close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...23 июля 1999 года № 453-I «О государственной службе»;doc

код для вставкиСкачать
УДК 339.133: 330.46
М.Т. Терёхин, Е.С. Дюба
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ФРАНЧАЙЗИНГОВОЙ СИСТЕМЫ
В статье рассматривается один из способов построения франчайзинговой системы. Предложены методы вычисления нижней границы наибольшего значения капитала
франчайзера при различных предположениях относительно начального состояния системы и выбора управления.
инвеcтиция, ликвидные средства, процент, управление, франчайзи, франчайзинг, франшиза, функционал.
Генеральная компания (франчайзер) имеет достаточно успешный опыт
в организации и проведении бизнеса, хорошую репутацию среди потребителей, в частности, в сфере продаж, оказании услуг, рекламном обеспечении.
С целью усиления своего влияния в бизнесе, увеличения прибыли франчайзер привлекает для совместного участия в бизнесе другие фирмы, отдельных
предпринимателей, испытывающих трудности в ведении и организации своего собственного дела и создании на определенных условиях совместных
предприятий (франчайзи).
Франчайзер и франчайзи заключают договор (франшизу), действующий
в течение заранее оговоренного периода времени, согласно которому:
– франчайзер разрешает франчайзи для ведения бизнеса использовать его
товарный знак, имя;
– франчайзи имеет возможность пользоваться бизнес-системой франчайзера,
включая рекламную политику, процесс производства товара и его продвижение на
рынок, различные технологии ведения бизнеса, то есть получить в свое распоряжение проверенную концепцию ведения бизнеса;
– франчайзер осуществляет текущую поддержку, консультирует и обучает
франчайзи;
– франчайзи обязан покупать у франчайзера и поставщиков, назначенных
франчайзером,
партии
товаров, сырья, расходных материалов (возможно на
© Терехин М.Т., Дюба
Е.С., 2013
льготных условиях);
– франчайзер получает за использование своего товарного знака, имени
определенный процент от прибыли франчайзи (роялти) и вступительные взносы
от новых франчайзи.
В франшизу могут быть включены и другие пункты, приемлемые как для
франчайзера, так и для франчайзи.
Франчайзер может иметь и собственные предприятия.
Отметим, что способ ведения бизнеса по схеме «франчайзер – франчайзи –
франшиза» называется франчайзингом.
Франчайзинг предоставляет возможность фирмам, малым предприятиям,
частным предпринимателям организовать свое собственное дело, при этом
франчайзи сохраняет экономическую и юридическую самостоятельность.
Предположим, что франчайзинговую систему образуют франчайзер и n
франчайзи, роялти постоянное на весь промежуток [0, T ] действия франшизы.
Пусть x (t ,  , u)  ( x0 (t ,  , u ), x1 (t ,  , u ),, xn (t ,  , u )) , x0 (t ,  , u ) – прибыль франчайзера от собственных предприятий, xi (t ,  , u ) – прибыль i -го
франчайзи при любом i  1, n в момент t , u – вектор-управление, характеризующее расходы на рекламу, на научные исследования (в частности, на изучение
рынка, потребительского спроса), на совершенствование функционирования
франчайзинговой системы, x (0,  , u )   ,   ( 0 , 1 ,,  n ), при любом i  0, n
xi (0,  , u )   .
Будем предполагать, что вектор-функция x (t ,  , u ) определена, не-прерывна и непрерывно дифференцируема по t на замкнутом, ограниченном множестве [0, T ]  M  U .
Пусть в момент t франчайзер на развитие сети расходует средства в объ-еме
n
W (t )  Zx0 (t , , u)   Ei xi (t , , u) . В момент времени t  t расход на развитие
i1
n
сети определяется равенством W (t  t )  Zx0 (t  t , , u ) 
 E x (t  t, ,u) .
i i
i 1
Изменение расходов средств за промежуток времени от t до t  t примет вид
n
W (t )  Z [ x0 (t  t ,  , n)  x0 (t ,  , u)]   Ei [ xi (t  t ,  , u)  xi (t,  , u)].
i 1
Следовательно, поток инвестиций J (t ) франчайзера в развитие сети определитn
dW
dx
dx
 J (t )  Z 0   Ei i , при этом для краткости записей
dt
dt
dt
i 1
принято, что x0  x0 (t , , u), xi  xi (t , , u), Z , E1 ,, En – постоянные числа,
ся равенством
в Ei учитывается вступительный взнос i -го франчайзи).
В любой момент времени t прибыль франчайзера определится равенством
n
Y (t )  x0 (t , , u)   ri xi (t, , u)  L(t ),
(1)
i 1
где ri – платеж i -го франчайзи (роялти), L(t ) – долг франчайзера,   процент
по долгу.
Очевидно, что капитал K (t ) франчайзера за время от 0 до t определится
равенством
t
K (t )  K *   Y ( )d ,
(2)
0
в котором K *  K (0).
Ставится задача: найти вектора  и u , принадлежащие соответственно
T
множествам M , U , при которых функционал
 Y (t )dt
принимал бы макси-
0
T

мальное значение, то есть найти max Y ( t )dt при определенном подборе коэфM U
0
фициентов.
Прибыль франчайзера и его новые кредиты идут на инвестиции и изменение объема (t ) его ликвидных средств.
Предположим, что франчайзер за время от 0 до t приобрел ликвидные
t
средства
в
объеме
n
 (t )   [ x0 ( ,  , u )   ri xi ( ,  , u )  J ( ) D ( )]d ,
0
i 1
D(t ) – разность между получаемым кредитом и возвратом долга. Тогда изменение объема ликвидных средств определится как
n
d ( t )
 x0 (t ,  , u )   ri xi ( t , , u )  J ( t )  D( t ).
dt
i 1
(3)
t
Долг франчайзера по кредитам составит L( t )  [ D ( )  L( )]d . Сле-

0
довательно, изменение задолжности примет вид
dL(t )
 D( t )  L( t ).
(4)
dt
Предположим, что ликвидные средства (t ) пропорциональны долгу
L(t ) франчайзера, капитал K (t ) также пропорционален долгу L(t ), то есть
имеют место следующие равенства
(t )  k1L(t ), K (t )  bL(t ),
(5)
k1 , b – коэффициенты пропорциональности, b  1, 0  k1  1. Тогда из второго
равенства (5) и равенства (1) следует, что
dL( t ) dK ( t )
dL(t )

, то есть b
 Y (t ).
(6)
dt
dt
dt
K*
Из второго равенства (6) следует, что L(0) 
. Учитывая равенства (1)
b
b
и (6), получим
b
n
dL( t )
 x0 (t ,  , u )   ri xi ( t,  , u )  L(t ).
dt
i 1
(7)
Согласно равенству (3) и первому равенству (5) будем иметь
n
d ( t )
dL(t )
dL( t )
 k1
, k1
 x 0 ( t,  , u )   ri xi ( t ,  , u )  J ( t )  D( t ).
dt
dt
dt
i 1
8)
Из равенств (4) и (8) находим:
D(t ) 
и k1
dL( t )
  L( t )
dt
n
dL(t )
dL(t )
 x0 (t ,  , u )   ri xi (t ,  , u )  J (t ) 
 L(t ), то есть
dt
dt
i 1
( k1  1)
n
dL( t )
 x0 ( t ,  , u )   ri xi (t ,  , u )  J (t )  L( t ).
dt
i 1
(9)
Согласно неравенству (7)
n
x0 ( t,  , u )   ri xi (t ,  , u )  b
i 1
dL( t )
 L( t ).
dt
(10)
Тогда с учетом равенств (9) и (10) получим
dL( t )
dL(t )
b
 L(t )  J (t )  L( t ), или, что все равно,
dt
dt
dL(t )
a
 J (t ),
dt
a  1  k1  b, a  1.
( k1  1)
Следовательно, из равенства (11) будем иметь
(11)
K
dL( t )
dx0 n
dxi
, получим
a
Z
  Ei
. Отсюда при условии, что L(0) 
dt
dt i 1
dt
b
L( t ) 
n
K* Z
E
 ( x0 (t , , u )   0 )   i ( xi (t , , u )   i ) .
b
a
i 1 a
(12)
Согласно равенствам (1)
n
 K* Z
Y (t )  x0 (t ,  , u )   ri xi (t,  , u )   
 ( x0 ( t ,  , u )   0 ) 
i 1
 b a
n
n
E
Z
E
  i ( xi (t ,  , u )   i )]  (1 
) x 0 (t ,  , u )   ( ri  i ) xi (t ,  , u ) 
a
a
i 1 a
i 1
n

a
 ( Z 0   Ei i  mK * ), где m  , m  1. Следовательно,
a
b
i 1
T
T
 Y (t )dt  [(1 
0
0
n
Z
E
) x0 (t ,  , u)   ( ri  i )xi (t ,  , u)]dt 
a
a
i 1
(13)
n
T

( Z 0   Ei i  mK * ).
a
i 1
Формула (13) получена на основании условий и методики рассуждений,
принятых в работе [1].
Пусть E – общий объем средств франчайзера и n франчайзи при t  0,
n
то есть E 
n
 d i , V0  Z0   Eii  mK *.
i 0
i 1
Возможны следующие случаи:
1) V0 – нелинейный функционал;
2) V0 – линейный функционал относительно переменных 0 ,1 ,
2 ,, n , K * ;
Z
Ei
 0, i  1, n.
a
a
Рассмотрим случай 1. Множество W0 определим равенством
3) 1 
 0, ri  
n
W0  {( , Z , Ei (i  1, n), m, K * ) : 0   i  E, E   i , 0  Z  Z 0 , 0  Ei  Ei0 ,
i 1
*
0
i
1  m  m0 , 0  K  K 0 }, числа Z 0 , E , m0 , K 0 определяются в момент органи-
зации франчайзинговой системы в зависимости от ресурных возможностей
франчайзера и франчайзи. Очевидно, что W0 – многогранник.
Во множестве W0 функционал V0 непрерывен, W0 – замкнутое и ограниченное множество. Следовательно, в этом множестве существует точка,
в которой функционал V0 достигает своего наибольшего значения на этом
множестве согласно теореме Вейерштрасса. Пусть такой точкой является
n
*
*
*
i
*
*
*
*
*
0
*
1
*
2
*
n
точка ( , Z , E (i  1, n ), m , K ),   ( ,  ,  ,  ,  ),

*
i
 E. Зна-
i 0
0
0
чение функционала V0 в этой точке обозначим символом V . Таким обра0
зом, max V0  V0 .
W0
Рассмотрим функционал
T
n
G0   [(1  c Z * ) x0 ( t ,  , u )   ( ri  cEi* ) xi (t ,  * , u )]dt ,
0
в котором c 
i 1
1
, c  1,  – процент по долгу франчайзера, не зависящий от
a
него.
Множество W1 определим равенством W1  {( c, ri (i  1, n ), u ) : 0 
 c0  c  1, 0  ri  1, | u |  0 }, c0 ,  0 – некоторые числа, определяемые в момент организации франчайзинговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера и франчайзи.
Очевидно, что W1 – многогранник. В силу замкнутости, ограниченности
множества W1 , непрерывности функционала G0 на множестве W1 и теоремы
Вейерштрасса функционал G0 на множестве W1 достигает своего наибольшего
значения.
0
Предположим, что функционал G0 наибольшего значения G0 достигает
0
*
в точке ( c * , ri (i  1, n ), u * )  W1. Следовательно, max G0  G0 .
W1
Таким образом, задача нахождения наибольшего значения функT
ционала
 Y (t )dt
на множестве M  U
свелась к задаче нахождения
0
наибольшего значения этого функционала на множестве W0  W1 , то
T
есть
к нахождению
числа
max  Y (t )dt.
W0 W1
Установлено,
что
0
T
max  Y ( t ) dt  G00 
W0 W1
0
T
T
 * V00 , G00  * V00 – оценка снизу наибольшего значения функционала
a
a
T
 Y (t )dt на множестве W
0
 W1.
0
Рассмотрим случай 2. Положим p  ( Z , E1 , E2 ,, En ,m), q  (0 ,
1,2 ,,n , K * ). Тогда функционал V0 можно записать как V0  ( p, q),
где (,) – скалярное произведение.
Функционал V0 будем рассматривать в пространстве Q координат вектора q. Заметим [2], что гиперплоскость ( p, q)    0, (  – постоянное произвольное, но фиксированное число), разбивает пространство Q на два полупространства, в одном из которых ( p, q )    0 (положительное полупространство), в другом ( p, q )    0 (отрицательное полупространство).
Пусть точка q0  Q такова, что ( p, q0 )    0, q1  Q – произвольная
точка. Тогда ( p, q1 )    ( p, q0 )    ( p, q1  q0 ). Следовательно, если q1
принадлежит положительному полупространству, то ( p, q1  q0 )  0, если – отрицательному полупространству, то ( p, q1  q0 )  0.
Пусть q1  q0 такое, что ( p, q1 )    0. Тогда ( p, q1  q0 )  0, то есть
вектор p ортогонален вектору q1  q0 . В силу произвольности вектора q1 приходим к выводу о том, что гиперплоскость ( p, q )    0 состоит из таких точек
q1, для которых векторы p и q1  q0 ортогональны.
Можно убедиться, что каждое из полупространств, на которые гиперплоскость делит пространство Q, является выпуклым.
Множество W2 определим равенством
n
*
W2  {( , K ) : 0  i  E ,

i
 E, 0  K *  K0 },
i 1
число K0 определяется так же, как в случае 1. Многогранник W2 – выпуклый,
поскольку он является пересечением выпуклых полупространств.
q* – граничная точка множества W2 . Гиперплоскость
( p, q)    0, содержащая точку q* , является опорной гиперплоскостью многогранника W2 , если она делит пространство Q на два полупространства, в одном из которых целиком расположен многогранник W2 .
Вектор p определим равенством p  ( Z , E1 , E2 ,, En ,m ), величины
Пусть точка
Z , E1 , E 2 ,  , E n , m, m 
a
, a, b определяются в момент организации франb
чайзиноговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера
и франчайзи. Проведем опорную гиперплоскость ( p, q )    0 многогранника
W2 , параллельную гиперплоскости ( p, q)  0 и такую, чтобы для любой точки
q1  W2 ( p, q1  q*  0 или, что все равно, ( p, q1 )  ( p, q* ), где q* – граничная
*
точка многогранника W2 , удовлетворяющая равенству ( p, q )    0. Это значит, что max V0  max ( p, q )  ( p, q * ) .
W2
W2
Отметим, что если точка q* принадлежит грани (ребру) D  W2 , а множество D – опорной гиперплоскости ( p, q )    0 ( ( p, q1 )    0 ), то в лю*
бой точке q1  D ( p, q1 )  ( p, q ). поскольку точки q1 и q* принадлежат опорной гиперплоскости ( p, q)    0. Следовательно, в качестве точки q* может
*
быть взята любая точка q  D, при этом равенство ( p, q)  ( p, q ) остается
справедливым.
T

Рассмотрим функционал G1  [(1 
0
n
Z
E
) x 0 (t ,  * , u )   ( ri 
)
a
a
i 1
*
 x i (t ,  , u )]dt на множестве W3  {(q* , ri (i  1, n), u} : q*  D, 0  ri  1, | u |
  0 },
D – грань (ребро) многогранника W2 , принадлежащая (принадлежащее) опорной гиперплоскости ( p, q )    0,  – процент по долгу фран*
*
*
*
*
*
чайзера, не зависящий от него, q  ( 0 , 1 ,  2 ,  ,  n , K * ).
Поскольку функционал G1 непрерывен на замкнутом, ограниченном
множестве W3 , то, как и в случае 1 устанавливаем, что во множестве W3
существует точка ( q* , ri (i  1, n ), u ) , в которой Y1 достигает своего наиболь0
0
шего значения G1 , то есть maxG1  G1 . Таким образом, в случае 2 задача
W3
T
нахождения наибольшего значения функционала
 Y (t)dt
0
на множестве
M  U свелась к задаче нахождения наибольшего значения этого функциоT
нала на множестве W2 W3, то есть к нахождению числа max Y ( t )dt. УстаW2 W3
T
новлено, что max Y ( t ) dt  G10 
W2 W3

0

0
T
T
( p, q* ) – оценка снизу
( p, q * ), G1 
a
a
T
наибольшего значения функционала
 Y (t)dt на множестве W W .
2
3
0
Рассмотрим случай 3. Предположим, что величины a, Z , , ri , Ei (i  1, n)
E
Z
 0, ri  i  0 (i  1, n).
a
a
T
T
n
K*
Тогда функционал  Y (t )dt примет вид  Y (t )dt  T (0   rii  
), (выше
b
i 1
0
0
было отмечено, что a  1, b  1 ).
n
1
Пусть V1  0   rii  m1K * , m1  . Тогда возможны следующие подb
i 1
выбраны таким образом, что выполнены равенства 1 
случаи:
а) V1 – нелинейный функционал;
*
б) V1 – линейный функционал относительно переменных  i (i  1, n), K .
Рассмотрим подслучай а). Множество W4
определим равенством
n
W4  {( , ri (i  1, n) m1 , K * ) :   ( 0 , 1 , 2 ,, n ), 0   i  E, E   i , 0  ri 
i 0
 ri0 , 0  m10  m1  1, 0  K *  K 0 }, числа ri0 , m10 , K0 определяются в момент
организации франчайзинговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера и франчайзи. Очевидно, что W4 – многогранник.
Исследуя функционал V1 аналогично тому, как был исследован фунционал
V0 (случай 1), получим, что на множестве W4 существует точка, в которой
0
функционал V1 принимает наибольшее значение V1 , то есть справедливо равен0
ство maxV1  V1 .
W4
Таким образом, в подслучае а) задача нахождения наибольшего значения
T
функционала
 Y (t)dt
на множестве M  U свелась к задаче нахождения
0
наибольшего значения этого функционала на множестве W4 , к нахождению
T
T
числа max Y (t )dt. Установлено, что max Y (t )dt  TV10 .
W4

W4
0

0
Рассмотрим подслучай б). Пусть   (1, r1 , r2 ,, rw ,m1 ),   ( 0 , 1 ,
 2 ,,n , K * ). Тогда функционал V1 можно записать как V1  (  , ).
Полагая, что величины r1, r2 ,, rw , m1 вычислены в начальный момент
организации франчайзинговой системы в зависимости от ресурсных возможностей франчайзера и франчайзи и получены соответственно значения r1 , r2 ,, rw , m1 , исследуя функционал V1 аналогично тому, как был вычислен функционал V0 (случай 2), убеждаемся, что существует граничная
точка  * многогранника W5 , удовлетворяющая равенству maxV1  ( ,  * ),
W5
где   (1, r1 , r2 ,, rn ,m1 ).
Таким образом, в подслучае б) задача нахождения наибольшего значения
T
функционала
 Y (t)dt
на множестве M  U свелась к задаче нахождения
0
наибольшего значения этого функционала на множестве W5 , к нахождению чисT
T
ла max Y (t )dt. Установлено, что max Y (t )dt  T ( ,  * ).
W5

W5
0

0
Отметим, что для непосредственного нахождения численного значения
T

оценки снизу величины max Y (t )dt необходимо иметь в явном виде заданную
M U
0
на множестве [0, T ]  M U вектор-функцию x(t, , u) x(0, , u)  .
Предложенные в статье методы подбора значений коэффициентов,
n
начальных значений прибылей 0 ,1, ,n , (

i
 E, E – заранее заданное
i1
постоянное число) франчайзера и франчайзи, начального значения капитала
K * франчайзера и управления позволяют определить нижнюю границу
наибольшего значения капитала K (t ) франчайзера к моменту окончания
действия франшизы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления [Текст] :
моногр. – М. : Наука, 1969. – 408 с.
2. Рудашевский, В.Д. Оптимальная стратегия развития франчайзинговой системы
[Текст] / В.Д. Рудашевский, М.А. Фурщик // Экономика и математические методы. –
1998. – Т. 34.– Вып. 2.– С. 89–104.
M.T. Terekhin, E.S. Dyuba
MATHEMATICAL METHODS OF FRANCHISE SYSTEMS ANALYSIS
The article deals with one of the methods of building a franchise system. It suggests
methods of calculating possible monetary outcomes predetermined by the initial state of the
system and on the choice of management. The debt-to-liquid-asset ratio shows how much
a franchisor can spend on the development of a franchise system. The article presents a formula
for finding the lower level of the best monetary outcome a general company can get by the
time a franchise is completed.
investment, liquid assets, percent, management, franchise, franchising, functional.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа