close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Папин Александр Сергеевич. Методика обучения решению текстовых задач на уроках математики в основной школе

код для вставки
6
Содержание
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 8
Глава 1. Текстовые задачи в школьном курсе математики ................................ 9
1.1. ПОНЯТИЕ И СТРУКТУРА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ ........................ 9
1.2. РОЛЬ И МЕСТО ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ ......................................................................................... 12
1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ................................... 16
1.4. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ............................................................... 18
1.5. ИСТОРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ.............................................................. 21
1.6. ЗАДАЧИ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В
РОССИИ ................................................................................................................. 23
1.7. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В РОССИИ ..................................................................... 25
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ ............................................................... 28
Глава 2. Методика обучения решению текстовых задач .................................. 29
2.1. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ .................. 29
2.2.1. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СЛОЖЕНИЯ
И ВЫЧИТАНИЯ.................................................................................................... 35
2.2.2. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ .............................................................................. 37
2.2.3. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ ............ 39
2.2.4. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ВЗВЕШИВАНИЕ ........... 41
2.2.5. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ПЕРЕПРАВЫ ................. 43
2.2.6. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ
И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ .............................................................................. 44
7
2.2.7. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ
СМЕСЕЙ И СПЛАВОВ ........................................................................................ 48
2.2.8. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ ................... 53
2.3. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МЕТОДИКЕ
Г.Г. ЛЕВИТАСА .................................................................................................... 60
2.4. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МЕТОДИКЕ
В.Н. ЛЕБЕДЕВА .................................................................................................... 62
2.5. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
................................................................................................................................. 67
2.6.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В
ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ....................... 71
2.6.2 ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО
ИССЛЕДОВАНИЮ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
................................................................................................................................. 78
2.7. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В СОСТАВЕ ОГЭ ...................................... 80
2.8. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА
УРОКАХ АЛГЕБРЫ В 7 КЛАССЕ ..................................................................... 82
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................... 100
Приложение 1 ............................................................................................ 102
Приложение 2 ............................................................................................ 103
Приложение 3 ............................................................................................ 109
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................... 113
8
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время среди учащихся наблюдается тенденция неумения
решать текстовые задачи. Многие учащиеся даже не приступают к решению
текстовой задачи. Почему так происходит? Всё чаще в современной школе
возникают вопросы : зачем нужно учить учеников решению текстовых задач?
Как учить решать текстовые задачи?
Решение текстовых задач занимает значительное место в школьном
образовании. По этой причине обучение решению текстовых задач является
приоритетным направлением в современной школе, этим определяется
актуальность данной проблемы.
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: процесс обучения решению текстовых
задач в основной школе.
ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: методика обучения решению текстовых
задач в основной школе.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: разработать методику обучения решению текстовых
задач на уроках алгебры в 7 классе.
ГИПОТЕЗА: использование вспомогательных моделей при решении
текстовых задач повышает эффективность решения текстовых задач.
Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие
задачи:
1. Изучить психолого-педагогическую литературу по данной теме.
2. Изучить роль вспомогательных моделей при обучении решению
текстовых задач.
3. Раскрыть методику обучения решению текстовых задач.
Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из
введения, двух глав, заключения, приложений и списка литературы.
9
Глава 1. Текстовые задачи в школьном курсе математики
1.1. ПОНЯТИЕ И СТРУКТУРА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ
Текстовая задача – это описание некоторой ситуации на естественном
языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо
объекта этой ситуации, установить наличие или отсутствие какого-либо
отношения между компонентами задачи и определить вид этого отношения.
Если человек в процессе реализации цели своей деятельности встречает
какое-то затруднение, то говорят, что он попал в проблемную ситуацию.
Проблемная ситуация – это не просто препятствие, которое встретилось
человеку в процессе его деятельности, а осознанное им затруднение, способ
устранения которого человек желает найти. В процессе поиска способов
устранения затруднения человек анализирует проблемную ситуацию, в
процессе такого анализа он создаёт знаковую модель проблемной ситуации –
это и есть задача.
Задачи возникают и из заданной ситуации при изучении какого-либо
объекта, будь то процесс, явление или предмет. Часть характеристик этого
объекта возможно установить с помощью измерения, наблюдения или
другими способами. А другую часть характеристик этого объекта
непосредственно найти нельзя. Так, к примеру, изучая движение какого-либо
объекта, можно установить пройденный им путь и затраченное на это время,
а вот среднюю скорость этого объекта непосредственным измерением найти
нельзя.
При
этом
возникает
заданная
ситуация:
по
известным
характеристикам некоторого объекта найти другие его характеристики.
Изложение этой ситуации на каком-либо языке есть задача.
Несмотря на то, что существует огромное разнообразие текстовых
задач, все они имеют одну и ту же логическую структуру.
10
Первой составной частью любой задачи является ее предметная
область. Предметная область – это совокупность всех объектов, которые
явно или неявно рассматриваются в задаче. Рассмотрим пример.
Пример 1. За какое время плот, пущенный по течению реки, пройдет
расстояние от пристани A к пристани B, если катер проходит расстояние
между этими пристанями по течению реки за 5 часов, а против течения за 7
часов.
Предметная часть этой задачи состоит из следующих объектов:
пристани A и B, катер, плот и река. Характеристики этих объектов заданы
явно. Также в задаче есть некоторые объекты, характеристики которых
заданы неявно.
Следующие характеристики катера заданы явно: время движения по
течению реки – 5 часов, время движения против течения реки – 7 часов.
Неявно заданы: скорость движения по течению реки, скорость движения
против течения реки, собственная скорость катера.
Река имеет только одну характеристику, которая явно не задана, но
предполагаема – скорость течения.
Пристани A и B не имеют явно заданных характеристик. Названо лишь
расстояние между ними, размер которого не указан и его не требуется найти.
Поэтому это расстояние является неопределенным неизвестным.
Плот имеет только одну характеристику, которая задана явно – это
время, за которое он может проплыть по течению реки из пристани A в
пристань B. Это время является искомым, его требуется найти.
Среди явно заданных характеристик объектов могут быть конкретные,
когда указано значение этой характеристики, а могут быть лишь названные,
значения которых в задаче не даны. В первом случае соответствующие
объекты предметной области считаются известными, а во втором –
11
неизвестными. Неизвестные в свою очередь делятся на искомые (те, которые
требуется найти), вспомогательные (их нахождение не требуется, но их
необходимо найти для отыскания искомых) и неопределенные (их нельзя
найти и делать этого не требуется).
Второй составной частью задачи являются отношения и связи,
которыми связанны объекты предметной области. Эти отношения и связи
бывают известными и неизвестными, в том числе и искомыми.
Третьей составной частью любой задачи является её требование или
вопрос задачи. Требование задачи не всегда состоит в том, чтобы найти
искомую характеристику того или иного объекта предметной области.
Зачастую требование задачи состоит в том, чтобы найти искомое отношение
между объектами, построить какой-либо объект, доказать справедливость
того или иного утверждения.
Если в условии задачи рассматривается только один объект, то
указывается его качественная или количественная характеристика. В
зависимости от этого объекты таких условий могут быть известными и
неизвестными (промежуточными, искомыми или неопределенными).
В тех случаях, когда в условии задачи рассматриваются два или более
объектов, обычно указывается связь или отношение между ними.
12
1.2. РОЛЬ И МЕСТО ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
При внимательном анализе школьного курса математики можно
заметить, что в большой степени он состоит из теоретического обоснования
способов решения разнообразных задач. В курсе алгебры основной школы
текстовые задачи применяются при изучении следующих тем: сложение и
вычитание; умножение и деление; обыкновенные дроби; делимость чисел;
отношения, пропорции, проценты; буквенные выражения; десятичные дроби;
уравнения
с
одной
переменной;
системы
уравнений;
рациональные
уравнения; системы уравнений второй степени.
Решение текстовых задач по темам «Сложение и вычитание» и
«Умножение и деление» проводится арифметическим способом. Ученик
должен научиться осознанно решать такие задачи, в первую очередь,
формулируя вопросы, а затем делая выкладки. Решение задач данным
способом содействует развитию речи и мышлению учащихся, формирует
умение рассуждать. Решение текстовых задач по данным темам направлено
на формирование у учащихся умения осознано выполнять арифметические
действия над натуральными числами, применять законы для упрощения
вычислений.
Решение текстовых задач по теме признаки делимости также
проводится арифметическим способом. С помощью решения текстовых задач
по данной теме ученики должны усвоить, запомнить и научиться применять
признаки делимости на 10, на 5, на 2, на 9 и на 3.
Решение тестовых задач по теме обыкновенные дроби проводится
арифметическим способом. При помощи решения текстовых задач по данной
теме
у
учащихся
формируются
осознанные
умения
выполнять
арифметические действия над обыкновенными дробями, продолжается
развитие языка и логического мышления учащихся.
13
Изучая тему отношения, пропорции, проценты ученики продолжают
решать текстовые задачи арифметическим способом. Задачи на проценты
решаются и рассматриваются подобно задачам на обыкновенные дроби,
демонстрируется их решение с помощью пропорций. После изучения
десятичных дробей применяется новый способ решения текстовых задач на
проценты, который связан с умножением и делением на десятичную дробь.
При решении текстовых задач по данной теме у учащихся формируются
понятия процента и пропорции и навыки решения задач на деление числа в
данном отношении, на проценты, на прямую и обратную пропорциональную
зависимость.
Первые шаги в решении текстовых задач алгебраическим способом
ученики делают, изучая тему буквенные выражения. Учащиеся учатся
составлять буквенные выражения по условию текстовой задачи. Решение
задач по данной теме направлено на формирование у учащихся навыков в
составлении математической модели текстовой задачи, навыков осознанного
владения арифметическими действиями над рациональными числами.
Решение
текстовых
задач
по
теме
десятичные
дроби
может
проводиться и арифметическим, и алгебраическим способами. Применяются
новые приемы решения основных задач на проценты, которые сводятся к
умножению и делению на десятичную дробь, а также способы решения
сложных задач на проценты. Решая текстовые задачи по данной теме, дети
учатся совершать арифметические действия над десятичными дробями,
формируются навыки работы с приближенными вычислениями. Дети учатся
применять десятичные дроби в практических расчетах с помощью текстовых
задач.
В ходе решения текстовых задач на составления уравнений первой
степени у учащихся формируются начальные навыки в математическом
моделировании. При решении таких задач учащиеся убеждаются в
значимости умений выполнять преобразования выражений с переменными и
14
решать уравнения, которые сводятся к линейным уравнениям. При изучении
темы
«Уравнения
первой
степени»
применяются
текстовые
задачи
разнообразной тематики, это и задачи на проценты, и задачи на
сопоставление данных, и задачи на движение. Так же полезно при изучении
данной темы изучить старинные задачи, для того, чтобы у учащихся
сформировались навыки в переходе от одной системы координат к другой
(переводить пуды в килограммы, версты в километры и т.д.).
Одним из важнейших шагов в формировании математической
компетентности учащихся является решение текстовых задач с помощью
составления систем линейных уравнений с двумя переменными. При
решении таких задач можно прийти к тому, что решение системы уравнений,
составленной по условию задачи, не
Благодаря
этому
у
учащихся
соответствует смыслу этой задачи.
закрепляются
навыки
в
применении
математических моделей к практической деятельности. Решение задач на
вычисление
концентрации
растворов
характеризует
практическую
значимость формируемых умений. Эти же цели реализуются и при решении
задач на составление систем уравнений второй степени.
При
решении
текстовых
задач
на
составление
рациональных
уравнений, учащиеся переходят на новый уровень сложности. Усложняется
как процесс перехода от текста к математической модели, так и сами
уравнения, которые получаются при этом переходе. В процессе решения
уравнений, полученных из условия таких задач, зачастую можно получить
несколько корней, один из которых не удовлетворяет смыслу задачи,
вследствие чего закрепляется умение применять математические модели к
практической деятельности. Как и в предыдущих пунктах, решение
текстовых предоставляет учащимся возможность убедиться в практической
пользе знаний и умений, полученных ими при изучении математики.
Текстовые задачи по темам: «Комбинаторика», «Теория вероятностей»
и «Статистика» являются для учащихся самыми сложными для восприятия.
15
Математические модели таких задач являются одними из самых сложных для
составления. При этом разнообразие таких задач является наиболее
широким, за счет чего у учащихся формируется понимание того, что
количество математических моделей, используемых в решении задач,
меньше, нежели число этих самых задач. В процессе решения задач из этого
раздела
достигается
наивысший
уровень
сложности
составления
математических моделей.
Таким образом, основной ролью текстовых задач в курсе алгебры
основной школы является развитие умения моделировать с помощью
уравнений и систем уравнений ситуацию, которая описана в задаче, делать
логически правильные выводы, основанные на анализе имеющихся данных и
использовать эти данные для её решения. При решении текстовых у
учащихся формируются и развиваются навыки планирования своей работы,
выполнения работы, следуя намеченному плану, проверки полученного
решения
на
соответствие
межпредметными,
действия,
условию
которые
задачи.
их
Эти
навыки
формируют,
являются
называются
универсальными учебными действиями. В современных математических
стандартах этим действиям уделяется особое внимание.
16
1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Текстовые задачи в первую очередь делятся на традиционные и
проблемные. Традиционные текстовые задачи – это задачи на работу,
сплавы, движение и смеси, для таких задач в математике существует
алгоритм решения. Проблемные задачи – это такие задачи, для которых
в
курсе математики не существует общих алгоритмов решения, определяющих
точную программу их решения.
По характеру требования задачи делятся на три основных класса. 1
класс – задачи на нахождение искомого. В задачах этого класса требование
состоит в том, чтобы разыскать какое-либо искомое. 2 класс – задачи на
доказательство и объяснение. В задачах этого класса требование состоит в
том, чтобы проверить истинность или ложность какого-либо утверждения,
объяснить, почему имеет место то или иное утверждение. 3 класс – задачи на
преобразование и построение. К данному классу относятся задачи,
требование которых состоит в том, чтобы упростить какое-либо выражение,
представить его в другом виде, преобразовать его.
По функциям задачи делятся на дидактические, развивающие,
контролирующие и познавательные. Дидактические задачи – это задачи
управления
учебно-познавательной
развивающим
задачам
относятся
деятельностью
те
задачи,
на
учащихся.
основе
К
которых
приобретаются новые знания по предмету. Контролирующие задачи – это
задачи, при помощи которых учитель может отследить результаты обучения.
Познавательные задачи – это новые незнакомые проблемные задачи.
По обучающей роли задачи делятся на: задачи на усвоение, задачи на
овладение
математической
символикой,
задачи
на
формирование
математических умений и навыков, задачи на обучение доказательству и
задачи развивающего характера.
17
По числу элементов задачи, известных ученику, выделяют три вида
задач. 1- тренировочные задачи. И цель, и способ решения, и ответ таких
задач заранее известны ученику. Такие задачи необходимы для того, чтобы
ученики могли «набить руку», чтобы довести решение задач для
автоматизма. 2 – нестандартные задачи. В таких задачах известно только
условие задачи. При решении таких задач у учащихся формируются навыки в
нахождении пути решения задач. 3 – задачи-проблемы. В таких задачах
известна только цель. Такие задачи преимущественно встречаются в быту,
когда четко не определены средства и пути решения задачи, с помощью
которых достигается цель.
18
1.4. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Основной целью изучения темы «Решение задач с помощью
уравнений» является исследование и преобразование математической модели
текстовой задачи. Под математической моделью будем понимать описание
любой ситуации с точки зрения математики. Действия, присущие решению
задач по данной теме, следующие.
1. Действия по составлению двух видов моделей. Первый вид – модель
требований и условия задачи в виде таблиц, чертежей и рисунков. Второй
вид – модель, которая описывает отношения между величинами с помощью
уравнений, неравенств и их систем.
2. Нахождение решения уравнений с одной переменной.
3. Интерпретация решения уравнений на языке ситуации, которая
описана в условии задачи.
Первое, что нужно сделать, получив задачу – это разобраться в том,
каковы её требования, основные условия, другими словами провести анализ
задачи. Установить, является ли эта задача стандартной, провести её
содержательный анализ, то есть установить, моделью какой проблемной
ситуации она является.
В ряде случаев результаты анализа необходимо как-либо оформить в
модель задачи. Это можно сделать в виде таблицы, рисунка, чертежа,
графика или схематической записью.
Когда математическая модель оформлена, следует приступать к поиску
способа решения задачи.
После этого уже можно приступить к решению задачи.
19
Когда решение задачи осуществлено и изложено, необходимо
убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем
условиям задачи. Для этого проводят проверку решения.
При решении многих задач, помимо проверки, необходимо провести
еще исследование задачи, то есть установить, при каких условиях задача
имеет решение и сколько различных решений она имеет в каждом отдельном
случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д.
Убедившись в том, что решение задачи выполнено верно и проведя
исследование задачи, можно четко сформулировать ответ задачи.
На последнем этапе в учебных целях полезно также провести
познавательный анализ задачи и её решения: чем интересна задача, нет ли
другого способа решения этой задачи, какие выводы можно сделать из этого
решения, можно ли обобщить задачу и так далее.
Таким образом, весь процесс решения задачи можно разделись на 8
этапов:
 1-й этап – анализ задачи;
 2-й этап – построение модели задачи;
 3-й этап – поиск способа решения задачи;
 4-й этап – осуществление решения задачи;
 5-й этап – проверка решения задачи;
 6-й этап – исследование задачи;
 7-й этап – формулирование ответа задачи;
 8-й этап – познавательный анализ задачи и её решения.
Из приведенных восьми этапов процесса решения текстовой задачи,
обязательными этапами являются только этапы 1, 2, 3, 4, 7, которые
необходимо выполнять при решении любой задачи. Этапы же 5, 6, 8 –
необязательные, эти этапы необходимо выполнять только в тех случаях,
20
когда этого требует задача и цели её решения. В процессе решения задачи все
эти этапы обычно выполняются не последовательно, можно нарушить
порядок выполнения этапов, а некоторые этапы можно выполнять
одновременно, параллельно друг другу. 8-й этап задачи применяется только к
наиболее важным типовым задачам, он имеет особое значение в овладении
новыми навыками и умениями.
Знания о задачах, сущности и процессе решения, которые перечислены
выше, образуют тот минимум, который составляет первую часть основ, на
базе которых только и можно формировать сознательную деятельность
учащихся по решению задач.
21
1.5. ИСТОРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ
Математические понятия – это отражение реального, объективного
мира, а не произвольные творения ума. Этим обусловлено взаимопонимание
математиков различных эпох.
Огромное место занимает решение текстовых задач в математическом
образовании, поэтому обучению решению текстовых задач уделяется много
времени. Во всех цивилизованных государствах практика применения
текстовых задач в процессе обучения математике идет от глиняных табличек
Древнего Вавилона и других письменных источников. Из исторических
источников известно, что из поколения в поколение математические знания
передавались в виде списков задач с практическим содержанием. Таким же
образом передавали и решения этих задач. Первоначально обучение
математике вели по образцам. Ученики решали задачи на определенное
«правило», сравнивая решение с учителем.
Человек, который умел решать задачи определенных типов, которые
встречаются в жизни (например, торговый учет), раньше считался
обученным. Сознательное усвоение материала мало кого интересовало.
Преподаватели не рекомендовали вникать в суть задачи, они рекомендовали
выучить всё наизусть и применить знания к делу.
Первой причиной того, что люди начали глубоко изучать текстовые
задачи, стало то, что долгое время детей обучали арифметике на основе
освоения определенного
набора вычислительных навыков. Обучение
вычислениям велось через задачи, при этом линия числа ещё не вводилась.
Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых
задач то, что текстовые задачи в старину использовали как способ передачи
математических знаний и рассуждений. Важные общеучебные умения
формировались при анализе текста задачи, выявлении основного вопроса
задачи, составлении плана решения задачи, поиске условий и проверке
22
результата решения. Приучение школьников к переводу на арифметический
язык действий также играло важную роль в процессе обучения математике.
Развитию образного и логического мышления, освоению естественного
языка, повышению эффективности обучения математике и смежных
дисциплин способствовало применение арифметических методов решения
задач.
23
1.6. ЗАДАЧИ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ
Необходимость
решения
различных
задач
практического
вида
возникала у людей ещё с древних времен. Для того чтобы решить такие
задачи, людям в древности необходимо было самостоятельно перебрать все
способы решения таких задач. Из этого можно сделать вывод, что изначально
текстовые задачи стали «движущей силой» развития математики.
Необходимость решать задачи была обусловлена нуждами людей в
повседневной жизни: летоисчисление, вычисление поголовья и стоимости
домашнего скота, подсчёт прибыли от урожая и т.д. Древнейшая русская
математическая рукопись, дошедшая до наших дней, датируется 1136 годом.
Автором этой рукописи является новгородский дьякон Кирик. Рукопись
состояла из записок, на которых были записаны задачи на суммирование
прогрессий, которые связанны с приплодом овец и коров, исчисление
количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня сотворения мира,
вычислением размеров Солнца и Луны по данным астрономии. Прикладные
знания по математике требовались в военном деле, измерении земель и
торговых отношениях между людьми и государствами.
Рукописная математическая литература в России начинает развиваться
в XVI – XVII веках. В первую очередь эту литературу в своей деятельности
задействовали купцы, ремесленники, землемеры, которые использовали её в
своей практической деятельности. Материалы в этих математических трудах,
были распределены по статьям, содержащим указания, как поступить при
решении тех или иных задач. К правилам приводились пояснения, примеры и
задачи.
Учебная литература XVIII века была основана на рукописях XVI –
XVII века. В учебники по алгебре и арифметике XVII века перекочевали
многие задачи из старых рукописей, часть задач сохранилась и до наших
дней.
24
Петр I проводил реформы общественной и культурной жизни,
затронули также и образование, в том числе и математику. Для вновь
созданных требовались учебники. В 1703 году Леонтий Филиппович
Магницкий создал учебник математики, который назывался «Арифметика
сиречь наука числительная», данный учебник прослужил до середины XVIII
века. Задачи сопровождают человека на протяжении всей жизни. Загадки –
целый пласт фольклорного наследия русского народа. Но что же такое
загадка? Загадка – это задача в стихах, решение которой требует
сообразительности, логики, внимания, а порой и знаний по математике.
Текстовые задачи привлекают внимание не только математиков, но и
педагогов и психологов. Теорией текстовых задач в России занимались
Фридман Л.С., Крупич В.И. и другие. Задачам уделяется значительное
внимание как основному средству обучения, как средству гуманитаризации
и гуманизации образования, как средству контроля знаний, умений и
навыков учащихся.
25
1.7. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В РОССИИ
Изначально обучение математике велось по средствам обучения
решению практических задач. Ученики, подражая учителю, решали задачи на
усвоение определенного «правила». Таким образом у учащихся могли
возникать трудности в осознании того или иного действия. Авторы старых
учебников считали, что «понимать-то едва ли нужно было…». «Это ничего,
что ты не понимаешь, ты и впереди также много не будешь понимать», утешал, бывало, наставник своего ученика и рекомендовал своему ученику,
не переживать, вместо того, чтобы понимать, выучить наизусть всё, что
задают, и потом стараться применить на практике.
Первые российские учебники математики во многом равнялись на
европейские учебники, в которых обучение слабо опиралось на понимание,
поэтому проблемы, описанные выше, были неизбежны. По одному из первых
известных учебников в России «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 год),
обучение велось таким же образом. Учебник «Арифметика» А.П. Киселева
(1884 год), так же наблюдались следы обучения по правилам, но у него
правила давались как обобщение обоснованных и подробно разобранных
способов решения.
Развитая типология задач сложилась к середине XX века, она включала
в себя задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их
отношению и сумме (разности), задачи на части, задачи на проценты, задачи
на дроби, задачи на совместную работу и производительность и другие.
И хотя методика обучения решения практических задач была
достаточно хорошо разработана, все-таки возникали некоторые недостатки с
её применением на практике. Критики традиционной методики обучения
решения практических задач отмечали, что педагоги, чтобы ускорить
процесс обучения, просто натаскивали учащихся на решение типовых задач,
повторяя методические ошибки своих давних предшественников. Они учили
26
их выделять из множества задач, задачи данного типа и разучивали способы
их решения.
Необходимо было усовершенствовать школьную практику и методику,
что предполагали сделать в конце 60-х годов, в рамках реформы школьного
математического образования. Методисты того времени полагали, что раннее
введение уравнений позволит по-новому организовать обучение решению
текстовых
задач.
Предполагалось,
что
учащимся
будут
раскрыты
преимущества алгебраического метода решения текстовых задач, перед
арифметическим, а в последствии учащиеся сами сделают выбор в пользу
одного из двух этих методов решения. Эти данные были взяты из
объяснительной записки к программе по математике для 4-5 классов на
1971/72 учебный год. Но эти идеи не могли реализовать на практике, в силу
того, что способ решения задачи выбирали авторы единственного на тот
момент учебника, а не сами ученики. Традиционные арифметических
методов решения задач на тот момент не изучали. Учащихся ориентировали
на решение задач с помощью уравнений, ещё с 4 (на данный момент 5)
класса. Мнение многих методистов и авторов учебников отражалось в таком
отношении к арифметическому методу решения текстовых задач. Роль
алгебраического метода решения задач была явно преувеличена, потому что
из школьной практики были удалены арифметические способы их решения.
Однако практика показывает, что раннее введение алгебраического
метода решения задач не дает большого эффекта без достаточной подготовки
мышления учащихся. Ведь исторически сложилось так, что люди пришли к
применению уравнений к решению задач, обобщая решения задач, в которых
приходилось работать с неопределенным числом, таким как «куча» и тому
подобные. И ученик, в процессе обучения решению текстовых задач, должен
пройти этот путь – сначала рассуждать о «частях», опираясь на
воображаемые действия с конкретными объектами или величинами, и только
после этого прийти к применению уравнения. Ведь особенности мышления
27
учащихся 5-6 классов тяготеют к оперированию наглядными образами, а не
абстрактными алгебраическими моделями.
Арифметические методы решения задач на данном этапе обучения
имеют преимущество как минимум потому, что в решении по действиям
результат каждого отдельного шага имеет наглядное и конкретное
истолкование, которое не выходит за рамки понимания учащихся. Ведь не
случайно школьники лучше и быстрее усваивают различные приемы
рассуждений, которые опираются на воображаемые действия с известными
величинами.
А какие тенденции наблюдаются сейчас? Недостатки, рассмотренные
выше, не решены до конца. Ученики, как и раньше, все равно выделяют для
себя типы задач, чтобы решить их «по образцу». Типовых задач стало
меньше, но опыт мыслительной деятельности школьников – беднее.
28
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ
Решение текстовых задач по математике играет значительную роль в
процессе обучения. В процессе решения текстовых задач человек познает
много нового: знакомится с новой ситуацией, которая описана в задаче;
учится применять математические знания к практическим нуждам; познает
новый метод решения задач.
Рассмотрев роль и место текстовых задач в процессе обучения
математике, мы можем сделать следующие выводы:
1. Решение текстовых задач является обязательным условием в
обучении школьников математике и играет большую роль в повышении
качества образования в целом.
2.
Необходимо
учитывать
воспитывающую,
развивающую
и
контролирующую функции текстовой задачи при обучении математике.
3. Использование задач подготовительного уровня и выделение этапов
решения текстовых задач является условием успешного решения задач.
29
Глава 2. Методика обучения решению текстовых задач
2.1. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
На уроках математики в основной школе используют следующие
методы решения задач: арифметический, алгебраический, геометрический,
логический, практический и другие. Так при алгебраическом методе решения
задачи составляются уравнения или неравенства, при логическом –
составляется алгоритм решения задачи, при геометрическом – строятся
диаграммы и графики и так далее. Ниже каждый из методов будет
рассмотрен подробнее.
Сущность арифметического метода состоит в том, чтобы найти
неизвестную величину посредствам составления числовых выражений и
подсчета результата. Важным методическим свойством арифметического
метода является то, что с помощью решения текстовых задач учащиеся
готовятся к осознанному решению задач составлением уравнений. В качестве
примера рассмотрим задачу.
Условие: туристы прошли s километров по шоссе со скоростью v км/ч и
вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t затратили
туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на
2 км/ч меньшей, чем по шоссе. Найти решение t, при s=10, v=6.
Сначала
нужно
определить,
какой
путь
туристы
прошли
по
просёлочной дороге? 10км +10 км =20км, туристы прошли по просёлочной
дороге.
Далее находим скорость, с которой туристы шли по просёлочной
дороге. 6км/ч -2км/ч = 4км/ч.
30
После этого находим время, которой туристы затратили на путь по
шоссе
10
6
и время, которое туристы затратили на путь по просёлочной дороге
20
4
.
На последнем шаге необходимо найти искомое, время t, которое
туристы затратили на весь путь. Для этого сложим время, которое туристы
затратили на путь по шоссе и время, которое затратили туристы на путь по
просёлочной дороге.
10
6
+
20
4
=
20
12
+
60
12
=
80
12
2
= 6 часа. И перевести найденное
3
2
числовое решение на язык условия задачи 6 часа = 6 часов 40 минут.
3
Ответ: 6 часов 40 минут.
Решение данной задачи не только формирует навыки для решения
текстовых задач с помощью уравнений, но и закрепляет знания и умения,
полученные при изучении темы: «Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями». Важно, чтобы учащиеся понимали, что вне зависимости от
того, какие заданы числовые значения s и v (главное чтобы они были заданы
натуральными числами), модель задачи останется неизменной, изменится
только ответ задачи.
Алгебраический
метод
решения
текстовых
задач
основан
на
использовании уравнений и систем уравнений при решении текстовых задач.
Составить уравнение – значит выразить математическими символами
условие, которое сформулировано словами. Это перевод с обычного языка на
язык математических формул. Трудности, которые могут возникнуть при
составлении
уравнений,
являются
трудностями
перевода.
Основная
мыслительная деятельность при решении текстовых задач алгебраическим
методом концентрируется на этапе анализа текста задачи. В качестве
примера рассмотрим ещё одну задачу.
31
Условие: один из лыжников прошёл расстояние 20 км на 20 минут
быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из
них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.
Пусть x км/ч – скорость второго лыжника, тогда скорость первого
лыжника равняется x+2 км/ч. Далее найдём время, за которое первый
лыжник прошел расстояние 20 км.
20
+2
– время, за которое первый лыжник
прошёл расстояние 20 км.
На следующем шаге найдём время, за которое второй лыжник прошел
расстояние 20 км.
20

– время, за которое второй лыжник прошел расстояние
1
20 км. Переведем 20 минут в часы, 20 минут = часа.
3
По условию задачи, первый лыжник прошел расстояние 20 км на 20
минут быстрее, чем второй, таким образом:
20

−
20
+2
1
= .
3
Решив данное уравнение, получим корни 1 = 10; 2 = −12. Так как
скорость не может иметь отрицательное значение, корень 2 = −12 не
удовлетворяет условию задачи. Так мы нашли скорость второго лыжника,
чтобы найти скорость первого лыжника, необходимо к скорости второго
лыжника, прибавить 2 км/ч. 10 + 2 = 12 км/ч – скорость первого лыжника.
Ответ: 10 км/ч – скорость второго лыжника; 20 км/ч – скорость
первого лыжника.
Решение данной задачи закрепляет знания учащихся по теме:
«Рациональные дроби». Важно, чтобы учащиеся понимали, что не всегда
нужно за x обозначать искомое задачи.
Суть логического метода решения текстовой задачи состоит в
рассуждениях, которые в конечном итоге приводят к верному ответу.
Рассмотрим пример.
32
Условие: из 80 одинаковых по внешнему виду монет, одна фальшивая.
Как четырьмя взвешиваниями на простых двухчашечных весах определить
фальшивую монету?
Поиск ответа на требование задачи оформим в виде блок-схемы (рис. 1)
Рисунок 1 также является ответом в данной задаче.
33
Решение задач логическим методом развивает логическое мышление у
учеников. Также такие задачи призваны вызвать интерес учащихся к
математике.
Решение текстовых задач геометрическим методом состоит в том,
чтобы при решении задачи использовать геометрические представления и на
их основе найти ответ на вопрос задачи. Преимущественно данным методом
решают задачи на движение. Применение графиков в решении задач придаёт
содержанию задачи прозрачность и наглядность. Это особенно отчетливо
видно при сравнении решения геометрическим методом с решениями,
которые используют другие методы. Рассмотрим пример.
Условие: в одном элеваторе было зерна в два раза больше, чем в
другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, во второй элеватор
привезли 350 т зерна, после этого в обоих элеваторах стало поровну зерна.
Сколько первоначально зерна было в каждом элеваторе?
Решим данную задачу при помощи линейной диаграммы. Линейная
диаграмма – это, как правило, отрезок или несколько отрезков, длины
которых соответствуют численным значениям рассматриваемой величины.
Свойства длинны отрезка:
1) равные отрезки имеют равные длины;
2) меньший отрезок имеет меньшую длину;
3) если точка делит отрезок на два отрезка, то сумма этих двух отрезков
равна длине всего отрезка.
Пусть отрезок AB изображает количество зерна в первом элеваторе
1
(рис. 2). Тогда отрезок  =  изображает количество зерна во втором
2
элеваторе.
Первоначальное
распределение
зерна
между
элеваторами
определяется формулой -  = 2∙. 750 т зерна вывезли из первого
34
элеватора, 350 т привезли во второй элеватор, поэтому вычтем отрезок BK,
условно изображающий 750 т, из отрезка AB, а к отрезку CD прибавим
отрезок DE, изображающий 350 т.
Конечное распределение зерна между элеваторами определяется
формулой AK=CE.
CD=AF=FB (по построению), FB=FK+KB=>FB=350+750=1100.
Таким образом: CD=1100, AB=2∙CD=>AB=2200.
Ответ: в первом элеваторе было 2200 т зерна, а во втором 1100 т
зерна.
При решении текстовых задач важно не зацикливаться на задачах,
которые решаются одним и тем же методом, будь то арифметический или
алгебраический метод. Если процесс работы учащихся организован
правильно, то у учащихся развиваются активность, наблюдательность,
находчивость, смекалка, сообразительность, умение применять теорию к
решению текстовых задач, абстрактное мышление.
35
2.2.1. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
Текстовые задачи, которые решаются с помощью сложения и
вычитания, рекомендуется решать арифметическим способом. На начальных
этапах задачи необходимо решать с
вопросами:
вопрос
формулируется
перед каждым действием, после этого выполняется действие, которое даёт
ответ на поставленный вопрос. В тех случаях, когда учащийся затрудняется с
формулировкой первого вопроса в задаче, которая решается в несколько
действий, то необходимо начинать с основного вопроса задачи. Таким
образом учащиеся анализировали задачи ещё в начальной школе. Краткую
запись условия задачи рекомендуется делать тем учащимся, которым эта
запись помогает в решении задачи.
Пример 1. Торговец купил некий товар за 7 рублей, продал его за 8
рублей, потом вновь купил за 9 рублей и опять продал его за 10 рублей.
Какую прибыль он получил?
В данной задаче учащиеся часто ошибочно полагают, что, покупая
товар второй раз, торговец имеет 1 рубль убытка, но это не так. В данном
случае можно переформулировать условие задачи, сказав, что торговец
купил сразу 2 товара – за 7 рублей один и за 9 рублей второй, после чего он
продал их за 8 рублей и за 10 рублей соответственно. Первый вопрос,
который ставится при решении данной задачи – сколько денег получил
торговец с продажи товаров? Чтобы получить ответ на данный вопрос, нам
необходимо сложить цены, за которые торговец продал товар: 8 + 10 = 18.
Следующий вопрос – какую сумму денег торговец потратил на покупку
товара? Чтобы получить ответ на данный вопрос, необходимо сложить цены,
за которые торговец купил товар: 7 + 9 = 16. На последнем шаге
необходимо ответить на вопрос задачи – какую прибыль получил продавец?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо из суммы, полученной на
36
первом шаге, вычесть сумму, которую получили на втором шаге:
18 − 16 = 2. Таким образом, мы получаем ответ на вопрос задачи.
Ответ: 2 рубля.
Рассмотрим пример задачи, которая воспитывает в учащихся культуру
решения текстовой задачи. Такие задачи предназначены для того, чтобы
учащиеся не складывали и вычитали числа, которые друг к другу никакого
отношения не имеют. Стоит отметить, что условие данной задачи является
шуточным.
Пример 2. Ира одолжила у матери 100 рублей, но потеряла их. Потом
она одолжила у подруги 50 рублей. На 20 рублей она купила пирожок, а
оставшиеся 30 рублей она вернула маме. Получается что, маме она должна
70 рублей, подруге она должна 50 рублей плюс 20 рублей, которые она
потратила на пирожок. Итого 140 рублей, но всего она должна вернуть 150
рублей. Вопрос: где ещё 10 рублей?
Сначала ответим на вопрос: сколько денег в сумме Ира потеряла и
потратила? По условию Ира потратила на пирожок 20 рублей и потеряла 100
рублей, больше она никуда деньги не тратила, таким образом, Ира в сумме
потеряла и потратила 100 + 20 = 120 рублей. Теперь найдем сумму,
которую Ира должна вернуть маме. Изначально она заняла у мамы 100
рублей, но позже, она вернула маме 30 рублей, таким образом, Ира должна
вернуть матери 100 − 30 = 70 рублей. Теперь найдем, сколько Ира должна
подруге? Ира брала у подруги 50 рублей и ничего не возвращала, таким
образом, она должна вернуть подруге 50 рублей, которые заняла у нее
изначально. Далее сложим суммы, которые Ира должна вернуть подруге и
маме 70 + 50 = 120 рублей Ира должна вернуть подруге и маме.
Дальнейшие вычисления не имеют смысла.
37
2.2.2. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
Текстовые задачи, которые решаются с помощью умножения и
деления, так же как и задачи на сложение и вычитание, рекомендуется
решать арифметическим методом и для решения задавать вопросы к
действиям. Следует обратить внимание на то, что у многих учащихся с
начальной школы закрепились неправильные представления о выборе
действия для решения задачи. Может случиться так, что встретив в условии
задачи вопрос: «на сколько?», ученик выполнит вычитание. По этой причине,
учитель должен направлять учащихся по ходу решения, чтобы действия для
получения ответа были выбраны правильно.
Пример 3. а) На каждую телегу нагрузили по 8 мешков картофеля. На
сколько телег погрузили 72 мешка?
б) В некоторые из 40 пакетов насыпали сахарный песок. Осталось 10
пустых пакетов. Во сколько пакетов насыпали сахарный песок?
в) В швейной мастерской осталось 2 куска материи по 60 м. Сколько
метров материи осталось?
Решение. а) 72:8 = 9 – на 9 телег погрузили картофель.
б) 40 − 10 = 30 – в 30 пакетов насыпали сахарный песок.
в) 2∙60=120 – 120 метров материи осталось.
Ответ: а) 9; б) 30; в) 120.
В целях повышения эффективности обучения решению таких задач, а
также для приучения школьников к планированию своей деятельности,
рекомендуется обучать детей делать краткую запись условия задачи
и
намечать по ней план решения. Очевидно, что данный совет нельзя
превращать в обязательное требование. Учащиеся могут делать краткую
38
запись условия задачи в произвольной форме, которая наиболее удобна для
них, и использовать краткую запись тогда, когда она им действительно
помогает.
Пример 4. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли
ещё 12 человек, а во вторую — 8 человек, то в комнатах людей стало
поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?
Решение. Первый вопрос, на который нужно ответить: сколько человек
стало в двух комнатах вместе? Для того, чтобы ответить на данный вопрос,
необходимо сложить изначальное количество людей в двух комнатах, с
количеством людей, которые пришли в первую и вторую комнаты позже 56 + 12 + 8 = 76 человек стало в двух комнатах. Далее ответим на вопрос:
какое число людей стало в каждой комнате? Для того, чтобы ответить на этот
вопрос, необходимо поделить количество людей, которое стало в двух
комнатах, на 2, так как по условию в итоге в комнатах стало людей поровну.
Таким образом - 76:2 = 38 человек стало в каждой комнате. Далее ответим
на вопрос: сколько человек было в первой комнате изначально? Для того,
чтобы ответить на этот вопрос, необходимо из количества людей, которое
стало в первой комнате, нужно вычесть число людей, которое в неё пришло
позже - 38 − 12 = 26 человек было в первой комнате изначально. Далее
ответим на вопрос: сколько человек было изначально во второй комнате? Для
этого необходимо из количества людей, которое стало во второй комнате,
вычесть количество людей, которое пришло во вторую комнату позже 38 − 8 = 30 человек было во второй комнате изначально.
Ответ: 26 и 30.
39
2.2.3. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ
В задачах этой группы обычно дается определенное количество
жидкости и сосуды. Требуется с помощью имеющихся сосудов и
переливаний получить определенное количество жидкости в одном из
сосудов, либо равное количество в нескольких. Такие задачи решаются
логическим методом, с помощью рассуждений и таблиц.
Пример 5. Как с помощью 2 сосудов емкостью 10 л и 3 л
соответственно наполнить сосуд емкостью 8 литров?
Решение оформим с помощью таблицы (табл. 1) и рассуждений к ней.
Ходы 1
3л
3
10 л -
2
3
3
3
3
4
6
5
3
6
6
9
7
3
9
8
2
10
9
2
-
10
2
11
3
2
12
5
13 14
3
5
8
Таблица 1.
Рассуждения к задаче:
1) Наполним 3-х литровую емкость;
2) Переливаем воду в 10-ти литровую емкость;
3) Снова наполняем 3-х литровую емкость;
4) Переливаем воду в 10-ти литровую емкость, в ней стало 6 л воды;
5) Наполняем 3-х литровую емкость;
6) Переливаем воду в 10-ти литровую емкость, в ней стало 9 л воды;
7) Наполняем 3-х литровую емкость;
8) Отливаем 1 л в 10-ти литровую емкость, в ней 10 л, в 3-х литровой
емкости 2 л;
9) Выливаем содержимое 10-ти литровой емкости;
10) Переливаем 2 л из 3-х литровой емкости в 10-ти литровую емкость;
40
11) Наполняем 3-х литровую емкость;
12) Переливаем содержимое 3-х литровой емкости в 10-ти литровую
емкость. В ней стало 5 л.
13) Наполняем 3-х литровую емкость;
14) Переливаем содержимое 3-х литровой емкости в 10-ти литровую
емкость. В ней стало 8 л.
41
2.2.4. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ВЗВЕШИВАНИЕ
В задачах данного типа требование состоит в том, чтобы за
минимальное количество взвешиваний:
1) среди имеющихся деталей найти фальшивую деталь, обычно она
отличается от настоящих по массе;
2) расположить предметы по массе в порядке возрастания или
убывания;
3) через массу одних предметов выразить массу других предметов.
По
условию
задачи
можно
пользоваться
только
простыми
двухчашечными весами, как правило, без гирь. Такие весы позволяют
установить, какой предмет из сравниваемых предметов тяжелее. Такие
задачи решаются логическим способом, обычно для решения используют
блок-схему, либо рассуждения.
Очень часто требование задачи ставится так, что требуется определить
либо минимальное число взвешиваний, необходимое для установления
определенного факта, либо привести алгоритм определения данного факта за
определенное
количество
взвешиваний,
либо,
что
реже,
требуется
установить, возможность определенного факта за определенное количество
взвешиваний. В последнем случае ответ чаще всего сводится к построению
алгоритма, а отрицательный ответ почти не встречается.
Пример 6. Из 9 монет одна фальшивая. Фальшивая монета весит
меньше остальных. Как за 2 взвешивания на чашечных весах определить
фальшивую монету?
Решение. Алгоритм поиска ответа оформим с помощью блок-схемы
(рис. 3). Рисунок 3 также является и ответом на вопрос задачи.
42
43
2.2.5. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ПЕРЕПРАВЫ
Задачи данной группы характеризуются тем, что некоторой группе
людей либо человеку с животными, либо человеку с грузом необходимо
переправиться с одного берега на другой в каких-либо затруднительных
обстоятельствах.
Затруднительное
обстоятельство
может
состоять
в
грузоподъемности (лодки, моста и т.д.), характерные черты животных или
груза.
Такие
задачи
решаются
логическим
методом,
при
помощи
рассуждений.
Пример 7. Ночью семья подошла к мосту. Папа может перейти мост за
1 минуту. Мама за 2 минуты. Малыш за 5 минут. Бабушка за 10 минут. У них
есть один фонарик, мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за
17 минут, если при движении по мосту двоих, они переходят мост за то
время, за которое перейдет мост тот, кто медленнее. Идти по мосту без
фонарика нельзя. Светить издали и перебрасывать фонарик также нельзя.
Решение оформим в виде последовательных рассуждений, которые
являются и ответом на вопрос задачи.
1) переходят мост мама и папа (2 минуты)
2) папа возвращается с фонариком (1 минута)
3) бабушка и малыш переходят мост (10 минут)
4) мама возвращает фонарик (2 минуты)
5) мама с папой переходят мост (2 минуты).
Итого имеем 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.
В
данной
задаче
затруднительным
обстоятельством
является
грузоподъемность моста – 2 человека и требование – идти по мосту можно
только с фонариком.
44
2.2.6. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ
И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ
Задачи этого типа обычно содержат сведения о выполнении некоторой
работы несколькими субъектами (насосами, рабочими, трубами и т.д.).
Объем этой работы обычно не указывается и не является искомым
(например, изготовление деталей, заполнение водоёма трубами, рытьё
канавы и т.д.). Предполагается, что выполняемая работа проводится с
постоянной
для
каждого
субъекта скоростью.
Объем
всей
работы
принимается за единицу, из-за того, что величина выполняемой работы не
интересует нас. Производительность труда P можно выразить через время t,
требующееся для выполнения всей работы, с помощью соотношения
1

= .
Ниже приведем схему решения типовых задач на совместную работу и
производительность.
Пусть один рабочий выполняет некоторую работу за x часов, а другой
за y часов. Тогда они соответственно выполнят
Вместе за один час они выполнят
1

+
1

1

и
1

работы за один час.
работы. Таким образом, работая
вместе, они выполнят весь объем работы за 1
1
1
+
 
часов.
Пример 8. Бассейн может быть наполнен водой из 2 кранов. Если
первый кран открыть на 10 минут, а второй на 20 минут, то бассейн будет
3
наполнен. бассейна будет наполнено, если первый кран открыть на 5 минут,
5
а второй кран открыть на 15 минут. За какое время из каждого крана в
отдельности можно заполнить бассейн.
Решение. Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за x минут,
а из второго – за y минут. Оформим вспомогательную модель в виде таблицы
(табл. 2)
45
Объем бассейна
Первая труба
1
Вторая труба
1
Производитель
ность
Время, за которое
труба наполнит
бассейн (мин.)
x
1

1

y
Таблица 2.
Первый кран заполняет
1

часть бассейна, а второй
10 минут из первого крана заполнится
второго крана заполнится
20

10

1

часть бассейна. За
часть бассейна, а за 20 минут из
часть бассейна. Таким образом, так как бассейн
10
должен быть заполнен, получим уравнение:

5
15


=и
1
аналогично, можем составить второе уравнение: +
решение задачи, введем новые переменные:
1

+

20

= 1. Размышляя
3
= . Чтобы упростить
5
= . Получим систему
из 2-х уравнений с 2-мя переменными:
10 + 20 = 1,
3
{
5 + 15 = ,
5
решением этой системы будет  =
переменным x и y, получим  =
50
3
3
50
, =
1
50
. Перейдя к начальным
минут и  = 50 минут.
Ответ: первая труба заполнит бассейн за
50
3
минут, а вторая труба – за
50 минут.
Не во всех задачах такого типа объем работы не указывается, есть и те
задачи, в которых он задан вполне известным числовым значением.
Рассмотрим ещё один пример.
Пример 9. В резервуар поступает вода из двух труб различного
диаметра. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14
46
кубометров воды. Во второй день работала только труба с меньшим
диаметром, которая подала 14 кубометров воды, проработав на 5 часов
меньше, нежели в первый день. В третий день, работа продолжалась столько
же времени, сколько во второй, но сначала работали две трубы, подав 21
кубометр воды, а затем работала только труба с большим диаметром, которая
подала 20 кубометров воды. Найдите производительность каждой трубы.
Решение. Оформим вспомогательную модель в виде таблицы (табл. 3).
Пусть меньшая и большая трубы перекачивают за 1 час соответственно x и y
кубометров воды. Работая вместе, они подают за 1 час  +  кубометров
воды. Таким образом, в первый день трубы работали
день - 5 +
14
+
14
+
часов, во второй
, так как работала только вторая труба и работала она на 5
часов дольше. За второй день труба подала 14 кубометров воды, отсюда
получим уравнение 5 +
21
+
14
+
=
14

. В третий день обе трубы работали вместе
часов, в дальнейшем работала только вторая труба и проработала она
20

часов.
Производ
ительност
ь (м3 /ч)
Время (часов)
День 1
Первая
труба
Вторая
труба
Обе трубы
x
y
+
Объем
(кубометров)
День 2
14
+
14
+
0
14
+
0
5+
14
+
День 3
21
+
21
+
20
+

21
+
Ден
ь1
-
Ден
ь2
0
Ден
ь3
-
-
14
20
14
-
21
Таблица 3.
47
Общее время работы и первой, и второй труб в третий день совпадает
со временем работы малой трубы во второй день, на основании чего
получаем уравнение: 5 +
второго
уравнений
14
+
=
21
+
равны,
+
20

. Так как левые части первого и
получаем
уравнение:
14

=
21
+
+
20

.
Освободившись от знаменателя, получим однородное уравнение: 20 2 +
27 − 14 2 = 0. Разделим полученное уравнение на  2 и введем новую

переменную  = . Пришли к уравнению 20 2 + 27 − 14 = 0. Корнями

2
7
5
4
этого уравнения являются: 1 = , 2 = − . Корень 2 не удовлетворяет
условию задачи. Перейдя к начальным переменным x и y, получим значение
2
 = . Подставим это значение в первое уравнение, находим  = 5,  = 2.
5
Ответ: производительность первой трубы 2 кубометра воды в час,
второй трубы – 5 кубометров воды в час.
Эти примеры – не единственные типы задач на производительность, но
остальные типы задач можно решить аналогичным образом.
48
2.2.7. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ
СМЕСЕЙ И СПЛАВОВ
Понятие «концентрация» является основным в задачах такого типа.
Рассмотрим это понятие более детально.
Для примера рассмотрим раствор кислоты в воде. Пусть в ёмкости
содержится 10 литров раствора, состоящего из 7 литров воды и 3 литров
кислоты. Тогда относительное содержание кислоты ко всему раствору равно
=
3
10
= 0,3. Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Для
того, чтобы получить процентное отношение кислоты в растворе, нужно
концентрацию умножить на сто процентов. В нашем примере это число
будет равно 30%.
Понятие «концентрация» будем использовать в дальнейшем для любых
смесей и сплавов, а не только для растворов. Для примера, если в слитке
олова и меди весом 10 килограмм содержится 4 килограмма олова, то
концентрация олова в сплаве будет равна с =
4
10
= 0,4, что в процентном
соотношении будет равно с ∗ 100% = 0,4 ∗ 100% = 40%.
В задачах данного типа есть следующие допущения:
1. Все смеси, сплавы, растворы и т.д. – однородны.
2. Не делается различия между единицами массы и объема.
Обобщим все то, что было показано на примерах ранее. Пусть
некоторая смесь массой M содержит некоторое вещество массой m, тогда

концентрацией данного вещества назовем величину  = , а процентным

соотношением данного вещества – величину  ∗ 100%. Из последней
формулы следует, что если известны концентрация вещества и общая масса
смеси, то найти массу вещества можно по формуле  =  ∗ .
Условно можно разделить задачи на смеси на 2 вида.
49
В задачах первого вида задаются, например, две смеси с массами 1 и
2 и с концентрациями в них некоторого вещества, которые соответственно
равны 1 и 2 . Смеси сливают в одну ёмкость. Требуется определить массу
этого вещества в новой смеси и его новую концентрацию. Не трудно
получить, что в новой смеси концентрация данного вещества вычисляется по
формуле =
1 1 + 2 2
1 +2
, а масса данного вещества определяется формулой
 = 1 1 + 2 2 , то есть равна сумме масс данного вещества в отдельных
смесях.
В задачах второго вида задается некоторый объём смеси и от этого
объёма начинают отливать определенное количество смеси, после чего
доливают то же, или другое количество той же смеси или смеси с другой
концентрацией данного вещества. Такая операция может проводиться не
один раз. При решении задач данного вида необходимо установить жесткий
контроль над количеством данного вещества и его концентрацией при
каждом доливе, а также при каждом отливе смеси. В результате чего
получим разрешающее уравнение. Ниже рассмотрим примеры задач первого
и второго видов.
Пример 10. Имеются 2 раствора кислоты разной концентрации. Объем
одного раствора составляет 4 литра, другого – 6 литров. Если их слить
вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. А если слить равные объемы
этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров
кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов.
Решение. Оформим вспомогательную модель в виде таблицы (табл. 4).
Удобнее решать эту задачу, если принять за неизвестную не количество
кислоты в первоначальных растворах, а концентрацию кислоты в них.
Положим
концентрации
кислоты
в
первом
и
втором
растворах
соответственно равны 1 и 2 . Тогда объемы кислоты в растворах составляют
41 и 62 . Если слить эти растворы вместе, то их общий объем составит
4 + 6 = 10 литров, а объем кислоты - 41 + 62 . Отсюда в новом растворе
50
концентрация кислоты определяется равенством:
Концентрация
Первый раствор
Второй раствор
Растворы вместе
Растворы вместе
(равное кол-во)
1
2
41 + 62
= 0,35
10
∙(1 + 2 )
= 0,36
2
41 +62
10
= 0,35.
Объем кислоты
в растворе
41
62
41 + 62
1 ∙ + 2 ∙
Объем раствора
4
6
4+6=10
2m
Таблица 4.
Далее возьмем равные объемы этих растворов по m литров. Тогда
кислоты в этих объёмах содержится по с1 ∙ и с2 ∙ литров соответственно в
первом и втором растворах. Общий объём такой смеси составит 2m, а объём
кислоты, если слить эти растворы, равен 1 ∙ + 2 ∙ = ∙(1 + 2 ). Отсюда
концентрация кислоты в новом растворе определяется равенством:
∙(1 +2 )
2
=
0,36. Введенная переменная m в этой переменной сокращается, поэтому
дополнительного уравнения для его определения не требуется.
В результате простых преобразование, получаем систему уравнений
4 + 62 = 3,5,
{ 1
1 + 2 = 0,72.
Решениями этой системы уравнений будет 1 = 0,41 и 2 = 0,31. Тем
самым мы нашли концентрации первой и второй кислоты в растворе, что ещё
не является ответом задачи. Найдем объем каждой из кислот: объем первой
кислоты равен 4∙0,41 = 1,64 литра, объем второй кислоты равен 6∙0,31 =
1,86 литра.
Ответ: 1,64 литра и 1,86 литра кислоты соответственно в первом и
втором растворах.
В некоторых задачах веса смесей и веществ, из которых состоят
данные смеси, не заданы, задано лишь их весовое отношение. В таких
задачах требуется найти весовое отношение смесей и элементов, из которых
они состоят.
51
Пример 11. В двух сплавах медь и цинк по весу относятся как 5: 2 и
3: 4. Сколько нужно взять килограммов первого сплава и второго сплава,
чтобы на выходе после переплавки получить 28 килограммов сплава, с
равным содержанием меди и цинка?
Решение. Оформим вспомогательную модель в виде таблицы (табл. 5).
Пусть веса этих сплавов соответственно равны x и y. Так как в первом сплаве
веса меди и цинка относятся как 5: 2 (всего 7 частей), то это означает, что
5
2
7
7
содержание меди в сплаве равно , а цинка . Аналогично определяется
содержание меди и цинка в другом соответственно равно:
3
7
 и
4
7
. После
переплавки общий вес сплава составляет  +  = 28 килограммов. Меди в
5
3
2
4
7
7
7
7
этом сплаве будет  + , а цинка -  + .
Вес
Первый сплав
x
Второй сплав
y
Новый сплав
Отношение
меди к цинку
5: 2
3: 4
 +  = 28
-
Меди
в Цинка
в
сплаве
сплаве
2
5


7
7
4
3


7
7
2
4
5
3
+ 
+ 
7
7
7
7
Таблица 5.
5
3
7
7
Так как эти веса равны, то в результате получим уравнение:  +  =
2
7
3
7
4
 + . После преобразования этого уравнения, получаем уравнение
7
1
= 
7
или
3 = .
Тогда
из
первого
уравнения
находим
=
7килограммов. Следовательно,  = 21 килограмм.
Ответ: необходимо взять 7 килограммов первого сплава и 21
килограмм второго сплава.
Рассмотренные ранее примеры являются задачами первого вида,
теперь же рассмотрим задачу второго вида.
Пример 12. Из сосуда, который содержит 54 литра кислоты, вылили
несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. За
52
тем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В
результате в смеси, оставшейся в сосуде, стало 34 литра чистой кислоты.
Сколько кислоты вылил в первый раз?
Решение. Пусть в первый раз вылили x литров кислоты, в результате в
сосуде осталось 54 −  литров кислоты. После долива воды в сосуд, в нем
окажется 54 литра смеси с концентрацией кислоты  =
54−
54
. Во второй раз из
сосуда вылили x литров смеси. Очевидно, что в x литров смеси содержится
∙ литров кислоты, то есть
54 −  −
54−
54
∙ =
(54−)2
54
54−
54
∙ литров. Поэтому в сосуде остается
. С учётом того, что в сосуде осталось 24 литра
чистой кислоты, получим уравнение
(54−)2
54
= 24. Решив это уравнение,
получаем  = 18 литров.
Ответ: в первый раз из сосуда вылили 18 литров кислоты.
При решении задач на концентрацию смесей и сплавов очевидны
межпредметные связи с математикой и химией. Задачи на концентрацию
смесей и сплавов включены в КИМы на экзаменах в 9 и 11 классах, наравне с
задачами на проценты, движение по прямой и по окружности.
53
2.2.8. РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ
В уравнениях, которые составлены на основании условий задач на
движение, обычно содержатся такие величины, как скорости движущихся
объектов, расстояние, ускорение (при равноускоренном движении), время, а
также течения (при условии движения по воде).
При
решении
задач
на
движение
разных
типов
возможны
определенные допущения.
Равномерное движение по прямой. При решении задач на данный тип
движения, принимаются следующие допущения:
1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а
пройденное расстояние определяется по формуле: скорость(V) ,
умноженная
на
время
(t):
 = ∙.
2. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, другими
словами, они происходят без затрат времени. Если в задаче
обозначена скорость, то она так же меняется мгновенно.
3. Скорость всегда считается положительной величиной.
4. Если объект, который имеет собственную скорость в стоячей воде
(V), движется по течению реки, скорость течения которой равна (U),
то скорость объекта, относительно берега, будет равняться  + .
Если объект движется против течения реки, то аналогичная скорость
будет равна  − . Если в условии задачи речь идет о движении
плотов, то принято считать, что плот не имеет собственную
скорость движения и движется со скоростью, равной скорости
течения реки.
Часто в таких задачах требование состоит в том, чтобы найти время
встречи двух объектов, которые начинают движение одновременно из двух
54
точек с различными скоростями и движутся друг другу навстречу, либо когда
один объект догоняет другой.
Пусть расстояние между точками A и B равняется S. Два объекта
одновременно начинают движение, но с разными скоростями, которые
соответственно равны 1 и 2 . Пусть  – точка встречи этих объектов. В
случае движения навстречу друг другу имеем  = 1 ∙,  = 2 ∙, где t –
время, которое эти объекты двигались. Если сложить 2 этих равенства,
получим равенство:  +  = ∙(1 + 2 ). Так как  +  =  = , то
время, через которое эти объекты встретятся, определяется по формуле:

1 + 2
=
обозначим эту формулу, формула (1).
В случае, когда одно из тел, догоняет другое, получим  = 1 ∙,
 = 2 ∙. Вычтем эти 2 равенства:  −  = ∙(1 − 2 ). Так как  −
 =  = , то время, которое будет затрачено первым телом, на то, чтобы
догнать второе тело, определяется с помощью следующей формулы:
=

1 − 2
обозначим эту формулу, формула (2).
55
Равномерное движение по окружности. Пусть два тела начинают
движение из одной точки по окружности радиуса R. Обозначим  = 2, в
случае
движения
тел
в
противоположных
направлениях
формулой
вычисления времени, является формула (1), а в случае движения в одном
направлении – формула (2).
Необходимо помнить, что при движении тел в одном направлении,
независимо от того, на каком круге первое тело, «догоняет» второе тело
первый раз и сколько прошло времени, первое тело проходит только на один
круг больше, то есть больше на S, чем второе.
Движение с ускорениями. Принято считать, что движение является
либо
равноускоренным
(ускорение
 > 0),
либо
равнозамедленным
(ускорение  < 0). Решая такие задачи, следует использовать следующие
формулы, которые связывают пройденное расстояние S, время t, скорость V,
ускорение a, начальное время 0 и начальную скорость 0 = (0 ).
 = 0 ∙ + ∙
2
2
– формула (3),  = ( − 0 )∙ – формула (4).
При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок,
который отображает все условия задачи. При этом ученик, который решает
задачу, должен выбрать схему решения задачи: уравнения какого вида
составлять, другими словами, что нужно сравнить: время, которое затрачено
56
на движение по отдельным участкам пути, либо расстояние, пройденное
каждым объектом.
Исходя из условий задачи, в задачах на движение часто можно
составить уравнений меньше, чем неизвестных. В данном случае необходимо
более внимательно прочитать текст задачи и выяснить, что требуется найти.
Если, например, для двух движущихся тел введены неизвестные , 1 и 2 , а
необходимо найти время, за которое эти 2 объекта пройдут путь S, и удалось
составить только 2 уравнения, то, разделив эти уравнения на S или на 1 ,


1
2
введя новые неизвестные (например,  = ,  =

2
1
1
либо  = ,  =
и так
далее), приходим к двум уравнениям с двумя неизвестными. Рассмотрим
несколько примеров решения задач на движение.
Пример 13. велосипедист должен был проехать 48 километров с
определенной скоростью, но по некоторым причинам первую половину пути
он ехал со скоростью, на 20% меньшей, а вторую половину пути – на 2
километра в час большей, чем полагалось. На весь путь велосипедист
затратил 5 часов. Найдите предполагаемую скорость велосипедиста.
Решение. Пусть предполагаемая скорость велосипедиста равна V , тогда
первую половину пути он ехал со скоростью  − 0,2∙ = 0,8∙. Половина
пути равна
48
2
= 24, поэтому время (1 ), затраченное на первую половину
пути, равняется: 1 =
24
0,8∙
. Вторую половину пути велосипедист ехал со
скоростью, на 2 км/ч большей, то есть со скоростью  + 2. Поэтому на
вторую половину пути велосипедист затратил времени 2 =
24
+2
. По условию
57
задачи
1 + 2 = 5
24
или
0,8∙
Преобразовав это уравнение, получим уравнение
+
24
+2
= 5.
4 2 − 35,2 − 48 = 0,
корнями этого уравнения будут 1 = 10, 2 = −4,8. Корень 2 не подходит
по смыслу задачи.
Ответ: предполагаемая скорость равна 10 километрам в час.
Теперь рассмотрим пример задачи на движение по воде.
Пример 14. пароход прошел 4 километра против течения реки, после
чего прошел еще 33 километра по течению реки, затратив на это 1 час.
Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна
6,5 километров в час.
Решение. Оформим вспомогательную модель в виде таблицы (табл.
6).Обозначим через V собственную скорость парохода, тогда его скорость по
течению реки равна  + 6,5 км/ч, а против течения –  − 6,5 км\ч. Плывя по
течению реки, пароход затратит 1 =
4
−6,5
33
+6,5
часов, а против течения – 2 =
часов.
По течению
Путь
33
Скорость
 + 6,5 км/ч
Против течения
4
 − 6,5 км\ч
По условию задачи находим
33
+6,5
+
4
−6,5
Время
33
 + 6,5
4
 − 6,5
Таблица 6.
= 1, преобразуем это
уравнение и получим новое -  2 − 37∙ + 146,25 = 0. Корнями этого
уравнения будут 1 = 4,5 км/ч, 2 = 32,5 км/ч. Корень 1 не удовлетворяет
условию задачи, так как пароход не может двигаться против течения, если
его собственная скорость меньше скорости течения (4,5 < 6,5).
Ответ: собственная скорость парохода равна 32,5 километрам в час.
Многие школьники допускают при решении задачи на движение одну и
ту же ошибку: они не приводят в соответствие размерности величин, которые
входят в условие задачи. Поэтому нужно более внимательно отнестись к
58
этапу анализа задачи, не складывать между собой, например, минуты и часы!
Рассмотрим пример.
Пример 15. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении,
встречаются через каждые 112 минут, а при движении в противоположных
направлениях – через каждые 16 минут. Во втором случае расстояние между
телами уменьшилось с 40 метров до 26 метров за 12 секунд. Сколько метров
проходит каждое тело за минуту, какова длинна окружности?
Решение. Воспользуемся уравнениями (1) и (2) и составим уравнения

1 −2

= 112 и
1 +2
= 16, где S – длина окружности, 1 и 2 – скорости
движущихся тел. За 12 секунд тела переместились на 40 − 26 = 14 метров,
перейдя от секунд к минутам, получим
Исходя
из
первых
двух
уравнений,
1
5
1
1 + 2 = 14 или 1 + 2 = 70.
5
получаем:
 = 112∙(1 −. 2 ) =
3
16∙(1 + 2 ), отсюда 2 = 1 . Подставив это равенство, в треть равенство,
4
3
получим 1 + 1 = 70, отсюда находим корни 1 = 40, 2 = 30 и  = 1120.
4
Ответ: скорости тел соответственно равны 40 метров в минуту и 70
метров в минуту, длина окружности равна 1120 километров.
Так же рассмотрим пример задачи на движение с ускорением.
59
Пример 16. Два парохода движутся навстречу друг другу в тумане с
одинаковыми скоростями 0 . На расстоянии 4 километра между ними,
капитаны включают на некоторое время обратный ход с ускорением 0,1 м/с2 .
Какова наибольшая скорость пароходов 0 , при которой они не столкнутся?
Решение. На торможение каждому пароходу отведено 2 километра. По
формуле (3) находим 0  − 0,1∙
2
2
квадрат, получаем – 0 < 2∙ (
2


20
< 2. Отсюда 0 < −
1
√
1
, выделив полный
2
− √ ) + √0,4. Так как правая часть
40
неравенства принимает минимальное значение в том случае, когда
выражение в скобках равно нулю, то скорость 0 не должна превосходить
7,2
√0,4 метров в секунду, или √10 километров в час.
Ответ: наибольшая скорость пароходов, при которой они не
столкнутся, равняется
7,2
√10
километров в час.
60
2.3. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО
МЕТОДИКЕ
Г.Г. ЛЕВИТАСА
Большую роль в обучении решению текстовых задач играет порядок
перевода условия задачи с языка задачи, на математический язык . Учитель
бегло переводит легкие для себя задачи из школьного курса математики. Он
сразу видит, что лучше принять за x, а что лучше через этот x выразить,
каким будет уравнение. И учит своих учеников работать в таком порядке.
Легкие для себя задачи, ученик без труда решает таким способом, но когда
учащийся встречается со сложными задачами, у него могут возникнуть
трудности. Что именно обозначит через x? Какие неизвестные выражать
через x? Как составить уравнение?
Автор же предлагает другой порядок решения задачи. Предлагается
сначала составить схему уравнения, за тем выбрать обозначения для
неизвестных, далее составить и решить уравнения, после этого проверить,
удовлетворяют ли корни уравнения условию задачи, и записать ответ.
Рассмотрим
пример
решения
задачи,
с
помощью
приведенной
последовательности.
Пример 17. Когда первый из двух турниров по шашкам завершился, во
втором турнире было сыграно столько же партий, сколько и в первом, а
сыграть оставалось ещё три тура. Известно то, что оба турнира игрались в
один круг и что число участников во втором турнире было четным. Сколько
партий игралось в каждом туре второго турнира?
Решение.
Сначала
необходимо
составить
схему
уравнения:
Число партий в
Число партий в
Число партий
первом турнире
трех турах
во втором
второго турнира
турнире
61
После этого, нужно выбрать основные неизвестные таким образом,
чтобы через каждую из них можно было выразить каждую из величин,
которые имеются в предложенной схеме. Обозначим через x число
участников первого турнира, а через y – число участников второго турнира.
Отсюда получим уравнение:
( − 1) 3
( − 1)
+
=
.
2
2
2
Далее ученику остается только решить полученное уравнение и
проверить, удовлетворяют ли корни условию задачи.
Можно заметить, что особенностью данного метода заключается в том,
что построение модели задачи проводится в два приема. Сначала
естественный текст задачи частично сохраняется и выступает совместно с
математическим языком: знаками действия и знаком равенства. И только
после
этого
естественный
язык,
полностью
переводится
на
язык
математических обозначений. Если ученик смог составить схему уравнения,
то можно не сомневаться в том, что он понял условие задачи.
62
2.4. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО
МЕТОДИКЕ В.Н. ЛЕБЕДЕВА
По мнению В.Н. Лебедева, в текстовых задачах не разработан
аналитический аппарат, который бы позволял рассматривать любую
текстовую задачу как систему, независимо от того, является ли эта задача
задачей на совместную работу и производительность, на концентрацию
смесей и сплавов или задачей на движение.
Чтобы рассматривать текстовую задачу как систему, необходимо
определить:
1. Элементы задачи;
2. Характер взаимосвязей между данными элементами.
В первую очередь необходимо определить в задаче как в системе
элементы, которые являются участниками контекста задачи (рабочие, смеси,
сплавы, автомобили, трубы и так далее).
Действия, которые производят участники или соучастники задачи,
также являются системой. Эти действия определяются следующими
компонентами:

Скорость V, время t, путь S;

Производительность T, время t, объем работы
V;

Объем смеси 0 , объем вещества смеси в ,
концентрация вещества в смеси в и так далее.
Изменения, которые происходят с компонентами и участниками
задачи, накладывают на них некоторые ограничения: увеличилась или
уменьшилась скорость движения, известно ли время до встречи; вначале
работали вместе, затем увеличилась производительность труда и так далее.
Каждое такое изменение характеризует свою систему, которая состоит из
63
участников и соответствующих значений компонент. Назовем такую систему
состоянием.
Таким образом, общую систему задачи можно представить в виде
таблицы (табл. 7):
Тип задачи
Состояние 1
Состояние 2
Участник 1
Компоненты11
Компоненты21
Участник 2
Компоненты1 2
Компоненты2 2
Таблица 7.
Характер взаимодействия между элементами определяет структуру
системы. Для того, чтобы полностью раскрыть систему задачи, нам нужно
определить взаимосвязи:
1. Между компонентами каждого участника в каждом состоянии.
Назовем их вертикальными взаимосвязями.
2. Между компонентами участников в каждом состоянии. Назовем их
горизонтальными, или уравнивающими взаимосвязями.
3. Между компонентами каждого участника в различных состояниях.
4. Между компонентами участников в различных состояниях.
В систему требуется ввести еще одного участника задачи, в силу
необходимости поиска взаимосвязи между компонентами участников. Таким
образом, таблица системы задачи примет вид (табл. 8):
Тип задачи
Состояние 1
Состояние 2
Движение
Состояние 1
Участник 1
Компоненты11
Компоненты21
Участник 1
1 1 =
Участник 2
Компоненты1 2
Компоненты2 2
Взаимосвязь
Компоненты1 2
Компоненты2 2
Участник 2
1 2 =
Взаимосвязь
1 =
64
1 1 =
11 =
21 =
21 =
21 =
Состояние 2
Таблица,
которая
1 2 =
1 2 =
2 2 =
2 2 =
2 2 =
описывает
задачу
1 =
1 =
2 =
2 =
2 =
Таблица 8.
как
систему,
принимает
соответствующий вид в зависимости от типа задачи. Например, для задач на
движение, таблица имеет вид:
Движение каждого из участников описывает три компоненты. Для
того, чтобы найти взаимосвязь между ними, нам необходимо знать значения
двух компонент. В отличие от традиционного подхода к решению текстовых
задач, где вводятся неизвестные величины x, y, z, мы какие-либо из
компонент, положим известными и дальше работаем с задачей исходя из
этого. Рассмотрим пример.
Пример 18. Расстояние между домами кролика и лиса составляет 50
километров. Они одновременно вышли друг к другу на встречу по одной
дороге. Через 5 часов, они прошли мимо друг друга, после чего кролик
снизил скорость на 1 километр в час, а лис увеличил скорость на 1 километр
в час. В итоге, лис пришел домой к кролику на 2 часа позже, чем кролик
пришел домой к лису. Найти скорость кролика.
Решение.
Первым
шагом
необходимо
определить
участников
движения. По условию задачи участников движения 2 – кролик и лис.
Вторым шагом определяем состояния: сколько их и какие они. По
условию задачи состояния 2 – до встречи и после встречи.
Третьим шагом изложим в таблице данные, которые необходимы для
дальнейшего анализа системы задачи (табл. 9).
Движение
Кролик
Лис
Взаимосвязь
65
1 1 =
11 = 5
11 =
2 1 =
2 1 =
21 =
До встречи
После встречи
1 2 =
1 2 = 5
1 2 =
2 2 =
2 2 =
2 2 =
1 =
1 =
1 = 50
2 =
2 =
2 =
Таблица 9.
Для дальнейшего анализа первого состояния, нам необходимо ввести
значения компонент, которые якобы известны, пусть это будет скорость
кролика  1 . Тогда получим (в скобках будет цифрами обозначена
последовательность рассуждений) (табл. 10):
Движение
До встречи
Кролик
1 = 50 − 5 1
11 = 5
11 = 5 1 (1)
После встречи
2 1 =  1 − 1(4)
1
21 =
50−5 1
 1 −1
Лис
50−5 1
1 2 =
(3)
5
1 2 = 5
1 2 = 50 −
5 1 (2)
2 2 = 11 −  1 (5)
2 2 =
(8)
21 = 50 −
5 1 (7)
5 1
11− 1
2
(9)
2 2 = 5 (7)
Взаимосвязь
1 =
1 =
1 = 50
2 =
2 = 2 2 − 21 = 2
(10)
2 =
Таблица 10.
Условия (4) и (5) мы получили из условия задачи и из анализа
взаимосвязей между компонентами каждого участника в различных
состояниях. Условия (6) и (7) получены из анализа взаимосвязей между
компонентами каждого участника в различных состояниях. Условия (8) и (9)
получены из анализа взаимосвязей между компонентами каждого участника
в состоянии 2. Условие (1) получено из условия задачи. На основании
условия (10), получаем уравнение:
2=
51
11−1
−
50−51
1 −1
,
решив которое, получаем: 1 = 6 километров в час.
66
Ответ: скорость кролика – 6 километров в час.
Отметим, что уравнения формируются из взаимосвязей между
компонентами участников в том или ином состоянии. По этой причине мы и
назвали их горизонтальными ил уравнивающими.
То, что для анализа системы задачи не имеет особого значения, какие
значения компонентов принять за якобы известные, производит на учащихся
большое впечатление. Еще больше учащихся интригует возможность
составлять свои задачи, переходить от одной задачи к другой по полностью
восстановленной системе задачи.
Отметим также, что данная методика обучения позволяет развивать у
учащихся целостное и системное понимание математических взаимосвязей и
закономерностей, расширяет возможности учителя по развитию у них
творческого мышления.
Таким образом, на примере мы показали, как использовать метод
анализа системы задачи, строить уравнения, которые приводят к решению
текстовых задач.
67
2.5. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ
ЗАДАЧ
1. Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач
принято понимать одновременное решение одной и той же задачи всеми
учениками. Фронтальное решение задач может быть организовано поразному.
а)
В
фронтальное
5-8
классах
решение
самым
задач.
распространенным
В
старших
классах
является
такое
устное
решение
применяется реже. Преподаватели математики 5-8 классов практически на
каждом уроке уделяют время устному решению задач. Если ученики
научатся устно выполнять некоторые преобразования и вычисления, то
повышается производительность уроков математики, физики, химии и др.
точных наук.
б) Письменное решение задач с оформлением записи на классной
доске. Зачастую в педагогической практике встречается необходимость
решать одну и ту же задачу одновременно всеми учениками в классе. В таких
случаях у доски решать задачу учитель, либо один из учеников под
контролем учителя.
Классную доску на уроках математики применяют обычно при:
решении первых задач по ознакомлению с новыми методами и понятиями;
решении задач, с которыми не все ученики в классе могут справиться;
рассмотрении различных способов решения одной и той же задачи. Также
вынести решение задачи на доску рекомендуется тогда, когда необходимо
разобрать решение задач, в которых несколькими учениками были допущены
ошибки при самостоятельном решении задачи.
Решение одной задачи несколькими способами более продуктивно, чем
решение подряд нескольких однотипных задач. В процессе рассмотрения
учеником различных вариантов решения, выбора из этих вариантов наиболее
68
рационального у учащихся воспитывается гибкость мышления и умение
рассуждать и проводить правильные умозаключения.
Для одновременного решения задачи различными способами, к доске
можно вызвать сразу нескольких учеников.
в)
Письменное
самостоятельное
решение
задач.
При
самостоятельном решении учениками текстовых задач: 1) повышается
учебная активность учеников, интерес к решению задач, развивается
мыслительная
деятельность
учеников,
стимулируется
творческая
инициатива; 2) ученик должен сам разбираться в решении задачи, в силу
того, что нет возможности списать решение с доски; 3) самостоятельное
решение задач сокращает время, которое необходимо для опроса учащихся, в
некоторых случаях оценивать успехи учащихся по итогам самостоятельного
решения
задач;
4)
у
учителя
будет
возможность
организовать
индивидуальную работу учащихся по решению задач, увидеть ошибки, а
ученики могут их исправлять.
Самостоятельные работы по решению задач на уроках математики
можно организовать по-разному. Например, учитель может заранее
подобрать задачи; в процессе работы одним ученикам помогает советом,
других учеников направляет к верному решению, третьи справляются
самостоятельно.
При
проверке
и
оценки
самостоятельной
работы
необходимо учитывать степень самостоятельности ученика. При такой
организации самостоятельной работы помимо обучения происходит и
контроль
знаний.
Как
правило,
преподаватель
математики
заранее
предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. При
выполнении обучающих самостоятельных работ учитель может оказывать
помощь отдельным ученикам, также можно предварительно анализировать и
предложить самостоятельное решение. Самостоятельную работу можно
организовать и следующим образом: учащиеся самостоятельно изучают
небольшой теоретический материал, учащимся предлагаются образцы
69
решения задач, разбирая которые, ученики самостоятельно решают
аналогичные задачи.
г) Комментирование решения текстовых задач. Все ученики
самостоятельно решают одну и ту же задачу, при этом один из учеников
последовательно комментирует свое решение. Он дает комментарии и
объясняет, на каком основании выполняет то или иное преобразование.
Комментирование
при
решении
задач
оказывает
пользу.
Услышав
объяснение следующего этапа в задаче, даже недостаточно подготовленные
учащиеся постараются выполнить его самостоятельно.
2. Индивидуальное решение задач. В процессе фронтальной работы
все учащиеся решают одну и ту же задачу. Некоторым ученикам эта задача
может показаться легкой, поэтому в процессе решения такой задачи они не
приобретут новых знаний. Другим же ученикам, наоборот, эта задача может
показаться слишком сложной. Именно по этой причине необходимо
учитывать
индивидуальные
особенности
учащихся
и
индивидуально
подбирать и систематизировать задачи таким образом, чтобы учитывались
возможности и способности ученика.
Перед преподавателем стоит задача выяснить уровень подготовки,
возможности и способности каждого ученика. Можно подбирать задачи для
отдельных групп учеников класса. Если таким образом организовать
обучение, то слабые ученики обретут веру в свои способности, будут
стараться
работать.
совершенствовать
А
свои
у
сильных
способности.
учеников
появится
Самостоятельные
возможность
работы
по
устранению пробелов имеют огромное значение. Пробелы в знаниях можно
выявить с помощью контрольных, самостоятельных и проверочных работ,
при этом необходимо в тетрадях ученикам указать допущенные ошибки.
Сильным ученикам достаточно указать на неверность результата. Некоторым
ученикам будет полезным подчеркнуть, а слабо подготовленным исправить
ошибки. Ошибки, допущенные учениками, необходимо учитывать при
70
подборе задач. Устранять необходимо причину ошибки, ведь одну и ту же
ошибку можно допустить по разным причинам. При такой организации
обучения, продуктивность обучения на уроке повышается, в сравнении с
фронтальной работой над ошибками.
Домашнее задание так же является частью индивидуальной работы.
Цель домашнего задания состоит в дальнейшем совершенствовании
математических знаний, умений и навыков, закрепление и повторение
пройденного на уроке. Учитель дает указания по решению домашнего
задания, но трудности для преодоления дома должны остаться. Можно
подготовить
необходимо
индивидуальные
учитывать
задания
для
индивидуальные
работы
дому,
особенности
при
этом
учащихся.
Индивидуальные задания ученики решают с большим интересом. Такие
задания лучше подготовить заранее на специальных карточках.
71
2.6.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В
ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Моделирование, также как и мышление, существует и используется в
процессе учебы. Однако в роли средства обучения моделирование стали
использовать сравнительно недавно, научное понятие моделирования и
модели ещё недостаточно проникло в методику преподавания математики в
школе.
Метод моделирования как отдельная учебная задача в практике
обучения математике не применяется. Даже несмотря на значительное
количество исследований, которые посвящены вопросам моделирования при
обучении
математике,
все
эти
исследования
относятся
к
области
экспериментальных методик. И действительно, зачем нужно моделирование
при интерпретации знаковых моделей, да и сама интерпретация, если, при
существующем распространенном мнении, «математика – абстрактная наука
и некоторые вещи дети должны просто принять и запомнить?»[27, с.38]
Если
ход
решения
задачи
зависит
от
выстраивания
цепочки
рассуждений от вопроса задачи, то зачем нужно моделирование при решении
задач? На этот вопрос современные исследования не дают ответа, более того,
этот вопрос даже не поднимается, не рассматривается и не подвергается
сомнению.
В
нашей
работе
поднимается
вопрос
эффективности
использования моделей при обучении решению текстовых задач.
Модель – это мостик от абстрактного к конкретному, по которому
двигается мысль школьника.
По форме модели могут быть различными: модельная схема, знаковая
модель, графическая модель, образная модель. В методической литературе по
математике различают:
1. Предметную наглядность: предметы окружающей обстановки;
модели предметов; картинки с изображением предметов;
72
2. Графическую наглядность: схематические рисунки, чертежи,
схематические таблицы.
Модели, которые используют на уроках математики в основной школе,
бывают разные. Их условно можно разделить на вещественные и
графические, в зависимости от того, какое действие они обозначают.
Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают
физическое действие с предметами. Такие модели обычно строятся при
помощи каких-либо предметов (спичек, пуговиц, бумажных полосок и т.д.),
они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задачи.
К данному виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной
ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.
Как правило, графические модели используют для обобщенного,
схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим моделям
можно отнести:
 рисунок;
 чертёж;
 условный рисунок;
 схематический чертеж;
 схема.
Рассмотрим подробнее каждый из видов моделей.
Рисунок. Использование рисунка особенно результативно в тех
задачах, в которых говорится о реальных и простых в изображении
предметов. Рисунок изображает реальные предметы, о которых говорится в
задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур. Такие модели
по большей части используются в начальной школе, при обучении
арифметическим действиям. В основной школе рисунки используются редко,
поэтому подробнее останавливаться на таких моделях мы не будем.
73
Краткая запись. Краткая запись – представление задачи в удобной
для работы форме, выполненное с помощью опорных слов, простых
математических выражений, значений исходных величин, связей между
этими величинами, а также данными и исходными величинами.
Краткая запись является наиболее распространенным способом
облегчения учащимся переходом от словесной модели к представлению
ситуации, описанной в задаче. Однако встречаются и случаи, когда при
выборе арифметического действия ученик руководствуется только опорными
словами, а не анализирует описанную в задаче ситуацию. В связи с чем,
краткая запись в определенных ситуациях не только не помогает, но и
тормозит поиск решения задачи.
Пример 19. Некто работает 24 дня в месяц, тратит в каждый из 30
дней по 50 рублей и откладывает по 900 рублей за месяц. Сколько получает
за день рабочий?
Оформим вспомогательную модель в виде краткой записи условия
задачи. Переведем все расчеты в форму единица/месяц.
 Работает – 24 дня;
 Откладывает – 900 рублей;
 Тратит – 50∙30 рублей.
Решение. Сколько денег он тратит в месяц?
50 ∙ 30 = 1500 рублей.
Сколько денег он зарабатывает за месяц?
1500 + 900 = 2400 рублей.
Сколько рублей он зарабатывает за 1 день?
2400:24 = 100 рублей он зарабатывает за 1 день.
74
Ответ: 100 рублей.
Таблица. Таблица по своей структуре схожа с краткой записью. Но
данные
рассматриваются
не
по
строкам
к
опорным
словам,
а
структурируются в таблицу. При этом с помощью таблицы удобнее
определить связи между элементами задачи. Поэтому с помощью таблиц
ученикам проще решать более сложные задачи, в том числе и задачи, для
решения которых требуется ввести переменные.
Пример 20. Автомобиль должен был пройти 840 км. В середине пути
водитель остановился на обед. Через час он продолжил путь. Чтобы прибыть
в пункт назначения вовремя, ему пришлось увеличить скорость на 10 км/ч.
Сколько времени он затратил на весь путь, включая время на остановку?
Оформим вспомогательную модель в виде таблицы (табл. 12). За x
примем время движения по плану на участке 420 км.
Путь (км)
По плану
420
Фактически
420
Время движения Скорость (км/ч)
(ч)
420
x

420
−1
−1
Таблица 12.
Решение. Скорость движения была увеличена на 10 км/ч по сравнению
с планом, на основе этого составим уравнение:
420
−1
−
420

= 10.
Преобразуем это уравнение, после чего оно примет вид:
 2 −−42
(−1)
= 0.
Найдем ОДЗ:  ≠ 0,  ≠ 1. Теперь мы можем решить уравнение в виде
 2 −  − 42 = 0. Корнями этого уравнения являются  = 7 и  = −6. Время
движения
–
положительная
величина,
поэтому
корень
 = −6
не
удовлетворяет условию задачи. Таким образом,  = 7. За x мы принимали
время движения по плану на участке 420 км, но требование задачи состоит в
75
том, чтобы найти время, затраченное на весь путь с учетом остановки. На
весь путь с остановкой затрачено в 2 раза больше времени, то есть 2∙7 = 14
ч.
Ответ: 14 часов.
Чертёж. Чертеж – это условное изображение предметов, взаимосвязей
между ними и взаимоотношения между величинами с помощью отрезков и с
соблюдением определенного масштаба. При обучении поиску решения
задачи используют специфические чертежи, на которых взаимоотношения и
взаимосвязи передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба.
Чертёж, как вид модели целесообразно использовать при следующих
условиях:
 наличие у учащихся определенных навыков черчения;
 удобные числовые данные в задаче.
Пример 21. Две старушки вышли одновременно из двух городов на
встречу друг другу. Они встретились в 12 часов и достигли каждая чужого
города: первая в 4 часа, а вторая в 9 часов. Узнайте, когда они вышли из
своих городов?
Оформим вспомогательную модель в виде чертежа (рис. 8). Пусть
скорость первой старушки в n раз больше скорости второй старушки. Тогда
на одном и том же отрезке пути первая старушка тратит в n раз меньше
времени, чем вторая, а вторая тратит в n раз больше времени, чем первая.
76
Решение. До встречи они шли одинаковое время, поэтому числа
9

и 4
9
равны. Уравнение = 4 имеет только 1 положительный корень  = 1,5.

Таким образом, до встречи они шли 4∙1,5 = 6 ч. То есть старушки
вышли из своих городов в 6 часов утра.
Ответ: в 6 часов.
Блок схема. Такой вид модели также могут называть «дерево
рассуждений» или «виноградная гроздь». Часть методистов не выделяют
блок-схему как отдельную модель. Но такой подход неверен, ведь при
составлении блок-схемы используются приемы, которые отличаются от
приемов составления других моделей.
Разбор задачи начинается с вопроса (то есть аналитическим способом),
что подразумевает выбор «двух числовых значений одной или разных
величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи». Применение же
моделей других видов допускает и рассуждение от данных к вопросу задачи
(синтетическим способом) и аналитико-синтетическим способом (соединение
двух предыдущих способов).
В блок-схеме, в отличие от краткой записи, нет опорных слов на
которые можно ориентировать при выборе действия для нахождения ответа
на вопрос задачи.
В блок-схеме, в отличие от схемы и чертежа, отсутствует зрительный
ориентир для сравнения величин между собой. Ребенок ориентируется
только на взаимоотношения и взаимосвязи, которые описаны в задаче.
Пример 22. Алхимик доктор Фауст умеет превращать металлы:
железо в золото, медь в железо и олово, олово в свинец, алюминий в цинк и
ртуть, цинк в олово или свинец, ртуть в олово, а свинец в алюминий. Сейчас
у него есть свинец, сможет ли он получить золото?
77
Оформим вспомогательную модель в форме блок-схемы (рис. 9).
Решение. На основе рис. 9 строим цепочку рассуждений:
1. из свинца можем получить алюминий;
2. из алюминия можем получить цинк и ртуть;
3. из ртути можем получить олово;
4. из цинка можем получить олово и свинец;
5. из олова можем получить свинец.
При получении свинца цепочка рассуждений замыкается и дальнейшие
рассуждения
не
имеют
смысла.
Таким
образом,
по
итого
преобразований мы можем получить: алюминий, цинк, ртуть и олово.
Ответ: не может.
всех
78
2.6.2 ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО
ИССЛЕДОВАНИЮ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ
ЗАДАЧ
В
выпускной
«Использование
квалификационной
вспомогательных
работе
моделей
выдвигается
повышает
гипотеза:
эффективность
решения текстовых задач». Данная опытно-экспериментальная работа
призвана подтвердить или опровергнуть данную гипотезу.
Исследование проводилось на базе 7 «В» класса МБОУ Лицея №1
им. М.В. Ломоносова г. Орла. В ходе исследования была проведена и
проанализирована контрольная работа по теме «Решение задач с помощью
уравнений». Задачи из этой контрольной работы содержатся в приложении 1.
По результату исследования были получены следующие результаты.
Большая часть учащихся класса (73%) используют при решении текстовых
задач вспомогательные модели. При этом из 73% учащихся 27% учеников
решили все задачи контрольной работы; 41% учащихся решили 4 задачи
контрольной работы; 22% учащихся решили 3 задачи контрольной работы;
7% учащихся решили 2 задачи контрольной работы; 3% учащихся решили 1
задачу контрольной
работы.
Как видим,
среди
учеников,
которые
использовали вспомогательные модели, нет учеников, которые не решили ни
одной задачи из контрольной работы. Стоит отметить, что среди ошибок,
допущенных учениками, использовавшими вспомогательные модели, 86% вычислительные, то есть с точки зрения методики ход решения был
правильным. С другой стороны, оставшиеся 27% учеников, которые не
использовали при решении задач вспомогательные модели, показали
следующие результаты: 15% учеников решили все задачи контрольной
работы; 19% учеников решили 4 задачи контрольной работы; 32% учеников
решили 3 задачи контрольной работы; 24% учеников решили 2 задачи; 8%
учеников решили 1 задачу и 2% учеников не справились ни с одной задачей.
79
При этом только 30% ошибок у этих учеников были вычислительными, то
есть большая часть ошибок была допущена из-за непонимания учениками
условия задачи и
которые
методики её решения. Ниже приведены диаграммы,
наглядно
демонстрируют
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
результаты
эксперимента.
Использовали
модели
4
5
за
да
за ч
да
3
ч
кз и
ад
ач
2
и
за
да
чи
1
за
да
ча
0
за
да
ч
Не
использовали
модели
Диаграмма 1
27%
Использовали модели
Не использовали модели
73%
Диаграмма 2
Анализируя результаты контрольной работы, можем сделать вывод:
использование
вспомогательных
моделей
эффективность решения текстовых задач.
положительно
влияет
на
80
2.7. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В СОСТАВЕ ОГЭ
Математика проникает во все сферы деятельности человека. Экзамен
по математике был одним из первых включен в итоговую аттестацию в
форме Основного Государственного Экзамена (ОГЭ), где, среди прочих
задач, особое внимание уделяется текстовым задачам.
В 2018 году из 26 задач в варианте ОГЭ имеется 7 текстовых задач, а 4
из них приведены с вспомогательной моделью задачи.
В
процессе
математическое
решения
задач
исследование,
необходимо
которое
проводить
проверяет
небольшое
сообразительность
учеников и их способность к логическому мышлению. Умение решать
текстовые задачи позволяет проверить наблюдательность и способность к
логическому мышлению выпускников. Поэтому цель выпускника состоит в
том, чтобы научиться решать задачи подобного рода и прочно усвоить
различные методы решения, которые применяются при решении этих задач.
Рассмотрим методику использования текстовых задач, входящих в
состав ОГЭ.
Успешное решение любой текстовой задачи включает в себя 3
основных момента:
1. удачный выбор неизвестных;
2. формализация вопроса задачи и составление уравнения;
3. решения полученного уравнения.
Вот несколько советов, которые стоит учитывать ученикам, которые
готовятся к сдаче ОГЭ по математике. Первое прочтение условия задачи
является ознакомительным. Необходимо попытаться получить информацию
и на основе этой информации составить вспомогательную модель к задаче –
это может быть рисунок, таблица, краткая запись и так далее. Целью второго
прочтения задачи является выбор неизвестных, при этом, не обращая
81
внимания на числа и «мелочи». Главное, чтобы неизвестные соответствовали
условию задачи и составленная математическая модель задачи имела смысл.
При третьем прочтении задачи следует разбить её условие на логические
части. Нужно следить за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в
полученной
математической
модели
и
чему
соответствует
каждая
арифметическая операция в тексте задачи.
Крайне важно не только составить математическую модель задачи, но и
решить полученное уравнение, неравенство, систему и т.д. Если не
получается решить задачу, то следует еще раз проанализировать текст
задачи. Порой по условию задачи требуется найти не сами переменные, а их
комбинации. Например, не x и y, а  + ,
Выделим несколько


и т.д.
вопросов, которые помогут при
решении
различных задач в составе ОГЭ и в целом.
1) О каком процессе идет речь? Чем характеризуется данный процесс?
2) Какое количество процессов в задаче?
3) Что надо найти? Какие величины известны?
4) Как связаны величины задачи между собой?
5) Какую из величин удобнее выбрать в качестве неизвестной или
неизвестных?
6)
Какие
из
условий
математической модели?
задачи
используются
для
составления
82
2.8. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ В 7 КЛАССЕ
Цель работы состояла в том, чтобы составить методику обучения
решению текстовых задач на уроках алгебры в 7 класс. На основе
проведенных исследований мы составили данную методику, которая будет
представлена ниже. Методика рекомендована к использованию при работе с
учебником «Алгебра 7 класс» под редакцией Никольского С.М., но может
быть использован и при работе с другими учебниками.
Проблематично «разложить» по пунктам учебника рекомендации по
использованию текстовых задач при изучении алгебры в 7 классе. Тому есть
несколько причин, но главная из них состоит в том, что разные учителя в
разных классах могут делать это по разному, так как классы имеют
различные начальные навыки в начале учебного года – одних обучали
применению арифметического способа, а других нет.
Текстовые задачи в учебнике могут быть решены разнообразными
способами,
что
позволяет
ученикам
самостоятельно
планировать
альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее
эффективные способы решения этих задач. В процессе работы с текстовой
задачей развивается умение понимать и использовать математические
средства наглядности (рисунки, схемы, чертежи и т.д.) для аргументации,
иллюстрации, интерпретации.
Выделим несколько типов текстовых задач (кроме задач на применение
уравнений и их систем) и несколько идей их решения, которые полезно будет
усвоить учащимся.
1. Необходимо показать учащимся арифметические способы решения
следующих задач:
 на части;
 на нахождение двух чисел по их сумме и разности;
83
 на дроби;
 на совместную работу;
 на движение;
 на движение по реке;
 на пропорции и проценты;
 на деление числа на части, пропорциональные данным
числам.
2. Необходимо показать несколько способов решения задач, которые
обычно не изучают по школьным учебникам, по этой причине их можно
назвать нестандартными. Они оказываются эффективными при решении
конкурсных задач, олимпиадных задач, задач из ОГЭ и ЕГЭ:
 обратный ход;
 использование вспомогательных букв (неизвестных);
 переформулировка задачи.
Ниже приведем несколько примеров задач каждого типа и приемы их
решения. Во всех случаях, где это помогает решению, надо использовать
схематические рисунки для графического представления условия задачи.
Задачи на части
Пример 23. В бидоне 6 л кваса. Из него отлили в пять раз больше, чем
в нем осталось. Сколько литров кваса осталось в бидоне?
Решение. Пусть в бидоне осталась одна часть кваса, тогда отлили кваса
в 5 раз больше, то есть 5 частей. Следовательно, всего было 1 + 5 = 6 частей
и на каждую часть приходилось 6:6=1(л) кваса.
Ответ: остался 1 литр кваса.
84
Пример 24. Брат и сестра коллекционируют открытки. У брата в 2 раза
больше открыток, чем у сестры, а всего у них 60 открыток. Сколько открыток
у каждого?
Решение. Пусть число открыток у сестры равняется одной части, тогда
число открыток у брата – 2 части.
1) 1 + 2 = 3 (части) – приходится на 60 открыток;
2) 60:3 = 20 (открыток) – приходится на 1 часть;
3) 20∙2=40 (открыток) – количество открыток у брата.
Ответ: у сестры было 20 открыток, а у брата – 40.
Пример 25. На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй, но на
23 книги меньше, чем на 2 полках вместе. Сколько книг на каждой полке?
Решение. Пусть на второй полке стояла 1 часть всех книг, тогда на
первой полке стояло 2 части всех книг.
1) 2 − 1 = 1 (часть) – приходится на 23 книги;
2)23 ∙ 2 = 46 (книг) – стояло на первой полке;
3) 23∙1=23 (книги) – стояло на второй полке.
Ответ: 46 и 23 книги.
Замечание. В случае если учащиеся уже приучены решать такие
задачи при помощи уравнений, то мотивация рассмотрения решения таких
задач арифметическим способом заключается в том, что арифметическое
решение может оказаться полезным, так как оно часто позволяет решить
задачу устно. Вторым моментом мотивации служит уверенность в том, что
арифметические способы решения текстовых задач способствуют развитию
мышления, умения рассуждать, а это необходимо каждому обучающемуся
математике.
85
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности
Пример 26. За 2 книги заплатили 150 рублей. Найдите стоимость
каждой книги, если известно, что одна из них на 40 рублей дешевле.
Решение. 1) 150 − 40 = 110 (р.) – удвоенная стоимость более дешевой
книги;
2)110:2 = 55 (р.) – стоимость более дешевой книги;
3) 55 + 40 = 95 (р.) – стоимость более дорогой книги.
Ответ: 55 и 95 р.
Пример 27. Сумма двух чисел равна 106, а их разность равна 42.
Найдите эти числа.
Решение. 1)106 − 42 = 64 – удвоенное меньшее число;
2) 64:2 = 32 – меньшее число;
3) 32 + 42 = 74 – большее число.
Ответ: 32 и 74.
Сложные задачи, которые включают в себя простые типовые задачи
или предполагающие неочевидные рассуждения при арифметическом
решении, так же представляют интерес. У С.А. Радчинского мы можем найти
примеры таких задач. Эти задачи были предназначены для устного решения
сельскими школьниками.
Пример 28. Два мальчика играли в шашки. Через несколько минут на
доске осталось пустых черных клеток втрое больше, чем занятых шашками, а
у одного мальчика на 2 шашки больше, чем у другого. Сколько шашек
осталось у каждого.
86
Решение. Черных клеток на доске 32. Пусть черных клеток втрое
больше чем занятых. Найдем количество занятых клеток, решив задачу «на
части».
1) 1 + 3 = 4 (части) – приходится на все черные клетки;
2) 32:4 = 8 (клеток) – занято шашками.
Известно, что у одного из мальчиков на 2 больше шашек, а общее
количество шашек равно 8, найдем общее число шашек каждого, для этого
решим на нахождение двух чисел по их сумме и разности;
3) (8 − 2):2 = 3 (шашки) – у первого мальчика;
4) 3 + 2 = 5 (шашек) – у второго мальчика.
Рассмотрим ещё один способ решения этой задачи.
Пусть x шашек осталось у первого мальчика, тогда  + 2 шашек
осталось у второго мальчика, а всего  + ( + 2) = 2 + 2 шашек всего
осталось в игре. Они занимают 2 + 2 черных клеток, но пустых черных
клеток втрое больше: 3∙(2 + 2). Всего же черных клеток на поле 32. На
основании рассуждений составим уравнение:
2 + 2 + 3∙(2 + 2) = 32,
отсюда  = 3,  + 2 = 5.
Ответ: 3 и 5 шашек.
Пример 29. Дочь ткала одна 4 дня по 3 аршина в день, но потом стала
ткать и мать – по 5 аршин в день. Когда их тканья стало поровну, они
прекратили работу. Сколько они аршин соткали вдвоем?
Решение. I способ. 1) 3∙4 = 12 (аршин) – соткала дочь одна;
87
2) 5 − 3 = 2 (аршина) – на столько мать ткала аршин в день больше,
чем дочь;
3) 12:2 = 6 (дней) – работала мать, чтобы тканья стало поровну;
4) 5∙6 = 30 (аршин) – соткала мать;
5) 30 + 30 = 60 (аршин) – они соткали вместе.
II способ. Пусть x дней работала дочь, тогда  − 4 дня работала мать,
они соткали 3 и 5∙( − 4) аршин. Составим уравнение: 3 = 5∙( − 4),
откуда  = 10. Всего соткали 10∙3∙2 = 60 (аршин).
Ответ: 60 аршин.
Пример 30. Я дал всем своим ученикам поровну орехов. Четверо из
них съели по 12 орехов, и тогда у этих четверых осталось столько орехов,
сколько от меня получил каждый из них. По сколько орехов я раздавал?
Решение. I способ. 1) 4∙12 = 48 (орехов) – съели эти 4 ученика вместе.
Осталось ровно столько, сколько дали одному, то есть съели они ровно
столько, сколько дано трём из них.
2) 48:3 = 16 (орехов) – дано каждому.
II способ. Пусть дали по x орехов каждому из четырех учеников, всего
4x орехов. Составим уравнение: 4 = 4∙12 + , отсюда  = 16.
Ответ: по 16 орехов.
Пример 31. Некто имел пять детей и дал им пряников поровну. Трое из
них съели по 5 пряников, тогда у всех троих осталось столько пряников,
сколько у двух остальных. Сколько всего роздано пряников?
Решение. I способ. Так как у троих осталось столько пряников, сколько
осталось у двух остальных, то трое съели столько пряников, сколько дали
одному. Тогда роздано 5∙15 = 75 (пряников) – было всего роздано.
88
Трудно рассчитывать на то, что учащиеся дадут такое решение,
поэтому будет полезно, если они решат задачу с помощью уравнения.
II способ. Пусть дали по x пряников, тогда по условию задачи составим
уравнение: 2 = 3∙( − 5), отсюда  = 15 и 5 = 75 .
Ответ: 75 пряников было роздано.
Пример 32. Если к моим деньгам прибавить 4р., то у меня будет
столько же, сколько и у моего брата. Если к моим деньгам добавить 55 р., то
у меня будет в 4 раза больше денег, чем у моего брата. Сколько денег у
каждого?
Решение. I способ. Если к моим деньгам добавить 4р., то у меня будет
столько же денег, сколько и у моего брата. Если к полученной сумме
добавить ещё 55 − 4 = 51 (р.), то у меня будет в 4 раза больше денег, чем у
моего брата (рис. 10). Таким образом, 51 р. в 3 раза больше, чем сумма у
брата.
1) 51:3 = 17 (р.) – у брата
2) 17 − 4 = 13 (р.) – у меня.
II способ. Пусть у меня x р., тогда у брата  + 4 р. На основании чего
составим уравнение:  + 55 = 4∙( + 4), отсюда  = 13,  + 4 = 17.
Ответ: 13 и 17 р.
89
Замечание. Полезно предложить учащимся рассмотреть способы
решения, которые применяли их сверстники, жившие более 100 лет назад.
Это вызовет интерес у учащихся, и такая работа будет хорошей тренировкой
умения школьников рассуждать, будет способствовать развитию их
мышления и речи. Помимо этого, это будет вносить разнообразие в решение
задач.
Задачи на дроби.
3
Пример 33. Найдите от числа 324.
4
3
Решение. 324∙ = 243.
4
Ответ: 243.
3
Пример 34. Найдите число от которого равны 324.
4
3
Решение. 324: = 432.
4
Ответ: 432.
Пример 34. Какую часть числа 450, составляет число 180?
Решение.
180
450
2
= .
5
2
Ответ: .
5
2
3
5
5
Пример 35. Найдите число, которого равны от 600.
3
3
2
5
5
5
Решение. от 600 равны ∙600 = 360. Искомое число 360: = 900
Ответ: 900.
Пример 36. Найдите число, 0,6 от которого равны 0,1 от 120.
90
Решение. 0,1 от 120 равны 0,1∙120 = 12. Искомое число равно 12:0,6 =
20.
Ответ: 20.
Задачи на совместную работу
Пример 37. Первая бригада может выполнить задание за 36 дней, а
вторая – за 45 дней. За сколько дней две бригады выполняют задание,
работая вместе?
Решение. 1) 1:36 =
1
36
(задания) – может выполнить первая бригада за 1
день;
2) 1:45 =
3)
1
36
4) 1:
+
1
20
1
45
1
45
=
(задания) – может выполнить вторая бригада за 1 день;
1
20
(задания) – выполнят 2 бригады вместе за 1 день;
= 20 (дней) – за столько дней две бригады выполнят задание.
Ответ: 20 дней.
Пример 38. Имеющихся на складе материалов хватит для работы
первого цеха на 30 дней или второго цеха на 42 дня. Хватит ли материалов
на складе для работы двух цехов в течении 18 дней?
Решение. 1) 1:30 =
2) 1:42 =
3)
1
42
4) 1:
+
2
35
1
30
1
42
=
1
30
(материалов) – расходует первый цех за 1 день;
(материалов) – расходует второй цех за 1 день;
2
35
(материалов) – расходуют оба цеха за 1 день;
= 17,5 (дней) – могут работать оба цеха вместе на имеющихся
на складе материалах.
91
Так как 17,5<18, то имеющихся на складе материалов не хватит для
работы 2 цехов в течении 18 дней.
Ответ: не хватит.
Задачи на движение
Пример 39. Дачник пришел от дачи на станцию за 13 минут до
отправления поезда. Если бы он на каждый километр тратил на 3 минуты
больше времени, то пришел бы за 1 минуту до отправления поезда. Далеко ли
от станции живет дачник?
Решение. 1) 13 − 1 = 12 (мин) – на столько больше времени потратил
бы дачник, если бы шел медленнее;
2) 12:3 = 4 (км) – расстояние от дачи до станции.
Ответ: 4 км.
Пример 40. Если предположить, что лошадь бежит втрое медленнее
поезда железной дороги, то она будет отставать от него каждые 3 минуты на
версту. Определите скорость поезда. Ответ дайте в километрах в час. Одна
верста ≈ 1,067 км. Ответ округлите до десятых.
Решение. Пусть путь лошади за 1 ч составляет 1 часть, тогда путь
поезда за 1 ч составляет 3 части (рис. 11).
1) 60:3 = 20 (вёрст) – на столько лошадь отстает от поезда за 1 ч;
92
2) 3 − 1 = 2 (части) – приходится на 20 вёрст;
3) 20:2 = 10 (вёрст) – пробегает лошадь за 1 ч.
4) 10∙3 = 30 (вёрст в час) – скорость поезда.
Выразим эту скорость в км/ч: 30∙1,067 = 32,01 ≈ 32 (км/ч).
Ответ: 32 км/ч.
Пример 41. От Москвы до Курска 537 км. Из Москвы в Курск вышел
поезд со скоростью 60 км/ч. Через 6 ч, в 20 ч 55 мин, на промежуточной
станции первый встретился с поездом, вышедшим из Курска в Москву в 17 ч
55 мин. Определите, с какой скоростью двигался до встречи второй поезд.
Решение. 1) 60∙6 = 360 (км) – путь, пройденный первым поездом до
встречи;
2) 537 − 360 = 177 (км) – путь, пройденный вторым поездом до
встречи;
3) 20 ч 55 мин – 17 ч 55 мин= 3ч – время движения второго поезда;
4) 177:3 = 59 (км/ч) – скорость второго поезда.
Ответ: 59 км/ч.
Пример 42. К приезду начальника на станцию обычно присылают
машину. Однажды он приехал на 1 час раньше, пошел пешком и, встретив
посланную за ним машину, прибыл вместе с ней на 10 мин раньше обычного
срока. Во сколько раз скорость машины больше скорости начальника ?
Решение. Машина была в пути на 10 мин меньше, чем обычно.
Следовательно, она встретила начальника на 10:2 = 5 (мин) позже обычного.
Таким образом, тот путь, который начальник прошел пешком, машина
проходит за 5 мин. Но начальник, до встречи с машиной, был в пути
93
60 − 5 = 55 (мин). Поэтому скорость машины в 55:5 = 11 (раз), больше
скорости начальника.
Ответ: в 11 раз.
Задачи на движение по реке
Пример 43. Скорость течения реки 2,5 км/ч. За сколько часов катер,
имеющий собственную скорость 20 км/ч, проплывет расстояние между
пристанями 12,6 км туда и обратно?
Решение. 1) 20 + 2,5 = 22,5 (км/ч) – скорость лодки по течению реки;
2) 12,6:22,5 = 0,56 (ч) – время движения катера по течению реки;
3) 20 − 2,5 = 17,5 (км/ч) – скорость лодки против течения реки;
4) 12,6:17,5 = 0,72 (ч) – время движения катера против течения реки;
5) 0,56 + 0,72 =1,28 (ч) – время движения катера.
Ответ: за 1,28 ч.
Пример 44. Скорость лодки по течению 12 км/ч, а против течения 9
км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость лодки?
Решение. 1) 12 − 9 = 3 (км/ч) – удвоенная скорость течения реки;
2) 3:2 = 1,5 (км/ч) – скорость течения реки;
3) 9 + 1,5 = 10,5 (км/ч) – собственная скорость лодки.
Ответ: 1,5 км/ч и 10,5 км/ч.
Задачи на пропорции и проценты.
Приведем пример задачи, в которой используется прямая и обратная
пропорциональная зависимости величин.
94
Пример 45. Бригада трактористов за 3 дня, работая по 8 ч в день,
вспахала
6
га
пашни.
Сколько
гектаров
пашни
(при
той
же
производительности) бригада трактористов вспашет за 2 дня, работая по 10 ч
в день?
Решение. Так как бригада, работая по 8 ч в день, за 3 дня вспахала 6 га
пашни, то если изменить значение только одной из величин – число дней
работы с 3 дней, до 2 дней, то площадь уменьшится в
3
2
раза. Если изменить
значение ещё и второй величины – число часов работы в день с 8 на 10 ч, то
площадь увеличится в
10
8
раза.
3 10
Таким образом, бригада трактористов вспашет 6: :
2
8
=5 га пашни.
Ответ: 5 га.
Пример 46. Торговец получил товар по оптовой цене a р. После этого
он увеличил цену на 20%. Для проверки он уменьшил новую цену на 20% и
удивился, так как не получил прежнего результата. А должен ли был
получиться прежний результат?
Решение. Если увеличить число a на 20%, то получится число
 + 0,2 = 1,2. Заметим, что увеличить число на 20% можно и умножив
это число на 1 + 0,2 = 1,2. Аналогично уменьшить число на 20% можно
умножив на 1 − 0,2 = 0,8. Поэтому после уменьшения суммы 1,2 на 20%
торговец получил 1,2∙0,8 = 0,96, что на 4% меньше a.
Ответ: не должен.
Пример 47. Рядовой Степанов почистил бак картошки за 4 ч, и у него
20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такой же
(по массе) бак картошки?
95
4
Решение. За 4 ч рядовой Степанов начистил 100 − 20 = 80 (%), или ,
5
4
ведра картошки. Тогда ведро он начистит за 4: = 5(ч).
5
Ответ: 5 ч.
Пример 48. Рядовой Иванов может почистить котёл картошки за 4 ч, а
рядовой Петров – за 6 ч. У рядового Иванова 10% всей картошки ушло в
очистки, а у рядового Петрова – 15%. Однажды они вместе сели чистить
котёл картошки. Сколько картошки уйдет в очистки при их совместной
работе?
Решение. При совместной работе рядовые Иванов и Петров почистят
1
1
1
котёл картошки за 1: ( + ) = 2,4 (ч). Иванов почистит ∙2,4 = 0,6 (части)
4
6
4
котла картошки. Тогда Петров почистит 1 − 0,6 = 0,4 (части) котла
картошки. В очистки у них уйдёт 0,1 ∙ 0,6 + 0,15 ∙ 0,4 = 0,12 или 12% всей
картошки.
Ответ: 12%.
Пример 49. Трава при сушке теряет p% своей массы. Сколько
получится сена из m т свежей травы, если: а)  = 80,  = 3; б)  = 75,
 = 8?
Решение. Из m т свежей травы получится ∙(1 −
а) Если  = 80,  = 3, то ∙ (1 −
б) Если  = 75,  = 8, то ∙ (1 −

100

80

75
) т сена.
) = 3∙ (1 − 100) = 0,6 (т).
100
) = 8∙ (1 − 100) = 2 (т).
100
Ответ: а) 0,6 т; б) 2 т.
Деление числа в данном отношении
96
Пример 50. Три швеи заработали в одно доме 21 р 15 к., при чем
первая работала 4 дня по 10 ч ежедневно, вторая – по 9 ч 5 дней и третья – 7
дней по 8 ч. Сколько получит каждая из заработанной суммы сообразно
времени, проведённому за работой?
Решение. 1) 4∙10 = 40 (ч) – работала первая швея;
2) 5∙9 = 45 (ч) – работала вторая швея;
3) 7∙8 = 56 (ч) – работала третья швея;
Сумму 2115 к. надо разделить на части, пропорциональные числам 40,
45, 56 (в отношении 40:45:56);
4) 40 + 45 + 56 = 141 (часть) – приходится на 2115 к.;
5) 2115:141 = 15 (к.) – приходится на 1 часть;
6) 40∙15 = 600 (к.) – получит первая швея;
7) 45∙15 = 675 (к.) – получит вторая швея;
8) 56∙15 = 840 (к.) – получит третья швея.
Ответ: 6 р., 6 р. 75 к., 8 р. 45 к.
Теперь приведем примеры текстовых задач, которые решаются
нестандартными способами.
Обратный ход
Пример 51. В автобусе было несколько пассажиров. На первой
остановке вышло 7 и зашло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров.
Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй
остановки автобуса их стало 38?
Решение. Неизвестное число пассажиров до первой остановки можно
вычислить обратным ходом, то есть выполняя все действия в обратном
97
порядке (можно представить что описанные события сняли на видео и
просматривают в обратном порядке).
38 − 13 + 6 − 4 + 7 = 34.
Ответ: 34 пассажира.
Переформулировка задачи
Пример 52. Расстояние между городами A и B равно 34 км. Из города A
в город B вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из
города A в город B выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Велосипедист
доехал до пункта B, развернулся и поехал навстречу пешеходу. На каком
расстоянии от пункта B велосипедист встретит пешехода?
Решение. Чтобы найти время движения пешехода и велосипедиста до
встречи, решим другую задачу: будем считать, что пешеход и велосипедист
отправились одновременно навстречу друг другу с удвоенного расстояния
(рис.12).
1) 34∙2 = 68 (км) – удвоенное расстояние;
2) 12 + 5 = 17 (км/ч) – скорость сближения пешехода и велосипедиста;
3) 68:17 = 4т(ч) – время движения пешехода и велосипедиста до
встречи;
4) 4∙5 = 20 (км) – путь пешехода до встречи;
98
5) 34 − 20 = 14 (км) – расстояние от города B до места встречи.
Ответ: 14 км.
Пример 53. Две мухи ползут по стене от пола до потолка и обратно.
Первая с постоянной скоростью, а вторая ползёт вверх со скоростью, в 2 раза
большей, а вниз со скоростью, в 2 раза меньшей, чем скорость первой мухи.
Какая из них вернется первой, если от пола они стартовали одновременно?
Решение. Представим, что вторая муха ползла вверх со скоростью, в 2
раза меньшей, а вверх со скоростью, в 2 раза больше. От этого время
движения туда и обратно второй мухи не изменится. Тогда, пока она
приползет вверх, первая муха, скорость которой в 2 раза больше, уже будет
внизу. Следовательно, первая муха приползет вниз первой.
Ответ: первая муха.
Использование вспомогательных букв (неизвестных)
Пример 54. Мальчики составляют 45% всех учащихся в школе.
Известно, что 30% всех мальчиков и 40% всех девочек учатся без троек.
Сколько процентов всех учащихся школы учатся без троек?
Решение. Пусть в школе было a учащихся. Тогда мальчиков в школе
было
0,45a,
а
девочек
1 − 0,45 = 0,55.
Без
троек
учатся
0,3 ∙ 0,45 = 0,135 мальчиков и 0,4 ∙ 0,55 = 0,22 девочек, а всего
0,135 + 0,22 = 0,355, учащихся. Что составляет
0,355∙100%

= 35,5%
учащихся.
Ответ: 35,5%.
Замечание. Вспомогательным неизвестным здесь является a. Нам не
удалось его найти, но этого и не требовалось. С помощью этой неизвестной
мы получили ответ к задаче. В решении следующих задач вспомогательных
переменных может быть и больше.
99
Пример
55.
В
некотором
царстве,
в
некотором
государстве
правительство приняло решение запретить рекламу алкоголя. Это решение
поддержали 69% взрослого населения, причем среди женщин 94%, а среди
мужчин 41%. Определите, кого в этом царстве-государстве больше: мужчин
или женщин и на сколько процентов?
Решение. Пусть в голосовании приняли участие g женщин и m мужчин.
Решение поддержали 0,94g женщин и 0,41m мужчин, а всего 0, 69∙( + )
человек. Составим уравнение:
0,94g + 0,41m = 0,69∙( + ),
откуда получим g = 1,12m. Поэтому заключаем, что среди голосовавших
было на 12% больше женщин, чем мужчин.
Ответ: женщин больше на 12%.
Пример 56. На дороге, соединяющей два горных селения, нет ровных
участков. Автобус едет в гору всегда со скоростью 30 км/ч, а с горы – 60
км/ч. Найдите расстояние между горными селениями, если путь туда и
обратно без остановок занимает ровно 2 часа.
Решение. Пусть на пути от первого селения ко второму сумма длин
участков дороги, ведущих вверх, равна x км, а сумма длин участков дорог,
ведущих вниз, равна y км. Количество таких участков не имеет значения,
поэтому можем считать, что путь от первого селения ко второму сначала
идёт в гору x км, а потом с горы у км. Тогда обратный путь тоже сначала идёт
в гору у км, а потом с горы x км. На всю дорогу в двух направления
потрачено

30
из равенства
+

60
+
20
+

30
+

60
=
+
20
(ч), что по условию задачи равно 2 ч. Тогда
= 2 получим что  +  = 40, то есть расстояние между
селениями равно 40 км.
Ответ: 40 км.
100
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решение текстовых задач развивает способность искать правильный
путь в сложных условиях, угадывать заранее результат решения. Изучение
математики приносит много пользы и помогает в преодолении трудностей,
хотя и является трудоемким процессом.
Если в процессе обучения математике использовать разнообразные
старинные задачи и способы их решения, то интерес учащихся к изучению
математики повысится.
В процессе подготовки к ОГЭ немалую роль играет умение решать
текстовые задачи рассмотренными нами способами. Эти способы решения
текстовых задач приучают учащихся к первым абстракциям, воспитывают
логическую культуру, способствуют созданию благоприятной обстановке
при обучении математике, развиваются в учащихся эстетические чувства
применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес
сначала к решению задачи, а потом и к математике в целом. В
педагогической практике используются разные способы решения задач.
Результатом квалификационной работы является разработка методики
обучения решению текстовых задач:
 решение текстовых задач рассматривается как обязательный итог
изучения тем школьного курса математики;
 необходимо обучать учащихся переводу текста задачи на
математический язык. Необходимо учить выявлять зависимости
и связи между элементами задачи;
 рассмотрение методов решения простых задач – начальный этап
работы по формированию умения решать текстовые задачи;
 целесообразно рассмотреть решения одной и той же текстовой
задачи различными способами;
101
 систематизацию и обобщение необходимо провести в конце
обучения данной теме (рассмотреть классификации задач, как по
содержанию, так и по методам решения);
 использование наглядных моделей, таких как таблица, рисунок,
чертеж, блок-схема и т.д. дает возможность ликвидировать у
большинства учащихся страх перед текстовой задачей, научить
распознавать типы задач и правильно выбирать приемы для их
решения;
 при решении текстовых задач необходимо формировать у
учащихся приемы самоконтроля;
Если
руководствоваться
приведенными
методическими
рекомендациями, то можно повысить эффективность обучения решению
текстовых задач. По результатам работы была предложена методика
обучения решению текстовых задач на уроках алгебры в 7 классе.
Цели, поставленные в работе, достигнуты, поставленные задачи
выполнены. Гипотеза, выдвинутая в работе, доказана.
102
Приложение 1
Контрольная работа по теме: «Решение задач с помощью
уравнений»
1. Двое рабочих изготовили 657 деталей, причем первый изготовил на
63 детали больше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
2. Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа
моложе дедушки в 2 раза?
3. Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Из пункта B выехал
велосипедист, а из пункта A навстречу ему – автомобилист. Автомобилист до
встречи проехал расстояние, в 4 раза большее, чем проехал велосипедист. На
каком расстоянии от пункта A они встретились?
4. Стоимость изделия третьего сорта в 3 раза больше стоимости
изделия первого сорта. Сколько стоит каждое изделие, если изделие первого
сорта на 5000 р. дороже изделия третьего сорта?
5. За 3 ч мотоциклист проезжает то же расстояние, что велосипедист
проезжает велосипедист за 5 ч. Скорость мотоциклиста на 12 км/ч больше
скорости велосипедиста. Определите скорость каждого из них.
Ответы
Задача
Ответ
1
360 и 297
2
74 и 37
3
32
4
7500 и 2500
5
30 и 18
103
Приложение 2
План конспект урока математики по теме: «Решение текстовых
задач арифметическим способом»
1. Предмет – математика;
2. Класс – 5;
3. Тема урока – решение текстовых задач арифметическим способом;
4. Учебник – Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков,
С. И. Шварцбурд Математика 5 класс: Учебник для общеобразовательных
учреждений - М.: Мнемозина, 2011.
5. Цель урока: создание условий, инициирующих детское действие для
систематизации знаний, умений и навыков, совершенствование практических
навыков решения текстовых задач арифметическим способом и умение
применять их при решении реальных жизненных задач.
6. Задачи урока:
 обучающие:
обеспечить
повторение,
обобщение
и
систематизацию материала по теме «Решение текстовых задач
арифметическим способом» с помощью сложения и вычитания,
умножения и деления, (задачи на части, на нахождение двух
чисел по их сумме и разности, на предположение, на проценты
всех типов), повторить основные правила действий с дробями;
создать условия для обобщения и систематизации знаний о типах
текстовых задач и методах их решения.
 развивающие: обеспечить условия
для общего развития
учащихся, развития как логического, так и образного мышление,
развития математического кругозора, мышления, речи, внимания
и памяти, формирования креативных способностей и навыков
самоконтроля; развивать умения анализировать, сравнивать,
104
обобщать, делать выводы, развивать внимание и смекалку,
составлять или интерпретировать условие задачи в конкретных
условиях.
 воспитательные: воспитывать активность, мобильность, умение
общаться, общую культуру, развивать познавательный интерес
через практическое и познавательное значение текста задачи,
способствовать пониманию необходимости интеллектуальных
усилий для успешного обучения, положительного эффекта
настойчивости для достижения цели.
7. Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний.
8. Форма работы: фронтальная; парная; групповая; индивидуальная.
9. Необходимое оборудование: доска; экран; проектор; компьютер;
карточки.
10. План урока.
- Организационный этап – 1 мин;
-Актуализация знаний – 5 мин;
-Постановка цели и задач урока – 3 мин;
-Обобщение и систематизация знаний – 10 мин;
-Применение знаний и умений в новой ситуации – 13 мин;
- Контроль усвоения, обсуждение ошибок – 4 мин;
-Итоги урока – 2 минуты;
-Информация о домашнем задании – 1 минута.
11. Ход урока.
Действия учителя
1. Организационный этап. Приветствует учащихся,
проверяет их готовность к уроку. У каждого из вас на
столах лежат карточки самооценивания. Подпишите
их. В течение урока мы с вами будем выполнять
различные задания. По окончании решения каждой
задачи, вы должны оценить свою работу:
"+" - справился с задачей без затруднений,
"±" - справился с задачей, но возникали сложности,
"-" - не справился с задачей.
Действия учеников
Приветствуют
учителя.
Внимательно
слушают,
подписывают
карточки
105
2. Актуализация знаний.
Устно: Определите тип задачи и решите ее.
1.В оленьем стаде 60 телят. Сколько оленей в стаде,
если телята составляют 20 % общего количества
оленей в стаде?
2. Масса северного оленя составляет 10% массы
белого медведя. Какова масса оленя, если масса
белый медведь весит 500 кг?
3. При метании тынзяна на хорей у мальчика было 40
попаданий из 50 бросков. Сколько % составили
попадания от общего количества бросков?
4.В двух ведрах 15 кг морошки. Сколько морошки в
каждом ведре, если в первом в 2 раза больше, чем во
втором?
3.Постановка цели и задач урока. На экране
появляются условия текстовых задач.
Задача №1 . Расстояние между поселками Белоярск и
Щучье 56 км. Из этих пунктов одновременно
навстречу друг другу отправились оленья упряжка
и снегоход «Буран», причем скорость «Бурана» в 6
раз больше скорости упряжки. Найдите скорость
«Бурана» и скорость оленьей упряжки, если
известно, что они встретились через 1,6 часа от
начала движения.
2.Задача № 2. В соревнованиях по метанию тынзяна
на хорей у Кирилла было 36 попаданий из 60
бросков, у Ильи - 35 из 50, бросков, а у Жени– 36
из 40. Чей результат лучше? Какое место занял
каждый участник соревнований?
3.Задача № 3. Масса четырех северных оленей и трех
белых медведей составляет 1700 кг. Какова масса
белого медведя, если масса одного белого медведя
и одного северного оленя в сумме составляет 550
кг.
4. Задача № 4. Самое глубокое озеро Ямала Большое
Щучье в 12 раз мельче озера Байкал. Найдите
глубину озера Большое Щучье, если глубина
озера Байкал достигает 1632м, что на 1496 м
больше глубины озера Большое Щучье.
5.Задача №5. После пожара ягель восстанавливается
через 25 лет. Сколько времени потребуется на его
восстановление и увеличение в росте на 4,5 см,
если ежегодно он прирастает на 3 мм?
6.Задача №6 Для пошива ягушки требуется в два
Устно
выполняют
предложенные
задания.
Читают
условия
задач и высказывают
мнения
по
их
содержанию.
Выбирают
одну
задачу, предлагают
свои
решения,
высказывают мнения
по содержанию и
предложения
по
решению задачи.
Читают
условия
задач. Формулируют
тему и учебную
задачу
урока,
записывают
в
тетради дату и тему
урока.
Выбирают
задачу для решения.
106
раза больше оленьих шкур, чем для пошива
малицы. Чтобы сшить одну малицу и одну ягушку
израсходовали 18 шкур.а) Сколько малиц
получится из 37 шкур? б) Хватит ли 47 шкур для
пошива 4 ягушек?
Прочитайте эти задачи. Интересны ли они вам?
Возникло ли желание их решить?
Если интересно, то как вы думаете, какая тема
сегодняшнего урока? Какую учебную задачу мы
поставим сегодня на уроке перед собой?
Прошу разбиться на группы по 2-3 человека и
выбрать понравившуюся задачу для решения.
4.Систематизация и обобщение знаний. Итак,
приступаем к решению задач, которые вы выбрали.
Такие задачи очень часто нам приходится решать в
жизни. Решение задач:
№.1. Т.к. скорость «Бурана» в 6 раз больше скорости
упряжки, то примем скорость упряжки за одну часть,
а скорость «Бурана» - за 6 частей. Всего частей 7.На
одну часть приходится
56 : 7 = 8 (км) –прошла
упряжка до встречи, 8∙6 = 48 (км) – прошел «Буран»
до встречи. Скорость упряжки: 8:1,6=5 км/ч, а
«Бурана»- 48:1,6=30( км/ч)
№2.
Определим
%
попаданий
каждого
мальчика:1)36:60=0,6=60%-у
Кирилла;
2)35:50=
0,7=70% -у Ильи; 3)36:40=0,9=90%- у Жени. Ответ:
Лучший результат у Жени -1 место; у Ильи – 2 место;
у Кирилла – 3 место.
№3. Масса одного белого медведя
и одного
северного оленя в сумме составляет 550 кг, а масса
трех белых медведей и трех оленей составляет:
550∙3=1650 (кг), тогда масса оленя равна: 17001650=50 (кг), а медведя: 550-50=500 (кг).
№4. Т.к. озеро Большое Щучье в 12 раз мельче озера
Байкал, то приняв его глубину за 1 часть, а глубину
озера Байкал – за 12 частей, разница глубин этих озер
равна 11 частям, что соответствует 1496 м. Значит, на
1 часть приходится 1496 :11=136 (м)- глубина озера
Большое Щучье, а глубина озера Байкал равна 136 +
1496=1632 м.
№5.1)3мм = .0,3 см – за 1 год; 2) 4,5:0,3=15 (лет) –
после восстановления увеличит в росте на 4,5 см; 3)
Обучающиеся
в
парах и группах
решают выбранную
задачу.
Все
вычисления
выполняют
в
тетрадях,
при
необходимости
в
столбик.
По
окончании
работы
над каждой задачей,
один представитель
от группы объясняет
классу
решение
задачи на доске, дети
оценивают результат
своей деятельности
на
листах
оценивания.
Ответы к задачам:
№1. 5км/ч; 30 км/ч
№2. У Жени -1
место; у Ильи – 2
место; у Кирилла – 3
место.
№3. 50 кг и 500 кг
№4. 136м, 1632м
№5. 40 лет
№6. :а) 6 малиц; б)
107
15+25 = 40(лет). Ответ: 40 лет
№6. Примем количество шкур, необходимых для
пошива малицы за 1 часть, тогда для пошива ягушки
небходимо 2 таких части. Всего частей 3, что
соответствует 18 ягушкам. Значит, на 1 часть
приходится 18:3= 6 (шкур) – пойдет на малицу, а на
ягушку-6∙2 =12 (шкур). Из 37 шкур получится: 37:6 =
6 (малиц) и 1 шкура останется; 47:12= 3 (ягушки) и
останется 11 шкур. Ответ: а) 6 малиц; б) не хватит.
5.Применение знаний и умений в новой ситуации.
В качестве домашнего задания на предыдущих
уроках вы составляли задачи разных типов. Все ваши
задачи были очень интересными. Учитель вызывает 5
учеников к доске для решения их задач.
не хватит,
Авторы
задач
выходят к доске и
презентуют
свои
задачи.
Задают
наводящие вопросы
одноклассникам по
тексту и помогают
им решить задачу.
6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных
Учащиеся
ошибок и их коррекция.
анализируют свою
Давайте обсудим: какие задачи вызвали у вас работу,
выражают
затруднения и почему?
вслух
свои
затруднения
и
обсуждают
правильность
решения задач.
7. Итоги урока. Что нового, интересного вы узнали Отвечают
на
на сегодняшнем уроке? Как вы думаете, удалось ли вопросы учителя.
нам решить учебную задачу? Почему вы так думаете?
8. Информация о домашнем задании. Решите Записывают
№1612 стр 243 и любые две задачи из предложенных: домашнее задание и
№ 1. В Приуральском районе река Щучья длиннее разбирают карточки
реки Юнъяха на 511 км, а их общая длина с задачами.
составляет 619 км. Найдите длину каждой реки.
№2.Общая площадь земель, используемых для нужд
оленеводства в Приуральском районе, составляет 91,9
%
территории района. На какой площади
производится выпас оленей в районе, если его общая
площадь 66 тыс кв.км?
№3. В двух ведрах 13,8 кг брусники. В одном ведре в
два раза больше брусники, чем в другом. Сколько кг
брусники в каждом ведре?
№4. Для приготовления джема из сладкого перца на 5
частей ягод берут 3 части
сахара. Сначала варят
сироп, затем кладут ягоду. Сколько граммов сахара
108
необходимо, если у Маши 900 граммов перца?
№5. Жил-был на свете царь Султан. И было у него
большое царство-государство. Вместе с ним
проживали его верные слуги. Повара готовили ему
вкусные обеды, завтраки, ужины. Портные шили ему
красивые платья для бала. А дружинники охраняли
его покой и царство-государство. Всего у Султана
был 1291 слуга. Поваров было в его царстве в 4 раза
меньше, чем дружинников и на 31 меньше, чем
портных. Царь был очень щедрым и платил своим
слугам много золотых. Один дружинник получал 50
золотых в месяц. Повар - 40 золотых в месяц. Один
портной - 30 золотых в месяц. Однажды царь
прогуливался по саду и увидел, что 70 % его
дружинников спят на посту. Он очень разозлился и
решил им не выплачивать жалование за этот месяц.
Всем портным царь за хорошую работу в этом месяце
заплатил в два раза больше, чем обычно. И недавно
принял на работу еще 15 пова-ров. Сколько всего
золотых монет царь Султан заплатил своим верным
слугам за месяц?
№6. Шли как-то Винни-Пух и Пятачёк. Захотелось им
покушать медка. Всего мёда было 19 кг. Винни-Пух
съел на 5 кг 600 г больше, чем Пяточёк. Сколько мёду
съел каждый из них?
109
Приложение 3
План конспект урока математики по теме: «Решение текстовых
задач с помощью уравнений»
1. Предмет – математика;
2. Класс – 6;
3. Тема урока – решение текстовых задач с помощью уравнения;
4. Учебник – С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,
А.В. Шевкин математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных
учреждений – М.: Просвещение, 2012.
5. Цель урока: Отработка навыков решения текстовых задач через
уравнения. Способствовать развитию прочных навыков решения задач через
составление уравнений. Развитие навыков самоконтроля.
6. Задачи урока:
 обучающие: способствовать совершенствованию полученных
знаний при работе с задачами;
 развивающие:
проверить
уровень
самостоятельной
деятельности обучающихся по применению знаний в различных
ситуациях;
 воспитательные: способствовать развитию любознательности и
творческой активности обучающихся.
7. Тип урока: урок закрепления знаний.
8. Форма работы: индивидуальная; фронтальная; групповая.
9. Необходимое оборудование: доска, мел, учебник, тетради.
10. План урока.
110
- Организационный этап – 1 мин;
-Актуализация знаний – 10 мин;
-Постановка цели и задач урока – 3 мин;
-Обобщение и систематизация знаний – 15 мин;
-Применение знаний и умений в новой ситуации – 13 мин;
-Итоги урока – 2 минуты;
-Информация о домашнем задании – 1 минута.
12. Ход урока.
Действия учителя
Приветствует учеников
Проводит устный опрос учащихся:
1.Мотоцикл, движущийся по шоссе
со скоростью 60 км в час, миновал
пост ДПС. Через час мимо этого
поста
проехал
автомобиль
со
скоростью 90 км в час. На каком
расстоянии от поста ДПС автомобиль
догнал мотоцикл, если они оба ехали
без остановок?
2. Рабочий должен был обработать 80
деталей к определённому сроку. Он
обрабатывал на 2 детали в час
больше, чем планировал, и уже за час
до срока обработал на 4 детали
больше. Сколько деталей в час
обрабатывал рабочий?
3. Индийская задача: из четырех
жертвователей второй дал вдвое
больше первого, третий – втрое
больше первого, а все вместе дали
132. Сколько дал первый?
Молодцы, сегодня мы с вами
займемся решение задач с помощью
уравнений. Скажите, из каких этапов
состоит решение задачи с помощью
уравнения?
Действия учеников
Приветствуют учителя
Устно решают задачи.
Отвечают на вопрос учителя:
1. Анализ условия;
2. Построение модели;
3. Поиск способа решения задачи;
4. Решение задачи;
5. Проверка решения;
6. Формулировка ответа.
Молодцы, теперь давайте перейдем к Решают задачу №650 (а). Пусть было
решению задач. Вызывает ученика к x монет по 5 р. и (19 – x) монет по 2
111
доске решить №650 (а), остальные
решают задачу в тетради.
Сумму
в
74
р.
заплатили
девятнадцатью монетами по 2 р. и 5
р.
Сколько было монет по 2 р.?
р. Составим уравнение и решим его
5x + 2 (19 – x) = 74;
5x + 38 – 2x = 74; | – 38
5x – 2x = 36;
3x = 36; | : 3
x = 12.
Таким образом, было 12 монет по 5 р.
Хорошо, у вас есть вопросы по и 19-12=7 монет по 2 р.
решению этой задачи? Если вопросов Ответ: 7 монет.
нет, то переходим к задаче №674 (а),
один ученик выходит к доске, Выходит к доске и решает задачу
остальные работают на местах.
№674 (а). Через первую трубу за
Через одну трубу можно наполнить минуту наполняется 1 часть бассейна,

бассейн за а мин, а через
1
а
через
вторую
трубу
часть
другую — за b мин. Через сколько

минут наполнится бассейн, если бассейна, через две трубы наполнится
открыть обе трубы? Составьте 1 + 1 = + часть бассейна. Тогда

буквенное выражение для получения  
+

бассейн наполнится за 1:
=
.
ответа, найдите

+
Если а = 30, b = 20, то бассейн
его значение при: а = 30, b = 20.
20∙30
наполнится за
= 12 минут.
20+30
Ответ: 12 минут.
Хорошо, ребята у вас остались
вопросы по решению этой задачи?
Если нет, то перейдем к новому типу
задач в которых нам потребуется
найти числа по их сумме и разности.
Ребята, мне нужно 2 человека для
работы у доски, №677 и №678.
№677. Докажите, что если из суммы
двух чисел вычесть их разность, то
получится удвоенное меньшее число,
т. е. для любых чисел а и b (а > b)
верно равенство (а + b) – (а – b) = 2b.
№678. Докажите, что для любых
чисел а и b (а > b) верно равенство
(а + b) + (а – b) = 2а.
Сформулируйте доказанное свойство
суммы и разности двух чисел в виде
правила.
Хорошо,
теперь
давайте
2 ученика выходят к доске и решают
задачи.
№677. Воспользовавшись правилами
раскрытия скобок, имеем
( + ) − ( − ) =  +  −  +  =
= 2.
№678. Воспользовавшись правилами
раскрытия скобок, имеем
( + ) + ( − ) =  +  +  −  =
= 2.
Правило. Если к сумме двух чисел
прибавить их разность, то получится
удвоенное большее число.
2 ученика выходят к доске и решают.
+
−
++−
2
а)
+
=
= = ;
б)
2
+
2
−
2
−
2
=
2
+−+
2
=
2
2
2
=
112
воспользуемся этими правилами.
Еще 2 ученика будут решать у доски
№670 (а,б). Остальные работают в
тетрадях. В старину для решения
задач
пользовались
такими
правилами: чтобы по сумме и
разности двух чисел найти большее
число, надо к полусумме двух чисел
прибавить их полуразность; чтобы
найти меньшее число, надо из
полусуммы двух чисел вычесть их
полуразность. Докажите равенства:
+
−
а)
+
= ;
2
+
2
−
б)
−
= .
2
2
Молодцы, садитесь по местам. Наш Отвечают учителю.
урок подходит к концу. Скажите, Если из суммы двух чисел вычесть их
какие правила мы сегодня изучили?
разность, то получится удвоенное
меньшее число.
Если к сумме двух чисел прибавить
их разность, то получится
удвоенное большее число.
Хорошо,
а
теперь
запишите Записывают домашнее задании.
домашнее задание №672, №680.
Прощаются с учителем.
Урок окончен, до свидания!
113
ЛИТЕРАТУРА
1.
Азаров, А.И. Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи
[Текст] / Азаров, А.И, Барвенов, С.А, Федосенко, В.С, Шибут, А.С.
Справочное пособие – М.: Тетра системс, 1998. – 281с.
2.
Алгебра.
7
класс
в
2
ч.
Ч.
1.Учебник
для
учащихся
общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович – 17-е изд., доп. – М.:
Мнемозина, 2014. – 175с.: ил.
3.
Алгебра.
7
класс
в
2
ч.
Ч.
2.Учебник
для
учащихся
общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.], под ред. А.Г.
Мордковича – 17-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2015. – 271с.: ил.
4.
Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /
[Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред.
С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2013. – 256с.: ил.
5.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразовательных организаций с прил.
на электрон. носителе / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.
Суворова]; под ред. С.А. Теляковского – М.: Просвещение, 2013. – 287с.: ил.
6.
Алгебра. 8 класс.
В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных
учреждений / А.Г. Мордкович. – 12 изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. –
215с.: ил.
7.
Алгебра.
8
класс
в
2
ч.
Ч.
2.Учебник
для
учащихся
общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.], под ред. А.Г.
Мордковича – 11-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2015. – 344с.: ил.
8.
Алгебра. 8 класс. Учебник для средней школы (комплект из 3х книг).
Часть 1. / Л.Г. Петерсон, Н.Х. Агаханов, Ю.А. Петрович, О.К. Подлипский и
др. – М.: Издательство «Ювента», 2015. – 128с.: ил.
9.
Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций /
[Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред.
С.А. Теляковского. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271с.: ил.
114
10.
Алгебра. 9 класс.
В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных
учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 12 изд., стер. – М.:
Мнемозина, 2014. – 224с.: ил.
11.
Алгебра.
9
класс.
В
2
ч.
Ч.2.
Задачник
для
учащихся
общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова,
Т.Н. Мишустина и др.]; под ред. А.Г. Мордковича – 12-е изд., испр. – М.:
Мнемозина, 2014. – 223с.: ил.
12.
Алгебра. 9 класс. Учебник для средней школы (комплект из 2х книг).
Часть 1. / Л.Г. Петерсон, Н.Х. Агаханов, Ю.А. Петрович, О.К. Подлипский и
др. – М.: издательство «Ювента», 2015. – 176с.: ил.
13.
Володарская И. Моделирование и его роль в решении задач /
И. Володарская, Л. Салмина // Математика. – 2006. - №18 – с 2-7.
14.
Воспитание учащихся при обучении математике: Книга для учителя. Из
опыта работы / сост. Л.Ф. Пичугин. – М.: Просвещение, 1987 – 175с.
15.
Горстко А.Б. Познакомьтесь с моделированием [Текст] / А.Б. Горстко.
– М.: Знание, 1991. - 160с. 1
16.
Демидова Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст]:
пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. –
М.: Академия, 2002. – 288с.
17.
Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 класс. Часть 1 – изд. 2-е,
перераб. / Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. – М.: Издательство «Ювента», 2011.
– 176с.
18.
Зайцева С.А. Организация работы над текстовой задачей на основе
модели. [Текст] / С.А. Зайцева, И.И. Целищева // Начальное образование. –
2007. - №4. – С. 9-15.
19.
Захарова, А.Е. Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы.
Учебно-методические материалы спецкурса по методике преподавания
математики «Избранные вопросы обучения алгебре в основной школе». М.:
«Прометей», 2002. – 247с.
115
20.
Зубарева
И.И.
Математика.
5
класс:
Учебник
для
учащихся
общеобразовательных учреждений [Текст] / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.
– 14-е изд. – М.: Мнемозина, 2013. – 270с.
21.
Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: т.2. – М.: Просвещение,
1997. – 113с.
22.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начала анализа. – 3-е изд. – М.: Просвещение: Владос, 1994. – 415с.: ил.
23.
Лебедев В.Н. Анализ и решение текстовых задач // Математика в
школе. – 2002. – №11. – С.8.
24.
Левитас Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач //
Математика в школе. – 2000. - №8. – С.13.
25.
Миндюк,
М.Б.,
Миндюк
Н.Г.
Разноуровневые
дидактические
материалы по алгебре. 9 класс. – М.: «Генжер», 2002 – 115с.: ил.
26.
Никифоров Н.Н. К изучению темы «Решение задач с помощью
уравнений» // Математика в школе. – 1994. - №2 – С.20.
27.
Подласый И.П. Педагогика. Кн. 1: Общие основы. – М.: Владос, 1999..
Процесс обучения. – 576 с.
28.
Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: учебное
пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. – Саранск: Тип.
«Красный октябрь», 1999. – 208 с.
29.
Саранцев
Г.И.
Упражнения
в
обучении
математике.
–
М.:
Просвещение, 1995. – 240 с.
30.
Скворцова М. Математическое моделирование / М. Скворцова //
Математика.- 2003. №14. – С. 1-4.
31.
Суворова С.Б, Бунимович Е.А, Кузнецова Л.В, Минаева С.С,
Рослова Л.О. Методические рекомендации. 9 класс: учеб. Пособие для
общеобразоват. организаций. – 2-е издание, дораб. – М.: Просвещение, 2017.
– 214с.
32.
Стандарты второго поколения. Как проектировать универсальные
учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: пособие для
116
учителя /[А.Г. Асмолов, Г.В.Бурменская, И.А. Володарская и др.]; под ред.
А.Г. Смолова – М: Просвещение, 2008. – 151с.: ил.
33.
Стойлова Л.П. Математика: учебник для студентов отделений и
факультетов нач. классов / Л.П. Стойлова. – М.: Издательский центр
«Академия», 1997. – 464с.
34.
Ульянова И.В. Задачи в обучении математике. История, теория,
методика: учеб. пособие / И.В. Ульянова. – Саранск, 2006. – 65с.
35.
ФГОС основного общего образования. – 2010 - №1897.
36.
Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении [Текст].
/ Л.М. Фридман. – М.: Знание, 1984. – 80с.
37.
Фридман
Л.М.
Психолого-педагогические
основы
обучения
математике в школе: Учителю математики о пед. психологии. – М.:
Просвещение, 1983. – 160 с.
38.
Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: пособие
для учащихся. – 2-е изд., перераб. и доп. –
М.: Просвещение, 1984. –
175с.: ил.
39.
Хабибуллин К.Я. Обучение методам решения задач. / К.Я. Хабибуллин
// Школьные технологии. – 2004. - №3. – С. 127 – 131.
40.
Шишкова Р.Н. Использование моделирования в процессе обучения
решению текстовых задач. [Текст] / Р.Н. Шишкова // Начальная школа:
ежемес. научн.-метод. журн. – 2004 . – №12. – С. 32 – 41.
41.
Щуркова Н.Е. Воспитание как педагогический процесс: Предисловие к
книге // Сибирский педагогический журнал. – 2006. – №3. С 261 – 262.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа