close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Подготовка учащихся к олимпиаде
по математике
с помощью задач – игр
Учитель математики МБОУ СОШ №18
Синяговская О.Н.
Содержание
1.
Введение
2.
Игры шутки
3.
Симметрия
4.
Выигрышные стратегии
5.
Игры на шахматной доске
6.
Минимакс
7.
Решение
8.
Заключение
9. Литература
1. Введение
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАД
Математические олимпиады в школе, как правило, проводятся отдельно для
каждой параллели классов, начиная с пятого класса.
Основными целями школьной олимпиады являются:
• расширение кругозора учащихся;
• развитие интереса учащихся к изучению математики;
• выявление учащихся, проявивших себя по математике, для участия их в
районных (городских) олимпиадах и для организации индивидуальной работы с ними.
Одной из важных целей проведения олимпиад является развитие
интереса учащихся к математике, привлечение учащихся к занятиям в
математических кружках. У учащихся имеется большое желание
проверить свои силы, математические способности, умение решать не
стандартные задачи.
Их привлекает возможность добровольного участия в соревновании,
необычность всей обстановки на олимпиаде.
Для развития интереса учащихся к математике имеет значение и
спортивный азарт участников олимпиады. Особенно это характерно
для учащихся младших классов. Дух соревнования заложен во многих
наших школьниках, поэтому они желают посоревноваться со своими
товарищами и в умении решать олимпиадные задачи. В более старших
классах, на более высоких ступенях олимпиад, спортивные соображения
играют меньшую роль, но игнорировать их совсем не следует.
Олимпиады способствуют выявлению и развитию математических
способностей учащихся. Часто на уроках ученик получает, и вполне
объективно, только тройки, изредка четверки и двойки. Приходит на
школьную олимпиаду попробовать свои силы. Ведь это так
интересно! И вдруг мы замечаем, что он неплохо решает задачи «на
соображение», задачи с «изюминкой», при решении которых встают в
тупик многие отличники. После олимпиады ученик наверняка более
серьезно займется математикой. Учитель поможет этому ученику в его
занятиях, найдет пути развития математических способностей такого
ученика, порекомендует ему математическую литературу, задачи и т.п.
Любой участник олимпиады желает добиться лучших результатов.
Для этого он решает задачи, читает рекомендованную литературу, более
подробно изучает отдельные вопросы математики, активнее участвует в
работе математического кружка. Он понимает, что для успеха
на олимпиаде необходимо уметь по-разному решать задачи, развивать в
себе способности анализировать решения задач и искать нешаблонные
подходы к их решению, видеть неожиданные зависимости.
Победа учащегося на каждом этапе приводит к повышению
результативности его занятий математикой.
Проведение олимпиад позволяет выявить учащихся, имеющих
интерес и склонности занятиям математикой, что весьма важно для
решения вопроса о подготовке большого числа новых математических и
научно-методических кадров, столь необходимых стране в век бурного
развития
науки
и
техники.
При
систематическом
проведении олимпиад во всех школах, районах, областях, при широком
охвате ими учащихся олимпиады являются эффективным средством
реализации указанной цели и решения названной задачи.
Перед
нашей
школой
стоит
большая
задача
профориентации учащихся. В решении этой задачи принимают участие
все
учителя,
в
том
числе
и
учителя
математики.
Проведение олимпиад является составной частью этой работы. Участвуя
в математических соревнованиях, школьник лучше, более объективно
определяет свое отношение к математике как предмету будущей
профессии. Есть немало случаев, когда ученик в результате участия в
математических
олимпиадах
начинал
с
увлечением
заниматься математикой или каким-либо ее разделом, а затем
выбирал математику или какой-либо вид математической деятельности в
качестве своей будущей профессии.
Проведение
олимпиад
и
всей
внеклассной
работы по математике является прекрасным средством повышения
деловой квалификации учителей. Чтобы подготовить учащихся к
участию
в
олимпиадах
и
проводить
олимпиады,
учителю математики необходимо вести кружки, проводить большую
подготовительную работу, подбирать и решать различные задачи,
детально знакомиться с различными вопросами математики, с
новинками математической литературы. Подбор материала для
кружковых занятий и для олимпиад, подготовка к проведению этих
мероприятий является одной из форм активной работы учителя по
повышению своей научно-методической квалификации. Подбор к
занятиям математического кружка и к олимпиаде нестандартных,
требующих особых приемов в этом деле от самого учителя математики.
Руководитель кружка тщательно продумывает методику работы над
каждой задачей, предлагаемой им кружковцам. На занятиях кружка
приходится несколько расширять изучаемый в классе материал
курса математики, иногда такое расширение выходит за рамки
обязательной программы. Рассмотрение на занятиях кружка таких
вопросов неизбежно приводит учителя к необходимости основательного
знакомства с этим материалом и с методикой его изложения учащимся.
Проведение олимпиад, руководство математическими кружками
дают учителям эстетическое наслаждение. Здесь в свободной обстановке
учитель занимается любым предметом, рассматривает
с учащимися наиболее интересные вопросы, да и аудитория здесь более
активная и внимательная, чем обычный класс.
В рассматриваемых играх предполагается, что играют двое, ходы
делаются по очереди, причём игроки не могут пропустить ход. Вопрос
всегда один и тот же (за исключением последнего раздела): кто
побеждает в данной игре – первый, т.е. тот, кто начинает игру, или
второй?
2. Игры-шутки.
Игры-шутки ─ это игры, исход которых не зависит от того,
как играют соперники, а зависит только от начальных данных игры.
1. Двое по очереди ломают шоколадку размером m×n. За один ход
разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль
углубления (но только одного). Проигрывает тот, кто не может сделать
очередного хода.
2. На доске в строку написано n целых чисел. Игроки по очереди
расставляют между ними знаки плюс или минус. После того, как все
места заполнены, подсчитывается результат. Если он не четен,
выигрывает первый игрок, если нечетен, то выигрывает второй игрок.
3. На доске в строку написано m единиц и n двоек. За один ход
каждому из игроков разрешается стереть любые две цифры и, если они
были одинаковыми, написать двойку, если разными - написать единицу.
Если последняя оставшаяся на доске цифра-единица, то выигрывает
первый игрок, если двойка - выигрывает второй.
4. В мешке лежит101 конфета. Двое по очереди берут из мешка от
одной до 10 конфет. Когда все конфеты разобраны, игроки подсчитывают
взятое количество конфет. Если эти числа взаимно просты – выигрывает
первый игрок, в противном случае выигрывает второй.
5. На доске размером m×n (m≥2, n≥2) одна из клеток чёрная,
остальные- белые. Игроки поочерёдно перекрашивают одну строку или
один столбец. (Перекрашивание-замена на противоположный.)
Выигрывает первый игрок, если после какого-то хода все клетки будут
белыми. В противном случае выигрывает второй игрок. Предполагается,
что игра продолжается заданное число ходов.
6. На доске написаны числа 1,2,…,1996,1997. Игроки поочередно
стирают с доски любые два числа и вместо них пишут модуль их
разности до тех пор, пока останется одно число. Если это число будет
четным, то выигрывает первый игрок, а если нечетным, то второй.
3. Симметрия
7. Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол так, чтобы они не
накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать
очередного хода.
8. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы
слоны не били друг друга, (цвет слонов значения не имеет). Проигрывает
тот, кто не может сделать очередного хода.
9.
Двое по очереди ставят на свободные клетки шахматной доски
коней: один – белых, другой – черных, делая это так, чтобы поставленный
конь не мог быть взят ни одним из уже поставленных противником коней.
Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.
10. Игроки по очереди закрашивают клетки квадрата 10×10, причем
можно закрасить одну из трех фигур: прямоугольники 1×2, 1×3 или
квадрат 1×1, при этом дважды закрашивать одну и ту же клетку нельзя.
Выигрывает тот, кто закрашивает последнюю клетку.
11. На столе лежат две кучки спиче. Игроки поочередно берут либо
одну спичку из одной кучки, либо по одной спичке из обеих кучек.
Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку.
12. На окружности расставлено 2ń точек. За один ход игроку
разрешается соединить любые две точки отрезком, не пересекающим
отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать
очередного хода.
4.
Выигрышные стратегии
13. Петя и Вася выписывают 12 – значное число, ставя цифры по одной,
начиная со старшего разряда. Начинает Вася. Он выигрывает, если
получившееся число не делится на 9, в противном случае выигрывает
Петя.
14. Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано некоторое
натуральное число с нулевой последней цифрой, и ход состоит в том,
чтобы вычесть из числа какую – нибудь его ненулевую цифру и написать
на месте старого числа получившееся число. Выигрывает тот, кто
первым получит нуль. Начинает игру волк.
15. В ряд написаны числа 1,2,3,…,20,21. Играющий своим очередным
ходом вычеркивает любое из еще не вычеркнутых чисел. Игра
продолжается до тех пор, пока не останутся два числа. Если сумма этих
чисел делится на 5, то выигрывает первый игрок, в противном случае
выигрывает второй игрок.
16. Первый игрок пишет какую-либо цифру, второй игрок приписывает к
ней слева или справа еще одну цифру, первый игрок приписывает к
образовавшему числу еще одну цифру и т.д. Выигрывает второй игрок,
если число, получившееся после его хода, будет квадратом целого числа,
в противном случае выигрывает первый игрок (можно считать, что игра
продолжается не более заданного числа ходов).
17. Имеется куб и две краски: красная и зеленая. Первый выбирает три
ребра куба и красит их в красный цвет. Второй выбирает три
не покрашенных ребра куба и красит их в зеленый цвет и так далее.
Запрещается перекрашивать ребро в другой цвет или красить дважды
одной краской. Выигрывает тот, кто сможет первым покрасить своей
краской все ребра какой-либо грани.
18. Дан выпуклый многогранник с n≥5 гранями, из каждой
вершины
которого выходит ровно три ребра. Игроки поочередно
пишут свое имя на одной из свободных граней. Выигрывает тот,
кто первым напишет свое имя на трех гранях, имеющих
общую вершину.
19. На столе лежат две кучки спичек. Каждым ходом можно взять одну из
спичек из первой кучки, либо переложить одну спичу из второй кучки в
первую. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку.
20. Игроки ставят по очереди числа вместо звездочек в следующей
системе равенств:
∗=∗
{ ∗=∗ + ∗
∗=∗ + ∗ + ∗
Выигрывает первый, если все равенства выполняются, выигрывает
второй, если хотя бы одно из равенств не выполняется.
21. Есть две кучки конфет по девять в каждой. За один ход нужно
переложить из одной кучки в другую одну конфету и съесть две конфеты
из какой-либо кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной
ход.
22. Первый игрок своим первым ходом сообщает какую-нибудь дату
января. Далее каждый из игроков своим ходом называет более позднюю
дату, увеличивая либо календарную дату в месяце, либо месяц, но не то и
другое вместе. Выигрывает тот, кто первым достигнет 31 декабря.
23. На столе лежат карточки с номерами от 1 до 9. За один ход одному из
игроков разрешается взять со стола одну карточку. Выигрывает тот, у
кого будет три карточки с общей суммой, равной 15.
24. Пусть на прямой R1 дан отрезок [a,b]. Первый игрок своим
очередным ходом выбирает точку xnє R1, не совпадающую ни с одной из
ранее выбранных точек. второй игрок своим ходом выбирает один из
двух лучей Ln c началом в точке xn. Игра продолжается заданное число
ходов k. Выигрывает второй игрок, если отрезок [a,b] принадлежит
объединению всех лучей Ln, n=1…,k. В противном случае выигрывает
первый игрок.
25. Дан отрезок А=[a,b], a<b. На каждом шаге игроки поочередно
выбирают по одной точке (x,y) из данного отрезка. Выигрывает второй
игрок, если множество предельных точек последовательности {yn}∞n=1
не пересекается с множеством {xn,n єN}. В противном случае
выигрывает первый игрок. Игра продолжается счетное число ходов.
26. Пусть X-множество, содержащее конечное число точек. Игроки
играют по правилам, описанным в предыдущей задаче.
27. На доске написано уравнение
f(x)=x3+a1x2+a2x+a3=0
Первый игрок заменяет один из коэффициентов а1 произвольным
вещественным числом. Затем второй игрок заменяет один из двух
оставшихся коэффициентов некоторым вещественным числом. Наконец,
первый заменяет последний коэффициент некоторым вещественным
числом. Первый игрок выигрывает, если уравнение имеет три различных
вещественных корня. В противном случае выигрывает второй игрок.
28. На доске написано уравнение
*x2+*x+*=0.
Первый из двух игроков называет любые три числа, второй
игрок расставляет их по своему усмотрению вместо звездочек.
Выигрывает первый игрок, если уравнение имеет рациональные
различные корни.
5. Игры на шахматной доске
В данном разделе приведены задачи, для решения которых
применим достаточно общий метод, называемый анализом с конца, при
помощи которого можно найти выигрышные стратегии.
29. На крайней левой клетке полоски 1*100, расчерченной на клетки
1*1,стоит фишка. За один ход разрешается перемещение ее на 1, 10 или
11 клеток вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного
хода.
30. Имеется полоска клетчатой бумаги длиной 30 клеток. На самой
правой клетке стоит фишка. Двое играющих поочередно передвигают
фишку: а) на одну или на три клетки влево; б) на две или на четыре
клетки влево. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.
6. Минимакс
Рассмотрим игры, в которых выигрыш каждого игрока – переменная
величина, принимающая различные числовые значения в зависимости от
хода игрока, и игроки стремятся сделать свой выигрыш как можно
больше, причем сумма их выигрышей есть величина постоянная, не
зависящая от игроков. Таким образом, чем больше выигрывает один, тем
меньше выигрывает второй, и интересы игроков прямо противоположны.
Например, в соревнованиях по шахматам за каждую партию полагается
всего одно очко: если выиграл один, а другой проиграл, то очко целиком
дается победителю, а в случае ничей это очко делится пополам.
31. Два кота украли цепочку из шести сосисок и теперь делят ее между
собой. По очереди каждый кот перекусывает по одной перемычке между
сосисками и съедает появляющиеся при этом одиночные сосиски.
Сколько кому достанется?
32. Лиса Алиса и кот Базилио делят 10 золотых монет по следующему
правилу. Сначала Базилио делит все золотые на две кучки, в каждой не
менее двух золотых. Потом Алиса делит каждую из этих кучек еще на две
кучки. Из полученных четырех кучек наибольшая и наименьшая доются
Алисе, а две средние – Базилио. Кому сколько достанется?
33. Торт имеет форму параллелограмма. Малыш и Карлсон делят торт
следующим образом. Малыш указывает на поверхности торта точку, а
Карлсон по прямой, проходящей через эту точку, разрезает торт на два
куска и один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить побольше.
Где Малыш должен поставить точку?
34. Написано 20 чисел: 1,2,…, 20. Играющие по очереди ставят перед
этими числами знаки + или – (знак может, ставится перед любым
свободным числом). Первый стремится к тому, чтобы полученная после
расстановки этих 20 знаков сумма (по абсолютной величине) была как
можно меньше, второй стремится сделать указанную сумму как можно
больше. Какую величину может обеспечить себе второй игрок?
35. Игроки по очереди вычеркивают 9 чисел (по своему выбору) из
последовательности 1, 2, 3, …, 100, 101. После 11 таких вычёркиваний
остаются два числа остаются два числа. Выигрыш первого равен разности
(по абсолютной величине) между этими оставшимися числами. Доказать,
что выигрыш первого не менее 55, независимо от игры второго.
36. Дан треугольник АВС площади 1. Играют двое. Первый игрок своим
ходом выбирает точку Х на стороне АВ, затем второй своим первым
ходом выбирает точку Y на стороне ВС, наконец, первый выбирает точку
Z на стороне АС. Цель первого – получить треугольник XYZ наибольшей
площади, второго – наименьшей. На что может рассчитывать первый
игрок?
37. Дан многочлен
f(x)=x2n+1+a1x2n +...+a2n+1.
Игроки поочередно заменяют один из коэффициентов ai (каждый
коэффициент ai используются только один раз) произвольным
вещественным числом. Первый игрок стремится к тому, чтобы уравнение
f(x)=0 имело как можно меньше различных вещественных корней, второй
игрок стремится к тому, чтобы уравнение f(x)=0 имело как можно больше
различных вещественных корней. На что может рассчитывать каждый из
игроков?
7. Решение
1. После каждого хода количество кусков увеличивается на единицу. В
конце игры, когда нельзя сделать хода, шоколадка разломана на
маленькие дольки, число кусков равно mn. Значит, игра будет
продолжаться mn-1 ход. Поэтому, если mn-1 нечетно, а значит, mn четно,
то выигрывает первый игрок, так как он делает последний ход (так же,
как и все другие ходы с нечетными номерами). Если mn-1 четно, а значит,
mn нечетно, то выигрывает второй игрок.
2. Пусть ч означает четное число, а н – нечетное. Так как ч+ч=ч, ч-ч=ч,
н+н=ч, н-н=ч, н+ч=н, н-ч=н, то результат зависит только от числа
нечетных чисел, написанных на доске. Если количество нечетных чисел
четно, то выигрывает первый игрок, в противном случае выигрывает
второй игрок.
3. Отметим, что четность количества единиц после каждого хода не
меняется. Поэтому, если в начальный момент времени на доске было
написано четное количества единиц, т. е. если m четно, то после
последнего хода одна единица оставаться не может. Значит, в этом случае
выигрывает второй игрок. И наоборот, если m – нечетно, то выигрывает
первый игрок.
4. Отметим, что число 101 простое, поэтому, если 101=a+b, то числа a и b
взаимно просты, так как при наличии общего делителя d он являлся бы и
делителем числа 101. Поэтому первый игрок всегда выигрывает.
5. Всегда выигрывает второй игрок. Рассмотрим квадрат 2*2,
содержащий черную клетку. Если бы удалось все клетки доски сделать
белыми, то и клетки квадрата 2*2 стали бы белыми. В начале игры черная
клетка одна, в конце игры черных клеток нуль. Это числа разной
четности, а при перекрашивании квадрата 2*2 четность числа черных
клеток не меняется, поэтому такое перекрашивание невозможно.
6. Выигрывает второй игрок. Отметим, что сумма всех чисел от 1 до 1997
является нечетным числом и четность чисел, написанных на доске, не
меняется. Поэтому на доске останется нечетное число.
7. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он кладет монету так, чтобы
центр монеты совпал с центром стола. После этого на каждый ход
второго игрока начинающий отвечает монетой, положенной симметрично
относительно центра стола. Отметим, что при таком поведении игроков
после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если
возможен ход второго игрока, то возможен ход первого игрока.
8. В отличие от предыдущей задачи, центральная симметрия (если она
применима) не позволяет достичь выигрыша ни одному из игроков (при
правильной игре противника). Поэтому воспользуемся осевой
симметрией шахматной доски. За ось симметрии примем прямую,
разделяющую четвертую и пятую горизонтали. Симметричные
относительно нее поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон,
поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое. Итак, в
этой игре выигрывает второй игрок.
9. Выигрывает второй, применяя симметрию относительно центра доски.
10. Выигрывает второй игрок. Каждый своим ходом он симметрично
повторяет ходы первого относительно центра исходного квадрата.
11. Если в каждой кучке по четному количеству спичек, то выигрывает
второй, повторяя ходы первого игрока. Если хотя бы в одной кучке
нечетное количество спичек, то выигрывает первый игрок. Своим первым
ходом он добивается того, чтобы в каждой кучке было четное количество
спичек, а затем повторяет ходы второго игрока.
12. Выигрывает первый. Первым ходом он проводит хорду, по обе
стороны от которой расположено по n-1 точки. После этого, на каждый
ход второго игрока он отвечает аналогичным ходом по другую сторону от
этой хорды.
13. Выигрывает Петя. Одна из его возможных стратегий – дополнять на
каждом ходу Васину цифру до 9, т.е. если Вася пишет 0, то Петя пишет 8
и т.д. Таким образом, после каждой пары ходов Васи и Пети сумма цифр
увеличивается на 9. К моменту написания всего числа она станет равной
9(12:2)=54, а поэтому получившееся число делится на 9.
14. Выигрывает Волк, вычитая из имеющегося числа его последнюю
цифру.
15. Выигрывает первый игрок. Разобьем числа 1,2, …, 21 на множества
М0={5, 10, 15, 20}, M1={1, 6, 11, 16, 21}, M2={2, 7, 12, 17}, M3={3, 8, 13,
18}, M4={4, 9, 14, 19}.
Отметим, что в каждое из множеств Мi попали те и только те числа,
которые при делении на 5 дают один и тот же остаток.
Первым ходом первый игрок вычеркивает число 21. Если второй игрок
своим ходом вычеркивает число из множества М0, то первый игрок
следующим ходом вычеркивает число также из множества М0.
Если второй игрок вычеркивает число из множества М1(М4), то
первый игрок своим очередным ходом вычеркивает число из множества
М4(М1).
Если второй игрок вычеркивает число из множества М2(М3), то
первый игрок своим очередным ходом вычеркивает число из множества
М3(М2).
Останутся два числа, которые либо оба принадлежат М0, либо одно
принадлежит М1, второе М4, либо одно принадлежит М2, второе – М3.
Во всех указанных случаях сумма этих двух оставшихся чисел делится на
5.
16. Выигрывает первый игрок. Отметим, прежде всего, следующее:
а) если a и b натуральные числа, такие что а2=b и b содержит не менее
четырех цифр, то≥31;
б) если а1,а2 натуральные числа, такие, что а1≥31, а2≥31 и а1≥а2, то а12 а22≥31.
Опишем выигрышное поведение первого игрока. Своим первым ходом
первый игрок пишет цифру 7. Поэтому второй игрок не может выиграть
своим первым ходом. Если далее второй игрок пишет цифру слева, то
первый игрок снова пишет цифру 7, но справа. Пусть теперь второй игрок
пишет цифру справа и при этом получается число а. Рассмотрим числа
100а+20+b, 100а+30+b, где b=0,1,…,9.
Тогда в силу замечания хотя бы один из указанных наборов при всех
b не будет квадратом целого числа. Поэтому первый игрок пишет цифру
2 или 3 в зависимости от того, какой набор обладает указанным
свойством.
17. Ничья. Первый выиграть не может, так как второй может выбрать три
попарно пересекающихся ребра. Аналогично, второй также не сможет
выиграть.
18. Выигрывает первый. Покажем сначала, что существует грань, не
являющаяся треугольниками. Тогда у многогранника 3n/2 ребер (так как
из каждой вершины выходит три ребра, и каждое ребро принадлежит
одновременно двум вершинам). По формуле Эйлера (В+Г-Р=2) имеем
n+n-3n/2=2, т.е. n=4, что противоречит условию задачи.
Итак, имеется грань, не являющаяся треугольником, которую и должен
занять своим первым ходом первый игрок (обозначим эту грань А1).
Вторым ходом первый игрок должен занять грань, обозначаемую А2,
прилежащую к грани А1 и имеющую общие ребра с двумя свободными
гранями А3 и А4, также прилежащими к А1 (это возможно, так как
второй игрок мог занять только одну грань, прилежащую к А1). Наконец,
третьим ходом первый игрок может занять одну из граней А3 или А4, не
занятую вторым игроком, после чего первый игрок выигрывает.
19. Пусть m – количество спичек в первой кучке в начале игры. Тогда,
если m – четное, то выигрывает второй, а если m – нечетно, то
выигрывает первый:
а) пусть m – четно. Тогда после первого хода первого игрока мы будем
иметь либо позицию (m – 1, n), либо (m+1, n – 1), причем в каждой
позиции количество спичек в первой кучке нечетно. Поэтому второй
игрок своим первым ходом добивается того, чтобы в первой кучке стало
четное количество спичек. Так как на каждом шаге либо уменьшается на
1 общее количество спи чек, либо на 1 уменьшается количество спичек во
второй кучке, то за конечное число шагов второй игрок после своего хода
сдаёт позицию (2,0);
б) если м-нечётно, то первый игрок своим первым ходом берёт одну
спичку из первой кучки, что приводит к тому, что в первой кучке
становится чётное количество спичек и ход переходит ко второму игроку.
В силу пункта «а» в этом случае второй игрок проигрывает.
20. Отметим, что игрок, заменяющий последнюю звёздочку в уравнении,
всегда может добиться, чтобы равенство выполнялось или не
выполнялось. Следовательно, каждый из игроков может заменять
последнюю оставшуюся звёздочку в каждом уравнении. Для этого
первый игрок должен заменять звёздочку на число во втором уравнении
(тогда число звёздочек в каждом уравнении станет чётным). Далее,
после любого хода второго игрока, который своим ходом нарушает эту
чётность, первый игрок своим ходом
числа звёздочек в каждом из уравнений.
восстанавливает
чётность
21. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он перекладывает из одной
кучки в другую одну конфету и съедает две конфеты из кучки в десять
конфет. В результате получим две кучки по десять конфет в каждой.
Далее, независимо от хода соперника он может получить две кучки по
шесть конфет.
После второго хода второго игрока первый игрок может получить две
кучки по четыре конфеты, после 3-го хода – две кучки по две конфеты.
Теперь, какой бы ход ни
сделал
второй игрок, первый
игрок выигрывает.
22. Выигрывает первый игрок. Рассмотрим следующие даты: 20 января,
21 февраля, 22 марта, 23 апреля, 24 мая, 25 июня, 26 июля, 27 августа, 28
сентября, 29 октября, 30 ноября, 31 декабря. Назовём указанные даты
особыми. Остальные даты назовем не особыми. Отметим, что если один
из игроков назовёт указанную дату, то следующим ходом другой игрок
должен назвать неособую дату. Если один из игроков называет
неособую дату, то следующим ходом другой игрок может назвать особую
дату.
Первый игрок своим первым ходом называет 20 февраля. Второй игрок
вынужден назвать неособую дату, поэтому первый игрок может назвать
особую дату и т.д. Так как 31 декабря особая дата, то выигрывает первый
игрок.
23. Будет ничья. Двойная игра эквивалентна игре в крестики-нолики на
квадрате 3*3 вида
2
9
4
7
5
3
6
1
8
24. Выигрывает первый игрок. Своим первым ходом он выбирает точку
х1=(a+b)/2.Пусть l1-луч ,выбранный вторым игроком. Тогда либо
(a,х1)∩L1=Ø ,либо (х1,b)∩L1=Ǿ
(1)
Первый игрок выбирает отрезок, для которого выполнено условие (1).
Обозначим этот отрезок [a1, b1]. Первый игрок своим вторым
ходом выбирает точку х2=(a1+b1)/2 и пусть L2 –луч, выбранный вторым
игроком. Тогда либо
(a1,х2)∩ L2=Ǿ , либо
(х2,b1)∩ L2=Ø
(2)
Выбирая далее в качестве отрезка [a2,b2] отрезок, для которого
выполнено условие (2),и продолжая действовать вышеописанным
способом, первый игрок добьётся победы.
25. Выигрывает второй игрок. Пусть первый игрок выбрал своим первым
ходом точку х1. Выберем какой-нибудь отрезок A=[a1,b1] [a,b]\ {x1} и
пусть точка у1є[a1,b1]. Данную точку у1 выбирает второй игрок своим
первым ходом. Предположим, что выбраны точки x1,....,xn, y1,...,yn-1 и
отрезки [a1,b1] [a2,b2] ... [aп-1,bп-1]
такие, что
{x1,....,xk}∩[ak,bk]=Ǿ при k≤n-1
yk [ak,bk] при k≤n-1
(1)
(2)
Выберем отрезок
[an,bn]
[an-1,bn-1]\{xn}
и точки yk є [an,bn] . Данную точку уп и выбирает второй игрок своим п.
- м ходом. Предположим, что сыграна партия {xnyn}∞n-1. Из (1), (2)
следует, что [a,b]\[an,bn] есть окрестность точки хп в [a,b] ,содержащая
не более, чем п точек множества Y={yn, n N}.Значит хп –
предельная точка для у.
26. Выигрывает первый игрок. Своим первым ходом он выбирает
произвольную точку, а, начиная со второго хода, выбирает течку,
выбранную вторым игроком на предыдущем шаге.
27. Выигрывает первый игрок. Первым ходом первый игрок выбирает
коэффициент a2 так, чтобы 1+a2<0. Далее, после хода второго
игрока первый игрок выбирает оставшийся коэффициент так,
чтобы a1+a3=0. Тогда f(1)=1+a1+a2+a3<0, f(-1)=-1+a1-a2+a3>0. Отсюда,
на каждом из промежутков (- ∞ ,-1), [-1,1],[1,∞) уравнение имеет корень.
28.
Первый
игрок
выигрывает,
если
он
назовёт
три
попарно различных целых числа, таких, что a+b+c=0. Тогда данное
уравнение будет иметь корни
х1=1 , х2=c/a.
29. Выигрывает первый. Пронумеруем клетки полоски числами от 1 до
100. Назовём клетку выигрышной, если игрок делает ход из этой клетки,
выигрывает, наоборот – проигрывает. Всякая клетка, из которой можно
перейти только в выигрышную позицию, является проигрышной.
Наоборот, всякая клетка, из которой хотя бы один ход ведёт в
проигрышную позицию, является выигрышной.
Теперь будем рассуждать с «конца». Клетка 100- проигрышная, поэтому
клетка 99- выигрышная , 98-проигрышная, 97- выигрышная и т.д. через
одну все клетки до 91-й. Все клетки от 81-й до 90-й выигрышные .
Аналогично , выигрышные клетки от 71-й до 80-й чередуются, подобно
клеткам от 91-й до 100-й , а все клетки с номерами 61-70 выигрышные и
т. д. В итоге клетка под номером 1-выигрышная.
30. Анализируя с конца, получаем, что первый игрок в обоих случаях
проигрывает.
31. Прежде отметим, что между шестью сосисками пять
перемычек. Поэтому коты будут перекусывать их пять раз: три раза –
первый кот и два - второй. При каждом перекусывании второй кот может
добыть себе по сосиске, независимо от поведения первого кота.
Покажем, что второй кот может добыть себе четыре сосиски. Первым
ходом он перекусывает цепь посередине; получается две цепочки по три
сосиски. Второй может отделить себе только одну сосиску, а первый
съедает оставшиеся две. Затем второй снова отделяет себе одну сосиску, а
первому остаётся две сосиски. Итак, первый съедает 4, а второй –2
сосиски.
32. Пусть Базилио разделит на две кучки, состоящие из a и b монет, при
этом a≤b .Алиса может разделить первую кучку примерно поровну, а
вторую на кучки, содержащие 1 и b-1 монет. Этим самым лиса обеспечит
себе b золотых. Поскольку a≤b и a+b=10 , то b≥5. Поэтому Алисе
достаётся не менее 5 монет.
Предположим, что Базилио разделил монеты на две равные кучки. Тогда
как бы не делила монеты лиса, ей достаётся 5 монет. Итак, каждому
достаётся по 5 монет.
33. Ясно, что Малыш не может получить более половины торта. Покажем,
что, выбирая точку пересечения диагоналей, Малыш получил половину
торта. Действительно, пусть l - прямая, проходящая через точку О - точку
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD . Если l проходит через
одну из вершин, то l делит параллелограмм на два равных треугольника.
Пусть l пересекает стороны AD и BC параллелограмма ABCD в точках K
и L соответственно (рис.8).
Тогда ABKL и KLCD трапеция с равными высотами; ∆ BKO=∆OLD.
Значит, BK=LD. Аналогично ∆KOC= ∆AOL ,. Поэтому KC=AL.
Отсюда BK+AL=KC+LD=BC. Получим, что трапеции ABKL и KLCD
имеют одинаковую сумму длин оснований. Следовательно, их площади
равны.
34. Опишем поведение второго игрока, обеспечивающее ему такую
сумму. Разобьем все числа на пары (1,2),(3,4),…,(19,20).Каждый раз,
когда первый ставит какой-либо знак перед одним из чисел, кроме 19 и
20, второй должен поставить противоположный знак перед числом той же
пары. Как только первый ставит какой-нибудь знак перед числом
последней пары, второй ставит тот же знак перед другим из этих чисел.
Ясно, что окончательная сумма по модулю не меньше, чем 19+20-1-1-…1=30.
Докажем теперь, что первый может не позволить второму получить
сумму, большую 30, если будет при каждом своем ходе ставить перед
наибольшим из оставшихся чисел знак, противоположный имеющейся к
этому моменту суммы (если сумма равна нулю, то ставится знак плюс).
Рассмотрим некоторую партию. Пусть k-й ход - последний, в
результате, которого сумма меняет знак (включая ходы, перед которыми
сумма равна нулю). За первые k-1 ходов заведомо были использованы
числа 20,19,…,20-(k-1). Так что максимальная по модулю сумма, которая
может получиться после k-го хода, равна 20-(k-1)+20-k=41-2k.За каждые
из следующих10-k ходов сумма уменьшается, по крайней мере, на 1, так
как первый каждый раз вычитает из модуля суммы наибольшее из
оставшихся чисел m, а второй не может добавить к нему число, большее,
чем m-1. Итак, в результате сумма будет не больше, чем
41-2k-(10-k)=31-k≤30.
35. Первым ходом первый игрок вычёркивает 9 чисел от 47 до 55 .
Оставшиеся числа разбиваются на две группы, от 1 до 46 и от 56 до 101.
Для любого k , вычеркнутого вторым игроком, первый игрок вычёркивает
число 55-k.Разность двух оставшихся чисел равна 55.
36. ¼ .Заметим, что второй игрок может добиться того, что Sxyz≤ ¼ не
зависимо от игры первого. Для этого ему достаточно выбрать Y так,
чтобы XY||AC. Тогда для любой точки Z на отрезке АС будет выполнено
неравенство
В то же время первый игрок, взяв в качестве X и Y середины сторон АВ и
АС, обеспечивает себе равенство SXYZ=1/4 независимо от хода второго
игрока (рис. 9).
37. Так как f многочлен нечетной степени, то уравнение f(x)=0
всегда имеет хотя бы один вещественный корень.
Покажем, что существует поведение первого игрока, гарантирующее ему
не более одного корня уравнения f(x)=0. Своим первым ходом первый
игрок выбирает a2n+1>0. Так как общее число ходов в данной игре равно
2n+1, то последний ход делает первый игрок. Пусть ak- коэффициент,
оставшийся первому игроку перед его последним ходом. Возможны два
случая:
а) k-четно;
б) k-нечетно.
Уравнение f(x)=0 эквивалентно уравнению
а2n+1
h(х)=хk +…+ ------------ =-аk
х2n+1-k
Тогда в случае
а) имеем
lim h(х)=lim h(х)=∞, lim h(х)=-∞, lim h(х)=∞;
х→-∞
в случае б)
х→∞
х→-0
х→+0
lim h(х)=-∞, lim h(х)=∞, lim h(х)=lim h(х)=∞
х→-∞
х→∞
х→-0
х→+0
Выбирая аk>0 и достаточно большим, первый игрок добьется того,
что уравнение h(х)= - аk, а, следовательно, уравнение f(х)=0 будет
иметь один корень.
8. Заключение.
Олимпиады имеют большое значение при решении ряда вопросов
относящихся
проблеме
математического
образования
в
общеобразовательных
школах,
поэтому
проведение
математических олимпиад и подготовка к ним через математические
кружки и часы для дополнительной работы по математике должны
привлекать детей своей индивидуальностью и интересными методами их
проведения. В частности одним из таких методов и является игра. Ига
между двумя участниками вызывает интерес детей к победе путь, к
которой лежит через познание науки математики. Проиграв сверстнику,
ученик идет в библиотеки берет дополнительную литературу тем самым
уделяет больше внимания изучаемому предмету.
Роль учителя в этом деле огромная. В первую очередь учитель
обязан создать благоприятные условия, для того чтобы ученик смог
постигать новое и новое в интересующей его науки. С помощью знаний
учителя, умением методически правильно поставить перед учеником
задачу посильную ученику, и после её решения вызвавшую чувство
победы, ученик с большим азартом будет заниматься предметом
заинтересовавшим его.
Интерес ученика к получению знаний в той или иной области
позволяет развить у него нестандартность мышления, что является очень
актуальным на данном уровне развития общества.
Умение логически не стандартно мыслить поможет
подрастающему члену общества занять достойное место в этом обществе.
9. Литература.
1. Баженов И.И., Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи
для школьных математических кружков. Сыктывкар. 1994.
2. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., Раббот Ж.М., Тоом А.Л., Заочные
математические олимпиады. М.: Наука. 1986.
3.
Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических
олимпиад. М.: Наука.1988.
4.
Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические
олимпиады. М.: Просвещение,1986.
5.
Гарднер М. Крестики-нолики. М.:Мир.1988.
6.
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д. В, Ленинградские
математические кружки. Киров.1994.
7.
Математические кружки. М.: Изд-во Агентства печати новости.1990.
8. Петров Н.Н. Математические игры. Ижевск: Изд-во Удмуртс. унта.1995.
9.
Тобачников С.Л., Тоом А. Л. Поучительные игры, М.: Изд-во
Агентства печати новости.1988.
10. Ткачук В.В. Топологические приложения теории игр. М.: Изд-во
Моск. ун-та.1992.
11. Фомин д., В.Санкт-Петербургские математические олимпиады. СПб.:
Политехника. 1994.
12. Яковлев Г. Н., Купцов Л. П., Резниченко С.В., Гусятников П.Б.
Всероссийские
математические
олимпиады
школьников.
М.:
Просвещение. 1992.
13. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников. Москва
«Просвещение» 1982.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа