close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

код для вставкиСкачать
№16-17. Условия возрастания и убывания дифференцируемой функции
Функция y  f  x  на интервале  a ; b  , при x1  x 2 , где x1 , x 2   a ; b  , называется
возрастающей, если f  x1   f  x 2  и убывающей, если f  x1   f  x 2  .
Пусть функция y  f  x  дифференцируема на интервале  a ; b  при всех x   a ; b  тогда:
если f   x   0 , то функция возрастает на  a ; b  , а если f   x   0 , то функция убывает на
этом интервале.
Если существует окрестность точки x 0 , такая что для всех точек x  x 0 , принадлежащих
этой окрестности, выполняется неравенство f  x   f  x 0  (или f  x   f  x 0  ), то x 0 называется точкой минимума (максимума) этой функции, а f  x 0  - локальным
минимумом (максимумом) этой функции.
Точки максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.
Теорема (необходимое условие экстремума): Если y  f  x  имеет в точке экстремума x 0
производную f   x 0  , то f   x 0   0 .
Замечание. В точке экстремума:
1) может не существовать производной. Пример: y  x , x  0 -минимум, а f   x 0  не
существует.
2
2) f   x 0    . Пример: y  x 3 , x  0 -минимум, но f   x 0   
Вывод: если в т. x 0 экстремум, то f   x 0   0 , f   x 0    , не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в
некоторой окрестности точки x 0 , может быть за исключением самой точки x 0 . Тогда, если
при переходе через точку x 0 , f   x 0  меняет знак с "+" на "–", то в точке x 0 - максимум, а
если с "–" на "+" – минимум. Если же f   x 0  не меняет свой знак при переходе через
точку x 0 , то она не является точкой экстремума.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа