close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Борисова Ольга Вадимовна. Цель и средства популяризации математических знаний и математического образования

код для вставки
4
Аннотация
выпускной квалификационной работы «Цель и средства популяризации
математических знаний и математического образования», выполненной
Борисовой Ольгой Вадимовной на кафедре геометрии и методики преподавания
математики.
Объѐм диссертации – 96 стр.
Список использованной литературы – 54 источник.
Ключевые слова: популяризация математики, научные знания, математическое
образование, отечественная школа,
Краткая характеристика работы
Представленная к защите выпускная квалификационная работа посвящена
проблеме обоснования необходимости популяризации математических знаний,
обеспечивающей повышение интереса и доступности математического
образования, и разработка методики популяризации математических знаний и
математического образования среди школьников.
В работе проведен анализ методико-математической литературы по
проблеме исследования, определены цели и задачи исследования.
Первая глава посвящена формулированию целей и изучению средств
популяризации научных знаний. В ней рассмотрено понятие «популяризация
науки» и история еѐ развития в России, рассмотрены особенности популяризации
научных знаний, изучен вопрос взаимосвязи популяризации науки и новых
информационных технологий.
Во второй главе изложен вопрос о популяризации математических знаний и
математического
образования
в
современной
отечественной
школе.
Последовательно изучены следующие вопросы: популяризация предмета
математики в современной школе, методика организации и проведения
внеурочных занятий по теме «Величайшие математические задачи», методика
организации и проведения внеурочных занятий по теме «Математическое
понимание природы» в контексте изучения физических явлений и их объяснения
с точки зрения математики и мультимедийный проект «Математические этюды»
как средство популяризации математических знаний. Предложены методические
рекомендации по использованию структурированной информации по математике
на практике.
Практическая значимость исследования заключается в том, что
предложенные методические рекомендации для проведения системы занятий,
направленных на популяризацию математических знаний и математического
образования, а так и для более глубокого знакомства заинтересованных
школьников с отдельными сложными, но также притягательными сторонами
науки - математика.
5
Содержание:
Введение…………………………………………………………………….
6
Глава I. Цели и средства популяризации научных знаний……………
9
1.1. Понятие «популяризация науки» и история еѐ развития в
России………………………………………………………………………
9
1.2. Особенности популяризации научных знаний…………………….
18
1.3.
Популяризация
науки
и
новые
информационные
технологии………………………………………………………………….
22
Глава II. Популяризация математических знаний и математического
образования
в
современной
отечественной
школе………………………………………………………………………..
2.1.
Популяризация
предмета
математики
в
33
современной
школе……………………………………………………………………….
33
2.2. Методика организации и проведения внеурочных занятий по теме
«Величайшие математические задачи»………………………………….
43
2.3. Методика организации и проведения внеурочных занятий по теме
«Математическое
понимание
природы»
в
контексте
изучения
физических явлений и их объяснения с точки зрения математики…….
71
2.4. Мультимедийный проект «Математические этюды» как средство
популяризации математических знаний………………………………….
78
Заключение…………………………………………………………………
91
Список литературы………………………………………………………
92
6
Введение
Петр Леонидович Капица, известный физик-академик, большое внимание
уделил популяризации науки и распространению научных знаний. Он провел
тщательный анализ творчества большого количества ученых и в итоге пришел к
заключению, что творческая работа в науке совершенно невозможна без участия
широкой культурной общественности. Причиной успеха научной деятельности
стала возможность распространения исследований среди большого числа людей.
Современное общество переживает значительные изменения, связанные с
рядом экономических, технологических и социально- политических факторов.
Главную роль в решении глобальных проблем современного общества играет
наука, и ее значимость постоянно возрастает.
В связи с этим остро встают вопросы о положении науки в современном
обществе: о том, как научное знание представлено в общественном сознании, о
новых методах корректировки образа науки
24 декабря 2013 г. Правительство РФ утвердило Концепцию развития
математического образования в Российской Федерации.
Цель Концепции - вывести российское математическое образование на
лидирующее положение в мире. Математика в России должна стать передовой и
привлекательной областью знания и деятельности, получение математических
знаний - осознанным и внутренне мотивированным процессом.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач,
сформулированных в Концепции. Среди них - популяризация математических
знаний и математического образования.
В Концепции сказано, что «образовательные организации высшего
образования и исследовательские центры должны участвовать в работе по
математическому просвещению и популяризации математических знаний среди
населения России».
Для
математического
предусматривается:
просвещения
и
популяризации
математики
7
- обеспечение государственной поддержки доступности математики для
всех возрастных групп населения;
-
создание
общественной
атмосферы
позитивного
отношения
к
достижениям математической науки и работе в этой области, понимания
важности математического образования для будущего страны, формирование
гордости за достижения российских ученых;
-
обеспечение
непрерывной
поддержки
и
повышения
уровня
математических знаний для удовлетворения любознательности человека, его
общекультурных потребностей, приобретение знаний и навыков, применяемых
в повседневной жизни и профессиональной деятельности.
Актуальность исследования обусловлена необходимостью и важностью
реализации Концепции математического образования.
Цель
выпускной
необходимости
квалификационной
популяризации
математических
работы
знаний,
–
обоснование
обеспечивающей
повышение интереса и доступности математического образования, и разработка
методики популяризации математических знаний и математического образования
среди школьников.
Объект исследования - процесс получения математических знаний
разными возрастными группами, на различных уровнях образования вне и в
образовательных учреждениях.
Предмет исследования - цели и средства популяризации математических
знаний и математического образования.
Задачи выпускной квалификационной работы:
- исследовать готовность учащихся к применению математики в других
областях, а также интеллектуальную готовность школьников и студентов к
обучению;
-исследовать влияние наличия общедоступных информационных ресурсов, в
том числе в электронном формате для реализации учебных программ
математического образования на интерес учащихся к обучению;
8
- исследовать различные средства мотивации к изучению математики,
обеспечение возможности обращаться к лучшим образцам российского и
мирового математического образования, к современным образовательным
технологиям;
-
разработать
систему
методов
и
средств
для
популяризации
математических знаний и математического образования;
-опытно-экспериментальным
функционирования
методической
способом
системы
проверить
популяризации
эффективность
математических
знаний и математического образования.
Практическая значимость исследования заключается в том, что
предложенные методические рекомендации для проведения системы занятий,
направленных на популяризацию математических знаний и математического
образования, а так и для более глубокого знакомства заинтересованных
школьников с отдельными сложными, но также притягательными сторонами
науки - математика.
Данная выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух
глав, заключения и приложений. Список использованной литературы содержит 54
источника.
9
ГЛАВА I. ЦЕЛИ И СРЕДСТВА ПОПУЛЯРИЗАЦИИ НАУЧНЫХ
ЗНАНИЙ
1.1.
Понятие «популяризация науки» и история еѐ развития в России
Главную роль в решении глобальных проблем современного общества
играет наука, и ее значимость постоянно возрастает. В связи с этим остро встают
вопросы о положении науки в современном обществе: о том, как научное знание
представлено в общественном сознании. Практика популяризации знаний
насчитывает уже не одно столетие; появление и распространение этого явления
сыграло важную роль в процессе развития общества и науки.
Популяризация науки – это доступное, понятное изложение информации о
сложных процессах в научных исследованиях и практике профессиональной
деятельности.
Популяризация
науки
предоставляет
возможность
понять
происходящие в науке явления, узнать, над чем работают ученые, и тем самым
почувствовать себя вовлеченными в прогрессивное научно-техническое развитие
страны и мира.
Целью популяризации науки является донесение научных знаний до
широкой аудитории. Сформулировать задачи популяризации науки можно
следующим образом: переработка сложных, насыщенных терминами научных
данных в увлекательную, интересную информацию; вовлечение молодежи в
активную научную деятельность. Можно рассматривать популяризацию науки
как особую разновидность массово-коммуникативной деятельности. Массовая
коммуникация – это систематическое распространение сообщений (через печать,
телевидение, кино, звукозапись, видеозапись). В определениях массовой
коммуникации акцентируются аспекты управления массовым сознанием и
поведением, накопления информации и ее передачи последующим поколениям.
Ведущая и конечная цель популяризации науки заключается в распространении
знаний среди массовой аудитории.
10
Термин «популяризация науки» на практике применяется в широком
аспекте, предполагая деятельность по пропаганде различных специальных
знаний, не обязательно непосредственно связанных с наукой. Первой формой
популяризации науки следует считать научно-популярную литературу. Научнопопулярная литература по сравнению с научной не требует высокой корректности
излагаемых
явлений
и
фактов.
В
ней
вполне
допустимы
упрощения,
фрагментарность и неполнота, объяснение «на уровне идей». Если для научной
книги важно, чтобы тот или иной вопрос был изложен не только доказательно, но
и с исчерпывающей полнотой, то для научно-популярной литературы достаточно
изложить его доходчиво и понятно. Научно–популярные издания призваны
популяризировать научные знания среди неспециалистов, учитывая особенности
своей аудитории, такие как возраст, психологические характеристики т. д. Для
популяризации науки наиболее существенным является коммуникативный аспект.
Популяризатор должен обладать двумя качествами: во-первых, глубоким
владением специальными знаниями, которые он излагает, и, во-вторых, умением
изложить эти знания в простой и доступной форме. Необходимость навыков
ясного, простого и доступного изложения сложных тем приводит к поиску
средств, используемых для передачи идей и информации.
Э. А. Лазаревич перечисляет основные характеристики популяризации. Это
– научная глубина, осмысление материала, доступность и занимательность
изложения.
достижениях
Научная
науки,
глубина
подразумевает
рассмотрение
ее
информацию
основных
о
понятий
последних
и
законов,
систематизацию данных, ведущую от явления к его сущности, к определению его
взаимосвязи с другими явлениями, и сообщение о методе исследования, что имеет
не только познавательное, но и мировоззренческое и практическое значение.
Доступность изложения достигается двумя средствами: его конкретностью и
последовательностью, посредством простого и увлекательного языка. Однако не
стоит забывать, что популяризация исключает упрощение, которое приводит к
искажению передачи научных знаний и дезориентации читателя. Наконец,
занимательность
информации
–
неотъемлемая
черта
популяризации.
11
Занимательность
и
интерес
аудитории
определяются
содержанием,
актуальностью и практическим значением рассматриваемой научной проблемы.
Популяризация науки в современном понимании зародилась в России в
XVIII
веке.
Завершилось
формирование
государства,
территориально
занимавшего большие площади. К этому моменту уже был сформирован единый
рынок. Процветало горное дело, быстро развивались и росли мануфактуры.
Постепенно значительные преобразования и военные успехи сделали Россию
одной из самых успешных и сильных держав мира. Возникла потребность в
существовании образованных и грамотных специалистов, которые помогли бы
дальше развивать отечественную промышленность, а также ученых, которые
разработали бы новые технологии производства. Первым способствовать
популяризации науки, по мнению ряда исследователей, стал Петр I. Он ввел в
обращение новый календарь, отправлял на обучение за рубежом большое
количество представителей русского дворянства. При Петре I была напечатана
первая газета “Ведомости”, которую издавали в течение долгого времени. Были
открыты школы навигационных и математических наук в Москве, а также
хирургическая, инженерная и артиллерийская школы. В Петербурге: морская
академия и инженерное училище, а также по всей стране было открыто еще около
42-х подобных школ. С 1714 года обучение детей высшего сословия проводилось
в принудительной форме, талантливые же дети, способные к обучению, но не
имевшие на это средств, также получали возможность получить образование. В
большей степени это было обучение военному делу, кораблестроению и другим
практическим дисциплинам, полезным для укрепления государственности
России.
Принудительный
характер
обучения,
проявлявшийся
в
жесткой
дисциплине учебных заведений, в системе штрафов и телесных наказаний, привел
к резкому увеличению уровня грамотности. Впоследствии появилась аудитория,
ориентированная на более серьезное образование, а также регулярное чтение
книг. В России были подготовлены к выпуску первые научные книги. Учебную
деятельность в то время курировал известный просветитель Леонтий Магницкий.
Он
происходил
из
крестьянской
семьи,
с
детства
усердно
занимался
12
самообразованием, в итоге это привело к тому, что он попал в Славяно-греколатинскую академию, которая на тот момент была лучшим учебным заведением в
России. После окончания академии он некоторое время преподавал математику и
навигационные науки в обеспеченных семьях. Интересно, что в академии не
обучали математике, из этого следует вывод, что Магницкий продолжил
заниматься самообразованием и освоил ее самостоятельно. Позже Петр I заметит
талантливого юношу и тогда Леонтий получит свою знаменитую фамилию
Магницкий. Магницкий по приказу императора создал авторский учебник
«Арифметика», который основывался на европейских стандартах, но был
адаптирован для России. Этот труд был написан простым, понятным языком и его
можно было использовать как пособие для самостоятельного изучения
математики, при наличии начального уровня знаний. Магницкий, благодаря
своему
происхождению,
знал,
как
лучше
донести
материал
до
малоподготовленного читателя. Таким образом, он уже пользовался методами
популяризации науки, которые в то время еще не были сформулированы.
Первая научно-популярная литература появилась в России в первой
половине XVIII века. В основном, это были иностранные книги, которые были
переведены на русский язык. В середине XVIII века издательское дело было
сосредоточено в Петербуржской академии наук. Она была создана и задумана как
научный центр, откуда научное знание смогло бы распространяться с помощью
выпускников и через печатные издания. В итоге Академия смогла получать
лучших учеников из различных гимназий и училищ, собственных профессоров и
других преподавателей, обширную библиотеку и кунсткамеру для занятий
медициной, а также типографию и переводчиков с иностранных языков.
Благодаря усилиям преподавателей в академии появилась научно-популярная
литература по естествознанию, также были сформулированы и опробованы
признаки и особенности научно-популярного журнала. На естественнонаучные
труды возлагалось больше всего надежд, считалось, что именно они могут
пробудить интерес публики к науке, а также смогут расширить круг читателей
научно-популярной литературы. Высокообразованные люди того времени
13
создавали первые научнопопулярные произведения, включающие в себя самые
новейшие и прогрессивные знания того времени. У истоков популяризации науки
в России стоят известные научные деятели, такие как: М.В. Ломоносов,
А. Кантемир, Н.И. Новиков, и др. Их первые работы включали прогрессивные
взгляды на мир, представляли читателям подлинную науку, порождали вопросы
на глобальные темы, формировали мировоззрения. Можно даже сказать, что,
начиная с М. В. Ломоносова, все передовые отечественные ученые в той или иной
мере являлись пропагандистами науки. Популярно-научную литературу XVIII
века отличало обращение к довольно широкому кругу читателей. Но такие
исследователи как М. Винокур и Н. Старобинская отмечают, что отечественная
популярная наука находилась на этапе зарождения, в то время как зарубежная
была на более высокой стадии развития. [21].
К началу XIX века аудитория читателей научно-популярных журналов и
газет
значительно
увеличилась.
Прирост
читающей
публики,
которая
интересуется передовыми исследованиями и наукой в целом, связан с
программами просвещения, которые поддерживали все передовые ученые в
России. Новая публика была недостаточно хорошо подготовленной к восприятию
серьезных научных сочинений. Поэтому вопросы популяризации научного знания
стали особенно актуальными. Один из известных отечественных популяризаторов
науки Н.А. Рубакин в своем произведении «Этюды о русской читающей публике»
проанализировал аудиторию, способную воспринимать научно-популярную
литературу, а также научно-популярные издания. Вывод, который сделал
Рубакин, заключается в том, что читающей публике не хватает произведений
научно-популярного характера, которые подходили бы для малоподготовленного
читателя. К процессу популяризации науки привлекаются передовые ученые. Они
выступают в качестве авторов, редакторов, переводчиков трудов о научных
основаниях
и
открытиях.
Теория
Чарльза
Дарвина
получила
быстрое
распространение в России, поскольку этому способствовали такие русские
исследователи К.А. Тимирязев и В.О. Ковалевский. Их популяризаторская
деятельность сделала возможным распространение этой сложной и передовой
14
модели эволюции. Значительный вклад в развитие популяризации науки внес
известный писатель, библиограф и книговед Николай Александрович. За свою
жизнь он написал около 280 брошюр и книг, и большая их часть была написана
специально для широкого круга читателей. Он создал 15 руководств,
предназначенных для самообразования. Издал более 15 тысяч программ для
индивидуального чтения. По свидетельствам современников, его книги в течении
более чем 50 лет были для многих «введением в жизнь». Они открыли последние
достижения науки о человеке, технике и природе широкой аудитории.
Н.А. Рубакин закончил три факультета Петербуржского университета, и
благодаря
столь
широкому
образованию
был
одним
из
последних
энциклопедистов. Он издавал книги и статьи по: математике, физике, биологии,
геологии, астрономии, истории, социологии, экономике, статистике, этике и
философии. Непонимание разрушает контакт читателя с автором и в итоге
информация не будет получена адресатом. Поэтому Рубакин использовал слова и
термины понятные широкой публике или предоставлял подробные объяснения
терминов.
В 1890 году выходит первый номер журнала «Наука и жизнь». Это новый
вид научно-популярного издания – «общепонятно-научный иллюстрированный
журнал». Номера этого журнала публикуются и сегодня. Это издание одним из
первых обозначило важную особенность научно-популярных журналов –
необходимость в большом количестве иллюстраций. В Госиздате в 1919 году в
Москве создали научно-популярный отдел. Данный отдел изначально занимался
переизданием
популярных
произведений
прошлых
лет,
дополняя
их
современными данными и перерабатывая с учетом новейших научных данных.
Были выпущены любопытные серии для читателей младшего возраста:
«Библиотека путешествий», «Среди природы», «Биографическая библиотека»,
«Опыты и наблюдения природы». Издатели научно-популярных серий старались
соответствовать уровню своего читателя, а также их интересам. Таким образом
решались
просветительские
и
образовательные
задачи.
Так
как
книги
выпускались сериями, возникала возможность обеспечить непрерывность и
15
системность в популяризации научной информации, а также ее распространении.
Разработанные в то время принципы сохранялись и развивались. Мы можем
увидеть это на примере академического книгоиздания, которое осуществляется
издательством «Наука». В начале XX века научно-популярная литература была
опубликована в больших количествах. Это связано с созданием Главной редакции
научно-популярной и юношеской литературы. Для того чтобы привлечь к
созданию научно-популярной литературы ученых, исследователей и писателей
был создан конкурс на лучшую научно-популярную книгу. В состав комитета
этого конкурса входили С. Маршак, М. Горький, Я. Перельман и др. Обратим
внимание на Якова Перельмана, который на сегодняшний день является, пожалуй,
одним из самых известных отечественных популяризаторов науки. Уже в 22 года
Перельман сотрудничал с изданием «Природа и люди» и писал очерки об
астрономии,
математике
и
физике.
В
1913
вышла
его
первая
книга
«Занимательная физика», которая почти сразу стала очень популярной в нашей
стране, а позже и за рубежом. В соответствии с данными Всесоюзной книжной
палаты, книги Перельмана в период с 1918 по 1973 издавали 449 раз, тиражом до
13 миллионов экземпляров. Его книги были переведены на немецкий,
французский, английский, польский, болгарский, чешский, испанский, финский и
другие европейские языки. В итоге за свою жизнь он издал 47 научно-популярных
и 40 научно-занимательных книг. Его творчество оказало влияние на многие
поколения молодых людей, которые впоследствии выбрали свою профессию в
области науки. Могут быть интересны, например, современному издателю,
требования, которые предъявляли в то время к книгам научно-популярного
характера. Главная задача – сделать книгу доступной самому широкому кругу
читателей. И одновременно с этим научно-популярная книга не должна была
уподобляться производственной книге или учебному пособию. Главной ее целью
было предоставить читателям научную информацию в занимательной несложной
форме. Методы и форма изложения информации в научно-популярном издании
должны в первую очередь ориентироваться на уровень подготовки читателя,
также большое внимание уделялось ее оформлению. Внешнее оформление
16
должно быть заметным и специфичным, чтобы читатель мог сразу же найти
необходимую серию среди множества схожих изданий. В то время были изданы
знаменитые серии научно-популярных книг, которые сыграли важную роль в
истории становления популяризации науки. Учеными советского периода были
написаны книги, которые могут послужить ориентиром и для современного
издателя научно-популярной литературы. Перед началом Великой Отечественной
Войны в СССР существовало порядка 220 издательств и около 5 000
полиграфических предприятий. После начала военных действий удалось
эвакуировать
только
малую
часть.
Сократилось
производство
бумаги,
соответственно существенно уменьшились тиражи газет, журналов и книг.
Однако, сразу после окончания войны, производство печатной продукции
продолжило
равноправным
свое
и
развитие.
Научно-популярная
равноценным
элементом
литература
научной
становится
информационной
коммуникации. В 1980-е годы тиражи научно-популярных изданий достигли 1,5
миллионов экземпляров. Однако, несмотря на большие тиражи, эти книги в
большинстве своем по «разнарядке» распределяли по учебным заведениям и
библиотекам. Популяризация науки в СССР была поднята на высокий уровень,
благодаря государству и новой идеологии. Однако, после распада СССР, несмотря
на сохраняющиеся тиражи научно-популярных изданий, произошел спад
широкого интереса к науке. Причины этого следует искать в резком,
лавинообразном проникновении новой индустрии развлечений.
Основной формой популяризации науки до XX века была научнопопулярная литература. Но с развитием новых технологий появились новые
формы и методы распространения научного знания. Например, в тридцатые годы
XX века появился диафильм – последовательность кадров, сопровождаемая
титрами. Диафильмы использовали в качестве средства обучения вплоть до конца
XX века. Были созданы диафильмы на самые разнообразные темы, для учеников,
как младших, так и старших классов. Большим недостатком диафильмов является
небольшая величина титра, так как невозможно было поместить большое
количество информации в кадр и знания, получаемые при просмотре
17
последовательности изображений и титров, остаются поверхностными. Тем не
менее, диафильмы приобрели большую популярность, благодаря доступности в
ценовом сегменте и удобству использования. С развитием киноиндустрии в СССР
были сняты биографические фильмы про ученых, которые имели схожую
структуру: трудное детство исследователя, жажда знаний, первые успехи и
развитие научной карьеры. Целью этих фильмов было представить образ ученого
в привлекательном виде и, тем самым, подтолкнуть молодое поколение к научной
карьере. С развитием визуальных медиа появлялось все больше кинофильмов и
телепередач,
посвященных
достижениям
отечественной
науки
времени.
Ориентация была, безусловно, только на советскую науку, события зарубежной
науки освещались в значительно меньшем объеме. Появился новый жанр
кинохроника,
который
также
использовали
для
популяризации
науки.
Вдохновляющий эффект предназначены были производить фильмы научнофантастического жанра, которые в большинстве своем изображали просторы
космоса, ландшафты, атмосферу, биосферу и другие особенности далеких планет,
основываясь на последних исследованиях в области астрономии. Телеаудитория
возросла, и были созданы три известные научно-познавательные программы,
которые
долгое
время
производили
научно-популярные
сюжеты:
«Клуб
кинопутешествий», ведущий Ю. А. Сенкевич; «В мире животных», ведущие
Н.Н. Дроздов, В.М. Песков; «Очевидное – невероятное», ведущий С.П. Капица.
Эти
телепередачи
были
созданы
в
период
более
«мягкой»
политики
популяризации науки. Этот период начался в связи с изменением характера
аудитории, которая негативно реагировала на пропаганду, а также была более
требовательной, так как повысился общий уровень образования. [17; 21].
18
1.2.
Особенности популяризации научных знаний
Благодаря технологическим достижениям науки, цивилизованный мир стал
если и не мудрее, то более благополучным и здоровым. Наряду с этим возрос
уровень тревоги, вызванный появлением новых технологий. Отчасти эта тревога
происходит из понимания, что власть технологии, подобно всякой власти, таит в
себе опасность. С другой стороны, беспокойство порождает тот факт, что многие
люди чувствуют себя окруженными механизмами, функционирующими по
непонятным законам, за которыми стоит настолько же непонятное научное
исследование - и иногда видят в этом угрозу.
С интеллектуальной стороны наука создала новый способ мышления. Страх,
суеверие и слепая покорность авторитету уступили место рациональному,
непредвзятому исследованию, опирающемуся на наблюдение и эксперимент. В
результате научно образованные люди сейчас видят себя вплетенными в паутину
жизни, из которой они произошли. Эта паутина возникла на поверхности одной из
миллиардов планет, затерянной в расширяющейся вселенной неизвестного, может
быть даже бесконечного размера. Некоторых эта новая картина вселенной
захватывает и воодушевляет, а другие видят в ней смутную угрозу. Наука
угрожает подорвать не только старые представления о нас самих (такие, как идея
о том, будто мы занимаем центр Вселенной), но также и привычные способы
мышления. Например, может ли наше внутреннее чувство очевидного иметь
какое-либо отношение к вопросу о том, можем ли мы доказать истинность этого
очевидного. Эта угроза действительна, и должна быть признана тем, кто
занимается популяризацией науки.
Менее широко обсуждаемый в настоящее время вопрос, состоит в том, что
можно было бы назвать вкладом науки в политику. Отнюдь не случайность, что
публикация «Начал» Исаака Ньютона в 1687 году открыла эпоху Просвещения.
Так же нельзя назвать простым совпадением то, что среди основателей
демократического движения в американских колониях, да и повсюду в мире,
можно найти слишком много научно мыслящих людей, или то, что сегодня
19
ученые занимают большое место среди диссидентов в тоталитарных странах.
Наука побуждает
- и фактически заставляет
- нас жить с сомнениями и
неопределенностью, а также ценить огромную степень нашего собственного
незнания. Привычка такого образа мыслей, заодно с научной деятельностью, до
некоторой степени просочилась и в политику.
Проведение
научных
исследований
требует
свободы
выражения
и
взаимодействия. Достаточно трудно заниматься физикой, если вам при этом
запрещают посещать половину значимых конференций и указывают, что ваши
научные идеи должны соответствовать предписанной правительством идеологии.
Именно требование свободы объединяет ученых, писателей и художников. Они
также пытаются ограничить государство, которое стремится к конкуренции во все
более научном и технологическом мире, но в то же время отрицает свободу
собственных граждан. Хотя наука виновна в изобретении страшного военного
оружия, она также, по крайней мере частично, ответственна за тот факт, что почти
половина человечества сейчас живет в демократических обществах в широком
смысле этого слова и что наша планета в 2000 год вступила в мир, в котором не
было войны. Резюмируя, можно сказать, что технологически, интеллектуально и
даже политически наука занимает центральное место в жизни сообщества людей,
которые ценят свою свободу, чтят свою ответственность, принимают во внимание
собственное незнание и охотно продолжают учиться. Но в то же время
большинство граждан остаются отчужденными от науки.
Популяризация науки как «перевод» специальных знаний в форму
понятную для обычного человека, – важнейшая задача, которую необходимо
решать по целому ряду причин: низкий интерес к реальной науке и всплеск
интереса к лженаучным теориям; недостаточно высокий статус людей, занятых в
науке и образовании в современном мире; необходимость формирования стойкой
мотивации детей и юношества к получению знаний и активному участию в
научных олимпиадах и творческих конкурсах; популяризация науки нужна для
самих педагогов, чтобы вызвать дополнительное стремление к саморазвитию и
желанию совершенствовать свои знания и навыки; популяризация науки
20
необходима для взрослых людей, для того чтобы не отстать от молодого
поколения и научиться понимать, как меняется современный мир и легче
адаптироваться к этим переменам; популяризация науки нужна самим ученым,
чтобы не замыкаться в своей узкой предметной области и постоянно развиваться
и т.д.
В настоящее время накоплен значительный арсенал средств популяризации
научного знания. Среди них: научно-популярная литература, журналы и иная
популярная пресса, телевизионные и радиопередачи, кинофильмы и Интернет,
соединивший в себе все вышеперечисленные средства. Вместе с тем, несмотря на
рост технических возможностей, обострилась проблема нехватки качественного
научного контента способного вызвать живой интерес, без которого нет и не
может быть настоящей науки. Конечно, самую весомую роль в популяризации
науки
играет
личность.
Известный
ученый
или
педагог,
добившийся
значительных результатов на своем собственном опыте, может создать
привлекательный образ науки как одной из самых интересных форм человеческой
деятельности. Он способен наглядно применить научный подход к осмыслению
явлений окружающей действительности и при этом представить широкому кругу
людей научные знания в доступной и современной форме.
Определив принципы и задачи, можно определить функции научной
популяризации: 1) информационная; 2) мировоззренческая; 3) практическая;
Первой
и
самой
главной
функцией
популяризации
науки
является
–
информационная. Пропаганда научных знаний рассказывает о новейших научных
достижениях и открытиях. Это решает просветительскую задачу, приобщает к
научному знанию, повышает творческий потенциал, развивает способность к
исследовательской или изобретательской деятельности. Второй важной функцией
популяризации науки является – мировоззренческая, она влияет на изменение
восприятия людьми окружающей реальности. В качестве примера теорий,
которые изменили восприятие окружающей реальности у общества, традиционно
приводят теорию эволюции и естественного отбора Ч. Дарвина, учение о
рефлексах И. П. Павлова или теорию относительности А. Эйнштейна. Научное
21
мировоззрение формируется у людей, которые имеют багаж научных знаний и
умеют их использовать. Только в этом случае научное мировоззрение способно
реализоваться.
Третья
функция
популяризации
научной
информации
–
практическая. Научное знание помогает человеку принимать решения о
выполнении практических задач. Помогает адаптироваться, профессионально
ориентироваться, реализовывать на практике полученные знания.
Популяризация науки отчасти состоит в том, чтобы помочь людям
познакомиться с их собственной развивающейся культурой. У этой культуры,
безусловно, много других, более древних, корней, таких как искусство, религия,
философия и история - эти корни более привычны и поэтому кажутся более
естественными. Но ничто не может быть более естественным, чем наука, ибо
ничто с такой ясностью не показывает нам, как в действительности устроен мир.
Популяризация науки должна помочь людям осознать это, дать им возможность
лучше жить в целостном мире. [21].
Форм популяризации довольно много, и все они могут достойно
существовать и должны существовать в современности. Актуальны как журналы
и книги, так и теле- и радиопрограммы, новости и т.д. Но возникают и новые
формы, например, научный театр, интерактивные научные музеи, устные выпуски
научно-популярных журналов, научные кафе, научные фестивали, онлайнинтервью ученых и даже научные автопробеги и т.д.
22
1.3.
Популяризация науки и новые информационные технологии
Основными факторами трансформации знаний является, прежде всего,
появление и внедрение технологических инноваций, которые касаются методов
распространения информации. Новые технологии являются одним из факторов
обновления популяризаторской деятельности и в России, и за рубежом. Для
общества популяризация науки важна в качестве функции удовлетворения
базовой потребности людей – получения знаний. Каждый человек стремится
познать мир, в котором он живет. В различной степени, но эта потребность есть у
каждого. Научные знания подкрепляют способность к критическому мышлению и
являются фундаментом развития устойчивого общества. В современности
большое
значение
увеличивающимися
имеет
один
потоками
социальный
информации.
феномен,
Доступность
связанный
с
информации
с
развитием сети Интернет растет, и общество в наши дни имеет возможность
получить
практически
любое
знание
самостоятельно.
Однако
из-за
предоставленного колоссального объема мы вынуждены выбирать, что является
ценной информацией, а что нет. И в итоге мы сами выступаем цензорами и
критиками при отборе нужной информации. [21]
Таким образом, в популяризации науки очень большое значение имеет
возможность сортировки научной информации. Новые формы распространения
научного знания предоставляют эту возможность. На различных порталах
научные редакторы могут собирать только корректную научную информацию.
Однако существует и ряд порталов, которые предоставляют псевдонаучную
информацию и современная аудитория, которая ориентируется на эти источники,
Развитие медийных форм популяризации науки связано с появлением новых
информационных технологий. Это можно рассматривать как обогащение форм
популяризации научного знания. По данным некоторых источников Интернет
«уничтожает» привычные для нас формы коммуникации (СМИ, радио,
телевидение, книги), но мы рассмотрим именно вариант обогащения, а не
вытеснения форм популяризации. По мнению большинства исследователей,
23
Интернет иным образом влияет на СМИ. Как ранее появление кино не
уничтожило театральное искусство, а распространение телевещания не стало
причиной исчезновения кино, новые формы заняли определенное место в сфере
коммуникаций. Однако это перераспределение в системе коммуникаций
осуществилось в пользу новых средств, а не традиционных. Существенные
изменения происходят за счет появления новых типов СМИ, жанровых форм и,
самое главное, форм популяризации науки. Большое количество жанров
трансформируются под влиянием «цифровой революции». Например, научнопопулярные лекции и статьи, которые изначально относятся к организационнособытийной форме популяризации, а в наши дни могут быть медийной формой, в
случае их перевода в цифровой формат. Новые компьютерные технологии
создают для авторов научно-популярных произведений возможности добавить в
свои тексты изображения, видео, ряд интерактивных элементов. Лекторы
используют для своих выступлений формат презентации, который повышает
уровень внимания публики к выступлению. В современности популяризаторы
науки сталкиваются с чрезвычайно высоким уровнем конкуренции за внимание
публики. Действовать успешно в таких условиях – это непростая задача. Новые
информационные технологии в популяризации научного знания можно разделить
на те, которые оказывают прямое воздействие, и те, которые влияют косвенно.
Появление новых форм и жанров относятся к прямым изменениям, и является
результатом освоения и применения новых технологий для решения задач
стоящих перед популяризацией науки. Создание новых форм и жанров
популяризации науки непосредственно связано с появлением технических
способов
распространения,
обработки
и
фиксации,
которые
ранее
не
использовались. Под косвенным влиянием мы имеем в виду технологическую
революцию, связанную с масштабным распространением теле- и радиовещания, а
позже сети Интернет, и изменением жизни всего общества в целом. В наши дни
продолжает формироваться общество нового типа. Исследователи называют это
общество по-разному: информационное; общество знаний; постиндустриальное.
О. В. Шлыкова в своей работе «Электронная культура: дефиниции и тенденции
24
развития» замечает, что нельзя рассматривать электронную культуру только как
техногенное явление. Это развивающийся социокультурный феномен, который
оказывает влияние на трансляции и способы воспринять социокультурную
информацию, а также культуру и ментальность в целом. В первую очередь эти
трансформации связаны с изменением доступности информации, ее роли в
социальной жизни и ее объемом. Также меняется информационное поле, в
котором
существует
человечество,
а
соответственно,
трансформируется
социальное поведение. Объемы передаваемой информации увеличиваются и в
результате информационные потоки становятся плотнее. Знания и информация
становятся товаром, который, как и традиционные товары, может быть продан.
Обратим внимание на теории, которые описывают современное состояние
общества. Общество потребления стало одной из самых популярных теорий о
состоянии общества в наши дни. Главной характерной чертой этого состояния
общества является чрезмерный уровень потребления товаров и услуг. Достигается
этот уровень за счет производства товаров недолговечной эксплуатации,
появления супермаркетов и стимуляции потребителей приобретать новые вещи, с
помощью рекламы, СМИ, сферы искусства, где в кино показывают жизнь
состоятельных людей из других стран. Выше мы отмечали, что наше общество
называют информационным. Это не противоречит теории общества потребления.
Человек, на сегодняшний день, потребляет в основном интеллектуальный
продукт, через сеть Интернет. По сравнению с количеством приобретаемых
материальных товаров, информации мы получаем гораздо больше. Рассмотрим
информационное общество в контексте общества потребления. В результате мы
получим общество, в котором главным потребляемым продуктом является
информация. Человек получает не только необходимую информацию, но и
дополнительную массу знаний, которые вынуждены перерабатывать в течение
дня. Этот поток дополнительной информации называется «шум». В отличие от
материальных товаров, информация может быть предоставлена бесплатно и,
таким
образом,
необходимо
разрабатывать
приемы,
которые
привлекут
аудиторию к определенной информации из широкого представленного спектра.
25
Это стимулирует развитие рекламы и PR технологий. В современном мире
человек окружен информацией, его восприятие перегружено «шумом» и
необходимостью
потреблять
огромное
количество
новой
необходимой
информации ежедневно. В итоге, у нас вырабатываются механизмы сортировки
воспринимаемой информации. Человек в современности ориентирован на
восприятие отрывочной, фрагментарной информации, быстрое переключение
внимания с одной формы восприятия на другую. Это оказывает влияние на
характеристики медийных материалов. В качестве инструмента развития
способностей объемные и логичные научно-популярные тексты необходимы
читателям, но внимание к такому формату привлечь труднее. На сегодняшний
день
необходимо
учитывать
эти
особенности
восприятия
в
процессе
популяризации научных знаний и предлагать потребителям разные типы
материалов: и традиционные, и ориентированные на особенности восприятия
нового информационного общества. Одной из новых форм популяризации
становятся научно-популярные телевизионные каналы. Мы можем встретить
периодические программы этого направления на различных телеканалах.
Спецификой научнопопулярного телеканала является постоянная трансляция
научно-популярной информации. Ряд исследователей рассматривает научнопопулярные телеканалы в качестве новой формы популяризации науки, не
имеющей в качестве прототипа традиционной формы популяризации. Эта особая
форма популяризации оказала значительное влияние на научно-популярное
вещание, в том числе на развитие жанровой и тематической специализации
научно-популярных программ, что является важным аспектом в условиях
конкуренции. Эффективность предоставления научно-популярной информации
посредством телевизионных каналов достигается за счет разнообразия форм
подачи материалов, это могут быть интервью с учеными и фрагменты научных
видеороликов, документальные фильмы, лекции и т.д. Благодаря небольшой
длительности и разнообразию, современная аудитория способна воспринимать
представленные на телевизионном канале материалы. Недостатком этой формы
трансляции научных знаний является необходимость включать канал в
26
определенное время, чтобы посмотреть интересующую нас передачу. В
современности у нас есть возможность получить необходимую нам информацию
в любое удобное для нас время. Этот недостаток учитывает форма популяризации
науки, которую мы рассмотрим следующей. Следующей медийной формой
популяризации научной информации являются научно-популярные сайты. «Сайт
– это категория информационных ресурсов, которая имеет множество вариаций,
модификаций и разновидностей, например, домашняя страница, электронная
библиотека, страница виртуального магазина, форум и др.». Благодаря наличию
множества модификаций, научно-популярный сайт является основой для
большинства
нововведений
в
сфере
состояниями
научно-популярного
популяризации
сайта
являются
науки.
Основными
функционирование
как
самостоятельного ресурса и как представителя СМИ. Например, мы можем найти
сайты, которые представляют научно-популярные издания «Наука и жизнь»,
«Популярная механика» и др. А также существуют сайты, не привязанные к
журналу или изданию, и посвященные науке. Сайт является наиболее
эффективной формой предоставления научной информации, поскольку есть
возможность
разместить
различные
материалы
в
большом
количестве,
использовать форматы текста, видео, иллюстраций и т.д., сконструировать
удобную для пользователя навигацию и распределить материалы по темам, тем
самым, предоставляя выбор аудитории. В случае телевизионного канала мы так
же можем выбрать передачу, которую нам интересно будет увидеть, но выбор в
этом случае органичен ежедневной программой передач и временем трансляции
материала. Традиционные формы популяризации науки, как мы можем заметить,
легко могут быть включены в Интернет-коммуникации. Этот процесс слияния
традиционных и новых форм популяризации как раз происходит в наши дни.
Традиционные формы популяризации, которые были разработаны на протяжении
веков, на сегодняшний день активно включены в Интернетпространство. Научнопопулярные материалы, созданные для других каналов распространения
информации, переводят в цифровую форму и распространяют с помощью
Интернета. Например, сайт телевизионного канала «Культура», где представлена
27
возможность посмотреть большую часть материалов, которые транслируются по
телевизору, в любое удобное для нас время. Электронные технологии и
электронная среда способствовали процессу смешения каналов кодирования
информации и появления совершенно новых методов ее распространения. На
сегодняшний день новые технологии повлияли на сближение между медийными и
организационно-событийными формами популяризации научной информации.
Интернет является уникальным интерактивным и мобильным ресурсом, а
также основным носителем медиасферы. Сегодня практически отсутствуют
барьеры, которые раньше мешали получать новые знания. Меняется сознание
человека, оно становится открытым для бесконечных потоков информации. Мы
теперь существуем в постоянных потоках «информационного шума». Механизм
сортировки информации называется фильтром восприятия. С его помощью
человек автоматически выбирает нужную информацию и не обращает внимания
или мгновенно забывает не нужную. Этот механизм заставляет медиасферу быть
конкурентной.
Зачастую
информация,
поданная
в
доступной
форме,
воспринимается поверхностно. Но вместе с этим склоняет людей принимать эту
информацию как истинную, особенно если она была подана наиболее оперативно.
Медиапроекты сделаны так, чтобы получить ответную позитивную реакцию
аудитории. А также рассчитаны на активное участие и содействие публики в
мероприятиях, которые они предлагают. Перед реализацией проекта происходит
тщательное планирование информационных поводов. Их качества, количества,
последовательности и характеристик. С привлечением новых технологий
получение информации происходит очень быстро и практически не зависит от
изначального географического положения. Если медиапроект успешен – он
самораспространяется.
блогосферы и т.п.
Это
происходит
с
помощью
социальных
сетей,
Чтобы поддерживать внимание к медиапроекту, активно
привлекаются пиар-технологии. Они удерживают внимание аудитории к темам
медиапроекта. Внимание аудитории, которое медиапроект привлек, он может
распространить на широкий спектр тем, которые с ним связаны. Медиапроект
предоставляет возможность закрепить некоторый объект в информационной
28
среде и в дальнейшем сохранять уровень внимания к этому объекту за счет
следующих этапов проектирования. В рамках изучения популяризации науки
вызывает интерес разновидность медиапроектов, которая появилась в XXI веке –
это «медиаобразование». В статье И.А. Фатеевой «Новые технические форматы
медиобразовательных
проектов»
«медиаобразовательный
проект».
рассматривается,
Проектом
обычно
что
называют
такое
некоторую
деятельность, которая является уникальной, имеет начало и окончание во
времени, а также ее целью является определенный ожидаемый результат.
Следовательно, медиаобразовательный проект – это медиаобразовательная
уникальная деятельность, ограниченная по времени, целью которой является
создание уникального медиапродукта. Это явление можно определить не только
через понятие деятельности. Можно определить медиаобразовательный проект
через такое понятие как «педагогическая технология». То есть некоторую
совокупность методов организации воспитательных и учебных процессов,
которая
обладает
признаком
воспроизводимости.
Если
определять
медиаобразовательный проект как педагогическую технологию, то акцент можно
сделать на том, что это некая проектная технология, через которую педагоги и
учащиеся реализуют медиадеятельность. Иными словами, они выпускают
журналы, газеты, снимают телепередачи, видеоролики или целые фильмы, делают
интернет-сайты и т.д.
Основной
целью
этой
технологии
является
освоение
учениками
медиапроизводства, получение опыта и навыков в этой области, что является
результатом данного процесса. Особенностью данной формы проектных
технологий является то, что образовательный процесс, который строится на
основе медиаобразования, заключается не в логике учебного предмета, а в той
логике деятельности, которая имеет личное значение для учащихся. И это
является
механизмом
разновидность
мотивации.
медиапроекта.
Но
Медиаобразовательный
не
любой
проект
медиапроект
может
–
это
быть
медиаобразовательным. Это только те проекты, которые изначальны были
задуманы как образовательные. Это их главная функция. В статье И.А. Фатеевой
29
приведена классификация медиаобразовательных проектов по видам: это
печатные издания (брошюры, бюллетени, журналы и газеты) и электронные
источники. Вторую группу можно разграничить по множеству критериев: –
визуальные (инфографика, плакаты, фотоальбомы, фотопроекты и т.д.); –
аудиальные (радиопередачи, аудиокниги и т.д.); – аудиовизуальные (видеоролики,
фильмы, клипы, мультфильмы, телепередачи и т.д.); – интернет-проекты
(компьютерные игры, баннеры, сайты и т.д.). Все эти группы можно
классифицировать дополнительно в зависимости от технического способа, с
помощью которого этот медиапроект существует. Обратим внимание на то, что
все
эти
виды
относятся
к
медийному
виду
популяризации,
который
рассматривается, как новая эффективная форма распространения научной
информации. [12]
Однако
медиаобразовательные
проекты
не
единственная
форма,
направленная на популяризацию научного знания. Самая удобная и эффективная
медиаплатформа популяризации науки - это сайт, посвященный науке. Спектр
представленных тем достаточно широк, материалы в разделах в основном
небольшие, написанные кратко и информативно. Использовано мало терминов и
понятий, которые были бы не понятны широкой аудитории. Или в случае их
использования даны краткие объяснения значений терминов. Многие статьи
представлены в виде интервью с вопросами и ответами, что является удобным для
восприятия читателем. В каждой статье есть ссылки, с помощью которых можно
подробнее ознакомиться с описываемым предметом или явлением. Кроме этого,
на каждой странице представлены текстово-графические блоки, которые
позволяют перейти на другие страницы со статьями схожей тематики или самыми
актуальными материалами на сайте. В верхнем меню сайта можно заметить
кнопку «Лекции», в этом разделе собраны материалы по всем представленным
тематикам в виде бесед с известными учеными и деятелями науки, формат
материалов – интервью и лонгриды. [28]
Современное общество больше ориентировано на восприятие краткой
информации и характеризуется способностью быстро переключаться с одного
30
материала на другой. Поэтому источники, где научно-популярная информация
представлена в краткой форме, считаются более подходящими для современной
аудитории, однако в таком формате обостряется проблема научной корректности,
в связи с упрощением данных. В медиапроектах, ориентированных на более
подготовленную аудиторию, используют формат лонгрида, который является
научно корректным, благодаря работе научного редактора, и тоже подходит для
современной аудитории, так как не выходит за рамки пяти – шести страниц.
Видеоролики о науке появляются в основном на сайтах второй категории и
являются очень эффективным методом популяризации науки. Визуальная
составляющая медиапроектов имеет большое значение. Существует мнение о том,
что у современной молодежи, развито так называемое, клиповое мышление.
Термин «клип» связан с принципами построения видеороликов. «Клип»
представляет собой видеоряд, где компоненты слабо связаны между собой.
Клиповое мировоззрение строится по принципу музыкального видео. Человек
воспринимает мир как ряд почти не связанных между собой фактов, событий,
частей. Клиповое мышление затрудняет анализ какой-либо ситуации, поскольку
образы не сохраняются в сознании надолго и исчезают почти сразу, их место
занимают новые (бесконечное переключение телеканалов, трейлера к фильму,
просмотр рекламы, новостей, чтение блогов и т.д.) Соответственно, формат
коротких видеороликов наполненных научно-популярной информацией успешен
в современном обществе. Зрители, которые не могут продолжительное время
концентрировать свое внимание, способны к просмотру видеороликов длиной
пять – десять минут. Эта информация будет усвоена и переработана зрителями,
если будут учтены аспекты традиционной популяризации: занимательность,
отсутствие сложной терминологии в большом количестве и употребление ярких
примеров. Видеоролики, которые сняты в интересном, необычном формате, могут
с большой скоростью распространяться в интернете, с помощью социальных
сетей. Характеристики занимательности и увлекательности на сегодняшний день
связаны с актуальностью информации. Всех в основном интересуют актуальные
вопросы, проблемы и новости, оказывающие непосредственное влияние на
31
существование. Другим аспектом является парадоксально развлекательный
характер многих научных феноменов, таковы, например, головоломки, которые
относятся к сфере культуры интеллектуального досуга. Здесь рассматривать
развлекательную науку следует с точки зрения некоторого баланса между
культурой и интеллектуальной деятельностью. А.Г. Кислов в статье «Культура
интеллектуального досуга, или Занимательные схолии» замечает, что: «… все
интеллектуальные развлечения, так или иначе, преследуют одну цель - устроить
разуму увлекательные каникулы, а вот формат их осуществления зависит и от
характера аудитории, и от ресурсов, и от временных рамок, и еще от множества
других факторов, баланс которых и призван сохранять крайне зыбкую,
неравновесную систему истины, добра и красоты. Решение головоломок дарит
нам особый опыт откровений, и на этот не лишенный радости путь познания
поколение за поколением вступают те, для кого пифагорейский союз (σύστημα)
открыт хотя бы по выходным дням и в минуты досуга». Таким образом, если
обобщить до всей популярной науки развлекательный эффект решения
головоломок, то и в том, и в другом случае наблюдается своеобразное
сотрудничество интеллектуальной деятельности и художественного видения
реальности. Популярная наука, за счет литературно-игровой формы подачи
материала, дарит опыт новых впечатлений и тем самым обретает свою
аудиторию. Работы современных исследователей говорят о трансформации
общества потребления. Новое состояние современного социума называют
обществом впечатлений (переживаний). Оно характеризуется трансформацией
установок потребления и изменением ориентации социального поведения, с
внешней на внутреннюю форму. Общество переживаний нацелено на глубокие
эмоциональные впечатления в течение существования каждого отдельного
представителя
социума.
Ориентация
на
внутренние
переживания
непосредственно связана с потреблением интеллектуальных продуктов, так как
они предоставляют возможность успешного понимания картины окружающего
мира. Можно предположить, что переход из состояния общества потребления в
общество переживаний может стать прорывом в области популяризации науки,
32
так как критическое мышление, возникающее благодаря получению научных
знаний, может послужить основой для нового опыта освоения реальности и
последующих ярких впечатлений, которые стали целью нового общества. [5;48]
33
ГЛАВА II. ПОПУЛЯРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
В
СОВРЕМЕННОЙ
ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ШКОЛЕ
2.1. Популяризация предмета математики в современной школе
Многие учѐные считают, что замечательных достижений науки и техники
достаточно, чтобы навечно обеспечить интерес и уважение публики к науке. Это
заблуждение. Поведение публики подчиняется закономерностям массовой
психологии – то, о чѐм постоянно не напоминают, выпадает из еѐ внимания, то,
что не обновляется, становится скучным.
Если спросить математиков, то о разных прикладных задачах, где полезна
их наука, можно узнать очень много - от оптимального укладывания вещей в
рюкзаке и победы за счет математически выверенного маршрута до грамотной
организации аукционов и игры на бирже. Но, похоже, что для самих математиков
все это, на самом деле, побочный эффект, а самое главный двигатель великих
открытий - это научный азарт в его самом лучшем виде.
Несмотря на то, что все мы в школе, хотели мы того или нет, занимались
математикой очень много, мы не изучили и сотой доли всех тех понятий и даже
общих закономерностей, что существует в этой науке. А значит, уже начав
разбираться с каким-то исследованием, мы натолкнемся на то, что не понимаем
даже слов, что употребляет ученый. «Для объяснения любого открытия придется
ввести очень много контекста, а в некоторых областях много определений уже на
начальном этапе, чтобы в итоге дойти до сути. В общем, входной билет очень
дорогой», - говорит Николай Андреев.
Еще одна сложность, о которой говорят многие математики, занимающиеся
популяризацией - страх перед этой наукой, укоренившийся у многих еще со
школы. Отчасти он связан с проблемами преподавания математики в школе, а
отчасти со вполне объективной сложностью этой науки.
34
«Математика постоянно на всех уровнях требует очень высокого
понимания. Если ты не понял, как дроби складывать, то и дальше сложно будет»,
- говорит Николай Андреев.
У
популярной
науки
можно
выделить
два
основных
аспекта:
развлекательный и образовательный. Это не два совершенно изолированных друг
от друга аспекта популярной науки, напротив, развлекательная наука в
значительной мере может обеспечивать эффективность образовательной науки.
Развлекательная версия популярной науки основывается на представлении самой
науки как игрового процесса. Читателям предлагают, например, произвести
эксперименты, которые возможно осуществить в домашних условиях. Например,
вырастить цветные кристаллы из соли, наблюдать пятна на Солнце и т. д.
Развлекательная научно-популярная литература предполагает краткость, большое
количество актуальных примеров и использование визуальной составляющей
(иллюстрации, красочные схемы, графики). Целевой аудиторией популяризации
науки с преобладающим развлекательным аспектом являются преимущественно
дети младшего и среднего школьного возраста. Заинтересовать целевую
аудиторию и привлечь к занятию наукой – это главные задачи развлекательной
научной популяризации. Также популярная наука развлекательного характера
может ориентироваться на взрослую аудиторию. В таком случае этот феномен
связан
с
культурой
интеллектуального
досуга.
Образовательная
версия
популяризации больше ориентируется на распространение научных знаний.
Целевая аудитория для образовательной популяризации – это преимущественно
ученики старших классов и студенты. [4; 16; 21]
Образовательная версия популяризации научного знания характеризуется
насыщенностью научных фактов в текстах, предоставлением информации о
дополнительных источниках научных знаний. Форма представления научнопопулярной информации с образовательным аспектом носит методический
характер. Исходя из рассмотренных аспектов популяризации, исследуем
основные принципы популяризации: 1) доступное изложение; 2) проведение
аналогий
и
сравнений
с
явлениями,
которые
известны
читателям;
35
3) увлекательное изложение материала; 4) эффект диалога с автором. Рассмотрим
принципы популяризации научных знаний подробнее.
Во-первых, для каждой аудитории необходимо учитывать степень ее
подготовленности,
а
также
возрастные
и
образовательные
особенности.
Ориентируясь на определенную специфическую аудиторию, можно выбрать
средства и методы, которые помогут достигнуть эффективности в каждом
конкретном случае. Существует два средства, которые позволяют достигнуть
доступности в большинстве случаев и поэтому они являются универсальными:
последовательность
и
конкретность
изложения.
Во-вторых,
необходимо
проводить аналогии и сравнения с явлениями, которые известны читателю, и
интерпретировать представленный материал. Конкретизация посредством ярких
примеров
зачастую
облегчает
восприятие
текста.
Новые
знания
легче
воспринимаются, если читатель движется по пути исследователя. Это является
одним из главных принципов популяризации научного знания. Необходимо,
чтобы научно-популярная работа приобретала некоторые существенные черты
художественного текста. Динамичность и живость повествования, отсылки и
сравнения, которые позволяют увидеть нечто знакомое в незнакомой области
знания. Третий принцип – увлекательное изложение материала. Следует обратить
внимание на такие издания, как «Занимательная физика», «Занимательная
математика» и т.д. Суть заключается в том, что научная информация
представлена в виде загадок, головоломок, парадоксов, а также дополнена
эстетическими воззрениями автора, творческими отступлениями и т. п.
Распространение математических знаний в современной и доступной форме
увеличивает количество людей, интересующихся этой наукой, благодаря
стимуляции интереса к ней. Главное – заинтересовать, не перегрузив научной
информацией. «Каждая включѐнная в книгу формула вдвое уменьшит число
покупателей» (Стивен Хокинг).
В
центре
инновационного
развития
проводятся
популяризации научных знаний с привлечением специалистов.
мероприятия
по
36
Быть великим писателем от науки означает не только уметь объяснить
простым языком сложные идеи и теории: сюда также включается способность
писать таким образом, чтобы читатель, который не является экспертом в этой
области, хотел заниматься и узнавать больше о предмете. Это достаточно сложно,
но за много лет были люди, которым удавалось проделывать это с наукой и
читателями.
Знаменитый популяризатор математики. Ян Стюарт выиграл множество
наград за свои книги, которые донесли математику и науку в целом до огромной
аудитории. Фанаты научной фантастики любят его серию «Науки плоскомирья», а
фанаты математики читают его «Числа природы».
Работы математика Стивена Строгатц охватывают разные области:
социология, бизнес, эпидемиология и другие. Его творчество помогло донести
множество скрытых понятий до большой аудитории, оно интересно и местами
даже эмоционально. [31; 51]
Книга 1980 года «Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая тесьма» принесла
Дугласу Р. Хофтштадеру Пулитцеровскую премию. Будучи сыном Нобелевского
лауреата по физике, Хофтштадер вырос в научном мире и написал ряд
новаторских и хорошо раскрывающих суть книг на эту тему.
Популяризации математики для учащихся возможна различными методами.
Решение задач прикладного характера, измерительные работы на местности
можно использовать как на уроках, так в квестах и других играх в рамках месяца
математического образования. Такая работа обычно вызывает множество
положительных эмоций у школьников. Тем более, что задачи реальной
математики встречаются и на выпускных экзаменах, и их решение затребованы
ФГОС.
Математический десант также является популярным среди учащихся.
Ребята
находят
увлекательную
информацию
и
делятся
ею
с другими
школьниками, как на уроках, так и во внеурочное время. Факультативы, декады
науки также способствуют развитию интереса к математике и творческих
способностей учащихся. Слѐт научных сообществ «Территория знаний». В рамках
37
подготовки к слѐту выпуск электронной газеты «За нами будущее!», организация
исследовательской лаборатории по изучению свойств конических кривых и их
практическому применению в медицине, Изучение литературного произведения
Льюиса Кэррола «Алиса в стране чудес» с точки зрения математики, и постановка
театра теней. Во время туристических поездок с учащимися включены в
программу мастер – классы, связанные с научно – техническим творчеством,
научные шоу. [23; 49]
Одни из самых распространѐнных методов популяризации математики и
расширения знаний являются внеурочные или внеклассные занятия, под
которыми понимают необязательные систематические занятия учащихся по
математике во внеурочное время под руководством учителя. Организации
внеклассных
занятий
подразумевает
следующее:
разработка
замысла,
планирование, подготовительные мероприятия, мониторинг, прогноз. Основные
отличия внеклассных занятий от традиционных уроков заключаются в том, что
урок ограничен стандартом, учебной программой, учебником, временными
рамками,
а
выбор
темы,
содержания,
структуры,
продолжительности
внеклассного занятия во многом принадлежит учителю и зависит лишь от
индивидуальных особенностей школьников, посещающих эти занятия. Таким
образом, внеклассные занятия
- огромный полигон для творчества учителя.
Учитель сам становится автором этих занятий.
В связи с тем, что посещение внеклассных занятий, в отличие от урока,
необязательно, становится необходима мотивация, заинтересованность учащихся.
Посещение учащимся того или иного вида внеклассных занятий может зависеть
как от внутренних потребностей школьника, так и от субъективного мнения
учителя в необходимости таких занятий для учащегося.
Изучив опыт отдельных учителей, которые много лет успешно занимаются
организацией и проведением внеклассных занятий по математике в средней
школе, был сделан вывод, что дидактическими целями и задачами внеклассных
занятий, как правило, являются: повышение уровня математических знаний
учащихся; углубление и расширение знаний по математике; развитие интереса
38
учащихся к предмету; развитие их математических способностей; воспитание у
школьников интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой;
воспитание и развитие инициативы и творчества; интеллектуальное развитие;
подготовка к практической творческой деятельности; повышение общего уровня
развития учащихся; подготовка школьников к дальнейшему образованию и
самообразованию.
Изучение имеющегося педагогического опыта и проведенное исследование
показали, что внеклассные занятия школьников с использованием ИКТ является
средством
эффективного
развития
личности
школьника;
формирования
творческой активности и самостоятельности, познавательной деятельности,
развития интеллекта учащегося. Под ИКТ в работе понимается совокупность
опосредованных компьютером и другими техническими средствами (и ставших
возможными лишь благодаря им) методов и процессов оперирования с
информацией. Сказанное выше определяет необходимость разработки методики
проведения и организации внеклассных занятий по математике в средней школе с
использованием этих средств для своевременного получения наиболее полной и
достоверной информации, ее качественной и количественной обработки,
хранения и передачи, направленной на проектирование и реализацию содержания,
методов, форм и средств обучения, адекватных целям внеклассных занятий. [41;
45]
Анализ основных направлений организации и проведения внеклассных
занятий по математике с использованием ИКТ на сегодняшний день, говорит о
том, что имеющиеся методические разработки в этой области не охватывают все
разнообразие внеклассных занятий по математике, а потому необходимо создание
более эффективной методики организации и проведения внеклассных занятий по
математике в средней школе, на основе использования ИКТ.
Эффективная модель организации и проведения внеклассных занятий по
математике с использованием ИКТ построена на основе следующих положений:
39
-гармоничное сочетание возможностей использования ИКТ с традиционной
методикой организации и проведения внеклассных занятий по математике в
средней школе;
-отбор ИКТ с учетом содержания дидактических целей, которые ставятся на
внеклассных занятиях.
С помощью компьютера можно управлять учебной деятельностью
учащегося и направлять процесс самостоятельной работы учащегося
компьютерной
программой-репетитором,
тестирующей
программой
с
или
электронным учебником. Здесь учащийся имеет возможность ознакомиться с
теоретическими сведениями по интересующей его теме, с примерами решения
математических задач (компьютер оказывает обучающее воздействие на
учащегося), а также попробовать свои силы в ответе на контрольные вопросы по
изученной теме или в решении отдельных задач, где проверку правильности его
ответов осуществляет компьютер (обратная связь).
Роль учителя заключается в программировании взаимодействия учащегося с
компьютерной программой. Например, компьютерная программа для создания
тестов позволяет учителю организовать проверку знаний учащихся по нужной
ему теме, с выбранными им критериями оценки и т.п. Компьютерная программа,
осуществляя взаимодействие с учащимся, дает также возможность учителю
отслеживать успехи учащихся в выполнении заданий. Возможна также передать
часть управленческих функций компьютеру, оставляя за собой право управлять
процессом обучения и корректировать его по мере надобности. [13; 30]
Данная модель наиболее предпочтительна при работе учащихся в классе с
некоторой компьютерной средой, позволяющей лишь расширить возможности
представления
информации,
выступающей
в
роли
помощника,
но
не
программирующей действия учащегося. Здесь ведущая роль остается за учителем,
который организует ход занятия, где происходят периодические обращения к
компьютерной программе для самых различных целей от самостоятельного
изучения
школьниками
отдельных
теоретических
вопросов
и
контроля
40
изученного до замены работы, учащимися в тетради работой в компьютерной
среде.
Эксперимент показал, что организация и проведение внеклассных занятий
по математике с использованием ИКТ более эффективны, если при выборе
учителем обучающей компьютерной программы содержание, методы и формы
обучения, реализуемые с использованием ИКТ соответствуют поставленной
дидактической цели и способствуют ее реализации. Решаемые обучающей
программой задачи не расходятся с задачами планируемых внеклассных занятий.
Обучающая
программа
педагогическим
соответствует
программным
требованиям,
средствам.
Желательно,
предъявляемым
чтобы
к
избранные
программы были просты в обращении, позволяя быстро обучить школьников
работе с ними. В противном случае необходимо наличие времени (возможно, на
факультативе по информатике) на изучение данных программ. При отборе ИКТ
для
организации
и
проведения
внеклассных
занятий,
следует
также
руководствоваться соображениями целесообразности, очевидной полезности их
использования. Занимательность и наглядность применения ИКТ должны
соседствовать
с
возможностью
раскрытия
неочевидного,
постановками
проблемных ситуаций, активным вовлечением школьников в процесс обучения.
Не потеряли актуальность и другие формы популяризации математических
знаний среди школьников. Математический кружок - обеспечение доступа к
необходимой информации; широкие возможности обработки текстовой и
графической информации; наличие игровых элементов.
Математические состязания - широкие возможности обработки текстовой,
графической,
аудио-
и
видео-
информации;
возможность
обеспечения
взаимодействия (противодействия) нескольких учащихся (игроков, команд) в
ходе соревнования; наличие игровых элементов; возможности красочного
оформления действа; возможность выбора учителем: а)системы подсчета
набранных участниками баллов, б)ограничения/неограниченности времени на
выполнение
задания/всего
состязания,
в)наличия/отсутствия
подсказок
к
решениям задач, г)определенного вида вопросов, д)очередности представления
41
вопросов школьникам, е)возможности/невозможности возврата к вопросам, на
которые ученик не дал ответа с первой попытки.
Факультативные
занятия
-
обеспечение
доступа
к
необходимой
информации; широкие возможности обработки текстовой и графической
информации; регламентация и программируемость занятий; возможность учета
индивидуальных особенностей школьника при решении поставленных задач;
наличие необходимого для осуществления самостоятельной поисковой работы
школьников инструментария; отсутствие элементов, отвлекающих внимание
школьников от занятий математикой - ярких картинок, видео-, аудио- и другой
информации, не относящейся к теме занятия.
Научное математическое общество - обеспечение доступа к необходимой
информации; широкие возможности обработки текстовой и графической
информации; наличие необходимого для осуществления самостоятельной
поисковой работы школьников инструментария; электронное сопровождение
математических
успехов
школьников;
электронные
презентации
работ
школьников.
Математический вечер - обеспечение доступа к необходимой информации;
широкие возможности обработки текстовой и графической информации; широкие
возможности представления аудиовизуальной информации; охват большой
аудитории; возможности красочного оформления действа.
Анализ реальной ситуации показал, что школой накоплен богатый опыт
организации и проведения внеклассных занятий по математике. Разнообразие
форм и методов проведения подобных занятий определило возможности
использования ИКТ на внеклассных занятиях по математике. Однако, появились
проблемы, которые необходимо решить при организации внеклассных занятий с
использованием ИКТ, например, проблема выбора в сторону того или иного
обучающего средства из множества существующих.
Многие школьники теряют интерес к изучению математики из-за
трудностей в ее усвоении, в силу различных способностей и имеющегося уровня
знаний. Поэтому содержание и процесс проведения внеклассных занятий должны
42
максимально учитывать возможности и особенности каждого учащегося. Таким
образом, приобретает актуальность совершенствование внеклассного обучения,
внедрение в его процесс новых педагогических технологий. В настоящий период
на смену науке о целенаправленном воздействии обучающего на ученика с целью
передачи
знаний
пришла
новая,
личностно
ориентированная
концепция
образования. Она ставит в центр образования личность ученика, обеспечение
комфортных, бесконфликтных условий еѐ развития, реализацию еѐ природных
потенциалов. Теперь качество современного образования определяется не только
объѐмом знаний, но и особыми личностными характеристиками, делающими
человека способным к диалогу с окружающей его социальной средой.
Важнейшая задача школы - давать подрастающему поколению глубокие и
прочные знания основ наук, вырабатывать навыки, умения, применять их на
практике. В связи с этим нужна такая организация обучения, при которой бы дети
включались в работу. Многое зависит от учителя: как он организует работу, в том
числе и с учетом уровня подготовленности класса, их интересов, индивидуальных
и возрастных особенностей каждого учащегося, выделяя целесообразность той
или иной формы внеклассной работы. Если учитывать все эти моменты, то можно
так поставить внеклассную работу, при которой легко добиться высоких
результатов.
43
2.2. Методика организации и проведения внеурочных занятий по теме
«Величайшие математические задачи»
Реформа школы требует усиления связи между обучением, воспитанием и
развитием детей. Большими резервами в решении поставленной задачи обладает
взаимосвязанная урочная и внеурочная работа учащихся по разным предметам, в
частности, по математике. Эта работа определяется как составная часть учебновоспитательной работы школы, как одна из форм организации досуга учащихся.
Она бывает разнообразной по содержанию и формам. Внеклассная работа по
математике является образовательной по содержанию. [17].
Цель внеурочных занятий по теме «Величайшие математические задачи»
развивающая. Развитие у учащихся геометрической, алгебраической и числовой
интуиции, пространственного представления и воображения, сообразительности,
наблюдательности, памяти. [51].
Содержание и форма:
-доступность темы вводного занятия всем учащимся; опора при решении
задач первых занятий только на здравый смысл и простейшие вычислительные
навыки; использование разминочных задач;
-задания, требующие от ученика творческого мышления: самостоятельного
поиска неявных связей между компонентами задачи, их анализа, предельного
напряжения способностей, изобретательности и настойчивости;
-многоходовые задачи, для решения которых приходится использовать не
только те факты и конструкции, которым посвящена изучаемая тема, но и все
изученные темы.
Например, в книге рассматривается теория простых чисел. Проблема
Гольдбаха.
Некоторые великие задачи встречаются и в начальном курсе математики,
хотя мы этого не замечаем. Вскоре после того, как ребенок осваивает умножение,
он знакомится с концепцией простого числа. Известно, что некоторые числа
могут быть получены при перемножении двух меньших чисел, к примеру: 6=2·3.
44
Другие, такие как 5, невозможно разложить подобным образом на сомножители.
Максимум, что можно сделать, это записать 5 = 1 x 5, но в этом выражении нет
двух меньших чисел. Числа, которые можно разбить на сомножители, называют
составными, а те, что разложить невозможно, - простыми. Простые числа кажутся
такой несложной темой! Если вы уже умеете перемножать натуральные числа, то
способны разобраться и в том, что представляет собой простое число. Простые
числа - первичные строительные кирпичики для всех натуральных чисел, и
обнаружить их можно в самых разных разделах математики. Но в них есть тайна,
и, на первый взгляд, они раскиданы среди положительных целых чисел почти
случайным образом. Нет никаких сомнений: простые числа - настоящая загадка.
Возможно, это естественное следствие их определения - ведь определяются они
не через какое-либо присущее им свойство, а напротив - через свойство, которое у
них отсутствует. С другой стороны, для математики это фундаментальное
понятие, поэтому мы не можем просто так в ужасе поднять руки и сдаться. Нам
необходимо с ними освоиться и каким-то образом вызнать их потаенные секреты.
Некоторые свойства простых чисел очевидны. За исключением самого
маленького из них, двойки, все они нечетные. Сумма цифр простого числа, за
исключением тройки, не может быть кратна трем. Они, за исключением пятерки,
не могут заканчиваться на цифру 5. Если же число не подпадает под эти правила и под несколько других, более тонких, - то невозможно посмотреть на него и
сразу сказать, простое это число или нет. Да, существуют формулы для простых
чисел, но это в значительной степени обман. Эти формулы не дают никакой
полезной новой информации о простых числах; это просто хитрый способ
зашифровать определение «простоты» в виде формулы. Простые числа - как
люди: каждое из них - личность, и они не подчиняются общим правилам.
За тысячелетия математики сумели постепенно расширить свои знания о
простых числах. Время от времени и сегодня решаются новые серьезные
проблемы, с ними связанные. Однако многие вопросы по-прежнему остаются
нерешенными. Некоторые из них фундаментальны и легко формулируются,
другие понятны немногим. В этой главе говорится о том, что мы знаем и чего не
45
знаем
об
этих
раздражающих
своей
неприступностью,
но
все
же
фундаментальных числах. Начинается она с установления некоторых базовых
понятий: в частности, концепции разложения на простые множители - как
представить заданное число в виде произведения простых чисел. Даже этот
знакомый процесс заводит нас на глубину сразу же, как только мы начинаем
задавать вопросы о по-настоящему эффективных методах поиска простых
множителей конкретного числа. Как ни удивительно, определить, является ли
данное число простым, относительно несложно, но если число составное, то
отыскать его простые множители часто намного труднее.
Разобравшись в основах, перейдем к самой известной из нерешенных задач,
связанных с простыми числами, - к проблеме Гольдбаха, которой уже 250 лет. В
последнее время в работе над ней достигнут колоссальный прогресс, но
полностью она пока не решена. А несколько других задач представят нам
примеры того, что еще предстоит сделать в этой важной, но трудно поддающейся
исследованию области математики.
Простые числа и разложение на множители знакомы нам из школьного
курса арифметики, однако большинство интересных свойств простых чисел на
этом уровне не рассматривают и никаких доказательств не представляют. Тому
есть веские причины: доказательства даже самых очевидных, на первый взгляд,
свойств удивительно сложны. Вместо этих школьников учат некоторым простым
методикам работы с простыми числами, акцентируя внимание на вычислениях,
где цифры относительно невелики. В результате наши первые впечатления от
встречи с простыми числами, как правило, обманчивы.
Древние греки были знакомы с некоторыми базовыми свойствами простых
чисел и знали, как их доказать. Простые числа и сомножители - основная тема
Книги VII евклидовых «Начал», классического труда, посвященного геометрии. В
этой книге имеется, в частности, геометрическое представление арифметических
действий - деления и умножения. Греки предпочитали работать не с числами как
таковыми, а с длинами линий (отрезков), но их результаты несложно
переформулировать на языке чисел. Так, Предложение 16 Книги VII доказывает,
46
что при перемножении двух чисел результат не зависит от того, в каком порядке
берутся эти числа. Иными словами, a·b = b·a, фундаментальный закон алгебры.
В школьной арифметике простые делители используют для поиска
наибольшего общего делителя двух чисел. К примеру, чтобы найти наибольший
общий делитель чисел 135 и 630, мы раскладываем их на простые множители:
135 = 33 · 5; 630 = 2 · 32 · 5 · 7.
Затем берем все простые числа, которые присутствуют в обоих
разложениях, в наибольшей общей степени; получаем 32 x 5. Перемножаем,
получаем 45. Это и есть наибольший общий делитель. Из этой процедуры
создается впечатление, что без разложения на простые множители невозможно
найти наибольший общий делитель. На самом деле с точки зрения логики все
наоборот. Предложение 2 Книги VII «Начал» представляет метод поиска
наибольшего общего делителя двух натуральных чисел без разложения их на
простые множители. Метод состоит в последовательном вычитании меньшего
числа из большего, а затем остатка из меньшего числа и т. д. до тех пор, пока есть
остаток. Для тех же чисел 135 и 630 - это достаточно типичный случай для
небольших чисел - процесс выглядит так. Вычитаем 135 из 630 столько раз,
сколько сможем:
630 - 135 = 495;
495 - 135 = 360;
360 - 135 = 225;
225 - 135 = 90.
Поскольку 90 <135, переходим к той же процедуре с участием чисел 90
и 135:
135 - 90 = 45.
Поскольку 45 <90, продолжаем то же с числами 45 и 90:
90 - 45 = 45;
45 - 45 = 0.
Таким образом, наибольший общий делитель чисел 135 и 630 равен 45.
47
Эта процедура работает потому, что на каждой стадии происходит замена
первоначальной пары чисел более простой парой (одно из чисел уменьшается),
которая тем не менее имеет тот же наибольший общий делитель. В конце концов,
одно из чисел делится на второе нацело, без остатка, и процесс поиска на этом
завершается. В наше время подробное описание вычислительного метода, при
помощи которого можно гарантированно найти ответ той или иной задачи,
называют алгоритмом. Поэтому и процедура из «Начал» Евклида известна
сегодня как евклидов алгоритм. Логически эта процедура первична по отношению
к процедуре разложения на простые множители. В самом деле, Евклид использует
ее для доказательства основных свойств простых делителей. В современных
университетских курсах математики алгоритм Евклида используется с той же
целью. [51]
Описанная процедура целиком опирается на евклидово Предложение 30 и
была бы невозможна без него. В современных терминах речь в нем идет о том,
что если произведение двух чисел - то, что мы получаем при их перемножении делится на некое простое число, то на это же число должен делиться один из
сомножителей. Предложение 32 заключается в том, что любое число либо само
является простым, либо имеет простой делитель. Объединив оба утверждения,
несложно сделать вывод, что любое число есть результат перемножения простых
множителей и что их набор единственный, если не брать во внимание порядок
записи. К примеру, 316 = 43 046 721 = 2 532 160 x 17 + 1.
Ни один человек, находящийся в своем уме, не захочет проводить подобные
расчеты для, скажем, 100-значных простых чисел. К счастью, существует хитрый
и быстрый способ сделать это. Смысл в том, что ответ не равен единице, если
модуль, с которого мы начали, является составным числом. Так что теорема
Ферма - надежная основа для эффективного теста, который обеспечивает
необходимое условие простоты числа.
К несчастью, одного этого теста недостаточно. Известно, что его проходят и
многие составные числа, известные как числа Кармайкла. Самое маленькое из них
561, и в 2003 г. Ред Элфорд, Эндрю Гранвиль и Карл Померанс доказали, к
48
всеобщему изумлению, что таких чисел бесконечно много. Изумление
математического сообщества вызвал тот факт, что авторам удалось найти
доказательство; сам по себе результат особого удивления не вызвал. Фактически
было доказано, что для каждого числа x существует по крайней мере x2/7 чисел
Кармайкла, меньших или равных x, если x достаточно велико.
Однако более сложные варианты теоремы Ферма действительно можно
превратить в тесты на простоту, такие как опубликованный в 1976 г. Гэри
Миллером. К несчастью, доказательство достоверности теста Миллера опирается
на одну из нерешенных великих математических задач - обобщенную гипотезу
Римана
(глава 9).
В 1980 г.
Майкл
Рабин
превратил
тест
Миллера
в
вероятностный, т. е. такой, который может иногда давать неверный ответ.
Исключения, если они существуют, встречаются очень редко, но тем не менее
доказать, что их нет, невозможно.
Наиболее
эффективным
детерминированным
(т. е.
дающим
гарантированный результат) тестом на сегодняшний день является тест Адлемана
- Померанса - Румели, названный в честь своих создателей - Леонарда Адлемана,
Карла Померанса и Роберта Румели. В нем используются концепции теории
чисел, куда более сложные, чем теорема Ферма, но примерно того же характера.
Я до сих пор помню письмо одного математика-любителя, предложившего
вариант испытания делением. Давайте пробовать все возможные делители,
предлагал этот энтузиаст, но начинать с корня квадратного из числа и двигаться,
наоборот, вниз. Иногда этот метод действительно позволяет быстрее получить
результат, чем при проверке делителей в обычном порядке, но с ростом чисел он,
естественно, встречается с теми же проблемами, что и обычный метод. Если
применить предложенный вариант к приведенному выше примеру, 22-значному
числу 1 080 913 321 843 836 712 253, то квадратный корень из него равен
примерно 32 875 725 419. Вам придется перепробовать 794 582 971 простой
делитель, прежде чем вы доберетесь до нужного. Это хуже, чем искать его
обычным путем.
49
В 1956 г. знаменитый логик Курт Гедель в письме к Джону фон Нейману
почти буквально повторил мольбу Гаусса. Он спрашивал, можно ли улучшить
метод пробного деления, и если можно, то насколько. Фон Нейман не стал
заниматься этим вопросом, но позже другие математики ответили Геделю, открыв
практические методы нахождения простых чисел длиной до 100 знаков, а иногда
даже больше. Эти методы, самый известный из которых называется методом
квадратичного решета, появились около 1980 г. Однако почти все они либо
вероятностны, либо неэффективны в следующем смысле.
Как увеличивается компьютерное время, необходимое для вычислений, с
ростом объема исходных данных? При тестировании на простоту исходные
данные - это не само число, а число знаков в нем. Ключевое различие в этом
случае
проводится
между
двумя
группами
алгоритмов
-
алгоритмами,
принадлежащими и не принадлежащими к классу P. Если время работы алгоритма
растет как некая фиксированная степень от размера исходных данных, то
алгоритм принадлежит к классу P; в противном случае - не принадлежит. Грубо
говоря, алгоритмы класса P полезны, тогда как те, что не принадлежат к этому
классу, непрактичны. Существует, однако, промежуточная полоса своеобразной
ничьей земли, где в ход идут другие соображения. Класс P получил название от
понятия «полиномиальное время» - именно так замысловато математики говорят
о постоянных степенях.
По стандартам класса P метод пробного деления работает из рук вон плохо.
На школьном уровне, где для проверки предлагаются двух - или трехзначные
числа, с ним все в порядке, но при работе со 100-значными числами он абсолютно
безнадежен. В общем, пробное деление никак не укладывается в P-класс. Если
быть точным, то время выполнения этого алгоритма для любого n-значного числа
приблизительно равняется 10n/2, а эта величина растет быстрее, чем любая
фиксированная
степень n.
С
таким
типом
роста,
известным
как
экспоненциальный, по-настоящему трудно иметь дело, это страшный сон любого,
кто занимается вычислениями.
50
До 1980-х гг. у всех известных алгоритмов проверки на простоту, за
исключением
вероятностных
или
тех,
надежность
которых
оставалась
недоказанной, время вычислений росло экспоненциально. Однако в 1983 г. был
найден алгоритм, очень соблазнительно лежащий на ничьей земле вблизи Pтерритории: это уже упоминавшийся тест Адлемана - Померанса - Румели. Его
улучшенная версия, разработанная Генри Коэном и Хендриком Ленстрой, имела
время вычисления n в степени log log n, где log - обозначение логарифма.
Технически log log n может быть сколь угодно большим, поэтому данный
алгоритм не относится к P-классу. Однако это не мешает ему быть пригодным к
практическому использованию: если n - гуголплекс, т. е. 1 с 10100 нулями, то log
log n равен примерно 230. Старая шутка гласит: «Доказано, что log log nстремится
к бесконечности, но никто никогда не видел, как он это делает».
Первый тест на простоту, принадлежащий к P-классу, открыли в 2002 г.
Маниндра Агравал и его студенты-дипломники Нирадж Каял и Нитин Саксена.
В Примечаниях можно прочитать об этом немного подробнее {2}. Они придумали
алгоритм и доказали, что время его выполнения растет пропорционально не более
чем n12; очень скоро эта величина была уменьшена до n7,5. Однако, несмотря на то
что
их
алгоритм
относится
к P-классу
и,
соответственно,
считается
«эффективным», его преимущества не проявляются до тех пор, пока n не
становится очень и очень большим. По идее этот алгоритм должен побить тест
Адлемана - Померанса - Румели, когда число знаков в n приблизится к 101000. Но
такое большое число невозможно разместить не только в память компьютера, но
и вообще в известной Вселенной. Зато теперь мы точно знаем, что алгоритмы Pкласса для проверки простоты числа существуют. Ясно, что поиск лучших
алгоритмов в этой категории - дело стоящее. Ленстра и Померанс снизили степень
с 7,5 до 6. Если еще некоторые предположения о свойствах простых чисел
подтвердятся, степень можно будет снизить до 3, что приблизит нас к
практическому применению подобных алгоритмов.
Но самое интересное в алгоритме Агравала - Каяла - Саксены - не результат,
а метод. Он прост - по крайней мере для математиков - и отличается новизной. В
51
основе его лежит вариант теоремы Ферма, но, вместо того чтобы работать с
числами, команда Агравала использовала многочлены. Многочлен, или полином,
- это комбинация степеней переменной x, такая, к примеру, как 5x^3 + 4x - 1.
Многочлены
можно
складывать,
вычитать
и
перемножать,
и
обычные
алгебраические законы на них тоже распространяются.
По-настоящему великолепная идея: расширить пространство дискурса и
перенести проблему в новую область. Это тот самый случай, когда идея проста
настолько, что нужно быть гением, чтобы разглядеть ее. Первый намек на нее
проскользнул в статье Агравала и его научного консультанта Сомената Бисваса:
авторы предложили вероятностный тест на простоту, основанный на аналоге
теоремы Ферма в мире полиномов. Агравал был убежден, что вероятностный
компонент этого метода может быть устранен. В 2001 г. его студенты пришли к
нему с очень важным техническим замечанием. Начав в нем разбираться, команда
углубилась в дебри теории чисел, но постепенно, со временем, все замечания
удалось свести к единственному препятствию - вопросу существования простого
числа p, такого, чтобы число p - 1 имело бы достаточно большой простой
делитель. Несколько консультаций с коллегами и поиск в Интернете помогли
обнаружить теорему, которую Этьен Фуври доказал в 1985 г. при помощи
сложных формальных методов. Именно этого команде Агравала недоставало,
чтобы доказать работоспособность алгоритма, и последняя деталь головоломки
точно встала на место.
В те времена, когда теория чисел пребывала в своей башне из слоновой
кости, вся эта история прошла бы незамеченной и никак не повлияла бы на жизнь
остального мира. Но в последние 20 лет простые числа приобрели огромный вес в
криптографии - науке о шифрах. Шифры важны не только для военных, у
коммерческих компаний тоже хватает секретов. Сегодня, в век Интернета,
секреты есть у каждого из нас: мы не хотим, чтобы преступники получили доступ
к нашим банковским счетам и номерам кредитных карт. Мало того, все чаще в
преступных целях используются и другие личные данные, так что хотелось бы
уберечь их все, вплоть до клички домашней кошки. Но Интернет невероятно
52
удобен при оплате счетов, страховании машин и заказе всего, что необходимо для
поездки на отдых, и всем нам приходится мириться с риском того, что ценная
частная информация попадет не в те руки.
Производители компьютеров и интернет-провайдеры пытаются снизить
этот риск, предлагая пользователям различные системы шифрования. Надо
сказать, что внедрение компьютеров изменило как саму криптографию, так
и криптоанализ - искусство взлома шифров. В настоящее время разработано
множество новых шифров. Один из самых известных шифров, который в 1978 г.
придумали Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман, основан на
использовании простых чисел. Больших простых чисел, примерно 100-значных.
Система Ривеста - Шамира - Адлемана (известная как RSA) используется во
многих компьютерных операционных системах, встроена в основные протоколы
безопасного интернет-соединения, ею широко пользуются правительства,
корпорации и университеты. Конечно, не каждое новое открытие, имеющее
отношение к простым числам, может повлиять на безопасность вашего
банковского счета, но это добавляет теме интереса. Как только удается выяснить
что-то новое, что помогает связать простые числа и компьютерные вычисления,
это привлекает повышенное внимание. Так случилось и с тестом Агравала
-
Каяла - Саксены, хотя при всей своей математической элегантности и важности
непосредственного практического значения он не имеет.
Тем не менее он позволил немного под другим углом рассмотреть общий
вопрос криптографии по Ривесу - Шамиру - Адлеману, и результат вызывает
некоторые опасения. До сих пор не существует ни одного алгоритма P-класса для
решения второй из названных Гауссом задач - разложения на простые множители.
Большинство специалистов сходятся во мнении, что такого алгоритма не
существует, но в последнее время их уверенность несколько поколебалась.
Поскольку где-то за кулисами, совсем рядом, могут скрываться и другие
открытия, подобные тесту Агравала - Каяла - Саксены и основанные на таких же
простых идеях, как полиномиальная версия теоремы Ферма (и не важно, что пока
о них никто даже не подозревает), может оказаться, что системы шифрования,
53
основанные на разложении числа на простые множители, не настолько надежны,
как нам хочется верить. Так что пока не стоит раскрывать в Интернете кличку
вашей кошки!
Даже элементарная математика простых чисел ведет к выдвижению более
сложных концепций. Евклид доказал, что простые числа уходят в бесконечность,
так что невозможно просто перечислить их все и успокоиться. Мы не можем
также дать простую и практичную алгебраическую формулу для вычисления всех
простых чисел подряд, примерно так, как по формуле x^2 вычисляются квадраты
чисел. (Простые формулы существуют, но они «мошенничают», встраивая в
формулу сами простые числа под разными личинами, и в результате не сообщают
нам ничего нового. Пытаясь познать природу этих неуловимых и странных чисел,
мы экспериментируем, ищем в них признаки структурированности и пытаемся
доказать, что найденные нами закономерности присутствуют во всех простых
числах, какими бы большими они ни были. Можно, к примеру, задаться вопросом
о том, как простые числа распределены среди всех целых чисел. Таблицы простых
чисел позволяют предположить, что чем дальше, тем таких чисел становится
меньше. В табл. 1 показано, сколько простых чисел содержится в разных
диапазонах на 1000 последовательных целых чисел.
Таблица 1. Количество простых чисел в последовательных интервалах
по 1000 чисел
54
Числа во второй колонке по большей части уменьшаются сверху вниз, хотя
иногда ненадолго изменяют свое поведение: к примеру, после 114 мы видим 117.
Это симптом нерегулярности простых чисел, но в целом общая тенденция
прослеживается достаточно четко: чем больше числа, тем реже среди них
встречаются простые. За объяснением не нужно далеко ходить: чем больше
становится число, тем больше у него потенциальных делителей. А простые числа
должны избегать каких бы то ни было делителей. Это напоминает ловлю
составных (непростых) чисел рыболовной сетью: чем гуще становится сеть, тем
меньшему числу простых чисел удается сквозь нее проскользнуть.
У этой «сети» есть даже название: решето Эратосфена. Эратосфен
Киренский - древнегреческий математик, живший около 276–194 гг. до н. э. Он
также был атлетом, интересовался поэзией, географией, астрономией и музыкой.
Эратосфен первым сумел разумным образом оценить размеры Земли, обратив
внимание на положение солнца в полдень в двух разных местах - Александрии
и Сиене (современный Асуан). В Сиене солнце в полдень стояло точно над
головой, а в Александрии отстояло от вертикали примерно на 7°. Поскольку угол
в 7° составляет одну пятидесятую часть круга, то и окружность Земли должна
в 50 раз превосходить расстояние от Александрии до Сиены. Эратосфен не мог
непосредственно измерить это расстояние, поэтому он спросил у караванщиков,
сколько времени занимает путешествие на верблюдах из одного города в другой,
и оценил, сколько в среднем проходят верблюды за день. Результат своих
расчетов он привел в тогдашних единицах расстояния - стадиях, но мы не знаем,
чему равнялась стадия. Историки сходятся во мнении, что оценка Эратосфена
оказалась достаточно точной.
55
Решето Эратосфена представляет собой алгоритм поиска всех простых
чисел путем последовательного исключения из числового ряда чисел, кратных
уже известным простым. Рисунок 2 иллюстрирует этот метод на числах от 1
до 102, организованных так, чтобы процесс исключения кратных чисел был
хорошо виден. Чтобы посмотреть, как все происходит, я советую вам составить
эту или подобную ей схему самостоятельно, с нуля. Для начала начертите
табличку и заполните ее числами, ничего не закрашивая и не перечеркивая. Затем
потихоньку начинайте вычеркивать. Исключите 1, потому что это единица.
Следующее число - 2, значит, оно простое. Вычеркните все числа, кратные 2: это
те, что лежат на горизонталях, начинающихся с чисел 4, 6 и 8. Следующее
невычеркнутое число - 3, следовательно, оно простое. Вычеркните все числа,
кратные 3: это горизонтальный ряд, начинающийся с 6 (уже вычеркнут) и с 9.
Следующее невычеркнутое число - 5, оно простое. Вычеркиваем все числа,
кратные 5: они находятся на диагональных линиях, идущих слева снизу-вверх
направо и начинающихся на 10, 30, 60 и 90. Следующее невычеркнутое число - 7,
оно простое. Вычеркиваем все числа, кратные 7: это диагонали, проходящие
сверху слева вниз направо и начинающиеся на 14, 49 и 91. Затем 11 - оно
не вычеркнуто, и это простое число. Первое число, кратное 11 и до сих пор не
вычеркнутое (т. е. не имеющее меньших делителей) - 121, - находится за
пределами нашей таблички. Процесс окончен. Оставшиеся числа в серых ячейках
и есть искомые простые числа.
Решето Эратосфена - не просто историческая диковинка, это и сегодня один
из наиболее эффективных методов составления длинных списков простых чисел.
56
А родственные ему методы позволили достичь значительного прогресса в
решении самой знаменитой, наверное, из великих нерешенных проблем,
имеющих отношение к простым числам: проблемы Гольдбаха. Немецкий
математик-любитель
Кристиан
Гольдбах
переписывался
со
многими
знаменитостями своего времени. В 1742 г. в письме к Леонарду Эйлеру он
изложил несколько любопытных гипотез, связанных с простыми числами. Позже
историки заметили, что Рене Декарт ранее писал примерно то же самое. Первое из
утверждений Гольдбаха звучало так: «Всякое целое число, которое можно
представить, как сумму двух простых, можно записать также как сумму
произвольного числа простых, пока все слагаемые не станут единицами». Второе
утверждение, добавленное уже на полях письма, гласило: «Всякое целое число
больше двух можно представить, как сумму трех простых». Сегодняшнее
определение простого числа предполагает очевидные исключения из обоих
утверждений. Так, 4 не есть сумма трех простых, поскольку наименьшее простое
число - 2, и сумма трех простых не может быть меньше 6. Однако во времена
Гольдбаха число 1 считалось простым. Разумеется, его утверждения можно
переформулировать в соответствии с современными представлениями.
В ответном письме Эйлер припомнил предыдущий разговор с Гольдбахом,
когда тот указал, что первое его заявление является следствием более простой,
третьей гипотезы: «Всякое четное целое есть сумма двух простых». С учетом
общепринятого представления о 1 как о простом числе из этого утверждения
прямо следует вторая гипотеза, поскольку любое число можно выразить как n + 1
или n + 2, где n - четное. Если n есть сумма двух простых, то исходное число есть
сумма трех простых. Мнение Эйлера о третьем заявлении было однозначным: «Я
считаю, что это, несомненно, верная теорема, хотя и не могу ее доказать».
Собственно, на сегодняшний день статус этой гипотезы практически не
изменился.
Современный подход, при котором 1 - не целое число, разбивает гипотезу
Гольдбаха на две части. Вариант для четных чисел (так называемая бинарная
57
проблема Гольдбаха) гласит: любое четное целое число больше двух можно
представить в виде суммы двух простых чисел.
А вот вариант для нечетных (известный как тернарная проблема
Гольдбаха): любое нечетное число больше 5 можно представить в виде суммы
трех простых чисел.
Из бинарной гипотезы автоматически следует тернарная, но не наоборот{4}.
Есть смысл рассматривать эти гипотезы по отдельности, поскольку мы до сих пор
не знаем точно, верна ли хоть одна из них. Но, похоже, тернарная проблема
немного проще, в том смысле что продвинуться в этом направлении удалось
заметно дальше.
Бинарную гипотезу Гольдбаха для малых чисел можно подтвердить
несложными вычислениями:
4 = 2 + 2;
6 = 3 + 3;
8 = 5 + 3;
10 = 7 + 3 = 5 + 5;
12 = 7 + 5;
14 = 11 + 3 = 7 + 7;
16 = 13 + 3 = 11 + 5;
18 = 13 + 5 = 11 + 7;
20 = 17 + 3 = 13 + 7.
Несложно продолжить ряд примеров вручную, скажем, до 1000 или около
того, а можно и дальше, если хватит терпения. К примеру, 1000 = 3 + 997,
а 1 000 000 = 17 + 999 983. В 1938 г. Нильс Пиппинг проверил бинарную гипотезу
Гольдбаха для всех четных чисел вплоть до 100 000.
При этом выявилась общая тенденция: чем больше само число, тем больше
способов представить его в виде суммы простых. Это отвечает здравому смыслу.
Если вы возьмете большое четное число и начнете вычитать из него по очереди
простые числа, с какой вероятностью все результаты этих действий окажутся
составными? Достаточно в списке разностей появиться хотя бы одному простому
58
числу, - и можно считать, что гипотеза для исходного числа подтверждена.
Обратившись к статистическим свойствам простых чисел, можно оценить
вероятность такого исхода. В 1923 г. аналитики Харольд Харди и Джон Литлвуд
проделали такую операцию и вывели правдоподобную, но нестрогую формулу
для числа способов представления заданного четного n в виде суммы двух
простых чисел: это число приблизительно равно n/[2 (log n)^2]. Это число
увеличивается с ростом n и, кроме того, хорошо согласуется с числовыми
данными. Но даже если математикам удалось бы сделать эту формулу точной,
невозможно было бы исключить возможность того, что из нее существуют очень
редкие, но все же исключения, так что формула не слишком помогает.
Основное
препятствие,
мешающее
доказать
гипотезу
Гольдбаха,
заключается в том, что она сочетает в себе две очень разные характеристики.
Простые числа определяются через умножение, а в самой гипотезе речь идет о
сложении. Поэтому необычайно трудно соотнести желаемый вывод с каким бы то
ни было разумным свойством простых чисел. Такое впечатление, что рычаг
просто некуда вставить. Должно быть, эти слова звучали настоящей музыкой в
ушах владельцев издательства Faber & Faber, когда в 2000 г. они пообещали
премию в 1 000 000 долларов за доказательство гипотезы. Сделано это было ради
продвижения романа Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема
Гольдбаха»[2]. Сроки поджимали: решение необходимо было представить до
апреля 2002 г. Премия эта так никому и не досталась, что едва ли удивительно,
если учесть, что проблема Гольдбаха остается нерешенной уже более 250 лет.
Гипотезу Гольдбаха часто формулируют иначе - как вопрос о сложении
множеств целых чисел. Бинарная проблема Гольдбаха - простейший пример
такого подхода, поскольку при этом мы складываем всего лишь два множества.
Для этого нужно взять любое число из первого множества, добавить к нему любое
число из второго и составить из всех таких сумм свое, третье множество. Так,
сумма множеств {1, 2, 3} и {4, 5} содержит 1 + 4, 2 + 4, 3 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5,
т. е. {5, 6, 7, 8}. Некоторые числа возникают здесь не по одному разу; к примеру,
6 = 2 + 4 = 1 + 5. Я называю подобные повторы перекрытием.
59
Теперь можно сформулировать бинарную гипотезу Гольдбаха заново: если
сложить множество простых чисел с самим собой, то полученное в результате
множество будет содержать все четные числа больше двух. Такое изменение
формулировки может показаться немного банальным - так оно, кстати, и есть, - но
оно помогает переместить проблему в ту область математики, где есть некоторые
убедительные теоремы общего характера. Немного мешает число 2, но от него
можно без труда избавиться. 2 - единственное целое простое число, и при
сложении его с любым другим простым числом результат получается нечетный.
Так что во всем, что касается гипотезы Гольдбаха, о двойке можно просто забыть.
Однако 2 + 2 нам потребуется для представления числа 4, поэтому нам придется
ограничить свое внимание четными числами начиная с 6.
В качестве эксперимента рассмотрим простые числа до 30 включительно.
Таких чисел девять: {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. При сложении этого множества
с самим собой получится то, что можно увидеть на рис. 3: я выделил суммы,
меньшие или равные 30 (диапазон четных чисел, в который укладываются все
простые до 29) жирным шрифтом. При таком представлении результата ясно
видны две простые закономерности. Во-первых, вся таблица симметрична
относительно главной диагонали, поскольку a + b = b + a. И, во-вторых,
выделенные числа занимают приблизительно левую верхнюю половину таблицы
(см. рис. 3) над жирной (проходящей по диагонали) линией. Мало того, в
середине они даже норовят вылезти за нее. Происходит это потому, что в среднем
большие простые числа встречаются реже, чем маленькие. Дополнительная
выпуклость посередине с лихвой компенсирует числа 32 в верхнем правом и
нижнем левом углах.
60
Теперь мы можем сделать некоторые грубые оценки. Я мог бы быть более
точным, но этого вполне достаточно. Число ячеек в таблице составляет 9 x 9 = 81.
Около половины чисел в этих ячейках находятся в левом верхнем треугольнике.
Благодаря симметрии все числа, кроме лежащих на диагонали, имеют
симметричную пару, так что число независимых ячеек составляет примерно 81/4,
т. е., округляя, 20. В интервале от 6 до 30 содержится 13 четных чисел, поэтому 20
(и даже больше) выделенных чисел могут принимать лишь 13 четных значений.
Это значит, что в данном диапазоне потенциальных сумм двух простых больше,
чем четных чисел. Представьте, что вы на ярмарке и вам нужно 20 мячиками
поразить 13 мишеней. Согласитесь, что шанс попасть в большую часть из них у
вас будет неплохой. Тем не менее по нескольким вы можете и промазать. Иными
словами, не исключено, что некоторых четных чисел все же будет не хватать.
61
В данном случае все числа на месте, но практические аргументы такого
рода не позволяют полностью исключить подобную возможность. Однако из
этого примера видно, что перекрытий должно быть немало: ведь одни и те же
выделенные числа встречаются в интересующей нас четверти таблицы по
несколько раз. Почему? Потому что 20 сумм должны уложиться в множество, где
всего 13 членов. Поэтому каждое выделенное число в среднем встречается в
таблице 1,5 раза. (Реальное количество сумм - 27, и более точная оценка
показывает, что каждое выделенное число встречается дважды.) Если же каких-то
четных чисел в таблице не хватает, то перекрытие должно быть еще больше.
Можно сыграть в ту же игру в более широком диапазоне, с более высоким
верхним пределом - скажем, до одного миллиона. Формула, известная как теорема
о распределении простых чисел (см. главу 9), дает нам возможность подсчитать
количество простых чисел в интервале до любого заданного числа x. Эта оценка x/log x. В интервале до 1 000 000 количество простых оценивается по этой
формуле в 72 380. (Точное их число 78 497.) Серый фон занимает около четверти
соответствующей
таблицы,
поэтому
в
нем
примерно n^2/4
=
250 млрд
выделенных чисел - столько в этом диапазоне возможных сумм двух простых.
Это намного больше, чем количество четных чисел в этом же диапазоне (их
полмиллиона). Теперь перекрытие должно быть гигантским, а суммы должны
возникать в среднем по 500 000 раз каждая. Так что шанс на то, что какое-то
четное число окажется пропущено, многократно снижается.
Приложив еще некоторые усилия, мы можем с помощью этого метода
оценить вероятность того, что некое четное число в заданном диапазоне не
окажется
суммой
двух
распределяются
случайно
распределении
простых
простых,
с
исходя
из
того,
периодичностью,
чисел,
т. е.
что
что
простые
описываемой
в
диапазоне
числа
теоремой
до
о
любого
заданного x находится около x/log x простых чисел. Именно это сделали Харди
и Литлвуд. Они понимали, что такой подход не является строгим, поскольку
простые числа определяются достаточно специфически и распределены на самом
деле не случайно. Тем не менее разумно ожидать, что реальные результаты не
62
войдут в противоречие с этой вероятностной моделью, поскольку определяющее
свойство простых чисел, судя по всему, очень слабо связано с тем, что
происходит при сложении двух таких чисел.
Несколько стандартных методов в этой области математики используют
примерно такой же подход, но стараются дополнительными средствами сделать
свою аргументацию как можно более строгой. В качестве примера можно
привести различные варианты решета, построенные на базе решета Эратосфена.
Общие теоремы о плотности чисел в сумме двух множеств и возникающие в ней
при очень больших множествах пропорции также оказываются весьма полезными
инструментами.
В случаях, когда математическая гипотеза в конце концов находит
подтверждение, ее история часто развивается по стандартному шаблону. На
протяжении некоторого времени разные люди доказывают верность этой
гипотезы при каких-либо ограничениях. Каждый такой результат улучшает
предыдущий и снимает часть ограничений, но со временем этот путь исчерпывает
свои возможности. Наконец появляется новая остроумная идея - и завершает
доказательство.
К примеру, гипотеза в теории чисел может утверждать, что каждое
положительное целое число может быть представлено каким-то определенным
образом с использованием, скажем, шести специфических чисел (простых,
квадратов,
кубов,
каких
угодно
еще).
Здесь
ключевыми
моментами
являются каждое положительное целое и шесть специфических чисел. Первые
попытки подступиться к этой проблеме дают слабые результаты, но постепенно,
посредством небольших шажков, они улучшаются.
Первым шагом часто является доказательство какого-нибудь утверждения
вроде, например, такого: каждое положительное целое число, которое не делится
на 3 и 11, за исключением некоторого конечного их количества, может быть
представлено через некое гигантское количество - скажем, 10666 - чисел
оговоренного вида. Как правило, такая теорема умалчивает о том, сколько и каких
существует
исключений,
так
что
результат
невозможно
приложить
63
непосредственно к любому заданному целому числу. Следующий шаг состоит в
том, чтобы обозначить границы эффективности, т. е. доказать, что каждое целое
число больше 101042 может быть представлено таким образом. Затем снимается
ограничение по делимости на 3, а немного позже и на 11. После этого авторы
один за другим начинают снимать ограничения: одни уменьшают число 10 666,
другие 101042, третьи - то и другое одновременно. Типичным улучшением может
быть, к примеру, такое: каждое целое число больше 5,8 x 10 17 может быть
представлено с использованием не более 4298 чисел оговоренного вида.
Тем временем другие исследователи продвигаются снизу-вверх, начиная с
маленьких чисел, и доказывают, часто при помощи компьютерных расчетов, что,
скажем, каждое число, меньшее или равное 10^1^2, может быть выражено с
использованием не более шести тех самых чисел. Примерно за год 10^1^2
превращается (за пять последовательных шагов, усилиями разных исследователей
или групп) в 11,0337 x 1029. Следует отметить, что ни один из перечисленных
шагов не является ни рутинным, ни простым; напротив, они совершаются с
привлечением хитроумных специальных методов, которые ничего не говорят о
более общем подходе, и доказательство при каждом последовательном шаге
становится все более сложным и длинным. Через несколько лет такого
постепенного продвижения - это число при помощи примерно тех же идей, но
более мощных компьютеров и новых ухищрений удается поднять до 1043. На
этом, однако, метод стопорится, и все сходятся во мнении, что никакие уловки не
помогут таким способом доказать полный вариант.
Гипотеза пропадает из виду, над ней уже никто не работает. Бывает, что
продвижение почти совсем останавливается. Иногда без новостей проходит лет
20… И вдруг, как гром среди ясного неба, какие-нибудь Чизбургер и Чипс
заявляют, что им удалось получить полное доказательство, переформулировав
гипотезу в терминах комплексных метаэргодических квазимножеств и приложив
теорию византийского квислинга. После нескольких лет споров о тонких
моментах логики и затыкания нескольких дыр в доказательстве математическое
сообщество признает его корректным и немедленно задается вопросами, не
64
существует ли более простого способа получить тот же результат и нельзя ли его
улучшить.
В последующих главах вы не раз увидите эту схему в действии. Но если
рассказывать обо всем этом подробно, то может получиться довольно скучно,
поэтому я не буду перечислять всех, кому удалось более точно определить
экспоненту в гипотезе Джекила - Хайда, выяснив, что это не 1,773, а 1,771 + e для
любого положительного e (как бы ни гордились Баггинс и Крумм своим
последним достижением на этой ниве). Я опишу несколько значимых вкладов,
оставив все другие за скобками. И дело не в том, что работа Баггинса и Крумма
кажется мне незначительной. Может быть, она даже вымостила дорогу к
прорывному открытию Чизбургера - Чипса. Но, по правде говоря, только
специалисты, внимательно следящие за развитием событий, могут затаив дыхание
ждать следующего крошечного шажка.
Поэтому в будущем я буду опускать некоторые подробности, но сейчас
давайте посмотрим, как развивался процесс в случае с проблемой Гольдбаха.
Уже доказаны некоторые теоремы, помогающие продвинуться по пути
решения проблемы Гольдбаха. Первый серьезный прорыв произошел в 1923 г.,
когда Харди и Литлвуд при помощи своих аналитических методов доказали
тернарную гипотезу Гольдбаха для всех достаточно больших нечетных чисел.
Однако их доказательство опиралось на другую великую проблему - обобщенную
гипотезу Римана, о которой мы поговорим в главе 9. Эта проблема до сих пор
остается нерешенной, так что в доказательстве Харди и Литлвуда есть
существенный пробел. В 1930 г. Лев Шнирельман сумел заполнить этот пробел
при помощи замысловатого варианта их собственных рассуждений, основанных
на методах решета. Он доказал, что ненулевая доля всех чисел может быть
представлена в виде суммы двух простых. Добавив к этому результату некоторые
общие рассуждения о сложении последовательностей, он доказал, что существует
такое целое число С, что любое натуральное число есть сумма не более С простых
чисел. Это число получило известность как постоянная Шнирельмана. В 1937 г.
аналогичные результаты получил Иван Виноградов, но его метод также не
65
позволял сказать конкретно, насколько велики «достаточно большие» числа.
В 1939 г. Константин Бороздин доказал, что они начинаются не позже чем с числа
314 348 907. К 2002 г. Лю Минчит и Ван Тяньцзэ снизили границу «достаточно
больших чисел» до e3100, что равняется примерно 2 x 101346. Это число гораздо
меньше, но все же слишком велико для того, чтобы все нижележащие числа
можно было проверить перебором на компьютере.
В 1969 г. Николай Климов сумел установить, что постоянная Шнирельмана
не превышает 6 млрд. Другим математикам удалось сделать более точную оценку,
и в 1982 г. Ханс Ризель и Роберт Воган снизили эту цифру до 19. Хотя 19,
разумеется, многим лучше 6 млрд, все признаки указывают на то, что на самом
деле постоянная Шнирельмана равняется всего лишь 3. В 1995 г. Лешек Каницкий
снизил верхний предел до 6 в общем случае и до 5 для нечетных чисел, но ему
тоже пришлось предположить истинность гипотезы Римана. Его результаты
вместе с численной проверкой гипотезы Римана вплоть до 4 x 1014, которую
осуществил Йорг Рихштейн, доказали бы, что постоянная Шнирельмана не
превосходит 4, но опять же при условии истинности гипотезы Римана. В 1997 г.
Жан-Марк Дезуйе, Гоув Эффингер, Херман те Риле и Дмитрий Зиновьев
показали, что из обобщенной гипотезы Римана (см. главу 9) следует тернарная
гипотеза Гольдбаха. Иными словами, каждое нечетное число, за исключением 1, 3
и 5, является суммой трех простых чисел.
Поскольку на данный момент гипотеза Римана не доказана, имеет смысл
постараться снять это условие. В 1995 г. французский математик Оливье Рамаре
снизил
верхнюю
оценку
для
представления
нечетных
чисел
до 7
без
использования гипотезы Римана. Более того, он доказал более сильное
утверждение: каждое четное число является суммой не более чем шести простых
чисел. (Чтобы разобраться с нечетными числами, вычтем из любого нечетного 3:
результат четный, поэтому он является суммой шести или менее простых.
Первоначально взятое нечетное есть эта сумма плюс простое число 3, т. е. для его
получения требуется не более семи простых.) Главным прорывом стало
уточнение существующих оценок для некоторой части чисел определенного
66
диапазона до двух: эти числа являются суммой двух простых. Ключевой
результат Рамаре состоит в том, что для любого числа n больше e67 (это примерно
1,25 x 1029) по крайней мере пятая часть чисел, лежащих между n и 2n, является
суммой двух простых. Далее при помощи методов решета и теоремы ГансаГенриха Остманна о суммах последовательностей, доработанной Дезуйе, можно
доказать, что каждое четное число, большее 1030, есть сумма максимум шести
простых чисел.
Остается разобраться лишь с промежутком между 4 x 1014, до которого Йорг
Рихштейн проверил теорему численно при помощи компьютера, и 1030. Как часто
бывает, эти числа слишком велики для непосредственной компьютерной
проверки, поэтому Рамаре доказал целую серию специализированных теорем о
количестве простых чисел в небольших интервалах. Эти теоремы опираются на
истинность гипотезы Римана в определенных пределах, что можно проверить при
помощи компьютера. Так что доказательство состоит преимущественно из
концептуальных теоретических рассуждений с привлечением компьютера для
решения этой узкой задачи. Рамаре закончил свою статью указанием на то, что
при помощи аналогичного подхода в принципе можно было бы снизить число
простых с 7 до 5. Однако на этом пути возникают очень серьезные практические
препятствия, и он написал, что такое доказательство «невозможно провести при
помощи современных компьютеров».
В 2012 г. Теренс Тао преодолел эти препятствия, используя в корне другой
подход. Он разместил в Интернете статью, которая в настоящий момент (когда я
пишу все это) рассматривается для публикации. Основу работы составляет
следующая теорема: каждое нечетное число можно представить в виде суммы не
более чем 5 простых чисел. Это снижает постоянную Шнирельмана до 6. Тао
получил известность благодаря своей способности решать сложные проблемы в
самых разных областях математики. Его доказательство использует для решения
проблемы несколько мощных методик и требует привлечения компьютеров. Если
число 5 в теореме Тао удалось бы снизить до 3, то тернарная гипотеза Гольдбаха
67
была бы доказана, а верхняя граница для постоянного Шнирельмана снижена
до 4. Тао подозревает, что сделать это возможно, но нужны новые идеи.
Бинарная гипотеза Гольдбаха представляется еще сложнее. В 1998 г.
Дезуйе, Саутер и те Риле проверили ее для всех четных чисел вплоть до 1014.
К 2007 г. Томаш Оливейра-и-Сильва улучшил этот результат до 1018 и продолжает
расчеты. Мы знаем, что каждое четное целое число можно представить в виде
суммы не более чем шести простых чисел - это доказал Рамаре в 1995 г. В 1973 г.
Чэнь Цзинжунь доказал, что каждое достаточно большое четное целое может
быть представлено в виде суммы простого и полупростого (это либо простое
число, либо произведение двух простых) чисел. Близко, но не то. Тао заявил, что
бинарную гипотезу Гольдбаха невозможно доказать при помощи его методов.
Сложение трех простых чисел дает гораздо большее перекрытие результатов в
том смысле, в каком мы говорили о перекрытии при обсуждении рис. 3, чем
сложение двух простых, фигурирующих в бинарной гипотезе Гольдбаха, а
методы и Тао, и Рамаре неоднократно используют это свойство.
Итак, через несколько лет мы, возможно, получим полное доказательство
тернарной гипотезы Гольдбаха, из которой, в частности, следует, что каждое
четное число можно представить в виде суммы не более чем четырех простых[3].
Но бинарная гипотеза Гольдбаха, вероятно, будет по-прежнему ставить
математиков в тупик.
За 2300 лет, прошедших с момента, когда Евклид доказал несколько
базовых теорем о простых числах, мы узнали о них немало. Однако остается еще
очень много того, чего мы по-прежнему не знаем.
К примеру, мы знаем, что существует бесконечно много простых чисел вида
4k + 1 и 4k + 3. В более общем виде это утверждение выглядит так: любая
арифметическая прогрессия ak + b с постоянными параметрами a и b содержит
бесконечно много простых чисел, если a и b не имеют общих делителей. К
примеру, пусть a = 18. Тогда b = 1, 5, 7, 11, 13 или 17. Следовательно, существует
бесконечно много простых чисел видов 18k + 1, 18k + 5, 18k + 7, 18k + 11, 18k
+ 13 или 18k + 17. Но это неверно для 18k + 6, например, потому что 18 кратно 6.
68
Ни одна арифметическая прогрессия не может состоять только из простых чисел,
но недавний серьезный прорыв - теорема Грина - Тао - показывает, что
последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии
произвольной длины. В 2004 г. Бен Грин и Теренс Тао разработали очень
глубокое и сложное доказательство этого утверждения, что внушает надежду: на
самые сложные вопросы, какими бы неприступными они ни выглядели, в конце
концов может быть получен ответ.
Снимаем шляпу, а потом надеваем ее - и вновь за работу: мы немедленно
задаемся вопросом о более сложных формулах с k. Не существует простых чисел
вида k^2; не существует и простых вида k^2-1, за исключением 3, поскольку
подобные выражения раскладываются на множители. Однако выражение k^2 + 1
не имеет очевидных делителей, и простых чисел такого вида можно найти
множество:
60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2 · 3 · 2 · 5 = 5 · 3 · 2 · 2 = 1 ^2 + 1,5 = 2^2 + 1,17 = 4^2
+ 1,37 = 6^2 + 1 и т. д.
7 величайших математических загадок тысячелетия
Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по
математике можно услышать: "Что можно нового открыть в математике?" А
действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы доказаны?
8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже
математик Дэвид Гилберт изложил список проблем, которые, как он полагал,
предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на
данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта
была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение
358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и
оказалось верным. По примеру Гилберта в конце прошлого века многие
математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI
век. Один из таких списков приобрел широкую известность: 1. Проблема Кука
(сформулирована в 1971 году) Допустим, что вы, находясь в большой компании,
69
хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он
сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться
в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены
обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какойлибо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности
решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности
решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо
от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач
из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом
изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.
2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году) Некоторые целые числа
не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например
2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в
чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда
всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако
немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств
последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это
приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к
невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)
Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений
от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного
уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание
решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений
становится чрезвычайно трудным.
4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы
сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо
самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и
70
образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями
относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.
5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году).
Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете,
в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие
явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса.
Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.
Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой
функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы
проведения гидро- и аэродинамических расчетов.
6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году). Если натянуть
резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от
поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую
ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом
невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик.
Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет.
Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что
математики ищут правильный ответ до сих пор.
7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики
Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных
частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению
теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений
Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно
наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса
принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих
пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
Эти проблемы могут заинтересовать школьников, серьѐзно занимающихся
математикой.
Есть
над
чем
подумать,
исследовательских работ. [6; 51; 52]
выбирая
темы
и
направления
71
2.3. Методика организации и проведения внеурочных занятий по теме
«Математическое понимание природы» в контексте изучения физических
явлений и их объяснения с точки зрения математики
Математические приемы в физике используются довольно часто: для
выражения законов в общей и точной форме; для вывода тех или иных
закономерностей из некоторых теоретических предпосылок; для преобразований
выведенных формул в другие; для нахождения таких величин, измерение которых
непосредственно невозможно; при разнообразных расчетах и решении задач.
Математический язык при изучении физики неизбежен как средство выражения
законов из опытных исследований, для теоретического обоснования ряда
основных положений. При решении задач по физике приходится широко
пользоваться математикой. С самого начала изучения курса физики учащиеся
приучаются к пользованию математическими символами и к буквенным
формулам. После изучения определенного курса математики учащиеся без труда
воспринимают, что математическая формула служит для более краткой, сжатой
записи соотношения между физическими величинами, а затем и для более
удобного производства вычислений. Конечно в математические обозначения
вкладывается реальное содержание физического смысла. В старших классах роль
математики в преподавании физики значительно повышается. Здесь, наряду с
экспериментальным изучением физических явлений, можно при исследовании
физических явлений широко применять математический аппарат, поскольку это
возможно по уровню математической подготовки учащихся. Для лучшего
понимания физических явлений и их объяснения с точки зрения математики
можно провести внеурочные занятия по книге В.И. Арнольда «Математическое
понимание природы». [2].
Например,
тема
по
физике
«Геометрические
математическая интерпретация этих законов:
Капля воды, преломляющая свет.
законы
оптики»
и
72
На какой угол отклонится от возвращения вдоль падающего луча луч,
попавший на сферическую каплю воды радиуса r на расстоянии x от проходящего
через центр капли параллельного ему луча OD?
Рис.4
Угол отклонения ϑ вдвое больше (ввиду симметрии относительно оси OB):
ϑ = 4b − 2a.
По закону преломления sin a = n sin b, а по определению падающего луча
r sin a = x. Поэтому a = arcsin(x/r), b = arcsin(x/(nr)),
ϑ (x) = 4 arcsin 3x/ 4r − 2 arcsin x/ r
Хотя эта формула решает вопрос, еѐ смысл выясняется только после
построения графика вычисленной функции ϑ. А именно, такое исследование
объясняет и поразительный блеск росинок, и радугу на дождевом небе.
Закон Снеллиуса преломления лучей.
Скорость движения (по любому направлению) в верхней полуплоскости y>
0 (плоскости с декартовыми координатами (x, y)) равна ʋ, а в нижней
полуплоскости y <0 она составляет ω = (3/4) v (для распространения света в
воздухе ʋ = 1, в воде ω = 3/4). Кратчайший по времени движения путь ABC из
точки A верхней полуплоскости в точку C нижней полуплоскости представляет
собой ломаную ABC с изломом B на границе раздела. Определить соотношение
между углами α и β путей AB и BC с нормалью к границе раздела. [2].
73
Рис.5
Решение. Рассмотрим близкую к B точку B′ на границе раздела: |BB′ | = Ɛ
Путь AB′ длиннее пути AB на отрезок B′D,
длина которого составляет Ɛ sin α + O (Ɛ2).
Точно так же, путь CB′ короче пути CB на отрезок BD′, длина которого
составляет Ɛ sin β + O (Ɛ2).
Поэтому время прохождения пути AB′C больше времени прохождения пути
ABC на ∆ (Ɛ) =Ɛsin α/ ʋ −Ɛsin β/ ω + O (Ɛ2).
Чтобы время прохождения пути ABC было минимальным (при любом
знаке Ɛ,
т. е. как для точек B′ правее B, так и для точек B′ левее B), необходимо,
чтобы ∆(Ɛ) = 0 (в первом приближении по Ɛ),
т. е. чтобы sin α/ ʋ = sin β/ ω закон преломления.
Обратная
скорости
величина
называется
показателем
преломления
(обозначается обычно буквой n = 1/ʋ). Полученный выше закон преломления на
границе сред с показателями преломления n1 = 1/ʋ и n2 = 1/ω записывается в виде
закона Снеллиуса n1 sin α1 = n2 sin α2.
Пример. Для луча света, переходящего из воздуха (n1 = 1) в воду (n2 = 4/3),
закон преломления принимает вид sin α1 = 4sin α2/3. Если угол α1 входящего из
воздуха в воду луча с вертикальной нормалью к горизонтальной поверхности
воды мал, то угол α2 преломлѐнного луча с вертикалью ещѐ меньше, он составляет
примерно (3/4)α1. Мы вывели выше закон преломления лучей из «принципа
Ферма», по которому лучи света достигают цели за кратчайшее время. Сам
Снеллиус открыл этот закон преломления экспериментально, измеряя углы α и β в
74
множестве
примеров.
Читателю,
знакомому
с
принципом
Гюйгенса
(описывающим распространение волн при помощи огибающих семейств
локальных волновых фронтов), будет приятно увидеть, что из этого принципа
Гюйгенса закон Снеллиуса легко вытекает (в виде простого частного случая).
Интересно, что во всех этих примерах природа распространяющихся волн
малосущественна. Например, акустические или оптические лучи и фронты ведут
себя сходным образом и та же математика применима к теории распространения
эпидемий.
Миражи
Показатель преломления n(y) воздуха на высоте y над пустыней максимален
на некоторой высоте Y (где максимальна плотность воздуха: нагревание пустыни
гонит нижние слои вверх, а на большой высоте плотность атмосферы убывает до
нуля). Объяснить возникновение миражей при таком поведении показателя
преломления.
Рис.6
Решение. Исследуем ход лучей y = f(x), пользуясь законом преломления n
sin α = const, где α - угол луча с вертикалью.
Мы получаем (дифференциальное) уравнение лучей α(y) = arcsin C/ n(y)
Параметр C определяется выбором исследуемого луча. Мы заключаем, что
луч (с фиксированным около высоты Y значением C) весь заключѐн в полосе, где
n(y)> C (причѐм он колеблется между еѐ краями):
Рис.7
75
Эти колебания делают луч волнообразным (с зависящей от постоянной C
длиной волны X). Конечность значения X(C) получается в том случае, когда
значение C не является критическим значением для показателя преломления n:
dn/dy ≠ 0 в точках, где n(y) = C.
При увеличении постоянной C до критического значения n(Y) показателя
преломления длина волны X(C) растѐт до бесконечности, а еѐ амплитуда
стремится к нулю, луч переходит в прямую y=Y. Чтобы понять, как извилистость
лучей влияет на изображения удалѐнных пальм, посмотрим из точки (x = 0, y) на
пальму, растущую на расстоянии x. Нарисуем лучи a и b, ведущие в точку
наблюдения (x = 0, y) от вершины пальмы и от еѐ основания.
Рис.8
В точке наблюдения (0, y) луч a, идущий от вершины, расположен ниже
луча b, идущего от основания пальмы. Поэтому изображение пальмы
переворачивается - это и есть явление миража. Замечание. Чтобы понять всѐ это,
нужно ясно понимать, как геометрия световых лучей связана с создаваемыми ими
для наблюдателя изображениями испускающих эти лучи объектов. Эта связь
(«построение изображений») в школьном курсе физики объясняется при описании
линз, но мало кто понимает эту теорию. (За миражами не обязательно ехать в
пустыню: глядя летом вдоль платформы в ожидании электрички, легко увидеть
вдали лужи, хотя платформа совершенно суха: разумные дети, заметив это,
приходят к теории, рассказанной выше, но их мало.)
В современную школу вернули предмет «Астрономия», при изучении
которой необходимо понимание физических и математические законов.
76
Задача Лидова о прилунении ракет.
Технология причаливания корабля к пристани состоит в том, что в
последний момент матрос бросает на берег канат, а затем, спрыгнув туда сам,
наматывает этот канат на кнехт и вручную притягивает судно, выбирая руками
метр-два
каната.
Объяснить,
почему
необходимость
подобного
ручного
причаливания обуславливается теоремой единственности, работающей здесь
против нас.
Рис.9
Решение. Дело в том, что интегральные кривые дифференциального
уравнения dx/dt = −x с начальными условиями x(0) = 1 и x(0) = 0 явно
пересекаются на любом компьютерном графике: при t = 30 (или даже 10) между
этими кривыми не вставишь и атома. Обычные принципы теории управления
движением требуют выбирать скорость приближения к берегу, dx/dt, при помощи
петли обратной связи, то есть выбирая скорость в зависимости от оставшегося
расстояния, dx/dt = f(x). Имея это в виду и предполагая функцию f гладкой (или
хотя бы удовлетворяющей условию Липшица), мы выводим из теоремы
единственности, что время причаливания должно быть бесконечным. Или же
следует полагаться на ненулевую скорость приближения в последний момент, то
есть удар о пристань (ради чего еѐ край и обвешивается использованными
автопокрышками, даже в случае, когда заключительный шаг причаливания
выполняется вручную).
Планетные кольца
Двигаясь по своей орбите вокруг Солнца, планета Уран загородила собой от
Земли (на некоторое небольшое время) далѐкую звезду. Астрономы готовились к
этому событию задолго, но, в нужную ночь, звезда стала невидимой раньше
времени. Потом она появилась, исчезла опять, и таких исчезновений до
77
«прохождения Урана по диску звезды» наблюдалось четыре. После этого звезда
скрылась за Ураном, как предсказывали астрономы, была загорожена им
предполагавшееся время, снова появилась - но затем на небольшие времена
исчезала ещѐ 4 раза. Как объяснить эти исчезновения?
Рис.10
Решение. Наиболее естественное предположение - что планета Уран,
подобно Сатурну, окружена кольцами. Четыре концентрических кольца,
разделѐнные (как и у Сатурна) щелями, должны загораживать звезду 4 раза до и 4
раза после прохождения Урана мимо неѐ. Наблюдения доставляют размеры колец
и щелей.
Замечание. Щели между кольцами Сатурна объясняются возмущающим
влиянием притяжения составляющих кольца глыб льда со стороны спутников
планеты. Такое возмущение делает неустойчивым движение глыбы по орбите на
таком расстоянии от планеты, что обращение по этой орбите совершается в
резонанс с обращением спутника (скажем, со вдвое меньшим периодом, чем
период обращения спутника: опасны для устойчивости рациональные отношения
периодов).
Размеры наблюдѐнных при прохождении Урана щелей между его кольцами
позволили астрономам (Фридману и др.) предсказать радиусы орбит пяти
возмущающих спутников Урана, которые не были ещѐ известны (но были затем
открыты при последовавшем полѐте «Вояджера» мимо Урана). Интересно, что
международный астрономический журнал отказался опубликовать предсказания
советских астрономов, мотивируя это тем, что «журнал издаѐтся в стране, где
господствует другая теория щелей в кольцах Сатурна». Эта «другая теория» тоже
предсказывала спутники Урана, но их-то как раз не оказалось на месте в
действительности, и американская экспедиция «Вояджера» их не обнаружила.
78
2.4. Мультимедийный проект «Математические этюды» как средство
популяризации математических знаний
Одна из главных сложностей с популяризацией математики связана с тем,
что исследования в этой науке очень редко удается визуализировать. Эту задачу
успешно решает проект Николая Андреева «Математические этюды».
«Математические этюды» - научно-популярный математический сайт.
Основное его содержание составляют короткие фильмы, выполненные с
использованием трѐхмерной компьютерной графики и рассказывающие о
математике и еѐ приложениях.
Авторы делят свои фильмы на собственно «этюды» и «миниатюры» небольшие визуализации математических сюжетов. Звук во всех фильмах
отсутствует, однако на сайте к роликам есть сопроводительные статьи с
объяснениями [1; 33].
Первый этюд Николай Андреев создал в 2002 году как иллюстрацию своей
исследовательской работы, посвящѐнной задаче Томсона. Сайт был открыт
26 октября 2005 года, на тот момент для просмотра были доступны первые три
этюда. В конце 2006 года этюдов было уже 16, в конце 2007 - 24, в конце 2008 35, в конце 2009 - 44, а в конце 2010 - 53 этюда. [20; 33].
Проект “Математические этюды” (http://etudes.ru) развивает уникальные
российские традиции в области естественно-научной популяризации, представляя
в увлекательной форме решенные и нерешенные математические задачи.
Основное
наполнение
–
короткометражные
фильмы,
выполненные
с
использованием трехмерной компьютерной графики. Проект реализуется в стенах
Математического института им. В.А. Стеклова РАН с 2002 г. Многие идеи для
фильмов родились в общении с сотрудниками института. За время работы
проекта создано более 40 фильмов и 35 миниатюр на темы из самых разных
разделов математики и ее приложений, например, кривые на плоскости,
внутренняя и внешняя геометрия многогранников, задачи дискретной геометрии о
наилучшем
расположении
точек.
Наряду
с
сюжетами,
традиционно
79
используемыми в научно-популярной литературе, в фильмах представлены и
интересные математические результаты, полученные в последние годы. Фильмы
рассказывают не только о математических идеях, но и о приложениях к технике,
об истории рассматриваемых вопросов, ученых и инженерах, принимавших
участие в их решении. Каждый фильм сопровождается научно-популярной
статьей и ссылками для дальнейшего изучения рассматриваемых вопросов.
Большая и важная тематика, выделенная в отдельный проект – “Механизмы П. Л.
Чебышѐва” (http://tcheb.ru). В рамках проекта компьютерно моделируются все
плоские шарнирные механизмы, а также устройства, созданные на их основе,
придуманные великим математиком. Среди них первая в мире шагающая машина
(названная Чебышѐвым “стопоходящей”), “сортировалка”, “самокатное кресло”,
“гребной”
механизм.
Некоторые
устройства
и
механизмы
хранятся
в
Политехническом музее (Москва), в Музее истории Санкт-Петербургского
университета, в Музее искусств и ремесел (Париж). По договоренности с этими
музеями компьютерные модели механизмов создаются на основе тщательного
измерения всех параметров оригиналов. Сохранение в моделях размеров всех
деталей механизмов позволит (в случае необходимости) изготовить точные копии
этих устройств. Утраченные механизмы восстанавливаются по архивным
документам. В фильмах, посвященных этой тематике, демонстрируется как
принцип действия механизмов, так и их математическая основа – приближение
заданной линии (отрезок, дуга окружности, полная окружность и др.) шатунной
кривой. Цикл фильмов о плоских шарнирных механизмах не исчерпывается
историческими
сюжетами. В проекте рассказывается и
о
современных
математических задачах. [36].
Пример - наглядное представление композиции преобразований. Целевая
аудитория проекта – школьники (естественнонаучного и гуманитарного профиля),
школьные учителя, студенты, преподаватели вузов, все интересующиеся
математикой. Много нового и интересного найдут в фильмах и профессиональные
ученые, в том числе математики. Основная цель проекта – увлечь зрителя
математикой, показать ее внутреннюю красоту и важность для познания мира.
80
Другая задача – наше общество должно иметь более полное представление о
достижениях академической науки, в частности, в области математики.
Компьютерная графика выбрана как средство популяризации математики по двум
причинам.
Визуальное
представление
упрощает
для
многих
понимание
математических идей. Кроме того, компьютерная графика сама по себе
привлекает
современную
молодежь.
Для
реализации
изложенных
идей
привлечены профессионалы из разных областей: 3D-графику в фильмах делает
М.А. Калиниченко; двумерную графику, дизайн и программирование интернетсайтов осуществляет Р.А. Кокшаров, изготовление математических моделей и
другую деятельность проекта – Н.Л. Шавельзон. Математические расчеты для
фильмов проводит Н. М. Панюнин; большую помощь по проекту оказывает
Е.А. Зѐрнышкина. Для работы над фильмами и другими задачами проекта
привлекается и талантливая молодежь. Например, математические миниатюры
для телефонов iPhone создает студент мехмата МГУ Антон Фонарѐв. С 2008 г.
проект “Математические этюды” поддерживается Фондом Дмитрия Зимина
“Династия”. Все фильмы представлены в открытом доступе на “полянке”
Математических этюдов в сети Интернет. Посещаемость сайта – более 5 тысяч
пользователей в день.
Лаборатория разработала для школьников и их учителей - преподавателей
математики - необычные уроки, такие, чтобы они вызывали интерес к предмету.
Свои мини–уроки молодые учѐные назвали этюдами. Они выпустили ряд дисков
и, кроме того, выложили все этюды на своѐм сайте в свободном доступе. [1; 20;
33; 36].
Проект реализуется с 2002 г. За время работы проекта создано более 50
фильмов и 35 миниатюр на темы из самых
разных разделов математики
и еѐ приложений.
Этюды
Раздел
содержит
81
этюды,
среди
которых
занимательные
научно-популярные
рассказы
о
современных задачах математики и мультфильмы, по-новому раскрывающие
известные сюжеты.
В данном разделе хранятся 55 этюда, которые разделены на подразделы:

Замечательные кривые

Кривые (фигуры) постоянной ширины

Внутренняя геометрия многогранников

Внешняя геометрия многогранников

Геометрия с листом бумаги

Математика и техника

Инструменты

Шарнирные механизмы

Площади и объемы

Геометрия формул

Непрерывность

Поверхности второго порядка

Наилучшее расположение точек

Исторические сюжеты
Подробно рассмотрим одну тему из
подраздела «Математика и техника»: Колесная
пара.
Это приспособление видел каждый, но
мало кто задумывался его работой, «Этюды»
позволяют объяснить данную тему в примерах,
раскрывая
суть
поясняющем видео:
вопроса
в
коротком
82
С поясняющим сопровождением:
Миниатюры
В этом разделе собраны небольшие, но интересные визуализации
математических сюжетов. В данном разделе хранятся 41 разнообразных
миниатюр, представленные на таком уровне, что любой, кто заинтересован
83
наукой, найдет для себя занимательную задачу или просто интересный факт. На
данный момент в разделе «Миниатюры» находится 7 подраздела:

Нерешенные задачи

Многогранники

Кривые на плоскости

Геометрия формул

Математическое оригами

Задачник

Разное
Подробно рассмотрим одну тему из подраздела «Математическое оригами»:
Пифагоров треугольник.
При выборе данной задачи, появляется само задание
84
После прочтения задания, у каждого есть время на решение данной задачи,
но если кто-то не хочет решать или просто торопится, следует
нажать на кнопку «далее».
Далее идет решение данной задачи (видео) с кратким
пояснением.
Далее сгибаем лист пополам, чтобы отметить середину стороны. Второй
сгиб сделаем так, чтобы вершина противоположной стороны листа попала в
отмеченную середину:
85
Задача решена.
Модели
Модели позволяю словно «прикоснуться» к математическим фактам. В
разделе «Модели» собираются идеи наглядных моделей, позволяющие, более
глубоко понять тот или иной математический факт, а также полезные при
популяризации математики. К сожалению, пока разработчики не могут
обеспечить
российские
школы
необходимыми
наглядными
пособиями.
Представленные модели могут быть сделаны учениками на уроках труда или дома
с родителями.
В разделе «Модели» находится 6 подразделов:

Площади фигур и равносоставленность

Объѐмы

Конические сечения

Многогранники

Геометрия формул

Разное
86
И в каждом разделе находятся поясняющие видео, на каждую тему и
модель.
Взвешивание призмы и пирамиды
Объѐм пирамиды равен одной трети объѐма призмы с тем же основанием и
высотой. Это соотношение можно проверить, имея под рукой рычажные весы
и фигуры, сделанные из однородного материала. Основное свойство рычажных
весов интуитивно ясно: чтобы тяжѐлое тело уравновесить лѐгким, нужно лѐгкое
тело ставить дальше от точки опоры. Количественно это свойство выражается
в том, что в положении равновесия отношения масс тел (а, следовательно,
и объѐмов, поскольку плотности тел одинаковы) равно обратному отношению
расстояний от точки опоры до взвешиваемых тел. В рассматриваемом случае,
пирамиду нужно поместить в три раза дальше, чем призму. Заметим, что такое
соотношение
объѐмов
верно
для пирамид
и призм
одинаковой
в основании которых лежат произвольные равные многоугольники. [20].
высоты
87
Винтовая линия
Лѐгкость, с которой гайка накручивается на болт, подсказывает, что резьба
одинакова по всей длине болта, а математическая суть резьбовых соединений использование кривой, которая может скользить сама по себе. Эта замечательная
кривая называется винтовой линией.
Винтовую линию можно получить, намотав на цилиндр прямоугольный
прозрачный лист с отмеченной диагональю.
В
зависимости
от длины
листа
и,
соответственно,
угла
наклона
нарисованной линии, будет различаться шаг винтовой линии и количество витков.
88
Формально
винтовой
линией
(цилиндрической)
называется
линия, описываемая точкой, которая вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг неподвижной оси и одновременно перемещается вдоль этой оси
с постоянной скоростью.
Наглядное представление и определение соединяются в параметрическом
задании винтовой линии в прямоугольной декартовой системе координат:
x = r cos t
y = r sin t
z=ht
Первые два уравнения показывают, что проекция точки бежит по
основанию прямого кругового цилиндра радиуса r. Третье уравнение задаѐт
движение вдоль оси цилиндра с постоянной скоростью. У «хороших» кривых
в трѐхмерном пространстве есть две базовые
характеристики -
кривизна
и кручение. [33].
Кривизна -
характеризует
скорость
искривления
линии
в плоскости
и определяется радиусом окружности, дуга которой наилучшим образом
приближает небольшой отрезок кривой, содержащий данную точку). Кручение скорость, с которой кривая стремится не быть плоской, насколько кривая хочет
покинуть плоскость. Замечательно, что для достаточно гладких кривых кривизна
и кручение полностью определяют форму линии.
У винтовой линии кривизна и кручение постоянны, а из приведѐнного
утверждения следует, что подобным свойством обладают только такие линии!
Постоянство кривизны и кручения во всех точках означает, что устройство
винтовой линии всюду одно и то же. Как следствие, получаем, что отрезок
винтовой линии может скользить вдоль неѐ точно так же, как отрезок - по прямой,
дуга окружности - по своей окружности. (Прямую и окружность можно
рассматривать как вырожденные, предельные случаи винтовой линии.)
Резьбовые соединения, в частности резьба болта или винта основаны на
винтовой линии. При закручивании резьба скользит как будто по лыжне.
89
Винтовая линия - единственная кривая, которая может скользить сама по
себе. И при решении инженерных задач, в которых наличие такого свойства
желательно или даже необходимо, без винтовых линий не обойтись.
Винтовой линией является и граница винтовых лестниц. Поднимаясь по
ним, вы по самому определению поднимаетесь вверх с постоянной скоростью.
Форму винтовой линии имеют и штопор, и рыбацкий бур, скользящие в
материале по уже пройденному пути.
Этот проект отличается наглядностью и современным подходом к
изложению рассматриваемых вопросов и своевременного получения наиболее
полной и достоверной информации. Эффективность организации и проведения
внеклассных занятий по математике с помощью компьютерных технологий
бесспорна. Мы получаем более результативное развитие мышления школьников
(в первую очередь логического) и его творческой составляющей; повышение
интереса учащихся ко всему курсу школьной математики, более глубокое его
усвоение; снижение негативных представлений учащихся о математике по
сравнению с традиционной организацией внеклассных занятий по математике.
Анализ
школьного
образования
убеждает
в
одностороннем
раскрытии
содержания изучаемого материала. Алгебраические понятия изучаются без
привлечения их геометрических интерпретаций, а геометрический материал
излагается без использования его алгебраических моделей. Чаще всего вне рамок
изучения
материала
остаются
его
приложения,
внутрипредметные
и
межпредметные связи. Именно поэтому нужно обеспечить различное отражение
учебной информации, расширить диапазон свободного выбора приемов учебно-
90
познавательной деятельности, создать учащимся условия для творческого
подхода к познанию изучаемого объекта, раскрывая его содержание и связи с
другими объектами. Это стало возможно с помощью компьютерных технологий.
91
Заключение
Наше исследование показало, что на сегодняшний день популяризация
науки является важной и многоаспектной темой. В работе акцент сделан на
изучение
целей
и
средств
популяризации
математических
знаний
и
математического образования.
В первой главе был дан обзор феномена популяризации науки, еѐ
особенностей и истории развития в России. Особенное внимание было уделено
новым информационным технологиям, которые используются в современном
образовании.
Показано,
что
популяризация
науки
продолжает
трансформироваться под воздействием новых технологий и развивающегося
информационного общества.
Во второй главе более подробно исследовано развитие популяризация
предмета математики в современной школе. На основании этого предложены
дополнительные методы и средства для популяризации математических знаний и
математического образования, которые обращаются к лучшим образцам
российского
и
мирового
математического
образования,
к
современным
образовательным технологиям.
Процесс организации популяризации математического знания и, как
следствие математического образования, должен знать и уметь осуществить на
практике учитель математики средней школы.
Представленный в работе комплекс мероприятий, позволит решить ряд
задач, поставленных Правительством РФ в Концепции развития математического
образования в Российской Федерации.
92
Список литературы:
1.
Андреев Н. Н. «Математические этюды» - новая форма традиции.
//Успехи математических наук. - 2009. - Т. 64, вып. 4 (388). - С. 205-206.
2.
Арнольд В.И. Математическое понимание природы. - М.: МЦНМО,
2010. - 146с.
3.
Аршинова А. Профессор Евгений Пальчиков о популяризации науки /
Компьютерра-online. 2012 г. 27 июля [Электронный ресурс]. − 2012. − Режим
доступа: http://old.computerra.ru/interactive/697108/.
4.
Бабанский Ю.К. Интенсификация процесса обучения. - М.: Знание,
1987. - 80 с.
5.
Баврин Г.И. Информационные модели систем организации учебно-
воспитательного процесса. // Информатика и образование. 2003. -№ 12. - С.23-27.
6.
Балк М.Б. Организация и содержание внеклассных занятий по
математике: пособие для учителей. - М.: Государственное учебно-педагогическое
издательство Министерства просвещении РСФСР, 1956. - 248 с.
7.
Белый Б.Н. Развитие самостоятельности и инициативы учащихся в
процессе внеклассной работы по математике. // Математика в школе. - 1962. - №2.
- С. 57-59.
8.
Беспалько В.П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. -
М.: Издательство ИИПО МО РФ, 1995. - 336 с.
9.
Богоявленский Д.Н., Менчинская H.A. Психология усвоения знаний в
школе. - М.: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1959. -347 с.
10.
Быльцов С.Ф. Занимательная математика. - СПб.: Питер, 2005. -352 с.
11.
Ваганов А.Г. Нужна ли популяризация науке? Как остановить падение
престижа российской науки // Экология и жизнь. − 2008. − № 6. – С. 19–21.
12.
Васильева И.А., Осипова Е.М., Петрова H.H. Психологические
аспекты применения информационных технологий // Вопросы психологии. - 2002.
- № 3. - С. 80-87.
93
13.
Вильям Р., Маклин К. Компьютеры в школе. - M: Прогресс, 1988. -
14.
Возрастная и педагогическая психология / В.В. Давыдов, Т.В.
333 с.
Драгунова, Л.Б. Ительсон и др.; под ред. A.B. Петровского. - М.:Просвещение,
1979. - 288 с.
15.
Герман B.C. Из опыта организации математических соревнований//
Математика в школе. - 1962. - №2. - С. 59-61.
16.
Гершунский, Б.С. Философия образования для XXI века: учебное
пособие для самообразования. - М.: Педагогическое общество России, 2002. –
508 с.
17.
Гинзбург В. Л. Еще раз к вопросу о популяризации науки. // Наука и
жизнь. - 2007. - № 8. – С.34-37.
18.
Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения
математике. - М.: Педагогика, 1987. - 160 с.
19.
Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. -
М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия»,
2003. - 432 с.
20.
Демина Н. 3D-графика позволяет показать красоту математики//
Троицкий вариант. - 2009. - № 13 (32). - С. 4.
21.
Дивеева Н.В. Популяризация науки как разновидность массовых
коммуникаций в условиях новых информационных технологий и рыночных
отношений: канд. диссертация, Воронеж, 2015. – 186с.
22.
Дорофеев В.Г. Математика для каждого. Предисловие Кудрявцева
Л.Д. - М.: Аякс, 1999. - 292 с.
23.
Епишева О.Б. Учить школьников учиться математике: формирование
приемов учебной деятельности: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 128 с.
24.
Заинчковский
И.А.
Проблемы
информатизации
проблемы
интеллектуального развития общества. // ИНФО. - 1994. -№2. -С. 3-5.
25.
Зинченко П.И. Непроизвольное запоминание. - М.: Изд-во Акад. пед.
наук РСФСР, 1961. -562 с.
94
26.
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Под редакцией М.К. Потапова;
текстов, обработка Ю.В. Нестеренко. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1982. - 208 с.
27.
Иоффе Э. Математика для всех. УНИВЕР-ПРЕСС, М., 2005, - 460 с.
28.
Константинова
Е.Г.
Популяризация
науки
на
современном
российском экране: кризис направления и пути преодоления. [Электронный
ресурс]: электронный научный журнал. 2009. URL: http://mediascope.ru/node/290
29.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: Юнисам, МДС,
1994. - 560 с.
30.
Лазарев
В.А.
Педагогическое
сопровождение
одаренных
старшеклассников: монография. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского,
2005. - 273 с.
31.
Лазаревич Э.А. Искусство популяризации науки. - М.: Наука, 1978. -
32.
Левитас Г.Г. ЭВМ и школьная математика // Информатика и
224 с.
образование. 1998. - № 2. - С. 99-100.
33.
Левкович-Маслюк
Л.
И. Математический
шлягер
в
3D // Компьютерра. - 2006. - № 12 (632). - С. 56-63.
34.
Луканкин А.Г. Концепция обучаемости / А.Г. Луканкин, Г.Л.
Луканкин, P.A. Оганян, A.B. Фарков // Модернизация системы педагогического
образования Московской области. - М.: Изд-во МГОУ, 2004. - с. 123-132.
35.
Луканкин Г.Л., Диков А.В. Подготовка учителя математики к
использованию Интернета. // Информатизация сельской школы: труды II
Всероссийского научно-методического симпозиума. Анапа, МГОПУ им. М.А.
Шолохова, 2004. - С. 497-502.
36.
Математические
этюды
[Электронный
ресурс]:
бесплатный
обучающий форум. - Режим доступа:http://www.etudes.ru/
37.
Можаров М.С. Организация учебно-познавательной деятельности
учащихся при использовании инструментальных пакетов в средней школе:
95
автореф. дис.. канд. пед. наук : 13.00.01. - Новосибирск: Новокузн. пед. ин-т, 1997.
- 19 с.
38.
Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи на смекалку. -
М.: Дрофа, 2003. - 240 с.
39.
Нечаев М.П., Турина Т.В. Как подготовить и провести неделю
математики. //Математика в школе. 2006. - №7. - С. 68-72.
40.
Никифорова М.А. Преподавание математики и новые компьютерные
технологии. // Математика в школе. 2005. - №6. - С.73-80.
41.
Никифорова М.А. Преподавание математики и новые компьютерные
технологии. // Математика в школе. 2005. - №7. -С. 56-63.
42.
Ожегов С.И. Толковый словарь русского языка. - М.: Азбуковник,
1999. - 944 с.
43.
Перельман Я.И. Веселые задачи. - М.: ООО «Издательство Астрель»;
ООО «Издательство ACT»; ООО «Транзиткнига», 2003. -287, 1. с.
44.
Перельман, Я.И. Живая математика: математические рассказы и
головоломки. - М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство ACT»,
2003. – 268 с.
45.
Рейман Л.Д. Информационное общество и роль телекоммуникаций в
его становлении // Вопросы философии. 2001. - № 3. - С. 3-9.
46.
Русаков A.A. Сохраним традиции отечественного образования.//
Современные проблемы преподавания математики и информатики-2005. - М.:
ФАЗИС, 2005. с. 272 - 273.
47.
Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб.
пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. - М.: Просвещение, 2002. 224 с.
48.
Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: учебное
пособие. - М.: Народное образование, 1998. - 256 с.
49.
Скопенков А.Б. Олимпиады и математика. // Математическое
просвещение. 2006. - Сер. 3, вып. 10. - С. 57-63.
96
50.
Смирнов В.А., Смирнова И.М. Компьютер помогает геометрии. //
Математика. 2003. - № 21. - С. 44-45.
51.
Стюарт Иен Величайшие математические задачи. М., Династия, 2015,
- 460с.
52.
Час занимательной математики. / Под ред. Л.Я. Фальке. - М.: Илекса;
Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2003. - 176 с.
53.
Часовских, A.A. Школа для творческого развития старшеклассников.//
Очерки по математическому образованию в России: сборник статей / Под общ.
ред. В.А. Садовничего. М.: МЦНМО, 2004. - С. 270-280.
54.
Яхович В.Н. Логические компьютерные игры - развлечение или
средство повышения интереса к математике? // Современные проблемы
преподавания математики и информатики: материалы международной научнометодической конференции: в 3 ч. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.
Толстого, 2004. - Ч. И. - С. 226-232.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа