close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

...математическая школа. дескриптивная теория множеств

код для вставкиСкачать
Николай Николаевич Лузин
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ЛУЗИН.
МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА.
ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ*
Развитие теории множеств и теории функций шло после работ
Г. Кантора в двух направлениях.
С одной стороны, шло изучение основных понятий математического анализа, таких как функционал, производная, интеграл,
ряд. При этом общая точка зрения теории множеств позволила обнаружить целый ряд новых глубоких свойств этих понятий. Кроме
того, она обнаружила недостаточность многих из классических определений и вызвала к жизни широкий круг новых образов, играющих в настоящее время выдающуюся роль во всей современной
математике. Это направление получило название метрической теории функций и множеств. С другой стороны, оказалось необходимым предпринять детальный анализ тех конструкций, с помощью
которых в математике создаются новые объекты. Бурное развитие
теоретико-множественной математики привело к необходимости
критического пересмотра её основ, чрезвычайно подробного изучения смысла вводимых новых понятий и отношений между ними.
Это критическое направление оказалось в то же время созидательным, так как оно привело к открытию новых объектов, нередко
играющих роль далеко за пределами породившего их направления.
Это направление получило название дескриптивной теории функций и множеств.
Н.Н Лузин принял чрезвычайно плодотворное участие в развитии первого из этих направлений и явился инициатором и соз* Судя по всему, текст был написан в 1936 году в связи с проходившим в то время безобразным, в определённой мере позорным для Академии наук, делом «Об академике Н.Н. Лузине». Чтобы понять обстановку
на этом судилище, достаточно познакомиться с обстоятельным трудом,
составленным на основе стенографических отчетов и других архивных
материалов сотрудниками Института истории естествознания и техники
им. С.И. Вавилова РАН и Архива Российской Академии наук Н.С. Ермолаевой, А.И. Володарским и Т.А. Токаревой: Дело академика Николая Николаевича Лузина // Ответственные редакторы С.С. Демидов и Б.В. Лёвшин / СПб.: РХГИ, 1999. – 312 с. (Н. Ляпунова).
37
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
дателем значительной части второго. Кроме того, Н.Н. явился первым проводником идей обоих направлений в нашем Союзе и
главой школы, которая в значительной мере определила современное развитие и распространение теории функций действительного
переменного.
Первый период научной деятельности Н.Н. Лузина относится
к метрической теории функций. Первые научные работы Н.Н. Лузина относятся к теории тригонометрических и степенных рядов.
Им были построены примеры степенного ряда, расходящегося
всюду на границе круга сходимости, а также тригонометрического
ряда, коэффициенты которого стремятся к нулю, и который расходится почти всюду. Это давало исчерпывающий ответ на вопросы,
предложенные крупным французским учёным Фату.
Вслед за этим Н.Н. Лузин получает существенные результаты
по теории тригонометрических рядов Он показывает, что если тригонометрический ряд сходится абсолютно на множестве положительной меры или на множестве второй категории, то он сходится
абсолютно всюду.
Другой важный результат Н.Н. Лузина по абсолютной сходимости состоит в том, что если тригонометрический ряд сходится
абсолютно в двух точках, расстояние между которыми не соизмеримо с π, то он сходится абсолютно на всюду плотном множестве.
Главные результаты Н.Н. Лузина по метрической теории функций содержатся в его диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд». Эта диссертация была представлена в Московский Университет на соискание степени магистра, однако Н.Н. Лузин был
сразу удостоен степени доктора – случай почти не имевший прецедентов в Московском Университете.
В этой диссертации Н.Н. Лузин отправляется от новых определений понятия интеграла, предложенных Лебегом и Данжуа, и
обнаруживает новые глубокие свойства этих понятий и функции,
для которых они могут быть определены.
Установленная Н.Н. Лузиным в диссертации теорема о том,
что всякая измеримая функция непрерывна, если пренебрегать
множеством сколь угодно малой меры, является одним из центральных обстоятельств метрической теории функций. Её интерес
заключается в том, что она вскрывает внутреннее родство между
таким сложным и мало обозримым понятием, как измеримая функция и понятием непрерывной функции, являющимся достоянием
каждого образованного человека. В установлении этой теоремы
сказалась своеобразная особенность творчества Н.Н. Лузина, наиболее ярко проявившаяся в его позднейших дескриптивных рабо38
Николай Николаевич Лузин
тах, – умение найти основное ядро «сложных», но значительных по
природе образований, и вскрыть глубокое, но своеобразное родство их с хорошо изученными и «простыми» вещами. Такое прояснение обстановки всегда облегчает дальнейшие исследования в
данной области. Быть может, этим объясняется то, что едва ли не
во всех областях, в которых Лузин работал, он всегда имел большое число последователей.
Другим ярким результатом этой диссертации была теорема о
том, что всякая измеримая функция имеет примитивную функцию,
то есть, что всякая измеримая функция почти всегда совпадает с
некоторой производной, определённой также почти всюду. Эта теорема также вскрывает глубокое родство «сложных» понятий теоретико-множественной природы с понятиями «простыми» и общеизвестными.
В связи с этим Н.Н. Лузин ставит вопрос о том, каким способом отличить интеграл Лебега или Данжуа от всех остальных примитивных данной функции. В диссертации показано, что этот вопрос не может быть решён на классическом пути. Дело в том, что
даже если некоторая функция является точной производной, может оказаться, что её интеграл Лебега в некоторых точках не имеет
производной. Однако, Н.Н. Лузин показал, что интеграл Лебега
среди всех примитивных от данной функции характеризуется тем,
что он имеет наименьшее полное изменение. Для того, чтобы решить аналогичный вопрос для случая интеграла Данжуа, Н.Н. Лузин ввёл понятие изменения функции на совершенном множестве.
С помощью этого понятия он указал характеристическое свойство
интеграла Данжуа, выделяющее его среди всех примитивных от
данной функции.
Далее Н.Н. Лузин сопоставляет все основные определения интеграла, бывшие в ходу в то время, и показывает, что ни один из
этих интегралов не расширяет интеграла Данжуа.
В той же диссертации Н.Н. Лузин сильно продвинул теорию
тригонометрических рядов. Кроме результатов по абсолютной сходимости, Н.Н. Лузин получил ряд глубоких результатов, выясняющих связь между теорией интегрирования и изображением функций тригонометрическими рядами. Н.Н. Лузин показал, что всякая
измеримая функция может, в известном смысле, быть отображена
тригонометрическим рядом (который суммируется почти всюду к
этой функции методами Пуассона и Римана), впрочем, такое изображение отнюдь не единственно. Кроме того, опираясь на теорию
тригонометрических рядов, Н.Н. Лузин открыл новое глубокое
свойство измеримых множеств. Оно состоит в том, что почти для
39
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
любой точки, измеримое множество в некоторой окрестности этой
точки является почти симметричным относительно выбранной точки. Идеи, развитые Н.Н. Лузиным в диссертации, оказали огромное влияние на дальнейшее развитие метрической теории функций. Она явилась отправным пунктом для работ многих учеников
Н.Н. Лузина, из которых получилось немало выдающихся учёных.
Работы учеников Н.Н. Лузина способствовали проникновению
идей, заключённых в этой диссертации, в различные смежные области математики. Теория функций действительной переменной
оказала глубокое влияние на развитие целого ряда областей математики. Многие выдающиеся учёные, начав свою деятельность с
теории функций, переходили в другие области науки и оставляли
там глубокий след. Н.Н. Лузин не остался в стороне от этого течения. В его руках теоретико-функциональные идеи становятся могущественным аппаратом в деле изучения граничных свойств аналитических функций. Многие из этих результатов Н.Н. Лузина
вошли в настоящее время во многие монографии и специальные
руководства. К числу таких результатов относится установленная
совместно с И.И. Приваловым теорема о том, что функция, осуществляющая конформное отображение области, ограниченной
спрямляемой кривой на круг, абсолютно непрерывна на границе.
Очень крупным результатом в теории аналитических функций является теория Н.Н. Лузина о том, что функция аналитическая
внутри круга равна тождественно нулю, если она стремится к нулю
при приближении к границе круга по всем некасательным путям,
для множества точек границы положительной меры. Н.Н. Лузин
установил глубокую связь между граничными свойствами аналитических функций и метрикой Римановой поверхности, на которую
они отображают единичный круг, установив следующее предложение: если функция разлагается внутри круга в степенной ряд, у
которого ряд из коэффициентов абсолютно сходится, то почти во
всякой точке границы можно провести замкнутую касательную
кривую, область ограничения которой отображается на участок Римановой поверхности конечной площади.
Перечисленные результаты далеко не исчерпывают того, что
Н.Н. Лузин сделал в метрической теории функций и теории аналитических функций.
Работы Н.Н. Лузина в этих областях сыграли огромную роль и
вызвали большое число дальнейших работ других учёных, в особенности учеников Н.Н. Лузина. Однако с 1915 года основные интересы Н.Н. Лузина на долгое время переходят в область дескриптивной теории множеств. В первом десятилетии XX в. французские
40
Николай Николаевич Лузин
ученые, Борель, Бэр и Лебег, выяснили исключительно большое
значение для математического анализа класса множеств, названных Борелевскими множествами, или B-множествами. Эти множества получаются исходя из отрезков, повторным применением
операций счётная сумма и счётное пересечение.
Все математические конструкции предыдущей эпохи были ограничены рамками B-множеств. Лебегу удалось построить искусственный и очень сложный пример множества, не являющегося
B-множеством, однако ценность таких построений для математики
была совершенно не ясна. Примерно в то же время появился в теории множеств целый ряд иных, чрезвычайно своеобразных построений, основанных на аксиоме произвольного выбора Цермело,
которые постоянно выводили за пределы B-множеств и тогда приводили к результатам большого значения. Но эти построения столь
сильно отличались от общепринятых в математике способов рассуждения, что были объявлены многими учёными лишенными реального смысла. Возникло своеобразное положение, характерное
для моментов внутренних кризисов в науке, когда оказалось невозможным придти к единому мнению по поводу смысла некоторых
рассуждений. Настоятельно ощущалась необходимость коренного
пересмотра оснований теории множеств. В то же время, почва для
такого пересмотра ещё не была подготовлена. Ещё не была найдена та точка зрения, которая могла бы внести ясность в эти сложные вопросы. Всё это указывало на то, что круг вопросов, относящихся к дескриптивной теории множеств, имеет большое, принципиальное значение.
Работа Н.Н. Лузина и созданной им школы в короткий срок
совершенно преобразила эту область. В своем семинаре в Московском Университете Н.Н. Лузин поставил вопросы о дальнейшем
изучении свойств B-множеств, в частности, вопросы об их мощности, а также о значении построения множеств, не являющихся
B-множествами, такими средствами, которые не могли бы вызвать
разногласий. Оба эти вопроса были успешно разрешены учениками Н.Н. Лузина. П.С. Александров доказал, что всякое несчётное
B-множество содержит совершенное подмножество и, следовательно, имеет мощность континуума. С помощью аппарата, построенного для получения этого результата, М.Я. Суслин построил класс
множеств, более обширный, чем класс B-множеств. Они были названы A-множествами. Их часто называют также аналитическими
множествами, или Суслинскими множествами.
Вскоре было установлено, что изучение A-множеств отнюдь не
является каким-то узким, изолированным вопросом. От них про41
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
тянулись нити в самые разнообразные области математики – прежде всего, внутри теории функций, а здесь – к вопросам оснований
математики, математической логике, топологии и т. п. Н.Н. Лузин
был инициатором, деятельным участником и руководителем всех
основных работ этого направления не только у нас, но и за границей. Самому Н.Н. Лузину принадлежит открытие новых определений A-множеств, а также B-множеств, замечательных по своей
простоте и обозримости, и ясно показывающих принципиальную
роль этих понятий: A-множества суть множества значений функций, имеющих лишь счётные множества точек разрыва; B-множества суть множества значений функций, имеющих лишь счётное
множество точек разрыва и принимающих различные значения во
всяких двух различных точках. Основные результаты теории A-множеств были получены либо самим Н.Н. Лузиным, либо его многочисленными учениками. Очень часто фундаментальные результаты
были получены как ответы на вопросы, поставленные Н.Н. Лузиным. Очень большую роль в развитии теории А-множеств сыграла
операция расчёта, введенная Н.Н. Лузиным и позволившая придать всей теории наглядную геометрическую форму, полную законченность и большое изящество. Н.Н. Лузин показал, что всякое
А-множество может быть получено операцией решета исходя из
отрезков, и нашёл необходимый и достаточный признак, отмечающий решета, определяющие В-множества. В дальнейшем операция
решета принесла большие плоды и в теории В-множеств. С помощью операции решета Н.Н. Лузин показал, что отрезок может быть
представлен как сумма χ1 попарно неперекрывающихся В-множеств. Это до сих пор является наиболее сильным из чисто теоретико-множественных результатов, примыкающих к проблеме континуума и не опирающихся на аксиому Цермело. Теория А-множеств изложена Н.Н. Лузиным в монографии «Leson sur les ensembles analytiques», вышедшей в Париже в серии монографий по
теории функций, руководимой Борелем. Эта книга излагает как
собственные результаты Н.Н. Лузина, так и результаты, полученные целым рядом учеников Н.Н. Лузина. Она чрезвычайно богата
фактами, а также идеями и постановками вопросов. По существу
говоря, эта книга явилась программой для всех последующих работ
по дескриптивной теории множеств, как для советских учёных, так
и за границей (Польша, США, Япония и т. д.). Кроме теории Амножеств, в этой монографии содержится теория так называемых
проективных множеств. Этот класс множеств был открыт Н.Н. Лузиным. Простейшие свойства этого класса были изучены Н.Н. Лузиным и польским учёным Серпинским. Ученики Н.Н. Лузина в
42
Николай Николаевич Лузин
последние годы получили ряд дальнейших результатов в этой области. Этот класс множеств [был получен] исходя из В-множеств, с
помощью операций проектирования или непрерывного преобразования и взятия дополнения. Наиболее важным обстоятельством,
обнаруженным Н.Н. Лузиным в теории проективных множеств,
является совершенно специфический характер трудностей, возникающих при попытках дальнейшего развития учения о проективных множествах. Глубокий анализ проблем теории проективных
множеств, не поддающихся решению, проведенный Н.Н. Лузиным, привёл его к предположению, что недоступность этих проблем имеет совершенно особенный, не встречавшийся до сих пор
в математике, характер. Дело не в том, что у математиков не хватает изобретательности для их решения, а в своеобразной природе
определения этих множеств, которая не допускает слишком далеко
идущих положительных заключений. Н.Н. Лузин показал, что к
вопросу о пустоте или непустоте того или иного вполне индивидуального проективного множества – названного им резольвентой –
может быть сведен широкий круг разнообразных общих проблем,
среди которых имеются и такие, как, например, некоторые случаи
проблемы континуума, на которые по самой природе вещей невозможно рассчитывать получить однозначный ответ в классическом
смысле этого слова. Н.Н. Лузин ясно указал на то, что здесь находится область, на которую в будущем должна пролить свет математическая логика. В настоящее время различными учёными получены значительные результаты в направлении осуществления этой
программы Н.Н. Лузина. Н.Н. Лузин высказал предположение о
том, что такие вопросы, как вопрос о мощности дополнений к
множествам, вопрос об измеримости или наличии свойства Бэра у
проективных множеств, вопрос об отделимости проективных множеств, лежат вне современных возможностей математики. Эти проблемы требуют развития новых областей математической логики и
создания новых методов исследования в этой науке. Только на
этом пути может быть найден выход из того состояния внутреннего кризиса, который назрел в теории множеств. В настоящее время
в этом направлении идет интенсивная работа некоторых новых математических школ. Трудности далеко ещё не преодолены, но уже
стало ясно, что прогнозы, высказанные Н.Н. Лузиным, должны
подтвердиться.
Теория проективных множеств уже нашла своеобразный отклик в математической логике. Прежде всего, было обнаружено,
что операции проектирования и взятия дополнения по существу
эквивалентны логическим понятиям «для всех» и «ни для кого».
43
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
К этим понятиям сводятся логические кванторы «существует x» и
«для всех x-ов», являющиеся главными операциями в современных
логических исчислениях. Опираясь на это, польские ученые Тарский и Куратовский показали, что объекты, к построению которых
ведут наиболее распространенные логические исчисления, не прибегающие к аксиомам произвольного выбора, ограничены классом
произвольных множеств. Таким образом, класс проективных множеств в некотором смысле ограничивает поле «существенных» математических объектов.
В последние годы в работах Чёрча, Клини, Поста и других
построена новая область математики – теория разрешимых функций, которая ставит своей задачей анализ математических конструкций и поиски проблем, неразрешимых конструктивным путем.
Построение этой области протекает под значительным влиянием
идей, высказанных Н.Н. Лузиным в теории проективных множеств.
В другом направлении работ, относящихся к основаниям математики, и созданным голландской школой во главе с Брауэром, существенную роль играет понятие «индивидуально определённого»
множества. Оказалось, что с точки зрения Канторовской теории
множеств, всякое «индивидуально определённое» множество является А-множеством. Наконец, Гёдель доказал непротиворечивость
гипотезы континуума. В этой работе он частично черпал тематику
из работ Н.Н. Лузина по проективным множествам. Изо всего этого видно, что хотя «кризисное» состояние в теории множеств ещё
далеко не разрешено, но теория проективных множеств уже смогла
пролить свет на некоторые наиболее принципиальные вопросы,
связанные с этим кризисом, и много дала в смысле приближения
«выхода» из этого кризиса.
Описание роли Н.Н. Лузина в науке было бы неполно, если
бы мы не отметили его роли как главы и создателя московской
математической школы. Значительное число выдающихся математиков являются его учениками. Отметим хотя бы покойных
М.Л. Суслина, П.С. Урысона, И.И. Привалова и др. Едва ли можно в истории русской математики указать человека, из учеников
которого вышло столько первоклассных учёных, как у Н.Н. Лузина. Необычайный успех Н.Н. Лузина в создании школы объясняется тем, что, будучи профессором Московского Университета,
Н.Н. Лузин умел объединить вокруг себя наиболее одарённых студентов и вводил начинающих математиков в наиболее актуальную
научную проблематику. Он умел показать начинающим наиболее
интересные и важные проблемы, а также основные идеи и трудности, определяющие характер этой проблематики. Этим объясняет44
Николай Николаевич Лузин
ся то, что неоднократно, ещё будучи студентами, ученики Н.Н. Лузина получали первоклассные результаты. Очень многие начинали
свою научную деятельность с продолжения и развития только что
законченных работ Н.Н. Лузина.
Помимо работ в области теории функций, Н.Н. Лузину принадлежит целый ряд работ в области математического анализа и дифференциальной геометрии. Им доказана сходимость метода Чаплыгина приближённого решения дифференциальных уравнений и
показано, что скорость сходимости весьма велика. Кроме того, им
построена качественная теория интегралов некоторых дифференциальных уравнений, описывающих движение по «не идеально
гладкому» полотну железной дороги, и найдены условия устойчивости движения. В области дифференциальной геометрии Н.Н. Лузин занимался классическим вопросом об изгибании на главном
основании. Этому вопросу посвящено большое число работ крупных геометров. Однако до Н.Н. Лузина были не известны условия,
при которых такие изгибания существуют. Н.Н. Лузин показал,
что существование и свойства изгибаний является очень специальным, так сказать, «редко встречающимся» свойством поверхности.
Наконец, необходимо отметить деятельность Н.Н. Лузина в
области создания учебников. Н.Н. Лузин является автором учебника дифференциального и интегрального исчисления, выдержавшего уже более 16 изданий. Первоначально Н.Н. редактировал перевод учебника Грэнвиля. Затем он его постепенно, от издания к
изданию, перерабатывал и усовершенствовал, с одной стороны,
приближал его к запросам нашей высшей школы, с другой стороны, повышал общий теоретический уровень учебника. Результатом
этой работы явилось издание учебника дифференциального и интегрального исчисления, которым пользуется большинство высших
школ нашего Союза. Кроме этого, Н.Н. Лузин является автором
очень своеобразно и чрезвычайно интересно написанного учебника по теории функций действительного переменного. В этой книге,
с присущим ему мастерством, Н.Н. Лузин сочетал большую идейную глубину с практичностью и увлекательностью изложения.
45
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа