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TP n◦ 1
Le raisonnement par réurrene
1 Un nouveau type de raisonnement
Pour tout entier non-nul n, on herhe à démontrer la propriété suivante :
1 3 + 2 3 + · · · + n3 =
n2 (n + 1)2
4
On note Pn ette propriété.
n2 (n + 1)2
. Que peut-on remarquer ?
4
2. Montrer que P1 , P2 et P3 sont vraies.
1. Développer
3.
4.
5.
6.
Peut-on en onlure que Pn est vraie pour tout entier non-nul n ?
Exprimer la propriété Pn+1 .
On suppose que la propriété Pn est vraie pour un entier non-nul n. Montrer alors que la propriété Pn+1 est vraie.
Conlure.
2 Prinipe du raisonnement par réurrene
Soit Pn une proposition qui dépend d'un entier naturel n et n0 est un entier naturel. Pour montrer que pour tout entier
naturel n > n0 , Pn est vraie, on proède en trois étapes :
On vérie que Pn0 est vraie, 'est à dire que la proposition est vraie pour le premier indie n0 .
Étape 2, l'hérédité : On suppose que pour un entier naturel quelonque n > n0 , Pn est vraie ('est l'hypothèse dite de
réurrene) et on démontre qu'alors Pn+1 est vraie.
Étape 3, la onlusion : On peut alors onlure que la proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n (n > n0 ).
Étape 1, l'initialisation :
3 Un peu d'entrainement
1. Démontrer que pour tout entier n, n ≥ 1,
2. On onsidère la suite (un ) dénie par u0 =
1 × 2 + 2 × 3 + · · · + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
1
et pour tout entier naturel n,
2
un+1 = u2n − un + 1
1
Démontrer que un ∈ ; 1 pour tout entier naturel n.
2
3. Soit la suite (un ) dénie par u0 = 3 et un+1 = −un + 4. Conjeturer l'expression de un en fontion de n et montrer le par
réurrene.
4. La suite (un ) est dénie par u0 ∈]0; 1[ et pour tout entier naturel n : un+1 = un (2 − un ).Démontrer par réurrene que
pour tout entier naturel n :
0 < un < 1
5. On onsidère la suite (un ) dénie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 =
que pour tout entier naturel n :
0 < un < 2
puis en déduire que la suite est roissante.
6. Pour b 6= 1, démontrer l'égalité i dessous par réurrene :
1 + b + b2 + · · · + bn =
7. Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 3,
3n ≥ 2n + 5n
1 − bn+1
1−b
√
un + 2. Démontrer par réurrene
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