close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

Cинтаксические нормы;doc

код для вставкиСкачать
§5. Комплексная степень числа е. Формула Эйлера.
Показательная форма комплексного числа
Определение 5.1. Пусть z  x  iy . Число ex(cos y  i sin y) называют
комплексной степенью числа е или экспонентой от z и обозначают через
exp z или e z . Таким образом, операция возведения числа е в комплексную
степень z  x  iy определяется формулой:
(5.1)
e z  e x (cos y  i sin y) .
Например, e 23i  e 2 (cos3  i sin 3) , e i / 2  cos( / 2)  i sin(  / 2)  i ,
e i  cos   i sin   1.
При z  i из (5.1) следует равенство:
(5.2)
ei  cos  i sin  ,
которое называется формулой Эйлера.
Свойства комплексной степени числа е
z1
1. e z1 z2  e z1 e z2 , e z1  z2  e z .
e2
2. Если z  x  0  i , то e z  e x0i  e x , т.е. для вещественных значений z
комплексная степень числа е есть степень с вещественным показателем;
3. Для любого комплексного числа z справедливо равенство:
e z 2ni  e z , n  Z.
Предоставим читателю, используя определение 5.1, доказать эти
свойства.
Пусть z С, z  0 . Запишем это число в тригонометрической форме:
z  r(cos  i sin ) , где r | z | ,   arg z . Отсюда и из формулы Эйлера (5.2)
вытекает следующее представление числа z:
z  rei ,
которое называют показательной формой комплексного числа z.
Правила действий с комплексными числами,
представленными в показательной форме
1. Пусть z1 и z2 – отличные от нуля комплексные числа, z1  r1ei1 ,
z2  r2 ei2 (здесь r1  | z1 | , r2  | z 2 | , 1  arg z1 , 2  arg z2 ). Тогда:
z1  z2  r1  r2 ei(1 2) ;
z1 r1 i( 1 2 )
 e
.
z 2 r2
2. Пусть z С, z  0 , n Z. Тогда z n  r nein , где r | z | ,   arg z .
3. Пусть a С, a  0 , n N, n  2 . Тогда числа zk ,
i
  2 k
n ,
zk    e
k  0, 1, 2, , n  1 ,
где  |a| ,   arg a , есть корни степени n из числа a (здесь n  есть
арифметическое значение корня, т.е. n   0 ).
Эти правила следуют из правил действий с комплексными числами
записанных в тригонометрической форме.
n
Замечание 5.1. Формула Эйлера (5.2) позволяет получить выражения
cos и sin  , где   R, через чисто мнимую степень е. Действительно,
заменив в (5.2) φ на – φ, с учетом свойства чѐтности косинуса и нечѐтности
синуса имеем:
(5.3)
e i  cos  i sin  .
Рассмотрев равенства (5.2) и (5.3) как систему относительно cos и sin  ,
найдѐм из неѐ cos и sin  :
(5.4)
cos   1 (ei  e i ) ; sin   1 (ei  e i ) .
2
2i
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа