close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Многогранники
Вони є в нашому світі…
Драченко Олександр
Григорович
учитель математики
Буцької
загальноосвітньої школи
І-ІІІ ступенів
1
Поняття
многогранника. Призма
2
Поняття
многогранника

ПАРАЛЕЛЕПІПЕД



ТЕТРАЕДР
Поверхню, складену з многогранників і
обмежену деяким геометричним тілом,
будемо називати многогранною
поверхнею.
Грані – многокутники, із яких складено
многогранник.
Ребра – сторони граней, а кінці ребер вершини многогранника.
Діагональ – відрізок, з’ єднуючий дві
вершини, не належущі одній грані.
ОКТАЕДР
3
Опуклий чи ні


Многогранник називається
опуклим, якщо він розміщений по
одну сторону від площини кожної
його грані. Тетраедр,
паралелепіпед і октаедр - опуклі
многогранники.
У опуклому многограннику сума
всіх плоских кутів при кожній
його вершині менше 360.
НЕОПУКЛИЙ
МНОГОГРАННИК
4
Геометричне тіло

Геометри́ чне ті́ло — зв'язна частина
простору, обмежена замкнутою
поверхнею своєї зовнішньої границі.
Геометричним тілом називають так
само компактну множину точок і дві
точки з цієї множини можна з'єднати
відрізком, який цілком буде проходити в
межах тіла, що вказує на склад
геометричного тіла з множини
внутрішніх точок.
5
ПРИЗМА
Многогранник, складений із двох рівних
многокутників А1 А2 … А n и В1 В2… Вn,
розташованих в паралельних площинах, и n
паралелограмів, називаеться призмою.
 Основи – многокутники А1А2 … Аn и В1В2 …Вn
, а паралелограми А1А2В1В2 та інші – бокові
грані призми.
 Бокові ребра – відрізки А1В1, А2В2, …, АnВn.

6

А

В

Висота призми – перпендикуляр,
проведений із будь-якої точки однієї
основи до площини другої.
Якщо бічні ребра призми
перпендикулярні до основ, то призма
називається прямою, в іншому
випадку– похилою. Висота прямої
призми рівна її бічному ребру.
Пряма призма називається
правильною, якщо її основи – правильні
многокутники. У такої призми всі бічні
грані – рівні прямокутники.
7
Площа повної
поверхні призми
… називається сума площ всіх її
граней.
 Площа бічної поверхні призми –
сума площ її бічних граней.

Sповн. =Sбіч. + 2Sосн.
 ТЕОРЕМА :
Площа бічної поверхні прямої
призми дорівнює добутку
периметра основи на висоту
призми.

8
Многогранники бувають опуклі і неопуклі. Многогранник
називається опуклим, якщо він розміщений по одну сторону
площини кожної його грані. На рисунку 3 зображено
неопуклий многогранник, а на рисунку 5- опуклый
многогрaнник. Всі грані опуклого многогранника є опуклыми
многокутниками. В опуклому многограннику сума всїх
плоских кутів при кожній його вершині менше 360°.
Рисунок 4 пояснює це твердження: многогранник
«розрізаний" вздовж ребер і всі його грані з спільною
вершиною А розвернуті так, що виявились розміщеними в
одній площині α. Видно, що сума всіх плоских кутів при
вершині А, тобто сума кутів 1, 2 и 3 менше 360°.
9

Правильний тетраедр (рис.11) складається із
чотирьох рівносторонніх трикутників.
Кожна його вершина є вершиною трьох
трикутників. Як наслідок, сума плоских кутів
при кожній вершині рівна 180°.
10

Правильний октаедр (рис.12) складається із
восьми рівносторонніх трикутників. Кожна
вершина октаедра є вершиною чотирьох
трикутників. Як наслідок, , сума плоских
кутів при кожній вершині рівна 240°.
11

Многогранник називається метрино
правильним, якщо всі його грані є правильними
многокутниками. До них відносяться куб,
тетраедр, октаедр, ікосаедр, додекаедр.

12
Характеристики платонових тіл
Многогранник
Число
сторін
грані
Число
граней, які
сходяться в
кожній
вершині
Число
граней
Число
ребер
Число
вершин
Тетраедр
3
3
4
6
4
Куб
4
3
6
13
8
Октаедр
3
4
8
12
6
Ікосаедр
3
5
20
30
12
Додекаедр
5
3
12
30
20
13
Платон
Платоновим тілами називаються
правильні однорідні опуклі
багатогранники, тобто опуклі
багатогранники, всі грані і кути яких
рівні, причому грані - правильні
багатокутники.
Платонова тіла - тривимірний аналог
плоских правильних багатокутників.
Однак між двовимірним і тривимірним
випадками є важлива відмінність: існує
нескінченно багато різних правильних
багатокутників, але лише п'ять різних
правильних багатогранників.
біля 429 – 347 рр до н.е.
Доказ цього факту відомо вже більше
двох тисяч років; цим доказом і вивченням
п'яти правильних тіл завершуються
"Початки" Евкліда.
14
Платонові тіла
Тетраедр
Ікосаедр
Октаедр
Гексаедр
Додекаедр
15
«Початки Евкліда.
«…в науці немає царського шляху»
Головна праця Евкліда - «Початки» (в
оригіналі «Стохейа». «Початки»
складаються з 13 книг, пізніше до них були
додані ще дві.
Перші шість книг присвячені планіметрії.
Книги VII - X містять теорію чисел, XI, XII і
XIII книги «Початок» присвячені
стереометрії.
З постулатів Евкліда видно, що він
представляв простір як пусте, безмежне,
ізотропное і тривимірне.
біля 365 – 300 рр. до н.е.
Цікаво, що «Початки» Евкліда відкриваються
описом побудови правильного трикутника і
закінчуються вивченням п'яти правильних
багатогранних тіл! У наш час вони відомі як
Платонова тіла.
16
Архімед Сіракузський
Математик, фізик та інженер Архімед
Сіракузького залишив після себе чимало
винаходів, тринадцять творів (таких як
«Про сфери і циліндри», «Вимірювання
круга», «Рівновага площин», «Стомахіон»,
«Правильний семикутник та інші).
Архімед, як геометр визначив поверхню
кулі і його обсяг, досліджував Параболоїд і
гіперболоіди, вивчав «архімедову спіраль»,
визначив число «пі», як що знаходиться між
3,141 і 3,142.
біля 287 – 212 рр. до н.е.
Внесок Архімеда в теорію багатогранників
- опис 13 напівправильних опуклих
однорідних багатогранників (архімедівських
тіл).
17
Архімедові тіла
Безліч архімедових тіл можна розбити на кілька груп.
Першу з них становитимуть п'ять багатогранників, які виходять з
Платонових тіл в результаті їх зрізання. Так можуть бути отримані п'ять
архімедових тіл: зрізаний тетраедр, зрізаний гексаедр (куб), зрізаний октаедр,
зрізаний додекаедр і зрізаний ікосаедр.
Іншу групу складають всього два тіла, іменованих також квазіправильними
многогранниками. Ці два тіла носять назви: кубооктаедр і Ікосододекаедр
Два наступних многогранника називаються ромбокубооктаедр і
ромбоікосододекаедром. Іноді їх називають також «малим
ромбокубооктаедром» і «малим ромбоікосододекаедром» на відміну від
великого ромбокубооктаедр і великого ромбоікосододекаедра.
Нарешті існують дві так звані «кирпаті» модифікації - одна для куба,
інша - для додекаедра. Для кожної з них характерно кілька повернене
положення граней, що дає можливість побудувати два різних варіанти
одного і того ж «кирпатого» багатогранника (кожен з них являє собою як
би дзеркальне відображення іншого).
18
Іоганн КеплерНімецький астроном і математик. Один з
творців сучасної астрономії.
Внесок Кеплера в теорію многогранника це, по-перше, відновлення математичного
змісту загубленого трактату Архімеда про
напівправильних опуклих однорідних
многогранниках.
1571 – 1630 рр.
Ще більш істотним була пропозиція
Кеплера розглядати неопуклі многогранники
із зірчастими гранями, подібними
пентаграмме і подальше за цим відкриття
двох правильних неопуклих однорідних
багатогранників - малого зірчастого
додекаедра і великого зірчастого
додекаедра.
19
Космологічна гіпотеза
Кеплера
Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував
зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних
багатогранників.
Кеплер припустив, що відстані між шістьма
відомими тоді планетами виражаються
через розміри п'яти правильних опуклих
багатогранників (Платонових тіл). Між
кожною парою "небесних сфер", за яким,
згідно з цією гіпотезою, обертаються
планети, Кеплер вписав одне з Платонових
тіл.
20
Висновки:
Многранники існували на Землі задовго до появи на ній
людини – куби кам'яної солі, тетраедри сурянистого
сірчанокислого натрію, октаедри хромових квасців,
ікосаедри бору і додекаедри радіолярію та
макроскопічних морських організмів. Геометрія з її
логікою і чіткістю побудов відкрила зовсім нове бачення
многогранників та їх застосування. Світ многогранників
різноманітний і цікавий, пізнайте його!
21
Список використаної
літератури:




1. Апостолова Г.В. Геометрія: 9: дворівн. підруч. для
загальноосвіт.навч.закл. – К.: Генеза, 2009.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г. Геометрія 11.
Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.:
Генеза, 2011.
3. О.В. Погорєлов . Геометрія. Підручник для 10-11кл. – К.:
Освіта, 2001.
4. Роганін О.М. Геометрія. 11 клас: Плани-конспекти уроків. –
Харків: Веста: Видавництво “Ранок”, 2003.
22
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа