close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
Ребята, мы продолжаем изучать корни n-ой степени из

действительного числа. Сегодня мы с вами изучим функцию  = √ ,
построим график и найдем ее свойства.
Сначала рассмотрим нашу функцию в случае неотрицательного
значения аргумента.
Наша функция является обратной для функции  =   монотонная функция (это и значит, что у нее есть обратная функция).
Давайте построим график функции  =   , тогда график нашей

функции  = √ будет симметричен относительно прямой y=x, не
забываем, что мы рассматриваем случай неотрицательного значения
аргумента, то есть х≥0.

Свойства функции  = √ ,  ≥ 0:
1. D(f)=[0;+∞);
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на[0;+∞);
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
5. Наименьшее значение равно нулю, наибольшего значения
нет;
6. Непрерывна;
7. E(f)=[0;+∞);
8. Выпукла вверх на луче [0;+∞);
9. Внимательно посмотрев на наш график функции мы можем
сказать, что в любой точке к нему можно провести касательную (точку
х=0 не рассматриваем). А это значит, что наша функция
дифференцируема в любой точке. Производной в точке х=0 не
существует, так как касательная в этой точке совпадает с осью
ординат.
4
Пример. Построить график функции  = √ + 2 − 2
4
Решение. График нашей функции получается из графика  = √
смещением на две единицы влево и на две единицы вниз
относительно начала координат.
8
Пример. Решить уравнение √ = 2 − 1
Решение. Решим наше уравнение графическим способом.
8
Построим два графика функции  = √ и  = 2 − 1 найдем точку их
пересечения.
Наши графики пересекаются в одной точке (1;1). Подставив x=1 в
исходное уравнение получаем верное тождество 1=1, значит точка
х=1 решение нашего уравнения.
Теперь давайте рассмотрим исходную функцию для нечетного

показателя корня. На прошлом уроке мы с вами узнали, что √, если n
нечетное существует и при х<0. Можно заметить, что в этом случае
наша функция нечетная, давайте это проверим:


(−) = √− = − √ = −(), где  = 3,5,7,9 …
Вспомнив свойство графика нечетной функции – симметричность
относительно начала координат давайте построим график функции

 = √ для n=3,5,7,9…
Отразим график функции, которой мы получили вначале
относительно начала координат.
Заметим, что ось ординат является касательной к графику
нашей функции в точке х=0.
Пример. Построить и прочитать график функции y=f(x), где f(x):
5
√ ,  ≤ 1
() = { 1
, > 1

Решение. Последовательно построим два графика функции на
разных координатных плоскостях, после полученные графики
объединим в один.
5
Построим график функции  = √ ,  ≤ 1
Таблица значений:
x
y
1
1
0
0
-1
-1
-32
-2
График функции  =
1

– нам хорошо известен, это гипербола,
давайте построим график при x>1.
Объединим оба графика:
Ребята давайте опишем свойства, которыми обладает наша
функция:
1. D(f)=(-∞;+∞).
2.Ни четная, ни нечетная.
3. Убывает на [1; +∞) и возрастает на (-∞;1].
4. Неограниченна снизу, ограничена сверху.
5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 1.
6. Непрерывна.
7. E(f)=( -∞;1].
8. Функция дифференцируема всюду кроме точек х=0 и х=1
9. lim () = 0
→+∞
Пример. Найти область определения функций:
6
8
5
а)  = √2 − 10 б)  = √3 − 6 в)  = √3 − 6 + √25 −  2
Решение:
а) Показатель корня нашей функции – четный, значит под корнем
должно находиться неотрицательное число. Решим неравенство:
2x-10≥0
2x≥10
x≥5
Ответ: D(y)=[5;+∞)
б) Показатель корня нашей функции – нечетный, тогда под
знаком корня может находиться любое число.
Ответ: D(y)=(-∞;+∞)
в) Оба выражения данных в условии имеют смысл только при
неотрицательных подкоренных выражениях, тогда нам надо решить
систему уравнений:
3 − 6 ≥ 0
{
25 −  2 ≥ 0
Последовательно найдем решения для каждого выражения:
3 − 6 ≥ 0
3 ≥ 6
≥2
Отметим наше решение на числовой прямой:
Решим второе неравенство:
25 −  2 ≥ 0
− 2 ≥ −25
 2 ≤ 25
−5 ≤  ≤ 5
Отметим наше решение на числовой прямой:
Отметим найденные решения на одной координатной прямой:
Пересечением решений является отрезок: [2;5] – это и есть
область определения исходной функции.
Ответ: D(y)=[2;5]
Задачи для самостоятельного решения:
4
1. Построить график функции  = √ − 3 + 1
7
2. Решить уравнение √ = − − 2
3. Построить и прочитать график функции y=f(x), где f(x):
6
,  ≥ 1
() = { √3
 , < 1
4. Найти область определения функций:
8
7
10
а)  = √3 − 15 б)  = √2 − 10 в)  = √4 − 12 + √36 −  2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа