close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
№18. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Рассмотрим произвольный многочлен степени n : Pn  x   a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n .
Где a 0 , a1 ..., a n - постоянные числа, коэффициенты многочлена.
Найдем последовательные производные и вычислим Pn    0  :
k
Pn   x   a1  2 a 2 x  3 a 3 x ...  na n x
2
n 1
, Pn   0   a1
Pn   x   2 a 2  2  3 a 3 x ...  n  ( n  1) a n x
Pn
n
n2
, Pn   0   2 a 2
 x   1  2 ...n  a n
Pn
Т.е. a k 
k 
0
k!
0
, ( k  0,1..., n ), где мы считаем, что 0 !  1 , Pn    0   Pn  0  .
Тогда получим многочлен Тейлора:
Pn  x   Pn  0  
Pn   0 
x
1!
Pn   0 
x  ... 
2
2!
Pn
n
0
x
n
n!
Если надо представить многочлен вида: Pn  x   a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0   ...  a n  x  x 0 
2
. Где x 0 - любое фиксированное число. Проделав аналогичную процедуру получим:
Pn   x 0 
Pn  x   Pn  x 0  
1!
Pn  x 
для многочлена
 x  x0  
Pn   x 0 
2!
по степеням
 x  x0 
2
 ... 
Pn
 x0 
n
n!
 x  x 0  - формула Тейлора
n
 x  x0  .
Любую функцию можно представить в виде многочлена: f  x   Pn  x   R n  1  x  . Где
Pn  x 
f
- многочлен Тейлора, а R n  1  x  - остаточный член. Т.е.:
x 
R n 1  x 
f
 x0  
f   x0 
1!
 x  x0  
f   x 0 
2!
 x  x0 
2
 ... 
f
n
 x0 
n!
 x  x0 
n
 R n 1  x  ,
если
мало, то f  x   Pn  x  .
Остаточный член в форме Лагранжа: R n  1  x  
c
n 1
 x  x0  ,
 n  1 !
f
n 1
c  ( x0 ; x ) .
Замечание: остаточный член мал, как правило, можно пренебречь по сравнению с
предыдущим слагаемым.
Рассмотрим lim
x  x0
R n 1  x 
R n 1  x 
 x  x0 
n
и lim
x  x0
c
 x  x 0   0 , следовательно
 n  1 !
f
n 1
lim
x  x0
R n 1  x 
 x  x0 
n
0, 

называется б/м более высокого порядка чем  x  x 0  , т.е. R n  1  x   O  x  x 0 
n
остаточный член в форме Пеано.
Замечание: если взять минимальное число членов формулы Тейлора, то получатся
формулы асимптотического разложения.
sin x ~ x
,  sin x  x  O  x 
Формула Тейлора даёт более точное разложение: sin x  x 
x
3
3!

x
5
5!
 Ox
5

n
-
n
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа