close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Абаева Надежда Николаевна. Обучение младших школьников решению задач на движение

код для вставки
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………………..3
Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения решению задач на
движение учащимися начальной школы……………………………………6
1.1 Психолого-педагогические основы формирования математических знаний,
умений, навыков и воспитания учащихся в процессе решения задач……………..6
1.2 Задачи на движение и их роль в процессе обучения младших школьников 15
1.3 Теоретические основы обучения решению задач на движение и их виды в
начальном курсе математики…………………………………………………….28
Выводы по первой главе ………………………………………………………...42
Глава 2. Методические основы обучения решению задач на движение
младшими школьниками……………………………………………………..43
2.1 Анализ учебно-методических комплектов по математике для начальной школы по проблеме обучения решению задач на движение………………………43
2.2 Изучение опыта учителей начальных классов по организации работы с
задачами на движение………………………………………………...………....56
2.3 Методические рекомендации по обучению младших школьников решению задач на движение …………………………………………………………68
Выводы по второй главе…………………………...……………………………79
Заключение…………………………………………...…………………………81
Список литературы…………………………………………………………… 83
Приложение ……………………………………………………………….……88
3
ВВЕДЕНИЕ
Текстовые задачи имеют важное значение в школьной системе обучения
математике. Они необходимы для формирования у учащихся полноценных знаний, умений и навыков. Практически все основные понятия, отношения, взаимосвязи, закономерности, рассматриваемые в начальном курсе математики,
раскрываются на системе конкретных текстовых задач.
Задачи на движение являются обязательными для изучения, как в начальном курсе математики, так и в курсе математики средней школы. Основные
умения и навыки по решению задач на движение, которые учащиеся получают
в начальной школе, являются необходимыми для их успешного дальнейшего
обучения.
Умение решать задачи на движение во многом зависит от понимания
учеником связей и зависимостей между величинами, входящими в задачу, так
как при ее решении он должен установить, какие две величины нужно иметь,
чтобы найти искомую величину, и, наоборот, какую величину нужно найти по
двум данным величинам. Ученик должен прочно знать, например, зависимость
между скоростью, временем и расстоянием; уметь записывать эти зависимости
в виде буквенных формул.
Решение задач на движение имеет большое практическое значение, так
как формирует умение производить расчеты, без которых
человек не может
обойтись в своей повседневной деятельности, тем самым связывает теорию с
практикой, обучение с жизнью, трудом.
Умение решать задачи приобретается учащимися постепенно, на протяжении всего периода обучения в начальной школе. Конечная цель при этом состоит в том, чтобы школьники научились самостоятельно находить путь решения любой доступной им задачи.
Система обучения решению задач на движение должна обеспечить постепенное нарастание сложности выполняемой работы и быть органически связанной с системой развития логического мышления учащихся. Известно, что
школьник прочно и осмысленно усваивает только тот материал, при изучении
4
которого активизируется его мыслительная деятельность. Поэтому учитель
должен тщательно продумать, начиная с первых дней обучения младших
школьников систему обучения решению задач на движение; последовательность усложнения работы, выполняемой учащимися при решении задач; систему чередования решения готовых задач по учебнику с составлением задач учащимися; когда и какие задачи решать устно, а какие письменно; систему чередования решения задач под непосредственным руководством учителя с самостоятельным их решением; методы, приемы и средства обучения решению задач на движение.
Но, несмотря на большую работу, проводимую учителем по обучению
младших школьников решению задач на движение, ошибки и затруднения у
учащихся все же возникают. Все вышесказанное свидетельствует об актуальности темы исследования: «Обучение младших школьников решению задач на движение».
Объект исследования: процесс обучения младших школьников решению задач на движение.
Предмет исследования: теоретические и методические основы обучения младших школьников решению задач на движение.
Цель исследования: изучить педагогические условия организации
обучения младших школьников решению задач на движение и разработать
рекомендации по повышению эффективности обучения решению задач на
движение в начальной школе.
Цель исследования определила следующие задачи:
 изучить психолого-педагогическую литературу по проблеме исследования;
 определить понятие «задачи на движение» и их роль в процессе обучения математике младших школьников;
 рассмотреть виды задач на движение, представленные в начальном
курсе математики;
5
 указать теоретические основы обучения решению задач на движение
младшими школьниками;
 проанализировать учебно-методические комплекты по математике
для начальной школы с целью выявления методических особенностей процесса обучения решению задач на движение младшими школьниками;
 изучить опыт учителей начальных классов по проблеме исследования;
 разработать методические рекомендации по повышению эффективности процесса обучения решению задач на движение учащимися начальной
школы;
 сформулировать выводы по исследованию.
Объём работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
6
ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ УЧАЩИМИСЯ НАЧАЛЬНОЙ
ШКОЛЫ
1.1 Психолого-педагогические основы формирования математических знаний, умений, навыков и воспитания учащихся в процессе решения задач
Основоположник научной педагогики в России К.Д. Ушинский указывал,
что «изучение психологии как науки является краеугольным камнем педагогики» [35]. С развитием психологии её роль в педагогике возросла. С другой стороны, чем больше совершенствуется педагогический процесс, тем острее ощущается в нём потребность в психологии. Современное решение педагогических
проблем невозможно без достаточно полного учёта их психологических аспектов.
О том, что надо учитывать возрастные особенности учащихся, говорится
всюду, но не всегда указывается, что это означает, какие особенности надо учитывать и как их надо учитывать. Между тем надо иметь в виду, что возрастные
особенности - это не нечто неизменное и вечное, что присуще ученикам определённого возраста. Сами эти особенности довольно редко меняются со временем, скажем, возрастные психологические особенности ученика младшего
школьного возраста теперь и лет 30 тому назад совсем не одни и те же. Точно
так же современный подросток весьма существенно отличается от подростка
тех лет.
Рассмотрим некоторые психологические особенности современного ученика, имея в виду лишь те его особенности, которые важно учитывать в процессе обучения математике.
Ученик - это растущий, развивающийся человек. Придя в школу ребёнком
семи лет, он заканчивает её в 18 лет вполне сложившимся человеком юношеского возраста. За эти одиннадцать лет ученик проходит огромный путь физического, психологического и социально-нравственного развития [18].
7
Все дети шести - семи лет, как правило, с желанием и охотой идут в школу. Этот интерес, связан, во-первых, с желанием ребёнка занять новую социальную позицию в жизни: он был дошкольником, а теперь он станет школьником,
он стремится ко всему новому, что связано с поступлением в школу (новые товарищи, школьные принадлежности и др.). Во-вторых, уже в процессе игры, в
процессе подготовки к школе у ребёнка возникает некоторый познавательный
интерес, стремление к знаниям, пока ещё, конечно, весьма слабое, неопределённое, интуитивное, но всё же у большинства детей это стремление имеется, и они
много ожидают от занятий в школе.
Существенные особенности ребёнка в первые годы пребывания в школе
является то, что он так же, как и дошкольник, принимает цели взрослых за свои
личные цели. Авторитет взрослого ещё очень велик, тем более авторитет учителя: «учительница сказала», «учительница велела» - это закон для ребёнка.
Но постепенно у детей младшего школьного возраста развивается произвольность психологических процессов, у них формируется умение сознательно
ставить собственные цели действий и находить средства для их достижения
потому, если учитель начальных классов организует обучение так, что ученику
неизвестны и непонятны цели изучения тех или иных действий, которые он
должен освоить, если все эти действия немотивированны с жизненно практической и познавательной точки зрения, то ученик теряет интерес к учению и
уже в конце II или III классе у него может возникнуть равнодушие или даже отрицательное отношение к учению.
В младшем школьном возрасте у детей быстро развиваются (при благоприятных условиях) такие важные для всей последующей учёбы и жизни
школьника психологические процессы, как рефлексия (умение объективно анализировать свои действия и поступки с точки зрения их соответствия цели и
условиям деятельности), внутренний план действий (умение планировать и
осуществлять в уме, про себя, разные действия в соответствии с поставленной
задачей). В то же время у детей быстро развиваются познавательные способности и умения наблюдения, произвольного внимания, понятия, воображения.
8
Однако надо иметь в виду, что развитие всех этих способностей и умений,
играющих важнейшую роль в становлении личности учащихся, в формировании
их познавательных возможностей, не происходит автоматически. Нужна кропотливая настойчивая и целенаправленная работа по формированию и развитию у
всех детей этих важнейших психических качеств. Следует помнить, что младший школьный возраст наиболее благоприятен для развития указанных психических процессов, способностей и умений. Если это время будет упущено, если
вовремя у ребёнка не будут развиты рефлексия, внутренний план действий, память, наблюдательность, произвольное внимание и т.д., то в старшем возрасте
эти качества развить значительно труднее, а иногда и просто невозможно.
Во многих психологических исследованиях было установлено, что причиной слабой успеваемости учащихся, причиной их отставания в учёбе, является
слабое развитие каких-либо психических процессов. Так, например, в исследовании В.П. Абдурасуловой было показано [2], что одной из причин отставания
детей по математике является недостаточное развитие способности к обобщению. Это выражается в неумении детей сознательно организовывать процесс
обобщения на основе сравнения, выделять признаки сходства и различия в
сравниваемых объектах, выбирать из них наиболее существенные признаки.
В этом исследовании в процессе изучения математики в первых и вторых
классах проводилась специальная работа с отстающими в этом отношении
детьми по формированию у них умений обобщения.
Суть применённых в этом обучении приёмов состояла в том, что, вопервых, детям на примерах, предусмотренных программой обучения, подробнейшим образом демонстрировали процесс обобщения, во-вторых, подчёркивали целевую направленность этой операции с помощью постановки проблемных
вопросов. Тем самым создаётся нужная мотивация. В-третьих, дети привлекаются к активному и посильному для них участию в процессе обобщения, наконец, сам процесс обобщения постепенно усложняется по линии сокращения
объёма сравниваемых объектов и углубления анализа обобщаемых отношений
и их вычленения с помощью моделирования.
9
В других исследованиях была установлена возможность целенаправленного развития у детей внутреннего плана действий (Я.А. Пономарёв), рефлексии (А.З. Зак), памяти (Е.Ф. Иванова), ориентации математических величин
(Л.Г. Манджавадзе).
Если у младших школьников будут сформулированы в должной степени
все эти психические процессы, способности и умения, то переход к более сложному содержанию школьного курса математики не вызовет у них каких-либо
особых трудностей.
Недооценка роли знаний в школьном образовании означает отрыв его от
реальной действительности, от жизни, что противоречит задачам российской
школы.
Знания являются основным материалом для умственной деятельности. Без
знаний (в любых формах - в виде представлений, понятий) мышление неосуществимо. Обогащение знаниями непосредственно влияет на умственное развитие человека, являясь одним из важнейших условий развития.
Запас знаний и их системность является в какой-то мере не только условием, но и показателем умственного развития.
Необходимо учитывать, как, с помощью, каких познавательных процессов
эти указания получены. В условиях школьного обучения опытные учителя
практически владеют средствами, позволяющими им ясно различать характер
получения знаний школьниками: если ученик не только механически заучил, но
и понял и овладел содержанием материала, то он в состоянии отвечать на вопросы, по - разному сформулированные, способен вносить в усвоенный материал
необходимые изменения, модифицировать свои знания в соответствии с поставленной задачей. В этих случаях мы имеем дело не с простым воспроизведением
знаний, а с более сложными процессами их актуализации, предполагающими
сформированность особых умений, которые могут быть отнесены к категории
интеллектуальных умений.
Понятие «интеллектуальное умение» требует расшифровки: в его содержание входит, прежде всего, знание особого рода - знание способа, или приёма
10
умственной деятельности и неразрывно связанное с ним практическое владение
приёмом, возникающее в результате использования его и проверки в опыте самостоятельной умственной деятельности.
Если умения применять знания (или «добывать» новые, опираясь на полученные ранее) проявляются достаточно широко (в разных видах умственной
деятельности) и устойчиво, то имеются основания считать, что у школьника
произошли прогрессивные изменения качеств ума - его активности и самостоятельности, продуктивности, гибкости и др.
При этом изменения, о которых идёт речь, отражаются на различных психических процессах, в частности на памяти.
В объяснительной записке к программе по начальной математике уделяется большое внимание формированию у школьников «сознательных и прочных, доведённых до автоматизма навыков вычислений» при решении примеров
на деление, отмечаются так же, что « дети должны овладеть элементарными
навыками черчения, измерения величин, приобрести уверенность в использовании различных единиц измерения».
Сформированные навыки дают возможность, как это хорошо известно,
высвобождать и время, и познавательные усилия ученика для новой, более
сложной и творческой работы.
Но естественно возникает вопрос: в какой мере сформированность навыков может служить показателем повышения уровня умственного развития ученика?
По данным П.А. Шеварёва [54] и его сотрудников: у школьников, обладающих более высоко развитым умением выполнять тот или иной вид учебной
деятельности (решение арифметической задачи, составления уравнения и др.),
значительно раньше осуществляется свёртывание общих положений, лежащих
в основе решения (эти положения перестают ими вспоминаться, хотя ученики
производят действия в соответствии с ними).
Отсюда и термин «правилосообразные» ассоциации, который ввёл
П.А. Шеварёв.
11
Но существует ещё один аспект рассмотрения вопроса о роли формирования навыков в умственном развитии. Для характеристики умственного развития наиболее существенно то, в какой мере учащийся «владеет» своими навыками, а это означает не только быстроту и своевременность их актуализации, но
и умение (в тех случаях, где это необходимо) осуществить «деавтоматизацию»,
т.е. вспомнить и вновь воспроизвести рассуждения, которые лежат в основе
навыка. В этом случае должна быть проявлена активность личности, её владение собственными психологическими процессами.
Школа должна вооружить учеников знаниями, умениями и навыками, необходимыми для самостоятельного решения новых вопросов, новых учебных и
практических задач. Для достижения этой цели необходимо упражнять детей в
самостоятельном применении приобретённых знаний, умений, навыков в новых
условиях.
Воспитательное воздействие на учащихся оказывают не только специальные мероприятия, но и любые действия учителя и товарищей по классу, по
школе, т.е. все сложившиеся особенности классной и внеучебной деятельностью школьника.
Для того чтобы конкретно представить себе пути воспитательной работы, связанной с обучением математике, необходимо уяснить специфические особенности дисциплин математического цикла, а так же воспитательные возможности, заложенные в самом учебном материале.
Первая и наиболее существенная особенность математики - это её отвлеченный, абстрактный характер. Математика отличается также строгой
обоснованностью, доказательностью рассуждений, систематичностью. Ей
свойственны точные и лаконичные формулировки, особый стиль мышления.
Все эти особенности математики находят отражение в курсе начальных
классов. Занятия математикой могут способствовать формированию у детей
элементарных основ научного мировоззрения, помогать развитию творческих
способностей и воспитанию многих ценных черт и качеств личности.
12
Содержанием уроков математики в начальной школе является решение
задач, устные и письменные вычисления, упражнения в измерении, материал
геометрической и алгебраической пропедевтики.
При обучении воспитываются ответственность за результаты вычислений, настойчивость в поисках правильного решения, навыки проверки и самоконтроля, умение слушать и быстро реагировать на вопрос и задания учителя, быстро переключаться с одного действия на другое и т.д.
Воспитывает и урок в целом, его организация, стиль работы учителя,
его манера держаться в классном коллективе, установленные им порядки, его
требовательность к ученикам и умение создать на уроке трудовую атмосферу.
Таким образом, на уроках математики должны воспитываться: ответственное отношение к учению, трудолюбие, умение работать в коллективе;
ребёнок должен активно участвовать в работе класса; не только отвечать, но
и спрашивать, не только получать знания, но передавать свои знания другим,
полученные из разных источников: из книг, из жизни.
Чрезвычайно ответственным является требование построения учебного процесса с учётом мировоззренческих положений. Особенно важное место среди них занимает положение о практике, которая является основой создания теории, служит областью её приложений и является критерием проверки теоретических положений. Поэтому важно довести до понимания учащихся тот факт, что каждое положение математики не только отвечает задачам практики, но и родилась из потребностей практики, представляет собой
результат анализа и обобщение человеком практической деятельности и
наблюдаемых им явлений окружающей жизни. В начальных классах достичь
этого в полной мере, конечно, нельзя. Но первые шаги в этом направлении
следует делать.
В воспитательных целях полезно использовать в работе с детьми некоторые сведения из истории. Обращение к истории способствует пробуждение
у детей интереса к математике и оживлению урока. Отдельные примеры о
13
том, как развивались математические понятия, помогут детям лучше понять
связь арифметики с практикой.
Ввиду основания содержания начального курса математики особую актуальность приобретает задача построения учебной работы по математике с
целью наилучшего формирования элементов мировоззрения.
Курс начальной математики позволяет организовать процесс обучения
так, чтобы способствовать воспитанию у детей самостоятельности, инициативности, привычки и любви к трудовому усилию, чувства ответственности,
настойчивости и других важных с точки зрения гуманистического воспитания черт личности [43].
Среди воспитательных задач, стоящих перед учителем при обучении
детей математике, воспитание самостоятельности и инициативы занимает
одно из главных мест. Используя ту или иную форму организации занятий на
уроке, выбирая тот или иной метод обучения (в зависимости от содержания
учебного материала и от целей каждого конкретного урока), учитель должен
постоянно заботится о том, чтобы при этом постепенно, но систематически
возрастали требования к самостоятельности учащихся.
На каждом этапе обучения нужно ставить такие цели, которые, являясь
доступными, требовали бы от ученика известного напряжения умственных
сил и способностей. Соблюдение этого условия - необходимая предпосылка
воспитания у детей привычки к трудовому усилию, воспитанию воли, умения
преодолевать трудности и находить удовлетворение в их преодолении.
Математика привлекает детей, прежде всего тем, что она дает большой
интерес и разнообразный материал для размышлений. Посильная, но относительно более трудная задача вызывает у детей значительно больший интерес, чем задача простая, «обыкновенная». Ничего не может в большей мере
привлечь внимание детей, заинтересовать их новым материалом, активизировать их работу на уроке, чем, если учитель скажет: «Я дам вам сейчас довольно трудную задачу. Мы таких задач еще не решали. Подумайте, может
быть, вы сможете в ней разобраться».
14
Если это так, то значит, что уроки математики могут стать хорошей
школой для воспитания у детей воли, желания и умения преодолевать трудности, вкуса к напряженной умственной деятельностью.
Занятия математикой могут быть с успехом использованы для воспитания у детей культуры труда. Известно, какие высокие требования предъявляет арифметика к точности вычислений, измерений, чёткости формулировок, аккуратности записей. Выполняя те или иные вычисления, дети не раз
на собственном опыте убеждаются, к каким серьёзным ошибкам может привести не аккуратность. Стоит только при складывании «столбиком» не совсем точно записать одно число под другим или не чётко записать цифру, как
это порождает ошибки. Всё это создаёт благоприятные условия для воспитания у детей привычке к чистоте, опрятности, аккуратности – привычек,
имеющих большое воспитательное значение. [38]
В ходе обучения началам математики открываются возможности для
формирования у детей умения проверять себя.
Овладение навыками самоконтроля - одна из серьёзных воспитательных задач. Систематически предъявляемые детям требования проверки полученного результата должны, в конечном счете, привести к выработке привычки к самоконтролю, значение которой для любой учебной и трудовой деятельности трудно переоценить.
Помимо самоконтроля очень большое воспитательное значение имеет
систематический и целенаправленный контроль знаний учащихся со стороны
учителя, своевременное оказание индивидуальной помощи детям.
Успешность учебной работы ученика зависит не только от его воли,
усидчивости и других качеств характера и ума, но и от уровня усвоения этим
учеником учебного предмета, от величины и значимости имеющихся пробелов в усвоенных им знаниях.
Значение математики в деле развития у детей познавательных способностей является общепризнанным. Математика требует определённости,
строгой последовательности, доказательности и убедительности рассужде-
15
ний. Она не терпит каких-либо отступлений от требований логики, не допускает таких логических ошибок, как поспешное обобщение, необоснованная
аналогия, неполнота классификации и т.п.
Математика во всех случаях требует исчерпывающей полноты аргументации, при этом точность и лаконизм - характерные особенности её стиля.
Мышление, которого требует математика, это мышление, подчиняющееся законам логики. Вот почему обучение математике даёт богатые реальные предпосылки для развития логического мышления учеников, для воспитания у них искусства кратко, ясно, точно и правильно излагать свои мысли.
1.2 Задачи на движение и их роль в процессе обучения младших
школьников
Каждому учителю хорошо известно, какое большое место в начальном
обучении математике занимали всегда, да и сейчас продолжают занимать
текстовые задачи.
Процесс обучения школьников решению задач претерпел серьезные
изменения в связи с введением в начальный курс математики работы над
числовыми и буквенными выражениями, равенствами и уравнениями.
По-новому стала оцениваться роль, которую играют задачи в процессе
обучения математике, изменилось содержание соответствующей работы (отбор задач, предназначенных для рассмотрения младшими школьниками, отбор тех способов и решения, с которыми должны быть ознакомлены дети).
Коренным образом изменилась система расположения соответствующих
упражнений во времени.
Отбор задач и тех способов их решения, с которыми учитель должен
познакомить учащихся, определены программой. Соответствующие требования программы реализованы в учебниках.
16
В учебниках благодаря поурочному их построению в основных чертах
намечена, и система распределения соответствующих упражнений во времени и некоторые основные методические направления работы над задачами.
Учитывая сказанное, представляется важным рассмотреть более подробно, что представляет собой задачи, решаемые в начальных классах школы, в чем заключается специфика этого вида учебных упражнений.
Бантова М.А. определяет задачу, как ситуацию, которая связана с числами и требует выполнения арифметических действий над ними [5].
По Стойловой Л.П.: текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную
характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие
или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения [40].
Моро М.И., Пышкало А.М. определяют задачу как сформированный
вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических
действий [46].
В.В. Статкевич даёт следующее определение задачи [48]:
Арифметической задачей называется требование определить величины
по известным числовым значениям других величин и зависимостям, выраженным в словесной форме, которые связывают все эти величины между собой.
Из определения видно, что в каждой арифметической задачи имеются:
1) числовые значения величин (числовой материал), которые называются данными или известными;
2) зависимости между величинами (словесный материал, указывающий
на характер связей между данными и искомыми), которые называются условиями;
3) вопрос задачи, указывающий, что требуется найти в ней. Числовое
значение искомой величины называется искомым или неизвестным.
Рассмотрим основные требования, предъявляемые к задаче.
17
Числовой материал должен соответствовать уровню математической
подготовки учащихся. Если содержание задачи взято из окружающей жизни,
то числовой материал должен быть реальным.
Например, скорость пешехода равна 4-5 км/ч, вес курицы – 2 кг., а скорость велосипедиста не может, разумеется, выражаться сотнями километров
в час и т.п.
Зависимости между величинами должны быть сформулированы точно,
ясно и немногословно. Число условий в задаче должно соответствовать числу данных и искомых.
Например: «С первого участка сняли 90 кг. лука, со второго – в 4 раза
больше, чем с первого, а с третьего – в 6 раз меньше, чем со второго. Сколько
кг. лука сняли с трёх участков?»
Вопрос задачи также должен быть сформулирован правильно, ясно,
точно и вытекать из содержания задачи.
Например: «У Коли 5 тетрадей, а у Вани 3. На сколько больше тетрадей
у Коли, чем у Вани?»
В обучении математике младших школьников преобладают задачи, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными.
Текстовыми их называют, так как эти задачи сформулированы на естественном языке.
Сюжетными, так как в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений.
Арифметическими (вычислительными), так как они представляют собой
задачи на разыскивание искомого, и сводится к вычислению неизвестного
значения некоторой величины.
Под «текстовыми арифметическими задачами» подразумевают задачи,
имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий. Эти задачи занимают в начальном курсе математики
важное место.
18
Задачи на движение являются особым видом текстовых задач начального курса математики, так как наряду с общими положениями, относящимися
к текстовым задачам, эти задачи имеют ряд особенностей. К моменту введения задач на движение, учащиеся должны обладать общими приемами решения текстовых задач, задач с пропорциональными величинами, поэтому
они по всем действующим УМК для начальной школы изучаются в 3-4 классах. По сути, это последний вид текстовых задач, которые изучаются в
начальном курсе математики.
Рассмотрим задачу: «На автобусе, средняя скорость которого 35 км/ч,
из деревни в город можно доехать за 4 часа. Сколько времени дорога из деревни в город займет на машине, скорость которой в 2 раза больше скорости
автобуса?»
В задаче описывается движение автобуса и машины. Как и в любой текстовой задаче, в ней можно выделить утверждения-условия:
1) Средняя скорость автобуса 35 км/ч.
2) Время движения автобуса 4 часа.
3) Скорость движения машины в 2 раза больше скорости автобуса.
4) Машина и автобус проходят одинаковый путь (из деревни в город).
В данной задаче одно требование: найти время, необходимое машине на
путь из деревни в город. Решить задачу в широком смысле этого слова – это
значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих
положений математики (правил, законов, формул и т.п.); выполнить действия над данными задачи, используя общие положения, и получить ответ на
требование задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин
«решение задачи» широко применяется в математике [44]. Этим термином
обозначают связанные между собой, но все же разные понятия. Во-первых,
решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи.
Во-вторых, решением задачи называют процесс нахождения этого результата, то есть вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала
19
чтения задачи до окончания решения. В-третьих, решением задачи называют
лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на
основе общих положений математики для получения ответа задачи.
Арифметический метод решения текстовой задачи – нахождение ответа
на требование задачи путем выполнения арифметических действий.
Многие задачи можно решить разными арифметическими способами,
отличающимися логикой рассуждений.
Алгебраический метод решения текстовой задачи – нахождение ответа
на требование задачи путем составления уравнения или системы уравнений.
Для одной и той же задачи можно составить различные уравнения или системы, значит, она может быть решена различными алгебраическими способами.
В начальной школе текстовые задачи решаются преимущественно
арифметическим методом. В этом случае решить задачу – значит раскрыть
связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего
выбрать, а затем выполнить действия и дать ответ на вопрос задачи.
Деятельность по решению задачи состоит из следующих этапов: анализ
задачи, поиск плана решения задачи, осуществление плана решения задачи,
проверка решения задачи.
Основное назначение первого этапа – понять в целом ситуацию, описанную в задаче, выделить условия и требования, назвать известные и неизвестные объекты и отношения между ними. Разобраться в условии задачи
помогают вопросы следующего типа: о чем данная задача, что требуется
найти в задаче, что для этого известно, что неизвестно и т.д.
Как правило, на этапе анализа задачи создается вспомогательная модель
(краткая запись, таблица, чертеж и т.д.). Таблица, чертежи, предметные рисунки являются вспомогательными моделями задачи, на которой должны
быть отражены все объекты и отношения. Такие модели являются фиксацией анализа текстовой задачи и основным средством поиска ее решения.
20
Для рассматриваемой задачи вспомогательную модель целесообразнее
выполнить в виде таблицы:
скорость
время
автобус
35 км / ч
4ч
машина
? в 2 раза больше
?ч
расстояние
одинаковое
Назначение второго этапа – поиск плана решения задачи – состоит в
установление связи между объектами и последовательности действий. Поиск
плана решения задачи может осуществляться разными методами.
Аналитический метод – метод рассуждения от вопросов задачи к данным. Он представляет собой цепочку рассуждений вида «Чтобы узнать …,
надо знать … и …». Для рассматриваемой задачи схема аналитического метода рассуждений будет следующей:
1. Чтобы найти время, необходимое машине на путь из города в деревню, надо знать ее скорость (?) и величину пути (?).
2. Чтобы величину пути от деревни в город, надо знать скорость автобуса (35 км/ч) и время его движения (4 ч).
3. Чтобы найти скорость машины, надо знать скорость автобуса (35
км/ч) и во сколько раз скорость машины больше (в 2 раза)
Синтетический метод – метод рассуждения от данных к вопросу задачи.
Он представляет собой цепочку рассуждений вида «Зная … и … , можно
найти …». Для данной задачи схема синтетического метода рассуждений
будет следующей:
1. Зная скорость автобуса (35 км/ч) и то, что скорость машины в 2 раза
больше, можно найти скорость машины.
2. Зная скорость автобуса (35 км/ч) и время его движения (4 ч) можно
найти расстояние от деревни до города.
3. Зная расстояние от деревни до города, и скорость машины можно
найти время, необходимое машине на этот путь.
При синтетическом методе рассуждения характерным является описание того, что и как делается, но не указывается, почему в качестве исходного
21
взято то или иное утверждение, поэтому такие рассуждения кажутся учащимся искусственными. При использовании аналитического метода, учащиеся знают с чего начать, но этот метод не всегда приводит к правильным выводам. Поэтому при решении задач следует применять оба метода.
Этап осуществления плана решения задачи включает в себя выполнение
всех действий в соответствии с планом и позволяет найти ответ на требование задачи. Для текстовых задач решение может быть записано по действиям и выражением.
Решение по действиям может сопровождаться пояснениями или вопросами.
1) 35 2 = 70 (км/ч) – скорость машины.
2) 35 4 = 140 (км) – расстояние о деревни до города.
3) 140 : 70 = 2(ч) – время движения машины.
1. С какой скоростью двигалась машина? 35 2 = 70 (км/ч)
2. Какое расстояние от деревни до города? 35 4 = 140 (км)
3. Сколько времени надо машине на путь
от деревни до города? 140 : 70 = 2(ч)
Запись решения задачи выражением может осуществляться поэтапно, в
соответствии с планом решения:
1) 35 · 2 = 70 (км/ч) – скорость машины.
2) 35 · 4 = 140 (км) – расстояние от города до деревни.
3) 140 : 70 = 2 (ч) – время машины.
или (35 · 4): (35 · 2) = 2 (ч)
Этап проверки правильности решения задачи позволяет установить
правильность или ошибочность полученного решения. Для текстовой задачи
это можно установить несколькими способами. В начальных классах используются следующие четыре способа проверки:
1) Прикидка ответа (установление соответствия искомого числа области своих значений). Применение этого способа состоит в том, что до решения задачи устанавливается область значений искомого числа. Если после
22
решения задачи полученный результат не соответствует установленным границам, значит, задача решена неправильно. Пусть надо проверить способом
прикидки решение следующей задачи: «Из двух городов, расстояние между
которыми 736 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда.
Первый поезд шел со скоростью 47 км в час, а второй 45 км в час. Сколько
километров прошел каждый поезд до встречи?» До решения задачи выясняется, что каждый поезд прошел расстояние меньше, чем 736 км, и что первый поезд прошел большее расстояние, чем второй. Если ученик ошибется и
получит в ответе, например, числа 3760 и 3600, то сразу же заметит, что задача решена неправильно, так как каждое искомое число должно быть
меньше, чем 736. Таким образом, этот способ помогает заметить ошибочность решения, но он не исключает других способов проверки решения задач.
2) Составление и решение обратной задачи. В этом случае детям предлагается составить и решить задачу, обратную по отношению к данной. Если
при решении обратной задачи в результате получится число, которое было
известно в данной задаче, то можно считать, что данная задача решена правильно.
Этот способ вводится во 2 классе. Он применим к любой задаче, лишь
бы обратная задача была посильна детям, а поэтому им надо указывать, какое число можно брать искомым в обратной задаче. Применяя этот способ
проверки, следует помнить, что он довольно труден и громоздок, а составленная обратная задача может оказаться труднее данной. Тем не менее,
очень полезны сами упражнения в составлении и решении обратных задач,
поскольку они помогают уяснить связи между величинами, входящими в задачу.
[14, с.58]. На машине за 3 часа проехали 180 км с постоянной скоростью. Чему равна скорость машины?
23
К данной задаче можно составить следующие обратные задачи:
1) На машине со скоростью 60 км/ч проехали 180 км. Сколько времени
была в пути машина?
2) На машине ехали 3 часа со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние было пройдено?
Такие задачи позволяют не только проверить правильность решения задачи, но и глубже усваивать связи между входящими величинами.
3) Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными числами.
При проверке решения задачи этим способом выполняют арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи;
если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать,
что задача решена правильно.
Этот способ проверки также используется, начиная со II класса. Его целесообразно применять для проверки решения задач такой структуры, в которых можно получить числа, данные в задаче, путем выполнения соответствующих действий над числами, полученными в ответе (задачи на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям и целый
ряд других задач). Например, [27, c. 18]: «Мотоциклисты проехали за 3 часа
153 км. Они заметили, что в первый и второй часы проехали 102 км, а во
второй и третий часы – 99 км. Сколько километров мотоциклисты проезжали
каждый час?». В результате решения этой задачи получится, что в первый
час мотоциклисты проехали 54 км, во второй – 48 км, а в третий – 51 км.
Проверим: 54 + 48 + 51 = 153 – проехали за 3 дня. 54 + 48 = 102 км – за пер-
24
вый и второй часы 48 + 51 = 99 км – за второй и третий часы. Решение верно. 4) Решение задачи другим способом. Если задачу можно решить различными способами, то получение одинаковых результатов подтверждает, что
задача решена правильно. Этот способ проверки относится только к составным задачам. Например, учащимся 4 класса предлагается решить задачу на
движение: «Из двух поселков, расстояние между которыми 13 км, выехали
одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста и встретились через 5
мин. Один из них проезжал в минуту 1 км 200 м. Сколько метров в минуту
проезжал другой мотоциклист?»
Решение:
Проверка:
1) 1200 – 5 = 6000 (м)
1) 13000 : 5 = 2600 (м)
2) 13 000 - 6000 = 7000 (м)
2) 2600 - 1200=1400 (м)
3) 7000 : 5 = 1400 (м)
Ответ: 1400 м
Задачи на движение являются задачами с пропорциональными величинами. К моменту введения задач на движение, в соответствии с программой
и содержанием начального курса математики, учащиеся знакомы с методами
решения других задач с пропорциональными величинами (цена-количествостоимость, расход на одно изделие-количество изделий – общий расход,
производительность-время работы – общий объем работы и т.д.). Поэтому
знания, умения и навыки решения таких задач переносятся на новые величины. В частности, на величины скорость – время – расстояние.
Включение арифметических задач в программу по математике для I -IV
классов обусловлено следующими причинами:
1. Используемые
в
текстовых
задачах
житейские
понятия
и
представления являются искомым материалом для формирования у учащихся первоначальных абстракций и математических понятии. С другой
стороны, такие задачи позволяют учащимся видеть за математическими понятиями и отношениями вполне реальные, жизненные явления.
25
2.
Обучая учащихся решению задач определенных типов, учитель
имеет возможность
формировать
у
них
общие
методы
решения
математических задач, определенный круг умственных умений и логи ческих операции.
3. Арифметические
задачи
выполняют
воспитательные
функ-
ции: учащиеся знакомятся с явлениями окружающей действительности,
имеющими
важное
мировоззренческое
значение
и
являющимися ос
новой для формирования материальных качеств.
Рассмотрим методические следствия из этих общих положений.
Первая из выделенных причин является основанием для классификации
большей части задач. В самом деле, поскольку математические понятия,
предусмотренные программой, вводятся посредством арифметических задач,
то каждому из них соответствует определенный тип задач. Эта же причина
определяет и специфику обучения решению арифметических задач в школе.
Особенность решения текстовые задачи состоит в том, что решаются,
вообще говоря, две разные, хотя и взаимосвязанные проблемы перевода содержания задачи на математический язык, т.е. математизация и решение собственно задачи средствами математики.
В процессе решения текстовых арифметических задач различных типов
у учащихся начальной школы должны вырабатываться общие приемы решения задач.
В общей системе обучения математике решение задач является одним из
видов эффективных упражнений. Выступая в роли конкретного материала
для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Одна из общих задач обучения математике в
школе состоит в том, чтобы подготовить учащихся к их дальнейшей трудовой деятельности, с учетом современного уровня развития науки и техники.
Научить видеть в окружающей действительности такие факты и закономерности, которые могут быть описаны математически, - одна из важ-
26
нейших задач обучения. Началом этой работы и является многое из того,
что связывается с решением текстовых задач в I - IV классах.
Решая задачи, ученики убеждаются, что многие математические понятия
(«число», «арифметическое действие» и др.) имеют корни и в реальной жизни, в практике людей.
Решение задач в начальной школе имеет центральное значение для развития мышления учащихся: через задачи дети знакомятся с различными сторонами жизни, с зависимостями между изменяющимися величинами; решение задач связано с рассуждениями, с построением цепи силлогизмов. Задача
- это основной вход во врата логики и диалектики.
Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он
требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения обобщения, также через решение задач
дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении
фактами.
Функции задач в начальном курсе математики
В соответствии с программой изучения арифметики натуральных чисел
и нуля строится на системе целесообразных задач. Это значит, что с их решением тесно связано формирование основных понятий. Теоретические вопросы приобретают в процессе решения задач практическое значение, тем самым задачи выполняют функцию связующего звена между теорией и практикой обучения.
Использование задач способствует формированию основ мировоззрения,
позволяет учащимся убедиться, что такие абстрактные понятия, как «число»,
«арифметическое действие» и т.п., имеют корни в реальной жизни, в практике.
В процессе решения задач учащиеся знакомятся с важными в познавательном отношении фактами. Тем самым расширяется их кругозор и устанавливается тесная связь между обучением и жизнью.
27
Большое значение оказывает решение задач на умственное развитие
школьников, формируя их умение анализировать, сравнивать, обобщать, абстрагировать. Велико и воспитательное значение задач.
Выполняя вышеперечисленные функции, задачи сами являются непосредственным объектом изучения, а также средством формирования необходимых для их решения умений [35].
Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется огромное
внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только
средством формирования математических понятий, но и главное - средством
формирования умений строить математические модели реальных явлений, а
также средством развития мышления детей.
При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее
значение. Решая задачу, учение познает много нового: знакомится с новой
ситуацией, описанной в задаче, т.е. при решении ученик приобретает математические знания, повышает свое математическое образование.
При решении задач учащиеся обучаются применять математические
знания к практической деятельности в будущем.
Решение текстовых задач приучает выделять данные и искомые, находить общее, сопоставлять и противопоставлять факты. У учащихся развивается логическое мышление, они приучаются к полноценной аргументации. Также развиваются помять, воображение, внимание.
В начальном курсе математики рассматриваются задачи преимущественно в два - четыре действия. К концу начального обучения математике
учащиеся должны знать виды задач, уметь их решать, проводить первичный
анализ текста, оформлять краткую запись текста задачи, выполнять рисунки
и чертежи к тексту. Умение решать задачи во многом зависит от понимания
учениками связей и зависимостей между величинами, входящими в задачу.
К концу четвертого класса ученик должен прочно знать, например зависимости между ценой, количеством и стоимостью; скоростью, временем и расстоянием; длиной, шириной и площадью прямоугольника и др. Следова-
28
тельно, в процессе решения задач учащиеся овладевают практическими умениями и навыками, необходимыми им в жизни. Решение задач способствует и
математическому и общему развитию детей. Текстовое содержание выполняет воспитательную функцию задач.
Кроме этого воспитывает и сам процесс решения задач, способствуя
развитию четкости действий, настойчивости в преодолении трудностей,
внимательности, упорства, целеустремленности.
1.3 Теоретические основы обучения решению задач на движение и их
виды в начальном курсе математики
Задачи на движение являются видом задач с пропорциональными величинами. Теоретической основой их решения является следующее [41].
Прямой пропорциональностью называется зависимость между величинами х и у, которая может быть задана при помощи формулы у=kx, где k – не
равное нулю действительное число, называемое коэффициентом пропорциональности.
Основное свойство прямой пропорциональности - с увеличением
(уменьшением) величины х в несколько раз соответствующее значение величины у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Обратной пропорциональностью называется зависимость между величинами х и у, которая может быть задана при помощи формулы у =
k
, где k
x
– не равное нулю действительное число, называемое коэффициентом пропорциональности.
Основное свойство обратной пропорциональности - с увеличением
(уменьшением) величины х в несколько раз соответствующее значение величины у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
В задачах на движение начального курса математики присутствует
тройка величин (скорость, время, расстояние), зависимость между которыми
выражается формулой: s = vt.
29
Если v = k = const, то s = kt, если t = k = const, то s = kv. Следовательно,
расстояние прямо пропорционально времени движения (при постоянной скорости) и скорости движения (при постоянном времени).
Если s = k = const, то k = vt или v =
k
k
и t = . Значит, скорость и время
t
v
движения при постоянном расстоянии являются обратно пропорциональными величинами.
Свойства прямой и обратной пропорциональностей между величинами
можно использовать при решении задач. Рассматриваемая задача могла быть
решена с использованием свойств пропорциональности так.
Если скорость машины в 2 раза больше, то времени на путь от деревни
до города ей понадобиться в 2 раза меньше: 4 : 2 = 2 (ч) – скорость и время –
обратно пропорциональные величины при постоянном расстоянии.
Заметим, что в большинстве действующих курсах начальной математики основные свойства пропорциональностей не используются при решении
задач. Все задачи с пропорциональными величинами решаются только путем
нахождения постоянной величины.
Свойства пропорциональных величин лишь фиксируются с опорой на
опыт детей и наблюдаются при решении определенных заданий.
1). Как быстрее добраться до школы – пешком или на мине? Почему?
(Скорость машины больше, поэтому времени требуется меньше).
2). Кто дольше окажется от школьного крыльца за одну минуту – мальчик, едущий на велосипеде, или девочка, идущая пешком? Почему? (У мальчика скорость больше, поэтому он окажется дальше).
3). Рассмотри таблицу движения рейсового автобуса, движущегося со
средней скоростью 40 км/ч. Сделай вывод.
время
1
2
3
4
6
расстояние от города
40
80
120
160
240
30
Чем больше движется автобус, тем дальше он оказывается от города.
При-чем, если врем увеличивается в 2 (3) раза, расстояние также увеличивается в 2 (3) раза.
Несмотря на то, что задачи на движения являются задачами с пропорциональными величинами, они существенно отличаются от других подобных
задач. Во многих задачах на движение важно не только значения скорости,
времени и расстояния, но и КАК двигались объекты.
Рассмотрим задачу: «Из пункта А одновременно вышли два пешехода
со скоростями 3км/ч и 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через
час?»
По сути, данная задача имеет бесконечно много решений:
 если пешеходы двигались в противоположных направлениях, то расстояние составит 7 км;
 если они двигались в одном направлении, то 1 км;
 если, например, один на север, а второй на восток, то 5 км и т.д.
Таким образом, необходимость учитывать направление является главной отличительной чертой задач на движение от других видов текстовых задач начального курса математики.
Рассмотрим основные виды задач на движение, связанные с направлением движущихся объектов. В начальных курсах математики по различных
УМК задачи такого вида изучаются преимущественно в 4 классе.
Задачи на встречное движение двух тел
В таких рассматривается процесс движения двух тел, отправившихся
одновременно из двух пунктов (точек) навстречу друг другу. В зависимости
от условия задачи требуется определить [40]:
- расстояние между пунктами, если известно время движения до встречи и скорости тел;
- время движения до встречи, если известно расстояние между пункции
и скорости движения;
31
- скорости движения одного тела, если известно расстояние, время
движения до встречи и скорость движения второго тела.
По арифметическому содержанию эти задачи могут быть отнесены к
задачам на пропорциональное деление, когда требуется разложить число на
части пропорционально заданным числам
Алгебраическая модель этого типа задач на движение:
v1 t + v2 t = s
где s – расстояние между начальными точками движения,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения.
В данном уравнении имеются 4 обозначения величин, поэтому можно
выделить четыре типа задач, в которых одна величин является искомой, а
остальные три – данными.
Расстояние, на которое сближаются движущие объекты за единицу
времени, называется скоростью сближения: v сбл. = v1 + v2, поэтому алгебраическая модель задач на встречное движение может быть записана так:
(v1 + v2 ) t = s или vсбл. t = s
Рассмотрим 4 основных вида задач на встречное движение объектов,
которое начинается одновременно[3]:
1) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из
двух посёлков и встретились через 3 часа. Скорость первого из них 12 км/ч, а
второго – 14 км/ч. Найти расстояние между посёлками.
2) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из
двух посёлков, расстояние между которыми 78 км. Скорость первого из них
12 км/ч, а второго – 14 км/ч. Через сколько часов велосипедисты встретились?
32
3) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух
посёлков, расстояние между которыми 78 км, и встретились через 3ч. Скорость первого из них 12 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?
4) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух
посёлков, расстояние между которыми 78 км, и встретились через 3ч. Скорость первого из них 14 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?
Задачи 1,3 и 4 вида решаются двумя основными арифметическими способами.
1-й способ для задачи 1.
Чтобы определить расстояние между посёлками, надо узнать, сколько
километров прошел до встречи каждый лыжник, так как к моменту встречи
оба лыжника прошли вместе все расстояние. Чтобы узнать расстояние, пройденное первым лыжником до встречи, надо знать его скорость и время движения. Для определения расстояния, пройденного вторым лыжником до
встречи, надо также знать его скорость и время движения от выхода до
встречи. Эти данные есть в условии.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 12 3 = 36 (км) – прошел первый лыжник за 3 ч
33
2) 14 3 = 42 (км) – прошел второй лыжник за 3 ч
3) 36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками
2-й способ. Чтобы узнать все расстояние между посёлками, надо знать,
че-рез сколько часов встретились лыжники и на сколько километров за 1ч
они приближались друг к другу (то есть скорость сближения). Время их движения от момента выхода до встречи дано в условии. Чтобы определить скорость сближения, надо знать скорость движения каждого из них. Эти данные
есть в условии.
Запишем решение по действиям с вопросами
1). Какова скорость сближения? 12 + 14 = 36 (км/ч)
2). Каково расстояние между посёлками? 36 3 = 78 (км)
Решение задачи вторым способом более рационально.
Ответ: расстояние между посёлками 78 км
1-й способ для задачи 3.
Чтобы определить скорость второго лыжника, надо знать пройденное
им расстояние и время его движения до встречи. Для нахождения пройденного вторым лыжником расстояния, достаточно знать все расстояние и расстояние, пройденное первым лыжником до встречи. Для нахождения расстояния,
пройденного первым лыжником, надо знать его скорость и время движения
до встречи. Эти данные есть в условии.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 12 3 = 36 (км) – прошел первый лыжник за 3 ч
2) 78 - 36 = 42 (км) – прошел второй лыжник за 3 ч
3) 42 : 3 = 14 (км/ч) – скорость второго лыжника
2-й способ. Чтобы узнать скорость второго лыжника надо знать скорость первого лыжника и скорость сближения лыжников. Для нахождения
скорости сближения лыжников, надо знать все расстояние и время движения
до встречи. Эти данные есть в условии.
Запишем решение по действиям с вопросами
1). Какова скорость сближения? 78 : 3 = 36 (км/ч)
34
2). Какова скорость второго лыжника? 36 – 12 = 14 (км)
Решение задачи вторым способом более рационально.
Ответ: скорость второго лыжника 14 км/ч
Задача 4 решается аналогично.
Для решения задачи 2 возможен только один арифметический способ.
Зная скорости двух лыжников и то, что они движутся навстречу друг
другу, можно найти скорость сближения лыжников: 12 + 14 = 36 (км/ч)
Зная скорость сближения и все пройденное расстояние, можно найти
время движения: 78 : 36 = 3(ч)
Ответ: лыжники встретятся через 3 часа.
Особым видом задач на встречное движение являются задачи, когда
объекты, двигаясь навстречу друг другу, не встречаются.
Алгебраическая модель этого типа задач v1 t + v2 t + sо = s,
где s – расстояние между начальными точками движения,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения, s3 – оставшееся расстояние
После нахождения разности s - s3 задача приводится к одному из рассмотренных ранее 4 видов задач.
Если в задачах на встречное движение объекты начинают движение в
разные промежутки времени, то достаточно учесть расстояние, пройденное
первым объектом до начала движения второго, и получить задачу рассмотренного вида.
Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях
В задачах этого вида объекты движутся в противоположных направлениях из одного или разных пунктов, причем движение может начаться как
одновременно, так и в разное время.
В зависимости от условия задачи требуется определить [40]:
- за какое время тела окажутся на данном расстоянии друг от друга;
- на каком расстоянии от друга окажутся тела через заданное время;
- с какими скоростями должны двигаться тела, чтобы через заданное
время оказаться на требуемом расстоянии друг от друга.
35
Если тела отправляются одновременно из одного пункта, то алгебраическая модель задач, аналогична задачам на встречное движение:
v1 t + v2 t = s или (v 1 + v 2)t = s
где s – расстояние между конечными точками,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения.
В данном случае v1 + v2 = vуд. – скорость удаления объектов друг от
друга.
[16, c. 33]. Два мотоциклиста одновременно выехали из города в противоположных направлениях со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 4ч?
40км/ч 50км/ч
Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояние, которое проехали первый и второй мотоциклисты за 4 ч, и полученные результаты сложить.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 40 4 = 160 (км) – проехал первый мотоциклист за 4 ч;
2) 50 4 = 200 (км) – проехал второй мотоциклист за 4 ч;
3) 160 + 200 = 360 (км) – будет между мотоциклистами через 4ч
Задачу можно решить другим способом, воспользовавшись понятием
скорости удаления:
1) 40 + 50 = 90 (км/ч) – скорость удаления мотоциклистов;
2) 90 4 = 360 (км) – расстояние между мотоциклистами через 4 ч.
Ответ: 360 км.
Если движение объектов начинается из разных пунктов, алгебраическая модель имеет вид: v1 t + v2 t + sо = s
где sо – расстояние между начальными точками движения,
36
s – расстояние между телами через время t,
v 1 и v 2 – скорости тел, t – время движения.
В данном уравнении имеются 5 обозначений величин, поэтому оно дает возможность решать пять типов задач, в которых из величин является искомой, а остальные четыре – данными. Если тела отправляются из пунктов не
одновременно, то учтя sо – расстояние, пройденное объектом, вышедшим
раньше до на-чала движения второго объекта, получаем задачу предыдущего
типа.
Поясним это на примере следующей задачи.
[16, c. 36]. От пристани отправился катер со скоростью 25 км/ч. Через
2ч от этой же пристани в противоположном направлении отправился другой
ка-тер со скоростью 35 км/ч. Через сколько часов после отправлен первого
катера расстояние между ними будет 410 км?
Хотя оба катера выходят из одного пункта, но движение начинается в
разное время, поэтому следует учитывать расстояние, которое прошел первый катер за 2 часа (пока он двигался один). Далее задача сводится к задаче
на движение в противоположных направлениях их разных точек.
Оформим решение по действиям с вопросами.
1. Сколько километров прошел первый катер за 2ч? 25 2 = 50 (км)
2. Сколько км прошли катера при одновременном движении?
410 – 50 = 360 (км)
3. С какой скоростью удаляются катера? 25 + 35 = 60 (км/ч)
4. Сколько часов был в пути второй катер? 360 : 60 = 6 (ч)
5. Сколько часов был в пути первый катер? 6 + 2 = 8 (ч)
Ответ: первый катер был в пути 8 часов.
Задачи на движение двух тел в одном направлении
К задачам этого вида относятся задачи, в которых рассматривается
процесс движения двух тел, которые движутся в одном направлении. Движение может начаться из одной точки или из разных точек, одновременно или в
разное время [40].
37
Если движение начинается из разных точек, но в одно время, то алгебраическая модель имеет вид:
(v1 – v2) t = sо
где sо – расстояние между начальными точками движения,
v1 и v2 – скорости тел, t – время движения.
Если v1 > v2 , то второй объект «догоняет» первый.
В данном уравнении имеются 4 обозначения величин, поэтому оно дает
возможность решать четыре типа задач, в которых одна из величин является
искомой, а остальные три – данными. По арифметическому содержанию эти
задачи могут быть отнесены к задачам на нахождение неизвестных по двум
разностям.
Заметим, что аналогичный схематический чертёж и алгебраическую
модель будут иметь задачи на движение в одном направлении из одного
пункта, но в разное время. Тогда sо – это расстояние, которое пройдет объект, вышедший раньше, к моменту выхода второго объекта.
[51, с. 44] Два пешехода вышли одновременно в одном направлении из
двух мест, находящихся на расстоянии 10 км. Скорость первого 3 км/ч, а второго – 5 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
Чтобы узнать, через сколько часов второй пешеход догонит первого,
надо знать первоначальное расстояние между ними и на сколько километров
сокращается это расстояние за 1 ч. Для ответа на второй вопрос надо знать
скорости движения обоих пешеходов. Все данные есть в условии.
Оформим решение по действиям с вопросами.
1. На сколько километров за 1ч сокращается расстояние между пешеходами?
38
5 – 3 = 2 (км/ч)
2. Через сколько часов второй пешеход догонит первого?
10 : 2 = 5 (ч)
Ответ: второй пешеход догонит первого через 5 часов.
Если движение начинается из одной точки в одном направлении одновременно, то объект с большей скоростью удаляется («убегает») от другого.
Алгебраическая модель движения сохраняется: (v1 – v2) t = sо
где v1 и v2 – скорости тел, t – время движения, но
sо – расстояние между конечными точками движения.
[8, с. 15] Из города в одном направлении одновременно выехали автобус со скоростью 70 км/ч и машина со скоростью 90 км/ч. Какое расстояние
будет между ними через три часа? Реши задачу разными способами.
1 способ
1) Зная скорость автобуса и время его движения, можно найти расстояние от города, на котором он окажется через 3 часа 70 3 = 210 (км)
2) Зная скорость машины и время её движения, можно найти расстояние от города, на котором она окажется через 3 часа 90 3 = 270 (км)
3) Зная расстояния до города от машины и автобуса, можно найти расстояние между ними: 270 – 210 = 60 (км)
2 способ
1) На сколько км удаляются друг от друга машина и автобус за 1 час?
90 – 70 = 20 (км)
2) Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
20· 3 = 60 (км)
Ответ: 60 км
39
Задачи на движение по реке
Задачи на движение по реке являются особым видом задач на движение, так как в них приходится учитывать направление течения реки [40].
Если тело движется ПО течению реки, то его скорость относительно
берега (u) слагается скорости тела в стоячей воде (v) и скорости течения реки
(w):
u=v+w
Если тело движется ПРОТИВ течения реки, то его скорость
u=v–w
В этих задачах считается, что скорость предметов, имеющих нулевую
скорость движения в стоячей воде (плот, бревно и т.п.), равна скорости течения реки.
Алгебраическая модель этого типа задач:
движение по течению
s = (v + w)t
движение против течения
s = (v – w)t
где s - расстояние, пройденное за время t.
По арифметическому содержанию некоторые из этих задач могут быть
отнесены к задачам на нахождение неизвестных по их сумме и разности.
Рассмотрим задачу: «Расстояние 120 км по течению катер проходит за
4 ч, а против течения – за 5 ч. За сколько времени этот катер пройдет путь
108 км по озеру?» [33]
Вспомогательную модель в данном случае целесообразно сделать в виде таблицы:
S
V
t
по течению
120 км
?
4ч
против течения
120 км
?
5ч
по озеру
108 км
?
?
40
По таблице видна последовательность действий – нахождение скоростей движения по и против течения, нахождение собственной скорости по
формуле, нахождение времени движения по реке.
1. Зная расстояние (120 км) и время движения (4ч) можно определить
скорость катера по течению.
120: 4 = 30(км/ч)
2. Зная расстояние (120 км) и время движения (5ч) можно определить
скорость катера против течения
120:5 = 24(км/ч)
3. Зная скорости катера по (п.1) и против (п.2) течения можно найти
собственную скорость катера
(30 + 24) : 2 = 27(км/ч)
4. Зная собственную скорость катера (п.3) и путь по озеру (108 км)
можно определить время пути
108:27 = 4(ч)
Ответ: 4 часа понадобится на путь по озеру.
Заметим, что задачи на движение по реке практически не рассматриваются в начальных курсах математики.
Подробно задачи на движение разбираются по УМК «Перспектива» в
учебниках Дорофеева Г.В., Мираковой Т.Н. в конце 4 класса.
Вначале учащимся предлагается ряд подготовительных заданий, с опорой на практический опыт [15, с.82].
1. Катер движется с постоянной скоростью. Как ты думаешь, на каком
рисунке он движется быстрее? Почему?
2. Из пункта А в пункт В по реке яхта, имеющая постоянную скорость,
прошла за 3 ч 20 мин, а вернулась обратно за 2 ч 50 мин. Почему? В каком
направлении течет река?
3. Может ли плот самостоятельно двигаться против течения реки? Если
скорость течения реки 2 км/ч, с какой скоростью будет двигаться плот?
41
4. Скорость лодки 10 км/ч. С какой скоростью она будет двигаться по
течению реки, против течения реки, если скорость течения 1 км/ч?
Рассмотренный материал обобщается в правило:
Скорость судна в стоячей воде называют собственной скоростью этого
судна.
При движении по течению, к собственной скорости судно надо прибавить скорость течения реки.
При движении против течения реки, надо из собственной скорости вычесть скорость течения реки.
Затем правило закрепляется по таблице:
Учащиеся решают простейшие задачи на движение по реке одного объекта.
Например,
1. Собственная скорость теплохода 48 км/ч, скорость течения реки 2
км/ч. Найти расстояние, которое пройдет теплоход за 3 часа,
- если будет двигаться по течению реки;
- если будет двигаться против течения.
42
2. Сколько времени надо моторной лодке, собственная скорость которой 15 км/ч, чтобы добраться до пристани, которая находится на расстоянии
36 км вниз по течению. Скорость течения реки 3 км/ч.
Выводы по первой главе
Проанализировав психолого-педагогическую литературу, мы пришли к
выводу, что под «текстовыми арифметическими задачами» подразумевают
задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий. Эти задачи занимают в начальном курсе математики важное место.
Задачи на движение являются особым видом текстовых задач начального курса математики, так как наряду с общими положениями, относящимися
к текстовым задачам, эти задачи имеют ряд особенностей. К моменту введения задач на движение, учащиеся должны обладать общими приемами решения текстовых задач, задач с пропорциональными величинами, поэтому
они по всем действующим УМК для начальной школы изучаются в 3-4 классах. По сути, это последний вид текстовых задач, которые изучаются в
начальном курсе математики.
Задачи на движение являются видом задач с пропорциональными величинами. Теоретической основой их решения является функциональная зависимость (прямая и обратная пропорциональность). В связи с этим нами была
представлена классификация задач на движение, предложенная Л.П. Стойловой.
43
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ МЛАДШИМИ ШКОЛЬНИКАМИ
2.1 Анализ учебно-методических комплектов по математике для
начальной школы по проблеме обучения решению задач на движение
Задачи на движение являются составной частью задачного материала
курсов математики, как в начальной школе, так и в среднем звене школьного
обучения. Проанализируем методические особенности изучения задач на
движение по различным учебно-методическим комплектам (УМК), разработанным и допущенным для начальной школы.
Рассмотрим УМК «Планета Знаний», «Перспектива», «Гармония»,
«Школа России», «Классическая начальная школа», «Начальная школа XXI
век», «Школа 2000» и «Школа 2100», «Перспективная начальная школа».
Анализируя учебники математики образовательной системы «ПЛАНЕТА ЗНАНИЙ» Башмакова М.И., Нефёдовой М.Г., можно сделать вывод, что
задачи на движение вводятся в соответствующих учебниках математики в 4
классе, и даются через свойства пропорциональностей в явном виде.
[8, с. 27] Автомобиль проехал 147 км за 2 часа. Сколько км он проедет
за 6 ч, если будет двигаться с прежней скоростью.
44
Реши следующие задачи разными способами.
1. Скорый поезд за 6 часов проехал 600 км. Какое расстояние за это
время проедет автобус, средняя скорость которого в 2 раза меньше скорости
поезда?
2. Велосипедист проехал 40 км со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние
проедет за это время мотоциклист, если его скорость в 4 раза больше скорости велосипедиста?
3. Пешеход прошёл с одной и той же скоростью 4 км. Какой путь может пройти лыжник, если его скорость в два раза больше, а время движения –
в 3 раза больше? [9, с. 29].
Основные типы задач на движение начального курса математики с точки зрения их как задач с пропорциональными величинами также делятся на
три вида: задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям.
В задачах на нахождение четвёртого пропорционального даны три
величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью,
из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной
переменной величины и одно из соответствующих другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составить шесть
различных видов задач на нахождение четвёртого пропорционального [5].
Анализируя содержание учебников начальной математики по различным УМК, можно сделать вывод, что все типы таких задач широко представлены задачами на движение. Как было отмечено ранее, в большинстве случаев решаются они путем нахождения постоянной величины.
Величины
Тип I
скорость
постоянная
время
расстояние
даны два значе-
дано одно значе-
ния
ние, другое явля-
45
ется искомым
[26, с. 95] (УМК «Школа России») За 1 час машина проходит 60 км.
Сколько км пройдет машина за 10 минут, двигаясь с той же скоростью?
1) 1 час = 60 мин
2) 60 : 60 = 1 (км/мин) – скорость машины
3) 1· 10 = 10 (км) - пройдет машина за 10 минут
Ответ: 10 километров.
Величины
скорость
Тип II
время
дано одно значе-
постоянная
ние, другое является искомым
расстояние
даны два значения
[12, с. 95] (УМК «Школа 2100») Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, прошел 5 км за 5 минут. За сколько времени он пройдет 15 км? 60 км?
1) 5 : 5 = 1 (км/мин) – скорость поезда
2) 15 : 1 = 15 (км) – пройдет поезд за 15 минут
Ответ: 15 километров.
Величины
скорость
Тип III
даны два значения
время
расстояние
дано одно значе-
одинаковое
ние, другое является искомым
[3, с. 45] (УМК «Классическая начальная школа») Скорость одного поезда 75 км/ч, а второго 79 км/ч. Через некоторое время второй поезд прошёл
расстояние 316 км. Сколько км прошёл за это время первый поезд?
1) 316 : 79 = 4 (ч) – время движения
2) 75· 4 = 300 (км) – прошёл первый поезд
Ответ: 300 километров.
46
Величины
скорость
Тип IV
время
расстояние
дано одно значение, другое
одинаковое
является иско-
даны два значения
мым
[33, c. 88] (УМК «Начальная школа XXI век») Скорый поезд, идущий
со скоростью 80 км/ч, прошёл 320 км. Товарный поезд за это время прошёл
200 км. С какой скоростью двигался товарный поезд?
1) 320 : 80 = 4 (ч) – время движения
2) 200 : 4 = 50 (км/ч) – скорость товарного поезда
Ответ: 50 километров в час.
Величины
скорость
Тип V
даны два значения
время
расстояние
дано одно значение, другое явля-
одинаковое
ется искомым
[19, с. 62] (УМК «Гармония») Из города на дачу автомобилист ехал 2 ч
со скоростью 90 км/ч, а обратно – со скоростью 60 км/ч. Сколько времени
было затрачено на путь в город?
1) 90 2 = 180 (км) – расстояние от города до дачи
2) 180 : 60 = 3 (ч) – затрачено на путь в город
Ответ: 3 часа
[29, с. 27] (УМК «Перспектива») Составь задачу по таблице и реши ее.
47
Величины
скорость
Тип VI
время
расстояние
дано одно значение, другое
даны два значе-
является иско-
ния
одинаковое
мым
[14, с. 40] (УМК «Школа 2100») Заполни таблицу и реши задачу.
От борта яхты на берег туристов доставил катер. Расстояние от яхты до
берега он прошел за 2 часа со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью катер
возвращался на яхту с берега, если его путь занял 3 часа?
1) 12 · 2 = 24 (км) – расстояние от яхты до берега
2) 24 : 3 = 8 (км/ч) – скорость катера на обратном пути
Ответ: 8 километров в час.
[29, с. 50] (УМК «Перспектива») На соревнованиях первый велосипедист преодолел дистанцию со скоростью 20 м/с за 15с. Найти скорость второго велосипедиста на этой дистанции, если на этот участок он потратил 25с.
1) 20 · 15 = 300 (м) – длина дистанции
2) 300 : 25 = 12 (м/с) – скорость
второго велосипедиста
Ответ: 12 метров в секунду.
Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причём даны два или более значений одной переменной и сумма
соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.
Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин,
а две с обратно пропорциональной зависимостью [5].
48
Заметим, что УМК «Перспектива», «Гармония» этот тип задач с пропорциональными величинами называется задачами на нахождения неизвестного по двум суммам.
В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление
только с прямо пропорциональной зависимостью величин (4 типа) [5]. Относительно задач на движение, в начальных курсах математики рассматриваются только задачи двух типов.
Величины
скорость
время
расстояние
дана сумма зна-
Тип I
постоянная
даны два или более значений
чений, соответствующих времени. Найти слагаемые.
[16, с. 6] Мотоциклист в первый день был в пути 5ч, а второй день 3ч.
За два дня мотоциклист всего проехал 416 км. Какое расстояние проезжал
мотоциклист каждый день, если он двигался с постоянной средней скоростью?
1) 5 + 3 = 8(ч) – потратил мотоциклист на весь путь
2) 416 : 8 = 52 (км/ч) – скорость мотоциклиста
3) 52 · 5 = 260 (км) – проехал в первый день
4) 52 · 3 = 156 (км) – проехал во второй день
Ответ: 260 км и 156 км.
49
Величины
скорость
время
расстояние
дана сумма знаТип II
чений, соответпостоянная
ствующих времени. Найти слага-
даны два или более значений
емые.
[20, с.47] Туристы в первый день прошли 15 км, а во второй день – 30
км. На весь путь они затратили 9 часов. Сколько часов туристы прошли в
первый день, если они двигались с постоянной скоростью?
1) 15 + 30 = 45(км) – прошли туристы за два дня
2) 45 : 9 = 5 (км/ч) – скорость туристов
3) 15 : 5 = 3 (ч) – шли в первый день
Ответ 3 часа.
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают
две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два
значения одной переменной и разность соответствующих значений другой
переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми [5].
В начальном курсе математики по различным УМК рассматриваются
только задачи, в которых скорость объектов постоянна, задаются два значения либо времени, либо расстояния и разность советующих значений третьей
величины (либо расстояния, либо времени). Например,
[3, с. 83] (УМК «Классическая начальная школа»)
Два самолёта летели с одинаковой скоростью. Один был в воздухе 4ч, а
второй – 6ч и пролетел на 1600 км больше, чем первый. Найти сколько км
пролетел каждый самолет.
1) На сколько времени второй самолёт был в воздухе дольше?
6 – 4 = 2 (ч)
2) Какова скорость самолёта? 1600 : 2 = 800 (км/ч)
3) Сколько км пролетел первый самолёт? 800 · 4 = 3200 (км)
50
4) Сколько км пролетел первый самолёт? 800 · 6 = 4800 (км)
[34, с. 68] (УМК «Начальная школа XXI век»)
Два поезда двигались с одинаковой скоростью, прошли соответственно
550 км и 385 км. Сколько времени был в пути каждый поезд, если один из
них затратил на весь путь на 3 часа больше другого?
1) На сколько км прошел один из поездов больше? 550 – 385 = 165 (км)
2) Какова скорость поездов? 165 : 3 = 55 (км/ч)
3) Сколько времени был в пути первый поезд? 550 : 55 = 10 (ч)
4) Сколько времени был в пути второй поезд? 10 – 3 = 7 (ч)
Ответ: 10 часов и 7 часов
При решении задач на движение широко используются чертежи, схематические чертежи, рисунки.
Схематические модели при решении задач на движение используются
для фиксации и запоминания соотношений между величинами, формул для
решения задач.
[8, с.110] (УМК «Планета знаний») Схемы для решения задач:
Например, следующий рисунок в учебнике математики Рудницкой В.Н.
(УМК «Начальная школа ХХI век») [34, с.16] дает наглядное представление о
скоростях сближения и удаления при различном характере движения объектов:
51
Заметим, что внешний вид чертежей в учебниках начальной математики по различным УМК отличается.
Рассмотрим чертежи к задачам на встречное движение.
[26, с.95] (УМК «Школа России»)
52
Направление движения объектов показано стрелками, место их встречи
отмечено флажком. По чертежу видно, время движения каждого составляет 3
часа.
Аналогичные чертежи выполняются в учебниках Г. В. Дорофеева, Т. Н.
Мираковой по УМК «Школа 2100» [15, с. 30]. Только, в отличие от предыдущих, они практически всегда сопровождаются изображением движущихся
объектов.
В схематических чертежах учебников начальной математики Н.Б. Истоминой (УМК «Гармония») большое внимание уделяется величине отрезков, изображающих скорость.
Например, для задачи №198 [19, с. 57] : «Из двух городов навстречу
друг другу выехали велосипедисты со скоростями 15 км/ч и 10 км/ч и встретились через 2 часа» предлагается выбрать схему:
В учебниках математики УМК «Школа 2000» авторов Т. Е. Демидовой
и др. для характеристики движения используются как чертежи (с единичными отрезками), так и схематические чертежи. Место встречи обозначается
крестиком. Как правило, все чертежи сопровождаются рисунками. Например,
[13, с. 52]
53
Чертежи, характеризующие движение в учебниках Л. Г. Петерсон, связаны с координатным лучом. Например,
[29, с.77] Незнайка и Кнопочка вышли из точек 0 и 40 координатного
луча одновременно навстречу друг. Определи по рисунку направление и скорость их движения. Отметь точки, в которых будут Кнопочка и Незнайка через 1 минут (2, 3, 4 минуты) после выхода. Что ты замечаешь?
Так как задачи на движение являются задачами с пропорциональными
величинами, их табличные модели аналогичны таблицам с другими тройками
величин (цена-количество-стоимость, производительность-время-объем работы и т.д.) и практически одинаковы во всех курсах начальной математики
по различным УМК.
№ 477 [27, с. 95] Составь по таблице три задачи и реши их.
54
Заметим, что во многих курсах начальной математики текстовые задачи с помощью уравнений не решаются, поэтому задачи на движение решаются только арифметически (см. п.1.2). В учебниках содержится много заданий
на понимание смысла математических выражений, сопоставление ситуаций в
задаче (таблицы, схемы) и арифметического выражения. Например, [16, с.54]
Рассмотри чертёж и объясни, что означает каждое из выражений.
В УМК «Классическая начальная школа» решающей считается модель
в виде выражения или уравнения, поэтому решения записываются преимущественно в алгебраическом виде по соответствующим схемам. Например,
[3, с. 38, с.41]
В учебниках УМК «Школа 2100» также предусмотрено решение задач
алгебраическим методом, поэтому есть задания на сопоставление задач и их
алгебраических моделей. Например, [14, с.83] Подбери уравнение к каждой
задаче и реши его.
55
Большое внимание алгебраическим моделям задач на движение уделяется в учебниках УМК «Перспективная начальная школа»
№ 140 [50, с. 42]. Запиши формулу, в которой пройденный путь s выражается через скорость v и время t.
- Как изменится произведение, если один из множителей увеличить в 3
раза?
- Как изменится пройденный путь, если время увеличить в 4 раза?
- Как изменится пройденный путь, если скорость уменьшить в 3 раза?
Проверь свой вывод на примере движения с v = 90 км/ч, t = 3 ч
В учебниках Л. Г. Петерсон также виды движения обобщаются в математические модели в виде формул.
[29, с. 106] и [29, с. 117]
Анализируя содержание учебников математики по различным учебнометодическим комплектам, можно сделать следующие выводы:
- большинство задач на движение вводятся в 3-4 классах после знакомства учащихся с величиной «скорость»;
- задачи на движение, являясь задачами с пропорциональными величинами, в большинстве случаев являются либо простыми (на начальном этапе),
56
либо составными задачами (задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по
двум разностям);
- при решении задач на движение широко используются чертежи, схематические чертежи, рисунки.
2.2 Изучение опыта учителей начальных классов по организации
работы с задачами на движение
Несмотря на свою значимость, задачи на движение вызывают затруднения у младших школьников при их решении. Поэтому изучим опыт учителей и методистов по этой проблеме.
Чекин А.Л., доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и информатики в начальной школе Института детства Московского педагогического государственного университета утверждает следующее [52].
Термин расстояние в математике носит геометрический характер, так как
напрямую связан с одной из так называемых геометрических величин —
длиной. Но трактовка этого термина в задачах на движение отличается от
той, которую он имеет в геометрических задачах (расстояние между точками,
расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми
и т.д.). Когда в задачах на движение мы говорим о расстоянии, которое,
например, преодолел пешеход за определенное время, двигаясь с определенной скоростью, то мы имеем в виду длину пройденного пути как длину отрезка кривой линии, повторяющей траекторию движения пешехода. Естественно, часто бывает затруднительно измерить ее, поэтому мы должны идти
по пути упрощения: либо оперировать уже известной длиной пройденного
пути, либо вычислять ее по известной формуле на основе знания двух других
величин этой триады. Если же все-таки требуется провести измерение, то мы
вынуждены рассматривать прямолинейную траекторию движения даже в тех
случаях, когда это не так, например, при измерении расстояния между интересующими нас объектами по плану местности (в определенном масштабе).
57
Этим фактом исчерпывается перечень проблем, которые могут возникать перед учениками и учителем в связи с рассмотрением данной величины в процессе обучения решению задач на движение в начальной школе.
Перейдем к рассмотрению величины «скорость» [52], обращая особое
внимание на ее трактовку в начальном курсе математики. Прежде всего, отметим, что понятие скорость (в физическом смысле) очень многогранно:
есть скорость средняя, мгновенная, линейная и угловая. Какую же скорость
мы имеем в виду, когда говорим о ней на уроках математики в начальной
школе? Судя по определению, которое используется в том или ином виде
практически всеми авторами действующих учебников, речь идет о средней
скорости, т.е. об отношении длины пройденного пути к затраченному на это
времени. Средняя скорость – это действительно та разновидность этой величины, о которой можно и нужно вести речь в начальной школе. Определение
средней скорости доступно младшим школьникам для понимания, ее можно
хорошо проиллюстрировать примерами из реальной жизни. Однако не следует забывать, что понятие средняя скорость несет в себе и ряд проблемных
моментов, связанных с его правильным употреблением. Так, например, зная
длину пройденного пути и затраченное на это время, можно вычислить среднюю скорость движения некоторого объекта, но нельзя установить, сколько
времени ему потребуется для преодоления части пути. Этот факт означает,
что некорректно, например, спрашивать: «За сколько секунд спринтер пробежит 50 м, если дистанцию 100 м он пробегает за 10 с?» Такого типа вопросы возможны только при наличии соответствующего дополнительного условия, которое может звучать так: «Спринтер всю дистанцию бежит с постоянной скоростью» или: «Средняя скорость на новом участке дистанции остается той же самой, что и на первоначальном». Однако авторы задач на движение (для начальной школы) практически никогда не формулируют такие
условия, а если и делают это, то тем самым они превращают задачу с реальным сюжетом в надуманную. В этом случае не очень просто перестроить
сюжет, чтобы в задачу опять вернулась реальность. В роли объекта, движу-
58
щегося с постоянной скоростью, можно, например, использовать поезд, который осуществляет движение на некотором прямолинейном перегоне. Ситуация, когда на разных участках пути сохраняется одна и та же средняя скорость, возможна нечасто, но при движении с постоянной скоростью она, очевидно, имеет место быть. Приведем пример задачи на движение в той формулировке, которая, на наш взгляд, отвечает требованию корректности: «За 3
ч, которые был в пути скорый поезд, он преодолел расстояние 240 км. Сколько километров преодолеет этот поезд за 5 ч, если будет двигаться с той же
средней скоростью?» [50, с.85].
После того как мы разъяснили нашу позицию по вопросу математически грамотного использования понятий расстояние и скорость на уроках
математики в начальной школе, настало время дать некоторые методические
рекомендации учителям начальных классов, которые призваны помочь им
организовать изучение данного вопроса более эффективно. Основная методическая идея в этом случае заключается в том, что задачи на движение следует рассматривать в сопоставлении с задачами на процесс купли-продажи,
устанавливая аналогию в характере зависимости между величинами «стоимость - цена - количество» и «длина пути - скорость - время».
В дальнейшем она должна быть распространена и на триаду величин
«объем выполненной работы - производительность - время». Таким образом,
величины «цена», «скорость» и «производительность» с математической
точки зрения устроены одинаково (каждая из них является отношением двух
других величин из соответствующей триады, что находит отражение и в соответствующих наименованиях) и оперировать с ними нужно, следуя методу
аналогии, тем более что, согласно программам начального курса математики,
они, как правило, не разведены по времени [43].
Перейдем к рассмотрению вопроса о методике обучения решению задач на совместное одновременное движение двух объектов. Авторы учебников предлагают разную классификацию таких задач и последовательность их
изучения. Некоторые выделяют задачи на: а) встречное движение; б) движе-
59
ние в одном направлении; в) движение вдогонку; г) движение с отставанием
[53].
Кто-то считает нужным рассматривать отдельно задачи на сближение и
удаление и т.д. Хорошо видно, что в этом вопросе имеет место изрядная путаница. Она создает проблемы учителям, когда необходимо дать соответствующее объяснение, а также ученикам в плане понимания этого материала.
Возникает она из-за использования не очень удачной, а то и просто
ошибочной классификации таких задач. Так, например, задачи на сближение
возникают при встречном движении и при движении в одном направлении,
но решаются они по-разному: в первом случае на основе сложения скоростей
отдельных объектов, а во втором - на основе вычитания из большей скорости
меньшей. Поэтому выделять в отдельный класс задачи на сближение методически ошибочно. Как же тогда следует поступать?
Мы считаем, что наиболее разумным в этом случае будет следующий
подход. Сначала все такие задачи нужно разделить на два класса, а именно:
задачи на движение в противоположных направлениях и в одном направлении. Так как в начальном курсе математики любая задача на одновременное
совместное движение двух объектов предполагает (явно или неявно) движение по прямой, то указанные два класса исчерпывают все такие задачи. При
движении в противоположных направлениях результирующая скорость
находится как сумма скоростей отдельных объектов, а при движении в одном
и том же направлении - как их разность (из большей скорости нужно вычесть
меньшую). После этого в каждом классе задач следует рассмотреть задачи с
такими сюжетами, которые приводят к сближению объектов и к их удалению. Необходимо довести до понимания учащихся, что это отличие не оказывает никакого принципиального влияния на решение задачи. Так, например, при движении двух объектов навстречу друг другу они сначала сближаются, а после встречи начинают удаляться друг от друга, но и скорость сближения этих объектов, и скорость их удаления будет являться суммой индивидуальных скоростей этих объектов, так как в обоих случаях движение проис-
60
ходит в противоположных направлениях. Более подробно с предложенной
методикой можно познакомиться, проанализировав соответствующие темы
из учебника математики для учащихся IV класса проекта «Перспективная
начальная школа» [50,51] и нашим методическим рекомендациям для учителя к этому учебнику [52].
В заключение рассмотрим задачи на движение двух объектов с временным гандикапом (в которых первый объект начинает движение раньше, чем
второй). На первый взгляд может показаться, что это особый класс задач и
подходить к их решению нужно с новыми идеями. На самом деле это не так.
Достаточно сначала перевести временной гандикап в расстояние между объектами, которое будет иметь место на момент вступления в процесс движения второго объекта, и мы получим знакомую нам задачу на одновременное
совместное движение двух объектов с соответствующим начальным условием, которое должно отражать расстояние между объектами на момент начала
их совместного движения. Все остальные данные будут касаться соответствующих величин из триады «расстояние - скорость - время». Их следует
взять из первоначальной формулировки задачи.
Учитель начальных классов одной из школ Московской области - Кузнецова Светлана Викторовна так описывает свой опыт по организации работы над задачами на движение [55]:
Рассмотрим, как на практике вводятся простые задачи на движение в
одном направлении. Учитель предлагает решить задачу:
Пешеход был в пути 3 часа. Он прошел расстояние 12 км. Каждый час
он проходил одинаковое расстояние. Сколько км в каждый час проходил пешеход?
- Расстояние, пройденное пешеходом, обозначим отрезком. Сколько
часов был в пути пешеход?
- Что еще сказано о пешеходе? На сколько равных частей мы должны
разделить отрезок?
61
1 час
1час
1 час
_____________________________________________________________
12 км
- А теперь внимательно посмотрите на чертеж и скажите: сколько километров пешеход проходил в каждый час? (4 км)
- Как узнали? (12:3)
- Почему делили? (Потому что пешеход был в пути 3 часа, и в каждый
час проходил одинаковое расстояние).
- Итак, сколько километров проходил пешеход в каждый час? (4 км)
-Число 4 обозначает, что в каждый час пешеход проходил по 4 км. Эта
величина называется скоростью, которая показывает, какое расстояние проходит пешеход в каждый час.
- Давайте запишем решение и ответ этой задачи
12 : 3 = 4 км/ч
Ответ: скорость пешехода 4 км/ч
- Итак, что же обозначает скорость? (Какое расстояние проходит пешеход в каждый час, т.е. какое расстояние проходит предмет за единицу времени).
Затем решается несколько задач на нахождение скорости, если известно расстояние и время [9, с. 5]
На следующем уроке вводятся простые задачи на нахождение расстояния
Велосипедист двигался со скоростью 16 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист за 3 ч?
- О каких величинах идет речь в задаче? (О скорости, времени, расстоянии).
- Расстояние обозначим отрезком. Сколько часов был в пути велосипедист? (3 ч)
- Что еще сказано о велосипедисте? (Что он двигался со скоростью 16
км/ч). - Что это значит? (Что каждый час он проезжал 16 км).
62
- На сколько равных частей разделим отрезок? (На 3 равные части).
- Почему? (Так как был в пути 3 часа).
16 км/ч
16 км/ч
16 км/ч
________________________________________________
? км
- А теперь посмотрите на чертеж и скажите: чему же равно расстояние,
которое проехал велосипедист за 3 часа? (48 км)
- Как узнали? (16 х 3=48).
- Почему умножили? (Потому что каждый час велосипедист проезжал
по 16 км, а ехал 3 ч, т.е. по 16 нужно взять 3 раза).
- Запишите решение и ответ задачи.
16 х 3 = 48 (км)
Ответ: 48 км проехал велосипедист.
После решения задач с использованием чертежа учащиеся делают вывод.
Скорость
Время
Расстояние
16 км/ч
3ч
? км
- Посмотрите в таблицу и скажите, как найти расстояние, если известны скорость и время? (Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на
время) [9, с.6]
Теперь знакомимся с задачами на нахождение времени движения [55].
Автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч. За сколько часов он проехал
расстояние, равное 240 км?
- О каких величинах идет речь в задаче? (О скорости, времени, расстоянии). Краткую запись будем составлять в виде таблицы.
Скорость
Время
Расстояние
60 км/ч
?ч
240 км
63
- Что сказано о расстоянии? (Что автомобиль проехал 240 км). Запишем
это в таблицу.
- Что сказано о скорости? (Что автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч).
Запишите это в таблицу.
- О чем спрашивается в задаче? (Сколько часов был в пути автомобиль?) Обозначим в таблице.
- Что обозначает скорость? (Автомобиль проезжал по 60 км в ч).
- Сколько времени потратил автомобиль на весь путь? (4 ч)
- Как узнали? (240 : 60)
- Почему? (Автомобиль проезжал по 60 км в ч, а всего 240 км).
- Запишите решение задачи и ответ задачи.
240 : 60 = 4 (ч)
Ответ: за 4 ч он проехал это расстояние.
После этого учащиеся решают несколько задач на нахождение времени [9, с.7] и делают вывод.
- А теперь посмотрите на таблицу и скажите: как же найти время, если
известно расстояние и скорость?
На последующих уроках решаются все три типа задач вперемешку.
Рассмотрим введение составных задач на встречное движение и на
движение в противоположных направлениях
Из двух поселков одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью 15 км/ч, а второй – 18 км/ч. Найти расстояние между поселками.
- Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать?
- Пусть это будет поселок, из которого вышел 1 велосипедист (Учитель
выставляет в наборное полотно карточку с римской цифрой «I»).
- А это поселок, из которого выехал 2 велосипедист (Выставляет карточку «II»).
- Двое из вас будут велосипедистами. (Выходят два ученика).
64
- С какой скоростью ехал 1 велосипедист? (15 км/ч). Это твоя скорость.
(Учитель дает карточку, на которой написано число 15).
- С какой скоростью ехал II велосипедист? (18 км/ч). Это твоя скорость. (Дает второму ученику карточку с числом 18).
- Сколько времени они будут двигаться до встречи? (2 часа).
- Начинайте двигаться. Прошел час (Дети вставляют одновременно
свои карточки в наборное полотно).
- Прошел второй час. (Дети вставляют карточки).
- Встретились ли велосипедисты? (Встретились).
- Почему? (Шли до встречи 2 часа).
- Обозначим место встречи. (Вставляет флажок).
- Что надо узнать? (Все расстояние). Обозначу вопросительным знаком.
15 км/ч
18 км/ч
? км
После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения.
Решение надо записать с пояснением сначала определенными действиями, а
позднее можно записать выражением или уравнением.
I способ
1.
15 х 2=30 (км) проехал первый велосипедист
2.
18 х 2=36 (км) проехал второй велосипедист
3.
30 + 36=66 (км) расстояние между поселками
II способ
1.
15 + 18=33 (км) сблизились велосипедисты в 1 час
2.
33 х 2 = 66 (км) расстояние между поселками
Если дети затрудняются в решении II способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час – сблизились на 33 км, то есть велосипедисты 2 раза проехали по 33 км. То есть по 33 взять сколько раз? (2 раза).
65
Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертеж к решенной задаче.
15км/ч
2ч
18 км/ч
I ._________________________________________________. II
? км
Выясняется, какой из велосипедистов прошел до встречи большее расстояние и почему.
Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертеж.
15км/ч
?ч
18 км/ч
I ._______________________________________________. II
66 км
Дети составляют задачу по этому чертежу, затем коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснением. Условие задачи еще раз
меняется.
? км/ч
2ч
18 км/ч
I ._______________________________________________
66 км
Ученики составляют задачу, после чего коллективно разбирают 2 способа решения.
I способ.
1.
18·2=36 (км) проехал до встречи II велосипедист
2.
66-36=30 (км) проехал до встречи I велосипедист
3.
30:2=15 (км/ч) скорость I велосипедиста
II способ
1.
66:2=33 (км) сближались велосипедисты в час
2.
33-18=15 (км/ч) скорость I велосипедиста
Решение и анализ задач на движение в противоположном направлении.
Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях отплыли два катера. Один плыл со скоростью 25 км/ч, другой – со скоростью
30 км/ч. Какое расстояние стало между ними через 2 часа?
- Как вы думаете, сколько способов решения имеет данная задача? (2
способа)
- Какой главный вопрос задачи?
66
- Что нужно знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи? (Сколько
километров прошел первый катер за 2 часа и сколько километров прошел 2
катер за 2 часа)
- Нам это известно? (нет)
- Что нужно знать, чтобы найти расстояние первого катера? (скорость
первого катера и время, за которое он прошел определенный путь)
- Нам это известно? (да)
- С помощью какого действия мы найдем расстояние, которое прошел 1
катер? (умножения)
Что нужно знать, чтобы найти расстояние второго катера? (скорость
второго катера и время, за которое он прошел определенный путь)
- Нам это известно? (да)
- С помощью какого действия мы найдем расстояние, которое прошел 2
катер? (умножения)
- Зная расстояние, которое прошли катера за 2 часа, можем мы ответить
на вопрос задачи? (да)
- С помощью какого действия? (сложения)
- Это первый способ решения задачи.
1 способ
Решение:
25 x 2 = 50 (км) – прошел первый катер за 2 часа
30 x 2 = 60 (км) – прошел второй катер за 2 часа
50 + 60 = 110 (км) – расстояние между катерами через 2 часа
Ответ:
110 км расстояние между катерами
- Как еще можно решить данную задачу?
(Найти скорость удаления катеров, затем расстояние между катерами
через 2 часа)
2 способ
Решение:
67
1) 25 + 30 = 55 (км/ч) – скорость удаления катеров
2) 55 x 2 = 110 (км) – расстояние между катерами через 2 часа
Ответ: 110 км расстояние между катерами
- Далее ученикам предлагается сравнить эти два способа решения задачи. Какое новое понятие вводится во втором способе решения? Что такое
скорость удаления? (Это расстояние, на которое удаляются катера друг от
друга за час)
Таким образом, изучая опыт работы учителей и методистов по проблеме обучения решению задач на движение, мы пришли к выводу, что задачи на движение являются тем видом задач, которые могут быть включены на
разных уровнях сформированности умения решать задачи. Процесс движения многогранен, т.е. в различных ситуациях он может совершаться при разных условиях и иметь различные результаты. В связи с этим, задачи на движение могут варьироваться от простых задач до задач повышенной сложности.
После ознакомления со скоростью движения и изучения связи между
величинами, скорость, время, расстояние, необходимо сформировать у детей
умения и навыки решения задач на встречное движение различных видов, а
также умение решать и составлять задачи по чертежам и таблицам. Ученики
должны научиться сравнивать задачи и выявлять сходное и различное, составлять задачи по выражениям.
Сложность обучению решению задач на движение имеет несколько
причин. Во-первых, задачи на движение имеют много видов. Во-вторых, в
задачах на движение описывается не одна «застывшая» ситуация, а процесс
движения в динамике его развития, то есть несколько связанных между собой ситуаций. Это вызывает у учащихся трудности на первом же этапе решения задачи, то есть ещё при анализе, так как не все дети могут связать описанные ситуации в нужной последовательности. Поэтому, важное значение
имеет подготовительный этап, который должен начинаться задолго до того,
как начнётся само обучение решению задач на движение.
68
2.3 Методические рекомендации по обучению младших школьников решению задач на движение
Для того чтобы эффективно справляться с проблемами при обучении
детей решению текстовых задач, нужно понимать процессы, которые происходят при первоначальном знакомстве детей с этой темой. Существует мнение, что изначально при работе с темой математические знания дети усваивают в конкретной, приспособленной к их пониманию системе. В этой системе отдельные элементы нового знания логически соединены одно с другим, зависят и происходят одно из другого. Когда математические знания
усваиваются учащиеся осознанно, задействуются основные операции мышления: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение. Сознательное усвоение математических знаний способно развить математическое мышление, поэтому методики направлены именно на такой тип
обучения. Задача учителя - не допустить «зубрежки» и натаскивания на
определенные бездумные алгоритмы решения тех или иных задач [48].
При обучении детей необходимо брать во внимание различный уровень
их способностей и навыков. Исследования психологов позволили определить
несколько уровней умения решать текстовые задачи школьниками. Ниже
приведём их характеристику.
Низкий уровень: У учащегося появляются проблемы уже на этапе восприятия задачи. Процесс осознания информации осуществляется у ученика
поверхностно и неполно. Данные, которые ребенок способен выделить из теста задачи, разрознены и не структурированы. Так же часто учащийся обращает излишнее внимание на несущественные элементы задачи, еще больше
усложняя для себя процесс установления связей между элементами задачи.
Ученик не обладает способностью предвидеть ход решения задачи и, как
следствие, даже не пытается его предвидеть.
Средний уровень: Способности к восприятию информации находятся
на таком уровне, что ученик чаще всего способен выделять необходимые для
решения блоки информации и анализировать их. У ученика имеется тенден-
69
ция к качественному самостоятельному осмыслению задачи. Это процесс
включает выделение ключевых данных - известных и искомого. Однако учащийся способен установить между элементами данных только отдельные
связи, чего, как правило, бывает достаточно для решения задачи, но не для
построения полноценной картины структуры задачи. То есть, ученик не видит всех способов решения, и весьма ограничен в способности отвечать на
дополнительные вопросы по задаче, требующие творческого подхода.
Высокий уровень: Присутствует способность видеть полную картину
системы взаимосвязей между данными и искомым. Ребенок способен безошибочно выделять ключевые элементы в задаче и видеть роль и связь каждого такого элемента с любым другим. Ученик свободно ориентируется в
комбинациях данных, что дает ему возможность самостоятельно различать
все различные способы решения задачи и способность анализировать каждый
из них, то есть такое ученик всегда будет выбирать наиболее рациональный
из возможных вариантов решения [21].
Как уже было сказано выше, сегодня актуальна проблема неоднородности уровней учеников в одном классе. Одним из конкретных примеров такой проблемы на практике является наличие в одном классе учеников из всех
трех групп владения навыками решения задач (низким, средним и высоким).
И учителям нужно решать эту проблему каким-то образом.
Выходом из этой ситуации является организация разноуровневой работы над одной задачей. В процессе урока, давая детям команду на выполнение задания, можно использовать адаптированные версии задач для каждой из трех групп учеников. Такие задания готовятся учителем заранее и требуют больших временных затрат, потому что каждую задачу нужно обработать отдельно. Эти индивидуальные задания содержат материал, связанный с
анализом и решением одной и той же задачи. Однако сложность анализа, количество связей, которые необходимо установить для решения - разняться на
всех трех уровнях сложности.
70
Каждый ученик работает с таким заданием индивидуально, после чего
проверка правильности решения и разбор задачи производится всем классом
под руководством учителя, что позволяет участвовать в полном анализе задачи не только ученикам с высоким уровнем навыка решения задач, но и тем,
кто выполнял задание, адаптированное для низкого уровня.
Так же учитель имеет возможность организовать на уроках работу в
группах. Дети делятся по способностям в решении задач и решают задание,
адаптированное под уровень каждой группы, коллективно. Альтернативно,
такие группы могут состоять из детей с разными уровнями, и в таком случае,
очевидно, более успевающие дети берут на себя роль наставников. Учитель
же должен грамотно организовать и руководить процессом работы в группах
[21].
Далее приведем пример такого адаптированного задания, построенного
на задаче на встречное движение [27]:
От двух остановок, расстояние между которыми 123км, отправились
одновременно навстречу друг другу по реке два велосипедиста. Скорость
первого - 17 км/ч, второго - 24 км/ч. Каково будет расстояние между двумя
велосипедистами через 2 ч после старта?
Для начала, разберем адаптацию задания для низкого уровня.
Перед ребенком находится чертеж к задаче. Первое задание - рассмотреть и внимательно изучить его. Затем нужно приступить к выполнению пошагового плана решения такой задачи по чертежу.
-обозначить цветом часть отрезка, обозначающую расстояние, которое
преодолел первый велосипедист за 2 часа;
-найти это расстояние;
-обозначить другим цветом часть отрезка, обозначающую расстояние,
которое преодолел второй велосипедист за 2 часа;
-найти это расстояние;
71
-обратить внимание на только что выделенные цветами отрезки, обозначающие расстояние, пройденное двумя велосипедистами за 2 часа, вычислить это расстояние.
-еще раз прочесть вопрос и выделить на чертеже тот отрезок, который
обозначает искомое, вычислить это расстояние.
Так ребенок подводится к ответу. Важным является то, что, проходя
через все шаги решения, ребенок видит структуру задачи и учится выделять
важные элементы и находить между ними связи.
Теперь разберем адаптацию задания для среднего уровня.
Перед ребенком находится чертеж к задаче. Первое задание - самостоятельно закончить неполный чертеж к задаче и обозначить все данные на нем,
а так же искомое.
Дальше перед учеником предстает схема рассуждений в примерно следующем виде:
Как вычислить общую скорость (скорость сближения) двух велосипедистов?
Сколько километров успели преодолеть велосипедисты за 2 часа?
Каково расстояние, которое не успели преодолеть велосипедисты за
два часа?
Ответив на все наводящие вопросы, ученик уже должен понимать, как
решается такая задача. Затем от учащегося требуется выполнить запись решения сначала по действиям, а затем и одним выражением. В качестве дополнительного задания можно попросить ученика попытаться найти другой
способ решения.
Наконец, разберем адаптацию задания для высокого уровня.
Чертеж ребенок должен выполнить самостоятельно. На его основе ребенок должен составить план решения задачи безотносительно конкретных
числовых значений. Затем, задачей ученика становится найти наиболее рациональный способ решения задачи и решить ее как по действиям, так и выражением. В качестве дополнительного задания можно дать вопрос повышен-
72
ной сложности. Например, какое расстояние будет между велосипедистами
через 4 часа?
В таком методе составления задач вычислительные действия отделены
от схемы и от плана решения задачи. Это позволяет развить у учащихся
навык планирования хода решения задач, развивать логическое мышление,
не привязываясь при этом к конкретным числам. Так же такой подход позволяет успевающим ученикам видеть концепцию построения плана решения и
видеть дальнейшие шаги в решении, что сильно расширяет возможности
анализа и повышает готовность к ознакомлению с более сложными задачами.
Подготовка таких адаптированных материалов позволит так же снизить
организационную нагрузку на учителя в течение урока, поскольку индивидуальные задания выдаются уже готовыми, в печатной форме. Пока большая
часть детей работает самостоятельно, у педагога появляется время для оказания индивидуальной помощи тем детям, которые испытывают наибольшие
трудности [21].
Приведенный метод способствует более четкой организации учебного
процесса, являются инструментом для реализации индивидуального подхода
и эффективно помогают детям осваивать навыки решения текстовых задач на
движение.
ФГОС НОО II поколения [43] предъявляет широкий спектр требований по формированию УУД на уроках математики. Процесс работы с темой
текстовых задач на движение дает возможности по эффективному развитию
этих УУД. Большое значение имеют существующие межпредметные связи
курса математики в начальной школе с другими дисциплинами. Решение текстовых задач так же обладает значением в воспитании личностных качеств
учащихся.
Важно понимать, что в процессе подготовки детей в начальных классах
их деятельность должна быть направлена не столько на отработку умения
решать конкретные типы текстовых задач, сколько на формирование общих
умений и навыков. Нужно избегать «натаскивания» детей на определенные
73
типы заданий с целью повышения формальных результатов успеваемости во
время тестирований и контрольных работ. Текстовые задачи на движение
различных типов и умение их решать являются инструментом, при правильном применении которого перед учителями предстают большие возможности
в реализации целей образовательной программы начальных классов. Навыки,
которые закладываются темой текстовых задач на движение, широко востребованы в курсах математики, физики средней и старшей школы.
После рассмотрения роли основных этапов решения текстовых задач
можно сделать вывод, что для реализации всех целей, которые поставлены в
рамках курса математики начальной школы, важно полноценное и последовательное выполнение каждого этапа.
Ещё одним из эффективных приёмов формирования умения решать задачи на движение является использованию схем, чертежей, занимательных и развивающих задач в процессе ознакомления учеников с понятием
скорости, движения, а так же при ознакомлении со связями понятий скорости, расстояния и времени. Все это значительно повышает мотивацию и заинтересованность учащихся, а так же создает благоприятные условия для
развития умений и навыков, протекания процесса осознанного приобретения
знаний, совершенствования мышления, памяти и речи. После изучения простых задач на прямолинейное движение, наступает этап обучения детей
навыкам работы с различными типами задач на встречное движение.
Актуальной является необходимость увеличить количество практических приемов визуализации понятий, как о различных типах движения,
так и о связях между скоростью, временем и движением в составных задачах
на движение. Учителя должны иметь доступ к более широкому спектру таких
методик с тем, чтобы иметь возможность изменить подход к обучению для
учеников, испытывающих затруднения с освоением темы решения текстовых
задач на движение.
Остановимся на некоторых из них подробнее. При описании данных
методик не стояла цель описать все мелкие подробности, такие как конкрет-
74
ные слова учителя и организационные моменты, а была задача показать сущность методики. В контексте идеи индивидуального подхода учителя в каждом конкретном случае должны учитывать особенности своего класса. Так
же корректировки выполняются в зависимости от уже пройденного материала. Необходимо выбирать адекватную сложность задач, учитывать возможную разницу в способностях учеников в классе, уровень дисциплинированности класса и прочие значимые моменты. От учителя требуется особая внимательность к организации дисциплины, потому как недостаточно контролируемая обстановка в классе во время урока в игровой форме может привести
к потере детьми концентрации и внимания к теме занятия.
Методика «Симуляция с использованием моделей»
Эта методика используется для обучения детей решению составных
текстовых задач на противоположное или встречное движение, что зависит
от выбранной задачи. Она направлена на визуализацию таких понятий, как
«скорость сближения» или «скорость отдаления», а так же демонстрирует детям в наглядной форме связь скорости, времени и расстояния.
Мы рассмотрим методику, проведенную на примере задачи на движение в противоположных направлениях. Для проведения этой методики требуется следующее оборудование:
-две модели объектов небольших размеров, участвующих в задаче (в
нашем примере - модели автомобилей), для каждого ученика или на парту;
-лист бумаги, достаточно длинный, чтобы изобразить на нем расстояние, которое объекты будут преодолевать согласно условию задачи.
Фигурка домика в центре обозначает точку, откуда автомобили начинают свое движение в противоположных направлениях.
Вертикальные метки символизируют расстояние, которое проходят автомобили за 1 час. В правой части расстояние между метками больше, так
как скорость одного из автомобилей выше.
Ход работы:
75
Перед проведением методики учитель объясняет детям, каким образом
будет проводиться работа. На доске и на индивидуальных листках у каждого
ребенка находится текст задачи. «От загородного дома в противоположные
стороны выехали две машины. Какое между ними будет расстояние через 1
час, если известно, что скорость одной машины - 80 км/ч, а другой - 90 км/ч?
Какое расстояние будет между машинами спустя 4 часа?»
Детям дается указание поставить обе модели в центр заранее приготовленной учителем схемы, в противоположных направлениях. На моделях
находятся наклеенные заранее листки с указанием скорости машины. Затем
ребята под руководством учителя приступают к этапу анализу текста задачи.
Сначала текст читается учителем, затем детям дается минута на самостоятельное ознакомление. После этого учитель организует процесс выделения
значимой информации из задачи. Дети поднимают руки и озвучивают свои
идеи, а учитель, отмечая правильные ответы, выполняет краткую запись
условия на доске. После, начинается воспроизведение на модели процесса,
описанного в задаче. Дети, следуя указаниям учителя, одновременно перемещают обе модели автомобилей из центра к ближайшим вертикальным меткам.
Далее с классом проводится подробный анализ свершившегося процесса. Отмечается, что пройденный промежуток времени равен одному часу,
начинается обсуждение, почему один автомобиль за то же самое время оказался дальше, чем другой. Преподаватель задает наводящие вопросы, которые должны подтолкнуть детей к пониманию термина «общая скорость».
Обсуждается расстояние, которое преодолели автомобили и его связь с общей скоростью. Таким образом, класс находит ответ на первый вопрос задачи.
Затем, дети перемещают модели машин к следующим вертикальным
меткам, снова отмечаются и обсуждаются изменения в расстоянии, времени и
их связи со скоростью. Таким же образом дети перемещают модели к третьим и последним меткам. В конце, еще раз обсудив все изменения величин и
76
связи, дети под руководством учителя находят ответ на второй вопрос задачи. Для лучшего усвоения материала симуляция может быть повторена на
материале схожей по структуре задачи, но с меньшим вниманием к взаимосвязям данных в задаче. Модели машин будут передвигаться не постепенно,
от одной вертикальной метке к следующей, а сразу к крайней метке.
Методика «Инсценировка»
Методика используется для обучения детей решению составных текстовых задач на противоположное или встречное движение и направлена на
визуализацию таких понятий, как «скорость сближения» или «скорость удаления», а так же демонстрирует детям в наглядной форме связь скорости,
времени и расстояния.
Мы рассмотрим методику, проведенную на примере задачи на движение во встречных направлениях.
Для проведения этой методики требуется следующее оборудование:
карточки с числовым обозначением скорости движения.
Ход работы:
Перед проведением методики учитель объясняет детям, каким образом
будет проводиться работа. Текст задачи заранее записывается на доске, так
же у каждого учащегося он есть на индивидуальных листках. «Из двух портов, расстояние между которыми 90 км, навстречу друг другу начали движение 2 моторные лодки. Через сколько часов они встретятся, если известно,
что скорость первой лодки - 30 км/ч, а другой - 15 км/ч? Какое расстояние
будет между лодками спустя 3 часа?»
Роль объектов в задаче, в нашем случае лодок, будут играть двое учеников. Для визуализации прямолинейного движения, описанного в задаче,
необходимо наличие прямой, на которой должны присутствовать метки, обозначающие временные интервалы и расстояние. По этой прямой будут двигаться ученики. В инсценировке, проведенной в ходе написания этой работы,
роль такой прямой играл проход между рядами парт, а роли меток - сами ря-
77
ды парт. Третий ряд символизировал точку встречи, первый - отправную
точку быстрого катера, четвертый - отправную точку медленного катера.
Учитель зачитывает ребятам текст задачи. С классом производится его
анализ и выделение значимых информационных единиц. После к доске вызываются два ученика, которые своими перемещениями по классу будут
имитировать перемещения катеров. Каждому из двух учеников дается в руки
карточка с обозначением скорости, с которой двигается соответствующий
ученику объект в задаче, так же учащемуся еще раз объясняется его роль и
расстояние, которое он должен будет «проплыть» за один час - один ученик
двигается на ряд вперед, другой - на пол ряда вперед.
Учитель дает команду продвинуться вперед на расстояние, которое катера преодолеют за час. Далее класс под руководством учителя анализирует
выявившиеся в ходе перемещений связи между информационными единицами. Отмечается, что пройденный промежуток времени равен часу. Учитель
обращает внимание на разницу в пройденном расстоянии и на то, что расстояние отличается ровно в два раза. Преподаватель задает наводящие вопросы,
которые должны подтолкнуть детей к пониманию встречной скорости движения.
Затем, двое учеников перемещаются к точке встречи. Еще раз отмечаются и обсуждаются изменения в расстоянии, времени и их связи со скоростью. Обсудив все изменения величин и их связи, дети, под руководством
учителя, находят ответ на первый вопрос задачи.
Далее, учитель предлагает продолжить ученикам движение в тех же
направлениях. Они в последний раз передвигаются на условные дистанции,
которые символизируемые лодки преодолели бы за час. В этот момент дети
могут заметить, что встречное движение сменилось на движение в противоположных направлениях. Учитель фокусирует внимание детей на этом факте
и подводит детей к ответу на второй вопрос задачи. Концепция одновременного движения до и после точки встречи видится учащимся ясно и четко.
78
Опыт учителей- практиков показал, что некоторые дети, сидящие за
соответствующими партами, с радостью отожествляют себя со значением
временных интервалов и расстояний. Например, детьми, сидящими за партой, символизирующей точку встречи, была произнесена следующая фраза:
«Я - место встречи!». После этого, с подсказки учителя, между детьми, сидящими за разными партами, состоялось недолгое обсуждение значения точек, которые их парты обозначают на «прямой». Этот факт свидетельствует
об эмоциональной вовлеченности, инициирует осознанное восприятие информации детьми и, безусловно, положителен.
Стоит отметить, что использование прохода между партами для обозначения прямой хоть и имело сильное положительное влияние на вовлеченность детей в процесс, однако для некоторых учащихся оказалось запутанным. Поэтому может иметь смысл заменить эту идею рисунком прямой на
доске, вдоль которого будут ходить ученики. Это облегчит восприятие инсценировки.
Теоретическими аспектами данных рекомендаций является следующий
факт. Согласно возрастным физиологическим особенностям, учащиеся
начальных классов лучше воспринимают информацию в яркой, образной
форме. Таким образом, любые элементы урока, проведенные в игровой форме - инсценировка, обыгрывание, организация мини-представления - любая
творческая деятельность, способная задействовать воображение и эмоционально вовлечь ребенка в процесс восприятия и анализа смысла задачи, будут полезны при обучении детей решению текстовых задач на движение.
Любые приемы визуализации, такие как рисунок, таблица, чертеж, фотографии, использование физических предметов, преобразование вида решения облегчают для детей процесс осмысливания информации, заложенной в
тексте задачи. Все это значительно повышает мотивацию и заинтересованность учащихся, а так же создает предпосылку к развитию умений и навыков,
процессу осознанного приобретения знаний, совершенствования мышления,
памяти и речи.
79
Основываясь на рассмотренном выше теоретическом материале в области методик обучения решению текстовых задач на движение, а также на результатах анализа опыта учителей и особенностей изучения задач на движение по различным УМК, были разработаны следующие рекомендации:
1. Применять на уроках как можно больше приемов, увеличивающих
эмоциональную вовлеченность детей в процесс решения задач - использовать
модели объектов, рисунки, фотографии, наполнять тексты задач интересными и познавательными для детей фактами;
2. Чаще использовать игровые формы, инсценировки при ознакомления
детей с понятиями, участвующими в решении текстовых задач на движение,
а так же при знакомстве с новыми типами задач на движение;
3. Чаще организовывать творческие виды деятельности детей в рамках
работы с темой текстовых задач на движение - составление детьми собственных задач, изменение или дополнение условия уже существующих, разработки детьми инсценировок и т.п.
Выводы по второй главе
Анализ содержания учебников математики по различным учебнометодическим комплектам для начальной школы показал, что большинство
задач на движение вводятся в 3-4 классах после знакомства учащихся с величиной «скорость»; задачи на движение, являясь задачами с пропорциональными величинами, в большинстве случаев являются либо простыми (на
начальном этапе), либо составными задачами (задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям); при решении задач на движение широко используются чертежи, схематические чертежи, рисунки.
После ознакомления со скоростью движения и изучения связи между
величинами, скорость, время, расстояние, необходимо сформировать у детей
умения и навыки решения задач на встречное движение различных видов, а
также умение решать и составлять задачи по чертежам и таблицам. Ученики
80
должны научиться сравнивать задачи и выявлять сходное и различное, составлять задачи по выражениям.
Сложность обучению решению задач на движение имеет несколько
причин. Во-первых, задачи на движение имеют много видов. Во-вторых, в
задачах на движение описывается не одна «застывшая» ситуация, а процесс
движения в динамике его развития, то есть несколько связанных между собой ситуаций. Это вызывает у учащихся трудности при решении задачи.
Изучив опыт учителей начальной школы по формированию умения
решать задачи на движение, мы разработали собственные рекомендации по
разрешению этой проблемы в виде двух методик: «Симуляция с использованием моделей» и «Инсценировка».
81
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Обучение решению текстовых задач на движение в начальной школе
всегда остается актуальным, так как умение решать такие задачи - это один
из основных показателей уровня успеваемости школьника по математике.
По результатам изучения методической, психолого-педагогической литературы и других источников по исследуемой проблеме можно сделать следующий вывод: решение текстовых задач на движение прививает культуру
мышления, уважение к образу мыслящего человека и умение объективно
анализировать и оценивать чужое мнение (одноклассников, учителя). Проанализировав множество определений, можно сказать, что в общем смысле,
задача - это то, что содержит исходные данные и вопрос. Она состоит из
условия, т. е. описания известных фактов, и вопроса - результата, который
необходимо найти учащемуся.
Задачи на движение являются особым видом текстовых задач начального курса математики, так как наряду с общими положениями, относящимися
к текстовым задачам, эти задачи имеют ряд особенностей. К моменту введения задач на движение, учащиеся должны обладать общими приемами решения текстовых задач, задач с пропорциональными величинами, поэтому
они по всем действующим УМК для начальной школы изучаются в 3-4 классах. По сути, это последний вид текстовых задач, которые изучаются в
начальном курсе математики.
Задачи на движение являются видом задач с пропорциональными величинами. Теоретической основой их решения является функциональная зависимость (прямая и обратная пропорциональность). В связи с этим нами рассмотрели классификацию задач на движение, предложенная Л.П. Стойловой.
Анализ содержания учебников математики по различным учебнометодическим комплектам для начальной школы показал, что большинство
задач на движение вводятся в 3-4 классах после знакомства учащихся с величиной «скорость»; задачи на движение, являясь задачами с пропорциональными величинами, в большинстве случаев являются либо простыми (на
82
начальном этапе), либо составными задачами (задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям); при решении задач на движение широко используются чертежи, схематические чертежи, рисунки.
После ознакомления со скоростью движения и изучения связи между
величинами, скорость, время, расстояние, необходимо сформировать у детей
умения и навыки решения задач на встречное движение различных видов, а
также умение решать и составлять задачи по чертежам и таблицам. Ученики
должны научиться сравнивать задачи и выявлять сходное и различное, составлять задачи по выражениям.
Сложность обучению решению задач на движение имеет несколько
причин. Во-первых, задачи на движение имеют много видов. Во-вторых, в
задачах на движение описывается не одна «застывшая» ситуация, а процесс
движения в динамике его развития, то есть несколько связанных между собой ситуаций. Это вызывает у учащихся трудности при решении задачи.
Изучив опыт учителей начальной школы по формированию умения
решать задачи на движение, мы разработали собственные рекомендации по
разрешению этой проблемы в виде двух методик: «Симуляция с использованием моделей» и «Инсценировка».
Таким образом, задачи нашего квалификационного исследования решены, цель работы достигнута.
83
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александрова Э.И. Как учить решать текстовые задачи? // Начальная
школа. - 2014. - №7. – С.103-115.
2. Александрова Э. И. Математика. 4 кл. Ч. 1. – М.: Дрофа 2015. – 160с.
(УМК Классическая начальная школа)
3. Александрова Э. И. Математика. 4 кл. Ч. 2. – М.: Дрофа 2015. – 175с.
(УМК Классическая начальная школа)
4. Арнольд В.И. Математическое понимание природы. – М.: МЦНМО,
2011. – 234c.
5. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики
в начальных классах. – М.: Просвещение, 1984. – 335с.
6. Баринова Е.С. Дифференцированное обучение решению математических задач. //Начальная школа. – 1999. - №2. - С. 41-43.
7. Бахтина С. В. Поурочные разработки по математике (4 класс). – М.:
Экзамен, 2016. – 318с.
8. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 4 класс. Ч.1. – М.: АСТ
Астрель, 2013. – 127с. (УМК Планета знаний)
9. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 4 класс. Ч.2. – М.: АСТ
Астрель, 2013. – 143с. (УМК Планета знаний)
10. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций. – М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2016. –
455с.
11. Вычужанина З.Г. Решать задачи стало интересно. //Начальная школа. 2009. - №3. – С.97.
12. Демидова Т.Е, Козлова С.А., Тонких А.П. Математика 4 кл., 1 ч.-М.:
Баласс; Издательство Школьный дом, 2013. - 96 с. (УМК «Школа 2100»)
13. Демидова Т.Е, Козлова С.А., Тонких А.П. Математика 4 кл., 2 ч.-М.:
Баласс; Издательство Школьный дом, 2013. - 96 с. (УМК «Школа 2100»)
14. Демидова Т.Е, Козлова С.А., Тонких А.П. Математика 4 кл., 3 ч.-М.:
Баласс; Издательство Школьный дом, 2013. - 96 с. (УМК «Школа 2100»)
84
15. Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. Математика 4 класс. Ч. 1.
– М.: Просвещение, 2015. – 126с. (УМК «Перспектива»)
16. Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. Математика 4 класс. Ч. 2.
– М.: Просвещение, 2015. – 128с. (УМК «Перспектива»)
17. Дроботенко М.Н. Нестандартный урок математики по теме «Решение задач разными способами». //Начальная школа. - 2015. - №1. - С. 58 – 61.
18. Зайцева С.А., Целищева И.И. и др. Методика обучения математике
в начальной школе. - М.: Владос, 2008. – 192 с.
19. Истомина Н.Б. Математика. 4кл. Ч. 1. – Смоленск: Ассоциация XXI
век, 2015. – 120с. (УМК Гармония)
20. Истомина Н.Б. Математика. 4кл. Ч. 2., – Смоленск: Ассоциация XXI
век, 2015. – 120с. (УМК Гармония)
21. Казько А.Б. Работа над текстом задачи с пропорциональными величинами. //Начальная школа. - 2014. - №5. - С. 70.
22. Касярум Е.И., Позднякова И.И. Решение задач различными способами как средство развития учащихся. //Начальная школа. – 2012. - № 3. - С.
70-76.
23. Колоскова О.П. Формирование регулятивных учебных действий
при обучении решению текстовых задач // Начальная школа. – 2012. -№1. -С.
69-74.
24. Лахова Н.В. Решение задач на движение при помощи таблиц и вопросов. //Математика в школе. – 2016. - № 3. - С. 21-22.
25. Макрова Т.В. Рисунок помогает решать задачи. //Начальная школа.
- 2013. - №7. - С. 69 – 75.
26. Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Математика. 4 кл. Ч. 1. М.: Просвещение, 2015. - 112 с. (УМК Школа России)
27. Моро М.И. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Математика. 4 кл. Ч. 2. М.: Просвещение, 2015. - 128 с. (УМК Школа России)
28. Петерсон Л.Г. Математика. 4 кл. Ч.1. – М.: Просвещение, 2015. – 96
с. (УМК Перспектива)
85
29. Петерсон Л.Г. Математика. 4 кл. Ч.2. – М.: Просвещение, 2015. –
128 с. (УМК Перспектива)
30. Петерсон Л.Г. Математика. 4 кл. Ч.3. – М.: Просвещение, 2015. – 96
с. (УМК Перспектива)
31. Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа
Ч.1- М.: Просвещение, 2010. - 400с. (Стандарты второго поколения)
32. Планируемые результаты начального общего образования /под ред.
Г.С. Ковалева, О.Б. Логинова. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2010. – 268 с.
(Стандарт второго поколения)
33. Рудницкая В.Н. Математика 4 кл. Ч. 1 – М.: Вентара-Граф, 2012. –
124с. (УМК Начальная школа XXI век)
34. Рудницкая В.Н. Математика 4 кл. Ч. 2 – М.: Вентара-Граф, 2012. –
124с. (УМК Начальная школа XXI век)
35. Салмина Н.Г. Виды и функции материализации в обучении. - М.:
Издательство МГУ, 1981. –134 с.
36. Сборник рабочих программ «Школа России» - М.: Просвещение,
2011. - 528с.
37. Седакова В.И. Формирование универсальных учебных действий у
младших школьников при решении математических задач //Вестник ЧГПУ 2012. - №9. – С.145-154.
38. Смирнова С.П. Использование чертежа при решении практических
задач. //Начальная школа. - 2014. - №5. - С. 53.
39. Смолеусова Т.В. Вариативность и выбор при решении задач в условиях реализации ФГОС НОО //Начальная школа плюс до и после – 2013.-№2.
– С. 1-5.
40. Стойлова Л.П. Математика: учебник для студ. учреждений высш.
проф.образования. - М.: Академия, 2013. - 464 с. (Сер. Бакалавриат)
41. Стойлова Л.П. Решение задач на движение. - М.: Академия, 2008.
86
42. Тихоненко А.В., Русинова М.М. и др. Теоретические и методологические основы изучения математики в начальной школе. - Ростов-на-Дону:
Феникс, 2008. - 350 с.
43. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования: текст с изм. и доп. на 2011 г. / М-во образования и
науки Рос. Федерации. – М.: «Просвещение», 2011. – 33 с.
44. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. Учебное пособие. – М.: Либроком, 2014. – 128с.
45. Хабибуллин К. Я. Обучение методам решения задач //Школьные
технологии. – 2014. – № 3. – С. 127 – 131.
46. Царёва С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе: учебник для студентов учреждений высшего образования. – М.: Академия, 2014. – 496 с.
47. Царёва С.Е. Обучение решению задач //Начальная школа. 2008. №1, с. 102–108.
48. Царёва Е.С. Понятие «скорости» в методической деятельности учителя. //Начальная школа. – 2012. - №11. - С. 22-31.
49. Царёва С.Е Различные способы решения задач и различные формы
записи решения //Начальная школа. - 2015.- № 2. – С. 34-37.
50. Чекин А. Л., Захарова О. А., Юдина Е.П. Математика. 4 кл. Учебник
в двух частях. Ч. 1. – М. : Академкнига, 2013. – 128с. (УМК Перспективная
начальная школа)
51. Чекин А. Л., Захарова О. А., Юдина Е.П. Математика. 4 кл. Учебник
в двух частях. Ч. 2. – М. : Академкнига, 2013. – 128с. (УМК Перспективная
начальная школа)
52. Чекин А.Л. Величины «скорость» и «расстояние» в начальном курсе математики //Начальная школа. - 2016.- № 3. – С. 40-44.
53. Чекренева Т.В. Задачи на движение. //Математика в школе. – 2014. №3. - С.13-14.
87
54. Шикалова Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с
движением тел. //Начальная школа. – 2015. - № 5. - С. 30-37.
55. Шикалова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении.
//Начальная школа. – 2014. - № 12. - С. 48-52.
88
ПРИЛОЖЕНИЕ
89
Приложение 1
Рекомендации учителям формированию умения
решать задачи на движение.
Как при изучении любой темы могут у учителя возникнуть трудности:
1. При объяснении темы многие учителя не используют чертеж и схемы, это приводит к тому, что дети не могут наглядно представить ситуацию и
допускают ошибки. Без использования схем урок становится скучным, не интересным.
2. Не достаточное использование задач занимательного и развивающего характера приводит к скучной, однообразной работе учителя, к недостаточно полному восприятию материала учениками.
Поэтому:
1. Учителю необходимо применять разнообразные игры, игровые моменты на каждом уроке.
2. При изучении задач на движение учителю следует использовать
чертежи, схемы.
3. Необходимо точно и четко чертить чертеж.
Выводы
Таким образом, при ознакомлении учащихся со скоростью движения и
изучения связи между величинами скорость, время, расстояние, необходимо
использовать схемы, чертежи, занимательные задачи и задачи развивающего
характера, которые повышают интерес у учащихся, способствуют осознанному приобретению знаний, умений и навыков, развивают память, речь,
мышление.
После ознакомления со скоростью движения и изучения связи между
величинами, скорость, время, расстояние, необходимо сформировать у детей
умения и навыки решения задач на встречное движение различных видов, а
также умение решать и составлять задачи по чертежам и таблицам. Ученики
должны научиться сравнивать задачи и выявлять сходное и различное, составлять задачи по выражениям.
90
Приложение 2
Карточки для ознакомления с различными видами движения
Карточка №1
1)Реши задачу:
Машина в первый день прошла за 9ч 522км. Во второй день машина
была в пути 7ч и шла с прежней скоростью. Сколько всего километров прошла машина за эти дни?
2)Поставь к условию такой вопрос, чтобы задача решалась меньшим
количеством действий.
3)Подумай, можно ли поставить к данному условию такой вопрос, чтобы задача решалась одним действием и все данные были нужны. Если этого
сделать нельзя, измени условие так, чтобы такая задача получилась. Запиши
и реши новую задачу.
Карточка № 2
1) Прочитай задачу:
Машина в первый день прошла за 9ч 522км. Во второй день машина
была в пути 7ч, а скорость ее увеличилась на 6 км/ч. Сколько всего километров прошла машина за эти дни?
2) Сравни ее с задачей №1. Как ты думаешь, какая из задач сложнее?
Объясни свой выбор.
3) Реши задачу. Сравни получившееся решение с решением задачи №1.
Твое предположение было верным?
4) Можно ли сделать задачу еще сложнее? Если можешь, составь и запиши такую задачу. Найди ее решение.
Карточка № 3
1) Реши задачу:
Два самолета вылетели одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 2400км, и встретились через 4ч. Определи скорость второго самолета, если скорость первого была 350 км/ч.
2) Составь все возможные обратные задачи. Запиши их.
91
3) Найди среди них те, которые ты можешь решить. Запиши их решения.
4) Подчеркни задачи, которые ты не смог решить. Объясни, в чем
трудность.
5) Составь задачу с такими данными, чтобы затруднение исчезло.
Карточка № 4
1) Сравни задачи:
Два поезда одновременно вышли навстречу друг другу со станций,
расстояние между которыми 385км, и встретились через 5ч. Скорость одного
поезда 40 км/ч. Найди скорость второго поезда. Два поезда идут навстречу
друг другу с двух станций, расстояние между которыми 385 км. Первый поезд шел со скоростью 53 км/ч и вышел на 2ч раньше второго. Через 3ч после
выхода второго поезда они встретились. Найди скорость второго поезда.
Подумай, какая из них сложнее. Объясни ответ.
2) Найди знакомую тебе задачу и восстанови ее решение.
3) Подумай, какие шаги в решении другой задачи нужно сделать, чтобы
она стала такой же, как знакомая тебе задача.
4) Помоги себе, сделай к задаче чертеж.
5) Сравни свое предложение с моим: нужно узнать, какой путь до
встречи они прошли одновременно.
6) Узнай и запиши новую задачу.
7) Реши задачу полностью. Сравни решения обеих задач.
Карточка № 5
1) Решу задачу:
Два поезда идут навстречу друг другу с двух станций. Первый поезд
вышел на 2 часа раньше и идет со скоростью 53 км/ч. Скорость второго поезда на 13 км/ч меньше, чем первого. Через 5 часов после выхода первого поезда они встретились. Каково расстояние между станциями?
2) Сравни задачу с задачами из задания 4. Есть между ними связь? С
какой из задач 4 связь теснее? Это обратные задачи? Объясни ответ.
92
3) Составь обратные задачи к данной.
4) Реши составленные задачи. Сравни их решения и решение задачи 4.
В чем различие?
Карточка № 6
1) Реши задачу:
Из Москвы и Саратова вышли одновременно навстречу друг другу два
поезда. Один из них идет со скоростью 62 км/ч, а другой 74 км/ч. На каком
расстоянии друг от друга они будут через 5 ч после выхода, если от Москвы
до Саратова 892 км? Сделай к задаче рисунок.
2) Реши задачу, заменив 5ч на 9ч. Сделай рисунок к новой задаче.
3) Сравни рисунок и решения задач. В чем они различны?
93
Приложение 3
Конспект урока по теме «Скорость»
УМК «Школа России» 4 класс
Цели: введение понятия скорости движения
Задачи по содержанию: учить приводить примеры выражений, в которых говориться о скорости движения; сформулировать вывод о зависимости
между скоростью, временем движения и пройденным путём; развивать умение рассуждать и делать выводы.
o Познакомить учащихся с понятием “скорость движения”;
o Научить устанавливать зависимость между величинами, характеризующими процесс движения;
o Разработать алгоритм применения полученных умений для решения
задач на движение;
o Воспитание чувства уважения при работе в малых группах, интереса
к предмету;
o Учить детей самооценке, умению анализировать свою работу на уроке.
Задачи по способу работы:
o Развивать умение выделять главное, сравнивать, обобщать изучаемые факты;
o Выработать у учащихся умение различать понятия “скорость движения”, “расстояние” и “время движения” и их зависимость друг от друга;
o Развивать умение решать задачи на нахождение скорости движения
по алгоритму.
o Содействовать формированию навыков коммуникативного общения.
Этапы урока
I. Понимание и постановка учебной задачи
1. Организационный момент.
–Сегодня у нас необычный урок математики, Настраиваемся на рабочую волну и стремимся по ступеням знаний к новым открытиям. Наш девиз:
94
Наблюдаю-замечаю-делаю вывод
Сегодня работаем в парах и в группах. Вспомним правила работы в парах. (Прислушиваться к мнению соседа, помогать друг другу, взаимопроверка), ну а что мы будем изучать на уроке, вы узнаете, решив числовые выражения и отгадаете зашифрованное слово.
Работаем в группах (как только группа готова к ответу, возьмитесь за
руки и поднимите их вверх).
Конверт
№1
Решите числовые выражения и расположите ответы в порядке убывания в 1 строчке
1
72 64 51 42 35 21 8
1
6
Какое слово получилось? (Движение)
На экране появляется заставка “ Урок известного путешественника Филеаса Фогга.
– Сегодня на уроке математики мы с вами будем изучать процесс движения
95
- Где вы в жизни встречаетесь с понятием « Движение»?
-Как вы понимаете, что такое движение?
- Как вы думаете, какова цель сегодняшнего урока ? (Узнать как можно
больше о движении) и поможет нам в этом английский путешественник лорд
Филеас Фогг. Придумал и рассказал нам о его необыкновенном путешествии
вокруг света за 80 дней известный писатель Жюль Верн (фотография на
экране)
Я надеюсь, что вы обязательно прочитаете захватывающие приключенческие произведения этого автора. А сейчас… Англия, XIX век, лорд Филеас
Фогг готовится к своему путешествию и думает, какой же путь ему предстоит преодолеть. Поможем знаменитому путешественнику.
2. Усвоение исходных знаний.
На экране Слайд с 5 величинами:
189 м; 40 000 км; 627 дм; 425 кг; 38 см.
Задание 1.( В ков.№2) Найти “лишнюю” величину и объяснить почему
она лишняя..
В процессе выделения лишней величины выяснить, что все остальные –
это величины длины или расстояния. Расстояние принято обозначать латинской буквой S (вешается знак на доску).
Задание 2. Расположите остальные величины в порядке возрастания
- (работа в группах):
38 см; 627 дм; 189 м; 40 000 км
(учитель записывает на доску под знаком S).
– Как вы думаете, ребята, какая из приведённых величин соответствует
пути, который надо преодолеть путешественнику вокруг Земли? (40 000 км)
– Все ли величины длины мы вспомнили?
(Нет мм. Учитель вывешивает на доску величины, в которых измеряется длина: мм, см, дм, м, км)
Как вы думаете, что такое Расстояние?- Сделайте вывод.
Вывод: Расстояние – это путь, который надо преодолеть.
96
(Здесь анимация: поезд проезжает путь 240 км от одного города до другого)
Расстояние – это одна из величин, характеризующая движение
-А какие еще величины могут характеризовать движение? (Время)
Задание 3.( В конв .№3) Работа в группах и результат (проверяем).
Продолжите ряд величин:
3 ч, 240 мин, 5 ч, 360 мин, …
7 ч, 480 мин, 9 ч, 600 мин.
Именно 10 часов пришлось Филеасу Фоггу добираться из Лондона в
Париж.
– С какими величинами мы сейчас работали?
(Величинами измерения времени).
Время движения в математике принято обозначать латинской буквой
t (Знак вывешивается на доске)
– Все ли величины измерения времени мы с вами вспомнили? Назовите
отсутствующие.
(Обучающиеся называют величины, учитель вывешивает на доску табличку: сек, мин, ч, сутки, неделя, месяц, год, век).
И так, какая же еще величина характеризует движение? (Время)
3. Первичная диагностика понимания.
Задание 4. Работаем в парах
Перед вами лежат жёлтые листочки. Рассмотрите выражения и найдите
их значения, результат запишите на этот же листок и сверьте ответы со своим
товарищем в паре
7дм2см+4см= 7 дм 6 см
35 км : 5 ч = ?
46 сек – 15 сек = 31 сек
9 м 8 см * 3 =27 м 24 см
42 м : 7 сек = ?
6 мин 9 сек + 51 сек = 7 мин
97
–
Вы
нашли
значения
всех
выражений?
Нет?
Почему?
– Проверим (идёт проверка вместе с экраном).
– На какие группы можно разделить полученные значения выражений?
(единицы длины, единицы времени)
Какова наша с вами цель сейчас на уроке?
(Узнаем, кто из ребят прав. Узнать, что за величина получится, единицы измерения неизвестной величины)
К концу сегодняшнего урока мы сможем найти значения оставшихся
выражений и в этом нам поможет следующее задание от лорда Фогга.
Физкультминутка
II. Проектирование нового способа действий
1.
Введение понятия “скорость”.
Задача № 1.
От старта до финиша 150 метров. Заяц эту дистанцию пробежал за 10
сек, а Щенок это же расстояние – за 15 сек. Кто из них бежал быстрее?
Опрос детей.
– Щенок и заяц пробежали одно и то же расстояние. Но заяц затратил
меньше времени, чем щенок. Значит, он бежит быстрее щенка. Щенок на то
же расстояние затратил больше времени, чем заяц, следовательно он бежал
медленнее.
Мы легко определили, кто из них бежал быстрее, не выполняя никаких
вычислений. Всё дело в том, что расстояние было одинаковым.
Задача № 2.
Щенок пробежал 120 метров за 12 сек, а заяц пробежал 180 м за 10 сек.
Кто из них бежал быстрее?
– Чем эта задача отличается от предыдущей?( Разное расстояние и разное время движ)
- Как же нам узнать, кто из животных бежал быстрее? (Дети рассуждают).Попробуйте объяснить
98
Вывод: “Щенок и заяц пробежали разные расстояния и затратили разное время. Чтобы получить возможность сравнивать, надо узнать, сколько
метров пробегал щенок и сколько метров пробегал заяц в каждую секунду.
Почему это для нас так важно? (Потому что 1 секунда – это одинаковое количество времени). Если окажется, что кто-то из них в каждую секунду пробегал большее расстояние, то это значит, что он бежал быстрее.
– Как же узнать, сколько метров Щенок пробежал за одну секунду, если за 12 секунд он пробежал 120 м?
(Задача записывается в тетрадь и на доске).
120 : 12 = 10 (метров в секунду)
– Ребята, в наименовании очень долго писать метров в секунду, поэтому мы будем привыкать к такому сокращению м/сек.
– Как узнать, сколько метров заяц пробежал за одну секунду, если за 10
секунд он пробежал 180 м? (Вызвать ребёнка записать решение на доске)
180 : 10 = 18 (м/сек)
Что скажете, кто же из них бежал быстрее? (Так как заяц в каждую секунду пробегал большее расстояние, то он бежал быстрее.)
- С какой величиной связана быстрота движения?
Вывод и правило: Быстрота движения связана с величиной, которая
называется скоростью. Она обозначается латинской буквой V (вешается знак
на доску). В каждую секунду щенок пробегал 10 метров, то есть он бежал со
скоростью 10 м/сек (м/сек на доску). М/сек – это единица скорости.
Третья величина, характеризующая движение- скорость.
Другими единицами скорости являются: м/мин, км/мин, км/ч, могут
быть и другие, мы с ними познакомимся в процессе нахождения скорости
движения различных объектов.
С какой же новой величиной, ранее нам неизвестной мы познакомились?
2. Диагностика понимания. Задание 1. Объясните смысл высказывания:
Самолёт летит со скоростью 800 км/ч
99
Машина едет со скоростью 60 км/ч
Катер плывёт со скоростью 22 км/ч
Улитка ползёт со скоростью 50 см/мин
Задание 2. Угадайте, с какой скоростью движется каждый из предложенных объектов.
3. Создание алгоритма нахождения скорости движения объекта.
– Давайте сделаем вывод, с какими же величинами связан процесс
движения? (Скорость, время, расстояние).
Задача от Филеаса Фогга. (Текст задачи на крышке доски)
Задача № 3.( Решение на доске и в тетрадях)
За 3 часа поезд прошёл 240 км. С какой скоростью он шёл?
– Что такое 240 км? (Расстояние.)
– В какую группу величин вы отнесёте 3 часа? (Время.)
– Как узнать скорость движения поезда, если известен весь путь (расстояние) и время движения поезда?
Надо 240 : 3 и получится 80 км/ч (запись на доске и в тетради).
Как же найти скорость движения любого объекта?
На доске: 240 : 3 = 80 (км/ч
Попробуем
составить
формулу
нахождения
скорости
S:t=V
Повторение нахождения скорости движения.
А где в жизни вам понадобится знание нахождения скорости? (ПДД и
тд) Когда мы будем слышать часто о величинах, характеризующих движение?
(Когда проходят олимпиады или спортивные соревнования).
4. Контроль. Отработка действий по алгоритму.
Самостоятельная работа.
– Теперь вы знаете, как определять скорость движения. И наш
путешественник хочет убедиться в этом. Перед каждым из вас лежат
разноцветные карточки с задачами.(Решение запишите в тетрадях)
100
Оранжевую карточку может выбрать тот ученик, который отлично понял сегодняшнюю тему и хочет испытать себя на более сложном материале.
Розовую карточку возьмут те из вас, кто хорошо разобрался в вопросе
нахождения скорости движения.
А задачу с зелёной карточки будут решать те из вас, кто не уверен, что
досконально разобрался в данной теме.
1-й вариант.
Трактор за 4 часа проезжает 60 км, а грузовая машина это же расстояние преодолевает за 2 часа. Во сколько раз скорость грузовой
машины больше скорости трактора?
2-й вариант.
Заяц, когда ему угрожает опасность, пробегает за 6 секунд 72 метра, а
ёж бежит со скоростью 2 м/сек. Кто из них бежит быстрее и на сколько?
3-й вариант.
Лошадь пробежала 46 м за 2 мин. Вычислите скорость движения лошади.
Поднимите руку, кто решал задачу на оранжевой карточке?
Кто на розовой?
А кто на зеленой?
Спасибо за работу, проверим и обсудим решение на следующем уроке.
Слайд
III. Организация усвоения способов деятельности.
А сейчас мы вернёмся к выражениям, в решении которых мы сомневались в начале урока , увидим, кто из ребят был прав и теперь вы с ними справитесь все. Запишите в тетрадь и решите эти выражения. Что мы узнаем в результате?
(Скорость движения объекта). Повторение правила.
35 км : 5 ч = 7 км/ч
42 дм : 7 сек = 6 дм/сек
24 м : 6 сек = 4 м/сек
101
– Как вы думаете, кто может двигаться со скоростью 7 км/ч? ( Ходьба
спортсмена ) -6дм/сек (Школьник) движения”.
Проблемный вопрос на слайде: Выбери правильное утверждение и по
команде подними карточку .1,2 или 3.
Скорость – это …….
IV. Итог урока
– Мы с вами сейчас проделали большую работу и мне интересно узнать
ваше впечатление от урока.
Нарисуйте у себя в тетради соответствующий смайлик.
Спасибо за работу!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа