close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Староверова Ольга Константиновна. Эстетическое воспитание учащихся при обучении математике в средней школе

код для вставки
5
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 6
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЭСТЕТИЧЕСКОГО
ВОСПИТАНИЯ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ .............................................................. 11
1.1. Понятие и задачи эстетического воспитания в обучении
математике ......................................................................................................... 11
1.2. Эстетическое воспитание школьников на уроках математики ............. 15
1.3. Эстетическая привлекательность математического объекта.
Уровни привлекательности математического объекта ................................. 22
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ ......................................................................... 29
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЭСТЕТИЧЕСКОГО
ВОСПИТАНИЯ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ...................... 30
2.1. Методические материалы о формировании эстетического
воспитания на уроках математики .................................................................. 30
2.2. Эстетика в процессе решения математической задачи .......................... 35
2.3. Педагогический эксперимент.................................................................... 54
2.4. Факультативный курс «Математика и эстетика» как средство
формирования эстетического вкуса учащихся в общеобразовательной
школе .................................................................................................................. 63
ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ ....................................................................... 119
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 121
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................................... 123
Приложение №1 ................................................................................................... 129
Приложение №2 ................................................................................................... 131
Приложение №3 ................................................................................................... 133
Приложение №4 ................................................................................................... 135
6
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования. Проводимая Министерством просвещения
Российской Федерации реформа школы, направлена на развитие и кардинальные
изменения в структуре, содержании и в концептуальных образовательных
основах.
Концепция
социально
−
экономического
развития
Российской
Федерации на период до 2020 года о развитии системы общего образования
предусматривает индивидуализацию, ориентацию на практические навыки и
фундаментальные
умения,
развитие
профессионального
формирование,
рамках
обучения,
гармонично
в
ориентированной, осознающей
образования
развитой,
и
нравственно
важность самообразования и образование,
личности [35].
Из Концепции развития математического образования от 2013г : «Цель
настоящей Концепции - вывести российское математическое образование на
лидирующее положение в мире. Математика в России должна стать передовой и
привлекательной областью знания и деятельности, получение математических
знаний
-
осознанным
и
внутренне
мотивированным
процессом.
Изучение и преподавание математики, с одной стороны, обеспечивают
готовность учащихся к применению математики в других областях, с другой
стороны, имеют системообразующую функцию, существенно влияют на
интеллектуальную готовность школьников и студентов к обучению, а также на
содержание и преподавание других предметов.
Задачами
развития
математического
образования
в
Российской
Федерации являются:
-модернизация
содержания
учебных
программ
математического
образования на всех уровнях (с обеспечением их преемственности) исходя из
потребностей
обучающихся
и
потребностей
общества
во
всеобщей
математической грамотности, в специалистах различного профиля и уровня
математической подготовки, в высоких достижениях науки и практики;
- обеспечение отсутствия пробелов в базовых знаниях для каждого
обучающегося, формирование у участников образовательных отношений
7
установки "нет неспособных к математике детей", обеспечение уверенности в
честной
и
адекватной
задачам
образования
государственной
итоговой
аттестации, предоставление учителям инструментов диагностики (в том числе
автоматизированной) и преодоления индивидуальных трудностей;
- обеспечение наличия общедоступных информационных ресурсов,
необходимых для реализации учебных программ математического образования,
в том числе в электронном формате, инструментов деятельности обучающихся
и педагогов, применение современных технологий образовательного процесса;
-
повышение
качества
работы
преподавателей
математики
(от
педагогических работников общеобразовательных организаций до научнопедагогических
работников
образовательных
организаций
высшего
образования), усиление механизмов их материальной и социальной поддержки,
обеспечение им возможности обращаться к лучшим образцам российского и
мирового математического образования, достижениям педагогической науки и
современным образовательным технологиям, создание и реализация ими
собственных педагогических подходов и авторских программ;
- поддержка лидеров математического образования (организаций и
отдельных педагогов, и ученых, а также структур, формирующихся вокруг
лидеров), выявление новых активных лидеров;
-
обеспечение
обучающимся,
имеющим
высокую
мотивацию
и
проявляющим выдающиеся математические способности, всех условий для
развития и применения этих способностей;
- популяризация математических знаний и математического образования.
В процессе формирования гармонически развитой личности школьника
важное место занимает эстетическое воспитание. Роль математики как учебного
предмета трудно переоценить в эстетическом воспитании учащихся, потенциал
математики в этом плане огромен. Математика богата красивыми формулами,
доказательствами,
рисунками
и
чертежами.
Формирование
ценностной
ориентации личности в ее стремлении к прекрасному через овладение ею
действительностью при помощи геометрического материала, развитие творческих
8
способностей
учащихся
и
формирование
их
познавательного
интереса,
вырабатывание положительного опыта [25, С. 88].
В
педагогике
эстетическому
воспитанию
учащихся
посвящены
исследования: Ю.К. Бабанского, Г.П. Бурса, В.А. Разумного, И.Ф. Харламова.
В теории и методике обучения математики вопросы эстетического
воспитания учащихся на уроках математики отражены в исследованиях
В.Г. Болтянского,
В.Л. Минковского,
Н.А. Рощиной,
Г.И. Саранцева,
Н.И. Фирстовой и др.
Научно-педагогические
исследования,
посвященные
проблеме
эстетического воспитания учащихся, наибольшее внимание уделяют изучению
следующих аспектов:
-
основных требований к содержанию задач, направленных на
формирование
эстетического
вкуса
учащихся;
автором
сформулированы
методические рекомендации, связанные с понятием формирования эстетического
вкуса учащихся в процессе решения планиметрических задач; выделены три
основных уровня формирования и развития эстетического вкуса учащихся в
процессе
решения
планиметрических
задач;
разработана
система
задач,
направленных на формирование и развитие эстетического вкуса учащихся при
обучении геометрии в основной школе; разработаны и экспериментально
проверены
практические
рекомендации
по
формированию
и
развитию
эстетического вкуса учащихся при решении планиметрических задач (Н.Л.
Рощина [63]);
-
источников эстетической привлекательности математического
объекта (факта, теоремы, задачи, способа рассуждения); автором разработана
методика формирования математических понятий и изучения теорем в контексте
развития эстетической воспитанности учащихся, а также перечень эстетически
привлекательных задач (О.В. Черник [74], 2003).
Актуальность
темы
исследования
обусловлена
сложившимися
к
настоящему времени противоречиями между: требованиями, предъявляемыми к
обязательным результатам освоения программы среднего общего образования по
9
математике, и фактическим состоянием методики эстетического воспитания
учащихся при обучении математике в общеобразовательной школе.
Изучение
современных
исследований
по
указанной
проблематике,
позволило сформулировать следующую проблему исследования: обоснование и
разработка методики эстетического воспитания учащихся при обучении
математике в общеобразовательной школе, ориентированной на качественное
усвоение ими знаний и умений согласно ФГОС.
Объект исследования: процесс обучения математике в 5-9 классах.
Предмет исследования: эстетический потенциал курса математики в 5-9
классах и особенности методики его раскрытия в процессе обучения.
Цель выпускной квалификационной работы состоит в обосновании и
разработке теоретических и методических основ раскрытия эстетического
потенциала курса математики в 5-9 классах.
Задачи исследования:
1)
изучить понятие эстетического воспитания учащихся и его задачи при
обучении математике;
2)
рассмотреть понятие «красота в математике»;
3)
выявить методические особенности формирования эстетического
вкуса у учащихся при решении математических задач в 5-9 классах;
4)
разработать факультативный курс, предназначенный для развития
эстетического потенциала и приобщения математики к искусству.
Практическую
значимость
результатов
исследования
составляют
разработанные методические материалы.
Данные материалы могут быть использованы учителями математики, а
также студентами педагогических направлений подготовки при прохождении
практики.
Достоверность и обоснованность результатов и выводов, полученных в
ходе проведенного исследования, обусловлены использованием данных теории и
методики обучения математике, анализом педагогической практики и личным
опытом работы, сочетанием теоретических и практических методов исследования.
10
Для решения задач были использованы следующие методы исследования:
анализ
психолого-педагогической
и
методической
литературы,
анализ
программы, учебников и учебных пособий по математике для средней
общеобразовательной школы, изучение опыта работы учителей.
11
ГЛАВА
ВОСПИТАНИЯ
I.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
УЧАЩИХСЯ
ПРИ
АСПЕКТЫ
ЭСТЕТИЧЕСКОГО
ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
В
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ
1.1. Понятие и задачи эстетического воспитания в обучении
математике
В процессе формирования гармонически развитой личности важное место
занимает эстетическое воспитание учащихся.
В
различной
рассматривают
как
педагогической
систему
мер
литературе
для
эстетическое
выработки
у
воспитание
человека
хороших
художественных вкусов, способности правильно и по достоинству судить о
прекрасном в искусстве. Так, педагог Г.П. Бурса отмечает, что эстетическое
воспитание в общеобразовательной школе – это привитие учащимся хороших
вкусов, правильных понятий, взглядов и суждений в области музыки, живописи,
литературы и т.д. [62, С. 14].
В словаре по педагогике, автора Г.М. Коджаспирова,
сказано,
что
эстетическое воспитание - это выработка и совершенствование в человеке
способностей воспринимать, правильно понимать, ценить и создавать прекрасное
в жизни и искусстве, активно участвовать в творчестве, созидании по законам
красоты [32, С. 43]. Кроме этого, И.Ф. Харламов подчеркивает, что эстетическое
воспитание органически связано с термином «эстетика», обозначающим науку о
прекрасном. Само слово эстетика происходит от греческого aisthesis, что в
переводе на русский язык означает ощущение, чувство. Поэтому в общем плане
эстетическое воспитание обозначает процесс формирования чувств в области
прекрасного [72, С. 435].
В теории и методике обучения математике под эстетическим
воспитанием учащихся понимают формирование системы знаний и навыков,
относящихся ко всем искусствам, всем формам проявления прекрасного в
12
окружающей нас действительности и приобретенных как в процессе обучения,
так и во внешкольной деятельности [43, С. 38].
Н.И. Фирстова подчеркивает, что эстетическое воспитание следует
рассматривать как составную часть всестороннего развития личности. Через
эстетическое воспитание можно осуществлять расширение и углубление знаний и
представлений школьников о реальной действительности, формирование их
взглядов [71, С. 141].
О.В. Черник под эстетическим воспитанием учащихся в процессе обучения
математике понимает совокупность ее возможностей и ресурсов, которые могут
быть реализованы как средства эстетического развития личности [73, С.125].
В педагогике эстетическая культура школьника включает в себя
определенную степень эстетического развития чувств, сознания, поведения и
деятельности школьника, а именно:
1) эмоционально-чувственную отзывчивость на прекрасное и безобразное,
возвышенное и низменное, героическое и пошлое, комическое и трагическое в
искусстве, в жизни, в природе, в быту, в труде, в поведении и деятельности, а
также способность управлять своими чувствами;
2) знание и понимание сущности эстетического в искусстве и окружающей
действительности, художественную грамотность, правильные представления,
суждения и убеждения, связанные с эстетическим восприятием произведений
искусства и явлений жизни;
3) наличие эстетического идеала и способности на его основе верно
оценивать произведения искусства, идейно-эмоциональный отклик на эти
произведения;
4) овладение культурным наследием прошлого, отношение к современному
искусству и чуткость к прогрессивным тенденциям в развитии искусства;
5) степень развития творческих способностей, интерес и стремление к
эстетическому освоению мира;
6) мера причастности к художественному творчеству, практическое
участие в создании прекрасного в жизни;
13
7) потребность и умение строить жизнь «по законам красоты» и
утверждать идеалы красоты в отношениях с людьми, в труде и общественной
деятельности.
Ю.К. Бабанский отмечает, что названные компоненты эстетической
культуры вместе с тем выступают в качестве критериев эстетической
воспитанности учащихся. Они определяют задачи и содержание эстетического
воспитания школьников [55, С. 443].
И.Ф. Харламов подчеркивает, что эстетическое воспитание учащихся
осуществляется с помощью искусства. Поэтому его содержание должно
охватывать изучение и приобщение учащихся к различным видам искусства - к
литературе, музыке, изобразительному искусству. Автор отмечает, что важной
стороной содержания эстетического воспитания является его направленность на
личностное развитие учащихся, поэтому, прежде всего, необходимо формировать
у них эстетические потребности в области искусства, стремление к постижению
художественных ценностей общества. И.Ф. Харламов считает, что важнейшим
элементом содержания эстетического воспитания является развитие у учащихся
художественных восприятий. Эти восприятия должны охватывать широкую
область эстетических явлений. Необходимо учить учащихся воспринимать
прекрасное не только в литературе, изобразительном искусстве музыке, но и в
природе, а также в окружающей жизни.
Автор также отмечает, что существенным компонентом эстетического
воспитания является овладение учащимися знаниями, связанными с пониманием
искусства и умением рассуждения (взгляды) по вопросам художественного
отражения действительности.
Большое место в содержании эстетического воспитания занимает
формирование у учащихся высоких художественных вкусов, связанных с
восприятием и переживанием прекрасного. Нужно научить учащихся чувствовать
красоту, проявлять художественную взыскательность, а также эстетическую
требовательность к культуре поведения.
14
По мнению И.Ф. Харламова, важным содержательным компонентом
эстетического воспитания является приобщение учащихся к художественному
творчеству [72, С. 436].
Вместе с этим, Ю.К. Бабанский отмечает, что в философии В.П. Шестаков,
справедливо
подчеркнувший
в
своей
книге
«Проблемы
эстетического
воспитания» крайнюю односторонность сведения эстетического воспитания к
специальной области обучения детей искусству, раскрыл и традиционность этой
тенденции в педагогической науке [55, С. 443].
Таким образом, под эстетическим воспитанием учащихся в процессе
обучения математике будем понимать совокупность ее возможностей и ресурсов,
которые могут быть реализованы как средства эстетического развития личности.
15
1.2. Эстетическое воспитание школьников на уроках математики
Г.И. Саранцев отмечает, что о красоте математики написано немало.
Авторы видят красоту математики в:
-
гармонии чисел и форм;
-
геометрической выразительности;
-
стройности математических формул;
-
изяществе математических доказательств;
-
порядке;
-
богатстве приложений;
-
универсальности математических методов.
Поэтому математику наряду с искусством, считают важнейшим средством
приобщения школьников к красоте, формирования у них эстетического вкуса.
Так, У.У.Сойер, говоря о значимости математической теории, в качестве одного
из ее показателей называет красоту, стройность, «столь привлекательную для
ума».
По мнению Г.И. Саранцева, особенность математики заключается не только
в том, что в ней, как в искусстве, заложен огромный эстетический потенциал, но
и в том, что математическая деятельность подчиняется законам красоты.
Так, Д. фон Нейман отмечал, что математика, как и искусство, движима
почти исключительно эстетическими мотивами.
Ж. Адамар утверждал, что ученый, видя структурно несовершенную,
несимметричную,
«кривобокую»
математическую
конструкцию,
начинает
испытывать потребность в активной деятельности по ее гармоничному
дополнению.
Г.И.
Саранцев
подчеркивает,
что
сходство
между
эстетическим
восприятием действительности в математике и искусстве обусловлено не только
важностью в нем эстетических мотивов. Оно заключено в тождественности
внутренних структур восприятия [65, С. 5].
16
В статье А.В. Волошинова «Союз математики и эстетики» [19] отмечается,
что такое сходство было подмечено также и Пифагором. Он открыл закон
консонансов. Согласно античной традиции, сам Пифагор установил, что две
струны издают благозвучное гармоническое созвучие (консонанс) лишь в случае,
когда их длины относятся как целые числа первой четверки 1:2 (октава), 2:3
(квинта) и 3:4 (кварта). Закон консонансов впервые облекал в математическую
форму физическое явление – звучание струны. Он впервые указывал на
существование числовых закономерностей в природе.
Автор подчеркивает, что вторым математико-эстетическим открытием
Пифагора является нахождение золотых пропорций в пентаграмме. Прямых
свидетельств о том, что пифагорейцы открыли золотые пропорции в пентаграмме,
нет. Однако косвенных указаний достаточно.
Во-первых, пифагорейцы боготворили пентаграмму и выбрали ее в качестве
символа приветствия, пожелания здоровья и тайного опознавательного знака. Вовторых, пентаграмма обладает всеми видами «древних средних», известных
пифагорейцам, - это арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее - и
есть основания считать, что пифагорейцы знали это. В-третьих, - и это самое
главное - любые два соседних отрезка пентаграммы относятся в золотой
пропорции или, как говорили греки, в крайнем и среднем отношениях.
Г.И. Саранцев отмечает, что термин «золотое сечение» пользуется особым
вниманием у многих авторов. Сам термин «золотое сечение» ввел Леонардо да
Винчи. Он обозначает деление отрезка, при котором одна его часть во столько же
раз больше другой, во сколько сама она меньше целого.
«Золотое сечение» используется в живописи, скульптуре, при возведении
храмов.
Расчеты различных произведений искусства (памятников, храмов и т.д.)
показали, что большая часть классических сооружений подчинена отношениям
золотого сечения.
Исследователями установлено, что закону золотого сечения подчиняются
пропорции Великих пирамид – первого чуда света. Оказалось, что площадь
17
основания пирамиды Хеопса так относится к сумме площадей ее боковых граней,
как последняя – к полной площади поверхности пирамиды, то есть сумме
площадей боковых граней и основания. Данный вывод помог разрешить
многолетние дискуссии по вопросу времени сооружения пирамид и выявлению их
автора. Египтологи и искусствоведы склонны считать, что комплекс в Гизе –
единый архитектурный ансамбль, автором которого является Хемиун.
С помощью этой «божественной пропорции» выявлены связи между
музыкой и архитектурой. Оказалось, что и в архитектуре, и в музыке большое
значение придается пропорциям, близким к «золотому сечению». К числу других
отношений, создающих привлекательность объекту, относят 1:
Кроме того, в своей статье А. Д. Бендукиндзе говорит, что точка С
производит золотое сечение отрезка АВ, если АС:АВ=СВ:АС (1).
Итак, золотое сечение – это такое деление целого на две неравные части,
при котором большая часть так относится к целому, как меньшая – к большей. В
геометрии золотое сечение называется также делением отрезка в крайнем и
среднем отношении.
Если длину отрезка АВ обозначить через a, а длину отрезка АС – через х, то
длина отрезка СВ будет a-х и пропорция (1) примет следующий вид:
:  = ( − ):  (2).
Из этой пропорции видно, что при золотом сечении длина большего отрезка
есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное
длин всего отрезка и его меньшей части:

.
Легко сообразить, что верно и обратное: если отрезок разбит на два
неравных отрезка так, что длина большего отрезка есть геометрическое длин
всего отрезка и его меньшей части, то мы имеем золотое сечение данного отрезка.
Геометрическое золотое сечение отрезка АВ можно построить следующим
образом: в точке В восставляем перпендикуляр к АВ и на нем откладываем
BD=0,5AB; далее, соединив точки A и D, откладываем DЕ=ВD и, наконец,
18
AC=AE. Точка С является искомой - она производит золотое сечение отрезка AB.
В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора ( + )2 = 2 + 2 и по
построению
 = ,  =  = 0,5.
Из этих равенств следует, что 2 +  ∙  = 2, а отсюда уже легко
получается равенство (1).,
Решая уравнение (2) относительно х, мы находим что

.
Значит,  −  ≈ 0,38. Таким образом, части золотого сечения составляют
приблизительно 62% и 38% всего отрезка [8, С. 22].
Кроме того, построение стихов «Слова о полку Игореве» также подчиняется
математическим законам. Основу данного произведения составляет круговая
композиция, причем отношение числа стихов во всех трех частях произведения
(их 804) к числу стихов в первой и последней части (256), равно 3,14, то есть
числу, близкому к числу  [65, C .6].
В статье В.Л. Минковского «Об элементах эстетического воспитания на
уроках математики» [45] указано, что немецкий ученый Г. Фехнер с целью
изучения эстетических вкусов в отношении сочетания размеров смежных сторон
прямоугольника проделал простой, но любопытный опыт.
Из одинакового материала было вырезано десять изопериметрических
прямоугольников со следующими отношениям сторон:
1) 1:1=1
2) 6:5=1,2
3)5:4=1,25
4) 4:3=1, (3)
5) 29:20=1,45
6) 3:2=1,5
7) 34:21 1,62
19
8)23:13 1,77
9) 2:1=2
10) 5:2=2,5.
Каждому
из
участников
эксперимента
было
предложено
указать
прямоугольник, который его наиболее удовлетворяет в эстетическом отношении.
Результаты опыта показали, что наиболее привлекательными оказались
прямоугольник 7) или близкие к нему. У этих прямоугольников длина большей
стороны оказывается весьма близкой к числу, которое является средним
пропорциональным между полупериметром прямоугольника и длиной его
меньшей стороны. Так, например, для прямоугольника 7) имеем такие
отношения:

55
=


≈ 1,618;
34
34
=
ℎ
≈ 1,619.
21
По мнению автора, опыт Г. Фехнера явился подтверждением замеченного
еще в древности, что прямоугольник со сторонами, равными или близкими частям
отрезка, разделенного в крайнем и среднем отношении, наиболее приятен для
глаза [45, С. 27].
Г.И. Саранцев отмечает, что эти примеры свидетельствуют не только о
связи математики, живописи, языка, музыки, но и о том, что гармония,
стройность, соразмерность являются атрибутом самой природы. Подкреплением
этому утверждению является мнение астрономов о том, что Великие пирамиды
математически выражают закономерности Вселенной.
В красоте объектов проявляется их свойство, существующее независимо от
сознания. Чувство красоты трактуется автором как продукт отражения в
человеческом
сознании
реально
существующих
эстетических
свойств
окружающего мира. Психологическую основу данной трактовки видят в
интуитивном влечении психики человека к изяществу и гармонии, постигаемым
чувствами. Отсюда автор выводит методические рекомендации по формированию
20
эстетического вкуса школьников, основу которых составляет созерцание
фотографий архитектурных памятников, рисунков различных конструкций,
структура которых подчиняется закону «золотых» чисел, продукции художников
и т.д.
Г.И. Саранцев подчеркивает, что в математике заключен большой
эстетический потенциал, позволяющий использовать ее в качестве средства
эстетического воспитания, познания красоты. С другой стороны, эстетические
факторы играют большую роль в развитии самой математической науки, а
поэтому им следует отвести значительную роль и в обучении математике
школьников. Однако последнее может быть эффективно реализовано в том
случае, если будем знать ответ на вопрос: что понимать под красотой?
Г.И. Саранцев приводит разные точки зрения на содержание понятия
красоты.
В философии указано, что чувство красоты есть продукт отражения в
сознании
эстетических
свойств
окружающего
мира.
Данная
трактовка,
подчеркивает автор, обусловливает вопрос: в каких формах красота представлена
вокруг нас? В ее контексте этот вопрос остается без ответа. Сторонники другой
точки зрения считают, что красота – это продукт ума, свободной мысли.
Так, И. Кант полагал, что красота есть целесообразность без цели. Она
выражает способность человека мыслить природу по законам свободы. Такому
пониманию красоты вряд ли можно найти конкретное приложение в обучении.
Многих
мыслителей
привлекала
проблема
красоты
человеческого
лица.
Некоторым из них красота представлялась даром богов, особенно женская
красота, воспеваемая в поэзии, литературе, живописи. Другие пытались
объяснить
природу
красоты
лица
биологической
целесообразностью,
приспособленностью к природным условиям. Такая версия выдвигает ряд
вопросов: каким образом, воспринимая лицо, мы определяем степень его
приспособленности к условиям существования? Как измерить его биологическую
полноценность?
21
Н.Г. Чернышевский, оценивая привлекательность лица, исходил так же из
идеи целесообразности, но не биологической, а социально утилитарной. Заметим,
что мнения людей о красоте лица были порой даже противоположны: формы
лица, которые считались эталоном красоты у одного народа, другим народам
казались чуть ли не уродливыми [65, С. 8].
Г.И. Саранцев, Е.Ю. Миганова отмечают, что наиболее правдоподобная
гипотеза о природе красоты была выдвинута Р.Х. Шакуровым, по мнению
которого, красивы те черты лица, которые при зрительном восприятии
укладываются в их обобщенный образ – в стереотипный усредненный стандарт,
сформировавшейся у человека в ходе общения с другими людьми. Сказанное
отражает красоты форм.
Как утверждает Р.Х. Шакуров, другими составляющими красоты являются
ее
эмоционально-экспрессивная
сторона,
ассоциативно-эмоциональный
компонент, оригинальность [44, С. 31].
Таким образом, красота математики выражается в: гармонии чисел и форм;
геометрической выразительности; стройности математических формул; изяществе
математических доказательств; порядке; богатстве приложений; универсальности
математических методов.
22
1.3.
Эстетическая
привлекательность
математического
объекта.
Уровни привлекательности математического объекта
По мнению Г.И. Саранцева, понимание красоты можно распространить и на
математические объекты. Автор утверждает, что наиболее привлекательным для
школьника
будет
тот
объект,
восприятие
которого
соответствует
сформировавшемуся у него образу. Этот вывод подтверждается практикой.
Известно, например, что у учащегося из предложенной им для решения
совокупности
геометрических
задач
выбирают
те,
в
условии
которых
используются фигуры, наиболее распространенные в школьном курсе геометрии.
Причем особое внимание школьники уделяют тем задачам, при решении которых
им приходится использовать методы эстетической эвристики, например,
достраивание фигуры до квадрата.
Попытку
раскрыть
содержание
эстетической
привлекательности
математического объекта предпринимали и математики. Так, Э.Т. Белл данное
содержание описывает совокупностью следующих характеристик:
-
универсальность использования в различных разделах математики,
как правило, изначально совсем неочевидных;
-
продуктивность или возможность побудительного влияния на
дальнейшее продвижение в данной области на основе абстракции и обобщения;
-
максимальная емкость охвата объекта рассматриваемого типа.
Г.И Саранцев указывает, что некоторыми исследователями перечисленные
характеристики дополняются новыми:
- глубокий контраст между уровнями сложности выводимого факта и
используемых при этом аппаратных средств, достигаемых за счет использования
тех или иных эвристических процедур;
-
четко выраженная упорядоченность, гармония целого и частей, как
чувственной (например, через идею симметрии), так и интеллектуальной
(например, через осознание стройности математических доказательств).
23
В
качестве
примера
математического
объекта,
удовлетворяющего
указанным критериям, Э.Т. Белл приводит задачу построения правильных
многоугольников, решенную К. Гауссом в конце 18 века. Данная задача явилась
результатом органического синтеза алгебры, геометрии, теории чисел и
послужила в прошлом стимулом для многих алгебраических исследований, а ее
внешняя
простота,
ярко
выраженная
симметричность,
безукоризненная
стройность решения побудили исследователей математического творчества
называть эту задачу «настоящим произведением искусства» и «математической
поэмой» [65, С. 9]. По мнению В.Г. Болтянского, красота математического
объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его
наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью ее появления. Это
утверждение можно подкрепить формулой «математической эстетики» из его
статьи «Математическая культура и эстетика»:
Красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота +
неожиданность.
Автор
подчеркивает,
что
изоморфизм
предполагает
правильные,
неискаженные отражения основных свойств и явления в его наглядном
представлении. Мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта или
чем проще наглядная модель исследуемого объекта. Сложность исследуемого
объекта (простота его наглядной модели) обусловлена соответствием этого
объекта сложившемуся в сознании ребенка его образу [11, С. 40].
Эстетическая мера объекта будет увеличиваться с упорядочиванием его
структуры, что осуществляется в процессе преобразования исследуемого объекта.
Сказанное объясняет привлекательность симметричных объектов.
Эстетическая мощь симметрии была «угадана» путем сердца еще в эпоху
неолита, но путем мысли человечество пришло к принципу симметрии только в
20 в. Именно в 20 в. стало отчетливо понятно, что принцип симметрии лежит в
основе всего мироздания [18, С. 65].
В.Л. Минковский отмечает, что вопросы симметрии имеют исключительно
широкие возможности для осуществления эстетического воспитания учащихся.
24
Автор говорит, что мало кому из современных учащихся не довелось в
школьном возрасте испытать пленяющее очарование незатейливой с виду
игрушки - калейдоскопа. Многие из них не удержались и заглянули в ее тайники.
Но секрет очарования оказывался до обидного простым: несколько разноцветных
стеклянных обломков, лишенных особой приятности, перекатывались на
небольшом участке треугольной формы, ограниченной тройкой зеркальных
пластинок.
Дошкольнику
трудно,
конечно,
осознать,
что
все
удовольствие,
доставляемое этим, довольно примитивным оптическим прибором, в том, что
разноцветные стекляшки между зеркалами образуют в них путем отражения
симметричные
узоры
и
сочетания,
красота
которых
исключительно
в
безукоризненной симметрии нехитрых рисунков. Эти яркие детские впечатления
далеко не всегда в должной мере используются педагогами в целях повышения
качества обучения.
В связи с изучением различных видов симметрии естественно знакомить
учащихся с ее богатейшими проявлениями в природе, использовании ее законов в
архитектуре и декоративно-прикладном искусстве. Исключительное богатство
геометрических форм весьма характерно для орнаментов (так называемые
геометрические орнаменты) [44, С. 28].
Г.И. Саранцев отмечает, что симметрия является самой впечатляющей
формой порядка, понимается и как гармония отдельных составляющих системы
математических знаний.
Автор указывает, что выразителем гармонии системы математических
знаний выступает и логика математических выводов. Способность к логическим
рассуждениям формируется в процессе наблюдения человека за собой и другими
людьми как за мыслящими существами. Таким образом, логика тоже есть продукт
наблюдения, но только не за реально ощутимыми объектами, а за речевыми
конструкциями, стандартами, которые выстраивает человек в процессе его
общения с другими людьми.
25
Г.И. Саранцев подчеркивает, что на важность меры порядка в проявлении
эстетического чувства обращают внимание многие математики.
Так, А. Пуанкаре математические характеристики, которым приписывают
свойства красоты и изящества, видит в элементах, гармонически расположенных
таким образом, что ум без усилий может им охватывать целиком, угадывая
детали.
Эта
гармония
служит
одновременно
удовлетворением
наших
эстетических чувств и помощью для ума, она его поддерживает и ею он
руководствуется.
Усилению эстетичности математических объектов будут способствовать:
а) возможность продвижения в их исследовании на основе аналогии и
обобщения;
б) богатство приложений результатов исследования как в математике, так и
в смежных дисциплинах;
в) оригинальность суждений, формулируемых в процессе исследования.
Привлекательными будут оригинальные доказательства, способы решения
задач,
самостоятельно
открытые
учащимися
теоремы,
самостоятельно
сформулированные задачи и т.д.
Таким образом,
эстетическим
потенциалом, основанным на идее
симметрии, обладает большой объем даже школьного учебного материала,
который естественно должен быть использован при разработке методики
обучения математике.
В содержании понятия простоты некоторые исследователи выделяют такие
признаки, как немногочисленность и общность исходных гипотез, возможность
актуализации
(при
выдвижении
этих
гипотез)
привычных
образных
представлений, а также наиболее прямой и естественный ход обоснования
гипотез. В связи со сказанным заметим, что вряд ли, для ученика, приступающего
к изучению систематического курса геометрии, будут привлекательными задачи,
при решении которых используется «метод от противного». Такие задачи
встречаются уже на первых страницах учебника геометрии для 7 класса.
26
Аналогичная ситуация возникает тогда, когда ученику начальной школы
предлагают решить текстовую задачу с помощью уравнения [65, С. 11].
В.М.
Волькенштейн
к
критериям
эстетической
привлекательности
математических объектов относит сведение их сложности к простоте.
Под простотой автор понимает нахождение минимальной программы,
наиболее общей и универсальной закономерности для данного круга явлений.
В.М. Волькенштейн утверждает, что нахождение и есть главный
эстетически значимый момент в научном познании. Автор представляет эстетику
науки так же своего рода минимальной программой – простой формулой:
Эстетическая значимость =
Наблюдаемая сложность
Минимальная программа
Числитель и знаменатель дроби выражены в битах – единицах количества
информации.
Минимизация
программы
означает
отсечение
избыточной
информации, характеризующей наблюдаемую сложность [21, С. 15].
Г.И. Саранцев отмечает, что некоторые математики утверждают, что
простота, как эстетического качество, предполагает наличие в числе его
характеристик неожиданности, выражающейся в контрасте между очевидностью
и естественностью утверждений и трудностью их обоснования. Многие простые и
общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из простейших
вычислений, однако при их доказательстве часто встречаются большие
трудности. Такая особенность, по мнению К. Гаусса, придает высшей арифметике
неотразимое
очарование,
сделавшее
ее
любимой
наукой
величайших
математиков.
В качестве эстетической привлекательности автор отмечает и обратный
контраст между громоздкостью, сложностью условия задачи и простым
изящным ее решением. Наконец, в качестве еще одной формы контраста называют
несовпадение полученного решения с предполагаемым. «Когда после длинных
выкладок приходим к какому-нибудь поразительному по простоте результату», замечает А. Пуанкаре, - мы до тех пор не чувствуем себя удовлетворенными, пока
27
не покажем, что мы могли бы предвидеть, если не весь результат в целом, то, по
крайней мере, его наиболее характерные черты.
По мнению Г.И. Саранцева, перечисленные характеристики красоты
математического объекта соотносятся, как легко заметить, либо с его внешней
стороной, либо с внутренней, реализующейся в его исследовании. Это было
подмечено еще А. Пуанкаре, который выделял в числе эстетических факторов,
заложенных в математическом содержании, красоты качества или видимых
свойств, характеризующую мимолетностью впечатлений и более глубокую
постигаемую только чистым разумом красоту интеллектуальную. Последняя не
только создает почву, «остов для игры видимых красот, ласкающих наши
чувства», но и «дает удовлетворение сама по себе».
С
повышением
уровня
математической
подготовки
школьников
усиливается влияние эстетических мотивов на осуществление поисковой
деятельности, расширяется круг эстетических факторов и их выбора в различных
конкретных
ситуациях,
что
способствует
более
высокому
пониманию
математической красоты, которое соотносится с творческой математической
деятельностью, с изящностью рассуждений, с различными способами решения
задачи. Как отмечал А. Пуанкаре, чувство изящного есть чувство эстетического
удовлетворения,
обусловленное
взаимным
приспособлением
между
математическим объектом и потребностями нашего ума. В силу такого именно
приспособления данный объект становится как бы собственностью нашего ума и
может служить орудием в дальнейшем познании [65, С. 13].
М.Я. Антоновский отмечает, что простота восприятия моделей входит в
содержание понятия красоты математического объекта. Автор пишет, что
простота
восприятия
модели
изменяется
по
экспоненциальному
закону.
Экспоненциальный характер зависимости отражает, в частности, тот очевидный
факт, что понятия, которыми автор постоянно оперирует, с течением времени
становятся более простыми для восприятия.
М.Я. Антоновский рекомендует при построении модели в качестве
элементов следует стремиться использовать такие понятия, которые вследствие
28
их
многократного
и
длительного
применения
являются
для
учащихся
привычными, установившимися и поэтому простыми для восприятия [7, С. 68].
По
мнению
Г.И. Саранцева,
содержание
понятия
красоты
математических объектов составляется следующими признаками:
-
соответствие
математического объекта его
стандартному,
-
стереотипному образу;
-
порядок, логическая строгость;
-
простота;
-
универсальность использования этого объекта в различных разделах
математики;
-
оригинальность, неожиданность.
Автор отмечает, что простота воплощается в немногочисленности и
общности исходных гипотез, возможности актуализации при выдвижении этих
гипотез привычных образных представлений, наиболее прямом и естественном
ходе обоснования гипотез. Неожиданность выражается в контрасте между
очевидностью и естественностью формулировок и трудностью их доказательства,
обратном контрасте, несовпадении полученного результата с предполагаемым.
Основной формой порядка является симметрия в широком смысле.
Эффективность модели красоты математического объекта, представленной
Г.И. Саранцевым, подтверждается и работами, исследующими оценку сложности
систем и простоты восприятия их моделей.
В эстетическом восприятии математического объекта Г.И. Саранцев
выделяет три уровня:
1)
уровень восприятия основан только на совпадении предъявляемых
объектов с их образцами, сформированными у школьников;
2)
уровень восприятия обусловлен тем, что предъявляемый объект не
полностью соответствует своему образу, однако его «доведение» до образа как
бы подсказывается структурой этого объекта (достроить фигуру; построить
фигуру, дополнить часть до целого и т.д.);
29
3)
уровень, на котором восприятие объекта смещается на его
внутреннюю структуру [65, С. 15].
Таким образом, содержание понятия красоты математических объектов
составляется такими признаками, как: соответствие математического объекта его
стандартному, стереотипному образу; порядок, логическая строгость; простота;
универсальность использования этого объекта в различных разделах математики;
оригинальность, неожиданность. Причем, простота восприятия объекта зависит от
его сложности: чем сложнее система, тем она труднее воспринимается, а поэтому
является и менее привлекательной. Эстетическое восприятие математического
объекта основывается на определенных уровнях их привлекательности.
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ
1.
Изучено
понятие
эстетического
воспитания
и
его
задачи.
Установлено, что под эстетическим воспитанием учащихся в процессе обучения
математике будем понимать совокупность ее возможностей и ресурсов, которые
могут быть реализованы как средства эстетического развития личности.
2.
Рассмотрено понятие красоты в математике. Изучив различные
подходы к понятию красоты в математике, выявлено, что красота в математике
выражается в: гармонии чисел и форм; геометрической выразительности;
стройности математических формул; изяществе математических доказательств;
порядке; богатстве приложений; универсальности математических методов.
3.
Раскрыты уровни красоты математического объекта. Определено, что
существует три уровня привлекательности математического объекта, где
предъявляемый объект: 1) привлекателен тем, что совпадает с образом,
сформированным у школьников; 2) не полностью соответствует своему образу, но
может быть легко до него дополнен; 3) предполагает рассмотрение его
внутренней структуры, то есть привлекательность заключена в поиске различных
способов решения задачи, выделение среди них наиболее оригинального.
30
ГЛАВА
II.
МЕТОДИЧЕСКИЕ
АСПЕКТЫ
ЭСТЕТИЧЕСКОГО
ВОСПИТАНИЯ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
2.1.
Методические
материалы
о
формировании
эстетического
воспитания на уроках математики
Красота математики тесно связана с красотой геометрических линий и
форм. Рассмотрим одну из возможностей реализации эстетического потенциала
математики в процессе формирования у младших школьников представлений о
форме геометрических объектов. Важную роль в этом процессе играет
деятельность по решению задач. Задачи в начальной школе преимущественно
описывают жизненные ситуации, показывают возможность использования
геометрических знаний в реальной действительности и вызывают эмоциональный
отклик у учащихся, который стимулирует желание выполнить задание. На первом
этапе обучения геометрические знания и умения формируются на более простых,
с геометрической точки зрения, объектах (меньшее количество элементов и
связей), в дальнейшем они используются при работе с более сложными
объектами, образами, пронизанными понятийными элементами.
Для развития геометрических представлений важно рассматривать объекты
не стационарно, а на основе наблюдения способа его образования, движения,
изменения, в связи с чем большое значение будет иметь практическая
деятельность учащихся с предметами, в которой значительное место должно быть
отведено получению тактильных осязательных ощущений, восприятию плоских и
объемных объектов для формирования правильных глубинных ощущений.
Поэтому, знакомство с фигурами вращения, симметрией, переход от модели
геометрического тела к его развертке, а от нее снова к модели, применение
сечений, разрезания моделей, превращение одной фигуры в другую без изменения
площади и т. п. является эффективным средством обучения младших школьников
элементарной геометрии.
31
На основе собственных практических действий дети знакомятся со
свойствами рассматриваемых фигур, учатся применять знания на практике. В
процессе
решения
задач
на
построение,
изображение,
моделирование
пространственных объектов у них развиваются умения отчетливо представлять
себе данные объекты, мысленно выполнять конструктивные операции над их
элементами.
Для выполнения практических заданий могут использоваться и подручные
средства, и промышленные конструкторы. Реализация эстетического потенциала
математики в начальных классах может осуществляться с применением лепки,
вырезания из бумаги, развивающих игр. Например, игры «Танграмм», «Китайские
кастеты», «Паркеты» основаны на умении изменять на плоскости положение
основных деталей так, чтобы из них можно было составить требуемый рисунок.
Также эти игры связаны с умением изменять структуру объекта, так как в основе
трансформации структуры объекта лежит изменение положений элементов,
составляющих данный объект. Умение мысленно воссоздать структуру объекта
требует и игра «Кирпичики», в которой по данным видам объекта учащиеся
должны
сконструировать
из
брусков,
имеющих
форму
прямоугольных
параллелепипедов, сам объект и дать ему название. Кроме того, данная игра
способствует развитию проективных представлений.
Конструкторские умения включают: умение узнавать и выделять основные
геометрические фигуры в окружающей жизни, на объектах, рисунках, чертежах;
умение собрать несложный объект (фигуру) из готовых частей (деталей); умение
видоизменить (трансформировать) объект; умение разделить данную фигуру
(объект) на составные части; умение изобразить объект (фигуру) на бумаге.
Использование упражнений на изображение и конструирование образов
геометрических объектов в начальных классах обеспечивает базу для развития
пространственных представлений, конструктивных умений и навыков, так как в
процессе решения этих задач осуществляется формирование умений представлять
и удерживать в памяти ту или иную пространственную фигуру, мысленно
выполнять
с
ней
определенные
конструктивные
операции,
подмечать
32
закономерности на основе наблюдений, измерений, вычислений, преобразований
и сопоставлений.
Кроме того, разносторонняя работа с чертежом не только способствует
общему умственному развитию школьников, но и обеспечивает более плавный
переход
от опыта индуктивного
преподавания
пропедевтического
курса
геометрии в начальной школе к дедуктивному построению основного курса, к
тому же, в графических пространственных образах реализуется эмоциональная
связь воображения с действительностью, что немаловажно для младших
школьников. Таким образом, формирование графической деятельности на уроках
математики в начальных классах должно заключаться в овладении ребенком
графическими средствами для передачи адекватного (трехмерного) восприятия
геометрической стороны объектов и явлений окружающего мира.
Конструирование моделей пространственных объектов в начальной школе
синтезирует в себе практически все виды учебной деятельности, что позволяет
сделать процесс обучения элементам геометрии для ребенка осознанным и
продуктивным в плане реализации своих геометрических знаний в конкретном
продукте - модели геометрического тела. Это один из способов решения вопроса
о мотивации обучения элементам трехмерной геометрии в начальной школе.
Кроме того, моделирование геометрических тел создает прочную базу для
применения этого вида деятельности в последующих классах при формировании
пространственных представлений. Таким образом, задания на изображение и
конструирование моделей пространственных объектов способствуют познанию
их формы, величины и взаимного расположения. Любой урок несет огромный
воспитательный
потенциал и поэтому на учителя
ответственность,
чтобы
не
навредить
ребенку.
возлагается
Методически
большая
правильно
построенный урок воспитывает каждым своим моментом.
Методические рекомендации по реализации воспитательного потенциала
урока математики:
* Проведение систематической диагностики уровня воспитанности ученика
и класса в целом, что позволяет сразу увидеть проблемные точки в воспитании и
33
целенаправленно
сформулировать
воспитательные
цели.
Обязательное
обсуждение с ребятами тех качеств личности, которые будут затрагиваться на
уроках.
* При написании плана урока продумывать виды деятельности ученика на
каждом этапе урока в связи с поставленными воспитательными задачами
* Осуществить выбор оптимальных способов и приемов для начала урока
т.к. на этом этапе происходит влияние на потребностно-мотивационную сферу и
успех урока чаще всего зависит от умелой организации начала урока
* Использовать на этапе актуализации опорных знаний работы по готовым
чертежам, тренажеры, работу в парах, применять ИКТ. Использовать различные
средства гуманитаризации:
* Специально подбирать задачи для урока.
* Использовать на уроке разные виды контроля, что позволит осуществлять
нравственное воспитание, воспитывать ответственность, самостоятельность,
критичность, силу воли, коммуникабельность, трудолюбие.
* Воспитание творческой самостоятельности можно осуществлять с
помощью различных творческих домашних работ
* Применять разные способы оценивания, что оказывают положительное
воздействие на ребенка и в плане успеха, и в случае неудач.
* Проводить этап рефлексии на каждом уроке, что позволит корректировать
воспитательные задачи урока.
Эстетическому
воспитанию
учащихся
начальных
классов
будет
способствовать использование на уроках математики и во внеурочное время
следующих заданий на изображение и конструирование моделей геометрических
объектов:
достроить
фигуру;
построить
фигуру,
симметричную
данной
относительно заданной оси (центра); построить ось симметрии симметричных
фигур; построить развертку пространственной фигуры по готовым данным, с
помощью измерения элементов данной модели, по данным чертежа; построить
простейшие сечения на каркасных моделях пространственных фигур с помощью
цветной проволоки, перенести полученные фигуры на бумагу, вычислить их
34
площадь; по имеющимся двум видам изображений фигуры (вид спереди и вид
сверху) выполнить ее рисунок и др.
Увидеть красоту математики, ее объектов и методов может только
увлекающийся человек. Поэтому важно прививать любовь к предмету, развивать
эстетическое
восприятие
математической
действительности,
развивать
познавательную активность учащихся.
Таким образом, реализация эстетического потенциала математики в
процессе
обучения
школьников
способствует
не
только
созданию
положительного эмоционального фона, формирующего интерес к учению, но и
развивает
познавательно-конструктивные
способности
личности,
характеризующие деятельность воображения, образного мышления, интуиции,
что, в свою очередь, влечет за собой повышение уровня общей культуры
личности.
35
2.2. Эстетика в процессе решения математической задачи
В.Л. Минковский в статье «Об элементах эстетического воспитания на
уроках математики» отмечал, что поиски изящных решений задач относятся к
глубокой древности.
Понятие «изящное решение» задачи, «красивый» вывод и т.д. являются в
математике общепринятыми. Выдающийся советский математик Н.Г. Чеботарев,
желая подчеркнуть мысль относительно общезначимости этих понятий, указывает
на отсутствие в среде математиков «споров об изяществе».
В.Л. Минковский
подчеркивал,
что,
к
сожалению,
довольно
распространенным является мнение, что удовлетворение от изящного решения
задачи и красоты вывода может испытать только ученый, только узкий
специалист определенной отрасли знаний. Между тем опыт показывает, что
восприятие эстетической стороны решения задачи доступно почти каждому
ученику, если
только
в преподавании
математики поощряются поиски
самостоятельных путей и приемов рационального решения.
По мнению автора, существенную роль в выработке понимания красоты
решения играет демонстрация учителем оригинальных путей решения доступных
для учащихся задач. Так, например, ученикам пятого класса доставляет
подлинное эстетическое удовольствие выразительный рассказ учителя о том, как
маленький Карл Гаусс почти моментально подсчитал сумму ста первых членов
натурального ряда чисел.
Подобные сообщения весьма активизируют класс. У учащихся появляется
настойчивое желание испытать собственную смекалку в отыскании эффектного
решения нестандартной задачи, как например, в вычислении суммы нескольких
дробей вида
1
1
1
1
+
+
+⋯
10 ∙ 11 11 ∙ 12 12 ∙ 13
19 ∙ 20
без приведения их к общему знаменателю.
36
«Красота в математике, - утверждал Н.Г. Чеботарев, - идет рука об руку с
целесообразностью: мы редко называем изящными рассуждения, не приводящие к
законченной цели или более длинные, чем это представляется необходимым».
Изящное решение задачи обычно достигается сочетанием оригинальности
приема решения с простотой и ясностью самого решения.
Крупный математик Герман Минковский очень высоко ценил владение
«искусством соединять с минимумом слепых формул максимум зрячих мыслей».
Проявления такого искусства встречаются и в работах школьников. Весьма
ярким примером для иллюстрации этой мысли может служить решение
сравнительно сложной задачи девочкой – шестиклассницей из г. Орджоникидзе,
обнародованное Б.А. Кордемским.
Задача 1. Найти прямоугольник, стороны которого выражаются целыми
числами, а площадь численно равна периметру.
Рис. 1.
Рис. 2.
Решение. Искомый прямоугольник состоит из единичных квадратов
(клеток). Выделив «каемку» шириной в одну клетку, прилегающую к сторонам
прямоугольника (Рис. 1), замечаем, что нельзя установить взаимно однозначное
соответствие между клетками каемки и линейными единицами контура. Этого
нельзя сделать потому, что в контуре всегда на 4 единицы больше. Приняв во
внимание условие задачи, заключаем, что оставшаяся «сердцевина» должна
содержать 4 клетки, а 4 клетки можно расположить прямоугольником только
двумя способами: 2 2 и 4 1.Окаймляя их клетками, получаем те два решения (Рис.
2), которые имеет задача.
37
Полноценное восприятие учениками эстетической стороны решения задач могучее средство повышения интересов учащихся к изучению математики [45, С.
27].
Г.И. Саранцев отмечает что, решение конкретных задач иллюстрируют
огромную их роль в эстетическом развитии школьника, а также значение
эстетических мотивов в решении задачи.
Автор рассматривает эстетические возможности каждого этапа решения
задачи.
Суть первого этапа заключается в анализе задачной ситуации, выделении
объектов и отношений между ними, конструировании словесных и графических
моделей задачи, обладает высокой эстетической значимостью.
Это относится, прежде всего, к задачам, условия которых содержат
объекты и отношения, совпадающие с их образцами, сформированными у
школьников, либо имеющие небольшую рассогласованность с образами. Данная
рассогласованность актуализирует потребность учащихся ликвидировать ее.
Примером такой задачи может служить приведенная выше задача о
квадрате и вписанном в него недостроенном кресте. Привлекательность задачи
усиливает простота и ясность ее графической модели.
Эстетический
компонент
задачи
выделяется
выявлением
противоречивости математической ситуации, отраженной в ней, имеющимся
представлением о данной ситуации. Г.И. Саранцев приводит в пример
следующую задачу.
Задача 2. В каждый из двух треугольников со сторонами 17, 25 и 26 и 17,
25 и 28 вписана окружность. Радиус какой из этих окружностей больше?
Верный
ответ,
утверждающий,
что
вписанные
окружности
имеют
одинаковые радиусы, противоречит привычным представлениям. Эстетичность в
данном случае усилена возможностью установления неожиданных связей.
Эстетическую привлекательность заданной задачной ситуации придает
отраженный в ней аспект математики, представляющий ее как инструмент
познания законов гармонии объективного мира. Здесь идет речь о связи
38
математики с живописью, архитектурой, музыкой, литературой на базе понятий
симметрии, пропорции, перспективы, «золотого сечения», логарифмов и т. д.
Г.И. Саранцев отмечает, что много интересного материала о познании
законов гармонии в окружающем мире можно найти в книгах А.И. Азевича, А.В.
Волошина, В. Варги, а также в книге Д. Пидоу «Геометрия и искусство» (М.,
1979).
По мнению автора, к эстетически привлекательным можно отнести также
задачи, формулировки которых противоречат интуитивным представлениям о
той или иной математической ситуации.
Задача 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС вне его построены
равнобедренные прямоугольные треугольники DАВ и ВСЕ (углы А и С – прямые).
Докажите, что положение точки М – середины отрезка DE не зависит от
положения вершины В.
Эстетичность первого этапа решения задачи заключается так же в
рисунке, который моделирует данную задачную ситуацию. Привлекательность
может быть обусловлена как соответствием фигур, изображенных на рисунке их
стереотипным образам, так и сочетанием простоты отдельных элементов со
сложностью получившейся фигуры.
В качестве примера Г.И. Саранцев предлагает рассмотреть Рис. 3 к задаче 3:
«Середины каждой из сторон квадрата соединены с двумя противоположными
вершинами. Найти отношение площади получившегося восьмиугольника к
площади квадрата» [65, С. 120].
Эту же задачу в качестве примера рассматривает и О.В. Черник в своей
работе
«Эстетический
аспект
процесса
решения
математической задачи».
Автор пишет, что по мнению Г.И. Саранцева на
втором этапе, этапе составления плана решения
эстетический
компонент математики
может
быть
реализован в процессе выполнение таких действий, как:
переосмысление объектов и отношений между ними с
Рис.3.
39
точки зрения других понятий, в
установления
неожиданных
результате чего появляется возможность
связей, что и сопровождается «переживанием
прекрасного» которое, по словам В. Гейзенберга, «почти отождествляется с
переживаниями понятой или хотя бы угадываемой взаимосвязью» перевод
содержания задачи на язык специальной теории и наоборот, что связано с
построением модели, изоморфной задаче. Согласно формуле математической
эстетики, данной В.Г. Болтянским, модель можно считать эстетически
привлекательной, если она является достаточно простой, неожиданной и
наглядной [75, С. 38].
Г.И. Саранцев подчеркивает, что эстетика восприятия может быть усилена
посредством таких компонентов красоты, как сведения сложности к простоте,
визуализация объекта, выяснения связей между его компонентами.
По мнению Г.И. Саранцева, наиболее богатые возможности для раскрытия
эстетического потенциала математики, развития эстетического вкуса учащихся
имеет четвертый этап решения задачи, который Д. Пойа называл его «взглядом
назад». Однако его содержание не ограничивается лишь изучением решения,
выделением идеи обоснования, обсуждением теоретической базы, поиском
других способов решения, сравнением их, выявлением наиболее простого,
неожиданного, а, значит, и более изящного.
Этот этап является хорошим полигоном для исследования задачной
ситуации, конструирования новых задач: задач – обобщений, задач – аналогов,
задач – конкретизаций, задач, решаемых тем же способом, что и основная,
укрупнения задач и т.д. В результате деятельности на этом этапе математическая
ситуация, рассматриваемая в задаче, представляется во всем многообразии связей,
во всей полноте, чем и вызывает эстетическое отношение к себе
В задаче 4 автор показывает такой способ решения задач, в котором
интересен не только технический прием упрощения, но и в котором
иллюстрируется сущность математического метода познания, заключающегося в
использовании последовательности абстракций, приводящей к наиболее простой
40
и продуктивной структуре исследуемого явления. В этом способе заключается его
эстетическая ценность.
Задача 4. Вычислите с точностью до 0,001:
3
3
1 − 2 ∙ (17,3)3
17,3 ∙ (2 − (17,3)3 )
(
) +(
) + (17,3)3 .
3
3
1 + (17,3)
1 + (17,3)
Данная задача из-за громоздкости выражения вряд ли будет привлекательна
для учащихся. Однако более внимательное рассмотрение заданного выражения
вызовет у некоторых школьников интерес, обусловленный повторяемостью в
выражении одного и того же структурного элемента 17,3. Этот вывод побуждает
учеников
трансформировать
данное
арифметическое
выражение
в
алгебраическое:
3
3
1 − 23
 ∙ (2 − 3 )
(
) +(
) + 3 .
3
3
1+
1+
Полученное выражение является более эстетичным, Г.И. Саранцев
предлагает исследовать его и замечает, что образующим элементом данной
структуры
является
выражение
(а)3.
Обозначив
его
буквой
,
внесем
соответствующие изменения в полученное выражение, которое примет вид:
1 − 2 3
2− 3
(
) +∙(
) + .
1+
1+
Упрощая выражение, находим, что оно тождественно равно 1. Значит,
значение данного выражения является число 1.
Автор
подчеркивает,
что
с
полученным
окончательным
ответом
ассоциируются только чувства восторга и восхищения.
Кроме того, Г.И. Саранцев рассматривает вопрос систематизации задач в
зависимости от уровня эстетической потребности и понятия красивой задачи.
Как
было
отмечено
выше,
каждому
уровню
эстетической
сформированности автор ставит в соответствие тип задач, в процессе решения
которых обеспечивается формирование данного уровня:
1) задачи, условия которых реализуют наглядную выразительность;
41
2) задачи, условия которых представимы такими моделями, которые
можно упростить;
3) задачи, решаемые различными способами, задачи с неожиданным
решением.
Приведем некоторые примеры алгебраических задач, направленных на
эстетическое воспитание учащихся.
Задача 1. Представить одночлен 24 6  9 в виде произведения двух
многочленов (А.Г. Мордкович, 7 класс, [47, С. 42]).
Решение:
1 способ: 24 6  9 = 24 2  2 ∙  4  7 ;
2 способ: 24 6  9 = 6 3  4 ∙ 2 3  5 ;
3 способ: 24 6  9 = −3 2 ∙ (−8 5  6 );
1
4 способ: 24 6  9 = 48 2  7 ∙  4  2 .
2
Условие задачи интересно учащимся, потому что им дается возможность
придумать свой вариант произведения двух многочленов. Решение задачи
просто. Одночлен можно представить ни одним способом, а значит, задание
имеет множество решений. «Изюминкой» в решении является то, что: а)
положительное число можно представить, как произведение двух отрицательных;
б) целое число можно представить в виде произведения целого числа и дроби.
Задача 2. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось
тождество 20 + 8 + 6 + ⋯ = (3 + 4) (∙∙∙ + ∙∙∙) (Г.К. Муравин, 7 класс, [50, С.
234]).
Решение. В левой части необходимо сгруппировать слагаемые так, чтобы
можно было вынести за скобки множители3 и 4. 20 + 8 + 6 + ⋯ = (20 +
8) + (6 + ⋯) = 4 (5 + 2) +3 (2 + ⋯). Значит, на месте пропуска должно
стоять выражение 5.
4 (5 + 2) + 3 (2 + 5) = (5 + 2) (4 + 3).
Осталось выяснить, какое слагаемое должно стоять на месте пропуска в
левой части исходного выражения.
42
20 + 8 + 6 + ⋯ = (5 + 2) (4 + 3)
(5 + 2) (4 + 3) = 20 + 152 + 8 + 6.
Сравнивая выражения 20 + 152 + 8 + 6 и 20 + 8 + 6 + ⋯
приходим к выводу, что на месте пропуска слагаемого должно стоять выражение
152.
Ответ: 20 + 8 + 6 + 152 = (3 + 4) (5 + 2).
Условие задачи интересно учащимся, так как задание не обычное. Решение
задачи на первый взгляд не очевидно, но при нахождении первого шага
последующие действия вытекают из него, что является «изюминкой» данной
задачи.
Спецификой данного задания является то, что из всех способов решений
необходимо выбрать наиболее рациональный. Именно этот способ наиболее
эстетичен.
 2 +  = 1080
Задача 3. Решить систему уравнений: {
 +  = 40
(А.Г. Мордкович, 8 класс, [58, С. 162]).
Решение: 1 способ:
 = 40 − 
;
{
2
(40 − ) + (40 − ) = 1080
{
 = 40 − 
;
{
1600 − 80 +  2 + 40 −  2 1080
 = 40 − 
 = 40 − 
 = 40 − 
 = 13
 = 13
;{
;{
;{
;{
.
1600 − 40 = 1080 −40 = −520
 = 13
 = 40 − 13  = 27
2 способ:
 = 27
 = 27
x(x + y) = 1080  +  = 40  +  = 40
;{
;{
;{
;{
.
{
 = 40 −   = 13
x + y = 40
40 = 1080
 = 27
Задание имеет несколько способов решения, причем второй предлагаемый
способ является наиболее рациональным (при внимательном рассмотрение
системы, можно заметить, что при вынесении  за скобку в первом уравнении,
43
получаем множитель произведения, который имеет числовое значение. Останется
только вместо выражения ( + ) подставить значение и выразить переменную .
Задача 4. Найти ошибку в доказательстве: (Ю.Н. Макарычев, 8 класс,
[4,
С. 214]).
16 − 36 = 25 − 45; 16 − 36 +
9 2
9
2
81
4
= 25 − 45 +
9
2
81
4
;
9 2
4 −2∙4∙ +( ) =5 −2∙5∙ +( ) ;
2
2
2
2
9 2
9 2
9
9
(4 − 2) = (5 − 2) ; 4 − 2 = 5 − 2 ; 4 = 5.
Решение. Для нахождения ошибки необходимо проанализировать каждое
действие и определить, верно ли оно.
16 − 36 = 25 − 45; 16 − 36 +
81
3
9 2
9
= 25 − 45 +
9
81
4
;
9 2
42 − 2 ∙ 4 ∙ + ( ) = 52 − 2 ∙ 5 ∙ + ( ) ;
2
2
2
2
9 2
9 2
(4 − 2) = (5 − 2) ;
Далее происходит процедура извлечения корня.
Существует тождество √2 = ||.
Упростим выражения:
2
2
√(4 − 9) = √(5 − 9) ; |4 − 9| = |5 − 9|.
2
2
2
2
Раскрываем модуль, получаем:
9
2
9
1
2
2
−4=5− ;
1
= .
2
Ошибка найдена.
Необычность задания заключается в его формулировке, что должно
привлечь
внимание
учащихся.
Необходимо
последовательно
применять
полученные ранее знания. Учащиеся стремятся исправить ошибку, для того,
чтобы решение выглядело гармонично.
44
Задача 5. Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключенную
между дробями
5
14
и
5
12
(Ю. Н. Макарычев, 8 класс, [4, C. 214]).
Решение. Найдем наименьший общее кратное для 14, 12 и 21. Таким
числом является 84. То есть, получаем
30
84
<

84
<
35
84
. Таким образом,
30 <  < 35.
В задании необходимо найти дробь со знаменателем 21, то есть 84:4. Значит
в дроби

в числителе, вместо неизвестной  должно стоять такое число из
84
промежутка (30; 35), чтобы оно делилось на 4. Это число 32.
32
Получаем
Ответ:
5
14
84
<
8
21
=
<
8
.
21
5
12
.
Задачи данного типа встречаются не часто, что может привлечь внимание
учащихся. Решение стимулирует логическое мышление. Кажущееся на первый
взгляд сложное решение, оказывается на самом деле легким.
Г.И. Саранцев приводит свои примеры задач, которые помогают раскрывать
эстетических потенциал математики.
1.
На основании равнобедренного прямоугольного
треугольника вне его построен квадрат. Доказать, что луч с началом в
вершине треугольника, проходящий через центр квадрата, является биссектрисой
прямого угла равнобедренного треугольника.
2.
На гипотенузе прямоугольного треугольника вне его
построен квадрат. Доказать, что луч с началом в вершине треугольника,
проходящий
центр
квадрата,
является
биссектрисой
прямого
угла
равнобедренного треугольника.
3.
Две смежные вершины квадрата лежат на
перпендикулярных прямых, пересекающих в точке Р. Доказать, что луч с
началом в точке Р, проходящий через центр квадрата, делит угол между
перпендикулярными пополам.
45
Задача 1 относится к первому типу обсуждаемых задач, задачу 2 можно
отнести ко второму типу, а задача 3 иллюстрирует третий тип задач. Автор
подчеркивает, что в ранее рассмотренных задачах так же можно выделить задачи
перечисленных типов.
На основе вышесказанного, Г.И. Саранцев приходит к выводу о том, что
задача, решение которой способствует воспитанию склонности школьников к
использованию
аналогии,
обобщения,
наглядной
выразительности
математических образов, унификации и разнообразным приложениям тех или
иных математических факторов и закономерностей, всестороннему анализу
изучаемых
ситуаций,
минимально
возможной
субъективной
сложности,
требуемой для достижения того или иного результата, поиску различных
способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полной логической
обоснованности и доказательности, склонности к поиску различных моделей
рассматриваемых ситуаций, общности исходных гипотез, различных приложений
изучаемых объектов, считается красивой.
Автор подчеркивает, что определение красивой задачи ориентировано на
учащихся с хорошо развитым эстетическим вкусом. Для учащихся основной
школы красивой будет задача, условие и требование которой состоят из объектов
и отношений между ними, соответствующих их образам, сложившимся у
учащихся,
направление
поиска
способа
решения
задачи
обусловлено
эстетическими мотивами и среди различных способов решения присутствует
неожиданное или оригинальное решение.
Кроме того, Г.И. Саранцев отмечает, что представление о красивой задаче
не является неизменным. Даже для одного и того же ученика одна и та же задача
может быть, как красивой, так и не являться таковой.
Задача, красивая для ученика 7 класса в начале учебного года, может
казаться некрасивой в его конце. Все зависит от объекта геометрических
представлений школьников, от сформированности у них образов математических
объектов, стандартов логических рассуждений, от соответствия предъявляемых
объектов их образам и стандартам. Учителю важно знать, на каком уровне
46
эстетической привлекательности находиться каждый его ученик. Владея такой
информацией,
учитель
с
помощью
специально
подобранных
или
скорректированных им задач может целенаправленно формировать эстетический
вкус школьника, управлять с помощью эстетических мотивов их учебной
деятельностью.
Проходя все этапы решения задачи, по мнению автора, учащийся
задействует все приобретенные ранее знания и умения, переводит их на новый,
более качественный уровень. Задача учителя заключается лишь в правильной
оценке эстетического воспитания каждого учащегося, и подборе задания,
максимально соответствующего цели стимулирования жажды познания.
Формируя и развивая эстетический вкус обучающихся при решении
«красивых» планиметрических задач, учитель помогает школьникам более полно
воспринять красоту математики вообще, старается повысить их математическую
и общую культуру [65, С. 131].
Приведем
некоторые
примеры
планиметрических
задач,
которые
направлены на формирование эстетического вкуса у учащихся.
Задача 1. В трапеции ABCD с основание AB и CD сумма оснований равна
b, а диагональ AC равна а,  = . Найдите площадь трапеции (Л.С. Атанасян,
8 класс, [24, С.156]).
C
B
Дано:
ABCD –трапеция;
a
AB+CD=b;
AC=a; ∠ = .
A
C1
D
Рис. 4.
Решение:
1.
Проведем высоту ABCD и обозначим ее 1.
2.
 = ( + ) ∙ 1
1
2
47
3.
Δ1 : ∠1 = 900 , : ∠1 = ,  =
Рассмотрим
, то есть, 1 = a sin  ;
4.
1
BC+AD=b, следовательно,  =  sin  ;
2
1
Ответ:  =  sin 
2
Условие задачи будет интересно учащимся, так как им предлагается найти
новый способ выведения площади трапеции. Чертеж к данной задаче довольно
прост и тем самым красив. При этом задача содержит дополнительно построение,
что является «изюминкой» в решении. Устанавливается интересный факт, что
можно найти площадь трапеции, если известны сумма ее оснований, длина
диагонали, и угол между диагональю и основанием трапеции.
Задача 2. Два квадрата со стороной a имеют общую вершину, причем
сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей
части этих квадратов (Л.С. Атанасян, 8 класс, [24, С .132]).
A
B
Дано:
ABCD , AEFK –
квадраты;
AB=AE=a;
K
E
S1
D
Q
C
Найти:
1 .
F
Рис. 5.
Решение:
1. Рассмотрим ∆: Проведем в нем диагональ AC.2 = 2 + 2 =
= 22, т.е.  = √2;
48
2.  =  −  = √2 − ;
1
1
2
2
3.  =  ∙ , но EC=EQ, следовательно,  = ()2 ;
2
1
 = 2 (√2 − 1) =
(3−2√2)2
2
2
1
2
 =  −  =  −
;
(3−2√2)2
2
2
1
3
2
2
= 2 − 2 + √22 = √22 −
2 = 2 (√2 − 1).
Ответ: 1 = 2 (√2 − 1).
Условие является интересным для учащихся, так как они зрительно не
могут представить получившуюся фигуру. Чертеж к заданию симметричен, а,
следовательно, «красив». Решение наглядно и просто.
Задача 3. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную
трапецию с основаниями a и b (Л.С. Атанасян, 8 класс, [24, С .182]).
C
B
Дано:
ABCD – трапеция
∠ = 900
O
BC=a
AD=b
A
D
H
Найти:
CD.
Рис. 6.
Решение:
1. Опустим высоту BH. BH=CD;
Рассмотрим ∆: ∠ = 900, AH=b-a. Так как ABCD– описанная трапеция,
то AB+CD=AD+BC=a+b. Значит, AB+BH=a+b.
2. Обозначим BH=x, следовательно, AB=(a+b)-x; 2 = 2 − 2.
49
2 = ( + )2 − 2 ( + ) + 2 − ( − )2
2 = 2 + 2 + 2 − 2 ( + ) + 2 − 2 + 2 − 2
2( + ) = 2,  =
Ответ: =

(+)

(+)
;  =  =

(+)
.
.
Условие задачи интересно тем, что учащимся предлагается установить
новый факт. Для решения задачи требуется дополнительное построение,
необходимо ввести неизвестную переменную, что является «изюминками»
данного задания. Ответ к задаче устанавливает интересный факт: нахождение
радиуса вписанной окружности в прямоугольную трапецию.
Задача 4. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения
диагоналей (А.В. Погорелов, 8 класс, [58, C .227]).
B
Дано:
C
ABCD- ромб
AC и BD– диагонали
O
Доказать:
D
A
Рис. 7.
=
∙
2
.
Доказательство:
1
По свойству площади ромба имеем:  =  +  =  ∙  +
2
1
2
1
∙
2
2
 ∙  = ( + ) =
.
Рисунок симметричен и поэтому «красив». Условие задачи пробуждает
интерес у учащихся к нахождению способа доказательства. Решение задачи
наглядно и просто. Устанавливается новый факт: нахождение площади ромба
по его диагоналям.
Задача 5. Доказать, что площадь параллелограмма равна произведению
его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (А.В. Погорелов, 8 класс, [58,
C .227]).
50
1 способ:
Дано:
B
A
ABCD-параллелограмм
Доказать:
 =  ∙ 
E
F
D
C
Рис. 8.
Доказательство:
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CD.  =  +
. Опустим перпендикуляр BF из вершины B на прямую. Тогда  =  +
. Прямоугольные треугольники AED и BFC равны, а значит, имеют равные
площади. Отсюда следует, что  = ∙ .
2 способ:
A
Дано:
ABCD-параллелограмм
B
Доказать:
 =  ∙ 
D
F
Рис. 9.
C
51
Доказательство:
Проведите диагональ BD которая разбивает параллелограмм на два равных
треугольника.  =  +  = 2 ∙  =
1
2
 ∙ . Так как ABCD
1
параллелограмм, то DC=AB.  =  ∙ .  ∙ .
2
«Красота» чертежей к задаче заключается в том, что они просты и
понятны. Задача решается как минимум двумя способами. Для каждого способа
решения, необходима своя «изюминка», то есть свое дополнительное построение.
Устанавливается новый факт: формула площади параллелограмма.
Задача 6. Доказать, что площадь трапеции равна произведению полусуммы
оснований на высоту (Л.С. Атанасян, 8 класс, [24, С. 123].
1 способ:
b
B
Дано:
C
ABCD – трапеция
h
A
h
BC=b, AD=a BF=CH=h
b
F
a
H
Доказать:
D
 = (
+
2
)ℎ
Рис. 10.
2
Доказательство.
1
SABCD = SBCHF + SABF + SCHD. Обозначим AF за х, тогда S =  ∙ ℎ + ℎ +
2
1
2
1
1
1
1
1
1
+
2
2
2
2
2
2
2
ℎ( −  − ) = ℎ ( +  +  +  − ) = ℎ (  + ) = (
2 способ:
)ℎ
52
B
H
С
b
Дано:
ABCD – трапеция
K
BC =b, AD=a, h-высота
h
h
Доказать:
SABCD = (
a
A
D
a+b
)h
2
Рис. 11.
Доказательство:
 =  −  − .
Обозначим
HB
за
х,
1
1
2
2
тогда S = ℎ − ℎ − ℎ( −  − ) =
1
1
1
1
1
1
+
2
2
2
2
2
2
2
ℎ ( −  −  +  + ) = ℎ (  + ) = (
)ℎ
Чертежи к задаче симметричны, а значит «красивы». Задача имеет
несколько способов решения. Для каждого способа решения нужно делать свое
дополнительное построение, что является «изюминкой» данной задачи.
Задача устанавливает новый факт: площадь трапеции.
Задача 7. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на
катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на
гипотенузы (А.В. Погорелов, 8 класс, [58, C. 226].
53
Дано:
B2
ABC – прямоуг. треугольник
B1
Доказать:
B
 2 2 =  1 1 +  2 1
А2
C
А
C2
А1
C1
Рис. 12.
Доказательство:
Примем катет AC=b, BC=a, а гипотенуза AB=c.
Следовательно 2 2 =  2 , 11 =  2 , 2 1 = 2 .
По теореме Пифагора получаем: 2 = 2 + 2 и, следовательно,
SABB2A2=SBCC1B1+SACC2A1.
Рисунок «красив» необычностью.
Задача
устанавливает
интересный
Решение задачи наглядно и просто.
факт:
сумма
площадей
квадратов,
построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата,
построенного на гипотенузе. Исходя из всего вышесказанного, можно сделать
вывод, что задачи 1 - 10 можно назвать «красивыми», а значит, при их решении
будет осуществляться эстетическое воспитание учащихся.
Таким образом, математическая задача способствует формированию и
развитию эстетического вкуса учеников в том случае, если она отвечает
определенным требованиям: 1) условие задачи должно быть интересно
школьнику, если задача геометрическая, то чертеж должен быть "красивым"; 2)
задача должна устанавливать интересный факт, порой неожиданный; 3) в решение
задачи обязательно нужно спрятать "изюминку", чтобы оно было наглядно и
удивительно просто; 4) желательно, чтобы было несколько способов решения
задачи.
54
2.3. Педагогический эксперимент
По убеждению педагога Б.М. Неменского, школа решает, что люди через 30
- 40 лет будут любить и ненавидеть, чем восторгаться и гордиться, чему будут
радоваться, а что презирать. Это теснейшим образом связано с мировоззрением
будущего
общества.
Если
не
сформированы
эстетические
взгляды,
то
формирование любого мировоззрения не может считаться законченным. Без
эстетического отношения мировоззрение не может быть подлинноцельным,
способным
объективно
и
во
всей
полноте
охватить
действительность.
Эстетическое воспитание - это целенаправленный, систематический процесс
воздействия на личность ребенка с целью развития у него способности видеть
красоту окружающего мира, искусства и создавать ее.
Таким образом, приобщая школьника к богатейшему опыту человечества,
накопленному
в
искусствах,
можно
воспитать
высоконравственного,
образованного, разносторонне развитого современного человека.
Процесс
эстетического воспитания носит социальный характер и состоит в том, что в
современных условиях именно через искусство происходит, в основном, передача
духовного опыта человечества, эмоционально-ценностного отношения к жизни,
способствующего восстановлению связей между поколениями. Важная роль
эстетического воспитания состоит в том, что с его помощью создается и
поддерживается гармония духовного мира личности.
Для воспитания художественного восприятия у школьников существенное
значение имеет использование приема сравнения при изучении литературных
произведений, прослушивании музыки и рассматривании картин и побуждение их
к оценке этих произведений, выражению собственного отношения к их
достоинствам и недостаткам. Постановка простейших вопросов, направленных на
выяснение того, что детям нравится в том или ином произведении, какая картина
или музыкальная мелодия лучше, обостряет их восприятие и побуждает к
оценочным суждениям.
В воспитании эстетических восприятий школьников необходимо широко
использовать заучивание стихов, песен, демонстрацию репродукций картин.
55
Большое значение имеет показ красоты родной природы, причудливо
сочетающей в себе уплывающую в синеву даль полей, бирюзовое течение рек,
спокойную, окаймленную кустами и деревьями гладь озер, неповторимую гамму
птичьего пения, величавые массивы леса и т.д. Для ознакомления учащихся с
красотой родной природы проводятся экологические экскурсии, организуются
наблюдения за сезонными изменениями окружающего ландшафта, создаются
гербарии из местных растений, проводятся выставки картин, посвященные
животному миру, и т.д. Вместе с тем необходимо воспитывать активное
отношение к сохранению природы, организуя для этого кружки «Друзья
природы», «Зеленый патруль», акции «В защиту леса» и т.д. Все это показывает,
что эстетическое воспитание учащихся должно занимать видное место в
комплексе учебных и внеклассных занятий в начальных классах.
Эстетическое воспитание не может ограничиваться только учебной работой
по литературе, музыке и изобразительному искусству. Эстетикой, приобщением к
прекрасному должны характеризоваться занятия и по таким предметам, как
математика, физика, химия география и т.д. Эмоционально-выразительное
изложение материала учителем, красивые записи на доске, побуждение учащихся
к логически стройным суждениям и ответам на вопросы при проверке знаний
также имеют немаловажное значение для формирования эстетической культуры.
Уместно в этой связи привести мысль Аристотеля: «Математика выявляет
порядок, симметрию, определенность, а это важнейшие виды прекрасного». Такие
«виды прекрасного» необходимо осознавать и раскрывать каждому учителю по
своему предмету.
Формы, методы и средства формирования эстетических качеств у
детей среднего школьного возраста. Одновременно и в органическом единстве с
развитием эстетических потребностей, понятий и вкусов необходимо обращать
серьезное внимание на эстетику поведения учащихся. Эта работа проводится как
в системе урочных занятий, так и во внеурочное время. На уроках отрабатывается
культура соблюдения тишины и порядка, бережное отношение к книгам и
тетрадям, школьной мебели и учебному оборудованию, благожелательное
56
отношение и вежливость между учащимися. Все это составляет важную область
эстетики их повседневного поведения. Одним из важных методом воспитания
эстетики поведения являются беседы с учащимися о нравственном этикете, о
культуре речи, о внешнем виде человека и манере его поступков, ознакомление их
с современной модой в одежде, обуви и прическе.
Кроме того, опытные педагоги отмечают, что «объяснение нового
естественнонаучного термина и одновременное определение в нем эстетического
элемента является одним из способов развития познавательной активности
школьников. Процесс обучения приобретает для школьников привлекательные
черты, абстрактный научный термин становится понятным. Все это способствует
развитию интереса к самому предмету».
По словам Д.К.Ушинского каждый предмет в школе может эстетически
воспитывать: «в любом предмете есть более или менее эстетический элемент».
Любой предмет, будь то математика, физкультура, природоведение вызывает в
школьнике определенные эмоции посредством своего материала.
Педагогический эксперимент по организации эстетического воспитания
детей среднего школьного возраста
Вначале эксперимента сформулирована была следующая цель: изучение
особенностей эстетического воспитания детей среднего школьного возраста и
методики его организации.
Предположим, что эстетическое восприятие художественных произведений,
различных видов искусства (музыки, живописи, архитектуры и др.) позволит
сформировать у детей эстетическое отношение к искусству и жизни, будет
способствовать не только эстетическому, но и интеллектуальному, творческому,
духовному развитию ребенка.
Исходя из предположения, решались следующие задачи: выявить интерес
школьников к искусству и проверить эффективность занятий – классных часов по
эстетическому воспитанию школьников средствами искусства.
Педагогический
эксперимент
им. М.В.Ломоносова г.Орла
проводился
на
базе
Лицея
№1
57
Возрастная категория испытуемых: учащиеся 5-6 классов (12-14лет).
Количество выборки: 25 человек.
Основным методом исследовательской работы был эксперимент. Кроме
того, использовались и другие методы:

изучение и анализ теоретических работ по психологии, педагогике;

изучение и анализ методической литературы;

наблюдение за детьми;

анкетирование;

беседа.
Эксперимент проходил в три этапа:
первый -
констатирующий (выявление стартовых возможностей
у
испытуемых);
второй - формирующий (разработка и реализация методик формирования
эстетических чувств);
третий – контрольный (выявление динамики результатов исследования).
На первом этапе детям были предложены:
Анкета-1 для выявления отношения (интереса) школьников к искусству.
Результаты анкетирования -1 отображены в таблице 1.
Таблица 1
Отношение школьников к искусству (Анкета -1)
Вопросы
Положительные
ответы в %
Сколько раз в этом учебном году
ты был в театре, музее, на
выставке, на концерте?
25
Считаешь ли ты, что этого
достаточно,
чтобы
быть
культурным человеком?
55
Нравится ли тебе посещать
театры,
музеи
выставки,
концерты?
48
Хотел бы ты бывать там чаще?
36
58
Что ты знаешь об искусстве?
35
Хотел бы ты больше узнать об
искусстве?
57
Нравятся
ли
тебе
передачи об искусстве?
43
книги,
Хотел бы ты, чтобы в школе
69
ввели новый урок, где бы
рассказывали об искусстве?
Таким образом, проведя анкетирование, мы выяснили, что интерес средних
школьников к искусству ниже среднего уровня. Хотя желание приобщиться и
расширить
представление
через
специальные
занятия
присутствует
у
большинства школьников (62 %).
Цель второго этапа – разработка цикла занятий «Красота спасет мир» по
эстетическому воспитанию школьников в рамках классных часов для решения
имеющихся проблем.
Таблица 2
Тематический план классных часов «Красота спасет мир»
№
1
2
Название тем Цель
Формы
и
поведения
методы
Формирование
компетентности в сфере
самостоятельной
познавательной
деятельности;
Что
есть
формирование критического Урок-беседа, дискуссия
красота?
мышления, навыков работы
в группе;
приобретение
умений
увидеть
проблему
и
наметить пути её решения
Показать роль труда в
физическом, нравственном,
эстетическом формировании
Красота и труд человека;
Экскурсия, беседа,
- вместе идут вызвать уважение к рабочей игры по этикету.
профессии; помочь осознать
высокое благородство цели
и
мотивов
59
3.
4.
5.
коммунистического труда;
развивать
потребность
трудиться
добросовестно,
творчески, вносить красоту
в процесс и результат своего
труда
Раскрыть величие и красоту
Учимся видеть
природы как источника
красоту родной
Урок – беседа.
гражданских
чувств
и
природы
творческой деятельности.
Воспитание нравственно этических
качеств,
важнейшей
ценности
духовного
развития
человека.
Способствовать духовному
развитию учащихся через
Урок – беседа, дискуссии
Этика
и музыку, живопись, поэзию,
Практикумы,
игры
по
эстетика
декоративно-прикладное
этикету.
творчество;
Создание
наиболее
благоприятных условий для
развития
творческих
способностей детей;
Создание высокого уровня
эстетических потребностей;
Развить
речевую,
мыслительную
деятельность,
Мы
и
Урок – беседа, посещение
активизировать
окружающий
памятных и исторических
воображение,
творческую
мир
мест (музеи)
деятельность
учащихся,
привить любовь к природе,
родному краю, Отечеству
Следует отметить, что при проведении занятий мной учитывались
следующие методические подходы: во-первых, учитель должен помнить и
понимать, что он выступает посредником между ребенком и обширным
прекрасным миром искусства; во-вторых, педагогическая задача учителя состоит
в такой организации процесса познания искусства, которая способствует
естественному и органическому проявлению собственных духовных сил ребенка;
в-третьих, правильная организация урока предполагает: четкую постановку цели
60
занятия, пробуждение у школьников интереса к теме урока, использование
методов, активизирующих логическое и образное мышление, самодеятельность
учащихся, а также их собственную оценочную деятельность, своевременную
помощь слабым, благожелательное отношение учителя к ученику, справедливую
оценку их деятельности; в-четвертых, основной образовательной задачей
классного часа было познакомить детей с понятием «красота».
Анализ результатов проведенных занятий (отметим некоторые из них):
1.
Урок «Что есть красота?» прошел на высокой эмоциональной ноте.
Когда прозвенел звонок никто не спешил расходиться, настолько все были
увлечены уроком. На вопрос - понравилось ли им классный час? 100% -ов из
присутствующих оценили положительно. Впоследствии этот настрой сохранился
на весь день. А это самый главный результат. Именно эмоциональные реакции и
состояния ребенка являются критерием действенности эстетического воспитания.
Показатель действенности этого урока был действительно высок.
2.
Экскурсия «Мы и окружающий мир»Цель – приобщение ребенка к
культуре, расширение кругозора, развитие чувства прекрасного.
Третий
этап
эксперимента заключался
в
повторном
проведении
анкетирования с целью выявления результативности проведенной работы
(реализации плана наших занятий – классных часов) и проверки уровня
эстетического воспитания.
Ученикам была предложена анкета, состоящая из 6 вопросов. Результаты
анкеты представлены в таблице 3.
Таблица 3
Ответы испытуемых на вопросы:
Вопрос
1. Обращаешь ли ты во время прогулки
внимание на красоту природы?
2. Нравится ли тебе читать описания
пейзажей в книгах?
3. Относится ли литература к числу твоих
Ответ
«а»
65
Ответ
«б»
13
Ответ
«в»
22
82
7
1
64
18
18
61
любимых учебных предметов?
4. Любишь ли ты рисовать и хорошо ли ты
рисуешь?
5. Посещаешь ли ты какой-нибудь кружок,
факультатив, связанный с искусством,
музыкальную или художественную школу?
6. Нравится ли тебе ходить в театр и
смотреть различные спектакли?
81
9
10
25
60
15
83
6
11
Исходя из результатов данной таблицы видно, что уровень эстетического
сознания учащихся весьма высок (76%).
Следовательно, проведенная работа оказала большое влияние на развитее
эстетического сознания школьников. У детей появился интерес к посещению
различных культурных заведений (музеев, театров и др.). Они стали принимать
активное участие в жизни школы, в конкурсах.
Рекомендаций педагогам. Необходимо начинать эстетическое воспитание
с эстетического общения. Тактичная передача воспитателем его мироотношений,
эстетических вкусов, идеалов в процессе развивающего обучения и воспитания
оказывает тонкое формирующее воздействие на становление эстетического
сознания
воспитанников.
Учитель
должен
акцентировать
внимание
на
эстетических сторонах науки, изучаемого предмета, давать эстетическую оценку
изучаемым явлениям. Личность учителя имеет очень большое значение для
эстетического воспитания школьников, поэтому учитель должен помнить, что его
общая культура, педагогический такт, речь, эстетика манер, одежды, прически
могут стать образцом эстетического поведения учащихся.
Возможности художественного образования и эстетического воспитания
учащихся, предоставляемые учебным планом и программой, ограниченны. Эта
ограниченность должна быть компенсирована в системе дополнительного
образования. Развитию познавательных интересов, индивидуальных склонностей
учащихся в области прекрасного способствуют факультативы и кружки по
искусству, эстетике и искусствознанию.
62
Рекомендуется проводить лекции, беседы, конференции, встречи за
круглым столом, экскурсии, организовывать походы в музеи, выставочные залы,
театры; совершать экскурсии на природу, организовать в школе или классе уголок
живой природы.
Результативность
этого
эксперимента
несомненна.
Правильно
организованный, нацеленный на ребенка урок, вызывает неподдельный интерес и
отклик в каждом ученике. Эмоционально насыщенный материал оставляет
глубокий отпечаток в душе ребенка, который в будущем станет основой
становления эстетического вкуса, идеала, отношения, переживания, а со временем
эстетическое чувство к искусству отложит свой опечаток и на отношении к
жизни, действительности. С эстетическим развитием происходит и духовное
развитие человека. То, что сегодня ребенок воспринимает эмоционально, завтра
перерастет в осознанное отношение и к искусству и к жизни.
Таким образом, правильная организация классных часов, экскурсий и
подача
их
ученику
действительно
интеллектуальному и духовному развитию.
способствуют
его
эстетическому,
63
2.4. Факультативный курс «Математика и эстетика» как средство
формирования эстетического вкуса учащихся в общеобразовательной школе
Согласно Концепции долгосрочного социально-экономического развития
Российской Федерации, на период до 2020 года [36] развитие системы общего
образования предусматривает индивидуализацию, ориентацию на практические
навыки и фундаментальные умения, развитие системы профессионального
образования. Вместе с этим, модель общеобразовательного учреждения с
профильным обучением на старшей ступени дает возможность разнообразных
комбинаций
учебных
предметов,
что
и
обеспечивает
гибкую
систему
профильного обучения, которая включает такой тип учебных предметов, как
факультативные курсы. Факультативные курсы являются обязательными для
посещения по выбору учащихся и входят в состав профиля обучения;
реализуются за счет школьного компонента учебного плана; некоторые из них
призваны «поддерживать» изучение основных профильных предметов на
заданном профильным стандартом уровне.
Мир вокруг нас бесконечно сложен, многообразен и прекрасен. Для того
чтобы учащиеся могли воспринимать эту красоту, они должны быть знакомы с
простейшими элементами красоты. Факультативный курс «Математика и
эстетика» оказывает непрерывное воздействие на эстетическое чувство, волю,
эмоции, мораль и интеллект учащихся.
Для её реализации достаточно знаний и умений по математике, полученных
в основной школе.
Актуальность
предлагаемой
программы
определяется
следующими
соображениями:
1.Ликвидировать
кажущееся
отсутствие
между
эстетикой;
2. Показать учащимся связь математики с природой;
3.Доказать присутствие математики в реальной жизни.
математикой
и
64
Педагогическая целесообразность предлагаемой программы объясняется
следующими мотивами:
-эстетическое воспитание является одним из важнейших звеньев в
воспитании личности и моральных качеств человека;
-гармонично развитая личность, умеющая видеть прекрасное, сама будет
стремиться создавать прекрасное;
-эстетически воспитанная личность будет созидательно пользоваться
результатами чужих трудов;
Цель и задачи программы элективного курса:
-
формирование
у
учащихся
убеждения
неразделимости
между
математикой, как наукой, искусством и красотой;
-
развитие
мыслительных,
творческих
и
исследовательских
способностей учащихся;
-
воспитание желания создавать красоту посредством математических
действий.
Отличительной особенностью данного факультативного курса является
то, что сухая, на первый взгляд, наука, несет в себе огромный эстетический
потенциал и при правильной подаче материала может побудить личность
обучающегося к творчеству.
Новизна программы состоит в том, что она объединяет в сознании учащихся
такие отрасли как математика, естествознание, искусство.
Программа факультативного курса рассчитана для учащихся 9 класса, 34
часа (1 ч. в неделю).
Ожидаемые результаты и способы определения их результативности
В результате изучения программы данного элективного курса учащиеся
должны:
-
правильно употреблять новые термины;
-
знать свойства золотого сечения;
-
краткую историю и вклад ученых в создание прекрасного;
65
-
усвоить взаимосвязь между математикой и искусством; - уметь
исследовать заданные им темы.
Основными
формами
проведения
итогов
реализации
данной
образовательной программы являются следующие: урок-лекция; урок-семинар;
урок-конференция.
Данная программа может быть использована, как в общеобразовательных,
так и в классах с углубленным или профильным изучением математики.
Учебно-тематическое планирование факультативного курса (ФК)
«Математика и эстетика» представим ниже в виде Таблицы 4.
Таблица 4.
Учебно-тематическое планирование содержания ФК «Математика и
эстетика»
№
Содержание темы
Кол-во часов
I
МАТЕМАТИКА И ИСКУССТВО
7
1
Эстетика и искусство
3
2
Математика и живопись. Леонардо Да Винчи - творец
2
прекрасного
3
Математика и музыка
2
СИММЕТРИЯ
II
10
1
Симметрия на плоскости
2
2
Математика и архитектура. Симметрия в архитектуре
2
3
Симметрия живой и неживой природы
2
4
Симметрия в пространстве
2
5
Правильные многогранники
2
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ – ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ
17
1
Золотое сечение. История золотого сечения.
2
2
Свойства золотого сечения
1
3
Математика и скульптура. Золотое сечение в скульптуре
1
4
Математика и поэзия.
5
Золотое сечение в природе. Принципы формообразования в
III
природе.
3
66
6
Золотой треугольник
2
7
Золотой прямоугольник
2
9
Защита проектов
3
10
Обобщающий урок
1
Приведем содержания каждого из разделов данного элективного курса.
Раздел 1. Математика и искусство (7 ч)
1.1.
Эстетика и искусство.
Основная цель – донести до учащихся мысль о неразрывности искусства и
эстетики.
Искусство – это отношение человека к действительности в его высшей
форме. Даль разъяснял понятие искусства как знание, мастерство, требующее
большого вкуса. В других языках искусство ассоциируется с широким кругом
человеческих знаний, умений и практического опыта.
1.2.
Связь математики с живописью. Влияние Леонардо Да Винчи на
развитие живописи. Перспектива линейная, Возрождения, обратная перспектива
живописи.
Основная цель – познакомиться с существованием теории живописной
перспективы, теорией математической красоты и эстетики линий.
Еще Леонардо да Винчи отметил, что «тончайшее исследование и
изобретение, основанное на изучении математики, которое силою линий
заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико».
Эту теорию живописи поддерживали многие художники Италии, и именно в их
работах зародилась теория перспективы в живописи. А в эпоху Возрождения
появилась идея некой математической формулы красоты. Человек всегда
стремился к прекрасному, поэтому его привлекает эстетика геометрической
формы.
1.3.
Связь математики и музыки. Пифагорейское учение о числе.
Пифагорейская теория музыки.
67
Основная цель – познакомить учащихся с теорией музыки, с понятием
гармонической пропорции.
Пифагор первым проявил математический интерес к музыке. Так, например,
он просчитал, что отношение длины струн является непрерывной математической
пропорцией. Колебания синусоиды в математики соответствуют гармоническому
колебанию воздуха, что и является музыкальным звуком.
Раздел 2. Симметрия (10 ч)
2.1. Симметрия. Фундаментальные понятия симметрии.
Основная цель – вспомнить понятие симметрии.
Симметрия произошло от греческого слова, и означает «соразмерность». Но
в современном мире в это слово вкладывают иное значение, такое как,
преобразование плоскости. В математике в данное время существует несколько
видов симметрии на плоскости: зеркальная симметрия, осевая симметрия,
центральная симметрия, скользящая симметрия.
2.2. Математика и архитектура. Симметрия в архитектуре.
Основная цель – показать красоту симметрии в архитектуре.
Часто геометрию называют грамматикой архитектора. Все шедевры
архитектуры созданы по законам геометрии. Например, пирамиду Хеопса
называют «прямым трактатом по геометрии». Основная красота архитектуры в ее
симметрии.
2.3. Симметрия живой и неживой природы.
Основная цель – показать взаимосвязь математики и природы.
Человеческому глазу всегда были приятны симметричные, красивые линии.
В живой природе часто преобладает симметричный рисунок, например, крылья
бабочки. Часто цветы тоже имеют симметрию, поэтому они так притягивают
человеческий взор. Так же, как и в живой природе, в неживой природе
встречается симметрия. Если рассмотреть маленький кристалл замерзшей воды –
снежинку в микроскоп, то мы заметим, что все они обладают симметрией,
независимо от разнообразия форм. Опять же, отметим, что и в неживой природе
встречается «золотая спираль». Именно так закручивается ураган.
68
2.4. Симметрия в пространстве.
Основная цель – Вспомнить понятие симметрии в пространстве.
Мы уже говорили о симметрии на плоскости, теперь перейдем к понятию
симметрии в пространстве. Так же, как и на плоскости, симметрия в пространстве
– преобразование пространства. К изученным видам симметрии, в данном пункте
еще и добавится симметрия вращения.
2.5. Правильные многогранники. Виды правильных многогранников.
Основная цель - Познакомить учащихся с типом выпуклых многогранников –
правильными многогранниками.
На протяжении всей жизни человека встречаются многогранники. Это и
кубики, которыми играет ребенок, и пчелиные соты, и вирусы, и кристаллы. Но,
при всем этом, ученые считают, что правильных многогранников вызывающе
мало, но именно к ним человек проявляет повышенное внимание. Именно они
являются наиболее красивыми.
Раздел 3. Золотое сечение – Гармоническая пропорция (17 ч)
3.1. Золотое сечение. История золотого сечения. Числа Фибоначчи.
Основная цель - ввести понятие золотого сечения. Изучить его свойства.
Золотое сечение встречалось еще в античной литературе. Точно не известно
кто и когда ввел данное понятие, но многие связывают появление это термина
именно с Леонардо Да Винчи. Так же отмечается, что самым первым, кто
употребил данное понятие, был Мартин Ом в своей книге «Чистая элементарная
математика». С золотым сечением так же очень тесто связанны числа Фибоначчи.
3.2. Свойства золотого сечения.
Основная цель – изучить некоторые свойства золотого сечения.
Свойства золотого сечения стали изучаться очень давно. Среди них были,
как и вымышленные, так и настоящие свойства. Здесь представлены свойства
золотого сечения, наиболее часто встречающиеся. 3.3. Математика и скульптура.
Золотое сечение в скульптуре.
Основная цель – установить взаимосвязь золотого сечения и скульптуры.
69
В скульптуре большую роль играет соблюдение пропорций. А соотношение
пропорций человеческого тела связывают с "золотым сечением". Знатоки
утверждают, что именно его соблюдение делает скульптуры эстетически
притягательными.
3.3. Математика и поэзия. Омар Хайям. От поэзии к математике.
Основная цель - показать взаимосвязь математики и поэзии.
При построении своих произведений А. С. Пушкин использовал "золотое
сечение"
Именно
кульминационные
в
местах
события.
"золотого
Во
многих
сечения
самых
"
происходят
ярких
самые
произведениях
прослеживается применение математических законов, что делает их более
звучными, емкими.
В памяти предков Омар Хайям остался не только поэтом, но и
замечательным математиком. Возможно, именно использование математических
законов делает его поэзию такой яркой и запоминающейся. 3.5. Золотое сечение в
природе. Принципы формообразования в природе
Основная цель – установить связь между золотым сечением и живой
природой.
Из исследований следует, что растения тоже подчиняются золотому
сечению. Например, расположение листьев на распространенных комнатных
растениях, можно сделать следующие выводы: между каждыми двумя парами
листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В)». То есть
и здесь есть подчинение " божественной пропорции".
Природа имеет тенденцию к спиральности. Такую спираль называют
«золотой». Именно так плетет паутину паук. На многих деревьях листья тоже
располагаются
спиралевидно,
так
же
расположены
цветы
и
семена
подсолнечника, чешуйки ананаса. Гете называл спираль «кривой жизни».
3.5. Золотой треугольник.
Основная цель – познакомить учащихся с понятием золотой треугольник.
3.6. Золотой прямоугольник.
Основная цель – познакомить учащихся с понятием золотой прямоугольник.
70
Список литературы для учителя: [1; 5; 6; 8-10; 13-16; 19; 20; 22; 23; 26; 28;
30; 33; 34; 36; 39; 41-43; 46; 53; 54; 57; 61; 66- 70; 77].
Список литературы для учащихся: [1; 8; 9; 14; 15; 19; 22; 26; 28; 38-41; 46;
53; 56; 57; 59; 60; 61; 66; 67; 78].
Приведем ниже планы-конспекты занятий, рассчитанных на полгода. (17
занятий)
План-конспект №1
Тема: Эстетика и искусство
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: донести до учащихся мысль о неразрывности искусства и эстетики.
Ход занятия
Что такое искусство? Как объяснить пронзительное воздействие искусства
на человека? Какая потребность побуждает людей создавать произведения
искусства? Сколь долго существует искусство?.. Непростые это вопросы, и
однозначно ответить можно, пожалуй, лишь на последний из них: искусство
существует столько, сколько существует человек! Доказательством тому служит
не только искусство Шумера и Древнего Египта, зародившееся в IV-III
тысячелетиях до н. э., но и первобытное искусство верхнего палеолита, уходящее
корнями в XL тысячелетие (400 веков!) до н. э.
"Что такое искусство?" - этим вопросом Лев Толстой озаглавил свою
крупнейшую работу об искусстве, которая стоила ему пятнадцати лет
напряженного
труда.
Величайший
мыслитель
пытается
разобраться
в
удивительном феномене искусства, изучает все доступные ему работы
предшественников, разбирает около семидесяти определений искусства, но...
вопросы, вопросы растут, как снежный ком, а истина все ускользает.
Почему? "В каждом большом городе строятся огромные здания для музеев,
академий, консерваторий, драматических школ, для представлений и концертов.
Сотни тысяч рабочих - плотники, каменщики, красильщики, столяры, обойщики,
71
портные, парикмахеры, ювелиры, бронзовщики, наборщики - целые жизни
проводят в тяжелом труде для удовлетворения требований искусства, так что едва
ли есть какая-нибудь другая деятельность человеческая, кроме военной, которая
поглощала бы столько сил, сколько эта" (Лев Толстой).
Так что же такое искусство? Каких только ответов на этот вопрос не было!
Искусство
объявлялось
"воспроизведением
"подражанием
действительности"
природе"
и
и
"свободным
"учебником
жизни",
формотворчеством",
"недостижимым идеалом" и "высшей молитвой". Теоретики, критики, деятели и
любители искусства наперебой утверждали, что искусство должно услаждать и
развлекать и что оно призвано воспитывать, что оно служит познанию жизни и
что оно должно возносить душу человека к Богу, что оно призвано быть высшей
формой общения между людьми и что оно есть недоступная для понимания
"толпы" форма самовыражения художника...
Никакая другая область человеческой деятельности - ни наука, ни политика,
ни религия - не истолковывалась столь разноречиво и противоречиво, как
искусство. В самом деле, чтобы объяснить, что такое искусство, в нем надо найти
такие свойства, которые одинаково подходили бы к музыке и литературе,
архитектуре и живописи, скульптуре и танцу. Споры об определении и
назначении искусства велись на протяжении всей его истории и не затихли по сей
день. И в том, что человечество, давно и однозначно определившее назначение
других форм своей духовной и практической деятельности, никак не может
"договориться" в определении искусства, и кроется, по-видимому, разгадка
самого феномена искусства.
Искусство многофункционально: оно способно решать самые различные
социальные задачи, которые сплетены в нем в единый неразрывный узел. Среди
других строго разграниченных форм человеческой деятельности искусство
сохраняет поразительное свойство: быть всем и ничем особенным одновременно.
Подобно науке искусство служит познанию окружающей действительности;
подобно языку оно является средством общения людей, разрабатывая для этого
специальные художественные "языки" музыки, живописи, поэзии и т. д.; вместе с
72
идеологией оно участвует в определении системы ценностей; вместе с
педагогикой оно служит исключительно сильным средством воспитания.
Прежде всего искусство является средством передачи чувств художника,
оно
позволяет
накапливаемый
животворный
сохранить
для
человечеством.
обмен
мыслями,
грядущих
поколений
духовный
Благодаря
искусству
происходит
чувствами,
устремлениями,
без
опыт,
тот
которого
немыслимо существование человека. Искусство делает духовный мир художника,
способного
постигать
действительность
с
особой
чуткостью
и
проникновенностью, достоянием каждого. Таким образом, благодаря гению
Гомера, Рафаэля, Шостаковича мы становимся умнее, зорче, душевно богаче. В
этом заключается так называемая коммуникативная (от лат. communicatio сообщение) функция искусства.
Огромную роль играет просветительская функция искусства. Еще древние
греки заметили удивительное свойство искусства: поучать развлекая. Эту же
особенность искусства имел в виду и Н. Г. Чернышевский, когда говорил, что
искусство - такой учебник жизни, который с удовольствием читают даже те, кто
не любит других учебников. Ф. Энгельс отмечал, что из романов Бальзака он
узнал об истории французского общества гораздо больше, чем из работ
специалистов. Но еще важнее - способность искусства раскрывать тайники
духовного мира человека, благодаря чему оно становится не только средством
познания, но и инструментом самопознания. Раскрывая перед нами духовный мир
своих героев, художник дает нам возможность познать и самих себя, понять в
себе то, что без помощи искусства мы никогда бы не заметили и не осмыслили.
Каждый
испытал на себе и
воспитательную функцию искусства.
Воспитывая, искусство обращается не только к нашей мысли, но и к нашему
чувству; оно требует от нас не только понимания, но и сопереживания, и это
последнее западает в глубины нашего сознания. Искусство позволяет нам
прочувствовать и пережить то, чего никогда не было с нами в действительной
жизни, и тем самым воспитывает нас, заставляя сделать выбор и встать на те или
73
иные позиции. Таким образом, искусство становится средством не только
эмоционального, но и идеологического воспитания.
Искусство должно нести людям радость наслаждения красотой, в
противном случае оно перестает быть искусством. Так мы приходим к
гедонистической (от греч. hedone - наслаждение) функции искусства. Без этой
функции человек отвернется и от познавательных, и от идейно-воспитательных
достоинств произведения искусства. Не случайно поэтому искусство часто
смешивают с красотой. Но не только красота искусства доставляет нам
наслаждение. Мы испытываем радость от соприкосновения с произведением
искусства, от способности проникнуть в мысли и чувства гения, создавшего это
произведение, от возможности приобщиться к великому таинству творчества.
Таковы
основные
функции
искусства.
Понятно,
что
каждый
из
исследователей искусства волей или неволей выделял ту функцию искусства,
которая была ему более близка. Нас же будет интересовать гедонистическая
функция искусства, так как наша задача - заглянуть в тайны прекрасного и
попытаться хоть краем глаза увидеть в них математические начала.
План-конспект №2
Тема: Эстетика и искусство
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: донести до учащихся мысль о неразрывности искусства и эстетики.
Ход занятия
Но что же такое красота?
Еще на заре цивилизации основатель античной математики Пифагор (VI в.
до н. э.) учил: "Все прекрасно благодаря числу". Древнегреческий философ
Гераклит (кон. VI в.- нач. V в. до н. э.), названный В. И. Лениным одним из
основоположников
диалектики,
указывал
на
относительность
понятия
прекрасного: "Самая прекрасная обезьяна безобразна по сравнению с родом
людей". Величайший из философов Платон (428-348 гг. до н.э.) писал:
74
"Умеренность и соразмерность всюду становится красотой". Платону вторил его
любимый ученик Аристотель (384-322 гг. до н. э.): "Красота состоит в
соразмерности и правильном расположении".
Дюрер оказался удивительно прозорливым: и спустя полтысячелетия
абсолютно строгого, "математического" определения прекрасного нет. Дискуссии
о
сущности
красоты
сегодня
ведутся
не
только
представителями
противоположных мировоззренческих позиций, материалистами и идеалистами,
но и внутри однородных научных школ. В нашей стране проблема прекрасного на
протяжении последних трех десятилетий является предметом дискуссии между
сторонниками "природнической" и "общественной" концепций.
Итак, вопросы о том, что такое искусство и что такое красота, отнюдь не
элементарны. Они порождают лавину вопросов-следствий, распутать которые
может только особая наука о прекрасном. Такая наука есть, и имя ей - эстетика.
1735 год, год, когда немецким философом Александром Баумгартеном
(1714-1762) был изобретен термин "эстетика" (от греч. aisthtikos - относящийся к
области чувств), считается официальным годом рождения эстетики как
самостоятельной науки. Но фактически эстетика родилась в глубокой древности,
в суждениях философов, ученых и мудрецов, в их отдельных высказываниях, а
затем и в специальных трактатах. И хотя различные "эстетические фрагменты"
дошли до нас из Древнего Египта, и из Вавилона, и из Древней Индии, история
эстетики как науки, безусловно, начинается в Древней Греции.
В древнегреческой философии - науке наук - берут начало все будущие
философские течения, многие теории и науки. Древними было замечено, что
люди познают мир с помощью органов чувств и осмысливают познанное
разумом. Чувство и мышление не только два уровня, но и два звена в цепи
познания. И как нужна наука о законах мышления - логика, столь же необходима
и наука о чувственном восприятии - эстетика. Обе эти науки зарождаются
одновременно в Древней Греции.
Греки обратили внимание и на то, что самые сильные чувственные
восприятия связаны у человека с прекрасным, с искусством, которое несет людям
75
красоту. Это особого рода чувства, лишенные корыстных побуждений,
очищенные от жизненных забот и неурядиц, переносящие человека в иной
удивительный мир - мир прекрасного. В попытках осмыслить эти чувства, понять
их первопричину, проникнуть в тайну красоты и постигнуть ее законы и родилась
наука эстетика.
Итак, в главном эстетика - это наука о прекрасном. Однако многие
современные авторы такое традиционное определение эстетики считают слишком
узким и неточным. и вот учебники и справочники начинают определять эстетику
как науку об... эстетическом воплощении действительности.
Знаменитое триединство истины, добра и красоты, воплащающее, начиная с
античности, представление человека о высших духовных ценностях, - это три
ипостаси идеала. Красота является связующим звеном между истиной и добром.
Во все времена красота являлась путеводной звездой в поисках истины, могучим
стимулом к научному творчеству и озарению в науке.С другой стороны, во все
времена красота, словно магнитное поле стрелку компаса, обращала человека к
доброте. Именно это свойство красоты отразил Достоевский в своей знаменитой
формуле: "Красота спасет мир".
Свое воплощение эстетический идеал находит в искусстве. Ни природа, ни
общество часто не дают человеку его эстетического идеала. Да, вне красоты нет
искусства.
Итак, красота начинается с формы, но не сводится к ней. Красота - это
форма, взятая в единстве с содержанием, от которого она не может быть оторвана.
Попытки рассмотреть красоту только с формальной точки зрения никогда не
оканчивались успехом.
Красивая форма стремится сделать прекрасным и содержание, которое, по
выражению
Белинского,
становится
"опоэтизированным".
Мысль
о
диалектическом единстве формы и содержания в прекрасном, кажущаяся сегодня
аксиомой, была впервые разработана Гегелем. Но эта мысль "витала в воздухе" и
до Гегеля. Ее мы находим, например, у Шекспира:
Прекрасное прекрасней во сто крат,
76
Увенчанное правдой драгоценной.
Да, нелегко раскрыть сущность прекрасного. И в жизни, и в искусстве
проявления красоты необычайно разнообразны. Трудно установить сходство,
например, между очарованием лесного озера и благородным поступком рыцаря,
между совершенными формами кристалла и волшебством гармонии античной
статуи. Это абсолютно различные явления, а вызываемые ими чувства
удивительно похожи. Еще Платон указывал на то, как легко отыскать нам
примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны.
Еще труднее найти математические закономерности в прекрасном "законы красоты". Попытки хотя бы приблизиться к объективным "законам
красоты" предпринимались человечеством с древности: это и математические
законы Пифагора в музыке, и геометрическая модель Вселенной Кеплера трепетная песнь красоте в науке, это и система пропорций в архитектуры, и
пропорции человека, и геометрические законы живописи. И несмотря на весьма
скромные результаты, энтузиазм исследователей не ослабевает и сегодня: ведь
слишком волнующая тема их интереса - красота. И сегодня вместе с лауреатом
Нобелевкой премии, немецким физиком Вернером Гейзенбергом (1901-1976)
большинство ученых верят: "Математика есть прообраз красоты мира".
Естественно, что все попытки отыскать математические законы в
искусстве (а значит, и в прекрасном) начинались с простейшего компонента
прекрасного - формы прекрасного, еще точнее, структуры формы прекрасного.
Например, рассмотренные в части III пропорции античной и готической
архитектуры есть структурно-математические объективные законы формы
прекрасного. Вопрос же о субъективном отношении к этим формам, как и о
субъективном отношении к тому содержанию, которое несут эти формы, каждый
вправе решить для себя сам.
Здесь уместно вспомнить высказывание выдающегося французского
математика Анри Пуанкаре (1854-1912): "Математиков занимают не предметы, а
отношения между ними. Поэтому они вправе заменять одни предметы другими,
лишь бы отношения их остались при этом неизменными. Содержание их не
77
волнует, они интересуются только формой". Действительно закон золотого
сечения справедлив и в музыке, и в архитектуре, и в изобразительных искусствах.
И в заключение отметим одну важную мысль, впервые высказанную К.
Марксом: первые шаги человечества к красоте сделаны благодаря труду. Именно
в результате трудовой деятельности человек начинает находить и в природе, и в
общественной жизни разнообразные эстетические ценности.
Домашнее задание:
Подготовить проекты по группам:
1.
Что такое искусство. Примеры тех, кто это изучал из математиков.
2.
Что такое красота. Примеры тех, кто это изучал из математиков.
План-конспект №3
Тема: Эстетика и искусство
Тип занятия: контроль знаний
Форма занятия: урок-семинар
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: закрепить мысль о неразрывности искусства и эстетики.
Ход занятия
Разобрать проекты по группам:
1.
Что такое искусство. Примеры тех, то это изучал из математиков.
(группа 1)
2.
Что такое красота. Примеры тех, то это изучал из математиков.
(группа 2)
План-конспект №4
Тема: Математика и живопись
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: познакомиться с существованием теории живописной перспективы,
теорией математической красоты и эстетики линий.
78
Мне хочется, чтобы живописец был как можно больше сведущ во всех
свободных искусствах, но прежде всего я желаю, чтобы он узнал геометрию.
Л. Б. Альберти
Архитектура - наполовину наука, наполовину искусство, и потому
"математическое начало" в ней естественно. Да, музыка слагается из колебаний
среды и, следовательно, подчиняется законам акустики, которая полностью
математизирована. Но какая математика нужна художнику, которому, кроме
холста и красок, вообще ничего не нужно!? Примером "математики в живописи"
может служить разве что картина Богданова-Бельского "Устный счет"! (Рис. 14)"
Тема нашего занятия "Математика и живопись", хотя, быть может,
правильнее следовало
бы переформулировать тему так
"Математика и
изобразительные искусства". Последние, как известно, объединяют живопись,
скульптуру и графику. Тем не менее речь пойдет прежде всего о живописи: с
одной стороны, потому, что живопись является ведущей составляющей
изобразительного искусства, а с другой - потому, что именно в живописи
заключены основные математические проблемы изобразительного искусства.
К сожалению, говоря о живописи, мы оставим в стороне ее основное
изобразительное средство - цвет. Причина тому, сложность проблемы. Вопрос о
цветовой гамме - совокупности взаимосвязанных цветов и их оттенков, "эстетике
цвета" и "математике цвета" - во многом остается загадочным. Между тем еще
Ньютон, разложивший солнечный свет на семь цветовых составляющих, заметил,
что частоты границ цветов солнечного спектра относятся как частоты самой
симметричной фригийской гаммы чистого строя (Рис 13):
Рис.13
Тем самым вместе с дисперсией света Ньютон открыл и удивительную
аналогию между цветом и музыкой, послужившую толчком к развитию
79
цветомузыки. В наше время с изобретением цветного телевидения бурное
развитие получила наука о количественном измерении цвета - колориметрия.
Однако все эти вопросы для нас останутся в стороне.
Рис. 14. Н. Богданов-Бельский. Устный счет. 1895.
На картине изображен известный педагог, профессор С. А. Рачинский,
сменивший университетскую кафедру на место учителя в сельской школе
Остановимся на другом важнейшем изобразительном средстве живописи рисунке, который, по словам Вазари, является "отцом живописи". Рисунок играет
важнейшую роль в определении очертаний предметов, их форм, объемов и
взаимного расположения в пространстве. Таким образом, рисунок является
"скелетом живописи", ее конструктивной основой и именно в нем заложены
геометрические законы живописи. Вот почему все, что мы будем говорить о
"математическом содержании живописи", будет как частный случай относиться и
к графике - "одноцветной живописи", а на том занятии, где речь будет идти о
пропорциях, - и к скульптуре. Заметим, что в скульптуре, основанной на
принципе объемного трехмерного изображения предмета, само собой отпадает
основная
математическая
трехмерного
перспективы.
пространства
проблема
на
живописи
двумерной
-
проблема
плоскости
изображения
картины,
проблема
80
Говоря о живописи, мы не будем касаться и таких средств языка живописи,
как сюжет, композиция, колорит, светотень, контраст, фактура, тон, валёр,
рефлекс, лессировка и т. д. Список этот можно продолжить: он говорит лишь о
неисчерпаемых возможностях художественного образа. Однако, сколько бы мы
ни продолжали этот список, сколько бы ни уточняли и ни утончали его
составляющие, он не поможет нам понять закономерности языка живописи,
раскрыть логику взаимосвязи и характер "содружества" тех или иных
выразительных средств. Логика живописного произведения откроется нам лишь в
том случае, если мы освободимся от частностей, вычленим лишь самую суть,
предельно абстрагируемся, и как вершина такой абстракции встанет перед нами
геометрия живописи.
В начале занятия мы говорили о том, что поиски математических
закономерностей в области изобразительных искусств имеют едва ли не
древнейшую традицию. Блестящим тому подтверждением служит знаменитый
канон Имхотепа, жившего в Древнем Египте в XXVIII веке до н. э., т. е. более чем
за 2000 лет до того, как Пифагор открыл законы целочисленных отношений в
музыке. Однако в отличие от объективных "законов Пифагора в музыке", которые
справедливы и сегодня, "законы Имхотепа в ваянии" субъективны, и потому на
смену им приходили столь же субъективные каноны Поликлета, Лисиппа и др.
Тем не менее все эти каноны были попыткой найти объективные математические
закономерности в строении человека - "законы красоты" человека.
Другой важнейшей математической темой в живописи, которая также на
протяжении тысячелетий стимулировала поиски и дарила находки как
художникам, так и ученым, является проблема построения перспективы.
Еще Леонардо Да Винчи отметил, что «тончайшее исследование и
изобретение, основанное на изучении математики, которое силою линий
заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико».
Эту теорию живописи поддерживали многие художники Италии, и именно в их
работах зародилась теория перспективы в живописи. А в эпоху Возрождения
появилась идея некой математической формулы красоты. Человек всегда
81
стремился к прекрасному, поэтому его привлекает эстетика геометрической
формы.
Домашнее задание:
Подготовить проекты:
1.Биография Леонардо Да Винчи.
2.Достижения Леонардо Да Винчи.
3. Пять секретов Леонардо Да Винчи.
4. О тайне золотого сечения.
5. Леонардо Да Винчи вклад в математику.
План-конспект №5
Тема: Математика и живопись
Тип занятия: комбинированный
Форма занятия: урок-семинар
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: познакомиться с существованием теории живописной перспективы,
теорией математической красоты и эстетики линий. Изучить творчество Леонардо
Да Винчи.
Ход занятия
Путем разбора проектов и беседы изучить творчество Леонардо Да Винчи:
1.Биография Леонардо Да Винчи. (ученик 1)
2.Достижения Леонардо Да Винчи. (ученик 2)
3. Пять секретов Леонардо Да Винчи. (ученик 3)
4. О тайне золотого сечения. (ученик 4)
5. Леонардо Да Винчи вклад в математику. (ученик 5)
План-конспект №6
Тема: Математика и музыка
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок беседа
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
82
Цель: познакомить учащихся с теорией музыки, с понятием гармонической
пропорции. Выявление общих элементов и установление связи между музыкой и
математикой.
«Музыка – математика чувств, а математика – музыка разума».
Джеймс Джозеф Сильвестр (английский математик 19 век)
«Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя,
не зная об этом».
Готфрид Вильгельм Лейбниц (немецкий философ, математик 17 век)
Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой
культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи,
погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир
звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.
Какая же связь может быть между математикой – мудрой царицей всех
наук, и музыкой? Как могут взаимодействовать, такие, совершенно разные,
человеческие культуры?
Музыка (от греч. - искусство муз)- вид искусства, художественным
материалом которого является звук, особым образом организованный во времени.
Математика (от греч. – знание, наука) - наука о величинах, их свойствах и
законах их соединения
Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область.
Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и
внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка наиболее отвлеченный вид искусства.
Именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие
математики: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли.
Первый труд Рене Декарта – «Трактат о музыке»; первая крупная работа Леонарда
Эйлера – «Диссертация о звуке». Эта работа 1727 года начиналась словами:
«Моей
конечной
целью
в
этом
труде
было
то,
что
я
стремился
представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из
правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и
83
смешивание звуков». Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: «Музыка есть скрытое
арифметическое упражнение души, не умеющей считать».
Сейчас вряд ли кто-нибудь решиться сводить музыку к определенным
числовым закономерностям. Тем не менее, математика и музыка связаны друг с
другом замечательным и подчас совершенно удивительным образом.
1. ПИФАГОРЕИЗМ
В античной философии 6-4 вв. до н. э. существовало учение Пифагореизм,
рассматривавшее число как формообразующий принцип всего существующего.
Пифагорейцы предположили, что в основе мира лежит некая абстракция – число.
Более
того, число
в
различных
ипостасях:
«бог-число»,
«вещь-число»,
«искусство-число» и т. д. стало у них сущностью мира. Эта числовая конструкция
бытия мыслилась ими как конкретный «музыкально-числовой космос» или «строй
мира», действующий гармонично во всех проявлениях.
Таким образом, Пифагор и его последователи попытались объединить
математику, гармонию и музыку в единую сущность не только космоса, но и
человеческой души и конкретной вещи. Музыкальная гармония мыслилась
древними как некая логически построенная система, которая имеет много общего
с математикой.
Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства –
музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и
что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг
друга. У пифагорейцев музыка рассматривалась не столько как искусство,
сколько как наука, а именно – как наука о числах. Пифагорейский музыкальный
строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, — это математика.
Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее
благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в
правильном численном отношении друг к другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд –
полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил
шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано
84
много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание
натянутой струны.
Пифагорейцами было подмечено определенное соответствие
между
высотой звука и конкретным числом, определяющим длину струны. Правильные
математические сочетания таких струн дают гармонические созвучия. Именно по
этому принципу был создан широко популярный в античности музыкальный
инструмент – лира, который впоследствии стал эмблемой музыкальной искусства.
Оказывается, длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют
один
из
наиболее
благозвучных
аккордов
-
мажорный,
удовлетворяют
гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образуют непрерывную
арифметическую пропорцию. Именно длины струн относятся как числа: 1 4/5 2/3,
а число колебаний как:1 5/4 3/2, или как 4: 5: 6, т. е. получается непрерывная
арифметическая пропорция. Таким образом, мы видим, что приятные для слуха
созвучия подчиняются простым математическим законам
Основная категория философии Пифагора - число, число - это первоначало
бытия, основа космической меры. То же числовое начало пифагорейцы
обнаружили и в музыке, а поэтому весь космос мыслился ими как музыкальночисловая гармония. Космические сферы, настроенные на определенный тон,
порождают «музыку небесных сфер».
1.1. ИНТЕРВАЛЫ И ГАРМОНИИ СФЕР
Пифагорейцы считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре
вселенной. Солнце же, Луна и пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и
Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что
они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает
прекрасная музыка – музыка сфер. По мнению пифагорейцев, всякий звук
возникает от движения, следовательно, звук сопровождает движение и небесных
тел. Находясь на разных расстояниях от Земли, планеты и звезды издают
неслышимые нам гармонические звуки, высота которых пропорциональна их
скорости. Интервал между Землей и сферой неподвижных звезд рассматривался в
качестве диапазона - наиболее совершенного гармонического интервала.
85
Наиболее принятым порядком музыкальных интервалов планет между
сферой Земли и сферой неподвижных звезд является такой: от сферы Земли до
сферы Луны - один тон; от сферы Луны до сферы Меркурия - полтона; от
Меркурия до Венеры - полтона; от Венеры до Солнца - полтора тона; от Солнца
до Марса - один тон; от Марса до Юпитера - полтона; от Юпитера до Сатурна полтона; от Сатурна до неподвижных звезд - полтона. Сумма этих интервалов
равна шести тонам октавы.
ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ
Существуют ли математические противоположности? Да, конечно.
• Отрицательное число – положительное число
• Плюс - минус
• Сложение – вычитание
• Умножение – деление
• Четное число – нечетное число
• Больше – меньше
• Прямая - кривая
В музыке существуют также противоположности:
1. Медленно-быстро.
Эта пара играет весьма важную роль в музыке. Если нам попробовать спеть
быстрые песни медленно, а медленные быстро. Потеряется характер и смысл
песен.
2. Высокое и низкое.
Некоторые инструменты устроены так, что из них можно извлекать либо
только высокие, либо низкие звуки, например, скрипка и контрабас.
3. Громкий – тихий.
4. Длинный – короткий.
5. Многоголосие – одноголосие.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Связь музыки с математикой - одна из древнейших. В самом широком
смысле можно сказать, что весь мир - это музыка, потому что музыка - это
86
математика. На подчиненность музыкальных структур математическим законам
люди обратили внимание не одно тысячелетие назад. Их исследования показали,
что многие вопросы, связанные с природой музыки и ее воздействием на человека
могут быть описаны языком математики.
Общность математики и музыки служит свидетельством того, что занятия
математикой могут значительно облегчить изучение музыкальной гармонии и
сольфеджио, и наоборот – решение музыкальных задач и упражнений может
способствовать улучшению арифметических навыков.
Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно
посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно
укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти
алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем,
какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую
мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его
создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая
задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту,
гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом.
Домашнее задание:
Подготовить проекты:
1. «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» В МУЗЫКЕ
2. ИССЛЕДОВАНИЯ Л. Л. САБАНЕЕВА
3. ОБОЗНАЧЕНИЕ И СООТНОШЕНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ НОТ
План-конспект №7
Тема: Математика и музыка
Тип занятия: комбинированный
Форма занятия: урок с элементами беседы и презентаций.
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
87
Цель: познакомить учащихся с теорией музыки, с понятием гармонической
пропорции. Выявление общих элементов и установление связи между музыкой и
математикой.
Ход занятия
Путем разбора проектов и беседы рассмотреть связь математики и музыки.
1. «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» В МУЗЫКЕ (ученик 1)
2. ИССЛЕДОВАНИЯ Л. Л. САБАНЕЕВА (ученик 2)
3. ОБОЗНАЧЕНИЕ И СООТНОШЕНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ НОТ (ученик
3)
План-конспект №8
Тема: Симметрия на плоскости
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: разобрать основные понятия симметрии
Ход занятия
Понятие симметрии встречается как во многих областях человеческой
жизни, культуры и искусства, так и в сфере научных знаний. Но что такое
симметрия? В переводе с древнегреческого языка это – соразмерность,
неизменность, соответствие. Говоря о симметрии, мы часто имеем в виду
пропорциональность, упорядоченность, гармоничную красоту в расположении
элементов некоей группы или составляющих какого-то предмета.
В физике симметрии в уравнениях, описывающих поведение системы,
помогают упростить решение с помощью нахождения сохраняющихся величин.
В химии симметрия в расположении молекул объясняет ряд свойств
кристаллографии, спектроскопии или квантовой химии.
В
биологии
симметрией
называются
закономерно
расположенные
относительно центра или оси симметрии формы живого организма или
одинаковые части тела.
88
Симметрия в природе не бывает абсолютной, в ней обязательно содержится
некоторая асимметрия, т.е. подобные части могут не совпадать со стопроцентной
точностью. Симметрию часто можно встретить в символах мировых религий и в
повторяющихся моделях социальных взаимодействий.
Что такое симметрия в математике
В математике симметрию и ее свойства описывает теория групп.
Симметрией в геометрии является способность фигур к отображению, при
сохранении свойств и формы.
В широком смысле фигура F обладает симметрией, если существует
линейное преобразование, которое переводит эту фигуру в саму себя.
В более узком смысле симметрией в математике называется зеркальное
отражение относительно прямой с на плоскости или относительно плоскости с в
пространстве.
Что такое ось симметрии
Преобразование пространства относительно плоскости с или прямой с
считается симметричным, если при этом каждая точка В переходит в точку В' так,
чтобы отрезок В В' оказался перпендикулярен этой плоскости или прямой и
делился бы ею пополам. В этом случае плоскость с называется плоскостью
симметрии, прямая с – осью симметрии. Геометрические фигуры, например,
правильные многоугольники, могут иметь по несколько осей симметрии, а
окружность и шар обладают бесконечным числом таких осей.
К простейшим типам пространственной симметрии относятся:

зеркальная (порожденная отражениями);

осевая;

центральная;

симметрия переноса.
Что такое осевая симметрия?
Симметрия
относительно
оси
или
линии
пересечения
плоскостей
называется осевой. Она предполагает, что если через каждую точку оси
симметрии провести перпендикуляр, то на нем всегда можно найти 2
89
симметричные точки, расположенные на одинаковом расстоянии от оси. В
правильных многоугольниках осями симметрии могут являться их диагонали или
средние линии. В окружности оси симметрии - ее диагонали.
Что такое центральная симметрия?
Симметрия относительно точки называется центральной. В этом случае на
равном расстоянии от точки по обе ее стороны находятся другие точки,
геометрические
фигуры,
прямые
или
кривые
линии.
При
соединении
симметричных точек прямой, проходящей через точку симметрии, они будут
расположены на концах этой прямой, а серединой ее явится как раз точка
симметрии. А если вращать эту прямую, закрепив точку симметрии, то
симметричные точки опишут кривые так, что каждая точка одной кривой линии
будет симметрична такой же точке другой кривой линии.
Что такое зеркальная симметрия?
Зеркальная симметрия в геометрии часто ассоциируется у нас с
правильными многоугольниками, но, если присмотреться, эти фигуры довольно
часто встречаются в природе. Одни из них можно увидеть в виде кристаллов,
другие – в виде простейших микроорганизмов или вирусов. Зеркальная
симметрия очень часто встречается в архитектуре. Она присутствует во всех
постройках Древнего Египта и храмах античной Греции, амфитеатрах, базиликах
и триумфальных арках римлян, церквях и дворцах Ренессанса, а также во многих
произведениях современной архитектуры. В природе зеркальная симметрия
характерна для животных и растений, которые двигаются или произрастают
параллельно земной поверхности, а также часто встречается в виде отражения
местности в водной поверхности реки, озера и т.д. Ярким ее примером являются
красочные крылья бабочки, узор на которых удивительно точно совпадает.
Что такое симметрия переноса?
Симметрия переноса - свойство геометрической фигуры, при котором она
совмещается при поступательном переносе на некоторое расстояние вдоль
прямой, называемой осью переноса.
Домашнее задание:
90
Подготовить проекты:
1.
Осевая симметрия. Примеры
2.
Зеркальная симметрия. Примеры
3.
Симметрия переноса. Примеры
4.
Центральная симметрия. Примеры
План-конспект №9
Тема: Симметрия на плоскости
Тип занятия: комбинированный
Форма занятия: урок-семинар
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: увидеть красоту в симметрии.
Ход занятия
Разбор проектов и беседа.
1.Осевая симметрия. Примеры (ученик 1)
2.Зеркальная симметрия. Примеры (ученик 2)
3.Симметрия переноса. Примеры (ученик 3)
4.Центральная симметрия. Примеры (ученик 4)
План-конспект №10
Тема: Математика и архитектура. Симметрия в архитектуре
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: показать красоту симметрии в архитектуре.
Дополнительные материалы: презентация (приложение №1)
Ход занятия
Слайд 1.
Является мощным инструментом эмоционального восприятия города на
плоскости, местности. Данное понятие проходит сквозь многовековой период
91
человеческого
творчества,
противостоит
хаосу,
разрухе.
Она
–
гарант
уравновешенности, упорядоченности. Симметричность вездесуща, разнообразна.
Для создания определенной атмосферы, зодчие используют множество приемов:
криволинейность, чередование пространств, сочетание различных объемов.
Самым сильным является использование одинаковых фрагментов, плоскостей.
Здания получаются уравновешенными, понятными, простыми для интуитивного
восприятия. Человек, абсолютно не разбирающийся в архитектуре, наравне со
знатоками способен оценить всю прелесть сооружения.
Слайд 2.
Эпоха классицизма
Наибольший рассвет уравновешенная, гармоничная архитектура обрела в
эпоху классицизма. Тогда установилось понятие ритма – периода повторения
определенных
форм,
плоскостей,
объемов.
Преобладала
вертикальность:
колонны, арки, пилястры, придающие монументальным сооружениям легкости,
невесомости. Горизонтальные элементы: пояса, карнизы, фризы делают зданием
приземленным, более массивным.
Симметрия
означает
равенство,
соответствие,
неизменность,
проявляющихся при преобразованиях фрагментов, плоскостей. Данное понятие
возникло еще до нашей эры. Через свои наблюдения Пифагор открыл красоту
человеческого тела, природы, она заключалась в разделении объекта на
одинаковые фрагменты. Равенство создает гармонию.
Осевая симметрия в архитектуре
Наиболее
распространенный
вид
симметрии,
использующийся
при
проектировании сооружений, зеркальный. Подразумевается, что правая половина,
отделенная плоскостью, полностью похожа на левую. На чертежах такое
соответствие показывается линией, получившей название ось симметрии. Именно
поэтому данный архитектурный вид получил название осевая симметрия.
Как правило, ось располагается над входом и делит здание на две равные
части. Наиболее яркие представитель уравновешенной архитектуры находятся в
Греции, Риме.
92
Слайд 3.
Кельнский собор– готический представитель использования осевого
отражения в архитектуре. Занимает почетное третье место в списке самых
высоких церквей. Занесен в перечень объектов Всемирного культурного наследия.
Собор хранит ценные реликвии, о нем слагают множество легенд. Архитектор
Герхард долго работал над чертежами, форма собора была позаимствована у
Французских строений. Первый камень фундамента заложен в 1248 году.
Пилястры, арки сыграли свою значимую роль, здание получилось воздушным
относительно плоскости. Острые колоны храма символизируют стремление
человека к Богу. Восточная часть собора строилась первой в течение 70 лет. В
начале 15 века недостроенное сооружение было закрыто крышей, первый этап
возведения был завершен. В таком виде собор стоял до 18 века. Второй этап
строительства начался в 1842 году, работа велась согласно изначальным чертежам
Герхарда. Период Второй мировой войны практически не коснулся собора.
Данный факт остается загадкой, многие историки пытаются в ней разобраться.
Сейчас собор открыт для туристов, там есть, на что посмотреть. Значимые
реликвии христианства приковывают интерес.
Слайд 4.
Тадж-Махал – достопримечательность Индии, мечеть в Агре, является еще
одним представителем осевого отражения в архитектуре. Строение также
является мавзолеем. Построен Тадж-Махал по приказу Шах-Джахана, императора
великих Моголов, потерявшего жену во время родов. Внутри находится две
гробницы – императора, его жены. Тадж-Махал – пятикупольная мечеть, 4
минарета по углам. Возводили комплекс более 20 000 мастеров со всего мира.
Стены выполнены из полированного мрамора, украшены самоцветами. При ярком
солнечном освещении строение выглядит белым, на восходе розовым, при луне
серебристым. К мечети примыкает бассейн, сад. На втором берегу реки
планировалось возведении близнеца Тадж-Махала из черного мрамора, соединять
оба сооружения должен был серый мост. Из этого следует, что осевая симметрия
планировалась не просто в пределах одного здания.
93
Слайд 5.
Многие японские сооружения выстроены по принципу использования
зеркального отображения
Архитекторы данной местности всегда стремятся к упорядоченности,
правильности, красоте. Равенство осевое, центральное часто встречается в
японских сооружениях. Ярким представителем является Замок в Осаке. Площадь
постройки один квадратный километр, пять этажей, три подземных уровня.
Возводили замок 30 тысяч человек. Объект открыт для туристов, фасад приведен
к современному виду. Рядом расположен замковый сад, стадион, на котором
проводятся концерты популярных исполнителей.
Слайд 6.
Центральная симметрия в архитектуре
Симметрия относительно точки называется центральной. Данный вид
называют поворотным, он предполагает наличие двух идентичных элементов по
разным сторонам от центра. Данное равенство используется в архитектуре реже
осевой. Она присуща античным круглым храмам, используется в колоннах.
Своеобразный
мастер
советской
архитектуры
Мельников
любил
экспериментировать в данном направлении. Его конкурсный проект дворца
Советов представлял собой круг, пересеченный вертикальной плоскостью.
Памятник Колумбу, того же архитектора, подчинен симметрии относительно
горизонтальной плоскости. Античные амфитеатры, термы проектировались по
принципу центральной симметрии.
Слайд 7.
Колизей – знаменитый памятник архитектуры Древнего Рима. Сооружение
велось 8 лет, задействовано 50 тысяч человек. Возведение началась по поводу
отстройки центра Рима. Император решил выстроить заведение для развлечения
людей на месте земель своего предшественника Нерона. Такой маневр получился
удачным. Территория, принадлежащая тирану, деспоту, передавалась народу.
Слайд 8.
94
Древние пирамиды также возводились, отталкиваясь от центра симметрии.
Представляли
собой
треугольные
плоскости,
ступенчатые
постройки,
повторяющиеся относительно центральной точки. Монументальные сооружения
стали объектами сочинений множества мифов. Процесс их постройки покрыт
многими
загадками.
Ранним
представителем
пирамид
стал
комплекс
погребальных усыпальниц Джосера, возведенный под руководством египетского
архитектора Имхотепа.
Слайд 9.
Башни, башни церквей, колонны проектировались с учетом центральной
симметрии. Такие сооружения предавали зданиям массивности. Башни одинаково
роскошно выглядели с любой плоскости города.
Слайд 10.
Равенство
привнесло
в
архитектуру
необычайную
совершенность,
гармонию. Ее принцип продиктован самой природой, нашел себе применения во
всех сферах человеческой жизни.
Симметричность мира
Загадки форм преследует нас на каждом шагу. Человек, животное,
насекомое,
растение
сотворены
по
данному
принципу.
Мы
живем
в
симметричном мире, тяготеем к симметрии, считаем ее красивой. Иногда
нарушение такой установки привносит живость, главное, не добраться до хаоса.
Практически все законы нашего мира продиктованы симметрией. И как
природа не может отдать предпочтение чему-то одному при равенстве, так и
буриданов осел не смог выбрать стог сена, умер от голода.
Удивительно, в нашем зеркальном, правильном мире остается большое
пространство для несимметричности. Она уцелела, активно развивается, играет
важную роль в мире. Чтобы познать окружающую среду, стоит начинать с себя.
На самом деле лицо человека не совсем симметрично. Именно данное
обстоятельство способствует выразительности, живости внешнего вида. Правая,
левая рука также далеки от сходства. В древности они имели свои особенные
95
названия – десница, шуйца, подчеркивающие большое различие. Загадки
возникновения асимметричности остаются неразгаданными.
Слайд 11.
Правша, левша – понятия присущи не только человеку.
Встречаются право-, леволапые животные. Растения также подчиняются
данному разделению. Хмель, бобовые – левши, вьюнок – правша. Данные
признаки присущи листьям, иголкам, корням.
Слайд 12.
Ученые
выяснили,
несимметричные
молекулы
более
развиты,
жизнеспособны. Равенство, асимметрия неразлучны, во всем мире находятся
рядом. Разгадать из загадки, предпосылки – дело многих веков.
Тяготение к симметрии
Человеку присуще стремиться к своему подобию. Симметрия здесь играет
важную роль. Она отражается во многих сферах творчества: архитектуре, поэзии,
музыке, изобразительном искусстве.
Слайд 13.
Появлению нового полотна на свет предшествует длительные период
обдумывания, усовершенствования замысла. Художник тщательно подбирает
композицию, позы, фоны. Практически у каждого найдется полотно, тяготеющее
к симметрии. Удивительно, что здесь расположилась асимметрия. Знаменитая
картина Леонардо да Винчи «Мадонна Литта» является представителем именно
такого сочетания. Сюжет воспринимается легко, благодаря приему правильного
расположения объектов. Мадонна, младенец расположены в воображаемом
равностороннем
прямоугольнике.
Задний
план
картины
симметричен
относительно оси. Пейзаж за окнами создает атмосферу легкости, спокойствия,
умиротворения. Асимметрию привносит фигура младенца, неправильно разрезая
гармоничный треугольник.
Слайд 14.
Каждое явление, вызывающее интерес подвергается критериям оценки. Мы
можем говорить о гармонии, красоте, легкости/сложности восприятия, спорить о
96
пропорциях, оттенках, композиции. На самом деле, вопрос заключается в
соотношениях симметрии, асимметрии. Рассматривая произведение искусства,
архитектурный ансамбль, цветок, корягу человек не думает об этом. Невозможно
одновременно чувствовать, анализировать чувства.
Следует помнить, равенство является зодчим гармонии, асимметрия – некой
изюминкой, оживляющим духом. Оба понятия, взаимодействуя, создают
шедевры.
Домашнее задание:
Подготовить проекты:
Симметрия в архитектуре разных стран (Россия, Франция, Китай, Италия,
Греция)
План-конспект №11
Тема: Математика и архитектура. Симметрия в архитектуре
Тип занятия: контроль знаний
Форма занятия: урок-семинар
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: показать красоту симметрии в архитектуре.
Ход занятия
Разобрать проекты:
Симметрия в архитектуре разных стран:
1.Россия (ученик 1)
2.Франция (ученик 2)
3.Китай (ученик 3)
4. Италия (ученик 4)
5.Греция (ученик 5)
План-конспект №12
Тема: Симметрия живой и неживой природы
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция с элементами презентация
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
97
Цель: показать взаимосвязь математики и живой и неживой природы.
Дополнительные материалы: презентация (приложение №2)
Ход занятия
Симметрию можно обнаружить везде, если знать, как ее искать. Многие
народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком
смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих
проявлениях тяготеет симметрии. Посредством симметрии человек всегда
пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать
порядок, красоту и совершенство. Это же имел в виду и французский архитектор
Ле Карбюзье, когда писал, что «человеку необходим порядок; без него все
действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь. Упорядоченность и
подчиненность определенному набору правил мы обнаруживаем в узорах и
орнаментах-удивительных рисунках, часто встречающихся в декоративном
художественном творчестве. В них можно обнаружить затейливое сочетание
переносной, зеркальной и поворотной симметрии. За примером орнамента е надо
далеко ходить - взгляните на рисунок обоев, которыми оклеены стены нашего
кабинета.
Чтобы дальше вести разговор о симметрии, мы должны знать, что означает
термин «симметрия» - по гречески соразмерность, пропорциональность,
одинаковость в расположении частей.
Итак, рассмотрим симметрию относительно точки (Рис. 15)
Рис. 15.
Есть O – фиксированная точка и точка A – произвольная точка. Проведем
прямую через точки AO. Отложим от точки O отрезок OA` равный OA, так чтобы
OA и OA` были дополнительными. Тогда точка A` называется симметричной
98
точке A относительно точки O. (Рис. 16)
Рис. 16.
Преобразование фигуры F в фигуру F`, при котором каждая ее точка A
переходит в точку A`, симметричную относительно данной точки O, называется
преобразованием симметрии относительно точки O. Тогда фигуры F и F`
называются симметричными относительно точки O.
Если преобразование симметрии переводит фигуру в саму себя, то такая
фигура называется центрально-симметричной. (Рис. 17)
Рис. 17.
Учащиеся
приводят
примеры
центрально
–
симметричных
фигур
(параллелограмм, квадрат, окружность)
Теорема.
Преобразование
симметрии
относительно
точки
является
движением (учащиеся доказывают по учебнику)
Рассмотрим симметрию относительно прямой (учащиеся работают в
парах, изучают теоретический материал, делают соответствующие записи в
тетради)

Две точки А и А1 называются симметричными друг другу
относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит
через его середину. Прямую m называют осью симметрии.

При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии
симметричные фигуры совместятся.
99

Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Квадрат имеет четыре оси симметрии.

Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью
симметрии. Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии. (Рис. 18)
Рис. 18.
Точки А и А1 симметричны относительно прямой m, так как прямая m
перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. m – ось симметрии.
(Рис. 19)
Рис. 19.
Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l.
Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа
совпадут. (Рис. 20)
100
Рис. 20.
Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l, k и s.
Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части
квадрата совпадут. (Рис. 21)
Рис. 21.
Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное
количество осей симметрии. Это прямые: m, m1, m2, m3 ...
Задание. Построить точку А1, симметричную точке А(-4; 2) относительно
оси Ох.
Построить точку А2, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Оy.
(Рис 22)
101
Рис. 22.
Точка А1(-4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Ох, так как
ось Ох перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину.
Вывод (делают учащиеся) У точек, симметричных относительно оси Ох
абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.
Точка А2(4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Оy, так как ось
Оу перпендикулярна отрезку АА2 и проходит через его середину.
У точек, симметричных относительно оси Оу ординаты совпадают, а
абсциссы являются противоположными числами.
Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет симметрии.
Красота не всегда связана только с симметрией. При рассмотрении симметрии
надо принимать во внимание не только саму симметрию, но и отклонения от неё.
Симметрия и асимметрия должны рассматриваться совокупно, в едином подходе.
Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в
Москве. Нельзя не восхищаться этой причудливой композицией из 10 различных
храмов.
Слайд 1,2.
Каждый храм геометрически симметричен, однако собор как целое не
обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией. Архитектурные формы
собора как бы накладываются друг на друга, пересекаются, поднимаются, обгоняя
друг друга, и завершаются центральным шатром. И все это настолько
гармонично, что вызывает ощущение праздника.
Осевую симметрию можно видеть на капители колонны Персеполя (VIII-VII
в.до н.э. Капители (верхние части) колонн выполнены в виде двух полуфигур
102
быков, соединенных спинами, с подогнутыми передними ногами. Пропорции
колонн Персеполя не имеют аналогов во всем древнем зодчестве.
Ворота Иштар Вавилон напоминают покрытый узором ковер.
(Слайд 3)
Симметрия с давних пор считается одним из важных условий красоты
формы. В своей творческий практике человек целенаправленно использует,
копирует красоту природы. Применение симметрии в производстве, архитектуре,
быту, определяется не только требованиями практического использования тех или
иных предметов, но и эстетическими мотивами. Нам нравится смотреть на
проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет или
Солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, наконец, на цветы, которые
почти симметричны. Снежинки, кристаллики льда имеют поворотную симметрию
6-го порядка.
Слайд 4
Ты качаешь головою,
Говоришь с улыбкой ты:
«Симметрично всё живоеЛюди, звери и цветы»
Это так. Но между прочим
Вот береза. И на ней
ветви к северу короче,
к югу ярче и пышней.
Конечно нельзя забывать и о природных условиях, влияющих на рост
растений.
Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды. В
своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет «На земле жизнь
зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по
двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией
конуса и мир животных с билатеральной симметрией. Термин «билатеральная
103
симметрия» часто встречается в биологии. При этом имеется в виду зеркальная
симметрия. (от лат. Билатеральный-«дважды боковой»
Листья клена, дуба, да и любого растения симметричны относительно
центральной линии. Для них характерна зеркальная симметрия.
Слайд 5.
Для цветов характерна поворотная симметрия
Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при
повороте на углы 180 и 360.
Слайд 6.
Нередко встречаются цветы с поворотных симметрий
4-го порядка (сирень, чистотел)
Слайд 6.
•
Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка.
Эта симметрия встречается у многих полевых цветов (гвоздики, незабудки,
лапчатка гусиная, вишня, яблоня, земляника, малина, калина, черемуха, герань,
лютик)
Слайд 7.
И всё-таки семицветик нашёлся!
В малочисленном роду Trientalis (семейства первоцветных) всего-то три
вида, из них два встречаются на территории нашей страны
Слайд 7.
Симметрия в природе, - это симметрия, которую видит наблюдатель
невооруженным глазом. Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне
изучения вещества. Она проявляется в недоступном непосредственному
наблюдению геометрически упорядоченных атомов структурных молекул и
кристаллов.
Слайд 8
Молекула углекислого газа
Молекула воды
104
Обе молекулы имеют плоскость симметрии. Наличие зеркальной симметрии
объясняется тем, что парные одинаковые атомы одинаковым образом связаны с
третьим атомом. Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в
молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения. Все
твердые тела состоят из кристаллов. Кристаллы- это многогранники достаточно
правильной формы с плоскими гранями и прямыми ребрами
Слайд 9.
И не внешняя форма характеризует кристалл, а его внутренняя структура,
расположение атомов. Эти атомы создают нечто вроде гигантской молекулы, а
точнее, упорядоченную пространственную решетку.
Подведение итога урока.
Симметрия играет определяющую роль не только в процессе научного
познания мира, а также и в процессе его чувственного эмоционального
восприятия.
Знание законов природной симметрии позволяет нам увидеть единство и
гармонию живой и неживой природы, предвидеть формы живых существ на
других планетах, строить совершенные строительные сооружения, машины,
летательные аппараты. Для объяснения причин прекрасных образований в
природе, красоты произведений искусства, красоты в технике, необходимы
знания по физике и химии, математике и биологии. Только гармонически
развитый человек способен увидеть красоту, скрытую от глаз, ощущать радость
от общения с ней и создавать прекрасное своим творческим трудом
Домашнее задание
Всем:
1.Творческое задание. Построить фигуры, симметричные относительно
точки, относительно прямой (на отдельных листах)
По группам:
1.
Симметрия в живой природе. Примеры
2.
Симметрия в неживой природе. Примеры
105
План-конспект №13
Тема: Симметрия живой и неживой природы
Тип занятия: контроль знаний
Форма занятия: урок-семинар
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: показать взаимосвязь математики и живой и неживой природы.
Ход занятия
1.Каждый ученик демонстрирует свои фигуры и поясняет как выполнялось
задание.
2. По группам представляют проекты по темам:
1.
Симметрия в живой природе. Примеры. (группа1)
2.
Симметрия в неживой природе. Примеры (группа 2)
План-конспект №14
Тема: Симметрия в пространстве
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: Разобрать понятие симметрии в пространстве.
Дополнительные материалы: презентация (приложение №3)
Ход занятия
Слайд 1.
Материал урока.
Начать
наш
сегодняшний
урок
хочется
словами
немецкого
математика Германа Вейля: «Симметрия, как бы широко или узко мы не
понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и
создать порядок, красоту и совершенство».
Симметрия – один из законов, обеспечивающих гармонию вселенной.
Именно о симметрии мы сегодня и поговорим.
106
Слово симметрия происходит от древнегреческих слов «сим» –совместно и
«метрио» – измеряю.
Это понятие для нас уже знакомое – в планиметрии мы уже говорили о
центральной и осевой симметриях. Давайте вспомним, что фигура называется
симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре.
Прямая a называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что
она обладает осевой симметрией.
Давайте приведем примеры таких фигур из жизни и геометрии. Например,
бабочка обладает осью симметрии. У бабочки крылья симметричны относительно
брюшка, кленовый лист симметричен относительно одной из центральных жилок.
Вообще в нашей жизни очень много примеров осевой симметрии. В геометрии к
фигурам с осевой симметрией относятся: прямоугольник, равнобедренный
треугольник, ромб и другие.
Слайд 2.
Напомним, что фигура называется симметричной относительно точки О,
если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О
также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.
Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые
цветы. В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур
являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм
(центром симметрии является точка пересечения диагоналей).
Слайд 3.
В стереометрии мы будем говорить о симметрии относительно точки,
прямой и плоскости.
Точки А и A1 называются симметричными относительно точки О, если О –
середина отрезка AA1. Точка О называется центром симметрии. Точка О
считается симметричной сама себе.
Слайд 4.
107
Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой a, если
прямая a проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к этому
отрезку. Прямая a называется осью симметрии. Каждая точка прямой А считается
симметричной самой себе.
Слайд 4.
Точки А и A1 называются симметричными относительно плоскости α, если
плоскость α проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к этому
отрезку. Плоскость α называется плоскостью симметрии.
Слайд 4.
Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.
Теперь давайте введем понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры.
Точка, прямая или плоскость называется соответственно центром, осью или
плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична
относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр, ось
или плоскость симметрии, то, говорят, что она обладает центральной, осевой или
зеркальной симметрией.
Слайд 5.
Например, если рассмотреть прямоугольный параллелепипед, то у него есть
центр симметрии – точка пересечения диагоналей параллелепипеда, ось
симметрии, и плоскости симметрии.
Слайд 6.
Фигура может иметь один или несколько центров симметрии, осей
симметрии, плоскостей симметрии.
Есть фигуры, которые имеют бесконечно много центров, осей или
плоскостей симметрии. Простейшими такими фигурами будут плоскость и
прямая.
Но есть фигуры, у которых нет ни центров, ни осей, ни плоскостей
симметрии. Например, произвольная призма и пирамида, если они не являются
прямыми или правильными не имеют ни осей, ни центров, ни плоскостей
симметрии.
108
В таких случаях говорят об асимметрии. Термин асимметрия обозначает
отсутствие симметрии.
Слайд 7.
В жизни очень много примеров симметрии: в архитектуре, быту, биологии.
Слайд 8.
Почти все кристаллы, которые встречаются в природе, имеют центр, ось и
плоскость симметрии.
В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называются
элементами симметрии этого многогранника.
Но природа загадала очень много загадок. Например, зачем она
дублировала некоторые части в наших организмах: ноги, руки, некоторые
внутренние органы.
Глядя
на
лицо
человека,
можно
предположить,
что
наши
лица
симметричны, но на самом деле человек асимметричен.
Компьютерные программы сегодня предоставляют широкую возможность
убедится в этом. Например, если взять правую половину лица, отразить ее
зеркально и составить из получившихся частей целое лицо, потом проделать
такую же операцию с левой половиной лица, то лица получатся абсолютно
разные. Почему так происходит? Никто не даст вам точного ответа. Как не
ответят вам на вопрос: почему на лице глаза парные, а нос и рот нет. Это загадки
природы.
Домашнее задание:
Повторить теорию
План-конспект №15
Тема: Симметрия в пространстве
Тип занятия: контроль знаний
Форма занятия: урок-семинар
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: Разобрать понятие симметрии в пространстве.
Дополнительные материалы: презентация (приложение №3)
109
Ход занятия
Продолжим предыдущее занятия и вспомним теорию.
Выполним несколько практических заданий.
Задача. Даны три точки А, В и М. Построить точку, симметричную точке М
относительно середины отрезка АВ.
Построение:
Слайд 9.
1.
Окр. (A,r)
2.
Окр. (B,r)
3.
AO=OB
4.
MO
5.
M1O=MO
6.
M1-искомая
Задача. Какие из букв А, О, М, Х, К имеют центр симметрии?
Решение:
Слайд 10.
Решим еще одну задачу.
Задача. Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой
прямой, и точка М. Построить точку, симметричную точке М относительно той
же прямой.
Построение:
Слайд 11
1.
Окр. (M,r)
2.
Окр. (C,R)
3.
Окр. (D,R)
4.
b- серединная переменная
5.
M1N=MN
6.
M1-искомая
Задача. Какие из букв A, Б, Г, Е имеют ось симметрии?
Решение:
110
Слайд 12.
Подведем итоги урока:
Сегодня на уроке мы закончили тему и рассмотрели симметрию
относительно точки, прямой и плоскости.
План-конспект №16
Тема: Правильные многогранники
Тип занятия: урок сообщения новых знаний
Форма занятия: урок-лекция
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: Познакомить учащихся с типом выпуклых многогранников –
правильными многогранниками.
Дополнительные материалы: презентация (приложение №4)
Ход занятия
Слайд 1.
Материал урока.
Многогранники являются геометрическими телами, совершенство, красота
и гармония которых удивляет и завораживает глаза. Многогранники окружают
нас в жизни повсюду. Их создают люди своими руками, их создает природа.
Слайд 2.
Прежде
чем
мы
перейдем
к
изучению
вопросов
о
правильных
многогранниках, напомним некоторые уже известные вам понятия.
Вообще,
многогранник
представляет
собой
геометрическое
тело,
ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные
из которых не лежат в одной плоскости.
Назовем элементы многогранника.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его
гранями. Заметим, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в
одной плоскости.
Стороны граней называются ребрами многогранника. А концы ребер –
вершинами многогранника.
111
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани –
называется диагональю многогранника.
Также элементами многогранника называют углы его граней и углы между
гранями.
По
числу
граней
различают
четырехгранники,
пятигранники,
шестигранники и т.д.
Слайд 3.
Многогранники, также, как и многоугольники бывают выпуклыми и
невыпуклыми. Смотрите, если провести плоскость через какую-нибудь грань, то
весь многогранник будет лежать по одну сторону от этой плоскости. Аналогично,
если провести плоскости и через остальные его грани, многогранник всегда будет
расположен по одну сторону от этих плоскостей. Такой многогранник называется
выпуклым. Напомним определение: многогранник называется выпуклым, если он
лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Если это условие не выполняется, т.е. многогранник лежит по разные
стороны хотя бы от одной плоскости, проходящей через грань, то многогранник
называется невыпуклым.
Слайд 4.
На рисунке изображен пример невыпуклого многогранника. Если провести,
например, плоскость через указанную грань, то видно, что одна часть
многогранника расположена по одну сторону, а вторая его часть по другую
сторону этой плоскости.
Легко заметить, что все грани выпуклого многогранника являются
выпуклыми многоугольниками.
Вам уже знакомы такие словосочетания, как «правильная призма»,
«правильная пирамида». Оказывается, эти словосочетания, знакомых вам
понятий, образуют совершенно новое с геометрической точки зрения понятие.
Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все
его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится
одно и то же число ребер.
112
Существует и другое определение правильного многогранника. Выпуклый
многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные
многоугольники и двугранные углы при всех ребрах равны между собой.
Оба эти определения используются в математике как равноправные.
Вообще существует пять видов правильных многогранников. Два из них мы
уже знаем – это куб и тетраэдр.
Слайд 5.
Куб в ряду правильных многогранников называют гексаэдром. Все грани
куба –равные квадраты (правильные четырехугольники), а в каждой его вершине
сходятся три ребра.
Многогранник,
вершинами
которого
являются
концы
двух
скрещивающихся диагоналей противолежащих граней куба, также является
правильным. Каждая его грань – равносторонний треугольник, а в каждой
вершине сходятся три ребра. Это тетраэдр.
Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу.
Мы с вами уже отметили, что существует только пять видов правильных
многогранников. Для того чтобы установить это, заметим, что можно доказать
следующее свойство: в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при
каждой вершине меньше 360°.
Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого
являются правильные 6, 7 и вообще n-угольники при n≥6.
Так как  =
1800 ∙(−2)

, то при  ≤ 6  ≥ 1200 .
С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не
менее 3 плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник,
гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6, то сумма всех
плоских углов при каждой вершине была бы не меньше чем 120°·3=360°. Но это
невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого
многогранника меньше 360°.
Что и требовалось доказать.
113
Сделаем вывод: каждая вершина правильного многогранника может быть
вершиной:
- трех, четырех или пяти равносторонних треугольников;
- трех квадратов;
- трех правильных пятиугольников.
Таким
образом,
существуют
следующие
пять
видов
правильных
многогранников: тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Слайд 6.
Рассмотрим каждый из них.
Правильный тетраэдр составлен из 4 равносторонних треугольников.
Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно,
сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Правильный октаэдр составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая
вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно,
сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
Правильный икосаэдр составлен из 20 равносторонних треугольников.
Каждая вершина икосаэдра является вершиной 5 треугольников. Следовательно,
сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.
Гексаэдр (или куб) составлен из 6 квадратов. Каждая вершина куба является
вершиной 3 квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине
равна 270°.
Правильный додекаэдр составлен из 12 правильных пятиугольников.
Каждая вершина додекаэдра является вершиной 3 правильных пятиугольников.
Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
В переводе с греческого тетраэдр, гексаэдр или куб, октаэдр, додекаэдр,
икосаэдр означают
четырехгранник,
шестигранник,
восьмигранник,
двенадцатигранник, двадцатигранник.
Слайд 7.
Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, не
существует.
114
Факт существования пяти правильных многогранников был установлен еще
во времена древних греков. В Древней Греции пяти правильным многогранникам
придавали особый мистический смысл. Впервые исследованные пифагорейцами
эти пять правильных многогранников были впоследствии описаны Платоном и
стали называться Платоновыми телами. Согласно Платону, атомы четырех
основных элементов, из которых строится мир, имеют форму правильных
многогранников. Тетраэдр
символизировал
огонь, поскольку
его
вершина
устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – воду, так как самый
«обтекаемый». Куб – землю, как самая устойчивая из фигур. Октаэдр – воздух,
как самый «воздушный». А вся Вселенная, согласно Платону, имеет вид
додекаэдра. Додекаэдр символизировал все мироздание, считался главным.
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также
скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония
многогранников. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто
изображал их на своих полотнах.
Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со
своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Слайд 8.
Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX
веке являются, конечно, графические фантазии голландского художника Маурица
Эшера. Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое
очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной
фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве
вспомогательных элементов. На гравюре «Четыре тела»
Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников,
расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят
полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Слайд 9.
Каждый правильный многогранник обладает определенными элементами
симметрии. Например, прямая, проходящая через середины противолежащих
115
ребер правильного тетраэдра, является его осью симметрии. Всего тетраэдр имеет
три оси симметрии.
Слайд 10.
Интересно знать! Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, а
кристаллы пирита имеют форму додекаэдров.
Слайд 11.
Модели поверхностей правильных многогранников можно склеить из
плотной бумаги или картона, воспользовавшись для этого развертками этих
многогранников.
Слайд 12.
Помимо
правильных
многогранников
существуют
так
называемые
полуправильные многогранники. Это выпуклые многогранники, которые, не
являясь правильными, имеют их некоторые признаки. Например: все грани равны,
все грани являются правильными многоугольниками. К таким фигурам относятся,
например, кубоэктаэдр – фигура, гранями которой являются восемь правильных
треугольников и шесть квадратов, или, например, курносый додекаэдр – фигура,
которая состоит из восьмидесяти правильных треугольников и двенадцати
правильных пятиугольников.
Слайд 13.
Подобных многогранников существует 26.
Подведем итоги урока. На этом уроке мы познакомились с понятием
правильного многогранника. Выявили, что существуют только пять видов
правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, икосаэдр и
додекаэдр. А также рассмотрели каждый из них.
Домашнее задание:
Повторить теорию.
Подготовить проекты по группам:
1.Правильные многогранники. Примеры
2.Полуправильные многогранники. Примеры
116
План-конспект №17
Тема: Правильные многогранники
Тип занятия: контроль знаний
Форма занятия: урок-семинар
Форма работы учащихся: фронтальная, групповая
Цель: Познакомить учащихся с типом выпуклых многогранников –
правильными многогранниками.
Дополнительные материалы: презентация (приложение)
Ход занятия
Вспомнить теорию путем беседы, о чем говорили на предыдущем занятии.
Разобрать проекты по группам:
Правильные многогранники. Примеры (группа 1)
Полуправильные многогранники. Примеры (группа 2)
Отметим, что в начале изучения программы факультативного курса
учащимся выдаются темы исследовательских работ; защита проектов по
данным темам проходит в рамках учебно-исследовательской конференции
школьников. Лучшие работы отбираются на школьную или городскую научную
конференцию учащихся.
Предлагаемые
ниже
темы
исследовательских
работ
могут
быть
использованы учащимися при выполнении индивидуальных или групповых
проектов, или в качестве индивидуальных научно-исследовательских работ.
Тема 1. Золотое сечение в окружающей среде
План работы:
1.
Понятие золотого сечения.
2.
Геометрическое определение золотого сечения.
3.
Исследование присутствия золотого сечения в окружающей среде.
Рекомендуемая литература:
1.
160 с.
Азевич А. Двадцать уроков гармонии - М.: Школа-Пресс, 1998. –
117
2.
Васютинский Н. А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.
–
238 с.
3.
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения \\ Перевод с
английского Данилова Ю.А., под редакцией Смородинского Я.А. – М.: Мир, 1971.
– 511 с.
4.
Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979. – 332 с.
Тема 2. Последовательность Фибоначчи и ее использование
План работы:
1.
История возникновения.
2.
Определение последовательности Фибоначчи.
3.
Использование последовательности Фибоначчи.
Рекомендуемая литература:
1.
Бендукидзе А. Д. Золотое сечение// Квант. - 1973. - №8. – С. 22-27.
2.
Васютинский Н. А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.
–
238 с.
3.
Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. - М.: Наука, 1964. – 420 с.
4.
Пидоу Д.
Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979. – 332 с.
5.
Маркушевич А. И. Возрастные последовательности. - М.: Наука,
1975. – 47 с.
Тема 3. Свойства правильных многогранников
План работы:
1.
Понятие правильных многогранников.
2.
Свойства правильных многогранников.
Рекомендованная литература:
1.
Березин В. Н. Правильные многогранники/ /Квант. - 1973. - №5. - С.
26-28.
2.
Литвиненко В. Н. Многогранники. Задачи и решения: - М.: «Вита-
Пресс», 1995. – 192 с.
3.
17.
Матиясевич Ю. Модели многогранников// Квант. - 1978. - №1. - С. 8-
118
4.
Смирнова
И.М.,
Смирнов
В.А.
Что
такое
«Полуправильный
многогранник» // Учебно-методическая газета «Математика». - 2007 . - №16 С. 2326.
5.
Смирнова И. М. В мире многогранников: Кн. Для учащихся. - М.:
Просвещение, 1995. - 143 с.
Тема 4. Сечения правильных многогранников
План работы:
1.
История начертательной геометрии.
2.
Методы построения сечений.
3.
Задачи на построение.
Рекомендуемая литература:
1.
Вагутен В. Н. Правильные многогранники и повороты//Квант. 1989. -
№10. - С.46-51.
2.
Демьянов В. П. Геометрия и Марсельеза. М.: Познание, 1986. - с.25.
3.
Монж Г. Начертательная геометрия. / Комментарии и редакция Д.И.
Каргина. - М.: Изд-во АН СССР, 1974. - 291 с.
4.
Начертательная геометрия. //Под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.: Высшая
школа, 1963. – 420 с.
5.
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для
общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением
математики. — М.: Дрофа, 2008. – 223 с.
6.
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для
общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением
математики. — М.: Дрофа, 2008. – 256 с.
7.
Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости.
Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физикоматематического факультета педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2004.
Тема 5. Эти удивительные орнаменты и паркеты.
План работы:
1.
Линейные орнаменты и паркеты.
119
2.
Построение орнаментов и паркетов.
3.
Уравнение орнаментов.
Рекомендуемая литература:
1.
Болтянский В. Г. Паркет из четырехугольников// Квант. - 1989. №11.-
С. 56-60.
2.
Бржозовский М. И. Уравнения орнаментов// Квант. – 1972 – №7 –
С.14–19.
3.
Земляков А. Орнаменты. // Квант. – 1973. – №3 – С. 20-27.
4.
Несколько орнаментов по мотивам Эшера// Квант. – 1991. – №2. –
5.
Колмогоров А. Н. Паркеты из правильных многоугольников//
С.45.
Квант.1970. - №3. - С. 24-27.
Тема 6. Пифагор и его школа. Учения Пифагорейцев.
План работы:
1.
Пифагор.
2.
Школа пифагорейцев.
3.
Учение о пропорциях.
Рекомендуемая литература:
1. Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 2000.
– 335 с.
2.
Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа, - Наука, 1990. – 193 с.
3.
Лосев А. Ф. Миф, число, сущность. - М.: 1994. - 920 с.
4.
Перепелицин М.Л. Философский камень, - 1990. – 208 с.
5.
Шуре Э. Великие Посвещенные, 1 том, перевод Е. Писаревой. -
Калуга: 1914. – 174 с.
Таким образом, эстетическое воспитание учащихся может осуществляться
не только в рамках уроков математики, а также и вне их, например, входе
специально разработанных факультативных курсов.
ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ
120
1.
Установлено, что математическая задача будет способствовать
формированию и развитию эстетического вкуса учеников в том случае, если она
отвечает определенным требованиям:
1)
условие задачи должно быть интересно школьнику, если задача
геометрическая, то чертеж должен быть "красивым";
2)
задача должна устанавливать интересный факт, порой неожиданный;
3)
в решение задачи обязательно нужно спрятать "изюминку", чтобы оно
было наглядно и удивительно просто;
4)
желательно, чтобы было несколько способов решения задачи.
2.
Выявлены методические особенности формирования эстетического
вкуса у учащихся при решении математических задач в общеобразовательной
школе:
1)
поощрение поиска самостоятельных путей и приемов рационального
решения;
2)
демонстрация учителем оригинальных путей решения доступных для
учащихся задач;
3)
применять прием достраивания фигуры, использовать красоту
симметрии, которая, как известно, выражает эстетическую категорию порядка.
121
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты, полученные в работе, позволяют сделать следующие выводы:
1.
Изучено понятие эстетического воспитания и его задачи при
обучении математике. Установлено, что под эстетическим воспитанием учащихся
в процессе обучения математике мы понимаем совокупность ее возможностей и
ресурсов, которые могут быть реализованы как средства эстетического развития
личности.
2.
Рассмотрено понятие красоты в математике. Изучив различные
подходы к понятию красоты в математике, выявлено, что красота в математике
выражается в: гармонии чисел и форм; геометрической выразительности;
стройности математических формул; изяществе математических доказательств;
порядке; богатстве приложений; универсальности математических методов.
3.
Раскрыты уровни красоты математического объекта. Определено,
что существует три уровня привлекательности математического объекта, где
предъявляемый объект: а) привлекателен тем, что совпадает с образом,
сформированным у школьников; б) не полностью соответствует своему образу, но
может быть легко до него дополнен; в) предполагает рассмотрение его
внутренней структуры, то есть привлекательность заключена в поиске различных
способов решения задачи, выделение среди них наиболее оригинального.
4.
Выделены требования, предъявляемые к математической задаче,
способствующей
формированию
эстетического
вкуса
у учащихся
в общеобразовательной школе: а) условие задачи должно быть интересно
школьнику, если задача геометрическая, то чертеж должен быть "красивым";
б) задача должна устанавливать интересный факт, порой неожиданный;
в) в решение задачи обязательно нужно спрятать "изюминку", чтобы оно
было наглядно и удивительно просто; г) желательно, чтобы было несколько
способов решения задачи.
5.
Выявлены методические особенности формирования эстетического
вкуса у учащихся при решении математических задач в общеобразовательной
школе: поощрение поиска самостоятельных путей и приемов рационального
122
решения; демонстрация учителем оригинальных путей решения доступных для
учащихся задач; применение приемов достраивания фигуры, использование
красоты
симметрии
при
решении
некоторых
задач,
которая,
выражает
эстетическую категорию порядка.
6.
Разработана программа факультативного курса «Математика и
эстетика», способствующего формированию эстетического вкуса у учащихся
общеобразовательной школы.
123
ЛИТЕРАТУРА
1.
Азевич А. Двадцать уроков гармонии - М.: Школа-Пресс, 2008. –
2.
Алгебра для 9 класса: Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с углубл.
160 с.
изуч. математики/ Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев;
Под ред. Н.Я. Виленкина. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 384 с.
3.
Алгебра и начала анализа: учеб.
для 10-11 кл. общеобразоват.
учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.:
Просвещение, 2017. – 384 с.
4.
Алгебра:
Учеб.
для
8
кл.
общеобразоват.
учреждений
/
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под ред.
С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2013. – 239 с.
5.
Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. – М.:
Высшая школа, 2008. – 192 с.
6.
Аленов М. М., Евангулова О.С., Лифшиц Л.И. Русское искусство X –
начала XX века. – М., 2009. – 480 с.
7.
Антоновский М.Я. Простота восприятия – важнейшая часть понятия
наглядности// Математика в школе. – 2011. - №4. – С. 64-68.
8.
Бендукидзе А. Д. Золотое сечение// Квант. - 2013. - №8. – С. 22-27.
9.
Березин В. Н. Правильные многогранники/ /Квант. - 2013. - №5. -
С. 26-28.
10.
Болтянский В. Г. Паркет из четырехугольников// Квант. - 2015. №11.-
С. 56-60.
11.
Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика// Математика в
школе. - 2012. - №2. – С. 40-43.
12.
Бородуля И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для
учителя. – М.: Просвещение. 2009. – 239 с.
13.
Бржозовский М. И. Уравнения орнаментов// Квант. – 2012 – №7 –
С.14–19.
14.
Вагутен В. Н. Правильные многогранники и повороты//Квант. 2015.
124
-№10 .- С.46-51.
15.
Васютинский Н. А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 2010.
– 238 с.
16.
Вейль Г. Симметрия. - М.: Наука, 2008. – 192 с.
17.
Волошинов А. В. Союз математики и эстетики// Математика в школе.
– 2016. - №7. – С. 62-67.
18.
Волошинов А. В. Союз математики и эстетики// Математика в школе.
– 2016. - №8. – С.65- 70.
19.
Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 2010. –
20.
Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты. - М.:
335 с.
Просвещение,2013. – 224 с.
21.
Волькенштейн М. Красота науки// Наука и жизнь. – 2008. - № 9. -
С. 15-19.
22.
Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. - М.: Наука,2014г. – 420 с.
23.
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения \\ Перевод с
английского Данилова Ю.А., под редакцией Смородинского Я.А. - Москва: Мир,
2011 – 511 с.
24.
Геометрия: Учебн. для 7- 9 кл. сред. шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,
С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2014. – 335 с.
25.
Горшков А.А. Эстетическое воспитание учащихся на уроках
математики//Ярославский педагогический вестник. – 2012.- №2. – С. 88-91.
26.
Демьянов В. П. Геометрия и Марсельеза. - М.: Познание, 2016.- 254 с.
27.
Ершова, А.П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и
началам анализа для 10-11 классов: Учеб. Пособие / А.П. Ершова, В.В.
Голобородько – М.: Илекса. – 2012. –176 с.
28.
Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа, - Наука, 2010. – 193 с.
29.
Задачи по математике//Квант. 2016. - №3. – С. 35.
30.
Земляков А. Орнаменты.// Квант. – 2013. – №3 – С. 20-27.
125
31.
Ковалева Г. И., Астахова Н. А., Дюмина Т. Ю. Теория и методика
обучения математике: конструирование систем задач: учеб. Пособие. – Волгоград:
Изд-во ВГПУ «Перемена», 2008. – 156 с.
32.
Коджаспирова Г.М., Коджаспиров А.Ю. Словарь по педагогике. – М.:
ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д: Издательский центр «МарТ», 2015. – 448 с.
33.
Кокстер Г.С. Введение в геометрию. М., 2016. - 648 с.
34.
Колмогоров А. Н. Паркеты из правильных многоугольников//Квант. -
2010. - №3. - С. 24-27.
35.
Концепция
долгосрочного
социально-экономического
развития
Российской Федерации на период до 2020 г. //Правительство Российской
Федерации.
–
Распоряжение
от
17
ноября
2008 г.
№ 1662-р.
URL:
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_82134 (дата обращения
25.05.2015).
36.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., 2017. - 560 с.
37.
Леман И. Увлекательная математика. Перев. с нем. – М.: Знание. –
2015. – 272 с.
38.
Литвиненко В. Н. Многогранники. Задачи и решения: - М.:
«ВитаПресс», 2015. – 192 с.
39.
Лосев А. Ф. Миф, число, сущность. - М.: 2014. - 920 с.
40.
Маркушевич А. И. Возрастные последовательности. - М.: Наука,
2015. – 47 с.
41.
Матиясевич Ю. Модели многогранников// Квант. - 2018. - №1. - С. 8-
42.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С.
17.
Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр –S,
2008. – 656 с.
43.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая
методика. Учебное пособие для студентов физ.- мат. фак. пед. ин-ов / /Колягин
Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. – М.: Просвещение, 2015.
– 462 с.
126
44.
Миганова Е. Ю. Красивая задача// Гуманитаризация математического
образования в школе т вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 2. – Саранск: Поволжск.
отд. РАО, МГПИ им. М. Е. Евсевьева, СВМО, 2012. - С.31-36.
45.
Минковский В.Л. Об элементах эстетического воспитания на уроках
математики//Математика в школе. – 2013. - №4. – С. 23-30.
46.
Монж Г. Начертательная геометрия./ Комментарии и редакция
Д.И. Каргина. - М.: Изд-во АН СССР, 2014 .- 291 с.
47.
Мордкович А. Г. и др. Алгебра. 7 кл.: Задачник для общеобразоват.
учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. – М.:
Мнемозина, 2013. – 160 с.
58. Мордкович А. Г. и др. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для
общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е.
Тульчинская. – 5-е изд., испр. – М.:Мнемозина, 2013. – 239 с.
49.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11
классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений
(базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. –
399 с. :ил.
50.
Муравин Г. К. Алгебра. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений/
Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. – 7-е изд., дораб. – М. : Дрофа,
2009. – 286 с.
51.
Муравин Г.К. Программа курса математики для 5-11 классов
общеобразовательных учреждений/ Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа,
2017. – 158 с.
52.
Муравин Г.К. Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10
класс: учебник / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014. – 318с.
53.
Начертательная геометрия. //Под ред. Н.Ф. Четверухина.- М.: Высшая
школа, 2013. – 420 с.
54.
С. 45.
Несколько орнаментов по мотивам Эшера// Квант. – 2011. – №2. –
127
55.
Педагогика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/ Под ред. Ю.К.
Бабанского. – М.: Просвещение, 2013. – 608 с.
56.
Перепелицин М. Л. Философский камень, - 2010. – 208 с.
57.
Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 2009. – 332 с.
58.
Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват.
учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – 383с.
59.
Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости.
Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физикоматематического факультета педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2014.
60.
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для
общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением
математики. — М.: Дрофа, 2012. – 256 с.
61.
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для
общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением
математики. — М.: Дрофа, 2012. – 223 с.
62.
Разумный В.А. Эстетическое воспитание: Сущность. Формы. Методы.
– М.: издательство «Мысль»,2009. – 81 с.
63.
Рощина Н. Л.
Формирование эстетического вкуса учащихся в
процессе решения планиметрических задач: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02:
Москва, 2008. – 152 с.
64.
Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб.
посо-бие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. – Саранск:
Тип. «Крас. Окт.», 2009. – 208 с.
65.
Саранцев Г.И. Эстетическая мотивация в обучении математике. – ПО
РАО, Мордов. пед. ин-т. – Саранск, 2013. – 136 с.
66.
Смирнова
И.М.,
Смирнов
В.А.
Что
такое
«Полуправильный
многогранник» // Учебно-методическая газета «Математика».- 2007 . - №16. С.23-26
67.
Смирнова И. М. В мире многогранников: Кн. Для учащихся.- М.:
Просвещение, 2015. - 143 с.
128
68.
Смолина Н.И. Традиции симметрии в архитектуре. – М.:Стройиздат,
2010. – 345 с.
69.
Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир: Пособие для
учащихся. - М.: Просвещение, 2012 . – 176 с.
70.
ФГОС основного общего образования // Электронный ресурс
URL: http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2588 2018.
71.
Фирстова Н.И. Введение элементов эстетического воспитания в
контекст школьных учебников по математике// Гуманитаризация среднего и
высшего математического образования: методология, теория и практика:
Материалы Всероссийской научной конференции. Саранск, 18-20 сентября 2012 г.
Часть 1/ Мордов. гос. пед. ин-т. – Саранск, 2012. – С. 141-143.
72.
Харламов И. Ф. Педагогика: Учеб.пособие. 2-е изд., перераб. и доп. –
М.: Высш. шк., 2010. – 576 с.
73.
Черник
О.В.
математики//Традиции
К
вопросу
гуманизации
и
об
эстетическом
гуманитаризации
потенциале
математического
образования: тезисы докладов Международной конференции, посвященной
памяти Г.В.Дорофеева – М.:ГОУ Педагогическая академия, 2010. – С. 125126.
74.
Черник О.В. Развитие эстетической воспитанности учащихся при
обучении математике: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02: Киров, 2013. – 160 с.
75.
Черник О.В. Эстетический аспект процесса решения математической
задачи// Гуманитаризация среднего и высшего математического образования:
методология,
теория
и
практика:
материалы
Всероссийской
научной
конференции. Саранск, 18-20 сентября 2012 г. Часть 1/Мордовский гос. пед. ин-т.
– Саранск, 2012. – С. 37 – 41.
76.
Чикунова О.И. Тригонометрические уравнения//Успехи современного
естествознания. – 2010. – №2. – С.131-133.
77.
Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. – М.:
Стройиздат, 2007. – 345 с.
78.
Шуре Э. Великие Посвещенные, 1 том, перевод Е. Писаревой. -
Калуга: 2014. – 174 с.
129
Приложение №1
Презентация «Симметрия в архитектуре»
Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
130
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
Слайд14
131
Приложение №2
Презентация «Симметрия в живой и неживоц природе»
Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
132
Слайд 9
133
Приложение №3
Презентация «Симметрия в пространстве»
Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
134
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
135
Приложение №4
Слайд 1
Презентация «Многогранники»
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
136
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа