close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Каргаполлова Алла Васильевна. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения теплопроводности с обратным временем

код для вставки
2
3
4
5
Содержание
Введение…………………………………………………………………………..
3
§ 1. Уравнения параболического типа……………………………………….
5
п.1.1. Вывод уравнения теплопроводности……………………………………
5
п.1.2. Постановка смешанной задачи и принцип максимума и минимума….
9
п.1.3. Единственность решения задачи Коши………………………………….
13
п.1.4. Решение задачи Коши. Операторный метод……………………………
15
§ 2. Начально-краевые задачи для дифференциально-разностного
уравнения теплопроводности с обратным временем. Операторный
метод……….……………………………………………………………………..
24
п.2.1. Решение начально-краевой задачи для однородного дифференциальноразностного
уравнения
теплопроводности
с
обратным
временем.
Операторный метод……………………………………………………………..
п.2.2.
Решение
начально-краевой
задачи
для
30
неоднородного
дифференциально-разностного уравнения теплопроводности с обратным
временем. Операторный метод…………………………………………………
39
Заключение……………………………………………………………................
43
Список литературы…………..…..………………………………….................
44
6
Введение
В теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
принято деление рассматриваемых уравнений на три типа: запаздывающим,
опережающим и нейтральный, хотя четко установленных общих критериев такого
разграничения нет. Характерные представители указанных типов имеют
соответственно вид:
Уравнения запаздывающего типа чаще других появляются в приложениях и
изучены
лучше.
Несмотря
на
то,
что
они
описывают
объекты
с
бесконечномерным пространством состояний, их свойства обнаруживают
большое сходство со свойствами обыкновенных дифференциальных уравнений
нормального вида.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом применяются
при решении задач теории автоматического регулирования, автоматики и
телемеханики, радиолокации, электро- и радиосвязи, в исследованиях по
теоретической кибернетике, ракетной технике и т.д.. Уравнения с запаздывающим
аргументом появляются, например, всегда, когда в рассматриваемой физической
или технической задаче сила, действующая на материальную точку, зависит от
скорости и положения этой точки не только в данный момент времени, но и в
некоторый момент предшествующий данному.
Дифференциальные уравнения в частных производных параболического
типа описывают процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе,
жидкости или твердом теле). Основным уравнением этого типа является
уравнение теплопроводности, которое выражает тепловой баланс для малого
элемента объема среды с учетом поступления теплоты от источников и тепловых
потерь через поверхность элементарного объема вследствие теплопроводности.
Теплопроводность
определяется
тепловым
движением
микрочастиц
тела.
7
Передача теплоты связана с наличием разности температур тела. Совокупность
значений температур всех точек тела в данный момент времени называется
температурным полем.
Изучение уравнений параболического типа с запаздывающим аргументом
началось в 60-годах, когда З.Б. Сеидов [9] исследовал первую краевую задачу для
уравнения теплопроводности с запаздыванием по времени. С помощью функции
Грина решение этой задачи сводилось к решению некоторого интегрального
уравнения, которое решалось потом с помощью метода последовательных
приближений. При этом производные уравнения не содержали запаздывания.
Близкими методами изучалась более общая задача в работе М.В. Козловской, В.В.
Подгорнова [8], когда в уравнение параболического типа входили члены,
содержащие запаздывания в производных, однако порядок этих производных был
ниже порядка рассматриваемого уравнения.
Уравнения параболического типа часто встречаются при изучении
процессов теплопроводности и диффузии. Уравнение теплопроводности
–
дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое
описывает распределение температуры в заданной области пространства и его
изменение во времени.
Целью данной выпускной квалификационной работы является изучение
дифференциально-разностных
уравнений
теплопроводности
с
обратным
временем и решение их операторным методом.
8
§ 1. Уравнения параболического типа
п.1.1. Вывод уравнения теплопроводности
Предположим, что в трехмерном пространстве или в некоторой области
трехмерного пространства имеется температурное поле
Если функция
.
отлична от константы, то теплота из более нагретых мест
передается в менее нагретые, иначе говоря, происходит теплообмен. В качестве
исходной предпосылки принимается эмпирическая формула
где
есть количество теплоты, которое пересекает площадку
за время
в
сторону убывания температуры. Соответственно коэффициент теплопроводности
– есть нормаль к площадке
, направленная в сторону убывания
температуры. Мы рассматриваем так называемую изотропную трехмерную среду,
когда коэффициент теплопроводности зависит лишь от точки
и не зависит
от ориентации площадки.
Выделим некоторую односвязную область
в температурном поле и
найдем количество теплоты, которое войдет внутрь области
времени
. Для элементарных площадок
за промежуток
и промежутков времени
теплообмен происходит в согласии с соотношением (1.1), и последнее соотношение
нужно теперь проинтегрировать по поверхности
и промежутку времени
,
так что
где
внутренняя нормаль к поверхности
самом деле вошла в область
Если окажется, что
, то теплота в
из окружающего пространства. Если же
теплота напротив переместилась из
, то
в окружающее пространство через
поверхность .
9
Преобразуем формулу (1.2), переходя от внутренней нормали к внешней и
применяя формулу Остроградского-Гаусса. Тогда будем иметь
В области
характеризуется
могут находиться источники или стоки тепла, их наличие
плотностью
распределения
тепловых
источников
, и за счет внутренних источников в область
промежуток времени
Через
за
поступит теплота в количестве
будем
обозначать
плотность
среды,
удельную теплоемкость. Тогда количество теплоты
расходуется на изменение температуры в
за промежуток времени
через
, которое
, будет
находиться по формуле
По закону сохранения энергии
, и с учетом соотношений (1.3) -
(1.5) получим
10
Равенство (1.6) выполняется для любых областей
и промежутков времени
, а это возможно лишь при условии, что подынтегральное выражение равно
всюду нулю. Итак, имеем
т.е. мы получим дифференциальное уравнение относительно температурной
функции
, известное как уравнение теплопроводности.
Если среда однородная, соответственно коэффициенты
не зависящие от точки
суть константы,
, то уравнение (1.7) упрощается и приводится к виду
где
– оператор Лапласа,
Уравнение
(1.8)
есть
уравнение
теплопроводности
для
трехмерной
однородной среды.
Если температурное поле таково, что в плоскостях, параллельных плоскости
, распределение температуры одинаково, то уравнение (1.8) упрощается и
записывается в форме
Уравнение (1.9) называют уравнением теплопроводности пластины, имея в
виду, что оно описывает температурный процесс в плоской тонкой пластине,
основания которой теплоизолированы от окружающего пространства.
Если температурное поле зависит только от одной декартовой координаты так,
что
, то оно удовлетворяет уравнению
11
Такое температурное поле можно получить, если взять длинный достаточно
тонкий однородный стержень, теплоизолированный от окружающего пространства,
за исключением, возможно, концов стержня. Тогда теплота будет перераспределятся
только вдоль стержня, соответственно температура
уравнению ( 10) (имеется в виду, что ось
будет удовлетворять
направлена вдоль стержня). Уравнение
( 10) и называют уравнением теплопроводности стержня.
Замечание 1. Уравнения (1.7)-(1.10) описывают также процессы диффузии, и
функция
имеет смысл концентрации вещества в данной точке в данный
момент времени. Соответственно,
характеризуют плотность источников
диффузии.
12
п.1.2. Постановка смешанной задачи и принцип максимума и
минимума
Пусть
конечная область пространства
гладкой поверхностью
, так что
, ограниченная кусочно-
. Задаваясь целью найти вполне
определенное решение уравнения теплопроводности в
гиперболическом
случае,
присоединить
к
, мы должны, как и в
дифференциальному
уравнению
граничные и начальные условия. В терминах температуры это означает найти
температурное распределение
в области
при
, если
известна начальная температура в
и температурный режим на границе
Итак, будем говорить, что смешанная задача для уравнения теплопроводности
состоит в нахождении функции
, которая удовлетворяет соотношениям
Уточним, что речь идет о нахождении такого решения уравнения (1.11),
которое непрерывно примыкает к граничному и начальному условиям во всех
точках их непрерывности. В простейшем варианте, когда функции
непрерывны и
и
, решение смешанной задачи (1.11) – (1.13)
по определению непрерывно в замкнутой области
Задача (1.11)-(1.13) есть одна из смешанных задач для трехмерного уравнения
теплопроводности, другие смешанные задачи возникают за счет изменения
граничного условия (1.12). Разумеется, аналогичным образом ставятся смешанные
задачи для двумерного и одномерного уравнения теплопроводности.
Установим теперь принцип максимума и минимума для решения смешанной
задачи в случае однородного уравнения теплопроводности
13
Теорема 1. Если функции
областях и
и
непрерывны в соответствующих
, то решение смешанной задачи (1.14) – (1.16) для
однородного уравнения теплопроводности достигает своего максимума и
минимума на поверхности
или в начальный момент времени
.
Введем некоторые дополнительные обозначения и с их учетом эквивалентным
способом видоизменим теорему 1. Пусть
Через
есть четырехмерный цилиндр, т.е.
будем обозначать объединение нижнего основания и боковой
поверхности цилиндра так, что
Теорема 2. Если решение смешанной задачи (1.14) – (1.16) непрерывно в
цилиндре
, то оно достигает своего максимума и минимума на
.
Доказательство. Достаточно провести доказательство для случая максимума,
поскольку минимум сводится к максимуму умножением функции
на минус
единицу.
Пусть
Поскольку
Допустим противное, что
, а в некоторой точке
, то
. Нужно доказать, что на самом деле
, т.е. функция
.
достигает максимума не на
, находящейся внутри цилиндра
или на его верхнем основании. Введем вспомогательную функцию
где
14
Очевидно, что на
а с другой стороны,
Таким образом, вспомогательная функция также имеет максимум не на
в некоторой точке
, находящейся внутри цилиндра
,а
или на его верхнем
основании. В этой точке будем иметь
и, следовательно,
С другой стороны, непосредственное вычисление дает
что противоречит соотношению (1.17). Доказательство теоремы 2, а вместе с ней и
теоремы 1, завершено.
Следствие 1. Решение смешанной задачи (1.11)-(1.13) единственно.
Действительно, если эта задача имеет два решения
и
, то их
разность
будет решением однородной задачи
15
откуда в силу принципа максимума и минимума вытекает, что
, т.е.
.
Следствие 2. Решение смешанной задачи (1.11)-(1.13) непрерывно зависит от
начального и граничного условий.
Доказательство. Пусть наряду с задачей (1.11)-(1.13) имеется смешанная
задача
с близкими начальными и граничными условиями, так что
Если
– решение задачи (1.11)-(1.13),
– решение штрихованной
задачи (1.11 ) – (1.13 ), то их разность
будет удовлетворять однородному уравнению теплопроводности в цилиндре
неравенства (1.18) означают, что на
максимума и минимума во всем цилиндре
,а
, и тогда по принципу
будем иметь
, или
при любых
16
п.1.3. Единственность решения задачи Коши
Ограничимся здесь рассмотрением одномерного уравнения теплопроводности
стержня. Задача Коши состоит в нахождении функции
, удовлетворяющей
соотношениям
В отношении
будем предполагать, что эта функция является кусочно-
непрерывной и ограниченной на действительной оси, и стало быть мы ищем такое
ограниченное решение уравнения (1.19), которое непрерывно примыкает к
всюду, за исключением точек разрыва.
Предположив, что задача (1.19) – (1.21) имеет два решения
для их разности
и
,
будем иметь соотношения
Рассмотрим вспомогательную функцию
непосредственно проверяется, что эта функция есть решение уравнения (1.19 ). В
свою очередь функции
так же будут решениями этого уравнения в
силу его однородности. Рассмотрим двумерный цилиндр
На его нижнем основании
и на боковых сторонах (см. (1.21 ))
17
Тогда по принципу максимума и минимума всюду в цилиндре
что равносильно неравенству
Фиксируя произвольную точку
найдем
и переходя к пределу в (1.22) при
,
, что и доказывает единственность решения задачи Коши.
18
п.1.4. Решение задачи Коши. Операторный метод
Под основными задачами для уравнений теплопроводности с обратным
временем будем понимать задачи на оси (задача Коши), на полуоси и отрезке
(смешанные задачи).
Пусть
Задача К (Коши). Найти в области D решение уравнения
из класса
где
, удовлетворяющее начальному условию
заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем
Пусть
, тогда уравнение
с начальным условием
, будет
иметь вид
из класса
где
, удовлетворяющее начальному условию
заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем
Теорема. Если
на
абсолютно интегрируема
то решение задачи К существует и единственно.
Доказательство. Единственность решения задачи К следует из тождества
интегрируя которое по ограниченной замкнутой области
применяя формулу Грина, что очевидно можно
19
сделать ввиду свойств функции
и ее частных производных, при
однородности начального условия (1.24), в пределе при
Откуда, в силу
получим
в . Значит, на основании того, что
и
, получим
в
, что и требовалось
доказать.
Общее решение уравнения (1.23) в операторной форме имеет вид
произвольная
функция,
абсолютно интегрируема на
дважды
непрерывно
дифференцируема
и
.
Правую часть равенства (1.25) следует понимать, как экспоненциальный
оператор дифференцирования действует по переменной
На основании условия (1.24), найдем
на функцию
.
т.е.
искомое решение задачи Коши (1.23)-(1.24) в области
, записанное в
операторной форме.
Найдем интегральное представление решения задачи Коши (1.23)-(1.24)
Учитывая представление экспоненты в виде ряда, из (1.26) будем иметь
Известно [2], что любая непрерывная функция
, определенная на
, может быть представлена в виде
дельта-функция Дирака.
20
В силу (1.28), (1.29), свойств функции
[3, c.253], из (1.27) имеем
и поэтому
т.е.
где [3, 2.3.15.11]
функция Грина или фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Выясним условия применимости формулы (1.30).
Докажем, что формула
называемая интегралом Пуассона, для любой непрерывной и ограниченной
функции
представляет при
теплопроводности,
непрерывно
ограниченное решение уравнения
примыкающее
при
к
т.е.
21
Покажем,
во-первых,
что
если
функция
ограничена,
, то интеграл (10) сходится и представляет ограниченную
функцию. В самом деле
так как
Покажем
далее,
теплопроводности при
этого интеграла при
что
интеграл
(1.32)
удовлетворяет
уравнению
. Для этого достаточно доказать, что производные
можно вычислить при помощи дифференцирования под
знаком интеграла.
В случае конечных пределов интегрирования это законно, т.к. все
производные функции Грина (1.31) при
непрерывны. Для возможности
дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах достаточно
убедиться
в
равномерной
сходимости
интеграла,
полученного
после
дифференцирования под знаком интеграла. После дифференцирования под
знаком интеграла выделяется множитель
в положительной степени,
который остается под знаком интеграла, и множитель
в некоторой степени,
который можно вынести из под знака интеграла. Таким образом, дифференцируя
(1.32) несколько раз по
и , мы получим сумму интегралов вида
Производя замену переменных
преобразуем интеграл (1.33) к виду
Откуда легко видеть, что этот интеграл равномерно сходится при
, т.к. подынтегральная функция мажорируется функцией
22
которая интегрируема в промежутке
Таким образом, функция
.
определяемая формулой (1.32), непрерывна
и имеет производные любого порядка по
и
функция удовлетворяет уравнению (1.23) при
при
Т.к. подынтегральная
(подынтегральная функция
фундаментальное решение уравнения теплопроводности), то
(1.31)
отсюда следует, что и функция
удовлетворяет этому уравнению при
.
Докажем теперь, что функция (1.32) удовлетворяет начальному условию
(1.24), т.е. что
при любом
Запишем интеграл (1.32) так
с помощью подстановки
Далее, так как
то, вычитая это равенство из (1.34) получим
откуда
Пусть
сколь угодно малое число. Выберем
Разбивая промежуток интегрирования
столь большим, что
на три:
и принимая во внимания неравенство
23
и оценка (1.36), будем иметь
В силу непрерывности
при все
достаточно близких к нулю, и при
имеем
Значит
и тем более
То есть, в силу равенства
мы имеем
при всех достаточно близких к нулю, и при всех
откуда ввиду произвольности
Замечание 1.
и следует
Можно требовать от
лишь непрерывности и
абсолютной интегрируемости на
Замечание 2.
1.
Общее решение неоднородного уравнения теплопроводности
где
состоит
из
общего
решения
однородного уравнения (1.23) в операторной форме (1.25) и частного решения
неоднородного уравнения (1.37), которое найдем методом Лагранжа вариации
произвольной постоянной функции.
24
Действительно, будем искать частное решение уравнения (1.37) в форме
(1.25), т.е. в виде
где
функция подлежащая определению.
Подставляя (1.38) в уравнение (1.37) будем иметь
то есть
и поэтому
На основании (1.38) и (1.39) получаем частное решение
Таким образом, в силу (1.25) и (1.40) найдем общее решение неоднородного
уравнения теплопроводности (1.37) в форме
а решение задачи Коши для уравнения (1.37), удовлетворяющее условию (1.24) в
виде
Интегральное представление решения (1.42) можно найти с учетом (1.28)(1.29) аналогично (1.30):
где
функция Грина, определяемая равенством (1.31).
25
2.
Общее решение уравнения (1.37) можно получить в форме (1.41)
другим путем, поскольку уравнение (1.37) представимо тождеством
Тогда
то есть
и, значит,
Замечание 3. Пусть
Задача (смешанная). Найти в области
класса
решение уравнения (1.23) из
, удовлетворяющее начальному условию
и граничному условию
где
заданная
непрерывная
достаточно
гладкая
функция,
причем
Замечание 4. Для уравнения
можно рассмотреть задачу Коши и смешанную задачу.
Общее решение уравнения (1.47) в операторной форме имеет вид
где
26
Поэтому решение задачи Коши для уравнения (1.47) при начальном условии
(1.24), в силу (1.28)-(1.29), в интегральной форме можно записать равенством
(1.30), где
27
§2 Начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения
теплопроводности с обратным временем. Операторный метод
Для уравнения
где
– оператор сдвига по переменной
– функция Хевисайда, то есть
или
рассмотрим задачу Коши на прямой
в области
с начальным условием
где
– заданная достаточно гладкая функция, причем
Пусть
где
, тогда уравнение
в переменных
, будет иметь вид
– оператор сдвига по переменной
– функция Хевисайда, то есть
28
рассмотрим задачу Коши на прямой
в области
с начальным условием
где
– заданная достаточно гладкая функция, причем
Под регулярным решением
функцию
задачи Коши (2.1)-(2.2) будем понимать
непрерывную в замкнутой области, имеющую непрерывные
производные
,
в открытой области, удовлетворяющую в
открытой области уравнению (2.1), граничным условиям и при
начальному условию.
Теорема 1.Однородня задача Коши (2.1)-(2.2) имеет тривиальное решения.
Доказательство
В области
выполняется тождество
Раскроем все скобки и убедимся в правильности данного равенства
29
Равенство верно.
Интегрируем данное равенство по области
, применяя формулу Грина [4]
и условия теоремы в пределе при
, получим
Так как
и
30
в силу неравенства
то левая часть равенства (2.3) положительно определена.
Поэтому
в области
, т.е.
в
, что и требовалось
доказать.
Теорема 2. Если функция
, абсолютно интегрируема на
, то
решение задачи существует.
Доказательство
Общее решение задачи (2.1)-(2.2) будем искать в виде
где
–
оператор
сдвига
по
переменной
Решение задачи (2.1)-(2.2) в операторной форме имеет вид
Найдем интегральное представление решения задачи.
Используя представление экспоненты в форме ряда, выражение для
оператора
, решение (2.4) запишем в форме
Любая непрерывная функция
[2, c.253] может быть представлена на
в виде
31
– дельта-функция Дирака.
В силу (2.6), (2.7), свойств функции
[2, c.253], из (2.5) имеем
Значит (2.5) можно записать в виде
32
то есть
функция Грина.
Равенство (2.8) является искомым решением задачи в области
, что
проверяется непосредственно.
При
получаем из (2.8) решение задачи для однородного уравнения
теплопроводности без слагаемого с запаздывающим аргументом.
При
имеем
Равенство (2.10) является искомым решением задачи в области
, что
проверяется непосредственно.
При
получаем из (2.10) решение задачи для однородного уравнения
теплопроводности с обратным временем без слагаемого с запаздывающим
аргументом.
33
2.1 Решение начально-краевой задачи для однородного
дифференциально-разностного уравнения теплопроводности с обратным
временем. Операторный метод
Рассмотрим
задачу
Коши
в
области
,
где
,
для уравнения
с начальным условием
Запишем уравнение в виде
где
–
оператор
сдвига:
– функция Хевисайда.
34
Введем замену
получим
задачу
, для уравнения
Коши
в
с начальным условием
области
,
и
где
, для уравнения
с начальным условием
Запишем уравнение в виде
где
–
оператор
сдвига:
– функция Хевисайда.
Решение задачи Коши
.
Применяя метод разделения переменных
35
найдем общее решение уравнения
где
Осуществляем подстановку
вид задачи
-
в условие
, получим
в операторной форме
Найдем интегральное представление решения задачи.
Используя представление экспоненты в форме ряда, решение
запишем в виде
Любая непрерывная функция
может быть [2 c.253] представлена на
в виде
где
– дельта-функция Дирака.
В силу (2.6) – (2.7) свойств функции
, из (2.5') имеем:
36
Обозначим
, где
=
37
38
39
Поэтому
где
Так как
40
Из (2.5') получим
то есть
При
имеем
41
Ответ:
42
2.2
Решение
начально-краевой
задачи
для
неоднородного
дифференциально-разностного уравнения теплопроводности с обратным
временем. Операторный метод
Рассмотрим
задачу
Коши
в
области
,
где
,
для уравнения
с начальным условием
Запишем уравнение в виде
где
–
оператор
сдвига:
– функция Хевисайда.
Введем замену
получим
задачу
, для уравнения
Коши
в
области
с начальным условием
,
и
где
, для уравнения
43
с начальным условием
Запишем уравнение в виде
где
–
оператор
сдвига:
– функция Хевисайда.
Решение задачи
Уравнение (2.3 ) – неоднородное уравнение. Общее решение уравнение
(2.3 ) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и
какого либо частного решения неоднородного уравнения, то есть
Общее решение однородного уравнения, найденное в предыдущем пункте
где
– произвольная функция, удовлетворяющая начальному условию (2.2 ),
приводит к решению задачи Коши
44
Частное решение неоднородного уравнения (2.3 ) будем искать в виде
где
– функция подлежащая определению.
Подставляя (2.4 ) в (2.3 ), найдем
то есть
или
Откуда
и потому, в силу (2.4 )
Используя разложение экспоненциальной функции, получим
45
Получаем частное решение неоднородного уравнения
следовательно, решение неоднородного уравнения имеет вид
При
имеем
46
Заключение
В
данной
выпускной
квалификационной
работе
исследованы
дифференциально-разностные уравнения теплопроводности с обратным временем
– решены операторным методом задачи Коши для уравнений
, где
с
начальным
полуплоскости
условием:
в
, где
верхней
;
, где
с
начальным
полуплоскости
условием:
, где
в
верхней
;
Доказаны теоремы единственности и существования начально-краевой
задачи для дифференциально-разностного уравнения теплопроводности
с
обратным временем.
47
Список литературы
1.
Зарубин, А.Н. Дифференциальные и дифференциально-разностные
уравнения в частных производных: опорный конспект лекций с примерами,
задачами и заданиями для самостоятельного решения / А.Н. Зарубин – Орел:
ОГУ, 2011. – 124 с.
2.
Гахов, Ф.Д. Уравнения типа свёртки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. –
М.: Наука, 1978. – 295 с.
3.
Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции /
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И.Маричев. – М.: Наука, 1981. –800 с.
4.
Ильин, В.А., Основы математического анализа
/
В.А. Ильин,
Э.Г. Позняк. – ч.1. – М.: Наука, 1982. – 616 с.
5.
Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим
аргументом: учебное пособие / А.Н. Зарубин. – Орел: ОГУ, 1997. – 225 с.
6.
Ахмеров, Р.Р. Теория уравнений нейтрального типа / Р.Р. Ахмеров,
М.И. Каменский – т.19. – Итоги науки и техники ВИНИТИ, математический
анализ, 1982. – 55-126 с.
7.
Зарубин, А.Н. Гиперболические и параболические уравнения / А.Н.
Зарубин – Орел: ОГУ, 2009. – 94с.
8.
Козлова, М.В. Первая краевая задача для одного квазилинейного
параболического уравнения с запаздывающим аргументом / М.В. Козлова,
В.В. Подгорнов – Докл. на Всесоюзной межвузовской конференции по теории и
приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. –
Черновцы, 1965.
9.
Сеидов, З.Б. Решение одной краевой задачи для параболического
уравнения с запаздывающим аргументом / З.Б. Сеидов – т.1 – Уч. зап. АзГУ,
Серия физмат. – 1962.
10.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер – М.: ЮНИТИДАНА, 2004. – 573с.
48
49
50
51
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа