close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- pedportal.net

код для вставкиСкачать
Формулы для вычисления площадей
различных треугольников
Проект подготовлен Буяновой Анной Матвеевной,
учителем математики МОУ СОШ № 21, г.Подольск.
С
В
a
А
D
b
S 
1
2
S ABC  S ADC  S ADB 

1
2
( CD  DB ) h a 
1
2
1
2
CD  h a 
СB  h a 
1
2
1
2
a  ha
DB  h a 
a  ha
S 
1
ab  sin 
2
A
c
b
hа
ɣ
B
С
a
S ABC 
1
2
D
a  h a , но из прямоуголь
ного
треугольни ка ADC h a  b  sin  , S ABC 
1
2
ab  sin 
B
r
O
C
А
S ABC  S BOC  S AOB  S AOC 

1
2
r 
AC  r 
1
BC  r 
2
радиус вписанной
1
1
AB  r 
2
(a  b  c)  r
2
окружности
.
B
S 
O
a b c
4R
R
A
C
Мы знаем, что S ABC 
с
sin C
1
ab  sin C ; sin C найдем из соотношени
2
 2 R ; sin C 
c
2R
, S ABC 
1 abc
2 2R

abc
4R
я
B
с
a
A
b
S 
C
p ( p  a )( p  b )( p  c )
Доказательство: По теореме косинусов можно записать:
c
 a
2
 b  2ab  cos γ
2
2
2ab  cos γ  a
a
cos γ 
2
b c ,
2
2
b c
2
2
2
.
2ab
2
sin
2
2
2
2
2
2

a  b  c 
a b c 
 1 
 
γ  1  cos γ  (1  cos  )(1  cos  )   1 



2ab
2ab



2
2ab  a

2
b c
2
2

2ab  a
2ab
1

2
4a b
2
Т.К.
2
b c
2ab
2
2
c  (a  b)
2

2

2ab
(a  b)
2
c
2

2ab
(c  a  b)(c  a  b)(a  b  c)(a  b  c) .
abc  2p
a  b  c  a  b  c  2c  2 p  2c
c  a  b  c  a  b  2b  2 p  2b
sin

c  a  b  c  b  a  2 a  2 p  2 a , то
1
16
 

(2p

2a)(2p

2b)(2p

2c)

2p

(p  a)(p  b)(p  c)  p 
2
2
2
2
4a b
4a b
2
4
2
a b
2
sin γ 
(p  a)(p  b)(p  c)  p.
2
p  (p  a)(p  b)(p  c) .
ab
S. 
1
2
ab 
2
ab
p(p  a)(p  b)(p  c) 
p(p  a)(p  b)(p  c) .
ч.т.д.
ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
(Heronus Alexandrinus)
Герон Александрийский – греческий учёный,
работавший в Александрии,(даты рождения и смерти
неизвестны, вероятно, I – II вв. н. э. ).
Математические работы Герона являются
энциклопедией античной прикладной математики. В
"Метрике" даны правила и формулы для точного и
приближённого расчёта различных геометрических
фигур, например формула Герона для определения
площади треугольника по трём сторонам, правила
численного решения квадратных уравнений и
приближённого извлечения квадратных и кубических
корней. В основном изложение в математических
трудах Герона догматично – правила часто не
выводятся, а только выясняются на примерах.
Герон занимался геометрией, механикой,
гидростатикой, оптикой.
B
c
p
a 
b
a
c
2
C
A
b
S 
1
4 ab  ( a  b  c )
2
4
S
a 
c



b
2

1
( a 
b
a 
c )( b 
b

a 


a 
a )( a 
b
c

2
c
b
c

2
c )( a 

b 


b
a 
b
c

2
c) 
4

1
(( b 
c)
a )(( b 
c)
(( b 
c )  a )( a  ( b 
a )( a  ( b 
c ))(
a ( b
c )) 
4

1
4

1
4
2
c) 
2
1
( b  2 bc  c  a )( a  b  2 bc  c ) 
4
( 2 bc  ( b  c  a ))( 2 bc  ( b  c  a )) 
1
4
4bc  (b  c  a)
2

c 


Итак, мы получили II формулу Герона. И если стороны
треугольника а,b,с , то запишем ее в виде:
S 
1
4a b  (a  b  c )
2
2
2
2
2
2
4
B
c
a
A
b
C
Найти площадь треугольника со сторонами
17
13
20
S 
1
4a b  (a  b  c )
2
2
2
2
2
2
4
S
1
4
2
4  13  20  (13  20  17 ) 
1
4
1040  256 
1
4
784  7
17 ,
20 ,
13
Формулы медиан треугольника
ma 
Из треугольн ика ACD по теореме косинусов
a
ma  b 
2
2
 2b 
4
a
a
 cos γ 
2
1
2b
2
 2c  a
2
2
2
mb 
:
2
1
 b  ma
2
cos γ  4
a  4b  4m
2

2
2
a
(1)
a b c
2
a b c 
2
2

c
(2)
a
a
ma 
1
 2b  2m
2
AD- медиана.
2
a
a
 2b  a  b  c
2
2
a
2
(2b
А
2
c
2
2
2
 2c  a )
2
2
4
2
c
2
mа
2
2
2
1
2
D
(1) и (2) получаем :
2
2m a  b 
ma 
 2b
а
2
2
2
2
:
2
2
2
2a
B
4ab
Приравнива я формулы

1
2
2ab
2m
2
2
2
2
a
b
mc 
с  a  b  2ab  cos γ
2
2
2
 b  ab  cos γ
Из треугольн ика АВС по теореме косинусов
2
 2c
2
4
ab
cos γ 
2
2
a
2
2a
2b  2c  a
2
2
2
b
C
2
C
13
Дано : треугольни к ABC
D
hc
10
с
5
а
10
в
13
Найти :
A
По второй
1)S 
1
B
5
формуле Ге
1) S ABC .
2 ) hc .
рона:
4  ( 10 )  ( 13 )  ((
2
10 )  ( 13 )  (
2
2
2
3 ) cos B.
5) ) 
2
2
4
1
4) R( радиус описанной окружности
4  10  13  ( 10  13  5 ) 
2
1
4
1
520  324 
4
2S
2  3 ,5
; hc 
с
4

 3,5
5) Медиану AD
2
7

5
a c b
2
3 ) cos B 
4
7
высоту СК  h c ,
2 ) Проведем
hc 
196 
14
2
5
2
,
2 ac
( 10 )  (
5 )  ( 13 )
2
cos B 
4)R 
2

5  10  13
4  3 ,5
4S
1
2

2 5 2

1
5 2
2

10
5 26
14
медиану AD  m a
5) Проведем
ma 

2  10  5
a b c
10  5  13
2
2b  2c  a ,
2
2
2
ma 
1
2
2  ( 13 )  2  ( 5 )  ( 10 ) 
2
2
2
1
2
26  10  10 
26
2
).
Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18)
y
Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не
параллельна оси координат.
18
AB 
(4  0)  (  2  6)
2

80
BC 
(2  4)  (18  2)
2

404
AC 
(2  0)  (18  6) 
2
2
2
2
4  144 
148
Найдем площадь треугольника по II формуле Герона..
6
S 
1
4  80  404  ( 80  404  148 ) 
2
4

0
-2
4
x
1
4
1
129280  112896 
4
16384 
1
 128  32
4
Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без
калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос . А нет ли
какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь
треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта
формула.
Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты:
А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3)
S 
1
2
Применим эту формулу к нашему примеру.
4-0
2-0
4
2
S
=
½
=
-2-6
½
18-6
х2 - х1
х 3  х1
у 2 - у1
у 3 - у1
= ½ (48+ 16)= 32.
-8
12
Если предположить, что х1=у1=0, то получится еще более простая формула:
S 
Вывод этой последней формулы приводится ниже .
Y
( у 2  у1 )
С ' ' ( 0; у 3 )
2
с ( х3 у 3 )
В ( х2 у2 )
В ' ' (O ; у 2 )
S 
А ' ( х1 ; 0 )
( х 3  х1 )
1
2
А ' ' ( 0 ; у1 )
А ( х1 ; у 1 )
с ' ( х 3 ;0 )
В ' ( х 2 ;0 )
X
( х 2  х1 )
1
x 2 y3  x3 y 2
 x 2  x1 ( y 3  y1 )  ( x 3  x1 )( y 2  y1 )
Пусть требуется найти площадь S треугольника АВС с вершинами А (х 1; у1), В( х2; у2), С( х3; у3).
Пусть АВ= с, АС = b, а углы, образованные этими сторонами осью Ох, соответственно равны α и β
А' B' = cx= c cos α= x2-x1
A’’B’’= cy= c sin α = y2-y1
(1)
А' C' = bx= b cos B= x3-x1
(2)
A’’C’’= by= b sin B = y3-y1
Прямоугольная система координат на плоскости:
Пусть ф = угол САВ; очевидно
ф=β–α
По известной формуле тригонометрии получаем:
S= ½ bc sin ф = ½ bc sin (β – α) =
Отсюда в силу (1) (2) имеем:
½ bc(sin β cos α- cosβ sinα ) = ½(by cx- bx cy)
(3)
S= ½ [(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)]
(4)
Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус.
Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде:
S= +/- ½ [(x2-x1) (y3-y1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4’)
Где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.
Формулу (4) можно записать в удобном для запоминания форме:
х2-х1
S=
х3-х1
½
у2-у1
у3-у1
Восемь формул для нахождения
площадей различных треугольников.
S 
1
ab
S  p ( p  a )( p  b )( p  c )
2
S 
1
S 
a  ha
S 
ab  sin 
2
S 
1
2
4a b  (a  b  c )
2
2
2
2
2
4
2
1
1
х1  х 0
у1  у0
х2  х0
у2 - у0
S  (a  b  c)  r
1
2
S 
a b c
4R
2
С
Ɣ
в
а
c sin α  sin β
2
S 
α
А
β
2 sin (α  β)
В
с
c sin α  sin β
2
S 
(1)
2 sin (α  β)
Доказатель ство :
  180   (   )
Из
S 
a
sin 
1
2

b
sin 
ab  sin  

1
2
c
sin 
c
sin 
sin 
следует
c
sin 
sin 
a  c
sin 
sin 
,
b  c
sin 
sin 
c  sin   sin 
2
 sin  
2 sin 
c sin   sin 
2

2 sin( 180   (   ))
c sin   sin 
2

2 sin(    )
С
Ɣ
в
S 
а
α
А
β
В
с
Доказатель ство :
Т.к. sin(    )  sin   cos   cos   sin  
 cos  cos 
 sin   sin  

sin 
 sin 
Подставляя
в формулу

  sin   sin  ( ctg   ctg  ).

(1), получим :
c  sin   sin 
2
S 
S 
2 sin   sin  ( ctg   ctg  )
c
2
2 ( ctg   ctg  )
.

c
2
2 ( ctg   ctg  )
.
c
2
2 ( ctg   ctg  )
.
B
O
S  2 R sin   sin   sin  .
2
A
C
Доказатель ство :
Из
a
sin 

b
sin 

c
sin 
 2R
получим a  2 R sin  , b  2 R  sin  . Подставим
S 
1
в формулу
ab  sin 
2
S 
1
2
2 R sin   2 R sin   sin   2 R sin   sin   sin  .
2
С
a sin   sin 
2
S 
Ɣ
в
а
α
А
Доказатель
Из
a
sin 
Подставим
β
2 sin 
В
ство :

b
sin 

c
sin 
в формулу
S 
имеем b 
a  sin 
sin A
1
2
ab  sin  ;
S 
1
2
a
a  sin 
sin 
1 a sin   sin 
2
 sin  
2
sin 
Вычисление площади треугольника через радиусы
вневписанных окружностей.
Вневписанная окружность- это
окружность, касающаяся одной
стороны треугольника и продолжения
двух других сторон.
Oa
Oc
rа
a
S  ra ( p  a )  rb ( p  b )  rc ( p  c )
S 
Ɣ
c
α
b
ra  rb  rc  r
ra , rb , rc  радиусы вневписанн ых окружносте
rс
β
й
rb
p  полупериме тр
Ob
Интернет-ресурсы
• Сайт http://www.webmath.ru
• Вычисление площади треугольника
• Формула площади треугольника, онлайн
сервис для расчета площади треугольника.
Нахождение площади треугольника 7-ю
методами, всего за несколько секунд Вы
найдете площадь треугольника.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа