close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

"Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений" МОУ

код для вставкиСкачать
Урок подготовила и провела учитель математики
Михатова Марина Николаевна
МОУ "Октябрьская средняя общеобразовательная
школа"
Ардатовского района РМ
2007 год
1.Бабушка старше мамы на 20 лет, а мама старше дочери
в 2,5 раза. Вместе им 116 лет. Сколько лет каждой из них?
Решение:
Пусть матери х лет, тогда бабушке – (х + 20) лет, а дочери –
(х : 2,5) лет. По условию задачи известно, что вместе им 116
лет. Составим и решим уравнение:
х + (х + 20) + (х : 2,5) = 116;
2х + 20 + 0,4х = 116;
2,4х = 116;
х = 40.
40 + 20 = 60 (лет) - бабушке;
40 : 2,5 = 16 (лет) – дочери.
Ответ: матери 40 лет, бабушке 60 лет, а дочери 16 лет.
2.Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если
первый мастер будет работать 9 ч., а потом его сменит второй, то он
закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ
каждый из мастеров, работая отдельно?
Решение: Внесем данные и обозначения в следующую таблицу:
Время
Часть работы
Время работы,
выполнения
за 1 час
ч
всей работы, ч
1-й мастер
х
9
1
2-й мастер
у
х
1
4
у
При совместной
6
Всего:
1
работе
6
Можно составить систему двух уравнений с двумя переменными:
Часть
выполненной
работы
9
4
1
х
1
у


9
х
4
у
1
1
1 1


,
х у
6


 9  4  1.
 х у
Умножив первое уравнение системы на -4 и сложив его со вторым уравнением, получим:
1
1 1


,
х
у
6


5  1 ;
 х 3
1 1
1

 ,
у
6 х


1  1 ;
 х 15
1
1

 х 15 ,


1
1
 
;
 у 10
Ответ: первый мастер может выполнить заказ за 15 ч, а второй – за 10ч.
 х  15 ,

 у  10 .
Устные упражнения:
1. Составьте уравнение
для решения задачи:

а) У хозяйки было 20 кур и
цыплят. Кур было в 4 раза
меньше, чем цыплят. Сколько
цыплят было у хозяйки?
ОТВЕТ

б) В книге 60 страниц.
Прочитали в 2 раза больше
страниц, чем осталось
прочитать. Сколько страниц
осталось прочитать?
ОТВЕТ
2. Составьте систему
уравнений с двумя
переменными для решения
задачи:

В клетке находится
неизвестное число фазанов и
кроликов. Известно, что вся
клетка содержит 35 голов и 94
ноги. Узнать число фазанов и
кроликов.
ОТВЕТ
х
32
Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки
за 2 ч, а против течения – за 3 ч. Какое время затратит бревно на путь от А до В?
1. Анализ задачи. В задаче идет речь о двух объектах:
лодка и бревно. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывет и
лодка, и бревно, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает
путь между пунктами по течению реки за меньшее время (2ч), чем против течения (3ч). Но
эти скорости в задаче не даны, так же как не известно расстояние между пунктами.
2. Схематическая запись задачи.
Лодка
2ч
А
Бревно
3ч
Лодка
В
3. Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое бревно проплывет
расстояние между пристанями А и В.Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние
АВ, но оно неизвестно, поэтому обозначим расстояние АВ буквой х.
4. Осуществление решения задачи
Решение:
Пусть х км - расстояние между двумя пунктами А и В, тогда
скорость моторной лодки по течению х км/ч, а против
2
течения
1)
2)
х
2
х
6
х
-
3
х
3
х
12
х
=
:2=
3) х :
км/ч.
6
х
12
(км/ч) – удвоенная скорость течения;
(км/ч) – скорость течения;
= 12 (ч) – время движения бревна.
Ответ: 12 ч затратит бревно на путь от А до В.
5. Проверка решения задачи. Итак, мы нашли, что бревно проплывает путь от А до В за 12 ч.Для того,
Чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости
лодки, найденные двумя способами: х х 5 х
х
х
5 х Получаем верное равенство 5 х
5х
1) 

;
2) 

.
=
2 12
12
3 12
12
12
12
Вариант №1
1. На турбазе имеются палатки и домики; всего их 25. В каждом
домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько
на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают
70 человек?
Бригада лесорубов должна заготовить 600 м3 дров. Первые 8 дней бригада
работала по плану, а затем перевыполняла план ежедневно на 10 м3.
Поэтому уже за 2 дня до срока бригада заготовила 640 м 3 дров. Какова
ежедневная норма (в кубических метрах) по плану?:
Решение:
Пусть у причала находилось х двухместных лодок и у
трехместных, а всего их 6, т.е. х+у=6. Тогда во все двухместные
лодки может поместиться 2х человек, а в трехместные – 3у
человек. По условию задачи всего в эти лодки может поместиться
14 человек. Составим и решим систему уравнений:
 х  у  6,
 х  6  у,
 х  6  у,
 х  4,




2
х

3
у

14
;
2
(
6

у
)

3
у

14
;

2
у

3
у

14

12
;



 у  2.
Ответ: у причала было 4 двухместные и 2 трехместные лодки.
Заготовлено
дров в день (м3)
Всего заготовлено
дров
(м3)
Время работы,
дней
х
600
х
х +10
640 - 8х
640  8 х
По плану
600
Фактическ
и
после
восьми
первых
дней
х  10
Фактическое время работы (8 +
640  8 х
х  10
) дней по условию задачи на 2 дня
меньше планировавшегося, значит, получаем уравнение:
8+
640  8 х
х  10
=
600
х
- 2.
Умножив обе части уравнения на х(х + 10), получим:
8 х(х + 10) + (640 – 8х)х = 600(х + 10) - 2 х(х + 10);
8х2 + 80х +640х -8х2 = 600х + 6000 – 2х2 -20х;
720х = 580х + 6000 - 2х2;
2х2 + 140х – 6000 = 0;
х2 + 70х – 3000 = 0;
х1 = 30;
х2 = -100 - не является решением, т.к. по смыслу задачи х > 0.
Если х = 30, то х(х + 10) ≠ 0 – верно.
Ответ: 30 м3 ежедневная норма по плану.
Вариант №2
У причала находилось 6 лодок, часть из которых
была двухместными, а часть – трехместными. Всего в
эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько
двухместных и сколько трехместных лодок было у
причала?
Решение:
Пусть на турбазе имеется х палаток и у домиков, а
всего их 25, т.е. х+у=25. Тогда во всех палатках
живут 2х человек, а в домиках – 4у человек. По
условию задачи известно, что всего на турбазе
отдыхают 70 человек. Составим и решим систему
уравнений:
 х  у  25 ,

 2 х  4 у  70 ;
 х  25  у ,

 2 у  20 ;
 х  25  у ,

 2 ( 25  у )  4 у  70 ;
 х  15 ,

 у  10 ;
Бригада рабочих должна была за несколько дней
изготовить 216 деталей. Первые три дня бригада
выполняла установленную ежедневную норму, а потом
стала изготавливать на 8 деталей в день больше плана.
Поэтому за 1 день до срока было изготовлено 232
детали. Сколько деталей в день стала изготавливать
бригада?
Решение:
Изготовлено
Всего
Время
деталей в
изготовлено
работы,
день
деталей
дней
По плану
х
216
216
х
Фактически
после
первых
трех дней
х+8
232  3 х
х8
Фактическое время работы (3 +
232  3 х
х8
) дней по
условию задачи на 1 день меньше планировавшегося,
значит, получаем уравнение:
3
Ответ: на турбазе 15 палаток и 10 домиков.
232-3х
232  3 х
х8

216
х
 1.
Умножив обе части уравнения на х(х+8), получим:
3х(х+8)+(232-3х)х = 216(х+8)-х(х+8),
3х2 + 24х+232х-3х2 = 216х+1728-х2 -8х,
х2 +48х – 1728 = 0;
х1,2 = -24 ± 48,
х1 = -72, х2 = 24.
Число -72 не является решением задачи, так как число
деталей, изготовленных за день, неотрицательно.
Если х = 24, то х(х+8) ≠ 0- верно и х+8=32.
Ответ: бригада стала изготавливать 32 детали в день.
Задача 2. Купили два сорта краски. Первого сорта на 3600р., а второго – на
2400р. При этом краски второго сорта купили на 6 кг больше, чем первого, но
килограмм краски второго сорта на 100р. дешевле килограмма краски первого
сорта. Сколько было куплено килограммов краски первого сорта?
Решение:
Пусть х кг было куплено краски первого сорта, тогда второго купили –
(х + 6) кг. Первого сорта купили на 3600р., а второго – на 2400р., значит, за
первый сорт заплатили
3600
х
р., а за второй -
2400
х6
р. По условию задачи
известно, что килограмм краски второго сорта на 100р. дешевле килограмма
краски первого сорта. Составим и решим уравнение:
3600
х

2400
х6
 100 ;
36 х + 216 - 24 х – х2 – 6х = 0;
х2 - 6 х – 216 = 0;
х1 = 18;
х2 = -12 - не является решением, т.к. по смыслу задачи х > 0.
Если х = 18, то х(х + 6) ≠ 0 – верно.
Ответ: было куплено 18 килограммов краски первого сорта.
Задача 3. Два туриста, сменяясь, перенесли рюкзак на расстояние 11 км. При
этом каждый нес рюкзак по одному часу. Какова скорость второго туриста,
если 3 км он проходил на 6 мин медленнее, чем первый турист проходил 2 км?
Решение:
Пусть х км/ч скорость первого туриста, а у км/ч – второго, тогда 2 км первый
турист проходил за
2
у
ч., 3 км второй турист проходил за
3
х
ч, т.к. 3 км он
проходил на 6 мин медленнее, чем первый турист проходил 2 км, получаем
3
уравнение
х

2
у
1

10
. По условию задачи известно, что два туриста, сменяясь,
перенесли рюкзак на расстояние 11 км. При этом каждый нес рюкзак по одному
часу, т.е. (х + у) • 1 = 11. Составим и решим систему уравнений:
3
х

2
у

1
10
;
(х + у) • 1 = 11
Решим уравнение:
3
11  у

2
у
1

;
10
х = 11 - у
3
11  у

2
у

1
;
10
30у – 220 + 20у – 11у + у2 = 0;
у2 + 39у – 220 = 0;
у1 = 5; у2 = -40 -не является решением, т.к. по смыслу задачи у > 0.
Если у = 5, то у(11 - у) ≠ 0 – верно.
Ответ:
5 км/ч скорость второго туриста.
У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4
раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было
у хозяйки?
 Пусть х кур было у хозяйки, тогда
цыплят у нее было 4х. По условию задачи
известно, что у хозяйки было 20 кур и
цыплят. Составим уравнение:
х + 4х = 20.
В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем
осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать?
Пусть х страниц осталось прочитать,
тогда прочитали 2х страниц. По условию
задачи известно, что в книге 60 страниц.
Составим уравнение:
х + 2х = 60.
В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов.
Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать
число фазанов и кроликов.
Пусть было х кроликов и у фазанов, всего
35. Составим первое уравнение:
х + у = 35.
У кроликов было 4х ног, а у фазанов 2у,
всего 94. Составим второе уравнение:
4х + 2у = 94. Получаем систему
уравнений:
х + у = 35;
4х + 2у = 94
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа