close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- pedportal.net

код для вставкиСкачать
Предел функции
•
•
•
•
•
•
•
Предел функции в точке
Односторонние пределы
Предел функции при x стремящемся к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Первый замечательный предел
Случай 1.
lim
А
f ( x)  A
xa
f ( a )  не существует
Случай 2.
lim
f (x)  A
xa
А
f (a )  А
Случай 3.
lim
А
f (x)  A
xa
f (a )  А
В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а
Предел функции в точке
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0,
кроме, быть может самой точки x0.
Число А называют пределом функции в точке x0 (или при x  x 0),
если для любого положительного ε найдется такое положительное
число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо
неравенство:
f (x)  A  
   0;    0;  x : x  x 0    f ( x )  A  
lim f ( x )  A
x  x0
Предел функции в точке
   0;    0;  x : x  x 0    f ( x )  A  
ε окрестность точки А
y
2
А
0
х0
х
δ окрестность точки x0
Геометрический смысл предела: для всех х из δ –
окрестности точки x0 точки графика функции лежат
внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у
=А+ε,у=А-ε.
Односторонние пределы
В определении предела функции
lim f ( x )  A
x  x0
предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь
меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или
колеблясь около точки x0.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно
влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних
пределов.
Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого
ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех x  ( x 0  ; x 0 ) справедливо
неравенство:
f ( x )  A1  
lim
Предел слева записывают так:
x  x0  0
f ( x )  A1
Односторонние пределы
Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если
   0;    0;  x   x 0 ; x 0     f ( x )  A 2  
Предел справа записывают так:
Пределы функции слева и справа
называют односторонними
пределами.
y
А2
А1=А2=А
А1
0
lim f ( x )  A 2
x  x0 0
Очевидно, если существует
х0
х
lim f ( x )  A
x  x0
то существуют и оба
односторонних предела, причем
А = А1 = А2
Предел функции при x стремящемся к
бесконечности
  .;  
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке
x , если

Число А называют пределом функции при
   0;  M  0;  x : x  M  f ( x )  A  
lim f ( x )  A
x
Геометрический смысл этого
определения таков:
существует такое число М, что при
х > M или при x < - M точки
графика функции лежат внутри
полосы шириной 2ε, ограниченной
прямыми:
у=А+ε,у=А-ε.
y
2
А
0
М
х
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функций.
Формулировка теорем, когда x  x 0 или x   аналогичны,
поэтому будем пользоваться обозначением: lim f ( x ) .
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
пределов:
lim f1 ( x )  f 2 ( x )   lim f1 ( x )  lim f 2 ( x )
Предел произведения двух функций равен произведению
пределов:
lim f1 ( x )  f 2 ( x )   lim f1 ( x )  lim f 2 ( x )
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C  f ( x )   C  lim f ( x )
Основные теоремы о пределах
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
lim
f1 ( x )
f2 ( x )

lim f1 ( x )
lim f 2 ( x )
lim f
(x)  0
2
Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim f ( x )   lim f ( x ) 
n
n
Предел показательно – степенной функции:
lim f ( x ) 
g(x)
 lim f ( x ) 
lim g ( x )
Основные теоремы о пределах
Если между соответствующими значениями трех функций
u  u ( x );
z  z ( x ); v  v ( x )
выполняются неравенства: u  z  v , при этом:
lim u ( x )  lim v ( x )  A
тогда:
lim z ( x )  A
Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x0 или при
x > x0, то существует соответственно ее левый предел:
lim f ( x )  A1
x  x0 0
или ее правый предел:
lim f ( x )  A 2
x  x0 0
Вычисление пределов
Вычисление предела:
lim f ( x )  A
x  x0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
lim
x 1
3x  1
x
2

3 1  1
2
 2
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
C
0
то предел будет равен:
 
C

 0
Вычисление пределов
Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)
получаются выражения следующих видов:
0
0
;


; 0  ;

1 ;
0
0 ;

0 ;  0;
 
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление
пределов в этом случае называется раскрытие
неопределенности.
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
0
0
x  14 x  32
2
lim
x2
 lim
x  6x  8
x2
2
x  16
x 4

18
2

0
0
 lim
x2
 x  2  x  16 
 x  2  x  4 
 9
Если f(x) – дробно –
рациональная
x 11  x 11
0
x  1  1 функция,
наlim Если f(x) – иррациональная

lim необходимо разложить
x0
0
множители
числитель
иx  0 дробь, xнеобходимо
x
 x  1 умножить
1
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x  1 1
1дроби на выражение,
1
 lim
 lim

x0
x0
сопряженное
x  x 11
2числителю.




x 11



Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности


2x
2x  3x  1
2
lim
x
4x  2x  5
2



2
 lim x 2
x
4x
x
2
 lim
x
4
3
x
2
x


2
2


3x
2
x
2x
x
2


1
2
x
5
x
2
1
C

200
1
 f(x) – дробно
0  –

Если
400
2
  функция

рациональная
или
2
x
5
иррациональная дробь
необходимо разделить
числитель и знаменатель
дроби на x в старшей степени
x
2
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
lim
x

x 1
x 1
2

 lim
x 1
2
2
x
 lim
x

2


x 1
0
2

x 1
x 1
x 1
2
( x  1)  ( x
2
 
x 1 
2


 
2
2
2

x 1
2
Умножим и разделим
2
 1)
функцию
на
сопряженное
 lim
2
x
2
выражение.
x 1
x 1



x 1
2

Первый замечательный предел
Функция
sin x
не определена при x = 0.
x
Найдем предел этой функции при
М С
x
О В А
OA  1
x  0
0  x 

2
Обозначим:
S1 - площадь треугольника OMA,
S2 - площадь сектора OMА,
S3 - площадь треугольника OСА,
Из рисунка видно, что S1< S2 < S3
S1 
1
2
OA  MB 
1
2
OA  0 M  sin x

1
2
 sin x
Первый замечательный предел
М С
x
О В А
1
sin x 
2
 x  tgx

 x  sin x
1
2
x 
S2 
1
2
2
S3 
1
1
1
2
tgx
OA  ОM 
OA  AC 
2
1
x
1  tgx
2

sin x  x  tgx
sin x

 cos x  x
 
sin x
 1
x


cos x 

sin x
x
1
Первый замечательный предел
cos x 
sin x
1
x
lim cos x  cos 0  1
x0

lim 1  1
lim
sin x
x0
1
x
x0
Формула справедлива также при x < 0
Следствия:
lim
x0
lim
x0
x
1
sin x
x
tgx
lim
x0
1
lim
x0
tgx
1
x
sin kx
kx
1
Первый замечательный предел
lim
x0
1  cos 4 x
x
2

sin 2 x 

 2  lim

x0
x


0
0
2
 sin 2 x 
 2 lim 

x0
x


2
 lim
x0
2 sin 2 x
x
2
2
2 sin 2 x 

 2  lim
 
2x
 x0

2
sin 2 x 

2
 2  2  lim
  2 2  1  8
x0
2x 

2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа