close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- pedportal.net

код для вставкиСкачать
Отбор корней при
решении
тригонометрических
уравнений
1. Вычислите:
 
а) arcsin(-1)
б) arccos (

2
3
) 

д) arccos
;
6
2
(не существует);
в) arcsin 2
г) arctg
;

3

;
3
(

2
)
(не существует);
е) arсctg ( 3 )    arctg
3  
5
6
.
2. Решить уравнения:
а) cos x = - 1;
б) sin х = 
1
;
х    2  ,   
1
х  (  1) arcsin( 
k
2
х  (  1)
х  (  1)
k 1
k 1
arcsin

2
1
х 

 2  ,   
  ,   
2
г) tg x =
3
3
;
х

6
  ,   
2
6
в) cosх = 0;
)   ,   
  ,   
1. Отбор корней в тригонометрическом уравнении
с помощью числовой окружности.
Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.
Решение.
cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,
2sin x sin 2x – 2sin2 x = 0,
2sin x (sin 2x – sin x) = 0,
4 sin x sin
x
cos
2

 sin

 sin


 cos

x  0,
x
 0,
2
3x
2
 0;
3 x
2
 0;
y

 x  k , k  Z

 x  n, n  Z
2
3x



 m , m  Z ;
2
 2

3

0
2
0

 x  k , k  Z

 x  2 n , n  Z


2 m
x


,m  Z;

3
3

x
5
3
Изобразим серии корней на тригонометрическом круге.
Видим, что первая серия ( ) включает в себя корни второй серии ( ),
а третья серия ( ) включает в себя числа вида x    2  k из корней
первой серии ( ).
Ответ : { 2  n ;

3

2 m
3
/ n , m  Z }.
Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.
Решение.


x

 n,

2

 n

ОДЗ :  x 

,
4
2

 n

x


,n  Z.

6
3

sin x

cos x
sin 2 x
cos 2 x

sin 3 x
sin 3 x (cos 3 x 
sin 3 x (
cos x cos 2 x
sin 3 x
sin 3 x

 0;
cos x cos 2 x cos 3 x
1
sin 3 x
cos 3 x
sin 3 x (cos 3 x  cos x cos 2 x )
cos x cos 2 x cos 3 x
1
cos 3 x 
1
1
cos x )
cos x )
2
2
cos x cos 2 x cos 3 x
cos 3 x

cos 3 x 
2
2
cos x cos 2 x cos 3 x
 0;
sin x cos 2 x  sin 2 x cos x
1
 0;
sin 3 x (cos 3 x  cos x )
2
 0;
 0;
cos x cos 2 x cos 3 x
1
sin 3 x (  2 sin 2 x sin x )
2
 0;
cos x cos 2 x cos 3 x
 0;
 sin 3 x sin 2 x sin x
cos x cos 2 x cos 3 x
 0;
 0;
y 
tg x · tg 2x · tg 3x = 0;

 x  n, n  Z ,

 x  k , k  Z ,

2

m
x 
,m  Z.
3

Изобразим ОДЗ и серии корней
на числовой окружности.
3
5
4
6

2
2

3
3
4

6

0
2
0
7
4
6
5
3
3
5
4
3

x
11
7 6
4
2
Из второй серии корней ( ) числа вида x  2   k не
удовлетворяют ОДЗ, а числа вида x   k. входят в третью серию ( )
Первая серия ( ) так же входит в третью серию корней ( ), поэтому
ответ можно записать одной формулой.
Ответ : {
m
3
/ m  Z }.

y
cos 3 x
Пример 3.
2
 0.
5
sin 2 x

6
Решение.
6
 cos 3 x  0 ,

 sin 2 x  0 ;
 k


0
x
0
 x  6  3 , k  Z ,

 x  n , n  Z ;

2
7
11
6
6
3
Иногда случается, что часть серии входит в ответ,
2
а часть нет. Нанесем на числовую окружность
все числа серии x     k , k  Z и исключим корни, удовлетворяющие
x
n
6
3
,n  Z.
условию
2
Оставшиеся решения из серии корней можно объединить в формулу
x  

 n, n  Z .
6
Ответ : { 

6
  n / n  Z }.
2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении
алгебраическим способом
Пример 1.
cos 2 x  cos
3x
 2
4
Решение.
Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, то уравнение
равносильно системе
 cos 2 x  1,


3x
cos
 1;

4

 x  k , k  Z ,

8 n

,n  Z;
x 
3

Решением уравнения является
пересечение серий, то есть нам
надо решить уравнение
8 n
k 
;
3
k 
8n
;
3
Получаем
k  8t , n  3 t , t  Z
Итак, x  8 t , t  Z .
Ответ : {8 t / t  Z }.
Пример 2.
cos
x
sin x  2 sin
2
x  cos x  sin
4
x
cos x  2 cos
2
 0.
4
Решение.
sin( x 

)  cos x  2 ;
4
5x

 1,
 sin
4

 cos x  1;

5k  1  4 n;
n 
n  k 
5

8 n
k 1
,
4
Пусть
2
8 n


,n  Z,
x 
5
5

 x  2 k , k  Z ;

2 k 
;
4

5x

 2 n , n  Z ,

2
 4
 x  2 k , k  Z ;

2
5k  1
k 1

целое число.
4
k 1
4
k  4 m  1,
Итак,
где
 m,
тогда
n  5m  1.
x  2   8 m , m  Z .
;
5
Решением уравнения является
пересечение серий, то есть нам надо
решить уравнение k  1  4 n ;
5
Ответ : { 2   8 m / m  Z }.
3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении
с некоторыми условиями
Пример 1. Найти корни уравнения sin 2x = cos x | cos x |, удовлетворяющие
условию x  [0; 2π].
Решение.
sin 2x = cos x | cos x |;
2sin x· cos x - cos x | cos x |=0;
cos x (2sin x - | cos x |)=0;
  cos

  cos
  cos

  cos
x  0,
x ( 2 sin x  cos x )  0 ;
x  0,
x ( 2 sin x  cos x )  0 ;
  cos x  0 ,

  x    n, n  Z ,

2


1
   x  arctg
 k , k  Z ;

2


cos x  0 ,
 

1
 m , m  Z .
  x   arctg
2

Найдём решение систем
с помощью
числовых окружностей:
x  [ 0 ; 2 ]
Условию
 3
;
2
2
; arctg
y
1
2
cos x < 0
y


2
2
1
2
0
0
x
x

1
2



2


2

1
 x  2  n, n  Z ,
x    arctg
 2 m , m  Z .

2
 x  arctg 1  2  k , k  Z .

2
удовлетворяют числа
(для первой системы) и
Ответ : {
cos x ≥ 0
x    arctg
;   arctg
1
2
1
2
}.
x 

2
, x 
3
2
, x  arctg
(для второй системы).
1
2
Пример 2. Найти все решения уравнения
принадлежащие отрезку
[ ;
3
1  sin 2 x 
].
2
y
Решение.
ОДЗ: cos 3x ≥ 0;




2
5

6
 2 n  3 x 
2

2 cos 3 x  0 ,

6
 2 n , n  Z ;
2

6
2 n
 x
3


6
2 n
0
,n Z.
3
Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:
7
x

6

6
3
2
Отрезку
[ ;
3
принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно [
]
2
Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:
1 + sin 2x = 2cos2 3x;
sin 2x = cos 6x;
sin 2x - cos 6x=0;
sin 2 x  sin(

2
 6 x )  0;
7  3
;
].
6
2
2 cos(

 2 x ) sin( 4 x 
4
2 cos( 2 x 

) sin( 4 x 
4

)  0;
4
Из первой серии:

7
)  0;
4


cos(
2
x

)  0,

4

 sin( 4 x   )  0 .

4



2
x


 n, n  Z ,

4
2

4 x    k , k  Z .

4
3
n

x  8  2 ,

 x    k , k  Z .

16
4
Выберем корни,
удовлетворяющие условию задачи.

6
3

8
n
3

2
,n  Z;
2
28   9   12  n  36  , n  Z ;
19  12 n  27 , n  Z .
Следовательно n=2, то есть
x
11 
.
8
Из второй серии:
7
6



k
16

3
4
,n  Z;
2
56   3  12  n  72  , n  Z ;
53  12 n  69 , n  Z .
Следовательно n=5, то есть
x
21 
16
Ответ : {
11 
8
;
21 
16
}.
.
Пример 3. Найти все корни уравнения
2
10 cos (
x  [
Решение.
10sin2 x = – cos 2x + 3;
10sin2 x = 2sin2 x – 1 + 3,
8sin2 x = 2;
sin
1
x 
 x )  sin(
2
которые удовлетворяют условию
2

7
 2 x )  3,
2
2  19 
;
].
3
12
y

2
5

6
;
6
4
sin x  
1
0
;
2

k 
x

(

1
)
  k , k  Z ,

6

 x  (  1) m  (   )   m , m  Z ;

6
7
x  

6
 n, n  Z ;

6
С помощью числовой окружности получим:
x

6
3
2
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.
Из первой серии:  2


 n 
19 
,n  Z;
3
6
12
 8  2   12  n  19  , n  Z ;
 10  12 n  17 , n  Z .
Следовательно n=0 или n=1, то есть
Из второй серии:
2


3

6
 n 
19 


x

,

6

 x  7 .

6
,n  Z;
12
 8   2   12  n  19  , n  Z ;
 6  12 n  21 , n  Z .
Следовательно n=0 или n=1, то есть
Ответ : { 
 5 7 
;
6
;
6
6
}.


x


,

6

 x  5 .

6
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа