close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Первых Наталия Вячеславовна. Методика организации и проведения элективных курсов по математике для учащихся классов экономического профиля

код для вставки
1
2
3
4
5
АННОТАЦИЯ
Выпускная квалификационная работа на тему «Методика организации и
проведения элективных курсов по математике для учащихся классов экономического профиля» состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и
приложений.
Работа содержит 110 страниц машинописного текста, рисунков – 7, таблиц –
10, формул – 11, использованных источников – 43 , приложения – 2.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены объект, цель, задачи.
В первой главе «Профильное обучение» рассмотрена структура обучения в
профильной школе; особое внимание уделено содержанию и организации элективных курсов, определены их цели и задачи в профильном обучении; перечислены виды элективных курсов по математике, описан опыт их использования при
обучении в классах различного профиля.
Во второй главе «Методика организации и проведения элективных курсов
по математике для учащихся классов
экономического профиля» обоснована
структура и содержание элективного курса «Проценты в решении экономических
задач» описана методика обучения старшеклассников решению задач с экономическим содержанием, представлены результаты проверки эффективности разработанной методики.
В заключении обобщены результаты проведенного исследования.
Ключевые слова: профильное обучение, элективный курс, простые и сложные проценты, вклады, кредиты, дифференциальный платѐж,
аннуитентный платѐж.
6
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ
6
1 ПРОФИЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ………………………………………
10
1.1 Структура обучения в профильной школе……..........................
10
1.2 Элективные курсы в профильном обучении, их цели и задачи
14
1.3 Различные виды элективных курсов по математике, опыт их
использования при обучении в разных профилях………………………..
19
2 МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ
ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ……………………………………….
2.1 Содержание обучения математике в профильной школе………
31
31
2.2 Методика организации и содержание элективного курса «Проценты в решении экономических задач» для классов экономического
профиля................................................................................................................
34
2.3 Экспериментальная проверка эффективности проведения курса
«Проценты в решении экономических задач» для классов экономического
профиля…………………………………………………………………………
83
ЗАКЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..
92
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………
94
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Задачи для самостоятельного решения по темам
элективного курса…………………………………………………………….
99
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Тест для оценки определения уровня умения старшеклассников решать задачи с экономическим содержанием…………….
7
106
ВВЕДЕНИЕ
Интеграцию математического и экономического знания в ходе обучения
математике можно эффективно реализовать посредством специально составленной системы задач.
Непосредственно через задачи можно продемонстрировать использование
математических знаний для познания реального мира, познакомить учащихся с
методами решения задач в науке и практической деятельности.
С «экономическими»
задачами, к примеру, приходится иметь дело при
оформлении в банке сберегательного вклада либо кредита, приобретении товаров
в рассрочку, при выплате штрафов, пеней, налога, страховании и т. д. Решать подобные задачи учащиеся учатся на уроках математики.
При решении финансово-экономических задач на проценты для школьников
не только экономического профиля, нужно знать базовые понятия о проценте, которые излагаются в учебниках математики за 5-6 классы.
Из курса математики 5 и 6 класса известно как найти процент от числа, и
число по его проценту. Впрочем, при решении задач единого государственного
экзамена на проценты нужно еще отличать как начисляются простые и сложные
проценты.
Изучение сложных финансово-экономических задач с использованием
процентов не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматриваются лишь только на факультативных занятиях, а их решение требует не только основных знаний о проценте, но также умения решать
такие задачи с использованием формул простого и сложного процента.
В следствие этого, целенаправленно предложить в качестве факультативных занятий для учеников экономического профиля и не только, элективный курс по решению финансово-экономических задач с использованием
формул простых и сложных процентов.
Проблема обучения старшеклассников решению задач с финансовоэкономическим содержанием состоит из нескольких элементов: наличие в этих
8
задачах большого числа определений, неизвестных учащимся; старшеклассники
плохо ориентируются в материале, изученном в 5-9 классах и необходимом для
решения задач с финансово-экономическим содержанием: темы процентов, арифметической, геометрической прогрессий вызывают затруднения; и, последнее,
предлагаемые для решения задачи являются, порой, сразу сложными. Решение
этой проблемы нуждается в должном математическом и методическом обеспечении.
Актуальность темы: Жизнь настойчиво требует постепенного введения
учащихся в мир практических задач финансовой математики, умения решать простейшие из них. Одной из важнейших потребностей современной школы является
воспитание делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой деятельности, а также в бытовой сфере. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы
выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений. Однако основные практические навыки и умения у
большинства учеников сформированы на уровне, не удовлетворяющем требованиям подготовки к ЕГЭ и повседневной жизни.
Объект исследования – процесс подготовки старшеклассников экономического профиля к решению задач с экономическим содержанием.
Предмет исследования – обучение старшеклассников экономического
профиля решению задач с экономическим содержанием.
Цель исследования – теоретически обосновать, разработать и апробировать методику обучения учащихся классов экономического профиля решению задач с экономическим содержанием.
В соответствии с целью, объектом, предметом исследования выдвигаются следующие задачи:
1) рассмотреть структуру обучения в профильной школе, определить
цели и задачи элективных курсов в нем;
2) выявить психолого-педагогические основы по созданию элективных
курсов;
9
3) разработать элективный курс по математике для учащихся классов
экономического профиля и методику его проведения;
4) экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
Для решения поставленных задач будут использованы методы педагогического исследования:
– теоретические (анализ психолого-педагогической, математической, научно-методической литературы, школьных стандартов и учебных пособий по проблеме исследования);
– эмпирические (наблюдение за деятельностью школьников в учебном процессе; тестирование учащихся; диагностическая беседа, анкетирование);
– статистические (обработка результатов педагогического эксперимента, их
количественный и качественный анализ).
Информационной базой исследования послужили нормативные и законодательные акты Российской Федерации, труды отечественных учѐных по данной
тематике, научные публикации, материалы периодических изданий.
Основной
опытно-экспериментальной
базой
являлся
11
класс
МБОУ СОШ № 45 имени Д. И. Блынского г. Орла.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены объект, цель, задачи. В первой главе «Профильное обучение» рассмотрена структура
обучения в профильной школе; элективные курсы, их цели и задачи в профильном обучении; виды элективных курсов по математике, опыт их исследования при
обучении в различных профилях.
Во второй главе «Методика организации и проведения элективных курсов
по математике для учащихся классов
экономического профиля» обоснована
структура и содержание методики обучения старшеклассников решению задач с
экономическим содержанием, представлены результаты проверки эффективности
разработанной методики.
В заключении обобщены результаты исследования.
10
Апробация результатов осуществлялась при проведении факультативных уроков в 11 классе МБОУ СОШ № 45 имени Д. И. Блынского г. Орла в
рамках педагогической практики. Основные результаты работы докладывались на III-й Международной научно-практической конференция «Современные проблемы физико-математических наук», Орѐл, 23-26 ноября 2017 г;
XXXIX студенческой международной научно-практической конференции
«Научное сообщество студентов. Междисциплинарные исследования», 21
февраля 2018 г., г. Новосибирск.
По материалам докладов опубликованы статьи [26], [27].
11
ГЛАВА 1. ПРОФИЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ
1.1 Структура обучения в профильной школе.
Трудные
социально-экономические,
политические
и
культурно-
мировоззренческие изменения, которые произошли в мире в конце ХХ в., выдвигают новые задачи перед системой образования. В ХХI в. происходит смена образовательной парадигмы.
В 90-е гг. в российском образовании наметились возможности перехода образования из режима функционирования в режим становления. Многие ученые
отмечают, что в настоящее время планируется переход «от парадигмы знаний,
умений и способностей – к парадигме вариативного образования» [30]. В данной
связи перспективной является осуществление профильного обучения.
Необходимость перехода средней школы на профильное обучение была определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.», где ставилась задача создания «системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учѐтом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования» [2].
Переход на профильное обучение в старших классах общеобразовательных
учреждений Российской Федерации начался с 2006/07 уч.г., а с 2005/06 уч.г. –
введена предпрофильная подготовка в 9-х классах [1].
В России уже существовал опыт дифференцированного обучения, так еще
в 1804 г. было введено разделение на «классическое» (открывающее путь для поступления в университет) в реальное образование. План реформы образования
1915-1916 гг. также предусматривал разделение, но уже на три варианта: новогуманитарное, гуманитарное и реальное образование. С 1918 по 1934 г. в старших
классах выделялись три направления: гуманитарное, естественно-математическое
и техническое. В 1934 г. были введены единые учебные планы и единые учебные
программы. В прочем, последующее становление социалистического строитель12
ства вызвало необходимость дифференциации обучения, которая была реализована путем создания школ (классов) с углубленным изучением отдельных предметов, а также введения массовых факультативных курсов в общеобразовательных
школах (с 1966 г.).
В 1970-1980-х гг. обучение старшеклассников было увязано с получением
массовых профессий в системе учебно-производственных комбинатов. Однако
этот опыт оказался малоэффективным: существенные затраты на узкопрофильное
обучение, в большей части, не восполнялось из-за невостребованности этих профессий на рынке труда. Диверсификация образования (Федеральный закон «Об
образовании», 1992) открыла возможности для создания широкого спектра образовательных учреждений (лицеев, гимназий, колледжей), широко реализующих
вариативные программы обучения, в том числе профильной и предпрофессиональной подготовки [17].
В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от
29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении «Концепции модернизации российского
образования на период до 2010 г.» на старшей ступени общеобразовательной
школы предусматривалось профильное обучение, ставилась задача создания
“системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших
классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию
обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда <…> отработки гибкой системы профилей и кооперации
старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования”.
Прежде всего, следует разграничить понятия «профильное обучение» и
«профильная школа».
Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации
изучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно принимать во внимание интересы,
склонности и возможности учащихся, создавать условия для обучения старше-
13
классников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в
отношении продолжения образования [4].
Профильная школа есть институциональная форма реализации данной цели.
Это главная форма, впрочем, перспективными в отдельных случаях могут стать и
другие формы организации профильного обучения, в том числе, выводящие реализацию соответствующих образовательных стандартов и программ за стены отдельного общеобразовательного учреждения [4].
Система профильного обучения характеризуется следующими особенностями:
– вводится на старшей ступени образования (10-11 классы);
 количество профилей составляет, как минимум, два и больше,
 чтобы принимать во внимание все интересы учащихся нужно включать
как можно больше профилей, но школа ограничена ЕГЭ и обязательным минимумом содержания образования;
– сохраняется возможность внепрофильного обучения («общеобразовательный профиль»);
– количество и объем инвариантных учебных предметов существенно сокращается, а вариативность обучения при этом достигается за счет расширения
спектра элективных учебных курсов, выбираемых учащимися [33].
Профильное обучение осуществляется на основе базисного учебного плана,
состоящего из инвариантной и вариативной частей (см. рисунок 1). Благодаря
чему любое среднее учебное заведение имеет возможность само распределить часы, отведенные по базисному плану в зависимости от профиля.
Рисунок 1 – Базисный учебный план
14
С вводом профилизации сокращается инвариантная компонента и расширяется вариативная часть базисного учебного плана. За счет вариативной части базисного учебного плана школа имеет возможность вводить элективные курсы на
свое усмотрение и исходя из интереса и потребностей учащихся [33].
Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования
предусматривает возможность введения пяти профилей:
1. Естественно-математический (профильные предметы – математика, физика, химия, география, биология);
2. Социально-экономический (история, экономика, право, экономическая и
социальная география, социология);
3. Гуманитарный (русский язык и литература, иностранный язык, история,
обществознание, искусство);
4. Технологический (специализации – информационные технологии, агротехника, индустриальные технологии, технологии сферы обслуживания, медицина, педагогика и т.п.);
5 Универсальный / общеобразовательный (для непрофильных классов и
школ) [4].
Учебный план профильного обучения включает четыре предметных блока.
Блок 1-й – базовые общеобразовательные предметы, обязательные для
всех учащихся и инвариантные практически для всех профилей обучения: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания (для естественнонаучного профиля) или
естествознания (для гуманитарных профилей).
Блок 2-й – профильные общеобразовательные предметы, определяющие
общую направленность соответствующего профиля и обязательные для учащихся,
выбравших данный профиль. Содержание учебных предметов первых двух блоков определяется Государственным образовательным стандартом общего образования (ГОС). Соответствие подготовки выпускников требованиям ГОС определяется по результатам единого государственного экзамена (ЕГЭ).
15
Блок 3-й – элективные курсы, обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся, которые реализуются за счет школьно- го компонента
учебного плана. Каждый учащийся в течение двух лет обучения должен выбрать и
изучить 5-6 элективных курсов.
Блок 4-й – учебные практики, проекты, исследовательская деятельность.
Соотношение объема учебного времени по первому, второму и третьему блокам
составляет примерно 50% : 30% : 20% [33].
Рассмотрим наиболее подробно содержание третьего блока.
1.2 Элективные курсы в профильном обучении их цели и задачи.
Элективные курсы – важнейшее средство для построения индивидуальных
образовательных траекторий обучающихся в профильном обучении, поскольку
они дают возможность выбора каждым школьником элементов содержания образования и зависят от собственных интересов, жизненных планов, способностей.
Элективные курсы – обязательные курсы по выбору учащихся, входящие в
состав профиля обучения на старшей ступени школы.
Цель изучения элективных курсов – ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному
выбору сферы будущей профессиональной деятельности.
Элективные курсы направлены на решение многих задач, например:
– обобщить и классифицировать знания по основным линиям школьной математики;
– обеспечить более высокий уровень знаний, умений и навыков;
– расширить знания по изучаемому предмету;
– развивать познавательный интерес к предмету;
– способствовать профессиональному самоопределению [33].
В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные
курсы могут выполнять различные функции.
1. Одни из них могут выступать в роли «надстройки», дополнения содержания профильного курса по ключевым проблемам современности. В этом случае
16
такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным, а
школа (класс), в котором он изучается, превращается в традиционную спецшколу
с углубленным изучением отдельных учебных предметов.
2. Другие развивают содержание одного из базисных курсов, изучение которого в данной школе (классе) осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне. Это позволяет интересующимся школьникам удовлетворить свои
познавательные потребности и получить дополнительную подготовку, например,
для сдачи единого государственного экзамена по этому предмету на профильном
уровне.
3. Третьи ориентированы на удовлетворение познавательных интересов отдельных школьников в областях деятельности человека как бы выходящих за
рамки выбранного им профиля. Это позволит ученикам ориентироваться в особенностях будущей профессиональной деятельности, совершенствовать навыков
познавательной и организационной деятельности.
Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно [33].
При многообразии элективных курсов можно выделить некоторые типы.
Например, Орлов В.А. делит курсы предпрофильной и профильной подготовки на
типы, представленные на рисунке 2.
17
Рисунок 2 – Типы элективных курсов
Прокомментируем блоки, приведенные на рисунке 2.
– Предметно-ориентировочные (пробные) – аналог факультативов.
18
– Межпредметные (ориентационные) – аналог кружков, студий, знаний в
УПК.
– Элективные курсы по предметам, не входящие в базисный учебный план
[25].
Рассмотрим их подробно.
Предметно-ориентированные (пробные) курсы позволяют:
– предоставить учащемуся возможность осуществить собственную заинтересованность к выбранному предмету;
– конкретизировать стремления и умения учащихся изучать выбранный
предмет на высоком уровне;
– сформировать условия для подготовки к экзаменам по выбору, т.е. по наиболее вероятным предметам будущей направленности.
Задачи предметных курсов:
– реализация учащимися заинтересованности к предмету;
 оценка готовности и способности осваивать предмет на высоком уровне;
– создание условий для подготовки к экзаменам по выбору, т.е. по наиболее
вероятным предметам будущей направленности.
Предметно-ориентированные (пробные) курсы можно разделить на несколько групп:
1. Элективные курсы повышенного уровня, направленные на расширение
знаний по предметам, имеющие как тематическое, так и временное согласование
с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить
выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне. В этом случае
все разделы курса углубляются равномерно.
2. Элективные спецкурсы, в которых глубоко исследуются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета. В
элективных курсах этого типа выбранная тема изучается более глубоко, чем это
возможно при выборе элективного курса типа «курс повышенного уровня».
3. Элективные спецкурсы, в которых глубоко исследуются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета.
19
4. Прикладные элективные курсы, цель которых – ознакомление учащихся с
важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству.
5. Элективные курсы, посвященные изучению методов познания природы.
Примерами таких курсов могут быть, например,: «Измерения физических величин», «Школьный физический практикум: наблюдение, эксперимент, моделирование», «Компьютерное моделирование», «Компьютерная графика» и др.
6. Элективные курсы, посвященные истории предмета как входящего в
учебный план школы (история физики, биологии, химии, географических открытий), так и не входящего в него (история астрономии, техники, религии).
7. Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т.д.), составлению и
решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.
Межпредметные (ориентационные) курсы могут помочь:
– Сформировать основу с целью ориентации учащихся в мире современных
профессий. Познакомить учеников на практике со спецификой типичных видов
деятельности, соответствующих наиболее распространенным профессиям.
– Подкреплять мотивацию ученика, содействуя тем самым, внутрипрофильной специализации.
Задачи межпредметных курсов:
– Сформировать основу с целью ориентации учащихся в мире профессии.
– Знакомство на практике со специфичными и типичными видами деятельности, соответствующих востребованным или распространенным профессиям.
– Помощь в мотивации ученика к определенному профилю.
– Все курсы должны иметь продолжительность от 4 часов до четверти.
Программы межпредметных курсов предполагают выход за рамки традиционных учебных предметов. Они знакомят учащихся с комплексными проблемами и задачами, требующими синтеза знаний по ряду предметов, и способами их
разработки в различных профессиональных сферах.
20
Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план
чаще всего посвящены психологическим, социальным, психологическим, культурологическим, искусствоведческим проблемам. Например: «Введение в современные социальные проблемы», «Психология человека и человеческого общества», «Эффективное поведение в конфликте», «География человеческих перспектив», «Искусство анализа художественного текста», «Русский язык в диалоге
культур», «Информационная культура и сетевой этикет школьника», «Основы
журналистского мастерства», «Основы дизайна», «Проблемы экологии», «Вопросы менеджмента и маркетинга» и др. [33]
1.3 Различные виды элективных курсов по математике, опыт их использования при обучении в разных профилях
Согласно [2] можно выделить несколько групп основных профилей, для которых математика изучается в наиболее приемлемом для этих профилей объѐме.
– Естественно-математический профиль: математика изучается в профильном курсе в течение 12 часов в 2 недели.
– Технологический профиль: математика изучается в профильном курсе в
течение 10 часов в 2 недели.
– Социально-экономический профиль: математика изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 8 часов в 2 недели.
– Гуманитарный профиль: математика изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 6 часов в 2 недели.
– Универсальное обучение (непрофильные классы и школы): математика
изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 8 часов в 2 недели.
В школьном курсе математики выделяются различные содержательнометодические линии. Под термином «содержательно-методическая линия» обычно понимают систему примеров задач, которые опираются на соответствующие
понятия, определяющие линию, а также присущие ей методы решения [20].
Л.М. Фридман выделял семь содержательных линий: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функ21
ции», «Геометрические фигуры их изображения и свойства», «Геометрические
измерения и величины», «Элементы анализа» [34].
Одной из основных содержательных линий школьного курса математики
является функциональная линия. Ее изучение начинается в 7 классе и продолжается до окончания школы. В ЕГЭ по математике включены задания на исследование функций, которые проверяют умение учащихся исследовать свойства функции в зависимости от значений определяемых ее параметров.
Поэтому для учащихся классов естественно-математического профиля
логично предложить элективный курс «Функции и графики», в ходе которого
учащиеся рассматривают: исследование функций методами математического анализа; касательная к графику функции; асимптоты; представление о выпуклости и
вогнутости графиков; исследование функции с помощью второй производной;
использование касательной и свойств функции при решении уравнений и неравенств.
Материал такого элективного курса позволит учащимся систематизировать
основной материал по теме «Функции» и подготовить их к фундаментальному
изучению математики в профессиональном обучении.
В настоящее время к основным линиям школьного курса математики добавилась линия задач с параметром. Значимость задач с параметром неоспорима,
в частности при решении таких задач происходит систематизация математических
знаний таких линий, как функциональная линия, линия уравнений, неравенств и
их систем, с другой стороны, параметры привносят богатейший спектр идей, методов и подходов. Задачи с параметром включены не только в задания ЕГЭ, но и в
задание ОГЭ, с опорой на графические представления. Таким образом, одним из
вариантов элективного курса для естественно-математического курса можно
предложить элективный курс «Задачи с параметром».
Изучая этот курс, учащиеся рассматривают: задачи, приводящие к исследованию корней квадратного трѐхчлена; задачи о расположении корней квадратного
трѐхчлена; некоторые уравнения и неравенства, решение которых основано на использовании свойств квадратного трѐхчлена; уравнения и неравенства, решение
22
которых основано на использовании монотонности и экстремальных свойств входящих в них функций; нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями и неравенствами: нахождение числа корней, определение целочисленных
корней и т.д.; уравнения и неравенства с параметрами, аналитические и графические методы их решения.
Материал такого элективного курса позволит учащимся систематизировать
основной материал по теме «Задачи с параметрами» и подготовить их к фундаментальному изучению математики в профессиональном обучении.
Достаточно серьезное внимание уделяется в школьном курсе математики
развитию логической линии при изучении арифметических, алгебраических и
геометрических вопросов программы. Все задания курса математики требуют от
учащихся выполнения логических операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация), способствуют развитию познавательных процессов: воображения, памяти, речи, логического мышления.
В начальной школе в рамках изучения логической линии учащиеся осваивают математический язык, учатся читать математический текст, использовать
математические термины для описания явлений окружающего мира. В процессе
вычислений, решения задач, уравнений, геометрических построений они проверяют истинность высказываний, строят свои суждения на математическом языке
и обосновывают их с опорой на согласованный способ действий (эталон). Уже в 3
классе учащиеся знакомятся с языком множеств, различными видами высказываний (частное, общее, о существовании), со сложными высказываниями с союзами
«и» и «или», приобретают опыт их доказательства и опровержения.
Поэтому, учащимся этого профиля еще можно предложить элективный курс
– «Основы математической логики»: высказывания; операции над высказываниями; отрицание; законы логики; кванторы; неравенства; тождества; равносильность; математические теоремы, их виды; логическая структура теорем; необходимы и достаточные условия.
23
Этот курс в силу своего универсального применения, занимательности, и,
вместе с тем, высокой абстрактности на уровне основ математической логики может быть интересен и, безусловно, полезен всем учащимся [23].
Начиная с начальной школы и на протяжении всего школьного курса математики, учащиеся знакомятся с геометрической линией. Они изучают такие геометрические фигуры, как квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, а также с
более абстрактными понятиями точки, прямой и кривой линии, луча, отрезка и
ломаной линии, угла.
В среднем звене обучающиеся приобретают систематизированные сведения
об основных плоских фигурах и связанных с ними геометрических величинах, об
основных геометрических отношениях на плоскости; приобретают опыт применения аналитического аппарата к решению геометрических проблем.
На старшей ступени обучения расширяются сведения по планиметрии. Однако основное внимание уделяется изучению пространственных конфигураций и
тел, геометрических величин и отношений в пространстве.
Учащиеся гуманитарного профиля с интересом относятся к историческим справкам, фактам и др. В отличие от учеников математического профиля ученики гуманитарного профиля хорошо запоминают исторические
сведения, с удовольствием готовят сообщения. Им уместно предложить элективные курсы геометрической линии. Например, «Дополнительные теоремы геометрии»: теорема Пифагора, различные способы еѐ доказательства и еѐ роли в
геометрии; обобщение теоремы Пифагора; теорема Чевы и Менелая; теорема
Паппа и Дезарга; теорема Паскаля; теорема Птолемея.
Данный курс рассматривает вопросы, которые не подлежат обязательному
изучению в основной школе. Он предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей школьников. Ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой,
выбор профиля обучения в старшей школе.
Умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно, строить гипотезы, опровергать неправильные выводы не приходит само по себе – это умение
24
развивает наука логика. Этому профилю подойдет элективный курс, описанный
выше «Основы математической логики».
Последнее время в школьном курсе математики выделяют вероятностностатистическую линию. «Теория вероятностей и математическая статистика» за
последние десятилетия приобрели огромное практическое значение в физике,
биологии, социологии, психологии и других направлениях научных исследований
[33].
Стохастическая (вероятностно-статистическая) линия школьного курса математики должна сформировать у учащихся способности к подготовке в области
комбинаторики с целью создания аппарата для решения вероятностных задач, логического развития обучающихся и формирования важного вида практически
ориентированной математической деятельности; формирование умений, связанных со сбором, представлением, анализом и интерпретацией данных; формирование представлений о вероятности случайных событий и умений решать вероятностные задачи.
Для социально-экономического профиля можно предложить элективные
курсы, относящиеся к этой школьной линии математики. Например, элективный
курс «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики»: бесформульная комбинаторика; основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания; задачи, решаемые с использованием формул комбинаторики;
бином Ньютона; треугольник Паскаля; случайное событие; виды событий; алгебра событий; вероятность события; теоремы о вероятности объединения и пересечения событий; схема испытаний Бернулли; статистические характеристики:
среднее арифметическое, размах, мода, медиана; статистические исследования:
сбор и группировка статистических данных, наглядное представление статистической информации.
Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать задачи практического характера: представление данных в таблицах и диаграммах; описательная
статистика; случайные события и вероятность; математическое описание случайных событий; вероятности случайных событий; сложение и умножение вероятно25
стей; элементы комбинаторики. Он развивает умение работать с информацией,
представленной в виде таблиц, графиков, диаграмм, производить интерпретацию
результатов, полученных при исследованиях и опросах общественного мнения
[33].
В задания ОГЭ по математике включены задачи по теории вероятности и
комбинаторике. Этот курс поможет учащимся решать успешно данные задания.
Ориентация на социально-экономические профессии требует экономического мышления, в немалой степени, основанного на специальных математических
методах. Доход, прибыль, налог, рентабельность – это все цифры, и без хорошей
математики здесь не обойтись: чем правильнее расчет, тем прибыльнее результат.
Еще один курс, который можно предложить для учащихся социальноэкономического профиля это элективный курс «Задачи с экономическим содержанием»: вычисление ставок процента в банке, определение начальных вкладов и
наращенных сумм, исчисление налогов с населения и предприятий; простые и
сложные проценты, расчѐты банка с вкладчиками и заѐмщика с банком, дисконтирование функций в экономике, их графики; средние и предельные издержки,
оптимальные размеры производства, эластичность, нахождение наибольшего выпуска при заданных бюджетных ограничениях и наименьших бюджетных затрат
при заданном выпуске; излишки потребителей и продавцов, исчисление налогов,
последствия дотаций; использование показательных и логарифмических функции
в банковской и налоговой системах, в рыночных конструкциях.
Курс призван помочь обучающимся с любой степенью подготовленности в
овладении способами деятельности, методами и приемами решения прикладных
математических задач, повысить уровень математической культуры. Также способствует развитию познавательных интересов, мышления обучающихся, умению
оценить свой потенциал для дальнейшего обучения в профильном классе. Кроме
того, курс способствует дополнительной подготовке обучающихся 10-11 классов
к государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ.
В результате изучения курса обучающийся будет знать основные понятия
математического моделирования; уметь применять их при решении финансово26
экономических задач; пользоваться формулами простого и сложного процента
арифметической и геометрической прогрессии: владеть математической культурой.
В любом профиле, необходимо уметь мыслить. Поэтому, учащимся этого
профиля еще можно предложить элективный курс – «Основы математической логики».
Как видим, для различных профилей темы и содержание элективных курсов
могут быть различны, а могут и совпадать.
Учащиеся математических классов отличаются характером восприятия математической задачи (задачи в широком смысле слова). Способные к
математике учащиеся, воспринимая задачу, сразу выделяют показатели, существенные для данного типа задач, величины, не существенные для данного типа задач, но существенные для данного конкретного варианта. То есть,
для способных учащихся характерно формализованное восприятие математического материала, связанное с быстрым схватыванием в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры.
Память способных к математике учащихся имеет обобщѐнный характер: быстро запоминаются и прочно сохраняются типы задач и способы их
решения, схемы рассуждений, доказательств, логические схемы.
Такие ученики отличаются хорошо развитыми пространственными
представлениями, при решении ряда задач они могут обходиться без опоры
на наглядные образы. В каком-то смысле логичность заменяет им «образность», они не испытывают трудностей при оперировании абстрактными
схемами [18].
На уроке учащиеся математических классов предпочитают решение
нестандартных, проблемных, исследовательских задач. Красоту математики
видят в необычных, неожиданных решениях. Во время работы чаще действуют индивидуально [32].
27
Математический профиль согласно Концепции общего среднего образования [4] относится к курсу повышенного типа, обеспечивающему дальнейшее изучение математики и еѐ применение в качестве элемента профессиональной подготовки. Это наиболее строгий и полный курс, ориентированный на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно
связанную с математикой.
Целями изучения математики в этом профиле являются овладение
учащимися необходимым объѐмом конкретных математических знаний и
формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности.
В классах социально-экономического профиля учащиеся рассматривают математику как инструмент для решения прикладных задач. Если же говорить об
особенностях мышления, то их мышление характеризуется прикладным стилем –
использованием прикладной направленности математики, еѐ взаимосвязей внутри
науки, с другими науками, искусством и направленное на усиление «привлекательности» математики в глазах учащихся. Для прикладного стиля можно условно
выделить 4 типа заданий: на организацию вычислений, различные виды оценок
значений; на составление моделей; на перенос действий в прикладную ситуацию;
на узнавание математического содержания в тексте или другой знаковой информации.
Учителю следует, как можно чаще, акцентировать внимание учащихся на
универсальности математических методов, показывать на конкретных примерах
их прикладной характер. Особый интерес вызовут примеры, иллюстрирующие
применение метода в экономике.
Большое значение в процессе обучения математике имеет понимание
школьниками практической значимости того или иного учебного материала. Поэтому при изучении любой темы необходимо сразу же очертить область, в которой этот материал может иметь фактическое применение.
Закрепление теоретических знаний следует осуществлять, в основном, в ходе решения математических и экономических задач. Под экономической задачей
28
будем понимать задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин
на основе исходных данных. В отличие от математических задач экономические
задачи не всегда удается формализовать, свести только к расчету. Их решение сопровождается поиском недостающих данных, экспертными оценками, обсуждением, принятием решений.
Изучение математики в классах социально-экономического профиля преследует следующие цели:
1. Освоение конкретными математическими знаниями, позволяющими выработать представление о применении математики в профилирующей науке и
достаточными для изучения в вузе соответствующего направления.
2. Развитие практического стиля мышления.
3. Общекультурное формирование школьников, так как большое внимание
необходимо уделять гуманитарной ориентации курса.
Математика в классах социально-экономического профиля изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 8 часов в две недели, что соответствует требованиям программы, также отдельные разделы математики могут дополнительно преподаваться на элективных курсах [17].
В соответствии с целями изучения математики дисциплина ориентирована
на применение еѐ в экономике и исследовании закономерностей окружающего
мира. При изучении математики в классах экономического профиля необходимо
применять всевозможные методы: от объяснительно- иллюстративного до исследовательского. Так как этот профиль, также как и математический, входит в курс
повышенного типа, то формы и средства обучения практически не отличаются.
В классах естественнонаучного направления обучение учащихся ориентировано на индивидуальную научную деятельность, развитие наблюдательности и
воображения, самостоятельность и творчество. Формирование естественнонаучной картины мира достигается при условии, что изучение естественнонаучных
дисциплин является, прежде всего, средством, обеспечивающим развитие познавательных способностей личности, расширение ее интеллектуальных возможно29
стей, знакомство с той частью человеческой культуры, которая во многом определяет лицо современной цивилизации.
В ходе изучения естественнонаучных дисциплин не нужно забывать, что
любая из них является лишь частью знаний человека о природе, что научные
идеи – одна из составляющих человеческой культуры и что, познав законы природы, можно многое создать, но и многое уничтожить, в том числе и жизнь на
Земле. Гуманистический и экологический аспекты должны стать неотъемлемыми
составляющими образования в классах естественнонаучного направления и найти
отражение в его целях и содержании. Основными направлениями естественнонаучных дисциплин являются такие предметы как астрономия, биология, география, механика, физика, химия.
Базисом естественных наук следует считать математику. Все современные
естественные науки, так или иначе, используют математический аппарат для описания рассматриваемых явлений, то есть предполагают точное формульное определение закономерностей, описывающих рассматриваемые природные явления; а
также формульную запись новых гипотез и теорий. В результате, обеспечиваемые
естественными науками описания содержат численные значения. Кроме того, благодаря точным математическим выкладкам любая гипотеза может быть проверена
и при необходимости скорректирована [15].
Исходя из сказанного, цели естественнонаучного направления могут быть
сформулированы следующим образом:
– формирование всесторонне развитой личности;
– усвоение основ учебных дисциплин образовательной области «естествознание» школьной образовательной программы;
– изучение основных составляющих естественнонаучной картины мира;
– изучение прикладного компонента естественных наук, обеспечивающего
подготовку учащихся к выполнению ориентировочной и конструктивной деятельности в окружающем мире;
– усвоение основных представлений о научном методе исследований и его
месте в системе общечеловеческих культурных ценностей;
30
– формирование и развитие познавательных способностей у школьников.
В естественнонаучных классах (химических, биологических, геоэкологических) математика разделена на три предмета – алгебру, математический анализ,
геометрию. Всего на преподавание этих дисциплин отводится 7 часов в неделю.
Для желающих проводятся факультативные занятия по математике, позволяющие
углубить знания.
Целями изучения математики в гуманитарном профиле являются умственное развитие школьника, знакомство с математикой как областью человеческой
деятельности, формирование тех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современном мире. Поэтому математика в гуманитарном
профиле является курсом общекультурной ориентации, который рассчитан на
учащихся, склонных рассматривать математику только как элемент общего образования и не предполагающих использовать еѐ непосредственно в своей будущей
профессиональной деятельности.
Для учеников гуманитарного профиля имеет значение содержание задачи,
соответствие условия реальной действительности. Именно в этом плане проходит
еѐ первоначальное осмысление, лишь затем начинается перевод на математический язык. Учащиеся видят решение конкретной задачи, а не приѐм решения задач данного типа.
По сравнению с учениками других профилей у гуманитариев наблюдается
низкая изобретательная способность при запоминании информации. Они стараются запомнить не способ доказательства теоремы, а всѐ доказательство полностью и, если забывают, то восстановить, чаще всего, не могут.
Учащиеся гуманитарных классов строят свои рассуждения развѐрнуто,
строго выполняют все предписания, если действуют по алгоритму.
У них наблюдается очень слабая связь между прямыми и обратными действиями, взаимно обратными понятиями (дифференцирование и интегрирование,
прямая и обратная функция и др.), причѐм со временем она быстро исчезает вообще. Обратное действие (понятие) у них формируется как новое, без опоры на
уже установленное прямое.
31
Восприятие красоты математики у гуманитариев направлено на еѐ проявления в живой природе, в произведениях искусства, в конкретных математических
объектах.
Из форм работы на уроке они предпочитают объяснение учителем нового
материала, лабораторную работу, деловые игры, выполнение индивидуальных заданий с привлечением научно-популярной литературы. Из методов работы выбирают коллективные методы, дискуссии [17].
Как показывает практика обучения, у старшеклассников вызывают большой
интерес специальности, связанные с бизнесом, экономикой, банковским делом,
поэтому учителю математики необходимо иметь в своем арсенале элективный
курс для классов экономического профиля.
Рассмотрим методику организации и проведения таких элективных курсов.
32
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
2.1 Содержание обучения математике в профильной школе.
Содержательный компонент математического образования для профильных
классов обладает собственной спецификой в отличие от образовательных классов
и обусловлен общими и специфическими целями обучения.
Содержание преподавания математике на профильном уровне должно обеспечить:
– большие возможности для организации полной математической деятельности учащихся;
– реализуемость овладения программных знаний всеми учащимися в условиях развитой, уровневой и профильной дифференциации;
– выявление математических и общих интеллектуальных способностей
учащихся с целью их обоснованной ориентации на профиль обучения и выбор
профессии;
– максимальные возможности для формирования, поддержания и развития
интереса к изучению математики вообще и в прикладном характере, в частности
для будущей профессии;
– потенциальную возможность изучения математизированных школьных
предметов на современном уровне [17].
Содержание профильного обучения, внедряемого на старшей ступени
школьного образования включает раздел "Математика и информатика".
"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" (базовый уровень).
Требования к предметным результатам освоения базового курса математики
должны отражать:
1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на
математическом языке явлений реального мира;
33
2. Сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
3. Владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их
применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе
для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
5. Сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;
6. Владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
7. Сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об
основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях
и основные характеристики случайных величин;
8. Владение навыками использования готовых компьютерных программ при
решении задач.
"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" (углубленный уровень).
Требования к предметным результатам освоения углубленного курса математики должны включать требования к результатам освоения базового курса и
дополнительно отражать:
34
1. Формирование представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;
2. Формирование понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;
3. Формирование умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;
4. Формирование представлений об основных понятиях математического
анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций,
использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
5. Владение умениями составления вероятностных моделей по условию задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением
формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей; исследования
случайных величин по их распределению [1].
Элективные курсы являются компонентом вариативной части содержания
образования в старших классах и ориентированы на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого ученика. Они являются главным средством построения индивидуальных образовательных программ, т. к. прямо связаны с выбором каждым учащимся того содержания
образования, которое отражает его интересы, связано с последующими жизненными планами. Элективные курсы, таким образом, расширяют возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.
Количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно
быть избыточно по сравнению с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся.
Курсы по выбору необходимо вводить постепенно. Единовременное введение целого спектра разнообразных курсов по выбору может поставить учащегося
35
перед трудноразрешимой задачей. Необходима целенаправленная, опережающая
работа по освоению учеником самого механизма принятия решения, освоения
"поля возможностей и ответственности" [4].
В курсе изучения математики в профильной школе тема «Проценты» рассматривается в 5-6 классах. Изучаются базовые понятия о процентах. В учебниках
[11], [12], [14], [21], [22], [24] очень мало практических задач по решению финансово-экономических задач на простые и сложные проценты. Задачи, включенные
в ЕГЭ практически не рассматриваются. Знаний, которые получает учащийся экономического профиля при изучении курса математики не достаточно для изучения и закрепления темы «Простые и сложные проценты», поэтому целесообразно
предложить элективный курс в подготовке данного вопроса.
2.2 Методика организации и содержание элективного курса «Проценты в
решении экономических задач» для классов экономического профиля
Интеграцию математического и экономического знания в процессе обучения математике можно эффективно осуществить при помощи специально составленной системы задач.
Именно с помощью задач можно показать применение математических знаний для познания реального мира, познакомить учащихся с методами решения задач в науке и практической деятельности.
С «экономическими»
задачами, например, приходится иметь дело при
оформлении в банке сберегательного вклада или кредита, покупке товаров в рассрочку, при выплате пени, налога, страховании и т. д. Решать такие задачи
школьники учатся на уроках математики. В учебниках по математике 10-11 класса такие задачи, практически, отсутствуют.
Использование задач с экономическим содержанием на уроках и внеурочной работе по математике создает условия для:
– разъяснения учащимся сущности экономических терминов, часто употребляемых в задачах;
36
– формирования у учеников некоторых представлений об экономике страны;
– воспитания у школьников бережного отношения к национальному богатству страны;
– ознакомления учащихся с применением некоторых математических методов в экономике.
Тему «Проценты» нельзя отнести к легко усваиваемым. Ее традиционное
изучение сосредоточено в строгих временных рамках курса 5 – 6 классов, что не
позволяет расширить спектр практических приложений и полноценно учитывать
возрастные возможности учащихся в формировании ряда практических умений в
работе с процентами.
Покажем, как предлагается изучать этот материал в учебных комплектах по
математике для 5 –6 классов по редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина и для
7 – 9 классов под редакцией Г.В. Дорофеева.
Прежде всего, отметим, что при изложение темы «Проценты» реализуются
многие общие методические особенности, характерные для курса в целом.
Тема разворачивается по спирали и изучается в несколько подходов с 6 по 9
класс включительно. При каждом проходе учащиеся возвращаются к процентам
на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач, в том
числе и с экономическим содержанием и приемы решения. Такое многократное
обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и
осознано. Появляется возможность включать задачи, которые сейчас в действующих учебниках не могут рассматриваться просто в силу возрастных особенностей
школьников.
Вопросы, связанные с процентами, позволяют сделать курс практикоориентированным, показать учащимся, что приобретаемые ими математические
знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени
поддерживается также и содержанием задач, фабулы которые приближены к современной тематике и к жизненному опыту детей, а затем и подростков. Это служит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач.
37
Введение процентов опирается на предметно практическую деятельность
школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. С
самого начала освоения понятия учащиеся выполняют много заданий, в которых
требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры, показывающее соответствующее процентное содержание. Широко используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче, а затем увидеть путь решения.
Как и во всех остальных разделах курса, при изложении этой темы реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся. Задачи предаются в широком диапазоне сложности – от самых простых, базовых, до
достаточно трудных. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям конкретных учащихся.
При обучении решению задач на проценты учащиеся знакомятся с разными
способами решения задач, причем спектр примеров шире, чем это бывает обычно.
Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов решения. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более
удобным.
В других учебных комплектах [11], [12], [21], [22], [24] вопросы изучения
процентов более узко. Начало изучения темы «Проценты» в школьном курсе математики проходит в рамках содержательно-методической линии «Числа и вычисления»
Приведем сравнительный анализ изложения данной темы в наиболее распространенных школьных учебниках:
В 5 классе в комплекте [11] в главе 8 «Инструменты для вычислений и измерений» происходит знакомство с процентом, а именно учащиеся учатся
решать основные задачи на проценты, представлять их в виде десятичных и
обыкновенных дробей, находить процент от числа и число по его проценту.
В комплекте [21] знакомство с процентами и изучение основных действий с
ними рассматривается в главе 5 «Десятичные дроби».
38
В 6 классе данная тема применятся в решении задач по мере изучения курса. Задачи на проценты входят в один логический блок с задачами на дроби, задачами на составление пропорций.
В учебном комплекте [24] понятие процента изучают в первой главе 6
класса и продолжают в конце курса.
Только в [24] учащиеся рассматривают формулы простых и сложных процентов при решении сложных задач на проценты, в том числе и экономических
задач, которые в других комплектах вообще не рассматриваются. Однако, данной теме отводится 3 часа. Это очень мало для усвоения данного материал.
Продолжение изучения школьной линии математики по теме «Проценты»
осуществляется в материалах 7-10 классов на примере решения простых и сложных задач на проценты с помощью составления уравнений и систем уравнений.
Рассмотрение темы «Проценты» в школьном курсе математики не позволяет учащимся достаточно хорошо решать задачи с экономическим содержанием.
Именно поэтому, с 2015 года в заданиях ЕГЭ еще одним камнем преткновения
стали задачи такого типа.
Федеральный институт педагогических измерений каждый год публикует
«Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа
типичных ошибок участников ЕГЭ отчѐтного года по математике» [41]. В этом
издании проводится анализ результатов ЕГЭ текущего года и краткая характеристика заданий. В этих рекомендациях приводится статистика выполнения заданий. «В 2017 году ненулевой балл получили свыше половины участников за выполнение заданий повышенного уровня сложности с развернутым ответом.
Улучшение показателей отмечено и при … решении практико-ориентированного
задания 17 (решение текстовой задачи с экономическим содержанием) : 2015 г. –
2,3%, 2016 г. – 13%, 2017 г. – 14,8. [35].
Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки (Рособрнадзор) ежегодно публикует на своем официальном сайте или сайте организации,
уполномоченной в установленном законодательством Российской Федерации порядке, в информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» информацион39
ные материалы о структуре и содержании КИМ и демонстрационный вариант
КИМ по каждому учебному предмету [5]
С публикацией «Демонстрационного варианта контрольных измерительных
материалов единого государственного экзамена» на предстоящий учебный год
начинается работа учеников и учителей по подготовке к ЕГЭ. И выпускники, и
учителя заинтересованы в получении наилучших результатов на экзамене, поэтому каждый из педагогов ищет и старается использовать в своей работе наиболее
эффективные приемы и методы для подготовки своих учеников к итоговой аттестации.
При подготовке диссертации нами было изучено большое количество литературы для подготовки к единому государственному экзамену по математике,
публикуемой как для учителей, так и для учащихся старших классов. Ежегодно
публикуются сборники заданий с ЕГЭ предыдущего года, например, «ЕГЭ 2017.
Математика. 30 вариантов. Профильный уровень» под редакцией В. И. Ященко
[42], пособие Лаппо Л. Д. «ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Тематические тренировочные задания», издания серии «ЕГЭ. Высший балл» ‒ учебные
пособия Лаппо Л. Д., Ериной Т.М.
Также издаются учебные материалы, содержащие методические рекомендации для учителей, как написанные практикующими репетиторами и учителями
математики из разных школ, например «Пособие по математике для подготовки к
ЕГЭ 2017» Голубева А.А., Спасской Т.А [13], так и разработанные коллективом
разработчиков КИМ ЕГЭ в составе Ященко И.В., Шестакова С.А. и др. «Я сдам
ЕГЭ! Математика. Модульный курс. Методика подготовки» [43].
В методических пособиях для учителей предлагаются различные приѐмы,
разработанные преподавателями исходя из своего опыта работы с учениками и
выявленных ими проблем.
В учебном пособии Ященко И.В., Шестакова С.А. «Я сдам ЕГЭ!» материал
разбит на четыре модуля: «Базовые навыки», «Алгебра», «Функции», Геометрия»,
содержащие определѐнное число парных уроков. Первый из двух уроков посвящается повторению понятий и методов решения заданий, второй направлен на от40
работку и закрепление навыков. В этом пособии авторы заостряют внимание на
тех моментах, которые могут вызвать трудности у учащихся в каждом из типов
заданий, а также указывают способ преодоления затруднений. Пособие может
быть полезно как учителям в качестве дополнительного материала для работы с
учащимися, так и самим ученикам, стремящимся получить высокий балл на ЕГЭ
по математике, но имеющим некоторые пробелы в знаниях [43].
Камнем преткновения для учащихся 11 классов стали задания с финансовоэкономическим содержанием. Многие учащиеся даже не берутся за выполнение
данного задания.
Поэтому считается целесообразным для учащихся классов экономического
профиля и не только включение элективного курса «Проценты в решении экономических задач».
Предполагаемый курс является развитием ранее приобретенных программных знаний. Этот курс дополняет базовую программу, не разрушая ее целостности, расширяет и углубляет знания учащихся, предполагает преемственностью
между школой и ВУЗом. Опишем один из вариантов такого элективного курса.
Аннотация программы элективного курса
«Проценты в решении экономических задач».
Предлагаемый элективный курс ориентирован на формирование у обучающихся общего подхода к решению задач с финансово-экономическим содержанием. При предлагаемом нами подходе задача рассматривается как модель того или
иного явления, процесса, ситуации, и еѐ решение требует применения математических знаний, логики, понимания понятий из области экономики для преобразования условий задачи в такую модель, которая позволит получить ответ.
Элективный курс рассчитан не только для школьников, решивших связать
свою будущую профессию с экономикой и банковским делом, но и для тех, чья
профессия в дальнейшем не будет связана с математикой и экономикой, так как те
задачи, которые представлены в данном курсе демонстрируют практическую ценность математики, позволяют активизировать учебную деятельность, формируют
знания и способности к деятельности, которые актуальны и востребованы практи41
кой, рынком труда, а также призваны способствовать профессиональному самоопределению старшеклассников.
Данный курс поддерживает изучение основного материала из курса алгебры, предоставляя возможность повторить, систематизировать и применить на
практике полученные знания, и в тоже время позволяет изучить экономические
термины и понятия, сформировать навыки использования полученных в школе
знаний в жизни. Правильно построенная система упражнений формирует у учащихся активное мышление и познавательный интерес, приучает к преодолению
посильных трудностей, вырабатывает умение справляться с ними.
В рамках курса рассматриваются ключевые темы школьного курса математики, которые содержат инструменты для решения экономических задач и могут
помочь формированию понятийного экономического аппарата у старшеклассников, повторению необходимых формул и алгоритмов решения задач с экономическим содержанием.
Данный курс предусматривает использование лекционно-практической системы, а также личностно-ориентированных педагогических технологий. На всех
практических занятиях предусмотрена самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах.
Курс позволит достичь уверенных навыков в решении стандартных задач по
алгебре, освоить эвристические подходы к решению нестандартных, творческих
задач, а также расширить знания учащихся для успешной сдачи Единого Государственного Экзамена по математике и продолжения профессионального образования.
Основная часть
1.1. Пояснительная записка.
Общие положения.
Элективный курс «Проценты в решении экономических задач», рассчитанный для учащихся одиннадцатых классов и предназначен для расширения теоретических и практических знаний учащихся экономического профиля в решении
42
финансово-экономических задач. Он основан на повторении и систематизации
знаний, полученных за время обучения с 5 по 11 классы.
Цели курса.
– Систематизация, обобщение и углубление знаний, полученных школьниками при изучении темы «Проценты» в школьном курсе, необходимые для решения задач на проценты с экономическим содержанием.
– Дополнительная подготовка обучающихся 10-11 классов к государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ, к продолжению образования.
– Формирование умения решать задачи с экономическим содержанием.
Задачи курса.
Формировать навыки перевода прикладных задач экономики на язык математики. Привлечь интерес учащихся к данным задачам, привить вкус к решению
задач на проценты. Выработать прочные навыки решения задач с экономическим
содержанием, а также закрепить навыки решения задач на проценты.
Развивающая:
Развивать способность к исследованию, пониманию закономерностей экономических ситуаций. Совершенствовать навыки анализа конкретного случая на
основе известных общих свойств объекта. Развивать познавательную деятельность. Формировать логическое мышление и математическую культуру учащихся.
Образовательная:
Сформировать представление об экономических задачах на проценты. Формировать умение решать экономические задачи разными способами: с помощью
составления пропорций, уравнений и неравенств, арифметической и геометрической прогрессии. Выработать навыки решения базовых видов экономических задач на проценты. Отработать приемы решения различных видов экономических
задач. Формировать осознанный подход к решению таких задач.
Воспитательная:
Формировать основы научного мировоззрения, нравственные качества, навыки общения. Воспитать уверенность себе, трудоспособность.
Требования к уровню освоения курса:
43
В результате изучения элективного курса обучающийся должен:
Знать:
Содержательный смысл понятия «процент» как специального способа выражения доли величины. Алгоритм решения экономических задач на проценты.
Формулы начисления простых и сложных процентов, понятия концентрация и
процентная концентрация. Сформировать умения производить процентные вычисления при решении экономических задач.
Уметь:
Решать типовые задачи на проценты. Применять алгоритм решения задач
составлением уравнений к решению простейших экономических задач и повышенного уровня сложности.
Использовать формулы начисления простого и
сложного процента при решении задач. Решать основные задачи на вычисление
прибыли, себестоимости, рентабельности, определении величины налога.
Владеть:
Навыками, позволяющими уметь анализировать, систематизировать, объединять рассматриваемые задачи.
На элективный курс отводится 20 часов. Данный элективный курс входит в
систему элективных курсов школьного компонента образовательного учреждения.
Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается
использовать следующие формы учебных занятий: лекции, семинары, практикумы, беседы, индивидуальная работа, групповая, взаимное обучение.
Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:
- самостоятельная работа;
- итоговый контроль.
Итоговый контроль предусматривает:
- контрольную работу;
- тестирование в формате ЕГЭ;
44
Показателем эффективности обучения с введением в школьную программу
данного элективного курса, следует считать увеличенный процент выполнения
заданий ЕГЭ (задачи с экономическим содержанием).
1.2. Учебно-тематический план
Таблица 1. Учебно–тематический план элективного курса
№ п/п
1
2
3
4
5
6
Количество
часов
Название темы (модуля)
Определение процента. Необходимость применения
процентов в экономике. Решение базовых задач на
проценты
Математические модели при решении экономических
задач
Понятие о банковской системе: вкладчики, депозиты,
заемщики, кредит
Простые и сложные проценты. Механизм начисления
процентов с использованием арифметической и геометрической прогрессий
2
2
2
4
Начисление простых и сложных процентов на разные
суммы вкладов в банках
Решение задач с экономическим содержанием
4
Всего
20
6
1.3. Содержание тем учебного курса
Тема 1. Определение процента. Необходимость применения процентов
в экономике. Решение базовых задач на проценты.
Повторение
понятия
«процент».
Решение
базовых
финансово-
экономических задач с использованием процентов. Нахождение процентов от
числа, нахождение числа по его процентам, нахождение процентов одной величины от другой.
Методы обучения: словесный, практический, проблемного изложения, эмпирические, логические методы познания.
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.
45
Тема 2. Математические модели при решении экономических задач.
Понятие экономико-математических моделей. Определение математического моделирования. Этапы математического моделирования в процессе решения
задач. Алгоритмы составления математической модели для решения экономических задач.
Методы обучения: словесный, практический, эмпирические, логические методы познания.
Тема 3. Понятие о банковской системе: вкладчики, депозиты, заемщики, кредит.
Понятие о банковской системе: вкладчики, депозиты, начальный капитал,
приращение. Моделирование и решение задач на вклады. Понятие кредита, процентной ставки, кредитной операции. Дифференцированные и равномерные выплаты кредита заѐмщиком. Периоды начисления.
Тема 4. Простые и сложные проценты. Механизм начисления процентов с использованием арифметической и геометрической прогрессий.
Рассмотрение механизма начисления процентов с использованием арифметической и геометрической прогрессий в задачах с финансово-экономическим содержанием.
Рассмотрение терминов, таких, как процентные деньги, текущая
стоимость, будущая стоимость, ставка процента, срок погашения долга, множитель наращения сложных процентов. Формула непрерывного наращения сложных
процентов, показательный закон роста.
Методы обучения: словесный, проблемного изложения, логические методы
познания, практический.
Тема 5. Начисление простых и сложных процентов на разные суммы
вкладов в разных банках.
Рассмотрение процентных ставок в разных банках. Составление таблиц с
результатами вычислений вкладов с начисленными процентами. Сравнительный
анализ начисленных процентов по разным процентным ставкам.
Методы обучения: частично-поисковый, эмпирический, логические методы
познания, практический.
46
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельно сделанных выводов.
Тема 6. Решение задач, с экономическим содержанием
Анализ данных. Составление математических моделей и получение результатов при решении задач с экономическим содержанием.
Методы обучения: выполнение практических заданий, самостоятельное составление задач и пример их решения.
Формы контроля: составление презентации своего выступления.
1.4. Календарно-тематическое планирование
Таблица 2– Календарно тематическое планирование
Количество часов
№п/п
Тема занятия
1
2
Определение
процента. Необходимость применения
процентов в экономике. Решение
базовых задач
на проценты.
1
всего лекции практикум
3
2
4
5
0,5
1,5
Формы проведения
6
повторяют ключевые знания о
беседа, пракпроцентах, алготическая раритмы решения
бота
базовых задач на
проценты
2
Математические
модели при решении
экономических задач
2
1
1
лекция,
седа
3
Понятие о банковской системе: вкладчики,
депозиты,
заемщики, кредит
2
1
1
лекция,
седа
47
Планируемые
результаты освоения материала
7
учащиеся имеют
представление о
математических
моделях, знают
бе- этапы математического моделирования и алгоритмы решения
экономических
задач
имеют
представления о банбековской системе.
Продолжение таблицы 2
1
4
5
6
2
Простые
и
сложные проценты.
Механизм начисления процентов с
использованием
арифметической
и геометрической прогрессий
Начисление
простых
и
сложных процентов на разные
суммы
вкладов в банках
3
4
4
5
1,5
2,5
4
0,5
3,5
Решение задач с
экономическим
содержанием
6
0
6
Всего
20
4,5
15,5
6
7
осваивают новые знания по
лекция, объ- применению
яснение,
формул
n-ого
письменные члена арифмеупражнения тической и геометрической
прогрессий.
объяснение, составляют
практическая сравнительные
работа
таблицы с использованием
формул для анализа эффективности
роста
процентов
объяснение, отрабатывают
практикумы, умения примеработы
в нять
полученгруппах,
ные знания при
презентации решении задач
Тема 1. Определение процента. Необходимость применения процентов
в экономике. Решение базовых задач на проценты.
Цель: повторение, обобщение и систематизация ранее полученных знаний о
процентах
Задачи:
1. Сформировать умения и навыки производить процентные вычисления,
необходимые для решения экономических задач.
2. Научить применять полученные знания по данной теме при решении задач на проценты.
Для того, что бы решать задачи с экономическим содержанием, необходимо
понимать, что такое процент, уметь производить процентные расчеты.
48
Процент – сотая доля целого (принимаемого за единицу); обозначается знаком «%».
Поэтому процентом (от) какого-либо числа называется сотая часть этого
числа.
При решении задач на проценты необходимо помнить:
1. Как выразить число в процентах?
Чтобы выразить число в процентах достаточно умножить его на 100 и
поставить знак %
Пример: 4 = 4∙100%=400%;
3
= 0,75 = 0,75∙100% = 75%
4
1. Как выразить проценты в виде десятичной дроби?
Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби достаточно число
процентов разделить на 100
Пример: 300% = 300:100 = 3;
36, 7% = 36,7:100 = 0,367;
9% = 9:100 =0,09
Пусть число а составляет k % от числа b (k называется процентным отношением числа а к числу b).
Чтобы найти проценты от данного числа, надо:
1. выразить проценты в виде дроби;
2. умножить данное число на эту дробь.
Запишем это формулой: a 
k
b
100
Чтобы найти проценты от числа, надо число процентов выразить десятичной дробью, а затем найти дробь от числа.
При определении процента от числа следует помнить, что:
– если процент меньше 100 % , то число, полученное в результате вычислений, должно быть меньше заданного числа;
– если процент больше 100%, то число, полученное в результате вычислений, должно быть больше заданного числа.
49
Следовательно, при вычислении процента от числа для самоконтроля нужно проверить:
– заданный в условии процент больше или меньше 100 %;
– результат вычисления больше или меньше числа, от которого находится
процент.
Чтобы найти число по данным его процентам, надо:
– выразить проценты в виде дроби;
– разделить данное число на эту дробь.
Запишем это дробью: b  a 
k
100
Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в
виде дроби и решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.
При определении числа по его проценту следует помнить, что:
– если процент меньше 100%, то число, полученное в результате вычислений, больше заданного числа;
– если процент больше 100%. то число, полученное в результате вычислений, меньше заданного числа.
Следовательно, при вычислении числа по его проценту для самоконтроля
нужно проверить:
– заданный в условии процент больше или меньше 100%;
– вычисления больше или меньше числа, от которого находится процент.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо:
– найти отношение этих чисел;
– умножить это отношение на 100 и приписать знак %.
a
b
Запишем это формулой: k   100 (%)
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти отношение
этих чисел и выразить его в процентах
При сравнении двух величин та, с которой производится сравнение, - базовая величина, и она принимается за 100%. В задачах на проценты сначала следует
понять, какая величина принимается за 100% [10].
50
Разберем решение задач с [36]
Задача 1.1. (открытый банк заданий, прототип 77345).
Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу 1
Сколько человек правильно решили задачу 1.
Решение.
1-й способ
Задачу решили
94
 27500  94  275  25850 человек
100
2-й способ
Примем 27500 выпускников за 100%. Тогда х выпускников, решивших задачу 1, составляет 94%.
Составим пропорцию
27500 100
27500  94
, из которой найдем x 

 25850
x
94
100
Ответ: 25850 человек [36].
Задача 1.2. (открытый банк заданий, прототип 77344).
Призерами городской олимпиады по математике стали 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
Решение.
1-й способ.
Пусть в олимпиаде участвовали х человек. Тогда согласно условию задачи
составим уравнение
12
4800
 x  48 , откуда найдем x 
 400.
100
12
2-й способ.
Примем х учеников. Принявших участие в олимпиаде, за 100%. Тогда 48
призеров олимпиады составляют 12%. Составим пропорцию
x
4800
 400.
12
Ответ: 400 человек [36].
51
x 100
и найдем

48 12
Пропорциональное деление величины
Чтобы разделить число А на части, прямо пропорциональные данным числам a, b, c (разделить в данном отношении a:b:c), надо разделить это число на
сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них:
Aa 
Aa
Ab
Ac
, Ab 
, Ac 
, , отметим, что Aa  Ab  Ac  A.
abc
abc
abc
Чтобы разделить число А на части, обратно пропорциональные данным
числам a, b, c, надо разделить это число на части, прямо пропорциональные числам
1 1 1
, , .
a b c
Пусть требуется найти, в каком процентном соотношении находятся числа
а, в и с. В этом случае необходимо определить, какой процент составляет каждое
число по отношению к сумме этих чисел. Пусть k a , k b , k c , - искомые проценты,
тогда:
ka 
a
b
c
 100 ; k b 
 100 ; k c 
 100 . Отметим,
abc
abc
abc
что
k a  k b  k c  100% [9].
Задача 1.3. (Открытый банк заданий, прототип 99570).
Митя, Антон и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000
рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 0,12
уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной
капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису?
Ответ дайте в рублях.
Решение:
1-й способ:
Митя внес 14% или 0,14 уставного капитала. Гоша внес 0,12 уставного капитала. Антон внес
42000
 0,21 , а Борис внес 1 – 0,21 – 0,14 – 0,12 = 0,53 устав200000
ного капитала. Из прибыли размером в 1 000 000 рублей Борис получит
0,53  1000000  530000 рублей.
52
2-й способ:
Митя внес 14% уставного капитала, Антон -
42000
 100%  21% уставного
200000
капитала, Гоша 0,12 100%  12% уставного капитала. Тогда Борис внес 100% - 14%
- 12% - 21% = 53%. Из прибыли размером в 1 000 000 рублей Борис получит
53  1000000
 530000 рублей.
100
Ответ: 530 000 рублей [36].
Задача 1.4. Три фирмы затратили на выполнение работы 740 000 рублей.
Этот расход они распределили так, что каждый внес сумму денег, обратно пропорциональную расстоянию его места объекта до работы. Первая фирма расположена в 4 км, вторая – в 5 км и третья – в 6 км от объекта. Сколько рублей должна уплатить за работу каждая фирма?
Решение:
Фирма должна разделить затраты прямо пропорционально числам
1 1 1
.
, ,
4 5 6
По свойству отношений имеем:
1 1 1 
1 
1 
1
: :   60 :  :  60 :  :  60 :   15 : 12 :: 10. .
4 5 6 
4 
5 
6
Первая фирма должна уплатить
15
 740000  300000 рублей;
15  12  10
вторая фирма должна уплатить
12
 740000  240000 рублей;
15  12  10
третья фирма должна уплатить
10
 740000  200000
15  12  10
рублей.
Ответ: 300 000 рублей, 240 000 рублей, 200 000 рублей [16].
Задачи для самостоятельного решения представлены в приложении 1.
Тема 2. Математические модели при решении экономических задач.
Цель: формирование понятия «математической модели» как способ изучения явлений внешнего мира.
Задачи:
1. Овладеть экономическим языком с помощью математической символики.
53
2. Научить с помощью математического моделирования представлять задачи экономического содержания.
3. Научить применять свойства функций и графиков к моделированию экономических задач.
4. Овладеть связями между понятиями в экономике, математике и практическими задачами.
Экономико-математическая модель – это выраженная в формально- математических терминах экономическая абстракция, логическая структура которой определяется как объективными свойствами предметами описания, так и субъективным целевым фактором исследования, для которого это описание предпринимается.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей [37] .
Чтобы верно составить математическую модель, ученик должен уметь работать с текстом. Например, условие задачи номер 17 из ЕГЭ чаще всего представляет собой текст из нескольких строк, содержащий большое количество данных,
часть из которых представлена в неявном виде. Поэтому очень важно уметь внимательно читать текст задачи, извлекать, анализировать и критически оценивать
полученную из условия задачи информацию [55].
Освоив основы моделирования экономической задачи, главным образом
способность внимательно читать условие и умение выделять из текста нужные
величины, можно составить план (алгоритм) для решения задач каждого вида, который будет отрабатываться путем решения задач из открытого банка заданий и
материалов ЕГЭ прошлых лет.
Алгоритм составления математической модели для задачи на вклад:
1. Проанализировав условия задачи, выделить величину, значение которой
требуется найти (сумму вклада, срок, процент) и определить схему изменения величины вклада (однократное/последовательное через равные промежутки времени).
2. Если в условии задачи говорится об однократном изменении величины
вклада на определѐнное число процентов, используется формула простых процен54
тов S  S 0 1 

in 
 , если о последовательном через равные промежутки времени –
100 
n
i 
формула сложных процентов S  S 0 1 
 , где S 0 – начальная сумма вклада, n –
 100 
количество периодов начисления процентов, i – банковский процент по вкладу за
период начисления.
3. Пользуясь нужной формулой, выразить сумму вклада, сумму после начисления процентов, процент и т.д. в зависимости от вопроса [31].
Задача 2.1. Какой вклад выгоднее: первый ‒ на 1 год под 16% годовых или
второй ‒ на 4 месяца (с автоматической пролонгацией каждые четыре месяца в
течение года с момента открытия вклада) под 15% годовых? При расчѐтах считайте, что один месяц равен 1/12 части года.
Решение:
1. Действуя по алгоритму, выясняем схему изменения величины вклада: для
первого вклада предполагается однократное начисление процентов, для второго
последовательное через каждые четыре месяца.
2. Для первого вклада применяем формулу простых процентов, где S0 ‒ начальная сумма вклада, количество периодов начисления процентов равно 1, а банковский процент по вкладу составляет 16% годовых:
in 
16 


S  S 0 1 
  S 0 1 
  1,16S 0 .
 100 
 100 
3. Для второго вклада используем формулу сложных процентов, где S 0 ‒
начальная сумма вклада, количество периодов начисления процентов равно 3, а
банковский процент по вкладу составляет 15% в год, что составляет
15
 4  5 про12
центов за четыре месяца:
n
3
i 
5 


S  S 0 1 
  S 0 1 
  1,158S 0 .
 100 
 100 
Сравнивая сумму вкладов после начисления процентов, получаем, что при
предложенных условиях первый вклад выгоднее [8].
Ответ: первый
55
Алгоритм составления математической модели для задачи на погашение
кредита:
1. Проанализировав условия задачи, выделить величину, значение которой
требуется найти (сумму кредита, срок, процент) и определить схему погашения
(равные/неравные) платежи.
2. Если кредит погашается равными платежами, то после начисления процентов на оставшуюся сумму долга вносится сумма платежа: одинаковая в каждом платѐжном периоде (для аннуитетной схемы) или состоящая из фиксированной части долга и процентов (для дифференцированной схемы погашения).
3. Обозначить буквой коэффициент, на который увеличивается сумма осp 
тавшегося долга 1 
 , где p – банковский процент по кредиту, и перевести его

100 
в десятичную дробь.
4. Пользуясь нужной формулой, выразить сумму кредита, общую сумму
всех выплат, сумму платежа и т.д. в зависимости от вопроса [37] .
Задача 2.2. 31 декабря 2013 г. Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит
под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей
выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение:
По условию задачи, нужно найти сумму ежегодного платежа. Погашение
кредита производится равными платежами, а проценты начисляются до окончания платѐжного периода на оставшуюся сумму долга, что подразумевает аннуитетную схему погашения. Аннуитентный платеж – вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда размер ежемесячного платежа остается постоянным на всем
периоде кредитования.
Обозначим сумму кредита как A0 , сумму ежегодного платежа ‒ x , а годовые проценты, начисляемые на оставшийся долг ‒ i .
56
Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коi 

  1  0,01i.
эффициент m  1 
 100 
Запишем сумму долга после каждого из трѐх платежей. После первой выплаты сумма долга составит:
A0  A0 m  x
После второй выплаты сумма долга составит:
A2  A1m  x   A0 m  x  m  x  A0 m 2  mx  x
После третьей выплаты сумма оставшегося долга составит:


A3  A2 m  x  A0 m 2  mx  x  m  x  A0 m3  m 2 x  mx  x
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью,
поэтому сумма долга после третьего платежа равна 0, следовательно:
A3  0
A0 m 2  m 2 x  mx  x  0
x (m 2  m  1)  A0 m3
Для вычисления суммы (m 2  m  1) воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S n  b1
qn  1
,
q 1
где b1  1, q  m.
Получаем:
m2 1
m 3 m  1
2
x
 A0 m   x  A0
m 1
m3  1
Мы получили математическую модель, описывающую условие задачи.
Кроме того, мы можем обобщить эту формулу, записав сумму оставшегося долга
после n -ой выплаты, где n – количество платежей сумма долга истечении последнего платѐжного периода равна 0, получаем формулу для вычисления платежа при аннуитетной схеме погашения кредита:
An  An1m  x  A0 m n  m n1 x  ...  mx  x
57
m n m  1
x  A0
mn 1
Теперь, подставив данные из условия, можно вычислить х:
m 3 m  1
1,13  1,1  1
x  A0
 993000 
1,13 1  3993000
m3  1
Так как за х мы обозначили сумму ежегодного платежа, ответ на вопрос задачи получен.
Ответ: 3 993 000 рублей [39].
Задача 2.3. 1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит на
сумму 109 500 рублей под 24% годовых сроком на 6 месяцев. Условия погашения
кредита:
‒ до 1-го числа каждого следующего за июлем месяца, банк начисляет 24%
на оставшуюся сумму долга;
‒ после начисления процентов Екатерина вносит в банк некоторую фиксированную сумму ‒ одну и ту же для каждого платежа.
Найдите сумму всех выплат по кредиту.
Решение:
Начисление процентов на оставшуюся сумму до истечения платѐжного периода и погашение равными платежами означает, что схема погашения аннуитетная. Так как начисление процентов и погашение долга происходит ежемесячно,
т.е. важно количество месяцев, а не дней в году, информация о том, что год не високосный – лишняя. Чтобы найти проценты, начисляемые ежемесячно, следует
годовые проценты поделить на 12:
i
0,24
 0,02
12
Для аннуитетной схемы погашения кредита применим формулу нахождения
разового платежа, полученную в примере 10:
ii  1
0,02 1,02 6
x  S0

109500

 19548,58 (руб.)
1,02 6  1
i  1n  1
n
Вернѐмся к условию и проверим, получили ли мы окончательный результат.
Нет, нам требуется найти сумму всех выплат:
58
S  6 x  6 19548,58  117291,48 (руб.)
Ответ: 117 291,48 (руб.) [8]
Алгоритм составления математической модели для задач на оптимизацию
величины:
1. Проанализировав условия задачи, выделить величину, о наибольшем или
наименьшем значении которой идет речь, обозначить ее буквой y ( S , V , Q и так
далее, в зависимости от фабулы).
2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую
сравнительно нетрудно выразить остальные, принять за независимую переменную
и обозначить ее буквой x .
3. Установить границы изменения независимой переменной в соответствии
с условиями задачи.
4. Выразить величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти, через x .
5. Математическая модель задачи представляет собой функцию y  f (x) с
областью определения, которую нашли на втором шаге. Надо найти точку максимума (минимума) этой функции на данном интервале [29].
Задача 2. 4. Макар является владельцем двух заводов в разных городах. На
заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно
36t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t изделий, и если рабочие на
заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, то
они производят t изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Макар
платит рабочему 200 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 70 изделий. Какую наименьшую сумму (в млн. рублей) придѐтся тратить
владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
59
Решение: Следуя алгоритму решения задач на оптимизацию, отметим, что
оптимизировать нужно сумму, еженедельно затрачиваемую на оплату труда рабочих на двух заводах. Обозначим эту величину буквой S .
Пусть на первом заводе производят х изделий, работая 36x 3 часов, а на втором – 70  x  изделий, работая 70  x 3 часов в неделю.
Так как за неделю должно производиться 70 изделий, то 0  x  70,
Зная почасовую оплату и выразив количество рабочих часов через x , составим функцию для S :

S  200  36 x 3  70  x 
3

Мы получили математическую модель для решения задачи. Теперь найдѐм
производную полученной функции и значение х, когда производная обращается в
нуль:

S  3  200  36 x 2  70  x 
36x
2
2


 70  x   0
2
6 x  70  x
 x  10

6 x  70  x  x  14


Условию 0  x  70, удовлетворяет x  10. Если x 0 ;10 , то S  0 ; если
x 10 ;70 , то S  0 , то есть x  10 – точка минимума. Получаем, что минимальное


значение функция S  200  36 x 3  70  x3 принимает в точке x  10 и это значение
равно 50 400 000 руб. Отметим, что ответ требуется дать в миллионах рублей [36].
Ответ: 50,4 млн. руб. [38].
Итак, можно составить схему общего подхода к составлению математической модели для задачи с экономическим содержанием из ЕГЭ (рисунок 3).
60
Рисунок 3 – Обобщенный подход к составлению математической модели
при решении задач с экономическим содержанием
Систематическое выполнение задач по отработанному алгоритму сформировать единый подход к решению задач с экономическим содержанием, а также
довести до автоматизма навыки составления математической модели, что является наиболее сложным этапом решения задачи [28].
Тема 3. Понятие о банковской системе: вкладчики, депозиты, заемщики, кредит.
Цель: познакомить учащихся с банковской системой, рассмотреть решение
задач на вклады.
Задачи:
1. Формирование умений решать задачи на вклады, кредиты
2. Изучить механизм начисления процентов по кредиту и вкладу.
61
Банки – это экономические институты, которые обслуживают систему кредитных отношений в обществе.
Вкладчик – сторона по договору банковского вклада, внесшая в исполнение
своих обязательств по договору денежную сумму.
Депозит, или вклад до востребования. Население с помощью такого вклада
осуществляет небольшие сбережения, которые оно может изъять из банка в любой момент, а фирмы открывают расчетные счета с целью осуществления текущих операций.
Срочный вклад, или депозит на срок. Деньги помещаются в банк с обязательством не использовать их до определенного срока;
Под банковским кредитом понимается ссуда в денежной форме на условиях
возвратности и обычно с уплатой процентов.
Процентная ставка – сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчѐте на
определѐнный период (месяц, квартал, год).
Банки предлагают своим клиентам, оформившим кредит, погашать его 2
способами – внося аннуитетный платеж и дифференцированный.
Аннуитетные платежи и дифференцированные платежи — это способы расчета ежемесячных взносов по обслуживанию основного долга, погашения процентов по выбранному кредитному продукту. Основное отличие аннуитетных
платежей от дифференцированных в размере ежемесячной оплаты и погашения
процентов: если по аннуитетным платежам сумма выплаты в течение всего
срока кредитования не изменяется, то при дифференцированных взносах сумма
постепенно снижается, и к окончанию срока кредитования становится минимальной [9].
Рассмотрим решение экономических задач на вклады и кредиты.
Задача 3.1. В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через
год, после начисления процентов, хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще
через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше за62
планированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На
сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
Решение.
Пусть вкладчик в банк первоначально положил x рублей. Тогда за 3 года
хранения этих денег вклад вырос бы до 1,331x рублей, то есть до 1,13 x рублей.
За первый год хранения вклада он вырос до 1,1 x рублей. Однако, через год
вкладчик снял 2000 рублей. На счету осталось 1.1x  2000 рублей. В конце второго
года хранения вклада на эту сумму были начислены проценты, вклад
стал 1.1x  2000  1,1 рублей. Однако, вкладчик снова внес 2000 рублей. Сумма
вклада стала 1.1x  2000  1,1  2000 рублей.
К концу третьего года хранения вклада ее сумма стала
1,1x  2000 1,1  2000 1,1  1,13 x  2000 1,12  2000 1,1 рублей.
И эту сумму снял вкладчик в итоге вместо первоначально запланированной 1,13 x (руб.)
Найдем искомую разность.
1,13 x  1,13 x  2000  1,12  2000  1,1  2000  1,1  1,1  1  2000  1,1  0,1  220 (руб.)
Ответ: на 220 (руб.) [19]
Задача 3.2. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн. рублей на срок 24 месяца.
По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на
сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на
одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернѐт банку в течение первого года кредитования? [19]
Решение.
Пусть Вi – размер долга Жанны на конец месяца i , X i – платеж Жанны в
конце месяца i . Мы знаем, что имеет место соотношение Вi  1,02Bi 1  X i . Кроме
того, мы знаем, что последовательность (Bi) является арифметической прогрессией. При этом B0 = 1200 тыс. руб., а B24 = 0, так как в конце срока кредитования
63
долг Жанны должен быть равен нулю. Этих двух точек достаточно, чтобы узнать
всю последовательность Bi: bi 
24  i
 1200. Значит,
24
25  i 24  i 
1,5  0,02i

X i  1,02 Bi 1  Bi  1,02 

 1200.
  1200 
25
i 
24

Поскольку Xi линейно зависит от i, последовательность Xi также является
арифметической прогрессией. Значит,
X 1  X 2  ...  X 12 
 X1  X12   12  6  50  1,48  50  1,26  300  1,48  1,26  300  2,74  822
2
О т ве т: 822 тыс. рублей.
Задачи для самостоятельного решения представлены в приложении 1.
Тема 4. Простые и сложные проценты. Механизм начисления процентов с использованием арифметической и геометрической прогрессий.
Цель: познакомить учащихся с формулами простого и сложного процента,
показать применение этих формул в процентных вычислениях при решении практико-ориентированных задач.
Задачи:
1. Формирование умений решать экономические задачи повышенной сложности с применением формул простого и сложного процента.
2. Изучить механизм начисления процентов с использованием арифметической и геометрической прогрессий в задачах с финансово-экономическим содержанием.
3. Развитие навыков решения экономических задач на проценты.
Простые проценты – это метод начисления, при котором сумма процентов
определяется в течение всего периода, исходя из первоначальной величины долга,
независимо от количества периодов начисления и их длительности. Простой процент – это процент, который по вкладу начисляется в конце срока.
Увеличение вклада S 0 по схеме простых процентов характеризуется тем,
что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества
периодов начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него
64
S 0 рублей. Банк обязуется выплачивать в конце каждого года i % от первоначаль-
ной суммы S 0 . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит
S 0i
руб., и величина вклада станет равной
100
i 

S 1  S 0 1 

 100 
(1)
Величину i называют годовой процентной ставкой. Если оставить вклад
еще на год, то начисление процентной ставки производится на первоначальный
вклад S 0 и не производится на величину
ленных процентов составит i П п 
S 0i
. То есть, через n лет сумма начис100
nS 0 i
руб., а величина вклада вместе с процен100
тами составит:
ni 

S n  S 0 1 
.
 100 
Отношение
(2)
Sn
называют коэффициентом наращивания простых процентов
S0
[16].
Сложные проценты - это метод расчета процентов, при котором начисления
происходят на первоначальную сумму вклада (долга) и на прирост вклада (долга),
т.е. сумму процентов, начисленных после первого периода начисления. Таким образом, база для начисления сложных процентов (в отличие от простых) будет увеличиваться с каждым периодом начисления.
Мы говорим, что имеем дело со сложными процентами в том случае, когда
величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определенное
число процентов, причем каждый раз начисление процентов происходит по отношению к тому значению рассматриваемой величины, которое образовалось в конце предыдущего этапа времени.
Выведем формулу для расчета сложных процентов. Допустим, что вкладчик
открыл сберегательный вклад на сумму S 0 рублей сроком на n лет, а ставка банковского процента составляет i % от суммы вклада на текущий период. Тогда по
65
истечении первого года сумма начисленных банком процентов составит S 0 
i
100
рублей и на счете вкладчика будет
S1  S 0  S 0 
i
(руб.)
100
(3)
По прошествии второго года банк начислит i % уже на сумму S1 рублей и
поэтому она увеличится на S 0 
S 2  S1  S1 
i
, а в конце второго года на счете окажется
100
i
i 

 S1 1 
 (руб.)
100
 100 
На основании равенства (1) получим, что
i
i  
i  
i 
i 


S 2  S1 
 S1 1 
   S0  S0
  1 
  S 0 1 

100
100   100 
 100  
 100 
2
(4)
В конце третьего года банк вновь начислит i % уже на сумму S 2 рублей, а
поэтому к концу года на счете вкладчика будет лежать уже S 3  S 2 1 

i 
 рублей,
100 
3
i 
причем с учетом (2) S 3  S 0 1 
 .
 100 
Аналогично можно показать, что по прошествии n лет сумма денег на счете
вкладчика достигает величины
n
i 

S n  S 0 1 
 .
 100 
(5)
Как видно из этой формулы, рост первоначальной суммы вклада по методу
сложных процентов — это процесс, развивающийся по законам геометрической
i 
прогрессии, первый член которой равен S 0 , а знаменатель равен 1 
 [3].

100 
Рассмотрим примеры задач, которые полезно рассмотреть с учащимися для
закрепления понятий сложных и простых процентов.
Задача 4.1. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного
66
погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение: Пусть S 0 – сумма кредита, i – процент годовых по кредиту. В
конце первого года фермер должен банку S 0 1 

уплаты
i 
 рублей, а после частичной
100 
1 
i 
S 0 1 
 – рублей. К концу второго года фермер должен банку
4  100 
2
1 
i 
S 0 1 
 рублей, что по условию задачи составило 1,21  S 0 рублей. Таким об4  100 
2
разом, получаем уравнение тогда
1 
i 
S 0 1 
  1,21  S 0 , тогда i  120 %.
4  100 
Ответ: 120 % годовых по кредиту в данном банке.
Задача 4.2. На бирже ценных бумаг акции одной фирмы продавались по цене 400000 рублей. После непредвиденных осложнений фирма вынуждена была
дважды понизить цену на свои акции на один и тот же процент. В результате акции начали продавать по цене 282240 рублей. Найдите процент уценки.
Решение: Пусть A0  400000 , а An  28240 . Цена акций понижалась два
раза, т.е. n  2 . Процент уценки равен . По смыслу задачи  > 0. Применим
n
x 

 , т.е.
формулу «сложных процентов» An  A0 1 
 100 
2
x 

282240  4000001 
 ;
 100 
0,7056  1  0,01x  ;
2
0,7056 
1  0,01x 2 ;
0,84  1  0,01x ;
1  0,01x  0,84 или 1  0,01x  0,84
 0,01x  0,16
x  16
 0,01x  1,84
x  184
Значение  = 184 не удовлетворяет условию задачи.
67
Ответ: 16 %.
Задача 4.3. Если положить на вклад «Молодежный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 12% от имеющейся на вкладе суммы.
Вкладчик собирается положить на этот вклад деньги на два года подряд и не пополнять и не снимать их со счета. Сколько рублей надо положить вкладчику, чтобы через два года вложенная сумма увеличилась на 1272 рубля?
Решение:
n
Применим
формулу
«сложных
процентов»
x 

An  A0 1 
 ,
 100 
где
An  A0  1272 ; x  12 ; n  2 . Следовательно
A0  1272  A0 1  0,12 ;
2
A0  1272  1,2544  A0 ;
0,2544  A0  1272;
A0  5000.
Вкладчик должен положить 5000 рублей.
Ответ: 5000 рублей.
Задача 4.4. Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на
15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько
всего процентов снизили первоначальную цену?
Решение:
Если величина A0 изменяется на первом этапе на t1 % , на втором – t 2 % и
далее до t n % , то окончательное значение этой величины равна
t 
t 
t  

An  A0 1  1  1  2  ... 1  n .
 100   100   100 
(6)
Формула записана для случая, когда происходит на каждом этапе возрастание на определенный процент. Если на каждом этапе происходит снижение на определенный процент, то окончательное значение An равно
68
t 
t 
t  

An  A0 1  1  1  2  ... 1  n .
 100   100   100 
(7)
Воспользуемся этой формулой:
t1  20 % ; t 2  15 % ; t3  10 % ; A0 – первоначальная цена товара; An - цена товара после трех «уценок»:
A3  A0 1  0,2 1  0,151  0,1;
A3  A0  0,612.
Следовательно, новая цена составляет 61,2% от первоначальной цены
(100%), которая снижена на 100%- 61,2% =38,8%.
Ответ: на 38,8 %
Существует простой, на наш взгляд, способ решения банковских задач на
кредиты с помощью формул арифметической и геометрической прогрессии.
Если изначальный размер кредита обозначить за
A,
за i %. Ежегодная выплата по кредиту пусть будет равна
сле начисления процентов и выплаты суммы
X
процент банка примем
X
, тогда через год по-
размер долга составит:
i 

A  1 
 X
 100 
(8)
Обозначим k  1 
i
.
100
Тогда через 2 года размер долга составит:  A  k  X   k  X ;
через три года:  A  k  X   k  X   k  X ;
через
n
лет: A  k n  X  k n1  ... k 3  k 2  k 1  1.
Для подсчета величины в скобках удобно применить формулу суммы
членов геометрической прогрессии.
Формула для суммы
k1 (1  q n )
Sn 
тогда
1 q ,
A k n 

n
членов геометрической прогрессии следующая:
размер долга через
n
лет составляет:

X  1 k n
.
1 k
(9)
Рассмотрим конкретные задачи.
69
n
Задача 4.5.
31 декабря Дмитрий взял в банке 429 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5
%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными ежегодными платежами?
Решение:
Если сумма кредита – A , процентная ставка – i , ежегодный платеж (транш)
–
X
, количество лет за который планируется выплатить кредит
n,
тогда сумма
выплат, используя формулу (9), составит:
X  1  k 2 

,
Ak2 
1 k
X 
(10)
A  k 2  1  k  A  k 2  1  k  A  k 2


,
1  k 1  k  1  k
1 k 2
i
где k  1  100 .
(11)
Подставляем данные задачи в формулу (10):
2
 14,5 
429000  1 

562429,725
 100 
X 

 262205
2,145
 14,5 
1  1 

 100 
Ответ: по 262205 рублей в год.
Задача 4.6.
10-го марта клиент взял кредит в банке на следующих условиях:
- срок кредита 24 месяца;
- 1-го числа каждого следующего месяца долг возрастает на 1,2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 9-ое число каждого месяца следует погасить часть долга, так
чтобы на 10-ое число каждого месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму.
Какая сумма была взята в кредит, если известно, что общая сумму выплат
равняется 1,035 млн. рублей? [36].
Решение:
70
Общую сумму выплат можно разделить на две части: основной долг (сумма,
взятая в кредит) и выплата по процентам. Причем основной долг разбит на 24
равных платежа. Для наглядности составим таблицу, предварительно обозначив
за x руб. – сумму, взятую в кредит. Тогда по условию задачи долг каждый месяц
должен уменьшаться ровно на
x
24
руб..
Таблица 3 – Данные к задаче
№ месяца (го- Выплаты по основному Выплаты
да)
долгу (руб.)
(руб.)
x
24
x
24
x
24
1
2
3
по
процентам
x  0,012
23
 x  0,012
24
22
 x  0,012
24
…
24
x
24
Итого
x
1
 x  0,012
24
1 
 23 22
x  0,012  1    ...  
24 
 24 24
Составим уравнение:
1 
 23 22
x  x  0,012  1    ...    1035000.
24 
 24 24
Заметим, что в скобках – сумма n первых членов арифметической прогрессии:
a1  1, a n 
1
24
Формула суммы п членов арифметической прогрессии:
Sn 
S
x
a1  a n
 n.
2
1
24  24  25 ,
2
2 тогда
1
25
x  0,012  1035000;
2
71
x
25
x  0,012  1035000;
2
x  900000.
Ответ: в кредит было взято 900000 рублей.
Задачи для самостоятельного решения представлены в приложении 1
Тема 5. Начисление простых и сложных процентов на разные суммы
вкладов в разных банках.
Цель: познакомить учащихся с методами начисления простых и сложных
процентов на разные суммы вкладов при решении экономических задач.
Задачи:
1. Формировать умение правильного выбора, используя математические
обоснования.
2. Развивать логическое мышление учащихся.
Задача 5.1. По вкладу «А» банк в течение трѐх лет в конце каждого года
увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б»
— увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три
года этот вклад всѐ ещѐ останется выгоднее вклада «А».
Решение:
Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма S. На вкладе «А» каждый
год сумма увеличивается на 20%, т. е. умножается на коэффициент 1,2.
Тогда через три года сумма на вкладе «А» равна 1,23S = 1,728S. Аналогично
на вкладе «Б» сумма через три года будет равна:
i 
i 


1,212 1 
 S  1,46411 
 S , где i – натуральное число.
 100 
 100 
По условию требуется найти наименьшее целое решение неравенства
i 

1,46411 
 S  1,728S ;
 100 
i  100
1720  14641
;
14641
i  18,02...
72
i  19.
Ответ: 19.
Задача 5.2. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него
средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в
строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй
проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой
должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных
вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом
получить банк.
Решение.
Пусть средства клиентов, имеющихся в банке, составляет S у.е.
Наименьшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,25S.
0,3S 1,32  0,7S 1,22  S  0,396S  0,854S  S   0,25S.
Банк получит наименьшую чистую прибыль если он своим клиентам выплатит проценты по высшей ставке (20%) . Рассчитаем этот показатель:
0,25S  0,2S
 100%  5%
S
Наибольшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,3S.
0,3S 1,37  0,7S 1,27  S  0,411S  0,889S  S   0,3S.
Банк получит наибольшую чистую прибыль, если банк своим клиентам выплатит проценты по низшей ставке (10%).
0,3S  0,1S
 100%  20%
S
Ответ: 5%, 20%
Задачи для самостоятельного решения представлены в приложении 1.
73
Тема 6. Решение задач, с экономическим содержанием
Цель: формирование умений и навыков при решении задач экономического содержания.
Задачи:
– познакомить обучающихся с практическим применением математических
знаний при решении экономических задач;
– отработка практических умений и навыков вычисления процентов, решением задач на оптимальный вариант;
– развивать логическое мышление, внимание, умение анализировать, делать выводы.
Рассмотрим задачи с экономическим содержанием на вклады, кредиты и оптимальный выбор.
Задачи на вклады
Задача 6.1. В банк внесен вклад 550 млн. рублей под 11% годовых. Какая
сумма денег будет на счете через год? Через три года?
Решение:
1. Для ответа на первый вопрос задачи можно использовать формулу (1) из
п.2.3:
i 
11 


S1  S 0 1 
  550  1 
  610,5 (млн. руб.)
 100 
 100 
Для ответа на второй вопрос задачи можно так же использовать формулу
(5):
3
3
i 
11 


S n  S 0 1 
  550  1 
 .  752,19705 (млн. руб.)
 100 
 100 
Ответ: 610,5 млн. рублей; 752,19705 млн.рублей.
Задача 6.2. В банк внесен вклад 64 000 рублей на три года. Определите
ставку процента, если через три года на счете вкладчика оказалось 216 000 рублей
Решение:
Для решения задачи можно использовать формулу (5) из п. 2.3:
74
n
i 

S n  S 0 1 
 ;
 100 
3
i 

216000  640001 
 .;
 100 
3
i 
216

;
1 
 
64
 100 
1
i
6
 ;
100 4
i
2
 ;
100 4
i  50.
Ответ: 50%
Задача 6.3. Известно, что ставка банковского процента равна 25%. Определите через сколько лет начальный вклад 216 000 рублей вырастет до 421 875 рублей.
Решение:
Для решения задачи можно использовать формулу (5) из п. 2.3:
n
i 

S n  S 0 1 
 ;
 100 
n
25 

421875  2160001 
 .;
 100 
3
 75 
1,25    ;
 60 
n
1,25 т  1,253 ;
n  3.
Ответ: 3.
Задачи на кредиты
Задача 6.4. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом прошлого года:
75
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом
часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей
превосходит взятую в банке сумму на 156 060 рублей?
Решение:
При решении данной задачи воспользуемся формулой (3).
Пусть S руб. – сумма кредита, x руб. – размер ежегодного платежа. Тогда
общая сумма выплат после полного погашения через
3x  S  156060 руб. Так как i  30 , то k  1 
3x  3  S 
года равна
i
 1,3 . Выведем формулу:
100
k 3 (k  1)
.
k 3 1
Из уравнения S  156060  3  S 
S
n3
1,33  0,3
, получаем
1,33  1
7803
 156060.
11970
Отсюда S  239400 (руб.)
Ответ: 239 400 руб.
Задача 6.5. В июле планируется взять в кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма
выплат после его полного погашения составит 7,5 млн. рублей.
Решение:
Пусть n – количество лет на которое берется кредит S  5 млн. руб.,
x1 , x2 ,...xn – величины в рублях платежей в первый, второй, …, n -й годы. Общая
76
сумма выплат после полного погашения кредита равна
руб. Так как i  20 , то k  1 
x1  x2  ...  xn  7,5 млн.
i
 1,2 . Выводим формулу:
100
x1  x2  ...  xn  S  k  S  (k  1) 
n 1
.
2
Из уравнения 7,5  5 1,2  5  0,2 
n 1
, получаем n  4
2
Ответ: 4.
Задача 6.6. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев
в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на i процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где i – целое число;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в
соответствии со следующей таблицей.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0
Долг
(млн.руб.)
Найдите наименьшее значение i , при котором общая сумма выплат будет
больше 1,2 млн. руб.
Решение:
По условию, долг перед банком (в млн. руб.) на 15-е число каждого месяца
должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0.
Пусть k  1 
i
, тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
100
k ; 0,9k ; 0,8k ; 0,7k ; 0,6k ; 0,5k.
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
k  0,9; 0,9k  0,8; 0,8k  0,7; 0,7k  0,6; 0,6k  0,5; 0,5k.
Общая сумма выплат составляет:
77
k 1  0,9  0,8  0,7  0,6  0,5  0,9  0,8  0,7  0,6  0,5 
 k  11  0,9  0,8  0,7  0,6  0,5  0,1  4,5k  1  1.
По условию, общая сумма выплат будет больше 1,2 млн. руб., значи,
4,5k  1  1  1,2;
4,5 
i
 1  1,2;
100
4
i4 .
9
Ответ: 5.
Задачи на оптимизацию:
Задача 6.7: Владимир является владельцем двух заводов в разных городах.
На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в
неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Владимир платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе –
300рублей.
Владимир готов выделять 1200000 рублей на оплату труда рабочих. Какое
наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух
заводах?
Решение:
Допустим, что на заводе в первом городе рабочие трудятся x 2 часов, а на
заводе во втором городе y 2 часов. Тогда в неделю будет произведено x  y единиц
товара при затратах на оплату труда 500 x 2  300 y 2 рублей.
Найдем
наибольшее
500 x 2  300 y 2  1200000.
значение
выражения
Выразив
отсюда
Q x y
при
условии
5
y  4000  x 2 , получим
3
5
Qx   x  4000  x 2 .
3
Нужно найти наибольшее значение функции Q(x) на отрезке 0; 20 6 .
78
Q x   1 
5x
5
3  4000  x 2
3
при x  20 6.
Из уравнения Qx   0 получаем
5
3  4000  x 2  5 x,
3
x 2  900,
x  30.
Точки x  30 – единственная критическая точка функции на отрезке 0; 20 6 .
Сравнивая значения Q30  80,


Q 20 6  20 6 , Q0  20 10 получаем, что наи-
большее значение функции Qx  равно 80, а значит и наибольшее количество единиц товара равно 80.
Ответ: 80.
Задача 6.8. На каждом из двух комбинатов работают по 100 человек. На
первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь
В. На втором комбинате для изготовления t деталей ( и А, и В) требуется t2 человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат , из которых собирают изделие , для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При
этом комбинаты договариваются изготавливать детали так, чтобы можно было
собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий может собрать комбинат при таких условиях?
Решение:
Пусть на первом комбинате x человек изготавливают деталь А, по 3 штуки
за смену. Значит, всего 3x деталей А. Тогда 100  x  человек изготавливают деталь
В, по 1 штуке за смену. Всего 100  x  деталей В.
Пусть на втором комбинате изготавливают a деталей А и b деталей В. Тогда
на изготовление деталей А требуется a 2 человеко-смен, а для изготовления детали
В b 2 человеко-смен. По условию a 2  b 2  100 , так как в одну смену трудятся все
100 рабочих второго комбината. Сведем все данные в таблицу:
79
Комбинат
1-й комбинат
2-й комбинат
Всего
Количество деталей А
3x
a
3x  a
Количество деталей В
100  x 
b
100  x  b
Чтобы собрать наибольшее количество изделий, нужно соблюдать условие:
1 деталь А и 3 детали В. В противном случае лишние детали будут залеживаться, из них нельзя будет собрать изделие, пока не будет готова другая деталь.
Значит,
33x  a   100  x  b;
10 x  100  b  3a
(1)
В каждом изделии содержится 1 деталь А и 3 детали В. Значит, общее количество изделий равно числу изделий А.
Так как a и b – целые числа и a 2  b 2  100 , то возможны следующие случаи:
a  0, b  10. Тогда из равенства (1) x  11 и 3x  a  3  11  0  33.
a  10, b  0. Тогда из равенства (1) x  7 и 3x  a  3  7  10  31.
a  6, b  8. Тогда x  9 и 3x  a  33 .
a  8, b  6. Тогда x  8,2 – не является целым числом.
Значит, наибольшее количество изделий равно 33.
Ответ: 33
Задачи для самостоятельного решения представлены в приложении 1.
Критериями эффективности предлагаемой методики обучения старшеклассников решению задач с финансово-экономическим содержанием служат: качество
овладения учениками предметным содержанием элективного курса и способность
применять имеющиеся знания для решения задач. Качество определяется по результату тестирования и решения самостоятельных работ, содержащих в числе
прочих задачу с экономическим содержанием из материалов для подготовки к
ЕГЭ.
80
Контроль уровня достижений
Для оценки степени сформированности экономической грамотности старшеклассников следует установить критерии, позволяющие дать оценку уровню
владения экономическими понятиями и знаниями, экономическими умениями, а
также способности учащихся применять имеющиеся знания для решения финансово-экономических задач.
Показателями уровня владения экономическими понятиями старшеклассниками в нашем исследовании являются: понимание экономических терминов, правильность их употребления, способность применять экономические знания в
практической деятельности.
К экономическим умениям можно отнести следующие: умение бережно относиться к материальным ресурсам, планировать расходы; умение соизмерять потребности с экономическими возможностями.
Математические
знания,
необходимые
для
решения
финансово-
экономических задач включают в себя такие разделы математики как обыкновенные дроби, проценты, пропорции, функции и их графики и т.д.
При оценке степени умения старшеклассников решать задачи с финансовоэкономическим содержанием были выделены три уровня: высокий, средний и
низкий. Для оценки владения старшеклассниками необходимыми экономическими понятиями, экономическими умениями, способностью применять имеющиеся
для решения экономических задач целесообразно использовать критерии оценивания. Критерии оценки умения старшеклассников решать задачи с экономическим содержанием приведены в таблицах 4 - 6.
81
Таблица 4 ‒ Критерии оценки владения экономическими понятиями
Уровень
Баллы
Низкий
1
Средний
2
Высокий
3
Критерии
Старшеклассник не может объяснить большинство экономических понятий, испытывает
трудности при изучении материала экономической направленности.
Ученик умеет объяснять те понятия, которые
изучаются при разборе материала экономической направленности, но оперирует ими слабо,
только с помощью взрослых. В практической
деятельности применяет понятия при помощи
взрослых.
Старшеклассник самостоятельно оперирует
экономическими знаниями и понятиями и
объясняет их смысл. Может применять знания
для решения задач и в реальных экономических ситуациях
Таблица 5 ‒ Критерии оценки владения экономическими умениями
Уровень
Баллы
Низкий
1
Средний
2
Высокий
3
Критерии
Старшеклассник потребительски относится к
материальным ресурсам, не умеет соизмерять
потребности с экономическими возможностями.
Планирование расходов не всегда рационально. Не всегда потребности соизмеряются с
экономическими возможностями.
Старшеклассник бережно относится к материальным ресурсам, грамотно планирует свои
доходы и расходы, способен соизмерять свои
потребности с экономическими возможностями.
82
Таблица 6‒ Критерии оценки способности применять экономические и математические знания решения задач с экономическим содержанием
Уровень
Низкий
Баллы
1
Средний
2
Высокий
3
Критерии
Задача не решена или решена неправильно.
Задание понято правильно, но алгоритм решения и выбор формул осуществляются с помощью взрослых; ошибки в математических расчетах
Составлен правильный алгоритм решения задачи, в выборе формул и решении нет ошибок,
получен верный ответ, задача решена рациональным способом.
Определение уровня умения старшеклассников решать задачи с экономическим содержанием рекомендуется проводить с помощью тестирования или диагностической беседы. Нами был разработан тест, состоящий из трех заданий: первое задание содержит пять вопросов, предполагающих знание экономических понятий, второе задание состоит из пяти вопросов для оценки экономических умений, и третье задание состоит из двух задач с экономическим содержанием (приложение 1). Ответ на каждый вопрос (и решение каждой из задач) оценивается от
0 до 3 баллов по критериям, сформулированным в таблицах 4, 5 и 6.
Результаты диагностирования представлены в таблице 7 и на рисунке 4
Таблица 7 – Уровень умений старшеклассников решать задачи с экономическим содержанием
Этап эксперимента
Кол-во
учеников
До
24
I–низкий
Кол-во
%
13
54
83
Уровень
II– средний
Кол-во
%
11
46
III – высокий
Кол-во
%
0
0
Рисунок 4 – Уровень умений старшеклассников решать задачи с экономическим
содержанием на констатирующем этапе эксперимента
Как видно из таблицы и диаграммы, большинство старшеклассников имеют
низкий уровень умений решать задачи с экономическим содержанием, чуть
меньше учеников обладают средними умениями, и никто из участников эксперимента не набрал количество баллов, соответствующее высокому уровню.
Результаты констатирующего этапа, целью которого было определение исходного уровня умения старшеклассников решать задачи с экономическим содержанием на основе разработанных критериев, позволяют говорить о невысоком
уровне умения решать задачи с экономическим содержанием среди учащихся
старших классов, что подтверждает необходимость проведения работы в данном
направлении.
В данном элективном курсе все понятия рассматриваются с точки зрения
математики на примерах, которые являются дополнением к ряду тем школьного
курса математики. Элективный курс демонстрирует практическую ценность математики, позволяет активизировать учебную деятельность, формируют знания и
способности к деятельности, которые актуальны и востребованы практикой, рынком труда.
84
Учебный процесс построен так, чтобы школьники не только обновили и пополнили знания, но и смогли выработать умения и навыки, необходимые для решения экономических задач и полезные в жизни.
В качестве итоговой формы контроля, подводящих изучение курса к логическому завершению, предлагается тестирование и творческая домашняя самостоятельная работа, составленная из задач с экономическим содержанием.
2.3 Экспериментальная проверка эффективности проведения курса «Проценты в решении экономических задач»
В соответствии с целью, предметом и задачами исследования был проведен
педагогический эксперимент по определению исходного уровня умения учащихся
классов экономического профиля решать задачи на проценты с экономическим
содержанием и оценке этого умения после проведения элективного курса. Экспериментальная работа состояла из двух этапов: констатирующего и формирующего. На констатирующем этапе были сформулированы
задачи и оценивались ре-
зультаты, которые являются промежуточными на пути достижения цели данной
работы. В исследовании приняли участие 51 ученик 11-х классов школы №45 им.
Дмитрия Блынского г. Орла.
Цель констатирующего этапа эксперимента: выявление начального уровня умения учащихся класса экономического профиля решать задачи на проценты
с экономическим содержанием, а именно определение уровня владения необходимыми экономическими понятиями, экономическими умениями, а также способности применять имеющиеся экономические и математические знания для решения экономических задач.
Задачи констатирующего этапа эксперимента:
‒ выявление состояния проблемы обучения учащихся классов экономического профиля решению задач с экономическим содержанием на проценты;
‒ разработка критериев оценки и определение исходного уровня умения
решать экономические задачи;
85
‒ организация и проведение экспериментальной проверки начального уровня умения учащихся экономического профиля решать задачи с экономическим
содержанием;
‒ обработка, анализ и интерпретация полученных данных.
Для повышения уровня умений решать задачи с экономическим содержанием среди учащихся старших классов требуется решить следующие задачи:
1. Разработать этапы и содержание комплекса занятий по обучению старшеклассников решению задач с экономическим содержанием.
2. Провести формирующее обучение по разработанному комплексу.
3.
Проверить эффективность предлагаемого комплекса.
В рамках школьного курса математики нет возможности уделить достаточно внимания решению задач с экономическим содержанием. Тем не менее, такие
задачи включаются в ЕГЭ и вызывают у учащихся трудности при решении, обусловленные отсутствием практики решения подобных задач, отсутствие навыков
систематичного и последовательного анализа задачи, построения необходимой
модели решения, непониманием встречающихся терминов и т.д.
Для решения этой проблемы предлагается введение элективного курса
«Проценты в решении экономических задач».
Педагогический эксперимент проводился в 2017 году. В качестве экспериментального класса был выбран 11 «А», в котором проводился элективный курс, в
качестве контрольного 11 «Б», в котором элективный курс не проводился.
Эксперимент состоял из следующих этапов:
Первый этап экспериментальной работы носил констатирующий характер.
На этом этапе проводилось тестирование. В этом тестирование приняли участие
учащиеся социально-экономического профиля (11 «Б») и гуманитарного профиля
(11 «А). Целью данного этапа исследования явилось определение знаний и умений в решение задач с экономическим содержанием. Учащимся предлагалось решить 4 задачи на проценты с экономическим содержанием.
Задача 1. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В
конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов
86
вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К
концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Задача 2. Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на
50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?
Задача 3. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в
кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой
должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Задача 4. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в
размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца
долг увеличивается на i процентов по сравнению с концом предыдущего месяца,
где i – целое число; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить
часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
Долг
(млн.руб.)
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
1
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Найдите наибольшее значение i , при котором общая сумма выплат будет
меньше 1,25 млн. руб.
Результаты решения представлены в таблице 8.
87
Таблица 8– Результаты контроля уровня знаний учащихся
Описание
11 «А» (24 чел)
11 «Б» (27 чел)
Справились со всеми задачами.
Не справились с одной, задачей.
Не справились с двумя задачами.
Не справились от трех и больше задачами.
0 (0%)
0 (0%)
5 (18%)
4 (16%)
10 (37%)
8 (32%)
12 (45%)
13(52%)
Оценки
5
4
3
2
Второй этап экспериментальной работы носил поисковый характер. Этот
этап был связан с уточнением тематики элективного курса, разработкой его содержания и соответствующих методических материалов.
На данном этапе исследования осуществлялся отбор содержания и методики реализации элективного курса в соответствии с принципами, указанными в
первой главе работы.
Наблюдения за ходом внедрения элективного курса, результатами его выполнения давали возможность для уточнения, улучшения содержания элективного курса и методических рекомендаций по его использованию.
Результаты второго этапа экспериментальной работы дали возможность выделить тематику целесообразного элективного курса, получить содержание и методику его реализации.
Третий, завершающий этап экспериментального исследования, носил обучающий (формирующий) характер и преследовал цель - проверить гипотезу исследования.
В экспериментальном классе элективный курсы был организован на базе
данной работы в объеме 2 часа в неделю.
Общее количество учащихся в экспериментальном классе составило 24 и во
втором классе -27.
С целью сравнения первоначального уровня знаний учащихся и сформированности у них умений решать математические задачи осуществлялась проверка
88
интенсивности деятельности и выявление индивидуальных особенностей учащихся.
Интенсивность деятельности учащихся проверялась в ходе наблюдения за
их временными затратами при решении определенных задач.
Для этого были выделены следующие этапы деятельности учащихся:
1. Планирование работы;
2. Составление математической модели (если задача текстовая или прикладная).
3. Составление алгоритма решения задачи.
4. Реализация алгоритма решения.
5. Анализ результатов.
Больше всего времени учащиеся затрачивают на планирование своей деятельности. Этот факт отмечен в обеих группах. В экспериментальном классе у
учащихся вызвали некоторые затруднения анализ результатов.
Результаты во втором классе несколько выше, чем в экспериментальном.
Это объясняется тем, что во второй класс вошли учащиеся, у которых были выше
баллы на ГИА, чем у экспериментального класса.
Для выявления индивидуальных особенностей учащихся пользовались методом экспертных оценок. В качестве экспертов выступали учителя математических дисциплин и классные руководители. Им было предложено заполнить карту
оценки характеристики интеллекта учащегося. Результаты оценки отражены в
таблице 9.
Таблица 9 – Результаты оценки характеристики учащегося
Особенность
Экспериментальный класс
высокая
Сообразительность
Отношение к предмету
Логическое мышление
Самостоятельность
Темп продвижения
Работоспособность
средняя
низкая
Контрольный класс
высокая
средняя
низкая
15
6
4
17
7
3
17
5
3
18
7
2
8
11
6
10
12
5
11
5
15
9
11
8
5
9
2
15
8
16
8
9
8
5
8
3
89
Эти данные указывают на достаточно высокий потенциал учащихся.
На основе выше изложенного можно сделать следующие выводы:
1. Учащиеся экспериментального класса имеют достаточно высокий интеллектуальный уровень, что подтверждает результаты констатирующего эксперимента о возможности усвоения содержания предлагаемого элективного курса, как
показали наблюдения, учащиеся экспериментальной группы имеют несколько
низкие показатели индивидуальных особенностей и уровня успеваемости.
2. Среднее значение темпа работы и характеристика интеллекта в обеих
группах показывают на возможность дальнейшего сравнения качества знаний.
На этапе формирующего эксперимента осуществлялись внедрение и проверка эффективности предлагаемых курсов.
Анализ результатов усвоения у учащихся представлено на рисунках
5-6:
11 "А"
0%
Справились со всеми
задачами.
18%
45%
Не справились с
одной, задачей.
37%
Не справились с двумя
задачами.
Не справились от трех и
больше задачами.
Рисунок 5 – Анализ результатов усвоения учащихся 11 «А» класса
90
11"Б"
0%
Справились со всеми
задачами.
16%
52%
32%
Не справились с
одной, задачей.
Не справились с двумя
задачами.
Не справились от трех и
больше задачами.
Рисунок 6 – Анализ результатов усвоения учащихся 11 «Б» класса
Во время проведения занятий было выявлено, что ученики усвоили тему из
школьного курса алгебры и имеют представление о том, что такое процент. Но
при выполнении предложенных заданий у школьников возникали затруднения,
так как задачи требовали исследовательских навыков, логического мышления,
что, как оказалось, у них развито слабо. Это говорит о том, что школьный курс
ограничен и не позволяет рассматривать задачи, требующие не только действий
по алгоритму.
Самостоятельный поиск решения оказался для учеников сложным, но, все
же, позволил школьникам проявить свои способности, заставил задуматься над
задачами.
В таблице 10 приведены результаты оценки уровня экономической грамотности старшеклассников до и после реализации элективного курса в 11»А» классе.
Талица 10 – Уровень умений старшеклассников решать задачи с экономическим содержанием в 11 «А» классе
Этап эксперимента
Кол-во
учеников
До курса
После
24
24
I–низкий
Кол-во
%
13
54
3
12
91
Уровень
II– средний
Кол-во
%
11
46
16
67
III – высокий
Кол-во
%
0
0
5
21
На рисунке 7 представлено графическое изображение результатов проведенного педагогического эксперимента.
Рисунок – 7 Уровень умений старшеклассников 11«А» решать задачи с экономическим содержанием до и после проведения элективного курса
В таблице 10 представлено процентное распределение школьников по уровням. Средний уровневый показатель представляет собой интегральный показатель
уровня развития и проявления изучаемого свойства, учитывающий процентное
распределение по уровням показателей. Расчет данного показателя осуществляется для трехуровневой шкалы по формуле:
Средний уровневый показатель:

a  2b  3c
100
,
где a, b, c – процентное выражение количества испытуемых, находящихся
соответственно на 1-ом, 2-ом, или 3-ем уровнях. Средний уровневый показатель в
нашем исследовании может быть выражен величинами от 1 (нижний показатель,
если все обследуемые находятся на низком уровне изучаемого свойства) до 3
(высший показатель возможен в случае, если все обследуемые находятся на высоком уровне развития изучаемого свойства).
Средний уровневый показатель до курса 
54  2  46  3  0
 1,46
100
Средний уровневый показатель после курса 
12  2  67  3  21
 2,09
100
Средний уровневый показатель после проведения курса на 63 процентных
пункта выше, чем был до проведения элективного курса, то есть уровень умений
старшеклассников решать задачи с экономическим содержанием вырос.
92
Оценим статистическую значимость проведенного формирующего этапа по
φ критерию (угловое преобразование Фишера):
В таблице 10 представлено процентное распределение школьников по уровням. Считаем, что успешно решают задачи с экономическим содержанием учащиеся, продемонстрировавшие средний и высокий уровень умений. До проведения элективного курса таких учащихся было 46 процентов, после – 88. Оценим
эффективность разработанного курса
по φ критерию (угловое преобразование
Фишера):
1(до)  1,651
 2( после)  2,434
Вычислим  экс :
 экс  1   2 
n1  n2
24  24
 1,651  2,434 
 2,71
n1  n 2
24  24
Для уровня значимости p  0,05 ;  кр  1,64
Так как  экс   кр , то наша теория верна – мы подтвердили эффективность
разработанного элективного курса при обучении старшеклассников решению задач с экономическим содержанием.
93
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Задачей современной школы является подготовка учащихся к успешной социальной и профессиональной адаптации в условиях рыночной экономики, экономическая грамотность становится одним из основных критериев развития конкурентоспособной личности, приспособленной к самостоятельной жизни.
Под экономической грамотностью в нашем исследовании понимается
спектр понятий, информации и знаний из экономической области, а также обладание навыками решения практических задач, главным образом в потребительской сфере.
Прикладная направленность изучения предметов школьного курса стирает
границы между предметами и даѐт возможность продемонстрировать ученикам
целостность окружающего мира и изучаемых предметов, позволяет заинтересовать их, вызывает более осмысленное, личностно значимое восприятие информации, что в итоге приводит к гармоничному и всестороннему развитию личности.
О необходимости усиления прикладной направленности преподавания
предметов в школе также говорится в Концепции развития образования РФ на
2016 – 2020 гг.
Задачи с экономическим содержанием являются частным случаем прикладной задачи. Изучение экономики с помощью прикладных задач на уроках математики позволит продемонстрировать практическую значимость математики и вместе с тем освоить элементы экономической теории, необходимые ученикам.
Важность обучения старшеклассников решению математических задач с
экономическим содержанием не вызывает сомнений. Решение таких задач позволит продемонстрировать практическую значимость математики, обеспечит понимание учащимися сути процессов, происходящих в экономике страны и мира, а
также позволит решить одну из задач, стоящих перед образованием на современном этапе его развития – воспитание самостоятельной личности, способной решать различные жизненные задачи. Также следует отметить значение математических задач с экономическим содержанием для мотивирования школьников на
изучение экономических приложений математики, формирования у учащихся ин94
тереса к профессиям, связанных с финансово-экономической сферой деятельности.
Несмотря на свою значимость, задачи, имеющие экономическое содержание, вызывают значительные трудности у учащихся, обусловленные отсутствием
достаточного внимания к решению подобных задач в школьном курсе математики, слишком большим объѐмом информации, из которой трудно выделить необходимую при самостоятельной подготовке к экзамену, отсутствием общей математической культуры и экономической грамотности.
При написании данной работы были рассмотрены труды многих авторов –
теоретиков и практикующих педагогов, имеющие отношение к теме исследования. Был изучен и проанализирован существующий опыт обучения школьников
решению задач с экономическим содержанием.
Опираясь на существующие методы подготовки к ЕГЭ и на описанные в
изученной нами литературе способы решения прикладных задач была разработана методика организации и обучения учащихся классов экономического профиля
решению математических задач с экономическим содержанием в рамках элективного курса «Проценты в решении экономических задач».
Апробация разработанной методики проводилась в МБОУ СОШ № 45
имени Д. И. Блынского г. Орла. Проведение формирующего эксперимента и обработка его результатов подтвердила эффективность данного элективного курса в
профильной школе.
Кроме того, использование разработанной нами методики обучения решению задач с экономическим содержанием при проведении элективного курса даѐт
возможность дополнительной подготовки к ЕГЭ, благодаря повторению и обобщению формул, приобретению навыков осмысленного чтения и анализа условия
задач и формированию единого подхода к решению задач с экономическим содержанием.
Таким образом, в ходе работы над проблемой исследования, поставленные
задачи были решены, цель достигнута.
95
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Приказ Минобрнауки России от 6 октября 2009 года № 413 «Об ут-
верждении и введении в действие федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования» в ред. Приказа Минобрнауки России от 29.12.2014 № 1645
2.
Концепция модернизации российского образования на период до 2010
г // «Вестник образования»-2002. №6. – С. 11-40
3.
Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область
«математика» / Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки
кадров. –М.: Вита-Пресс, 2004.
4.
Об утверждении Концепции профильного обучения на старшей сту-
пени общего образования: Приказ Министерства образования Российской Федерации от 18.07. 02г. № 2783 // Официальные документы в образовании. - 2002. №27. - С. 3-34.
5.
Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов
единого государственного экзамена по математике 2018г. [Электронный ресурс].
– Федеральный Институт Технических Измерений (ФИПИ). – Режим доступа:
http://www.fipi.ru.
6.
Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по мате-
матике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2018 г. Электронный ресурс]. – Федеральный Институт
Технических Измерений (ФИПИ). – Режим доступа: http://www.fipi.ru.
7.
Спецификация контрольно-измерительных материалов единого госу-
дарственного экзамена 2018 года по математике [Электронный ресурс]. – Федеральный Институт Технических Измерений (ФИПИ). – Режим доступа:
http://www.fipi.ru.
8.
Акимов, Д. В. Решения задач по экономике: от простых до олимпиад-
ных[Текст]/Д. В. Акимов, О. В. Дичева, Л. Б. Щукина. ‒ М.: Вита-Пресс, 2010. ‒
336 с.: ил.
96
9.
Александрова, Т.Н. Финансовая арифметика. Просто как дважды два
[Текст] / Т.Н. Александрова, А.А. Минько. ‒ М.: Эксмо, 2007. ‒240с.
10.
Бушнева, О.Ф., Эзиева, А.Д. Анализ задач экономического содержа-
ния из открытого банка заданий ЕГЭ 2017 года [Текст]: статья // О.Ф. Бушнева,
А.Д. Эзиева. ‒ Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. 2017. №1. ‒
С.184-190
11.
Виленкин, Н.Я. Математика 5 класс: учебник для общеобразо-
ват.учреждений / Н.Я. Виленкин и др. – 31-е изд, стер.. – М.: Мнемозина, 2013 –
280 с.: ил.
12.
Виленкин, Н.Я. Математика 6 класс: учебник для общеобразоват. уч-
реждений / Н.Я. Виленкин и др. – 30-е изд, стер.. – М.: Мнемозина, 2013 – 288 с.:
ил.
13.
Голубев, А.А., Спасская, Т.А. Пособие по математике для подготовки
к ЕГЭ 2017 [Текст]: учеб. пособие/А. А. Голубев– Тверь: Твер. гос. ун-т, 2017. –
124 с.
14.
Дорофеев, Г.В. Математика 6 класс: учебник для общеобразо-
ват.учреждений / Г.В, Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворов и др.: под ред. Г.В,
Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. – 4-е изд, – М.: Просвещение, 2016 – 287 с.: ил.
15.
Ермаков, Д. С. Создание элективных курсов для профильного обуче-
ния / Д. С. Ермаков, Г.Д. Петрова // Школьные технологии.-2003.
16.
Захарова, А.Е. Несколько задач «про цены» // Математика в школе,
2002,№8.
17.
Капитонова, Т.А. Методика и технология профильного обучения ма-
тематики: Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100 – Педагогическое образование (профиль подготовки –
Математическое образование) / Т.А. Капитонова. – Саратов, 2012. – 115 с.
18.
Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьни-
ков / В.А. Крутецкий. – М.: Просвещение, 1968. – с. 431.
97
19.
Логинова В. В. Использование экономических задач в школьном кур-
се математики [Текст]: статья / В.В. Логинова. ‒ Наука и современность. 2010.
№5-1. – С. 341-345
20.
Лунгу, К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности студентов
при обучении математике / К.Н. Лунгу. – М.: КомКнига, 2007. – 424
21.
Мерзляк, А.Г. Математика: 5 класс учебник для учащихся общеобра-
зовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М., 2014.
– 304 с. : ил.
22.
Мерзляк, А.Г. Математика: 6 класс учебник для учащихся общеобра-
зовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М., 2014.
– 304 с. : ил.
23.
Монгуш, А.С., Танова, О.М. О методике обучения решению задач
ЕГЭ с социально-экономическим содержанием[Текст]: статья / А.С. Монгуш,
О.М. Танова. – Вестник. Педагогические науки 2015/4.
24.
Никольский, С.М. Математика 6 класс: учебник для общеобразо-
ват.учреждений / С.М, Никольский, М.К, Потапов, Н.Н, Решетников, А.В. Шевкин. – 11-е изд, дор.. – М.: Просвещение, 2012. – 256 с.: ил.
25.
Орлов, В.А. Элективные курсы по физике и их роль в организации
профильного и предпрофильного обучения /В.А, Орлов // Физика в школе.– 2003.
–№ 7.– с. 17-20.
26.
Первых, Н.В. Задачи на простые и сложные проценты при обучении
математике в классах экономического профиля/ Н.В. Первых // Материалы III-й
Международной научно-практической конференция «Современные проблемы физико-математических наук». – Орел, 23-26 ноября 2017 г, с. 511-515.
27.
Первых, Н.В. Арифметическая и геометрическая прогрессии в реше-
нии задач с экономическим содержанием [Текст] / Н.В. Первых // Сборник статей
по материалам XXXIX студенческой международной научно-практической конференции Научное сообщество студентов, междисциплинарные исследования. –
Новосибирск. – 2018. – № 4(39). – с. 65-70.
98
28.
Пиксаева, О.А., Севостьянова, С.А. Обучение старшеклассников ре-
шению экономических задач в современных социально-экономических условиях
[Текст]: статья /Актуальные проблемы образования: позиция молодых: материалы
Всероссийск. студ. науч.-практ. конференции 28-29 апреля 2016 г. – Челябинск:
Изд-во «Золотой феникс», 2016. – 279 с.
29.
Просветов, Г.И. Математика в экономике: задачи и решения. [Текст]:
учебно-методическое пособие / Г.И. Просветов. М.: Изд-во РДЛ, 2004. –360 с.
30.
Сериков, Р.Н. Управление педагогическими системами обучения: Ос-
новы оптимизации / Р.Н. Сериков. – Челябинск, 1981. – с. 401.
31.
Симонов, А.С. Математические модели экономики в школьном курсе
математики [Текст]: дис. . д-ра пед. наук / А.С. Симонов. ‒ Тула, 2000. – 328 с.
32.
Симонова, И.М. Профильная модель обучения математике / И.М. Си-
монова. // Математика в школе. – 1997. – №1. – с. 32–36
33.
Федорова, Н.Б. Профильное обучение: элективные курсы для пред-
профильной и профильной подготовки учеников общеобразовательной школы:
учебно-методическое пособие / авт.-сост. Н.Б. Федорова, О.В. Кузнецова; Ряз. гос.
ун-т. им. С.А. Есенина. – Рязань, 2011. – 88 с.
34.
Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математи-
ки: учебное пособие / Л.М. Фридман. – М.: Едиторнал УРСС, 2005. – 248 с.
35.
ФИПИ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.fipi.ru. –
Дата доступа: 18.02.18).
36.
Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://reshuege.ru.
–Дата доступа: 18.02.18.
37.
Фридман, Л.М., Турецкий, Е.Н.Как научиться решать задачи. [Текст]:
Книга для учащихся старших классов. / Л.М.Фридман, Е.Н. Турецкий. ‒ 3-е изд.,
дораб. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.
38.
Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в
преподавании математики [Текст]: Книга для учителя./ И.М. Шапиро– М.: Просвещение, 1990. – 96 с.
99
39.
Шестаков, С. А. ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с экономическим со-
держанием. Задача 17 (профильный уровень) [Текст]: учебное пособие/ Под ред.
И. В. Ященко. ‒ М.: МЦНМО, 2017. ‒ 208 с.
40.
Элективные курсы по математике и информатике с экономическим
содержанием Текст. 10-11 классы / Под общей ред. О.М. Фадеевой. М.: Глобус,
2007.‒158 с.
41.
Ященко, И.В. Методические указания для учителей, подготовленные
на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года по математике. /
И.В. Ященко, А.В. Семѐнов, И.Р. Высоцкий. – М.: ФИПИ, 2017. – 45 с.
42.
Ященко, И.В. ЕГЭ 2017. Математика. 30 вариантов. Профильный уро-
вень [Текст]: Метод. указания / под ред. И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2017. – 216 с.
43.
Ященко, И.В. Я сдам ЕГЭ! Математика. Модульный курс. Методика
подготовки [Текст]: учебное пособие / И.В. Ященко, С.А. Шестаков. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
100
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ПО ТЕМАМ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА.
Тема 1. Определение процента. Необходимость применения процентов
в экономике. Решение базовых задач на проценты.
Задача 1.1. В городе N живѐт 1 500 000 жителей. Среди них 20 % детей и
подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?
Ответ: 780 000.
Задача 1.2. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 6 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Ответ: 57.
Задача 1.3. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 67 %. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4 %.
Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Ответ: 27.
Задача 1.4. Фонды оплаты труда четырѐх отделов компании соотносятся
друг с другом как 2 :5 :6 : 3. Определите величину фондов оплаты труда каждого
отдела, если суммарный фонд оплаты труда компании равен 64 млн. рублей.
Ответ: 8; 20; 24; 12.
Задача 1.5. Разделите наследство в 750000 рублей между тремя братьями
так, чтобы на каждые 16 рублей, полученных старшим братом, приходилось 7
рублей, полученных средним, и 1 рубль, полученный младшим.
Ответ: 500000; 218750; 31250
Задача 1.6. Курсы иностранных языков арендуют в школе помещения для
занятий. В первом квартале за аренду четырѐх классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 3360 рублей в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во
втором квартале за пять классных комнат по 4 дня в неделю при тех же условиях?
101
Ответ: 3500.
Задача 1.7. В целях стимулирования продаж магазин установил 5%-ную
скидку на каждую пятую продаваемую посудомоечную машину и 15%-ную на
каждую двенадцатую продаваемую посудомоечную машину. В случае если на одну посудомоечную машину выпадают обе скидки, то применяется большая из
них. Всего в ходе рекламной акции было продано 500 посудомоечных машин.
Определите выручку магазина от продажи партии посудомоечных машин, если
цена одной посудомоечной машины составляет 12000 рублей.
Ответ: 5 870 200.
Тема 3. Понятие о банковской системе: вкладчики, депозиты, заемщики, кредит.
Задача 3.1. Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со
своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени
первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
Ответ: 1100.
Задача 3.2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму.
Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69690821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью
погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?
Ответ: 124 809 100.
Задача 3.3. Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4
года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года после начисления процентов) на счет фикси102
рованную сумму 133 000 рублей. Какая максимальная сумма может быть на счете
у Василия через 4 года?
Ответ: 1 948 353.
Тема 4. Простые и сложные проценты. Механизм начисления процентов с использованием арифметической и геометрической прогрессий.
Задача 4.1. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Ответ: 7,1%.
Задача 4.2. На опытном участке ежегодный прирост древесины составляет
10%. Какое количество древесины будет через четыре года, если первоначальное
количество древесины 20000 м.
Ответ: 29 282 м.
Задача 4.3. Вкладчик положил на вклад «Накопительный» 30 000 рублей и
три года подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него 36 денег. За три года
вложенная им сумма денег увеличилась на 9930 рублей. На сколько процентов
ежегодно увеличивается сумма денег?
Ответ: 10%.
Задача 4.4. Магазин выставил на продажу шубу, назначив цену на 150%
выше оптовой. В конце сезона цена была снижена на 20%, а на распродаже весной
новая цена была снижена еще на 40% шуба была продана за 36000 рублей. Какую
прибыль получил магазин?
Ответ: 6000 рублей.
Задача 4.5. Цену товара повысили на 20%, затем новую цену повысили на
35%. На сколько процентов повысили первоначальную цену?
Ответ: 62%.
Задача 4.6. Сколько воды нужно выпарить из 500 кг целлюлозной массы,
содержащей 90% воды, чтобы получить массу с содержанием воды 50%.
Ответ: 400 кг.
103
Тема 5. Начисление простых и сложных процентов на разные суммы
вкладов в разных банках.
Задача 5.1. За время хранения вклада в банке проценты по нему начисля1
лись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11 % и, наконец, 12,5%
9
в месяц. известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная
1
сумма увеличилась на 104 % Определите срок хранения вклада.
6
Ответ: 7.
Задача 5.2. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого
месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так,
чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть
на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на
63%. Найдите месячную процентную ставку.
Ответ: 18.
Задача 5.3. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов,
20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить
в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это
же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно,
из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание
фальшивых долларов в стране составит 5%?
Ответ: 20.
Тема 6. Решение задач, с экономическим содержанием
Задача 6.1. В банк внесен вклад 64 000 рублей на три года. Определите
ставку процента, если через три года на счете вкладчика оказалось 343 000 рублей.
Ответ: 75
104
Задача 6.2. Известно, что ставка банковского процента равна 20%. Определите через сколько лет начальный вклад 675000 рублей вырастет до 116400 рублей.
Ответ: 3.
Задача 6.3. В.Н. Сидоренко собирается через два года приобрести новый
ноутбук Dell стоимостью 1452 евро. Сколько денег ему нужно положить в банк,
чтобы накопить за два года нужную сумму, если банковская ставка равна 10% годовых?
Ответ: 1200.
Задача 6.4. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября
2008 года в банке счѐт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям
вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счѐте. Через 6
лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счѐт, на который ежегодно кладѐт по 2200 рублей, а банк начисляет
44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
Ответ: 2019.
Задача 6.5. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев.
Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастѐт на r% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Ответ: 3.
Задача 6.6. 1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на
105
10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3
платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в
три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года
он выплатил банку 2 395 800 рублей? [33]
Ответ: 1 923 000 рублей
Задача 6.7. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн.
руб. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.
– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
– в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.
– суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.
Ответ: 20
Задача 6.7. Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На
заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t 3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов;
если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 3
часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1
тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось
20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов
еженедельно на оплату труда рабочих?
Ответ: 3 569 000.
Задача 6.8. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него
средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в
строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый про106
ект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй
проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой
должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных
вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом
получить банк.
Ответ: 5%, 20%.
Задача 6.9. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца.
По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на
сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на
одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернѐт банку в течение первого года кредитования?
Ответ: 822 тыс. руб.
Задача 6.10. Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на
три года под 10% годовых, однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них
снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из
братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?
Ответ: у Саши, на 1155 рублей.
107
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ТЕСТ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ УМЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
Задание 1
Вопрос 1. Сотая часть величины называется ___________________.
Вопрос 2. Чтобы найти проценты от числа, нужно число разделить на __________,
а потом ____________________ на число процентов.
Вопрос 3. Чтобы найти число по его процентам, нужно значение процентов разделить на ________, а потом _____________________________.
Вопрос 4. Найдите число, 20% которого равны 60
Вопрос 5. Записать в виде процентов: а) 0,08=____; б) 0,256=____; в) 21,4=____.
Задание 2
Вопрос 1. Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил еѐ на 10%.Сколько стал стоить товар?
а) 1100р.
б) 1000р.
в) 990р.
г) 900р.
Вопрос 2. Цена на товары было понижена на 20%. На сколько процентов еѐ нужно
повысить, чтобы получить исходную цену?
а) на 25%
б) на 20%.
в) на 30%.
г) на 15%.
108
Вопрос 3. Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Масса конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 1 : 2 : 8. Массу конфет
первого сорта увеличила на 20%, а второго - на 6%. На сколько процентов надо
уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась?
а) на 14%
б) на 4%
в) на 24%
г) на 2%
Вопрос 4. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения еѐ приток воды
уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время,
необходимое для заполнения бассейна ?
а) на 50%
б) на 100%
в) на 60%
г) на 150%
Вопрос 5. На хрустальную люстру подняли цену на 45%, а затем еще 20%. На
сколько процентов увеличилась цена люстры после двух повышений?
а) на 25%
б) на 65%
в) на 74%
г) на 75%
Задание 3
Задача 1. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
109
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом
часть долга;
– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии
со следующей таблицей:
Месяц и год
Июль 2026
Июль 2027
Июль 2028
Июль 2029
Долг (в мл.руб)
S
0,8S
0,4S
0
Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет
меньше 5 млн. рублей.
Решение:
Долг на июль 2026, 2027 и 2028
S
0,8S
0,4S
0
1,2S
1,2S  0,8S  0,96S
1,2  0,4S  0,48S
–
0,4S
0,56S
0,48S
–
годов
Долг на январь 2027, 2028 и 2029
годов
Выплата: имеющийся долг на январь минус планируемый долг на
июль
Чтобы все выплаты были меньше 5 млн. руб., достаточно, чтобы наибольшая из них была меньше 5 000 000 руб., то есть
0,56S  5;
S
500
;
56
S 8
13
.
14
Итак, искомое наибольшее значение S = 8.
Ответ: 8
Задача 2. Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах
производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю,
то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим
платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе – 300
рублей.
110
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих.
Какое наибольшее единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение:
Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся
x 2 часов, а на заводе, расположенном во втором городе y 2 часов. Тогда в неделю
будет произведено x  y единиц товара, а затраты на оплату труда составят
200 x 2  300 y 2  1200000 . Выразим y через x :
200 x 2  300 y 2  1200000;
y 2  4000 
2 2
x ;
3
y  4000 
2 2
x .
3
2
3
Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции Q( x)  x  4000  x 2 при
0  x  20 15 . Для этого найдем производную функции Q(x) :
2x
Q( x)  1 
2
3 4000  x 2
3
.
Найдем точки экстремума:
Q( x)  0;.
1
2x
2
3 4000  x 2
3
3 4000 
;.
2 2
x  2 x;.
3
36000  6 x 2  4 x 2 ;
x 2  3600;
x  60.
то есть x  60. – единственная точка экстремума, удовлетворяющая условию 0  x  20 15 . Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:
111
Q(60)  100;
Q(20 15 )  20 15;
Q(0)  20 10.;
Наибольшее значение функции Q(x) равно 100, значит, наибольшее количество
единиц товара равно 100.
Ответ: 100.
112
113
114
115
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа