close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

;doc

код для вставкиСкачать
§8. Задача о делении отрезка в данном отношении
Пусть на некоторой прямой l заданы две различные точки A, B и некоторое
положительное число λ. Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему
координат Oxyz. В предположении, что известны
координаты x A , y A , z A и xB , yB , z B точек A и B, требуется
B
найти координаты точки C из отрезка [AB] такой, что
| AC |
M
выполняется равенство:
  (рис. 8.1).
L
| CB |
A
C
K
Рис. 8.3. К примеру 8.1
l
A
C
B
Рис. 8.1. Задача о делении отрезка
в данном отношении. Случай   0
(  2)
l
A
B
C
Рис. 8.2. Задача о делении отрезка
в данном отношении. Случай   0
(   2 )
Для векторов АС и СВ справедливо соотношение:
АС = λ СВ .
Число  называется отношением, в котором точка C делит отрезок [AB].
(8.1)
Так как АС  ( xC  x A , yC  y A , zC  z A ) , СВ  ( xB  xC , y B  yC , z B  zC ) , то,
переходя в (8.1) к координатам, имеем
xC  xA  (xB  xC ), yC  yA  ( yB  yC ), zC  zA  (zB  zC ) .
Определяя из этих соотношений xC , yC , zC , приходим к равенствам
x A   xB
y A   yB
z A  zB
xC 
, yC 
, zC 
.
(8.2)
1 
1 
1 
Замечание 8.1. В случае, если точка С делит отрезок [AB] пополам, то λ=1 и
формулы (8.2) принимают вид
x  xB
y  yB
z  zB
xC  A
, yC  A
, zC  A
.
(8.3)
2
2
2
Замечание 8.2. Формулы (8.2) остаются справедливыми и тогда, когда точка С не
| AC |
принадлежит отрезку [AB]. Число  определяется из равенства:   
(векторы
| CB |
АС и СВ противонаправлены, рис. 8.2), таким образом, при данной постановке
задачи  отрицательно. И в этом случае  называется отношением, в котором точка C
делит отрезок [AB], хотя здесь она не принадлежит этому отрезку. Заметим, что в
принятой постановке задачи   0 ,   1 .
Пример 8.1. Даны вершины треугольника: A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) .
Найти координаты точки пересечения его медиан.
►Пусть точки K и M – середины сторон AC и BC данного треугольника, тогда BK
и AM – его медианы, а L – точка их пересечения (рис.8.3). Из планиметрии известно,
что KL  1 . Координаты точки K найдѐм по формулам (8.2):
LB 2
x x
y y
z z
xK  1 3 , yK  1 3 , zK  1 3 ,
2
2
2
а координаты точки L – по формулам (8.1), приняв   1 / 2 . Для x L , например,
имеем:
x1  x3 x2
xk  1 x2

2  2
2  x1  x2  x3 .
xL 
1  1/ 2
3/ 2
3
Проведя аналогичные вычисления для yL и zL , получим равенства:
y  y 2  y3
z  z 2  z3
.◄
yL  1
, zL  1
3
3
Пример 8.2. Даны две смежные вершины параллелограмма АВСD:
А(1, 3, –3), В(2, –5, 5) и точка М(1, 1, 1) пересечения его диагоналей. Найти
координаты остальных вершин.
В
С
М
►Пусть М ( xМ , y М , z М ) , D ( x D , y D , z D ) . Точка
– середина отрезков АС и BD (рис. 8.4). Запишем
M
формулы (8.2) для координат точки С:
x   xМ
y   yМ
z  zМ
xС  А
, yС  А
, zС  А
,
1 
1 
1 
А
D
Рис. 8.4. К примеру 8.2
| AС |
где  
 2 , и подставим в эти формулы
| СМ |
координаты точек А, М и число λ:
xС  1  2  1  1, yС  3  2  1  1, zС   3  2  1  5.
1 2
1 2
1 2
Координаты точки D можно найти аналогичным образом. Имеем:
С(1, –1, 5), D(0, 7, –3).◄
2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа