close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Будочкина С.А.
Российский университет дружбы народов, [email protected]
Установлена связь между симметриями операторного уравнения и алгебрами Ли.
Ключевые слова: генераторы симметрий, коммутаторы, алгебры Ли.
Введение
Значение алгебраических структур в исследованиях состояния систем различной
физической природы известно с давних пор. Так, в квантовой механике наблюдаемые
являются самосопряженными операторами в некотором гильбертовом пространстве над
полем комплексных чисел. Они образуют линейное пространство, в котором может быть
определен коммутатор
2 i
 AB
[ A, B ] 
h
 BA ,
где h - постоянная Планка.
Относительно этой операции множество наблюдаемых образует структуру алгебры
Ли.
Следует отметить, что в работе [1], в частности, установлена взаимосвязь между
алгебрами Ли, элементами которых являются вектор-функции, и скобками Пуассона
вида
 F1
ij  F 2
{ F1 , F 2 }[ u ] 
 u

где G ij  A ij  u k  D ,
u
k


ij 
Ak
( i , j , k  1, n ;
i
Gu
u
j
dx ,
|  |, |  | 0 , s ) - постоянные.
Основной целью работы является выявление связи между алгебрами Ли и
симметриями заданного операторного уравнения.
Основные результаты
Пусть дано операторное уравнение
N (u )  0 ,
u  D ( N ),
(1)
где
N : D ( N )  U  V - дифференцируемый по Гато оператор, U , V - линейные
нормированные пространства над полем действительных чисел R , D ( N ) - область
определения оператора N .
Будем следовать обозначениям и терминологии [1-3].
Рассмотрим на D ( N ) бесконечно малое преобразование, определяемое формулой
(2)
u  u   S (u ),
где S : D ( N )  D ( N u' ) - генератор преобразования, N u' - производная Гато оператора
N в точке u  D ( N ).
Определение 1. Преобразование (2) называется симметрией уравнения (1), если для
любого достаточно малого  и любого решения u этого уравнения функция u вида (2)
также является решением этого уравнения.
В этом случае оператор S называется также генератором симметрии уравнения (1).
Теорема 1. Если S 1 , S 2 - генераторы симметрий уравнения (1), то их коммутатор
[ S 1 , S 2 ]( u )  S 1u S 2 ( u )  S 2 u S 1 ( u )
'
'
(3)
также является генератором симметрии уравнения (1).
Определение 2 (см. [1, стр. 84]). Алгеброй A называется линейное пространство над
полем
 , удовлетворяющим для
K , наделенное билинейным произведением
произвольных a , b , c  A и любом   K следующим условиям:
a  (b  c )  a  b  a  c ,
(a  b)  c  a  c  b  c,
(  a )  b  a  (  b )   ( a  b ).
Определение 3 (см. [1, стр. 85]). Алгебра Ли – это алгебра A над полем K , для
которой выполняются условия
a  b  b  a  0,
a  (b  c )  b  ( c  a )  c  ( a  b )  0
 a , b , c  A.
Теорема 2. Генераторы симметрий уравнения (1) образуют алгебру Ли относительно
коммутатора (3).
Выводы
В работе установлено, что генераторы симметрий заданного операторного уравнения
образуют алгебру Ли относительно коммутатора двух генераторов, что позволяет
находить новые генераторы симметрий из полученных ранее. Однако следует отметить,
что коммутатор двух генераторов может быть нулевым оператором или совпадать с
одним из них.
Литература
1. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных
систем. М.: Изд-во УДН, 1991. – 237 с.
2. Савчин В.М., Будочкина С.А. Симметрии и первые интегралы в механике
бесконечномерных систем // Доклады Академии наук, 2009, том 425, №2, стр. 169-171.
3. Будочкина С.А., Савчин В.М. Вариационные симметрии эйлеровых и неэйлеровых
функционалов // Дифференциальные уравнения, 2011, том 47, №6, стр. 811-818.
SYMMETRIES OF EQUATIONS AND ASSOCIATED ALGEBRAIC
STRUCTURES
Budochkina S.A.
Peoples’ Friendship University of Russia, [email protected]
Connection between symmetries of an operator equation and Lie algebras is established.
Кеу words: generators of symmetries, commutators, Lie algebras.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа