : x   arccos
;     2  arccos
;2 
2
2

 

3 урок

3
3
x
, Ответ : x 
sin x
2
2
4

55

2 cos x    sin x  cos x , Ответ : x   2n, n  
2)
4
4

sin x
1)
 1  cos 2 x,
3) 3 sin x 1  9, Ответ : x  
4) 2 x  2 sin x 
 2
x sin x

2
 2n, n  
, Ответ : x  n, n  ; x 
4
3
5) sin x  2 sin 2 x  sin 3 x  1  2 cos x  cos 2 x , Ответ : x    2n; x 2 
Задание на дом:
1)
cos 2
x 2
 1
  5 cos x  1, Ответ : x   arccos    2n, n  
2 5
 5

2
 n; x 3 

6
 т
101
2)
sin x  cos x , Ответ : x 

4
 n; x 2 
3

4
102
Тема 5. Задачи с параметром, содержащие переменную под знаком
модуля. (3 часа)
Цель: научить решать уравнения, неравенства и системы уравнений и
неравенств с модулем и с параметром.
Ход урока.
I.
II.
Сообщение темы и цели урока.
Новая тема.
Аналитический способ:
Пример 1. Решить уравнение x  a  a  7 .
Решение.
При a  7  0 , т.е. при a  7 , уравнение корней не имеет.
При a  7 уравнение имеет корень x  7 .
При
a  7
уравнение
распадается
на
два:
xa  a7
или
x  a  a  7 , откуда x  2a  7 или x  7 .
Ответ: при a  7 корней нет; при
a  7 x  7 ; при a  7 x  7 и
x  2a  7 .
Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение a x 1  x  2 имеет ровно один корень. Укажите этот корень для
каждого такого значения а.
Решение. Для того чтобы перейти от данного уравнения к уравнению, не
содержащему модуль, нужно рассмотреть два случая: х  1 и х<1. После
раскрытия модуля исходное уравнение примет вид линейного. Однако нужно
помнить, что значение х, найденное, например, в первом случае, должно
удовлетворять условию х  1. В противном случае корень будет посторонним.
Аналогично для второго случая. Таким образом, получим:
1 случай. Если х  1, то данное уравнение примет вид а(х – 1) = х + 2.
После преобразований получим (а – 1)х = а + 2. При а = 1 корней нет.
103
При а  1 x 
a2
. Найденное значение х является корнем исходного
a 1
уравнения при выполнении условия х  1. Решим неравенство
a2
 1.
a 1
После преобразований получим равносильное ему неравенство
решением которого будут все
x
3
0 ,
a 1
a  (1;  ) . Таким образом, только при a  (1;  )
a2
является корнем исходного уравнения.
a 1
2 случай. Если x < 1, то данное уравнение примет вид а(1 – х) = х + 2.
После преобразований получим (а + 1)х = а – 2. При а = – 1 корней нет.
При а  – 1 x 
a2
. Найденное значение х является корнем исходного
a 1
уравнения при выполнении условия х < 1. Решим неравенство
a2
 1.
a 1
После преобразований получим равносильное ему неравенство
решением которого будут все
a  (1;  ) x 
3
0 ,
a 1
a  (1;  ) . Таким образом, только при
a2
является корнем исходного уравнения.
a 1
Отметим на числовой оси значения параметра а, при которых исходное
уравнение имеет найденные корни.
Видим, что при
a  (1; 1] (на рисунке одна штриховка) уравнение имеет
ровно один корень. Этот корень x 
Ответ:
a  (1; 1] ; x 
a2
.
a 1
a2
.
a 1
104
Пример 3. Решить неравенство x  2a 
1
.
x
Решение. При x  0 неравенство решений не имеет, поэтому далее
считаем, что x  0 , но тогда исходное неравенство равносильно неравенству
x 2  2ax  1 . после возведения в квадрат обеих частей последнего неравенства
2
2
получаем ему равносильное неравенство ( x  2ax  1)( x  2ax  1)  0 . Пусть
f ( x)  ( x 2  2ax  1)( x 2  2ax  1)
и
f : x  a  a 2  1, x  a  a 2  1
.
D ( f )  R
Корень
.
x  a  a 2  1
Нули
не
удовлетворяет условию x  0 . Очевидно, что x  a  a 2  1 при всех a  R .
Корни  a  a 2  1 удовлетворяют условию x  0 только при a  1 .
Рассмотрим случай a  1. В этом случае нули функции f : x  1  2 и x  1 .


Итак, при a  1 x  0;1  2 .
При a  1 имеем ситуацию, представленную на рисунке:
a a2 1
Ясно, что при a  1
 a a2 1
 a  a 2 1
0  x  a  a a 2  1 ;
 a  a 2  1  x  a  a 2  1 . Далее случай a  1. Оба корня
x  a  a 2  1 не удовлетворяют условию x  0 .
При a  1 : 0  x  a  a 2  1 .
 a  a 2 1
Ответ: при a  1 0  x  a  a 2  1;  a  a 2  1  x  a  a 2  1 ;
при a  1 0  x  1  2 ; при a  1 0  x  a  a 2  1 .
105
Графический способ:
Пример 1. Для каждого значения а определите, сколько корней имеет
уравнение
2 x  x2  a .
Решение. Функция f ( x)  2 x  x 2 четная.
D( f ) : [2; 2] . Строим
график функции f ( x)  2 x  x 2 при x  0 и отображаем его симметрично
относительно оси
Oy .
y  2 x  x2
Прямая y  a параллельна оси Ox . Из рисунка видно, что при a  0 и
a  1 уравнение корней не имеет; при a  0 уравнение имеет три корня; при
0  a  1 уравнение имеет четыре корня; при a  1 уравнение имеет два корня.
Пример 2. Решить неравенство 2 x  a  x  2 .
Решение. По определению модуля неравенство равносильно двойному
неравенству:
 x  2  2 x  a  x  2;  3x  2  a  2  x . Построим в одной
системе координат прямые
(2; 4) .
y  3x  2 и y  2  x . Они пересекутся в точке
106
Из рисунка видно, что при a  4 неравенство решений не имеет. При
a  4 x  2 . При
 3x  2  a : x  
Ответ:
a  4 x1  x  x2 ,
где
x1
-
корень
уравнения
a2
; x 2 - корень уравнения 2  x  a : x 2  2  a .
3
при
a4
решений
нет;
при
a  4 x  2 ;
при
 a2

a  4 x  
; 2  a .
3


Пример 3. Для каждого a найдите число решений системы
 x  y 1
.
 2
2
2
x

y

a

Решение. Первое уравнение системы на координатной плоскости
Oxy
задает квадрат, а второе – семейство концентрических окружностей с центром
в начале координат и радиусом r  a .
107
Из прямоугольного треугольника ОРА находим OP 
Очевидно, что система не имеет решений, если r 
или r  1 - четыре решения; при
2
.
2
2
2
или r  1 ; при r 
2
2
2
 r  1 - восемь решений.
2
С учетом того, что r  a , получим: система не имеет решений, если


2 2
2
  (1;  ) ; четыре решения, если a   1; 
a  (;  1)   
;
;

2 

 2 2 

2  2 


восемь решений, если a    1; 
  2 ;1 .
2

 


2 2
  (1;  ) решений нет; при
Ответ: при a  (;  1)   
;

2
2



2
a   1; 

2 

четыре
решения;
при

2  2 


a    1; 
  2 ;1
2

 

восемь
решений.
Пример 3. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
x 2  6 x  5  ax  1 имеет ровно 4 корня.

Переформулируем задачу на графическом языке: нужно найти все
значения параметра а, при которых прямая у=ах+1 (проходящая через точку
(0; 1)) имеет четыре общих точки с графиком функции у  x 2  6 x  5 .
108
По графику видим, что условию задачи удовлетворяют все прямые,
расположенные внутри заштрихованной области. Найдем граничные значения
параметра, соответствующие прямым (1) и (2).
1) Прямая у=ах+1 проходит через точку (5; 0): 0=5а+1, а=-0,2.
2) Прямая у=ах+1 касается параболы
уравнение
 x 2  6 x  5  ах  1
должно
у  ( x 2  6 x  5) .
Следовательно,
иметь
один
ровно
корень.
x 2  (а  6) x  6  0 . D  (а  6) 2  24 . Решая уравнение (а  6) 2  24  0 , находим
a  6  2 6 . Очевидно, что прямой (2) соответствует угловой коэффициент
a 62 6 .
Ответ:  0,2  a  6  2 6 .
Заметим, что значение
a 62 6
получено не случайно. Оно также
соответствует касанию прямой у=ах+1 и параболы у   x 2  6 x  5 . Точка
касания будет находиться в III четверти.
Пример 4. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
3  x 2  x  a имеет хотя бы одно отрицательное решение.
 Переформулируем задачу на графическом языке: нужно найти все значения
параметра а, при которых существует хотя бы одна точка графика функции
y  3  x 2 с отрицательной абсциссой, лежащая выше точки графика функции
y  x  a с той же абсциссой.
109
Из графических соображений ясно, что искомые значения a  (a1 ; a 2 ) .
Значение a 2 соответствует тому, что левый луч уголка проходит через точку
(0; 3). Подставляя координаты этой точки в уравнение y  а2  х , получим a 2
= 3. Значение a1 соответствует тому, что правый луч уголка касается
параболы,
т.е.
уравнение
3  x 2  x  a1
имеет
ровно
один
корень.
Дискриминант этого уравнения равен 13  4a1 и обращается в нуль при
 13 
a1   13 . Таким образом, a    ; 3  .
4
 4 
Ответ: a    13 ; 3  .
 4 
Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
6
 3  ax  2 на промежутке (0;) имеет ровно три корня.
х
 Найдем все значения параметра а, при которых прямая
y  аx  2 имеет
ровно три общие точки с той частью графика функции у  6  3 , которая
х
расположена в правой полуплоскости (х>0). Последний график представляет
собой правую ветку гиперболы у 
6
, которую: а) сместили на 3 единицы
х
вниз, б) ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох зеркально
отразили относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Заметим также,
110
что прямая
y  аx  2 проходит через точку (0; -2) при любом значении
параметра а, который является угловым коэффициентом.
Видим, что условию задачи отвечают все прямые, расположенные
внутри заштрихованной области.
Значение параметра, соответствующее границе (1), находим из
уравнения 0  2а  2 , а=1.
Значение параметра, соответствующее границе (2), находим из условия
касания прямой
y  аx  2 и графика функции
части гиперболы). Уравнение
корень.
После

6

у    3  (отраженной
х

6
 3  ах  2 должно иметь ровно один
х
преобразований
получаем
квадратное
уравнение
аx2  5х  6  0 (очевидно, что а > 0), дискриминант которого приравниваем к
нулю: 25 – 24а = 0, а  25 . Условию удовлетворяют все а  1; 25  .
24
Ответ: 1  a 

24 
25
.
24
III. Задачи.
1) Для каждого значения параметра а решите уравнение a x  3  2 x  4  2.
Ответ : при a  2  4  x  3; при a  2 x  3; при  2  a  2 x  3, x  
3a  10
;
2a
при a  2 a  2 x  3.
2) Найти все значения параметра а, при которых
1  ax  1  (1  2a) x  ax 2 имеет единственный корень.
Ответ : при а  0 и а  1.
уравнение
111
3) Для каждого значения параметра решить уравнение x 2  3x  ax  3 .
Ответ : при a  (;  3)  (3; ), то x1  3, x2  a, x3  a; если a   3; 3, то x1  3,
x2  a .
4) Найти все значения параметра, при которых уравнение
2 x  a  a  4  x  0 имеет решения, и все они принадлежат отрезку 0; 4 .
4 
Ответ : a   ; 2.
3 
5) Найти
все
значения параметра, при которых
2
2ax  1  x  1  1  0 имеет четыре различных решения.
уравнение
 1
Ответ : a   0; .
 8
Задание на дом:
1) Найти
все
значения параметра а,
x  6 x  5  a( x  1) имеет четыре корня.
при
которых
уравнение
2
Ответ : при 0  a  8  4 3.
2) Найти все значения параметра а, при которых уравнение x 2  2 x  a  2
имеет четыре различных корня.
Ответ : a   ;  1.
2 урок
1) При каких значениях а уравнение a  12  2  12
Найти решение.
x
x
имеет решение?
1 1 a 
.
Ответ : 0  a  1, x   log 12 

a


2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
3  2 x  5 x  4  3 y  5 x 2  3a,
имеет единственное решение.

x2  y2  1

Ответ : a 
4
.
3
3) Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
5  2 x  3 x  2  5 y  3x 2  5a,
имеет единственное решение.

x2  y2  1

Ответ : a 
2
.
5
112
4) Найдите все значения а, при каждом из которых все решения
xa  y  2
неравенства
являются
решениями
неравенства
 y  3 y  x  2x 2  8x  12  y   0.
Ответ : a  0; a  4.
5) Найдите все значения a  1 ,при каждом из которых все значения
4
принадлежат промежутку  5; lg a  3 .
lg a  x 
функции y 
Ответ : 10; .
Задание на дом:
1) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
aa  2  a x  2  4x  x 2  1 x  2  4x  x 2  1a  2 имеет ровно 2 корня.
 5  3
Ответ :  3;  2  
.
 2 
2) Найдите все значения a  1 ,при каждом из которых все значения
функции y 
3
принадлежат промежутку  9; log 2 a  2 .
log 2 a  x 
Ответ : 2; .
3 урок
1) Найдите все значения а, при которых каждое из уравнений
41  9 cos x  a cos x  0 и x  a  7 x  2  5x  0 имеет хотя бы один корень.

 

Ответ :  12;  4 2  5 2 ; 8 .
2) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение
x  22  2a x  2  4a  0 имеет ровно 2 корня.
Ответ : 4.
3) Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
sin x cos x  1  a sin 2 x 
3
2
верно для всех x  R .
Ответ :[0; 2,4].
4) Найдите все значения а, для которых при любом x из промежутка
(0; 3]
3
выполняется неравенство x  x 2  3x  2  a 2 x  2.
 


3
Ответ :  ;  3  3;  .
5) Найдите
все
значения а, при каждом из которых
f ( x)  x 2  5 x  a 2  13x имеет хотя бы одну точку максимума.
Ответ :  3;  2  2; 3.
функция
113
Задание на дом:
1) Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
4 x  1  5 y  20,

2
2
 ( x  1)  y  a
имеет ровно 2 решения.
Ответ : a  5.
2) При каких значениях параметра а один из корней уравнения
94x
2
 4 ax  6 a 8

a3
принадлежит отрезку  1;1?
2x  a
Ответ : 2,5;  1,5.
114
Тема 6. Задачи, содержащие модуль в вариантах ЕГЭ. (3 часа)
Цель: научить решать задачи с модулем, встречающихся в репетиционных
вариантах ОГЭ, и подготовить к сдаче экзамена.
Ход урока.
I.
II.
Сообщение темы и цели урока.
Задачи.
1 урок
1) Решите неравенство log x6 2  log 2 x 2  x  2  1.
Ответ :  ;  7   5;  2  4; .
2) Решите неравенство  3 log  x 1  log 1 x  1  2 log 1 x  1
1
3
3
3
Ответ : 2; 4.
3) Решите неравенство
log 10 2 x  3  2 log 2 x 33 10  3.
3
 3
  3 10  3 3 100  3 
Ответ :   ;  1, 
;
.
2
 2
 2

4) Решите неравенство 3 x 1  9 x  9 x  5  3 x  6  6  2  3 x.
Ответ :  ; log 3 2  
1.
x  1x  2log x
5) Решите неравенство
2
x2
2
x2
x 2  3x  1  log

x2
x
2
.
Ответ :[ 2 ; 2].
Задание на дом:
1) Решите неравенство
3 x 2  6x  9 

3x  7

2
 2 x  1  0.
 7 
Ответ :  ; 0  2;  .
 3 
2) Решите
2
неравенство
2



2 sin  4  x   3 x  2  1  sin  4  x   5 x  2  1  0.
4

4

Ответ : 2.
2 урок
115
1) Найдите все а, при каждом из которых уравнение x  2  x  ax  2a  1
имеет ровно один корень.
Ответ :  ;  2  1 2; .
2) При каких значениях параметра а для всякого x  0; 7 верно неравенство
x  2a  3a  3x  a  4a  7 x  24 ?
Ответ : 3; 4.
x   b  y 2 ,
3) Найдите все значения параметра b , при которых система 
2
y  a x  b

имеет решение при любом значении параметра а.
Ответ :  ;  1, 0; .
4) При каких значениях параметра а система
единственное решение?
уравнений

имеет
9 y  a  12  9 x  a 2 ,


x

y  log 2 1  .

x


 4 
Ответ :   ;1  {4}.
 5 
5) При каких значениях параметра а среди решений неравенства
log 2 x  100  log 1
2
x  101
105  x
 log
x  103 105  x 
x  100
a
содержит
единственное
целое число?
Ответ :0; log 2 3.
Задание на дом:

x 2  y 2  2 x  y  2,
2
2
2
 x  y  2a  x  y   2a  2
1) Найдите все а, при каждом из которых система 
имеет ровно два решения.
Ответ : a   2  2 2 ,  2  a  2.
2) Найдите наибольшее значение параметра а, при котором неравенство


a a x 2  2x  1 
Ответ :
a

 4 a 3 sin x имеет хотя бы одно решение.
2
x  2x  1
2
1
.
16
3 урок
1) А) решите уравнение sin x  sin 3x  sin 2 x  0 ;
116


Б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ; 2  .
2

Ответ : a ) 

3
 2k , 
2
k

4 3 5
 2k ,
, k  Z ; б) ; ;
;
;
; 2 .
3
2
2
3 2 3
2) Дано уравнение cos x  1  cos 2 x  2.
А) Решите уравнение;
 7

;  2  .
 2

Б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 


 k ,   2k , k  Z ;
2
3
7
5 7
б) 
;
;
.
2
2
3
Ответ : а)
3) Решите неравенство x 2  3x  log 2 x  1  3x  x 2 .
 1 5 5

Ответ : 
;  3  2;  .
2


4) Решите неравенство
 x 1
3
log 2  x  1  log 2 

16


 0.
log 2 7  x  4 
Ответ :  10;  9   3;  1  1; 2.
5) Найдите все значения параметра а, при которых существует решение
уравнения x  ax  2a  8  4.
4 
Ответ : a   ;  4   ;  .
3 
Задание на дом:
1) Решите неравенство
 
x  1x  2log x
x2
2
2
x2

x 2  3x  1  log
x2
x
2
.
Ответ : 2 ; 2 .
2) Найдите все значения параметра а при каждом из которых система
 1  x  1  7 y ,
имеет ровно четыре различных решения.

49 y 2  x 2  4a  2 x  1
1
1
Ответ :  ;  .
4
32
117
Тема 7. Итоговая контрольная работа по теме «Модуль числа». (2 часа)
Вариант 1.
1) Решите уравнение и неравенство:
x  2 x  1  3 x  2  0, Ответ :  2;
x 2  6x  24  16, Ответ :[2; 9];
2) Решите уравнение:
81  16
x
x

13
1
x
 36 , Ответ : ;
6
2
3) Решите неравенство:
 1
log 52 x  log 5 x  6, Ответ :  0;   25;  ;
 25 
4) Решите уравнение:

 2k , k  Z ;
2
5) Найдите все значения а, для которых при любом x из промежутка
cos x  cos x, Ответ : 
(0; 3]
3
выполняется неравенство x  x 2  3x  2  a 2 x  2.

 

3
Ответ :  ;  3  3;  .
Вариант 2.
1) Решите уравнение и неравенство:
x 2  4x  x  3  3  0, Ответ : 2 и 3.
1 1 

x 2  1  x 2  x  1, Ответ :   2;     ; 2 ;
2 2 

2) Решите уравнение:

2 x  2  2 2 , Ответ :  ; log 2
x


1 
2  1   ;  .
2 
3) Решите неравенство:
log 0,5 6 x  3  log 0,5 4  x 2 , Ответ : 2;  1  1; 2;
4) Решите уравнение:
cos x  cos x   x  1,5 , Ответ :
2

2
 2n, n  ; x  0,5
5) При каких значениях а уравнение a  12  2  12
Найти решение.
x
1 1 a 
.
Ответ : 0  a  1, x   log 12 

a


x
имеет решение?
118
2.6. Педагогический эксперимент по теме исследования
Данный педагогический эксперимент заключается в проведении
ориентационного элективного курса по математике с целью формирования у
учащихся 10-ых классов высокого уровня готовности к сдаче ЕГЭ и
дальнейшему обучению в высших учебных заведениях.
Эксперимент проводился на базе МБОУ СОШ № 2 г. Орла во
время прохождения педагогической практики.
Проводимая экспериментальная работа имела также своей целью
решение ряда следующих задач:

выявление среди учащихся 10-ых классов способных,
склонных и имеющих потребность в изучении математики на
профильном уровне;

помощь в развитии данных математических способностей;

проверка эффективности разработанного элективного курса;
Эксперимент состоял из следующих этапов:

сравнение уровня знаний учащихся 10 класса по результатам

разделение класса на контрольную и экспериментальную
ОГЭ;
группы;

прохождение
экспериментальной группой элективного
курса «Модуль числа»;

итоговая контрольная работа между всеми учащимися 10-го
класса;

подведение итогов.
При проведении данного эксперимента использовались разнообразные
педагогические методы исследования.
Для начала было проведено сравнение учеников по результатам ОГЭ.
Результаты представлены на диаграмме 1.
Диаграмма 1
119
Результаты ОГЭ
Экспериментальная группа
Контрольная группа
"5"
"4"
"3"
Таким образом учащиеся обладают одинаковым уровнем развития в
области математики.
Класс был разделен на контрольную и экспериментальную группы. В
контрольной группе занятия по разработанному элективному курсу не
проводились, знания по теме формировались стихийно. В экспериментальной
группе реализовывалось преподавание элективного курса.
Элективный курс по теме «Модуль числа» разработан для учащихся 10го класса, желающих успешно сдать ЕГЭ для дальнейшего поступления в
технические ВУЗы.
Цели:
-
обобщение и систематизация знаний по темам модуль,
уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств, построение
графиков функций, решение задач с параметром, содержащих знак
модуля;
-
повышение уровня математической подготовки учащихся;
-
подготовка к сдаче ЕГЭ.
Задачи:
120
-
научить решать задачи более высокой сложности;
-
сформировать познавательный интерес к математике;
-
подготовить учащихся к ЕГЭ;
-
развить навык самостоятельной работы;
-
научить
решать
уравнения,
неравенства
и
системы
уравнений и неравенств на более высоком уровне, чем требуется по
школьной программе.
Учебно-тематический план
Название темы курса
№
Количество
п/п
часов, ч
Модуль
1
числа
и
его
свойства.
1
Повторение.
2
Уравнения и неравенства с модулем
3
3
Логарифмические
3
уравнения
и
и
показательные
неравенства,
содержащие
переменную под знаком модуля
Тригонометрические
4
уравнения
и
3
содержащие
3
Задачи, содержащие модуль в вариантах
3
Итоговая контрольная работа по теме
1
неравенства с модулем
Задачи
5
с
параметром,
переменную под знаком модуля
6
ЕГЭ
7
«Модуль числа»
121
В первой теме раскрывается определение абсолютной величины числа.
Геометрическая интерпретация понятия «модуль числа a». Свойства модуля.
Задачи на упрощение выражений, содержащих модуль.
Во второй: основные методы решения уравнений и неравенств,
содержащих модуль: раскрытие модуля по определению, по свойству,
возведение в квадрат обеих частей уравнения, геометрическая интерпретация,
метод разбиения на промежутки. Решение уравнений и систем уравнений
различными способами.
В третьей: решение тригонометрических уравнений, неравенств и
систем, содержащих переменную под знаком модуля.
В четвертой: решение логарифмических и показательных уравнений,
неравенств и систем, содержащих переменную под знаком модуля.
В пятой: уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств.
Аналитический и графический способы.
В шестой: задания из вариантов ЕГЭ.
В седьмой: итоговая контрольная работа.
122
Итоговая контрольная работа
Вариант 1.
1) Решите уравнение и неравенство:
x  2 x  1  3 x  2  0, Ответ :  2;
x 2  6x  24  16, Ответ :[2; 9];
2) Решите уравнение:
81  16
x
x

13
1
x
 36 , Ответ : x   ;
6
2
3) Решите неравенство:
 1
log 52 x  log 5 x  6, Ответ :  0;   25;  ;
 25 
4) Решите уравнение:

cos x  cos x, Ответ : x    2k , k  Z ;
2
5) Найдите все значения а, для которых при любом x из промежутка
3
выполняется неравенство x  x 2  3x  2  a 2 x  2.
3

 

Ответ :  ;  3  3;  .
Вариант 2.
1) Решите уравнение и неравенство:
x 2  4x  x  3  3  0, Ответ : 2 и 3.
1 1 

x 2  1  x 2  x  1, Ответ :   2;     ; 2 ;
2 2 

2) Решите уравнение:

2 x  2  2 2 , Ответ :  ; log 2
x


1 
2  1   ;  .
2 
3) Решите неравенство:


log 0,5 6 x  3  log 0,5 4  x 2 , Ответ : 2;  1  1; 2;
(0; 3]
123
4) Решите уравнение:
cos x  cos x   x  1,5 , Ответ : x 
2

2
 2n, n  ; x  0,5
5) При каких значениях а уравнение a  12  2  12
x
Найти решение.
1 1 a 
.
Ответ : 0  a  1, x   log 12 

a


x
имеет решение?
124
По завершении данного курса итоговую контрольную работу решали
обе группы и были подведены итоги.
Диаграмма 2
Итог
Экспериментальная группа
Контрольная группа
"5"
"4"
"3"
Вывод: экспериментальная группа лучше справилась с контрольной
работой. Таким образом наблюдается эффективность применения данного
элективного курса. По сравнению с первоначальными данными можно сказать
что
знания
экспериментальной
группы
улучшились.
Изменений
в
контрольной группе практически не произошло.
Результаты эксперимента подтверждают эффективность проведения
элективного курса.
125
Заключение
В представленной выпускной квалификационной
работе
были
исследованы и представлены содержание и методика изучения темы «Модуль
числа» в классах с углубленным изучением математики.
Данная тема является одной из самых трудных для учеников, но ее
необходимо изучить, так как задачи с модулем встречаются в ОГЭ и ЕГЭ, а
также на вступительных внутренних экзаменах в некоторых высших учебных
заведениях. Кроме того, в институтах и университетах, где изучается высшая
математика, тема «Модуль числа» используется на протяжении всего курса
изучения математики, например, модуль комплексного числа.
При написании выпускной квалификационной работы была отобрана,
изучена и проанализирована научная и методическая литература, связанная с
содержанием и методикой преподавания темы «Модуль числа» как в
общеобразовательных, так и в классах с углубленным изучением предмета.
Предложенная работа содержит теоретические основы понятия
«модуль числа», а также основные виды задач с модулем, методы их решения
и соответственно для каждого вида задач примеры с подробным решением.
Предлагаемый на страницах выпускной квалификационной работы
материал может оказаться весьма полезным в практической деятельности
учителя математики (особенно молодого специалиста), работающего не
только в специализированных, но и общеобразовательных классах.
126
Список литературы
1.
Алгебра для 8 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с
углубл. изучением математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов,
А.И. Кудрявцев; Под ред. Н.Я. Виленкина, – М.: Просвещение, 2013.
2.
Алгебра для 9 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с
углубл. изучением математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов,
А.И. Кудрявцев; Под ред. Н.Я. Виленкина, – М.: Просвещение, 2013.
3.
Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. / Л.В.
Кузнецова и др. – М.: Просвещение, 2015.
4.
Алгебра: Учебное пособие для 7 кл. общеобразовательных учреждений /
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.:
Просвещение, 2017.
5.
Алгебра: Учебное пособие для 8 кл. общеобразовательных учреждений /
С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.:
Просвещение, 2017.
6.
Алгебра: Учебное пособие для 9 кл. общеобразовательных учреждений /
С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.:
Просвещение, 2017.
7.
Гайдуков И. И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1964.
8.
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре
для 8-9 классов. – М.: Просвещение, 1992.
9. Глухова А. Поиск оптимального способа решения уравнений с модулями.
// Математика. – 2014. - №3.
10. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. –
Харьков, 1994.
11. Дятлов В. Технологии решения задач: Лекция 3. Метод интервалов
решения неравенств. Соотношения с модулем. // Математика. – 2013. - №7.
12. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справ. пособие. /
Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко А.И. – М.: Наука, 1988.
127
13. Зильберберг Н.И. Урок математики. Подготовка и проведение. – М.:
Просвещение, АО Учебная литература, 1996.
14. Кожухов С.К. Уравнения и неравенства с параметром. – Орёл: ОГУ, 2014.
15. Кочарова К.С. Об уравнениях с параметром и модулем. // Математика в
школе. – 1995, № 2.
16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.:
Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Под ред.
Г.В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 1996.
17. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 7: Учебник для
классов с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2017.
18. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 8: Учебник для
классов с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2017.
19. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 9: Учебник для
классов с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2017.
20. Петров В. А. Урок одной задачи. // Математика в школе. – 2015. - №3.
21. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев 5-11
классы. – М.: Дрофа, 2014.
22. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики. – Саранск,
«Красный Октябрь», 1999.
23. Севрюков П. Ф. Такие разные задачи с модулями. // Математика. – 2014. №1.
24. Спатару К.Г. Абсолютная величина числа. – Кишинев: Лумина, 1966.
25. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. – М., 1975.
26. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике
в школе. – М.: Просвещение, 1983.
27. Шестаков С. Задачи с параметрами и другие нестандартные задачи: Тема
2. Квадратный трехчлен в задачах с параметрами. // Математика. – 2013. - №№
10, 12.
128
129
130
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа