close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

( x ) a

код для вставкиСкачать
§ 10. Сравнение бесконечно малых
Пусть a ( x ) и b ( x ) б.м.ф. при x → x0. Рассмотрим
lim
x x 0
a ( x)
b ( x)
Опр. 33. a ( x ) и b ( x ) – б.м. одного порядка малости, если
a ( x)
lim
b ( x)
x  x0
 A 0
Опр. 34. a ( x ) – б.м. высшего порядка малости относительно b ( x ),
если
lim
пишут: a ( x ) = o (b ( x ))
x  x0
a ( x)
b ( x)
или
0
a ( x ) << b ( x )
Опр. 35. a ( x ) – б.м. низшего порядка малости относительно b ( x ),
если
lim
x  x0
пишут: b ( x ) = o (a ( x ))
a ( x)
b ( x)

или b ( x ) << a ( x )
Опр. 36. a ( x ) и b ( x ) не сравнимы между собой, если
lim
x  x0
a ( x)
b ( x)

Теорема 6. Произведение б.м. a ( x ) и b ( x ) есть б.м. высшего
порядка малости по сравнению с каждым из сомножителей.
a ( x ) b ( x ) << a ( x )
или
a ( x ) b ( x ) << b ( x )
Эквивалентные бесконечно малые и их свойства
Опр. 37. Б.м. a ( x ) и b ( x ) при x→x0 называются эквивалентными,
если
lim
x  x0
a ( x)
b ( x)
1
Пишут
a(x)~b(x)
Свойства
1. Если a ( x ) ~ b ( x ) при x→x0 и b ( x ) ~ g ( x ) то a ( x ) ~ g ( x )
2. Сумма б.м. величин разного порядка малости эквивалентна слагаемому
низшего порядка малости.
3. При вычислении пределов произведения и частного б.м. величины
можно заменять их эквивалентами.
4. Критерий эквивалентности двух б.м.
Пусть a ( x ) и b ( x ) – б.м. при x→x0.
a ( x ) ~ b ( x ) ⇔ a ( x ) – b ( x ) = o( a ( x ) ) или o( b ( x ))
Опр. 38. Пусть a ( x ) и b ( x ) – б.м. при x → x0. a ( x ) называется б.м.
k - го порядка малости относительно b ( x ), если
lim
x  x0
a (x)
b (x)
k
 A  0:
0  k  1  a  b

1  k    a   b
 k  1  a è b î äí î ãî ï î ðÿ äê à ì àëî ñò è

a и b одного порядком малости
Число k называется порядком малости
Сравнение бесконечно больших функций. Эквивалентные
бесконечно большие
Опр. 39. Пусть f ( x ) и g ( x ) б.б.ф. при x → x0. Рассмотрим lim
x x 0
f ( x)
g ( x)
1. Б.б. f ( x ) и g ( x ) при x→x0 называются б.б. одного порядка
роста, если
lim
x  x0
f ( x)
 A0
g ( x)
2. Б.б. f ( x ) – низшего порядка роста относительно g ( x ), если
lim
пишут: f ( x ) << g ( x )
x  x0
f ( x)
0
g ( x)
3. Б.б. f ( x ) – б.б. высшего порядка роста относительно g ( x ), если
lim
пишут: f ( x ) >> g ( x )
x  x0
f ( x)

g ( x)
4. Б.б. f ( x ) и g ( x ) при x→x0 называются эквивалентными, если
пишут: f ( x ) ~ g ( x )
lim
x  x0
f ( x)
g ( x)
1
Свойства
1. Сумма б.б. величин разных порядков эквивалентна слагаемому
высшего порядка роста.
2. При вычислении пределов произведения и частного б.б. величины
можно заменять их эквивалентами.
3. Произведение двух б.б.ф. имеет высший порядок роста
относительно каждого из сомножителей
Доказать самостоятельно
§ 11. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Опр. 40. Функция, определенная на отрезке [ a, b ] и непрерывная в
каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке.
Свойства
Т. 11.1. (теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижении непрерывных на отрезке
функций своих точных границ)
Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем
своих точных верхней и нижней границы
Т. 11.2. (теорема Коши о промежуточном значении)
Пусть f ( x ) непрерывна на [ a, b ] и на концах отрезка f ( a ) ≠ f ( b ).
Тогда ∀C ∈ [ f ( a ), f ( b ) ] найдется хотя бы одна точка x ∈ [ a, b ] такая,
что f ( x ) = C.
Т. 11.3. (об обращении непрерывной функции в ноль)
Если функция f ( x ) непрерывна на [ a, b ] и на его концах принимает
значения разных знаков, то на [ a, b ] существует хотя бы одна точка x = x, в
которой f ( x ) обращается в ноль.
Т. 2. (теорема Коши о промежуточном значении)
Пусть f ( x ) непрерывна на [ a, b ] и на концах отрезка f ( a ) ≠ f ( b ).
Тогда ∀C ∈ [ f ( a ), f ( b ) ] найдется хотя бы одна точка x ∈ [ a, b ] такая,
что f ( x ) = C.
y
f(x)
f(b)
C
f(a)
x0
x
a
a1
a2
an bn
b1
b2
b
x
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа