close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

- pedportal.net

код для вставкиСкачать
МОУ Теньгушевская средняя
общеобразовательная школа
Алгебра 11 класс.
Тема: Возрастание и убывание функции.
Экстремумы функции.
Цель: Углубить ЗУН учащихся по теме:
Исследование функций с помощью
производной. Показать практическое
приложение производной.
Учитель – методист: Анна Павловна Родина
Самостоятельная
работа
1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
2
2
а)
а)
f (x)  x  3x  6
б)
f (x)   x  4 x  3
б) f ( x )  x 3  4 x  7
f (x)  x  2 x  1
3
2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум.
а)
f (x)  x  8 x
4
б) f ( x ) 
x
2

2
а)
2
б)
x
f (x)  2 x  4 x  1
4
x
f (x) 
3

2
3
x
3.Найти все значения а, при которых
f ( x )  0
f ( x )  0
для всех действительных значений х, если
f ( x )  х  3 х  ах
3
2
f ( x )  ах  6 х  х
3
2
Признаки возрастания и убывания функции.
Теорема 1. Если функция, имеющая производную для всех
значений аргумента из интервала (а;в), возрастает в этом
интервале, то производная в точках интервала (а;в)
принимает либо положительное значения, либо в отдельных
точках равна нулю.
Доказательство:
Пусть на (а;в) функция y=f(x) возрастает. Возьмем х  (а;в), так
чтобы ( x   x )  ( а ; в )
а
х
в
х  х
т.к. f(x) возрастает, то  х  0 ,  y  f ( x   x )  f ( x )  0
при  х  0 ,  y  f ( x   x )  f ( x )  0
Тогда
lim
x  0

y
x

]
y
x
0
 f ( x )  0




x
x
а




x
в

x
Теорема 2.
Если функция, имеющая производную для всех
значений аргумента из интервала (а;в), убывает в
этом интервале, то производная в точках этого
интервала принимает либо отрицательные
значения либо в отдельных точках равна нулю.
у
у
у  f ( x)
у  f ( x)


х
0  

2
0
, f  ( x )  tg   0
х
0

2
х
    , f  ( x )  tg   0
х
Теорема Лагранжа
Если функция y  f ( x ) непрерывна на сегменте [а;в] и внутри
него имеет производную, то найдется такое значение х=с (а<с<в),
при котором f ( в )  f ( a )  f ( c )( в  а )
1. Например, вычислите значение с в формуле Лагранжа для
функции у  х 2 на сегменте [0;2]
Решение:
2
, тогда 2 2  0 2  2 с ( 2  0 )
, с=1.
f ( x )  ( x )   2 x
2. Если формулу Лагранжа переписать в виде
f (в )  f (a )
ва
 f ( c )
то она может быть выражена словами: отношение приращения
f ( в )  f ( a ) к приращению аргумента (в-a) равно
функции
производной от заданной функции, вычисленной при некотором
значении аргумента, заключенном между а и в.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
f (в )  f (a )
 f ( c )
ва
Формула
имеет интересный геометрический
смысл: если в каждой точке дуги кривой существует
касательная, то на дуге всегда найдется такая точка, в
которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту
дугу.
у
М
В
А


а
с
в
х
Теорема 4. Если функция y  f ( x ) дифференцируема
на интервале (а;в) и f ( x )  0 для всех х  ( а ; в ) ,
то функция возрастает на интервале (а;в).
Доказательство:
1) Пусть х 1 и х 2 ( а ; в ); х1  х 2
2) f ( x 2 )  f ( x1 )  f  ( c )( x 2  x1 ), где c  ( x1 ; x 2 ) .
т.к.
f ( c )  0 ; х 2  х1  0 , тоf ( x 2 )  f ( x1 )  0 ;
т .е. f ( x 2 )  f ( x1 )  f ( x )
на (а;в)
Интервалы монотонности
y
1
x  2x  3x  1
3
2
3
y  (
1
Решение:
x  2 x  3 x  1)   x  4 x  3
3
2
2
3
x  4x  3  0
y ( x )  0 ,
у ( х )
2
-
+
+
у(х)
1
3
х
х
(-∞;1)
(1;3)
у
+
-
у
возрастает
убывает
(3;+∞)
+
возрастает
Необходимое условие существования экстремума
функции.
Теорема Если функция имеет производную в каждой
точке интервала (а;в), то в точке экстремума
производная равна нулю.
Доказательство:
Пусть с  ( а ; в ) , с – точка экстремума. Доказать, что f  ( c )  0 .
Пусть с – точка максимума. Тогда при  х  0 выполняется
f ( c )  f ( c   x ), f ( c   x )  f ( c )  0
1)если
х0
2)если
х0
Итак:
{
, то
, то
f ( c )  0
f ( c )  0
lim
x
 f ( c )  0
 0  lim
x 0
0 
 f ( c ) .
x
f (c   x )  f (c )
x  0
f (c   x )  f (c )
x
f (c   x )  f (c )
f (c   x )  f (c )
lim
x  0
x
f (c   x )  f (c )
x
 f ( c )  0
 f ( c )  0
Пример 1.
f ( x)  x
x  ( 1;1) Найти экстремумы функции.
2
у
Решение:
2
1) f  ( x )  ( x )   2 x
2 ) f ( x )  0 ,
2x  0
1
x  0
1
f ( 0 )  0
Пример2.
. Найти экстремумы функции.
1 3
f ( x)  x  8 x  1
Решение:
3
1)
f ( x )  (
1
x  2 x  3 x  1)   x  8
3
2
3
2)
f ( x )  0
x 8 0
2
- Не имеет корней
2
0
1
х
Достаточные условия существования экстремума.
Теорема 1. Пусть функция y  f ( x )
имеет производную в
с
каждой точке некоторого интервала ( а ; в ) и пусть точка х этого
интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в
некоторой окрестности точки слева от точки с производная
положительна, а справа – отрицательна, то в точке с функция
имеет максимум.
Доказательство:
Т.к. на (а;в) существует
f  ( x ) , то функция непрерывна.
f ( x )  0
а
y
с
f ( x )  0
с
с
f ( х )  f ( c )
f ( х )  f ( c )


0
с
x
в
х
Теорема 2. Пусть функция y  f ( x ) имеет производную в
точке интервала ( а ; в ) и пусть точка х  с этого интервала есть
стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой
окрестности точки слева от точки с производная
отрицательна, а справа – положительна, то в точке с функция
имеет минимум.
Теорема 3.
y
y
нет
экстремума


0
с
x
0
с  
с
с  
x
Теорема 1, 2 и 3 справедливы также для точек, в которых
производная не существует.
2
Пример f ( x )  х
f ( x )
f ( x)
3
f ( x ) 
,
2
х

1
3

3
2
33 х
при


0
х 0
х=0 – точка
х
минимума. f ( x )  0
y
2
y  х3
0
x
Приложения производной
1. Работа.
Рассмотрим работу ,которую
совершает заданная сила F
при перемещении по отрезку оси Ох.
Если сила постоянна, то работа
A  F  S , где А - работа, F – сила,
S - длина пути .
Если сила меняется, то F=F (x).
 A на [ x ; х   х ] нельзя точно
вычислить как произведение F ( x )   x
но при  x  0 ,  A  F ( x )  dx
т.е.силу можно считать производной
работы по перемещению F  A ( x )
y
F
0
x
x  x
x
2. Заряд
Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через
поперечное сечение проводника за время t.
Если сила тока I постоянна, то за время dt ток переносит
заряд, равный Idt .
При силе тока ,изменяющейся со временем по некоторому закону
I  I (t ) ,то произведение I ( t ) dt дает главную часть
приращения заряда на маленьком отрезке времени [ t ; t   t ],т.е.
dq  I ( t ) dt . Значит сила тока является производной заряда
по времени I ( t )  q  ( t )
3. Температура
Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону
   0  0 , 001 t  0 , 0001 t
Найти коэффициент линейного расширения при t  5 0 C
Найти промежутки расширения и сжатия стержня.
Решение:
2

k
(
t
)


(
t
)

(


0
,
001
t

0
,
0001
t
)   0 , 001  0 , 0002 t
0
1)
2
k ( t 0 )  k ( 5 )  0 , 001  0 , 0002  5  0 , 002
0
2)
 ( t )  0 ,
0 , 001  0 , 0002 t  0
0 , 0002 t   0 , 001
t  5 C
0
  (t )


 (t )
t
5
сжимается
расширяетс я
4 .Успехи ученика
Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так
отозвался о нем: «Он очень мало знает, но у него положительная
производная». Что хотел сказать учитель?
Да. Скорость приращения знаний у ученика положительна, а это
есть залог того, что его знания возрастут.
Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать три разные кривые
роста знаний.
знания
t
Домашние задание:
Тренажер: найти точки экстремума функции.
2) у  х  3 х
3
3 ) у  2 х  3 х  12 х  5
2
10 ) у 
4 ) у  ( х  2 ) ( 3 х  1)
2
5) у  х  4 х  4 х
4
3
х 1
2
х
х  2х  2
2
11 ) у 
х 1
2
14 ) у 
2
8) у  х 
2
х 9
2
13 ) у  2 х 
х 4
х
2
2х
12 ) у  ( х  1) 
3
7) у 
х
2
3
6) у 
2
9) у  х 
1) у  х  4 х
2
1
х
2
3
х
х
х 1
2
15 ) у  х  1  2 х
2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа