close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Министерство образования и науки российской федерации;doc

код для вставкиСкачать
Семинар №2. Теорема Гельфанда – Наймарка.
Положительные элементы, положительные функционалы,
состояния
Определение 1. Элемент a C*-алгебры A называется положительным,
если он самосопряжен (a = a∗ ) и его спектр неотрицателен (sp(a) ∈
[0, ∞)).
Упражнение 1. Показать, что a ∈ A положительный тогда и только
тогда, когда a = b∗ b для некоторого b ∈ A.√(Подсказка: показать, что
положительный элемент a обладает корнем a.)
На самосопряженных элементах C*-алгебры можно ввести отношение
частичного порядка:
Определение 2. Пусть a, b — самосопряженные элементы C*-алгебры.
Будем говорить, что a 6 b, если элемент b − a положителен.
Чтобы убедиться в том, что введенное отношение действительно является отношением частичного порядка (то есть из a 6 b и b 6 c следует
a 6 c), достаточно показать, что сумма положительных элементов будет
положительным элементом. (Доказательство этого факта можно, например, получить из теоремы Гельфанда – Наймарка (см. ниже) и аналогичного факта для линейных ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве.)
Упражнение 2. Показать, что если алгебра A содержит единицу 1, то
любой самосопряженный элемент a удовлетворяет неравенству
−kak · 1 6 a 6 kak · 1.
Упражнение 3. Пусть алгебра A содержит единицу 1. Показать, что
для произвольных a, b ∈ A верно
b∗ a∗ ab 6 ka∗ akb∗ b.
(Это утверждение верно для произвольных С*-алгебр, не обязательно
унитальных.)
1
Упражнение 4. Показать, что если для положительны элементов a, b
алгебры A выполненно неравенство 0 6 a 6 b, то kak 6 kbk. Подсказка:
используйте упражнение 2 этого семинара и упражнение 10 из семинара 1.
Упражнение 5. Показать, что из неравенства 0 6 a 6 1 следует неравенство 0 6 a2 6 a.
Определение 3. Линейный функционал ϕ : A → C называется положительным, если ϕ(a) > 0 для любого положительного a ∈ A.
Упражнение 6. Предположим, что алгебра A содержит единицу 1. Показать, что любой положительный линейный функционал ϕ на A является ограниченным, причем kϕk = ϕ(1). Подсказка: воспользоваться тем,
что для скалярного произведения на A, задаваемого ϕ, выполнено неравенство Коши – Буняковского (см. ниже).
Упражнение 7 (*). Верно и обратное. Предположим, что алгебра A содержит единицу 1. Показать, что любой линейный ограниченный функционал ϕ на A со свойством ϕ(1) = kϕk является положительным.
Если алгебра не содержит единицы, то любой положительный функционал также будет ограниченным (для интересующегося читателя: в
этом случае единица заменяется на аппроксимативную единицу).
Определение 4. Положительный линейный функционал ϕ : A → C с
нормой kϕk = 1 называется состоянием.
Понятно, что множество состояний является выпуклым множеством,
то есть, если ϕ, ψ — состояния, то и tϕ + (1 − t)ψ, где t ∈ [0, 1], также
будет состоянием.
Определение 5. Состояние ϕ называется чистым, если оно не представляется в виде суммы tψ1 + (1 − t)ψ2 , где ψ1 , ψ2 — состояния и t ∈ (0, 1).
ГНС-конструкция и теорема Гельфанда – Наймарка
Универсальное описание всех C*-алгебр дает теорема Гельфанда –
Наймарка.
2
Теорема 1 (Гельфанд – Наймарк). Любая C*-алгебра изоморфна некоторой подалгебре в алгебре L(H) ограниченных линейных операторов в
некотором гильбертовом пространстве H.
В основе доказательства теоремы Гельфанда – Наймарка лежит так
называемая ГНС-конструкция (Гельфанд – Наймарк – Сигал). ГНСконструкция — это способ по любому состоянию ϕ на C*-алгебре A построить *-представление πϕ алгебры A в некотором гильбертовом пространстве Hϕ . Причем это представление будет гомоморфизмом A в алгебру L(Hϕ ) — ограниченных линейных операторов на Hϕ .
Перейдем к поэтапному описанию ГНС-конструкции. Пусть ϕ —
состояние на C*-алгебре A. Тогда
1. Определим (возможно, вырожденное) скалярное произведение на
A формулой
(a, b)ϕ = ϕ(a∗ b).
Оно будет линейно по второму аргументу и антилинейно по первому.
Упражнение 8. Показать, что введенная полуторалинейная форма действительно будет скалярным произведением на A (возможно, вырожденным, то есть из (a, a)ϕ = 0 в общем случае не следует a = 0).
2. Сделаем скалярное произведение (a, b)ϕ невырожденным, перейдя к факторпространству. (Это общая конструкция для линейных пространств, не использующая то, что A — алгебра.)
Пусть
Nϕ := {a ∈ A : (a, a)ϕ = 0}.
Рассмотрим факторпространство A/Nϕ , его элементы будем обозначать
[a]ϕ := a + Nϕ . Введем на нем скалярное произведение
([a]ϕ , [b]ϕ )ϕ := (a, b)ϕ .
Покажем, что введенное скалярное произведение определено корректно,
то есть не зависит от выбора элемента из класса сопряженности. Заметим, что так как (a, b)ϕ является скалярным произведением (пусть даже
и вырожденным), то для него верно неравенство Коши – Буняковского:
|(a, b)ϕ |2 6 (a, a)ϕ (b, b)ϕ .
3
Поэтому
Nϕ = {a ∈ A : (b, a)ϕ = 0 ∀b ∈ A} = {a ∈ A : (a, b)ϕ = 0 ∀b ∈ A},
(1)
откуда следует корректность введенного скалярного произведения ([a]ϕ , [b]ϕ )ϕ .
Итак, скалярное произведение ([a]ϕ , [b]ϕ )ϕ невырождено на A/Nϕ . В
качестве гильбертова пространства Hϕ возьмем пополнение пространства A/Nϕ по норме, порожденной скалярным произведением ([a]ϕ , [b]ϕ )ϕ .
3. Определим представление πϕ алгебры A в Hϕ следующим образом:
πϕ (a) : [b]ϕ 7→ [ab]ϕ
для любого a ∈ A и [b]ϕ ∈ Hϕ . Чтобы убедиться в том, что определение
корректно, покажем, что Nϕ — левый идеал в A (но (в общем случае) не
правый!). Для этого воспользуемся описанием Nϕ в (1) и формулой для
скалярного произведения (a, b)ϕ = ϕ(a∗ b). Получим
Nϕ = {a ∈ A : ϕ(b∗ a) = 0 ∀b ∈ A}.
Поэтому Nϕ — левый идеал в A.
Упражнение 9. Показать, что построенный оператор πϕ (a) ограничен
на A/Nϕ и, более того, kπϕ (a)k 6 kak. Под kπϕ (a)k понимается операторная норма на операторах в пространстве Hϕ , а под kak — норма в алгебре
A (не в пространстве Hϕ ). Подсказка: воспользоваться упражнением 3.
Упражнение 10. Показать, что построенное представление является
*-представлением, то есть πϕ (a∗ ) = (πϕ (a))∗ , где (πϕ (a))∗ — оператор,
сопряженный к оператору πϕ (a).
Так как любой ограниченный линейный оператор, заданный на плотном подпространстве гильбертова пространства, продолжается по непрерывности до ограниченного оператора на всем пространстве с сохранением нормы, то получаем, что πϕ — требуемое представление.
Заметим, что если алгебра A содержит единицу 1, то вектор [1]ϕ является циклическим для представления πϕ (то есть множество {πϕ (a)[1]ϕ , a ∈
A} плотно в Hϕ ). Поэтому, в частности, единица 1 алгебры переходит в
единичный оператор I на Hϕ (а не в какой-то произвольный проектор).
Упражнение 11 (*). Представление πϕ будет неприводимым тогда и
только тогда, когда состояние ϕ — чистое.
4
Итак, требуемое представление πϕ построено. Теперь перейдем к теореме Гельфанда – Наймарка
Идея доказательства теоремы Гельфанда – Наймарка.
Упражнение 12. Для любого ненулевого элемента a C*-алгебры A существует состояние ϕa такое, что ϕa (a∗ a) = kak2 . Подсказка: воспользоваться теоремой Хана – Банаха и упражнением 7.
Теперь рассмотрим прямую сумму ГНС-представлений, отвечающих
всевозможным ϕa :
M
π :=
πϕ a ,
ϕa :a∈A\{0}
L
действующую в пространстве H :=
Hϕa .
ϕa :a∈A\{0}
Покажем, что представление π искомое. Точнее, нам нужно показать,
что kπ(a)k = kak для любого a ∈ A. Заметим, что для произвольного
линейного
L оператора L, являющегося прямой суммой других операторов
L :=
Lµ , где M некоторое (не обязательно счетное) множество, его
µ∈M
норма вычисляется как
kLk = sup kLµ k.
µ∈M
Поэтому, используя упражнение 9, получаем, что kπ(a)k 6 kak.
В силу вышесказанного для доказательства того, что kπ(a)k = kak,
достаточно показать, что kπϕa (a)k = kak. Для этого мы покажем, что на
векторе [1]ϕa эта норма достигается:
kπϕa (a)[1]ϕa kϕa = kak2 k[1]ϕa kϕa .
(2)
Чтобы это увидеть, заметим, что так как ϕa — состояние, то ϕa (1) = 1
(см. упражнение 6), следовательно,
([1]ϕa , [1]ϕa )ϕa = ϕa (1) = 1.
В то же время
(πϕa (a)[1]ϕa , πϕa (a)[1]ϕa )ϕa = ϕa (a∗ a) = kak2 .
Два последних тождества доказывают формулу (2). Тем самым теорема
Гельфанда – Наймарка доказана.
5
Заметим, что в общем случае не только пространство H, но и пространства Hϕ не сепарабельны. Однако, если исходная C*-алгебра A
была сепарабельна, то, очевидно, построенные пространства Hϕ будут
сепарабельными.
Упражнение 13. Показать, что если C*-алгебра A сепарабельна, то она
изоморфна некоторой подалгебре в алгебре L(H) ограниченных линейных операторов в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве
H.
6
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа