close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
Аль-Натор М.С., 2Павлюк О.И.
1
1,2
Финансовый университет при Правительстве РФ,
1
[email protected], [email protected]
В работе описаны алгоритмы оптимизации ожидаемой полезности портфеля, в
частности метод свопов и метод обратной оптимизации.
Ключевые слова: распределение активов, оптимизация портфеля, анализ среднегодисперсии, функция ожидаемой полезности, предельная полезность, своп.
Введение
Большая часть современной инвестиционной теории и практики построена на
предположении Марковица о том, что инвестор заинтересован исключительно в оценке
среднего и риска доходности его портфеля за определенный период (инвестиционный
горизонт) в будущем [1-5]. Однако эта теория базируется на некоторых допущениях,
например, о нормальности распределения доходностей активов и портфеля, о
квадратичности функции полезности портфеля инвестора. Тогда как эти допущения
являются лишь частным случаем рассматриваемой задачи оптимизации.
В данной работе будут описаны методы прямой и обратной оптимизации ожидаемой
полезности, которые представляют собой более общий подход к решению задачи
нахождения оптимального портфеля, так как позволяют исходить из других
распределений доходности и вводить разнообразные (в том числе неквадратичные)
функции полезности, описывающие предпочтения инвестора.
Постановка задачи и метод свопов
Основная цель состоит в максимизации полезности  портфеля , которая
представляет собой математическое ожидание полезностей ( ) при наступлении
различных сценариев в будущем
 = ∑  ( ),
(1)
где  – вероятность наступления сценария .
Соответственно, первая производная выражения (1) представляет собой предельную
полезность портфеля. Сравнивая предельные полезности различных классов активов,
составляющих портфель, нетрудно сделать простой вывод о том, можно ли улучшить
портфель, совершив своп путем продажи единицы актива с наименьшей полезностью и
покупки актива с наибольшей. Оптимальный портфель будет найден в случае, если
дальнейшие улучшения уже невозможны, то есть когда предельные полезности
различных классов активов равны или их веса достигли своих верхних (нижних)
допустимых границ.
При этом в качестве функции полезности доходности может выступать не только
квадратичная функция

() =  −  2
(2)
2
с предельной полезностью, соответственно,
() = 1 − 
(3)
но и иные, более сложные, например, функция HARA (с гиперболической абсолютной
несклонностью к риску):
(−)1−
() =
,
(4)
1−
где  – минимальный установленный инвестором уровень доходности. Здесь значения
 > 0 ( < 0) характеризуют инвесторов с убывающей (возрастающей) относительной
несклонностью к риску. Тогда как при  = 0 говорят, что инвестор имеет постоянную
относительную несклонность к риску – довольно важный частный случай
гиперболической функции полезности.
Отличающиеся результаты оптимизации разных функций свидетельствуют о том, что
оптимальный портфель, полученный классическим методом оценки среднего и
дисперсии, не будет таковым для инвестора с неквадратичной функцией полезности.
Обратная оптимизация
Независимо от того, какой подход используется для оптимального распределения
активов в портфеле, адекватность результата оптимизации зависит от качества принятых
входных данных. Как минимум, эти данные должны учитывать исторические
доходности, текущую рыночную стоимость рассматриваемых активов и наиболее
вероятные предположения о взаимосвязи с доходностями других активов на рынке. Для
оценки требуемых ожидаемых доходностей с учетом перечисленных условий активно
используется популярная модель CAPM.
Таким образом, задача обратной оптимизации состоит в получении будущих
ожидаемых доходностей ( ):
( ) = ( ) +  ,
(5)

где  – исторические доходности -ого актива,  – разница-константа, которую
необходимо найти.
Исходя из условия оптимальности рыночного портфеля
∑   ( ) =  ∑  ( ),
(6)
где  – доходность рыночного портфеля для сценария , ( ) – её предельная
полезность,  – доходность безрискового актива (одинакова для всех сценариев),
нетрудно найти параметры функции полезности и искомые константы  .
Для функции (2) подставив (3) в уравнение (6), после некоторых элементарных
преобразований получим выражение для квадратичного параметра 
=
( )−
.
2 )− ( )
(


(7)
1
Тем самым получим уровень насыщения доходности .

Наконец, подставив выражение требуемой ожидаемой доходности -ого класса
активов для сценария 

 = 
+ 
(8)
в уравнение (6), найдём искомую разницу
 =

 ∑  ( )−∑ 
 ( )
∑  ( )
.
(9)
Выводы
Описанные подходы оптимизации порождают множество довольно разнообразных
решений, так как позволяют учитывать предпочтения инвесторов с неквадратичной
функцией полезности, а также произвольные предположения инвестора о будущих
сценариях, которые могут быть заданы абсолютно любым способом, к примеру,
некоторым более сложным распределением, чем нормальным.
Если прогнозы инвестора относительно будущего поведения рынка окажутся
достаточно достоверными, выигрыш от оптимизации будет весьма значительным.
Включение в задачу оптимизации нескольких классов активов также возможно, и даёт
неплохие результаты.
Литература
1. William F. Sharpe. Expected Utility Asset Allocation. September, 2006.
2. William F. Sharpe. Investors and Markets: Portfolio Choices, Asset Prices and Investment
Advice, Princeton: Princeton University Press, 2007.
3. Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений.
Часть 2. Учебное пособие. Финансовый университет. 2013.
4. Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений.
Часть 3. Учебное пособие. Финансовый университет. 2014.
5. Luenberger D.G. Investment science. Oxford University Press, New York. 2013.
EXPECTED UTILITY PORTFOLIO OPTIMIZATION
PROCEDURES
1
Al-Nator M.S., 2Pavlyuk O.I.
1,2
Financial University under the Government of the Russian Federation,
1
[email protected], [email protected]
The focus of this paper is on the describing of expected utility portfolio optimization
approaches, particularly swap method and expected utility reverse optimization.
Кеу words: asset allocation, portfolio optimization, mean-variance analysis, expected utility
function, marginal utility, swap.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа