close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Определенный
интеграл
продолжение
План лекции:
Замена переменной в
определенном интеграле.
II. Приложения определенного
интеграла.
III. Функции нескольких переменных
I.
(частные производные,
дифференцирование сложных функций,
экстремумы функций нескольких
переменных)
I. Замена переменной в
определенном интеграле
 При вычислении
определенного
b
интеграла 
f ( x ) dx
методом замены
a
переменной данный интеграл с
помощью замены ψ(х) = t
преобразуется в другой определенный
интеграл с новой переменной
интегрирования t, причем старые
пределы интегрирования х1 = a и х2 = b
заменяются новыми пределами
t1 = ψ(a) и t2 = ψ(b) согласно уравнению
 (b )
замены: b

 g ( t ) dt
f ( x ) dx 
 (a)
a
5
Пример. Вычислить  3
5 x  2 dx
2
Сделаем замену:
3
5 x  2  t  5 x  2  t  d (5 x  2 )  d (t ) 
3
3
( 5 x  2 )  dx  ( t )  dt  5 dx  3 t dt  dx 
3
2
3
5
2
t dt
 Вычислим новые пределы
интегрирования:
при x1   2 t1  3 5  (  2 )  2   2 ,
при x 2  5
t2 
3
5  5  2  3.
5
Теперь

3
3
5 x  2 dx 
2
4
3 t
 
5 4
t
2
3
5
t dt 
2
3
5
3
 t dt 
3
2
3
2
3  4

t
20 
  3 ( 3 4  (  2 ) 4 )  39 .
2 
20
4
3
II. Приложения
определенного интеграла.
1. Площадь плоской фигуры:
а) площадь фигуры,
ограниченной прямыми х = а,
х = b и двумя непрерывными
кривыми y = f1(x) и y = f2(x), где
разность функций имеет
постоянный знак, находится по
b
формуле S 
(f
a
2
( x )  f 1 ( x )) dx .
Если знаки разности функций известны, то знаки
модуля можно опустить согласно определению модуля
б) В случае, если фигура ограничена по бокам
точками пересечения кривых f1(x) и f2(x), то
площадь вычисляется по такой же формуле,
но пределы интегрирования находятся как
абсциссы этих точек пересечения.
 Пример. Вычислить
площадь фигуры,
ограниченной
параболой
y = x2 + 4x и прямой
y = x + 4.
Сделаем чертеж:
 Предел a = -4 находится по
построению.
 Найдем оба предела интегрирования
как абсциссы точек пересечения
линий. Так как в точках пересечения
значения обеих функций y1 и y2 равны,
то
 x  4  a
x  4x  x  4  x  3x  4  0  
x  1  b
2
2
 Тогда
S 
b
1
y 2  y 1 ) dx 
 (


 ( x  4  x  4 x ) dx 
a
0
2
4
3
2


x
3x
3
  (  x  3 x  4 ) dx   

 4 x 
3
2


4
1
 64
 125
   4
 24  16  
3 3
6
 3

1
2
кв. ед.
1
4

2. Решение физических
задач
a) Если точка движется по некоторой
кривой со скоростью v(t) ≥ 0, то путь,
пройденный точкой за время [t1; t2],
t2
равен S 
 v ( t ) dt
t1
Пример. Скорость точки равна
v = 3t2 + 2t (м/с). Найти путь S, который
точка преодолела за время t = 4 c,
прошедшее с начала движения.
 В нашем случае t1 = 0, t2 = 4. Тогда
4
S 
 ( 3t  2 t ) dt  ( t  t ) 0  64  16  ( 0  0 )  80 м
2
0
3
2
4
б) Работа силы.
Если переменная сила F(x) действует
по оси Ох, то работа силы на отрезке
x2
[x1; x2] равна
A   F ( x ) dx
x1
Пример. Какую работу нужно
затратить, чтобы растянуть пружину на
6 см, если сила в 1 кг растягивает ее
на 1 см?
 Из закона Гука следует, что F = kx, где
k – коэффициент пропорциональности.
 В нашем случае при x = 0,01 м сила
F = 1 кг.
1
Отсюда k 
 100 , т.е. F = 100 x.
0 , 01
 Кроме того, x1 = 0, x2 = 0,06. Тогда
искомая работа есть
0 , 06
A
 100 xdx
0
 50 x
2 0 , 06
0
 50 (( 0 , 06 )  0 )  0 ,18 кГм
2
2
III. Функции нескольких
переменных.
 Определение. Если каждой паре
действительных чисел (x; y) из области
D по определенному правилу ставится
в соответствие только одно число z из
области Е, то говорит, что на
множестве D задана функция двух
переменных z = z(x, y).
 Значение z(a; b) функции z = z (x, y)
есть значение этой функции,
вычисленное при x = a, y = b.
 Пример 1.
2
x  y
z ( x, y )  3
2 . Найти значение z в
x  5y
т. М(1; -1).
2
1  (  1)
2
1
z (1;  1)  3


2
1  5 (  1)
6
3
 Пример 2. Найти область
определения
2
2
z  1  x . y
функции
Такая функция
вычисляется, если
подкоренное выражение
неотрицательно, т.е.
1 – x2 – y2 ≥ 0  x2 + y 2 ≤ 1
Область есть указанный на рисунке круг.
Частные производные.
Определение. Частной производной
функции z = z(x, y) по аргументу x
называется производная этой функции
по x, при постоянном y.
Обозначения:
z y ,
z
y
.
 Аналогично, частной производной
функции z = z(x, y) по аргументу y
называется производная этой функции
по y при постоянном x.
 Обозначения:
z y ,
z
y
.
 Из определения следует, что на
момент дифференцирования функция
z является функцией одной
переменной и, следовательно, при
нахождении частных производных
справедливы обычные правила и
формулы дифференцирования
функций одной переменной.
При дифференцировании полезна
следующая таблица:
xx' = 1, xy' = 0
yy' = 1,
yx' = 0
cx' = 0,
cy' = 0,
c – const
 Примеры.
1. z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1,
zx', zy' - ?
zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' =

(y – const)
= (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' =
= 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy
zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' =
(x – const)
= (x3)y' – (3x2y)y‘ + (2y3)y' + 1y' =
= 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 + 6y2
2.
z = xy,
zx', zy' - ?
zx' = (xy)x' = yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx
(y – const)
(x – const)
Полный дифференциал
 Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v),
u и v – независимые переменные.
Тогда частные производные сложной
функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v)
находятся по формулам:
z
z x
z y
(1)




u
x u
y u
z
v

z
x

x
v

z
y

y
v
(2)
 Пример.
z  x , где x  ln(u - v), y  e
y
Дана функция
Найти
z
u
и
u
v
.
z
v
Найдем 6 частных производных, входящих в
правые части равенств (1) и (2):
z
x
x
u
y
u
y
 ( x )' x  y  x
 (ln( u  v ))' u

u
u
(e v
)' u  e v
x 1

1
z
,
y
1
u v
 ,
v
y
x
,
y
v
v

y
 ( x )' y  x ln x
 (ln( u  v ))' v
u
u
(e v
)' v  e v
 (

u
v
2
1

u v
) 

u
v
2
1
v u
u
ev
Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):
z
u
z
 yx
 yx
x 1
x 1
1

u v
1

u v

u
1
y
 x  ln x  e v
(3)
v

u
u
y
 x  ln x  e v
(4)
v
v
В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и
упрощать их необязательно. В каждом конкретном
случае, когда необходимо вычислить z’u и z’v в
т. М(х0; у0), рациональнее предварительно вычислять х
и у в этой точке и полученные значения подставлять
в (3) и (4).
2
Частные производные
высших порядков
 Частными производными второго
порядка функции z=z(x, y) называются
частные производные от частных
производных первого порядка.
2
z ' ' xx 
 z
x
2


x x
2
z ' ' xy 
 z
xy
(
z


(
2
),
z
y x
),
z ' ' yy 
 z
y
z ' ' xy 


(
z
2
y y
2

 z
yx

(
)
z
x y
)
 Порядок дифференцирования указан в
индексе пи прочтении слева направо.
 Последние две производные отличаются
только порядком, называются смешанными
и в случае их непрерывности равны.
Пример.
z = x2-2xy2 Найти все частные производные
2-ого порядка и проверить равенство
z’’xy = z’’yx
 Вначале найдем частные производные
первого порядка:
z’x = (x2-2xy2)’x = 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xy
Теперь
z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y = -4x
z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx = (-4xy)’x = -4y
Нетрудно видеть, что z’’xy = z’’yx
Выполнение этого условия может служить критерием
правильности нахождения частных производных 1-ого
порядка и смешанных – 2-ого порядка.
Экстремум функции
нескольких переменных
 Точка M(a; b) называется точкой максимума
(минимума) функции Z(x , y), если существует
такая окрестность точки M, что для всех
других точек из этой окрестности
Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x, y)>Z(a, b))
 Точки максимума и минимума функции
называются точками ее экстремума.
Соответствующее значение функции есть
экстремум.
Находить экстремум согласно определению в общем
случае бессмысленно. Выделить из области
определения функции конечное число точек,
претендующих на точки экстремума, помогает
необходимое условие экстремума.
 «Точками экстремума могут служить
только критические точки, т.е. точки из
области определения функции, в
которых все ее частные производные
1-ого порядка обращаются в нуль, или
не существует хотя бы одна из них».
 Выделить из множества критических точек
точки экстремума позволяют достаточные
условия экстремума. Укажем на 2 из них.
I.
 Точками экстремума являются лишь те
из критических точек, в окрестности
которых приращение функции
∆Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака.
При этом, если ∆Z>0 (∆Z<0), то
критическая точка есть точка
минимума (максимума).
II.
 Рассмотрим в критической точке М(a; b)
дискриминант ∆=АС-В2, где А=z’’xx(a; b),
C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b), или B=z’’yx(a; b).
Тогда:
1) если ∆>0, то М(a; b) - точка экстремума, а
именно точка максимума при А<0 (или C<0) и
точка минимума при A>0 (или C>0);
2) если ∆<0, то в точке М экстремума нет;
3) если ∆=0, то требуется дополнительное
исследование.
 Пример.
Найти экстремум функции z=y2-4y+x2
Найдем критические точки. Выпишем
частные производные 1-ого порядка:
z’x=(y2-4y+x2)’x=2x
z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4
Приравниваем их к нулю:

2 x  0  x  0

  M(0; 2) - критическая
точка
 2y - 4  0  y  2 
Производные существуют во всей
области определения.
Найдем дискриминант ∆=АС-В2. Для этого
вначале вычислим частные производные
2-ого порядка:
z’xx=(2x)’x=2
z’yy=(2y-4)’y=2
Из равных смешанных производных находят
ту, которая получается проще, например, z’’xy:
z’’xy=(2x)’y=0
Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2,
B=z’’xy(0; 2)=0.
Дискриминант ∆=2·2-02=4>0 => М(0; 2)
точка экстремума.
A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума.
Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2 + 0 = -4
Ответ: zmin=-4
Расслабляйся!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа